matematike

Ushtrime nga Matematika

Asistente:Xhevahire TërnavaPunuar gjatë 2005tetor, 2007(rishikim)

Matricat

A =

a11 a12 a13 …a1n

a21 a22 a23…a2n

am1 am2 am3 …amn

a23

Tregon rreshtin

Tregon kolonën

A

B

X

…

K

J

I

HGFE

DC

YZ

Rreshtat e matricës

Kolonat e matricës

Matrica është një bashkësi e elementeve të renditura në rreshta dhe

shtylla (kolona)

Mbledhja e dy matricave

A=2 -1

3 4B=

-3 -2

3 0

2 -1

3 4

-3 -2

3 0A + B= =

=-1 -3

6 4

+

2+(-3) -1+(-2)

3+3 4+0

Kujdes! –Mund ti mbledhim vetëm

matricat e rendit të njëjtë!

I mbledhim numrat me ngjyrë të njejtë!

Zbritja e dy matricave

A=2 -1

3 4B=

-3 -2

3 0

A - B=2 -1

3 4-

-3 -2

3 0=

2-(-3) -1-(-2)

3-3 4-0=

5 1

0 4=

Kujdes! –Mund ti zbresim vetëm

matricat e rendit të njëjtë!

I zbresim numrat me ngjyrë të njëjtë

Trego se cilat shumëzime janë të mundshme

1 3 4

1 5 6*

1 -4 12

2 7 4

3 0 -5

=A mund të shumëzohen këto dy matrica? Le ti

analizojmë!

Nëse elementet e një rreshti nga matrica e parë

janë të barabarta me me numrin e elementeve të një kolone nga matrica e dytë!

Numrojmë sa elemente i ka marica e parë në

rresht.

Numrojmë sa elemente i ka matrica

e dytë ne kolonë.

Mund ti shumëzojmë ato dy

matrica!

Trego se cilat shumëzime janë të mundshme

1 3 4

1 5 6*

1 -4 12

2 7 4=

A mund të shumëzohen këto dy matrica? Le ti

analizojmë!

Nëse numri i elementeve të një rreshti nga matrica e

parë janë të ndryshëm me me numrin e elementeve të një kolone nga matrica e dytë!

Numrojmë sa elemente i ka marica e parë në

rresht.

Numrojmë sa elemente i ka matrica

e dytë ne kolonë.

S’mund ti shumëzojmë ato dy

matrica!

Shumëzimi i dy matricave

A=2 -1

3 4B=

-3 -2

3 0

A * B=2 -1

3 4*

-3 -2

3 0

=2*(-3) + (-1)*3 2*(-2) + (-1)*0

3*(-3) + 4*3 3*(-2) + 4*0=

=- 6- 3 - 4- 0

- 9+12 - 6+0=

-9 -4

3 -6

I shumëzojmë numrat me ngjyrë të njëjtë

Shumëzimi i matricës me një

skalar

A=2 -1

3 4Si skalar le të jetë numri 5

5*A=2 -1

3 4=5* =

10 -5

15 20

5*(-1)5*2

5*3 5*4A* 5=

Është njësoj!

D.m.th., numri 5 i shumzëzon të gjithë anëtarët e matricës!

Plotësimi i matricës me anëtarë

A=

a21=a12=

a13=

a11=

a22=

a23=

a31= a32=

a33=

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

A=

6 3 0

1 8 -2

-1 10 2

Nga ne kërkohet që ti plotësojmë me numra hapësirat e zbrazta, të

ngjyrosura me të verdhë!

Forma e përgjithshme e matricës së rendit të tretë!

Shembull:

Njehsoni katrorin e matricës

A=

-2 3 0

1 4 2

5 0 -1

2

=

-2 3 0

1 4 2

5 0 -1

-2 3 0

1 4 2

5 0 -1

* =

= =-2*(-2)+3*1+0*5 -2*3+3*4+0*0 -2*0+3*2+0*(-1)

1*(-2)+4*1+2*5 1*3+4*4+2*0 1*0+4*2+2*(-1)

5*(-2)+0*1+(-1)*5 5*3+0*4+(-1)*0 5*0+0*2+(-1)*(-1)

=

7 6 6

12 19 6

-15 15 1

2

Gjeni të panjohurat!

