UNIVERZITET U BEOGRADUMATEMATIČKI FAKULTET

SEMINARSKI RAD

MATEMATIKA MESOPOTAMIJE IEGIPTA

Profesor: Student:Zoran Lučić Branislav Popović

Beograd 73/012007.

PRAISTORIJA MATEMATIKE

Kažu da se najkraći tečaj iz istorije matematike sastoji od jedne ironičnerečenice   koja   glasi:   “U   početku   brojahu   ovce,   a   potom   su   se   stvariiskomplikovale.”   Očigledno,   ovaj   pretenciozni   aforistički   uvid   u   tako   složenumateriju želi da saopšti da matematika mora početi sa brojanjem. Nije, međutim,razumno tvrditi da su svako brojanje ili svaka primitivna računica naših predakabili baš matematika.

Naime, samo kada postoji način da se takvo brojanje, kakva računica ili,pak, kakvo merenje učine trajnim, da se prenesu u znake, simbole, ima osnovada se veruje da je nastala i matematika. Zato je matematika nastajala uporedosa nastankom pismenosti.

 Matematiku, pa shodno tome i nastanak matematike, treba razlikovati odmatematičkih znanja ili njihovog nastanka. Postoji jaka osnova da se poveruje dasu   neka   matematička   znanja   –   recimo   sled   brojanja   i   raspoznavanje   nekihosnovnih   geometrijskih   odnosa   –   bila   u   posedu   ljudske   vrste     još   u   zoručovečanstva. O tome svedoče ne samo zapisi i zarezi na zeolitskoj grnčariji ilipredmeti poput rabosa – drvenog štapa na kome su se zarezima upisivali brojevi– nego i veoma kompetentna antropološka, psihološka pa i biološka istraživanja.

Tako, recimo, Pijažeova istraživanja psihologije dece u razvoju pokazujuda i  sasvim mala deca,  nevezano za vaspitanje   i  obrazovanje,   imaju  izvesnamatematička znanja. Ako, pak, reč  “znanje”  izaziva podozrenje,   jer se čini dapretpostavlja   civilizacijsku   sofisticiranost,   možemo   je   zameniti   i   izrazom“sposobnost”.

Matematika kakvom je mi danas znamo rezultat  je procesa i  delatnostistotina generacija ljudske vrste, koji je započeo verovatno pre dvadesetak hiljadagodina kada je naša vrsta Homo Sapiens Sapiens došla glave kromanjoncima,neandertalcima   i   ostalim   srodnicima   iz   familije  Homo  i   definitivno   zavladalazemljom.

Sva je prilika da je matematika nastala kao praktična delatnost pogodna ipotrebna u snalaženju sa većim količinama predmeta. Sasvim je jasno da mi onjenim počecima, koji su sigurno u predistorijskom dobu, možemo imati samoposredne   podatke.   Pod   “posrednim   podacima   “   obično   se   podrazumevaju

2

arheoloski nalazi, etnografski atavizmi i matematička znanja pojedinih primitivnihnaroda i plemena koji su se, tu i tamo, po Polineziji i prašumama Amazona, jošuvek održali ne podlegavši ofanzivi renesanse, a nekoliko vekova kasnije i koka–  kole.  No,  čak   i   da   ti   posredni   podaci  ne  postoje,  naša   intuicija,   poduprtaosmatranjem   razvoja  matematičkih   znanaj   ljudskih   bića u   rastu   i   stasavanju,sasvim je dovoljna da shvatimo kako se prvih matematičkih znanja verovatnodošlo, ili da se izrazimo još otvorenije, kako je do njih zapravo moralo doći.

Prva matematička znanja morala su biti povezana sa brojanjem. Veštinubrojanja imaju čak i neke razvijenije životinje1, o majmunima da i ne govorimo, pazašto   ne   bi   i   ljudi?   Merenje,   pak,   težina,   dužina   i   površina,   pa   –   kasnijeverovatno – i zapremina, nastalo je, sasvim sigurno, posle brojanja, kada su serazvili   trgovina   i   zanatstvo.   U   tom   smislu   je   nastanak   matematike   višeantropološka   nego   istorijsko   –   matematička   činjenica   jer   ljude   koji   čine   bilokakvu, makar i najprimitivniju plemensku zajednicu, ne možemo ni zamisliti beznekih   matematičkih   znanja.   Stoga   težak   i   hvale   vredan   ali,   valja   priznati,matematičarima ne mnogo interesantan posao istraživanja početaka matematiketreba prepustiti antropolozima.

Praistorija matematike, dakle, pripada antropologiji.

Kada, međutim, počinje istorija matematike?

Razume se, tek kada počne zapisivanje matematičkih znanja. Jer, kao isvaka   istorija   neke   delatnosti,   ona   ne   može   početi   pre   opšte   istorije,   prenastanka pismenosti i organizovanih društava.

Eto, dakle, još jednog argumenta u prilog tezi da uporedo sa nastankompisma   nastaje   matematika   tako   što   se   već   postojeća   matematička   znanjazapisuju i beleže.

Pismo   je,   u   to   nema   nikakve   sumnje,   nastalo   skoro   istovremeno   narazličitim tačkama Zemljine kugle, negde oko 3.000 godina p.n.e.

__________

                       1 Klasična matematička skaska govori o vrani i seljaku – možda otmenost nalaze dagovorimo o “farmeru”!? Vrana je kljucala useve i seljak je odlučio da je upuca. Sakrio se pod drvo ivrebao je. Vrana ga je videla i nije se pojavljivala čekajući da seljak (i njegova puška) odu. Seljakje potom doveo svoju ženu, a zatim je poslao da ode na očigled vrane. Nije pomoglo. Vrana jeshvatila da je još neko ostao pod drvetom. Seljak je ponovio eksperiment sa dvojicom, trojicom…sedmoricom prijatelja. Kada je sedmi otišao, vrana je pomislila da više nema nikoga i krenula “uštetu”. Seljak ju je tada upucao. Zaključak: vrana zna da broji do 7.

