matematikastatistika (mathematical statistics) unipa
TRANSCRIPT
MATEMATIKA STATISTIKA(MATHEMATICAL STATISTICS)GANGGA ANURAGA
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
Materi :• Distribusi variabel random
• Teori Himpunan• Fungsi Himpunan• Fungsi Himpunan Peluang• Variabel Random• Fungsi Kepadatan Peluang• Fungsi Distribusi• Model Probabilitas• Ekspektasi Matematik
• Peluang bersyarat dan kebebasan stokastikSTATISTIKA UNIPA SURABAYA
Materi :• Beberapa distribusi khusus
• Distribusi binomial• Distribusi poisson• Distribusi Gamma dan Chi-square• Distribusi normal
• Distribusi Sampling dari fungsi variabel• Teori pengambilan sampel• Teknik fungsi pembangkit momen• Distribusi order statistik• Transformasi variabel randomSTATISTIKA UNIPA SURABAYA
Referensi :• Introduction to Mathematical Statistics: Hogg and Craig.
(Recommended)• Mood, A.M., Graybill,F.A. dan Boes, D.C. (1974). Introduction of the
Theory of Statistics. 4th ed. Mc-Graw Hill. Tokyo.• Rice, J.A. (1995). Mathematical Statistics and Data Analysis. Second
Ed. Duxbury Press. Belmont, California. (Recommended)• Rohatgi, V.K. (1976). An Introduction to Probability Theory and
Mathematical Statistics. Wiley & Sons. New York.• Bartoszynski, R dan Bugaj, M.N., (2008)., Probability and statistical
inference. Second Ed. A John Wiley & Sons, Inc., Publication. NewJersey. (Recommended)STATISTIKA UNIPA SURABAYA
Evaluasi• Nilai Tugas (30%)• Nilai UTS (20%)• Nilai UAS (50%)
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
PENDAHULUANMatematika Statistik
Dalam alam semesta pada dasarnya terdapat 2 aktivitas(percobaan).a. Percobaan deterministik : percobaan yang sudah pasti terjadi.
contoh : …………………b. Percobaan Stokastik / Acak / Random / Statistik / Probabilistik :
percobaan yang mempunyai sifat : Semua hasil yang terjadi dapat diketahui Hasil yang terjadi tidak dapat diketahui sebelum percobaan
tersebut dilakukan.STATISTIKA UNIPA SURABAYA
Berikut adalah contoh-contoh dari percobaan randomContoh 1 : Percobaan yang dilakukan dengan melemparkan
sebuah mata uang, terdapat 2 macam hasil A (angka) dan G(gambar). Jika diasumsikan bahwa mata uang tersebut dapatdilempar secara berulang-ulang maka pelemparan mata uangdiatas adalah contoh dari percobaan random dengan ruangsampel { A, G}.Contoh 2 : Pelemparan dua buah dadu yang bewarna merah dan
putih, Jika diasumsikan bahwa pelemparan tersebut dilakukansecara berulang-ulang. Ruang sampel terdiri dari.... Contoh 3 : Pada suatu proses produksi, pengamatan dilakukan
terhadap proses produksinya. Xi menyatakan hasil produksi ke – i, i= 1,2,3,...Contoh 4 : memilih bilangan secara random pada selang 0 < X < 1STATISTIKA UNIPA SURABAYA
Akibat percobaan random :1. Terdapat ruang sampel2. Terdapat event (kejadian / peristiwa)
- akibat dari (1) dan (2) muncul probabilitas suatu event / kejadianevent A :
* probabilitas aksiomatis
/ S
, ,A B C
disebut sebagai *"probabilitas klasik"n A
P An
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
3. Terdapat variabel random- variabel random : fungsi yang memetakan setiap anggota ruang
sampel ke bilangan real.* variabel random diskrit : variabel random yang menjalani bilangan
bulat* variabel random kontinu : variabel random yang menjalani
bilangan realContoh :
misalkan X = banyaknya pasien yang sembuh, tentukan bahwa Xadalah variabel random diskrit?
Dokter mengobati 3 pasien :
=
TTT TTS SST SSS
TST STS
STT TSS
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
4. Terdapat Fungsi distribusi probabilitas: suatu fungsi yang dapat menggambarkan sifat dasar / karakter dari
suatu variabel randoma) fungsi distribusi probabilitas diskritb) fungsi distribusi probabilitas kontinu Definisi :a) F disebut fungsi distribusi probabilitas diskrit untuk variabel
random x jika :
b) F disebut fungsi distribusi probabilitas kontinu untuk variabelrandom x jika :
0
1x
f x
f x
0
1
f x
f x
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
5. Terdapat Ekspektasi dan Variansi
6. Terdapat fungsi pembankit moment (MGF)
1
2
. variabel random diskrit
variabel random kontinu
b.
x
a E x x f x
E x x f x dx
Var x E x E x
1
-
variabel random diskrit
= variabel random kontinu
txx
tx
x
tx
M t E e
e f x
e f x
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
TERIMA KASIH
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
DISTRIBUSI VARIABEL RANDOMGANGGA ANURAGA
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
TEORI HIMPUNAN (SET THEORY)Jika A adalah sebuah himpunan, dan a berada didalam A,
maka dikatakan a sebagai anggota dari himpunan dan biasanya ditulis .
