- 1 - čas

Prva i osnovna predpostavka za uspješan dalji rad:

Ja volim matematiku!

Uvodne napomene.Ova skripta je namjenjena onim učenicima koji ne pišu onako brzo kao što bih ja željela, tj. skoro svima. U njoj su napisane uvodne napomene koje ja pišem na tabli na početku svake lekcije i koje šalu na stranu večina može da prepiše i poslije nauči. No neki učenici bolje pamte kad prvo slušaju objašnjenje, pa onda zapisuju. Na žalost, za to nema dovoljno vremena na času. Ti učenici mogu držati pred sobom skriptu, slušati objašnjenje, dopisati nešto malo i koncentrisati se na zapamćivanje, a ne na prepisivanje s table. Doduše, onda će kod kuće morati sve iz skripte prepisati u svesku u za to ostavljen prostor jer sveska mora biti potpuna, lijepa i uredna.Sve napisano u svesci mora se naučiti izreći napamet i primjeniti u zadacima.Uz svaku lekciju nalazi se i par zadataka koji predstavljaju minimum znanja koje nastavni plan i program predviđaju da svaki učenih nauči. Te i slične po obliku i težini zadatke moraju znati učenici za dva. Za veće ocjene konsultovati navedenu literaturu.

LiteraturaAdem Huskić: zbirka zadataka za I razredStjepan Mintaković: zbirka zadataka za I razred

Programski sadržaji:Uvod-skupovi brojevaStepeni i korijeniCijeli algebarski izraziRacionalni izraziKoordinatni sistemLinesrna funkcijaLinearne jednačine i nejednačineSistemi linearnih jednačina

Matematički simboli

Konstante su objekti koji označavanju konkretne objekte (skupovi, brojevi...Promjenljive (zajedničke oznake za određeni skup elemenata). Npr

- 2 - čas

Znaci MM operacija +, -, *, :

Znaci MM relacija

Iskaz je svaka izjavna rečenica koja ima smisla i za koju se može reći da li je tačna ili netačna. Tačan iskaz zove se stav.Složeni iskazi se označavaju i čitaju ovako:

Domaća zadaća:Napiši zašto moramo učiti matematiku.

Skupovi brojeva

Skup prirodnih brojevaje prvi skup koji su ljudi upoznali. Intuitivno ga poznaju i djeca i

životinje. Čak i ptice znaju da broje, oduzimaju, računaju. Osobine skupa prirodnih brojeva su 1. Da je beskonačan,2. Odozdo ograničen najmanji prirodan broj je 13. Odozgo neograničen tj ne postoji najveći prirodan broj. Skup prirodnih brojeva je uređen ako se zna koji je veći a koji manji.

U skupu prirodnih brojeva vrijede pravila: Za sabiranje Zatvorenost

Komutativnost =Asocijativnost Trihotomija

Za množenje Zatvorenost

Komutativnost =Asocijativnost Neutralni element za množenje je 1 jer je

Distributivnost množenja u odnosu na sabiranje

Prirodni brojevi se dijele na parne i neparne Pojmovi u matematici mogu biti osnovni (koji se ne definišu npr, tačka, prava ravan...) I izvedeni (koji se definišu npr.duž je skup tačaka jedne prave koje leže između dvije tečke te prave, zajedno sa tim tačkama)

Tvrdnje koje prihvatamo kao tačne bez dokaza zovu se aksiome (a)npr. Prava je određena sa dvije različite tačke.Tvrdnje čiju tačnost dokazujemo zovu se teoreme.(th) svaka teorma se sastoji od predpostavke p, tvrdnje t i dokaza dNpr.Th: ako je n paran broj, onda je n2 paran brojP: n je paran brojT: n2 paran brojD: n=2k, k n n2 =(2k)2 = 4k2 =2(2 k2) to je paran broj

Dz 1. Dokaži teorem ako je n neparan brojonda je i n2 neparan broj. 2. Napiši simbolima a) ako su a i b prirodni brojevi, onda je a+b prirodan broj

b) za svaki broj a postoji jedan i samo jedan broj b jednak 2a

Skup cijelih brojeva

Cijeli brojevi se uvode da bismo mogli riješiti jednačinu

U skupu cijelih brojeva oduzimanjeSe definiše kao sabiranje sa suprotnim brojem

Po henkelovom principu permanencijekoji glasi Sve osobine podskupa brojeva prenose se na širi skup brojeva.To znači sve osobine skupa N ima i skup Z i dobija i neke nove.

