1

GENEROLO JONO ÞEMAIÈIOLIETUVOS KARO AKADEMIJA

Algirdas Aþubalis

MATEMATIKOS DIDAKTIKA LIETUVOSPEDAGOGINËJE PERIODIKOJE

(1945�1990 m.)

Monografija

Vilnius 2005

2

Recenzavo:Klaipëdos universiteto docentë, socialiniø mokslø (edukologijos) daktarëDanutë Èesnauskienë, Vilniaus pedagoginio universiteto docentas JonasTeiðerskis.

Monografija apsvarstyta ir jos leidimui pritarta Ðiauliø universitetoMatematikos didaktikos katedros posëdyje 2001-04-09 (prot. Nr. 8) beiGenerolo Jono Þemaièio Lietuvos karo akademijos Humanitariniø moksløkatedros posëdyje 2004-01-19 (prot. Nr. VN�25(4)).

Atsakingasis redaktorius Generolo Jono Þemaièio Lietuvos karo akademijosdocentas, humanitariniø mokslø (istorijos) daktaras Feliksas Þigaras.

© Algirdas Aþubalis, 2005

© Generolo Jono Þemaièio Lietuvos karo akademija, 2005

UDK 51(474.5)(091)Aþ-07

ISBN 9955-423-39-0

Monografijoje atlikta bendroji Lietuvos visuomenës, mokyklos irmatematikos mokymo joje bûklës 1940�1990 m. analizë. Iðnagrinëti 181pradinës matematikos didaktikos straipsnis ir 341 straipsnis apie matematikosmokymà dalykø sistemoje, paskelbti Lietuvos pedagoginëje periodikoje 1945�1990 m. Pateikta 114 vadovëliø, kitø matematikos didaktikos knygø beiaktyviausiø straipsniø autoriø biografijø. Monografija skirta pradiniø klasiø irmatematikos mokytojams, atitinkamø specialybiø studentams, magistrantamsir doktorantams bei matematikos didaktikos dëstytojams.

3

TURINYS

Pratarmë ...................................................................................................... 71. Lietuvos visuomenë, mokykla ir matematika joje 1940�1990 m. ......... 11

1.1. Bendroji Lietuvos visuomenës ir mokyklos bûklë ................... 111.2. Ðvietimo vystymo bei reformø teigiamieji ir neigiamieji

bruoþai pokario Lietuvoje ........................................................... 201.3. Apie matematikos vadovëlius ir kità mokomàjà literatûrà ..... 30

1.3.1. Bendros pastabos........................................................... 301.3.2. Pradiniø klasiø (skyriø iki 1949 m.) matematikos vadovëliai ....................................................................... 321.3.3. Dalykinës sistemos aritmetikos (nuo 1971 m. IV�V

klasiø matematikos) vadovëliai ir uþdavinynai .......... 321.3.4. Þemesniøjø klasiø algebros vadovëliai ir

uþdavinynai .................................................................... 331.3.5. Geometrijos vadovëliai ir uþdavinynai

þemesniosioms klasëms ................................................ 331.3.6. Algebros vadovëliai ir uþdavinynai

baigiamosioms klasëms ................................................ 351.3.7. Geometrijos vadovëliai ir uþdavinynai

baigiamosioms klasëms ................................................ 351.3.8. Trigonometrijos vadovëliai ir uþdavinynai .................. 361.3.9. Kita matematinë literatûra mokyklai .......................... 36

1.4. Matematikos mokymo diferencijavimo idëjos realizavimas Lietuvoje ................................................................ 38

1.5. Pradiniø klasiø ir matematikos mokytojø rengimas. Jø darbo sàlygos ............................................................................ 45

1.6. Pedagoginë periodika pokario Lietuvoje .................................. 48

2. Pradinës matematikos didaktika Lietuvos pedagoginëje periodikoje 1954�1990 m. ......................................................................... 65

2.1. Matematikos pamoka pradinëje mokykloje ............................. 652.2. Matematikos savarankiðkø darbø organizavimas

pradinëse klasëse ......................................................................... 71

4

2.3. Matematikos mokymo pradinëse klasëse vaizdumas .............. 752.4. Psichologiniai pradinio matematikos mokymo klausimai.

Probleminio mokymo elementai pamokose ............................. 822.5. Pradinio matematikos mokymo individualizavimas ir

diferencijavimas. Programuoto mokymo elementø taikymas ....................................................................................... 92

2.6. Pradinës matematikos mokymo ryðio su gyvenimu realizavimas. Dalykø ryðiai ........................................................ 95

2.7. Naujø matematikos mokymo programø ir mokomøjø priemoniø diegimas pradinëse klasëse ..................................... 98

2.8. Uþklasinë matematikos veikla pradinëje mokykloje. Ádomioji matematika ................................................................ 101

2.9. Skaièiø ir skaièiavimo mokymas pradinëse klasëse ............... 1062.10. Tekstiniø uþdaviniø sprendimo mokymas

pradinëse klasëse ..................................................................... 1122.11. Matiniø skaièiø, algebros ir geometrijos pradmenø

mokymas pradinëse klasëse .................................................... 1162.12. Mokiniø þiniø ið matematikos kokybë ir jos tikrinimas ...... 1202.13. Matematika vaikø darþelyje ir parengiamojoje klasëje ....... 123

3. Matematikos mokymo V � XI klasëse problemø nuðvietimas Lietuvos pedagoginëje periodikoje 1945�1990 m. ................................ 131

3.1. Matematikos mokytojø pamokinis darbas .............................. 1313.2. Matematikos mokymo metodai. Mokiniø

savarankiðkumo ugdymas .......................................................... 1433.3. Matematikos mokymo vaizdumas............................................ 1523.4. Psichologinës matematikos mokymo problemos.

Probleminis matematikos mokymas ........................................ 1563.5. Mokiniø ir mokytojo matematinë kalba ................................. 1623.6. Matematikos mokymo individualizavimas ir

diferencijavimas. Programuoto mokymo elementai ............... 164

5

3.7. Integracijos (vidinës dalyko ir tarp dalykø) realizavimas mokant matematikos ............................................................... 167

3.8. Matematikos mokymo programos ir vadovëliai ..................... 1763.9. Aritmetikos mokymas ............................................................... 1773.10. Algebros mokymas .................................................................. 1823.11. Geometrijos mokymas ............................................................ 1883.12. Trigonometrijos mokymas ...................................................... 1943.13. Uþklasinë matematikos veikla ................................................ 1963.14. Mokiniø þiniø ið matematikos tikrinimas ir jø kokybë ........ 202

3.14.1. Bendrieji þiniø kontrolës ir kokybës klausimai ...... 2023.14.2. Mokykliniai matematikos egzaminai ...................... 2073.14.3. Stojamieji matematikos egzaminai á aukðtàsias

mokyklas ir technikumus ......................................... 2103.15. Matematikos didaktikos istorija ............................................. 212

Apibendrinimai ir iðvados .......................................................................... 224

Summary ....................................................................................................... 232

Santrumpos .................................................................................................. 233

Literatûra ir ðaltiniai .................................................................................. 234

Asmenvardþiø rodyklë ................................................................................. 263

Vietovardþiø rodyklë .................................................................................... 273

6

7

PRATARMË

,,Historia est magistra vita� (,,Istorija yra gyvenimo mokytoja�) ir ,,His-toriam nescire hoc semper puerum esse� (,,Nemokësi istorijos � visada liksivaikas�) � ðie plaèiai þinomi Antikos iðminèiaus, Romos imperijos politikosveikëjo, oratoriaus, filosofo Marko Tulijaus Cicerono (Cicero, 106 01 03�4612 07 pr. Kristaus g.) posakiai yra itin aktualûs dabartinei Lietuvai, besiren-gianèiai sutikti savojo valstybingumo tûkstantmetá ir patirianèiai treèiojo (ir,duok Dieve) paskutiniojo savo Nepriklausomybës periodo antrojo dvideðimt-meèio pradþios sunkumus, kai daug kà reikia kurti bei pertvarkyti. Todël,manytume, yra bûtina, jog Lietuvos matematikos ir pradiniø klasiø mokyto-jai ar jais besirengiantys tapti studentai, ðiø specialybiø magistrantai ir dok-torantai bei jø dëstytojai, taip pat visø lygiø ðvietimo vadovai, atsakingi uþmatematikos mokymà bei jo reformavimà, gerai iðmanytø Lietuvos mokyk-los ir matematikos mokymo joje istorijà.

Istorija Lietuvai ir lietuviø tautai daþnai, deja, buvo rûsti ir negailestin-ga. Kai kaimyninës Europos valstybës vystë raðtijà ir net mokslà savosiomiskalbomis, Lietuvoje XIV�XVI a. buvo steigiamos vos pirmosios mokyklos.Deja, jos nebuvo lietuviðkos, mokoma jose buvo tuometine dar plaèiai Euro-poje vartota internacionaline ðvietimo ir kultûros kalba � lotynø kalba. Dvie-jø krikðèionybës sroviø � katalikybës ir protestantizmo � tarpusavio konku-rencinëje kovoje XVI a. viduryje gimusi lietuviø raðtija beveik pustreèio ðimt-meèio tenkino tik þemiausio, beveik beteisio Lietuvos gyventojø sluoksnio �valstietijos dvasinius religinius poreikius. Joks bent kiek aukðtesnis moky-mas ar tuo labiau mokslas bei literatûra ðia raðtija naudojantis nebuvo vysto-mi. Iki XVIII a. II pusës Vilniaus universitete (ákurtas 1579 m.) ir negausiosekolegijose (to meto vidurinëse mokyklose) bei parapinëse (to meto pradinë-se) mokyklose buvo mokoma lotyniðkai. Paskutiniame Þeèpospolitos � ben-dros lenkø � lietuviø valstybës � gyvavimo trisdeðimtmetyje (iki 1795 m.) bu-vo palaipsniui pereita prie mokymo valstybine � lenkø kalba, kadangi aukð-tesni uþ valstieèius sluoksniai � miestieèiai, smulkioji bajorija kalbëjo lenkø �gudø � lietuviø kalbø pagrindu susiformavusiu þargonu, o dvasininkija, aukð-tesnioji bajorija ir didikai jau kalbëjo lenkiðkai. Atrodë, kad netolimoje atei-tyje tauta iðnyks, sulenkës. Taèiau Ðvietimo epochos (XVII�XVIII a.) idëjos,

8

suklestëjusios Europoje (o viena ið jø � mokymas gimtàja kalba), pamaþupasiekë ir Lietuvà. Atsirado ið valstieèiø kilusiø ðviesuoliø, ypaè katalikø dva-sininkø, dar ne visai sulenkëjæ buvo ir kai kurie bajorai, ypaè smulkieji (dau-giausia Þemaitijoje). XIX a. pradþioje Þemaièiø vyskupijoje, kurios ganyto-jas buvo kunigaikðtis vyskupas Juozapas Arnulfas Giedraitis (g. 1754 06 29dab. Molëtø raj. Kamarauèiznos dv. � m. 1838 07 17 Alsëdþiuose), ima inten-syviai kurtis parapinës mokyklos, kuriose vis dràsiau imama mokyti ir lietu-viðkai. Ðá darbà energingai tæsë ið valstieèiø kilæs kitas Þemaièiø vyskupasMotiejus Valanèius (g. 1801 02 28 dab. Kretingos raj. Nasrënø k. � m. 1875 0529 Kaune), kurio aktyvios veiklos dëka daugelyje vyskupijos dekanatø (Rie-tavo, Kupiðkio ir kt.) XIX a. VI deðimtmetyje jau buvo ágyvendintas beveikvisuotinis parapinis vaikø mokymas. Pasirodë pirmieji groþinës literatûroskûrinëliai, elementoriai lietuviø kalba. Simonas Daukantas (1793 10 28 dab.Skuodo raj. Kalviø k. � 1864 12 06 Papilëje) buvo pirmasis istorikas, raðæsapie Lietuvos istorijà lietuviø kalba, iðleidæs tautosakos rinkiniø, vadovëliø,iðvertæs ið lotynø ir kt. kalbø pasakø, istoriniø pasakojimø, knygeliø valstie-èiams apie sodininkystæ, bitininkystæ, paðarines þoles, apsaugà nuo gaisrø.Prasidëjo ir matematinis ðvietimas lietuviø kalba: nuo keleto eiluèiø, skirtøaritmetikai pirmuosiuose XIX a. pradþios lietuviðkuose elementoriuose, perðimtà su virðum metø, apëmusiø ir negailestingàjá carizmo inspiruotà spau-dos draudimo laikotarpá (1864�1904), ateita iki aukðtosios matematikos stu-dijø Lietuvos (Vytauto Didþiojo) universitete (toliau � LU, VDU, ákurtas1922 02 16). Kai kurie jo absolventai Vakarø Europos universitetuose apgy-në disertacijas ir tapo pirmaisiais matematikos mokslø daktarais Lietuvoje.Ðis pirmasis Lietuvos matematinio ðvietimo etapas, trukæs apie pusantro ðimt-meèio, jau yra gana plaèiai nuðviestas autoriaus ir kitø tyrinëtojø darbuose[7�9, 209, 318, 413, 507, 566, 739, 741, 748]. Ðio etapo gana brandi ir viltinga,dëjusi gana gerus pagrindus ateièiai, pabaiga sutapo ir su Lietuvos nepri-klausomybës antrojo periodo pabaiga 1940 m.

Iki Nepriklausomybës atgavimo 1990 m. praëjo beveik 50 sunkiø oku-pacijos metø. Taèiau ðvietimas jau nesustabdomai vystësi, tuo labiau kad irpagrindinë okupantë � SSRS buvo suinteresuota likviduoti savo atsilikimànuo modernaus pasaulio. Todël, kad ir kaip þiûrëtumëme á okupacijos laiko-tarpá, turime neuþmirðti, kad viena darbingø þmoniø karta, atëjusi ið Nepri-klausomybës antrojo periodo, jame nugyveno savàjá gyvenimà (tø þmoniødabar likæ labai, deja, nedaug), kita, gimusi Nepriklausomybës antrajamedeðimtmetyje, jau baigia já nugyventi, o treèioji � jau gimë okupacijoje, augo,mokësi ir yra dabar jau daugiau ar maþiau subrendusi dabartinës nepriklau-

9

somos Lietuvos kûrëja. Pastarosios dvi kartos iðsilavinimà ásigijo jau okupa-cijos sàlygomis. Kai kas sugebëjo pasiekti ir dideliø mokslo aukðtumø. Ðtaiðiuo metu Lietuvoje turime vien matematikø su mokslo laipsniais ir vardais284, tarp jø 23 profesorius bei habilituotus daktarus (1999 m. duomenys).Absoliuti dauguma jø bent viduriná iðsilavinimà, o didelë dalis � ir aukðtàjáiðsilavinimà ágijo bei aspirantûrà (dab. doktorantûrà) baigë okupuotoje Lie-tuvoje. Tad matematikos mokymo lygis Lietuvoje, smukæs karo ir pokariometais, gana greitai atsigavo ir vël kilo, kaip ir 1918�1940 m.

Kuo gi prie ðio kilimo prisidëjo pagrindiniai matematinio ðvietimo barødarbininkai � pradiniø klasiø ir matematikos mokytojai? Kas ir kaip jiemstalkino? Á ðá klausimà ir turëtø atsakyti autoriaus atlikti tyrimai, kuriø rezul-tatai jau pateikti autoriaus straipsniuose [197, 199, 200, 203�205, 207, 208,212, 218, 219, 221, 725�729], o iðsamiau turëtø nuðviesti skaitytojo dëmesiuisiûloma monografija.

Pirmajame monografijos skyriuje aptariama bendroji Lietuvos visuo-menës, mokyklos bei matematikos mokymo joje bûklë, vadovëliø bei mate-matiniø knygø leidyba, Lietuvos pedagoginë periodika 1940�1990 m. Antra-jame skyriuje iðanalizuotas 181 straipsnis. Ðie straipsniai, aptarinëjantys pra-dinës matematikos didaktikos klausimus, paskelbti Lietuvos pedagoginëjeperiodikoje 1945�1990 m. Treèiajame skyriuje nagrinëjamas tuo paèiu metupaskelbtas 341 straipsnis, skirtas matematikos mokymui vyresniosiose klasë-se. Kiekvieno skyriaus pabaigoje, iðnaðose, pateikiamos aktyviausiai raðiusiøstraipsnius ar kitaip pasireiðkusiø matematikos mokymo srityje asmenø biog-rafijos (paminëjimo knygoje eilës tvarka). Uþ jas autorius dëkingas miestø irrajonø ðvietimo skyriø bei mokyklø darbuotojams, patiems pedagogams, at-sakiusiems á autoriaus laiðkus ar telefono skambuèius, bei pateikusiems þiniøapie save asmeniniø pokalbiø metu. Praeis deðimtmeèiai, ateis naujos kartosir bus galima suþinoti, kas kûrë Lietuvos mokyklà ir matematikos mokymojoje didaktikà, nes ne viskà fiksuoja enciklopedijos, kiti informaciniai leidi-niai. Beje, kai kurios biografijos paimtos ir ið jø. Tais atvejais jos pateiktoslakoniðkiau, vengiant bereikalingø pasikartojimø. Pateikta ir biografijø as-menø, kuriø vadovëliai buvo iðversti ir vartoti Lietuvoje 1945�1990 m. Yra irkelios mûsø likimo broliø � latviø ir estø � þymiausiø matematikos didakti-kos specialistø, su kuriais bendradarbiavo mûsø pedagogai, biografijos (kiekjø pavyko rasti latviðkose ir estiðkose enciklopedijose bei gauti per asmeni-nius ryðius). Kai kurios biografijos paraðytos pagal archyvø bylas (Vilniauspedagoginio universiteto archyvo � toliau VPUA, Ðiauliø universiteto archy-vo � toliau ÐUA, Pedagogø profesinës raidos centro archyvo � toliau PPRCA).

10

Taèiau daugiausia jø susikaupë autoriaus asmeniniame archyve (toliau � AAA)� laiðkai, pokalbiø medþiaga. Biografijos, kurios paimtos ne ið spausdintøðaltiniø, pateiktos kaip galima plaèiau, stengiantis jø detalëmis paryðkinti kny-goje akcentuojamas mintis. Deja, ne visø aktyvesniøjø straipsniø autoriø biog-rafijos iðsamios. Kai kurie iðvyko ið mokyklø, kuriose dirbdami paskelbëstraipsnius, ar iðëjo á pensijà ir mokyklos jø tolesnio likimo neþino. Kai kurieðvietimo skyriai ir mokyklos á autoriaus laiðkus neatsakë, matyt, jokiø duo-menø apie dirbusius pedagogus jau nebeturi.

Visos aukðtosios, bendrojo lavinimo ir profesinës mokyklos knygoje va-dinamos taip, kaip jos vadinosi apraðomuoju laiku. Tas pats pasakytina irapie kitas ástaigas.

Knygos pabaigoje pateiktos iðvados, reziumë anglø kalba, naudotos li-teratûros ir ðaltiniø sàraðas, asmenvardþiø ir vietovardþiø rodyklës.

Autorius dëkoja recenzentams doc. dr. D. Èesnauskienei ir doc. J. Tei-ðerskiui bei ÐU Matematikos didaktikos katedros vedëjui prof. dr. A. Kise-liovui ir dëstytojams uþ vertingus patarimus bei pastabas.

Kadangi monografijos leidimas dël finansiniø sunkumø uþtruko, auto-rius yra labai dëkingas Generolo Jono Þemaièio Lietuvos karo akademijosvirðininko pavaduotojui ats. plk. doc. dr. P. Jankauskui, Mokslo centro virði-ninkui plk. ltn. dr. G. Surgailiui, Redakcinio skyriaus vedëjui dr. V. Tininiui,Humanitariniø mokslø katedros vedëjai kpt. R. Kazlauskaitei-Markelienei,ðios katedros docentui dr. F. Þigarui, Metodinio kabineto vedëjai R. Gedmi-nienei, suteikusiems veiksmingà pagalbà, uþtikrinusià ðios monografijos pa-sirodymà.

Skaitytojus, pastebëjusius netikslumø, norinèius pateikti kokiø nors pa-pildymø ir pasiûlymø, autorius praðytø siøsti laiðkus savo namø adresu: A.Aþubalis, Tuskulënø g. 44�20, 2054 Vilnius arba skambinti telefonu (Vilniu-je) 2�73�45�27. Visiems atsiliepusiems autorius ið anksto dëkoja.

11

1. LIETUVOS VISUOMENË, MOKYKLA IRMATEMATIKA JOJE 1940�1990 M.

1.1. Bendroji Lietuvos visuomenës ir mokyklos bûklë

1940 m., po SSRS ávykdytos aneksijos ir okupacijos, okupantams pavo-jingiausi ir nepaklusniausi pasirodë esà mokytojai. Svarbiausias ,,pasiekimas�,itin akcentuojamas netolimoje praeityje, buvo tai, kad ,,Jau 1940 m. liepos 1d. Liaudies vyriausybë panaikino Ðvietimo ministerijos tikybiniø ástaigø eta-tus. Nuo tos dienos Lietuvos vidurinëse mokyklose buvo atleisti visø tikybødëstytojai <...>. Nedelsiant buvo nutrauktas ir faðistinës vyriausybës suda-rytas konkordatas su Vatikanu <...>. Tuo religijos dëstymui ir dvasininkøðeimininkavimui mokyklose buvo padarytas galas� [21, p. 13]. Tikrai simbo-liðku numeriu paþenklintas cituojamos knygos puslapis... Pratæsiant já, galë-tume ,,pasidþiaugti�, kad taip buvo padaryta pradþia dvasingumo naikinimuimokykloje ir visuomenëje. O ,,Svarbiausias ávykis ðioje srityje buvo visos Lie-tuvos TSR mokytojø suvaþiavimas 1940 m. rugpiûèio 14�15 d. Kaune Sportohalëje. Tai pirmas tokio masto suvaþiavimas, á kurá atvyko ið visos respublikosapie 10 tûkstanèiø mokytojø ir auklëtojø. Suvaþiavimui buvo teikiama labaididelë reikðmë. Jame dalyvavo Lietuvos KP CK nariai ir visa Lietuvos TSRvyriausybë. Suvaþiavime kalbas pasakë Lietuvos TSR vyriausybës vadovas J.Paleckis, Lietuvos KP CK narys K. Preikðas, ðvietimo ministras A. Venclovair kiti partijos ir vyriausybës vadovai <...>. Gausus ir aktyvus mokytojø daly-vavimas suvaþiavime rodë, kad mokytojø masë <...> su entuziazmu sutinkatarybinæ santvarkà Lietuvoje, nes joje mato laidà, uþtikrinantá lietuviø tautosðvietimo ir kultûros vystymàsi. Suvaþiavimas turëjo didelæ ákvepianèià ir mo-bilizuojanèià reikðmæ� [21, p. 138]. Taèiau ðio suvaþiavimo ir viso ðvietimopasiekimø Lietuvos SSR liaupsintojas negalëjo, aiðku, paraðyti, kaip buvoiðreikðtas ðis entuziazmas ir ákvëpimas: baigiant ðá prievarta suvarytà suvaþia-vimà ir uþgrojus internacionalà (tuometinës SSRS himnà), kurá pradëjo gie-doti prezidiumas, beveik visi 10 tûkst. mokytojø atsistojo ir uþgiedojo Lietu-

12

vos himnà, uþgoþdami internacionalà, o prezidiumas neþinojo kà daryti �stotis ar sëdëti... Aiðku, ,,iðvaduotojai� ir kolaborantai to neuþmirðo. Prieðhitlerinæ okupacijà ,,1940 metais vien pradþios mokyklø mokytojø buvo 6944,ið kuriø 1089 pasirodë besà lietuviø tautos ir tarybinës santvarkos prieðai,todël liaudies valdþia juos iðgrûdo kirsti taigà, rausti ðachtas ir gulti vietojpabëgiø po Lazario Kaganovièiaus geleþiniais keliais. Tie, kurie nuo tautosperkraustymo iðsisuko, buvo priversti klasëse nuo fasadiniø sienø nukabintikrucifiksus, ið <...> vadovëliø iðplëðti puslapius apie Jonà Basanavièiø, Vin-cà Kudirkà ir viskà, kas paraðyta gero apie bandymà sukurti Lietuvà pagalðitø <...> gydytojø sumanymà� [39, p. 75]. Progimnazijø ir gimnazijø moky-tojø iðveþta buvo maþiau. Ðvietimo liaudies komisaras A. Venclova, suvalkie-èio ûkininko sûnus, savo praktiðku suvalkietiðku protu suprato, kad mokyto-jams ðiose mokymo ástaigose prieð vyresnius mokinius bus sunku vaidinti ,,ta-rybinius mokytojus�, todël labai daug mokytojø, ypaè aktyvesniø, patriotið-kesniø, nuo 1940 09 01 perkëlë á kitø miestø ir miesteliø gimnazijas bei pro-gimnazijas. Tai nemaþà jø dalá iðgelbëjo nuo pirmosios iðveþimø bangos, nesjuose talkininkavæs vietinis maþaraðtis liumpenproletariatas nieko apie jø nuo-pelnus Lietuvai neþinojo. Taèiau iðveþta buvo ir jø, ypaè tø, kurie sàþiningaiuþpildë sovietinius kadrø áskaitos asmens lapus, prisipaþindami dalyvavæ pa-triotiniø partijø ir draugijø veikloje. Tarp iðveþtøjø á tremtá bei lagerius buvoir matematikø: J. I. Dailidë, O. Januðevièiûtë�Merkienë, A. Karalius, A. Rein-harcas, A. Vaitkevièius [7, 9]. Iðveþta, lageriuose nukankinta ir nemaþa moks-leiviø.

Hitlerininkai irgi neglostë mokytojo. Buvo suðaudyti ar kitaip sunaikin-ti konclageriuose beveik visi þydø tautybës mokytojai (tarp jø buvo ir mate-matikø: R. Lakovskis, S. Magidaitë, B. Polivanskis, daugelio likimas neþino-mas), taip pat mokytojai lietuviai, kurie nuoðirdþiai ar tik norëdami iðlikti,persistengë, talkindami ,,iðvaduotojams� ir kolaborantams per 1940�1941 m.sovietinæ okupacijà (pvz., Þagarës progimnazijos direktorius ekonomistas,dëstæs matematikà, K. Maèernis). Mokytojai ir kiti ðviesuoliai, stojæ á negin-kluoto pasiprieðinimo hitlerininkams kelià ir saugojæ jaunimà nuo tarnybosokupacinëje kariuomenëje, bûdavo grûdami á konclagerius, kai kurie ten þu-vo, pvz., Marijampolës mergaièiø gimnazijos direktorius matematikas Z. Ma-saitis [9, p. 454].

Bijodami gráþtanèios Raudonosios armijos ir bolðevikø, nes dalis jø bu-vo radæ savo pavardes sàraðuose, parengtuose antrajai iðveþimø á Sibirà ban-gai, kurià sutrukdë prasidëjæs karas, ,,á Vokietijà pasitraukë 341 gimnazijø ir847 pradiniø mokyklø mokytojai� [21, p. 141]. Tarp jø: matematikai È. Ma-

13

saitis, K. Vaièekauskas, M. Vaiðvila, J. Valukonis, R. Zalubas, A. Zujus, pra-diniø klasiø vadovëliø autorius K. Kupèiûnas [7, 9]. Ir tegu niekas nedrásta jøsmerkti: 1941 m. trëmimai, pasitraukianèiøjø komunistø ,,þygdarbiai� Rai-niuose, Panevëþyje, Pravieniðkëse ir kitur iðgàsdino ne tik mokytojus ir kitusLietuvos inteligentus ar ðiaip màstanèius þmones. Kaip raðo L. Dovydënas,net ,,Justo Paleckio, marionetinio Lietuvos prezidento, artimieji giminës 1944metø vasarà atsirado Vokietijoje, nors jie turëjo teisiø laukti ,,didelio sovieti-nës tëvynës vyro�. Lietuvos komunistø partijos pirmojo sekretoriaus A. Snieè-kaus, faktiðkojo Lietuvos valdytojo, motina Marija Snieèkienë pabëgo 1944metais nuo savo sûnaus ir mirë Hanau D. P. stovykloje. Taip pat pasitraukë áVakarus A. Snieèkaus broliai: daktaras Viktoras ir miðkininkas Juozas Snieè-kai. Ðvietimo komisaro A. Venclovos brolis nenorëjo susitikti su iðvaduotojubroliu ir dabar gyvena J. A. Valstybëse <...>. 1945 metais vasarà A. Snieèkuskelis kartus per radijà kreipësi á D. P. stovyklose gyvenanèius lietuvius, kvies-damas gráþti namo. Kartà jis pasakë: ,,Jûs iðdavëte tëvynæ, jûs buvote suklai-dinti klaidingø nusiteikimø, bet dabar yra iðleista vado ir didþiojo mokytojoStalino amnestija. Pasinaudokit, að kvieèiu jus. Bet jeigu jûs nesusiprasite,neatgailausite savo piktø nusiteikimø prieð didþiàjà sovietinæ tëvynæ, mes jusgràþinsime panèiais surakintus. Ir bus gëda tiems medþiams, ant kuriø jûskabësite�.

Taip kalbëjo sûnus Antanas Snieèkus ið Vilniaus radijo stoties á savomotinà <...>, á savo brolius <...>� [44, p. 498]. Pastarieji A. Snieèkaus þo-dþiai, o ir tolesnë ávykiø eiga átikina mus, kad pasitraukusieji buvo teisûs, nesjie nugyveno saugesná, laimingesná gyvenimà.

Pokaryje nemaþa mokytojø kovojo partizanø gretose (paskutinis Lietu-vos partizanø vadas generolas Vanagas buvo Respublikos pedagoginio insti-tuto Klaipëdoje 1939 m. absolventas, Alytaus mokytojø seminarijos dëstyto-jas Adolfas Ramanauskas, á Dzûkijos miðkus pasitraukæs po to, kai Alytaussovietinio saugumo rûsiuose buvo nukankintas jo kolega Konstantinas Ba-jerèius [9]). Nukankintas l957 m. buvo ir A. Ramanauskas, nukankinti ir de-ðimtys kitø mokytojø, ðimtai patyrë sovietiniø lageriø siaubà. Kentëjo ir visatauta. Kentëjo ir kovojo: ,,Nuo 1944 metø iki 1958 m. Lietuvoje buvo gyvaspartizaninis judëjimas <...>. Lietuviø partizanø kovoje su Rusija þuvo 35000.Iðveþtø á Sibirà ir kitas Sovietijos vietas 135 000 <...>. Suþeistø partizanø voskeletas ðimtø. Kovoje su partizanais þuvo per 60 000 NKVD�MGB ir specia-liø daliniø � istrebiteli � naikintojø. Buvo panaudoti ir raudonosios armijosdaliniai, bet juos greitai atðaukë, nes kai kurie atsisakë þudyti kûdikius, de-ginti sodybas <...>. Suþeistøjø MGB�istø teroristø skaièius virðija net 30000.

14

Paèiø lietuviø � komunizmo talkininkø þuvo arti keturiø tûkstanèiø. Kai ku-rie buvo tik Kremliaus teroro aukos, talkininkavæ, norëdami iðlikti gyvais,iðlaikyti ðeimas� [44, p. 469].

O SSRS, su didþiuliais nuostoliais laimëjusi karà prieð Vokietijà, o vë-liau ir Japonijà, norëdama ateityje turëti geriau parengtus kadrus, o naujaiprijungtose ðalyse � ir pasirodyti besirûpinanèia ðvietimu, neþiûrëdama mil-þiniðkø pokario sunkumø, ðvietimui skyrë nemaþa dëmesio. Nuo 1945 iki 1949m. Lietuvoje pradiniø mokyklø padaugëjo nuo 2966 iki 3241, progimnazijø �nuo 185 iki 242, gimnazijø � nuo 92 iki 131 [770, p. 246]. Mokytojø, tiek jøpraradus, labai trûko: pradinëse mokyklose buvo ádarbinami net ir neturin-tys vidurinio iðsilavinimo asmenys, vidurinëse � tik kà baigusieji gretimas vi-durines. Kai kurie buvusiø gimnazijø mokytojai ëmë dirbti aukðtøjø mokyklødëstytojais, pvz., matematikai J. Dailidë, V. Ilgûnas, J. Matulionis, A. Misiû-nas, V. Mockus, I. Saudargas, A. Umbrasas, V. Zdichauskas ir kt., nes jukreikëjo pakeisti pasitraukusius á Vakarus profesorius Vikt. Birþiðkà ir J. Grau-rogkà, doc. O. E. Stanaitá (matematikus), prof. I. Konèiø (fizikà), á lageriusiðsiøstus ir ten sunaikintus prof. P. Lesauská (matematikà), prof. A. Þvironà(fizikà) ir kt. [7, 9]. Tad tik 10,1 proc. mokytojø 1945 m. turëjo aukðtàjá iðsila-vinimà , ir tik po 41 m., 1986 m., ðis procentas iðaugo iki 87,6 [770, p. 246].Matematikos mokytojø iðsilavinimo rodikliai 1945 m. virðijo vidurká. Aukðtà-já iðsilavinimà turëjo 23,3, nebaigtà aukðtàjá � 21,2 proc., matematikos ir fizi-kos mokytojø � atitinkamai 23,4 ir 26,2 proc. [21, p. 167]. Tai visai supranta-ma, nes ðiuos dalykus dëstyti maþesná iðsilavinimà turëjæ pedagogai ryþdavo-si reèiau. Ypaè bloga padëtis buvo kaime. Èia 1946 m. dirbo vos 3,2 proc.mokytojø su aukðtuoju iðsilavinimu. 1975 m. visos Lietuvos pradinëse klasë-se tokiø mokytojø buvo 17,8, o kaime � 9,6 proc., vyresniosiose klasëse ið viso70,8, kaime � 55,6 proc. Èia jau ir matematikos mokytojai ima atsilikti nuovidurkio � turinèiø aukðtàjá iðsilavinimà buvo 47,8 proc. [174, p. 100, 110,111]. Tipiðkø kaimo mokyklø vaizdas uþfiksuotas Këdainiø raj. Ðëtos ir Ra-seiniø raj. Ðiluvos viduriniø mokyklø istorijoje. Antai Ðiluvoje pokariu labai,,trûko <...> cenzuotø mokytojø. Todël mokytojauti atëjo daug vietinio jau-nimo, baigusio gimnazijas ar bent kelias jø klases� [165, p. 238]. PirmuojuÐiluvos progimnazijos ,,direktoriumi paskirtas Vytauto Didþiojo universitetoteisiø fakulteto absolventas Petras Vagoras, mokytojauti atëjæs tik todël, kadlaikinai pasislëptø nuo mobilizacijos á sovietø armijà� [165, p. 241]. O Ðëtoje1946�47 m. m. ,,Mokytojas Leopoldas Ragauskas, baigæs keturmetæ geode-zijos mokyklà ir du universiteto kursus, turëjo 2 m. pedagoginio darbo staþàir dëstë algebrà, geometrijà, chemijà bei braiþybà (29 pam.)� [158, p. 62].

15

Praëjo du metai ir direktoriauti ,,1948�49 m. m. pradëjo Edvardas Kareiva.Jis buvo baigæs Veterinarijos akademijos tris kursus ir dëstë fizikà bei psicho-logijà <...>. Këdainiø gimnazijos auklëtiniai Gediminas Pakðtys dëstë che-mijà ir gamtos mokslus, o Birutë Pabrinkytë � matematikà� [158, p. 63]. Ðë-tos mokykloje 1948 m. veikë 9 klasës, jose mokësi 319 mokiniø. 2 mokytojaibuvo baigæ pedagoginá institutà, 3 � mokytojø seminarijas, 7 turëjo bendràjáviduriná iðsilavinimà, 1 � nebaigtà viduriná iðsilavinimà. 1951�52 m. m. Ðëtojeið 27 mokytojø 2 buvo baigæ universitetà, 8 turëjo nebaigtà aukðtàjá iðsilavini-mà, 7 buvo baigæ mokytojø seminarijas, kiti turëjo viduriná ar nebaigtà vidu-riná iðsilavinimà.

Bûtina pastebëti (èia autorius remiasi ir savo, pokario moksleivio, pra-dinæ mokyklà pradëjusio lankyti 1946 m., o nuo 1957 m. � jau mokytojo,patirtimi), kad maþdaug iki 1960 m. nemaþa moksleiviø dalis degë noru geraimokytis, nes dar buvo iðlikusi pagarba mokslui, dar aukðta buvo ir daugumostëvø moralë. Gerai dirbo ir mokytojai, iðlaikæ dar nepriklausomos Lietuvosmokyklos tradicijas. ,,Pirmøjø pokario metø mokiniai teigia, kad beveik visijø mokytojai buvo tikri inteligentai, sugebëjæ ir tais laikais graþiai bei tvar-kingai rengtis, kultûringai elgtis ir rodyti teigiamà pavyzdá mokiniams�, �raðo V. Peckus [125, p. 157]. Ir taip buvo beveik visur, nors mokytojo padëtis,kaip raðo A. Èalnaris, buvo nenormali, nesaugi nei politine, nei ekonomineprasme, bet jis dirbo dorai: ,,Priverstas sakyti ne visada tai, kà galvoja, balan-suodamas ant skustuvo aðmenø tarp gyvybës ir mirties, atlyginimà <...> mo-kytojas gaudavo labai ávairø. Vokieèiø okupacijos, pokario metais mums ei-nant á pamokas, motinos ádëdavo keletà kiauðiniø, gniuþulëlá sviesto, bryzeláskerstuviø ir visada bûkðtaudavo, kad mokytojas gali nepriimti, palaikyti taiuþ kyðá. Todël kartà á mokyklà suëjo tëvai ir mokytojui grieþtai ásakë imtiviskà, kà atneð vaikai, nes tai yra parama, kol praeis sunkmetis, o vaikus vie-nodai perti ir klupdyti á kampà. Mokiniai tada irgi neturëjo piketø ir streikølaisvës, kaip dabar, jokia þmogaus teisiø deklaracija jø negynë, gi seno raugomokytojai, nors ir nepërë, bet � aèiû jiems, amþinatilsiams! � á kampà klupdë.Syká suklupdë visà mûsø treèià skyriø uþ tai, kad sniego gniûþtëmis apmëtëmpro ðalá einantá vyrà.Virð mûsø galvø it Damoklo kardas nuolat kabojo dau-gybë smulkiø, priekabingø reikalavimø. Reikëjo kiekvienam sutiktam pasa-kyti ,,Labà dienà�, o dirbanèiam ,,Padëk, Dieve�, uþleisti takelá, kiloti kepuræprieð kryþius, padëti senam neðti neðulá, visur ir visada pabelsti á duris ir ne-lásti, kol nepraðo... Mûsiðkis priekabiø meistras net ásimanë prie mokyklosdurø pastatyti savo pakalikus ið vyresniøjø skyriø, kurie neleisdavo vidun, kolnenubrûþini padø, baubdavo ,,Valykit kojas, valykit kojas!�. Pats rytais apþiû-

16

rëdavo, ar ðvariai iðsimazgojom ausis, o jeigu, apsaugok, Vieðpatie, bûtø pa-matæs spardant knygà arba duonà, bûtø sudraskæs� [39, p. 76]. Taip, beje,auklëjo autoriø jo pirmieji mokytojai dab. Anykðèiø raj. Voversiø pradinëjemokykloje Bronius Atkoèius (1920 Anykðèiø raj. Zapijuvkos k. � 2003 Bur-biðkyje) ir Jonas Dzinkus (taip pat jau miræs).

Taèiau padëtis blogëjo. Kolûkiø kûrimas, trëmimai iðblaðkë Lietuvosþmones. Sparèiai ëmë blogëti ekonominë ir moralinë padëtis kaime. Jei, A.Èalnario þodþiais, anksèiau didelë ðventë buvo sekmadieniai, ypaè vasarà,kai gráþæ ið baþnyèios kaimieèiai eidavo á kità ðventovæ � graþiai veðanèiussavo laukus, tai kolûkiuose padëtis buvo kita: ,,Visuotinës komunizmo lai-mës teoretikai ir praktikai vienu ypu atëmë laukus ir ágrûdo aklus ir reginèiusá visiðkai bekvapià tamsà. Niekas sekmadieniais po laukus nebesivalkiojo, jeieidavo, tai tik naktá � vogti. Ar begalima sugalvoti paradoksiðkesná dvasinioiðprievartavimo bûdà � priversti þmogø vogti ið savo paties lauko? O kai vagi,esi priverstas meluoti. Melas lyg karaliðka degtinë savo ruoþtu galutinai tirp-do gëdà, sàþinæ, dorovæ ir ramybæ... Kad þmogaus siela bûtø iðbergþta ikidugno, dar reikëjo atimti baþnyèià. Ne poterius, kuriuos daugelis kalba me-chaniðkai ir negalvoja <...>, o labai paprastus ir labai realius daiktus: bokð-tus, varpus, vargonus, gotikiniø navø vësià tylà, sekmadieniø nuotaikà ir susi-tikimus ðventoriuose... Kartu turëjo iðnykti vestuvës, krikðtynos, vardinës, lai-dotuviø giesmës, kryþiai kiemuose... Tradicijos pleðkëjo dvasinës pauperiza-cijos lauþe kaip sausi stagarai. Visos jø imitacijos, pradedant saviveikla, kaikai kurie kolûkiø pirmininkai uþ repeticijas raðydavo darbadienius ir girda-vosi, jog ðimtui hektarø naudmenø jau sudainuota po tûkstantá dainø, bai-giant pavasario ðvente su marguèiais, tebuvo propagandos ir agitacijos fabri-ke pagamintos popierinës gëlës. Taip buvo suvisuomenintas dvasinis gyveni-mas, kurá sugràþinti savininkui sunkiau, negu iðdalinti kolektyvinius laukus�[39, p. 103�104]. Besàlygiðkai galima pritarti ðiems A. Èalnario þodþiams:,,Tegu komunizmo ðalininkai laiko mane kvailiu, vadina patriotu, o tai dabarlaikoma paðaipa <...>, bet man atrodo, kad labiausiai mums kojas suþalojota santvarka, kuri atëmë þemæ, nuosavybæ, tëviðkës kaime iðrovë àþuolus,uþvertë ir suvolavo vienkiemiø ðulinius, o kartu ið po kojø iðtraukë ðeimospagrindus� [39, p. 173]. Nenuostabu, kad jau pasiekëme ,,dugnà�: ,,tvarkin-gø, darbðèiø ir blaiviø þmoniø kaime ið deðimties geriausiu atveju yra tik dutrys. Kiti tik priedas prie jø. Kiti rytà prasikrapðtæ akis svarsto ne kà dirbti, oar pasiseks ðiandien pradykinëti ir iðgerti� [39, p.170]. Kadangi komunizmoteoretikø ðûkis buvo sulyginti kaimà su miestu, daug kà padaryti pavyko. A.Èalnaris raðo: ,,iðmananti savo darbà audiniø parduotuvës vedëja, komunis-

17

tinio darbo spartuolë, mokë jaunà pardavëjà: ,,Jeigu, matuodama audiná, la-bai neþymiai patempsi medþiagà, ritinio gale tau liks palaidinukei. Jeigu pa-tempsi smarkiau, liks suknelei. Vogti nereikës�.

Þinoma, ,,vogti� ir ,,tempti� � ne sinonimai. Uþtai tempë ir tempia...�[39, p. 209]. Todël sistemoje, kurioje gyveno pokario Lietuva, ,,Visi veidmai-niavo, gyveno prievartinio melo atmosferoje, kai þmogus ne tik verèiamasmelo klausytis, bet já pripaþinti uþ tiesà, vieðai prisiekinëti, jog sako tiesà. Taine ta melo rûðis, ið kurios galima pasiðaipyti: melagis melavo, per tiltà vaþia-vo, tiltelis sugriuvo <...>. Ðis tiltas negriuvo, nors per já þlegëjo tankai. Pojuo dràsiai stovëjo ne tik patys inþinieriai, bet lindëjo galvoti pasaulio vyraiir, deja, tebelindi iki ðiol. Varganà þmogelá prievartinio melo meistrai iðgydënuo teisybës nelyginant atkaklûs narkologai nuo alkoholio. Prirydytas pro-pagandinio apomorfino, jis trilinkas tebeþiaukèioja kruvinom putom, vos pa-galvojæs apie teisybës vynà <...>. Melas <...> buvo vertikalus, horizontalusir su visø laipsniø kampø ástriþainëm� [39, p. 159]. Tad ,,visoje Lietuvoje gy-venimas buvo niûrus. Trëmimu praretintà Lietuvos gyventojø sudëtá atmieðëateiviai ið Rytø � visokie ,,internacionalistai�, daugiausia rusai, kurie èia plû-do tûkstanèiais. Lietuviams buvo skiepijamas savæs nevertinimo kompleksas,atseit be tø atvykëliø nepajëgsite nei þingsnio þengti <...>.

Kiekvienam blaiviai màstanèiam þmogui yra aiðku, kad netekusi savovalstybës tauta lieka be apsaugos ir liaujasi bûti savo likimo ðeimininkë. Ðir-dis plûdo kraujais matant spartø lietuviø kalbos stûmimà ið vieðojo gyveni-mo. Siaubà këlë ,,savos� valdþios vykdoma Pietryèiø Lietuvos polonizacija.Bet apie visa tai galima buvo ðnekëti tik patylomis. Teisybë buvo giliai slepia-ma. Jà slepiant reikëjo meluoti. Ir kiekviename þingsnyje tai buvo daroma.Labai stengtasi klastoti Lietuvos istorijà, ypaè juodinti tarpukario Nepriklau-somybës laikotarpá. Buvo taip toli nueita, jog mums didesnës nuostabos ne-sukëlë kartà vienos mokinukës ið provincijos stojamøjø egzaminø raðinyjerastas tvirtinimas, kad nepriklausomojoje Lietuvoje nebuvæ geleþinkeliø (!)<...>. Melà, kad ir ne toká akiplëðiðkà, platino spauda, raðytojai, net moksli-ninkai� [175, p. 178�179].

Ne geleþinis buvo ir mokytojas. Jis buvo itin uoliai lauþomas. Ðtai, pvz.,Ðëtos vidurinëje mokykloje 1952 m. ,,visø mokytojø atþvilgiu buvo taikomilabai grieþti reikalavimai. Jie be <...> leidimo negalëjo iðvykti ið mokyklos.Iðvykti ið miestelio, netgi neturint pamokø, galima buvo tik gavus raðtiðkàdirektoriaus leidimà� [158, p. 69]. Aiðku, taip buvo visur. Todël sutarybintimokytojai pamaþu prie savo padëties prisitaikë ir ,,Didájá Melà bruko vai-kams nuo maþens. Negana to, mokytojas buvo varinëjamas su egzekutoriais

18

suraðinëti iðveþtøjø turtà, skaitë paskaitas apie kolûkinio gyvenimo gërá, perjëgà bruko obligacijas, inventorizavo asmeninius gyvulius ir vaismedþius, bu-vo pirmasis agitatorius visaliaudiniuose rinkimuose etc, etc... Neámanomaiðvardinti tuos uþklasinius darbus, kuriuos mokytojas dirbo ne klasëje, o dar-bo klasës labui ir në nemanë streikuoti. Ir visi iki vieno tëvai su vaikais buvojø saujoj, neatsirado tokio, kuris neleistø á mokyklà vaiko todël, kad nepatin-ka mokymo programa. Sutvertas ið mësos ir kaulø mokytojas irgi norëjo gy-venti� [39, p. 75]. Tiesa, pokaryje mokyklose mokomàjá darbà ,,Ið pradþiøvaldþia <...> leido dirbti laisvai. Didesnës cenzûros nejutome, � prisimenaèia (Ðiluvoje � A. A.) 1944�1946 m. mokytojavæs ir kurá laikà direktoriavæsJuozas Stankaitis. � Apie marksizmà mes, mokytojai, dar nebuvome niekogirdëjæ. Bent iki 1946 m. progimnazijoje ir pradþios mokykloje nebuvo neipionieriø, nei komjaunuoliø. Nebuvo ir oficialiø vadovëliø. Mes, mokytojai,naudojomës pamokoms bet kuria mums prieinama literatûra. Mokiniai kon-spektavo mûsø aiðkinimus ir ið jø mokësi� [165, p. 246]. O nesant oficialiøvadovëliø, buvo sunkiau ir oficialiajai ideologijai skverbtis á ugdymo procesà.Tai buvo labai neparanku sovietinei valdininkijai, siekusiai greièiau, nuosek-liau sovietizuoti mokyklà, o per jà � ir visà tautà. Á mokyklos sovietizacijàtvirtai buvo pasukta 1948�1949 metais. Tam pradþia visos Lietuvos mastuduota LKP(b) CK V plenumo nutarimu ,,Dël liaudies ðvietimo pagerinimo�(1948 10) bei LKP(b) CK I sekretoriaus A. Snieèkaus straipsniu ,,Uþ tarybinámoksleiviø auklëjimà� (Tiesa, 1949 09 23), kuriuose buvo reikalaujama kuoskubiau ir nuosekliau orientuoti visà ðvietimo sistemà á komunistiná jaunimoauklëjimà. Pagal ðias direktyvas mokytojai komunistiná auklëjimà privalëjorealizuoti trimis kryptimis: 1) kova su religija (ateizmas); 2) pionieriø ir kom-jaunimo organizacijø steigimas; 3) auklëjimas tarybinio patriotizmo dvasia.

Ateizmas buvo sudedamoji komunistø partijos numatyto visos visuo-menës pajungimo savo valdþiai priemoniø plano dalis. Partija, turëdama po-litinæ valdþià, panaikinusi privaèià nuosavybæ ir taip perëmusi savo þinionþmoniø egzistavimo priemones, darë savo pilieèius visiðkai ekonomiðkai, o iðdalies ir dvasiðkai priklausomus nuo savæs. Jie privalëjo màstyti ir veikti taip,kaip to pageidavo komunistø partija � vienintelë darbdavë. Ðioms partijosambicijoms realizuotis dar kliudë Baþnyèia � vienintelë nekomunistinë insti-tucija, kuri taikiai prieðinosi marksizmui�leninizmui ir savo átakoje tuo metudar laikë nemaþà lietuviø tautos dalá. Atitraukti nuo Baþnyèios jaunimà, ápai-nioti já á komunistiniø organizacijø tinklà ir taip baigti galutiná þmogaus su-valstybinimà � toks buvo pagrindinis komunistø partijos tikslas. Administra-cinëmis priemonëmis Baþnyèios partija sunaikinti vis dëlto neiðdráso. Todël

19

ir buvo ásuktas antibaþnytinës, antireliginës propagandos ratas, stengtasi pa-vaizduoti Katalikø Baþnyèià kaip tautos engëjà, mulkintojà, kunigai vadintitamsybininkais, religija vaizduojama prieðinga mokslui, sveikam protui. Pa-gal pionieriø, komjaunuoliø skaièiø, jø aktyvumà buvo vertinamas visas mo-kyklos politinis ir idëjinis darbas. Tapæs kurios nors ðiø organizacijø nariu,moksleivis tarsi vieðai pareikðdavo, kad jis jau laisvas nuo religiniø prietarø,Baþnyèios ir eina Lenino nurodytu keliu. Galimybës trauktis atgal nebuvo:paðalinimas ar savanoriðkas pasitraukimas ið ðiø organizacijø daþnai reikðda-vo ir paðalinimà ið mokyklos ar kitokias represijas (pvz., nepriëmimas á aukð-tàsias mokyklas; á jas daþnai nepriimdavo ir ðiaip mokykliniais metais neásto-jusiøjø á komjaunimà). O kad dar labiau atitraukus jaunimà nuo Baþnyèios,mokyklose pamaldø metu buvo rengiami privalomi renginiai, uolesni direk-toriai bausdavo neatëjusius á mokyklà per ðv. Kalëdas ar ðv. Velykø antràjàdienà, taip pat klausiusius ðv. miðiø per ðias ar kitas ðventes bei sekmadie-niais. Ugdant ,,tarybiná patriotà� siekta ugdyti ,,homo sovieticus� � þmogø betautybës, tradicijø, gimtø namø meilës, atsidavusá sovietinei imperijai, oku-pavusiai jo tëvynæ. Kaip raðo A. Vaiðvila: ,,Komunistinis mokyklos perorien-tavimas prasidëjo nuo poveikio mokytojø sàmonei. Manyta, kad pedagogi-nio proceso sovietizacija vyks tokiais tempais ir taip sëkmingai, kaip pavyks ásavo pusæ patraukti mokytojà � pagrindiná ðios akcijos herojø� [165, p. 249�250].

Kartu kilo ir pedagoginiai reikalavimai mokytojui.Dar viena blogybë, su kuria kiekvienà rudená (kai kada � ir pavasará)

maþdaug nuo 1951 m. (Lietuvos sukolûkinimo) pora mënesiø tekdavo susi-durti visø aukðtøjø, specialiøjø viduriniø, profesiniø mokyklø dëstytojams beimokytojams, � talkos kolûkiams bei tarybiniams ûkiams. Dël juose klestëju-sios netvarkos, neûkiðkumo, bendro techninio visos SSRS, taigi ir jos þemësûkio, atsilikimo, bulves, darþoves, linus ir kukurûzus beveik visà sovietmetájo ,,paþangiausiame pasaulyje� þemës ûkyje tekdavo nuimti rankomis, be-veik nemechanizuotai. O tam ir reikëjo daugybës talkininkø. Tad pora mëne-siø rudená paskaitos ir pamokos beveik nevykdavo, visiems tekdavo iðeiti á,,Rudens darbø frontà� (á já, beje, bûdavo siunèiami ir sovietiniai kareiviai).O paskui � ,,suglaustai� iðeiti mokymo programas, taip darant þalà bûsimøjøspecialistø parengimui. Pavasariais kai kurioms mokykloms irgi ðiek tiek tek-davo patalkininkauti: kvadratiniu�lizdiniu bûdu sodinant kukurûzus (N.Chruðèiovo laikais), renkant akmenis nuo pasëliø� Ðios talkos buvo ir pri-minimas tiek pedagogams, tiek besimokantiesiems, kad ir jie yra ne kas kita,kaip sovietiniai baudþiauninkai.

20

1.2. Ðvietimo vystymo bei reformø teigiamieji irneigiamieji bruoþai pokario Lietuvoje

1949 m. Lietuvoje, kaip visoje SSRS, buvo priimtas nutarimas ávesti vi-suotiná privalomà septynmetá mokymà, progimnazijos reorganizuotos á sep-tynmetes, o gimnazijos � á vienuolikmetes vidurines mokyklas (kartu su I�IVpradiniø mokyklø klasëmis). Ákurta daug naujø septynmeèiø ir viduriniø mo-kyklø. VI deðimtmetyje, iðkëlus mokyklos politechnizavimo idëjà, prie mo-kyklø imta steigti mokomàsias dirbtuves, ávestas darbø mokymas. 1959 m.,sekant 1958 m. pabaigoje priimtu SSRS ástatymu ,,Dël mokyklos ryðio sugyvenimu stiprinimo ir tolesnio liaudies ðvietimo sistemos vystymo�, analo-giðkas ástatymas priimtas ir Lietuvoje. Pirmiausia buvo pradëtas ágyvendintivisuotinis privalomas aðtuonmetis mokymas, septynmetës mokyklos imtosreorganizuoti á aðtuonmetes. Kadangi tuo metu jau buvo juntama vaikø ne-prieþiûros pradþia (SSRS � jau gana ryðki), imta steigti pailgintos dienos gru-pes (1959�60 m. m. jos buvo 30-yje Lietuvos mokyklø, grupëse buvo 1060mokiniø; 1986�87 m. m. � jau 941-oje mokykloje, 92 900 mokiniø) bei inter-natines mokyklas (1959�60 m. m. jø Lietuvoje buvo 20 � 3900 mokiniø, á jasperorganizuota dalis vaikø namø; 1986�87 m. m. jø buvo 31 � 10 400 moki-niø). Manyta, kad ðiose naujo tipo mokyklose pagerës mokymo ir auklëjimorezultatai. Jais pradþioje susiþavëjo ir, deja , greit nusivylë dalis pasiturinèiøtëvø bei nemaþa pedagogø. Plintant girtavimui, didëjant aplinkos uþterðtu-mui ir kt. nepalankiø veiksniø poveikiui, o vëliau ir didëjant asocialiø ðeimøskaièiui, gausëjo protiðkai atsilikusiø vaikø. Jiems imtos kurti pagalbinës mo-kyklos. Jø reikëjo vis daugiau. Dabar didesniuose miestuose jø yra po kelias,o po vienà � beveik kiekviename rajone. Vykdant minëtà ástatymà, imta steigtifakultatyviniø uþsiëmimø grupes, sustiprinto atskirø dalykø mokymo mokyklas(apie ðià matematikos mokymo diferencijavimo idëjà bei jos realizavimà þr.1.4). 1976�77 m. m. tokiø mokyklø buvo 60, 1986�87 m. m. � 119. Svarbiumokymo ir auklëjimo principu buvo paskelbtas mokymo ryðys su darbu, vi-durinëse mokyklose kurá laikà teikta ir darbininkiðka (kolûkietiðka) profe-sija.

1971 m. pereita prie naujø mokymo programø. Imtas realizuoti visuoti-nis vidurinis mokymas, pradinë mokykla tapo trimete. Imta steigti profesinioorientavimo kabinetus.

1984 m. vël pradëta reformuoti mokyklà. Pradinë mokykla vël virto ke-turmete, tik I klasëje imta mokyti nuo 6 m., aðtuonmetë mokykla paversta

21

devynmete, vidurinë tapo dvylikmete. Atgaivinta gamybinio mokymo idëja,imti steigti gamybinio mokymo kombinatus [770].

Greta pozityviø dalykø, realizuojant ávairias ðvietimo reformas, kaip irvisur kitur SSRS, buvo prikrësta kvailysèiø. Antai VI deðimtmeèio pradþiojemokymo ryðys su darbu buvo suabsoliutintas iki gamybinio mokymo vyres-niosiose klasëse, taip tikintis iðspræsti kvalifikuotos darbo jëgos trûkumà pra-monëje ir ypaè kolûkiniame þemës ûkyje. Prie silpnø tuo metu gamyklø irdar silpnesniø kolûkiø bei tarybiniø ûkiø imta organizuoti VIII�XI klasiømokiniø gamybiná mokymà vienà dienà per savaitæ. Vidurinëse mokykloseásteigti to mokymo organizavimo reikalams specialûs direktoriø pavaduoto-jø etatai. Ypaè prasti reikalai buvo kaime, kur vaikinai tà dienà prasistumdy-davo prastose mechaninëse dirbtuvëse, o merginos � karvidëse bei kiaulidë-se. Imtos organizuoti ,,iniciatyvos ið apaèios� (paèiø mokyklø), kad abitu-rientai, baigæ vidurinæ mokyklà, kartu su klasës auklëtoju sudarytø komjau-nuoliðkà brigadà ir apsigyvenæ bendrai, kaip komunoje, taip iðdirbtø kolûky-je ar tarybiniame ûkyje 2 metus. Kadangi tos ,,iniciatyvos� buvo primetamosið virðaus, nemaþa abiturientø ir jø klasiø auklëtojø nukentëjo: pirmieji, atsi-sakæ bûti brigadoje, gaudavo blogas charakteristikas ir negalëdavo ástoti áaukðtàsias mokyklas, o jø auklëtojai bûdavo pasmerkiami ir daþniausiai at-leidþiami ið darbo. Apskritai tuo metu stojant á aukðtàsias mokyklas pirme-nybë buvo teikiama turintiems 2 metø gamybinio darbo staþà, t. y. tada, kaibûdavo gana smarkiai uþmirðta tai, ko mokytasi mokykloje. Tai smukdë mo-kymo kokybæ aukðtosiose mokyklose. Þlugus N. Chruðèiovo reþimui, gamy-binio mokymo idëja buvo tyliai ,,numarinta� (apie 1966 m.).

Garsieji N. Chruðèiovo ðûkiai, kvietæ pavyti ir pralenkti Amerikà, tvirti-næ, kad ,,dabartinë þmoniø karta gyvens komunizmo sàlygomis�, o tos sàly-gos turëjo pradëti atsirasti apie 1980 m., skatino ir ðvietimo vadovus ieðkotipasiþymëjimo ir ásiteikimo partijai bei vyriausybei priemoniø. Jos buvo ras-tos. Teisingai pripaþástant, kad antrameèiavimas � skaudi pedagoginë pro-blema tiek materialine, tiek moraline prasme, nutarta ðià problemà greitaiiðspræsti ir taip bent ðioje srityje pralenkti Amerikà. Buvo pradëtos kelti ,,ini-ciatyvos� dirbti be antrameèiø, pasiekti 100 proc. paþangumà. Lietuvoje ði,,laimë� bûti pirmuoju atiteko vienam Raseiniø raj. kaimo pradinës mokyk-los mokytojui. Kaip ir visos ,,puikios iniciatyvos�, ði imta masiðkai ,,palaikyti�ir tapo beveik privaloma. Autorius, 12 metø dirbæs Telðiø rajone mokyklødirektoriumi, visus 12 metø visa tai juto ,,savo kailiu�. Likus apie mënesiuiiki trimestro (mokslo metø) pabaigos, mokyklø inspektorius per mokykløvadovø pasitarimà praneðdavo, kokio paþangumo procento pageidautø, pri-

22

statant trimestro ar metinæ ataskaità. Kiekvienas direktorius nuleidæs galvàðá procentà kruopðèiai uþsiraðydavo á savo uþraðus ir suprasdavo: vienà tri-mestrà jis gali neatveþti to pageidaujamo procento, na, gal dar kità trimestrà,bet treèio karto jam jau nebus � pageidaujamà procentà atveð jo ápëdinis. Otie pageidavimai augo: pradþioje buvo tenkinamasi 85 proc., vëliau praðyta90, dar vëliau � 98�99 proc. (maþdaug po 10 m.). Þinoma, èia minimas jau ira. a. inspektorius niekuo nebuvo dëtas.Jis ataskaitø suvestines turëjo veþti áVilniø, Vilnius � á Maskvà ... O ten juk pasitarimuose ,,broliai baltarusiai� nesyká pareikðdavo: ,,Jesli rodina potrebuet, dadim i 101 procent� (,,Jei tëvynëpareikalaus, duosim ir 101 procentà�)... Gráþæs ið tokio pasitarimo, autoriussuðaukdavo mokytojø susirinkimà ir liepdavo klasiø þurnaluose pieðtuku ið-vesti ,,signaliná� trimestro ar metiná paþymá ið kiekvieno dëstomojo dalyko.Þinoma, tie paþymiai bûdavo realûs ir gerokai atsilikdavo nuo reikalaujamo-jo procento... Tada á darbà bûdavo paleidþiama ,,sunkioji artilerija�: klasiø,tëvø susirinkimai, kur tik ámanoma ,,tempiant� dvejetukininkus á ,,palaimin-tàjá� trejetà (tuo metu buvo penkiø balø paþymiø sistema, teigiami paþymiaibuvo 3, 4, 5). Þinoma, reikalaujamas ar labai artimas jam procentas buvogaunamas. Mokytojai � irgi þmonës. Ið aukðtesniøjø niekas nenorëdavo perdaug daþnai iðgirsti: ,,Raðai dvejetà mokiniui, raðai já ir sau�.

Kad tai ne subjektyvûs áspûdþiai, liudija ir kiti ðaltiniai. Ðtai buvæs Ðakiøraj. ðvietimo skyriaus vedëjas, mokyklos direktorius, rajono ðvietimo darbuo-tojø profsàjungos pirmininkas Jonas Bosas savo knygoje raðo, kad 1955�56m. m. rajono mokyklø paþangumas buvo 72,7 proc., 1957�58 m. m. � 81,8proc., 1960�61 � 87,4, 1976�77 � 99,7 proc. [36, p. 62 � 76].

,,Tempimas�, ,,pagalba� prigijo ir per egzaminus VII (VIII) ir XI klasë-se. O visø dalykø mokytojai visoje Lietuvoje plaèiai ëmë vartoti ,,matemati-næ� patarlæ: ,,Tris raðau, du mintyje...� To meto mokyklos situacija apraðomaMaþeikiø M. Raèkausko gimnazijos istorijoje: ,,Ávedus privalomà mokymà,vaikai visais ámanomais bûdais buvo sukvieèiami á mokyklà. Nors ne visi no-rëjo ar galëjo gerai mokytis, taèiau ið mokyklos iðeidavo ðiek tiek iðprusæ.Vienas ið neigiamø pedagoginio darbo reikalavimø � procentomanija: ir ne-simokanèiam mokytojai buvo priversti raðyti teigiamà paþymá <...>. Bûda-vo, kad ir sàmoningai nesimokæ mokiniai baigdavo vidurinæ mokyklà. Yrabuvæ metø, kad ir atestatø neateidavo atsiimti, tekdavo mokytojams nuneðtiá namus. Buvo skatinamas klasiø ir miestø lenktyniavimas� [102, p. 54]. Ardaug bûdavo direktoriø ir mokytojø, nenulenkusiø galvos ir nepaklususiø,,procentomanijai�? Nedaug. Autorius þino tik vienà tokià mokyklà: VilniausIX (dab. ðv. Kristoforo) vidurinæ, pradëjusià veikti 1976 m. Jos direktoriumi

23

tapo talentingas pedagogas G. Matulaitis (mokykloje iðdirbo iki 1998 m., ikiiðëjimo á pensijà). Iki 1976 m. jis dirbo Ðvietimo ministerijos inspektoriumiir, prieð eidamas direktoriauti, suagitavo pereiti á ðià mokyklà talentingiau-sius Vilniaus miesto mokytojus. Ðioje mokykloje paþangumo procentas lai-kydavosi apie 85 proc. ir tai ,,kainavo� G. Matulaièiui negautà Lenino ordinà(kuo jis dabar gali itin didþiuotis). Kadangi aplinkinëse mokyklose mokytisbûdavo kur kas lengviau, ið ðios mokyklos daug mokiniø pabëgdavo á aplinki-nes. Talentingieji mokytojai daþniausiai buvo geri dalyko specialistai, o pe-dagogai ne itin geri, todël gana daþnai ,,perlenkdavo lazdà�, perkraudamimokinius namø uþduotimis, kai kurie vertindami mokiniø þinias pagal prin-cipà: ,,Penketui moka ponas Dievas, að moku ketvertui, o jûs � trejetui�. To-dël silpnesniø, maþiau gabiø ar stropiø mokiniø tarpe mokyklai prigijo ,,IXforto� pavadinimas...

,,Po Chruðèiovo reformø þlugimo pamaþu gráþo senoji ,,tvarka�, tik kiekmodifikuota. Jà dabar vadiname stagnacijos, arba sàstingio, vardu. Tai taspats stalinizmas, tik be sadizmo, ið dalies ir be masiniø represijø. Liko visokieapribojimai, draudimai, suvarþymai, dvasinë priespauda. Bolðevikø partijabuvo sutapatinta su valstybe. Totalinis sekimas ir þiaurus susidorojimas sukitaip màstanèiais. Melas ir teisybës slëpimas. Visiðkas lietuviø tautos teisiøignoravimas�, � taip L. Breþnevo valdymà apibûdina akad. Z. Zinkevièius[175, p. 191]. Kaip tik ðio valdymo metu imta ágyvendinti visuotinio viduriniomokymo idëjà. Tai dar pasunkino mokytojo dalià. Esant slogiai politinei at-mosferai, mokytojams dirbti darosi dar sunkiau. Jei anksèiau paþangumo pro-centà teko ,,tempti� tik iki VIII klasës imtinai, tai realizuojat minëtàjà idëjà,,tempimo� laikas pailgëjo 3 metais. Kadangi vyresniøjø klasiø mokiniai jaulabiau subrendæ, jiems buvo aiðku, kad mokytojai negali raðyti per daug dve-jetø, kad mokyklos ,,privalo� jiems iðduoti vidurinio mokslo atestatus. Ne-maþa dalis mokiniø ëmë tuo piktnaudþiauti, tyèiotis ið mokytojø, trukdydamibesimokantiems sàþiningai ir rodydami jiems blogà pavyzdá. Ypaè sunku pa-sidarë dirbti tiksliøjø mokslø mokytojams: pereinant prie visuotinio viduri-nio mokymo buvo ypaè pasunkintos matematikos, fizikos ir chemijos progra-mos (apie matematikos programas ir vadovëlius kalbësime þemiau, þr. 1.3).Procentomanijos pëdsakai liko iki ðiø dienø. Ne veltui dalis mokytojø, moki-niø ir tëvø labai prieðiðkai sutiko valstybiniø egzaminø ávedimà 1999 m., nesnujautë, kokie bus rezultatai: ,,Per matematikos egzaminà daugiausia buvogalima surinkti 54 taðkus (tiek ir surinko 39 abiturientai (ið beveik 12 tûkst.laikiusiøjø. � A. A.), <...> egzaminà iðlaikë gavusieji ne maþiau kaip 13 tað-kø, o paþymiu ,,deðimt� ávertinti surinkæ ne maþiau kaip 45 taðkus. Matema-

24

tikos valstybinio egzamino neiðlaikë net 17,5 proc. egzaminà laikiusiø moks-leiviø� [402]. Istorijos valstybinio egzamino neiðlaikë 7,3 proc. laikiusiøjø.Tokie rezultatai Lietuvoje jau buvo negirdëti daugiau kaip 40 metø...

Bet procentomanijos pëdsakai lieka gajûs ir toliau. 2000 metais ,,Na-cionalinis egzaminø centras surinko statistikà apie abiturientø abiejø mate-matikos egzaminø � valstybinio ir mokyklinio rezultatus. Atidþiau paþiûrëjusá neiðlaikiusiø valstybinio brandos egzamino moksleiviø <�> mokyklinioegzamino paþymius <�>, jie stebina. Ar gali abiturientai, surinkæ per vals-tybiná egzaminà tik 5�6 taðkus <�>, mokykliná brandos egzaminà laikytideðimtukais? Net jei ðio egzamino uþduotis ir buvo tikrai lengvesnë, kaippaaiðkinti faktà, kad atskiruose rajonuose visø valstybinio egzamino neiðlai-kiusiøjø moksleiviø mokyklinio brandos egzamino paþymiø vidurkis didesnisuþ 9?�, � raðë tuometinis centro direktorius matematikas doc. dr. A. Zabu-lionis [716, p. 11]. O kaip klykë mûsø ,,laisvoji spauda�, kai 2001 m. per lietu-viø k. ir literatûros valstybiná egzaminà 1/6 abiturientø gavo nepatenkinamuspaþymius, ,,kukliai� nutylëdama, kad: 1) 5/6 ðiø abiturientø tà egzaminà ið-laikë sëkmingai ir 2) ðis egzaminas yra ne tik baigiamasis, bet ir stojamasis(VU yra buvæ metø, kai per ðio dalyko stojamàjá egzaminà pusë stojanèiøjøjo neiðlaikydavo). O bendrojo iðsilavinimo spragas, ,,sukauptas� per XX a. IIpusæ ir ,,tebekaupiamas� dabar, akivaizdþiai mums visiems demonstruoja Lie-tuvos televizijos laidos ,,Klausimëlis� respondentai.

1982�1984 m. imta vykdyti eilinë ðvietimo reforma. Ðiek tiek padidintasmokytojø atlyginimas. Kitas pozityvus reformos bruoþas: atkreiptas dëmesysá sàþiningai besimokanèiø mokiniø perkrovimà ir imtos prastinti mokymoprogramos, ypaè tiksliøjø mokslø. Bet vël gráþta prie gamybinio mokymo idë-jos. Padëtis èia buvo kiek geresnë, nes ámonës ir ûkiai jau buvo stipresni neguprieð 20 metø. Taèiau pirmieji rezultatai nebuvo guodþiantys � ið ágijusiø kar-tu su vidurinio mokslo atestatu ir konkreèià specialybæ, vos vienas kitas eida-vo dirbti á gamybà pagal tà specialybæ, t. y. vël, kaip buvo áprasta SSRS dau-gelyje srièiø, buvo ,,ðaudoma ið patrankos á þvirblá�.

Nuo 1979 m. garsiojo Taðkento pasitarimo mokyklose sustiprëjo rusifi-kacija. Rusø kalbos mokyti pradedama vaikø darþeliuose, kaip atskiro daly-ko � jau I klasëje. Buvo ðûkèiojama apie ,,antràjà gimtàjà� kalbà. Jei ilgiaubûtø gyvenæs nelabai ðviesios atminties, amþinà atilsá duok jam,Vieðpatie,Lietuvos SSR ðvietimo ministras, arðus rusifikavimo vykdytojas A. Rimkus(1933�1982), jau apie 1985 m. kai kurie humanitariniai dalykai vyresniosioseklasëse bûtø buvæ dëstomi rusiðkai. Rusø kalba tapo privilegijuotu dalykumokykloje: jei klasë buvo didesnë negu 16 mokiniø, ji per rusø kalbos pamo-

25

kas buvo skaidoma á pogrupius � tai smarkiai padidino bendràjá rusø kalbosmokytojø skaièiø mokyklose. Dël to padaugëjo ir priimamø á atitinkamusaukðtøjø mokyklø fakultetus. Rusø kalbos mokytojo profesija tapo prestiþi-në: mokytojø atlyginimas buvo 15�20 proc. didesnis negu kitø, atitinkamaibuvo didesnë ir studentø � rusistø stipendija.

