Matematika Diskrit

EKUIVALENSI

Ramos Somya, S.Kom., M.Cs.

Ekuivalensi dari Suatu Formula (1)

Misalkan :

– A dan B adalah 2 pernyataan

– P1, P2, …, Pn adalah variabel dalam A dan B.

Jika seluruh nilai kebenaran dari A sama dengan nilai kebenaran B untuk setiap kombinasi nilai-nilai kebenaran yang diberikan pada P1, P2, …, Pn, maka A dan B adalah ekuivalen.

Ekuivalensi dari Suatu Formula (2)

Dalam membuktikan ekuivalensi p ≡ q, ada 3 macam cara yang bisa dilakukan :1. P diturunkan terus menerus (dengan menggunakan hukum-

hukum yang ada), sehingga akhirnya didapat q.2. q diturunkan terus menerus (dengan menggunakan hukum-

hukum yang ada) sehingga akhirnya didapat p.3. p dan q masing-masing diturunkan secara terpisah (dengan

menggunakan hukum-hukum yang ada) sehingga akhirnya sama-sama didapat R.

Sebagai aturan kasar, biasanya bentuk yang lebih kompleks yang diturunkan ke bentuk yang lebih sederhana.

Jadi, bila p lebih kompleks dari q, maka aturan (1) yang dilakukan. Sebaliknya, jika q lebih kompleks dari p, maka aturan (2) yang digunakan. Aturan (3) digunakan jika baik p maupun q sama-sama cukup kompleks.

Ekuivalensi dari Suatu Formula (3)

Contoh:

– (P) P

– P P P

– (P P) Q Q

– P P Q Q

Rumus Ekuivalensi Tambahan

P Q ≡ ~P Q ≡ ~Q ~P

~(P Q) ≡ P ~Q

P (QR) ≡ (P Q) R

~(P Q) ≡ P ~Q

P Q ≡ (PQ) (QP)

(P Q) ≡ (P Q) (~P ~Q)

Q P ≡ ~P ~Q

P ~Q ≡ Q ~P

Q ~P ≡ P ~Q

Contoh Soal

Buktikan ekuivalensi kalimat-kalimatberikut dengan tabel kebenaran dandengan rumus ekuivalensi:

1. ~ (p ~q ) (~p ~q ) ≡ ~p

2. ~ ((~ p q ) (~p ~q )) (p q) ≡ p

3. (p (~ (~p q))) (p q) ≡ p

4. P (Q R) ≡ P (~Q R) ≡ (PQ) R

5. (~P (~Q R)) (Q R) (P R) ≡ R