MATEMATIKA LOGIKA

Osnovni element matematike logike (booleove algebre) je IZJAVA za koju se moe ustanoviti je li ISTINITA ili LANA. Istinitost i la neke izjave moe se oznaiti na vie naina. U informatici, zbog povezivanja sa zapisom brojeva u raunalu, istinitost i la izjava oznaavat emo znamenkama 0 i 1. Istinitu izjavu oznait emo sa 1, a lanu sa 0.Primjeri izjava:Danas je prvi dan jeseni.Pada kia.U torbi nosim kiobran.Redovno uim i pripremam se za dravnu maturu.Poloit u dravnu maturu sa odlinim ocjenama.Upisat u eljeni fakultet.

Za svaku od prethodno navedenih reenica moemo utvrditi jesu li istinite ili lane. Isto tako, izmeu istinitosti pojedinih izjava moe postojati veza. Moemo rei da e izjava "Upisat u eljeni fakultet." biti istinita ako su istinite obje izjave: "Redovno uim i pripremam se za dravnu maturu." i "Poloit u dravnu maturu sa odlinim ocjenama." To znai da izjave moemo povezati LOGIKIM operacijama. Jednako kao to brojeve moemo povezati aritmetikim operacijama. Logikim operacijama izraunavamo istinitost logikih izraza na temelju istinitosti poetnih izjava.U osnovne logike operacije pripadaju:logika operacijaNE(negacija),logika operacija I(logiko mnoenje, konjunkcija) ilogika operacija ILI(logiko zbrajanje, disjunkcija).

LOGIKA OPERACIJA I

Logika operacijaI(konjunkcija) ukljuuje dvije izjave i istinita jesamo ako su obje izjave ISTINITE. Postoji vie naina oznaavanja logikih operacija. Poto logiku operaciju I nazivamo i logiko mnoenje, oznaavat emo ju znakom"" Isto tako, nepraktino je da izjave zapisujemo kao reenice. Zbog toga emo svaku reenicu zamijeniti jednim slovom (najee velikim, ali nije uvjet). Znai, umjesto da piemo dvije reenice, logiku funkciju I koju primjenjujemo na izjave A i B, moemo zapisati ovako:Z=AB.Z je rezultat logike funkcije. Umjesto definicije logike operacije na nain na koji smo to napravili u prvoj reenici, ona se moe definirati tzv.TABLICOM ISTINITOSTIiliTABLICOM STANJA. Tablica stanja definira istinitost cjelokupne logike operacije zasnovane na istinitosti izjava ukljuenih u tu operaciju.Tablica stanja logike operacije I:

Iz tablice stanja logike operacije I vidimo da je logika operacija I istinita (1) samo ako su obje izjave ukljuene u operaciju istinite (1).

LOGIKA OPERACIJA ILI

Logika operacijaILI(disjunkcija) takoer ukljuuje dvije izjave. Istinita jeako je barem jedna od njih ISTINITA. Logiku operaciju ILI nazivamo ilogiko zbrajanjei oznaavamo ju znakom"+"Tablica stanja logike operacije ILI:

LOGIKA OPERACIJA NE

Logika operacijaNE(negacija) ukljuuje samo jednu izjavu. Istinita jeako je poetna izjava neistinita.

Tablica stanja logike operacije NE:

SLOENE LOGIKE OPERACIJE

Osnovne logike operacije esto se kombiniraju u sloene.Primjer:Z=AB+CBZnajui definicije i (ili) tablice istinitosti osnovnih logikih operacija lako moemo napraviti tablicu istinitosti zadane sloene logike operacije.Kod izrade tablice istinitosti sloene logike operacije potrebno je znati:1. Prioritet izvravanja osnovnih logikih operacija i2. Koliko razliitih kombinacija postoji za zadan broj izjava

PRIORITET IZVRAVANJA OSNOVNIH LOGIKIH OPERACIJAKada imamo vie logikih operacija, a one nisu odvojene zagradama, najprije emo napraviti negaciju, zatim logiko mnoenje (I), a tek na kraju zbrajanje (ILI). Operacije istog prioriteta izvravamo s lijeva na desno.

