matematika ii -...
TRANSCRIPT
![Page 1: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/1.jpg)
Matematika II
Funkce více promennýchMaticový pocetCíselné radyPrimitivní funkce a Riemannuv integrál
Matematika II Program na letní semestr 1
![Page 2: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/2.jpg)
Matematika II
Funkce více promenných
Maticový pocetCíselné radyPrimitivní funkce a Riemannuv integrál
Matematika II Program na letní semestr 1
![Page 3: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/3.jpg)
Matematika II
Funkce více promennýchMaticový pocet
Císelné radyPrimitivní funkce a Riemannuv integrál
Matematika II Program na letní semestr 1
![Page 4: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/4.jpg)
Matematika II
Funkce více promennýchMaticový pocetCíselné rady
Primitivní funkce a Riemannuv integrál
Matematika II Program na letní semestr 1
![Page 5: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/5.jpg)
Matematika II
Funkce více promennýchMaticový pocetCíselné radyPrimitivní funkce a Riemannuv integrál
Matematika II Program na letní semestr 1
![Page 6: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/6.jpg)
V. Funkce více promenných
Matematika II V. Funkce více promenných 2
![Page 7: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/7.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
Matematika II V. Funkce více promenných 3
![Page 8: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/8.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
DefiniceMnožinou Rn, n ∈ N, rozumíme množinu všechusporádaných n-tic reálných císel.
DefiniceEuklidovskou metrikou (vzdáleností) na Rn rozumímefunkci ρ : Rn × Rn → 〈0,+∞) definovanou predpisem
ρ(x ,y) =
√√√√ n∑i=1
(xi − yi)2.
Císlo ρ(x ,y) nazýváme vzdáleností bodu x od bodu y .
Matematika II V. Funkce více promenných 4
![Page 9: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/9.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
DefiniceMnožinou Rn, n ∈ N, rozumíme množinu všechusporádaných n-tic reálných císel.
DefiniceEuklidovskou metrikou (vzdáleností) na Rn rozumímefunkci ρ : Rn × Rn → 〈0,+∞) definovanou predpisem
ρ(x ,y) =
√√√√ n∑i=1
(xi − yi)2.
Císlo ρ(x ,y) nazýváme vzdáleností bodu x od bodu y .
Matematika II V. Funkce více promenných 4
![Page 10: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/10.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
DefiniceMnožinou Rn, n ∈ N, rozumíme množinu všechusporádaných n-tic reálných císel.
DefiniceEuklidovskou metrikou (vzdáleností) na Rn rozumímefunkci ρ : Rn × Rn → 〈0,+∞) definovanou predpisem
ρ(x ,y) =
√√√√ n∑i=1
(xi − yi)2.
Císlo ρ(x ,y) nazýváme vzdáleností bodu x od bodu y .
Matematika II V. Funkce více promenných 4
![Page 11: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/11.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
Veta 1 (vlastnosti euklidovské metriky)Euklidovská metrika ρ má následující vlastnosti:
(i) ∀x ,y ∈ Rn : ρ(x ,y) = 0⇔ x = y ,(ii) ∀x ,y ∈ Rn : ρ(x ,y) = ρ(y ,x), (symetrie)(iii) ∀x ,y , z ∈ Rn : ρ(x ,y) ≤ ρ(x , z) + ρ(z ,y),
(trojúhelníková nerovnost)(iv) ∀x ,y ∈ Rn, ∀λ ∈ R : ρ(λx , λy) = |λ| ρ(x ,y),
(homogenita)(v) ∀x ,y , z ∈ Rn : ρ(x + z ,y + z) = ρ(x ,y).
(translacní invariance)
Matematika II V. Funkce více promenných 5
![Page 12: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/12.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
Veta 1 (vlastnosti euklidovské metriky)Euklidovská metrika ρ má následující vlastnosti:
(i) ∀x ,y ∈ Rn : ρ(x ,y) = 0⇔ x = y ,
(ii) ∀x ,y ∈ Rn : ρ(x ,y) = ρ(y ,x), (symetrie)(iii) ∀x ,y , z ∈ Rn : ρ(x ,y) ≤ ρ(x , z) + ρ(z ,y),
(trojúhelníková nerovnost)(iv) ∀x ,y ∈ Rn, ∀λ ∈ R : ρ(λx , λy) = |λ| ρ(x ,y),
(homogenita)(v) ∀x ,y , z ∈ Rn : ρ(x + z ,y + z) = ρ(x ,y).
(translacní invariance)
Matematika II V. Funkce více promenných 5
![Page 13: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/13.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
Veta 1 (vlastnosti euklidovské metriky)Euklidovská metrika ρ má následující vlastnosti:
(i) ∀x ,y ∈ Rn : ρ(x ,y) = 0⇔ x = y ,(ii) ∀x ,y ∈ Rn : ρ(x ,y) = ρ(y ,x), (symetrie)
(iii) ∀x ,y , z ∈ Rn : ρ(x ,y) ≤ ρ(x , z) + ρ(z ,y),(trojúhelníková nerovnost)
(iv) ∀x ,y ∈ Rn, ∀λ ∈ R : ρ(λx , λy) = |λ| ρ(x ,y),(homogenita)
(v) ∀x ,y , z ∈ Rn : ρ(x + z ,y + z) = ρ(x ,y).(translacní invariance)
Matematika II V. Funkce více promenných 5
![Page 14: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/14.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
Veta 1 (vlastnosti euklidovské metriky)Euklidovská metrika ρ má následující vlastnosti:
(i) ∀x ,y ∈ Rn : ρ(x ,y) = 0⇔ x = y ,(ii) ∀x ,y ∈ Rn : ρ(x ,y) = ρ(y ,x), (symetrie)(iii) ∀x ,y , z ∈ Rn : ρ(x ,y) ≤ ρ(x , z) + ρ(z ,y),
(trojúhelníková nerovnost)
(iv) ∀x ,y ∈ Rn, ∀λ ∈ R : ρ(λx , λy) = |λ| ρ(x ,y),(homogenita)
(v) ∀x ,y , z ∈ Rn : ρ(x + z ,y + z) = ρ(x ,y).(translacní invariance)
Matematika II V. Funkce více promenných 5
![Page 15: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/15.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
Veta 1 (vlastnosti euklidovské metriky)Euklidovská metrika ρ má následující vlastnosti:
(i) ∀x ,y ∈ Rn : ρ(x ,y) = 0⇔ x = y ,(ii) ∀x ,y ∈ Rn : ρ(x ,y) = ρ(y ,x), (symetrie)(iii) ∀x ,y , z ∈ Rn : ρ(x ,y) ≤ ρ(x , z) + ρ(z ,y),
(trojúhelníková nerovnost)(iv) ∀x ,y ∈ Rn, ∀λ ∈ R : ρ(λx , λy) = |λ| ρ(x ,y),
(homogenita)
(v) ∀x ,y , z ∈ Rn : ρ(x + z ,y + z) = ρ(x ,y).(translacní invariance)
Matematika II V. Funkce více promenných 5
![Page 16: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/16.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
Veta 1 (vlastnosti euklidovské metriky)Euklidovská metrika ρ má následující vlastnosti:
(i) ∀x ,y ∈ Rn : ρ(x ,y) = 0⇔ x = y ,(ii) ∀x ,y ∈ Rn : ρ(x ,y) = ρ(y ,x), (symetrie)(iii) ∀x ,y , z ∈ Rn : ρ(x ,y) ≤ ρ(x , z) + ρ(z ,y),
(trojúhelníková nerovnost)(iv) ∀x ,y ∈ Rn, ∀λ ∈ R : ρ(λx , λy) = |λ| ρ(x ,y),
(homogenita)(v) ∀x ,y , z ∈ Rn : ρ(x + z ,y + z) = ρ(x ,y).
(translacní invariance)
Matematika II V. Funkce více promenných 5
![Page 17: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/17.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
DefiniceNecht’ x ∈ Rn, r ∈ R, r > 0. Množinu B(x , r) definovanoupredpisem
B(x , r) = {y ∈ Rn; ρ(x ,y) < r}
nazýváme otevrenou koulí o polomeru r a stredu x nebotaké okolím bodu x .
Matematika II V. Funkce více promenných 6
![Page 18: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/18.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
DefiniceNecht’ M ⊂ Rn. Rekneme, že x ∈ Rn je vnitrním bodemmnožiny M, jestliže existuje r > 0 tak, že B(x , r) ⊂ M.
Množina M ⊂ Rn se nazývá otevrená v Rn, jestliže každýjejí bod je jejím vnitrním bodem.
Vnitrkem množiny M rozumíme množinu všech vnitrníchbodu množiny M a znacíme jej Int M.
Matematika II V. Funkce více promenných 7
![Page 19: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/19.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
DefiniceNecht’ M ⊂ Rn. Rekneme, že x ∈ Rn je vnitrním bodemmnožiny M, jestliže existuje r > 0 tak, že B(x , r) ⊂ M.
Množina M ⊂ Rn se nazývá otevrená v Rn, jestliže každýjejí bod je jejím vnitrním bodem.
Vnitrkem množiny M rozumíme množinu všech vnitrníchbodu množiny M a znacíme jej Int M.
Matematika II V. Funkce více promenných 7
![Page 20: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/20.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
DefiniceNecht’ M ⊂ Rn. Rekneme, že x ∈ Rn je vnitrním bodemmnožiny M, jestliže existuje r > 0 tak, že B(x , r) ⊂ M.
Množina M ⊂ Rn se nazývá otevrená v Rn, jestliže každýjejí bod je jejím vnitrním bodem.
Vnitrkem množiny M rozumíme množinu všech vnitrníchbodu množiny M a znacíme jej Int M.
Matematika II V. Funkce více promenných 7
![Page 21: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/21.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
Veta 2 (vlastnosti otevrených množin)
(i) Prázdná množina a celý prostor Rn jsou otevrenév Rn.
(ii) Necht’ množiny Gα ⊂ Rn, α ∈ A 6= ∅, jsou otevrenév Rn. Pak
⋃α∈A Gα je otevrená množina v Rn.
(iii) Necht’ množiny Gi , i = 1, . . . ,m, jsou otevrené v Rn.Pak
⋂mi=1 Gi je otevrená množina v Rn.
Poznámka
(ii) Sjednocení libovolného systému otevrených množin jeotevrená množina.(iii) Prunik konecne mnoha otevrených množin je otevrenámnožina.
Matematika II V. Funkce více promenných 8
![Page 22: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/22.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
Veta 2 (vlastnosti otevrených množin)
(i) Prázdná množina a celý prostor Rn jsou otevrenév Rn.
(ii) Necht’ množiny Gα ⊂ Rn, α ∈ A 6= ∅, jsou otevrenév Rn. Pak
⋃α∈A Gα je otevrená množina v Rn.
(iii) Necht’ množiny Gi , i = 1, . . . ,m, jsou otevrené v Rn.Pak
⋂mi=1 Gi je otevrená množina v Rn.
Poznámka(ii) Sjednocení libovolného systému otevrených množin jeotevrená množina.
(iii) Prunik konecne mnoha otevrených množin je otevrenámnožina.
Matematika II V. Funkce více promenných 8
![Page 23: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/23.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
Veta 2 (vlastnosti otevrených množin)
(i) Prázdná množina a celý prostor Rn jsou otevrenév Rn.
(ii) Necht’ množiny Gα ⊂ Rn, α ∈ A 6= ∅, jsou otevrenév Rn. Pak
⋃α∈A Gα je otevrená množina v Rn.
(iii) Necht’ množiny Gi , i = 1, . . . ,m, jsou otevrené v Rn.Pak
⋂mi=1 Gi je otevrená množina v Rn.
Poznámka(ii) Sjednocení libovolného systému otevrených množin jeotevrená množina.(iii) Prunik konecne mnoha otevrených množin je otevrenámnožina.
Matematika II V. Funkce více promenných 8
![Page 24: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/24.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
DefiniceNecht’ M ⊂ Rn a x ∈ Rn. Rekneme, že x je hranicnímbodem množiny M, pokud pro každé r > 0 platí
B(x , r) ∩M 6= ∅ a B(x , r) ∩ (Rn \M) 6= ∅.
Hranicí množiny M rozumíme množinu všech hranicníchbodu M a znacíme ji H(M).
Uzáverem množiny M rozumíme množinu M ∪ H(M) aznacíme jej M.
Rekneme, že množina M je uzavrená v Rn, jestližeobsahuje všechny své hranicní body, tedy H(M) ⊂ M,neboli M = M.
Matematika II V. Funkce více promenných 9
![Page 25: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/25.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
DefiniceNecht’ M ⊂ Rn a x ∈ Rn. Rekneme, že x je hranicnímbodem množiny M, pokud pro každé r > 0 platí
B(x , r) ∩M 6= ∅ a B(x , r) ∩ (Rn \M) 6= ∅.
Hranicí množiny M rozumíme množinu všech hranicníchbodu M a znacíme ji H(M).
Uzáverem množiny M rozumíme množinu M ∪ H(M) aznacíme jej M.
Rekneme, že množina M je uzavrená v Rn, jestližeobsahuje všechny své hranicní body, tedy H(M) ⊂ M,neboli M = M.
Matematika II V. Funkce více promenných 9
![Page 26: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/26.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
DefiniceNecht’ M ⊂ Rn a x ∈ Rn. Rekneme, že x je hranicnímbodem množiny M, pokud pro každé r > 0 platí
B(x , r) ∩M 6= ∅ a B(x , r) ∩ (Rn \M) 6= ∅.
Hranicí množiny M rozumíme množinu všech hranicníchbodu M a znacíme ji H(M).
Uzáverem množiny M rozumíme množinu M ∪ H(M) aznacíme jej M.
Rekneme, že množina M je uzavrená v Rn, jestližeobsahuje všechny své hranicní body, tedy H(M) ⊂ M,neboli M = M.
Matematika II V. Funkce více promenných 9
![Page 27: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/27.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
DefiniceNecht’ M ⊂ Rn a x ∈ Rn. Rekneme, že x je hranicnímbodem množiny M, pokud pro každé r > 0 platí
B(x , r) ∩M 6= ∅ a B(x , r) ∩ (Rn \M) 6= ∅.
Hranicí množiny M rozumíme množinu všech hranicníchbodu M a znacíme ji H(M).
Uzáverem množiny M rozumíme množinu M ∪ H(M) aznacíme jej M.
Rekneme, že množina M je uzavrená v Rn, jestližeobsahuje všechny své hranicní body, tedy H(M) ⊂ M,neboli M = M.
Matematika II V. Funkce více promenných 9
![Page 28: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/28.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
DefiniceNecht’ x j ∈ Rn pro každé j ∈ N a x ∈ Rn. Ríkáme, žeposloupnost {x j}∞j=1 konverguje k x , pokud
limj→∞
ρ(x ,x j) = 0.
Prvek x nazýváme limitou posloupnosti {x j}∞j=1.
Posloupnost {y j}∞j=1 prvku Rn je konvergentní, pokudexistuje y ∈ Rn takové, že {y j}∞j=1 konverguje k y .
PoznámkaPlatí, že {x j}∞j=1 konverguje k x ∈ Rn práve když
∀ε ∈ R, ε > 0 ∃j0 ∈ N ∀j ∈ N, j ≥ j0 : x j ∈ B(x , ε).
Matematika II V. Funkce více promenných 10
![Page 29: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/29.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
DefiniceNecht’ x j ∈ Rn pro každé j ∈ N a x ∈ Rn. Ríkáme, žeposloupnost {x j}∞j=1 konverguje k x , pokud
limj→∞
ρ(x ,x j) = 0.
Prvek x nazýváme limitou posloupnosti {x j}∞j=1.Posloupnost {y j}∞j=1 prvku Rn je konvergentní, pokudexistuje y ∈ Rn takové, že {y j}∞j=1 konverguje k y .
PoznámkaPlatí, že {x j}∞j=1 konverguje k x ∈ Rn práve když
∀ε ∈ R, ε > 0 ∃j0 ∈ N ∀j ∈ N, j ≥ j0 : x j ∈ B(x , ε).
Matematika II V. Funkce více promenných 10
![Page 30: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/30.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
DefiniceNecht’ x j ∈ Rn pro každé j ∈ N a x ∈ Rn. Ríkáme, žeposloupnost {x j}∞j=1 konverguje k x , pokud
limj→∞
ρ(x ,x j) = 0.
Prvek x nazýváme limitou posloupnosti {x j}∞j=1.Posloupnost {y j}∞j=1 prvku Rn je konvergentní, pokudexistuje y ∈ Rn takové, že {y j}∞j=1 konverguje k y .
PoznámkaPlatí, že {x j}∞j=1 konverguje k x ∈ Rn práve když
∀ε ∈ R, ε > 0 ∃j0 ∈ N ∀j ∈ N, j ≥ j0 : x j ∈ B(x , ε).
Matematika II V. Funkce více promenných 10
![Page 31: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/31.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
Veta 3Necht’ x j ∈ Rn pro každé j ∈ N a x ∈ Rn. Posloupnost{x j}∞j=1 konverguje k x práve tehdy, když pro každéi ∈ {1, . . . ,n} císelná posloupnost {x j
i }∞j=1 konvergujek císlu xi .
PoznámkaVeta 3 ríká, že konvergence v prostoru Rn je totéž, jakokonvergence „po souradnicích“. Posloupnost {x j}∞j=1 mátedy nejvýše jednu limitu. Pokud existuje, oznacíme jisymbolem limj→∞ x j . Nekdy též místo limj→∞ x j = xpíšeme x j → x .
Matematika II V. Funkce více promenných 11
![Page 32: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/32.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
Veta 3Necht’ x j ∈ Rn pro každé j ∈ N a x ∈ Rn. Posloupnost{x j}∞j=1 konverguje k x práve tehdy, když pro každéi ∈ {1, . . . ,n} císelná posloupnost {x j
i }∞j=1 konvergujek císlu xi .
PoznámkaVeta 3 ríká, že konvergence v prostoru Rn je totéž, jakokonvergence „po souradnicích“.
Posloupnost {x j}∞j=1 mátedy nejvýše jednu limitu. Pokud existuje, oznacíme jisymbolem limj→∞ x j . Nekdy též místo limj→∞ x j = xpíšeme x j → x .
Matematika II V. Funkce více promenných 11
![Page 33: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/33.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
Veta 3Necht’ x j ∈ Rn pro každé j ∈ N a x ∈ Rn. Posloupnost{x j}∞j=1 konverguje k x práve tehdy, když pro každéi ∈ {1, . . . ,n} císelná posloupnost {x j
i }∞j=1 konvergujek císlu xi .
PoznámkaVeta 3 ríká, že konvergence v prostoru Rn je totéž, jakokonvergence „po souradnicích“. Posloupnost {x j}∞j=1 mátedy nejvýše jednu limitu. Pokud existuje, oznacíme jisymbolem limj→∞ x j . Nekdy též místo limj→∞ x j = xpíšeme x j → x .
Matematika II V. Funkce více promenných 11
![Page 34: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/34.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
Veta 4 (charakterizace uzavrených množin)Necht’ M ⊂ Rn. Pak následující podmínky jsouekvivalentní:
(i) Množina M je uzavrená v Rn.
(ii) Množina Rn \M je otevrená v Rn.(iii) Každý bod x ∈ Rn, k nemuž konverguje nejaká
posloupnost {x j} prvku množiny M, patrí domnožiny M.
Matematika II V. Funkce více promenných 12
![Page 35: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/35.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
Veta 4 (charakterizace uzavrených množin)Necht’ M ⊂ Rn. Pak následující podmínky jsouekvivalentní:
(i) Množina M je uzavrená v Rn.(ii) Množina Rn \M je otevrená v Rn.
(iii) Každý bod x ∈ Rn, k nemuž konverguje nejakáposloupnost {x j} prvku množiny M, patrí domnožiny M.
Matematika II V. Funkce více promenných 12
![Page 36: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/36.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
Veta 4 (charakterizace uzavrených množin)Necht’ M ⊂ Rn. Pak následující podmínky jsouekvivalentní:
(i) Množina M je uzavrená v Rn.(ii) Množina Rn \M je otevrená v Rn.(iii) Každý bod x ∈ Rn, k nemuž konverguje nejaká
posloupnost {x j} prvku množiny M, patrí domnožiny M.
Matematika II V. Funkce více promenných 12
![Page 37: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/37.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
Veta 5 (vlastnosti uzavrených množin)
(i) Prázdná množina a celý prostor Rn jsou uzavrenév Rn.
(ii) Necht’ množiny Fα ⊂ Rn, α ∈ A 6= ∅, jsou uzavrenév Rn. Pak
⋂α∈A Fα je uzavrená množina v Rn.
(iii) Necht’ množiny Fi , i = 1, . . . ,m, jsou uzavrené v Rn.Pak
⋃mi=1 Fi je uzavrená množina v Rn.
Poznámka
(ii) Prunik libovolného systému uzavrených množin jeuzavrená množina.(iii) Sjednocení konecne mnoha uzavrených množin jeuzavrená množina.
Matematika II V. Funkce více promenných 13
![Page 38: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/38.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
Veta 5 (vlastnosti uzavrených množin)
(i) Prázdná množina a celý prostor Rn jsou uzavrenév Rn.
(ii) Necht’ množiny Fα ⊂ Rn, α ∈ A 6= ∅, jsou uzavrenév Rn. Pak
⋂α∈A Fα je uzavrená množina v Rn.
(iii) Necht’ množiny Fi , i = 1, . . . ,m, jsou uzavrené v Rn.Pak
⋃mi=1 Fi je uzavrená množina v Rn.
Poznámka(ii) Prunik libovolného systému uzavrených množin jeuzavrená množina.
(iii) Sjednocení konecne mnoha uzavrených množin jeuzavrená množina.
Matematika II V. Funkce více promenných 13
![Page 39: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/39.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
Veta 5 (vlastnosti uzavrených množin)
(i) Prázdná množina a celý prostor Rn jsou uzavrenév Rn.
(ii) Necht’ množiny Fα ⊂ Rn, α ∈ A 6= ∅, jsou uzavrenév Rn. Pak
⋂α∈A Fα je uzavrená množina v Rn.
(iii) Necht’ množiny Fi , i = 1, . . . ,m, jsou uzavrené v Rn.Pak
⋃mi=1 Fi je uzavrená množina v Rn.
Poznámka(ii) Prunik libovolného systému uzavrených množin jeuzavrená množina.(iii) Sjednocení konecne mnoha uzavrených množin jeuzavrená množina.
Matematika II V. Funkce více promenných 13
![Page 40: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/40.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
Veta 6Necht’ M ⊂ Rn. Potom platí:
(i) Množina M je uzavrená v Rn.(ii) Množina Int M je otevrená v Rn.(iii) Množina M je otevrená v Rn, práve když M = Int M.
PoznámkaMnožina Int M je nejvetší otevrená množina obsaženáv M v následujícím smyslu: Je-li G množina otevrená v Rn
splnující G ⊂ M, pak G ⊂ Int M. Podobne M je nejmenšíuzavrená množina obsahující M.
Matematika II V. Funkce více promenných 14
![Page 41: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/41.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
Veta 6Necht’ M ⊂ Rn. Potom platí:
(i) Množina M je uzavrená v Rn.(ii) Množina Int M je otevrená v Rn.(iii) Množina M je otevrená v Rn, práve když M = Int M.
PoznámkaMnožina Int M je nejvetší otevrená množina obsaženáv M v následujícím smyslu: Je-li G množina otevrená v Rn
splnující G ⊂ M, pak G ⊂ Int M.
Podobne M je nejmenšíuzavrená množina obsahující M.
Matematika II V. Funkce více promenných 14
![Page 42: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/42.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
Veta 6Necht’ M ⊂ Rn. Potom platí:
(i) Množina M je uzavrená v Rn.(ii) Množina Int M je otevrená v Rn.(iii) Množina M je otevrená v Rn, práve když M = Int M.
PoznámkaMnožina Int M je nejvetší otevrená množina obsaženáv M v následujícím smyslu: Je-li G množina otevrená v Rn
splnující G ⊂ M, pak G ⊂ Int M. Podobne M je nejmenšíuzavrená množina obsahující M.
Matematika II V. Funkce více promenných 14
![Page 43: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/43.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
DefiniceRekneme, že množina M ⊂ Rn je omezená, jestližeexistuje r > 0 splnující M ⊂ B(o, r).
Posloupnost prvku Rn
je omezená, jestliže množina jejích clenu je omezená.
Veta 7Množina M ⊂ Rn je omezená, práve když je omezenámnožina M.
Matematika II V. Funkce více promenných 15
![Page 44: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/44.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
DefiniceRekneme, že množina M ⊂ Rn je omezená, jestližeexistuje r > 0 splnující M ⊂ B(o, r). Posloupnost prvku Rn
je omezená, jestliže množina jejích clenu je omezená.
Veta 7Množina M ⊂ Rn je omezená, práve když je omezenámnožina M.
Matematika II V. Funkce více promenných 15
![Page 45: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/45.jpg)
V.1. Rn jako lineární a metrický prostor
DefiniceRekneme, že množina M ⊂ Rn je omezená, jestližeexistuje r > 0 splnující M ⊂ B(o, r). Posloupnost prvku Rn
je omezená, jestliže množina jejích clenu je omezená.
Veta 7Množina M ⊂ Rn je omezená, práve když je omezenámnožina M.
Matematika II V. Funkce více promenných 15
![Page 46: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/46.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
V.2. Spojité funkce více promenných
Matematika II V. Funkce více promenných 16
![Page 47: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/47.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
V.2. Spojité funkce více promenných
DefiniceNecht’ M ⊂ Rn, x ∈ M a f : M → R. Rekneme, že f jespojitá v bode x vzhledem k M, jestliže platí
∀ε ∈ R, ε > 0 ∃δ ∈ R, δ > 0 ∀y ∈ B(x , δ)∩M : f (y) ∈ B(f (x), ε).
Rekneme, že f je spojitá v bode x , jestliže je spojitá v xvzhledem k nejakému okolí bodu x , tj.
∀ε ∈ R, ε > 0 ∃δ ∈ R, δ > 0 ∀y ∈ B(x , δ) : f (y) ∈ B(f (x), ε).
Matematika II V. Funkce více promenných 17
![Page 48: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/48.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
V.2. Spojité funkce více promenných
DefiniceNecht’ M ⊂ Rn, x ∈ M a f : M → R. Rekneme, že f jespojitá v bode x vzhledem k M, jestliže platí
∀ε ∈ R, ε > 0 ∃δ ∈ R, δ > 0 ∀y ∈ B(x , δ)∩M : f (y) ∈ B(f (x), ε).
Rekneme, že f je spojitá v bode x , jestliže je spojitá v xvzhledem k nejakému okolí bodu x , tj.
∀ε ∈ R, ε > 0 ∃δ ∈ R, δ > 0 ∀y ∈ B(x , δ) : f (y) ∈ B(f (x), ε).
Matematika II V. Funkce více promenných 17
![Page 49: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/49.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
V.2. Spojité funkce více promenných
DefiniceNecht’ M ⊂ Rn, x ∈ M a f : M → R. Rekneme, že f jespojitá v bode x vzhledem k M, jestliže platí
∀ε ∈ R, ε > 0 ∃δ ∈ R, δ > 0 ∀y ∈ B(x , δ)∩M : f (y) ∈ B(f (x), ε).
Rekneme, že f je spojitá v bode x , jestliže je spojitá v xvzhledem k nejakému okolí bodu x , tj.
∀ε ∈ R, ε > 0 ∃δ ∈ R, δ > 0 ∀y ∈ B(x , δ) : f (y) ∈ B(f (x), ε).
