Matematicke metode u kemijiSimetrije u kemiji

1 Izometrije prostora

Definicija 1 Ako su (X, d) i (X ′, d′) metricki prostori, funkciju f : X→X ′ zovemoizometrija ako za sve x, y,∈ X vrijedi

d(x, y) = d′(f(x), f(y)).

Mi cemo u ovom poglavlju promatrati samo izometrije na uobicajenom trodimenzion-alnom euklidskom prostoru R3, opskrbljenom standardnom metrikom. Ako je S ⊆ R3 i fizometrija, onda S i f(S) zovemo sukladnim ili kongruentnim.

Najvaznija vrsta izometrija je ravninska simetrija ili zrcaljenje obzirom na ravninu.

Definicija 2 Zrcaljenje obzirom na ravninu Π je izometrija σΠ : R3→R3 sa svojstvomda za sve tocke T ∈ R3 vrijedi da se poloviste duzine TσΠ(T ) podudara sa sjecistem s Πokomice iz T na Π.

Sve tocke T ∈ Π, i samo one, su fiksne za zrcaljenje obzirom na Π, a svaka izometrijaprostora moze se prikazati kao kompozicija od najvise cetiri zrcaljenja obzirom na ravnine.Napomenimo i da vrijedi: ako izometrija f : R3→R3 ima cetiri nekomplanarne fiksnetocke, onda je f identiteta. Jednostavnosti radi ipak se neke izometrije promatraju kaozasebne vrste (iako se mogu realizirati kao kompozicije zrcaljenja). To su prije svegarotacije i translacije.

Definicija 3 Neka je o pravac u prostoru. Rotacija oko osi o za kut α je izometrijaρo(α) : R3→R3 sa svojstvom da za sve tocke T ∈ R3 vrijedi da je |OT | = |Oρo(α)(T )| ida jekut izmedu OT i Oρo(α)(T ) jednak α, gdje je O probodiste pravca o s ravninom krozT koja je okomita na o.

Neka je a neki vektor u R3. Translacija za vektor a je izometrija ta : R3→R3 sa

svojstvom da za sve tocke T ∈ R3 vrijedi da je orijentirana duzina−−−−→Tta(T ) predstavnik

vektora a.

Cesto se kao posebne vrste izometrija isticu i iduce:

• Centralna simetrija ili inverzija: izometrija 1 : R3→R3 sa svojstvom da postojitocka O (centar simetrije/inverzije) takva da za sve tocke T vrijedi da je O polovisteduzine Ti(T ); alternativno: kompozicija rotacije za kut π oko neke osi kroz O sazrcaljenjem obzirom na ravninu kroz O okomitu na os rotacije;

• Rotoinverzija: kompozicija rotacije za kut α s inverzijom; ako je α = 2πn

, onda sepripadna rotoinverzija oznacava s n;

• Simetrija klizne ravnine: kompozicija zrcaljenja obzirom na neku ravninu stranslacijom u smjeru paralelnom toj ravnini;

• Vijcana simetrija: kompozcija rotacije oko neke osi s translacijom u smjeru te osi.

1

U geometriji se dva objekta S, S ′ ⊆ R3 zovu sukladni ili kongruentni ako postojiizometrija f : R3→R3 takva da je f(S) = S ′. Za potrebe nastavka ovog kolegija ipakcemo uvesti razlikovanje dvije vrste takve kongruencije.

Definicija 4 Objekti S i S ′ su enantiomeri ako je postoji ravnina Π i izometrija f kojaje kompozicija rotacija i translacija tako da je σπ ◦ f(S) = S ′. Kongruentne objekte kojinisu enantiomeri zvat cemo kongruentnima u uzem smislu.

Jednostavnije razlikovanje ove dvije vrste kongruencije dobijemo na iduci nacin: Svakuizometriju prostora mozemo matricno zapisati u obliku

f(x) = Ax + b

gdje je A ∈ M3 ortogonalna (dakle je Ax·Ax = x·x za sve x ∈ M3,1∼= R3) i b ∈ M3,1

∼= R3

(b zovemo i translacijskom komponentom). Ako je det A = 1 kazemo da f cuva orijentaciju(f je pomak), a ako je det A = −1 kazemo da f mijenja orijentaciju. Sad mozemo reci:S i S ′ su enantiomeri ako su izometricni i postoji izometrija f koja jedan preslikava nadrugi mijenja orijentaciju; u suprotnom izometricne objekte zovemo kongruentnima uuzem smislu.

2 Osnove teorije grupa

Temelj svih algebarskih struktura su definicije odredenih operacija na nekom skupu kojimase iz elemenata tog skupa (obicno njih dva) dobivaju elementi istog skupa. Kaze se i daje karakteristika operacija na nekom skupu njihova zatvorenost: primjena operacije naelemente skupa daje element istog tog skupa. Preciznije:

Definicija 5 Binarna operacija na skupu S 6= ∅ je svaka funkcija ♥ : S×S→S. Umjesto♥(x, y) uobicajeno je pisati x♥y.

Navedimo nekoliko vaznih primjera binarnih operacija:

• Kompozicija funkcija je binarna operacija na svakom skupu funkcija AA (ili nekomnjegovom podskupu);

• Zbrajanje i mnozenje su binarne operacije na uobicajenim skupovima brojeva;

• Zbrajanje i mnozenje matrica su binarne operacije na Mm,n odnosno Mn;

• Unija i presjek su binarne operacije na familijama skupova oblika P(S).

Cim je na S definirana neka binarna operacija ♥, govorimo o algebarskoj strukturi(S,♥). Ovisno o svojstvima binarne operacije, ta algebarska struktura moze biti polu-grupa, monoid, grupa. . .

Definicija 6 Struktura (S,♥) je polugrupa ako vrijedi svojstvo asocijativnosti:

∀x, y, z ∈ S (x♥y)♥z = x♥(y♥z).

Polugrupa je monoid ako u S postoji element e (kojeg zovemo jedinica ili neutralnielement) sa svojstvom

∀x ∈ S x♥e = e♥x = x.

2

Monoid je grupa ako vrijedi

∀x ∈ S∃y ∈ S x♥y = y♥x = e.

U tom slucaju se y iz gornje relacije oznacava s x−1 i zove inverzni element.Algebarska struktura je konacna ako je S konacan skup. Algebarska struktura je

komutativna ako vrijedi∀x, y ∈ S x♥y = y♥x.

Red konacne grupe (S,♥) je kardinalni broj skupa S, oznaka |S|.

Primjer 1 Kompozicija funkcija je uvijek asocijativna operacija, pa su strukture oblika(S, ◦) sa S ⊆ AA uvijek polugrupe. Ukoliko je identiteta sadrzana u S (npr. za S = AA iliS skup svih bijekcija na A) struktura ce biti monoid. Ako je S skup svih bijekcija na A,onda je (S, ◦) grupa (inverzni element od f ∈ S je tocno inverzna funkcija od f). Ovakvealgebarske strukture su u pravilu nekomutativne.

Osobito vazne su tzv. simetricne grupe; to su grupe Sn svih permutacija skupa{1, 2 . . . , n}, uz kompoziciju kao binarnu operaciju.

Primjer 2 Neka je I(R3) skup svih izometrija na R3. Obzirom na kompoziciju kao bina-rnu operaciju je I(R3) grupa, tzv. grupa izometrija prostora R3 (vidi i definiciju nize).

Primjer 3 Gledamo li algebarsku strukturu (N, +), vidimo da se radi o komutativnojpolugrupi (nema neutralnog elementa), dok je (N, ·) komutativni monoid.

Algebarske strukture (Z, +), (Q, +) i (R, +) su komutativne grupe1, dok su (Z, ·), (Q, ·)i (R, ·) komutativni monoidi.

Ukoliko je binarna operacija oznacena s +, uobicajeno je govoriti o aditivnoj polugrupi,monoidu, grupi. . . , a inverzni element od x u aditivnoj grupi uobicajeno je zvati suprotnielement i oznacavati s −x. Ako je pak binarna operacija oznacena s ·, uobicajeno jegovoriti o multiplikativnoj polugrupi, monoidu, grupi. . . U tom slucaju je umjesto x · yuobicajeno pisati xy.

Za konacne grupe operacija se cesto prikazuje Cayleyevom tablicom (”tablicom mnozenja”

grupe).

Primjer 4 Neka je S = {0, 1} i na njemu definirana operacija +2 (zbrajanje modulo 2)s 0 +2 0 = 1 +2 1 = 0, 1 +2 0 = 0 +2 1 = 1. To mozemo prikazati Cayleyevom tablicom

+2 0 10 0 11 1 0

Ova grupa se oznacava s C2.

