Matematika pro informatiky

KMA/MATA

Informace k předmětu

• Mgr. Přemysl Rosa – rosapr00@pf.jcu.cz, J349 – Konzultační hodiny v ZS: úterý 10-11, čtvrtek 15-16 nebo individuálně po

předchozí domluvě

• aktivní účast na seminářích - povolené 2 absence • napsat zkouškový test na 50% a zároveň prokázat znalost ze všech

probraných kapitol • ústní zkouška (pokud součet bodů ze všech zápočtových testů přesáhne

50%, jde student rovnou na ústní část zkoušky) • zápočtové testy se píší vždy na cvičení:

– 5. týden výuky (výroky a číselné soustavy, vektory) – 10. týden výuky (kapitoly analytická geometrie, matice, hodnost,

determinanty, čtvercové matice, soustavy lineárních rovnic) – 13. týden výuky (funkce - D(f), skládání, inverzní funkce a derivace, derivace

vyšších řádů)

• Literatura: – TLUSTÝ, P. Lineární algebra a její aplikace. České Budějovice: JU PF, 2003. – NÝDL,V. a R. LEXOVÁ Matematika České Budějovice: JU ZF.

Výroky a výroková logika

Logika

• Z řeckého slova logos- „slovo, smysluplná řeč“.

• Popisuje pravidla odvozování jedněch výroků z druhých.

• Vznikla jako součást filosofie.

• Zakladatelem byl Aristoteles (sylogistická logika).

Každý člověk je smrtelný.

Aristoteles je člověk.

Aristoteles je smrtelný.

Výroková logika

• Obohacení logiky o symbolickou logiku.

• Obsahuje syntaktická, odvozovací pravidla.

• Gottfried Leibniz, George Boole a Augustus De Morgan, Gottlob Frege

• Rozšířením je predikátová logika – kvantifikátory.

Výroková logika

Výrok:

• tvrzení, o němž má smysl prohlásit, že je pravdivé nebo nepravdivé (oznamovací věta, zápis pomocí matematických symbolů)

• Značení malými písmeny latinské abecedy (a, b, c, …)

Pravdivost či nepravdivost výroku – pravdivostní hodnota

p(a) = 0 nepravda

p(b) = 1 pravda

Výroky?

Venku svítí slunce.

Jak se jmenuješ?

V roce 2011 zasáhlo Japonsko zemětřesení.

Informatika patří mezi přírodní vědy.

Podej mi tužku, prosím.

Součet vnitřních úhlu čtyřúhelníku je 360°.

Do roku 2050 budou na Marsu žít lidé.

Výroky?

3 + 4 = 12

2 + 7 = 9

9 < 11

Praha má více obyvatel než Brno.

Rekonstrukce tunelu Blanka.

Zavřete prosím okna.

12 < x

Výroky s neznámou

v: 12 < x 𝐷 𝑣 ∈ ℝ 𝑃 𝑣 = 13; ∞ Tedy, máme výrok 12 < x. Definičním oborem tohoto výroku D(v) je množina všech reálných čísel, kdežto oborem pravdivosti je množina čísel od 13 do nekonečna P(v). Množina pravdivosti, je tedy podmnožinou definičního oboru. Množinu pravdivosti označujeme jako obor pravdivosti.

Logické operace a logické spojky

Logická operace Logická spojka Čteme

Negace ¬𝑎 Není pravda, že a.

Disjunkce 𝑎 ∨ 𝑏 a nebo b.

Ostrá disjunkce 𝑎 ∨ 𝑏 Buď a, nebo b.

Konjunkce 𝑎 ∧ 𝑏 a a b, a a zároveň b.

Implikace 𝑎 ⇒ 𝑏 Jestliže a, potom b.

Ekvivalence 𝑎 ⇔ 𝑏 a právě tehdy, jestliže b.

Výroková formule

a) Každý výrok je formulí výrokové logiky.

b) Jsou-li a a b formule výrokové logiky, potom jsou i výroky ¬𝑎, 𝑎 ∨ 𝑏, 𝑎 ∨ 𝑏, 𝑎⋀𝑏, 𝑎 ⇒𝑏, 𝑎 ⟺ 𝑏 jsou rovněž formule výrokové logiky.

c) Všechny formule výrokové logiky vznikají konečným počtem pravidel a) a b).

Negace výroku

Výrok, který má opačnou pravdivostní hodnotu než výrok daný. Nejjednodušší způsob vytvoření negace: Není pravda, že … (z hlediska českého jazyka však není tento způsob vždy vhodný) Hovoří-li daný výrok o určitých možnostech, musí jeho negace zahrnovat všechny zbývající možnosti. Značíme: výrok a negace ¬a

Negace výroku

Číslo 13 je prvočíslo.

Martin je vyšší než Pavel.

Tato tabule je bílá.

Přesně 21 studentů je dnes na přednášce.

Z těchto studentů pochází nejvýše 5 studentů z ČB.

Všichni žáci postoupili do vyššího ročníku.

Každý čtyřúhelník je čtverec.

a: Každý prvek množiny M má danou vlastnost. ¬a: Alespoň jeden prvek množiny M nemá danou vlastnost. b: Alespoň jeden prvek množiny M má danou vlastnost. ¬b: Žádný prvek množiny M nemá danou vlastnost. c: Množina M má alespoň k prvků. ¬c: Množina M má nejvýše k-1 prvků. d: Množina M má nejvýše k prvků. ¬d: Množina M má alespoň k+1 prvků. e: Množina M má právě k prvků. ¬e: Množina M má nejvýše k-1 prvků nebo alespoň k+1 prvků

Konjunkce

Konjunkce libovolných výroků a, b je výrok, který vznikne jejich spojením spojkou „a“.