Duke u nisur nga kushti që dy matricat e mëposhtme të jenë të barabarta, të gjenden të panjohurat x dhe a.

x -2

-1 2a=

3 -2

-1 2

Për të qenë matricat e barabarta duhet që numrat me ngjyra të

njëjta të jenë të barabartë

x=3

2a=2 a=2/2 a=1

2=2

-1=-1

Definimi i përcaktorëve

2 -1 3

5 6 11A=

Matrica s’është katrore. S’ka përcaktor.

2 -1 3

5 6 11

-3 7 1

A=

Matrica është katrore. Mund t’ia gjejmë përcaktorin.

|A| =

2 -1 3

5 6 11

-3 7 1

=

Dmth. Ekziston një numër që e përcakton tërë matricën katrore.

|A| Ose detA

Janë dy mënyrat e shënimit të përcaktorit/determinantës

2X3

3X3

Përcaktorët e rendit të dytë

|A|=- 2 1

0 - 3

+

-

= -2*(-3) - 0*1 = 6- 0 = 6

Ky është numri që e përcakton apo determinon matricën katrore

|B|=x a

2 - 3

+

-

= x*(-3) - 2*a = -3x- 2a

Përcaktorët e rendit të tretë

|A|= =

Duke zbatuar metodën e plotësve algjerbrik dhe sipas reshtit të dytë të zgjidhet përcaktori

- 2*0 -1

5 2

a21

Meqë 2+1=3 dmth numër tek atëherë para 2 e kemi

– (minus)

+(-1)*1 -1

7 2+0*

1 -1

7 2=

=

a22 a23

-2*(0+5) -1*(2-7) +0 = -10+5=-5

1 0 -1

2 -1 0

7 5 2

Metoda e Sarusit dhe e trekëndëshit

A=2 3 0

3 -1 7

0 1 4

2 3

3 -1

0 1

=

+

-

x1+ x2- 2x3+ x4= 2

3x1+ 4x2+ x3+2x4 = 3

3x1 +3x2 - x3 -3x4 = 02x1 - x2+ 5x3 -3x4 = 5

-3x1 - 3x2 +6x3 -3x4= -6+

x1+ x2- 2x3+ x4= 2 x2 +7x3 - x4 = -3 -3x2 +9x3 - 5x4 = 1

5x3 - 6x4 = 6

I/(-3)3x1+ 4x2+ x3+2x4 = 3

x2 + 7x3 - x4 = -3

-2x1 - 2x2 + 4x3 - 2x4= -42x1 - x2+ 5x3 - 3x4 = 5

I/(-2)

-3x2 +9x3 - 5x4 = 1

-3x1 - 3x2 +6x3 -3x4= -6I/(-3)

3x1 +3x2 - x3 - 3x4 = 0

5x3 - 6x4 = 6

Ekuacionin e parë e shumëzojmë me një numër në mënyrë që kur ta mbledhim me ekuacionin e dytë mu eliminu variabla x1

Ekuacionin e parë e përshkruajmë

Ekuacionin e parë e shumëzojmë me një numër në mënyrë që kur ta mbledhim me ekuacionin e tretë mu eliminu variabla x1

Ekuacionin e parë e shumëzojmë me një numër në mënyrë që kur ta mbledhim me

ekuacionin e katërtë mu eliminu variabla x1

IIIIIIIV

Metoda e Gaussit

3x2 +21x3 - 3x4 = -9II/ 3 -3x2 +9x3 - 5x4 = 1 30x3 - 8x4 = -8

x1+ x2- 2x3+ x4= 23x1+ 4x2+ x3+2x4 = 3

3x1 +3x2 - x3 -3x4 = 02x1 - x2+ 5x3 -3x4 = 5

x1+ x2- 2x3+ x4= 2 x2 +7x3 - x4 = -3 -3x2 +9x3 - 5x4 = 1

5x3 - 6x4 = 6

x1+ x2- 2x3+ x4= 2 x2 +7x3 - x4 = -3 30x3 -8x4 = -8

Ekuacionin e parë e përshkruajmëEkuacionin e dytë e përshkruajmë

Ekuacionin e dytë e shumëzojmë me një numër në mënyrë që kur ta mbledhim me ekuacionin e tretë mu eliminu variabla x2

