matematikai játékok - web.cs.elte.hu · 1. játék: két játékos felváltva helyez korongokat...
TRANSCRIPT
Matematikai jaacuteteacutekok SZAKDOLGOZAT
Nyitrai Orsolya Katalin
Matematika BSc tanaacuteri szakiraacuteny
Teacutemavezető
Heacuteger Tamaacutes
tudomaacutenyos segeacutedmunkataacuters
Eoumltvoumls Loraacutend Tudomaacutenyegyetem
Termeacuteszettudomaacutenyi Kar
Budapest 2014
2
Tartalomjegyzeacutek
Bevezeteacutes 3
1 Fejezet Alapfogalmak definiacutecioacutek 3
2 Fejezet Kezdő feladatok 8
1 1 Lepakoloacutes jaacuteteacutek 8
1 2 Foglaloacutes jaacuteteacutekok 9
3 Fejezet Kupacos jaacuteteacutekok 12
3 1 Egyszerű egykupacos jaacuteteacutek 12
3 2 Nim-jaacuteteacutek eacutes nim-oumlsszeadaacutes 13
3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja 14
3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok 16
4 Fejezet Grundy-szaacutemok 18
5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai 22
5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai 22
5 2 Jaacuteteacutekok korongokkal 23
5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai 26
5 4 Fibonacci-nim 30
Irodalomjegyzeacutek 35
3
Bevezeteacutes
Szakdolgozatomhoz olyan teacutemaacutet kerestem amit keacutesőbbi tanaacuteri paacutelyaacutem soraacuten
felhasznaacutelhatok Nagyon fontos szaacutemomra hogy a fiatalok eacuterdeklődeacuteseacutet felkeltsem a
matematika iraacutent hogy eacutelvezettel meruumllhessenek bele a megoldandoacute probleacutemaacutekba
feladatokba Ezeacutert esett vaacutelasztaacutesom a matematikai jaacuteteacutekokra
Dolgozatom leacutenyegeacutet keacutetszemeacutelyes strateacutegiai jaacuteteacutekok keacutepezik melyeknek nyereacutesi
lehetőseacutegeit matematikai moacutedszerek segiacutetseacutegeacutevel tanulmaacutenyoztam Sok jaacuteteacutekot magam is
kiproacutebaacuteltam eacutes sok tapasztalatot szereztem mikoumlzben rengeteg eacutelmeacutennyel gazdagodtam
Veacutelemeacutenyem szerint ezek a jaacuteteacutekok alkalmasak a logikus gondolkodaacutes fejleszteacuteseacutere
Koumlzeacutepiskolaacutes szakkoumlroumln vagy fakultaacutecioacuten eacuterdemes egy-egy peacuteldaacuteval sziacutenesebbeacute tenni a
foglalkozaacutesokat
Az alapfogalmak definiaacutelaacutesa eacutes tisztaacutezaacutesa utaacuten a koumlnnyebb jaacuteteacutekokon keresztuumll
eljutunk a kuumlloumlnboumlző neheacutezseacutegű bdquokupacos-kavicsosrdquo jaacuteteacutekokhoz Az elmeacuteleti haacutetteacuter
kidolgozaacutesa soraacuten bemutatom a nim-oumlsszeadaacutes eacutes a Grundy-szaacutemok rejtelmeit melyek
segiacutetseacutegeacutevel a jaacuteteacutekok nyerő strateacutegiaacutei aacutetlaacutethatoacutevaacute vaacutelnak
Az aacuteltalam legtoumlbbet hasznaacutelt forraacutes Csirmaz Laacuteszloacute [2] cikke volt
Koumlszoumlnetnyilvaacuteniacutetaacutes
Szeretneacutem megkoumlszoumlnni Toumlroumlk Judit tanaacuternőnek hogy felkeltette bennem a teacutema
iraacutenti eacuterdeklődeacutest Valamint koumlszoumlnoumlm Heacuteger Tamaacutesnak ez uacuteton is a rengeteg segiacutetseacutegeacutet
eacutes raacutem aacuteldozott idejeacutet amivel nagymeacuterteacutekben hozzaacutejaacuterult a szakdolgozatom
elkeacuteszuumlleacuteseacutehez
4
1 Fejezet Alapfogalmak definiacutecioacutek
A jaacuteteacutekok elemzeacutese soraacuten mindenkeacutepp szuumlkseacuteges hogy felaacutelliacutetsunk bizonyos
szabaacutelyokat eacutes megnevezzuumlnk fogalmakat tulajdonsaacutegokat
A dolgozatban bemutatott jaacuteteacutekok mindegyike keacutetszemeacutelyes jaacuteteacutek amelyekben keacutet
jaacuteteacutekos felvaacuteltott sorrendben keruumll jaacuteteacuteklehetőseacuteghez Aacuteltalaacuteban kezdő vagy első illetve
maacutesodik jaacuteteacutekos neacuteven emliacutetem őket
Az oumlsszes jaacuteteacutek soraacuten felteacutetelezzuumlk hogy mindkeacutet jaacuteteacutekos a legjobb tudaacutesa alapjaacuten
jaacutetszik eacutes mindig a szaacutemukra lehető legjobb leacutepeacutest teszik meg (nem rontanak) Ez azt
jelenti hogy ha keacutesőbbiekben az fog szerepelni hogy az egyik jaacuteteacutekos nem nyerhet egy
jaacuteteacutekban azt uacutegy kell eacuterteni hogy a maacutesik tud uacutegy jaacutetszani hogy nyerjen (eacutes uacutegy is fog
jaacutetszani hogy nyerjen)
Tipikusan diszkreacutet jaacuteteacutekokroacutel foguk foglalkozni melyeknek tulajdonsaacutega hogy
kuumlloumlnboumlző joacutel elhataacuterolt aacutellapotok aacutellaacutesok vannak bennuumlk Tehaacutet a jaacuteteacutek aacutellaacutesainak
tekintjuumlk az oumlsszes előfordulhatoacute egymaacutestoacutel joacutel elkuumlloumlniacutethető aacutellapotokat
Definiacutecioacute (leacutepeacutes) A matematikai jaacuteteacutekok soraacuten leacutepeacutesnek nevezzuumlk az aacutellaacutesboacutel aacutellaacutesba
valoacute aacutetmenetet amit mindig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos vaacutelaszt meg a jaacuteteacutekszabaacutelynak
megfelelő lehetőseacutegek koumlzuumll eacutes amely egyeacutertelműen leiacuterhatoacute egy aacutellaacutespaacuterral ami
tartalmazza a kiindulaacutesi eacutes eacuterkezeacutesi aacutellaacutest
Szuumlkseacuteguumlnk lesz vesztes eacutes nyerő aacutellaacutesok fogalmaacutera is melyeket a soron koumlvetkező
jaacuteteacutekos szempontjaacuteboacutel nevezuumlnk el
Definiacutecioacute (vesztes nyerő aacutellaacutes) Nevezzuumlk a tovaacutebbiakban a jaacuteteacutek vesztes aacutellaacutesainak
(vagy poziacutecioacuteinak helyzeteinek) azokat az aacutellaacutesokat melyekből indulva a soron koumlvetkező
jaacuteteacutekos semmikeacuteppen sem tudja megnyerni a jaacuteteacutekot azaz vesziacutet Maacutes esetben ha egy
aacutellaacutesboacutel indulva lehetőseacuteg van nyereacutesre nyerő aacutellaacutesroacutel beszeacuteluumlnk
Ezek alapjaacuten a vesztes aacutellaacutesok pontosabban azok előaacutelliacutetaacutesa lesz a nyerő jaacuteteacutekos szaacutemaacutera
kedvező eacutes fontos A jaacuteteacutekokban olyan strateacutegiaacutekat kell kidolgoznunk amelyek soraacuten az
ellenfeacutel vesztes aacutellaacutesboacutel nem tud uacutejabb vesztes aacutellaacutesra leacutepni miacuteg a kialakult nyerőből
mindig tudunk vesztes aacutellaacutest leacutetrehozni Ezeket fogjuk a tovaacutebbiakban nyerő
strateacutegiaacuteknak nevezni
5
Definiacutecioacute (nyerő strateacutegia) Nyerő strateacutegia alatt olyan strateacutegiaacutet eacutertuumlnk melyet
alkalmazva az ellenfeacuteljaacuteteacutekos tetszőleges strateacutegiaacuteja ellen garantaacuteltan nyerni tudunk
Megjegyzeacutes Ha egy jaacuteteacutekosnak leacutetezik nyerő strateacutegiaacuteja akkor az megegyezik azzal
hogy meg is nyeri a jaacuteteacutekot Eacutepp ezt jelenti a fent leiacutert bdquonem rontrdquo felteacutetelezeacuteseacutenek elve
Az eddigi fogalmak biztos elsajaacutetiacutetaacutesa eacutes ellenőrzeacuteseacutere eacuterdekeacuteben tekintsuumlk az alaacutebbi
jaacuteteacutekot1
0 Jaacuteteacutek Egy 10 x 8-as taacutebla jobb felső sarkaacuteban aacutell egy kiraacutelynő amellyel lefeleacute balra
vagy aacutetloacutesan balra leacutephetnek (akaacutermennyit) a jaacuteteacutekosok Az nyer aki a bal alsoacute sarokba
helyezi a kiraacutelynőt Ki nyer milyen strateacutegiaacuteval
Jeloumlljuumlk az 11-es aacutebra szerint a jaacuteteacutektaacuteblaacuten bdquo+rdquo jellel a nyerő aacutellaacutesokat vagyis azokat a
mezőket ahonnan indulva a soron koumlvetkező jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes bdquoVrdquo
betűvel a vesztes aacutellaacutesokat amelyekről indulva a kezdő nem nyerhet
11 aacutebra
Ez joacute peacutelda arra hogy rekurziacutev moacutedon minden mezőről megaacutellapiacutethatoacute hogy nyerő vagy
vesztő aacutellaacutes-e A bal alsoacute mező vesztő mert onnan nincs toumlbb leacutepeacutesi lehetőseacuteg Azok a
mezők melyekről erre koumlzvetlenuumll raacute tudunk leacutepni nyertes aacutellaacutesok lesznek Mindkeacutet
jaacuteteacutekos ceacutelja hogy vesztő mezőre leacutepjen a baacutebuval hiszen onnan ellenfele akaacuterhova is
leacutep a koumlvetkező koumlrben uacutejabb vesztő helyre tudja tenni a kiraacutelynőt eacutes iacutegy tovaacutebb Joacutel
laacutethatoacute hogy ebben a jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja raacuteadaacutesul keacutet
vesztő mezőre is leacutephet kezdeacuteskeacutepp
1 Az [5] szaacutemuacute Elemi matematika feladatgyűjtemeacutenyből szaacutermazoacute peacutelda alapjaacuten
8 + + + + V + + + + + 7 + + + + + + + + + + 6 + + + V + + + + + + 5 + + + + + + + V + + 4 + + + + + V + + + + 3 + V + + + + + + + + 2 + + V + + + + + + + 1 V + + + + + + + + +
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6
Az aacutellaacutesok eacutes szabaacutelyos leacutepeacutesek oumlsszefoglalhatoacuteak egy fogalommal megmutatjuk
hogyan
Definiacutecioacute (egyszerű graacutef) Vegyuumlnk keacutet diszjunkt halmazt jeloumllje ezeket V eacutes E ahol V
nemuumlres Legyen E a V-beli elemekből keacutepezhető keacutetelemű reacuteszhalmazoknak egy halmaza
Ekkor a G = (V E) rendezett paacutert (egyszerű) graacutefnak nevezzuumlk melyben V elemei a
csuacutecsok E elemei az eacutelek
Definiacutecioacute (iraacutenyiacutetott graacutef) Iraacutenyiacutetott egyszerű graacutefroacutel beszeacuteluumlnk ha a fenti graacutef
definiacutecioacutejaacuteban E a V-beli elemekből keacutepezhető rendezett paacuteroknak egy halmaza
Megjegyzeacutes A tovaacutebbiakban ha (iraacutenyiacutetott) graacutefot emliacutetuumlnk mindig egyszerű
(iraacutenyiacutetott) graacutefra gondolunk
Definiacutecioacute (aacutellapotgraacutef) A jaacuteteacutek aacutellapotgraacutefjaacutenak nevezzuumlk azt speciaacutelis iraacutenyiacutetott graacutefot
melyben a jaacuteteacutek aacutellaacutesai a graacutef csuacutecsainak a lehetseacuteges leacutepeacutesek a graacutef eacuteleinek felelnek
meg
A koumlnnyebb eacuterthetőseacuteg eacutes az egyeacutertelmű leiacuteraacutesok eacuterdekeacuteben bevezetuumlnk egy keacutesőbb sokat
hasznaacutelt fogalmat
Definiacutecioacute (raacutekoumlvetkező) Egy X aacutellaacutes raacutekoumlvetkezője az Y aacutellaacutes ha X-ből koumlzvetlenuumll (egy
leacutepeacutessel) el tudunk jutni Y-ba azaz ha az aacutellapotgraacutefban (X Y) eacutel (maacutes szoacuteval az X-nek
kiszomszeacutedja az Y)
Definiacutecioacute (veacuteges jaacuteteacutek) Veacuteges jaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha aacutellapotgraacutefjaacuteban minden csuacutecshoz
tartozik egy nemnegatiacutev egeacutesz szaacutem uacutegy hogy azok minden kiszomszeacutedjaacutehoz rendelt szaacutem
kisebb az oumlveacuteneacutel (pl a haacutetraleacutevő leacutepeacutesek maximaacutelis szaacutema) Ezt a szaacutemot nevezzuumlk az
aacutellaacutes szintjeacutenek
Ez alapjaacuten tegyuumlk fel hogy az aacutellapotgraacutef csuacutecsai szaacutemozva vannak Ekkor az aacutellaacutesok
szintjei a leacutepeacutesek soraacuten szigoruacutean monoton csoumlkkennek
Koumlvetkezmeacuteny Veacuteges jaacuteteacutek aacutellapotgraacutefja nem tartalmaz iraacutenyiacutetott koumlrt azaz aciklikus
Bizonyiacutetaacutes Ha tartalmazna koumlrt akkor lenne olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban ami toumlbbszoumlr is
előfordulhatna vagyis lenne olyan X1 X2 hellip Xk leacutepeacutessorozat ahol minden Xi+1 aacutellaacutes az
7
Xi aacutellaacutes raacutekoumlvetkezője eacutes Xk-nak kiszomszeacutedja X1 Azonban a veacuteges jaacuteteacutek definiacutecioacuteja
szerint egy aacutellaacutes raacutekoumlvetkezőjeacutenek a szintje kisebb mint az aacutellaacutes szintje ezeacutert Xk-nak nem
lehet X1 a raacutekoumlvetkezője mert akkor a hozzaacuterendelt szaacutem nagyobb keacutene legyen X1
szaacutemaacutenaacutel ami ellentmondaacutes
Definiacutecioacute Normaacutel jaacuteteacuteknak nevezzuumlk a tovaacutebbiakban azokat a jaacuteteacutekokat melyekben az a
jaacuteteacutekos vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni maacuteskeacutepp fogalmazva az nyer aki az utolsoacute leacutepeacutest
teszi
Megjegyzeacutes Aacuteltalaacuteban a dolgozatban hozott jaacuteteacutekok ilyen normaacutel jaacuteteacutekok
8
2 Fejezet Kezdő feladatok
Dolgozatom elejeacuten szeretneacutek bemutatni egy-keacutet toumlbbnyire szeacuteles koumlrben elterjedt
egyszerűbb matematikai jaacuteteacutekot Mindegyik korosztaacutely szaacutemaacutera talaacutelhatoacute megfelelő
szintű eacutes neheacutezseacutegű feladat vagy jaacuteteacutek amivel felkelthető a gyerekek eacuterdeklődeacutese Meg
lehet mutatni nekik hogy a matematikaacutenak van ilyen szoacuterakoztatoacute reacutesze is Persze az
lenne a legjobb ha ezekben tudnaacutek alkalmazni eacutes kamatoztatni a koraacutebban tanultakat
1 1 Lepakoloacutes jaacuteteacutek
1 jaacuteteacutek Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez korongokat egy asztalra Az vesziacutet aki nem tud uacutegy
toumlbb korongot elhelyezni az asztalon hogy az ne fedjen egy maacuter lent fekvőt Kinek van
nyerő strateacutegiaacuteja
Ez a jaacuteteacutek toumlbb tankoumlnyvben is szerepel Tapasztalataim szerint ez inkaacutebb elvi
gondolati jaacuteteacutek mert a gyakorlatba nehezen kivitelezhető A korongok vagy eacutermeacutek (hol
mi szerepel) koumlnnyen egymaacutesra csuacuteszhatnak vagy nem mindig egyeacutertelmű a helyzetuumlk
Mindemellett a jaacuteteacutek megoldaacutesa pofonegyszerű a gyerekek is hamar raacutejoumlhetnek Arra az
eredmeacutenyre jutunk hogy mindig az első jaacuteteacutekos nyer A joacute strateacutegia pedig az ha előszoumlr
koumlzeacutepre tesszuumlk a kezdő korongot (minden esetben van ilyen ha kerek az asztal ha
szoumlgletes leacutenyeg hogy az koumlzeacuteppontosan szimmetrikus legyen) eacutes a koumlvetkezőkben
mindig az ellenfeacutel leacutepeacuteseacutenek koumlzeacuteppontos tuumlkoumlrkeacutepeacutet leacutepjuumlk Ezt a strateacutegiaacutet jaacutetszva a
kezdő jaacuteteacutekos nem tud veszteni hiszen ha van meacuteg hely a maacutesodik jaacuteteacutekos leacutepeacuteseacutenek
akkor biztosan szabad lehetőseacuteg annak keacutepe is
Eacuterdekesseacutegkeacutent vegyuumlk eacuteszre hogy ennek az asztalra pakoloacutes jaacuteteacuteknak veacutegtelen sok
aacutellapota leacutetezik hiszen veacutegtelen sok pontra helyezhető egy korong Meacutegis veacuteges jaacuteteacuteknak
tekinthetjuumlk mert a leacutepeacutesek soraacuten az asztal szabad teruumllete csoumlkken vagyis egyre csoumlkken
a megtehető leacutepeacutesek maximaacutelis szaacutema is miacuteg előbb-utoacutebb eljutunk abba az aacutellapotba
hogy toumlbb korong maacuter nem feacuter az asztalra
Ezzel egyuumltt megproacutebaacutelhatjuk az eredetit veacuteges aacutellapotszaacutemuacute jaacuteteacutekkaacute tenni ez az oumltlet
szakdolgozat iacuteraacutesa koumlzben meruumllt fel A jaacuteteacutekot gyakorlatban neacutegyzetraacutecsos papiacuteron
lehetne jaacutetszani
9
2 Jaacuteteacutek Adott egy (n x k)-as teacuteglalap alakuacute jaacuteteacutektaacutebla Keacutet jaacuteteacutekosnak uacutegy kell felvaacuteltva
(előre lefixaacutelt) egyforma meacuteretű neacutegyzeteket besziacuteneznie a taacuteblaacuten hogy azok ne takarjaacutek
egymaacutest Az vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni Keacuterdeacutes hogy melyik jaacuteteacutekos nyer
Csupa 1x1-es neacutegyzetek sziacutenezeacutese nem hoz laacutezba senki mert a győztes csak a jaacuteteacutektaacuteblaacutet
alkotoacute neacutegyzetek szaacutemaacutetoacutel fuumlgg ha paacuteros sok neacutegyzetből aacutella taacutebla a maacutesodik paacuteratlan
szaacutemuacute neacutegyzet eseteacuten az első szaacutemuacute jaacuteteacutekos nyer Vizsgaacuteljuk most a jaacuteteacutekot 2x2-es
neacutegyzetek sziacutenezeacutese eseteacuten Nem neheacutez felismerni hogy ha a jaacuteteacutektaacutebla (2k x 2k)-as
neacutegyzet vagy (2k x 2l)-es teacuteglalap alakuacute (tetszőleges k l N eseteacuten) akkor műkoumldik raacute
a fent taacutergyalt koumlzeacuteppontos szimmetriaacuten alapuloacute strateacutegia Azonban a toumlbbi esetben
((2k+1)x(2l+1)-es vagy (2k)x(2l+1)-es jaacuteteacutektaacuteblaacutenaacutel) ezt nem tudjuk kihasznaacutelni mert
nincs koumlzeacutepső neacutegyes amivel kezdhetneacutenk a sziacutenezeacutest Hogyan jaacutetsszunk ilyenkor Van-
e egyaacuteltalaacuten abszoluacutet nyertes Neacutezzuumlnk egy kisebb konkreacutet peacuteldaacutet
Aacutelliacutetaacutes (3x2k)-as taacuteblaacuten jaacutetszva az első jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy a paacuteros hosszuacute oldal felezőmerőlegese raacutecsvonalon
halad iacutegy kihasznaacutelhatjuk az erre a tengelyre valoacute szimmetriaacutet Kettő olyan (2x2)-es
neacutegyzet van melyen eme tengely aacutethalad de ezek koumlzuumll csak egy sziacutenezhető Ha a kezdő
elsőkeacutent az egyik ilyet sziacutenezi be akkor ellenfele tetszőleges leacutepeacuteseacutet tuumlkroumlzve a
tuumlkoumlrtengelyre oumlveacute lesz az utolsoacute leacutepeacutes
A 2xn-es jaacuteteacutektaacuteblaacuten valoacute jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera a keacutesőbbiekben majd meacuteg
visszateacuteruumlnk (ld 5 fejezet) A toumlbbi esetről nem lesz szoacute kiproacutebaacutelaacutesukat tudom ajaacutenlani
1 2 Foglaloacutes jaacuteteacutekok
Foglalkozzunk kicsit a foglaloacutes tiacutepusuacute jaacuteteacutekokkal Ezeket azeacutert szokaacutes iacutegy nevezni
mert adott jaacuteteacutektaacuteblaacuten jaacutetsszaacutek uacutegy hogy felvaacuteltva elfoglalnak egy-egy mezőt (tesznek raacute
egy-egy sajaacutet sziacutenű jelet) eacutes a jaacuteteacutek győztese az aki az előre kijeloumllt nyertes
mezőcsoportok valamelyikeacutet előszoumlr el tudja foglalni Ilyen foglaloacutes jaacuteteacutekra peacutelda a
mindenki aacuteltal joacutel ismert angol neveacuten Tic-tac-toe mely soraacuten a jaacuteteacutekosok egy 3x3-as
neacutegyzetbe a szokaacutesos X eacutes koumlr jeleket rakosgatjaacutek eacutes az nyer aki előszoumlr tudja haacuterom
egyforma jeleacutet egy vonalba helyezni (tehaacutet a haacuterom sor a haacuterom oszlop eacutes a keacutet aacutetloacute a
kijeloumllt nyertes mezőcsoportok) A foglaloacutes jaacuteteacutekok nem tekinthetőek normaacutel jaacuteteacutekoknak
10
mert kialakulhat doumlntetlen aacutellaacutes is amikor azeacutert nem tudnak toumlbbet leacutepni a jaacuteteacutekosok mert
a taacuteblaacuten a lehetőseacutegek elfogytak de senki sem nyert
Aacutelliacutetaacutes A foglaloacutes jaacuteteacutekokban a maacutesodik jaacuteteacutekos sosem nyerhet (Legfeljebb doumlntetlenre
vezető strateacutegiaacuteja lehet)
Bizonyiacutetaacutes Indirekte tegyuumlk fel hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja Ilyen
helyzetben a kezdő tudja alkalmazni a bdquostrateacutegialopaacutestrdquo Ez azt jelenti hogy a kezdő
jaacuteteacutekos leacutep valamit majd innentől uacutegy fogja fel a jaacuteteacutekot mintha csak most kezdődne eacutes
a maacutesodik jaacuteteacutekos nyerő strateacutegiaacuteja szerint jaacutetszik tovaacutebb Akkor meruumllhetne fel
probleacutema ha azt a mezőt keacutene elfoglalnia melyre az első leacutepeacuteskor leacutepett aacutem ez nem
gond mivel ezen maacuter az ő jele szerepel tehaacutet mi sem egyszerűbb baacuterhova maacuteshova tehet
Ezzel a moacutedszerrel az első jaacuteteacutekosnak nyernie kellene holott a maacutesodiknak van nyerő
strateacutegiaacuteja ellentmondaacutes
Gondoljuk meg a koumlvetkező konkreacutet foglaloacutes jaacuteteacutekot a nyerő strateacutegia szempontjaacuteboacutel
3 Jaacuteteacutek (Trihex) Az 11 aacutebra szerinti jaacuteteacutektaacuteblaacutera keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez egy piros
illetve egy keacutek korongot valamelyik meacuteg uumlres koumlrre Az győz akinek elsőkeacutent sikeruumll
haacuterom egysziacutenű korongot helyeznie a kilenc egyenes vonal valamelyikeacutere
11 Aacutebra A trihex jaacuteteacutek taacuteblaacuteja
Teacutetel A Trihex jaacuteteacutekban az I jaacuteteacutekos nyer
Bizonyiacutetaacutes A teacutetel bizonyiacutetaacutesaacuteban szuumlkseacuteguumlnk lesz keacutet fogalomra szabad egyeneseknek
nevezzuumlk azokat az egyeneseket melyeken egyetlen korong sincs eacutes egy jaacuteteacutekos szaacutemaacutera
feacutelszabad egyenes az az egyenes amelyen van az ő sziacuteneacutenek megfelelő sziacutenű korong de
mentes az ellenfele korongjaitoacutel A bizonyiacutetaacutes soraacuten kollineaacuterisnak nevezuumlnk haacuterom
mezőt ha azok a jaacuteteacutek taacuteblaacutejaacuten egyazon egyenesre illeszkednek
11
Az aacutebra uacutegy van megalkotva hogy minden egyenesen haacuterom uumlres koumlr szerepel ahova
a korongokat el kell helyezni tovaacutebbaacute minden ponton aacutet haacuterom egyenes megy aacutet
Megegyezeacutes alapjaacuten I jaacuteteacutekos hasznaacutelja a piros korongokat ellenfele a keacutekeket
Kezdőkeacutent az első leacutepeacutest mindenkeacutepp az egyik olyan mezőre tegyuumlk mely a nagy
haacuteromszoumlg oldalaacuten de nem a csuacutecsaacuten helyezkedik el Ellenfeluumlnk leacutepeacuteseacutetől fuumlggően keacutet
fajta aacutellaacutes joumlhet leacutetre amit kuumlloumln kell vizsgaacutelnunk
a) Ha II nem oldalpontra tesz akkor leacutepeacuteseacutet uacutegy kell koumlvetnuumlnk hogy a keacutet piros
korongunk egyazon feacutelszabad egyenesen legyen Ezutaacuten biztosan adoacutedni fog
legalaacutebb keacutet ilyen feacutelszabad egyenes Ezzel a leacutepeacutessel keacutenyszeriacutetettuumlk a maacutesodik
jaacuteteacutekost hogy keacutek korongjaacutet ezen egyenes harmadik mezőjeacutere helyezze hogy
megakadaacutelyozza a győzelmuumlnket Figyeljuumlnk raacute hogy a feacutelszabad egyenesek koumlzuumll
olyat eacutes annak olyan a pontjaacutet vaacutelasszuk melyen a harmadik ndash meacuteg uumlres hely ndash
nincs egy egyenesen a keacutek koronggal (ellenőrizhető hogy lesz ilyen) hogy ezzel
ne segiacutetsuumlk ellenfeluumlnket Ellenkező esetben megelőlegezzuumlk magunknak a
keacutenyszerhelyzetet Az ezutaacuteni koumlrben ndash a paacutelya sajaacutetossaacutegai miatt ndash lesz olyan
mező ami keacutet 1-1 piros korongot tartalmazoacute feacutelszabad egyenes metszeacutespontja
Foglaljuk el ezt a mezőt Innen koumlnnyen laacutethatoacute hogy megnyerjuumlk a jaacuteteacutekot
b) Maacutesodik eset ha ellenfeluumlnk egy maacutesik oldalpontra (de nem csuacutecsra) teszi keacutek
korongjaacutet Az oldalpontok tulajdonsaacutega hogy minden ponttal kollineaacuterisak csak
egymaacutessal nem Tegyuumlnk most a harmadik oldalpontra Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekos
akaacutermit leacutephet mi fogunk nyerni Ugyanis a keacutet piros sziacutenű oldalpontnak az oumlsszes
meacuteg szabad mezővel van koumlzoumls egyenese tehaacutet baacutermelyik pontra is leszuumlnk
keacutenytelenek tenni (ellenfeluumlnk győzelmeacutenek megakadaacutelyozaacutesa eacuterdekeacuteben) az
biztosan keacutet olyan feacutelszabad egyenesnek lesz metszeacutespontja ami tartalmaz 1-1
piros sziacutenű korongot Innen pedig egyeacutertelműen mi nyeruumlnk
12
3 Fejezet Kupacos jaacuteteacutekok
Koumlzkedvelt matematikai jaacuteteacutekok a kupacokba vagy halmokba rendezett taacutergyak
(kavicsok gyufaacutek korongok stb) alkotta jaacuteteacutekok melyekben kuumlloumlnboumlző szabaacutelyok
szerint szabad elvenni bizonyos szaacutemuacute elemet Ebben a fejezetben kupacokba rendezett
kavicsokroacutel lesz szoacute Tovaacutebbra is a joacute strateacutegia megtalaacutelaacutesa a ceacutel
3 1 Egyszerű egykupacos jaacuteteacutek
4 Jaacuteteacutek Egy kupacban 21 kavics van Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva 1 2 vagy 3
darabot vehetnek el Ez normaacutel jaacuteteacutek vagyis az nyer aki az utolsoacute(ka)t veszi el Kinek
van nyerő strateacutegiaacuteja
Visszafele gondolkodva aki előtt maacuter csak 3 vagy kevesebb korong lesz az meg tudja
nyerni a jaacuteteacutekot hiszen a legfeljebb 3 korongot elvehet Ez nyerő aacutellaacutes A 4 darab kavics
ugyanebből a megfontolaacutesboacutel vesztes aacutellaacutes hiszen akaacuterhaacuteny (1 2 vagy 3) darabot veszuumlnk
is el ellenfeluumlnk elveheti a maradeacutekot eacutes ezzel nyer Tovaacutebbgondolva minden 4∙k (k =
0 1hellip n) darab kavics vesztes aacutellaacutes mert abboacutel leacutepve az elemek szaacutemaacutenak neacuteggyel
oszthatoacutesaacutega nem megtarthatoacute tehaacutet vesztes aacutellaacutesboacutel vesztes aacutellaacutesba nem lehet leacutepni
viszont baacutermely maacutes esetből meg lehet jaacutetszani azokat Speciaacutelisan itt a vesztes aacutellaacutesok
4 8 12 16 20 db korong Ennek megfelelően 21 kavics eseteacuten a kezdő jaacuteteacutekosnak van
nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig előszoumlr 20-ra csoumlkkentve a kavicsok szaacutemaacutet
Eacuterdemes meggondolni ezt a feladatot aacuteltalaacutenosabban is
4 Jaacuteteacutek aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa Adott egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el 1-
től m darabig akaacuterhaacuteny kavicsot Az veszt aki nem tud leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja
eacutes mi az
Aacutelliacutetaacutes Ha m + 1 | n akkor a kezdő jaacuteteacutekos vesziacutet ellenkező esetben viszont neki van
nyerő strateacutegiaacuteja
Bizonyiacutetaacutes Ebben a jaacuteteacutekban biztosan az nyer akinek előszoumlr sikeruumll (m+1)-gyel
oszthatoacute elemszaacutemba leacutepni Ilyen helyzetből indulva baacuterhogyan is leacutepuumlnk nem tudunk
uacutejabb (m+1)-gyel oszthatoacutevaacute tenni a kupac meacutereteacutet miacuteg ellenfeluumlnk ndash akaacuterhogyan is
leacuteptuumlnk ndash a koumlvetkező koumlrben csoumlkkenteni tudja az elemszaacutemot uacutejabb (m+1)-gyel
oszthatoacutevaacute Vegyuumlk eacuteszre hogy a 0 veacutegső vesztes aacutellaacutes is oszthatoacute (m+1)-gyel Ezek
13
eacutertelmeacuteben minden (m + 1) ∙ k (k = 0hellipn) darab korong eseteacuten alakul ki vesztes aacutellaacutes
Tehaacutet aki ebből keacutenyszeruumll leacutepni az vesziacutet
Ha a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesakor a kupac meacutereteacutet osztja (m+1) akkor ugyanebből a
meggondolaacutesboacutel koumlvetkezik hogy a kezdő jaacuteteacutekos nem tud nyerni
Tovaacutebbra is kupacokkal eacutes azokboacutel aacutelloacute feladatokkal foglalkozunk A koumlvetkezőkben egy
aacuteltalaacutenosabb jaacuteteacutekcsoportroacutel lesz szoacute
3 2 Nim-jaacuteteacutek eacutes nim-oumlsszeadaacutes
A Nim-jaacuteteacutek Kiacutenaacuteboacutel szaacutermazoacute ma maacuter szeacuteles koumlrben ismert matematikai jaacuteteacutek A
menete a koumlvetkező
Nim-jaacuteteacutek adott n db kupac melyek rendre a1 a2 a3hellip an darab kavicsot tartalmaznak
Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva vesznek el akaacuterhaacuteny de legalaacutebb 1 kavicsot valamelyik
tetszőleges kupacboacutel Az nyer aki az utolsoacute kavicsot elveszi Keacuterdeacutes hogy kinek van nyerő
strateacutegiaacuteja
Ezek vagy az ehhez hasonloacute feladvaacutenyok megoldaacutesaacuteban segiacutetseacuteguumlnkre lesz egy uacutej
fogalom a bdquonim-oumlsszeadaacutesrdquo
Definiacutecioacute (nim-oumlsszeadaacutes) Vegyuumlk a nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemok halmazaacutet eacutes azon uacutegy
eacutertelmezzuumlk a nim-oumlsszeadaacutest hogy elemeit kettes szaacutemrendszerbeli alakjukban feliacuterva
adjuk oumlssze modulo 2 azaz nem toumlrődve az egyes helyieacuterteacutekeken adoacutedoacute maradeacutekokkal
Peacutelda 12 25 = 21 hiszen 11002 + 110012 = 101012
Vilaacutegosabbaacute vaacutelik a nim-oumlsszeadaacutes ha a szokaacutesos moacutedon egymaacutes alaacute iacuterva adjuk oumlssze
őket
11002
110012
101012
Ezt a definiacutecioacutet meggondolhatjuk maacuteskeacuteppen is
Definiacutecioacute Jeloumllje 119917120784 a keacutetelemű testet (azaz a modulo 2 szaacutemkoumlrt) eacutes legyen 119917120784infin ennek
veacutegtelen diszkreacutet direktszorzata vagyis az a veacutegtelen dimenzioacutes vektorteacuter amelyben olyan
14
0 eacutes 1 koordinaacutetaacutekat tartalmazoacute vektorok vannak melyekben csak veacuteges sok 1-es szaacutem
szerepel
Tekintsuumlk a koumlvetkező koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű megfelelteteacutest N eacutes 119917120784infin koumlzoumltt iacuterjunk
fel egy adott szaacutemot kettes szaacutemrendszerben de fordiacutetott sorrendben azaz jobbroacutel balra
Vegyuumlk azt a veacutegtelen hosszuacute vektort melynek az első koordinaacutetaacutei eacuteppen ennek a
szaacutemnak a bdquofordiacutetottrdquo kettes szaacutemrendszerbeli alakjaacutenak szaacutemjegyeivel egyezik meg
majd ezeket veacutegtelen sok nulla koumlveti Ez egy egyeacutertelmű megfelelteteacutest ad N eacutes 119917120784infin
elemei koumlzoumltt hiszen egy szaacutem egyetlen vektornak felel meg Azaz ha
119899 = sum 119886119894 ∙ 2119894infin119894=0 ahol 119886119894= 0 vagy 1 akkor az ennek megfelelő vektor (1198860 1198861 1198862 )
Teacutetel A nim-oumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot
Bizonyiacutetaacutes Tudjuk hogy a vektoroumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot Az előzőekben adott
egyeacutertelmű megfelelteteacutessel laacutethatoacute hogy az 119917120784infin-beli veacutegtelen hosszuacute vektorok
oumlsszeadaacutesa eacutes a nim-oumlsszeadaacutes ekvivalens művelet ezeacutert a nim-oumlsszeadaacutes is Aacutebel-
csoportot alkot
A nim-oumlsszeadaacutes tovaacutebbi tulajdonsaacutegai
1 Aacutelliacutetaacutes Minden a szaacutemra a a = 0
Bizonyiacutetaacutes Nem neheacutez meggondolni hogy ha a kettes szaacutemrendszerben keacutet azonos
szaacutemot adunk nim-oumlssze akkor mivel abban az 1-esek eacutes 0-k ugyanazon a helyieacuterteacuteken
aacutellnak az oumlsszeadaacutesukkor azok mind lenullaacutezoacutednak (1 + 1 = 0 + 0 = 0)
2 Aacutelliacutetaacutes Tetszőleges a eacutes b pozitiacutev egeacuteszekre teljesuumll 0 le a b le a + b
Ezt nem bizonyiacutetom de veacutegiggondolhatoacute
3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja
Az egykupacos Nim-jaacuteteacutek nagyon egyszerű nem is nevezhető jaacuteteacuteknak hiszen a kezdő
jaacuteteacutekos elsőre felmarkolhatja az egeacutesz kupacot eacutes veacutege a jaacuteteacuteknak Nem ilyen koumlnnyű
elsőre aacutetlaacutetni a toumlbb kupacos normaacutel Nim-jaacuteteacutekot
Vezessuumlk be a Nim(a1 a2hellip an) jeloumlleacutest arra az n kupacos Nim-jaacuteteacutekra ahol a1
a2hellip an a kuumlloumlnboumlző kupacok elemszaacutema
15
Teacutetel
1) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek kupacmeacutereteinek nim-oumlsszege a1 a2 hellip an ne 0
akkor biztosan leacutetezik olyan leacutepeacutes hogy a kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra
a1rsquo a2rsquohellip anrsquo = 0
2) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekban a1 a2 hellip an = 0 akkor baacutermely leacutepeacutes utaacuten a
kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra a nim-oumlsszeg a1rsquo a2rsquohellip anrsquo 0
Bizonyiacutetaacutes
1) Előszoumlr iacuterjuk fel egymaacutes alaacute a kupacok meacutereteacutet kettes szaacutemrendszerben eacutes adjuk oumlssze
őket nim szerint A ceacutelunk az hogy ezt a kapott oumlsszeget olyan moacutedon 0-ra tudjuk
vaacuteltoztatni ami megfeleltethető egy jaacuteteacutekbeli leacutepeacutessel Ehhez keressuumlk meg azt a
legnagyobb helyieacuterteacuteket (vagyis balroacutel az első olyan oszlopot) ahol paacuteratlan sok 1-es
szerepel - ugyanis ezen a helyieacuterteacuteken a nim-oumlsszegben is 1-es fog szerepelni - eacutes
vaacutelasszuk ki ebből az egyik 1-est legyen ez ai feliacuteraacutesaacuteban Most vaacuteltoztassuk meg ezt
az 1-est 0-ra eacutes ai ettől jobbra leacutevő binaacuteris szaacutemjegyeit is csereacuteljuumlk 1-esre vagy 0-ra
uacutegy hogy veacuteguumll az egeacutesz oumlsszeg 0-ra csoumlkkenjen (Ez megtehető eacutes ezt akkor eacuterjuumlk
el ha minden oszlopban paacuteros szaacutemuacute 1-es lesz) Ezzel a leacutepeacutessel aacuteteacutertuumlnk a Nim(a1rsquo
a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra ahol aj = aj kiveacuteve j = i-re eacutes ebben 0 a nim-oumlsszeg A
feliacuteraacutesban egy sor a jaacuteteacutekban egy kupac elemszaacutemaacutenak felel meg eacutes egy tetszőleges
sort alkotoacute szaacutem csoumlkkenteacutese valamennyivel ekvivalens azzal hogy a neki megfelelő
kupacboacutel ugyanennyi elemet elveszuumlnk Maacuter csak azt kell belaacutetnunk hogy az eljaacuteraacutes
soraacuten valoacuteban az egyik kupac elemszaacutemaacutet csoumlkkentettuumlk (nem noumlveltuumlk) tehaacutet leacutetezik
ilyen leacutepeacutes Ezt nem neheacutez meggondolni mert a legnagyobb helyieacuterteacuteken aacutelloacute 1-est 0-
ra csereacuteltuumlk ndash legyen ez a 2k helyieacuterteacutek ndash eacutes moumlgoumltte a vaacuteltoztataacutesok utaacuten legfeljebb k
-1 darab 1-es aacutellhat melyek eacuterteacuteke tiacutezes szaacutemrendszerben legfeljebb 1 + 2 + 4 + 8 +
+ 2k-1 = 2kndash1 ami biztosan kisebb az előző szaacutemnaacutel Tehaacutet a leiacutert leacutepeacutesek soraacuten valoacuteban
csoumlkkentettuumlk a kupacok meacutereteacutet
Ezt a bizonyiacutetaacutest egeacutesz egyszerűen aacutet lehet gondolni az előzőek alapjaacuten Laacutettuk hogy
a jaacuteteacutek leacutepeacuteseit hogyan tudjuk maacuteskeacutepp leiacuterni elveacutegezni A levezeteacutesből laacutetszik az
hogy 0 nim-oumlsszegből uacutejabb 0 nim-oumlsszegű aacutellaacutest nem tudunk eleacuterni
a1 a2 hellip an = 0 eseteacuten semelyik oszlopban sem lesz paacuteratlan szaacutemuacute 1-es amit
megcsereacutelve joacutel jaacuternaacutenk viszont egy sorban legalaacutebb egy szaacutemot ki kell csereacutelnuumlnk
mert leacutepni muszaacutej Tehaacutet lesz olyan oszlop a leacutepeacutesuumlnk utaacuten melyben paacuteratlan szaacutemuacute
1-es fog aacutellni iacutegy az oumlsszegben is legalaacutebb egy 1-es szerepelni fog
16
Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő
jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege
a1 a2 hellip an ne 0
Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző
teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire
a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet
uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig
fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb
Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud
leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok
Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy
leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is
oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot
jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti
Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti
egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot
Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor
jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen
oumlsszegjaacuteteacutek
sum 119869119894
119899
119868=0
ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet
kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)
Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege
is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek
17
Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg
azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat
Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban
van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz
Bizonyiacutetaacutes
Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva
a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az
bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha
ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik
jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat
b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik
jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő
jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja
szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az
oumlsszeguumlket is
Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala
kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha
első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer
Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg
hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk
az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes
kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű
paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri
a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot
Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező
fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet
18
4 Fejezet Grundy-szaacutemok
A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy
szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni
Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges
jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely
aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az
aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely
adta lehetőseacutegek koumlzuumll
Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű
jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel
1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az
ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel
ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat
leacutepeacuteseket) ismeruumlnk
2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal
leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket
tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek
3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul
annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok
hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak
A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban
nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni
Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia
megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a
toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező
fogalomra
19
Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb
nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt
Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)
Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot
az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de
roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van
Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs
raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden
raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb
kizaacutertja
Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema
Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben
semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute
aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan
raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne
ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb
kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli
raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten
nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute
veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol
minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak
Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok
ciklusmentesseacutegeacutenek
Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema
2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese
3 A [2] cikk alapjaacuten
20
Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos
Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek
Grundy-szaacutemai
Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb
nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-
szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i
a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak
egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk
ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy
G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema
G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be
hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes
felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem
maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1
Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok
illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az
alaacutebbiak
1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0
2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0
3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0
Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja
ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0
Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben
van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek
koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal
vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)
tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel
4 [2] cikk alapjaacuten
21
leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben
megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet
Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud
mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy
ő nyeri a jaacuteteacutekot
Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-
szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)
Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0
Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn
direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)
Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti
indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes
aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)
valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra
maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb
a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel
Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)
raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy
minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy
a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat
oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek
vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden
A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban
oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom
22
5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute
jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok
hasznaacutelata
5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai
Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő
egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti
darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok
Grundy-szaacutemai
Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-
szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő
Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen
innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk
= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz
vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet
el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan
ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute
Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)
vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet
Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent
meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes
strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait
Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem
Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik
ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a
koumlvetkező
5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy
bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek
Grundy-szaacutemaival
23
10 Jaacuteteacutek (Dawsonrsquos Chess) Adott egy 1x n-es teacuteglalap melynek neacutegyzeteibe a jaacuteteacutekosok
felvaacuteltva X-et raknak uacutegy hogy az X jellel ellaacutetott cellaacutek szomszeacutedosak nem lehetnek vagyis
egy X melletti neacutegyzetbe maacutesik X nem keruumllhet Az nyer aki az utolsoacute jelet rakja
Ha jobban meggondoljuk a keacutet jaacuteteacutek megfelel egymaacutesnak Annyi a kuumlloumlnbseacuteg hogy az
itteni neacutegyzetek ott a 2x2-es neacutegyzetek felező vonalainak felelnek meg eacutes az itteni vaacutelasztoacute
raacutecsvonalak pedig a sziacutenezős jaacuteteacutek neacutegyzeteivel egyeznek meg Neacutezzuumlk az alaacutebbi 5 1 aacutebraacuten
szemleacuteltetett peacuteldaacutet
Dawsonrsquos Chess taacutebla egy lehetseacuteges veacutegaacutellaacutessal
A 2 jaacuteteacutek ugyanazt jelentő veacutegső aacutellaacutesa
51 aacutebra
Joacutel laacutethatoacute hogy a 2 jaacuteteacutekban a 2x2-es neacutegyzetek hataacutervonalai eacutepp a Dawsonrsquos Chess-
beli bdquotiltott mezőknekrdquo felelnek meg - amikben nem keruumllhet X jel mert szomszeacutedjukban
maacuter szerepel - mert egy ilyen hataacutervonalra nem eshet maacutesik 2x2-es neacutegyzet felezővonala
hisz akkor a neacutegyzetek takarnaacutek egymaacutest
Feacuteny deruumllt arra6 hogy ennek a jaacuteteacuteknak a Grundy-szaacutemaiboacutel aacutelloacute sorozat 34-es
periodicitaacutesuacute de az elejeacuten van heacutet kiveacutetel a 0 14 16 17 31 34 eacutes 51 helyen aacutelloacute szaacutemok
tekinteteacuteben Utaacutena beaacutell a valoacutedi periodicitaacutes Azok az aacutellaacutesok eacuterdekesek szaacutemunkra a
nyerő strateacutegia kutataacutesa kapcsaacuten melyek Grundy-szaacutema 0 mert ezek a vesztes aacutellaacutesok
Tehaacutet vesztes aacutellaacutesok az elejeacutetől kezdve 1 5 9 15 21 25 29 35 neacutegyzetet tartalmazoacute
kezdőaacutellaacutesok majd az 1 a 15 eacutes 35 kiveacuteteleacutevel ezek k ∙ 34-gyel vett oumlsszegei is vesztő
aacutellaacutesok lesznek a periodicitaacutes miatt
5 2 Jaacuteteacutekok korongokkal
A koumlvetkező jaacuteteacutek a [4] koumlnyvből szaacutermazik
6 Szinteacuten a httpsoeisorg weboldal hasznaacutelataacuteval
X X
24
5 Jaacuteteacutek Egy asztalon sorba 10 korong van lerakva melyeknek egyik oldala feheacuter maacutesik
fekete sziacutenű Ketten jaacutetszanak A soron koumlvetkező mindig kivaacutelaszt egy fekete oldalaacuteval
felfeleacute fekvő korongot majd azt eacutes az oumlsszes tőle jobbra leacutevőt aacutetfordiacutetja a maacutesik oldalaacutera
Akkor van veacutege a jaacuteteacuteknak ha mindegyik korongnak a feheacuter oldala van feluumll Az veszt aki
nem tud toumlbbet leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes hogyan tud győzni
A jaacuteteacutek kimenetele eacutes nyertese fuumlgg a kiindulaacutesi helyzettől Tekintsuumlk az alaacutebbi konkreacutet
kezdőaacutellaacutest (5 2 aacutebra)
5 2 aacutebra
A nyertes strateacutegia nem bonyolult sőt eleacuteg keacutezenfekvő ha belegondolunk tudniillik a
veacutegeredmeacuteny egyaacuteltalaacuten nem a jaacuteteacutekosok leacutepeacutesein muacutelik hanem csupaacuten az utolsoacute korong
sziacuteneacutetől fuumlgg Ugyanis egy korong az utolsoacute helyen aacutelloacute biztosan megfordul minden
leacutepeacutesben Ez leacutepeacutesenkeacutent vaacuteltakozva hol feheacuter hol fekete oldalaacuteval lesz feluumll miacuteg ki nem
alakul a veacutegső nyertes ndash oumlsszes feheacuter ndash aacutellaacutes Ha peacuteldaacuteul kezdetben fekete az utolsoacute
korong akkor az mindig a kezdő jaacuteteacutekos forgataacutesai nyomaacuten fog a feheacuter oldalaacuteval felfeleacute
keruumllni A jaacuteteacutek egyszer veacuteget eacuter eacutes tudjuk hogy az utolsoacute leacutepeacutes a kezdő jaacuteteacutekoseacute lesz
tehaacutet ő nyer Ellenkező esetben - ha a kezdő aacutellapotban feheacuter az utolsoacute korong - a maacutesodik
jaacuteteacutekoseacute a győzelem Tehaacutet teljesen mindegy haacuteny koronggal jaacutetszunk a győztest mindig
a sorban elhelyezett utolsoacute korong sziacutene fogja elaacuterulni Ha az a fekete oldalaacuteval felfeleacute
fekszik akkor a kezdő ha feheacuter sziacutene laacutetszik akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos nyer Iacutegy a fenti
jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
Ha feladatban moacutedosiacutetjuk kicsit a szabaacutelyokat akkor a megoldaacutes is bonyoloacutedik eacutes itt
maacuter fel kell hasznaacutelnunk a Grundy-szaacutemokat illetve a nim-oumlsszeget A koumlvetkező feladat
eacutes megoldaacutesi oumltlete [2] forraacutesboacutel szaacutermazik
6 Jaacuteteacutek Legyen ismeacutet 10 darab korongunk az asztalra sorba lehelyezve A jaacuteteacutekosok
keacutetfeacutele leacutepeacutest hajthatnak veacutegre vagy megfordiacutetanak egy fekete oldalaacuteval felfeleacute fekvő
korongot vagy keacutet korongot fordiacutetanak meg melyek koumlzuumll a jobbraacutebb levő fekte Az vesziacutet
aki nem tud toumlbbet leacutepni
25
A megoldaacutes veacutegett szaacutemozzuk meg a korongokat balroacutel jobbra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 3 aacutebra
Aacutelliacutetaacutes A 6 jaacuteteacutek egy aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema eacutepp a fekete sziacutenű korongok sorszaacutemaacutenak
nim-oumlsszege
Bizonyiacutetaacutes Alkossunk ebből a jaacuteteacutekboacutel Nim-jaacuteteacutekot a koumlvetkező keacuteppen Ha az i-edik
korong sziacutene fekete akkor tekintsuumlnk egy ekkora elemszaacutemuacute kupacot a Nim-jaacuteteacutekban ha
feheacuter sziacutenű egy korong akkor nincs ilyen kupacunk Ezzel egy szokaacutesos Nim-jaacuteteacutekot
kapunk Azeacutert tehetjuumlk meg ezt mert a leacutepeacutesek eacutepp ugyanazt eredmeacutenyezik mindkeacutet
jaacuteteacutekban amennyiben megfordiacutetunk egy fekete korongot az annak felel meg ha nim-
jaacuteteacutekban azt a kupacot teljes egeacuteszeacuteben elvesszuumlk eacutes megszűnik Ha egy feheacuter eacutes egy
fekete korongot fordiacutetunk meg melyek koumlzuumll a fekete a jobb oldali akkor azzal
egyeneacuterteacutekű mintha a nim-jaacuteteacutekban bizonyos szaacutemuacute kavicsot elvettuumlnk volna az addigi
kupacboacutel uacutegy hogy a feketeacutere fordiacutetott korong sorszaacutemaacutenak megfelelő kupacmeacuteretet
eacutertuumlnk el (Mert a bal oldali korong sorszaacutema kisebb eacutes iacutegy kisebb elemszaacutemuacute kupacot is
jelent) Tekintsuumlnk erre magyaraacutezatul egy peacuteldaacutet (5 4 aacutebra)
1 2 3
5 4 aacutebra
Ebben a kis jaacuteteacutekban illusztraacuteljuk a korongforgataacutesi leacutepeacutesek eacutes a Nim-jaacuteteacutek kapcsolataacutet
Tekintsuumlk ennek mintaacutejaacutera a 2 eacutes 3 elmeszaacutemuacute kupacokkal jaacutetszott Nim-jaacuteteacutekot
Vilaacutegosan laacutetszik hogy ha megfordiacutetjuk peacuteldaacuteul a 2 szaacutemuacute fekete sziacutenű korongot eacutes iacutegy
az feheacuter lesz akkor ez a leacutepeacutes megegyezik azzal hogy a Nim-jaacuteteacutekban egy leacutepeacutessel
eltuumlntetjuumlk a 2 elemű kupacot Keacutet szabaacutelyos helyzetű korong megfordiacutetaacutesaacuteval ndash legyenek
26
most ezek az 1 eacutes 2 szaacutemuacuteak ndash az 55-oumls aacutebraacuten laacutethatoacute aacutellaacutes joumln leacutetre ami ekvivalens a
Nim-jaacuteteacutek azon leacutepeacuteseacutevel hogy a 2 elemű kupacboacutel 1 kavicsot elveszuumlnk
1 2 3
5 5 aacutebra
Keacutet fekete korong megfordiacutetaacutesa keacutet kupac teljes elveacuteteleacutet jelenteneacute a Nimben ami ilyen
formaacuteban nem szabaacutelyos Azonban ha jobban meggondoljuk ez a leacutepeacutes jelentheti azt
hogy a nagyobb meacuteretű kupacboacutel elveszuumlnk annyi kavicsot hogy az egyenlő legyen a
kisebb elemszaacutemaacuteval mert a nim-oumlsszeadaacutes miatt keacutet azonos meacuteretű kupac nem
befolyaacutesolja az egeacutesz jaacuteteacutek Grundy-szaacutemaacutet azaz a keacutet kupac kiegyenliacuteteacuteseacutevel illetve
teljes elveacuteteluumlkkel kapott Nim-aacutellaacutesok Grundy-szaacutemai megegyeznek
Az 5 3 aacutebra alapjaacuten kialakult aacutellaacutes Grundy-szaacutema tehaacutet 3 10 = 10 A jaacuteteacutek
vesztő aacutellaacutesainak Grundy-szaacutema 0 azaz ha ilyen aacutellaacutesroacutel indul valaki az nem tud nyerni
Ebből a poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacutet keacutepezni csak a 10 elemű kupac teljes elveacuteteleacutevel
lehetseacuteges Tehaacutet a 10-es szaacutemuacute fekete korongot kell megfordiacutetani előszoumlr a
győzelemhez
5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
A most koumlvetkező haacuterom jaacuteteacutekkal a [2] cikkben talaacutelkoztam
7 Jaacuteteacutek (Rim-jaacuteteacutek) Adott neacutehaacuteny kupac kavics A kupacok egyikeacuteből elvehető
akaacutermennyi kavics de csak uacutegy hogy az elvett elemek szaacutema relatiacutev priacutem legyen az elveacutetel
előtti mennyiseacuteghez
Ez a jaacuteteacutek toumlbb egykupacos uacuten bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacuteknak oumlsszege A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek
egy n darab taacutergyat (kavicsot) tartalmazoacute kupacroacutel szoacutel amelyből k elemet vehetuumlnk el
ha k eacutes n relatiacutev priacutemek Ebből koumlvetkezik hogy 1-et mindig elvehetuumlnk az oumlsszes elemet
azonban sosem (mert n oumlnmagaacuteval nem relatiacutev priacutem) kiveacuteve ha 1 darab marad a
kupacban
Jeloumlljuumlk itt az i elemszaacutemuacute Rim-kupacok Grundy-szaacutemaacutet G(Ri)-vel Az első eacutes maacutesodik
Grundy-szaacutem koumlnnyen megmondhatoacute G0 = 0 eacutes G1 = mex (G0) = 1 Ha keacutet elemet
27
tartalmaz a kiindulaacutesi kupac akkor a szabaacutelynak megfelelően az egyetlen lehetőseacuteg 1
kavics elveacutetele ezeacutert G(R2) = mex (1) = 0 Haacuteromelemű kezdőkupacboacutel 1 eacutes 2 elemet is
elvehetuumlnk iacutegy kapjuk hogy G(R3) = mex (G(R1) G(R2) ) = mex (1 0) = 2 Neacutegy elem
eseteacuten G4 = mex (G1 G3) = 0 Hasonloacutean G5 = mex (G(R1) G(R2) G(R3) G(R4)) =
= mex (1 2 0 2) = 3 eacutes iacutegy tovaacutebb A koumlvetkező teacutetelben meghataacuterozzuk aacuteltalaacutenossaacutegban
G(Rn)-et
Teacutetel A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutekban minden paacuteros n elemszaacutemuacute kupacra G(Rn) = 0 valamint
n paacuteratlan elemszaacutem eseteacuten G(Rn) = k ha n legkisebb priacutemosztoacuteja a k-adik priacutemszaacutem (Az
első priacutemszaacutem a 2 maacutesodik a 3 stb)
Bizonyiacutetaacutes n-re vonatkozoacute teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk
a) ha n paacuteros Semelyik esetben sem lehet az egeacutesz kupacot elvenni kiveacuteve ha 1 kavics
marad a kupacban Laacutettuk hogy G(R0) = G2 = 0 Legyen n paacuteros Tegyuumlk fel hogy
minden n-neacutel nem nagyobb paacuteros k szaacutemra G(Rk) = 0 Laacutessuk be ezt (n+2)-re is Mivel
egy paacuteros szaacutem semelyik maacutesik paacuteros szaacutemmal sem relatiacutev priacutem ezeacutert paacuteros darab
kavicsot nem vehetuumlnk el a kupacboacutel ennek okaacuten uacutejabb paacuteros elemszaacutemuacute aacutellaacutes sem
joumlhet leacutetre Paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac ugyan lehet (n+2) kiszomszeacutedja de annak
Grundy-szaacutema biztosan nem 0 mert 1 kavicsot baacutermelyik aacutellaacutesboacutel elvehetuumlnk iacutegy lesz
a paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt n-neacutel nem nagyobb paacuteros elemszaacutemuacute
kupac aminek Grundy-szaacutema 0 Tehaacutet (n+2) elemet tartalmazoacute kupac raacutekoumlvetkezői
koumlzoumltt nem lesz 0 Grundy-szaacutemuacute iacutegy azok legkisebb kizaacutertja eacutepp a 0
b) ha n paacuteratlan Tudjuk hogy G1 = 1 eacutes azt is laacutettuk hogy G3 = 2 Itt is teljes indukcioacutet
hasznaacutelunk Tegyuumlk fel hogy igaz a fenti aacutelliacutetaacutes minden paacuteratlan n-re Bizonyiacutetsuk be
hogy ez az n+2 paacuteratlan szaacutemra is oumlroumlklődik Legyen n+2 legkisebb priacutemosztoacuteja p eacutes
annak sorszaacutema k Ahhoz hogy belaacutessuk hogy Gn+2 = k keacutet dologra van szuumlkseacuteg
1) Minden k-naacutel kisebb szaacutem előfordul az n+2 elemszaacutemuacute aacutellaacutes valamely
kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutemakeacutent
2) Az n+2 elemű kupac egyik kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutema sem k
1) igazolaacutesa 1-et eacutes n+1-et mindig leacutephetuumlnk tehaacutet 1 eacutes 0 Grundy-szaacutemuacute
raacutekoumlvetkezője minden aacutellaacutesnak van Legyen q egy tetszőleges p-neacutel kisebb priacutem ndash
ennek sorszaacutema k-naacutel kisebb eacutes az indukcioacute szerint a q elemű aacutellaacutes Grundy-szaacutema eacutepp
a q sorszaacutema Ekkor meg kell mutatnunk hogy n+2ndashből aminek legkisebb
priacutemosztoacuteja p a q elemszaacutemuacute kupacba leacutepeacutes szabaacutelyos Ez azeacutert igaz mert a
28
jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek
nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek
elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash
hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert
kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute
kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes
2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m
elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb
priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt
k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek
A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő
strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk
8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad
kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja
legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is
elvehetjuumlk)
Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő
tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz
melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk
Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean
G(Di)
Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1
Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva
laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek
bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1
29
1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i
2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan
1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute
kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute
kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei
azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet
elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =
21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i
2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet
eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n
raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l
paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1
Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban
ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra
G(Da) = 0 + 1 = 1
Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek
9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az
egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a
Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya
szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)
Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg
Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal
Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon
mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)
= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet
a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5
kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre
30
11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik
kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az
nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi
Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-
ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet
Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik
jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem
hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy
speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok
bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A
Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő
nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk
valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval
deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek
a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)
stb kupacmeacuteretek
Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt
de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt
5 4 Fibonacci-nim
A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik
13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el
kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve
utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint
amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben
Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz
szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa
előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban
31
Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat
i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2
Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a
koumlvetkező taacuteblaacutezat
Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok
Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő
Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok
oumlsszegeacutere
Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899
Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel
hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga
Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem
akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-
szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert
119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa
kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem
Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele
keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen
Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip
Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel
minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok
legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot
vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)
7 [1] alapjaacuten
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
2
Tartalomjegyzeacutek
Bevezeteacutes 3
1 Fejezet Alapfogalmak definiacutecioacutek 3
2 Fejezet Kezdő feladatok 8
1 1 Lepakoloacutes jaacuteteacutek 8
1 2 Foglaloacutes jaacuteteacutekok 9
3 Fejezet Kupacos jaacuteteacutekok 12
3 1 Egyszerű egykupacos jaacuteteacutek 12
3 2 Nim-jaacuteteacutek eacutes nim-oumlsszeadaacutes 13
3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja 14
3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok 16
4 Fejezet Grundy-szaacutemok 18
5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai 22
5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai 22
5 2 Jaacuteteacutekok korongokkal 23
5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai 26
5 4 Fibonacci-nim 30
Irodalomjegyzeacutek 35
3
Bevezeteacutes
Szakdolgozatomhoz olyan teacutemaacutet kerestem amit keacutesőbbi tanaacuteri paacutelyaacutem soraacuten
felhasznaacutelhatok Nagyon fontos szaacutemomra hogy a fiatalok eacuterdeklődeacuteseacutet felkeltsem a
matematika iraacutent hogy eacutelvezettel meruumllhessenek bele a megoldandoacute probleacutemaacutekba
feladatokba Ezeacutert esett vaacutelasztaacutesom a matematikai jaacuteteacutekokra
Dolgozatom leacutenyegeacutet keacutetszemeacutelyes strateacutegiai jaacuteteacutekok keacutepezik melyeknek nyereacutesi
lehetőseacutegeit matematikai moacutedszerek segiacutetseacutegeacutevel tanulmaacutenyoztam Sok jaacuteteacutekot magam is
kiproacutebaacuteltam eacutes sok tapasztalatot szereztem mikoumlzben rengeteg eacutelmeacutennyel gazdagodtam
Veacutelemeacutenyem szerint ezek a jaacuteteacutekok alkalmasak a logikus gondolkodaacutes fejleszteacuteseacutere
Koumlzeacutepiskolaacutes szakkoumlroumln vagy fakultaacutecioacuten eacuterdemes egy-egy peacuteldaacuteval sziacutenesebbeacute tenni a
foglalkozaacutesokat
Az alapfogalmak definiaacutelaacutesa eacutes tisztaacutezaacutesa utaacuten a koumlnnyebb jaacuteteacutekokon keresztuumll
eljutunk a kuumlloumlnboumlző neheacutezseacutegű bdquokupacos-kavicsosrdquo jaacuteteacutekokhoz Az elmeacuteleti haacutetteacuter
kidolgozaacutesa soraacuten bemutatom a nim-oumlsszeadaacutes eacutes a Grundy-szaacutemok rejtelmeit melyek
segiacutetseacutegeacutevel a jaacuteteacutekok nyerő strateacutegiaacutei aacutetlaacutethatoacutevaacute vaacutelnak
Az aacuteltalam legtoumlbbet hasznaacutelt forraacutes Csirmaz Laacuteszloacute [2] cikke volt
Koumlszoumlnetnyilvaacuteniacutetaacutes
Szeretneacutem megkoumlszoumlnni Toumlroumlk Judit tanaacuternőnek hogy felkeltette bennem a teacutema
iraacutenti eacuterdeklődeacutest Valamint koumlszoumlnoumlm Heacuteger Tamaacutesnak ez uacuteton is a rengeteg segiacutetseacutegeacutet
eacutes raacutem aacuteldozott idejeacutet amivel nagymeacuterteacutekben hozzaacutejaacuterult a szakdolgozatom
elkeacuteszuumlleacuteseacutehez
4
1 Fejezet Alapfogalmak definiacutecioacutek
A jaacuteteacutekok elemzeacutese soraacuten mindenkeacutepp szuumlkseacuteges hogy felaacutelliacutetsunk bizonyos
szabaacutelyokat eacutes megnevezzuumlnk fogalmakat tulajdonsaacutegokat
A dolgozatban bemutatott jaacuteteacutekok mindegyike keacutetszemeacutelyes jaacuteteacutek amelyekben keacutet
jaacuteteacutekos felvaacuteltott sorrendben keruumll jaacuteteacuteklehetőseacuteghez Aacuteltalaacuteban kezdő vagy első illetve
maacutesodik jaacuteteacutekos neacuteven emliacutetem őket
Az oumlsszes jaacuteteacutek soraacuten felteacutetelezzuumlk hogy mindkeacutet jaacuteteacutekos a legjobb tudaacutesa alapjaacuten
jaacutetszik eacutes mindig a szaacutemukra lehető legjobb leacutepeacutest teszik meg (nem rontanak) Ez azt
jelenti hogy ha keacutesőbbiekben az fog szerepelni hogy az egyik jaacuteteacutekos nem nyerhet egy
jaacuteteacutekban azt uacutegy kell eacuterteni hogy a maacutesik tud uacutegy jaacutetszani hogy nyerjen (eacutes uacutegy is fog
jaacutetszani hogy nyerjen)
Tipikusan diszkreacutet jaacuteteacutekokroacutel foguk foglalkozni melyeknek tulajdonsaacutega hogy
kuumlloumlnboumlző joacutel elhataacuterolt aacutellapotok aacutellaacutesok vannak bennuumlk Tehaacutet a jaacuteteacutek aacutellaacutesainak
tekintjuumlk az oumlsszes előfordulhatoacute egymaacutestoacutel joacutel elkuumlloumlniacutethető aacutellapotokat
Definiacutecioacute (leacutepeacutes) A matematikai jaacuteteacutekok soraacuten leacutepeacutesnek nevezzuumlk az aacutellaacutesboacutel aacutellaacutesba
valoacute aacutetmenetet amit mindig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos vaacutelaszt meg a jaacuteteacutekszabaacutelynak
megfelelő lehetőseacutegek koumlzuumll eacutes amely egyeacutertelműen leiacuterhatoacute egy aacutellaacutespaacuterral ami
tartalmazza a kiindulaacutesi eacutes eacuterkezeacutesi aacutellaacutest
Szuumlkseacuteguumlnk lesz vesztes eacutes nyerő aacutellaacutesok fogalmaacutera is melyeket a soron koumlvetkező
jaacuteteacutekos szempontjaacuteboacutel nevezuumlnk el
Definiacutecioacute (vesztes nyerő aacutellaacutes) Nevezzuumlk a tovaacutebbiakban a jaacuteteacutek vesztes aacutellaacutesainak
(vagy poziacutecioacuteinak helyzeteinek) azokat az aacutellaacutesokat melyekből indulva a soron koumlvetkező
jaacuteteacutekos semmikeacuteppen sem tudja megnyerni a jaacuteteacutekot azaz vesziacutet Maacutes esetben ha egy
aacutellaacutesboacutel indulva lehetőseacuteg van nyereacutesre nyerő aacutellaacutesroacutel beszeacuteluumlnk
Ezek alapjaacuten a vesztes aacutellaacutesok pontosabban azok előaacutelliacutetaacutesa lesz a nyerő jaacuteteacutekos szaacutemaacutera
kedvező eacutes fontos A jaacuteteacutekokban olyan strateacutegiaacutekat kell kidolgoznunk amelyek soraacuten az
ellenfeacutel vesztes aacutellaacutesboacutel nem tud uacutejabb vesztes aacutellaacutesra leacutepni miacuteg a kialakult nyerőből
mindig tudunk vesztes aacutellaacutest leacutetrehozni Ezeket fogjuk a tovaacutebbiakban nyerő
strateacutegiaacuteknak nevezni
5
Definiacutecioacute (nyerő strateacutegia) Nyerő strateacutegia alatt olyan strateacutegiaacutet eacutertuumlnk melyet
alkalmazva az ellenfeacuteljaacuteteacutekos tetszőleges strateacutegiaacuteja ellen garantaacuteltan nyerni tudunk
Megjegyzeacutes Ha egy jaacuteteacutekosnak leacutetezik nyerő strateacutegiaacuteja akkor az megegyezik azzal
hogy meg is nyeri a jaacuteteacutekot Eacutepp ezt jelenti a fent leiacutert bdquonem rontrdquo felteacutetelezeacuteseacutenek elve
Az eddigi fogalmak biztos elsajaacutetiacutetaacutesa eacutes ellenőrzeacuteseacutere eacuterdekeacuteben tekintsuumlk az alaacutebbi
jaacuteteacutekot1
0 Jaacuteteacutek Egy 10 x 8-as taacutebla jobb felső sarkaacuteban aacutell egy kiraacutelynő amellyel lefeleacute balra
vagy aacutetloacutesan balra leacutephetnek (akaacutermennyit) a jaacuteteacutekosok Az nyer aki a bal alsoacute sarokba
helyezi a kiraacutelynőt Ki nyer milyen strateacutegiaacuteval
Jeloumlljuumlk az 11-es aacutebra szerint a jaacuteteacutektaacuteblaacuten bdquo+rdquo jellel a nyerő aacutellaacutesokat vagyis azokat a
mezőket ahonnan indulva a soron koumlvetkező jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes bdquoVrdquo
betűvel a vesztes aacutellaacutesokat amelyekről indulva a kezdő nem nyerhet
11 aacutebra
Ez joacute peacutelda arra hogy rekurziacutev moacutedon minden mezőről megaacutellapiacutethatoacute hogy nyerő vagy
vesztő aacutellaacutes-e A bal alsoacute mező vesztő mert onnan nincs toumlbb leacutepeacutesi lehetőseacuteg Azok a
mezők melyekről erre koumlzvetlenuumll raacute tudunk leacutepni nyertes aacutellaacutesok lesznek Mindkeacutet
jaacuteteacutekos ceacutelja hogy vesztő mezőre leacutepjen a baacutebuval hiszen onnan ellenfele akaacuterhova is
leacutep a koumlvetkező koumlrben uacutejabb vesztő helyre tudja tenni a kiraacutelynőt eacutes iacutegy tovaacutebb Joacutel
laacutethatoacute hogy ebben a jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja raacuteadaacutesul keacutet
vesztő mezőre is leacutephet kezdeacuteskeacutepp
1 Az [5] szaacutemuacute Elemi matematika feladatgyűjtemeacutenyből szaacutermazoacute peacutelda alapjaacuten
8 + + + + V + + + + + 7 + + + + + + + + + + 6 + + + V + + + + + + 5 + + + + + + + V + + 4 + + + + + V + + + + 3 + V + + + + + + + + 2 + + V + + + + + + + 1 V + + + + + + + + +
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6
Az aacutellaacutesok eacutes szabaacutelyos leacutepeacutesek oumlsszefoglalhatoacuteak egy fogalommal megmutatjuk
hogyan
Definiacutecioacute (egyszerű graacutef) Vegyuumlnk keacutet diszjunkt halmazt jeloumllje ezeket V eacutes E ahol V
nemuumlres Legyen E a V-beli elemekből keacutepezhető keacutetelemű reacuteszhalmazoknak egy halmaza
Ekkor a G = (V E) rendezett paacutert (egyszerű) graacutefnak nevezzuumlk melyben V elemei a
csuacutecsok E elemei az eacutelek
Definiacutecioacute (iraacutenyiacutetott graacutef) Iraacutenyiacutetott egyszerű graacutefroacutel beszeacuteluumlnk ha a fenti graacutef
definiacutecioacutejaacuteban E a V-beli elemekből keacutepezhető rendezett paacuteroknak egy halmaza
Megjegyzeacutes A tovaacutebbiakban ha (iraacutenyiacutetott) graacutefot emliacutetuumlnk mindig egyszerű
(iraacutenyiacutetott) graacutefra gondolunk
Definiacutecioacute (aacutellapotgraacutef) A jaacuteteacutek aacutellapotgraacutefjaacutenak nevezzuumlk azt speciaacutelis iraacutenyiacutetott graacutefot
melyben a jaacuteteacutek aacutellaacutesai a graacutef csuacutecsainak a lehetseacuteges leacutepeacutesek a graacutef eacuteleinek felelnek
meg
A koumlnnyebb eacuterthetőseacuteg eacutes az egyeacutertelmű leiacuteraacutesok eacuterdekeacuteben bevezetuumlnk egy keacutesőbb sokat
hasznaacutelt fogalmat
Definiacutecioacute (raacutekoumlvetkező) Egy X aacutellaacutes raacutekoumlvetkezője az Y aacutellaacutes ha X-ből koumlzvetlenuumll (egy
leacutepeacutessel) el tudunk jutni Y-ba azaz ha az aacutellapotgraacutefban (X Y) eacutel (maacutes szoacuteval az X-nek
kiszomszeacutedja az Y)
Definiacutecioacute (veacuteges jaacuteteacutek) Veacuteges jaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha aacutellapotgraacutefjaacuteban minden csuacutecshoz
tartozik egy nemnegatiacutev egeacutesz szaacutem uacutegy hogy azok minden kiszomszeacutedjaacutehoz rendelt szaacutem
kisebb az oumlveacuteneacutel (pl a haacutetraleacutevő leacutepeacutesek maximaacutelis szaacutema) Ezt a szaacutemot nevezzuumlk az
aacutellaacutes szintjeacutenek
Ez alapjaacuten tegyuumlk fel hogy az aacutellapotgraacutef csuacutecsai szaacutemozva vannak Ekkor az aacutellaacutesok
szintjei a leacutepeacutesek soraacuten szigoruacutean monoton csoumlkkennek
Koumlvetkezmeacuteny Veacuteges jaacuteteacutek aacutellapotgraacutefja nem tartalmaz iraacutenyiacutetott koumlrt azaz aciklikus
Bizonyiacutetaacutes Ha tartalmazna koumlrt akkor lenne olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban ami toumlbbszoumlr is
előfordulhatna vagyis lenne olyan X1 X2 hellip Xk leacutepeacutessorozat ahol minden Xi+1 aacutellaacutes az
7
Xi aacutellaacutes raacutekoumlvetkezője eacutes Xk-nak kiszomszeacutedja X1 Azonban a veacuteges jaacuteteacutek definiacutecioacuteja
szerint egy aacutellaacutes raacutekoumlvetkezőjeacutenek a szintje kisebb mint az aacutellaacutes szintje ezeacutert Xk-nak nem
lehet X1 a raacutekoumlvetkezője mert akkor a hozzaacuterendelt szaacutem nagyobb keacutene legyen X1
szaacutemaacutenaacutel ami ellentmondaacutes
Definiacutecioacute Normaacutel jaacuteteacuteknak nevezzuumlk a tovaacutebbiakban azokat a jaacuteteacutekokat melyekben az a
jaacuteteacutekos vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni maacuteskeacutepp fogalmazva az nyer aki az utolsoacute leacutepeacutest
teszi
Megjegyzeacutes Aacuteltalaacuteban a dolgozatban hozott jaacuteteacutekok ilyen normaacutel jaacuteteacutekok
8
2 Fejezet Kezdő feladatok
Dolgozatom elejeacuten szeretneacutek bemutatni egy-keacutet toumlbbnyire szeacuteles koumlrben elterjedt
egyszerűbb matematikai jaacuteteacutekot Mindegyik korosztaacutely szaacutemaacutera talaacutelhatoacute megfelelő
szintű eacutes neheacutezseacutegű feladat vagy jaacuteteacutek amivel felkelthető a gyerekek eacuterdeklődeacutese Meg
lehet mutatni nekik hogy a matematikaacutenak van ilyen szoacuterakoztatoacute reacutesze is Persze az
lenne a legjobb ha ezekben tudnaacutek alkalmazni eacutes kamatoztatni a koraacutebban tanultakat
1 1 Lepakoloacutes jaacuteteacutek
1 jaacuteteacutek Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez korongokat egy asztalra Az vesziacutet aki nem tud uacutegy
toumlbb korongot elhelyezni az asztalon hogy az ne fedjen egy maacuter lent fekvőt Kinek van
nyerő strateacutegiaacuteja
Ez a jaacuteteacutek toumlbb tankoumlnyvben is szerepel Tapasztalataim szerint ez inkaacutebb elvi
gondolati jaacuteteacutek mert a gyakorlatba nehezen kivitelezhető A korongok vagy eacutermeacutek (hol
mi szerepel) koumlnnyen egymaacutesra csuacuteszhatnak vagy nem mindig egyeacutertelmű a helyzetuumlk
Mindemellett a jaacuteteacutek megoldaacutesa pofonegyszerű a gyerekek is hamar raacutejoumlhetnek Arra az
eredmeacutenyre jutunk hogy mindig az első jaacuteteacutekos nyer A joacute strateacutegia pedig az ha előszoumlr
koumlzeacutepre tesszuumlk a kezdő korongot (minden esetben van ilyen ha kerek az asztal ha
szoumlgletes leacutenyeg hogy az koumlzeacuteppontosan szimmetrikus legyen) eacutes a koumlvetkezőkben
mindig az ellenfeacutel leacutepeacuteseacutenek koumlzeacuteppontos tuumlkoumlrkeacutepeacutet leacutepjuumlk Ezt a strateacutegiaacutet jaacutetszva a
kezdő jaacuteteacutekos nem tud veszteni hiszen ha van meacuteg hely a maacutesodik jaacuteteacutekos leacutepeacuteseacutenek
akkor biztosan szabad lehetőseacuteg annak keacutepe is
Eacuterdekesseacutegkeacutent vegyuumlk eacuteszre hogy ennek az asztalra pakoloacutes jaacuteteacuteknak veacutegtelen sok
aacutellapota leacutetezik hiszen veacutegtelen sok pontra helyezhető egy korong Meacutegis veacuteges jaacuteteacuteknak
tekinthetjuumlk mert a leacutepeacutesek soraacuten az asztal szabad teruumllete csoumlkken vagyis egyre csoumlkken
a megtehető leacutepeacutesek maximaacutelis szaacutema is miacuteg előbb-utoacutebb eljutunk abba az aacutellapotba
hogy toumlbb korong maacuter nem feacuter az asztalra
Ezzel egyuumltt megproacutebaacutelhatjuk az eredetit veacuteges aacutellapotszaacutemuacute jaacuteteacutekkaacute tenni ez az oumltlet
szakdolgozat iacuteraacutesa koumlzben meruumllt fel A jaacuteteacutekot gyakorlatban neacutegyzetraacutecsos papiacuteron
lehetne jaacutetszani
9
2 Jaacuteteacutek Adott egy (n x k)-as teacuteglalap alakuacute jaacuteteacutektaacutebla Keacutet jaacuteteacutekosnak uacutegy kell felvaacuteltva
(előre lefixaacutelt) egyforma meacuteretű neacutegyzeteket besziacuteneznie a taacuteblaacuten hogy azok ne takarjaacutek
egymaacutest Az vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni Keacuterdeacutes hogy melyik jaacuteteacutekos nyer
Csupa 1x1-es neacutegyzetek sziacutenezeacutese nem hoz laacutezba senki mert a győztes csak a jaacuteteacutektaacuteblaacutet
alkotoacute neacutegyzetek szaacutemaacutetoacutel fuumlgg ha paacuteros sok neacutegyzetből aacutella taacutebla a maacutesodik paacuteratlan
szaacutemuacute neacutegyzet eseteacuten az első szaacutemuacute jaacuteteacutekos nyer Vizsgaacuteljuk most a jaacuteteacutekot 2x2-es
neacutegyzetek sziacutenezeacutese eseteacuten Nem neheacutez felismerni hogy ha a jaacuteteacutektaacutebla (2k x 2k)-as
neacutegyzet vagy (2k x 2l)-es teacuteglalap alakuacute (tetszőleges k l N eseteacuten) akkor műkoumldik raacute
a fent taacutergyalt koumlzeacuteppontos szimmetriaacuten alapuloacute strateacutegia Azonban a toumlbbi esetben
((2k+1)x(2l+1)-es vagy (2k)x(2l+1)-es jaacuteteacutektaacuteblaacutenaacutel) ezt nem tudjuk kihasznaacutelni mert
nincs koumlzeacutepső neacutegyes amivel kezdhetneacutenk a sziacutenezeacutest Hogyan jaacutetsszunk ilyenkor Van-
e egyaacuteltalaacuten abszoluacutet nyertes Neacutezzuumlnk egy kisebb konkreacutet peacuteldaacutet
Aacutelliacutetaacutes (3x2k)-as taacuteblaacuten jaacutetszva az első jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy a paacuteros hosszuacute oldal felezőmerőlegese raacutecsvonalon
halad iacutegy kihasznaacutelhatjuk az erre a tengelyre valoacute szimmetriaacutet Kettő olyan (2x2)-es
neacutegyzet van melyen eme tengely aacutethalad de ezek koumlzuumll csak egy sziacutenezhető Ha a kezdő
elsőkeacutent az egyik ilyet sziacutenezi be akkor ellenfele tetszőleges leacutepeacuteseacutet tuumlkroumlzve a
tuumlkoumlrtengelyre oumlveacute lesz az utolsoacute leacutepeacutes
A 2xn-es jaacuteteacutektaacuteblaacuten valoacute jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera a keacutesőbbiekben majd meacuteg
visszateacuteruumlnk (ld 5 fejezet) A toumlbbi esetről nem lesz szoacute kiproacutebaacutelaacutesukat tudom ajaacutenlani
1 2 Foglaloacutes jaacuteteacutekok
Foglalkozzunk kicsit a foglaloacutes tiacutepusuacute jaacuteteacutekokkal Ezeket azeacutert szokaacutes iacutegy nevezni
mert adott jaacuteteacutektaacuteblaacuten jaacutetsszaacutek uacutegy hogy felvaacuteltva elfoglalnak egy-egy mezőt (tesznek raacute
egy-egy sajaacutet sziacutenű jelet) eacutes a jaacuteteacutek győztese az aki az előre kijeloumllt nyertes
mezőcsoportok valamelyikeacutet előszoumlr el tudja foglalni Ilyen foglaloacutes jaacuteteacutekra peacutelda a
mindenki aacuteltal joacutel ismert angol neveacuten Tic-tac-toe mely soraacuten a jaacuteteacutekosok egy 3x3-as
neacutegyzetbe a szokaacutesos X eacutes koumlr jeleket rakosgatjaacutek eacutes az nyer aki előszoumlr tudja haacuterom
egyforma jeleacutet egy vonalba helyezni (tehaacutet a haacuterom sor a haacuterom oszlop eacutes a keacutet aacutetloacute a
kijeloumllt nyertes mezőcsoportok) A foglaloacutes jaacuteteacutekok nem tekinthetőek normaacutel jaacuteteacutekoknak
10
mert kialakulhat doumlntetlen aacutellaacutes is amikor azeacutert nem tudnak toumlbbet leacutepni a jaacuteteacutekosok mert
a taacuteblaacuten a lehetőseacutegek elfogytak de senki sem nyert
Aacutelliacutetaacutes A foglaloacutes jaacuteteacutekokban a maacutesodik jaacuteteacutekos sosem nyerhet (Legfeljebb doumlntetlenre
vezető strateacutegiaacuteja lehet)
Bizonyiacutetaacutes Indirekte tegyuumlk fel hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja Ilyen
helyzetben a kezdő tudja alkalmazni a bdquostrateacutegialopaacutestrdquo Ez azt jelenti hogy a kezdő
jaacuteteacutekos leacutep valamit majd innentől uacutegy fogja fel a jaacuteteacutekot mintha csak most kezdődne eacutes
a maacutesodik jaacuteteacutekos nyerő strateacutegiaacuteja szerint jaacutetszik tovaacutebb Akkor meruumllhetne fel
probleacutema ha azt a mezőt keacutene elfoglalnia melyre az első leacutepeacuteskor leacutepett aacutem ez nem
gond mivel ezen maacuter az ő jele szerepel tehaacutet mi sem egyszerűbb baacuterhova maacuteshova tehet
Ezzel a moacutedszerrel az első jaacuteteacutekosnak nyernie kellene holott a maacutesodiknak van nyerő
strateacutegiaacuteja ellentmondaacutes
Gondoljuk meg a koumlvetkező konkreacutet foglaloacutes jaacuteteacutekot a nyerő strateacutegia szempontjaacuteboacutel
3 Jaacuteteacutek (Trihex) Az 11 aacutebra szerinti jaacuteteacutektaacuteblaacutera keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez egy piros
illetve egy keacutek korongot valamelyik meacuteg uumlres koumlrre Az győz akinek elsőkeacutent sikeruumll
haacuterom egysziacutenű korongot helyeznie a kilenc egyenes vonal valamelyikeacutere
11 Aacutebra A trihex jaacuteteacutek taacuteblaacuteja
Teacutetel A Trihex jaacuteteacutekban az I jaacuteteacutekos nyer
Bizonyiacutetaacutes A teacutetel bizonyiacutetaacutesaacuteban szuumlkseacuteguumlnk lesz keacutet fogalomra szabad egyeneseknek
nevezzuumlk azokat az egyeneseket melyeken egyetlen korong sincs eacutes egy jaacuteteacutekos szaacutemaacutera
feacutelszabad egyenes az az egyenes amelyen van az ő sziacuteneacutenek megfelelő sziacutenű korong de
mentes az ellenfele korongjaitoacutel A bizonyiacutetaacutes soraacuten kollineaacuterisnak nevezuumlnk haacuterom
mezőt ha azok a jaacuteteacutek taacuteblaacutejaacuten egyazon egyenesre illeszkednek
11
Az aacutebra uacutegy van megalkotva hogy minden egyenesen haacuterom uumlres koumlr szerepel ahova
a korongokat el kell helyezni tovaacutebbaacute minden ponton aacutet haacuterom egyenes megy aacutet
Megegyezeacutes alapjaacuten I jaacuteteacutekos hasznaacutelja a piros korongokat ellenfele a keacutekeket
Kezdőkeacutent az első leacutepeacutest mindenkeacutepp az egyik olyan mezőre tegyuumlk mely a nagy
haacuteromszoumlg oldalaacuten de nem a csuacutecsaacuten helyezkedik el Ellenfeluumlnk leacutepeacuteseacutetől fuumlggően keacutet
fajta aacutellaacutes joumlhet leacutetre amit kuumlloumln kell vizsgaacutelnunk
a) Ha II nem oldalpontra tesz akkor leacutepeacuteseacutet uacutegy kell koumlvetnuumlnk hogy a keacutet piros
korongunk egyazon feacutelszabad egyenesen legyen Ezutaacuten biztosan adoacutedni fog
legalaacutebb keacutet ilyen feacutelszabad egyenes Ezzel a leacutepeacutessel keacutenyszeriacutetettuumlk a maacutesodik
jaacuteteacutekost hogy keacutek korongjaacutet ezen egyenes harmadik mezőjeacutere helyezze hogy
megakadaacutelyozza a győzelmuumlnket Figyeljuumlnk raacute hogy a feacutelszabad egyenesek koumlzuumll
olyat eacutes annak olyan a pontjaacutet vaacutelasszuk melyen a harmadik ndash meacuteg uumlres hely ndash
nincs egy egyenesen a keacutek koronggal (ellenőrizhető hogy lesz ilyen) hogy ezzel
ne segiacutetsuumlk ellenfeluumlnket Ellenkező esetben megelőlegezzuumlk magunknak a
keacutenyszerhelyzetet Az ezutaacuteni koumlrben ndash a paacutelya sajaacutetossaacutegai miatt ndash lesz olyan
mező ami keacutet 1-1 piros korongot tartalmazoacute feacutelszabad egyenes metszeacutespontja
Foglaljuk el ezt a mezőt Innen koumlnnyen laacutethatoacute hogy megnyerjuumlk a jaacuteteacutekot
b) Maacutesodik eset ha ellenfeluumlnk egy maacutesik oldalpontra (de nem csuacutecsra) teszi keacutek
korongjaacutet Az oldalpontok tulajdonsaacutega hogy minden ponttal kollineaacuterisak csak
egymaacutessal nem Tegyuumlnk most a harmadik oldalpontra Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekos
akaacutermit leacutephet mi fogunk nyerni Ugyanis a keacutet piros sziacutenű oldalpontnak az oumlsszes
meacuteg szabad mezővel van koumlzoumls egyenese tehaacutet baacutermelyik pontra is leszuumlnk
keacutenytelenek tenni (ellenfeluumlnk győzelmeacutenek megakadaacutelyozaacutesa eacuterdekeacuteben) az
biztosan keacutet olyan feacutelszabad egyenesnek lesz metszeacutespontja ami tartalmaz 1-1
piros sziacutenű korongot Innen pedig egyeacutertelműen mi nyeruumlnk
12
3 Fejezet Kupacos jaacuteteacutekok
Koumlzkedvelt matematikai jaacuteteacutekok a kupacokba vagy halmokba rendezett taacutergyak
(kavicsok gyufaacutek korongok stb) alkotta jaacuteteacutekok melyekben kuumlloumlnboumlző szabaacutelyok
szerint szabad elvenni bizonyos szaacutemuacute elemet Ebben a fejezetben kupacokba rendezett
kavicsokroacutel lesz szoacute Tovaacutebbra is a joacute strateacutegia megtalaacutelaacutesa a ceacutel
3 1 Egyszerű egykupacos jaacuteteacutek
4 Jaacuteteacutek Egy kupacban 21 kavics van Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva 1 2 vagy 3
darabot vehetnek el Ez normaacutel jaacuteteacutek vagyis az nyer aki az utolsoacute(ka)t veszi el Kinek
van nyerő strateacutegiaacuteja
Visszafele gondolkodva aki előtt maacuter csak 3 vagy kevesebb korong lesz az meg tudja
nyerni a jaacuteteacutekot hiszen a legfeljebb 3 korongot elvehet Ez nyerő aacutellaacutes A 4 darab kavics
ugyanebből a megfontolaacutesboacutel vesztes aacutellaacutes hiszen akaacuterhaacuteny (1 2 vagy 3) darabot veszuumlnk
is el ellenfeluumlnk elveheti a maradeacutekot eacutes ezzel nyer Tovaacutebbgondolva minden 4∙k (k =
0 1hellip n) darab kavics vesztes aacutellaacutes mert abboacutel leacutepve az elemek szaacutemaacutenak neacuteggyel
oszthatoacutesaacutega nem megtarthatoacute tehaacutet vesztes aacutellaacutesboacutel vesztes aacutellaacutesba nem lehet leacutepni
viszont baacutermely maacutes esetből meg lehet jaacutetszani azokat Speciaacutelisan itt a vesztes aacutellaacutesok
4 8 12 16 20 db korong Ennek megfelelően 21 kavics eseteacuten a kezdő jaacuteteacutekosnak van
nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig előszoumlr 20-ra csoumlkkentve a kavicsok szaacutemaacutet
Eacuterdemes meggondolni ezt a feladatot aacuteltalaacutenosabban is
4 Jaacuteteacutek aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa Adott egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el 1-
től m darabig akaacuterhaacuteny kavicsot Az veszt aki nem tud leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja
eacutes mi az
Aacutelliacutetaacutes Ha m + 1 | n akkor a kezdő jaacuteteacutekos vesziacutet ellenkező esetben viszont neki van
nyerő strateacutegiaacuteja
Bizonyiacutetaacutes Ebben a jaacuteteacutekban biztosan az nyer akinek előszoumlr sikeruumll (m+1)-gyel
oszthatoacute elemszaacutemba leacutepni Ilyen helyzetből indulva baacuterhogyan is leacutepuumlnk nem tudunk
uacutejabb (m+1)-gyel oszthatoacutevaacute tenni a kupac meacutereteacutet miacuteg ellenfeluumlnk ndash akaacuterhogyan is
leacuteptuumlnk ndash a koumlvetkező koumlrben csoumlkkenteni tudja az elemszaacutemot uacutejabb (m+1)-gyel
oszthatoacutevaacute Vegyuumlk eacuteszre hogy a 0 veacutegső vesztes aacutellaacutes is oszthatoacute (m+1)-gyel Ezek
13
eacutertelmeacuteben minden (m + 1) ∙ k (k = 0hellipn) darab korong eseteacuten alakul ki vesztes aacutellaacutes
Tehaacutet aki ebből keacutenyszeruumll leacutepni az vesziacutet
Ha a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesakor a kupac meacutereteacutet osztja (m+1) akkor ugyanebből a
meggondolaacutesboacutel koumlvetkezik hogy a kezdő jaacuteteacutekos nem tud nyerni
Tovaacutebbra is kupacokkal eacutes azokboacutel aacutelloacute feladatokkal foglalkozunk A koumlvetkezőkben egy
aacuteltalaacutenosabb jaacuteteacutekcsoportroacutel lesz szoacute
3 2 Nim-jaacuteteacutek eacutes nim-oumlsszeadaacutes
A Nim-jaacuteteacutek Kiacutenaacuteboacutel szaacutermazoacute ma maacuter szeacuteles koumlrben ismert matematikai jaacuteteacutek A
menete a koumlvetkező
Nim-jaacuteteacutek adott n db kupac melyek rendre a1 a2 a3hellip an darab kavicsot tartalmaznak
Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva vesznek el akaacuterhaacuteny de legalaacutebb 1 kavicsot valamelyik
tetszőleges kupacboacutel Az nyer aki az utolsoacute kavicsot elveszi Keacuterdeacutes hogy kinek van nyerő
strateacutegiaacuteja
Ezek vagy az ehhez hasonloacute feladvaacutenyok megoldaacutesaacuteban segiacutetseacuteguumlnkre lesz egy uacutej
fogalom a bdquonim-oumlsszeadaacutesrdquo
Definiacutecioacute (nim-oumlsszeadaacutes) Vegyuumlk a nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemok halmazaacutet eacutes azon uacutegy
eacutertelmezzuumlk a nim-oumlsszeadaacutest hogy elemeit kettes szaacutemrendszerbeli alakjukban feliacuterva
adjuk oumlssze modulo 2 azaz nem toumlrődve az egyes helyieacuterteacutekeken adoacutedoacute maradeacutekokkal
Peacutelda 12 25 = 21 hiszen 11002 + 110012 = 101012
Vilaacutegosabbaacute vaacutelik a nim-oumlsszeadaacutes ha a szokaacutesos moacutedon egymaacutes alaacute iacuterva adjuk oumlssze
őket
11002
110012
101012
Ezt a definiacutecioacutet meggondolhatjuk maacuteskeacuteppen is
Definiacutecioacute Jeloumllje 119917120784 a keacutetelemű testet (azaz a modulo 2 szaacutemkoumlrt) eacutes legyen 119917120784infin ennek
veacutegtelen diszkreacutet direktszorzata vagyis az a veacutegtelen dimenzioacutes vektorteacuter amelyben olyan
14
0 eacutes 1 koordinaacutetaacutekat tartalmazoacute vektorok vannak melyekben csak veacuteges sok 1-es szaacutem
szerepel
Tekintsuumlk a koumlvetkező koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű megfelelteteacutest N eacutes 119917120784infin koumlzoumltt iacuterjunk
fel egy adott szaacutemot kettes szaacutemrendszerben de fordiacutetott sorrendben azaz jobbroacutel balra
Vegyuumlk azt a veacutegtelen hosszuacute vektort melynek az első koordinaacutetaacutei eacuteppen ennek a
szaacutemnak a bdquofordiacutetottrdquo kettes szaacutemrendszerbeli alakjaacutenak szaacutemjegyeivel egyezik meg
majd ezeket veacutegtelen sok nulla koumlveti Ez egy egyeacutertelmű megfelelteteacutest ad N eacutes 119917120784infin
elemei koumlzoumltt hiszen egy szaacutem egyetlen vektornak felel meg Azaz ha
119899 = sum 119886119894 ∙ 2119894infin119894=0 ahol 119886119894= 0 vagy 1 akkor az ennek megfelelő vektor (1198860 1198861 1198862 )
Teacutetel A nim-oumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot
Bizonyiacutetaacutes Tudjuk hogy a vektoroumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot Az előzőekben adott
egyeacutertelmű megfelelteteacutessel laacutethatoacute hogy az 119917120784infin-beli veacutegtelen hosszuacute vektorok
oumlsszeadaacutesa eacutes a nim-oumlsszeadaacutes ekvivalens művelet ezeacutert a nim-oumlsszeadaacutes is Aacutebel-
csoportot alkot
A nim-oumlsszeadaacutes tovaacutebbi tulajdonsaacutegai
1 Aacutelliacutetaacutes Minden a szaacutemra a a = 0
Bizonyiacutetaacutes Nem neheacutez meggondolni hogy ha a kettes szaacutemrendszerben keacutet azonos
szaacutemot adunk nim-oumlssze akkor mivel abban az 1-esek eacutes 0-k ugyanazon a helyieacuterteacuteken
aacutellnak az oumlsszeadaacutesukkor azok mind lenullaacutezoacutednak (1 + 1 = 0 + 0 = 0)
2 Aacutelliacutetaacutes Tetszőleges a eacutes b pozitiacutev egeacuteszekre teljesuumll 0 le a b le a + b
Ezt nem bizonyiacutetom de veacutegiggondolhatoacute
3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja
Az egykupacos Nim-jaacuteteacutek nagyon egyszerű nem is nevezhető jaacuteteacuteknak hiszen a kezdő
jaacuteteacutekos elsőre felmarkolhatja az egeacutesz kupacot eacutes veacutege a jaacuteteacuteknak Nem ilyen koumlnnyű
elsőre aacutetlaacutetni a toumlbb kupacos normaacutel Nim-jaacuteteacutekot
Vezessuumlk be a Nim(a1 a2hellip an) jeloumlleacutest arra az n kupacos Nim-jaacuteteacutekra ahol a1
a2hellip an a kuumlloumlnboumlző kupacok elemszaacutema
15
Teacutetel
1) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek kupacmeacutereteinek nim-oumlsszege a1 a2 hellip an ne 0
akkor biztosan leacutetezik olyan leacutepeacutes hogy a kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra
a1rsquo a2rsquohellip anrsquo = 0
2) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekban a1 a2 hellip an = 0 akkor baacutermely leacutepeacutes utaacuten a
kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra a nim-oumlsszeg a1rsquo a2rsquohellip anrsquo 0
Bizonyiacutetaacutes
1) Előszoumlr iacuterjuk fel egymaacutes alaacute a kupacok meacutereteacutet kettes szaacutemrendszerben eacutes adjuk oumlssze
őket nim szerint A ceacutelunk az hogy ezt a kapott oumlsszeget olyan moacutedon 0-ra tudjuk
vaacuteltoztatni ami megfeleltethető egy jaacuteteacutekbeli leacutepeacutessel Ehhez keressuumlk meg azt a
legnagyobb helyieacuterteacuteket (vagyis balroacutel az első olyan oszlopot) ahol paacuteratlan sok 1-es
szerepel - ugyanis ezen a helyieacuterteacuteken a nim-oumlsszegben is 1-es fog szerepelni - eacutes
vaacutelasszuk ki ebből az egyik 1-est legyen ez ai feliacuteraacutesaacuteban Most vaacuteltoztassuk meg ezt
az 1-est 0-ra eacutes ai ettől jobbra leacutevő binaacuteris szaacutemjegyeit is csereacuteljuumlk 1-esre vagy 0-ra
uacutegy hogy veacuteguumll az egeacutesz oumlsszeg 0-ra csoumlkkenjen (Ez megtehető eacutes ezt akkor eacuterjuumlk
el ha minden oszlopban paacuteros szaacutemuacute 1-es lesz) Ezzel a leacutepeacutessel aacuteteacutertuumlnk a Nim(a1rsquo
a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra ahol aj = aj kiveacuteve j = i-re eacutes ebben 0 a nim-oumlsszeg A
feliacuteraacutesban egy sor a jaacuteteacutekban egy kupac elemszaacutemaacutenak felel meg eacutes egy tetszőleges
sort alkotoacute szaacutem csoumlkkenteacutese valamennyivel ekvivalens azzal hogy a neki megfelelő
kupacboacutel ugyanennyi elemet elveszuumlnk Maacuter csak azt kell belaacutetnunk hogy az eljaacuteraacutes
soraacuten valoacuteban az egyik kupac elemszaacutemaacutet csoumlkkentettuumlk (nem noumlveltuumlk) tehaacutet leacutetezik
ilyen leacutepeacutes Ezt nem neheacutez meggondolni mert a legnagyobb helyieacuterteacuteken aacutelloacute 1-est 0-
ra csereacuteltuumlk ndash legyen ez a 2k helyieacuterteacutek ndash eacutes moumlgoumltte a vaacuteltoztataacutesok utaacuten legfeljebb k
-1 darab 1-es aacutellhat melyek eacuterteacuteke tiacutezes szaacutemrendszerben legfeljebb 1 + 2 + 4 + 8 +
+ 2k-1 = 2kndash1 ami biztosan kisebb az előző szaacutemnaacutel Tehaacutet a leiacutert leacutepeacutesek soraacuten valoacuteban
csoumlkkentettuumlk a kupacok meacutereteacutet
Ezt a bizonyiacutetaacutest egeacutesz egyszerűen aacutet lehet gondolni az előzőek alapjaacuten Laacutettuk hogy
a jaacuteteacutek leacutepeacuteseit hogyan tudjuk maacuteskeacutepp leiacuterni elveacutegezni A levezeteacutesből laacutetszik az
hogy 0 nim-oumlsszegből uacutejabb 0 nim-oumlsszegű aacutellaacutest nem tudunk eleacuterni
a1 a2 hellip an = 0 eseteacuten semelyik oszlopban sem lesz paacuteratlan szaacutemuacute 1-es amit
megcsereacutelve joacutel jaacuternaacutenk viszont egy sorban legalaacutebb egy szaacutemot ki kell csereacutelnuumlnk
mert leacutepni muszaacutej Tehaacutet lesz olyan oszlop a leacutepeacutesuumlnk utaacuten melyben paacuteratlan szaacutemuacute
1-es fog aacutellni iacutegy az oumlsszegben is legalaacutebb egy 1-es szerepelni fog
16
Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő
jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege
a1 a2 hellip an ne 0
Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző
teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire
a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet
uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig
fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb
Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud
leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok
Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy
leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is
oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot
jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti
Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti
egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot
Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor
jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen
oumlsszegjaacuteteacutek
sum 119869119894
119899
119868=0
ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet
kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)
Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege
is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek
17
Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg
azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat
Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban
van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz
Bizonyiacutetaacutes
Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva
a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az
bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha
ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik
jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat
b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik
jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő
jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja
szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az
oumlsszeguumlket is
Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala
kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha
első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer
Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg
hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk
az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes
kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű
paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri
a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot
Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező
fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet
18
4 Fejezet Grundy-szaacutemok
A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy
szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni
Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges
jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely
aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az
aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely
adta lehetőseacutegek koumlzuumll
Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű
jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel
1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az
ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel
ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat
leacutepeacuteseket) ismeruumlnk
2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal
leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket
tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek
3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul
annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok
hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak
A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban
nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni
Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia
megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a
toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező
fogalomra
19
Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb
nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt
Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)
Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot
az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de
roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van
Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs
raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden
raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb
kizaacutertja
Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema
Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben
semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute
aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan
raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne
ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb
kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli
raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten
nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute
veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol
minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak
Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok
ciklusmentesseacutegeacutenek
Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema
2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese
3 A [2] cikk alapjaacuten
20
Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos
Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek
Grundy-szaacutemai
Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb
nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-
szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i
a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak
egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk
ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy
G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema
G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be
hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes
felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem
maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1
Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok
illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az
alaacutebbiak
1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0
2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0
3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0
Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja
ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0
Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben
van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek
koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal
vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)
tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel
4 [2] cikk alapjaacuten
21
leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben
megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet
Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud
mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy
ő nyeri a jaacuteteacutekot
Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-
szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)
Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0
Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn
direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)
Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti
indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes
aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)
valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra
maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb
a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel
Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)
raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy
minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy
a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat
oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek
vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden
A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban
oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom
22
5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute
jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok
hasznaacutelata
5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai
Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő
egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti
darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok
Grundy-szaacutemai
Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-
szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő
Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen
innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk
= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz
vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet
el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan
ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute
Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)
vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet
Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent
meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes
strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait
Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem
Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik
ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a
koumlvetkező
5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy
bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek
Grundy-szaacutemaival
23
10 Jaacuteteacutek (Dawsonrsquos Chess) Adott egy 1x n-es teacuteglalap melynek neacutegyzeteibe a jaacuteteacutekosok
felvaacuteltva X-et raknak uacutegy hogy az X jellel ellaacutetott cellaacutek szomszeacutedosak nem lehetnek vagyis
egy X melletti neacutegyzetbe maacutesik X nem keruumllhet Az nyer aki az utolsoacute jelet rakja
Ha jobban meggondoljuk a keacutet jaacuteteacutek megfelel egymaacutesnak Annyi a kuumlloumlnbseacuteg hogy az
itteni neacutegyzetek ott a 2x2-es neacutegyzetek felező vonalainak felelnek meg eacutes az itteni vaacutelasztoacute
raacutecsvonalak pedig a sziacutenezős jaacuteteacutek neacutegyzeteivel egyeznek meg Neacutezzuumlk az alaacutebbi 5 1 aacutebraacuten
szemleacuteltetett peacuteldaacutet
Dawsonrsquos Chess taacutebla egy lehetseacuteges veacutegaacutellaacutessal
A 2 jaacuteteacutek ugyanazt jelentő veacutegső aacutellaacutesa
51 aacutebra
Joacutel laacutethatoacute hogy a 2 jaacuteteacutekban a 2x2-es neacutegyzetek hataacutervonalai eacutepp a Dawsonrsquos Chess-
beli bdquotiltott mezőknekrdquo felelnek meg - amikben nem keruumllhet X jel mert szomszeacutedjukban
maacuter szerepel - mert egy ilyen hataacutervonalra nem eshet maacutesik 2x2-es neacutegyzet felezővonala
hisz akkor a neacutegyzetek takarnaacutek egymaacutest
Feacuteny deruumllt arra6 hogy ennek a jaacuteteacuteknak a Grundy-szaacutemaiboacutel aacutelloacute sorozat 34-es
periodicitaacutesuacute de az elejeacuten van heacutet kiveacutetel a 0 14 16 17 31 34 eacutes 51 helyen aacutelloacute szaacutemok
tekinteteacuteben Utaacutena beaacutell a valoacutedi periodicitaacutes Azok az aacutellaacutesok eacuterdekesek szaacutemunkra a
nyerő strateacutegia kutataacutesa kapcsaacuten melyek Grundy-szaacutema 0 mert ezek a vesztes aacutellaacutesok
Tehaacutet vesztes aacutellaacutesok az elejeacutetől kezdve 1 5 9 15 21 25 29 35 neacutegyzetet tartalmazoacute
kezdőaacutellaacutesok majd az 1 a 15 eacutes 35 kiveacuteteleacutevel ezek k ∙ 34-gyel vett oumlsszegei is vesztő
aacutellaacutesok lesznek a periodicitaacutes miatt
5 2 Jaacuteteacutekok korongokkal
A koumlvetkező jaacuteteacutek a [4] koumlnyvből szaacutermazik
6 Szinteacuten a httpsoeisorg weboldal hasznaacutelataacuteval
X X
24
5 Jaacuteteacutek Egy asztalon sorba 10 korong van lerakva melyeknek egyik oldala feheacuter maacutesik
fekete sziacutenű Ketten jaacutetszanak A soron koumlvetkező mindig kivaacutelaszt egy fekete oldalaacuteval
felfeleacute fekvő korongot majd azt eacutes az oumlsszes tőle jobbra leacutevőt aacutetfordiacutetja a maacutesik oldalaacutera
Akkor van veacutege a jaacuteteacuteknak ha mindegyik korongnak a feheacuter oldala van feluumll Az veszt aki
nem tud toumlbbet leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes hogyan tud győzni
A jaacuteteacutek kimenetele eacutes nyertese fuumlgg a kiindulaacutesi helyzettől Tekintsuumlk az alaacutebbi konkreacutet
kezdőaacutellaacutest (5 2 aacutebra)
5 2 aacutebra
A nyertes strateacutegia nem bonyolult sőt eleacuteg keacutezenfekvő ha belegondolunk tudniillik a
veacutegeredmeacuteny egyaacuteltalaacuten nem a jaacuteteacutekosok leacutepeacutesein muacutelik hanem csupaacuten az utolsoacute korong
sziacuteneacutetől fuumlgg Ugyanis egy korong az utolsoacute helyen aacutelloacute biztosan megfordul minden
leacutepeacutesben Ez leacutepeacutesenkeacutent vaacuteltakozva hol feheacuter hol fekete oldalaacuteval lesz feluumll miacuteg ki nem
alakul a veacutegső nyertes ndash oumlsszes feheacuter ndash aacutellaacutes Ha peacuteldaacuteul kezdetben fekete az utolsoacute
korong akkor az mindig a kezdő jaacuteteacutekos forgataacutesai nyomaacuten fog a feheacuter oldalaacuteval felfeleacute
keruumllni A jaacuteteacutek egyszer veacuteget eacuter eacutes tudjuk hogy az utolsoacute leacutepeacutes a kezdő jaacuteteacutekoseacute lesz
tehaacutet ő nyer Ellenkező esetben - ha a kezdő aacutellapotban feheacuter az utolsoacute korong - a maacutesodik
jaacuteteacutekoseacute a győzelem Tehaacutet teljesen mindegy haacuteny koronggal jaacutetszunk a győztest mindig
a sorban elhelyezett utolsoacute korong sziacutene fogja elaacuterulni Ha az a fekete oldalaacuteval felfeleacute
fekszik akkor a kezdő ha feheacuter sziacutene laacutetszik akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos nyer Iacutegy a fenti
jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
Ha feladatban moacutedosiacutetjuk kicsit a szabaacutelyokat akkor a megoldaacutes is bonyoloacutedik eacutes itt
maacuter fel kell hasznaacutelnunk a Grundy-szaacutemokat illetve a nim-oumlsszeget A koumlvetkező feladat
eacutes megoldaacutesi oumltlete [2] forraacutesboacutel szaacutermazik
6 Jaacuteteacutek Legyen ismeacutet 10 darab korongunk az asztalra sorba lehelyezve A jaacuteteacutekosok
keacutetfeacutele leacutepeacutest hajthatnak veacutegre vagy megfordiacutetanak egy fekete oldalaacuteval felfeleacute fekvő
korongot vagy keacutet korongot fordiacutetanak meg melyek koumlzuumll a jobbraacutebb levő fekte Az vesziacutet
aki nem tud toumlbbet leacutepni
25
A megoldaacutes veacutegett szaacutemozzuk meg a korongokat balroacutel jobbra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 3 aacutebra
Aacutelliacutetaacutes A 6 jaacuteteacutek egy aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema eacutepp a fekete sziacutenű korongok sorszaacutemaacutenak
nim-oumlsszege
Bizonyiacutetaacutes Alkossunk ebből a jaacuteteacutekboacutel Nim-jaacuteteacutekot a koumlvetkező keacuteppen Ha az i-edik
korong sziacutene fekete akkor tekintsuumlnk egy ekkora elemszaacutemuacute kupacot a Nim-jaacuteteacutekban ha
feheacuter sziacutenű egy korong akkor nincs ilyen kupacunk Ezzel egy szokaacutesos Nim-jaacuteteacutekot
kapunk Azeacutert tehetjuumlk meg ezt mert a leacutepeacutesek eacutepp ugyanazt eredmeacutenyezik mindkeacutet
jaacuteteacutekban amennyiben megfordiacutetunk egy fekete korongot az annak felel meg ha nim-
jaacuteteacutekban azt a kupacot teljes egeacuteszeacuteben elvesszuumlk eacutes megszűnik Ha egy feheacuter eacutes egy
fekete korongot fordiacutetunk meg melyek koumlzuumll a fekete a jobb oldali akkor azzal
egyeneacuterteacutekű mintha a nim-jaacuteteacutekban bizonyos szaacutemuacute kavicsot elvettuumlnk volna az addigi
kupacboacutel uacutegy hogy a feketeacutere fordiacutetott korong sorszaacutemaacutenak megfelelő kupacmeacuteretet
eacutertuumlnk el (Mert a bal oldali korong sorszaacutema kisebb eacutes iacutegy kisebb elemszaacutemuacute kupacot is
jelent) Tekintsuumlnk erre magyaraacutezatul egy peacuteldaacutet (5 4 aacutebra)
1 2 3
5 4 aacutebra
Ebben a kis jaacuteteacutekban illusztraacuteljuk a korongforgataacutesi leacutepeacutesek eacutes a Nim-jaacuteteacutek kapcsolataacutet
Tekintsuumlk ennek mintaacutejaacutera a 2 eacutes 3 elmeszaacutemuacute kupacokkal jaacutetszott Nim-jaacuteteacutekot
Vilaacutegosan laacutetszik hogy ha megfordiacutetjuk peacuteldaacuteul a 2 szaacutemuacute fekete sziacutenű korongot eacutes iacutegy
az feheacuter lesz akkor ez a leacutepeacutes megegyezik azzal hogy a Nim-jaacuteteacutekban egy leacutepeacutessel
eltuumlntetjuumlk a 2 elemű kupacot Keacutet szabaacutelyos helyzetű korong megfordiacutetaacutesaacuteval ndash legyenek
26
most ezek az 1 eacutes 2 szaacutemuacuteak ndash az 55-oumls aacutebraacuten laacutethatoacute aacutellaacutes joumln leacutetre ami ekvivalens a
Nim-jaacuteteacutek azon leacutepeacuteseacutevel hogy a 2 elemű kupacboacutel 1 kavicsot elveszuumlnk
1 2 3
5 5 aacutebra
Keacutet fekete korong megfordiacutetaacutesa keacutet kupac teljes elveacuteteleacutet jelenteneacute a Nimben ami ilyen
formaacuteban nem szabaacutelyos Azonban ha jobban meggondoljuk ez a leacutepeacutes jelentheti azt
hogy a nagyobb meacuteretű kupacboacutel elveszuumlnk annyi kavicsot hogy az egyenlő legyen a
kisebb elemszaacutemaacuteval mert a nim-oumlsszeadaacutes miatt keacutet azonos meacuteretű kupac nem
befolyaacutesolja az egeacutesz jaacuteteacutek Grundy-szaacutemaacutet azaz a keacutet kupac kiegyenliacuteteacuteseacutevel illetve
teljes elveacuteteluumlkkel kapott Nim-aacutellaacutesok Grundy-szaacutemai megegyeznek
Az 5 3 aacutebra alapjaacuten kialakult aacutellaacutes Grundy-szaacutema tehaacutet 3 10 = 10 A jaacuteteacutek
vesztő aacutellaacutesainak Grundy-szaacutema 0 azaz ha ilyen aacutellaacutesroacutel indul valaki az nem tud nyerni
Ebből a poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacutet keacutepezni csak a 10 elemű kupac teljes elveacuteteleacutevel
lehetseacuteges Tehaacutet a 10-es szaacutemuacute fekete korongot kell megfordiacutetani előszoumlr a
győzelemhez
5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
A most koumlvetkező haacuterom jaacuteteacutekkal a [2] cikkben talaacutelkoztam
7 Jaacuteteacutek (Rim-jaacuteteacutek) Adott neacutehaacuteny kupac kavics A kupacok egyikeacuteből elvehető
akaacutermennyi kavics de csak uacutegy hogy az elvett elemek szaacutema relatiacutev priacutem legyen az elveacutetel
előtti mennyiseacuteghez
Ez a jaacuteteacutek toumlbb egykupacos uacuten bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacuteknak oumlsszege A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek
egy n darab taacutergyat (kavicsot) tartalmazoacute kupacroacutel szoacutel amelyből k elemet vehetuumlnk el
ha k eacutes n relatiacutev priacutemek Ebből koumlvetkezik hogy 1-et mindig elvehetuumlnk az oumlsszes elemet
azonban sosem (mert n oumlnmagaacuteval nem relatiacutev priacutem) kiveacuteve ha 1 darab marad a
kupacban
Jeloumlljuumlk itt az i elemszaacutemuacute Rim-kupacok Grundy-szaacutemaacutet G(Ri)-vel Az első eacutes maacutesodik
Grundy-szaacutem koumlnnyen megmondhatoacute G0 = 0 eacutes G1 = mex (G0) = 1 Ha keacutet elemet
27
tartalmaz a kiindulaacutesi kupac akkor a szabaacutelynak megfelelően az egyetlen lehetőseacuteg 1
kavics elveacutetele ezeacutert G(R2) = mex (1) = 0 Haacuteromelemű kezdőkupacboacutel 1 eacutes 2 elemet is
elvehetuumlnk iacutegy kapjuk hogy G(R3) = mex (G(R1) G(R2) ) = mex (1 0) = 2 Neacutegy elem
eseteacuten G4 = mex (G1 G3) = 0 Hasonloacutean G5 = mex (G(R1) G(R2) G(R3) G(R4)) =
= mex (1 2 0 2) = 3 eacutes iacutegy tovaacutebb A koumlvetkező teacutetelben meghataacuterozzuk aacuteltalaacutenossaacutegban
G(Rn)-et
Teacutetel A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutekban minden paacuteros n elemszaacutemuacute kupacra G(Rn) = 0 valamint
n paacuteratlan elemszaacutem eseteacuten G(Rn) = k ha n legkisebb priacutemosztoacuteja a k-adik priacutemszaacutem (Az
első priacutemszaacutem a 2 maacutesodik a 3 stb)
Bizonyiacutetaacutes n-re vonatkozoacute teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk
a) ha n paacuteros Semelyik esetben sem lehet az egeacutesz kupacot elvenni kiveacuteve ha 1 kavics
marad a kupacban Laacutettuk hogy G(R0) = G2 = 0 Legyen n paacuteros Tegyuumlk fel hogy
minden n-neacutel nem nagyobb paacuteros k szaacutemra G(Rk) = 0 Laacutessuk be ezt (n+2)-re is Mivel
egy paacuteros szaacutem semelyik maacutesik paacuteros szaacutemmal sem relatiacutev priacutem ezeacutert paacuteros darab
kavicsot nem vehetuumlnk el a kupacboacutel ennek okaacuten uacutejabb paacuteros elemszaacutemuacute aacutellaacutes sem
joumlhet leacutetre Paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac ugyan lehet (n+2) kiszomszeacutedja de annak
Grundy-szaacutema biztosan nem 0 mert 1 kavicsot baacutermelyik aacutellaacutesboacutel elvehetuumlnk iacutegy lesz
a paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt n-neacutel nem nagyobb paacuteros elemszaacutemuacute
kupac aminek Grundy-szaacutema 0 Tehaacutet (n+2) elemet tartalmazoacute kupac raacutekoumlvetkezői
koumlzoumltt nem lesz 0 Grundy-szaacutemuacute iacutegy azok legkisebb kizaacutertja eacutepp a 0
b) ha n paacuteratlan Tudjuk hogy G1 = 1 eacutes azt is laacutettuk hogy G3 = 2 Itt is teljes indukcioacutet
hasznaacutelunk Tegyuumlk fel hogy igaz a fenti aacutelliacutetaacutes minden paacuteratlan n-re Bizonyiacutetsuk be
hogy ez az n+2 paacuteratlan szaacutemra is oumlroumlklődik Legyen n+2 legkisebb priacutemosztoacuteja p eacutes
annak sorszaacutema k Ahhoz hogy belaacutessuk hogy Gn+2 = k keacutet dologra van szuumlkseacuteg
1) Minden k-naacutel kisebb szaacutem előfordul az n+2 elemszaacutemuacute aacutellaacutes valamely
kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutemakeacutent
2) Az n+2 elemű kupac egyik kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutema sem k
1) igazolaacutesa 1-et eacutes n+1-et mindig leacutephetuumlnk tehaacutet 1 eacutes 0 Grundy-szaacutemuacute
raacutekoumlvetkezője minden aacutellaacutesnak van Legyen q egy tetszőleges p-neacutel kisebb priacutem ndash
ennek sorszaacutema k-naacutel kisebb eacutes az indukcioacute szerint a q elemű aacutellaacutes Grundy-szaacutema eacutepp
a q sorszaacutema Ekkor meg kell mutatnunk hogy n+2ndashből aminek legkisebb
priacutemosztoacuteja p a q elemszaacutemuacute kupacba leacutepeacutes szabaacutelyos Ez azeacutert igaz mert a
28
jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek
nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek
elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash
hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert
kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute
kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes
2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m
elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb
priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt
k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek
A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő
strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk
8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad
kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja
legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is
elvehetjuumlk)
Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő
tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz
melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk
Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean
G(Di)
Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1
Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva
laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek
bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1
29
1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i
2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan
1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute
kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute
kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei
azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet
elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =
21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i
2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet
eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n
raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l
paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1
Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban
ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra
G(Da) = 0 + 1 = 1
Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek
9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az
egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a
Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya
szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)
Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg
Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal
Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon
mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)
= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet
a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5
kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre
30
11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik
kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az
nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi
Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-
ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet
Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik
jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem
hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy
speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok
bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A
Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő
nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk
valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval
deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek
a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)
stb kupacmeacuteretek
Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt
de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt
5 4 Fibonacci-nim
A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik
13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el
kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve
utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint
amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben
Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz
szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa
előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban
31
Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat
i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2
Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a
koumlvetkező taacuteblaacutezat
Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok
Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő
Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok
oumlsszegeacutere
Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899
Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel
hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga
Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem
akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-
szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert
119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa
kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem
Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele
keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen
Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip
Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel
minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok
legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot
vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)
7 [1] alapjaacuten
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
3
Bevezeteacutes
Szakdolgozatomhoz olyan teacutemaacutet kerestem amit keacutesőbbi tanaacuteri paacutelyaacutem soraacuten
felhasznaacutelhatok Nagyon fontos szaacutemomra hogy a fiatalok eacuterdeklődeacuteseacutet felkeltsem a
matematika iraacutent hogy eacutelvezettel meruumllhessenek bele a megoldandoacute probleacutemaacutekba
feladatokba Ezeacutert esett vaacutelasztaacutesom a matematikai jaacuteteacutekokra
Dolgozatom leacutenyegeacutet keacutetszemeacutelyes strateacutegiai jaacuteteacutekok keacutepezik melyeknek nyereacutesi
lehetőseacutegeit matematikai moacutedszerek segiacutetseacutegeacutevel tanulmaacutenyoztam Sok jaacuteteacutekot magam is
kiproacutebaacuteltam eacutes sok tapasztalatot szereztem mikoumlzben rengeteg eacutelmeacutennyel gazdagodtam
Veacutelemeacutenyem szerint ezek a jaacuteteacutekok alkalmasak a logikus gondolkodaacutes fejleszteacuteseacutere
Koumlzeacutepiskolaacutes szakkoumlroumln vagy fakultaacutecioacuten eacuterdemes egy-egy peacuteldaacuteval sziacutenesebbeacute tenni a
foglalkozaacutesokat
Az alapfogalmak definiaacutelaacutesa eacutes tisztaacutezaacutesa utaacuten a koumlnnyebb jaacuteteacutekokon keresztuumll
eljutunk a kuumlloumlnboumlző neheacutezseacutegű bdquokupacos-kavicsosrdquo jaacuteteacutekokhoz Az elmeacuteleti haacutetteacuter
kidolgozaacutesa soraacuten bemutatom a nim-oumlsszeadaacutes eacutes a Grundy-szaacutemok rejtelmeit melyek
segiacutetseacutegeacutevel a jaacuteteacutekok nyerő strateacutegiaacutei aacutetlaacutethatoacutevaacute vaacutelnak
Az aacuteltalam legtoumlbbet hasznaacutelt forraacutes Csirmaz Laacuteszloacute [2] cikke volt
Koumlszoumlnetnyilvaacuteniacutetaacutes
Szeretneacutem megkoumlszoumlnni Toumlroumlk Judit tanaacuternőnek hogy felkeltette bennem a teacutema
iraacutenti eacuterdeklődeacutest Valamint koumlszoumlnoumlm Heacuteger Tamaacutesnak ez uacuteton is a rengeteg segiacutetseacutegeacutet
eacutes raacutem aacuteldozott idejeacutet amivel nagymeacuterteacutekben hozzaacutejaacuterult a szakdolgozatom
elkeacuteszuumlleacuteseacutehez
4
1 Fejezet Alapfogalmak definiacutecioacutek
A jaacuteteacutekok elemzeacutese soraacuten mindenkeacutepp szuumlkseacuteges hogy felaacutelliacutetsunk bizonyos
szabaacutelyokat eacutes megnevezzuumlnk fogalmakat tulajdonsaacutegokat
A dolgozatban bemutatott jaacuteteacutekok mindegyike keacutetszemeacutelyes jaacuteteacutek amelyekben keacutet
jaacuteteacutekos felvaacuteltott sorrendben keruumll jaacuteteacuteklehetőseacuteghez Aacuteltalaacuteban kezdő vagy első illetve
maacutesodik jaacuteteacutekos neacuteven emliacutetem őket
Az oumlsszes jaacuteteacutek soraacuten felteacutetelezzuumlk hogy mindkeacutet jaacuteteacutekos a legjobb tudaacutesa alapjaacuten
jaacutetszik eacutes mindig a szaacutemukra lehető legjobb leacutepeacutest teszik meg (nem rontanak) Ez azt
jelenti hogy ha keacutesőbbiekben az fog szerepelni hogy az egyik jaacuteteacutekos nem nyerhet egy
jaacuteteacutekban azt uacutegy kell eacuterteni hogy a maacutesik tud uacutegy jaacutetszani hogy nyerjen (eacutes uacutegy is fog
jaacutetszani hogy nyerjen)
Tipikusan diszkreacutet jaacuteteacutekokroacutel foguk foglalkozni melyeknek tulajdonsaacutega hogy
kuumlloumlnboumlző joacutel elhataacuterolt aacutellapotok aacutellaacutesok vannak bennuumlk Tehaacutet a jaacuteteacutek aacutellaacutesainak
tekintjuumlk az oumlsszes előfordulhatoacute egymaacutestoacutel joacutel elkuumlloumlniacutethető aacutellapotokat
Definiacutecioacute (leacutepeacutes) A matematikai jaacuteteacutekok soraacuten leacutepeacutesnek nevezzuumlk az aacutellaacutesboacutel aacutellaacutesba
valoacute aacutetmenetet amit mindig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos vaacutelaszt meg a jaacuteteacutekszabaacutelynak
megfelelő lehetőseacutegek koumlzuumll eacutes amely egyeacutertelműen leiacuterhatoacute egy aacutellaacutespaacuterral ami
tartalmazza a kiindulaacutesi eacutes eacuterkezeacutesi aacutellaacutest
Szuumlkseacuteguumlnk lesz vesztes eacutes nyerő aacutellaacutesok fogalmaacutera is melyeket a soron koumlvetkező
jaacuteteacutekos szempontjaacuteboacutel nevezuumlnk el
Definiacutecioacute (vesztes nyerő aacutellaacutes) Nevezzuumlk a tovaacutebbiakban a jaacuteteacutek vesztes aacutellaacutesainak
(vagy poziacutecioacuteinak helyzeteinek) azokat az aacutellaacutesokat melyekből indulva a soron koumlvetkező
jaacuteteacutekos semmikeacuteppen sem tudja megnyerni a jaacuteteacutekot azaz vesziacutet Maacutes esetben ha egy
aacutellaacutesboacutel indulva lehetőseacuteg van nyereacutesre nyerő aacutellaacutesroacutel beszeacuteluumlnk
Ezek alapjaacuten a vesztes aacutellaacutesok pontosabban azok előaacutelliacutetaacutesa lesz a nyerő jaacuteteacutekos szaacutemaacutera
kedvező eacutes fontos A jaacuteteacutekokban olyan strateacutegiaacutekat kell kidolgoznunk amelyek soraacuten az
ellenfeacutel vesztes aacutellaacutesboacutel nem tud uacutejabb vesztes aacutellaacutesra leacutepni miacuteg a kialakult nyerőből
mindig tudunk vesztes aacutellaacutest leacutetrehozni Ezeket fogjuk a tovaacutebbiakban nyerő
strateacutegiaacuteknak nevezni
5
Definiacutecioacute (nyerő strateacutegia) Nyerő strateacutegia alatt olyan strateacutegiaacutet eacutertuumlnk melyet
alkalmazva az ellenfeacuteljaacuteteacutekos tetszőleges strateacutegiaacuteja ellen garantaacuteltan nyerni tudunk
Megjegyzeacutes Ha egy jaacuteteacutekosnak leacutetezik nyerő strateacutegiaacuteja akkor az megegyezik azzal
hogy meg is nyeri a jaacuteteacutekot Eacutepp ezt jelenti a fent leiacutert bdquonem rontrdquo felteacutetelezeacuteseacutenek elve
Az eddigi fogalmak biztos elsajaacutetiacutetaacutesa eacutes ellenőrzeacuteseacutere eacuterdekeacuteben tekintsuumlk az alaacutebbi
jaacuteteacutekot1
0 Jaacuteteacutek Egy 10 x 8-as taacutebla jobb felső sarkaacuteban aacutell egy kiraacutelynő amellyel lefeleacute balra
vagy aacutetloacutesan balra leacutephetnek (akaacutermennyit) a jaacuteteacutekosok Az nyer aki a bal alsoacute sarokba
helyezi a kiraacutelynőt Ki nyer milyen strateacutegiaacuteval
Jeloumlljuumlk az 11-es aacutebra szerint a jaacuteteacutektaacuteblaacuten bdquo+rdquo jellel a nyerő aacutellaacutesokat vagyis azokat a
mezőket ahonnan indulva a soron koumlvetkező jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes bdquoVrdquo
betűvel a vesztes aacutellaacutesokat amelyekről indulva a kezdő nem nyerhet
11 aacutebra
Ez joacute peacutelda arra hogy rekurziacutev moacutedon minden mezőről megaacutellapiacutethatoacute hogy nyerő vagy
vesztő aacutellaacutes-e A bal alsoacute mező vesztő mert onnan nincs toumlbb leacutepeacutesi lehetőseacuteg Azok a
mezők melyekről erre koumlzvetlenuumll raacute tudunk leacutepni nyertes aacutellaacutesok lesznek Mindkeacutet
jaacuteteacutekos ceacutelja hogy vesztő mezőre leacutepjen a baacutebuval hiszen onnan ellenfele akaacuterhova is
leacutep a koumlvetkező koumlrben uacutejabb vesztő helyre tudja tenni a kiraacutelynőt eacutes iacutegy tovaacutebb Joacutel
laacutethatoacute hogy ebben a jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja raacuteadaacutesul keacutet
vesztő mezőre is leacutephet kezdeacuteskeacutepp
1 Az [5] szaacutemuacute Elemi matematika feladatgyűjtemeacutenyből szaacutermazoacute peacutelda alapjaacuten
8 + + + + V + + + + + 7 + + + + + + + + + + 6 + + + V + + + + + + 5 + + + + + + + V + + 4 + + + + + V + + + + 3 + V + + + + + + + + 2 + + V + + + + + + + 1 V + + + + + + + + +
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6
Az aacutellaacutesok eacutes szabaacutelyos leacutepeacutesek oumlsszefoglalhatoacuteak egy fogalommal megmutatjuk
hogyan
Definiacutecioacute (egyszerű graacutef) Vegyuumlnk keacutet diszjunkt halmazt jeloumllje ezeket V eacutes E ahol V
nemuumlres Legyen E a V-beli elemekből keacutepezhető keacutetelemű reacuteszhalmazoknak egy halmaza
Ekkor a G = (V E) rendezett paacutert (egyszerű) graacutefnak nevezzuumlk melyben V elemei a
csuacutecsok E elemei az eacutelek
Definiacutecioacute (iraacutenyiacutetott graacutef) Iraacutenyiacutetott egyszerű graacutefroacutel beszeacuteluumlnk ha a fenti graacutef
definiacutecioacutejaacuteban E a V-beli elemekből keacutepezhető rendezett paacuteroknak egy halmaza
Megjegyzeacutes A tovaacutebbiakban ha (iraacutenyiacutetott) graacutefot emliacutetuumlnk mindig egyszerű
(iraacutenyiacutetott) graacutefra gondolunk
Definiacutecioacute (aacutellapotgraacutef) A jaacuteteacutek aacutellapotgraacutefjaacutenak nevezzuumlk azt speciaacutelis iraacutenyiacutetott graacutefot
melyben a jaacuteteacutek aacutellaacutesai a graacutef csuacutecsainak a lehetseacuteges leacutepeacutesek a graacutef eacuteleinek felelnek
meg
A koumlnnyebb eacuterthetőseacuteg eacutes az egyeacutertelmű leiacuteraacutesok eacuterdekeacuteben bevezetuumlnk egy keacutesőbb sokat
hasznaacutelt fogalmat
Definiacutecioacute (raacutekoumlvetkező) Egy X aacutellaacutes raacutekoumlvetkezője az Y aacutellaacutes ha X-ből koumlzvetlenuumll (egy
leacutepeacutessel) el tudunk jutni Y-ba azaz ha az aacutellapotgraacutefban (X Y) eacutel (maacutes szoacuteval az X-nek
kiszomszeacutedja az Y)
Definiacutecioacute (veacuteges jaacuteteacutek) Veacuteges jaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha aacutellapotgraacutefjaacuteban minden csuacutecshoz
tartozik egy nemnegatiacutev egeacutesz szaacutem uacutegy hogy azok minden kiszomszeacutedjaacutehoz rendelt szaacutem
kisebb az oumlveacuteneacutel (pl a haacutetraleacutevő leacutepeacutesek maximaacutelis szaacutema) Ezt a szaacutemot nevezzuumlk az
aacutellaacutes szintjeacutenek
Ez alapjaacuten tegyuumlk fel hogy az aacutellapotgraacutef csuacutecsai szaacutemozva vannak Ekkor az aacutellaacutesok
szintjei a leacutepeacutesek soraacuten szigoruacutean monoton csoumlkkennek
Koumlvetkezmeacuteny Veacuteges jaacuteteacutek aacutellapotgraacutefja nem tartalmaz iraacutenyiacutetott koumlrt azaz aciklikus
Bizonyiacutetaacutes Ha tartalmazna koumlrt akkor lenne olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban ami toumlbbszoumlr is
előfordulhatna vagyis lenne olyan X1 X2 hellip Xk leacutepeacutessorozat ahol minden Xi+1 aacutellaacutes az
7
Xi aacutellaacutes raacutekoumlvetkezője eacutes Xk-nak kiszomszeacutedja X1 Azonban a veacuteges jaacuteteacutek definiacutecioacuteja
szerint egy aacutellaacutes raacutekoumlvetkezőjeacutenek a szintje kisebb mint az aacutellaacutes szintje ezeacutert Xk-nak nem
lehet X1 a raacutekoumlvetkezője mert akkor a hozzaacuterendelt szaacutem nagyobb keacutene legyen X1
szaacutemaacutenaacutel ami ellentmondaacutes
Definiacutecioacute Normaacutel jaacuteteacuteknak nevezzuumlk a tovaacutebbiakban azokat a jaacuteteacutekokat melyekben az a
jaacuteteacutekos vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni maacuteskeacutepp fogalmazva az nyer aki az utolsoacute leacutepeacutest
teszi
Megjegyzeacutes Aacuteltalaacuteban a dolgozatban hozott jaacuteteacutekok ilyen normaacutel jaacuteteacutekok
8
2 Fejezet Kezdő feladatok
Dolgozatom elejeacuten szeretneacutek bemutatni egy-keacutet toumlbbnyire szeacuteles koumlrben elterjedt
egyszerűbb matematikai jaacuteteacutekot Mindegyik korosztaacutely szaacutemaacutera talaacutelhatoacute megfelelő
szintű eacutes neheacutezseacutegű feladat vagy jaacuteteacutek amivel felkelthető a gyerekek eacuterdeklődeacutese Meg
lehet mutatni nekik hogy a matematikaacutenak van ilyen szoacuterakoztatoacute reacutesze is Persze az
lenne a legjobb ha ezekben tudnaacutek alkalmazni eacutes kamatoztatni a koraacutebban tanultakat
1 1 Lepakoloacutes jaacuteteacutek
1 jaacuteteacutek Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez korongokat egy asztalra Az vesziacutet aki nem tud uacutegy
toumlbb korongot elhelyezni az asztalon hogy az ne fedjen egy maacuter lent fekvőt Kinek van
nyerő strateacutegiaacuteja
Ez a jaacuteteacutek toumlbb tankoumlnyvben is szerepel Tapasztalataim szerint ez inkaacutebb elvi
gondolati jaacuteteacutek mert a gyakorlatba nehezen kivitelezhető A korongok vagy eacutermeacutek (hol
mi szerepel) koumlnnyen egymaacutesra csuacuteszhatnak vagy nem mindig egyeacutertelmű a helyzetuumlk
Mindemellett a jaacuteteacutek megoldaacutesa pofonegyszerű a gyerekek is hamar raacutejoumlhetnek Arra az
eredmeacutenyre jutunk hogy mindig az első jaacuteteacutekos nyer A joacute strateacutegia pedig az ha előszoumlr
koumlzeacutepre tesszuumlk a kezdő korongot (minden esetben van ilyen ha kerek az asztal ha
szoumlgletes leacutenyeg hogy az koumlzeacuteppontosan szimmetrikus legyen) eacutes a koumlvetkezőkben
mindig az ellenfeacutel leacutepeacuteseacutenek koumlzeacuteppontos tuumlkoumlrkeacutepeacutet leacutepjuumlk Ezt a strateacutegiaacutet jaacutetszva a
kezdő jaacuteteacutekos nem tud veszteni hiszen ha van meacuteg hely a maacutesodik jaacuteteacutekos leacutepeacuteseacutenek
akkor biztosan szabad lehetőseacuteg annak keacutepe is
Eacuterdekesseacutegkeacutent vegyuumlk eacuteszre hogy ennek az asztalra pakoloacutes jaacuteteacuteknak veacutegtelen sok
aacutellapota leacutetezik hiszen veacutegtelen sok pontra helyezhető egy korong Meacutegis veacuteges jaacuteteacuteknak
tekinthetjuumlk mert a leacutepeacutesek soraacuten az asztal szabad teruumllete csoumlkken vagyis egyre csoumlkken
a megtehető leacutepeacutesek maximaacutelis szaacutema is miacuteg előbb-utoacutebb eljutunk abba az aacutellapotba
hogy toumlbb korong maacuter nem feacuter az asztalra
Ezzel egyuumltt megproacutebaacutelhatjuk az eredetit veacuteges aacutellapotszaacutemuacute jaacuteteacutekkaacute tenni ez az oumltlet
szakdolgozat iacuteraacutesa koumlzben meruumllt fel A jaacuteteacutekot gyakorlatban neacutegyzetraacutecsos papiacuteron
lehetne jaacutetszani
9
2 Jaacuteteacutek Adott egy (n x k)-as teacuteglalap alakuacute jaacuteteacutektaacutebla Keacutet jaacuteteacutekosnak uacutegy kell felvaacuteltva
(előre lefixaacutelt) egyforma meacuteretű neacutegyzeteket besziacuteneznie a taacuteblaacuten hogy azok ne takarjaacutek
egymaacutest Az vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni Keacuterdeacutes hogy melyik jaacuteteacutekos nyer
Csupa 1x1-es neacutegyzetek sziacutenezeacutese nem hoz laacutezba senki mert a győztes csak a jaacuteteacutektaacuteblaacutet
alkotoacute neacutegyzetek szaacutemaacutetoacutel fuumlgg ha paacuteros sok neacutegyzetből aacutella taacutebla a maacutesodik paacuteratlan
szaacutemuacute neacutegyzet eseteacuten az első szaacutemuacute jaacuteteacutekos nyer Vizsgaacuteljuk most a jaacuteteacutekot 2x2-es
neacutegyzetek sziacutenezeacutese eseteacuten Nem neheacutez felismerni hogy ha a jaacuteteacutektaacutebla (2k x 2k)-as
neacutegyzet vagy (2k x 2l)-es teacuteglalap alakuacute (tetszőleges k l N eseteacuten) akkor műkoumldik raacute
a fent taacutergyalt koumlzeacuteppontos szimmetriaacuten alapuloacute strateacutegia Azonban a toumlbbi esetben
((2k+1)x(2l+1)-es vagy (2k)x(2l+1)-es jaacuteteacutektaacuteblaacutenaacutel) ezt nem tudjuk kihasznaacutelni mert
nincs koumlzeacutepső neacutegyes amivel kezdhetneacutenk a sziacutenezeacutest Hogyan jaacutetsszunk ilyenkor Van-
e egyaacuteltalaacuten abszoluacutet nyertes Neacutezzuumlnk egy kisebb konkreacutet peacuteldaacutet
Aacutelliacutetaacutes (3x2k)-as taacuteblaacuten jaacutetszva az első jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy a paacuteros hosszuacute oldal felezőmerőlegese raacutecsvonalon
halad iacutegy kihasznaacutelhatjuk az erre a tengelyre valoacute szimmetriaacutet Kettő olyan (2x2)-es
neacutegyzet van melyen eme tengely aacutethalad de ezek koumlzuumll csak egy sziacutenezhető Ha a kezdő
elsőkeacutent az egyik ilyet sziacutenezi be akkor ellenfele tetszőleges leacutepeacuteseacutet tuumlkroumlzve a
tuumlkoumlrtengelyre oumlveacute lesz az utolsoacute leacutepeacutes
A 2xn-es jaacuteteacutektaacuteblaacuten valoacute jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera a keacutesőbbiekben majd meacuteg
visszateacuteruumlnk (ld 5 fejezet) A toumlbbi esetről nem lesz szoacute kiproacutebaacutelaacutesukat tudom ajaacutenlani
1 2 Foglaloacutes jaacuteteacutekok
Foglalkozzunk kicsit a foglaloacutes tiacutepusuacute jaacuteteacutekokkal Ezeket azeacutert szokaacutes iacutegy nevezni
mert adott jaacuteteacutektaacuteblaacuten jaacutetsszaacutek uacutegy hogy felvaacuteltva elfoglalnak egy-egy mezőt (tesznek raacute
egy-egy sajaacutet sziacutenű jelet) eacutes a jaacuteteacutek győztese az aki az előre kijeloumllt nyertes
mezőcsoportok valamelyikeacutet előszoumlr el tudja foglalni Ilyen foglaloacutes jaacuteteacutekra peacutelda a
mindenki aacuteltal joacutel ismert angol neveacuten Tic-tac-toe mely soraacuten a jaacuteteacutekosok egy 3x3-as
neacutegyzetbe a szokaacutesos X eacutes koumlr jeleket rakosgatjaacutek eacutes az nyer aki előszoumlr tudja haacuterom
egyforma jeleacutet egy vonalba helyezni (tehaacutet a haacuterom sor a haacuterom oszlop eacutes a keacutet aacutetloacute a
kijeloumllt nyertes mezőcsoportok) A foglaloacutes jaacuteteacutekok nem tekinthetőek normaacutel jaacuteteacutekoknak
10
mert kialakulhat doumlntetlen aacutellaacutes is amikor azeacutert nem tudnak toumlbbet leacutepni a jaacuteteacutekosok mert
a taacuteblaacuten a lehetőseacutegek elfogytak de senki sem nyert
Aacutelliacutetaacutes A foglaloacutes jaacuteteacutekokban a maacutesodik jaacuteteacutekos sosem nyerhet (Legfeljebb doumlntetlenre
vezető strateacutegiaacuteja lehet)
Bizonyiacutetaacutes Indirekte tegyuumlk fel hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja Ilyen
helyzetben a kezdő tudja alkalmazni a bdquostrateacutegialopaacutestrdquo Ez azt jelenti hogy a kezdő
jaacuteteacutekos leacutep valamit majd innentől uacutegy fogja fel a jaacuteteacutekot mintha csak most kezdődne eacutes
a maacutesodik jaacuteteacutekos nyerő strateacutegiaacuteja szerint jaacutetszik tovaacutebb Akkor meruumllhetne fel
probleacutema ha azt a mezőt keacutene elfoglalnia melyre az első leacutepeacuteskor leacutepett aacutem ez nem
gond mivel ezen maacuter az ő jele szerepel tehaacutet mi sem egyszerűbb baacuterhova maacuteshova tehet
Ezzel a moacutedszerrel az első jaacuteteacutekosnak nyernie kellene holott a maacutesodiknak van nyerő
strateacutegiaacuteja ellentmondaacutes
Gondoljuk meg a koumlvetkező konkreacutet foglaloacutes jaacuteteacutekot a nyerő strateacutegia szempontjaacuteboacutel
3 Jaacuteteacutek (Trihex) Az 11 aacutebra szerinti jaacuteteacutektaacuteblaacutera keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez egy piros
illetve egy keacutek korongot valamelyik meacuteg uumlres koumlrre Az győz akinek elsőkeacutent sikeruumll
haacuterom egysziacutenű korongot helyeznie a kilenc egyenes vonal valamelyikeacutere
11 Aacutebra A trihex jaacuteteacutek taacuteblaacuteja
Teacutetel A Trihex jaacuteteacutekban az I jaacuteteacutekos nyer
Bizonyiacutetaacutes A teacutetel bizonyiacutetaacutesaacuteban szuumlkseacuteguumlnk lesz keacutet fogalomra szabad egyeneseknek
nevezzuumlk azokat az egyeneseket melyeken egyetlen korong sincs eacutes egy jaacuteteacutekos szaacutemaacutera
feacutelszabad egyenes az az egyenes amelyen van az ő sziacuteneacutenek megfelelő sziacutenű korong de
mentes az ellenfele korongjaitoacutel A bizonyiacutetaacutes soraacuten kollineaacuterisnak nevezuumlnk haacuterom
mezőt ha azok a jaacuteteacutek taacuteblaacutejaacuten egyazon egyenesre illeszkednek
11
Az aacutebra uacutegy van megalkotva hogy minden egyenesen haacuterom uumlres koumlr szerepel ahova
a korongokat el kell helyezni tovaacutebbaacute minden ponton aacutet haacuterom egyenes megy aacutet
Megegyezeacutes alapjaacuten I jaacuteteacutekos hasznaacutelja a piros korongokat ellenfele a keacutekeket
Kezdőkeacutent az első leacutepeacutest mindenkeacutepp az egyik olyan mezőre tegyuumlk mely a nagy
haacuteromszoumlg oldalaacuten de nem a csuacutecsaacuten helyezkedik el Ellenfeluumlnk leacutepeacuteseacutetől fuumlggően keacutet
fajta aacutellaacutes joumlhet leacutetre amit kuumlloumln kell vizsgaacutelnunk
a) Ha II nem oldalpontra tesz akkor leacutepeacuteseacutet uacutegy kell koumlvetnuumlnk hogy a keacutet piros
korongunk egyazon feacutelszabad egyenesen legyen Ezutaacuten biztosan adoacutedni fog
legalaacutebb keacutet ilyen feacutelszabad egyenes Ezzel a leacutepeacutessel keacutenyszeriacutetettuumlk a maacutesodik
jaacuteteacutekost hogy keacutek korongjaacutet ezen egyenes harmadik mezőjeacutere helyezze hogy
megakadaacutelyozza a győzelmuumlnket Figyeljuumlnk raacute hogy a feacutelszabad egyenesek koumlzuumll
olyat eacutes annak olyan a pontjaacutet vaacutelasszuk melyen a harmadik ndash meacuteg uumlres hely ndash
nincs egy egyenesen a keacutek koronggal (ellenőrizhető hogy lesz ilyen) hogy ezzel
ne segiacutetsuumlk ellenfeluumlnket Ellenkező esetben megelőlegezzuumlk magunknak a
keacutenyszerhelyzetet Az ezutaacuteni koumlrben ndash a paacutelya sajaacutetossaacutegai miatt ndash lesz olyan
mező ami keacutet 1-1 piros korongot tartalmazoacute feacutelszabad egyenes metszeacutespontja
Foglaljuk el ezt a mezőt Innen koumlnnyen laacutethatoacute hogy megnyerjuumlk a jaacuteteacutekot
b) Maacutesodik eset ha ellenfeluumlnk egy maacutesik oldalpontra (de nem csuacutecsra) teszi keacutek
korongjaacutet Az oldalpontok tulajdonsaacutega hogy minden ponttal kollineaacuterisak csak
egymaacutessal nem Tegyuumlnk most a harmadik oldalpontra Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekos
akaacutermit leacutephet mi fogunk nyerni Ugyanis a keacutet piros sziacutenű oldalpontnak az oumlsszes
meacuteg szabad mezővel van koumlzoumls egyenese tehaacutet baacutermelyik pontra is leszuumlnk
keacutenytelenek tenni (ellenfeluumlnk győzelmeacutenek megakadaacutelyozaacutesa eacuterdekeacuteben) az
biztosan keacutet olyan feacutelszabad egyenesnek lesz metszeacutespontja ami tartalmaz 1-1
piros sziacutenű korongot Innen pedig egyeacutertelműen mi nyeruumlnk
12
3 Fejezet Kupacos jaacuteteacutekok
Koumlzkedvelt matematikai jaacuteteacutekok a kupacokba vagy halmokba rendezett taacutergyak
(kavicsok gyufaacutek korongok stb) alkotta jaacuteteacutekok melyekben kuumlloumlnboumlző szabaacutelyok
szerint szabad elvenni bizonyos szaacutemuacute elemet Ebben a fejezetben kupacokba rendezett
kavicsokroacutel lesz szoacute Tovaacutebbra is a joacute strateacutegia megtalaacutelaacutesa a ceacutel
3 1 Egyszerű egykupacos jaacuteteacutek
4 Jaacuteteacutek Egy kupacban 21 kavics van Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva 1 2 vagy 3
darabot vehetnek el Ez normaacutel jaacuteteacutek vagyis az nyer aki az utolsoacute(ka)t veszi el Kinek
van nyerő strateacutegiaacuteja
Visszafele gondolkodva aki előtt maacuter csak 3 vagy kevesebb korong lesz az meg tudja
nyerni a jaacuteteacutekot hiszen a legfeljebb 3 korongot elvehet Ez nyerő aacutellaacutes A 4 darab kavics
ugyanebből a megfontolaacutesboacutel vesztes aacutellaacutes hiszen akaacuterhaacuteny (1 2 vagy 3) darabot veszuumlnk
is el ellenfeluumlnk elveheti a maradeacutekot eacutes ezzel nyer Tovaacutebbgondolva minden 4∙k (k =
0 1hellip n) darab kavics vesztes aacutellaacutes mert abboacutel leacutepve az elemek szaacutemaacutenak neacuteggyel
oszthatoacutesaacutega nem megtarthatoacute tehaacutet vesztes aacutellaacutesboacutel vesztes aacutellaacutesba nem lehet leacutepni
viszont baacutermely maacutes esetből meg lehet jaacutetszani azokat Speciaacutelisan itt a vesztes aacutellaacutesok
4 8 12 16 20 db korong Ennek megfelelően 21 kavics eseteacuten a kezdő jaacuteteacutekosnak van
nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig előszoumlr 20-ra csoumlkkentve a kavicsok szaacutemaacutet
Eacuterdemes meggondolni ezt a feladatot aacuteltalaacutenosabban is
4 Jaacuteteacutek aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa Adott egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el 1-
től m darabig akaacuterhaacuteny kavicsot Az veszt aki nem tud leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja
eacutes mi az
Aacutelliacutetaacutes Ha m + 1 | n akkor a kezdő jaacuteteacutekos vesziacutet ellenkező esetben viszont neki van
nyerő strateacutegiaacuteja
Bizonyiacutetaacutes Ebben a jaacuteteacutekban biztosan az nyer akinek előszoumlr sikeruumll (m+1)-gyel
oszthatoacute elemszaacutemba leacutepni Ilyen helyzetből indulva baacuterhogyan is leacutepuumlnk nem tudunk
uacutejabb (m+1)-gyel oszthatoacutevaacute tenni a kupac meacutereteacutet miacuteg ellenfeluumlnk ndash akaacuterhogyan is
leacuteptuumlnk ndash a koumlvetkező koumlrben csoumlkkenteni tudja az elemszaacutemot uacutejabb (m+1)-gyel
oszthatoacutevaacute Vegyuumlk eacuteszre hogy a 0 veacutegső vesztes aacutellaacutes is oszthatoacute (m+1)-gyel Ezek
13
eacutertelmeacuteben minden (m + 1) ∙ k (k = 0hellipn) darab korong eseteacuten alakul ki vesztes aacutellaacutes
Tehaacutet aki ebből keacutenyszeruumll leacutepni az vesziacutet
Ha a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesakor a kupac meacutereteacutet osztja (m+1) akkor ugyanebből a
meggondolaacutesboacutel koumlvetkezik hogy a kezdő jaacuteteacutekos nem tud nyerni
Tovaacutebbra is kupacokkal eacutes azokboacutel aacutelloacute feladatokkal foglalkozunk A koumlvetkezőkben egy
aacuteltalaacutenosabb jaacuteteacutekcsoportroacutel lesz szoacute
3 2 Nim-jaacuteteacutek eacutes nim-oumlsszeadaacutes
A Nim-jaacuteteacutek Kiacutenaacuteboacutel szaacutermazoacute ma maacuter szeacuteles koumlrben ismert matematikai jaacuteteacutek A
menete a koumlvetkező
Nim-jaacuteteacutek adott n db kupac melyek rendre a1 a2 a3hellip an darab kavicsot tartalmaznak
Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva vesznek el akaacuterhaacuteny de legalaacutebb 1 kavicsot valamelyik
tetszőleges kupacboacutel Az nyer aki az utolsoacute kavicsot elveszi Keacuterdeacutes hogy kinek van nyerő
strateacutegiaacuteja
Ezek vagy az ehhez hasonloacute feladvaacutenyok megoldaacutesaacuteban segiacutetseacuteguumlnkre lesz egy uacutej
fogalom a bdquonim-oumlsszeadaacutesrdquo
Definiacutecioacute (nim-oumlsszeadaacutes) Vegyuumlk a nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemok halmazaacutet eacutes azon uacutegy
eacutertelmezzuumlk a nim-oumlsszeadaacutest hogy elemeit kettes szaacutemrendszerbeli alakjukban feliacuterva
adjuk oumlssze modulo 2 azaz nem toumlrődve az egyes helyieacuterteacutekeken adoacutedoacute maradeacutekokkal
Peacutelda 12 25 = 21 hiszen 11002 + 110012 = 101012
Vilaacutegosabbaacute vaacutelik a nim-oumlsszeadaacutes ha a szokaacutesos moacutedon egymaacutes alaacute iacuterva adjuk oumlssze
őket
11002
110012
101012
Ezt a definiacutecioacutet meggondolhatjuk maacuteskeacuteppen is
Definiacutecioacute Jeloumllje 119917120784 a keacutetelemű testet (azaz a modulo 2 szaacutemkoumlrt) eacutes legyen 119917120784infin ennek
veacutegtelen diszkreacutet direktszorzata vagyis az a veacutegtelen dimenzioacutes vektorteacuter amelyben olyan
14
0 eacutes 1 koordinaacutetaacutekat tartalmazoacute vektorok vannak melyekben csak veacuteges sok 1-es szaacutem
szerepel
Tekintsuumlk a koumlvetkező koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű megfelelteteacutest N eacutes 119917120784infin koumlzoumltt iacuterjunk
fel egy adott szaacutemot kettes szaacutemrendszerben de fordiacutetott sorrendben azaz jobbroacutel balra
Vegyuumlk azt a veacutegtelen hosszuacute vektort melynek az első koordinaacutetaacutei eacuteppen ennek a
szaacutemnak a bdquofordiacutetottrdquo kettes szaacutemrendszerbeli alakjaacutenak szaacutemjegyeivel egyezik meg
majd ezeket veacutegtelen sok nulla koumlveti Ez egy egyeacutertelmű megfelelteteacutest ad N eacutes 119917120784infin
elemei koumlzoumltt hiszen egy szaacutem egyetlen vektornak felel meg Azaz ha
119899 = sum 119886119894 ∙ 2119894infin119894=0 ahol 119886119894= 0 vagy 1 akkor az ennek megfelelő vektor (1198860 1198861 1198862 )
Teacutetel A nim-oumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot
Bizonyiacutetaacutes Tudjuk hogy a vektoroumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot Az előzőekben adott
egyeacutertelmű megfelelteteacutessel laacutethatoacute hogy az 119917120784infin-beli veacutegtelen hosszuacute vektorok
oumlsszeadaacutesa eacutes a nim-oumlsszeadaacutes ekvivalens művelet ezeacutert a nim-oumlsszeadaacutes is Aacutebel-
csoportot alkot
A nim-oumlsszeadaacutes tovaacutebbi tulajdonsaacutegai
1 Aacutelliacutetaacutes Minden a szaacutemra a a = 0
Bizonyiacutetaacutes Nem neheacutez meggondolni hogy ha a kettes szaacutemrendszerben keacutet azonos
szaacutemot adunk nim-oumlssze akkor mivel abban az 1-esek eacutes 0-k ugyanazon a helyieacuterteacuteken
aacutellnak az oumlsszeadaacutesukkor azok mind lenullaacutezoacutednak (1 + 1 = 0 + 0 = 0)
2 Aacutelliacutetaacutes Tetszőleges a eacutes b pozitiacutev egeacuteszekre teljesuumll 0 le a b le a + b
Ezt nem bizonyiacutetom de veacutegiggondolhatoacute
3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja
Az egykupacos Nim-jaacuteteacutek nagyon egyszerű nem is nevezhető jaacuteteacuteknak hiszen a kezdő
jaacuteteacutekos elsőre felmarkolhatja az egeacutesz kupacot eacutes veacutege a jaacuteteacuteknak Nem ilyen koumlnnyű
elsőre aacutetlaacutetni a toumlbb kupacos normaacutel Nim-jaacuteteacutekot
Vezessuumlk be a Nim(a1 a2hellip an) jeloumlleacutest arra az n kupacos Nim-jaacuteteacutekra ahol a1
a2hellip an a kuumlloumlnboumlző kupacok elemszaacutema
15
Teacutetel
1) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek kupacmeacutereteinek nim-oumlsszege a1 a2 hellip an ne 0
akkor biztosan leacutetezik olyan leacutepeacutes hogy a kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra
a1rsquo a2rsquohellip anrsquo = 0
2) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekban a1 a2 hellip an = 0 akkor baacutermely leacutepeacutes utaacuten a
kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra a nim-oumlsszeg a1rsquo a2rsquohellip anrsquo 0
Bizonyiacutetaacutes
1) Előszoumlr iacuterjuk fel egymaacutes alaacute a kupacok meacutereteacutet kettes szaacutemrendszerben eacutes adjuk oumlssze
őket nim szerint A ceacutelunk az hogy ezt a kapott oumlsszeget olyan moacutedon 0-ra tudjuk
vaacuteltoztatni ami megfeleltethető egy jaacuteteacutekbeli leacutepeacutessel Ehhez keressuumlk meg azt a
legnagyobb helyieacuterteacuteket (vagyis balroacutel az első olyan oszlopot) ahol paacuteratlan sok 1-es
szerepel - ugyanis ezen a helyieacuterteacuteken a nim-oumlsszegben is 1-es fog szerepelni - eacutes
vaacutelasszuk ki ebből az egyik 1-est legyen ez ai feliacuteraacutesaacuteban Most vaacuteltoztassuk meg ezt
az 1-est 0-ra eacutes ai ettől jobbra leacutevő binaacuteris szaacutemjegyeit is csereacuteljuumlk 1-esre vagy 0-ra
uacutegy hogy veacuteguumll az egeacutesz oumlsszeg 0-ra csoumlkkenjen (Ez megtehető eacutes ezt akkor eacuterjuumlk
el ha minden oszlopban paacuteros szaacutemuacute 1-es lesz) Ezzel a leacutepeacutessel aacuteteacutertuumlnk a Nim(a1rsquo
a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra ahol aj = aj kiveacuteve j = i-re eacutes ebben 0 a nim-oumlsszeg A
feliacuteraacutesban egy sor a jaacuteteacutekban egy kupac elemszaacutemaacutenak felel meg eacutes egy tetszőleges
sort alkotoacute szaacutem csoumlkkenteacutese valamennyivel ekvivalens azzal hogy a neki megfelelő
kupacboacutel ugyanennyi elemet elveszuumlnk Maacuter csak azt kell belaacutetnunk hogy az eljaacuteraacutes
soraacuten valoacuteban az egyik kupac elemszaacutemaacutet csoumlkkentettuumlk (nem noumlveltuumlk) tehaacutet leacutetezik
ilyen leacutepeacutes Ezt nem neheacutez meggondolni mert a legnagyobb helyieacuterteacuteken aacutelloacute 1-est 0-
ra csereacuteltuumlk ndash legyen ez a 2k helyieacuterteacutek ndash eacutes moumlgoumltte a vaacuteltoztataacutesok utaacuten legfeljebb k
-1 darab 1-es aacutellhat melyek eacuterteacuteke tiacutezes szaacutemrendszerben legfeljebb 1 + 2 + 4 + 8 +
+ 2k-1 = 2kndash1 ami biztosan kisebb az előző szaacutemnaacutel Tehaacutet a leiacutert leacutepeacutesek soraacuten valoacuteban
csoumlkkentettuumlk a kupacok meacutereteacutet
Ezt a bizonyiacutetaacutest egeacutesz egyszerűen aacutet lehet gondolni az előzőek alapjaacuten Laacutettuk hogy
a jaacuteteacutek leacutepeacuteseit hogyan tudjuk maacuteskeacutepp leiacuterni elveacutegezni A levezeteacutesből laacutetszik az
hogy 0 nim-oumlsszegből uacutejabb 0 nim-oumlsszegű aacutellaacutest nem tudunk eleacuterni
a1 a2 hellip an = 0 eseteacuten semelyik oszlopban sem lesz paacuteratlan szaacutemuacute 1-es amit
megcsereacutelve joacutel jaacuternaacutenk viszont egy sorban legalaacutebb egy szaacutemot ki kell csereacutelnuumlnk
mert leacutepni muszaacutej Tehaacutet lesz olyan oszlop a leacutepeacutesuumlnk utaacuten melyben paacuteratlan szaacutemuacute
1-es fog aacutellni iacutegy az oumlsszegben is legalaacutebb egy 1-es szerepelni fog
16
Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő
jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege
a1 a2 hellip an ne 0
Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző
teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire
a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet
uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig
fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb
Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud
leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok
Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy
leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is
oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot
jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti
Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti
egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot
Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor
jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen
oumlsszegjaacuteteacutek
sum 119869119894
119899
119868=0
ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet
kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)
Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege
is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek
17
Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg
azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat
Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban
van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz
Bizonyiacutetaacutes
Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva
a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az
bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha
ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik
jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat
b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik
jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő
jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja
szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az
oumlsszeguumlket is
Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala
kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha
első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer
Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg
hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk
az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes
kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű
paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri
a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot
Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező
fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet
18
4 Fejezet Grundy-szaacutemok
A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy
szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni
Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges
jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely
aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az
aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely
adta lehetőseacutegek koumlzuumll
Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű
jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel
1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az
ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel
ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat
leacutepeacuteseket) ismeruumlnk
2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal
leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket
tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek
3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul
annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok
hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak
A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban
nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni
Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia
megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a
toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező
fogalomra
19
Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb
nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt
Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)
Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot
az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de
roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van
Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs
raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden
raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb
kizaacutertja
Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema
Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben
semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute
aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan
raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne
ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb
kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli
raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten
nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute
veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol
minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak
Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok
ciklusmentesseacutegeacutenek
Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema
2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese
3 A [2] cikk alapjaacuten
20
Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos
Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek
Grundy-szaacutemai
Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb
nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-
szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i
a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak
egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk
ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy
G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema
G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be
hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes
felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem
maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1
Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok
illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az
alaacutebbiak
1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0
2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0
3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0
Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja
ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0
Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben
van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek
koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal
vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)
tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel
4 [2] cikk alapjaacuten
21
leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben
megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet
Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud
mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy
ő nyeri a jaacuteteacutekot
Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-
szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)
Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0
Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn
direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)
Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti
indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes
aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)
valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra
maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb
a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel
Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)
raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy
minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy
a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat
oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek
vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden
A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban
oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom
22
5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute
jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok
hasznaacutelata
5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai
Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő
egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti
darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok
Grundy-szaacutemai
Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-
szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő
Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen
innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk
= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz
vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet
el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan
ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute
Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)
vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet
Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent
meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes
strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait
Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem
Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik
ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a
koumlvetkező
5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy
bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek
Grundy-szaacutemaival
23
10 Jaacuteteacutek (Dawsonrsquos Chess) Adott egy 1x n-es teacuteglalap melynek neacutegyzeteibe a jaacuteteacutekosok
felvaacuteltva X-et raknak uacutegy hogy az X jellel ellaacutetott cellaacutek szomszeacutedosak nem lehetnek vagyis
egy X melletti neacutegyzetbe maacutesik X nem keruumllhet Az nyer aki az utolsoacute jelet rakja
Ha jobban meggondoljuk a keacutet jaacuteteacutek megfelel egymaacutesnak Annyi a kuumlloumlnbseacuteg hogy az
itteni neacutegyzetek ott a 2x2-es neacutegyzetek felező vonalainak felelnek meg eacutes az itteni vaacutelasztoacute
raacutecsvonalak pedig a sziacutenezős jaacuteteacutek neacutegyzeteivel egyeznek meg Neacutezzuumlk az alaacutebbi 5 1 aacutebraacuten
szemleacuteltetett peacuteldaacutet
Dawsonrsquos Chess taacutebla egy lehetseacuteges veacutegaacutellaacutessal
A 2 jaacuteteacutek ugyanazt jelentő veacutegső aacutellaacutesa
51 aacutebra
Joacutel laacutethatoacute hogy a 2 jaacuteteacutekban a 2x2-es neacutegyzetek hataacutervonalai eacutepp a Dawsonrsquos Chess-
beli bdquotiltott mezőknekrdquo felelnek meg - amikben nem keruumllhet X jel mert szomszeacutedjukban
maacuter szerepel - mert egy ilyen hataacutervonalra nem eshet maacutesik 2x2-es neacutegyzet felezővonala
hisz akkor a neacutegyzetek takarnaacutek egymaacutest
Feacuteny deruumllt arra6 hogy ennek a jaacuteteacuteknak a Grundy-szaacutemaiboacutel aacutelloacute sorozat 34-es
periodicitaacutesuacute de az elejeacuten van heacutet kiveacutetel a 0 14 16 17 31 34 eacutes 51 helyen aacutelloacute szaacutemok
tekinteteacuteben Utaacutena beaacutell a valoacutedi periodicitaacutes Azok az aacutellaacutesok eacuterdekesek szaacutemunkra a
nyerő strateacutegia kutataacutesa kapcsaacuten melyek Grundy-szaacutema 0 mert ezek a vesztes aacutellaacutesok
Tehaacutet vesztes aacutellaacutesok az elejeacutetől kezdve 1 5 9 15 21 25 29 35 neacutegyzetet tartalmazoacute
kezdőaacutellaacutesok majd az 1 a 15 eacutes 35 kiveacuteteleacutevel ezek k ∙ 34-gyel vett oumlsszegei is vesztő
aacutellaacutesok lesznek a periodicitaacutes miatt
5 2 Jaacuteteacutekok korongokkal
A koumlvetkező jaacuteteacutek a [4] koumlnyvből szaacutermazik
6 Szinteacuten a httpsoeisorg weboldal hasznaacutelataacuteval
X X
24
5 Jaacuteteacutek Egy asztalon sorba 10 korong van lerakva melyeknek egyik oldala feheacuter maacutesik
fekete sziacutenű Ketten jaacutetszanak A soron koumlvetkező mindig kivaacutelaszt egy fekete oldalaacuteval
felfeleacute fekvő korongot majd azt eacutes az oumlsszes tőle jobbra leacutevőt aacutetfordiacutetja a maacutesik oldalaacutera
Akkor van veacutege a jaacuteteacuteknak ha mindegyik korongnak a feheacuter oldala van feluumll Az veszt aki
nem tud toumlbbet leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes hogyan tud győzni
A jaacuteteacutek kimenetele eacutes nyertese fuumlgg a kiindulaacutesi helyzettől Tekintsuumlk az alaacutebbi konkreacutet
kezdőaacutellaacutest (5 2 aacutebra)
5 2 aacutebra
A nyertes strateacutegia nem bonyolult sőt eleacuteg keacutezenfekvő ha belegondolunk tudniillik a
veacutegeredmeacuteny egyaacuteltalaacuten nem a jaacuteteacutekosok leacutepeacutesein muacutelik hanem csupaacuten az utolsoacute korong
sziacuteneacutetől fuumlgg Ugyanis egy korong az utolsoacute helyen aacutelloacute biztosan megfordul minden
leacutepeacutesben Ez leacutepeacutesenkeacutent vaacuteltakozva hol feheacuter hol fekete oldalaacuteval lesz feluumll miacuteg ki nem
alakul a veacutegső nyertes ndash oumlsszes feheacuter ndash aacutellaacutes Ha peacuteldaacuteul kezdetben fekete az utolsoacute
korong akkor az mindig a kezdő jaacuteteacutekos forgataacutesai nyomaacuten fog a feheacuter oldalaacuteval felfeleacute
keruumllni A jaacuteteacutek egyszer veacuteget eacuter eacutes tudjuk hogy az utolsoacute leacutepeacutes a kezdő jaacuteteacutekoseacute lesz
tehaacutet ő nyer Ellenkező esetben - ha a kezdő aacutellapotban feheacuter az utolsoacute korong - a maacutesodik
jaacuteteacutekoseacute a győzelem Tehaacutet teljesen mindegy haacuteny koronggal jaacutetszunk a győztest mindig
a sorban elhelyezett utolsoacute korong sziacutene fogja elaacuterulni Ha az a fekete oldalaacuteval felfeleacute
fekszik akkor a kezdő ha feheacuter sziacutene laacutetszik akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos nyer Iacutegy a fenti
jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
Ha feladatban moacutedosiacutetjuk kicsit a szabaacutelyokat akkor a megoldaacutes is bonyoloacutedik eacutes itt
maacuter fel kell hasznaacutelnunk a Grundy-szaacutemokat illetve a nim-oumlsszeget A koumlvetkező feladat
eacutes megoldaacutesi oumltlete [2] forraacutesboacutel szaacutermazik
6 Jaacuteteacutek Legyen ismeacutet 10 darab korongunk az asztalra sorba lehelyezve A jaacuteteacutekosok
keacutetfeacutele leacutepeacutest hajthatnak veacutegre vagy megfordiacutetanak egy fekete oldalaacuteval felfeleacute fekvő
korongot vagy keacutet korongot fordiacutetanak meg melyek koumlzuumll a jobbraacutebb levő fekte Az vesziacutet
aki nem tud toumlbbet leacutepni
25
A megoldaacutes veacutegett szaacutemozzuk meg a korongokat balroacutel jobbra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 3 aacutebra
Aacutelliacutetaacutes A 6 jaacuteteacutek egy aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema eacutepp a fekete sziacutenű korongok sorszaacutemaacutenak
nim-oumlsszege
Bizonyiacutetaacutes Alkossunk ebből a jaacuteteacutekboacutel Nim-jaacuteteacutekot a koumlvetkező keacuteppen Ha az i-edik
korong sziacutene fekete akkor tekintsuumlnk egy ekkora elemszaacutemuacute kupacot a Nim-jaacuteteacutekban ha
feheacuter sziacutenű egy korong akkor nincs ilyen kupacunk Ezzel egy szokaacutesos Nim-jaacuteteacutekot
kapunk Azeacutert tehetjuumlk meg ezt mert a leacutepeacutesek eacutepp ugyanazt eredmeacutenyezik mindkeacutet
jaacuteteacutekban amennyiben megfordiacutetunk egy fekete korongot az annak felel meg ha nim-
jaacuteteacutekban azt a kupacot teljes egeacuteszeacuteben elvesszuumlk eacutes megszűnik Ha egy feheacuter eacutes egy
fekete korongot fordiacutetunk meg melyek koumlzuumll a fekete a jobb oldali akkor azzal
egyeneacuterteacutekű mintha a nim-jaacuteteacutekban bizonyos szaacutemuacute kavicsot elvettuumlnk volna az addigi
kupacboacutel uacutegy hogy a feketeacutere fordiacutetott korong sorszaacutemaacutenak megfelelő kupacmeacuteretet
eacutertuumlnk el (Mert a bal oldali korong sorszaacutema kisebb eacutes iacutegy kisebb elemszaacutemuacute kupacot is
jelent) Tekintsuumlnk erre magyaraacutezatul egy peacuteldaacutet (5 4 aacutebra)
1 2 3
5 4 aacutebra
Ebben a kis jaacuteteacutekban illusztraacuteljuk a korongforgataacutesi leacutepeacutesek eacutes a Nim-jaacuteteacutek kapcsolataacutet
Tekintsuumlk ennek mintaacutejaacutera a 2 eacutes 3 elmeszaacutemuacute kupacokkal jaacutetszott Nim-jaacuteteacutekot
Vilaacutegosan laacutetszik hogy ha megfordiacutetjuk peacuteldaacuteul a 2 szaacutemuacute fekete sziacutenű korongot eacutes iacutegy
az feheacuter lesz akkor ez a leacutepeacutes megegyezik azzal hogy a Nim-jaacuteteacutekban egy leacutepeacutessel
eltuumlntetjuumlk a 2 elemű kupacot Keacutet szabaacutelyos helyzetű korong megfordiacutetaacutesaacuteval ndash legyenek
26
most ezek az 1 eacutes 2 szaacutemuacuteak ndash az 55-oumls aacutebraacuten laacutethatoacute aacutellaacutes joumln leacutetre ami ekvivalens a
Nim-jaacuteteacutek azon leacutepeacuteseacutevel hogy a 2 elemű kupacboacutel 1 kavicsot elveszuumlnk
1 2 3
5 5 aacutebra
Keacutet fekete korong megfordiacutetaacutesa keacutet kupac teljes elveacuteteleacutet jelenteneacute a Nimben ami ilyen
formaacuteban nem szabaacutelyos Azonban ha jobban meggondoljuk ez a leacutepeacutes jelentheti azt
hogy a nagyobb meacuteretű kupacboacutel elveszuumlnk annyi kavicsot hogy az egyenlő legyen a
kisebb elemszaacutemaacuteval mert a nim-oumlsszeadaacutes miatt keacutet azonos meacuteretű kupac nem
befolyaacutesolja az egeacutesz jaacuteteacutek Grundy-szaacutemaacutet azaz a keacutet kupac kiegyenliacuteteacuteseacutevel illetve
teljes elveacuteteluumlkkel kapott Nim-aacutellaacutesok Grundy-szaacutemai megegyeznek
Az 5 3 aacutebra alapjaacuten kialakult aacutellaacutes Grundy-szaacutema tehaacutet 3 10 = 10 A jaacuteteacutek
vesztő aacutellaacutesainak Grundy-szaacutema 0 azaz ha ilyen aacutellaacutesroacutel indul valaki az nem tud nyerni
Ebből a poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacutet keacutepezni csak a 10 elemű kupac teljes elveacuteteleacutevel
lehetseacuteges Tehaacutet a 10-es szaacutemuacute fekete korongot kell megfordiacutetani előszoumlr a
győzelemhez
5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
A most koumlvetkező haacuterom jaacuteteacutekkal a [2] cikkben talaacutelkoztam
7 Jaacuteteacutek (Rim-jaacuteteacutek) Adott neacutehaacuteny kupac kavics A kupacok egyikeacuteből elvehető
akaacutermennyi kavics de csak uacutegy hogy az elvett elemek szaacutema relatiacutev priacutem legyen az elveacutetel
előtti mennyiseacuteghez
Ez a jaacuteteacutek toumlbb egykupacos uacuten bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacuteknak oumlsszege A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek
egy n darab taacutergyat (kavicsot) tartalmazoacute kupacroacutel szoacutel amelyből k elemet vehetuumlnk el
ha k eacutes n relatiacutev priacutemek Ebből koumlvetkezik hogy 1-et mindig elvehetuumlnk az oumlsszes elemet
azonban sosem (mert n oumlnmagaacuteval nem relatiacutev priacutem) kiveacuteve ha 1 darab marad a
kupacban
Jeloumlljuumlk itt az i elemszaacutemuacute Rim-kupacok Grundy-szaacutemaacutet G(Ri)-vel Az első eacutes maacutesodik
Grundy-szaacutem koumlnnyen megmondhatoacute G0 = 0 eacutes G1 = mex (G0) = 1 Ha keacutet elemet
27
tartalmaz a kiindulaacutesi kupac akkor a szabaacutelynak megfelelően az egyetlen lehetőseacuteg 1
kavics elveacutetele ezeacutert G(R2) = mex (1) = 0 Haacuteromelemű kezdőkupacboacutel 1 eacutes 2 elemet is
elvehetuumlnk iacutegy kapjuk hogy G(R3) = mex (G(R1) G(R2) ) = mex (1 0) = 2 Neacutegy elem
eseteacuten G4 = mex (G1 G3) = 0 Hasonloacutean G5 = mex (G(R1) G(R2) G(R3) G(R4)) =
= mex (1 2 0 2) = 3 eacutes iacutegy tovaacutebb A koumlvetkező teacutetelben meghataacuterozzuk aacuteltalaacutenossaacutegban
G(Rn)-et
Teacutetel A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutekban minden paacuteros n elemszaacutemuacute kupacra G(Rn) = 0 valamint
n paacuteratlan elemszaacutem eseteacuten G(Rn) = k ha n legkisebb priacutemosztoacuteja a k-adik priacutemszaacutem (Az
első priacutemszaacutem a 2 maacutesodik a 3 stb)
Bizonyiacutetaacutes n-re vonatkozoacute teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk
a) ha n paacuteros Semelyik esetben sem lehet az egeacutesz kupacot elvenni kiveacuteve ha 1 kavics
marad a kupacban Laacutettuk hogy G(R0) = G2 = 0 Legyen n paacuteros Tegyuumlk fel hogy
minden n-neacutel nem nagyobb paacuteros k szaacutemra G(Rk) = 0 Laacutessuk be ezt (n+2)-re is Mivel
egy paacuteros szaacutem semelyik maacutesik paacuteros szaacutemmal sem relatiacutev priacutem ezeacutert paacuteros darab
kavicsot nem vehetuumlnk el a kupacboacutel ennek okaacuten uacutejabb paacuteros elemszaacutemuacute aacutellaacutes sem
joumlhet leacutetre Paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac ugyan lehet (n+2) kiszomszeacutedja de annak
Grundy-szaacutema biztosan nem 0 mert 1 kavicsot baacutermelyik aacutellaacutesboacutel elvehetuumlnk iacutegy lesz
a paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt n-neacutel nem nagyobb paacuteros elemszaacutemuacute
kupac aminek Grundy-szaacutema 0 Tehaacutet (n+2) elemet tartalmazoacute kupac raacutekoumlvetkezői
koumlzoumltt nem lesz 0 Grundy-szaacutemuacute iacutegy azok legkisebb kizaacutertja eacutepp a 0
b) ha n paacuteratlan Tudjuk hogy G1 = 1 eacutes azt is laacutettuk hogy G3 = 2 Itt is teljes indukcioacutet
hasznaacutelunk Tegyuumlk fel hogy igaz a fenti aacutelliacutetaacutes minden paacuteratlan n-re Bizonyiacutetsuk be
hogy ez az n+2 paacuteratlan szaacutemra is oumlroumlklődik Legyen n+2 legkisebb priacutemosztoacuteja p eacutes
annak sorszaacutema k Ahhoz hogy belaacutessuk hogy Gn+2 = k keacutet dologra van szuumlkseacuteg
1) Minden k-naacutel kisebb szaacutem előfordul az n+2 elemszaacutemuacute aacutellaacutes valamely
kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutemakeacutent
2) Az n+2 elemű kupac egyik kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutema sem k
1) igazolaacutesa 1-et eacutes n+1-et mindig leacutephetuumlnk tehaacutet 1 eacutes 0 Grundy-szaacutemuacute
raacutekoumlvetkezője minden aacutellaacutesnak van Legyen q egy tetszőleges p-neacutel kisebb priacutem ndash
ennek sorszaacutema k-naacutel kisebb eacutes az indukcioacute szerint a q elemű aacutellaacutes Grundy-szaacutema eacutepp
a q sorszaacutema Ekkor meg kell mutatnunk hogy n+2ndashből aminek legkisebb
priacutemosztoacuteja p a q elemszaacutemuacute kupacba leacutepeacutes szabaacutelyos Ez azeacutert igaz mert a
28
jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek
nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek
elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash
hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert
kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute
kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes
2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m
elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb
priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt
k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek
A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő
strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk
8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad
kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja
legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is
elvehetjuumlk)
Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő
tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz
melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk
Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean
G(Di)
Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1
Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva
laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek
bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1
29
1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i
2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan
1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute
kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute
kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei
azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet
elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =
21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i
2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet
eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n
raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l
paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1
Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban
ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra
G(Da) = 0 + 1 = 1
Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek
9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az
egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a
Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya
szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)
Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg
Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal
Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon
mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)
= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet
a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5
kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre
30
11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik
kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az
nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi
Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-
ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet
Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik
jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem
hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy
speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok
bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A
Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő
nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk
valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval
deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek
a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)
stb kupacmeacuteretek
Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt
de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt
5 4 Fibonacci-nim
A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik
13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el
kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve
utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint
amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben
Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz
szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa
előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban
31
Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat
i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2
Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a
koumlvetkező taacuteblaacutezat
Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok
Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő
Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok
oumlsszegeacutere
Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899
Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel
hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga
Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem
akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-
szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert
119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa
kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem
Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele
keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen
Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip
Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel
minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok
legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot
vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)
7 [1] alapjaacuten
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
4
1 Fejezet Alapfogalmak definiacutecioacutek
A jaacuteteacutekok elemzeacutese soraacuten mindenkeacutepp szuumlkseacuteges hogy felaacutelliacutetsunk bizonyos
szabaacutelyokat eacutes megnevezzuumlnk fogalmakat tulajdonsaacutegokat
A dolgozatban bemutatott jaacuteteacutekok mindegyike keacutetszemeacutelyes jaacuteteacutek amelyekben keacutet
jaacuteteacutekos felvaacuteltott sorrendben keruumll jaacuteteacuteklehetőseacuteghez Aacuteltalaacuteban kezdő vagy első illetve
maacutesodik jaacuteteacutekos neacuteven emliacutetem őket
Az oumlsszes jaacuteteacutek soraacuten felteacutetelezzuumlk hogy mindkeacutet jaacuteteacutekos a legjobb tudaacutesa alapjaacuten
jaacutetszik eacutes mindig a szaacutemukra lehető legjobb leacutepeacutest teszik meg (nem rontanak) Ez azt
jelenti hogy ha keacutesőbbiekben az fog szerepelni hogy az egyik jaacuteteacutekos nem nyerhet egy
jaacuteteacutekban azt uacutegy kell eacuterteni hogy a maacutesik tud uacutegy jaacutetszani hogy nyerjen (eacutes uacutegy is fog
jaacutetszani hogy nyerjen)
Tipikusan diszkreacutet jaacuteteacutekokroacutel foguk foglalkozni melyeknek tulajdonsaacutega hogy
kuumlloumlnboumlző joacutel elhataacuterolt aacutellapotok aacutellaacutesok vannak bennuumlk Tehaacutet a jaacuteteacutek aacutellaacutesainak
tekintjuumlk az oumlsszes előfordulhatoacute egymaacutestoacutel joacutel elkuumlloumlniacutethető aacutellapotokat
Definiacutecioacute (leacutepeacutes) A matematikai jaacuteteacutekok soraacuten leacutepeacutesnek nevezzuumlk az aacutellaacutesboacutel aacutellaacutesba
valoacute aacutetmenetet amit mindig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos vaacutelaszt meg a jaacuteteacutekszabaacutelynak
megfelelő lehetőseacutegek koumlzuumll eacutes amely egyeacutertelműen leiacuterhatoacute egy aacutellaacutespaacuterral ami
tartalmazza a kiindulaacutesi eacutes eacuterkezeacutesi aacutellaacutest
Szuumlkseacuteguumlnk lesz vesztes eacutes nyerő aacutellaacutesok fogalmaacutera is melyeket a soron koumlvetkező
jaacuteteacutekos szempontjaacuteboacutel nevezuumlnk el
Definiacutecioacute (vesztes nyerő aacutellaacutes) Nevezzuumlk a tovaacutebbiakban a jaacuteteacutek vesztes aacutellaacutesainak
(vagy poziacutecioacuteinak helyzeteinek) azokat az aacutellaacutesokat melyekből indulva a soron koumlvetkező
jaacuteteacutekos semmikeacuteppen sem tudja megnyerni a jaacuteteacutekot azaz vesziacutet Maacutes esetben ha egy
aacutellaacutesboacutel indulva lehetőseacuteg van nyereacutesre nyerő aacutellaacutesroacutel beszeacuteluumlnk
Ezek alapjaacuten a vesztes aacutellaacutesok pontosabban azok előaacutelliacutetaacutesa lesz a nyerő jaacuteteacutekos szaacutemaacutera
kedvező eacutes fontos A jaacuteteacutekokban olyan strateacutegiaacutekat kell kidolgoznunk amelyek soraacuten az
ellenfeacutel vesztes aacutellaacutesboacutel nem tud uacutejabb vesztes aacutellaacutesra leacutepni miacuteg a kialakult nyerőből
mindig tudunk vesztes aacutellaacutest leacutetrehozni Ezeket fogjuk a tovaacutebbiakban nyerő
strateacutegiaacuteknak nevezni
5
Definiacutecioacute (nyerő strateacutegia) Nyerő strateacutegia alatt olyan strateacutegiaacutet eacutertuumlnk melyet
alkalmazva az ellenfeacuteljaacuteteacutekos tetszőleges strateacutegiaacuteja ellen garantaacuteltan nyerni tudunk
Megjegyzeacutes Ha egy jaacuteteacutekosnak leacutetezik nyerő strateacutegiaacuteja akkor az megegyezik azzal
hogy meg is nyeri a jaacuteteacutekot Eacutepp ezt jelenti a fent leiacutert bdquonem rontrdquo felteacutetelezeacuteseacutenek elve
Az eddigi fogalmak biztos elsajaacutetiacutetaacutesa eacutes ellenőrzeacuteseacutere eacuterdekeacuteben tekintsuumlk az alaacutebbi
jaacuteteacutekot1
0 Jaacuteteacutek Egy 10 x 8-as taacutebla jobb felső sarkaacuteban aacutell egy kiraacutelynő amellyel lefeleacute balra
vagy aacutetloacutesan balra leacutephetnek (akaacutermennyit) a jaacuteteacutekosok Az nyer aki a bal alsoacute sarokba
helyezi a kiraacutelynőt Ki nyer milyen strateacutegiaacuteval
Jeloumlljuumlk az 11-es aacutebra szerint a jaacuteteacutektaacuteblaacuten bdquo+rdquo jellel a nyerő aacutellaacutesokat vagyis azokat a
mezőket ahonnan indulva a soron koumlvetkező jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes bdquoVrdquo
betűvel a vesztes aacutellaacutesokat amelyekről indulva a kezdő nem nyerhet
11 aacutebra
Ez joacute peacutelda arra hogy rekurziacutev moacutedon minden mezőről megaacutellapiacutethatoacute hogy nyerő vagy
vesztő aacutellaacutes-e A bal alsoacute mező vesztő mert onnan nincs toumlbb leacutepeacutesi lehetőseacuteg Azok a
mezők melyekről erre koumlzvetlenuumll raacute tudunk leacutepni nyertes aacutellaacutesok lesznek Mindkeacutet
jaacuteteacutekos ceacutelja hogy vesztő mezőre leacutepjen a baacutebuval hiszen onnan ellenfele akaacuterhova is
leacutep a koumlvetkező koumlrben uacutejabb vesztő helyre tudja tenni a kiraacutelynőt eacutes iacutegy tovaacutebb Joacutel
laacutethatoacute hogy ebben a jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja raacuteadaacutesul keacutet
vesztő mezőre is leacutephet kezdeacuteskeacutepp
1 Az [5] szaacutemuacute Elemi matematika feladatgyűjtemeacutenyből szaacutermazoacute peacutelda alapjaacuten
8 + + + + V + + + + + 7 + + + + + + + + + + 6 + + + V + + + + + + 5 + + + + + + + V + + 4 + + + + + V + + + + 3 + V + + + + + + + + 2 + + V + + + + + + + 1 V + + + + + + + + +
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6
Az aacutellaacutesok eacutes szabaacutelyos leacutepeacutesek oumlsszefoglalhatoacuteak egy fogalommal megmutatjuk
hogyan
Definiacutecioacute (egyszerű graacutef) Vegyuumlnk keacutet diszjunkt halmazt jeloumllje ezeket V eacutes E ahol V
nemuumlres Legyen E a V-beli elemekből keacutepezhető keacutetelemű reacuteszhalmazoknak egy halmaza
Ekkor a G = (V E) rendezett paacutert (egyszerű) graacutefnak nevezzuumlk melyben V elemei a
csuacutecsok E elemei az eacutelek
Definiacutecioacute (iraacutenyiacutetott graacutef) Iraacutenyiacutetott egyszerű graacutefroacutel beszeacuteluumlnk ha a fenti graacutef
definiacutecioacutejaacuteban E a V-beli elemekből keacutepezhető rendezett paacuteroknak egy halmaza
Megjegyzeacutes A tovaacutebbiakban ha (iraacutenyiacutetott) graacutefot emliacutetuumlnk mindig egyszerű
(iraacutenyiacutetott) graacutefra gondolunk
Definiacutecioacute (aacutellapotgraacutef) A jaacuteteacutek aacutellapotgraacutefjaacutenak nevezzuumlk azt speciaacutelis iraacutenyiacutetott graacutefot
melyben a jaacuteteacutek aacutellaacutesai a graacutef csuacutecsainak a lehetseacuteges leacutepeacutesek a graacutef eacuteleinek felelnek
meg
A koumlnnyebb eacuterthetőseacuteg eacutes az egyeacutertelmű leiacuteraacutesok eacuterdekeacuteben bevezetuumlnk egy keacutesőbb sokat
hasznaacutelt fogalmat
Definiacutecioacute (raacutekoumlvetkező) Egy X aacutellaacutes raacutekoumlvetkezője az Y aacutellaacutes ha X-ből koumlzvetlenuumll (egy
leacutepeacutessel) el tudunk jutni Y-ba azaz ha az aacutellapotgraacutefban (X Y) eacutel (maacutes szoacuteval az X-nek
kiszomszeacutedja az Y)
Definiacutecioacute (veacuteges jaacuteteacutek) Veacuteges jaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha aacutellapotgraacutefjaacuteban minden csuacutecshoz
tartozik egy nemnegatiacutev egeacutesz szaacutem uacutegy hogy azok minden kiszomszeacutedjaacutehoz rendelt szaacutem
kisebb az oumlveacuteneacutel (pl a haacutetraleacutevő leacutepeacutesek maximaacutelis szaacutema) Ezt a szaacutemot nevezzuumlk az
aacutellaacutes szintjeacutenek
Ez alapjaacuten tegyuumlk fel hogy az aacutellapotgraacutef csuacutecsai szaacutemozva vannak Ekkor az aacutellaacutesok
szintjei a leacutepeacutesek soraacuten szigoruacutean monoton csoumlkkennek
Koumlvetkezmeacuteny Veacuteges jaacuteteacutek aacutellapotgraacutefja nem tartalmaz iraacutenyiacutetott koumlrt azaz aciklikus
Bizonyiacutetaacutes Ha tartalmazna koumlrt akkor lenne olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban ami toumlbbszoumlr is
előfordulhatna vagyis lenne olyan X1 X2 hellip Xk leacutepeacutessorozat ahol minden Xi+1 aacutellaacutes az
7
Xi aacutellaacutes raacutekoumlvetkezője eacutes Xk-nak kiszomszeacutedja X1 Azonban a veacuteges jaacuteteacutek definiacutecioacuteja
szerint egy aacutellaacutes raacutekoumlvetkezőjeacutenek a szintje kisebb mint az aacutellaacutes szintje ezeacutert Xk-nak nem
lehet X1 a raacutekoumlvetkezője mert akkor a hozzaacuterendelt szaacutem nagyobb keacutene legyen X1
szaacutemaacutenaacutel ami ellentmondaacutes
Definiacutecioacute Normaacutel jaacuteteacuteknak nevezzuumlk a tovaacutebbiakban azokat a jaacuteteacutekokat melyekben az a
jaacuteteacutekos vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni maacuteskeacutepp fogalmazva az nyer aki az utolsoacute leacutepeacutest
teszi
Megjegyzeacutes Aacuteltalaacuteban a dolgozatban hozott jaacuteteacutekok ilyen normaacutel jaacuteteacutekok
8
2 Fejezet Kezdő feladatok
Dolgozatom elejeacuten szeretneacutek bemutatni egy-keacutet toumlbbnyire szeacuteles koumlrben elterjedt
egyszerűbb matematikai jaacuteteacutekot Mindegyik korosztaacutely szaacutemaacutera talaacutelhatoacute megfelelő
szintű eacutes neheacutezseacutegű feladat vagy jaacuteteacutek amivel felkelthető a gyerekek eacuterdeklődeacutese Meg
lehet mutatni nekik hogy a matematikaacutenak van ilyen szoacuterakoztatoacute reacutesze is Persze az
lenne a legjobb ha ezekben tudnaacutek alkalmazni eacutes kamatoztatni a koraacutebban tanultakat
1 1 Lepakoloacutes jaacuteteacutek
1 jaacuteteacutek Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez korongokat egy asztalra Az vesziacutet aki nem tud uacutegy
toumlbb korongot elhelyezni az asztalon hogy az ne fedjen egy maacuter lent fekvőt Kinek van
nyerő strateacutegiaacuteja
Ez a jaacuteteacutek toumlbb tankoumlnyvben is szerepel Tapasztalataim szerint ez inkaacutebb elvi
gondolati jaacuteteacutek mert a gyakorlatba nehezen kivitelezhető A korongok vagy eacutermeacutek (hol
mi szerepel) koumlnnyen egymaacutesra csuacuteszhatnak vagy nem mindig egyeacutertelmű a helyzetuumlk
Mindemellett a jaacuteteacutek megoldaacutesa pofonegyszerű a gyerekek is hamar raacutejoumlhetnek Arra az
eredmeacutenyre jutunk hogy mindig az első jaacuteteacutekos nyer A joacute strateacutegia pedig az ha előszoumlr
koumlzeacutepre tesszuumlk a kezdő korongot (minden esetben van ilyen ha kerek az asztal ha
szoumlgletes leacutenyeg hogy az koumlzeacuteppontosan szimmetrikus legyen) eacutes a koumlvetkezőkben
mindig az ellenfeacutel leacutepeacuteseacutenek koumlzeacuteppontos tuumlkoumlrkeacutepeacutet leacutepjuumlk Ezt a strateacutegiaacutet jaacutetszva a
kezdő jaacuteteacutekos nem tud veszteni hiszen ha van meacuteg hely a maacutesodik jaacuteteacutekos leacutepeacuteseacutenek
akkor biztosan szabad lehetőseacuteg annak keacutepe is
Eacuterdekesseacutegkeacutent vegyuumlk eacuteszre hogy ennek az asztalra pakoloacutes jaacuteteacuteknak veacutegtelen sok
aacutellapota leacutetezik hiszen veacutegtelen sok pontra helyezhető egy korong Meacutegis veacuteges jaacuteteacuteknak
tekinthetjuumlk mert a leacutepeacutesek soraacuten az asztal szabad teruumllete csoumlkken vagyis egyre csoumlkken
a megtehető leacutepeacutesek maximaacutelis szaacutema is miacuteg előbb-utoacutebb eljutunk abba az aacutellapotba
hogy toumlbb korong maacuter nem feacuter az asztalra
Ezzel egyuumltt megproacutebaacutelhatjuk az eredetit veacuteges aacutellapotszaacutemuacute jaacuteteacutekkaacute tenni ez az oumltlet
szakdolgozat iacuteraacutesa koumlzben meruumllt fel A jaacuteteacutekot gyakorlatban neacutegyzetraacutecsos papiacuteron
lehetne jaacutetszani
9
2 Jaacuteteacutek Adott egy (n x k)-as teacuteglalap alakuacute jaacuteteacutektaacutebla Keacutet jaacuteteacutekosnak uacutegy kell felvaacuteltva
(előre lefixaacutelt) egyforma meacuteretű neacutegyzeteket besziacuteneznie a taacuteblaacuten hogy azok ne takarjaacutek
egymaacutest Az vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni Keacuterdeacutes hogy melyik jaacuteteacutekos nyer
Csupa 1x1-es neacutegyzetek sziacutenezeacutese nem hoz laacutezba senki mert a győztes csak a jaacuteteacutektaacuteblaacutet
alkotoacute neacutegyzetek szaacutemaacutetoacutel fuumlgg ha paacuteros sok neacutegyzetből aacutella taacutebla a maacutesodik paacuteratlan
szaacutemuacute neacutegyzet eseteacuten az első szaacutemuacute jaacuteteacutekos nyer Vizsgaacuteljuk most a jaacuteteacutekot 2x2-es
neacutegyzetek sziacutenezeacutese eseteacuten Nem neheacutez felismerni hogy ha a jaacuteteacutektaacutebla (2k x 2k)-as
neacutegyzet vagy (2k x 2l)-es teacuteglalap alakuacute (tetszőleges k l N eseteacuten) akkor műkoumldik raacute
a fent taacutergyalt koumlzeacuteppontos szimmetriaacuten alapuloacute strateacutegia Azonban a toumlbbi esetben
((2k+1)x(2l+1)-es vagy (2k)x(2l+1)-es jaacuteteacutektaacuteblaacutenaacutel) ezt nem tudjuk kihasznaacutelni mert
nincs koumlzeacutepső neacutegyes amivel kezdhetneacutenk a sziacutenezeacutest Hogyan jaacutetsszunk ilyenkor Van-
e egyaacuteltalaacuten abszoluacutet nyertes Neacutezzuumlnk egy kisebb konkreacutet peacuteldaacutet
Aacutelliacutetaacutes (3x2k)-as taacuteblaacuten jaacutetszva az első jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy a paacuteros hosszuacute oldal felezőmerőlegese raacutecsvonalon
halad iacutegy kihasznaacutelhatjuk az erre a tengelyre valoacute szimmetriaacutet Kettő olyan (2x2)-es
neacutegyzet van melyen eme tengely aacutethalad de ezek koumlzuumll csak egy sziacutenezhető Ha a kezdő
elsőkeacutent az egyik ilyet sziacutenezi be akkor ellenfele tetszőleges leacutepeacuteseacutet tuumlkroumlzve a
tuumlkoumlrtengelyre oumlveacute lesz az utolsoacute leacutepeacutes
A 2xn-es jaacuteteacutektaacuteblaacuten valoacute jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera a keacutesőbbiekben majd meacuteg
visszateacuteruumlnk (ld 5 fejezet) A toumlbbi esetről nem lesz szoacute kiproacutebaacutelaacutesukat tudom ajaacutenlani
1 2 Foglaloacutes jaacuteteacutekok
Foglalkozzunk kicsit a foglaloacutes tiacutepusuacute jaacuteteacutekokkal Ezeket azeacutert szokaacutes iacutegy nevezni
mert adott jaacuteteacutektaacuteblaacuten jaacutetsszaacutek uacutegy hogy felvaacuteltva elfoglalnak egy-egy mezőt (tesznek raacute
egy-egy sajaacutet sziacutenű jelet) eacutes a jaacuteteacutek győztese az aki az előre kijeloumllt nyertes
mezőcsoportok valamelyikeacutet előszoumlr el tudja foglalni Ilyen foglaloacutes jaacuteteacutekra peacutelda a
mindenki aacuteltal joacutel ismert angol neveacuten Tic-tac-toe mely soraacuten a jaacuteteacutekosok egy 3x3-as
neacutegyzetbe a szokaacutesos X eacutes koumlr jeleket rakosgatjaacutek eacutes az nyer aki előszoumlr tudja haacuterom
egyforma jeleacutet egy vonalba helyezni (tehaacutet a haacuterom sor a haacuterom oszlop eacutes a keacutet aacutetloacute a
kijeloumllt nyertes mezőcsoportok) A foglaloacutes jaacuteteacutekok nem tekinthetőek normaacutel jaacuteteacutekoknak
10
mert kialakulhat doumlntetlen aacutellaacutes is amikor azeacutert nem tudnak toumlbbet leacutepni a jaacuteteacutekosok mert
a taacuteblaacuten a lehetőseacutegek elfogytak de senki sem nyert
Aacutelliacutetaacutes A foglaloacutes jaacuteteacutekokban a maacutesodik jaacuteteacutekos sosem nyerhet (Legfeljebb doumlntetlenre
vezető strateacutegiaacuteja lehet)
Bizonyiacutetaacutes Indirekte tegyuumlk fel hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja Ilyen
helyzetben a kezdő tudja alkalmazni a bdquostrateacutegialopaacutestrdquo Ez azt jelenti hogy a kezdő
jaacuteteacutekos leacutep valamit majd innentől uacutegy fogja fel a jaacuteteacutekot mintha csak most kezdődne eacutes
a maacutesodik jaacuteteacutekos nyerő strateacutegiaacuteja szerint jaacutetszik tovaacutebb Akkor meruumllhetne fel
probleacutema ha azt a mezőt keacutene elfoglalnia melyre az első leacutepeacuteskor leacutepett aacutem ez nem
gond mivel ezen maacuter az ő jele szerepel tehaacutet mi sem egyszerűbb baacuterhova maacuteshova tehet
Ezzel a moacutedszerrel az első jaacuteteacutekosnak nyernie kellene holott a maacutesodiknak van nyerő
strateacutegiaacuteja ellentmondaacutes
Gondoljuk meg a koumlvetkező konkreacutet foglaloacutes jaacuteteacutekot a nyerő strateacutegia szempontjaacuteboacutel
3 Jaacuteteacutek (Trihex) Az 11 aacutebra szerinti jaacuteteacutektaacuteblaacutera keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez egy piros
illetve egy keacutek korongot valamelyik meacuteg uumlres koumlrre Az győz akinek elsőkeacutent sikeruumll
haacuterom egysziacutenű korongot helyeznie a kilenc egyenes vonal valamelyikeacutere
11 Aacutebra A trihex jaacuteteacutek taacuteblaacuteja
Teacutetel A Trihex jaacuteteacutekban az I jaacuteteacutekos nyer
Bizonyiacutetaacutes A teacutetel bizonyiacutetaacutesaacuteban szuumlkseacuteguumlnk lesz keacutet fogalomra szabad egyeneseknek
nevezzuumlk azokat az egyeneseket melyeken egyetlen korong sincs eacutes egy jaacuteteacutekos szaacutemaacutera
feacutelszabad egyenes az az egyenes amelyen van az ő sziacuteneacutenek megfelelő sziacutenű korong de
mentes az ellenfele korongjaitoacutel A bizonyiacutetaacutes soraacuten kollineaacuterisnak nevezuumlnk haacuterom
mezőt ha azok a jaacuteteacutek taacuteblaacutejaacuten egyazon egyenesre illeszkednek
11
Az aacutebra uacutegy van megalkotva hogy minden egyenesen haacuterom uumlres koumlr szerepel ahova
a korongokat el kell helyezni tovaacutebbaacute minden ponton aacutet haacuterom egyenes megy aacutet
Megegyezeacutes alapjaacuten I jaacuteteacutekos hasznaacutelja a piros korongokat ellenfele a keacutekeket
Kezdőkeacutent az első leacutepeacutest mindenkeacutepp az egyik olyan mezőre tegyuumlk mely a nagy
haacuteromszoumlg oldalaacuten de nem a csuacutecsaacuten helyezkedik el Ellenfeluumlnk leacutepeacuteseacutetől fuumlggően keacutet
fajta aacutellaacutes joumlhet leacutetre amit kuumlloumln kell vizsgaacutelnunk
a) Ha II nem oldalpontra tesz akkor leacutepeacuteseacutet uacutegy kell koumlvetnuumlnk hogy a keacutet piros
korongunk egyazon feacutelszabad egyenesen legyen Ezutaacuten biztosan adoacutedni fog
legalaacutebb keacutet ilyen feacutelszabad egyenes Ezzel a leacutepeacutessel keacutenyszeriacutetettuumlk a maacutesodik
jaacuteteacutekost hogy keacutek korongjaacutet ezen egyenes harmadik mezőjeacutere helyezze hogy
megakadaacutelyozza a győzelmuumlnket Figyeljuumlnk raacute hogy a feacutelszabad egyenesek koumlzuumll
olyat eacutes annak olyan a pontjaacutet vaacutelasszuk melyen a harmadik ndash meacuteg uumlres hely ndash
nincs egy egyenesen a keacutek koronggal (ellenőrizhető hogy lesz ilyen) hogy ezzel
ne segiacutetsuumlk ellenfeluumlnket Ellenkező esetben megelőlegezzuumlk magunknak a
keacutenyszerhelyzetet Az ezutaacuteni koumlrben ndash a paacutelya sajaacutetossaacutegai miatt ndash lesz olyan
mező ami keacutet 1-1 piros korongot tartalmazoacute feacutelszabad egyenes metszeacutespontja
Foglaljuk el ezt a mezőt Innen koumlnnyen laacutethatoacute hogy megnyerjuumlk a jaacuteteacutekot
b) Maacutesodik eset ha ellenfeluumlnk egy maacutesik oldalpontra (de nem csuacutecsra) teszi keacutek
korongjaacutet Az oldalpontok tulajdonsaacutega hogy minden ponttal kollineaacuterisak csak
egymaacutessal nem Tegyuumlnk most a harmadik oldalpontra Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekos
akaacutermit leacutephet mi fogunk nyerni Ugyanis a keacutet piros sziacutenű oldalpontnak az oumlsszes
meacuteg szabad mezővel van koumlzoumls egyenese tehaacutet baacutermelyik pontra is leszuumlnk
keacutenytelenek tenni (ellenfeluumlnk győzelmeacutenek megakadaacutelyozaacutesa eacuterdekeacuteben) az
biztosan keacutet olyan feacutelszabad egyenesnek lesz metszeacutespontja ami tartalmaz 1-1
piros sziacutenű korongot Innen pedig egyeacutertelműen mi nyeruumlnk
12
3 Fejezet Kupacos jaacuteteacutekok
Koumlzkedvelt matematikai jaacuteteacutekok a kupacokba vagy halmokba rendezett taacutergyak
(kavicsok gyufaacutek korongok stb) alkotta jaacuteteacutekok melyekben kuumlloumlnboumlző szabaacutelyok
szerint szabad elvenni bizonyos szaacutemuacute elemet Ebben a fejezetben kupacokba rendezett
kavicsokroacutel lesz szoacute Tovaacutebbra is a joacute strateacutegia megtalaacutelaacutesa a ceacutel
3 1 Egyszerű egykupacos jaacuteteacutek
4 Jaacuteteacutek Egy kupacban 21 kavics van Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva 1 2 vagy 3
darabot vehetnek el Ez normaacutel jaacuteteacutek vagyis az nyer aki az utolsoacute(ka)t veszi el Kinek
van nyerő strateacutegiaacuteja
Visszafele gondolkodva aki előtt maacuter csak 3 vagy kevesebb korong lesz az meg tudja
nyerni a jaacuteteacutekot hiszen a legfeljebb 3 korongot elvehet Ez nyerő aacutellaacutes A 4 darab kavics
ugyanebből a megfontolaacutesboacutel vesztes aacutellaacutes hiszen akaacuterhaacuteny (1 2 vagy 3) darabot veszuumlnk
is el ellenfeluumlnk elveheti a maradeacutekot eacutes ezzel nyer Tovaacutebbgondolva minden 4∙k (k =
0 1hellip n) darab kavics vesztes aacutellaacutes mert abboacutel leacutepve az elemek szaacutemaacutenak neacuteggyel
oszthatoacutesaacutega nem megtarthatoacute tehaacutet vesztes aacutellaacutesboacutel vesztes aacutellaacutesba nem lehet leacutepni
viszont baacutermely maacutes esetből meg lehet jaacutetszani azokat Speciaacutelisan itt a vesztes aacutellaacutesok
4 8 12 16 20 db korong Ennek megfelelően 21 kavics eseteacuten a kezdő jaacuteteacutekosnak van
nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig előszoumlr 20-ra csoumlkkentve a kavicsok szaacutemaacutet
Eacuterdemes meggondolni ezt a feladatot aacuteltalaacutenosabban is
4 Jaacuteteacutek aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa Adott egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el 1-
től m darabig akaacuterhaacuteny kavicsot Az veszt aki nem tud leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja
eacutes mi az
Aacutelliacutetaacutes Ha m + 1 | n akkor a kezdő jaacuteteacutekos vesziacutet ellenkező esetben viszont neki van
nyerő strateacutegiaacuteja
Bizonyiacutetaacutes Ebben a jaacuteteacutekban biztosan az nyer akinek előszoumlr sikeruumll (m+1)-gyel
oszthatoacute elemszaacutemba leacutepni Ilyen helyzetből indulva baacuterhogyan is leacutepuumlnk nem tudunk
uacutejabb (m+1)-gyel oszthatoacutevaacute tenni a kupac meacutereteacutet miacuteg ellenfeluumlnk ndash akaacuterhogyan is
leacuteptuumlnk ndash a koumlvetkező koumlrben csoumlkkenteni tudja az elemszaacutemot uacutejabb (m+1)-gyel
oszthatoacutevaacute Vegyuumlk eacuteszre hogy a 0 veacutegső vesztes aacutellaacutes is oszthatoacute (m+1)-gyel Ezek
13
eacutertelmeacuteben minden (m + 1) ∙ k (k = 0hellipn) darab korong eseteacuten alakul ki vesztes aacutellaacutes
Tehaacutet aki ebből keacutenyszeruumll leacutepni az vesziacutet
Ha a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesakor a kupac meacutereteacutet osztja (m+1) akkor ugyanebből a
meggondolaacutesboacutel koumlvetkezik hogy a kezdő jaacuteteacutekos nem tud nyerni
Tovaacutebbra is kupacokkal eacutes azokboacutel aacutelloacute feladatokkal foglalkozunk A koumlvetkezőkben egy
aacuteltalaacutenosabb jaacuteteacutekcsoportroacutel lesz szoacute
3 2 Nim-jaacuteteacutek eacutes nim-oumlsszeadaacutes
A Nim-jaacuteteacutek Kiacutenaacuteboacutel szaacutermazoacute ma maacuter szeacuteles koumlrben ismert matematikai jaacuteteacutek A
menete a koumlvetkező
Nim-jaacuteteacutek adott n db kupac melyek rendre a1 a2 a3hellip an darab kavicsot tartalmaznak
Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva vesznek el akaacuterhaacuteny de legalaacutebb 1 kavicsot valamelyik
tetszőleges kupacboacutel Az nyer aki az utolsoacute kavicsot elveszi Keacuterdeacutes hogy kinek van nyerő
strateacutegiaacuteja
Ezek vagy az ehhez hasonloacute feladvaacutenyok megoldaacutesaacuteban segiacutetseacuteguumlnkre lesz egy uacutej
fogalom a bdquonim-oumlsszeadaacutesrdquo
Definiacutecioacute (nim-oumlsszeadaacutes) Vegyuumlk a nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemok halmazaacutet eacutes azon uacutegy
eacutertelmezzuumlk a nim-oumlsszeadaacutest hogy elemeit kettes szaacutemrendszerbeli alakjukban feliacuterva
adjuk oumlssze modulo 2 azaz nem toumlrődve az egyes helyieacuterteacutekeken adoacutedoacute maradeacutekokkal
Peacutelda 12 25 = 21 hiszen 11002 + 110012 = 101012
Vilaacutegosabbaacute vaacutelik a nim-oumlsszeadaacutes ha a szokaacutesos moacutedon egymaacutes alaacute iacuterva adjuk oumlssze
őket
11002
110012
101012
Ezt a definiacutecioacutet meggondolhatjuk maacuteskeacuteppen is
Definiacutecioacute Jeloumllje 119917120784 a keacutetelemű testet (azaz a modulo 2 szaacutemkoumlrt) eacutes legyen 119917120784infin ennek
veacutegtelen diszkreacutet direktszorzata vagyis az a veacutegtelen dimenzioacutes vektorteacuter amelyben olyan
14
0 eacutes 1 koordinaacutetaacutekat tartalmazoacute vektorok vannak melyekben csak veacuteges sok 1-es szaacutem
szerepel
Tekintsuumlk a koumlvetkező koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű megfelelteteacutest N eacutes 119917120784infin koumlzoumltt iacuterjunk
fel egy adott szaacutemot kettes szaacutemrendszerben de fordiacutetott sorrendben azaz jobbroacutel balra
Vegyuumlk azt a veacutegtelen hosszuacute vektort melynek az első koordinaacutetaacutei eacuteppen ennek a
szaacutemnak a bdquofordiacutetottrdquo kettes szaacutemrendszerbeli alakjaacutenak szaacutemjegyeivel egyezik meg
majd ezeket veacutegtelen sok nulla koumlveti Ez egy egyeacutertelmű megfelelteteacutest ad N eacutes 119917120784infin
elemei koumlzoumltt hiszen egy szaacutem egyetlen vektornak felel meg Azaz ha
119899 = sum 119886119894 ∙ 2119894infin119894=0 ahol 119886119894= 0 vagy 1 akkor az ennek megfelelő vektor (1198860 1198861 1198862 )
Teacutetel A nim-oumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot
Bizonyiacutetaacutes Tudjuk hogy a vektoroumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot Az előzőekben adott
egyeacutertelmű megfelelteteacutessel laacutethatoacute hogy az 119917120784infin-beli veacutegtelen hosszuacute vektorok
oumlsszeadaacutesa eacutes a nim-oumlsszeadaacutes ekvivalens művelet ezeacutert a nim-oumlsszeadaacutes is Aacutebel-
csoportot alkot
A nim-oumlsszeadaacutes tovaacutebbi tulajdonsaacutegai
1 Aacutelliacutetaacutes Minden a szaacutemra a a = 0
Bizonyiacutetaacutes Nem neheacutez meggondolni hogy ha a kettes szaacutemrendszerben keacutet azonos
szaacutemot adunk nim-oumlssze akkor mivel abban az 1-esek eacutes 0-k ugyanazon a helyieacuterteacuteken
aacutellnak az oumlsszeadaacutesukkor azok mind lenullaacutezoacutednak (1 + 1 = 0 + 0 = 0)
2 Aacutelliacutetaacutes Tetszőleges a eacutes b pozitiacutev egeacuteszekre teljesuumll 0 le a b le a + b
Ezt nem bizonyiacutetom de veacutegiggondolhatoacute
3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja
Az egykupacos Nim-jaacuteteacutek nagyon egyszerű nem is nevezhető jaacuteteacuteknak hiszen a kezdő
jaacuteteacutekos elsőre felmarkolhatja az egeacutesz kupacot eacutes veacutege a jaacuteteacuteknak Nem ilyen koumlnnyű
elsőre aacutetlaacutetni a toumlbb kupacos normaacutel Nim-jaacuteteacutekot
Vezessuumlk be a Nim(a1 a2hellip an) jeloumlleacutest arra az n kupacos Nim-jaacuteteacutekra ahol a1
a2hellip an a kuumlloumlnboumlző kupacok elemszaacutema
15
Teacutetel
1) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek kupacmeacutereteinek nim-oumlsszege a1 a2 hellip an ne 0
akkor biztosan leacutetezik olyan leacutepeacutes hogy a kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra
a1rsquo a2rsquohellip anrsquo = 0
2) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekban a1 a2 hellip an = 0 akkor baacutermely leacutepeacutes utaacuten a
kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra a nim-oumlsszeg a1rsquo a2rsquohellip anrsquo 0
Bizonyiacutetaacutes
1) Előszoumlr iacuterjuk fel egymaacutes alaacute a kupacok meacutereteacutet kettes szaacutemrendszerben eacutes adjuk oumlssze
őket nim szerint A ceacutelunk az hogy ezt a kapott oumlsszeget olyan moacutedon 0-ra tudjuk
vaacuteltoztatni ami megfeleltethető egy jaacuteteacutekbeli leacutepeacutessel Ehhez keressuumlk meg azt a
legnagyobb helyieacuterteacuteket (vagyis balroacutel az első olyan oszlopot) ahol paacuteratlan sok 1-es
szerepel - ugyanis ezen a helyieacuterteacuteken a nim-oumlsszegben is 1-es fog szerepelni - eacutes
vaacutelasszuk ki ebből az egyik 1-est legyen ez ai feliacuteraacutesaacuteban Most vaacuteltoztassuk meg ezt
az 1-est 0-ra eacutes ai ettől jobbra leacutevő binaacuteris szaacutemjegyeit is csereacuteljuumlk 1-esre vagy 0-ra
uacutegy hogy veacuteguumll az egeacutesz oumlsszeg 0-ra csoumlkkenjen (Ez megtehető eacutes ezt akkor eacuterjuumlk
el ha minden oszlopban paacuteros szaacutemuacute 1-es lesz) Ezzel a leacutepeacutessel aacuteteacutertuumlnk a Nim(a1rsquo
a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra ahol aj = aj kiveacuteve j = i-re eacutes ebben 0 a nim-oumlsszeg A
feliacuteraacutesban egy sor a jaacuteteacutekban egy kupac elemszaacutemaacutenak felel meg eacutes egy tetszőleges
sort alkotoacute szaacutem csoumlkkenteacutese valamennyivel ekvivalens azzal hogy a neki megfelelő
kupacboacutel ugyanennyi elemet elveszuumlnk Maacuter csak azt kell belaacutetnunk hogy az eljaacuteraacutes
soraacuten valoacuteban az egyik kupac elemszaacutemaacutet csoumlkkentettuumlk (nem noumlveltuumlk) tehaacutet leacutetezik
ilyen leacutepeacutes Ezt nem neheacutez meggondolni mert a legnagyobb helyieacuterteacuteken aacutelloacute 1-est 0-
ra csereacuteltuumlk ndash legyen ez a 2k helyieacuterteacutek ndash eacutes moumlgoumltte a vaacuteltoztataacutesok utaacuten legfeljebb k
-1 darab 1-es aacutellhat melyek eacuterteacuteke tiacutezes szaacutemrendszerben legfeljebb 1 + 2 + 4 + 8 +
+ 2k-1 = 2kndash1 ami biztosan kisebb az előző szaacutemnaacutel Tehaacutet a leiacutert leacutepeacutesek soraacuten valoacuteban
csoumlkkentettuumlk a kupacok meacutereteacutet
Ezt a bizonyiacutetaacutest egeacutesz egyszerűen aacutet lehet gondolni az előzőek alapjaacuten Laacutettuk hogy
a jaacuteteacutek leacutepeacuteseit hogyan tudjuk maacuteskeacutepp leiacuterni elveacutegezni A levezeteacutesből laacutetszik az
hogy 0 nim-oumlsszegből uacutejabb 0 nim-oumlsszegű aacutellaacutest nem tudunk eleacuterni
a1 a2 hellip an = 0 eseteacuten semelyik oszlopban sem lesz paacuteratlan szaacutemuacute 1-es amit
megcsereacutelve joacutel jaacuternaacutenk viszont egy sorban legalaacutebb egy szaacutemot ki kell csereacutelnuumlnk
mert leacutepni muszaacutej Tehaacutet lesz olyan oszlop a leacutepeacutesuumlnk utaacuten melyben paacuteratlan szaacutemuacute
1-es fog aacutellni iacutegy az oumlsszegben is legalaacutebb egy 1-es szerepelni fog
16
Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő
jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege
a1 a2 hellip an ne 0
Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző
teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire
a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet
uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig
fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb
Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud
leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok
Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy
leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is
oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot
jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti
Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti
egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot
Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor
jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen
oumlsszegjaacuteteacutek
sum 119869119894
119899
119868=0
ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet
kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)
Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege
is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek
17
Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg
azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat
Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban
van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz
Bizonyiacutetaacutes
Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva
a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az
bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha
ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik
jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat
b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik
jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő
jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja
szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az
oumlsszeguumlket is
Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala
kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha
első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer
Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg
hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk
az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes
kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű
paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri
a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot
Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező
fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet
18
4 Fejezet Grundy-szaacutemok
A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy
szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni
Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges
jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely
aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az
aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely
adta lehetőseacutegek koumlzuumll
Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű
jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel
1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az
ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel
ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat
leacutepeacuteseket) ismeruumlnk
2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal
leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket
tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek
3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul
annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok
hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak
A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban
nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni
Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia
megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a
toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező
fogalomra
19
Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb
nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt
Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)
Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot
az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de
roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van
Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs
raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden
raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb
kizaacutertja
Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema
Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben
semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute
aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan
raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne
ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb
kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli
raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten
nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute
veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol
minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak
Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok
ciklusmentesseacutegeacutenek
Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema
2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese
3 A [2] cikk alapjaacuten
20
Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos
Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek
Grundy-szaacutemai
Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb
nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-
szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i
a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak
egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk
ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy
G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema
G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be
hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes
felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem
maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1
Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok
illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az
alaacutebbiak
1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0
2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0
3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0
Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja
ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0
Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben
van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek
koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal
vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)
tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel
4 [2] cikk alapjaacuten
21
leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben
megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet
Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud
mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy
ő nyeri a jaacuteteacutekot
Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-
szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)
Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0
Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn
direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)
Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti
indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes
aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)
valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra
maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb
a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel
Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)
raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy
minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy
a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat
oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek
vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden
A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban
oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom
22
5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute
jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok
hasznaacutelata
5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai
Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő
egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti
darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok
Grundy-szaacutemai
Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-
szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő
Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen
innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk
= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz
vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet
el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan
ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute
Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)
vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet
Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent
meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes
strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait
Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem
Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik
ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a
koumlvetkező
5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy
bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek
Grundy-szaacutemaival
23
10 Jaacuteteacutek (Dawsonrsquos Chess) Adott egy 1x n-es teacuteglalap melynek neacutegyzeteibe a jaacuteteacutekosok
felvaacuteltva X-et raknak uacutegy hogy az X jellel ellaacutetott cellaacutek szomszeacutedosak nem lehetnek vagyis
egy X melletti neacutegyzetbe maacutesik X nem keruumllhet Az nyer aki az utolsoacute jelet rakja
Ha jobban meggondoljuk a keacutet jaacuteteacutek megfelel egymaacutesnak Annyi a kuumlloumlnbseacuteg hogy az
itteni neacutegyzetek ott a 2x2-es neacutegyzetek felező vonalainak felelnek meg eacutes az itteni vaacutelasztoacute
raacutecsvonalak pedig a sziacutenezős jaacuteteacutek neacutegyzeteivel egyeznek meg Neacutezzuumlk az alaacutebbi 5 1 aacutebraacuten
szemleacuteltetett peacuteldaacutet
Dawsonrsquos Chess taacutebla egy lehetseacuteges veacutegaacutellaacutessal
A 2 jaacuteteacutek ugyanazt jelentő veacutegső aacutellaacutesa
51 aacutebra
Joacutel laacutethatoacute hogy a 2 jaacuteteacutekban a 2x2-es neacutegyzetek hataacutervonalai eacutepp a Dawsonrsquos Chess-
beli bdquotiltott mezőknekrdquo felelnek meg - amikben nem keruumllhet X jel mert szomszeacutedjukban
maacuter szerepel - mert egy ilyen hataacutervonalra nem eshet maacutesik 2x2-es neacutegyzet felezővonala
hisz akkor a neacutegyzetek takarnaacutek egymaacutest
Feacuteny deruumllt arra6 hogy ennek a jaacuteteacuteknak a Grundy-szaacutemaiboacutel aacutelloacute sorozat 34-es
periodicitaacutesuacute de az elejeacuten van heacutet kiveacutetel a 0 14 16 17 31 34 eacutes 51 helyen aacutelloacute szaacutemok
tekinteteacuteben Utaacutena beaacutell a valoacutedi periodicitaacutes Azok az aacutellaacutesok eacuterdekesek szaacutemunkra a
nyerő strateacutegia kutataacutesa kapcsaacuten melyek Grundy-szaacutema 0 mert ezek a vesztes aacutellaacutesok
Tehaacutet vesztes aacutellaacutesok az elejeacutetől kezdve 1 5 9 15 21 25 29 35 neacutegyzetet tartalmazoacute
kezdőaacutellaacutesok majd az 1 a 15 eacutes 35 kiveacuteteleacutevel ezek k ∙ 34-gyel vett oumlsszegei is vesztő
aacutellaacutesok lesznek a periodicitaacutes miatt
5 2 Jaacuteteacutekok korongokkal
A koumlvetkező jaacuteteacutek a [4] koumlnyvből szaacutermazik
6 Szinteacuten a httpsoeisorg weboldal hasznaacutelataacuteval
X X
24
5 Jaacuteteacutek Egy asztalon sorba 10 korong van lerakva melyeknek egyik oldala feheacuter maacutesik
fekete sziacutenű Ketten jaacutetszanak A soron koumlvetkező mindig kivaacutelaszt egy fekete oldalaacuteval
felfeleacute fekvő korongot majd azt eacutes az oumlsszes tőle jobbra leacutevőt aacutetfordiacutetja a maacutesik oldalaacutera
Akkor van veacutege a jaacuteteacuteknak ha mindegyik korongnak a feheacuter oldala van feluumll Az veszt aki
nem tud toumlbbet leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes hogyan tud győzni
A jaacuteteacutek kimenetele eacutes nyertese fuumlgg a kiindulaacutesi helyzettől Tekintsuumlk az alaacutebbi konkreacutet
kezdőaacutellaacutest (5 2 aacutebra)
5 2 aacutebra
A nyertes strateacutegia nem bonyolult sőt eleacuteg keacutezenfekvő ha belegondolunk tudniillik a
veacutegeredmeacuteny egyaacuteltalaacuten nem a jaacuteteacutekosok leacutepeacutesein muacutelik hanem csupaacuten az utolsoacute korong
sziacuteneacutetől fuumlgg Ugyanis egy korong az utolsoacute helyen aacutelloacute biztosan megfordul minden
leacutepeacutesben Ez leacutepeacutesenkeacutent vaacuteltakozva hol feheacuter hol fekete oldalaacuteval lesz feluumll miacuteg ki nem
alakul a veacutegső nyertes ndash oumlsszes feheacuter ndash aacutellaacutes Ha peacuteldaacuteul kezdetben fekete az utolsoacute
korong akkor az mindig a kezdő jaacuteteacutekos forgataacutesai nyomaacuten fog a feheacuter oldalaacuteval felfeleacute
keruumllni A jaacuteteacutek egyszer veacuteget eacuter eacutes tudjuk hogy az utolsoacute leacutepeacutes a kezdő jaacuteteacutekoseacute lesz
tehaacutet ő nyer Ellenkező esetben - ha a kezdő aacutellapotban feheacuter az utolsoacute korong - a maacutesodik
jaacuteteacutekoseacute a győzelem Tehaacutet teljesen mindegy haacuteny koronggal jaacutetszunk a győztest mindig
a sorban elhelyezett utolsoacute korong sziacutene fogja elaacuterulni Ha az a fekete oldalaacuteval felfeleacute
fekszik akkor a kezdő ha feheacuter sziacutene laacutetszik akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos nyer Iacutegy a fenti
jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
Ha feladatban moacutedosiacutetjuk kicsit a szabaacutelyokat akkor a megoldaacutes is bonyoloacutedik eacutes itt
maacuter fel kell hasznaacutelnunk a Grundy-szaacutemokat illetve a nim-oumlsszeget A koumlvetkező feladat
eacutes megoldaacutesi oumltlete [2] forraacutesboacutel szaacutermazik
6 Jaacuteteacutek Legyen ismeacutet 10 darab korongunk az asztalra sorba lehelyezve A jaacuteteacutekosok
keacutetfeacutele leacutepeacutest hajthatnak veacutegre vagy megfordiacutetanak egy fekete oldalaacuteval felfeleacute fekvő
korongot vagy keacutet korongot fordiacutetanak meg melyek koumlzuumll a jobbraacutebb levő fekte Az vesziacutet
aki nem tud toumlbbet leacutepni
25
A megoldaacutes veacutegett szaacutemozzuk meg a korongokat balroacutel jobbra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 3 aacutebra
Aacutelliacutetaacutes A 6 jaacuteteacutek egy aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema eacutepp a fekete sziacutenű korongok sorszaacutemaacutenak
nim-oumlsszege
Bizonyiacutetaacutes Alkossunk ebből a jaacuteteacutekboacutel Nim-jaacuteteacutekot a koumlvetkező keacuteppen Ha az i-edik
korong sziacutene fekete akkor tekintsuumlnk egy ekkora elemszaacutemuacute kupacot a Nim-jaacuteteacutekban ha
feheacuter sziacutenű egy korong akkor nincs ilyen kupacunk Ezzel egy szokaacutesos Nim-jaacuteteacutekot
kapunk Azeacutert tehetjuumlk meg ezt mert a leacutepeacutesek eacutepp ugyanazt eredmeacutenyezik mindkeacutet
jaacuteteacutekban amennyiben megfordiacutetunk egy fekete korongot az annak felel meg ha nim-
jaacuteteacutekban azt a kupacot teljes egeacuteszeacuteben elvesszuumlk eacutes megszűnik Ha egy feheacuter eacutes egy
fekete korongot fordiacutetunk meg melyek koumlzuumll a fekete a jobb oldali akkor azzal
egyeneacuterteacutekű mintha a nim-jaacuteteacutekban bizonyos szaacutemuacute kavicsot elvettuumlnk volna az addigi
kupacboacutel uacutegy hogy a feketeacutere fordiacutetott korong sorszaacutemaacutenak megfelelő kupacmeacuteretet
eacutertuumlnk el (Mert a bal oldali korong sorszaacutema kisebb eacutes iacutegy kisebb elemszaacutemuacute kupacot is
jelent) Tekintsuumlnk erre magyaraacutezatul egy peacuteldaacutet (5 4 aacutebra)
1 2 3
5 4 aacutebra
Ebben a kis jaacuteteacutekban illusztraacuteljuk a korongforgataacutesi leacutepeacutesek eacutes a Nim-jaacuteteacutek kapcsolataacutet
Tekintsuumlk ennek mintaacutejaacutera a 2 eacutes 3 elmeszaacutemuacute kupacokkal jaacutetszott Nim-jaacuteteacutekot
Vilaacutegosan laacutetszik hogy ha megfordiacutetjuk peacuteldaacuteul a 2 szaacutemuacute fekete sziacutenű korongot eacutes iacutegy
az feheacuter lesz akkor ez a leacutepeacutes megegyezik azzal hogy a Nim-jaacuteteacutekban egy leacutepeacutessel
eltuumlntetjuumlk a 2 elemű kupacot Keacutet szabaacutelyos helyzetű korong megfordiacutetaacutesaacuteval ndash legyenek
26
most ezek az 1 eacutes 2 szaacutemuacuteak ndash az 55-oumls aacutebraacuten laacutethatoacute aacutellaacutes joumln leacutetre ami ekvivalens a
Nim-jaacuteteacutek azon leacutepeacuteseacutevel hogy a 2 elemű kupacboacutel 1 kavicsot elveszuumlnk
1 2 3
5 5 aacutebra
Keacutet fekete korong megfordiacutetaacutesa keacutet kupac teljes elveacuteteleacutet jelenteneacute a Nimben ami ilyen
formaacuteban nem szabaacutelyos Azonban ha jobban meggondoljuk ez a leacutepeacutes jelentheti azt
hogy a nagyobb meacuteretű kupacboacutel elveszuumlnk annyi kavicsot hogy az egyenlő legyen a
kisebb elemszaacutemaacuteval mert a nim-oumlsszeadaacutes miatt keacutet azonos meacuteretű kupac nem
befolyaacutesolja az egeacutesz jaacuteteacutek Grundy-szaacutemaacutet azaz a keacutet kupac kiegyenliacuteteacuteseacutevel illetve
teljes elveacuteteluumlkkel kapott Nim-aacutellaacutesok Grundy-szaacutemai megegyeznek
Az 5 3 aacutebra alapjaacuten kialakult aacutellaacutes Grundy-szaacutema tehaacutet 3 10 = 10 A jaacuteteacutek
vesztő aacutellaacutesainak Grundy-szaacutema 0 azaz ha ilyen aacutellaacutesroacutel indul valaki az nem tud nyerni
Ebből a poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacutet keacutepezni csak a 10 elemű kupac teljes elveacuteteleacutevel
lehetseacuteges Tehaacutet a 10-es szaacutemuacute fekete korongot kell megfordiacutetani előszoumlr a
győzelemhez
5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
A most koumlvetkező haacuterom jaacuteteacutekkal a [2] cikkben talaacutelkoztam
7 Jaacuteteacutek (Rim-jaacuteteacutek) Adott neacutehaacuteny kupac kavics A kupacok egyikeacuteből elvehető
akaacutermennyi kavics de csak uacutegy hogy az elvett elemek szaacutema relatiacutev priacutem legyen az elveacutetel
előtti mennyiseacuteghez
Ez a jaacuteteacutek toumlbb egykupacos uacuten bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacuteknak oumlsszege A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek
egy n darab taacutergyat (kavicsot) tartalmazoacute kupacroacutel szoacutel amelyből k elemet vehetuumlnk el
ha k eacutes n relatiacutev priacutemek Ebből koumlvetkezik hogy 1-et mindig elvehetuumlnk az oumlsszes elemet
azonban sosem (mert n oumlnmagaacuteval nem relatiacutev priacutem) kiveacuteve ha 1 darab marad a
kupacban
Jeloumlljuumlk itt az i elemszaacutemuacute Rim-kupacok Grundy-szaacutemaacutet G(Ri)-vel Az első eacutes maacutesodik
Grundy-szaacutem koumlnnyen megmondhatoacute G0 = 0 eacutes G1 = mex (G0) = 1 Ha keacutet elemet
27
tartalmaz a kiindulaacutesi kupac akkor a szabaacutelynak megfelelően az egyetlen lehetőseacuteg 1
kavics elveacutetele ezeacutert G(R2) = mex (1) = 0 Haacuteromelemű kezdőkupacboacutel 1 eacutes 2 elemet is
elvehetuumlnk iacutegy kapjuk hogy G(R3) = mex (G(R1) G(R2) ) = mex (1 0) = 2 Neacutegy elem
eseteacuten G4 = mex (G1 G3) = 0 Hasonloacutean G5 = mex (G(R1) G(R2) G(R3) G(R4)) =
= mex (1 2 0 2) = 3 eacutes iacutegy tovaacutebb A koumlvetkező teacutetelben meghataacuterozzuk aacuteltalaacutenossaacutegban
G(Rn)-et
Teacutetel A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutekban minden paacuteros n elemszaacutemuacute kupacra G(Rn) = 0 valamint
n paacuteratlan elemszaacutem eseteacuten G(Rn) = k ha n legkisebb priacutemosztoacuteja a k-adik priacutemszaacutem (Az
első priacutemszaacutem a 2 maacutesodik a 3 stb)
Bizonyiacutetaacutes n-re vonatkozoacute teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk
a) ha n paacuteros Semelyik esetben sem lehet az egeacutesz kupacot elvenni kiveacuteve ha 1 kavics
marad a kupacban Laacutettuk hogy G(R0) = G2 = 0 Legyen n paacuteros Tegyuumlk fel hogy
minden n-neacutel nem nagyobb paacuteros k szaacutemra G(Rk) = 0 Laacutessuk be ezt (n+2)-re is Mivel
egy paacuteros szaacutem semelyik maacutesik paacuteros szaacutemmal sem relatiacutev priacutem ezeacutert paacuteros darab
kavicsot nem vehetuumlnk el a kupacboacutel ennek okaacuten uacutejabb paacuteros elemszaacutemuacute aacutellaacutes sem
joumlhet leacutetre Paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac ugyan lehet (n+2) kiszomszeacutedja de annak
Grundy-szaacutema biztosan nem 0 mert 1 kavicsot baacutermelyik aacutellaacutesboacutel elvehetuumlnk iacutegy lesz
a paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt n-neacutel nem nagyobb paacuteros elemszaacutemuacute
kupac aminek Grundy-szaacutema 0 Tehaacutet (n+2) elemet tartalmazoacute kupac raacutekoumlvetkezői
koumlzoumltt nem lesz 0 Grundy-szaacutemuacute iacutegy azok legkisebb kizaacutertja eacutepp a 0
b) ha n paacuteratlan Tudjuk hogy G1 = 1 eacutes azt is laacutettuk hogy G3 = 2 Itt is teljes indukcioacutet
hasznaacutelunk Tegyuumlk fel hogy igaz a fenti aacutelliacutetaacutes minden paacuteratlan n-re Bizonyiacutetsuk be
hogy ez az n+2 paacuteratlan szaacutemra is oumlroumlklődik Legyen n+2 legkisebb priacutemosztoacuteja p eacutes
annak sorszaacutema k Ahhoz hogy belaacutessuk hogy Gn+2 = k keacutet dologra van szuumlkseacuteg
1) Minden k-naacutel kisebb szaacutem előfordul az n+2 elemszaacutemuacute aacutellaacutes valamely
kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutemakeacutent
2) Az n+2 elemű kupac egyik kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutema sem k
1) igazolaacutesa 1-et eacutes n+1-et mindig leacutephetuumlnk tehaacutet 1 eacutes 0 Grundy-szaacutemuacute
raacutekoumlvetkezője minden aacutellaacutesnak van Legyen q egy tetszőleges p-neacutel kisebb priacutem ndash
ennek sorszaacutema k-naacutel kisebb eacutes az indukcioacute szerint a q elemű aacutellaacutes Grundy-szaacutema eacutepp
a q sorszaacutema Ekkor meg kell mutatnunk hogy n+2ndashből aminek legkisebb
priacutemosztoacuteja p a q elemszaacutemuacute kupacba leacutepeacutes szabaacutelyos Ez azeacutert igaz mert a
28
jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek
nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek
elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash
hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert
kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute
kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes
2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m
elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb
priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt
k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek
A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő
strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk
8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad
kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja
legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is
elvehetjuumlk)
Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő
tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz
melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk
Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean
G(Di)
Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1
Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva
laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek
bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1
29
1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i
2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan
1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute
kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute
kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei
azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet
elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =
21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i
2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet
eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n
raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l
paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1
Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban
ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra
G(Da) = 0 + 1 = 1
Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek
9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az
egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a
Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya
szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)
Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg
Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal
Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon
mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)
= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet
a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5
kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre
30
11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik
kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az
nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi
Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-
ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet
Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik
jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem
hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy
speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok
bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A
Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő
nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk
valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval
deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek
a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)
stb kupacmeacuteretek
Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt
de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt
5 4 Fibonacci-nim
A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik
13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el
kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve
utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint
amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben
Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz
szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa
előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban
31
Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat
i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2
Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a
koumlvetkező taacuteblaacutezat
Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok
Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő
Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok
oumlsszegeacutere
Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899
Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel
hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga
Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem
akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-
szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert
119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa
kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem
Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele
keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen
Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip
Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel
minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok
legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot
vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)
7 [1] alapjaacuten
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
5
Definiacutecioacute (nyerő strateacutegia) Nyerő strateacutegia alatt olyan strateacutegiaacutet eacutertuumlnk melyet
alkalmazva az ellenfeacuteljaacuteteacutekos tetszőleges strateacutegiaacuteja ellen garantaacuteltan nyerni tudunk
Megjegyzeacutes Ha egy jaacuteteacutekosnak leacutetezik nyerő strateacutegiaacuteja akkor az megegyezik azzal
hogy meg is nyeri a jaacuteteacutekot Eacutepp ezt jelenti a fent leiacutert bdquonem rontrdquo felteacutetelezeacuteseacutenek elve
Az eddigi fogalmak biztos elsajaacutetiacutetaacutesa eacutes ellenőrzeacuteseacutere eacuterdekeacuteben tekintsuumlk az alaacutebbi
jaacuteteacutekot1
0 Jaacuteteacutek Egy 10 x 8-as taacutebla jobb felső sarkaacuteban aacutell egy kiraacutelynő amellyel lefeleacute balra
vagy aacutetloacutesan balra leacutephetnek (akaacutermennyit) a jaacuteteacutekosok Az nyer aki a bal alsoacute sarokba
helyezi a kiraacutelynőt Ki nyer milyen strateacutegiaacuteval
Jeloumlljuumlk az 11-es aacutebra szerint a jaacuteteacutektaacuteblaacuten bdquo+rdquo jellel a nyerő aacutellaacutesokat vagyis azokat a
mezőket ahonnan indulva a soron koumlvetkező jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes bdquoVrdquo
betűvel a vesztes aacutellaacutesokat amelyekről indulva a kezdő nem nyerhet
11 aacutebra
Ez joacute peacutelda arra hogy rekurziacutev moacutedon minden mezőről megaacutellapiacutethatoacute hogy nyerő vagy
vesztő aacutellaacutes-e A bal alsoacute mező vesztő mert onnan nincs toumlbb leacutepeacutesi lehetőseacuteg Azok a
mezők melyekről erre koumlzvetlenuumll raacute tudunk leacutepni nyertes aacutellaacutesok lesznek Mindkeacutet
jaacuteteacutekos ceacutelja hogy vesztő mezőre leacutepjen a baacutebuval hiszen onnan ellenfele akaacuterhova is
leacutep a koumlvetkező koumlrben uacutejabb vesztő helyre tudja tenni a kiraacutelynőt eacutes iacutegy tovaacutebb Joacutel
laacutethatoacute hogy ebben a jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja raacuteadaacutesul keacutet
vesztő mezőre is leacutephet kezdeacuteskeacutepp
1 Az [5] szaacutemuacute Elemi matematika feladatgyűjtemeacutenyből szaacutermazoacute peacutelda alapjaacuten
8 + + + + V + + + + + 7 + + + + + + + + + + 6 + + + V + + + + + + 5 + + + + + + + V + + 4 + + + + + V + + + + 3 + V + + + + + + + + 2 + + V + + + + + + + 1 V + + + + + + + + +
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6
Az aacutellaacutesok eacutes szabaacutelyos leacutepeacutesek oumlsszefoglalhatoacuteak egy fogalommal megmutatjuk
hogyan
Definiacutecioacute (egyszerű graacutef) Vegyuumlnk keacutet diszjunkt halmazt jeloumllje ezeket V eacutes E ahol V