Sebagai contoh, A adalah himpunan bilangan riil dimana 0 1 atau dit
a A
x
ulis
1 1; 0 1 , maka adalah anggota dari A ( A), tetapi2 21 1
1 bukan anggota dari A 1 A .2 2
x x
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
BEBERAPA DEFINISI PENTING PADA TEORIHIMPUNAN
Definisi I :
Himpunan yang memuat semua elemen yang dibicarakan secara lenkap
disebut sebagai himpunan semesta (space), yang biasanya dinotasikan
dengan huruf besar seperti S, , dll.
Definisi II :
Jika
c
S merupakan himpunan semesta dan A adalah himpunan bagian dari S
maka komplemen A ditulis A adalah himpunan yang memuat anggota-anggota
dari S tetapi tidak termuat dalam A.
contoh :
S = x ; x = 0, 1, 2, c
3, 4 dan A = x ; x = 0, 1
maka komplemen A atau A = x ; x = 2, 3, 4
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
1 2 1 2
1
2 1 2 1 2
1
Definisi III :
A merupakan himpunan bagian dari A (ditulis A A ) jika
dan hanya jika untuk setiap x anggota A maka x juga merupakan anggota
dari A ditulis : A A x A x A
contoh :
A = x
2 1 2 ; 0 x 1 , A = x ; 0 x 2 , maka A A
Gambarkan diagram Venn-nya ?
Definisi IV :
Himpunan A tidak mempunyai anggota, disebut himpunan kosong
A =
contoh :
A = x ; 0 < x < 1 dan x bilangan bulat ,
maka A = STATISTIKA UNIPA SURABAYA
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
Definisi V :
Gabungan dua himpunan A dan A ditulis A A yaitu
suatu himpunan yang anggotanya adalah semua anggota A dan A ,
ditulis A A = x | x A atau x A .
Gabungan dari himpunan-himpunan
1 2 3
1 2 3
1
2
1 2
A , A , A ,.....adalah
A A A ......
contoh :
A = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4, 5
A = x ; x = 2, 3, 4, 5 atau 5 < x 10
Maka A A = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 atau 5 < x 10
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
Definisi VI :
Irisan dari dua himpunan A dan A ditulis A A adalah
suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari
A dan juga dari A ditulis : A A = x | x A dan x A
Irisan dar
1 2 3
1 2 3
1
2
1 2
1 2
i beberapa himpunan A , A , A ......adalah
A A A .....
Contoh :
A = x, y ; x, y = 0,0 , 0,1 , 1,1
A = x, y ; x, y = 1,1 , 1,2 , 2,1
maka A A x, y ; x, y = 1,1
Contoh :
A = x,y ; 0 x+y 1 , A = x,y ; 1
1 2
x+y
maka A A ....
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
1 2 1 2
1
2 1 2 1 2
1
Definisi VII :
Selisih dua himpunan A dan A ditulis A -A adalah
suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari A
tetapi bukan anggota dari A A -A = x | x A dan x A
Contoh :
A = x
2
1 2
2 1
| x bilangan asli
A = x | x bilangan bulat
A -A =
A -A = x | x bilangan bulat tidak positif
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
1 2 1 2
1
2 1 2
1 2 1
Definisi VIII :
Jumlah dari dua himpunan A dan A ditulis A A adalah
suatu himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota A atau
anggota A tetapi tidak termuat dalam A A .
A + A = x | x A
2 1 2
1 2 1 2 1 2
1
2
1 2
atau x A dan x A A .
Khusus untuk A dan A yang saling lepas, maka A A = A A .
Contoh :
A = x | x bilangan cacah
A = x | x bilangan bulat negatif
maka A + A = x | x bilangan bulat
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
BEBERAPA HAL PENTING DALAM TEORIHIMPUNAN
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
CONTOH :
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 1 1 2 3
2 2 3 4 5 3 3 4 5 8
c c c1 2 3 1 2 1 3 2 3
Suatu ruang sampel S = s ,s ,s ,s ,s ,s ,s ,s dan himpunan
A , A , dan A adalah sebagai berikut : A s ,s ,s ,
A s ,s ,s ,s ,A s ,s ,s ,s .
Tentukan A , A , A , A A ,A A , A A ,
1 2 3 1 2 1 3 1 2 3
c1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 1
A A A , A A ,A A , A A A ,
A - A , A - A , A - A ,A - A ,A - A , A .c
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
c
1. Carilah himpunan gabungan dari A A dan interseksi A A
dimana A dan A adalah :
a A ; 0,1,2 , A ; 2,3,4
b A ;0 2 , A ;1 3
2. Carilah A dari himpunan A dengan ruang sampel
x x x x
x x x x
c c c c1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 3 k k+1
S sebagai berikut :
5 S ;0 1 ,A = ; 1
8
3. Buktikan bahwa A A A A dan A A A A
4. Jika A , A , A ,...adalah himpunan yang terdefinisikan bahwa A A ,
k = 1, 2, 3,...,
c c
x x x x
kk
1 2 3 kk
k
dan lim A didefinisikan sebagai himpunan gabungan
A A A . Carilah lim A jika :
A ;1/ 3 1/ , 1,2,3...;x k x k k
SOAL LATIHAN :
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
FUNGSI HIMPUNAN (SET FUNCTION)
1 3 2
Fungsi-fungsi di dalam kalkulus misalnya :
1 5 ,
2 , , 0 ,0
Akan mempunyai nilai untuk x yang tertentu :
1 1, maka 1 5
2 1 dan y 3, maka 1,3
Fungsi diatas dis
x y
f x x x
g x y e x y
x f
x g e e
ebut fungsi dari sebuah titik, karena
dihasilkan pada sebuah titik. Fungsi yang dihasilkan oleh
semua titik pada sebuah himpunan disebut "FUNGSI HIMPUNAN".STATISTIKA UNIPA SURABAYA
1
Contoh :
Untuk setiap himpunan A yang berdimensi satu, didefinisikan
2 1Q A dimana , 0,1,2,...