Neograničen je i odozgo i odozdo, tj ne postoji ni najveći ni najmanji cijeli broj.

U skupu cijelih brojeva vrijede pravila za SabiranjeZatvorenost

Komutativnost =Asocijativnost Neutralni element za sabiranje je 0 jer je Inverznii element za sabiranje je -a jer je

Navedene osobine mogu se kraće izreči ekvivalentnom tvrdnjom:(z;+) je abelova ili komutativna grupa

Za množenje Zatvorenost

Komutativnost =Asocijativnost Neutralni element za množenje je 1 jer je

Navedene osobine mogu se kraće izreči ekvivalentnom tvrdnjom:

je komutativna polugrupa sa neutralnim elementom

Distributivnost množenja u odnosu na sabiranje

Z

Z0

-1 -2

N2

3 4

Apsolutna vrijednost ili modulo cijelog broja

Def. Apsolutna vrijednost cijelog broja a je npr.

vrijedi za svako a i b iz skupa cijelih brojeva.

Dz 1. Napiši brojeve suprotne zadatim 2,-3, 523, -45 a zatim odredi nihovu apsolutu vrijednost. 2. Riješi jednačine

Skup racionalih brojeva

\ bez razlika q je skup brojeva oblika takvih da je p

cijeli broj i q je cijeli broj koji ne smije biti nula u skupu racionalnih brojeva vrijede pravila za uvodi se da bi mogli riješiti jednačinu a x=b koja se ne može

uvijek riješit u skupu cijelih brojeva. Već jednačina2 x=3 nema rješenje u ZSabiranjeZatvorenost

Komutativnost =Asocijativnost Neutralni element za sabiranje je 0 jer je

Inverzni element za sabiranje je -a jer je

A i –a su suprotni brojeviSuprotni brojevi se ponište.

Navedene osobine mogu se kraće izreči ekvivalentnom tvrdnjom:(q;+) je abelova ili komutativna grupa

Za množenje Zatvorenost

Komutativnost =Asocijativnost Neutralni element za množenje je 1 jer je

Inverzni element za množenje je jer

je

a i su recipročni brojevi.

Recipročni brojevi se krate.

Navedene osobine mogu se kraće izreči ekvivalentnom tvrdnjom: je komutativna ili abelova grupa

Distributivnost množenja u odnosu na sabiranje

Navedenih 11 osobina možemo izreči rečenicom (Q,+,˙) je polje.

Broj Suprotan broj

Recipročan broj

Pravila za računanje sa razlomcima

2 -2 Proširivanje m 0

-3 3 Skraćivanje m 0

Sabiranje i oduzimanje

a,b,c,d,m 0 Množenje

Dijeljenje

Osobina koja je nova je skup razlomaka je gust skup. To znači da između 2 razlomka ima bar 1 broj

Operacije sa razlomcimaPrimjeri

Svaki razlomak se može prikazati u obliku periodičnog decimalnog broja i obrnuto.

X = 0,6˙X = 0,66666 /1010x=6,66666=6+0,6666=6+x9x =6

Primjer(5-6,35):6,5+9,9=-1,35:6,5+9,9=13,5:65+9,9=0,20769+9,9=10,10769Važno 2˙0,5=1 0,1˙10=1 0,01˙0,1=0,001 1:0,1=10

Skup razlomaka je gust skup. Između dva razlomka postoji bezbroj razlomaka. Između 1 i 2 je broj 1,5. Između 1 i 1,5 je njihova aritmetička sredina 1,25 i tako do u beskonačnost.Svakom racionalmom broju odgovara jedna tačka na brojnoj od. Da li vrijedi i obrnuto?Stari grci su se iskreno iznenedilui kad su otkrili da ne vrijedi. Ima tačaka kojima ne odgovara ni jedan razlomak. Njima odgovaraju iracionalni brojevi.

X2=12+12=2X=

Dijagonala kocke dužine 1 je

Th: nije racionalan broj.P: postoji

T: nije razlomak

D: indirektan dokazPredpostavimo da jeste razlomak. Ako nas ta predpostavka dovede do apsurda kažemo da je teorem dokazan indirektno.

Skup realnih brojeva

Skup realnih brojeva je unija skupa racionalnih(periodičnih decimalnih brojeva) i skupa iracionalnih(neperiodičnih decimalnih brojeva).