Ádomi problema � vakarinës bendrojo lavinimo mokyklos. Pokario me-tais dël ávairiø materialiniø ir ðeimyniniø aplinkybiø daug kas dieninëse mo-kyklose mokytis negalëjo. ,,Pirmàjá aneksijos deðimtmetá partiniø komitetøir tarybinës valdþios kadrai buvo maþamoksliai, daþniausiai nebaigæ viduri-nio mokslo <...>� [102, p. 126]. Protingesni ið jø irgi siekë mokslo. Tokieþmonës daþniausiai sàþiningai lankë vakarines mokyklas ir jose rimtai mokë-si. Vëliau, pradedant maþdaug 1960 m., tokiø þmoniø sumaþëjo, bet uþtatpadidëjo nebenorinèiø mokytis dieninëje mokykloje, o nepilnas vidurinis ið-silavinimas jau buvo privalomas. Ðios aplinkybës vertë plësti vakariniø mo-kyklø tinklà. Tad 1945�46 m. m. buvo 34 vakarinës mokyklos (4600 mokiniø),o 1959�60 m. m. � jau 126 vakarinës mokyklos (25 588 mokiniai) [770]. Apie1962 m., norint pagerinti turinèiøjø nebaigtà viduriná iðsimokslinimà ,,rodik-lius�, prie visø kaimo mokyklø imta steigti vakarines klases, nes daugiausianebaigusiøjø 8 klasiø buvo kaime (jie dël þemo iðsilavinimo negalëjo ásidar-binti miestuose � tuo galima paaiðkinti ir dabartiná kaimo nuosmuká: jau nuopat privalomo septynmeèio mokymo ávedimo pradþios mokytojai tingesnius,negabesnius gàsdindavo ,,Nesimokai � liksi kolchoze�; taip ir atsitiko). Ðiuosrodiklius pagerinus ir áteikus aðtuonmeèio mokslo baigimo paþymëjimus vai-ruotojams, traktorininkams (kurie irgi jau ágijo galimybæ tapti vairuotojais,nes imta reikalauti septynmeèio (aðtuonmeèio) iðsilavinimo, norint gauti vai-ruotojo teises), melþëjoms, tos klasës kuriam laikui nunyko. Taèiau nelabaiilgam. Apie 1972 m., iðkëlus visuotinio vidurinio mokymo idëjà ir artëjant1979 m. SSRS gyventojø suraðymui, norint pasididþiuoti prieð pasaulá dideliuprocentu þmoniø, turinèiø viduriná iðsilavinimà, vël imta atidarinëti vakari-nes klases prie kaimo mokyklø, bet dabar jau daþniausiai IX�XI (net ir prieaðtuonmeèiø mokyklø), taip pat plësti vakarines mokyklas miestuose: visidirbantieji iki 30 m., pasitelkus darbovietes, jø vadovus, partijos, komjauni-mo bei profsàjungos lyderius, buvo varomi ásigyti vidurinio mokslo atestatø.Aiðku, buvo ávairiausiø kuriozø, kaip ir visose masinëse kampanijose. Auto-rius gali pasidalyti savo prisiminimais ir patirtimi ðioje srityje. Dirbant Res-publikiniame mokytojø tobulinimosi institute (toliau � RMTI), tekdavo ,,pri-sidurti� prie maþos ,,nelaipsniuoto� vyr. dëstytojo algos uþdarbiaujant Vil-niaus XIII vakarinëje (pamaininëje) mokykloje, kuri buvo Krokuvos gatvëje

26

(dabar yra iðlikæ tik ðios mokyklos pamatai, tas senas pastatas buvo kaþkodëldar sovietmeèiu nugriautas, jo vietoje nieko nepastatant). Tekdavo dëstytimatematikà XI klasëje. Ji buvo pamaininë, t. y. dalis mokiniø ateidavo á pa-mokas ið ryto, kiti � á tos paèios temos pamokas vakare (beje, pastarøjø bûda-vo kiek daugëliau). Klasëje ið viso bûdavo apie 70 mokiniø, per dienà ateida-vo á pamokas 5�6, reèiau 10�12. Todël, baigiantis pusmeèiui, á retus tuðèiusbe þenklelio ,,n� langelius tekdavo áraðyti ,,3�, kad visi bûtø ,,paþangûs�. Daþ-niau lankantys buvo ávertinami ,,4� ir retai ,,5� � pastarieji ðá tà mokëdavo,nes gerai lankydavo mokyklà. Kadangi baigiamojo egzamino tematika tuo-met bûdavo skelbiama per televizijà, tai sàlygø nuraðymà á egzaminø lapusorganizuodavo egzaminø komisijos asistentai. O autorius su plonai raðanèiutuðinuku ir parengtais raðyti per kalkæ lapais (tuo metu mokyklose daugini-mo technikos nebuvo) buvo pasodinamas prie televizoriaus direktoriaus ka-binete, kur jis nuo ekrano ramiai nusiraðydavo sàlygas ir minëtuose lapuoseiðspræsdavo egzaminø uþduotis. Vëliau jis vaiðindavosi kava, o lapø su spren-dimais pristatymu á egzaminø salæ ir jø paskleidimu egzaminuojamøjø ,,ma-sëse� pasirûpindavo asistentai. Sunkoka bûdavo taisyti tokius darbus, nes,pvz., ,,spræsdami� lygtá

,3222

2

12 2

=+

+

x

x

aukðèiau minëtieji trejetukininkai, manydami, kad mokytojas skubëdamasuþraðë nelabai tvarkingai, daþniausiai uþraðydavo jà ,,tvarkingai�:

.3222

122 2

=+

+x

x

Kai kas ðià lygtá bandydavo iðspræsti ir gaudavo kitoká atsakymà, negumokytojo sprendime: jie manydavo, kad mokytojas suklydo. Bet tokiø abitu-rientø buvo labai maþai. Kiti ,,gaudavo� tokius paèius atsakymus kaip moky-tojas. Taigi egzamino paþymys daþniausiai priklausydavo nuo nusiraðymo ko-kybës. Daþniau mokyklà lankæ nusiraðydavo geriau. Beje, XIII vakarinë vi-durinë mokykla ir Ðvietimo ministerija buvo toje paèioje gatvëje. Joje uþdar-biaudavo ir keli ministerijos inspektoriai, tarp jø ir minëtasis G. Matulaitis.

Panaði padëtis buvo visur. Ðtai buvusio RMTI darbuotojø brigada buvopasiøsta tikrinti vakarinio mokymo á Kaunà. Brigados vadovas psichologas,psichologijos daktaras, ilgà laikà pats dirbæs vakarinëse mokyklose, papraðëlabai patyrusio matematiko, RMTI matematikos kabineto vedëjo, parengti

27

kontroliná darbà ið matematikos XI klasiø mokiniams. Á kontroliná darbà �labai lengvà � buvo átrauktas ir vienas lengvutis keliø veiksmø aritmetinispratimas ið VI klasës uþdavinyno. Vienoje geriausia laikomoje Kauno vaka-rinëje mokykloje ðio pratimo neiðsprendë nei vienas vienuoliktokas. Ir kàmanote? Per tikrinimo aptarimà ðios mokyklos direktoriaus pavaduotoja bri-gadà ir jos vadovà apkaltino jø kilniø pastangø � ágyvendinti visuotiná viduri-ná dirbanèiojo jaunimo mokymà � þlugdymu: kai kurie mokiniai po kontroli-nio darbo susigëdo ir bandë mesti mokyklà... Pavaduotojai pritarë ir Ðvieti-mo ministerijos inspektorius, atsakingas uþ vakariná mokymà.

O ðtai kà raðo patyræs pedagogas V. Bernatonis: ,,Mokytojas A. pasako-jo apie jo patirtà nutikimà per fizikos egzaminà. ,,Egzaminas vyksta nustaty-ta tvarka. Vyrai iðtraukia bilietus, ruoðiasi <�>, iðdaliju visiems <�> ,,ðpar-galkas�. Visi atsakinëja, ávertinu, jokiø problemø. O tas N. S. ateina atsaki-nëti ir tyli. Në þodelio. Þiûri tik ir ðypsosi. Teko paèiam klausti, paèiam iratsakyti. Ádomu buvo, kodël jis nepasinaudojo mano ðpargalke. Pasirodo, varg-ðelis, pamirðæs raides, gal ir ne visas, bet rizikuoti ir skaityti tiesiog nedrásæs�[23, p. 15]. Manytina, kad daugiau komentarø nebereikia�

Dar sunkiau buvo ágyvendinti visuotiná viduriná jaunimo iki 30 metømokymà kaime. Beveik prie visø kaimo mokyklø buvo steigiami neakivaizdi-nio mokymo konsultaciniai punktai. Juose mokslo metai trukdavo ... 36 die-nas: 4 sesijos po 9 dienas lapkrièio � vasario mënesiais, t. y. tada, kai þemësûkyje sumaþëja darbø. Pagal idëjà tos 9 dienos buvo skiriamos konsultaci-joms, kuriø metu paaiðkinama medþiaga ir pateikiamos uþduotys áskaitoms,laikomoms tarpsesijiniu metu. Autoriui su kitø kontrolieriø grupe teko sa-vaitæ laiko tikrinti tokiø konsultaciniø punktø darbà 1976 m. viename PietøLietuvos rajone. Apsilankius 5 punktuose, teko stebëti ið viso 10 matemati-kos konsultacijø. Mokytojai joms buvo kruopðèiai pasirengæ, gerai, vaizdþiaiaiðkino moksleiviams medþiagà. Absoliuti moksleiviø dauguma � vyrai: trak-torininkai bei vairuotojai, apsirengæ kiek neáprasta jiems apranga � iðeigi-niais kostiumais ir kaklaraiðèiais, tyliai ir beveik visu 100 proc. pagal sàraðussëdëjo suoluose bei kantriai klausësi, beveik nieko neuþsiraðydami. Per visas10 stebëtø konsultacijø nei vienas moksleivis neiðtarë nei vieno þodþio: ne-pateikë mokytojams jokiø klausimø po konsultacijø, mokytojai jø nieko irgineklausinëjo ir nekvietë prie lentos. Kà gi, tai buvo konsultacijos ir jei dësty-mas geras, moksleiviams aiðkus, tai jokiø klausimø ir nereikia... Tarpsesijiniumetu bus sëkmingai iðlaikytos áskaitos ir panaðiai, kaip Vilniaus XIII vakari-nëje, bus iðlaikytas ir egzaminas... O Pietø Lietuvos rajono kolûkiø pirminin-kai, partijos, komjaunimo ir profsàjungos vadai sëkmingai suorganizavo, ko

28

gero, vienintelæ beveik 100 proc. lankomumu pasiþymëjusià neakivaizdiniomokymo sesijà ne tik rajone, bet ir visoje Lietuvoje, nes apie kontrolieriøatvykimà buvo praneðta prieð 2 savaites (taip buvo daroma visada, nes sovie-tinëje Lietuvoje visada trûko vietø vieðbuèiuose ir jas uþsakyti reikëdavo iðanksto)... Beje, ir ðiame rajone, ir visoje Lietuvoje neakivaizdinëse mokyklo-se kaimuose mokësi dauguma tø, kurie prieð keletà metø buvo ásigijæ aðtuon-metá iðsilavinimà vakarinëse mokyklose...

Visa tai buvo palaiminta aukðèiausiu lygiu. Ministrui A. Rimkui ásakius,Lietuvoje buvo pradëta ir vykdyta kampanija ,,pavyti ir pralenkti VidurinësAzijos broliðkas respublikas pagal vakarinio mokymo realizavimo ir paþan-gumo rodiklius�. ,,Tarybinio mokytojo� (toliau � TM) laikraðtyje kelis metusnuolat buvo spausdinamos suvestinës apie vakariniø mokyklø veiklos rezul-tatus rajonuose ir miestuose, panaðiai kaip apie sëjà ar derliaus nuëmimàkituose sovietiniuose laikraðèiuose, ir vargas buvo tiems vadovams, kurie at-sidurdavo suvestinës rodikliø ,,uodegoje�. Visi stengdavosi ten neatsidurti.Ðtai 1978�79 m. m. Ðakiø rajono ,,Neakivaizdinës vidurinës mokyklos kom-plektavimas ávykdytas 134 proc.� [36, p. 76]. Pastangos veltui nenuëjo: kelismetus ið eilës Lietuva gaudavo sàjunginæ pereinamàjà raudonàjà vëliavà uþsëkmingà vakarinio mokymo organizavimà. Jos nebeiðkovojo tik po A. Rim-kaus mirties. Toks vakarinio vidurinio mokymo profanavimas irgi nekëlë neimokymosi, nei mokyklos, nei mokytojo autoriteto. Tingesni moksleiviai iðdieniniø mokyklø ëmë verþtis á vakarinæ, kurioje nei mokytis, nei lankyti mo-kyklos nereikëjo, o vidurinio mokslo atestatà vis tiek gaudavo.

Viena ið svarbiø mokymo srièiø � amatø, darbo rezervø, profesinës tech-nikos mokyklos. Lietuvoje darbo rezervø mokyklas imta kurti 1940 m. rude-ná, suvalstybinus nepriklausomoje Lietuvoje 1939�40 m. m. veikusias 30 amatømokyklø su 4628 mokiniais, dar ákûrus naujas mokyklas Vilniuje, Rûdiðkëse,Ignalinoje. 1949 m. darbo rezervø mokyklø buvo 59, jose rengti 60 specialy-biø darbininkai. Nuo 1953 m. imta rengti ir mechanizatorius kaimui. 1959 m.darbo rezervø mokyklos pervadintos profesinëmis technikos mokyklomis (to-liau � VPTM) [767, p. 56, 389]. Nuo 1984 m. visos profesinës technikos mo-kyklos tapo vidurinëmis. 1985 m. jø Lietuvoje buvo 97 (58 760 mokiniø), ið jø90 dieniniø (54 740 mokiniø) [770, p. 453]. Tai buvo miestø profesinës tech-nikos mokyklos, rengusios pramonës darbininkus. 1986 m. Lietuvoje buvo ir40 viduriniø þemës ûkio profesiniø technikos mokyklø (toliau � VÞÛPTM)su beveik 25 tûkst. moksleiviø [770, p. 663]. Visa tai labai graþu, bet ir èianeapsieita be ðiurkðèiø iðkraipymø.Ypaè jie iðryðkëjo, ákûrus VPTM irVÞÛPTM: á jas ástojæ paprastai silpnesni mokiniai per 3 metus turëdavo ágy-

29

ti ir viduriná iðsilavinimà, ir specialybæ. Nukentëdavo ypaè pirmojo kokybë:net ir su pagyrimu baigæ ðias mokyklas ir todël be stojamøjø egzaminø priim-ti á aukðtàsias mokyklas, jose sugebëdavo mokytis tik iki I egzaminø sesijos.Daugumoje tokiø mokyklø buvo sunku palaikyti drausmæ, kai kurios jø taponusikaltëliø peryklomis. Kadangi tokiø mokyklø buvo steigiama vis daugiau,á jas tekdavo ,,orientuoti� beveik prievarta: ypaè á statybininkø, þemës ûkiomokyklas, jei jos dar garsëdavo ir prasta moksleiviø drausme. Todël aukðtes-nieji mokyklø valdymo organai duodavo nurodymus �mokykloms, kiek mo-kiniø turi stoti á profesines technikos mokyklas. Mokykla buvo geriau verti-nama, jei maþiau ástodavo á aukðtàsias, o daugiau � á profesines technikosmokyklas� [102, p. 54]. Vienas aðtrialieþuvis ðvietimo skyriaus vedëjas palei-do per visà Lietuvà kalambûrà: ,,Dabar su karvës uodega uþdengsime visusmokyklø darbo trûkumus�. Kliûdavo dël to planø nevykdymo ir Vilniaus IXvidurinei mokyklai... Bûtina paþymëti, kad moksleiviø aprûpinimas profesi-nëse mokyklose pagal tuometinius standartus buvo gana geras: jie gaudavovisà valstybës iðlaikymà ir dar stipendijà. Nebloga buvo, kur kas geresnë uþviduriniø mokyklø, materialinë mokymo bazë. Tingesni, negabesni á tokiasmokyklas stodavo noriau, ypaè tada, kai vidurinis iðsilavinimas tapo privalo-mas: 3 metus iðlaikomiems valstybës galima buvo ,,volioti durniø� ir gautividurinio mokslo atestatà. Daug baigusiøjø (VIII deðimtmeèio pabaigoje apie85 proc.) dirbdavo ne pagal ágytà specialybæ. Taigi ir èia buvo ,,ðaudoma iðpatrankos á þvirblá...�

Kiek geresnë padëtis buvo dar vienoje vidurinio mokymo grandyje �specialiojo vidurinio mokymo (technikumuose). Á technikumus priimdavoiðëjusius ne visà ar visà viduriná mokslà ir iðlaikiusius 2�3 stojamuosius egza-minus. Mokymasis trukdavo pirmiesiems 3�4, antriesiems 2�3 metus. Dau-guma moksleiviø gaudavo bendrabuèius, apie 74 proc. � stipendijas. Baigætechnikumà su pagyrimu ar iðdirbæ 3 metus pagal paskyrimà galëjo stoti áaukðtàjà mokyklà mokytis dieniniame skyriuje, be jokiø apribojimø studijuo-ti vakariniame ar neakivaizdiniame skyriuje. Patys technikumai irgi daþnaiturëjo tokius skyrius. 1987 m. Lietuvoje buvo 66 technikumai su 58 780 moks-leiviø, ið jø 45 204 mokësi dieniniuose, 2916 vakariniuose ir 10 660 neakivaiz-diniuose skyriuose [770, p. 294]. Ypaè technikumai buvo populiarûs iki 1960m., kai labai daug ðeimø gyveno nepasiturinèiai: stipendija, bendrabutis irgreitai ágyjama specialybë viliodavo neturtingus ir gabius moksleivius. Dau-gelis jø vëliau ágijo aukðtàjá iðsilavinimà, tapo mokslø daktarais ir habilituo-tais daktarais. Mokymosi ir drausmës padëtis tapo prastesnë, kai vidurinisiðsilavinimas tapo privalomas.

30

Taigi Lietuvoje, kaip ir visoje SSRS, buvo itin paplitusi ,,pokazucha�,kiekybiniø rodikliø vaikymasis.

Kuriant daug naujø mokyklø, joms reikëjo pastatø. Taèiau beveik iki1960 m. nauji pastatai beveik nebuvo statomi � nebuvo lëðø. Tad mokykløaprûpinimas patalpomis ,,spræstas <...> bolðevikiðkai � norint turëti reikiaatimti� [165, p. 242]. Daug mokyklø buvo ákurtos ið parapijø atimtose klebo-nijose, iðveþtøjø á Sibirà namuose (juos daþnai perkeliant á baþnytkaimius armiestelius). Panaikinus stribø bûrius, stribynø pastatai (kurie irgi buvo ið anks-tesniø savininkø atimti) irgi daþnai atitekdavo mokykloms. Maþdaug nuo 1960m. prie kaimo mokyklø, kuriø pastatø bûklë daþnai bûdavo gana kritiðka tiektiesiogine nusidëvëjimo, tiek tûrio ir ploto, tenkanèio vienam mokiniui, pras-me, imta statyti priestatus. Kadangi sovietiniais laikais buvo grieþtai laiko-masi instrukcijø, kaimø ir miesteliø architektûriniuose ansambliuose atsira-do keisto stiliaus pastatai: prie medinio vienaaukðèio mokyklos pastato daþ-niausiai buvo pristatomas dviaukðtis, mûrinis, daug didesnis priestatas. Aðt-rialieþuviai greitai sugalvojo naujà kalambûrà: ,,Prie sagos prisiuvo ðvarkà�...Imta statyti ir tipinius blokinius viduriniø mokyklø pastatus (daugiausia mies-tuose). Projektai � nevykæ, vaikytasi pigumo: þiemà tie pastatai labai ðalti,vasarà � karðti kaip ðiltnamiai.

1.3. Apie matematikos vadovëlius ir kità mokomàjàliteratûrà

1.3.1. Bendros pastabos

Matematikos mokymui, kaip þinoma, reikalingi vadovëliai ir uþdaviny-nai, mokymo metodikos ir metodiniø nurodymø knygos mokytojui, vaizdi-nës priemonës, dalijamoji didaktinë medþiaga, medþiaga fakultatyviniamsuþsiëmimams ir kt. Bûtume neteisûs, jei sakytume, kad Lietuvos mokyklosvisu tuo buvo blogai aprûpinamos. Matematinæ literatûrà pradëta leisti sun-kiu pokario metu, nuo 1944 m. (pirmiausia leisti vadovëliai). ,,Knygø met-raðèio� [757] ir ,,Spaudos metraðèio� duomenimis [765], skaièiuojant tik pir-muosius naujø ir perdirbtø vadovëliø bei kitø matematiniø knygø leidimusgalima tvirtinti, kad 1944�1990 m. Lietuvoje iðleistos 337 matematinës kny-gos mokyklai. Ið jø 177 (52,5 proc.) yra verstos ið rusø kalbos, 160 (47,5 proc.)� paraðytos lietuviø autoriø. Reikia pabrëþti, kad absoliuti dauguma versti-

31

niø knygø � knygos, iðleistos stambiø leidyklø, daugiausia Valstybinës peda-goginës literatûros leidyklos (toliau � VPLL), vëliau pavadintos ,,Ðviesa�,daugelis jø leistos pakartotinai, todël, suskaièiavus pakartotinius leidimus,knygø skaièius ið tiesø bûtø kelis kartus didesnis. Ið lietuviø autoriø pakarto-tiniais leidimais gali pasigirti tik vadovëliø autoriai: M. Petrauskas1 (taip pa-þymëto asmens biografijà rasite skyriaus gale) [127�129], Z. Rupeika2 [148],V. Blagnys3 ir E. Èekuolienë [25], B. Balèytis4 [14�17]. Kitø lietuviø autoriøknygos daþniausiai yra iðleistos tik po vienà kartà. 76 (47,5 proc.) ið jø yraiðleistos maþais tiraþais, spausdintos dauginimo technika, o tarp verstiniø kny-gø tokiø yra tik 5 (2,82 proc.). Beje, vadovëliø ir uþdavinynø autoriai lietu-viai, skaièiuojant pirmuosius jø knygø leidimus, jø teiðleido vos 9 (14,5 proc.)ið bendro 62 vadovëliø ir uþdavinynø skaièiaus. Tik B. Balèytis gali pasigirtidideliu leidimø skaièiumi (pirmuosius ir perdirbtus vadovëlius leido 1970�1990 m., dar du kartus perdirbæs leidþia ir dabar) ir tuo, kad iðstûmë versti-nius monopolistus ið pradiniø klasiø matematikos vadovëliø rinkos. Ádomusjo interviu ðiuo klausimu, duotas 1999 05 03 ,,Kauno dienos� þurnalistei A.Kibirkðtienei:

� Kada iðëjo pirmasis Jûsø parengtas vadovëlis?� 1970 metais. Tai buvo paèios þymiausios XX a. matematikos mokymo

turinio reformos metai, kai beveik visame pasaulyje ,,giedojo psalmes� nau-jai mokymo krypèiai, pagrástai aibiø teorijos logika. Deja, suaugusiøjø noraiir ásitikinimai, nors ir grindþiami eksperimentais, nebuvo adekvatûs su dau-gumos vaikø galimybëmis. Bet prieð madà ir tada nebuvo galima atsispirti,tad ir að persistengiau.

� Kiek jûsø parengtø vadovëliø leidimø per ilgus pedagoginës veiklosmetus sulaukë pradinukai ir jø mokytojai?

� Daug. Nuo 1970 iki 1993 metø kiekvienos klasës vadovëlis buvo lei-dþiamas kasmet. Manau, svarbiau pasakyti, kad po 1970�1977 metø nesëk-mës su aibiø koncepcija vadovëliai buvo perraðyti kaip nauji. Tas pats buvopadaryta nuo 1986 metø, kai, pereidami prie ðeðiameèiø mokymo, vël atkû-rëme keturmetæ pradinæ mokyklà�.

Visur iki 1990 m. klestëjo Maskvos monopolis � vyresniøjø klasiø vado-vëliai (iðskyrus lygiagreèiai 9 kartus iðleistà Z. Rupeikos trigonometrijos va-dovëlá) buvo verstiniai. Beje, ir verstiniai vadovëliai keitë vienas kità, daþ-niausiai iðstumdami prieð tai naudotà. Kaip kito vadovëliai nagrinëjamuojulaikotarpiu (nuo 1944 m.) atsakysime kituose skyreliuose.

32

1.3.2. Pradiniø klasiø (skyriø iki 1949 m.) matematikosvadovëliai

Nuo 1944 m. imta leisti ir naudoti I�III skyriuose N. Popovos [132�134], IV skyriuje � jos ir A. Pèiolkos vadovëlius [135]. Jie iðsilaikë mokykloseiki 1950 m. Lygiagreèiai su jais buvo leidþiami ir M. Petrausko vadovëliai[127�129] I�III skyriams. Nuo 1947 m. imti leisti N. Nikitino5 ir kt. vadovë-liai [106�110] minëtus vadovëlius pakeitë, bet nelabai ilgam. 1955�1956 m.iðleidþiami G. Pèiolkos ir G. Poliako vadovëliai [121�124], kurie beveik de-ðimtmetá buvo vieninteliai. Nuo 1966 m. I klasëje pasirodë alternatyvus V.Blagnio ir E. Èekuolienës vadovëlis [25], beje, pirmas spalvotas lietuviðkasmatematikos vadovëlis. Nuo 1970 m. imta naudotis jau minëtais B. Balèyèiovadovëliais, pratybø sàsiuviniais ir knygomis mokytojams su patarimais, kaipmokyti matematikos atitinkamoje klasëje.

1.3.3. Dalykinës sistemos aritmetikos (nuo 1971 m.IV�V klasiø matematikos) vadovëliai ir uþdavinynai

1945 m. buvo iðleistas E. Berezanskajos6 aritmetikos uþdavinynas [22],SSRS vartotas kaip pagrindinis nuo 1933 m., o 1946 m. � A. Kiseliovo7 arit-metikos teorijos vadovëlis [66]. Ðis vadovëlis Rusijoje pirmà kartà buvo ið-leistas 1884 m., po to leistas deðimtis kartø. 1937�1938 m. jis buvo perdirbtasir priimtas naudoti kaip vienintelis visoje SSRS. Ðiuos leidinius atitinkamaipakeitë 1955 m. iðleistas K. Ponomariovo ir L. Syrnevo uþdavinynas [131] beiI. Ðevèenkos8 vadovëlis [159]. Nuo 1971 m. juos pakeitë N. Vilenkino9 ir kt.matematikos vadovëliai [168, 169] IV ir V klasëms, redaguoti A. Markuðevi-èiaus10 , iðleisti kartu su knygomis mokytojui ir didaktinës medþiagos rinki-niais. Jau IV klasëje vaikai buvo supaþindinami su tiese, spinduliu, atkarpa,skaitinëmis aibëmis, jø elementais, þenklais ∈ ir ∉, skaitiniu reiðkiniu ir joreikðme, reiðkiniu su kintamuoju, lygties ðaknø sàvoka, nelygybës sprendiniosàvoka, þenklais ≤ ir ≥, tûrio sàvoka, dviguba nelygybe, apytiksliu skaièiavi-mu, paprastøjø trupmenø sudëtimi ir atimtimi bei daugyba ið sveikojo skai-èiaus, kampais, jø pusiaukampinëmis, veiksmø dësniais ir savybëmis, jø tai-kymu, dalumo þymëmis, netaisyklingomis trupmenomis, deðimtainëmis trup-menomis, jø veiksmais, apvalinimu, procentø skaièiavimu, kampø matavi-mu, skritulinëmis diagramomis, masteliu, trikampiø braiþymu, aritmetiniuvidurkiu. Ðie klausimai savaime matematine prasme ádomûs, reikalingi, pa-teikiami gana metodiðkai, taèiau mokymo programa, orientuota á deðimtuo-

33

sius metus bebaigiantá vaikà, buvo ir per plati, ir per sunki. Tà patá galimapasakyti ir apie V klasæ. Vëliau ir programà, ir mokymo priemones teko netdu kartus prastinti ir leisti pakartotinai (iki 1990 m.). 1990 m. V klasëje imtasnaudoti estø pedagogø E. Nurko (Nurk) ir A. Telgmos (Telgmaa)11 vadovëlis[115], nugalëjæs SSRS paskelbtame konkurse.

1.3.4. Þemesniøjø klasiø algebros vadovëliai ir uþdavinynai

1945�1946 m. buvo iðleistas N. Ðapoðnikovo12 ir N. Valcovo uþdaviny-nas [155], kuris buvo vartojamas Rusijos ir SSRS mokyklose jau nuo 1890 m.,o 1946 m. � A. Kiseliovo vadovëlis [64], kurio I leidimas Rusijoje iðëjo 1886m., o 1937�1938 m. buvo perdirbtas ir priimtas naudoti kaip pagrindinis viso-je SSRS. Uþdavinynà 1952 m. pakeitë P. Larièevo13 uþdavinynas [84], kurisbuvo apdovanotas K. Uðinskio premija ir imtas vartoti kaip pagrindinis viso-je SSRS bei satelitinëse ,,liaudies demokratijos� valstybëse. Teorijos vadovë-lá 1957 m. pakeitë A. Barsukovo vadovëlis [19]. 1973�1975 m. vadovëlá iruþdavinynà iðstûmë A. Makaryèevo ir kt. algebros vadovëliai [91�93], kuriebuvo leidþiami su mokytojo knygomis ir didaktinës medþiagos rinkiniais. Dukartus perdirbus, visa tai buvo leidþiama iki pat 1990 m. (ir dar ilgokai po jø).Perdirbti reikëjo, nes pradiniame vadovëlio variante buvo labai daug aibiøteorijos elementø, sudëtingos simbolikos, kuri palaipsniui buvo prastinama.

1.3.5. Geometrijos vadovëliai ir uþdavinynai þemesniosiomsklasëms

1946 m. buvo iðleistas jau minëto A. Kiseliovo vadovëlis [67], kurio Ileidimas Rusijoje pasirodë 1892 m., ir po to vadovëlis dar buvo iðleistas ke-liolika kartø, 1937�1938 m. pertvarkytas ir pasidarë pagrindinis visoje SSRS.1947 m. iðleistas N. Rybkino14 uþdavinynas [142], Rusijoje susilaukæs 26 lei-dimø. Vadovëlá 1958 m. pakeitë jau minëto N. Nikitino vadovëlis [111], rusið-kai iðleistas 1956 m., apdovanotas K. Uðinskio medaliu. Vadovëlis paraðytasremiantis propedeutiniu vaizdumu, palaipsniui, atsargiai ávedant formaliusdedukcinius elementus. 1958 m. iðleistas ir jo kartu su G. Maslova paraðytasuþdavinynas [112]. Jie buvo vartojami iki 1973 m. imtø diegti akad. A. Kol-mogorovo15 redaguotø V. Gusevo ir kt. [58] paraðyto geometrijos vadovëlioVI klasei, paties A. Kolmogorovo su kitais paraðytø vadovëliø VII ir VIIIklasëms [81, 82], iðleistø kartu su knygomis mokytojui ir didaktinës medþia-gos rinkiniais. Kaip tik ðie vadovëliai vëliau tapo paèios didþiausios kritikos

34

objektu, vertinant matematikos mokymo reformà, 1970 m. imtà vykdyti SSRS,nes joje, kaip jau matëme ið B. Balèyèio interviu, nebuvo apsieita be kuriozø.Susipaþinus su Vakarø naujomis matematikos mokymo koncepcijomis (dau-giausia su Prancûzijos, kuri, beje, labai greitai tos naujos koncepcijos atsisa-kë), SSRS buvo pradëta keisti ið esmës gana gerus vadovëlius. Vadovëliusraðyti ar juos moksliniu poþiûriu redaguoti ëmë garsûs akademikai, deja, pa-tys tik prieð daugelá deðimtmeèiø sëdëjæ mokyklos suole, o ir jame daþniau-siai nepatyræ daugeliui eiliniø mokiniø áprastø sunkumø, nes buvo nepapras-tai gabûs, todël senatvëje tokiais ëmæ laikyti ir visos ,,plaèiosios tëvynës� vai-kus. Bûdami aukðèiausios matematinës kultûros asmenybës, didaktikoje jieper toli nuëjo. Jø idëjø neperprato ðimtai tûkstanèiø mokytojø ir deðimtysmilijonø moksleiviø. Ið tiesø, ar galëjo suprasti tegu ir gana normalus aðtuon-metës mokyklos mokinukas tokià simbolikà: ,,Apskritimai (O1, r1) ir (O2, r2)susikerta taðkuose A ir B (r1 ≠ r2). Parodykite brëþinyje plokðtumos taðkøaibes:

a) apskr. (O1, r1) ∪ su apskr. (O2, r2);b) apskr. (O1, r1) ∩ su apskr. (O2, r2);c) skr. (O1, r1) ∪ skr. (O2, r2);d) skr. (O1, r1) ∩ skr. (O2, r2);e) skr. (O1, r1) ∪ apskr. (O2, r2)� [59, p. 5].

Dar labiau jam buvo nesuprantami tokie teoriniai paaiðkinimai: ,,Plokð-tumos atvaizdis á jà paèià, kai |A1B1|= k|AB|, kokie bebûtø taðkai A ir Bbei jø vaizdai A1 ir B1,vadinamas koeficientu.

Kai k = 1, panaðumas tampa poslinkiu.Toliau, kalbëdami apie panaðumà, suprasime, kad jis nëra poslinkis.Kiekviena panaðumo transformacija yra homotetijos (kai homotetijos

centras parinktas laisvai, o koeficientas lygus panaðumo koeficientui) ir po-slinkio kompozicija. Pirmos eilës homotetijos ir poslinkio kompozicija yrapirmos eilës panaðumas. Antros eilës homotetijos ir poslinkio kompozicijayra antros eilës panaðumas. Pirmos eilës panaðumas nekeièia plokðtumosorientacijos, o antros eilës panaðumas � keièia jà prieðinga� [59, p. 215]. Gra-þu? Taip, matematikams taip. O septintokui? O jo tëvams, tegu ir gerai mo-këjusiems geometrijà pagal A. Kiseliovo vadovëlá?

Minëti geometrijos vadovëliai ir visa jais pagrásta geometrijos mokymosistema patyrë fiasko ir nuo 1983 m. imama mokyti pagal kito akademiko A.Pogorelovo16 vadovëlá [130], skirtà VI�XI klasëms, kuriame labiau atsiþvelg-ta á mokiniø galimybes, sugráþta prie áprastesniø apibrëþimø bei teoremø for-

35

muluoèiø, atsisakyta kai kuriø itin matematiðkai abstrahuotø sàvokø, kei-èiant jas suprantamesnëmis, gyvenimiðkesnëmis. Ði tendencija ryðki ir 1990m. iðleistame L. Atanasjano ir kt. geometrijos vadovëlyje VI klasei [6].

1.3.6. Algebros vadovëliai ir uþdavinynaibaigiamosioms klasëms

Gimnazijø baigiamosiose klasëse (iki 1949 m.), vëliau VIII (IX)�XI vi-duriniø mokyklø klasëse nuo 1945 m. vartota N. Ðapoðnikovo ir N. Valcovouþdavinyno II dalis [156], nuo 1946 m. � ir A. Kiseliovo teorijos vadovëlio IIdalis [64], nuo 1952 imta vartoti P. Larièevo uþdavinyno II dalis [85]. Nuo1965 m. algebra pervardinta á algebrà ir elementarines (dabar � elementari-àsias) funkcijas, sustiprinant funkcijos sàvokos vartojimà bei funkcijø tyrimà,ávedant ribø bei iðvestiniø skaièiavimus bei taikymus. Imta naudoti J. Koèet-kovo ir J. Koèetkovos vadovëlius [77, 78], nuo 1977 m. � A. Kolmogorovo irkt. algebros ir analizës pradmenø vadovëlius [79, 80], naudoti kartu su kny-gomis mokytojui ir didaktinës medþiagos rinkiniais. Visa tai su pakeitimaisiðsilaikë iki 1990 m. ir vëliau, palaipsniui silpninant simbolikos reikðmæ, kuripradþioje buvo itin akcentuojama. Jau IX klasës mokiniai turëjo mokëti api-brëþimus: ,, Sudëtinës funkcijos h = g o f (h(x)) = g(f(x)) apibrëþimo sritáD(h) sudaro tos x reikðmës, kurios priklauso srièiai D(f)� [62, p. 27], o vëliaujiems reikëjo naudotis simboliniais uþraðymais: ,,Ásitikinkite, kad nurodytiejisakiniai ekvivalentûs:

f(x) > 1 0 < f(x) < 1 a) log (x) g(x)≥k ⇔ arba

g(x) ≥f(x)k 0 < g(x) ≤ f(x)k “ [62, p. 112].

1.3.7. Geometrijos vadovëliai ir uþdavinynaibaigiamosioms klasëms

Iki 1970 m. matematikos mokymo reformos ágyvendinimo, t. y. iki 1976m., buvo naudojamasi A. Kiseliovo vadovëlio II dalimi [68] bei N. Rybkinouþdavinyno II dalimi [143]. Pereinant ið septynmeèio privalomojo mokymo áaðtuonmetá, minëtø knygø pagrindu buvo parengtas V. Boltianskio17 ir I. Jag-lomo18 vadovëlis IX klasei [33]. Vyresniosiose klasëse toliau naudotos aukð-

36

èiau minëtos knygos. Jas pakeitë A. Kolmogorovo redaguotas V. Klopskio irkt. vadovëlis [76], lydimas knygos mokytojui, didaktiniø uþduoèiø rinkiniø, ojá pakeitë jau minëtas A. Pogorelovo vadovëlis.

1.3.8. Trigonometrijos vadovëliai ir uþdavinynai

Kaip atskiras dalykas trigonometrija dëstyta iki 1965 m., vëliau trigono-metrijos klausimai buvo átraukti á algebros ir elementariøjø funkcijø bei geo-metrijos kursus. Ilgiausiai iðsilaikë (1946 � 1990 m. � 33 leidimai) V. Bradþio19

rusiðkai pirmà kartà iðleistos 1921 m. ,,Keturþenkliø logaritmø ir kitø dydþiølentelës� [37]. 1946 m. iðleisti N. Rybkino vadovëlis [144] ir uþdavinynas [145],rusiðkai pirmà kartà iðleisti 1895 m. Nuo 1948 m. kaip lygiagretus buvo nau-dojamas Z. Rupeikos vadovëlis [148], iki 1963 m. iðleistas 9 kartus. 1958 m.buvo iðleistas N. Stratilatovo uþdavinynas [152], o 1964 m. � S. Novosiolovovadovëlis [114].

1.3.9. Kita matematinë literatûra mokyklai

Kaip matëme ið vadovëliø apþvalgos, tiek visoje SSRS, tiek Lietuvojemokytojai nuo vadovëliø raðymo palaipsniui buvo beveik nuðalinti. Laikantisvieningø vadovëliø nuo Ðiaurës ledjûrio iki Vidurinës Azijos dykumø bei nuoKlaipëdos iki Kurilsko, net ir Lietuvos matematikos ir jos didaktikos sritysedirbæ mokslininkai beveik negalëjo ásiterpti á vadovëliø autoriø gretas. Jieieðkojo niðø, kuriose galëtø pasireikðti, realizuodami savo didaktines idëjas.Nemaþomis pastangomis ir palaikant gana savarankiðkam (kiek jis galëjo toksbûti) ðvietimo ministrui M. Gedvilui (1901 � 1981) bei matematikui, Ðvieti-mo ministerijos Mokyklø valdybos virðininkui V. Liutikui20 , tokias niðas pa-vykdavo rasti. Lietuvos mokyklø mokytojai iðvydo ir ëmë taikyti savarankið-kiems diferencijuotiems darbams pirmuosius didaktinës dalijamosios medþia-gos rinkinius, parengtus lietuviø autoriø: V. Blagnio ir J. Sprendienës21 [29�31] � pradinëse klasëse mokydami matematikos, J. Revucko22 [141], R. Raz-mo23 [138�140], B. Stancikienës ir kitø [87, 150, 151] � mokydami matemati-kos vyresniosiose klasëse. Taèiau po 1970 m. reformos ði iniciatyva ið Lietu-vos autoriø buvo atimta, ja dar spëjo pasinaudoti V. Blagnys, leisdamas di-daktinës dalijamosios medþiagos rinkinius pradinëms klasëms [26�28], o perpratybø sàsiuvinius jà toliau ðiose klasëse skleidë B. Balèytis bei jo bendraau-torës. Vyresniosiose klasëse kartu su vadovëliais atitinkamoms klasëms imta

37

leisti verstinius didaktiniø uþduoèiø rinkinius, daþniausiai parengtus tø pa-èiø autoriø kolektyvø, kaip ir vadovëliai.

Fakultatyviniams uþsiëmimams medþiagos nemaþai parengë, bet, deja,nedideliais tiraþais (daþniausiai dauginimo technika) iðleido J. Kisielius24 [69�73], P. Survila25 [153, 154], V. Liutikas [89, 90], P. Rumðas26 [146, 147]. Betvëliau ir èia iniciatyva ið lietuviø autoriø buvo atimta, ypaè leidþiant medþia-gà sustiprinto matematikos mokymo klasëms [1, 118, 119, 167, 170]. Tiesa,galima paminëti kaip ádomø ir vienintelá faktà tai, kad V. Liutiko knygos bu-vo iðverstos á rusø [177] ir latviø [90] kalbas.

Kai visoje SSRS buvo kilusi susidomëjimo programuotu mokymu ir joelementais banga, neliko nuoðalyje ir lietuviai autoriai: dauginimo technikaar net spaustuvëse, parengtos ,,Ðviesos� leidyklos, iðleistos P. Èeliausko27 [40,41], P. Martusevièiaus28 [96�98], E. Nevronienës29 [104, 105] ir kitø autoriøknygos [10, 11], susijæ ðios problemos praktiniu realizavimu ar teoriniu pa-grindimu. Vëliau ir á ðià niðà pradëjo spraustis verstinës knygos [113].

Ðiaip lietuviams autoriams pavykdavo iðleisti nedideliø knygeliø, anali-zuojanèiø atskirus matematikos mokymo klausimus [12, 46, 60, 61, 74, 75, 87,103].

Uþklasinio darbo srityje lietuviai autoriai tvirtai iðsikovojo jaunøjø ma-tematikø olimpiadø (toliau � JMO) rengimo pionieriø visoje SSRS laurus.Olimpinio judëjimo pradininkai � J. Kubiliaus30 vadovaujami Vilniaus uni-versiteto (toliau � VU) ir kitø aukðtøjø mokyklø bei Lietuvos mokslø akade-mijos (toliau � LMA) matematikai. Iðleistas solidus olimpiados uþdaviniø(su sprendimais) rinkinys [116], kurio leidimas buvo pakartotas, knygeliø sukonkreèiø olimpiadø uþdaviniais ir jø sprendimais [43]. Reikðtasi ir ádomio-sios matematikos srityje [164, 171�173], iðleista ir ðios srities verstinës litera-tûros [50], ypaè ádomiø matematikos istorijos knygø [53�55], kurios, deja,taip pat verstinës, leidiniø uþklasiniam mokiniø skaitymui ið matematikos[49, 56, 166], irgi verstiniø.

Iðleista ir specialiø vadovëliø ir uþdavinynø vakarinei (pamaininei) mo-kyklai [18, 32, 51, 52, 136] bei didaktinës medþiagos rinkiniø jai [2, 3, 20],kurie taip pat verstiniai.

Leistos knygos apie kabinetinæ sistemà, mokymo vaizdumà [75].Pradëjus diegti bûtinus mokymo rezultatus (dabartiniø standartø ana-

logas), iðleista atitinkamø verstiniø nurodymø [83, 117], taip pat iðleisti lietu-viø autoriø V. Malcevièiaus31 , O. Vokietaitytës32 ir kt. keliamøjø ir baigiamø-jø egzaminø uþduoèiø rinkiniai [94, 95]. Originalios knygos iðleistos [99, 100,126, 137] abiturientams, norintiems geriau pasirengti stojamiesiems egzami-

38

nams á aukðtàsias mokyklas. Kasmet RMTI iðleisdavo praëjusiø metø stoja-møjø egzaminø á visas Lietuvos aukðtàsias mokyklas uþdaviniø sàlygø rinki-nëlius (dauginimo technika).

Iðleista matematikos mokomøjø knygeliø technikumams [57, 161] beiprofesinëms mokykloms [48, 160, 163], taip pat ðeðiameèiø mokymui [13, 17,47], kuriø autoriai buvo Lietuvos pedagogai.

Taigi lietuviai autoriai bandë ,,ðokinëti�, taèiau ilgai jiems buvo skiria-mos antraeilës niðos, daugeliu atvejø � vasalø, ,,pasiuntinukø� dalia. Daugtikrai talentingø autoriø buvo priversti bûti tik maskviðkiø parengtø vadovë-liø, mokytojø knygø ir didaktinës medþiagos rinkiniø vertëjais (ypaè po 1970m. reformos). Antra vertus, Maskvos monopolizmas tam tikra prasme buvoperkeltas ir pakartotas Lietuvoje: minëtais vertëjais tapo daugiausia keli ak-tyvesni aukðtøjø mokyklø dëstytojai, Ðvietimo ministerijos darbuotojai, mo-kytojai á ðià sferà beveik nebuvo ásileidþiami. Tas pats pasakytina ir apie dide-liais tiraþais, pakartotiniais leidimais leistas originalias lietuviø autoriø kny-gas (vadovëlius, knygas mokytojams, didaktinæ medþiagà, egzaminø uþduo-èiø rinkinius).

Mokytojui skirtos matematikos didaktikos knygos buvo iðleistos ganaanksti, bet, deja, irgi verstinës: M. Znamenskio ir kt. [176], A. Pèiolkos [120]aritmetikos mokymo pradinëje mokykloje, V. Bradþio [38] � matematikosmokymo vidurinëje mokykloje metodikos. Originaliø lietuviø autoriø darbøsusilaukëme tik ,,perestrojkos� laikais: V. Drëgûno33 ir P. Rumðo bendrosiosmatematikos mokymo [45] ir J. Teiðerskio34 algebros mokymo [162] meto-dikø.

1.4. Matematikos mokymo diferencijavimo idëjosrealizavimas Lietuvoje

Ði idëja pradëta realizuoti 1958 m. Apþvelgsime, kas buvo padaryta perpirmàjá tos idëjos realizavimo dvideðimtmetá, juolab kad autoriui tiesiogiaiteko dalyvauti tiriant ðá klausimà ir jo asmeniniame archyve yra iðlikusi totyrimo medþiaga [788]. Per dvideðimt metø (iki 1978 m.), specialiai organi-zuoto diferencijuoto matematikos mokymo srityje Lietuvoje fiksuoti kai ku-rie pasiekimai. Labai paplito matematikos fakultatyviniø uþsiëmimø organi-zavimas. Antai 1978�79 m. m. mokyklose su dëstomàja lietuviø kalba VII�XI klasëse mokësi ið viso 173 650 mokiniø, ið jø 14 139 (8,1 proc.) lankë

39

fakultatyvinius matematikos uþsiëmimus. Palyginti su 1975�76 m. m. lankan-èiø ðiuos uþsiëmimus padidëjo 1,2 proc., mokyklose veikë ið viso 865 mate-matikos fakultatyviniø uþsiëmimø grupës (palyginti su 1975�76 m. m. jø skai-èius iðaugo 111. Trijø mokslo metø duomenys rodo, kad populiarûs matema-tikos fakultatyviniai uþsiëmimai buvo Vilniaus, Kretingos, ið dalies Trakø,Anykðèiø ir Raseiniø rajonuose. Paskutinio deðimtuko atkakliai laikësi Ða-kiø, Këdainiø, ið dalies Kelmës, Ðiauliø, Pasvalio rajonai. Ið pirmojo á pasku-tiná deðimtukà perëjo Ðalèininkø rajonas. Tai rodo, kad kai kuriuose rajo-nuose ðis klausimas buvo prastai sprendþiamas. Labai daþnai mokyklos pa-þeidinëjo fakultatyviniø uþsiëmimø nuostatus ir sudarydavo jø sàraðà, neatsi-þvelgdamos á mokiniø interesus. Reikia paþymëti, kad daþnai fakultatyviniaiuþsiëmimai, ypaè aðtuonmetëse mokyklose, bûdavo organizuojami tam, kadbûtø tolygiau paskirstomi mokytojams krûviai. Nereti atvejai, kai matemati-kos fakultatyviniai uþsiëmimai VII klasëje bûdavo, o VIII klasëje pradingda-vo ar atvirkðèiai, VII klasëje nebûdavo, o VIII � atsirasdavo. Pasitaikydavo,kad aðtuonmetëje fakultatyvinius uþsiëmimus lankæs mokinys jø vidurinëjenerasdavo. Bûdavo ir taip, kad per savo mokymosi VII�XI laikà klasëse mo-kiniai lankydavo kas metai vis kitokios rûðies fakultatyvinius uþsiëmimus irnet sunku bûdavo nuspræsti, kà áraðyti á atestatà. Fakultatyviniø uþsiëmimøsàraðas, siûlomas mokykloms, buvo toks platus, kad gerai iðaiðkinus kiekvie-no jø reikðmæ kiekvienam mokiniui, pagal visus nuostatø punktus nelengvabûdavo organizuoti juos net paèiose didþiausiose mokyklose: á vienà uþsira-ðydavo 2, á kità � 3 ir t. t., bet nei á vienà grupæ nesusirinkdavo 10 mokiniø netir ið visø lygiagreèiø klasiø. O ir susirinkus ne visada buvo bazë, neperkrautasmokytojas, pasirengæs vesti atitinkamà fakultatyviná uþsiëmimà. Tokios ir ki-tokios problemos galëjo bûti iðspræstos organizuojant tarpmokyklinius fa-kultatyvinius uþsiëmimus. Kadangi Lietuvoje buvo gana gerai iðvystytas susi-siekimas autobusais bei traukiniais, ði idëja bûtø galëjusi bûti sëkmingai rea-lizuota net ir kaimiðkuose rajonuose. Taèiau ði idëja, nors autorius ir siûlë,nebuvo ágyvendinta. Reikia paþymëti ir dar vienà aplinkybæ: net ir per fakul-tatyvinius uþsiëmimus gerai bûtø buvæ panaudoti individualø medþiagos ási-savinimo tempà, t. y. ir juose bûtø nekenkæs diferencijuotas mokymas fakul-tatyvinëje grupëje. Visa, kas iðdëstyta aukðèiau, árodo, kad per 20 metø mate-matikos fakultatyviniai uþsiëmimai, neapimdami në 10 proc. visø VII�XI kla-siø mokiniø ir turëdami dideliø organizaciniø problemø, dar negalëjo iki ga-lo iðspræsti matematikos mokymo diferencijavimo problemos. Panaði padëtisiðliko iki 1990 m.

Kita darbo su gabiais matematikai mokiniais forma � vyresniøjø klasiø

40

sustiprinto matematikos mokymo organizavimas. Jas imta Lietuvoje organi-zuoti, taèiau gana lëtai, jau nuo 1958 m. 1970 m. priimtas SSRS vidurinësbendrojo lavinimo mokyklos statutas oficialiai áteisino tokias mokyklas. Jomsbuvo sukurti ávairûs programø variantai. Ðiø mokyklø reikðmë buvo gana di-delë, taèiau ir jos dël ávairiø prieþasèiø neapëmë visø gabiø matematikai mo-kiniø. Antai Lietuvos ðvietimo ministerijos kolegija ir Lietuvos matematikødraugijos valdyba bendrame 1975 06 05 nutarime ,,Dël matematikos moky-mo fizikos � matematikos krypties vidurinëse mokyklose� paþymëjo, kad to-kiose Lietuvos mokyklose, greta pasiektø laimëjimø, buvo daug rimtø trûku-mø. Ypaè rimti buvo klasiø komplektavimo trûkumai, nes pagrindinis sustip-rinto mokymo klasiø mokiniø kontingentas bûdavo komplektuojamas ið tospaèios mokyklos, kurioje veikë minëtos klasës, jaunesniøjø klasiø mokiniø.Nutarime paþymëta, kad tose klasëse dar nemaþa mokytojø matematikà dës-të gana vidutiniðkai, vengë uþklasinio darbo, nedirbo su stipresniais moki-niais individualiai. Kritikuotas ir aukðtøjø mokyklø bendravimas su ðiø kla-siø mokytojais, nurodant, kad aukðtøjø mokyklø dëstytojai nepakankamaipadëjo mokytojams pasirengti specialiesiems kursams dëstyti, retai susitik-davo su tokiø klasiø mokiniais. Bendravimas apsiribodavo tik paskaitø pla-èiai auditorijai skaitymu. Nutarime buvo daug konkreèiø rekomendacijø, ku-rios turëjo pagerinti ðiø mokyklø darbà. Tarp jø � galimybiø iðnagrinëjimasorganizuoti tokias klases buv. Kapsuke (Marijampolëje), Alytuje, Utenoje,Këdainiuose ir Tauragëje. Tuo metu, kai ðis klausimas buvo nagrinëjamas,sustiprinto matematikos mokymo klasës buvo Vilniaus A. Vienuolio ir VIIKauno J. Aleksonio (deja, tokia buvo sovietinë tikrovë � ði puiki mokyklailgai buvo priversta vadintis ðio negarbingo þmogaus vardu), Klaipëdos XIV,Ðiauliø IX ir Panevëþio J. Balèikonio vidurinëse mokyklose, t. y., tik tuome-tiniuose respublikinio pavaldumo miestuose � ne kurortuose. Ðios klasës apë-më tik labai nedidelæ visø respublikos moksleiviø dalá. Antai 1974 m. ðiøklasiø abiturientø buvo 235, o visos Lietuvos dieninëse mokyklose � 19 173.Taigi sustiprinto matematikos mokymo klasiø abiturientai tesudarë 1,2 proc.visø abiturientø.

Kaip buvo vykdomas ðis svarbus nutarimas? 1978 m. sausio mën. ávy-kusiame pasitarime dël sustiprinto matematikos mokymo mokyklø darbo,organizuotame RMTI, konstatuota, kad 1978 m. klasës papildomai buvo ákur-tos Alytaus V, Jurbarko II, Klaipëdos XI, Tauragës I, Utenos IV ir VilniausVI bei XXIX vidurinëse mokyklose. Visos Lietuvos tokiø klasiø ir mokiniøjose skaièius pateiktas 1 lentelëje.

41

Taigi nors ðiek tiek padaugëjo sustiprinto matematikos mokymo klasiøir jose besimokanèiø mokiniø, bet, visuotinio vidurinio mokymo sàlygomisiðaugus ir bendrajam mokiniø skaièiui, abiturientø procentas ðiose klasësenet sumaþëjo. Ávyko profiliø persiskirstymas. Anksèiau veikë fizikos-mate-matikos krypties mokyklos. 1978 m. ðios kryptys jau buvo atskirtos. Tik Vil-niaus VII vidurinë mokykla pasirinko fizikos profilá, o visos kitos, veikusios1975 m., liko iðtikimos matematikai. Profilio pasirinkimas buvo paliktas mo-kyklø nuoþiûrai. Tas faktas, kad dauguma mokyklø liko matematinëmis, ro-dë, kad matematikø veikla mokyklose buvo gana pastebima, o tai � didelis tømokyklø matematikos mokytojø nuopelnas. Kiek pagerëjo mokiniø kontin-gento komplektavimo klausimai, nors klasiø branduolá ir toliau tebesudarëtø paèiø mokyklø mokiniai, nors mokyklos ir atlikdavo nemaþà darbà propa-guodamos sustiprintà matematikos mokymà. Taigi ðios mokyklos dar maþiaunegu fakultatyviniai uþsiëmimai galëjo iðspræsti matematikos mokymo dife-rencijavimo problemà. Nepavyko pasiekti, kad á jas patektø tik ið tiesø gabûsir jà mëgstantys mokiniai. O dalis tokiø mokiniø ið viso á ðias mokyklas nepa-tekdavo.

Kaip matome, dabartinis profilinis mokymas nëra dabartiniø mokyklosreformø vykdytojø iðradimas. Jau carinës Rusijos gimnazijos, nusiþiûrëjus áVakarus, buvo keliø tipø: klasikinës, realinës (Panevëþyje, Daugpilyje) ir ko-mercinës. Iki 1936 m. reformos Lietuvoje veikë visø iðvardytø tipø ir dar nau-jo tipo � kalbinës � gimnazijos ar atitinkamø profiliø klasës toje paèioje gim-nazijoje [9]. Tad aptartos mokyklos � realiniø gimnazijø atmaina, o sustiprin-to kalbø mokymo mokyklos � kalbiniø gimnazijø atmaina. Jø visø patirtis yranaudinga ir dabar (,,Istorija yra gyvenimo mokytoja�).

Buvo ir dar viena darbo su gabiais matematikai mokiniais forma � Jau-nøjø matematikø neakivaizdinë mokykla (toliau � JMNM) prie Lietuvos ma-tematikø draugijos (toliau � LMD). Ji pradëjo veikti 1969 m., imant pavyzdáið mokyklos, jau veikusios Maskvos Lomonosovo universitete. ,,Komjauni-mo tiesos� (dab. ,,Lietuvos rytas�) laikraðtyje kasmet buvo spausdinamas krei-

Klasÿs Sustiprinto mokymo Mokini � jose

Mokini � Lietuvoje

Proc. sustiprinto mokymo klasÿse

IX 15 435 35 028 1,24 X 17 506 33 720 1,50 XI 11 277 27 346 1,03

Iš viso 43 1218 96 094 1,27

1 lentelë. Sustiprinto matematikos mokymo klasës ir jø mokiniaiLietuvoje 1977�78 m. m.

42

pimasis á devintokus ir stojamojo darbo sàlygos su metodiniais nurodymais.Devintokai, atsiuntæ atliktà darbà á dabartiná Vilniaus pedagoginá institutà(toliau � VPI), gaudavo atsakymà apie priëmimà ar nepriëmimà á mokyklosI kursà. Ðiame kurse buvo atliekami 6 kontroliniai darbai (jie su metodiniaisnurodymais buvo spausdinami minëtame laikraðtyje): 3 devintoje ir 3 deðim-toje klasëje. Visi kontroliniai darbai paprastai neiðeidavo uþ mokyklinës pro-gramos ribø, tik uþdaviniai èia bûdavo kur kas sudëtingesni, reikalaujantyskûrybiðkai pritaikyti turimas þinias. Sprendimus taisydavo VPI matematikai.Deðimtokai, sëkmingai atlikæ visus 6 kontrolinius darbus, bûdavo perkeliamiá mokyklos II kursà. Èia jø laukë vël 6 kontroliniai darbai: 3 � deðimtoje ir 3vienuoliktoje klasëse. Ðie kontroliniai darbai jau buvo iðsiunèiami kiekvie-nam moksleiviui asmeniðkai. Toks kontrolinis darbas � nemaþa broðiûra, ku-rioje bûdavo iðdëstyti pagrindiniai teoriniai matematiniai teiginiai, kuriaisreikëdavo remtis sprendþiant ðio kontrolinio darbo uþdavinius, uþdaviniøsprendimo pavyzdþiai, bûdavo nurodyta papildoma literatûra. Atlikus visuskontrolinius darbus, kuriuos taisë Vilniaus universiteto (toliau � VU) mate-matikai, mokiniams iðkilmingai bûdavo áteikiami ðios mokyklos baigimo pa-þymëjimai. Mokyklos darbu nuolat rûpinosi VU rektorius, LMD valdybospirmininkas, Lietuvos MA akademikas, prof. habil. dr. J. Kubilius, draugijosnariai: I mokyklos tarybos pirmininkas prof. habil. dr. K. Grincevièius (1917�1972), II pirmininkas doc. dr. Z. Juðkys, III pirmininkas doc. dr. A. Jonu-ðauskas (1938�1992), IV pirmininkas doc. dr. A. Matuliauskas, doc. P. Rum-ðas, doc. dr. H. Jasiûnas35 , doc. dr. P. Vaðkas, prof. dr. V. Liutikas, doc. dr. J.Kisielius, doc. dr. A. Anelauskienë36 , doc. dr. E. Neniðkytë37 ir kt. Jie akty-viai dalyvaudavo rengiant kontrolinius darbus, organizuojant jø taisymà. Ypaèdaug ðioje srityje nuveikë kaip tik paskutinës paminëtos docentës. PirmojiVPI, antroji VU kartu su studentais vykdë darbø taisymà, vedë apskaità. Vi-sas darbas vyko visuomeniniais pagrindais. Todël LMD, prisiëmusi ðá gran-dioziná ásipareigojimà, nukreiptà á naujos Lietuvos matematikø kartos ugdy-mà, verta didþiausio pagyrimo. Ðios mokyklos pirmosiose 7 laidose (iki 1977m.) buvo 3161 absolventas. Ðios mokyklos pirmøjø laidø absolventø skaièiuspateiktas 2 lentelëje.

Absolventai buvo pasiskirstæ maþdaug 150 viduriniø mokyklø (jø Lie-tuvoje 1977 m. buvo 548). Aktyviai talkininkavo ðiai mokyklai apie 200 Lie-tuvos matematikos mokytojø. Daugelyje mokyklø darbas su ðios mokyklosmokiniais buvo tapæs tradicine uþklasinës matematikos veiklos forma. Ið pir-møjø 7 laidø daugiausia absolventø buvo Kelmës rajone � 146 (aktyviausimokytojai A. Dziena, J. Kmita, S. Gumonienë, P. Medalinskas, J. Jogminie-

43

në) ir Tauragës rajone � 142 (aktyviausi mokytojai R. Barðèiauskas38 ir J.Jasinevièiûtë). Ðiame darbe aktyvûs buvo Kretingos, buv. Kapsuko (Mari-jampolës) ir kai kuriø kitø rajonø mokytojai. Mokyklos privalumas buvo tas,kad jos nevarþë bazës, komplektavimo ir kt. problemos, bûdingos fakultaty-vø ar sustiprinto matematikos mokymo mokyklø organizavimui. Ji buvo pri-einama bet kurios, tegu ir labiausiai nutolusios nuo centrø Lietuvos viduri-nës mokyklos moksleiviams, jei tik turëjo gerà, mylintá savo darbà matemati-kos mokytojà. Pavyzdþiui, jau nuo I laidos kasmet keletas mokiniø baigdavoðià mokyklà ið maþytës, nuoðalios Skuodo raj. Ðaèiø vidurinës mokyklos, ku-rioje dirbo didelis savojo darbo entuziastas matematikos mokytojas F. Liau-èys39 . Kelmiðkiai matematikai, negalëdami sukomplektuoti maþose kaimovidurinëse mokyklose matematikos fakultatyviniø uþsiëmimø grupiø, irgi su-maniai pasinaudojo ðios mokyklos teikiamomis paslaugomis. Nemaþa JMNMabsolventø buvo parengta nedidelëje Telðiø raj. Ubiðkës vidurinëje mokyk-loje.

Taèiau buvo rajonø, ið kuriø neakivaizdinëje jaunøjø matematikø mo-kykloje mokësi ir baigdavo jà maþai mokiniø. Antai pirmosiose 7 laidose bu-vo vos 1 absolventas ið Ðirvintø rajono, vos 9 ið Zarasø rajono. Maþokai jøbuvo ir ið Akmenës, Birþø, Pakruojo, Raseiniø, Vilkaviðkio rajonø. Matyti,kad ne visi mokytojai skatindavo mokinius stoti á ðià mokyklà, ne visi ir ásto-jus rûpinosi jais, padëdami áforminti darbus, teikdami reikalingas konsulta-cijas. Ðio reiðkinio prieþastys, matyt, buvo ávairios: vieniems mokytojams ne-pakako pasirengimo, kitiems � laiko, treti buvo abejingi ðiam darbui ir t. t.Todël daugelis gabiø matematikai mokiniø nepatekdavo á ðià mokyklà, o kaikurie ástojusieji nebaigdavo jos. Antra vertus, kai kuriø priekaiðtø turëjo irsàþiningai su jaunaisiais matematikais dirbæ mokytojai. Antai Tauragës I vi-durinës mokyklos matematikos mokytojas R. Barðèiauskas raðë: ,,1971 me-tais 14 mûsø mokyklos mokiniø baigë Lietuvos Jaunøjø matematikø mokyk-

Metai Iš viso abiturientÿ

Lietuvoje Iš viso mokyklos

absolventÿ Proc. nuo bendro

skai� iaus 1971 14 381 245 1,7 1972 15 248 256 1,7 1973 16 522 559 3,4 1974 19 173 612 3,2 1975 23 081 539 2,3

Iš viso 88 405 2 211 2,5

2 lentelë. Neakivaizdinës jaunøjø matematikø mokyklos pirmøjø 5 laidøabsolventø skaièius

44

là <...>. Matematinës mokyklos uþduotys, kad ir sunkokos, daugumoje mo-kiniø savarankiðkai ar su nedidele mokytojo pagalba áveikiamos. Deja, kuotoliau, tuo reikalai blogëja. Matematinës mokyklos uþduotys aiðkiai per sun-kios. Jei geras mokinys savarankiðkai nesugeba iðspræsti didesnës uþdaviniødalies, nesupranta instrukcijos ar jos nesuspëja per nurodytà laikà iðmokti,jis daro aiðkià ir sunkiai sugriaunamà iðvadà: ,,Matematinëms studijoms aðnetinku, nesuprantu eiliniam mokiniui skirtø uþdaviniø�. Ðiuo atveju visi mo-kytojo <...> átikinëjimai nedaug kà gali pakeisti� [103, p. 11�12]. Panaðiaipasisakë ir Radviliðkio III vidurinës mokyklos mokytojas V. Juozapaitis: ,,Pa-sirodo, kad mokytis ðioje neakivaizdinëje mokykloje nëra lengva. Paskutiniumetu ne visi gabiausi matematikai mokiniai pajëgûs iðspræsti IX klasei skiria-mas uþduotis. Panaðiai atsitiko ir su deðimtokais. Matematikos mokytojø nuo-mone, kai kurios ðios mokyklos uþduotys per daug aukðto lygio� [103, p. 42].Uþduoèiø sunkëjimo ðaknys, mûsø nuomone, slypëjo ðtai kur: neakivaizdinëmokykla buvo labai populiari, bet, bûdama organizuota visuomeniniais pa-grindais, ji savo populiarumo ðiek tiek iðsigando. Juk tas faktas, kad vienumetu joje mokydavosi netoli pustreèio tûkstanèio mokiniø ir nebuvo nei vie-no etatinio darbuotojo, kalba pats uþ save. Jei uþduotys bûtø buvæ nesunkios,mokiniø skaièius galëjo padvigubëti ar net patrigubëti, o tai bûtø apsunkinæir taip nelengvà ðios mokyklos darbà. Kaip nurodo IV mokyklos vadovas A.Matuliauskas, jam vadovaujant mokyklai 1979�1989 m. laikotarpiu mokyklàbaigë apie 3000 absolventø [541, p. 77], o ið viso per du mokyklos gyvavimodeðimtmeèius jà baigë apie 6000 absolventø. ,,Apskritai mokyklos darbe da-lyvavo deðimtys tûkstanèiø mokiniø ir mokytojø.

Aptardami mokyklos darbo efektyvumà <...> turime pastebëti <...>esminius dalykus. Pirmiausia per laikraðtá ir paðtu pradëjo plûsti srautas mo-komosios medþiagos. Nepaprastai svarbu, kad mokyklos darbas sujudino ðim-tus mokyklø ir, ko gero, tûkstanèius matematikos mokytojø. Sklido kalbos,kad mokytojai rajonuose bei miestuose subëgdavo á bûrá ir aptardavo laik-raðtyje iðspausdintø uþdaviniø sprendimo bûdus. Daugelyje mokyklø uþduo-tys buvo nagrinëjamos ir sprendþiamos matematikø bûreliuose. Mokyklosdarbas iðryðkino gabiausius matematikos mokytojus patriotus. Juos galimadràsiai áraðyti á Lietuvos matematikos istorijos bei ðvietimo literatûros pusla-pius. Dauguma jø buvo olimpiadininkø ugdytojai. Nepaprastai svarbu, kadmokykla sudarë sàlygas atsiskleisti mokiniø polinkiams ir padëjo tikslingiaupasirinkti studijø kelià. Paminësime tiktai, kad ið pirmosios neskaitlingos lai-dos matematiko profesijà pasirinko per trisdeðimt moksleiviø <...>. Mokyk-los baigimo paþymëjimas � rekomendacija studijuoti tiksliuosius mokslus �

45

beveik garantavo, kad jaunuolis ástos á aukðtàjà mokyklà. Graþios bûdavopaþymëjimø áteikimo iðkilmës. Jø metu moksleiviai galëdavo pamatyti ir klau-sytis iðkiliausiø Lietuvos matematikø. Darbðèiausius mokytojus Universitetorektorius apdovanodavo garbës raðtais�, � raðë H. Jasiûnas [412, p. 73�74].,,Kodël nustojo egzistuoti reikalinga Lietuvai mokykla? � tæsë H. Jasiûnas. �Per mokyklos steigimo ir gyvavimo metus man teko ,,politruko� vaidmuo irLietuvos matematikø draugijos valdybos vardu spræsti mokyklos problemas.Ið jø ir renkant mokyklos tarybos vadovà <...>. Ir ðtai jau Sàjûdþio metaisbuvo pasirinktas vienas <...> darbuotojas, kuris mielai sutiko vadovauti, betvadovavo taip, kad mokyklos þiburys uþgeso. Jauèiuosi kaltas, kad per daugpasitikëjau pasirinktu asmeniu ir kurá laikà nesidomëjau mokyklos perspek-tyvomis. Po to keletà kartø teko dël mokyklos atgaivinimo raginti LMD val-dybà, taèiau paramos teko laukti kelerius metus. O matematikos mokytojai,aèiû jiems, per susitikimus reikalavo judinti mokyklos ir populiariosios lite-ratûros leidimo darbà� [412, p. 74]. Ir ðtai ,,Po ilgokos � vos ne deðimtiesmetø pertraukos paskelbta (Dialogas, 1998 gruodþio 18 <...>) Lietuvos jau-nøjø matematikø mokyklos darbo pradþia�, � raðë doc. dr. A. Apynis [190, p.70], ðios atkurtos mokyklos tarybos pirmininkas.

Atskiromis specialiai organizuoto mokymo atmainomis laikytina ir ma-tematikos bûreliø veikla, ir jaunøjø matematikø olimpiadø organizavimas.Apie já ðiek tiek jau kalbëjome, skirsime ðioms uþklasinës veiklos rûðims dë-mesio ir ateityje.

1.5. Pradiniø klasiø ir matematikos mokytojø rengimas.Jø darbo sàlygos

Pradiniø klasiø mokytojai daugiau kaip deðimtmetá po karo buvo ren-giami mokytojø seminarijose (toliau � MS), kurios veikë Alytuje, Kaune, Ma-rijampolëje, Panevëþyje, Ðiauliuose, Ðvenèionëliuose, Telðiuose, Trakuose irUkmergëje. Á jas priimdavo baigusius progimnazijas (po 1949 m. � septyniasklases) ir po ketveriø metø mokymosi absolventai gaudavo pradiniø klasiømokytojo kvalifikacijà. Po 1949 m. reformos MS buvo pervadintos pedagogi-nëmis mokyklomis (toliau � PM) ir veikë visos iki 1957 m. (kai kurios iki1958 m.). Nuo tø metø Lietuvoje liko tik ðios PM: buv. Kapsuko (Marijam-polës), Klaipëdos, Panevëþio muzikos ir Vilniaus (perkelta 1957 m. ið Tra-kø). Jos pradiniø klasiø mokytojus (dvimeèiuose skyriuose, priimdavo baigu-

46

sius vidurinæ mokyklà) rengë iki 1983 m., po to jose liko tik skyriai, kuriuoserengdavo ikimokykliniø vaikø ástaigø auklëtojas bei muzikos vadovus (Pane-vëþyje) [769, p. 123�124, 340]. PM skaièius buvo sumaþintas, tikintis, kadpakankamai pradiniø klasiø mokytojø parengs 1954 m. ákurtas Ðiauliø peda-goginis institutas (toliau � ÐPI, dab. ÐU), jo pedagogikos fakultetas. Taèiautos viltys negreitai pasiteisino, nes gana ilgai ðio fakulteto absolventai buvoádarbinami vyresniøjø klasiø mokytojais (kaip, beje, ir gabesnieji pedagogi-niø mokyklø absolventai). Todël pradiniø klasiø mokytojams rengti prie kaikuriø miestø viduriniø mokyklø buvo atidarytos (apie 1963�1965 m.) dvylik-tosios pedagoginës klasës, taip pat pradiniø klasiø mokytojais buvo ádarbina-mi viduriniø mokyklø abiturientai, kuriø dauguma vëliau baigë ÐPI pedago-gikos fakulteto ar pedagoginiø mokyklø neakivaizdinius skyrius.

Matematikos mokytojus nuo pat pokario rengë VU, VVPI stacionari-niai ir neakivaizdiniai skyriai, taip pat nuo 1954 m. � ÐPI (neakivaizdiniubûdu � neilgai).

Visose mokymo ástaigose buvo dëstoma matematikos mokymo metodi-ka (matematikos didaktika). Maskvos ir Leningrado mokslo ar mokymo ástai-gose keli lietuviai apgynë mokslø kandidato (dab. daktaro) disertacijas iðmatematikos didaktikos: B. Balèytis, V. Drëgûnas, A. Aþubalis, J. Revuckas,M. Vosylienë40 , D. Èesnauskienë41 . Pirmieji keturi nuolatos ar su pertrauko-mis dëstë matematikos didaktikà aukðèiau nurodytose mokymo ástaigose, doc.D. Èesnauskienë ir dabar dësto pradinës matematikos didaktikà KU, prof.A. Aþubalis 1998�2004 m. dirbo ÐU. Visi dalyvavo keliant mokytojø kvalifi-kacijà, skaitydami paskaitas mokytojø kursuose RMTI. Dar du dëstytojai � P.Rumðas (VU) ir J. Teiðerskis (VPI) � gavo docentø vardus uþ ilgametá darbàir aktyvià mokslinæ metodinæ veiklà. Taèiau ðios srities aukðtos kvalifikacijosspecialistø Lietuvai nepakako. Kai kuriose katedrose matematikos didaktikàdëstë (ir tebedësto) teorinës matematikos specialistai, kuriø perteklius Lie-tuvoje senokai jauèiamas, todël jie ir stengësi uþimti ðià niðà. Aiðku, jø vaid-mens sumenkinti èia jokiu bûdu nenorime. Jie áneðë didelá indëlá á aukðèiauaptartà darbà su gabiaisiais mokiniais. Taèiau, patys neturëdami nuoseklausdidaktinio pasirengimo, jie negalëjo (ir negali) áneðti didesnio indëlio á mate-matikos didaktikos vystymà (ypaè bendrosios didaktikos) Lietuvoje. Kaimy-nuose yra kitaip. Antai Estijos Tartu universitete veikianèioje matematikosmokymo metodikos katedroje didaktikos specialistø buvo ir yra daug. To re-zultatai: jau nuo 1970 m. estai iðsikovojo teisæ turëti originalius matematikosvadovëlius visoms klasëms, o 1989 m. jø vadovëlis [115] laimëjo konkursà irbuvo imtas vartoti visoje SSRS. Beje, be aukðèiau minëtø leidiniø ir þemiau

47

aptariamø straipsniø Lietuvos pedagoginëje periodikoje raðymo, matemati-kos didaktikos specialistai ir jà dëstantys, taip pat kai kurie mokytojai daly-vaudavo (ir dalyvauja) kasmetinëse LMD konferencijose, kur jau daug metøveikia sekcija, skirta matematikos didaktikos ir jos istorijos problemoms nag-rinëti. Kurá laikà buvo spausdinamos ir praneðimø tezës. Vienas kitas prane-ðimas buvo skaitomas ir tarprespublikinëse SSRS konferencijose [727 � 729,733]. SSRS mokslinëje metodinëje spaudoje taip pat kartais pasirodydavostraipsniø ið Lietuvos [730, 731, 734�738, 740, 742�747]. Beje, J. Teiðerskiostraipsnis [747] � vienas pirmøjø straipsniø SSRS, kuriame árodinëjama, kadaðtuonmetëje mokykloje nagrinëjami per daug sudëtingi algebriniø reiðkiniøpertvarkiai. Siûlymai juos suprastinti panaðûs á tai, kas dabar daroma Lietu-voje.Taèiau visa tai buvo negausûs bandymai iðsiverþti á platesnæ arenà. Taisuprasdami dabar atkurtø Baltijos valstybiø matematikos didaktikos specia-listai P. Rumðas, latvis J. Mencis (Mencis, vyresnysis)42 ir estas O. Prinitsas(Prinits)43 1984 m. Liepojos PI organizavo pirmàjà Pabaltijo matematikosmetodikos ir jos istorijos seminarà. Jis tapo tradicinis ir ið eilës kas vieni (kar-tais kas dveji) metai ávykdavo Latvijoje, Estijoje ir Lietuvoje. Dalyviø skai-èius juose bûdavo nedidelis, bet gana pastovus. Iki 1990 m. Lietuvai juoseatstovaudavo P. Rumðas, E. Neniðkytë, A. Nagelë, H. Jasiûnas, A. Aþubalis,vëliau ásitraukë mokytojai R. Paulavièienë44 , Irena ir Jonas Bagdonai. Akty-vûs Latvijos atstovai buvo J. Mencis (vyresnysis), Ð. Michelovièius (1909�1995), L. Reizinis (Reiziòð)45 , I. Strazdinis (Strazdiòð)46 , A. Andþanas(Andþans), D. Damberga (Damberga)47 , I. Heninia (Heniòa)48 , Benita49 irOjaras50 Judrupai (Judrupa, Judrups), A. Vaivode (Vaivode), J. Dambytis(Dambîtis)51 , J. Mencis (jaunesnysis)52 ir kt. Estijai atstovaudavo O. Prinit-sas, J. Afanasjevas, R. Koldë (Kolde), Lëja ir Titas Liepmanai (Lepmann), J.Reimandas (Reimand), A. Telgma ir kt. Sovietmeèiu, deja, tik Latvijos uni-versitetas iðleido seminaro darbø leidinëlá. Jame atspausdinti ir Lietuvos pra-neðëjø darbai [725, 739, 741, 748, 749].