3 3
0 , lainnya
Jika A ; 0,1,2,3 , maka Q
x
A
f x f x x
x x
1A ...?
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
1 2
1 2
Contoh :
Untuk setiap himpunan A berdimensi satu, Q A
dimana 6 1 , 0 1
0 , lainnya
1 3 1jika A ; ,A ;
4 4 2
Tentukan Q A dan Q A ...?
A
f x dx
f x x x x
x x x x
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
TERIMA KASIH
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
VARIABEL RANDOM DAN FUNGSI KEPADATAN PELUANGGANGGA ANURAGA
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
VARIABEL RANDOM
- variabel random : fungsi yang memetakan setiap anggota ruang
sampel ke bilangan real.
* variabel random diskrit : variabel random yang menjalani bilangan
bulat
* variabel random kontinu : variabel random yang menjalani
bilangan real
Catatan : didalam statistik kita selalu lebih tertarik pada fungsi himpunan
peluang dari variabel random X dari ruang sampel
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
Bahwa x yang bertipe kontinu maupun diskrit dengan
peluang ( ) ditentukan sepenuhnya oleh fungsi .
Dalam hal ini disebut sebagai "fungsi kepadatan peluang"
(f.d.p
P X A f x
f x
FUNGSI KEPADATAN PELUANG (f.d.p)
/ ) dari variabel random x.probability density function
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
Variabel Random Diskrit
0
1
( )
x A
x A
f x
f x
P x A f x
DISTRIBUSI PELUANG DARI VARIABEL RANDOM
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
4
Variabel Random Diskrit
Soal
X adalah variabel random yang bertipe diskrit dengan ruang sampel
S = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4 . ( ) dimana
4! 1 ( )
!(4 )! 2
A
P A f x
f xx x
DISTRIBUSI PELUANG DARI VARIABEL RANDOM
, S.
Jika A = x ; x = 0,1 maka P(x A) ?
x
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
1
1
X adalah variabel random yang bertipe diskrit dengan
1ruang sampel ; 1, 2, 3, ...... dan ;
2
Jika ; 1, 3, 5, 7,...... merupakan himpunan bagian dari
ruang sampel maka tentukan .
Dike
x
x x f x x
x x
P A
1
tahui suatu variabel random X dengan fungsi kepadatan peluang
9 (f.d.p) : , 1, 2,... dan 0 untuk x lainnya.
10
Tentukan nilai konstanta c.
x
f x c x
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
Fungsi himpunan dari dua variabel random X dan Y
1 , dimana ( , ) ,
52
, , ; , 0,1 , 0,2 ,..., 0,13 , 1,1 ,..., 1,13 ,..., 3,13
Hitunglah ,
a). A = x,y ; , 0, 4 , 1,3 , 2,2
AP A f x y f x y
x y S x y x y
P A P X Y A
x y
b). A = x,y ; 4, x,yx y S
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
A
Variabel random kontinu
Jika S adalah ruang sampel dari variabel random X
dan fungsi himpunan peluang P(A) didefinisikan
sebagai :
P(A) = P(X A) = f x
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
2
1 2
1 2 1 2 1 2
Soal :
Fungsi himpunan peluang P(A) dari variabel random X
adalah :
3P(A) = , dimana
8
; 0 2
1; 0 , ;1 2 2
adalah himpunan bagian dari , maka tentukan
, , dan .
A
xf x dx f x
X x x
A x x A x x
P A P A P A A P A A
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
1
1
2
2
, ; 0 1 adalah ruang sampel dari dua variabel
random x dan y. Fungsi himpunan peluang adalah
2
1Jika , ; 12
maka tentukan .
1Jika , ; 1, 02
maka tentukan .
A
x y x y
P A dx dy
A x y x y
P A
A x y x y x
P A
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
1
A
1
Variabel random kontinu
Soal:
Dua variabel random X dan Y dengan ruang sampel
= , ;0 1 . Dan fungsi himpunan peluang
1P(A) = 2 . Tentukan A , ; 1
2
dimana A himpunan bagian dari
A x y x y
dx dy x y x y
A.
Soal :
Variabel random X mempunyai f.d.p :
2 ;0 1
0 ;untuk x yang lain
1 3 1 1Tentukan P( ) dan P(- )
2 4 2 2
x xf x
x x
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
TERIMA KASIH
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
FUNGSI DISTRIBUSI (CUMULATIVE DISTRIBUTION
FUNCTION)
GANGGA ANURAGA
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
FUNGSI DISTRIBUSI (CDF)
• Suatu fungsi yang dapat menggambarkan sifat dasar /
karakter dari suatu variabel random
• Fungsi distribusi probabilitas diskrit
• Fungsi distribusi probabilitas kontinu
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
-
Jika variabel random x dengan f.d.p f(x), x A
Definisi :
F(x) = Pr(X x)
1) Variabel Random X diskrit
F(x) =
t x
2) Variabel Random X Kontinu
F(x) =
F(x)
x
f t
f t dt
disebut fungsi distribusiSTATISTIKA UNIPA SURABAYA
Soal :
x, 1,2,3
1. Variabel Random X dengan f.d.p f(x) 6
0, untuk x lainnya
Tentukan Fungsi Distribusi dari X dan Gambarkan Grafiknya?