Stepeni

Izraz an nazivamo stepen ili potencija; broj a nazivamo baza ili osnova , a broj n eksponent ili izložilac stepena

an = a * a * a ... * a (za n = 1,2, 3, 4...)

n-puta3a2 3-koeficijent a –baza 2-eksponent a2-stepen

Primjeri stepena su i:

52, 73, 36, x10, y8, zn... Posebno ističemo da je: a1=a.

Operaciju pomoću koje izračunavamo vrijednost stepena nazivamo stepenovanje ili potenciranje.

Izračunaj vrijednost stepena:

43 = 4 * 4 * 4 = 64 (-3)4 = (-3) * (-3) * (-3) * (-3) = 81 05 = 0 * 0 * 0 * 0 * 0 = 0

Sabiranje i oduzimanje stepena

Sabirati i oduzimati možemo samo slične stepene. Slični stepeni imaju istu bazu i isti eksponent.

PrimjerA5+a3 ne može a5+b5 ne može 5a3+a3= 6a3 može

Množenje stepena jednakih baza

Posmatrajmo proizvod dva stepena jednakih baza:

am * an, m, n n.

am * an = a * a* ... * a * a * a * ... * a = a * a * ... *a = am+n

m puta n puta m+n putaStepene jednakih baza množimo tako što bazu prepišemo,a eksponente saberemo.23*22=(2*2*2)*(2*2)=25

103*102=105

Dijeljenje stepena jednakih baza

neka su m i n prirodni brojevi i m>n i a >0.

Tada je:

Am : an = am-n, jer je am-n * an = am.

Stepene jednakih baza dijelimo tako da zajednièku bazu prepišemo, a eksponente oduzmemo.

a9 : (a4 * a2) = a9 : a6 = a9-6 = a3

1014*108=106

Stepenovanje stepena

Neka su dati m, n n i a>0, tada imamo:

(am)n = am*n.

(am)n = am * am * am ... * am = am+m+m...+m = am*n.

Stepen stepenujemo tako što bazu prepišemo, a eksponente pomnožimo.

Stepen proizvoda

Stepen proizvoda jednak je proizvodu stepena činilaca ili faktora.

(a*b)n = an*bn

An*bn = (a*b)n

Stepene jednakih eksponenata množimo tako što baze pomnožimo,a eksponent prepišemo.

(2 * 3)2 = 22 * 32 = 4 * 9 = 36 (4 * 2 * 3)2 = 16 * 4 * 9 = 576

0,53*43=(0,5*4)3=23=8

Stepen količnika

Stepen količnika jednak je količniku stepena dijeljenika i stepena djelioca.

Stepene jednakih baza dijelimo tako da zajedničku bazu prepišemo, a eksponente oduzmemo.

(a/b)n = an/bn

Količnik dva stepena jednakih izložilaca jednak je stepenu količnika zajedničkog izložioca, tj.

An/bn = (a/b)n

Stepene jednakih eksponenata dijelimo tako što baze podijelimo,a eksponent prepišemo.

A9 : (a4 * a2) = a9 : a6 = a9-6 = a3

(3/2)2 = 3/2 * 3/2 = 32/22 = 9/4.an = a * a * a ... * a (za n = 2, 3, 4...)

Stepenovanje stepena

Neka su dati m, n n i a>0, tada imamo:

(am)n = am*n.

(am)n = am * am * am ... * am = am+m+m...+m = am*n.

Stepeni sa cijelim eksponentom

A0=1 a dokaz:

Pr. (a-2)-2 :a-3=a4:a-3=a7

3a-2b7*5a3b-4c=15ab3

Priprema za kontrolni

1.

2. X=0, pretvroi u razlomak3. Izračunaj rijednost izraza 3x2-5xy+7y3 za x=-2 i y=0,34. 2a-5b4:3ab7c-3

5.

6. (5a2)2-5(a2)2-+7a9:a5

Aritmetički korijeniZa svaki realan broj veći ili jednak od nule i prirodan broj n postoji jedan i samo jedan realan broj b veći ili jednak od nule takav da je bn=a. Onda je b n-ti (čita se enti) aritmetički korijen iz a.Def

A-potkorjena veličina, radikandN-eksponent korijena M-eksponent potkorjene veličineB-vrijednost korijena

Definiciono područje: potkorjena veličina mora biti pozitivna

slični korijeni-korijeni koji imaju istu bazu i isti eksponentSlični korijeni se mogu sabirati i oduzimati

Proširivanje korijena Korijen proširujemo tako što i eksponent korijena i eksponent potkorjene veličine pomnožimo istim brojem različitim od nule.