3

Pronalazak pisma je u izvesnom smislu kulminacija, skoro biološki trijumfljudske   vrste,   koja   je,   u   savremenom   smislu,   nastala   pre   otprilike   nekolikodesetina hiljada godina2. Pre oko 10.000 godina p.n.e. naša planeta je izašla izposlednje glacijacije, poslednjeg ledenog doba i ušla u period relativno umereneklime.  Ovaj  period  meteorolozi   i  geolozi  nazivaju  halocenom interglacijacijom,ironično nam time naglašavajući da živimo između dva ledena doba, te da valjanaše potomstvo pripremati za nadolazeću dugu zimu. Istina, ne odlučuju se danam otkriju tajnu kada će ona nastupiti, za desetak ili stotinak hiljada godina.Bilokako bilo, na izlasku iz glacijacije svetlo dana je ugledalo nekoliko podvrsta vrsteHomo. Naš predak Homo Sapiens Sapiens očigledno se pokazao snalažljivijim iveštijim od ostalih konkurenata za vladanje planetom i – antropolozi  moderneškole tako smatraju – istrebio ostale podvrste, čije ostatke nalazimo u pećinamapoput  Altamire,  Krapine   ili  Kromanjona.  Uništivši  kromanjonce,  neandertalce   injima slične,  Homo Sapiens Sapiens  je krunisao razvoj roda  Homo,  za čije sepočetke veruje da dospevaju unazad čak dva miliona  godina.Događaji od tada,očigledno,   dobijaju   na   ubrzanju.   Za   sedam   –   osam   hiljada   godina  čovek   jeovlada upotrebom osnovnog drvenog, koštanog i kamenog alata, koji su, istina,poznavali i kromanjonci i neandertalci, ali je izveo i nešto mnogo spektakularnije– urbanu revoluciju. Kroz urbanu  revoluciju iz pećina i nestalih staništa počeo daživi   u   stalnim   naseljima,   sa   građenim   kućama   i   ovladao   poljoprivrednomproizvodnjom.   Prema   sadašnjim   saznanjima,   negde   oko   3500.   god.   p.n.e.ovladao je i upotrebom točka, što mnogi istoričari i antropolozi smatraju prvomtehnološkom revolucijom u istoriji ljudske vrste.Pretpostavlja se da je u perioduod poslednje glacijacije do vremena pronalaska točka “pronađen” i govorni jezik.Arheološki nalazi  ne mogu nam pružiti  podatke o tome kada se to dogodilo  ikoliko je i da li je proces stvaranje jezika bio dug ili mučan. Stoga se stručnjacimeđu sobom spore nemajući  ni za jedno gledište čvrsto uporište u istorijskommaterijalu kojim danas raspolažemo. Po jednima je to zaista obavljeno u dugomprocesu koji je kulminirao stvaranjem pisma. Po drugima, pak, govorni jezik jestvoren skoro trenutno, negde u vreme pronalaska točka, i odmah posle toga sepojavila potreba za znakovnim, simboličkim zapisivanjem jezika. Kako god da sedesilo, period između 3000. i 2000. god. p.n.e. obeležen je pojavom pisma.

__________                       2 U sporove među antropolozima umešala se u novije vreme i genetika. Zahvaljujućinapretku u sekvenciranju ljudskog genoma, analizom ostataka mitohondrijske DNK u ostacimanaših  predaka, stiglo se do danas vladajuće teorije  da  je Homo Sapiens Sapiens nastao pre50.000 do 80.000 god. mutacijom u centralnoj Africi,  a zatim se postepeno proširio na čitavuplanetu, najpoznije stigavši u Severnu Ameriku – negde pre 7.000 godina. Kako ne postoje ostaciDNK iz ćelijskih jezgara, ne možemo pouzdano znati d li su kromanjonci i neandertalci, recimo,mogli da se mešaju sa našom vrstom ili ne. Moguće je da će buduća istraživanja korigovati ovajvladajući model, ali će on, verovatno, u glavnim crtama opstati.

4

Nastankom   pisma,   negde   u   trećem   milenijumu   p.n.e.,   stvorile   su   sepretpostavke da se i matematička znanja zapisuju, i tako je nastala matematika.

Međutim, i to je ono što matematiku čini tako važnom, tako osnovnom uistoriji kulture, istorija matematike počinje istovremeno s istorijom čovečanstva.Jer, sva nama poznata društva koja su, nekoliko hiljada godina pre naše ere,došla do neke sopstvene pismenosti ili je pozajmila od razvijenijeg suseda, međuprvim pisanim dokumentima koje su  iza  sebe ostavila,  ostavila  su zapisana  isvoja osnovna matematička znanja. Drukčije rečeno, ko god je ulazio u istoriju,ko god se objavljivao na oglasnoj tabli pretendenata na civilizacijski presto, međupreporukama   je   obavezno   imao   i   bar   prelaznu   ocenu   iz   matematike.Usavremenoj   istoriografiji  postoji  običaj  da  se  za   ta  društva  upotrebljava  naziv“civilizacije”,  u pluralu,  za razliku od savremene svetske civilizacije za koju seupotrebljava naziv u singularu. Istoričari se drže ove jezičke konvencije samo izjednog   razloga.   Pretpostavlja   se,   naime,   da   su   se   prve   civilizacije   razvijalerelativno autonomno – mada, naravno, nema spora da su među nekima od njihpostojale izvesne komunikacije – te da je svaka do svojih prvih znanja stizalaopet relativno samostalno. Stoga je za svakog istoričara matematike, a biće dapravilo  važi   i  za druge delatnosti   i  oblasti  saznanja,  komparativno  izučavanjematematičkih  znanja  prvih  civilizacija od ogromnog značaja  jer se  tako  možespoznati   koja   znanja   moraju   nastati   nužno,   skoro   nezavisno   od   posebnihistorijskih uslova u kojima se neka civilizacija razvijala. Ta nužnost se, prirodno,gubi   i  bledi  u  savremenoj  civilizaciji,  koja  je s antičkim svetom započela,  a srenesansom utvrdila proces objedinjavanja čitave svetske kulture u jednu.Prvecivilizacije, naravno one koje su uspele ili da prežive ili da do nas bar dobaceinformacije  o  sebi,  nastale  su  u  dolinama vellikih   reka  na  severnoj  Zemljinojpolulopti  i nekoliko hiljada  godina pre naše ere. Plodne doline reka su očiglednopogodovale stabilnijem načinu pribavljanja hrane – zemljoradnji.  Za razliku odnomadskih naroda koji su bili stalno u pokretu prenoseći sa sobom svoja stada,porodice i kulturu, zemljoradnja je u dolinama velikih reka vezivala stanovništvoza   stalna     staništa   i   omogućavala   da   više   generacija   prenosi   iskustvapotomcima. Osim toga, oko takvih stalnih područja, na kojima je generacijamaživeo isti narod, mogli su se izgraditi   i administrativna uprava, građevinarstvo,zanatstvo. Mogao se, dakle, razviti niz onih delatnosti koje čine državu. Sigurnoje i da su nomadi nosili isti intelektualni potencijal, ali sve dok se nisu nastanili unekom   području   i   postali   zemljoradnici,   od   njih   nismo   mogli   dobiti   nikakvumaterijalnu kulturu ili nasleđe.

Čitava kasnija istorija sveta je izgledala slično opisanoj slici, sve do krajaprvog milenijuma naše ere. Starosedeoci zemljoradnici  su živeli  na svom tlu igradili svoje države dok su ih nomadi opsedali, napadali I pljačkali da bi se nakraju i sami, ako osvoje neku zemlju, stapali sa starosedeocima preuzimajući  inastavljajući njihovu kulturu.