Ekuacionin e katërtë nuk ka fare variabël x2 prandaj veç e

përshkruajmë

5x3 - 6x4 = 6

x1+ x2- 2x3+ x4= 23x1+ 4x2+ x3+2x4 = 3

3x1 +3x2 - x3 -3x4 = 02x1 - x2+ 5x3 -3x4 = 5

x1+ x2- 2x3+ x4= 2 x2 +7x3 - x4 = -3 -3x2 +9x3 - 5x4 = 1

5x3 - 6x4 = 6

x1+ x2- 2x3+ x4= 2 x2 +7x3 - x4 = -3 30x3 -8x4 = -8

5x3 - 6x4 = 6 Ekuacionin e parë e përshkruajmëEkuacionin e dytë e

përshkruajmëEkuacionin e tretë e përshkruajmë

Ekuacionin e tretë ose të katërtë e shumëzojmë me një numër në mënyrë

që kur ti mbledhim në mes vete mu eliminu variabla x3

30x3 - 8x4 = -8 -30x3 +36x4 = 36IV/(- 6)

28x4 = 28 x1+ x2- 2x3+ x4= 2 x2 +7x3 - x4 = -3 30x3 -8x4 = -8

28x4 = 28

x1+ x2- 2x3+ x4= 23x1+ 4x2+ x3+2x4 = 3

3x1 +3x2 - x3 -3x4 = 02x1 - x2+ 5x3 -3x4 = 5

x1+ x2- 2x3+ x4= 2 x2 +7x3 - x4 = -3 -3x2 +9x3 - 5x4 = 1

5x3 - 6x4 = 6

x1+ x2- 2x3+ x4= 2 x2 +7x3 - x4 = -3 30x3 -8x4 = -8

5x3 - 6x4 = 6

x1+ x2- 2x3+ x4= 2 x2 +7x3 - x4 = -3 30x3 -8x4 = -8

28x4 = 28

28x4 = 28IVx4 = 28/28 = 1x4 = 1

III 30x3 -8x4 = -830x3 = -8 + 8x4

30x3 = -8 + 8*1

30x3 = -8 + 8

30x3 = 0 x3 = 0/30=0

II x2 = -3 -7x3 + x4

x2 = -3 -7*0 + 1

x2 = -2

I x1= 2 - x2 + 2x3 - x4

x1= 2 –(-2)+ 2*0 - 1 x1= 2 +2 - 1 x1= 3

x3 = 0

IIIIIIIV

Fillojmë prej ekuacionit të IV

Sistemet homogjene

Të zgjidhet sistemi homogjen

x + 2y + z = 03x - 5y + 3z = 02x + 7y – z = 0

Meqë të gjitha kufizat e lira të sistemit (dmth, pjesa pas barazimit) janë të barabarta me 0

(zero), për këtë arsye sistemi quhet homogjen!

Rasti kur D ≠ 0

D=

1 2 1

3 -5 3

2 7 -1

1 2

3 -5

2 7

=

+

-

5+12+21+10-21+6= 33

D = 33 ≠ 0Meqë

Sistemi ka vetëm zgjidhje triviale x=0, y=0 dhe z=0.

Rasti kur D = 0

3x + y + 2z = 0x + 2y + 3z = 0

4x + 3y + 5z = 0

D=

3 1 2

1 2 3

4 3 5

3 1

1 2

4 3

=

+

-

30+12+6-16-27-5=0

D = 0Meqë

Sistemi ka edhe zgjidhje tjera përveç zgjidhjes triviale x=0, y=0 dhe z=0.

x + 2y = - 3z 3x + y = - 2z

D=3 1

1 2= 5 Dx=

-2z 1

-3z 2= -z

Dy=3 -2z

1 -3z

= -7z

X=Dx

D

-z

5= Y=

Dy

D

-7z

5=

E gjejmë determinanten e sistemit dhe e shqyrtojmë

se me sa është baraz!