Skraćivanje korijena Korijen skraćujemo tako što i eksponent korijena i eksponent potkorjene veličine podijelimo istim brojem različitim od nule..

Množenje korijena jednakih eksponenata korijenaKorijene istih eksponenata korijena množimo tako što baze pomnožomo a korijen prepišemo

Dijeljenje korijena jednakih eksponenata korijenaKorijene istih eksponenata korijena dijelimo tako što baze podijelimo a korijen prepišemo

Stepenovanje korijenaKorijene stepenujemo tako što stepenujemo potkorjenu veličinu,tj eksponent potkorjene veličine pomnožimo eksponentom kojim treba stepenovati korijen.

Korjenovanje korijenaKorijene korjenujemo tako što eksponente korijena pomnožimo.

Racionalisanje nazivnika

Izračunajte bez digitrona na 5 decimala

A sad izračunajte . Ovo je lakše. Zato je u matematici ostao običaj da se nazivnik

racionališe.

Priprema za kontrolni

1. 4.

2. 5.

3. A2* 6.

Polinomi

Funkcija r->r oblika P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + …+ a3x3 + a2x2 + a1x + a0 zove se polinom po jednoj varijabli ili polinom sa jednom nepoznatom.An, … , a0 zovu se koeficijenti i realni su brojevi an se zove vodeći koeficijent i različit je od nule, x-nepoznata ili argument.

Monom je jednočlani polinom ili stepen 3x5.

Binom je polinom koji ima samo dva člana a+b.

tročlani polinom nazivamo trinom a2 - 7ab + b3

Stepen polinoma je najviši stepen njegovog člana. Npr. -2x5 – 13x – x – 5 je 5.

4x7 – 4x – 2 je 7. 6x2 – 5x – 3 je 2.

Za dva polinoma kažemo da su jednaka ako imaju jednake stepene i ako je koeficijent svakog člana jednog polinoma jednak odgovarajućem koeficijentu drugog.Opadajući polinom je polinom u kojeg stepen polinoma opada. X4 – x3 – x2

Rastući polinom je polinom u kojeg stepen polinoma raste. X3 + x4 + x5

Sabiranje polinoma p(x) + q (x)

P(x) = x2 + 4x + 2

Q(x) = 2x2 +5x + 5

P(x) + q (x) = (x2 +4x +2) + (2x2 + 5x + 5)=3x2 + 9x + 7

Oduzimanje polinoma p(x) - q(x)

P(x)= x2 + 4x + 2

Q(x) = 2x2 + 5x + 5

P(x) - q(x) = (x2 + 4x + 2) – (2x2 + 5x + 5) = -x2 – x - 3

Množenje polinoma p(x) * q(x)

P(x)= x2 + 4x + 2

Q(x) = 2x2 + 5x + 5

P(x) * q(x) =(x2 + 4x + 2)*(2x2 + 5x + 5)=2 x4 +8x3 + 4x2

+5x3 +20x2 +10x +5x 2 +20x+10

p(x) * q(x) = 2x4 + 13x3 + 29x2 + 30x + 10

Dijeljenje polinoma p(x) : q(x)

P(x)= x2 + 4x + 2

Q(x) = x + 5

djeljenik djelitelj količnik

p(x) : q(x)=(x2 + 4x + 2):(x + 5)=x-1 provjera (x+5)(x-1)+7=(x2+4x+2)

- X 2 5x -x +2

7 Ostatak

Rastavljanje polinoma na proste faktore

ax +bx= x(a+b)izvlačenje ispred zagrade

ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y) =(x+y)(a+b) grupisanje

Primjeri3x+6y=3(x+2y)X2y3-2 x5y= x2y(y2-2x3)(x+6a)m+(x+6a)n=(x+6a)(m+n)

3x+3y-mx-my=3(x+y)-m(x+y)=(3-m)(x+y)

X2-9y2=(x)2-(3y)2=(x-3y)(x+3y)X4-y4=( x2-y2) ( x2+y2)= ( x-y) (x+y)( x2+y2)

X2-4x+4=(x)2-2 x 2 +22=(x-2)225a2 +20ab +4b2=(5a)2+2 5a 2b +(2b)2=(5a+2b)2

X3-8= x3- 23=(x-2)(x2+2x+4)X3+27= x3+33=(x+3)(x2-3x+9)