Mokytojo gyvenimo ir darbo sàlygas pokariu kiek aptarinëjome aukð-èiau. Paþymëtina, kad mokytojai, ypaè pradiniø klasiø, visà sovietmetá gau-davo nedidelá atlyginimà, todël kaimo mokytojai, turëjæ ðeimas, buvo pri-versti laikyti gyvulius, verstis darþoviø auginimu, miestieèiai tà patá darë ko-lektyviniuose soduose, taip uþsitikrindami normalesná egzistavimà. Kai ku-rie ir virsdavo ûkininkais, kuriems darbas mokykloje buvo tik priedas prieûkio. Kiti, prieðingai, bodëdamiesi ûkininkaudavo, stengësi dirbti kûrybið-kai, sekti naujausià pedagoginæ literatûrà, spaudà, patys ieðkojo bûdø pasi-reikðti joje. Mokyklose, rajonuose bei miestuose ir Lietuvos mastu buvo pe-

48

riodiðkai organizuojami pedagoginiai skaitymai � pasidalijimo patirtimi kon-ferencijos. Geriausi praneðimai buvo skaitomi respublikiniame ture, o patysgeriausi � spausdinami RMTI leistose knygutëse [60, 61], kai kurie � peda-goginëje periodinëje spaudoje. Á jà kai kurie mokytojai raðydavo savo inicia-tyva.

1.6. Pedagoginë periodika pokario Lietuvoje

Periodinë spauda, anot V. Lenino, buvo partijos ginklas. Visà sovietme-tá joje buvo ið tiesø labai daug propagandinio melo. ,,Fenomenalus reiðkinys,kuris amþiams iðliks pasaulinës þurnalistikos istorijoje, buvo komunistø par-tijos ir tarybø valdþios spaudos organuose nuolat apraðinëjami darbo pirmû-nai, socialistinio lenktyniavimo nugalëtojai ir komunistinio darbo spartuoliai<...>. Partinës spaudos publikacijos apie darbðtø þmogø turëjo bûti ypatin-gos. Svarbiausia, në menkiausiu þodelyèiu nebuvo galima uþsiminti, kad þmo-gus nemato ðviesios dienos ir lieja devynis prakaitus tik todël, kad nori dau-giau uþdirbti. Taip galvoti galëjo tik buoþë ir burþujus. Kad ir kaip ið tiesøbûtø, reikëjo raðyti, jog darbo pirmûnui uþdarbis nei galvoj, nei uodegoj. Jis,kaukdamas it vilkelis, sukosi tik tam, kad greièiau ávykdytø partijos planus irpastatytø komunizmà vaikams�, � taip vertina savo darbà sovietinëje spau-doje ilgametis jos darbuotojas þurnalistas A. Èalnaris [39, p. 131]. Aiðku,laisva nuo partijos prieþiûros nebuvo ir pedagoginë spauda. Jos puslapiai,ypaè pirmieji, mirgëta mirga sovietinëmis nesàmonëmis. Taèiau dël to jø ið-mesti á makulatûrà nereikëtø (deja, kai kas taip jau padarë).

Turime nepamirðti, kad lietuviai autoriai buvo beveik nuðalinti nuo va-dovëliø raðymo, nelabai daug jie galëjo reikðtis ir rengiant metodinius leidi-nius. Todël jiems beliko vienintelë vieta, kur jie galëjo skleisti savo metodi-nes idëjas � pedagoginë periodika. Ji nebuvo gausi, taèiau buvo: nuo 1945 m.ëjo þurnalas itin ideologizuotu pavadinimu � ,,Tarybinë mokykla� (toliau �Tm), 1989 m. pervadintas ,,Tautine mokykla� (toliau � Ttm), nuo 1954 m.pradëjo eiti taip pat ideologizuotu pavadinimu laikraðtis ,,Tarybinis mokyto-jas� (toliau � TM), 1989 m. pervadintas ,,Tëvynës ðviesa� (toliau � TÐ). Tmredagavo J. Þiugþda, P. Mikutaitis, K. Kedaitis, J. Kavaliauskas, B. Boreiðie-në, A. Burokas, A. Stundys, P. Lapeikis (jam redaguojant Tm virto Ttm).1988 m. þurnalo tiraþas buvo 25 800 egz. [770, p. 264]. TM iki 1957 m. ëjokartà, nuo 1958 m. � 2 kartus per savaitæ. Redaktoriai: R. Valiukonis, P. Þel-

49

vys, J. Subaèius (jam redaguojant TM virto TÐ). 1988 m. tiraþas buvo 33 800egz. [770, p. 266]. Beje, tiraþai buvo pradëti skelbti tik ,,perestroikos� metais:anksèiau tai buvo paslaptis � dar viena sovietinë nesàmonë... Ðiuose leidi-niuose ir buvo paskelbti ðimtai metodiniø straipsniø, kuriø minèiø, mûsø nuo-mone, negalima totaliðkai atmesti, jas uþmirðti. Jose sukaupta 50 metø sun-kiai dirbusiø, varganai gyvenusiø Lietuvos pradiniø klasiø ir matematikosmokytojø (o ir kitø specialybiø mokytojø) patirtis � nemaþas lobis, kuriuoprotingai gali pasinaudoti ir nûdienos, ir ateities mokytojas. Tolesniuose ðiosknygos skyriuose ir analizuosime jà.

* * *

Baigdami ðià bendràjà apþvalgà, turime atsipraðyti tø autoriø ir vertëjø,kurie knygos pabaigoje pateiktame literatûros sàraðe neras kurios nors savoparaðytos ar iðverstos knygos. Ðio darbo tikslas nëra pateikti visà 1945�1990m. iðleistà literatûrà bei jà aptarti. Átraukti á sàraðà tik tie leidiniai, kurie iliust-ruoja vienà ar kità autoriaus teiginá apie bendràjà matematikos mokymo bûklæLietuvos mokykloje 1945�1990 m.

1 PETRAUSKAS MIKAS gimë 1908 02 12 Trakø aps., Þàsliø vls., Talpûnø k. BaigæsKauno S. Daukanto mokytojø seminarijà, nuo 1932 m. mokytojavo Ðiauliø aps. Ðvendrësir Këdainiø aps. Kubiliûnø pradþios mokyklose, kartu studijuodamas Vytauto Didþiojouniversitete (toliau � VDU), Humanitariniø mokslø fakultete, kurá baigë 1940 m.,apgindamas diplominá darbà ,,Mokomosios medþiagos suplanavimas skaièiavimovadovëliuose�. Darbas pagrástas jo paties iðleistø aritmetikos vadovëliø I�III pradinësmokyklos skyriams (1937�1939) analize. Po studijø dëstë Marijampolës ir Ðiauliømokytojø seminarijose, buvo Dotnuvos ir Pakruojo gimnazijø mokytojas. Likimasneþinomas [7, p. 176; 9, p. 290].

2 RUPEIKA ZIGMAS (g. 1898 09 19 Maskvoje � m. 1973 01 10 Kaune). 1911 m.baigë pradþios mokyklà ir ëmë mokytis privaèioje komercijos mokykloje. 1912�1917m., tëvams persikëlus á Kurskà, mokësi Kursko realinëje gimnazijoje, 1918 m. dar baigëir jos papildomà klasæ ir ástojo á Maskvos komercijos instituto technikos skyriø. Taèiaudël porevoliucinës suirutës institute uþsiëmimai nutrûko. Gráþæs á Kurskà, Z. Rupeikadirbo Kursko gubernijos maisto komiteto (,,gubprodkom�) bendrosios dalies virðininku,kitø metø rudená vël nuvyko á Maskvà, bet instituto, paversto Liaudies ûkio institutu,nelankë � nepatiko tvarka. Dirbo Samaroje, Kurske valdininku. 1921 m. gráþo á Lietuvà,iki 1922 m. tarnavo Lietuvos kariuomenëje. 1922 m. ástojo á Lietuvos universiteto (toliau� LU) Technikos fakultetà. Nuo 1924 m. studijuodamas dirbo Karo technikos valdyboje

50

vyr. braiþytoju. 1927 m., baigæs 6 semestrus, ëmë mokytojauti. Dirbo Tauragësaukðtesniojoje komercijos mokykloje, Vilkaviðkio, Alytaus gimnazijose, Kelmësprogimnazijoje, Þemës ûkio ministerijoje. 1940 m. nukeltas á Joniðkio gimnazijà. 1943m. iðveþtas darbams á Vokietijà, ten buvo sunkiai suþeistas ir gràþintas atgal. 1944 m.ëmë dirbti Kauno III mergaièiø gimnazijoje, po karo pavadintoje S. Nëries vidurinemokykla. Dirbo joje iki iðëjimo á pensijà 1965 m. 1952 m. eksternu baigë VVPI(matematikos spec.).

Nepriklausomoje Lietuvoje Z. Rupeika bandë árodyti P. Ferma (Fermat, 1601�1665)didþiàjà teoremà, paskelbë ðia tema straipsniø, iðleido 3 knygeles. Po karo 3 straipsnius[744�746] paskelbë maskviðkiame þurnale ,,Matematika v ðkole� (,,Matematikamokykloje�), iðvertë 4 vadovëlius, buvo M. Grebenèios ir D. Liapino aritmetikosvadovëlio pedagoginiams institutams (vertë doc. G. Þilinskas) vertimo mokslinisredaktorius. 1957 m. mëgino raðyti disertacijà, bet dël sveikatos ir senyvo amþiaus josnebaigë [7, p. 177�178; 9, p. 495].

3 BLAGNYS VACLOVAS gimë 1929 02 04 Gargþduose. Baigæs Klaipëdos Igimnazijà, 1948�1951 m. mokytojavo Gargþdø vidurinëje mokykloje, 1955 m. baigëVVPI Fizikos � matematikos fakultetà. 1954 � 1992 m. dirbo Ðvietimo ministerijojemetodininku, mokyklø inspektoriumi, Mokymo priemoniø ir materialiniø fondøvaldybos virðininku. Savo autobiografijoje V. Blagnys raðë: ,,Mano pedagoginë veiklaglaudþiai susijusi su darbu ministerijoje ir matematikos mokytojo darbu antraeilësepareigose. Mokyklø inspektavimas, bendravimas su mokytojais, aukðtøjø mokyklødëstytojais, gilinimasis á matematikos mokymo padëtá lëmë ðias mano veiklos kryptis:1) paskaitiná darbà, 2) darbà spaudoje, 3) leidybiná darbà�. V. Blagnys skaitë daugpaskaitø mokytojø kursuose, seminaruose, konferencijose. Spaudoje paskelbë apie 60straipsniø, nemaþa jø � matematikos didaktikos klausimais (juos analizuosime þemiau).Leidybiná darbà jau aptarëme, tik papildysime tuo, kad V. Blagnys buvo B. Balèyèiovadovëliø ir pratybø sàsiuviniø pagrindinis recenzentas. ,,Vëliau daug dëmesio skyriaumokyklø materialiniam aprûpinimui, mokymo kabinetø steigimui, jø aprûpinimuimokymo priemonëmis, specialiais baldais ir árengimais, filmotekø steigimui, mokomojokino diegimui mokymo procese. Tø pastangø dëka tiek matematikos, tiek ir kitø dalykømokymui buvo sudaromos palankesnës materialinës sàlygos, á mokymo procesà atëjoaudiovizualinës ir kitos techninës priemonës, buvo pradëta mokyklø kompiuterizacija�,� baigë savo autobiografijà V. Blagnys [778].

4 BALÈYTIS BRONISLOVAS gimë 1926 02 14 dab. Ðilutës raj., Paupariø k.,profesorius (1979), habilituotas daktaras (socialiniai mokslai, edukologija) (1994), LMDnarys.

1934�1938 m. mokësi dab. Ðilutës rajono Grigaliðkës pr. mokykloje, 1938�1940 m.Þemaièiø Naumiesèio progimnazijoje, 1944�1946 m. � Ðvëkðnos gimnazijoje, 1946�1948 m. studijavo Klaipëdos mokytojø instituto (toliau � MI) Fizikos ir matematikosskyriuje, 1954 m. baigë VVPI FMF.

1945 m. B. Balèytis dirbo Ðilutës maðinø�traktoriø stoties vyr. buhalteriu, 1947�1949 m. � Klaipëdos MS vyr. buhalteriu, 1947�1958 m. ðios MS (PM) dëstytoju, 1958�1972 m. dirbo ÐPI matematikos katedros vyr. dëstytoju, vedëju, docentu, 1973�1978 m.

51

� pradinio mokymo katedros docentu, 1979�1992 m. � profesoriumi, 1992�1998 m.buvo ÐU Matematikos didaktikos katedros vedëjas, 1998�1999 m. � profesorius. 1999m. iðëjo á pensijà.

Prof. B.Balèytis parengë lietuviðkos trimetës pr. mokyklos matematikos mokymosistemà (1970�1973), ðeðiameèiø vaikø matematikos mokymo sistemà (1981�1989). 1982m. jam paskirta Lietuvos SSR valstybinë premija. Be aptartø vadovëliø ir knygømokytojams bei pratybø sàsiuviniø, dar parengë 2 mokomàsias priemonesstudentams,paskelbë daugiau kaip 80 kitø publikacijø (straipsniø pedagoginëjeperiodikoje � juos þemiau analizuosime, pedagogikos mokslo darbø rinkiniuose,konferencijø teziø). Jo mokomosios knygos iðverstos á lenkø bei rusø kalbas ir vartojamosLietuvos tautiniø maþumø mokyklose. 1991�1997 m. B. Balèytis parengë pradiniø klasiømatematikos programà ir mokymo metodinës sistemos metmenis, du kartus pertvarkëir iðleido savo matematikos vadovëlius I�IV klasëms, pratybø sàsiuvinius, knygasmokytojams, papildomam darbui su gabiaisiais skirtas priemones (kai kà � subendraautoriais) [8; 754, p. 121�122; 755, p. 66; 756, p. 65].

5 NIKITINAS NIKOLAJUS (g. 1885 � m. 1966 09 27) � rusø matematikos didaktikosspecialistas. Be aptartø vadovëliø, paraðë matematikos didaktikos knygà apie tekstiniøaritmetiniø uþdaviniø sprendimo mokymà pradinëje mokykloje (1939) [772, p. 366].

6 BEREZANSKAJA JELIZAVETA (g. 1890 01 09 Rusijoje, Maikopo m. � m. 196912 13], matematikos didaktikos specialistë, profesorë. 1914 m. baigë Bestuþevo aukðtøjømoterø kursø fizikos-matematikos skyriø Peterburge. 1934 m. paraðë ,,Aritmetikosmetodikà�, kuri, kaip ir aritmetikos uþdavinynas, iðversta á daugelá kalbø. Paskelbëvertingø darbø apie algebros mokymà, stereometrijos mokymà aðtuonmetëje mokykloje.Gavo nemaþà SSRS vyriausybiniø apdovanojimø [772, p. 44].

7 KISELIOVAS ANDREJUS (g. 1852 12 12 dab. Oriolo sr., Mcenske � m. 1940 1108). 1875 m. baigë Peterburgo universitetà ir iki 1891 m. dirbo matematikos, mechanikosir braiþybos mokytoju Voroneþo realinëje gimnazijoje. 1892�1901 m. A. Kiseliovas dëstëmatematikà ir fizikà Voroneþo kadetø korpuse. Iðëjæs á atsargà rûpinosi savo vadovëliøleidyba [772, p. 244].

8 ÐEVÈENKA IVANAS (g. 1894 Voroneþe � m. 1965 05 27) � rusø matematikosdidaktikos specialistas. 1918 m. baigë Maskvos universiteto Mechanikos-matematikosfakultetà. Dirbo pedagoginiuose institutuose ir SSRS pedagogikos mokslø akademijos(toliau � PMA) mokslinio tyrimo institutuose. Paraðë aritmetikos (1929), algebros(1931), geometrijos (1932) vadovëliø ir metodiniø priemoniø. 1961 m. jis iðleidoaritmetikos mokymo metodikos vadovëlá PI, itin vertintà studentø ir jau dirbanèiømokytojø [772, p. 530].

9 VILENKINAS NAUMAS gimë 1920 10 30 Maskvoje. 1942 m. baigë Maskvosuniversitetà, 1950 m. tapo fizikos-matematikos mokslø daktaru (habil. dr. pagal dabarLietuvoje priimtà gradacijà), 1951 m . � profesoriumi. Nuo 1943 m. dirbo Maskvosaukðtosiose mokyklose, nuo 1961 m. � Maskvos neakivaizdiniame PI. Moksliniø tyrimø

52

sritis � bendroji algebra (topologinës, N. Abelio (Abel, 1802 � 1829), S. Li (Lie, 1842�1899) grupës). 1970 m. matematikos mokymo reformos metu buvo IV ir V klasiømatematikos vadovëliø bendraautoris, paraðë algebros vadovëliø sustiprintomatematikos mokymo vyresniosioms klasëms, mokymo metodiniø priemoniømokytojams, populiariosios matematinës literatûros knygø, mokomøjø knygeliøaukðtosioms mokykloms. Du kartus premijuotas K. Uðinskio premija [772, p. 110].

10 MARKUÐEVIÈIUS ALEKSEJUS (g. 1908 04 02 Petrozavodske � m. 1979 06 07Maskvoje) � rusø matematikas, fizikos-matematikos mokslø habil. daktaras (1944),Maskvos universiteto profesorius, SSRS PMA tikrasis narys (1950).

1930 m. A. Markuðevièius baigë Vidurinës Azijos universitetà, 1934 m. � Maskvosuniversiteto aspirantûrà. Nuo 1935 m. dëstë Maskvos universitete. 1964 � 1975 m. jisbuvo SSRS PMA viceprezidentas.

Akad. A. Markuðevièius sukûrë ciklà darbø, kuriais remiantis analiziniø funkcijøteorijoje imta plaèiai taikyti funkcinës analizës metodus. Plaèiai þinomos jo knygos,,Analiziniø funkcijø teorija� ir ,,Trumpas analiziniø funkcijø teorijos kursas�. Jis daugdirbo matematikos mokytojø rengimo sistemos tobulinimo srityje, daug metø buvokomisijos prie SSRS MA ir PMA, kuri nustatydavo vidurinio mokymo turiná,pirmininkas. Buvo vienas 1970 m. matematikos mokymo reformos pagrindëjø.Apdovanotas SSRS ordinais ir medaliais. Prieð mirtá ásivëlë á organizuotas retø knygøvagystes ið bibliotekø [772, p. 336�337].

11 TELGMA AKSELIS (Telgmaa) gimë 1932 02 10 Estijoje, Padisës mst. 1956 m.baigë Talino PI FMF, 1956�1960 m. dirbo Keilos vidurinës mokyklos matematikosmokytoju, 1960�1969 ir 1976�1991 m. buvo Estijos Pedagogikos mokslinio tyrimoinstituto (toliau PMTI) mokslinis bendradarbis, 1967 m. apgynë pedagogikos moksløkandidato (dab. daktaro) disertacijà. 1969�1976 ir nuo 1991 m. jis dirba Talino PI, nuo1991 m. � profesorius. Paraðë daug matematikos didaktikos straipsniø, knygø [751, p.371].

12 ÐAPOÐNIKOVAS NIKOLAJUS (g. 1851 Maskvoje � m. 1920 02 24) � rusømatematikos didaktikos specialistas. Aukso medaliu baigë vienà Maskvos gimnazijø, o1874 m. su pagyrimu � Maskvos universitetà. 14 metø dirbo gimnazijos mokytoju irAukðtøjø moterø kursø dëstytoju. 1880 m. apgynë disertacijà grynosios matematikosmagistro laipsniui ágyti. Po Spalio perversmo buvo Ðiaurës Kaukazo politechnikosinstituto profesorius ir rektorius. Paraðë algebros ir trigonometrijos vadovëliusgimnazijoms, kartu su mokytoju N. Valcovu � algebros uþdavinynà, kuris daugiau kaip50 m. buvo plaèiai vartojamas mokyklose [772, p. 527].

13 LARIÈEVAS PAVELAS (g. 1892 02 16 dab. Vologdos sr., Griazovcëje � m. 196303 12), pedagogikos mokslø kandidatas (daktaras), Rusijos nusipelnæs mokytojas (1947),SSRS PMA narys korespondentas (1950). Mokësi Vologdos MI, Vologdos PI FMF.Dirbo MS, vidurinëse mokyklose. Nuo 1935 m. dëstë Maskvos aukðtosiose pedagoginësemokyklose. Nuo 1944 m. dirbo metodininku-konsultantu Rusijos Ðvietimo ministerijosMokyklø valdyboje [772, p. 297�298].

53

14 RYBKINAS NIKOLAJUS (g. 1861 Vladimiro gub. � m. 1919) � rusø matematikosdidaktikos specialistas. Aukso medaliu baigæs gimnazijà, mokësi Maskvos universitetoFMF. Po jo baigimo 1883 m. pradëjo dirbti privaèioje realinëje gimnazijoje. Per 20 m.dirbo Lazarevo rytø kalbø institute, Maskvos komerciniø mokslø praktinëje akademijojeir kt. aukðtosiose mokyklose. Paraðë ,,Stereometrijos uþdaviniø, reikalaujanèiøtrigonometrijos taikymo, rinkiná� (1892), ,,Trigonometrijos uþdaviniø rinkiná� (1895),taip pat 2 d. geometrijos uþdavinynà, skirtà planimetrijos ir stereometrijos mokymui.Pirmasis turëjo 26, antrasis � 28 leidimus [772, p. 437�438].

15 KOLMOGOROVAS ANDREJUS (g. 1903 04 25 Rusijoje, Tambove � m. 198710 20). 1925 m. baigë Maskvos universitetà, 1930 m. tapo jo profesoriumi, 1935 m.apgynë habil. fizikos-matematikos daktaro disertacijà, 1939 m. tapo SSRS MA, 1966m. � PMA akademiku. Mokslinæ veiklà jis pradëjo realiojo kintamojo funkcijø teorijossrityje, tirdamas trigonometriniø eiluèiø konvergavimà, mato teorijà, integralo sàvokosapibendrinimà ir bendràjà operacijø su aibëmis teorijà. A. Kolmogorovas áneðë esmináindëlá á konstrukcinæ logikà, topologijoje sukûrë V�homologijø teorijà, dirbo funkcinësanalizës srityje. Labai didelis jo indëlis á tikimybiø teorijà. 1925 m. A. Kolmogorovas suA. Chinèinu (1894�1959) pradëjo taikyti tikimybiø teorijoje realiojo kintamojo funkcijøteorijà � tai padëjo pagrásti tikimybiø teorijos aksiomø sistemà (1933). Nuo 1930 m. A.Kolmogorovas savo darbuose plaèiai ëmë taikyti analizinius metodus, kuriaisnaudojantis jam pavyko sukurti A. Markovo (1856�1922) tolydþiojo laiko procesø teorijà.Vëlesniuose darbuose jis iðvystë stacionariøjø atsitiktiniø procesø teorijà, gavo rezultatø,taikomø automatinio reguliavimo srityje ir atvedusiø prie ,,iðsiðakojanèiø� atsitiktiniøprocesø teorijos sukûrimo. Kartu su A. Obuchovu (g. 1918 05 05) A. Kolmogorovasatrado svarbius statinës turbulentumo teorijos dësnius; jis iðtyrë ir svarbius ðaudymoteorijos klausimus, sukûrë statistinius masinës produkcijos kontrolës metodus,informacijos perdavimo ryðiø kanalais teorijà. 1965 m. kartu su V. Arnoldu (g. 1937 0612) gavo Lenino premijà � aukðèiausià SSRS premijà � uþ darbø ciklà V. Hamiltono(Hamilton, 1805 � 1865) sistemø pastovumo srityje. Taip pat A. Kolmogorovas tyrëmatematikos istorijos, filosofijos ir pagrindø problematikà. Jo vardas þinomas ávairiosematematikos ðakose. Realiojo kintamojo funkcijø teorijoje yra Kolmogorovo integralas,geriausiojo artinio polinomo kriterijus, nelygybë, diverguojanèios Þ. Furjë (Fourier,1768 � 1830) eilutës pavyzdys. Tikimybiø teorijoje yra Kolmogorovo nelygybë ir lygtis,matematinëje statistikoje � Kolmogorovo kriterijus, topologijoje � Kolmogorovoatskiriamumo aksioma ir t. t. A. Kolmogorovas sukûrë rusø matematikos mokyklasfunkcijø ir tikimybiø teorijø srityse. Jis paskelbë per 300 darbø, daug jo mokiniø tapoáþymiais matematikais. A. Kolmogorovas buvo daugelio uþsienio akademijø, moksloástaigø ir draugijø narys. Be minëtos Lenino premijos, jis dar buvo apdovanotas SSRSvalstybine premija (1941), P. Èebyðovo (1821�1894) premija (1949), tarptautine B.Bolcano (Bolzano, 1781�1848) premija (1963), daugeliu aukðèiausiø SSRS ordinø irmedaliø [772, p. 255�256].

16 POGORELOVAS ALEKSEJUS gimë 1919 03 03 dab. Belgorodo sr., Koroèëje.Fizikos-matematikos mokslø habil. dr. (1948), profesorius (1950), Ukrainos (1961) irSSRS MA (1976) akademikas. 1937 m. ástojo á Charkovo universiteto matematikos

54

skyriø. Karo metu studijavo N. Þukovskio karo aviacijos akademijoje, kurià baigë1945 m. Iki 1947 m. dirbo Centriniame aerohidrodinaminiame institute ir mokësiMaskvos Lomonosovo universiteto aspirantûroje. 1947�1959 m. dirbo Charkovouniversitete, 1959�1960 m. � Ukrainos MA Matematikos institute, nuo 1960 m. �Ukrainos MA Þemøjø temperatûrø fizikos ir technikos institute. Uþ darbus geometrijossrityje gavo SSRS valstybinæ (1950), tarptautinæ Lobaèevskio (1959) ir Lenino (1962)premijas. Nuo 1960 m. aktyviai dirbo mechanikos srityje. Paraðë nemaþa geometrijosvadovëliø aukðtosioms mokykloms [772, p. 401�402].

17 BOLTIANSKIS VLADIMIRAS gimë 1925 04 26 Maskvoje, 1948 m. baigëMaskvos universitetà, 1955 m. tapo fizikos-matematikos habil. daktaru, 1959 m. �profesoriumi. Nuo 1951 m. dirbo SSRS MA Matematikos institute, nuo 1956 m. � darir SSRS PMA, 1965 m. iðrinktas jos nariu korespondentu. Jis atliko tyrimus topologijosbei topologiniø metodø srityje ir gavo esminius rezultatus. Geometrijoje V. Boltianskistyrinëjo kombinatorinës geometrijos klausimus, taip pat klausimus, susijusius su treèiàjaD. Hilberto (Hilbert, 1862 � 1943) problema. Kibernetikoje jo darbai aktualûsoptimaliojo valdymo srityje. Matematikos didaktikos srityje V. Boltianskis tyrëproblemas, susijusias su vaizdumo teorija, mokomàja áranga, vidurinës ir aukðtosiosmokyklos mokymo programomis, uþdaviniø sprendimo psichologija. Paskelbë per 3000darbø. Jo darbai ið paprastøjø diferencialiniø lygèiø ir jø taikymo optimaliajam valdymuisrities, atlikti kartu su akad. L. Pontriagino (g. 1908 09 03) grupe, ávertinti Leninopremija (1962), o uþ ciklà darbø ið dalies sutvarkytø þiedø teorijoje jam 1967 m. paskirtaUzbekijos SSR valstybinë Birunio (973�1048) premija (kartu su M. Antokovskiu ir T.Sarymsakovu (g. 1915 09 10)) [772, p. 62].

18 JAGLOMAS ISAKAS gimë 1921 03 06 Ukrainoje, Charkove. 1942 m. baigëSverdlovsko (buv. ir dab. Jekaterinburgas) universitetà. 1943�1949 m. dirbo Maskvosuniversitete, nuo 1957 m. � Maskvos PI. 1966 m. tapo habil. fizikos-matematikos daktaru,1967 m. � profesoriumi. Jo darbai skirti ðiuolaikiniø algebros ir geometrijos problemøsprendimui. I. Jaglomas paraðë daug knygø viduriniø mokyklø mokytojams irmokiniams: ,,Iðkiliosios figûros� (1951), ,,Geometrinës transformacijos�, t. 1�2 (1955�1956), ,,Galilëjaus reliatyvumo principas ir neeuklidinë geometrija� (1969), ,,Kaippadalyti kvadratà� (1968), ,,Nepaprastoji algebra� (1968), ,,Kompleksiniai skaièiai�(1963), ,,Taðkø ir tiesiø geometrija� (1968), ,,Elementarioji geometrija anksèiau ir dabar�(1972), ,,Matematika ir realusis pasaulis� (1978) [772, p. 574].

19 BRADIS VLADIMIRAS (g. 1890 12 23 Rusijoje, Pskove � m. 1975 05 23 ) 1915m. baigë Peterburgo universitetà, 1920�1959 m. dirbo Tverës PI, profesorius (1934),SSRS PMA narys korespondentas (1955), pedagogikos mokslø habil. daktaras (1957).1959 m. iðëjo á pensijà, bet iki 1971 m. dar dirbo profesoriumi konsultantu. PagrindiniaiV. Bradþio darbai skirti vidurinës mokyklos mokiniø skaièiavimo technikos ir kultûrosteoriniam bei metodiniam pagrindimui. Jo ,,Matematikos dëstymo vidurinëje mokyklojemetodika� iðleista Rusijoje daug kartø ir yra iðversta á keletà kalbø. Apdovanotas buv.SSRS vyriausybiniais apdovanojimais, K. Uðinskio medaliu. Galimas daiktas, V. Bradisyra lietuviø kilmës, nes jo tëvo vardas Modestas, pavardë rusiðkai raðoma taip pat, kaip

55

ir lietuviðkai [772, p. 72].

20 LIUTIKAS VYTAUTAS (g. 1930 09 17 Kretingoje � m. 1997 12 30 Vilniuje).Dirbo Kretingos vidurinës mokyklos mokytoju, Kretingos rajono ðvietimo skyriausvedëju, Ðvietimo ministerijos Mokyklø valdybos virðininku. 1955 m. baigë VVPI FMF(neakivaizdiniu bûdu), 1967 m. apgynë fizikos-matematikos mokslø kandidato (daktaro)disertacijà. Ðvietimo ministru tapus A. Rimkui, V. Liutikas ið ministerijos turëjo iðeiti.Dirbo Vilniaus inþinerinio statybos instituto (dabar Vilniaus Gedimino technikosuniversitetas � VGTU) matematikos katedros vedëju, gavo profesoriaus vardà (l987).Paraðë 9 monografijas ir vadovëlius, 9 mokomàsias priemones, per 50 moksliniø irmetodiniø straipsniø. 1992�1996 m. buvo Lietuvos Seimo narys (LDDP frakcija) [665,p. 20�27; 768, p. 638].

21 SPRENDIENË�ÐULAITYTË JADVYGA gimë 1908 02 10 Vilkaviðkio aps.,Kybartuose. I pasaulinio karo metu gyveno lietuviø karo pabëgëliø vaikø prieglaudojePeterburge, kur pradëjo mokytis pradþios mokykloje. 1918 m. baigë Kybartø pradþiosmokyklà, 1930 m. � Kauno Lietuvos moterø kultûros draugijos MS. MokytojavoKëdainiø aps. Vidulaukiø, Kauno aps. Virðuþiglio, Sargënø, Julijanavos pradþiosmokyklose, po karo � Vilniaus IV pradinëje mokykloje, kuri iðaugo á XV vidurinæmokyklà. 1956 m. jai èia buvo suteiktas Nusipelniusios mokytojos vardas. Bematematikos mokymo, daug raðë darbø mokymo klausimais, vedë jø mokymopraktikumus RMTI. 1963�1967 m. � RMTI pradiniø klasiø kabineto vedëja,metodininkë. Iðëjusios á pensijà likimas neþinomas [822].

22 REVUCKAS JUOZAS (g. 1924 09 20 Marijampolës apskr., Puskelnëliø k. � m.1991 06 23 Ðiauliuose). 1934 m. baigë Birðtono pradinæ mokyklà, o 1941 m. � Prienøgimnazijà. Nuo 1941 m. dirbo pradiniø mokyklø mokytoju: Alytaus apskr. Marcinkoniøvalsèiaus Kapiniðkiø mokykloje, Jiezno valsèiaus Daukantø, Bûdos, Jiezno mokyklose.1945�1948 m. J. Revuckas dirbo Jiezno gimnazijos matematikos mokytoju, kartu nuo1946 m. studijuodamas matematikà VVPI neakivaizdiniu bûdu. 1948 m. perëjo ástacionariná skyriø ir, kartu dëstydamas matematikà Respublikinëje Vilniaus akuðeriømokykloje, 1950 m. baigë studijas ir pagal paskyrimà atvyko á dab. ÐU. Dëstëmatematikos didaktikà. Ilgameèius tyrimus apibendrino disertacijoje ,,Pratimø sistemakaip priemonë teoremø árodymø mokymui VI klasës geometrijos kurse� (apgynë SSRSPMA Mokymo turinio ir metodø MTI 1979 01 05). Docento vardas J. Revuckui buvosuteiktas 1981 m. Dël pablogëjusios sveikatos 1985 m. jis iðëjo á pensijà [245; 823].

23 RAZMAS RIÈARDAS (g. 1938 02 13 Plungës raj., Plateliuose � m. 2003 12 11Vilniuje). Baigæs Plateliø septynmetæ mokyklà, mokësi Telðiø PM. 1962 m. baigë VVPIFMF. Dirbo Vilniaus S. Nëries vidurinëje mokykloje, dab. VGTU matematikoskatedroje, 43 vidurinëje mokykloje. Iki 2003-08-31 dirbo Vilniaus tiksliøjø, gamtos irtechnikos mokslø licëjuje. Be aptartø darbø, su kitais paraðë knygø mokiniams.Naujausias darbas � ,,Matematikos uþdavinynas XI�XII klasëms� (2000, su J. Teiðerskiu,V. Vitkumi) [814].

56

24 KISIELIUS JONAS (g. 1929 05 16 Utenos apskr. Gikoniø k. � m. 1998 01 25Vilniuje). 1940 m. J. Kisielius baigë Utenos apskr. Labeikiø pradþios mokyklà, vëliaumokësi Leliûnuose ir Utenoje, 1949 m. baigë suaugusiøjø gimnazijà ir ëmë dirbtimatematikos mokytoju Utenos I vidurinëje mokykloje. 1954�1960 m. studijavo VUFMF neakivaizdiniame skyriuje ir mokytojavo Kairiðkiø ir Pravieniðkiø septynmetësebei darbo jaunimo vidurinëse mokyklose. 1960 m. J. Kisielius pradëjo dirbti VVPIMatematinës analizës katedros asistentu, 1961 m. tapo vyr. dëstytoju. 1961�1965 m.studijavo VU neakivaizdinëje aspirantûroje, paskelbë pirmuosius mokslinius straipsnius.1969 m. apgynë mokslø kandidato (daktaro) disertacijà ,,Apie tiesiniø lygèiø dalinëmisiðvestinëmis analizinius sprendinius�, 1972 m. tapo docentu. Nuo 1984 m. J. Kisieliusdirbo VVPI (VPU) Matematikos metodikos katedroje, kurá laikà jai vadovavo. Didesnæmokslinës-metodinës veiklos dalá J. Kisielius skyrë vidurinës mokyklos matematikosmokymo problematikai. Parengë per 15 matematikos mokymo metodikos leidiniø, buvoLietuvos ðvietimo ministerijos mokslinës-metodinës, LMD matematikos mokytojøkvalifikacijos këlimo komisijø narys, aktyviai dalyvavo JMNM darbe, inicijavo sustiprintomatematikos mokymo viduriniø mokyklø kûrimà, nuolat rûpinosi jø veikla, rengdamasmokymo programas, skaitydamas paskaitas mokytojø kvalifikacijos tobulinimo kursuose,daugelá metø tyrë matematikos mokymo padëtá Lietuvoje. Toliau plëtojo disertacijojenagrinëtà tematikà, oponavo ginant disertacijas, skaitë praneðimus mokslinësekonferencijose, paskelbë per 15 moksliniø straipsniø [610].

25 SURVILA PRANAS gimë 1933 02 06 Ignalinos r., Kundrotiðkiø k. 1953 m. baigëÐvenèionëliø PM, 1958 m. � VU FMF matematikos specialybæ, 1960 � 1963 m. buvoLietuvos MA Fizikos-matematikos instituto aspirantas. Visa P. Survilos pedagoginë irmokslinë veikla susijusi su dab. VPU. 1958 m. pradëjæs dirbti VVPI Elementariosiosmatematikos ir geometrijos katedros asistentu, 1963 m. apgynæs mokslø kandidato (dab.daktaro) disertacijà, 1965 m. tapo docentu, dirbo katedrø vedëju, Matematikos fakultetoprodekanu. Nuo 1989 m. � profesorius, Algebros ir skaièiø teorijos katedros vedëjas.2001 m. iðëjo á pensijà.

Prof. P. Survila su kitais paraðë 2 d. algebros ir skaièiø teorijos vadovëlá (1976, 1977ir 1989, 1990), uþ kurá paskirta LSSR valstybinë premija, bei uþdavinynà (1995), skirtusaukðtøjø mokyklø studentams. Jis paraðë ir knygà ,,Nauja paþintis su algebra� (1983),mokomàsias priemones: ,,Tikimybiø teorija� (1968), ,,Tikimybiø teorijos uþdavinynas�(1972), ,,Algebros uþdaviniø rinkinys� (1984), ,,Skaièiø teorija ir polinomø algebra�(1988), ,,Kombinatorikos ir statistikos pradþiamokslis� (1994) ir kt., keliasdeðimtstraipsniø tikimybiø teorijos ir matematikos didaktikos temomis. P.Survila yra LMDnarys, Matematikos ekspertø komisijos prie Lietuvos ðvietimo ir mokslo ministerijosnarys, matematikos mokytojø atestacijos komisijos narys. Apdovanotas DLK GediminoIV laipsnio ordinu [754, p. 630�631; 755, p. 659; 756, p.630].

26 RUMÐAS PETRAS (g. 1921 11 02 Ðilutës raj., Paulaièiø k. � m. 1987 02 23Vilniuje). Pedagoginæ veiklà pradëjo 1941 m. 1950�1962 m. dëstë matematikà VilniausXV vid. mokykloje. 1954 m. baigë VU matematikos spec. ir ëmë dëstyti jame. 1985 m.tapo docentu. Su kitais paraðë vadovëlius aukðtosioms mokykloms: ,,Trumpas aukðtosiosmatematikos kursas� (1963, 1969, 1976), ,,Kompleksinio kintamojo funkcijø teorija�

57

(1971), kelias mokomàsias priemones (vienas ir su kitais). Paskelbë straipsniø iðlietuviðkø matematikos vadovëliø ir terminø istorijos, matematikos didaktikos [739, p.1; 770, p. 585].

27 ÈELIAUSKAS PETRAS gimë 1929 03 18 Ðilutës aps., Ðvëkðnos vls., Surinkiðkiøk. 1948 m. sidabro medaliu baigë Ðvëkðnos gimnazijà. Metus studijavo Kaunopolitechnikos institute, 1949 m. ëmë mokytojauti Ðvëkðnoje. Po karo tarnybos vël gráþoá Ðvëkðnà ir vidurinëje mokykloje iðdirbo iki iðëjimo á pensijà 1991 m. Dirbdamas 1960m. baigë VVPI matematikos spec. Dëstë matematikà, astronomijà, braiþybà. Vadovavoastronomø ir matematikø bûreliams, domëjosi kraðtotyra, árengë miestelio ir apylinkiømuziejø, rajono ir respublikinëje spaudoje raðë apie Ðvëkðnos bei jos mokyklos istorijà,iðleido broðiûrà ir bukletà, skirtus mokyklos 50 ir 70 metø jubiliejams, knygas �NuoBabelio iki esperanto� (1989), �Ðvëkðna atsiminimuose� (1999), iðvertë daug kûriniø áesperanto kalbà, nes seniai domisi ðia kalba. �Litova stelo� redkolegijos, Pasaulinësesperantininkø sàjungos garbës narys. Dalyvavo eilëje pasaulio esperantininkø kongresø[782].

28 MARTUSEVIÈIUS PETRAS gimë 1921 07 07 Ukmergës apskr., Panoteriø vls.,Balënø k. Anksti netekæs tëvø, mokësi remiamas dëdþiø Tauragës apskr. Þygaièiøpradþios mokykloje ir Tauragës aukðtesniojoje komercijos mokykloje (gimnazijoje),1941 m. baigë Kaiðiadoriø gimnazijà ir vasaros pedagoginius kursus Ukmergëje,gaudamas jaunesniojo mokytojo teises. Iki 1943 m. dirbo Trakø apskr. Aukðtadvariovls. Nikroniø pradþios mokykloje. 1943 m. per gaudynes pakliuvo á hitlerininkø nagusir buvo iðveþtas á pafrontës darbus (IV lietuviø statybos batalione). Èia iðdirbo ikiVokietijos kapituliacijos, tapo Raudonosios armijos belaisviu. Nelaisvëje iðbuvo iki 1946m. gruodþio mën., dirbdamas prie geleþinkelio Primorës kraðto Sovetskajos Gavanësmieste. Nuo 1947 m. dirbo mokytoju Ukmergës apskrityje: Panoteriø pradinëjemokykloje, Kavarsko progimnazijoje (kurá laikà buvo direktoriumi). Nuo 1949 m. dirboUtenos rajono mokyklose: Medeniø pradinëje, Kvykliø septynmetëje (direktoriavo),Juknënø, Vaikutënø septynmetëse ir Antalgës aðtuonmetëje (1962�1981). Dirbdamas1957 m. neakivaizdiniu bûdu baigë Ðiauliø mokytojø instituto fizikos-matematikos skyriø[800].

29 NEVRONIENË�URBANAVIÈIÛTË EUGENIJA (g. 1928 03 15 Raseiniø aps.,Skirsnemuniðkiø k. � m. 1991 01 20 Kaune). Baigë Skirsnemunës progimnazijà irJurbarko gimnazijà. Iki 1951 m. studijavo VVPI FMF, kartu dirbdama bibliotekoje,studijas baigë neakivaizdiniu bûdu, jau mokytojaudama. 1951�1953 m. dirbo KudirkosNaumiesèio, po to ilgus metus buv. M. Melnikaitës vidurinëje mokykloje Zarasuose(dab. ,,Àþuolo� gimnazija). Buvo Zarasø rajono matematikos mokytojø metodinioratelio pirmininkë, organizuodavo moksleiviø olimpiadas, mokykloje árengë labai puikømatematikos kabinetà, kurio pasiþiûrëti atvykdavo mokytojai ið visos Lietuvos. Aktyviaidalyvavo meno saviveikloje (tautiniai ðokiai, meninës agitbrigados). Prieð pensijà dirboKauno Komjaunimo vid. mokykloje (dab. ,,Auðros� gimnazija). PalaidotaSkirsnemunëje, ðalia savo tëvø [805].

58

30 KUBILIUS JONAS gimë 1921 07 27 Jurbarko raj., Fermø k. 1940 m. baigëRaseiniø gimnazijà, 1946 m. � VU FMF ir ëmë jame dëstyti. Kartu 1946�1948 m. buvoParengiamøjø kursø prie VU direktorius. Iki 1952 m. mokësi aspirantûroje Leningrade.Ðalia darbo universitete 1952�1956 m. dirbo Lietuvos MA Fizikos ir technikos institute,1956�1962 m. � Fizikos ir matematikos institute (iki 1958 m. buvo direktoriauspavaduotojas ir matematikos sektoriaus vadovas). 1958 m. J. Kubilius tapo habil.daktaru, buvo paskirtas VU rektoriumi ir ðiame poste iðdirbo per 30 m. Kartu dirbo irTikimybiø teorijos ir skaièiø teorijos katedros vedëju. Nuo 1960 m. J. Kubilius �profesorius, nuo 1962 m. � Lietuvos MA akademikas, 1981 m. tapo Greifsvaldo(Vokietija), 1982 m. � Prahos (Èekija) universitetø garbës daktaru. Skaitë paskaitasAustrijos, Danijos, Indijos, Italijos, JAV, Kanados, Prancûzijos, Suomijos, Vokietijos irdaugelio buv. socialistinio lagerio ðaliø universitetuose. Nuo 1962 m. yra LMDpirmininkas.

Akademiko J. Kubiliaus mokslinë veikla prasidëjo 1946 m. metrinës skaièiø teorijosK. Malerio (Mahler, g. 1903) hipotezës nagrinëjimu, 1949 m. J. Kubilius rado jos dalinásprendimà ir iðplëtojo tyrimo metodà. Nagrinëjo algebriniø skaièiø teorijà, sukûrësvarbiø metodikø, árodë susilpnintà E. Landau (Landau, 1877�1938) hipotezæ apieracionaliojo pirminio skaièiaus reiðkimà dviejø skirtingø sveikøjø skaièiø kvadratø suma.1952�1956 m. J. Kubilius sukûrë tikimybinæ erdvæ aritmetiniø funkcijø ir jø funkcionaløreikðmiø pasiskirstymui tirti, sukûrë atsitiktiniø dydþiø sumø ir jø funkcionalø tyrimometodà, árodë didþiøjø skaièiø dësná, nustatë ribiniø pasiskirstymo dësniø egzistavimosàlygas ir iðtyrë jø savybes, sumodeliavo Markovo procesus. Kaip ðiø darbø rezultatassusidarë nauja matematikos ðaka � tikimybinë skaièiø teorija (uþ jos sukûrimà 1958 m.J. Kubiliui paskirta LSSR valstybinë premija). Jos pagrindai iðdëstyti monografijoje,,Tikimybiniai metodai skaièiø teorijoje� (rus. 1959, II papild. leid. 1962, angl. 1964,1968, 1978). Nuo l962 m. J. Kubilius plëtojo analizinës ir tikimybinës skaièiø teorijosmetodus, atsitiktiniø dydþiø sumavimo metodus. Matematikoje J. Kubiliaus vardasásitvirtino visiems laikams: tikimybinëje skaièiø teorijoje yra Kubiliaus fundamentaliojilema, Kubiliaus nelygybë.

Paraðë J. Kubilius ir vadovëliø studentams: ,,Realaus kintamojo funkcijø teorija�(1970), ,,Tikimybiø teorija ir matematinë statistika� (1980). Su kitais paraðë olimpiadiniøuþdaviniø rinkinius (1955, 1957), olimpiadiná uþdavinynà [116], buvo ,,Vilniausuniversiteto istorijos� (1976�1979, 3 t., LSSR valst. premija 1981, su kitais) redakcinëskolegijos pirmininkas. Paskelbë straipsniø ið matematikos ir mokslo istorijos [755, p.364; 756, p. 343�344; 768 p. 415; 772, p. 279�280].

Administracinë ir politinë J. Kubiliaus veikla vertinama ávairiø autoriø knygose.Buvæs Lietuvos partizanas Vytautas Slapðinskas, raðydamas apie du desantu 1945 m.permestus ið Vokietijos ir atëjusius á Jurbarko apskrities miðkus partizanus, raðë, kad,,Atvykusius á stovyklà, juos tardë Jonas Kubilius, norëta ásitikinti, ar ne provokatoriai�[149, p. 67]. Taip, tai buvo ,,Lydþio rinktinës ðtabo virðininkas Jonas Kubilius ið Fermøk., dirbæs Erþvilko gimnazijoje mokytoju. Jam pavyko iðvengti suëmimø ir vëliau,nutraukus ryðius su partizanais, iðvykti studijuoti á Leningradà� [149, p. 67�68]. Taibuvo didelis konspiracijos menas: J. Kubilius jau 1947 m. tapo komunistø partijos nariu,1979 m. � socialistinio darbo didvyriu, nuo tø metø rinktas SSRS Aukðèiausiosios tarybos

59

deputatu, turëjo daug buv. SSRS apdovanojimø... O tokiais atvejais sovietinis saugumaskruopðèiai tikrindavo. ,,Kaip rektorius, � raðo akad. Z. Zinkevièius, � Jonas Kubiliusbuvo prieðtaringa asmenybë <...> . Universitetui jis padarë daug gera, bet jaunimoauklëjimo srityje � ir bloga. Labai rûpinosi Universiteto prestiþu, organizavo grandioziná400 metø jubiliejaus minëjimà. Antra vertus, darë viskà (gal pats to nenorëdamas?)bolðevizmo ideologijai Universitete átvirtinti, persekiojo laisvesnæ mintá, ðalino iðUniversiteto paþangesnius studentus <...>. Buvo geras diplomatas, mokëjo laviruotianuomet sudëtingoje situacijoje. Vieðai kritikuodavo valdþià (matyt, tai jam buvo leista)ir tuo ágijo didelá populiarumà. Nelengva bûdavo já suprasti. Labai ûmaus bûdo þmogus,greit uþsiplieksdavo. Tokiais atvejais geriau nesirodyk akyse su kokiu nors praðymu�[175, p.183]. Nemenkà vaidmená J. Kubilius suvaidino Lietuvos atgimime. 1992�1996m. buvo Seimo narys (LDDP frakcija), bet nebuvo itin aktyvus, per 1997 m. prezidentorinkimø kampanijà reklaminiame filmuke agitavo uþ patriotiðkai nusiteikusiems irmàstantiems Lietuvos þmonëms tuo metu nepriimtinà kandidatà... Taigi prieðtaringa irkartais ne itin pozityvi veikla... Galbût tai viena ið dideliø asmenybiø tragedijø � buvusiossistemos palikimas?

31 MALCEVIÈIUS VLADAS gimë 1934 07 09 Telðiø raj., Jomantø k. MokësiVembutø pradþios mokykloje, Telðiø Þemaitës vidurinëje ir pedagoginëje mokyklose,1959 m. baigë VVPI FMF. Dirbo Maþeikiø raj. Sedos vidurinës mokyklos matematikosmokytoju ir direktoriaus pavaduotoju, Telðiø Þemaitës vidurinës mokyklos direktoriauspavaduotoju, Telðiø rajono ðvietimo skyriaus inspektoriumi. 1972�1987 m. buvo Lietuvosðvietimo ministerijos Mokymo metodinio skyriaus inspektorius, virðininko pavaduotojas.Èia dirbdamas rûpinosi matematikos programø, mokymo priemoniø rengimu ir leidimu,taip pat sustiprinto matematikos mokymo mokyklø reikalais. Recenzavo bei vertëmokyklinius matematikos leidinius. Nuo 1987 m. Vilniaus XVI vidurinës mokyklos(dabar Uþupio gimnazija) direktorius. Matematikos mokytojas metodininkas, IIkvalifikacijos vadybos kategorijos mokyklos vadovas, bendrojo lavinimo ðvietimo ástaigøvadybos ekspertas [755, p. 424; 756, p. 406; 799].

32 VOKIETAITYTË ONA�JANUTË gimë 1941 10 28 Marijampolëje. Kadangimama buvo pradiniø klasiø mokytoja, kartu su ja teko kilnotis ið vietos á vietà. MokësiMarijampolës pradinëje, Betygalos ir Raseiniø I vidurinëje mokyklose. Pastaràjà 1959m. ir baigë. 1964 m. baigë VVPI FMF. 1964�1967 m. dirbo Plungëje, 1967�1971 m.Kauno VII vid. mokykloje matematikos mokytoja, kartu buvo ðios mokyklos irMoksleiviø rûmø ðokiø kolektyvø vadove. Pati ðoko pavyzdiniuose liaudies ðokiøkolektyvuose : ,,Suvartuke� (Plungë) ir ,,Suktinyje� (Kaunas). 1971�1976 m. dirbo RMTImatematikos kabineto metodininke. 1977�1990 m. dirbo Ðvietimo ministerijoje:mokslinëje metodinëje taryboje, mokymo metodiniame skyriuje, sveikatingumo skyriuje,mokyklø valdyboje. Dirbdama 1974 m. neakivaizdiniu bûdu dar baigë VU (lietuviø k.ir literatûrà). 1990�1994 m. dirbo Vilniaus XXVII vidurinëje mokykloje matematikosmokytoja, tapo vyr. mokytoja. Nuo 1994 m. dirba Vilniaus Levo Karsavino vidurinëjemokykloje, dësto lietuviø kalbà, ágijo mokytojos metodininkës kategorijà, parengë 12programø sustiprintam lietuviø kalbos mokymui tautiniø maþumø mokyklø II�XIIklasëse [820].

60

33 DRËGÛNAS VYTAUTAS gimë 1929 07 16 Këdainiuose. 1948 m. baigë VilniausI vidurinæ mokyklà ir ëmë dirbti Kaiðiadoriø rajono Þàsliø vidurinëje mokykloje. 1950�1952 m. tarnavo sovietinëje kariuomenëje, 1952�1956 m. dirbo Plungës darbininkøjaunimo vidurinëje mokykloje, 1956�1958 m. � Marijampolës II vidurinëje mokykloje.1953�1958 m. neakivaizdiniu bûdu studijavo VVPI FMF, studijas baigë su pagyrimu irbuvo pakviestas dirbti elementariosios matematikos ir geometrijos katedros vyr.dëstytoju. 1960�1963 m. studijavo Leningrado Gerceno pedagoginio institutoaspirantûroje. Po studijø vël gráþo á VVPI, apgynë disertacijà pedagogikos (matematikosdidaktikos) kandidato (daktaro) laipsniui ágyti � ,,Apvalieji kûnai vidurinës politechninësmokyklos kurse� (1965 05 27), ðia tema paskelbë straipsniø, iðleido knygà [45]. 1968 m.tapo Matematikos metodikos katedros docentu. 8 straipsnius paskelbë Lietuviðkojojetarybinëje enciklopedijoje (toliau � LTE). 1993 07 01 dël vidiniø intrigø VPU iðëjo ápensijà. Gyvena Vilniaus raj., Baniðkëse (kolektyviniame sode), yra pavyzdingassodininkas [825].

34 TEIÐERSKIS JONAS gimë 1926 10 02 Raseiniø aps., Ðiluvos vls., Leonavos k.1939 m. baigë Ðiluvos 6 skyriø pradþios mokyklà, 1944 m. � Raseiniø gimnazijos 7 klases.Norëdamas iðvengti tarnybos sovietinëje kariuomenëje, mokësi Kauno tarpdiecezinëjekunigø seminarijoje, kur uþbaigë gimnazijà. Taèiau sovietø valdþia ðios seminarijosiðduoto atestato nepripaþino, todël VIII klasæ teko kartoti Kauno VIII gimnazijoje.Gavæs atestatà, J. Teiðerskis ëmë studijuoti Kauno universiteto Technologijos fakultetoelektrotechnikos skyriuje. Nors pirmøjø trijø semestrø visus egzaminus iðlaikë labaigerai, 1948 04 08 dël socialinës kilmës (tëvas turëjo 51 ha þemës, buvo kilæs ið bajorø) iðKU buvo paðalintas. Ástojo á VU FMF ir dël tø paèiø prieþasèiø ir ið jo 1949 04 05 buvopaðalintas. 1949�1958 m. dirbo Prienø rajone: 5 m. Balbieriðkio vidurinës mokyklosmatematikos mokytoju, kartu studijuodamas VVPI FMF neakivaizdiniame skyriuje,kurá baigë 1954 m., ir 4 m. buvo Prienø vidurinës mokyklos direktoriaus pavaduotojas.1958 m. J. Teiðerskis tapo VVPI Elementariosios matematikos ir geometrijos katedrosvyr.dëstytoju, 1989 m. uþ aktyvià mokslinæ metodinæ veiklà jam buvo suteiktasMatematikos metodikos katedros docento vardas. 1959�1992 m. J. Teiðerskis skaitëpaskaitas matematikos mokytojø kursuose, 1965�1983 m. buvo LMD valdybos narys,atsakingas uþ matematikos paskaitø organizavimà mokytojams ir mokiniams, 1968�1988 m. � Lietuvos JMNM tarybos narys, rengdavo uþduotis ir taisydavo ðimtus darbø.1971�1990 m. � Ðvietimo ministerijos matematikos mokymo komisijos narys (1985�1990 m. pirmininkas), 1990�1993 m. � matematikos ekspertø komisijos narys, 1960�1980 m. � jaunøjø matematikø olimpiadø respublikiniø turø þiuri narys, 1986�1988 m.� SSRS ðvietimo ministerijos mokykliniø matematikos vadovëliø konkursinës komisijosnarys. Vienas ir su kitais paraðë 7 knygas, 62 straipsnius. Naujausias darbas �,,Matematikos uþdavinynas XI�XII klasëms� (2000, su R. Razmu, V. Vitkumi) [816].

35 JASIÛNAS HENRIKAS gimë 1925 09 05 Zarasø aps., Antalieptës vls.,Gaspariðkiø k. Mokësi Zarasø ir Utenos gimnazijose, ið pastarosios, gavæs baigimopaþymëjimà, iðvyko á generolo P. Plechavièiaus organizuotos Vietinës rinktinësMarijampolës karo mokyklà. Sëkmingai iðvengæs pokario negandø, 1944�1945 m. dirboZarasø aps. Ðniukðtø pradinëje mokykloje, o 1945�1950 m. buvo apskrities ðvietimo

61

skyriaus inspektorius (1 metus � skyriaus vedëjas). 1950�1952 m. mokësi KlaipëdosMI, kurio Fizikos-matematikos skyriø baigë su pagyrimu. 1956 m. baigë VU FMF irpasiliko jame dirbti. 1975 m. apgynë mokslø kandidato (daktaro) disertacijà ið tikimybiøteorijos ribiniø teoremø (vad. prof. habil. dr. A. Bikelis). Ásteigë (1983) ir vadovaujaLietuvos matematikø muziejui (VU MF). Docentas, aktyvus LMD valdybos narys [794].

36 ANELAUSKIENË ANGELË (g. 1932 03 04 Ðakiø raj., Plieniðkiø k. � m. 1981 1204 ten pat). Mokësi Plieniðkiø pradinëje, vëliau � Ðakiø vidurinëje mokyklose. 1950 m.ástojo á VVPI FMF neakivaizdiná skyriø. Baigusi dëstë matematikà Ðakiø, Raseiniø,Radviliðkio rajonø mokyklose. 1967�1970 m. studijavo VPI aspirantûroje ir apgynëmokslø kandidato (daktaro) disertacijà ið matematiniø sugebëjimø psichologijos srities.1970 m. ëmë dirbti VVPI Elementariosios matematikos ir geometrijos katedroje, 1976m. jai suteiktas docento vardas. Ilgus metus buvo JMNM valdybos narë, jaunøjømatematikø olimpiadø respublikiniø turø þiuri narë. Intensyviai dirbo, rengdama habil.daktaro disertacijà. Þuvo kartu su motina, gelbëdama jà uþsidegus gimtajai sodybai[185; 207; 208; 218; 824].

37 NENIÐKYTË ELENA gimë 1941 06 24 Rokiðkio aps., Kamajø vls., Naujasodësk. Baigë Punkiðkiø pradinæ mokyklà (Kupiðkio raj.), Salø septynmetæ ir Panemunëliovidurinæ mokyklas (Rokiðkio raj.). 1959�1965 m. mokësi VU FMF ir baigusi liko jamedirbti. 1972 m. apgynë mokslø kandidato (daktaro) disertacijà ið diferencialiniø lygèiøsu dalinëmis iðvestinëmis srities (vadovas prof. habil. dr. Ð. Strelicas). Iki 1997 m. dirboVU Matematikos metodikos katedros docente. Pensininkë, aktyviai talkininkaujaLietuviø Katalikø Mokslo Akademijai [804].

38 BARÐÈIAUSKAS RENË gimë 1925 01 25 Skaudvilëje. Baigë Tauragës MS irVVPI. Nuo 1945 m. mokytojavo Tauragës I vidurinëje mokykloje, 40 metø joje dëstëmatematikà. Daug jo mokiniø tapo inþinieriais, gamybos vadovais, mokslininkais. Ilgusmetus VVPI studentai matematikai pas já atlikdavo pedagoginæ praktikà ir tapdavolabai gerais mokytojais, nes perimdavo jo puikià patirtá. Aistringas þvejys, didelis gamtosbièiulis [766, p. 4].

39 LIAUÈYS FELIKSAS gimë 1939 01 02 Skuodo raj., Brotykø k. 1947 � 1951 m.mokësi Ðliktinës pradinëje, 1951�1954 m. � Mosëdþio vidurinëje mokykloje. Baigæs 7klases, ástojo á Klaipëdos PM. Jà baigë 1958 m. ir ëmë dirbti buv. Ðeduvos raj. Sujetøseptynmetëje mokykloje. Ið ten buvo paðauktas á sovietinæ armijà. Gráþæs mokytojavoSkuodo raj. Notënø aðtuonmetëje, Ðaèiø vidurinëje mokyklose (èia 3 m. buvodirektoriaus pavaduotoju auklëjimo reikalams). Kartu studijavo VVPI FMFneakivaizdiniame skyriuje. Studijas baigë 1968 m. Persikëlë á Mosëdþio vidurinæmokyklà. Matematikos mokytojas metodininkas (kurá laikà, 1996�1998 m. dirbomokyklos direktoriumi) [827].

40 VOSYLIENË�CIEÐKAITË MILDA MARIJA gimë 1939 10 01 Kaune. AugoVilniuje, nes tëvas 1939 11 buvo paskirtas atgautojo Vilniaus ðvietimo skyriausinspektoriumi. Mokësi Varlaukio progimnazijoje, Vilniaus S. Nëries, A. Vienuolio

62

vidurinëse mokyklose. 1961 m. baigë VVPI FMF. Dirbo Vilniaus skaièiavimo maðinøgamykloje, Kauno politechnikos instituto Vilniaus filialo matematikos katedrosdëstytoja, XXXI vidurinës mokyklos matematikos mokytoja, nuo 1972 m. � Pedagogikosmokslinio tyrimo instituto (toliau � PMTI) vyr. moksline bendradarbe, Ðvietimoministerijos inspektore, RMTI Matematikos katedros vedëja, vëliau vël dirboPedagogikos instituto vyr. mokslo darbuotoja. Mokësi neakivaizdinëje SSRS PMAMokymo turinio ir metodø MTI aspirantûroje, 1982 m. apgynë pedagogikos(matematikos didaktikos) mokslø kandidato (daktaro) disertacijà ,,Darbo su vadovëliuágûdþiø formavimas IV�V klasëse� (vad. SSRS PMA narys korespondentas, prof. habil.dr. S. Ðvarcburdas (g. 1918)). Parengë metodiniø rekomendacijø matematikosmokytojams (3 leidiniai), iðleido geometrijos vadovëlá [821].

41 ÈESNAUSKIENË�RIMDÞIÛTË DANUTË gimë 1955 03 19 Rusijoje,Krasnojarsko kr., Pakrovkos k., tremtiniø ðeimoje. 1972�1976 m. studijavo ÐPI FMF,1977 � 1980 m. ÐPI Klaipëdos ikimokyklinio auklëjimo fakultete, 1981�1984 m. � SSRSPMA Ikimokyklinio auklëjimo MTI aspirantûroje.

1976�1977 m. D. Èesnauskienë buvo ÐPI Klaipëdos ikimokyklinio auklëjimofakulteto Pedagogikos ir psichologijos katedros asistentë, 1979�1981 m. � Klaipëdosvaikø lopðelio-darþelio Nr. 21 auklëtoja, metodininkë, 1984�1990 m. � ÐPI Klaipëdosikimokyklinio ugdymo metodikø katedros vyr. dëstytoja, 1990�1994 m. � ðios katedrosvedëja. Nuo 1995 m. ji yra KU Ugdymo metodikø katedros docentë.

1985 m. D. Èesnauskienë Maskvoje apgynë pedagogikos mokslø kandidato(daktaro) disertacijà ,,Vyresniojo ikimokyklinio amþiaus vaikø elementariø matematikosvaizdiniø ugdymas supaþindinant juos su vertës matais�. Dviejø vaikø darþeliø ugdymoprogramø (matematikos skyriø), per 30 moksliniø-metodiniø straipsniø autorë [754, p.109].

42 MENCIS JANIS (Mencis, vyresnysis) gimë 1914 05 04 Latvijoje, Valmieros aps.,Braslavos vls. 1934 m. baigë Rygos mokytojø institutà, 1960 m. � Latvijos universitetà.Dëstë Rygos ir Cësio mokytojø institutuose, Liepojos PM ir PI, 1963�1978 m. buvoMatematikos katedros vedëjas. 1977 m. apgynë pedagogikos (matematikos didaktikos)mokslø kandidato (daktaro) disertacijà, tapo Liepojos PI docentu. Atgavus Latvijainepriklausomybæ, apgynë habil. daktaro disertacijà, tapo Liepojos aukðtosiospedagoginës mokyklos profesoriumi, iðrinktas Latvijos universiteto Garbës daktaru.Nuo 1970 m. sukûrë originalià pradinio matematikos mokymo sistemà Latvijoje(vadovëliai, mokytojo knygos, pratybø sàsiuviniai). Sovietmeèiu keletà metø kalintas,paleistas ir reabilituotas N. Chruðèiovo valdymo metais [758, p. 388].

43 PRINITSAS OLAFAS (Prinits) gimë 1924 09 03 Estijoje, Tiurio m. Nuo 1952m., baigæs Tartu universitetà, jame dëstë matematikos didaktikà, 1965�1975 m. �Matematikos metodikos katedros vedëjas. Pedagogikos (matematikos didaktikos)mokslø kandidatas (daktaras) (1959), profesorius (1989). Vadovëliø ir matematikosdidaktikos knygø autorius. Dirbdamas universitete, O. Prinitsas ilgus metus kartu buvoir Tartu teatro ,,Vanemuine� solistas (tenoras), sukûrë daug operos ir operetës vaidmenø[750, p. 474].

63

44 PAULAVIÈIENË RASA (g. 1930 05 16 Suvalkijoje � m. 1999 11 17 Vilniuje).Baigë Veiveriø gimnazijà, po to � VVPI FMF. Dëstë matematikà M. K. Èiurlioniomenø gimnazijoje. Atgavus Lietuvai nepriklausomybæ, iðleido monografijas ,,MarcelinasÐikðnys� (1992) ir ,,XX amþiaus Lietuvos mokytojai� (1996). 1997 m., paþymint Lietuvosmokyklos 600-àsias metines, apdovanota DLK Gedimino V laipsnio ordinu [417].

45 REIZINIS LINARDAS (Reiziòð, g. 1924 01 14 Rygoje � m. 1990 ten pat). 1948m. baigë Latvijos universiteto FMF, nuo 1963 m. buvo Latvijos MA Fizikos institutoMatematikos laboratorijos vedëjas. Fizikos-matematikos mokslø habil. daktaras (1974),profesorius (1979). Nuo 1985 m. buvo Latvijos MA Matematikos mokslø tarybospirmininkas. Paraðë monografijà ,,Diferencialiniø lygèiø lokalinis ekvivalentumas� (rus.1971), paskelbë moksliniø straipsniø apie diferencialines lygtis ir Latvijos matematikosistorijà [759, p. 322].

46 STAZDINIS INDULIS (Strazdiòð, g. 1934 03 31 Rygoje � m. 2003 03 ten pat).1955 m. baigë Latvijos universiteto FMF, 1958 m. � Maskvos Lomonosovo universitetoMechanikos ir maðinø gamybos fakulteto aspirantûrà. Nuo 1959 m. dirbo Rygostechnikos universitete, kurá laikà vadovavo Aukðtosios matematikos katedrai, buvoAutomatikos ir skaièiavimo technikos fakulteto dekanu, vëliau vadovavo Inþinerinësmatematikos katedrai. Matematikos mokslø habil. daktaras, profesorius. Dirbomatematinës logikos ir kibernetikos srityse, domëjosi matematikos didaktikosproblemomis. Iðleido vadovëliø, paraðë per 100 moksliniø straipsniø. Nuo 1975 m. buvoAmerikos matematikø draugijos narys, Latvijos matematikø ir ,,Latvijos�Suomijos�draugijø valdybos narys [752, p. 857; 760, p. 305].

47 DAMBERGA DZINTRA (Damberga) gimë 1943 10 08 Latvijoje, Bauskës r.,Skaistkalnës mst. NKVD areðtavus tëvà, ðeima persikëlë á Jelgavà. 1966 m. D. Dambergabaigë Latvijos universiteto FMF ir ëmë dirbti jame asistente, vëliau � lektore. Baigëaspirantûrà (spec. � matematikos didaktika), bet dël ðeimyniniø aplinkybiø disertacijosnegynë. Tyrinëja Latvijos matematikos didaktikos raidà. Su T. Cyruliu (Cîrulis) paraðëkompleksinio kintamojo funkcijø teorijos vadovëlá, viena � uþdavinynà [784].

48 HENINIA INGRIDA (Heniòa) gimë 1946 06 29 Latvijoje, Liepojoje. 1971 m.baigë Latvijos universiteto FMF. 1969�1992 m. dirbo Latvijos MA Fizikos, nuo 1992m. dirba Latvijos MA ir universiteto Matematikos institute (atsiskyrë nuo Fizikosinstituto). Matematikos magistrë (1993). Tiria Latvijos matematikos istorijà, paskelbëper 40 publikacijø [793].

49 JUDRUPA BENITA (Judrupa) gimë 1947 m. Nuo 1974 m. � Latvijos universitetodëstytoja, docentë, matematikos mokslø daktarë, 1993�2002 m. Aukðtosios matematikoskatedros vedëja [753, p. 297].

50 JUDRUPAS OJARAS (Judrups) gimë 1943 09 25 Rygoje. 1970 m. baigë Latvijosuniversiteto FMF. 1969�1977 m. � jaunesnysis mokslinis bendradarbis Latvijos MAFizikos institute, nuo 1977 m. � Latvijos universiteto docentas, matematikos mokslø

64

daktaras, 1992�2002 m. � FMF dekanas. Latvijos matematikø draugijos narys. Paskelbëapie 50 moksliniø straipsniø [752, p. 1122; 753, p. 297].

51 DAMBYTIS JANIS (Dambîtis) gimë 1930 06 17 Rygoje. 1955 m. baigë Latvijosuniversiteto FMF. Matematikos daktaras (1968). 1955�1963 m. dirbo Latvijos MAEnergetikos ir elektrotechnikos, Fizikos, Elektronikos ir skaièiavimo technikos MTI,1963�1991 m. � Latvijos universiteto skaièiavimo centre. 1991 m. iðëjo á pensijà, betnuo 1992 m. vël ëmë dirbti Latvijos MA ir universiteto Matematikos institute. 1958 m.su matematikos daktare I. Ilzinia (Ilziòa) sukûrë ir realizavo pirmàjà Latvijoje ESMprogramà. Daugelá semestrø skaitë grafø teorijos ir diskretinës matematikos kursusLatvijos aukðtosiose mokyklose. Paskelbë per 50 moksliniø publikacijø ið grafø teorijosir Latvijos matematikos istorijos. Iðleido monografijà �Modernâ grafu teorija�(�Modernioji grafø teorija�, 1992). Sutvarkë ir iðtyrë doc. E. Grynbergo (Grînbergs)matematiná palikimà � archyvà (per 46 tûkst. p.). 1980 m. J. Dambyèiui buvo paskirtaLatvijos valstybinë premija [785].

52 MENCIS JANIS (Mencis, jaunesnysis) gimë 1955 05 29 Latvijoje, Liepojoje.Matematikos magistras, pedagogikos daktaras, profesorius, Latvijos universitetoBendrosios matematikos katedros vedëjas. Mokomosios programos �Vidurinësmokyklos matematikos mokytojas� direktorius. Neetatinis Ðvietimo ministerijosmetodininkas. Moksliniø interesø kryptys: matematikos filosofija, matematikosdidaktika (pradinë, vidurinë ir aukðtoji mokykla). Paraðë nemaþa vadovëliø vidurineimokyklai [802].

65

2. PRADINËS MATEMATIKOS DIDAKTIKALIETUVOS PEDAGOGINËJE PERIODIKOJE

1954�1990 M.

2.1. Matematikos pamoka pradinëje mokykloje

Ðiam klausimui analizuoti TM ir Tm skyrë po 4 straipsnius.Chronologiðkai pirmas buvo buv. Eiðiðkiø rajono ðvietimo skyriaus dar-

buotojos L. Grybauskaitës straipsnis [379]. Jame apraðoma matematikos pa-moka Ðalèininkø vidurinës mokyklos I klasëje. Pamokà vedë nusipelniusi mo-kytoja Eugenija Èerniavska. Mokytoja meistriðkai naudojo sutrumpintai uþ-raðytus pratimus:

2 10+7 3 8 5

14+ 6 11+3 6 12+ 7 6 17- 3

0 10+4 14 2 4 9

12+5

13+1

Vieni tø pratimø ið anksto buvo uþraðyti lentoje ar plakatëlyje, kiti mo-kiniams duodami lapeliuose, mokiniai visus juos atlieka savarankiðkai. Pa-mokoje spræsti ir skaièiaus padidinimo keliais vienetais uþdaviniai, átvirtini-mui pateikiant tokià uþduotá: ,,O dabar apskaièiuosime nuo 2 iki 20, pridëda-mi vis po 2 vienetus�. Pamoka buvo gyva, sumaniai derintas frontalusis irsavarankiðkas darbas.

Panevëþio raj. ðvietimo skyriaus darbuotojai D. Audickaitë, P. Motie-jauskas ir TM korespondentas J. Norkevièius1 bendrame straipsnyje [194]aptarë bendrai aplankytø mokyklø pradiniø klasiø matematikos pamokosestebëtus pamokinio darbo organizavimo trûkumus. Vieni mokytojai skiriaper daug laiko mokiniø savarankiðkam darbui, tam jø tinkamai neparuoðæ.