Ako je Cayleyeva tablica simetricna obzirom na dijagonalu, grupa je komutativna.Neutralni element u grupi je onaj ciji redak je jednak retku zaglavlja stupaca (u gornjemprimjeru je dakle grupa komutativna, a neutralni element je 0).

U daljnjem cemo se baviti iskljucivo grupama, najcesce nekomutativnima; oznaka Gpodrazumijevat ce da govorimo o grupi, a ako nije drugacije navedeno podrazumijevatcemo · kao oznaku binarne operacije.

1Komutativne grupe se cesto zovu i Abelove grupe.

3

Definicija 7 Grupa G je ciklicka grupa ako postoji g ∈ G sa svojstvom:

∀x ∈ G∃n ∈ N0 x = gn.

Pritom je s gn oznacen element g · g · . . . · g︸ ︷︷ ︸n

. Ako gore opisani element g postoji, on se

zove generator grupe G.Ako za x ∈ G postoji najmanji n ∈ N sa svojstvom xn = e, onda se taj n zove red

elementa x.

Primjer 5 Gore opisana grupa C2 je ciklicka grupa reda 2 s generatorom 1.

Primijetimo da je red generatora ciklicke grupe jednak redu te grupe. Ciklicka grupareda n se obicno oznacava Cn. Sve ciklicke grupe su komutativne: ako su x, y ∈ G i Gciklicka s generatorom g, onda je x = gn i y = gm (za neke n i m) pa je xy = gn+m =gm+n = yx.

Definicija 8 Neka je (G, ·) grupa i ∅ 6= H ⊆ G. Oznacimo s ·H restrikciju operacije · naH ·H. Ako je (H, ·H) takoder grupa, kazemo da je ona podgrupa grupe (G, ·), pisemo ·umjesto ·H i H ≤ G.

Primjer 6 Trivijalne podgrupe svake grupe G su grupe G i {e}.Primjer 7 Podgrupe od Sn zovu se grupe permutacija.

Jednostavan kriterij za provjeru je li H podgrupa od G dan je s

Propozicija 1 H ⊆ G je podgrupa grupe G ako i samo ako vrijedi

∀x, y ∈ H xy−1 ∈ H

Dokaz. Ako je H ≤ G, svojstvo ocigledno vrijedi. Obrnuto, potrebno je provjeritizatvorenost, asocijativnost, egzistenciju neutralnog elementa i inverza. Asocijativnost seocito uvijek nasljeduje pri restrikciji. Kako gornje svojstvo vrijedi za sve x i y, specijalnoono vrijedi za y = x pa imamo e = xx−1 ∈ H. Na kraju, ako je x ∈ H, njegov inverzx−1 ∈ G mora biti u H jer je x−1 = e · x−1 ∈ H jer e, x ∈ H. Na kraju, za x, y ∈ H jexy = x(y−1)−1 ∈ H pa je operacija zatvorena.

Osnovni teorem o podgrupama konacnih grupa je

Teorem 1 (Lagrange) Ako je G konacna i H ≤ G, onda |H| dijeli |G|.Istaknuta vrsta podgrupa su normalne podgrupe.

Definicija 9 Podgrupa H ≤ G je normalna ako za sve g ∈ G vrijedi H = g−1Hg ={g−1hg : h ∈ H}. Pisemo: H E G.

Ako je G komutativna, ocito je svaka njena podgrupa normalna.

Primjer 8 Grupa svih translacija cini normalnu podgrupu grupe izometrija prostora. Tose najlakse provjeri koristeci analiticki zapis: izometrije su opcenito oblika f(x) = Ax+ bs A ortogonalnom, a translacije s A = I. Inverz od f dan je formulom f−1(y) = A−1y −A−1b. Stoga za proizvoljnu translaciju t za vektor c i izometriju f vrijedi

f−1 ◦ t ◦ f(x) = f−1 ◦ t(Ax + b) = f−1(Ax + b + c) = A−1(Ax + b + c)−A−1b = x + A−1b

tj. f−1 ◦ t ◦ f je translacija. S druge strane, svaka translacija t se moze zapisati u oblikuf−1 ◦ t ◦ f uz f = id.

4

Definicija 10 Homomorfizam (grupa) G i H je funkcije f : G→H sa svojstvom

∀x, y ∈ G f(x♥y) = f(x)♦f(y).

Ako je f injekcija, govorimo o monomorfizmu, a ako je bijekcija o izomorfizmu. Akopostoji izomorfizam s G na H, kazemo da su G i H izomorfne i pisemo G ∼= H.

Smisao izomorfnosti grupa je da su one, neovisno o prirodi svojih elemenata i sameoperacije, algebarski gledano

”jednake”, odnosno: do na oznake elemenata i operacije,

izomorfne grupe imaju jednake Cayleyeve tablice. Svaka konacna grupa je izomorfnanekoj grupi permutacija (podgrupi neke simetricne grupe).

Primjer 9 Do na izomorfizam postoje tocno dvije grupe reda 4.Prva je ciklicka grupa C4. Druga je tzv. Kleinova cetvorna grupa V (njoj je

izomorfna diedralna grupa D2, te se V i D2 cesto poistovjecuju).Ciklicka grupa C4 definirana je kao skup {0, 1, 2, 3} uz zbrajanje modulo 4 kao binarnu

operaciju (tj. zbroj dva elementa u toj grupi je ostatak rezultata njihovog obicnog zbrojapri dijeljenju s 4. Imamo Cayleyevu tablicu grupe C4:

+4 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2

Kleinova cetvorna grupa je grupa C2×C2 (Kartezijev produkt grupa G×H je grupa uzprirodno definiranu operaciju (g, h) · (g′, h′) = (gg′, hh′)). Imamo dakle njenu Cayleyevutablicu:

(0, 0) (0, 1) (1, 0) (1, 1)(0, 0) (0, 0) (0, 1) (1, 0) (1, 1)(0, 1) (0, 1) (0, 0) (1, 1) (1, 0)(1, 0) (1, 0) (1, 1) (0, 0) (0, 1)(1, 1) (1, 1) (1, 0) (0, 1) (0, 0)

Uocimo da je u Kleinovoj cetvornoj grupi svaki element sam sebi inverzan (tj. svi elementiosim neutralnog (0, 0) su reda 2). Diedralna grupa D2 definira se kao grupa simetrijapravokutnika (ili duzine). Njeni elementi su dvije rotacije (za 0◦ i 180◦) i dvije osnesimetrije obzirom na dvije medusobno okomite osi simetrije (jedna je simetrala jednogpara, a druga drugog para nasuprotnih stranica pravokutnika); binarna operacija je kom-pozicija. Oznacimo li redom te elemente s E, ρπ, σx i σy, onda je izomorfizam s V dankao f : D2→V , f(E) = (0, 0), f(ρπ) = (1, 1), f(σx) = (0, 1) i f(σy) = (1, 0). Imamo npr.σx ◦ ρπ = σy, sto putem izomorfizma odgovara relaciji (0, 1)(1, 1) = (1, 0).

Diedralna grupa je grupa s dva generatora2 ρ i σ koji imaju svojstva ρn = σ2 = e iρσ = σρn−1, dakle

Dn = {e, ρ, ρ2, . . . , ρn−1, σ, ρσ, ρ2σ, . . . , ρn−1σ}.

Red grupe Dn je 2n.Vazan pojam je i pojam kvocijente grupe.

2Grupa (G, ·) ima dva generatora g, h ∈ G ako se svaki njen element moze zapisati u obliku gnhm zaneke n,m ∈ N0.

5

Definicija 11 Neka je G grupa i H E G. Kvocijenta grupa G/H je skup {gH : g ∈ G} ={Hg : g ∈ G} opskrbljen binarnom operacijom definiranom s gH · g′H = gg′H. Pritomje gH = {gh : h ∈ H}.

Zapravo se radi o kvocijentnom skupu od G obzirom na relaciju ekvivalencije defini-ranu s g ≈ g′ ako g−1g′ ∈ H, obzirom na koju su gH klase ekvivalencije. Nije teskopokazati da je gore definirana operacija · dobro definirana tj. da ne ovisi o predstavnikaklase ekvivalencije. Neutralni element kvocijentne grupe je H. Pripadno kvocijentnopreslikavanje π : G→G/H, π(g) = gH, je epimorfizam, a jezgra (skup svih elemenatadomene koji se preslikaju u neutralni element kodomene) mu je H.