5

Prve poljoprivredne civilizacije su nastale nekoliko hiljada godina pre našeere u dolinama velikih reka ali valja znati da su se u savremenoj istoriografiji sveove vremenske procene u znatnoj meri skratile. Naime, istoričari Stare Grčke, ameđu njima se ističe Herodot, prvi imenom zabeleženi istoričar  koga su nazivali“ocem istorije” ali i “ocem laži”, što pokazuje da su istorija i njeni  falsifikati rođeniistovremeno, verovali su da je, recimo, egipatska država, u trenutku kada su Grciza nju saznali, postojala već 15.000 godina. Savremena istoriografija je, skoro sapotpunom pouzdanošću, dokazala da je egipatska država, nastala u dolini Nila,mnogo   mlađa   i   da   je   nastala   otprilike   3.000   godina   pre   naše   ere.   Skoroistovremeno,  a  najviše nekoliko  stotina  godina  ranije,  u  Mesopotamiji,  u  slivuTigra   i   Eufrata,   Sumeri3  su   započeli   seriju   država   i   naroda   nastalihdoseljavanjima i mešanjem, od kojih su nama najpoznatiji Vavilonjani i njihovadržava.  Na sasvim drugom kraju  Evroazijskog kopna Kinezi  su otpočeli  svojucivilizaciju u dolini reke Jang Ce otprilike 1.500 godina p.n.e., a nešto kasnije,oko 1.000 godina p.n.e., u dolii reke Inda nastaje Indija.Sve ove civilizacije surazvile pismo i, u interakciji s njim, standardizovale svoj govorni jezik, što im je –nema sumnje – omogućilo neuporedivo brži razvoj od drugih takmaca u borbi zasvetsku  dominaciju.   Uostalom,  dovoljno   je   uporediti   njihov  uticaj   na   nas   sa,recimo, uticajem civilizacija Inka, Maja, Asteka i inih bezimenih starosedelačkihnaroda obeju Amerika,  koje  su u pojedinimtrenucima  istorije  zauzimale velikedelove američkog kontinenta ali nisu imale pismo, pa razumeti koliko je pismoodlučujuće za razvoj komunikacija i prenos informacija i, konačno, za moć kojaomogućuje  vladanje.Nije  bez  značaja  ni   vrsta  pisma koju   je   razvila  pojedinacivilizacija.  Zora  istorija   je  osvetlila  dve vrste pisma –  piktografsko   i  fonetsko.Prvo,   piktografsko   –   a   koriste   se   i   izrazi  ideogramsko   i   hijeroglifsko  –karakteristično  je za egipatsku  ili  kinesku kulturu.  U njemu se posebni  znači,uglavnom nastali pojednostavljivanjem slikovnih predstava predmeta ili osobina,koriste   za   zapisivanje,   teško   je   reći   govora,   već   pre   nekog   sleda   misli   iliobjašnjenja.   Iako   se,   van   svake   sumnje,   i   oko   ovakvog   pisma   može   razvitiveoma složen pisani jezik – uostalom savremena kineska ili japanska  kultura  Idalje počivaju na takvom, istina veoma redukovanom I na apstrakcije svedenompiktografskom pismu – jasno je da je takvo pismo neka vrsta “slepog creva” ucivilizacijskom   napretku.   Druga   vrsta   pisma,  fonetsko,   neki   ga   nazivaju   ilinearnim,   slogovnim,   znatno   je   pogodnija   za   stvaranje   složenih   zapisa   jer,naprosto koristeći  posebne znake, danas  ih nazivamo slovima, za zapisivanjepojedinih glasova ili slogova jezika, omogućava neuporedivo elastičnije baratanjesa zapisima.Konačno, ta vrsta pisma je i ovladala savremenom civilizacijom.

_________

            3 Ili “Sumerci”, u drugoj od mogućih varijanata transliteracije na srpski.

6

Linearno, odnosno slogovno pismo, kako ćiriličko, tako i latiničko, koje jedanas najrasprostranjenije4  u svetu, razvili su iz egipatskih hijeroglifa Fenićani,mali narod s obala  jugoistočnog Mediterana, sredinom drugog milenijuma prenaše ere. Sam naziv alfabet i potiče od naziva prvih slova feničkog pisma, alef ibet, a koji su ostali isti ili slični  ­ alfa ( ) i beta ( ), odnosno “a” i “be” – u svimα βsledujućim pismima – prvo u grčkom, od kojeg se razvila ćirilica, a potom i urimskom,   od   kojeg   se   razvila   savremena   latinica.Četiri   velike   poljoprivrednecivilizacije ostavile su za sobom nepotpun ali   ipak dovoljan pisani  materijal   izkojeg se može saznati stanje njihove matematike. On  što povezuje matematikusve četiri civilizacije  Egipat, Mesopotamiju, Indiju i Kinu – jeste okolnost da je zanjih  matematika  pre  svega  praktična  delatnost.  Oni  su  matematiku  shvatali   ikoristili na sličan način kako se, recimo, danas koriste tehnika i prirodne nauke.Neki od njih su imali prilična matematička znanja – u Vavilonu, u Mesopotamijije, recimo, bila poznata Pitagorina teorema – ali oni nisu stigli do potrebe da taznanja dokažu.  Dokaz,   izvođenje,  dedukcija,  bili  su  im sasvim strani   i  oni  sumatematička   znanja   shvatali   kao   činjenice   do   kojih   se   dolazi   empirijski   ,otkrivanjem,   otprilike   na   isti   način   kako   je   u     Egiptu   otkrivena   mogućnostupotrebe poluge za podizanje teških predmeta, bez posebnih razmišljanja zaštoje to tako i kakva bi zakonitost, pravilnost, mogla stajati iza tih osobina poluge.Triod ove četiri civilizacije – Egipat, Kina i Indija, koristile su očigledno nezavisnojedna od druge, desetični  brojni sistem – sistem, dakle, s osnovom deset.  Tomnoge   istoričare   matematike   navodi   na   pomisao   da   su   prvo   sredstvo   zaračunanje,   prvu   računaljku,   činili   prsti   obe   šake.   Objašnjenje   deluje   priličnoubedljivo, ali ne svedoči o osobitoj nužnosti takvog razvoja matematike jer se, naprimer,   u   Mesopotamiji   razvio   šezdesetični   brojni   sistem,   sistem   s   osnovomšezdeset5.   Iako   nam   ne   pada   napamet   nikakvo   razumno   objašnjenje   takvepojave, ovaj sistem je ostavio nemale tragove i u savremenoj civilizaciji. Podelasata na minute i sekunde, kao I podela ugaone meere stepena na iste delove,nasleđena   je  odatle.Osim  razvijenih  veština  baratanja  sa  brojevima,   sve  ovecivilizacije   su   imale   i   razvijenu   geometriju,   koja   se   svodila   na   procedureizračunavanje dužina i površina, što je sasvim očekivano s obzirom na značajovakvih znanja u poljoprivredi.

_________

                   4  Koristi ga, u raznim nebitno različitim varijantama, oko 80% stanovnika naše planete.                                       5  Antropološka i arheoloska istraživanja pokazuju da su postojale, pa čak i da još uvekpostroje u izolovanim prostorima Amazonije, pacifičkih ostrva ili Afrike, kulture i plemena koji suimali brojevne sisteme sa osnovama 2, 3 ili 5.

7

Još jedna nauka, veoma povezana sa matematikom, razvijala se u ovimcivilizacijama, istina u znatnijoj meri u Mesopotamiji  i Egiptu nego u Kini i Indiji.To je astronomija. Vavilonjani su čak stotinama godina osmatrali nebo i beležilipodatke, što je od ogromnog značaja za poznije generacije astronoma jer se bezistorijata kretanja onih nebeskih tela koja sporo menjaju svoj uzajamni položaj nanebu astronomija praktično ne može ni razvijati. Sasvim sigurno da je pogled nanoćno nebo nezagađeno svetlošću gradova za naše pretke bio spektakularandogađaj,   a   ne   treba   zaboraviti   da   su   astronomska   znanja   veoma   važna   uodređivanju  sezonskih promena klime – godišnjih  doba – značajnih  za svakupoljoprivrednu civilizaciju.

Tako,   dakle,   počinje   istorija   matematike.   Ni   o   kakvoj   se   filozofijimatematike tada ne može govoriti   jer  se,  konačno,  ni  o kakvoj   filozofiji  u  timdruštvima ne može govoriti. Preiznije, ako je i postojala, do nas nikakvi podacinisu došli.