Matematika II V. Funkce více promenných 17
![Page 50: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/50.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
Veta 8Necht’ M ⊂ Rn, x ∈ M, f : M → R, g : M → R a c ∈ R.Jestliže f a g jsou spojité v bode x vzhledem k M, potomtaké funkce cf , f + g a fg jsou spojité v x vzhledem k M.Pokud navíc funkce g je nenulová v bode x , pak je spojitái funkce f/g v bode x vzhledem k M.
Veta 9Necht’ r , s ∈ N, M ⊂ Rs, L ⊂ Rr a y ∈ M. Necht’ ϕ1, . . . , ϕr
jsou funkce definované na M, spojité v bode y vzhledemk M a [ϕ1(x), . . . , ϕr (x)] ∈ L pro každé x ∈ M. Necht’f : L→ R je spojitá v bode [ϕ1(y), . . . , ϕr (y)] vzhledemk L. Potom složená funkce F : M → R daná predpisem
F (x) = f(ϕ1(x), . . . , ϕr (x)
), x ∈ M,
je spojitá v y vzhledem k M.
Matematika II V. Funkce více promenných 18
![Page 51: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/51.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
Veta 8Necht’ M ⊂ Rn, x ∈ M, f : M → R, g : M → R a c ∈ R.Jestliže f a g jsou spojité v bode x vzhledem k M, potomtaké funkce cf , f + g a fg jsou spojité v x vzhledem k M.Pokud navíc funkce g je nenulová v bode x , pak je spojitái funkce f/g v bode x vzhledem k M.
Veta 9Necht’ r , s ∈ N, M ⊂ Rs, L ⊂ Rr a y ∈ M. Necht’ ϕ1, . . . , ϕr
jsou funkce definované na M, spojité v bode y vzhledemk M a [ϕ1(x), . . . , ϕr (x)] ∈ L pro každé x ∈ M. Necht’f : L→ R je spojitá v bode [ϕ1(y), . . . , ϕr (y)] vzhledemk L. Potom složená funkce F : M → R daná predpisem
F (x) = f(ϕ1(x), . . . , ϕr (x)
), x ∈ M,
je spojitá v y vzhledem k M.Matematika II V. Funkce více promenných 18
![Page 52: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/52.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
Veta 10 (Heine)Necht’ M ⊂ Rn, x ∈ M a f : M → R. Pak je ekvivalentní:
(i) f je spojitá v x vzhledem k M,(ii) lim
j→∞f (x j) = f (x) pro každou posloupnost {x j}∞j=1
splnující x j ∈ M pro j ∈ N a limj→∞
x j = x .
DefiniceNecht’ M ⊂ Rn a f : M → R. Rekneme, že f je spojitá namnožine M, jestliže je spojitá v každém bode x ∈ Mvzhledem k M.
PoznámkaFunkce πj : Rn → R, πj(x) = xj , 1 ≤ j ≤ n, jsou spojité naRn. Temto funkcím ríkáme souradnicové projekce.
Matematika II V. Funkce více promenných 19
![Page 53: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/53.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
Veta 10 (Heine)Necht’ M ⊂ Rn, x ∈ M a f : M → R. Pak je ekvivalentní:
(i) f je spojitá v x vzhledem k M,(ii) lim
j→∞f (x j) = f (x) pro každou posloupnost {x j}∞j=1
splnující x j ∈ M pro j ∈ N a limj→∞
x j = x .
DefiniceNecht’ M ⊂ Rn a f : M → R. Rekneme, že f je spojitá namnožine M, jestliže je spojitá v každém bode x ∈ Mvzhledem k M.
PoznámkaFunkce πj : Rn → R, πj(x) = xj , 1 ≤ j ≤ n, jsou spojité naRn. Temto funkcím ríkáme souradnicové projekce.
Matematika II V. Funkce více promenných 19
![Page 54: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/54.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
Veta 10 (Heine)Necht’ M ⊂ Rn, x ∈ M a f : M → R. Pak je ekvivalentní:
(i) f je spojitá v x vzhledem k M,(ii) lim
j→∞f (x j) = f (x) pro každou posloupnost {x j}∞j=1
splnující x j ∈ M pro j ∈ N a limj→∞
x j = x .
DefiniceNecht’ M ⊂ Rn a f : M → R. Rekneme, že f je spojitá namnožine M, jestliže je spojitá v každém bode x ∈ Mvzhledem k M.
PoznámkaFunkce πj : Rn → R, πj(x) = xj , 1 ≤ j ≤ n, jsou spojité naRn. Temto funkcím ríkáme souradnicové projekce.
Matematika II V. Funkce více promenných 19
![Page 55: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/55.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
Veta 11Necht’ f je spojitá funkce na Rn a c ∈ R. Potom platí:
(i) Množina {x ∈ Rn; f (x) < c} je otevrená v Rn.(ii) Množina {x ∈ Rn; f (x) > c} je otevrená v Rn.(iii) Množina {x ∈ Rn; f (x) ≤ c} je uzavrená v Rn.(iv) Množina {x ∈ Rn; f (x) ≥ c} je uzavrená v Rn.(v) Množina {x ∈ Rn; f (x) = c} je uzavrená v Rn.
Matematika II V. Funkce více promenných 20
![Page 56: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/56.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
Matematika II V. Funkce více promenných 21
![Page 57: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/57.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
Matematika II V. Funkce více promenných 21
![Page 58: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/58.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
Matematika II V. Funkce více promenných 21
![Page 59: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/59.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
Matematika II V. Funkce více promenných 21
![Page 60: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/60.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
Matematika II V. Funkce více promenných 21
![Page 61: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/61.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
Matematika II V. Funkce více promenných 21
![Page 62: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/62.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
DefiniceMnožinu M ⊂ Rn nazýváme kompaktní, pokud z každéposloupnosti prvku množiny M lze vybrat konvergentnípodposloupnost s limitou v M.
Veta 12 (charakterizace kompaktních množinv Rn)Množina M ⊂ Rn je kompaktní, práve když je uzavrená aomezená.
Lemma 13Necht’ {x j}∞j=1 je omezená posloupnost v Rn. Pak z ní lzevybrat konvergentní podposloupnost.
Matematika II V. Funkce více promenných 22
![Page 63: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/63.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
DefiniceMnožinu M ⊂ Rn nazýváme kompaktní, pokud z každéposloupnosti prvku množiny M lze vybrat konvergentnípodposloupnost s limitou v M.
Veta 12 (charakterizace kompaktních množinv Rn)Množina M ⊂ Rn je kompaktní, práve když je uzavrená aomezená.
Lemma 13Necht’ {x j}∞j=1 je omezená posloupnost v Rn. Pak z ní lzevybrat konvergentní podposloupnost.
Matematika II V. Funkce více promenných 22
![Page 64: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/64.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
DefiniceMnožinu M ⊂ Rn nazýváme kompaktní, pokud z každéposloupnosti prvku množiny M lze vybrat konvergentnípodposloupnost s limitou v M.
Veta 12 (charakterizace kompaktních množinv Rn)Množina M ⊂ Rn je kompaktní, práve když je uzavrená aomezená.
Lemma 13Necht’ {x j}∞j=1 je omezená posloupnost v Rn. Pak z ní lzevybrat konvergentní podposloupnost.
Matematika II V. Funkce více promenných 22
![Page 65: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/65.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
Matematika II V. Funkce více promenných 23
![Page 66: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/66.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
Matematika II V. Funkce více promenných 23
![Page 67: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/67.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
Matematika II V. Funkce více promenných 23
![Page 68: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/68.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
Matematika II V. Funkce více promenných 23
![Page 69: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/69.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
Matematika II V. Funkce více promenných 23
![Page 70: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/70.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
Matematika II V. Funkce více promenných 23
![Page 71: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/71.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
Matematika II V. Funkce více promenných 23
![Page 72: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/72.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
Matematika II V. Funkce více promenných 23
![Page 73: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/73.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
Matematika II V. Funkce více promenných 23
![Page 74: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/74.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
DefiniceNecht’ M ⊂ Rn, x ∈ M a f je funkce definovaná alesponna M (tj. M ⊂ Df ). Rekneme, že f nabývá v bode x
maxima na M, jestliže platí ∀y ∈ M : f (y) ≤ f (x),
lokálního maxima vzhledem k M, jestliže existujeδ > 0 takové, že ∀y ∈ B(x , δ) ∩M : f (y) ≤ f (x),ostrého maxima na M, jestliže platí∀y ∈ M \ {x} : f (y) < f (x),ostrého lokálního maxima vzhledem k M, jestližeexistuje δ > 0 takové, že∀y ∈
(B(x , δ) \ {x}
)∩M : f (y) < f (x),
Analogicky definujeme minimum a ostré minimum na M,lokální minimum a ostré lokální minimum vzhledem k M.
Matematika II V. Funkce více promenných 24
![Page 75: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/75.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
DefiniceNecht’ M ⊂ Rn, x ∈ M a f je funkce definovaná alesponna M (tj. M ⊂ Df ). Rekneme, že f nabývá v bode x
maxima na M, jestliže platí ∀y ∈ M : f (y) ≤ f (x),lokálního maxima vzhledem k M, jestliže existujeδ > 0 takové, že ∀y ∈ B(x , δ) ∩M : f (y) ≤ f (x),
ostrého maxima na M, jestliže platí∀y ∈ M \ {x} : f (y) < f (x),ostrého lokálního maxima vzhledem k M, jestližeexistuje δ > 0 takové, že∀y ∈
(B(x , δ) \ {x}
)∩M : f (y) < f (x),
Analogicky definujeme minimum a ostré minimum na M,lokální minimum a ostré lokální minimum vzhledem k M.
Matematika II V. Funkce více promenných 24
![Page 76: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/76.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
DefiniceNecht’ M ⊂ Rn, x ∈ M a f je funkce definovaná alesponna M (tj. M ⊂ Df ). Rekneme, že f nabývá v bode x
maxima na M, jestliže platí ∀y ∈ M : f (y) ≤ f (x),lokálního maxima vzhledem k M, jestliže existujeδ > 0 takové, že ∀y ∈ B(x , δ) ∩M : f (y) ≤ f (x),ostrého maxima na M, jestliže platí∀y ∈ M \ {x} : f (y) < f (x),
ostrého lokálního maxima vzhledem k M, jestližeexistuje δ > 0 takové, že∀y ∈
(B(x , δ) \ {x}
)∩M : f (y) < f (x),
Analogicky definujeme minimum a ostré minimum na M,lokální minimum a ostré lokální minimum vzhledem k M.
Matematika II V. Funkce více promenných 24
![Page 77: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/77.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
DefiniceNecht’ M ⊂ Rn, x ∈ M a f je funkce definovaná alesponna M (tj. M ⊂ Df ). Rekneme, že f nabývá v bode x
maxima na M, jestliže platí ∀y ∈ M : f (y) ≤ f (x),lokálního maxima vzhledem k M, jestliže existujeδ > 0 takové, že ∀y ∈ B(x , δ) ∩M : f (y) ≤ f (x),ostrého maxima na M, jestliže platí∀y ∈ M \ {x} : f (y) < f (x),ostrého lokálního maxima vzhledem k M, jestližeexistuje δ > 0 takové, že∀y ∈
(B(x , δ) \ {x}
)∩M : f (y) < f (x),
Analogicky definujeme minimum a ostré minimum na M,lokální minimum a ostré lokální minimum vzhledem k M.
Matematika II V. Funkce více promenných 24
![Page 78: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/78.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
DefiniceNecht’ M ⊂ Rn, x ∈ M a f je funkce definovaná alesponna M (tj. M ⊂ Df ). Rekneme, že f nabývá v bode x
maxima na M, jestliže platí ∀y ∈ M : f (y) ≤ f (x),lokálního maxima vzhledem k M, jestliže existujeδ > 0 takové, že ∀y ∈ B(x , δ) ∩M : f (y) ≤ f (x),ostrého maxima na M, jestliže platí∀y ∈ M \ {x} : f (y) < f (x),ostrého lokálního maxima vzhledem k M, jestližeexistuje δ > 0 takové, že∀y ∈
(B(x , δ) \ {x}
)∩M : f (y) < f (x),
Analogicky definujeme minimum a ostré minimum na M,lokální minimum a ostré lokální minimum vzhledem k M.
Matematika II V. Funkce více promenných 24
![Page 79: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/79.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
DefiniceRekneme, že funkce f má v bode x ∈ Rn lokálnímaximum, má-li v x lokální maximum vzhledem knejakému okolí bodu x .Podobne pro lokální minimum, ostré lokální maximum aostré lokální minimum.
Matematika II V. Funkce více promenných 25
![Page 80: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/80.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
Veta 14 (o nabývání extrému)Necht’ M ⊂ Rn je neprázdná kompaktní množina af : M → R je spojitá na M. Pak f nabývá na M svéhomaxima i minima.
DusledekNecht’ M ⊂ Rn je kompaktní množina a f : M → R jespojitá na M. Pak f je omezená na M.
Matematika II V. Funkce více promenných 26
![Page 81: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/81.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
Veta 14 (o nabývání extrému)Necht’ M ⊂ Rn je neprázdná kompaktní množina af : M → R je spojitá na M. Pak f nabývá na M svéhomaxima i minima.
DusledekNecht’ M ⊂ Rn je kompaktní množina a f : M → R jespojitá na M. Pak f je omezená na M.
Matematika II V. Funkce více promenných 26
![Page 82: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/82.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
DefiniceRekneme, že funkce f o n promenných má v bode a ∈ Rn
limitu rovnou A ∈ R∗, jestliže platí
∀ε ∈ R, ε > 0 ∃δ ∈ R, δ > 0 ∀x ∈ B(a, δ)\{a} : f (x) ∈ B(A, ε).
Poznámka
Každá funkce má v daném bode nejvýše jednu limitu,píšeme limx→a f (x) = A.f je spojitá v a práve když limx→a f (x) = f (a).Pro limity funkcí více promenných platí obdobné vetyjako pro limity funkcí jedné promenné (aritmetika,policajti, . . . ).
Matematika II V. Funkce více promenných 27
![Page 83: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/83.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
DefiniceRekneme, že funkce f o n promenných má v bode a ∈ Rn
limitu rovnou A ∈ R∗, jestliže platí
∀ε ∈ R, ε > 0 ∃δ ∈ R, δ > 0 ∀x ∈ B(a, δ)\{a} : f (x) ∈ B(A, ε).
PoznámkaKaždá funkce má v daném bode nejvýše jednu limitu,píšeme limx→a f (x) = A.
f je spojitá v a práve když limx→a f (x) = f (a).Pro limity funkcí více promenných platí obdobné vetyjako pro limity funkcí jedné promenné (aritmetika,policajti, . . . ).
Matematika II V. Funkce více promenných 27
![Page 84: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/84.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
DefiniceRekneme, že funkce f o n promenných má v bode a ∈ Rn
limitu rovnou A ∈ R∗, jestliže platí
∀ε ∈ R, ε > 0 ∃δ ∈ R, δ > 0 ∀x ∈ B(a, δ)\{a} : f (x) ∈ B(A, ε).
PoznámkaKaždá funkce má v daném bode nejvýše jednu limitu,píšeme limx→a f (x) = A.f je spojitá v a práve když limx→a f (x) = f (a).
Pro limity funkcí více promenných platí obdobné vetyjako pro limity funkcí jedné promenné (aritmetika,policajti, . . . ).
Matematika II V. Funkce více promenných 27
![Page 85: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/85.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
DefiniceRekneme, že funkce f o n promenných má v bode a ∈ Rn
limitu rovnou A ∈ R∗, jestliže platí
∀ε ∈ R, ε > 0 ∃δ ∈ R, δ > 0 ∀x ∈ B(a, δ)\{a} : f (x) ∈ B(A, ε).
PoznámkaKaždá funkce má v daném bode nejvýše jednu limitu,píšeme limx→a f (x) = A.f je spojitá v a práve když limx→a f (x) = f (a).Pro limity funkcí více promenných platí obdobné vetyjako pro limity funkcí jedné promenné (aritmetika,policajti, . . . ).
Matematika II V. Funkce více promenných 27
![Page 86: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/86.jpg)
V.2. Spojité funkce více promenných
Veta 15Necht’ r , s ∈ N, a ∈ M ⊂ Rs, L ⊂ Rr , ϕ1, . . . , ϕr jsou funkcedefinované na M splnující limx→a ϕj(x) = bj , j = 1, . . . , r , ab = [b1, . . . ,br ] ∈ L. Necht’ f : L→ R je spojitá v bode b.Definujme složenou funkci F : M → R predpisem
F (x) = f (ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕr (x)), x ∈ M.
Pak limx→a F (x) = f (b).
Matematika II V. Funkce více promenných 28
![Page 87: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/87.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
Matematika II V. Funkce více promenných 29
![Page 88: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/88.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
Matematika II V. Funkce více promenných 30
![Page 89: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/89.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
Matematika II V. Funkce více promenných 30
![Page 90: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/90.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
Matematika II V. Funkce více promenných 30
![Page 91: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/91.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
Matematika II V. Funkce více promenných 30
![Page 92: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/92.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
Matematika II V. Funkce více promenných 30
![Page 93: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/93.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
Matematika II V. Funkce více promenných 30
![Page 94: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/94.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
Matematika II V. Funkce více promenných 30
![Page 95: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/95.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
Matematika II V. Funkce více promenných 30
![Page 96: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/96.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
Matematika II V. Funkce více promenných 30
![Page 97: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/97.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
DefiniceNecht’ f je funkce n promenných, j ∈ {1, . . . ,n}, a ∈ Rn.Pak císlo
∂f∂xj
(a) = limt→0
f (a + tej)− f (a)t
= limt→0
f (a1, . . . ,aj−1,aj + t ,aj+1, . . . ,an)− f (a1, . . . ,an)
t
nazýváme parciální derivací (prvního rádu) funkce f podlej-té promenné v bode a (pokud limita existuje).
Matematika II V. Funkce více promenných 31
![Page 98: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/98.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
DefiniceNecht’ f je funkce n promenných, j ∈ {1, . . . ,n}, a ∈ Rn.Pak císlo
∂f∂xj
(a) = limt→0
f (a + tej)− f (a)t
= limt→0
f (a1, . . . ,aj−1,aj + t ,aj+1, . . . ,an)− f (a1, . . . ,an)
t
nazýváme parciální derivací (prvního rádu) funkce f podlej-té promenné v bode a (pokud limita existuje).
Matematika II V. Funkce více promenných 31
![Page 99: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/99.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
Veta 16 (nutná podmínka lokálního extrému)Necht’ G ⊂ Rn je otevrená množina, a ∈ G a funkcef : G→ R má v bode a lokální extrém. Pak pro každéj ∈ {1, . . . ,n} platí:
Parciální derivace∂f∂xj
(a) bud’ neexistuje, nebo je rovna
nule.
Matematika II V. Funkce více promenných 32
![Page 100: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/100.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
Matematika II V. Funkce více promenných 33
![Page 101: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/101.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
Matematika II V. Funkce více promenných 33
![Page 102: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/102.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
Matematika II V. Funkce více promenných 33
![Page 103: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/103.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
Matematika II V. Funkce více promenných 33
![Page 104: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/104.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
Matematika II V. Funkce více promenných 33
![Page 105: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/105.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
Matematika II V. Funkce více promenných 33
![Page 106: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/106.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
Matematika II V. Funkce více promenných 33
![Page 107: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/107.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
Matematika II V. Funkce více promenných 33
![Page 108: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/108.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
DefiniceNecht’ G ⊂ Rn je neprázdná a otevrená. Necht’ funkcef : G→ R má v každém bode množiny G spojité všechnyparciální derivace (tj. funkce x 7→ ∂f
∂xj(x) jsou spojité na G
pro všechna j ∈ {1, . . . ,n}). Pak ríkáme, že funkce f jetrídy C1 na G. Množinu všech takových funkcí znacímeC1(G).
PoznámkaPokud je G ⊂ Rn otevrená a neprázdná a f ,g ∈ C1(G),pak i funkce f + g ∈ C1(G), f − g ∈ C1(G) a fg ∈ C1(G).Pokud navíc ∀x ∈ G : g(x) 6= 0, pak i f/g ∈ C1(G).
Matematika II V. Funkce více promenných 34
![Page 109: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/109.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
DefiniceNecht’ G ⊂ Rn je neprázdná a otevrená. Necht’ funkcef : G→ R má v každém bode množiny G spojité všechnyparciální derivace (tj. funkce x 7→ ∂f
∂xj(x) jsou spojité na G
pro všechna j ∈ {1, . . . ,n}). Pak ríkáme, že funkce f jetrídy C1 na G. Množinu všech takových funkcí znacímeC1(G).
PoznámkaPokud je G ⊂ Rn otevrená a neprázdná a f ,g ∈ C1(G),pak i funkce f + g ∈ C1(G), f − g ∈ C1(G) a fg ∈ C1(G).Pokud navíc ∀x ∈ G : g(x) 6= 0, pak i f/g ∈ C1(G).
Matematika II V. Funkce více promenných 34
![Page 110: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/110.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
Tvrzení 17 (slabá Lagrangeova veta)Necht’ n ∈ N, I1, . . . , In ⊂ R jsou otevrené intervaly,I = I1 × I2 × · · · × In, f ∈ C1(I), a,b ∈ I. Potom existujíbody ξ1, . . . , ξn ∈ I, splnující ξ i
j ∈ 〈aj ,bj〉 pro všechnai , j ∈ {1, . . . ,n}, takové, že
f (b)− f (a) =n∑
i=1
∂f∂xi
(ξi)(bi − ai).
Matematika II V. Funkce více promenných 35
![Page 111: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/111.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
DefiniceNecht’ G ⊂ Rn je otevrená množina, a ∈ G a f ∈ C1(G).Pak graf funkce
T : x 7→ f (a) +∂f∂x1
(a)(x1 − a1) +∂f∂x2
(a)(x2 − a2)
+ · · ·+ ∂f∂xn
(a)(xn − an), x ∈ Rn,
nazýváme tecnou nadrovinou ke grafu funkce f v bode[a, f (a)].
Matematika II V. Funkce více promenných 36
![Page 112: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/112.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
Matematika II V. Funkce více promenných 37
![Page 113: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/113.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
Matematika II V. Funkce více promenných 37
![Page 114: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/114.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
Matematika II V. Funkce více promenných 37
![Page 115: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/115.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
Matematika II V. Funkce více promenných 37
![Page 116: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/116.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
Matematika II V. Funkce více promenných 37
![Page 117: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/117.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
Matematika II V. Funkce více promenných 37
![Page 118: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/118.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
Matematika II V. Funkce více promenných 37
![Page 119: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/119.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
Veta 18 (o tecné nadrovine)Necht’ G ⊂ Rn je otevrená množina, a ∈ G, f ∈ C1(G) a Tje funkce, jejímž grafem je tecná nadrovina ke grafufunkce f v bode [a, f (a)]. Pak
limx→a
f (x)− T (x)ρ(x ,a)
= 0.
Veta 19Necht’ G ⊂ Rn je otevrená neprázdná množina af ∈ C1(G). Pak f je spojitá na G.
Matematika II V. Funkce více promenných 38
![Page 120: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/120.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
Veta 18 (o tecné nadrovine)Necht’ G ⊂ Rn je otevrená množina, a ∈ G, f ∈ C1(G) a Tje funkce, jejímž grafem je tecná nadrovina ke grafufunkce f v bode [a, f (a)]. Pak
limx→a
f (x)− T (x)ρ(x ,a)
= 0.
Veta 19Necht’ G ⊂ Rn je otevrená neprázdná množina af ∈ C1(G). Pak f je spojitá na G.
Matematika II V. Funkce více promenných 38
![Page 121: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/121.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
Veta 20 (derivace složené funkce)Necht’ r , s ∈ N a necht’ G ⊂ Rs, H ⊂ Rr jsou otevrenémnožiny. Necht’ ϕ1, . . . , ϕr ∈ C1(G), f ∈ C1(H) a bod[ϕ1(x), . . . , ϕr (x)] ∈ H pro každé x ∈ G. Potom složenáfunkce F : G→ R daná predpisem
F (x) = f(ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕr (x)
), x ∈ G,
je trídy C1 na G. Necht’ a ∈ G a b = [ϕ1(a), . . . , ϕr (a)].Pak pro j ∈ {1, . . . , s} platí
∂F∂xj
(a) =r∑
i=1
∂f∂yi
(b)∂ϕi
∂xj(a).
Matematika II V. Funkce více promenných 39
![Page 122: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/122.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
G
H
2
1
b
b
a
Matematika II V. Funkce více promenných 40
![Page 123: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/123.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
G
H
2
1
b
b
a
Matematika II V. Funkce více promenných 40
![Page 124: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/124.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
G
H
2
1
b
b
a
Matematika II V. Funkce více promenných 40
![Page 125: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/125.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
G
H
ε
ε+
-
ε ε+-
2
1
2
1
b
b
b
b
2
1
b
b
a
Matematika II V. Funkce více promenných 40
![Page 126: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/126.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
G
H
ε
ε+
-
ε ε+-
2
1
2
1
b
b
b
b
2
1
b
b
a
Matematika II V. Funkce více promenných 40
![Page 127: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/127.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
G
H
ε
ε+
-
ε ε+-
2
1
2
1
b
b
b
b
2
1
b
b
a
1 1δ a- δ a+
Matematika II V. Funkce více promenných 40
![Page 128: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/128.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
G
H
ε
ε+
-
ε ε+-
2
1
2
1
b
b
b
b
2
1
b
b
a
1 1δ a- δ a+
Matematika II V. Funkce více promenných 40
![Page 129: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/129.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
G
H
ε
ε+
-
ε ε+-
2
1
2
1
b
b
b
b
2
1
b
b
a
1 2δ a- δ a+ 1 1δ a- δ a+
Matematika II V. Funkce více promenných 40
![Page 130: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/130.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
G
H
ε
ε+
-
ε ε+-
2
1
2
1
b
b
b
b
2
1
b
b
a δ a- δ a+
Matematika II V. Funkce více promenných 40
![Page 131: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/131.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
DefiniceNecht’ G ⊂ Rn je otevrená množina, a ∈ G a f ∈ C1(G).Gradientem funkce f v bode a rozumíme vektor
∇f (a) =[∂f∂x1
(a),∂f∂x2
(a), . . . ,∂f∂xn
(a)].
Matematika II V. Funkce více promenných 41
![Page 132: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/132.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
Matematika II V. Funkce více promenných 42
![Page 133: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/133.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
DefiniceJe-li G ⊂ Rn otevrená množina, a ∈ G, f ∈ C1(G) a∇f (a) = o, pak bod a nazýváme stacionárním (nekdy téžkritickým) bodem funkce f .
Matematika II V. Funkce více promenných 43
![Page 134: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/134.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
DefiniceNecht’ G ⊂ Rn je neprázdná otevrená množina,i , j ∈ {1, . . . ,n}, funkce f : G→ R má v každém bode Gvlastní i-tou parciální derivaci a a ∈ G. Parciální derivacifunkce x 7→ ∂f
∂xi(x) podle promenné xj v bode a znacíme
∂2f∂xi∂xj
(a) =∂(∂f∂xi
)∂xj
(a)
a nazýváme ji parciální derivací druhého rádu funkce f .Je-li i = j , pak používáme znacení ∂2f
∂x2i(a).
Analogicky se definují parciální derivace vyšších rádu.