nemuumlres Legyen E a V-beli elemekből keacutepezhető keacutetelemű reacuteszhalmazoknak egy halmaza
Ekkor a G = (V E) rendezett paacutert (egyszerű) graacutefnak nevezzuumlk melyben V elemei a
csuacutecsok E elemei az eacutelek
Definiacutecioacute (iraacutenyiacutetott graacutef) Iraacutenyiacutetott egyszerű graacutefroacutel beszeacuteluumlnk ha a fenti graacutef
definiacutecioacutejaacuteban E a V-beli elemekből keacutepezhető rendezett paacuteroknak egy halmaza
Megjegyzeacutes A tovaacutebbiakban ha (iraacutenyiacutetott) graacutefot emliacutetuumlnk mindig egyszerű
(iraacutenyiacutetott) graacutefra gondolunk
Definiacutecioacute (aacutellapotgraacutef) A jaacuteteacutek aacutellapotgraacutefjaacutenak nevezzuumlk azt speciaacutelis iraacutenyiacutetott graacutefot
melyben a jaacuteteacutek aacutellaacutesai a graacutef csuacutecsainak a lehetseacuteges leacutepeacutesek a graacutef eacuteleinek felelnek
meg
A koumlnnyebb eacuterthetőseacuteg eacutes az egyeacutertelmű leiacuteraacutesok eacuterdekeacuteben bevezetuumlnk egy keacutesőbb sokat
hasznaacutelt fogalmat
Definiacutecioacute (raacutekoumlvetkező) Egy X aacutellaacutes raacutekoumlvetkezője az Y aacutellaacutes ha X-ből koumlzvetlenuumll (egy
leacutepeacutessel) el tudunk jutni Y-ba azaz ha az aacutellapotgraacutefban (X Y) eacutel (maacutes szoacuteval az X-nek
kiszomszeacutedja az Y)
Definiacutecioacute (veacuteges jaacuteteacutek) Veacuteges jaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha aacutellapotgraacutefjaacuteban minden csuacutecshoz
tartozik egy nemnegatiacutev egeacutesz szaacutem uacutegy hogy azok minden kiszomszeacutedjaacutehoz rendelt szaacutem
kisebb az oumlveacuteneacutel (pl a haacutetraleacutevő leacutepeacutesek maximaacutelis szaacutema) Ezt a szaacutemot nevezzuumlk az
aacutellaacutes szintjeacutenek
Ez alapjaacuten tegyuumlk fel hogy az aacutellapotgraacutef csuacutecsai szaacutemozva vannak Ekkor az aacutellaacutesok
szintjei a leacutepeacutesek soraacuten szigoruacutean monoton csoumlkkennek
Koumlvetkezmeacuteny Veacuteges jaacuteteacutek aacutellapotgraacutefja nem tartalmaz iraacutenyiacutetott koumlrt azaz aciklikus
Bizonyiacutetaacutes Ha tartalmazna koumlrt akkor lenne olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban ami toumlbbszoumlr is
előfordulhatna vagyis lenne olyan X1 X2 hellip Xk leacutepeacutessorozat ahol minden Xi+1 aacutellaacutes az
7
Xi aacutellaacutes raacutekoumlvetkezője eacutes Xk-nak kiszomszeacutedja X1 Azonban a veacuteges jaacuteteacutek definiacutecioacuteja
szerint egy aacutellaacutes raacutekoumlvetkezőjeacutenek a szintje kisebb mint az aacutellaacutes szintje ezeacutert Xk-nak nem
lehet X1 a raacutekoumlvetkezője mert akkor a hozzaacuterendelt szaacutem nagyobb keacutene legyen X1
szaacutemaacutenaacutel ami ellentmondaacutes
Definiacutecioacute Normaacutel jaacuteteacuteknak nevezzuumlk a tovaacutebbiakban azokat a jaacuteteacutekokat melyekben az a
jaacuteteacutekos vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni maacuteskeacutepp fogalmazva az nyer aki az utolsoacute leacutepeacutest
teszi
Megjegyzeacutes Aacuteltalaacuteban a dolgozatban hozott jaacuteteacutekok ilyen normaacutel jaacuteteacutekok
8
2 Fejezet Kezdő feladatok
Dolgozatom elejeacuten szeretneacutek bemutatni egy-keacutet toumlbbnyire szeacuteles koumlrben elterjedt
egyszerűbb matematikai jaacuteteacutekot Mindegyik korosztaacutely szaacutemaacutera talaacutelhatoacute megfelelő
szintű eacutes neheacutezseacutegű feladat vagy jaacuteteacutek amivel felkelthető a gyerekek eacuterdeklődeacutese Meg
lehet mutatni nekik hogy a matematikaacutenak van ilyen szoacuterakoztatoacute reacutesze is Persze az
lenne a legjobb ha ezekben tudnaacutek alkalmazni eacutes kamatoztatni a koraacutebban tanultakat
1 1 Lepakoloacutes jaacuteteacutek
1 jaacuteteacutek Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez korongokat egy asztalra Az vesziacutet aki nem tud uacutegy
toumlbb korongot elhelyezni az asztalon hogy az ne fedjen egy maacuter lent fekvőt Kinek van
nyerő strateacutegiaacuteja
Ez a jaacuteteacutek toumlbb tankoumlnyvben is szerepel Tapasztalataim szerint ez inkaacutebb elvi
gondolati jaacuteteacutek mert a gyakorlatba nehezen kivitelezhető A korongok vagy eacutermeacutek (hol
mi szerepel) koumlnnyen egymaacutesra csuacuteszhatnak vagy nem mindig egyeacutertelmű a helyzetuumlk
Mindemellett a jaacuteteacutek megoldaacutesa pofonegyszerű a gyerekek is hamar raacutejoumlhetnek Arra az
eredmeacutenyre jutunk hogy mindig az első jaacuteteacutekos nyer A joacute strateacutegia pedig az ha előszoumlr
koumlzeacutepre tesszuumlk a kezdő korongot (minden esetben van ilyen ha kerek az asztal ha
szoumlgletes leacutenyeg hogy az koumlzeacuteppontosan szimmetrikus legyen) eacutes a koumlvetkezőkben
mindig az ellenfeacutel leacutepeacuteseacutenek koumlzeacuteppontos tuumlkoumlrkeacutepeacutet leacutepjuumlk Ezt a strateacutegiaacutet jaacutetszva a
kezdő jaacuteteacutekos nem tud veszteni hiszen ha van meacuteg hely a maacutesodik jaacuteteacutekos leacutepeacuteseacutenek
akkor biztosan szabad lehetőseacuteg annak keacutepe is
Eacuterdekesseacutegkeacutent vegyuumlk eacuteszre hogy ennek az asztalra pakoloacutes jaacuteteacuteknak veacutegtelen sok
aacutellapota leacutetezik hiszen veacutegtelen sok pontra helyezhető egy korong Meacutegis veacuteges jaacuteteacuteknak
tekinthetjuumlk mert a leacutepeacutesek soraacuten az asztal szabad teruumllete csoumlkken vagyis egyre csoumlkken
a megtehető leacutepeacutesek maximaacutelis szaacutema is miacuteg előbb-utoacutebb eljutunk abba az aacutellapotba
hogy toumlbb korong maacuter nem feacuter az asztalra
Ezzel egyuumltt megproacutebaacutelhatjuk az eredetit veacuteges aacutellapotszaacutemuacute jaacuteteacutekkaacute tenni ez az oumltlet
szakdolgozat iacuteraacutesa koumlzben meruumllt fel A jaacuteteacutekot gyakorlatban neacutegyzetraacutecsos papiacuteron
lehetne jaacutetszani
9
2 Jaacuteteacutek Adott egy (n x k)-as teacuteglalap alakuacute jaacuteteacutektaacutebla Keacutet jaacuteteacutekosnak uacutegy kell felvaacuteltva
(előre lefixaacutelt) egyforma meacuteretű neacutegyzeteket besziacuteneznie a taacuteblaacuten hogy azok ne takarjaacutek
egymaacutest Az vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni Keacuterdeacutes hogy melyik jaacuteteacutekos nyer
Csupa 1x1-es neacutegyzetek sziacutenezeacutese nem hoz laacutezba senki mert a győztes csak a jaacuteteacutektaacuteblaacutet
alkotoacute neacutegyzetek szaacutemaacutetoacutel fuumlgg ha paacuteros sok neacutegyzetből aacutella taacutebla a maacutesodik paacuteratlan
szaacutemuacute neacutegyzet eseteacuten az első szaacutemuacute jaacuteteacutekos nyer Vizsgaacuteljuk most a jaacuteteacutekot 2x2-es
neacutegyzetek sziacutenezeacutese eseteacuten Nem neheacutez felismerni hogy ha a jaacuteteacutektaacutebla (2k x 2k)-as
neacutegyzet vagy (2k x 2l)-es teacuteglalap alakuacute (tetszőleges k l N eseteacuten) akkor műkoumldik raacute
a fent taacutergyalt koumlzeacuteppontos szimmetriaacuten alapuloacute strateacutegia Azonban a toumlbbi esetben
((2k+1)x(2l+1)-es vagy (2k)x(2l+1)-es jaacuteteacutektaacuteblaacutenaacutel) ezt nem tudjuk kihasznaacutelni mert
nincs koumlzeacutepső neacutegyes amivel kezdhetneacutenk a sziacutenezeacutest Hogyan jaacutetsszunk ilyenkor Van-
e egyaacuteltalaacuten abszoluacutet nyertes Neacutezzuumlnk egy kisebb konkreacutet peacuteldaacutet
Aacutelliacutetaacutes (3x2k)-as taacuteblaacuten jaacutetszva az első jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy a paacuteros hosszuacute oldal felezőmerőlegese raacutecsvonalon
halad iacutegy kihasznaacutelhatjuk az erre a tengelyre valoacute szimmetriaacutet Kettő olyan (2x2)-es
neacutegyzet van melyen eme tengely aacutethalad de ezek koumlzuumll csak egy sziacutenezhető Ha a kezdő
elsőkeacutent az egyik ilyet sziacutenezi be akkor ellenfele tetszőleges leacutepeacuteseacutet tuumlkroumlzve a
tuumlkoumlrtengelyre oumlveacute lesz az utolsoacute leacutepeacutes
A 2xn-es jaacuteteacutektaacuteblaacuten valoacute jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera a keacutesőbbiekben majd meacuteg
visszateacuteruumlnk (ld 5 fejezet) A toumlbbi esetről nem lesz szoacute kiproacutebaacutelaacutesukat tudom ajaacutenlani
1 2 Foglaloacutes jaacuteteacutekok
Foglalkozzunk kicsit a foglaloacutes tiacutepusuacute jaacuteteacutekokkal Ezeket azeacutert szokaacutes iacutegy nevezni
mert adott jaacuteteacutektaacuteblaacuten jaacutetsszaacutek uacutegy hogy felvaacuteltva elfoglalnak egy-egy mezőt (tesznek raacute
egy-egy sajaacutet sziacutenű jelet) eacutes a jaacuteteacutek győztese az aki az előre kijeloumllt nyertes
mezőcsoportok valamelyikeacutet előszoumlr el tudja foglalni Ilyen foglaloacutes jaacuteteacutekra peacutelda a
mindenki aacuteltal joacutel ismert angol neveacuten Tic-tac-toe mely soraacuten a jaacuteteacutekosok egy 3x3-as
neacutegyzetbe a szokaacutesos X eacutes koumlr jeleket rakosgatjaacutek eacutes az nyer aki előszoumlr tudja haacuterom
egyforma jeleacutet egy vonalba helyezni (tehaacutet a haacuterom sor a haacuterom oszlop eacutes a keacutet aacutetloacute a
kijeloumllt nyertes mezőcsoportok) A foglaloacutes jaacuteteacutekok nem tekinthetőek normaacutel jaacuteteacutekoknak
10
mert kialakulhat doumlntetlen aacutellaacutes is amikor azeacutert nem tudnak toumlbbet leacutepni a jaacuteteacutekosok mert
a taacuteblaacuten a lehetőseacutegek elfogytak de senki sem nyert
Aacutelliacutetaacutes A foglaloacutes jaacuteteacutekokban a maacutesodik jaacuteteacutekos sosem nyerhet (Legfeljebb doumlntetlenre
vezető strateacutegiaacuteja lehet)
Bizonyiacutetaacutes Indirekte tegyuumlk fel hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja Ilyen
helyzetben a kezdő tudja alkalmazni a bdquostrateacutegialopaacutestrdquo Ez azt jelenti hogy a kezdő
jaacuteteacutekos leacutep valamit majd innentől uacutegy fogja fel a jaacuteteacutekot mintha csak most kezdődne eacutes
a maacutesodik jaacuteteacutekos nyerő strateacutegiaacuteja szerint jaacutetszik tovaacutebb Akkor meruumllhetne fel
probleacutema ha azt a mezőt keacutene elfoglalnia melyre az első leacutepeacuteskor leacutepett aacutem ez nem
gond mivel ezen maacuter az ő jele szerepel tehaacutet mi sem egyszerűbb baacuterhova maacuteshova tehet
Ezzel a moacutedszerrel az első jaacuteteacutekosnak nyernie kellene holott a maacutesodiknak van nyerő
strateacutegiaacuteja ellentmondaacutes
Gondoljuk meg a koumlvetkező konkreacutet foglaloacutes jaacuteteacutekot a nyerő strateacutegia szempontjaacuteboacutel
3 Jaacuteteacutek (Trihex) Az 11 aacutebra szerinti jaacuteteacutektaacuteblaacutera keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez egy piros
illetve egy keacutek korongot valamelyik meacuteg uumlres koumlrre Az győz akinek elsőkeacutent sikeruumll
haacuterom egysziacutenű korongot helyeznie a kilenc egyenes vonal valamelyikeacutere
11 Aacutebra A trihex jaacuteteacutek taacuteblaacuteja
Teacutetel A Trihex jaacuteteacutekban az I jaacuteteacutekos nyer
Bizonyiacutetaacutes A teacutetel bizonyiacutetaacutesaacuteban szuumlkseacuteguumlnk lesz keacutet fogalomra szabad egyeneseknek
nevezzuumlk azokat az egyeneseket melyeken egyetlen korong sincs eacutes egy jaacuteteacutekos szaacutemaacutera
feacutelszabad egyenes az az egyenes amelyen van az ő sziacuteneacutenek megfelelő sziacutenű korong de
mentes az ellenfele korongjaitoacutel A bizonyiacutetaacutes soraacuten kollineaacuterisnak nevezuumlnk haacuterom
mezőt ha azok a jaacuteteacutek taacuteblaacutejaacuten egyazon egyenesre illeszkednek
11
Az aacutebra uacutegy van megalkotva hogy minden egyenesen haacuterom uumlres koumlr szerepel ahova
a korongokat el kell helyezni tovaacutebbaacute minden ponton aacutet haacuterom egyenes megy aacutet
Megegyezeacutes alapjaacuten I jaacuteteacutekos hasznaacutelja a piros korongokat ellenfele a keacutekeket
Kezdőkeacutent az első leacutepeacutest mindenkeacutepp az egyik olyan mezőre tegyuumlk mely a nagy
haacuteromszoumlg oldalaacuten de nem a csuacutecsaacuten helyezkedik el Ellenfeluumlnk leacutepeacuteseacutetől fuumlggően keacutet
fajta aacutellaacutes joumlhet leacutetre amit kuumlloumln kell vizsgaacutelnunk
a) Ha II nem oldalpontra tesz akkor leacutepeacuteseacutet uacutegy kell koumlvetnuumlnk hogy a keacutet piros
korongunk egyazon feacutelszabad egyenesen legyen Ezutaacuten biztosan adoacutedni fog
legalaacutebb keacutet ilyen feacutelszabad egyenes Ezzel a leacutepeacutessel keacutenyszeriacutetettuumlk a maacutesodik
jaacuteteacutekost hogy keacutek korongjaacutet ezen egyenes harmadik mezőjeacutere helyezze hogy
megakadaacutelyozza a győzelmuumlnket Figyeljuumlnk raacute hogy a feacutelszabad egyenesek koumlzuumll
olyat eacutes annak olyan a pontjaacutet vaacutelasszuk melyen a harmadik ndash meacuteg uumlres hely ndash
nincs egy egyenesen a keacutek koronggal (ellenőrizhető hogy lesz ilyen) hogy ezzel
ne segiacutetsuumlk ellenfeluumlnket Ellenkező esetben megelőlegezzuumlk magunknak a
keacutenyszerhelyzetet Az ezutaacuteni koumlrben ndash a paacutelya sajaacutetossaacutegai miatt ndash lesz olyan
mező ami keacutet 1-1 piros korongot tartalmazoacute feacutelszabad egyenes metszeacutespontja
Foglaljuk el ezt a mezőt Innen koumlnnyen laacutethatoacute hogy megnyerjuumlk a jaacuteteacutekot
b) Maacutesodik eset ha ellenfeluumlnk egy maacutesik oldalpontra (de nem csuacutecsra) teszi keacutek
korongjaacutet Az oldalpontok tulajdonsaacutega hogy minden ponttal kollineaacuterisak csak
egymaacutessal nem Tegyuumlnk most a harmadik oldalpontra Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekos
akaacutermit leacutephet mi fogunk nyerni Ugyanis a keacutet piros sziacutenű oldalpontnak az oumlsszes
meacuteg szabad mezővel van koumlzoumls egyenese tehaacutet baacutermelyik pontra is leszuumlnk
keacutenytelenek tenni (ellenfeluumlnk győzelmeacutenek megakadaacutelyozaacutesa eacuterdekeacuteben) az
biztosan keacutet olyan feacutelszabad egyenesnek lesz metszeacutespontja ami tartalmaz 1-1
piros sziacutenű korongot Innen pedig egyeacutertelműen mi nyeruumlnk
12
3 Fejezet Kupacos jaacuteteacutekok
Koumlzkedvelt matematikai jaacuteteacutekok a kupacokba vagy halmokba rendezett taacutergyak
(kavicsok gyufaacutek korongok stb) alkotta jaacuteteacutekok melyekben kuumlloumlnboumlző szabaacutelyok
szerint szabad elvenni bizonyos szaacutemuacute elemet Ebben a fejezetben kupacokba rendezett
kavicsokroacutel lesz szoacute Tovaacutebbra is a joacute strateacutegia megtalaacutelaacutesa a ceacutel
3 1 Egyszerű egykupacos jaacuteteacutek
4 Jaacuteteacutek Egy kupacban 21 kavics van Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva 1 2 vagy 3
darabot vehetnek el Ez normaacutel jaacuteteacutek vagyis az nyer aki az utolsoacute(ka)t veszi el Kinek
van nyerő strateacutegiaacuteja
Visszafele gondolkodva aki előtt maacuter csak 3 vagy kevesebb korong lesz az meg tudja
nyerni a jaacuteteacutekot hiszen a legfeljebb 3 korongot elvehet Ez nyerő aacutellaacutes A 4 darab kavics
ugyanebből a megfontolaacutesboacutel vesztes aacutellaacutes hiszen akaacuterhaacuteny (1 2 vagy 3) darabot veszuumlnk
is el ellenfeluumlnk elveheti a maradeacutekot eacutes ezzel nyer Tovaacutebbgondolva minden 4∙k (k =
0 1hellip n) darab kavics vesztes aacutellaacutes mert abboacutel leacutepve az elemek szaacutemaacutenak neacuteggyel
oszthatoacutesaacutega nem megtarthatoacute tehaacutet vesztes aacutellaacutesboacutel vesztes aacutellaacutesba nem lehet leacutepni
viszont baacutermely maacutes esetből meg lehet jaacutetszani azokat Speciaacutelisan itt a vesztes aacutellaacutesok
4 8 12 16 20 db korong Ennek megfelelően 21 kavics eseteacuten a kezdő jaacuteteacutekosnak van
nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig előszoumlr 20-ra csoumlkkentve a kavicsok szaacutemaacutet
Eacuterdemes meggondolni ezt a feladatot aacuteltalaacutenosabban is
4 Jaacuteteacutek aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa Adott egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el 1-
től m darabig akaacuterhaacuteny kavicsot Az veszt aki nem tud leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja
eacutes mi az
Aacutelliacutetaacutes Ha m + 1 | n akkor a kezdő jaacuteteacutekos vesziacutet ellenkező esetben viszont neki van
nyerő strateacutegiaacuteja
Bizonyiacutetaacutes Ebben a jaacuteteacutekban biztosan az nyer akinek előszoumlr sikeruumll (m+1)-gyel
oszthatoacute elemszaacutemba leacutepni Ilyen helyzetből indulva baacuterhogyan is leacutepuumlnk nem tudunk
uacutejabb (m+1)-gyel oszthatoacutevaacute tenni a kupac meacutereteacutet miacuteg ellenfeluumlnk ndash akaacuterhogyan is
leacuteptuumlnk ndash a koumlvetkező koumlrben csoumlkkenteni tudja az elemszaacutemot uacutejabb (m+1)-gyel
oszthatoacutevaacute Vegyuumlk eacuteszre hogy a 0 veacutegső vesztes aacutellaacutes is oszthatoacute (m+1)-gyel Ezek
13
eacutertelmeacuteben minden (m + 1) ∙ k (k = 0hellipn) darab korong eseteacuten alakul ki vesztes aacutellaacutes
Tehaacutet aki ebből keacutenyszeruumll leacutepni az vesziacutet
Ha a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesakor a kupac meacutereteacutet osztja (m+1) akkor ugyanebből a
meggondolaacutesboacutel koumlvetkezik hogy a kezdő jaacuteteacutekos nem tud nyerni
Tovaacutebbra is kupacokkal eacutes azokboacutel aacutelloacute feladatokkal foglalkozunk A koumlvetkezőkben egy
aacuteltalaacutenosabb jaacuteteacutekcsoportroacutel lesz szoacute
3 2 Nim-jaacuteteacutek eacutes nim-oumlsszeadaacutes
A Nim-jaacuteteacutek Kiacutenaacuteboacutel szaacutermazoacute ma maacuter szeacuteles koumlrben ismert matematikai jaacuteteacutek A
menete a koumlvetkező
Nim-jaacuteteacutek adott n db kupac melyek rendre a1 a2 a3hellip an darab kavicsot tartalmaznak
Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva vesznek el akaacuterhaacuteny de legalaacutebb 1 kavicsot valamelyik
tetszőleges kupacboacutel Az nyer aki az utolsoacute kavicsot elveszi Keacuterdeacutes hogy kinek van nyerő
strateacutegiaacuteja
Ezek vagy az ehhez hasonloacute feladvaacutenyok megoldaacutesaacuteban segiacutetseacuteguumlnkre lesz egy uacutej
fogalom a bdquonim-oumlsszeadaacutesrdquo
Definiacutecioacute (nim-oumlsszeadaacutes) Vegyuumlk a nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemok halmazaacutet eacutes azon uacutegy
eacutertelmezzuumlk a nim-oumlsszeadaacutest hogy elemeit kettes szaacutemrendszerbeli alakjukban feliacuterva
adjuk oumlssze modulo 2 azaz nem toumlrődve az egyes helyieacuterteacutekeken adoacutedoacute maradeacutekokkal
Peacutelda 12 25 = 21 hiszen 11002 + 110012 = 101012
Vilaacutegosabbaacute vaacutelik a nim-oumlsszeadaacutes ha a szokaacutesos moacutedon egymaacutes alaacute iacuterva adjuk oumlssze
őket
11002
110012
101012
Ezt a definiacutecioacutet meggondolhatjuk maacuteskeacuteppen is
Definiacutecioacute Jeloumllje 119917120784 a keacutetelemű testet (azaz a modulo 2 szaacutemkoumlrt) eacutes legyen 119917120784infin ennek
veacutegtelen diszkreacutet direktszorzata vagyis az a veacutegtelen dimenzioacutes vektorteacuter amelyben olyan
14
0 eacutes 1 koordinaacutetaacutekat tartalmazoacute vektorok vannak melyekben csak veacuteges sok 1-es szaacutem
szerepel
Tekintsuumlk a koumlvetkező koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű megfelelteteacutest N eacutes 119917120784infin koumlzoumltt iacuterjunk
fel egy adott szaacutemot kettes szaacutemrendszerben de fordiacutetott sorrendben azaz jobbroacutel balra
Vegyuumlk azt a veacutegtelen hosszuacute vektort melynek az első koordinaacutetaacutei eacuteppen ennek a
szaacutemnak a bdquofordiacutetottrdquo kettes szaacutemrendszerbeli alakjaacutenak szaacutemjegyeivel egyezik meg
majd ezeket veacutegtelen sok nulla koumlveti Ez egy egyeacutertelmű megfelelteteacutest ad N eacutes 119917120784infin
elemei koumlzoumltt hiszen egy szaacutem egyetlen vektornak felel meg Azaz ha
119899 = sum 119886119894 ∙ 2119894infin119894=0 ahol 119886119894= 0 vagy 1 akkor az ennek megfelelő vektor (1198860 1198861 1198862 )
Teacutetel A nim-oumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot
Bizonyiacutetaacutes Tudjuk hogy a vektoroumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot Az előzőekben adott
egyeacutertelmű megfelelteteacutessel laacutethatoacute hogy az 119917120784infin-beli veacutegtelen hosszuacute vektorok
oumlsszeadaacutesa eacutes a nim-oumlsszeadaacutes ekvivalens művelet ezeacutert a nim-oumlsszeadaacutes is Aacutebel-
csoportot alkot
A nim-oumlsszeadaacutes tovaacutebbi tulajdonsaacutegai
1 Aacutelliacutetaacutes Minden a szaacutemra a a = 0
Bizonyiacutetaacutes Nem neheacutez meggondolni hogy ha a kettes szaacutemrendszerben keacutet azonos
szaacutemot adunk nim-oumlssze akkor mivel abban az 1-esek eacutes 0-k ugyanazon a helyieacuterteacuteken
aacutellnak az oumlsszeadaacutesukkor azok mind lenullaacutezoacutednak (1 + 1 = 0 + 0 = 0)
2 Aacutelliacutetaacutes Tetszőleges a eacutes b pozitiacutev egeacuteszekre teljesuumll 0 le a b le a + b
Ezt nem bizonyiacutetom de veacutegiggondolhatoacute
3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja
Az egykupacos Nim-jaacuteteacutek nagyon egyszerű nem is nevezhető jaacuteteacuteknak hiszen a kezdő
jaacuteteacutekos elsőre felmarkolhatja az egeacutesz kupacot eacutes veacutege a jaacuteteacuteknak Nem ilyen koumlnnyű
elsőre aacutetlaacutetni a toumlbb kupacos normaacutel Nim-jaacuteteacutekot
Vezessuumlk be a Nim(a1 a2hellip an) jeloumlleacutest arra az n kupacos Nim-jaacuteteacutekra ahol a1
a2hellip an a kuumlloumlnboumlző kupacok elemszaacutema
15
Teacutetel
1) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek kupacmeacutereteinek nim-oumlsszege a1 a2 hellip an ne 0
akkor biztosan leacutetezik olyan leacutepeacutes hogy a kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra
a1rsquo a2rsquohellip anrsquo = 0
2) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekban a1 a2 hellip an = 0 akkor baacutermely leacutepeacutes utaacuten a
kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra a nim-oumlsszeg a1rsquo a2rsquohellip anrsquo 0
Bizonyiacutetaacutes
1) Előszoumlr iacuterjuk fel egymaacutes alaacute a kupacok meacutereteacutet kettes szaacutemrendszerben eacutes adjuk oumlssze
őket nim szerint A ceacutelunk az hogy ezt a kapott oumlsszeget olyan moacutedon 0-ra tudjuk
vaacuteltoztatni ami megfeleltethető egy jaacuteteacutekbeli leacutepeacutessel Ehhez keressuumlk meg azt a
legnagyobb helyieacuterteacuteket (vagyis balroacutel az első olyan oszlopot) ahol paacuteratlan sok 1-es
szerepel - ugyanis ezen a helyieacuterteacuteken a nim-oumlsszegben is 1-es fog szerepelni - eacutes
vaacutelasszuk ki ebből az egyik 1-est legyen ez ai feliacuteraacutesaacuteban Most vaacuteltoztassuk meg ezt
az 1-est 0-ra eacutes ai ettől jobbra leacutevő binaacuteris szaacutemjegyeit is csereacuteljuumlk 1-esre vagy 0-ra
uacutegy hogy veacuteguumll az egeacutesz oumlsszeg 0-ra csoumlkkenjen (Ez megtehető eacutes ezt akkor eacuterjuumlk
el ha minden oszlopban paacuteros szaacutemuacute 1-es lesz) Ezzel a leacutepeacutessel aacuteteacutertuumlnk a Nim(a1rsquo
a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra ahol aj = aj kiveacuteve j = i-re eacutes ebben 0 a nim-oumlsszeg A
feliacuteraacutesban egy sor a jaacuteteacutekban egy kupac elemszaacutemaacutenak felel meg eacutes egy tetszőleges
sort alkotoacute szaacutem csoumlkkenteacutese valamennyivel ekvivalens azzal hogy a neki megfelelő
kupacboacutel ugyanennyi elemet elveszuumlnk Maacuter csak azt kell belaacutetnunk hogy az eljaacuteraacutes
soraacuten valoacuteban az egyik kupac elemszaacutemaacutet csoumlkkentettuumlk (nem noumlveltuumlk) tehaacutet leacutetezik
ilyen leacutepeacutes Ezt nem neheacutez meggondolni mert a legnagyobb helyieacuterteacuteken aacutelloacute 1-est 0-
ra csereacuteltuumlk ndash legyen ez a 2k helyieacuterteacutek ndash eacutes moumlgoumltte a vaacuteltoztataacutesok utaacuten legfeljebb k
-1 darab 1-es aacutellhat melyek eacuterteacuteke tiacutezes szaacutemrendszerben legfeljebb 1 + 2 + 4 + 8 +
+ 2k-1 = 2kndash1 ami biztosan kisebb az előző szaacutemnaacutel Tehaacutet a leiacutert leacutepeacutesek soraacuten valoacuteban
csoumlkkentettuumlk a kupacok meacutereteacutet
Ezt a bizonyiacutetaacutest egeacutesz egyszerűen aacutet lehet gondolni az előzőek alapjaacuten Laacutettuk hogy
a jaacuteteacutek leacutepeacuteseit hogyan tudjuk maacuteskeacutepp leiacuterni elveacutegezni A levezeteacutesből laacutetszik az
hogy 0 nim-oumlsszegből uacutejabb 0 nim-oumlsszegű aacutellaacutest nem tudunk eleacuterni
a1 a2 hellip an = 0 eseteacuten semelyik oszlopban sem lesz paacuteratlan szaacutemuacute 1-es amit
megcsereacutelve joacutel jaacuternaacutenk viszont egy sorban legalaacutebb egy szaacutemot ki kell csereacutelnuumlnk
mert leacutepni muszaacutej Tehaacutet lesz olyan oszlop a leacutepeacutesuumlnk utaacuten melyben paacuteratlan szaacutemuacute
1-es fog aacutellni iacutegy az oumlsszegben is legalaacutebb egy 1-es szerepelni fog
16
Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő
jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege
a1 a2 hellip an ne 0
Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző
teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire
a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet
uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig
fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb
Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud
leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok
Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy
leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is
oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot
jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti
Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti
egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot
Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor
jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen
oumlsszegjaacuteteacutek
sum 119869119894
119899
119868=0
ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet
kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)
Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege
is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek
17
Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg
azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat
Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban
van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz
Bizonyiacutetaacutes
Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva
a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az
bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha
ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik
jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat
b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik
jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő
jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja
szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az
oumlsszeguumlket is
Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala
kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha
első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer
Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg
hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk
az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes
kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű
paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri
a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot
Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező
fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet
18
4 Fejezet Grundy-szaacutemok
A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy
szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni
Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges
jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely
aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az
aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely
adta lehetőseacutegek koumlzuumll
Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű
jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel
1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az
ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel
ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat
leacutepeacuteseket) ismeruumlnk
2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal
leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket
tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek
3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul
annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok
hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak
A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban
nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni
Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia
megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a
toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező
fogalomra
19
Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb
nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt
Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)
Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot
az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de
roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van
Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs
raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden
raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb
kizaacutertja
Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema
Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben
semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute
aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan
raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne
ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb
kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli
raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten
nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute
veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol
minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak
Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok
ciklusmentesseacutegeacutenek
Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema
2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese
3 A [2] cikk alapjaacuten
20
Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos
Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek
Grundy-szaacutemai
Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb
nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-
szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i
a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak
egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk
ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy
G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema
G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be
hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes
felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem
maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1
Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok
illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az
alaacutebbiak
1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0
2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0
3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0
Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja
ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0
Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben
van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek
koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal
vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)
tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel
4 [2] cikk alapjaacuten
21
leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben
megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet
Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud
mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy
ő nyeri a jaacuteteacutekot
Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-
szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)
Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0
Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn
direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)
Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti
indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes
aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)
valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra
maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb
a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel
Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)
raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy
minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy
a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat
oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek
vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden
A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban
oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom
22
5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute
jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok
hasznaacutelata
5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai
Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő
egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti
darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok
Grundy-szaacutemai
Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-
szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő
Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen
innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk
= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz
vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet
el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan
ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute
Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)
vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet
Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent
meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes
strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait
Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem
Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik
ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a
koumlvetkező
5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy
bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek
Grundy-szaacutemaival
23
10 Jaacuteteacutek (Dawsonrsquos Chess) Adott egy 1x n-es teacuteglalap melynek neacutegyzeteibe a jaacuteteacutekosok
felvaacuteltva X-et raknak uacutegy hogy az X jellel ellaacutetott cellaacutek szomszeacutedosak nem lehetnek vagyis
egy X melletti neacutegyzetbe maacutesik X nem keruumllhet Az nyer aki az utolsoacute jelet rakja
Ha jobban meggondoljuk a keacutet jaacuteteacutek megfelel egymaacutesnak Annyi a kuumlloumlnbseacuteg hogy az
itteni neacutegyzetek ott a 2x2-es neacutegyzetek felező vonalainak felelnek meg eacutes az itteni vaacutelasztoacute
raacutecsvonalak pedig a sziacutenezős jaacuteteacutek neacutegyzeteivel egyeznek meg Neacutezzuumlk az alaacutebbi 5 1 aacutebraacuten
szemleacuteltetett peacuteldaacutet
Dawsonrsquos Chess taacutebla egy lehetseacuteges veacutegaacutellaacutessal
A 2 jaacuteteacutek ugyanazt jelentő veacutegső aacutellaacutesa
51 aacutebra
Joacutel laacutethatoacute hogy a 2 jaacuteteacutekban a 2x2-es neacutegyzetek hataacutervonalai eacutepp a Dawsonrsquos Chess-
beli bdquotiltott mezőknekrdquo felelnek meg - amikben nem keruumllhet X jel mert szomszeacutedjukban
maacuter szerepel - mert egy ilyen hataacutervonalra nem eshet maacutesik 2x2-es neacutegyzet felezővonala
hisz akkor a neacutegyzetek takarnaacutek egymaacutest
Feacuteny deruumllt arra6 hogy ennek a jaacuteteacuteknak a Grundy-szaacutemaiboacutel aacutelloacute sorozat 34-es
periodicitaacutesuacute de az elejeacuten van heacutet kiveacutetel a 0 14 16 17 31 34 eacutes 51 helyen aacutelloacute szaacutemok
tekinteteacuteben Utaacutena beaacutell a valoacutedi periodicitaacutes Azok az aacutellaacutesok eacuterdekesek szaacutemunkra a
nyerő strateacutegia kutataacutesa kapcsaacuten melyek Grundy-szaacutema 0 mert ezek a vesztes aacutellaacutesok
Tehaacutet vesztes aacutellaacutesok az elejeacutetől kezdve 1 5 9 15 21 25 29 35 neacutegyzetet tartalmazoacute
kezdőaacutellaacutesok majd az 1 a 15 eacutes 35 kiveacuteteleacutevel ezek k ∙ 34-gyel vett oumlsszegei is vesztő
aacutellaacutesok lesznek a periodicitaacutes miatt
5 2 Jaacuteteacutekok korongokkal
A koumlvetkező jaacuteteacutek a [4] koumlnyvből szaacutermazik
6 Szinteacuten a httpsoeisorg weboldal hasznaacutelataacuteval
X X
24
5 Jaacuteteacutek Egy asztalon sorba 10 korong van lerakva melyeknek egyik oldala feheacuter maacutesik
fekete sziacutenű Ketten jaacutetszanak A soron koumlvetkező mindig kivaacutelaszt egy fekete oldalaacuteval
felfeleacute fekvő korongot majd azt eacutes az oumlsszes tőle jobbra leacutevőt aacutetfordiacutetja a maacutesik oldalaacutera
Akkor van veacutege a jaacuteteacuteknak ha mindegyik korongnak a feheacuter oldala van feluumll Az veszt aki
nem tud toumlbbet leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes hogyan tud győzni
A jaacuteteacutek kimenetele eacutes nyertese fuumlgg a kiindulaacutesi helyzettől Tekintsuumlk az alaacutebbi konkreacutet
kezdőaacutellaacutest (5 2 aacutebra)
5 2 aacutebra
A nyertes strateacutegia nem bonyolult sőt eleacuteg keacutezenfekvő ha belegondolunk tudniillik a
veacutegeredmeacuteny egyaacuteltalaacuten nem a jaacuteteacutekosok leacutepeacutesein muacutelik hanem csupaacuten az utolsoacute korong
sziacuteneacutetől fuumlgg Ugyanis egy korong az utolsoacute helyen aacutelloacute biztosan megfordul minden
leacutepeacutesben Ez leacutepeacutesenkeacutent vaacuteltakozva hol feheacuter hol fekete oldalaacuteval lesz feluumll miacuteg ki nem
alakul a veacutegső nyertes ndash oumlsszes feheacuter ndash aacutellaacutes Ha peacuteldaacuteul kezdetben fekete az utolsoacute
korong akkor az mindig a kezdő jaacuteteacutekos forgataacutesai nyomaacuten fog a feheacuter oldalaacuteval felfeleacute
keruumllni A jaacuteteacutek egyszer veacuteget eacuter eacutes tudjuk hogy az utolsoacute leacutepeacutes a kezdő jaacuteteacutekoseacute lesz
tehaacutet ő nyer Ellenkező esetben - ha a kezdő aacutellapotban feheacuter az utolsoacute korong - a maacutesodik
jaacuteteacutekoseacute a győzelem Tehaacutet teljesen mindegy haacuteny koronggal jaacutetszunk a győztest mindig
a sorban elhelyezett utolsoacute korong sziacutene fogja elaacuterulni Ha az a fekete oldalaacuteval felfeleacute
fekszik akkor a kezdő ha feheacuter sziacutene laacutetszik akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos nyer Iacutegy a fenti
jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
Ha feladatban moacutedosiacutetjuk kicsit a szabaacutelyokat akkor a megoldaacutes is bonyoloacutedik eacutes itt
maacuter fel kell hasznaacutelnunk a Grundy-szaacutemokat illetve a nim-oumlsszeget A koumlvetkező feladat
eacutes megoldaacutesi oumltlete [2] forraacutesboacutel szaacutermazik
6 Jaacuteteacutek Legyen ismeacutet 10 darab korongunk az asztalra sorba lehelyezve A jaacuteteacutekosok
keacutetfeacutele leacutepeacutest hajthatnak veacutegre vagy megfordiacutetanak egy fekete oldalaacuteval felfeleacute fekvő
korongot vagy keacutet korongot fordiacutetanak meg melyek koumlzuumll a jobbraacutebb levő fekte Az vesziacutet
aki nem tud toumlbbet leacutepni
25
A megoldaacutes veacutegett szaacutemozzuk meg a korongokat balroacutel jobbra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 3 aacutebra
Aacutelliacutetaacutes A 6 jaacuteteacutek egy aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema eacutepp a fekete sziacutenű korongok sorszaacutemaacutenak
nim-oumlsszege
Bizonyiacutetaacutes Alkossunk ebből a jaacuteteacutekboacutel Nim-jaacuteteacutekot a koumlvetkező keacuteppen Ha az i-edik
korong sziacutene fekete akkor tekintsuumlnk egy ekkora elemszaacutemuacute kupacot a Nim-jaacuteteacutekban ha
feheacuter sziacutenű egy korong akkor nincs ilyen kupacunk Ezzel egy szokaacutesos Nim-jaacuteteacutekot
kapunk Azeacutert tehetjuumlk meg ezt mert a leacutepeacutesek eacutepp ugyanazt eredmeacutenyezik mindkeacutet
jaacuteteacutekban amennyiben megfordiacutetunk egy fekete korongot az annak felel meg ha nim-
jaacuteteacutekban azt a kupacot teljes egeacuteszeacuteben elvesszuumlk eacutes megszűnik Ha egy feheacuter eacutes egy
fekete korongot fordiacutetunk meg melyek koumlzuumll a fekete a jobb oldali akkor azzal
egyeneacuterteacutekű mintha a nim-jaacuteteacutekban bizonyos szaacutemuacute kavicsot elvettuumlnk volna az addigi
kupacboacutel uacutegy hogy a feketeacutere fordiacutetott korong sorszaacutemaacutenak megfelelő kupacmeacuteretet
eacutertuumlnk el (Mert a bal oldali korong sorszaacutema kisebb eacutes iacutegy kisebb elemszaacutemuacute kupacot is
jelent) Tekintsuumlnk erre magyaraacutezatul egy peacuteldaacutet (5 4 aacutebra)
1 2 3
5 4 aacutebra
Ebben a kis jaacuteteacutekban illusztraacuteljuk a korongforgataacutesi leacutepeacutesek eacutes a Nim-jaacuteteacutek kapcsolataacutet
Tekintsuumlk ennek mintaacutejaacutera a 2 eacutes 3 elmeszaacutemuacute kupacokkal jaacutetszott Nim-jaacuteteacutekot
Vilaacutegosan laacutetszik hogy ha megfordiacutetjuk peacuteldaacuteul a 2 szaacutemuacute fekete sziacutenű korongot eacutes iacutegy
az feheacuter lesz akkor ez a leacutepeacutes megegyezik azzal hogy a Nim-jaacuteteacutekban egy leacutepeacutessel
eltuumlntetjuumlk a 2 elemű kupacot Keacutet szabaacutelyos helyzetű korong megfordiacutetaacutesaacuteval ndash legyenek
26
most ezek az 1 eacutes 2 szaacutemuacuteak ndash az 55-oumls aacutebraacuten laacutethatoacute aacutellaacutes joumln leacutetre ami ekvivalens a
Nim-jaacuteteacutek azon leacutepeacuteseacutevel hogy a 2 elemű kupacboacutel 1 kavicsot elveszuumlnk
1 2 3
5 5 aacutebra
Keacutet fekete korong megfordiacutetaacutesa keacutet kupac teljes elveacuteteleacutet jelenteneacute a Nimben ami ilyen
formaacuteban nem szabaacutelyos Azonban ha jobban meggondoljuk ez a leacutepeacutes jelentheti azt
hogy a nagyobb meacuteretű kupacboacutel elveszuumlnk annyi kavicsot hogy az egyenlő legyen a
kisebb elemszaacutemaacuteval mert a nim-oumlsszeadaacutes miatt keacutet azonos meacuteretű kupac nem
befolyaacutesolja az egeacutesz jaacuteteacutek Grundy-szaacutemaacutet azaz a keacutet kupac kiegyenliacuteteacuteseacutevel illetve
teljes elveacuteteluumlkkel kapott Nim-aacutellaacutesok Grundy-szaacutemai megegyeznek
Az 5 3 aacutebra alapjaacuten kialakult aacutellaacutes Grundy-szaacutema tehaacutet 3 10 = 10 A jaacuteteacutek
vesztő aacutellaacutesainak Grundy-szaacutema 0 azaz ha ilyen aacutellaacutesroacutel indul valaki az nem tud nyerni
Ebből a poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacutet keacutepezni csak a 10 elemű kupac teljes elveacuteteleacutevel
lehetseacuteges Tehaacutet a 10-es szaacutemuacute fekete korongot kell megfordiacutetani előszoumlr a
győzelemhez
5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
A most koumlvetkező haacuterom jaacuteteacutekkal a [2] cikkben talaacutelkoztam
7 Jaacuteteacutek (Rim-jaacuteteacutek) Adott neacutehaacuteny kupac kavics A kupacok egyikeacuteből elvehető
akaacutermennyi kavics de csak uacutegy hogy az elvett elemek szaacutema relatiacutev priacutem legyen az elveacutetel
előtti mennyiseacuteghez
Ez a jaacuteteacutek toumlbb egykupacos uacuten bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacuteknak oumlsszege A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek
egy n darab taacutergyat (kavicsot) tartalmazoacute kupacroacutel szoacutel amelyből k elemet vehetuumlnk el
ha k eacutes n relatiacutev priacutemek Ebből koumlvetkezik hogy 1-et mindig elvehetuumlnk az oumlsszes elemet
azonban sosem (mert n oumlnmagaacuteval nem relatiacutev priacutem) kiveacuteve ha 1 darab marad a
kupacban
Jeloumlljuumlk itt az i elemszaacutemuacute Rim-kupacok Grundy-szaacutemaacutet G(Ri)-vel Az első eacutes maacutesodik
Grundy-szaacutem koumlnnyen megmondhatoacute G0 = 0 eacutes G1 = mex (G0) = 1 Ha keacutet elemet
27
tartalmaz a kiindulaacutesi kupac akkor a szabaacutelynak megfelelően az egyetlen lehetőseacuteg 1
kavics elveacutetele ezeacutert G(R2) = mex (1) = 0 Haacuteromelemű kezdőkupacboacutel 1 eacutes 2 elemet is
elvehetuumlnk iacutegy kapjuk hogy G(R3) = mex (G(R1) G(R2) ) = mex (1 0) = 2 Neacutegy elem
eseteacuten G4 = mex (G1 G3) = 0 Hasonloacutean G5 = mex (G(R1) G(R2) G(R3) G(R4)) =
= mex (1 2 0 2) = 3 eacutes iacutegy tovaacutebb A koumlvetkező teacutetelben meghataacuterozzuk aacuteltalaacutenossaacutegban
G(Rn)-et
Teacutetel A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutekban minden paacuteros n elemszaacutemuacute kupacra G(Rn) = 0 valamint
n paacuteratlan elemszaacutem eseteacuten G(Rn) = k ha n legkisebb priacutemosztoacuteja a k-adik priacutemszaacutem (Az
első priacutemszaacutem a 2 maacutesodik a 3 stb)
Bizonyiacutetaacutes n-re vonatkozoacute teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk
a) ha n paacuteros Semelyik esetben sem lehet az egeacutesz kupacot elvenni kiveacuteve ha 1 kavics
marad a kupacban Laacutettuk hogy G(R0) = G2 = 0 Legyen n paacuteros Tegyuumlk fel hogy
minden n-neacutel nem nagyobb paacuteros k szaacutemra G(Rk) = 0 Laacutessuk be ezt (n+2)-re is Mivel
egy paacuteros szaacutem semelyik maacutesik paacuteros szaacutemmal sem relatiacutev priacutem ezeacutert paacuteros darab
kavicsot nem vehetuumlnk el a kupacboacutel ennek okaacuten uacutejabb paacuteros elemszaacutemuacute aacutellaacutes sem
joumlhet leacutetre Paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac ugyan lehet (n+2) kiszomszeacutedja de annak
Grundy-szaacutema biztosan nem 0 mert 1 kavicsot baacutermelyik aacutellaacutesboacutel elvehetuumlnk iacutegy lesz
a paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt n-neacutel nem nagyobb paacuteros elemszaacutemuacute
kupac aminek Grundy-szaacutema 0 Tehaacutet (n+2) elemet tartalmazoacute kupac raacutekoumlvetkezői
koumlzoumltt nem lesz 0 Grundy-szaacutemuacute iacutegy azok legkisebb kizaacutertja eacutepp a 0
b) ha n paacuteratlan Tudjuk hogy G1 = 1 eacutes azt is laacutettuk hogy G3 = 2 Itt is teljes indukcioacutet
hasznaacutelunk Tegyuumlk fel hogy igaz a fenti aacutelliacutetaacutes minden paacuteratlan n-re Bizonyiacutetsuk be
hogy ez az n+2 paacuteratlan szaacutemra is oumlroumlklődik Legyen n+2 legkisebb priacutemosztoacuteja p eacutes
annak sorszaacutema k Ahhoz hogy belaacutessuk hogy Gn+2 = k keacutet dologra van szuumlkseacuteg
1) Minden k-naacutel kisebb szaacutem előfordul az n+2 elemszaacutemuacute aacutellaacutes valamely
kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutemakeacutent
2) Az n+2 elemű kupac egyik kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutema sem k
1) igazolaacutesa 1-et eacutes n+1-et mindig leacutephetuumlnk tehaacutet 1 eacutes 0 Grundy-szaacutemuacute
raacutekoumlvetkezője minden aacutellaacutesnak van Legyen q egy tetszőleges p-neacutel kisebb priacutem ndash
ennek sorszaacutema k-naacutel kisebb eacutes az indukcioacute szerint a q elemű aacutellaacutes Grundy-szaacutema eacutepp
a q sorszaacutema Ekkor meg kell mutatnunk hogy n+2ndashből aminek legkisebb
priacutemosztoacuteja p a q elemszaacutemuacute kupacba leacutepeacutes szabaacutelyos Ez azeacutert igaz mert a
28
jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek
nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek
elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash
hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert
kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute
kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes
2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m
elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb
priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt
k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek
A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő
strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk
8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad
kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja
legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is
elvehetjuumlk)
Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő
tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz
melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk
Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean
G(Di)
Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1
Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva
laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek
bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1
29
1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i
2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan
1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute
kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute
kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei
azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet
elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =
21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i
2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet
eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n
raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l
paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1
Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban
ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra
G(Da) = 0 + 1 = 1
Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek
9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az
egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a
Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya
szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)
Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg
Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal
Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon
mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)
= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet
a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5
kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre
30
11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik
kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az
nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi
Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-
ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet
Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik
jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem
hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy
speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok
bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A
Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő
nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk
valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval
deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek
a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)
stb kupacmeacuteretek
Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt
de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt
5 4 Fibonacci-nim
A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik
13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el
kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve
utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint
amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben
Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz
szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa
előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban
31
Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat
i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2
Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a
koumlvetkező taacuteblaacutezat
Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok
Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő
Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok
oumlsszegeacutere
Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899
Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel
hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga
Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem
akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-
szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert
119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa
kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem
Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele
keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen
Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip
Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel
minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok
legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot
vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)
7 [1] alapjaacuten
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
6
Az aacutellaacutesok eacutes szabaacutelyos leacutepeacutesek oumlsszefoglalhatoacuteak egy fogalommal megmutatjuk
hogyan
Definiacutecioacute (egyszerű graacutef) Vegyuumlnk keacutet diszjunkt halmazt jeloumllje ezeket V eacutes E ahol V
nemuumlres Legyen E a V-beli elemekből keacutepezhető keacutetelemű reacuteszhalmazoknak egy halmaza
Ekkor a G = (V E) rendezett paacutert (egyszerű) graacutefnak nevezzuumlk melyben V elemei a
csuacutecsok E elemei az eacutelek
Definiacutecioacute (iraacutenyiacutetott graacutef) Iraacutenyiacutetott egyszerű graacutefroacutel beszeacuteluumlnk ha a fenti graacutef
definiacutecioacutejaacuteban E a V-beli elemekből keacutepezhető rendezett paacuteroknak egy halmaza
Megjegyzeacutes A tovaacutebbiakban ha (iraacutenyiacutetott) graacutefot emliacutetuumlnk mindig egyszerű
(iraacutenyiacutetott) graacutefra gondolunk
Definiacutecioacute (aacutellapotgraacutef) A jaacuteteacutek aacutellapotgraacutefjaacutenak nevezzuumlk azt speciaacutelis iraacutenyiacutetott graacutefot
melyben a jaacuteteacutek aacutellaacutesai a graacutef csuacutecsainak a lehetseacuteges leacutepeacutesek a graacutef eacuteleinek felelnek
meg
A koumlnnyebb eacuterthetőseacuteg eacutes az egyeacutertelmű leiacuteraacutesok eacuterdekeacuteben bevezetuumlnk egy keacutesőbb sokat
hasznaacutelt fogalmat
Definiacutecioacute (raacutekoumlvetkező) Egy X aacutellaacutes raacutekoumlvetkezője az Y aacutellaacutes ha X-ből koumlzvetlenuumll (egy
leacutepeacutessel) el tudunk jutni Y-ba azaz ha az aacutellapotgraacutefban (X Y) eacutel (maacutes szoacuteval az X-nek
kiszomszeacutedja az Y)
Definiacutecioacute (veacuteges jaacuteteacutek) Veacuteges jaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha aacutellapotgraacutefjaacuteban minden csuacutecshoz
tartozik egy nemnegatiacutev egeacutesz szaacutem uacutegy hogy azok minden kiszomszeacutedjaacutehoz rendelt szaacutem
kisebb az oumlveacuteneacutel (pl a haacutetraleacutevő leacutepeacutesek maximaacutelis szaacutema) Ezt a szaacutemot nevezzuumlk az
aacutellaacutes szintjeacutenek
Ez alapjaacuten tegyuumlk fel hogy az aacutellapotgraacutef csuacutecsai szaacutemozva vannak Ekkor az aacutellaacutesok
szintjei a leacutepeacutesek soraacuten szigoruacutean monoton csoumlkkennek
Koumlvetkezmeacuteny Veacuteges jaacuteteacutek aacutellapotgraacutefja nem tartalmaz iraacutenyiacutetott koumlrt azaz aciklikus
Bizonyiacutetaacutes Ha tartalmazna koumlrt akkor lenne olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban ami toumlbbszoumlr is
előfordulhatna vagyis lenne olyan X1 X2 hellip Xk leacutepeacutessorozat ahol minden Xi+1 aacutellaacutes az
7
Xi aacutellaacutes raacutekoumlvetkezője eacutes Xk-nak kiszomszeacutedja X1 Azonban a veacuteges jaacuteteacutek definiacutecioacuteja
szerint egy aacutellaacutes raacutekoumlvetkezőjeacutenek a szintje kisebb mint az aacutellaacutes szintje ezeacutert Xk-nak nem
lehet X1 a raacutekoumlvetkezője mert akkor a hozzaacuterendelt szaacutem nagyobb keacutene legyen X1
szaacutemaacutenaacutel ami ellentmondaacutes
Definiacutecioacute Normaacutel jaacuteteacuteknak nevezzuumlk a tovaacutebbiakban azokat a jaacuteteacutekokat melyekben az a
jaacuteteacutekos vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni maacuteskeacutepp fogalmazva az nyer aki az utolsoacute leacutepeacutest
teszi
Megjegyzeacutes Aacuteltalaacuteban a dolgozatban hozott jaacuteteacutekok ilyen normaacutel jaacuteteacutekok
8
2 Fejezet Kezdő feladatok
Dolgozatom elejeacuten szeretneacutek bemutatni egy-keacutet toumlbbnyire szeacuteles koumlrben elterjedt
egyszerűbb matematikai jaacuteteacutekot Mindegyik korosztaacutely szaacutemaacutera talaacutelhatoacute megfelelő
szintű eacutes neheacutezseacutegű feladat vagy jaacuteteacutek amivel felkelthető a gyerekek eacuterdeklődeacutese Meg
lehet mutatni nekik hogy a matematikaacutenak van ilyen szoacuterakoztatoacute reacutesze is Persze az
lenne a legjobb ha ezekben tudnaacutek alkalmazni eacutes kamatoztatni a koraacutebban tanultakat
1 1 Lepakoloacutes jaacuteteacutek
1 jaacuteteacutek Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez korongokat egy asztalra Az vesziacutet aki nem tud uacutegy
toumlbb korongot elhelyezni az asztalon hogy az ne fedjen egy maacuter lent fekvőt Kinek van
nyerő strateacutegiaacuteja
Ez a jaacuteteacutek toumlbb tankoumlnyvben is szerepel Tapasztalataim szerint ez inkaacutebb elvi
gondolati jaacuteteacutek mert a gyakorlatba nehezen kivitelezhető A korongok vagy eacutermeacutek (hol
mi szerepel) koumlnnyen egymaacutesra csuacuteszhatnak vagy nem mindig egyeacutertelmű a helyzetuumlk
Mindemellett a jaacuteteacutek megoldaacutesa pofonegyszerű a gyerekek is hamar raacutejoumlhetnek Arra az
eredmeacutenyre jutunk hogy mindig az első jaacuteteacutekos nyer A joacute strateacutegia pedig az ha előszoumlr
koumlzeacutepre tesszuumlk a kezdő korongot (minden esetben van ilyen ha kerek az asztal ha
szoumlgletes leacutenyeg hogy az koumlzeacuteppontosan szimmetrikus legyen) eacutes a koumlvetkezőkben
mindig az ellenfeacutel leacutepeacuteseacutenek koumlzeacuteppontos tuumlkoumlrkeacutepeacutet leacutepjuumlk Ezt a strateacutegiaacutet jaacutetszva a
kezdő jaacuteteacutekos nem tud veszteni hiszen ha van meacuteg hely a maacutesodik jaacuteteacutekos leacutepeacuteseacutenek
akkor biztosan szabad lehetőseacuteg annak keacutepe is
Eacuterdekesseacutegkeacutent vegyuumlk eacuteszre hogy ennek az asztalra pakoloacutes jaacuteteacuteknak veacutegtelen sok
aacutellapota leacutetezik hiszen veacutegtelen sok pontra helyezhető egy korong Meacutegis veacuteges jaacuteteacuteknak
tekinthetjuumlk mert a leacutepeacutesek soraacuten az asztal szabad teruumllete csoumlkken vagyis egyre csoumlkken
a megtehető leacutepeacutesek maximaacutelis szaacutema is miacuteg előbb-utoacutebb eljutunk abba az aacutellapotba
hogy toumlbb korong maacuter nem feacuter az asztalra
Ezzel egyuumltt megproacutebaacutelhatjuk az eredetit veacuteges aacutellapotszaacutemuacute jaacuteteacutekkaacute tenni ez az oumltlet
szakdolgozat iacuteraacutesa koumlzben meruumllt fel A jaacuteteacutekot gyakorlatban neacutegyzetraacutecsos papiacuteron
lehetne jaacutetszani
9
2 Jaacuteteacutek Adott egy (n x k)-as teacuteglalap alakuacute jaacuteteacutektaacutebla Keacutet jaacuteteacutekosnak uacutegy kell felvaacuteltva
(előre lefixaacutelt) egyforma meacuteretű neacutegyzeteket besziacuteneznie a taacuteblaacuten hogy azok ne takarjaacutek
egymaacutest Az vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni Keacuterdeacutes hogy melyik jaacuteteacutekos nyer
Csupa 1x1-es neacutegyzetek sziacutenezeacutese nem hoz laacutezba senki mert a győztes csak a jaacuteteacutektaacuteblaacutet
alkotoacute neacutegyzetek szaacutemaacutetoacutel fuumlgg ha paacuteros sok neacutegyzetből aacutella taacutebla a maacutesodik paacuteratlan
szaacutemuacute neacutegyzet eseteacuten az első szaacutemuacute jaacuteteacutekos nyer Vizsgaacuteljuk most a jaacuteteacutekot 2x2-es
neacutegyzetek sziacutenezeacutese eseteacuten Nem neheacutez felismerni hogy ha a jaacuteteacutektaacutebla (2k x 2k)-as
neacutegyzet vagy (2k x 2l)-es teacuteglalap alakuacute (tetszőleges k l N eseteacuten) akkor műkoumldik raacute
a fent taacutergyalt koumlzeacuteppontos szimmetriaacuten alapuloacute strateacutegia Azonban a toumlbbi esetben
((2k+1)x(2l+1)-es vagy (2k)x(2l+1)-es jaacuteteacutektaacuteblaacutenaacutel) ezt nem tudjuk kihasznaacutelni mert
nincs koumlzeacutepső neacutegyes amivel kezdhetneacutenk a sziacutenezeacutest Hogyan jaacutetsszunk ilyenkor Van-
e egyaacuteltalaacuten abszoluacutet nyertes Neacutezzuumlnk egy kisebb konkreacutet peacuteldaacutet
Aacutelliacutetaacutes (3x2k)-as taacuteblaacuten jaacutetszva az első jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy a paacuteros hosszuacute oldal felezőmerőlegese raacutecsvonalon
halad iacutegy kihasznaacutelhatjuk az erre a tengelyre valoacute szimmetriaacutet Kettő olyan (2x2)-es
neacutegyzet van melyen eme tengely aacutethalad de ezek koumlzuumll csak egy sziacutenezhető Ha a kezdő
elsőkeacutent az egyik ilyet sziacutenezi be akkor ellenfele tetszőleges leacutepeacuteseacutet tuumlkroumlzve a
tuumlkoumlrtengelyre oumlveacute lesz az utolsoacute leacutepeacutes
A 2xn-es jaacuteteacutektaacuteblaacuten valoacute jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera a keacutesőbbiekben majd meacuteg
visszateacuteruumlnk (ld 5 fejezet) A toumlbbi esetről nem lesz szoacute kiproacutebaacutelaacutesukat tudom ajaacutenlani
1 2 Foglaloacutes jaacuteteacutekok
Foglalkozzunk kicsit a foglaloacutes tiacutepusuacute jaacuteteacutekokkal Ezeket azeacutert szokaacutes iacutegy nevezni
mert adott jaacuteteacutektaacuteblaacuten jaacutetsszaacutek uacutegy hogy felvaacuteltva elfoglalnak egy-egy mezőt (tesznek raacute
egy-egy sajaacutet sziacutenű jelet) eacutes a jaacuteteacutek győztese az aki az előre kijeloumllt nyertes
mezőcsoportok valamelyikeacutet előszoumlr el tudja foglalni Ilyen foglaloacutes jaacuteteacutekra peacutelda a
mindenki aacuteltal joacutel ismert angol neveacuten Tic-tac-toe mely soraacuten a jaacuteteacutekosok egy 3x3-as
neacutegyzetbe a szokaacutesos X eacutes koumlr jeleket rakosgatjaacutek eacutes az nyer aki előszoumlr tudja haacuterom
egyforma jeleacutet egy vonalba helyezni (tehaacutet a haacuterom sor a haacuterom oszlop eacutes a keacutet aacutetloacute a
kijeloumllt nyertes mezőcsoportok) A foglaloacutes jaacuteteacutekok nem tekinthetőek normaacutel jaacuteteacutekoknak
10
mert kialakulhat doumlntetlen aacutellaacutes is amikor azeacutert nem tudnak toumlbbet leacutepni a jaacuteteacutekosok mert
a taacuteblaacuten a lehetőseacutegek elfogytak de senki sem nyert
Aacutelliacutetaacutes A foglaloacutes jaacuteteacutekokban a maacutesodik jaacuteteacutekos sosem nyerhet (Legfeljebb doumlntetlenre
vezető strateacutegiaacuteja lehet)
Bizonyiacutetaacutes Indirekte tegyuumlk fel hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja Ilyen
helyzetben a kezdő tudja alkalmazni a bdquostrateacutegialopaacutestrdquo Ez azt jelenti hogy a kezdő
jaacuteteacutekos leacutep valamit majd innentől uacutegy fogja fel a jaacuteteacutekot mintha csak most kezdődne eacutes
a maacutesodik jaacuteteacutekos nyerő strateacutegiaacuteja szerint jaacutetszik tovaacutebb Akkor meruumllhetne fel
probleacutema ha azt a mezőt keacutene elfoglalnia melyre az első leacutepeacuteskor leacutepett aacutem ez nem
gond mivel ezen maacuter az ő jele szerepel tehaacutet mi sem egyszerűbb baacuterhova maacuteshova tehet
Ezzel a moacutedszerrel az első jaacuteteacutekosnak nyernie kellene holott a maacutesodiknak van nyerő
strateacutegiaacuteja ellentmondaacutes
Gondoljuk meg a koumlvetkező konkreacutet foglaloacutes jaacuteteacutekot a nyerő strateacutegia szempontjaacuteboacutel
3 Jaacuteteacutek (Trihex) Az 11 aacutebra szerinti jaacuteteacutektaacuteblaacutera keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez egy piros
illetve egy keacutek korongot valamelyik meacuteg uumlres koumlrre Az győz akinek elsőkeacutent sikeruumll
haacuterom egysziacutenű korongot helyeznie a kilenc egyenes vonal valamelyikeacutere
11 Aacutebra A trihex jaacuteteacutek taacuteblaacuteja
Teacutetel A Trihex jaacuteteacutekban az I jaacuteteacutekos nyer
Bizonyiacutetaacutes A teacutetel bizonyiacutetaacutesaacuteban szuumlkseacuteguumlnk lesz keacutet fogalomra szabad egyeneseknek
nevezzuumlk azokat az egyeneseket melyeken egyetlen korong sincs eacutes egy jaacuteteacutekos szaacutemaacutera
feacutelszabad egyenes az az egyenes amelyen van az ő sziacuteneacutenek megfelelő sziacutenű korong de
mentes az ellenfele korongjaitoacutel A bizonyiacutetaacutes soraacuten kollineaacuterisnak nevezuumlnk haacuterom
mezőt ha azok a jaacuteteacutek taacuteblaacutejaacuten egyazon egyenesre illeszkednek
11
Az aacutebra uacutegy van megalkotva hogy minden egyenesen haacuterom uumlres koumlr szerepel ahova
a korongokat el kell helyezni tovaacutebbaacute minden ponton aacutet haacuterom egyenes megy aacutet
Megegyezeacutes alapjaacuten I jaacuteteacutekos hasznaacutelja a piros korongokat ellenfele a keacutekeket
Kezdőkeacutent az első leacutepeacutest mindenkeacutepp az egyik olyan mezőre tegyuumlk mely a nagy
haacuteromszoumlg oldalaacuten de nem a csuacutecsaacuten helyezkedik el Ellenfeluumlnk leacutepeacuteseacutetől fuumlggően keacutet
fajta aacutellaacutes joumlhet leacutetre amit kuumlloumln kell vizsgaacutelnunk
a) Ha II nem oldalpontra tesz akkor leacutepeacuteseacutet uacutegy kell koumlvetnuumlnk hogy a keacutet piros
korongunk egyazon feacutelszabad egyenesen legyen Ezutaacuten biztosan adoacutedni fog
legalaacutebb keacutet ilyen feacutelszabad egyenes Ezzel a leacutepeacutessel keacutenyszeriacutetettuumlk a maacutesodik
jaacuteteacutekost hogy keacutek korongjaacutet ezen egyenes harmadik mezőjeacutere helyezze hogy
megakadaacutelyozza a győzelmuumlnket Figyeljuumlnk raacute hogy a feacutelszabad egyenesek koumlzuumll
olyat eacutes annak olyan a pontjaacutet vaacutelasszuk melyen a harmadik ndash meacuteg uumlres hely ndash
nincs egy egyenesen a keacutek koronggal (ellenőrizhető hogy lesz ilyen) hogy ezzel
ne segiacutetsuumlk ellenfeluumlnket Ellenkező esetben megelőlegezzuumlk magunknak a
keacutenyszerhelyzetet Az ezutaacuteni koumlrben ndash a paacutelya sajaacutetossaacutegai miatt ndash lesz olyan
mező ami keacutet 1-1 piros korongot tartalmazoacute feacutelszabad egyenes metszeacutespontja
Foglaljuk el ezt a mezőt Innen koumlnnyen laacutethatoacute hogy megnyerjuumlk a jaacuteteacutekot
b) Maacutesodik eset ha ellenfeluumlnk egy maacutesik oldalpontra (de nem csuacutecsra) teszi keacutek
korongjaacutet Az oldalpontok tulajdonsaacutega hogy minden ponttal kollineaacuterisak csak
egymaacutessal nem Tegyuumlnk most a harmadik oldalpontra Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekos
akaacutermit leacutephet mi fogunk nyerni Ugyanis a keacutet piros sziacutenű oldalpontnak az oumlsszes
meacuteg szabad mezővel van koumlzoumls egyenese tehaacutet baacutermelyik pontra is leszuumlnk
keacutenytelenek tenni (ellenfeluumlnk győzelmeacutenek megakadaacutelyozaacutesa eacuterdekeacuteben) az
biztosan keacutet olyan feacutelszabad egyenesnek lesz metszeacutespontja ami tartalmaz 1-1
piros sziacutenű korongot Innen pedig egyeacutertelműen mi nyeruumlnk
12
3 Fejezet Kupacos jaacuteteacutekok
Koumlzkedvelt matematikai jaacuteteacutekok a kupacokba vagy halmokba rendezett taacutergyak
(kavicsok gyufaacutek korongok stb) alkotta jaacuteteacutekok melyekben kuumlloumlnboumlző szabaacutelyok
szerint szabad elvenni bizonyos szaacutemuacute elemet Ebben a fejezetben kupacokba rendezett
kavicsokroacutel lesz szoacute Tovaacutebbra is a joacute strateacutegia megtalaacutelaacutesa a ceacutel
3 1 Egyszerű egykupacos jaacuteteacutek
4 Jaacuteteacutek Egy kupacban 21 kavics van Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva 1 2 vagy 3
darabot vehetnek el Ez normaacutel jaacuteteacutek vagyis az nyer aki az utolsoacute(ka)t veszi el Kinek
van nyerő strateacutegiaacuteja
Visszafele gondolkodva aki előtt maacuter csak 3 vagy kevesebb korong lesz az meg tudja
nyerni a jaacuteteacutekot hiszen a legfeljebb 3 korongot elvehet Ez nyerő aacutellaacutes A 4 darab kavics
ugyanebből a megfontolaacutesboacutel vesztes aacutellaacutes hiszen akaacuterhaacuteny (1 2 vagy 3) darabot veszuumlnk
is el ellenfeluumlnk elveheti a maradeacutekot eacutes ezzel nyer Tovaacutebbgondolva minden 4∙k (k =
0 1hellip n) darab kavics vesztes aacutellaacutes mert abboacutel leacutepve az elemek szaacutemaacutenak neacuteggyel
oszthatoacutesaacutega nem megtarthatoacute tehaacutet vesztes aacutellaacutesboacutel vesztes aacutellaacutesba nem lehet leacutepni
viszont baacutermely maacutes esetből meg lehet jaacutetszani azokat Speciaacutelisan itt a vesztes aacutellaacutesok
4 8 12 16 20 db korong Ennek megfelelően 21 kavics eseteacuten a kezdő jaacuteteacutekosnak van
nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig előszoumlr 20-ra csoumlkkentve a kavicsok szaacutemaacutet
Eacuterdemes meggondolni ezt a feladatot aacuteltalaacutenosabban is
4 Jaacuteteacutek aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa Adott egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el 1-
től m darabig akaacuterhaacuteny kavicsot Az veszt aki nem tud leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja
eacutes mi az
Aacutelliacutetaacutes Ha m + 1 | n akkor a kezdő jaacuteteacutekos vesziacutet ellenkező esetben viszont neki van
nyerő strateacutegiaacuteja
Bizonyiacutetaacutes Ebben a jaacuteteacutekban biztosan az nyer akinek előszoumlr sikeruumll (m+1)-gyel
oszthatoacute elemszaacutemba leacutepni Ilyen helyzetből indulva baacuterhogyan is leacutepuumlnk nem tudunk
uacutejabb (m+1)-gyel oszthatoacutevaacute tenni a kupac meacutereteacutet miacuteg ellenfeluumlnk ndash akaacuterhogyan is
leacuteptuumlnk ndash a koumlvetkező koumlrben csoumlkkenteni tudja az elemszaacutemot uacutejabb (m+1)-gyel
oszthatoacutevaacute Vegyuumlk eacuteszre hogy a 0 veacutegső vesztes aacutellaacutes is oszthatoacute (m+1)-gyel Ezek
13
eacutertelmeacuteben minden (m + 1) ∙ k (k = 0hellipn) darab korong eseteacuten alakul ki vesztes aacutellaacutes
Tehaacutet aki ebből keacutenyszeruumll leacutepni az vesziacutet
Ha a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesakor a kupac meacutereteacutet osztja (m+1) akkor ugyanebből a
meggondolaacutesboacutel koumlvetkezik hogy a kezdő jaacuteteacutekos nem tud nyerni
Tovaacutebbra is kupacokkal eacutes azokboacutel aacutelloacute feladatokkal foglalkozunk A koumlvetkezőkben egy
aacuteltalaacutenosabb jaacuteteacutekcsoportroacutel lesz szoacute
3 2 Nim-jaacuteteacutek eacutes nim-oumlsszeadaacutes
A Nim-jaacuteteacutek Kiacutenaacuteboacutel szaacutermazoacute ma maacuter szeacuteles koumlrben ismert matematikai jaacuteteacutek A
menete a koumlvetkező
Nim-jaacuteteacutek adott n db kupac melyek rendre a1 a2 a3hellip an darab kavicsot tartalmaznak
Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva vesznek el akaacuterhaacuteny de legalaacutebb 1 kavicsot valamelyik
tetszőleges kupacboacutel Az nyer aki az utolsoacute kavicsot elveszi Keacuterdeacutes hogy kinek van nyerő
strateacutegiaacuteja
Ezek vagy az ehhez hasonloacute feladvaacutenyok megoldaacutesaacuteban segiacutetseacuteguumlnkre lesz egy uacutej
fogalom a bdquonim-oumlsszeadaacutesrdquo
Definiacutecioacute (nim-oumlsszeadaacutes) Vegyuumlk a nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemok halmazaacutet eacutes azon uacutegy
eacutertelmezzuumlk a nim-oumlsszeadaacutest hogy elemeit kettes szaacutemrendszerbeli alakjukban feliacuterva
adjuk oumlssze modulo 2 azaz nem toumlrődve az egyes helyieacuterteacutekeken adoacutedoacute maradeacutekokkal
Peacutelda 12 25 = 21 hiszen 11002 + 110012 = 101012
Vilaacutegosabbaacute vaacutelik a nim-oumlsszeadaacutes ha a szokaacutesos moacutedon egymaacutes alaacute iacuterva adjuk oumlssze
őket
11002
110012
101012
Ezt a definiacutecioacutet meggondolhatjuk maacuteskeacuteppen is
Definiacutecioacute Jeloumllje 119917120784 a keacutetelemű testet (azaz a modulo 2 szaacutemkoumlrt) eacutes legyen 119917120784infin ennek
veacutegtelen diszkreacutet direktszorzata vagyis az a veacutegtelen dimenzioacutes vektorteacuter amelyben olyan
14
0 eacutes 1 koordinaacutetaacutekat tartalmazoacute vektorok vannak melyekben csak veacuteges sok 1-es szaacutem
szerepel
Tekintsuumlk a koumlvetkező koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű megfelelteteacutest N eacutes 119917120784infin koumlzoumltt iacuterjunk
fel egy adott szaacutemot kettes szaacutemrendszerben de fordiacutetott sorrendben azaz jobbroacutel balra
Vegyuumlk azt a veacutegtelen hosszuacute vektort melynek az első koordinaacutetaacutei eacuteppen ennek a
szaacutemnak a bdquofordiacutetottrdquo kettes szaacutemrendszerbeli alakjaacutenak szaacutemjegyeivel egyezik meg
majd ezeket veacutegtelen sok nulla koumlveti Ez egy egyeacutertelmű megfelelteteacutest ad N eacutes 119917120784infin
elemei koumlzoumltt hiszen egy szaacutem egyetlen vektornak felel meg Azaz ha
119899 = sum 119886119894 ∙ 2119894infin119894=0 ahol 119886119894= 0 vagy 1 akkor az ennek megfelelő vektor (1198860 1198861 1198862 )
Teacutetel A nim-oumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot
Bizonyiacutetaacutes Tudjuk hogy a vektoroumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot Az előzőekben adott
egyeacutertelmű megfelelteteacutessel laacutethatoacute hogy az 119917120784infin-beli veacutegtelen hosszuacute vektorok
oumlsszeadaacutesa eacutes a nim-oumlsszeadaacutes ekvivalens művelet ezeacutert a nim-oumlsszeadaacutes is Aacutebel-
csoportot alkot
A nim-oumlsszeadaacutes tovaacutebbi tulajdonsaacutegai
1 Aacutelliacutetaacutes Minden a szaacutemra a a = 0
Bizonyiacutetaacutes Nem neheacutez meggondolni hogy ha a kettes szaacutemrendszerben keacutet azonos
szaacutemot adunk nim-oumlssze akkor mivel abban az 1-esek eacutes 0-k ugyanazon a helyieacuterteacuteken
aacutellnak az oumlsszeadaacutesukkor azok mind lenullaacutezoacutednak (1 + 1 = 0 + 0 = 0)
2 Aacutelliacutetaacutes Tetszőleges a eacutes b pozitiacutev egeacuteszekre teljesuumll 0 le a b le a + b
Ezt nem bizonyiacutetom de veacutegiggondolhatoacute
3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja
Az egykupacos Nim-jaacuteteacutek nagyon egyszerű nem is nevezhető jaacuteteacuteknak hiszen a kezdő
jaacuteteacutekos elsőre felmarkolhatja az egeacutesz kupacot eacutes veacutege a jaacuteteacuteknak Nem ilyen koumlnnyű
elsőre aacutetlaacutetni a toumlbb kupacos normaacutel Nim-jaacuteteacutekot
Vezessuumlk be a Nim(a1 a2hellip an) jeloumlleacutest arra az n kupacos Nim-jaacuteteacutekra ahol a1
a2hellip an a kuumlloumlnboumlző kupacok elemszaacutema
15
Teacutetel
1) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek kupacmeacutereteinek nim-oumlsszege a1 a2 hellip an ne 0
akkor biztosan leacutetezik olyan leacutepeacutes hogy a kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra
a1rsquo a2rsquohellip anrsquo = 0
2) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekban a1 a2 hellip an = 0 akkor baacutermely leacutepeacutes utaacuten a
kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra a nim-oumlsszeg a1rsquo a2rsquohellip anrsquo 0
Bizonyiacutetaacutes
1) Előszoumlr iacuterjuk fel egymaacutes alaacute a kupacok meacutereteacutet kettes szaacutemrendszerben eacutes adjuk oumlssze
őket nim szerint A ceacutelunk az hogy ezt a kapott oumlsszeget olyan moacutedon 0-ra tudjuk
vaacuteltoztatni ami megfeleltethető egy jaacuteteacutekbeli leacutepeacutessel Ehhez keressuumlk meg azt a
legnagyobb helyieacuterteacuteket (vagyis balroacutel az első olyan oszlopot) ahol paacuteratlan sok 1-es
szerepel - ugyanis ezen a helyieacuterteacuteken a nim-oumlsszegben is 1-es fog szerepelni - eacutes
vaacutelasszuk ki ebből az egyik 1-est legyen ez ai feliacuteraacutesaacuteban Most vaacuteltoztassuk meg ezt
az 1-est 0-ra eacutes ai ettől jobbra leacutevő binaacuteris szaacutemjegyeit is csereacuteljuumlk 1-esre vagy 0-ra
uacutegy hogy veacuteguumll az egeacutesz oumlsszeg 0-ra csoumlkkenjen (Ez megtehető eacutes ezt akkor eacuterjuumlk
el ha minden oszlopban paacuteros szaacutemuacute 1-es lesz) Ezzel a leacutepeacutessel aacuteteacutertuumlnk a Nim(a1rsquo
a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra ahol aj = aj kiveacuteve j = i-re eacutes ebben 0 a nim-oumlsszeg A
feliacuteraacutesban egy sor a jaacuteteacutekban egy kupac elemszaacutemaacutenak felel meg eacutes egy tetszőleges
sort alkotoacute szaacutem csoumlkkenteacutese valamennyivel ekvivalens azzal hogy a neki megfelelő
kupacboacutel ugyanennyi elemet elveszuumlnk Maacuter csak azt kell belaacutetnunk hogy az eljaacuteraacutes
soraacuten valoacuteban az egyik kupac elemszaacutemaacutet csoumlkkentettuumlk (nem noumlveltuumlk) tehaacutet leacutetezik
ilyen leacutepeacutes Ezt nem neheacutez meggondolni mert a legnagyobb helyieacuterteacuteken aacutelloacute 1-est 0-
ra csereacuteltuumlk ndash legyen ez a 2k helyieacuterteacutek ndash eacutes moumlgoumltte a vaacuteltoztataacutesok utaacuten legfeljebb k
-1 darab 1-es aacutellhat melyek eacuterteacuteke tiacutezes szaacutemrendszerben legfeljebb 1 + 2 + 4 + 8 +
+ 2k-1 = 2kndash1 ami biztosan kisebb az előző szaacutemnaacutel Tehaacutet a leiacutert leacutepeacutesek soraacuten valoacuteban
csoumlkkentettuumlk a kupacok meacutereteacutet
Ezt a bizonyiacutetaacutest egeacutesz egyszerűen aacutet lehet gondolni az előzőek alapjaacuten Laacutettuk hogy
a jaacuteteacutek leacutepeacuteseit hogyan tudjuk maacuteskeacutepp leiacuterni elveacutegezni A levezeteacutesből laacutetszik az
hogy 0 nim-oumlsszegből uacutejabb 0 nim-oumlsszegű aacutellaacutest nem tudunk eleacuterni
a1 a2 hellip an = 0 eseteacuten semelyik oszlopban sem lesz paacuteratlan szaacutemuacute 1-es amit
megcsereacutelve joacutel jaacuternaacutenk viszont egy sorban legalaacutebb egy szaacutemot ki kell csereacutelnuumlnk
mert leacutepni muszaacutej Tehaacutet lesz olyan oszlop a leacutepeacutesuumlnk utaacuten melyben paacuteratlan szaacutemuacute
1-es fog aacutellni iacutegy az oumlsszegben is legalaacutebb egy 1-es szerepelni fog
16
Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő
jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege
a1 a2 hellip an ne 0
Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző
teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire
a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet
uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig
fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb
Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud
leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok
Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy
leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is
oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot
jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti
Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti
egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot
Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor
jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen
oumlsszegjaacuteteacutek
sum 119869119894
119899
119868=0
ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet
kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)
Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege
is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek
17
Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg
azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat
Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban
van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz
Bizonyiacutetaacutes
Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva
a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az
bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha
ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik
jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat
b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik
jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő
jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja
szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az
oumlsszeguumlket is
Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala
kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha
első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer
Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg
hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk
az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes
kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű
paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri
a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot
Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező
fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet
18
4 Fejezet Grundy-szaacutemok
A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy
szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni
Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges
jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely
aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az
aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely
adta lehetőseacutegek koumlzuumll
Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű
jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel
1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az
ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel
ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat
leacutepeacuteseket) ismeruumlnk
2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal
leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket
tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek
3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul
annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok
hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak
A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban
nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni
Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia
megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a
toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező
fogalomra
19
Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb
nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt
Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)
Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot
az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de
roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van
Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs
raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden
raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb
kizaacutertja
Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema
Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben
semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute
aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan
raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne
ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb
kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli
raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten
nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute
veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol
minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak
Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok
ciklusmentesseacutegeacutenek
Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema
2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese
3 A [2] cikk alapjaacuten
20
Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos
Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek
Grundy-szaacutemai
Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb
nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-
szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i
a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak
egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk
ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy
G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema
G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be
hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes
felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem
maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1
Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok
illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az
alaacutebbiak
1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0
2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0
3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0
Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja
ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0
Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben
van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek
koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal
vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)
tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel
4 [2] cikk alapjaacuten
21
leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben
megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet
Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud
mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy
ő nyeri a jaacuteteacutekot
Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-
szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)
Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0
Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn
direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)
Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti
indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes
aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)
valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra
maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb
a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel
Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)
raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy
minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy
a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat
oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek
vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden
A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban
oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom
22
5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute
jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok
hasznaacutelata
5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai
Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő
egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti
darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok
Grundy-szaacutemai
Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-
szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő
Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen
innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk
= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz
vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet
el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan
ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute
Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)
vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet
Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent
meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes
strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait
Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem
Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik
ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a
koumlvetkező
5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy
bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek
Grundy-szaacutemaival
23
10 Jaacuteteacutek (Dawsonrsquos Chess) Adott egy 1x n-es teacuteglalap melynek neacutegyzeteibe a jaacuteteacutekosok
felvaacuteltva X-et raknak uacutegy hogy az X jellel ellaacutetott cellaacutek szomszeacutedosak nem lehetnek vagyis
egy X melletti neacutegyzetbe maacutesik X nem keruumllhet Az nyer aki az utolsoacute jelet rakja
Ha jobban meggondoljuk a keacutet jaacuteteacutek megfelel egymaacutesnak Annyi a kuumlloumlnbseacuteg hogy az
itteni neacutegyzetek ott a 2x2-es neacutegyzetek felező vonalainak felelnek meg eacutes az itteni vaacutelasztoacute
raacutecsvonalak pedig a sziacutenezős jaacuteteacutek neacutegyzeteivel egyeznek meg Neacutezzuumlk az alaacutebbi 5 1 aacutebraacuten
szemleacuteltetett peacuteldaacutet
Dawsonrsquos Chess taacutebla egy lehetseacuteges veacutegaacutellaacutessal
A 2 jaacuteteacutek ugyanazt jelentő veacutegső aacutellaacutesa
51 aacutebra
Joacutel laacutethatoacute hogy a 2 jaacuteteacutekban a 2x2-es neacutegyzetek hataacutervonalai eacutepp a Dawsonrsquos Chess-
beli bdquotiltott mezőknekrdquo felelnek meg - amikben nem keruumllhet X jel mert szomszeacutedjukban
maacuter szerepel - mert egy ilyen hataacutervonalra nem eshet maacutesik 2x2-es neacutegyzet felezővonala
hisz akkor a neacutegyzetek takarnaacutek egymaacutest
Feacuteny deruumllt arra6 hogy ennek a jaacuteteacuteknak a Grundy-szaacutemaiboacutel aacutelloacute sorozat 34-es
periodicitaacutesuacute de az elejeacuten van heacutet kiveacutetel a 0 14 16 17 31 34 eacutes 51 helyen aacutelloacute szaacutemok
tekinteteacuteben Utaacutena beaacutell a valoacutedi periodicitaacutes Azok az aacutellaacutesok eacuterdekesek szaacutemunkra a
nyerő strateacutegia kutataacutesa kapcsaacuten melyek Grundy-szaacutema 0 mert ezek a vesztes aacutellaacutesok
Tehaacutet vesztes aacutellaacutesok az elejeacutetől kezdve 1 5 9 15 21 25 29 35 neacutegyzetet tartalmazoacute
kezdőaacutellaacutesok majd az 1 a 15 eacutes 35 kiveacuteteleacutevel ezek k ∙ 34-gyel vett oumlsszegei is vesztő
aacutellaacutesok lesznek a periodicitaacutes miatt
5 2 Jaacuteteacutekok korongokkal
A koumlvetkező jaacuteteacutek a [4] koumlnyvből szaacutermazik
6 Szinteacuten a httpsoeisorg weboldal hasznaacutelataacuteval
X X
24
5 Jaacuteteacutek Egy asztalon sorba 10 korong van lerakva melyeknek egyik oldala feheacuter maacutesik
fekete sziacutenű Ketten jaacutetszanak A soron koumlvetkező mindig kivaacutelaszt egy fekete oldalaacuteval
felfeleacute fekvő korongot majd azt eacutes az oumlsszes tőle jobbra leacutevőt aacutetfordiacutetja a maacutesik oldalaacutera
Akkor van veacutege a jaacuteteacuteknak ha mindegyik korongnak a feheacuter oldala van feluumll Az veszt aki
nem tud toumlbbet leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes hogyan tud győzni
A jaacuteteacutek kimenetele eacutes nyertese fuumlgg a kiindulaacutesi helyzettől Tekintsuumlk az alaacutebbi konkreacutet
kezdőaacutellaacutest (5 2 aacutebra)
5 2 aacutebra
A nyertes strateacutegia nem bonyolult sőt eleacuteg keacutezenfekvő ha belegondolunk tudniillik a
veacutegeredmeacuteny egyaacuteltalaacuten nem a jaacuteteacutekosok leacutepeacutesein muacutelik hanem csupaacuten az utolsoacute korong
sziacuteneacutetől fuumlgg Ugyanis egy korong az utolsoacute helyen aacutelloacute biztosan megfordul minden
leacutepeacutesben Ez leacutepeacutesenkeacutent vaacuteltakozva hol feheacuter hol fekete oldalaacuteval lesz feluumll miacuteg ki nem
alakul a veacutegső nyertes ndash oumlsszes feheacuter ndash aacutellaacutes Ha peacuteldaacuteul kezdetben fekete az utolsoacute
korong akkor az mindig a kezdő jaacuteteacutekos forgataacutesai nyomaacuten fog a feheacuter oldalaacuteval felfeleacute
keruumllni A jaacuteteacutek egyszer veacuteget eacuter eacutes tudjuk hogy az utolsoacute leacutepeacutes a kezdő jaacuteteacutekoseacute lesz
tehaacutet ő nyer Ellenkező esetben - ha a kezdő aacutellapotban feheacuter az utolsoacute korong - a maacutesodik
jaacuteteacutekoseacute a győzelem Tehaacutet teljesen mindegy haacuteny koronggal jaacutetszunk a győztest mindig
a sorban elhelyezett utolsoacute korong sziacutene fogja elaacuterulni Ha az a fekete oldalaacuteval felfeleacute
fekszik akkor a kezdő ha feheacuter sziacutene laacutetszik akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos nyer Iacutegy a fenti
jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
Ha feladatban moacutedosiacutetjuk kicsit a szabaacutelyokat akkor a megoldaacutes is bonyoloacutedik eacutes itt
maacuter fel kell hasznaacutelnunk a Grundy-szaacutemokat illetve a nim-oumlsszeget A koumlvetkező feladat
eacutes megoldaacutesi oumltlete [2] forraacutesboacutel szaacutermazik
6 Jaacuteteacutek Legyen ismeacutet 10 darab korongunk az asztalra sorba lehelyezve A jaacuteteacutekosok
keacutetfeacutele leacutepeacutest hajthatnak veacutegre vagy megfordiacutetanak egy fekete oldalaacuteval felfeleacute fekvő
korongot vagy keacutet korongot fordiacutetanak meg melyek koumlzuumll a jobbraacutebb levő fekte Az vesziacutet
aki nem tud toumlbbet leacutepni
25
A megoldaacutes veacutegett szaacutemozzuk meg a korongokat balroacutel jobbra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 3 aacutebra
Aacutelliacutetaacutes A 6 jaacuteteacutek egy aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema eacutepp a fekete sziacutenű korongok sorszaacutemaacutenak
nim-oumlsszege
Bizonyiacutetaacutes Alkossunk ebből a jaacuteteacutekboacutel Nim-jaacuteteacutekot a koumlvetkező keacuteppen Ha az i-edik
korong sziacutene fekete akkor tekintsuumlnk egy ekkora elemszaacutemuacute kupacot a Nim-jaacuteteacutekban ha
feheacuter sziacutenű egy korong akkor nincs ilyen kupacunk Ezzel egy szokaacutesos Nim-jaacuteteacutekot
kapunk Azeacutert tehetjuumlk meg ezt mert a leacutepeacutesek eacutepp ugyanazt eredmeacutenyezik mindkeacutet
jaacuteteacutekban amennyiben megfordiacutetunk egy fekete korongot az annak felel meg ha nim-
jaacuteteacutekban azt a kupacot teljes egeacuteszeacuteben elvesszuumlk eacutes megszűnik Ha egy feheacuter eacutes egy
fekete korongot fordiacutetunk meg melyek koumlzuumll a fekete a jobb oldali akkor azzal
egyeneacuterteacutekű mintha a nim-jaacuteteacutekban bizonyos szaacutemuacute kavicsot elvettuumlnk volna az addigi
kupacboacutel uacutegy hogy a feketeacutere fordiacutetott korong sorszaacutemaacutenak megfelelő kupacmeacuteretet
eacutertuumlnk el (Mert a bal oldali korong sorszaacutema kisebb eacutes iacutegy kisebb elemszaacutemuacute kupacot is
jelent) Tekintsuumlnk erre magyaraacutezatul egy peacuteldaacutet (5 4 aacutebra)
1 2 3
5 4 aacutebra
Ebben a kis jaacuteteacutekban illusztraacuteljuk a korongforgataacutesi leacutepeacutesek eacutes a Nim-jaacuteteacutek kapcsolataacutet
Tekintsuumlk ennek mintaacutejaacutera a 2 eacutes 3 elmeszaacutemuacute kupacokkal jaacutetszott Nim-jaacuteteacutekot
Vilaacutegosan laacutetszik hogy ha megfordiacutetjuk peacuteldaacuteul a 2 szaacutemuacute fekete sziacutenű korongot eacutes iacutegy
az feheacuter lesz akkor ez a leacutepeacutes megegyezik azzal hogy a Nim-jaacuteteacutekban egy leacutepeacutessel
eltuumlntetjuumlk a 2 elemű kupacot Keacutet szabaacutelyos helyzetű korong megfordiacutetaacutesaacuteval ndash legyenek
26
most ezek az 1 eacutes 2 szaacutemuacuteak ndash az 55-oumls aacutebraacuten laacutethatoacute aacutellaacutes joumln leacutetre ami ekvivalens a
Nim-jaacuteteacutek azon leacutepeacuteseacutevel hogy a 2 elemű kupacboacutel 1 kavicsot elveszuumlnk
1 2 3
5 5 aacutebra
Keacutet fekete korong megfordiacutetaacutesa keacutet kupac teljes elveacuteteleacutet jelenteneacute a Nimben ami ilyen
formaacuteban nem szabaacutelyos Azonban ha jobban meggondoljuk ez a leacutepeacutes jelentheti azt
hogy a nagyobb meacuteretű kupacboacutel elveszuumlnk annyi kavicsot hogy az egyenlő legyen a
kisebb elemszaacutemaacuteval mert a nim-oumlsszeadaacutes miatt keacutet azonos meacuteretű kupac nem
befolyaacutesolja az egeacutesz jaacuteteacutek Grundy-szaacutemaacutet azaz a keacutet kupac kiegyenliacuteteacuteseacutevel illetve
teljes elveacuteteluumlkkel kapott Nim-aacutellaacutesok Grundy-szaacutemai megegyeznek
Az 5 3 aacutebra alapjaacuten kialakult aacutellaacutes Grundy-szaacutema tehaacutet 3 10 = 10 A jaacuteteacutek
vesztő aacutellaacutesainak Grundy-szaacutema 0 azaz ha ilyen aacutellaacutesroacutel indul valaki az nem tud nyerni
Ebből a poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacutet keacutepezni csak a 10 elemű kupac teljes elveacuteteleacutevel
lehetseacuteges Tehaacutet a 10-es szaacutemuacute fekete korongot kell megfordiacutetani előszoumlr a
győzelemhez
5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
A most koumlvetkező haacuterom jaacuteteacutekkal a [2] cikkben talaacutelkoztam
7 Jaacuteteacutek (Rim-jaacuteteacutek) Adott neacutehaacuteny kupac kavics A kupacok egyikeacuteből elvehető
akaacutermennyi kavics de csak uacutegy hogy az elvett elemek szaacutema relatiacutev priacutem legyen az elveacutetel
előtti mennyiseacuteghez
Ez a jaacuteteacutek toumlbb egykupacos uacuten bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacuteknak oumlsszege A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek
egy n darab taacutergyat (kavicsot) tartalmazoacute kupacroacutel szoacutel amelyből k elemet vehetuumlnk el
ha k eacutes n relatiacutev priacutemek Ebből koumlvetkezik hogy 1-et mindig elvehetuumlnk az oumlsszes elemet
azonban sosem (mert n oumlnmagaacuteval nem relatiacutev priacutem) kiveacuteve ha 1 darab marad a
kupacban
Jeloumlljuumlk itt az i elemszaacutemuacute Rim-kupacok Grundy-szaacutemaacutet G(Ri)-vel Az első eacutes maacutesodik
Grundy-szaacutem koumlnnyen megmondhatoacute G0 = 0 eacutes G1 = mex (G0) = 1 Ha keacutet elemet
27
tartalmaz a kiindulaacutesi kupac akkor a szabaacutelynak megfelelően az egyetlen lehetőseacuteg 1
kavics elveacutetele ezeacutert G(R2) = mex (1) = 0 Haacuteromelemű kezdőkupacboacutel 1 eacutes 2 elemet is
elvehetuumlnk iacutegy kapjuk hogy G(R3) = mex (G(R1) G(R2) ) = mex (1 0) = 2 Neacutegy elem
eseteacuten G4 = mex (G1 G3) = 0 Hasonloacutean G5 = mex (G(R1) G(R2) G(R3) G(R4)) =
= mex (1 2 0 2) = 3 eacutes iacutegy tovaacutebb A koumlvetkező teacutetelben meghataacuterozzuk aacuteltalaacutenossaacutegban
G(Rn)-et
Teacutetel A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutekban minden paacuteros n elemszaacutemuacute kupacra G(Rn) = 0 valamint
n paacuteratlan elemszaacutem eseteacuten G(Rn) = k ha n legkisebb priacutemosztoacuteja a k-adik priacutemszaacutem (Az
első priacutemszaacutem a 2 maacutesodik a 3 stb)
Bizonyiacutetaacutes n-re vonatkozoacute teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk
a) ha n paacuteros Semelyik esetben sem lehet az egeacutesz kupacot elvenni kiveacuteve ha 1 kavics
marad a kupacban Laacutettuk hogy G(R0) = G2 = 0 Legyen n paacuteros Tegyuumlk fel hogy
minden n-neacutel nem nagyobb paacuteros k szaacutemra G(Rk) = 0 Laacutessuk be ezt (n+2)-re is Mivel
egy paacuteros szaacutem semelyik maacutesik paacuteros szaacutemmal sem relatiacutev priacutem ezeacutert paacuteros darab
kavicsot nem vehetuumlnk el a kupacboacutel ennek okaacuten uacutejabb paacuteros elemszaacutemuacute aacutellaacutes sem
joumlhet leacutetre Paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac ugyan lehet (n+2) kiszomszeacutedja de annak
Grundy-szaacutema biztosan nem 0 mert 1 kavicsot baacutermelyik aacutellaacutesboacutel elvehetuumlnk iacutegy lesz
a paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt n-neacutel nem nagyobb paacuteros elemszaacutemuacute
kupac aminek Grundy-szaacutema 0 Tehaacutet (n+2) elemet tartalmazoacute kupac raacutekoumlvetkezői
koumlzoumltt nem lesz 0 Grundy-szaacutemuacute iacutegy azok legkisebb kizaacutertja eacutepp a 0
b) ha n paacuteratlan Tudjuk hogy G1 = 1 eacutes azt is laacutettuk hogy G3 = 2 Itt is teljes indukcioacutet
hasznaacutelunk Tegyuumlk fel hogy igaz a fenti aacutelliacutetaacutes minden paacuteratlan n-re Bizonyiacutetsuk be
hogy ez az n+2 paacuteratlan szaacutemra is oumlroumlklődik Legyen n+2 legkisebb priacutemosztoacuteja p eacutes
annak sorszaacutema k Ahhoz hogy belaacutessuk hogy Gn+2 = k keacutet dologra van szuumlkseacuteg
1) Minden k-naacutel kisebb szaacutem előfordul az n+2 elemszaacutemuacute aacutellaacutes valamely
kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutemakeacutent
2) Az n+2 elemű kupac egyik kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutema sem k
1) igazolaacutesa 1-et eacutes n+1-et mindig leacutephetuumlnk tehaacutet 1 eacutes 0 Grundy-szaacutemuacute
raacutekoumlvetkezője minden aacutellaacutesnak van Legyen q egy tetszőleges p-neacutel kisebb priacutem ndash
ennek sorszaacutema k-naacutel kisebb eacutes az indukcioacute szerint a q elemű aacutellaacutes Grundy-szaacutema eacutepp
a q sorszaacutema Ekkor meg kell mutatnunk hogy n+2ndashből aminek legkisebb
priacutemosztoacuteja p a q elemszaacutemuacute kupacba leacutepeacutes szabaacutelyos Ez azeacutert igaz mert a
28
jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek
nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek
elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash
hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert
kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute
kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes
2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m
elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb
priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt
k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek
A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő
strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk
8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad
kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja
legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is
elvehetjuumlk)
Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő
tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz
melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk
Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean
G(Di)
Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1
Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva
laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek
bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1
29
1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i
2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan
1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute
kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute
kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei
azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet
elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =
21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i
2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet
eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n
raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l
paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1
Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban
ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra
G(Da) = 0 + 1 = 1
Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek
9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az
egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a
Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya
szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)
Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg
Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal
Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon
mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)
= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet
a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5
kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre
30
11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik
kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az
nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi
Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-
ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet
Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik
jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem
hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy
speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok
bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A
Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő
nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk
valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval
deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek
a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)
stb kupacmeacuteretek
Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt
de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt
5 4 Fibonacci-nim
A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik
13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el
kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve
utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint
amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben
Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz
szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa
előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban
31
Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat
i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2
Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a
koumlvetkező taacuteblaacutezat
Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok
Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő
Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok
oumlsszegeacutere
Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899
Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel
hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga
Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem
akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-
szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert
119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa
kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem
Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele
keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen
Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip
Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel
minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok
legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot
vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)
7 [1] alapjaacuten
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
7
Xi aacutellaacutes raacutekoumlvetkezője eacutes Xk-nak kiszomszeacutedja X1 Azonban a veacuteges jaacuteteacutek definiacutecioacuteja
szerint egy aacutellaacutes raacutekoumlvetkezőjeacutenek a szintje kisebb mint az aacutellaacutes szintje ezeacutert Xk-nak nem
lehet X1 a raacutekoumlvetkezője mert akkor a hozzaacuterendelt szaacutem nagyobb keacutene legyen X1
szaacutemaacutenaacutel ami ellentmondaacutes
Definiacutecioacute Normaacutel jaacuteteacuteknak nevezzuumlk a tovaacutebbiakban azokat a jaacuteteacutekokat melyekben az a
jaacuteteacutekos vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni maacuteskeacutepp fogalmazva az nyer aki az utolsoacute leacutepeacutest
teszi
Megjegyzeacutes Aacuteltalaacuteban a dolgozatban hozott jaacuteteacutekok ilyen normaacutel jaacuteteacutekok
8
2 Fejezet Kezdő feladatok
Dolgozatom elejeacuten szeretneacutek bemutatni egy-keacutet toumlbbnyire szeacuteles koumlrben elterjedt
egyszerűbb matematikai jaacuteteacutekot Mindegyik korosztaacutely szaacutemaacutera talaacutelhatoacute megfelelő
szintű eacutes neheacutezseacutegű feladat vagy jaacuteteacutek amivel felkelthető a gyerekek eacuterdeklődeacutese Meg
lehet mutatni nekik hogy a matematikaacutenak van ilyen szoacuterakoztatoacute reacutesze is Persze az
lenne a legjobb ha ezekben tudnaacutek alkalmazni eacutes kamatoztatni a koraacutebban tanultakat
1 1 Lepakoloacutes jaacuteteacutek
1 jaacuteteacutek Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez korongokat egy asztalra Az vesziacutet aki nem tud uacutegy
toumlbb korongot elhelyezni az asztalon hogy az ne fedjen egy maacuter lent fekvőt Kinek van
nyerő strateacutegiaacuteja
Ez a jaacuteteacutek toumlbb tankoumlnyvben is szerepel Tapasztalataim szerint ez inkaacutebb elvi
gondolati jaacuteteacutek mert a gyakorlatba nehezen kivitelezhető A korongok vagy eacutermeacutek (hol
mi szerepel) koumlnnyen egymaacutesra csuacuteszhatnak vagy nem mindig egyeacutertelmű a helyzetuumlk
Mindemellett a jaacuteteacutek megoldaacutesa pofonegyszerű a gyerekek is hamar raacutejoumlhetnek Arra az
eredmeacutenyre jutunk hogy mindig az első jaacuteteacutekos nyer A joacute strateacutegia pedig az ha előszoumlr
koumlzeacutepre tesszuumlk a kezdő korongot (minden esetben van ilyen ha kerek az asztal ha
szoumlgletes leacutenyeg hogy az koumlzeacuteppontosan szimmetrikus legyen) eacutes a koumlvetkezőkben
mindig az ellenfeacutel leacutepeacuteseacutenek koumlzeacuteppontos tuumlkoumlrkeacutepeacutet leacutepjuumlk Ezt a strateacutegiaacutet jaacutetszva a
kezdő jaacuteteacutekos nem tud veszteni hiszen ha van meacuteg hely a maacutesodik jaacuteteacutekos leacutepeacuteseacutenek
akkor biztosan szabad lehetőseacuteg annak keacutepe is
Eacuterdekesseacutegkeacutent vegyuumlk eacuteszre hogy ennek az asztalra pakoloacutes jaacuteteacuteknak veacutegtelen sok
aacutellapota leacutetezik hiszen veacutegtelen sok pontra helyezhető egy korong Meacutegis veacuteges jaacuteteacuteknak
tekinthetjuumlk mert a leacutepeacutesek soraacuten az asztal szabad teruumllete csoumlkken vagyis egyre csoumlkken
a megtehető leacutepeacutesek maximaacutelis szaacutema is miacuteg előbb-utoacutebb eljutunk abba az aacutellapotba
hogy toumlbb korong maacuter nem feacuter az asztalra
Ezzel egyuumltt megproacutebaacutelhatjuk az eredetit veacuteges aacutellapotszaacutemuacute jaacuteteacutekkaacute tenni ez az oumltlet
szakdolgozat iacuteraacutesa koumlzben meruumllt fel A jaacuteteacutekot gyakorlatban neacutegyzetraacutecsos papiacuteron
lehetne jaacutetszani
9
2 Jaacuteteacutek Adott egy (n x k)-as teacuteglalap alakuacute jaacuteteacutektaacutebla Keacutet jaacuteteacutekosnak uacutegy kell felvaacuteltva
(előre lefixaacutelt) egyforma meacuteretű neacutegyzeteket besziacuteneznie a taacuteblaacuten hogy azok ne takarjaacutek
egymaacutest Az vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni Keacuterdeacutes hogy melyik jaacuteteacutekos nyer
Csupa 1x1-es neacutegyzetek sziacutenezeacutese nem hoz laacutezba senki mert a győztes csak a jaacuteteacutektaacuteblaacutet
alkotoacute neacutegyzetek szaacutemaacutetoacutel fuumlgg ha paacuteros sok neacutegyzetből aacutella taacutebla a maacutesodik paacuteratlan
szaacutemuacute neacutegyzet eseteacuten az első szaacutemuacute jaacuteteacutekos nyer Vizsgaacuteljuk most a jaacuteteacutekot 2x2-es
neacutegyzetek sziacutenezeacutese eseteacuten Nem neheacutez felismerni hogy ha a jaacuteteacutektaacutebla (2k x 2k)-as
neacutegyzet vagy (2k x 2l)-es teacuteglalap alakuacute (tetszőleges k l N eseteacuten) akkor műkoumldik raacute
a fent taacutergyalt koumlzeacuteppontos szimmetriaacuten alapuloacute strateacutegia Azonban a toumlbbi esetben
((2k+1)x(2l+1)-es vagy (2k)x(2l+1)-es jaacuteteacutektaacuteblaacutenaacutel) ezt nem tudjuk kihasznaacutelni mert
nincs koumlzeacutepső neacutegyes amivel kezdhetneacutenk a sziacutenezeacutest Hogyan jaacutetsszunk ilyenkor Van-
e egyaacuteltalaacuten abszoluacutet nyertes Neacutezzuumlnk egy kisebb konkreacutet peacuteldaacutet
Aacutelliacutetaacutes (3x2k)-as taacuteblaacuten jaacutetszva az első jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy a paacuteros hosszuacute oldal felezőmerőlegese raacutecsvonalon
halad iacutegy kihasznaacutelhatjuk az erre a tengelyre valoacute szimmetriaacutet Kettő olyan (2x2)-es
neacutegyzet van melyen eme tengely aacutethalad de ezek koumlzuumll csak egy sziacutenezhető Ha a kezdő
elsőkeacutent az egyik ilyet sziacutenezi be akkor ellenfele tetszőleges leacutepeacuteseacutet tuumlkroumlzve a
tuumlkoumlrtengelyre oumlveacute lesz az utolsoacute leacutepeacutes
A 2xn-es jaacuteteacutektaacuteblaacuten valoacute jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera a keacutesőbbiekben majd meacuteg
visszateacuteruumlnk (ld 5 fejezet) A toumlbbi esetről nem lesz szoacute kiproacutebaacutelaacutesukat tudom ajaacutenlani
1 2 Foglaloacutes jaacuteteacutekok
Foglalkozzunk kicsit a foglaloacutes tiacutepusuacute jaacuteteacutekokkal Ezeket azeacutert szokaacutes iacutegy nevezni
mert adott jaacuteteacutektaacuteblaacuten jaacutetsszaacutek uacutegy hogy felvaacuteltva elfoglalnak egy-egy mezőt (tesznek raacute
egy-egy sajaacutet sziacutenű jelet) eacutes a jaacuteteacutek győztese az aki az előre kijeloumllt nyertes
mezőcsoportok valamelyikeacutet előszoumlr el tudja foglalni Ilyen foglaloacutes jaacuteteacutekra peacutelda a
mindenki aacuteltal joacutel ismert angol neveacuten Tic-tac-toe mely soraacuten a jaacuteteacutekosok egy 3x3-as
neacutegyzetbe a szokaacutesos X eacutes koumlr jeleket rakosgatjaacutek eacutes az nyer aki előszoumlr tudja haacuterom
egyforma jeleacutet egy vonalba helyezni (tehaacutet a haacuterom sor a haacuterom oszlop eacutes a keacutet aacutetloacute a
kijeloumllt nyertes mezőcsoportok) A foglaloacutes jaacuteteacutekok nem tekinthetőek normaacutel jaacuteteacutekoknak
10
mert kialakulhat doumlntetlen aacutellaacutes is amikor azeacutert nem tudnak toumlbbet leacutepni a jaacuteteacutekosok mert
a taacuteblaacuten a lehetőseacutegek elfogytak de senki sem nyert
Aacutelliacutetaacutes A foglaloacutes jaacuteteacutekokban a maacutesodik jaacuteteacutekos sosem nyerhet (Legfeljebb doumlntetlenre
vezető strateacutegiaacuteja lehet)
Bizonyiacutetaacutes Indirekte tegyuumlk fel hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja Ilyen
helyzetben a kezdő tudja alkalmazni a bdquostrateacutegialopaacutestrdquo Ez azt jelenti hogy a kezdő
jaacuteteacutekos leacutep valamit majd innentől uacutegy fogja fel a jaacuteteacutekot mintha csak most kezdődne eacutes
a maacutesodik jaacuteteacutekos nyerő strateacutegiaacuteja szerint jaacutetszik tovaacutebb Akkor meruumllhetne fel
probleacutema ha azt a mezőt keacutene elfoglalnia melyre az első leacutepeacuteskor leacutepett aacutem ez nem
gond mivel ezen maacuter az ő jele szerepel tehaacutet mi sem egyszerűbb baacuterhova maacuteshova tehet
Ezzel a moacutedszerrel az első jaacuteteacutekosnak nyernie kellene holott a maacutesodiknak van nyerő
strateacutegiaacuteja ellentmondaacutes
Gondoljuk meg a koumlvetkező konkreacutet foglaloacutes jaacuteteacutekot a nyerő strateacutegia szempontjaacuteboacutel
3 Jaacuteteacutek (Trihex) Az 11 aacutebra szerinti jaacuteteacutektaacuteblaacutera keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez egy piros
illetve egy keacutek korongot valamelyik meacuteg uumlres koumlrre Az győz akinek elsőkeacutent sikeruumll
haacuterom egysziacutenű korongot helyeznie a kilenc egyenes vonal valamelyikeacutere
11 Aacutebra A trihex jaacuteteacutek taacuteblaacuteja
Teacutetel A Trihex jaacuteteacutekban az I jaacuteteacutekos nyer
Bizonyiacutetaacutes A teacutetel bizonyiacutetaacutesaacuteban szuumlkseacuteguumlnk lesz keacutet fogalomra szabad egyeneseknek
nevezzuumlk azokat az egyeneseket melyeken egyetlen korong sincs eacutes egy jaacuteteacutekos szaacutemaacutera
feacutelszabad egyenes az az egyenes amelyen van az ő sziacuteneacutenek megfelelő sziacutenű korong de
mentes az ellenfele korongjaitoacutel A bizonyiacutetaacutes soraacuten kollineaacuterisnak nevezuumlnk haacuterom
mezőt ha azok a jaacuteteacutek taacuteblaacutejaacuten egyazon egyenesre illeszkednek
11
Az aacutebra uacutegy van megalkotva hogy minden egyenesen haacuterom uumlres koumlr szerepel ahova
a korongokat el kell helyezni tovaacutebbaacute minden ponton aacutet haacuterom egyenes megy aacutet
Megegyezeacutes alapjaacuten I jaacuteteacutekos hasznaacutelja a piros korongokat ellenfele a keacutekeket
Kezdőkeacutent az első leacutepeacutest mindenkeacutepp az egyik olyan mezőre tegyuumlk mely a nagy
haacuteromszoumlg oldalaacuten de nem a csuacutecsaacuten helyezkedik el Ellenfeluumlnk leacutepeacuteseacutetől fuumlggően keacutet
fajta aacutellaacutes joumlhet leacutetre amit kuumlloumln kell vizsgaacutelnunk
a) Ha II nem oldalpontra tesz akkor leacutepeacuteseacutet uacutegy kell koumlvetnuumlnk hogy a keacutet piros
korongunk egyazon feacutelszabad egyenesen legyen Ezutaacuten biztosan adoacutedni fog
legalaacutebb keacutet ilyen feacutelszabad egyenes Ezzel a leacutepeacutessel keacutenyszeriacutetettuumlk a maacutesodik
jaacuteteacutekost hogy keacutek korongjaacutet ezen egyenes harmadik mezőjeacutere helyezze hogy
megakadaacutelyozza a győzelmuumlnket Figyeljuumlnk raacute hogy a feacutelszabad egyenesek koumlzuumll
olyat eacutes annak olyan a pontjaacutet vaacutelasszuk melyen a harmadik ndash meacuteg uumlres hely ndash
nincs egy egyenesen a keacutek koronggal (ellenőrizhető hogy lesz ilyen) hogy ezzel
ne segiacutetsuumlk ellenfeluumlnket Ellenkező esetben megelőlegezzuumlk magunknak a
keacutenyszerhelyzetet Az ezutaacuteni koumlrben ndash a paacutelya sajaacutetossaacutegai miatt ndash lesz olyan
mező ami keacutet 1-1 piros korongot tartalmazoacute feacutelszabad egyenes metszeacutespontja
Foglaljuk el ezt a mezőt Innen koumlnnyen laacutethatoacute hogy megnyerjuumlk a jaacuteteacutekot
b) Maacutesodik eset ha ellenfeluumlnk egy maacutesik oldalpontra (de nem csuacutecsra) teszi keacutek
korongjaacutet Az oldalpontok tulajdonsaacutega hogy minden ponttal kollineaacuterisak csak
egymaacutessal nem Tegyuumlnk most a harmadik oldalpontra Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekos
akaacutermit leacutephet mi fogunk nyerni Ugyanis a keacutet piros sziacutenű oldalpontnak az oumlsszes
meacuteg szabad mezővel van koumlzoumls egyenese tehaacutet baacutermelyik pontra is leszuumlnk
keacutenytelenek tenni (ellenfeluumlnk győzelmeacutenek megakadaacutelyozaacutesa eacuterdekeacuteben) az
biztosan keacutet olyan feacutelszabad egyenesnek lesz metszeacutespontja ami tartalmaz 1-1
piros sziacutenű korongot Innen pedig egyeacutertelműen mi nyeruumlnk
12
3 Fejezet Kupacos jaacuteteacutekok
Koumlzkedvelt matematikai jaacuteteacutekok a kupacokba vagy halmokba rendezett taacutergyak
(kavicsok gyufaacutek korongok stb) alkotta jaacuteteacutekok melyekben kuumlloumlnboumlző szabaacutelyok
szerint szabad elvenni bizonyos szaacutemuacute elemet Ebben a fejezetben kupacokba rendezett
kavicsokroacutel lesz szoacute Tovaacutebbra is a joacute strateacutegia megtalaacutelaacutesa a ceacutel
3 1 Egyszerű egykupacos jaacuteteacutek
4 Jaacuteteacutek Egy kupacban 21 kavics van Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva 1 2 vagy 3
darabot vehetnek el Ez normaacutel jaacuteteacutek vagyis az nyer aki az utolsoacute(ka)t veszi el Kinek
van nyerő strateacutegiaacuteja
Visszafele gondolkodva aki előtt maacuter csak 3 vagy kevesebb korong lesz az meg tudja
nyerni a jaacuteteacutekot hiszen a legfeljebb 3 korongot elvehet Ez nyerő aacutellaacutes A 4 darab kavics
ugyanebből a megfontolaacutesboacutel vesztes aacutellaacutes hiszen akaacuterhaacuteny (1 2 vagy 3) darabot veszuumlnk
is el ellenfeluumlnk elveheti a maradeacutekot eacutes ezzel nyer Tovaacutebbgondolva minden 4∙k (k =
0 1hellip n) darab kavics vesztes aacutellaacutes mert abboacutel leacutepve az elemek szaacutemaacutenak neacuteggyel
oszthatoacutesaacutega nem megtarthatoacute tehaacutet vesztes aacutellaacutesboacutel vesztes aacutellaacutesba nem lehet leacutepni
viszont baacutermely maacutes esetből meg lehet jaacutetszani azokat Speciaacutelisan itt a vesztes aacutellaacutesok
4 8 12 16 20 db korong Ennek megfelelően 21 kavics eseteacuten a kezdő jaacuteteacutekosnak van
nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig előszoumlr 20-ra csoumlkkentve a kavicsok szaacutemaacutet
Eacuterdemes meggondolni ezt a feladatot aacuteltalaacutenosabban is
4 Jaacuteteacutek aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa Adott egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el 1-
től m darabig akaacuterhaacuteny kavicsot Az veszt aki nem tud leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja
eacutes mi az
Aacutelliacutetaacutes Ha m + 1 | n akkor a kezdő jaacuteteacutekos vesziacutet ellenkező esetben viszont neki van
nyerő strateacutegiaacuteja
Bizonyiacutetaacutes Ebben a jaacuteteacutekban biztosan az nyer akinek előszoumlr sikeruumll (m+1)-gyel
oszthatoacute elemszaacutemba leacutepni Ilyen helyzetből indulva baacuterhogyan is leacutepuumlnk nem tudunk
uacutejabb (m+1)-gyel oszthatoacutevaacute tenni a kupac meacutereteacutet miacuteg ellenfeluumlnk ndash akaacuterhogyan is
leacuteptuumlnk ndash a koumlvetkező koumlrben csoumlkkenteni tudja az elemszaacutemot uacutejabb (m+1)-gyel
oszthatoacutevaacute Vegyuumlk eacuteszre hogy a 0 veacutegső vesztes aacutellaacutes is oszthatoacute (m+1)-gyel Ezek
13
eacutertelmeacuteben minden (m + 1) ∙ k (k = 0hellipn) darab korong eseteacuten alakul ki vesztes aacutellaacutes
Tehaacutet aki ebből keacutenyszeruumll leacutepni az vesziacutet
Ha a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesakor a kupac meacutereteacutet osztja (m+1) akkor ugyanebből a
meggondolaacutesboacutel koumlvetkezik hogy a kezdő jaacuteteacutekos nem tud nyerni
Tovaacutebbra is kupacokkal eacutes azokboacutel aacutelloacute feladatokkal foglalkozunk A koumlvetkezőkben egy
aacuteltalaacutenosabb jaacuteteacutekcsoportroacutel lesz szoacute
3 2 Nim-jaacuteteacutek eacutes nim-oumlsszeadaacutes
A Nim-jaacuteteacutek Kiacutenaacuteboacutel szaacutermazoacute ma maacuter szeacuteles koumlrben ismert matematikai jaacuteteacutek A
menete a koumlvetkező
Nim-jaacuteteacutek adott n db kupac melyek rendre a1 a2 a3hellip an darab kavicsot tartalmaznak
Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva vesznek el akaacuterhaacuteny de legalaacutebb 1 kavicsot valamelyik
tetszőleges kupacboacutel Az nyer aki az utolsoacute kavicsot elveszi Keacuterdeacutes hogy kinek van nyerő
strateacutegiaacuteja
Ezek vagy az ehhez hasonloacute feladvaacutenyok megoldaacutesaacuteban segiacutetseacuteguumlnkre lesz egy uacutej
fogalom a bdquonim-oumlsszeadaacutesrdquo
Definiacutecioacute (nim-oumlsszeadaacutes) Vegyuumlk a nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemok halmazaacutet eacutes azon uacutegy
eacutertelmezzuumlk a nim-oumlsszeadaacutest hogy elemeit kettes szaacutemrendszerbeli alakjukban feliacuterva
adjuk oumlssze modulo 2 azaz nem toumlrődve az egyes helyieacuterteacutekeken adoacutedoacute maradeacutekokkal
Peacutelda 12 25 = 21 hiszen 11002 + 110012 = 101012
Vilaacutegosabbaacute vaacutelik a nim-oumlsszeadaacutes ha a szokaacutesos moacutedon egymaacutes alaacute iacuterva adjuk oumlssze
őket
11002
110012
101012
Ezt a definiacutecioacutet meggondolhatjuk maacuteskeacuteppen is