Međutim, za početke filozofije pa i kulture uopšte u svakoj civilizaciji je odosnovnog   značaja   religija.   Religija,   na   određeni   način,   predstavlja   preteću   ifilozofije   i   nauke.  O nastanku   religije,  o   njenim značenjima,  o  ulozi  u  životučitavih   društava   ali   i   pojedinaca,   o   njenoj   interakciji   sa   psihom,   raspravljajugeneracije   istraživača,   pa   se   ne   usuđujemo  da   se   u   tu   raspravu   uključimo.Međutim, sasvim je  jasno da je religija,   između ostalog,   i  pokušaj objašnjenjapojavnog sveta. Čovek je, nema sumnje, od trenutka kada je stekao ono što sekonvencionalno naziva svešću bivao začuđen  ili  bar  zapitan nad fenomenimakoji   ga   okružuju.   Očigledno   je   da   se   religija   pokazala   kao   najlakši   inajjednostavniji   izlaz  iz tog kruga pitanja.Pripisati  natprirodnom volju  i pripisatimoć   imaginarnim   bićima   koja   stvaraju   pojavni   svet   bilo   je   i   najlakše   inajrasprostranjenije.Uostalom,  sva  nama poznata  društva   imala  su  neki  oblikreligije i religioznosti. I četiri velike, prve civilizacije istorijskog perioda, naravno,ne zaostaju za njima. Čak, uz malo razumljivog uprošćavanja, možemo reći dasu matematika i religija dve kulturne paradigme kojima je raspolagala svaka naZemlji postojeća civilizacija.

Poput matematike, i religija prvih civilizacija je bila prilično jednostavna i,moglo   bi   se   reći,   pragmatična,   skoro   empirijska.   Sve   te   civilizacije   su   bilepoliteističke,   mnogobožačke,   ako   taj   termin   uopšte   ima   smisla.   Naime,božanstva kojima su se pripisivale natprirodne moći bila su “pravljena” po “liku iobličju”  čoveka  i  njegovog sveta.  Bila  su  ili  u  lljudskom  ili  u životinjskom ili  unekom   kombinovanom   “kentaurolikom”   obličju.   Božanstva   su   imala   jasnoomeđen “delokrug rada”  i svako  je bilo “zaduženo” za po neku važniju oblastživota   ili   prirodnu   pojavu.   Jedan   bog   je   upravljao   Suncem,   druga   boginjaMesecom, treći  bog vetrovima, dok je četvrta boginja mogla biti  zadužena zaplodnost zemlje, a peti bog za prosleđivaje mrtvih na onaj svet. Zanimljivo je da

8

su, poput sličnih matematičkih znanja, i sve prve civilizacije imale sličnu shemupanteona,   što   svedoči   da   u   razvoju   ljudskih   zajednica   postoje   neke   opšteantropološke   zakonitosti   koje   su   neizbežne   čak   i   kod   uzajamno   udaljenih,izolovanih i rasno različitih društava.

Cinik bi rekao da smo ovim samo pokazali da nije trebalo ni da se bavimopočecima matematike  u   istorijskom periodu  jer,  kao što počeci  matematike  upredistorijskom periodu  pripadaju  antropologiji,   tako   joj   i   religija   i  matematikaistorijskih početaka takođe legitimno pripadaju.

Ovaj uvod ima, međutim, jednu drugu svrhu. Cilj mu je da čitaocu predočinačin i naočari kojima će u buduće posmatrati ono čime se knjiga bavi.

Pomenuli smo da su sve četiri velike poljoprivredne civilizacije – Egipat,Vavilonija,   Kina   i   Indija   –   imale,   skoro   odmah   po   nastanku   pismenosti,   imatematiku. O matematici  ovih civilizacija, pa  i o matematici  manje   poznatihlatinoameričkih, azijskih i pacifičkih civilizacija, postoji veoma obimna i podrobnaliteratura kojoj se zainteresovani čitalac može obratiti.

Nas će, ovde, u svrhu izlaganja materije kako smo je zamislili, zanimatipre   svega   takozvani   glavni   tok.   Pod   glavnim   tokom   podrazumevamomatematička znanja koja čine matematiku savremene civilizacije a ona je, skoroisključivo, nastala na tradicijama i nasleđu grčke matematike. Čak se, bez imalopreterivanja,  može reći  da je matematika,  kakvom je danas znamo, nastala uGrčkoj negde na prelazu iz sedmog u šesti vek pre naše ere i da su na njenostvaranje osim Grka uticale još samo mediteranske kulture.

Stoga   ćemo   od   predgrčkih   civilizacija   pažnju   posvetiti   samomesopotamskoj i egipatskoj matematici jer su jedino one uticale na razvoj grčkematematike.

9

POČINJE ISTORIJA MATEMATIKE

MATEMATIKA MESOPOTAMIJE

Mesopotamija  – grčki  doslovno znači:   “(zemlja)   između  (dveju)   reka”  –plodna je ravnica između reka Tigra i Eufrata na Arabijskom poluostrvu, koja jesada središnji deo Iraka. Danas je u istoriografiji sasvim nesporno da je na tomtlu, između 4.000 god. p.n.e. pa do početka naše ere, živela mešavina narodakoja je nastala doseljavanjem raznih naroda na veoma privlačno mesto. Sasvimje, takođe, nesporno da su oni  stvorili kulturu koja  je ostavila kapitalan trag usvetskoj   istoriji.  Za   razliku  od  egipatske,  epicentar  države  u  Mesopotamiji   sestalno pomerao po Međurečju6.

Međurečje   je   kolevka   ljudske   civilizacije.  Naime,   na   toj   teritoriji   su   setokom četvrtog  milenijuma pre  naše ere  prvi  put  odigrali  događaji  koji  su  sekasnije, sa skoro matematičkom pravilnošću, ponavljali u svim ranije pomenutimpoljoprivrednim civilizacijama.Sredinom 19. veka počinju arheološka istraživanjaMesopotamije i iskopavanja otkrivaju da se tokom deset hiljada god. p.n.e. natom tlu odvijala  veoma živa aktivnost.  Prva naselja  koja su  iskopali  arheolozidatiraju još u 10.000. godinu p.n.e. Povoljne geografske i klimatske okolnosti suomogućile   stanovništvu   da   još   tada   migrira   iz   nomadskog   načina   života   upoljoprivredni.  Očigledno je cvetala  i   trgovina  jer grobni prilozi u nekropolamapokazuju raznovrsnost predmeta iz najrazličitijih krajeva tada dostupnog sveta.Dva epohalna događaja za razvoj svetske civilizacije desila su se takođe na tlulMesopotamije, u relativno kratkom razmaku: nastanak gradova. Oko 4.000 god.p.n.e. I pronalazak pisma, oko 3.000 god.p.n.e.Oba događaja su se odigrala napodručju južne Mesopotamije, na teritoriji koju su naseljavali Sumeri – prvi narodčije  ime  je  do  nas doprlo   iz dubina  prošlosti.  Relativno  jeftin   i   lako dostupanmedijum   kakav   je   glina   omogućio   je   Sumerima   da   urezivanjem   tragova   navlažnim  glinenim   tablicama,   koje   su   se   potom   sušile   na   suncu,   stvore   prvopismo. Kako ti zarezi podsećaju na crtež klina, stvoreno je i pomenuto ime zapismo –  klinasto  pismo.  Ovo pismo  je  bilo,  u  neku  ruku,  ćorsokak  jer  su sefeničko i njegova nasledna pisma razvili iz egipatskih hijeroglifa, ali je osnovanopredpostaviti  da  je mesopotamski model  poslužio  stvaraocima feničkog pismakao uzor.