BROJ KOMBINACIJA U SLOENOJ LOGIKOJ OPERACIJIBroj kombinacija ovisi o broju razliitih izjava. Kako svaka izjava moe poprimiti stanje 1 ili 0, postoji 2broj izjavarazliitih kombinacija.Ako imamo 2 izjave (A i B) postoje 4 razliite kombinacije "nula" i "jedinica".U prethodnom primjeru imamo tri izjave (A, B, C), odnosno 8 kombinacija.Postavlja se pitanje: kako popuniti poetne vrijednosti u tablici istinitosti, a da budemo sigurni da smo uzeli u obzir sve kombinacije i da niti jednu nismo ponovili?Za prethodni primjer poetne kombinacije u tablici istinitosti popunjavamo ovako: Imamo tri izjave, to znai 8 kombinacija. Za popunjavanje prvog stupca prepolovimo broj kombinacija (8:2=4) i prvu polovicu (prve 4) popunimo nulama, dok drugu polovicu popunimo jedinicama.U sljedeem stupcu (izjava B) prepolovimo onaj "prepolovljeni" broj iz prethodnog stupca (4:2=2). Sada popunjavamo stupac najprije sa dvije nule, pa dvije jedinice, pa dvije nule, dvije jedinice.Zadnji stupac popunjavamo tako da kombiniramo nulu, pa jedinicu dok ne doemo do kraja (opet smo broj 2 iz prethodnog stupca podijelili sa dva)Ovo moda izgleda komplicirano kad se prvi puta ita, ali kad pogledate u tablici sve e vam postati jasno.

Za etiri izjave imamo 16 kombinacija. Prvi stupac popunjavamo sa osam nula i osam jedinica, a zatim opet za svaki sljedei prepolovimo broj iz prethodnog stupca (Znai 8, pa 4, pa 2 i na kraju 1)Idemo konano napraviti tablicu istinitosti za na primjer. Kako mnoenje ima vei prioritet od zbrajanja, ne moemo ii redom. Najprije moramo izraunati AB, zatim BC i tek na kraju zbrojiti dobivene rezultate.

PRAVILA POJEDNOSTAVLJIVANJA SLOENIH LOGIKIH IZRAZA

Osnovna pravila koja nam mogu pomoi u pojednostavljivanju logikih izraza su:

LOGIKI SKLOPOVI

Logiki sklopovi su osnovne jedinice od kojih se tvore raunala, a osnovu imaju u matematikoj logici.

OSNOVNI I IZVEDENI LOGIKI SKLOPOVIOsnovni logiki sklopovi vezani su uz osnovne logike operacije NE, I i ILI, a prikazani su na sljedeoj slici:

Osim osnovnih logikih sklopova, esto se koriste i drugi, tzv. izvedeni logiki sklopovi.

SLOENI LOGIKI SKLOPOVI

Spajanjem osnovnih logikih sklopova mogu se izgraditi sloeni logiki sklopovi. Oni u suvremenim raunalima mogu sadravati i milijune osnovnih logikih sklopova.PrimjerLogiki sklop koji na izlazu ima.

KONJUNKTIVNA I DISJUNKTIVNA NORMALNA FORMA

U logici ne moramo uvijek krenuti od izraza prema tablici istinitosti. Problem se moe postaviti i obrnuto: za danu tablicu istinitosti potrebno je napisati logiki izraz.Za takve probleme koristimokonjunktivnu i disjunktivnu normalnu formu.

KONJUNKTIVNA NORMALNA FORMAPostupak za dobivanje izraza je sljedei:1. U tablici istinitosti gledamo samo one redove u kojima je rezultatnula2. U svakom od tih redovazbrajamovarijable, ali s tim davarijable ija je vrijednost jedan negiramo(one ija je vrijednost nula samo prepiemo).3. Na kraju dobivene sumepomnoimo.

Da to nije tako komplicirano kako izgleda na prvi pogled, pogledajmo na primjeru.Primjer:

DISJUNKTIVNA NORMALNA FORMAPostupak za dobivanje izraza je sljedei:1. U tablici istinitosti gledamo samo one redove u kojima je rezultatjedan2. U svakom od tih redovamnoimovarijable, ali s tim davarijable ija je vrijednost nula negiramo(one ija je vrijednost jedan samo prepiemo).3. Na kraju dobivene sumezbrojimo.

Pogledajmo primjer:Primjer:

NAPOMENA: hoemo li raditi konjunktivnu ili disjunktivnu normalnu formu, ovisi o tome ima li u tablici manje nula ili jedinica!