1, 02. Variabel Random X dengan f.d.p f(x)
0, untuk x la
x A
x
innya
Tentukan Fungsi Distribusi dari X dan Gambarkan Grafiknya?
1/3, 1,0,13. Variabel Random X dengan f.d.p f(x)
0, untuk x lainnya
Tentukan Fungsi Distribusi dari X dan Gambarkan Graf
x
iknya?
x/15, 1, 2,3,4.54. Variabel Random X dengan f.d.p f(x)
0, untuk x lainnya
Tentukan Fungsi Distribusi dari X dan Gambarkan Grafiknya?
x
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
3
Soal:
k,1
1. Variabel Random X dengan f.d.p f(x) x
0, untuk x lainnya
Carilah k agar memenuhi sifat f.d.p ?
Tentukan Fungsi distribusi dan gambarkan grafiknya ?
2. Variabel Random X dengan
x
2
3 1-x , 0 1f.d.p f(x)
0, untuk x lainnya
Tunjukkan bahwa f(x) memenuhi sifat f.d.p ?
Tentukan Fungsi distribusi dan gambarkan grafiknya ?
x
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
Soal:
0, 0
13. Variabel Random X dengan F(x) , 0 1
2
1 , 1
1 Hitung Pr -3 < x dan Pr x 0 ?2
0 , 1
24. Variabel Random X dengan F(x) , 1 1
4
1 ,1
1 1 Hitung Pr < x , Pr x 0 , Pr x 2 2
x
xx
x
x
xx
x
1 , Pr 2 < x 3 ?
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
sifat-sifat fungsi distribusi
1. F lim F x 1
F lim F x 0
2. 0 F x 1
3. suatu fungsi yang tak monoton turun
4. F x kontinyu ke kanan setiap x
x
x
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
• Distribusi binomial• Distribusi poisson
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
• Distribusi uniform• Distribusi normal
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
TERIMA KASIH
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
DISTRIBUSI GABUNGAN
DAN MARGINALGANGGA ANURAGASTATISTIKA UNIPA SURABAYA
DISTRIBUSI GABUNGAN / JOINT DISTRIBUTION
FUNCTION
Jika terdapat dua variabel random X dan Y,
maka distribusi peluang terjadinya X dan Y
secara serentak dinyatakan dengan fungsi (x, y).
Fungsi (x, y) disebut dengan Distribusi
Bersama / Distribusi Pel
f
f
uang Gabungan /
X dan Y. Joint Distribution Function
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
DISTRIBUSI GABUNGAN VARIABEL RANDOM DISKRET BERDIMENSI DUA
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
x y
Sifat - sifat Fungsi Peluang Gabungan Variabel Random Diskrit :
1. , 0 untuk semua x, y
2. , 1
3. , , . untuk setiap daerah A di bidang xy.
A merupakan himpunan bagian dari daerah a
A
f x y
f x y
P X Y A f x y
2 2
sal X dan Y.
Contoh 5.1:
Jika diketahui fungsi peluang gabungan dari variabel random X dan Y
adalah :
1,0,1,3 , 1,2,3,
0,
a. Carilah nilai konstanta k ?
b. Hitunglah P
k x y x yf x y
untuk x dan y yang lain
X = 0, Y 2 ?STATISTIKA UNIPA SURABAYA
DISTRIBUSI GABUNGAN VARIABEL RANDOM KONTINYU BERDIMENSI DUA
Variabel random X dan Y dikatakan variabel random kontinyu
berdimensi dua jika nilai-nilai dari X dan Y merupakan nilai-
nilai yang berupa interval.
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
Sifat - sifat Fungsi Peluang Gabungan Variabel Random Kontinnu :
1. , 0, untuk semua x, y
2. , 1
3. , ,
untuk setiap daerah A di bidang xy. A merupakan
himpunan bagi
A
f x y
f x y dx dy
P x y A f x y dx dy
an dari daerah asal X dan Y.
Contoh 5.2 :
Jika diketahui fungsi padat gabungan / fungsi densitas gabungan
variabel random X dan Y adalah :
1,
8
Hitunglah peluang P 0 x 1,1 y 2 ?
f x y x y
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
DISTRIBUSI MARGINAL VARIABEL RANDOM DISKRIT
Bila distribusi peluang f x, y dari variabel random diskrit X dan Y,
maka distribusi marginal X adalah g x dan Y adalah h y .
g x ,
,
Berdasarkan contoh 5.1, tentukan distribusi peluang marginal X
d
y
x
f x y
h y f x y
an distribusi peluang marginal Y?
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
DISTRIBUSI MARGINAL VARIABEL RANDOM KONTINU
Bila distribusi peluang f x, y dari variabel random kontinu X dan Y,
maka distribusi marginal X adalah g x dan Y adalah h y .
,
,
Berdasarkan contoh 5.2, tentukan distribusi peluang margina
y
x
g x f x y dy
h y f x y dx
l X
dan distribusi peluang marginal Y?