_________

         6 Što je sjajan starinski prevod srpskih istoričara za Mesopotamiju – danas, nažalost, skorovan upotrebe.

10

Obimnija   istraživanja  Mesopotamije,  a naročito  pisanih   tragova koje suostavili nosioci tamošnjih država i kultura, počela su tek između dva svetska rata,tako  da   je  naša  novija  slika   još  uvek  nepotpuna  ali   jasno    pokazuje  mnogodinamičniji  kulturni  prostor   i  mnogo   značajnija  dostignuća  nego ona  koja  semogu   pronaći   u  Egiptu,   koji   je   sve   do   početka   20.   veka   smatran   kolevkomsvetske civilizacije.

Najstariji zapisi na glinenim tablicama su inventari bogova i kraljeva, kao ibeleške o jednostavnim trgovačkim transakcijama. Kako vreme odmiče, na njimase nalaze sve složeniji tekstovi: rečnici, gramatički priručnici, religiozni i naučni iknjiževni radovi. Mnoge tablice beleže trijumfe vladara.Tako, na nekima od njihnalazimo zapise o Sargonu,  vladaru grada Akada,  koji   je  osvajanjima sve doobala Mediterana stvorio prvo u istoriji zabeleženo carstvo.

U odnosu na Egipat, mesopotamski prostor je bio izložen brzoj sukcesijidoseljavanja   novih   naroda,   novih   država,   njihovih   sedišta   i   vladara.   PosleSumera sledi period Akađana, koji su dobili ime po Sargonovom sedištu. Zatimse  prostor  deli  na  više sedišta  u  gradovima  poput  Ura,   Isina,  Larse   i   svimapoznatog Vavilona, koji je i dao ime južnom delu Mesopotamije. Vladari poputHamurabija (1792 – 1750 p.n.e.)  ostavili  su prve pisane zakone, a drugi,  kaoNabukodonosor (605 – 561 p.n.e.) poznati su kao osvajači Izraela.

Očigledno, ovaj prostor je karakterisala politička, kulturna i poljoprivrednadinamičnost.

Matematika zabeležena na glinenim tablicama pokazuje upadljivo viši nivood egipatske iz tog perioda. Takođe, za razliku od Egipta, u posedu smo velikogbroja matematičkih  zapisa  iz skoro svih oblasti  Mesopotamije  i   iz gotovo svihepoha. Postoje zapisi iz sumerskog perioda (treći milenijum p.n.e.), iz akadskog istarovavilonskog (drugi milenijum p.n.e.),  iz perioda asirskih carstava (početakprvog milenijuma p.n.e.), kao I iz perioda persijske vladavine (od 6. do 4. vekap.n.e.) i, konačno, grčke vladavine (od 3. veka p.n.e. do 1. veka p.n.e.).

Opet,   za  razliku od Egipćana,  pisari   i  drugi    činovnici  administrativnogaparata   još   u   vreme   Starog   vavilonskog   carstva   (prva   polovina   drugogmilenijuma p.n.e.)  otišli   su  bitno   ispred  neposrednih   izazova  svojih  oficijelnihračunovodstvenih   dužnosti.   Na   primer,   zahvaljujući   elastičnom   numeričkomsistemu,  koji   je  kao  i  savremeni  evropski  bio  pozicioni,  oni  su razvili  složenemetode   računanja.   Umeli   su   da   rešavaju   linearne   i   kvadratne   jednačine   iprobleme na način sličan onome koji se koristi u srednjoskolskoj algebri. Njihovaveština  u    baratanju  onim  što  se  danas  naziva  Pitagorinim  trojkama brojevaznačajan je uspeh u teoriji  brojeva.

11

Pisari   koji   su   načinili   ovakva   otkrića   svakako   su   bili   ubeđeni   da   jematematika vredna izučavanja sama po sebi, a ne samo kao praktičan alat.

U   Mesopotamiji   je,   kao   što   smo   već   pomenuli,   razvijen   šezdesetičninumerički sistem, koji je u mnogim aspektima napredniji od našeg desetičnog,zasnovanog na osnovi 10. Jer, 10 ima samo dva prava delitelja – 2 i 5 – a 60 čakdeset – 2,  3,  4,  5,  6,  10, 12, 15,  20  i  30 –  te zato  mnogo više brojeva  imakonačnu  reprezentaciju  nego u desetičnom sistemu a,  osim toga,  umesto 10imamo 60 cifara za zapisivanje brojeva. Tačnije – 59, jer u Mesopotamiji nisuznali za nulu sve do 3. veka p.n.e. kada je uveden simbol za upražnjeno mesto uzapisu broja ali je i danas njegova funkcija ostala nejasna.

Uvedena je podela dana na 24 sata, a sata na 60 minuta i minuta na 60sekundi. Ova podela je, kao što vidimo, preživela  4.0007 godina do savremeneepohe i predstavlja vertovatno najstarije astronomsko – matematičko znanje kojekoristimo. Ta podela je  očigledno odgovarala njihovom brojevnom sistemu jer udesetičnom, 2 x 20 min je 2.3333…sata a u šezdesetičnom je, prirodno, 2,20.

Uočivši da važi:

ab =  ab 2−a2−b2 2

ab =  ab 2

4 ­  a /b 2

4

Vavilonjani su množenje sveli na sabiranje i množenje potumih kvadratabrojeva.  Pronađene  su   tablice   još   iz  2000.  god.  p.n.e.  koje   sadrže  kvadratebrojeva od 1 do 59 (to su sve “cifre” u šezdesetičnom sistemu).

Nešto  složenije   je  bilo  s  deljenjem.  Vavilonjani  nisu   imali  postupak  zaduga deljenja, a deljlenje su svodili na množenje prema formuli:

__________

           7 Možda čak i svih 5.000 godina.

12

Da bi se ova formula koristila, potrebne su tablice recipročnih vrednosti,odnosno   tablice   razlomaka   sa   jediničnim   brojiocem.   Vavilonjani   su   razviliogroman sistem ovakvih tablica.  Arheolozisu   u   posedu   tablica   sa   recipročnimvrednostima   brojeva   sve   do   nekolikomilijardi!

Jedan   od   glavnih   hendikepavavilonske   numeričke   matematike   bilo   jedugotrajno   odsustvo   nule,   kako   smonaglasili, sve do 3. veka p.n.e. Tako je npr.oznaka za 1 bila dvosmislena. Da li je onaoznačavala   1   ili   10,   što   u   sistemu   saosnovom 60 znači   601,  ili  čak 100,  što  usistemu sa osnovom 60 znači 602 = 3.600,bilo je nejasno i moglo se odgonetnuti samo iz konteksta, ako ga je bilo.

Zanimljivo je da su se   Vavilonjani mirili s ovim hendikepom  ostavljajućiveoma složena računanja dvosmislenim, što svedoči da je prihvatanje nule bilone samo matematičko nego i filozofsko, možda i religijsko pitanje, koje se nijemoglo rešiti “iznutra” u matematici, već je zahtevalo posredovanje “viših sila”.

