1

Matematika Blackjacka – kockarska matematik

a

Franka Miriam Brückler

2

3

Pravila igre• vrijednosti karata:

1 ili 11 10• svatko igra sam protiv banke (dealer-a)• cilj igre je doći što bliže zbroja 21 bez da ga se

premaši (bust) i pritom imati veći zbroj od dealer-a• ako u ruci imate A, imate soft hand ako bilo da

računate A kao 1 bilo kao 11 nemate više od 21

4

• Blackjack ili natural je kombinacija dvije karte vrijednosti 21

(dakle asa i neke karte vrijednosti 10) dobivena u prvom dijeljenju

• dobici se isplaćuju 1:1, osim u slučaju dobitka blackjack-om, koji nosi dobitak u omjeru 3:2

• nakon dobivanja prve dvije karte igrač ima 4 opcije: hit, stand, double down, split pairs (uzimanje dodatne karte, dosta, udvostručenje, razdvajanje parova)

• dealer mora uzimati dodatnu kartu sve dok mu max. zbroj karata u ruci ne bude bar 17 (varijanta: ako je soft 17, mora uzeti kartu)

5

Broj kombinacija• Broj mogućih kombinacija dvije karte

(dakle, početnih karata) za igru s n setova (obično n=1, 2, 4, 6 ili 8) karata je

863208

215284

53562

13261

2

52

n

n

n

n

n

6

Vjerojatnost dobivanja

Blackjack-a• u jednom setu karata su 4 asa i 16 karata

vrijednih 10• ako se igra blackjack s n setova karata,

vjerojatnost dobivanja blackjack-a je

%,p

)nn(n

nnn

pn

826544BJ

521332

2

52164

BJ

1

2

2

7

Hi & Lo• popularna kockarska igra iz doba Divljeg

zapada poznata i kao “Lucky number 7” i “Under & over”

• igrači se klade na sumu brojeva koji će ispasti na 2 kocke koje baca dealer

• moguće je klađenje da će ispasti suma manja od 7, veća od 7, točno 7 ili pak da će pasti određen par

• isplate dobitaka za prve dvije vrste klađenja su 1:1, pogođena suma 7 nosi 4:1, a pogođen par nosi 15:1

8

9

%,),(p),(p),(p),(p),(p),(p

%,)S(p)S(p

%,)S(p

782361

665544332211

44443616

77

6716366

7

• primijetimo načelnu sličnost s inicijalnom situacijom u Blackjack-u: dvije karte vs. dvije kocke, gledamo zbroj njihovih vrijednosti slične metode analize vjerojatnostî

• bitna razlika: nisu jednako vjerojatne sve vrijednosti (4 puta je vjerojatnije da će karta imati vrijednost 10) i imamo kartu s mogućom dvoznačnom vrijednosti (as)

11

Vjerojatnosti zbrojeva prve 2 karte u

blackjack-u• u daljnjem ćemo sve račune provoditi za blackjack s jednim setom od 52 karte

• dobivanje prve dvije karte možemo zamisliti i kao bacanje dviju kocaka s 52 strane, s tim da se svaki broj od 2 do 9 pojavljuje na 4 strane, broj 10 na 16 strana i znak A na 4 strane

• u slučaju soft para tj. para koji sadrži A i neku drugu kartu (dva A nisu soft ) gledamo veći od dva moguća zbroja tj. A brojimo kao 11

• pod različitim kartama mislimo: karte različite vrijednosti

12

• primijetimo da je vjerojatnost da smo dobili dvije konkretne različite karte jednaka

• a vjerojatnost da smo dobili dvije konkretne karte iste vrijednosti (tu su uključena i dva asa)

• osim za slučaj dvije karte vrijednosti 10 za što je vjerojatnost

%,p , 2116638

2515244

32

%,p , 4502211

515234

2

522

4

22

%,p , 05922120

515244

26515234

41010

13

• vjerojatnost da karte imaju istu vrijednost je stoga 13/221 + 20/221 = 33/221 = 14,93%,

• pa je vjerojatnost da smo dobili neke dvije karte različitih vrijednosti jednaka

• tu je korištena formula za vjerojatnost suprotnog događaja:

%,0785221188

22133

1

)A(p)A\(p 1

14

• izračunajmo vjerojatnost da je zbroj vrijednosti na prve dvije dobivene karte jednak 12

• to je moguće ako imamo dva asa, 2 i neku kartu vrijednu 10, 3 i 9, 4 i 8, 5 i 7 ili pak dvije šestice

• vjerojatnosti da dobijemo dva asa ili dvije šestice su prema prethodnom 1/221

• vjerojatnost dobivanja nekog od parova 3 i 9, 4 i 8, 5 i 7 je 8/663

• 2 i 10 možemo dobiti kao 2 i 10, 2 i B, 2 i D ili pak kao 2 i K pa je vjerojatnost dobivanja dvojke i karte vrijedne 10 jednaka 4 puta 8/663

• sve skupa daje vjerojatnost sume 12:

%,)S(p 35966362

6638

46638

32211

212

15

16

Suma prve 2 karte Vjerojatnost sume

4 (2+2) 0,45%

5 (2+3) 1,21%

6 (2+4, 3+3) 1,66%

7 (2+5, 3+4) 2,41%

8 (2+6, 3+5, 4+4) 2,87%

9 (2+7, 3+6, 4+5) 3,62%

10 (2+8, 3+7, 4+6, 5+5) 4,07%

11 (2+9, 3+8, 4+7, 5+6) 4,83%

12 (A+A, 2+10, 3+9, 4+8, 5+7, 6+6)

9,35%

13 (A+2, 3+10, 4+9, 5+8, 6+7) 9,65%

14 (A+3, 4+10, 5+9, 6+8, 7+7) 8,90%

15 (A+4, 5+10, 6+9, 7+8) 8,45%

16 (A+5, 6+10, 7+9, 8+8) 7,69%

17 (A+6, 7+10, 8+9) 7,24%

18 (A+7, 8+10, 9+9) 6,49%

19 (A+8, 9+10) 6,03%

20 (A+9, 10+10) 10,26%

21 (blackjack: A+10) 4,83%

17

18

Vjerojatnost da je početna suma bar 17 iznosi

%,)sS(ps

853421

17

19

Vjerojatnost vrijednosti sljedeće karte

• ako je do nekog trenutka igre igraču poznato m karata (vlastite plus otvorena dealer-ova), od čega je za njih n igraču poznato da imaju vrijednost x , kolika je vjerojatnost da će uzimanjem dodatne karte igrač dobiti kartu vrijednosti x?

mn

p

mn

px x

5216

524

10

10

20

• primjerice, ako igrač igra sam protiv dealer-a i trenutno ima karte D,2,4,A, a dealer-ova otvorena je 8, kolika je vjerojatnost da će sljedećim izvlačenjem igrač postiči sumu 21?

• p = p4 = (4-1)/(52-5) = 6,38%• vjerojatnost bust-a uzimanjem jedne

dodatne karte:• p = p5 + p6 + p7 + p8 + p9 + p10 =

= 4∙(4-0)/47 + (4-1)/47 + (16-1)/47 = = 34/47 = 72,34%

21

Uvjetna vjerojatnost

• p(B|A)=p(AB)/p(A)• koja je vjerojatnost da igrač dobije

dvije petice ako je dealer-ova otvorena karta as?

%,)A(p

),,A(pp 470

255012

524

503

514

524

55

22

Konačni stohastički procesi

• konačan niz eksperimenata od kojih svaki ima konačno mnogo ishoda poznatih vjerojatnosti

1. karta (dealer-ova)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 1,11

1/13 1/134/131/13

igrač dobije 2,2

1/425

igrač dobije 2,3

4/425

... igrač dobije 3,3

2/425

...

igrač ima 2,2,2 igrač ima 2,2,3 ...

1/20825 4/20825

23

1. karta (dealer-ova)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 1,11

1/13 1/134/131/13

igrač ima dvijekarte sume 4

1/85

igrač ima dvijekarte sume 5

32/1275

... igrač ima dvijekarte sume 20

22/1275

igrač imablackjack

851

131

2505134

505123

524

242

)D|S(p

127532

50512244

5) sume dvije slijede 2, je prva252

(p)D|S(p

127522

505134244

20) sume dvije slijede 2, je prva2202

(p)D|S(p

64/1275

127564

50512164

10) i as slijede 2, je prva2212

(p)D|S(p

24

Vjerojatnosni prostor• skup Ω svih mogućih elementarnih događaja

tj. skup svih mogućih ishoda pokusa• u blackjack-u u kojem je jedina otvorena karta

dealer-ova: Elementarni događaji za igrače: skup od dvije ili više karata za koje vrijedi: kad god bismo jednu kartu odbacili iz skupa, suma vrijednosti preostalih karata ne nadmašuje 21.

• Ω={{2,2},{2,3},...,{A,A},{2,2,2},...,{A,A,A},{2,2,2,2},...,{A,A,A,A},{2,2,2,2,3},...,{A,A,A,A,K},...,{2,2,2,2,3,3,3,3,A}}

• diskretan vjerojatnosni prostor = konačan ili prebrojivo beskonačan

25

Matematičko očekivanje

• diskretna slučajna varijabla: funkcija X :ΩR za diskretan vjerojatnosni prostor Ω

• očekivana vrijednost diskretne slučajne varijable X se definira kao

• pritom se zbraja po svim mogućim ishodima pokusa (indeksiranim s i)

• xi je vrijednost od X ako pokus ima ishod i• pi je vjerojatnost da dođe do tog ishoda tj. pi = p

( X=xi ) = p ({ rΩ : X(r)=xi })

ii

ipx)X(E

26

Chuck-a-luck• klađenje na to da će na jednoj, dvije ili tri

od 3 bačene kocke ispasti određeni broj, a dobici se isplaćuju redom u omjerima 1:1, 2:1, 3:1

• slučajna varijabla: X=iznos dobitka ako se igrač kladio na neki broj

x -1 0 1 2 3

p(X=x)

125/216

0 25/72

5/72

1/216

27

• očekivana vrijednost igre tj. očekivani dobitak pri ulogu od 1 novčane jedinice je

• promijenimo malo pravila: igrač se mora eksplicitno kladiti na broj kocaka na kojima će njegov broj pasti

9805453

)1()1(34602161

61

7902419

)1()1(2946725

65113

3103611

)1()1(172347225

65513

33333

22232

11131

,ppE%,p

,ppE%,p

,ppE%,p

07870216

13

72

52

72

251

6

51

3

,E

28

Očekivanje u blackjack-u

• očekivana vrijednost dobitka u blackjack-u se bitno teže računa, među inim jer je moguće jako puno kombinacija

• ovisno o odabranoj strategiji, očekivanje varira

• jedna moguća strategija: imitacija dealer-a tj. stop na 17 očekivanje -0,056 tj. po uloženoj jedinici u prosjeku se po krugu gubi 0,056

29

Matematičari su za blackjack razvili optimalne strategije kojima se minimiziraju očekivani gubici, ovisne o pravilima (prvenstveno o broju setova s kojima se igra te da li dealer mora stati na soft 17 ili tad još mora uzeti kartu); u odnosu na srodnu igru baccarat, blackjack ima raznolikije mogućnosti, osobito jer nije jedinstveno definiran konačan broj karata koje igrači dobivaju.

30

Optimalna strategija• za blackjack postoje optimalne

strategije koje omogućuju da si igrač, uzevši u obzir otvorene karte, odabere opciju koja maksimizira očekivani dobitak

• pristup se temelji na razlikovanju dvije situacije:

• (1) zbroj karata u ruci ima jedinstvenu vrijednost i

• (2) zbroj karata u ruci ima dvoznačnu vrijednost (soft hand)

31

• igra s 1 setom karata, otvorena je samo jedna dealer-ova karta vrijednosti D{2,3,...,10,A}, gdje A može biti 1 ili 11

• neka je M(D) prirodan broj koji će na sljedeći način omogučiti igraču izbor poteza: ako je x jedinstvena vrijednost igračevih karata, preporuča se uzimanje dodatne karte ako x<M(D), a inače stop

• skup {M(2),M(3),...,M(10),M(A)} je poznat kao skup minimum standing numbers for unique hands

• analogno se definiraju M*(D) za slučaj dvoznačnih x

32

• pretpostavka: dobra strategija se može definirati brojevima M(D) i M*(D)

• ovdje ćemo opisati samo nalaženje M(D)-ova

• oni se izračunavaju uspoređivanjem očekivanja dvaju igrača, od kojih prvi koristi M(D)=x, a drugi koristi M(D)=x+1

• dakle, u slučaju da ima sumu x, prvi staje, a drugi traži dodatnu kartu

• neka je E1(x) očekivanje prvog, a E2(x) očekivanje drugog

• ako je E2(x) > E1(x) znači da je pri sumi x povoljnije tražiti dodatnu kartu nego stati

33

• pokazuje se da funkcija E2(x) − E1(x) nije rastuća pa je M(D) najmanji prirodan broj x za koji je E2(x) − E1(x) <0

• za određivanje M(D) potrebno je uvođenje dviju slučajnih varijabli

• T je slučajna varijabla koja predstavlja konačnu sumu dealer-ovih karata

• primijetimo: ako je T>21 ili T<x , onda igrač koji je stao na sumi x dobiva (+1$), ako je T=x onda niti dobiva niti gubi (+0$), a inače igrač gubi (-1$)

34

• stoga jeE1(x) = p(T>21) + p(T<x) −

p(x<T≤21)= 2p(T>21) + 2p(T<x) + p(T=x)

− 1

• za izračunavanje E2(x) potrebna je druga slučajna varijabla J koja predstavlja sumu koju igrač ostvaruje uzimanjem dodatne karte

• uzevši u obzir da prema pravilima vrijedi T≥17, prvo se izračunaju očekivanja za slučajeve J < 17, 17 ≤ J ≤ 21 i J >21 (zadnje je očito -1)

35

• kako J ima utjecaj na T samo utoliko što eliminira mogućnost da dealer izvuče jednu od karata vrijednosti J – x, pretpostavka da su J i T nezavisne ne povlači veliku grešku te se koristeći odgovarajuća formula za očekivanje produkta nezavisnih događaja dobije formula za E2(x) i time sljedeća formula:

• za x<17 su prva dva člana 0 jer T≥17 i p(J>21)=0 ako x<12 pa je E2(x) – E1(x) ≥ 0 za x<12

• slijedi M(D)>11 za sve D• slično se dobije M*(D)>16 za sve D

)JT(p)JT(p)J(p)T(p)xT(p)xT(p

)x(E)x(E

2121221212212

36

• dakle, zanimaju nas slučajevi x=12,13,...• za takve x je

• pretpostavimo da je pri izvlačenju karte J-x za sve karte jednako vjerojatno da će biti izvučene, i to kao da ih je još uvijek 52 (točno na razini skupa elementarnih događaja) tj.

)tJ(p)Jt(p)(tT(p)J(p)T(p

)JT(p)JT(p)J(p)T(p)x(E)x(E

t

21

17

12

21221212

2121221212

10 za 13

1

13

410 i)ixJ(p,)xJ(p

37

• slijedi da je p(J >21)=(x-8)/13• p(t < J 21)=(21 − t)/13• p( J=t )=1/13• (sve za x bar 12 i t između 17 i 21)• uvrštavanjem u formulu za E2(x) −

E1(x) vidi se da je ta funkcija padajuća i može se izračunati njena jedinstvena nultočka x0

• ako je ona manja od 12, po prethodnom je M(D)=12, inače je to x0

• za izračunavanje x0 potrebno je znati vjerojatnosti p(T=t) za t od 17 naviše i tu je najveći problem

38

• potrebne vjerojatnosti da dealer postigne određenu sumu (17,18,...) računaju se u tri koraka:

• prvo se računaju vjerojatnosti da će s prve tri karte ostvariti određenu sumu (s tim da se uključuju slučajevi kad pravila predviđaju da dealer mora stati na dvije karte)

• uočimo: za sve račune znamo vjerojatost prve od tri karte (to je D) pa trebamo računati vjerojatnosti za konkretnu sumu ovisno o D

39

• primjer: ako dealer ima otvorenu kartu 9, kolika je vjerojatnost da će s prve tri karte imati sumu 20?

• 20 – 9 = 11 druge dvije karte moraju imati sumu 11 tj. druge dvije karte su nešto od {A}, {10,A}, {9,2}, {8,3}, {7,4}, {6,5}

• preciznije, zanimaju nas sljedeći slijedovi prve tri karte: (9,A), (9,10,A), (9,9,2), (9,2,9), (9,8,3), (9,3,8), (9,7,4), (9,4,7), (9,6,5), (9,5,6) %,)D|S(p 0615

42564

5051446432416

514

9203

40

• za poznatu vrijednost D vjerojatnost da će s tri karte dealer imati 21 jednaka je vjerojatnosti da će sa jednom ili s dvije karte dobiti iznos 21 – D

d 21-d Moguće 2 karte p(T3=21|D=d )

2 19 A+8,9+10 16/255 = 6,27%

3 18 A+7,8+10,9+9 86/1275 = 6,75%

4 17 A+6,7+10,8+9 32/425 = 7,53%

5 16 A+5,6+10,7+9,8+8 98/1275 = 7,69%

6 15 A+4,5+10,6+9,7+8 36/425 = 8,47%

7 14 A+3,4+10,5+9,6+8,7+7 23/255 = 9,02%

8 13 A+2,3+10,4+9,5+8,6+7 124/1275 = 9,73%

9 12 A+A,2+10,3+9,4+8,5+7,6+6 8/85 = 9,41%

10

11 2+9,3+8,4+7,5+6,A 192/1275 = 15,22%

A 10 ili 20

A+9,10+10,2+8,3+7,4+6,5+5,10

94/255 = 36,86%

41

• zatim se aproksimativno odrede uvjetne vjerojatnosti da je konačna suma neki određen iznos ako je poznata parcijalna suma (u aproksimaciji se uzima da je vjerojatnost izvlačenja svake karte stalno 1/52)

• u trećem se iz prethodnih podataka izračunaju tražene vjerojatnosti

• iako se drugim korakom uvodi greška u račun, bez te aproksimacije račun bi bio prezahtjevan, a greška izračunatih vjerojatnosti biti će na drugom ili trećem mjestu iza decimalnog zareza, s tim da to na izračunavanje prirodnog broja M(D) neće imati utjecaja

42

Kada tražiti još jednu kartu?

(1,11)D 7,D 17,

4,5,6D ,12

3,2D 13,

)(DM

10 9,D 19,

(1,11)D 8,D 18,)(* DM

ako dealer ima otvorenu npr. 7, a mi u rukama imamo npr. A i 5 (soft 16), tada se preporuča uzimanje još jedne karte, a ako imamo npr. A i 8, preporuča se da stanemo (soft 19)

npr. ako dealer ima otvorenu 5, a mi u rukama imamo npr. 5 i 6, što je manje od 12, tada se preporuča da vučemo kartu, a ako imamo npr. B i 4 više od 12 onda se preporuča da stanemo

43

Kada udvostručavati?