66

Kiti pateikia viskà per daug aiðkiai, nepalikdami galimybiø mokiniui paèiampamàstyti. Sprendþiant tekstinius uþdavinius, daþnai aktyvus bûna tik peda-gogas, o mokiniai � tik akli kopijuotojai. Beveik neskamba pamokose klausi-mas ,,Kodël?� Tik nuolatos reikalaujant paaiðkinti, kodël daroma taip, o nekitaip, galima iðmokyti kiekviename veiksme, kiekviename uþdavinio sàly-gos þodyje rasti prieþastinius ryðius, kurie yra bûtini matematikos þiniø sà-moningam ásisavinimui. Prieðingu atveju klaidø iðvengti sunku.

Kito straipsnio autorë � Vilniaus XXXI vidurinës mokyklos mokytojaOna Peèiukënienë [586] dalijosi savo patirtimi apie matematikos mokymo IIklasëje tobulinimà. Norint gerai iðmokyti mokinius matematikos, tenka ieð-koti ávairiø darbo bûdø: mokymà individualizuoti ir diferencijuoti, tinkamaipanaudoti dalijamàjà didaktinæ medþiagà, matematikos þinias, ágytas kiek-vienoje pamokoje, papildyti ir pritaikyti per kitas pamokas � taip nusakomipagrindiniai mokymo tobulinimo bûdai. Darbo sëkmë didele dalimi priklau-so nuo iðankstinio mokytojo pasiruoðimo. Todël O. Peèiukënienë dar prieðmokslo metø pradþià: iðanalizuodavo mokymo programà, vadovëlá, metodi-nius nurodymus bei dalijamosios didaktinës medþiagos rinkiná, perþiûrëda-vo ankstesniø metø pamokø planus. Po to sudarydavo teminius planus, juosepasiþymëdama ne tik pamokø temas, bet ir tikslus, galimus sunkumus, apgal-vodavo, kokios vaizdinës priemonës tikslingiausios, kokia didaktinë medþia-ga praverstø, kokias namø uþduotis skirs. Toks teminis planas sudaromasnelengvai, taèiau, ruoðiantis konkreèiai pamokai, belieka já tik papildyti, nu-matant, kurias uþduotis privalo atlikti visi mokiniai, kurias spræs tik stipres-nieji, kokià medþiagà reikia pakartoti. Mokytoja pateikë pamokos ,,Skaièiaus4 daugybos lentelë� planà. Svarbiausia, kà nuolat straipsnyje akcentuoja O.Peèiukënienë: nepalikti spragø mokiniø þiniose, mokëjimuose bei ágûdþiuo-se, neþengti á naujà temà, neásisavinus einamosios. Todël visà laikà reikiavesti mokiniø þiniø apskaità. Iðëjus temà þinios apibendrinamos ir susistemi-namos, o po to raðomas kontrolinis darbas. Savarankiðkus darbus mokytojapateikdavo kortelëse, individualizuotus. Kontroliniai darbai turi bûti kon-kretûs, trumpi. Mokiniai juos turi atlikti greitai. Darbai padeda iðryðkinti spra-gas mokiniø þiniose, mokëjimuose ir ágûdþiuose, todël bûtina analizuoti klai-das ir vesti jø apskaità. O. Peèiukënienë kiekvieno kontrolinio darbo klaidaspagal jø pobûdá suklasifikuodavo, pasiþymëdavo, kokias klaidas darë kiek-vienas mokinys. Taip jai nesunku bûdavo sekti, kokios klaidos kiekvieno mo-kinio darbe kartojasi, kokias naujas klaidas jis pradeda daryti, kokiø jau ne-bedaro. Tokia apskaita atima nemaþa laiko, taèiau ji atsiperka � tiksliai uþfik-suojamos spragos mokiniø þiniose, o þinant jas jau nesunku parinkti indivi-

67

dualias kartojimo uþduotis. Kiekvienà pamokà mokytoja ávertindavo 5�6 mo-kiniø þinias, per trimestrà kiekvienas gaudavo 20�25 paþymius, juos raðyda-vo ir uþ individualios apklausos rezultatus, ir uþ gerai atliktà uþduotá (lentojear savarankiðkai) kitose pamokos dalyse, uþ gerai sugalvotà reikiamo tipouþduotá, uþ aktyvià veiklà visos pamokos metu, kartais ir uþ namø darbus.Daug dëmesio mokytoja skyrë tekstiniø uþdaviniø sprendimui, tokiø uþdavi-niø sugalvojimui � pasistengdavo, kad neliktø nei vieno mokinio, nesugalvo-jusio kiekvieno tipo uþdavinio. Uþdavinius stengdavosi iliustruoti grafiðkai.

Jei tik pasitaikydavo galimybë, mokytoja taikydavo matematines þiniaskitose pamokose � o tai jau tarpdalykinë integracija, leisdavusi geriau átvir-tinti, áprasminti tas þinias. Ypaè tam tikdavo rankø darbø pamokos: jose daþ-nai galima bûdavo duoti iðmatuoti, nubrëþti ir iðkirpti atitinkamo dydþio kvad-ratà, staèiakampá, trikampá, atkirpti tam tikro ploèio popieriaus juostà, nu-pinti reikiamo ilgio pynutæ, suklijuoti skaitomai knygai þymeklá ið geometri-niø figûrø � kvadratø, skrituliø, staèiakampiø, trikampiø ir t. t. Ðitaip moki-niai geriau iðmokdavo matuoti, braiþyti, ásimindavo geometriniø figûrø pa-vadinimus, centimetro, decimetro sàvokas. Graþiai, estetiðkai padarytus dar-belius mokytoja surinkdavo ir vëliau panaudodavo kaip didaktinæ medþiagà.Matematikos pamokose mokiniams turi bûti ádomu, tam padeda galvosû-kiai, matematinës máslës. Keletas pavyzdþiø ið O. Peèiukënienës straipsnio:

1. Berniukas ið 10 atëmë deðimtá ir gavo deðimtá (10 � 10 = 10). Kaip taiatsitiko? (Nuo rankø nusimovë pirðtuotas pirðtines).

2. Trys arkliai, pakinkyti á vienà veþimà, nubëgo 30 km. Po kiek kilomet-rø nubëgo kiekvienas? (Po 30 km).

3. Kaip pakeisti skaièius 6 + 6 + 8, kad suma bûtø 26. (9 + 9 + 8, t. y.ðeðetus apversti).

4. Keliomis raidëmis maþiausiai galima paraðyti: tëvas, motina, sûnus,dukra. (Penkiomis � ðeima).

5. Berniukas 24 iðreiðkë trimis aðtuonetais: 8 + 8 + 8 = 24. Kaip ið-reikðti tà paèià sumà trimis dvejetais? (22 + 2 = 24).

6. Septyni broliai turi po vienà seserá. Kiek vaikø ðeimoje? (Aðtuoni).7. Ëjo Laurynas á Palangà. Jis sutiko ateinanèius vaikus. Kiekvienas ne-

ðësi po 4 kaèiukus, o kiekvienas kaèiukas turëjo po 4 peliukus. Lau-rynas ëmë galvoti: kiek kaèiukø ir kiek peliukø neðama á Palangà?(Në vieno, nes vaikai ëjo ið Palangos).

Nesunku pastebëti, kad tokios uþduotys ne tik sudomina vaikus, bet irugdo jø loginá màstymà. Mokytoja O. Peèiukënienë skatindavo vaikus ir pa-èius parinkti panaðiø uþduoèiø.

68

Teisingai mokytoja O. Peèiukënienë raðë, kad vaikai labai mëgsta var-þybas: kas pirmas iðspræs nurodytà uþduotá, kas per tà patá laikà sudarys dau-giausiai pratimø, tekstiniø uþdaviniø ir pan.

Mokytojas ið Ðakiø rajono V. Butkus2 savo straipsnyje [330] pateikë ma-tematikos pamokos planà:

I. Namø darbø tikrinimas.II. Ankstesnio mokymo turinio kartojimas. Þiniø tikrinimas.III. Naujos medþiagos dëstymas.IV. Fizkultûrinë pedagoginë pertraukëlë.V. Naujos medþiagos átvirtinimas gretinant jà su ankstesne.VI. Pamokos apibendrinimas. Stebëtø mokiniø ávertinimas.VII. Namø darbø skyrimas.Straipsnyje kiekviena plano dalis smulkiai iðanalizuota.TM korespondentas J. Norkevièius savo straipsnyje [580] aptarë pradi-

niø klasiø mokytojø kursø, vykusiø RMTI 1981 m., dalyviø atliktus ikikursi-nius darbus apie matematikos pamokø efektyvumo didinimà. Kretingos IIvidurinës mokyklos mokytoja Janina Kaupienë, ukmergietë mokytoja StasëPetronienë, Panevëþio VIII vidurinës mokyklos mokytoja Bronë Mikënienëraðë apie namø ir savarankiðkø darbø tikrinimà. Daug dëmesio ádomiosiosmatematikos uþduoèiø panaudojimui skyrë Ðiauliø J. Janonio vidurinës mo-kyklos mokytoja Janina Sabaliauskienë: ádomieji kvadratai, aritmetinis loto,spëjimai, loginio pobûdþio uþdaviniai (,,Kaip padalyti 3 obuolius 3 vaikams,kad 1 obuolys liktø krepðelyje?�) ir pan. Kupiðkio raj. Subaèiaus vidurinësmokyklos mokytoja Alfonsa Urbonienë ,,labai mëgsta linksmus pieðinukus iðgeometriniø figûrø� (èia ir kitur iðtraukos ið laikraðtiniø straipsniø pateikia-mos be puslapiø, nes tuometiniai laikraðèiai buvo 4 puslapiø ir norimà straipsnájuose rasti nesunku). Kretingiðkë mokytoja Stasë Zulumskienë pateikë ádo-miø uþdaviniø skaièiavimo ágûdþiams átvirtinti. Ádomia, eiliuota forma sufor-muluotø uþdaviniø savo darbe pateikë Panevëþio XI vidurinës mokyklos mo-kytoja Kristina Marèiulionienë.

Këdainiø raj. Sviliø pradinës mokyklos vyresnioji mokytoja AntaninaRadimonienë savo straipsnyje [640] daug dëmesio skyrë darbui pamokoje susilpnesniais mokiniais: ,,Pateikus koká nors klausimà, pakyla daugelis nekan-triø rankø, bet mes klausiame vienà kurá nors ið silpnesniø, o ðis neþino, kàpasakyti. Gëda, apmaudas dël savo neþinojimo visai suglumina mokiná ir darlabiau slopina jo pasitikëjimà savo jëgomis. Kitoks vaizdas, jei pamokoje dar-bas individualizuojamas, kai silpnesniems pateikiami lengvesni klausimai irnesudëtingos savarankiðkø darbø uþduotys�. Daug dëmesio mokytoja skyrë

69

ir vaizdiniø priemoniø naudojimui pamokoje, savarankiðkiems darbams, tei-giamai vertino matematikos pratybø sàsiuvinius. Ypaè vertingomis ji laikëpriemones, kuriose ant skardos ar linoleumo lapø aliejiniais daþais uþraðo-mos uþduoèiø sàlygos, mokiniai kreida uþraðo ant jø sprendimus. Daug dë-mesio pamokose ji skyrë uþdaviniø sprendimui: panaðiø á spræstàjá, prieðin-gø, tiesioginiø, atvirkðtiniø, iðvedamø ið kitø. Uþdaviniai sudarinëjami pagalmokytojos sukurtas situacijas, vietinæ medþiagà. Akcentuotas ir mintinis skai-èiavimas, jo organizavimas per matematinius diktantus, taip pat þaidþiantdidaktinius þaidimus. Geometrijos þinioms átvirtinti naudoti pratimai: ,,Kiekstaèiakampiø, atkarpø ar trikampiø duotoje figûroje? Ið kokiø figûrø sudary-tos eglutës, kurioje ið jø daugiau trikampiø ir kiek daugiau? <...> Duodumokiniams pagaliukus ir liepiu ið jø sudaryti ávairias figûras. Pavyzdþiui, ið 12pagaliukø � vienà didelá ir 4 maþus kvadratus�. Atminèiai ir dëmesiui lavintimokytoja naudojo ávairius ornamentus. Magnetinëje lentoje sudëliojusi or-namentà, liepdavo gerai ásiþiûrëti ir toká pat ornamentà surinkti ant suolo iðpagaliukø. Naudojo ir galvosûkius, pvz., ,,Kaip turint 3 l ir 5 l indus, pripilti 4litrus?� Pedagoginëms pertraukëlëms � parenkami matematiniai eilëraðtu-kai, pvz.:

Eþerëlis vidur lauko,Trys þàselës jame plauko.Kai atskris dar viena,Kiek þàseliø bus tada?

Plungës raj. Kuliø vidurinës mokyklos mokytoja E. Anuþienë savostraipsnyje [188] aptarë I klasës mokiniø aktyvinimà per pamokas, naudo-jant þaidimus, uþdaviniø inscenizacijas. Pateikë þaidimø apraðymus: ,,Sku-bëk, bet nesuklysk�, ,,Surink ratà�, ,,Kas greièiau uþkurs krosná�, ,,Statomenamà�, ,,Kas greièiau uþsës laukà�.

Jau minëtas Ðakiø raj. Skaistakalnio pradinës mokyklos mokytojas me-todininkas V. Butkus savo straipsnyje [334] aptarë darbo organizavimà ma-þakomplektës mokyklos pamokoje dirbant su keliomis klasëmis. Labai svar-bus momentas � pamokos pradþia. Jai reikia pasiruoðti per pertraukà, uþra-ðant kà reikia lentoje, iðkabinant plakatus, iðdalijant korteles ir t. t. Pvz., IIIklasës mokiniai, pamatæ uþraðà ,,III kl. � 16 p., l, 2� turi bûti ápratinti spræstinurodytus pratimus. Mintiná skaièiavimà irgi galima organizuoti bent su dviemklasëmis kartu, perspëjus, kad vyresnë klasë diktuojamus skaièius ið kartopadidintø 10 kartø. Pvz., mokytojui diktuojant: ,,Skaièiø 13 ir 37 sumà suma-þinti 35 vienetais�, antrokai raðo: (13 + 37) � 35, o treèiokai: (130 + 370) �350. Lentoje spræsti nenaujas, kartojimo bei átvirtinimo tikslu teikiamas uþ-

70

duotis mokytojas kviesdavo silpnesnius � taip lengviau stebëti jø darbà, pa-stebëti daromas klaidas. Stipresnieji lentoje spræsdavo tada, kai reikëdavopademonstruoti naujà sprendimo bûdà. Kurios nors klasës savarankiðko darboatlikimo patikrinimà V. Butkus daþnai pavesdavo stipriausiam klasës moki-niui. Taip tikrindavo ir namø darbø atlikimà. Sudëties, atimties ir daugyboslenteliø mokëjimo patikrinimui naudodavo didaktines dalijamàsias korteles,pvz., sudëèiai jos buvo tokios:

+ 8 6 9 3 7 4 1 2 5 1010 9 1 7 8 2 3 6 4 5

Daugybai ir atimèiai tikrinti vietoje ,,+� áraðoma atitinkamai ,,.� ir ,,�,�(èia papildomai nurodoma, kad atimti reikia ið didesniojo skaièiaus maþesná-já). Tokiø korteliø uþpildymas pakeièia individualiàjà apklausà.

Pamokose daþnai sugaiðtamas laikas dël nemaloniø smulkmenø: vienasuþmirðo sàsiuviná, kitas tuðinukà ir pan. Taip daþnai atsitinka þemesniøjø kla-siø mokiniams. Todël V. Butkus jiems paskirdavo ðefus ið vyresnës klasës,kurie patikrindavo, ar viskà jø ðefuojamieji turi, padëdavo likviduoti nesklan-dumus.

Taigi nelabai gausiuose straipsniuose apie pamokos efektyvumo didi-nimà mokytojai ar jø darbu domëjæsi asmenys atskleidë nemaþa ádomiø mo-mentø. Kai kuriuos pateikëme èia, o labai besidomintiems siûlome susirastiaptartus straipsnius ir iðstudijuoti juos.

71

2.2. Matematikos savarankiðkø darbø organizavimaspradinëse klasëse

Ðiai problemai TM skyrë 3, Tm � 7 straipsnius. Pirmasis apie jà prabilotuomet dar Klaipëdos PM dëstytojas B. Balèytis. Jo straipsnis [274] � pirma-sis pradinës matematikos didaktikos straipsnis pokario Lietuvoje. Pateikia-ma paprastø ir ádomesniø pratimø savarankiðkiems darbams: ,,Kas greièiaunusileis ir pakils laiptais:

5 + 3 � 7 7 + 2 � 8 8 + 2 � 6 3 + 6 � 5 4 + 5 � 7 10 � 8 + 7 10 � 8 � 2 7 � 4 � 3�;

,,Paraðykite vietoje daugtaðkio trûkstamus skaièius: 48, 49, ....., 61, 62�;,,Pasakykite, kuo skiriasi ðie pratimai? Kokià iðvadà galima padaryti?

16 + 79 79 + 1613 + 40 40 + 1317 + 19 + 27 19 + 27 + 1724 + 13 + 65 65 + 24 + 13�. Paskutinis pratimas skiriamas jau

ne þinioms átvirtinti, o mokiniø parengimui naujai medþiagai � sumos persta-tomajai savybei � suvokti.

Yra daug pratimø, kuriuose siûloma uþpildyti ávairias lenteles, ,,ádo-miuosius� kvadratus, sudëties ir atimties stulpeliu pratimø su ,,nutrintais�skaièiais. Mokant matiniø skaièiø, rekomenduojama pasiûlyti mokiniams ap-siskaièiuoti savo amþiø valandomis, minutëmis. Mokant matavimø, rekomen-duojama iðmatuoti klasæ, joje esanèius daiktus ir sudaryti planà.

Verstiniame straipsnyje [492], kurio autorë O. Kolesnikova, Rusijos Us-manës miesto I vidurinës mokyklos mokytoja, aptariamas tuo metu madingo,,Lipecko patyrimo� taikymas organizuojant mokiniø savarankiðkà darbà pa-mokose. Keletas straipsnio teziø: nereikia gaiðti laiko tikrinimui to savaran-kiðko darbo, kurá visi ar dauguma mokiniø jau atliko, su neatlikusiais moki-niais reikia dirbti individualiai per pamokà ar po jos. Jei uþdaviná ar pratimàgalima iðspræsti keliais bûdais, tai iðsiaiðkinti juos, surasti racionaliausià. Jeiuþduotis pasirodë esanti sudëtinga ir savarankiðkai jà atlikti sugebëjo tik ke-li, tai sprendþiama ið naujo, frontaliai, atitinkamai analizuojant. Reikia turëtikorteliø su papildomomis uþduotimis tiems mokiniams, kurie greièiau atlie-ka savarankiðkà darbà. Daug dëmesio skiriama paèiø mokiniø savarankiðkai

72

sudaromiems ir po to iðsprendþiamiems uþdaviniams. Prieð toká darbà reikiaperspëti mokinius, kad savo veiksmus nuolat kontroliuotø, uþdaviniø duo-menis imtø atitinkanèius tikrovæ.

Ðiauliø buv. F. Þemaièio vidurinës mokyklos mokytoja M. Ðernienë sa-vo straipsnyje [666] aptaria namø darbø savitarpio pasitikrinimà pasikeièiantsàsiuviniais su draugu. Frontaliajame savarankiðkø darbø tikrinime uþduotisformulavo taip: ,,Suraskite ir perskaitykite pavyzdþius, kuriø atsakymai pra-sideda penkiomis deðimtimis; yra vienaþenkliai skaièiai; kurie liko neper-skaityti�. Aptarë ádomiøjø kvadratø, matematiniø diktantø panaudojimà.

Tauragës pradinës mokyklos mokytoja J. Brazdþiûtë [319], mokydamadaugiaþenkliø skaièiø sudëties ir atimties, siûlo savarankiðkai atlikti uþduotis:

1. Prie duotø skaièiø pridëti tiek, kad gautumëme skaièiø, kuris paraðy-tas kairëje brûkðnio pusëje:

400+9600 3000

10 000 6000 900

2. Ið kiekvieno skaièiaus atimkite po vienà ir uþraðykite taip, kad lieka-noje pirma bûtø dviþenklis skaièius, paskui triþenklis, keturþenklis ir t. t.:

Dirbant su 2 klasëmis, ypaè naudingi savikontrolës pratimai:1. Uþraðykite 10 sudëties pavyzdþiø, kad gauta suma bûtø lygi 430.2. Iðspræskite duotus pratimus ir patikrinkite; gautø atsakymø suma tu-

ri bûti lygi 1000:500 � 484800 � 4900 � 712.

73

Mokant ilgio matavimo, pasiûloma iðmatuoti ir uþraðyti:Suolas Knyga Portfelis

Ilgis ........... ........... .............Plotis ........... ........... .............

Mokant kitø matø, rekomenduojamos savarankiðkos uþduotys:1. Iðspræskite pavyzdþius, gautø atsakymø suma turi bûti lygi nurody-

tam skaièiui:5 t � 400 kg = 4 m � 39 cm =9 t � 900 kg = 9 m � 61 cm =6 t � 700 kg = 1 km � 940 m =_________________ ___________________ 18 t 72 m2. Apskaièiuokite, kiek reikia sumokëti uþ l kg cukraus, 2 kg makaronø,

3 kg miltø.3. Nubraiþykite staèiakampá, kurio perimetras 28 cm, ir apskaièiuokite

jo plotà.4. Sugalvokite uþdaviná, kuris bûtø sprendþiamas taip: (50 km + 42 km

+ 46 km) : 3.5. Apskaièiuokite savo ðeimos buto bendrà plotà, raskite, koks grindø

plotas tenka vienam ðeimos nariui.6. Apskaièiuokite, kiek laiko liko mokytis iki metø pabaigos, kiek dienø

liko iki Naujøjø metø ir t. t.Mokytoja siûlydavo mokiniams rinkti atplëðtus sieniniø nuplëðiamøjø

kalendoriø lapelius, kuriuose paminëtos ávairios datos. Tai panaudodavo sa-varankiðkam uþdaviniø sudarymui.

B. Liubinaitë, Radviliðkio raj. Sidabravo vidurinës mokyklos mokytoja,savo straipsnyje [519] pateikë pagal tuometinæ II klasës programà 9 matema-tinius diktantus, kuriuos diktuodavo per pamokas mokiniams iki I kontroli-nio darbo.

Jau minëtas ðakietis mokytojas V. Butkus aptarinëjo savarankiðkus dar-bus maþakomplektëje mokykloje [333], organizuotus remiantis tuometiniaisvadovëliais.

Kelmës raj. Budraièiø pradinës mokyklos mokytoja A. Vaièiulienë3 su-paþindino [690] su keturiais savarankiðko darbo etapais: a) pasiruoðimas sa-varankiðkam darbui; b) uþduoèiø teikimas ir aiðkinimas; c) savarankiðko dar-bo tikrinimas; d) klaidø analizë ir aptarimas. Kiekvienà etapà autorë smul-kiai iðanalizavo.

74

RMTI pradinio mokymo kabineto vedëja A. Duksienë, aptardama sa-varankiðko darbo organizavimà maþakomplektëje mokykloje [368], pabrëþë,kad mokiniø savarankiðkas darbas bus efektyvus, jei mokytojas, rengdamasispamokai, ið anksto numatys jo vietà pamokoje, formà, trukmæ ir savikontro-lës bûdà.

Druskininkø III vidurinës mokyklos mokytoja Marija Daugelavièienëaptarinëjo savarankiðkø darbø organizavimà I klasëje [343]. Patys pirmiejisavarankiðki darbai panaðûs á þaidimus, pvz., mokantis skaièiø palyginimo, jiliepdavo vaikams paraðyti sàsiuvinyje tiek lazdeliø, kiek kartø suplodavo ran-komis, ir nupieðti tiek skrituliukø, kiek kartø pastuksendavo pieðtuku á stalà.O po to � palyginti, ko sàsiuviniuose jie turi daugiau. Taip pat iðdalydavolapelius su pieðinukais, kuriuose pavaizduotos skirtingo dydþio vienodø daiktøgrupës ir reikëdavo tarp jø padëti atitinkamà palyginimo þenklà. Panaðiosuþduotys naudotos ir mokant sudëties bei atimties. Baigiant nagrinëti pirmà-jà deðimtá, mokytojos pirmokëliai jau sugebëdavo atlikti uþduotis, pateiktasmatematinio diktanto pavidalu:

1. Prie kiekvieno ið ðiø skaièiø (5, 3, 2, 4) pridëkite po vienà ir suraðykitestulpeliu.

2. Per 2 minutes uþraðyti kuo daugiau pratimø, kuriuose reikia sudëti 2vienodus skaièius.

Mokantis II deðimtá, uþduotys darosi sudëtingesnës:1. Paraðykite duotus skaièius taip, kad jie eitø maþëjimo tvarka, o trûks-

tamø skaièiø vietoje padëkite brûkðnelius: 9, 17, 3, 14, 8, 15, 20, 11,6.

2. Paraðykite po stulpelá sudëties ir atimties pratimø, pasinaudodamiskaièiais 10, 7, 3.

3. Kas daugiau sugalvos ir uþraðys sudëties pratimø, kuriø atsakymasyra 13?

4. Uþraðykite atsakymus neskaièiuodami:6 + 7 � 7 12 + 8 � 88 + 6 � 6 14 + 5 � 5.

Ðakiðkis mokytojas V. Butkus aptarë savikontrolës skatinimo bûdus ma-þakomplektëje mokykloje [331]. Antai atliekant keliø veiksmø pratimus sa-varankiðkai, pirmasis, iðsprendæs pratimà, uþraðydavo savàjá sprendimà len-toje. Jei kiti mokiniai gaudavo kitokius atsakymus ir kitaip sprendë, savo spren-dimus irgi uþraðydavo. Taip pat buvo elgiamasi ir su kitø pratimø sprendi-mais, patikrinimo metu aptariami sprendimai, nustatomos klaidos. Geriau-sius sprendimus uþraðæs � paskatinamas labai geru ávertinimu. Kartais po

75

savarankiðko darbo kiekvienam mokiniui bûdavo duodamos kortelës su uþ-duoèiø sprendimais, pasiûlius palyginti su savuoju ir iðtaisyti pastaràjá, pa-braukiant klaidas. Tai ugdë ir sàþiningumà: ne vienam tekdavo nugalëti pa-gundà ne pabraukti, o ðiaip iðtaisyti klaidas. Savarankiðko darbo metu nerei-kia skubëti padëti iðtaisyti klaidas � tegu mokiniai tai padaro patys. Netruk-dyti mokiniui, jei mokytojas ir pamato, kad mokinys dirba neracionaliai �tegu pats ásitikina, kad buvo galima buvo spræsti racionaliau. Individualioskonsultacijos turi bûti teikiamos taip, kad netrukdytø kitiems mokiniams. V.Butkus daþnai apsieidavo be þodþiø: patvirtindavo galvos linktelëjimu, klai-dingà veiksmà pabraukdavo ir pan.

Taigi savarankiðko darbo organizavimui pedagoginës periodikos straips-niuose skirta nemaþai dëmesio. Priminsime, kad kaip tik ðios problemos nag-rinëjimui buvo skirtas pats pirmasis pradinës matematikos didaktikos straips-nis � tai liudija ðios problemos aktualumà.

2.3. Matematikos mokymo pradinëse klasëse vaizdumas

Ðiai problemai aptarti skirti 7 TM ir 8 Tm straipsniai.Pirmasis straipsnis � apie aritmetiná domino [683], jo autorius � Res-

publikinës jaunøjø technikø stoties instruktorius E. Trumpa4 . Straipsnyje ap-tariama tokio domino gamyba, þaidimo organizavimas. Gaminti rekomen-duojama per rankø darbø pamokas � taigi integracija.

Alytaus raj. Druskininkø pradinës mokyklos mokytojas J. Sinickas ap-tarë skaitytuvø naudojimà pradinëse klasëse [656]. Jo teigimu, tai populia-riausia, vaizdingiausia ir prieinamiausia mokymo priemonë. Skaitytuvais pui-kiai galima pademonstruoti skaièiø palyginimà (vienetiná ir kartotiná), darnesupaþindinant su skaièiø skyriais. Ypaè patogu su jas aiðkinti numeracijàiki 100, 1000 ir t. t., deðimtaines trupmenas. Gerai turëti ne tik demonstraci-nius, bet ir individualius skaitytuvus.

RMTI metodininkas V. Lapinskas aptarë skaièiavimo lenteliø panau-dojimà [506] ugdant greitojo skaièiavimo ágûdþius. Pavyzdþiui, iðkabinamalentelë:

76

3 5 4 6 7 1 0 2 9 85 7 6 8 9 3 1 4 2 07 9 8 0 2 5 3 6 4 19 2 0 1 4 7 5 8 6 32 4 1 3 6 9 7 0 8 51 3 2 4 5 0 8 9 7 60 1 9 2 3 8 6 7 5 48 0 7 9 1 6 4 5 3 24 6 3 5 8 2 9 1 0 7.

Ji pasiþymi tuo, kad jos 10 eiluèiø ir 10 stulpeliø yra skaièiai nuo 0 iki 9,iðdëstyti taip, kad nei eilutëje, nei stulpelyje tas pats skaièius antrà kartà ne-pasikartoja. Pratybos atliekamos tokiu bûdu � mokytojas rodo ir sako: ,,Kiek-vienà ðios lentelës skaièiø reikia padauginti ið 4 (3, 7, 5 ir t. t.). Dauginsimeeilëmis (arba stulpeliais)�. Mokytojas pats padaugina kelis skaièius, toliaudaugina patys mokiniai. Vienam dauginant, kiti seka ir taiso klaidas. Tokialentelë tinka ir sudëties bei atimties pratyboms. Straipsnyje apraðyta ir lente-lë, tinkama dalybai mokyti.

Judamøjø priemoniø naudojimà I klasës matematikos pamokose apta-rë savo straipsnyje [411] Marijampolës (tuo metu � Kapsuko) mokyklos-in-ternato mokytoja G. Jarumbavièiûtë. Tai plakatai su iðimamomis detalëmis:,,Medþio ðaka�, ,,Grybai�, ,,Darþas�, ,,Kregþdës�. Pvz., pastarajame melsva-me fone yra nubrëþtos 2 lygiagreèiosios tiesës � ,,vielos� ir padaroma po 10ápjovimø ant kiekvienos ið jø, kad bûtø galima ,,patupdyti� norimà kieká kregþ-dþiø. Priemonës labai tinka uþdaviniams iliustruoti, mintiniam skaièiavimui.

Këdainiø raj. Tubiø pradinës mokyklos mokytoja E. Bazevièiûtë aptarë[293] vaizdiniø priemoniø gaminimo organizavimà, pasitelkiant mokinius. Jipriemones suskirstë pagal naudojimo bûdà á 4 grupes: a) priemonës, kuriaskiekvienas mokinys pasigamina sau, � asmeninio naudojimo didaktinë me-dþiaga (ávairios geometrinës figûros, pagaliukai ir jø ryðulëliai, monetø mo-deliai, metrinë liniuotë); b) demonstracinës priemonës, kurias naudoja mo-kytojas, perteikdamas naujà medþiagà, jà átvirtindamas, klausinëdamas mo-kinius, organizuodamas mintiná skaièiavimà (padidintos aukðèiau iðvardytospriemonës, lentelës, judamosios priemonës); c) priemonës, leidþianèios mo-kytojui organizuoti savarankiðkà mokiniø darbà (cikliniai pratimai, ádomiejikvadratai, aritmetinis loto); d) priemonës, vartojamos uþklasinëje veikloje(ávairûs matematiniai þaidimai). Priemonës gaminamos per rankø darbø pa-mokas. Asmeninio naudojimo didaktinæ medþiagà pirmokams gamina vy-resniøjø klasiø mokiniai. Panaudojama nebereikalinga medþiaga, pvz., nu-plëðiamøjø kalendoriø lapeliai skaitmenims iðkirpti. Toks darbas mokinius

77

psichologiðkai ir praktiðkai rengia gamybai, lavina gyvenime reikalingus ágû-dþius, mokiniai lengviau ásisavina mokomàjà medþiagà, jø þinios, paremtosstebëjimu ir konstravimu, bûna gilesnës.

Mokytojas J. Barvydas5 ið Naujosios Akmenës vidurinës mokyklos nag-rinëjo [291] vaizdiniø priemoniø panaudojimo abstrakèiam màstymui ugdytiproblemà. Aptarë daugiaþenkliø skaièiø numeracijos, laiko matø ir kai kuriøuþdaviniø tipø (skaièiaus radimo ið 2 skirtumø, skirtuminio ir kartotinio pa-lyginimo, skaièiaus dalies radimo, prieðprieðinio judëjimo) vaizdaus moky-mo klausimus. Pirmosios temos mokymui sukonstravo priemonæ ,,Skaièiønumeracija�, antrosios � ,,Þemës palydovø modelis�. Pateikë pamokø frag-mentus, kuriose vartojamos aptariamos priemonës.

Kauno I mokyklos-internato mokytoja J. Palubinskaitë dalijosi savo pa-tirtimi [583] didaktinës medþiagos panaudojimo srityje. Ði medþiaga � svarbivaikø savarankiðkumo ugdymo priemonë, sutelkianti jø dëmesá, priverèiantisàmoningai ir savarankiðkai protauti. Naudojant jà átvirtinimo metu, didakti-në medþiaga greitai padeda iðaiðkinti tuos, kurie ne viskà suprato aiðkinantnaujà medþiagà. Sëkmingai jà galima panaudoti ir paèiame naujos medþia-gos aiðkinimo procese, organizuojant kontrolinius darbus, ypaè diferencijuo-jant jø uþduotis.

Skuodo raj. ðvietimo skyriaus metodinio kabineto vedëjas A. Dokðus6

aptarë [351] vaikø loginio màstymo ugdymà panaudojant didaktinius þaidi-mus. Kad mokiniai mintinai ,,nekaltø� daugybos lentelës, rekomenduojamas,,Daugybos lentelës loto�, kurá galima pasigaminti apklijavus ðaðkiø lentà po-pieriumi ir langeliuose áraðius ávairias daugybos lentelës sandaugas (sunkes-nius atvejus). Abiejose lentos pusëse sandaugos iðdëstytos simetriðkai prie-ðingos pusës atþvilgiu, vienoje pusëje visos sandaugos skirtingos. Kiekvienasþaidëjas gauna po vienodà kieká kvadratëliø, kuriø vienoje pusëje yra áraðytidauginimo gaviniai, kita pusë balta (jø yra tiek, kiek yra vienoje pusëje lange-liø � 32). Prieð þaidþiant kvadratëliai iðdëliojami ant stalo ðalia lentos tuðèiàjapuse á virðø ir sumaiðomi. Pirmasis pradëjæs þaidimà (tai nustatoma burtøkeliu) ima kurá nors kvadratëlá ir juo uþdengia atitinkamà sandaugà. Jei taijis padaro teisingai (tai nustato jo partneris ar teisëjas), gali imti kità kvadra-tëlá, jei nesuklysta � treèià ir t. t. Kai visi kvadratëliai paimti, laimi tas, kurisuþdengë daugiau laukeliø. Patikrinti lengva: jei vienoje pusëje kvadratëlissandaugà uþdengë teisingai, tai kitoje pusëje jam simetriðkas langelis liekatuðèias.

Labai paplitæ þaidimai, kuriuose metamas kubelis ir pagal iðkritusiustaðkus kopiama aukðtyn (pvz., ,,Kas pirmas uþims pilá?�), o kartais ir krinta-

78

ma. Jie padeda ugdyti mintinio skaièiavimo ágûdþius. Loginá màstymà itinugdo þaidimas, kuriame reikia, perstumdant skaièius, uþraðytus kvadratëliuo-se, sutvarkyti jø eilæ didëjimo tvarka. Bûtina panaudoti ir ávairius galvosû-kius, kuriø daug bûna vaikø laikraðèiuose ir þurnaluose.

Anykðèiø raj. Kurkliø vidurinës mokyklos mokytoja A. Stimbirienë da-lijosi patirtimi [659], sukaupta naudojantis savos gamybos demonstraciniaisskaitytuvais. Tai fanerinis pano su pritvirtintais skersinukais, ant kuriø gali-ma iðdëlioti demonstracinius paveikslëlius, geometrines figûras, kilnojamuo-sius skaitmenis, veiksmø ir santykiø þenklus. Jis turi bûti nudaþytas tamsiaspalva, kad prireikus ant jo bûtø galima raðyti kreida. Skaitytuvø priedas �dëþë, kurios atskiruose skyreliuose sudëti demonstraciniai paveikslëliai (vie-nodo dydþio visiðkai vienodi paveikslëliai: viðèiukai, grybai, kibirëliai, vove-raitës ir pan.), kilnojamieji skaitmenys, veiksmø ir santykiø þenklai, po 10juodø ir baltø ðeðiakampiø. Mokytoja pateikë 11 priemonës panaudojimobûdø. Trumpai aptarsime juos.

1. I klasëje mokslo metø pradþioje atliekamos skaièiavimo, daiktø aibiølyginimo pratybos naudojant paveikslëlius, ðeðiakampius.

2. Supaþindinant su skaièiais iki 10 ir skaitmenimis, darbas pradedamasnuo vienodø paveikslëliø skaièiavimo, baigiant spausdinto skaitmens(skaièiaus) demonstravimu ir jo uþraðymu.

3. Aiðkinant skaièiaus sandarà, pradþioje sudaromas nagrinëjamas skai-èius ið juodø ir baltø ðeðiakampiø. Keièiant skirtingø spalvø ðeðia-kampiø kieká, mokiniai supranta skaièiaus iðskaidymo á 2 dëmenisbûdus. Pvz., 5 iðskaidome: 1 + 4, 2 + 3, 3 + 2, 4 + 1.

4. Minima priemonë naudojama skaièiø sudëèiai demonstruoti, pradþio-je dëmenis vaizduojant vienodø paveikslëliø aibëmis ir jas sujungiant,o po to sumà ,,uþraðant� su kilnojamaisiais skaitmenimis, sudëties irlygybës þenklu. Taip galima aiðkinti ir tekstiniø uþdaviniø sprendimà.

5. Priemonë lengvai panaudojama ir lygèiø su kvadratëliu paþymëtu kin-tamuoju sprendimui aiðkinti.

6. Átvirtinant skaièiavimà iki 10, sudëdama skaièiø eilæ mokytoja sàmo-ningai praleidþia kai kuriuos skaièius, o mokiniai iðtaiso jos klaidas.

7. Panaudojant juodà ðeðiakampá (,,deðimtá�) ir baltus staèiakampius(,,vienetus�) demonstruojama skaièiø iki 20 sandara ir veiksmai tipo:15 + 3.

8. Skaièiø didinimo ir maþinimo pratimai: ant dviejø skersinukø pade-damas vienodas skaièius vienodø paveikslëliø ar figûrø. Apatiniameskersinyje parodoma, kà gausime, padidinæ ar sumaþinæ virðutiná skai-

79

èiø keliais vienetais.9. Dviejø veiksmø uþdaviniø sprendimas. Pvz.: ,,Mergaitë rado 3 gry-

bus, po to dar 4 ir dar 2. Kiek ið viso grybø rado mergaitë?� Sprendi-mas demonstruojamas su grybø pieðiniais.

10. Daugybos veiksmo prasmës demonstravimas, pvz., 2 + 2 + 2.11. Dalybos á lygias dalis demonstravimas.Mokytoja pati pripaþino, kad aptartieji atvejai � dar ne visi galimi ðiø

skaitytuvø panaudojimo atvejai.Buv. Kapsuko (Marijampolës) PM dëstytojas V. Pangonis7 aptarë mo-

deliavimo metodo taikymà pradinëje mokykloje. Pasak jo, ,,vaikas geriau ási-mena sumodeliuotas þinias negu paprastai, nors ir nuosekliai, pateiktas� [585,p. 15]. Ðis metodas reikalauja grieþto mokymo nuoseklumo ir vaizdumo. Ko-kia gi ðio metodo esmë? ,,Modeliavimu laikoma tai, � raðë V. Pangonis, �kada mokytojas, dëstydamas medþiagà, pats duoda arba rekomenduoja mo-kiniams konstruoti pagrindiniø þiniø modelá, tai yra planà, schemà, grafikà,pieðiná <...>� [585, p. 15]. Jis iðskyrë 3 pagrindines modeliø rûðis. Aptarsimejas.

1. Natûraliø daiktø (daiktiniai) modeliai, pvz., geometrinës figûros, vai-siø ir darþoviø muliaþai, gamtinë medþiaga (akmenukai, kaðtonai,ðakelës ir pan.) bei kt. daiktai, palengvinantys mokymo turinio aiðki-nimà. Jie padeda sparèiau vystyti ne tik vidutiniø, bet ir silpnesniømokiniø màstymà.

2. Daiktø ar reiðkiniø modeliai, iðreikðti vaizdais (vaizdiniai modeliai):schemos, brëþiniai, grafikai, paveikslëliai, skaidrës, kino filmai ir t. t.Pvz., sprendþiamà uþdaviná: ,,Ið taðko A iðvaþiavo motociklininkas.Jis vaþiavo 47 km/h greièiu. Ið taðko B iðvaþiavo kitas motociklinin-kas, kuris vaþiavo 45 km/h greièiu. Po 8 h jie susitiko taðke C. Kiekkilometrø nuvaþiavo kiekvienas motociklininkas, jeigu ið viso jie abunuvaþiavo 736 km?� vaikai geriau suvoks, pateikus grafiná pieðiná(1 pav.).

47 km/h 45 km/h

1 pav.

A B

80

Suvokti paprastàsias trupmenas padës kitas vaizdinis modelis (2 pav.).

2 pav.

Tiek daiktiniai, tiek vaizdiniai modeliai laikomi pradinëmis modeliavi-mo grandimis, nuo kuriø galima pereiti prie abstrakèiøjø modeliø. Vaizdiniaimodeliai daþnai pavaduoja daiktinius, todël pradiniame mokyme jie vartoja-mi greta vienas kito.

3. Loginiai màstymo arba abstraktieji modeliai. Màstomuoju, arba abst-rakèiu, modeliavimu suprantami ávairiais simboliais bei þenklais ið-reikðti modeliai, ágalinantys greitai operuoti abstrakèiais teiginiais,posakiais, taisyklëmis, apibrëþimais, iðvadomis, algoritmais. Abstrak-èiam modeliui priskirtinas, pvz., matematinio veiksmo atlikimo algo-ritmo mokymas þodþiais ir jo uþraðymas matematiniais þenklais. To-kie modeliai lengvai uþraðomi, nesunkiai ásimenami, todël jie pade-da greitai ir trumpai iðreikðti svarbiausias þinias. Mokykloje jie bûti-ni, nes palengvina suvokti mokomàjà medþiagà.

Klaipëdos raj. Piaulø pradinës mokyklos vedëjas S. Jankus savo straips-nyje [405] aptarë deðimtainiø lenteliø naudojimà nagrinëjant pirmàjà deðim-tá. Tokios lentelës pagaminamos kiekvienam mokiniui ið faneros ar kartono.Tai staèiakampiai, kuriø matmenys 25x10 (cm), sugrafuoti 5x5 (cm) lange-liais. Prie kiekvienos lentelës yra po 10 kvadratëliø, kuriø matmenys 5x5 (cm).Lentelës ir kvadratëliø spalvos skirtingos. Mokiniai iðmokomi tvarkingai pa-dëti ant lentelës reikiamà skaièiø kvadratëliø. Mokytojas pasiekdavo, kadmokinys ið karto, tik paþiûrëjæs, nustatytø, koks kvadratëliø skaièius padëtas,o neskaièiuotø jø ið eilës po vienà. Po to lentelës vartojamos supaþindinant

1 1/2 1/2 1/4

1/41/4

1/41/8 1/8

1/8

1/8

1/8

1/81/81/8

1

1/21/2

1/4 1/41/4

1/4

1/81/8 1/8

1/8 1/81/8 1/8

1/8

81

su sàvokomis ,,daugiau�, ,,maþiau�, ,,lygu�, ,,skirtinga�, sudëtimi, atimtimi,dëmenø perstatymo taisykle.

Mokytoja N. Gaidelienë (Ignalinos raj. Palûðës pradinë mokykla) supa-þindino kolegas su vaizdumo taikymu I klasës matematikos pamokose [375].Supaþindindama su nuliu, padëdavo lentos apaèioje 10 vienodø monetø mo-deliø. Dëdavo po 1, kol gaudavo 10. Po to nuimdavo po l, vis vaikams suskai-èiuojant ir uþraðant, kiek lieka. Kai nebelieka nieko, sakoma ir uþraðoma,kad lieka skaièius 0. Taip pat straipsnyje daug vietos skirta tekstiniø uþdavi-niø sprendimo inscenizavimui.

Ðakietis V. Butkus dalijosi patirtimi apie magnetofoniniø áraðø panau-dojimà maþakomplektës mokyklos pamokoje [329]. Kai mokytojas dirba suviena klase, kita klasë gali pagal magnetofoniná áraðà paraðyti matematinádiktantà. Taèiau V. Butkus perspëjo, kad ilgesnis darbas su áraðais gali sukeltinuovargá, kad juos vartojant negalima formuoti naujø sàvokø, pateikti api-brëþimø, iðvadø.

Rokiðkio raj. Laibgaliø pradinës mokyklos mokytoja J. Kaðinskienë ap-tarinëjo vaizdø matematikos mokymà pagal tuometinæ programà II klasëje[422]. Dviþenkliø skaièiø numeracijai ir veiksmams pakartoti naudojami pa-galiukai ir jø ryðulëliai, kilnojamieji skaitmenys, veiksmø ir santykiø þenklai,spalvota kreida. Mokantis numeracijos, padeda didaktinis þaidimas ,,Skai-èiau, stok�. Vaikai gauna skiriamuosius þenklus � korteles, kuriose uþraðytiskaitmenys nuo 0 iki 9. Vienos spalvos kortelës reiðkia vienetus, kitos � de-ðimtis, treèios � ðimtus (èia nëra kortelës su 0). Mokytojai pasakius, pvz.,skaièiø 373, mokiniai iðbëgdavo prieð klasæ ir sudarydavo, laikydami prieðsave korteles, ðá skaièiø. Su vienodais paveikslëliais, pagaliukais, kilnojamai-siais skaitmenimis ir nelygybës þenklais sudaromos dvigubos nelygybës. ,,Ne-lygybes pavaizduoti <...> atkarpomis mokiniams palengvina nevienodo il-gio ir spalvos siûlø palyginimas. Ðtai raudonas 5 cm ilgio siûlas, þalias 10 cm,juodas 3 cm ilgio. Pradþioje mokiniai, þiûrëdami á siûlus <...>, uþraðo nely-gybes jø spalvø raidëmis, atsiþvelgdami á ilgá, ið akies J < R < Þ. Toliau pava-dina juos <...> raidëmis a, b, c. Po to nustato nelygybæ c < a < b ir tik paskuijà uþraðo ilgio skaièiais�, � raðë J. Kaðinskienë. Panaðiems pratimams atlikti,,Vertinga vaizdinë priemonë yra lentelë su trimis virbalais, ant kuriø uþmau-nami skaitytuvø rutulëliai. Juos galima atitinkamai kilnoti nuo vieno virboant kito�. Mëgstamas mokiniø þaidimas ,,Drugiø gaudytojas�. Pakabinamakiekvienai eilei po plakatà, kuriame prikaiðiota drugiø ir ant jø paraðyti pra-timai. Eina ið eilës po vienà mokiná, traukia po drugelá ir iðsprendþia prati-mà. Laimi ta eilë, kuri pirma sugavo visus drugius�, � raðë mokytoja, kartu

82

siûlydama kolegø dëmesiui panaðius þaidimus ,,Sugavus þuvá� ir ,,Kas grei-èiau ir teisingiau�. ,,Tiesës sàvokai sudaryti reikia turëti ant dviejø rièiø suvy-niotus siûlus. Pertiesus per klasæ siûlà, jo galai slëpsis ritëse. Tiesiama nori-mo ilgio, bet galima tæsti ir tol, kol norima. Tai ir bus tiesë.

Geometriniø figûrø � trikampiø, kampø, staèiakampio, kvadrato sàvo-koms sudaryti turiu ðiø figûrø modelius. Jø reikia tiek, kiek klasëje mokiniø,kad kiekvienas jais naudotøsi, lygintø, gretintø. Modelius ið popieriaus ir kar-tono gali pasigaminti patys mokiniai darbø pamokose�, � raðë J. Kaðinskie-në. Daiktø svërimo, tûrio sàvokoms formuoti ji naudojo balionà, sviediná,smëlio ir vandens stiklines, gabalà vatos ir geleþies ir t. t. Aiðkindama ilgiomatavimà vartojo staliaus, siuvëjo metrus, lauko skriestuvinæ matuoklæ, kiek-vienas mokinys turëjo metro, centimetro, decimetro modelius ið popieriausir matavimui naudojamà medþiagà: ávairiø vielos gabalëliø, siûlø, popieriniøjuosteliø. ,,Praktika rodo, kad po ávairiø pratybø, kuriø metu naudotos vaiz-dinës priemonës ir þaidimai, mokiniai daug lengviau atlieka savarankiðkasuþduotis, esanèias vadovëlyje. Ne kartà mano auklëtiniai sakë: kokia ádomimatematika�, � taip uþbaigë savo ádomø straipsná kûrybinga pedagogë J. Ka-ðinskienë.

Paskutinis straipsnis ðia tema � ÐPI profesoriaus B. Balèyèio [288]. Jisaptarinëjo priemones, reikalingas vartoti pamokose pagal tuometinæ moky-mo programà. Ypaè akcentavo vaizdiniø priemoniø svarbà formuojant nau-jas sàvokas, pabrëþë didaktiniø þaidimø vaidmená.

Taigi vaizdaus matematikos mokymo problemai periodikoje skirta ne-maþai dëmesio. Mokytojai savo straipsniuose apraðë savo patyrimà naudo-jant ir konstruojant kartais gana paprastas, bet pradinëje mokykloje reikalin-gas priemones. Norëtøsi, kad juo pasinaudotø esama ir bûsimos pedagogøkartos.

2.4. Psichologiniai pradinio matematikos mokymoklausimai. Probleminio mokymo elementai pamokose

Ðia tema TM iðspausdinti 3, o Tm � 9 straipsniai.Buv. Eiðiðkiø raj. Poðkø aðtuonmetës mokyklos mokytoja V. Gargasie-

në raðë [378], kad retas pradiniø klasiø mokytojas iðmoko padalyti ið dviejømintinai, neraðydamas tarpiniø rezultatø, pvz., 1256 : 2. Daugelis penktokømokslo metø pradþioje nesugeba mintinai iðspræsti pratimø: 58 . 2, 72 : 3 ir

83

pan., nes nëra ásisàmoninæ daugybos (dalybos) suskirstymo sudëties atþvilgiutaisyklës taikymo. Dar sunkiau jiems sekasi spræsti tekstinius uþdavinius. To-dël akcentuojamas pagalbiniø, ,,uþvedamøjø� uþdaviniø su nedideliais skai-èiais sprendimas. Tik gerai ásisàmoninæ jø sprendimà, mokiniai sugebës spræstiuþdavinius su dideliais skaièiais. Pabrëþiama ir individualaus darbo su atsi-liekanèiais pradinukais svarba.

Verstame ið rusø kalbos V. Dikarevos straipsnyje [350] nagrinëjamasloginio màstymo ugdymas sprendþiant tekstinius uþdavinius. Pradþioje apta-riama, kaip panaudoti spalvotas aplikacijas sudarant uþdaviniø sàlygas, iðski-riant ir akcentuojant jø klausimus. ,,Siekdama pripratinti vaikus sàmoningai,teisingai skaityti uþdavinio sàlygas, <...> skiriu uþdaviniø, kuriuose veiks-mui parinkti trûksta lemianèio, svarbiausio þodþio.

,,Vasia turëjo 10 paðto þenklø. Atidavë juos dviem draugams, nepasilik-damas sau në vieno þenklo. Po kiek þenklø gavo kiekvienas draugas?� Vaikaiskuba atsakyti ,,5�. Klausimas ,,Kodël?� priverèia juos susimàstyti. Iðsiaiðki-name, kad uþdavinyje nepasakyta, kaip Vasia paskirstë savo þenklus drau-gams. Nëra þodþiø po lygiai, ir dalyba á 2 lygias dalis nepagrásta�, � raðë V.Dikareva [350, p. 12].

Daug dëmesio straipsnyje skirta iðaiðkinti, kaip ugdyti loginá màstymàsprendþiant tiesioginius ir netiesioginius skaièiaus didinimo (maþinimo) ke-liais vienetais (kelis kartus) uþdavinius, akcentuota tokiø uþdaviniø palygini-mo reikðmë.

Analizuotas uþdaviniø, skatinanèiø vaikø funkcinio màstymo ugdymà,sprendimas sudarant ir pildant lenteles, pvz.:________________________________________________________________Daikto pavadinimas Vieno daikto kaina Kiekis Visø daiktø kaina________________________________________________________________ir pan.

Aptartas pagalbiniø, parengiamøjø uþdaviniø panaudojimas sprendþiantsudëtingesnius uþdavinius, lyg ir papildant aukðèiau aptartà V. Gargasienësstraipsná, pvz., uþdavinio: ,,Vaikø darþeliui pirmà kartà nupirko 3 lëles. An-trà kartà nupirko 5 tokias pat lëles. Antrà kartà sumokëjo 12 rub. daugiau.Kiek sumokëjo uþ lëles pirmà kartà ir kiek antrà kartà atskirai?� aiðkinimeparengiamieji uþdaviniai bus tokie: ,,Maða nusipirko 2 trintukus ir Vytas 2(tokius pat). Katras sumokëjo daugiau ar maþiau? O jeigu sumokëjo po ly-giai, tai kodël? <...> Maða nusipirko 2 trintukus. Vytas nusipirko 3 tokiuspat trintukus. Katras sumokëjo daugiau pinigø? Kodël?� [350, p. 14].

84

Vilniaus XXIII vidurinës mokyklos mokytoja S. Arlauskienë8 analiza-vo pastabumo, atminties ir loginio màstymo ugdymo matematikos pamoko-se klausimus [192]. Ji teigë, kad visa tai bûtina lavinti nuo pat pirmøjø moky-mosi dienø. Reikia praðyti papasakoti, kà vaikai matë, eidami á mokyklà, kàatsimena ið ekskursijos ir pan. Per pedagogines pertraukëles pamokose gali-ma duoti dëlioti ornamentus ið trafaretø, vielos. Ornamentai nupieðiami len-toje, po to nuvalomi, o vaikai turi prisiminti, kaip jie atrodë. Vaikams rodomipaveikslai, kuriose ið geometriniø figûrø sudaryti gyvûnai, analizuojama, iðkokiø ir keliø figûrø sudaryti tie gyvûnai. Labai naudingi paveikslai, kuriuosereikia rasti skirtumus. Iðmokus skaitmenis, pieðiniai komponuojami ir ið jø.Paèius skaitmenis reikia pieðti, lankstyti ið minkðtos vielos, lipdyti ið plasti-lino.

Supaþindinus su ilgio matais, naudingi tokie uþdaviniai:1. 10 mokiniø sustojo á eilæ 1 m atstumu vienas nuo kito. Kokio ilgio bus

linija, pagal kurià iðsirikiavo mokiniai? (9 m).2. Kiek mokiniø yra klasëje, jeigu jiems sustojus á eilæ su 1 m tarpais

tarp jø eilës ilgis yra 30? (31 mok.).3. Siuvëja siuvo prijuostëles. Kiekvienai jø reikia 1 m medþiagos. Kiek

kartø ji turës kirpti 20 m rietimà, jei visà já sunaudos prijuostëlëms?(19 kartø).

Supaþindinus su laikrodþiu, verta paklausti:1. Traukinys ið Vilniaus á Kaunà eina 1 h 40 min, o ið Kauno á Vilniø �

100 min. Kodël toks laiko skirtumas?2. Kada þiûrëdami á 1 sakome 5, o þiûrëdami á 5 � 25? (Kada minutinë

rodyklë stovi ant 5, sakome, pvz., 25 minutës treèios).Sudarant metø sàvokà, vertingi tokie uþdaviniai:1. Motinai 30 metø, dukteriai � 5. Po kiek metø motina bus du kartus

vyresnë uþ dukterá? (Po 20 metø).2. Kaip galëjo atsitikti, kad tëvas, turëdamas 40 metø, gimimo dienà

ðventë tiek pat kartø, kiek ir sûnus, kuriam 10 metø (abiejø gimimodienos ðvæstos nepraleidþiant nei vienos)? (Tëvas yra gimæs kelia-møjø metø 02 29).

Vaikø màstymà lavina ir galvosûkiai, pvz., apie ðeimos narius:1. Prie stalo sëdëjo du tëvai ir du sûnûs. Senelë pusryèiams atneðë 4

kiauðinius. Vyrai suvalgë po kiauðiná, bet vienas kiauðinis liko. Kaiptai atsitiko? (Prie stalo sëdëjo 3 vyrai).

2. Viename kambaryje gyvena dvi motinos, dvi dukterys ir senelë suanûke. Kiek þmoniø gyvena kambaryje? (3).

85

Dar bûdamas ÐPI docentu, B. Balèytis Tm puslapiuose plaèiai aptarëpsichologinius � didaktinius tuometinës pradinës matematikos mokymo pro-gramos pagrindus [282]. Aptardamas pagrindiniø màstymo operacijø: anali-zës, sintezës, palyginimo, apibendrinimo, sisteminimo, abstrahavimo ir kon-kretinimo plëtojimà, jis teigë, kad mokinio protinis iðsivystymas labai pri-klauso nuo to, kaip jis ávaldo ðias operacijas, mokydamasis matematikos. Ana-litinës-sintetinës protinës veiklos ugdymo poþiûriu B. Balèytis laikë naudin-gomis tokias uþduotis: ,,Neskaièiavæ áspëkite, ko daugiau: rudø ar geltonøskrituliukø, varþtø ar verþliø, spynø ar raktø (duodame atitinkama tvarkaiðdëstytus daiktus) <...> Tëvas turi penkis sûnus. Kiekvienas sûnus turi poseserá. Kiek ið viso tëvas turi vaikø? <...> Degë septynios þvakës. Jûratë dviþvakes uþpûtë. Kiek þvakiø liko?� [282, p. 4�5].

,,Iðkëlus palyginimo operacijos vaidmená, atsirado net speciali naujometodo sàvoka � vienalaikis panaðiø, kontrastiniø ir tarpusavyje atvirkðtiniøsàvokø mokymo metodas�, � raðë B. Balèytis [282, p. 5]. Lyginimo metodastaikomas norint iðaiðkinti sudëtá ir atimtá kaip prieðingus veiksmus (7 + 4 ir7 � 4), kai norima praplësti lygybës sàvokà (3 + 2 = 5 ir 5 = 3 + 2), kai reikiaiðryðkinti sudëtá ir atimtá kaip vienas kitam atvirkðèius veiksmus (4 + 3 ir7 � 4, 7 � 3), kai norima parodyti sumos kitimà kintant komponentams(5 + 5, 5 + 4). Apibendrinti irgi galima tik lyginant: ,,Apibendrindami iðski-riame esminius poþymius, ávedame matematinius terminus, kompaktiðkai nu-sakome jø pagrindines savybes, iðvedame taisykles, sudarome algoritmus irtaip toliau.

Svarbu prisilaikyti atitinkamos apibendrinimo formavimo metodikos.Prieð apibendrinant reikia sukaupti bent minimumà tos rûðies faktø, kitaipapibendrinimas bus formalus� [282, p. 5]. Apibendrinimo metodas padedavaikams iðvesti taisyklæ, nes pirma atliekamos uþduotys ir tik po to iðvedamataisyklë.

Antroje straipsnio dalyje, skirtoje protiniø veiksmø mokymui aptarti,raðoma; ,,Vidiniai psichiniai þmogaus procesai nëra pirminiai. Jie atsirandadël þmogaus iðorinës veiklos� [282, p. 6]. Todël, mokant protiniø veiksmø irformuojant sàvokas, reikia pradëti nuo iðorinës veiklos. B. Balèytis èia rëmë-si rusø psichologu A. Galperinu, kuris vaikø mokymosi veiklà skirstë etapais:

1) iðorinë veikla � materialusis lygis, kai vaikai naudojasi pagalbinëmispriemonëmis (pirðtais, pagaliukais ir t. t.);

2) tarpinis lygis, kai vaikas dirba kalbëdamas, t. y. kalba pavaduoja pa-galbines priemones;

3) vidinës kalbos lygis, kai vaikas veiksmus atlieka mintyse. ,,A. Galpe-

86

rino pasiûlytø protiniø veiksmø mokymo etapø reikia prisilaikyti irsprendþiant uþdavinius, <...> nesilaikant etapinio protiniø veiksmøformavimo kelio, mokiniø þinios nëra pakankamai tvirtos ir neádedareikiamo indëlio á mokiniø protiná lavinimà�, � baigë ðià straipsniodalá B. Balèytis [282, p. 7].

Treèioje straipsnio dalyje apþvelgtas indukcinio ir dedukcinio protavi-mo mokymas. Indukcija � protavimas, kai einama nuo daliniø atvejø priebendrø, dedukcijos atveju elgiamës atvirkðèiai. Indukcinis � dedukcinis màs-tymas padeda vaikams iðmokti apibendrinti, daryti iðvadas, iðvesti taisykles.

Verstiniame rusø psichologës A. Liublinskajos straipsnyje [520] lygina-ma pradinës mokyklos mokiniø mokomoji matematikos veikla pagal iki 1970m. veikusiàjà ir naujai ávedamàjà programas. Aptariami naujosios progra-mos ypatumai.

1. Su mokomàja medþiaga atliekamas veiksmas yra nukreiptas á iðaiðki-nimà tø poþymiø, savybiø arba sàryðiø, kurie sudaro pagrindinius ási-savinamos sàvokos ypatumus, t. y. veiksmas tampa pagrindiniu poþy-miu to, kas turi bûti ásisavinta, iðskyrimo priemone.

2. Naujoje sistemoje daugumà veiksmø mokiniai atlieka iki naujos sà-vokos ar dësnio, kuriuos jau ásisavina, suformulavimo. Atlikus tamtikrà kieká uþduoèiø, veiksmø atlikimo eilë ir tvarka pateikiama kaipapibendrinimas. Mokiniai ne tik ásisàmonina atliktus veiksmus kaiptam tikrà bûdà, bet ir ásisavina, pvz., skaièiaus struktûrà, jo skaidymoá patogesnius dëmenis galimybes, atskleidþia skaièiø tarpusavio ry-ðius.

3. Naujoji mokymo sistema áneðë daug esminiø pataisø. Pagrindinë �ágûdþio pajungimas arba, bet kuriuo atveju, darbo sudarant ágûdþiusderinimas su visos specialiøjø protiniø veiksmø sistemos sudarymu.Pvz., uþdaviniø sprendimo mokyme skaièiavimo ágûdþiai atlieka anaip-tol ne pirmaeilá vaidmená ðiame darbe. Pirmiausia reikia mokëti spræstiuþdaviná, t. y. mokëti iðskirti pagrindiná jo klausimà, visas jo sàlygas,viskà, kas duota, ir tai, kas neþinoma, numatyti sprendimo kelià irtuos aritmetinius veiksmus tokiu jø nuoseklumu, kuris ið anksto sàly-gotas uþdavinio struktûros. Norëdami susidaryti uþdaviniø sprendi-mo ágûdá, mokiniai turi spræsti ávairiø tipø, ávairaus sudëtingumo irstruktûros uþdavinius, ið pradþiø vienaveiksmius, o po to � sudëti-nius. Jei skaièiavimo ágûdis susidaro skaièiavimo darbui automati-zuojantis, tai uþdavinio sprendimo ágûdþio ásisavinimas susijæs su vissëkmingesniu, savarankiðkesniu jo taikymu. Tai reikalauja apiben-

87

drinimo. Jo lygio pakëlimas pasireiðkia tuo, kad mokinys konkreèia-me, jam pateiktame uþdavinyje moka pamatyti jo aukðèiau minëtaspagrindines puses.

4. Didelá vaidmená atlieka taisyklës ásisàmoninimas. Taisyklës ásisavini-mo ypatybë yra ta, kad nepakanka jos formuluotæ tik ásiminti ir iðlai-kyti atmintyje. Ásisavinimas reiðkia tai, kad taisyklës þinojimas turinustatyti taikymo bûdà, nuoseklumà, sistemà tø operacijø, kurios tik-rai bûtinos, racionalios dirbant su atitinkamu mokymo turiniu. Tai-syklë tampa þiniø ir mokëjimo operuoti jomis lydiniu.

Mokytoja ið Kauno raj. Vilkijos P. Cvirkos vidurinës mokyklos P. Pra-naitienë savo straipsná pavadino ,,Loginio màstymo pamokos� [606]. Jos pra-sideda nuo pat pirmøjø vaiko dienø mokykloje. Mokiniø dëmesiui suþadintinaudotos spalvotos aplikacijos ir buvo praðoma vienu sakiniu pasakyti, kàmato. Paskui, pridedant po vienà pieðinukà, klausiama, kas padaryta, kasatsitiko. Tenkinamasi atsakymu, kad tapo daugiau. Sprendþiant pirmuosiusuþdavinius pabrëþiama, kad reikia iðskirti þodþius, pasakanèius, kas padarytasu daiktais (pirko, atskrido, nuvaþiavo, padovanojo). Mokoma apibendrintisàvokas: ,,Pavasará prie mokyklos pasodintos 4 obelys. Rudená dar pasodin-tos 6 slyvos. Kiek ...� (klausimà pasiûloma suformuluoti mokiniams). O èiajau reikia platesnës, bendresnës sàvokos ,,vaismedþiai�. Pratinama spræstigalvosûkius: ,,Ant ðakos tupëjo 3 varnos. Vienà nuðovë. Kiek varnø liko antðakos?�; ,,Sode pasodinta obelis ir kriauðë. Obeliai 10 metø, o kriauðei 8metai. Kiek metø turi ðeimininkas, kuris jas sodino?� Mokant uþdaviniø spren-dimo, reikia analizuoti visus galimus sprendimo bûdus, rasti racionaliausià.Kad vaikai geriau suvoktø naujo uþdavinio prasmæ, pradþioje pateikiami uþ-daviniai be skaitiniø duomenø: ,,Rûta turi pieðtukø daugiau negu Romas. Kàgalima pasakyti apie Romo pieðtukus?� Beje, mokytoja P. Pranaitienë savostraipsnyje apraðë, kaip pasinaudojo aukðèiau aptartais B. Balèyèio ir A. Liub-linskajos straipsniais.

Panevëþio XI vidurinës mokyklos mokytoja K. Romerytë aptarë mate-matiniø sàvokø formavimo I klasëje bûdus [649]. Stengiamasi rasti analogijømokiniø patirtyje. Þenklas > vaizduoja iðskëstas rankas � taip maþi vaikaidaro, kai ðaukia : ,,Daug, daug�. Þenklas ,,+� � sudëti pagaliukai, ,,�� � atim-tas pagaliukas. Mokantis geometrijos pradmenø reikia, kad vaikai ne tik ma-tytø, bet ir paliestø, nubraiþytø figûras, nes kitaip jie rutulá vadins apskritimuar skrituliu, o trikampá � kampu ir pan. Vadovëlyje (B. Balèyèio � A. A.)geometrinës uþduotys pateiktos gana suprantamai. Mokytojui belieka kûry-biðkai naudoti vaizdines priemones. Vaikams labai patinka matuoti, lyginti,

88

sverti. Tà ir reikia nuolat daryti. Taip jie supras ir ásitikins, kad spëjimas ,,iðakies� gana netikslus, taip pat kad yra reikalingi atitinkamø dydþiø matavi-mo vienetai.

Verstiniame Valentino Kaèialkos, Baltarusijos Mozyriaus pedagoginioinstituto dëstytojo, straipsnyje [419] analizuojama mokiniø tiriamoji veiklasprendþiant probleminius uþdavinius. Jø sprendimo savitumas pasireiðkia tuo,kad mokiniai negali ðiø uþdaviniø iðspræsti þinomais bûdais arba neástengiatø bûdø taikyti naujomis sàlygomis (uþdaviniai su nauju siuþetu, naujais dy-dþiais, nepaþástamu sàlygos formulavimu, duomenys pirmà kartà pateikiamiraidine forma ir t. t.). Visais ðiais atvejais tyrimas � tai arba naujo sprendimobûdo suradimas, arba þinomo bûdo taikymas nustatant ryðius, santykius beipriklausomybes tarp uþdavinyje duotøjø dydþiø. Mokiniø tikslinga savaran-kiðka tiriamoji veikla, atliekama sprendþiant uþdavinius, iðreiðkiama tokiumodeliu:

1. Iðankstinis mokiniø orientavimas, t. y. atpaþinimas, koks yra uþdavi-nys, koks jo reikalavimas � klausimas.

2. Uþdavinio ir reikalavimo pertvarkymas.3. Prielaida, kaip uþdaviná spræsti.4. Sprendimo plano sudarymas, operacijø parinkimas ir atlikimas.5. Tarpiniø sprendimo rezultatø gretinimas.6. Galutinio rezultato gavimas.7. Uþdavinio tyrimo ir sprendimo rezultatø kontrolës kriterijø iðskyri-

mas.Mokiniø tiriamosios veiklos metodas yra tam tikri bûdai (pagalbiniai,

euristiniai ir kontroliniai), realizuojami nuosekliai taikant problemi-nës uþduoties sprendimo modelá. Metodas ágyvendinamas etapais:

1.Tiriamosios veiklos bûdø savitumo iðskyrimas ið iðplëstinio apibûdini-mo sprendþiant tam tikros klasës uþdaviná, mokiniø paruoðimas ti-riamosios veiklos metodo ávairinimui.

2. Nurodymø kiekvienam sprendimo bûdui sudarymas, t. y. sprendimoplano sudarymas.

3. Plano taikymas: a) su iðplëstiniais nurodymais; b) su apibendrintaisnurodymais; c) mintinis plano taikymas.

Pradþioje tyrimo metodas taikomas nuosekliai, vëliau � glaustai. Planastaikomas uþdaviniø grupei. Pavyzdþiui, liepiama kiekvienam ið duotøjø uþ-daviniø uþpildyti lentelæ tokiu bûdu: a) uþraðyk dydþiø þinomas reikðmes; b)surask ir uþraðyk ieðkomojo dydþio reikðmæ; c) uþraðyk tos reikðmës formulæ;

89

d) uþraðyk taisyklæ, kaip surasti tà reikðmæ. (Pastaba: pagal dabartinæ pro-gramà dirbant galima punktà c praleisti). Tegu tie uþdaviniai bus tokie:

I. Staèiakampio ilgis 8 cm, plotis 3 cm. Surask jo plotà.II. Staèiakampio plotas 24 cm2, ilgis 8 cm. Kam lygus jo plotis?III. Staèiakampio plotas 24 cm2, plotis 3 cm. Surask kità jo kraðtinæ.Lentelë atrodys taip:

Ilgis (a) Plotis (b) Plotas (s) I užd. 8 cm 3 cm 24 = 8 x 3 (cm2) II užd. 8 cm 3 = 24 : 8 (cm) 24 cm2 III užd. 8 = 24 : 3 (cm) 3 cm 24 cm2 Formulÿ a = s : b b = s : a s = a x b Taisyklÿ Kad rastume ilgÿ,

reikia……………….. Kad rastume plotÿ, reikia………………

Kad rastume plot� , reikia………………

Savarankiðkas uþduotis galima varijuoti, remiantis mokiniø tiriamosiosveiklos apibendrinimo didinimo principu. Ðiuo atveju visiems klasës moki-niams duodamas tas pats uþdavinys, pvz.: ,,Traukinys vaþiavo 9 h 70 km/hgreièiu. Apskaièiuok traukinio nuvaþiuotà kelià�, taèiau spræsti já praðomanaudojantis skirtingais planais. Silpnesni mokiniai vadovausis planu:

1. Perskaityk uþdaviná. Iðtirk jo sàlygà ir klausimà.2. Nustatyk þinomus ir ieðkomuosius dydþius.3. Pasidaryk uþdavinio brëþiná.4. Prisimink, kaip surandamas ieðkomasis dydis pagal du þinomuosius

(greitis � laikas � kelias).5. Sudaryk reiðkiná.6. Surask jo skaitinæ reikðmæ.7. Patikrink atsakymà pagal uþdavinio sàlygà ir klausimà.8. Paraðyk atsakymà.Vidutiniams mokiniams pakaks tokio plano:1. Perskaityk uþdaviná. Nustatyk þinomus ir ieðkomàjá dydþius.2. Nubraiþyk brëþiná.3. Sudaryk reiðkiná ir apskaièiuok jo skaitinæ reikðmæ.4. Patikrink atsakymà.Stipriesiems pakaks tokiø nurodymø:1. Iðspræsk uþdaviná, sudarydamas reiðkiná.2. Patikrink sprendimà.PMTI darbuotoja D. Meðkauskaitë9 aptarë [549] loginio màstymo ug-

dymà per matematikos pamokas. Anksti ávesti matematiniai terminai, raidi-

90

në simbolika padeda geriau ásisavinti matematinæ kalbà (teiginys, kuriuo rë-mësi nepavykusios reformos ákvëpëjai � A. A.). Kad mokiniai geriau iðmoktøtaisyklingai vartoti matematinius terminus, labai pravartu reikalauti garsiaisakyti viskà, kas uþraðoma. Vienas svarbesniø pradinës matematikos uþdavi-niø � formuoti skaièiavimo (mintinio ir raðtu) ágûdþius. Mokiniai mokomiracionaliai skaièiuoti, todël labai svarbu lavinti jø matematiná pastabumà,sumanumà ir greità orientacijà. Tam padeda ádomiøjø kvadratø, matemati-niø diktantø naudojimas, tekstiniø uþdaviniø sprendimas, galvosûkiai, mate-matinës máslës.

Nijolë Laginauskienë, Anykðèiø II vidurinës mokyklos mokytoja, anali-zavo mokiniø protinës veiklos aktyvinimo bûdus matematikos mokymo pro-cese [496]. Tikrinant, kaip atliekami namø darbai, reikia stengtis visus moki-nius átraukti á aktyvià veiklà. Tai pasiekiama uþduotimis:

a) perskaityti pratimà, kuriame yra didþiausias: pirmas dëmuo, atëmi-nys, skirtumas ir pan.;

b) sugalvoti tekstiná uþdaviná pagal namie iðspræstà pratimà;c) iðspræsti pratimà lentoje ir rasti jam panaðø tarp spræstøjø namuose,

nurodyti panaðumus ir skirtumus;d) perskaityti sprendimà uþdavinio, kuriame randame: dviejø skaièiø

sumà, skirtumà, lyginame 2 skaièius, skaièiø didiname (maþiname)keliais vienetais (kelis kartus) ir t. t.

Toks ávairus ir gyvas namø darbø atlikimo tikrinimas leidþia pasiektinorimø tikslø: pakartoti praeitos pamokos turiná, iðaiðkinti namø darbø atli-kimo savarankiðkumà, nustatyti klasës pasirengimà naujai medþiagai suvok-ti. Ið visø mokiniø reikalaujama màstyti, sukoncentruoti dëmesá, taip uþtikri-nant jø protiná aktyvumà.