Inače, Vavilonjani su znali  za Pitagorinu teoremu. Razume se, kod njihnigde nema ni pomena   o  dokazu Pitagorine teoreme, ali jedna glinena tablicadatirana   između  1900.   i  1600.  god.  p.n.e.  daje   tabelu  Pitagorinih   trojki  celihbrojeva a, b, c, tj. Brojeva koji zadovoljavaju formulu:

a2 + b2 = c2

Sa pravom se pretpostavlja  da  su ovakve  tablice  služile  za  rešavanjepravouglog trougla, odnosno za izračunavanje jedne od kateta ili hipotenuze akosu date druga kateta i hipotenuza ili obe katete. Ova tablica se smatra prvim uistoriji dokumentom iz teorije brojeva. 

Jedna,   nešto   kasnije,   tablica   sadrži   u   sebi   i   rešavanje   matematičkogzadatka koji se očigledno svodi na upotrebu Pitagorine teoreme. Tekst zadatkana tablici koja se čuva u Britanskom muzeju glasi:

4  je dužina  a 5   je  dijagonala.  Kolika   je širina?  Nju  ne  znamo (ona  jenepoznata).4 puta 4 je 16. 5 puta 5 je 25. Ako oduzmeš 16 od 25, ostaće 9.Koliko treba da uzmeš da bi ga pomnoživši dobio 9? 3 puta 3 je 9. 3 je širina.

13

Na tablici koja se danas čuva u Berlinu, a pronađena je u vavilonskomsloju mesopotamske civilizacije, dijagonala pravougaonika sa stranicama od 40 i10   izračunava   se   kao   40+102/(2x40).   Očigledno,   pisar   je   poznavao   veoma

efektno  pravilo   za   aproksimativno   izračunavanje   a2b2   kao   i   a+ b2

2 a.   Isto

pravilo će biti korišćeno mnogo puta kasnije u grčkim spisima.

I prvi i drugi primer ilustruju veoma dobro poznavanje geometrije, i što jejoš interesantnije, izrazito aritmetički pristup ovoj matematičkoj disciplini.

Možda   se   najspektakularniji   primer   spoja   visoke   numeričke   tehnike   ipoznavanja geometrije nalazi na tablici koja se čuva u kolekciji univerziteta Jejl(Yale).

Na njoj   je  prikazan kvadrat  sa  ucrtanim dijagonalama.   Ispod  jedne  odstrana piše “30” a ispod druge “42 25 35”. Duž te iste dijagonale piše “1 24 5110”. Preciznije, pošto su Mesopotamci pisali u šezdesetičnom sistemu, ne stoje tidecimalni brojevi, već odgovarajuće oznake na klinastom pismu za odgovarajuće

šezdesetične cifre. To znači da duž dijagonale stoji broj 1+2460

+51

602 +10

603 , što

je priblizno 1, 414213… i razlikuje se od  2  tek na sedmom decimalnom mestu!Izgleda   da   je   pisar   poznavao   čuveni   a   i   danas   standardni   metod   zaizračunavanje kvadratnog korena “cifru po cifru”. Drugi navedeni broj (“42 25 35”)proizvod je ovako izračunate priblizne vrednosti  2  sa 30, odnosno predstavljadužinu  dijagonale  kvadrata  čija   je  stranica  30.  Dodatni  element  matematičkeprefinjenosti unosi okolnost da je za dužinu stranice namerno odabran broj 30

(što  je u šezdesetičnom sistemu  12

)   jer  je tada dužina dijagonale recipročna

vrednost 2 (pošto   je   2 /2=1/ 2 ),   što   znatno   olakšava   postupakizračunavanja.

Jedna   vrsta   matematičkih   problema   često   se   pojavljuje   na   raznimtablicama. Ona se sastoji u određivanju osnovice b i visine x trougla ako su datinjihov zbir  i proizvod. Kako je (b–h)2  + (b+h)2  ­ 4bh, to se, najčešće iz tablicavrednosti, nalazi i njihova razlika. Ako su poznati zbir i razlika, onda je, zbog 2b =(b + h) + (b – h) I 2h = (b + h) – (b – h), lako odrediti osnovicu i visinu. Ovajpostupak   je   u   osnovi   ekvivalentan   sa   standardnim   postupkom   rešavanjakvadratne jednačine sa jednom nepoznatom. 

Jasno je da se ovde srećemo sa jednim od prvih pojavljivanja algebre.Međutim,   postoji   jedna   značajna   razlika.   Naime,   mesopotamskim

14

matematičarima je nedostajala algebarska simbolika. Iako je sasvim jasno da suoni bili svesni da se radi o opštevažećim postupcima, uvek su ih prikazivali krozpartikularne   slučajeve   pošto   nisu   raspolagali   sredstvima   da   zapišu   ili   izrazeformule jednakosti. Kao posledicu toga, oni nisu imali sredstva za predstavljanjeopštih   izvođenja   ili  dokaza.Nije,  međutim,  zgoreg  napomenuti  da  ove  njihoveprocedure   neodoljivo   podsećaju   na   prve   algoritme,   što   u   svetlosti   najnovijeekspanzije   kompjutera   i   programiranja   dobija   na   značaju   i   potvrđuje   da   jesklonost ka algoritmu imanentna ljudskom umu.Osim ovih striktno matematičkihrezultata Vavilonjani, koji su kao i sve predgrčke civilizacije matematiku shvatalikao   praktičnu   veštinu,   imali   su   i   veoma   značajna   znanja   iz   astronomije.Generacije i generacije vavilonskih astronoma, uglavnom iz redova sveštenika,osmatrale su nebo i beležile rezultate svojih osmatranja. Ovi rezultati,   iako neusko matematički po svojoj prirodi, poslužili su Grcima, kada su pod vođstvomAleksandra  Makedonskog,  krajem 4. veka p.n.e.  osvojili  Vavilon,  da  dođu doprvih pouzdanih astronomskih podataka koje sami nisu posedovali, niti su se zanjih   u   početku   interesovali.Način   beleženja   i   korišćenja   ovih   astronomskihrezultata   bio   je,   međutim,   veoma   značajan   za   razvoj   matematike.   Naime,   uVavilonu   ­   ostatak  Mesopotamije   kao   i   ranija   carstva  na  njenoj   teritoriji  nisuostavili  pomena  vredne  podatke  o  svojoj  astronomiji  –  sveštenstvo   je   razvilovisok osmatrački nivo. Kako se radilo o poljoprivrednoj civilizaciji,  normalno  jepretpostaviti   da   su   astronomska   osmatranja   korišćena   u   svrhu   sastavljanjapreciznih kalendara i predviđanja periodičnih plavljenja Tigra i Eufrata od kojih suključno zavisile žetve. Međutim, čak i da je tako, mi o tome nemamo nikakvihpodataka. Naprotiv, ispostavlja se da je najveći deo astronomskih posmatranjaizvođen   radi  predviđanja  samih  astronomskih  pojava   kao  što   su  pomračenjaSunca   i   Meseca,   konjukcije   planeta   (postavljanje   na   istu   liniju   gledanja   saZemljom   jedne   planete   ili   više   planeta),   stacionarnih   tačaka,   pozicija   prve   iposlednje   vidljivosti   i   sličnih   kritičnih   tačaka   vidljivih   tela   našeg   Sunčevogsistema.Očigledno   je,   dakle,   da   su   sveštenici   ovako   obimna   osmatranjasprovodili pre svega u religiozne i kultne svrhe. Verovatno je da im je poznavanjeovakvih pojava omogućavalo i ostavljanje snažnog utiska na njihove vladare, ali iniže slojeve stanovništva. Nije nepoznato da su pojave poput pomračenja Suncau  to vreme odlučivale  bitke  i  rušile carstva.  Onaj  ko  je mogao da  ih predvidisigurno je raspolagao velikom političkom moći8.