Primjer 10 Promotrimo diedralnu grupu D3 generiranu s ρ i σ. Pritom ρ mozemo in-terpretirati kao rotaciju jednakostranicnog trokuta za 2π

3, a σ kao simetriju obzirom na

ravninu okomitu na trokut koja prolazi visinom tog trokuta. Stoga D3 mozemo interpreti-rati kao grupu simetrija jednakostranicnog trokuta. Ta grupa ima samo jednu netrivijalnunormalnu podgrupu, a to je N = {e, ρ, ρ2}. Pripadna kvocijenta grupa ima iduce elemente:

eN = N

ρN = N

ρ2N = N

σN = Nσ = {σ, ρσ, ρ2σ}ρσN = Nρσ = {ρσ, ρ2σ, σ}

ρ2σN = Nρ2σ = {ρ2σ, σ, ρσ}Dakle, kvocijentna grupa ima dva elementa: N i Nσ.

U nastavku cemo se najvise baviti grupama poput gore opisane D2. To su grupesimetrija:

Definicija 12 Grupa izometrija metrickog prostora (X, d) je skup svih izometrija na Xuz kompoziciju kao binarnu operaciju. Cesto se pod grupama izometrija podrazumijevajui sve podgrupe gore definirane grupe izometrija.

Grupa simetrija objekta S u metrickom prostoru (X, d) je podgrupa grupe izometrijaprostora X sa svojstvom da njeni elementi ostavljaju S invarijantnim. Izometrija f :R3→R3 ostavlja S invarijantnim ako je S fiksan za f tj. f(S) = S.

Kao objekti S cije grupe simetrija se promatraju obicno se pojavljuju geometrijskatijela, uzorci i resetke.

Od vaznosti ce nam biti i ortogonalna grupa O(n); to je grupa svih n×n ortogonal-nih realnih matrica (matrica je ortogonalna ako i samo ako je pripadni linearan operatorortogonalan, odnosno A ∈ O(n) ako i samo ako je AAt = AtA = In) uz mnozenjekao binarnu operaciju. Opcenitije, ortogonalna grupa O(V ) (realnog) unitarnog pros-tora V je grupa (obzirom na kompoziciju) svih ortogonalnih linearnih operatora na V .Napomenimo: ortogonalan linearan operator na V je izometrija. Iduca propozicija jejednostavna posljedica Binet-Cauchy-jevog teorema:

Propozicija 2 Za sve A ∈ O(n) vrijedi detA = ±1.

Jedan od osnovnih teorema o ortogonalnim grupama je

6

Teorem 2 (Cartan-Dieudonne) Svaki element iz O(V ) za V dimenzije n je kompozi-cija od najvise n zrcaljenja. Specijalno, svaki ortogonalan operator na R3 moze se prikazatikao kompozicija od tri ili manje zrcaljenja obzirom na ravnine.

Sad se rotacije u vektorskim prostorima mogu definirati kao oni elementi iz O(V )kojima je determinanta jednaka 1. Ta se definicija onda prirodno prenosi na pripadne eu-klidske prostore. Rotacije cine normalnu podgrupu pripadne ortogonalne grupe, poznatupod nazivom specijalna ortogonalna grupa. Oznaka je SO(n) odnosno SO(V ).

Eulerov teorem o rotaciji naime povlaci da takva izometrija prostora ima fiksan pravac(drugim rijecima, svaka dva koordinatna sustava u prostoru sa zajednickim ishodistem supovezana rotacijom oko nekog pravca kroz ishodiste).

Teorem 3 (Euler) Ako je ρ ∈ O(R3) rotacija onda postoji os rotacije tj. postoji svo-jstveni vektor v za ρ koji pripada svojstvenoj vrijednosti 1 takav da je restrikcija od ρ naravninu smjera v⊥ rotacija u toj ravnini.

Dokaz. Neka su λ1, λ2, λ3 ∈ C svojstvene vrijednosti od ρ. Kako se radi o korijenimakubnog polinoma s realnim koeficijentima, bar jedna od njih je realna (recimo λ1), adruge dvije su kompleksno konjugirane (λ2 = λ3). Kako je det ρ = λ1λ2λ3 = 1, jedinemogucnosti su (do na oznake indeksa) λ1 = 1, λ2 = λ3 = ±1 i λ1 = 1, λ2 = λ3 /∈ R.U svakom slucaju je bar jedna svojstvena vrijednost od ρ jednaka 1. Neka je v nekipripadni svojstveni vektor, dakle ρv = v. Slijedi da je v = ρ−1v. Za svaki vektor uortogonalan na v je ρu · v = u · ρ−1v = u · v = 0, pa je v⊥ = {u : u ⊥ v} invarijantan za ρ(invarijantan potprostor V prostora W za linearan operator A je onaj koji ima svojstvoAV ≤ V ). Kako je determinanta restrikcije ρ|v⊥ jednaka produktu λ2λ3 = 1 slijedi da jeρ|v⊥ rotacija. Slijedi da to vrijedi za sve ravnine pripadnog euklidskog prostora kojima jev normala, dakle postoji pravac s vektorom smjera v koji je os rotacije.

Korolar 1 Ako je σ ∈ O(R3) i det σ = −1, onda je σ kompozicija zrcaljenja obzirom naneku ravninu i rotacije oko osi okomite na tu ravninu.

Nadalje, svaka rotacija ρ u ravnini Π kroz ishodiste (tj. dvodimenzionalnom potpros-toru od R3) se prirodno prosiruje do rotacije od R3 definiranjem ρ(v) = v za v ⊥ Π iprosirenjem po linearnosti.

Nadalje imamo vazne cinjenice o ciklickim i diedralnim grupama u R2 i R3:

Propozicija 3 Neka je G neka konacna podgrupa od O(R2) i H njena podgrupa rotacija(tj. H = {τ ∈ G : det τ = 1}). Ako je H 6= {e}, onda je H izomorfna ciklickoj grupi Cn

za neki n.Ako G 6= H, odaberimo σ ∈ G \H. Tada je H ∪ σH izomorfna diedralnoj grupi Dn.

Prosirenjem rotacija s R2 na R3 dobivamo takoder izomorfnu grupu Cn te cemo udaljnjem pod Cn podrazumijevati onu ciklicku grupu reda n ciji generator je rotacija okoneke osi (koju cemo oznacavati takoder sa Cn) za kut 2π

n.

S druge strane, svako zrcaljenje σ u ravnini Π (element iz O(R2) determinante −1,gdje smo Π poistovjetili s R2) se moze prosiriti do rotacije u O(R3) tako da za v ⊥ Πdefiniramo σ(v) = −v (dobijemo rotaciju za kut π oko osi koja je bila os zrcaljenja).Na taj nacin mozemo prosiriti sve elemente u propoziciji opisane H ∼= Dn te dobivamonovu grupi Dn izomorfnu grupu. za koju je ρ rotacija kao u Cn, a σ rotacija za π okoosi okomite na os od ρ. U daljnjem cemo pod Dn podrazumijevati onu diedralnoj grupiizomorfnih grupa u kojoj je ρ rotacija oko neke osi za kut 2π

n, a σ rotacija za kut π oko

neke osi okomite na os rotacije od ρ.U daljnjem ce nam jos biti bitan pojam djelovanja grupe na nekom skupu.

7

Definicija 13 Djelovanje grupe G na skupu S je svaki homomorfizam π : G→Perm(S).Ako je π monomorfizam, kaze se da G djeluje vjerno na S.

Smisao djelovanja grupe na nekom skupu je poistovjecivanje elemenata grupe s bijek-cijama na tom skupu. Cesto se umjesto π(g)(s) pise sg.

Definicija 14 Orbita elementa s je skup OrbG(s) = {sg : g ∈ G}. Kaze se da G djelujetranzitivno na S ako postoji s ∈ S takav da je OrbG(s) = S (dakle, ako postoji samojedna orbita). Stabilizator StabG(s) od s ∈ S je podgrupa svih g ∈ G takvih da je sg = s.

Vrijedi: |G||StabG(s)| = |OrbG(s)|. Nadalje, svake dvije orbite se ili podudaraju ili su

disjunktne pa definiraju particiju od S. Stoga je |S| =∑ |G|

|StabG(s)| (suma po s-ovima

koji definiraju razlicite orbite). Ako grupa djeluje tranzitivno, slijedi da je |G| = |S| ·|StabG(s)|.

Primijetimo: ako je OrbG(s) = S za neki s, onda i za sve s. Smisao tranzitivnogdjelovanja je da se djelovanjem grupe iz jednog elementa od S moze doci do svih, asmisao stabilizatora je da opise sve elemente grupe kojima je zadani element fiksna tocka.

Promotrimo sad grupe rotacija pravilnih poliedara, tj. podgrupe njihovih grupasimetrije koje se sastoje od rotacija. Kao sto znamo, postoji pet pravilnih poliedara:pravilni tetraedar, kocka, pravilni oktaedar, dodekaedar i ikozaedar. Djelovanje tih grupana poliedre definirano je na ocigledan nacin.

Neka je T grupa rotacija pravilnog tetraedra T . Radi se dakle o rotacijama za kojeje tetraedar invarijantan. Gledamo li djelovanje T na skupu S strana tetraedra vidimoda se radi o tranzitivnom djelovanju (rotacijama svaku stranu mozemo prebaciti na nekudrugu). Nadalje, stabilizator bilo koje strane se sastoji od rotacija tetredra oko visinena tu stranu, dakle je stabilizator svake strane reda 3. Kako je stabilizator podgrupa,po Lagrangeovom teoremu slijedi da je |T | visekratnik od 3. Sad je po formuli gore|T | = |S| · |StabT (s)| = 4 · 3 = 12. Napomenimo da je T izomorfna alternirajucoj grupiAlt(4) (sve parne permutacije od 4 elementa).

Neka je O grupa rotacija pravilnog oktaedra O. Ona je izomorfna grupi rotacija kockejer su kocka i oktaedar medusobno dualna tijela (sredista strana jednog tijela daju vrhovedrugog i obrnuto, a susjedne strane daju bridovima spojene vrhove) pa imaju ista svojstvaobzirom na simetriju. Djelovanje O na skupu strana oktaedra je tranzitivno. Nadalje,stabilizator bilo koje strane se sastoji od rotacija oktaedra oko visine na tu stranu, dakle jestabilizator svake strane ciklicka grupa reda 4 pa je |O| visekratnik od 4. Sad je po formuligore |O| = |S| · |StabO(s)| = 6 ·4 = 24. Napomenimo da je T izomorfna simetricnoj grupiS4. Nadalje, T je izomorfna podgrupi od O jer se tetraedar moze upisati u kocku tako dase njegovih sest bridova poklope s po jednom dijagonalom strana kocke.

Neka je I grupa rotacija ikozaedra I. Ona je izomorfna grupi rotacija dodekaedra jer suikozaedar i dodekaedar medusobno dualni. Djelovanje O na skupu strana ikozaedra (njih20) je tranzitivno. Nadalje, stabilizator bilo koje strane se sastoji od rotacija ikozaedraoko visine na tu stranu, dakle je stabilizator svake strane ciklicka grupa reda 3 pa je|I| = |S| · |StabI(s)| = 20 · 3 = 60. Napomenimo da je I izomorfna alternirajucoj grupiAlt(5). Nadalje, O je izomorfna podgrupi od I jer se kocka moze upisati u dodekaedartako da se njenih 12 bridova poklope s po jednom dijagonalom strana dodekaedra.

8

3 Stereografska projekcija

Stereografska projekcija je jedna od tehnika projiciranja prostornog objekta (sfere) naravninu koja se cesto koristi u kristalografiji. Formalna matematicka definicija glasi

Definicija 15 Neka je S sfera, N odabrana tocka na njoj (”sjeverni pol”) te Π ravnina

tangencijalna na sferu u antipodnoj tocki od N (”juznom polu”). Stereografska pro-

jekcija je preslikavanje f : S \ {N}→Π definirano ovako: za T ∈ S je f(T ) probodistepravca NT s ravninom Π.

Sjeverni pol nema definiranu projekciju, a mozemo zamisliti da je njegova projekcija

”beskonacno daleka tocka”.Osnovna svojstva stereografske projekcije pokazao je jos u 2.

st. pr. Kr. grcki matematicar i astronom Hiparh:

• Stereografska projekcija cuva kuteve medu krivuljama;

• Stereografska projekcija sve kruznice na S koje ne prolaze kroz N preslikava ukruznice, a one koje prolaze kroz N u pravce.

U kristalografiji se cesto koristi generalizacija stereografske projekcije kod koje se poistom pravilu projicira na neku ravninu paralelnu s Π; u pravilu kao ravnina projiciranjabira se ekvatorska ravnina te cemo u daljnem to i podrazumijevati. Iduca slika prikazujetakvu stereografsku projekciju: P ′′ je stereografska projekcija tocke P , a Q′ je stereograf-ska projekcija tocke Q.

P’’

N

S

P’

P1

P

e

Q

Q’

Ocito je stereografska projekcija ekvatora on sam, tj. sve tocke ekvatora su fiksne zastereografsku projekciju na ekvatorijalnu ravninu E. Tu kruznicu oznacimo s e. Nadaljevrijedi: tocke iznad E projiciraju se izvan e, a one ispod E projiciraju se unutar e.Kako je za prikaz nekog objekta na sferi pogodnije imati ograniceno podrucje projekcije,dodefinira se varijanta stereografske projekcije u kojoj svaka tocka ima projekciju unutare: ako je tocka P iznad e (kao na slici gore), prvo se odredi njoj simetricna tocka P1

obzirom na E te se kao projekcija od P uzima stereografska projekcija P ′ tocke P1. Kakoovako definirana projekcija vise nije injektivna (osim na e), jer sad P i P1 imaju istuprojekciju P ′, uvodi se dodatno oznacavanje tocaka projekcija: ako je original bio iznadE projekcija se oznacava znakom ◦, a ako je bio ispod znakom +. Tako bismo u gornjemslucaju kao rezultat imali sliku:

9

+

P

e

Q

Uocimo: Kako je trapez NSP1P jednakokracan, slijedi da mu je sjeciste dijagonalaupravo P ′. Stoga je najjednostavnije, a ekvivalentno gornjem, definirati da se tocke iznadE projiciraju u E iz S umjesto iz N . S O je u daljnjem oznaceno srediste sfere (koje sepodudara sa sredistem kruznice stereografske projekcije).Seminar. Matematika stereografske projekcije.

Osnovne konstrukcije za dobivanje projekcije su:

1. Ako je dana stereografska projekcija tocke T , projekcija njenog antipoda je njojcentralno simetricna obzirom na O (na slici lijevo je pogled

”sprijeda” na sferu, a

desno konstrukcija).

O

N

S

A

B

B’

A’ O

A

+B

2. Konstrukcija projekcije gornje paralele za cije tocke T je kut prema osi NS jednakρ): lijeva slika prikazuje pogled

”sprijeda” na sferu, a desna konstrukciju (redoslijed:

prvo kut ρ, pa radijus r pa .

O

N

S

T

r

T’

O

r

3. Konstrukcija projekcije velike kruznice sfere kroz dvije tocke (zadane svojim pro-jekcijama): koristi se cinjenica da ta kruznica prolazi i kroz antipode tih tocaka.

10

O

N

S

A

B

O

A

+

B

+

4. Konstrukcija svih tocaka na sferi koje su za ρ (mjereno po luku velike kruznice)udaljene od zadane tocke T .

Kako zadani poliedar (dakle, makroskopski kristal) prikazati u stereografskoj projek-ciji? Ideja je iduca: zamislimo poliedar unutar sfere, tako da je srediste O sfere unutarpoliedra. Iz O povucemo normale na sve strane (kristalografski termin kojeg cemo udaljnjem koristiti za strane: plohe) poliedra. Sjeciste normale na plohu sa sferom zove

se pol te plohe. Skup ploha kristala koje su paralelne istom vektoru−→OP (gdje je P neki

pol) zove se kristalna zona, a OP je os te zone. Tako npr. kad bi kristal imao oblikpravilne sesterostrane prizme, ako promatramo pol dobiven okomicom na baze prizme,pripadnu zonu cini preostalih sest strana prizme. Polovi koji pripadaju istoj zoni nalazese na velikoj kruznici, cija ravnina je okomita na os zone.

Stereografska projekcija poliedra se sad definira kao stereografska projekcija njegovihpolova. Pritom se koristi tzv. Wulffova mreza. To je mreza paralela i meridijana sfere,gdje se paralele i meridijani gledaju obzirom na jedan horizontalni promjer kao os. Svakatocka na sferi (pol) zadana je svojom sirinom ρ i visinom ϕ (koordinate (ϕ, ρ)), koje jelako naci na mrezi. Imamo dakle iduca pravila:

• Kristalne plohe prikazuju se kao stereografske projekcije pripadnih polova; pritomsu kutevi medu plohama jednaki kutevima medu polovima;

11

• Kao pocetna tocka uzima se b os, okomita na (010) plohu, kojoj dakle odgovaratocka na Wulffovoj mrezi s koordinatama (0◦, 90◦);

• Pozitivne duljine mjere se u smjeru kazaljke na satu, a negativne u suprotnomsmjeru;

• Kristalne plohe za koje je ρ ≤ 90◦ (tj. ciji polovi su na gornjoj hemisferi) ucrtavajuse znakom ◦, a one s donje hemisfere znakom +;

• Za crtanje se koristi paus-papir, na koji se precrta rub Wulffove mreze i tocka Ekoja odgovara plohi (010);

• Za ucrtavanje plohe tj. pola prvo se izmjeri kut ϕ na vanjskoj kruznici u odnosuna E; to se mjesto oznaci, a zatim se paus-papir zarotira tako da oznaka padne nadijametralno suprotnu tocku W od E;

• Odmjeri se kut ρ od sredista mreze po osi EW;

• Svake dvije plohe ciji polovi su na istoj velikoj kruznici pripadaju istoj zoni;

• Os zone se moze dobiti tako da se odaberu dvije plohe zone i odbroji 90◦ po EW-osiod njenog sjecista sa velikom kruznicom te zone;

• Ucrtavaju se i elementi simetrije.

Primjer 11 Kako bi izgledala stereografska projekcija kocke? Uocimo prvo da su njenihsest ploha (ako uzmemo kristalografske osi paralelne bridovima) dane redom kao (100),(010), (001), (100), (010), (001) (pritom 1 znaci −1). Po dva pola su dijametralnosuprotna.

4 Kristalografska restrikcija

Ocigledno je da translacijska simetrija kristala ogranicava broj mogucih elemenata simetrije.Matematicki je zapravo vrlo lako pokazati da su jedine moguce osi rotacija koje su simetrije

12

kristala one koje odgovaraju rotacijama za kuteve 0, π3, π

2, 2π

3, π. Pritom koristimo iduce

konvencije: kut rotacije je najmanji pozitivan kut rotacije oko dane osi (ako takav nepostoji, onda kao kut rotacije definiramo kut 0). Ako je rotacija za kut α simetrijanekog objekta, onda su ocigledno i visekratnici nα takoder kutevi rotacija oko iste osikoje predstavljaju simetrije istog objekta. Kako je rotacija za 2π uvijek simetrija, slijedida mora vrijediti 2π = nα za sve n, tj. α = 2π

n. Najveci takav n odreduje najmanji

α. Pritom smo podrazumijevali da objekt nema kruznu simetriju (tj. da nije invarijan-tan obzirom na sve rotacije oko neke osi), sto ocito vrijedi za kristale. Prema gornjemzakljucujemo: os rotacije koja je element simetrije nekog kristala karakterizirana je na-jvecim prirodnim brojem n takvim da je 2π

n. Postoje dvije standardne notacije za elemente

simetrija: Schonfliessova i Hermann-Maguinova notacija. U Schonfliessovoj notaciji osrotacije karakterizirana kao gore s n oznacava se Cn, a u Hermann-Maguinovoj jednos-tavno s n.

Osnovni teorem o mogucim simetrijama kristala je

Teorem 4 (Kristalografska restrikcija) Jedine moguce simetrije kristala koje su ro-tacije su rotacije oko osi 1, 2, 3, 4 i 6.

Najjednostavniji dokaz koristi teoriju matrica kao prikaza linearnih operatora. Akoje A ∈ O(R3) rotacija oko neke osi koja je element simetrije kristala, onda je kristalnaresetka L invarijantna za A tj. Ar ∈ L za svaki radij-vektor r ∈ L. Odaberemo li kao bazuprostora primitivnu bazu direktnog prostora {a, b, c}, onda svi r ∈ L imaju cjelobrojnekoordinate, pa su svi elementi matrice operatora A u toj bazi cjelobrojni. Nadalje, tragje invarijanta operatora tj. svi matricni prikazi istog operatora imaju isti trag: ako jeB = M−1AM prikaz istog operatora u drugoj bazi, onda imamo tr(B) = tr(M−1AM) =tr(MM−1A) = tr(A) jer za sve matrice X,Y ∈ Mn vrijedi tr(XY ) = tr(Y X). Slijedida je trag operatora rotacije koja je simetrija kristala cjelobrojan. Ako se radi o rotaciji,mozemo sad odabrati drugi matricni prikaz tog operatora, i to u nekoj bazi u kojoj sez-os podudara s osi rotacije. Poznato je da u toj bazi (uz oznaku α = 2π

n) A ima matricu

cos α − sin α 0sin α cos α 0

0 0 1

Slijedi da je tr(A) = 1 + 2 cos α ∈ Z tj. cos α ∈ {−1,−12, 0, 1

2, 1}. Stoga su jedine moguce

simetrije kristala koje su rotacije (ili rotoinverzije) one oko osi 1, 2, 3, 4, 6.

Definicija 16 Osi 2,3,4 i 6 zovu se redom digira, trigira, tetragira i heksagira.

5 Schoenfliesova i Hermann-Mauguinova notacija za

elemente simetrije i tockine grupe

Postoje dvije standardne kristalografske notacije za elemente simetrije i grupe simetrija.To su Schoenfliesova notacija, nazvana po Arthuru Moritzu Schoenfliesu (1853 - 1928),te Hermann-Mauguinova notacija, poznata i kao internacionalna notacija, a nazvanapo Charles Mauguinu (1878 - 1958) i Carlu Hermannu (1898 - 1961). Zajednicko objemanotacijama je da za dani kristal, odnosno grupu simetrija, navode minimalni skup eleme-nata simetrije iz kojeg je moguce dobiti sve ostale. Uz to postoji i graficka reprezentacijatih elemenata (koja se koristi u kombinaciji sa stereografskom projekcijom istih).

13

Objekti bez netrivijalnih simetrija spadaju u grupu 1 odnosno C1. Centar inverzijeu HM se oznacava s 1, a u S s Ci; iste su oznake za grupu simetrija objekta koja sadrzisamo identitetu i inverziju.

Osi simetrije (s minimalnim kutem rotacije 2πn

), kako smo vec spominjali, u Hermann-Mauguinovoj notaciji (u nastavku: HM) oznacavaju se s n, a u Schoenfliesovoj (u nas-tavku: S) sa Cn. Prema kristalografskoj restrikciju u obzir dolaze osi 2, 3, 4, 6 odnosnoC2, C3, C4, C6. Osi rotoinverzije reda n oznacavaju se s n. U HM uvijek se kao prvi od svihelemenata simetrije navodi takozvana glavna os rotacije ili rotoinverzije, tj. os najvecegreda. Ukoliko objekt (npr. kristalna resetka) ima vise ekvivalentnih3 osi reda n, ondaznak n (odnosno n) oznacava cijeli skup medusobno ekvivalentnih osi.

Primjer 12 Promotrimo li pravilnu uspravnu sesterostranu prizmu, uocavamo da imajednu heksagiru i sest na nju okomitih digira, stoga ce se prvo istaknuti broj 6 pri notacijipripadne grupe simetrija.

HM oznaka za zrcalnu ravninu je m (od engl. mirror), a S oznaka je σ (eventualno sindeksom h ili v ako se zeli istaknuti je li okomita na ili pak sadrzi os rotacije). Ukolikogrupa simetrija sadrzi samo identitetu i zrcalnu ravninu, HM oznaka za tu grupu je m,a S oznaka je Cs. Znak m se nadopisuje ako zrcalna ravnina sadrzi glavnu os rotacije, apise kao nazivnik ako je okomita na glavnu os.

Primjer 13 Oznaka 2m

predstavlja digiru s na njom okomitom zrcalnom ravninom.

Dakle, HM oznaka za os n s na nju okomitom zrcalnom ravninom je nm

, a odgovarajucaS notacija je Cnh.

Uocimo: rotoinverzija oko osi drugog reda je isto sto i zrcaljenje obzirom na ravninuokomitu na tu os koja prolazi centrom inverzije; stoga se umjesto 2 u HM pise m. Nadalje,uocimo da je 3

misto sto i 6: sejedno je je zarotiramo li tocku oko osi za 120◦ pa zrcalimo

obzirom na na tu os okomitu ravninu ili pak zarotiramo za 60◦ (u suprotnom smjeru) painvertiramo obzirom na sjeciste osi s tom ravninom.

6 Osnove teorije reprezentacija grupa

Definicija 17 Reprezentacija grupe G na vektorskom prostoru V je homomorfizamπ : G→GL(V ) (GL(V ) je tzv. opca linearna grupa tj. grupa svih regularnih linearnihoperatora na V ). Reprezentacija je vjerna ako je injektivna.

Nas ce zanimati iskljucivo slucaj reprezentacija na V = Rn. Za praksu su tadkorisne matricne reprezentacije: to su kompozicije reprezentacije s izomorfizmomGL(Rn)→Mn (koji je definiran uz fiksiranje neke baze za Rn). Matricnu reprezentacijuinduciranu s π oznacavat cemo π.

Potprostor V od Rn zove se invarijantan za π ako za sve g ∈ G vrijedi π(g)V ≤V . Svaka reprezentacija ima bar dva (tzv. trivijalna) invarijantna potprostora: {0} iRn. Ako reprezentacija nema netrivijalnih invarijantnih potprostora zove se ireducibilnareprezentacija, u suprotnom reducibilna. Ako je V invarijantan za π, onda je π|Vdefinirana s π|V (g) = π(g)|V reprezentacija G na V .

3Geometrijski objekti vezani za kristalnu resetku su ekvivalentni ako se jedan iz drugog mogu dobititranslacijom iz T .

14

Ako je π reducibilna s invarijantnim potprostorom V , te ako fiksiramo neku bazu zaV i nadopunimo je do baze za Rn, pokazuje se da je π moguce zapisati u obliku

π(g) =

(A(g) C(g)

0 B(g)

)

gdje je A = π|V .

Primjer 14 Definirajmo (matricnu) reprezentaciju diedralne grupe D2 na R3 s

E 7→ I3

ρπ 7→−1 0 0

0 −1 00 0 1

σx 7→

1 0 00 −1 00 0 −1

σy 7→−1 0 0

0 1 00 0 −1

Ocigledno se radi o ireducibilnoj reprezentaciji (inace bi morao postojati bar jedanzajednicki svojstveni vektor svih gornjih matrica).

Definicija 18 Dvije reprezentacije π i ρ iste grupe G na prostorima V i W zovemoekvivalentne reprezentaicje ako postoji izomorfizam θ : V→W takav da je ρ(g) =θπ(g)θ−1 za sve g ∈ G. Specijalno, ako je V = W = Rn, π i ρ su ekvivalentne ako postojiregularna matrica M takva da je ρ(g) = M−1π(g)M za sve g ∈ G.

7 Prostorne i tockine grupe

Definicija 19 Prostorna grupa je grupa S svih simetrija kristala, dakle grupa svihizometrija prostora za koje je kristal invarijantan.

Podgrupa T svih translacija u danoj prostornoj grupi S je normalna podgrupa; njumozemo poistovjetiti s kristalnom resetkom L jer upravo cjelobrojne linearne kombinacijetri vektora a, b i c koji razapinju jedinicnu celiju odreduju translacije koje kristal ostavljajuinvarijantnim. S druge strane, kako su elementi od S oblika f(x) = Ax + r, skup svihA ∈ O(R3) za koje postoji r ∈ T takav da je Ax + r ∈ S cine podgrupu od S koja sezove tockina grupa kristala. Opcenito, tockine grupe su grupe simetrija kristala kojefiksiraju jednu tocku prostora. Zapravo,

Definicija 20 Tockina grupa kristala je kvocijentna grupa S/T .

Nije tesko vidjeti da je opisna definicija (do na izomorfizam) ekvivalentna algebarskoj.Vrijedi naime: S/T = {fT : f ∈ S}. Dvije simetrije f(x) = Ax+ r i f ′(x) = A′x + r′ su uistoj klasi obzirom na T ako i samo ako postoji simetrija g(x) = Bx + s i translacije t i t′

za vektore y i y′ takve da je f(x) = g ◦ t(x) = Bx+ . . . i f ′(x) = g ◦ t′(x) = Bx+ . . .. Stogamora biti A = B = A′ tj. f i f ′ imaju istu rotacijsku komponentu. Slijedi da je dobrodefiniran izomorfizam s G0 (u smislu opisno definirane tockine grupe) i S/T : Tf 7→ Af

gdje je s Af oznacena rotacijska komponenta od f .Postoji ukupno 230 prostornih grupa, o cemu cemo u nastavku vise govoriti.

15

Definicija 21 Element simetrije je geometrijski objekt koji karakterizira pojedinu si-metriju: za rotaciju element simetrije je os rotacije, za zrcaljenje obzirom na ravninuelement simetrije je ta ravnina, za inverziju element simetrije je centar inverzije, itd.

8 32 tockine grupe

Definirali smo tockinu grupu kristala kao G0 = G/T . Da bi neka konacna grupa moglabiti tockina grupa kristala, ona se mora moci vjerno reprezentirati kao pogdrupa od SL(3).

Moze se pokazati iduca lema: ako je p ∈ Z[x], onda za svaku konacnu grupu G i njenureprezentaciju π na Rn vrijedi

|G|∣∣∣∣∣∑g∈G

p(tr π(g))

Uzmemo lip(x) = (x + 1)x(x− 1)(x− 2),

za moguce tockine grupe s vjernom ortogonalnom reprezentacijom (dakle, grupe bez in-verzija, rotoinverzija i zrcaljenja - njih zovemo grupama prve vrste) slijedi |G| |24 tj.|G| ∈ {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. Poznato je koliko apstraktnig grupa postoji za te redove:1, 1, 1, 2, 2, 5, 5, 15. Stoga postoje najvise 32 neizomorfne tockine grupe prve vrste. Uzi-majuci u obzir jos i da njihovi elementi smiju biti samo reda 1, 2, 3, 4 ili 6 (i traga -1, 0,1 ,2 ili 3), preostaje samo 11 apstraktnih tockinih grupa prvog reda: C1, C2, C3, C4, C6,D2, D3, D4, D6 te T i O.

Promotrimo sad tockine grupe druge vrste tj. one cije vjerne reprezentacije sadrze iortogonalne matrice s determinantom −1. Neka je G0 takva tockina grupa, a G′

0 njenapodgrupa rotacija (svi elementi od G0 s determinantom 1). Tada je G′

0 E G0: ako su g, h ∈G0 \G′

0, onda je h−1g ∈ G0 prema Binet-Cauchy-jevom teoremu (det(gh) = det(g)det(h))pa osim G′

0 u G0 postoji samo jos jedna klasa konjugiranih elemenata, oznacimo ju sG′′

0. Ukoliko G0 (odnosno njena vjerna reprezentacija) ne sadrzi inverziju, lako se vidi(zadatak!) da je G0 izomorfna nekoj tockinoj grupi prve vrste. Neka dakle G0 sadrziinverziju i.

Za sve g, h ∈ G′′0 je f = gh ∈ G′

0 (Binet-Cauchy). Sad je 1 = ghf−1 pa je hf−1 = g−1.Iz toga mnozenjem s g2 ∈ G′

0 dobivamo g = hf−1g2 = h · f ′ s f ′ = f−1g2 ∈ G′0. Drugim

rijecima, za fiksiranu rotoinverziju h (npr. h = i) svaka rotoinverzija g ∈ G0 se mozenapisati kao produkt h s nekom rotacijom. Nadalje, za g ∈ G′′

0 i f, f ′ ∈ G′0 iz gf = gf ′

slijedi f = f ′ pa su svi elementi gf , f ∈ G′0, medusobno razliciti i svi su rotoinverzije.

Specijalno, svi elementi if , f ∈ G′0, su razlicite rotoinverzije i to su tocno sve rotoinverzije.

Time smo dokazali: G′′0 = iG′

0.Gornja razmatranja povlace: G0 = G′

0 ∪ iG′0∼= G′

0 × C2. Stoga osim vec poznatih11 tockinih grupa (prve vrste) kao tockine grupe druge vrste koje njima nisu izomorfneimamo njihove produkte s C2. No, od 11 mogucih, samo 7 daju nove tockine grupe:C4 × C2, C6 × C2, D2 × C2, D4 × C2, D6 × C2, T × C2, O × C2.

Zakljucujemo:

Propozicija 4 Postoji 18 apstraktnih tockih grupa tj. postoji 18 neizomorfnih konacnihgrupa ciji elementi su iskljucivo reda 1, 2, 3, 4 ili 6 te koje posjeduju bar jednu vjernuortogonalnu reprezentaciju na R3 s tragom -1, 0, 1, 2 ili 3.