Definiacutecioacute Jeloumllje 119917120784 a keacutetelemű testet (azaz a modulo 2 szaacutemkoumlrt) eacutes legyen 119917120784infin ennek
veacutegtelen diszkreacutet direktszorzata vagyis az a veacutegtelen dimenzioacutes vektorteacuter amelyben olyan
14
0 eacutes 1 koordinaacutetaacutekat tartalmazoacute vektorok vannak melyekben csak veacuteges sok 1-es szaacutem
szerepel
Tekintsuumlk a koumlvetkező koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű megfelelteteacutest N eacutes 119917120784infin koumlzoumltt iacuterjunk
fel egy adott szaacutemot kettes szaacutemrendszerben de fordiacutetott sorrendben azaz jobbroacutel balra
Vegyuumlk azt a veacutegtelen hosszuacute vektort melynek az első koordinaacutetaacutei eacuteppen ennek a
szaacutemnak a bdquofordiacutetottrdquo kettes szaacutemrendszerbeli alakjaacutenak szaacutemjegyeivel egyezik meg
majd ezeket veacutegtelen sok nulla koumlveti Ez egy egyeacutertelmű megfelelteteacutest ad N eacutes 119917120784infin
elemei koumlzoumltt hiszen egy szaacutem egyetlen vektornak felel meg Azaz ha
119899 = sum 119886119894 ∙ 2119894infin119894=0 ahol 119886119894= 0 vagy 1 akkor az ennek megfelelő vektor (1198860 1198861 1198862 )
Teacutetel A nim-oumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot
Bizonyiacutetaacutes Tudjuk hogy a vektoroumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot Az előzőekben adott
egyeacutertelmű megfelelteteacutessel laacutethatoacute hogy az 119917120784infin-beli veacutegtelen hosszuacute vektorok
oumlsszeadaacutesa eacutes a nim-oumlsszeadaacutes ekvivalens művelet ezeacutert a nim-oumlsszeadaacutes is Aacutebel-
csoportot alkot
A nim-oumlsszeadaacutes tovaacutebbi tulajdonsaacutegai
1 Aacutelliacutetaacutes Minden a szaacutemra a a = 0
Bizonyiacutetaacutes Nem neheacutez meggondolni hogy ha a kettes szaacutemrendszerben keacutet azonos
szaacutemot adunk nim-oumlssze akkor mivel abban az 1-esek eacutes 0-k ugyanazon a helyieacuterteacuteken
aacutellnak az oumlsszeadaacutesukkor azok mind lenullaacutezoacutednak (1 + 1 = 0 + 0 = 0)
2 Aacutelliacutetaacutes Tetszőleges a eacutes b pozitiacutev egeacuteszekre teljesuumll 0 le a b le a + b
Ezt nem bizonyiacutetom de veacutegiggondolhatoacute
3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja
Az egykupacos Nim-jaacuteteacutek nagyon egyszerű nem is nevezhető jaacuteteacuteknak hiszen a kezdő
jaacuteteacutekos elsőre felmarkolhatja az egeacutesz kupacot eacutes veacutege a jaacuteteacuteknak Nem ilyen koumlnnyű
elsőre aacutetlaacutetni a toumlbb kupacos normaacutel Nim-jaacuteteacutekot
Vezessuumlk be a Nim(a1 a2hellip an) jeloumlleacutest arra az n kupacos Nim-jaacuteteacutekra ahol a1
a2hellip an a kuumlloumlnboumlző kupacok elemszaacutema
15
Teacutetel
1) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek kupacmeacutereteinek nim-oumlsszege a1 a2 hellip an ne 0
akkor biztosan leacutetezik olyan leacutepeacutes hogy a kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra
a1rsquo a2rsquohellip anrsquo = 0
2) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekban a1 a2 hellip an = 0 akkor baacutermely leacutepeacutes utaacuten a
kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra a nim-oumlsszeg a1rsquo a2rsquohellip anrsquo 0
Bizonyiacutetaacutes
1) Előszoumlr iacuterjuk fel egymaacutes alaacute a kupacok meacutereteacutet kettes szaacutemrendszerben eacutes adjuk oumlssze
őket nim szerint A ceacutelunk az hogy ezt a kapott oumlsszeget olyan moacutedon 0-ra tudjuk
vaacuteltoztatni ami megfeleltethető egy jaacuteteacutekbeli leacutepeacutessel Ehhez keressuumlk meg azt a
legnagyobb helyieacuterteacuteket (vagyis balroacutel az első olyan oszlopot) ahol paacuteratlan sok 1-es
szerepel - ugyanis ezen a helyieacuterteacuteken a nim-oumlsszegben is 1-es fog szerepelni - eacutes
vaacutelasszuk ki ebből az egyik 1-est legyen ez ai feliacuteraacutesaacuteban Most vaacuteltoztassuk meg ezt
az 1-est 0-ra eacutes ai ettől jobbra leacutevő binaacuteris szaacutemjegyeit is csereacuteljuumlk 1-esre vagy 0-ra
uacutegy hogy veacuteguumll az egeacutesz oumlsszeg 0-ra csoumlkkenjen (Ez megtehető eacutes ezt akkor eacuterjuumlk
el ha minden oszlopban paacuteros szaacutemuacute 1-es lesz) Ezzel a leacutepeacutessel aacuteteacutertuumlnk a Nim(a1rsquo
a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra ahol aj = aj kiveacuteve j = i-re eacutes ebben 0 a nim-oumlsszeg A
feliacuteraacutesban egy sor a jaacuteteacutekban egy kupac elemszaacutemaacutenak felel meg eacutes egy tetszőleges
sort alkotoacute szaacutem csoumlkkenteacutese valamennyivel ekvivalens azzal hogy a neki megfelelő
kupacboacutel ugyanennyi elemet elveszuumlnk Maacuter csak azt kell belaacutetnunk hogy az eljaacuteraacutes
soraacuten valoacuteban az egyik kupac elemszaacutemaacutet csoumlkkentettuumlk (nem noumlveltuumlk) tehaacutet leacutetezik
ilyen leacutepeacutes Ezt nem neheacutez meggondolni mert a legnagyobb helyieacuterteacuteken aacutelloacute 1-est 0-
ra csereacuteltuumlk ndash legyen ez a 2k helyieacuterteacutek ndash eacutes moumlgoumltte a vaacuteltoztataacutesok utaacuten legfeljebb k
-1 darab 1-es aacutellhat melyek eacuterteacuteke tiacutezes szaacutemrendszerben legfeljebb 1 + 2 + 4 + 8 +
+ 2k-1 = 2kndash1 ami biztosan kisebb az előző szaacutemnaacutel Tehaacutet a leiacutert leacutepeacutesek soraacuten valoacuteban
csoumlkkentettuumlk a kupacok meacutereteacutet
Ezt a bizonyiacutetaacutest egeacutesz egyszerűen aacutet lehet gondolni az előzőek alapjaacuten Laacutettuk hogy
a jaacuteteacutek leacutepeacuteseit hogyan tudjuk maacuteskeacutepp leiacuterni elveacutegezni A levezeteacutesből laacutetszik az
hogy 0 nim-oumlsszegből uacutejabb 0 nim-oumlsszegű aacutellaacutest nem tudunk eleacuterni
a1 a2 hellip an = 0 eseteacuten semelyik oszlopban sem lesz paacuteratlan szaacutemuacute 1-es amit
megcsereacutelve joacutel jaacuternaacutenk viszont egy sorban legalaacutebb egy szaacutemot ki kell csereacutelnuumlnk
mert leacutepni muszaacutej Tehaacutet lesz olyan oszlop a leacutepeacutesuumlnk utaacuten melyben paacuteratlan szaacutemuacute
1-es fog aacutellni iacutegy az oumlsszegben is legalaacutebb egy 1-es szerepelni fog
16
Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő
jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege
a1 a2 hellip an ne 0
Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző
teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire
a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet
uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig
fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb
Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud
leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok
Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy
leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is
oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot
jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti
Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti
egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot
Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor
jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen
oumlsszegjaacuteteacutek
sum 119869119894
119899
119868=0
ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet
kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)
Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege
is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek
17
Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg
azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat
Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban
van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz
Bizonyiacutetaacutes
Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva
a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az
bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha
ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik
jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat
b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik
jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő
jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja
szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az
oumlsszeguumlket is
Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala
kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha
első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer
Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg
hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk
az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes
kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű
paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri
a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot
Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező
fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet
18
4 Fejezet Grundy-szaacutemok
A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy
szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni
Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges
jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely
aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az
aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely
adta lehetőseacutegek koumlzuumll
Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű
jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel
1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az
ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel
ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat
leacutepeacuteseket) ismeruumlnk
2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal
leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket
tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek
3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul
annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok
hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak
A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban
nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni
Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia
megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a
toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező
fogalomra
19
Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb
nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt
Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)
Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot
az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de
roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van
Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs
raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden
raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb
kizaacutertja
Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema
Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben
semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute
aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan
raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne
ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb
kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli
raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten
nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute
veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol
minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak
Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok
ciklusmentesseacutegeacutenek
Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema
2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese
3 A [2] cikk alapjaacuten
20
Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos
Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek
Grundy-szaacutemai
Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb
nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-
szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i
a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak
egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk
ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy
G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema
G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be
hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes
felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem
maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1
Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok
illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az
alaacutebbiak
1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0
2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0
3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0
Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja
ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0
Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben
van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek
koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal
vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)
tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel
4 [2] cikk alapjaacuten
21
leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben
megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet
Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud
mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy
ő nyeri a jaacuteteacutekot
Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-
szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)
Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0
Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn
direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)
Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti
indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes
aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)
valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra
maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb
a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel
Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)
raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy
minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy
a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat
oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek
vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden
A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban
oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom
22
5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute
jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok
hasznaacutelata
5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai
Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő
egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti
darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok
Grundy-szaacutemai
Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-
szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő
Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen
innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk
= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz
vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet
el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan
ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute
Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)
vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet
Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent
meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes
strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait
Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem
Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik
ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a
koumlvetkező
5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy
bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek
Grundy-szaacutemaival
23
10 Jaacuteteacutek (Dawsonrsquos Chess) Adott egy 1x n-es teacuteglalap melynek neacutegyzeteibe a jaacuteteacutekosok
felvaacuteltva X-et raknak uacutegy hogy az X jellel ellaacutetott cellaacutek szomszeacutedosak nem lehetnek vagyis
egy X melletti neacutegyzetbe maacutesik X nem keruumllhet Az nyer aki az utolsoacute jelet rakja
Ha jobban meggondoljuk a keacutet jaacuteteacutek megfelel egymaacutesnak Annyi a kuumlloumlnbseacuteg hogy az
itteni neacutegyzetek ott a 2x2-es neacutegyzetek felező vonalainak felelnek meg eacutes az itteni vaacutelasztoacute
raacutecsvonalak pedig a sziacutenezős jaacuteteacutek neacutegyzeteivel egyeznek meg Neacutezzuumlk az alaacutebbi 5 1 aacutebraacuten
szemleacuteltetett peacuteldaacutet
Dawsonrsquos Chess taacutebla egy lehetseacuteges veacutegaacutellaacutessal
A 2 jaacuteteacutek ugyanazt jelentő veacutegső aacutellaacutesa
51 aacutebra
Joacutel laacutethatoacute hogy a 2 jaacuteteacutekban a 2x2-es neacutegyzetek hataacutervonalai eacutepp a Dawsonrsquos Chess-
beli bdquotiltott mezőknekrdquo felelnek meg - amikben nem keruumllhet X jel mert szomszeacutedjukban
maacuter szerepel - mert egy ilyen hataacutervonalra nem eshet maacutesik 2x2-es neacutegyzet felezővonala
hisz akkor a neacutegyzetek takarnaacutek egymaacutest
Feacuteny deruumllt arra6 hogy ennek a jaacuteteacuteknak a Grundy-szaacutemaiboacutel aacutelloacute sorozat 34-es
periodicitaacutesuacute de az elejeacuten van heacutet kiveacutetel a 0 14 16 17 31 34 eacutes 51 helyen aacutelloacute szaacutemok
tekinteteacuteben Utaacutena beaacutell a valoacutedi periodicitaacutes Azok az aacutellaacutesok eacuterdekesek szaacutemunkra a
nyerő strateacutegia kutataacutesa kapcsaacuten melyek Grundy-szaacutema 0 mert ezek a vesztes aacutellaacutesok
Tehaacutet vesztes aacutellaacutesok az elejeacutetől kezdve 1 5 9 15 21 25 29 35 neacutegyzetet tartalmazoacute
kezdőaacutellaacutesok majd az 1 a 15 eacutes 35 kiveacuteteleacutevel ezek k ∙ 34-gyel vett oumlsszegei is vesztő
aacutellaacutesok lesznek a periodicitaacutes miatt
5 2 Jaacuteteacutekok korongokkal
A koumlvetkező jaacuteteacutek a [4] koumlnyvből szaacutermazik
6 Szinteacuten a httpsoeisorg weboldal hasznaacutelataacuteval
X X
24
5 Jaacuteteacutek Egy asztalon sorba 10 korong van lerakva melyeknek egyik oldala feheacuter maacutesik
fekete sziacutenű Ketten jaacutetszanak A soron koumlvetkező mindig kivaacutelaszt egy fekete oldalaacuteval
felfeleacute fekvő korongot majd azt eacutes az oumlsszes tőle jobbra leacutevőt aacutetfordiacutetja a maacutesik oldalaacutera
Akkor van veacutege a jaacuteteacuteknak ha mindegyik korongnak a feheacuter oldala van feluumll Az veszt aki
nem tud toumlbbet leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes hogyan tud győzni
A jaacuteteacutek kimenetele eacutes nyertese fuumlgg a kiindulaacutesi helyzettől Tekintsuumlk az alaacutebbi konkreacutet
kezdőaacutellaacutest (5 2 aacutebra)
5 2 aacutebra
A nyertes strateacutegia nem bonyolult sőt eleacuteg keacutezenfekvő ha belegondolunk tudniillik a
veacutegeredmeacuteny egyaacuteltalaacuten nem a jaacuteteacutekosok leacutepeacutesein muacutelik hanem csupaacuten az utolsoacute korong
sziacuteneacutetől fuumlgg Ugyanis egy korong az utolsoacute helyen aacutelloacute biztosan megfordul minden
leacutepeacutesben Ez leacutepeacutesenkeacutent vaacuteltakozva hol feheacuter hol fekete oldalaacuteval lesz feluumll miacuteg ki nem
alakul a veacutegső nyertes ndash oumlsszes feheacuter ndash aacutellaacutes Ha peacuteldaacuteul kezdetben fekete az utolsoacute
korong akkor az mindig a kezdő jaacuteteacutekos forgataacutesai nyomaacuten fog a feheacuter oldalaacuteval felfeleacute
keruumllni A jaacuteteacutek egyszer veacuteget eacuter eacutes tudjuk hogy az utolsoacute leacutepeacutes a kezdő jaacuteteacutekoseacute lesz
tehaacutet ő nyer Ellenkező esetben - ha a kezdő aacutellapotban feheacuter az utolsoacute korong - a maacutesodik
jaacuteteacutekoseacute a győzelem Tehaacutet teljesen mindegy haacuteny koronggal jaacutetszunk a győztest mindig
a sorban elhelyezett utolsoacute korong sziacutene fogja elaacuterulni Ha az a fekete oldalaacuteval felfeleacute
fekszik akkor a kezdő ha feheacuter sziacutene laacutetszik akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos nyer Iacutegy a fenti
jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
Ha feladatban moacutedosiacutetjuk kicsit a szabaacutelyokat akkor a megoldaacutes is bonyoloacutedik eacutes itt
maacuter fel kell hasznaacutelnunk a Grundy-szaacutemokat illetve a nim-oumlsszeget A koumlvetkező feladat
eacutes megoldaacutesi oumltlete [2] forraacutesboacutel szaacutermazik
6 Jaacuteteacutek Legyen ismeacutet 10 darab korongunk az asztalra sorba lehelyezve A jaacuteteacutekosok
keacutetfeacutele leacutepeacutest hajthatnak veacutegre vagy megfordiacutetanak egy fekete oldalaacuteval felfeleacute fekvő
korongot vagy keacutet korongot fordiacutetanak meg melyek koumlzuumll a jobbraacutebb levő fekte Az vesziacutet
aki nem tud toumlbbet leacutepni
25
A megoldaacutes veacutegett szaacutemozzuk meg a korongokat balroacutel jobbra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 3 aacutebra
Aacutelliacutetaacutes A 6 jaacuteteacutek egy aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema eacutepp a fekete sziacutenű korongok sorszaacutemaacutenak
nim-oumlsszege
Bizonyiacutetaacutes Alkossunk ebből a jaacuteteacutekboacutel Nim-jaacuteteacutekot a koumlvetkező keacuteppen Ha az i-edik
korong sziacutene fekete akkor tekintsuumlnk egy ekkora elemszaacutemuacute kupacot a Nim-jaacuteteacutekban ha
feheacuter sziacutenű egy korong akkor nincs ilyen kupacunk Ezzel egy szokaacutesos Nim-jaacuteteacutekot
kapunk Azeacutert tehetjuumlk meg ezt mert a leacutepeacutesek eacutepp ugyanazt eredmeacutenyezik mindkeacutet
jaacuteteacutekban amennyiben megfordiacutetunk egy fekete korongot az annak felel meg ha nim-
jaacuteteacutekban azt a kupacot teljes egeacuteszeacuteben elvesszuumlk eacutes megszűnik Ha egy feheacuter eacutes egy
fekete korongot fordiacutetunk meg melyek koumlzuumll a fekete a jobb oldali akkor azzal
egyeneacuterteacutekű mintha a nim-jaacuteteacutekban bizonyos szaacutemuacute kavicsot elvettuumlnk volna az addigi
kupacboacutel uacutegy hogy a feketeacutere fordiacutetott korong sorszaacutemaacutenak megfelelő kupacmeacuteretet
eacutertuumlnk el (Mert a bal oldali korong sorszaacutema kisebb eacutes iacutegy kisebb elemszaacutemuacute kupacot is
jelent) Tekintsuumlnk erre magyaraacutezatul egy peacuteldaacutet (5 4 aacutebra)
1 2 3
5 4 aacutebra
Ebben a kis jaacuteteacutekban illusztraacuteljuk a korongforgataacutesi leacutepeacutesek eacutes a Nim-jaacuteteacutek kapcsolataacutet
Tekintsuumlk ennek mintaacutejaacutera a 2 eacutes 3 elmeszaacutemuacute kupacokkal jaacutetszott Nim-jaacuteteacutekot
Vilaacutegosan laacutetszik hogy ha megfordiacutetjuk peacuteldaacuteul a 2 szaacutemuacute fekete sziacutenű korongot eacutes iacutegy
az feheacuter lesz akkor ez a leacutepeacutes megegyezik azzal hogy a Nim-jaacuteteacutekban egy leacutepeacutessel
eltuumlntetjuumlk a 2 elemű kupacot Keacutet szabaacutelyos helyzetű korong megfordiacutetaacutesaacuteval ndash legyenek
26
most ezek az 1 eacutes 2 szaacutemuacuteak ndash az 55-oumls aacutebraacuten laacutethatoacute aacutellaacutes joumln leacutetre ami ekvivalens a
Nim-jaacuteteacutek azon leacutepeacuteseacutevel hogy a 2 elemű kupacboacutel 1 kavicsot elveszuumlnk
1 2 3
5 5 aacutebra
Keacutet fekete korong megfordiacutetaacutesa keacutet kupac teljes elveacuteteleacutet jelenteneacute a Nimben ami ilyen
formaacuteban nem szabaacutelyos Azonban ha jobban meggondoljuk ez a leacutepeacutes jelentheti azt
hogy a nagyobb meacuteretű kupacboacutel elveszuumlnk annyi kavicsot hogy az egyenlő legyen a
kisebb elemszaacutemaacuteval mert a nim-oumlsszeadaacutes miatt keacutet azonos meacuteretű kupac nem
befolyaacutesolja az egeacutesz jaacuteteacutek Grundy-szaacutemaacutet azaz a keacutet kupac kiegyenliacuteteacuteseacutevel illetve
teljes elveacuteteluumlkkel kapott Nim-aacutellaacutesok Grundy-szaacutemai megegyeznek
Az 5 3 aacutebra alapjaacuten kialakult aacutellaacutes Grundy-szaacutema tehaacutet 3 10 = 10 A jaacuteteacutek
vesztő aacutellaacutesainak Grundy-szaacutema 0 azaz ha ilyen aacutellaacutesroacutel indul valaki az nem tud nyerni
Ebből a poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacutet keacutepezni csak a 10 elemű kupac teljes elveacuteteleacutevel
lehetseacuteges Tehaacutet a 10-es szaacutemuacute fekete korongot kell megfordiacutetani előszoumlr a
győzelemhez
5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
A most koumlvetkező haacuterom jaacuteteacutekkal a [2] cikkben talaacutelkoztam
7 Jaacuteteacutek (Rim-jaacuteteacutek) Adott neacutehaacuteny kupac kavics A kupacok egyikeacuteből elvehető
akaacutermennyi kavics de csak uacutegy hogy az elvett elemek szaacutema relatiacutev priacutem legyen az elveacutetel
előtti mennyiseacuteghez
Ez a jaacuteteacutek toumlbb egykupacos uacuten bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacuteknak oumlsszege A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek
egy n darab taacutergyat (kavicsot) tartalmazoacute kupacroacutel szoacutel amelyből k elemet vehetuumlnk el
ha k eacutes n relatiacutev priacutemek Ebből koumlvetkezik hogy 1-et mindig elvehetuumlnk az oumlsszes elemet
azonban sosem (mert n oumlnmagaacuteval nem relatiacutev priacutem) kiveacuteve ha 1 darab marad a
kupacban
Jeloumlljuumlk itt az i elemszaacutemuacute Rim-kupacok Grundy-szaacutemaacutet G(Ri)-vel Az első eacutes maacutesodik
Grundy-szaacutem koumlnnyen megmondhatoacute G0 = 0 eacutes G1 = mex (G0) = 1 Ha keacutet elemet
27
tartalmaz a kiindulaacutesi kupac akkor a szabaacutelynak megfelelően az egyetlen lehetőseacuteg 1
kavics elveacutetele ezeacutert G(R2) = mex (1) = 0 Haacuteromelemű kezdőkupacboacutel 1 eacutes 2 elemet is
elvehetuumlnk iacutegy kapjuk hogy G(R3) = mex (G(R1) G(R2) ) = mex (1 0) = 2 Neacutegy elem
eseteacuten G4 = mex (G1 G3) = 0 Hasonloacutean G5 = mex (G(R1) G(R2) G(R3) G(R4)) =
= mex (1 2 0 2) = 3 eacutes iacutegy tovaacutebb A koumlvetkező teacutetelben meghataacuterozzuk aacuteltalaacutenossaacutegban
G(Rn)-et
Teacutetel A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutekban minden paacuteros n elemszaacutemuacute kupacra G(Rn) = 0 valamint
n paacuteratlan elemszaacutem eseteacuten G(Rn) = k ha n legkisebb priacutemosztoacuteja a k-adik priacutemszaacutem (Az
első priacutemszaacutem a 2 maacutesodik a 3 stb)
Bizonyiacutetaacutes n-re vonatkozoacute teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk
a) ha n paacuteros Semelyik esetben sem lehet az egeacutesz kupacot elvenni kiveacuteve ha 1 kavics
marad a kupacban Laacutettuk hogy G(R0) = G2 = 0 Legyen n paacuteros Tegyuumlk fel hogy
minden n-neacutel nem nagyobb paacuteros k szaacutemra G(Rk) = 0 Laacutessuk be ezt (n+2)-re is Mivel
egy paacuteros szaacutem semelyik maacutesik paacuteros szaacutemmal sem relatiacutev priacutem ezeacutert paacuteros darab
kavicsot nem vehetuumlnk el a kupacboacutel ennek okaacuten uacutejabb paacuteros elemszaacutemuacute aacutellaacutes sem
joumlhet leacutetre Paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac ugyan lehet (n+2) kiszomszeacutedja de annak
Grundy-szaacutema biztosan nem 0 mert 1 kavicsot baacutermelyik aacutellaacutesboacutel elvehetuumlnk iacutegy lesz
a paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt n-neacutel nem nagyobb paacuteros elemszaacutemuacute
kupac aminek Grundy-szaacutema 0 Tehaacutet (n+2) elemet tartalmazoacute kupac raacutekoumlvetkezői
koumlzoumltt nem lesz 0 Grundy-szaacutemuacute iacutegy azok legkisebb kizaacutertja eacutepp a 0
b) ha n paacuteratlan Tudjuk hogy G1 = 1 eacutes azt is laacutettuk hogy G3 = 2 Itt is teljes indukcioacutet
hasznaacutelunk Tegyuumlk fel hogy igaz a fenti aacutelliacutetaacutes minden paacuteratlan n-re Bizonyiacutetsuk be
hogy ez az n+2 paacuteratlan szaacutemra is oumlroumlklődik Legyen n+2 legkisebb priacutemosztoacuteja p eacutes
annak sorszaacutema k Ahhoz hogy belaacutessuk hogy Gn+2 = k keacutet dologra van szuumlkseacuteg
1) Minden k-naacutel kisebb szaacutem előfordul az n+2 elemszaacutemuacute aacutellaacutes valamely
kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutemakeacutent
2) Az n+2 elemű kupac egyik kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutema sem k
1) igazolaacutesa 1-et eacutes n+1-et mindig leacutephetuumlnk tehaacutet 1 eacutes 0 Grundy-szaacutemuacute
raacutekoumlvetkezője minden aacutellaacutesnak van Legyen q egy tetszőleges p-neacutel kisebb priacutem ndash
ennek sorszaacutema k-naacutel kisebb eacutes az indukcioacute szerint a q elemű aacutellaacutes Grundy-szaacutema eacutepp
a q sorszaacutema Ekkor meg kell mutatnunk hogy n+2ndashből aminek legkisebb
priacutemosztoacuteja p a q elemszaacutemuacute kupacba leacutepeacutes szabaacutelyos Ez azeacutert igaz mert a
28
jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek
nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek
elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash
hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert
kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute
kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes
2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m
elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb
priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt
k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek
A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő
strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk
8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad
kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja
legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is
elvehetjuumlk)
Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő
tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz
melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk
Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean
G(Di)
Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1
Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva
laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek
bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1
29
1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i
2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan
1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute
kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute
kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei
azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet
elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =
21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i
2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet
eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n
raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l
paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1
Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban
ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra
G(Da) = 0 + 1 = 1
Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek
9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az
egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a
Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya
szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)
Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg
Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal
Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon
mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)
= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet
a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5
kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre
30
11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik
kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az
nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi
Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-
ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet
Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik
jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem
hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy
speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok
bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A
Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő
nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk
valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval
deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek
a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)
stb kupacmeacuteretek
Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt
de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt
5 4 Fibonacci-nim
A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik
13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el
kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve
utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint
amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben
Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz
szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa
előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban
31
Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat
i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2
Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a
koumlvetkező taacuteblaacutezat
Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok
Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő
Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok
oumlsszegeacutere
Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899
Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel
hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga
Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem
akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-
szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert
119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa
kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem
Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele
keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen
Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip
Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel
minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok
legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot
vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)
7 [1] alapjaacuten
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
8
2 Fejezet Kezdő feladatok
Dolgozatom elejeacuten szeretneacutek bemutatni egy-keacutet toumlbbnyire szeacuteles koumlrben elterjedt
egyszerűbb matematikai jaacuteteacutekot Mindegyik korosztaacutely szaacutemaacutera talaacutelhatoacute megfelelő
szintű eacutes neheacutezseacutegű feladat vagy jaacuteteacutek amivel felkelthető a gyerekek eacuterdeklődeacutese Meg
lehet mutatni nekik hogy a matematikaacutenak van ilyen szoacuterakoztatoacute reacutesze is Persze az
lenne a legjobb ha ezekben tudnaacutek alkalmazni eacutes kamatoztatni a koraacutebban tanultakat
1 1 Lepakoloacutes jaacuteteacutek
1 jaacuteteacutek Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez korongokat egy asztalra Az vesziacutet aki nem tud uacutegy
toumlbb korongot elhelyezni az asztalon hogy az ne fedjen egy maacuter lent fekvőt Kinek van
nyerő strateacutegiaacuteja
Ez a jaacuteteacutek toumlbb tankoumlnyvben is szerepel Tapasztalataim szerint ez inkaacutebb elvi
gondolati jaacuteteacutek mert a gyakorlatba nehezen kivitelezhető A korongok vagy eacutermeacutek (hol
mi szerepel) koumlnnyen egymaacutesra csuacuteszhatnak vagy nem mindig egyeacutertelmű a helyzetuumlk
Mindemellett a jaacuteteacutek megoldaacutesa pofonegyszerű a gyerekek is hamar raacutejoumlhetnek Arra az
eredmeacutenyre jutunk hogy mindig az első jaacuteteacutekos nyer A joacute strateacutegia pedig az ha előszoumlr
koumlzeacutepre tesszuumlk a kezdő korongot (minden esetben van ilyen ha kerek az asztal ha
szoumlgletes leacutenyeg hogy az koumlzeacuteppontosan szimmetrikus legyen) eacutes a koumlvetkezőkben
mindig az ellenfeacutel leacutepeacuteseacutenek koumlzeacuteppontos tuumlkoumlrkeacutepeacutet leacutepjuumlk Ezt a strateacutegiaacutet jaacutetszva a
kezdő jaacuteteacutekos nem tud veszteni hiszen ha van meacuteg hely a maacutesodik jaacuteteacutekos leacutepeacuteseacutenek
akkor biztosan szabad lehetőseacuteg annak keacutepe is
Eacuterdekesseacutegkeacutent vegyuumlk eacuteszre hogy ennek az asztalra pakoloacutes jaacuteteacuteknak veacutegtelen sok
aacutellapota leacutetezik hiszen veacutegtelen sok pontra helyezhető egy korong Meacutegis veacuteges jaacuteteacuteknak
tekinthetjuumlk mert a leacutepeacutesek soraacuten az asztal szabad teruumllete csoumlkken vagyis egyre csoumlkken
a megtehető leacutepeacutesek maximaacutelis szaacutema is miacuteg előbb-utoacutebb eljutunk abba az aacutellapotba
hogy toumlbb korong maacuter nem feacuter az asztalra
Ezzel egyuumltt megproacutebaacutelhatjuk az eredetit veacuteges aacutellapotszaacutemuacute jaacuteteacutekkaacute tenni ez az oumltlet
szakdolgozat iacuteraacutesa koumlzben meruumllt fel A jaacuteteacutekot gyakorlatban neacutegyzetraacutecsos papiacuteron
lehetne jaacutetszani
9
2 Jaacuteteacutek Adott egy (n x k)-as teacuteglalap alakuacute jaacuteteacutektaacutebla Keacutet jaacuteteacutekosnak uacutegy kell felvaacuteltva
(előre lefixaacutelt) egyforma meacuteretű neacutegyzeteket besziacuteneznie a taacuteblaacuten hogy azok ne takarjaacutek
egymaacutest Az vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni Keacuterdeacutes hogy melyik jaacuteteacutekos nyer
Csupa 1x1-es neacutegyzetek sziacutenezeacutese nem hoz laacutezba senki mert a győztes csak a jaacuteteacutektaacuteblaacutet
alkotoacute neacutegyzetek szaacutemaacutetoacutel fuumlgg ha paacuteros sok neacutegyzetből aacutella taacutebla a maacutesodik paacuteratlan
szaacutemuacute neacutegyzet eseteacuten az első szaacutemuacute jaacuteteacutekos nyer Vizsgaacuteljuk most a jaacuteteacutekot 2x2-es
neacutegyzetek sziacutenezeacutese eseteacuten Nem neheacutez felismerni hogy ha a jaacuteteacutektaacutebla (2k x 2k)-as
neacutegyzet vagy (2k x 2l)-es teacuteglalap alakuacute (tetszőleges k l N eseteacuten) akkor műkoumldik raacute
a fent taacutergyalt koumlzeacuteppontos szimmetriaacuten alapuloacute strateacutegia Azonban a toumlbbi esetben
((2k+1)x(2l+1)-es vagy (2k)x(2l+1)-es jaacuteteacutektaacuteblaacutenaacutel) ezt nem tudjuk kihasznaacutelni mert
nincs koumlzeacutepső neacutegyes amivel kezdhetneacutenk a sziacutenezeacutest Hogyan jaacutetsszunk ilyenkor Van-
e egyaacuteltalaacuten abszoluacutet nyertes Neacutezzuumlnk egy kisebb konkreacutet peacuteldaacutet
Aacutelliacutetaacutes (3x2k)-as taacuteblaacuten jaacutetszva az első jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy a paacuteros hosszuacute oldal felezőmerőlegese raacutecsvonalon
halad iacutegy kihasznaacutelhatjuk az erre a tengelyre valoacute szimmetriaacutet Kettő olyan (2x2)-es
neacutegyzet van melyen eme tengely aacutethalad de ezek koumlzuumll csak egy sziacutenezhető Ha a kezdő
elsőkeacutent az egyik ilyet sziacutenezi be akkor ellenfele tetszőleges leacutepeacuteseacutet tuumlkroumlzve a
tuumlkoumlrtengelyre oumlveacute lesz az utolsoacute leacutepeacutes
A 2xn-es jaacuteteacutektaacuteblaacuten valoacute jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera a keacutesőbbiekben majd meacuteg
visszateacuteruumlnk (ld 5 fejezet) A toumlbbi esetről nem lesz szoacute kiproacutebaacutelaacutesukat tudom ajaacutenlani
1 2 Foglaloacutes jaacuteteacutekok
Foglalkozzunk kicsit a foglaloacutes tiacutepusuacute jaacuteteacutekokkal Ezeket azeacutert szokaacutes iacutegy nevezni
mert adott jaacuteteacutektaacuteblaacuten jaacutetsszaacutek uacutegy hogy felvaacuteltva elfoglalnak egy-egy mezőt (tesznek raacute
egy-egy sajaacutet sziacutenű jelet) eacutes a jaacuteteacutek győztese az aki az előre kijeloumllt nyertes
mezőcsoportok valamelyikeacutet előszoumlr el tudja foglalni Ilyen foglaloacutes jaacuteteacutekra peacutelda a
mindenki aacuteltal joacutel ismert angol neveacuten Tic-tac-toe mely soraacuten a jaacuteteacutekosok egy 3x3-as
neacutegyzetbe a szokaacutesos X eacutes koumlr jeleket rakosgatjaacutek eacutes az nyer aki előszoumlr tudja haacuterom
egyforma jeleacutet egy vonalba helyezni (tehaacutet a haacuterom sor a haacuterom oszlop eacutes a keacutet aacutetloacute a
kijeloumllt nyertes mezőcsoportok) A foglaloacutes jaacuteteacutekok nem tekinthetőek normaacutel jaacuteteacutekoknak
10
mert kialakulhat doumlntetlen aacutellaacutes is amikor azeacutert nem tudnak toumlbbet leacutepni a jaacuteteacutekosok mert
a taacuteblaacuten a lehetőseacutegek elfogytak de senki sem nyert
Aacutelliacutetaacutes A foglaloacutes jaacuteteacutekokban a maacutesodik jaacuteteacutekos sosem nyerhet (Legfeljebb doumlntetlenre
vezető strateacutegiaacuteja lehet)
Bizonyiacutetaacutes Indirekte tegyuumlk fel hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja Ilyen
helyzetben a kezdő tudja alkalmazni a bdquostrateacutegialopaacutestrdquo Ez azt jelenti hogy a kezdő
jaacuteteacutekos leacutep valamit majd innentől uacutegy fogja fel a jaacuteteacutekot mintha csak most kezdődne eacutes
a maacutesodik jaacuteteacutekos nyerő strateacutegiaacuteja szerint jaacutetszik tovaacutebb Akkor meruumllhetne fel
probleacutema ha azt a mezőt keacutene elfoglalnia melyre az első leacutepeacuteskor leacutepett aacutem ez nem
gond mivel ezen maacuter az ő jele szerepel tehaacutet mi sem egyszerűbb baacuterhova maacuteshova tehet
Ezzel a moacutedszerrel az első jaacuteteacutekosnak nyernie kellene holott a maacutesodiknak van nyerő
strateacutegiaacuteja ellentmondaacutes
Gondoljuk meg a koumlvetkező konkreacutet foglaloacutes jaacuteteacutekot a nyerő strateacutegia szempontjaacuteboacutel
3 Jaacuteteacutek (Trihex) Az 11 aacutebra szerinti jaacuteteacutektaacuteblaacutera keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez egy piros
illetve egy keacutek korongot valamelyik meacuteg uumlres koumlrre Az győz akinek elsőkeacutent sikeruumll
haacuterom egysziacutenű korongot helyeznie a kilenc egyenes vonal valamelyikeacutere
11 Aacutebra A trihex jaacuteteacutek taacuteblaacuteja
Teacutetel A Trihex jaacuteteacutekban az I jaacuteteacutekos nyer
Bizonyiacutetaacutes A teacutetel bizonyiacutetaacutesaacuteban szuumlkseacuteguumlnk lesz keacutet fogalomra szabad egyeneseknek
nevezzuumlk azokat az egyeneseket melyeken egyetlen korong sincs eacutes egy jaacuteteacutekos szaacutemaacutera
feacutelszabad egyenes az az egyenes amelyen van az ő sziacuteneacutenek megfelelő sziacutenű korong de
mentes az ellenfele korongjaitoacutel A bizonyiacutetaacutes soraacuten kollineaacuterisnak nevezuumlnk haacuterom
mezőt ha azok a jaacuteteacutek taacuteblaacutejaacuten egyazon egyenesre illeszkednek
11
Az aacutebra uacutegy van megalkotva hogy minden egyenesen haacuterom uumlres koumlr szerepel ahova
a korongokat el kell helyezni tovaacutebbaacute minden ponton aacutet haacuterom egyenes megy aacutet
Megegyezeacutes alapjaacuten I jaacuteteacutekos hasznaacutelja a piros korongokat ellenfele a keacutekeket
Kezdőkeacutent az első leacutepeacutest mindenkeacutepp az egyik olyan mezőre tegyuumlk mely a nagy
haacuteromszoumlg oldalaacuten de nem a csuacutecsaacuten helyezkedik el Ellenfeluumlnk leacutepeacuteseacutetől fuumlggően keacutet
fajta aacutellaacutes joumlhet leacutetre amit kuumlloumln kell vizsgaacutelnunk
a) Ha II nem oldalpontra tesz akkor leacutepeacuteseacutet uacutegy kell koumlvetnuumlnk hogy a keacutet piros
korongunk egyazon feacutelszabad egyenesen legyen Ezutaacuten biztosan adoacutedni fog
legalaacutebb keacutet ilyen feacutelszabad egyenes Ezzel a leacutepeacutessel keacutenyszeriacutetettuumlk a maacutesodik
jaacuteteacutekost hogy keacutek korongjaacutet ezen egyenes harmadik mezőjeacutere helyezze hogy
megakadaacutelyozza a győzelmuumlnket Figyeljuumlnk raacute hogy a feacutelszabad egyenesek koumlzuumll
olyat eacutes annak olyan a pontjaacutet vaacutelasszuk melyen a harmadik ndash meacuteg uumlres hely ndash
nincs egy egyenesen a keacutek koronggal (ellenőrizhető hogy lesz ilyen) hogy ezzel
ne segiacutetsuumlk ellenfeluumlnket Ellenkező esetben megelőlegezzuumlk magunknak a
keacutenyszerhelyzetet Az ezutaacuteni koumlrben ndash a paacutelya sajaacutetossaacutegai miatt ndash lesz olyan
mező ami keacutet 1-1 piros korongot tartalmazoacute feacutelszabad egyenes metszeacutespontja
Foglaljuk el ezt a mezőt Innen koumlnnyen laacutethatoacute hogy megnyerjuumlk a jaacuteteacutekot
b) Maacutesodik eset ha ellenfeluumlnk egy maacutesik oldalpontra (de nem csuacutecsra) teszi keacutek
korongjaacutet Az oldalpontok tulajdonsaacutega hogy minden ponttal kollineaacuterisak csak
egymaacutessal nem Tegyuumlnk most a harmadik oldalpontra Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekos
akaacutermit leacutephet mi fogunk nyerni Ugyanis a keacutet piros sziacutenű oldalpontnak az oumlsszes
meacuteg szabad mezővel van koumlzoumls egyenese tehaacutet baacutermelyik pontra is leszuumlnk
keacutenytelenek tenni (ellenfeluumlnk győzelmeacutenek megakadaacutelyozaacutesa eacuterdekeacuteben) az
biztosan keacutet olyan feacutelszabad egyenesnek lesz metszeacutespontja ami tartalmaz 1-1
piros sziacutenű korongot Innen pedig egyeacutertelműen mi nyeruumlnk
12
3 Fejezet Kupacos jaacuteteacutekok
Koumlzkedvelt matematikai jaacuteteacutekok a kupacokba vagy halmokba rendezett taacutergyak
(kavicsok gyufaacutek korongok stb) alkotta jaacuteteacutekok melyekben kuumlloumlnboumlző szabaacutelyok
szerint szabad elvenni bizonyos szaacutemuacute elemet Ebben a fejezetben kupacokba rendezett
kavicsokroacutel lesz szoacute Tovaacutebbra is a joacute strateacutegia megtalaacutelaacutesa a ceacutel
3 1 Egyszerű egykupacos jaacuteteacutek
4 Jaacuteteacutek Egy kupacban 21 kavics van Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva 1 2 vagy 3
darabot vehetnek el Ez normaacutel jaacuteteacutek vagyis az nyer aki az utolsoacute(ka)t veszi el Kinek
van nyerő strateacutegiaacuteja
Visszafele gondolkodva aki előtt maacuter csak 3 vagy kevesebb korong lesz az meg tudja
nyerni a jaacuteteacutekot hiszen a legfeljebb 3 korongot elvehet Ez nyerő aacutellaacutes A 4 darab kavics
ugyanebből a megfontolaacutesboacutel vesztes aacutellaacutes hiszen akaacuterhaacuteny (1 2 vagy 3) darabot veszuumlnk
is el ellenfeluumlnk elveheti a maradeacutekot eacutes ezzel nyer Tovaacutebbgondolva minden 4∙k (k =
0 1hellip n) darab kavics vesztes aacutellaacutes mert abboacutel leacutepve az elemek szaacutemaacutenak neacuteggyel
oszthatoacutesaacutega nem megtarthatoacute tehaacutet vesztes aacutellaacutesboacutel vesztes aacutellaacutesba nem lehet leacutepni
viszont baacutermely maacutes esetből meg lehet jaacutetszani azokat Speciaacutelisan itt a vesztes aacutellaacutesok
4 8 12 16 20 db korong Ennek megfelelően 21 kavics eseteacuten a kezdő jaacuteteacutekosnak van
nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig előszoumlr 20-ra csoumlkkentve a kavicsok szaacutemaacutet
Eacuterdemes meggondolni ezt a feladatot aacuteltalaacutenosabban is
4 Jaacuteteacutek aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa Adott egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el 1-
től m darabig akaacuterhaacuteny kavicsot Az veszt aki nem tud leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja
eacutes mi az
Aacutelliacutetaacutes Ha m + 1 | n akkor a kezdő jaacuteteacutekos vesziacutet ellenkező esetben viszont neki van
nyerő strateacutegiaacuteja
Bizonyiacutetaacutes Ebben a jaacuteteacutekban biztosan az nyer akinek előszoumlr sikeruumll (m+1)-gyel
oszthatoacute elemszaacutemba leacutepni Ilyen helyzetből indulva baacuterhogyan is leacutepuumlnk nem tudunk
uacutejabb (m+1)-gyel oszthatoacutevaacute tenni a kupac meacutereteacutet miacuteg ellenfeluumlnk ndash akaacuterhogyan is
leacuteptuumlnk ndash a koumlvetkező koumlrben csoumlkkenteni tudja az elemszaacutemot uacutejabb (m+1)-gyel
oszthatoacutevaacute Vegyuumlk eacuteszre hogy a 0 veacutegső vesztes aacutellaacutes is oszthatoacute (m+1)-gyel Ezek
13
eacutertelmeacuteben minden (m + 1) ∙ k (k = 0hellipn) darab korong eseteacuten alakul ki vesztes aacutellaacutes
Tehaacutet aki ebből keacutenyszeruumll leacutepni az vesziacutet
Ha a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesakor a kupac meacutereteacutet osztja (m+1) akkor ugyanebből a
meggondolaacutesboacutel koumlvetkezik hogy a kezdő jaacuteteacutekos nem tud nyerni
Tovaacutebbra is kupacokkal eacutes azokboacutel aacutelloacute feladatokkal foglalkozunk A koumlvetkezőkben egy
aacuteltalaacutenosabb jaacuteteacutekcsoportroacutel lesz szoacute
3 2 Nim-jaacuteteacutek eacutes nim-oumlsszeadaacutes
A Nim-jaacuteteacutek Kiacutenaacuteboacutel szaacutermazoacute ma maacuter szeacuteles koumlrben ismert matematikai jaacuteteacutek A
menete a koumlvetkező
Nim-jaacuteteacutek adott n db kupac melyek rendre a1 a2 a3hellip an darab kavicsot tartalmaznak
Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva vesznek el akaacuterhaacuteny de legalaacutebb 1 kavicsot valamelyik
tetszőleges kupacboacutel Az nyer aki az utolsoacute kavicsot elveszi Keacuterdeacutes hogy kinek van nyerő
strateacutegiaacuteja
Ezek vagy az ehhez hasonloacute feladvaacutenyok megoldaacutesaacuteban segiacutetseacuteguumlnkre lesz egy uacutej
fogalom a bdquonim-oumlsszeadaacutesrdquo
Definiacutecioacute (nim-oumlsszeadaacutes) Vegyuumlk a nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemok halmazaacutet eacutes azon uacutegy
eacutertelmezzuumlk a nim-oumlsszeadaacutest hogy elemeit kettes szaacutemrendszerbeli alakjukban feliacuterva
adjuk oumlssze modulo 2 azaz nem toumlrődve az egyes helyieacuterteacutekeken adoacutedoacute maradeacutekokkal
Peacutelda 12 25 = 21 hiszen 11002 + 110012 = 101012
Vilaacutegosabbaacute vaacutelik a nim-oumlsszeadaacutes ha a szokaacutesos moacutedon egymaacutes alaacute iacuterva adjuk oumlssze
őket
11002
110012
101012
Ezt a definiacutecioacutet meggondolhatjuk maacuteskeacuteppen is
Definiacutecioacute Jeloumllje 119917120784 a keacutetelemű testet (azaz a modulo 2 szaacutemkoumlrt) eacutes legyen 119917120784infin ennek
veacutegtelen diszkreacutet direktszorzata vagyis az a veacutegtelen dimenzioacutes vektorteacuter amelyben olyan
14
0 eacutes 1 koordinaacutetaacutekat tartalmazoacute vektorok vannak melyekben csak veacuteges sok 1-es szaacutem
szerepel
Tekintsuumlk a koumlvetkező koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű megfelelteteacutest N eacutes 119917120784infin koumlzoumltt iacuterjunk
fel egy adott szaacutemot kettes szaacutemrendszerben de fordiacutetott sorrendben azaz jobbroacutel balra
Vegyuumlk azt a veacutegtelen hosszuacute vektort melynek az első koordinaacutetaacutei eacuteppen ennek a
szaacutemnak a bdquofordiacutetottrdquo kettes szaacutemrendszerbeli alakjaacutenak szaacutemjegyeivel egyezik meg
majd ezeket veacutegtelen sok nulla koumlveti Ez egy egyeacutertelmű megfelelteteacutest ad N eacutes 119917120784infin
elemei koumlzoumltt hiszen egy szaacutem egyetlen vektornak felel meg Azaz ha
119899 = sum 119886119894 ∙ 2119894infin119894=0 ahol 119886119894= 0 vagy 1 akkor az ennek megfelelő vektor (1198860 1198861 1198862 )
Teacutetel A nim-oumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot
Bizonyiacutetaacutes Tudjuk hogy a vektoroumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot Az előzőekben adott
egyeacutertelmű megfelelteteacutessel laacutethatoacute hogy az 119917120784infin-beli veacutegtelen hosszuacute vektorok
oumlsszeadaacutesa eacutes a nim-oumlsszeadaacutes ekvivalens művelet ezeacutert a nim-oumlsszeadaacutes is Aacutebel-
csoportot alkot
A nim-oumlsszeadaacutes tovaacutebbi tulajdonsaacutegai
1 Aacutelliacutetaacutes Minden a szaacutemra a a = 0
Bizonyiacutetaacutes Nem neheacutez meggondolni hogy ha a kettes szaacutemrendszerben keacutet azonos
szaacutemot adunk nim-oumlssze akkor mivel abban az 1-esek eacutes 0-k ugyanazon a helyieacuterteacuteken
aacutellnak az oumlsszeadaacutesukkor azok mind lenullaacutezoacutednak (1 + 1 = 0 + 0 = 0)
2 Aacutelliacutetaacutes Tetszőleges a eacutes b pozitiacutev egeacuteszekre teljesuumll 0 le a b le a + b
Ezt nem bizonyiacutetom de veacutegiggondolhatoacute
3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja
Az egykupacos Nim-jaacuteteacutek nagyon egyszerű nem is nevezhető jaacuteteacuteknak hiszen a kezdő
jaacuteteacutekos elsőre felmarkolhatja az egeacutesz kupacot eacutes veacutege a jaacuteteacuteknak Nem ilyen koumlnnyű
elsőre aacutetlaacutetni a toumlbb kupacos normaacutel Nim-jaacuteteacutekot
Vezessuumlk be a Nim(a1 a2hellip an) jeloumlleacutest arra az n kupacos Nim-jaacuteteacutekra ahol a1
a2hellip an a kuumlloumlnboumlző kupacok elemszaacutema
15
Teacutetel
1) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek kupacmeacutereteinek nim-oumlsszege a1 a2 hellip an ne 0
akkor biztosan leacutetezik olyan leacutepeacutes hogy a kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra
a1rsquo a2rsquohellip anrsquo = 0
2) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekban a1 a2 hellip an = 0 akkor baacutermely leacutepeacutes utaacuten a
kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra a nim-oumlsszeg a1rsquo a2rsquohellip anrsquo 0
Bizonyiacutetaacutes
1) Előszoumlr iacuterjuk fel egymaacutes alaacute a kupacok meacutereteacutet kettes szaacutemrendszerben eacutes adjuk oumlssze
őket nim szerint A ceacutelunk az hogy ezt a kapott oumlsszeget olyan moacutedon 0-ra tudjuk
vaacuteltoztatni ami megfeleltethető egy jaacuteteacutekbeli leacutepeacutessel Ehhez keressuumlk meg azt a
legnagyobb helyieacuterteacuteket (vagyis balroacutel az első olyan oszlopot) ahol paacuteratlan sok 1-es
szerepel - ugyanis ezen a helyieacuterteacuteken a nim-oumlsszegben is 1-es fog szerepelni - eacutes
vaacutelasszuk ki ebből az egyik 1-est legyen ez ai feliacuteraacutesaacuteban Most vaacuteltoztassuk meg ezt
az 1-est 0-ra eacutes ai ettől jobbra leacutevő binaacuteris szaacutemjegyeit is csereacuteljuumlk 1-esre vagy 0-ra
uacutegy hogy veacuteguumll az egeacutesz oumlsszeg 0-ra csoumlkkenjen (Ez megtehető eacutes ezt akkor eacuterjuumlk
el ha minden oszlopban paacuteros szaacutemuacute 1-es lesz) Ezzel a leacutepeacutessel aacuteteacutertuumlnk a Nim(a1rsquo
a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra ahol aj = aj kiveacuteve j = i-re eacutes ebben 0 a nim-oumlsszeg A
feliacuteraacutesban egy sor a jaacuteteacutekban egy kupac elemszaacutemaacutenak felel meg eacutes egy tetszőleges
sort alkotoacute szaacutem csoumlkkenteacutese valamennyivel ekvivalens azzal hogy a neki megfelelő
kupacboacutel ugyanennyi elemet elveszuumlnk Maacuter csak azt kell belaacutetnunk hogy az eljaacuteraacutes
soraacuten valoacuteban az egyik kupac elemszaacutemaacutet csoumlkkentettuumlk (nem noumlveltuumlk) tehaacutet leacutetezik
ilyen leacutepeacutes Ezt nem neheacutez meggondolni mert a legnagyobb helyieacuterteacuteken aacutelloacute 1-est 0-
ra csereacuteltuumlk ndash legyen ez a 2k helyieacuterteacutek ndash eacutes moumlgoumltte a vaacuteltoztataacutesok utaacuten legfeljebb k
-1 darab 1-es aacutellhat melyek eacuterteacuteke tiacutezes szaacutemrendszerben legfeljebb 1 + 2 + 4 + 8 +
+ 2k-1 = 2kndash1 ami biztosan kisebb az előző szaacutemnaacutel Tehaacutet a leiacutert leacutepeacutesek soraacuten valoacuteban
csoumlkkentettuumlk a kupacok meacutereteacutet
Ezt a bizonyiacutetaacutest egeacutesz egyszerűen aacutet lehet gondolni az előzőek alapjaacuten Laacutettuk hogy
a jaacuteteacutek leacutepeacuteseit hogyan tudjuk maacuteskeacutepp leiacuterni elveacutegezni A levezeteacutesből laacutetszik az
hogy 0 nim-oumlsszegből uacutejabb 0 nim-oumlsszegű aacutellaacutest nem tudunk eleacuterni
a1 a2 hellip an = 0 eseteacuten semelyik oszlopban sem lesz paacuteratlan szaacutemuacute 1-es amit
megcsereacutelve joacutel jaacuternaacutenk viszont egy sorban legalaacutebb egy szaacutemot ki kell csereacutelnuumlnk
mert leacutepni muszaacutej Tehaacutet lesz olyan oszlop a leacutepeacutesuumlnk utaacuten melyben paacuteratlan szaacutemuacute
1-es fog aacutellni iacutegy az oumlsszegben is legalaacutebb egy 1-es szerepelni fog
16
Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő
jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege
a1 a2 hellip an ne 0
Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző
teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire
a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet
uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig
fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb
Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud
leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok
Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy
leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is
oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot
jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti
Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti
egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot
Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor
jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen
oumlsszegjaacuteteacutek
sum 119869119894
119899
119868=0
ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet
kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)
Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege
is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek
17
Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg
azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat
Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban
van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz
Bizonyiacutetaacutes
Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva
a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az
bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha
ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik
jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat
b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik
jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő
jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja
szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az
oumlsszeguumlket is
Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala
kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha
első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer
Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg
hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk
az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes
kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű
paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri
a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot
Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező
fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet
18
4 Fejezet Grundy-szaacutemok
A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy
szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni
Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges
jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely
aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az
aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely
adta lehetőseacutegek koumlzuumll
Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű
jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel
1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az
ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel
ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat
leacutepeacuteseket) ismeruumlnk
2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal
leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket
tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek
3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul
annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok
hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak
A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban
nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni
Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia
megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a
toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező
fogalomra
19
Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb
nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt
Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)
Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot
az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de
roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van
Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs
raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden
raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb
kizaacutertja
Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema
Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben
semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute
aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan
raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne
ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb
kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli
raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten
nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute
veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol
minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak
Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok
ciklusmentesseacutegeacutenek
Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema
2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese
3 A [2] cikk alapjaacuten
20
Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos
Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek
Grundy-szaacutemai
Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb
nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-
szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i
a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak
egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk
ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy
G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema
G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be
hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes
felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem
maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1
Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok
illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az
alaacutebbiak
1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0
2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0
3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0
Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja
ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0
Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben
van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek
koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal
vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)
tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel
4 [2] cikk alapjaacuten
21
leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben
megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet
Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud
mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy
ő nyeri a jaacuteteacutekot
Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-
szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)
Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0
Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn
direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)
Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti
indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes
aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)
valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra
maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb
a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel
Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)
raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy
minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy
a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat
oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek
vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden
A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban
oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom
22
5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute
jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok
hasznaacutelata
5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai
Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő
egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti
darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok
Grundy-szaacutemai
Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-
szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő
Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen
innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk
= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz
vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet
el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan
ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute
Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)
vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet
Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent
meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes
strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait
Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem
Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik
ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a
koumlvetkező
5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy
bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek
Grundy-szaacutemaival
23
10 Jaacuteteacutek (Dawsonrsquos Chess) Adott egy 1x n-es teacuteglalap melynek neacutegyzeteibe a jaacuteteacutekosok
felvaacuteltva X-et raknak uacutegy hogy az X jellel ellaacutetott cellaacutek szomszeacutedosak nem lehetnek vagyis
egy X melletti neacutegyzetbe maacutesik X nem keruumllhet Az nyer aki az utolsoacute jelet rakja
Ha jobban meggondoljuk a keacutet jaacuteteacutek megfelel egymaacutesnak Annyi a kuumlloumlnbseacuteg hogy az
itteni neacutegyzetek ott a 2x2-es neacutegyzetek felező vonalainak felelnek meg eacutes az itteni vaacutelasztoacute
raacutecsvonalak pedig a sziacutenezős jaacuteteacutek neacutegyzeteivel egyeznek meg Neacutezzuumlk az alaacutebbi 5 1 aacutebraacuten
szemleacuteltetett peacuteldaacutet
Dawsonrsquos Chess taacutebla egy lehetseacuteges veacutegaacutellaacutessal
A 2 jaacuteteacutek ugyanazt jelentő veacutegső aacutellaacutesa
51 aacutebra
Joacutel laacutethatoacute hogy a 2 jaacuteteacutekban a 2x2-es neacutegyzetek hataacutervonalai eacutepp a Dawsonrsquos Chess-
beli bdquotiltott mezőknekrdquo felelnek meg - amikben nem keruumllhet X jel mert szomszeacutedjukban
maacuter szerepel - mert egy ilyen hataacutervonalra nem eshet maacutesik 2x2-es neacutegyzet felezővonala
hisz akkor a neacutegyzetek takarnaacutek egymaacutest
Feacuteny deruumllt arra6 hogy ennek a jaacuteteacuteknak a Grundy-szaacutemaiboacutel aacutelloacute sorozat 34-es
periodicitaacutesuacute de az elejeacuten van heacutet kiveacutetel a 0 14 16 17 31 34 eacutes 51 helyen aacutelloacute szaacutemok
tekinteteacuteben Utaacutena beaacutell a valoacutedi periodicitaacutes Azok az aacutellaacutesok eacuterdekesek szaacutemunkra a
nyerő strateacutegia kutataacutesa kapcsaacuten melyek Grundy-szaacutema 0 mert ezek a vesztes aacutellaacutesok
Tehaacutet vesztes aacutellaacutesok az elejeacutetől kezdve 1 5 9 15 21 25 29 35 neacutegyzetet tartalmazoacute
kezdőaacutellaacutesok majd az 1 a 15 eacutes 35 kiveacuteteleacutevel ezek k ∙ 34-gyel vett oumlsszegei is vesztő
aacutellaacutesok lesznek a periodicitaacutes miatt
5 2 Jaacuteteacutekok korongokkal
A koumlvetkező jaacuteteacutek a [4] koumlnyvből szaacutermazik
6 Szinteacuten a httpsoeisorg weboldal hasznaacutelataacuteval
X X
24
5 Jaacuteteacutek Egy asztalon sorba 10 korong van lerakva melyeknek egyik oldala feheacuter maacutesik
fekete sziacutenű Ketten jaacutetszanak A soron koumlvetkező mindig kivaacutelaszt egy fekete oldalaacuteval
felfeleacute fekvő korongot majd azt eacutes az oumlsszes tőle jobbra leacutevőt aacutetfordiacutetja a maacutesik oldalaacutera
Akkor van veacutege a jaacuteteacuteknak ha mindegyik korongnak a feheacuter oldala van feluumll Az veszt aki
nem tud toumlbbet leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes hogyan tud győzni
A jaacuteteacutek kimenetele eacutes nyertese fuumlgg a kiindulaacutesi helyzettől Tekintsuumlk az alaacutebbi konkreacutet
kezdőaacutellaacutest (5 2 aacutebra)
5 2 aacutebra
A nyertes strateacutegia nem bonyolult sőt eleacuteg keacutezenfekvő ha belegondolunk tudniillik a
veacutegeredmeacuteny egyaacuteltalaacuten nem a jaacuteteacutekosok leacutepeacutesein muacutelik hanem csupaacuten az utolsoacute korong
sziacuteneacutetől fuumlgg Ugyanis egy korong az utolsoacute helyen aacutelloacute biztosan megfordul minden
leacutepeacutesben Ez leacutepeacutesenkeacutent vaacuteltakozva hol feheacuter hol fekete oldalaacuteval lesz feluumll miacuteg ki nem
alakul a veacutegső nyertes ndash oumlsszes feheacuter ndash aacutellaacutes Ha peacuteldaacuteul kezdetben fekete az utolsoacute
korong akkor az mindig a kezdő jaacuteteacutekos forgataacutesai nyomaacuten fog a feheacuter oldalaacuteval felfeleacute
keruumllni A jaacuteteacutek egyszer veacuteget eacuter eacutes tudjuk hogy az utolsoacute leacutepeacutes a kezdő jaacuteteacutekoseacute lesz
tehaacutet ő nyer Ellenkező esetben - ha a kezdő aacutellapotban feheacuter az utolsoacute korong - a maacutesodik
jaacuteteacutekoseacute a győzelem Tehaacutet teljesen mindegy haacuteny koronggal jaacutetszunk a győztest mindig
a sorban elhelyezett utolsoacute korong sziacutene fogja elaacuterulni Ha az a fekete oldalaacuteval felfeleacute
fekszik akkor a kezdő ha feheacuter sziacutene laacutetszik akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos nyer Iacutegy a fenti
jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
Ha feladatban moacutedosiacutetjuk kicsit a szabaacutelyokat akkor a megoldaacutes is bonyoloacutedik eacutes itt
maacuter fel kell hasznaacutelnunk a Grundy-szaacutemokat illetve a nim-oumlsszeget A koumlvetkező feladat
eacutes megoldaacutesi oumltlete [2] forraacutesboacutel szaacutermazik
6 Jaacuteteacutek Legyen ismeacutet 10 darab korongunk az asztalra sorba lehelyezve A jaacuteteacutekosok
keacutetfeacutele leacutepeacutest hajthatnak veacutegre vagy megfordiacutetanak egy fekete oldalaacuteval felfeleacute fekvő
korongot vagy keacutet korongot fordiacutetanak meg melyek koumlzuumll a jobbraacutebb levő fekte Az vesziacutet
aki nem tud toumlbbet leacutepni
25
A megoldaacutes veacutegett szaacutemozzuk meg a korongokat balroacutel jobbra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 3 aacutebra
Aacutelliacutetaacutes A 6 jaacuteteacutek egy aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema eacutepp a fekete sziacutenű korongok sorszaacutemaacutenak
nim-oumlsszege
Bizonyiacutetaacutes Alkossunk ebből a jaacuteteacutekboacutel Nim-jaacuteteacutekot a koumlvetkező keacuteppen Ha az i-edik
korong sziacutene fekete akkor tekintsuumlnk egy ekkora elemszaacutemuacute kupacot a Nim-jaacuteteacutekban ha
feheacuter sziacutenű egy korong akkor nincs ilyen kupacunk Ezzel egy szokaacutesos Nim-jaacuteteacutekot
kapunk Azeacutert tehetjuumlk meg ezt mert a leacutepeacutesek eacutepp ugyanazt eredmeacutenyezik mindkeacutet
jaacuteteacutekban amennyiben megfordiacutetunk egy fekete korongot az annak felel meg ha nim-
jaacuteteacutekban azt a kupacot teljes egeacuteszeacuteben elvesszuumlk eacutes megszűnik Ha egy feheacuter eacutes egy
fekete korongot fordiacutetunk meg melyek koumlzuumll a fekete a jobb oldali akkor azzal
egyeneacuterteacutekű mintha a nim-jaacuteteacutekban bizonyos szaacutemuacute kavicsot elvettuumlnk volna az addigi
kupacboacutel uacutegy hogy a feketeacutere fordiacutetott korong sorszaacutemaacutenak megfelelő kupacmeacuteretet
eacutertuumlnk el (Mert a bal oldali korong sorszaacutema kisebb eacutes iacutegy kisebb elemszaacutemuacute kupacot is
jelent) Tekintsuumlnk erre magyaraacutezatul egy peacuteldaacutet (5 4 aacutebra)
1 2 3
5 4 aacutebra
Ebben a kis jaacuteteacutekban illusztraacuteljuk a korongforgataacutesi leacutepeacutesek eacutes a Nim-jaacuteteacutek kapcsolataacutet
Tekintsuumlk ennek mintaacutejaacutera a 2 eacutes 3 elmeszaacutemuacute kupacokkal jaacutetszott Nim-jaacuteteacutekot
Vilaacutegosan laacutetszik hogy ha megfordiacutetjuk peacuteldaacuteul a 2 szaacutemuacute fekete sziacutenű korongot eacutes iacutegy
az feheacuter lesz akkor ez a leacutepeacutes megegyezik azzal hogy a Nim-jaacuteteacutekban egy leacutepeacutessel
eltuumlntetjuumlk a 2 elemű kupacot Keacutet szabaacutelyos helyzetű korong megfordiacutetaacutesaacuteval ndash legyenek
26
most ezek az 1 eacutes 2 szaacutemuacuteak ndash az 55-oumls aacutebraacuten laacutethatoacute aacutellaacutes joumln leacutetre ami ekvivalens a
Nim-jaacuteteacutek azon leacutepeacuteseacutevel hogy a 2 elemű kupacboacutel 1 kavicsot elveszuumlnk
1 2 3
5 5 aacutebra
Keacutet fekete korong megfordiacutetaacutesa keacutet kupac teljes elveacuteteleacutet jelenteneacute a Nimben ami ilyen
formaacuteban nem szabaacutelyos Azonban ha jobban meggondoljuk ez a leacutepeacutes jelentheti azt
hogy a nagyobb meacuteretű kupacboacutel elveszuumlnk annyi kavicsot hogy az egyenlő legyen a
kisebb elemszaacutemaacuteval mert a nim-oumlsszeadaacutes miatt keacutet azonos meacuteretű kupac nem
befolyaacutesolja az egeacutesz jaacuteteacutek Grundy-szaacutemaacutet azaz a keacutet kupac kiegyenliacuteteacuteseacutevel illetve
teljes elveacuteteluumlkkel kapott Nim-aacutellaacutesok Grundy-szaacutemai megegyeznek
Az 5 3 aacutebra alapjaacuten kialakult aacutellaacutes Grundy-szaacutema tehaacutet 3 10 = 10 A jaacuteteacutek
vesztő aacutellaacutesainak Grundy-szaacutema 0 azaz ha ilyen aacutellaacutesroacutel indul valaki az nem tud nyerni
Ebből a poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacutet keacutepezni csak a 10 elemű kupac teljes elveacuteteleacutevel
lehetseacuteges Tehaacutet a 10-es szaacutemuacute fekete korongot kell megfordiacutetani előszoumlr a
győzelemhez
5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
A most koumlvetkező haacuterom jaacuteteacutekkal a [2] cikkben talaacutelkoztam
7 Jaacuteteacutek (Rim-jaacuteteacutek) Adott neacutehaacuteny kupac kavics A kupacok egyikeacuteből elvehető
akaacutermennyi kavics de csak uacutegy hogy az elvett elemek szaacutema relatiacutev priacutem legyen az elveacutetel
előtti mennyiseacuteghez
Ez a jaacuteteacutek toumlbb egykupacos uacuten bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacuteknak oumlsszege A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek
egy n darab taacutergyat (kavicsot) tartalmazoacute kupacroacutel szoacutel amelyből k elemet vehetuumlnk el
ha k eacutes n relatiacutev priacutemek Ebből koumlvetkezik hogy 1-et mindig elvehetuumlnk az oumlsszes elemet
azonban sosem (mert n oumlnmagaacuteval nem relatiacutev priacutem) kiveacuteve ha 1 darab marad a
kupacban
Jeloumlljuumlk itt az i elemszaacutemuacute Rim-kupacok Grundy-szaacutemaacutet G(Ri)-vel Az első eacutes maacutesodik
Grundy-szaacutem koumlnnyen megmondhatoacute G0 = 0 eacutes G1 = mex (G0) = 1 Ha keacutet elemet
27
tartalmaz a kiindulaacutesi kupac akkor a szabaacutelynak megfelelően az egyetlen lehetőseacuteg 1
kavics elveacutetele ezeacutert G(R2) = mex (1) = 0 Haacuteromelemű kezdőkupacboacutel 1 eacutes 2 elemet is
elvehetuumlnk iacutegy kapjuk hogy G(R3) = mex (G(R1) G(R2) ) = mex (1 0) = 2 Neacutegy elem
eseteacuten G4 = mex (G1 G3) = 0 Hasonloacutean G5 = mex (G(R1) G(R2) G(R3) G(R4)) =
= mex (1 2 0 2) = 3 eacutes iacutegy tovaacutebb A koumlvetkező teacutetelben meghataacuterozzuk aacuteltalaacutenossaacutegban
G(Rn)-et
Teacutetel A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutekban minden paacuteros n elemszaacutemuacute kupacra G(Rn) = 0 valamint
n paacuteratlan elemszaacutem eseteacuten G(Rn) = k ha n legkisebb priacutemosztoacuteja a k-adik priacutemszaacutem (Az
első priacutemszaacutem a 2 maacutesodik a 3 stb)
Bizonyiacutetaacutes n-re vonatkozoacute teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk
a) ha n paacuteros Semelyik esetben sem lehet az egeacutesz kupacot elvenni kiveacuteve ha 1 kavics
marad a kupacban Laacutettuk hogy G(R0) = G2 = 0 Legyen n paacuteros Tegyuumlk fel hogy
minden n-neacutel nem nagyobb paacuteros k szaacutemra G(Rk) = 0 Laacutessuk be ezt (n+2)-re is Mivel
egy paacuteros szaacutem semelyik maacutesik paacuteros szaacutemmal sem relatiacutev priacutem ezeacutert paacuteros darab
kavicsot nem vehetuumlnk el a kupacboacutel ennek okaacuten uacutejabb paacuteros elemszaacutemuacute aacutellaacutes sem
joumlhet leacutetre Paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac ugyan lehet (n+2) kiszomszeacutedja de annak
Grundy-szaacutema biztosan nem 0 mert 1 kavicsot baacutermelyik aacutellaacutesboacutel elvehetuumlnk iacutegy lesz
a paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt n-neacutel nem nagyobb paacuteros elemszaacutemuacute
kupac aminek Grundy-szaacutema 0 Tehaacutet (n+2) elemet tartalmazoacute kupac raacutekoumlvetkezői
koumlzoumltt nem lesz 0 Grundy-szaacutemuacute iacutegy azok legkisebb kizaacutertja eacutepp a 0
b) ha n paacuteratlan Tudjuk hogy G1 = 1 eacutes azt is laacutettuk hogy G3 = 2 Itt is teljes indukcioacutet
hasznaacutelunk Tegyuumlk fel hogy igaz a fenti aacutelliacutetaacutes minden paacuteratlan n-re Bizonyiacutetsuk be
hogy ez az n+2 paacuteratlan szaacutemra is oumlroumlklődik Legyen n+2 legkisebb priacutemosztoacuteja p eacutes
annak sorszaacutema k Ahhoz hogy belaacutessuk hogy Gn+2 = k keacutet dologra van szuumlkseacuteg
1) Minden k-naacutel kisebb szaacutem előfordul az n+2 elemszaacutemuacute aacutellaacutes valamely
kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutemakeacutent
2) Az n+2 elemű kupac egyik kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutema sem k
1) igazolaacutesa 1-et eacutes n+1-et mindig leacutephetuumlnk tehaacutet 1 eacutes 0 Grundy-szaacutemuacute
raacutekoumlvetkezője minden aacutellaacutesnak van Legyen q egy tetszőleges p-neacutel kisebb priacutem ndash
ennek sorszaacutema k-naacutel kisebb eacutes az indukcioacute szerint a q elemű aacutellaacutes Grundy-szaacutema eacutepp
a q sorszaacutema Ekkor meg kell mutatnunk hogy n+2ndashből aminek legkisebb
priacutemosztoacuteja p a q elemszaacutemuacute kupacba leacutepeacutes szabaacutelyos Ez azeacutert igaz mert a
28
jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek
nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek
elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash
hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert
kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute
kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes
2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m
elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb
priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt
k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek
A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő
strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk
8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad
kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja
legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is
elvehetjuumlk)
Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő
tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz
melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk
Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean
G(Di)
Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1
Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva
laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek
bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1
29
1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i
2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan
1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute
kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute
kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei
azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet
elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =
21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i
2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet
eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n
raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l
paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1
Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban
ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra
G(Da) = 0 + 1 = 1
Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek
9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az
egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a
Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya
szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)
Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg
Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal
Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon
mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)
= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet
a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5
kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre
30
11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik
kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az
nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi
Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-
ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet
Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik
jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem
hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy
speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok
bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A
Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő
nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk
valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval
deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek
a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)
stb kupacmeacuteretek
Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt
de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt
5 4 Fibonacci-nim
A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik
13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el
kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve
utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint
amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben
Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz
szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa
előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban
31
Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat
i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2
Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a
koumlvetkező taacuteblaacutezat
Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok
Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő
Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok
oumlsszegeacutere
Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899
Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel
hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga
Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem
akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-
szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert
119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa
kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem
Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele
keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen
Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip
Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel
minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok
legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot
vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)
7 [1] alapjaacuten
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
9
2 Jaacuteteacutek Adott egy (n x k)-as teacuteglalap alakuacute jaacuteteacutektaacutebla Keacutet jaacuteteacutekosnak uacutegy kell felvaacuteltva
(előre lefixaacutelt) egyforma meacuteretű neacutegyzeteket besziacuteneznie a taacuteblaacuten hogy azok ne takarjaacutek
egymaacutest Az vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni Keacuterdeacutes hogy melyik jaacuteteacutekos nyer
Csupa 1x1-es neacutegyzetek sziacutenezeacutese nem hoz laacutezba senki mert a győztes csak a jaacuteteacutektaacuteblaacutet
alkotoacute neacutegyzetek szaacutemaacutetoacutel fuumlgg ha paacuteros sok neacutegyzetből aacutella taacutebla a maacutesodik paacuteratlan
szaacutemuacute neacutegyzet eseteacuten az első szaacutemuacute jaacuteteacutekos nyer Vizsgaacuteljuk most a jaacuteteacutekot 2x2-es
neacutegyzetek sziacutenezeacutese eseteacuten Nem neheacutez felismerni hogy ha a jaacuteteacutektaacutebla (2k x 2k)-as
neacutegyzet vagy (2k x 2l)-es teacuteglalap alakuacute (tetszőleges k l N eseteacuten) akkor műkoumldik raacute
a fent taacutergyalt koumlzeacuteppontos szimmetriaacuten alapuloacute strateacutegia Azonban a toumlbbi esetben
((2k+1)x(2l+1)-es vagy (2k)x(2l+1)-es jaacuteteacutektaacuteblaacutenaacutel) ezt nem tudjuk kihasznaacutelni mert
nincs koumlzeacutepső neacutegyes amivel kezdhetneacutenk a sziacutenezeacutest Hogyan jaacutetsszunk ilyenkor Van-
e egyaacuteltalaacuten abszoluacutet nyertes Neacutezzuumlnk egy kisebb konkreacutet peacuteldaacutet
Aacutelliacutetaacutes (3x2k)-as taacuteblaacuten jaacutetszva az első jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy a paacuteros hosszuacute oldal felezőmerőlegese raacutecsvonalon
halad iacutegy kihasznaacutelhatjuk az erre a tengelyre valoacute szimmetriaacutet Kettő olyan (2x2)-es
neacutegyzet van melyen eme tengely aacutethalad de ezek koumlzuumll csak egy sziacutenezhető Ha a kezdő
elsőkeacutent az egyik ilyet sziacutenezi be akkor ellenfele tetszőleges leacutepeacuteseacutet tuumlkroumlzve a
tuumlkoumlrtengelyre oumlveacute lesz az utolsoacute leacutepeacutes
A 2xn-es jaacuteteacutektaacuteblaacuten valoacute jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera a keacutesőbbiekben majd meacuteg
visszateacuteruumlnk (ld 5 fejezet) A toumlbbi esetről nem lesz szoacute kiproacutebaacutelaacutesukat tudom ajaacutenlani
1 2 Foglaloacutes jaacuteteacutekok
Foglalkozzunk kicsit a foglaloacutes tiacutepusuacute jaacuteteacutekokkal Ezeket azeacutert szokaacutes iacutegy nevezni
mert adott jaacuteteacutektaacuteblaacuten jaacutetsszaacutek uacutegy hogy felvaacuteltva elfoglalnak egy-egy mezőt (tesznek raacute
egy-egy sajaacutet sziacutenű jelet) eacutes a jaacuteteacutek győztese az aki az előre kijeloumllt nyertes
mezőcsoportok valamelyikeacutet előszoumlr el tudja foglalni Ilyen foglaloacutes jaacuteteacutekra peacutelda a
mindenki aacuteltal joacutel ismert angol neveacuten Tic-tac-toe mely soraacuten a jaacuteteacutekosok egy 3x3-as
neacutegyzetbe a szokaacutesos X eacutes koumlr jeleket rakosgatjaacutek eacutes az nyer aki előszoumlr tudja haacuterom
egyforma jeleacutet egy vonalba helyezni (tehaacutet a haacuterom sor a haacuterom oszlop eacutes a keacutet aacutetloacute a
kijeloumllt nyertes mezőcsoportok) A foglaloacutes jaacuteteacutekok nem tekinthetőek normaacutel jaacuteteacutekoknak
10
mert kialakulhat doumlntetlen aacutellaacutes is amikor azeacutert nem tudnak toumlbbet leacutepni a jaacuteteacutekosok mert
a taacuteblaacuten a lehetőseacutegek elfogytak de senki sem nyert
Aacutelliacutetaacutes A foglaloacutes jaacuteteacutekokban a maacutesodik jaacuteteacutekos sosem nyerhet (Legfeljebb doumlntetlenre
vezető strateacutegiaacuteja lehet)
Bizonyiacutetaacutes Indirekte tegyuumlk fel hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja Ilyen
helyzetben a kezdő tudja alkalmazni a bdquostrateacutegialopaacutestrdquo Ez azt jelenti hogy a kezdő
jaacuteteacutekos leacutep valamit majd innentől uacutegy fogja fel a jaacuteteacutekot mintha csak most kezdődne eacutes
a maacutesodik jaacuteteacutekos nyerő strateacutegiaacuteja szerint jaacutetszik tovaacutebb Akkor meruumllhetne fel
probleacutema ha azt a mezőt keacutene elfoglalnia melyre az első leacutepeacuteskor leacutepett aacutem ez nem
gond mivel ezen maacuter az ő jele szerepel tehaacutet mi sem egyszerűbb baacuterhova maacuteshova tehet
Ezzel a moacutedszerrel az első jaacuteteacutekosnak nyernie kellene holott a maacutesodiknak van nyerő
strateacutegiaacuteja ellentmondaacutes
Gondoljuk meg a koumlvetkező konkreacutet foglaloacutes jaacuteteacutekot a nyerő strateacutegia szempontjaacuteboacutel
3 Jaacuteteacutek (Trihex) Az 11 aacutebra szerinti jaacuteteacutektaacuteblaacutera keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez egy piros
illetve egy keacutek korongot valamelyik meacuteg uumlres koumlrre Az győz akinek elsőkeacutent sikeruumll
haacuterom egysziacutenű korongot helyeznie a kilenc egyenes vonal valamelyikeacutere
11 Aacutebra A trihex jaacuteteacutek taacuteblaacuteja
Teacutetel A Trihex jaacuteteacutekban az I jaacuteteacutekos nyer
Bizonyiacutetaacutes A teacutetel bizonyiacutetaacutesaacuteban szuumlkseacuteguumlnk lesz keacutet fogalomra szabad egyeneseknek
nevezzuumlk azokat az egyeneseket melyeken egyetlen korong sincs eacutes egy jaacuteteacutekos szaacutemaacutera
feacutelszabad egyenes az az egyenes amelyen van az ő sziacuteneacutenek megfelelő sziacutenű korong de
mentes az ellenfele korongjaitoacutel A bizonyiacutetaacutes soraacuten kollineaacuterisnak nevezuumlnk haacuterom
mezőt ha azok a jaacuteteacutek taacuteblaacutejaacuten egyazon egyenesre illeszkednek
11
Az aacutebra uacutegy van megalkotva hogy minden egyenesen haacuterom uumlres koumlr szerepel ahova
a korongokat el kell helyezni tovaacutebbaacute minden ponton aacutet haacuterom egyenes megy aacutet
Megegyezeacutes alapjaacuten I jaacuteteacutekos hasznaacutelja a piros korongokat ellenfele a keacutekeket
Kezdőkeacutent az első leacutepeacutest mindenkeacutepp az egyik olyan mezőre tegyuumlk mely a nagy
haacuteromszoumlg oldalaacuten de nem a csuacutecsaacuten helyezkedik el Ellenfeluumlnk leacutepeacuteseacutetől fuumlggően keacutet
fajta aacutellaacutes joumlhet leacutetre amit kuumlloumln kell vizsgaacutelnunk
a) Ha II nem oldalpontra tesz akkor leacutepeacuteseacutet uacutegy kell koumlvetnuumlnk hogy a keacutet piros
korongunk egyazon feacutelszabad egyenesen legyen Ezutaacuten biztosan adoacutedni fog
legalaacutebb keacutet ilyen feacutelszabad egyenes Ezzel a leacutepeacutessel keacutenyszeriacutetettuumlk a maacutesodik
jaacuteteacutekost hogy keacutek korongjaacutet ezen egyenes harmadik mezőjeacutere helyezze hogy
megakadaacutelyozza a győzelmuumlnket Figyeljuumlnk raacute hogy a feacutelszabad egyenesek koumlzuumll
olyat eacutes annak olyan a pontjaacutet vaacutelasszuk melyen a harmadik ndash meacuteg uumlres hely ndash
nincs egy egyenesen a keacutek koronggal (ellenőrizhető hogy lesz ilyen) hogy ezzel
ne segiacutetsuumlk ellenfeluumlnket Ellenkező esetben megelőlegezzuumlk magunknak a
keacutenyszerhelyzetet Az ezutaacuteni koumlrben ndash a paacutelya sajaacutetossaacutegai miatt ndash lesz olyan
mező ami keacutet 1-1 piros korongot tartalmazoacute feacutelszabad egyenes metszeacutespontja
Foglaljuk el ezt a mezőt Innen koumlnnyen laacutethatoacute hogy megnyerjuumlk a jaacuteteacutekot
b) Maacutesodik eset ha ellenfeluumlnk egy maacutesik oldalpontra (de nem csuacutecsra) teszi keacutek
korongjaacutet Az oldalpontok tulajdonsaacutega hogy minden ponttal kollineaacuterisak csak
egymaacutessal nem Tegyuumlnk most a harmadik oldalpontra Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekos
akaacutermit leacutephet mi fogunk nyerni Ugyanis a keacutet piros sziacutenű oldalpontnak az oumlsszes
meacuteg szabad mezővel van koumlzoumls egyenese tehaacutet baacutermelyik pontra is leszuumlnk
keacutenytelenek tenni (ellenfeluumlnk győzelmeacutenek megakadaacutelyozaacutesa eacuterdekeacuteben) az
biztosan keacutet olyan feacutelszabad egyenesnek lesz metszeacutespontja ami tartalmaz 1-1
piros sziacutenű korongot Innen pedig egyeacutertelműen mi nyeruumlnk
12
3 Fejezet Kupacos jaacuteteacutekok
Koumlzkedvelt matematikai jaacuteteacutekok a kupacokba vagy halmokba rendezett taacutergyak
(kavicsok gyufaacutek korongok stb) alkotta jaacuteteacutekok melyekben kuumlloumlnboumlző szabaacutelyok
szerint szabad elvenni bizonyos szaacutemuacute elemet Ebben a fejezetben kupacokba rendezett
kavicsokroacutel lesz szoacute Tovaacutebbra is a joacute strateacutegia megtalaacutelaacutesa a ceacutel
3 1 Egyszerű egykupacos jaacuteteacutek
4 Jaacuteteacutek Egy kupacban 21 kavics van Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva 1 2 vagy 3
darabot vehetnek el Ez normaacutel jaacuteteacutek vagyis az nyer aki az utolsoacute(ka)t veszi el Kinek
van nyerő strateacutegiaacuteja
Visszafele gondolkodva aki előtt maacuter csak 3 vagy kevesebb korong lesz az meg tudja
nyerni a jaacuteteacutekot hiszen a legfeljebb 3 korongot elvehet Ez nyerő aacutellaacutes A 4 darab kavics
ugyanebből a megfontolaacutesboacutel vesztes aacutellaacutes hiszen akaacuterhaacuteny (1 2 vagy 3) darabot veszuumlnk
is el ellenfeluumlnk elveheti a maradeacutekot eacutes ezzel nyer Tovaacutebbgondolva minden 4∙k (k =
0 1hellip n) darab kavics vesztes aacutellaacutes mert abboacutel leacutepve az elemek szaacutemaacutenak neacuteggyel
oszthatoacutesaacutega nem megtarthatoacute tehaacutet vesztes aacutellaacutesboacutel vesztes aacutellaacutesba nem lehet leacutepni
viszont baacutermely maacutes esetből meg lehet jaacutetszani azokat Speciaacutelisan itt a vesztes aacutellaacutesok
4 8 12 16 20 db korong Ennek megfelelően 21 kavics eseteacuten a kezdő jaacuteteacutekosnak van
nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig előszoumlr 20-ra csoumlkkentve a kavicsok szaacutemaacutet
Eacuterdemes meggondolni ezt a feladatot aacuteltalaacutenosabban is
4 Jaacuteteacutek aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa Adott egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el 1-
től m darabig akaacuterhaacuteny kavicsot Az veszt aki nem tud leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja
eacutes mi az
Aacutelliacutetaacutes Ha m + 1 | n akkor a kezdő jaacuteteacutekos vesziacutet ellenkező esetben viszont neki van
nyerő strateacutegiaacuteja
Bizonyiacutetaacutes Ebben a jaacuteteacutekban biztosan az nyer akinek előszoumlr sikeruumll (m+1)-gyel
oszthatoacute elemszaacutemba leacutepni Ilyen helyzetből indulva baacuterhogyan is leacutepuumlnk nem tudunk
uacutejabb (m+1)-gyel oszthatoacutevaacute tenni a kupac meacutereteacutet miacuteg ellenfeluumlnk ndash akaacuterhogyan is
leacuteptuumlnk ndash a koumlvetkező koumlrben csoumlkkenteni tudja az elemszaacutemot uacutejabb (m+1)-gyel
oszthatoacutevaacute Vegyuumlk eacuteszre hogy a 0 veacutegső vesztes aacutellaacutes is oszthatoacute (m+1)-gyel Ezek
13
eacutertelmeacuteben minden (m + 1) ∙ k (k = 0hellipn) darab korong eseteacuten alakul ki vesztes aacutellaacutes
Tehaacutet aki ebből keacutenyszeruumll leacutepni az vesziacutet
Ha a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesakor a kupac meacutereteacutet osztja (m+1) akkor ugyanebből a
meggondolaacutesboacutel koumlvetkezik hogy a kezdő jaacuteteacutekos nem tud nyerni
Tovaacutebbra is kupacokkal eacutes azokboacutel aacutelloacute feladatokkal foglalkozunk A koumlvetkezőkben egy
aacuteltalaacutenosabb jaacuteteacutekcsoportroacutel lesz szoacute
3 2 Nim-jaacuteteacutek eacutes nim-oumlsszeadaacutes
A Nim-jaacuteteacutek Kiacutenaacuteboacutel szaacutermazoacute ma maacuter szeacuteles koumlrben ismert matematikai jaacuteteacutek A
menete a koumlvetkező
Nim-jaacuteteacutek adott n db kupac melyek rendre a1 a2 a3hellip an darab kavicsot tartalmaznak
Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva vesznek el akaacuterhaacuteny de legalaacutebb 1 kavicsot valamelyik
tetszőleges kupacboacutel Az nyer aki az utolsoacute kavicsot elveszi Keacuterdeacutes hogy kinek van nyerő
strateacutegiaacuteja
Ezek vagy az ehhez hasonloacute feladvaacutenyok megoldaacutesaacuteban segiacutetseacuteguumlnkre lesz egy uacutej
fogalom a bdquonim-oumlsszeadaacutesrdquo
Definiacutecioacute (nim-oumlsszeadaacutes) Vegyuumlk a nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemok halmazaacutet eacutes azon uacutegy
eacutertelmezzuumlk a nim-oumlsszeadaacutest hogy elemeit kettes szaacutemrendszerbeli alakjukban feliacuterva
adjuk oumlssze modulo 2 azaz nem toumlrődve az egyes helyieacuterteacutekeken adoacutedoacute maradeacutekokkal
Peacutelda 12 25 = 21 hiszen 11002 + 110012 = 101012
Vilaacutegosabbaacute vaacutelik a nim-oumlsszeadaacutes ha a szokaacutesos moacutedon egymaacutes alaacute iacuterva adjuk oumlssze
őket
11002
110012
101012
Ezt a definiacutecioacutet meggondolhatjuk maacuteskeacuteppen is
Definiacutecioacute Jeloumllje 119917120784 a keacutetelemű testet (azaz a modulo 2 szaacutemkoumlrt) eacutes legyen 119917120784infin ennek
veacutegtelen diszkreacutet direktszorzata vagyis az a veacutegtelen dimenzioacutes vektorteacuter amelyben olyan
14
0 eacutes 1 koordinaacutetaacutekat tartalmazoacute vektorok vannak melyekben csak veacuteges sok 1-es szaacutem
szerepel
Tekintsuumlk a koumlvetkező koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű megfelelteteacutest N eacutes 119917120784infin koumlzoumltt iacuterjunk
fel egy adott szaacutemot kettes szaacutemrendszerben de fordiacutetott sorrendben azaz jobbroacutel balra
Vegyuumlk azt a veacutegtelen hosszuacute vektort melynek az első koordinaacutetaacutei eacuteppen ennek a
szaacutemnak a bdquofordiacutetottrdquo kettes szaacutemrendszerbeli alakjaacutenak szaacutemjegyeivel egyezik meg
majd ezeket veacutegtelen sok nulla koumlveti Ez egy egyeacutertelmű megfelelteteacutest ad N eacutes 119917120784infin
elemei koumlzoumltt hiszen egy szaacutem egyetlen vektornak felel meg Azaz ha
119899 = sum 119886119894 ∙ 2119894infin119894=0 ahol 119886119894= 0 vagy 1 akkor az ennek megfelelő vektor (1198860 1198861 1198862 )
Teacutetel A nim-oumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot
Bizonyiacutetaacutes Tudjuk hogy a vektoroumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot Az előzőekben adott
egyeacutertelmű megfelelteteacutessel laacutethatoacute hogy az 119917120784infin-beli veacutegtelen hosszuacute vektorok
oumlsszeadaacutesa eacutes a nim-oumlsszeadaacutes ekvivalens művelet ezeacutert a nim-oumlsszeadaacutes is Aacutebel-
csoportot alkot
A nim-oumlsszeadaacutes tovaacutebbi tulajdonsaacutegai
1 Aacutelliacutetaacutes Minden a szaacutemra a a = 0
Bizonyiacutetaacutes Nem neheacutez meggondolni hogy ha a kettes szaacutemrendszerben keacutet azonos
szaacutemot adunk nim-oumlssze akkor mivel abban az 1-esek eacutes 0-k ugyanazon a helyieacuterteacuteken
aacutellnak az oumlsszeadaacutesukkor azok mind lenullaacutezoacutednak (1 + 1 = 0 + 0 = 0)
2 Aacutelliacutetaacutes Tetszőleges a eacutes b pozitiacutev egeacuteszekre teljesuumll 0 le a b le a + b
Ezt nem bizonyiacutetom de veacutegiggondolhatoacute
3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja
Az egykupacos Nim-jaacuteteacutek nagyon egyszerű nem is nevezhető jaacuteteacuteknak hiszen a kezdő
jaacuteteacutekos elsőre felmarkolhatja az egeacutesz kupacot eacutes veacutege a jaacuteteacuteknak Nem ilyen koumlnnyű
elsőre aacutetlaacutetni a toumlbb kupacos normaacutel Nim-jaacuteteacutekot
Vezessuumlk be a Nim(a1 a2hellip an) jeloumlleacutest arra az n kupacos Nim-jaacuteteacutekra ahol a1
a2hellip an a kuumlloumlnboumlző kupacok elemszaacutema
15
Teacutetel
1) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek kupacmeacutereteinek nim-oumlsszege a1 a2 hellip an ne 0
akkor biztosan leacutetezik olyan leacutepeacutes hogy a kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra
a1rsquo a2rsquohellip anrsquo = 0
2) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekban a1 a2 hellip an = 0 akkor baacutermely leacutepeacutes utaacuten a
kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra a nim-oumlsszeg a1rsquo a2rsquohellip anrsquo 0
Bizonyiacutetaacutes
1) Előszoumlr iacuterjuk fel egymaacutes alaacute a kupacok meacutereteacutet kettes szaacutemrendszerben eacutes adjuk oumlssze
őket nim szerint A ceacutelunk az hogy ezt a kapott oumlsszeget olyan moacutedon 0-ra tudjuk
vaacuteltoztatni ami megfeleltethető egy jaacuteteacutekbeli leacutepeacutessel Ehhez keressuumlk meg azt a
legnagyobb helyieacuterteacuteket (vagyis balroacutel az első olyan oszlopot) ahol paacuteratlan sok 1-es
szerepel - ugyanis ezen a helyieacuterteacuteken a nim-oumlsszegben is 1-es fog szerepelni - eacutes
vaacutelasszuk ki ebből az egyik 1-est legyen ez ai feliacuteraacutesaacuteban Most vaacuteltoztassuk meg ezt
az 1-est 0-ra eacutes ai ettől jobbra leacutevő binaacuteris szaacutemjegyeit is csereacuteljuumlk 1-esre vagy 0-ra
uacutegy hogy veacuteguumll az egeacutesz oumlsszeg 0-ra csoumlkkenjen (Ez megtehető eacutes ezt akkor eacuterjuumlk
el ha minden oszlopban paacuteros szaacutemuacute 1-es lesz) Ezzel a leacutepeacutessel aacuteteacutertuumlnk a Nim(a1rsquo
a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra ahol aj = aj kiveacuteve j = i-re eacutes ebben 0 a nim-oumlsszeg A
feliacuteraacutesban egy sor a jaacuteteacutekban egy kupac elemszaacutemaacutenak felel meg eacutes egy tetszőleges
sort alkotoacute szaacutem csoumlkkenteacutese valamennyivel ekvivalens azzal hogy a neki megfelelő
kupacboacutel ugyanennyi elemet elveszuumlnk Maacuter csak azt kell belaacutetnunk hogy az eljaacuteraacutes
soraacuten valoacuteban az egyik kupac elemszaacutemaacutet csoumlkkentettuumlk (nem noumlveltuumlk) tehaacutet leacutetezik
ilyen leacutepeacutes Ezt nem neheacutez meggondolni mert a legnagyobb helyieacuterteacuteken aacutelloacute 1-est 0-
ra csereacuteltuumlk ndash legyen ez a 2k helyieacuterteacutek ndash eacutes moumlgoumltte a vaacuteltoztataacutesok utaacuten legfeljebb k
-1 darab 1-es aacutellhat melyek eacuterteacuteke tiacutezes szaacutemrendszerben legfeljebb 1 + 2 + 4 + 8 +
+ 2k-1 = 2kndash1 ami biztosan kisebb az előző szaacutemnaacutel Tehaacutet a leiacutert leacutepeacutesek soraacuten valoacuteban
csoumlkkentettuumlk a kupacok meacutereteacutet
Ezt a bizonyiacutetaacutest egeacutesz egyszerűen aacutet lehet gondolni az előzőek alapjaacuten Laacutettuk hogy
a jaacuteteacutek leacutepeacuteseit hogyan tudjuk maacuteskeacutepp leiacuterni elveacutegezni A levezeteacutesből laacutetszik az
hogy 0 nim-oumlsszegből uacutejabb 0 nim-oumlsszegű aacutellaacutest nem tudunk eleacuterni
a1 a2 hellip an = 0 eseteacuten semelyik oszlopban sem lesz paacuteratlan szaacutemuacute 1-es amit
megcsereacutelve joacutel jaacuternaacutenk viszont egy sorban legalaacutebb egy szaacutemot ki kell csereacutelnuumlnk
mert leacutepni muszaacutej Tehaacutet lesz olyan oszlop a leacutepeacutesuumlnk utaacuten melyben paacuteratlan szaacutemuacute
1-es fog aacutellni iacutegy az oumlsszegben is legalaacutebb egy 1-es szerepelni fog
16
Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő
jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege
a1 a2 hellip an ne 0
Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző
teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire
a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet
uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig
fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb
Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud
leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok
Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy
leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is
oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot
jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti
Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti
egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot
Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor
jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen
oumlsszegjaacuteteacutek
sum 119869119894
119899
119868=0
ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet
kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)
Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege
is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek
17
Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg
azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat
Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban
van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz
Bizonyiacutetaacutes
Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva
a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az
bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha
ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik
jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat
b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik
jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő
jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja
szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az
oumlsszeguumlket is
Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala
kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha
első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer
Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg
hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk
az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes
kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű
paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri
a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot
Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező
fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet
18
4 Fejezet Grundy-szaacutemok
A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy
szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni
Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges
jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely
aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az
aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely
adta lehetőseacutegek koumlzuumll
Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű
jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel
1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az
ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel
ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat
leacutepeacuteseket) ismeruumlnk
2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal
leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket
tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek
3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul
annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok
hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak
A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban
nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni
Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia
megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a
toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező
fogalomra
19
Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb
nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt
Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)
Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot
az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de
roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van
Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs
raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden
raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb
kizaacutertja
Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema
Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben
semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute
aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan
raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne
ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb
kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli
raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten
nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute
veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol
minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak
Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok
ciklusmentesseacutegeacutenek
Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema
2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese
3 A [2] cikk alapjaacuten
20
Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos
Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek
Grundy-szaacutemai
Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb
nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-
szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i
a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak
egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk
ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy
G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema
G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be
hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes
felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem
maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1
Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok
illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az
alaacutebbiak
1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0
2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0
3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0
Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja
ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0
Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben
van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek
koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal
vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)
tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel
4 [2] cikk alapjaacuten
21
leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben
megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet
Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud
mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy
ő nyeri a jaacuteteacutekot
Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-
szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)
Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0
Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn
direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)
Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti
indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes
aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)
valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra
maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb
a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel
Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)
raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy
minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy
a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat
oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek
vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden
A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban
oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom
22
5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute
jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok
hasznaacutelata
5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai
Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő
egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti
darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok
Grundy-szaacutemai
Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-
szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő
Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen
innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk
= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz
vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet
el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan
ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute
Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)
vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet
Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent
meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes
strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait
Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem
Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik
ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a
koumlvetkező
5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy
bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek
Grundy-szaacutemaival
23
10 Jaacuteteacutek (Dawsonrsquos Chess) Adott egy 1x n-es teacuteglalap melynek neacutegyzeteibe a jaacuteteacutekosok
felvaacuteltva X-et raknak uacutegy hogy az X jellel ellaacutetott cellaacutek szomszeacutedosak nem lehetnek vagyis
egy X melletti neacutegyzetbe maacutesik X nem keruumllhet Az nyer aki az utolsoacute jelet rakja
Ha jobban meggondoljuk a keacutet jaacuteteacutek megfelel egymaacutesnak Annyi a kuumlloumlnbseacuteg hogy az
itteni neacutegyzetek ott a 2x2-es neacutegyzetek felező vonalainak felelnek meg eacutes az itteni vaacutelasztoacute
raacutecsvonalak pedig a sziacutenezős jaacuteteacutek neacutegyzeteivel egyeznek meg Neacutezzuumlk az alaacutebbi 5 1 aacutebraacuten
szemleacuteltetett peacuteldaacutet
Dawsonrsquos Chess taacutebla egy lehetseacuteges veacutegaacutellaacutessal
A 2 jaacuteteacutek ugyanazt jelentő veacutegső aacutellaacutesa
51 aacutebra
Joacutel laacutethatoacute hogy a 2 jaacuteteacutekban a 2x2-es neacutegyzetek hataacutervonalai eacutepp a Dawsonrsquos Chess-
beli bdquotiltott mezőknekrdquo felelnek meg - amikben nem keruumllhet X jel mert szomszeacutedjukban
maacuter szerepel - mert egy ilyen hataacutervonalra nem eshet maacutesik 2x2-es neacutegyzet felezővonala
hisz akkor a neacutegyzetek takarnaacutek egymaacutest
Feacuteny deruumllt arra6 hogy ennek a jaacuteteacuteknak a Grundy-szaacutemaiboacutel aacutelloacute sorozat 34-es
periodicitaacutesuacute de az elejeacuten van heacutet kiveacutetel a 0 14 16 17 31 34 eacutes 51 helyen aacutelloacute szaacutemok
tekinteteacuteben Utaacutena beaacutell a valoacutedi periodicitaacutes Azok az aacutellaacutesok eacuterdekesek szaacutemunkra a
nyerő strateacutegia kutataacutesa kapcsaacuten melyek Grundy-szaacutema 0 mert ezek a vesztes aacutellaacutesok
Tehaacutet vesztes aacutellaacutesok az elejeacutetől kezdve 1 5 9 15 21 25 29 35 neacutegyzetet tartalmazoacute
kezdőaacutellaacutesok majd az 1 a 15 eacutes 35 kiveacuteteleacutevel ezek k ∙ 34-gyel vett oumlsszegei is vesztő
aacutellaacutesok lesznek a periodicitaacutes miatt
5 2 Jaacuteteacutekok korongokkal
A koumlvetkező jaacuteteacutek a [4] koumlnyvből szaacutermazik
6 Szinteacuten a httpsoeisorg weboldal hasznaacutelataacuteval
X X
24
5 Jaacuteteacutek Egy asztalon sorba 10 korong van lerakva melyeknek egyik oldala feheacuter maacutesik
fekete sziacutenű Ketten jaacutetszanak A soron koumlvetkező mindig kivaacutelaszt egy fekete oldalaacuteval
felfeleacute fekvő korongot majd azt eacutes az oumlsszes tőle jobbra leacutevőt aacutetfordiacutetja a maacutesik oldalaacutera
Akkor van veacutege a jaacuteteacuteknak ha mindegyik korongnak a feheacuter oldala van feluumll Az veszt aki
nem tud toumlbbet leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes hogyan tud győzni
A jaacuteteacutek kimenetele eacutes nyertese fuumlgg a kiindulaacutesi helyzettől Tekintsuumlk az alaacutebbi konkreacutet
kezdőaacutellaacutest (5 2 aacutebra)
5 2 aacutebra
A nyertes strateacutegia nem bonyolult sőt eleacuteg keacutezenfekvő ha belegondolunk tudniillik a
veacutegeredmeacuteny egyaacuteltalaacuten nem a jaacuteteacutekosok leacutepeacutesein muacutelik hanem csupaacuten az utolsoacute korong
sziacuteneacutetől fuumlgg Ugyanis egy korong az utolsoacute helyen aacutelloacute biztosan megfordul minden
leacutepeacutesben Ez leacutepeacutesenkeacutent vaacuteltakozva hol feheacuter hol fekete oldalaacuteval lesz feluumll miacuteg ki nem
alakul a veacutegső nyertes ndash oumlsszes feheacuter ndash aacutellaacutes Ha peacuteldaacuteul kezdetben fekete az utolsoacute
korong akkor az mindig a kezdő jaacuteteacutekos forgataacutesai nyomaacuten fog a feheacuter oldalaacuteval felfeleacute
keruumllni A jaacuteteacutek egyszer veacuteget eacuter eacutes tudjuk hogy az utolsoacute leacutepeacutes a kezdő jaacuteteacutekoseacute lesz
tehaacutet ő nyer Ellenkező esetben - ha a kezdő aacutellapotban feheacuter az utolsoacute korong - a maacutesodik
jaacuteteacutekoseacute a győzelem Tehaacutet teljesen mindegy haacuteny koronggal jaacutetszunk a győztest mindig
a sorban elhelyezett utolsoacute korong sziacutene fogja elaacuterulni Ha az a fekete oldalaacuteval felfeleacute
fekszik akkor a kezdő ha feheacuter sziacutene laacutetszik akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos nyer Iacutegy a fenti
jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
Ha feladatban moacutedosiacutetjuk kicsit a szabaacutelyokat akkor a megoldaacutes is bonyoloacutedik eacutes itt
maacuter fel kell hasznaacutelnunk a Grundy-szaacutemokat illetve a nim-oumlsszeget A koumlvetkező feladat
eacutes megoldaacutesi oumltlete [2] forraacutesboacutel szaacutermazik
6 Jaacuteteacutek Legyen ismeacutet 10 darab korongunk az asztalra sorba lehelyezve A jaacuteteacutekosok
keacutetfeacutele leacutepeacutest hajthatnak veacutegre vagy megfordiacutetanak egy fekete oldalaacuteval felfeleacute fekvő
korongot vagy keacutet korongot fordiacutetanak meg melyek koumlzuumll a jobbraacutebb levő fekte Az vesziacutet
aki nem tud toumlbbet leacutepni
25
A megoldaacutes veacutegett szaacutemozzuk meg a korongokat balroacutel jobbra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 3 aacutebra
Aacutelliacutetaacutes A 6 jaacuteteacutek egy aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema eacutepp a fekete sziacutenű korongok sorszaacutemaacutenak
nim-oumlsszege
Bizonyiacutetaacutes Alkossunk ebből a jaacuteteacutekboacutel Nim-jaacuteteacutekot a koumlvetkező keacuteppen Ha az i-edik
korong sziacutene fekete akkor tekintsuumlnk egy ekkora elemszaacutemuacute kupacot a Nim-jaacuteteacutekban ha
feheacuter sziacutenű egy korong akkor nincs ilyen kupacunk Ezzel egy szokaacutesos Nim-jaacuteteacutekot
kapunk Azeacutert tehetjuumlk meg ezt mert a leacutepeacutesek eacutepp ugyanazt eredmeacutenyezik mindkeacutet
jaacuteteacutekban amennyiben megfordiacutetunk egy fekete korongot az annak felel meg ha nim-
jaacuteteacutekban azt a kupacot teljes egeacuteszeacuteben elvesszuumlk eacutes megszűnik Ha egy feheacuter eacutes egy
fekete korongot fordiacutetunk meg melyek koumlzuumll a fekete a jobb oldali akkor azzal
egyeneacuterteacutekű mintha a nim-jaacuteteacutekban bizonyos szaacutemuacute kavicsot elvettuumlnk volna az addigi
kupacboacutel uacutegy hogy a feketeacutere fordiacutetott korong sorszaacutemaacutenak megfelelő kupacmeacuteretet
eacutertuumlnk el (Mert a bal oldali korong sorszaacutema kisebb eacutes iacutegy kisebb elemszaacutemuacute kupacot is
jelent) Tekintsuumlnk erre magyaraacutezatul egy peacuteldaacutet (5 4 aacutebra)
1 2 3
5 4 aacutebra
Ebben a kis jaacuteteacutekban illusztraacuteljuk a korongforgataacutesi leacutepeacutesek eacutes a Nim-jaacuteteacutek kapcsolataacutet
Tekintsuumlk ennek mintaacutejaacutera a 2 eacutes 3 elmeszaacutemuacute kupacokkal jaacutetszott Nim-jaacuteteacutekot
Vilaacutegosan laacutetszik hogy ha megfordiacutetjuk peacuteldaacuteul a 2 szaacutemuacute fekete sziacutenű korongot eacutes iacutegy
az feheacuter lesz akkor ez a leacutepeacutes megegyezik azzal hogy a Nim-jaacuteteacutekban egy leacutepeacutessel
eltuumlntetjuumlk a 2 elemű kupacot Keacutet szabaacutelyos helyzetű korong megfordiacutetaacutesaacuteval ndash legyenek
26
most ezek az 1 eacutes 2 szaacutemuacuteak ndash az 55-oumls aacutebraacuten laacutethatoacute aacutellaacutes joumln leacutetre ami ekvivalens a
Nim-jaacuteteacutek azon leacutepeacuteseacutevel hogy a 2 elemű kupacboacutel 1 kavicsot elveszuumlnk
1 2 3
5 5 aacutebra
Keacutet fekete korong megfordiacutetaacutesa keacutet kupac teljes elveacuteteleacutet jelenteneacute a Nimben ami ilyen
formaacuteban nem szabaacutelyos Azonban ha jobban meggondoljuk ez a leacutepeacutes jelentheti azt
hogy a nagyobb meacuteretű kupacboacutel elveszuumlnk annyi kavicsot hogy az egyenlő legyen a
kisebb elemszaacutemaacuteval mert a nim-oumlsszeadaacutes miatt keacutet azonos meacuteretű kupac nem
befolyaacutesolja az egeacutesz jaacuteteacutek Grundy-szaacutemaacutet azaz a keacutet kupac kiegyenliacuteteacuteseacutevel illetve
teljes elveacuteteluumlkkel kapott Nim-aacutellaacutesok Grundy-szaacutemai megegyeznek
Az 5 3 aacutebra alapjaacuten kialakult aacutellaacutes Grundy-szaacutema tehaacutet 3 10 = 10 A jaacuteteacutek
vesztő aacutellaacutesainak Grundy-szaacutema 0 azaz ha ilyen aacutellaacutesroacutel indul valaki az nem tud nyerni
Ebből a poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacutet keacutepezni csak a 10 elemű kupac teljes elveacuteteleacutevel
lehetseacuteges Tehaacutet a 10-es szaacutemuacute fekete korongot kell megfordiacutetani előszoumlr a
győzelemhez
5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
A most koumlvetkező haacuterom jaacuteteacutekkal a [2] cikkben talaacutelkoztam
7 Jaacuteteacutek (Rim-jaacuteteacutek) Adott neacutehaacuteny kupac kavics A kupacok egyikeacuteből elvehető
akaacutermennyi kavics de csak uacutegy hogy az elvett elemek szaacutema relatiacutev priacutem legyen az elveacutetel
előtti mennyiseacuteghez
Ez a jaacuteteacutek toumlbb egykupacos uacuten bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacuteknak oumlsszege A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek
egy n darab taacutergyat (kavicsot) tartalmazoacute kupacroacutel szoacutel amelyből k elemet vehetuumlnk el
ha k eacutes n relatiacutev priacutemek Ebből koumlvetkezik hogy 1-et mindig elvehetuumlnk az oumlsszes elemet
azonban sosem (mert n oumlnmagaacuteval nem relatiacutev priacutem) kiveacuteve ha 1 darab marad a
kupacban
Jeloumlljuumlk itt az i elemszaacutemuacute Rim-kupacok Grundy-szaacutemaacutet G(Ri)-vel Az első eacutes maacutesodik
Grundy-szaacutem koumlnnyen megmondhatoacute G0 = 0 eacutes G1 = mex (G0) = 1 Ha keacutet elemet
27
tartalmaz a kiindulaacutesi kupac akkor a szabaacutelynak megfelelően az egyetlen lehetőseacuteg 1
kavics elveacutetele ezeacutert G(R2) = mex (1) = 0 Haacuteromelemű kezdőkupacboacutel 1 eacutes 2 elemet is