X3+ 6x2+12x+8= x3+3 x22 +3 x 22+ 23 =(x+2)3X3- 9x2y+27xy2-27 y3=x3-3 x23y +3 x (3y)2- (3y)3 =(x-3y)3

Priprema za kontrolniP(x)= (x3- x2+12x+8)saberi,oduzmi,pomnoži i podijeliQ(x)= 3x2-2x+18(3x-5)3-(2x-3)2Odredi ostaktak dijeljenja obično,bezuovom teoremom i hornerovom šemom(x3- 5x2-2x+5) : (x-3)Rastavi na proste faktoreX3- 9x2y+27xy2-27 y3 x2-4x+4 x3-8

25a2 +20ab +4b2 x2-9y2 a2 +5ab +4b2

Algebarski razlomci

X2-Y2=(X-Y)(X+Y) razlika kvadrata

X3-Y3=(X-Y)(X2+XY+Y2) razlika kubova

X3+Y3=(X+Y)(X2-XY+Y2)zbir kubova

X2+2XY+Y2=(X+Y)2 kvadrat zbira

X2-2XY+Y2=(X-Y)2 kvadrat razlike

X3+3X2Y+3XY2+Y3=(X+Y)3 kub zbira

X3-3X2Y+3XY2-Y3=(X-Y)3 kub razlike

Pojmovi:

Skup konacno mnogo konstanti ili promjenljivih povezanih znacima matematičkih operacija naziva se izraz.I samo jedna konstanta je izraz.Koji izraz je algebarski?Izraz se naziva algebarski ako se u njemu pojavljuju samo algebarske operacije:sabiranje,oduzimanje,množenje,djeljenje i stepenovanje.Kada je racionalni algebarski izraz definisan?Racionalni izraz je definisan samo za one vrijednosti varijabli za koje nazivnik izraza (djelilac) nije jednak nuli.

to znači da x može biti bilo koji realan broj sem broja 2. Za svaki realan broj sem dva

algebarski razlomak ima realnu vrijednost. Za x=2 vrijednost razlomka je a to nije realan

broj .(dokaz

uzmimo da postoji realan broj i da ima vrijednost ž

=ž onda 4=0*ž to je nemoguće.

onda 0*š=0 to je neodređeno tj tačno za svako š

zato je zabranjeno dijeliti sa nulom

Nula funkcije je vrijednost promjenljive x za koju je algebarski razlomak jednak nuli. Za naš

malopređašnji razlomak nula funkcije je x=-2 jer je

razlomak je definisan za bilo koji realan broj sem brojeva 0,-5 i 5. Oni su zabranjeni. Funkcija nema realnu nulu.

Proširivanje i skraćivanje algebarskih racionalnih izraza

Proširiti razlomak znači i brojnik i nazivnik razlomka pomnožiti istim brojem različitim od nule.Date razlomke proširiti sa datim brojem:

Razlomak se skraćuje tako da se i brojnik i nazivnik datog razlomka podijeli istim brojem koji nije jednak nuli.

najmanji zajednički sadržalacza niz brojeva ili izraza je broj ili izraz koji se bez ostatka može podijeliti sa svakim od zadatih brojeva ili izraza.

1. Za 2 i 3 je 6. Za 25,18 i 15 određuje se ovako2. 25=5*5=52

18=2*3*3=2*32

15=2*3 NZS=2*32*52=2*9*25=450

3.

NZS=x(x+5)(x-5)3

NZD=x-5 jer se svaki polinom može podijeliti sa x-5NZDnam treba za skraćivanje,a NZS za sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka.

Sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka

2*3*a*a 2*2*a*b 3*b*b 2*2*3*a*a*b*bNZS

2*2*3*a*a*b*b:2*3*a*a=2*b*b2*2*3*a*a*b*b:2*2*a*b=3*a*b2*2*3*a*a*b*b:3*b*b=2*2*a*apostupak

1.rastaviti nazivnike na proste faktore2.naći NZS i napisati ga ispod razlomačke crte3. NZS podijeliti sa svakim nazivnikom4. i pomnožiti brojnik sa tim što dobijemo pod 3.

