matematika lanjut 1 sistem persamaan linier dosen :...
TRANSCRIPT
MATEMATIKA LANJUT 1SISTEM PERSAMAAN LINIER
Dosen :Fitri Yulianti, SP. MSi
Persamaan linierDefinisiN buah variable x1, x2, …, xn yang dinyatakan dalam bentuk :
a1x1 + a2x2+…+ an xn=bdisebut persamaan linier, dengan a1, a2, … ,an dan b adalah konstanta-konstanta riil.Sekumpulan nilai/ harga sebanyak n yang disubtitusikan ke n variable : a1=k1, x2=k2 … xn=kn sedemikian sehingga persamaan tersebutterpenuhi, maka himpunan nilai tersebut (k1, k2, … kn) disebuthimpunan penyelesaian (solusi set).Contoh
2x1 + x2 + 3x3=5x1=1; x2=0; x3=1 (1,0,1) solusix1=0; x2=5; x3=0 (0,5,0) solusix1=2; x =1; x3=0 (2,1,0) solusi
suatu persamaan linier bisa mempunyai solusi >1.
DefinisiSebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linier didalam n variable: x1, x2, …, xndisebut sistem persamaan linier.
Sistem persamaan linier yang tidak mempunyai solusidisebut inconsisten. Sedangkan sistem persamaanlinier yang mempunyai paling sedikit sebuah solusidisebut consisten.Misal ada 2 persamaan dengan 2 variabel.
P1: a1x1+ a2x2=b1 (a1, a2≠0)P2: c1x1+ c2x2=b2 (c1, c2≠0)
Jika kedua persamaan tersebut dinyatakan dalamgrafik, maka:
U2
X1
U2
X1
U2
X1
P1
P2
Inconsisten
P1P2P2
Konsisten
Penyajian SPL dengan persamaan matriks
a11x1 + a12x2 + a13x3 +…+a1nxn= b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 +…+a2nxn = b2
:am1x1 + an2x2 + an3x3 + …+annxn = bm
x = b =
matriks koefisien
SPL umum:
a11 a12 a13 a1n
a21 a22 a23 a2n:
am1 am2 am3 amn
x1
x2
:
xm
b1
b2
:
bm
A =
Ax = b
Penyajian SPL sebagai matriks augmented
a11x1 + a12x2 + a13x3 +… + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 +… + a2nxn = b2
:am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn = bm
matriks augmented
a11 a12 a13 … a1n b1
a21 a22 a23 … a2n b2:.am1 am2 am3 … amn bm
SUSUNAN PERSAMAAN LINIER
HOMOGENAX=0
NON HOMOGENAX=B, B≠0
SELALU ADA JAWAB TAK PUNYA JAWABR(a)≠r(A,B)
MEMPUNYAI JAWAB
JAWAB HANYA JAWAB TRIVIAL
(NOL);R=N
SELAIN JAWAB TRIVIAL, ADA JUGA JAWAB NONTRIVIAL R<N
JAWAB UNIK(TUNGGAL)
R=N
BANYAK JAWAB
R<N
Untuk menyelesaikan persamaan linier menggunakan metode ”Gauss. Jordan” yaitu: merubah matriks augmented (A|B) menjadi matriks eselon terreduksi dengan cara melakukan transformasi elementer.
Bentuk umum: Ax = B, dimana B≠0Sistem Persamaan linier non homogen akan mempunyai jawab bila :Rank(A) = Rank(A|B)Contoh ;1. carilah titik persekutuan garis. -3x+6y = -9 dengan garis. x-2y = 3
Jawab: -3x+6y=-9
x-2y=3Dalam bentuk matriks=
0:003:21
B 9:63
3:21B
3:219:63-
B)|(A
BxA 39
2163
~
(3)21
~12
atauyx
R(a)=r(A|B)=1 r<nJumlah variabel=2 1<2
Jadi jawabnya tidak tunggal.
Sistem Persamaan Linier Non Homogen
Contoh2. Selesaikan sistem persamaan linier non homogen
Di bawah ini :
Jawab :
4 2x 4x 2x3 x 3x 4x1 2x x 3x2 x 2x x
321
321
321
321
B xA
4312
xxx
242134213
121
3
2
1
4242313412132121
~
)3(21B
~
)4(31B
~
)2(41B
000055505550
2121~
)5/1(2B
00005550
11102121
00005550
11102121
~
)2(12B
)11(32B
0000660011100101
~
)6/1(3B
0000110011100101
~
)1(13B
)1(23B
0000110000101001
Rank (A) = R (A|B) = 3 =banyaknya variabelJadi jawabnya tunggalMatriks lengkap di atas menyatakan:
Sehingga sebagai penyelesaiannya : 1 x 1 x 0x 0x0 xatau 0 0x x 0x
1 x 1 0x 0x x
3321
2321
1321
101
xxx
x
3
2
1
Sistem Persamaan Linier HomogenBentuk umum: Ax = 0, yaitu:a11 x1 + a12 x2 + ... a1n xn = 0a21 x2 + a22 x2 + ... a2n xn = 0
am1 xm+am2 xm + ... amn xn = 0Atau=
0
00
2
1
2
22221
11211
nmnmmn
n
n
x
xx
aaa
aaaaaa
Matriks A berukuran (m x n)Matriks x berukuran (n x 1)Matriks o berukuran (m x 1)Karena matriks lengkapnya (A|Õ) maka akan selalu berlaku rank (A)=rank (A|Õ). Sehingga sistem persamaan linier homogen selalu mempunyai jawab (konsisten).
Contoh1. Selesaikan sistem persamaan linier dibawah ini :
Jawab :
Sehingga solusinya :Yaitu solusi trivial atau
0 x 2x x0 2x x x
0 x x x
321
321
321
000
xxx
121211111
atau
3
2
1
012102110111
0)|(A ~
)1(21B
)1(31B
001001000111
~23B
010000100111 ~
)1(12B
)1(13B
010000100001
0 x 0x 0x0 0x x 0x0 0x 0x x
321
321
321
0 x, 0 x, 0 x 321
0 x
2. Selesaikan sistem persamaan linier di bawah ini :
Jawab :0 x x2x0 4x 2x 3x x0 x x x x
431
4321
4321
000
xxxx
1102
42311111
atau
4
3
2
1
011020423101111
0)|A(~
)1(21B
)2(31B
031200312001111
~
)1(32B
Rank (A) = (A|0) = 2< n = 4jadi solusinya tidak tunggal(banyak)
000000312001111
~
)2/1(2B
0000002/32/11001111
~
)1(12B
0000002/32/11002/12/101
0 x23 x
21 x 0x
0 x21 x
21 0x x
4321
4321
432
431
x23 x
21 x
x21 x
21x
Dimana : x3 dan x4 bebas.
Sehingga :
Berlaku untuk setiap bilangan riil a & b
b 23 a
21- x
b 21 a
21- didapat x
b dan x a untuk x
2
1
43
103/2-
1/2
b
011/2-1/2-
a
b0a0ba
3/2b-1/2a-1/2b1/2a-
xxxx
x
4
3
2
1