elvehetuumlnk iacutegy kapjuk hogy G(R3) = mex (G(R1) G(R2) ) = mex (1 0) = 2 Neacutegy elem
eseteacuten G4 = mex (G1 G3) = 0 Hasonloacutean G5 = mex (G(R1) G(R2) G(R3) G(R4)) =
= mex (1 2 0 2) = 3 eacutes iacutegy tovaacutebb A koumlvetkező teacutetelben meghataacuterozzuk aacuteltalaacutenossaacutegban
G(Rn)-et
Teacutetel A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutekban minden paacuteros n elemszaacutemuacute kupacra G(Rn) = 0 valamint
n paacuteratlan elemszaacutem eseteacuten G(Rn) = k ha n legkisebb priacutemosztoacuteja a k-adik priacutemszaacutem (Az
első priacutemszaacutem a 2 maacutesodik a 3 stb)
Bizonyiacutetaacutes n-re vonatkozoacute teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk
a) ha n paacuteros Semelyik esetben sem lehet az egeacutesz kupacot elvenni kiveacuteve ha 1 kavics
marad a kupacban Laacutettuk hogy G(R0) = G2 = 0 Legyen n paacuteros Tegyuumlk fel hogy
minden n-neacutel nem nagyobb paacuteros k szaacutemra G(Rk) = 0 Laacutessuk be ezt (n+2)-re is Mivel
egy paacuteros szaacutem semelyik maacutesik paacuteros szaacutemmal sem relatiacutev priacutem ezeacutert paacuteros darab
kavicsot nem vehetuumlnk el a kupacboacutel ennek okaacuten uacutejabb paacuteros elemszaacutemuacute aacutellaacutes sem
joumlhet leacutetre Paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac ugyan lehet (n+2) kiszomszeacutedja de annak
Grundy-szaacutema biztosan nem 0 mert 1 kavicsot baacutermelyik aacutellaacutesboacutel elvehetuumlnk iacutegy lesz
a paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt n-neacutel nem nagyobb paacuteros elemszaacutemuacute
kupac aminek Grundy-szaacutema 0 Tehaacutet (n+2) elemet tartalmazoacute kupac raacutekoumlvetkezői
koumlzoumltt nem lesz 0 Grundy-szaacutemuacute iacutegy azok legkisebb kizaacutertja eacutepp a 0
b) ha n paacuteratlan Tudjuk hogy G1 = 1 eacutes azt is laacutettuk hogy G3 = 2 Itt is teljes indukcioacutet
hasznaacutelunk Tegyuumlk fel hogy igaz a fenti aacutelliacutetaacutes minden paacuteratlan n-re Bizonyiacutetsuk be
hogy ez az n+2 paacuteratlan szaacutemra is oumlroumlklődik Legyen n+2 legkisebb priacutemosztoacuteja p eacutes
annak sorszaacutema k Ahhoz hogy belaacutessuk hogy Gn+2 = k keacutet dologra van szuumlkseacuteg
1) Minden k-naacutel kisebb szaacutem előfordul az n+2 elemszaacutemuacute aacutellaacutes valamely
kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutemakeacutent
2) Az n+2 elemű kupac egyik kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutema sem k
1) igazolaacutesa 1-et eacutes n+1-et mindig leacutephetuumlnk tehaacutet 1 eacutes 0 Grundy-szaacutemuacute
raacutekoumlvetkezője minden aacutellaacutesnak van Legyen q egy tetszőleges p-neacutel kisebb priacutem ndash
ennek sorszaacutema k-naacutel kisebb eacutes az indukcioacute szerint a q elemű aacutellaacutes Grundy-szaacutema eacutepp
a q sorszaacutema Ekkor meg kell mutatnunk hogy n+2ndashből aminek legkisebb
priacutemosztoacuteja p a q elemszaacutemuacute kupacba leacutepeacutes szabaacutelyos Ez azeacutert igaz mert a
28
jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek
nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek
elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash
hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert
kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute
kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes
2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m
elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb
priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt
k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek
A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő
strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk
8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad
kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja
legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is
elvehetjuumlk)
Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő
tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz
melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk
Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean
G(Di)
Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1
Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva
laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek
bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1
29
1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i
2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan
1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute
kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute
kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei
azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet
elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =
21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i
2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet
eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n
raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l
paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1
Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban
ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra
G(Da) = 0 + 1 = 1
Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek
9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az
egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a
Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya
szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)
Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg
Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal
Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon
mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)
= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet
a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5
kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre
30
11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik
kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az
nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi
Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-
ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet
Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik
jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem
hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy
speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok
bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A
Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő
nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk
valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval
deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek
a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)
stb kupacmeacuteretek
Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt
de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt
5 4 Fibonacci-nim
A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik
13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el
kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve
utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint
amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben
Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz
szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa
előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban
31
Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat
i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2
Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a
koumlvetkező taacuteblaacutezat
Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok
Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő
Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok
oumlsszegeacutere
Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899
Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel
hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga
Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem
akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-
szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert
119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa
kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem
Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele
keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen
Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip
Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel
minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok
legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot
vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)
7 [1] alapjaacuten
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
10
mert kialakulhat doumlntetlen aacutellaacutes is amikor azeacutert nem tudnak toumlbbet leacutepni a jaacuteteacutekosok mert
a taacuteblaacuten a lehetőseacutegek elfogytak de senki sem nyert
Aacutelliacutetaacutes A foglaloacutes jaacuteteacutekokban a maacutesodik jaacuteteacutekos sosem nyerhet (Legfeljebb doumlntetlenre
vezető strateacutegiaacuteja lehet)
Bizonyiacutetaacutes Indirekte tegyuumlk fel hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja Ilyen
helyzetben a kezdő tudja alkalmazni a bdquostrateacutegialopaacutestrdquo Ez azt jelenti hogy a kezdő
jaacuteteacutekos leacutep valamit majd innentől uacutegy fogja fel a jaacuteteacutekot mintha csak most kezdődne eacutes
a maacutesodik jaacuteteacutekos nyerő strateacutegiaacuteja szerint jaacutetszik tovaacutebb Akkor meruumllhetne fel
probleacutema ha azt a mezőt keacutene elfoglalnia melyre az első leacutepeacuteskor leacutepett aacutem ez nem
gond mivel ezen maacuter az ő jele szerepel tehaacutet mi sem egyszerűbb baacuterhova maacuteshova tehet
Ezzel a moacutedszerrel az első jaacuteteacutekosnak nyernie kellene holott a maacutesodiknak van nyerő
strateacutegiaacuteja ellentmondaacutes
Gondoljuk meg a koumlvetkező konkreacutet foglaloacutes jaacuteteacutekot a nyerő strateacutegia szempontjaacuteboacutel
3 Jaacuteteacutek (Trihex) Az 11 aacutebra szerinti jaacuteteacutektaacuteblaacutera keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez egy piros
illetve egy keacutek korongot valamelyik meacuteg uumlres koumlrre Az győz akinek elsőkeacutent sikeruumll
haacuterom egysziacutenű korongot helyeznie a kilenc egyenes vonal valamelyikeacutere
11 Aacutebra A trihex jaacuteteacutek taacuteblaacuteja
Teacutetel A Trihex jaacuteteacutekban az I jaacuteteacutekos nyer
Bizonyiacutetaacutes A teacutetel bizonyiacutetaacutesaacuteban szuumlkseacuteguumlnk lesz keacutet fogalomra szabad egyeneseknek
nevezzuumlk azokat az egyeneseket melyeken egyetlen korong sincs eacutes egy jaacuteteacutekos szaacutemaacutera
feacutelszabad egyenes az az egyenes amelyen van az ő sziacuteneacutenek megfelelő sziacutenű korong de
mentes az ellenfele korongjaitoacutel A bizonyiacutetaacutes soraacuten kollineaacuterisnak nevezuumlnk haacuterom
mezőt ha azok a jaacuteteacutek taacuteblaacutejaacuten egyazon egyenesre illeszkednek
11
Az aacutebra uacutegy van megalkotva hogy minden egyenesen haacuterom uumlres koumlr szerepel ahova
a korongokat el kell helyezni tovaacutebbaacute minden ponton aacutet haacuterom egyenes megy aacutet
Megegyezeacutes alapjaacuten I jaacuteteacutekos hasznaacutelja a piros korongokat ellenfele a keacutekeket
Kezdőkeacutent az első leacutepeacutest mindenkeacutepp az egyik olyan mezőre tegyuumlk mely a nagy
haacuteromszoumlg oldalaacuten de nem a csuacutecsaacuten helyezkedik el Ellenfeluumlnk leacutepeacuteseacutetől fuumlggően keacutet
fajta aacutellaacutes joumlhet leacutetre amit kuumlloumln kell vizsgaacutelnunk
a) Ha II nem oldalpontra tesz akkor leacutepeacuteseacutet uacutegy kell koumlvetnuumlnk hogy a keacutet piros
korongunk egyazon feacutelszabad egyenesen legyen Ezutaacuten biztosan adoacutedni fog
legalaacutebb keacutet ilyen feacutelszabad egyenes Ezzel a leacutepeacutessel keacutenyszeriacutetettuumlk a maacutesodik
jaacuteteacutekost hogy keacutek korongjaacutet ezen egyenes harmadik mezőjeacutere helyezze hogy
megakadaacutelyozza a győzelmuumlnket Figyeljuumlnk raacute hogy a feacutelszabad egyenesek koumlzuumll
olyat eacutes annak olyan a pontjaacutet vaacutelasszuk melyen a harmadik ndash meacuteg uumlres hely ndash
nincs egy egyenesen a keacutek koronggal (ellenőrizhető hogy lesz ilyen) hogy ezzel
ne segiacutetsuumlk ellenfeluumlnket Ellenkező esetben megelőlegezzuumlk magunknak a
keacutenyszerhelyzetet Az ezutaacuteni koumlrben ndash a paacutelya sajaacutetossaacutegai miatt ndash lesz olyan
mező ami keacutet 1-1 piros korongot tartalmazoacute feacutelszabad egyenes metszeacutespontja
Foglaljuk el ezt a mezőt Innen koumlnnyen laacutethatoacute hogy megnyerjuumlk a jaacuteteacutekot
b) Maacutesodik eset ha ellenfeluumlnk egy maacutesik oldalpontra (de nem csuacutecsra) teszi keacutek
korongjaacutet Az oldalpontok tulajdonsaacutega hogy minden ponttal kollineaacuterisak csak
egymaacutessal nem Tegyuumlnk most a harmadik oldalpontra Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekos
akaacutermit leacutephet mi fogunk nyerni Ugyanis a keacutet piros sziacutenű oldalpontnak az oumlsszes
meacuteg szabad mezővel van koumlzoumls egyenese tehaacutet baacutermelyik pontra is leszuumlnk
keacutenytelenek tenni (ellenfeluumlnk győzelmeacutenek megakadaacutelyozaacutesa eacuterdekeacuteben) az
biztosan keacutet olyan feacutelszabad egyenesnek lesz metszeacutespontja ami tartalmaz 1-1
piros sziacutenű korongot Innen pedig egyeacutertelműen mi nyeruumlnk
12
3 Fejezet Kupacos jaacuteteacutekok
Koumlzkedvelt matematikai jaacuteteacutekok a kupacokba vagy halmokba rendezett taacutergyak
(kavicsok gyufaacutek korongok stb) alkotta jaacuteteacutekok melyekben kuumlloumlnboumlző szabaacutelyok
szerint szabad elvenni bizonyos szaacutemuacute elemet Ebben a fejezetben kupacokba rendezett
kavicsokroacutel lesz szoacute Tovaacutebbra is a joacute strateacutegia megtalaacutelaacutesa a ceacutel
3 1 Egyszerű egykupacos jaacuteteacutek
4 Jaacuteteacutek Egy kupacban 21 kavics van Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva 1 2 vagy 3
darabot vehetnek el Ez normaacutel jaacuteteacutek vagyis az nyer aki az utolsoacute(ka)t veszi el Kinek
van nyerő strateacutegiaacuteja
Visszafele gondolkodva aki előtt maacuter csak 3 vagy kevesebb korong lesz az meg tudja
nyerni a jaacuteteacutekot hiszen a legfeljebb 3 korongot elvehet Ez nyerő aacutellaacutes A 4 darab kavics
ugyanebből a megfontolaacutesboacutel vesztes aacutellaacutes hiszen akaacuterhaacuteny (1 2 vagy 3) darabot veszuumlnk
is el ellenfeluumlnk elveheti a maradeacutekot eacutes ezzel nyer Tovaacutebbgondolva minden 4∙k (k =
0 1hellip n) darab kavics vesztes aacutellaacutes mert abboacutel leacutepve az elemek szaacutemaacutenak neacuteggyel
oszthatoacutesaacutega nem megtarthatoacute tehaacutet vesztes aacutellaacutesboacutel vesztes aacutellaacutesba nem lehet leacutepni
viszont baacutermely maacutes esetből meg lehet jaacutetszani azokat Speciaacutelisan itt a vesztes aacutellaacutesok
4 8 12 16 20 db korong Ennek megfelelően 21 kavics eseteacuten a kezdő jaacuteteacutekosnak van
nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig előszoumlr 20-ra csoumlkkentve a kavicsok szaacutemaacutet
Eacuterdemes meggondolni ezt a feladatot aacuteltalaacutenosabban is
4 Jaacuteteacutek aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa Adott egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el 1-
től m darabig akaacuterhaacuteny kavicsot Az veszt aki nem tud leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja
eacutes mi az
Aacutelliacutetaacutes Ha m + 1 | n akkor a kezdő jaacuteteacutekos vesziacutet ellenkező esetben viszont neki van
nyerő strateacutegiaacuteja
Bizonyiacutetaacutes Ebben a jaacuteteacutekban biztosan az nyer akinek előszoumlr sikeruumll (m+1)-gyel
oszthatoacute elemszaacutemba leacutepni Ilyen helyzetből indulva baacuterhogyan is leacutepuumlnk nem tudunk
uacutejabb (m+1)-gyel oszthatoacutevaacute tenni a kupac meacutereteacutet miacuteg ellenfeluumlnk ndash akaacuterhogyan is
leacuteptuumlnk ndash a koumlvetkező koumlrben csoumlkkenteni tudja az elemszaacutemot uacutejabb (m+1)-gyel
oszthatoacutevaacute Vegyuumlk eacuteszre hogy a 0 veacutegső vesztes aacutellaacutes is oszthatoacute (m+1)-gyel Ezek
13
eacutertelmeacuteben minden (m + 1) ∙ k (k = 0hellipn) darab korong eseteacuten alakul ki vesztes aacutellaacutes
Tehaacutet aki ebből keacutenyszeruumll leacutepni az vesziacutet
Ha a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesakor a kupac meacutereteacutet osztja (m+1) akkor ugyanebből a
meggondolaacutesboacutel koumlvetkezik hogy a kezdő jaacuteteacutekos nem tud nyerni
Tovaacutebbra is kupacokkal eacutes azokboacutel aacutelloacute feladatokkal foglalkozunk A koumlvetkezőkben egy
aacuteltalaacutenosabb jaacuteteacutekcsoportroacutel lesz szoacute
3 2 Nim-jaacuteteacutek eacutes nim-oumlsszeadaacutes
A Nim-jaacuteteacutek Kiacutenaacuteboacutel szaacutermazoacute ma maacuter szeacuteles koumlrben ismert matematikai jaacuteteacutek A
menete a koumlvetkező
Nim-jaacuteteacutek adott n db kupac melyek rendre a1 a2 a3hellip an darab kavicsot tartalmaznak
Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva vesznek el akaacuterhaacuteny de legalaacutebb 1 kavicsot valamelyik
tetszőleges kupacboacutel Az nyer aki az utolsoacute kavicsot elveszi Keacuterdeacutes hogy kinek van nyerő
strateacutegiaacuteja
Ezek vagy az ehhez hasonloacute feladvaacutenyok megoldaacutesaacuteban segiacutetseacuteguumlnkre lesz egy uacutej
fogalom a bdquonim-oumlsszeadaacutesrdquo
Definiacutecioacute (nim-oumlsszeadaacutes) Vegyuumlk a nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemok halmazaacutet eacutes azon uacutegy
eacutertelmezzuumlk a nim-oumlsszeadaacutest hogy elemeit kettes szaacutemrendszerbeli alakjukban feliacuterva
adjuk oumlssze modulo 2 azaz nem toumlrődve az egyes helyieacuterteacutekeken adoacutedoacute maradeacutekokkal
Peacutelda 12 25 = 21 hiszen 11002 + 110012 = 101012
Vilaacutegosabbaacute vaacutelik a nim-oumlsszeadaacutes ha a szokaacutesos moacutedon egymaacutes alaacute iacuterva adjuk oumlssze
őket
11002
110012
101012
Ezt a definiacutecioacutet meggondolhatjuk maacuteskeacuteppen is
Definiacutecioacute Jeloumllje 119917120784 a keacutetelemű testet (azaz a modulo 2 szaacutemkoumlrt) eacutes legyen 119917120784infin ennek
veacutegtelen diszkreacutet direktszorzata vagyis az a veacutegtelen dimenzioacutes vektorteacuter amelyben olyan
14
0 eacutes 1 koordinaacutetaacutekat tartalmazoacute vektorok vannak melyekben csak veacuteges sok 1-es szaacutem
szerepel
Tekintsuumlk a koumlvetkező koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű megfelelteteacutest N eacutes 119917120784infin koumlzoumltt iacuterjunk
fel egy adott szaacutemot kettes szaacutemrendszerben de fordiacutetott sorrendben azaz jobbroacutel balra
Vegyuumlk azt a veacutegtelen hosszuacute vektort melynek az első koordinaacutetaacutei eacuteppen ennek a
szaacutemnak a bdquofordiacutetottrdquo kettes szaacutemrendszerbeli alakjaacutenak szaacutemjegyeivel egyezik meg
majd ezeket veacutegtelen sok nulla koumlveti Ez egy egyeacutertelmű megfelelteteacutest ad N eacutes 119917120784infin
elemei koumlzoumltt hiszen egy szaacutem egyetlen vektornak felel meg Azaz ha
119899 = sum 119886119894 ∙ 2119894infin119894=0 ahol 119886119894= 0 vagy 1 akkor az ennek megfelelő vektor (1198860 1198861 1198862 )
Teacutetel A nim-oumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot
Bizonyiacutetaacutes Tudjuk hogy a vektoroumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot Az előzőekben adott
egyeacutertelmű megfelelteteacutessel laacutethatoacute hogy az 119917120784infin-beli veacutegtelen hosszuacute vektorok
oumlsszeadaacutesa eacutes a nim-oumlsszeadaacutes ekvivalens művelet ezeacutert a nim-oumlsszeadaacutes is Aacutebel-
csoportot alkot
A nim-oumlsszeadaacutes tovaacutebbi tulajdonsaacutegai
1 Aacutelliacutetaacutes Minden a szaacutemra a a = 0
Bizonyiacutetaacutes Nem neheacutez meggondolni hogy ha a kettes szaacutemrendszerben keacutet azonos
szaacutemot adunk nim-oumlssze akkor mivel abban az 1-esek eacutes 0-k ugyanazon a helyieacuterteacuteken
aacutellnak az oumlsszeadaacutesukkor azok mind lenullaacutezoacutednak (1 + 1 = 0 + 0 = 0)
2 Aacutelliacutetaacutes Tetszőleges a eacutes b pozitiacutev egeacuteszekre teljesuumll 0 le a b le a + b
Ezt nem bizonyiacutetom de veacutegiggondolhatoacute
3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja
Az egykupacos Nim-jaacuteteacutek nagyon egyszerű nem is nevezhető jaacuteteacuteknak hiszen a kezdő
jaacuteteacutekos elsőre felmarkolhatja az egeacutesz kupacot eacutes veacutege a jaacuteteacuteknak Nem ilyen koumlnnyű
elsőre aacutetlaacutetni a toumlbb kupacos normaacutel Nim-jaacuteteacutekot
Vezessuumlk be a Nim(a1 a2hellip an) jeloumlleacutest arra az n kupacos Nim-jaacuteteacutekra ahol a1
a2hellip an a kuumlloumlnboumlző kupacok elemszaacutema
15
Teacutetel
1) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek kupacmeacutereteinek nim-oumlsszege a1 a2 hellip an ne 0
akkor biztosan leacutetezik olyan leacutepeacutes hogy a kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra
a1rsquo a2rsquohellip anrsquo = 0
2) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekban a1 a2 hellip an = 0 akkor baacutermely leacutepeacutes utaacuten a
kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra a nim-oumlsszeg a1rsquo a2rsquohellip anrsquo 0
Bizonyiacutetaacutes
1) Előszoumlr iacuterjuk fel egymaacutes alaacute a kupacok meacutereteacutet kettes szaacutemrendszerben eacutes adjuk oumlssze
őket nim szerint A ceacutelunk az hogy ezt a kapott oumlsszeget olyan moacutedon 0-ra tudjuk
vaacuteltoztatni ami megfeleltethető egy jaacuteteacutekbeli leacutepeacutessel Ehhez keressuumlk meg azt a
legnagyobb helyieacuterteacuteket (vagyis balroacutel az első olyan oszlopot) ahol paacuteratlan sok 1-es
szerepel - ugyanis ezen a helyieacuterteacuteken a nim-oumlsszegben is 1-es fog szerepelni - eacutes
vaacutelasszuk ki ebből az egyik 1-est legyen ez ai feliacuteraacutesaacuteban Most vaacuteltoztassuk meg ezt
az 1-est 0-ra eacutes ai ettől jobbra leacutevő binaacuteris szaacutemjegyeit is csereacuteljuumlk 1-esre vagy 0-ra
uacutegy hogy veacuteguumll az egeacutesz oumlsszeg 0-ra csoumlkkenjen (Ez megtehető eacutes ezt akkor eacuterjuumlk
el ha minden oszlopban paacuteros szaacutemuacute 1-es lesz) Ezzel a leacutepeacutessel aacuteteacutertuumlnk a Nim(a1rsquo
a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra ahol aj = aj kiveacuteve j = i-re eacutes ebben 0 a nim-oumlsszeg A
feliacuteraacutesban egy sor a jaacuteteacutekban egy kupac elemszaacutemaacutenak felel meg eacutes egy tetszőleges
sort alkotoacute szaacutem csoumlkkenteacutese valamennyivel ekvivalens azzal hogy a neki megfelelő
kupacboacutel ugyanennyi elemet elveszuumlnk Maacuter csak azt kell belaacutetnunk hogy az eljaacuteraacutes
soraacuten valoacuteban az egyik kupac elemszaacutemaacutet csoumlkkentettuumlk (nem noumlveltuumlk) tehaacutet leacutetezik
ilyen leacutepeacutes Ezt nem neheacutez meggondolni mert a legnagyobb helyieacuterteacuteken aacutelloacute 1-est 0-
ra csereacuteltuumlk ndash legyen ez a 2k helyieacuterteacutek ndash eacutes moumlgoumltte a vaacuteltoztataacutesok utaacuten legfeljebb k
-1 darab 1-es aacutellhat melyek eacuterteacuteke tiacutezes szaacutemrendszerben legfeljebb 1 + 2 + 4 + 8 +
+ 2k-1 = 2kndash1 ami biztosan kisebb az előző szaacutemnaacutel Tehaacutet a leiacutert leacutepeacutesek soraacuten valoacuteban
csoumlkkentettuumlk a kupacok meacutereteacutet
Ezt a bizonyiacutetaacutest egeacutesz egyszerűen aacutet lehet gondolni az előzőek alapjaacuten Laacutettuk hogy
a jaacuteteacutek leacutepeacuteseit hogyan tudjuk maacuteskeacutepp leiacuterni elveacutegezni A levezeteacutesből laacutetszik az
hogy 0 nim-oumlsszegből uacutejabb 0 nim-oumlsszegű aacutellaacutest nem tudunk eleacuterni
a1 a2 hellip an = 0 eseteacuten semelyik oszlopban sem lesz paacuteratlan szaacutemuacute 1-es amit
megcsereacutelve joacutel jaacuternaacutenk viszont egy sorban legalaacutebb egy szaacutemot ki kell csereacutelnuumlnk
mert leacutepni muszaacutej Tehaacutet lesz olyan oszlop a leacutepeacutesuumlnk utaacuten melyben paacuteratlan szaacutemuacute
1-es fog aacutellni iacutegy az oumlsszegben is legalaacutebb egy 1-es szerepelni fog
16
Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő
jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege
a1 a2 hellip an ne 0
Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző
teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire
a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet
uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig
fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb
Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud
leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok
Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy
leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is
oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot
jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti
Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti
egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot
Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor
jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen
oumlsszegjaacuteteacutek
sum 119869119894
119899
119868=0
ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet
kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)
Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege
is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek
17
Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg
azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat
Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban
van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz
Bizonyiacutetaacutes
Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva
a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az
bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha
ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik
jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat
b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik
jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő
jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja
szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az
oumlsszeguumlket is
Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala
kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha
első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer
Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg
hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk
az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes
kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű
paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri
a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot
Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező
fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet
18
4 Fejezet Grundy-szaacutemok
A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy
szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni
Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges
jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely
aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az
aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely
adta lehetőseacutegek koumlzuumll
Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű
jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel
1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az
ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel
ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat
leacutepeacuteseket) ismeruumlnk
2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal
leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket
tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek
3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul
annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok
hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak
A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban
nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni
Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia
megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a
toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező
fogalomra
19
Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb
nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt
Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)
Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot
az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de
roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van
Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs
raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden
raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb
kizaacutertja
Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema
Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben
semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute
aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan
raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne
ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb
kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli
raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten
nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute
veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol
minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak
Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok
ciklusmentesseacutegeacutenek
Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema
2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese
3 A [2] cikk alapjaacuten
20
Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos
Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek
Grundy-szaacutemai
Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb
nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-
szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i
a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak
egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk
ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy
G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema
G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be
hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes
felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem
maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1
Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok
illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az
alaacutebbiak
1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0
2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0
3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0
Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja
ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0
Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben
van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek
koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal
vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)
tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel
4 [2] cikk alapjaacuten
21
leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben
megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet
Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud
mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy
ő nyeri a jaacuteteacutekot
Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-
szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)
Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0
Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn
direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)
Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti
indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes
aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)
valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra
maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb
a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel
Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)
raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy
minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy
a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat
oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek
vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden
A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban
oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom
22
5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute
jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok
hasznaacutelata
5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai
Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő
egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti
darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok
Grundy-szaacutemai
Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-
szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő
Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen
innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk
= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz
vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet
el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan
ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute
Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)
vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet
Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent
meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes
strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait
Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem
Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik
ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a
koumlvetkező
5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy
bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek
Grundy-szaacutemaival
23
10 Jaacuteteacutek (Dawsonrsquos Chess) Adott egy 1x n-es teacuteglalap melynek neacutegyzeteibe a jaacuteteacutekosok
felvaacuteltva X-et raknak uacutegy hogy az X jellel ellaacutetott cellaacutek szomszeacutedosak nem lehetnek vagyis
egy X melletti neacutegyzetbe maacutesik X nem keruumllhet Az nyer aki az utolsoacute jelet rakja
Ha jobban meggondoljuk a keacutet jaacuteteacutek megfelel egymaacutesnak Annyi a kuumlloumlnbseacuteg hogy az
itteni neacutegyzetek ott a 2x2-es neacutegyzetek felező vonalainak felelnek meg eacutes az itteni vaacutelasztoacute
raacutecsvonalak pedig a sziacutenezős jaacuteteacutek neacutegyzeteivel egyeznek meg Neacutezzuumlk az alaacutebbi 5 1 aacutebraacuten
szemleacuteltetett peacuteldaacutet
Dawsonrsquos Chess taacutebla egy lehetseacuteges veacutegaacutellaacutessal
A 2 jaacuteteacutek ugyanazt jelentő veacutegső aacutellaacutesa
51 aacutebra
Joacutel laacutethatoacute hogy a 2 jaacuteteacutekban a 2x2-es neacutegyzetek hataacutervonalai eacutepp a Dawsonrsquos Chess-
beli bdquotiltott mezőknekrdquo felelnek meg - amikben nem keruumllhet X jel mert szomszeacutedjukban
maacuter szerepel - mert egy ilyen hataacutervonalra nem eshet maacutesik 2x2-es neacutegyzet felezővonala
hisz akkor a neacutegyzetek takarnaacutek egymaacutest
Feacuteny deruumllt arra6 hogy ennek a jaacuteteacuteknak a Grundy-szaacutemaiboacutel aacutelloacute sorozat 34-es
periodicitaacutesuacute de az elejeacuten van heacutet kiveacutetel a 0 14 16 17 31 34 eacutes 51 helyen aacutelloacute szaacutemok
tekinteteacuteben Utaacutena beaacutell a valoacutedi periodicitaacutes Azok az aacutellaacutesok eacuterdekesek szaacutemunkra a
nyerő strateacutegia kutataacutesa kapcsaacuten melyek Grundy-szaacutema 0 mert ezek a vesztes aacutellaacutesok
Tehaacutet vesztes aacutellaacutesok az elejeacutetől kezdve 1 5 9 15 21 25 29 35 neacutegyzetet tartalmazoacute
kezdőaacutellaacutesok majd az 1 a 15 eacutes 35 kiveacuteteleacutevel ezek k ∙ 34-gyel vett oumlsszegei is vesztő
aacutellaacutesok lesznek a periodicitaacutes miatt
5 2 Jaacuteteacutekok korongokkal
A koumlvetkező jaacuteteacutek a [4] koumlnyvből szaacutermazik
6 Szinteacuten a httpsoeisorg weboldal hasznaacutelataacuteval
X X
24
5 Jaacuteteacutek Egy asztalon sorba 10 korong van lerakva melyeknek egyik oldala feheacuter maacutesik
fekete sziacutenű Ketten jaacutetszanak A soron koumlvetkező mindig kivaacutelaszt egy fekete oldalaacuteval
felfeleacute fekvő korongot majd azt eacutes az oumlsszes tőle jobbra leacutevőt aacutetfordiacutetja a maacutesik oldalaacutera
Akkor van veacutege a jaacuteteacuteknak ha mindegyik korongnak a feheacuter oldala van feluumll Az veszt aki
nem tud toumlbbet leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes hogyan tud győzni
A jaacuteteacutek kimenetele eacutes nyertese fuumlgg a kiindulaacutesi helyzettől Tekintsuumlk az alaacutebbi konkreacutet
kezdőaacutellaacutest (5 2 aacutebra)
5 2 aacutebra
A nyertes strateacutegia nem bonyolult sőt eleacuteg keacutezenfekvő ha belegondolunk tudniillik a
veacutegeredmeacuteny egyaacuteltalaacuten nem a jaacuteteacutekosok leacutepeacutesein muacutelik hanem csupaacuten az utolsoacute korong
sziacuteneacutetől fuumlgg Ugyanis egy korong az utolsoacute helyen aacutelloacute biztosan megfordul minden
leacutepeacutesben Ez leacutepeacutesenkeacutent vaacuteltakozva hol feheacuter hol fekete oldalaacuteval lesz feluumll miacuteg ki nem
alakul a veacutegső nyertes ndash oumlsszes feheacuter ndash aacutellaacutes Ha peacuteldaacuteul kezdetben fekete az utolsoacute
korong akkor az mindig a kezdő jaacuteteacutekos forgataacutesai nyomaacuten fog a feheacuter oldalaacuteval felfeleacute
keruumllni A jaacuteteacutek egyszer veacuteget eacuter eacutes tudjuk hogy az utolsoacute leacutepeacutes a kezdő jaacuteteacutekoseacute lesz
tehaacutet ő nyer Ellenkező esetben - ha a kezdő aacutellapotban feheacuter az utolsoacute korong - a maacutesodik
jaacuteteacutekoseacute a győzelem Tehaacutet teljesen mindegy haacuteny koronggal jaacutetszunk a győztest mindig
a sorban elhelyezett utolsoacute korong sziacutene fogja elaacuterulni Ha az a fekete oldalaacuteval felfeleacute
fekszik akkor a kezdő ha feheacuter sziacutene laacutetszik akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos nyer Iacutegy a fenti
jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
Ha feladatban moacutedosiacutetjuk kicsit a szabaacutelyokat akkor a megoldaacutes is bonyoloacutedik eacutes itt
maacuter fel kell hasznaacutelnunk a Grundy-szaacutemokat illetve a nim-oumlsszeget A koumlvetkező feladat
eacutes megoldaacutesi oumltlete [2] forraacutesboacutel szaacutermazik
6 Jaacuteteacutek Legyen ismeacutet 10 darab korongunk az asztalra sorba lehelyezve A jaacuteteacutekosok
keacutetfeacutele leacutepeacutest hajthatnak veacutegre vagy megfordiacutetanak egy fekete oldalaacuteval felfeleacute fekvő
korongot vagy keacutet korongot fordiacutetanak meg melyek koumlzuumll a jobbraacutebb levő fekte Az vesziacutet
aki nem tud toumlbbet leacutepni
25
A megoldaacutes veacutegett szaacutemozzuk meg a korongokat balroacutel jobbra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 3 aacutebra
Aacutelliacutetaacutes A 6 jaacuteteacutek egy aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema eacutepp a fekete sziacutenű korongok sorszaacutemaacutenak
nim-oumlsszege
Bizonyiacutetaacutes Alkossunk ebből a jaacuteteacutekboacutel Nim-jaacuteteacutekot a koumlvetkező keacuteppen Ha az i-edik
korong sziacutene fekete akkor tekintsuumlnk egy ekkora elemszaacutemuacute kupacot a Nim-jaacuteteacutekban ha
feheacuter sziacutenű egy korong akkor nincs ilyen kupacunk Ezzel egy szokaacutesos Nim-jaacuteteacutekot
kapunk Azeacutert tehetjuumlk meg ezt mert a leacutepeacutesek eacutepp ugyanazt eredmeacutenyezik mindkeacutet
jaacuteteacutekban amennyiben megfordiacutetunk egy fekete korongot az annak felel meg ha nim-
jaacuteteacutekban azt a kupacot teljes egeacuteszeacuteben elvesszuumlk eacutes megszűnik Ha egy feheacuter eacutes egy
fekete korongot fordiacutetunk meg melyek koumlzuumll a fekete a jobb oldali akkor azzal
egyeneacuterteacutekű mintha a nim-jaacuteteacutekban bizonyos szaacutemuacute kavicsot elvettuumlnk volna az addigi
kupacboacutel uacutegy hogy a feketeacutere fordiacutetott korong sorszaacutemaacutenak megfelelő kupacmeacuteretet
eacutertuumlnk el (Mert a bal oldali korong sorszaacutema kisebb eacutes iacutegy kisebb elemszaacutemuacute kupacot is
jelent) Tekintsuumlnk erre magyaraacutezatul egy peacuteldaacutet (5 4 aacutebra)
1 2 3
5 4 aacutebra
Ebben a kis jaacuteteacutekban illusztraacuteljuk a korongforgataacutesi leacutepeacutesek eacutes a Nim-jaacuteteacutek kapcsolataacutet
Tekintsuumlk ennek mintaacutejaacutera a 2 eacutes 3 elmeszaacutemuacute kupacokkal jaacutetszott Nim-jaacuteteacutekot
Vilaacutegosan laacutetszik hogy ha megfordiacutetjuk peacuteldaacuteul a 2 szaacutemuacute fekete sziacutenű korongot eacutes iacutegy
az feheacuter lesz akkor ez a leacutepeacutes megegyezik azzal hogy a Nim-jaacuteteacutekban egy leacutepeacutessel
eltuumlntetjuumlk a 2 elemű kupacot Keacutet szabaacutelyos helyzetű korong megfordiacutetaacutesaacuteval ndash legyenek
26
most ezek az 1 eacutes 2 szaacutemuacuteak ndash az 55-oumls aacutebraacuten laacutethatoacute aacutellaacutes joumln leacutetre ami ekvivalens a
Nim-jaacuteteacutek azon leacutepeacuteseacutevel hogy a 2 elemű kupacboacutel 1 kavicsot elveszuumlnk
1 2 3
5 5 aacutebra
Keacutet fekete korong megfordiacutetaacutesa keacutet kupac teljes elveacuteteleacutet jelenteneacute a Nimben ami ilyen
formaacuteban nem szabaacutelyos Azonban ha jobban meggondoljuk ez a leacutepeacutes jelentheti azt
hogy a nagyobb meacuteretű kupacboacutel elveszuumlnk annyi kavicsot hogy az egyenlő legyen a
kisebb elemszaacutemaacuteval mert a nim-oumlsszeadaacutes miatt keacutet azonos meacuteretű kupac nem
befolyaacutesolja az egeacutesz jaacuteteacutek Grundy-szaacutemaacutet azaz a keacutet kupac kiegyenliacuteteacuteseacutevel illetve
teljes elveacuteteluumlkkel kapott Nim-aacutellaacutesok Grundy-szaacutemai megegyeznek
Az 5 3 aacutebra alapjaacuten kialakult aacutellaacutes Grundy-szaacutema tehaacutet 3 10 = 10 A jaacuteteacutek
vesztő aacutellaacutesainak Grundy-szaacutema 0 azaz ha ilyen aacutellaacutesroacutel indul valaki az nem tud nyerni
Ebből a poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacutet keacutepezni csak a 10 elemű kupac teljes elveacuteteleacutevel
lehetseacuteges Tehaacutet a 10-es szaacutemuacute fekete korongot kell megfordiacutetani előszoumlr a
győzelemhez
5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
A most koumlvetkező haacuterom jaacuteteacutekkal a [2] cikkben talaacutelkoztam
7 Jaacuteteacutek (Rim-jaacuteteacutek) Adott neacutehaacuteny kupac kavics A kupacok egyikeacuteből elvehető
akaacutermennyi kavics de csak uacutegy hogy az elvett elemek szaacutema relatiacutev priacutem legyen az elveacutetel
előtti mennyiseacuteghez
Ez a jaacuteteacutek toumlbb egykupacos uacuten bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacuteknak oumlsszege A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek
egy n darab taacutergyat (kavicsot) tartalmazoacute kupacroacutel szoacutel amelyből k elemet vehetuumlnk el
ha k eacutes n relatiacutev priacutemek Ebből koumlvetkezik hogy 1-et mindig elvehetuumlnk az oumlsszes elemet
azonban sosem (mert n oumlnmagaacuteval nem relatiacutev priacutem) kiveacuteve ha 1 darab marad a
kupacban
Jeloumlljuumlk itt az i elemszaacutemuacute Rim-kupacok Grundy-szaacutemaacutet G(Ri)-vel Az első eacutes maacutesodik
Grundy-szaacutem koumlnnyen megmondhatoacute G0 = 0 eacutes G1 = mex (G0) = 1 Ha keacutet elemet
27
tartalmaz a kiindulaacutesi kupac akkor a szabaacutelynak megfelelően az egyetlen lehetőseacuteg 1
kavics elveacutetele ezeacutert G(R2) = mex (1) = 0 Haacuteromelemű kezdőkupacboacutel 1 eacutes 2 elemet is
elvehetuumlnk iacutegy kapjuk hogy G(R3) = mex (G(R1) G(R2) ) = mex (1 0) = 2 Neacutegy elem
eseteacuten G4 = mex (G1 G3) = 0 Hasonloacutean G5 = mex (G(R1) G(R2) G(R3) G(R4)) =
= mex (1 2 0 2) = 3 eacutes iacutegy tovaacutebb A koumlvetkező teacutetelben meghataacuterozzuk aacuteltalaacutenossaacutegban
G(Rn)-et
Teacutetel A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutekban minden paacuteros n elemszaacutemuacute kupacra G(Rn) = 0 valamint
n paacuteratlan elemszaacutem eseteacuten G(Rn) = k ha n legkisebb priacutemosztoacuteja a k-adik priacutemszaacutem (Az
első priacutemszaacutem a 2 maacutesodik a 3 stb)
Bizonyiacutetaacutes n-re vonatkozoacute teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk
a) ha n paacuteros Semelyik esetben sem lehet az egeacutesz kupacot elvenni kiveacuteve ha 1 kavics
marad a kupacban Laacutettuk hogy G(R0) = G2 = 0 Legyen n paacuteros Tegyuumlk fel hogy
minden n-neacutel nem nagyobb paacuteros k szaacutemra G(Rk) = 0 Laacutessuk be ezt (n+2)-re is Mivel
egy paacuteros szaacutem semelyik maacutesik paacuteros szaacutemmal sem relatiacutev priacutem ezeacutert paacuteros darab
kavicsot nem vehetuumlnk el a kupacboacutel ennek okaacuten uacutejabb paacuteros elemszaacutemuacute aacutellaacutes sem
joumlhet leacutetre Paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac ugyan lehet (n+2) kiszomszeacutedja de annak
Grundy-szaacutema biztosan nem 0 mert 1 kavicsot baacutermelyik aacutellaacutesboacutel elvehetuumlnk iacutegy lesz
a paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt n-neacutel nem nagyobb paacuteros elemszaacutemuacute
kupac aminek Grundy-szaacutema 0 Tehaacutet (n+2) elemet tartalmazoacute kupac raacutekoumlvetkezői
koumlzoumltt nem lesz 0 Grundy-szaacutemuacute iacutegy azok legkisebb kizaacutertja eacutepp a 0
b) ha n paacuteratlan Tudjuk hogy G1 = 1 eacutes azt is laacutettuk hogy G3 = 2 Itt is teljes indukcioacutet
hasznaacutelunk Tegyuumlk fel hogy igaz a fenti aacutelliacutetaacutes minden paacuteratlan n-re Bizonyiacutetsuk be
hogy ez az n+2 paacuteratlan szaacutemra is oumlroumlklődik Legyen n+2 legkisebb priacutemosztoacuteja p eacutes
annak sorszaacutema k Ahhoz hogy belaacutessuk hogy Gn+2 = k keacutet dologra van szuumlkseacuteg
1) Minden k-naacutel kisebb szaacutem előfordul az n+2 elemszaacutemuacute aacutellaacutes valamely
kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutemakeacutent
2) Az n+2 elemű kupac egyik kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutema sem k
1) igazolaacutesa 1-et eacutes n+1-et mindig leacutephetuumlnk tehaacutet 1 eacutes 0 Grundy-szaacutemuacute
raacutekoumlvetkezője minden aacutellaacutesnak van Legyen q egy tetszőleges p-neacutel kisebb priacutem ndash
ennek sorszaacutema k-naacutel kisebb eacutes az indukcioacute szerint a q elemű aacutellaacutes Grundy-szaacutema eacutepp
a q sorszaacutema Ekkor meg kell mutatnunk hogy n+2ndashből aminek legkisebb
priacutemosztoacuteja p a q elemszaacutemuacute kupacba leacutepeacutes szabaacutelyos Ez azeacutert igaz mert a
28
jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek
nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek
elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash
hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert
kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute
kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes
2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m
elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb
priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt
k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek
A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő
strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk
8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad
kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja
legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is
elvehetjuumlk)
Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő
tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz
melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk
Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean
G(Di)
Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1
Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva
laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek
bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1
29
1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i
2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan
1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute
kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute
kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei
azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet
elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =
21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i
2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet
eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n
raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l
paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1
Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban
ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra
G(Da) = 0 + 1 = 1
Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek
9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az
egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a
Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya
szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)
Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg
Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal
Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon
mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)
= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet
a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5
kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre
30
11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik
kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az
nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi
Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-
ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet
Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik
jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem
hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy
speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok
bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A
Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő
nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk
valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval
deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek
a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)
stb kupacmeacuteretek
Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt
de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt
5 4 Fibonacci-nim
A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik
13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el
kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve
utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint
amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben
Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz
szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa
előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban
31
Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat
i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2
Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a
koumlvetkező taacuteblaacutezat
Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok
Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő
Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok
oumlsszegeacutere
Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899
Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel
hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga
Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem
akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-
szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert
119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa
kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem
Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele
keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen
Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip
Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel
minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok
legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot
vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)
7 [1] alapjaacuten
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
11
Az aacutebra uacutegy van megalkotva hogy minden egyenesen haacuterom uumlres koumlr szerepel ahova
a korongokat el kell helyezni tovaacutebbaacute minden ponton aacutet haacuterom egyenes megy aacutet
Megegyezeacutes alapjaacuten I jaacuteteacutekos hasznaacutelja a piros korongokat ellenfele a keacutekeket
Kezdőkeacutent az első leacutepeacutest mindenkeacutepp az egyik olyan mezőre tegyuumlk mely a nagy
haacuteromszoumlg oldalaacuten de nem a csuacutecsaacuten helyezkedik el Ellenfeluumlnk leacutepeacuteseacutetől fuumlggően keacutet
fajta aacutellaacutes joumlhet leacutetre amit kuumlloumln kell vizsgaacutelnunk
a) Ha II nem oldalpontra tesz akkor leacutepeacuteseacutet uacutegy kell koumlvetnuumlnk hogy a keacutet piros
korongunk egyazon feacutelszabad egyenesen legyen Ezutaacuten biztosan adoacutedni fog
legalaacutebb keacutet ilyen feacutelszabad egyenes Ezzel a leacutepeacutessel keacutenyszeriacutetettuumlk a maacutesodik
jaacuteteacutekost hogy keacutek korongjaacutet ezen egyenes harmadik mezőjeacutere helyezze hogy
megakadaacutelyozza a győzelmuumlnket Figyeljuumlnk raacute hogy a feacutelszabad egyenesek koumlzuumll
olyat eacutes annak olyan a pontjaacutet vaacutelasszuk melyen a harmadik ndash meacuteg uumlres hely ndash
nincs egy egyenesen a keacutek koronggal (ellenőrizhető hogy lesz ilyen) hogy ezzel
ne segiacutetsuumlk ellenfeluumlnket Ellenkező esetben megelőlegezzuumlk magunknak a
keacutenyszerhelyzetet Az ezutaacuteni koumlrben ndash a paacutelya sajaacutetossaacutegai miatt ndash lesz olyan
mező ami keacutet 1-1 piros korongot tartalmazoacute feacutelszabad egyenes metszeacutespontja
Foglaljuk el ezt a mezőt Innen koumlnnyen laacutethatoacute hogy megnyerjuumlk a jaacuteteacutekot
b) Maacutesodik eset ha ellenfeluumlnk egy maacutesik oldalpontra (de nem csuacutecsra) teszi keacutek
korongjaacutet Az oldalpontok tulajdonsaacutega hogy minden ponttal kollineaacuterisak csak
egymaacutessal nem Tegyuumlnk most a harmadik oldalpontra Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekos
akaacutermit leacutephet mi fogunk nyerni Ugyanis a keacutet piros sziacutenű oldalpontnak az oumlsszes
meacuteg szabad mezővel van koumlzoumls egyenese tehaacutet baacutermelyik pontra is leszuumlnk
keacutenytelenek tenni (ellenfeluumlnk győzelmeacutenek megakadaacutelyozaacutesa eacuterdekeacuteben) az
biztosan keacutet olyan feacutelszabad egyenesnek lesz metszeacutespontja ami tartalmaz 1-1
piros sziacutenű korongot Innen pedig egyeacutertelműen mi nyeruumlnk
12
3 Fejezet Kupacos jaacuteteacutekok
Koumlzkedvelt matematikai jaacuteteacutekok a kupacokba vagy halmokba rendezett taacutergyak
(kavicsok gyufaacutek korongok stb) alkotta jaacuteteacutekok melyekben kuumlloumlnboumlző szabaacutelyok
szerint szabad elvenni bizonyos szaacutemuacute elemet Ebben a fejezetben kupacokba rendezett
kavicsokroacutel lesz szoacute Tovaacutebbra is a joacute strateacutegia megtalaacutelaacutesa a ceacutel
3 1 Egyszerű egykupacos jaacuteteacutek
4 Jaacuteteacutek Egy kupacban 21 kavics van Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva 1 2 vagy 3
darabot vehetnek el Ez normaacutel jaacuteteacutek vagyis az nyer aki az utolsoacute(ka)t veszi el Kinek
van nyerő strateacutegiaacuteja
Visszafele gondolkodva aki előtt maacuter csak 3 vagy kevesebb korong lesz az meg tudja
nyerni a jaacuteteacutekot hiszen a legfeljebb 3 korongot elvehet Ez nyerő aacutellaacutes A 4 darab kavics
ugyanebből a megfontolaacutesboacutel vesztes aacutellaacutes hiszen akaacuterhaacuteny (1 2 vagy 3) darabot veszuumlnk
is el ellenfeluumlnk elveheti a maradeacutekot eacutes ezzel nyer Tovaacutebbgondolva minden 4∙k (k =
0 1hellip n) darab kavics vesztes aacutellaacutes mert abboacutel leacutepve az elemek szaacutemaacutenak neacuteggyel
oszthatoacutesaacutega nem megtarthatoacute tehaacutet vesztes aacutellaacutesboacutel vesztes aacutellaacutesba nem lehet leacutepni
viszont baacutermely maacutes esetből meg lehet jaacutetszani azokat Speciaacutelisan itt a vesztes aacutellaacutesok
4 8 12 16 20 db korong Ennek megfelelően 21 kavics eseteacuten a kezdő jaacuteteacutekosnak van
nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig előszoumlr 20-ra csoumlkkentve a kavicsok szaacutemaacutet
Eacuterdemes meggondolni ezt a feladatot aacuteltalaacutenosabban is
4 Jaacuteteacutek aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa Adott egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el 1-
től m darabig akaacuterhaacuteny kavicsot Az veszt aki nem tud leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja
eacutes mi az
Aacutelliacutetaacutes Ha m + 1 | n akkor a kezdő jaacuteteacutekos vesziacutet ellenkező esetben viszont neki van
nyerő strateacutegiaacuteja
Bizonyiacutetaacutes Ebben a jaacuteteacutekban biztosan az nyer akinek előszoumlr sikeruumll (m+1)-gyel
oszthatoacute elemszaacutemba leacutepni Ilyen helyzetből indulva baacuterhogyan is leacutepuumlnk nem tudunk
uacutejabb (m+1)-gyel oszthatoacutevaacute tenni a kupac meacutereteacutet miacuteg ellenfeluumlnk ndash akaacuterhogyan is
leacuteptuumlnk ndash a koumlvetkező koumlrben csoumlkkenteni tudja az elemszaacutemot uacutejabb (m+1)-gyel
oszthatoacutevaacute Vegyuumlk eacuteszre hogy a 0 veacutegső vesztes aacutellaacutes is oszthatoacute (m+1)-gyel Ezek
13
eacutertelmeacuteben minden (m + 1) ∙ k (k = 0hellipn) darab korong eseteacuten alakul ki vesztes aacutellaacutes
Tehaacutet aki ebből keacutenyszeruumll leacutepni az vesziacutet
Ha a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesakor a kupac meacutereteacutet osztja (m+1) akkor ugyanebből a
meggondolaacutesboacutel koumlvetkezik hogy a kezdő jaacuteteacutekos nem tud nyerni
Tovaacutebbra is kupacokkal eacutes azokboacutel aacutelloacute feladatokkal foglalkozunk A koumlvetkezőkben egy
aacuteltalaacutenosabb jaacuteteacutekcsoportroacutel lesz szoacute
3 2 Nim-jaacuteteacutek eacutes nim-oumlsszeadaacutes
A Nim-jaacuteteacutek Kiacutenaacuteboacutel szaacutermazoacute ma maacuter szeacuteles koumlrben ismert matematikai jaacuteteacutek A
menete a koumlvetkező
Nim-jaacuteteacutek adott n db kupac melyek rendre a1 a2 a3hellip an darab kavicsot tartalmaznak
Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva vesznek el akaacuterhaacuteny de legalaacutebb 1 kavicsot valamelyik
tetszőleges kupacboacutel Az nyer aki az utolsoacute kavicsot elveszi Keacuterdeacutes hogy kinek van nyerő
strateacutegiaacuteja
Ezek vagy az ehhez hasonloacute feladvaacutenyok megoldaacutesaacuteban segiacutetseacuteguumlnkre lesz egy uacutej
fogalom a bdquonim-oumlsszeadaacutesrdquo
Definiacutecioacute (nim-oumlsszeadaacutes) Vegyuumlk a nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemok halmazaacutet eacutes azon uacutegy
eacutertelmezzuumlk a nim-oumlsszeadaacutest hogy elemeit kettes szaacutemrendszerbeli alakjukban feliacuterva
adjuk oumlssze modulo 2 azaz nem toumlrődve az egyes helyieacuterteacutekeken adoacutedoacute maradeacutekokkal
Peacutelda 12 25 = 21 hiszen 11002 + 110012 = 101012
Vilaacutegosabbaacute vaacutelik a nim-oumlsszeadaacutes ha a szokaacutesos moacutedon egymaacutes alaacute iacuterva adjuk oumlssze
őket
11002
110012
101012
Ezt a definiacutecioacutet meggondolhatjuk maacuteskeacuteppen is
Definiacutecioacute Jeloumllje 119917120784 a keacutetelemű testet (azaz a modulo 2 szaacutemkoumlrt) eacutes legyen 119917120784infin ennek
veacutegtelen diszkreacutet direktszorzata vagyis az a veacutegtelen dimenzioacutes vektorteacuter amelyben olyan
14
0 eacutes 1 koordinaacutetaacutekat tartalmazoacute vektorok vannak melyekben csak veacuteges sok 1-es szaacutem
szerepel
Tekintsuumlk a koumlvetkező koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű megfelelteteacutest N eacutes 119917120784infin koumlzoumltt iacuterjunk
fel egy adott szaacutemot kettes szaacutemrendszerben de fordiacutetott sorrendben azaz jobbroacutel balra
Vegyuumlk azt a veacutegtelen hosszuacute vektort melynek az első koordinaacutetaacutei eacuteppen ennek a
szaacutemnak a bdquofordiacutetottrdquo kettes szaacutemrendszerbeli alakjaacutenak szaacutemjegyeivel egyezik meg
majd ezeket veacutegtelen sok nulla koumlveti Ez egy egyeacutertelmű megfelelteteacutest ad N eacutes 119917120784infin
elemei koumlzoumltt hiszen egy szaacutem egyetlen vektornak felel meg Azaz ha
119899 = sum 119886119894 ∙ 2119894infin119894=0 ahol 119886119894= 0 vagy 1 akkor az ennek megfelelő vektor (1198860 1198861 1198862 )
Teacutetel A nim-oumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot
Bizonyiacutetaacutes Tudjuk hogy a vektoroumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot Az előzőekben adott
egyeacutertelmű megfelelteteacutessel laacutethatoacute hogy az 119917120784infin-beli veacutegtelen hosszuacute vektorok
oumlsszeadaacutesa eacutes a nim-oumlsszeadaacutes ekvivalens művelet ezeacutert a nim-oumlsszeadaacutes is Aacutebel-
csoportot alkot
A nim-oumlsszeadaacutes tovaacutebbi tulajdonsaacutegai
1 Aacutelliacutetaacutes Minden a szaacutemra a a = 0
Bizonyiacutetaacutes Nem neheacutez meggondolni hogy ha a kettes szaacutemrendszerben keacutet azonos
szaacutemot adunk nim-oumlssze akkor mivel abban az 1-esek eacutes 0-k ugyanazon a helyieacuterteacuteken
aacutellnak az oumlsszeadaacutesukkor azok mind lenullaacutezoacutednak (1 + 1 = 0 + 0 = 0)
2 Aacutelliacutetaacutes Tetszőleges a eacutes b pozitiacutev egeacuteszekre teljesuumll 0 le a b le a + b
Ezt nem bizonyiacutetom de veacutegiggondolhatoacute
3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja
Az egykupacos Nim-jaacuteteacutek nagyon egyszerű nem is nevezhető jaacuteteacuteknak hiszen a kezdő
jaacuteteacutekos elsőre felmarkolhatja az egeacutesz kupacot eacutes veacutege a jaacuteteacuteknak Nem ilyen koumlnnyű
elsőre aacutetlaacutetni a toumlbb kupacos normaacutel Nim-jaacuteteacutekot
Vezessuumlk be a Nim(a1 a2hellip an) jeloumlleacutest arra az n kupacos Nim-jaacuteteacutekra ahol a1
a2hellip an a kuumlloumlnboumlző kupacok elemszaacutema
15
Teacutetel
1) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek kupacmeacutereteinek nim-oumlsszege a1 a2 hellip an ne 0
akkor biztosan leacutetezik olyan leacutepeacutes hogy a kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra
a1rsquo a2rsquohellip anrsquo = 0
2) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekban a1 a2 hellip an = 0 akkor baacutermely leacutepeacutes utaacuten a
kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra a nim-oumlsszeg a1rsquo a2rsquohellip anrsquo 0
Bizonyiacutetaacutes
1) Előszoumlr iacuterjuk fel egymaacutes alaacute a kupacok meacutereteacutet kettes szaacutemrendszerben eacutes adjuk oumlssze
őket nim szerint A ceacutelunk az hogy ezt a kapott oumlsszeget olyan moacutedon 0-ra tudjuk
vaacuteltoztatni ami megfeleltethető egy jaacuteteacutekbeli leacutepeacutessel Ehhez keressuumlk meg azt a
legnagyobb helyieacuterteacuteket (vagyis balroacutel az első olyan oszlopot) ahol paacuteratlan sok 1-es
szerepel - ugyanis ezen a helyieacuterteacuteken a nim-oumlsszegben is 1-es fog szerepelni - eacutes
vaacutelasszuk ki ebből az egyik 1-est legyen ez ai feliacuteraacutesaacuteban Most vaacuteltoztassuk meg ezt
az 1-est 0-ra eacutes ai ettől jobbra leacutevő binaacuteris szaacutemjegyeit is csereacuteljuumlk 1-esre vagy 0-ra
uacutegy hogy veacuteguumll az egeacutesz oumlsszeg 0-ra csoumlkkenjen (Ez megtehető eacutes ezt akkor eacuterjuumlk
el ha minden oszlopban paacuteros szaacutemuacute 1-es lesz) Ezzel a leacutepeacutessel aacuteteacutertuumlnk a Nim(a1rsquo
a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra ahol aj = aj kiveacuteve j = i-re eacutes ebben 0 a nim-oumlsszeg A
feliacuteraacutesban egy sor a jaacuteteacutekban egy kupac elemszaacutemaacutenak felel meg eacutes egy tetszőleges
sort alkotoacute szaacutem csoumlkkenteacutese valamennyivel ekvivalens azzal hogy a neki megfelelő
kupacboacutel ugyanennyi elemet elveszuumlnk Maacuter csak azt kell belaacutetnunk hogy az eljaacuteraacutes
soraacuten valoacuteban az egyik kupac elemszaacutemaacutet csoumlkkentettuumlk (nem noumlveltuumlk) tehaacutet leacutetezik
ilyen leacutepeacutes Ezt nem neheacutez meggondolni mert a legnagyobb helyieacuterteacuteken aacutelloacute 1-est 0-
ra csereacuteltuumlk ndash legyen ez a 2k helyieacuterteacutek ndash eacutes moumlgoumltte a vaacuteltoztataacutesok utaacuten legfeljebb k
-1 darab 1-es aacutellhat melyek eacuterteacuteke tiacutezes szaacutemrendszerben legfeljebb 1 + 2 + 4 + 8 +
+ 2k-1 = 2kndash1 ami biztosan kisebb az előző szaacutemnaacutel Tehaacutet a leiacutert leacutepeacutesek soraacuten valoacuteban
csoumlkkentettuumlk a kupacok meacutereteacutet
Ezt a bizonyiacutetaacutest egeacutesz egyszerűen aacutet lehet gondolni az előzőek alapjaacuten Laacutettuk hogy
a jaacuteteacutek leacutepeacuteseit hogyan tudjuk maacuteskeacutepp leiacuterni elveacutegezni A levezeteacutesből laacutetszik az
hogy 0 nim-oumlsszegből uacutejabb 0 nim-oumlsszegű aacutellaacutest nem tudunk eleacuterni
a1 a2 hellip an = 0 eseteacuten semelyik oszlopban sem lesz paacuteratlan szaacutemuacute 1-es amit
megcsereacutelve joacutel jaacuternaacutenk viszont egy sorban legalaacutebb egy szaacutemot ki kell csereacutelnuumlnk
mert leacutepni muszaacutej Tehaacutet lesz olyan oszlop a leacutepeacutesuumlnk utaacuten melyben paacuteratlan szaacutemuacute
1-es fog aacutellni iacutegy az oumlsszegben is legalaacutebb egy 1-es szerepelni fog
16
Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő
jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege
a1 a2 hellip an ne 0
Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző
teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire
a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet
uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig
fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb
Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud
leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok
Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy
leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is
oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot
jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti
Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti
egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot
Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor
jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen
oumlsszegjaacuteteacutek
sum 119869119894
119899
119868=0
ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet
kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)
Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege
is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek
17
Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg
azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat
Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban
van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz
Bizonyiacutetaacutes
Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva
a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az
bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha
ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik
jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat
b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik
jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő
jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja
szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az
oumlsszeguumlket is
Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala
kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha
első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer
Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg
hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk
az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes
kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű
paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri
a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot
Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező
fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet
18
4 Fejezet Grundy-szaacutemok
A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy
szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni
Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges
jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely
aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az
aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely
adta lehetőseacutegek koumlzuumll
Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű
jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel
1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az
ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel
ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat
leacutepeacuteseket) ismeruumlnk
2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal
leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket
tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek
3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul
annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok
hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak
A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban
nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni
Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia
megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a
toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező
fogalomra
19
Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb
nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt
Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)
Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot
az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de
roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van
Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs
raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden
raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb
kizaacutertja
Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema
Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben
semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute
aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan
raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne
ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb
kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli
raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten
nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute
veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol
minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak
Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok
ciklusmentesseacutegeacutenek
Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema
2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese
3 A [2] cikk alapjaacuten
20
Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos
Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek
Grundy-szaacutemai
Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb
nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-
szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i
a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak
egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk
ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy
G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema
G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be
hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes
felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem
maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1
Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok
illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az
alaacutebbiak
1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0
2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0
3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0
Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja
ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0
Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben
van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek
koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal
vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)
tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel
4 [2] cikk alapjaacuten
21
leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben
megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet
Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud
mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy
ő nyeri a jaacuteteacutekot
Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-
szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)
Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0
Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn
direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)
Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti
indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes
aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)
valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra
maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb
a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel
Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)
raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy
minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy
a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat
oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek
vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden
A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban
oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom
22
5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute
jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok
hasznaacutelata
5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai
Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő
egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti
darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok
Grundy-szaacutemai
Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-
szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő
Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen
innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk
= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz
vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet
el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan
ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute
Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)
vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet
Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent
meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes
strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait
Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem
Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik
ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a
koumlvetkező
5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy
bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek
Grundy-szaacutemaival
23
10 Jaacuteteacutek (Dawsonrsquos Chess) Adott egy 1x n-es teacuteglalap melynek neacutegyzeteibe a jaacuteteacutekosok
felvaacuteltva X-et raknak uacutegy hogy az X jellel ellaacutetott cellaacutek szomszeacutedosak nem lehetnek vagyis
egy X melletti neacutegyzetbe maacutesik X nem keruumllhet Az nyer aki az utolsoacute jelet rakja
Ha jobban meggondoljuk a keacutet jaacuteteacutek megfelel egymaacutesnak Annyi a kuumlloumlnbseacuteg hogy az
itteni neacutegyzetek ott a 2x2-es neacutegyzetek felező vonalainak felelnek meg eacutes az itteni vaacutelasztoacute
raacutecsvonalak pedig a sziacutenezős jaacuteteacutek neacutegyzeteivel egyeznek meg Neacutezzuumlk az alaacutebbi 5 1 aacutebraacuten
szemleacuteltetett peacuteldaacutet
Dawsonrsquos Chess taacutebla egy lehetseacuteges veacutegaacutellaacutessal
A 2 jaacuteteacutek ugyanazt jelentő veacutegső aacutellaacutesa
51 aacutebra
Joacutel laacutethatoacute hogy a 2 jaacuteteacutekban a 2x2-es neacutegyzetek hataacutervonalai eacutepp a Dawsonrsquos Chess-
beli bdquotiltott mezőknekrdquo felelnek meg - amikben nem keruumllhet X jel mert szomszeacutedjukban
maacuter szerepel - mert egy ilyen hataacutervonalra nem eshet maacutesik 2x2-es neacutegyzet felezővonala
hisz akkor a neacutegyzetek takarnaacutek egymaacutest
Feacuteny deruumllt arra6 hogy ennek a jaacuteteacuteknak a Grundy-szaacutemaiboacutel aacutelloacute sorozat 34-es
periodicitaacutesuacute de az elejeacuten van heacutet kiveacutetel a 0 14 16 17 31 34 eacutes 51 helyen aacutelloacute szaacutemok
tekinteteacuteben Utaacutena beaacutell a valoacutedi periodicitaacutes Azok az aacutellaacutesok eacuterdekesek szaacutemunkra a
nyerő strateacutegia kutataacutesa kapcsaacuten melyek Grundy-szaacutema 0 mert ezek a vesztes aacutellaacutesok
Tehaacutet vesztes aacutellaacutesok az elejeacutetől kezdve 1 5 9 15 21 25 29 35 neacutegyzetet tartalmazoacute
kezdőaacutellaacutesok majd az 1 a 15 eacutes 35 kiveacuteteleacutevel ezek k ∙ 34-gyel vett oumlsszegei is vesztő
aacutellaacutesok lesznek a periodicitaacutes miatt
5 2 Jaacuteteacutekok korongokkal
A koumlvetkező jaacuteteacutek a [4] koumlnyvből szaacutermazik
6 Szinteacuten a httpsoeisorg weboldal hasznaacutelataacuteval
X X
24
5 Jaacuteteacutek Egy asztalon sorba 10 korong van lerakva melyeknek egyik oldala feheacuter maacutesik
fekete sziacutenű Ketten jaacutetszanak A soron koumlvetkező mindig kivaacutelaszt egy fekete oldalaacuteval
felfeleacute fekvő korongot majd azt eacutes az oumlsszes tőle jobbra leacutevőt aacutetfordiacutetja a maacutesik oldalaacutera
Akkor van veacutege a jaacuteteacuteknak ha mindegyik korongnak a feheacuter oldala van feluumll Az veszt aki
nem tud toumlbbet leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes hogyan tud győzni
A jaacuteteacutek kimenetele eacutes nyertese fuumlgg a kiindulaacutesi helyzettől Tekintsuumlk az alaacutebbi konkreacutet
kezdőaacutellaacutest (5 2 aacutebra)
5 2 aacutebra
A nyertes strateacutegia nem bonyolult sőt eleacuteg keacutezenfekvő ha belegondolunk tudniillik a
veacutegeredmeacuteny egyaacuteltalaacuten nem a jaacuteteacutekosok leacutepeacutesein muacutelik hanem csupaacuten az utolsoacute korong
sziacuteneacutetől fuumlgg Ugyanis egy korong az utolsoacute helyen aacutelloacute biztosan megfordul minden
leacutepeacutesben Ez leacutepeacutesenkeacutent vaacuteltakozva hol feheacuter hol fekete oldalaacuteval lesz feluumll miacuteg ki nem
alakul a veacutegső nyertes ndash oumlsszes feheacuter ndash aacutellaacutes Ha peacuteldaacuteul kezdetben fekete az utolsoacute
korong akkor az mindig a kezdő jaacuteteacutekos forgataacutesai nyomaacuten fog a feheacuter oldalaacuteval felfeleacute
keruumllni A jaacuteteacutek egyszer veacuteget eacuter eacutes tudjuk hogy az utolsoacute leacutepeacutes a kezdő jaacuteteacutekoseacute lesz
tehaacutet ő nyer Ellenkező esetben - ha a kezdő aacutellapotban feheacuter az utolsoacute korong - a maacutesodik
jaacuteteacutekoseacute a győzelem Tehaacutet teljesen mindegy haacuteny koronggal jaacutetszunk a győztest mindig
a sorban elhelyezett utolsoacute korong sziacutene fogja elaacuterulni Ha az a fekete oldalaacuteval felfeleacute
fekszik akkor a kezdő ha feheacuter sziacutene laacutetszik akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos nyer Iacutegy a fenti
jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
Ha feladatban moacutedosiacutetjuk kicsit a szabaacutelyokat akkor a megoldaacutes is bonyoloacutedik eacutes itt
maacuter fel kell hasznaacutelnunk a Grundy-szaacutemokat illetve a nim-oumlsszeget A koumlvetkező feladat
eacutes megoldaacutesi oumltlete [2] forraacutesboacutel szaacutermazik
6 Jaacuteteacutek Legyen ismeacutet 10 darab korongunk az asztalra sorba lehelyezve A jaacuteteacutekosok
keacutetfeacutele leacutepeacutest hajthatnak veacutegre vagy megfordiacutetanak egy fekete oldalaacuteval felfeleacute fekvő
korongot vagy keacutet korongot fordiacutetanak meg melyek koumlzuumll a jobbraacutebb levő fekte Az vesziacutet
aki nem tud toumlbbet leacutepni
25
A megoldaacutes veacutegett szaacutemozzuk meg a korongokat balroacutel jobbra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 3 aacutebra
Aacutelliacutetaacutes A 6 jaacuteteacutek egy aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema eacutepp a fekete sziacutenű korongok sorszaacutemaacutenak
nim-oumlsszege
Bizonyiacutetaacutes Alkossunk ebből a jaacuteteacutekboacutel Nim-jaacuteteacutekot a koumlvetkező keacuteppen Ha az i-edik
korong sziacutene fekete akkor tekintsuumlnk egy ekkora elemszaacutemuacute kupacot a Nim-jaacuteteacutekban ha
feheacuter sziacutenű egy korong akkor nincs ilyen kupacunk Ezzel egy szokaacutesos Nim-jaacuteteacutekot
kapunk Azeacutert tehetjuumlk meg ezt mert a leacutepeacutesek eacutepp ugyanazt eredmeacutenyezik mindkeacutet
jaacuteteacutekban amennyiben megfordiacutetunk egy fekete korongot az annak felel meg ha nim-
jaacuteteacutekban azt a kupacot teljes egeacuteszeacuteben elvesszuumlk eacutes megszűnik Ha egy feheacuter eacutes egy
fekete korongot fordiacutetunk meg melyek koumlzuumll a fekete a jobb oldali akkor azzal
egyeneacuterteacutekű mintha a nim-jaacuteteacutekban bizonyos szaacutemuacute kavicsot elvettuumlnk volna az addigi
kupacboacutel uacutegy hogy a feketeacutere fordiacutetott korong sorszaacutemaacutenak megfelelő kupacmeacuteretet
eacutertuumlnk el (Mert a bal oldali korong sorszaacutema kisebb eacutes iacutegy kisebb elemszaacutemuacute kupacot is
jelent) Tekintsuumlnk erre magyaraacutezatul egy peacuteldaacutet (5 4 aacutebra)
1 2 3
5 4 aacutebra
Ebben a kis jaacuteteacutekban illusztraacuteljuk a korongforgataacutesi leacutepeacutesek eacutes a Nim-jaacuteteacutek kapcsolataacutet
Tekintsuumlk ennek mintaacutejaacutera a 2 eacutes 3 elmeszaacutemuacute kupacokkal jaacutetszott Nim-jaacuteteacutekot
Vilaacutegosan laacutetszik hogy ha megfordiacutetjuk peacuteldaacuteul a 2 szaacutemuacute fekete sziacutenű korongot eacutes iacutegy
az feheacuter lesz akkor ez a leacutepeacutes megegyezik azzal hogy a Nim-jaacuteteacutekban egy leacutepeacutessel
eltuumlntetjuumlk a 2 elemű kupacot Keacutet szabaacutelyos helyzetű korong megfordiacutetaacutesaacuteval ndash legyenek
26
most ezek az 1 eacutes 2 szaacutemuacuteak ndash az 55-oumls aacutebraacuten laacutethatoacute aacutellaacutes joumln leacutetre ami ekvivalens a
Nim-jaacuteteacutek azon leacutepeacuteseacutevel hogy a 2 elemű kupacboacutel 1 kavicsot elveszuumlnk
1 2 3
5 5 aacutebra
Keacutet fekete korong megfordiacutetaacutesa keacutet kupac teljes elveacuteteleacutet jelenteneacute a Nimben ami ilyen
formaacuteban nem szabaacutelyos Azonban ha jobban meggondoljuk ez a leacutepeacutes jelentheti azt
hogy a nagyobb meacuteretű kupacboacutel elveszuumlnk annyi kavicsot hogy az egyenlő legyen a
kisebb elemszaacutemaacuteval mert a nim-oumlsszeadaacutes miatt keacutet azonos meacuteretű kupac nem
befolyaacutesolja az egeacutesz jaacuteteacutek Grundy-szaacutemaacutet azaz a keacutet kupac kiegyenliacuteteacuteseacutevel illetve
teljes elveacuteteluumlkkel kapott Nim-aacutellaacutesok Grundy-szaacutemai megegyeznek
Az 5 3 aacutebra alapjaacuten kialakult aacutellaacutes Grundy-szaacutema tehaacutet 3 10 = 10 A jaacuteteacutek
vesztő aacutellaacutesainak Grundy-szaacutema 0 azaz ha ilyen aacutellaacutesroacutel indul valaki az nem tud nyerni
Ebből a poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacutet keacutepezni csak a 10 elemű kupac teljes elveacuteteleacutevel
lehetseacuteges Tehaacutet a 10-es szaacutemuacute fekete korongot kell megfordiacutetani előszoumlr a
győzelemhez
5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
A most koumlvetkező haacuterom jaacuteteacutekkal a [2] cikkben talaacutelkoztam
7 Jaacuteteacutek (Rim-jaacuteteacutek) Adott neacutehaacuteny kupac kavics A kupacok egyikeacuteből elvehető
akaacutermennyi kavics de csak uacutegy hogy az elvett elemek szaacutema relatiacutev priacutem legyen az elveacutetel
előtti mennyiseacuteghez
Ez a jaacuteteacutek toumlbb egykupacos uacuten bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacuteknak oumlsszege A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek
egy n darab taacutergyat (kavicsot) tartalmazoacute kupacroacutel szoacutel amelyből k elemet vehetuumlnk el
ha k eacutes n relatiacutev priacutemek Ebből koumlvetkezik hogy 1-et mindig elvehetuumlnk az oumlsszes elemet
azonban sosem (mert n oumlnmagaacuteval nem relatiacutev priacutem) kiveacuteve ha 1 darab marad a
kupacban
Jeloumlljuumlk itt az i elemszaacutemuacute Rim-kupacok Grundy-szaacutemaacutet G(Ri)-vel Az első eacutes maacutesodik
Grundy-szaacutem koumlnnyen megmondhatoacute G0 = 0 eacutes G1 = mex (G0) = 1 Ha keacutet elemet
27
tartalmaz a kiindulaacutesi kupac akkor a szabaacutelynak megfelelően az egyetlen lehetőseacuteg 1
kavics elveacutetele ezeacutert G(R2) = mex (1) = 0 Haacuteromelemű kezdőkupacboacutel 1 eacutes 2 elemet is
elvehetuumlnk iacutegy kapjuk hogy G(R3) = mex (G(R1) G(R2) ) = mex (1 0) = 2 Neacutegy elem
eseteacuten G4 = mex (G1 G3) = 0 Hasonloacutean G5 = mex (G(R1) G(R2) G(R3) G(R4)) =
= mex (1 2 0 2) = 3 eacutes iacutegy tovaacutebb A koumlvetkező teacutetelben meghataacuterozzuk aacuteltalaacutenossaacutegban
G(Rn)-et
Teacutetel A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutekban minden paacuteros n elemszaacutemuacute kupacra G(Rn) = 0 valamint
n paacuteratlan elemszaacutem eseteacuten G(Rn) = k ha n legkisebb priacutemosztoacuteja a k-adik priacutemszaacutem (Az
első priacutemszaacutem a 2 maacutesodik a 3 stb)
Bizonyiacutetaacutes n-re vonatkozoacute teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk
a) ha n paacuteros Semelyik esetben sem lehet az egeacutesz kupacot elvenni kiveacuteve ha 1 kavics
marad a kupacban Laacutettuk hogy G(R0) = G2 = 0 Legyen n paacuteros Tegyuumlk fel hogy
minden n-neacutel nem nagyobb paacuteros k szaacutemra G(Rk) = 0 Laacutessuk be ezt (n+2)-re is Mivel
egy paacuteros szaacutem semelyik maacutesik paacuteros szaacutemmal sem relatiacutev priacutem ezeacutert paacuteros darab
kavicsot nem vehetuumlnk el a kupacboacutel ennek okaacuten uacutejabb paacuteros elemszaacutemuacute aacutellaacutes sem
joumlhet leacutetre Paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac ugyan lehet (n+2) kiszomszeacutedja de annak
Grundy-szaacutema biztosan nem 0 mert 1 kavicsot baacutermelyik aacutellaacutesboacutel elvehetuumlnk iacutegy lesz
a paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt n-neacutel nem nagyobb paacuteros elemszaacutemuacute
kupac aminek Grundy-szaacutema 0 Tehaacutet (n+2) elemet tartalmazoacute kupac raacutekoumlvetkezői
koumlzoumltt nem lesz 0 Grundy-szaacutemuacute iacutegy azok legkisebb kizaacutertja eacutepp a 0
b) ha n paacuteratlan Tudjuk hogy G1 = 1 eacutes azt is laacutettuk hogy G3 = 2 Itt is teljes indukcioacutet
hasznaacutelunk Tegyuumlk fel hogy igaz a fenti aacutelliacutetaacutes minden paacuteratlan n-re Bizonyiacutetsuk be
hogy ez az n+2 paacuteratlan szaacutemra is oumlroumlklődik Legyen n+2 legkisebb priacutemosztoacuteja p eacutes
annak sorszaacutema k Ahhoz hogy belaacutessuk hogy Gn+2 = k keacutet dologra van szuumlkseacuteg
1) Minden k-naacutel kisebb szaacutem előfordul az n+2 elemszaacutemuacute aacutellaacutes valamely
kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutemakeacutent
2) Az n+2 elemű kupac egyik kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutema sem k
1) igazolaacutesa 1-et eacutes n+1-et mindig leacutephetuumlnk tehaacutet 1 eacutes 0 Grundy-szaacutemuacute
raacutekoumlvetkezője minden aacutellaacutesnak van Legyen q egy tetszőleges p-neacutel kisebb priacutem ndash
ennek sorszaacutema k-naacutel kisebb eacutes az indukcioacute szerint a q elemű aacutellaacutes Grundy-szaacutema eacutepp
a q sorszaacutema Ekkor meg kell mutatnunk hogy n+2ndashből aminek legkisebb
priacutemosztoacuteja p a q elemszaacutemuacute kupacba leacutepeacutes szabaacutelyos Ez azeacutert igaz mert a
28
jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek
nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek
elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash
hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert
kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute
kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes
2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m
elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb
priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt
k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek
A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő
strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk
8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad
kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja
legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is
elvehetjuumlk)
Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő
tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz
melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk
Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean
G(Di)
Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1
Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva
laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek
bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1
29
1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i
2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan
1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute
kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute
kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei
azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet
elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =
21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i
2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet
eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n
raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l
paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1
Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban
ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra
G(Da) = 0 + 1 = 1
Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek
9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az
egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a
Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya
szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)
Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg
Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal
Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon
mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)
= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet
a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5
kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre
30
11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik
kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az
nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi
Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-
ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet
Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik
jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem
hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy
speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok
bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A
Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő
nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk
valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval
deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek
a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)
stb kupacmeacuteretek
Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt
de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt
5 4 Fibonacci-nim
A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik
13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el
kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve
utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint
amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben
Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz
szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa
előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban
31
Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat
i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2
Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a
koumlvetkező taacuteblaacutezat
Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok
Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő
Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok
oumlsszegeacutere
Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899
Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel
hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga
Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem
akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-
szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert
119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa
kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem
Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele
keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen
Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip
Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel
minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok
legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot
vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)
7 [1] alapjaacuten
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
12
3 Fejezet Kupacos jaacuteteacutekok
Koumlzkedvelt matematikai jaacuteteacutekok a kupacokba vagy halmokba rendezett taacutergyak
(kavicsok gyufaacutek korongok stb) alkotta jaacuteteacutekok melyekben kuumlloumlnboumlző szabaacutelyok
szerint szabad elvenni bizonyos szaacutemuacute elemet Ebben a fejezetben kupacokba rendezett
kavicsokroacutel lesz szoacute Tovaacutebbra is a joacute strateacutegia megtalaacutelaacutesa a ceacutel
3 1 Egyszerű egykupacos jaacuteteacutek
4 Jaacuteteacutek Egy kupacban 21 kavics van Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva 1 2 vagy 3
darabot vehetnek el Ez normaacutel jaacuteteacutek vagyis az nyer aki az utolsoacute(ka)t veszi el Kinek
van nyerő strateacutegiaacuteja
Visszafele gondolkodva aki előtt maacuter csak 3 vagy kevesebb korong lesz az meg tudja
nyerni a jaacuteteacutekot hiszen a legfeljebb 3 korongot elvehet Ez nyerő aacutellaacutes A 4 darab kavics
ugyanebből a megfontolaacutesboacutel vesztes aacutellaacutes hiszen akaacuterhaacuteny (1 2 vagy 3) darabot veszuumlnk
is el ellenfeluumlnk elveheti a maradeacutekot eacutes ezzel nyer Tovaacutebbgondolva minden 4∙k (k =
0 1hellip n) darab kavics vesztes aacutellaacutes mert abboacutel leacutepve az elemek szaacutemaacutenak neacuteggyel
oszthatoacutesaacutega nem megtarthatoacute tehaacutet vesztes aacutellaacutesboacutel vesztes aacutellaacutesba nem lehet leacutepni
viszont baacutermely maacutes esetből meg lehet jaacutetszani azokat Speciaacutelisan itt a vesztes aacutellaacutesok
4 8 12 16 20 db korong Ennek megfelelően 21 kavics eseteacuten a kezdő jaacuteteacutekosnak van
nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig előszoumlr 20-ra csoumlkkentve a kavicsok szaacutemaacutet
Eacuterdemes meggondolni ezt a feladatot aacuteltalaacutenosabban is
4 Jaacuteteacutek aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa Adott egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el 1-
től m darabig akaacuterhaacuteny kavicsot Az veszt aki nem tud leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja
eacutes mi az
Aacutelliacutetaacutes Ha m + 1 | n akkor a kezdő jaacuteteacutekos vesziacutet ellenkező esetben viszont neki van
nyerő strateacutegiaacuteja
Bizonyiacutetaacutes Ebben a jaacuteteacutekban biztosan az nyer akinek előszoumlr sikeruumll (m+1)-gyel
oszthatoacute elemszaacutemba leacutepni Ilyen helyzetből indulva baacuterhogyan is leacutepuumlnk nem tudunk
uacutejabb (m+1)-gyel oszthatoacutevaacute tenni a kupac meacutereteacutet miacuteg ellenfeluumlnk ndash akaacuterhogyan is
leacuteptuumlnk ndash a koumlvetkező koumlrben csoumlkkenteni tudja az elemszaacutemot uacutejabb (m+1)-gyel
oszthatoacutevaacute Vegyuumlk eacuteszre hogy a 0 veacutegső vesztes aacutellaacutes is oszthatoacute (m+1)-gyel Ezek
13
eacutertelmeacuteben minden (m + 1) ∙ k (k = 0hellipn) darab korong eseteacuten alakul ki vesztes aacutellaacutes
Tehaacutet aki ebből keacutenyszeruumll leacutepni az vesziacutet
Ha a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesakor a kupac meacutereteacutet osztja (m+1) akkor ugyanebből a
meggondolaacutesboacutel koumlvetkezik hogy a kezdő jaacuteteacutekos nem tud nyerni
Tovaacutebbra is kupacokkal eacutes azokboacutel aacutelloacute feladatokkal foglalkozunk A koumlvetkezőkben egy
aacuteltalaacutenosabb jaacuteteacutekcsoportroacutel lesz szoacute
3 2 Nim-jaacuteteacutek eacutes nim-oumlsszeadaacutes
A Nim-jaacuteteacutek Kiacutenaacuteboacutel szaacutermazoacute ma maacuter szeacuteles koumlrben ismert matematikai jaacuteteacutek A
menete a koumlvetkező
Nim-jaacuteteacutek adott n db kupac melyek rendre a1 a2 a3hellip an darab kavicsot tartalmaznak
Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva vesznek el akaacuterhaacuteny de legalaacutebb 1 kavicsot valamelyik
tetszőleges kupacboacutel Az nyer aki az utolsoacute kavicsot elveszi Keacuterdeacutes hogy kinek van nyerő
strateacutegiaacuteja
Ezek vagy az ehhez hasonloacute feladvaacutenyok megoldaacutesaacuteban segiacutetseacuteguumlnkre lesz egy uacutej
fogalom a bdquonim-oumlsszeadaacutesrdquo
Definiacutecioacute (nim-oumlsszeadaacutes) Vegyuumlk a nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemok halmazaacutet eacutes azon uacutegy
eacutertelmezzuumlk a nim-oumlsszeadaacutest hogy elemeit kettes szaacutemrendszerbeli alakjukban feliacuterva
adjuk oumlssze modulo 2 azaz nem toumlrődve az egyes helyieacuterteacutekeken adoacutedoacute maradeacutekokkal
Peacutelda 12 25 = 21 hiszen 11002 + 110012 = 101012
Vilaacutegosabbaacute vaacutelik a nim-oumlsszeadaacutes ha a szokaacutesos moacutedon egymaacutes alaacute iacuterva adjuk oumlssze
őket
11002
110012
101012
Ezt a definiacutecioacutet meggondolhatjuk maacuteskeacuteppen is
Definiacutecioacute Jeloumllje 119917120784 a keacutetelemű testet (azaz a modulo 2 szaacutemkoumlrt) eacutes legyen 119917120784infin ennek
veacutegtelen diszkreacutet direktszorzata vagyis az a veacutegtelen dimenzioacutes vektorteacuter amelyben olyan
14
0 eacutes 1 koordinaacutetaacutekat tartalmazoacute vektorok vannak melyekben csak veacuteges sok 1-es szaacutem
szerepel
Tekintsuumlk a koumlvetkező koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű megfelelteteacutest N eacutes 119917120784infin koumlzoumltt iacuterjunk
fel egy adott szaacutemot kettes szaacutemrendszerben de fordiacutetott sorrendben azaz jobbroacutel balra
Vegyuumlk azt a veacutegtelen hosszuacute vektort melynek az első koordinaacutetaacutei eacuteppen ennek a
szaacutemnak a bdquofordiacutetottrdquo kettes szaacutemrendszerbeli alakjaacutenak szaacutemjegyeivel egyezik meg
majd ezeket veacutegtelen sok nulla koumlveti Ez egy egyeacutertelmű megfelelteteacutest ad N eacutes 119917120784infin
elemei koumlzoumltt hiszen egy szaacutem egyetlen vektornak felel meg Azaz ha
119899 = sum 119886119894 ∙ 2119894infin119894=0 ahol 119886119894= 0 vagy 1 akkor az ennek megfelelő vektor (1198860 1198861 1198862 )
Teacutetel A nim-oumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot
Bizonyiacutetaacutes Tudjuk hogy a vektoroumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot Az előzőekben adott
egyeacutertelmű megfelelteteacutessel laacutethatoacute hogy az 119917120784infin-beli veacutegtelen hosszuacute vektorok
oumlsszeadaacutesa eacutes a nim-oumlsszeadaacutes ekvivalens művelet ezeacutert a nim-oumlsszeadaacutes is Aacutebel-
csoportot alkot
A nim-oumlsszeadaacutes tovaacutebbi tulajdonsaacutegai
1 Aacutelliacutetaacutes Minden a szaacutemra a a = 0
Bizonyiacutetaacutes Nem neheacutez meggondolni hogy ha a kettes szaacutemrendszerben keacutet azonos
szaacutemot adunk nim-oumlssze akkor mivel abban az 1-esek eacutes 0-k ugyanazon a helyieacuterteacuteken
aacutellnak az oumlsszeadaacutesukkor azok mind lenullaacutezoacutednak (1 + 1 = 0 + 0 = 0)
2 Aacutelliacutetaacutes Tetszőleges a eacutes b pozitiacutev egeacuteszekre teljesuumll 0 le a b le a + b
Ezt nem bizonyiacutetom de veacutegiggondolhatoacute
3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja
Az egykupacos Nim-jaacuteteacutek nagyon egyszerű nem is nevezhető jaacuteteacuteknak hiszen a kezdő
jaacuteteacutekos elsőre felmarkolhatja az egeacutesz kupacot eacutes veacutege a jaacuteteacuteknak Nem ilyen koumlnnyű
elsőre aacutetlaacutetni a toumlbb kupacos normaacutel Nim-jaacuteteacutekot
Vezessuumlk be a Nim(a1 a2hellip an) jeloumlleacutest arra az n kupacos Nim-jaacuteteacutekra ahol a1
a2hellip an a kuumlloumlnboumlző kupacok elemszaacutema
15
Teacutetel
1) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek kupacmeacutereteinek nim-oumlsszege a1 a2 hellip an ne 0
akkor biztosan leacutetezik olyan leacutepeacutes hogy a kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra
a1rsquo a2rsquohellip anrsquo = 0
2) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekban a1 a2 hellip an = 0 akkor baacutermely leacutepeacutes utaacuten a
kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra a nim-oumlsszeg a1rsquo a2rsquohellip anrsquo 0
Bizonyiacutetaacutes
1) Előszoumlr iacuterjuk fel egymaacutes alaacute a kupacok meacutereteacutet kettes szaacutemrendszerben eacutes adjuk oumlssze
őket nim szerint A ceacutelunk az hogy ezt a kapott oumlsszeget olyan moacutedon 0-ra tudjuk
vaacuteltoztatni ami megfeleltethető egy jaacuteteacutekbeli leacutepeacutessel Ehhez keressuumlk meg azt a
legnagyobb helyieacuterteacuteket (vagyis balroacutel az első olyan oszlopot) ahol paacuteratlan sok 1-es
szerepel - ugyanis ezen a helyieacuterteacuteken a nim-oumlsszegben is 1-es fog szerepelni - eacutes
vaacutelasszuk ki ebből az egyik 1-est legyen ez ai feliacuteraacutesaacuteban Most vaacuteltoztassuk meg ezt
az 1-est 0-ra eacutes ai ettől jobbra leacutevő binaacuteris szaacutemjegyeit is csereacuteljuumlk 1-esre vagy 0-ra
uacutegy hogy veacuteguumll az egeacutesz oumlsszeg 0-ra csoumlkkenjen (Ez megtehető eacutes ezt akkor eacuterjuumlk
el ha minden oszlopban paacuteros szaacutemuacute 1-es lesz) Ezzel a leacutepeacutessel aacuteteacutertuumlnk a Nim(a1rsquo
a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra ahol aj = aj kiveacuteve j = i-re eacutes ebben 0 a nim-oumlsszeg A
feliacuteraacutesban egy sor a jaacuteteacutekban egy kupac elemszaacutemaacutenak felel meg eacutes egy tetszőleges
sort alkotoacute szaacutem csoumlkkenteacutese valamennyivel ekvivalens azzal hogy a neki megfelelő
kupacboacutel ugyanennyi elemet elveszuumlnk Maacuter csak azt kell belaacutetnunk hogy az eljaacuteraacutes
soraacuten valoacuteban az egyik kupac elemszaacutemaacutet csoumlkkentettuumlk (nem noumlveltuumlk) tehaacutet leacutetezik
ilyen leacutepeacutes Ezt nem neheacutez meggondolni mert a legnagyobb helyieacuterteacuteken aacutelloacute 1-est 0-
ra csereacuteltuumlk ndash legyen ez a 2k helyieacuterteacutek ndash eacutes moumlgoumltte a vaacuteltoztataacutesok utaacuten legfeljebb k
-1 darab 1-es aacutellhat melyek eacuterteacuteke tiacutezes szaacutemrendszerben legfeljebb 1 + 2 + 4 + 8 +
+ 2k-1 = 2kndash1 ami biztosan kisebb az előző szaacutemnaacutel Tehaacutet a leiacutert leacutepeacutesek soraacuten valoacuteban
csoumlkkentettuumlk a kupacok meacutereteacutet
Ezt a bizonyiacutetaacutest egeacutesz egyszerűen aacutet lehet gondolni az előzőek alapjaacuten Laacutettuk hogy
a jaacuteteacutek leacutepeacuteseit hogyan tudjuk maacuteskeacutepp leiacuterni elveacutegezni A levezeteacutesből laacutetszik az
hogy 0 nim-oumlsszegből uacutejabb 0 nim-oumlsszegű aacutellaacutest nem tudunk eleacuterni
a1 a2 hellip an = 0 eseteacuten semelyik oszlopban sem lesz paacuteratlan szaacutemuacute 1-es amit
megcsereacutelve joacutel jaacuternaacutenk viszont egy sorban legalaacutebb egy szaacutemot ki kell csereacutelnuumlnk
mert leacutepni muszaacutej Tehaacutet lesz olyan oszlop a leacutepeacutesuumlnk utaacuten melyben paacuteratlan szaacutemuacute
1-es fog aacutellni iacutegy az oumlsszegben is legalaacutebb egy 1-es szerepelni fog
16
Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő
jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege
a1 a2 hellip an ne 0
Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző
teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire
a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet
uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig
fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb
Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud
leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok
Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy
leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is
oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot
jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti
Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti
egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot
Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor
jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen
oumlsszegjaacuteteacutek
sum 119869119894
119899
119868=0
ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet
kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)
Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege
is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek
17
Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg
azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat
Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban
van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz
Bizonyiacutetaacutes
Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva
a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az
bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha
ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik
jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat
b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik
jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő
jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja
szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az
oumlsszeguumlket is
Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala
kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha
első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer
Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg
hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk
az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes
kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű
paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri
a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot
Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező
fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet
18
4 Fejezet Grundy-szaacutemok
A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy
szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni
Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges
jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely
aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az
aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely
adta lehetőseacutegek koumlzuumll
Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű
jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel
1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az
ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel
ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat
leacutepeacuteseket) ismeruumlnk
2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal
leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket
tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek
3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul
annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok
hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak
A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban
nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni
Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia
megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a
toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező
fogalomra
19
Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb
nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt
Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)
Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot
az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de
roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van
Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs
raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden
raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb
kizaacutertja
Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema
Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben
semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute
aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan
raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne
ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb
kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli
raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten
nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute
veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol
minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak
Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok
ciklusmentesseacutegeacutenek
Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema
2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese
3 A [2] cikk alapjaacuten
20
Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos
Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek
Grundy-szaacutemai
Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb
nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-
szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i
a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak
egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk
ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy
G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema
G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be
hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes
felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem
maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1
Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok
illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az
alaacutebbiak
1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0
2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0
3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0
Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja
ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0
Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben
van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek
koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal
vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)
tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel
4 [2] cikk alapjaacuten
21
leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben
megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet
Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud
mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy
ő nyeri a jaacuteteacutekot
Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-
szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)
Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0
Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn
direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)
Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti
indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes
aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)
valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra
maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb
a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel
Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)
raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy
minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy
a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat
oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek
vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden
A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban
oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom
22
5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute
jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok
hasznaacutelata
5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai
Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő
egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti
darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok
Grundy-szaacutemai
Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-
szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő
Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen
innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk
= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz
vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet
el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan
ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute
Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)
vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet
Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent
meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes
strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait
Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem
Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik
ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a
koumlvetkező
5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy
bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek
Grundy-szaacutemaival
23
10 Jaacuteteacutek (Dawsonrsquos Chess) Adott egy 1x n-es teacuteglalap melynek neacutegyzeteibe a jaacuteteacutekosok
felvaacuteltva X-et raknak uacutegy hogy az X jellel ellaacutetott cellaacutek szomszeacutedosak nem lehetnek vagyis
egy X melletti neacutegyzetbe maacutesik X nem keruumllhet Az nyer aki az utolsoacute jelet rakja
Ha jobban meggondoljuk a keacutet jaacuteteacutek megfelel egymaacutesnak Annyi a kuumlloumlnbseacuteg hogy az
itteni neacutegyzetek ott a 2x2-es neacutegyzetek felező vonalainak felelnek meg eacutes az itteni vaacutelasztoacute
raacutecsvonalak pedig a sziacutenezős jaacuteteacutek neacutegyzeteivel egyeznek meg Neacutezzuumlk az alaacutebbi 5 1 aacutebraacuten
szemleacuteltetett peacuteldaacutet
Dawsonrsquos Chess taacutebla egy lehetseacuteges veacutegaacutellaacutessal
A 2 jaacuteteacutek ugyanazt jelentő veacutegső aacutellaacutesa
51 aacutebra
Joacutel laacutethatoacute hogy a 2 jaacuteteacutekban a 2x2-es neacutegyzetek hataacutervonalai eacutepp a Dawsonrsquos Chess-
beli bdquotiltott mezőknekrdquo felelnek meg - amikben nem keruumllhet X jel mert szomszeacutedjukban
maacuter szerepel - mert egy ilyen hataacutervonalra nem eshet maacutesik 2x2-es neacutegyzet felezővonala
hisz akkor a neacutegyzetek takarnaacutek egymaacutest
Feacuteny deruumllt arra6 hogy ennek a jaacuteteacuteknak a Grundy-szaacutemaiboacutel aacutelloacute sorozat 34-es
periodicitaacutesuacute de az elejeacuten van heacutet kiveacutetel a 0 14 16 17 31 34 eacutes 51 helyen aacutelloacute szaacutemok
tekinteteacuteben Utaacutena beaacutell a valoacutedi periodicitaacutes Azok az aacutellaacutesok eacuterdekesek szaacutemunkra a
nyerő strateacutegia kutataacutesa kapcsaacuten melyek Grundy-szaacutema 0 mert ezek a vesztes aacutellaacutesok
Tehaacutet vesztes aacutellaacutesok az elejeacutetől kezdve 1 5 9 15 21 25 29 35 neacutegyzetet tartalmazoacute
kezdőaacutellaacutesok majd az 1 a 15 eacutes 35 kiveacuteteleacutevel ezek k ∙ 34-gyel vett oumlsszegei is vesztő
aacutellaacutesok lesznek a periodicitaacutes miatt
5 2 Jaacuteteacutekok korongokkal
A koumlvetkező jaacuteteacutek a [4] koumlnyvből szaacutermazik
6 Szinteacuten a httpsoeisorg weboldal hasznaacutelataacuteval
X X
24
5 Jaacuteteacutek Egy asztalon sorba 10 korong van lerakva melyeknek egyik oldala feheacuter maacutesik
fekete sziacutenű Ketten jaacutetszanak A soron koumlvetkező mindig kivaacutelaszt egy fekete oldalaacuteval
felfeleacute fekvő korongot majd azt eacutes az oumlsszes tőle jobbra leacutevőt aacutetfordiacutetja a maacutesik oldalaacutera
Akkor van veacutege a jaacuteteacuteknak ha mindegyik korongnak a feheacuter oldala van feluumll Az veszt aki
nem tud toumlbbet leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes hogyan tud győzni
A jaacuteteacutek kimenetele eacutes nyertese fuumlgg a kiindulaacutesi helyzettől Tekintsuumlk az alaacutebbi konkreacutet
kezdőaacutellaacutest (5 2 aacutebra)
5 2 aacutebra
A nyertes strateacutegia nem bonyolult sőt eleacuteg keacutezenfekvő ha belegondolunk tudniillik a
veacutegeredmeacuteny egyaacuteltalaacuten nem a jaacuteteacutekosok leacutepeacutesein muacutelik hanem csupaacuten az utolsoacute korong
sziacuteneacutetől fuumlgg Ugyanis egy korong az utolsoacute helyen aacutelloacute biztosan megfordul minden
leacutepeacutesben Ez leacutepeacutesenkeacutent vaacuteltakozva hol feheacuter hol fekete oldalaacuteval lesz feluumll miacuteg ki nem
alakul a veacutegső nyertes ndash oumlsszes feheacuter ndash aacutellaacutes Ha peacuteldaacuteul kezdetben fekete az utolsoacute
korong akkor az mindig a kezdő jaacuteteacutekos forgataacutesai nyomaacuten fog a feheacuter oldalaacuteval felfeleacute
keruumllni A jaacuteteacutek egyszer veacuteget eacuter eacutes tudjuk hogy az utolsoacute leacutepeacutes a kezdő jaacuteteacutekoseacute lesz
tehaacutet ő nyer Ellenkező esetben - ha a kezdő aacutellapotban feheacuter az utolsoacute korong - a maacutesodik
jaacuteteacutekoseacute a győzelem Tehaacutet teljesen mindegy haacuteny koronggal jaacutetszunk a győztest mindig
a sorban elhelyezett utolsoacute korong sziacutene fogja elaacuterulni Ha az a fekete oldalaacuteval felfeleacute
fekszik akkor a kezdő ha feheacuter sziacutene laacutetszik akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos nyer Iacutegy a fenti
jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
Ha feladatban moacutedosiacutetjuk kicsit a szabaacutelyokat akkor a megoldaacutes is bonyoloacutedik eacutes itt
maacuter fel kell hasznaacutelnunk a Grundy-szaacutemokat illetve a nim-oumlsszeget A koumlvetkező feladat
eacutes megoldaacutesi oumltlete [2] forraacutesboacutel szaacutermazik
6 Jaacuteteacutek Legyen ismeacutet 10 darab korongunk az asztalra sorba lehelyezve A jaacuteteacutekosok
keacutetfeacutele leacutepeacutest hajthatnak veacutegre vagy megfordiacutetanak egy fekete oldalaacuteval felfeleacute fekvő
korongot vagy keacutet korongot fordiacutetanak meg melyek koumlzuumll a jobbraacutebb levő fekte Az vesziacutet
aki nem tud toumlbbet leacutepni
25
A megoldaacutes veacutegett szaacutemozzuk meg a korongokat balroacutel jobbra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 3 aacutebra
Aacutelliacutetaacutes A 6 jaacuteteacutek egy aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema eacutepp a fekete sziacutenű korongok sorszaacutemaacutenak
nim-oumlsszege
Bizonyiacutetaacutes Alkossunk ebből a jaacuteteacutekboacutel Nim-jaacuteteacutekot a koumlvetkező keacuteppen Ha az i-edik
korong sziacutene fekete akkor tekintsuumlnk egy ekkora elemszaacutemuacute kupacot a Nim-jaacuteteacutekban ha
feheacuter sziacutenű egy korong akkor nincs ilyen kupacunk Ezzel egy szokaacutesos Nim-jaacuteteacutekot
kapunk Azeacutert tehetjuumlk meg ezt mert a leacutepeacutesek eacutepp ugyanazt eredmeacutenyezik mindkeacutet
jaacuteteacutekban amennyiben megfordiacutetunk egy fekete korongot az annak felel meg ha nim-
jaacuteteacutekban azt a kupacot teljes egeacuteszeacuteben elvesszuumlk eacutes megszűnik Ha egy feheacuter eacutes egy
fekete korongot fordiacutetunk meg melyek koumlzuumll a fekete a jobb oldali akkor azzal
egyeneacuterteacutekű mintha a nim-jaacuteteacutekban bizonyos szaacutemuacute kavicsot elvettuumlnk volna az addigi
kupacboacutel uacutegy hogy a feketeacutere fordiacutetott korong sorszaacutemaacutenak megfelelő kupacmeacuteretet
eacutertuumlnk el (Mert a bal oldali korong sorszaacutema kisebb eacutes iacutegy kisebb elemszaacutemuacute kupacot is
jelent) Tekintsuumlnk erre magyaraacutezatul egy peacuteldaacutet (5 4 aacutebra)
1 2 3
5 4 aacutebra
Ebben a kis jaacuteteacutekban illusztraacuteljuk a korongforgataacutesi leacutepeacutesek eacutes a Nim-jaacuteteacutek kapcsolataacutet
Tekintsuumlk ennek mintaacutejaacutera a 2 eacutes 3 elmeszaacutemuacute kupacokkal jaacutetszott Nim-jaacuteteacutekot
Vilaacutegosan laacutetszik hogy ha megfordiacutetjuk peacuteldaacuteul a 2 szaacutemuacute fekete sziacutenű korongot eacutes iacutegy
az feheacuter lesz akkor ez a leacutepeacutes megegyezik azzal hogy a Nim-jaacuteteacutekban egy leacutepeacutessel
eltuumlntetjuumlk a 2 elemű kupacot Keacutet szabaacutelyos helyzetű korong megfordiacutetaacutesaacuteval ndash legyenek
26
most ezek az 1 eacutes 2 szaacutemuacuteak ndash az 55-oumls aacutebraacuten laacutethatoacute aacutellaacutes joumln leacutetre ami ekvivalens a
Nim-jaacuteteacutek azon leacutepeacuteseacutevel hogy a 2 elemű kupacboacutel 1 kavicsot elveszuumlnk
1 2 3
5 5 aacutebra
Keacutet fekete korong megfordiacutetaacutesa keacutet kupac teljes elveacuteteleacutet jelenteneacute a Nimben ami ilyen
formaacuteban nem szabaacutelyos Azonban ha jobban meggondoljuk ez a leacutepeacutes jelentheti azt
hogy a nagyobb meacuteretű kupacboacutel elveszuumlnk annyi kavicsot hogy az egyenlő legyen a
kisebb elemszaacutemaacuteval mert a nim-oumlsszeadaacutes miatt keacutet azonos meacuteretű kupac nem
befolyaacutesolja az egeacutesz jaacuteteacutek Grundy-szaacutemaacutet azaz a keacutet kupac kiegyenliacuteteacuteseacutevel illetve
teljes elveacuteteluumlkkel kapott Nim-aacutellaacutesok Grundy-szaacutemai megegyeznek
Az 5 3 aacutebra alapjaacuten kialakult aacutellaacutes Grundy-szaacutema tehaacutet 3 10 = 10 A jaacuteteacutek