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
EKSPEKTASI MATEMATIKGANGGA ANURAGA
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
Definisi :
Variabel random X dengan f.d.p f x dan u x adalah
suatu fungsi dari variabel random X, sedemikian hingga :
untuk variabel random kontinu
E u
untuk variabel random diskrit
x
u x f x dx
x
u x f x
Jika integral atau deret tersebut konvergen mutlak maka E u
disebut ekspektasi dari u x .
x
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
n
i i i i
i=1 1
Sifat - sifat dari ekspektasi matematik :
1. E (k) = k, k = konstanta
2. E [k u(x)] = k E[u(x)]
3. E k u (x) k E[u (x)] , n hingga ekspektasi bersifat liniern
i
2
2
2
2
Var u Var(x) = E(x - E(x))
(x - E(x)) untuk variabel random kontinu
=
(x - E(x)) untuk variabel random diskritx
x
f x dx
f x
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
2
3
Contoh 1.
Misal X dengan f.d.p
2 1 , 0 1
0 , untuk x yang lainnya
maka E 6x + 3x ....?
Contoh 2.
Misal X dengan f.d.p
/ 6 , 1,2,3
0 , untuk x yang lainnya
maka E (x ) ...?
x xf x
x xf x
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
2
Soal Latihan :
1. Variabel random memiliki fungsi kepadatan peluang
2 f.d.p ( ) , 2 4 dan 0 untuk yang lain.
18
Tentukan ( ) dan ( 2) .
2. Variabel random memiliki fungsi kepadat
x
xf x x x
E x E x
x
2 2
an peluang
1 f.d.p ( ) , 1, 2,3,4,5 dan 0 untuk yang lain.
5
Tentukan ( ), dan ( 2) .
3. Variabel random memiliki fungsi kepadatan peluang
1 f.d.p ( , ) , , 0,0 , 0,1 , 1,1 da
3
f x x x
E x E x E x
x
f x y x y
n
0 untuk , yang lain.
1 2 Tentukan .
3 3
x y
E x y
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
5. Variabel random dan memiliki fungsi kepadatan peluang
f.d.p ( , ) 2, 0 , 0 1 dan 0 untuk ,
yang lain. Didapatkan bahwa , ,
, dan , .
Tunjukkan bahwa ,
x y
f x y x y y x y
u x y x
v x y y w x y xy
E u x y
2
2
, ,
6. Misalkan X merupakan variabel random dengan f.d.p
f(x) = 3x , 0 < x < 1
maka tentukan E (x), E(x ), dan Var (x).
Jika variabel random y dengan y = 3x - 2
tentukan E
E v x y E w x y
(y) dan Var (y) ?STATISTIKA UNIPA SURABAYA
Fungsi Pembangkit Momen(Moment Generating Function)
Gangga Anuraga
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
Diberikan variabel random X dengan fungsi distribusi
probabilitas , MGF dari X didefinisikan sebagai
Kontinu
Diskrit
Fungsi pembangkit m
x
tx
tx
tx
tx
x
f x
M t E e
e f x
M t E e
e f x
omen secara lengkap menentukan
distribusi sampling dari suatu variabel random.
Karakteristik Fungsi Pembangkit Momen
t cx ct x
cx x cx x
t cx ddt
cx d x cx d
M t M ct M t E e E e M ct
M t e M ct M t E e
.ct xdt dt
xE e e e M ct STATISTIKA UNIPA SURABAYA
MGF dan Ekspetasi Matematik
0
0
0 00
0
merupakan turunan pertama dari MGF
dan
, 2,3,
merupakan turunan ke-n dari MGF
Catatan :
|
x t
nn
xn t
tx tx
x t tt
tx
t
dE x M t
dt
dE x M t n
dt
d d dM t E e E e
dt dt dt
E xe E x
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
2
Soal Latihan
1. Diketahui variabel random x dengan fungsi kepadatan
peluang , 0.
a) Carilah MGF
b) Tentukan , dan
c) Jika variabel random didefinisikan sebagai
x
x
f x e x
M t
E x E x Var x
y
2 3 .
- Tentukan MGF dan
2. Diketahui variabel random x dengan fungsi kepadatan
1 peluang , 1,2,3.....
2
a) Carilah MGF
b) Tentukan dan
y
x
x
y x
M t E y
f x x
M t
E x Var x
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
1
3. Diketahui x suatu variabel random berdistribusi poisson
dengan MGF .
Tentukan rata-rata dan varians dari variabel random ?
4. Diketahui x suatu variabel random berdistribusi BIN n,p
te
xM t e
x
dengan MGF
Tentukan rata-rata dan varians dari variabel random ?
nt
xM t pe q
x
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
DISTRIBUSI DAN EKSPEKTASI BERSYARATGANGGA ANURAGA
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
DISTRIBUSI PELUANG BERSYARAT
1 2
2 1 1 1
1 1
1 2
2 1 1 1 2 2 2
2 2
1 2 2
DEFINISI :
,| , 0 disebut f.d.p bersyarat
,dari x bila diketahui X , sejalan | , 0
disebut f.d.p bersyarat dari x bila diketahui X .
