Matematikkens Videnskabsteori i Gymnasiet

7. September 2010Gl. Hellerup Gymnasium

Terese M. O. NielsenRoskilde Katedralskole

Matematikkens Videnskabsteori

• Matematikkens videnskabsteori som forskningsfelt og i gymnasiet

• To niveauer af beskrivelse: udefra og indefra

• Traditionel opbygning af matematisk teori– Axiom, definition, sætning, formodning,

eksempel

• Matematikkens metoder• Oplæg til diskussion

Matematikkens Videnskabsteori

Matematikkens filosofi som forskningsfelt

Hvad er matematik – matematikkens identitet:

• Hvad er matematikkens objekter?

(Fysiske, mentale, kulturskabte …?)

• Hvordan opnår vi viden i matematik

(Sanse-erfaring, selv-indsigt, logik, intuition om abstrakte objekter …?)

Matematikkens videnskabsteoriFra læreplanen i Matematik (A)”Faglige målEleverne skal kunne– demonstrere viden om fagets identitet og metoder”

Fra læreplanen i AT”Faglige målEleverne skal kunne– vurdere de forskellige fags og faglige metoders muligheder og begrænsninger

i forhold til den konkrete sag– demonstrere indsigt i videnskabelig tankegang og gøre sig elementære

videnskabsteoretiske overvejelser i forhold til den konkrete sag.…Synopsen skal indeholde– diskussion af, hvilke materialer, metoder og teorier der er relevante i arbejdet

med underspørgsmålene”

Identitet og metoderTo niveauer af forklaringer:

1) Overordnet niveau- HELE matematikken- ALLE metoderMatematikken set udefra.Forklaret til den oplyste lægmand.

2) Internt niveau- Dele af matematikken- Metoder i bestemt sammenhængMatematikken set indefra.Forklaret til person med sammenligneligt kendskab til matematik.

Matematikkens identitet – set udefra

• Læren om tal og former (platonisme?)• En delmængde af logikken (logicisme)• En mere abstrakt version af naturvidenskab.

”Fysik uden enheder”. (fysikalisme)• Et sprog • Et værktøj til naturbeskrivelse (nominalisme)• Et spil (formalisme)• Læren om mønstre og strukturer (strukturalisme)• Læren om rammer for menneskelig tænkning

(intuitionisme)…fortsæt selv listen

Matematikkens identitet

Historie- Opstået ud fra overvejelser om tal og formerGenstandsområde- Hverken naturen eller kulturen?Metoder- Ikke eksperimentiel og ikke fortolkende?

Min påstand: Matematikkens identitet (nu, i gymnasiet) består i

kravet til stringent argumentation

Matematisk teori er to-delt

AxiomDefinition

LemmaSætningKorollar

Euklids Elementer som ideal.

Grundlag”det, vi baserer udledningen

på”

Overbygning”det vi udleder”

Relationer er af typen ”medfører” og går kun fra Axiomer og Definitioner til Sætninger, aldrig omvendt.

Typisk lærebog i gymnasiet3e MA bruger Vejen til Matematik A2

Kapiteloverskrift: Integralregning- Matematisk deldisciplinDefinition: Stamfunktion- Centralt begrebEksempler: x2 er stamfunktion til 2x- Centralt begreb i konkrete sammenhængeSætning1: Konstantregel for integrationØvelseSætningSætningAnvendelserOpgaver

Centrale begreber:”teori” ifølge Fremmedordbogen

teo’ri –en, -er (gr. theo’ria betragtning …) systematisering af bekræftede erfaringer på et vist område

af den objektive virkelighed som den afspejler sig, og hvis forløb den kan forklare og forudsige;

Naturvidenskabet fags, en videnskabs system af læresætninger; Matematikforståelsesramme; Humaniora, samfundsvidenskabtankemæssigt kendskab til en sag (mods. praksis). Dagligdag

Centrale begreber i matematik-beskrivelse

Teori: matematisk disciplin

- geometri, algebra, analyse, statistik, …

- netværk af udsagn, knyttet sammen af logiske relationer, på grundlag af priviligerede udsagn (aksiomer, definitioner og tidligere beviste sætninger)

Centrale begreber i matematik-beskrivelse

Definition: navngivning, dåbshandling- sand pr. konvention- tillægger en mening til et symbol, der ikke i forvejen har

en mening- kan og skal ikke bevises- spørgsmålet ”hvorfor?” er meningsløst- kan ikke være et eksistensudsagn

Eksempel: En trekant, hvor en af vinklerne er større end en ret vinkel,

kaldes stumpvinklet.0!=1 - kan motiveres, men ikke udledes

Centrale begreber i matematik-beskrivelse

Aksiom- sand pr. konvention (formalisme) eller - sand fordi den korrekt beskriver et abstrakt domæne

(platonisme). (Find selv på flere)- kan og skal ikke bevises- sammenknytter termer, der i forvejen har mening- kan godt være en eksistenspåstand- Spørgsmål om ”hvorfor?” er meningsfulde, men besvares med

”sådan er det bare”

Eksempel Axiom of Infinity, Zermelo-Fraenkel mængdelære

)X'Y(:XYXØ:X

Diskussion i arbejdsgruppen

Hviler matematik i gymnasiet på et grundlag af axiomer?