Jau nuo I klasës reikia stengtis ugdyti savarankiðko darbo ágûdþius su-paþindinant su nauja mokomàja medþiaga. Kalbant, pvz., apie 6, vaikai antsavo suolø turi sudëlioti ið pagaliukø, geometriniø figûrø ar monetø modeliøðio skaièiaus sudarymo ið 2 dëmenø atvejus:

5 + 1, 4 + 2, 3 + 3, 2 + 4, 1 + 5.Panaðiai elgiamasi skaièiø palyginimui skirtose pamokose, sprendþiant

tekstinius uþdavinius. Ypaè vertingomis vadovëlio uþduotimis N. Laginaus-kienë laikë programuotàsias (þr. 2.5). Baigus bet koká savarankiðkà darbà,bûtina klausti vaikø: ,,Kuri uþduotis buvo pati sunkiausia? Kodël? Kas skai-èiavo kitokiu bûdu? Sugalvokite panaðià uþduotá� ir pan. Daug dëmesio mo-kytoja skyrë didaktiniams þaidimams, estafetëms. Prieð supaþindindama sukai kuriomis naujomis taisyklëmis mokytoja N. Laginauskienë sudarydavo

91

problemines situacijas. Kartais jos � ádomesni uþdaviniai: ,,Skrenda pempë irgiriasi: ,,Sudëjau 15 kiauðiniø�. O paukðèiai prieðtarauja: ,,Jei tu sudëtumdar 8 kiauðinius, tada ir bûtø 15� (pamoka, kurioje pristatoma neþinomodëmens radimo taisyklë). Kartais � konstravimo uþduotys: ,,Ið kokiø linijø irfigûrø sudarytas laivelis, sunkveþimis, robotas (3 pav.)?�

3 pav.

Mokiniai visada skiriasi vienas nuo kito savo individualiomis ypatybë-mis: gabumais, interesais, màstymo savybëmis, charakteriais ir kt. Paprastas,bet svarbus jø aktyvinimo bûdas � skatinantys þodþiai: ,,Jûs galite tai padary-ti, tik pagalvokite�, ,,Sëkmë priklausys nuo jûsø ádëto darbo� ir pan. Svarbuskaitytis su mokiniø nuomone, diskutuoti su jais, skatinti ieðkoti, kurti.

PMTI vyr. mokslinë bendradarbë R. Giedrienë, aptarinëdama moki-niø kalbos ugdymo problemas, palietë ir matematiniø sàvokø formavimo Iklasëje klausimus [386], akcentuodama lyginimo, suprieðinimo metodikà:,,brangus � pigus�, ,,platus � siauras�, ,,didelis � didesnis� ir t. t.

Tm skyriaus redaktorë Elena Tervidytë savo straipsnyje [680] aptarëmokiniø abstraktaus kûrybinio màstymo ugdymà per matematikos pamokas.Rekomenduojama mokiniams turëti bloknotëlius � ádomiosios matematikosuþraðus, kuriuos jie veda laisvalaikiu, á juos áraðydami másles, galvosûkius,ðaradas, keièiasi áraðais su draugais. Mokytojui retkarèiais reikia surinkti tuosuþraðus, perþiûrëti, rastus ádomesnius dalykus pakomentuoti, aptarti su visaklase ir t. t.

Trafaretinës uþduotys skatina màstymo stereotipø susidarymà, o tai stab-do protiná vaiko vystymàsi. Spræsdami jiems naujas, nestandartines uþduotis,

92

vaikai turi nuolat persiorientuoti, o sugebëjimas tai daryti � teigiama asme-nybës savybë. E. Tervidytë pateikë nestandartiniø uþduoèiø (programuotø,matematiniø kryþiaþodþiø). Vienos pavyzdys: ,,Koká skaièiø reikia áraðyti átuðèià langelá:

3 5 7 99 25 49 � [667, p. 22].

Taigi ðioje srityje mes matome ir mokytojø kûrybiðko darbo pavyzdþiø,ir mokslininkø patarimø jiems. Problemos, aptartos straipsniuose � aktua-lios ir jos tokios liks visada. Kai kurios jø, pasikeitus mokymo programoms,tik persikelia á vyresnes klases.

2.5. Pradinio matematikos mokymo individualizavimas irdiferencijavimas. Programuoto mokymo elementøtaikymas

Ðie klausimai jau buvo liesti aptartuose straipsniuose, bus jie lieèiami irkituose skyriuose. Èia aptarsime tik konkreèiai jiems analizuoti skirtus 4 TMir 2 Tm iðspausdintus straipsnius.

Pirmoji straipsná apie matematikos mokymo diferencijavimà paskelbëKlaipëdos IV pradinës mokyklos mokytoja A. Genevièienë [382]. Ji savo darbopraktikoje pastebëjo, kad vienus mokinius pakanka tik ,,uþvesti ant kelio� irjie sëkmingai dirba savarankiðkai, greitai suvokæ aiðkinamà medþiagà, o ki-tiems reikia net keliø pamokø, kad perprastø kokià nors naujà sàvokà aralgoritmà. Stipriesiems mokiniams reikia sunkesniø, ádomesniø uþduoèiø,nes jie privalomà darbà atlieka kur kas greièiau. Todëlmokytoja visada á pamokà neðdavosi tai pamokai pri-taikytø papildomø uþduoèiø. Prireikus já klasæ skirsty-davo ne tik á 2 grupes � stipriøjø ir kitø, bet ir á 3 ar 4,pvz., sugrupuodavo pagal padarytas klaidas savaran-kiðko darbo ar kontrolinio darbo metu.

Pirmasis straipsná apie programuoto mokymometodikos taikymà pradinëse klasëse � ,,Perforuoti ap-lankai� [332] paskelbë ðakietis V. Butkus. Vieno jø pa-vyzdys (4 pav.): 4 pav.

93

Tokie aplankai padeda individualizuoti mokiniø savarankiðkà darbà ma-þakomplektëje mokykloje, kai mokytojas turi dirbti su keliomis klasëmis, beigreitai patikrinti jo atlikimà.

ÐPI vyr. dëstytojas A. Aþubalis apraðë [216] Ðiauliø XVII vidurinës mo-kyklos mokytojos K. Peniasovos patirtá, vartojant elementarias gráþtamojoryðio priemones I klasëje. Mokytoja pateikë pratimà 10�6, mokiniai atsivertëatitinkamà individualios gráþtamojo ryðio priemonës � bloknoto lapelá, ku-riame nupieðtas skaitmuo 4 ir, atsukæ á mokytojà, pakëlë. Ji ið karto pamatë,ar visi suskaièiavo teisingai. Bloknotuose buvo nupieðti (atskiruose lapeliuo-se) visi skaitmenys, veiksmø ir santykiø þenklai, abëcëlës raidës, nes blokno-tus galima naudoti ir gramatikos pamokose. Kad reikiamà þenklà bûtø gali-ma greitai rasti, lapø deðinysis pakraðtys buvo iðkarpytas kaip alfabetinëseuþraðø knygutëse, ir kiekvienas atitinkamai paþymëtas smulkiu ðriftu. Norë-dama ávertinti lentoje savarankiðkai sprendusiø mokiniø sprendimø teisin-gumà ir á tà darbà átraukti visus mokinius, mokytoja liepë pasiimti jiems ,,ðvie-soforus� � kartono juosteles, kuriø vienoje pusëje prilipdytas raudonas, kito-je � þalias skrituliukas. Mokytojai parodþius iðspræstàjá pratimà, á jà turi bûtiatsukami arba þali (teisingai), arba raudoni (neteisingai) skrituliukai. Kitaðios mokyklos mokytoja V. Tarelkina gráþtamajam ryðiui realizuoti taikë,,Daugkartiniø uþraðø bloknotus�, kuriuos naudoja dailininkai eskizams. Juose,,raðoma� plastmasiniu nusmailintu strypeliu, áraðius atsakymà, jis atsuka-mas á mokytojà. Kai to atsakymo nebereikia, kilstelëjus lapà jis pranyksta.Mokytoja K. Peniasova savo pamokose mokiniø darbui individualizuoti nau-dojo plakatus su judamosiomios, iðimamomis detalëmis, panaðius á apraðy-tuosius G. Jarumbavièiûtës straipsnyje [411] (þr. 2.3). Savarankiðkø darbømetu greièiau bendrà uþduotá atlikusiems mokiniams mokytoja siûlydavo ,,ið-sirauti ið lysvës morkà�, ,,nusiskinti obuolá� ir pan. Antroje ðiø nuimamø de-taliø pusëje � papildomos, sunkesnës uþduotys. Bet pradinukams � smagu,jie didþiuojasi greièiau iðsprendæ.

Kitame A. Aþubalio straipsnyje [213] aptartos 4 pagrindinës pradinëjemokykloje vartojamø programuotø uþduoèiø rûðys.

1. Paprastojo parinkimo uþduoties pavyzdys: Rasti reiðkiniø reikðmes:

1) (3 + 5) x 4 a) 17 b) 23 c) 32 d) 122) (7 + 2) x 9 a) 18 b) 81 c) 25 d) 65

94

Kiekvienam uþduoties pratimui èia pateikiami 4 atsakymai, ið kuriø tei-singas tik vienas, o kiti modeliuoja bûdingiausias galimas mokiniø klaidas.

2. Priskiriamojo parinkimo uþduoties pavyzdys:Vietoje þvaigþdutës paraðykite atitinkamà þenklà >, < arba = :

1) 3 · 5 * 4 · 52) 9 · 7 * 9 · 63) 6 · 4 * 8 · 34) 8 · 3 * 9 · 3

Ðioje uþduotyje neteisingo atsakymo nëra, tik galima atsakymà teisin-gai arba neteisingai parinkti. Kitas pavyzdys:

Ið vieno sklypo gauta 3800 cnt kvieèiø, ið antro � 1278 cnt kvieèiø ma-þiau negu ið pirmo, o ið treèio � 815 cnt daugiau negu ið antro. Kiek centneriøkvieèiø gauta ið visø trijø sklypø?

Teisinga eile suraðyk ir atlik veiksmus, o nereikalingus veiksmus pra-leisk:

a) 3800 + 1278b) 2522 + 815c) 3800 � 1278d) 3800 + 815e) 3800 + 2522 + + 3337.

Ðioje uþduotyje pateikti 3 teisingi ir 2 neteisingi veiksmai.3. Kryþmiðko parinkimo uþduoties pavyzdys:Raskite lygius reiðkinius:

a) 37 + 48 a) b + (a + c)b) (a + b) x c b) 500 � 20c) 80 · 6 c) 100 � 15d) a + b + c d) a · c + b · c

Nesunku pastebëti, kad II ir III tipø uþduotys panaðios, skiriasi tik pa-teikimo bûdu. Jos ekonomiðkesnës, be to, jose nëra ar beveik nëra neteisin-gø atsakymø, prieð kuriuos kai kas prieðtarauja � atseit, klaidingus atsaky-mus mokiniai gali ásiminti kaip teisingus.

4. Adityvinio parinkimo uþduoties pavyzdys:1) Kurie dalmenys bus dviþenkliai skaièiai?

a) 618:6b) 5454:9c) 208:2d) 144:6

2) Kuriame reiðkinyje atlikæ dalybà gausime liekanà?

95

a) 640:8b) 432:8c) 568:8d) 708:8

Lengva pastebëti, kad ðiuo atveju padidëja uþduoties apimtis, nes rei-kia ne tik atlikti uþduotá, bet ir atsakyti á pateiktà klausimà.

Daug dëmesio straipsnyje skirta gráþtamojo ryðio realizavimui naudo-jant programuotas uþduotis tuometiniuose pratybø sàsiuviniuose: atsakymøðifravimui lentelëmis, spalvinamais pieðinio sektoriais, taðkø, paþymëtø skai-èiais, sujungimu ir pan. Aptariamas ir elektrifikuotø stendø vartojimas sukryþmiðko parinkimo uþduotimis.

Bendrame V. Drëgûno ir A. Aþubalio straipsnyje [357] iðanalizuoti tuo-metiniai pradiniø klasiø matematikos vadovëliai ir pratybø sàsiuviniai pro-gramuoto mokymo elementø taikymo juose atþvilgiu.

Kurðënø II vidurinës mokyklos mokytoja Regina Narkevièienë pateikëdiferencijuoto mokymo uþduoèiø pradinës mokyklos mokiniams pavyzdþiø[562]. Jos pateikiamos mokiniams korteliø pavidalu. Pvz., vienos spalvos kor-telëse suraðomi reiðkiniai: 16 + 3, 20 � 6 ir pan., o kitos spalvos kortelëse � jøreikðmës: 14, 19 ir kt. Mokiniai turi surasti kiekvieno reiðkinio reikðmæ, su-dëdami korteles ant suolø.

2.6. Pradinës matematikos mokymo ryðio su gyvenimurealizavimas. Dalykø ryðiai

TM vien ðioms problemoms nagrinëti skirti 2, o Tm � 10 straipsniø.Taèiau straipsniø, skirtø joms, buvo ir ankstesniuose, bus ir kituose skyriuose.

Pirmasis straipsnis, skirtas vietinës medþiagos panaudojimui aritmeti-kos pamokoje [320], priklauso P. Budraièio, Joniðkio raj. Skaistgirio viduri-nës mokyklos direktoriaus pavaduotojo, plunksnai. Pagrindinës jo tezës: a)vietinæ medþiagà reikia naudoti taip, kad nebûtø dirbtinumo, kad dël jo ne-nukentëtø pamoka ir visa aritmetikos mokymo programa; b) medþiagà rei-kia surinkti ið anksto, faktai turi bûti tikslûs, neturime klaidinti mokiniø; c)nemaþa medþiagos galima rasti laikraðèiuose; d) aritmetikoje nëra nei vie-nos temos, kur nebûtø galima panaudoti vietinës medþiagos.

96

Lygiai taip pat pavadintà straipsná [383] paskelbë ir Lietuvos nusipel-niusi mokytoja � pensininkë A. Gerulaitienë10 . Ji pateikë nemaþa konkreèiøpavyzdþiø, kaip vietinæ medþiagà galima panaudoti sprendþiant tekstiniusuþdavinius. Deja, ir jos, ir P. Budraièio pavyzdþiai � atitinkantys to laiko dva-sià, ðlovinantys ,,klestintá kolûkiná kaimà, laimingà tarybiniø þmoniø gyveni-mà�. Aiðku, autoriai èia niekuo dëti � toks tada buvo mûsø gyvenimas. Járeikëjo ðlovinti, kitaip...

Verstiniame straipsnyje [421] pedagogikos mokslø kandidatas P. Kar-pinskis, irgi gerokai ideologizuodamas problemà, aptarë kosmoso uþkariavi-mo duomenø panaudojimà pradinës mokyklos matematikos pamokose. Net4 straipsniai skirti IX ir X penkmeèiø planø propagavimui, sprendþiant supradinukais matematikos tekstinius uþdavinius [336, 426, 603, 639].

Ðalèininkø vidurinës mokyklos mokytoja J. Rogeleviè aptarë rankø dar-bø ir matematikos dalykø ryðiø realizavimà [648]. Rankø darbø pamokosemokiniai turi sustiprinti matavimø, braiþymo ágûdþius. Pvz., matematikoje,nagrinëjant staèiakampá, per darbø pamokas matematikos pamokose ágytasþinias galima panaudoti gaminant aplankus, savo darbo knygutes ir pan.

PMTI mokslinë bendradarbë D. Meðkauskaitë analizavo teorijos ir prak-tikos ryðio uþtikrinimo mokant pradinukus matematikos problemas [554].Tyrinëdama nepaþangumo ið matematikos prieþastis, autorë pamokose pa-stebëjo, kad mokiniai, puikiausiai mokëdami taisykles ir apibrëþimus, nesu-geba jø pritaikyti atlikdami uþduotis, negali iliustruoti taisyklës pavyzdþiu.Taip atsitinka todël, kad pamokø metu kai kurie mokytojai patys viskà pada-ro uþ mokinius: pasako taisyklæ, apibendrina, sugalvoja pavyzdþius, o vaikailieka pasyvûs stebëtojai. Reikia stengtis taip organizuoti darbà, kad vaikaianalizuotø, lygintø, gretintø ávairius rezultatus, gautus atliekant specialiai pa-rinktas uþduotis, darytø mokytojo vadovaujami dalines iðvadas ir apibendri-nimus. Pateikë pavyzdþius: neþinomo dëmens radimo taisyklës, dëmenø kei-timo vietomis dësnio. Kad pradinukai geriau ásisavintø aritmetiniø veiksmøkomponentø pavadinimus, rekomenduojamas aritmetinis diktantas: ,,Pirmasdëmuo 6, antras dëmuo 2. Raskite sumà. Turinys 6, atëminys 2. Raskite skir-tumà� ir t. t. Mokant matematiniø sàvokø, labai svarbu mokytojui paèiam jastiksliai vartoti: tieses, atkarpas ir spindulius vadinti savais vardais, o ne linijo-mis (o tai daþnai pasitaiko), keturkampius � kvadratais, staèiakampiais. Uþ-davinio sàlygas vaikai iliustruoja skrituliukais (bet jokiu bûdu ne rutuliukais,kaip daþnai pasakoma). Supaþindinant su ilgio matais: metru, centimetru,decimetru, reikia juos palyginti tarpusavyje, leisti mokiniams ið akies nubrëþ-ti 1 m atkarpà lentoje, 1 cm ir 1 dm atkarpas neliniuotame popieriuje. Be to,

97

bûtina pasiûlyti iðmatuoti stalo, lentos, sàsiuvinio, klasës ilgá, plotá ir kt. Pasi-teirauti ið vaikø: kas matuojama parduotuvëje metrais, kà dar galime iðma-tuoti metrais, decimetrais, centimetrais.

PMTI vyr. mokslinë bendradarbë S. Dzenuðkaitë, raðydama apie auk-lëjimà matematikos pamokoje [370], teigë, kad: a) mokytojo ir mokiniø ben-dravimas matematikos pamokoje gali ir turi bûti ne tik dalykinio, bet ir dva-sinio, dorovinio pobûdþio; b) ir matematikos pamokose yra vietos dþiaugs-mui, linksmai nuotaikai.

Prieðpaskutinis ðios tematikos straipsnis � gana odioziniu dabar pavadi-nimu ,,Uþdaviniø sàlygose � gimtasis kolûkis� [703], buvo paraðytas D. Vepð-tienës, Alytaus raj. Simno vidurinës mokyklos mokytojos. Pradþioje � ,,duok-lë� gimtojo kolûkio, jo penkmeèiø laimëjimams. Taèiau nei ðios mokytojos,nei kitø neskubëkime smerkti. Ypaè ðitame straipsnyje yra ir gana vertingøminèiø: ,,Pirmoje klasëje mokiniai naudojasi skaièiais 10�100 ribose. Tokiøduomenø uþdaviniams sudaryti, pasidairæ aplinkui, galime pakankamai ras-ti: ðitaip suskaièiuojame parduotuves, <...> namus <...>�; ,,Daþnai prime-nu vaikams, kiek daug sugeba ir jø maþos rankutës. Vaikai gali padëti tëve-liams namø ruoðoje, puoðti gyvenamàjà aplinkà þeldiniais, gëlëmis, rinkti vais-taþoles, makulatûrà, auginti triuðius, atlikti kitus darbus�. Ið darbinëje veik-loje surinktø duomenø galima ir reikia sudarinëti uþdavinius, kuriuos spræs-dami, vaikai ,,ne tik iðmoksta <...> spræsti, bet ir pasidþiaugia savo ar drau-go darbu. Vaikai labai susidomi iðgirdæ, kad surinkus 60�100 kilogramø ma-kulatûros iðsaugomas medis, kuriam uþaugti reikia viso þmogaus amþiaus�.

Paskutinis straipsnis mus dominanèiais klausimais � Vilniaus 47-osiosvidurinës mokyklos mokytojø Zinos Bagdanavièienës ir Virginijos Ruzaitëspamàstymai apie kompleksiná (dabar vad. integruotà) mokymà [222], pasiro-dë jau po 1990 03 11. Pasiremdamos A. Maceina (1908�1986), mokytojostvirtino, kad estetinis tautos lavinimas prasideda ðeimoje. Kompleksinis mo-kymas mokykloje irgi sudaro palankias sàlygas tautiniam lavinimui, o tautið-kumas daro þmogø savità, turtingà, ugdo jo dvasinæ kultûrà. Praeities ir da-barties paþinimas, tradicijos, ðventës, tautos istorija sudaro tautinio auklëji-mo esmæ. Dirbdamos tuo metu II klasëje, mokytojos prisipaþino, kad kom-pleksinio mokymo visiðkai ágyvendinti negalëjo: nëra tam parengtø vadovë-liø, mokomøjø knygeliø ir sàlygø, ne visada pavykdavo iðlaikyti darbo vienti-sumà. Ið komplekso pastoviai ,,iðtrûkdavo� matematika...

98

2.7. Naujø matematikos mokymo programø ir mokomøjøpriemoniø diegimas pradinëse klasëse

Ðiems klausimams nagrinëti TM skyrë 8, o Tm � net 39 straipsnius.Pasirodþius aukðèiau minëtam V. Blagnio ir E. Èekuolienës vadovëliui

I klasei [25], V. Blagnys keletà straipsniø skyrë mokytojams supaþindinti sudarbo sistema, numatyta abiejø autoriø, raðiusiø vadovëlá. Straipsniai [295,296, 299, 301, 311, 314] tuo metu ið tiesø buvo reikalingi ir suvaidino pozityvøvaidmená, nes jokiø papildomø priemoniø, mokytojo knygø, aiðkinanèiø, kaipreikia dirbti pagal naujà vadovëlá, nebuvo. Ðiuo metu ðie straipsniai maþaiaktualûs, todël plaèiau jø neaptarinësime.

1969 m. pasirodë tuo metu dirbusio ÐPI Matematikos katedros vedëjuB. Balèyèio straipsnis apie naujàjà I�III klasiø matematikos programà [275].Straipsnyje aptarta naujoji Maskvoje parengta M. Moro ir M. Bantovos pro-grama ir katedros darbuotojø atlikti tyrimai, rodæ ðios programos nepriimti-numà (ypaè pirmokams) dël jos sudëtingumo, bei tuo remiantis parengtaoriginali, Lietuvos mokyklai pritaikyta programa. Taèiau ji negalëjo kiek no-rima toli nutolti nuo maskviðkës programos.

Kitame straipsnyje [253] B. Balèytis aptarë dalykinius ir teorinius pra-dinës matematikos pagrindus, kuriais rëmësi tuometinë mokyklos reforma.Straipsnyje aptarta, kaip mokinys, atpaþindamas skaièius, juos lygindamas,skaièiuodamas, labai natûraliai naudojasi aibiø teorija, nors ir neþino aibëssàvokos. Pradiniame mokyme pritaikomas ir matematinis modeliavimas(veiksmo uþraðymas, jo interpretavimas geometriðkai), algoritmai. Naujai be-siformuojanèià matematikos mokymo koncepcijà B. Balèytis pavadino algo-ritmø mokymo metodika.

Po ðiø straipsniø pasirodë (pameèiui) naujieji B. Balèyèio vadovëliai.Nors kas metai visi atitinkamos klasës mokytojai lankë vadinamuosius per-kvalifikavimo kursus, susipaþindami su naujuoju vadovëliu (kiek pinigëliøtam buvo iðmesta?), taèiau, kadangi knyga mokytojui paprastai vëluodavo,B. Balèytis, panaðiai kaip ir aukðèiau minëtas V. Blagnys, raðë straipsnius,aiðkinanèius kaip dirbti pagal atitinkamà naujà vadovëlá [246, 257, 258, 260,262, 270, 273, 277, 283, 284]. Kadangi, kaip minëta (þr. 1.2), reforma ëmëstrigti, vadovëlius ir knygas mokytojui teko perdirbinëti, prastinti, o visamtam paaiðkinti reikëjo ir straipsniø, todël B. Balèytis jø paskelbë gana daug[249�251, 256, 259, 261�269, 271, 278�281, 285, 287]. Apie matematikos mo-kymo pertvarkymà pradinëse klasëse buvo paskelbtas (1984�85 m. m.) ir Ðvie-

99

timo ministerijos metodinis laiðkas [346], apie matematikos mokymà I klasë-je 2 straipsnius paskelbë D. Meðkauskaitë [546, 550].

Vadovëliø tobulinimas iðëjo á naudà. 1982 m. pasirodë dviejø kelmiðkiøpedagogiø: nusipelniusios mokytojos Aldonos Vaièiulienës ir liaudies ðvieti-mo pirmûnës Onos Brazaitienës, straipsnis ,,Tokiø vadovëliø pageidaujame�[689], kuriame buvo aptarti pertvarkyti B. Balèyèio vadovëliai. Ðtai kaip jiebuvo apibûdinti: ,,Paprastumu, aiðkumu bei spalvingumu ypaè pasiþymi nau-jasis B. Balèyèio matematikos vadovëlis I klasei. Kol mokiniai nemoka skai-tyti, tekstiniai uþdaviniai pateikiami paveikslëliais. Tekstas tada sutinkamastik temø pavadinimuose, kurie skiriami mokytojams. Ádomu, kad ðie pavadi-nimai kartu su iliustracijomis visai neblogai nusako ir visos mokomosios me-dþiagos turinio esmæ. Teksto ir nepasigendi. Vadovëlio iliustracijos gana ori-ginalios ir turiningos. Pratimai vadovëlyje nepalyginamai ávairesni <...>. Daþ-nai ið pirmo þvilgsnio paprasèiausi pratimai turi dar ir tam tikrà gilià poteks-tæ. Jais siekiama papildomø didaktiniø tikslø. Tokios keliø didaktiniø funkci-jø uþduotys tæsiasi ir II bei III klasiø vadovëliuose <...>. Programuoto mo-kymo idëjomis pagrástos ávairiausios uþduotys, populiarios ir pratybø sàsiuvi-niuose, papildanèiuose vadovëlá. Jos pasiþymi ádomumu, þaismingumu. Da-lis aritmetiniø veiksmø atlikimo bûdø vaizdþiai iliustruojami atkarpomis,matavimo liniuote, skaièiø spinduliu. Bûtent naujos rûðies ádomiosios mate-matikos uþduotys ir padidina B. Balèyèio visø trijø klasiø matematikos vado-vëliø pedagoginæ vertæ.

Originaliai bei moksliðkai paruoðtas ir matematikos vadovëlis II klasei.Be anksèiau jau paþymëtø teigiamø bruoþø, verta atkreipti dëmesá á raciona-lià skaièiavimo technikos ugdymo metodikà. Sudaryta darni sistema, ugdantmokiniø racionalius skaièiavimo ágûdþius ið maþens <...>. B. Balèyèio vado-vëliai yra vertingi mokytojo talkininkai, siekiant tvirtø ir giliø þiniø�.

Kaip tuo metu buvo áprasta, kiekviena naujovë, taigi ir naujosios pro-gramos, spaudoje buvo itin propaguojamos, domëtasi jø realizavimu. Tm sky-riaus redaktorius P. Plungë viename savo straipsnyje [602] aptarë Onos Rat-kevièienës, Vilniaus XXII vidurinës mokyklos mokytojos (anksèiau dirbu-sios Zarasø raj. Grybinës ir Ðniukðtø, po to � Alantos, Kurkliø, Ukmergëspradinëse mokyklose) darbo patirtá, mokant lygèiø ir nelygybiø sprendimo IIklasëje pagal tuometinæ programà. Kitame straipsnyje [601] P. Plungë apraðëKaiðiadoriø raj. Kiemeliø maþakomplektës pradinës mokyklos mokytojos Sta-sës Bukauskienës darbà su jungtine I�III klase. Ðis straipsnis vaizdþiai iliust-ruoja, kaip to meto mokytojai realizavo naujosios programos reikalavimus.Maþakomplekèiø mokyklø mokytojams iðkilo dar didesnë problema � ne tik

100

mokyti pirmokus pagal naujà programà, bet nepamirðti ir vyresniø klasiø mo-kiniø, dar besimokanèiø pagal senàjà programà. Kaip tik taip teko dirbti mo-kytojai S. Bukauskienei: su I klase � pagal naujà programà, o su III � pagalsenà.

Giliausia darbo pagal naujas programas analizë pateikta PMTI moksli-nës bendradarbës D. Meðkauskaitës straipsnyje [548]. Lietuvoje buvo raðytikontroliniai darbai II ir III klasëje. Visas uþduotis iðsprendë 30,6 proc. antro-kø ir 18,3 proc. treèiaklasiø. 1�2 klaidas padarë 36,2 proc. antraklasiø ir 34,1proc. treèiaklasiø (jie ávertinti gerai). 9,2 proc. II klasës ir 23 proc. III klasësmokiniø darbai ávertinti nepatenkinamai, likusieji � tik patenkinamai. Konemokëjo pradinukai? Kokios buvo atsilikimo prieþastys? Vienaveiksmiaitekstiniai uþdaviniai ið II klasës mokiniø reikalavo rasti sandaugà, dalyti álygias dalis, duotà skaièiø sumaþinti keliais vienetais, rasti neþinomà turiná.Kiekvienas teisingai iðspræstas uþdavinys ávertintas 3 taðkais. Sunkiausiai vai-kams sekësi dalyti á lygias dalis: neteisingai parinko veiksmà (vietoj dalybos �daugino, atëmë, sudëjo, maþesná skaièiø dalijo ið didesnio). Ieðkant neþino-mo turinio 22 proc. vaikø neteisingai parinko veiksmà (daþniausiai atëmë),kiti neteisingai skaièiavo, neraðë atsakymo, nevardino dydþiø. 38 proc. II kla-sës mokiniø negalëjo skaièiaus sumaþinti keliais vienetais. III klasës moki-niai labiausiai klydo, spræsdami netiesiogine forma iðreikðtà skaièiaus padi-dinimo keliais vienetais uþdaviná, neásigilino á sàlygà ir todël blogai parinkoveiksmà (atëmë). Taip pat daug treèiokø nemokëjo sudaryti uþdavinio spren-dimo plano.

Po kontroliniø darbø stebëtose pamokose nustatyta, kad dauguma mo-kytojø nepakankamai gerai iðanalizuodavo uþdavinius, neuþraðydavo sutrum-pintai sàlygos, nebandydavo grafiðkai jos pavaizduoti, nenaudodavo lygini-mo: jei mokytojas ið anksto bûtø apgalvojæs, kaip aiðkins uþdavinio sprendi-mà, su kokiais anksèiau spræstais uþdaviniais palygins, iðaiðkins jø panaðu-mus ir skirtumus, tai rezultatai bûtø buvæ geresni.

Kitø uþduoèiø atlikimas parodë, kad 50 proc. vaikø neþinojo veiksmøkomponentø pavadinimø ir ryðiø tarp jø, nesugebëjo iðspræsti paprasèiausioslygties. Daug skaièiavimo klaidø vaikai darë atlikdami sudëtá ir atimtá per-þengiant deðimtá. Gilesnë analizë parodë, kad daugelis II ir III klasiø moki-niø nemoka iðskaidyti skaièiaus á 2 dëmenø sumà. Spræsdami lentelinës dau-gybos ir dalybos pratimus, pradinukai klaidø darë maþiau. III klasës moki-niams buvo pateiktos ir 2 geometrinës uþduotys: pavaizduoti atkarpomis sà-ryðá A<B ir nubraiþyti duoto dydþio staèiakampá. 49,5 proc. mokiniø neatli-ko pirmosios ir 28,8 proc. � antrosios uþduoties. 20,5 proc. mokiniø neþinojo

101

sàvokø ,,staèiakampis�, ,,atkarpa�, 25 proc. neturëjo matavimo ir braiþymoágûdþiø, kai kurie painiojo þenklus > ir < , neskyrë ilgio ir ploèio sàvokø.Klydo ir smulkindami bei stambindami laiko matus (31,8 proc. II klasëje,56,1 proc. � III klasëje). Dauguma pamirðdavo, kad minutës ir valandos san-tykiauja ðeðiasdeðimtainës sistemos pagrindu, kitaip negu ilgio, vertës, masësvienetai. Nagrinëjant temà ,,Laiko matai� (tuo metu II kl.), bûtina turëti sie-ninio laikrodþio modelius, kad kiekvienas mokinys galëtø vaizdþiai matytisantykius tarp laiko matø. Dalis pradinukø darë laiko matø trumpinimo klai-dø: po santrumpø s, min, h dëjo taðkus. Dalis mokytojø to nelaikë klaida. Ðiekontroliniai darbai parodë, kad naujosios programos � perkrautos, per sun-kios mokiniams. Straipsnyje, deja, tokiø iðvadø nëra. Jø dar teko laukti kele-tà metø. O tada bandyta verstis tik mokytojø skatinimu geriau dirbti...

Ðiauliø VII vidurinës mokyklos mokytoja Anelë Gudaitienë dalijosi sa-vo darbo patirtimi, sukaupta dirbant pagal pertvarkytà I klasës programà1983 m. [400].

Taigi ðiems klausimams spræsti skirta daug straipsniø, iðeikvota daugjëgø ir lëðø. Deja, daug kas buvo daryta dël maskvinës primestos idëjos irtodël nepavyko.

2.8. Uþklasinë matematikos veikla pradinëje mokykloje.Ádomioji matematika

Ðiems klausimams nuðviesti TM skyrë 1, Tm � 8 straipsnius.Pirmasis straipsná [324] apie ádomiøjø pratimø naudojimà paskelbë A.

Bunkus11 , Telðiø raj. Pabalvës pradinës mokyklos mokytojas. Ðiame straips-nyje jis pateikë vadinamàjà ,,vidurkio problemà�. Vaikai buvo praðomi ið-spræsti pratimø serijà:

185 + 367 + 549126 + 367 + 608 99 + 367 + 635.

Jø nuostabai, visø atsakymai � vienodi. Jie susidomëjo, kodël taip atsiti-ko. Pasirodo, kad ðiø skaièiø trejetø aritmetinis vidurkis vienas ir tas pats �367, o sumos lygios 367 · 3. Padaroma iðvada, kad þinant skaièiø aritmetinávidurká sumos ieðkoti ir nereikia, uþtenka vidurká padauginti ið tø skaièiøskaièiaus. Tokia iðvada patikrinama 4, 5 skaièiams. Tokiø pratimø serija (ið 3skaièiø) sudaroma remiantis aritmetinës progresijos savybe. Parinkus vidur-

102

ká laisvai, laisvai parenkamas ir I skaièius. Radus jo ir vidurkio skirtumà, jásudëjus su vidurkiu, gaunamas III skaièius. Tas pats pasakytina ir apie serijospratimø ið 5 skaièiø sudarymà.

Nusipelniusi mokytoja J. Sprendienë savo straipsnyje [658] visus arit-metinius þaidimus skirstë á klasës ir uþklasinius. Ji formulavo metodinius rei-kalavimus þaidimams:

1. Þaidimas turi bûti aiðkus ir visø mokiniø gerai suprastas.2. Jis neturi bûti per lengvas ir per daþnai þaidþiamas, nes gali sukelti

nuobodulá.3. Neorganizuoti tokiø þaidimø, kuriuose yra ilga pratimø virtinë, nes

vaikai iðsiblaðko, nuvargsta ir pradeda nesidomëti þaidimu.4. Þaidimas neturi bûti pernelyg ilgas, varginantis.5. Þaidimo laikas turi bûti ribotas.Prieð þaidimà bûtina nustatyti þaidimo tikslà, þaidëjø skaièiø, þaidimo

taisykles, sugalvoti kuo daugiau þaidimo variantø, þaidimus parinkti sunkëji-mo tvarka. J. Sprendienë pateikë labai daug þaidimø pavyzdþiø bei variantø.Apsiribosime keliais.

,,Grandinëlë� � lentoje uþraðomos kelios tokio tipo grandinëlës, suda-romos komandos po 5 vaikus ir, davus komandà, estafetës principu skaièiuo-jama:

310+490

:4x2

-100,,Geriausias skaièiuotojas�. I variantas. Vienas mokinys iðeina prieð klasæ. Kiti mokiniai jam duoda

mintinai spræsti pratimus ar uþdavinius. Jei á kurá nors pateiktø klausimø jisneatsako, já keièia klausimo davëjas. Laimi iðsprendæs daugiausia uþduoèiø.

II variantas. Kiekvienai suolø eilei, jos pirmajam mokiniui, áteikiamaslapelis. Jame tiek uþduoèiø, kiek eilëje mokiniø. Davus startà pirmasis moki-nys, iðsprendæs pirmàjà uþduotá, perduoda lapelá antrajam, kuris, iðsprendæsII uþduotá, lapelá perduoda treèiajam ir t. t. Nugali eilë, greièiau ir teisingiauiðsprendusi visas uþduotis.

Mokytoja J. Sprendienë pateikë ir matematiniø galvosûkiø. Pora pa-vyzdþiø:

1. Duoti skaièiai 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Kaip reikia sudëti pliuso þenklus,kad gautume 99? (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 67 + 8 + 9).

103

2. Kaip paraðyti 100 penkiais vienetais? (111 � 11).Verstiniame straipsnyje E. Jakuba ið Rostovo MTI aptarë uþklasinës

jaunøjø matematikø veiklos organizavimà III klasëje pagal tuometinæ pro-gramà [404]. Pateikë dvylika uþsiëmimø planø. I uþsiëmimo uþduotys:

1. Vietoje kvadratø áraðykite skaièius, jeigu þinoma, kad jie lygûs:25 + 17 + + 12 + + 18 = 100.

2. Suraskite aðtuoniø dëmenø sumà, pasinaudodami sudëtimi irdaugyba (neatlikdami skaièiø sudëties paeiliui):39 + 24 + 17 + 44 + 56 + 83 + 76 + 61.

3. Kai Jurà paklausë, kiek jam metø, ðis atsakë: ,,Jeigu ið maþiausiotriþenklio skaièiaus atimsite maþiausià dviþenklá ir surasite vienà de-ðimtàjà skirtumo, tai suþinosite, kiek man metø�. Kiek metø Jurai?

4. Mama ádëjo saldainiø á 6 lëkðtes: á pirmàjà lëkðtæ ádëjo 1 saldainá, ákiekvienà kità lëkðtæ � po 2 saldainius daugiau negu á pirmesniàjà.,,Visus ðiuos saldainius, � tarë ji, � atiduosiu tai, kuri pasakys, kaipgalima ðiuos saldainius iðdalyti trims po lygiai, nenuimant nuo lëkð-èiø�. Viena mergaièiø padarë taip, kaip sakë mama. Kaip ji tai pa-darë?

Ðio galvosûkio sprendimui palengvinti siûloma iðkirpti 6 skrituliukus(lëkðtes) ir kiekviename jø uþraðyti saldainiø skaièiø: 1, 3, 5, 7, 9, 11. Po tovaikai nesunkiai áspës, kad tuos skrituliukus reikia imti poromis taip: 1 ir 11,3 ir 9 bei 5 ir 7.

ÐPI docentas B. Balèytis apraðë uþklasinio darbo formas pradinëje mo-kykloje: matematinës ekskursijos, ádomiosios matematinës valandëlës, ma-tematiniai vakarai arba rytmeèiai, jaunøjø matematikø bûrelio uþsiëmimai,viktorinos, konkursai ir olimpiados [272]. Matematiniø ekskursijø tikslas �sieti mokymà su gyvenimu. Pvz., jos organizuojamos susipaþinus su matais:metru, litru ir kt. Ádomiøjø matematikos valandëliø tikslas � geresniuosiusmokinius sudominti matematika. Jose gali dalyvauti ir visi kiti mokiniai. To-kios valandëlës gali bûti rengiamos savo klasëje arba kitur. Eiliniø valandëliømetu galima spræsti ádomius uþdavinius, galvosûkius, þaisti matematinius þai-dimus. Mokyklose reikëtø bent kartà per metus organizuoti matematiná va-karà, rytmetá arba popietæ. ,,Matematiðkai� papuoðiama salë, koridorius. Mo-kiniai, uþuot pateikæ áëjimo bilietà, turi iðspræsti koká nors lengvà galvosûká,atsakyti á klausimà. Salëje organizuojami matematiniai þaidimai, estafetës,uþdaviniø sprendimas. Geriausi ir aktyviausi pradiniø klasiø matematikai galijungtis á jaunøjø matematikø bûrelá. Bûrelio nariai gali talkininkauti, ren-giant matematines valandëles, padëti organizuoti matematikos kampelá, vik-

104

torinas, konkursus. Taèiau svarbiausias bûrelio darbas � sustiprintas mate-matikos mokymas. Pagrindinis stimulas dalyvauti bûrelio darbe yra konkur-sai ir olimpiados.

Rokiðkio raj. Minkûnø pradinës mokyklos mokytoja B. Bûgienë savostraipsnyje [322] pateikë daug þaidimø ir uþduoèiø, kurie paávairina pamokà,suþadina mokiniø smalsumà. Ji teigë, kad sunkiausias temas, matematinæterminijà, taisykles mokiniai ásisavina lengviau, jei jas paávairiname papras-èiausiais þaidimø elementais. Tai ypaè aktualu I klasëje.

Ðirvintø vidurinës mokyklos mokytoja Regina Greblikienë aptarë [391]V. Trudniovo knygos ,,Skaièiuok, màstyk, spëk� (K.: Ðviesa, 1983) panaudoji-mà pamokose ir uþklasinëje veikloje.

Vilniaus XXIII vidurinës mokyklos vyr. mokytoja Sofija Arlauskienësavo straipsnyje [191] pabrëþë ádomiøjø uþduoèiø bei þaidimø reikðmæ ypaè Iklasëje. Kai vaikai jau paþindavo skaitmenis, jiems mokytoja daþnai duodavouþduotis tipo: ,,Ið kokiø skaitmenø sudaryti dëdþiø portretai (5 pav.)?�

5 pav.

Sprendþiant tekstinius uþdavinius, þaidþiami þaidimai, pvz., ,,Rudensdovanos�. Maiðelyje pridëta kartoniniø obuoliø, kriauðiø, slyvø, baravykø irkt. Kitoje jø pusëje paraðyti skaièiai. Vaikas iðsiimdavo, tarkim, baravykà,kurio kitoje pusëje buvo skaièius 8. Tada jis turëdavo sugalvoti uþdaviná, ku-rio atsakymas yra 8.

Daug dëmesio S. Arlauskienë skyrë ir galvosûkiø sprendimui pamo-kose.

Klaipëdos raj. Lapiø devynmetës mokyklos mokytoja R. Kelpðienë dir-bo su mûsø ,,ðviesaus ir laimingai gyvenusio kolûkinio kaimo� produktu �pagalbinës klasës mokiniais. Todël bûtent tokiose klasëse, norint bent ðiektiek iðmokyti matematikos, sukaupti dëmesá, pratinti bent elementariai màs-

105

tyti bûtini didaktiniai þaidimai. Savo straipsnyje mokytoja ir pateikë keliolikagana elementariø þaidimø [425].

Mokytojos metodininkës Mirgos Zakðiauskienës12 (Utenos IV viduri-në mokykla) straipsnyje [718] teigiama, kad matematiniø gebëjimø turi kiek-vienas þmogus. Þinoma, jie nevienodi, bet viskas priklauso nuo to, kaip þmo-gus jais naudojasi ir kaip juos lavina. Kartais matematiniai gebëjimai pasi-reiðkia labai anksti: vokieèiø matematikas K. Gausas (Gauss, 1777�1855) teigë,kad jis kalbëti iðmoko vëliau, negu skaièiuoti. Yra ir prieðingø pavyzdþiø.Vaikas, mokyklos suole nesugebëjæs dirbti be kitø pagalbos, tampa þymiumokslininku, net iðradëju, kaip T. Edisonas (Edison, 1847�1931), K. Linëjus(Linné, Linnaeus, 1707�1778).

Ne kiekvienas þmogus gali tapti þymiu matematiku, bet kiekvienas pa-jëgus suvokti tiek, kiek reikalauja matematikos programa. Mokytoja M. Zak-ðiauskienë teigë, kad mokytojo uþdavinys � kuo anksèiau suþadinti mokiniødomëjimàsi matematika, norà jà mokëti, pasitikëjimà savo jëgomis. Tai atlie-kama ir per pamokas, ir per uþklasinius uþsiëmimus. Greta jau anksèiau ap-tartø uþklasiniø uþsiëmimø formø ir bûdø, mokytoja akcentavo pradiniø þi-niø apie kompiuterius pateikimà, mokymà skaièiuoti skaièiuotuvu, supaþin-dinimà su matematikos istorija, mokiniø sugalvotø ar surinktø uþdaviniø, þai-dimø, surinktos medþiagos ið laikraðèiø ir þurnalø parodas. Pradinukø su-rinktø uþdaviniø pavyzdþiai:

1. Kaip skaièiø 188 padalyti pusiau, kad gautume du kartus po 100?2. Koks skaièius dalijasi ið visø skaièiø be liekanos?3. Kokiø dviejø skaièiø suma ir skirtumas lygûs?4. Dviejø skaièiø suma 7 didesnë uþ vienà jø. Kam lygus antrasis skai-

èius?5. Du þmonës ëjo á miestà ir susitiko 5 þmones. Kiek þmoniø ëjo ið mies-

to?Taigi mokytojai ir matematikos didaktikos srityje dirbusieji mokslinin-

kai pakankamai plaèiai nuðvietë savo sukauptà ar apibendrintà patirtá nagri-nëjamoje veiklos srityje. Skaièiusieji pedagoginæ periodikà VIII�IX deðimt-metyje jau galëjo pasisemti ið jos naudingø þiniø ir pritaikyti per savo pamo-kas ar organizuodami uþklasinæ pradinukø matematikos veiklà.

106

2.9. Skaièiø ir skaièiavimo mokymas pradinëse klasëse

Ði problematika mokytojams labai svarbi, todël nenuostabu, kad jà nag-rinëjantys straipsniai pasirodë gana anksti ir jø buvo nemaþai � TM ir Tm po11.

Alytaus II vidurinës mokyklos mokytoja A. Vidûnienë dalijosi savo pa-tirtimi mokant daugybos lentelës [704]. Daugybos mokymo metodika � tra-dicinë, bet mokytoja panaudojo ádomià mokomàjà priemonæ. Per darbø pa-mokas, paëmus 2 kartono lapus, viename jø eilëmis padarë 10 X 10 skyliø. Ðálapà uþklijavus ant antro lapo, buvo gauta 100 duobuèiø. Á jas buvo galimadëlioti þirnius, maþus akmenukus. Supaþindinant, pvz., su keturiø daugini-mu, vaikai dëliodavo ir uþraðydavo taip:

4 4 · 1 = 44 + 4 4 · 2 = 84 + 4 + 4 4 · 3 = 12 ir t. t.

Mokytoja A. Vidûnienë tvirtino, kad vaikai lengviausiai ásisavindavo irásimindavo dviejø ir penkiø daugybos lenteles, nes pridëjimas poromis ir po5 nesudaro vaikams dideliø sunkumø. Trijø ir keturiø daugyba � sunkesnë,ðeðiø , aðtuoniø ir devyniø � dar sunkesnë. Sunkiausia � septyniø daugyba.Todël èia naudinga remtis jau þinomais atvejais: 7x6 = 5x6 + 2x6 = 42. Sà-moningai iðmokti lentelæ labai padeda ir tokie pratimai: ,,Kas èia sudaugin-ta?

21, 63, 45, 48, 49, 36 ir t. t.�Kauno I vidurinës mokyklos mokytojas J. Ðalkauskas supaþindino su

mintinio skaièiavimo bûdais [663]. Jie tradiciniai, dabar visiems gerai þino-mi. Paminësime tik reèiau taikomus:

a) dalyba ið 50, pvz., 8850 : 50 = 8850 · 2 : 100;b) dalinio ir daliklio suapvalinimas, pvz.,1925 : 35 = 3850 : 70 = 385 : 7 = 55;c) dalyba ið 250, pvz., 2250 : 250 = 2250 · 4:1000 = 9.Pedagogas K. Naudþius (manytina, kad jis buvo Klemensas, g. 1905 04

10 dab. Vilkaviðkio raj. Þiûriø k., m. 1973 01 09 Kaune, V. Pietario anûkas),nenurodæs savo darbavietës ir pareigø, aptarë ávairiø autoriø: M. Ðikðnio(1874�1970), A. Kiseliovo, M. Vygodskio (1898�1965) veiksmø eilës nusaky-mo taisykles [563]. Ypaè kritikavo pirmuosius du, kad jie nepabrëþë, kaddaugybai neteikiama jokio pirmumo prieð dalybà, o sudëèiai � prieð atimtá,jei nëra skliaustø. M. Vygodskis pabrëþë tai, bet labai painiai. Jo taisyklës,

107

paprasèiau suformuluotos, ir reikia laikytis.J. Gedvila13 , buv. Pagëgiø raj. Katyèiø buv. septynmetës mokyklos mo-

kytojas, dalijosi patirtimi, kaip jam sekësi sudominti mokinius mokantis dau-gybos lentelës [379]. Iðaiðkinæs mokiniams, kad daugyba yra sutrumpinta su-dëtis, mokytojas J. Gedvila mokiniams iðaiðkindavo lyginiø ir nelyginiø skai-èiø sàvokà. Po to mokydavo skaièiuoti lyginiais skaièiais iki 20, vëliau skai-èiuodavo vien nelyginiais skaièiais. Kada mokiniai jau iðmokdavo taip skai-èiuoti, jø klausdavo: ,,Kuris yra treèias ið eilës lyginis skaièius? Kuris penk-tas?� ir t. t. Tokie klausimai buvo duodami ir kalbant apie nelyginius skaièius.Po to lentoje suraðydavo visas dviejø daugybos ið kitø I deðimties skaièiø san-daugas. Nustatydavo, kad jos visos � lyginës. Iðsiaiðkindavo, kodël taip yra.Pasiûlydavo perþiûrëti visas sandaugas ir paieðkoti jø panaðumo. Daugelisgreit pastebëdavo, kad pradedant nuo 2 x 6 sandaugø vienetai pradeda kar-totis. Gaunama iðvada: lyginiø vienetø yra tik keturi, todël jie turi kartotis.Mokant trijø daugybos lentelës, vël bûdavo suraðomos paèiø mokiniø suras-tos sandaugos ir pradedamos nagrinëti. Mokiniai pastebëdavo, kad ðios san-daugos kaitaliojasi: vienos nelyginës, kitos � lyginës. Taip ateinama prie iðva-dos: nelyginá skaièiø dauginant ið lyginio, sandauga gaunama lyginë, o nely-giná dauginant ið nelyginio � nelyginë. Toliau dar labiau gilinamasi á ðias san-daugas. Pirmosios sandaugos yra 3, 6, 9, kitø trijø sandaugø skaitmenø su-mos vël sudaro tà paèià skaièiø eilæ, dar kitø trijø � taip pat. Ðis gilinimasispadeda vëliau, mokantis dalumo þymiø. Daugindami keturis, mokiniai pagalaukðèiau minëtà iðvadà nustato, kad visos sandaugos lyginës. Mokantis pen-kiø daugybos lentelës, atkreipiamas dëmesys, kad èia sandaugos baigiasi 5arba 0. Mokantis devyniø daugybos lentelës, atkreipiamas dëmesys á jos san-daugø skaitmenø sumas � jos visos lygios 9. Jei pirmàjà sandaugà paraðytu-me taip 9x1 = 09, mokiniai, mokytojo nukreipti, pastebëtø, kad paskutiniøjøpenkiø sandaugø skaitmenys yra tie patys, kaip ir pirmøjø, tik sukeisti vieto-mis ir sandaugø eilë paraðyta atvirkðèia tvarka. Todël, mokantis ðios lentelës,uþtenka gerai ásiminti jos pusæ, iki 9x5, o toliau jau taikyti ðià iðvadà. Darmokytojas parodydavo, kaip devynis padauginti ið bet kurio pirmosios de-ðimties skaièiaus abiejø rankø pirðtø pagalba, pvz., dauginant 9x4 abiejø ran-kø pirðtai iðtiesiami. Einant ið kairës á deðinæ atskaièiuojame ketvirtàjá pirðtà.Tada á kairæ nuo to pirðto yra 3 pirðtai � deðimtys, o á deðinæ � 6 (vienetai).

Ðvietimo ministerijos darbuotojas V. Blagnys nurodë [298], kad, karto-jant IV klasës kursà, reikia atkreipti dëmesá á tokius pratimus:(101 · 101 � 652 864:808):303, veiksmø komponentø ir rezultatø pavadini-mus, jø reikðmæ, tarpusavio priklausomybæ.

108

Kauno IV vidurinës mokyklos mokytoja I. Valantinienë14 dalijosi patir-timi apie numeracijos mokymà 100 koncentre [695]. Supaþindinimui su svei-komis deðimtimis vartodavo: pagaliukø ryðulëlius, monetø modelius, skaity-tuvus, 10 x 1 (cm) milimetrinio popieriaus juosteles, kurias pasigamindavoper darbø pamokas. Su jomis lengva demonstruoti 10 dauginimà: 10x2, 10x3ir t. t., vis pridedant po vienà juostelæ ir suskaièiuojant kvadratinius centi-metrus. Su jomis lengva demonstruoti ir sveikø deðimèiø sudëtá ir atimtá. Pra-timai, padedantys nustatyti deðimèiø vietà natûraliøjø skaièiø eilëje: ,,Kelin-ta deðimtis seka po 30? po 70? <...> Kelinta deðimtis stovi prieð 30? prieð70? <...> Tarp kokiø deðimèiø stovi 30? 50?� Minëtas juosteles mokytojapanaudodavo ir deðimtims su vienetais iki 100 iliustruoti, dar papildomaipasigaminæ 1 cm² modelius. Baigiant darbà su numeracija, vaikai gaudavo 1dm² ploto milimetrinio popieriaus gabalus. Juose vaikai á kiekvienà kvadrati-ná centimetrà ið eilës áraðydavo po skaièiø, pradedant 1 ir baigiant 100. Toliauliepdavo 2 tokius kvadratus nusibraiþyti savo sàsiuviniuose. Viename á kasantrà langelá suraðydavo lyginius, o kitame � nelyginius skaièius. Atlikdavosu jais bet kurio skaièiaus didinimà ar maþinimà vienetu.

Mokytoja pensininkë P. Dienienë15 raðë apie daugybos mokymo pra-dþià: ,,Dariau ðitaip. Paskutinëse pamokose prieð daugybos mokymà vis daþ-niau duodu spræsti uþdaviniø ir pratimø, kur reikia atlikti sudëtá su vienodaisdëmenimis. Pirmai daugybos pamokai atsineðu á klasæ keliolika sagø, degtu-kø dëþuèiø, ið popieriaus iðkarpytø grybø, egluèiø, darþoviø ir pan. Paðaukiumokiná ir liepiu paimti 3 kartus po 2 sagas, 5 kartus po 3 dëþutes, 2 kartus po4 eglutes, 4 kartus po 5 tulpes ir panaðiai. Kiekvienà kartà akcentuoju:

� Paimk 5 sagas vienà kartà, o dabar antrà kartà ir dar treèià kartà�[347]. Sagas prismeigdavo segtukais eilutëmis prie popieriaus, dëþutes sudë-davo stulpeliais, eglutes ,,susodindavo� ,,pakele�, gëles � ,,lysvelëse� ar su-dëdavo á puokðtes taip, kad gerai matytøsi, koks daiktø skaièius ir kiek kartøpaimtas. Visa tai uþraðoma sudëtimi, o vëliau, atëjus tam laikui � daugyba.Trijø daugybai iliustruoti mokytoja naudodavo dobilo lapus, trikampius, lan-gus su 3 stiklais, keturiø daugybai � këdes, stalus, keturkojø gyvûnø pieði-nius, penkiø � pirðtuotas pirðtines, rankas, kaðtono lapus (suskaièiuojant ati-tinkamus elementus � lapelius, kojas ir t. t.).

Naujosios Akmenës vidurinës mokyklos mokytojas J. Barvydas dalijosipatirtimi, sukaupta mokant daugiaþenkliø skaièiø sudëties ir atimties [292].Aptartieji straipsnyje veiksmø mokymo etapai dabar visø plaèiai þinomi irtaikomi, todël jø nenagrinësime. Pasitenkinsime aptaræ jo rekomenduotà vaiz-dinæ priemonæ. Prieð klasæ pakabinama lentelë, kurioje 3 eilëmis prikalta

109

vinuèiø. Ant jø galima pakabinti skaièiø skyriø ,,spinteles�, kurios turi atida-romas dureles, ant kuriø uþraðyti skaitmenys: vienetø � juodai, deðimèiø �baltai, ðimtø � þaliai, tûkstanèiø � raudonai. Aiðkinant sudëtá 385 + 615, ati-tinkamos ,,spintelës� iðkabinamos lentelëje 2 eilëmis. Kiekvienoje ,,spintelë-je� yra ádëtas atitinkamas ðiaudeliø ar jø ryðulëliø (pagal tai, koks vienetasuþraðytas ant dureliø) skaièius. Dedant vienetus 5 + 5, iðimama po 5 ðiaude-lius, suskaièiuojama ir gaunama 10. Jie suriðami á ryðulëlá ir pakabinami podeðimèiø skyriumi, o sumoje po vienetø skyriumi raðomas nulis. Toliau iðdeðimèiø ,,spinteliø� iðimami ðiaudeliø ryðulëliai, suskaièiuojami, prideda-mas anksèiau gautas (buvæs pakabintas � ,,mintyje�), vël ið jø suriðamas ðim-tas, jis pakabinamas po ðimtais, sumoje vietoje deðimèiø uþraðomas nulis ir t.t. Tinka ði priemonë ir sudëties bei atimties tikrinimui demonstruoti, kai tik-rinama prieðingu veiksmu.

Jau minëta kaunietë mokytoja J. Valantinienë aptarë paèiø pirmøjø mo-kymo þingsniø organizavimà I klasëje [694]. Pirmàjà mokslo metø savaitæ jistengdavosi taip organizuoti darbà, kad susipaþintø su mokiniø atsineðtø ma-tematiniø þiniø bagaþu. Toliau formuodavo geometriniø figûrø sàvokas: len-ta, stalo virðus, knygos virðelis � keturkampiai, gimnastikos, statinës lankai �apskritimai ir t. t. Po to lygindavo du daiktus (pieðtukus ir kt.) � jø ilgá, plotá,aukðtá. Vëliau pereidavo prie vienodø daiktø grupiø pagal jø kieká lyginimo,nustatant keliais daugiau ar maþiau jø yra (neperþengiant 3 ribos). Atlikusvisa tai, pereidavo prie supaþindinimo su skaièiais.

Plungës aðtuonmetës mokyklos mokytoja M. Butkûnienë dalijosi patir-timi, kaip su elementariomis (ir dabar áprastomis) vaizdinëmis priemonëmissupaþindindavo vaikus su skaièiais, jø sudëtimi, atimtimi, daugyba [328].

Nusipelnæs mokytojas J. Daraèiûnas, Ukmergës raj. Neveroniø pradi-nës mokyklos vedëjas, dalijosi patirtimi, kaip mokydavo daugiaþenkliø skai-èiø numeracijos, naudojantis abaku, skaitytuvais, numeracijos lentele, kilno-jamaisiais skaitmenimis [341].

Verstiniame G. Poliako (vieno ið pokaryje vartotø vadovëliø [121�124]bendraautorio) straipsnyje kalbama apie mintinio skaièiavimo uþsiëmimøefektyvumo didinimà [604]. Jis aptarë pagrindinius ðiø uþsiëmimø organiza-vimo trûkumus: neracionalus pratimø parinkimas, uþsiëmimø pravedimasbeveik iðimtinai vien garsine forma, nepakankamas mokytojø dëmesys bû-dams, kuriais vaikai skaièiuoja mintinai. Pratimus reikia parinkti taip, kadiðeitoji medþiaga ne tiktai nebûtø pamirðta, bet vis labiau bûtø ásimenama.Bûtinai skirti parengiamøjø pratimø, padedanèiø vaikams suvokti naujà me-dþiagà. Primenama mokytojams, kad veiksmø su skaièiais pirmojo ðimto kon-

110

centre ágûdþiai turi bûti absoliuèiai tobuli, nes tai yra pagrindas veiksmamssu dideliais skaièiais. Prieð mokant sudëtiniø uþdaviniø su dideliais skaièiaissprendimo, mintinio skaièiavimo metu bûtinai reikia skirti analogiðkø uþda-viniø su maþais skaièiais.

Tuo metu dar ÐPI vyr. dëstytojas B. Balèytis, aptardamas nelentelinësdaugybos ir dalybos mokymà [276], iðdëstë ðiuo metu jo vadovëliuose taiko-mà mokymo metodikà.

Jau minëta mokytoja P. Dienienë pateikë þaidimø, padedanèiø perprastidviþenkliø skaièiø numeracijà [348], o po to � ir sudëtá ir atimtá. Ji plaèiainaudodavo ,,Skaièiø namelá�: ið kartono iðkirptà namelio galinæ sienà su 2langais, kuriø uþpakalinëje pusëje pritvirtintos kilpos judamoms juostelëmssu skaitmenimis (deðimtims demonstruoti � nuo 1 iki 9, vienetams � nuo 0 iki9). Traukant juosteles, á klasæ atsuktame kairiajame lange atidedamos de-ðimtys, deðiniajame � vienetai. Namelis gali bûti panaudotas dviþenkliamsskaièiams demonstruoti, sudëties ir atimties rezultatams atidëti.

Kapsuko (Marijampolës) PM dëstytoja J. Pangonienë16 rekomendavo[584] daugybos mokymui pasigaminti plakatus su kiðenëlëmis, kuriø turi bûti9 eilës. I eilëje � 1 kiðenëlë, II � 2, III � 3 ir t. t. Kiðenëliø skaièius kiekvienoskaièiaus daugybos lentelëje iðreiðkia II dauginamàjá, o I dauginamasis ið-reiðkiamas á jas ádedamais pagaliukais.

Jau minëtas ðilutiðkis mokytojas J. Gedvila aptarë mintinio skaièiavimobûdus [380]. Akcentavo sudëties ir daugybos perstatymo bei jungimo dësniøtaikymà mintinio skaièiavimo pratybose, pateikë bûdus, kaip mokyti minti-nai dauginti ið 11, 12, 15, 16. Þaidime ,,Parduotuvë� supaþindino, kaip skai-èiuoja pardavëjai, atiduodami pirkëjui gràþà (apie tai buvo labai daug kalba-ma S. Antanaièio, J. K. Þemaitaièio straipsniuose ikikarinëje nepriklauso-moje Lietuvoje [7, 9].

Birþø I vidurinës mokyklos mokytoja L. Morkvënienë dalijosi patirtimi,sukaupta mokant pirmosios deðimties skaièiø, pateikë keliø pamokø ádomiusiðplëstinius planus [560].

Panaðiai pavadintame straipsnyje [309] Ðvietimo ministerijos darbuo-tojas V. Blagnys atkreipë mokytojø dëmesá á numeracijos mokymà iki 10. Jisturi bûti sutelktas á tai, kad mokiniai suvoktø: a) kaip gaunamas kiekvienasnaujas skaièius; b) kaip jis skaitomas ir uþraðomas; c) kokià vietà naujai ið-moktas skaièius uþima tarp kitø natûraliøjø skaièiø; d) koks jo kiekybinissantykis su gretimais skaièiais. Vaikai turi iðmokti skaièiuoti tiesiogine ir at-virkðèia tvarka, pradedant bet kuriuo I deðimties skaièiumi. Jie turi suprasti,kad duotasis skaièius yra didesnis uþ visus prieð já einanèius ir maþesnis uþ

111

visus po jo einanèius skaièius.Jau ne kartà minëtas ðakietis mokytojas V. Butkus pristatë [335] savo

sudarytas lenteles: veiksmø komponentø ir rezultatø pavadinimø, jø radimo,rezultatø kitimo kintant komponentams ir lygèiø sprendiniø radimo. Aptarë,kaip ðios lentelës jam padëdavo þiniø apibendrinimo ir kartojimo procese .

Klaipëdos PM dëstytojas V. Pridotkas17 analizavo trupmenø mokymopradinëje mokykloje klausimus [609]. Straipsnyje konkreèiais pavyzdþiais pa-rodoma, kaip panaudoti skritulio dalijimà á dalis trupmenos sàvokai sudary-ti, sprendþiant skaièiaus dalies ir skaièiaus radimo ið jo dalies uþdavinius.

Ðvenèioniø Z. Þemaièio vidurinës mokyklos mokytoja I. Gemburo da-lijosi patirtimi, sukaupta mokant daugybos ir dalybos lenteliø [381]. Ypaèpabrëþë tai, kad daugybos lentelës visus atvejus vaikai turi iðmokti ne mecha-niðkai, o bûtinai turi mokëti juos sugretinti ir su kitais atvejais, pvz., 3x9 = 27,nes 3x10 = 30, o 3x9 = 30 � 3; 8x3 = 24, 3x9 = 24 + 3. Tada kiekvienas atvejisatmintyje iðlieka ne izoliuotas ir sukelia daug asociacijø. Kad vaikams ne-ágrástø mechaninis lenteliø mokymasis ir kartojimas, mokytoja pateikë daugþaidimø. Pvz., vedëjas iðkelia kortelæ su 8, o mokiniai ðá skaièiø panaudojakaip dalmená, sandaugà, dauginamàjá, daliklá, daliná.

Paskutinis ðios tematikos straipsnis � O. Burinskaitës-Dumèiuvienës,Kapsuko (Marijampolës) PM dëstytojos [326]. Autorë jame aptaria skait-mens raðymo mokymo etapus:

1. Parodomas paraðytas skaitmuo.2. Skaitmuo raðomas lentoje ir aiðkinamas.3. Vaikai raðo skaitmená ore.4. Du vaikai bando raðyti skaitmená lentoje, jø darbas aptariamas.5. Vaikai raðo skaitmená popieriuje, tik daug didesná negu áprasta.6. Vaikai raðo du skaitmenis sàsiuvinyje.7. Patikrinami ir pataisomi vaikø paraðyti skaitmenys.8. Leidþiama raðyti visà eilutæ.Pastebësime, kad kaþkodël nebuvo numatyta naudotis pratybø sàsiuvi-

niais: tuo metu jie juk buvo. Kartu autorë aptarë skaitmenø nuo 0 iki 9 raðy-bà.

Taigi mokytojai ir èia, kaip ir kitose temose, atskleidë daug savo ,,kûry-binës pedagoginës virtuvës� paslapèiø. Matematikos didaktikos specialistaisavo ruoþtu davë jiems teorinio pobûdþio patarimø.

112

2.10. Tekstiniø uþdaviniø sprendimo mokymas pradinëse klasëse

Ði tema irgi yra itin aktuali pradiniø mokyklø mokytojams, todël josanalizei skirta nemaþa straipsniø: TM � 5, Tm � 10.

Pirmasis straipsná [699] apie uþdaviniø sprendimo mokymà pradinëseklasëse paskelbë M. Vasiliauskas18 , Pakruojo raj. Staèiûnø septynmetës mo-kyklos direktorius. Straipsnyje akcentuotas trumpas sàlygos uþraðymas, ávai-rûs uþdavinio sprendimo áforminimo bûdai, sprendimo uþraðymas reiðkiniu(formule). Pabrëþta, kad kiekvienas sudëtinis uþdavinys � ne kas kita, kaipjunginys paprastøjø vienaveiksmiø uþdaviniø, o jo sprendimo sëkmë ir pri-klauso nuo mokëjimo já iðskaidyti á tuos paprastuosius uþdavinius.

Radviliðkio septynmetës mokyklos mokytoja V. Razmienë aptarë dau-giausia paprastøjø uþdaviniø sprendimo mokymo klausimus [643]. Ypaè daugsunkumø sukelia talpos dalyba. Èia mokytoja rekomenduoja tokius klausi-mus: ,,Kiek vaikø telpa viename suole? Kiek jø telpa skrituliuose?� (Ávairausdydþio skrituliai gali bûti nubrëþti ant grindø su kreida).

PMTI jaunesnioji mokslinë bendradarbë L. Mitalaitë analizavo viena-veiksmiø uþdaviniø sprendimo psichologinius pagrindus [559]. Pabrëþë, kadmokiniø kalbos, loginio abstraktaus màstymo, dëmesio, valios ugdymui, jøprotiniam lavinimui svarbus yra tekstiniø uþdaviniø sprendimas. Akcentavu-si terminø: ,,sàlyga�, ,,klausimas�, ,,uþdavinys�, ,,iðspræsti uþdaviná� reikðmæ,jø nuolatiná pabrëþimà, L. Mitalaitë ypaè iðskyrë konkretumo, vaizdumo reikð-mæ. Todël pirmieji uþdaviniai turi bûti uþdaviniai veiksmai: patys mokiniaidalija sàsiuvinius, pieðtukus, skaièiuoja kaðtonus ir pan.

Labai svarbu, kad mokiniai tiksliai ir iki galo suvoktø situacijos aritme-tinæ reikðmæ, o ne vien sietø veiksmo pasirinkimà su kokiu nors þodþiu. La-bai aktualu, kad mokiniai suprastø skaitiniø duomenø svarbà. Eksperimentometu pateikus ,,uþdaviná�: ,,Tëvas pirko sûnui kibirëlá ir kastuvëlá. Kiek jissumokëjo uþ pirkiná?� 28 (ið 36) atsakë: ,,2 rublius�. Todël ugdant mokiniødëmesá, pratinant analizuoti uþdaviná patartina duoti tokiø ,,uþdaviniø�, kurtrûksta duomenø.

Klaipëdos mokyklos-internato mokytoja R. Astrauskienë daug dëme-sio savo straipsnyje skyrë uþdaviniø analizei [193]. Ji rekomendavo 3 sutrum-pinto sàlygos uþraðymo bûdus pagal mokiniø didëjantá pajëgumà:

1. Sàlygos pieðimas. Taikomas daugiausia I klasëje: mokytojas pieðialentoje, vaikai sàsiuviniuose, kartais nuspalvindami.

2.Brëþinys. Pradedamas praktikuoti II klasëje.

113

3. Sutrumpinimas. Pradedamas praktikuoti III klasëje. Ið pradþiø su-trumpinimus atlieka lentoje mokytojas, vaikai nusiraðo, o vëliau irlentoje gali uþraðyti mokinys.

Po sutrumpinto uþraðymo seka uþdavinio analizë.Kauno IV vidurinës mokyklos mokytoja E. Liaudanskienë dalijosi pa-

tirtimi, sukaupta mokant pirmaklasius sugalvoti uþdavinius [516]. Tam pade-da konkretûs daiktai, tariamo darbo inscenizavimas (,,sodina gëles�, ,,skinaobuolius�), pieðiniai, paveikslai, mokiniø gyvenimo faktø panaudojimas.

Alytaus raj. Punios vidurinës mokyklos mokytoja P. Dienienë savostraipsnyje [349] aptarë pirmøjø uþdaviniø sprendimo mokymà, darbà su va-dovëliu, sàmoningo uþdavinio sàlygos suvokimo uþtikrinimà, dviejø veiksmøuþdaviniø sprendimo mokymà, trejopos dalybos uþdavinius (skaièiaus daly-ba á lygias dalis, talpos dalyba ir skaièiaus dalies radimas), pajamø�iðlaidøuþdavinius, uþdavinius, sprendþiamus per vienetà, skaièiaus didinimà (maþi-nimà) kelis kartus.

Verstiniame straipsnyje E. Toljanova analizavo mokiniø klaidas,suda-rant uþdavinius [682]. Pagrindinës klaidos sàlygoje yra ðios:

1. Skaitiniai duomenys arba sàlygos siuþetas nerealûs.2. Sàlygoje nepakanka skaitiniø duomenø.3. Sàlygoje yra nereikalingø duomenø:

a) neprieðtaraujanèiø kitiems duomenims;b) prieðtaraujanèiø kitiems duomenims;c) nesusijusiø su kitais duomenimis.

4. Uþdavinio sàlygoje nenustatomi skaitiniø duomenø tarpusavio san-tykiai.

5. Skaitiniai duomenys talpos dalybos uþdaviniø sàlygoje pateikiami skir-tingais pavadinimais.

6. Dalybos á lygias dalis uþdavinio sàlygoje duodami 2 vienarûðiai dy-dþiai.

7. Sàlyga perkrauta nereikalingais þodþiais.Uþdavinio klausimo formulavimo klaidos:1. Klausimo nëra, jis pakeistas sàlygoje duotøjø duomenø veiksmu.2. Klausiama to, kas þinoma ið uþdavinio sàlygos.3. Klausiama to, kas netiesiogiai þinoma ið uþdavinio sàlygos.4. Uþdavinio klausimas nesusijæs su sàlyga pagal jo prasminæ reikðmæ.5. Ieðkomojo dydþio matavimo vienetai neatitinka duotøjø dydþiø ma-

tavimo vienetø.

114

6. Klausime pasikartoja duomenys, esantys sàlygoje.7. Klausimas suformuluotas taip, kad jame atsispindi jo matematinë pusë,

o ne gyvenimiðka uþdavinio situacija.8. Klausimas suformuluotas netiksliai.Viso uþdavinio teksto formulavimo klaidos:1. Tekste yra nurodymø, kaip spræsti uþdaviná.2. Tekste yra þodþiø, kurie jame nereikalingi.3. Praleisti duomenys, neiðreiðkiami skaièiais (pvz., prieðprieðinio judë-

jimo uþdaviniuose daugiau kaip pusë tirtø mokiniø praleisdavo po-sakius: ,,vienu metu�, ,,vienas prieðais kità�).

4. Nemokëjimas iðreikðti matematinæ uþdavinio prasmæ gyvenimiðkossituacijos þodþiais.

5. Kalbos netikslumai tekste.Naudinga duoti pratimus, kuriuose mokiniai mokomi nustatyti nepa-

kankamus arba nereikalingus duomenis sàlygose. Praverèia uþdaviniø suda-rymo pratybos pagal duotà pieðiná, schemà, trumpà sàlygos uþraðymà. Moki-niai turi bûti ásisàmoninæ, kad pagrindinë uþdavinio ypatybë � aritmetiniøveiksmø, kuriais sprendþiamas uþdavinys, paslëpimas.

Verstinio straipsnio autorius Kalmukijos PI dëstytojas P. Erdnijevas (vë-liau � profesorius) teigë [372], kad efektyviø rezultatø duoda toks uþdaviniøsprendimo mokymas, kai vienu metu nagrinëjami tarpusavyje atvirkðtiniaiuþdaviniai. Perdirbdami tiesioginá uþdaviná á atvirkðtiná, mokiniai iðryðkina irpanaudoja tarp uþdaviniø dydþiø egzistuojanèius atvirkðtinius ryðius. Pvz., jeitiesioginiame uþdavinyje reikëjo rasti viso pirkinio vertæ, þinant prekës vie-neto kainà ir pirktø vienetø kieká, tai atvirkðtiniame uþdavinyje randama pre-kës kaina ar pirktø vienetø kiekis. Bûtina atkreipti mokiniø dëmesá, kad veiks-mø skaièius sprendþiant tiesioginá ir atvirkðtiná uþdaviná yra vienodas. Spren-dþiant atvirkðtiná uþdaviná, patikrinamas tiesioginio uþdavinio sprendimas.Rengia tokiam darbui mokinius klausimø sugalvojimas uþdaviniams, kai duotasàlyga.