Matematika II V. Funkce více promenných 44
![Page 135: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/135.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
DefiniceNecht’ G ⊂ Rn je neprázdná otevrená množina,i , j ∈ {1, . . . ,n}, funkce f : G→ R má v každém bode Gvlastní i-tou parciální derivaci a a ∈ G. Parciální derivacifunkce x 7→ ∂f
∂xi(x) podle promenné xj v bode a znacíme
∂2f∂xi∂xj
(a) =∂(∂f∂xi
)∂xj
(a)
a nazýváme ji parciální derivací druhého rádu funkce f .Je-li i = j , pak používáme znacení ∂2f
∂x2i(a).
Analogicky se definují parciální derivace vyšších rádu.
Matematika II V. Funkce více promenných 44
![Page 136: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/136.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
PoznámkaObecne nemusí platit ∂2f
∂xi∂xj(a) = ∂2f
∂xj∂xi(a).
Veta 21 (o zámennosti parciálních derivací)Necht’ i , j ∈ {1, . . . ,n} a funkce f má na okolí bodu a ∈ Rn
obe parciální derivace ∂2f∂xi∂xj
a ∂2f∂xj∂xi
, a tyto funkce jsou vbode a spojité. Pak platí
∂2f∂xi∂xj
(a) =∂2f∂xj∂xi
(a).
Matematika II V. Funkce více promenných 45
![Page 137: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/137.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
PoznámkaObecne nemusí platit ∂2f
∂xi∂xj(a) = ∂2f
∂xj∂xi(a).
Veta 21 (o zámennosti parciálních derivací)Necht’ i , j ∈ {1, . . . ,n} a funkce f má na okolí bodu a ∈ Rn
obe parciální derivace ∂2f∂xi∂xj
a ∂2f∂xj∂xi
, a tyto funkce jsou vbode a spojité. Pak platí
∂2f∂xi∂xj
(a) =∂2f∂xj∂xi
(a).
Matematika II V. Funkce více promenných 45
![Page 138: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/138.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
DefiniceNecht’ G ⊂ Rn je otevrená množina a k ∈ N. Rekneme, žefunkce f je trídy Ck na G, má-li f všechny parciálníderivace až do rádu k spojité na množine G. Množinuvšech takových funkcí znacíme Ck(G).
Rekneme, že funkce f je trídy C∞ na G, má-li f všechnyparciální derivace všech rádu spojité na množine G.Množinu všech funkcí trídy C∞ na G znacíme C∞(G).
Matematika II V. Funkce více promenných 46
![Page 139: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/139.jpg)
V.3. Parciální derivace a tecná nadrovina
DefiniceNecht’ G ⊂ Rn je otevrená množina a k ∈ N. Rekneme, žefunkce f je trídy Ck na G, má-li f všechny parciálníderivace až do rádu k spojité na množine G. Množinuvšech takových funkcí znacíme Ck(G).
Rekneme, že funkce f je trídy C∞ na G, má-li f všechnyparciální derivace všech rádu spojité na množine G.Množinu všech funkcí trídy C∞ na G znacíme C∞(G).
Matematika II V. Funkce více promenných 46
![Page 140: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/140.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
V.4. Veta o implicitních funkcích
Matematika II V. Funkce více promenných 47
![Page 141: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/141.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
V.4. Veta o implicitních funkcích
Veta 22 (o implicitní funkci)Necht’ G ⊂ Rn+1 je otevrená množina, F : G→ R, x ∈ Rn,y ∈ R, [x , y ] ∈ G a necht’ platí:
(i) F ∈ C1(G),(ii) F (x , y) = 0,
(iii)∂F∂y
(x , y) 6= 0.
Pak existují okolí U ⊂ Rn bodu x a okolí V ⊂ R bodu ytaková, že pro každé x ∈ U existuje práve jedno y ∈ Vs vlastností F (x , y) = 0. Oznacíme-li toto y jako ϕ(x), paktakto vzniklá funkce ϕ ∈ C1(U) a
∂ϕ
∂xj(x) = −
∂F∂xj
(x , ϕ(x))∂F∂y (x , ϕ(x))
pro x ∈ U, j ∈ {1, . . . ,n}.
Matematika II V. Funkce více promenných 48
![Page 142: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/142.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
Veta 22 (o implicitní funkci)Necht’ G ⊂ Rn+1 je otevrená množina, F : G→ R, x ∈ Rn,y ∈ R, [x , y ] ∈ G a necht’ platí:
(i) F ∈ C1(G),(ii) F (x , y) = 0,
(iii)∂F∂y
(x , y) 6= 0.
Pak existují okolí U ⊂ Rn bodu x a okolí V ⊂ R bodu ytaková, že pro každé x ∈ U existuje práve jedno y ∈ Vs vlastností F (x , y) = 0. Oznacíme-li toto y jako ϕ(x), paktakto vzniklá funkce ϕ ∈ C1(U) a
∂ϕ
∂xj(x) = −
∂F∂xj
(x , ϕ(x))∂F∂y (x , ϕ(x))
pro x ∈ U, j ∈ {1, . . . ,n}.
Matematika II V. Funkce více promenných 48
![Page 143: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/143.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
Veta 22 (o implicitní funkci)Necht’ G ⊂ Rn+1 je otevrená množina, F : G→ R, x ∈ Rn,y ∈ R, [x , y ] ∈ G a necht’ platí:
(i) F ∈ C1(G),
(ii) F (x , y) = 0,
(iii)∂F∂y
(x , y) 6= 0.
Pak existují okolí U ⊂ Rn bodu x a okolí V ⊂ R bodu ytaková, že pro každé x ∈ U existuje práve jedno y ∈ Vs vlastností F (x , y) = 0. Oznacíme-li toto y jako ϕ(x), paktakto vzniklá funkce ϕ ∈ C1(U) a
∂ϕ
∂xj(x) = −
∂F∂xj
(x , ϕ(x))∂F∂y (x , ϕ(x))
pro x ∈ U, j ∈ {1, . . . ,n}.
Matematika II V. Funkce více promenných 48
![Page 144: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/144.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
Veta 22 (o implicitní funkci)Necht’ G ⊂ Rn+1 je otevrená množina, F : G→ R, x ∈ Rn,y ∈ R, [x , y ] ∈ G a necht’ platí:
(i) F ∈ C1(G),(ii) F (x , y) = 0,
(iii)∂F∂y
(x , y) 6= 0.
Pak existují okolí U ⊂ Rn bodu x a okolí V ⊂ R bodu ytaková, že pro každé x ∈ U existuje práve jedno y ∈ Vs vlastností F (x , y) = 0. Oznacíme-li toto y jako ϕ(x), paktakto vzniklá funkce ϕ ∈ C1(U) a
∂ϕ
∂xj(x) = −
∂F∂xj
(x , ϕ(x))∂F∂y (x , ϕ(x))
pro x ∈ U, j ∈ {1, . . . ,n}.
Matematika II V. Funkce více promenných 48
![Page 145: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/145.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
Veta 22 (o implicitní funkci)Necht’ G ⊂ Rn+1 je otevrená množina, F : G→ R, x ∈ Rn,y ∈ R, [x , y ] ∈ G a necht’ platí:
(i) F ∈ C1(G),(ii) F (x , y) = 0,
(iii)∂F∂y
(x , y) 6= 0.
Pak existují okolí U ⊂ Rn bodu x a okolí V ⊂ R bodu ytaková, že pro každé x ∈ U existuje práve jedno y ∈ Vs vlastností F (x , y) = 0. Oznacíme-li toto y jako ϕ(x), paktakto vzniklá funkce ϕ ∈ C1(U) a
∂ϕ
∂xj(x) = −
∂F∂xj
(x , ϕ(x))∂F∂y (x , ϕ(x))
pro x ∈ U, j ∈ {1, . . . ,n}.
Matematika II V. Funkce více promenných 48
![Page 146: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/146.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
Veta 22 (o implicitní funkci)Necht’ G ⊂ Rn+1 je otevrená množina, F : G→ R, x ∈ Rn,y ∈ R, [x , y ] ∈ G a necht’ platí:
(i) F ∈ C1(G),(ii) F (x , y) = 0,
(iii)∂F∂y
(x , y) 6= 0.
Pak existují okolí U ⊂ Rn bodu x a okolí V ⊂ R bodu ytaková, že pro každé x ∈ U existuje práve jedno y ∈ Vs vlastností F (x , y) = 0.
Oznacíme-li toto y jako ϕ(x), paktakto vzniklá funkce ϕ ∈ C1(U) a
∂ϕ
∂xj(x) = −
∂F∂xj
(x , ϕ(x))∂F∂y (x , ϕ(x))
pro x ∈ U, j ∈ {1, . . . ,n}.
Matematika II V. Funkce více promenných 48
![Page 147: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/147.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
Veta 22 (o implicitní funkci)Necht’ G ⊂ Rn+1 je otevrená množina, F : G→ R, x ∈ Rn,y ∈ R, [x , y ] ∈ G a necht’ platí:
(i) F ∈ C1(G),(ii) F (x , y) = 0,
(iii)∂F∂y
(x , y) 6= 0.
Pak existují okolí U ⊂ Rn bodu x a okolí V ⊂ R bodu ytaková, že pro každé x ∈ U existuje práve jedno y ∈ Vs vlastností F (x , y) = 0. Oznacíme-li toto y jako ϕ(x), paktakto vzniklá funkce ϕ ∈ C1(U) a
∂ϕ
∂xj(x) = −
∂F∂xj
(x , ϕ(x))∂F∂y (x , ϕ(x))
pro x ∈ U, j ∈ {1, . . . ,n}.
Matematika II V. Funkce více promenných 48
![Page 148: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/148.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
Matematika II V. Funkce více promenných 49
![Page 149: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/149.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
Matematika II V. Funkce více promenných 49
![Page 150: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/150.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
Matematika II V. Funkce více promenných 50
![Page 151: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/151.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
-1
0
1
x
-1
0
1
y
-2
0
2
4
•[x, y]
Matematika II V. Funkce více promenných 51
![Page 152: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/152.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
-1
0
1 -1
0
1
-1
0
1
2
•[x, y]
Matematika II V. Funkce více promenných 51
![Page 153: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/153.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
-1
0
1 -1
0
1
-1
0
1
2
•[x, y]
•[x+ δ1, y + ξ1]
•[x− δ1, y + ξ1]
•[x+ δ1, y − ξ1]
•[x− δ1, y − ξ1]
Matematika II V. Funkce více promenných 51
![Page 154: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/154.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
-1
0
1 -1
0
1
-2
0
2
•[x, y]
Matematika II V. Funkce více promenných 51
![Page 155: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/155.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
-1
0
1
x
-1
0
1
y
-2
0
2
4
Matematika II V. Funkce více promenných 51
![Page 156: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/156.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
0
0
y
x
Matematika II V. Funkce více promenných 52
![Page 157: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/157.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
0
0
y
x
Matematika II V. Funkce více promenných 52
![Page 158: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/158.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
0
0
y
x
Matematika II V. Funkce více promenných 52
![Page 159: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/159.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
η - 0x η +
0x
0
0
y
x
η - 0y
η + 0y
Matematika II V. Funkce více promenných 52
![Page 160: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/160.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
η - 0x η +
0x
0
0
y
x
η - 0y
η + 0y
Matematika II V. Funkce více promenných 52
![Page 161: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/161.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
η - 0x η +
0x
0
0
y
x
η - 0y
η + 0y
Matematika II V. Funkce více promenných 52
![Page 162: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/162.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
η - 0x η +
0x
0
0
y
x
η - 0y
η + 0y
Matematika II V. Funkce více promenných 52
![Page 163: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/163.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
η - 0x η +
0x
0
0
y
x
η - 0y
η + 0y
Matematika II V. Funkce více promenných 52
![Page 164: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/164.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
η - 0x η +
0x
0
0
y
x
η - 0y
η + 0y
Matematika II V. Funkce více promenných 52
![Page 165: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/165.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
0
0
y
x
η - 0y
η + 0y
θ - 0x θ +
0x
Matematika II V. Funkce více promenných 52
![Page 166: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/166.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
0
0
y
x
η - 0y
η + 0y
θ - 0x θ +
0x
Matematika II V. Funkce více promenných 52
![Page 167: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/167.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
0
0
y
x
η - 0y
η + 0y
θ - 0x θ +
0x
Matematika II V. Funkce více promenných 52
![Page 168: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/168.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
0
0
y
x
η - 0y
η + 0y
θ - 0x θ +
0x
Matematika II V. Funkce více promenných 52
![Page 169: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/169.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
0
0
y
x
η - 0y
η + 0y
θ - 0x θ +
0x
Matematika II V. Funkce více promenných 52
![Page 170: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/170.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
0
0
y
x
η - 0y
η + 0y
θ - 0x θ +
0x
Matematika II V. Funkce více promenných 52
![Page 171: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/171.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
0
0
y
x
η - 0y
η + 0y
θ - 0x θ +
0x
Matematika II V. Funkce více promenných 52
![Page 172: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/172.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
0
0
y
x
η - 0y
η + 0y
θ - 0x θ +
0x
Matematika II V. Funkce více promenných 52
![Page 173: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/173.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
0
0
y
x
η - 0y
η + 0y
θ - 0x θ +
0x
Matematika II V. Funkce více promenných 52
![Page 174: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/174.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
Veta 23 (o implicitních funkcích)Necht’ m,n ∈ N, k ∈ N ∪ {∞}, G ⊂ Rn+m je otevrenámnožina, Fj : G→ R pro j = 1, . . . ,m, x ∈ Rn, y ∈ Rm,[x , y ] = [x1, . . . , xn, y1, . . . , ym] ∈ G a necht’ platí:
(i) Fj ∈ Ck(G) pro všechna j ∈ {1, . . . ,m},(ii) Fj(x , y) = 0 pro všechna j ∈ {1, . . . ,m},
(iii)
∣∣∣∣∣∣∣∂F1∂y1
(x , y) . . . ∂F1∂ym
(x , y)...
. . ....
∂Fm∂y1
(x , y) . . . ∂Fm∂ym
(x , y)
∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0.
Pak existují okolí U ⊂ Rn bodu x a okolí V ⊂ Rm bodu ytaková, že pro každé x ∈ U existuje práve jedno y ∈ Vs vlastností Fj(x ,y) = 0 pro každé j ∈ {1, . . . ,m}.Oznacíme-li jednotlivé souradnice tohoto y jako ϕj(x),j = 1, . . . ,m, pak takto vzniklé funkce ϕj ∈ Ck(U).
Matematika II V. Funkce více promenných 53
![Page 175: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/175.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
Veta 23 (o implicitních funkcích)Necht’ m,n ∈ N, k ∈ N ∪ {∞}, G ⊂ Rn+m je otevrenámnožina, Fj : G→ R pro j = 1, . . . ,m, x ∈ Rn, y ∈ Rm,[x , y ] = [x1, . . . , xn, y1, . . . , ym] ∈ G a necht’ platí:
(i) Fj ∈ Ck(G) pro všechna j ∈ {1, . . . ,m},
(ii) Fj(x , y) = 0 pro všechna j ∈ {1, . . . ,m},
(iii)
∣∣∣∣∣∣∣∂F1∂y1
(x , y) . . . ∂F1∂ym
(x , y)...
. . ....
∂Fm∂y1
(x , y) . . . ∂Fm∂ym
(x , y)
∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0.
Pak existují okolí U ⊂ Rn bodu x a okolí V ⊂ Rm bodu ytaková, že pro každé x ∈ U existuje práve jedno y ∈ Vs vlastností Fj(x ,y) = 0 pro každé j ∈ {1, . . . ,m}.Oznacíme-li jednotlivé souradnice tohoto y jako ϕj(x),j = 1, . . . ,m, pak takto vzniklé funkce ϕj ∈ Ck(U).
Matematika II V. Funkce více promenných 53
![Page 176: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/176.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
Veta 23 (o implicitních funkcích)Necht’ m,n ∈ N, k ∈ N ∪ {∞}, G ⊂ Rn+m je otevrenámnožina, Fj : G→ R pro j = 1, . . . ,m, x ∈ Rn, y ∈ Rm,[x , y ] = [x1, . . . , xn, y1, . . . , ym] ∈ G a necht’ platí:
(i) Fj ∈ Ck(G) pro všechna j ∈ {1, . . . ,m},(ii) Fj(x , y) = 0 pro všechna j ∈ {1, . . . ,m},
(iii)
∣∣∣∣∣∣∣∂F1∂y1
(x , y) . . . ∂F1∂ym
(x , y)...
. . ....
∂Fm∂y1
(x , y) . . . ∂Fm∂ym
(x , y)
∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0.
Pak existují okolí U ⊂ Rn bodu x a okolí V ⊂ Rm bodu ytaková, že pro každé x ∈ U existuje práve jedno y ∈ Vs vlastností Fj(x ,y) = 0 pro každé j ∈ {1, . . . ,m}.Oznacíme-li jednotlivé souradnice tohoto y jako ϕj(x),j = 1, . . . ,m, pak takto vzniklé funkce ϕj ∈ Ck(U).
Matematika II V. Funkce více promenných 53
![Page 177: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/177.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
Veta 23 (o implicitních funkcích)Necht’ m,n ∈ N, k ∈ N ∪ {∞}, G ⊂ Rn+m je otevrenámnožina, Fj : G→ R pro j = 1, . . . ,m, x ∈ Rn, y ∈ Rm,[x , y ] = [x1, . . . , xn, y1, . . . , ym] ∈ G a necht’ platí:
(i) Fj ∈ Ck(G) pro všechna j ∈ {1, . . . ,m},(ii) Fj(x , y) = 0 pro všechna j ∈ {1, . . . ,m},
(iii)
∣∣∣∣∣∣∣∂F1∂y1
(x , y) . . . ∂F1∂ym
(x , y)...
. . ....
∂Fm∂y1
(x , y) . . . ∂Fm∂ym
(x , y)
∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0.
Pak existují okolí U ⊂ Rn bodu x a okolí V ⊂ Rm bodu ytaková, že pro každé x ∈ U existuje práve jedno y ∈ Vs vlastností Fj(x ,y) = 0 pro každé j ∈ {1, . . . ,m}.Oznacíme-li jednotlivé souradnice tohoto y jako ϕj(x),j = 1, . . . ,m, pak takto vzniklé funkce ϕj ∈ Ck(U).
Matematika II V. Funkce více promenných 53
![Page 178: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/178.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
Veta 23 (o implicitních funkcích)Necht’ m,n ∈ N, k ∈ N ∪ {∞}, G ⊂ Rn+m je otevrenámnožina, Fj : G→ R pro j = 1, . . . ,m, x ∈ Rn, y ∈ Rm,[x , y ] = [x1, . . . , xn, y1, . . . , ym] ∈ G a necht’ platí:
(i) Fj ∈ Ck(G) pro všechna j ∈ {1, . . . ,m},(ii) Fj(x , y) = 0 pro všechna j ∈ {1, . . . ,m},
(iii)
∣∣∣∣∣∣∣∂F1∂y1
(x , y) . . . ∂F1∂ym
(x , y)...
. . ....
∂Fm∂y1
(x , y) . . . ∂Fm∂ym
(x , y)
∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0.
Pak existují okolí U ⊂ Rn bodu x a okolí V ⊂ Rm bodu ytaková, že pro každé x ∈ U existuje práve jedno y ∈ Vs vlastností Fj(x ,y) = 0 pro každé j ∈ {1, . . . ,m}.
Oznacíme-li jednotlivé souradnice tohoto y jako ϕj(x),j = 1, . . . ,m, pak takto vzniklé funkce ϕj ∈ Ck(U).
Matematika II V. Funkce více promenných 53
![Page 179: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/179.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
Veta 23 (o implicitních funkcích)Necht’ m,n ∈ N, k ∈ N ∪ {∞}, G ⊂ Rn+m je otevrenámnožina, Fj : G→ R pro j = 1, . . . ,m, x ∈ Rn, y ∈ Rm,[x , y ] = [x1, . . . , xn, y1, . . . , ym] ∈ G a necht’ platí:
(i) Fj ∈ Ck(G) pro všechna j ∈ {1, . . . ,m},(ii) Fj(x , y) = 0 pro všechna j ∈ {1, . . . ,m},
(iii)
∣∣∣∣∣∣∣∂F1∂y1
(x , y) . . . ∂F1∂ym
(x , y)...
. . ....
∂Fm∂y1
(x , y) . . . ∂Fm∂ym
(x , y)
∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0.
Pak existují okolí U ⊂ Rn bodu x a okolí V ⊂ Rm bodu ytaková, že pro každé x ∈ U existuje práve jedno y ∈ Vs vlastností Fj(x ,y) = 0 pro každé j ∈ {1, . . . ,m}.Oznacíme-li jednotlivé souradnice tohoto y jako ϕj(x),j = 1, . . . ,m, pak takto vzniklé funkce ϕj ∈ Ck(U).
Matematika II V. Funkce více promenných 53
![Page 180: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/180.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
PoznámkaSymbol v podmínce (iii) Vety 23 se nazývá determinant.Definován bude pozdeji.
Pro m = 1 platí∣∣a∣∣ = a, a ∈ R, tedy podmínka (iii) Vety 23
prechází v podmínku (iii) Vety 22.
Pro m = 2 platí∣∣∣∣a bc d
∣∣∣∣ = ad − bc, a,b, c,d ∈ R.
Matematika II V. Funkce více promenných 54
![Page 181: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/181.jpg)
V.4. Veta o implicitních funkcích
PoznámkaSymbol v podmínce (iii) Vety 23 se nazývá determinant.Definován bude pozdeji.Pro m = 1 platí
∣∣a∣∣ = a, a ∈ R, tedy podmínka (iii) Vety 23prechází v podmínku (iii) Vety 22.
Pro m = 2 platí∣∣∣∣a bc d
∣∣∣∣ = ad − bc, a,b, c,d ∈ R.
Matematika II V. Funkce více promenných 54
![Page 182: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/182.jpg)
V.5. Lagrangeova veta o multiplikátorech
V.5. Lagrangeova veta o multiplikátorech
Matematika II V. Funkce více promenných 55
![Page 183: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/183.jpg)
V.5. Lagrangeova veta o multiplikátorech
V.5. Lagrangeova veta o multiplikátorech
Veta 24 (Lagrangeova veta o multiplikátoru)Necht’ G ⊂ R2 je otevrená množina, f ,g ∈ C1(G),M = {[x , y ] ∈ G; g(x , y) = 0} a [x , y ] ∈ M je bodemlokálního extrému funkce f vzhledem k množine M. Potomje splnena alespon jedna z následujících podmínek:
(I) ∇g(x , y) = o,(II) existuje reálné císlo λ ∈ R splnující
∂f∂x
(x , y) + λ∂g∂x
(x , y) = 0,
∂f∂y
(x , y) + λ∂g∂y
(x , y) = 0.
Matematika II V. Funkce více promenných 56
![Page 184: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/184.jpg)
V.5. Lagrangeova veta o multiplikátorech
V.5. Lagrangeova veta o multiplikátorech
Veta 24 (Lagrangeova veta o multiplikátoru)Necht’ G ⊂ R2 je otevrená množina, f ,g ∈ C1(G),M = {[x , y ] ∈ G; g(x , y) = 0} a [x , y ] ∈ M je bodemlokálního extrému funkce f vzhledem k množine M. Potomje splnena alespon jedna z následujících podmínek:
(I) ∇g(x , y) = o,(II) existuje reálné císlo λ ∈ R splnující
∂f∂x
(x , y) + λ∂g∂x
(x , y) = 0,
∂f∂y
(x , y) + λ∂g∂y
(x , y) = 0.
Matematika II V. Funkce více promenných 56
![Page 185: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/185.jpg)
V.5. Lagrangeova veta o multiplikátorech
V.5. Lagrangeova veta o multiplikátorech
Veta 24 (Lagrangeova veta o multiplikátoru)Necht’ G ⊂ R2 je otevrená množina, f ,g ∈ C1(G),M = {[x , y ] ∈ G; g(x , y) = 0} a [x , y ] ∈ M je bodemlokálního extrému funkce f vzhledem k množine M. Potomje splnena alespon jedna z následujících podmínek:
(I) ∇g(x , y) = o,
(II) existuje reálné císlo λ ∈ R splnující
∂f∂x
(x , y) + λ∂g∂x
(x , y) = 0,
∂f∂y
(x , y) + λ∂g∂y
(x , y) = 0.
Matematika II V. Funkce více promenných 56
![Page 186: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/186.jpg)
V.5. Lagrangeova veta o multiplikátorech
V.5. Lagrangeova veta o multiplikátorech
Veta 24 (Lagrangeova veta o multiplikátoru)Necht’ G ⊂ R2 je otevrená množina, f ,g ∈ C1(G),M = {[x , y ] ∈ G; g(x , y) = 0} a [x , y ] ∈ M je bodemlokálního extrému funkce f vzhledem k množine M. Potomje splnena alespon jedna z následujících podmínek:
(I) ∇g(x , y) = o,(II) existuje reálné císlo λ ∈ R splnující
∂f∂x
(x , y) + λ∂g∂x
(x , y) = 0,
∂f∂y
(x , y) + λ∂g∂y
(x , y) = 0.
Matematika II V. Funkce více promenných 56
![Page 187: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/187.jpg)
V.5. Lagrangeova veta o multiplikátorech
Matematika II V. Funkce více promenných 57
![Page 188: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/188.jpg)
V.5. Lagrangeova veta o multiplikátorech
Matematika II V. Funkce více promenných 58
![Page 189: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/189.jpg)
V.5. Lagrangeova veta o multiplikátorech
Matematika II V. Funkce více promenných 58
![Page 190: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/190.jpg)
V.5. Lagrangeova veta o multiplikátorech
Veta 25 (Lagrangeova veta o multiplikátorech)Necht’ m,n ∈ N, m < n, G ⊂ Rn je otevrená množina,f ,g1, . . . ,gm ∈ C1(G),
M = {z ∈ G; g1(z) = 0,g2(z) = 0, . . . ,gm(z) = 0}
a bod z ∈ M je bodem lokálního extrému funkce fvzhledem k množine M. Potom je splnena alespon jednaz následujících podmínek:
(I) vektory∇g1(z),∇g2(z), . . . ,∇gm(z)
jsou lineárne závislé,(II) existují reálná císla λ1, λ2, . . . , λm ∈ R splnující
∇f (z) + λ1∇g1(z) + λ2∇g2(z) + · · ·+ λm∇gm(z) = o.
Matematika II V. Funkce více promenných 59
![Page 191: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/191.jpg)
V.5. Lagrangeova veta o multiplikátorech
Veta 25 (Lagrangeova veta o multiplikátorech)Necht’ m,n ∈ N, m < n, G ⊂ Rn je otevrená množina,f ,g1, . . . ,gm ∈ C1(G),
M = {z ∈ G; g1(z) = 0,g2(z) = 0, . . . ,gm(z) = 0}
a bod z ∈ M je bodem lokálního extrému funkce fvzhledem k množine M. Potom je splnena alespon jednaz následujících podmínek:
(I) vektory∇g1(z),∇g2(z), . . . ,∇gm(z)
jsou lineárne závislé,
(II) existují reálná císla λ1, λ2, . . . , λm ∈ R splnující
∇f (z) + λ1∇g1(z) + λ2∇g2(z) + · · ·+ λm∇gm(z) = o.