Jedinstvena vrijednost igračevih karata

≥12 11 10 9 ≤8

Vrijednost od D gdje bi igrač trebao udvostručiti ulog

nema

2≤D≤10

2≤D≤92≤D≤6

nema

Soft vrijednost igračevih karata

≥19 18 17 13-16 12

Vrijednost od D gdje bi igrač trebao udvostručiti ulog

nema

D=4,5,6

D=3,4,5,6

D=5,6

D=5

npr. u rukama imamo 4 i 5, ima smisla da udvostručimo ulog ako dealer ima otvorenu neku od karata vrijednosti 2, 3, 4, 5 ili 6

kod soft slučaja ako imamo vrijednost primjerice A i 7, a dealer ima otvorenu 5, tada ima smisla da udvostručimo ulog

temeljna ideja: kod udvostručavanja igrač ima očekivanje 2E2(x)

44

A kada razdvajati parove?

temeljna ideja: za svaki par y-a gleda se kad se razdvajanjem poveča očekivanje

Par A,A8,8

9,9 7,7 2,23,36,6

4,4

ostalo

Kod kojih D razdvojiti par?

sve

2,3,4,5,6,8,9

2,3,4,5,6,7,8

2,3,4,5,6,7

5 nema

45

46

I što da igrač očekuje?

• ako dealer ima otvorenu neku od karata 2,...,9, svaki E(WD) je zbroj četiri člana:

• 1,5 vjerojatnosti da igrač ima blackjack• zbroj produkata vjerojatnosti da igrač ima par s

očekivanom vrijednosti nakon razdvajanja para• zbroj vjerojatnosti da igrač ima karte neke

vrijednosti pomnoženih s 2E2(x) • zbroj vjerojatnosti da igrač ima karte određenog

zbroja pomnoženih s očekivanim dobitkom ako se igrač drži strategije određene s M(D) i M*(D)

)W(E)W(E)W(ED

D 1010 13

4

13

1

47

• ako dealer ima otvorenu neku od karata vrijednosti 10 ili asa, svaki E(WD) se računa kao uvjetno očekivanje uz uvjet da dealer ima blackjack pomnoženo s vjerojatnosti da ga ima + uvjetno očekivanje uz uvjet da ga nema pomnoženo s vjerojatnosti da ga nema

• ispada da je ukupno očekivanje dobitka pri korištenju opisane strategije -0,006

• zanimljivo: uvjetno očekivanje ako se uzme u obzir poznavanje D je pozitivno ako dealer ima otvorenu kartu vrijednosti manje od 9

D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A

E(WD

)0,090

0,123

0,165

0,218

0,230

0,148

0,056

-0,043

-0,176

-0,363

48

Zaključak

• mnoge igre na sreću poznate s srednjoškolcima i mnogi od njih imaju interesa za njih

• s matematičke strane imaju mnogo netrivijalnih osobina, no pogodne su za projektno orijentiranu nastavu

• principi tih igara primjenjivi su i na mnoge druge životne situacije

49

• blackjack ima zanimljivu osobinu jer se za razliku od roulette iz matematičkih razmatranja mogu dobiti preporuke igraču

• pojmovi koji se mogu uvesti: vjerojatnost događaja, uvjetna vjerojatnost, matematičko očekivanje, slučajne varijable, pa čak i martingali (nizovi slučajnih varijabli sa svojstvom da je uvjetna vjerojatnost svake sljedeće jednaka zadnjoj od prethodnih slučajnih varijabli)

50

• problemski zadaci – primjer:• Ako igrač ima dvije karte sume 16,

intuitivno je manje vjerojatno da će uzimanjem još jedne karte probiti limit nego ako ima tri karte sume 16. Provjerite točnost intuicije! Kako se to slaže s preporukom u optimalnoj strategiji da igrač treba pri sumi 16 tražiti još jednu kartu osim ako je D<7?

• Rješenje: %,)S|S(p

%,)S|S(p

43611621

18591621

34

23