Apie uþdaviniø sprendimo uþraðymà, apipavidalinimà raðë Ðvietimo mi-nisterijos darbuotojas V. Blagnys [303]. Klausimus formuluoti vaikai moko-mi nuo I klasës, o uþdaviniø sprendimas uþraðant klausimus privalomas tiknuo III klasës. Daþniausiai raðomas klausimas, o po juo atitinkamas veiks-mas. Bet galima ir paaiðkinti atlikto veiksmo rezultatà, pvz.: ,,168 : 3 = 56(kg) � prikasë ið II sklypo� arba ,,Ið II sklypo prikasë: 168 : 3 = 56 (kg)�. Apie2/3 visø uþdaviniø, sprendþiamø klasëje, galima neraðyti klausimø. Klausi-

115

mai raðomi sunkesniems, naujo tipo uþdaviniams, taip pat atliekant namødarbus.

Verstiniame A. Kolikovo ir A. Pavlovo straipsnyje aptariamas uþdavi-niø sprendimas keliais bûdais [493]. Tai galima pradëti daryti tik tada, kaimokiniai yra iðmokæ kurio nors tipo uþdavinius spræsti vienu bûdu. Iðmokusspræsti keliais bûdais � bûtinai iðrinkti racionaliausià, trumpiausià. Tai pade-da vystyti mokiniø kûrybiðkumà, verèia juos iðsamiau iðnagrinëti matematináuþdavinio turiná.

Kapsuko (Marijampolës) PM dëstytoja Z. Matusevièiûtë nagrinëjo pa-prastø uþdaviniø sudarymà panaudojant paveikslus ir pieðinius [543]. Ji pa-teikë pavyzdá, kaip, remiantis vienu paveikslu, kuriame pavaizduotos 6 plau-kiojanèios ir 2 skrendanèios þàsys, galima sugalvoti visø tipø paprastuosiusvienaveiksmius uþdavinius.

Ðvietimo ministerijos darbuotojas V. Blagnys savo straipsnyje [302] pa-brëþë skaitinio reiðkinio (formulës) sudarymo svarbà sprendþiant uþdavinius.

Telðiø raj. Vembutø pradinës mokyklos mokytojas A. Bunkus ypaè ið-skyrë [325] uþdaviniø klausimø keitimo svarbà gilesniam uþdaviniø prasmëssuvokimui. Pvz., sprendþiant uþdaviná: ,,Visos sodo obelys ir kriauðës paso-dintos eilëmis po 15 vaismedþiø kiekvienoje eilëje. Kriauðiø yra 3 eilës. Kieksode yra obelø, jei jø yra 2 kartus daugiau negu kriauðiø?� ir gavus jo atsaky-mà, sugalvojami kitokie jo klausimai: ,,1) Kiek vaismedþiø ið viso pasodintasode? 2) Kiek sode daugiau yra obelø negu kriauðiø?� Pasitaiko, kad moki-niai sugalvoja ir toká klausimà: ,,Kiek kartø daugiau obelø eiliø negu kriauðiøeiliø yra sode?� Iðsiaiðkinama, kad tai jau þinoma ið sàlygos. Tokios uþduotysleidþia paávairinti savarankiðkus klasës ir namø darbus.

RMTI doc. A. Aþubalio straipsnyje aptartas uþdaviniø sàlygø iliustravi-mas [202]. Straipsnyje trumpai iðdëstyti tekstiniø uþdaviniø sprendimo me-todikos pagrindiniai klausimai. Ypaè akcentuojamas uþdavinio sàlygos ins-cenizavimas, iliustravimas, sutrumpintas sàlygos uþraðymas. Supaþindinta suÐiauliø XVII vidurinës mokyklos mokytojos S. Knyð darbo patirtimi naudo-jant atramines schemas. Mokytoja jø turëjo 9. Tai kartoniniai plakatai su kaikuriais pastoviais áraðais, simboliais ir kiðenëmis kil-nojamiesiems skaitmenims ádëti, kurie padeda grei-tai schemiðkai ,,uþraðyti� uþdavinio sàlygà. Pvz., uþ-davinio ,,Jonukas turi 12 spalvotø pieðtukø, o Pet-riukas � 5 pieðtukais maþiau. Kiek pieðtukø turi abuberniukai?� scheminá iliustravimà padës atlikti at-raminë schema (6 pav.). 6 pav.

116

Prieðprieðinio judëjimo uþdaviniams iliustruoti gali bûti pasigaminta to-kia schema (7 pav.):

Tokios schemos padeda opera-tyviai iliustruoti uþdavinio sàlygà, jàperformuluoti. Pagal jas, ádëjus ati-tinkamus skaièius á kiðenes, nesunkusugalvoti uþdavinius. Galima tai pa-naudoti mintiniam skaièiavimui.

ÐPI vyr. dëstytoja J. Balèytie-në19 savo straipsnyje [243] pateikëuþdavinio analizavimo ir sprendimoetapus:

a) supaþindinimas su uþdaviniotekstu;

b) sàlygos ir klausimo ásisàmoninimas;c) uþdavinio iliustravimas;d) sprendimo nagrinëjimas;e) sprendimo plano sudarymas;f) sprendimo uþraðymas;g) patikrinimas;h) atsakymo ávertinimas ir uþraðymas.J. Balèytienë aptarë kiekvienà etapà, pateikdama konkreèiø uþdaviniø

pavyzdþius.Taigi ir ðios temos straipsniuose mokytojø sukaupta ilgametë patirtis

susipina su matematikos didaktikos specialistø patarimais.

2.11. Matiniø skaièiø, algebros ir geometrijos pradmenømokymas pradinëse klasëse

Ðiai temai nagrinëti tiesiogiai buvo skirti 1 TM straipsnis ir 5 Tm straips-niai, be to, atsiradus naujiems vadovëliams kelis straipsnius paraðë B. Balèy-tis [256, 262, 277].

Pirmasis straipsnis ðia tema � M. Blëkaitienës, Birþø raj. ðvietimo sky-riaus vedëjos [316]. Jame ji nurodë, kokias matavimo priemones privalo tu-rëti kiekviena pradinë mokykla, kaip pasigaminti dalá jø per rankø darbøpamokas, aptarë ðios temos mokymà pagal tuometinæ programà kiekvienoje

7 pav.

117

klasëje, matavimø ir matiniø skaièiø panaudojimà iliustruojant uþdavinius,juos sprendþiant, sudarant.

ÐPI Matematikos katedros vedëjas B. Balèytis aptarë dydþiø vartojimàpradinës matematikos kurse [254]. Straipsnio pradþioje pabrëþta, kad jauþymieji XIX a. pab.�XX a. pr. rusø metodininkai reikalavo, kad supaþindi-nant su I deðimties skaièiais bûtø skaièiuojami ne tik konkretûs daiktai, bet irmatuojamas vandens kiekis stiklinëmis, stalo ilgis sprindþiais, klasës ilgis irplotis þingsniais ir t. t. Taip vaikai ne tik geriau ásisavina natûraliojo skaièiaussàvokà, bet kartu supaþindinami ir su dydþio sàvoka. Kai kuriuos dydþiusvaikai, ateidami á mokyklà, jau þino: moka skirti sunkø ir lengvà daiktà, galipasakyti, kuris pieðtukas ilgesnis, kuris trumpesnis, kuri juostelë platesnë,kuri siauresnë. Taigi ðiomis þiniomis ir reikia pasinaudoti. Pirmas dydis, kurisnagrinëjamas pradinëje mokykloje � ilgis. Jis glaudþiai siejamas su atkarpossàvoka. Todël vaikai ið pradþiø supaþindinami su tiesës ir taðko sàvokomis.Po to paaiðkinama, kad atkarpa � tiesës dalis tarp 2 taðkø. Atkarpos lygina-mos ið akies, o paskui uþdëjimu (naudojant juostelæ, vielutæ). Rezultatai netik nusakomi þodþiu, bet ir uþraðomi, pvz., a > b. Svarbiausias atkarpø lygini-mo bûdas � lyginimas matuojant. Pradþioje vartojami sprindþiai, þingsniai,sàsiuvinio langeliai. Taip palaipsniui ateinama prie ilgio matø reikalingumopagrindimo. Kitas svarbus ilgio nagrinëjimo etapas � atkarpø sudëtis ir atim-tis. Svarbu, kad vaikai suvoktø, kad atkarpos, kaip ir natûralieji skaièiai, galibûti sudedamos ir atimamos. Vëliau mokiniai mokomi þymëti atkarpas di-dþiosiomis raidëmis, jø poromis, o tai jau pirmas þingsnis á matematinës kal-bos ásisavinimà. Gerai perpratus ilgio sàvokà, pereiname prie jos taikymouþdaviniuose, kur atitinkami ilgiai yra tik ásivaizduojami, pvz.: ,,Vienos vielosilgis 10 m, o kita 3 m ilgesnë. Koks antros vielos ilgis?� Vaikams iðmokusdauginti ir dalyti, ilgis pradedamas sieti su kitais dydþiais (kaina, laiku ir t. t.).Mokiniai pradeda suprasti prekiø kiekio, kainos ir sumos, uþmokëtos uþpirktas prekes, priklausomybæ. Panaðiai mokoma ir kitø dydþiø. Supaþindi-nimas su konkreèiu dydþiu vyksta apytiksliai ,,pagal tokià schemà:

a) pirminis sàvokos sudarymas;b) keliø to paties dydþio reikðmiø lyginimas (ið akies,uþdëjimu ar kitaip

ðiam dydþiui charakteringais bûdais);c) lyginimo rezultatø nusakymas ir uþraðymas (t. y. matematinis mode-

liavimas);d) matematiniø uþraðø (modeliø) iliustravimas;e) matavimai ir lyginimas, paremtas matavimu;f) operacijø, atitinkanèiø aritmetinius veiksmus, atlikimas, taip pat ávai-

118

riø aritmetiniø uþdaviniø sprendimas naudojantis atitinkamais mati-niais skaièiais� [254, p. 3].

Suprantama, kiekvienas dydis turi savo pobûdá, todël lyginimas ir kitiaukðèiau minëti darbai bûna skirtingi. Sunkiau formuoti laiko sàvokà. ,,Jokiubûdu negalima painioti laiko sàvokos su laiko matavimu, o tuo labiau � laikosu laikrodþiu, � raðë B. Balèytis. � Laikà, kaip dydá, mokiniai greièiau suvo-kia, kai yra galimybë akivaizdþiai lyginti kelis laiko tarpus. Lengviau tai dary-ti, kai operuojama nedideliais laiko tarpais� [254, p. 4]. Tiesiogiai lyginti ga-lima tik sekundes ir minutes. Didesnius laiko tarpus galima lyginti tik re-miantis mokiniø gyvenimiðka patirtimi arba loginiais samprotavimais.

Formuojant ploto sàvokà labai svarbu, kad mokiniai nepainiotø ,,plo-to� ir ,,ploèio� sàvokø. ,,Plotas ið tikro yra savitas dydis, � raðë B. Balèytis, �ir, apskritai paëmus, negaunamas ,,ilgá� padauginus ið ,,ploèio�. Pastaruojubûdu tik apskaièiuojamas staèiakampio plotas� [254, p. 5]. Norint suformuo-ti ploto sàvokà, pradþioje siûloma skaièiuoti, kiek langeliø uþima geometri-nës figûros. Vëliau plotai lyginami ið akies, uþdëjimu. Pradedama naudotipaletë, ávedami ploto matai.

Pradinëje mokykloje ávedami ir kiti dydþiai, kaip greitis, nueitas keliasir pan. ,,Jø prasmë geriausiai iðryðkëja, sprendþiant ávairius uþdavinius, kurvienas dydis siejamas su kitu�, � raðë B. Balèytis [254, p. 6]. Matematikoje,,Dydþiu <...> laikoma ir natûriniø skaièiø eilë <...>. Dabar lengva supras-ti, kodël daþnai <...> vadinami dydþiais dëmenys, suma, turinys, atëminys<...>� [254, p. 6]. Taigi pradinukai gana iðsamiai turi bûti supaþindinami sudydþio sàvoka. Tad nenuostabu, kad tiek daug vietos skyrëme ðio fundamen-talaus straipsnio aptarimui.

Kitas gana esminis B. Balèyèio straipsnis [252] � apie bevardþius, vardi-nius ir matinius skaièius pradinës mokyklos kurse. ,,Matematikoje ir jos dës-tymo metodikoje skaièiai skirstomi á bevardþius, vardinius ir matinius. Pavyz-dþiui, skaièiai 3, 5, 17 yra bevardþiai, skaièiai 5 obuoliai, 17 dainø � vardiniai,o skaièiai 3 kg, 7 val. (dabar raðoma 7 h � A. A.) � matiniai. Vardiniai skaièiaigaunami ið esmës skaièiuojant konkreèiø aibiø elementus, o matiniai skaièiai� matuojant atitinkamos rûðies dydþius�, � raðë B. Balèytis [252, p. 3]. For-maliai þiûrint, matiniai skaièiai yra lyg vardiniø skaièiø rûðis. Taèiau jie turitam tikrø specifiniø savybiø. Pvz., 5 bulvës � kiekviena bulvë paprastai yrakitokio didumo, 5 kg � visi kilogramai yra tarpusavyje lygûs. Vardiniai skai-èiai neturi ir kitos matiniø skaièiø savybës: pastarieji gali bûti sudëtiniai, ovardiniai � ne. Riba tarp bevardþiø ir vardiniø skaièiø nëra visada ryðki. 7vienetai, 7 kartai, nors ir ávardinti, gali bûti suprantami kaip bevardþiai. Ne

119

visada aiðki riba ir tarp vardiniø bei matiniø skaièiø, pvz., 3 þingsniai gali bûtisuprantami ir kaip vardinis skaièius, ir kaip matavimo vienetai.

Mokykloje bevardþiø, matiniø ir vardiniø skaièiø mokoma vienu metu.Kol vaikai perpranta natûraliøjø skaièiø sàvokà, operuojama konkreèiais var-diniais skaièiais. Pvz., vaikams sunku suprasti veiksmo 4 + 1 prasmæ, kaioperuojama bevardþiais skaièiais, todël tokie veiksmai ir pradedami mokyti,demonstruoti su konkreèiais daiktais, jø paveikslëliais � vardiniais skaièiais,o tik po to pereinama prie abstrakèiø, bevardþiø skaièiø.

Klaipëdos PM dëstytojo V. Pridotko straipsnyje [608] aptariamas lygèiøsprendimo mokymas pagal tuometinæ programà. Panagrinësime tik tai, kasdabar aktualu, mokant lygèiø sprendimo IV klasëje. Kadangi ir dabar ðiojeklasëje lygtys sprendþiamos taikant veiksmø komponentø ir rezultatø tarpu-savio priklausomumo taisykles, pradþioje lygties sprendimas uþraðytinas taip:

7 + x = 11 x = 11 x = 4

Taip mokiniai geriau áþvelgia lygties ,,lukðtenimà�. Taèiau daug laikosugaiðtama langeliø skaièiavimui, kad ,,lygu� bûtø raðoma po ,,lygu�. Todëlreikia greitai pereiti prie aukðtesniosiose klasëse priimtos sprendimo uþraðy-mo formos:

373 + x = 645x = 645 � 373x = 272

Kai kurios straipsnio mintys dël uþdaviniø sprendimo sudarant lygtis iðsàlygos irgi gali bûti panaudotos ir dabartinëje pradinëje mokykloje.

Këdainiø raj. Truskavos aðtuonmetës mokyklos mokytoja A. Grigienëdalijosi patirtimi, sukaupta mokant geometriniø uþdaviniø sprendimo pradi-nëse klasëse [393]. Ji naudojo daug vaizdiniø priemoniø ið vielos, kartono,vaikai irgi buvo mokomi iðkirpti, iðplëðti kampus ið popieriaus, naudotis li-niuote, kampainiu, nubrëþti tiesæ þemës pavirðiuje.

PMTI mokslinë bendradarbë D. Meðkauskaitë nagrinëjo geometriniøfigûrø rinkinio panaudojimà pradinëje mokykloje [547]. Akcentavo vaikø pa-stabumo, loginio màstymo, atminties, kûrybiðkumo ugdymà mokant geomet-rijos pradmenø. Pateikë reikalavimus, kokias gatavas geometrijos mokymopriemones turi turëti mokyklos, kokias mokytojai turi pasigaminti patys.Straipsnyje yra 18 punktø, kuriuose aptariamas naudojimasis geometrijos mo-kymo vaizdinëmis priemonëmis. Pvz., temoje ,,Daiktø skaièiavimas� vaikaigali skaièiuoti visas raudonas figûras, visas maþas figûras, suskaièiuoti nuro-

120

dytà kieká kokiø nors figûrø ir pan.Taigi ir ðia nelabai spaudoje nuðviesta tema buvo ir brandþiø teoriniø, ir

sava patirtimi pagrástø apibendrinanèiø straipsniø.

2.12. Mokiniø þiniø ið matematikos kokybë ir jos tikrinimas

Ðiems klausimams nagrinëti TM buvo paskelbti 3, o Tm � 2 straipsniai,taip pat 3 straipsnius paskelbë B. Balèytis dël savosios naujøjø vadovëliø irkt. mokomøjø priemoniø sistemos ádiegimo [270, 280, 281].

Dëstytojas B. Balèytis, dar dirbdamas Klaipëdos PM, paskelbë ir pir-muosius straipsnius ðia tema pokario Lietuvoje. Viename jis aptarë apklau-sos organizavimà [247]. Straipsnio pradþioje pacituotas senas, patyræs rusøpedagogas S. Kirièevas: ,,Apklausa � tai ta pamokos dalis, ið kurios að dau-giausia spræsdavau apie visà mokytojo darbà. Ðioje pamokos dalyje geriau-siai matosi mokytojo pedagoginis ir metodinis iðsilavinimas, jo visos gerosiosir silpnosios darbo ir elgesio pusës, jo autoritetas ir atliekamas auklëjamasisdarbas mokiniø tarpe�. B. Balèytis, laikydamas ðià pamokos dalá itin svarbia,rekomendavo mokytojams taikyti kompleksinës apklausos bûdà. Dar prieðnamø darbø tikrinimà iðkvieèiami 3 � 7 mokiniai, jiems duodamos kortelëssu jose paraðytais klausimais ir leidþiama 3�8 min ruoðtis. Tuo metu tikrina-mi namø darbai, mintinai skaièiuojama ir kt. Iðkviesti atsakinëti ruoðiasi: da-lis prie lentos (iki 3 mokiniø), kiti � suoluose. Suoluose ruoðtis liepiama tiemsmokiniams, kuriø atsakinëjimo temos labiau artimos jau iðeitai medþiagai(jie sprendþia namø darbø uþdavinius � siekiant patikrinti, ar jie buvo atliktisavarankiðkai, taip pat uþdavinius, analogiðkus namø darbø uþdaviniams, uþda-vinius ar pratimus, analogiðkus spræstiems klasëje). Jø þinios tikrinamos tie-siog ið lapeliø kartu su jø namø darbais, tiesiogiai nedalyvaujant klasei. Prielentos atsakinëjantiems mokiniams duodamos tokios uþduotys, kurios svar-bios ir naudingos visai klasei, susietos su bûsima nauja medþiaga.

Kitas ankstyvasis B. Balèyèio straipsnis buvo skirtas kontroliniø raðo-møjø darbø pamokø organizavimui [248]. Jame iðdëstyti ðiuo metu visiemsjau gerai þinomi tokiø pamokø vedimo metodikos klausimai.

Verstiniame psichologijos mokslø habil. daktarës A. Lipkinos straips-nyje aptartas auklëjamasis mokiniø þiniø vertinimo vaidmuo [518]. ,,Ðiuo metujau nëra ginèytina, kad auklëjamasis mokymo poveikis ágyvendinamas ne tik-

121

tai per mokomuosius dalykus, kuriø mokomasi mokykloje, bet ir per visàsantykiø, susidaranèiø mokymo procese tarp vaikø ir mokytojo, taip pat tarpmokiniø, sistemà (beje, kai kas ðiuo metu, 2004�aisiais metais, tai bando de-monstruoti, kaip kaþin kà naujo, nepaprasto � A. A.). Ðiø santykiø tarpe di-delë vieta priklauso tiems, kurie apibrëþiami mokinio þiniø ávertinimu, jomokymosi sëkmingumo laipsniu, to sëkmingumo galimumu�, � raðë A. Lip-kina. Ji apraðë atliktà eksperimentà, kurio pagrindinis uþdavinys buvo iðsi-aiðkinti, kokià átakà turi ávertinimas þiniø ásisavinimo procesui. Eksperimen-te dalyvavæ 106 vaikai buvo suskirstyti á 3 grupes. Visos 3 grupës buvo vieno-do pajëgumo, visos jos sprendë vienodo sunkumo uþdavinius. Taèiau ekspe-rimentatorius vienos grupës mokiniø pastangas vis gyrë, kitos � vis peikë,treèios � nei gyrë, nei peikë. Pasirodë, kad bûtent pastarosios grupës moki-niø ásisavinimo rezultatai buvo prasèiausi, o geriausi � I grupës. Taip buvoiðaiðkinta, kad ávertinimas � bûtina sëkmingos veiklos sàlyga, ypaè jei jis �teigiamas, tada jo poveikis yra ypaè stimuliuojantis. Kiti eksperimentai taipatvirtino ir atskleidë dar daugiau kitø pedagoginio ávertinimo funkcijø. Pa-aiðkëjo, kad pedagogo ávertinimas formuoja mokinio savæs ávertinimà, taippat apibrëþia tai, kaip vaikai vertina vienas kità. Eksperimentas buvo atliktassu II ir IV klasiø mokiniais. Ið kiekvienos klasës buvo paimta po 6 stiprius,vidutinius ir silpnus mokinius. Iðtyrus II kl. atlikto eksperimento duomenis,paaiðkëjo, kad gerai besimokantys vaikai kategoriðkai prognozavo sau gerussiûlomos uþduoties ávykdymo rezultatus. Tuo tarpu prasèiau besimokanèius,vidutinius ir net sau lygius mokymosi srityje vertino nepalankiai. Tokià prog-nozæ jie aiðkino ávairiai: jie tiesiog nemokðos, jiems niekada nesiseka, jie ne-tvarkingi ir t. t. Prasèiau besimokantys mokiniai taip pat prognozavo gerusuþduoties atlikimo rezultatus. Tai liudija, kad jie dar iðsaugojo pasitikëjimàsavo jëgomis. Atlikus eksperimentà IV kl., paaiðkëjo, kad gerai besimokan-èiø vaikø pasitikëjimas savo jëgomis dar labiau iðaugo. Tuo tarpu blogesniejimokiniai labai nepasitikëjo savo jëgomis. Taigi matyti, kad veikiant pedago-giniam ávertinimui besiformuojantis perdëtas savæs vertinimas yra patvarusir iðlieka visà mokymosi pradinëse klasëse laikà. Be to, einant ið klasës á klasæauga silpnøjø mokiniø tendencija nepakankamai ávertinti save, formuojasinevisavertiðkumo kompleksas. A. Lipkinos manymu, reikia ,,neleisti formuotisegoistiniams polinkiams tos dalies gerai besimokanèiø vaikø, kurie perverti-na ne tiktai savo mokymosi, bet ir kitos veiklos rezultatus, taip pat ir savoasmeniðkàsias savybes� [518, p. 13]. Paprastai mokytojas nepastebi atskirøstipriø mokiniø suklydimø, uþ kuriuos gana grieþtai baudþia vidutiniðkai irprastai besimokanèius. Todël èia labai svarbus pedagoginis taktas, vienodas

122

reiklumas visiems. Gausûs tyrimai árodë, kad mokiniai labai reaguoja á klau-simo pateikimo tonà, todël juos labai gali paveikti ne tiek klausimo sudëtin-gumas, kiek klausime iðgirsta iðankstinio apkaltinimo neþinojimu gaida. Taippat svarbu vertinti ne vien galutiná rezultatà, bet ir atsiþvelgti á ádëtà darbà,pastebëti vaiko daromà paþangà. Bûtina paskatinti, pagirti kiekvienà silpno,bet darbðtaus mokinio pasiekimà. Tad, A. Lipkinos nuomone, yra ,,labai svarbusustiprinti mokytojø dëmesá auklëjamajam pedagoginio ávertinimo vaidme-niui� [518, p. 13], svarbu giliai prasiskverbti á mokinio psichologijà, nuo patpirmøjø dienø stengiantis padëti silpnesniesiems, ádiegti jiems pasitikëjimàsavimi.

Ðvietimo ministerijos darbuotojas V. Blagnys savo straipsnyje atkreipëdëmesá á mokiniø þiniø tikrinimà matematiniais diktantais, jø uþduoèiø ávai-rovæ [315].

TM korespondentas J. Norkevièius, analizuodamas [576] 1974 m. þiniøkokybës tyrimo statistinius rodiklius tuometinëse IV klasëse (jos tada pri-klausë dalykinei sistemai), teigë, kad jie prastesni kaimo mokyklose. Remda-masis savo stebëjimais jis tvirtino, kad tam didelæ átakà turëjo nepakankamasmokiniø paruoðimas bûtent savarankiðkose maþakomplektëse kaimo pradi-nëse mokyklose. Jose perteikiant naujà medþiagà daþnai buvo pasigendamasistemingumo, nuoseklumo, pagrástumo, vaizdumo, loginio màstymo ugdy-mo, blogai buvo organizuojami savarankiðki darbai, vyravo mechaniðkas mo-kymasis. Todël daugelis klausinëjamø pradinukø nemokëjo pagrásti savo tei-giniø. Tai rodo, kad nepakankamai dëmesio buvo skiriama naujoms sàvo-koms iðaiðkinti, maþai analizuojami tekstiniai uþdaviniai. Mokiniai matema-tikos pamokose daug mechaniðkai perraðinëdavo, jø savarankiðki darbai bu-vo beveik nekontroliuojami, namø uþduotys buvo skiriamos nepakankamaipaaiðkintos ir po skambuèio. Þinoma, J. Norkevièius tuo metu dar negalëjopeikti ir perkrautos matematikos mokymo programos, kurià realizuoti kai-mo maþakomplektëse mokyklose buvo sunku, ir jau degraduojanèio kolûki-nio kaimo su daugelyje ðeimø nepakankama vaikø prieþiûra bei prasta ðei-mø, daþnai girtaujanèiø ar trokðtanèiø tik materialiniø vertybiø, aplinka...

Taigi nelabai gausiuose straipsniuose nagrinëjamu klausimu vis dëltogerai buvo atspindëta ir tuo metu egzistavusi analizuojamo klausimo bûklë,ir mintys, kurios turi ir turës iðliekamàjà vertæ.

123

2.13. Matematika vaikø darþelyje ir parengiamojoje klasëje

Ðia tema TM iðspausdino 1 straipsná, o Tm jø buvo iðspausdinta 15.Pirmàjá straipsná apie tekstiniø uþdaviniø sprendimà [244] paskelbë J.

Balèytienë, ÐPI dëstytoja. Straipsnis gana platus, jame aptarta vaikø darþeliøparengiamosios grupës auklëtiniø mokymas spræsti tokius uþdavinius. Jiesprendþiami plaèiai naudojant vaizdines priemones, inscenizavimà. Raðë ji irapie geometrijos elementø mokymà vaikø darþelyje [239], mokymo procesoorganizavimà parengiamojoje klasëje [240].

Klaipëdos XVIII vidurinës mokyklos mokytoja S. Sirvydienë dalijosipatirtimi apie parengiamosios klasës mokiniø aktyvinimà matematikos pa-mokose [657]. Mokymo procesas turi bûti vaizdingas, emocingas. Svarbi vie-ta skiriama þaidimui. Mokytoja S. Sirvydienë pateikë 15 pavyzdþiø, kaip ak-tyvinti 6 metø vaikus matematikos pamokose. Pvz., mokantis daiktø skaièia-vimo, atsineðus á klasæ ,,stebuklingàjá maiðelá�, vedëjas ima ið maiðelio þaislusir kiekvienà deda ant stalo. Mokiniai skaièiuoja dedamus þaislus ir deda antsavo suolo tiek pagaliukø, kiek padëta þaislø.

PMTI mokslinë bendradarbë D. Meðkauskaitë aptarë didaktikos prin-cipø taikymà parengiamosios klasës pamokoje [544]: ugdomojo mokymo, mo-kymo moksliðkumo ir ryðio su gyvenimu, prieinamumo, vaizdumo, sistemin-gumo bei nuoseklumo ir þiniø tvirtumo, atsiþvelgimo á mokiniø individualiassavybes, sàmoningumo ir aktyvaus mokymosi.

Kitame straipsnyje D. Meðkauskaitë aptarë skaitmenø ir matematiniøþenklø korteliø panaudojimà [552] supaþindinant ðeðiameèius mokinukus sunauju skaitmeniu ir skaièiumi, mokant nustatyti skaièiaus vietà natûraliøjøskaièiø eilëje, mokant skaièiuoti, sudaryti lygtis ir nelygybes, raðyti pirmuo-sius matematinius diktantus, taip pat rengiant mintinio skaièiavimo praty-bas.

Ðiaulietë J. Balèytienë aptarë matematikos pamokëliø vaikø darþeliøparengiamosiose grupëse metodikà [241].

Parengiamøjø klasiø mokiniams ir vaikø darþeliø auklëtiniams buvo ið-leista mokomoji knygelë � vadovëlio ir pratybø sàsiuvinio hibridas ,,Sveika,matematika�. Jos I�III d. Tm puslapiuose atitinkamai pristatë: D. Meðkaus-kaitë [553], J. Balèytienë [242] ir B. Balèytis [286].

ÐPI Klaipëdos ikimokyklinio auklëjimo fakulteto vyr. dëstytoja A. Gab-rielaitienë [374] aptarë reikalavimus vaizdinëms priemonëms, vartojamoms

124

per matematikos pamokëles. Jos turi bûti:1. Ávairios formos ir dydþio.2. Dinamiðkos, kad vaikas, vykdydamas pedagogës nurodymus, galëtø

jomis operuoti.3. Patvarios, kad bûtø galima jas dràsiai imti á rankas, perneðti ið vienos

vietos á kità, perdëti ið vienos dëþutës á kità.4. Estetiðkos, nes jø graþumas skatins vaikø veiklumà, padës geriau or-

ganizuoti pamokëles, o kartu ir geriau suvokti medþiagà.Vaizdumas aktyvina vaikus ir padeda valingam ásiminimui. Todël reko-

menduojama modeliuoti ir reiðkinius, pvz., savaitës dienas siûloma paþymëtispalvotais þenklais. Vaizdumo pobûdis turi bûti keièiamas ne tik ávairiuosevaiko amþiaus tarpsniuose, bet ir ávairiuose pagrindiniø dalykø mokymo eta-puose, atsiþvelgiant á konkretaus ir abstraktaus santyká jø turinyje. Visa vaiz-dinë medþiaga skirstoma á demonstruojamàjà ir dalijamàjà (smulkûs þaisliu-kai, jø atvaizdai, ávairi gamtinë medþiaga, kortelës).

ÐPI Klaipëdos ikimokyklinio auklëjimo fakulteto dëstytoja D. Èesnaus-kienë [339] aptarë vaizdumo principo realizavimà, mokant vaikus vertës ma-tø, pasidarant monetø ir banknotø rinkinius, supaþindinant su kainø uþraðy-mu parduotuvëse. Apraðomi didaktiniai þaidimai: ,,Kas greièiau ir teisingiauuþpildys korteles�, ,,Iðkeisti monetà�, ,,Parduotuvë�.

Labai platø straipsná apie matematikos pamokø efektyvumà parengia-mosiose klasëse paskelbë PMTI mokslinë bendradarbë D. Meðkauskaitë[545]. Pabrëþë mokytojo draugiðkumo, geranoriðkumo bendraujant su vai-kais, individualiø ypatybiø paisymo svarbà, þaidimø vaidmená, pateikë daugjø pavyzdþiø. Pabrëþë kontrolës ir savikontrolës vaidmená, aptarë jø bûdus.Palietë grupinio darbo organizavimo pamokoje klausimus. Daug dëmesioskyrë mokymo vaizdumui, darbo tempui pamokoje. Dar vienas jos straipsnisbuvo skirtas skaièiø sandaros mokymui parengiamojoje klasëje [538].

Marijampolës PM dëstytoja O. Dumèiuvienë20 aptarë didaktiniø þaidi-mø vaidmená formuojant kiekio ir skaièiaus, geometrinës figûros sàvokas,orientavimosi erdvëje ir laike ágûdþius [369].

Ukmergës raj. Siesikø vidurinës mokyklos mokytoja A. Èerniauskie-në21 savo straipsnyje [338] dalijosi patirtimi, sukaupta mokant ðeðiameèiusspræsti tekstinius uþdavinius. Pagal priemones, naudojamas sudarinëjant teks-tinius uþdavinius, mokytoja A. Èerniauskienë iðskyrë 3 rûðiø uþdavinius:1) vaidmeniniai (juos kuriant naudojamos inscenizacijos); 2) iliustraciniai(juos sudarinëjant naudojamos natûralios ar dirbtinës vaizdinës priemonës);3) þodiniai (pateikiami tik þodþiais, be vaizdumo, jie bûtini, kitaip neiðugdy-

125

sime abstraktaus màstymo). Mokytojos teigimu, uþdaviniø sudarymas � kû-ryba yra kur kas aktyvesnis psichologinis procesas negu paprastas jø sprendi-mas. Teisingai sugalvoti vienà uþdaviná tai tas pats, kas iðspræsti 2�3 uþdavi-nius. Ji atkreipë dëmesá ir á pieðimo, iliustravimo brëþiniu svarbà, uþdaviniøgyvenimiðkumà, realumà, logiðkumà.

ÐPI Klaipëdos ikimokyklinio auklëjimo fakulteto vyr. dëstytoja D. Èes-nauskienë aptarë [340] matematikos pamokëliø organizavimà vaikø darþe-lyje.

Taigi aptartuose straipsniuose yra sukaupta daug patyrimo, kaip dirbtisu ikimokyklinio amþiaus vaikais rengiant juos mokytis matematikos.

1 NORKEVIÈIUS JULIUS gimë 1932 10 04 Telðiuose. 1952 m. baigë Telðiø MS irástojo á Klaipëdos mokytojø instituto Matematikos�fizikos skyriø. Po I semestro iðëjodirbti á Kartenos vidurinæ mokyklà. Po metø vël gráþo á institutà ir já baigë 1955 m. Iki1961 m. dirbo Rietavo vidurinëje mokykloje, po to ðvietimo ministro ásakymu perkeltasá TM redakcijà. Èia dirbdamas neakivaizdiniu bûdu baigë VVPI (matematikos spec.).TM (TÐ, ,,Dialogo�) redakcijoje iðdirbo iki 1992 m. 1978 m. jam suteiktas nusipelniusiomokytojo vardas. 1992�1997 m. dirbo ,,Dienos� redakcijoje. Nuo 1997 m. redaguojaVGTU laikraðtá ,,Inþinerija�. Populiariausi slapyvardþiai: Julius Kontrimas, B.Viktoraitis, R. Ðaltenytë, I. Karklaitis, J. Norkaitis, S. Abiðala, S. Kvaraciejus ir kt.

Lietuvos matematikos didaktikos raidai 1960�1990 m. laikotarpiu J. Norkevièiusturëjo labai didelæ átakà. Judrus, operatyvus, mokantis bendrauti su þmonëmis,pasiruoðæs vykti á bet kurá Lietuvos kampelá, gerai iðmanantis pradiniø klasiø irmatematikos mokytojo darbo problematikà þurnalistas pats paskelbë nemaþa straipsniø,kurie áneðë nemaþà indëlá á matematinës didaktinës minties raidà. Daugelá mokytojø,tarp jø ir ðios knygos autoriø , paskatino dalytis savo darbo patirtimi TM puslapiuose[198]. Kauno raj. Babtø vidurinëje mokykloje organizavo ilgametá nenutrûkstamàpedagoginá seminarà, á kurá atsiveþdavo vis naujus pedagogikos ir metodikø specialistus.Seminaras veikë iki pat 2000 m., nors J. Norkevièius pagal einamas pareigas nebebuvotaip glaudþiai susijæs su vidurinës mokyklos problematika. Labai J. Norkevièiusvertinamas ir dabartiniame darbe VGTU [200; 204; 205; 221; 806].

2 BUTKUS VYTAUTAS (g. 1924 11 13 Jurbarko raj., Veliuonoje � m. 1994 08 25Ðakiø raj., Gelgaudiðkyje). 1937 m., baigæs Veliuonos 6 skyriø pradþios mokyklà, ástojoá Jurbarko gimnazijà, kurià baigë 1943 m. 1944 m. pradëjo pedagoginæ veiklà Ðakiø raj.Pajotijø pradinëje mokykloje. 1946�1948 m. buvo Ðakiø ðvietimo skyriaus mokykløinspektorius, 1948�1950 m. � Ðakiø progimnazijos mokytojas. 1950�1952 m. dirboAleksandravos, 1952�1992 m. � Trako (nuo 1976 m. pavadinta Skaistakalnio) pradinësemokyklose Ðakiø rajone. 1967�1970 m. studijavo pradinio ugdymo pedagogikà ÐPIneakivaizdiniame skyriuje. Studijas baigë su pagyrimu. 1976 m. V. Butkui suteiktasmokytojo metodininko vardas. Savo patirtimi dalijosi respublikinëje ir tuometinës SSRSspaudoje. Paruoðë daug praneðimø respublikiniams pedagoginiams skaitymams. Jo dëkarajone iki ðiø dienø rengiama IV klasiø mokiniø matematikos olimpiada [781].

126

3 VAIÈIULIENË�DOVYDËNAITË ALDONA gimë 1937 07 05 Rokiðkio raj.,Ginoèiø k. Mokësi Rokiðkio raj. Dalieèiø pradinëje mokykloje, Pandëlio gimnazijoje,Panevëþio PM (baigë 1955 m.). Nuo 1955 m. dirba Kelmës rajono pradinëse mokyklose:Kelmynø, Toluèiø, Budraièiø. 1970�1974 m. neakivaizdiniu bûdu studijavo ÐPI (pradiniougdymo pedagogikà). 1974 m. jai buvo suteiktas nusipelniusios, 1988 m. � liaudiesmokytojos, 1993 m. � mokytojos ekspertës vardas. Atkûrus Nepriklausomybæ, su prof.B. Balèyèiu paraðë matematikos vadovëlá ,,Skaièiø ðalis� I kl., knygà mokytojui, pratybøsàsiuvinius. 1996�1999 iðleido 5 knygeles ikimokyklinukams [755, p. 728; 756, p. 697�698; 817].

4 TRUMPA EDVARDAS (g. 1906 10 31 Raseiniø raj. Paliepiø k. � m. 1985 09 19Vilniuje). 1926�1942 m. mokytojavo Këdainiø aps., 1942�1944 m. � Vilniaus pradinësemokyklose. 1948 m. baigë VU. 1947�1952 m. dëstë psichologijà VVPI. 1952�1958 m.mokytojavo Vilniuje. 1956�1970 m. dirbo Respublikinëje jaunøjø technikø stotyje (iki1960 m. direktorius). Paraðë 5 knygas apie rankdarbiø mokymà, daug straipsniø [770,p. 347].

5 BARVYDAS JONAS gimë 1931 01 05 Akmenës raj., Jonaièiø k. Baigë Jonaièiøpradinæ mokyklà, Papilës progimnazijà ir Ðiauliø MS (1951). Mokytojavo Akmenësrajono Degimø septynmetëje, Akmenës vakarinëje, N. Akmenës vidurinëse mokyklose[777].

6 DOKÐUS ALEKSANDRAS gimë 1927 02 28 Plungëje. Pradþios mokyklà ir 6gimnazijos klases baigë Plungëje, o 1947 m. sidabro medaliu baigë Telðiø Þemaitësgimnazijà. Joje labai domëjosi matematika (mokytojo Br. Valiuðaièio dëka). Nuo 1947m. mokytojavo Gegrënø pradinëje mokykloje (Plungës raj.), Nevarënø (Telðiø raj.) irMosëdþio (Skuodo raj.) progimnazijose. Progimnazijose dëstë matematikà. Nuo 1951m. dirbo pedagoginá vadovaujantájá darbà Skuodo rajone: buvo Paluknës septynmetësmokyklos direktorius, Skuodo vidurinës mokyklos direktoriaus pavaduotojas,direktorius, ðvietimo skyriaus metodinio kabineto vedëjas, vedëjas. Dirbdamasneakivaizdiniu bûdu baigë VVPI matematikos spec. (1963). 1983�1987 m. dirbomokytoju Skuodo neakivaizdinëje vidurinëje mokykloje. ,,Dëstydamas matematikà,ieðkojau bûdø, kaip <...> kontroliuoti mokiniø mokymàsi skaitlingoje klasëje <...>.Gerø perspektyvø maèiau programuotame mokyme <...>. Tais klausimais daþnai raðiauperiodinëje spaudoje <...>. Vedþiau eilæ atvirø pamokø, á kurias atvaþiuodavo mokytojøekskursijos ne tik ið Lietuvos. Dariau praneðimus <...> konferencijose <...>. Vëlesniaissovietiniais metais ðios veiklos atsisakiau, nes mokyklø darbas buvo nukreiptas ne ámokiniø þiniø ir ágûdþiø formavimà, bet á suabsoliutintà komunistiná auklëjimà, pigiassaviveiklines priemones ir dirbtiná ðimtaprocentiná paþangumà�, � raðë savoautobiografijoje A. Dokðus. 1994 m. A. Dokðus iðleido romanà ,,Erðkëèiø taku�, kuriamevaizduojamas nedidelio miestelio mokyklos gyvenimas pokaryje, mokiniø ir mokytojøprieðinimasis juos þeminantiems potvarkiams, sovietinës okupacinës valdþiosbrutalumas. Gyvena Smalininkuose [787].

127

7 PANGONIS VACLOVAS gimë 1925 09 15 Alytaus raj. 1951 m. baigë VVPI, ágijopedagogikos dëstytojo kvalifikacijà. 1951�1991 m. dirbo Marijampolës PM, dëstëpedagogikà ir psichologijà. Kartu su A. Èerneckiu iðleido broðiûrà ,,Dvi pedagoginësspecialybës� (1974), su kitais redagavo F. Maskvyèio knygà ,,Maldaknygiø, knygø irþurnalø lauþas� (1998), iðspausdino daug straipsniø pedagoginëmis temomis [809].

8 ARLAUSKIENË�PETKEVIÈIÛTË SOFIJA gimë 1923 12 20 Panevëþio aps.,Joniðkëlio vls., Lukðtynës k. Baigë Joniðkëlio ðeðiø skyriø pradþios mokyklà, su didelemeile prisimena jos vedëjà Baranauskà, mokytojas Butënaitæ, Grigaliûnaitæ,Petrauskaitæ. Po to mokësi Pasvalio inþ. P. Vileiðio valstybinëje gimnazijoje, baigusi 5klases ástojo á Ðiauliø MS, karo metu jà uþdarius mokësi Telðiø ir Panevëþio MS.Seminarijose turëjo daug puikiø dëstytojø: R. Balaiðá, L. Jovaiðà, O. Maksimaitienæ, P.Urbà ir kt. Nuo pokario metø dirbo dab. Vilniaus XXIII vidurinëje mokykloje.Dalyvaudavo su praneðimais pedagoginiuose skaitymuose. Jos mokiniai laimëdavorespublikiniuose raðinëliø konkursuose, vienas � tarptautiniame pieðiniø konkurseJaponijoje. Turi vyr. mokytojos vardà [774].

9 MEÐKAUSKAITË DANUTË gimë 1941 04 18 Plungës raj., Paukðtakiø k. MokësiPaukðtakiø pradinëje, Staneliø septynmetëje mokyklose, Vilniaus PM, neakivaizdiniubûdu � ÐPI (pradinio ugdymo pedagogikos spec., 1973 m.). Dirbo Vilniaus XXVIIIvidurinëje mokykloje, PMTI, RMTI, ðiuo metu yra Vilniaus ,,Vyturio� pradinësmokyklos direktoriaus pavaduotoja, mokytoja ekspertë (1993). Nuo 1974 m. skaitëpaskaitas pradiniø klasiø mokytojams RMTI, nuo 1993 m. dirba VPU Pradinio mokymokatedroje dëstytoja. Kartu su B. Balèyèiu ir kt. paraðë pratybø sàsiuvinius I�III klasëms,mokomàjà knygelæ ,,Sveika, matematika� (parengiamosioms klasëms), paskelbë mokslotiriamøjø straipsniø PMTI ir kt. leidiniuose [754, p. 454; 755, p. 453�454; 756, p. 434].

10 GERULAITIENË ADELË (g. 1906 09 22 Rokiðkio raj., Vyþeièiø k. � m. 1981 0220 Rokiðkyje). 1927 m. baigë dvimeèius mokytojø kursus Alytuje. Mokytojavo pradþiosmokyklose. 1940 m. baigë darbo su defektyviais vaikais pedagoginius kursus, mokytojavoRokiðkio pagalbinëje mokykloje. 1946�1955 m. buvo Ðvietimo ministerijos spec. mokykløinspektorë. 1955�1962 m. dirbo Rokiðkio pradinëje, nuo 1962 m. � Kamajø A. Strazdovidurinëje mokyklose. 1960 m. jai buvo suteiktas nusipelniusios mokytojos vardas.Parengë skaitiniø knygà kurèiøjø mokyklø IV klasei (1954) [762, p. 552].

11 BUNKUS ALBERTAS gimë 1928 01 20 Maþeikiø aps., Þidikø mst. MokësiÞidikø pradþios mokykloje, Maþeikiø gimnazijoje, Telðiuose, Kaune. 1958 m. baigëKlaipëdos PM (neakivaizdiniu bûdu). Besimokydamas Maþeikiø gimnazijoje itinpamëgo matematikà, kuri liko viso gyvenimo pomëgiu. Tam tiesioginæ átakà turëjo jomokytojas Kostas Dainius [9, p. 463]. A. Bunkus mokytojavo 19 mokyklø (10 � irvedëjavo) Kretingos, Skuodo, Maþeikiø, Telðiø rajonuose (1946�1996 m.). ,,Dirbtipradëjau Telðiø apskrityje prie Lûksto eþero Vydmantø prad. m�kloje ir darbà baigiauprie Ðatrijos kalno Gintauèiø prad. m�kloje taip pat Telðiø apskrityje�, � raðë savoautobiografijoje A. Bunkus [780].

128

12 ZAKÐIAUSKIENË�TAURAITYTË MIRGA gimë 1934 08 22 Utenos apskr.,Tauragnø vls., Jauniðkiø k., mokytojø ðeimoje. 1951 m. baigë Utenos gimnazijà, vëliau� VVPI FMF. Dirbo Ðvenèionëliø, Utenos II ir IV vidurinëse mokyklose. Matematikosmokytoja metodininkë [63, p. 213�216].

13 GEDVILA JULIUS (g. 1919 Rusijoje, Samaros gub., Litovkos k. � m. 1982 01 29Raseiniuose). 1920 m. Gedvilø ðeima (tëvas buvo mokytojas) gráþo á Lietuvà irapsigyveno Zarasø apskrityje. J. Gedvila mokësi Zarasø gimnazijoje, 1941 m. baigëMarijampolës MS. 1940�1941 m. mokytojavo Marijampolës suaugusiøjø pradþiosmokykloje, 1941�1944 m. � Lazdijø gimnazijoje. 1944�1946 m. J. Gedvila � Zarasøprogimnazijos direktorius. 1946�1951 m. jis dirbo mokytoju Ðakiø raj. Sintautøprogimnazijoje, 1951�1956 m. � buv. Kybartø raj. mokyklose, 1956�1981 m. � Ðilutësraj. Katyèiø septynmetëje (vëliau � aðtuonmetëje, vidurinëje) mokykloje [790].

14 VALANTINIENË�DAUGUVIETYTË IDA gimë 1909 m. Latvijoje, Jelgavos(Mintaujos) m. 1928 m. baigë Tauragës MS. Mokytojavo pradþios mokyklose: 1928�1930 m. Këdainiø aps. Pelëdnagiø, 1930�1934 m. Këdainiø, 1934�1935 m. Kauno 34-ojoje, 1935�1940 m. � 15-ojoje, 1940�1941 m. � Vilniaus, 1941�1950 m. � Kauno 9-ojoje. 1950�1967 m. buvo Kauno IV vidurinës mokyklos mokytoja. 1934�1938 m. iðklausëVDU Humanitariniø mokslø fakultete lietuviø filologijos specialybës kursà [818].

15 DIENIENË�ÈEIÈYTË PAULINA (g. 1909 02 20 Rokiðkio aps., Juodupës vls.,Aleknø k. � m. 2003 09 27 Vilniuje). Skaityti iðmokë motinos sesuo siuvëja PaulinaVabolytë. 1918�1922 m. mokësi Èeièiø pradinëje mokykloje. Pasimokiusi 2 mën.privaèiai, iðlaikë egzaminus á Rokiðkio gimnazijos II klasæ. Baigusi IV klasæ ástojo áSkapiðkio dvimeèius mokytojø kursus, o juos baigusi � á Panevëþio MS. Baigusi jà ,,1928metais pradëjau dirbti Narkûnø pradþios mokykloje Rokiðkio aps., � raðë P. Dienienësavo autobiografijoje, � netoli Sartø eþero. Mokykla kûrësi naujai. Trys nedideli langeliaimaþaþemio Paberþio seklytëlëj, kur buvo ir klasë, ir drabuþinë, ir kokiø 4 kv. metrøaikðtelë uþ krosnies þaidimams þiemos metu. Beveik jokio inventoriaus. Taèiau nebuvonei baisu, nei liûdna. Kà gavome ið kaimyniniø mokyklø, kà mokiniø tëvai padarë�.1931�1933 m. mokytoja dirbo netoli gimtinës, Bryzgiø pradþios mokykloje. 1933 m. jiiðtekëjo uþ lituanisto Jono Dienio�Kasteèkos, Joniðkio gimnazijos mokytojo. ,,Betiesioginio darbo dalyvavau skautø, jaunalietuviø organizacijose, mëgau saviveiklà, �raðë P. Dienienë. � Buvo patogus susisiekimas su Kaunu, savaitgaliais nuvykdome áoperà, baletà, ir kitø miestø teatrai daþnai aplankydavo Joniðká�. Po 1940 m. dirboLinkuvoje, Þeimelyje, Pakruojyje. Kai vaikai ëmë studijuoti Vilniuje, ðeima persikëlë áAlytaus raj., Punià (iðaugino 2 dukras ir 3 sûnus, visi baigë aukðtàjá mokslà, sûnûs:Gervydas � chemikas ir Visvaldas Vincentas � fizikas tapo mokslininkais, habilituotaisdaktarais, profesoriais). Punioje mokytoja iðdirbo iki 1964 m. ,,Manau, kad darbasmokykloje buvo mano paðaukimas, � raðë ji. � Klasëje su vaikais jausdavausi laiminga,nepavargdavau, lengvai palaikydavau drausmæ, nesunkiai perteikdavau mokomàjàmedþiagà. Að labai mylëjau vaikus, o jie � mane�. Daug metø vadovavo mokyklos irrajono mokytojø metodiniams rateliams, kelis kartus dalyvavo respublikiniuoseskaitymuose, skaitë paskaitas RMTI [786].

129

16 PANGONIENË JULIJONA gimë 1927 01 11 Ðakiø raj. 1951 m. baigë VVPI(matematikos spec.). 1951�1952 m. dirbo Marijampolës II vidurinëje mokykloje, 1952�1991 m. � Marijampolës PM, dëstë matematikà ir jos mokymo metodikà. Ne kartàskaitë praneðimus pedagoginiuose skaitymuose, raðë pedagoginëje spaudoje [808].

17 PRIDOTKAS VYTAUTAS gimë 1924 04 15 Kretingos aps., Darbënø mst.,,Pradinæ mokyklà lankiau ir baigiau gimtinëje. Puikus mokyklos vedëjas M. Rauckasir klasës mokytoja O. Uþgalytë. Aukðtas mokymo lygis, plati ádomi visuomeninë veikla:ðvaros savaitës, Lietuvos Nepriklausomybës ðventës, medeliø sodinimas ir kiti renginiai�,� raðë savo autobiografijoje V. Pridotkas. Iðlaikæs stojamuosius egzaminus, ástojo áKretingos pranciðkonø gimnazijos II klasæ. Tai buvo labai pavyzdinga gimnazija. Mokëlabai geri mokytojai: Kazys Bauba (lotynø k.), Juozas Gedgaudas (rusø k.), JuozasTarvydas (lietuviø k.), Antanas Masionis (vokieèiø k.), dr. Kazys Miecevièius(matematika), Fabijonas Ðulcas (pieðimas, dailyraðtis) ir kiti. Auklëjamajame darbemokytojams padëjo vienuoliai brolis Liudvikas ir brolis Antaninas. Gimnazijà V.Pridotkas baigë jau susovietintà, 1941 m. Karo metu dirbo buhalteriná darbà Ðventojoje,buvo Darbënø, Skuodo ir Tûbausiø geleþinkelio stoèiø budëtoju. Tûbausiuose stotáuþpuolus raudoniesiems partizanams, buvo sunkiai suþeistas � perðauti plauèiai. 1946�1947 m. V. Pridotkas mokësi Klaipëdos mokytojø institute. Já baigæs, pradëjo dirbtiKlaipëdos MS (PM) ir joje dirbo visà gyvenimà iki pensijos. Artimai bendradarbiavosu B. Balèyèiu, skaitë paskaitas RMTI kursuose. 1976 m. RMTI iðleido jo leidiná,,Pirmosios klasës I � II pusmeèio matematikos pamokø planai�. V. Pridotkas didþiuojasisavo mokiniais: akad. prof. habil. dr. Eduardu Vilku (V. Pridotkas buvo ir jo auklëtojas),a. a. doc. dr. Antanu Jonuðausku, dr. Stasiu Skërumi ir kitais [811].

18 VASILIAUSKAS MEÈISLOVAS (g. 1877 11 20 Marijampolës aps., Liudvinavomst. � m. 1957 05 19 Pakruojo raj., Staèiûnø k.). 1898 m. baigë Veiveriø mokytojøseminarijà. Iki 1901 m. mokytojavo Garliavos apylinkëse, uþ lietuviðkà veiklà iðtremtasá Odesà. 1904 m. mokytojavo Maskvoje, 1905 m. � Kauno ,,Saulës� pradinëje mokykloje,bet þandarø persekiojamas turëjo persikelti á Skrebotiðká (dab. Pasvalio raj.), kurmokytojavo iki 1915 m. Karo metais mokytojavo Maskvos lietuviø karo pabëgëliø vaikømokyklose, dalyvavo jø draugijø veikloje. 1918�1925 m. dirbo Utenos, Jurbarko ir Birþø� Pasvalio apskrièiø ðvietimo skyriø mokyklø inspektoriumi (Utenoje � vedëju). 1925�1940 m. � pavyzdinës pradþios mokyklos prie Ðiauliø MS vedëjas, 1940�1945 m. � ðiosMS dëstytojas, 1945�1957 m � Staèiûnø progimnazijos (septynmetës mokyklos)direktorius. Nusipelnæs mokytojas (1947). 1907�1940 m. iðleido 16 knygø: chrestomatijø,elementoriø, gramatikø, lietuviø k. ir matematikos mokymo metodikø ir kt. Kai kuriosjø susilaukë daug leidimø (elementoriaus ,,Rûtelë� visos dalys � 29 leid.). 1948 m. iðleidolietuviø k. mokymo metodikos vadovëlá PM moksleiviams. Beveik 50 m. aktyviaibendradarbiavo pedagoginëje periodinëje spaudoje [7, p. 130�131; 9, p. 291�292].

19 BALÈYTIENË-RIMKUTË JANINA gimë 1945 11 28 Raseiniø raj., Ðiluvosvls., Macaièiø k. Mokësi Pumpurø pradinëje ir Lyduvënø vidurinëje mokyklose(Raseiniø raj.). Baigë Kudirkos Naumiesèio V. Kudirkos vidurinæ mokyklà (1963 m.).1967 m. baigë ÐPI FMF. Dirbo Ðiauliø V ir XI vidurinëse mokyklose. Dab. ÐU dirba

130

nuo 1972 m. Iki 1977 m. dirbo Ikimokyklinio auklëjimo, nuo 1977 m. � Pedagogikosfakultete. Kartu su B. Balèyèiu ir kt. iðleido ,,Sveika, matematika� parengiamosiomsklasëms, knygeliø stipresniesiems mokiniams. Su vyru, muzikos prof. habil. dr. EduarduBalèyèiu, iðaugino 3 vaikus [776].

20 DUMÈIUVIENË-BURINSKAITË ONA gimë 1940 m. 1964 m. baigë dab. VPUFMF. Nuo 1967 m. dirba Marijampolës PM, nuo 1995 m. vyr. dëstytoja. Bendradarbiauja,,Þvirbliø take�, parengë vaizdiniø priemoniø rinkinius matematikai mokyti pradinëseklasëse [789].

21 ÈERNIAUSKIENË-PALAIMAITË ALDONA gimë 1939 07 15 Ukmergës aps.,Vepriø vls., Pageleþiø k. Mokësi Pageleþiø pradinëje ir Vepriø septynmetëje mokyklose.1957 m. baigë Ukmergës PM. Dirbo Ukmergës raj. Lokënø ir Tulpiakiemioseptynmetëse, Siesikø vidurinëje ir Petroniø pradinëje mokyklose. Nuo 1994 m.pensininkë [783].

131

3. MATEMATIKOS MOKYMO V � XI KLASËSEPROBLEMØ NUÐVIETIMAS LIETUVOS

PEDAGOGINËJE PERIODIKOJE 1945�1990 M.

3.1. Matematikos mokytojø pamokinis darbas

Kadangi pamoka � pagrindinë mokymo forma mokykloje, tai matema-tikos mokytojø pamokinës veiklos klausimus nagrinëjanèiø straipsniø peda-goginëje periodikoje buvo gana daug: TM � 21, Tm � 5.

Paèiuose pirmuosiuose TM numeriuose straipsniø ciklà apie Vilniausmiesto mokyklø matematikos mokytojø darbà paskelbë RMTI Fizikos ir ma-tematikos kabineto vedëjas V. Klebanskis1  [453]. Pirmame ciklo straipsnyjejis aptarë Vilniaus VI vidurinës mokyklos mokytojos Kaðirskienës pamokinádarbà. Teigiamai ávertino aritmetikos ir algebros susiejimà sprendþiant lygtáy � (� 4) = 10, savarankiðkø darbø organizavimà pamokoje, reikalavimà at-likti savikontrolæ. I vidurinës mokyklos mokytojas R. Balaiðis2 , dëstydamasgeometrijà, pratino mokinius paþinti geometrines formas artimoje aplinko-je, vartojo daug paties sukonstruotø modeliø. XXIII septynmetës mokyklosmokytojas Silingas ypaè daug dëmesio skyrë matematinës terminijos ugdy-mui, pvz., pratimà 2 ½ · 3 + 4 praðë perskaityti taip: ,,Prie skaièiø 2 ½ ir 3sandaugos pridëti 4�. XIII vidurinës mokyklos mokytoja Þochovaitë, I vidu-rinës mokyklos mokytojas J. Terespolskis3  organizuodavo daug matematiniøekskursijø, jø medþiagà panaudodavo gamybinio turinio uþdaviniams kurti.Jø pamokose buvo ugdoma grafinë kultûra, plaèiai naudotas milimetrinispopierius.

Antrasis ciklo straipsnis buvo skirtas spræstiniems klausimams. Vilniausmiesto mokyklø mokiniø paþangumo ið aritmetikos 1954�55 m. m. duome-nys nebuvo itin geri: I�IV klasëse tas paþangumas siekë 94,1, o V�VI klasëse� vos 84,2 proc. Pasidomëjus pradiniø klasiø mokytojø darbu, rasta spræstinøproblemø. Silpniausia vieta � tekstiniø uþdaviniø sprendimas. Antai, pvz.,

132

LV pradinës mokyklos mokytoja Grigorjeva ,,visà analizæ suveda á tokius klau-simus: kiek klausimø turi ðis uþdavinys? koks pirmas? koks antras?� Aiðku,nepakankamas parengimas pradinëse klasëse, pervertinimas numuðë paþan-gumà vyresnëse klasëse. Keliose mokyklose atlikus kontrolinius darbus, gau-ti liûdnoki rezultatai. XIX vidurinëje mokykloje 10 penktokø ið 33, o XXIIseptynmetëje mokykloje � 15 ið 38 gavo dvejetus per aritmetikos kontrolinádarbà, o pastarosios mokyklos tik 2 VI klasës mokiniai ið 34 teigiamam paþy-miui paraðë vidutinio sunkumo aritmetikos kontroliná darbà. Tipinës klai-dos: veiksmø eilës, jø komponentø ir rezultatø priklausomybës neþinojimas,daugiaþenkliø skaièiø daugybos ir dalybos, trupmenø veiksmø, tekstiniø uþ-daviniø sprendimo nemokëjimas. Þinios ið algebros � tvirtesnës, taèiauVII�VIII klasiø mokiniai darë nemaþa tokiø klaidø:

, ,

a2 + b2 = (a + b)(a � b), a4 + b4 = (a2 + b2)(a + b) (a � b),

nepakankamai suvokë ðaknies sàvokà, prastai dalijo daugianará ið daugiana-rio, nemokëjo apytiksliai traukti ðaknies. IX�XI klasiø mokiniai prastai su-vokë skaièiø sekas, lygèiø tyrimà. ,,Stambus trûkumas dëstant algebrà yratam tikras teorijos ignoravimas. Daugelyje mokyklø algebros dëstymas suve-damas á uþdaviniø ir pratimø sprendimà, nekreipiant dëmesio á algebros te-oremø árodymà�, � raðë V. Klebanskis. O ,,tiriant geometrijos dëstymà, iðryð-këjo, kad þymi dalis mokiniø nepilnai suvokia deduktyvinio proceso esmæ,árodymo prasmæ ir bûdus <...>. Kai kurie mokiniai negali nustatyti duome-nø árodymui ir painioja sàlygà su iðvada. Mokiniai silpnai sprendþia geomet-rijos uþdavinius, nes mokytojai geometrijos pamokose neretai pasitenkinavien teorinës medþiagos nagrinëjimu <...>. Pagrindinë prieþastis <...> yrakai kuriø mokytojø menkas teorinis pasiruoðimas, neþinojimas prieðakiniømatematikos dëstymo metodø, nesugebëjimas kelti mokiniø susidomëjimàmatematika <...>, yra mokytojø, kurie per maþa ruoðiasi pamokoms, nesigi-lina á dëstomà dalykà�. Kai kurie mokytojai painioja ,,skaièiaus� ir ,,skait-mens� sàvokas, yra vyresniøjø klasiø mokytojø, ,,kurie patys neþino daugy-bos lentelës 20 ribose; kai kurie aritmetikos mokytojai maþai dëmesio krei-pia á uþdaviniø sprendimà, moko teorinæ medþiagà scholastiðkai�. Pateikë irpora pavardþiø tokiø mokytojø: XXIX septynmetës mokyklos mokytojas Kaða,XVI vidurinës mokyklos � Paðkevièiûtë. Nurodë 2 didelius netikslumus, pa-stebëtus vyresnëse klasëse:

133

1. Tapatybës tgA = sinA árodymà mokiniai atliko forma-liai, nenurodydami, kad ji galioja, kai A yra I ar IV ketvirèio kampas.

2. Árodinëdami teoremà = . . , daugelis mo-

kytojø nepabrëþë, kad ði teorema árodoma teigiamoms a1 , a2 , ..., ak

reikðmëms, o neigiamoms reikðmëms ji galioja tik tada, kai ðakniesrodiklis yra nelyginis skaièius.

Mokiniams nebuvo diegiami savikontrolës ágûdþiai. Daugelyje mokyk-lø nebuvo atliekami matavimai vietovëje. ,,Ðie trûkumai, � raðë V. Klebans-kis, � dar esanèio formalizmo matematikos dëstyme reiðkiniai. Matematikosmokytojø pareiga iðgyvendinti juos, glaudþiau sieti teorijà su praktika�. Pa-þymësime, kad jau buvo praëjæ 10 metø po karo, o tokie trûkumai fiksuotisostinëje...

Treèiame ciklo straipsnyje toliau analizuoti ávairûs mokytojø darbo trû-kumai, daugiau susieti su bendraisiais didaktikos klausimais. Daug mokytojønebuvo ásisavinæ namø darbø tikrinimo metodikos, formaliai atliko individu-aliàjà apklausà (dialogas tarp mokytojo ir vieno mokinio, pvz., taip dirbomokytojai Kotovas, Gurina). Vaikai buvo retai klausinëjami. ,,Aiðkindaminaujà medþiagà, kai kurie mokytojai neaktyvina mokiniø galvojimo, neduo-da tiksliø, aiðkiø uþraðø lentoje, nepanaudoja geros iliustracinës medþiagos,nesieja naujos medþiagos su sena�, � raðë V. Klebanskis. Vël Kotovo pavyz-dys: aiðkindamas naujà medþiagà, nesirëmë iðeitàja, pats padarydavo iðva-das, pats atsakydavo á savo klausimus. Mokytoja Gurina maþai laiko skirdavonaujos medþiagos aiðkinimui, iðvadas darydavo po skambuèio. Nebuvo siste-mingo kartojimo, nebuvo nustatoma optimali kontroliniø darbø apimtis, blo-gai tikrinamos ir analizuojamos jø klaidos, nesistemingai tikrinami namø dar-bø sàsiuviniai. Nesistengta paþinti mokinius, neindividualizuotas darbas sujais. Mokytojai nepadëdavo adaptuotis mokiniams V ir VIII klasëse (po pra-dinës ir septynmetës mokyklø), dël to I trimestre jø paþangumas labai kris-davo. Prasta buvo ir mokiniø matematinës kalbos kultûra, o ten, ,,kur moki-niai nepratinami taisyklingai, aiðkiai dëstyti savo mintis, visuomet ðlubuos irmokiniø loginis màstymas <...>. Tad nekelia nuostabos <...>, kad <...>mokiniai neþino matematinës terminologijos, blogai formuluoja matemati-nius apibrëþimus, teoremas�. Daug kalbos klaidø darë ir mokytojai: ,,miðriostrupmenos�, ,,pakelkime skaièiø kvadrate� ir pan. Kai kurios mokyklos (VIvidurinë) gerai organizavo matematikos mokytojø metodiná darbà, taèiau vi-same mieste ðis darbas ðlubavo. Prasta buvo ir matematikos mokytojø darbokontrolë (iðskyrus II vidurinæ mokyklà). Apibendrindamas V. Klebanskis ra-

134

ðë: ,,Bûtina <...> sudaryti matematikos dëstymo materialinæ bazæ, organi-zuoti mokyklose matematikos kabinetus, mokymo dirbtuves, aprûpinti mo-kyklines bibliotekas matematikos <...> literatûra.

Ypaè svarbu ruoðti praktikumus vaizdinëms priemonëms gaminti <...>,geometriniams brëþiniams atlikti. Matematikos mokytojai turi glaudþiau ben-dradarbiauti su braiþybos, fizikos ir astronomijos mokytojais <�>. Pamo-kose daþniau praktikuoti ávairius matavimus, atlikti laboratorinius darbus,organizuoti ekskursijas�. Ðá straipsniø ciklà taip plaèiai aptarëme dël jo atvi-rumo: buvo 1955 m. pradþia, Stalino ðeðëlis jau nebegrûmojo, todël V. Kle-banskis iðdráso paminëti neigiamai net 4 ,,kultûros neðëjø� ,,atsilikusiai� Lie-tuvai pavardes.

Prienø raj. Pakuonio vidurinës mokyklos mokytojas A. Urbonas dalijo-si patirtimi [686] apie miðrias pamokas: ,, miðrios pamokos tipas galëtø bûtitoks:

1) naujos medþiagos dëstymas;2) átvirtinimas;3) apklausa (ið naujos medþiagos);4) pamokos apibendrinimas ir namø darbø skyrimas�.Pasvalio vidurinës mokyklos mokytoja K. Naktinytë aptarë tarpmokyk-

linio metodinio ratelio darbo organizavimà, pateikë jos paèios vestø parodo-møjø pamokø (,,Këliniai�, ,,Trikampio plotas�) planus ir aptarimo rezultatus[561].

Jurbarko raj. Veliuonos vidurinës mokyklos mokytoja B. Antanaitienëdalijosi savo darbo patirtimi, kaip optimaliai panaudoti matematikos pamo-kos laikà [186]: organizuojant savarankiðkus darbus, matematinius diktan-tus, darbà su vadovëliu. Pastarasis jos darbe buvo naudojamas trejopai:1) savarankiðkas skaitymas pamokoje, jau iðsiaiðkinus naujà medþiagà, kaipátvirtinimo formà; 2) garsinis skaitymas papunkèiui, paaiðkinant atskiras vie-tas, aiðkinantis naujà medþiagà; 3) savarankiðkas neaiðkintos medþiagos mo-kymasis ið vadovëlio pamokoje.

Straipsniø cikle VVPI vyr. dëstytojas J. Teiðerskis ir TM koresponden-tas J. Norkevièius aptarë Panevëþio miesto ir rajono matematikos mokytojødarbà [675]. Pirmasis straipsnis skirtas itin sëkmingai dirbusiø mokytojø S.Bortkevièiaus (1905�1991), M. Linkevièienës, V. Saladþinskienës, A. Lakiû-no4  ir kt. kruopðèiam ruoðimuisi pamokoms, metodinei saviðvietai aptarti.Kitame straipsnyje analizuotas savarankiðkø darbø organizavimas pamoko-se. Treèiame straipsnyje aptartos mokytojø daromos klaidos: neigiamøjø laips-nio rodikliø apibrëþimø �árodymai�, klaidingai spræsta lygtis sin x + cos x =

135

= 0, neiðtaisytø klaidø palikimas mokiniø sàsiuviniuose. Ketvirtame straips-nyje analizuoti pastebëti apklausos organizavimo trûkumai: ,,Dar daugelismiesto bei rajono matematikos mokytojø nesugeba tinkamai organizuoti ap-klausà. Èia kartais krypstama á kraðtutinumus: vieni visiðkai neigia individu-alià apklausà, o kiti beatodairiðkai susiþavi frontaliniu þiniø tikrinimu ir áver-tinimu�. Akcentuotas mokomasis apklausos pobûdis, taip pat matematikosmokytojø darbo kontrolës klausimai, kurie kai kuriose mokyklose buvo pras-toki.

Prienø rajono Jiezno vidurinës mokyklos matematikos mokytojas P. Ku-èinskas dalijosi patirtimi apie matematikos mokytojø tarpmokyklinio meto-dinio ratelio darbà [495] � naujausios literatûros apþvalgas, pagalbà jaunie-siems kolegoms, savitarpio pamokø lankymà, dalyvavimà pedagoginiuose skai-tymuose, darbà su jaunøjø matematikø bûreliu, matematinës literatûros kau-pimà. Pateiktas atviros pamokos ,,Rodiklinë funkcija ir jos savybës� planas.

Panevëþio II vidurinës mokyklos mokytojas A. Lakiûnas apraðë [501]Panevëþio miesto matematikos mokytojø metodinio darbo organizavimà ana-lizuojant atskirø temø mokymà savo jëgomis, stebint ir aptariant pamokas,susipaþástant su atskirø mokytojø darbo sistema, matematikos kabinetais, or-ganizuojant lektoriø ið Vilniaus paskaitas.

RMTI darbuotojo V. Klebanskio ir VVPI doc. V. Valentinavièiaus5 

straipsnyje aptarti jø lankymosi Utenos rajono mokyklose áspûdþiai [485].Utenos rajone 1971 m. 62,8 proc. matematikos mokytojø turëjo aukðtàjá iðsi-lavinimà, 1 � viduriná. Maþai tarp mokiniø propaguota populiarioji matema-tikos literatûra, ne visos mokyklos nukreipë savo mokinius á JMNM. Mate-matikos pamokose maþai naudotos fizikos þinios. Netinkamai formuotos kaikurios matematinës sàvokos. Paklausinëjus mokinius, gauta tokiø atsakymø:,,Funkcija vadiname lygtá y = x, kai x � neþinomasis�; ,,Funkcija tai yra mate-matinis dydis, kuriame iðreiðkiamas neþinomasis dydis� ir pan. Net gabesnie-ji abiturientai nesugebëjo iðspræsti uþdavinio: ,,Raskite visas a reikðmes, ku-riomis ið nelygybës (x � a)(x � a3) < 0 seka nelygybë (x + 1)(x + 3) > 0�.Nepakankamai gerai buvo organizuojami savarankiðki darbai, jø tikrinimas,neracionaliai buvo skiriami ir tikrinami namø darbai.

TM korespondentas J. Norkevièius savo 2 daliø straipsnyje [574] aptarëmetodinës pedagoginës literatûros naudojimo mokytojø pamokiniame dar-be klausimus, mokyklø aprûpinimo ja sunkumus, matematikos mokytojø sa-viðvietà, jø asmeniniø bibliotekø komplektavimà: ,,Gana gausià ir turtingàmatematinës literatûros bibliotekà turi Plungës 1�sios vidurinës mokyklosmokytojas K. Surplys. Ðvëkðniðkiø pedagogø J. Rupðio, I. Èerniauskienës, J.

136

Vaitkaus, P. Èeliausko asmeniniø bibliotekø fondai skaièiuojami ðimtais�. Ta-èiau � tai tik pavieniai atvejai, todël jei ,,mes norime, kad mokiniø þiniosbûtø gilios ir tvirtos, kad jø akiratis bûtø platus, o þiniø bagaþas didelis dide-lis�, tai ,,tuo paèiu ir mokytojai turi nepalyginamai daugiau þinoti, nepasiten-kinti studijø laikais ágytø þiniø atsarga. Reikalinga draugystë su knyga�.

Kitame J. Norkevièiaus straipsnyje aptartas Telðiø raj. Ubiðkës viduri-nës mokyklos direktoriaus matematiko A. Aþubalio pamokinis darbas [572]su ketvirtokais ir vyresniøjø klasiø mokiniais, jo programuoto mokymo pa-naudojimo diferencijuotam matematikos mokymui realizuoti eksperimentasir raðoma disertacija (tuo metu A. Aþubalis buvo SSRS PMA Mokymo turi-nio ir metodø MTI aspirantas neakivaizdininkas, mokslinis vadovas � SSRSPMA narys korespondentas prof. I. Brovikovas). Trumpesnis ðio straipsniovariantas buvo iðspausdintas SSRS laikraðtyje ,,Uèitelskaja gazeta� (,,Moky-tojø laikraðtis�) [740].

RMTI metodininkas K. Pulmonas6  savo straipsnyje [633] aptarë Ðalèi-ninkø raj. Eiðiðkiø vidurinës mokyklos mokytojø A. Slanevskajos ir E. Malo-letkinos gerus pamokinio darbo rezultatus, apraðë pamokà ,,Laipsnis su ra-cionaliuoju rodikliu�.

RMTI Matematikos kabineto vedëjas V. Klebanskis savo straipsnyje[439] aptarë bendrus pamokø organizavimo klausimus: frontaliojo ir indivi-dualiojo darbo derinimo, darbo tempo pamokoje, savarankiðkø darbø orga-nizavimo, techniniø mokymo priemoniø panaudojimo, namø darbø apimties(pvz., V�VI klasëse bendra namø darbø apimtis � iki 2,5 h, taigi matematikaituri tekti 30�40 min). Skiriasi ir ,,oficialus� bei realus mokymosi paþangu-mas: vienoje mokykloje V kl. I trimestro paþangumas buvo 95,6 proc., IItrimestro � 90,9 proc., o kontrolinio darbo � tik 23,8 proc.