Matematika II V. Funkce více promenných 59
![Page 192: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/192.jpg)
V.5. Lagrangeova veta o multiplikátorech
Veta 25 (Lagrangeova veta o multiplikátorech)Necht’ m,n ∈ N, m < n, G ⊂ Rn je otevrená množina,f ,g1, . . . ,gm ∈ C1(G),
M = {z ∈ G; g1(z) = 0,g2(z) = 0, . . . ,gm(z) = 0}
a bod z ∈ M je bodem lokálního extrému funkce fvzhledem k množine M. Potom je splnena alespon jednaz následujících podmínek:
(I) vektory∇g1(z),∇g2(z), . . . ,∇gm(z)
jsou lineárne závislé,(II) existují reálná císla λ1, λ2, . . . , λm ∈ R splnující
∇f (z) + λ1∇g1(z) + λ2∇g2(z) + · · ·+ λm∇gm(z) = o.
Matematika II V. Funkce více promenných 59
![Page 193: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/193.jpg)
V.5. Lagrangeova veta o multiplikátorech
PoznámkaPojem lineární závislosti vektoru bude zavedenpozdeji.
Pro m = 1 platí, že vektor je lineárne závislý, právekdyž je nulový.Pro m = 2 platí, že dva vektory jsou lineárne závislé,práve když jeden z nich je násobkem druhého.Císla λ1, . . . , λm se nazývají Lagrangeovymultiplikátory.
Matematika II V. Funkce více promenných 60
![Page 194: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/194.jpg)
V.5. Lagrangeova veta o multiplikátorech
PoznámkaPojem lineární závislosti vektoru bude zavedenpozdeji.Pro m = 1 platí, že vektor je lineárne závislý, právekdyž je nulový.Pro m = 2 platí, že dva vektory jsou lineárne závislé,práve když jeden z nich je násobkem druhého.
Císla λ1, . . . , λm se nazývají Lagrangeovymultiplikátory.
Matematika II V. Funkce více promenných 60
![Page 195: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/195.jpg)
V.5. Lagrangeova veta o multiplikátorech
PoznámkaPojem lineární závislosti vektoru bude zavedenpozdeji.Pro m = 1 platí, že vektor je lineárne závislý, právekdyž je nulový.Pro m = 2 platí, že dva vektory jsou lineárne závislé,práve když jeden z nich je násobkem druhého.Císla λ1, . . . , λm se nazývají Lagrangeovymultiplikátory.
Matematika II V. Funkce více promenných 60
![Page 196: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/196.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Matematika II V. Funkce více promenných 61
![Page 197: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/197.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
IV.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Matematika II V. Funkce více promenných 62
![Page 198: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/198.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Matematika II V. Funkce více promenných 62
![Page 199: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/199.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Matematika II V. Funkce více promenných 62
![Page 200: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/200.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Matematika II V. Funkce více promenných 62
![Page 201: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/201.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Matematika II V. Funkce více promenných 62
![Page 202: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/202.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Matematika II V. Funkce více promenných 62
![Page 203: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/203.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Matematika II V. Funkce více promenných 62
![Page 204: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/204.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Matematika II V. Funkce více promenných 62
![Page 205: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/205.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Matematika II V. Funkce více promenných 62
![Page 206: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/206.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Matematika II V. Funkce více promenných 62
![Page 207: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/207.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
b
a
Matematika II V. Funkce více promenných 63
![Page 208: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/208.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
b
a
Matematika II V. Funkce více promenných 63
![Page 209: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/209.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
b
a
a = 1 · a + 0 · b = a + 0 · (b − a)
Matematika II V. Funkce více promenných 63
![Page 210: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/210.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
b
a
b = 0 · a + 1 · b = a + 1 · (b − a)
Matematika II V. Funkce více promenných 63
![Page 211: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/211.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
b
a
34· a +
14· b = a +
14· (b − a)
Matematika II V. Funkce více promenných 63
![Page 212: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/212.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
b
a
12· a +
12· b = a +
12· (b − a)
Matematika II V. Funkce více promenných 63
![Page 213: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/213.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
b
a
14· a +
34· b = a +
34· (b − a)
Matematika II V. Funkce více promenných 63
![Page 214: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/214.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
b
a
t · a + (1− t) · b = a + (1− t) · (b − a)
Matematika II V. Funkce více promenných 63
![Page 215: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/215.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
DefiniceNecht’ M ⊂ Rn. Rekneme, že M je konvexní množina,jestliže platí:
∀x ,y ∈ M ∀t ∈ 〈0,1〉 : tx + (1− t)y ∈ M.
Matematika II V. Funkce více promenných 64
![Page 216: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/216.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
DefiniceNecht’ M ⊂ Rn je konvexní množina a funkce f jedefinována na M. Rekneme, že funkce f je
konkávní na M, jestliže
∀a,b ∈ M ∀t ∈ 〈0,1〉 : f (ta+(1−t)b) ≥ tf (a)+(1−t)f (b),
ryze konkávní na M, jestliže
∀a,b ∈ M,a 6= b ∀t ∈ (0,1) :f (ta + (1− t)b) > tf (a) + (1− t)f (b).
PoznámkaObrácením nerovností obdržíme definici konvexní a ryzekonvexní funkce.
Matematika II V. Funkce více promenných 65
![Page 217: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/217.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
DefiniceNecht’ M ⊂ Rn je konvexní množina a funkce f jedefinována na M. Rekneme, že funkce f je
konkávní na M, jestliže
∀a,b ∈ M ∀t ∈ 〈0,1〉 : f (ta+(1−t)b) ≥ tf (a)+(1−t)f (b),
ryze konkávní na M, jestliže
∀a,b ∈ M,a 6= b ∀t ∈ (0,1) :f (ta + (1− t)b) > tf (a) + (1− t)f (b).
PoznámkaObrácením nerovností obdržíme definici konvexní a ryzekonvexní funkce.
Matematika II V. Funkce více promenných 65
![Page 218: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/218.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
DefiniceNecht’ M ⊂ Rn je konvexní množina a funkce f jedefinována na M. Rekneme, že funkce f je
konkávní na M, jestliže
∀a,b ∈ M ∀t ∈ 〈0,1〉 : f (ta+(1−t)b) ≥ tf (a)+(1−t)f (b),
ryze konkávní na M, jestliže
∀a,b ∈ M,a 6= b ∀t ∈ (0,1) :f (ta + (1− t)b) > tf (a) + (1− t)f (b).
PoznámkaObrácením nerovností obdržíme definici konvexní a ryzekonvexní funkce.
Matematika II V. Funkce více promenných 65
![Page 219: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/219.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
PoznámkaFunkce f je konvexní (ryze konvexní), práve kdyžfunkce −f je konkávní (ryze konkávní).Vety v tomto oddíle jsou formulovány pro konkávní a ryzekonkávní funkce, jejich zrejmé analogie platí i prokonvexní a ryze konvexní funkce.
Poznámka
Pokud je funkce f je ryze konkávní na M, pak je ikonkávní na M.Necht’ funkce f je konkávní na M. Pak f je ryzekonkávní na M práve když graf f „neobsahujeúsecku“, tj.
¬(∃a,b ∈ M,a 6= b, ∀t ∈ 〈0,1〉 :
f (ta + (1− t)b) = tf (a) + (1− t)f (b))
Matematika II V. Funkce více promenných 66
![Page 220: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/220.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
PoznámkaFunkce f je konvexní (ryze konvexní), práve kdyžfunkce −f je konkávní (ryze konkávní).Vety v tomto oddíle jsou formulovány pro konkávní a ryzekonkávní funkce, jejich zrejmé analogie platí i prokonvexní a ryze konvexní funkce.
PoznámkaPokud je funkce f je ryze konkávní na M, pak je ikonkávní na M.
Necht’ funkce f je konkávní na M. Pak f je ryzekonkávní na M práve když graf f „neobsahujeúsecku“, tj.
¬(∃a,b ∈ M,a 6= b, ∀t ∈ 〈0,1〉 :
f (ta + (1− t)b) = tf (a) + (1− t)f (b))
Matematika II V. Funkce více promenných 66
![Page 221: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/221.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
PoznámkaFunkce f je konvexní (ryze konvexní), práve kdyžfunkce −f je konkávní (ryze konkávní).Vety v tomto oddíle jsou formulovány pro konkávní a ryzekonkávní funkce, jejich zrejmé analogie platí i prokonvexní a ryze konvexní funkce.
PoznámkaPokud je funkce f je ryze konkávní na M, pak je ikonkávní na M.Necht’ funkce f je konkávní na M. Pak f je ryzekonkávní na M práve když graf f „neobsahujeúsecku“, tj.
¬(∃a,b ∈ M,a 6= b, ∀t ∈ 〈0,1〉 :
f (ta + (1− t)b) = tf (a) + (1− t)f (b))
Matematika II V. Funkce více promenných 66
![Page 222: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/222.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Veta 26Necht’ funkce f je konkávní na otevrené konvexnímnožine G ⊂ Rn. Pak f je spojitá na G.
Veta 27Necht’ funkce f je konkávní na konvexní množine M ⊂ Rn.Pak pro každé α ∈ R je množina Qα = {x ∈ M; f (x) ≥ α}konvexní.
Matematika II V. Funkce více promenných 67
![Page 223: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/223.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Veta 26Necht’ funkce f je konkávní na otevrené konvexnímnožine G ⊂ Rn. Pak f je spojitá na G.
Veta 27Necht’ funkce f je konkávní na konvexní množine M ⊂ Rn.Pak pro každé α ∈ R je množina Qα = {x ∈ M; f (x) ≥ α}konvexní.
Matematika II V. Funkce více promenných 67
![Page 224: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/224.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Veta 28 (charakterizace konkávních funkcítrídy C1)Necht’ G ⊂ Rn je konvexní otevrená množina a f ∈ C1(G).Pak funkce f je konkávní na G práve tehdy, když platí
∀x ,y ∈ G : f (y) ≤ f (x) +n∑
i=1
∂f∂xi
(x)(yi − xi).
Matematika II V. Funkce více promenných 68
![Page 225: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/225.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Matematika II V. Funkce více promenných 69
![Page 226: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/226.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Matematika II V. Funkce více promenných 69
![Page 227: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/227.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Matematika II V. Funkce více promenných 69
![Page 228: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/228.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Matematika II V. Funkce více promenných 69
![Page 229: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/229.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Matematika II V. Funkce více promenných 69
![Page 230: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/230.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Dusledek 29Necht’ G ⊂ Rn je konvexní otevrená množina a f ∈ C1(G)je konkávní na G. Je-li bod a ∈ G stacionárním bodemfunkce f (tj. ∇f (a) = o), pak je bod a bodem maximafunkce f na množine G.
Matematika II V. Funkce více promenných 70
![Page 231: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/231.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Veta 30 (charakterizace ryze konkávních funkcítrídy C1)Necht’ G ⊂ Rn je konvexní otevrená množina a f ∈ C1(G).Pak funkce f je ryze konkávní na G práve tehdy, když platí
∀x ,y ∈ G,x 6= y : f (y) < f (x) +n∑
i=1
∂f∂xi
(x)(yi − xi).
Matematika II V. Funkce více promenných 71
![Page 232: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/232.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
DefiniceNecht’ M ⊂ Rn je konvexní množina a funkce f jedefinována na M. Rekneme, že funkce f je
kvazikonkávní na M, jestliže
∀a,b ∈ M ∀t ∈ 〈0,1〉 : f (ta+(1−t)b) ≥ min{f (a), f (b)},
ryze kvazikonkávní na M, jestliže
∀a,b ∈ M,a 6= b, ∀t ∈ (0,1) :f (ta + (1− t)b) > min{f (a), f (b)}.
PoznámkaObrácením nerovností a zámenou minima za maximumobdržíme definici kvazikonvexní a ryze kvazikonvexnífunkce.
Matematika II V. Funkce více promenných 72
![Page 233: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/233.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
DefiniceNecht’ M ⊂ Rn je konvexní množina a funkce f jedefinována na M. Rekneme, že funkce f je
kvazikonkávní na M, jestliže
∀a,b ∈ M ∀t ∈ 〈0,1〉 : f (ta+(1−t)b) ≥ min{f (a), f (b)},
ryze kvazikonkávní na M, jestliže
∀a,b ∈ M,a 6= b, ∀t ∈ (0,1) :f (ta + (1− t)b) > min{f (a), f (b)}.
PoznámkaObrácením nerovností a zámenou minima za maximumobdržíme definici kvazikonvexní a ryze kvazikonvexnífunkce.
Matematika II V. Funkce více promenných 72
![Page 234: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/234.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
DefiniceNecht’ M ⊂ Rn je konvexní množina a funkce f jedefinována na M. Rekneme, že funkce f je
kvazikonkávní na M, jestliže
∀a,b ∈ M ∀t ∈ 〈0,1〉 : f (ta+(1−t)b) ≥ min{f (a), f (b)},
ryze kvazikonkávní na M, jestliže
∀a,b ∈ M,a 6= b, ∀t ∈ (0,1) :f (ta + (1− t)b) > min{f (a), f (b)}.
PoznámkaObrácením nerovností a zámenou minima za maximumobdržíme definici kvazikonvexní a ryze kvazikonvexnífunkce.
Matematika II V. Funkce více promenných 72
![Page 235: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/235.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Matematika II V. Funkce více promenných 73
![Page 236: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/236.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Matematika II V. Funkce více promenných 73
![Page 237: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/237.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Matematika II V. Funkce více promenných 73
![Page 238: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/238.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Matematika II V. Funkce více promenných 73
![Page 239: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/239.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Matematika II V. Funkce více promenných 73
![Page 240: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/240.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Matematika II V. Funkce více promenných 73
![Page 241: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/241.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Matematika II V. Funkce více promenných 73
![Page 242: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/242.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Matematika II V. Funkce více promenných 74
![Page 243: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/243.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
PoznámkaFunkce f je kvazikonvexní (ryze kvazikonvexní), právekdyž funkce −f je kvazikonkávní (ryze kvazikonkávní).Vety v tomto oddíle jsou formulovány pro kvazikonkávní aryze kvazikonkávní funkce, jejich zrejmé analogie platí ipro kvazikonvexní a ryze kvazikonvexní funkce.
Poznámka
Pokud je funkce f je ryze kvazikonkávní na M, pak jei kvazikonkávní na M.Necht’ funkce f je kvazikonkávní na M. Pak f je ryzekvazikonkávní na M práve když graf f „neobsahujevodorovnou úsecku“, tj.
¬(∃a,b ∈ M,a 6= b, ∀t ∈ 〈0,1〉 : f (ta+(1−t)b) = f (a)
).
Matematika II V. Funkce více promenných 75
![Page 244: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/244.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
PoznámkaFunkce f je kvazikonvexní (ryze kvazikonvexní), právekdyž funkce −f je kvazikonkávní (ryze kvazikonkávní).Vety v tomto oddíle jsou formulovány pro kvazikonkávní aryze kvazikonkávní funkce, jejich zrejmé analogie platí ipro kvazikonvexní a ryze kvazikonvexní funkce.
PoznámkaPokud je funkce f je ryze kvazikonkávní na M, pak jei kvazikonkávní na M.
Necht’ funkce f je kvazikonkávní na M. Pak f je ryzekvazikonkávní na M práve když graf f „neobsahujevodorovnou úsecku“, tj.
¬(∃a,b ∈ M,a 6= b, ∀t ∈ 〈0,1〉 : f (ta+(1−t)b) = f (a)
).
Matematika II V. Funkce více promenných 75
![Page 245: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/245.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
PoznámkaFunkce f je kvazikonvexní (ryze kvazikonvexní), právekdyž funkce −f je kvazikonkávní (ryze kvazikonkávní).Vety v tomto oddíle jsou formulovány pro kvazikonkávní aryze kvazikonkávní funkce, jejich zrejmé analogie platí ipro kvazikonvexní a ryze kvazikonvexní funkce.
PoznámkaPokud je funkce f je ryze kvazikonkávní na M, pak jei kvazikonkávní na M.Necht’ funkce f je kvazikonkávní na M. Pak f je ryzekvazikonkávní na M práve když graf f „neobsahujevodorovnou úsecku“, tj.
¬(∃a,b ∈ M,a 6= b, ∀t ∈ 〈0,1〉 : f (ta+(1−t)b) = f (a)
).
Matematika II V. Funkce více promenných 75
![Page 246: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/246.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
PoznámkaNecht’ M ⊂ Rn je konvexní množina a f je funkcedefinovaná na M. Pak platí:
Je-li f konkávní na M, pak je i kvazikonkávní na M.Je-li f ryze konkávní na M, pak je i ryzekvazikonkávní na M.
Matematika II V. Funkce více promenných 76
![Page 247: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/247.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
PoznámkaNecht’ M ⊂ Rn je konvexní množina a f je funkcedefinovaná na M. Pak platí:
Je-li f konkávní na M, pak je i kvazikonkávní na M.
Je-li f ryze konkávní na M, pak je i ryzekvazikonkávní na M.
Matematika II V. Funkce více promenných 76
![Page 248: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/248.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
PoznámkaNecht’ M ⊂ Rn je konvexní množina a f je funkcedefinovaná na M. Pak platí:
Je-li f konkávní na M, pak je i kvazikonkávní na M.Je-li f ryze konkávní na M, pak je i ryzekvazikonkávní na M.
Matematika II V. Funkce více promenných 76
![Page 249: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/249.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Veta 31 (o jednoznacnosti extrému)Necht’ f je ryze kvazikonkávní funkce na konvexnímnožine M ⊂ Rn. Pokud f nabývá na M svého maxima,pak ho nabývá práve v jednom bode.
DusledekNecht’ M ⊂ Rn je konvexní, omezená, uzavrená aneprázdná množina a f je spojitá a ryze kvazikonkávnífunkce na M. Pak f nabývá maxima na M práve v jednombode.
Matematika II V. Funkce více promenných 77
![Page 250: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/250.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Veta 31 (o jednoznacnosti extrému)Necht’ f je ryze kvazikonkávní funkce na konvexnímnožine M ⊂ Rn. Pokud f nabývá na M svého maxima,pak ho nabývá práve v jednom bode.
DusledekNecht’ M ⊂ Rn je konvexní, omezená, uzavrená aneprázdná množina a f je spojitá a ryze kvazikonkávnífunkce na M. Pak f nabývá maxima na M práve v jednombode.
Matematika II V. Funkce více promenných 77
![Page 251: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/251.jpg)
V.6. Funkce konkávní a kvazikonkávní
Veta 32 (charakterizace kvazikonkávních funkcípomocí úrovnových množin)Necht’ M ⊂ Rn je konvexní množina a f je funkcedefinovaná na M. Funkce f je kvazikonkávní na M právetehdy, když pro každé α ∈ R je množinaQα = {x ∈ M; f (x) ≥ α} konvexní.
Matematika II V. Funkce více promenných 78
![Page 252: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/252.jpg)
VI. Maticový pocet
Matematika II VI. Maticový pocet 79
![Page 253: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/253.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
VI.1. Základní operace s maticemi
Matematika II VI. Maticový pocet 80
![Page 254: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/254.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
VI.1. Základní operace s maticemi
DefiniceTabulku
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
.... . .
...am1 am2 . . . amn
,
kde aij ∈ R, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . ,n, nazýváme maticítypu m × n. Zkrácene zapisujeme (aij)i=1..m
j=1..n.
Matici typu n × n nazýváme ctvercovou maticí rádu n.Množinu všech matic typu m × n znacíme M(m × n).
Matematika II VI. Maticový pocet 81
![Page 255: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/255.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
VI.1. Základní operace s maticemi
DefiniceTabulku
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
.... . .
...am1 am2 . . . amn
,
kde aij ∈ R, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . ,n, nazýváme maticítypu m × n. Zkrácene zapisujeme (aij)i=1..m
j=1..n.
Matici typu n × n nazýváme ctvercovou maticí rádu n.Množinu všech matic typu m × n znacíme M(m × n).
Matematika II VI. Maticový pocet 81
![Page 256: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/256.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
VI.1. Základní operace s maticemi
DefiniceTabulku
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
.... . .
...am1 am2 . . . amn
,
kde aij ∈ R, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . ,n, nazýváme maticítypu m × n. Zkrácene zapisujeme (aij)i=1..m
j=1..n.
Matici typu n × n nazýváme ctvercovou maticí rádu n.
Množinu všech matic typu m × n znacíme M(m × n).
Matematika II VI. Maticový pocet 81
![Page 257: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/257.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
VI.1. Základní operace s maticemi
DefiniceTabulku
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
.... . .
...am1 am2 . . . amn
,
kde aij ∈ R, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . ,n, nazýváme maticítypu m × n. Zkrácene zapisujeme (aij)i=1..m
j=1..n.
Matici typu n × n nazýváme ctvercovou maticí rádu n.Množinu všech matic typu m × n znacíme M(m × n).
Matematika II VI. Maticový pocet 81
![Page 258: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/258.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
DefiniceNecht’
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
.... . .
...am1 am2 . . . amn
.
O n-tici císel (ai1,ai2, . . . ,ain), kde i ∈ {1,2, . . . ,m},mluvíme jako o i-tém rádku matice A.
O m-tici císel
( a1ja2j...
amj
), kde j ∈ {1,2, . . . , n}, mluvíme jako o
j-tém sloupci matice A.
Matematika II VI. Maticový pocet 82
![Page 259: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/259.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
DefiniceNecht’
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
.... . .
...am1 am2 . . . amn
.
O n-tici císel (ai1,ai2, . . . ,ain), kde i ∈ {1,2, . . . ,m},mluvíme jako o i-tém rádku matice A.
O m-tici císel
( a1ja2j...
amj
), kde j ∈ {1,2, . . . , n}, mluvíme jako o
j-tém sloupci matice A.
Matematika II VI. Maticový pocet 82
![Page 260: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/260.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
DefiniceNecht’
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
.... . .
...am1 am2 . . . amn
.
O n-tici císel (ai1,ai2, . . . ,ain), kde i ∈ {1,2, . . . ,m},mluvíme jako o i-tém rádku matice A.
O m-tici císel
( a1ja2j...
amj
), kde j ∈ {1,2, . . . , n}, mluvíme jako o
j-tém sloupci matice A.
Matematika II VI. Maticový pocet 82
![Page 261: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/261.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
DefiniceNecht’
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
.... . .
...am1 am2 . . . amn
.
O n-tici císel (ai1,ai2, . . . ,ain), kde i ∈ {1,2, . . . ,m},mluvíme jako o i-tém rádku matice A.
O m-tici císel
( a1ja2j...
amj
), kde j ∈ {1,2, . . . , n}, mluvíme jako o
j-tém sloupci matice A.
Matematika II VI. Maticový pocet 82
![Page 262: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/262.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
DefiniceNecht’
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
.... . .
...am1 am2 . . . amn
.
O n-tici císel (ai1,ai2, . . . ,ain), kde i ∈ {1,2, . . . ,m},mluvíme jako o i-tém rádku matice A.
O m-tici císel
( a1ja2j...
amj
), kde j ∈ {1,2, . . . , n}, mluvíme jako o
j-tém sloupci matice A.
Matematika II VI. Maticový pocet 82
![Page 263: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/263.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
DefiniceNecht’
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
.... . .
...am1 am2 . . . amn
.
O n-tici císel (ai1,ai2, . . . ,ain), kde i ∈ {1,2, . . . ,m},mluvíme jako o i-tém rádku matice A.
O m-tici císel
( a1ja2j...
amj
), kde j ∈ {1,2, . . . , n}, mluvíme jako o
j-tém sloupci matice A.
Matematika II VI. Maticový pocet 82
![Page 264: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/264.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
DefiniceNecht’
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
.... . .
...am1 am2 . . . amn
.
O n-tici císel (ai1,ai2, . . . ,ain), kde i ∈ {1,2, . . . ,m},mluvíme jako o i-tém rádku matice A.
O m-tici císel
( a1ja2j...
amj
), kde j ∈ {1,2, . . . , n}, mluvíme jako o
j-tém sloupci matice A.
Matematika II VI. Maticový pocet 82
![Page 265: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/265.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
DefiniceNecht’
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
.... . .
...am1 am2 . . . amn
.
O n-tici císel (ai1,ai2, . . . ,ain), kde i ∈ {1,2, . . . ,m},mluvíme jako o i-tém rádku matice A.
O m-tici císel
( a1ja2j...
amj
), kde j ∈ {1,2, . . . , n}, mluvíme jako o
j-tém sloupci matice A.
Matematika II VI. Maticový pocet 82
![Page 266: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/266.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
DefiniceNecht’
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
.... . .
...am1 am2 . . . amn
.
O n-tici císel (ai1,ai2, . . . ,ain), kde i ∈ {1,2, . . . ,m},mluvíme jako o i-tém rádku matice A.
O m-tici císel
( a1ja2j...
amj
), kde j ∈ {1,2, . . . , n}, mluvíme jako o
j-tém sloupci matice A.
Matematika II VI. Maticový pocet 82
![Page 267: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/267.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
DefiniceNecht’
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
.... . .
...am1 am2 . . . amn
.
O n-tici císel (ai1,ai2, . . . ,ain), kde i ∈ {1,2, . . . ,m},mluvíme jako o i-tém rádku matice A.
O m-tici císel
( a1ja2j...
amj
), kde j ∈ {1,2, . . . , n}, mluvíme jako o
j-tém sloupci matice A.
Matematika II VI. Maticový pocet 82
![Page 268: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/268.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
DefiniceRekneme, že dve matice se rovnají, pokud jsou stejnéhotypu a všechny odpovídající prvky se rovnají, tj. pokudA = (aij)i=1..m
j=1..na B = (buv)u=1..r
v=1..s, pak A = B práve když
m = r , n = s a aij = bij ∀i ∈ {1, . . . ,m},∀j ∈ {1, . . . ,n}.
Matematika II VI. Maticový pocet 83
![Page 269: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/269.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
DefiniceNecht’ A,B ∈ M(m × n), A = (aij)i=1..m
j=1..n, B = (bij)i=1..m
j=1..n,
λ ∈ R. Pak souctem matic A a B rozumíme matici
A + B =
a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n
a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n...
.... . .
...am1 + bm1 am2 + bm1 . . . amn + bmn
.
Soucinem reálného císla λ a matice A (též λ-násobkemmatice A) rozumíme matici
λA =
λa11 λa12 . . . λa1n
λa21 λa22 . . . λa2n...
.... . .
...λam1 λam2 . . . λamn
.
Matematika II VI. Maticový pocet 84
![Page 270: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/270.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
DefiniceNecht’ A,B ∈ M(m × n), A = (aij)i=1..m
j=1..n, B = (bij)i=1..m
j=1..n,
λ ∈ R. Pak souctem matic A a B rozumíme matici
A + B =
a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n
a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n...
.... . .
...am1 + bm1 am2 + bm1 . . . amn + bmn
.
Soucinem reálného císla λ a matice A (též λ-násobkemmatice A) rozumíme matici
λA =
λa11 λa12 . . . λa1n
λa21 λa22 . . . λa2n...
.... . .
...λam1 λam2 . . . λamn
.
Matematika II VI. Maticový pocet 84
![Page 271: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/271.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
Tvrzení 33 (O scítání matic a násobení císlem)Platí:∀A,B,C ∈ M(m × n) : A + (B + C) = (A + B) + C,(asociativita)
∀A,B ∈ M(m × n) : A + B = B + A, (komutativita)∃!O ∈ M(m × n) ∀A ∈ M(m × n) : A + O = A,(existence nulového prvku)∀A ∈ M(m × n) ∃CA ∈ M(m × n) : A + CA = O,(existence opacného prvku)∀A ∈ M(m × n) ∀λ, µ ∈ R : (λµ)A = λ(µA),∀A ∈ M(m × n) : 1 · A = A,∀A ∈ M(m × n) ∀λ, µ ∈ R : (λ+ µ)A = λA + µA,∀A,B ∈ M(m × n) ∀λ ∈ R : λ(A + B) = λA + λB.