vesztő aacutellaacutesainak Grundy-szaacutema 0 azaz ha ilyen aacutellaacutesroacutel indul valaki az nem tud nyerni
Ebből a poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacutet keacutepezni csak a 10 elemű kupac teljes elveacuteteleacutevel
lehetseacuteges Tehaacutet a 10-es szaacutemuacute fekete korongot kell megfordiacutetani előszoumlr a
győzelemhez
5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
A most koumlvetkező haacuterom jaacuteteacutekkal a [2] cikkben talaacutelkoztam
7 Jaacuteteacutek (Rim-jaacuteteacutek) Adott neacutehaacuteny kupac kavics A kupacok egyikeacuteből elvehető
akaacutermennyi kavics de csak uacutegy hogy az elvett elemek szaacutema relatiacutev priacutem legyen az elveacutetel
előtti mennyiseacuteghez
Ez a jaacuteteacutek toumlbb egykupacos uacuten bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacuteknak oumlsszege A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek
egy n darab taacutergyat (kavicsot) tartalmazoacute kupacroacutel szoacutel amelyből k elemet vehetuumlnk el
ha k eacutes n relatiacutev priacutemek Ebből koumlvetkezik hogy 1-et mindig elvehetuumlnk az oumlsszes elemet
azonban sosem (mert n oumlnmagaacuteval nem relatiacutev priacutem) kiveacuteve ha 1 darab marad a
kupacban
Jeloumlljuumlk itt az i elemszaacutemuacute Rim-kupacok Grundy-szaacutemaacutet G(Ri)-vel Az első eacutes maacutesodik
Grundy-szaacutem koumlnnyen megmondhatoacute G0 = 0 eacutes G1 = mex (G0) = 1 Ha keacutet elemet
27
tartalmaz a kiindulaacutesi kupac akkor a szabaacutelynak megfelelően az egyetlen lehetőseacuteg 1
kavics elveacutetele ezeacutert G(R2) = mex (1) = 0 Haacuteromelemű kezdőkupacboacutel 1 eacutes 2 elemet is
elvehetuumlnk iacutegy kapjuk hogy G(R3) = mex (G(R1) G(R2) ) = mex (1 0) = 2 Neacutegy elem
eseteacuten G4 = mex (G1 G3) = 0 Hasonloacutean G5 = mex (G(R1) G(R2) G(R3) G(R4)) =
= mex (1 2 0 2) = 3 eacutes iacutegy tovaacutebb A koumlvetkező teacutetelben meghataacuterozzuk aacuteltalaacutenossaacutegban
G(Rn)-et
Teacutetel A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutekban minden paacuteros n elemszaacutemuacute kupacra G(Rn) = 0 valamint
n paacuteratlan elemszaacutem eseteacuten G(Rn) = k ha n legkisebb priacutemosztoacuteja a k-adik priacutemszaacutem (Az
első priacutemszaacutem a 2 maacutesodik a 3 stb)
Bizonyiacutetaacutes n-re vonatkozoacute teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk
a) ha n paacuteros Semelyik esetben sem lehet az egeacutesz kupacot elvenni kiveacuteve ha 1 kavics
marad a kupacban Laacutettuk hogy G(R0) = G2 = 0 Legyen n paacuteros Tegyuumlk fel hogy
minden n-neacutel nem nagyobb paacuteros k szaacutemra G(Rk) = 0 Laacutessuk be ezt (n+2)-re is Mivel
egy paacuteros szaacutem semelyik maacutesik paacuteros szaacutemmal sem relatiacutev priacutem ezeacutert paacuteros darab
kavicsot nem vehetuumlnk el a kupacboacutel ennek okaacuten uacutejabb paacuteros elemszaacutemuacute aacutellaacutes sem
joumlhet leacutetre Paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac ugyan lehet (n+2) kiszomszeacutedja de annak
Grundy-szaacutema biztosan nem 0 mert 1 kavicsot baacutermelyik aacutellaacutesboacutel elvehetuumlnk iacutegy lesz
a paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt n-neacutel nem nagyobb paacuteros elemszaacutemuacute
kupac aminek Grundy-szaacutema 0 Tehaacutet (n+2) elemet tartalmazoacute kupac raacutekoumlvetkezői
koumlzoumltt nem lesz 0 Grundy-szaacutemuacute iacutegy azok legkisebb kizaacutertja eacutepp a 0
b) ha n paacuteratlan Tudjuk hogy G1 = 1 eacutes azt is laacutettuk hogy G3 = 2 Itt is teljes indukcioacutet
hasznaacutelunk Tegyuumlk fel hogy igaz a fenti aacutelliacutetaacutes minden paacuteratlan n-re Bizonyiacutetsuk be
hogy ez az n+2 paacuteratlan szaacutemra is oumlroumlklődik Legyen n+2 legkisebb priacutemosztoacuteja p eacutes
annak sorszaacutema k Ahhoz hogy belaacutessuk hogy Gn+2 = k keacutet dologra van szuumlkseacuteg
1) Minden k-naacutel kisebb szaacutem előfordul az n+2 elemszaacutemuacute aacutellaacutes valamely
kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutemakeacutent
2) Az n+2 elemű kupac egyik kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutema sem k
1) igazolaacutesa 1-et eacutes n+1-et mindig leacutephetuumlnk tehaacutet 1 eacutes 0 Grundy-szaacutemuacute
raacutekoumlvetkezője minden aacutellaacutesnak van Legyen q egy tetszőleges p-neacutel kisebb priacutem ndash
ennek sorszaacutema k-naacutel kisebb eacutes az indukcioacute szerint a q elemű aacutellaacutes Grundy-szaacutema eacutepp
a q sorszaacutema Ekkor meg kell mutatnunk hogy n+2ndashből aminek legkisebb
priacutemosztoacuteja p a q elemszaacutemuacute kupacba leacutepeacutes szabaacutelyos Ez azeacutert igaz mert a
28
jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek
nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek
elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash
hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert
kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute
kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes
2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m
elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb
priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt
k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek
A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő
strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk
8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad
kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja
legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is
elvehetjuumlk)
Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő
tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz
melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk
Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean
G(Di)
Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1
Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva
laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek
bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1
29
1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i
2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan
1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute
kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute
kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei
azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet
elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =
21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i
2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet
eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n
raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l
paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1
Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban
ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra
G(Da) = 0 + 1 = 1
Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek
9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az
egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a
Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya
szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)
Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg
Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal
Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon
mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)
= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet
a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5
kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre
30
11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik
kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az
nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi
Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-
ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet
Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik
jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem
hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy
speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok
bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A
Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő
nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk
valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval
deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek
a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)
stb kupacmeacuteretek
Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt
de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt
5 4 Fibonacci-nim
A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik
13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el
kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve
utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint
amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben
Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz
szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa
előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban
31
Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat
i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2
Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a
koumlvetkező taacuteblaacutezat
Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok
Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő
Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok
oumlsszegeacutere
Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899
Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel
hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga
Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem
akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-
szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert
119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa
kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem
Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele
keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen
Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip
Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel
minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok
legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot
vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)
7 [1] alapjaacuten
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
13
eacutertelmeacuteben minden (m + 1) ∙ k (k = 0hellipn) darab korong eseteacuten alakul ki vesztes aacutellaacutes
Tehaacutet aki ebből keacutenyszeruumll leacutepni az vesziacutet
Ha a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesakor a kupac meacutereteacutet osztja (m+1) akkor ugyanebből a
meggondolaacutesboacutel koumlvetkezik hogy a kezdő jaacuteteacutekos nem tud nyerni
Tovaacutebbra is kupacokkal eacutes azokboacutel aacutelloacute feladatokkal foglalkozunk A koumlvetkezőkben egy
aacuteltalaacutenosabb jaacuteteacutekcsoportroacutel lesz szoacute
3 2 Nim-jaacuteteacutek eacutes nim-oumlsszeadaacutes
A Nim-jaacuteteacutek Kiacutenaacuteboacutel szaacutermazoacute ma maacuter szeacuteles koumlrben ismert matematikai jaacuteteacutek A
menete a koumlvetkező
Nim-jaacuteteacutek adott n db kupac melyek rendre a1 a2 a3hellip an darab kavicsot tartalmaznak
Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva vesznek el akaacuterhaacuteny de legalaacutebb 1 kavicsot valamelyik
tetszőleges kupacboacutel Az nyer aki az utolsoacute kavicsot elveszi Keacuterdeacutes hogy kinek van nyerő
strateacutegiaacuteja
Ezek vagy az ehhez hasonloacute feladvaacutenyok megoldaacutesaacuteban segiacutetseacuteguumlnkre lesz egy uacutej
fogalom a bdquonim-oumlsszeadaacutesrdquo
Definiacutecioacute (nim-oumlsszeadaacutes) Vegyuumlk a nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemok halmazaacutet eacutes azon uacutegy
eacutertelmezzuumlk a nim-oumlsszeadaacutest hogy elemeit kettes szaacutemrendszerbeli alakjukban feliacuterva
adjuk oumlssze modulo 2 azaz nem toumlrődve az egyes helyieacuterteacutekeken adoacutedoacute maradeacutekokkal
Peacutelda 12 25 = 21 hiszen 11002 + 110012 = 101012
Vilaacutegosabbaacute vaacutelik a nim-oumlsszeadaacutes ha a szokaacutesos moacutedon egymaacutes alaacute iacuterva adjuk oumlssze
őket
11002
110012
101012
Ezt a definiacutecioacutet meggondolhatjuk maacuteskeacuteppen is
Definiacutecioacute Jeloumllje 119917120784 a keacutetelemű testet (azaz a modulo 2 szaacutemkoumlrt) eacutes legyen 119917120784infin ennek
veacutegtelen diszkreacutet direktszorzata vagyis az a veacutegtelen dimenzioacutes vektorteacuter amelyben olyan
14
0 eacutes 1 koordinaacutetaacutekat tartalmazoacute vektorok vannak melyekben csak veacuteges sok 1-es szaacutem
szerepel
Tekintsuumlk a koumlvetkező koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű megfelelteteacutest N eacutes 119917120784infin koumlzoumltt iacuterjunk
fel egy adott szaacutemot kettes szaacutemrendszerben de fordiacutetott sorrendben azaz jobbroacutel balra
Vegyuumlk azt a veacutegtelen hosszuacute vektort melynek az első koordinaacutetaacutei eacuteppen ennek a
szaacutemnak a bdquofordiacutetottrdquo kettes szaacutemrendszerbeli alakjaacutenak szaacutemjegyeivel egyezik meg
majd ezeket veacutegtelen sok nulla koumlveti Ez egy egyeacutertelmű megfelelteteacutest ad N eacutes 119917120784infin
elemei koumlzoumltt hiszen egy szaacutem egyetlen vektornak felel meg Azaz ha
119899 = sum 119886119894 ∙ 2119894infin119894=0 ahol 119886119894= 0 vagy 1 akkor az ennek megfelelő vektor (1198860 1198861 1198862 )
Teacutetel A nim-oumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot
Bizonyiacutetaacutes Tudjuk hogy a vektoroumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot Az előzőekben adott
egyeacutertelmű megfelelteteacutessel laacutethatoacute hogy az 119917120784infin-beli veacutegtelen hosszuacute vektorok
oumlsszeadaacutesa eacutes a nim-oumlsszeadaacutes ekvivalens művelet ezeacutert a nim-oumlsszeadaacutes is Aacutebel-
csoportot alkot
A nim-oumlsszeadaacutes tovaacutebbi tulajdonsaacutegai
1 Aacutelliacutetaacutes Minden a szaacutemra a a = 0
Bizonyiacutetaacutes Nem neheacutez meggondolni hogy ha a kettes szaacutemrendszerben keacutet azonos
szaacutemot adunk nim-oumlssze akkor mivel abban az 1-esek eacutes 0-k ugyanazon a helyieacuterteacuteken
aacutellnak az oumlsszeadaacutesukkor azok mind lenullaacutezoacutednak (1 + 1 = 0 + 0 = 0)
2 Aacutelliacutetaacutes Tetszőleges a eacutes b pozitiacutev egeacuteszekre teljesuumll 0 le a b le a + b
Ezt nem bizonyiacutetom de veacutegiggondolhatoacute
3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja
Az egykupacos Nim-jaacuteteacutek nagyon egyszerű nem is nevezhető jaacuteteacuteknak hiszen a kezdő
jaacuteteacutekos elsőre felmarkolhatja az egeacutesz kupacot eacutes veacutege a jaacuteteacuteknak Nem ilyen koumlnnyű
elsőre aacutetlaacutetni a toumlbb kupacos normaacutel Nim-jaacuteteacutekot
Vezessuumlk be a Nim(a1 a2hellip an) jeloumlleacutest arra az n kupacos Nim-jaacuteteacutekra ahol a1
a2hellip an a kuumlloumlnboumlző kupacok elemszaacutema
15
Teacutetel
1) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek kupacmeacutereteinek nim-oumlsszege a1 a2 hellip an ne 0
akkor biztosan leacutetezik olyan leacutepeacutes hogy a kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra
a1rsquo a2rsquohellip anrsquo = 0
2) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekban a1 a2 hellip an = 0 akkor baacutermely leacutepeacutes utaacuten a
kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra a nim-oumlsszeg a1rsquo a2rsquohellip anrsquo 0
Bizonyiacutetaacutes
1) Előszoumlr iacuterjuk fel egymaacutes alaacute a kupacok meacutereteacutet kettes szaacutemrendszerben eacutes adjuk oumlssze
őket nim szerint A ceacutelunk az hogy ezt a kapott oumlsszeget olyan moacutedon 0-ra tudjuk
vaacuteltoztatni ami megfeleltethető egy jaacuteteacutekbeli leacutepeacutessel Ehhez keressuumlk meg azt a
legnagyobb helyieacuterteacuteket (vagyis balroacutel az első olyan oszlopot) ahol paacuteratlan sok 1-es
szerepel - ugyanis ezen a helyieacuterteacuteken a nim-oumlsszegben is 1-es fog szerepelni - eacutes
vaacutelasszuk ki ebből az egyik 1-est legyen ez ai feliacuteraacutesaacuteban Most vaacuteltoztassuk meg ezt
az 1-est 0-ra eacutes ai ettől jobbra leacutevő binaacuteris szaacutemjegyeit is csereacuteljuumlk 1-esre vagy 0-ra
uacutegy hogy veacuteguumll az egeacutesz oumlsszeg 0-ra csoumlkkenjen (Ez megtehető eacutes ezt akkor eacuterjuumlk
el ha minden oszlopban paacuteros szaacutemuacute 1-es lesz) Ezzel a leacutepeacutessel aacuteteacutertuumlnk a Nim(a1rsquo
a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra ahol aj = aj kiveacuteve j = i-re eacutes ebben 0 a nim-oumlsszeg A
feliacuteraacutesban egy sor a jaacuteteacutekban egy kupac elemszaacutemaacutenak felel meg eacutes egy tetszőleges
sort alkotoacute szaacutem csoumlkkenteacutese valamennyivel ekvivalens azzal hogy a neki megfelelő
kupacboacutel ugyanennyi elemet elveszuumlnk Maacuter csak azt kell belaacutetnunk hogy az eljaacuteraacutes
soraacuten valoacuteban az egyik kupac elemszaacutemaacutet csoumlkkentettuumlk (nem noumlveltuumlk) tehaacutet leacutetezik
ilyen leacutepeacutes Ezt nem neheacutez meggondolni mert a legnagyobb helyieacuterteacuteken aacutelloacute 1-est 0-
ra csereacuteltuumlk ndash legyen ez a 2k helyieacuterteacutek ndash eacutes moumlgoumltte a vaacuteltoztataacutesok utaacuten legfeljebb k
-1 darab 1-es aacutellhat melyek eacuterteacuteke tiacutezes szaacutemrendszerben legfeljebb 1 + 2 + 4 + 8 +
+ 2k-1 = 2kndash1 ami biztosan kisebb az előző szaacutemnaacutel Tehaacutet a leiacutert leacutepeacutesek soraacuten valoacuteban
csoumlkkentettuumlk a kupacok meacutereteacutet
Ezt a bizonyiacutetaacutest egeacutesz egyszerűen aacutet lehet gondolni az előzőek alapjaacuten Laacutettuk hogy
a jaacuteteacutek leacutepeacuteseit hogyan tudjuk maacuteskeacutepp leiacuterni elveacutegezni A levezeteacutesből laacutetszik az
hogy 0 nim-oumlsszegből uacutejabb 0 nim-oumlsszegű aacutellaacutest nem tudunk eleacuterni
a1 a2 hellip an = 0 eseteacuten semelyik oszlopban sem lesz paacuteratlan szaacutemuacute 1-es amit
megcsereacutelve joacutel jaacuternaacutenk viszont egy sorban legalaacutebb egy szaacutemot ki kell csereacutelnuumlnk
mert leacutepni muszaacutej Tehaacutet lesz olyan oszlop a leacutepeacutesuumlnk utaacuten melyben paacuteratlan szaacutemuacute
1-es fog aacutellni iacutegy az oumlsszegben is legalaacutebb egy 1-es szerepelni fog
16
Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő
jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege
a1 a2 hellip an ne 0
Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző
teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire
a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet
uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig
fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb
Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud
leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok
Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy
leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is
oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot
jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti
Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti
egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot
Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor
jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen
oumlsszegjaacuteteacutek
sum 119869119894
119899
119868=0
ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet
kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)
Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege
is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek
17
Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg
azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat
Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban
van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz
Bizonyiacutetaacutes
Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva
a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az
bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha
ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik
jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat
b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik
jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő
jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja
szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az
oumlsszeguumlket is
Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala
kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha
első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer
Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg
hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk
az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes
kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű
paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri
a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot
Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező
fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet
18
4 Fejezet Grundy-szaacutemok
A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy
szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni
Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges
jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely
aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az
aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely
adta lehetőseacutegek koumlzuumll
Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű
jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel
1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az
ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel
ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat
leacutepeacuteseket) ismeruumlnk
2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal
leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket
tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek
3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul
annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok
hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak
A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban
nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni
Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia
megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a
toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező
fogalomra
19
Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb
nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt
Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)
Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot
az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de
roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van
Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs
raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden
raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb
kizaacutertja
Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema
Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben
semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute
aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan
raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne
ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb
kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli
raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten
nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute
veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol
minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak
Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok
ciklusmentesseacutegeacutenek
Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema
2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese
3 A [2] cikk alapjaacuten
20
Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos
Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek
Grundy-szaacutemai
Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb
nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-
szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i
a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak
egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk
ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy
G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema
G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be
hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes
felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem
maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1
Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok
illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az
alaacutebbiak
1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0
2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0
3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0
Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja
ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0
Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben
van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek
koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal
vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)
tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel
4 [2] cikk alapjaacuten
21
leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben
megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet
Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud
mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy
ő nyeri a jaacuteteacutekot
Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-
szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)
Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0
Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn
direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)
Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti
indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes
aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)
valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra
maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb
a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel
Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)
raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy
minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy
a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat
oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek
vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden
A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban
oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom
22
5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute
jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok
hasznaacutelata
5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai
Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő
egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti
darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok
Grundy-szaacutemai
Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-
szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő
Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen
innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk
= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz
vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet
el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan
ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute
Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)
vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet
Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent
meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes
strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait
Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem
Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik
ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a
koumlvetkező
5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy
bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek
Grundy-szaacutemaival
23
10 Jaacuteteacutek (Dawsonrsquos Chess) Adott egy 1x n-es teacuteglalap melynek neacutegyzeteibe a jaacuteteacutekosok
felvaacuteltva X-et raknak uacutegy hogy az X jellel ellaacutetott cellaacutek szomszeacutedosak nem lehetnek vagyis
egy X melletti neacutegyzetbe maacutesik X nem keruumllhet Az nyer aki az utolsoacute jelet rakja
Ha jobban meggondoljuk a keacutet jaacuteteacutek megfelel egymaacutesnak Annyi a kuumlloumlnbseacuteg hogy az
itteni neacutegyzetek ott a 2x2-es neacutegyzetek felező vonalainak felelnek meg eacutes az itteni vaacutelasztoacute
raacutecsvonalak pedig a sziacutenezős jaacuteteacutek neacutegyzeteivel egyeznek meg Neacutezzuumlk az alaacutebbi 5 1 aacutebraacuten
szemleacuteltetett peacuteldaacutet
Dawsonrsquos Chess taacutebla egy lehetseacuteges veacutegaacutellaacutessal
A 2 jaacuteteacutek ugyanazt jelentő veacutegső aacutellaacutesa
51 aacutebra
Joacutel laacutethatoacute hogy a 2 jaacuteteacutekban a 2x2-es neacutegyzetek hataacutervonalai eacutepp a Dawsonrsquos Chess-
beli bdquotiltott mezőknekrdquo felelnek meg - amikben nem keruumllhet X jel mert szomszeacutedjukban
maacuter szerepel - mert egy ilyen hataacutervonalra nem eshet maacutesik 2x2-es neacutegyzet felezővonala
hisz akkor a neacutegyzetek takarnaacutek egymaacutest
Feacuteny deruumllt arra6 hogy ennek a jaacuteteacuteknak a Grundy-szaacutemaiboacutel aacutelloacute sorozat 34-es
periodicitaacutesuacute de az elejeacuten van heacutet kiveacutetel a 0 14 16 17 31 34 eacutes 51 helyen aacutelloacute szaacutemok
tekinteteacuteben Utaacutena beaacutell a valoacutedi periodicitaacutes Azok az aacutellaacutesok eacuterdekesek szaacutemunkra a
nyerő strateacutegia kutataacutesa kapcsaacuten melyek Grundy-szaacutema 0 mert ezek a vesztes aacutellaacutesok
Tehaacutet vesztes aacutellaacutesok az elejeacutetől kezdve 1 5 9 15 21 25 29 35 neacutegyzetet tartalmazoacute
kezdőaacutellaacutesok majd az 1 a 15 eacutes 35 kiveacuteteleacutevel ezek k ∙ 34-gyel vett oumlsszegei is vesztő
aacutellaacutesok lesznek a periodicitaacutes miatt
5 2 Jaacuteteacutekok korongokkal
A koumlvetkező jaacuteteacutek a [4] koumlnyvből szaacutermazik
6 Szinteacuten a httpsoeisorg weboldal hasznaacutelataacuteval
X X
24
5 Jaacuteteacutek Egy asztalon sorba 10 korong van lerakva melyeknek egyik oldala feheacuter maacutesik
fekete sziacutenű Ketten jaacutetszanak A soron koumlvetkező mindig kivaacutelaszt egy fekete oldalaacuteval
felfeleacute fekvő korongot majd azt eacutes az oumlsszes tőle jobbra leacutevőt aacutetfordiacutetja a maacutesik oldalaacutera
Akkor van veacutege a jaacuteteacuteknak ha mindegyik korongnak a feheacuter oldala van feluumll Az veszt aki
nem tud toumlbbet leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes hogyan tud győzni
A jaacuteteacutek kimenetele eacutes nyertese fuumlgg a kiindulaacutesi helyzettől Tekintsuumlk az alaacutebbi konkreacutet
kezdőaacutellaacutest (5 2 aacutebra)
5 2 aacutebra
A nyertes strateacutegia nem bonyolult sőt eleacuteg keacutezenfekvő ha belegondolunk tudniillik a
veacutegeredmeacuteny egyaacuteltalaacuten nem a jaacuteteacutekosok leacutepeacutesein muacutelik hanem csupaacuten az utolsoacute korong
sziacuteneacutetől fuumlgg Ugyanis egy korong az utolsoacute helyen aacutelloacute biztosan megfordul minden
leacutepeacutesben Ez leacutepeacutesenkeacutent vaacuteltakozva hol feheacuter hol fekete oldalaacuteval lesz feluumll miacuteg ki nem
alakul a veacutegső nyertes ndash oumlsszes feheacuter ndash aacutellaacutes Ha peacuteldaacuteul kezdetben fekete az utolsoacute
korong akkor az mindig a kezdő jaacuteteacutekos forgataacutesai nyomaacuten fog a feheacuter oldalaacuteval felfeleacute
keruumllni A jaacuteteacutek egyszer veacuteget eacuter eacutes tudjuk hogy az utolsoacute leacutepeacutes a kezdő jaacuteteacutekoseacute lesz
tehaacutet ő nyer Ellenkező esetben - ha a kezdő aacutellapotban feheacuter az utolsoacute korong - a maacutesodik
jaacuteteacutekoseacute a győzelem Tehaacutet teljesen mindegy haacuteny koronggal jaacutetszunk a győztest mindig
a sorban elhelyezett utolsoacute korong sziacutene fogja elaacuterulni Ha az a fekete oldalaacuteval felfeleacute
fekszik akkor a kezdő ha feheacuter sziacutene laacutetszik akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos nyer Iacutegy a fenti
jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
Ha feladatban moacutedosiacutetjuk kicsit a szabaacutelyokat akkor a megoldaacutes is bonyoloacutedik eacutes itt
maacuter fel kell hasznaacutelnunk a Grundy-szaacutemokat illetve a nim-oumlsszeget A koumlvetkező feladat
eacutes megoldaacutesi oumltlete [2] forraacutesboacutel szaacutermazik
6 Jaacuteteacutek Legyen ismeacutet 10 darab korongunk az asztalra sorba lehelyezve A jaacuteteacutekosok
keacutetfeacutele leacutepeacutest hajthatnak veacutegre vagy megfordiacutetanak egy fekete oldalaacuteval felfeleacute fekvő
korongot vagy keacutet korongot fordiacutetanak meg melyek koumlzuumll a jobbraacutebb levő fekte Az vesziacutet
aki nem tud toumlbbet leacutepni
25
A megoldaacutes veacutegett szaacutemozzuk meg a korongokat balroacutel jobbra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 3 aacutebra
Aacutelliacutetaacutes A 6 jaacuteteacutek egy aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema eacutepp a fekete sziacutenű korongok sorszaacutemaacutenak
nim-oumlsszege
Bizonyiacutetaacutes Alkossunk ebből a jaacuteteacutekboacutel Nim-jaacuteteacutekot a koumlvetkező keacuteppen Ha az i-edik
korong sziacutene fekete akkor tekintsuumlnk egy ekkora elemszaacutemuacute kupacot a Nim-jaacuteteacutekban ha
feheacuter sziacutenű egy korong akkor nincs ilyen kupacunk Ezzel egy szokaacutesos Nim-jaacuteteacutekot
kapunk Azeacutert tehetjuumlk meg ezt mert a leacutepeacutesek eacutepp ugyanazt eredmeacutenyezik mindkeacutet
jaacuteteacutekban amennyiben megfordiacutetunk egy fekete korongot az annak felel meg ha nim-
jaacuteteacutekban azt a kupacot teljes egeacuteszeacuteben elvesszuumlk eacutes megszűnik Ha egy feheacuter eacutes egy
fekete korongot fordiacutetunk meg melyek koumlzuumll a fekete a jobb oldali akkor azzal
egyeneacuterteacutekű mintha a nim-jaacuteteacutekban bizonyos szaacutemuacute kavicsot elvettuumlnk volna az addigi
kupacboacutel uacutegy hogy a feketeacutere fordiacutetott korong sorszaacutemaacutenak megfelelő kupacmeacuteretet
eacutertuumlnk el (Mert a bal oldali korong sorszaacutema kisebb eacutes iacutegy kisebb elemszaacutemuacute kupacot is
jelent) Tekintsuumlnk erre magyaraacutezatul egy peacuteldaacutet (5 4 aacutebra)
1 2 3
5 4 aacutebra
Ebben a kis jaacuteteacutekban illusztraacuteljuk a korongforgataacutesi leacutepeacutesek eacutes a Nim-jaacuteteacutek kapcsolataacutet
Tekintsuumlk ennek mintaacutejaacutera a 2 eacutes 3 elmeszaacutemuacute kupacokkal jaacutetszott Nim-jaacuteteacutekot
Vilaacutegosan laacutetszik hogy ha megfordiacutetjuk peacuteldaacuteul a 2 szaacutemuacute fekete sziacutenű korongot eacutes iacutegy
az feheacuter lesz akkor ez a leacutepeacutes megegyezik azzal hogy a Nim-jaacuteteacutekban egy leacutepeacutessel
eltuumlntetjuumlk a 2 elemű kupacot Keacutet szabaacutelyos helyzetű korong megfordiacutetaacutesaacuteval ndash legyenek
26
most ezek az 1 eacutes 2 szaacutemuacuteak ndash az 55-oumls aacutebraacuten laacutethatoacute aacutellaacutes joumln leacutetre ami ekvivalens a
Nim-jaacuteteacutek azon leacutepeacuteseacutevel hogy a 2 elemű kupacboacutel 1 kavicsot elveszuumlnk
1 2 3
5 5 aacutebra
Keacutet fekete korong megfordiacutetaacutesa keacutet kupac teljes elveacuteteleacutet jelenteneacute a Nimben ami ilyen
formaacuteban nem szabaacutelyos Azonban ha jobban meggondoljuk ez a leacutepeacutes jelentheti azt
hogy a nagyobb meacuteretű kupacboacutel elveszuumlnk annyi kavicsot hogy az egyenlő legyen a
kisebb elemszaacutemaacuteval mert a nim-oumlsszeadaacutes miatt keacutet azonos meacuteretű kupac nem
befolyaacutesolja az egeacutesz jaacuteteacutek Grundy-szaacutemaacutet azaz a keacutet kupac kiegyenliacuteteacuteseacutevel illetve
teljes elveacuteteluumlkkel kapott Nim-aacutellaacutesok Grundy-szaacutemai megegyeznek
Az 5 3 aacutebra alapjaacuten kialakult aacutellaacutes Grundy-szaacutema tehaacutet 3 10 = 10 A jaacuteteacutek
vesztő aacutellaacutesainak Grundy-szaacutema 0 azaz ha ilyen aacutellaacutesroacutel indul valaki az nem tud nyerni
Ebből a poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacutet keacutepezni csak a 10 elemű kupac teljes elveacuteteleacutevel
lehetseacuteges Tehaacutet a 10-es szaacutemuacute fekete korongot kell megfordiacutetani előszoumlr a
győzelemhez
5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
A most koumlvetkező haacuterom jaacuteteacutekkal a [2] cikkben talaacutelkoztam
7 Jaacuteteacutek (Rim-jaacuteteacutek) Adott neacutehaacuteny kupac kavics A kupacok egyikeacuteből elvehető
akaacutermennyi kavics de csak uacutegy hogy az elvett elemek szaacutema relatiacutev priacutem legyen az elveacutetel
előtti mennyiseacuteghez
Ez a jaacuteteacutek toumlbb egykupacos uacuten bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacuteknak oumlsszege A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek
egy n darab taacutergyat (kavicsot) tartalmazoacute kupacroacutel szoacutel amelyből k elemet vehetuumlnk el
ha k eacutes n relatiacutev priacutemek Ebből koumlvetkezik hogy 1-et mindig elvehetuumlnk az oumlsszes elemet
azonban sosem (mert n oumlnmagaacuteval nem relatiacutev priacutem) kiveacuteve ha 1 darab marad a
kupacban
Jeloumlljuumlk itt az i elemszaacutemuacute Rim-kupacok Grundy-szaacutemaacutet G(Ri)-vel Az első eacutes maacutesodik
Grundy-szaacutem koumlnnyen megmondhatoacute G0 = 0 eacutes G1 = mex (G0) = 1 Ha keacutet elemet
27
tartalmaz a kiindulaacutesi kupac akkor a szabaacutelynak megfelelően az egyetlen lehetőseacuteg 1
kavics elveacutetele ezeacutert G(R2) = mex (1) = 0 Haacuteromelemű kezdőkupacboacutel 1 eacutes 2 elemet is
elvehetuumlnk iacutegy kapjuk hogy G(R3) = mex (G(R1) G(R2) ) = mex (1 0) = 2 Neacutegy elem
eseteacuten G4 = mex (G1 G3) = 0 Hasonloacutean G5 = mex (G(R1) G(R2) G(R3) G(R4)) =
= mex (1 2 0 2) = 3 eacutes iacutegy tovaacutebb A koumlvetkező teacutetelben meghataacuterozzuk aacuteltalaacutenossaacutegban
G(Rn)-et
Teacutetel A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutekban minden paacuteros n elemszaacutemuacute kupacra G(Rn) = 0 valamint
n paacuteratlan elemszaacutem eseteacuten G(Rn) = k ha n legkisebb priacutemosztoacuteja a k-adik priacutemszaacutem (Az
első priacutemszaacutem a 2 maacutesodik a 3 stb)
Bizonyiacutetaacutes n-re vonatkozoacute teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk
a) ha n paacuteros Semelyik esetben sem lehet az egeacutesz kupacot elvenni kiveacuteve ha 1 kavics
marad a kupacban Laacutettuk hogy G(R0) = G2 = 0 Legyen n paacuteros Tegyuumlk fel hogy
minden n-neacutel nem nagyobb paacuteros k szaacutemra G(Rk) = 0 Laacutessuk be ezt (n+2)-re is Mivel
egy paacuteros szaacutem semelyik maacutesik paacuteros szaacutemmal sem relatiacutev priacutem ezeacutert paacuteros darab
kavicsot nem vehetuumlnk el a kupacboacutel ennek okaacuten uacutejabb paacuteros elemszaacutemuacute aacutellaacutes sem
joumlhet leacutetre Paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac ugyan lehet (n+2) kiszomszeacutedja de annak
Grundy-szaacutema biztosan nem 0 mert 1 kavicsot baacutermelyik aacutellaacutesboacutel elvehetuumlnk iacutegy lesz
a paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt n-neacutel nem nagyobb paacuteros elemszaacutemuacute
kupac aminek Grundy-szaacutema 0 Tehaacutet (n+2) elemet tartalmazoacute kupac raacutekoumlvetkezői
koumlzoumltt nem lesz 0 Grundy-szaacutemuacute iacutegy azok legkisebb kizaacutertja eacutepp a 0
b) ha n paacuteratlan Tudjuk hogy G1 = 1 eacutes azt is laacutettuk hogy G3 = 2 Itt is teljes indukcioacutet
hasznaacutelunk Tegyuumlk fel hogy igaz a fenti aacutelliacutetaacutes minden paacuteratlan n-re Bizonyiacutetsuk be
hogy ez az n+2 paacuteratlan szaacutemra is oumlroumlklődik Legyen n+2 legkisebb priacutemosztoacuteja p eacutes
annak sorszaacutema k Ahhoz hogy belaacutessuk hogy Gn+2 = k keacutet dologra van szuumlkseacuteg
1) Minden k-naacutel kisebb szaacutem előfordul az n+2 elemszaacutemuacute aacutellaacutes valamely
kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutemakeacutent
2) Az n+2 elemű kupac egyik kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutema sem k
1) igazolaacutesa 1-et eacutes n+1-et mindig leacutephetuumlnk tehaacutet 1 eacutes 0 Grundy-szaacutemuacute
raacutekoumlvetkezője minden aacutellaacutesnak van Legyen q egy tetszőleges p-neacutel kisebb priacutem ndash
ennek sorszaacutema k-naacutel kisebb eacutes az indukcioacute szerint a q elemű aacutellaacutes Grundy-szaacutema eacutepp
a q sorszaacutema Ekkor meg kell mutatnunk hogy n+2ndashből aminek legkisebb
priacutemosztoacuteja p a q elemszaacutemuacute kupacba leacutepeacutes szabaacutelyos Ez azeacutert igaz mert a
28
jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek
nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek
elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash
hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert
kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute
kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes
2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m
elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb
priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt
k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek
A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő
strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk
8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad
kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja
legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is
elvehetjuumlk)
Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő
tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz
melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk
Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean
G(Di)
Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1
Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva
laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek
bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1
29
1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i
2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan
1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute
kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute
kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei
azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet
elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =
21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i
2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet
eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n
raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l
paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1
Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban
ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra
G(Da) = 0 + 1 = 1
Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek
9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az
egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a
Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya
szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)
Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg
Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal
Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon
mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)
= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet
a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5
kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre
30
11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik
kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az
nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi
Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-
ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet
Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik
jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem
hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy
speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok
bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A
Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő
nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk
valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval
deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek
a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)
stb kupacmeacuteretek
Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt
de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt
5 4 Fibonacci-nim
A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik
13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el
kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve
utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint
amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben
Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz
szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa
előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban
31
Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat
i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2
Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a
koumlvetkező taacuteblaacutezat
Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok
Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő
Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok
oumlsszegeacutere
Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899
Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel
hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga
Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem
akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-
szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert
119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa
kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem
Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele
keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen
Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip
Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel
minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok
legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot
vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)
7 [1] alapjaacuten
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
14
0 eacutes 1 koordinaacutetaacutekat tartalmazoacute vektorok vannak melyekben csak veacuteges sok 1-es szaacutem
szerepel
Tekintsuumlk a koumlvetkező koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű megfelelteteacutest N eacutes 119917120784infin koumlzoumltt iacuterjunk
fel egy adott szaacutemot kettes szaacutemrendszerben de fordiacutetott sorrendben azaz jobbroacutel balra
Vegyuumlk azt a veacutegtelen hosszuacute vektort melynek az első koordinaacutetaacutei eacuteppen ennek a
szaacutemnak a bdquofordiacutetottrdquo kettes szaacutemrendszerbeli alakjaacutenak szaacutemjegyeivel egyezik meg
majd ezeket veacutegtelen sok nulla koumlveti Ez egy egyeacutertelmű megfelelteteacutest ad N eacutes 119917120784infin
elemei koumlzoumltt hiszen egy szaacutem egyetlen vektornak felel meg Azaz ha
119899 = sum 119886119894 ∙ 2119894infin119894=0 ahol 119886119894= 0 vagy 1 akkor az ennek megfelelő vektor (1198860 1198861 1198862 )
Teacutetel A nim-oumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot
Bizonyiacutetaacutes Tudjuk hogy a vektoroumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot Az előzőekben adott
egyeacutertelmű megfelelteteacutessel laacutethatoacute hogy az 119917120784infin-beli veacutegtelen hosszuacute vektorok
oumlsszeadaacutesa eacutes a nim-oumlsszeadaacutes ekvivalens művelet ezeacutert a nim-oumlsszeadaacutes is Aacutebel-
csoportot alkot
A nim-oumlsszeadaacutes tovaacutebbi tulajdonsaacutegai
1 Aacutelliacutetaacutes Minden a szaacutemra a a = 0
Bizonyiacutetaacutes Nem neheacutez meggondolni hogy ha a kettes szaacutemrendszerben keacutet azonos
szaacutemot adunk nim-oumlssze akkor mivel abban az 1-esek eacutes 0-k ugyanazon a helyieacuterteacuteken
aacutellnak az oumlsszeadaacutesukkor azok mind lenullaacutezoacutednak (1 + 1 = 0 + 0 = 0)
2 Aacutelliacutetaacutes Tetszőleges a eacutes b pozitiacutev egeacuteszekre teljesuumll 0 le a b le a + b
Ezt nem bizonyiacutetom de veacutegiggondolhatoacute
3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja
Az egykupacos Nim-jaacuteteacutek nagyon egyszerű nem is nevezhető jaacuteteacuteknak hiszen a kezdő
jaacuteteacutekos elsőre felmarkolhatja az egeacutesz kupacot eacutes veacutege a jaacuteteacuteknak Nem ilyen koumlnnyű
elsőre aacutetlaacutetni a toumlbb kupacos normaacutel Nim-jaacuteteacutekot
Vezessuumlk be a Nim(a1 a2hellip an) jeloumlleacutest arra az n kupacos Nim-jaacuteteacutekra ahol a1
a2hellip an a kuumlloumlnboumlző kupacok elemszaacutema
15
Teacutetel
1) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek kupacmeacutereteinek nim-oumlsszege a1 a2 hellip an ne 0
akkor biztosan leacutetezik olyan leacutepeacutes hogy a kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra
a1rsquo a2rsquohellip anrsquo = 0
2) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekban a1 a2 hellip an = 0 akkor baacutermely leacutepeacutes utaacuten a
kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra a nim-oumlsszeg a1rsquo a2rsquohellip anrsquo 0
Bizonyiacutetaacutes
1) Előszoumlr iacuterjuk fel egymaacutes alaacute a kupacok meacutereteacutet kettes szaacutemrendszerben eacutes adjuk oumlssze
őket nim szerint A ceacutelunk az hogy ezt a kapott oumlsszeget olyan moacutedon 0-ra tudjuk
vaacuteltoztatni ami megfeleltethető egy jaacuteteacutekbeli leacutepeacutessel Ehhez keressuumlk meg azt a
legnagyobb helyieacuterteacuteket (vagyis balroacutel az első olyan oszlopot) ahol paacuteratlan sok 1-es
szerepel - ugyanis ezen a helyieacuterteacuteken a nim-oumlsszegben is 1-es fog szerepelni - eacutes
vaacutelasszuk ki ebből az egyik 1-est legyen ez ai feliacuteraacutesaacuteban Most vaacuteltoztassuk meg ezt
az 1-est 0-ra eacutes ai ettől jobbra leacutevő binaacuteris szaacutemjegyeit is csereacuteljuumlk 1-esre vagy 0-ra
uacutegy hogy veacuteguumll az egeacutesz oumlsszeg 0-ra csoumlkkenjen (Ez megtehető eacutes ezt akkor eacuterjuumlk
el ha minden oszlopban paacuteros szaacutemuacute 1-es lesz) Ezzel a leacutepeacutessel aacuteteacutertuumlnk a Nim(a1rsquo
a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra ahol aj = aj kiveacuteve j = i-re eacutes ebben 0 a nim-oumlsszeg A
feliacuteraacutesban egy sor a jaacuteteacutekban egy kupac elemszaacutemaacutenak felel meg eacutes egy tetszőleges
sort alkotoacute szaacutem csoumlkkenteacutese valamennyivel ekvivalens azzal hogy a neki megfelelő
kupacboacutel ugyanennyi elemet elveszuumlnk Maacuter csak azt kell belaacutetnunk hogy az eljaacuteraacutes
soraacuten valoacuteban az egyik kupac elemszaacutemaacutet csoumlkkentettuumlk (nem noumlveltuumlk) tehaacutet leacutetezik
ilyen leacutepeacutes Ezt nem neheacutez meggondolni mert a legnagyobb helyieacuterteacuteken aacutelloacute 1-est 0-
ra csereacuteltuumlk ndash legyen ez a 2k helyieacuterteacutek ndash eacutes moumlgoumltte a vaacuteltoztataacutesok utaacuten legfeljebb k
-1 darab 1-es aacutellhat melyek eacuterteacuteke tiacutezes szaacutemrendszerben legfeljebb 1 + 2 + 4 + 8 +
+ 2k-1 = 2kndash1 ami biztosan kisebb az előző szaacutemnaacutel Tehaacutet a leiacutert leacutepeacutesek soraacuten valoacuteban
csoumlkkentettuumlk a kupacok meacutereteacutet
Ezt a bizonyiacutetaacutest egeacutesz egyszerűen aacutet lehet gondolni az előzőek alapjaacuten Laacutettuk hogy
a jaacuteteacutek leacutepeacuteseit hogyan tudjuk maacuteskeacutepp leiacuterni elveacutegezni A levezeteacutesből laacutetszik az
hogy 0 nim-oumlsszegből uacutejabb 0 nim-oumlsszegű aacutellaacutest nem tudunk eleacuterni
a1 a2 hellip an = 0 eseteacuten semelyik oszlopban sem lesz paacuteratlan szaacutemuacute 1-es amit
megcsereacutelve joacutel jaacuternaacutenk viszont egy sorban legalaacutebb egy szaacutemot ki kell csereacutelnuumlnk
mert leacutepni muszaacutej Tehaacutet lesz olyan oszlop a leacutepeacutesuumlnk utaacuten melyben paacuteratlan szaacutemuacute
1-es fog aacutellni iacutegy az oumlsszegben is legalaacutebb egy 1-es szerepelni fog
16
Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő
jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege
a1 a2 hellip an ne 0
Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző
teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire
a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet
uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig
fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb
Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud
leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok
Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy
leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is
oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot
jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti
Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti
egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot
Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor
jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen
oumlsszegjaacuteteacutek
sum 119869119894
119899
119868=0
ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet
kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)
Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege
is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek
17
Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg
azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat
Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban
van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz
Bizonyiacutetaacutes
Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva
a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az
bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha
ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik
jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat
b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik
jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő
jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja
szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az
oumlsszeguumlket is
Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala
kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha
első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer
Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg
hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk
az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes
kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű
paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri
a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot
Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező
fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet
18
4 Fejezet Grundy-szaacutemok
A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy
szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni
Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges
jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely
aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az
aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely
adta lehetőseacutegek koumlzuumll
Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű
jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel
1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az
ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel
ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat
leacutepeacuteseket) ismeruumlnk
2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal
leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket
tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek
3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul
annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok
hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak
A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban
nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni
Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia
megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a
toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező
fogalomra
19
Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb
nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt
Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)
Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot
az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de
roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van
Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs
raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden
raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb
kizaacutertja
Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema
Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben
semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute
aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan
raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne
ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb
kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli
raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten
nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute
veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol
minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak
Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok
ciklusmentesseacutegeacutenek
Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema
2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese
3 A [2] cikk alapjaacuten
20
Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos
Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek
Grundy-szaacutemai
Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb
nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-
szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i
a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak
egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk
ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy
G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema
G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be
hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes
felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem
maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1
Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok
illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az
alaacutebbiak
1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0
2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0
3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0
Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja
ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0
Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben
van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek
koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal
vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)
tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel
4 [2] cikk alapjaacuten
21
leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben
megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet
Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud
mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy
ő nyeri a jaacuteteacutekot
Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-
szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)
Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0
Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn
direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)
Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti
indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes
aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)
valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra
maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb
a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel
Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)
raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy
minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy
a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat
oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek
vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden
A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban
oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom
22
5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute
jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok
hasznaacutelata
5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai
Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő
egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti
darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok
Grundy-szaacutemai
Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-
szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő
Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen
innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk
= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz
vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet
el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan
ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute
Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)
vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet
Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent
meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes
strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait
Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem
Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik
ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a
koumlvetkező
5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy
bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek
Grundy-szaacutemaival
23
10 Jaacuteteacutek (Dawsonrsquos Chess) Adott egy 1x n-es teacuteglalap melynek neacutegyzeteibe a jaacuteteacutekosok
felvaacuteltva X-et raknak uacutegy hogy az X jellel ellaacutetott cellaacutek szomszeacutedosak nem lehetnek vagyis
egy X melletti neacutegyzetbe maacutesik X nem keruumllhet Az nyer aki az utolsoacute jelet rakja
Ha jobban meggondoljuk a keacutet jaacuteteacutek megfelel egymaacutesnak Annyi a kuumlloumlnbseacuteg hogy az
itteni neacutegyzetek ott a 2x2-es neacutegyzetek felező vonalainak felelnek meg eacutes az itteni vaacutelasztoacute
raacutecsvonalak pedig a sziacutenezős jaacuteteacutek neacutegyzeteivel egyeznek meg Neacutezzuumlk az alaacutebbi 5 1 aacutebraacuten
szemleacuteltetett peacuteldaacutet
Dawsonrsquos Chess taacutebla egy lehetseacuteges veacutegaacutellaacutessal
A 2 jaacuteteacutek ugyanazt jelentő veacutegső aacutellaacutesa
51 aacutebra
Joacutel laacutethatoacute hogy a 2 jaacuteteacutekban a 2x2-es neacutegyzetek hataacutervonalai eacutepp a Dawsonrsquos Chess-
beli bdquotiltott mezőknekrdquo felelnek meg - amikben nem keruumllhet X jel mert szomszeacutedjukban
maacuter szerepel - mert egy ilyen hataacutervonalra nem eshet maacutesik 2x2-es neacutegyzet felezővonala
hisz akkor a neacutegyzetek takarnaacutek egymaacutest
Feacuteny deruumllt arra6 hogy ennek a jaacuteteacuteknak a Grundy-szaacutemaiboacutel aacutelloacute sorozat 34-es
periodicitaacutesuacute de az elejeacuten van heacutet kiveacutetel a 0 14 16 17 31 34 eacutes 51 helyen aacutelloacute szaacutemok
tekinteteacuteben Utaacutena beaacutell a valoacutedi periodicitaacutes Azok az aacutellaacutesok eacuterdekesek szaacutemunkra a
nyerő strateacutegia kutataacutesa kapcsaacuten melyek Grundy-szaacutema 0 mert ezek a vesztes aacutellaacutesok
Tehaacutet vesztes aacutellaacutesok az elejeacutetől kezdve 1 5 9 15 21 25 29 35 neacutegyzetet tartalmazoacute
kezdőaacutellaacutesok majd az 1 a 15 eacutes 35 kiveacuteteleacutevel ezek k ∙ 34-gyel vett oumlsszegei is vesztő
aacutellaacutesok lesznek a periodicitaacutes miatt
5 2 Jaacuteteacutekok korongokkal
A koumlvetkező jaacuteteacutek a [4] koumlnyvből szaacutermazik
6 Szinteacuten a httpsoeisorg weboldal hasznaacutelataacuteval
X X
24
5 Jaacuteteacutek Egy asztalon sorba 10 korong van lerakva melyeknek egyik oldala feheacuter maacutesik
fekete sziacutenű Ketten jaacutetszanak A soron koumlvetkező mindig kivaacutelaszt egy fekete oldalaacuteval
felfeleacute fekvő korongot majd azt eacutes az oumlsszes tőle jobbra leacutevőt aacutetfordiacutetja a maacutesik oldalaacutera
Akkor van veacutege a jaacuteteacuteknak ha mindegyik korongnak a feheacuter oldala van feluumll Az veszt aki
nem tud toumlbbet leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes hogyan tud győzni
A jaacuteteacutek kimenetele eacutes nyertese fuumlgg a kiindulaacutesi helyzettől Tekintsuumlk az alaacutebbi konkreacutet
kezdőaacutellaacutest (5 2 aacutebra)
5 2 aacutebra
A nyertes strateacutegia nem bonyolult sőt eleacuteg keacutezenfekvő ha belegondolunk tudniillik a
veacutegeredmeacuteny egyaacuteltalaacuten nem a jaacuteteacutekosok leacutepeacutesein muacutelik hanem csupaacuten az utolsoacute korong
sziacuteneacutetől fuumlgg Ugyanis egy korong az utolsoacute helyen aacutelloacute biztosan megfordul minden
leacutepeacutesben Ez leacutepeacutesenkeacutent vaacuteltakozva hol feheacuter hol fekete oldalaacuteval lesz feluumll miacuteg ki nem
alakul a veacutegső nyertes ndash oumlsszes feheacuter ndash aacutellaacutes Ha peacuteldaacuteul kezdetben fekete az utolsoacute
korong akkor az mindig a kezdő jaacuteteacutekos forgataacutesai nyomaacuten fog a feheacuter oldalaacuteval felfeleacute
keruumllni A jaacuteteacutek egyszer veacuteget eacuter eacutes tudjuk hogy az utolsoacute leacutepeacutes a kezdő jaacuteteacutekoseacute lesz
tehaacutet ő nyer Ellenkező esetben - ha a kezdő aacutellapotban feheacuter az utolsoacute korong - a maacutesodik
jaacuteteacutekoseacute a győzelem Tehaacutet teljesen mindegy haacuteny koronggal jaacutetszunk a győztest mindig
a sorban elhelyezett utolsoacute korong sziacutene fogja elaacuterulni Ha az a fekete oldalaacuteval felfeleacute
fekszik akkor a kezdő ha feheacuter sziacutene laacutetszik akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos nyer Iacutegy a fenti
jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
Ha feladatban moacutedosiacutetjuk kicsit a szabaacutelyokat akkor a megoldaacutes is bonyoloacutedik eacutes itt
maacuter fel kell hasznaacutelnunk a Grundy-szaacutemokat illetve a nim-oumlsszeget A koumlvetkező feladat
eacutes megoldaacutesi oumltlete [2] forraacutesboacutel szaacutermazik
6 Jaacuteteacutek Legyen ismeacutet 10 darab korongunk az asztalra sorba lehelyezve A jaacuteteacutekosok
keacutetfeacutele leacutepeacutest hajthatnak veacutegre vagy megfordiacutetanak egy fekete oldalaacuteval felfeleacute fekvő
korongot vagy keacutet korongot fordiacutetanak meg melyek koumlzuumll a jobbraacutebb levő fekte Az vesziacutet
aki nem tud toumlbbet leacutepni
25
A megoldaacutes veacutegett szaacutemozzuk meg a korongokat balroacutel jobbra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 3 aacutebra
Aacutelliacutetaacutes A 6 jaacuteteacutek egy aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema eacutepp a fekete sziacutenű korongok sorszaacutemaacutenak
nim-oumlsszege
Bizonyiacutetaacutes Alkossunk ebből a jaacuteteacutekboacutel Nim-jaacuteteacutekot a koumlvetkező keacuteppen Ha az i-edik
korong sziacutene fekete akkor tekintsuumlnk egy ekkora elemszaacutemuacute kupacot a Nim-jaacuteteacutekban ha
feheacuter sziacutenű egy korong akkor nincs ilyen kupacunk Ezzel egy szokaacutesos Nim-jaacuteteacutekot
kapunk Azeacutert tehetjuumlk meg ezt mert a leacutepeacutesek eacutepp ugyanazt eredmeacutenyezik mindkeacutet
jaacuteteacutekban amennyiben megfordiacutetunk egy fekete korongot az annak felel meg ha nim-
jaacuteteacutekban azt a kupacot teljes egeacuteszeacuteben elvesszuumlk eacutes megszűnik Ha egy feheacuter eacutes egy
fekete korongot fordiacutetunk meg melyek koumlzuumll a fekete a jobb oldali akkor azzal
egyeneacuterteacutekű mintha a nim-jaacuteteacutekban bizonyos szaacutemuacute kavicsot elvettuumlnk volna az addigi
kupacboacutel uacutegy hogy a feketeacutere fordiacutetott korong sorszaacutemaacutenak megfelelő kupacmeacuteretet
eacutertuumlnk el (Mert a bal oldali korong sorszaacutema kisebb eacutes iacutegy kisebb elemszaacutemuacute kupacot is
jelent) Tekintsuumlnk erre magyaraacutezatul egy peacuteldaacutet (5 4 aacutebra)
1 2 3
5 4 aacutebra
Ebben a kis jaacuteteacutekban illusztraacuteljuk a korongforgataacutesi leacutepeacutesek eacutes a Nim-jaacuteteacutek kapcsolataacutet
Tekintsuumlk ennek mintaacutejaacutera a 2 eacutes 3 elmeszaacutemuacute kupacokkal jaacutetszott Nim-jaacuteteacutekot
Vilaacutegosan laacutetszik hogy ha megfordiacutetjuk peacuteldaacuteul a 2 szaacutemuacute fekete sziacutenű korongot eacutes iacutegy
az feheacuter lesz akkor ez a leacutepeacutes megegyezik azzal hogy a Nim-jaacuteteacutekban egy leacutepeacutessel
eltuumlntetjuumlk a 2 elemű kupacot Keacutet szabaacutelyos helyzetű korong megfordiacutetaacutesaacuteval ndash legyenek
26
most ezek az 1 eacutes 2 szaacutemuacuteak ndash az 55-oumls aacutebraacuten laacutethatoacute aacutellaacutes joumln leacutetre ami ekvivalens a
Nim-jaacuteteacutek azon leacutepeacuteseacutevel hogy a 2 elemű kupacboacutel 1 kavicsot elveszuumlnk
1 2 3
5 5 aacutebra
Keacutet fekete korong megfordiacutetaacutesa keacutet kupac teljes elveacuteteleacutet jelenteneacute a Nimben ami ilyen
formaacuteban nem szabaacutelyos Azonban ha jobban meggondoljuk ez a leacutepeacutes jelentheti azt
hogy a nagyobb meacuteretű kupacboacutel elveszuumlnk annyi kavicsot hogy az egyenlő legyen a
kisebb elemszaacutemaacuteval mert a nim-oumlsszeadaacutes miatt keacutet azonos meacuteretű kupac nem
befolyaacutesolja az egeacutesz jaacuteteacutek Grundy-szaacutemaacutet azaz a keacutet kupac kiegyenliacuteteacuteseacutevel illetve
teljes elveacuteteluumlkkel kapott Nim-aacutellaacutesok Grundy-szaacutemai megegyeznek
Az 5 3 aacutebra alapjaacuten kialakult aacutellaacutes Grundy-szaacutema tehaacutet 3 10 = 10 A jaacuteteacutek
vesztő aacutellaacutesainak Grundy-szaacutema 0 azaz ha ilyen aacutellaacutesroacutel indul valaki az nem tud nyerni
Ebből a poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacutet keacutepezni csak a 10 elemű kupac teljes elveacuteteleacutevel
lehetseacuteges Tehaacutet a 10-es szaacutemuacute fekete korongot kell megfordiacutetani előszoumlr a
győzelemhez
5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
A most koumlvetkező haacuterom jaacuteteacutekkal a [2] cikkben talaacutelkoztam
7 Jaacuteteacutek (Rim-jaacuteteacutek) Adott neacutehaacuteny kupac kavics A kupacok egyikeacuteből elvehető
akaacutermennyi kavics de csak uacutegy hogy az elvett elemek szaacutema relatiacutev priacutem legyen az elveacutetel
előtti mennyiseacuteghez
Ez a jaacuteteacutek toumlbb egykupacos uacuten bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacuteknak oumlsszege A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek
egy n darab taacutergyat (kavicsot) tartalmazoacute kupacroacutel szoacutel amelyből k elemet vehetuumlnk el
ha k eacutes n relatiacutev priacutemek Ebből koumlvetkezik hogy 1-et mindig elvehetuumlnk az oumlsszes elemet
azonban sosem (mert n oumlnmagaacuteval nem relatiacutev priacutem) kiveacuteve ha 1 darab marad a
kupacban
Jeloumlljuumlk itt az i elemszaacutemuacute Rim-kupacok Grundy-szaacutemaacutet G(Ri)-vel Az első eacutes maacutesodik
Grundy-szaacutem koumlnnyen megmondhatoacute G0 = 0 eacutes G1 = mex (G0) = 1 Ha keacutet elemet
27
tartalmaz a kiindulaacutesi kupac akkor a szabaacutelynak megfelelően az egyetlen lehetőseacuteg 1
kavics elveacutetele ezeacutert G(R2) = mex (1) = 0 Haacuteromelemű kezdőkupacboacutel 1 eacutes 2 elemet is
elvehetuumlnk iacutegy kapjuk hogy G(R3) = mex (G(R1) G(R2) ) = mex (1 0) = 2 Neacutegy elem
eseteacuten G4 = mex (G1 G3) = 0 Hasonloacutean G5 = mex (G(R1) G(R2) G(R3) G(R4)) =
= mex (1 2 0 2) = 3 eacutes iacutegy tovaacutebb A koumlvetkező teacutetelben meghataacuterozzuk aacuteltalaacutenossaacutegban
G(Rn)-et
Teacutetel A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutekban minden paacuteros n elemszaacutemuacute kupacra G(Rn) = 0 valamint
n paacuteratlan elemszaacutem eseteacuten G(Rn) = k ha n legkisebb priacutemosztoacuteja a k-adik priacutemszaacutem (Az
első priacutemszaacutem a 2 maacutesodik a 3 stb)
Bizonyiacutetaacutes n-re vonatkozoacute teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk
a) ha n paacuteros Semelyik esetben sem lehet az egeacutesz kupacot elvenni kiveacuteve ha 1 kavics
marad a kupacban Laacutettuk hogy G(R0) = G2 = 0 Legyen n paacuteros Tegyuumlk fel hogy
minden n-neacutel nem nagyobb paacuteros k szaacutemra G(Rk) = 0 Laacutessuk be ezt (n+2)-re is Mivel
egy paacuteros szaacutem semelyik maacutesik paacuteros szaacutemmal sem relatiacutev priacutem ezeacutert paacuteros darab
kavicsot nem vehetuumlnk el a kupacboacutel ennek okaacuten uacutejabb paacuteros elemszaacutemuacute aacutellaacutes sem
joumlhet leacutetre Paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac ugyan lehet (n+2) kiszomszeacutedja de annak
Grundy-szaacutema biztosan nem 0 mert 1 kavicsot baacutermelyik aacutellaacutesboacutel elvehetuumlnk iacutegy lesz
a paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt n-neacutel nem nagyobb paacuteros elemszaacutemuacute
kupac aminek Grundy-szaacutema 0 Tehaacutet (n+2) elemet tartalmazoacute kupac raacutekoumlvetkezői
koumlzoumltt nem lesz 0 Grundy-szaacutemuacute iacutegy azok legkisebb kizaacutertja eacutepp a 0
b) ha n paacuteratlan Tudjuk hogy G1 = 1 eacutes azt is laacutettuk hogy G3 = 2 Itt is teljes indukcioacutet
hasznaacutelunk Tegyuumlk fel hogy igaz a fenti aacutelliacutetaacutes minden paacuteratlan n-re Bizonyiacutetsuk be
hogy ez az n+2 paacuteratlan szaacutemra is oumlroumlklődik Legyen n+2 legkisebb priacutemosztoacuteja p eacutes
annak sorszaacutema k Ahhoz hogy belaacutessuk hogy Gn+2 = k keacutet dologra van szuumlkseacuteg
1) Minden k-naacutel kisebb szaacutem előfordul az n+2 elemszaacutemuacute aacutellaacutes valamely
kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutemakeacutent
2) Az n+2 elemű kupac egyik kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutema sem k
1) igazolaacutesa 1-et eacutes n+1-et mindig leacutephetuumlnk tehaacutet 1 eacutes 0 Grundy-szaacutemuacute
raacutekoumlvetkezője minden aacutellaacutesnak van Legyen q egy tetszőleges p-neacutel kisebb priacutem ndash
ennek sorszaacutema k-naacutel kisebb eacutes az indukcioacute szerint a q elemű aacutellaacutes Grundy-szaacutema eacutepp
a q sorszaacutema Ekkor meg kell mutatnunk hogy n+2ndashből aminek legkisebb
priacutemosztoacuteja p a q elemszaacutemuacute kupacba leacutepeacutes szabaacutelyos Ez azeacutert igaz mert a
28
jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek
nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek
elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash
hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert
kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute
kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes
2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m
elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb
priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt
k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek
A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő
strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk
8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad
kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja
legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is
elvehetjuumlk)
Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő
tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz
melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk
Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean
G(Di)
Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1
Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva
laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek
bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1
29
1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i
2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan
1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute
kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute
kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei
azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet
elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =
21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i
2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet
eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n
raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l
paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1
Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban
ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra
G(Da) = 0 + 1 = 1
Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek
9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az
egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a
Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya
szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)
Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg
Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal
Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon
mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)
= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet
a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5
kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre
30
11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik
kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az
nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi
Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-
ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet
Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik
jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem
hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy
speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok
bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A
Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő
nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk
valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval
deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek
a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)
stb kupacmeacuteretek
Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt
de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt
5 4 Fibonacci-nim
A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik
13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el
kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve
utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint
amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben
Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz
szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa
előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban
31
Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat
i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2
Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a
koumlvetkező taacuteblaacutezat
Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok
Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő
Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok
oumlsszegeacutere
Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899
Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel
hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga
Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem
akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-
szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert
119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa
kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem
Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele
keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen
Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip
Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel
minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok
legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot
vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)
7 [1] alapjaacuten
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
15
Teacutetel
1) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek kupacmeacutereteinek nim-oumlsszege a1 a2 hellip an ne 0
akkor biztosan leacutetezik olyan leacutepeacutes hogy a kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra
a1rsquo a2rsquohellip anrsquo = 0
2) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekban a1 a2 hellip an = 0 akkor baacutermely leacutepeacutes utaacuten a
kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra a nim-oumlsszeg a1rsquo a2rsquohellip anrsquo 0
Bizonyiacutetaacutes
1) Előszoumlr iacuterjuk fel egymaacutes alaacute a kupacok meacutereteacutet kettes szaacutemrendszerben eacutes adjuk oumlssze
őket nim szerint A ceacutelunk az hogy ezt a kapott oumlsszeget olyan moacutedon 0-ra tudjuk
vaacuteltoztatni ami megfeleltethető egy jaacuteteacutekbeli leacutepeacutessel Ehhez keressuumlk meg azt a
legnagyobb helyieacuterteacuteket (vagyis balroacutel az első olyan oszlopot) ahol paacuteratlan sok 1-es
szerepel - ugyanis ezen a helyieacuterteacuteken a nim-oumlsszegben is 1-es fog szerepelni - eacutes
vaacutelasszuk ki ebből az egyik 1-est legyen ez ai feliacuteraacutesaacuteban Most vaacuteltoztassuk meg ezt
az 1-est 0-ra eacutes ai ettől jobbra leacutevő binaacuteris szaacutemjegyeit is csereacuteljuumlk 1-esre vagy 0-ra
uacutegy hogy veacuteguumll az egeacutesz oumlsszeg 0-ra csoumlkkenjen (Ez megtehető eacutes ezt akkor eacuterjuumlk
el ha minden oszlopban paacuteros szaacutemuacute 1-es lesz) Ezzel a leacutepeacutessel aacuteteacutertuumlnk a Nim(a1rsquo
a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra ahol aj = aj kiveacuteve j = i-re eacutes ebben 0 a nim-oumlsszeg A
feliacuteraacutesban egy sor a jaacuteteacutekban egy kupac elemszaacutemaacutenak felel meg eacutes egy tetszőleges
sort alkotoacute szaacutem csoumlkkenteacutese valamennyivel ekvivalens azzal hogy a neki megfelelő
kupacboacutel ugyanennyi elemet elveszuumlnk Maacuter csak azt kell belaacutetnunk hogy az eljaacuteraacutes
soraacuten valoacuteban az egyik kupac elemszaacutemaacutet csoumlkkentettuumlk (nem noumlveltuumlk) tehaacutet leacutetezik
ilyen leacutepeacutes Ezt nem neheacutez meggondolni mert a legnagyobb helyieacuterteacuteken aacutelloacute 1-est 0-
ra csereacuteltuumlk ndash legyen ez a 2k helyieacuterteacutek ndash eacutes moumlgoumltte a vaacuteltoztataacutesok utaacuten legfeljebb k
-1 darab 1-es aacutellhat melyek eacuterteacuteke tiacutezes szaacutemrendszerben legfeljebb 1 + 2 + 4 + 8 +
+ 2k-1 = 2kndash1 ami biztosan kisebb az előző szaacutemnaacutel Tehaacutet a leiacutert leacutepeacutesek soraacuten valoacuteban
csoumlkkentettuumlk a kupacok meacutereteacutet
Ezt a bizonyiacutetaacutest egeacutesz egyszerűen aacutet lehet gondolni az előzőek alapjaacuten Laacutettuk hogy
a jaacuteteacutek leacutepeacuteseit hogyan tudjuk maacuteskeacutepp leiacuterni elveacutegezni A levezeteacutesből laacutetszik az
hogy 0 nim-oumlsszegből uacutejabb 0 nim-oumlsszegű aacutellaacutest nem tudunk eleacuterni
a1 a2 hellip an = 0 eseteacuten semelyik oszlopban sem lesz paacuteratlan szaacutemuacute 1-es amit
megcsereacutelve joacutel jaacuternaacutenk viszont egy sorban legalaacutebb egy szaacutemot ki kell csereacutelnuumlnk
mert leacutepni muszaacutej Tehaacutet lesz olyan oszlop a leacutepeacutesuumlnk utaacuten melyben paacuteratlan szaacutemuacute
1-es fog aacutellni iacutegy az oumlsszegben is legalaacutebb egy 1-es szerepelni fog
16
Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő
jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege
a1 a2 hellip an ne 0
Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző
teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire
a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet
uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig
fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb
Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud
leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok
Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy
leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is
oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot
jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti
Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti
egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot
Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor
jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen
oumlsszegjaacuteteacutek
sum 119869119894
119899
119868=0
ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet
kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)
Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege
is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek
17
Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg
azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat
Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban
van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz
Bizonyiacutetaacutes
Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva
a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az
bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha
ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik
jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat
b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik
jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő
jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja
szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az
oumlsszeguumlket is
Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala
kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha
első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer
Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg
hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk
az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes
kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű
paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri
a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot
Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező
fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet
18
4 Fejezet Grundy-szaacutemok
A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy
szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni
Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges
jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely
aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az
aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely
adta lehetőseacutegek koumlzuumll
Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű
jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel
1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az
ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel
ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat
leacutepeacuteseket) ismeruumlnk
2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal
leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket
tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek
3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul
annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok
hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak
A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban
nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni
Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia
megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a
toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező
fogalomra
19
Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb
nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt
Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)
Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot
az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de
roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van
Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs
raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden
raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb
kizaacutertja
Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema
Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben
semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute
aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan
raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne
ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb
kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli
raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten
nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute
veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol
minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak
Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok
ciklusmentesseacutegeacutenek
Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema
2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese
3 A [2] cikk alapjaacuten
20
Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos
Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek
Grundy-szaacutemai
Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb
nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-
szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i
a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak
egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk
ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy
G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema
G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be
hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes
felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem
maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1
Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok
illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az
alaacutebbiak
1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0
2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0
3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0
Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja
ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0
Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben
van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek
koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal
vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)
tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel
4 [2] cikk alapjaacuten
21
leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben
megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet
Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud
mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy
ő nyeri a jaacuteteacutekot
Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-
szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)
Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0
Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn
direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)
Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti
indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes
aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)
valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra
maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb
a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel
Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)
raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy
minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy
a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat
oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek
vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden
A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban
oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom
22
5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute
jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok
hasznaacutelata
5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai
Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő
egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti
darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok
Grundy-szaacutemai
Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-
szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő
Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen
innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk
= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz
vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet
el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan
ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute
Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)
vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet
Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent
meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes
strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait
Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem
Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik
ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a
koumlvetkező
5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy
bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek
Grundy-szaacutemaival
23
10 Jaacuteteacutek (Dawsonrsquos Chess) Adott egy 1x n-es teacuteglalap melynek neacutegyzeteibe a jaacuteteacutekosok
felvaacuteltva X-et raknak uacutegy hogy az X jellel ellaacutetott cellaacutek szomszeacutedosak nem lehetnek vagyis
egy X melletti neacutegyzetbe maacutesik X nem keruumllhet Az nyer aki az utolsoacute jelet rakja
Ha jobban meggondoljuk a keacutet jaacuteteacutek megfelel egymaacutesnak Annyi a kuumlloumlnbseacuteg hogy az
itteni neacutegyzetek ott a 2x2-es neacutegyzetek felező vonalainak felelnek meg eacutes az itteni vaacutelasztoacute
raacutecsvonalak pedig a sziacutenezős jaacuteteacutek neacutegyzeteivel egyeznek meg Neacutezzuumlk az alaacutebbi 5 1 aacutebraacuten
szemleacuteltetett peacuteldaacutet
Dawsonrsquos Chess taacutebla egy lehetseacuteges veacutegaacutellaacutessal
A 2 jaacuteteacutek ugyanazt jelentő veacutegső aacutellaacutesa
51 aacutebra
Joacutel laacutethatoacute hogy a 2 jaacuteteacutekban a 2x2-es neacutegyzetek hataacutervonalai eacutepp a Dawsonrsquos Chess-
beli bdquotiltott mezőknekrdquo felelnek meg - amikben nem keruumllhet X jel mert szomszeacutedjukban
maacuter szerepel - mert egy ilyen hataacutervonalra nem eshet maacutesik 2x2-es neacutegyzet felezővonala
hisz akkor a neacutegyzetek takarnaacutek egymaacutest
Feacuteny deruumllt arra6 hogy ennek a jaacuteteacuteknak a Grundy-szaacutemaiboacutel aacutelloacute sorozat 34-es
periodicitaacutesuacute de az elejeacuten van heacutet kiveacutetel a 0 14 16 17 31 34 eacutes 51 helyen aacutelloacute szaacutemok
tekinteteacuteben Utaacutena beaacutell a valoacutedi periodicitaacutes Azok az aacutellaacutesok eacuterdekesek szaacutemunkra a
nyerő strateacutegia kutataacutesa kapcsaacuten melyek Grundy-szaacutema 0 mert ezek a vesztes aacutellaacutesok
Tehaacutet vesztes aacutellaacutesok az elejeacutetől kezdve 1 5 9 15 21 25 29 35 neacutegyzetet tartalmazoacute
kezdőaacutellaacutesok majd az 1 a 15 eacutes 35 kiveacuteteleacutevel ezek k ∙ 34-gyel vett oumlsszegei is vesztő
aacutellaacutesok lesznek a periodicitaacutes miatt
5 2 Jaacuteteacutekok korongokkal
A koumlvetkező jaacuteteacutek a [4] koumlnyvből szaacutermazik
6 Szinteacuten a httpsoeisorg weboldal hasznaacutelataacuteval
X X
24
5 Jaacuteteacutek Egy asztalon sorba 10 korong van lerakva melyeknek egyik oldala feheacuter maacutesik
fekete sziacutenű Ketten jaacutetszanak A soron koumlvetkező mindig kivaacutelaszt egy fekete oldalaacuteval
felfeleacute fekvő korongot majd azt eacutes az oumlsszes tőle jobbra leacutevőt aacutetfordiacutetja a maacutesik oldalaacutera
Akkor van veacutege a jaacuteteacuteknak ha mindegyik korongnak a feheacuter oldala van feluumll Az veszt aki
nem tud toumlbbet leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes hogyan tud győzni
A jaacuteteacutek kimenetele eacutes nyertese fuumlgg a kiindulaacutesi helyzettől Tekintsuumlk az alaacutebbi konkreacutet
kezdőaacutellaacutest (5 2 aacutebra)
5 2 aacutebra
A nyertes strateacutegia nem bonyolult sőt eleacuteg keacutezenfekvő ha belegondolunk tudniillik a
veacutegeredmeacuteny egyaacuteltalaacuten nem a jaacuteteacutekosok leacutepeacutesein muacutelik hanem csupaacuten az utolsoacute korong
sziacuteneacutetől fuumlgg Ugyanis egy korong az utolsoacute helyen aacutelloacute biztosan megfordul minden
leacutepeacutesben Ez leacutepeacutesenkeacutent vaacuteltakozva hol feheacuter hol fekete oldalaacuteval lesz feluumll miacuteg ki nem
alakul a veacutegső nyertes ndash oumlsszes feheacuter ndash aacutellaacutes Ha peacuteldaacuteul kezdetben fekete az utolsoacute
korong akkor az mindig a kezdő jaacuteteacutekos forgataacutesai nyomaacuten fog a feheacuter oldalaacuteval felfeleacute
keruumllni A jaacuteteacutek egyszer veacuteget eacuter eacutes tudjuk hogy az utolsoacute leacutepeacutes a kezdő jaacuteteacutekoseacute lesz
tehaacutet ő nyer Ellenkező esetben - ha a kezdő aacutellapotban feheacuter az utolsoacute korong - a maacutesodik
jaacuteteacutekoseacute a győzelem Tehaacutet teljesen mindegy haacuteny koronggal jaacutetszunk a győztest mindig
a sorban elhelyezett utolsoacute korong sziacutene fogja elaacuterulni Ha az a fekete oldalaacuteval felfeleacute
fekszik akkor a kezdő ha feheacuter sziacutene laacutetszik akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos nyer Iacutegy a fenti
jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
Ha feladatban moacutedosiacutetjuk kicsit a szabaacutelyokat akkor a megoldaacutes is bonyoloacutedik eacutes itt
maacuter fel kell hasznaacutelnunk a Grundy-szaacutemokat illetve a nim-oumlsszeget A koumlvetkező feladat
eacutes megoldaacutesi oumltlete [2] forraacutesboacutel szaacutermazik
6 Jaacuteteacutek Legyen ismeacutet 10 darab korongunk az asztalra sorba lehelyezve A jaacuteteacutekosok
keacutetfeacutele leacutepeacutest hajthatnak veacutegre vagy megfordiacutetanak egy fekete oldalaacuteval felfeleacute fekvő
korongot vagy keacutet korongot fordiacutetanak meg melyek koumlzuumll a jobbraacutebb levő fekte Az vesziacutet
aki nem tud toumlbbet leacutepni
25
A megoldaacutes veacutegett szaacutemozzuk meg a korongokat balroacutel jobbra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 3 aacutebra
Aacutelliacutetaacutes A 6 jaacuteteacutek egy aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema eacutepp a fekete sziacutenű korongok sorszaacutemaacutenak
nim-oumlsszege
Bizonyiacutetaacutes Alkossunk ebből a jaacuteteacutekboacutel Nim-jaacuteteacutekot a koumlvetkező keacuteppen Ha az i-edik
korong sziacutene fekete akkor tekintsuumlnk egy ekkora elemszaacutemuacute kupacot a Nim-jaacuteteacutekban ha
feheacuter sziacutenű egy korong akkor nincs ilyen kupacunk Ezzel egy szokaacutesos Nim-jaacuteteacutekot
kapunk Azeacutert tehetjuumlk meg ezt mert a leacutepeacutesek eacutepp ugyanazt eredmeacutenyezik mindkeacutet
jaacuteteacutekban amennyiben megfordiacutetunk egy fekete korongot az annak felel meg ha nim-
jaacuteteacutekban azt a kupacot teljes egeacuteszeacuteben elvesszuumlk eacutes megszűnik Ha egy feheacuter eacutes egy
fekete korongot fordiacutetunk meg melyek koumlzuumll a fekete a jobb oldali akkor azzal
egyeneacuterteacutekű mintha a nim-jaacuteteacutekban bizonyos szaacutemuacute kavicsot elvettuumlnk volna az addigi
kupacboacutel uacutegy hogy a feketeacutere fordiacutetott korong sorszaacutemaacutenak megfelelő kupacmeacuteretet
eacutertuumlnk el (Mert a bal oldali korong sorszaacutema kisebb eacutes iacutegy kisebb elemszaacutemuacute kupacot is
jelent) Tekintsuumlnk erre magyaraacutezatul egy peacuteldaacutet (5 4 aacutebra)
1 2 3
5 4 aacutebra
Ebben a kis jaacuteteacutekban illusztraacuteljuk a korongforgataacutesi leacutepeacutesek eacutes a Nim-jaacuteteacutek kapcsolataacutet
Tekintsuumlk ennek mintaacutejaacutera a 2 eacutes 3 elmeszaacutemuacute kupacokkal jaacutetszott Nim-jaacuteteacutekot
Vilaacutegosan laacutetszik hogy ha megfordiacutetjuk peacuteldaacuteul a 2 szaacutemuacute fekete sziacutenű korongot eacutes iacutegy
az feheacuter lesz akkor ez a leacutepeacutes megegyezik azzal hogy a Nim-jaacuteteacutekban egy leacutepeacutessel
eltuumlntetjuumlk a 2 elemű kupacot Keacutet szabaacutelyos helyzetű korong megfordiacutetaacutesaacuteval ndash legyenek
26
most ezek az 1 eacutes 2 szaacutemuacuteak ndash az 55-oumls aacutebraacuten laacutethatoacute aacutellaacutes joumln leacutetre ami ekvivalens a
Nim-jaacuteteacutek azon leacutepeacuteseacutevel hogy a 2 elemű kupacboacutel 1 kavicsot elveszuumlnk
1 2 3
5 5 aacutebra
Keacutet fekete korong megfordiacutetaacutesa keacutet kupac teljes elveacuteteleacutet jelenteneacute a Nimben ami ilyen
formaacuteban nem szabaacutelyos Azonban ha jobban meggondoljuk ez a leacutepeacutes jelentheti azt
hogy a nagyobb meacuteretű kupacboacutel elveszuumlnk annyi kavicsot hogy az egyenlő legyen a
kisebb elemszaacutemaacuteval mert a nim-oumlsszeadaacutes miatt keacutet azonos meacuteretű kupac nem
befolyaacutesolja az egeacutesz jaacuteteacutek Grundy-szaacutemaacutet azaz a keacutet kupac kiegyenliacuteteacuteseacutevel illetve
teljes elveacuteteluumlkkel kapott Nim-aacutellaacutesok Grundy-szaacutemai megegyeznek
Az 5 3 aacutebra alapjaacuten kialakult aacutellaacutes Grundy-szaacutema tehaacutet 3 10 = 10 A jaacuteteacutek
vesztő aacutellaacutesainak Grundy-szaacutema 0 azaz ha ilyen aacutellaacutesroacutel indul valaki az nem tud nyerni
Ebből a poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacutet keacutepezni csak a 10 elemű kupac teljes elveacuteteleacutevel
lehetseacuteges Tehaacutet a 10-es szaacutemuacute fekete korongot kell megfordiacutetani előszoumlr a
győzelemhez
5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
A most koumlvetkező haacuterom jaacuteteacutekkal a [2] cikkben talaacutelkoztam
7 Jaacuteteacutek (Rim-jaacuteteacutek) Adott neacutehaacuteny kupac kavics A kupacok egyikeacuteből elvehető
akaacutermennyi kavics de csak uacutegy hogy az elvett elemek szaacutema relatiacutev priacutem legyen az elveacutetel
előtti mennyiseacuteghez
Ez a jaacuteteacutek toumlbb egykupacos uacuten bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacuteknak oumlsszege A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek
egy n darab taacutergyat (kavicsot) tartalmazoacute kupacroacutel szoacutel amelyből k elemet vehetuumlnk el
ha k eacutes n relatiacutev priacutemek Ebből koumlvetkezik hogy 1-et mindig elvehetuumlnk az oumlsszes elemet
azonban sosem (mert n oumlnmagaacuteval nem relatiacutev priacutem) kiveacuteve ha 1 darab marad a
kupacban
Jeloumlljuumlk itt az i elemszaacutemuacute Rim-kupacok Grundy-szaacutemaacutet G(Ri)-vel Az első eacutes maacutesodik
Grundy-szaacutem koumlnnyen megmondhatoacute G0 = 0 eacutes G1 = mex (G0) = 1 Ha keacutet elemet
27
tartalmaz a kiindulaacutesi kupac akkor a szabaacutelynak megfelelően az egyetlen lehetőseacuteg 1
kavics elveacutetele ezeacutert G(R2) = mex (1) = 0 Haacuteromelemű kezdőkupacboacutel 1 eacutes 2 elemet is
elvehetuumlnk iacutegy kapjuk hogy G(R3) = mex (G(R1) G(R2) ) = mex (1 0) = 2 Neacutegy elem
eseteacuten G4 = mex (G1 G3) = 0 Hasonloacutean G5 = mex (G(R1) G(R2) G(R3) G(R4)) =
= mex (1 2 0 2) = 3 eacutes iacutegy tovaacutebb A koumlvetkező teacutetelben meghataacuterozzuk aacuteltalaacutenossaacutegban
G(Rn)-et
Teacutetel A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutekban minden paacuteros n elemszaacutemuacute kupacra G(Rn) = 0 valamint
n paacuteratlan elemszaacutem eseteacuten G(Rn) = k ha n legkisebb priacutemosztoacuteja a k-adik priacutemszaacutem (Az
első priacutemszaacutem a 2 maacutesodik a 3 stb)
Bizonyiacutetaacutes n-re vonatkozoacute teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk
a) ha n paacuteros Semelyik esetben sem lehet az egeacutesz kupacot elvenni kiveacuteve ha 1 kavics
marad a kupacban Laacutettuk hogy G(R0) = G2 = 0 Legyen n paacuteros Tegyuumlk fel hogy
minden n-neacutel nem nagyobb paacuteros k szaacutemra G(Rk) = 0 Laacutessuk be ezt (n+2)-re is Mivel
egy paacuteros szaacutem semelyik maacutesik paacuteros szaacutemmal sem relatiacutev priacutem ezeacutert paacuteros darab
kavicsot nem vehetuumlnk el a kupacboacutel ennek okaacuten uacutejabb paacuteros elemszaacutemuacute aacutellaacutes sem
joumlhet leacutetre Paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac ugyan lehet (n+2) kiszomszeacutedja de annak
Grundy-szaacutema biztosan nem 0 mert 1 kavicsot baacutermelyik aacutellaacutesboacutel elvehetuumlnk iacutegy lesz
a paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt n-neacutel nem nagyobb paacuteros elemszaacutemuacute
kupac aminek Grundy-szaacutema 0 Tehaacutet (n+2) elemet tartalmazoacute kupac raacutekoumlvetkezői
koumlzoumltt nem lesz 0 Grundy-szaacutemuacute iacutegy azok legkisebb kizaacutertja eacutepp a 0
b) ha n paacuteratlan Tudjuk hogy G1 = 1 eacutes azt is laacutettuk hogy G3 = 2 Itt is teljes indukcioacutet
hasznaacutelunk Tegyuumlk fel hogy igaz a fenti aacutelliacutetaacutes minden paacuteratlan n-re Bizonyiacutetsuk be
hogy ez az n+2 paacuteratlan szaacutemra is oumlroumlklődik Legyen n+2 legkisebb priacutemosztoacuteja p eacutes
annak sorszaacutema k Ahhoz hogy belaacutessuk hogy Gn+2 = k keacutet dologra van szuumlkseacuteg
1) Minden k-naacutel kisebb szaacutem előfordul az n+2 elemszaacutemuacute aacutellaacutes valamely
kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutemakeacutent
2) Az n+2 elemű kupac egyik kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutema sem k
1) igazolaacutesa 1-et eacutes n+1-et mindig leacutephetuumlnk tehaacutet 1 eacutes 0 Grundy-szaacutemuacute
raacutekoumlvetkezője minden aacutellaacutesnak van Legyen q egy tetszőleges p-neacutel kisebb priacutem ndash
ennek sorszaacutema k-naacutel kisebb eacutes az indukcioacute szerint a q elemű aacutellaacutes Grundy-szaacutema eacutepp
a q sorszaacutema Ekkor meg kell mutatnunk hogy n+2ndashből aminek legkisebb
priacutemosztoacuteja p a q elemszaacutemuacute kupacba leacutepeacutes szabaacutelyos Ez azeacutert igaz mert a
28
jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek
nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek
elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash
hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert
kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute
kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes
2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m
elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb
priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt
k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek
A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő
strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk
8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad
kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja
legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is
elvehetjuumlk)
Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő
tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz
melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk
Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean
G(Di)
Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1
Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva
laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek
bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1
29
1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i
2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan
1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute
kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute
kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei
azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet
elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =
21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i
2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet
eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n
raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l
paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1
Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban
ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra
G(Da) = 0 + 1 = 1
Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek
9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az
egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a
Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya
szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)
Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg
Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal
Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon
mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)
= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet
a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5
kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre
30
11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik
kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az
nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi
Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-
ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet
Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik
jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem
hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy
speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok
bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A
Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő
nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk
valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval
deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek
a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)
stb kupacmeacuteretek
Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt
de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt
5 4 Fibonacci-nim
A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik
13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el
kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve
utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint
amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben
Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz
szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa
előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban
31
Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat
i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2
Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a
koumlvetkező taacuteblaacutezat
Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok
Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő
Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok
oumlsszegeacutere
Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899
Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel
hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga
Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem
akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-
szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert
119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa
kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem
Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele
keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen
Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip
Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel
minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok
legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot
vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)
7 [1] alapjaacuten
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
16
Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő
jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege
a1 a2 hellip an ne 0
Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző
teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire
a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet
uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig
fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb
Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud
leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok
Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy
leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is
oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot
jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti
Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti
egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot
Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor
jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen
oumlsszegjaacuteteacutek
sum 119869119894
119899
119868=0
ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet
kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)
Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege
is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek
17
Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg
azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat
Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban
van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz
Bizonyiacutetaacutes
Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva
a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az
bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha
ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik
jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat
b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik
jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő
jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja
szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az
oumlsszeguumlket is
Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala
kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha
első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer
Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg
hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk
az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes
kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű
paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri
a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot
Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező
fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet
18
4 Fejezet Grundy-szaacutemok
A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy
szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni
Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges
jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely
aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az
aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely
adta lehetőseacutegek koumlzuumll
Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű
jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel
1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az
ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel
ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat
leacutepeacuteseket) ismeruumlnk
2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal
leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket
tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek
3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul
annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok
hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak
A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban
nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni
Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia
megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a
toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező
fogalomra
19
Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb
nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt
Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)
Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot
az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de
roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van
Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs
raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden
raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb
kizaacutertja
Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema
Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben
semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute
aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan
raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne
ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb
kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli
raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten
nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute
veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol
minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak
Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok
ciklusmentesseacutegeacutenek
Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema
2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese
3 A [2] cikk alapjaacuten
20
Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos
Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek
Grundy-szaacutemai
Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb
nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-
szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i
a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak
egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk
ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy
G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema
G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be
hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes
felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem
maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1
Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok
illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az
alaacutebbiak
1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0
2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0
3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0
Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja
ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0
Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben
van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek
koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal
vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)
tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel
4 [2] cikk alapjaacuten
21
leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben
megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet
Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud
mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy
ő nyeri a jaacuteteacutekot
Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-
szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)
Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0
Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn
direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)
Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti
indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes
aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)
valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra
maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb
a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel
Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)
raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy
minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy
a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat
oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek
vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden
A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban
oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom
22
5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute
jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok
hasznaacutelata
5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai
Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő
egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti
darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok
Grundy-szaacutemai
Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-
szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő
Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen
innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk
= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz
vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet
el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan
ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute
Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)
vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet
Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent
meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes
strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait
Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem
Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik
ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a
koumlvetkező
5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy
bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek
Grundy-szaacutemaival
23
10 Jaacuteteacutek (Dawsonrsquos Chess) Adott egy 1x n-es teacuteglalap melynek neacutegyzeteibe a jaacuteteacutekosok
felvaacuteltva X-et raknak uacutegy hogy az X jellel ellaacutetott cellaacutek szomszeacutedosak nem lehetnek vagyis
egy X melletti neacutegyzetbe maacutesik X nem keruumllhet Az nyer aki az utolsoacute jelet rakja
Ha jobban meggondoljuk a keacutet jaacuteteacutek megfelel egymaacutesnak Annyi a kuumlloumlnbseacuteg hogy az
itteni neacutegyzetek ott a 2x2-es neacutegyzetek felező vonalainak felelnek meg eacutes az itteni vaacutelasztoacute
raacutecsvonalak pedig a sziacutenezős jaacuteteacutek neacutegyzeteivel egyeznek meg Neacutezzuumlk az alaacutebbi 5 1 aacutebraacuten
szemleacuteltetett peacuteldaacutet
Dawsonrsquos Chess taacutebla egy lehetseacuteges veacutegaacutellaacutessal
A 2 jaacuteteacutek ugyanazt jelentő veacutegső aacutellaacutesa