f x xf x x f x
f x
f x xx f x x f x
f x
x
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
DISTRIBUSI PELUANG BERSYARAT UNTUK VARIABEL RANDOM DISKRIT
1 2
1 21 2 1 2
1 2
Contoh :
Jika diketahui fungsi peluang gabungan
dari variabel random x dan x dengan f.d.p
sebagai berikut :
, , 1, 2,3 ; 1,221
0 , untuk , yang lain
cari terlebih dahulu f.d.p margin
x xf x x x x
x x
1 2
1 2 2 1
al untuk dan
kemudian tentukan | dan |
x x
f x x f x xSTATISTIKA UNIPA SURABAYA
DISTRIBUSI PELUANG BERSYARAT UNTUK VARIABEL RANDOM KONTINU
1 2
1 2 1 2
1 2 2 1
Contoh :
Misalkan x dan x mempunyai f.d.p :
f x , x 2 ,0 x x 1
0 , untuk yang lain
cari terlebih dahulu f.d.p marginalnya
kemudian tentukan | dan |f x x f x x
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
2
2 1
2 2 2 1
2 2 1 2
2 1
2 2 1
2
2 1 2 2 1
2
2 2 1 22
|
Ekspektasi Fungsi U(x)
1. U(x ) = X , maka mean dari variabel random X | X :
| kontinu
E |
| diskrit
2. Var u | = E x - E( | )
(x - E( | ))
=
x
x x
x f x x dx
x x
x f x x
x x x x
x x f x
1 2
2
2 2 1 2 1
| kontinu
( - E( | )) | diskritx
x dx
x x x f x x
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
FUNGSI DISTRIBUSI GABUNGAN
DAN MARGINAL
GANGGA ANURAGASTATISTIKA UNIPA SURABAYA
FUNGSI DISTRIBUSI GABUNGAN / JOINT
DISTRIBUTION FUNCTION
Jika terdapat dua variabel random X dan Y,
maka distribusi peluang terjadinya X dan Y secara serentak
dinyatakan dengan fungsi kepadatan peluang / f.d.p (x, y).
Fungsi (x, y) disebut dengan Distribusi
f
F Bersama
/Distribusi Peluang Gabungan/ X dan Y
/ .
Joint Distribution Function
Joint d.f
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
FUNGSI DISTRIBUSI GABUNGAN
VARIABEL RANDOM DISKRIT
x y
Sifat - sifat Fungsi Peluang Gabungan Variabel Random Diskrit :
1. , 0 untuk semua x, y
2. , 1
3. , , . untuk setiap daerah A di bidang xy.
A merupakan himpunan bagian dari daerah a
A
f x y
f x y
P X Y A f x y
sal X dan Y.
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
Latihan Soal
Untuk setiap variabel random x dan y dengan nilai 0, 1, 2 dan 3.
Dan peluang bersama / joint probability dari f.d.p antara variabel x dan y
disajikan sebagai berikut :
a. Tentukan nilai peluang 2, 1 ?
b. Tentukan nilai peluang 2 3,0 2 ?
P x y
P x y
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
Diberikan tabel probabilitas dari f.d.p , adalah
sebagai berikut :
f x y
Tentukan Fungsi Distribusi gabungan / 1, 2 ,
1.5,2 dan 5,7 .
Joint d.f F
F F
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
2 2
Jika diketahui fungsi peluang gabungan dari variabel random X dan Y
adalah :
1,0,1,3 , 1,2,3,
0,
a. Carilah nilai konstanta k ?
b. Hitunglah P X = 0, Y 2 ?
k x y x yf x y
untuk x dan y yang lain
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
DISTRIBUSI MARGINAL VARIABEL RANDOM DISKRIT
Bila distribusi peluang f x, y dari variabel random diskrit X dan Y,
maka distribusi marginal X adalah g x dan Y adalah h y .
g x ,
,
y
x
f x y
h y f x y
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
FUNGSI DISTRIBUSI GABUNGAN
VARIABEL RANDOM KONTINU
Sifat - sifat Fungsi Peluang Gabungan Variabel Random Kontinu :
1. , 0, untuk semua x, y
2. , 1
3. , ,A
f x y
f x y dx dy
P x y A f x y dx dy
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
Jika diketahui fungsi padat gabungan / fungsi densitas gabungan
variabel random X dan Y adalah :
1,
8
Hitunglah peluang P 0 x 1,1 y 2 ?
f x y x y
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
DISTRIBUSI MARGINAL VARIABEL RANDOM KONTINU
Bila distribusi peluang f x, y dari variabel random kontinu X dan Y,
maka distribusi marginal X adalah g x dan Y adalah h y .
,
,
y
x
g x f x y dy
h y f x y dx
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
DISTRIBUSI FUNGSI VARIABEL RANDOM DENGAN METODE MGFGANGGA ANURAGA
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
MOMENT GENERATING FUNCTIONS (MGF)
• Merupakan salah satu metode yang digunakan untuk
membangun inferensi tentang parameter populasi dan
mendapatkan distribusi sampling dari estimator yang
distribusi populasinya diketahui.
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
SIFAT-SIFAT DARI MGF :
1
1 2 n
1
1 2 n
a. jika a R maka
b. jika variabel random X ,X ,...,X saling independen
maka,
c. jika a, b R maka :
d. jika variabel random X ,X ,...,X independe
ni
i
i
ax x
n
xiX
tb
ax b x
M t M at
M t M t
M t e M at
1
n identik maka :
n
i
i
n
xX
M t M t
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
2 21
2 2
Latihan Soal :
Jika X variabel random berdistribusi normal dengan mean
dan varians , maka MGF dari X addalah .