Ekuacionet matricoreTë zgjidhet ekuacioni matricor, dmth të gjendet matrica X: 2X+5E = 3A

A=3 2 0

0 1 -2

1 4 -1

E=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

2X = 3A - 5E =

3*

3 2 0

0 1 -2

2 4 -1

- 5*1 0 0

0 1 0

0 0 1

=

9 4 0

0 3 -6

6 12 -3

-5 0 0

0 5 0

0 0 5

=

4 4 0

0 -2 -6

6 12 -8

=

I zbresim numrat me ngjyrë të njëjtë nga të

dy matricat.

2X =

4 4 0

0 -2 -6

6 12 -8

Duhet ta gjejmë veç matricën X sa është.

X =

4 4 0

0 -2 -6

6 12 -8

=4/2 4/2 0/2

0/2 -2/2 -6/2

6/2 12/2 -8/2

=2 2 0

0 -1 -3

3 6 -4

1

2

Të zgjidhet ekuacioni matricor

x² -2 21 -1 14 2 1

= 2

x² -2 21 -1 14 2 1

=

x² -2

1 -1

4 2

2

Përcaktorin e zgjedhim duke përdorur metodën e Sarusit ( duke i

shtuar dy kolonat e para

- x² - 8 + 4 + 8- 2x²+ 2 = 2

-3x²+ 6 = 2-3x² = 2 - 6 - 3x² = - 3

x² = 1x = ±√ 1x = ± 1

Katrori kur të del në anën tjetër të barazimit bëhet rrënjë katrore!

Në qoftë se f(x)= 2x - 34 + x

të njehsohet f(-2), f(0) dhe f(3).

f(-2)= 2(-2) - 34 + (-2) =

- 4 - 34 - 2 =

-72

f(0)= 2*0 - 34 + 0 =

0 - 34 + 0 =

-34

f(3)= 2*3 - 34 + 3 =

6 - 34 + 3 =

37

Zgjidhje: 2x - 34 + x

f(x)=Ku kemi x

zëvendësojmë -2Ku kemi x zëvendësojmë 0

Ku kemi x zëvendësojmë 3

Funksionet

Te paraqitet grafikisht funksionit linear: f(x)= 2x+3

Si ta gjej grafikun e këtij funksioni se?

E kam një ide!Së pari e bëjmë paraqitjen tabelare

x - 2 -1 0 1 2

y

f(-2)= 2(-2) +3 = -4+3= -1

f(x)= 2x+3

-1

Ku kemi x zëvendësojmë -2

Ku kemi x zëvendësojmë -1

f(-1)= 2(-1) +3 = -2+3= 1 1

Vlerat e x-it i marrim të çfarëdoshme!

f(0)= 2(0) +3 = 0+3= 33


f(1)= 2 *1 +3 = 2+3= 55


f(2)= 2*2 +3 = 4+3= 7 7


Ehh, tash e bëjmë paraqitjen grafike

Funksionet

Te paraqitet grafikisht funksioni: f(x)= 2x+3

Ehh, tash e bëjmë paraqitjen grafike

x - 2 -1 0 1 2

y -1 1 3 5 7

f(x)=

2x+

3

I bashkojmë pikat e gjetura në tabelë dhe lakorja qe i lidhë ato pika është grafiku i funksionit

Funksioni linear e ka grafikun drejtëz!

Të konstruktohet grafiku i funksionit kuadratik:

Vëmendje! Së pari i gjejmë zerot e funksionit kuadratik e pastaj edhe pikën e kulmit.

Zgjidhje:

Zerot e funksion-it janë pikat ku lakorja e prek boshtin x. I gjejmë me

anë të formulës x1/2

x =-b

2a Me anë të kësaj e gjejmë pikën e kulmit të funksionit!