Tm redaktoriaus pavaduotojas R. Meðkauskas aptarë [555] PanevëþioV vidurinës mokyklos direktoriaus pavaduotojos D. Audickaitës patirtá ana-lizuojant matematikos mokytojø R. Palioko7 , M. Linkevièienës, D. Pavilio-nienës, D. Grigulevièienës darbà.

Kauno IV VPTM mokytoja A. Balbataitë savo straipsnyje [224] aptarë,kaip palaikyti ryðius tarp dalykø, organizuoti frontaliàjà apklausà, savaran-kiðkus ir laboratorinius darbus pamokose, ádiegti áskaitø atsiskaitant uþ at-skirø temø ásisavinimà sistemà.

Mokytojas novatorius ið Ukrainos Donecko miesto, Ukrainos PMTIvyr. mokslinis bendradarbis V. Ðatalovas savo straipsnyje [664] dalijosi nova-toriðkomis idëjomis. ,,Jeigu medikai staiga suþinotø apie epidemijà, apëmu-sià treèdalá vaikø, � raðë jis, � kiltø neásivaizduojamas sàmyðis. Bet apsiþval-

137

gykite � sàmyðio nëra, visi ramûs. Paskaièiavimai gi rodo, kad ne maþiau kaiptreèdalis vaikø kasdien gauna dvasines traumas dël to, kad nesutaria su mo-kymusi�. V. Ðatalovo pamokinio darbo sistemoje ,,mokinys turi galimybæ betkurià dienà ðvariai iðtaisyti bet kurá paþymá�. Tas ,,paþymys tampa mokytojoir mokinio doroviniø santykiø matu�. Svarbiausi V. Ðatalovo principai: ,,nu-stelbti baimës jausmà vaiko sieloje, iðpanèioti já, iðlaisvinti, ádiegti jam pasiti-këjimà savo jëgomis, áþvelgti jame pilnateisá, kûrybingà, rimtà þmogø <...>.Viskas, kas grindþiama asmenybës slopinimu ir nuogu administravimu, ne-gráþtamai iðeina ið mûsø mokyklos <...>. Mokyklinës pamokos � tai bran-gios jaunimo tykiø apmàstymø ir ramiø kûrybiniø ieðkojimø valandos. Mo-kykla � vaikø ákvëpto darbo ðaltinis, ji rengia jaunus pilieèius dideliam, sudë-tingam ir tokiam puikiam gyvenimui�.

RMTI metodininkas K. Pulmonas apraðë [622] Kupiðkio I vidurinësmokyklos mokytojo A. Dubrindþio darbo sistemà. Mokytojas A. Dubrindispats baigë tà mokyklà 1941 m., pedagoginá darbà apraðomuoju metu dirbo34 m., toje mokykloje � 18 m. Pamokø metu jis stengësi atskleisti matemati-kos vaidmená visuomenës kultûros istorijoje, nuolat pabrëþdamas matemati-kos ir kitø mokslo srièiø tarpusavio ryðá. Nagrinëdamas diferencialinio skai-èiavimo klausimus, pagal mokiniø turimas istorijos þinias mokytojas A. Dub-rindis parodë, kokià átakà matematikos mokymo turiniui turëjo gamybiniøjëgø iðvystymas XVII amþiuje, taip pat koks buvo gráþtamasis matematikosmokslo poveikis gamybiniø jëgø raidai. Jo pamokose ,,kartu su matematikosmokëjimais bei ágûdþiais, formuojami bendri intelektinës veiklos � analizës,sintezës, apibendrinimo, taip pat mokëjimo mokytis ágûdþiai�. Mokytojas nuo-lat tikrindavo namø uþduoèiø atlikimà, surinkdamas visos klasës ar pasirink-tø mokiniø sàsiuvinius. Kartais organizuodavo 7�12 min savarankiðkà darbàið namø uþduoèiø arba uþdaviniø, labai artimø spræstiesiems. Bûdavo ir taip,kad mokinys ir lentoje, apklausos metu spræsdavo kurá nors uþdaviná ið namødarbo. ,,Ruoðdamasis eilinei pamokai, � raðë K. Pulmonas, � pedagogas <...>apgalvoja jos turinio struktûrà, iðskiria svarbiausias teorinio kurso idëjas, apiejas grupuoja kitus faktus, kad jø gausumas neuþgoþtø skyrelio medþiagos es-mës. Sprendþiamos <....> uþduotys parenkamos taip, kad iðryðkintø pagrin-diná pamokos tikslà, padëtø ásisavinti naujas teorines þinias. Jeigu galima, tapati uþduotis iðsprendþiama keliais bûdais, aptariama, kuris sprendimo bû-das racionaliausias�. Daug dëmesio mokytojas skyrë ir darbui su vadovëliu,papildoma matematine literatûra. Buvo rajono matematikos mokytojø me-todinio ratelio pirmininkas.

RMTI metodininkë E. Masiulienë8  ir TM korespondentas J. Norkevi-

138

èius 2 d. straipsnyje [532] aptarë Ignalinos I vidurinës mokyklos mokytojø S.Railaitës, J. Gimþevskienës ir E. Pavilionienës, Kazitiðkio aðtuonmetës mo-kyklos mokytojø G. Palepðienës, O. Tijûnëlienës ir O. Ðileikio, Daugëliðkiovidurinës mokyklos mokytojø B. Karmonienës ir V. Saulënienës graþiai pra-vestas pamokas. Abiejø aplankytø viduriniø mokyklø nemaþai mokiniø mo-kësi JMNM. Mokytoja S. Railaitë nuosekliai skaitë Maskvoje leidþiamà, se-niai pasauliná pripaþinimà ágijusá þurnalà ,,Matematika v ðkole� (,,Matemati-ka mokykloje�), naujoves taikë savo darbe, dalijosi jomis su kolegomis. Me-todinio kabineto vedëja A. Kazakevièiûtë parengë metodiná laiðkà apie mo-kytojos B. Karmonienës patirtá ir já paskleidë visose rajono mokyklose. PerXI pedagoginius skaitymus ádomius praneðimus skaitë Gaidës aðtuonmetësmokyklos mokytoja T. Najanova, visaginietës G. Rumianceva ir N. Jermolo-viè. Taèiau ne visur padëtis gera: ,,Treèdalis Daugëliðkio penktokø uþ vienàspalio mënesio kontroliná darbà gavo nepatenkinamus paþymius <...>. Be-veik per kiekvienà matematikos pamokà maþdaug ðeðtadalis visø mokiniøyra ávertinami, bet daugiausiai raðomi trejetukai, ir vos devintadalis � ketver-tai, penketai�. Zuikø aðtuonmetëje mokykloje matematikà dëstë pradiniøklasiø specialistë: ,,Jos pamokoms labai trûksta tikslumo, logiðkumo. Jauèia-si, kad mokytoja neþino naujausios matematinës kalbos�. O ,,Meikðtø að-tuonmetës 59 proc. penktokø neþino veiksmø atlikimo tvarkos, 30 proc. ne-moka rasti skaièiaus dalies, 11 proc. nesugeba apskaièiuoti duoto reiðkinioreikðmës ir pan. Nemaþai matematikos dëstymo trûkumø parodë kontroli-niai darbai Maþënø, Ceikiniø aðtuonmetëse�. To prieþastys: ,,kai kuriø mo-kytojø pamokoms trûkstama reikiamo loginio iðbaigtumo. Ne visada moki-niams akcentuojama pamokos tema, nenusakomi jos tikslai. Neretai ir geraidirbantieji matematikai pamirðta klasëje nagrinëjamà klausimà susieti su pro-gramos skyriumi ar poteme, parodyti jo vietà ir reikðmæ visame kurse. Be-veik nematëme apibendrinimo, kuris susistemintø per pamokà ágytas þinias,nurodytø artimiausià perspektyvà ir nutiestø ,,tiltà� á bûsimà temà <...>.Pastebëjome ir mokiniø pasyvumà�. Baigiamas straipsnis optimistiðkai: ,,To-dël geras ir suprantamas mokyklø vadovø, ðvietimo skyriaus <...> darbuoto-jø raginimas kiekvienam mokytojui klasëje kurti pasakà � kokybiðkà pamo-kà�.

PMTI mokslinë bendradarbë M. Vosylienë savo straipsnyje [712] kon-statavo, kad matematikos mokymo turinys 1982 m. jau nusistovëjo, siûlë ieð-koti keliø mokiniø apkrovimui maþinti, diferencijuotam mokymui realizuoti,kvietë kruopðèiai rengtis kiekvienai pamokai, apgalvoti namø darbus, nesu-siþavëti vien probleminiu mokymu, vaizdiniø priemoniø naudojimo gausa,

139

protingai panaudoti lentos galimybes, daugiau dëmesio skirti vadovëliø nau-dojimo mokymo procese metodikai.

RMTI metodininkë E. Masiulienë ir TM korespondentas J. Norkevi-èius supaþindino su matematikos mokymo padëtimi 1983 m. Ðirvintø rajone[533]. Aptarë Liukoniø aðtuonmetës mokyklos mokytojos I. Pociûnaitës, Ðir-vintø vidurinës mokyklos mokytojø O. Unèiûrienës ir A. Kulieðiaus, Musnin-kø vidurinës mokyklos mokytojos V. Kvietkauskienës geras pamokas. Taèiaukai kuriø mokyklø mokytojai á pamokas atëjo nepasiruoðæ, nepastebëjo netlentoje daromø mokiniø klaidø, namø darbus skirdavo po skambuèio; taspats pasakytina apie kai kuriø mokytojø darytus pamokø apibendrinimus,mokiniø þiniø vertinimà. Prastoki mokiniø raðytø kontroliniø darbø rezulta-tai. Nepakankamai panaudotos tarpmokykliniø metodiniø rateliø galimybës.Kai kuriose mokyklose matematikà dëstë rusistai, pradiniø klasiø specialis-tai. Tik 68,9 proc. matematikos mokytojø rajone turëjo aukðtàjá iðsilavinimà,neakivaizdiniu bûdu studijavo tik 6,8 proc. (3 þmonës). Tik 78,8 proc. turëju-siø dalyvauti kursuose á juos nuvyko.

Panevëþio J. Balèikonio vidurinës mokyklos vyr. mokytoja Janina Bu-dzilaitë dalijosi patirtimi, kaip pasinaudojant matematikos istorijos elemen-tais mokinius sudominti matematika [321]. Rekomenduodavo vaikams skai-tyti knygas: V. Bermano ,,Skaièiavimas ir skaièius�, V. Liovðino ,,Trys dienosnykðtukijos ðalyje�. Kalbëdama apie koordinaèiø plokðtumà, këlimà laips-niu, prisimindavo R. Dekartà (Descartes, 1596�1650). Pradëdama mokytialgebros, papasakodavo apie 820 m. pasirodþiusá arabiðkà traktatà ,,Trumpaknyga apie skaièiavimus�, kurioje vartotas þodis ,,aldþebr�. Pradëdama geo-metrijà, pasakodavo apie Euklidà (Euklidçs, apie 365 � apie 300 prieð Kris-taus g.), jo veikalà ,,Pradmenis�, vien nuo 1482 m. ávairiomis kalbomis iðleis-tà daugiau kaip 500 kartø. Pasakodama apie lygiagreèiøjø tiesiø aksiomà,aptardavo J. Bojajaus (Bolyai, 1802�1860), N. Lobaèevskio (1792�1856), K.Gauso darbus, rekomenduodavo paskaityti B. Kagano knygà apie N. Loba-èevská (V., 1956). Árodinëdama Talio teoremà, pasakodavo apie Talá (Thâles,apie 624�548 pr. Kristaus g.) ið Mileto, nagrinëdama trikampius � apie Pita-gorà (Pythagoras, apie 570 � apie 500 pr. Kristaus g.). Stipresniems moki-niams rekomenduodavo pasiskaityti kai kurias vietas ið P. Katiliaus ,,Geo-metrijos pagrindø� (V., 1966), V. Bermano ,,Skaièiø ir jø mokslo� (V., 1972).Baigë straipsná mokytoja tokiais þodþiais: ,,Kaip nuostabu bûtø, jei knygynølentynose ir bibliotekose pasirodytø iliustruotø knygø ið matematikos istori-jos, kurias bûtø galima rekomenduoti perskaityti mokiniams. Ðiais klausi-mais reikëtø uþsiimti ir kvalifikacijos këlimo kursuose. Be to, ar ne laikas

140

ávesti matematikos istorijos kursà á aukðtøjø mokyklø matematikos specialy-biø programà. Dabar gi matematikos specialistas ateina á mokyklà, beveikneþinodamas savo dalyko istorijos�. Prireikë dar beveik 20 m., Nepriklauso-mybës atkûrimo, kad Jûsø, gerbiamoji mokytoja, svajonës imtø pildytis...

Vilniaus XL vidurinës mokyklos direktorius V. Vitkus9  savo straipsnyje[706] raðë: ,,Daugiau kaip prieð 13 metø, dirbdamas direktoriaus pavaduoto-ju, nutariau atlikti eksperimentà: árodyti, kad praktiðkai kiekvienoje klasëjeyra gabiø matematikai mokiniø, su kuriais sistemingai dirbant galima pasiek-ti gerø rezultatø; sukurti darbo su gabiaisiais matematikai mokiniais sistemà;skatinti ir kitus mokytojus ugdyti jaunuosius matematikus�. Tuomet V. Vit-kus dëstë matematikà dviejose penktose klasëse. Jau nuo pirmøjø pamokøtaikë diferencijuoto ir individualizuoto mokymo metodikà. Gabiesiems sky-rë papildomas uþduotis, organizuodamas ,,matematiná susiraðinëjimà�. Ke-liolikai mokiniø pasiûlë pradëti po storà sàsiuviná matematikos papildomomsuþduotims. Á juos áraðydavo 1�2 uþduotis, jø sprendimà patikrinæs � áraðyda-vo kitas. ,,Matematinis susiraðinëjimas pranaðesnis negu darbas bûreliuose,viktorinose ir kt. Atliekant uþduotis raðtu, ugdomas mokinio màstymas, iðau-ga ir matematinis raðtingumas, tekstiniai aiðkinimai sklandûs, lakoniðki � jukmokytojas taiso kiekvienà trûkumà ar netikslø posaká�, � raðë V. Vitkus. Uþ-duotis vaikai atlikdavo namie, jiems patogiu laiku, niekieno neskubinami gal-voti, neperðant kitø nuomonës. Eksperimento metu iðbandytø papildomø uþ-daviniø rinkiná iðleido RMTI [172, 173], o vëliau � ir ,,Ðviesa� [171]. Mate-matinis susiraðinëjimas buvo pradëtas su 12 V klasës mokiniø. Pradþioje jiedarë daug klaidø, nemokëdavo paaiðkinti savo veiksmø, diferencijavosi á la-bai stiprius, stiprius ir vidutinius. Taip dirbdamas mokytojas ,,turi bûti labaiatidus, padëti áveikiant sunkumus, neskubëti sunkinti uþduoèiø. Daþnos, nepagal jëgas skiriamos uþduotys neskatina mokinio domëtis matematika. Mo-kytojui labai svarbu jausti mokiniø pajëgumà. Nenusivilkime tais, kuriems iðpradþiø nesiseka, nes dar neaiðku, kuriems vëliau seksis geriau� [706]. Rei-kia prisilaikyti programos reikalavimø. Aiðku, sprendþiant nestandartiniusuþdavinius, neiðvengiama ir jos reikalavimø virðijimo. Svarbu anksti iðmokytianksti naudotis lygtimis. ,,Susiraðinëtojai� gerai pasirodydavo miesto olim-piadose. Taèiau jau VIII klasëje paaiðkëjo, kad susiraðinëjimas trukdo spar-tinti darbà sprendþiant uþdavinius, todël nuo IX klasës jis nebepraktikuotas,dirbta bûrelyje, stengiantis iðmokti spræsti uþdavinius greitai.

VVPI Matematikos mokymo metodikos katedros vedëjas S. Grigelio-nis10  ir Tm redaktoriaus pavaduotojas R. Meðkauskas lankësi Ukrainoje, Do-necko V vidurinëje mokykloje ir susipaþino su mokytojo novatoriaus V. Ðata-

141

lovo darbu [394]. Jie skaitytojà supaþindino su V. Ðatalovo naudotais atrami-niø signalø konspektais, uþdaviniø sprendimo mokymo organizavimu, bû-dais áþvelgti bei likviduoti þiniø spragas ir kt.

Ðvietimo ministerijos inspektorë O. Vokietaitytë aptarë [708] bûtinø mo-kymo rezultatø realizavimà Vilniaus XL ir Kaiðiadoriø raj. Þieþmariø viduri-nëse mokyklose. Rezultatai � nedþiuginantys. Prieþastys: bûtini rezultatai ne-paskelbti mokiniams ir jø tëvams, jai nesiremiama átvirtinant medþiagà, indi-vidualizuojant darbà.

RMTI Matematikos kabineto vedëja E. Masiulienë ir TM korespon-dentas J. Norkevièius supaþindino [534] su Raseiniø II vidurinës mokyklosdirektoriaus pavaduotojos matematikës Salomëjos Brazinskaitës pamokiniudarbu. Stebëtoje pamokoje X klasëje buvo nagrinëjamas funkcijø grafikøtransformavimas. Pamokos pradþioje duotas savarankiðkas darbas, patikrin-tas naudojantis grafoprojektoriumi, sumaniai tikrinimà suderinus su fronta-liàja apklausa. Kitose pamokose dalyse spræsta daug nestandartiniø uþduo-èiø. XI klasëje nagrinëtos daugiasienio kampo savybës. Nauja medþiaga pra-dëta dëstyti probleminës situacijos sudarymu pateikiant uþduotá: ,,Kokia galibûti daugiasienio kampo plokðèiøjø kampø suma? Kaip galima palyginti tar-pusavyje tris plokðèiuosius kampus?� Mokiniams pasiûlyta atsakymà surastivadovëlyje. Uþdaviniams spræsti organizuotas grupinis darbas, já aptariantpanaudotas tarpusavio sprendimø tikrinimas, grafoprojektorius. Mokytojaneskubëdavo taisyti klaidø, o tik siûlydavo ,,savotiðkà locijà � uþvedamuosiusklausimus, kurie vertë kiekvienà galvoti, lyginti, daryti logines iðvadas <...>.Pamokoje nagrinëjama medþiaga skirstoma á dalis, iðskiriama potemës es-më, svarbiausi akcentai. Iðdësèius kiekvienas klausimas apibendrinamas. Kartusudaromos ávairios lentelës, schemos�. Namø darbai � diferencijuoti. S. Bra-zinskaitës mokiniai gerai laikydavo stojamuosius matematikos egzaminus áaukðtàsias mokyklas. 1987 m. tik 1 mokinys per baigiamuosius egzaminusgavo ,,3�, 81 proc. � ,,5�, kiti � ,,4�.

RMTI docento A. Aþubalio straipsnyje [220] apraðytos Kauno raj. Bab-tø vidurinëje mokykloje stebëtos vyr. mokytojo Algirdo Antanaièio, mokyto-jø Danutës Dulskienës ir Nijolës Ðvelginienës pamokos. Ypaè teigiamai áver-tinta A. Antanaièio pamoka: ,,Mokytojo maniera � taupyti þodþius ir veiks-mus persiduoda mokiniams. Kaip ir V. Ðatalovo pamokose, èia lentoje niekoneuþraðinëjama, remiamasi vaizdumu, brëþiniu. Matematikas neskuba klaustipirmojo, pakëlusio rankà, skatina galvoti ir kitus. Pamokoje ryðkiai pasireið-kia ir mokytojø novatoriø taikomas aplenkimo principas: sprendþiami uþda-viniai, kuriuose minimi briaunainiai, o juos mokiniai nagrinës þymiai vëliau.

142

Mokytojas A. Antanaitis emocingai panaudojo matematikos istorijoselementus. Tam mokytojas kiekvienos pamokos pabaigoje skiria keletà mi-nuèiø. Be to, pamokoje naudojo savarankiðkà darbà su knyga. Namø darbuiskirta bendra visai klasei uþduotis. Ne visi sugebës iðspræsti mokytojo duotàuþdaviná abiem bûdais. Tikriausiai bus ir tokiø, kurie ir visiðkai neáveiks. To-dël kità pamokà, aptariant namø uþduotis, bus ádomu�. Ádomiø pastangøpastebëta ir kitø mokytojø pamokose. Straipsnis uþbaigtas taip: ,,Trys pamo-kos be ,,blizguèiø�, <...> ,,juodadarbës�, kuriose buvo formuojami mokëji-mai ir ágûdþiai. Kiekvienoje jø suformuluotas vis kitoks tikslas mokiniamssudominti <...>. Kas numatyta � ávykdyta, nes mokiniai kiekvienoje pamo-koje aktyvûs, daug dirbo savarankiðkai. Visose pamokose stebëti saviti mo-kymo individualizavimo bei diferencijavimo elementai, priemonës mokiniamssudominti, susieti dëstomà medþiagà su gyvenimu. Gera tokias pamokas ste-bëti, pajusti, kad moksleiviai paþengë dar vienà þingsná á prieká sunkiamepaþinimo kelyje�. Bûtina pastebëti, kad Babtuose tada vyko vienas ið anks-èiau minëtø J. Norkevièiaus organizuotø seminarø.

RMTI Matematikos kabineto vedëja E. Masiulienë ir TM korespon-dentas J. Norkevièius pristatë [537] Elenà Majauskaitæ, mokytojà metodi-ninkæ, dirbusià tuo metu Këdainiø J. Paukðtelio vidurinëje mokykloje (jojedirbo nuo 1966 m.), prieð tai 2 metus buvo Dotnuvos vidurinës mokyklosdirektore, 10 metø dirbo direktoriaus pavaduotoja. Kvieèiama skaityti pa-skaitø á Vilniø, Ðiaulius, Panevëþá, Utenà ir kitur. Straipsnyje yra jos pasako-jimo fragmentø: ,,Daþnai po paskaitø, susitikimø manæs teiraujasi, kas pa-skatino sukurti ávairias matematinio loto korteles, kitus þaidimus <..>, atsa-kau vienodai: vaikystës prisiminimai <...>. Kai augau, dar populiarûs buvovakarojimai, á kuriuos ateidavo ir kaimynai, rateliu, mezginiu ar obliumi ne-ðini <...> . Darbà lydëdavo máslës, galvosûkiai, dainos, praktiðki uþdaviniai<...>, ásitraukdavome ir mes, vaikai. Bemankðtindami galvas nepajusdavo-me, kaip tirpdavo ilgi þiemos vakarai <...>. Kartu jautëme, kaip miklëja pro-tas, mintis darosi aðtresnë, tampame nuovokesni. Ðis vaikystës atradimas irpaskatino pamokose sukurti ieðkojimø situacijas�. Pamokose mokytoja mo-kamai analizuodavo namø darbus, savarankiðkus darbus diferencijuodavo,skirdavo ilgalaikes kûrybines namø darbø uþduotis: ,,pamokoje iðaiðkinus dvie-jø skaièiø sumos kvadratà, parodo ðios formulës geometrinæ iliustracijà. Poto mokytoja siûlo mokiniams per savaitæ sukurti geometrinæ iliustracijà dvie-jø skaièiø skirtumo kvadratui ir dviejø skaièiø kvadratø skirtumui�. Vartoda-vo didaktinæ medþiagà: uþduoèiø papildymà, kryþmiðko parinkimo testus,naudojo mokyklines paskaitas, mokiniai raðë referatus. Per pastaruosius 5

143

m. (1989 m. duomenys) baigiamojo egzamino paþymiø vidurkis tilpo interva-le [4,2; 4,8]. Pastebësime, kad apraðomuoju laikotarpiu paþymiø sistema bu-vo 5 balø.

Taigi straipsniø apie mokytojø pamokiná darbà buvo daug. Pradëjus nuoteigiamos patirties pristatymo tø mokytojø, kurie atëjo dar ið prieðkario ne-priklausomos Lietuvos, atsineðdami þinias ið VDU (R. Balaiðis, J. Terespols-kis, S. Bortkevièius, A. Lakiûnas ir kt.), ateita iki vëlesnës kartos gerø peda-gogø. Pagaliau ir pradëjo patirtá vertinti irgi VDU diplomantas V. Klebans-kis, o po to já keitë jau vëlesnës kartos vertintojai. Taèiau jø visø veikla persi-pynë, susiliejo, perimant vieniems kitø patyrimà. Perimta kai kas ir ið SSRS.Straipsniuose prasiverþë ir blogybës: prastos mokiniø þinios kai kuriose mo-kyklose, ypaè kaime. Aiðku, autoriai negalëjo ávertinti tikrøjø prieþasèiø: kai-mo degradavimas, procentomanija, iðsilavinimo devalvavimas, todël pasta-bas, kaltinanèias tik mokytojà, reikia vertinti atsargiau.

3.2. Matematikos mokymo metodai. Mokiniøsavarankiðkumo ugdymas

Ðia aktualia mokytojui tema buvo paraðyta daug straipsniø: TM � 20,Tm � 8.

Pirmasis, kaip ir daugeliu kitø klausimø, spaudoje apie tai prabilo V.Klebanskis [465]. Jis akcentavo 3 savarankiðkø darbø rûðis: namø, kontroli-nius ir 10�15 min trukmës klasës savarankiðkus darbus, pabrëþë pastarøjøreikðmæ ágûdþiø formavimui. Namø darbams, ðalia panaðiø á klasëje spræs-tuosius uþdaviniø, skirti ir naujø, tik klasëje trumpai paaiðkinant. Siûlë irreferatus, jø temos: ,,Kvadratiniø lygèiø sprendimas liniuotës ir skriestuvopagalba. Medaus koriai. Pitagoro skaièiai ir jø pritaikymas. Rhindo papiru-sas. Neapibrëþtiniø koeficientø metodas ir jo pritaikymas� ir t. t. Siûlë ávai-rias savarankiðkø darbø atlikimo tikrinimo formas: rasti klaidas paèiam (mo-kytojas ávertina tik ,,teisingai� ar ,,neteisingai�), perþiûrëti analogiðkà drau-go darbà, jei pats neranda klaidos, jei ir tai nesiseka � duoti rasti klaidas tam,kuris teisingai iðsprendë. Siûlë neskubëti nurodyti klaidà, kol neiðnaudotosvisos galimybës. Akcentavo kûrybinio pobûdþio darbus, pvz., jei klasëje buvoiðvesta formulë (a + b)2, tai savarankiðkai duoti iðvesti (a � b)2. Rekomenda-vo kartais duoti naujà medþiagà klasëje mokytis savarankiðkai, árodyti teore-mas kitais bûdais, baigti teoremas árodyti savarankiðkai, árodyti atvirkðtines

144

teoremas, savarankiðkai sugalvoti ir iðspræsti uþdavinius. Akcentavo euristi-nio metodo taikymà, praktikos darbus (pvz., tûriø matavimà skysèio iðstûmi-mu), geodezinius darbus vietovëje, lenteliø sudarinëjimà. Vyresnëse klasësesiûlë formuoti konspektavimo ágûdþius, rekomendavo tam vesti pamokas �paskaitas.

Vilniaus I vidurinës mokyklos mokytojas R. Balaiðis dalijosi patirtimi,sukaupta kartojant matematikos kursà XI kl. [227]: ,,Racionaliai parinkti uþ-daviniai ryðkiai parodo vieno klausimo ryðá su kitu ir padeda iðvengti forma-lizmo <...>: ,,Iðskaièiuoti stataus trikampio kampus ir plotà, jei á já ábrëþtoapskritimo lietimosi su áþambine taðkas dalija áþambinæ á a ir b dalis�.Sprendþiant ðá uþdaviná, pakartojama daugelis planimetrijos klausimø, spren-dimo eigoje gaunama trigonometrinë lygtis; mokiniai tuo paèiu pamato, iðkur tokios lygtys atsiranda, pastebi jø reikðmæ ir prasmingumà�.

Panevëþio II vidurinës mokyklos mokytojas A. Lakiûnas akcentavo mo-kiniø sudominimo klausimus [499]: ,,Nevaizdus, vadovëliðkas matematikosdëstymas yra viena ið pagrindiniø prieþasèiø, dël ko kai kuriems mokiniamsðis mokslas pasidaro ,,sausas�, ,,nuobodus�, ,,nereikalingas� ir sunkiau ásisa-vinamas�. Pats autorius siejo mokymà su matematikos istorijos faktais, þy-miøjø þmoniø kalbomis. Iðaiðkinæs kampo dalijimo á 2 lygias dalis algoritmà,paaiðkindavo ir apie kampo trisekcijos problemà; kalbëdamas apie lygiagre-èiàsias tieses, prisimindavo Euklido V postulatà ir neeuklidinæ geometrijà;kalbëdamas apie apskritimo ilgá � primindavo L. Oilerá (Euler, 1707�1783),skaièiaus π ávedimà, Archimedo (Archimçdçs, apie 287�212 pr. Kristaus g.),K. Ptolemëjo (Ptolemaios, apie 90�168), K. Heigenso (Huygens, 1629�1695),V. Ðenkso (Shanks, 1812�1880) ir kt. darbus ðioje srityje. Mokiniø auklëjimuilabai tikdavo L. Tolstojaus (1828�1910) posakis: ,,Þmogus panaðus á trupme-nà, kurios skaitiklis � tai, kas jis ið tikrøjø yra, o vardiklis � tai, kuo jis savevaizduojasi. Juo didesnis vardiklis, juo maþesnë trupmena. Jei vardiklis begalo didelis � trupmena lygi nuliui�. Aiðku, ðis posakis praversdavo ir karto-jant trupmenas. Kartojimui talkino ir mokiniø gaminamos vaizdinës priemo-nës, ir koridoriuje árengti stendai: ,,Áþymiøjø matematikø gyvenimo chrono-logija�, ,,Paþinkime matematikos praeitá� ir kt.

Kitame A. Lakiûno straipsnyje aptarti medþiagos kartojimo klausimai[503]: jo planavimas, namø darbai, apklausa. Dalá medþiagos mokiniai turi irgali pasikartoti savarankiðkai, dalá reikia papildomai paaiðkinti, apibendrin-ti. Kartojime � plaèiai naudoti vaizdumà.

Buv. Linkuvos raj. Þeimelio vidurinës mokyklos mokytojas M. Gudy-nas11  aptarë matematikos namø darbø organizavimà [398]: ,,Vienas svarbiau-

145

siø dalykø skiriant namø darbus yra tinkamø uþdaviniø parinkimas.Namams skiriami uþdaviniai turi bûti nei per sunkûs, nei per lengvi,

atliekami be ypatingo protinio átempimo. Taèiau jø sprendimas neturi virstivien techniniu darbu�. Kartais skirdavo ir ilgalaikes uþduotis: ,,Sudaryti pro-jektà � planà prieð mokyklos fasadà esanèiam skverui apþeldinti ávairiø for-mø gëlynais pagal gëliø þiedø bei lapø spalvas ir apskaièiuoti gëlynais apsëtàplotà�. Projektas buvo skirtas devintokams, á já áëjo visø jiems þinomø geo-metriniø figûrø panaudojimas. Aptarë ir konsultacijø organizavimà, namødarbø naudà: ,,Namø darbø atlikimas reikalauja ið mokinio atkaklumo, kri-tiðkos paþiûros á savo darbà, o tai pleèia ne vien mokiniø þiniø akiratá, betugdo ir charakterá�. Aptarë ir grupiniø namø darbø skyrimà, tokiø darbøatlikimo tikrinimà.

Dar viename A. Lakiûno straipsnyje [497] aptartas konsultacijø organi-zavimas, namø darbø skyrimas, jø atlikimo kontrolë: ,,mokiniui neiðmokusdël nepateisinamø prieþasèiø pamokos að nepasitenkinu, vien paraðydamasjam blogà paþymá. Ieðkau argumentø, kurie átikintø mokiná, kad vis vien rei-kës iðmokti tai, ko ðiandien neiðmoko. Todël þurnalo pastabø skiltyje visadapasiþymiu, ko mokinys nemokëjo ir kada. Sekanèiose pamokose pasistengiutoká mokiná paklausti ir to, ko jis anksèiau nebuvo iðmokæs�.

Vilnieèio R. Balaiðio straipsnyje [228] aptariami funkcijø ir jø grafikø,lygèiø ir nelygybiø ekvivalentumo kartojimo klausimai. Pateikta ir keletasuþdaviniø, pvz., ,,Vienoje tiesaus plento CD pusëje yra miestai A ir B, tarpkuriø trumpiausias atstumas yra ,,d�. Miestø atstumai nuo plento yra ,,a� ir,,b�. Tarp tø miestø reikia iðvesti telegrafo linijà tokiu bûdu, kad ji jungtø neið karto A ir B, bet pirmiau eitø per kurià nors plento vietà. Kurioje vietoje jituri pasiekti plentà, kad linijos ilgis bûtø trumpiausias?�, yra ir jø sprendi-mai.

Panevëþieèio A. Lakiûno straipsnyje [499] akcentuotas stengimasis ið-mokyti mokinius pamokoje, aptartas mokiniø iniciatyvos, savarankiðkumo,iðradingumo ugdymas, mintinio skaièiavimo, vaizdumo naudojimas tam (irvyresnëse klasëse), brëþiniø atlikimo technikos, matematiniø sàvokø forma-vimo tobulinimas. Labai ðiuolaikiðkai skamba tokios A. Lakiûno mintys: ,,Ma-tematikos mokytojas neturi eiti maþiausiu pasiprieðinimo keliu, privalo rû-pintis ne tik savo darbo metodø tobulinimu, bet ir mokiniø psichologijos ir jøinteresø geresniu paþinimu. Tada atsiras geresnis kontaktas tarp mokytojo irmokiniø. Aiðku, kad tuomet mokinio pamokinis darbas bus naðesnis, o uþ-klasinio darbo krûvis þymiai sumaþës�. Dar vienas A. Lakiûno straipsnis [502]skirtas namø darbø individualizavimo, mintinio skaièiavimo organizavimo,

146

frontaliosios apklausos, euristinio pokalbio naujos medþiagos dëstyme, kar-tojimo organizavimo klausimams aptarti.

Apie esminiø klausimø pakartojimo reikalingumà mokslo metø pra-dþioje, ypaè V ir IX klasëse, raðë V. Klebanskis [482]. Jis rekomendavo nau-dotis rusiðkomis metodinëmis knygomis: V. Molodðijaus, G. Kabanovos, K.Malygino, F. Pristulos, E. Danilovos, A. Barsukovo, A. Semenovièiaus, G.Vorobjovo, K. Boguðevskio, S. Voskresenskio, A. Kolosovo.

PMTI mokslinis bendradarbis A. Lepeðkevièius12  savo straipsnyje [514]aptarë savarankiðkø darbø organizavimo teorinius aspektus: ,,savarankiðkasmokiniø darbas suprantamas ávairiai, o kartais ir neteisingai <...>. Ðiuo klau-simu vyrauja dvi <...> nuomonës. Viena jø tvirtina, kad savarankiðkais mo-kiniø darbais reikia laikyti uþdaviniø ir pratimø sprendimà bei naujos me-dþiagos ið vadovëlio mokymàsi pamokoje be mokytojo pagalbos, taip pat kon-troliniø ir namø darbø atlikimà <...>. Antrosios nuomonës ðalininkai <...>didþiausià dëmesá skiria namø darbams�. A. Lepeðkevièius teigë, kad ,,Pilna-verèiu savarankiðku mokiniø darbu reikia laikyti kiekvienà mokinio darbà,susijusá su savarankiðko màstymo ugdymu ir reikalaujantá protinio átempimobei valios ir kûrybos pasireiðkimo <...>. Savarankiðko màstymo ágûdþiø átvir-tinimas galimas tik per sistemingai organizuojamà savarankiðkà darbà�. For-mulavo reikalavimus savarankiðkiems darbams, jø parengimui, mokiniø in-struktavimui, jø aktyvumo ir savarankiðkumo uþtikrinimui, patikrinimui. Ap-tarë uþdaviniø sprendimo klausimus ir padarë iðvadà: ,,Uþdaviniø sprendi-mo savarankiðkumà geriausiai iðugdome per kolektyviná ir pusiau savaran-kiðkà jø sprendimà�. Kitame straipsnyje [509] A. Lepeðkevièius iðskyrë 4 kar-tojimo formas: ,,1) sisteminis kartojimas, 2) reikiamybës kartojimas, 3) ap-þvalginis kartojimas ir 4) kursinis arba uþbaigiamasis kartojimas�, aptarë kiek-vienà ið jø.

Mokytojas pensininkas V. Plauðinaitis13  patarë [600]: ,,Norint sumaþin-ti nepaþangiø mokiniø skaièiø ið matematikos, reikia negalvojanèius moki-nius padaryti galvojanèiais ir duoti jiems tvirtus matematikos pagrindus, nesbe to neámanomas sëkmingas ðio dalyko mokymasis�. O tai padaryti bus áma-noma, jei laiku, ir ypaè mokslo metø pradþioje, bus organizuojamas kartoji-mas, jei mokytojas laikysis mokymo sàmoningumo, individualizavimo, sava-rankiðkumo principø realizavimo mokymo procese, jei jam rûpës mokiniømokymo klausimai, sudominimas matematika.

Apie 1962 m. Lietuvoje buvo itin propaguotas Lipecko srities pedago-gø patyrimas. Dviejuose verstiniuose straipsniuose lipeckietës matematikësdalijosi savo patirtimi. V. Provorotova (Lipecko sr. Zadonsko II vidurinës

147

mokyklos mokytoja) aptarë [611], kaip racionaliai naudoti klasës lentà, ardaþnai tikrinti sàsiuvinius, kaip skelbti pamokos mokomàjá tikslà mokiniams,taupyti laikà pamokoje: ,,Kaip susiliejus daugeliui upeliø, susidaro didelëupë, taip 4�5 minutës, racionaliai sutaupytos per pamokà, sudarys per metus18�20 pamokø. Tai leis su mokiniais iðspræsti papildomai apie 70 uþdaviniø�[611, p. 16]. Mokytoja ið Lipecko sr. Oktiabrsko vidurinës mokyklos A. Pere-verzeva aptarë [589] pamokos metodikà, mokymo metodus (pokalbá, komen-tavimà), uþdaviniø sudarymà remiantis laikraðèiais, mokiniø vertinimà uþ dar-bà pamokoje. Toliau ðià patirtá perteikë ir V. Blagnys, akcentavæs [304] lipec-kieèiø vartotà arsenalà: matematiniai diktantai, dalijamoji didaktinë medþiaga,darbas su vadovëliu pamokoje (frontalusis ir savarankiðkas), komentavimasatliekant pratimus, uþdaviniø sprendimo patikrinimas ávairiais bûdais.

Tuo paèiu metu pasirodë dar vienas A. Lakiûno straipsnis [498], kuria-me jis aptarë namø darbø tikrinimo metodikà, savarankiðkø darbø organiza-vimà panaudojant dalijamàjà medþiagà, suvestinio paþymio naudojimà.

Ðiauliø VIII vidurinës mokyklos mokytoja J. Vyðniauskienë dalijosi pa-tirtimi [705], sukaupta organizuojant apklausà, matematinius diktantus, jøtikrinimo metodikà, specialaus klaidø apskaitos sàsiuvinio vedimà, teoremøárodymà, prieð tai atlikus tiriamojo pobûdþio uþduotis.

Kapsuko (Marijampolës) mokyklos-internato mokytojas S. Maèionis14 

raðë [528]: ,,Prieð keletà metø pradëjau reikalauti, kad ið kiekvieno raðomojogautà dvejetà mokinys iðtaisytø. Kadangi tokie darbai <...> raðomi, iðëjuskokià nors temà, jie tapo savotiðkomis áskaitomis. Tai davë pastebimus rezul-tatus <...>. Dëstydamas naujà medþiagà, daþnai atsisakau euristinio meto-do, kuris atima daug laiko, skaldo mokiniø dëmesá <...>, ásitikinau, kad pla-tesnei medþiagai iðdëstyti efektyvesnë yra mokyklinë paskaita, kuri gali bûtipaávairinama savarankiðku mokiniø darbu <...>. Ypatingà vietà <...> ma-no pamokose uþima savarankiðkas darbas, kuris tapo ne tik átvirtinimo meto-du, bet ir naujos medþiagos dëstymu. Tai mokymas dirbti su knyga bei naujàmedþiagà ásisavinti grynai savarankiðkai. Koks mokiniø pasitenkinimas, kaijie savo jëgomis iðveda formules, árodo dar neþinomas teoremas. Man belie-ka tik vadovauti�.

Kartojimo trûkumus, stebëtus Lietuvos mokyklose, aptarë V. Klebans-kis [446]: ,,1. Kartojimas vyksta nesistemingai, epizodiðkai. Neskiriamas rei-kiamas dëmesys visoms kartojimo rûðims: mokslo metø pradþioje, ryðium sunaujos medþiagos nagrinëjimu, teminiam bei baigiamajam kartojimui; 2.Sunaudojama per daug laiko nagrinëjant naujà medþiagà, ir dël to nukenèiabaigiamasis kartojimas mokslo metø pabaigoje; 3. Antra vertus, yra matema-

148

tikos mokytojø, kurie kartoja ið esmës tik mokslo metø baigiamojoje stadijo-je. Toks kartojimas virsta dresiravimu, o ne gilesniu medþiagos áprasminimu;4. Kartojama viskas ið eilës, neiðrenkami esminiai, kertiniai programinës me-dþiagos klausimai, nesudaroma apgalvotos kartojimo klausimø ir pratimøsistemos; 5. Nepakankamas, o daþnai ir neteisingas vaizdiniø, techniniø prie-moniø panaudojimas�. Pateikë daug pavyzdþiø, kuriuos galëtø panaudoti,,mokytojai, apibendrindami ir kartodami algebriniø reiðkiniø skaitinës reikð-mës radimà:

1. Jei m ir n pirminiai skaièiai, tai ir mn + 1 yra pirminis skaièius. Ásiti-kinti, imant atskiras m ir n reikðmes.

2. Daug matematikø bandë sudaryti bendrà pirminiø skaièiø formulæ:a) prancûzø matematikas Leþandras (1752�1833) árodë, kad skaièiai

pavidalo 2n2 + 29, kai n = 0; 1; 2; 3; ...; 28 yra pirminiai;b) L. Oileris <...> nustatë, jog skaièiai pavidalo n2 + n + 41, kai n = 0;

1; 2; 3; ...; 39 yra pirminiai. Patikrinkite�.Keturkampiø kartojimà V. Klebanskis siûlë pradëti pokalbiu, kurio klau-

simai gali bûti tokie: ,,1. Kà vadiname keturkampiu? 2. Koks keturkampisvadinamas iðkiliuoju ir koks neiðkiliuoju? 3. Iðvardinkite jums þinomus iðki-liuosius keturkampius. 4. Kà vadiname trapecija? 5. Kokios yra trapecijosrûðys? 6. Kà vadiname lygiagretainiu? 7. Iðvardinkite atskirus lygiagretainiøatvejus. 8. Kà vadiname staèiakampiu? 9. <...> kvadratu? 10. <...> rom-bu?� Po pokalbio rekomendavo apibendrinti mokiniø þinias, sudarant loginæstaèiakampiø klasifikacijos schemà.

Këdainiø raj. Dotnuvos vidurinës mokyklos direktoriaus pavaduotojaG. Malanskaitë15  savo straipsnyje [531] daug dëmesio skyrë mokiniø sava-rankiðkam darbui su vadovëliu: ,,Mokiniai nesinaudoja matematikos vado-vëliu ne dël to, kad tingëtø já skaityti, bet kad ne viskà jame supranta. Todëlbûtini savarankiðki darbai su vadovëliu naujos medþiagos perteikimo metu.Ði darbo forma labai paprasta. Pirmiausia reikia ápratinti mokiná surasti teks-te reikiamà mintá, apibrëþimà ir pan. ,,Vëliau � tokios uþduotys: ,,a) perskai-tyti teoremà ir uþraðyti, kas duota, kà árodyti; b) perskaityti teoremos árody-mà ir uþraðyti árodymo planà; c) surasti vadovëlyje iðdëstytos temos iðvadas;d) ið vadovëlyje duotø brëþiniø pavyzdþiø atkurti teoremà, suformuluoti tei-giná, atrasti brëþiná papildanèias linijas�.

Tiriamojo pobûdþio savarankiðkø darbø organizavimà nagrinëjo V. Kle-banskis [481], pabrëþdamas, kad: ,,JUNESKO suorganizuotame tarptauti-niame kolokviume matematikos mokymo sumoderninimo klausimais, kurisávyko Bukareðte, pabrëþta, kad: a) pagrindinis matematikos mokymo tikslas

149

turi bûti protiniø gabumø vystymas; b) mokinio veiklai suteiktinas tiriamojodarbo pobûdis; c) pagrindiniai mokinio matematinio paruoðimo bruoþai yra:mokëjimas abstrahuoti, matematizuoti duotàjà situacijà, nustatyti matemati-nes priklausomybes, formuluoti matematines idëjas þodþiu ir raðtu, iðspræstimatematinius uþdavinius, panaudoti matematines þinias nematematinëse sri-tyse�. Pirmojoje straipsnio dalyje ,,Savarankiðki darbai� akcentuojami tiria-mojo pobûdþio pratimai: ,,Ar visuomet skaièius 2m yra didesnis uþ m? <...>a + 3 <...> uþ a? <...> ab <...> uþ a? <...> kada a + b = a � b?� ir pan.Vyresnëse klasëse � raðyti referatus, praneðimus. Antroji straipsnio dalis �,,Tiriamojo pobûdþio darbai�. Èia siûlomi tokie, pvz., uþdaviniai: ,,Staèia-kampio gretasienio ástriþainë palinkusi á pagrindà kampu α, o á ðoninæ sienàkampu β. Árodykite, kad α + β < 90o�, bei uþduotys: vedant trumpos daugy-bës formules, rekomenduoti iðvesti ir formules (a + b)4, (a + b)5, (a + b)6 irrasti dësningumà. III straipsnio dalyje � ,,Euristiniø bûdø panaudojimas� ap-tarë analogijos ir indukcijos panaudojimà mokymo procese (analogija � ryðy-je tarp planimetrijos ir stereometrijos, indukcija � aukðèiau minëtame trum-pos daugybos formuliø apibendrinime ir t. t.). IV straipsnio dalis � ,,Ar nega-lima iðspræsti uþdaviná kitaip?� Èia pateikti ðeði uþdavinio ,,Apie lygiaðonátrikampá, kurio kraðtinës lygios 5,5 ir 6, apibrëþtas apskritimas. Raskite ap-skritimo spindulá� sprendimo bûdai, rekomendavo juos rasti su mokiniais. Vdalyje ,,Individualus darbas� siûlë darbà diferencijuoti, panaudojant R. Raz-mo knygas [138�140].

Specialiai Tm atsiøstame Kalmukijos PI doc. P. Erdnijevo straipsnyje[371] analizuojami moksliniai mokymo metodai. Analizës ir sintezës pritai-kymø mokoma sugalvojant panaðius á spræstuosius uþdavinius. Mokyme pa-brëþiamas suprieðinimas (sudëtis � atimtis, daugyba � dalyba mokytinos ly-giagreèiai). Tai leidþia mokiniams pasinaudoti pralenkianèiojo tikrovës at-spindþio teorija: ,,Sakykim, mokytojas lygiagreèiai moko daugybos ir dalyboslenteliø ir iðsprendë su vaikais vienà grupæ pratimø (2 · 5 = 10, 5 · 2 = 10,10:2 = 5, 10:5 = 2). Duodamas dabar spræsti kito ciklo pratimas (12:2 = 6).Pasirodo, jog pakanka ðio þingsnio, kad mokinys, pralenkdamas mokytojoaiðkinimà, pats surastø visø iðvestiniø pratimø atsakymus� [371, p. 37]. Kartu� labai taupomas laikas: ,,Atskirai nagrinëjant <...> klausimus: tiesinë lyg-tis, tiesinë nelygybë, tiesinës funkcijos tyrimas, labai sulëtëja ásisavinimo pro-cesas <...>, iðsprendus tiesinæ lygtá 2x = 6, nesunku tuoj pat iðspræsti tiesinænelygybæ 2x > 6, lengva tuoj pat paaiðkinti tiesinës funkcijos grafiko sudary-mà y = 2x � 6� [371, p. 38]. Pabrëþtas ,,deformuotø� pratimø vaidmuo:

· 7�8 = 13, 3 · �3 = 21 ir pan. ,,Deformuotas pratimas, � raðë P. Erdnije-

150

vas, � (savo formos atþvilgiu) turi tiek pat þenklø, kaip ir paprastas, taèiau jisnori nenori verèia operuoti màstymu kitaip: jo sprendimas reikalauja ,,uþ-baigti� ryðius, patikrinti, sugretinti atsakymus su pratimo sàlyga� [371, p. 38�39]. Pabaigoje aptartas informacijos pakopinio apdirbimo ir didaktikos sàry-ðis: ,,Informacijos teorija árodo, jog juo daugiau prasminiame þiniø vienetesimboliø, tuo lengviau smegenø mechanizmas iðtaiso klaidas, atsirandanèiasperteikiant ir apdorojant informacijà, slypinèià atskirø simboliø ar jø grupiøryðiuose� [371, p. 39]. Tuo remdamasis P. Erdnijevas siûlë maþinti pratimøskaièiø, taèiau jie turi bûti sudëtingesni daliø skaièiaus atþvilgiu, spræsti kar-tu tiesioginius ir atvirkðtinius pratimus bei uþdavinius.

Vadovëlio panaudojimo pamokoje patirtá apraðë J. Norkevièius [575].Pradþioje aptaræs atvejus, kai mokytojai liepia ,,raustis� atmintyje, uþuot lie-pæ þvilgtelëti á vadovëlá, J. Norkevièius gyrë uþ gerà vadovëliø naudojimàpanevëþieèius pedagogus K. Marèiulionienæ, R. Paliokà (apraðë ir jo sureng-tà eksperimentà), ðvëkðniðká P. Èeliauskà, ðilutiðká J. Baná.

Savo patirtimi organizuojant savarankiðkà mokiniø darbà dalijosi ma-rijampolietis J. Jablonskio vidurinës mokyklos mokytojas J. Pëstininkas16 

[590]. IV klasëje jis praktikuodavo aiðkinamàjá vadovëlio skaitymà: ,,Vienasmokinys garsiai skaito, o kiti vadovëliuose seka skaitomà tekstà. Perskaièiuspirmà pastraipà, klausimais patikrinu, kaip mokiniai suprato tai, kà perskai-të, iðsiaiðkinu nesuprantamø þodþiø prasmæ, nesuprantamus posakius, siek-damas, kad visi ketvirtokai kuo aktyviau dalyvautø pamokoje. Tokiu pat bû-du nagrinëjama kita pastraipa, o pabaigoje visa medþiaga kartojama, átvirti-nama teikiant klausimus, pabrëþiant tai, kas nagrinëjamoje temoje buvo svar-biausia� [590, p. 42]. O ,,mokymo turiná V�VI klasëje kai kada pateikiu pagalplanà, kurá paraðau kilnojamojoje lentoje. Jei nauji dalykai lengvai suvokia-mi, artimai susijæ su anksèiau ásisavintais, kartais skiriu namø darbus pagalklasëje padiktuotà planà. Jei naujà medþiagà pats aiðkinu pamokoje, bet josdaug ir jauèiu, kad mokiniams bus sunku iðskirti esmæ, padiktuoju klausi-mus, á kuriuos jie turës atsakyti kità pamokà. Mokinys turi t i k s l i a i þinoti,ko ið jo reikalaus mokytojas, nes tik tada, mokydamasis namie, jis atkreipsdëmesá á pagrindinius dalykus, á temos esmæ� [590, p. 42]. Tuo tikslu ,,ruoðda-mas mokinius naujo mokymo turinio ásisavinimui, pamokos pradþioje keliasminutes, kol mokiniai dar nepakankamai susikaupæ, skiriu atitinkamø klau-simø pakartojimui, stengdamasis átraukti vidutinius ir ypaè silpnuosius moki-nius. Stipriesiems paprastai toks kartojimas nieko gera neduoda <...>.To-dël <...> skiriu savarankiðkà darbà, kurá <...> jie pajëgûs atlikti per kartoji-mui skirtà laikà� [590, p. 42]. Taip pat ,,Beveik visada klasëje atsiranda moki-

151

niø, kurie palyginti greitai iðsprendþia uþdaviná ar pratimà. Pakviesti tuoj pattokius mokinius prie lentos, kad paaiðkintø, kaip iðsprendë � reiðkia ið kitømokiniø atimti galimybæ savarankiðkai iðspræsti uþdaviná ar pratimà. Todël<...> iðsprendæ mokiniai atneða savo sàsiuvinius, jø darbà patikrinu, atkreip-damas dëmesá á aiðkinimo tikslumà, sklandumà, nurodau sprendimo trûku-mus. Á savo sàsiuviná tiems mokiniams raðau pliusà ir duodu kità uþduotá�[590, p. 43] (trys pliusai reiðkë aukðèiausià ávertinimà). Iki pamokos pabaigosstipresnieji mokiniai pralenkdavo kitus 1�3 uþduotimis. Kol mokytojas sukitais mokiniais aiðkindavosi namø darbø uþduotis, stipresniesiems buvo duo-dami lapeliai su diferencijuotomis namø darbø uþduotimis, nes ,,stipriausiømokiniø nesudomina uþdaviniai, panaðûs á iðspræstus klasëje, todël jø namødarbø uþdaviniai daþniausiai skiriasi nuo spræstøjø klasëje� [590, p. 43]. Pro-bleminëms situacijoms sudaryti naudojo ádomiosios matematikos elemen-tus. Pvz., ,,tegul kiekvienas sugalvoja po triþenklá skaièiø, ið deðinës priraðotoká pat skaièiø. Vieniems mokiniams ðá skaièiø pasiûlau padalyti ið 7, ki-tiems � ið 13, tretiems � ið sugalvoto skaièiaus. Pirmieji gautà rezultatà dalijaið sugalvoto skaièiaus, antrieji ið 11, tretieji � ið 7. Naujai gautà rezultatà pir-mieji dalija ið 11, antrieji � ið sugalvoto skaièiaus, tretieji � ið 13. Tada pasa-kau kiekvienos grupës rezultatus. Mokiniai nustemba, bet tuojau suvokia,kad mokytojas þino kaþkokià skaièiø 7, 11, 13 savybæ� [590, p. 44]. Todël jiepatys ima spræsti problemà, kaip ðià savybæ atrasti.

Baigë J. Pëstininkas ðá ádomø straipsná taip: ,,Negalima pamirðti ir emo-ciniø mokytojo ir mokiniø ryðiø. Jei mokinio pastangos, kartais tikrai origi-nalios mintys, pasiûlymai liks neávertinti, jei mokinio sëkmë ar nesëkmë ne-taps kartu ir mokytojo sëkme ar nesëkme, jei mokinio laimëjimas ar dþiaugs-mas netaps ir mokytojo dþiaugsmu, vargu ar mokinio domëjimasis matema-tika bus visavertis. Juk niekas taip neþlugdo þmogaus, ypaè jauno, kaip pati-riamas abejingumas. Mokytojas ir mokiniai � tai ne prieðiðki poliai. Tai mo-nolitas, turás bendrus planus ir siekimus� [590, p. 44].

Savarankiðkø darbø panaudojimà per pamokas aptarë E. Masiulienë irJ. Norkevièius [535]. Teigiamai vertino Marijampolës raj. Brazavo aðtuon-metës mokyklos mokytojos M. Kupèinskienës, Këdainiø raj. Krakiø M. Kat-kaus vidurinës mokyklos mokytojos A. Dalbokienës, Aristavos aðtuonmetësmokyklos mokytojø A. Skorupskienës ir G. Petrulio pamokiná darbà, organi-zuojant savarankiðkà mokiniø veiklà. Jo ,,pamokà nepaprastai pagyvino logi-nio màstymo pratybos (pavyzdþiui, koká þenklà reikia paraðyti tarp dviejøseptynetø, kad gautume skaièiø, didesná uþ septynis bei maþesná uþ aðtuo-nis)�. Aptarë ir opius savarankiðko darbo organizavimo klausimus: ,,Ðtai pu-

152

së ðeðtokø neatliko namø darbo. Kodël? Mokytoja juos kvieèia po vienà prielentos, ðie sprendþia pratimus, kiti nusiraðinëja. Ir jokio komentaro, neprisi-minta nei viena taisyklë, kuri turëjo bûti raktas nuo matematinio labirintodurø. Ar ne per didelë prabanga uþsiiminëti tokiu betiksliu darbu, kuris ge-rokai apkarpë ir naujos temos aiðkinimui skirtà laikà.

� Bet að gi sakau, kad kiekvienas spræstø savarankiðkai, � tvirtino moky-toja.

Sakyti neuþtenka. Reikia savarankiðkam darbui ir prielaidas pamokojesudaryti�.

VVPI docentas V. Drëgûnas aptarë kûrybinius darbus mokant mate-matikos [362]:

1) kûrybiniø uþdaviniø sprendimà;2) tiksløjá modeliavimà;3) mokymà naudojant modelius;4) matematikos referatus;5) matematiniø prietaisø (pantografo, sinusografo, parabolografo, cen-

tro ieðkotojo ir kt.) konstravimà.Doc. V. Drëgûno rekomenduotø kûrybiniø, taip pat reprodukciniø, re-

konstrukciniø bei variaciniø savarankiðkø darbø taikymà Lietuvos mokyklømatematikos mokytojø pamokose aptarë RMTI doc. A. Aþubalis [211]. Ap-tartos ðiø mokytojø pamokos: R. Serbentaitës (Prienø raj. Balbieriðkio vid.m.), J. Misiûnaitës (Anykðèiø J. Biliûno vid. m.), K. Kauðakienës (Kupiðkioraj. Skapiðkio vid. m.), V. Pieèiukaitienës (Vilkaviðkio S. Nëries vid. m.), A.Umantienës (Vilniaus S. Nëries vid. m.), J. Jagminienës (Kelmës raj. Tytuvë-nø vid. m.), V. Jokautienës (Kupiðkio V. Rekaðiaus vid. m.).

Taigi savarankiðkø darbø taikymas matematikos mokymo procese ap-tartas periodikoje gana plaèiai; pateikta nemaþa mokytojø, mokslininkø irmatematikos didaktikos specialistø patarimø.

3.3. Matematikos mokymo vaizdumas

Iðimtinai ðiai problemai nuðviesti buvo skirta 13 TM ir 3 Tm straipsniai,daugelyje kitø temø straipsniø irgi uþsiminta apie jà.

Pirmas straipsná apie vaizdines priemones, kurias naudojo mokydamasstereometrijos, paskelbë Rokiðkio I vidurinës mokyklos mokytojas J. Janu-lionis17  [410]. Jis aptarë paèiø mokiniø pagamintø priemoniø naudà (pagal

153

V. Drëgûnà � tai viena ið kûrybinio savarankiðko darbo atmainø). Mokiniaipagamino modelius: statmuo á plokðtumà, lygiagreèiosios ir statmenosiosplokðtumos, prasilenkianèiosios tiesës ir trumpiausias atstumas tarp jø, mo-delis piramidës tûriui apskaièiuoti ir kt. Gaminti ir modeliai uþdaviniamsspræsti: ,,Per virðutiná galà cilindro sudaromosios 45° kampu á sudaromàjàiðvesta cilindro lietëja; duota cilindro aukðtinë ir jo pagrindo radiusas; rastitos lietëjos atstumà nuo pagrindo centro (modelis susideda ið dviejø lenteliø,metalinio cilindro ir vielos)� ir kt. (pateikti dar 5 uþd.). ,,Mokiniai taip patyra padaræ <...> trigonometriná skritulá (lenta su nubrëþtu joje apskritimubei padalinimais ir judanèia kraðtine su prijungtomis trigonometrinëms funk-cijoms vaizduoti lazdelëmis)�.

Kaunietis mokytojas J. Þemaitis18  pristatë savo sukonstruotà slankioja-màjá kablelá [723]. Iðilgai klasës lentos nutiesus virvutæ ir ið standaus popie-riaus padarius kablelá, apskëtusá tà virvutæ, jis gali slankioti iðilgai jos. Para-ðius virð virvutës, pvz., skaitmenø eilæ 000010000, ðá kablelá stumdydami gali-me gauti ávairius skaièius ir kartu su mokiniais padaryti reikiamas iðvadas.Vëliau dauginimas ir dalijimas ið vieneto su nuliais irgi atliekamas su ðia ne-sudëtinga priemone.

Jau pensininkas rokiðkënas J. Janulionis dar kartà gráþo prie vaizdiniøpriemoniø gaminimo mokiniø jëgomis [409]: ,,Ávairiai dirbæs su mokiniaislygiagretëse klasëse ir lygindamas darbo sëkmingumà, að ásitikinau, kad irpuikiai fabrikø pagamintos vaizdinës priemonës veikia mokinius tik trumpàlaikà, nepalieka jiems gilesnio áspûdþio. Todël að jø savo praktikoje beveiknevartojau�. Aptarë lankstiniø priemoniø gaminimà planimetrijai ir erdvi-niø � stereometrijai mokyti, jø naudojimo metodikà.

Prie ,,gyvojo kablelio� dar kartà buvo gráþæs ir J. Þemaitis [721].Ðiauliø V vidurinës mokyklos mokytoja E. Klimavièienë dalijosi patirti-

mi, kaip ásirengë matematikos kabinetà, su mokiniais gamino vaizdines prie-mones [490].

VVPI vyr. dëstytojas A. Lepeðkevièius aptarë [512] V. Klebanskio pa-rengtà leidiná ,,Brëþiniø rinkinys skaièiavimo, matavimo ir brëþimo priemo-nëms� (V.: RMTI, 1964), kuriame pateiktos logaritminës liniuotës, astrolia-bijø, nomogramø, radianiniø matlankiø, lekalø ir kt. priemoniø gamybai rei-kalingos skalës bei brëþiniai.

Marijampolietis mokytojas S. Maèionis pristatë savos konstrukcijos funk-ciografà [527], kuris ,,susideda ið lentos ir 14 metaliniø tiesiø, paraboliø, si-nusoidþiø bei kitø funkcijø grafikø modeliø. Lentelëje yra koordinatinis tin-klas <...>. Visose langeliø virðûnëse yra lizdai. Be to, yra lizdai, kurie atitin-

154

ka skaièius

(k = 0; ±1; ±2; ±3; ...).

Paminëti modeliai laikomi skyde, kuris yra antroje lentos pusëje ir galibûti iðtraukiamas bei ástumiamas.

Darbo metu metaliniai grafikø kuoleliai átvirtinami atitinkamuose len-tos lizduose, ir jie gali uþimti ávairià padëtá plokðtumoje�. Pvz., ,,Demonst-ruojamas kvadratiniø lygèiø bei jø sistemø, kai viena lygtis yra kvadratinë, okita � tiesinë, grafinis sprendimas <...>. Turime sistemà:

ÿ��

−=+−=.1

12

xy

xy

Daroma taip: apverstà y = x2 grafikà pakeliame vienetu aukðtyn, o tiesæy = x lygiagreèiai leidþiame þemyn. Tiesës ir parabolës susikirtimai vaizdþiaiparodo, kad yra du taðkai, kuriø koordinatës ir bus duotos sistemos sprendi-niai�. Pateikë ir daugiau funkciografo pritaikymo pavyzdþiø, parodë, kaip jágalima panaudoti apklausoje, dëstant naujà medþiagà, skiriant namø darbus.

Dotnuviðkë G. Malanskaitë ir alytiðkis N. Krukonis dalijosi mintimisapie vaizdumo reikðmæ [529]. Straipsnio pradþioje jie raðë: ,,Ðnekëkime atvi-rai: yra mokiniø, kurie daug laiko, energijos skiria matematikai, bet taip irlieka trejetukininkai. Mat jie ne viskà sugeba suprasti, o dar daþniau vaiz-duotëje nesusikuria geometrinio kûno vaizdinio, uþdavinio sàlygoje nurody-tø dydþiø tarpusavio priklausomybës. Tokiems mokiniams daug gali padëtivaizdiniø priemoniø panaudojimas�. Aptarë vaizdiniø priemoniø trûkumà,jø gamybos mokiniø jëgomis reikalingumà ir ne vien demonstraciniø, bet irdalijamøjø � didaktiniø. Parodë tokiø didaktiniø lankstiniø priemoniø tei-kiamà naudà: ,,Paprastai mokiniai painioja staèiakampio, lygiagretainio, kvad-rato, rombo apibrëþimus. Svarbiausia � akivaizdþiai parodyti, kas ið ko gau-nama: staèiakampis � ið lygiagretainio, kvadratas � ið rombo. Ið uþduoties,,Sudaryk lygiagretainá� seka � ,,Padaryk, kad visi lygiagretainio kampai bûtøstatûs�. Aptarë ir stereometriniø vaizdiniø formavimà.

Mokomojo kino filmo ,,Funkcijø grafikø transformavimas� anotacijà irnaudojimo mokymo procese metodinius nurodymus pateikë V. Klebanskis[437].

Doc. V. Drëgûnas aptarë [363] Vilniaus m. mokyklø matematikos kabi-netø apþiûros 1973 m. rezultatus. I vietà laimëjo XXXVI vidurinë (mokytojaV. Michailova), II vietà � VII, III vietà � XXXI vidurinës mokyklos.

155

9 pav.8 pav.

Kauno J. Jablonskio vidurinës mokyklos direktoriaus pavaduotojas A.Neniðkis19  ir miesto mokyklø filmotekos vedëjas J. Èepulis aptarë kino filmø,,Lygiagretë projekcija�, ,,Matavimai vietovëje� ir kt. panaudojimà pamoko-se [564].

Maþeikiø raj. Viekðniø vidurinës mokyklos direktoriaus pavaduotojasK. Simanonis pristatë jø mokykloje naudotus trupmeninius skaitytuvus:,,SKAITLIUKAI Nr. 1. Ðiuos skaitliukus sudaro 50x50 cm stovas su laisvaiiðkeliamais virbais, ant kuriø suverti ávairaus ilgio ritinëliai <...>. Èia, kaipmatome, vienodo ilgio medinis ritinys supjaustytas á 2, 3, ..., 10, daliø, laisvaislankiojanèiø á abi puses. Tikslinga ritinëlius nudaþyti dviem spalvomis. Kiek-vieno ritinëlio skersmuo 3 cm. Kiekviena ritinëliø sekcija paþymima raidë-mis a, b, ..., m kairëje pusëje ir atitinkamu trupmeniniu skaièiumi 5

5 , 1010 ir

t. t. deðinëje pusëje. Deðinëje pusëje kiekvieno virbo iðkëlimui daromos ápjo-vos <...>. Pravartu dar padaryti bent 2 papildomas vietas laikinam sekcijøperkëlimui (x, y)� [655, p. 40] (8 pav.). Ðie skaitytuvai vartoti trupmenos sà-vokai sudaryti, trupmenoms palyginti, sudëti ir atimti. O ,,SKAITLIUKAINr. 2 <...> yra þymiai sudëtingesni savo konstrukcija, taèiau jø pagamini-mas visai paprastas. Ritinëliai èia vienodi <...>. Konstrukcijos pagrindà su-daro ritinëliø suskirstymas sekcijose pagal spalvas <...>, kiekviena serija tu-ri po 48 ritinëlius, kurie nudaþyti po 2, 3, ..., 12 skirtingai tam, kad, esantatitinkamam trupmenos vardikliui, pasinaudotume atitinkama sekcija. Be to,suskirstymas padeda greièiau surasti skaitiklá. Sekcija g yra pagalbinë. Ji nau-dojama keliø trupmenø sumai uþfiksuoti. Ritinëliø skaièius gali bûti paimtasbet kuris, taèiau vienodas kiekvienoje sekcijoje, nes kiekviena ið jø kartu vaiz-duoja ir vienetà. Skaièius 48 èia parinktas todël, kad jis sudarytas ið pakanka-mai daug dauginamøjø <...> ir leidþia pasinaudoti ávairesnëmis trupmeno-mis� [655, p. 41] (9 pav.).

156

Ðie skaitytuvai padeda iðspræsti skaièiaus dalies radimo ir skaièiaus ra-dimo ið jo dalies uþdavinius, parinkus trupmenas su vardikliais, kurie yra 48dalikliai.

Vilniaus inþinerinio statybos instituto (toliau � VISI) doc. L. Klimka20 

pristatë istoriná prietaisà � proporcionalà [491]. Straipsnyje supaþindino suaritmetiniø maðinø konstruktoriø B. Paskalio (Pascal, 1623�1662), K. Leib-nico (Leibnitz, 1646�1716), M. Gano (Hahn, 1739�1790) ir kt. darbais. Raðë,kad XVIII a. LDK matematinæ maðinà sumeistravo Nesvyþiaus laikrodinin-kas E. Jakobsonas (eksponuojama S. Peterburge, M. Lomonosovo muzieju-je). Iki XIX a. vartotas ir proporcionalas (já iðstûmë nomograminiai skai-èiuokliai ir logaritminës liniuotës). Pirmàjá proporcionalà sukonstravo G. Ga-lilëjus (Galilei, 1564�1642).

Taigi nors ir nelabai gausu straipsniø, kuriuose mokytojai dalijosi savopatirtimi, iðradingumu konstruojant ir naudojant vaizdines bei technines prie-mones, árengiant matematikos kabinetus mokyklose, bet ir turima praktikabuvo apibendrinama.

3.4. Psichologinës matematikos mokymo problemos.Probleminis matematikos mokymas

Ðia tema paskelbta nemaþa straipsniø: TM � 9, Tm � 5.Pirmasis ðiais klausimais prakalbo V. Plauðinaitis [597], teigdamas, ,,Kad

mokiniai pamokoje galëtø pasiekti aukðtà aktyvumo laipsná, jie nuolatos turibûti pratinami logiðkai galvoti ir nuosekliai reikðti savo mintis. Be to, jie turibûti gerai paruoðti naujai medþiagai aiðkinti <...>. Dël tos prieþasties prieðkiekvienà matematikos pamokà bûtinai turi bûti pakartojama visa jau iðeitojimedþiaga, kuri bus reikalinga naujai medþiagai aiðkinti�. Pateikë pavyzdá �kvadratiniø lygèiø sprendimo formulës iðvedimà. Prieð já pakartojo: dvinariokvadrato formulæ, I laipsnio lygties sprendimo taisyklæ ir kvadratinës ðakniestraukimà ið skaièiaus. Tomis þiniomis remiantis, euristinio pokalbio metoduaiðkino naujà medþiagà.

Verstiniame straipsnyje G. Fiodorovas, Rostovo sr. Jaroslavlio I viduri-nës mokyklos mokytojas, aptarë atminties stiprinimo ir pajungimo mokymui,matematinës teorijos vaidmens stiprinimo jau þemesnëse klasëse, mokiniøsavarankiðkumo ugdymo, mintinio skaièiavimo organizavimo klausimus [373].

Panevëþietis A. Lakiûnas aptarë vaizduotës ugdymà stereometrijos pa-

157

mokose [505]. Akcentavo brëþinio vaidmená, spalvotos kreidos panaudoji-mà, modeliø gamybà. Pabrëþë planimetrinio ir stereometrinio brëþinio skir-tumus, brëþimo ,,ið akies� mokëjimo svarbà, jo sunkumus (mokiniui sunkunubrëþti bukojo trikampio aukðtinæ, iðvestà ið smailiojo kampo virðûnës irkt.). Erdvinæ vaizduotæ ugdë klausimais:

,,1) Nurodykite, kokià padëtá plokðtumos atþvilgiu turi uþimti kvadra-tas, kad jo projekcija plokðtumoje bûtø: a) toks pats kvadratas; b) staèiakam-pis; c) rombas; d) lygiagretainis. <...>. 4) Taisyklingojo trikampio viena krað-tinë yra lygiagreti su plokðtuma. Ar bûna tokia ðio trikampio padëtis, kadkitø dviejø kraðtiniø projekcijos plokðtumoje sudarytø 60o kampà? 90o kam-pà? 120o kampà? iðtiestiná kampà? Jei tokiø padëèiø yra, tai kiek? <...>. 6)Kokiu kûnu virs nupjautinis kûgis, kai jo virðutinio pagrindo spindulys pasi-daro lygus nuliui? Gaukite ið nupjautinio kûgio tûrio formulës kûgio tûrioformulæ. <...>. 9) Ar gali bûti tokia piramidë, kurios trys sienos yra vienakitai statmenos? Jei gali, tai kaip racionaliausiu bûdu apskaièiuoti ðios pira-midës tûrá. 10) Trimis plokðtumomis perkirskite rutulá taip, kad jos padalytø:a) rutulio pavirðiø á penkias, o tûrá á keturias dalis; b) rutulio pavirðiø ir tûrá áaðtuonias dalis� [505]. Modeliavimà ragino taikyti ir kontroliniø darbø metu.