__________

             8 Valja se, međutim, pomiriti sa činjenicom da je predviđanje pomračenja Sunca ili Mesecasve jedno) veoma složen astronomski zadatak koji zahteva ne samo razvijen matematički aparatnego, pre svega, precizna osmatranja i poznavanje putanja nebeskih tela sa velikom, za tu epohunedostižnom, preciznošću. S toga je verovatno da su vavilonski astronomi predviđali znatno lakšeizračunljive astronomske pojave (pojavljivanje određenog nebeskog tela na nebu u predviđenovreme), što je bilo sasvim dovoljno za fasciniranje laika.

15

Stotine, a prema nekim nepotvrđenim izvorima, i hiljade godina ovakvihosmatranja stvorile su ogromnu bazu podataka. Uporedo sa time, samo uređenjeposmatranja dalo je veliki doprinos matematici.  Vavilonski  astronomi su razvilisferni   koordinatni   sistem,   praktično   isti   kakav   je   u   upotrebi9   u   savremenojastronomiji. Osnovni krug nebeske sfere činila je prividna putanja Sunca tokomgodine. Kako je položaj svakog nebeskog tela određen “geografskom” širinom idužinom u odnosu na taj krug, koordinate tela tokom vremena su beležene učitave biblioteke glinenih tablica. iako je beleženje čisto aritmetički posao, sametablice se mogu shvatiti, ako se položaji zapisuju dovoljno dugo, kao prve tablicesinusoida. Razvoj trigonometrije i odgovarajućih matematičkih veština povezanihsa   njom,   u   kasnijem   helenističkom   periodu,   skoro   je   u   potpunosti   pokrenutzahvaljujući vavilonskim astronomskim osmatranjima.Za razliku od matematičkihveština, koje nam se prema dostupnim podacima čine kao visokorazvijene još uHamurabijevo   vreme   a   zatim   nepromenljive,   astronomija   se   u   Mesopotamijirazvijala sve do samog kraja samostalnosti ovog područja, do epohe AleksandraMakedonskog. To je sasvim prirodno pošto su pedantna osmatranja u vekovnimvremenskim   intervalima   neophodna   da   bi   se   odredile   karakteristike   putanjaplaneta, kao što su periode, maksimalna ugaona odstupanja od Sunca i slično.O dostignućima vavilonskih astronoma Grci su čuli i pre epohe Aleksandrovogosvajanja.Još jedan istorijski kuriozitet povezan je sa vavilonskom astronomijom.To je podela ekliptike – prividne godišnje putanje Sunca oko Zemlje – na 12sazvežđa, koja približno odgovaraju segmentu koji Sunce na nebu pređe tokomjednog meseca. Kako je većina naziva odgovarala imenima stvarnih ili mitskihživotinja,   nastao   je   i   naziv   –   koji   su   Grci   nadenuli   kada   su   ovladaliMesopotamijom – Zodijak ili srpski, “Zverinjak”.

Činjenica   je,  međutim,  da  se  ni   u   jednom vavilonskom dokumentu  nepominje  dokaz kao matematički pojam, niti se , bar posredno, u nagoveštajimamože  i  posumnjati  da su  ikada osetili  potrebu da štogod dokazu,  odnosno usavremenom “grčkom”, smislu tog pojma, nešto izvedu, dedukuju iz pretpostavki.

Ipak je korpus matematičkih i astronomskih znanja koja su nam ostaviliVavilonjani,   a   koja   se   i   danas  prepoznaju   u   našem   intelektualnom   nasleđu,impresivan. Tome valja dodati da je niz značajnih grčkih intelektualaca – međunjima je bio i sam Tales – u 6. i 5. veku p.n.e., u vreme kada se rađala grčkamatematika, svoja osnovna matematička znanja donosio upravo sa putovanja uVavilon.

Danas,   kada   isključivo   na   Grke   gledamo   kao   na   svoje   intelektualneroditelje,  ova  okolnost  se  često  zanemaruje,  ali  mnogi  kompetentni   i  ugledniistoričari matematike veruju da je uticaj  Vavilonjana   na Grke bio mnogo većinego što se to danas zna, pa čak i pretpostavlja.

16

MATEMATIKA EGIPTA

Druga značajna predgrčka  civilizacija tog regiona – Egipat – bila je sličnadržavama Mesopotamije, pre svega po državnom ustrojstvu koje je počivalo naautokratskim vladarima  i ogromnim masama robova  i  poljoprivrednika koje suvladari   kontrolisali   preko   sveštenstva   i   državnog   aparata.   Sticaj   istorijskihmogućnosti,   međutim,   odredio   je   Egipat   kao   stabilnu,   skoro   okamenjenusocijalnu   i   državnu  strukturu  koja   se  u  manje  –   više  nepromenjenom oblikuodržavala vekovima. Od početka trećeg milenijuma pre naše ere pa sve do 46.god.   p.n.e.,   kada   Gaj   Julije   Cezar,   diktator   još   uvek   republikanskog   Rima,definitivno osvaja Egipat i stavlja ga pod kontrolu Ruske imperije,  dakle skoročitava tri milenijuma, za spoljnog posmatrača Egipat izgleda nepromenjeno. Tosvakako nije do kraja tačno i podrobnija arheološka istraživanja pokazala su dase Egipat do otprilike početka drugog milenijuma pre naše ere i razvijao i menjaoi trpeo spoljne uticaje da bi se zatim učaurio i okamenio.

Za razliku od Mesopotamije, gde je teško nabrojati čak i imena državnika iprestonica koje su se smenjivale na prostoru Međurečja, Egipat karakterisu jakacentralna vlast, nasledni vladari, koje su nazivali faraonima, i dinastije koje sesmenjuju u beskrajnoj sukcesiji. Sedište države se uvek nalazilo u donjem tokuNila, na prostoru između Kaira i Aleksandrije, iako je država pulsirala osvajajući igubeći okolne teritorije.

Glavni centri učenosti su u Egiptu bili među sveštenstvom, ali i to je jošjedna razlika u odnosu na Mesopotamiju,  nema podataka,  ili  bar do nas nisudoprli, o stepenu učenosti državnih činovnika.

Matematika Egipta se značajno razlikovala od mesopotamske, iako je kaoi   ona   bila   pre   svega   okrenuta   praktičnim   pitanjima   državne   uprave   ipoljoprivrede. Osnovna razlika je što kod egipatskih matematičkih zapisa veomaretko ili nikako ne uočavamo ono interesovanje za matematička pitanja sama posebi kakva nalazimo u Mesopotamiji.

Kao  i  za Vavilonjane,   tako  i  za Egipćane matematika   je  bila praktičnaempirijska  disciplina,  nešto  poput  eksperimentalne  prirodne  nauke  čija  su  seznanja otkrivala, beležila i koristila ali bez pokušaja i bez svesti da matematičkaznanja na bilo koji način iziskuju dokaz.

