matematika ii
DESCRIPTION
Műszaki térinformatikai 2014/2015. tanév szakirányú továbbképzési szak őszi félév. Matematika II. 4. előadás. A 4. előadás vázlata. A féléves feladat kiadása Gráfelméleti alapismeretek Legrövidebb útvonal keresése a gráfban. Gráfok. Mi a gráf? - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Matematika II](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062518/56814062550346895dabd9ef/html5/thumbnails/1.jpg)
Matematika II.
4. előadás
Műszaki térinformatikai 2016/2017. tanévszakirányú továbbképzési szak tavaszi félév
![Page 2: Matematika II](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062518/56814062550346895dabd9ef/html5/thumbnails/2.jpg)
A 4. előadás vázlata
• Gráfelméleti alapismeretek
• Legrövidebb útvonal keresése a gráfban
![Page 3: Matematika II](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062518/56814062550346895dabd9ef/html5/thumbnails/3.jpg)
Gráfok
• Mi a gráf?– Adott n pont a síkban (P = {P1, P2, P3, …, Pn), a P
halmazt nevezzük a gráf csúcspontjainak.
– Élnek nevezzük a gráf két tetszőleges csúcspontját összekötő vonalat (nem feltétlenül egyenes!).
– Jelölje eij azt az élt, amely az i. és a j. csúcspontot köti össze.
– Legyen E = {eij, 1 i, j n} az élek halmaza.
– Az él irányított, ha a csúcsok sorrendje egyben haladási irányt is jelent.
![Page 4: Matematika II](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062518/56814062550346895dabd9ef/html5/thumbnails/4.jpg)
Gráfok
• Mi a gráf?– A G = {P, E} halmazt gráfnak nevezzük.
• Példa gráfra:
![Page 5: Matematika II](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062518/56814062550346895dabd9ef/html5/thumbnails/5.jpg)
Gráfok
• Példa irányított gráfra:
![Page 6: Matematika II](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062518/56814062550346895dabd9ef/html5/thumbnails/6.jpg)
Gráfok
• Útvonal két pont, P1 és P7 között (irányítás nélküli gráfban):
![Page 7: Matematika II](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062518/56814062550346895dabd9ef/html5/thumbnails/7.jpg)
Gráfok
• Útvonal két pont, P1 és P7 között (irányított gráfban):
![Page 8: Matematika II](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062518/56814062550346895dabd9ef/html5/thumbnails/8.jpg)
Gráfok
• Impedancia (súly) hozzárendelése a gráf éleihez:
![Page 9: Matematika II](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062518/56814062550346895dabd9ef/html5/thumbnails/9.jpg)
Gráfok
• Legkisebb súlyú (impedanciájú) útvonal keresése a gráfban a P1 és a P7 csúcsok között:
![Page 10: Matematika II](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062518/56814062550346895dabd9ef/html5/thumbnails/10.jpg)
Útvonalkeresés a gráfban I.
• A legrövidebb útvonal kikeresésének algoritmusa:– A kezdőponthoz 0-t, a többi ponthoz végtelent
rendelünk hozzá.
- A kezdőpontból kiinduló élek súlyát rendre hozzá-adjuk a kezdőpont súlyához, és ha ez kisebb, mint a végpont aktuális súlya, akkor kicseréljük.
- Megjegyezzük, melyik él mentén értük el ezt a legkisebb értéket.
- Az eljárást a többi csúcspontra is elvégezzük, amiből eddig még nem indultunk el.
![Page 11: Matematika II](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062518/56814062550346895dabd9ef/html5/thumbnails/11.jpg)
Útvonalkeresés a gráfban II.
• A legrövidebb útvonal kikeresésének algoritmusa (folytatás):– Az eljárás akkor ér véget, ha az összes csúcspontból
elvégeztük az előzőeket és mindegyik csúcsponthoz végtelentől különböző értéket rendeltünk már hozzá.
- Ekkor a legrövidebb út összesített súlya a végpontban álló szám, az útvonal pedig innen visszafelé haladva, a jelölt élek mentén járható be.
![Page 12: Matematika II](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062518/56814062550346895dabd9ef/html5/thumbnails/12.jpg)
Mintapélda az útvonalkeresésre
• 1. lépés: induló állapot előállítása
![Page 13: Matematika II](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062518/56814062550346895dabd9ef/html5/thumbnails/13.jpg)
Mintapélda az útvonalkeresésre
• 2. lépés: a P1-ből kiinduló élek végpontjaiban az összegzett súly és irány beírása
![Page 14: Matematika II](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062518/56814062550346895dabd9ef/html5/thumbnails/14.jpg)
Mintapélda az útvonalkeresésre
• 3. lépés: a P2-ből kiinduló élek végpontjaiban az összegzett súly és irány beírása
![Page 15: Matematika II](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062518/56814062550346895dabd9ef/html5/thumbnails/15.jpg)
Mintapélda az útvonalkeresésre
• 4. lépés: a P3-ból kiinduló élek végpontjaiban az összegzett súly és irány beírása
![Page 16: Matematika II](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062518/56814062550346895dabd9ef/html5/thumbnails/16.jpg)
Mintapélda az útvonalkeresésre
• 5. lépés: a P4-ből kiinduló élek végpontjaiban az összegzett súly és irány beírása
![Page 17: Matematika II](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062518/56814062550346895dabd9ef/html5/thumbnails/17.jpg)
Mintapélda az útvonalkeresésre
• 6-8. lépés: a P5-ből, a P6-ból és a P8-ból kiin-duló élek végpontjaiban az összegzés elvégzése
![Page 18: Matematika II](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062518/56814062550346895dabd9ef/html5/thumbnails/18.jpg)
Mintapélda az útvonalkeresésre
• 9. lépés: Miután az összes éllel kiszámoltuk az összegzett súlyt, kapjuk az optimális út súlyára a P7-es csúcsban a 14 értéket, és az útvonalat a nyilak mentén visszafejtve kapjuk a
P1 - P2 - P4 - P6 -P7
végeredményt.
![Page 19: Matematika II](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062518/56814062550346895dabd9ef/html5/thumbnails/19.jpg)
Gyakorló feladat az útvonalkeresésre
![Page 20: Matematika II](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062518/56814062550346895dabd9ef/html5/thumbnails/20.jpg)
A gyakorló feladat megoldása
![Page 21: Matematika II](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062518/56814062550346895dabd9ef/html5/thumbnails/21.jpg)
A gyakorló feladat megoldása
• Az optimális út súlyára a jobb szélső csúcsban leolvashatjuk a 16 értéket, az optimális útvonalat pedig a piros vonalak mentén járhatjuk be.