Matematika II VI. Maticový pocet 85
![Page 272: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/272.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
Tvrzení 33 (O scítání matic a násobení císlem)Platí:∀A,B,C ∈ M(m × n) : A + (B + C) = (A + B) + C,(asociativita)∀A,B ∈ M(m × n) : A + B = B + A, (komutativita)
∃!O ∈ M(m × n) ∀A ∈ M(m × n) : A + O = A,(existence nulového prvku)∀A ∈ M(m × n) ∃CA ∈ M(m × n) : A + CA = O,(existence opacného prvku)∀A ∈ M(m × n) ∀λ, µ ∈ R : (λµ)A = λ(µA),∀A ∈ M(m × n) : 1 · A = A,∀A ∈ M(m × n) ∀λ, µ ∈ R : (λ+ µ)A = λA + µA,∀A,B ∈ M(m × n) ∀λ ∈ R : λ(A + B) = λA + λB.
Matematika II VI. Maticový pocet 85
![Page 273: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/273.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
Tvrzení 33 (O scítání matic a násobení císlem)Platí:∀A,B,C ∈ M(m × n) : A + (B + C) = (A + B) + C,(asociativita)∀A,B ∈ M(m × n) : A + B = B + A, (komutativita)∃!O ∈ M(m × n) ∀A ∈ M(m × n) : A + O = A,(existence nulového prvku)
∀A ∈ M(m × n) ∃CA ∈ M(m × n) : A + CA = O,(existence opacného prvku)∀A ∈ M(m × n) ∀λ, µ ∈ R : (λµ)A = λ(µA),∀A ∈ M(m × n) : 1 · A = A,∀A ∈ M(m × n) ∀λ, µ ∈ R : (λ+ µ)A = λA + µA,∀A,B ∈ M(m × n) ∀λ ∈ R : λ(A + B) = λA + λB.
Matematika II VI. Maticový pocet 85
![Page 274: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/274.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
Tvrzení 33 (O scítání matic a násobení císlem)Platí:∀A,B,C ∈ M(m × n) : A + (B + C) = (A + B) + C,(asociativita)∀A,B ∈ M(m × n) : A + B = B + A, (komutativita)∃!O ∈ M(m × n) ∀A ∈ M(m × n) : A + O = A,(existence nulového prvku)∀A ∈ M(m × n) ∃CA ∈ M(m × n) : A + CA = O,(existence opacného prvku)
∀A ∈ M(m × n) ∀λ, µ ∈ R : (λµ)A = λ(µA),∀A ∈ M(m × n) : 1 · A = A,∀A ∈ M(m × n) ∀λ, µ ∈ R : (λ+ µ)A = λA + µA,∀A,B ∈ M(m × n) ∀λ ∈ R : λ(A + B) = λA + λB.
Matematika II VI. Maticový pocet 85
![Page 275: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/275.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
Tvrzení 33 (O scítání matic a násobení císlem)Platí:∀A,B,C ∈ M(m × n) : A + (B + C) = (A + B) + C,(asociativita)∀A,B ∈ M(m × n) : A + B = B + A, (komutativita)∃!O ∈ M(m × n) ∀A ∈ M(m × n) : A + O = A,(existence nulového prvku)∀A ∈ M(m × n) ∃CA ∈ M(m × n) : A + CA = O,(existence opacného prvku)∀A ∈ M(m × n) ∀λ, µ ∈ R : (λµ)A = λ(µA),
∀A ∈ M(m × n) : 1 · A = A,∀A ∈ M(m × n) ∀λ, µ ∈ R : (λ+ µ)A = λA + µA,∀A,B ∈ M(m × n) ∀λ ∈ R : λ(A + B) = λA + λB.
Matematika II VI. Maticový pocet 85
![Page 276: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/276.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
Tvrzení 33 (O scítání matic a násobení císlem)Platí:∀A,B,C ∈ M(m × n) : A + (B + C) = (A + B) + C,(asociativita)∀A,B ∈ M(m × n) : A + B = B + A, (komutativita)∃!O ∈ M(m × n) ∀A ∈ M(m × n) : A + O = A,(existence nulového prvku)∀A ∈ M(m × n) ∃CA ∈ M(m × n) : A + CA = O,(existence opacného prvku)∀A ∈ M(m × n) ∀λ, µ ∈ R : (λµ)A = λ(µA),∀A ∈ M(m × n) : 1 · A = A,
∀A ∈ M(m × n) ∀λ, µ ∈ R : (λ+ µ)A = λA + µA,∀A,B ∈ M(m × n) ∀λ ∈ R : λ(A + B) = λA + λB.
Matematika II VI. Maticový pocet 85
![Page 277: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/277.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
Tvrzení 33 (O scítání matic a násobení císlem)Platí:∀A,B,C ∈ M(m × n) : A + (B + C) = (A + B) + C,(asociativita)∀A,B ∈ M(m × n) : A + B = B + A, (komutativita)∃!O ∈ M(m × n) ∀A ∈ M(m × n) : A + O = A,(existence nulového prvku)∀A ∈ M(m × n) ∃CA ∈ M(m × n) : A + CA = O,(existence opacného prvku)∀A ∈ M(m × n) ∀λ, µ ∈ R : (λµ)A = λ(µA),∀A ∈ M(m × n) : 1 · A = A,∀A ∈ M(m × n) ∀λ, µ ∈ R : (λ+ µ)A = λA + µA,
∀A,B ∈ M(m × n) ∀λ ∈ R : λ(A + B) = λA + λB.
Matematika II VI. Maticový pocet 85
![Page 278: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/278.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
Tvrzení 33 (O scítání matic a násobení císlem)Platí:∀A,B,C ∈ M(m × n) : A + (B + C) = (A + B) + C,(asociativita)∀A,B ∈ M(m × n) : A + B = B + A, (komutativita)∃!O ∈ M(m × n) ∀A ∈ M(m × n) : A + O = A,(existence nulového prvku)∀A ∈ M(m × n) ∃CA ∈ M(m × n) : A + CA = O,(existence opacného prvku)∀A ∈ M(m × n) ∀λ, µ ∈ R : (λµ)A = λ(µA),∀A ∈ M(m × n) : 1 · A = A,∀A ∈ M(m × n) ∀λ, µ ∈ R : (λ+ µ)A = λA + µA,∀A,B ∈ M(m × n) ∀λ ∈ R : λ(A + B) = λA + λB.
Matematika II VI. Maticový pocet 85
![Page 279: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/279.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
PoznámkaMatici O z predešlého tvrzení ríkáme nulová matice avšechny její prvky jsou nulové.
Matice CA z predešlého tvrzení se nazývá maticeopacná k A. Je urcena jednoznacne, znacíme ji −A aplatí −A = (−aij)i=1..m
j=1..na −A = −1 · A.
Matematika II VI. Maticový pocet 86
![Page 280: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/280.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
PoznámkaMatici O z predešlého tvrzení ríkáme nulová matice avšechny její prvky jsou nulové.Matice CA z predešlého tvrzení se nazývá maticeopacná k A. Je urcena jednoznacne, znacíme ji −A aplatí −A = (−aij)i=1..m
j=1..na −A = −1 · A.
Matematika II VI. Maticový pocet 86
![Page 281: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/281.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
DefiniceNecht’ A ∈ M(m × n), A = (ais)i=1..m
s=1..n, B ∈ M(n × k),
B = (bsj)s=1..nj=1..k
. Pak soucinem matic A a B rozumíme
matici AB ∈ M(m × k), AB = (cij)i=1..mj=1..k
, kde
cij =n∑
s=1
aisbsj .
Matematika II VI. Maticový pocet 87
![Page 282: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/282.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
Násobení matic
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a41 a42
· (b11 b12 b13
b21 b22 b23
)
=
a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 a11b13 + a12b23
a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 a21b13 + a22b23
a31b11 + a32b21 a31b12 + a32b22 a31b13 + a32b33
a41b11 + a42b21 a41b12 + a42b22 a41b13 + a42b23
Matematika II VI. Maticový pocet 88
![Page 283: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/283.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
Násobení matic
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a41 a42
· (b11 b12 b13
b21 b22 b23
)
=
a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 a11b13 + a12b23
a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 a21b13 + a22b23
a31b11 + a32b21 a31b12 + a32b22 a31b13 + a32b33
a41b11 + a42b21 a41b12 + a42b22 a41b13 + a42b23
Matematika II VI. Maticový pocet 88
![Page 284: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/284.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
Násobení matic
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a41 a42
· (b11 b12 b13
b21 b22 b23
)
=
a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 a11b13 + a12b23
a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 a21b13 + a22b23
a31b11 + a32b21 a31b12 + a32b22 a31b13 + a32b33
a41b11 + a42b21 a41b12 + a42b22 a41b13 + a42b23
Matematika II VI. Maticový pocet 88
![Page 285: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/285.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
Násobení matic
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a41 a42
· (b11 b12 b13
b21 b22 b23
)
=
a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 a11b13 + a12b23
a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 a21b13 + a22b23
a31b11 + a32b21 a31b12 + a32b22 a31b13 + a32b33
a41b11 + a42b21 a41b12 + a42b22 a41b13 + a42b23
Matematika II VI. Maticový pocet 88
![Page 286: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/286.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
Násobení matic
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a41 a42
· (b11 b12 b13
b21 b22 b23
)
=
a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 a11b13 + a12b23
a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 a21b13 + a22b23
a31b11 + a32b21 a31b12 + a32b22 a31b13 + a32b33
a41b11 + a42b21 a41b12 + a42b22 a41b13 + a42b23
Matematika II VI. Maticový pocet 88
![Page 287: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/287.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
Násobení matic
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a41 a42
· (b11 b12 b13
b21 b22 b23
)
=
a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 a11b13 + a12b23
a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 a21b13 + a22b23
a31b11 + a32b21 a31b12 + a32b22 a31b13 + a32b33
a41b11 + a42b21 a41b12 + a42b22 a41b13 + a42b23
Matematika II VI. Maticový pocet 88
![Page 288: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/288.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
Veta 34 (vlastnosti maticového násobení)Necht’ m,n, k , l ∈ N. Pak platí:
(i) ∀A ∈ M(m × n) ∀B ∈ M(n × k) ∀C ∈M(k × l) : A(BC) = (AB)C, (asociativita násobení)
(ii) ∀A ∈ M(m × n) ∀B,C ∈M(n × k) : A(B + C) = AB + AC, (distributivita zleva)
(iii) ∀A,B ∈ M(m × n) ∀C ∈M(n × k) : (A + B)C = AC + BC, (distributivitazprava)
(iv) ∃!I ∈ M(n × n) ∀A ∈ M(n × n) : IA = AI = A.(existence a jednoznacnost jednotkové matice I)
PoznámkaPozor! Maticové násobení není komutativní.
Matematika II VI. Maticový pocet 89
![Page 289: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/289.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
Veta 34 (vlastnosti maticového násobení)Necht’ m,n, k , l ∈ N. Pak platí:
(i) ∀A ∈ M(m × n) ∀B ∈ M(n × k) ∀C ∈M(k × l) : A(BC) = (AB)C, (asociativita násobení)
(ii) ∀A ∈ M(m × n) ∀B,C ∈M(n × k) : A(B + C) = AB + AC, (distributivita zleva)
(iii) ∀A,B ∈ M(m × n) ∀C ∈M(n × k) : (A + B)C = AC + BC, (distributivitazprava)
(iv) ∃!I ∈ M(n × n) ∀A ∈ M(n × n) : IA = AI = A.(existence a jednoznacnost jednotkové matice I)
PoznámkaPozor! Maticové násobení není komutativní.
Matematika II VI. Maticový pocet 89
![Page 290: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/290.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
Veta 34 (vlastnosti maticového násobení)Necht’ m,n, k , l ∈ N. Pak platí:
(i) ∀A ∈ M(m × n) ∀B ∈ M(n × k) ∀C ∈M(k × l) : A(BC) = (AB)C, (asociativita násobení)
(ii) ∀A ∈ M(m × n) ∀B,C ∈M(n × k) : A(B + C) = AB + AC, (distributivita zleva)
(iii) ∀A,B ∈ M(m × n) ∀C ∈M(n × k) : (A + B)C = AC + BC, (distributivitazprava)
(iv) ∃!I ∈ M(n × n) ∀A ∈ M(n × n) : IA = AI = A.(existence a jednoznacnost jednotkové matice I)
PoznámkaPozor! Maticové násobení není komutativní.
Matematika II VI. Maticový pocet 89
![Page 291: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/291.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
Veta 34 (vlastnosti maticového násobení)Necht’ m,n, k , l ∈ N. Pak platí:
(i) ∀A ∈ M(m × n) ∀B ∈ M(n × k) ∀C ∈M(k × l) : A(BC) = (AB)C, (asociativita násobení)
(ii) ∀A ∈ M(m × n) ∀B,C ∈M(n × k) : A(B + C) = AB + AC, (distributivita zleva)
(iii) ∀A,B ∈ M(m × n) ∀C ∈M(n × k) : (A + B)C = AC + BC, (distributivitazprava)
(iv) ∃!I ∈ M(n × n) ∀A ∈ M(n × n) : IA = AI = A.(existence a jednoznacnost jednotkové matice I)
PoznámkaPozor! Maticové násobení není komutativní.
Matematika II VI. Maticový pocet 89
![Page 292: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/292.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
Veta 34 (vlastnosti maticového násobení)Necht’ m,n, k , l ∈ N. Pak platí:
(i) ∀A ∈ M(m × n) ∀B ∈ M(n × k) ∀C ∈M(k × l) : A(BC) = (AB)C, (asociativita násobení)
(ii) ∀A ∈ M(m × n) ∀B,C ∈M(n × k) : A(B + C) = AB + AC, (distributivita zleva)
(iii) ∀A,B ∈ M(m × n) ∀C ∈M(n × k) : (A + B)C = AC + BC, (distributivitazprava)
(iv) ∃!I ∈ M(n × n) ∀A ∈ M(n × n) : IA = AI = A.(existence a jednoznacnost jednotkové matice I)
PoznámkaPozor! Maticové násobení není komutativní.
Matematika II VI. Maticový pocet 89
![Page 293: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/293.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
DefiniceTransponovanou maticí k matici
A =
a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n...
......
. . ....
am1 am2 am3 . . . amn
rozumíme matici
AT =
a11 a21 . . . am1
a12 a22 . . . am2
a13 a23 . . . am3...
.... . .
...a1n a2n . . . amn
,
tj. pokud A = (aij)i=1..mj=1..n
, pak AT = (buv)u=1..nv=1..m
, kde
buv = avu pro každé u ∈ {1, . . . ,n}, v ∈ {1,2, . . . ,m}.Matematika II VI. Maticový pocet 90
![Page 294: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/294.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
DefiniceTransponovanou maticí k matici
A =
a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n...
......
. . ....
am1 am2 am3 . . . amn
rozumíme matici
AT =
a11 a21 . . . am1
a12 a22 . . . am2
a13 a23 . . . am3...
.... . .
...a1n a2n . . . amn
,
tj. pokud A = (aij)i=1..mj=1..n
, pak AT = (buv)u=1..nv=1..m
, kde
buv = avu pro každé u ∈ {1, . . . ,n}, v ∈ {1,2, . . . ,m}.Matematika II VI. Maticový pocet 90
![Page 295: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/295.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
DefiniceTransponovanou maticí k matici
A =
a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n...
......
. . ....
am1 am2 am3 . . . amn
rozumíme matici
AT =
a11 a21 . . . am1
a12 a22 . . . am2
a13 a23 . . . am3...
.... . .
...a1n a2n . . . amn
,
tj. pokud A = (aij)i=1..mj=1..n
, pak AT = (buv)u=1..nv=1..m
, kde
buv = avu pro každé u ∈ {1, . . . ,n}, v ∈ {1,2, . . . ,m}.Matematika II VI. Maticový pocet 90
![Page 296: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/296.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
DefiniceTransponovanou maticí k matici
A =
a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n...
......
. . ....
am1 am2 am3 . . . amn
rozumíme matici
AT =
a11 a21 . . . am1
a12 a22 . . . am2
a13 a23 . . . am3...
.... . .
...a1n a2n . . . amn
,
tj. pokud A = (aij)i=1..mj=1..n
, pak AT = (buv)u=1..nv=1..m
, kde
buv = avu pro každé u ∈ {1, . . . ,n}, v ∈ {1,2, . . . ,m}.Matematika II VI. Maticový pocet 90
![Page 297: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/297.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
DefiniceTransponovanou maticí k matici
A =
a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n...
......
. . ....
am1 am2 am3 . . . amn
rozumíme matici
AT =
a11 a21 . . . am1
a12 a22 . . . am2
a13 a23 . . . am3...
.... . .
...a1n a2n . . . amn
,
tj. pokud A = (aij)i=1..mj=1..n
, pak AT = (buv)u=1..nv=1..m
, kde
buv = avu pro každé u ∈ {1, . . . ,n}, v ∈ {1,2, . . . ,m}.Matematika II VI. Maticový pocet 90
![Page 298: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/298.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
Veta 35 (vlastnosti transponovaných matic)Platí:
(i) ∀A ∈ M(m × n) :(AT)T
= A,
(ii) ∀A,B ∈ M(m × n) : (A + B)T = AT + BT ,(iii) ∀A ∈ M(m × n) ∀B ∈ M(n × k) : (AB)T = BT AT .
Matematika II VI. Maticový pocet 91
![Page 299: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/299.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
Veta 35 (vlastnosti transponovaných matic)Platí:
(i) ∀A ∈ M(m × n) :(AT)T
= A,
(ii) ∀A,B ∈ M(m × n) : (A + B)T = AT + BT ,
(iii) ∀A ∈ M(m × n) ∀B ∈ M(n × k) : (AB)T = BT AT .
Matematika II VI. Maticový pocet 91
![Page 300: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/300.jpg)
VI.1. Základní operace s maticemi
Veta 35 (vlastnosti transponovaných matic)Platí:
(i) ∀A ∈ M(m × n) :(AT)T
= A,
(ii) ∀A,B ∈ M(m × n) : (A + B)T = AT + BT ,(iii) ∀A ∈ M(m × n) ∀B ∈ M(n × k) : (AB)T = BT AT .
Matematika II VI. Maticový pocet 91
![Page 301: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/301.jpg)
VI.2. Regulární matice
VI.2. Regulární matice
Matematika II VI. Maticový pocet 92
![Page 302: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/302.jpg)
VI.2. Regulární matice
VI.2. Regulární matice
DefiniceNecht’ A ∈ M(n × n). Rekneme, že A je regulární matice,pokud existuje B ∈ M(n × n) taková, že
AB = BA = I .
DefiniceRekneme, že matice B ∈ M(n × n) je inverzní maticí kmatici A ∈ M(n × n), jestliže AB = BA = I .
PoznámkaMatice A ∈ M(n × n) je regulární, práve když k ní existujeinverzní matice.
Matematika II VI. Maticový pocet 93
![Page 303: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/303.jpg)
VI.2. Regulární matice
VI.2. Regulární matice
DefiniceNecht’ A ∈ M(n × n). Rekneme, že A je regulární matice,pokud existuje B ∈ M(n × n) taková, že
AB = BA = I .
DefiniceRekneme, že matice B ∈ M(n × n) je inverzní maticí kmatici A ∈ M(n × n), jestliže AB = BA = I .
PoznámkaMatice A ∈ M(n × n) je regulární, práve když k ní existujeinverzní matice.
Matematika II VI. Maticový pocet 93
![Page 304: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/304.jpg)
VI.2. Regulární matice
VI.2. Regulární matice
DefiniceNecht’ A ∈ M(n × n). Rekneme, že A je regulární matice,pokud existuje B ∈ M(n × n) taková, že
AB = BA = I .
DefiniceRekneme, že matice B ∈ M(n × n) je inverzní maticí kmatici A ∈ M(n × n), jestliže AB = BA = I .
PoznámkaMatice A ∈ M(n × n) je regulární, práve když k ní existujeinverzní matice.
Matematika II VI. Maticový pocet 93
![Page 305: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/305.jpg)
VI.2. Regulární matice
VI.2. Regulární matice
DefiniceNecht’ A ∈ M(n × n). Rekneme, že A je regulární matice,pokud existuje B ∈ M(n × n) taková, že
AB = BA = I .
DefiniceRekneme, že matice B ∈ M(n × n) je inverzní maticí kmatici A ∈ M(n × n), jestliže AB = BA = I .
PoznámkaMatice A ∈ M(n × n) je regulární, práve když k ní existujeinverzní matice.
Matematika II VI. Maticový pocet 93
![Page 306: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/306.jpg)
VI.2. Regulární matice
PoznámkaNecht’ A ∈ M(n × n) je regulární. Pak k ní existujepráve jedna inverzní matice. Znacíme ji A−1.
Pokud pro matice A,B ∈ M(n × n) platí AB = I , paktaké BA = I .
Veta 36 (regularita a maticové operace)Necht’ A,B ∈ M(n × n) jsou regulární matice. Pak platí:
(i) A−1 je regulární matice a(A−1)−1
= A,
(ii) AT je regulární matice a(AT)−1
=(A−1)T ,
(iii) AB je regulární matice a (AB)−1 = B−1A−1.
Matematika II VI. Maticový pocet 94
![Page 307: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/307.jpg)
VI.2. Regulární matice
PoznámkaNecht’ A ∈ M(n × n) je regulární. Pak k ní existujepráve jedna inverzní matice. Znacíme ji A−1.Pokud pro matice A,B ∈ M(n × n) platí AB = I , paktaké BA = I .
Veta 36 (regularita a maticové operace)Necht’ A,B ∈ M(n × n) jsou regulární matice. Pak platí:
(i) A−1 je regulární matice a(A−1)−1
= A,
(ii) AT je regulární matice a(AT)−1
=(A−1)T ,
(iii) AB je regulární matice a (AB)−1 = B−1A−1.
Matematika II VI. Maticový pocet 94
![Page 308: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/308.jpg)
VI.2. Regulární matice
PoznámkaNecht’ A ∈ M(n × n) je regulární. Pak k ní existujepráve jedna inverzní matice. Znacíme ji A−1.Pokud pro matice A,B ∈ M(n × n) platí AB = I , paktaké BA = I .
Veta 36 (regularita a maticové operace)Necht’ A,B ∈ M(n × n) jsou regulární matice. Pak platí:
(i) A−1 je regulární matice a(A−1)−1
= A,
(ii) AT je regulární matice a(AT)−1
=(A−1)T ,
(iii) AB je regulární matice a (AB)−1 = B−1A−1.
Matematika II VI. Maticový pocet 94
![Page 309: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/309.jpg)
VI.2. Regulární matice
PoznámkaNecht’ A ∈ M(n × n) je regulární. Pak k ní existujepráve jedna inverzní matice. Znacíme ji A−1.Pokud pro matice A,B ∈ M(n × n) platí AB = I , paktaké BA = I .
Veta 36 (regularita a maticové operace)Necht’ A,B ∈ M(n × n) jsou regulární matice. Pak platí:
(i) A−1 je regulární matice a(A−1)−1
= A,
(ii) AT je regulární matice a(AT)−1
=(A−1)T ,
(iii) AB je regulární matice a (AB)−1 = B−1A−1.
Matematika II VI. Maticový pocet 94
![Page 310: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/310.jpg)
VI.2. Regulární matice
PoznámkaNecht’ A ∈ M(n × n) je regulární. Pak k ní existujepráve jedna inverzní matice. Znacíme ji A−1.Pokud pro matice A,B ∈ M(n × n) platí AB = I , paktaké BA = I .
Veta 36 (regularita a maticové operace)Necht’ A,B ∈ M(n × n) jsou regulární matice. Pak platí:
(i) A−1 je regulární matice a(A−1)−1
= A,
(ii) AT je regulární matice a(AT)−1
=(A−1)T ,
(iii) AB je regulární matice a (AB)−1 = B−1A−1.
Matematika II VI. Maticový pocet 94
![Page 311: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/311.jpg)
VI.2. Regulární matice
PoznámkaNecht’ A ∈ M(n × n) je regulární. Pak k ní existujepráve jedna inverzní matice. Znacíme ji A−1.Pokud pro matice A,B ∈ M(n × n) platí AB = I , paktaké BA = I .
Veta 36 (regularita a maticové operace)Necht’ A,B ∈ M(n × n) jsou regulární matice. Pak platí:
(i) A−1 je regulární matice a(A−1)−1
= A,
(ii) AT je regulární matice a(AT)−1
=(A−1)T ,
(iii) AB je regulární matice a (AB)−1 = B−1A−1.
Matematika II VI. Maticový pocet 94
![Page 312: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/312.jpg)
VI.2. Regulární matice
DefiniceNecht’ k ,n ∈ N a v1, . . . ,vk ∈ Rn. Rekneme, že vektoru ∈ Rn je lineární kombinací vektoru v1, . . . ,vk
s koeficienty λ1, . . . , λk ∈ R, jestliže
u = λ1v1 + · · ·+ λkvk .
V tomto prípade také ríkáme, že lineární kombinacevektoru v1, . . . ,v k s koeficienty λ1, . . . , λk je rovna u.
Pokud λ1 = · · · = λk = 0, pak mluvíme o triviální lineárníkombinaci vektoru v1, . . . ,v k ; je-li nekterý koeficientnenulový, pak mluvíme o netriviální lineární kombinaci.
Matematika II VI. Maticový pocet 95
![Page 313: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/313.jpg)
VI.2. Regulární matice
DefiniceNecht’ k ,n ∈ N a v1, . . . ,vk ∈ Rn. Rekneme, že vektoru ∈ Rn je lineární kombinací vektoru v1, . . . ,vk
s koeficienty λ1, . . . , λk ∈ R, jestliže
u = λ1v1 + · · ·+ λkvk .
V tomto prípade také ríkáme, že lineární kombinacevektoru v1, . . . ,v k s koeficienty λ1, . . . , λk je rovna u.Pokud λ1 = · · · = λk = 0, pak mluvíme o triviální lineárníkombinaci vektoru v1, . . . ,v k ; je-li nekterý koeficientnenulový, pak mluvíme o netriviální lineární kombinaci.
Matematika II VI. Maticový pocet 95
![Page 314: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/314.jpg)
VI.2. Regulární matice
DefiniceRekneme, že vektory v1, . . . ,vk ∈ Rn jsou lineárnezávislé, pokud existuje jejich netriviální lineárníkombinace, která je rovna nulovému vektoru.
Rekneme,že vektory v1, . . . ,v k ∈ Rn jsou lineárne nezávislé, pokudnejsou lineárne závislé, tj. pokud platí:kdykoli λ1, . . . , λk ∈ R jsou taková, žeλ1v1 + · · ·+ λkvk = o, pak λ1 = λ2 = · · · = λk = 0.(Mezi všemi lineárními kombinacemi vektoru v1, . . . ,v k jerovna nulovému vektoru jenom triviální lineárníkombinace.)
PoznámkaVektory v1, . . . ,v k jsou lineárne závislé, práve když jedenz nich lze vyjádrit jako lineární kombinaci ostatních.
Matematika II VI. Maticový pocet 96
![Page 315: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/315.jpg)
VI.2. Regulární matice
DefiniceRekneme, že vektory v1, . . . ,vk ∈ Rn jsou lineárnezávislé, pokud existuje jejich netriviální lineárníkombinace, která je rovna nulovému vektoru. Rekneme,že vektory v1, . . . ,v k ∈ Rn jsou lineárne nezávislé, pokudnejsou lineárne závislé, tj. pokud platí:kdykoli λ1, . . . , λk ∈ R jsou taková, žeλ1v1 + · · ·+ λkvk = o, pak λ1 = λ2 = · · · = λk = 0.