Tentukan :
a. MGF dan fungsi probabilitas variabel random Y = X - .
b. MGF dan
t t
xM t e
Xfungsi probabilitas variabel random W =
X -c. MGF dan fungsi probabilitas variabel random Z =
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
2
1
2
1. MGFdari distribusi Chi -Square 1 2
rata - rata
Variance 2
2. MGFdari distribusi Eksponensial 1
rata - rata
Variance
13. MGFdari distribusi Gamma 1
1
v
x
x
x
M t t
v
M t t
M t tt
2
rata - rata
Variance
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
1
Latihan Soal :
Jika X variabel random berdistribusi eksponensial dengan mean
dan MGF dari X addalah 1 .
2XTentukan : MGF dan fungsi probabilitas variabel random Y = .
xM t t
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
MGF UNTUK VARIABEL RANDOM DENGAN LEBIH DARI SATU VARIABELGANGGA ANURAGA
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
1 2 n
1 2 n
1
Ingat kembali sifat - sifat MGFMisalkan X , X ,..., X variabel random independendengan MGF , t R selanjutnya diberikan variabel random :
Y = X + X +...+ X ,
a. Buktikan MGF dari Y adalah
i
i
X
n
Y Xi
M t
M M t
i
1 2 n
i i
X
b. Jika X , X ,...,X independen dan identik maka : ...
c. Jika X , , i = 1,2...., k dan X independen identik
dengan MGF M , dengan q = 1- p. Maka
dapatkan
i
Y X X
nX
i
nt
M M t M t
M t
B n p
t pe q
1 2 ndistribusi probabilitas Y = X + X +...+ X .
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
1
i
1 2 n
i X
n
ii=1
Misalkan X , X ,..., X variabel random independen
berdistribusi poisson dengan parameter , MGF M .
Diberikan pula suatu transformasi variabel random Y = X
a. Dapatkan MGF dari Yb. Tentuka
ti et e
n distribusi dari Y
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
2 2
i i
i
1 2 n2
i i1n tμ + σ t2
i i Xi=1
Misalkan X , X ,...,X variabel random independen masing - masing berdistribusi N ︵μ ,σ ︶
dan Y = X .MGF dari X adalah M t = e
Tentukan distribusi dari Y.
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
2 2i i
n2 2
i ii=1
* *
2
Kasus -kasus khusus :i jika μ = μ dan σ = σ
yaitu X :N μ,σ maka Y = X :N nμ,nσ
ii jika diberikan variabel random Y = X maka Y berdistribusi : N μ,σ /n
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
GANGGA ANURAGA
2
DISTRIBUSI SAMPLING DAN
DISTRIBUSI X dan S
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
PENGANTAR
• Inferensi statistika pada dasarnya adalah proses menduga
(mengestimasi) suatu parameter populasi yang tidak diketahui
dengan menggunakan sampel yang diambil dari populasi tersebut.
• Hasil estimasi dinamakan estimator dari parameter tersebut.
• Inferensi dari estimator, memerlukan distribusi dari estimator.
• Estimator didapat dari proses pengambilan sampel, maka distribusi
yang diperoleh dinamakan sebagai distribusi sampling suatu
parameter.
• Distribusi sampling suatu estimator merupakan fungsi dari suatu
sampel X1 , X2 , ..., Xp
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
PENGANTAR
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1
Jika diberikan suatu parameter populasi θ Ω,
maka estimator dari ditulis , dapat dinyatakan sebagai fungsi
dari , , , , yaitu :
, , , , , , , ,
dengan menyatakan fungsi dari ,
n
n n
X X X X
X X X X X X X X
X X
2 3, , , .
Oleh karena itu, distribusi dari estimator sangat tergantung dari
distribusi populasinya.
nX X
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
DISTRIBUSI SAMPLING KOMBINASI LINIER POPULASI NORMAL
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 1
Misalkan , , , , sampel random yang diambil dari
populasi berdistribusi , maka dapat diharapkan estimator
diperoleh dari kombinasi linier sampel random , , , , :
, , , ,
n
n
n
X X X X
F x
X X X X
X X X X
a X a
2 2 3 3
dengan , 1, 2, , .
n n
i i
X a X a X
a R i n
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
DISTRIBUSI SAMPLING KOMBINASI LINIER POPULASI NORMAL
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
Beberapa kejadian khusus yang penting dari
kombinasi linier diatas adalah :
1i Jika a ,
(rata - rata sampel)
ii Jika a 1,
(kombinasi li
n
n
n
n
i
a a a makan
X X X X
n
X
a a a maka
X X X X
X
1
nier dengan koefisien - koefisien satu)n
i
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
1 2 3
2
1 2 3
1 1 2 2
Misalkan , , , , sampel random independen
yang diambil dari populasi berdistribusi normal dengan
dan , 1, 2, , .
Berdasarkan suatu metode didapat estimator :
, , , ,
n
i
n
X X X X
mean i n
X X X X
a X a X a
3 3
*
1 2 3
*
,
Tentukan distribusi sampling dari estimator dan .
n n i
n
X a X a R
dan
X X X X
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
1 2 3
2 2
i
1 1 2
1 22
Misalkan , , , , sampel random independen
yang diambil dari populasi berdistribusi normal dengan
dan , 1, 2, , .