Mokiniø kûrybiðkumo ugdymà kartojant medþiagà aptarë V. Klebans-kis [451]. Jis apraðë Ðiauliø IV vidurinës mokyklos mokytojos G. Bulbos dar-bà. Kartodama temà ,,Keturkampiai�, ji naudojo dalijamàsias korteles su jo-se nubrëþtais keturkampiais ir mokiniai turëjo atsakyti á klausimus: ,,Kuriøketurkampiø: 1) ástriþainës dalo juos á du lygius trikampius? 2) ástriþainësdalijasi pusiau susikirtimo taðke? 3) ástriþainës yra vidiniø kampø pusiau-kampinës? 4) ástriþainës statmenos viena kitai? 5) ástriþainës yra simetrijosaðys?� Kartojant nupjautinius kûgius, ,,pasiûlyta atsakyti á klausimà, kas gau-nama, sukant atkarpà aplink aðá, jei atkarpa: 1) statmena aðiai ir vienas josgalas yra aðyje? 2) statmena aðiai ir yra nutolusi nuo aðies? 3) lygiagretë suaðimi? 4) sudaro tam tikrà kampà su aðimi ir vienas jo galas yra aðyje?5) sudaro tam tikrà kampà su aðimi?�

Ðios problemos sprendimui skirtas ir kitas V. Klebanskio straipsnis [464],kurá jis pradëjo L. Tolstojaus citata: ,,Jei mokinys mokykloje neiðmoks patskurti, tai ir gyvenime jis visuomet tik pamëgdþios, kopijuos, nes maþai yratokiø þmoniø, kurie, pripratæ kopijuoti, galëtø savarankiðkai pritaikyti savoþinias�. Toliau V. Klebanskis raðë: ,,Stabdþiai, kliudantys mokiniø kûrybingu-mui pasireikðti, be kita ko, yra pernelyg didelis atminties galios garbinimas,susidomëjimo matematika stoka ir orientavimasis á vidutiná mokiná�. Pateikëpavyzdþiø: ,,Kodël rodiklinë funkcija nagrinëjama tik kai a > 0 ? Ar galima

158

nagrinëti rodiklinæ funkcijà, kai a = 0? Koks yra funkcijos y=ax grafikas, kaia = 1?� ir pan., kuriuose ne tik panaudojama atmintis, bet yra jau ir kûrybi-niø ieðkojimø. Akcentavo probleminiø situacijø sudarymo pamokoje svarbà:,,pradëdamas nagrinëti temà ,,Bendro pavidalo kvadratinës lygties sprendi-mas�, mokytojas davë mokiniams praktiná uþdaviná: iðpjauti ið kartono sta-èiakampá, kurio plotas 14 cm, o viena jo kraðtinë yra 3 cm didesnë uþ padvi-gubintà antrà kraðtinæ�. Gauta lygtis: 2x2 + 3x � 14 = 0, kurios vaikai darnemoka spræsti, jai spræsti iðvedama formulë. Aptarë mokytojø S. Bulotos21 

(Ðakiai), I. Kazlauskienës (Radviliðkis) darbà. Jie ,,didelá dëmesá skiria kûry-biniam priëjimui prie kiekvienos teoremos, prie kiekvieno uþdavinio, reika-laudami ið mokiniø duoti ávairius tuos paèios teoremos arba uþdavinio árody-mus bei sprendimus�. Pvz., pasiûlius nubrëþti taisyklingà aðtuoniakampá, ku-rio kraðtinë a, aptariami 5 sprendimo bûdai, ieðkoma racionaliausio. Pateikëir daugiau kûrybingumo reikalaujanèiø uþdaviniø pavyzdþiø:

1. Lentoje buvo paraðyta keletas lygybiø. Paskutinës lygybës nusitrynë,ir liko tik ðios keturios:

1 = 1 1 � 4 = � (1 + 2) 1 � 4 + 9 = 1 + 2 + 3 1 � 4 + 9 � 16 = � (1 + 2 + 3 + 4)

Kas buvo paraðyta dvideðimtoje lygybëje? Apibendrinkite uþdaviná.2. Ar galima iðskaidyti dauginamaisiais reiðkiná x8 + x4 + 1. Apiben-

drinkite uþdaviná.Apgailestavo, kad mokyklose retai sprendþiami tokie uþdaviniai:1. Sudaryti ir iðspræsti dviejø antrojo laipsnio lygèiø sistemà, turinèià

duotus sprendinius.2. Sudaryti antrojo laipsnio nelygybæ, kurios sprendinys yra 3 < x < 5.3. Sudaryti trigonometrinæ lygtá pavidalo cos x = a, kurios viena spren-

diniø serija bûtø 45o + 360o k.VU aspirantë A. Anelauskienë aptarë matematiniø interesø ir sugebë-

jimø ryðá [180]. Ji apraðë eksperimentà, atliktà Vilniaus I mokykloje-interna-te su IX�XI klasiø mokiniais. Iðskirtos 3 matematiniø interesø vystymosi pa-kopos: 1) susiþavëjimas matematika; 2) malonumo pajautimas matematinësveiklos procese; 3) matematikos tapsmas gyvenimo tikslu. Visos interesø pa-kopos pasiekiamos nagrinëjant áþymiøjø matematikø biografijas, matemati-kos taikymus, organizuojant viktorinas ir vakarus. Taèiau ,,pasitaiko pakan-kamai daug faktø, kad susidaræ interesai neatitinka jaunuolio matematiniøsugebëjimø <...>. Bûtina, kad aukðtesnëse klasëse mokiniai pajustø, jog ne

159

visi uþdaviniai lengvai sprendþiami, kad ið matematiko reikalaujama ne tikkruopðtaus ir átempto darbo, bet ir dideliø sugebëjimø, nuolat vystomø at-kakliu darbu� [180, p. 44]. Pateikë pavyzdá: 1966 m. 18 X klasës mokiniøástojo á JMNM prie Maskvos Lomonosovo universiteto ir visi 1968 m. jà sëk-mingai baigë. Ið jø 17 sëkmingai iðlaikë stojamuosius egzaminus: á VU mate-matikos specialybæ � 8, á fizikos � 2, á dab. VPU matematikos specialybæ � 5,á dab. KTU � 2. Siûlë JMNM auklëtinius, olimpiadø nugalëtojus atleisti nuostojamøjø egzaminø.

Probleminiam matematikos mokymui savo straipsná paskyrë V. Klebans-kis [470]: ,,Jei mokiniai patenkinamai suvokia trivialius klausimus, tai jie daþ-nai nuleidþia rankas, kai iðkyla tam tikra, kad ir visai paprasta, problema,kurià jie turi savarankiðkai spræsti.

Ðtai viename kontroliniame geometrijos darbe buvo klausimas: ,,Ar ga-li bûti trikampis, kurio dvi pusiaukampinës yra tarpusavyje statmenos?� 30proc. mokiniø visai neatsakë á ðá klausimà, o 23,8 proc. atsakymø � klaidingi.Dar sunkiau mokiniams sekësi iðspræsti uþdavinius: ,,Ar gali bûti trikampis,kurio kiekviena aukðtinë maþesnë uþ 1, o plotas didesnis uþ 100?� (gali), ,,Argali bûti trikampis, kurio dvi aukðtinës didesnës uþ 100, o plotas maþesnis uþ1?� (negali) <...>. Teigiamà poveiká gali turëti toks mokymas, kuris atitiktømatematikos mokslo dvasià: grieþta logika, kûrybiniai ieðkojimai, nuolatinisnaujø problemø këlimas�. Pateikë probleminës situacijos sudarymo pavyzdátemoje ,,Kvadratinë lygtis�. Pradþioje paraðoma skaitinë tapatybë 25 � 5 · 2==15, tarkime x = 2. Gaunama lygtis: 25 � 5x = 15. O jei x =5? Tada gaunamalygtis: x 2 � 2x = 15. Èia viena ðaknis bus x = 5, taèiau mokytojas pasiûlopatikrinti ir x = � 3. Taip mokiniai supranta, kad II laipsnio lygtis turi 2 ðak-nis. Paëmus x = 2 ir x = 5, sudaromos lygtys: x � 2 = 0 ir x �5 = 0, jos panariuisudauginamos ir gaunama kvadratinë lygtis: x 2 � 7x + 10 = 0. Su mokiniaissuformuluojamas kvadratinës lygties apibrëþimas. Toliau V. Klebanskis apta-rinëjo atskiras probleminiø situacijø rûðis. Viena jø � kai mokinio turimøþiniø nepakanka atlikti naujai uþduoèiai. Pvz., prieð pradedant nagrinëti Pi-tagoro teoremà, rekomendavo sudaryti probleminæ situacijà sprendþiant uþ-daviná: ,,Staèiosios trapecijos ABCD (CD statmena AD) pagrindai AD = 8cm ir BC = 4 cm; didþioji ástriþainë AC = 10 cm. Raskite trapecijos plotà�.Sprendþiant uþdaviná iðkyla Pitagoro teoremos poreikis. Kita situacija � dvi-gubo pobûdþio: ,,atlikti uþduotá, kai joje trûksta duomenø ir kai yra paðaliniøduomenø�.

VU aspirantë G. Mikðytë aptarë vaizduotës pasireiðkimà matematinëjeveikloje [557]. Remdamasi V. Boltovskiu, ji teigë, kad matematinio màstymo

160

procesas susideda ið problemos iðkëlimo (vaizduotëje, nes hipotezë gali bûtitik ásivaizduojama) ir jos iðsprendimo. D. Boltovskis matematikus skirstë ágeometrus ir algebraistus. Pirmieji pasiþymi ,,suvokianèiàja�, antrieji � ,,kom-binuojanèiàja� vaizduote. Pabrëþë V. Kruteckio teiginá: ,,Eiliniu matematikugalima tapti, þymiu, talentingu matematiku reikia ir gimti�. Aptarë akad. P.Aleksandrovo (1896�1982) iðskirtus matematinës intuicijos tipus: analitiná,algebriná, klasikinës geometrijos ir topologinës geometrijos. Jis ypaè vertinoII ir IV tipus. Po to ji raðë: ,,Matematiniø gabumø tipà nulemia tai, kokievaizdiniai (geometriniai ar algebriniai) vyrauja mokinio sàmonëje, sprendþiantuþdavinius. Geometrai màsto vaizdinëmis schemomis ir erdviniais vaizdaisnetgi tada, kai uþdaviná þymiai paprasèiau galima iðspræsti loginiø samprota-vimø keliu. Analitikai � atvirkðèiai <...>. Pedagogø uþdavinys � anksti paste-bëti mokinio specialius matematinius sugebëjimus ir juos iðugdyti <...>. Dau-gelá nuo matematikos atgraso ðabloniðkas, nekûrybiðkas ðio dalyko dëstymas�,todël kai kurie matematikai gabûs mokiniai yra neaktyvûs jos pamokose, uþ-klasinëje veikloje. Mokytojams rekomendavo susipaþinti su A. Guèo knyga,,Mokiniø gabumai ir jø vystymas� (1959), A. Anelauskienës disertacija apiematematiniø gabumø paþinimo ir vystymo klausimus.

Kaip tik sekantis ir buvo A. Anelauskienës straipsnis [184], kuriameaptartas probleminio matematikos mokymo organizavimas: ,,Mokomoji me-dþiaga turi bûti ásisavinama pakankamai greitais tempais. Þymiai didesnisdëmesys skiriamas teorinei matematikos pusei, mokiniø paþintinës veiklosugdymui. Ágytos matematinës þinios turi bûti nuolatos sisteminamos, naujossiejamos su anksèiau ágytomis, ieðkant jø prasminiø ryðiø�. Labai svarbus yralyginimas, bendrø ir skirtingø savybiø radimas, problemos iðkëlimas ir jossprendimas, mokiniø aktyvinimas, istoriniø þiniø pateikimas: Diofanto (Diop-hantos, apie III a.), Muchamedo ibn Musos al Chorezmio (IX a.), Eratoste-no (Eratosthençs, apie 276�194 pr. Kristaus g.) darbai parodo, kaip skver-biamasi á matematikos esmæ. Nurodë V. Kruteckio iðskirtas 3 probleminiomatematikos mokymo pakopas: ,,I pakopa � mokytojas kelia problemà, jàformuluoja ir nukreipia mokiná ieðkoti savarankiðko sprendimo kelio; II �mokinys sugeba pats suformuluoti problemà ir jà iðspræsti, mokytojas tik nu-kreipia mokiná jos sprendimui; III � mokytojas net nenurodo problemos, mo-kinys jà turi suvokti savarankiðkai, o suvokæs suformuluoti, iðtirti jos sprendi-mo metodus ir galimybes�.

Dviejuose Panevëþio V vidurinës mokyklos mokytojo, SSRS PMA as-piranto R. Palioko straipsniuose aptarti mokiniø matematiniø sugebëjimøtyrimo ir jø lavinimo klausimai. ,,Pagal vaizdaus ir abstraktaus màstymo kom-

161

ponentø santyká, kuris pasireiðkia màstymo procese sprendþiant matemati-nius uþdavinius, mokiniø matematiniai sugebëjimai skirstomi á tris tipus: ana-litiná (vyrauja abstraktaus màstymo komponentas), geometriná (vyrauja vaiz-daus màstymo komponentas) ir harmoningà (abu komponentai yra beveikpusiausvyroje) <...>. Pastarajame iðskiriami trys potipiai: harmoningas abst-raktusis <...>, harmoningas vaizdusis <...> ir visiðkai harmoningas�, � raðëR. Paliokas [582, p. 38]. Savo mokyklos IX kl. mokiniø tyrimo pagrindu jisaptarë, kaip suvokia matematinæ medþiagà ávairiø tipø mokiniai, analizuo-dami uþdavinius: ,,Keliais skirtingais bûdais galima susodinti n mokiniø á suo-lus po du? <...> Iðgaubtojo daugiakampio kampai yra smailûs ir vienas �status. Rasti daugiakampio smailiøjø kampø skaièiø� [582, p. 38�39]. Kitamestraipsnyje [581] R. Paliokas apraðë apibendrinimo ir màstymo lankstumotyrimus sprendþiant lygtá sinx = a.

Loginio màstymo ugdymo klausimus aptarë VVPI doc. P. Survila [662]:,,Mokinys privalo pasiekti toká lygá, kad galëtø konstatuoti, kada du skirtingiformulavimai, apibrëþimai, teiginiai reiðkia tà patá, nusako tà patá matemati-ná objektà, tvirtina tà patá faktà ir pan., t. y. logiðkai ekvivalentûs, lygiaver-èiai�. Taip pat reikia pasiekti, kad mokinys sugebëtø pats daryti iðvadas iðþinomø faktø, iðvesti vienà teiginá ið kito arba keliø kitø jau þinomø teigi-niø.Tai leis gerai spræsti uþdavinius.

VVPI vyr. dëstytojas J. Teiðerskis ir doc. R. Vasiliauskas aptarë ugdo-muosius tikslus matematikos pamokoje: ,,Galutinis matematikos mokymobendrojo lavinimo vidurinëje mokykloje tikslas yra ne matematikos þinios, omokëjimai ir ágûdþiai, t. y. intelektualûs veiksmai <...>. Dalyko mokymasmaksimaliai lavins moksleivá, kai mokytojas vadovausis bendraisiais lavina-mojo mokymo principais:

1. Mokymo procese lemiamà vaidmená turi atlikti teorinës þinios.2. Mokymas turi bûti pakankamai sunkus, taèiau prieinamas.3. Mokymo turiná tikslinga nagrinëti sparèiu tempu. Tada negaiðtama

laiko, sprendþiant daug vienodø pratimø ir uþdaviniø� [679, p. 42].Dar viename J. Teiðerskio straipsnyje [670] uþdaviniai pagal lavinamuo-

sius-mokomuosius tikslus buvo suskirstyti á 3 grupes:1. Uþdaviniai, kurie bûtini toliau mokantis matematikos arba kitø daly-

kø vidurinëje ar aukðtojoje mokykloje, taip pat praktinëje veikloje(deðimtainiø trupmenø, teigiamø ir neigiamø skaièiø veiksmai, lyg-tys, algebriniai pertvarkiai). Tokie uþdaviniai vadinami paþintiniais,treniruojamaisiais.

2. Uþdaviniai, kuriø sprendimas mokiniui padeda ásisavinti teorinæ me-

162

dþiagà ar ágyvendinti paþintinius tikslus � pagalbinio pobûdþio, di-daktiniai uþdaviniai. Jie dar skirstomi á: a) skirtus aiðkinti naujomssàvokoms, teoremø turiniui, taisykliø iðvedimui; b) skirtus naujai me-dþiagai átvirtinti, pakartoti.

3. Kûrybiniai uþdaviniai, ugdantys matematinius gabumus, loginá màs-tymà, kûrybinius sugebëjimus. ,,Tai daþnai netikëti, taèiau nebûtinailabai sunkûs uþdaviniai�.

Taigi straipsniø ðia tema autoriai � daugiausia mokslininkai, matemati-kos didaktikos specialistai ar labai kûrybingi mokytojai pateikë daug ádomiø,aktualiø ir vertingø minèiø, kurios turi didelæ iðliekamàjà vertæ.

3.5. Mokiniø ir mokytojo matematinë kalba

TM ðia tema iðspausdino 3 straipsnius, Tm � 2.Pirmasis nagrinëjamu klausimu raðë J. Gailevièius22 : ,,Pamokos vertë,

jos mokslinis ir pedagoginis efektas priklauso daugiausia nuo to, kaip suge-bës mokytojas sudëtingus, daþnai abstrakèius mokslo klausimus iðaiðkinti pa-prasta, moksleiviams suprantama kalba. Galima puikiausiai paèiam mokëtidalykà, orientuotis visose smulkmenose, bûti matematikos, fizikos <...> ne-pamainomu specialistu ir drauge nepakankamai geru mokytoju, jeigu nemo-kësi taisyklingai, vaizdingai, aiðkiai kalbëti� [376, p. 68]. Taigi pedagogo kal-ba � jo darbo árankis. Taèiau vien kalbos nepakanka, reikia kad ji bûtø irvaizdi: ,,Vaikø domëjimasis dëstomuoju dalyku auga <...> proporcingai vaiz-dingumo priemonëms: daugiau vaizdingesniø, aiðkesniø brëþiniø, schemø irpieðiniø, didesnis ir mokiniø domëjimasis� [376, p. 69]. J. Gailevièius akcen-tavo sàryðio tarp matematikos, fizikos, braiþybos, pieðimo panaudojimo svar-bà, uþraðymø, brëþiniø, pieðiniø lentoje ir sàsiuviniuose tvarkingumà.

VU docentas lituanistas P. Gailiûnas (1913�1977) raðë [377] apie vie-ningo kalbos ugdymo reikalingumà visø dalykø pamokose, kritikavo tuo me-tu matematikoje paplitusias kalbos klaidas: ,,a kvadrat�, ,,sustatyti lygtá�, ,,da-leiskim�, ,,biská suklydau�, ,,pas Marytæ paraðyta gerai� ir pan. Aptarë tvar-kingos, graþios mokytojo raðysenos teigiamà átakà vaikams.

Skyrybos þenklø vartojimà matematiniuose uþraðuose aptarë [434] V.Klebanskis, palyginæs A. Kiseliovo algebros vadovëliø [64, 65], latviø autoriøK. Dukuro (Dukurs), J. Mencio ir A. Lacio (Lâcis) aritmetikos vadovëliø beivokiðko matematikos ir fizikos didaktikos þurnalo rekomendacijas.

163

Kitame straipsnyje [463] V. Klebanskis aptarë matematiniø uþraðø kul-tûrà ir matematinës logikos simbolikos naudojimà juose. Siûlë naudoti sim-bolinius uþraðymus: ABxCD = M, a� b ir b� c→ a� c, uþdavinius daþniauspræsti naudojantis lentelëmis, pvz., ,,Krovikø brigada turëjo pakrauti 9,6 to-nos kroviná. Bet 2 darbininkai buvo perkelti á kità darbà. Todël kiekvienaslikæs pakrovë 0,24 t daugiau negu buvo numatyta. Kiek þmoniø liko?�

Lentelë:

Darbinink ÿ skai� ius Vienas darbininkas pakrov � Iš viso pakrauta

Buvo numatyta x+2 2

6,9

+x

9,6

Dirbo x x

6,9

9,6

Lygtis: 24,0

26,96,9 =

−−

xx.

Aptarë ir scheminá geometrijos uþdaviniø sàlygø uþraðymà, pvz.: ,,Pira-midës pagrindas yra rombas. Piramidës aukðtinë lygi 10 cm. Dvi ðoninës sie-nos statmenos pagrindui, o jø sudaromas kampas lygus 120o . Kitos dvi sienospalinkusios á pagrindà 30 kampu. Raskite piramidës ðoninio pavirðiaus plo-tà� (10 pav.).

S ðon. = ?

Scheminis uþraðymas: ABCD � rombas; piramidës H = 10 cm;∠ASCB = 120o ; ∠SBCA= ∠SABC = 90o;

∠SDCB = ∠SADB = 30o10 pav.

164

Tiesës ir plokðtumos lygiagretumo þymæ rekomendavo uþraðyti taip:[a ∉ P; b ∈ P; a� b] → a� P, o dviejø lygiagreèiø plokðtumø susikirtimo sutreèiàja teoremà � taip: [P� Q; RxP = a; RxQ= b] → a� b.

VU vyr. dëstytojas P. Rumðas aptarë [652] matematikø kalbos negero-ves. Jis teigë, kad vienas ið svarbiausiø matematikos mokytojo uþdaviniø �iðmokyti mokinius graþia sklandþia kalba reikðti savo mintis. Nereikia leistimokiniams trumpinti sakiniø. Atsakydamas á mokytojo klausimà, mokinysturi pasakyti apibrëþimà ar teiginá pilnu sakiniu. Netoleruotini netikslûs po-sakiai, pvz.: suprastinsime skaitiklá ir vardiklá ið ... ( skaitiklá ir vardiklá pada-lysime ið ...). Su netiksliais posakiais siejasi ir terminø kraipymas: laipsnis(laipsnio rodiklis), atkarpa (atkarpos ilgis), pavirðius (pavirðiaus plotas). Daugdaroma sintaksës klaidø: Taðkas yra ant tiesës (tiesëje). Pas Juozà kitaip iðëjo(Juozui kitaip iðëjo). Sprendþiant (spræsdami) uþdavinius, ta formule daþnainaudosimës. Remiantis (remdamiesi, pasirëmæ) uþdaviniu ... Yra ir leksikosklaidø: bendrai (apskritai); duotu (ðiuo) atveju; taðkas randasi (yra) tiesëje(priklauso tiesei); reiðkia (vadinasi, taigi, todël); kas èia pas tave gavosi ? (kàèia gavai, gavote?)

Atkreiptas dëmesys á skaièiø ir matø kirèiavimo taisyklingumà: devyn ,septyn , kilogr mas, kilom tras.

Taigi nors ir negausiuose straipsniuose mokytojams suteikta nemaþanaudingø patarimø, kaip ugdyti savo ir mokiniø matematinës kalbos kultûrà.

3.6. Matematikos mokymo individualizavimas irdiferencijavimas. Programuoto mokymo elementai

Ði tema mokytojams visada buvo aktuali, todël jai nuðviesti skirta ne-maþa straipsniø: TM � 11, Tm � 2.

PMTI darbuotojas B. Bitinas23  aptarë jaunøjø matematikos talentø ug-dymo poreiká: ,,Kada reikalas lieèia meniná ar sportiná talentà, niekam netnekyla abejoniø, kad jo ugdymu reikia rûpintis jau nuo vaikystës. Tuo tarpupaþiûra á <...> matematinius gabumus neretai yra kitokia� [294]. Siûlë steig-ti internatines jaunøjø matematikø mokyklas (tuo metu buvo laikoma, kadinternatinëse mokyklose galima daug sëkmingiau mokyti ir auklëti).

Atsiliepdamas á B. Bitino straipsná, Vilniaus A. Vienuolio vidurinës mo-kyklos mokytojas B. Balaiðis praneðë, kad nuo 1962�63 m. m. jo mokykloje,taip pat Kauno VIII ir Panevëþio I vidurinëse mokyklose steigiamos fizikos-

165

matematikos profilio klasës [235].Vilniaus VII vidurinës mokyklos mokytoja A. Selmistraitienë dalijosi

patirtimi [654] apie grupinio darbo organizavimà pamokoje, individualizuo-tas uþduotis atsiliekantiems: ,,Turiu specialø sàsiuviná mokiniams, kurie daþ-nai nesuspëja su vidutiniais ásisavinti aiðkinamos medþiagos. Èia paþymiu, kojie dar nemoka�.

Estijos pedagogai Ch. Kosenkranius (Kosenkranius) ir U. Siman (Si-man) savo straipsnyje [494] pristatë savos konstrukcijos gráþtamojo ryðio re-alizavimo árenginá � perforuotà plokðtelæ, sukëlusià didelá matematikos mo-kytojø susidomëjimà. Nuo ðio straipsnio prasidëjo bandymai taikyti progra-muoto mokymo elementus pamokoje.

Pirmasis savos konstrukcijos perforuotø plokðteliø bei signaliniø apa-ratø panaudojimà mokant matematikos apraðë skuodiðkis pedagogas A. Dok-ðus [352].

TM korespondentas J. Norkevièius savo 2 straipsniø cikle [578] aptarëgráþtamojo ryðio realizavimo priemoniø gaminimà ir panaudojimà Ðilutës raj.Ðvëkðnos vidurinëje (mokyt. P. Èeliauskas), Skuodo vidurinëje (mokyt. A.Dokðus), Maþeikiø I vidurinëje (mokyt. A. Skiparis ir A. Miceika) ir interna-tinëje (mokyt. A. Butkevièius) mokyklose.

Su savo konstrukcijos ðviesiniu tablo, skirtu programuotai apklausai,supaþindino A. Dokðus [354].

Telðiø raj. Degaièiø aðtuonmetës mokyklos direktorius A. Aþubalis su-paþindino [198] su savo atliktu eksperimentu mokant algebros VI klasëje. Jisparengë 37 testus � programas visoms VI klasës algebros temoms, nuolat jastobulino ir vartojo su tuo metu RMTI Matematikos kabineto vedëjo V. Kle-banskio rûpesèiu pagamintomis ir visose Lietuvos mokyklose paskleistomisestiðkosiomis perforuotomis plokðtelëmis.

Matematikos fakultatyviniø uþsiëmimø organizavimo problemas, rem-damasis Suvalkijos mokyklø pavyzdþiu, aptarë V. Klebanskis [466]. Stebëtas,,prievartinis paskyrimas� á fakultatyvus, nepakankamai atsakingas dëstan-èiø juose mokytojø parinkimas, prasta þiniø apskaita, nepakankamas vaizdu-mo naudojimas, prastas mokiniø ir jø tëvø informavimas apie ðià diferenci-juoto mokymo formà. Pateikë ir teigiamø pavyzdþiø.

Ðvëkðniðkis mokytojas P. Èeliauskas supaþindino [337] su savo pareng-tais programuotais testais trigonometrijos þinioms tikrinti: ,,Bet kokio didu-mo kampai�, ,,Trigonometriniø funkcijø þenklai�, ,,Redukcijos formuliø tai-kymas� ir ,,Atvirkðtinës trigonometrinës funkcijos�.

Skuodiðkis A. Dokðus analizavo [353] perforuotø plokðteliø panaudoji-

166

mo galimybes organizuojant diferencijuotà mokiniø apklausà.Telðiø raj. Ubiðkës vidurinës mokyklos direktorius A. Aþubalis pristatë

[210] savo parengtas programuotas priemones ,,Progresijø uþdaviniai� ir ,,Ro-diklinës ir logaritminës lygtys�, naudotas kartu su perforuota plokðtele, ap-tarë mokymo individualizavimo bei diferencijavimo rezultatus, pasiektus jasnaudojant.

Ðvietimo ministerijos mokyklø valdybos virðininkas V. Liutikas aptarë[525] SSRS ðvietimo ministerijos parengtà matematikos fakultatyviniø kursøprogramà ,,Rinktiniai matematikos klausimai�.

Toma Giedraitienë, Utenos IV vidurinës mokyklos mokytoja, dalijosipatirtimi [385], sukaupta rengiant ir naudojant programuotas apklausos kor-teles: ,,Kortelëje kiekvienam klausimui, paþymëtam skaièiumi, duotas atsa-kymas, paþymëtas raide. Mokinys, perskaitæs klausimà, ieðko atsakymo, kuráuþraðo savo lapelyje taip: 1 � A, 2 � C, 3 � B ir t. t. <...>. Mokiniai atsakymussuraðo ant dviejø lapeliø (vienà pasilieka sau, o kità atiduoda mokytojui).Tada variantais perskaitau atsakymus, ir prie teisingo atsakymo mokinys de-da þenklà +, o prie neteisingo �. Pagal susitartus kriterijus mokiniai patysáraðo sau paþymá. Tai ugdo jø sàþiningumà. Ar teisingai mokinys ásiraðë paþy-má, galiu patikrinti antrame lapelyje� [385, p. 42].

Kortelës pavyzdys:

167

Pastaba: Straipsnis paraðytas 1979 m., kortelë vartota IV klasëje (pagaltuometinæ programà).

Taigi mokytojai buvo gana smarkiai susidomëjæ programuoto mokymoelementø taikymu individualizuojant ir diferencijuojant matematikos moky-mà. Dabar, kompiuteriø eroje, kai kurie jø ,,iðradimai� gali atrodyti ir juo-kingi, taèiau atidþiau ásigilinus galima pastebëti, kad jais galima pasinaudotiir ðiuo metu. Bandyta individualizuoti bei diferencijuoti mokymà ir netai-kant programuoto mokymo elementø. Diegtas diferencijavimas ir organi-zuojant fakultatyvinius matematikos uþsiëmimus.

3.7. Integracijos (vidinës dalyko ir tarp dalykø)realizavimas mokant matematikos

Ðia ,,amþinai� aktualia tema paraðyta labai daug straipsniø. TM jø ið-spausdino 20, o Tm � 14.

Pats pirmasis pokario Lietuvoje paskelbtas straipsnis � V. Klebanskio,,Dëstymo formalizmas ir matematika� [435] irgi liudija ðios temos aktualu-mà. Ypaè ji buvo aktuali tuoj po karo, kai matematikà dëstë daug tam nepa-siruoðusiø mokytojø. ,,Dëstymo formalizmas pasireiðkia tokiu mokomojo pro-ceso vykdymu, � raðë V. Klebanskis, � kada: 1) mokinys nesuvokia giliai irsàmoningai dalyko, 2) negali apibendrinti ágytø þiniø ir pritaikyti jø bet ku-riems atvejams, 3) þinios ir jø faktai atitrûkæ nuo praktiðko gyvenimo. <...>.Reikia þinoti, jog matematikos dëstymui yra bûdingas tam tikras ,,prieðtara-vimas savyje�. Ið vienos pusës, be tvirtø teoriniø þiniø neámanomas pedago-ginis matematikos darbas, ið kitos gi pusës, grynas teoretizavimas padaro darbànevaisingà� [435, p. 46�47]. Formalizmas, anot V. Klebanskio, pasireiðkia ta-

168

da, kai mokiniai nesugeba atsakyti á klausimus: ,,Kuris visø maþiausias tri-þenklis skaièius? <...> visø didþiausias dviþenklis skaièius? <...> pirmas an-tro ðimto skaièius?�, arba kai ,,Einamas skritulio plotas ir pamirðtama, kadgalima papraðyti mokinius iðimti ið kiðenës monetà ir rasti jos plotà� [435, p.47]. Didþiausias ginklas prieð formalizmà � þiniø taikymas. V. Klebanskis ap-tarë daug matematikos pritaikymo pavyzdþiø paèioje matematikoje (vidinëdalyko integracija): aritmetinius sudëties ir daugybos dësnius taikome algeb-roje ir geometrijoje (veiksmuose su atkarpomis, figûromis); geometrinës vietossàvoka: parabolë, apskritimas, elipsë, hiperbolë. Ðios kreivës plaèiai naudo-jamos astronomijoje, fizikoje (o tai � jau dalykø integracija), panaðiai yra irsu trigonometrinëmis funkcijomis: jëgø skaidymas, nuoþulnia plokðtuma rie-danèio kûno greitëjimas, spindulio lûþio kampas stikle ir t. t. Pacitavæs pran-cûzø matematikà E. L. Matjë (Mathieu, 1835�1890) � ,,Visai teisinga, kadalgebra yra grynai formalinë disciplina, pagrásta nedaugeliu pagrindiniø dës-niø; ðiuos dësnius galima ásisavinti, panaudojant grynai formalinius veiks-mus. Bet mokytojo pareiga yra atsiminti, kad ðie mechaniniai skaièiavimaiyra tik priemonës tam tikram tikslui pasiekti; todël jis turi atsisakyti nuo pa-gundos palaikyti mokiniuose pamëgdþiojimo instinktus, uþuot këlæs jø suge-bëjimà galvoti. Nesunku, palyginti, algebrà dëstyti taip, kad mokinys galëtøgauti gerà paþymá per egzaminà, bet toks mokymas beveik arba visai niekonevertas auklëjimo atþvilgiu� [435, p. 48�49], � V. Klebanskis parodë, kaipalgebros þinias taikyti aritmetikoje mintiniam skaièiavimui, pvz.: a2 � b2 = (a + b)(b � c) � 104 · 96 = (100 + 4)(100 � 4) =10 000 � 16 ir pan.Iracionaliøjø skaièiø ávedimas iliustruotas geometriðkai (nebendramatës at-karpos). V. Klebanskis siûlë naudotis ir apibendrinimo idëja, lyginant kampøsavybes planimetrijoje ir stereometrijoje, parodant sàryðá tarp trikampio krað-tiniø ir trisienio kampo plokðèiøjø kampø savybiø ir t. t. Beje, iðdrásæs paci-tuoti prancûzø matematikà, V. Klebanskis negalëjo tada, 1945 m., nurodyti,kad po minëtos citatos pateiktø pavyzdþiø skaitytojas bûtø galëjæs rasti ikika-rinës Lietuvos pedagoginiuose þurnaluose, P. Maðioto (1863�1940) [7, p. 91;9, p. 366] ir I. Konèiaus (1886�1975) [7, p. 68; 9, p. 257�258] straipsniuose,kuriuos jis, be abejo, buvo skaitæs ir jø mintimis pasinaudojo, perteikdamasjas tø straipsniø neskaièiusiems ir negalëjusiems perskaityti. Tokiø pavyzdþiøpateiksime ir ateityje.

Sedos vidurinës mokyklos mokytojas V. Plauðinaitis raðë: ,,Daþnai mo-kiniai moka spræsti matematikos uþdavinius, kai yra duoti visi reikalingi duo-menys, bet visai nevyksta jiems tie uþdaviniai, kuriems duomenis reikia susi-rasti. Mokiniai moka apskaièiuoti kombinuoèiausiø kûnø tûrius, bet nepajë-

169

gia apskaièiuoti, kiek kubiniø metrø malkø yra kieme stovinèiame þage, kiekveþimø ðieno gali tilpti <...> darþinëje <...>. Jei paklausime mokiniø, kiekmetrø ilgio ir ploèio turi klasë, kurioje jie kasdien mokosi, tai daugelis ið jønesugebës atsakyti á duotàjá klausimà� [596, p. 30]. Siûlë mokyti nustatytiatstumus, ploèius, aukðèius ið akies, daugiau dëmesio skirti matavimø vieto-vëje organizavimui, planø sudarymui, akcentavo mintinio skaièiavimo nau-dojimà matavimuose, matematikos, fizikos, chemijos ir kt. dalykø ryðiø reali-zavimà.

Panevëþietis mokytojas A. Lakiûnas teigë [502], kad ,,þmonës dësniønesukuria, o tik juos atranda�, rekomendavo supaþindinti mokinius su de-ðimtainës pozicinës skaièiavimo sistemos, begalybës sàvokø susiformavimu.Siûlë pavyzdá ið astronomijos: ,,Garsus prancûzø astronomas Leverje, pasi-naudodamas matematika, atrado naujà, dar iki tol neþinomà Neptûno pla-netà�.

Vilnietë mokytoja D. Urbonienë dalijosi patirtimi [687], sukaupta or-ganizuojant matavimus vietovëje V�VI klasëse. Aptarë ðiø darbø organiza-vimo metodikà, matavimà þingsniais (mokinio þingsnis � apie 0,7 m), atstu-mø nustatymà ið akies, aro ir hektaro paþymëjimà vietovëje, neprieinamøatstumø nustatymà remiantis trikampiø panaðumu.

Ðvietimo ministerijos metodininkas V. Blagnys patarë [312], kaip pa-tiems su mokiniais pasigaminti elementarias priemones matavimams vieto-vëje: gaires, ekerá, lauko skriestuviná matuoklá.

Latvijos mokyklø MTI Politechninio mokymo sektoriaus vedëjas K. Prie-ditë (Priedite) aptarë [607] V. Blagnio minëtø priemoniø ir astroliabijos beieklimetro gamybà, matavimo vietovëje atlikimo klausimus, supaþindino suLatvijos mokytojø patirtimi ðioje srityje.

Vilnietis mokytojas R. Balaiðis plaèios apimties straipsnio [238] I dalyjesiûlë naudotis matematikos istorijos þiniomis dëstant atitinkamas mokykli-nio kurso temas, pateikë ir tø þiniø pavyzdþiø. Aritmetikoje rekomendavoaptarti skaièiavimo sistemø, skaitmenø raðymo evoliucijà, veiksmø ir santy-kiø þenklø ávedimo istorijà. Algebroje patarë supaþindinti su Dþ. Nepero(Napier, 1550�1617), G. Brigso (Briggs, 1561�1631), P. Laplaso (Laplace,1749�1827) darbais logaritmø teorijoje. Geometrijoje rekomendavo supa-þindinti su Talio, Pitagoro, Demokrito Abderieèio (Dçmokritos Abdçritçs,apie 460 � apie 370 pr. Kristaus g.), Zenono Elëjieèio (Zçnôn Eleatçs, apie490�430 pr. Kristaus g.), Antifono (Antiphônos, V a. II pusë pr. Kristaus g.),Hipokrato Chijieèio (Hippokratçs Chios, V a. II pusë pr. Kristaus g.), Eukli-do, Archimedo darbais. Beje, èia R. Balaiðis neiðdráso paminëti panaðiø

170

straipsniø apie matematikos istorijà, kuriuos prieðkario Lietuvoje buvo pa-skelbusi tada dar gyvenusi A. Maþylytë (1900�1972) [7, p. 96�97; 9, p. 267,403]. Taèiau R. Balaiðis iðdráso (buvo 1958 m., ,,chruðèiovinis atðilimas�) pa-minëti vysk. A. Baranausko (1835�1902) darbus, P. Maðioto, tada dar gyvøK. Klimavièiaus (1886�1972), M. Ðikðnio (1874�1970) vadovëlius. Minëjo irtada dar tebegyvenusiø ir dirbusiø Z. Þemaièio (1884�1969), P. Katiliaus(1903�1995), dar tada jauno J. Kubiliaus darbus. II straipsnio dalyje aptartasmokiniø sudominimas matematika ir þiniø gilinimas panaudojant matemati-nius paradoksus.

Kretingos vidurinës mokyklos mokytojas J. Vaièiulis dalijosi patirtimi[691] apie matavimø vietovëje organizavimà.

Buv. Linkuvos raj. Þeimelio vidurinës mokyklos mokytojas M. Gudy-nas aptarë [399] funkcinës priklausomybës praktiniø uþdaviniø sudarymà:temperatûros matavimo per savaitæ rezultatai; mokyklos remonto medþiagøir darbo laiko sànaudos ir kt. Aptarë matematikos þiniø panaudojimo darbøpamokose galimybes.

PMTI vyr. mokslinis bendradarbis A. Adomaitis, atsiliepdamas á tuometu organizuojamà mokyklose gamybiná mokymà, pateikë keliolika gamy-binio turinio uþdaviniø [178].

Rokiðkënas mokytojas pensininkas Juozas Janulionis pateikë keletà arit-metiniø uþdaviniø, susietø su tuometiniu SSRS ekonominiu gyvenimu [406].

Marijampolietis mokytojas J. Baltûsis24 , likdamas iðtikimas savo mate-matikos ir realaus gyvenimo sàryðio idëjoms, kurias jis propagavo dar ikika-rinëje Lietuvoje [9, p. 338�345], paskelbë straipsná [290] su 25 gamybinioturinio uþdaviniais. Vieno pavyzdys: ,,Nr. 10. Pagal duonai kepti receptà á100 kg ruginiø miltø reikia dëti 1,5 kg druskos. Druska dedama tirpalo pavi-dalu (kodël?). Kiek kilogramø tirpalo reikia pilti á maiðymà (rauginá), daro-mà ið 140 kg ruginiø miltø, jei druskos tirpalo stiprumas 20 proc. (vanduodruskos prisotintas)? (Ats. 10,5 kg)� [290, p. 32�33]. Mokytojams siûlë koo-peruotis tokiø uþdaviniø kûrimui pasiskirsèius temomis, nes vienam mokyto-jui visoms temoms surinkti medþiagà ir parengti uþdavinius yra sunku.

PMTI mokslinis bendradarbis A. Lepeðkevièius aptarë [513] matavimodarbø organizavimà V� VIII klasëse pagal tuometinæ programà.

Matematikos ir braiþybos bei fizikos ryðiø realizavimo bûtinumà akcen-tavo [307] V. Blagnys.

Gamybinio mokymo ir matematikos ryðiø bûtinumà pabrëþë V. Kle-banskis [460].

Matematiniø sàvokø sudarymà panaudojant fizikos þinias aptarë R. Ba-

171

laiðis [229]. Teigiamøjø ir neigiamøjø skaièiø sàvokai susiformuoti padedatermometro nagrinëjimas, algebrinio reiðkinio � paprasèiausios formulës(s = vt ir kt.), santykio sàvokai � taip pat (v = s/t ir kt.). Spræstini ir fizikinioturinio uþdaviniai, pvz.: ,,Iðskaièiuoti, kuriuo kampu vandenyje á jo pavirðiøturi kristi ðviesos spindulys, kad ið vandens iðëjæs jis eitø jo pavirðiumi� [229,p. 34] (11 pav.).

11 pav.

Joniðkëlio vidurinës mokyklos direktorius B. Aleksandravièius25  raðë:,,Lengviausias matematikos mokytojo dëstymo kelias yra toks: sausa, nepa-grásta praktine moksleiviø patirtimi teorija, vadovëlinë pratybø ir uþdaviniømedþiaga ir retkarèiais vienas kitas gyvenimiðkas (ryðiui su gyvenimu patei-sinti) uþdavinys. Bet toks dëstymas atitrûkæs nuo gyvenimo, <...> ir mate-matika lieka sausa, neádomi, mokiniams sunkiai suprantama� [179, p. 41].Straipsnyje pateikta nemaþa uþdaviniø. Vieno pavyzdys: ,,Reikia ásteigti 0,5ha medelynà ir aptverti tvorà. Kokios formos turi bûti sklypas, kad reikëtøtverti trumpiausià tvorà ir kokio ilgio ji turi bûti� [179, p. 41].

Klaipëdos I mokyklos-internato mokytoja S. Auðraitë savo straipsnyje[196] pateikë irgi nemaþa gamybinio turinio uþdaviniø. Vieno jø pavyzdys:,,Reikia iðdaþyti taisyklingo ðeðiakampio formos parodø salës sienas, kuriøkiekvienos ilgis 8 m, o aukðtis 3,8 m. Rasti daþomø sienø plotà, jei 30 proc.visø sienø ploto atmetama durø ir langø angoms� [196, p. 34].

Telðiø darbo jaunimo vidurinës mokyklos mokytoja I. Jaðkienë26  aptarë[415] skaitytuvø, logaritminiø liniuoèiø, M. Vygodskio ,,Elementarinës ma-tematikos þinyno� ir kt. skaièiavimo bei informaciniø priemoniø naudojimàmokant darbuotojus. Iðmokæ naudotis tuo per pamokas, mokës ir darbe.

Joniðkio I vidurinës mokyklos mokytojas S. Norbutas pateikë [568] ne-maþa matematikos istorijos þiniø, ypaè apie kompleksinius skaièius, mate-matinæ indukcijà, árodymø reikalingumà. Tà reikalingumà mokiniams jis iliust-ruodavo pavyzdþiu: ,,Árodyti, kad teiginys 991n2 +1 negali bûti natûrinio skai-èiaus kvadratas, yra neteisingas�. Tiesioginis tikrinimas èia nieko neduos,

172

nes pirmasis skaièius, kuriam ðis teiginys netinka yra 29�þenklis: 12 055 735703 313 594 474 425 387. Rëmë árodymø reikalingumà ir Leonardo da Vinèio(Leonardo da Vinci, 1452�1519) teiginiu: ,,Joks þmogaus tyrinëjimo rezulta-tas negali bûti pavadintas tiesa, jeigu jis nebuvo matematiðkai árodytas�.

Straipsná [414] apie matematines ekskursijas paskelbë telðietë I. Jaðkie-në. Su mokiniais ji aplankë Telðiø melioracijos statybos valdybà ir ðioje eks-kursijoje iðanalizavo niveliavimo darbus, matematikos þiniø taikymà juose.Lankësi jie ir Akmenës cemento gamykloje, matematikos pamokose panau-dojo þinias apie ritiniø pavidalo krosnis ir kt. Kitame I. Jaðkienës straipsnyje[416] pateikta keletas ádomiø gamybinio turinio uþdaviniø: ,,Reikia iðfrezuo-ti kvadratinæ galvutæ, kurios kraðtinë bûtø 30 mm. Koks turi bûti maþiausiasapvalaus plieninio strypo diametras, kad bûtø galima iðfrezuoti duotø mat-menø galvutæ�; ,,Kiek reikalinga lauko akmenø, þvyro, cemento, vandens,lentø, viniø pastato betoniniø pamatø iðpylimui, jei pastato ilgis 70 m, plotis10 m, o betoniniø pamatø (skaièiuojant nuo pamatø tranðëjø dugno) aukðtisyra 1,45 m ir plotis 0,5 m? Taip pat þinoma, kad 1 m² akmenbetonio pagami-nimui reikia 0,44 m² lauko akmenø, 1,1 m² þvyro, 180 kg cemento, 0,22 m²vandens, 0,00026 m² lentø, 0,007 kg viniø� ir kt.

Jau daug kartø minëtas V. Blagnys savo straipsnyje [308], aptardamasgeometrijos mokymo ryðio su gyvenimu realizavimà, citavo rusø filosofà N.Èernyðevská (1828�1889): ,,Geometrija skaido skritulá á apskritimà, spindu-lius, centrà, bet ið esmës nëra spindulio be centro ir apskritimo, o apskritimonëra be spindulio ir centro � ðios trys sàvokos, ðios trys skritulio geometriniotyrinëjimo pusës sudaro visos kartu vienà vienetà� [308, p. 5]. Aptarë kaikuriø K. Gauso, E. Beltramio (Beltrami, 1835�1900), N. Lobaèevskio, K.Veselio (Wessel, 1745�1818) minèiø panaudojimo aspektus.

Inþinierius geodezininkas V. Tulevièius, 1963 m. vadovavæs RMTI or-ganizuotø matematikos mokytojø kursø lauko praktikai, raðë, kad atlikus sumokytojais matavimo darbus, ,,iðryðkëjo, jog mokyklos blogai aprûpintos áran-kiais, reikalingais matavimo darbams. Nei vienoje vidurinëje mokykloje, ku-riø atstovai dalyvavo geodezinëje praktikoje, nëra teodolito. Tik kai kuriosmokyklos yra ásigijusios goniometrus bei mokyklines menzulas. Plaèiau su-tinkamos astroliabijos, kurios <...> maþavertës praktiniame darbe� [684].Taigi raðyta apie matavimus vietovëje daug, bet mokykloms tekdavo verstissavos gamybos, netobula matavimø atlikimo áranga.

Kaunietis mokytojas A. Neniðkis aptarë stebëjimø, vaizdiniø naudà ma-tematiniuose apibendrinimuose [565].

Joniðkieèio S. Norbuto straipsnis [567] � antireliginis, cituojant kai ku-

173

riø matematikø antireligines mintis, bandyta ,,sugriauti� religijà. Kà gi, tuometu (1964 m.) tokiø straipsniø labai reikëjo...

Rokiðkënas J. Janulionis savo straipsnyje [406] parodë matematikos ry-ðá su gyvenimu (ornamentika, technika, sveikatos apsauga, chemija, fizika,astronomija, teise), baigiamosiose klasëse rekomendavo raðyti raðiná ,,Mate-matika mano gyvenime�.

Kapsuko (Marijampolës) raj. Skaisèiûnø aðtuonmetës mokyklos moky-toja T. Striauðienë paskelbë itin politizuotà straipsná [660], keliantá á padan-ges ,,gimtojo kolûkio� laimëjimus, aptariantá jø panaudojimà V klasës uþda-viniams sudaryti. Tuo metu ypaè imta akcentuoti mokymo ir komunistinioauklëjimo vienovës principà. Todël reikëjo raðyti ir tokius straipsnius... Ir nevisada savo iniciatyva...

PMTI vyr. mokslinës bendradarbës L. Vaitkûnienës straipsnyje [693]pateikta ádomiø minèiø apie gamybiniø uþdaviniø panaudojimà mokiniø màs-tymui ugdyti: ,,Kubas sudarytas ið 25 maþyèiø kubeliø. Mokinys, þiûrëdamasá gipsiná nepilno kubo modelá, turi padaryti ið maþyèiø kubeliø trûkstamà jodalá taip, kad ji galëtø uþpildyti visas kubo tuðtumas ir atstatyti jo formà <...>.Siekiant mokinius iðmokyti operuoti erdviniais vaizdais ir santykiais, naudo-tini tokio tipo uþdaviniai: mokiniams siûloma ásivaizduoti kvadratà, esantátiesiai prieð juos, o po to mintyse nubrëþti áþambinæ ið deðiniojo virðutiniokampo á kairájá apatiná. Toliau siûloma sulenkti kvadratà taip, kad virðutiniskairysis trikampis uþklotø deðiná apatiná. Ið horizontalaus statinio vidurio ið-keliamas statmuo, ir figûra (mintyse) perkerpama per ðià linijà. Trikampis,esantis kairëje pusëje, atmetamas, o likusià figûrà siûloma iðtiesti ir nupieðtitokià, kokia liko�.

Ðvietimo ministerijos inspektoriai A. Zybartas27  ir V. Blagnys plaèiosapimties straipsnyje aptarë [719] Birþø II vidurinës mokyklos matematikosmokytojø darbà. Skyrelyje ,,Darbas puoðia þmogø� aptartas tvarkingumo ug-dymas atliekant uþraðus bei brëþinius lentoje bei sàsiuviniuose. Skyrelyje ,,Vys-tyti loginá màstymà� aptarti pokalbiai su mokiniais: ,,klausimo, ar galima to-kia lygybë: m + 2n = m � 2n, ar visada 2c > c, nei VII, nei VIII klasiømokiniai nesiima giliau nagrinëti, ir dauguma atsako, kad pateiktoji lygybënegalima, o 2c visada daugiau uþ c. Dauguma VIII klasiø mokiniø nesugebë-jo paaiðkinti, kada trupmena a/b lygi nuliui ir kada neturi prasmës.

Daþnai pastebimi faktai, kad, klaidingai iðsprendæ uþdaviná ir gavæ ne-teisingà atsakymà, mokiniai to nepastebi <...>. Dar nemaþa atvejø, kai mo-kytojai reikalauja ið mokiniø, jog uþdaviniai bûtø sprendþiami pagal tam tik-rus <...> ðablonus, <...> teoremos árodomos tik taip, kaip nurodyta vadovë-

174

liuose�. Skyrelyje ,,Ar mokame racionaliai spræsti?� aptarti VI klasës moki-niams pateikto spræsti pratimo [(11/2 + 2) � 14/5x(31/5 � 21/4)] · 0 sprendimorezultatai � ið karto atsakymà paraðë tik 14 ið 29 mokiniø. Todël ,,Klausimai,,Kodël?�, ,,Ið kur tai gauta?�, ,,O kas bus, jei pakeisime uþdavinio sàlygàtaip?�, ,,Ar visada ðis uþdavinys turi sprendiná?� ir daugelis kitø turi taptipagrindiniais mokytojø klausimais kiekvienoje <...> pamokoje�. Skyrelyje,,O filosofinës iðvados?�, cituodami akad. P. Aleksandrovà: ,,Aukðtos mate-matinës kultûros dëstytojas ir elementaria medþiaga gali atskleisti mokiniamsdidelæ perspektyvà ir parodyti mokiniams matematikà kaip mokslà, o ne tikkaip mokomàjá dalykà�, autoriai aptarë liûdnokus anketinës apklausos re-zultatus. Nei vienas VIII klasiø mokinys nesugebëjo paaiðkinti, kokie skai-èiai vadinami natûraliaisiais, kokie racionaliaisiais. Panaði padëtis buvo ir IXklasëse. XI klasëse tik 2 mokiniai teisingai nurodë, kokia skaièiø aibë ið jønagrinëtøjø yra plaèiausia, silpnokai jiems sekësi paaiðkinti funkcijos kitimà,ribos sàvokà. ,,Mûsø nuomone, � raðë A. Zybartas ir V. Blagnys, � mokykloseiki ðiol neskiriama reikiamo dëmesio mokiniø matematiniam ðvietimui. Jei-gu ávairiø progø metu mokiniams ruoðiamos ádomios literatûros, geografijos,astronomijos, biologijos ir kitø srièiø paskaitos, tai beveik negirdëtas daly-kas, kad mokiniai iðklausytø paskaità, paðnekesá apie matematikos istorijà,jos kilmæ ir vystymàsi, matematikos mokslo ir gyvenimo poreikiø tarpusaviosàlygotumà <...>. Mokiniai iðeina ið vidurinës mokyklos, nesuvokæ ypatin-gos matematikos reikðmës pasauliui paþinti�. Taip raðyta 1965 m., praëjus 20m. po karo, po pirmojo ðios temos straipsnio apie formalizmà. Formalizmolikæ buvo daug. Já dar stiprino ,,procentomanija�, apie kurià, þinoma, tadaraðyti nebuvo galima...

Kauno VI vidurinës mokyklos mokytoja J. Davidavièienë dalijosi patir-timi [345], sukaupta supaþindinant V klasës mokinius su dideliais skaièiais.Pateikë ádomiø pavyzdþiø: ,,Vidutinis suaugusio þmogaus ûgis yra 170 cm.Padidintas milijonà kartø, jis bûtø tik 8 kartus maþesnis uþ þemës skersmená,o atsigulæs vos iðsitektø tarp Juodosios ir Baltijos jûrø <...>. Milijonas dienø� daugiau kaip 27 ðimtmeèiai <...>. Kiek laiko reiktø 1 000 000 puslapiøperskaityti, jei 1 puslapá skaitysime 6 minutes ir skaitysime kasdien, iðskyrussekmadienius, po 8 valandas. (Atsakymas: apie 40 metø) <...>. Deðimtmetisberniukas, norëdamas suskaièiuoti iki milijardo ið eilës, ðá darbà baigtø ðim-tameèiu seneliu (jei kasdien skaièiuotø po 6 valandas)�.

Aptarë J. Davidavièienë ir þaidimà ,,Gyvoji numeracija�: ið mokiniø tre-jetø sudaromos vienetø, tûkstanèiø, milijonø ir milijardø klasës. Iðkvietusprieð klasæ mokinius, jie, atitinkamai surikiuoti, iðkeltais pirðtais vaizduoja

175

ávairiausius daugiaþenklius skaièius.,,Sisteminant þinias, susidaro atskirø dalyko daliø ryðiai, vidiniai daly-

kiniai (tarpmatematiniai) ir tarpdalykiniai ryðiai�, � taip pradëjo savo straipsná[474] V. Klebanskis. Ryðiai ypaè gerai sudaromi kartojimo metu. I straipsnioskyrelyje ,,Darbo mokslinis organizavimas� V. Klebanskis siûlë naudoti kar-tojime didaktinæ dalijamàjà medþiagà, ið anksto lentoje nubrëþtus brëþinius,kino fragmentus, diafilmus. II skyrelyje ,,Tarpmatematiniai ryðiai� pateikëpavyzdá, kaip glaudþiai yra susietos laipsnio, ðaknies ir logaritmo sàvokos,tam siûlë spræsti pratimus:

,,1. Kurioms x reikðmëms galioja (x 2 � 5x � 6)2 > 0 <...>.3. Kurioms x reikðmëms galioja (x 2 + 10x � 24) < 0 <...>.5. Kurioms x reikðmëms reiðkinys y = log2x+1(6x � 12) yra apibrëþtas?�

ir t. t. Panaðiai, kaip ir I. Konèius [7, p. 68; 9, p. 257�258], V. Klebanskisnutiesë ,,tiltà� tarp planimetrijos ir stereometrijos, siûlë sugretintai kartotitemas: ,,Trikampis� ir ,,Trikampë piramidë�, ,,Lygiagretainiai� ir ,,Gretasie-niai�. Pvz., trikampyje ,,Kiekviena kraðtinë gali bûti laikoma pagrindu�, otrikampëje piramidëje � ,,Kiekviena siena <...>�, apie kiekvienà trikampágalima apibrëþti ir á já ábrëþti apskritimà, o apie ir á piramidæ � rutulá ir t. t.Kituose straipsnio skyreliuose V. Klebanskis akcentavo uþdaviniø sprendimoreikðmæ kartojant teorijà, apþvalgines paskaitas baigiamajame kartojime prieðabitûros egzaminus, pateikë kitø patarimø: ,,Ypaè kûrybinis yra tekstiniø uþ-daviniø sudarymas, kuris labai sudomina mokinius, aktyvina jø protinæ veik-là <...>. Ypaè reikia akcentuoti atvirkðtiniø uþdaviniø bei teiginiø sudarymoreikðmæ <...>. Probleminei situacijai realizuoti gali bûti panaudojami ir eu-ristinis pasikalbëjimas, ir laboratorinis darbas, ir kiti mokinio darbo organi-zavimo bûdai <...>. Probleminis mokymas nepasiekia savo tikslo, kai neatsi-þvelgiama á kitas mokymo proceso puses <...>: jis negali ir neturi bûti neivienintelë, nei vyraujanti mokymo sistema�.

RMTI vyr. dëstytojo A. Aþubalio straipsnyje [206] akcentuoti teorijosir praktikos ryðiai, árodymo sàvokos formavimas, mokiniø mokymas savaran-kiðkai papildyti matematines þinias.

Panevëþietis mokytojas Jonas Tilindis dalijosi patirtimi [681], sukauptarealizuojant matematikos ir fizikos ryðius: ,,1. Analizuodami geometrinio kûnosàvokà, sugretiname jà su analogiðka fizinio kûno sàvoka. 2. Aiðkindamiesisàvokà ,,algebrinis reiðkinys�, nurodome paprasèiausias fizikos formules.3. Ávesdami teigiamus ir neigiamus skaièius, naudojamës kaitaliojimusi tokiøfizikiniø dydþiø, kaip temperatûra, greitis. 4. Pastovaus dydþio sàvokai iðsi-aiðkinti tinka taip pat fizikos pavyzdþiai, pirmiausia fizikinës konstantos� [681,

176

p. 46]. Pateikë ir fizikinio turinio uþdaviniø pavyzdþiø: ,,Ið punkto M iðëjokeleivis A 3 km/h greièiu. Po 2 val. ið to paties punkto M iðëjo kitas keleivis Bta paèia kryptimi 4 km/h greièiu. Kada jie susitiks?� [681, p. 47], siûlë spræstigrafiðkai.

Matematikos istorijos elementus IV�VI klasiø pamokose siûlë [628]naudoti K. Pulmonas, rekomenduodamas K. Malygino knygà ,,Matematikosistorijos elementai� (K.: Ðviesa, 1964) ir rusiðkà G. Gleizerio knygà, kuri vë-liau buvo iðversta á lietuviø kalbà [53].

Taigi ðia aktualia tema raðyta daug. Raðë mokytojai, dëstytojai, mate-matikos didaktikos, kitø srièiø specialistai. Jei jø pastangos nebuvo visadavaisingos, kalti ne jie: menka buvo mokyklø materialinë bazë, netikras ir ið-kreiptas buvo gyvenimas, kurio pavyzdþius reikëjo mokiniams teikti ir aukð-tinti. Kur tai buvo ámanoma, knygoje stengtasi neminëti privalomøjø to aukð-tinimo pavyzdþiø, o bandyta paimti ir atskleisti tai, kas ir dabar yra, ir ateityjeliks aktualu � paèià mokymo integracijos idëjà, kurià gerai suprato bei sten-gësi realizuoti ir to meto pedagogai.

3.8. Matematikos mokymo programos ir vadovëliai

Ðia tema raðyta labai daug: TM, TÐ � 30 str., Tm �15.Pirmasis straipsná [456], kuriame lygino A. Kiseliovo [64], A. Barsuko-

vo [19] ir rusiðkame S. Novosiolovo vadovëliuose pateiktus apibrëþimus, pa-skelbë V. Klebanskis.

Geometrijos mokymà IX klasëje, perëjus ið septynmeèio mokslo á að-tuonmetá, aptarë A. Lepeðkevièius [508].

Pagrindinis straipsniø srautas ðia tema prasidëjo ávedant naujàsias VII�VIII deðimtmeèiø matematikos programas, mokomàsias priemones bei jastobulinant, keièiant. Naujàsias programas pirmasis pristatë V. Blagnys [310],jis paskelbë ir vienà straipsná [305] apie matematikos mokymà IV klasëje.Toliau supaþindinti su naujosiomis ar patikslintomis programomis ar moky-mo priemonëmis ëmësi RMTI darbuotojai (beje, kaip ir pradiniø klasiø mo-kytojai, taip ir matematikos mokytojai kasmet, pradedant dësèiusiais IV irbaigiant XI klasiø mokytojais, prieð ávedant naujas programas, visi bûdavosukvieèiami á kursus � pinigø tam negailëta). Labai daug straipsniø ðia temapaskelbë V. Klebanskis [428, 429, 438, 441, 442, 445, 449, 454, 457�459, 473,477, 484, 487], ne maþiau, perëmæs ið V. Klebanskio vadovavimà RMTI Ma-

177

tematikos kabinetui, o vëliau tapæs ir direktoriaus pavaduotoju, � K. Pulmo-nas [612, 613, 615, 616, 620�622, 624�627, 630, 631, 637]. Vienà straipsnápaskelbë ir E. Masiulienë su J. Norkevièiumi [536]. Ðiek tiek raðë ir Ðvietimoministerijoje dirbusios O. Vokietaitytë [707] ir M. Vosylienë [710, 714]. Buvoátraukti ir VPI darbuotojai: V. Drëgûnas [356�360, 364�366] ir J. Teiðerskis[674]. Vienas keliø daliø straipsnis buvo paskelbtas ir apie bûtinø mokymorezultatø (dabartiniø iðsilavinimo standartø analogas) reikalavimus [327].

Visi ðie straipsniai paraðyti kruopðèiai ir tuo metu pradedantiems dirbtiatitinkamoje klasëje davë daug naudos. Dabar jie teturi daugiau paþintinæistorinæ vertæ, nors ir ðiuo metu bûtø galima rasti juose visuose kai kuriø gerøminèiø, pritaikytinø dabar ir ateityje. Ypaè tai pasakytina apie V. Klebanskioir V. Drëgûno straipsnius.

3.9. Aritmetikos mokymas

Aritmetikos mokymo klausimams aptarti TM paskelbë 12, o Tm (Ttm)� 2 straipsnius.

Pirmasis straipsná [234] apie paprastøjø trupmenø daugybos mokymàpaskelbë vilnietis R. Balaiðis. Straipsnyje iðanalizuotos 4 ðios temos pote-mës: trupmenos dauginimas ið sveikojo skaièiaus (iðskirti ir aptarti 8 atvejai),sveikojo skaièiaus dauginimas ið trupmenos, trupmenos dauginimas ið trup-menos (pradëjo nuo tekstinio uþdavinio, paaiðkinanèio ðios daugybos pras-mæ, plaèiai taikë grafiná sprendimo paaiðkinimà), miðriøjø skaièiø daugyba(5 atvejai). Pabaigoje suformulavo apibrëþimà: ,,Daugyba yra aritmetikosveiksmas, kuriuo ið vieno skaièiaus, vadinamo dauginiu, sudaromas naujasskaièius, vadinamas sandauga, taip, kaip kitas duotas skaièius, vadinamas dau-gikliu, sudarytas ið vieneto�. Ir ðis apibrëþimas, ir minëtø atvejø aiðkinimasyra paimti ið K. Klimavièiaus ikikarinio aritmetikos teorijos vadovëlio, kuriomokslinis redaktorius buvo prof. Viktoras Birþiðka [9, p. 146�148]. Taèiautuo metu V. Birþiðka, kaip ir dar 2 jo broliai profesoriai, gyveno JAV, taigi jovardas ir jo redaguotos knygos, kaip, beje , ir visa, kas buvo susijæ su ikikari-nës Lietuvos mokykla, buvo ,,tabu�. Todël straipsnyje naudota literatûra ne-nurodyta... Kitas R. Balaiðio straipsnis [233] buvo skirtas paprastøjø trupme-nø dalybos mokymui. Iðskirtos ir aptartos 5 ðios temos potemës: 1) sveikøjøskaièiø dalyba (5 atvejai); 2) trupmenos dalijimas ið sveikojo skaièiaus (8 at-vejai); 3) sveikojo skaièiaus dalijimas ið trupmenos (èia remiamasi tekstiniais

178

uþdaviniais, schemomis); 4) trupmenos dalijimas ið trupmenos (5 atvejai, aið-kinime plaèiai naudojamasi tekstiniais uþdaviniais); 5) miðriøjø skaièiø daly-ba (5 atvejai). Èia vël plaèiai remtasi K. Klimavièiaus vadovëliu.

Kaunietis J. Þemaitis aptarë [724] trupmenos sàvokos sudarymà. Pra-dþioje rekomendavo pjaustyti bulves, popierinius skritulius, virvutes, lazde-les ir t. t. Prieð ávedant trupmenos sàvokà atlikti ir veiksmus: ,,5 deðimtosios+ 3 deðimtosios�, ,,21 ðimtoji : 3� ir pan. ,,Ðitaip padirbëjus, � raðë J. Þemai-tis, � vaikams iðryðkëja, kad daliø skaièius lemia atliekant veiksmus, o jø var-dai nusako tik tø daliø didumà. Taip pribræsta skaitiklio ir vardiklio sàvokos,ir jau galime eiti prie trupmenos sàvokos sudarymo.

Suraðome eilæ pavyzdþiø lentoje:1 antroji,1 ketvirtoji,2 penktosios,7 aðtuntosios ...

ir iðkeliame klausimà visai klasei:� Ar negalima daliø vardus kaip nors kitaip raðyti, nes raðymas iðtisu

þodþiu gaiðina laikà ir uþima daug vietos?Iðkeltàjà trupmenos formos problemà klasë sprendþia su noru, ir tos

formos ieðkojimas leidþia mokiniams pasijusti kûrëjais <...>. Galime tvir-tinti, kad, ðitaip priëjus prie trupmenos, neatsiras mokiniø, kurie sudëtø irskaitiklius, ir vardiklius, atliekant sudëties veiksmus�.

Telðietis mokytojas A. Kalinauskas28  aptarë [420] V klasës mokiniø su-paþindinimà su mintiniu dauginimu ið 5, 25, 9, 11, taip pat supaþindino sumintinio skaièiavimo atvejais: 43x19, 574 + 298, 749 � 397, 4¼x4, 12¾ : 3.

Su K. Naudþiumi [563] apie veiksmø eilæ diskutavo V. Klebanskis [486]ir suformulavo jos taisykles, kuriø laikomës ir dabar.

Labai svarbià pedagoginæ aritmetikos mokymo V klasëje problemà ap-tarë V. Blagnys [313] � buvusiø pradinukø adaptacijà. Pirmiausia matemati-kos mokytojas turi gerai pakartoti IV klasës matematikos kursà. Rekomen-davo nepulti á daþnai stebimus praktikoje kraðtutinumus: mokiniai ,,visai ne-paruoðti� ir ,,labai gerai paruoðti�. Labai blogai daro tie mokytojai, kurie jauper 1-à pamokà V klasëje raðo kontrolinius darbus, gauna prastus jø rezulta-tus ir juos visur ,,kaiðioja�, teisindamiesi, kokius prastus mokinius gavæ..

Ðiauliø raj. Kairiø aðtuonmetës mokytojas J. Vaupðas apraðë [700] trup-menø demonstravimo priemonæ � plakatà, kuriame staèiakampiais parody-ta: 1, 2/2,

3/3, 4/4,

5/5, 6/6,

8/8, 10/10,

12/12, 15/15,

16/16, 20/20,

30/30 ir parodë, kaip jà naudojotrupmenø plëtimui, jø bendravardiklinimui ir sudëèiai. Kitame savo straips-

179

nyje [702] J. Vaupðas pateikë 7 ávairaus sunkumo tekstinius uþdavinius ir pa-rodë, kaip su schemomis � lentelëmis jie analizuojami ir iðsprendþiami. Vie-nas pavyzdys:

3 klasës surinko 6300 kg metalo lauþo. I klasë surinko 6, o II � 2 kartusdaugiau negu III klasë. Kiek metalo lauþo surinko kiekviena klasë atskirai?

Sudaroma ir palaipsniui uþpildoma tokia lentelë:

Aktualius aritmetikos mokymo klausimus aptarë [431] V. Klebanskis.Jis akcentavo sàmoningo aritmetinës terminijos naudojimo klausimus, tampasiekti rekomendavo uþduotis:

,,Paraðyti pratimo pavidalu ir iðspræsti:a) Skaièiø 315 ir 35 sumos sandauga ið skaièiø 104 ir 216 sumos.b) Dalmuo, gaunamas dalijant skaièiø 37, 48 ir 23 030 sumà ið 115.c) Skaièiaus 354 sandauga ið skaièiø 314 ir 16 skirtumo�.Pateikë medþiagos gamybinio pobûdþio uþdaviniams sudaryti: ,,Stiklui

gaminti imama potaðo, smëlio ir kreidos santykiu <...> 10 : 31 : 24.Slidþiø tepalà atodrëkiui galima sudaryti ið kanifolijos, linø aliejaus ir

puðø deguto, imant ðias medþiagas santykiu <...> 7 : 3 : 15�. Aptarë ir pa-grindiniø tuo metu V�VI klasiø aritmetikos kurse spræstø tipiniø uþdaviniøsprendimo metodikà.

Apytikslio skaièiavimo prasmæ, apytikslæ sudëtá, atimtá, daugybà ir da-lybà aptarë J. Teiðerskis [669].

Ðiauliø raj. Meðkuièiø vidurinës mokyklos mokytojas J. Vaupðas nagri-nëjo [701] trupmenø veiksmø prasmës iðaiðkinimo vaikams problemà: ,,IVklasës mokinys yra tvirtai ásitikinæs, kad sandauga yra visada didesnë uþ dau-ginamàjá, o dalmuo � maþesnis uþ dalijamàjá. Aritmetikos mokytojui iðkyladideli sunkumai, kol átikina penktokà, kad sandauga gali bûti maþesnë uþdauginamàjá, o dalmuo didesnis uþ dalijamàjá�. Panaðiai, kaip prieð karà, S.Vainbergas (1894�?) [7, p. 128; 9, p. 206], rekomendavo sudarinëti lenteles,ir, esant pirmajam veiksmo (daugybos ar dalybos) komponentui pastoviam,o antrajam kintant ir pereinant ið natûraliøjø skaièiø á trupmenas, átikintivaikus aukðèiau minëtu klausimu.

Ðilutës raj. Saugø vidurinës mokyklos direktorius V. Baipðys29  aptarë[223] tekstiniø uþdaviniø sprendimà naudojantis lentelëmis.

Procentinius skaièiavimus vidurinës mokyklos kurse apþvelgë V. Kle-

180

banskis [471]. Jis pateikë formules:1) skaièiaus procentui nustatyti: a = 0,01Ap;

2) skaièiui apskaièiuoti ið jo procentø: ;

3) 2 skaièiø procentiniam santykiui nustatyti: .

Aptarë sudëtingesniø procentø uþdaviniø sprendimo klausimus:1. Mokiniai daþnai daro klaidas dël to, kad jiems sunku nustatyti, kuris

uþdavinio duomuo sudaro 100 proc. Pavyzdþiui: ,,Klasëje yra 18 mergaièiø ir12 berniukø. Kiek procentø visos klasës mokiniø sudaro mergaitës ir kiekprocentø sudaro berniukai? Keliais procentais mergaièiø yra daugiau neguberniukø? Keliais procentais berniukø yra maþiau negu mergaièiø?� [471, p.31].

2. Labai svarbu gerai iðaiðkinti terminijà.3. Procentø uþdaviniuose susiduriame su ypatingais palyginimo atve-

jais: skirtuminio ar kartotinio palyginimo uþdaviniuose þodis ,,daugiau� ar,,maþiau� uþdavinio klausime kiek sunkina tik sprendimà, atsakymas gauna-mas abiem atvejais vienodas. Kitaip yra procentø uþdaviniuose. Èia V. Kle-banskis analizavo pavyzdá.: ,,Petras turi 25 kap., o Jonas 20 kap.

a) Keliais procentais turi Petras daugiau kapeikø negu Jonas?b) Keliais procentais Jonas turi maþiau kapeikø negu Petras?� [471, p.

32].4. Mokiniai turi suprasti, kad posakis ,,padidëjo p proc.� yra ekvivalen-

tus posakiui ,,padidëjo (1 + 0,01p) karto�.Aptarë V. Klebanskis ir praktikoje sutinkamus sudëtingesnius procentø

uþdavinius:1. Prekiø pirkimas ir pardavimas su nuolaida arba antkainiu: ,,Knygy-

nas ásigijo knygas su 25 % nominalinës vertës nuolaida ir parduoda jas uþnominalinæ vertæ. Kiek procentø antkainio gauna knygynas?

1) 100 � 25 = 75 (%);

2) (%)� [471, p. 33].

2. Prekiø kainø pakeitimai: ,,Prekiø kaina buvo sumaþinta 10 %, o pas-kui naujoji kaina vël sumaþinta 4 %.

a) Keliais procentais sumaþinta pirmoji prekiø kaina?b) Kelis pirmosios kainos procentus sudaro galutinë prekiø kaina?

a) 1) 100 � 10 = 90 (%);

A = a · 100p = 0,01p

a

p = a · 100A · 0,01 =

a · 100%A

A = a · 100A

= 7525 · 100

=33 1/3

181

2) 90 · 0,04 = 3,6 (%); 3) 10 + 3,6 = 13,6 (%).

b) 1) 100 � 10 = 90 (%); 2) 90 · 0,04 = 3,6 (%);

3) 90 � 3,6 = 86,4 (%) [471, p. 33].3. Skiedinio stiprumo skaièiavimo uþdaviniai: pateikë formulæ

% ;

èia p � koncentracija, A � iðtirpintos medþiagos kiekis, B � tirpikliokiekis.

4. Lydiniø uþdaviniai: ,,180 g 920 prabos aukso sulydyta su 100 g 752prabos aukso. Kurios prabos gautas lydinys?

1) 180 · 0,920 = 165,6 (g);2) 100 · 0,752 = 75,2 (g);3) 165,6 + 75,2 = 240,8 (g);4) 180 + 100 = 280 (g);5) 240,8 : 280 = 0,860. Atsakymas. 860 prabos� [471, p. 33].

5. Bankinës operacijos.6. Ávairûs uþdaviniai darbo naðumui, produkcijos didëjimui, laiko tau-

pymui, realaus uþdarbio skaièiavimui. Pvz.: ,,Detalei pagaminti skiriama 40min. Per kiek minuèiø bus pagaminta detalë, darbo naðumà padidinus 25 %?

1) (100 + 25) : 100 = 1,25 (tiek kartø padidës darbo naðumas);2) 40 : 1,25 = 32 (min)� [471, p. 34].

Po 32 m. prie procentø mokymo problemø gráþo K. Pulmonas [632].Aptarë procentø mokymà ikikarinës Lietuvos mokyklos V�VI skyriuose, da-bartinëje Prancûzijoje (VI�VIII mokslo metais), Japonijoje (V�VI klasëse).Pabrëþë, kad ,,prieð pradedant spræsti procentø uþdavinius, svarbiausia ið-mokyti vaikus suvokti dydþio reikðmës ir atitinkamø procentø tarpusaviosàsajà, t. y. kurià dydþio reikðmæ atitinka kiek procentø� [632, p. 30]. Toliauaptarë pagrindinius procentø uþdavinius ir jø sprendimo bûdus (proporcijo-mis, lygtimis).

Pagrindiniai straipsniai paraðyti iki 1970 m. reformos pradþios, nes pojos aritmetika buvo átraukta á IV�VI klasiø matematikos kursà. Taèiau dau-gelis tø straipsniø minèiø yra aktualios ir dabar, tokios iðliks ir ateityje.

p = A · 100A + B

182

3.10. Algebros mokymas

Algebros mokymo problemoms nagrinëti TM paskelbë 12, o Tm �13straipsniø.

Pirmasis straipsnis [599] � Sedos vidurinës mokyklos mokytojo V. