matematika 3 - 9. predná ka 3 krivkové a plo né...

Matematika 3 - 9. prednáška3 Krivkové a plošné integrály3.4 Plochy, parametrizácia plôch

3.5 Plošné integrály

Erika Škrabul’áková

F BERG, TU Košice

18. 11. 2015

Erika Škrabul’áková (TUKE) Plošný integrál Košice, 18. 11. 2015 1 / 24

Pojem plochy

Plochu S môžeme intuitívne chápat’ ako geometrický útvar,ktorý vznikne spojitou deformáciou rovinnej oblasti G .

Ide o dvojrozmerný objekt,ktorý je umiestnený v trojrozmernom priestore.

Pojem plochy

Plochou nazývame vektorovú funkciu ~r premenných u a v ,ktorá má vlastnosti:

jej definičný obor je súvislá množina G ⊂ E2

~r je spojitá na G

existuje taký konečný rozklad {Gk}k množiny G ,že na množine všetkých vnútorných bodov množiny Gk je ~r prostá.

Pojem plochy

~r je spojitá na G

Pojem plochy

~r je spojitá na G

Pojem plochy

~r je spojitá na G

Pojem plochy

Parametrickým vyjadrením plochy je:

S : ~r = ~r(u, v); u, v ∈ G .

Od plochy S požadujeme regularitu.

Plocha S je regulárna, ak funkcia ~r = ~r(u, v)má spojité a lineárne nezávislé parciálne deriváciea to buď na celej množine Galebo aspoň na každej podmnožine daného rozkladu {Gk}k .

Pojem plochy

S : ~r = ~r(u, v); u, v ∈ G .

Pojem plochy

S : ~r = ~r(u, v); u, v ∈ G .

Parametrizácia plôch

Rovina a · x + b · y + c · z + d = 0

Nájdite parametrizáciu plochy S , ktorá je čast’ou rovinyx2 +

z4 = 1 ležiacou v 1. oktante.

6x + 4y + 3z = 12 =⇒ z = 4− 2x − 43y .

Parametrické vyjadrenie plochy S potom bude:x = u,y = v ,z = 4− 2u − 43v ; [u; v ] ∈ G ,kde G je priemet plochy S do roviny xy .

Rovina a · x + b · y + c · z + d = 0

6x + 4y + 3z = 12 =⇒ z = 4− 2x − 43y .

Rovina a · x + b · y + c · z + d = 0

6x + 4y + 3z = 12 =⇒ z = 4− 2x − 43y .

Rovina a · x + b · y + c · z + d = 0

6x + 4y + 3z = 12 =⇒ z = 4− 2x − 43y .

Vo vektorovom tvareS : ~r = u · ~i + v · ~j + (4− 2u − 43v)~k; [u, v ] ∈ G .

Parametrické vyjadrenie plochy:x = u,y = v ,z = 4− 2u − 43v ; 0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 3− 32u.

Vo vektorovom tvareS : ~r = u · ~i + v · ~j + (4− 2u − 43v)~k; [u, v ] ∈ G .

Parametrické vyjadrenie plochy:x = u,y = v ,z = 4− 2u − 43v ; 0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 3− 32u.

Nájdite parametrizáciu plochy S , ktorá je čast’ou roviny x − y + z = 1ležiacej v štvrtom oktante.

x = u,y = v ,z = 1− u + v , 0 ≤ u ≤ 1, u − 1 ≤ v ≤ 0.

Nájdite parametrizáciu plochy S , ktorá je čast’ou roviny x − y + z = 1ležiacej v štvrtom oktante.

x = u,y = v ,z = 1− u + v , 0 ≤ u ≤ 1, u − 1 ≤ v ≤ 0.

Uvažujme plochu S , ktorá je grafom funkcie dvoch premennýchz = f (x , y) definovanej na oblasti G .Potom jej parametrické vyjadrenie je:

x = u,y = v ,z = f (u, v), [u, v ] ∈ G .

Uvažujme plochu S , ktorá je grafom funkcie dvoch premennýchz = f (x , y) definovanej na oblasti G .Potom jej parametrické vyjadrenie je:

x = u,y = v ,z = f (u, v), [u, v ] ∈ G .

Valcová plocha (x −m)2 + (y − n)2 = r2, a ≤ z ≤ b.

V rovine xy je jej priemetom kružnica.

Budeme využívat’ transformáciu do cylindrických súradníc:x = ρ · cos(ϕ),y = ρ · sin(ϕ)z = z , kde ρ > 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π.

Parametrizácia:x = m + r · cos(u),y = n + r · sin(u),z = v ; 0 ≤ u ≤ 2π, a ≤ v ≤ b.

Nájdite parametrizáciu valcovej plochy S určenej rovnicoux2 + y2 = 1; 0 ≤ z ≤ 1.

Parametrické vyjadrenie plochy S bude:x = cos(u),y = sin(u),z = v ; 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ 1

Nájdite parametrizáciu valcovej plochy S určenej rovnicoux2 + y2 = 1; 0 ≤ z ≤ 1.