množenja algebarskih razlomakapostupak

1. rastavimo polinome na proste faktore2. pomnožimo brojnik sa brojnikom i nazivnik sa nazivnikom3. skratimo šta se može kratiti ili prvo 3 pa 2

dijeljenje algebarskih razlomakapostupak

1. rastavimo polinome na proste faktore2. prvi razlomak prepišemo i pomnožimo recipročnom vrijednošću drugog3. skratimo šta se može kratiti

greške u skraćivanju algebarskih razlomakapogrešno tačno

= =

=

pravouglo koordinatni sistemŠta je prava?Prava je zajedno sa tačkom i ravni osnovni pojam koji se ne definiše.Šta je orjentisana prava?Prava kod koje je zadat jedan od dva moguća smijera.Šta je brojna osa?Prava koja ima orjentaciju i jediničnu dužinu. Jediničnu dužinu uzimamo proizvoljno,ali kad smo je uzeli onda je položaj svih ostalih brojeva tačno jednoznačno određen. Dva je na dva puta većoj udaljenosti nego 1. Šta je koordinati sistem?Koordinatni sistem (tačnije pravougli koordinatni sistem ili Dekartov ili Kartezijusov koordinatni sistem) čine dvije brojne ose koje se sijeku u nuli pod pravim uglom. Taj presjek je koordinatni početak.

y osa ordinatna osa

x osa apscisna osa

Šta je uređeni par(a,b)(a,b) uređeni par je dvočlani skup kod koga je tačno određeno koji je element prvi,a koji drugiuređenom paru se može pridružiti tačka u koordinatnom sistemu i obrnuto.

Tačke označavamovelikim štampanim slovima.a je prva koordinata ili apscisa tačke. Pozitivno a crtamo desno,a negativno lijevo od koordinatnog početka.b je druga koordinata ili ordinata tačke. Pozitivno b crtamo gore,a negativno dole od koordinatnog početka.Dužina duži računa se po formuli

d(A,B)= potkorjena veličina je uvijek pozitivna jer je i dužina duži

pozitivna.Sredina duži ima koordinate S (xs,ys)

površina trougla se računa po formuli

P= površina trougla je uvijek pozitivna.

Stranice trougala su duži koje spajaju vrhove trougla.Težišnice su duži koje spajaju vrh trougla i sredinu suprotne stranice.Visine su duži koje spajaju vrh trougla i podnožje normale povučene iz tog vrha na suprotnu stranicu.Težište je presjek težišnica i ima koordinate T (xt,yt)

funkcija

Neka je zadata funkcija sa skupa A u Skup B.Funkcija ili presikavanje je propis po kome svakom elementu prvog skupa pridružujemo jedan i samo jedan element drugog skupa.F:x y

x je nazavisno promjenljiva veličina,argument,nepoznata originaly je zavisno promjenljiva veličina, vrijednost funkcijeSkup A zave se domena ili definiciono područje ili oblast definisanosti funkcije.Definiše se kao skup promjenljivih x za koje je y realan broj. Skup B zove se kodomena,ili područje vrijednosti funkcije.Definiše se kao skup promjenljivih y za koje je x realan broj.Funkcije možemo zadati

opisom:npr.svakom učeniku pridruži ocjenu iz pismanog formulom:y=2x tabelom

x 2 3 4 5Y=2x 4 6 8 10

skupom uređenih parova f(x)=

venovim dijagramima

AB

2345

46810

AB

Ovo nije funkcija jer 2 nema sliku.

A

Nije funkcija jer 5 ima 2 slikeB

Funkcija direktne proporcionalnostiJe funkcija oblika y=kxOsobine funkcije direktne proporcionalnosi

1. definiciono područje je skup svih realnih brojeva. To znači da za svaki realan broj x

možemo izračunatri 1!y. Pišemo

područjevrijednosti funkcije (kodomena) je skup svih realnih brojeva. To znači da za

svaki realan broj y možemo izračunatri 1!x. Pišemo

2. nula funkcije je vrijednost promjenljive x za koju je y nula.Odsječak na y osi je tačka u kojoj funkcija siječe y osuKod funkcije direktne proporcionalnosti obje obe tačke se podudaraju i nalaze se u koordinatnom početku.

3. tok funkcije može biti rastući i opadajući. Funkcije direktne proporcionalnosti koje imaju pozitivno k su rastuće afunkcije koje imaju negativno k su opadajuće.