=-(-3)

2*1 =

3

2Tash e gjejmë sa është vlera e funksionit në x=3/2

Prej nga e formojmë tabelën:

x 2 1 3/2

y 0 0 -1/4

Janë zerot e funksionit!

Është kulmi i lakores

Tash e vizatojmë lakoren e funksionit kuadratik e cila është parabolë

0232 xx

a

acbbx

2

42

2/1

12

214)3()3( 2

2/1

x

2

13

2

13

2

8932/1

x

22

4

2

132/1

x

12

2

2

132/1

x

22

33

2

3)(

2

xf

4

1

4

81892

2

9

4

9)(

xf

23)( 2 xxxf

x 2 1 3/2

y 0 0 -1/4

Ja se si duket grafiku i funksionit kuadratik

3/2

-1/4

“Kulmi” i parabolës

Vlerat nga tabela i paraqesim me radhë në

sistem koordinativ!

23)( 2 xxxf

Diçka për funksionin kuadratik…

• Kur a>0 funksioni ka formën:• Kur a<0 funksioni ka formën:

• Kur x1 dhe x2 janë vlera reale atëherë funksioni ka zero (d.m.th. grafiku e prekë boshtin x)

• Kur x1 dhe x2 janë vlera komplekse, funksioni s’ka zero (d.m.th. grafiku se prekë boshtin x)

• Kur x1 dhe x2 janë të barabarta atëherë grafiku e prek boshtin x në një pikë dhe poashtu ka kulm në po atë pikë!

Grafiku i funksionit kuadratik gjithmonë është parabolë

Të gjendet zona e përkufizimit të funksionit:

Zgjidhje:

Duhet ti gjejmë vlerat e x-it për të cilat vlera, emruesi i thysës

bëhet zero!

Pra,

0 1 2 3-1-2

x=0Për x=0 funksioni s’ka kuptim!

Prej nga; zona e përkufizimit të funksionit është:

- ∞ + ∞

Dmth pika 0 nuk përfshihet!

x

xxf

2

3)(

)0,(x ),0(

02 x

02

0x

Të njehsohet limiti i funksionit )573(lim 2

2

xx

x

Zgjidhje:

)573(lim 2

2

xx

x


52723 2 351412 Pra, 3 është limiti i

funksionit në pikën x=2

Të njehsohet limiti i funksionit 2

57lim

2

3

1

x

xxx

Zgjidhje:

2

57lim

2

3

1

x

xxx 21

51712

3

3

1


Pra, -1/3 është limiti i funksionit në pikën x=1

Të gjenden asimptotat e funksionit:2

)(2

x

xxf

Zgjidhje:

Asimptota horizonatale:

Lxfx

)(lim

2

lim2

x

xx

xx

xx

x

x 2lim

2

x

xx 2

1lim

101 Meqë limiti është ∞, kjo do të thotë se funksioni nuk ka asimptotë horizontale!

Asimptota vertikale:

)(lim0

xfxx

2

lim2

0 x

xxx

2

lim2

2 x

xx

0

4

22

22Meqë limiti është ∞, kjo do të

thotë se funksioni ka asimptotë vertikale në pikën

x=2

L është numër!

Pjestojmë me fuqinë më të madhe të x-it në emërues

X0 është pika ku funksioni s’është i përkufizuar!


=0

Asimptota e pjerrët:

lkxy

x

xfk

x

)(lim

kxxfl

x

)(lim

xx

x

kx

2lim

2

xx

xx 2lim

2

2

22

2

2

2

2lim

x

x

x

xx

x

x

x

x 21

1lim 1

1

1 k=1

]12

[lim2

xx

xl

x

2

2lim

22

x

xxxx

2

2lim

x

xx

xx

xx

x

x 2

2

lim 21

2 l=2

lkxy 2x

Pjesëtojmë me fuqinë më të madhe të x-it në emërues

=0

Pjesëtojmë me fuqinë më të madhe të x-it në emërues

=0

Është asimptotë e pjerrtë

Paraqitja grafike e asimptotave:

Njehsoni asimptotat e grafikut të funksionit:

4

1)(

x

xf

Asimptota horizonatale:

Asimptota vertikale:

Lxfx

)(lim

)(lim0

xfxx

4

1lim

xx

xx

xx

x

xx

xx 4

1

lim4

1

lim 01

04

1

1

lim

x

xx

0x

0x është pika ku funksioni s’është i përkufizuar

Konkretisht: 40 x040 x

4

1lim

4 xx

0

1

44

1

d.m.th., y=0 është asimptotë

horizontale

Pra, vërtetuam se drejtëza x=4 është asimptotë vertikale

Asimptota e pjerrët: Nuk ka asimptotë të pjerrët meqë ka

asimptotë horizontale!

Asimptota horizontale: S’ka!

Asimptota vertikale: x=2

Asimptota e pjerrtë: y=x-2

x=2

x - 2 -1 0 1 2

y = x -2 -4 -3 -2 -1 0

y=x-2

Njehsoni derivatin e funksionit 3257)( 23 xxxxf

)(xf

322537 111213 xxx

)3257( 23 xxx

021021 2 xx

Gjithmonë fuqinë për 1 e zbresim!

Derivati shënohet me presje (‘)

21021 2 xx

X në fuqinë 0 është =1

Derivati i çdo numri është 0

=0

Njehsoni derivatin e funksionit )57)(32()( 2 xxxf

vuvuvu Kur kemi shumëzim të dy funksioneve, derivatin e njehsojmë me anë të kësaj formule

)(xf )32[( x )32( x )57( 2x )57( 2 x)32( x

xxx 14)32()57(2 2 xxx 42281014 22 104242 2 xx

])57( 2 x=0 =0

2v

vuvu

v

u

Njehsoni derivatin e funksionit 43

32)(

x

xxf

2)42(

)43)(32()43(32

x

xxxx

43

32)(

x

xxf

2)42(

3)32()43(2

x

xx

2)42(

9686

x

xx2)42(

17

x

=0 =0

Të gjenden intervalet e monotonisë së funksionitx

xy

12

Së pari gjejmë derivatin e parë

x

xy

12

2

22 11

x

xxxx2

2 12

x

xxx 2

22 12

x

xx

2

2 1

x

x

Gjejmë zerot e derivatit të parë

0y

01

2

2

x

x

012 x

12 x

1x

u’ v u v’-

v²

=0 =1

Kur vetëm A=0!0B

A

Formojmë tabelën me zero të f’(x) dhe pika ku s’është i përkufizuar funksioni

x

f’(x)

f(x)

+4

3

4

14

)2(

1)2()2(

2

2

f

-

-31

3

4

14

41

4

1

14

1

)2

1(

1)2

1(

)2

1(

2

2

f

31

3

4

14

41

4

1

14

1

)2

1(

1)2

1(

)2

1(

2

2

f

4

3

4

14

)2(

1)2()2(

2

2

f +

E shqyrtojmë shenjën e derivatit të parë!

0)( xf

0)( xf

0)( xf

21

2

1

11

1

1)1()1(

2

f

21

2

1

11

1

11)1(

2

f

-2

2

Funksioni s’është i përkufizuar për x=0

-2 është n

ë mes(-

∞, -1)

-1/2 është në mes (-1, 0)

1/2 është në mes (0, 1)

2 është në mes(1, +

∞)

(-∞, -1) -1 (-1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, +∞)

Funksioni është rritës

Funksioni është zvogëlues

Funksioni është konstant

0 0

x= -1 është zero e f’(x)x=1 është zero e f’(x)

Pikat ekstreme të funksionit

x (-∞, -1) -1 (-1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, +∞)

f’(x) + 0 - - 0 +

f(x) -2 2

Janë pikat ekstreme të funksionit!Max (-1, -2) Min (1, 2)

Le ti paraqesim grafikisht!

Max

Min

x=0 dhe y=x janë asimptota!

matematike

Education