Parametrické vyjadrenie plochy S bude:x = cos(u),y = sin(u),z = v ; 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ 1

Gul’ová plocha: (x −m)2 + (y − n)2 + (z − l)2 = r2.

Budeme využívat’ transformáciu do sférických súradnícx = ρ · cosϕ cos θ,y = ρ · sinϕ cos θ,z = ρ · sin θ pre S = [0; 0],kde ρ > 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, −π

2 ≤ θ ≤π2 resp.

x = m + ρ · cosϕ cos θ,y = n + ρ · sinϕ cos θ,z = l + ρ · sin θ pre S = [m; n; l ],kde ρ > 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, −π

2 ≤ θ ≤π2

Parametrizácia:x = m + r · cos(u) cos(v),y = n + r · sin(u) cos(v),z = l + r · sin(v) 0 ≤ u ≤ 2π, −π

2 ≤ v ≤ π2 .

2 ≤ θ ≤π2

2 ≤ v ≤ π2 .

2 ≤ θ ≤π2

2 ≤ v ≤ π2 .

2 ≤ θ ≤π2

2 ≤ v ≤ π2 .

Nájdite parametrizáciu gul’ovej plochy S určenej rovnicoux2 + y2 + z2 = 2z .

Po úprave máme: x2 + y2 + (z − 1)2 = 1, teda S = [0, 0, 1].

Hl’adaná parametrizácia je:x = cos(u) cos(v)y = sin(u) cos(v)z = 1 + sin(v); 0 ≤ u ≤ 2π, −π

2 ≤ v ≤ π2

Elipsoid: (x−m)2

a2+ (y−n)2

b2+ (z−l)2

c2= 1.

Využijeme analógiu s gul’ovou plochou

Hl’adaná parametrizácia je:x = m + a · cos(u) cos(v),y = n + b · sin(u) cos(v),z = l + c · sin(v) 0 ≤ u ≤ 2π, −π

2 ≤ v ≤ π2 .

Elipsoid: (x−m)2

a2+ (y−n)2

b2+ (z−l)2

c2= 1.

2 ≤ v ≤ π2 .

Elipsoid: (x−m)2

a2+ (y−n)2

b2+ (z−l)2

c2= 1.

2 ≤ v ≤ π2 .

Elipsoid: (x−m)2

a2+ (y−n)2

b2+ (z−l)2

c2= 1.

2 ≤ v ≤ π2 .

Ďalšie plochy:

Nájdite parametrizáciu plochy S , ktorá je čast’ou kužel’ovej plochyz =

√x2 + y2 ohraničenej rovinami z = 1 a z = 2.

Priemetom danej plochy do roviny xy je medzikružie 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4

V súradniciach x = ρ · cos(ϕ), y = ρ · sin(ϕ) máme:1 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ ϕ ≤ 2π.

√ρ2 cos2(ϕ) + ρ2 sin2(ϕ) =

√ρ2 = ρ

Ďalšie plochy:Nájdite parametrizáciu plochy S , ktorá je čast’ou kužel’ovej plochyz =

√ρ2 cos2(ϕ) + ρ2 sin2(ϕ) =

√ρ2 = ρ

√ρ2 cos2(ϕ) + ρ2 sin2(ϕ) =

√ρ2 = ρ

√ρ2 cos2(ϕ) + ρ2 sin2(ϕ) =

√ρ2 = ρ

√ρ2 cos2(ϕ) + ρ2 sin2(ϕ) =

√ρ2 = ρ

Parametrické vyjadrenie:x = u · cos(v),y = u · sin(v),z = u, 1 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 2π.

Úlohy

Nájdite parametrické vyjadrenie plochy štvorca ABCD, kdeA = [1; 0; 0], B = [1; 1; 0], C = [1; 1; 1], D = [1, 0, 1].

Nájdite parametrizáciu plochy S , ktorá je čast’ou parabolickej plochyz = x2 + y2 ohraničenej rovinou z = 1.

Nájdite parametrizáciu plochy S , ktorá je čast’ou hyperbolickéhoparaboloidu z = x · y orezaná valcovou plochou x2 + y2 = 1.

Úlohy

Plošný integrál

Definícia

Nech S je plocha, kde ~r = ~r(u, v); [u, v ] ∈ G , je jej parametrickévyjadrenie.Nech ~r = ~r(u, v) je prostá a nech oblast’ G je jednoducho súvislá.Nech ~r = ~r(u, v) má spojité a lineárne nezávislé prvé parciálne derivácie naoblasti G .Nech f je skalárna funkcia troch premenných (x , y , z), ktorá je definovanáa spojitá na oblasti S .Potom plošný integrál prvého druhu definujeme vzt’ahom:∫ ∫

Sf (x , y , z) dS =

∫ ∫Gf (~r(u, v)) · |~r ′u(u, v)× ~r ′v (u, v)| du dv .