(Mezi všemi lineárními kombinacemi vektoru v1, . . . ,v k jerovna nulovému vektoru jenom triviální lineárníkombinace.)
PoznámkaVektory v1, . . . ,v k jsou lineárne závislé, práve když jedenz nich lze vyjádrit jako lineární kombinaci ostatních.
Matematika II VI. Maticový pocet 96
![Page 316: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/316.jpg)
VI.2. Regulární matice
DefiniceRekneme, že vektory v1, . . . ,vk ∈ Rn jsou lineárnezávislé, pokud existuje jejich netriviální lineárníkombinace, která je rovna nulovému vektoru. Rekneme,že vektory v1, . . . ,v k ∈ Rn jsou lineárne nezávislé, pokudnejsou lineárne závislé, tj. pokud platí:kdykoli λ1, . . . , λk ∈ R jsou taková, žeλ1v1 + · · ·+ λkvk = o, pak λ1 = λ2 = · · · = λk = 0.(Mezi všemi lineárními kombinacemi vektoru v1, . . . ,v k jerovna nulovému vektoru jenom triviální lineárníkombinace.)
PoznámkaVektory v1, . . . ,v k jsou lineárne závislé, práve když jedenz nich lze vyjádrit jako lineární kombinaci ostatních.
Matematika II VI. Maticový pocet 96
![Page 317: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/317.jpg)
VI.2. Regulární matice
DefiniceRekneme, že vektory v1, . . . ,vk ∈ Rn jsou lineárnezávislé, pokud existuje jejich netriviální lineárníkombinace, která je rovna nulovému vektoru. Rekneme,že vektory v1, . . . ,v k ∈ Rn jsou lineárne nezávislé, pokudnejsou lineárne závislé, tj. pokud platí:kdykoli λ1, . . . , λk ∈ R jsou taková, žeλ1v1 + · · ·+ λkvk = o, pak λ1 = λ2 = · · · = λk = 0.(Mezi všemi lineárními kombinacemi vektoru v1, . . . ,v k jerovna nulovému vektoru jenom triviální lineárníkombinace.)
PoznámkaVektory v1, . . . ,v k jsou lineárne závislé, práve když jedenz nich lze vyjádrit jako lineární kombinaci ostatních.
Matematika II VI. Maticový pocet 96
![Page 318: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/318.jpg)
VI.2. Regulární matice
DefiniceNecht’ A ∈ M(m × n). Hodností matice A rozumímemaximální pocet lineárne nezávislých rádku, tj. hodnost jerovna k ∈ N, jestliže
(i) existuje k lineárne nezávislých rádkových vektorumatice A a
(ii) každá l-tice rádkových vektoru matice A, kde l > k ,je lineárne závislá.
Hodnost nulové matice je rovna nule. Hodnost matice Aznacíme h(A).
Matematika II VI. Maticový pocet 97
![Page 319: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/319.jpg)
VI.2. Regulární matice
DefiniceNecht’ A ∈ M(m × n). Hodností matice A rozumímemaximální pocet lineárne nezávislých rádku, tj. hodnost jerovna k ∈ N, jestliže
(i) existuje k lineárne nezávislých rádkových vektorumatice A a
(ii) každá l-tice rádkových vektoru matice A, kde l > k ,je lineárne závislá.
Hodnost nulové matice je rovna nule. Hodnost matice Aznacíme h(A).
Matematika II VI. Maticový pocet 97
![Page 320: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/320.jpg)
VI.2. Regulární matice
DefiniceRekneme, že matice A ∈ M(m × n) je schodovitá, jestližepro každé i ∈ {2, . . . ,m} platí, že i-tý rádek matice A jenulový nebo zacíná vetším poctem nul než (i − 1)-nírádek.
PoznámkaHodnost schodovité matice je rovna poctu jejíchnenulových rádku.
Matematika II VI. Maticový pocet 98
![Page 321: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/321.jpg)
VI.2. Regulární matice
DefiniceRekneme, že matice A ∈ M(m × n) je schodovitá, jestližepro každé i ∈ {2, . . . ,m} platí, že i-tý rádek matice A jenulový nebo zacíná vetším poctem nul než (i − 1)-nírádek.
PoznámkaHodnost schodovité matice je rovna poctu jejíchnenulových rádku.
Matematika II VI. Maticový pocet 98
![Page 322: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/322.jpg)
VI.2. Regulární matice
DefiniceElementárními rádkovými úpravami matice A rozumíme:
(i) zámenu dvou rádku,
(ii) vynásobení rádku nenulovým císlem,(iii) prictení násobku jednoho rádku k jinému rádku.
DefiniceTransformací budeme rozumet konecnou posloupnostrádkových elementárních úprav. Jestliže maticeB ∈ M(m × n) vznikla z matice A ∈ M(m × n) aplikacítransformace T na matici A, pak tento fakt znacíme takto:A T B.
Matematika II VI. Maticový pocet 99
![Page 323: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/323.jpg)
VI.2. Regulární matice
DefiniceElementárními rádkovými úpravami matice A rozumíme:
(i) zámenu dvou rádku,(ii) vynásobení rádku nenulovým císlem,
(iii) prictení násobku jednoho rádku k jinému rádku.
DefiniceTransformací budeme rozumet konecnou posloupnostrádkových elementárních úprav. Jestliže maticeB ∈ M(m × n) vznikla z matice A ∈ M(m × n) aplikacítransformace T na matici A, pak tento fakt znacíme takto:A T B.
Matematika II VI. Maticový pocet 99
![Page 324: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/324.jpg)
VI.2. Regulární matice
DefiniceElementárními rádkovými úpravami matice A rozumíme:
(i) zámenu dvou rádku,(ii) vynásobení rádku nenulovým císlem,(iii) prictení násobku jednoho rádku k jinému rádku.
DefiniceTransformací budeme rozumet konecnou posloupnostrádkových elementárních úprav. Jestliže maticeB ∈ M(m × n) vznikla z matice A ∈ M(m × n) aplikacítransformace T na matici A, pak tento fakt znacíme takto:A T B.
Matematika II VI. Maticový pocet 99
![Page 325: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/325.jpg)
VI.2. Regulární matice
DefiniceElementárními rádkovými úpravami matice A rozumíme:
(i) zámenu dvou rádku,(ii) vynásobení rádku nenulovým císlem,(iii) prictení násobku jednoho rádku k jinému rádku.
DefiniceTransformací budeme rozumet konecnou posloupnostrádkových elementárních úprav. Jestliže maticeB ∈ M(m × n) vznikla z matice A ∈ M(m × n) aplikacítransformace T na matici A, pak tento fakt znacíme takto:A T B.
Matematika II VI. Maticový pocet 99
![Page 326: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/326.jpg)
VI.2. Regulární matice
Veta 37 (vlastnosti transformace)
(i) Necht’ A ∈ M(m × n). Pak existuje transformaceprevádející matici A na schodovitou matici.
(ii) Necht’ T1 je transformace aplikovatelná na maticetypu m × n. Pak existuje transformace T2
aplikovatelná na matice typu m × n taková, že prokaždé dve matice A,B ∈ M(m × n) platí A T1 B,práve když B T2 A.
(iii) Necht’ A,B ∈ M(m × n) a matice B vznikne zmatice A pomocí nejaké transformace. Pakh(A) = h(B).
Matematika II VI. Maticový pocet 100
![Page 327: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/327.jpg)
VI.2. Regulární matice
Veta 37 (vlastnosti transformace)
(i) Necht’ A ∈ M(m × n). Pak existuje transformaceprevádející matici A na schodovitou matici.
(ii) Necht’ T1 je transformace aplikovatelná na maticetypu m × n. Pak existuje transformace T2
aplikovatelná na matice typu m × n taková, že prokaždé dve matice A,B ∈ M(m × n) platí A T1 B,práve když B T2 A.
(iii) Necht’ A,B ∈ M(m × n) a matice B vznikne zmatice A pomocí nejaké transformace. Pakh(A) = h(B).
Matematika II VI. Maticový pocet 100
![Page 328: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/328.jpg)
VI.2. Regulární matice
Veta 37 (vlastnosti transformace)
(i) Necht’ A ∈ M(m × n). Pak existuje transformaceprevádející matici A na schodovitou matici.
(ii) Necht’ T1 je transformace aplikovatelná na maticetypu m × n. Pak existuje transformace T2
aplikovatelná na matice typu m × n taková, že prokaždé dve matice A,B ∈ M(m × n) platí A T1 B,práve když B T2 A.
(iii) Necht’ A,B ∈ M(m × n) a matice B vznikne zmatice A pomocí nejaké transformace. Pakh(A) = h(B).
Matematika II VI. Maticový pocet 100
![Page 329: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/329.jpg)
VI.2. Regulární matice
Prevod matice na schodovitou
• • • • • •• • • • • •• • • • • •• • • • • •• • • • • •
Matematika II VI. Maticový pocet 101
![Page 330: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/330.jpg)
VI.2. Regulární matice
Prevod matice na schodovitou
• • • • • •• • • • • •• • • • • •• • • • • •• • • • • •
Matematika II VI. Maticový pocet 101
![Page 331: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/331.jpg)
VI.2. Regulární matice
Prevod matice na schodovitou
• • • • • •• • • • • •• • • • • •• • • • • •• • • • • •
Matematika II VI. Maticový pocet 101
![Page 332: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/332.jpg)
VI.2. Regulární matice
Prevod matice na schodovitou
• • • • • •• • • • • •• • • • • •• • • • • •• • • • • •
Matematika II VI. Maticový pocet 101
![Page 333: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/333.jpg)
VI.2. Regulární matice
Prevod matice na schodovitou
• • • • • •0 • • • • •0 • • • • •0 • • • • •0 • • • • •
Matematika II VI. Maticový pocet 101
![Page 334: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/334.jpg)
VI.2. Regulární matice
Prevod matice na schodovitou
• • • • • •0 • • • • •0 • • • • •0 • • • • •0 • • • • •
Matematika II VI. Maticový pocet 101
![Page 335: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/335.jpg)
VI.2. Regulární matice
Prevod matice na schodovitou
• • • • • •0 0 • • • •0 0 • • • •0 0 • • • •0 0 • • • •
Matematika II VI. Maticový pocet 101
![Page 336: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/336.jpg)
VI.2. Regulární matice
Prevod matice na schodovitou
• • • • • •0 0 • • • •0 0 • • • •0 0 • • • •0 0 • • • •
Matematika II VI. Maticový pocet 101
![Page 337: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/337.jpg)
VI.2. Regulární matice
Prevod matice na schodovitou
• • • • • •0 0 • • • •0 0 • • • •0 0 • • • •0 0 • • • •
Matematika II VI. Maticový pocet 101
![Page 338: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/338.jpg)
VI.2. Regulární matice
Prevod matice na schodovitou
• • • • • •0 0 • • • •0 0 0 • • •0 0 0 • • •0 0 0 • • •
Matematika II VI. Maticový pocet 101
![Page 339: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/339.jpg)
VI.2. Regulární matice
Prevod matice na schodovitou
• • • • • •0 0 • • • •0 0 0 • • •0 0 0 • • •0 0 0 • • •
Matematika II VI. Maticový pocet 101
![Page 340: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/340.jpg)
VI.2. Regulární matice
Prevod matice na schodovitou
• • • • • •0 0 • • • •0 0 0 • • •0 0 0 • • •0 0 0 • • •
Matematika II VI. Maticový pocet 101
![Page 341: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/341.jpg)
VI.2. Regulární matice
Prevod matice na schodovitou
• • • • • •0 0 • • • •0 0 0 • • •0 0 0 0 • •0 0 0 0 • •
Matematika II VI. Maticový pocet 101
![Page 342: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/342.jpg)
VI.2. Regulární matice
Prevod matice na schodovitou
• • • • • •0 0 • • • •0 0 0 • • •0 0 0 0 • •0 0 0 0 • •
Matematika II VI. Maticový pocet 101
![Page 343: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/343.jpg)
VI.2. Regulární matice
Prevod matice na schodovitou
• • • • • •0 0 • • • •0 0 0 • • •0 0 0 0 0 •0 0 0 0 0 •
Matematika II VI. Maticový pocet 101
![Page 344: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/344.jpg)
VI.2. Regulární matice
Prevod matice na schodovitou
• • • • • •0 0 • • • •0 0 0 • • •0 0 0 0 0 •0 0 0 0 0 •
Matematika II VI. Maticový pocet 101
![Page 345: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/345.jpg)
VI.2. Regulární matice
Prevod matice na schodovitou
• • • • • •0 0 • • • •0 0 0 • • •0 0 0 0 0 •0 0 0 0 0 •
Matematika II VI. Maticový pocet 101
![Page 346: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/346.jpg)
VI.2. Regulární matice
Prevod matice na schodovitou
• • • • • •0 0 • • • •0 0 0 • • •0 0 0 0 0 •0 0 0 0 0 0
Matematika II VI. Maticový pocet 101
![Page 347: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/347.jpg)
VI.2. Regulární matice
Prevod matice na schodovitou
• • • • • •0 0 • • • •0 0 0 • • •0 0 0 0 0 •0 0 0 0 0 0
Matematika II VI. Maticový pocet 101
![Page 348: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/348.jpg)
VI.2. Regulární matice
PoznámkaPodobne jako jsme definovali elementární rádkové úpravymatic, mužeme definovat i elementární sloupcové úpravymatic. Lze ukázat, že elementární sloupcové úpravynemení hodnost matice.
PoznámkaLze ukázat, že pro matici A ∈ M(m × n) platíh(A) = h(AT ).
Matematika II VI. Maticový pocet 102
![Page 349: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/349.jpg)
VI.2. Regulární matice
PoznámkaPodobne jako jsme definovali elementární rádkové úpravymatic, mužeme definovat i elementární sloupcové úpravymatic. Lze ukázat, že elementární sloupcové úpravynemení hodnost matice.
PoznámkaLze ukázat, že pro matici A ∈ M(m × n) platíh(A) = h(AT ).
Matematika II VI. Maticový pocet 102
![Page 350: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/350.jpg)
VI.2. Regulární matice
Veta 38 (soucin matic a transformace)Necht’ A ∈ M(m× k), B ∈ M(k × n), C ∈ M(m× n) a platíAB = C. Necht’ T je transformace a A T
A′ a C T C ′.
Pak platí A′B = C ′.
Lemma 39 (o prevodu na jednotkovou matici)Necht’ A ∈ M(n × n) a h(A) = n. Pak existujetransformace, která prevádí A na I .
Veta 40 (regularita a hodnost matice)Necht’ A ∈ M(n × n). Pak A je regulární, práve kdyžh(A) = n.
Matematika II VI. Maticový pocet 103
![Page 351: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/351.jpg)
VI.2. Regulární matice
Veta 38 (soucin matic a transformace)Necht’ A ∈ M(m× k), B ∈ M(k × n), C ∈ M(m× n) a platíAB = C. Necht’ T je transformace a A T
A′ a C T C ′.
Pak platí A′B = C ′.
Lemma 39 (o prevodu na jednotkovou matici)Necht’ A ∈ M(n × n) a h(A) = n. Pak existujetransformace, která prevádí A na I .
Veta 40 (regularita a hodnost matice)Necht’ A ∈ M(n × n). Pak A je regulární, práve kdyžh(A) = n.
Matematika II VI. Maticový pocet 103
![Page 352: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/352.jpg)
VI.2. Regulární matice
Veta 38 (soucin matic a transformace)Necht’ A ∈ M(m× k), B ∈ M(k × n), C ∈ M(m× n) a platíAB = C. Necht’ T je transformace a A T
A′ a C T C ′.
Pak platí A′B = C ′.
Lemma 39 (o prevodu na jednotkovou matici)Necht’ A ∈ M(n × n) a h(A) = n. Pak existujetransformace, která prevádí A na I .
Veta 40 (regularita a hodnost matice)Necht’ A ∈ M(n × n). Pak A je regulární, práve kdyžh(A) = n.
Matematika II VI. Maticový pocet 103
![Page 353: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/353.jpg)
VI.3. Determinanty
VI.3. Determinanty
Matematika II VI. Maticový pocet 104
![Page 354: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/354.jpg)
VI.3. Determinanty
VI.3. Determinanty
DefiniceNecht’ A ∈ M(n × n). Symbolem Aij oznacíme matici typu(n − 1)× (n − 1), která vznikne z A vynecháním i-téhorádku a j-tého sloupce.
Matematika II VI. Maticový pocet 105
![Page 355: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/355.jpg)
VI.3. Determinanty
VI.3. Determinanty
DefiniceNecht’ A ∈ M(n × n). Symbolem Aij oznacíme matici typu(n − 1)× (n − 1), která vznikne z A vynecháním i-téhorádku a j-tého sloupce.
Matematika II VI. Maticový pocet 105
![Page 356: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/356.jpg)
VI.3. Determinanty
VI.3. Determinanty
DefiniceNecht’ A ∈ M(n × n). Symbolem Aij oznacíme matici typu(n − 1)× (n − 1), která vznikne z A vynecháním i-téhorádku a j-tého sloupce.
A =
a1,1 . . . a1,j−1 a1,j a1,j+1 . . . a1,n...
. . ....
......
. . ....
ai−1,1 . . . ai−1,j−1 ai−1,j ai−1,j+1 . . . ai−1,n
ai,1 . . . ai,j−1 ai,j ai,j+1 . . . ai,n
ai+1,1 . . . ai+1,j−1 ai+1,j ai+1,j+1 . . . ai+1,n...
. . ....
......
. . ....
an,1 . . . an,j−1 an,j an,j+1 . . . an,n
Matematika II VI. Maticový pocet 105
![Page 357: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/357.jpg)
VI.3. Determinanty
VI.3. Determinanty
DefiniceNecht’ A ∈ M(n × n). Symbolem Aij oznacíme matici typu(n − 1)× (n − 1), která vznikne z A vynecháním i-téhorádku a j-tého sloupce.
A =
a1,1 . . . a1,j−1 a1,j a1,j+1 . . . a1,n...
. . ....
......
. . ....
ai−1,1 . . . ai−1,j−1 ai−1,j ai−1,j+1 . . . ai−1,n
ai,1 . . . ai,j−1 ai,j ai,j+1 . . . ai,n
ai+1,1 . . . ai+1,j−1 ai+1,j ai+1,j+1 . . . ai+1,n...
. . ....
......
. . ....
an,1 . . . an,j−1 an,j an,j+1 . . . an,n
Matematika II VI. Maticový pocet 105
![Page 358: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/358.jpg)
VI.3. Determinanty
VI.3. Determinanty
DefiniceNecht’ A ∈ M(n × n). Symbolem Aij oznacíme matici typu(n − 1)× (n − 1), která vznikne z A vynecháním i-téhorádku a j-tého sloupce.
A =
a1,1 . . . a1,j−1
a1,j
a1,j+1 . . . a1,n...
. . ....
...
.... . .
...ai−1,1 . . . ai−1,j−1
ai−1,j
ai−1,j+1 . . . ai−1,n
ai,1 . . . ai,j−1 ai,j ai,j+1 . . . ai,n
ai+1,1 . . . ai+1,j−1
ai+1,j
ai+1,j+1 . . . ai+1,n...
. . ....
...
.... . .
...an,1 . . . an,j−1
an,j
an,j+1 . . . an,n
Matematika II VI. Maticový pocet 105
![Page 359: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/359.jpg)
VI.3. Determinanty
VI.3. Determinanty
DefiniceNecht’ A ∈ M(n × n). Symbolem Aij oznacíme matici typu(n − 1)× (n − 1), která vznikne z A vynecháním i-téhorádku a j-tého sloupce.
Aij =
a1,1 . . . a1,j−1 a1,j+1 . . . a1,n...
. . ....
.... . .
...ai−1,1 . . . ai−1,j−1 ai−1,j+1 . . . ai−1,n
ai+1,1 . . . ai+1,j−1 ai+1,j+1 . . . ai+1,n...
. . ....
.... . .
...an,1 . . . an,j−1 an,j+1 . . . an,n
Matematika II VI. Maticový pocet 105
![Page 360: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/360.jpg)
VI.3. Determinanty
DefiniceNecht’ A = (aij)i,j=1..n. Determinant matice A definujemetakto:
det A =
{a11 pokud n = 1,∑n
i=1(−1)i+1ai1 det Ai1 pokud n > 1.
Pro det A budeme také používat symbol∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
. . ....
an1 an2 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Matematika II VI. Maticový pocet 106
![Page 361: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/361.jpg)
VI.3. Determinanty
DefiniceNecht’ A = (aij)i,j=1..n. Determinant matice A definujemetakto:
det A =
{a11 pokud n = 1,∑n
i=1(−1)i+1ai1 det Ai1 pokud n > 1.
Pro det A budeme také používat symbol∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
. . ....
an1 an2 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Matematika II VI. Maticový pocet 106
![Page 362: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/362.jpg)
VI.3. Determinanty
Veta 41 (determinant a soucet matic)Necht’ j ,n ∈ N, j ≤ n a matice A,B,C ∈ M(n × n) seshodují ve všech rádcích vyjma j-tého. Necht’ j-tý rádekmatice A je roven souctu j-tého rádku matice B a j-téhorádku matice C. Pak platí det A = det B + det C.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 ... a1n...
. . ....
aj−1,1 ... aj−1,nu1+v1 ... un+vnaj+1,1 ... aj+1,n...
. . ....
an1 ... ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 ... a1n...
. . ....
aj−1,1 ... aj−1,nu1 ... un
aj+1,1 ... aj+1,n...
. . ....
an1 ... ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 ... a1n...
. . ....
aj−1,1 ... aj−1,nv1 ... vn
aj+1,1 ... aj+1,n...
. . ....
an1 ... ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Matematika II VI. Maticový pocet 107
![Page 363: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/363.jpg)
VI.3. Determinanty
Veta 41 (determinant a soucet matic)Necht’ j ,n ∈ N, j ≤ n a matice A,B,C ∈ M(n × n) seshodují ve všech rádcích vyjma j-tého. Necht’ j-tý rádekmatice A je roven souctu j-tého rádku matice B a j-téhorádku matice C. Pak platí det A = det B + det C.∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 ... a1n...
. . ....
aj−1,1 ... aj−1,nu1+v1 ... un+vnaj+1,1 ... aj+1,n...
. . ....
an1 ... ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 ... a1n...
. . ....
aj−1,1 ... aj−1,nu1 ... un
aj+1,1 ... aj+1,n...
. . ....
an1 ... ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 ... a1n...
. . ....
aj−1,1 ... aj−1,nv1 ... vn
aj+1,1 ... aj+1,n...
. . ....
an1 ... ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Matematika II VI. Maticový pocet 107
![Page 364: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/364.jpg)
VI.3. Determinanty
Veta 42 (determinant a transformace)Necht’ A,A′ ∈ M(n × n).
(i) Jestliže matice A′ vznikne z A tak, že v A jedenrádek vynásobíme reálným císlem µ, pak platídet A′ = µdet A.
(ii) Jestliže matice A′ vznikne z A tak, že v A vymenímedva rádky mezi sebou (tj. provedeme elementárnírádkovou úpravu prvního druhu), pak platídet A′ = −det A.
(iii) Jestliže matice A′ vznikne z A tak, že v A prictemeµ-násobek jednoho rádku k jinému rádku (tj.provedeme elementární rádkovou úpravu tretíhodruhu), pak platí det A′ = det A.
(iv) Jestliže matice A′ vznikne z A jistou transformací,pak det A 6= 0, práve když det A′ 6= 0.
Matematika II VI. Maticový pocet 108
![Page 365: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/365.jpg)
VI.3. Determinanty
Veta 42 (determinant a transformace)Necht’ A,A′ ∈ M(n × n).
(i) Jestliže matice A′ vznikne z A tak, že v A jedenrádek vynásobíme reálným císlem µ, pak platídet A′ = µdet A.
(ii) Jestliže matice A′ vznikne z A tak, že v A vymenímedva rádky mezi sebou (tj. provedeme elementárnírádkovou úpravu prvního druhu), pak platídet A′ = −det A.
(iii) Jestliže matice A′ vznikne z A tak, že v A prictemeµ-násobek jednoho rádku k jinému rádku (tj.provedeme elementární rádkovou úpravu tretíhodruhu), pak platí det A′ = det A.
(iv) Jestliže matice A′ vznikne z A jistou transformací,pak det A 6= 0, práve když det A′ 6= 0.
Matematika II VI. Maticový pocet 108
![Page 366: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/366.jpg)
VI.3. Determinanty
Veta 42 (determinant a transformace)Necht’ A,A′ ∈ M(n × n).
(i) Jestliže matice A′ vznikne z A tak, že v A jedenrádek vynásobíme reálným císlem µ, pak platídet A′ = µdet A.
(ii) Jestliže matice A′ vznikne z A tak, že v A vymenímedva rádky mezi sebou (tj. provedeme elementárnírádkovou úpravu prvního druhu), pak platídet A′ = −det A.
(iii) Jestliže matice A′ vznikne z A tak, že v A prictemeµ-násobek jednoho rádku k jinému rádku (tj.provedeme elementární rádkovou úpravu tretíhodruhu), pak platí det A′ = det A.
(iv) Jestliže matice A′ vznikne z A jistou transformací,pak det A 6= 0, práve když det A′ 6= 0.
Matematika II VI. Maticový pocet 108
![Page 367: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/367.jpg)
VI.3. Determinanty
Veta 42 (determinant a transformace)Necht’ A,A′ ∈ M(n × n).
(i) Jestliže matice A′ vznikne z A tak, že v A jedenrádek vynásobíme reálným císlem µ, pak platídet A′ = µdet A.
(ii) Jestliže matice A′ vznikne z A tak, že v A vymenímedva rádky mezi sebou (tj. provedeme elementárnírádkovou úpravu prvního druhu), pak platídet A′ = −det A.
(iii) Jestliže matice A′ vznikne z A tak, že v A prictemeµ-násobek jednoho rádku k jinému rádku (tj.provedeme elementární rádkovou úpravu tretíhodruhu), pak platí det A′ = det A.
(iv) Jestliže matice A′ vznikne z A jistou transformací,pak det A 6= 0, práve když det A′ 6= 0.
Matematika II VI. Maticový pocet 108
![Page 368: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/368.jpg)
VI.3. Determinanty
PoznámkaDeterminant matice s nulovým rádkem je roven nule.
Determinant matice, která má dva rádky shodné, je takéroven nule.
Matematika II VI. Maticový pocet 109
![Page 369: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/369.jpg)
VI.3. Determinanty
PoznámkaDeterminant matice s nulovým rádkem je roven nule.Determinant matice, která má dva rádky shodné, je takéroven nule.
Matematika II VI. Maticový pocet 109
![Page 370: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/370.jpg)
VI.3. Determinanty
DefiniceNecht’ A = (aij)i,j=1..n. Rekneme, že A je hornítrojúhelníková matice, jestliže platí aij = 0 pro i > j ,i , j ∈ {1, . . . ,n}.
Rekneme, že A je dolní trojúhelníkovámatice, jestliže platí aij = 0 pro i < j , i , j ∈ {1, . . . ,n}.
Veta 43 (determinant trojúhelníkové matice)Necht’ A = (aij)i,j=1..n je horní (resp. dolní) trojúhelníkovámatice. Pak platí
det A = a11 · a22 · · · · · ann.