Otkud onda broj 32 u naslovu? Kako u mineralogiji i kristalografiji radimo ne sapstraktnim grupama, vec s njihovim konkretnim reprezentacijama, mozemo za svaku od

16

njih naci sve njihove neekvivalentne vjerne reprezentacije apstraktnih tockinih grupa naR3 s cjelobrojnim karakterima4. Ako zatim identificiramo reprezentacije koje imaju istusliku dobit cemo da postoje tocno 32 tockine grupe u konkretnom smislu.

Sve tockine grupe mogu se pregledno prikazati stereografskim projekcijama njihovihelemenata simetrije i svim pozicijama dobivenim iz jedne tocke primjenom simetrijskihoperacija u grupi. Matematicki preciznije: neka je G0 neka tockina grupa (podrazumije-vamo: konkretna tj. podgrupa grupe ortogonalnih operatora na R3). Tada je na prirodannacin definirano njeno djelovanje τ na sferi S (za T ∈ S i A ∈ G0 je τ(A)(T ) definirankao tocka ciji radij vektor je ArT ). Sad mozemo za neku tocku T promatrati njenu or-bitu. Ta orbita ima |G0| elemenata ako se T ne nalazi ni na jednom elementu simetrije(ovo bi trebalo dokazati, ali necemo!). Odaberimo proizvoljnu tocku T ∈ S koja ne lezini na jednom elementu simetrije elemenata grupe G0. Tada se kao stereografski prikazod G0 definira stereografska projekcija orbite od T i presjeka svih elemenata simetrije saS, uz konvenciju da se kao os sjever-jug uzima rotacijska ili rotoinverzijska os najvecegreda. Ekvatorska kruznica prikazuje se crtkanom linijom, osim ako je ekvatorska ravninaelement simetrije za G0 (tada se crta punom linijom). Oznake rotacijskih osi reda 2, 3, 4i 6 su redom

Oznake rotoinverzijskih osi reda 3 i 4 su(Rotoinverzija osi reda 2 je ekvivalentna zrcaljenju obzirom na na nju okomitu ravninu,

a rotoinverzijska os reda 6 je ekvivalentna kompoziciji rotacijske osi reda 3 i zrcaljenjaobzirom na na nju okomitu ravninu: 2 = m, 6 = 3

m).

Prije prikaza sve 32 tockine grupe kristala primijetimo: za zadanu T projekcije svihtocaka iz Orb(T ) su jednako udaljene od sredista ekvatorske tj. projekcijske kruznice.

4Karakter reprezentacije je njena kompozicija s tragom. Karakter je cjelobrojan ako poprima samocjelobrojne vrijednosti.

17

|G0| apstraktna 1. vrste 2. vrste s i 2. vrste bez i

grupa (S) (HM) (S) (HM) (S) (HM)

1 C1 C1 1

2 C2 C2 2 Ci 1 Cs m

3 C3 C3 3

4 C4 C4 4 S4 4

4 D2∼= C2 × C2 D2 222 C2h

2m

C2v 2mm

6 C6∼= C3 × C2 C6 6 S6 3 C3h 6

6 D3 D3 32 C3v 3m

8 D4 D4 422 C4v, D2d 4mm, 42m

8 C4 × C2 C4h4m

8 D2 × C2 D2h2m

2m

2m

= mmm

12 D6∼= D3 × C2 D6 622 D3v 3 2

m= 3m

12 T T 23

12 C6 × C2 C6h6m

16 D4 × C2 D4h4m

2m

2m

24 O O 432 Td 43m

24 D6 × C2 D6h6m

2m

2m

24 T × C2 Th2m

3 = m3

48 O × C2 Oh4m

3 2m

= m3m

9 Kristalni sustavi i Bravaisove resetke

Neka je T translacijska grupa kristala i L pripadna kristalna resetka. Grupa T je besko-nacna i diskretna. Translacijske grupe mogu se klasificirati prema tzv. holoedriji: grupisvih rotacija i rotoinverzija obzirom na koje je dana resetka invarijanta i koje fiksirajuishodiste. Preciznije, holoedrija je tockina grupa resetke: grupa H svih simetrija resetkekoje se mogu reprezentirati ortogonalnom matricom. Tockina grupa kristala G0 je uvijekpodgrupa od H.

U jednodimenzionalnom slucaju translacijska simetrija je potpuno odredena jednimvektorom a i postoji samo jedna moguca kristalna resetka: L = {na : n ∈ Z}. Njenielementi simetrije (do na translaciju) su identiteta 1 i inverzija i. Stoga je H = Ci.Drugim rijecima, u jednoj dimenziji postoji samo jedna holoedrija.

Zanimljiviji je slucaj u dvije dimenzije. Translacijska simetrija je odredena s dvalinearno nezavisna vektora a i b, dakle je u opcem slucaju paralelogramska. Dobit cemopet mogucih holoedrija. U svim slucajevima pretpostavljamo da smo fiksirali ishodiste O(tj. jedinu zajednicku fiksnu tocku svih simetrija iz H).

18

O

Svaka takva resetka kao simetrijske operacije posjeduje identitetu, inverziju (s centromO) te, ako mrezu gledamo u prostoru, zrcalnu simetriju obzirom na ravninu koja se po-dudara s ravninom mreze (no u samoj ravnini to se naravno svodi na identitetu). U ovomslucaju digira je ekvivalentna inverziji pa je dakle minimalna holoedrija ravninske resetkeH = Ci.

O

Uocimo nadalje: ako ravninska resetka posjeduje rotoinverznu os reda n, onda mora(zbog postojanja centra inverzije) posjedovati i os rotacije reda n ili 2n. Stoga je dovoljnoklasificirati ravninske resetke obzirom na osi rotacije.

Neka osim gore navedenog minimalnog skupa elemenata simetrije ravninska resetkaposjeduje digiru (naravno, kroz O) koja lezi u ravnini. Moze se pokazati (zadatak!) datada ima dvije takve medusobno okomite digire. Moguce su dvije situacije. Ako su baznivektori okomiti, dobivamo pravokutnu resetku:

19

O

Ako pak bazni vektori nisu okomiti, pokazuje se da se bazni vektori mogu odabratitako da budu iste duljine te se resetka zove rombska.

Ako resetka posjeduje tetragiru okomitu na ravninu lako se vidi da bazni vektorimoraju biti jednako dugi i okomiti; resetka se tada zove kvadratna. Zadnja vrsta resetkeje heksagonska - resetka u cijoj H je rotacija oko heksagire okomite na ravninu.

U trodimenzionalnom prostoru dobivamo sedam holoedrija poznatih kao sedam kristal-nih sustava.

Najopcenitije su resetke s holoedrijom 1. One pripadaju triklinskom sustavu: jedinielement simetrije je centar inverzije. Resetka je odredena s tri vektora razlicite duljine odkojih nikoja dva nisu medusobno ortogonalna. Preciznije, holoedrija je izomorfna grupisimetrija kose cetverostrane prizme.

Pretpostavimo da holoedrija resetke sadrzi rotaciju oko osi l reda n. Tada su za danutocku A1 u resetki njeni zarotirani polozaji A2, . . . , An obziorm na tu os komplanarne tockeiste resetke. Slijedi da postojanje osi rotacije povlaci postojanje ravninske podresetkeokomite na tu os. S obzirom na vec izrecena svojstva resetki u ravnini, slijedi i da svakaravnina simetrije koja sadrzi neku tocku resetke sadrzi beskonacno mnogo tocaka resetke.Kako je sbroj translacija za vektore

−−→OAi paralelan s l slijedi i da svaka os rotacije resetke

sadrzi beskonacno mnogo tocaka resetke. Nadalje, zbog kristalografske restrikcije znamoda je n ∈ {2, 3, 4, 6}.

Za n = 2 mozemo dobiti monoklinski sustav s holoedrijom 2m

(od elemenata sim-netrije dakle ima digiru s na nju okomitom zrcalnom ravninom, red grupe je 4 jer jeelement grupe i inverzija). On je odreden trima vektorima razlivcite duljine od kojihje jedan ortogonalan na ostala dva. Tockina grupa rombske resetke je izomorfna grupisimetrija uspravne paralelogramske prizme. Druga moguca holoedrija za n = 2 daje romb-ski sustav. Rombski sustav ima holoedriju 2

m2m

2m

= mmm i odreden je s tri medusobnoortogonalna vektora razlicite duljine. Kao elementi simetrije same resetke pojavljuju setri medusobno okomite digire, centar inverzija i tri medusobno okomite digire. Dakle,holoedrija rombske resetke je reda 8.

Romboedarski (trigonski) sustav dobivamo za n = 3; on je odreden s tri jednakoduga vektora od kojih svaka dva zatvaraju isti (ali ne pravi) kut. Holoedrija je 3 2

mi ima

red 12. Za njega je karakteristicna trigira. Preciznije, tockina grupa trigonske resetke jeizomorfna grupi simetrija romboedra (nakosene kocke).

Za n = 4 imamo tetragonski sustav odreden s tri medusobno ortogonalna vektoraod kojih su dva jednako duga. Holoedrija je 4

m2m

2m

, grupa je reda 16. Tipicni elementsimetrije resetke je tetragira. Preciznije, tockina grupa tetragonske resetke je izomorfnagrupi simetrija uspravne pravilne cetverostrane prizme.

20

Holoedrija 6m

2m

2m

(grupa reda 24) odreduje heksagonski sustav; on je odreden s trivektora razlivcite duljine od kojih je jedan ortogonalan na ostala dva, koji pak zatvarajukut od 2π

3. Za heksagonski sustav je karakteristicna heksagira. Preciznije, tockina grupa

heksagonske resetke je izomorfna grupi simetrija uspravne pravilne sesterostrane prizme.Kubicni sustav je odreden s tri jednako duga i medusobno ortogonalna vektora te

je holoedrija 4m

3 2m

, grupa je reda 48. Karakteristicne su cetiri trigire. Preciznije, njegovatockina grupa je izomorfna grupi kocke O.

Podsjetimo se da se resetke ne moraju sastojati samo od cjelobrojnih translata vrhovaosnovne kose prizme. Zapravo, godine 1850. Auguste Bravais (1811 - 1863, francuskifizicar, kristalograf, astronom, mineralog i matematicar) je, matematicki, pokazao dapostoji ukupno 14 mogucih tipova jedinice celije za kristale. Uvedimo dodatnu notaciju:

• Resetka je jednostavna ili primitivna, u oznaci P, ako su sve tocke resetke translativrhova jedinicne celije (za cjelobrojnu linearnu kombinaciju baznih vektora);

• Resetka je volumno centrirana, u oznaci I, ako su u resetki dodatno i svi translatisredista jedinicne celije;

• Resetka je plosno centrirana, u oznaci F, ako su uz translate vrhova jedinicne celijetocke resetke i svi translati sredista svih strana jedinicne celije;

• Resetka je ???plosno centrirana na jednoj plohi???, oznaka A, B ili C, ako su uztranslate vrhova jedinicne celije tocke resetke i svi translati sredista jedne od stranajedinicne celije.

Sad mozemo nabrojati svih 14 Bravaisovih resetki, a pripadne slike tocaka resetke (ujedinicnoj celiji) mozete naci npr. na web-stranicihttp://en.wikipedia.org/wiki/Bravais lattice,a 3D-animacije mozete vidjeti npr. na web-stranicihttp://phycomp.technion.ac.il/∼sshaharr/intro.html.One su rasporedene u 7 kristalnih sustava, a ovisno

1. (1) U triklinskom sustavu postoji samo P tip; oznaka resetke je i Γr.

2. (2) U monoklinskom sustavu postoje P i C tip; oznake su Γm i Γ′m.

3. (4) U rombskom sustavu postoje sva cetiri tipa; oznake resetki u redoslijedu P, C,F, I su Γv, Γ′v, Γ′′v i Γ′′′v .

4. (2) U tetragonskom sustavu postoje P i I tip; oznake su Γq i Γ′q.

5. (1) U trigonskom sustavu postoji samo P tip; oznaka je Γrh.

6. (1) U heksagonskom sustavu postoji samo P tip; oznaka je Γh.

7. (3) U kubicnom sustavu postoje P, F i I tipovi s oznakama redom Γc, Γ′c i Γ′′c .

Bravaisove resetke zapravo su moguce translacijske grupe za kristale.Seminar: Grupe bordura i grupe tapeta.Seminar: Simetrije molekula.Seminar: Fraktali u kemijskoj kinetici (literatura je na ruskom jeziku!)

21

10 Prostorne grupe

Vec smo definirali prostornu grupu kristala G kao grupu svih simetrija kristala. Kakoje grupa T njena normalna podgrupa, moguce je rastaviti G na klase obzirom na T , apripadna kvocijentna grupa G/T jetockina grupa G0 (tocnije, njoj izomorfna). SvakaT je pak jedna od 14 mogucih translacijskih grupa. Ocito su nam za opis prostornegrupe stoga potrebni podaci o T (tj. pripadnost odredenoj Bravaisovoj resetki) i tockinojgrupi G0 (pripadnost klasi kristala), no to nije dovoljno. Pokazuje se da je za potpunopis prostorne grupe potreban i skup tzv. neprimitivnih translacija koje pripadajupojedinim elementima tockine grupe.

Neka je naime T (A|x) reprezentant nekog elementa od G0. Kako se G rastavlja naklase obzirom na T (tj. G = ∪T (A|x)), imamo da je svaki element prostorne grupe oblika

(I|r)(A|x) = (A|r+ x),gdje je r vektor neke primitivne translacije (tj. translacija za vektor r je simetrija kristala),a A je neka rotacija ili rotoinverzija te x neki vektor translacije takvi da je (A|r+x) simetrijakristala.

Kako to vizualizirati? Sjetimo se da kao simetrije u obzir dolaze ne samo translacije,rotacije i rotoinverzije (koje ukljucuju i zrcaljenja), nego i njihove kompozicije. Takose kompozicija rotacije i translacije desava oko tzv. vijcane osi i ona nije ekvivalentnanekoj translaciji niti nekoj rotaciji. Slicno se element simetrije za kompoziciju zrcaljenjai rotacije zove klizna ravnina. Pripadna translacija ne mora sama po sebi biti simetrijakristala, te nju zovemo neprimitivnom translacijom. Ako je svaka takva neprimitivnatranslacija element od T , onda kao njen predstavnik mozemo uzeti nulvektor. Takveprostorne grupe zovemo simorfne grupe: G je simorfna ako je G = T oG0 (semidirektniprodukt grupa: (G, ·) je semidirektni produkt normalne podgrupe T i podgrupe G0 akoje G = TG0 i T ∩G0 = {e}). Drugim rijecima, prostorna grupa je simorfna ako su jedininjeni elementi bez fiksne tocke primitivne translacije. Postoje 73 simorfne prostornegrupe. Skup svih simorfnih prostornih grupa je u bijekciji sa skupom tzv. aritmetickihkristalnih klasa. Skup aritmetickih kristalnih klasa je skup svih uredenih parova (L,B),gdje je L geometrijska klasa (ekvivalentnih tockinim grupama), a B pripadna Bravaisovaresetka. Tako npr. u monoklinskom sustavu mozemo imati tockinu grupu 2, m ili 2

m, a

moguce Bravaisove resetke su P i C pa se dobije 6 aritmetickih klasa odnosno simorfnihgrupa u monoklinskom sustavu.

Osim 73 simorfne prostorne grupe, postoji jos 157 prostornih grupa, dakle onih ukojima imamo i operacije kliznog zrcaljenja ili

”vijaka”. Sve se s ilustracijama mogu

vidjeti na adresamahttp://img.chem.ucl.ac.uk/sgp/mainmenu.htm,http://cst-www.nrl.navy.mil/lattice/spcgrp/

11 Literatura

1. http://www.chemistrydaily.com/chemistry/Crystal structure

2. Wikipedia

3. MathWorld–A Wolfram Web Resource

4. J. de Dios Varela Elementos Geometricos de la Cristalografıa, Academia Colombianade Ciencias Exactas, Fisicas y Naturales, Bogota, 2000.

22

5. L. C. Grove Groups and Characters, John Wiley & Sons, 1997.

6. H. Hilton Mathematical Crystallography and the Theory of Groups of Movements,Dover Publ., 1963.

7. S. Lang Algebra, Addison-Wesley Publ. Comp., 1993.

8. H.-W. Streitwolf Gruppentheorie in der Festkorperphysik, Akademische Verlagsge-sellschaft Leipzig, 1967.

9. E. J. W. Whittaker The Stereographic Projection,http://www.iucr.org/iucr-top/comm/cteach/pamphlets/11/index.html

10. IUCr Online Dictionary of Crystallography http://reference.iucr.org/dictionary/Main Page

23