Konjunkci čteme „a a zároveň b“.

Konjunkce libovolných výroků je pravdivá pouze tehdy, když jsou pravdivé oba výroky a, b.

Značíme: 𝒂 ∧ 𝒃

Disjunkce

Disjunkce libovolných výroků a, b je výrok, který vznikne jejich spojením spojkou „nebo“.

Disjunkci čteme „a nebo b“.

Disjunkce libovolných výroků je pravdivá pouze tehdy, je-li pravdivý alespoň jeden z výroků a,b.

Značíme: 𝒂 ∨ 𝒃

Ostrá disjunkce

Ostrá disjunkce libovolných výroků a, b je výrok, který vznikne jejich spojením slovy „buď a nebo b“.

Ostrá disjunkce libovolných výroků je pravdivá pouze tehdy, Když je pravdivý právě jeden z výroků a, b.

Značíme: 𝒂 ∨ 𝒃

Negace konjunkce

Platí: ¬ 𝒂 ∧ 𝒃 = ¬𝒂 ∨ ¬𝒃

Negace disjunkce

Platí: ¬ 𝒂 ∨ 𝒃 = ¬𝒂 ∧ ¬𝒃

Implikace

Implikace vznikne, když dva výroky a, b spojíme pomocí slovního spojení „jestliže a, pak b“.

Implikace je nepravdivá v jediném případě, když je první výrok pravdivý a druhý nepravdivý. V ostatních případech je implikace pravdivá (také v obou případech, když první výrok je nepravdivý).

Značíme: 𝒂 ⟹ 𝒃

Ekvivalence

Ekvivalence vznikne, když dva výroky a, b spojíme pomocí slovního spojení „a právě tehdy, když b“.

Ekvivalence je pravdivá pouze tehdy, mají-li oba výroky stejnou pravdivostní hodnotu (buď jsou oba pravdiví nebo oba nepravdivé).

Značíme: 𝒂 ⇔ 𝒃

Platí: 𝒂 ⇔ 𝒃 = (𝒂 ⇒ 𝒃) ∧ (𝒃 ⇒ 𝒂)

Negace implikace

Platí: ¬ 𝒂 ⇒ 𝒃 = 𝒂 ∧ ¬𝒃

Negace ekvivalence

Platí:

¬ 𝒂 ⇔ 𝒃 = 𝒂 ∧ ¬𝒃 ∨ ¬𝒂 ∧ 𝒃 = 𝒂 ∨ 𝒃

Obrácená implikace

Obrácenou implikací k implikaci 𝒂 ⟹ 𝒃 nazýváme implikaci 𝒃 ⟹ 𝒂.

Obměna implikace

Obměnou implikace 𝒂 ⟹ 𝒃 nazýváme implikaci ¬𝒃 ⟹ ¬𝒂.

Obměna implikace má vždy stejnou pravdivostní hodnotu jako implikace původní (logicky ekvivalentní). Důkaz nepřímý.

Význam logických spojek

𝒂 𝒃 ¬𝒂 𝒂 ∨ 𝒃 𝒂 ∨ 𝒃

𝒂 ∧ 𝒃

𝒂 ⇒ 𝒃

𝒂 ⇔ 𝒃

1 1 0 1 0 1 1 1

1 0 0 1 1 0 0 0

0 1 1 1 1 0 1 0

0 0 1 0 0 0 1 1

Tautologie

Tautologií je každá formule výrokové logiky, která je vždy pravdivá, bez ohledu na pravdivost či nepravdivost vstupujících výroků.

Např. 𝒂 ⇒ 𝒂

Kontradikce

Kontradikcí je každá formule výrokové logiky, která je vždy nepravdivá, bez ohledu na pravdivost či nepravdivost vstupujících výroků.

Např. ¬𝒂 ∧ 𝒂

Úsudky

Myšlenkový proces, kterým z pravdivosti daných výroků (předpokladů) vyvozujeme pravdivost jiného výroku (závěr). U1:𝑎 ⇒ 𝑏 pravda 𝑎 pravda b pravda Ověření správnosti úsudku provádíme pomocí tabulky pravdivostních hodnot. Úsudek je správný, pokud ve všech případech, kdy jsou splněny předpoklady je splněn i závěr.

předpoklady

závěr

Úsudky

Myšlenkový proces, kterým z pravdivosti daných výroků (předpokladů) vyvozujeme pravdivost jiného výroku (závěr). U1:𝑎 ⇒ 𝑏 pravda 𝑎 pravda b pravda Ověření správnosti úsudku provádíme pomocí tabulky pravdivostních hodnot. Úsudek je správný, pokud ve všech případech, kdy jsou splněny předpoklady je splněn i závěr.

předpoklady

závěr

a b 𝒂 ⇒ 𝒃

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

Úsudky

Myšlenkový proces, kterým z pravdivosti daných výroků (předpokladů) vyvozujeme pravdivost jiného výroku (závěr). U1:𝑎 ⇒ 𝑏 pravda 𝑎 pravda b pravda Ověření správnosti úsudku provádíme pomocí tabulky pravdivostních hodnot. Úsudek je správný, pokud ve všech případech, kdy jsou splněny předpoklady je splněn i závěr.

předpoklady

závěr

a b 𝒂 ⇒ 𝒃

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

Správný úsudek