Ser eleverne axiomer?

Er matematik i gymnasiet axiomatisk-deduktiv?

Eksempel

Hvis en delmængde A af de reelle tal er opad begrænset, findes den mindste øvre grænse, supremum(A).

Centrale begreber i matematik-beskrivelse

Sætning- en sætning er et sandt udsagn- en sætning følger v.h.a. deduktion fra allerede kendte

udsagn- en sætning kan og skal bevisesI gymnasiet. Dette er problematisk jf. Gödel- en sætning sammenknytter begreber, der i forvejen har

mening- Spørgsmålet ”hvorfor?” er meningsfuldt og besvares

med et bevis- er ofte på formen ”hvis forudsætninger så konklusion”.

Konklusionen er ofte en formel (i gymnasiet).- er generel – dækker mange tilfælde

Centrale begreber i matematik-beskrivelse

Bevis- argument i matematisk fagsprog- kæde af sammenhængende påstande, der

dokumenterer, at en sætning er sand- tjener til at overbevise tilhøreren om, at man ville

kunne lave en formel, logisk udledning af sætningen

Efter Tereses mening: dét træk ved matematik, der giver fagets dets identitet i gymnasiet.

Centrale begreber i matematik-beskrivelse

Deduktion- udledning i overensstemmelse med logiske

slutningsregler- vi underforstår de logiske slutningsregler

Eksempel på logisk slutningsregel (modus ponens)PHvis P, så QAltså Q

Forskellige systemer~(~P) er ækvivalent med P i klassisk logik, men ikke i

intuitionistisk logik

Diskussion blandt Roskilde Katedralskoles matematiklærere

Er sætningerne sande, fordi axiomerne er sande (Euklid)?

Er axiomerne velvalgte, fordi de giver anledning til ’de rigtige’ sætninger (Russell)?

Centrale begreber i matematik-beskrivelse

Formodning eller hypotese- er et udsagn, hvis sandhedsværdi er ukendt- kandiderer til at blive bevist- sammenknytter begreber der i forvejen har mening

EksemplerGoldbachs formodning: ethvert lige tal kan skrives som en

sum af to primtalFermats sidste sætning (før 1994)Alle fuldkomne tal er lige

Centrale begreber i matematik-beskrivelse

Eksempel (/øvelse/opgave)

- anvendelse eller illustration af generel formel eller sætning

- specifikt regnestykke eller specifik graf eller figur – i kontrast til generel lovmæssighed eller sætning

Centrale begreber i matematik-beskrivelse

Model- typisk en eller flere ligninger (eller uligheder)

og/eller figurer, der angiver sammenhænge mellem størrelser, sammen med

- en ’parlør’ for oversættelse til størrelser fra en anden kontekst (’virkeligheden’) og

- måske en angivelse af definitionsmængde for størrelserne, der afspejler ’virkeligheden’

Definiton-Axiom-SætningDefinition Axiom Sætning

Udsagn er ikke et udsagn er et sandt udsagn er et sandt udsagn

Mulige sandheds-værdier

kan umuligt være falsk

kunne være falsk kunne være falsk

Tidslig sandhedsværdi

er sand fra den bliver vedtaget

er altid sand er altid sand

Bevisbarhed kan ikke bevises kan ikke bevises kan bevises (?)

Tomme tegn eller meningsfulde tegn

handler om tegn, der ikke har en mening på forhånd

handler om begreber med en fast mening

handler om begreber med en fast mening

Centrale begreber:”metode” ifølge Fremmedordbogenme’tode –n, -r (lat. me’thodus, gr. ’methodos

undersøgelsesmåde, af me’ta efter + hodos vej)planmæssig fremgangsmåde, systematisk

procedure

- hvad som helst der ikke er tilfældigt!

”Metode” betyder ofte anvendelse af et eller flere teoretiske resultater.

”Jeg bruger sætning 2.3 på side 85 i bogen”

To niveauer af metoderRen matematik Anvendt

matematik

Overordnet niveau –”Den matematiske Metode”

Bevisførelse Beregning

Modellering

Internt niveau

- Forudsætter kendskab til begreber

Modstridsbevis vs. direkte bevis

Geometrisk vs. algebraisk bevis

Induktionsbevis

Tretrinsreglen

osv

Lige store koefficienters metode

Optimering

Ligningsløsning

Diskriminant-metoden

osv

Oplæg til diskussion

Hvad forventer vi, at eleverne kan sige om matematikkens identitet?

Overordnet niveau:”Matematik er en deduktiv videnskab” vs.

Internt niveau:”Jeg har brugt statistik, fordi jeg skulle behandle et stort

talmateriale”

Hvordan underviser vi dem i matematikkens identitet?

Oplæg til diskussion

Hvad forventer vi, at eleverne kan sige om matematikkens metoder?

”Matematikken er en deduktiv videnskab””Matematik hviler på ræsonnementer””Jeg beviser sætningen ved at anvende tretrinsreglen”

Hvilke typer spørgsmål stiller vi som test af, om de har kendskab til elementær videnskabsteori?

”Hvad er matematik?””Hvad er forskellen på matematik og fysik?””Hvorfor kan matematik bruges her?”