Dapatkan distribusi dari variabel random
a. 2
b.
n
i
X X X X
mean i n
W
W X X
X XW
3
1 23
2c.
nX X
n
X XW
n
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
1 2 3
1
Misalkan , , , , sampel random yang diambil
dari populasi berdistribusi normal standar
a. Tentukan MGF dari ,
kemudian dapatkan mean dan variansinya.
b. Tentukan syarat untuk aga
n
n
i i
i
i
X X X X
U a X
a
r berdistribusi normal standarU
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
DISTRIBUSI SAMPLING POPULASI GAMA DAN CHI-KUADRATGANGGA ANURAGA
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
• Dalam beberapa kasus mungkin tidak ditemui bahwa asumsi populasi berdistribusi normal.
• Mungkin saja populasi yang diselidiki berdistribusi agak menceng, misal Gama dan Chi-Kuadrat.
2
1
MGF :
Distibusi Chi - Kuadrat
1 2
Distribusi Gama
1
1
Distribusi Eksponensial
1
v
x
x
x
M t t
M tt
M t t
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
1 2
i
SOAL :
Dapatkan distribusi probabilitas dari kombinasi linier
Jika X masing - masing berdistribusi Gama, Eksponensial,
dan Chi - Kuadrat.
nY X X X
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
22 2 2
2
2
2 2
1
1
2
1 22
2
2
2 2
1
jika X~N(0,1) maka X ~
1
2
1 1 2
1 2 2
11
1 2
1 1 11 2 , ,
1 2 1 2
maka X ~
xtx tx tx
x
xt
M t E e e f x dx e e dx
te dx
t
t
tt t
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
1
2
2
1
2 2
SOAL
a. Jika ~ , 1,2, , independen, buktikan
V = ~
b. Jika diketahui variabel - variabel random saling independen
~ dan ~ , m > n
Tentukan distribusi Z = X + Y
c.
i
n
i
i
i v
n
ivi
m n
Y i n
Y
X Y
2
2
Misalkan diberikan variabel random ~
dan ~ .
Tentukan distribusi dari variabel random W = V - U ?
m
m n
U
V U Z
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
2
1 2
2n
i 2
2i=1
2
2
12
Misalkan , ,..., ~ , . Buktikan bahwa
X(i) ~
n X(i) ~
n
n
X X X N
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
DISTRIBUSI t, F
GANGGA ANURAGASTATISTIKA UNIPA SURABAYA
PENGANTAR
Distribusi sampling yang sangat penting peranannya dalam
inferensi statistika, khususnya distribusi sampling yang
diperoleh dari populasi berdistribusi normal, yaitu
distribusi t (Student t), dan F (Snedecor’s F).
Distribusi t diperoleh dari ratio antara dua variabel
random independen yang berdistribusi normal standar
dan chi-kuadrat.
Distribusi F diperoleh dari ratio dua variabel random
independen yang masing-masing berdistribusi chi-kuadrat.
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
Distribusi Student t
2
2 2
1
1 2
Beberapa pengertian berikut, yang berkaitan dengan distribusi t :
i jika variabel random ~ , maka variabel random
~ 0,1
ii jika ~ 0,1 maka W = ~
iii jika , ,..., variabel random inn
X N
XZ N
Z N Z
Z Z Z
2
1
* 2
1
depeden identik berdistribusi
maka variabel random :
~
Tiga pernyataan diatas menjadi landasan dasar dari pembentukan distribusi
sampling t dan F.
n
i ni
W Z
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
2
k
Teorema :
Jika X variabel random yang berdistribusi N(0,1) dan
Y variabel random berdistribusi , X dan Y saling independen
maka variabel random :
~k
XT t
Y
k
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
1 2
2
1 2
2
Misalkan , , , variabel random independen berdistribusi
, dan , , , variabel random independen berdistribusi
, .
a. Tentukan distribusi probabilitas dari
b. Tentukan distribus
n
n
X X X
N Y Y Y
N
XZ
i probabilitas dari /
c. Tentukan distribusi probabilitas dari
YW
n
ZU
W
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
Distribusi F
2 2
Berikut diberikan komponen - komponen variabel random yang
berkaitan dengan pembentukan distribusi F. Jika variabel random
~ dan ~ . X dan Y independen maka variabel random :
/ ~
/
n mX Y
X nF F n
Y m
,m
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
2
2 2
1 2 12
Teorema :
n -1jika , , , berdistribusi , maka ~n n
SX X X N
2
2
12
2 2 22
2 2 2 21 1 1
2
2
2 21
2
22 2
2 21
1 2 3
22
2 2
1 2 32 2 21
1~
Bukti :
1 1
1
1 1, dengan
1
Misalkan :
1~ , , ~
n
n n ni ii
i i i
n
i
i
n
i
i
ni
ni
n S
X X X X X n XX
n XnX X
n
n XnS S X X
n
V V V
n XX nV V S V
2
1
Untuk selanjutnya gunakan MGF
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
1 2 1 2
2
2 2
2 2
Contoh :
Misalkan , , , dan , , , variabel random independen
berdistribusi , , X dan Y saling independen.
a. Tentukan distribusi dari :
n -1 n -1 dan
b. Tentukan distribusi dari
n n
X Y
X X X Y Y Y
N
S S
22
2
21
22
1
1 F = dengan
1
1 dan
1
nX
X i
iY
n
Y i
i
SS X X
S n
S Y Yn
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
1 2
2
2
2
22
21
Diberikan sampel random , , , berdistribusi
, . Dapatkan :
a. Distribusi dari X
b. Distribusi dari : dan / /
1c. Distribusi dari : , dengan
1
n
n
i
i
X X X
N
X X
n n
n XF S X X
S n
STATISTIKA UNIPA SURABAYA