Plošný integrál

V súradnicovom tvare má predchádzajúci vzorec tvar:∫ ∫S

f (x , y , z) dS =

∫ ∫G

f (x(u, v , z), y(u, v , z), z(u, v , z))·

√(y ′u z ′uy ′v z ′v

(z ′u x ′uz ′v x ′v

(x ′u y ′

x ′v y ′v

)2du dv ,

kde ~r(u, v) = x(u, v) · ~i + y(u, v) · ~j + z(u, v) · ~k .

Plošný integrál

V prípade, že plocha S je grafom funkcie z = z(x , y); [x , y ] ∈ G ,dostávame predchádzajúci vzorec v tvare:∫ ∫

Sf (x , y , z) dS =

∫ ∫Gf (x , y , z) ·

√1 + (z ′x(x , y))

2 + (z ′y (x , y))2 dx dy .

Plošný integrál

Plošný integrál prvého typu nezávisí od výberu parametrizácieplochy S .

Pojem plošného integrálu môžeme rozšírit’ na plochy,ktoré sú zjednotením konečného počtu navzájom sa neprekrývajúcichplôch rovnakého typu (viď predpoklady v predchádzajúcej definícii).

Plošný integrál

Plošný integrál prvého typu nezávisí od výberu parametrizácieplochy S .

Pojem plošného integrálu môžeme rozšírit’ na plochy,ktoré sú zjednotením konečného počtu navzájom sa neprekrývajúcichplôch rovnakého typu (viď predpoklady v predchádzajúcej definícii).

Aplikácie plošného integrálu

Pre PLOŠNÝ OBSAH plochy S platí:

∫ ∫S

Pre celkovú HMOTNOSŤ plochy S s hustotou h = h(x , y , z) platí:

∫ ∫Sh(x , y , z) dS .

STATICKÉ MOMENTY plochy S vzhl’adom na súradnicové roviny sú:

∫ ∫Sz · h(x , y , z) dS ,

∫ ∫Sx · h(x , y , z) dS ,

∫ ∫Sy · h(x , y , z) dS ,

kde h(x , y , z) je hustota definovaná na ploche S .

∫ ∫S

∫ ∫Sh(x , y , z) dS .

∫ ∫Sz · h(x , y , z) dS ,

∫ ∫Sx · h(x , y , z) dS ,

∫ ∫Sy · h(x , y , z) dS ,

kde h(x , y , z) je hustota definovaná na ploche S .

∫ ∫S

∫ ∫Sh(x , y , z) dS .

∫ ∫Sz · h(x , y , z) dS ,

∫ ∫Sx · h(x , y , z) dS ,

∫ ∫Sy · h(x , y , z) dS ,

kde h(x , y , z) je hustota definovaná na ploche S .Erika Škrabul’áková (TUKE) Plošný integrál Košice, 18. 11. 2015 21 / 24

SÚRADNICE ŤAŽISKA T = [xT , yT , zT ] hmotnej plochy S sú:

xT =Syzm, yT =

Szxm, zT =

MOMENTY ZOTRVAČNOSTI plochy S s hustotou h = h(x , y , z)vzhl’adom na súradnicové osi sú:

∫ ∫Sh(x , y , z) · (y2 + z2) dS ,

∫ ∫Sh(x , y , z) · (x2 + z2) dS ,

∫ ∫Sh(x , y , z) · (x2 + y2) dS .

SÚRADNICE ŤAŽISKA T = [xT , yT , zT ] hmotnej plochy S sú:

xT =Syzm, yT =

Szxm, zT =

MOMENTY ZOTRVAČNOSTI plochy S s hustotou h = h(x , y , z)vzhl’adom na súradnicové osi sú:

∫ ∫Sh(x , y , z) · (y2 + z2) dS ,

∫ ∫Sh(x , y , z) · (x2 + z2) dS ,

∫ ∫Sh(x , y , z) · (x2 + y2) dS .

Úlohy

Vypočítajte plošný integrál∫ ∫S(x2 + y2) dS ,

kde S je povrch kužel’a√x2 + y2 ≤ z ≤ 1.

Vypočítajte hmotnost’ gul’ovej (pol)škrupiny x2 + y2 + z2 = R2;z ≥ 0 ak plošná hustota h = h(x , y , z) sa rovná vzdialenostipríslušného bodu od osi z .(t.j. h(x , y , z) =

√x2 + y2)

Úlohy

Vypočítajte plošný integrál∫ ∫S(x2 + y2) dS ,

kde S je povrch kužel’a√x2 + y2 ≤ z ≤ 1.

Vypočítajte hmotnost’ gul’ovej (pol)škrupiny x2 + y2 + z2 = R2;z ≥ 0 ak plošná hustota h = h(x , y , z) sa rovná vzdialenostipríslušného bodu od osi z .(t.j. h(x , y , z) =

√x2 + y2)

Ďakujem za pozornost’.

matematika 3 - 9. predná ka 3 krivkové a plo né...

Documents