Matematika I

Vektory a matice

RNDr. Renata Klufová, Ph. D.

Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích

EF Katedra aplikované matematiky a informatiky

Vektory

Def. Aritmetický vektor je uspoøádaná n-tice reálných èísel.

~v = (v1, v2, . . . , vn) . . . n-slo¾kový vektor (vektor dimenze n)

nulový n-slo¾kový vektor: ~o = (0,0, . . . ,0)

rovnost vektorù: ~v = ~w ⇔ vi = wi, ∀i = 1,2, . . . , n

c© Klufová 2011

Vektory

zápis vektoru:

• øádková forma: ~v = (−1,0,15,−3)

• sloupcová forma: ~v =

−1015−3

c© Klufová 2011

Základní operace s vektory

Def. Jsou dány dva n-slo¾kové vektory ~v = (v1, v2, . . . , vn),~w = (w1, w2, . . . , wn) a reálné èíslo r.

Pak lze de�novat následující poèetní operace s vektory:

• souèet vektorù ~v+ ~w = (v1 + w1, v2 + w2, . . . , vn+ wn)

• rozdíl vektorù ~v − ~w = (v1 − w1, v2 − w2, . . . , vn − wn)

• r-násobek vektoru r · ~v = (r · v1, r · v2, . . . , r · vn)

• skalární souèin vektorù ~v · ~w = v1 · w1 + v2 · w2 + . . .+ vn · wn

• norma vektoru || ~v ||=√v21 + v22 + . . .+ v2n

c© Klufová 2011

Kolineární a ortogonální vektory

Def. Dva nenulové n-slo¾kové vektory ~v, ~u nazveme:

• rovnobì¾né (kolineární) ⇔ ∃r ∈ R : ~u = r · ~v

• kolmé (ortogonální) ⇔ ~u · ~v = 0

Vektor ~v se nazývá jednotkový, jestli¾e ||~v|| = 1.

Ka¾dý nenulový vektor ~v je mo¾no znormovat, tj. vytvoøit z nìj

jednotkový vektor:

~v||~v|| =

1||~v|| · ~v

.

c© Klufová 2011

Aplikace

• analytická geometrie

{ úhel α dvou vektorù ~u,~v: cosα = ~u·~v||~u||·||~v||

{ obecná rovnice pøímky v rovinì: ax+ by+ c = 0,

kde (a, b) . . . normálový vektor

{ parametrické vyjádøení pøímky v rovinì:x = a1 + t · u1y = a2 + t · u2

,

kde A[a1, a2] je zvolený bod pøímky a ~u = (u1, u2) smìrový

vektor, t ∈ R

c© Klufová 2011

Aplikace

• ekonomické úvahy

pø. Prodejce objednává od výrobce 6 druhù lo¾isek, jejich¾

katalogová èísla jsou po øadì 62052RS, 6310, 22212, 22224,

NU308, NJ311.

Poèty kusù dle jednotlivých druhù zapí¹eme po øadì do vek-

toru nákupu ~n = (1000,100,50,10,40,50) a vytvoøíme

vektor cen v Kè ~c = (56,112,938,1560,125,156).

Celková cena objednávky (fakturovaná èástka) bude skalární

souèin ~n · ~c = 142500.

Jakou interpretaci má operace 12~n? Co musíme udìlat, má-li

se ke v¹em cenám pøièíst 5%-ní DPH?

c© Klufová 2011

Matice

Def. Uspoøádané schéma reálných èísel A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n. . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn

se nazývá matice typu m× n (také typu (m,n)).

aij . . . prvky matice A

i . . . øádkový index prvku aijj . . . sloupcový index prvku aij

diagonála . . . prvky aii

nulová matice O . . . v¹echny prvky rovny nule

c© Klufová 2011

Matice

zápis matice - rùzné typy závorek - napø.:

[−1 15 03 −9 17

]

(−1 15 03 −9 17

)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ −1 15 0

3 −9 17

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

c© Klufová 2011

Základní operace s maticemi

Def. Jsou dány dvì matice A,B stejného typu (m,n) a reálné

èíslo r.

De�nujeme následující poèetní operace:

• souèet matic A+B . . . . . A+B = (aij + bij)

• rozdíl matic A−B . . . . . A−B = (aij − bij)

• r-násobek matice r ·A . . . r ·A = (r · aij)

• transponování matice AT . . . výsledkem je matice typu

(n,m), kde aTij = aji

c© Klufová 2011

Zvlá¹tní typy matic

Def. Zvlá¹tní typy matic:

• ètvercová . . . typu (n, n)

• symetrická . . . A = AT

• diagonální . . . prvky le¾ící mimo diagonálu jsou nulové

• jednotková . . . diagonální matice, na diagonále samé 1 -

znaèíme E

c© Klufová 2011

Souèin matic

Def. V matici A typu (m,n):

n-slo¾kový vektor ~ai∗ = (ai1, ai2, . . . , ain) . . . její i-tý øádkový

vektor

m-slo¾kový vektor ~a∗j = (a1j, a2j, . . . , amj) . . . její j-tý sloupcový

vektor.

c© Klufová 2011

Souèin matic

Je-li matice A typu m×p a B matice typu p×n, pak je de�nován

souèin matic A a B takto:

C = A ·B typu m× n

cij = ~ai∗ ·~b∗j, ∀i = 1,2, . . . ,m; ∀j = 1,2, . . . , n

cij =n∑

k=1aikbkj

c© Klufová 2011

Aplikace

Prodejce vyøizuje objednávky dvou zákazníkù na dva druhy

lo¾isek (kat. èísla 6201 a 3305) a dvou druhù klínových øemenù

(10x1000 a 13x1120).

První zákazník - pan Zajíc objednává ~n1 = (200,75,8,13) kusù,

druhý zákazník - pan Li¹ka objednává ~n2 = (60,60,560,185)

kusù.

Prodejce uva¾uje tøi vektory cen:

• základní ~c1 = (50,210,28,42)

• s èásteènou výhodou u cen lo¾isek ~c2 = (47,200,28,42)

• pro stálé zákazníky ~c3 = (47,200,27,40).

c© Klufová 2011

Aplikace

matice objednávek N =

[~n1~n2

]=

[200 75 8 1360 60 560 185

]

matice cen C =[~cT1 ~cT2

]=

50 47 47210 200 20028 28 2742 42 40

Souèin N · C =

[26520 25170 2513639050 38270 37340

]

1. ø. . . . tøi alternativy fakturovaných èástek pro pana Zajíce pro

jednotlivé vektory cen

2. ø. . . . tøi alternativy fakturovaných èástek pro pana Li¹ku pro

jednotlivé vektory cen

c© Klufová 2011