4. znak funkcije može biti pozitivan i negativan. Funkcije direktne proporcionalnosti koje imaju pozitivno k su za negativne, a za su pozitivnek>0 xy -------- ++++++

koje imaju negativno k su za pozitivne ,a za su negativnexy ++++++ ----------

2345

6810

2345

4681012

5. grafik je prava.

linearna funkcijaJe funkcija oblika y=kx+nOsobine funkcije direktne proporcionalnosi 1. definiciono područje je skup svih realnih brojeva. To znači da za svaki realan broj x

možemo izračunatri 1!y. Pišemo

područje vrijednosti funkcije (kodomena) je skup svih realnih brojeva. To znači da za svaki

realan broj y možemo izračunatri 1!x. Pišemo

2. nula funkcije je vrijednost promjenljive x za koju je y nula. Nula funkcije je tačka čije su koordinate(x0,0) i ona se nalazi na x osi. U nuli funkcije funkcija direktne proporcionalnosti mijenja znak.

Odsječak na y osi je tačka u kojoj funkcija siječe y osuKod funkcije direktne proporcionalnosti obje obe tačke se podudaraju i nalaze se u koordinatnom početku.

4. tok funkcije može biti rastući i opadajući. Funkcije direktne proporcionalnosti koje imaju pozitivno k su rastuće afunkcije koje imaju negativno k su opadajuće.

4. znak funkcije može biti pozitivan i negativan. Funkcije direktne proporcionalnosti koje imaju pozitivno k su za negativne, a za su pozitivne

k>0 x

y -------- ++++++x>0 y>0x<0 y<0koje imaju negativno k su za pozitivne ,a za su negativnex

y ++++++ ----------x>0 y<0x<0 y>0

5. grafik je prava. Funkcije koje imaju isti k su međusobno paralelne. Zato se k zove koeficijent pravca (sve paralelne prave čine jedan pravac)Linearna funkcija y=kx+n je i linearna jednačina sa dvije nepoznate. Takve jednačine mogu se napisati u obliku eksplicitnom obliku y=kx+n i prevesti

y-kx-n=0 kx-y+n=0 ax+by+c=o u implicitni oblik

važno je zapamtiti da linearna jednačina sa 2 nepoznate ima bezbroj rješenja.

Linearne jednačine sa jednom nepoznatom i konstantnim koeficijentimaIzraz u kome se javlja znak jednako i koji je uvijek tačan zove se jednakost. Jednakosti mogubiti numeričke 32=9 7-12=-5 i algebarske a2-b2=(a-b)(a+b)( tačno za sve vrijednosti a i b)Izraz u kome se javlja znak koji ne mora biti tačan uvijek zove se jednačina. Odrediti vrijednost nepoznate tako da jednačina postane tačna jednakost zove se riješiti jednačinu.Pri tome primjenjujemo slijedeće postupke.

Na obje strane jednačine dodajemo isti broj ili izraz jer se jednačina pri tome ne mijenja.

od obje strane jednačine oduzmemo isti broj ili izraz obje strane jednačine pomnožimo istim brojem ili izrazom različitim od nule obje strane jednačine podijelimo istim brojem ili izrazom različitim od nule

primjer

(7-3x)(7+3x) VAŽNO Dp.x x -

-(49- )=-(7-3x)(7+3x)

357-119x2(3x+7)+48(7-3x)+(19x+7)=0predznak je plus jer minus ispod razlomačke crte i minus ispred razlomka daju +

6x+14+336-144x+19x+7=0357-119x=0-119x=-357

x=

x=3

Linearne jednačine sa jednom nepoznatom i opštim koeficijentimaLinearne jednačine sa jednom nepoznatom i opštim koeficijentima pored nepoznate x imaju još nepoznastih označenih opštim brojevima. Ti opšti brojevi zovu se parametric.Linearne jednačine sa jednom nepoznatom i opštim koeficijentima treba diskutovati na slijedeći način: “teorija “Jednačina se dovede na oblik Ax=B

Označiti ono što množi x sa A a izraz s druge strane jednačine sa BDISKUSIJA:

A

A=0 B=0 0x=0 neodređenoSvako x iz skupa R je rješenje ove jednačine

A=0 B 0x=B nemoguće Nema tog broja za koji je 0x jednako nećemu što nije nula.

Primjera2x-4=4x+4a+a2

a2x -4x= a2+4a+4(a2-4)x=(a+2)2

(a-2)(a+2)x=(a+2)2 *A=(a-2)(a+2)B=(a+2)2

(a-2)(a+2)

a+2=0 uvrstimo u * 0x=0 neodređeno

a-2=0a=2 uvrstimo u * 0(2+2)x=(2+2)2

0(4)x =16 0=16nemoguće

ProblemiZa razliku od života ,problemi u matematici su lijepi i zanimljivi zadaci.To su zadaci u kojima tekst treba prevasti u jenačine koje se zatim rješavaju na gore opisane načine.