Matematika II VI. Maticový pocet 110
![Page 371: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/371.jpg)
VI.3. Determinanty
DefiniceNecht’ A = (aij)i,j=1..n. Rekneme, že A je hornítrojúhelníková matice, jestliže platí aij = 0 pro i > j ,i , j ∈ {1, . . . ,n}. Rekneme, že A je dolní trojúhelníkovámatice, jestliže platí aij = 0 pro i < j , i , j ∈ {1, . . . ,n}.
Veta 43 (determinant trojúhelníkové matice)Necht’ A = (aij)i,j=1..n je horní (resp. dolní) trojúhelníkovámatice. Pak platí
det A = a11 · a22 · · · · · ann.
Matematika II VI. Maticový pocet 110
![Page 372: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/372.jpg)
VI.3. Determinanty
DefiniceNecht’ A = (aij)i,j=1..n. Rekneme, že A je hornítrojúhelníková matice, jestliže platí aij = 0 pro i > j ,i , j ∈ {1, . . . ,n}. Rekneme, že A je dolní trojúhelníkovámatice, jestliže platí aij = 0 pro i < j , i , j ∈ {1, . . . ,n}.
Veta 43 (determinant trojúhelníkové matice)Necht’ A = (aij)i,j=1..n je horní (resp. dolní) trojúhelníkovámatice. Pak platí
det A = a11 · a22 · · · · · ann.
Matematika II VI. Maticový pocet 110
![Page 373: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/373.jpg)
VI.3. Determinanty
Veta 44 (determinant regulární matice)Necht’ A ∈ M(n × n). Pak A je regulární, práve kdyždet A 6= 0.
Matematika II VI. Maticový pocet 111
![Page 374: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/374.jpg)
VI.3. Determinanty
Veta 45 (determinant soucinu)Pro A,B ∈ M(n × n) platí det AB = det A · det B.
Veta 46 (determinant a transpozice)Pro A ∈ M(n × n) platí det AT = det A.
Matematika II VI. Maticový pocet 112
![Page 375: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/375.jpg)
VI.3. Determinanty
Veta 45 (determinant soucinu)Pro A,B ∈ M(n × n) platí det AB = det A · det B.
Veta 46 (determinant a transpozice)Pro A ∈ M(n × n) platí det AT = det A.
Matematika II VI. Maticový pocet 112
![Page 376: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/376.jpg)
VI.3. Determinanty
Veta 47 (rozvoj determinantu podle sloupce cirádku)Necht’ A = (aij)i,j=1..n, k ∈ {1, . . . ,n}. Pak
det A =n∑
i=1
(−1)i+kaik det Aik (rozvoj podle k-tého sloupce),
det A =n∑
j=1
(−1)k+jakj det Akj (rozvoj podle k-tého rádku).
Matematika II VI. Maticový pocet 113
![Page 377: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/377.jpg)
VI.4. Rešení soustav lineárních rovnic
VI.4. Rešení soustav lineárních rovnic
Matematika II VI. Maticový pocet 114
![Page 378: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/378.jpg)
VI.4. Rešení soustav lineárních rovnic
VI.4. Rešení soustav lineárních rovnic
Matematika II VI. Maticový pocet 115
![Page 379: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/379.jpg)
VI.4. Rešení soustav lineárních rovnic
Soustava m rovnic o n neznámých x1, . . . , xn:
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1,
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2,
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm,
(S)
kde aij ∈ R, bi ∈ R, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . ,n.
Maticovýzápis
Ax = b,
kde A =
( a11 ... a1n...
. . ....
am1 ... amn
)∈ M(m × n), se nazývá matice
soustavy, b =
( b1...
bm
)∈ M(m × 1) vektor pravých stran a
x =
( x1...
xn
)∈ M(n × 1) vektor neznámých.
Matematika II VI. Maticový pocet 116
![Page 380: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/380.jpg)
VI.4. Rešení soustav lineárních rovnic
Soustava m rovnic o n neznámých x1, . . . , xn:
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1,
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2,
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm,
(S)
kde aij ∈ R, bi ∈ R, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . ,n. Maticovýzápis
Ax = b,
kde A =
( a11 ... a1n...
. . ....
am1 ... amn
)∈ M(m × n), se nazývá matice
soustavy, b =
( b1...
bm
)∈ M(m × 1) vektor pravých stran a
x =
( x1...
xn
)∈ M(n × 1) vektor neznámých.
Matematika II VI. Maticový pocet 116
![Page 381: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/381.jpg)
VI.4. Rešení soustav lineárních rovnic
DefiniceMatici
(A|b) =
a11 . . . a1n...
. . ....
am1 . . . amn
∣∣∣∣∣∣∣b1...
bm
nazýváme rozšírenou maticí soustavy (S).
Matematika II VI. Maticový pocet 117
![Page 382: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/382.jpg)
VI.4. Rešení soustav lineárních rovnic
Tvrzení 48 (transformace soustavy rovnic)Necht’ A ∈ M(m × n), b ∈ M(m × 1) a T je transformacematic s m rádky. Oznacme A T
A′, b T b′. Pak pro
y ∈ M(n × 1) platí Ay = b, práve když A′y = b′, nebolisoustavy Ax = b a A′x = b′ mají stejnou množinu rešení.
Matematika II VI. Maticový pocet 118
![Page 383: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/383.jpg)
VI.4. Rešení soustav lineárních rovnic
Veta 49 (Rouchéova-Fontenéova)Soustava (S) má rešení práve tehdy, když matice tétosoustavy má stejnou hodnost jako rozšírená matice tétosoustavy.
Matematika II VI. Maticový pocet 119
![Page 384: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/384.jpg)
VI.4. Rešení soustav lineárních rovnic
Soustavy n rovnic o n neznámých
Veta 50 (o soustavách n × n)Necht’ A ∈ M(n × n). Pak následující tvrzení jsouekvivalentní:
(i) matice A je regulární,(ii) soustava (S) má pro každé b ∈ M(n× 1) práve jedno
rešení,(iii) soustava (S) má pro každé b ∈ M(n × 1) alespon
jedno rešení.
Matematika II VI. Maticový pocet 120
![Page 385: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/385.jpg)
VI.4. Rešení soustav lineárních rovnic
Soustavy n rovnic o n neznámých
Veta 50 (o soustavách n × n)Necht’ A ∈ M(n × n). Pak následující tvrzení jsouekvivalentní:
(i) matice A je regulární,
(ii) soustava (S) má pro každé b ∈ M(n× 1) práve jednorešení,
(iii) soustava (S) má pro každé b ∈ M(n × 1) alesponjedno rešení.
Matematika II VI. Maticový pocet 120
![Page 386: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/386.jpg)
VI.4. Rešení soustav lineárních rovnic
Soustavy n rovnic o n neznámých
Veta 50 (o soustavách n × n)Necht’ A ∈ M(n × n). Pak následující tvrzení jsouekvivalentní:
(i) matice A je regulární,(ii) soustava (S) má pro každé b ∈ M(n× 1) práve jedno
rešení,
(iii) soustava (S) má pro každé b ∈ M(n × 1) alesponjedno rešení.
Matematika II VI. Maticový pocet 120
![Page 387: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/387.jpg)
VI.4. Rešení soustav lineárních rovnic
Soustavy n rovnic o n neznámých
Veta 50 (o soustavách n × n)Necht’ A ∈ M(n × n). Pak následující tvrzení jsouekvivalentní:
(i) matice A je regulární,(ii) soustava (S) má pro každé b ∈ M(n× 1) práve jedno
rešení,(iii) soustava (S) má pro každé b ∈ M(n × 1) alespon
jedno rešení.
Matematika II VI. Maticový pocet 120
![Page 388: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/388.jpg)
VI.4. Rešení soustav lineárních rovnic
Veta 51 (Cramerovo pravidlo)Necht’ A ∈ M(n × n) je regulární matice, b ∈ M(n × 1),x ∈ M(n × 1) a Ax = b. Pak
xj =
∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1,j−1 b1 a1,j+1 . . . a1n...
......
an1 . . . an,j−1 bn an,j+1 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣det A
pro j = 1, . . . ,n.
Matematika II VI. Maticový pocet 121
![Page 389: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/389.jpg)
VI.5. Matice a lineární zobrazení
VI.5. Matice a lineární zobrazení
Matematika II VI. Maticový pocet 122
![Page 390: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/390.jpg)
VI.5. Matice a lineární zobrazení
VI.5. Matice a lineární zobrazení
DefiniceRekneme, že zobrazení f : Rn → Rm je lineární, pokudplatí:
(i) ∀u,v ∈ Rn : f (u + v) = f (u) + f (v),(ii) ∀λ ∈ R ∀u ∈ Rn : f (λu) = λf (u).
Matematika II VI. Maticový pocet 123
![Page 391: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/391.jpg)
VI.5. Matice a lineární zobrazení
VI.5. Matice a lineární zobrazení
DefiniceRekneme, že zobrazení f : Rn → Rm je lineární, pokudplatí:
(i) ∀u,v ∈ Rn : f (u + v) = f (u) + f (v),
(ii) ∀λ ∈ R ∀u ∈ Rn : f (λu) = λf (u).
Matematika II VI. Maticový pocet 123
![Page 392: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/392.jpg)
VI.5. Matice a lineární zobrazení
VI.5. Matice a lineární zobrazení
DefiniceRekneme, že zobrazení f : Rn → Rm je lineární, pokudplatí:
(i) ∀u,v ∈ Rn : f (u + v) = f (u) + f (v),(ii) ∀λ ∈ R ∀u ∈ Rn : f (λu) = λf (u).
Matematika II VI. Maticový pocet 123
![Page 393: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/393.jpg)
VI.5. Matice a lineární zobrazení
DefiniceNecht’ i ∈ {1, . . . ,n}. Vektor s n složkami
ei =
0...010...0
. . . i-tá souradnice
nazýváme i-tým kanonickým bázovým vektorem prostoruRn.
Množinu {e1, . . . ,en} všech kanonických bázovýchvektoru v Rn nazýváme kanonickou bází prostoru Rn.Vlastnosti kanonické báze:
(i) ∀x ∈ Rn : x = x1 · e1 + · · ·+ xn · en,(ii) vektory e1, . . . ,en jsou lineárne nezávislé.
Matematika II VI. Maticový pocet 124
![Page 394: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/394.jpg)
VI.5. Matice a lineární zobrazení
DefiniceNecht’ i ∈ {1, . . . ,n}. Vektor s n složkami
ei =
0...010...0
. . . i-tá souradnice
nazýváme i-tým kanonickým bázovým vektorem prostoruRn. Množinu {e1, . . . ,en} všech kanonických bázovýchvektoru v Rn nazýváme kanonickou bází prostoru Rn.
Vlastnosti kanonické báze:
(i) ∀x ∈ Rn : x = x1 · e1 + · · ·+ xn · en,(ii) vektory e1, . . . ,en jsou lineárne nezávislé.
Matematika II VI. Maticový pocet 124
![Page 395: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/395.jpg)
VI.5. Matice a lineární zobrazení
DefiniceNecht’ i ∈ {1, . . . ,n}. Vektor s n složkami
ei =
0...010...0
. . . i-tá souradnice
nazýváme i-tým kanonickým bázovým vektorem prostoruRn. Množinu {e1, . . . ,en} všech kanonických bázovýchvektoru v Rn nazýváme kanonickou bází prostoru Rn.Vlastnosti kanonické báze:
(i) ∀x ∈ Rn : x = x1 · e1 + · · ·+ xn · en,
(ii) vektory e1, . . . ,en jsou lineárne nezávislé.
Matematika II VI. Maticový pocet 124
![Page 396: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/396.jpg)
VI.5. Matice a lineární zobrazení
DefiniceNecht’ i ∈ {1, . . . ,n}. Vektor s n složkami
ei =
0...010...0
. . . i-tá souradnice
nazýváme i-tým kanonickým bázovým vektorem prostoruRn. Množinu {e1, . . . ,en} všech kanonických bázovýchvektoru v Rn nazýváme kanonickou bází prostoru Rn.Vlastnosti kanonické báze:
(i) ∀x ∈ Rn : x = x1 · e1 + · · ·+ xn · en,(ii) vektory e1, . . . ,en jsou lineárne nezávislé.
Matematika II VI. Maticový pocet 124
![Page 397: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/397.jpg)
VI.5. Matice a lineární zobrazení
Veta 52 (reprezentace lineárních zobrazení)Zobrazení f : Rn → Rm je lineární práve tehdy, kdyžexistuje matice A ∈ M(m × n) taková, že
∀u ∈ Rn : f (u) = Au.
PoznámkaMatice A z predchozí vety je urcena jednoznacne anazývá se reprezentující maticí zobrazení f .
Matematika II VI. Maticový pocet 125
![Page 398: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/398.jpg)
VI.5. Matice a lineární zobrazení
Veta 52 (reprezentace lineárních zobrazení)Zobrazení f : Rn → Rm je lineární práve tehdy, kdyžexistuje matice A ∈ M(m × n) taková, že
∀u ∈ Rn : f (u) = Au.
PoznámkaMatice A z predchozí vety je urcena jednoznacne anazývá se reprezentující maticí zobrazení f .
Matematika II VI. Maticový pocet 125
![Page 399: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/399.jpg)
VI.5. Matice a lineární zobrazení
Veta 53 (o bijekcích na Rn)Necht’ zobrazení f : Rn → Rn je lineární. Pak jsounásledující tvrzení ekvivalentní:
(i) f je bijekce (tj. f je prosté zobrazení Rn na Rn),(ii) f je prosté zobrazení,(iii) f je zobrazení Rn na Rn.
Veta 54 (skládání lineárních zobrazení)Necht’ f : Rn → Rm je lineární zobrazení reprezentovanématicí A ∈ M(m × n) a g : Rm → Rk je lineární zobrazeníreprezentované maticí B ∈ M(k ×m). Potom složenézobrazení g ◦ f : Rn → Rk je lineární a je reprezentovánomaticí BA.
Matematika II VI. Maticový pocet 126
![Page 400: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/400.jpg)
VI.5. Matice a lineární zobrazení
Veta 53 (o bijekcích na Rn)Necht’ zobrazení f : Rn → Rn je lineární. Pak jsounásledující tvrzení ekvivalentní:
(i) f je bijekce (tj. f je prosté zobrazení Rn na Rn),(ii) f je prosté zobrazení,(iii) f je zobrazení Rn na Rn.
Veta 54 (skládání lineárních zobrazení)Necht’ f : Rn → Rm je lineární zobrazení reprezentovanématicí A ∈ M(m × n) a g : Rm → Rk je lineární zobrazeníreprezentované maticí B ∈ M(k ×m). Potom složenézobrazení g ◦ f : Rn → Rk je lineární a je reprezentovánomaticí BA.
Matematika II VI. Maticový pocet 126
![Page 401: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/401.jpg)
VII. Císelné rady
Matematika II VII. Císelné rady 127
![Page 402: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/402.jpg)
VII.1. Základní pojmy
VII.1. Základní pojmy
Matematika II VII. Císelné rady 128
![Page 403: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/403.jpg)
VII.1. Základní pojmy
VII.1. Základní pojmy
DefiniceNecht’ {an} je posloupnost reálných císel. Symbol∑∞
n=1 an nazýváme nekonecnou radou. Pro m ∈ Npoložme
sm = a1 + a2 + · · ·+ am.
Císlo sm nazveme m-tým cástecným souctem rady∑∞n=1 an. Prvek an budeme nazývat n-tým clenem rady∑∞n=1 an. Souctem nekonecné rady
∑∞n=1 an nazveme
limitu posloupnosti {sm}, pokud tato limita existuje.Soucet rady budeme znacit symbolem
∑∞n=1 an.
Rekneme, že rada konverguje, je-li její soucet reálnécíslo. V opacném prípade rekneme, že rada diverguje.
Matematika II VII. Císelné rady 129
![Page 404: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/404.jpg)
VII.1. Základní pojmy
VII.1. Základní pojmy
DefiniceNecht’ {an} je posloupnost reálných císel. Symbol∑∞
n=1 an nazýváme nekonecnou radou.
Pro m ∈ Npoložme
sm = a1 + a2 + · · ·+ am.
Císlo sm nazveme m-tým cástecným souctem rady∑∞n=1 an. Prvek an budeme nazývat n-tým clenem rady∑∞n=1 an. Souctem nekonecné rady
∑∞n=1 an nazveme
limitu posloupnosti {sm}, pokud tato limita existuje.Soucet rady budeme znacit symbolem
∑∞n=1 an.
Rekneme, že rada konverguje, je-li její soucet reálnécíslo. V opacném prípade rekneme, že rada diverguje.
Matematika II VII. Císelné rady 129
![Page 405: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/405.jpg)
VII.1. Základní pojmy
VII.1. Základní pojmy
DefiniceNecht’ {an} je posloupnost reálných císel. Symbol∑∞
n=1 an nazýváme nekonecnou radou. Pro m ∈ Npoložme
sm = a1 + a2 + · · ·+ am.
Císlo sm nazveme m-tým cástecným souctem rady∑∞n=1 an.
Prvek an budeme nazývat n-tým clenem rady∑∞n=1 an. Souctem nekonecné rady
∑∞n=1 an nazveme
limitu posloupnosti {sm}, pokud tato limita existuje.Soucet rady budeme znacit symbolem
∑∞n=1 an.
Rekneme, že rada konverguje, je-li její soucet reálnécíslo. V opacném prípade rekneme, že rada diverguje.
Matematika II VII. Císelné rady 129
![Page 406: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/406.jpg)
VII.1. Základní pojmy
VII.1. Základní pojmy
DefiniceNecht’ {an} je posloupnost reálných císel. Symbol∑∞
n=1 an nazýváme nekonecnou radou. Pro m ∈ Npoložme
sm = a1 + a2 + · · ·+ am.
Císlo sm nazveme m-tým cástecným souctem rady∑∞n=1 an. Prvek an budeme nazývat n-tým clenem rady∑∞n=1 an.
Souctem nekonecné rady∑∞
n=1 an nazvemelimitu posloupnosti {sm}, pokud tato limita existuje.Soucet rady budeme znacit symbolem
∑∞n=1 an.
Rekneme, že rada konverguje, je-li její soucet reálnécíslo. V opacném prípade rekneme, že rada diverguje.
Matematika II VII. Císelné rady 129
![Page 407: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/407.jpg)
VII.1. Základní pojmy
VII.1. Základní pojmy
DefiniceNecht’ {an} je posloupnost reálných císel. Symbol∑∞
n=1 an nazýváme nekonecnou radou. Pro m ∈ Npoložme
sm = a1 + a2 + · · ·+ am.
Císlo sm nazveme m-tým cástecným souctem rady∑∞n=1 an. Prvek an budeme nazývat n-tým clenem rady∑∞n=1 an. Souctem nekonecné rady
∑∞n=1 an nazveme
limitu posloupnosti {sm}, pokud tato limita existuje.
Soucet rady budeme znacit symbolem∑∞
n=1 an.Rekneme, že rada konverguje, je-li její soucet reálnécíslo. V opacném prípade rekneme, že rada diverguje.
Matematika II VII. Císelné rady 129
![Page 408: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/408.jpg)
VII.1. Základní pojmy
VII.1. Základní pojmy
DefiniceNecht’ {an} je posloupnost reálných císel. Symbol∑∞
n=1 an nazýváme nekonecnou radou. Pro m ∈ Npoložme
sm = a1 + a2 + · · ·+ am.
Císlo sm nazveme m-tým cástecným souctem rady∑∞n=1 an. Prvek an budeme nazývat n-tým clenem rady∑∞n=1 an. Souctem nekonecné rady
∑∞n=1 an nazveme
limitu posloupnosti {sm}, pokud tato limita existuje.Soucet rady budeme znacit symbolem
∑∞n=1 an.
Rekneme, že rada konverguje, je-li její soucet reálnécíslo. V opacném prípade rekneme, že rada diverguje.
Matematika II VII. Císelné rady 129
![Page 409: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/409.jpg)
VII.1. Základní pojmy
VII.1. Základní pojmy
DefiniceNecht’ {an} je posloupnost reálných císel. Symbol∑∞
n=1 an nazýváme nekonecnou radou. Pro m ∈ Npoložme
sm = a1 + a2 + · · ·+ am.
Císlo sm nazveme m-tým cástecným souctem rady∑∞n=1 an. Prvek an budeme nazývat n-tým clenem rady∑∞n=1 an. Souctem nekonecné rady
∑∞n=1 an nazveme
limitu posloupnosti {sm}, pokud tato limita existuje.Soucet rady budeme znacit symbolem
∑∞n=1 an.
Rekneme, že rada konverguje, je-li její soucet reálnécíslo. V opacném prípade rekneme, že rada diverguje.
Matematika II VII. Císelné rady 129
![Page 410: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/410.jpg)
VII.1. Základní pojmy
Veta 55 (nutná podmínka konvergence rady)Jestliže rada
∑∞n=1 an konverguje, potom lim an = 0.
PoznámkaNecht’ α ∈ R a rada
∑∞n=1 an konverguje. Pak konverguje i
rada∑∞
n=1 αan a platí∑∞
n=1 αan = α∑∞
n=1 an. Jestližerady
∑∞n=1 an a
∑∞n=1 bn konvergují, pak konverguje i rada∑∞
n=1(an + bn) a platí∑∞
n=1(an + bn) =∑∞
n=1 an +∑∞
n=1 bn.
Matematika II VII. Císelné rady 130
![Page 411: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/411.jpg)
VII.1. Základní pojmy
Veta 55 (nutná podmínka konvergence rady)Jestliže rada
∑∞n=1 an konverguje, potom lim an = 0.
PoznámkaNecht’ α ∈ R a rada
∑∞n=1 an konverguje. Pak konverguje i
rada∑∞
n=1 αan a platí∑∞
n=1 αan = α∑∞
n=1 an.
Jestližerady
∑∞n=1 an a
∑∞n=1 bn konvergují, pak konverguje i rada∑∞
n=1(an + bn) a platí∑∞
n=1(an + bn) =∑∞
n=1 an +∑∞
n=1 bn.
Matematika II VII. Císelné rady 130
![Page 412: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/412.jpg)
VII.1. Základní pojmy
Veta 55 (nutná podmínka konvergence rady)Jestliže rada
∑∞n=1 an konverguje, potom lim an = 0.
PoznámkaNecht’ α ∈ R a rada
∑∞n=1 an konverguje. Pak konverguje i
rada∑∞
n=1 αan a platí∑∞
n=1 αan = α∑∞
n=1 an. Jestližerady
∑∞n=1 an a
∑∞n=1 bn konvergují, pak konverguje i rada∑∞
n=1(an + bn) a platí∑∞
n=1(an + bn) =∑∞
n=1 an +∑∞
n=1 bn.
Matematika II VII. Císelné rady 130
![Page 413: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/413.jpg)
VII.2. Rady s nezápornými cleny a absolutní konvergence
VII.2. Rady s nezápornými cleny a absolutníkonvergence
Matematika II VII. Císelné rady 131
![Page 414: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/414.jpg)
VII.2. Rady s nezápornými cleny a absolutní konvergence
VII.2. Rady s nezápornými cleny a absolutníkonvergence
Veta 56 (srovnávací kritérium)Necht’
∑∞n=1 an a
∑∞n=1 bn jsou dve rady splnující
0 ≤ an ≤ bn pro každé n ∈ N.
(i) Je-li∑∞
n=1 bn konvergentní, je rovnež∑∞
n=1 an
konvergentní.(ii) Je-li
∑∞n=1 an divergentní, je rovnež
∑∞n=1 bn
divergentní.
Matematika II VII. Císelné rady 132
![Page 415: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/415.jpg)
VII.2. Rady s nezápornými cleny a absolutní konvergence
VII.2. Rady s nezápornými cleny a absolutníkonvergence
Veta 56 (srovnávací kritérium)Necht’
∑∞n=1 an a
∑∞n=1 bn jsou dve rady splnující
0 ≤ an ≤ bn pro každé n ∈ N.(i) Je-li
∑∞n=1 bn konvergentní, je rovnež
∑∞n=1 an
konvergentní.
(ii) Je-li∑∞
n=1 an divergentní, je rovnež∑∞
n=1 bn
divergentní.
Matematika II VII. Císelné rady 132
![Page 416: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/416.jpg)
VII.2. Rady s nezápornými cleny a absolutní konvergence
VII.2. Rady s nezápornými cleny a absolutníkonvergence
Veta 56 (srovnávací kritérium)Necht’
∑∞n=1 an a
∑∞n=1 bn jsou dve rady splnující
0 ≤ an ≤ bn pro každé n ∈ N.(i) Je-li
∑∞n=1 bn konvergentní, je rovnež
∑∞n=1 an
konvergentní.(ii) Je-li
∑∞n=1 an divergentní, je rovnež
∑∞n=1 bn
divergentní.
Matematika II VII. Císelné rady 132
![Page 417: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/417.jpg)
VII.2. Rady s nezápornými cleny a absolutní konvergence
Veta 57 (o absolutní konvergenci rady)Necht’ {an} je posloupnost reálných císel. Jestližekonverguje rada
∑∞n=1 |an|, konverguje i rada
∑∞n=1 an.
DefiniceRekneme, že rada
∑∞n=1 an je absolutne konvergentní,
pokud rada∑∞
n=1 |an| konverguje. Je-li rada∑∞
n=1 an
konvergentní, ale není absolutne konvergentní, pak jinazýváme neabsolutne konvergentní.
PoznámkaNecht’ pro každé n ∈ N platí |an| ≤ bn. Jestliže je rada∑∞
n=1 bn konvergentní, je i rada∑∞
n=1 an konvergentní(dokonce absolutne konvergentní).
Matematika II VII. Císelné rady 133
![Page 418: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/418.jpg)
VII.2. Rady s nezápornými cleny a absolutní konvergence
Veta 57 (o absolutní konvergenci rady)Necht’ {an} je posloupnost reálných císel. Jestližekonverguje rada
∑∞n=1 |an|, konverguje i rada
∑∞n=1 an.
DefiniceRekneme, že rada
∑∞n=1 an je absolutne konvergentní,
pokud rada∑∞
n=1 |an| konverguje.
Je-li rada∑∞
n=1 an
konvergentní, ale není absolutne konvergentní, pak jinazýváme neabsolutne konvergentní.
PoznámkaNecht’ pro každé n ∈ N platí |an| ≤ bn. Jestliže je rada∑∞
n=1 bn konvergentní, je i rada∑∞
n=1 an konvergentní(dokonce absolutne konvergentní).
Matematika II VII. Císelné rady 133
![Page 419: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/419.jpg)
VII.2. Rady s nezápornými cleny a absolutní konvergence
Veta 57 (o absolutní konvergenci rady)Necht’ {an} je posloupnost reálných císel. Jestližekonverguje rada
∑∞n=1 |an|, konverguje i rada
∑∞n=1 an.
DefiniceRekneme, že rada
∑∞n=1 an je absolutne konvergentní,
pokud rada∑∞
n=1 |an| konverguje. Je-li rada∑∞
n=1 an
konvergentní, ale není absolutne konvergentní, pak jinazýváme neabsolutne konvergentní.
PoznámkaNecht’ pro každé n ∈ N platí |an| ≤ bn. Jestliže je rada∑∞
n=1 bn konvergentní, je i rada∑∞
n=1 an konvergentní(dokonce absolutne konvergentní).