51 aacutebra
Joacutel laacutethatoacute hogy a 2 jaacuteteacutekban a 2x2-es neacutegyzetek hataacutervonalai eacutepp a Dawsonrsquos Chess-
beli bdquotiltott mezőknekrdquo felelnek meg - amikben nem keruumllhet X jel mert szomszeacutedjukban
maacuter szerepel - mert egy ilyen hataacutervonalra nem eshet maacutesik 2x2-es neacutegyzet felezővonala
hisz akkor a neacutegyzetek takarnaacutek egymaacutest
Feacuteny deruumllt arra6 hogy ennek a jaacuteteacuteknak a Grundy-szaacutemaiboacutel aacutelloacute sorozat 34-es
periodicitaacutesuacute de az elejeacuten van heacutet kiveacutetel a 0 14 16 17 31 34 eacutes 51 helyen aacutelloacute szaacutemok
tekinteteacuteben Utaacutena beaacutell a valoacutedi periodicitaacutes Azok az aacutellaacutesok eacuterdekesek szaacutemunkra a
nyerő strateacutegia kutataacutesa kapcsaacuten melyek Grundy-szaacutema 0 mert ezek a vesztes aacutellaacutesok
Tehaacutet vesztes aacutellaacutesok az elejeacutetől kezdve 1 5 9 15 21 25 29 35 neacutegyzetet tartalmazoacute
kezdőaacutellaacutesok majd az 1 a 15 eacutes 35 kiveacuteteleacutevel ezek k ∙ 34-gyel vett oumlsszegei is vesztő
aacutellaacutesok lesznek a periodicitaacutes miatt
5 2 Jaacuteteacutekok korongokkal
A koumlvetkező jaacuteteacutek a [4] koumlnyvből szaacutermazik
6 Szinteacuten a httpsoeisorg weboldal hasznaacutelataacuteval
X X
24
5 Jaacuteteacutek Egy asztalon sorba 10 korong van lerakva melyeknek egyik oldala feheacuter maacutesik
fekete sziacutenű Ketten jaacutetszanak A soron koumlvetkező mindig kivaacutelaszt egy fekete oldalaacuteval
felfeleacute fekvő korongot majd azt eacutes az oumlsszes tőle jobbra leacutevőt aacutetfordiacutetja a maacutesik oldalaacutera
Akkor van veacutege a jaacuteteacuteknak ha mindegyik korongnak a feheacuter oldala van feluumll Az veszt aki
nem tud toumlbbet leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes hogyan tud győzni
A jaacuteteacutek kimenetele eacutes nyertese fuumlgg a kiindulaacutesi helyzettől Tekintsuumlk az alaacutebbi konkreacutet
kezdőaacutellaacutest (5 2 aacutebra)
5 2 aacutebra
A nyertes strateacutegia nem bonyolult sőt eleacuteg keacutezenfekvő ha belegondolunk tudniillik a
veacutegeredmeacuteny egyaacuteltalaacuten nem a jaacuteteacutekosok leacutepeacutesein muacutelik hanem csupaacuten az utolsoacute korong
sziacuteneacutetől fuumlgg Ugyanis egy korong az utolsoacute helyen aacutelloacute biztosan megfordul minden
leacutepeacutesben Ez leacutepeacutesenkeacutent vaacuteltakozva hol feheacuter hol fekete oldalaacuteval lesz feluumll miacuteg ki nem
alakul a veacutegső nyertes ndash oumlsszes feheacuter ndash aacutellaacutes Ha peacuteldaacuteul kezdetben fekete az utolsoacute
korong akkor az mindig a kezdő jaacuteteacutekos forgataacutesai nyomaacuten fog a feheacuter oldalaacuteval felfeleacute
keruumllni A jaacuteteacutek egyszer veacuteget eacuter eacutes tudjuk hogy az utolsoacute leacutepeacutes a kezdő jaacuteteacutekoseacute lesz
tehaacutet ő nyer Ellenkező esetben - ha a kezdő aacutellapotban feheacuter az utolsoacute korong - a maacutesodik
jaacuteteacutekoseacute a győzelem Tehaacutet teljesen mindegy haacuteny koronggal jaacutetszunk a győztest mindig
a sorban elhelyezett utolsoacute korong sziacutene fogja elaacuterulni Ha az a fekete oldalaacuteval felfeleacute
fekszik akkor a kezdő ha feheacuter sziacutene laacutetszik akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos nyer Iacutegy a fenti
jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
Ha feladatban moacutedosiacutetjuk kicsit a szabaacutelyokat akkor a megoldaacutes is bonyoloacutedik eacutes itt
maacuter fel kell hasznaacutelnunk a Grundy-szaacutemokat illetve a nim-oumlsszeget A koumlvetkező feladat
eacutes megoldaacutesi oumltlete [2] forraacutesboacutel szaacutermazik
6 Jaacuteteacutek Legyen ismeacutet 10 darab korongunk az asztalra sorba lehelyezve A jaacuteteacutekosok
keacutetfeacutele leacutepeacutest hajthatnak veacutegre vagy megfordiacutetanak egy fekete oldalaacuteval felfeleacute fekvő
korongot vagy keacutet korongot fordiacutetanak meg melyek koumlzuumll a jobbraacutebb levő fekte Az vesziacutet
aki nem tud toumlbbet leacutepni
25
A megoldaacutes veacutegett szaacutemozzuk meg a korongokat balroacutel jobbra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 3 aacutebra
Aacutelliacutetaacutes A 6 jaacuteteacutek egy aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema eacutepp a fekete sziacutenű korongok sorszaacutemaacutenak
nim-oumlsszege
Bizonyiacutetaacutes Alkossunk ebből a jaacuteteacutekboacutel Nim-jaacuteteacutekot a koumlvetkező keacuteppen Ha az i-edik
korong sziacutene fekete akkor tekintsuumlnk egy ekkora elemszaacutemuacute kupacot a Nim-jaacuteteacutekban ha
feheacuter sziacutenű egy korong akkor nincs ilyen kupacunk Ezzel egy szokaacutesos Nim-jaacuteteacutekot
kapunk Azeacutert tehetjuumlk meg ezt mert a leacutepeacutesek eacutepp ugyanazt eredmeacutenyezik mindkeacutet
jaacuteteacutekban amennyiben megfordiacutetunk egy fekete korongot az annak felel meg ha nim-
jaacuteteacutekban azt a kupacot teljes egeacuteszeacuteben elvesszuumlk eacutes megszűnik Ha egy feheacuter eacutes egy
fekete korongot fordiacutetunk meg melyek koumlzuumll a fekete a jobb oldali akkor azzal
egyeneacuterteacutekű mintha a nim-jaacuteteacutekban bizonyos szaacutemuacute kavicsot elvettuumlnk volna az addigi
kupacboacutel uacutegy hogy a feketeacutere fordiacutetott korong sorszaacutemaacutenak megfelelő kupacmeacuteretet
eacutertuumlnk el (Mert a bal oldali korong sorszaacutema kisebb eacutes iacutegy kisebb elemszaacutemuacute kupacot is
jelent) Tekintsuumlnk erre magyaraacutezatul egy peacuteldaacutet (5 4 aacutebra)
1 2 3
5 4 aacutebra
Ebben a kis jaacuteteacutekban illusztraacuteljuk a korongforgataacutesi leacutepeacutesek eacutes a Nim-jaacuteteacutek kapcsolataacutet
Tekintsuumlk ennek mintaacutejaacutera a 2 eacutes 3 elmeszaacutemuacute kupacokkal jaacutetszott Nim-jaacuteteacutekot
Vilaacutegosan laacutetszik hogy ha megfordiacutetjuk peacuteldaacuteul a 2 szaacutemuacute fekete sziacutenű korongot eacutes iacutegy
az feheacuter lesz akkor ez a leacutepeacutes megegyezik azzal hogy a Nim-jaacuteteacutekban egy leacutepeacutessel
eltuumlntetjuumlk a 2 elemű kupacot Keacutet szabaacutelyos helyzetű korong megfordiacutetaacutesaacuteval ndash legyenek
26
most ezek az 1 eacutes 2 szaacutemuacuteak ndash az 55-oumls aacutebraacuten laacutethatoacute aacutellaacutes joumln leacutetre ami ekvivalens a
Nim-jaacuteteacutek azon leacutepeacuteseacutevel hogy a 2 elemű kupacboacutel 1 kavicsot elveszuumlnk
1 2 3
5 5 aacutebra
Keacutet fekete korong megfordiacutetaacutesa keacutet kupac teljes elveacuteteleacutet jelenteneacute a Nimben ami ilyen
formaacuteban nem szabaacutelyos Azonban ha jobban meggondoljuk ez a leacutepeacutes jelentheti azt
hogy a nagyobb meacuteretű kupacboacutel elveszuumlnk annyi kavicsot hogy az egyenlő legyen a
kisebb elemszaacutemaacuteval mert a nim-oumlsszeadaacutes miatt keacutet azonos meacuteretű kupac nem
befolyaacutesolja az egeacutesz jaacuteteacutek Grundy-szaacutemaacutet azaz a keacutet kupac kiegyenliacuteteacuteseacutevel illetve
teljes elveacuteteluumlkkel kapott Nim-aacutellaacutesok Grundy-szaacutemai megegyeznek
Az 5 3 aacutebra alapjaacuten kialakult aacutellaacutes Grundy-szaacutema tehaacutet 3 10 = 10 A jaacuteteacutek
vesztő aacutellaacutesainak Grundy-szaacutema 0 azaz ha ilyen aacutellaacutesroacutel indul valaki az nem tud nyerni
Ebből a poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacutet keacutepezni csak a 10 elemű kupac teljes elveacuteteleacutevel
lehetseacuteges Tehaacutet a 10-es szaacutemuacute fekete korongot kell megfordiacutetani előszoumlr a
győzelemhez
5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
A most koumlvetkező haacuterom jaacuteteacutekkal a [2] cikkben talaacutelkoztam
7 Jaacuteteacutek (Rim-jaacuteteacutek) Adott neacutehaacuteny kupac kavics A kupacok egyikeacuteből elvehető
akaacutermennyi kavics de csak uacutegy hogy az elvett elemek szaacutema relatiacutev priacutem legyen az elveacutetel
előtti mennyiseacuteghez
Ez a jaacuteteacutek toumlbb egykupacos uacuten bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacuteknak oumlsszege A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek
egy n darab taacutergyat (kavicsot) tartalmazoacute kupacroacutel szoacutel amelyből k elemet vehetuumlnk el
ha k eacutes n relatiacutev priacutemek Ebből koumlvetkezik hogy 1-et mindig elvehetuumlnk az oumlsszes elemet
azonban sosem (mert n oumlnmagaacuteval nem relatiacutev priacutem) kiveacuteve ha 1 darab marad a
kupacban
Jeloumlljuumlk itt az i elemszaacutemuacute Rim-kupacok Grundy-szaacutemaacutet G(Ri)-vel Az első eacutes maacutesodik
Grundy-szaacutem koumlnnyen megmondhatoacute G0 = 0 eacutes G1 = mex (G0) = 1 Ha keacutet elemet
27
tartalmaz a kiindulaacutesi kupac akkor a szabaacutelynak megfelelően az egyetlen lehetőseacuteg 1
kavics elveacutetele ezeacutert G(R2) = mex (1) = 0 Haacuteromelemű kezdőkupacboacutel 1 eacutes 2 elemet is
elvehetuumlnk iacutegy kapjuk hogy G(R3) = mex (G(R1) G(R2) ) = mex (1 0) = 2 Neacutegy elem
eseteacuten G4 = mex (G1 G3) = 0 Hasonloacutean G5 = mex (G(R1) G(R2) G(R3) G(R4)) =
= mex (1 2 0 2) = 3 eacutes iacutegy tovaacutebb A koumlvetkező teacutetelben meghataacuterozzuk aacuteltalaacutenossaacutegban
G(Rn)-et
Teacutetel A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutekban minden paacuteros n elemszaacutemuacute kupacra G(Rn) = 0 valamint
n paacuteratlan elemszaacutem eseteacuten G(Rn) = k ha n legkisebb priacutemosztoacuteja a k-adik priacutemszaacutem (Az
első priacutemszaacutem a 2 maacutesodik a 3 stb)
Bizonyiacutetaacutes n-re vonatkozoacute teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk
a) ha n paacuteros Semelyik esetben sem lehet az egeacutesz kupacot elvenni kiveacuteve ha 1 kavics
marad a kupacban Laacutettuk hogy G(R0) = G2 = 0 Legyen n paacuteros Tegyuumlk fel hogy
minden n-neacutel nem nagyobb paacuteros k szaacutemra G(Rk) = 0 Laacutessuk be ezt (n+2)-re is Mivel
egy paacuteros szaacutem semelyik maacutesik paacuteros szaacutemmal sem relatiacutev priacutem ezeacutert paacuteros darab
kavicsot nem vehetuumlnk el a kupacboacutel ennek okaacuten uacutejabb paacuteros elemszaacutemuacute aacutellaacutes sem
joumlhet leacutetre Paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac ugyan lehet (n+2) kiszomszeacutedja de annak
Grundy-szaacutema biztosan nem 0 mert 1 kavicsot baacutermelyik aacutellaacutesboacutel elvehetuumlnk iacutegy lesz
a paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt n-neacutel nem nagyobb paacuteros elemszaacutemuacute
kupac aminek Grundy-szaacutema 0 Tehaacutet (n+2) elemet tartalmazoacute kupac raacutekoumlvetkezői
koumlzoumltt nem lesz 0 Grundy-szaacutemuacute iacutegy azok legkisebb kizaacutertja eacutepp a 0
b) ha n paacuteratlan Tudjuk hogy G1 = 1 eacutes azt is laacutettuk hogy G3 = 2 Itt is teljes indukcioacutet
hasznaacutelunk Tegyuumlk fel hogy igaz a fenti aacutelliacutetaacutes minden paacuteratlan n-re Bizonyiacutetsuk be
hogy ez az n+2 paacuteratlan szaacutemra is oumlroumlklődik Legyen n+2 legkisebb priacutemosztoacuteja p eacutes
annak sorszaacutema k Ahhoz hogy belaacutessuk hogy Gn+2 = k keacutet dologra van szuumlkseacuteg
1) Minden k-naacutel kisebb szaacutem előfordul az n+2 elemszaacutemuacute aacutellaacutes valamely
kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutemakeacutent
2) Az n+2 elemű kupac egyik kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutema sem k
1) igazolaacutesa 1-et eacutes n+1-et mindig leacutephetuumlnk tehaacutet 1 eacutes 0 Grundy-szaacutemuacute
raacutekoumlvetkezője minden aacutellaacutesnak van Legyen q egy tetszőleges p-neacutel kisebb priacutem ndash
ennek sorszaacutema k-naacutel kisebb eacutes az indukcioacute szerint a q elemű aacutellaacutes Grundy-szaacutema eacutepp
a q sorszaacutema Ekkor meg kell mutatnunk hogy n+2ndashből aminek legkisebb
priacutemosztoacuteja p a q elemszaacutemuacute kupacba leacutepeacutes szabaacutelyos Ez azeacutert igaz mert a
28
jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek
nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek
elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash
hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert
kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute
kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes
2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m
elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb
priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt
k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek
A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő
strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk
8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad
kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja
legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is
elvehetjuumlk)
Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő
tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz
melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk
Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean
G(Di)
Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1
Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva
laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek
bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1
29
1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i
2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan
1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute
kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute
kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei
azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet
elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =
21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i
2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet
eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n
raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l
paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1
Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban
ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra
G(Da) = 0 + 1 = 1
Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek
9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az
egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a
Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya
szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)
Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg
Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal
Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon
mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)
= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet
a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5
kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre
30
11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik
kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az
nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi
Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-
ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet
Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik
jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem
hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy
speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok
bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A
Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő
nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk
valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval
deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek
a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)
stb kupacmeacuteretek
Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt
de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt
5 4 Fibonacci-nim
A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik
13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el
kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve
utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint
amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben
Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz
szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa
előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban
31
Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat
i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2
Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a
koumlvetkező taacuteblaacutezat
Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok
Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő
Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok
oumlsszegeacutere
Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899
Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel
hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga
Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem
akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-
szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert
119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa
kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem
Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele
keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen
Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip
Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel
minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok
legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot
vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)
7 [1] alapjaacuten
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
17
Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg
azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat
Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban
van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz
Bizonyiacutetaacutes
Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva
a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az
bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha
ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik
jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat
b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik
jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő
jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja
szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az
oumlsszeguumlket is
Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala
kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha
első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer
Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg
hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk
az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes
kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű
paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri
a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot
Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező
fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet
18
4 Fejezet Grundy-szaacutemok
A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy
szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni
Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges
jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely
aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az
aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely
adta lehetőseacutegek koumlzuumll
Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű
jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel
1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az
ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel
ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat
leacutepeacuteseket) ismeruumlnk
2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal
leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket
tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek
3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul
annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok
hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak
A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban
nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni
Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia
megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a
toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező
fogalomra
19
Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb
nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt
Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)
Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot
az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de
roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van
Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs
raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden
raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb
kizaacutertja
Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema
Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben
semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute
aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan
raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne
ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb
kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli
raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten
nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute
veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol
minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak
Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok
ciklusmentesseacutegeacutenek
Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema
2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese
3 A [2] cikk alapjaacuten
20
Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos
Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek
Grundy-szaacutemai
Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb
nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-
szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i
a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak
egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk
ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy
G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema
G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be
hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes
felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem
maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1
Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok
illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az
alaacutebbiak
1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0
2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0
3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0
Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja
ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0
Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben
van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek
koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal
vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)
tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel
4 [2] cikk alapjaacuten
21
leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben
megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet
Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud
mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy
ő nyeri a jaacuteteacutekot
Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-
szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)
Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0
Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn
direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)
Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti
indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes
aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)
valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra
maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb
a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel
Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)
raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy
minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy
a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat
oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek
vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden
A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban
oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom
22
5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute
jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok
hasznaacutelata
5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai
Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő
egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti
darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok
Grundy-szaacutemai
Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-
szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő
Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen
innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk
= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz
vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet
el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan
ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute
Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)
vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet
Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent
meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes
strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait
Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem
Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik
ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a
koumlvetkező
5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy
bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek
Grundy-szaacutemaival
23
10 Jaacuteteacutek (Dawsonrsquos Chess) Adott egy 1x n-es teacuteglalap melynek neacutegyzeteibe a jaacuteteacutekosok
felvaacuteltva X-et raknak uacutegy hogy az X jellel ellaacutetott cellaacutek szomszeacutedosak nem lehetnek vagyis
egy X melletti neacutegyzetbe maacutesik X nem keruumllhet Az nyer aki az utolsoacute jelet rakja
Ha jobban meggondoljuk a keacutet jaacuteteacutek megfelel egymaacutesnak Annyi a kuumlloumlnbseacuteg hogy az
itteni neacutegyzetek ott a 2x2-es neacutegyzetek felező vonalainak felelnek meg eacutes az itteni vaacutelasztoacute
raacutecsvonalak pedig a sziacutenezős jaacuteteacutek neacutegyzeteivel egyeznek meg Neacutezzuumlk az alaacutebbi 5 1 aacutebraacuten
szemleacuteltetett peacuteldaacutet
Dawsonrsquos Chess taacutebla egy lehetseacuteges veacutegaacutellaacutessal
A 2 jaacuteteacutek ugyanazt jelentő veacutegső aacutellaacutesa
51 aacutebra
Joacutel laacutethatoacute hogy a 2 jaacuteteacutekban a 2x2-es neacutegyzetek hataacutervonalai eacutepp a Dawsonrsquos Chess-
beli bdquotiltott mezőknekrdquo felelnek meg - amikben nem keruumllhet X jel mert szomszeacutedjukban
maacuter szerepel - mert egy ilyen hataacutervonalra nem eshet maacutesik 2x2-es neacutegyzet felezővonala
hisz akkor a neacutegyzetek takarnaacutek egymaacutest
Feacuteny deruumllt arra6 hogy ennek a jaacuteteacuteknak a Grundy-szaacutemaiboacutel aacutelloacute sorozat 34-es
periodicitaacutesuacute de az elejeacuten van heacutet kiveacutetel a 0 14 16 17 31 34 eacutes 51 helyen aacutelloacute szaacutemok
tekinteteacuteben Utaacutena beaacutell a valoacutedi periodicitaacutes Azok az aacutellaacutesok eacuterdekesek szaacutemunkra a
nyerő strateacutegia kutataacutesa kapcsaacuten melyek Grundy-szaacutema 0 mert ezek a vesztes aacutellaacutesok
Tehaacutet vesztes aacutellaacutesok az elejeacutetől kezdve 1 5 9 15 21 25 29 35 neacutegyzetet tartalmazoacute
kezdőaacutellaacutesok majd az 1 a 15 eacutes 35 kiveacuteteleacutevel ezek k ∙ 34-gyel vett oumlsszegei is vesztő
aacutellaacutesok lesznek a periodicitaacutes miatt
5 2 Jaacuteteacutekok korongokkal
A koumlvetkező jaacuteteacutek a [4] koumlnyvből szaacutermazik
6 Szinteacuten a httpsoeisorg weboldal hasznaacutelataacuteval
X X
24
5 Jaacuteteacutek Egy asztalon sorba 10 korong van lerakva melyeknek egyik oldala feheacuter maacutesik
fekete sziacutenű Ketten jaacutetszanak A soron koumlvetkező mindig kivaacutelaszt egy fekete oldalaacuteval
felfeleacute fekvő korongot majd azt eacutes az oumlsszes tőle jobbra leacutevőt aacutetfordiacutetja a maacutesik oldalaacutera
Akkor van veacutege a jaacuteteacuteknak ha mindegyik korongnak a feheacuter oldala van feluumll Az veszt aki
nem tud toumlbbet leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes hogyan tud győzni
A jaacuteteacutek kimenetele eacutes nyertese fuumlgg a kiindulaacutesi helyzettől Tekintsuumlk az alaacutebbi konkreacutet
kezdőaacutellaacutest (5 2 aacutebra)
5 2 aacutebra
A nyertes strateacutegia nem bonyolult sőt eleacuteg keacutezenfekvő ha belegondolunk tudniillik a
veacutegeredmeacuteny egyaacuteltalaacuten nem a jaacuteteacutekosok leacutepeacutesein muacutelik hanem csupaacuten az utolsoacute korong
sziacuteneacutetől fuumlgg Ugyanis egy korong az utolsoacute helyen aacutelloacute biztosan megfordul minden
leacutepeacutesben Ez leacutepeacutesenkeacutent vaacuteltakozva hol feheacuter hol fekete oldalaacuteval lesz feluumll miacuteg ki nem
alakul a veacutegső nyertes ndash oumlsszes feheacuter ndash aacutellaacutes Ha peacuteldaacuteul kezdetben fekete az utolsoacute
korong akkor az mindig a kezdő jaacuteteacutekos forgataacutesai nyomaacuten fog a feheacuter oldalaacuteval felfeleacute
keruumllni A jaacuteteacutek egyszer veacuteget eacuter eacutes tudjuk hogy az utolsoacute leacutepeacutes a kezdő jaacuteteacutekoseacute lesz
tehaacutet ő nyer Ellenkező esetben - ha a kezdő aacutellapotban feheacuter az utolsoacute korong - a maacutesodik
jaacuteteacutekoseacute a győzelem Tehaacutet teljesen mindegy haacuteny koronggal jaacutetszunk a győztest mindig
a sorban elhelyezett utolsoacute korong sziacutene fogja elaacuterulni Ha az a fekete oldalaacuteval felfeleacute
fekszik akkor a kezdő ha feheacuter sziacutene laacutetszik akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos nyer Iacutegy a fenti
jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
Ha feladatban moacutedosiacutetjuk kicsit a szabaacutelyokat akkor a megoldaacutes is bonyoloacutedik eacutes itt
maacuter fel kell hasznaacutelnunk a Grundy-szaacutemokat illetve a nim-oumlsszeget A koumlvetkező feladat
eacutes megoldaacutesi oumltlete [2] forraacutesboacutel szaacutermazik
6 Jaacuteteacutek Legyen ismeacutet 10 darab korongunk az asztalra sorba lehelyezve A jaacuteteacutekosok
keacutetfeacutele leacutepeacutest hajthatnak veacutegre vagy megfordiacutetanak egy fekete oldalaacuteval felfeleacute fekvő
korongot vagy keacutet korongot fordiacutetanak meg melyek koumlzuumll a jobbraacutebb levő fekte Az vesziacutet
aki nem tud toumlbbet leacutepni
25
A megoldaacutes veacutegett szaacutemozzuk meg a korongokat balroacutel jobbra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 3 aacutebra
Aacutelliacutetaacutes A 6 jaacuteteacutek egy aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema eacutepp a fekete sziacutenű korongok sorszaacutemaacutenak
nim-oumlsszege
Bizonyiacutetaacutes Alkossunk ebből a jaacuteteacutekboacutel Nim-jaacuteteacutekot a koumlvetkező keacuteppen Ha az i-edik
korong sziacutene fekete akkor tekintsuumlnk egy ekkora elemszaacutemuacute kupacot a Nim-jaacuteteacutekban ha
feheacuter sziacutenű egy korong akkor nincs ilyen kupacunk Ezzel egy szokaacutesos Nim-jaacuteteacutekot
kapunk Azeacutert tehetjuumlk meg ezt mert a leacutepeacutesek eacutepp ugyanazt eredmeacutenyezik mindkeacutet
jaacuteteacutekban amennyiben megfordiacutetunk egy fekete korongot az annak felel meg ha nim-
jaacuteteacutekban azt a kupacot teljes egeacuteszeacuteben elvesszuumlk eacutes megszűnik Ha egy feheacuter eacutes egy
fekete korongot fordiacutetunk meg melyek koumlzuumll a fekete a jobb oldali akkor azzal
egyeneacuterteacutekű mintha a nim-jaacuteteacutekban bizonyos szaacutemuacute kavicsot elvettuumlnk volna az addigi
kupacboacutel uacutegy hogy a feketeacutere fordiacutetott korong sorszaacutemaacutenak megfelelő kupacmeacuteretet
eacutertuumlnk el (Mert a bal oldali korong sorszaacutema kisebb eacutes iacutegy kisebb elemszaacutemuacute kupacot is
jelent) Tekintsuumlnk erre magyaraacutezatul egy peacuteldaacutet (5 4 aacutebra)
1 2 3
5 4 aacutebra
Ebben a kis jaacuteteacutekban illusztraacuteljuk a korongforgataacutesi leacutepeacutesek eacutes a Nim-jaacuteteacutek kapcsolataacutet
Tekintsuumlk ennek mintaacutejaacutera a 2 eacutes 3 elmeszaacutemuacute kupacokkal jaacutetszott Nim-jaacuteteacutekot
Vilaacutegosan laacutetszik hogy ha megfordiacutetjuk peacuteldaacuteul a 2 szaacutemuacute fekete sziacutenű korongot eacutes iacutegy
az feheacuter lesz akkor ez a leacutepeacutes megegyezik azzal hogy a Nim-jaacuteteacutekban egy leacutepeacutessel
eltuumlntetjuumlk a 2 elemű kupacot Keacutet szabaacutelyos helyzetű korong megfordiacutetaacutesaacuteval ndash legyenek
26
most ezek az 1 eacutes 2 szaacutemuacuteak ndash az 55-oumls aacutebraacuten laacutethatoacute aacutellaacutes joumln leacutetre ami ekvivalens a
Nim-jaacuteteacutek azon leacutepeacuteseacutevel hogy a 2 elemű kupacboacutel 1 kavicsot elveszuumlnk
1 2 3
5 5 aacutebra
Keacutet fekete korong megfordiacutetaacutesa keacutet kupac teljes elveacuteteleacutet jelenteneacute a Nimben ami ilyen
formaacuteban nem szabaacutelyos Azonban ha jobban meggondoljuk ez a leacutepeacutes jelentheti azt
hogy a nagyobb meacuteretű kupacboacutel elveszuumlnk annyi kavicsot hogy az egyenlő legyen a
kisebb elemszaacutemaacuteval mert a nim-oumlsszeadaacutes miatt keacutet azonos meacuteretű kupac nem
befolyaacutesolja az egeacutesz jaacuteteacutek Grundy-szaacutemaacutet azaz a keacutet kupac kiegyenliacuteteacuteseacutevel illetve
teljes elveacuteteluumlkkel kapott Nim-aacutellaacutesok Grundy-szaacutemai megegyeznek
Az 5 3 aacutebra alapjaacuten kialakult aacutellaacutes Grundy-szaacutema tehaacutet 3 10 = 10 A jaacuteteacutek
vesztő aacutellaacutesainak Grundy-szaacutema 0 azaz ha ilyen aacutellaacutesroacutel indul valaki az nem tud nyerni
Ebből a poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacutet keacutepezni csak a 10 elemű kupac teljes elveacuteteleacutevel
lehetseacuteges Tehaacutet a 10-es szaacutemuacute fekete korongot kell megfordiacutetani előszoumlr a
győzelemhez
5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
A most koumlvetkező haacuterom jaacuteteacutekkal a [2] cikkben talaacutelkoztam
7 Jaacuteteacutek (Rim-jaacuteteacutek) Adott neacutehaacuteny kupac kavics A kupacok egyikeacuteből elvehető
akaacutermennyi kavics de csak uacutegy hogy az elvett elemek szaacutema relatiacutev priacutem legyen az elveacutetel
előtti mennyiseacuteghez
Ez a jaacuteteacutek toumlbb egykupacos uacuten bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacuteknak oumlsszege A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek
egy n darab taacutergyat (kavicsot) tartalmazoacute kupacroacutel szoacutel amelyből k elemet vehetuumlnk el
ha k eacutes n relatiacutev priacutemek Ebből koumlvetkezik hogy 1-et mindig elvehetuumlnk az oumlsszes elemet
azonban sosem (mert n oumlnmagaacuteval nem relatiacutev priacutem) kiveacuteve ha 1 darab marad a
kupacban
Jeloumlljuumlk itt az i elemszaacutemuacute Rim-kupacok Grundy-szaacutemaacutet G(Ri)-vel Az első eacutes maacutesodik
Grundy-szaacutem koumlnnyen megmondhatoacute G0 = 0 eacutes G1 = mex (G0) = 1 Ha keacutet elemet
27
tartalmaz a kiindulaacutesi kupac akkor a szabaacutelynak megfelelően az egyetlen lehetőseacuteg 1
kavics elveacutetele ezeacutert G(R2) = mex (1) = 0 Haacuteromelemű kezdőkupacboacutel 1 eacutes 2 elemet is
elvehetuumlnk iacutegy kapjuk hogy G(R3) = mex (G(R1) G(R2) ) = mex (1 0) = 2 Neacutegy elem
eseteacuten G4 = mex (G1 G3) = 0 Hasonloacutean G5 = mex (G(R1) G(R2) G(R3) G(R4)) =
= mex (1 2 0 2) = 3 eacutes iacutegy tovaacutebb A koumlvetkező teacutetelben meghataacuterozzuk aacuteltalaacutenossaacutegban
G(Rn)-et
Teacutetel A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutekban minden paacuteros n elemszaacutemuacute kupacra G(Rn) = 0 valamint
n paacuteratlan elemszaacutem eseteacuten G(Rn) = k ha n legkisebb priacutemosztoacuteja a k-adik priacutemszaacutem (Az
első priacutemszaacutem a 2 maacutesodik a 3 stb)
Bizonyiacutetaacutes n-re vonatkozoacute teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk
a) ha n paacuteros Semelyik esetben sem lehet az egeacutesz kupacot elvenni kiveacuteve ha 1 kavics
marad a kupacban Laacutettuk hogy G(R0) = G2 = 0 Legyen n paacuteros Tegyuumlk fel hogy
minden n-neacutel nem nagyobb paacuteros k szaacutemra G(Rk) = 0 Laacutessuk be ezt (n+2)-re is Mivel
egy paacuteros szaacutem semelyik maacutesik paacuteros szaacutemmal sem relatiacutev priacutem ezeacutert paacuteros darab
kavicsot nem vehetuumlnk el a kupacboacutel ennek okaacuten uacutejabb paacuteros elemszaacutemuacute aacutellaacutes sem
joumlhet leacutetre Paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac ugyan lehet (n+2) kiszomszeacutedja de annak
Grundy-szaacutema biztosan nem 0 mert 1 kavicsot baacutermelyik aacutellaacutesboacutel elvehetuumlnk iacutegy lesz
a paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt n-neacutel nem nagyobb paacuteros elemszaacutemuacute
kupac aminek Grundy-szaacutema 0 Tehaacutet (n+2) elemet tartalmazoacute kupac raacutekoumlvetkezői
koumlzoumltt nem lesz 0 Grundy-szaacutemuacute iacutegy azok legkisebb kizaacutertja eacutepp a 0
b) ha n paacuteratlan Tudjuk hogy G1 = 1 eacutes azt is laacutettuk hogy G3 = 2 Itt is teljes indukcioacutet
hasznaacutelunk Tegyuumlk fel hogy igaz a fenti aacutelliacutetaacutes minden paacuteratlan n-re Bizonyiacutetsuk be
hogy ez az n+2 paacuteratlan szaacutemra is oumlroumlklődik Legyen n+2 legkisebb priacutemosztoacuteja p eacutes
annak sorszaacutema k Ahhoz hogy belaacutessuk hogy Gn+2 = k keacutet dologra van szuumlkseacuteg
1) Minden k-naacutel kisebb szaacutem előfordul az n+2 elemszaacutemuacute aacutellaacutes valamely
kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutemakeacutent
2) Az n+2 elemű kupac egyik kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutema sem k
1) igazolaacutesa 1-et eacutes n+1-et mindig leacutephetuumlnk tehaacutet 1 eacutes 0 Grundy-szaacutemuacute
raacutekoumlvetkezője minden aacutellaacutesnak van Legyen q egy tetszőleges p-neacutel kisebb priacutem ndash
ennek sorszaacutema k-naacutel kisebb eacutes az indukcioacute szerint a q elemű aacutellaacutes Grundy-szaacutema eacutepp
a q sorszaacutema Ekkor meg kell mutatnunk hogy n+2ndashből aminek legkisebb
priacutemosztoacuteja p a q elemszaacutemuacute kupacba leacutepeacutes szabaacutelyos Ez azeacutert igaz mert a
28
jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek
nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek
elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash
hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert
kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute
kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes
2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m
elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb
priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt
k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek
A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő
strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk
8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad
kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja
legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is
elvehetjuumlk)
Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő
tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz
melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk
Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean
G(Di)
Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1
Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva
laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek
bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1
29
1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i
2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan
1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute
kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute
kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei
azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet
elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =
21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i
2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet
eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n
raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l
paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1
Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban
ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra
G(Da) = 0 + 1 = 1
Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek
9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az
egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a
Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya
szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)
Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg
Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal
Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon
mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)
= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet
a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5
kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre
30
11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik
kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az
nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi
Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-
ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet
Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik
jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem
hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy
speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok
bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A
Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő
nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk
valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval
deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek
a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)
stb kupacmeacuteretek
Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt
de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt
5 4 Fibonacci-nim
A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik
13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el
kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve
utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint
amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben
Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz
szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa
előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban
31
Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat
i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2
Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a
koumlvetkező taacuteblaacutezat
Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok
Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő
Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok
oumlsszegeacutere
Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899
Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel
hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga
Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem
akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-
szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert
119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa
kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem
Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele
keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen
Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip
Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel
minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok
legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot
vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)
7 [1] alapjaacuten
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
18
4 Fejezet Grundy-szaacutemok
A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy
szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni
Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges
jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely
aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az
aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely
adta lehetőseacutegek koumlzuumll
Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű
jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel
1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az
ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel
ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat
leacutepeacuteseket) ismeruumlnk
2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal
leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket
tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek
3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul
annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok
hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak
A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban
nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni
Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia
megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a
toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező
fogalomra
19
Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb
nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt
Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)
Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot
az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de
roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van
Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs
raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden
raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb
kizaacutertja
Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema
Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben
semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute
aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan
raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne
ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb
kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli
raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten
nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute
veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol
minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak
Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok
ciklusmentesseacutegeacutenek
Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema
2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese
3 A [2] cikk alapjaacuten
20
Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos
Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek
Grundy-szaacutemai
Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb
nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-
szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i
a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak
egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk
ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy
G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema
G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be
hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes
felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem
maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1
Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok
illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az
alaacutebbiak
1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0
2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0
3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0
Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja
ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0
Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben
van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek
koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal
vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)
tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel
4 [2] cikk alapjaacuten
21
leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben
megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet
Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud
mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy
ő nyeri a jaacuteteacutekot
Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-
szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)
Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0
Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn
direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)
Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti
indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes
aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)
valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra
maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb
a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel
Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)
raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy
minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy
a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat
oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek
vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden
A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban
oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom
22
5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute
jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok
hasznaacutelata
5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai
Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő
egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti
darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok
Grundy-szaacutemai
Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-
szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő
Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen
innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk
= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz
vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet
el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan
ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute
Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)
vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet
Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent
meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes
strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait
Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem
Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik
ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a
koumlvetkező
5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy
bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek
Grundy-szaacutemaival
23
10 Jaacuteteacutek (Dawsonrsquos Chess) Adott egy 1x n-es teacuteglalap melynek neacutegyzeteibe a jaacuteteacutekosok
felvaacuteltva X-et raknak uacutegy hogy az X jellel ellaacutetott cellaacutek szomszeacutedosak nem lehetnek vagyis
egy X melletti neacutegyzetbe maacutesik X nem keruumllhet Az nyer aki az utolsoacute jelet rakja
Ha jobban meggondoljuk a keacutet jaacuteteacutek megfelel egymaacutesnak Annyi a kuumlloumlnbseacuteg hogy az
itteni neacutegyzetek ott a 2x2-es neacutegyzetek felező vonalainak felelnek meg eacutes az itteni vaacutelasztoacute
raacutecsvonalak pedig a sziacutenezős jaacuteteacutek neacutegyzeteivel egyeznek meg Neacutezzuumlk az alaacutebbi 5 1 aacutebraacuten
szemleacuteltetett peacuteldaacutet
Dawsonrsquos Chess taacutebla egy lehetseacuteges veacutegaacutellaacutessal
A 2 jaacuteteacutek ugyanazt jelentő veacutegső aacutellaacutesa
51 aacutebra
Joacutel laacutethatoacute hogy a 2 jaacuteteacutekban a 2x2-es neacutegyzetek hataacutervonalai eacutepp a Dawsonrsquos Chess-
beli bdquotiltott mezőknekrdquo felelnek meg - amikben nem keruumllhet X jel mert szomszeacutedjukban
maacuter szerepel - mert egy ilyen hataacutervonalra nem eshet maacutesik 2x2-es neacutegyzet felezővonala
hisz akkor a neacutegyzetek takarnaacutek egymaacutest
Feacuteny deruumllt arra6 hogy ennek a jaacuteteacuteknak a Grundy-szaacutemaiboacutel aacutelloacute sorozat 34-es
periodicitaacutesuacute de az elejeacuten van heacutet kiveacutetel a 0 14 16 17 31 34 eacutes 51 helyen aacutelloacute szaacutemok
tekinteteacuteben Utaacutena beaacutell a valoacutedi periodicitaacutes Azok az aacutellaacutesok eacuterdekesek szaacutemunkra a
nyerő strateacutegia kutataacutesa kapcsaacuten melyek Grundy-szaacutema 0 mert ezek a vesztes aacutellaacutesok
Tehaacutet vesztes aacutellaacutesok az elejeacutetől kezdve 1 5 9 15 21 25 29 35 neacutegyzetet tartalmazoacute
kezdőaacutellaacutesok majd az 1 a 15 eacutes 35 kiveacuteteleacutevel ezek k ∙ 34-gyel vett oumlsszegei is vesztő
aacutellaacutesok lesznek a periodicitaacutes miatt
5 2 Jaacuteteacutekok korongokkal
A koumlvetkező jaacuteteacutek a [4] koumlnyvből szaacutermazik
6 Szinteacuten a httpsoeisorg weboldal hasznaacutelataacuteval
X X
24
5 Jaacuteteacutek Egy asztalon sorba 10 korong van lerakva melyeknek egyik oldala feheacuter maacutesik
fekete sziacutenű Ketten jaacutetszanak A soron koumlvetkező mindig kivaacutelaszt egy fekete oldalaacuteval
felfeleacute fekvő korongot majd azt eacutes az oumlsszes tőle jobbra leacutevőt aacutetfordiacutetja a maacutesik oldalaacutera
Akkor van veacutege a jaacuteteacuteknak ha mindegyik korongnak a feheacuter oldala van feluumll Az veszt aki
nem tud toumlbbet leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes hogyan tud győzni
A jaacuteteacutek kimenetele eacutes nyertese fuumlgg a kiindulaacutesi helyzettől Tekintsuumlk az alaacutebbi konkreacutet
kezdőaacutellaacutest (5 2 aacutebra)
5 2 aacutebra
A nyertes strateacutegia nem bonyolult sőt eleacuteg keacutezenfekvő ha belegondolunk tudniillik a
veacutegeredmeacuteny egyaacuteltalaacuten nem a jaacuteteacutekosok leacutepeacutesein muacutelik hanem csupaacuten az utolsoacute korong
sziacuteneacutetől fuumlgg Ugyanis egy korong az utolsoacute helyen aacutelloacute biztosan megfordul minden
leacutepeacutesben Ez leacutepeacutesenkeacutent vaacuteltakozva hol feheacuter hol fekete oldalaacuteval lesz feluumll miacuteg ki nem
alakul a veacutegső nyertes ndash oumlsszes feheacuter ndash aacutellaacutes Ha peacuteldaacuteul kezdetben fekete az utolsoacute
korong akkor az mindig a kezdő jaacuteteacutekos forgataacutesai nyomaacuten fog a feheacuter oldalaacuteval felfeleacute
keruumllni A jaacuteteacutek egyszer veacuteget eacuter eacutes tudjuk hogy az utolsoacute leacutepeacutes a kezdő jaacuteteacutekoseacute lesz
tehaacutet ő nyer Ellenkező esetben - ha a kezdő aacutellapotban feheacuter az utolsoacute korong - a maacutesodik
jaacuteteacutekoseacute a győzelem Tehaacutet teljesen mindegy haacuteny koronggal jaacutetszunk a győztest mindig
a sorban elhelyezett utolsoacute korong sziacutene fogja elaacuterulni Ha az a fekete oldalaacuteval felfeleacute
fekszik akkor a kezdő ha feheacuter sziacutene laacutetszik akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos nyer Iacutegy a fenti
jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
Ha feladatban moacutedosiacutetjuk kicsit a szabaacutelyokat akkor a megoldaacutes is bonyoloacutedik eacutes itt
maacuter fel kell hasznaacutelnunk a Grundy-szaacutemokat illetve a nim-oumlsszeget A koumlvetkező feladat
eacutes megoldaacutesi oumltlete [2] forraacutesboacutel szaacutermazik
6 Jaacuteteacutek Legyen ismeacutet 10 darab korongunk az asztalra sorba lehelyezve A jaacuteteacutekosok
keacutetfeacutele leacutepeacutest hajthatnak veacutegre vagy megfordiacutetanak egy fekete oldalaacuteval felfeleacute fekvő
korongot vagy keacutet korongot fordiacutetanak meg melyek koumlzuumll a jobbraacutebb levő fekte Az vesziacutet
aki nem tud toumlbbet leacutepni
25
A megoldaacutes veacutegett szaacutemozzuk meg a korongokat balroacutel jobbra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 3 aacutebra
Aacutelliacutetaacutes A 6 jaacuteteacutek egy aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema eacutepp a fekete sziacutenű korongok sorszaacutemaacutenak
nim-oumlsszege
Bizonyiacutetaacutes Alkossunk ebből a jaacuteteacutekboacutel Nim-jaacuteteacutekot a koumlvetkező keacuteppen Ha az i-edik
korong sziacutene fekete akkor tekintsuumlnk egy ekkora elemszaacutemuacute kupacot a Nim-jaacuteteacutekban ha
feheacuter sziacutenű egy korong akkor nincs ilyen kupacunk Ezzel egy szokaacutesos Nim-jaacuteteacutekot
kapunk Azeacutert tehetjuumlk meg ezt mert a leacutepeacutesek eacutepp ugyanazt eredmeacutenyezik mindkeacutet
jaacuteteacutekban amennyiben megfordiacutetunk egy fekete korongot az annak felel meg ha nim-
jaacuteteacutekban azt a kupacot teljes egeacuteszeacuteben elvesszuumlk eacutes megszűnik Ha egy feheacuter eacutes egy
fekete korongot fordiacutetunk meg melyek koumlzuumll a fekete a jobb oldali akkor azzal
egyeneacuterteacutekű mintha a nim-jaacuteteacutekban bizonyos szaacutemuacute kavicsot elvettuumlnk volna az addigi
kupacboacutel uacutegy hogy a feketeacutere fordiacutetott korong sorszaacutemaacutenak megfelelő kupacmeacuteretet
eacutertuumlnk el (Mert a bal oldali korong sorszaacutema kisebb eacutes iacutegy kisebb elemszaacutemuacute kupacot is
jelent) Tekintsuumlnk erre magyaraacutezatul egy peacuteldaacutet (5 4 aacutebra)
1 2 3
5 4 aacutebra
Ebben a kis jaacuteteacutekban illusztraacuteljuk a korongforgataacutesi leacutepeacutesek eacutes a Nim-jaacuteteacutek kapcsolataacutet
Tekintsuumlk ennek mintaacutejaacutera a 2 eacutes 3 elmeszaacutemuacute kupacokkal jaacutetszott Nim-jaacuteteacutekot
Vilaacutegosan laacutetszik hogy ha megfordiacutetjuk peacuteldaacuteul a 2 szaacutemuacute fekete sziacutenű korongot eacutes iacutegy
az feheacuter lesz akkor ez a leacutepeacutes megegyezik azzal hogy a Nim-jaacuteteacutekban egy leacutepeacutessel
eltuumlntetjuumlk a 2 elemű kupacot Keacutet szabaacutelyos helyzetű korong megfordiacutetaacutesaacuteval ndash legyenek
26
most ezek az 1 eacutes 2 szaacutemuacuteak ndash az 55-oumls aacutebraacuten laacutethatoacute aacutellaacutes joumln leacutetre ami ekvivalens a
Nim-jaacuteteacutek azon leacutepeacuteseacutevel hogy a 2 elemű kupacboacutel 1 kavicsot elveszuumlnk
1 2 3
5 5 aacutebra
Keacutet fekete korong megfordiacutetaacutesa keacutet kupac teljes elveacuteteleacutet jelenteneacute a Nimben ami ilyen
formaacuteban nem szabaacutelyos Azonban ha jobban meggondoljuk ez a leacutepeacutes jelentheti azt
hogy a nagyobb meacuteretű kupacboacutel elveszuumlnk annyi kavicsot hogy az egyenlő legyen a
kisebb elemszaacutemaacuteval mert a nim-oumlsszeadaacutes miatt keacutet azonos meacuteretű kupac nem
befolyaacutesolja az egeacutesz jaacuteteacutek Grundy-szaacutemaacutet azaz a keacutet kupac kiegyenliacuteteacuteseacutevel illetve
teljes elveacuteteluumlkkel kapott Nim-aacutellaacutesok Grundy-szaacutemai megegyeznek
Az 5 3 aacutebra alapjaacuten kialakult aacutellaacutes Grundy-szaacutema tehaacutet 3 10 = 10 A jaacuteteacutek
vesztő aacutellaacutesainak Grundy-szaacutema 0 azaz ha ilyen aacutellaacutesroacutel indul valaki az nem tud nyerni
Ebből a poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacutet keacutepezni csak a 10 elemű kupac teljes elveacuteteleacutevel
lehetseacuteges Tehaacutet a 10-es szaacutemuacute fekete korongot kell megfordiacutetani előszoumlr a
győzelemhez
5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
A most koumlvetkező haacuterom jaacuteteacutekkal a [2] cikkben talaacutelkoztam
7 Jaacuteteacutek (Rim-jaacuteteacutek) Adott neacutehaacuteny kupac kavics A kupacok egyikeacuteből elvehető
akaacutermennyi kavics de csak uacutegy hogy az elvett elemek szaacutema relatiacutev priacutem legyen az elveacutetel
előtti mennyiseacuteghez
Ez a jaacuteteacutek toumlbb egykupacos uacuten bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacuteknak oumlsszege A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek
egy n darab taacutergyat (kavicsot) tartalmazoacute kupacroacutel szoacutel amelyből k elemet vehetuumlnk el
ha k eacutes n relatiacutev priacutemek Ebből koumlvetkezik hogy 1-et mindig elvehetuumlnk az oumlsszes elemet
azonban sosem (mert n oumlnmagaacuteval nem relatiacutev priacutem) kiveacuteve ha 1 darab marad a
kupacban
Jeloumlljuumlk itt az i elemszaacutemuacute Rim-kupacok Grundy-szaacutemaacutet G(Ri)-vel Az első eacutes maacutesodik
Grundy-szaacutem koumlnnyen megmondhatoacute G0 = 0 eacutes G1 = mex (G0) = 1 Ha keacutet elemet
27
tartalmaz a kiindulaacutesi kupac akkor a szabaacutelynak megfelelően az egyetlen lehetőseacuteg 1
kavics elveacutetele ezeacutert G(R2) = mex (1) = 0 Haacuteromelemű kezdőkupacboacutel 1 eacutes 2 elemet is
elvehetuumlnk iacutegy kapjuk hogy G(R3) = mex (G(R1) G(R2) ) = mex (1 0) = 2 Neacutegy elem
eseteacuten G4 = mex (G1 G3) = 0 Hasonloacutean G5 = mex (G(R1) G(R2) G(R3) G(R4)) =
= mex (1 2 0 2) = 3 eacutes iacutegy tovaacutebb A koumlvetkező teacutetelben meghataacuterozzuk aacuteltalaacutenossaacutegban
G(Rn)-et
Teacutetel A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutekban minden paacuteros n elemszaacutemuacute kupacra G(Rn) = 0 valamint
n paacuteratlan elemszaacutem eseteacuten G(Rn) = k ha n legkisebb priacutemosztoacuteja a k-adik priacutemszaacutem (Az
első priacutemszaacutem a 2 maacutesodik a 3 stb)
Bizonyiacutetaacutes n-re vonatkozoacute teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk
a) ha n paacuteros Semelyik esetben sem lehet az egeacutesz kupacot elvenni kiveacuteve ha 1 kavics
marad a kupacban Laacutettuk hogy G(R0) = G2 = 0 Legyen n paacuteros Tegyuumlk fel hogy
minden n-neacutel nem nagyobb paacuteros k szaacutemra G(Rk) = 0 Laacutessuk be ezt (n+2)-re is Mivel
egy paacuteros szaacutem semelyik maacutesik paacuteros szaacutemmal sem relatiacutev priacutem ezeacutert paacuteros darab
kavicsot nem vehetuumlnk el a kupacboacutel ennek okaacuten uacutejabb paacuteros elemszaacutemuacute aacutellaacutes sem
joumlhet leacutetre Paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac ugyan lehet (n+2) kiszomszeacutedja de annak
Grundy-szaacutema biztosan nem 0 mert 1 kavicsot baacutermelyik aacutellaacutesboacutel elvehetuumlnk iacutegy lesz
a paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt n-neacutel nem nagyobb paacuteros elemszaacutemuacute
kupac aminek Grundy-szaacutema 0 Tehaacutet (n+2) elemet tartalmazoacute kupac raacutekoumlvetkezői
koumlzoumltt nem lesz 0 Grundy-szaacutemuacute iacutegy azok legkisebb kizaacutertja eacutepp a 0
b) ha n paacuteratlan Tudjuk hogy G1 = 1 eacutes azt is laacutettuk hogy G3 = 2 Itt is teljes indukcioacutet
hasznaacutelunk Tegyuumlk fel hogy igaz a fenti aacutelliacutetaacutes minden paacuteratlan n-re Bizonyiacutetsuk be
hogy ez az n+2 paacuteratlan szaacutemra is oumlroumlklődik Legyen n+2 legkisebb priacutemosztoacuteja p eacutes
annak sorszaacutema k Ahhoz hogy belaacutessuk hogy Gn+2 = k keacutet dologra van szuumlkseacuteg
1) Minden k-naacutel kisebb szaacutem előfordul az n+2 elemszaacutemuacute aacutellaacutes valamely
kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutemakeacutent
2) Az n+2 elemű kupac egyik kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutema sem k
1) igazolaacutesa 1-et eacutes n+1-et mindig leacutephetuumlnk tehaacutet 1 eacutes 0 Grundy-szaacutemuacute
raacutekoumlvetkezője minden aacutellaacutesnak van Legyen q egy tetszőleges p-neacutel kisebb priacutem ndash
ennek sorszaacutema k-naacutel kisebb eacutes az indukcioacute szerint a q elemű aacutellaacutes Grundy-szaacutema eacutepp
a q sorszaacutema Ekkor meg kell mutatnunk hogy n+2ndashből aminek legkisebb
priacutemosztoacuteja p a q elemszaacutemuacute kupacba leacutepeacutes szabaacutelyos Ez azeacutert igaz mert a
28
jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek
nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek
elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash
hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert
kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute
kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes
2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m
elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb
priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt
k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek
A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő
strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk
8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad
kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja
legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is
elvehetjuumlk)
Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő
tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz
melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk
Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean
G(Di)
Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1
Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva
laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek
bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1
29
1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i
2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan
1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute
kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute
kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei
azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet
elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =
21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i
2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet
eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n
raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l
paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1
Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban
ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra
G(Da) = 0 + 1 = 1
Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek
9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az
egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a
Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya
szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)
Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg
Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal
Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon
mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)
= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet
a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5
kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre
30
11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik
kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az
nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi
Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-
ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet
Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik
jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem
hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy
speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok
bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A
Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő
nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk
valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval
deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek
a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)
stb kupacmeacuteretek
Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt
de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt
5 4 Fibonacci-nim
A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik
13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el
kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve
utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint
amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben
Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz
szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa
előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban
31
Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat
i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2
Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a
koumlvetkező taacuteblaacutezat
Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok
Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő
Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok
oumlsszegeacutere
Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899
Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel
hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga
Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem
akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-
szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert
119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa
kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem
Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele
keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen
Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip
Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel
minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok
legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot
vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)
7 [1] alapjaacuten
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
19
Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb
nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt
Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)
Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot
az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de
roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van
Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs
raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden
raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb
kizaacutertja
Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema
Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben
semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute
aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan
raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne
ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb
kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli
raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten
nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute
veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol
minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak
Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok
ciklusmentesseacutegeacutenek
Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema
2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese
3 A [2] cikk alapjaacuten
20
Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos
Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek
Grundy-szaacutemai
Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb
nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-
szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i
a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak
egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk
ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy
G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema
G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be
hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes
felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem
maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1
Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok
illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az
alaacutebbiak
1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0
2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0
3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0
Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja
ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0
Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben
van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek
koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal
vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)
tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel
4 [2] cikk alapjaacuten
21
leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben
megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet
Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud
mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy
ő nyeri a jaacuteteacutekot
Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-
szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)
Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0
Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn
direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)
Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti
indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes
aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)
valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra
maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb
a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel
Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)
raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy
minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy
a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat
oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek
vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden
A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban
oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom
22
5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute
jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok
hasznaacutelata
5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai
Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő
egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti
darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok
Grundy-szaacutemai
Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-
szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő
Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen
innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk
= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz
vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet
el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan
ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute
Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)
vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet
Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent
meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes
strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait
Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem
Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik
ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a
koumlvetkező
5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy
bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek
Grundy-szaacutemaival
23
10 Jaacuteteacutek (Dawsonrsquos Chess) Adott egy 1x n-es teacuteglalap melynek neacutegyzeteibe a jaacuteteacutekosok
felvaacuteltva X-et raknak uacutegy hogy az X jellel ellaacutetott cellaacutek szomszeacutedosak nem lehetnek vagyis
egy X melletti neacutegyzetbe maacutesik X nem keruumllhet Az nyer aki az utolsoacute jelet rakja
Ha jobban meggondoljuk a keacutet jaacuteteacutek megfelel egymaacutesnak Annyi a kuumlloumlnbseacuteg hogy az
itteni neacutegyzetek ott a 2x2-es neacutegyzetek felező vonalainak felelnek meg eacutes az itteni vaacutelasztoacute
raacutecsvonalak pedig a sziacutenezős jaacuteteacutek neacutegyzeteivel egyeznek meg Neacutezzuumlk az alaacutebbi 5 1 aacutebraacuten
szemleacuteltetett peacuteldaacutet
Dawsonrsquos Chess taacutebla egy lehetseacuteges veacutegaacutellaacutessal
A 2 jaacuteteacutek ugyanazt jelentő veacutegső aacutellaacutesa
51 aacutebra
Joacutel laacutethatoacute hogy a 2 jaacuteteacutekban a 2x2-es neacutegyzetek hataacutervonalai eacutepp a Dawsonrsquos Chess-
beli bdquotiltott mezőknekrdquo felelnek meg - amikben nem keruumllhet X jel mert szomszeacutedjukban
maacuter szerepel - mert egy ilyen hataacutervonalra nem eshet maacutesik 2x2-es neacutegyzet felezővonala
hisz akkor a neacutegyzetek takarnaacutek egymaacutest
Feacuteny deruumllt arra6 hogy ennek a jaacuteteacuteknak a Grundy-szaacutemaiboacutel aacutelloacute sorozat 34-es
periodicitaacutesuacute de az elejeacuten van heacutet kiveacutetel a 0 14 16 17 31 34 eacutes 51 helyen aacutelloacute szaacutemok
tekinteteacuteben Utaacutena beaacutell a valoacutedi periodicitaacutes Azok az aacutellaacutesok eacuterdekesek szaacutemunkra a
nyerő strateacutegia kutataacutesa kapcsaacuten melyek Grundy-szaacutema 0 mert ezek a vesztes aacutellaacutesok
Tehaacutet vesztes aacutellaacutesok az elejeacutetől kezdve 1 5 9 15 21 25 29 35 neacutegyzetet tartalmazoacute
kezdőaacutellaacutesok majd az 1 a 15 eacutes 35 kiveacuteteleacutevel ezek k ∙ 34-gyel vett oumlsszegei is vesztő
aacutellaacutesok lesznek a periodicitaacutes miatt
5 2 Jaacuteteacutekok korongokkal
A koumlvetkező jaacuteteacutek a [4] koumlnyvből szaacutermazik
6 Szinteacuten a httpsoeisorg weboldal hasznaacutelataacuteval
X X
24
5 Jaacuteteacutek Egy asztalon sorba 10 korong van lerakva melyeknek egyik oldala feheacuter maacutesik
fekete sziacutenű Ketten jaacutetszanak A soron koumlvetkező mindig kivaacutelaszt egy fekete oldalaacuteval
felfeleacute fekvő korongot majd azt eacutes az oumlsszes tőle jobbra leacutevőt aacutetfordiacutetja a maacutesik oldalaacutera
Akkor van veacutege a jaacuteteacuteknak ha mindegyik korongnak a feheacuter oldala van feluumll Az veszt aki
nem tud toumlbbet leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes hogyan tud győzni
A jaacuteteacutek kimenetele eacutes nyertese fuumlgg a kiindulaacutesi helyzettől Tekintsuumlk az alaacutebbi konkreacutet
kezdőaacutellaacutest (5 2 aacutebra)
5 2 aacutebra
A nyertes strateacutegia nem bonyolult sőt eleacuteg keacutezenfekvő ha belegondolunk tudniillik a
veacutegeredmeacuteny egyaacuteltalaacuten nem a jaacuteteacutekosok leacutepeacutesein muacutelik hanem csupaacuten az utolsoacute korong
sziacuteneacutetől fuumlgg Ugyanis egy korong az utolsoacute helyen aacutelloacute biztosan megfordul minden
leacutepeacutesben Ez leacutepeacutesenkeacutent vaacuteltakozva hol feheacuter hol fekete oldalaacuteval lesz feluumll miacuteg ki nem
alakul a veacutegső nyertes ndash oumlsszes feheacuter ndash aacutellaacutes Ha peacuteldaacuteul kezdetben fekete az utolsoacute
korong akkor az mindig a kezdő jaacuteteacutekos forgataacutesai nyomaacuten fog a feheacuter oldalaacuteval felfeleacute
keruumllni A jaacuteteacutek egyszer veacuteget eacuter eacutes tudjuk hogy az utolsoacute leacutepeacutes a kezdő jaacuteteacutekoseacute lesz
tehaacutet ő nyer Ellenkező esetben - ha a kezdő aacutellapotban feheacuter az utolsoacute korong - a maacutesodik
jaacuteteacutekoseacute a győzelem Tehaacutet teljesen mindegy haacuteny koronggal jaacutetszunk a győztest mindig
a sorban elhelyezett utolsoacute korong sziacutene fogja elaacuterulni Ha az a fekete oldalaacuteval felfeleacute
fekszik akkor a kezdő ha feheacuter sziacutene laacutetszik akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos nyer Iacutegy a fenti
jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
Ha feladatban moacutedosiacutetjuk kicsit a szabaacutelyokat akkor a megoldaacutes is bonyoloacutedik eacutes itt
maacuter fel kell hasznaacutelnunk a Grundy-szaacutemokat illetve a nim-oumlsszeget A koumlvetkező feladat
eacutes megoldaacutesi oumltlete [2] forraacutesboacutel szaacutermazik
6 Jaacuteteacutek Legyen ismeacutet 10 darab korongunk az asztalra sorba lehelyezve A jaacuteteacutekosok
keacutetfeacutele leacutepeacutest hajthatnak veacutegre vagy megfordiacutetanak egy fekete oldalaacuteval felfeleacute fekvő
korongot vagy keacutet korongot fordiacutetanak meg melyek koumlzuumll a jobbraacutebb levő fekte Az vesziacutet
aki nem tud toumlbbet leacutepni
25
A megoldaacutes veacutegett szaacutemozzuk meg a korongokat balroacutel jobbra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 3 aacutebra
Aacutelliacutetaacutes A 6 jaacuteteacutek egy aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema eacutepp a fekete sziacutenű korongok sorszaacutemaacutenak
nim-oumlsszege
Bizonyiacutetaacutes Alkossunk ebből a jaacuteteacutekboacutel Nim-jaacuteteacutekot a koumlvetkező keacuteppen Ha az i-edik
korong sziacutene fekete akkor tekintsuumlnk egy ekkora elemszaacutemuacute kupacot a Nim-jaacuteteacutekban ha
feheacuter sziacutenű egy korong akkor nincs ilyen kupacunk Ezzel egy szokaacutesos Nim-jaacuteteacutekot
kapunk Azeacutert tehetjuumlk meg ezt mert a leacutepeacutesek eacutepp ugyanazt eredmeacutenyezik mindkeacutet
jaacuteteacutekban amennyiben megfordiacutetunk egy fekete korongot az annak felel meg ha nim-
jaacuteteacutekban azt a kupacot teljes egeacuteszeacuteben elvesszuumlk eacutes megszűnik Ha egy feheacuter eacutes egy
fekete korongot fordiacutetunk meg melyek koumlzuumll a fekete a jobb oldali akkor azzal
egyeneacuterteacutekű mintha a nim-jaacuteteacutekban bizonyos szaacutemuacute kavicsot elvettuumlnk volna az addigi
kupacboacutel uacutegy hogy a feketeacutere fordiacutetott korong sorszaacutemaacutenak megfelelő kupacmeacuteretet
eacutertuumlnk el (Mert a bal oldali korong sorszaacutema kisebb eacutes iacutegy kisebb elemszaacutemuacute kupacot is
jelent) Tekintsuumlnk erre magyaraacutezatul egy peacuteldaacutet (5 4 aacutebra)
1 2 3
5 4 aacutebra
Ebben a kis jaacuteteacutekban illusztraacuteljuk a korongforgataacutesi leacutepeacutesek eacutes a Nim-jaacuteteacutek kapcsolataacutet
Tekintsuumlk ennek mintaacutejaacutera a 2 eacutes 3 elmeszaacutemuacute kupacokkal jaacutetszott Nim-jaacuteteacutekot
Vilaacutegosan laacutetszik hogy ha megfordiacutetjuk peacuteldaacuteul a 2 szaacutemuacute fekete sziacutenű korongot eacutes iacutegy
az feheacuter lesz akkor ez a leacutepeacutes megegyezik azzal hogy a Nim-jaacuteteacutekban egy leacutepeacutessel
eltuumlntetjuumlk a 2 elemű kupacot Keacutet szabaacutelyos helyzetű korong megfordiacutetaacutesaacuteval ndash legyenek
26
most ezek az 1 eacutes 2 szaacutemuacuteak ndash az 55-oumls aacutebraacuten laacutethatoacute aacutellaacutes joumln leacutetre ami ekvivalens a
Nim-jaacuteteacutek azon leacutepeacuteseacutevel hogy a 2 elemű kupacboacutel 1 kavicsot elveszuumlnk
1 2 3
5 5 aacutebra
Keacutet fekete korong megfordiacutetaacutesa keacutet kupac teljes elveacuteteleacutet jelenteneacute a Nimben ami ilyen
formaacuteban nem szabaacutelyos Azonban ha jobban meggondoljuk ez a leacutepeacutes jelentheti azt
hogy a nagyobb meacuteretű kupacboacutel elveszuumlnk annyi kavicsot hogy az egyenlő legyen a
kisebb elemszaacutemaacuteval mert a nim-oumlsszeadaacutes miatt keacutet azonos meacuteretű kupac nem
befolyaacutesolja az egeacutesz jaacuteteacutek Grundy-szaacutemaacutet azaz a keacutet kupac kiegyenliacuteteacuteseacutevel illetve
teljes elveacuteteluumlkkel kapott Nim-aacutellaacutesok Grundy-szaacutemai megegyeznek
Az 5 3 aacutebra alapjaacuten kialakult aacutellaacutes Grundy-szaacutema tehaacutet 3 10 = 10 A jaacuteteacutek
vesztő aacutellaacutesainak Grundy-szaacutema 0 azaz ha ilyen aacutellaacutesroacutel indul valaki az nem tud nyerni
Ebből a poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacutet keacutepezni csak a 10 elemű kupac teljes elveacuteteleacutevel
lehetseacuteges Tehaacutet a 10-es szaacutemuacute fekete korongot kell megfordiacutetani előszoumlr a
győzelemhez
5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
A most koumlvetkező haacuterom jaacuteteacutekkal a [2] cikkben talaacutelkoztam
7 Jaacuteteacutek (Rim-jaacuteteacutek) Adott neacutehaacuteny kupac kavics A kupacok egyikeacuteből elvehető
akaacutermennyi kavics de csak uacutegy hogy az elvett elemek szaacutema relatiacutev priacutem legyen az elveacutetel
előtti mennyiseacuteghez
Ez a jaacuteteacutek toumlbb egykupacos uacuten bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacuteknak oumlsszege A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek
egy n darab taacutergyat (kavicsot) tartalmazoacute kupacroacutel szoacutel amelyből k elemet vehetuumlnk el
ha k eacutes n relatiacutev priacutemek Ebből koumlvetkezik hogy 1-et mindig elvehetuumlnk az oumlsszes elemet
azonban sosem (mert n oumlnmagaacuteval nem relatiacutev priacutem) kiveacuteve ha 1 darab marad a
kupacban
Jeloumlljuumlk itt az i elemszaacutemuacute Rim-kupacok Grundy-szaacutemaacutet G(Ri)-vel Az első eacutes maacutesodik
Grundy-szaacutem koumlnnyen megmondhatoacute G0 = 0 eacutes G1 = mex (G0) = 1 Ha keacutet elemet
27
tartalmaz a kiindulaacutesi kupac akkor a szabaacutelynak megfelelően az egyetlen lehetőseacuteg 1
kavics elveacutetele ezeacutert G(R2) = mex (1) = 0 Haacuteromelemű kezdőkupacboacutel 1 eacutes 2 elemet is
elvehetuumlnk iacutegy kapjuk hogy G(R3) = mex (G(R1) G(R2) ) = mex (1 0) = 2 Neacutegy elem
eseteacuten G4 = mex (G1 G3) = 0 Hasonloacutean G5 = mex (G(R1) G(R2) G(R3) G(R4)) =
= mex (1 2 0 2) = 3 eacutes iacutegy tovaacutebb A koumlvetkező teacutetelben meghataacuterozzuk aacuteltalaacutenossaacutegban
G(Rn)-et
Teacutetel A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutekban minden paacuteros n elemszaacutemuacute kupacra G(Rn) = 0 valamint
n paacuteratlan elemszaacutem eseteacuten G(Rn) = k ha n legkisebb priacutemosztoacuteja a k-adik priacutemszaacutem (Az
első priacutemszaacutem a 2 maacutesodik a 3 stb)
Bizonyiacutetaacutes n-re vonatkozoacute teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk
a) ha n paacuteros Semelyik esetben sem lehet az egeacutesz kupacot elvenni kiveacuteve ha 1 kavics
marad a kupacban Laacutettuk hogy G(R0) = G2 = 0 Legyen n paacuteros Tegyuumlk fel hogy
minden n-neacutel nem nagyobb paacuteros k szaacutemra G(Rk) = 0 Laacutessuk be ezt (n+2)-re is Mivel
egy paacuteros szaacutem semelyik maacutesik paacuteros szaacutemmal sem relatiacutev priacutem ezeacutert paacuteros darab
kavicsot nem vehetuumlnk el a kupacboacutel ennek okaacuten uacutejabb paacuteros elemszaacutemuacute aacutellaacutes sem
joumlhet leacutetre Paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac ugyan lehet (n+2) kiszomszeacutedja de annak
Grundy-szaacutema biztosan nem 0 mert 1 kavicsot baacutermelyik aacutellaacutesboacutel elvehetuumlnk iacutegy lesz
a paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt n-neacutel nem nagyobb paacuteros elemszaacutemuacute
kupac aminek Grundy-szaacutema 0 Tehaacutet (n+2) elemet tartalmazoacute kupac raacutekoumlvetkezői
koumlzoumltt nem lesz 0 Grundy-szaacutemuacute iacutegy azok legkisebb kizaacutertja eacutepp a 0
b) ha n paacuteratlan Tudjuk hogy G1 = 1 eacutes azt is laacutettuk hogy G3 = 2 Itt is teljes indukcioacutet
hasznaacutelunk Tegyuumlk fel hogy igaz a fenti aacutelliacutetaacutes minden paacuteratlan n-re Bizonyiacutetsuk be
hogy ez az n+2 paacuteratlan szaacutemra is oumlroumlklődik Legyen n+2 legkisebb priacutemosztoacuteja p eacutes
annak sorszaacutema k Ahhoz hogy belaacutessuk hogy Gn+2 = k keacutet dologra van szuumlkseacuteg
1) Minden k-naacutel kisebb szaacutem előfordul az n+2 elemszaacutemuacute aacutellaacutes valamely
kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutemakeacutent
2) Az n+2 elemű kupac egyik kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutema sem k
1) igazolaacutesa 1-et eacutes n+1-et mindig leacutephetuumlnk tehaacutet 1 eacutes 0 Grundy-szaacutemuacute
raacutekoumlvetkezője minden aacutellaacutesnak van Legyen q egy tetszőleges p-neacutel kisebb priacutem ndash
ennek sorszaacutema k-naacutel kisebb eacutes az indukcioacute szerint a q elemű aacutellaacutes Grundy-szaacutema eacutepp
a q sorszaacutema Ekkor meg kell mutatnunk hogy n+2ndashből aminek legkisebb
priacutemosztoacuteja p a q elemszaacutemuacute kupacba leacutepeacutes szabaacutelyos Ez azeacutert igaz mert a
28
jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek
nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek
elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash
hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert
kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute
kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes
2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m
elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb
priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt
k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek
A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő
strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk
8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad
kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja
legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is
elvehetjuumlk)
Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő
tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz
melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk
Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean
G(Di)
Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1
Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva
laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek
bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1
29
1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i
2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan
1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute
kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute
kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei
azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet
elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =
21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i
2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet
eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n
raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l
paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1
Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban
ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra
G(Da) = 0 + 1 = 1
Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek
9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az
egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a
Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya
szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)
Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg
Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal
Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon
mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)
= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet
a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5
kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre
30
11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik
kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az
nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi
Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-
ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet
Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik
jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem
hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy
speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok
bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A
Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő
nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk
valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval
deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek
a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)
stb kupacmeacuteretek
Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt
de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt
5 4 Fibonacci-nim
A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik
13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el
kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve
utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint
amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben
Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz
szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa
előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban
31
Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat
i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2
Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a
koumlvetkező taacuteblaacutezat
Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok
Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő
Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok
oumlsszegeacutere
Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899
Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel
hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga
Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem
akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-
szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert
119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa
kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem
Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele
keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen
Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip
Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel
minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok
legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot
vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)
7 [1] alapjaacuten
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
20
Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos
Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek
Grundy-szaacutemai
Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb
nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-
szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i
a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak
egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk
ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy
G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema
G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be
hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes
felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem
maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1
Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok
illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az
alaacutebbiak
1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0
2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0
3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0
Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is
Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja
ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0
Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben
van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek
koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal
vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)
tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel
4 [2] cikk alapjaacuten
21
leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben
megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet
Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud
mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy
ő nyeri a jaacuteteacutekot
Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-
szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)
Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0
Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn
direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)
Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti
indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes
aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)
valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra
maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb
a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel
Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)
raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy
minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy
a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat
oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek
vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden
A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban
oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom
22
5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute
jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok
hasznaacutelata
5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai
Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő
egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti
darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok
Grundy-szaacutemai
Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-
szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő
Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen
innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk
= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz
vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet
el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan
ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute
Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)
vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet
Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent
meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes
strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait
Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem
Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik
ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a
koumlvetkező
5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy
bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek
Grundy-szaacutemaival
23
10 Jaacuteteacutek (Dawsonrsquos Chess) Adott egy 1x n-es teacuteglalap melynek neacutegyzeteibe a jaacuteteacutekosok
felvaacuteltva X-et raknak uacutegy hogy az X jellel ellaacutetott cellaacutek szomszeacutedosak nem lehetnek vagyis
egy X melletti neacutegyzetbe maacutesik X nem keruumllhet Az nyer aki az utolsoacute jelet rakja
Ha jobban meggondoljuk a keacutet jaacuteteacutek megfelel egymaacutesnak Annyi a kuumlloumlnbseacuteg hogy az
itteni neacutegyzetek ott a 2x2-es neacutegyzetek felező vonalainak felelnek meg eacutes az itteni vaacutelasztoacute
raacutecsvonalak pedig a sziacutenezős jaacuteteacutek neacutegyzeteivel egyeznek meg Neacutezzuumlk az alaacutebbi 5 1 aacutebraacuten
szemleacuteltetett peacuteldaacutet
Dawsonrsquos Chess taacutebla egy lehetseacuteges veacutegaacutellaacutessal
A 2 jaacuteteacutek ugyanazt jelentő veacutegső aacutellaacutesa
51 aacutebra
Joacutel laacutethatoacute hogy a 2 jaacuteteacutekban a 2x2-es neacutegyzetek hataacutervonalai eacutepp a Dawsonrsquos Chess-
beli bdquotiltott mezőknekrdquo felelnek meg - amikben nem keruumllhet X jel mert szomszeacutedjukban
maacuter szerepel - mert egy ilyen hataacutervonalra nem eshet maacutesik 2x2-es neacutegyzet felezővonala
hisz akkor a neacutegyzetek takarnaacutek egymaacutest
Feacuteny deruumllt arra6 hogy ennek a jaacuteteacuteknak a Grundy-szaacutemaiboacutel aacutelloacute sorozat 34-es
periodicitaacutesuacute de az elejeacuten van heacutet kiveacutetel a 0 14 16 17 31 34 eacutes 51 helyen aacutelloacute szaacutemok
tekinteteacuteben Utaacutena beaacutell a valoacutedi periodicitaacutes Azok az aacutellaacutesok eacuterdekesek szaacutemunkra a
nyerő strateacutegia kutataacutesa kapcsaacuten melyek Grundy-szaacutema 0 mert ezek a vesztes aacutellaacutesok
Tehaacutet vesztes aacutellaacutesok az elejeacutetől kezdve 1 5 9 15 21 25 29 35 neacutegyzetet tartalmazoacute
kezdőaacutellaacutesok majd az 1 a 15 eacutes 35 kiveacuteteleacutevel ezek k ∙ 34-gyel vett oumlsszegei is vesztő
aacutellaacutesok lesznek a periodicitaacutes miatt
5 2 Jaacuteteacutekok korongokkal
A koumlvetkező jaacuteteacutek a [4] koumlnyvből szaacutermazik
6 Szinteacuten a httpsoeisorg weboldal hasznaacutelataacuteval
X X
24
5 Jaacuteteacutek Egy asztalon sorba 10 korong van lerakva melyeknek egyik oldala feheacuter maacutesik
fekete sziacutenű Ketten jaacutetszanak A soron koumlvetkező mindig kivaacutelaszt egy fekete oldalaacuteval
felfeleacute fekvő korongot majd azt eacutes az oumlsszes tőle jobbra leacutevőt aacutetfordiacutetja a maacutesik oldalaacutera
Akkor van veacutege a jaacuteteacuteknak ha mindegyik korongnak a feheacuter oldala van feluumll Az veszt aki
nem tud toumlbbet leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes hogyan tud győzni
A jaacuteteacutek kimenetele eacutes nyertese fuumlgg a kiindulaacutesi helyzettől Tekintsuumlk az alaacutebbi konkreacutet
kezdőaacutellaacutest (5 2 aacutebra)
5 2 aacutebra
A nyertes strateacutegia nem bonyolult sőt eleacuteg keacutezenfekvő ha belegondolunk tudniillik a
veacutegeredmeacuteny egyaacuteltalaacuten nem a jaacuteteacutekosok leacutepeacutesein muacutelik hanem csupaacuten az utolsoacute korong
sziacuteneacutetől fuumlgg Ugyanis egy korong az utolsoacute helyen aacutelloacute biztosan megfordul minden
leacutepeacutesben Ez leacutepeacutesenkeacutent vaacuteltakozva hol feheacuter hol fekete oldalaacuteval lesz feluumll miacuteg ki nem
alakul a veacutegső nyertes ndash oumlsszes feheacuter ndash aacutellaacutes Ha peacuteldaacuteul kezdetben fekete az utolsoacute
korong akkor az mindig a kezdő jaacuteteacutekos forgataacutesai nyomaacuten fog a feheacuter oldalaacuteval felfeleacute
keruumllni A jaacuteteacutek egyszer veacuteget eacuter eacutes tudjuk hogy az utolsoacute leacutepeacutes a kezdő jaacuteteacutekoseacute lesz
tehaacutet ő nyer Ellenkező esetben - ha a kezdő aacutellapotban feheacuter az utolsoacute korong - a maacutesodik
jaacuteteacutekoseacute a győzelem Tehaacutet teljesen mindegy haacuteny koronggal jaacutetszunk a győztest mindig
a sorban elhelyezett utolsoacute korong sziacutene fogja elaacuterulni Ha az a fekete oldalaacuteval felfeleacute
fekszik akkor a kezdő ha feheacuter sziacutene laacutetszik akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos nyer Iacutegy a fenti
jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
Ha feladatban moacutedosiacutetjuk kicsit a szabaacutelyokat akkor a megoldaacutes is bonyoloacutedik eacutes itt
maacuter fel kell hasznaacutelnunk a Grundy-szaacutemokat illetve a nim-oumlsszeget A koumlvetkező feladat
eacutes megoldaacutesi oumltlete [2] forraacutesboacutel szaacutermazik
6 Jaacuteteacutek Legyen ismeacutet 10 darab korongunk az asztalra sorba lehelyezve A jaacuteteacutekosok
keacutetfeacutele leacutepeacutest hajthatnak veacutegre vagy megfordiacutetanak egy fekete oldalaacuteval felfeleacute fekvő
korongot vagy keacutet korongot fordiacutetanak meg melyek koumlzuumll a jobbraacutebb levő fekte Az vesziacutet
aki nem tud toumlbbet leacutepni
25
A megoldaacutes veacutegett szaacutemozzuk meg a korongokat balroacutel jobbra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 3 aacutebra
Aacutelliacutetaacutes A 6 jaacuteteacutek egy aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema eacutepp a fekete sziacutenű korongok sorszaacutemaacutenak
nim-oumlsszege
Bizonyiacutetaacutes Alkossunk ebből a jaacuteteacutekboacutel Nim-jaacuteteacutekot a koumlvetkező keacuteppen Ha az i-edik
korong sziacutene fekete akkor tekintsuumlnk egy ekkora elemszaacutemuacute kupacot a Nim-jaacuteteacutekban ha
feheacuter sziacutenű egy korong akkor nincs ilyen kupacunk Ezzel egy szokaacutesos Nim-jaacuteteacutekot
kapunk Azeacutert tehetjuumlk meg ezt mert a leacutepeacutesek eacutepp ugyanazt eredmeacutenyezik mindkeacutet
jaacuteteacutekban amennyiben megfordiacutetunk egy fekete korongot az annak felel meg ha nim-
jaacuteteacutekban azt a kupacot teljes egeacuteszeacuteben elvesszuumlk eacutes megszűnik Ha egy feheacuter eacutes egy
fekete korongot fordiacutetunk meg melyek koumlzuumll a fekete a jobb oldali akkor azzal
egyeneacuterteacutekű mintha a nim-jaacuteteacutekban bizonyos szaacutemuacute kavicsot elvettuumlnk volna az addigi
kupacboacutel uacutegy hogy a feketeacutere fordiacutetott korong sorszaacutemaacutenak megfelelő kupacmeacuteretet
eacutertuumlnk el (Mert a bal oldali korong sorszaacutema kisebb eacutes iacutegy kisebb elemszaacutemuacute kupacot is
jelent) Tekintsuumlnk erre magyaraacutezatul egy peacuteldaacutet (5 4 aacutebra)
1 2 3
5 4 aacutebra
Ebben a kis jaacuteteacutekban illusztraacuteljuk a korongforgataacutesi leacutepeacutesek eacutes a Nim-jaacuteteacutek kapcsolataacutet
Tekintsuumlk ennek mintaacutejaacutera a 2 eacutes 3 elmeszaacutemuacute kupacokkal jaacutetszott Nim-jaacuteteacutekot
Vilaacutegosan laacutetszik hogy ha megfordiacutetjuk peacuteldaacuteul a 2 szaacutemuacute fekete sziacutenű korongot eacutes iacutegy
az feheacuter lesz akkor ez a leacutepeacutes megegyezik azzal hogy a Nim-jaacuteteacutekban egy leacutepeacutessel
eltuumlntetjuumlk a 2 elemű kupacot Keacutet szabaacutelyos helyzetű korong megfordiacutetaacutesaacuteval ndash legyenek
26
most ezek az 1 eacutes 2 szaacutemuacuteak ndash az 55-oumls aacutebraacuten laacutethatoacute aacutellaacutes joumln leacutetre ami ekvivalens a
Nim-jaacuteteacutek azon leacutepeacuteseacutevel hogy a 2 elemű kupacboacutel 1 kavicsot elveszuumlnk
1 2 3
5 5 aacutebra
Keacutet fekete korong megfordiacutetaacutesa keacutet kupac teljes elveacuteteleacutet jelenteneacute a Nimben ami ilyen
formaacuteban nem szabaacutelyos Azonban ha jobban meggondoljuk ez a leacutepeacutes jelentheti azt
hogy a nagyobb meacuteretű kupacboacutel elveszuumlnk annyi kavicsot hogy az egyenlő legyen a
kisebb elemszaacutemaacuteval mert a nim-oumlsszeadaacutes miatt keacutet azonos meacuteretű kupac nem
befolyaacutesolja az egeacutesz jaacuteteacutek Grundy-szaacutemaacutet azaz a keacutet kupac kiegyenliacuteteacuteseacutevel illetve
teljes elveacuteteluumlkkel kapott Nim-aacutellaacutesok Grundy-szaacutemai megegyeznek
Az 5 3 aacutebra alapjaacuten kialakult aacutellaacutes Grundy-szaacutema tehaacutet 3 10 = 10 A jaacuteteacutek
vesztő aacutellaacutesainak Grundy-szaacutema 0 azaz ha ilyen aacutellaacutesroacutel indul valaki az nem tud nyerni
Ebből a poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacutet keacutepezni csak a 10 elemű kupac teljes elveacuteteleacutevel
lehetseacuteges Tehaacutet a 10-es szaacutemuacute fekete korongot kell megfordiacutetani előszoumlr a
győzelemhez
5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
A most koumlvetkező haacuterom jaacuteteacutekkal a [2] cikkben talaacutelkoztam
7 Jaacuteteacutek (Rim-jaacuteteacutek) Adott neacutehaacuteny kupac kavics A kupacok egyikeacuteből elvehető
akaacutermennyi kavics de csak uacutegy hogy az elvett elemek szaacutema relatiacutev priacutem legyen az elveacutetel
előtti mennyiseacuteghez
Ez a jaacuteteacutek toumlbb egykupacos uacuten bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacuteknak oumlsszege A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek
egy n darab taacutergyat (kavicsot) tartalmazoacute kupacroacutel szoacutel amelyből k elemet vehetuumlnk el
ha k eacutes n relatiacutev priacutemek Ebből koumlvetkezik hogy 1-et mindig elvehetuumlnk az oumlsszes elemet
azonban sosem (mert n oumlnmagaacuteval nem relatiacutev priacutem) kiveacuteve ha 1 darab marad a
kupacban
Jeloumlljuumlk itt az i elemszaacutemuacute Rim-kupacok Grundy-szaacutemaacutet G(Ri)-vel Az első eacutes maacutesodik
Grundy-szaacutem koumlnnyen megmondhatoacute G0 = 0 eacutes G1 = mex (G0) = 1 Ha keacutet elemet
27
tartalmaz a kiindulaacutesi kupac akkor a szabaacutelynak megfelelően az egyetlen lehetőseacuteg 1
kavics elveacutetele ezeacutert G(R2) = mex (1) = 0 Haacuteromelemű kezdőkupacboacutel 1 eacutes 2 elemet is
elvehetuumlnk iacutegy kapjuk hogy G(R3) = mex (G(R1) G(R2) ) = mex (1 0) = 2 Neacutegy elem
eseteacuten G4 = mex (G1 G3) = 0 Hasonloacutean G5 = mex (G(R1) G(R2) G(R3) G(R4)) =
= mex (1 2 0 2) = 3 eacutes iacutegy tovaacutebb A koumlvetkező teacutetelben meghataacuterozzuk aacuteltalaacutenossaacutegban
G(Rn)-et
Teacutetel A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutekban minden paacuteros n elemszaacutemuacute kupacra G(Rn) = 0 valamint
n paacuteratlan elemszaacutem eseteacuten G(Rn) = k ha n legkisebb priacutemosztoacuteja a k-adik priacutemszaacutem (Az
első priacutemszaacutem a 2 maacutesodik a 3 stb)
Bizonyiacutetaacutes n-re vonatkozoacute teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk
a) ha n paacuteros Semelyik esetben sem lehet az egeacutesz kupacot elvenni kiveacuteve ha 1 kavics
marad a kupacban Laacutettuk hogy G(R0) = G2 = 0 Legyen n paacuteros Tegyuumlk fel hogy
minden n-neacutel nem nagyobb paacuteros k szaacutemra G(Rk) = 0 Laacutessuk be ezt (n+2)-re is Mivel
egy paacuteros szaacutem semelyik maacutesik paacuteros szaacutemmal sem relatiacutev priacutem ezeacutert paacuteros darab
kavicsot nem vehetuumlnk el a kupacboacutel ennek okaacuten uacutejabb paacuteros elemszaacutemuacute aacutellaacutes sem
joumlhet leacutetre Paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac ugyan lehet (n+2) kiszomszeacutedja de annak
Grundy-szaacutema biztosan nem 0 mert 1 kavicsot baacutermelyik aacutellaacutesboacutel elvehetuumlnk iacutegy lesz
a paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt n-neacutel nem nagyobb paacuteros elemszaacutemuacute
kupac aminek Grundy-szaacutema 0 Tehaacutet (n+2) elemet tartalmazoacute kupac raacutekoumlvetkezői
koumlzoumltt nem lesz 0 Grundy-szaacutemuacute iacutegy azok legkisebb kizaacutertja eacutepp a 0
b) ha n paacuteratlan Tudjuk hogy G1 = 1 eacutes azt is laacutettuk hogy G3 = 2 Itt is teljes indukcioacutet
hasznaacutelunk Tegyuumlk fel hogy igaz a fenti aacutelliacutetaacutes minden paacuteratlan n-re Bizonyiacutetsuk be
hogy ez az n+2 paacuteratlan szaacutemra is oumlroumlklődik Legyen n+2 legkisebb priacutemosztoacuteja p eacutes
annak sorszaacutema k Ahhoz hogy belaacutessuk hogy Gn+2 = k keacutet dologra van szuumlkseacuteg
1) Minden k-naacutel kisebb szaacutem előfordul az n+2 elemszaacutemuacute aacutellaacutes valamely
kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutemakeacutent
2) Az n+2 elemű kupac egyik kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutema sem k
1) igazolaacutesa 1-et eacutes n+1-et mindig leacutephetuumlnk tehaacutet 1 eacutes 0 Grundy-szaacutemuacute
raacutekoumlvetkezője minden aacutellaacutesnak van Legyen q egy tetszőleges p-neacutel kisebb priacutem ndash
ennek sorszaacutema k-naacutel kisebb eacutes az indukcioacute szerint a q elemű aacutellaacutes Grundy-szaacutema eacutepp
a q sorszaacutema Ekkor meg kell mutatnunk hogy n+2ndashből aminek legkisebb
priacutemosztoacuteja p a q elemszaacutemuacute kupacba leacutepeacutes szabaacutelyos Ez azeacutert igaz mert a
28
jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek
nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek
elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash
hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert
kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute
kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes
2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m
elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb
priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt
k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek
A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő
strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk
8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad
kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja
legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is
elvehetjuumlk)
Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő
tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz
melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk
Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean
G(Di)
Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1
Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva
laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek
bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1
29
1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i
2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan
1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute
kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute
kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei
azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet
elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =
21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i
2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet
eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n
raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l
paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1
Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban
ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra
G(Da) = 0 + 1 = 1
Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek
9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az
egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a
Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya
szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)
Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg
Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal
Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon
mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)
= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet
a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5
kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre
30
11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik
kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az
nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi
Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-
ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet
Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik
jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem
hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy
speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok
bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A
Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő
nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk
valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval
deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek
a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)
stb kupacmeacuteretek
Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt
de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt
5 4 Fibonacci-nim
A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik
13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el
kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve
utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint
amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben
Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz
szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa
előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban
31
Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat
i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2
Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a
koumlvetkező taacuteblaacutezat
Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok
Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő
Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok
oumlsszegeacutere
Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899
Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel
hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga
Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem
akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-
szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert
119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa
kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem
Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele
keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen
Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip
Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel
minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok
legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot
vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)
7 [1] alapjaacuten
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
21
leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben
megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet
Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud
mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy
ő nyeri a jaacuteteacutekot
Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-
szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)
Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0
Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn
direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)
Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti
indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes
aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)
valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra
maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb
a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel
Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)
raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy
minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy
a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat
oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek
vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden
A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban
oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom
22
5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute
jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok
hasznaacutelata
5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai
Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő
egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti
darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok
Grundy-szaacutemai
Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-
szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő
Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen
innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk
= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz
vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet
el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan
ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute
Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)
vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet
Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent
meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes
strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait
Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem
Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik
ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a
koumlvetkező
5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy
bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek
Grundy-szaacutemaival
23
10 Jaacuteteacutek (Dawsonrsquos Chess) Adott egy 1x n-es teacuteglalap melynek neacutegyzeteibe a jaacuteteacutekosok
felvaacuteltva X-et raknak uacutegy hogy az X jellel ellaacutetott cellaacutek szomszeacutedosak nem lehetnek vagyis
egy X melletti neacutegyzetbe maacutesik X nem keruumllhet Az nyer aki az utolsoacute jelet rakja
Ha jobban meggondoljuk a keacutet jaacuteteacutek megfelel egymaacutesnak Annyi a kuumlloumlnbseacuteg hogy az
itteni neacutegyzetek ott a 2x2-es neacutegyzetek felező vonalainak felelnek meg eacutes az itteni vaacutelasztoacute
raacutecsvonalak pedig a sziacutenezős jaacuteteacutek neacutegyzeteivel egyeznek meg Neacutezzuumlk az alaacutebbi 5 1 aacutebraacuten
szemleacuteltetett peacuteldaacutet
Dawsonrsquos Chess taacutebla egy lehetseacuteges veacutegaacutellaacutessal
A 2 jaacuteteacutek ugyanazt jelentő veacutegső aacutellaacutesa
51 aacutebra
Joacutel laacutethatoacute hogy a 2 jaacuteteacutekban a 2x2-es neacutegyzetek hataacutervonalai eacutepp a Dawsonrsquos Chess-
beli bdquotiltott mezőknekrdquo felelnek meg - amikben nem keruumllhet X jel mert szomszeacutedjukban
maacuter szerepel - mert egy ilyen hataacutervonalra nem eshet maacutesik 2x2-es neacutegyzet felezővonala
hisz akkor a neacutegyzetek takarnaacutek egymaacutest
Feacuteny deruumllt arra6 hogy ennek a jaacuteteacuteknak a Grundy-szaacutemaiboacutel aacutelloacute sorozat 34-es
periodicitaacutesuacute de az elejeacuten van heacutet kiveacutetel a 0 14 16 17 31 34 eacutes 51 helyen aacutelloacute szaacutemok
tekinteteacuteben Utaacutena beaacutell a valoacutedi periodicitaacutes Azok az aacutellaacutesok eacuterdekesek szaacutemunkra a
nyerő strateacutegia kutataacutesa kapcsaacuten melyek Grundy-szaacutema 0 mert ezek a vesztes aacutellaacutesok
Tehaacutet vesztes aacutellaacutesok az elejeacutetől kezdve 1 5 9 15 21 25 29 35 neacutegyzetet tartalmazoacute
kezdőaacutellaacutesok majd az 1 a 15 eacutes 35 kiveacuteteleacutevel ezek k ∙ 34-gyel vett oumlsszegei is vesztő
aacutellaacutesok lesznek a periodicitaacutes miatt
5 2 Jaacuteteacutekok korongokkal
A koumlvetkező jaacuteteacutek a [4] koumlnyvből szaacutermazik
6 Szinteacuten a httpsoeisorg weboldal hasznaacutelataacuteval
X X
24
5 Jaacuteteacutek Egy asztalon sorba 10 korong van lerakva melyeknek egyik oldala feheacuter maacutesik
fekete sziacutenű Ketten jaacutetszanak A soron koumlvetkező mindig kivaacutelaszt egy fekete oldalaacuteval
felfeleacute fekvő korongot majd azt eacutes az oumlsszes tőle jobbra leacutevőt aacutetfordiacutetja a maacutesik oldalaacutera
Akkor van veacutege a jaacuteteacuteknak ha mindegyik korongnak a feheacuter oldala van feluumll Az veszt aki
nem tud toumlbbet leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes hogyan tud győzni
A jaacuteteacutek kimenetele eacutes nyertese fuumlgg a kiindulaacutesi helyzettől Tekintsuumlk az alaacutebbi konkreacutet
kezdőaacutellaacutest (5 2 aacutebra)
5 2 aacutebra