Linearna jednačine sa jednom nepoznatom i konstantnim koeficijentimaSu izrazi slični jednačinama koji imaju u sebi znak<,>, .Rješavaju se kao jednačine,ali na kraju umjesto jednog broja rezultat je nejednakost koju napišemo u obilku intervala (skup beskonačno brojeva od nekog broja do + ili – beskonačno.) Zatim treba nacrtati taj interval na brojnoj osi .Npr.3x-5<4x+33x-4x<3+5 -8 0-x<8 (-1)x>-8

sisteme nejednačina rješavamo tako što riješimo svaku pojedinačni i na kraju nađemo zajednička rješenja-presjek intervala. To je dio x ose gdje iznad nje ima onoliko linije koliko ima jednačina koje čine system.

tabelarno rješavanje nejednačinalinearne nejednačine koje imaju x ispod razlomačke crte ne smijemo množiti NZS.Njih rješavamo na slijedeći način:

riješimo brojnik kao jednačinu(rastavimo polino na proste faktore i nađemo nulu polinoma u brojniku)

riješimo nazivnik kao jednačinu(rastavimo polino na proste faktore i nađemo nulu polinoma u nazivniku)

nacrtamo tabelu u kome je u prvom redu x-osa (ne pošemo ništa u 1. kućicu) na prvu uspravnu crtu napišemo - ,na drugu najmanji nulu pa sve veće i veće

do u drugu kućicu u prvoj koloni napišemo prvi monom ili binom,ispod drugu itd. U svaki vodoravi red stavimo nulu na crtu ispod broja koji je nula monoma ili

binoma na početku tog reda. Postavimo predznake. Ako je x pomnoženo pozitivnim brojem pišemo prvo –

do nule pa +. Ako je x pomnoženo negativnim brojem pišemo prvo + do nule pa -. Pdredimo predznak rješenja tako što pomnožimo predznake vertikalno. “Skrojimo pantole” pročitamo intervale u kojima je odgovarajući predznak.

Primjer

- -8 -5/2 +-x-8 ++++++++ 0 ---------- - -----------2x+5 ----------- - ----------- 0 +++++++rješenje ------------ 0 ++++++++ ND -----------

Rješenje x

Isto bi rješavali i nejednačinu (-x-8)(2x+5)>0

Sistemi dvije linearne jednačine sa dvije nepoznate i konstantnim koeficijentimaLinearna funkcija y=kx+n je i linearna jednačina sa dvije nepoznate. Takve jednačine mogu se napisati u obliku eksplicitnom obliku y=kx+n i prevesti

y-kx-n=0 kx-y+n=0 ax+by+c=o u implicitni oblik

važno je zapamtiti da linearna jednačina sa 2 nepoznate ima bezbroj rješenja. Riješiti sistem 2 linearne jednačine sa 2 nepoznate je uređeni par brojeva koji je riješenje i jedne i druge jednačine.Za rješavanje sistema koristimo slijedeće metodeMETODA SUPROTNIH KOEFICIJENATASe primjenjuje kad pored jedne nepoznate imamo suprotne koeficijente. Jednačine tada saberemo i ostane jenda jednačina sa 1 nepoznatm. Kad je riješimo rješenje uvrstimo u jednu ili drugu jednačinu i dobijemo i drugu nepoznatu.Nprx+y=7 5+y=7 rj (5,2)x-y=3 y=22x=10x=5

GAUSOVA METODASe primjenjuje kad koeficijenti nisu suprotni. Tada pomožimo jednu ili obje jednačine dobro odabranim brojevima da se pojave suprotni koeficijenti.Npr10x + y = 7 10x-3=7 rj(1,-3)2x - 7y = 23 /-5 10x=10 10x + y = 7 x=1-10x+35y =-115

-x-8=0 -x=8 x=-82x+5=0 2x=-5 x=-5/2

36y = -108

y =

y = -3

METODA ZAMJENE ILI SUPSTITUCIJEAko je jedna nepoznata pomnožena koeficijentom 1 onda je pogodno system rješavati metodom zamjene.Npr10x + y = 7 y=7-10x y=7-10*12x - 7y = 23 2x-7(7-10x)=23 y=7-10

2x-49+70x =23 y=-32x+70x =23+49 72x =72 rj(1,-3)

x=1

GRAFIČKA METODA

METODA DETERMINANTI