Matematika II VII. Císelné rady 133
![Page 420: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/420.jpg)
VII.2. Rady s nezápornými cleny a absolutní konvergence
Veta 57 (o absolutní konvergenci rady)Necht’ {an} je posloupnost reálných císel. Jestližekonverguje rada
∑∞n=1 |an|, konverguje i rada
∑∞n=1 an.
DefiniceRekneme, že rada
∑∞n=1 an je absolutne konvergentní,
pokud rada∑∞
n=1 |an| konverguje. Je-li rada∑∞
n=1 an
konvergentní, ale není absolutne konvergentní, pak jinazýváme neabsolutne konvergentní.
PoznámkaNecht’ pro každé n ∈ N platí |an| ≤ bn. Jestliže je rada∑∞
n=1 bn konvergentní, je i rada∑∞
n=1 an konvergentní(dokonce absolutne konvergentní).
Matematika II VII. Císelné rady 133
![Page 421: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/421.jpg)
VII.2. Rady s nezápornými cleny a absolutní konvergence
Veta 58 (limitní srovnávací kritérium)Necht’
∑∞n=1 an a
∑∞n=1 bn jsou rady s nezápornými cleny
a necht’ existuje limita
limn→∞
an
bn= c ∈ R∗.
Je-li c ∈ (0,+∞), pak konvergence∑∞
n=1 an jeekvivalentní konvergenci
∑∞n=1 bn.
Je-li c = 0, pak z konvergence∑∞
n=1 bn plynekonvergence
∑∞n=1 an.
Je-li c = +∞, pak z divergence∑∞
n=1 bn plynedivergence
∑∞n=1 an.
Matematika II VII. Císelné rady 134
![Page 422: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/422.jpg)
VII.2. Rady s nezápornými cleny a absolutní konvergence
Veta 58 (limitní srovnávací kritérium)Necht’
∑∞n=1 an a
∑∞n=1 bn jsou rady s nezápornými cleny
a necht’ existuje limita
limn→∞
an
bn= c ∈ R∗.
Je-li c ∈ (0,+∞), pak konvergence∑∞
n=1 an jeekvivalentní konvergenci
∑∞n=1 bn.
Je-li c = 0, pak z konvergence∑∞
n=1 bn plynekonvergence
∑∞n=1 an.
Je-li c = +∞, pak z divergence∑∞
n=1 bn plynedivergence
∑∞n=1 an.
Matematika II VII. Císelné rady 134
![Page 423: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/423.jpg)
VII.2. Rady s nezápornými cleny a absolutní konvergence
Veta 58 (limitní srovnávací kritérium)Necht’
∑∞n=1 an a
∑∞n=1 bn jsou rady s nezápornými cleny
a necht’ existuje limita
limn→∞
an
bn= c ∈ R∗.
Je-li c ∈ (0,+∞), pak konvergence∑∞
n=1 an jeekvivalentní konvergenci
∑∞n=1 bn.
Je-li c = 0, pak z konvergence∑∞
n=1 bn plynekonvergence
∑∞n=1 an.
Je-li c = +∞, pak z divergence∑∞
n=1 bn plynedivergence
∑∞n=1 an.
Matematika II VII. Císelné rady 134
![Page 424: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/424.jpg)
VII.2. Rady s nezápornými cleny a absolutní konvergence
Veta 59 (Cauchyovo odmocninové kritérium)Budiž
∑∞n=1 an rada. Potom platí:
(i) Je-li lim n√|an| < 1, je
∑∞n=1 an absolutne
konvergentní.
(ii) Je-li lim n√|an| > 1, je
∑∞n=1 an divergentní.
Veta 60 (d’Alembertovo podílové kritérium)Budiž
∑∞n=1 an rada s nenulovými cleny. Potom platí:
(i) Je-li lim∣∣∣an+1
an
∣∣∣ < 1, je∑∞
n=1 an absolutnekonvergentní.
(ii) Je-li lim∣∣∣an+1
an
∣∣∣ > 1, je∑∞
n=1 an divergentní.
Matematika II VII. Císelné rady 135
![Page 425: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/425.jpg)
VII.2. Rady s nezápornými cleny a absolutní konvergence
Veta 59 (Cauchyovo odmocninové kritérium)Budiž
∑∞n=1 an rada. Potom platí:
(i) Je-li lim n√|an| < 1, je
∑∞n=1 an absolutne
konvergentní.(ii) Je-li lim n
√|an| > 1, je
∑∞n=1 an divergentní.
Veta 60 (d’Alembertovo podílové kritérium)Budiž
∑∞n=1 an rada s nenulovými cleny. Potom platí:
(i) Je-li lim∣∣∣an+1
an
∣∣∣ < 1, je∑∞
n=1 an absolutnekonvergentní.
(ii) Je-li lim∣∣∣an+1
an
∣∣∣ > 1, je∑∞
n=1 an divergentní.
Matematika II VII. Císelné rady 135
![Page 426: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/426.jpg)
VII.2. Rady s nezápornými cleny a absolutní konvergence
Veta 59 (Cauchyovo odmocninové kritérium)Budiž
∑∞n=1 an rada. Potom platí:
(i) Je-li lim n√|an| < 1, je
∑∞n=1 an absolutne
konvergentní.(ii) Je-li lim n
√|an| > 1, je
∑∞n=1 an divergentní.
Veta 60 (d’Alembertovo podílové kritérium)Budiž
∑∞n=1 an rada s nenulovými cleny. Potom platí:
(i) Je-li lim∣∣∣an+1
an
∣∣∣ < 1, je∑∞
n=1 an absolutnekonvergentní.
(ii) Je-li lim∣∣∣an+1
an
∣∣∣ > 1, je∑∞
n=1 an divergentní.
Matematika II VII. Císelné rady 135
![Page 427: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/427.jpg)
VII.2. Rady s nezápornými cleny a absolutní konvergence
Veta 59 (Cauchyovo odmocninové kritérium)Budiž
∑∞n=1 an rada. Potom platí:
(i) Je-li lim n√|an| < 1, je
∑∞n=1 an absolutne
konvergentní.(ii) Je-li lim n
√|an| > 1, je
∑∞n=1 an divergentní.
Veta 60 (d’Alembertovo podílové kritérium)Budiž
∑∞n=1 an rada s nenulovými cleny. Potom platí:
(i) Je-li lim∣∣∣an+1
an
∣∣∣ < 1, je∑∞
n=1 an absolutnekonvergentní.
(ii) Je-li lim∣∣∣an+1
an
∣∣∣ > 1, je∑∞
n=1 an divergentní.
Matematika II VII. Císelné rady 135
![Page 428: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/428.jpg)
VII.2. Rady s nezápornými cleny a absolutní konvergence
Veta 59 (Cauchyovo odmocninové kritérium)Budiž
∑∞n=1 an rada. Potom platí:
(i) Je-li lim n√|an| < 1, je
∑∞n=1 an absolutne
konvergentní.(ii) Je-li lim n
√|an| > 1, je
∑∞n=1 an divergentní.
Veta 60 (d’Alembertovo podílové kritérium)Budiž
∑∞n=1 an rada s nenulovými cleny. Potom platí:
(i) Je-li lim∣∣∣an+1
an
∣∣∣ < 1, je∑∞
n=1 an absolutnekonvergentní.
(ii) Je-li lim∣∣∣an+1
an
∣∣∣ > 1, je∑∞
n=1 an divergentní.
Matematika II VII. Císelné rady 135
![Page 429: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/429.jpg)
VII.2. Rady s nezápornými cleny a absolutní konvergence
Tvrzení 61 (konvergence rady 1/nα)Necht’ α ∈ R. Rada
∑∞n=1
1nα konverguje práve tehdy, když
α > 1.
Matematika II VII. Císelné rady 136
![Page 430: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/430.jpg)
VII.3. Alternující rady
VII.3. Alternující rady
Matematika II VII. Císelné rady 137
![Page 431: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/431.jpg)
VII.3. Alternující rady
VII.3. Alternující rady
Veta 62 (Leibnizovo kritérium)Mejme radu
∑∞n=1(−1)nan. Necht’ platí
an ≥ an+1 pro každé n ∈ N,limn→∞ an = 0.
Potom∑∞
n=1(−1)nan konverguje.
Matematika II VII. Císelné rady 138
![Page 432: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/432.jpg)
VII.3. Alternující rady
VII.3. Alternující rady
Veta 62 (Leibnizovo kritérium)Mejme radu
∑∞n=1(−1)nan. Necht’ platí
an ≥ an+1 pro každé n ∈ N,limn→∞ an = 0.
Potom∑∞
n=1(−1)nan konverguje.
Matematika II VII. Císelné rady 138
![Page 433: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/433.jpg)
VII.4. Hlubší vlastnosti absolutne konvergentních rad
VII.4. Hlubší vlastnosti absolutnekonvergentních rad
Matematika II VII. Císelné rady 139
![Page 434: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/434.jpg)
VII.4. Hlubší vlastnosti absolutne konvergentních rad
VII.4. Hlubší vlastnosti absolutnekonvergentních rad
DefiniceBudiž {kn} posloupnost prirozených císel taková, žekaždé prirozené císlo je v ní obsaženo práve jednou.Radu
∑∞n=1 akn nazveme prerovnáním rady
∑∞n=1 an.
Veta 63 (prerovnávání absolutnekonvergentních rad)Necht’ rada
∑∞n=1 an je absolutne konvergentní. Potom
každé její prerovnání∑∞
n=1 akn je absolutne konvergentnía platí
∞∑n=1
an =∞∑
n=1
akn .
Matematika II VII. Císelné rady 140
![Page 435: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/435.jpg)
VII.4. Hlubší vlastnosti absolutne konvergentních rad
VII.4. Hlubší vlastnosti absolutnekonvergentních rad
DefiniceBudiž {kn} posloupnost prirozených císel taková, žekaždé prirozené císlo je v ní obsaženo práve jednou.Radu
∑∞n=1 akn nazveme prerovnáním rady
∑∞n=1 an.
Veta 63 (prerovnávání absolutnekonvergentních rad)Necht’ rada
∑∞n=1 an je absolutne konvergentní. Potom
každé její prerovnání∑∞
n=1 akn je absolutne konvergentnía platí
∞∑n=1
an =∞∑
n=1
akn .
Matematika II VII. Císelné rady 140
![Page 436: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/436.jpg)
VII.4. Hlubší vlastnosti absolutne konvergentních rad
VII.4. Hlubší vlastnosti absolutnekonvergentních rad
DefiniceBudiž {kn} posloupnost prirozených císel taková, žekaždé prirozené císlo je v ní obsaženo práve jednou.Radu
∑∞n=1 akn nazveme prerovnáním rady
∑∞n=1 an.
Veta 63 (prerovnávání absolutnekonvergentních rad)Necht’ rada
∑∞n=1 an je absolutne konvergentní. Potom
každé její prerovnání∑∞
n=1 akn je absolutne konvergentnía platí
∞∑n=1
an =∞∑
n=1
akn .
Matematika II VII. Císelné rady 140
![Page 437: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/437.jpg)
VII.4. Hlubší vlastnosti absolutne konvergentních rad
Poznámka (Riemannova veta)Je-li rada
∑∞n=1 an neabsolutne konvergentní, pak pro
libovolné s ∈ R∗ existuje její prerovnání, jehož soucet je s,a existuje její prerovnání, které nemá soucet.
Matematika II VII. Císelné rady 141
![Page 438: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/438.jpg)
VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 142
![Page 439: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/439.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
VIII.1. Riemannuv integrál
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 143
![Page 440: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/440.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
VIII.1. Riemannuv integrál
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 144
![Page 441: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/441.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 144
![Page 442: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/442.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 144
![Page 443: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/443.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 144
![Page 444: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/444.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 144
![Page 445: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/445.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 144
![Page 446: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/446.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 144
![Page 447: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/447.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 144
![Page 448: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/448.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 144
![Page 449: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/449.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 144
![Page 450: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/450.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 144
![Page 451: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/451.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 144
![Page 452: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/452.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 144
![Page 453: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/453.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 144
![Page 454: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/454.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 144
![Page 455: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/455.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
DefiniceKonecnou posloupnost {xj}n
j=0 nazýváme delenímintervalu 〈a,b〉, jestliže platí
a = x0 < x1 < · · · < xn = b.
Body x0, . . . , xn nazýváme delícími body.
Rekneme, že delení D′ intervalu 〈a,b〉 je zjemnenímdelení D intervalu 〈a,b〉, jestliže každý delící bod D je idelícím bodem D′.
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 145
![Page 456: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/456.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
DefiniceKonecnou posloupnost {xj}n
j=0 nazýváme delenímintervalu 〈a,b〉, jestliže platí
a = x0 < x1 < · · · < xn = b.
Body x0, . . . , xn nazýváme delícími body.Rekneme, že delení D′ intervalu 〈a,b〉 je zjemnenímdelení D intervalu 〈a,b〉, jestliže každý delící bod D je idelícím bodem D′.
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 145
![Page 457: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/457.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
DefiniceNecht’ a,b ∈ R, a < b, funkce f je omezená na intervalu〈a,b〉 a D = {xj}n
j=0 je delení 〈a,b〉. Oznacme
S(f ,D) =n∑
j=1
Mj(xj − xj−1), kde Mj = sup{f (x); x ∈ 〈xj−1, xj〉},
S(f ,D) =n∑
j=1
mj(xj − xj−1), kde mj = inf{f (x); x ∈ 〈xj−1, xj〉},
∫ b
af = inf
{S(f ,D); D je delením intervalu 〈a,b〉
},∫ b
af = sup
{S(f ,D); D je delením intervalu 〈a,b〉
}.
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 146
![Page 458: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/458.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
DefiniceNecht’ a,b ∈ R, a < b, funkce f je omezená na intervalu〈a,b〉 a D = {xj}n
j=0 je delení 〈a,b〉. Oznacme
S(f ,D) =n∑
j=1
Mj(xj − xj−1), kde Mj = sup{f (x); x ∈ 〈xj−1, xj〉},
S(f ,D) =n∑
j=1
mj(xj − xj−1), kde mj = inf{f (x); x ∈ 〈xj−1, xj〉},
∫ b
af = inf
{S(f ,D); D je delením intervalu 〈a,b〉
},∫ b
af = sup
{S(f ,D); D je delením intervalu 〈a,b〉
}.
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 146
![Page 459: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/459.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
DefiniceNecht’ a,b ∈ R, a < b, funkce f je omezená na intervalu〈a,b〉 a D = {xj}n
j=0 je delení 〈a,b〉. Oznacme
S(f ,D) =n∑
j=1
Mj(xj − xj−1), kde Mj = sup{f (x); x ∈ 〈xj−1, xj〉},
S(f ,D) =n∑
j=1
mj(xj − xj−1), kde mj = inf{f (x); x ∈ 〈xj−1, xj〉},
∫ b
af = inf
{S(f ,D); D je delením intervalu 〈a,b〉
},∫ b
af = sup
{S(f ,D); D je delením intervalu 〈a,b〉
}.
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 146
![Page 460: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/460.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
DefiniceRekneme, že funkce f má Riemannuv integrál na intervalu〈a,b〉, pokud
∫ ba f =
∫ ba f .
Hodnota integrálu funkce f pres
interval 〈a,b〉 je pak rovna spolecné hodnote∫ b
a f =∫ b
a f .
Znacíme ji∫ b
af . Pokud a > b, definujeme
∫ b
af = −
∫ a
bf ,
v prípade, že a = b, definujeme∫ b
af = 0.
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 147
![Page 461: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/461.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
DefiniceRekneme, že funkce f má Riemannuv integrál na intervalu〈a,b〉, pokud
∫ ba f =
∫ ba f . Hodnota integrálu funkce f pres
interval 〈a,b〉 je pak rovna spolecné hodnote∫ b
a f =∫ b
a f .
Znacíme ji∫ b
af . Pokud a > b, definujeme
∫ b
af = −
∫ a
bf ,
v prípade, že a = b, definujeme∫ b
af = 0.
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 147
![Page 462: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/462.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
DefiniceRekneme, že funkce f má Riemannuv integrál na intervalu〈a,b〉, pokud
∫ ba f =
∫ ba f . Hodnota integrálu funkce f pres
interval 〈a,b〉 je pak rovna spolecné hodnote∫ b
a f =∫ b
a f .
Znacíme ji∫ b
af .
Pokud a > b, definujeme∫ b
af = −
∫ a
bf ,
v prípade, že a = b, definujeme∫ b
af = 0.
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 147
![Page 463: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/463.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
DefiniceRekneme, že funkce f má Riemannuv integrál na intervalu〈a,b〉, pokud
∫ ba f =
∫ ba f . Hodnota integrálu funkce f pres
interval 〈a,b〉 je pak rovna spolecné hodnote∫ b
a f =∫ b
a f .
Znacíme ji∫ b
af . Pokud a > b, definujeme
∫ b
af = −
∫ a
bf ,
v prípade, že a = b, definujeme∫ b
af = 0.
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 147
![Page 464: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/464.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
PoznámkaNecht’ D,D′ jsou delení intervalu 〈a,b〉, D′ zjemnuje D anecht’ f je funkce omezená na intervalu 〈a,b〉. Pak platí
S(f ,D) ≤ S(f ,D′) ≤ S(f ,D′) ≤ S(f ,D).
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 148
![Page 465: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/465.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
S(f ,D) ≤ S(f ,D′) ≤ S(f ,D′) ≤ S(f ,D).
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 148
![Page 466: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/466.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
S(f ,D) ≤ S(f ,D′) ≤ S(f ,D′) ≤ S(f ,D).
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 148
![Page 467: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/467.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
S(f ,D) ≤ S(f ,D′) ≤ S(f ,D′) ≤ S(f ,D).
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 148
![Page 468: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/468.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
S(f ,D) ≤ S(f ,D′) ≤ S(f ,D′) ≤ S(f ,D).
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 148
![Page 469: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/469.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
S(f ,D) ≤ S(f ,D′) ≤ S(f ,D′) ≤ S(f ,D).
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 148
![Page 470: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/470.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
PoznámkaNecht’ D,D′ jsou delení intervalu 〈a,b〉, D′ zjemnuje D anecht’ f je funkce omezená na intervalu 〈a,b〉. Pak platí
S(f ,D) ≤ S(f ,D′) ≤ S(f ,D′) ≤ S(f ,D).
Mejme nyní dve delení D1,D2 intervalu 〈a,b〉 a delení D′
zjemnující delení D1 i delení D2. Pak platí
S(f ,D1) ≤ S(f ,D′) ≤ S(f ,D′) ≤ S(f ,D2).
Odtud lze snadno odvodit∫ b
a f ≤∫ b
a f .
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 149
![Page 471: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/471.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
PoznámkaNecht’ D,D′ jsou delení intervalu 〈a,b〉, D′ zjemnuje D anecht’ f je funkce omezená na intervalu 〈a,b〉. Pak platí
S(f ,D) ≤ S(f ,D′) ≤ S(f ,D′) ≤ S(f ,D).
Mejme nyní dve delení D1,D2 intervalu 〈a,b〉 a delení D′
zjemnující delení D1 i delení D2. Pak platí
S(f ,D1) ≤ S(f ,D′) ≤ S(f ,D′) ≤ S(f ,D2).
Odtud lze snadno odvodit∫ b
a f ≤∫ b
a f .
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 149
![Page 472: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/472.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
PoznámkaNecht’ D,D′ jsou delení intervalu 〈a,b〉, D′ zjemnuje D anecht’ f je funkce omezená na intervalu 〈a,b〉. Pak platí
S(f ,D) ≤ S(f ,D′) ≤ S(f ,D′) ≤ S(f ,D).
Mejme nyní dve delení D1,D2 intervalu 〈a,b〉 a delení D′
zjemnující delení D1 i delení D2. Pak platí
S(f ,D1) ≤ S(f ,D′) ≤ S(f ,D′) ≤ S(f ,D2).
Odtud lze snadno odvodit∫ b
a f ≤∫ b
a f .
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 149
![Page 473: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/473.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
Lemma 64 (kritérium existence Riemannovaintegrálu)Necht’ f je funkce omezená na intervalu 〈a,b〉.(a)
∫ ba f = I ∈ R práve tehdy, když ke každému ε ∈ R,ε > 0 existuje delení D intervalu 〈a,b〉 takové, že
I − ε < S(f ,D) ≤ S(f ,D) < I + ε.
(b) Funkce f má na 〈a,b〉 Riemannuv integrál právetehdy, když ke každému ε ∈ R, ε > 0 existuje delení Dintervalu 〈a,b〉 takové, že
S(f ,D)− S(f ,D) < ε.
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 150
![Page 474: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/474.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
Lemma 64 (kritérium existence Riemannovaintegrálu)Necht’ f je funkce omezená na intervalu 〈a,b〉.(a)
∫ ba f = I ∈ R práve tehdy, když ke každému ε ∈ R,ε > 0 existuje delení D intervalu 〈a,b〉 takové, že
I − ε < S(f ,D) ≤ S(f ,D) < I + ε.
(b) Funkce f má na 〈a,b〉 Riemannuv integrál právetehdy, když ke každému ε ∈ R, ε > 0 existuje delení Dintervalu 〈a,b〉 takové, že
S(f ,D)− S(f ,D) < ε.
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 150
![Page 475: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/475.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
Tvrzení 65 (Riemannuv integrál a podintervaly)
(i) Necht’ funkce f má Riemannuv integrál na intervalu〈a,b〉 a necht’ 〈c,d〉 ⊂ 〈a,b〉. Pak f má Riemannuvintegrál i na intervalu 〈c,d〉.
(ii) Necht’ c ∈ (a,b) a funkce f má Riemannuv integrálna intervalech 〈a, c〉 a 〈c,b〉. Pak f má Riemannuvintegrál na 〈a,b〉 a platí∫ b
af =
∫ c
af +
∫ b
cf . (1)
PoznámkaVzorec (1) platí pro všechna a,b, c ∈ R, pokud existujeintegrál funkce f pres interval
⟨min{a,b, c},max{a,b, c}
⟩.
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 151
![Page 476: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/476.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
Tvrzení 65 (Riemannuv integrál a podintervaly)
(i) Necht’ funkce f má Riemannuv integrál na intervalu〈a,b〉 a necht’ 〈c,d〉 ⊂ 〈a,b〉. Pak f má Riemannuvintegrál i na intervalu 〈c,d〉.
(ii) Necht’ c ∈ (a,b) a funkce f má Riemannuv integrálna intervalech 〈a, c〉 a 〈c,b〉. Pak f má Riemannuvintegrál na 〈a,b〉 a platí∫ b
af =
∫ c
af +
∫ b
cf . (1)
PoznámkaVzorec (1) platí pro všechna a,b, c ∈ R, pokud existujeintegrál funkce f pres interval
⟨min{a,b, c},max{a,b, c}
⟩.
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 151
![Page 477: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/477.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
Tvrzení 65 (Riemannuv integrál a podintervaly)
(i) Necht’ funkce f má Riemannuv integrál na intervalu〈a,b〉 a necht’ 〈c,d〉 ⊂ 〈a,b〉. Pak f má Riemannuvintegrál i na intervalu 〈c,d〉.
(ii) Necht’ c ∈ (a,b) a funkce f má Riemannuv integrálna intervalech 〈a, c〉 a 〈c,b〉. Pak f má Riemannuvintegrál na 〈a,b〉 a platí∫ b
af =
∫ c
af +
∫ b
cf . (1)
PoznámkaVzorec (1) platí pro všechna a,b, c ∈ R, pokud existujeintegrál funkce f pres interval
⟨min{a,b, c},max{a,b, c}
⟩.
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 151
![Page 478: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/478.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
Tvrzení 66 (linearita Riemannova integrálu)Necht’ f a g jsou funkce mající Riemannuv integrál naintervalu 〈a,b〉 a necht’ α ∈ R. Potom
(i) funkce αf má Riemannuv integrál na 〈a,b〉 a platí∫ b
aαf = α
∫ b
af ,
(ii) funkce f + g má Riemannuv integrál na 〈a,b〉 a platí∫ b
af + g =
∫ b
af +
∫ b
ag.
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 152
![Page 479: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/479.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
Tvrzení 66 (linearita Riemannova integrálu)Necht’ f a g jsou funkce mající Riemannuv integrál naintervalu 〈a,b〉 a necht’ α ∈ R. Potom
(i) funkce αf má Riemannuv integrál na 〈a,b〉 a platí∫ b
aαf = α
∫ b
af ,
(ii) funkce f + g má Riemannuv integrál na 〈a,b〉 a platí∫ b
af + g =
∫ b
af +
∫ b
ag.
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 152
![Page 480: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/480.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
Tvrzení 67 (Riemannuv integrál a nerovnosti)Necht’ a,b ∈ R, a < b, a necht’ f a g jsou funkce majícíRiemannuv integrál na intervalu 〈a,b〉. Potom platí:
(i) Je-li f (x) ≤ g(x) pro každé x ∈ 〈a,b〉, pak∫ b
af ≤
∫ b
ag.
(ii) Funkce |f | má Riemannuv integrál na 〈a,b〉 a platí∣∣∣∣∫ b
af∣∣∣∣ ≤ ∫ b
a|f |.
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 153
![Page 481: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/481.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
Tvrzení 67 (Riemannuv integrál a nerovnosti)Necht’ a,b ∈ R, a < b, a necht’ f a g jsou funkce majícíRiemannuv integrál na intervalu 〈a,b〉. Potom platí:
(i) Je-li f (x) ≤ g(x) pro každé x ∈ 〈a,b〉, pak∫ b
af ≤
∫ b
ag.
(ii) Funkce |f | má Riemannuv integrál na 〈a,b〉 a platí∣∣∣∣∫ b
af∣∣∣∣ ≤ ∫ b
a|f |.
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 153
![Page 482: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/482.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
DefiniceRekneme, že funkce f je stejnomerne spojitá naintervalu I, jestliže platí
∀ε ∈ R, ε > 0 ∃δ ∈ R, δ > 0∀x , y ∈ I, |x − y | < δ : |f (x)− f (y)| < ε.
Tvrzení 68 (o stejnomerné spojitosti)Je-li funkce f je spojitá na omezeném uzavrenémintervalu 〈a,b〉, pak je stejnomerne spojitá na 〈a,b〉.
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 154
![Page 483: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/483.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
DefiniceRekneme, že funkce f je stejnomerne spojitá naintervalu I, jestliže platí
∀ε ∈ R, ε > 0 ∃δ ∈ R, δ > 0∀x , y ∈ I, |x − y | < δ : |f (x)− f (y)| < ε.
Tvrzení 68 (o stejnomerné spojitosti)Je-li funkce f je spojitá na omezeném uzavrenémintervalu 〈a,b〉, pak je stejnomerne spojitá na 〈a,b〉.
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 154
![Page 484: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/484.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
Veta 69 (existence Riemannova integrálu)Necht’ funkce f je spojitá na intervalu 〈a,b〉, a,b ∈ R. Pakf má Riemannuv integrál na 〈a,b〉.
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 155
![Page 485: Matematika II - msekce.karlin.mff.cuni.czmsekce.karlin.mff.cuni.cz/~barta/FSV/mat2_ls14/Matematika_II... · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022051721/5a7b9b0d7f8b9ae9398c1a0e/html5/thumbnails/485.jpg)
VIII.1. Riemannuv integrál
Veta 70 (Riemannuv integrál a derivace)Necht’ f je spojitá funkce na intervalu (a,b) a necht’
c ∈ (a,b). Oznacíme-li F (x) =∫ x
cf (t) dt pro x ∈ (a,b),
pak F ′(x) = f (x) pro každé x ∈ (a,b).
Matematika II VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál 156