A nyertes strateacutegia nem bonyolult sőt eleacuteg keacutezenfekvő ha belegondolunk tudniillik a
veacutegeredmeacuteny egyaacuteltalaacuten nem a jaacuteteacutekosok leacutepeacutesein muacutelik hanem csupaacuten az utolsoacute korong
sziacuteneacutetől fuumlgg Ugyanis egy korong az utolsoacute helyen aacutelloacute biztosan megfordul minden
leacutepeacutesben Ez leacutepeacutesenkeacutent vaacuteltakozva hol feheacuter hol fekete oldalaacuteval lesz feluumll miacuteg ki nem
alakul a veacutegső nyertes ndash oumlsszes feheacuter ndash aacutellaacutes Ha peacuteldaacuteul kezdetben fekete az utolsoacute
korong akkor az mindig a kezdő jaacuteteacutekos forgataacutesai nyomaacuten fog a feheacuter oldalaacuteval felfeleacute
keruumllni A jaacuteteacutek egyszer veacuteget eacuter eacutes tudjuk hogy az utolsoacute leacutepeacutes a kezdő jaacuteteacutekoseacute lesz
tehaacutet ő nyer Ellenkező esetben - ha a kezdő aacutellapotban feheacuter az utolsoacute korong - a maacutesodik
jaacuteteacutekoseacute a győzelem Tehaacutet teljesen mindegy haacuteny koronggal jaacutetszunk a győztest mindig
a sorban elhelyezett utolsoacute korong sziacutene fogja elaacuterulni Ha az a fekete oldalaacuteval felfeleacute
fekszik akkor a kezdő ha feheacuter sziacutene laacutetszik akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos nyer Iacutegy a fenti
jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
Ha feladatban moacutedosiacutetjuk kicsit a szabaacutelyokat akkor a megoldaacutes is bonyoloacutedik eacutes itt
maacuter fel kell hasznaacutelnunk a Grundy-szaacutemokat illetve a nim-oumlsszeget A koumlvetkező feladat
eacutes megoldaacutesi oumltlete [2] forraacutesboacutel szaacutermazik
6 Jaacuteteacutek Legyen ismeacutet 10 darab korongunk az asztalra sorba lehelyezve A jaacuteteacutekosok
keacutetfeacutele leacutepeacutest hajthatnak veacutegre vagy megfordiacutetanak egy fekete oldalaacuteval felfeleacute fekvő
korongot vagy keacutet korongot fordiacutetanak meg melyek koumlzuumll a jobbraacutebb levő fekte Az vesziacutet
aki nem tud toumlbbet leacutepni
25
A megoldaacutes veacutegett szaacutemozzuk meg a korongokat balroacutel jobbra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 3 aacutebra
Aacutelliacutetaacutes A 6 jaacuteteacutek egy aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema eacutepp a fekete sziacutenű korongok sorszaacutemaacutenak
nim-oumlsszege
Bizonyiacutetaacutes Alkossunk ebből a jaacuteteacutekboacutel Nim-jaacuteteacutekot a koumlvetkező keacuteppen Ha az i-edik
korong sziacutene fekete akkor tekintsuumlnk egy ekkora elemszaacutemuacute kupacot a Nim-jaacuteteacutekban ha
feheacuter sziacutenű egy korong akkor nincs ilyen kupacunk Ezzel egy szokaacutesos Nim-jaacuteteacutekot
kapunk Azeacutert tehetjuumlk meg ezt mert a leacutepeacutesek eacutepp ugyanazt eredmeacutenyezik mindkeacutet
jaacuteteacutekban amennyiben megfordiacutetunk egy fekete korongot az annak felel meg ha nim-
jaacuteteacutekban azt a kupacot teljes egeacuteszeacuteben elvesszuumlk eacutes megszűnik Ha egy feheacuter eacutes egy
fekete korongot fordiacutetunk meg melyek koumlzuumll a fekete a jobb oldali akkor azzal
egyeneacuterteacutekű mintha a nim-jaacuteteacutekban bizonyos szaacutemuacute kavicsot elvettuumlnk volna az addigi
kupacboacutel uacutegy hogy a feketeacutere fordiacutetott korong sorszaacutemaacutenak megfelelő kupacmeacuteretet
eacutertuumlnk el (Mert a bal oldali korong sorszaacutema kisebb eacutes iacutegy kisebb elemszaacutemuacute kupacot is
jelent) Tekintsuumlnk erre magyaraacutezatul egy peacuteldaacutet (5 4 aacutebra)
1 2 3
5 4 aacutebra
Ebben a kis jaacuteteacutekban illusztraacuteljuk a korongforgataacutesi leacutepeacutesek eacutes a Nim-jaacuteteacutek kapcsolataacutet
Tekintsuumlk ennek mintaacutejaacutera a 2 eacutes 3 elmeszaacutemuacute kupacokkal jaacutetszott Nim-jaacuteteacutekot
Vilaacutegosan laacutetszik hogy ha megfordiacutetjuk peacuteldaacuteul a 2 szaacutemuacute fekete sziacutenű korongot eacutes iacutegy
az feheacuter lesz akkor ez a leacutepeacutes megegyezik azzal hogy a Nim-jaacuteteacutekban egy leacutepeacutessel
eltuumlntetjuumlk a 2 elemű kupacot Keacutet szabaacutelyos helyzetű korong megfordiacutetaacutesaacuteval ndash legyenek
26
most ezek az 1 eacutes 2 szaacutemuacuteak ndash az 55-oumls aacutebraacuten laacutethatoacute aacutellaacutes joumln leacutetre ami ekvivalens a
Nim-jaacuteteacutek azon leacutepeacuteseacutevel hogy a 2 elemű kupacboacutel 1 kavicsot elveszuumlnk
1 2 3
5 5 aacutebra
Keacutet fekete korong megfordiacutetaacutesa keacutet kupac teljes elveacuteteleacutet jelenteneacute a Nimben ami ilyen
formaacuteban nem szabaacutelyos Azonban ha jobban meggondoljuk ez a leacutepeacutes jelentheti azt
hogy a nagyobb meacuteretű kupacboacutel elveszuumlnk annyi kavicsot hogy az egyenlő legyen a
kisebb elemszaacutemaacuteval mert a nim-oumlsszeadaacutes miatt keacutet azonos meacuteretű kupac nem
befolyaacutesolja az egeacutesz jaacuteteacutek Grundy-szaacutemaacutet azaz a keacutet kupac kiegyenliacuteteacuteseacutevel illetve
teljes elveacuteteluumlkkel kapott Nim-aacutellaacutesok Grundy-szaacutemai megegyeznek
Az 5 3 aacutebra alapjaacuten kialakult aacutellaacutes Grundy-szaacutema tehaacutet 3 10 = 10 A jaacuteteacutek
vesztő aacutellaacutesainak Grundy-szaacutema 0 azaz ha ilyen aacutellaacutesroacutel indul valaki az nem tud nyerni
Ebből a poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacutet keacutepezni csak a 10 elemű kupac teljes elveacuteteleacutevel
lehetseacuteges Tehaacutet a 10-es szaacutemuacute fekete korongot kell megfordiacutetani előszoumlr a
győzelemhez
5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
A most koumlvetkező haacuterom jaacuteteacutekkal a [2] cikkben talaacutelkoztam
7 Jaacuteteacutek (Rim-jaacuteteacutek) Adott neacutehaacuteny kupac kavics A kupacok egyikeacuteből elvehető
akaacutermennyi kavics de csak uacutegy hogy az elvett elemek szaacutema relatiacutev priacutem legyen az elveacutetel
előtti mennyiseacuteghez
Ez a jaacuteteacutek toumlbb egykupacos uacuten bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacuteknak oumlsszege A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek
egy n darab taacutergyat (kavicsot) tartalmazoacute kupacroacutel szoacutel amelyből k elemet vehetuumlnk el
ha k eacutes n relatiacutev priacutemek Ebből koumlvetkezik hogy 1-et mindig elvehetuumlnk az oumlsszes elemet
azonban sosem (mert n oumlnmagaacuteval nem relatiacutev priacutem) kiveacuteve ha 1 darab marad a
kupacban
Jeloumlljuumlk itt az i elemszaacutemuacute Rim-kupacok Grundy-szaacutemaacutet G(Ri)-vel Az első eacutes maacutesodik
Grundy-szaacutem koumlnnyen megmondhatoacute G0 = 0 eacutes G1 = mex (G0) = 1 Ha keacutet elemet
27
tartalmaz a kiindulaacutesi kupac akkor a szabaacutelynak megfelelően az egyetlen lehetőseacuteg 1
kavics elveacutetele ezeacutert G(R2) = mex (1) = 0 Haacuteromelemű kezdőkupacboacutel 1 eacutes 2 elemet is
elvehetuumlnk iacutegy kapjuk hogy G(R3) = mex (G(R1) G(R2) ) = mex (1 0) = 2 Neacutegy elem
eseteacuten G4 = mex (G1 G3) = 0 Hasonloacutean G5 = mex (G(R1) G(R2) G(R3) G(R4)) =
= mex (1 2 0 2) = 3 eacutes iacutegy tovaacutebb A koumlvetkező teacutetelben meghataacuterozzuk aacuteltalaacutenossaacutegban
G(Rn)-et
Teacutetel A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutekban minden paacuteros n elemszaacutemuacute kupacra G(Rn) = 0 valamint
n paacuteratlan elemszaacutem eseteacuten G(Rn) = k ha n legkisebb priacutemosztoacuteja a k-adik priacutemszaacutem (Az
első priacutemszaacutem a 2 maacutesodik a 3 stb)
Bizonyiacutetaacutes n-re vonatkozoacute teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk
a) ha n paacuteros Semelyik esetben sem lehet az egeacutesz kupacot elvenni kiveacuteve ha 1 kavics
marad a kupacban Laacutettuk hogy G(R0) = G2 = 0 Legyen n paacuteros Tegyuumlk fel hogy
minden n-neacutel nem nagyobb paacuteros k szaacutemra G(Rk) = 0 Laacutessuk be ezt (n+2)-re is Mivel
egy paacuteros szaacutem semelyik maacutesik paacuteros szaacutemmal sem relatiacutev priacutem ezeacutert paacuteros darab
kavicsot nem vehetuumlnk el a kupacboacutel ennek okaacuten uacutejabb paacuteros elemszaacutemuacute aacutellaacutes sem
joumlhet leacutetre Paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac ugyan lehet (n+2) kiszomszeacutedja de annak
Grundy-szaacutema biztosan nem 0 mert 1 kavicsot baacutermelyik aacutellaacutesboacutel elvehetuumlnk iacutegy lesz
a paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt n-neacutel nem nagyobb paacuteros elemszaacutemuacute
kupac aminek Grundy-szaacutema 0 Tehaacutet (n+2) elemet tartalmazoacute kupac raacutekoumlvetkezői
koumlzoumltt nem lesz 0 Grundy-szaacutemuacute iacutegy azok legkisebb kizaacutertja eacutepp a 0
b) ha n paacuteratlan Tudjuk hogy G1 = 1 eacutes azt is laacutettuk hogy G3 = 2 Itt is teljes indukcioacutet
hasznaacutelunk Tegyuumlk fel hogy igaz a fenti aacutelliacutetaacutes minden paacuteratlan n-re Bizonyiacutetsuk be
hogy ez az n+2 paacuteratlan szaacutemra is oumlroumlklődik Legyen n+2 legkisebb priacutemosztoacuteja p eacutes
annak sorszaacutema k Ahhoz hogy belaacutessuk hogy Gn+2 = k keacutet dologra van szuumlkseacuteg
1) Minden k-naacutel kisebb szaacutem előfordul az n+2 elemszaacutemuacute aacutellaacutes valamely
kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutemakeacutent
2) Az n+2 elemű kupac egyik kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutema sem k
1) igazolaacutesa 1-et eacutes n+1-et mindig leacutephetuumlnk tehaacutet 1 eacutes 0 Grundy-szaacutemuacute
raacutekoumlvetkezője minden aacutellaacutesnak van Legyen q egy tetszőleges p-neacutel kisebb priacutem ndash
ennek sorszaacutema k-naacutel kisebb eacutes az indukcioacute szerint a q elemű aacutellaacutes Grundy-szaacutema eacutepp
a q sorszaacutema Ekkor meg kell mutatnunk hogy n+2ndashből aminek legkisebb
priacutemosztoacuteja p a q elemszaacutemuacute kupacba leacutepeacutes szabaacutelyos Ez azeacutert igaz mert a
28
jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek
nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek
elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash
hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert
kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute
kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes
2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m
elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb
priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt
k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek
A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő
strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk
8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad
kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja
legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is
elvehetjuumlk)
Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő
tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz
melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk
Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean
G(Di)
Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1
Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva
laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek
bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1
29
1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i
2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan
1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute
kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute
kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei
azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet
elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =
21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i
2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet
eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n
raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l
paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1
Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban
ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra
G(Da) = 0 + 1 = 1
Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek
9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az
egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a
Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya
szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)
Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg
Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal
Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon
mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)
= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet
a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5
kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre
30
11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik
kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az
nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi
Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-
ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet
Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik
jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem
hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy
speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok
bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A
Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő
nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk
valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval
deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek
a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)
stb kupacmeacuteretek
Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt
de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt
5 4 Fibonacci-nim
A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik
13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el
kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve
utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint
amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben
Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz
szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa
előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban
31
Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat
i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2
Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a
koumlvetkező taacuteblaacutezat
Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok
Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő
Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok
oumlsszegeacutere
Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899
Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel
hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga
Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem
akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-
szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert
119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa
kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem
Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele
keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen
Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip
Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel
minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok
legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot
vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)
7 [1] alapjaacuten
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
22
5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute
jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok
hasznaacutelata
5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai
Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő
egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti
darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok
Grundy-szaacutemai
Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-
szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő
Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen
innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk
= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz
vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet
el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan
ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute
Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)
vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet
Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent
meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes
strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait
Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem
Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik
ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a
koumlvetkező
5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy
bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek
Grundy-szaacutemaival
23
10 Jaacuteteacutek (Dawsonrsquos Chess) Adott egy 1x n-es teacuteglalap melynek neacutegyzeteibe a jaacuteteacutekosok
felvaacuteltva X-et raknak uacutegy hogy az X jellel ellaacutetott cellaacutek szomszeacutedosak nem lehetnek vagyis
egy X melletti neacutegyzetbe maacutesik X nem keruumllhet Az nyer aki az utolsoacute jelet rakja
Ha jobban meggondoljuk a keacutet jaacuteteacutek megfelel egymaacutesnak Annyi a kuumlloumlnbseacuteg hogy az
itteni neacutegyzetek ott a 2x2-es neacutegyzetek felező vonalainak felelnek meg eacutes az itteni vaacutelasztoacute
raacutecsvonalak pedig a sziacutenezős jaacuteteacutek neacutegyzeteivel egyeznek meg Neacutezzuumlk az alaacutebbi 5 1 aacutebraacuten
szemleacuteltetett peacuteldaacutet
Dawsonrsquos Chess taacutebla egy lehetseacuteges veacutegaacutellaacutessal
A 2 jaacuteteacutek ugyanazt jelentő veacutegső aacutellaacutesa
51 aacutebra
Joacutel laacutethatoacute hogy a 2 jaacuteteacutekban a 2x2-es neacutegyzetek hataacutervonalai eacutepp a Dawsonrsquos Chess-
beli bdquotiltott mezőknekrdquo felelnek meg - amikben nem keruumllhet X jel mert szomszeacutedjukban
maacuter szerepel - mert egy ilyen hataacutervonalra nem eshet maacutesik 2x2-es neacutegyzet felezővonala
hisz akkor a neacutegyzetek takarnaacutek egymaacutest
Feacuteny deruumllt arra6 hogy ennek a jaacuteteacuteknak a Grundy-szaacutemaiboacutel aacutelloacute sorozat 34-es
periodicitaacutesuacute de az elejeacuten van heacutet kiveacutetel a 0 14 16 17 31 34 eacutes 51 helyen aacutelloacute szaacutemok
tekinteteacuteben Utaacutena beaacutell a valoacutedi periodicitaacutes Azok az aacutellaacutesok eacuterdekesek szaacutemunkra a
nyerő strateacutegia kutataacutesa kapcsaacuten melyek Grundy-szaacutema 0 mert ezek a vesztes aacutellaacutesok
Tehaacutet vesztes aacutellaacutesok az elejeacutetől kezdve 1 5 9 15 21 25 29 35 neacutegyzetet tartalmazoacute
kezdőaacutellaacutesok majd az 1 a 15 eacutes 35 kiveacuteteleacutevel ezek k ∙ 34-gyel vett oumlsszegei is vesztő
aacutellaacutesok lesznek a periodicitaacutes miatt
5 2 Jaacuteteacutekok korongokkal
A koumlvetkező jaacuteteacutek a [4] koumlnyvből szaacutermazik
6 Szinteacuten a httpsoeisorg weboldal hasznaacutelataacuteval
X X
24
5 Jaacuteteacutek Egy asztalon sorba 10 korong van lerakva melyeknek egyik oldala feheacuter maacutesik
fekete sziacutenű Ketten jaacutetszanak A soron koumlvetkező mindig kivaacutelaszt egy fekete oldalaacuteval
felfeleacute fekvő korongot majd azt eacutes az oumlsszes tőle jobbra leacutevőt aacutetfordiacutetja a maacutesik oldalaacutera
Akkor van veacutege a jaacuteteacuteknak ha mindegyik korongnak a feheacuter oldala van feluumll Az veszt aki
nem tud toumlbbet leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes hogyan tud győzni
A jaacuteteacutek kimenetele eacutes nyertese fuumlgg a kiindulaacutesi helyzettől Tekintsuumlk az alaacutebbi konkreacutet
kezdőaacutellaacutest (5 2 aacutebra)
5 2 aacutebra
A nyertes strateacutegia nem bonyolult sőt eleacuteg keacutezenfekvő ha belegondolunk tudniillik a
veacutegeredmeacuteny egyaacuteltalaacuten nem a jaacuteteacutekosok leacutepeacutesein muacutelik hanem csupaacuten az utolsoacute korong
sziacuteneacutetől fuumlgg Ugyanis egy korong az utolsoacute helyen aacutelloacute biztosan megfordul minden
leacutepeacutesben Ez leacutepeacutesenkeacutent vaacuteltakozva hol feheacuter hol fekete oldalaacuteval lesz feluumll miacuteg ki nem
alakul a veacutegső nyertes ndash oumlsszes feheacuter ndash aacutellaacutes Ha peacuteldaacuteul kezdetben fekete az utolsoacute
korong akkor az mindig a kezdő jaacuteteacutekos forgataacutesai nyomaacuten fog a feheacuter oldalaacuteval felfeleacute
keruumllni A jaacuteteacutek egyszer veacuteget eacuter eacutes tudjuk hogy az utolsoacute leacutepeacutes a kezdő jaacuteteacutekoseacute lesz
tehaacutet ő nyer Ellenkező esetben - ha a kezdő aacutellapotban feheacuter az utolsoacute korong - a maacutesodik
jaacuteteacutekoseacute a győzelem Tehaacutet teljesen mindegy haacuteny koronggal jaacutetszunk a győztest mindig
a sorban elhelyezett utolsoacute korong sziacutene fogja elaacuterulni Ha az a fekete oldalaacuteval felfeleacute
fekszik akkor a kezdő ha feheacuter sziacutene laacutetszik akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos nyer Iacutegy a fenti
jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
Ha feladatban moacutedosiacutetjuk kicsit a szabaacutelyokat akkor a megoldaacutes is bonyoloacutedik eacutes itt
maacuter fel kell hasznaacutelnunk a Grundy-szaacutemokat illetve a nim-oumlsszeget A koumlvetkező feladat
eacutes megoldaacutesi oumltlete [2] forraacutesboacutel szaacutermazik
6 Jaacuteteacutek Legyen ismeacutet 10 darab korongunk az asztalra sorba lehelyezve A jaacuteteacutekosok
keacutetfeacutele leacutepeacutest hajthatnak veacutegre vagy megfordiacutetanak egy fekete oldalaacuteval felfeleacute fekvő
korongot vagy keacutet korongot fordiacutetanak meg melyek koumlzuumll a jobbraacutebb levő fekte Az vesziacutet
aki nem tud toumlbbet leacutepni
25
A megoldaacutes veacutegett szaacutemozzuk meg a korongokat balroacutel jobbra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 3 aacutebra
Aacutelliacutetaacutes A 6 jaacuteteacutek egy aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema eacutepp a fekete sziacutenű korongok sorszaacutemaacutenak
nim-oumlsszege
Bizonyiacutetaacutes Alkossunk ebből a jaacuteteacutekboacutel Nim-jaacuteteacutekot a koumlvetkező keacuteppen Ha az i-edik
korong sziacutene fekete akkor tekintsuumlnk egy ekkora elemszaacutemuacute kupacot a Nim-jaacuteteacutekban ha
feheacuter sziacutenű egy korong akkor nincs ilyen kupacunk Ezzel egy szokaacutesos Nim-jaacuteteacutekot
kapunk Azeacutert tehetjuumlk meg ezt mert a leacutepeacutesek eacutepp ugyanazt eredmeacutenyezik mindkeacutet
jaacuteteacutekban amennyiben megfordiacutetunk egy fekete korongot az annak felel meg ha nim-
jaacuteteacutekban azt a kupacot teljes egeacuteszeacuteben elvesszuumlk eacutes megszűnik Ha egy feheacuter eacutes egy
fekete korongot fordiacutetunk meg melyek koumlzuumll a fekete a jobb oldali akkor azzal
egyeneacuterteacutekű mintha a nim-jaacuteteacutekban bizonyos szaacutemuacute kavicsot elvettuumlnk volna az addigi
kupacboacutel uacutegy hogy a feketeacutere fordiacutetott korong sorszaacutemaacutenak megfelelő kupacmeacuteretet
eacutertuumlnk el (Mert a bal oldali korong sorszaacutema kisebb eacutes iacutegy kisebb elemszaacutemuacute kupacot is
jelent) Tekintsuumlnk erre magyaraacutezatul egy peacuteldaacutet (5 4 aacutebra)
1 2 3
5 4 aacutebra
Ebben a kis jaacuteteacutekban illusztraacuteljuk a korongforgataacutesi leacutepeacutesek eacutes a Nim-jaacuteteacutek kapcsolataacutet
Tekintsuumlk ennek mintaacutejaacutera a 2 eacutes 3 elmeszaacutemuacute kupacokkal jaacutetszott Nim-jaacuteteacutekot
Vilaacutegosan laacutetszik hogy ha megfordiacutetjuk peacuteldaacuteul a 2 szaacutemuacute fekete sziacutenű korongot eacutes iacutegy
az feheacuter lesz akkor ez a leacutepeacutes megegyezik azzal hogy a Nim-jaacuteteacutekban egy leacutepeacutessel
eltuumlntetjuumlk a 2 elemű kupacot Keacutet szabaacutelyos helyzetű korong megfordiacutetaacutesaacuteval ndash legyenek
26
most ezek az 1 eacutes 2 szaacutemuacuteak ndash az 55-oumls aacutebraacuten laacutethatoacute aacutellaacutes joumln leacutetre ami ekvivalens a
Nim-jaacuteteacutek azon leacutepeacuteseacutevel hogy a 2 elemű kupacboacutel 1 kavicsot elveszuumlnk
1 2 3
5 5 aacutebra
Keacutet fekete korong megfordiacutetaacutesa keacutet kupac teljes elveacuteteleacutet jelenteneacute a Nimben ami ilyen
formaacuteban nem szabaacutelyos Azonban ha jobban meggondoljuk ez a leacutepeacutes jelentheti azt
hogy a nagyobb meacuteretű kupacboacutel elveszuumlnk annyi kavicsot hogy az egyenlő legyen a
kisebb elemszaacutemaacuteval mert a nim-oumlsszeadaacutes miatt keacutet azonos meacuteretű kupac nem
befolyaacutesolja az egeacutesz jaacuteteacutek Grundy-szaacutemaacutet azaz a keacutet kupac kiegyenliacuteteacuteseacutevel illetve
teljes elveacuteteluumlkkel kapott Nim-aacutellaacutesok Grundy-szaacutemai megegyeznek
Az 5 3 aacutebra alapjaacuten kialakult aacutellaacutes Grundy-szaacutema tehaacutet 3 10 = 10 A jaacuteteacutek
vesztő aacutellaacutesainak Grundy-szaacutema 0 azaz ha ilyen aacutellaacutesroacutel indul valaki az nem tud nyerni
Ebből a poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacutet keacutepezni csak a 10 elemű kupac teljes elveacuteteleacutevel
lehetseacuteges Tehaacutet a 10-es szaacutemuacute fekete korongot kell megfordiacutetani előszoumlr a
győzelemhez
5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
A most koumlvetkező haacuterom jaacuteteacutekkal a [2] cikkben talaacutelkoztam
7 Jaacuteteacutek (Rim-jaacuteteacutek) Adott neacutehaacuteny kupac kavics A kupacok egyikeacuteből elvehető
akaacutermennyi kavics de csak uacutegy hogy az elvett elemek szaacutema relatiacutev priacutem legyen az elveacutetel
előtti mennyiseacuteghez
Ez a jaacuteteacutek toumlbb egykupacos uacuten bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacuteknak oumlsszege A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek
egy n darab taacutergyat (kavicsot) tartalmazoacute kupacroacutel szoacutel amelyből k elemet vehetuumlnk el
ha k eacutes n relatiacutev priacutemek Ebből koumlvetkezik hogy 1-et mindig elvehetuumlnk az oumlsszes elemet
azonban sosem (mert n oumlnmagaacuteval nem relatiacutev priacutem) kiveacuteve ha 1 darab marad a
kupacban
Jeloumlljuumlk itt az i elemszaacutemuacute Rim-kupacok Grundy-szaacutemaacutet G(Ri)-vel Az első eacutes maacutesodik
Grundy-szaacutem koumlnnyen megmondhatoacute G0 = 0 eacutes G1 = mex (G0) = 1 Ha keacutet elemet
27
tartalmaz a kiindulaacutesi kupac akkor a szabaacutelynak megfelelően az egyetlen lehetőseacuteg 1
kavics elveacutetele ezeacutert G(R2) = mex (1) = 0 Haacuteromelemű kezdőkupacboacutel 1 eacutes 2 elemet is
elvehetuumlnk iacutegy kapjuk hogy G(R3) = mex (G(R1) G(R2) ) = mex (1 0) = 2 Neacutegy elem
eseteacuten G4 = mex (G1 G3) = 0 Hasonloacutean G5 = mex (G(R1) G(R2) G(R3) G(R4)) =
= mex (1 2 0 2) = 3 eacutes iacutegy tovaacutebb A koumlvetkező teacutetelben meghataacuterozzuk aacuteltalaacutenossaacutegban
G(Rn)-et
Teacutetel A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutekban minden paacuteros n elemszaacutemuacute kupacra G(Rn) = 0 valamint
n paacuteratlan elemszaacutem eseteacuten G(Rn) = k ha n legkisebb priacutemosztoacuteja a k-adik priacutemszaacutem (Az
első priacutemszaacutem a 2 maacutesodik a 3 stb)
Bizonyiacutetaacutes n-re vonatkozoacute teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk
a) ha n paacuteros Semelyik esetben sem lehet az egeacutesz kupacot elvenni kiveacuteve ha 1 kavics
marad a kupacban Laacutettuk hogy G(R0) = G2 = 0 Legyen n paacuteros Tegyuumlk fel hogy
minden n-neacutel nem nagyobb paacuteros k szaacutemra G(Rk) = 0 Laacutessuk be ezt (n+2)-re is Mivel
egy paacuteros szaacutem semelyik maacutesik paacuteros szaacutemmal sem relatiacutev priacutem ezeacutert paacuteros darab
kavicsot nem vehetuumlnk el a kupacboacutel ennek okaacuten uacutejabb paacuteros elemszaacutemuacute aacutellaacutes sem
joumlhet leacutetre Paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac ugyan lehet (n+2) kiszomszeacutedja de annak
Grundy-szaacutema biztosan nem 0 mert 1 kavicsot baacutermelyik aacutellaacutesboacutel elvehetuumlnk iacutegy lesz
a paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt n-neacutel nem nagyobb paacuteros elemszaacutemuacute
kupac aminek Grundy-szaacutema 0 Tehaacutet (n+2) elemet tartalmazoacute kupac raacutekoumlvetkezői
koumlzoumltt nem lesz 0 Grundy-szaacutemuacute iacutegy azok legkisebb kizaacutertja eacutepp a 0
b) ha n paacuteratlan Tudjuk hogy G1 = 1 eacutes azt is laacutettuk hogy G3 = 2 Itt is teljes indukcioacutet
hasznaacutelunk Tegyuumlk fel hogy igaz a fenti aacutelliacutetaacutes minden paacuteratlan n-re Bizonyiacutetsuk be
hogy ez az n+2 paacuteratlan szaacutemra is oumlroumlklődik Legyen n+2 legkisebb priacutemosztoacuteja p eacutes
annak sorszaacutema k Ahhoz hogy belaacutessuk hogy Gn+2 = k keacutet dologra van szuumlkseacuteg
1) Minden k-naacutel kisebb szaacutem előfordul az n+2 elemszaacutemuacute aacutellaacutes valamely
kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutemakeacutent
2) Az n+2 elemű kupac egyik kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutema sem k
1) igazolaacutesa 1-et eacutes n+1-et mindig leacutephetuumlnk tehaacutet 1 eacutes 0 Grundy-szaacutemuacute
raacutekoumlvetkezője minden aacutellaacutesnak van Legyen q egy tetszőleges p-neacutel kisebb priacutem ndash
ennek sorszaacutema k-naacutel kisebb eacutes az indukcioacute szerint a q elemű aacutellaacutes Grundy-szaacutema eacutepp
a q sorszaacutema Ekkor meg kell mutatnunk hogy n+2ndashből aminek legkisebb
priacutemosztoacuteja p a q elemszaacutemuacute kupacba leacutepeacutes szabaacutelyos Ez azeacutert igaz mert a
28
jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek
nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek
elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash
hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert
kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute
kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes
2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m
elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb
priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt
k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek
A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő
strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk
8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad
kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja
legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is
elvehetjuumlk)
Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő
tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz
melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk
Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean
G(Di)
Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1
Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva
laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek
bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1
29
1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i
2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan
1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute
kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute
kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei
azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet
elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =
21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i
2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet
eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n
raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l
paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1
Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban
ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra
G(Da) = 0 + 1 = 1
Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek
9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az
egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a
Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya
szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)
Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg
Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal
Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon
mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)
= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet
a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5
kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre
30
11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik
kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az
nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi
Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-
ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet
Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik
jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem
hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy
speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok
bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A
Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő
nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk
valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval
deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek
a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)
stb kupacmeacuteretek
Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt
de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt
5 4 Fibonacci-nim
A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik
13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el
kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve
utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint
amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben
Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz
szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa
előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban
31
Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat
i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2
Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a
koumlvetkező taacuteblaacutezat
Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok
Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő
Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok
oumlsszegeacutere
Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899
Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel
hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga
Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem
akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-
szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert
119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa
kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem
Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele
keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen
Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip
Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel
minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok
legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot
vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)
7 [1] alapjaacuten
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
23
10 Jaacuteteacutek (Dawsonrsquos Chess) Adott egy 1x n-es teacuteglalap melynek neacutegyzeteibe a jaacuteteacutekosok
felvaacuteltva X-et raknak uacutegy hogy az X jellel ellaacutetott cellaacutek szomszeacutedosak nem lehetnek vagyis
egy X melletti neacutegyzetbe maacutesik X nem keruumllhet Az nyer aki az utolsoacute jelet rakja
Ha jobban meggondoljuk a keacutet jaacuteteacutek megfelel egymaacutesnak Annyi a kuumlloumlnbseacuteg hogy az
itteni neacutegyzetek ott a 2x2-es neacutegyzetek felező vonalainak felelnek meg eacutes az itteni vaacutelasztoacute
raacutecsvonalak pedig a sziacutenezős jaacuteteacutek neacutegyzeteivel egyeznek meg Neacutezzuumlk az alaacutebbi 5 1 aacutebraacuten
szemleacuteltetett peacuteldaacutet
Dawsonrsquos Chess taacutebla egy lehetseacuteges veacutegaacutellaacutessal
A 2 jaacuteteacutek ugyanazt jelentő veacutegső aacutellaacutesa
51 aacutebra
Joacutel laacutethatoacute hogy a 2 jaacuteteacutekban a 2x2-es neacutegyzetek hataacutervonalai eacutepp a Dawsonrsquos Chess-
beli bdquotiltott mezőknekrdquo felelnek meg - amikben nem keruumllhet X jel mert szomszeacutedjukban
maacuter szerepel - mert egy ilyen hataacutervonalra nem eshet maacutesik 2x2-es neacutegyzet felezővonala
hisz akkor a neacutegyzetek takarnaacutek egymaacutest
Feacuteny deruumllt arra6 hogy ennek a jaacuteteacuteknak a Grundy-szaacutemaiboacutel aacutelloacute sorozat 34-es
periodicitaacutesuacute de az elejeacuten van heacutet kiveacutetel a 0 14 16 17 31 34 eacutes 51 helyen aacutelloacute szaacutemok
tekinteteacuteben Utaacutena beaacutell a valoacutedi periodicitaacutes Azok az aacutellaacutesok eacuterdekesek szaacutemunkra a
nyerő strateacutegia kutataacutesa kapcsaacuten melyek Grundy-szaacutema 0 mert ezek a vesztes aacutellaacutesok
Tehaacutet vesztes aacutellaacutesok az elejeacutetől kezdve 1 5 9 15 21 25 29 35 neacutegyzetet tartalmazoacute
kezdőaacutellaacutesok majd az 1 a 15 eacutes 35 kiveacuteteleacutevel ezek k ∙ 34-gyel vett oumlsszegei is vesztő
aacutellaacutesok lesznek a periodicitaacutes miatt
5 2 Jaacuteteacutekok korongokkal
A koumlvetkező jaacuteteacutek a [4] koumlnyvből szaacutermazik
6 Szinteacuten a httpsoeisorg weboldal hasznaacutelataacuteval
X X
24
5 Jaacuteteacutek Egy asztalon sorba 10 korong van lerakva melyeknek egyik oldala feheacuter maacutesik
fekete sziacutenű Ketten jaacutetszanak A soron koumlvetkező mindig kivaacutelaszt egy fekete oldalaacuteval
felfeleacute fekvő korongot majd azt eacutes az oumlsszes tőle jobbra leacutevőt aacutetfordiacutetja a maacutesik oldalaacutera
Akkor van veacutege a jaacuteteacuteknak ha mindegyik korongnak a feheacuter oldala van feluumll Az veszt aki
nem tud toumlbbet leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes hogyan tud győzni
A jaacuteteacutek kimenetele eacutes nyertese fuumlgg a kiindulaacutesi helyzettől Tekintsuumlk az alaacutebbi konkreacutet
kezdőaacutellaacutest (5 2 aacutebra)
5 2 aacutebra
A nyertes strateacutegia nem bonyolult sőt eleacuteg keacutezenfekvő ha belegondolunk tudniillik a
veacutegeredmeacuteny egyaacuteltalaacuten nem a jaacuteteacutekosok leacutepeacutesein muacutelik hanem csupaacuten az utolsoacute korong
sziacuteneacutetől fuumlgg Ugyanis egy korong az utolsoacute helyen aacutelloacute biztosan megfordul minden
leacutepeacutesben Ez leacutepeacutesenkeacutent vaacuteltakozva hol feheacuter hol fekete oldalaacuteval lesz feluumll miacuteg ki nem
alakul a veacutegső nyertes ndash oumlsszes feheacuter ndash aacutellaacutes Ha peacuteldaacuteul kezdetben fekete az utolsoacute
korong akkor az mindig a kezdő jaacuteteacutekos forgataacutesai nyomaacuten fog a feheacuter oldalaacuteval felfeleacute
keruumllni A jaacuteteacutek egyszer veacuteget eacuter eacutes tudjuk hogy az utolsoacute leacutepeacutes a kezdő jaacuteteacutekoseacute lesz
tehaacutet ő nyer Ellenkező esetben - ha a kezdő aacutellapotban feheacuter az utolsoacute korong - a maacutesodik
jaacuteteacutekoseacute a győzelem Tehaacutet teljesen mindegy haacuteny koronggal jaacutetszunk a győztest mindig
a sorban elhelyezett utolsoacute korong sziacutene fogja elaacuterulni Ha az a fekete oldalaacuteval felfeleacute
fekszik akkor a kezdő ha feheacuter sziacutene laacutetszik akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos nyer Iacutegy a fenti
jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
Ha feladatban moacutedosiacutetjuk kicsit a szabaacutelyokat akkor a megoldaacutes is bonyoloacutedik eacutes itt
maacuter fel kell hasznaacutelnunk a Grundy-szaacutemokat illetve a nim-oumlsszeget A koumlvetkező feladat
eacutes megoldaacutesi oumltlete [2] forraacutesboacutel szaacutermazik
6 Jaacuteteacutek Legyen ismeacutet 10 darab korongunk az asztalra sorba lehelyezve A jaacuteteacutekosok
keacutetfeacutele leacutepeacutest hajthatnak veacutegre vagy megfordiacutetanak egy fekete oldalaacuteval felfeleacute fekvő
korongot vagy keacutet korongot fordiacutetanak meg melyek koumlzuumll a jobbraacutebb levő fekte Az vesziacutet
aki nem tud toumlbbet leacutepni
25
A megoldaacutes veacutegett szaacutemozzuk meg a korongokat balroacutel jobbra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 3 aacutebra
Aacutelliacutetaacutes A 6 jaacuteteacutek egy aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema eacutepp a fekete sziacutenű korongok sorszaacutemaacutenak
nim-oumlsszege
Bizonyiacutetaacutes Alkossunk ebből a jaacuteteacutekboacutel Nim-jaacuteteacutekot a koumlvetkező keacuteppen Ha az i-edik
korong sziacutene fekete akkor tekintsuumlnk egy ekkora elemszaacutemuacute kupacot a Nim-jaacuteteacutekban ha
feheacuter sziacutenű egy korong akkor nincs ilyen kupacunk Ezzel egy szokaacutesos Nim-jaacuteteacutekot
kapunk Azeacutert tehetjuumlk meg ezt mert a leacutepeacutesek eacutepp ugyanazt eredmeacutenyezik mindkeacutet
jaacuteteacutekban amennyiben megfordiacutetunk egy fekete korongot az annak felel meg ha nim-
jaacuteteacutekban azt a kupacot teljes egeacuteszeacuteben elvesszuumlk eacutes megszűnik Ha egy feheacuter eacutes egy
fekete korongot fordiacutetunk meg melyek koumlzuumll a fekete a jobb oldali akkor azzal
egyeneacuterteacutekű mintha a nim-jaacuteteacutekban bizonyos szaacutemuacute kavicsot elvettuumlnk volna az addigi
kupacboacutel uacutegy hogy a feketeacutere fordiacutetott korong sorszaacutemaacutenak megfelelő kupacmeacuteretet
eacutertuumlnk el (Mert a bal oldali korong sorszaacutema kisebb eacutes iacutegy kisebb elemszaacutemuacute kupacot is
jelent) Tekintsuumlnk erre magyaraacutezatul egy peacuteldaacutet (5 4 aacutebra)
1 2 3
5 4 aacutebra
Ebben a kis jaacuteteacutekban illusztraacuteljuk a korongforgataacutesi leacutepeacutesek eacutes a Nim-jaacuteteacutek kapcsolataacutet
Tekintsuumlk ennek mintaacutejaacutera a 2 eacutes 3 elmeszaacutemuacute kupacokkal jaacutetszott Nim-jaacuteteacutekot
Vilaacutegosan laacutetszik hogy ha megfordiacutetjuk peacuteldaacuteul a 2 szaacutemuacute fekete sziacutenű korongot eacutes iacutegy
az feheacuter lesz akkor ez a leacutepeacutes megegyezik azzal hogy a Nim-jaacuteteacutekban egy leacutepeacutessel
eltuumlntetjuumlk a 2 elemű kupacot Keacutet szabaacutelyos helyzetű korong megfordiacutetaacutesaacuteval ndash legyenek
26
most ezek az 1 eacutes 2 szaacutemuacuteak ndash az 55-oumls aacutebraacuten laacutethatoacute aacutellaacutes joumln leacutetre ami ekvivalens a
Nim-jaacuteteacutek azon leacutepeacuteseacutevel hogy a 2 elemű kupacboacutel 1 kavicsot elveszuumlnk
1 2 3
5 5 aacutebra
Keacutet fekete korong megfordiacutetaacutesa keacutet kupac teljes elveacuteteleacutet jelenteneacute a Nimben ami ilyen
formaacuteban nem szabaacutelyos Azonban ha jobban meggondoljuk ez a leacutepeacutes jelentheti azt
hogy a nagyobb meacuteretű kupacboacutel elveszuumlnk annyi kavicsot hogy az egyenlő legyen a
kisebb elemszaacutemaacuteval mert a nim-oumlsszeadaacutes miatt keacutet azonos meacuteretű kupac nem
befolyaacutesolja az egeacutesz jaacuteteacutek Grundy-szaacutemaacutet azaz a keacutet kupac kiegyenliacuteteacuteseacutevel illetve
teljes elveacuteteluumlkkel kapott Nim-aacutellaacutesok Grundy-szaacutemai megegyeznek
Az 5 3 aacutebra alapjaacuten kialakult aacutellaacutes Grundy-szaacutema tehaacutet 3 10 = 10 A jaacuteteacutek
vesztő aacutellaacutesainak Grundy-szaacutema 0 azaz ha ilyen aacutellaacutesroacutel indul valaki az nem tud nyerni
Ebből a poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacutet keacutepezni csak a 10 elemű kupac teljes elveacuteteleacutevel
lehetseacuteges Tehaacutet a 10-es szaacutemuacute fekete korongot kell megfordiacutetani előszoumlr a
győzelemhez
5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
A most koumlvetkező haacuterom jaacuteteacutekkal a [2] cikkben talaacutelkoztam
7 Jaacuteteacutek (Rim-jaacuteteacutek) Adott neacutehaacuteny kupac kavics A kupacok egyikeacuteből elvehető
akaacutermennyi kavics de csak uacutegy hogy az elvett elemek szaacutema relatiacutev priacutem legyen az elveacutetel
előtti mennyiseacuteghez
Ez a jaacuteteacutek toumlbb egykupacos uacuten bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacuteknak oumlsszege A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek
egy n darab taacutergyat (kavicsot) tartalmazoacute kupacroacutel szoacutel amelyből k elemet vehetuumlnk el
ha k eacutes n relatiacutev priacutemek Ebből koumlvetkezik hogy 1-et mindig elvehetuumlnk az oumlsszes elemet
azonban sosem (mert n oumlnmagaacuteval nem relatiacutev priacutem) kiveacuteve ha 1 darab marad a
kupacban
Jeloumlljuumlk itt az i elemszaacutemuacute Rim-kupacok Grundy-szaacutemaacutet G(Ri)-vel Az első eacutes maacutesodik
Grundy-szaacutem koumlnnyen megmondhatoacute G0 = 0 eacutes G1 = mex (G0) = 1 Ha keacutet elemet
27
tartalmaz a kiindulaacutesi kupac akkor a szabaacutelynak megfelelően az egyetlen lehetőseacuteg 1
kavics elveacutetele ezeacutert G(R2) = mex (1) = 0 Haacuteromelemű kezdőkupacboacutel 1 eacutes 2 elemet is
elvehetuumlnk iacutegy kapjuk hogy G(R3) = mex (G(R1) G(R2) ) = mex (1 0) = 2 Neacutegy elem
eseteacuten G4 = mex (G1 G3) = 0 Hasonloacutean G5 = mex (G(R1) G(R2) G(R3) G(R4)) =
= mex (1 2 0 2) = 3 eacutes iacutegy tovaacutebb A koumlvetkező teacutetelben meghataacuterozzuk aacuteltalaacutenossaacutegban
G(Rn)-et
Teacutetel A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutekban minden paacuteros n elemszaacutemuacute kupacra G(Rn) = 0 valamint
n paacuteratlan elemszaacutem eseteacuten G(Rn) = k ha n legkisebb priacutemosztoacuteja a k-adik priacutemszaacutem (Az
első priacutemszaacutem a 2 maacutesodik a 3 stb)
Bizonyiacutetaacutes n-re vonatkozoacute teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk
a) ha n paacuteros Semelyik esetben sem lehet az egeacutesz kupacot elvenni kiveacuteve ha 1 kavics
marad a kupacban Laacutettuk hogy G(R0) = G2 = 0 Legyen n paacuteros Tegyuumlk fel hogy
minden n-neacutel nem nagyobb paacuteros k szaacutemra G(Rk) = 0 Laacutessuk be ezt (n+2)-re is Mivel
egy paacuteros szaacutem semelyik maacutesik paacuteros szaacutemmal sem relatiacutev priacutem ezeacutert paacuteros darab
kavicsot nem vehetuumlnk el a kupacboacutel ennek okaacuten uacutejabb paacuteros elemszaacutemuacute aacutellaacutes sem
joumlhet leacutetre Paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac ugyan lehet (n+2) kiszomszeacutedja de annak
Grundy-szaacutema biztosan nem 0 mert 1 kavicsot baacutermelyik aacutellaacutesboacutel elvehetuumlnk iacutegy lesz
a paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt n-neacutel nem nagyobb paacuteros elemszaacutemuacute
kupac aminek Grundy-szaacutema 0 Tehaacutet (n+2) elemet tartalmazoacute kupac raacutekoumlvetkezői
koumlzoumltt nem lesz 0 Grundy-szaacutemuacute iacutegy azok legkisebb kizaacutertja eacutepp a 0
b) ha n paacuteratlan Tudjuk hogy G1 = 1 eacutes azt is laacutettuk hogy G3 = 2 Itt is teljes indukcioacutet
hasznaacutelunk Tegyuumlk fel hogy igaz a fenti aacutelliacutetaacutes minden paacuteratlan n-re Bizonyiacutetsuk be
hogy ez az n+2 paacuteratlan szaacutemra is oumlroumlklődik Legyen n+2 legkisebb priacutemosztoacuteja p eacutes
annak sorszaacutema k Ahhoz hogy belaacutessuk hogy Gn+2 = k keacutet dologra van szuumlkseacuteg
1) Minden k-naacutel kisebb szaacutem előfordul az n+2 elemszaacutemuacute aacutellaacutes valamely
kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutemakeacutent
2) Az n+2 elemű kupac egyik kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutema sem k
1) igazolaacutesa 1-et eacutes n+1-et mindig leacutephetuumlnk tehaacutet 1 eacutes 0 Grundy-szaacutemuacute
raacutekoumlvetkezője minden aacutellaacutesnak van Legyen q egy tetszőleges p-neacutel kisebb priacutem ndash
ennek sorszaacutema k-naacutel kisebb eacutes az indukcioacute szerint a q elemű aacutellaacutes Grundy-szaacutema eacutepp
a q sorszaacutema Ekkor meg kell mutatnunk hogy n+2ndashből aminek legkisebb
priacutemosztoacuteja p a q elemszaacutemuacute kupacba leacutepeacutes szabaacutelyos Ez azeacutert igaz mert a
28
jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek
nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek
elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash
hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert
kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute
kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes
2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m
elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb
priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt
k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek
A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő
strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk
8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad
kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja
legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is
elvehetjuumlk)
Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő
tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz
melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk
Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean
G(Di)
Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1
Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva
laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek
bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1
29
1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i
2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan
1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute
kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute
kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei
azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet
elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =
21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i
2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet
eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n
raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l
paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1
Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban
ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra
G(Da) = 0 + 1 = 1
Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek
9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az
egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a
Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya
szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)
Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg
Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal
Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon
mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)
= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet
a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5
kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre
30
11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik
kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az
nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi
Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-
ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet
Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik
jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem
hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy
speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok
bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A
Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő
nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk
valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval
deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek
a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)
stb kupacmeacuteretek
Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt
de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt
5 4 Fibonacci-nim
A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik
13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el
kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve
utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint
amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben
Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz
szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa
előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban
31
Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat
i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2
Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a
koumlvetkező taacuteblaacutezat
Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok
Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő
Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok
oumlsszegeacutere
Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899
Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel
hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga
Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem
akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-
szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert
119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa
kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem
Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele
keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen
Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip
Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel
minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok
legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot
vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)
7 [1] alapjaacuten
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
24
5 Jaacuteteacutek Egy asztalon sorba 10 korong van lerakva melyeknek egyik oldala feheacuter maacutesik
fekete sziacutenű Ketten jaacutetszanak A soron koumlvetkező mindig kivaacutelaszt egy fekete oldalaacuteval
felfeleacute fekvő korongot majd azt eacutes az oumlsszes tőle jobbra leacutevőt aacutetfordiacutetja a maacutesik oldalaacutera
Akkor van veacutege a jaacuteteacuteknak ha mindegyik korongnak a feheacuter oldala van feluumll Az veszt aki
nem tud toumlbbet leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes hogyan tud győzni
A jaacuteteacutek kimenetele eacutes nyertese fuumlgg a kiindulaacutesi helyzettől Tekintsuumlk az alaacutebbi konkreacutet
kezdőaacutellaacutest (5 2 aacutebra)
5 2 aacutebra
A nyertes strateacutegia nem bonyolult sőt eleacuteg keacutezenfekvő ha belegondolunk tudniillik a
veacutegeredmeacuteny egyaacuteltalaacuten nem a jaacuteteacutekosok leacutepeacutesein muacutelik hanem csupaacuten az utolsoacute korong
sziacuteneacutetől fuumlgg Ugyanis egy korong az utolsoacute helyen aacutelloacute biztosan megfordul minden
leacutepeacutesben Ez leacutepeacutesenkeacutent vaacuteltakozva hol feheacuter hol fekete oldalaacuteval lesz feluumll miacuteg ki nem
alakul a veacutegső nyertes ndash oumlsszes feheacuter ndash aacutellaacutes Ha peacuteldaacuteul kezdetben fekete az utolsoacute
korong akkor az mindig a kezdő jaacuteteacutekos forgataacutesai nyomaacuten fog a feheacuter oldalaacuteval felfeleacute
keruumllni A jaacuteteacutek egyszer veacuteget eacuter eacutes tudjuk hogy az utolsoacute leacutepeacutes a kezdő jaacuteteacutekoseacute lesz
tehaacutet ő nyer Ellenkező esetben - ha a kezdő aacutellapotban feheacuter az utolsoacute korong - a maacutesodik
jaacuteteacutekoseacute a győzelem Tehaacutet teljesen mindegy haacuteny koronggal jaacutetszunk a győztest mindig
a sorban elhelyezett utolsoacute korong sziacutene fogja elaacuterulni Ha az a fekete oldalaacuteval felfeleacute
fekszik akkor a kezdő ha feheacuter sziacutene laacutetszik akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos nyer Iacutegy a fenti
jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri
Ha feladatban moacutedosiacutetjuk kicsit a szabaacutelyokat akkor a megoldaacutes is bonyoloacutedik eacutes itt
maacuter fel kell hasznaacutelnunk a Grundy-szaacutemokat illetve a nim-oumlsszeget A koumlvetkező feladat
eacutes megoldaacutesi oumltlete [2] forraacutesboacutel szaacutermazik
6 Jaacuteteacutek Legyen ismeacutet 10 darab korongunk az asztalra sorba lehelyezve A jaacuteteacutekosok
keacutetfeacutele leacutepeacutest hajthatnak veacutegre vagy megfordiacutetanak egy fekete oldalaacuteval felfeleacute fekvő
korongot vagy keacutet korongot fordiacutetanak meg melyek koumlzuumll a jobbraacutebb levő fekte Az vesziacutet
aki nem tud toumlbbet leacutepni
25
A megoldaacutes veacutegett szaacutemozzuk meg a korongokat balroacutel jobbra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 3 aacutebra
Aacutelliacutetaacutes A 6 jaacuteteacutek egy aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema eacutepp a fekete sziacutenű korongok sorszaacutemaacutenak
nim-oumlsszege
Bizonyiacutetaacutes Alkossunk ebből a jaacuteteacutekboacutel Nim-jaacuteteacutekot a koumlvetkező keacuteppen Ha az i-edik
korong sziacutene fekete akkor tekintsuumlnk egy ekkora elemszaacutemuacute kupacot a Nim-jaacuteteacutekban ha
feheacuter sziacutenű egy korong akkor nincs ilyen kupacunk Ezzel egy szokaacutesos Nim-jaacuteteacutekot
kapunk Azeacutert tehetjuumlk meg ezt mert a leacutepeacutesek eacutepp ugyanazt eredmeacutenyezik mindkeacutet
jaacuteteacutekban amennyiben megfordiacutetunk egy fekete korongot az annak felel meg ha nim-
jaacuteteacutekban azt a kupacot teljes egeacuteszeacuteben elvesszuumlk eacutes megszűnik Ha egy feheacuter eacutes egy
fekete korongot fordiacutetunk meg melyek koumlzuumll a fekete a jobb oldali akkor azzal
egyeneacuterteacutekű mintha a nim-jaacuteteacutekban bizonyos szaacutemuacute kavicsot elvettuumlnk volna az addigi
kupacboacutel uacutegy hogy a feketeacutere fordiacutetott korong sorszaacutemaacutenak megfelelő kupacmeacuteretet
eacutertuumlnk el (Mert a bal oldali korong sorszaacutema kisebb eacutes iacutegy kisebb elemszaacutemuacute kupacot is
jelent) Tekintsuumlnk erre magyaraacutezatul egy peacuteldaacutet (5 4 aacutebra)
1 2 3
5 4 aacutebra
Ebben a kis jaacuteteacutekban illusztraacuteljuk a korongforgataacutesi leacutepeacutesek eacutes a Nim-jaacuteteacutek kapcsolataacutet
Tekintsuumlk ennek mintaacutejaacutera a 2 eacutes 3 elmeszaacutemuacute kupacokkal jaacutetszott Nim-jaacuteteacutekot
Vilaacutegosan laacutetszik hogy ha megfordiacutetjuk peacuteldaacuteul a 2 szaacutemuacute fekete sziacutenű korongot eacutes iacutegy
az feheacuter lesz akkor ez a leacutepeacutes megegyezik azzal hogy a Nim-jaacuteteacutekban egy leacutepeacutessel
eltuumlntetjuumlk a 2 elemű kupacot Keacutet szabaacutelyos helyzetű korong megfordiacutetaacutesaacuteval ndash legyenek
26
most ezek az 1 eacutes 2 szaacutemuacuteak ndash az 55-oumls aacutebraacuten laacutethatoacute aacutellaacutes joumln leacutetre ami ekvivalens a
Nim-jaacuteteacutek azon leacutepeacuteseacutevel hogy a 2 elemű kupacboacutel 1 kavicsot elveszuumlnk
1 2 3
5 5 aacutebra
Keacutet fekete korong megfordiacutetaacutesa keacutet kupac teljes elveacuteteleacutet jelenteneacute a Nimben ami ilyen
formaacuteban nem szabaacutelyos Azonban ha jobban meggondoljuk ez a leacutepeacutes jelentheti azt
hogy a nagyobb meacuteretű kupacboacutel elveszuumlnk annyi kavicsot hogy az egyenlő legyen a
kisebb elemszaacutemaacuteval mert a nim-oumlsszeadaacutes miatt keacutet azonos meacuteretű kupac nem
befolyaacutesolja az egeacutesz jaacuteteacutek Grundy-szaacutemaacutet azaz a keacutet kupac kiegyenliacuteteacuteseacutevel illetve
teljes elveacuteteluumlkkel kapott Nim-aacutellaacutesok Grundy-szaacutemai megegyeznek
Az 5 3 aacutebra alapjaacuten kialakult aacutellaacutes Grundy-szaacutema tehaacutet 3 10 = 10 A jaacuteteacutek
vesztő aacutellaacutesainak Grundy-szaacutema 0 azaz ha ilyen aacutellaacutesroacutel indul valaki az nem tud nyerni
Ebből a poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacutet keacutepezni csak a 10 elemű kupac teljes elveacuteteleacutevel
lehetseacuteges Tehaacutet a 10-es szaacutemuacute fekete korongot kell megfordiacutetani előszoumlr a
győzelemhez
5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
A most koumlvetkező haacuterom jaacuteteacutekkal a [2] cikkben talaacutelkoztam
7 Jaacuteteacutek (Rim-jaacuteteacutek) Adott neacutehaacuteny kupac kavics A kupacok egyikeacuteből elvehető
akaacutermennyi kavics de csak uacutegy hogy az elvett elemek szaacutema relatiacutev priacutem legyen az elveacutetel
előtti mennyiseacuteghez
Ez a jaacuteteacutek toumlbb egykupacos uacuten bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacuteknak oumlsszege A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek
egy n darab taacutergyat (kavicsot) tartalmazoacute kupacroacutel szoacutel amelyből k elemet vehetuumlnk el
ha k eacutes n relatiacutev priacutemek Ebből koumlvetkezik hogy 1-et mindig elvehetuumlnk az oumlsszes elemet
azonban sosem (mert n oumlnmagaacuteval nem relatiacutev priacutem) kiveacuteve ha 1 darab marad a
kupacban
Jeloumlljuumlk itt az i elemszaacutemuacute Rim-kupacok Grundy-szaacutemaacutet G(Ri)-vel Az első eacutes maacutesodik
Grundy-szaacutem koumlnnyen megmondhatoacute G0 = 0 eacutes G1 = mex (G0) = 1 Ha keacutet elemet
27
tartalmaz a kiindulaacutesi kupac akkor a szabaacutelynak megfelelően az egyetlen lehetőseacuteg 1
kavics elveacutetele ezeacutert G(R2) = mex (1) = 0 Haacuteromelemű kezdőkupacboacutel 1 eacutes 2 elemet is
elvehetuumlnk iacutegy kapjuk hogy G(R3) = mex (G(R1) G(R2) ) = mex (1 0) = 2 Neacutegy elem
eseteacuten G4 = mex (G1 G3) = 0 Hasonloacutean G5 = mex (G(R1) G(R2) G(R3) G(R4)) =
= mex (1 2 0 2) = 3 eacutes iacutegy tovaacutebb A koumlvetkező teacutetelben meghataacuterozzuk aacuteltalaacutenossaacutegban
G(Rn)-et
Teacutetel A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutekban minden paacuteros n elemszaacutemuacute kupacra G(Rn) = 0 valamint
n paacuteratlan elemszaacutem eseteacuten G(Rn) = k ha n legkisebb priacutemosztoacuteja a k-adik priacutemszaacutem (Az
első priacutemszaacutem a 2 maacutesodik a 3 stb)
Bizonyiacutetaacutes n-re vonatkozoacute teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk
a) ha n paacuteros Semelyik esetben sem lehet az egeacutesz kupacot elvenni kiveacuteve ha 1 kavics
marad a kupacban Laacutettuk hogy G(R0) = G2 = 0 Legyen n paacuteros Tegyuumlk fel hogy
minden n-neacutel nem nagyobb paacuteros k szaacutemra G(Rk) = 0 Laacutessuk be ezt (n+2)-re is Mivel
egy paacuteros szaacutem semelyik maacutesik paacuteros szaacutemmal sem relatiacutev priacutem ezeacutert paacuteros darab
kavicsot nem vehetuumlnk el a kupacboacutel ennek okaacuten uacutejabb paacuteros elemszaacutemuacute aacutellaacutes sem
joumlhet leacutetre Paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac ugyan lehet (n+2) kiszomszeacutedja de annak
Grundy-szaacutema biztosan nem 0 mert 1 kavicsot baacutermelyik aacutellaacutesboacutel elvehetuumlnk iacutegy lesz
a paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt n-neacutel nem nagyobb paacuteros elemszaacutemuacute
kupac aminek Grundy-szaacutema 0 Tehaacutet (n+2) elemet tartalmazoacute kupac raacutekoumlvetkezői
koumlzoumltt nem lesz 0 Grundy-szaacutemuacute iacutegy azok legkisebb kizaacutertja eacutepp a 0
b) ha n paacuteratlan Tudjuk hogy G1 = 1 eacutes azt is laacutettuk hogy G3 = 2 Itt is teljes indukcioacutet
hasznaacutelunk Tegyuumlk fel hogy igaz a fenti aacutelliacutetaacutes minden paacuteratlan n-re Bizonyiacutetsuk be
hogy ez az n+2 paacuteratlan szaacutemra is oumlroumlklődik Legyen n+2 legkisebb priacutemosztoacuteja p eacutes
annak sorszaacutema k Ahhoz hogy belaacutessuk hogy Gn+2 = k keacutet dologra van szuumlkseacuteg
1) Minden k-naacutel kisebb szaacutem előfordul az n+2 elemszaacutemuacute aacutellaacutes valamely
kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutemakeacutent
2) Az n+2 elemű kupac egyik kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutema sem k
1) igazolaacutesa 1-et eacutes n+1-et mindig leacutephetuumlnk tehaacutet 1 eacutes 0 Grundy-szaacutemuacute
raacutekoumlvetkezője minden aacutellaacutesnak van Legyen q egy tetszőleges p-neacutel kisebb priacutem ndash
ennek sorszaacutema k-naacutel kisebb eacutes az indukcioacute szerint a q elemű aacutellaacutes Grundy-szaacutema eacutepp
a q sorszaacutema Ekkor meg kell mutatnunk hogy n+2ndashből aminek legkisebb
priacutemosztoacuteja p a q elemszaacutemuacute kupacba leacutepeacutes szabaacutelyos Ez azeacutert igaz mert a
28
jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek
nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek
elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash
hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert
kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute
kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes
2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m
elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb
priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt
k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek
A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő
strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk
8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad
kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja
legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is
elvehetjuumlk)
Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő
tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz
melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk
Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean
G(Di)
Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1
Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva
laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek
bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1
29
1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i
2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan
1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute
kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute
kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei
azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet
elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =
21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i
2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet
eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n
raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l
paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1
Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban
ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra
G(Da) = 0 + 1 = 1
Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek
9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az
egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a
Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya
szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)
Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg
Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal
Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon
mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)
= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet
a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5
kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre
30
11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik
kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az
nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi
Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-
ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet
Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik
jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem
hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy
speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok
bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A
Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő
nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk
valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval
deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek
a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)
stb kupacmeacuteretek
Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt
de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt
5 4 Fibonacci-nim
A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik
13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el
kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve
utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint
amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben
Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz
szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa
előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban
31
Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat
i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2
Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a
koumlvetkező taacuteblaacutezat
Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok
Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő
Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok
oumlsszegeacutere
Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899
Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel
hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga
Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem
akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-
szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert
119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa
kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem
Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele
keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen
Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip
Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel
minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok
legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot
vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)
7 [1] alapjaacuten
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
25
A megoldaacutes veacutegett szaacutemozzuk meg a korongokat balroacutel jobbra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 3 aacutebra
Aacutelliacutetaacutes A 6 jaacuteteacutek egy aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema eacutepp a fekete sziacutenű korongok sorszaacutemaacutenak
nim-oumlsszege
Bizonyiacutetaacutes Alkossunk ebből a jaacuteteacutekboacutel Nim-jaacuteteacutekot a koumlvetkező keacuteppen Ha az i-edik
korong sziacutene fekete akkor tekintsuumlnk egy ekkora elemszaacutemuacute kupacot a Nim-jaacuteteacutekban ha
feheacuter sziacutenű egy korong akkor nincs ilyen kupacunk Ezzel egy szokaacutesos Nim-jaacuteteacutekot
kapunk Azeacutert tehetjuumlk meg ezt mert a leacutepeacutesek eacutepp ugyanazt eredmeacutenyezik mindkeacutet
jaacuteteacutekban amennyiben megfordiacutetunk egy fekete korongot az annak felel meg ha nim-
jaacuteteacutekban azt a kupacot teljes egeacuteszeacuteben elvesszuumlk eacutes megszűnik Ha egy feheacuter eacutes egy
fekete korongot fordiacutetunk meg melyek koumlzuumll a fekete a jobb oldali akkor azzal
egyeneacuterteacutekű mintha a nim-jaacuteteacutekban bizonyos szaacutemuacute kavicsot elvettuumlnk volna az addigi
kupacboacutel uacutegy hogy a feketeacutere fordiacutetott korong sorszaacutemaacutenak megfelelő kupacmeacuteretet
eacutertuumlnk el (Mert a bal oldali korong sorszaacutema kisebb eacutes iacutegy kisebb elemszaacutemuacute kupacot is
jelent) Tekintsuumlnk erre magyaraacutezatul egy peacuteldaacutet (5 4 aacutebra)
1 2 3
5 4 aacutebra
Ebben a kis jaacuteteacutekban illusztraacuteljuk a korongforgataacutesi leacutepeacutesek eacutes a Nim-jaacuteteacutek kapcsolataacutet
Tekintsuumlk ennek mintaacutejaacutera a 2 eacutes 3 elmeszaacutemuacute kupacokkal jaacutetszott Nim-jaacuteteacutekot
Vilaacutegosan laacutetszik hogy ha megfordiacutetjuk peacuteldaacuteul a 2 szaacutemuacute fekete sziacutenű korongot eacutes iacutegy
az feheacuter lesz akkor ez a leacutepeacutes megegyezik azzal hogy a Nim-jaacuteteacutekban egy leacutepeacutessel
eltuumlntetjuumlk a 2 elemű kupacot Keacutet szabaacutelyos helyzetű korong megfordiacutetaacutesaacuteval ndash legyenek
26
most ezek az 1 eacutes 2 szaacutemuacuteak ndash az 55-oumls aacutebraacuten laacutethatoacute aacutellaacutes joumln leacutetre ami ekvivalens a
Nim-jaacuteteacutek azon leacutepeacuteseacutevel hogy a 2 elemű kupacboacutel 1 kavicsot elveszuumlnk
1 2 3
5 5 aacutebra
Keacutet fekete korong megfordiacutetaacutesa keacutet kupac teljes elveacuteteleacutet jelenteneacute a Nimben ami ilyen
formaacuteban nem szabaacutelyos Azonban ha jobban meggondoljuk ez a leacutepeacutes jelentheti azt
hogy a nagyobb meacuteretű kupacboacutel elveszuumlnk annyi kavicsot hogy az egyenlő legyen a
kisebb elemszaacutemaacuteval mert a nim-oumlsszeadaacutes miatt keacutet azonos meacuteretű kupac nem
befolyaacutesolja az egeacutesz jaacuteteacutek Grundy-szaacutemaacutet azaz a keacutet kupac kiegyenliacuteteacuteseacutevel illetve
teljes elveacuteteluumlkkel kapott Nim-aacutellaacutesok Grundy-szaacutemai megegyeznek
Az 5 3 aacutebra alapjaacuten kialakult aacutellaacutes Grundy-szaacutema tehaacutet 3 10 = 10 A jaacuteteacutek
vesztő aacutellaacutesainak Grundy-szaacutema 0 azaz ha ilyen aacutellaacutesroacutel indul valaki az nem tud nyerni
Ebből a poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacutet keacutepezni csak a 10 elemű kupac teljes elveacuteteleacutevel
lehetseacuteges Tehaacutet a 10-es szaacutemuacute fekete korongot kell megfordiacutetani előszoumlr a
győzelemhez
5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
A most koumlvetkező haacuterom jaacuteteacutekkal a [2] cikkben talaacutelkoztam
7 Jaacuteteacutek (Rim-jaacuteteacutek) Adott neacutehaacuteny kupac kavics A kupacok egyikeacuteből elvehető
akaacutermennyi kavics de csak uacutegy hogy az elvett elemek szaacutema relatiacutev priacutem legyen az elveacutetel
előtti mennyiseacuteghez
Ez a jaacuteteacutek toumlbb egykupacos uacuten bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacuteknak oumlsszege A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek
egy n darab taacutergyat (kavicsot) tartalmazoacute kupacroacutel szoacutel amelyből k elemet vehetuumlnk el
ha k eacutes n relatiacutev priacutemek Ebből koumlvetkezik hogy 1-et mindig elvehetuumlnk az oumlsszes elemet
azonban sosem (mert n oumlnmagaacuteval nem relatiacutev priacutem) kiveacuteve ha 1 darab marad a
kupacban
Jeloumlljuumlk itt az i elemszaacutemuacute Rim-kupacok Grundy-szaacutemaacutet G(Ri)-vel Az első eacutes maacutesodik
Grundy-szaacutem koumlnnyen megmondhatoacute G0 = 0 eacutes G1 = mex (G0) = 1 Ha keacutet elemet
27
tartalmaz a kiindulaacutesi kupac akkor a szabaacutelynak megfelelően az egyetlen lehetőseacuteg 1
kavics elveacutetele ezeacutert G(R2) = mex (1) = 0 Haacuteromelemű kezdőkupacboacutel 1 eacutes 2 elemet is
elvehetuumlnk iacutegy kapjuk hogy G(R3) = mex (G(R1) G(R2) ) = mex (1 0) = 2 Neacutegy elem
eseteacuten G4 = mex (G1 G3) = 0 Hasonloacutean G5 = mex (G(R1) G(R2) G(R3) G(R4)) =
= mex (1 2 0 2) = 3 eacutes iacutegy tovaacutebb A koumlvetkező teacutetelben meghataacuterozzuk aacuteltalaacutenossaacutegban
G(Rn)-et
Teacutetel A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutekban minden paacuteros n elemszaacutemuacute kupacra G(Rn) = 0 valamint
n paacuteratlan elemszaacutem eseteacuten G(Rn) = k ha n legkisebb priacutemosztoacuteja a k-adik priacutemszaacutem (Az
első priacutemszaacutem a 2 maacutesodik a 3 stb)
Bizonyiacutetaacutes n-re vonatkozoacute teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk
a) ha n paacuteros Semelyik esetben sem lehet az egeacutesz kupacot elvenni kiveacuteve ha 1 kavics
marad a kupacban Laacutettuk hogy G(R0) = G2 = 0 Legyen n paacuteros Tegyuumlk fel hogy
minden n-neacutel nem nagyobb paacuteros k szaacutemra G(Rk) = 0 Laacutessuk be ezt (n+2)-re is Mivel
egy paacuteros szaacutem semelyik maacutesik paacuteros szaacutemmal sem relatiacutev priacutem ezeacutert paacuteros darab
kavicsot nem vehetuumlnk el a kupacboacutel ennek okaacuten uacutejabb paacuteros elemszaacutemuacute aacutellaacutes sem
joumlhet leacutetre Paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac ugyan lehet (n+2) kiszomszeacutedja de annak
Grundy-szaacutema biztosan nem 0 mert 1 kavicsot baacutermelyik aacutellaacutesboacutel elvehetuumlnk iacutegy lesz
a paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt n-neacutel nem nagyobb paacuteros elemszaacutemuacute
kupac aminek Grundy-szaacutema 0 Tehaacutet (n+2) elemet tartalmazoacute kupac raacutekoumlvetkezői
koumlzoumltt nem lesz 0 Grundy-szaacutemuacute iacutegy azok legkisebb kizaacutertja eacutepp a 0
b) ha n paacuteratlan Tudjuk hogy G1 = 1 eacutes azt is laacutettuk hogy G3 = 2 Itt is teljes indukcioacutet
hasznaacutelunk Tegyuumlk fel hogy igaz a fenti aacutelliacutetaacutes minden paacuteratlan n-re Bizonyiacutetsuk be
hogy ez az n+2 paacuteratlan szaacutemra is oumlroumlklődik Legyen n+2 legkisebb priacutemosztoacuteja p eacutes
annak sorszaacutema k Ahhoz hogy belaacutessuk hogy Gn+2 = k keacutet dologra van szuumlkseacuteg
1) Minden k-naacutel kisebb szaacutem előfordul az n+2 elemszaacutemuacute aacutellaacutes valamely
kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutemakeacutent
2) Az n+2 elemű kupac egyik kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutema sem k
1) igazolaacutesa 1-et eacutes n+1-et mindig leacutephetuumlnk tehaacutet 1 eacutes 0 Grundy-szaacutemuacute
raacutekoumlvetkezője minden aacutellaacutesnak van Legyen q egy tetszőleges p-neacutel kisebb priacutem ndash
ennek sorszaacutema k-naacutel kisebb eacutes az indukcioacute szerint a q elemű aacutellaacutes Grundy-szaacutema eacutepp
a q sorszaacutema Ekkor meg kell mutatnunk hogy n+2ndashből aminek legkisebb
priacutemosztoacuteja p a q elemszaacutemuacute kupacba leacutepeacutes szabaacutelyos Ez azeacutert igaz mert a
28
jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek
nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek
elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash
hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert
kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute
kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes
2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m
elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb
priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt
k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek
A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő
strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk
8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad
kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja
legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is
elvehetjuumlk)
Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő
tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz
melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk
Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean
G(Di)
Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1
Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva
laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek
bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1
29
1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i
2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan
1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute
kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute
kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei
azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet
elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =
21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i
2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet
eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n
raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l
paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1
Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban
ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra
G(Da) = 0 + 1 = 1
Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek
9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az
egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a
Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya
szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)
Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg
Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal
Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon
mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)
= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet
a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5
kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre
30
11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik
kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az
nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi
Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-
ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet
Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik
jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem
hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy
speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok
bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A
Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő
nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk
valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval
deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek
a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)
stb kupacmeacuteretek
Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt
de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt
5 4 Fibonacci-nim
A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik
13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el
kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve
utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint
amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben
Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz
szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa
előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban
31
Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat
i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2
Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a
koumlvetkező taacuteblaacutezat
Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok
Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő
Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok
oumlsszegeacutere
Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899
Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel
hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga
Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem
akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-
szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert
119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa
kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem
Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele
keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen
Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip
Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel
minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok
legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot
vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)
7 [1] alapjaacuten
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
26
most ezek az 1 eacutes 2 szaacutemuacuteak ndash az 55-oumls aacutebraacuten laacutethatoacute aacutellaacutes joumln leacutetre ami ekvivalens a
Nim-jaacuteteacutek azon leacutepeacuteseacutevel hogy a 2 elemű kupacboacutel 1 kavicsot elveszuumlnk
1 2 3
5 5 aacutebra
Keacutet fekete korong megfordiacutetaacutesa keacutet kupac teljes elveacuteteleacutet jelenteneacute a Nimben ami ilyen
formaacuteban nem szabaacutelyos Azonban ha jobban meggondoljuk ez a leacutepeacutes jelentheti azt
hogy a nagyobb meacuteretű kupacboacutel elveszuumlnk annyi kavicsot hogy az egyenlő legyen a
kisebb elemszaacutemaacuteval mert a nim-oumlsszeadaacutes miatt keacutet azonos meacuteretű kupac nem
befolyaacutesolja az egeacutesz jaacuteteacutek Grundy-szaacutemaacutet azaz a keacutet kupac kiegyenliacuteteacuteseacutevel illetve
teljes elveacuteteluumlkkel kapott Nim-aacutellaacutesok Grundy-szaacutemai megegyeznek
Az 5 3 aacutebra alapjaacuten kialakult aacutellaacutes Grundy-szaacutema tehaacutet 3 10 = 10 A jaacuteteacutek
vesztő aacutellaacutesainak Grundy-szaacutema 0 azaz ha ilyen aacutellaacutesroacutel indul valaki az nem tud nyerni
Ebből a poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacutet keacutepezni csak a 10 elemű kupac teljes elveacuteteleacutevel
lehetseacuteges Tehaacutet a 10-es szaacutemuacute fekete korongot kell megfordiacutetani előszoumlr a
győzelemhez
5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai
A most koumlvetkező haacuterom jaacuteteacutekkal a [2] cikkben talaacutelkoztam
7 Jaacuteteacutek (Rim-jaacuteteacutek) Adott neacutehaacuteny kupac kavics A kupacok egyikeacuteből elvehető
akaacutermennyi kavics de csak uacutegy hogy az elvett elemek szaacutema relatiacutev priacutem legyen az elveacutetel
előtti mennyiseacuteghez
Ez a jaacuteteacutek toumlbb egykupacos uacuten bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacuteknak oumlsszege A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek
egy n darab taacutergyat (kavicsot) tartalmazoacute kupacroacutel szoacutel amelyből k elemet vehetuumlnk el
ha k eacutes n relatiacutev priacutemek Ebből koumlvetkezik hogy 1-et mindig elvehetuumlnk az oumlsszes elemet
azonban sosem (mert n oumlnmagaacuteval nem relatiacutev priacutem) kiveacuteve ha 1 darab marad a
kupacban
Jeloumlljuumlk itt az i elemszaacutemuacute Rim-kupacok Grundy-szaacutemaacutet G(Ri)-vel Az első eacutes maacutesodik
Grundy-szaacutem koumlnnyen megmondhatoacute G0 = 0 eacutes G1 = mex (G0) = 1 Ha keacutet elemet
27
tartalmaz a kiindulaacutesi kupac akkor a szabaacutelynak megfelelően az egyetlen lehetőseacuteg 1
kavics elveacutetele ezeacutert G(R2) = mex (1) = 0 Haacuteromelemű kezdőkupacboacutel 1 eacutes 2 elemet is
elvehetuumlnk iacutegy kapjuk hogy G(R3) = mex (G(R1) G(R2) ) = mex (1 0) = 2 Neacutegy elem
eseteacuten G4 = mex (G1 G3) = 0 Hasonloacutean G5 = mex (G(R1) G(R2) G(R3) G(R4)) =
= mex (1 2 0 2) = 3 eacutes iacutegy tovaacutebb A koumlvetkező teacutetelben meghataacuterozzuk aacuteltalaacutenossaacutegban
G(Rn)-et
Teacutetel A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutekban minden paacuteros n elemszaacutemuacute kupacra G(Rn) = 0 valamint
n paacuteratlan elemszaacutem eseteacuten G(Rn) = k ha n legkisebb priacutemosztoacuteja a k-adik priacutemszaacutem (Az
első priacutemszaacutem a 2 maacutesodik a 3 stb)
Bizonyiacutetaacutes n-re vonatkozoacute teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk
a) ha n paacuteros Semelyik esetben sem lehet az egeacutesz kupacot elvenni kiveacuteve ha 1 kavics
marad a kupacban Laacutettuk hogy G(R0) = G2 = 0 Legyen n paacuteros Tegyuumlk fel hogy
minden n-neacutel nem nagyobb paacuteros k szaacutemra G(Rk) = 0 Laacutessuk be ezt (n+2)-re is Mivel
egy paacuteros szaacutem semelyik maacutesik paacuteros szaacutemmal sem relatiacutev priacutem ezeacutert paacuteros darab
kavicsot nem vehetuumlnk el a kupacboacutel ennek okaacuten uacutejabb paacuteros elemszaacutemuacute aacutellaacutes sem
joumlhet leacutetre Paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac ugyan lehet (n+2) kiszomszeacutedja de annak
Grundy-szaacutema biztosan nem 0 mert 1 kavicsot baacutermelyik aacutellaacutesboacutel elvehetuumlnk iacutegy lesz
a paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt n-neacutel nem nagyobb paacuteros elemszaacutemuacute
kupac aminek Grundy-szaacutema 0 Tehaacutet (n+2) elemet tartalmazoacute kupac raacutekoumlvetkezői
koumlzoumltt nem lesz 0 Grundy-szaacutemuacute iacutegy azok legkisebb kizaacutertja eacutepp a 0
b) ha n paacuteratlan Tudjuk hogy G1 = 1 eacutes azt is laacutettuk hogy G3 = 2 Itt is teljes indukcioacutet
hasznaacutelunk Tegyuumlk fel hogy igaz a fenti aacutelliacutetaacutes minden paacuteratlan n-re Bizonyiacutetsuk be
hogy ez az n+2 paacuteratlan szaacutemra is oumlroumlklődik Legyen n+2 legkisebb priacutemosztoacuteja p eacutes
annak sorszaacutema k Ahhoz hogy belaacutessuk hogy Gn+2 = k keacutet dologra van szuumlkseacuteg
1) Minden k-naacutel kisebb szaacutem előfordul az n+2 elemszaacutemuacute aacutellaacutes valamely
kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutemakeacutent
2) Az n+2 elemű kupac egyik kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutema sem k
1) igazolaacutesa 1-et eacutes n+1-et mindig leacutephetuumlnk tehaacutet 1 eacutes 0 Grundy-szaacutemuacute
raacutekoumlvetkezője minden aacutellaacutesnak van Legyen q egy tetszőleges p-neacutel kisebb priacutem ndash
ennek sorszaacutema k-naacutel kisebb eacutes az indukcioacute szerint a q elemű aacutellaacutes Grundy-szaacutema eacutepp
a q sorszaacutema Ekkor meg kell mutatnunk hogy n+2ndashből aminek legkisebb
priacutemosztoacuteja p a q elemszaacutemuacute kupacba leacutepeacutes szabaacutelyos Ez azeacutert igaz mert a
28
jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek
nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek
elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash
hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert
kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute
kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes
2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m
elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb
priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt
k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek
A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő
strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk
8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad
kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja
legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is
elvehetjuumlk)
Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő
tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz
melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk
Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean
G(Di)
Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1
Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva
laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek
bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1
29
1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i
2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan
1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute
kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute
kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei
azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet
elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =
21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i
2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet
eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n
raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l
paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1
Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban
ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra
G(Da) = 0 + 1 = 1
Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek
9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az
egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a
Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya
szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)
Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg
Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal
Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon
mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)
= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet
a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5
kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre
30
11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik
kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az
nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi
Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-
ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet
Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik
jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem
hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy
speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok
bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A
Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő
nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk
valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval
deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek
a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)
stb kupacmeacuteretek
Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt
de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt
5 4 Fibonacci-nim
A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik
13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el
kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve
utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint
amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben
Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz
szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa
előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban
31
Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat
i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2
Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a
koumlvetkező taacuteblaacutezat
Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok
Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő
Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok
oumlsszegeacutere
Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899
Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel
hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga
Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem
akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-
szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert
119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa
kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem
Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele
keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen
Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip
Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel
minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok
legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot
vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)
7 [1] alapjaacuten
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
27
tartalmaz a kiindulaacutesi kupac akkor a szabaacutelynak megfelelően az egyetlen lehetőseacuteg 1
kavics elveacutetele ezeacutert G(R2) = mex (1) = 0 Haacuteromelemű kezdőkupacboacutel 1 eacutes 2 elemet is
elvehetuumlnk iacutegy kapjuk hogy G(R3) = mex (G(R1) G(R2) ) = mex (1 0) = 2 Neacutegy elem
eseteacuten G4 = mex (G1 G3) = 0 Hasonloacutean G5 = mex (G(R1) G(R2) G(R3) G(R4)) =
= mex (1 2 0 2) = 3 eacutes iacutegy tovaacutebb A koumlvetkező teacutetelben meghataacuterozzuk aacuteltalaacutenossaacutegban
G(Rn)-et
Teacutetel A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutekban minden paacuteros n elemszaacutemuacute kupacra G(Rn) = 0 valamint
n paacuteratlan elemszaacutem eseteacuten G(Rn) = k ha n legkisebb priacutemosztoacuteja a k-adik priacutemszaacutem (Az
első priacutemszaacutem a 2 maacutesodik a 3 stb)
Bizonyiacutetaacutes n-re vonatkozoacute teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk
a) ha n paacuteros Semelyik esetben sem lehet az egeacutesz kupacot elvenni kiveacuteve ha 1 kavics
marad a kupacban Laacutettuk hogy G(R0) = G2 = 0 Legyen n paacuteros Tegyuumlk fel hogy
minden n-neacutel nem nagyobb paacuteros k szaacutemra G(Rk) = 0 Laacutessuk be ezt (n+2)-re is Mivel
egy paacuteros szaacutem semelyik maacutesik paacuteros szaacutemmal sem relatiacutev priacutem ezeacutert paacuteros darab
kavicsot nem vehetuumlnk el a kupacboacutel ennek okaacuten uacutejabb paacuteros elemszaacutemuacute aacutellaacutes sem
joumlhet leacutetre Paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac ugyan lehet (n+2) kiszomszeacutedja de annak
Grundy-szaacutema biztosan nem 0 mert 1 kavicsot baacutermelyik aacutellaacutesboacutel elvehetuumlnk iacutegy lesz
a paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt n-neacutel nem nagyobb paacuteros elemszaacutemuacute
kupac aminek Grundy-szaacutema 0 Tehaacutet (n+2) elemet tartalmazoacute kupac raacutekoumlvetkezői
koumlzoumltt nem lesz 0 Grundy-szaacutemuacute iacutegy azok legkisebb kizaacutertja eacutepp a 0
b) ha n paacuteratlan Tudjuk hogy G1 = 1 eacutes azt is laacutettuk hogy G3 = 2 Itt is teljes indukcioacutet
hasznaacutelunk Tegyuumlk fel hogy igaz a fenti aacutelliacutetaacutes minden paacuteratlan n-re Bizonyiacutetsuk be
hogy ez az n+2 paacuteratlan szaacutemra is oumlroumlklődik Legyen n+2 legkisebb priacutemosztoacuteja p eacutes
annak sorszaacutema k Ahhoz hogy belaacutessuk hogy Gn+2 = k keacutet dologra van szuumlkseacuteg
1) Minden k-naacutel kisebb szaacutem előfordul az n+2 elemszaacutemuacute aacutellaacutes valamely
kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutemakeacutent
2) Az n+2 elemű kupac egyik kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutema sem k
1) igazolaacutesa 1-et eacutes n+1-et mindig leacutephetuumlnk tehaacutet 1 eacutes 0 Grundy-szaacutemuacute
raacutekoumlvetkezője minden aacutellaacutesnak van Legyen q egy tetszőleges p-neacutel kisebb priacutem ndash
ennek sorszaacutema k-naacutel kisebb eacutes az indukcioacute szerint a q elemű aacutellaacutes Grundy-szaacutema eacutepp
a q sorszaacutema Ekkor meg kell mutatnunk hogy n+2ndashből aminek legkisebb
priacutemosztoacuteja p a q elemszaacutemuacute kupacba leacutepeacutes szabaacutelyos Ez azeacutert igaz mert a
28
jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek
nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek
elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash
hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert
kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute
kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes
2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m
elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb
priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt
k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek
A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő
strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk
8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad
kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja
legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is
elvehetjuumlk)
Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő
tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz
melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk
Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean
G(Di)
Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1
Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva
laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek
bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1
29
1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i
2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan
1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute
kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute
kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei
azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet
elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =
21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i
2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet
eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n
raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l
paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1
Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban
ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra
G(Da) = 0 + 1 = 1
Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek
9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az
egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a
Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya
szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)
Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg
Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal
Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon
mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)
= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet
a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5
kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre
30
11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik
kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az
nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi
Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-
ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet
Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik
jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem
hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy
speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok
bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A
Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő
nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk
valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval
deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek
a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)
stb kupacmeacuteretek
Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt
de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt
5 4 Fibonacci-nim
A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik
13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el
kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve
utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint
amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben
Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz
szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa
előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban
31
Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat
i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2
Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a
koumlvetkező taacuteblaacutezat
Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok
Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő
Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok
oumlsszegeacutere
Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899
Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel
hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga
Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem
akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-
szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert
119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa
kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem
Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele
keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen
Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip
Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel
minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok
legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot
vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)
7 [1] alapjaacuten
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
28
jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek
nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek
elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash
hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert
kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute
kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes
2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m
elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb
priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt
k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek
A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő
strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk
8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad
kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja
legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is
elvehetjuumlk)
Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő
tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz
melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk
Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean
G(Di)
Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1
Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1
Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva
laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek
bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1
29
1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i
2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan
1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute
kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute
kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei
azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet
elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =
21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i
2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet
eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n
raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l
paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1
Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban
ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra
G(Da) = 0 + 1 = 1
Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek
9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az
egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a
Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya
szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)
Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg
Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal
Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon
mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)
= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet
a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5
kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre
30
11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik
kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az
nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi
Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-
ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet
Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik
jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem
hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy
speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok
bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A
Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő
nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk
valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval
deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek
a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)
stb kupacmeacuteretek
Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt
de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt
5 4 Fibonacci-nim
A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik
13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el
kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve
utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint
amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben
Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz
szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa
előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban
31
Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat
i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2
Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a
koumlvetkező taacuteblaacutezat
Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok
Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő
Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok
oumlsszegeacutere
Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899
Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel
hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga
Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem
akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-
szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert
119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa
kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem
Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele
keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen
Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip
Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel
minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok
legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot
vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)
7 [1] alapjaacuten
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
29
1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i
2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan
1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute
kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute
kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei
azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet
elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =
21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i
2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet
eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n
raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l
paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1
Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1
Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban
ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra
G(Da) = 0 + 1 = 1
Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek
9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az
egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a
Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya
szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)
Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg
Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal
Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon
mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)
= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet
a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5
kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre
30
11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik
kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az
nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi
Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-
ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet
Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik
jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem
hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy
speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok
bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A
Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő
nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk
valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval
deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek
a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)
stb kupacmeacuteretek
Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt
de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt
5 4 Fibonacci-nim
A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik
13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el
kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve
utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint
amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben
Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz
szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa
előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban
31
Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat
i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2
Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a
koumlvetkező taacuteblaacutezat
Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok
Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő
Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok
oumlsszegeacutere
Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899
Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel
hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga
Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem
akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-
szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert
119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa
kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem
Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele
keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen
Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip
Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel
minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok
legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot
vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)
7 [1] alapjaacuten
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
30
11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik
kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az
nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi
Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-
ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet
Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik
jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem
hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy
speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok
bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A
Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő
nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk
valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval
deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek
a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)
stb kupacmeacuteretek
Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt
de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt
5 4 Fibonacci-nim
A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik
13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el
kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve
utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint
amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben
Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz
szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa
előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban
31
Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat
i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2
Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a
koumlvetkező taacuteblaacutezat
Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok
Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő
Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok
oumlsszegeacutere
Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899
Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel
hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga
Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem
akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-
szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert
119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa
kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem
Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele
keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen
Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip
Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel
minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok
legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot
vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)
7 [1] alapjaacuten
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
31
Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat
i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2
Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a
koumlvetkező taacuteblaacutezat
Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok
Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő
Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok
oumlsszegeacutere
Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899
Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel
hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga
Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem
akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-
szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-
szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert
119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa
kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem
Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele
keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen
Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip
Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel
minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok
legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot
vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)
7 [1] alapjaacuten
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
32
(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre
kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)
A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten
Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak
kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es
szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak
megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet
Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =
= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862
Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere
Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43
Fibonacci-alakjaacutenak
Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik
szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1
Fibonacci-szaacutemot
A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes
Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es
szaacutemjegy
Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte
tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes
melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben
ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont
levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami
koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez
ellentmondaacutes
A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a
Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera
Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az
első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
33
Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre
Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-
felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel
Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a
fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a
fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [
119886119896119895
2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az
egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean
119886119899 1198861198961+ 1198861198962
+ ⋯ + 119886119896119895+ [
119886119896119895
2]
Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894
2] lt 119886119894minus1
ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895
2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2
A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895
2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet
Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak
legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt
Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz
Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel
Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A
Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a
kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal
nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el
a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem
koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a
Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a
felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel
laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja
Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt
koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a
leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t
amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult
aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső
8 [1] koumlnyv alapjaacuten
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
34
0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895
iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen
1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni
amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-
felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb
tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek
Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra
elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek
miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt
Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő
strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)
35
Irodalomjegyzeacutek
[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998
[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum
httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)
[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika
feladatgyűjtemeacuteny
httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf
(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)
[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft
Debrecen 1997
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg
(2014 maacutejus 31)