U   odnosu   na   mesopotamsku   matematiku   egipetska   je   imala   dvahendikepa – oba, u suštini, iste prirode. Prvi je okolnost da su umesto linearnog,fonetskog pisma, Egipćani koristili piktografsko, hijeroglifsko, koje je, po prirodi

17

svoje strukture, lekarskim rečnikom rečeno, bilo “kontraindikovano” za upotrebuu   matematici   jer   je   bilo   više   asocijativno,   metaforično   nego   neposredno   ukonotacijama. iz pisma je proistekao i drugi hendikep, a to je veoma nespretansistem numeracije, označavanja brojeva. Za razliku od Vavilonjana, koji su imalipozicioni sistem, istina bez nule, Egipćani su imali aditivni sistem sličan onomekoji   danas     nazivamo   “rimskim   brojevima”.   Stoga   su   postupci   za   raznematematičke operacije bili veoma složeni. 

U odnosu na Vavilonjane, međutim, Egipćani su imali znatno savršenijutehnologiju pisanja. Za medijum na   kome su pisali koristili su  papirus, nazvanpo biljci od koje se pravio. Papirusi – od njih je i nastalo savremeno ime za papir– bili su listovi dobijeni valjanjem u vodi raskvašenih stabljika  biljke papirus, kojesu veoma bogate celulozom. Jedina razlika u odnosu na savremeni pristup je štoEgipćani nisu koristili listove povezane u knjige nego su papirus savijali u svitke–   smotuljke   duge   i   po   nekoliko   metara.   U   osnovi,   sve   do     današnjih   danatehnologija  proizvodnje papira se nije  promenila i papir je, uz točak, i naravnovatru, jedno od najstarijih tehnoloških dostignuća koje se i danas koristi.

Egipat je prva civilizacija koja nam je ostavila i ime jednog “matematičara”.Znači navoda stoje zato što je Ahmes – kako glasi njegovo  ime – zapravo biopisar   koji   je   na   marginama   jednog   papirusa   koji   sadrži   zbirku   matematičkihzadataka  ostavio  podatke  o  sebi,   jasno  naglašavajući   da  on  samo prepisujejedan papirus star, u tom trenutku, 200 godina.

Ovaj  papirus se naziva  Rajndov papirus  po  imenu škotskog egiptologaHenrija Rajnda (Henry Rhind), koji ga je otkupio od egipatskih seljaka, slučajnihnalazača, negde u okolini Luksora 1858. god. Rajndov papirus je oko 6 m dug i30 cm širok,   i  stručnjaci  ga datiraju  u 1650.  god.  p.n.e.,  što  znači  da  izvornidokument, koji je Ahmes prepisao, potiče iz 1850. god. p.n.e.

18

Rajndov papirus je 1863. god.predat   Britanskom   muzeju   ipredstavlja   glavni   izvor   podataka   oegoipatskim   numeričkimmatematičkim   znanjima.   Rajnd,   upredgovoru   knjizi   u   kojoj   opisujesvoje   otkriće,   pompezno   ipretenciozno   ovaj   papirus   opisujekao “detaljnu studiju o svim stvarima,uvid u sve što postoji, znanje o svimopskurnim   tajnama”.   Na   njegovužalost,   a   na   sreću   istoričaramatematike,   ispostavilo  se da   je   tozapravo   uputstvo   zaadministratiranje   jednogpoljoprivrednog   društva   ili,savremenim   rečnikom,   priručnik   izprimenjene   matematike.   Uz,   neštostariji,  Moskovski papirus (oko 1850.god.   p.n.e.),   koji   se   ponekad,   pogrofu Goleničevu koji ga je otkupio i  doneo u Moskvu, naziva  i  Goleničevljevpapirus, i koji se čuva u Moskvi, Rajndov papirus je praktično i jedini izvor jer su,za   razliku  od  Vavilonjana,  Egipćani   ostavili  mnogo  manje  podataka  o   svojojmatematici.

 Iz Rajndovog papirusasaznajemo kako su Egipćani,recimo,   množili.   Aditivni“rimski”   sistem  im   je   stvaraovelike   komplikacije   te   semnoženje   svodilo   nasabiranje. Evo primera.

Recimo da želimo da pomnožimo 41 i 59. Uzmimo 59 i saberimo ga sasamim   sobom.   Dobijeni   rezultat   ponovo   sabereno   sa   samim   sobom   i   takoformiramo sledeću tablicu.

19

Iako   veoma   složen,   ovaj   postupak   je,   u   stvari,   prvi   primer   primenebinarnog   sistema   u   istorijimatematike.

Egipatska   matematikaje, čini se, bila uočljivo slabijerazvijena od vavilonske. To je,naravno,   naše   sadašnjeubeđenje,   jer   je   na   primer,istoričar   matematikepočetkom 20. veka imao sasvim obrnut utisak jer je na raspolaganju imao obiljeegipatskog materijala i malo ili ni malo mesopotamskog, koji, kako smo naglasili,počinje  da biva  dostupan u većem obimu tek   između dva  svetska  rata  kadaobimna arheološka istraživanja iznose na svetlost dana brojne glinene tablice.Dodatno,   utisak   o   inferiornosti   egipatske   u   odnosu   na   mesopotamskumatematiku pojačava okolnost da se u egipatskoj nikada ne pojavljuje želja ilipotreba da se  iz sfere praktične matematike  iskorači  u rešavanje bilo kakvogmatematičkog problema ili zadatka. S druge strane, u vavilonskoj postoji obiljeprimera   radoznalosti   i   inicijative   onih   koji   matematičke   rezultate   zapisuju   daistovremeno ostave za sobom kakav zanimljiv zadatak ili problem.

Istina, sadašnji nedostatak ili nestanak pojedinih egipatskih zapisa možebiti uzrok našeg novog utiska, ali što je najvažnije, i o tome nema spora, uticajegipatske matematike na Grke je bio slabiji  od uticaja vavilonske matematike.Grčki zapisi o njihovim putnicima svedoče na više   mesta da oni sa putovanjadonose   mnoga   vavilonska   matematička   znanja,   dok   se   Egipat   znatno   ređepominje. Očigledno, Egipat je za Grke bio uzor u mnogim drugim oblastima, aliveoma malo u matematici. ipak, desetični brojevni sistem je zasigurno došao izEgipta, a mora da je biklo i nezabeleženih znanja prenetih do Grka u lađamagrčkih  trgovaca.Takvo  je bilo stanje  u matematici  dveju najvećih   i  najmoćnijihdržava  Mediterana9  na  ulasku  u  drugu  polovinu   drugog  milenijuma  p.n.e.,   utrenucima kada se priprema izlazak Grka na svetsku pozornicu.

________

                       9  Čitalac će primetiti da se pojmovi “mesopotamska” i   “vavilonska” matematika čestoprepliću   i   mešaju.   Vavilonija   jeste   bio   naziv   jedne   od   država   Mesopotamije   i   najveći   obiminformacija o matematici sa tog tla je došao preko njega. U zapadnoj matematičkoj istoriografskojliteraturi je stoga postao standard da se govori o “vavilonskoj” matematici. Držim, međutim, da jekorektnije da se zbog obilja država i kultura govori o “mesopotamskoj” stoga što je vavilonska umnogim slučajevima bila samo mehanizam za transfer.

20

LITERATURA

Milan Božić    Pregled istorije i filozofije matematikeStefan Barker  Filozofija matematike Dirk Strojk Kratak pregled istorije matematikeMiodrag Petković Ljiljana Petković Matematički vremeplov

21

SADRŽAJ:

1. PRAISTORIJA MATEMATIKE....................................................................22. MATEMATIKA MESOPOTAMIJE.............................................................103. MATEMATIKA

EGIPTA............................................................................. 17

22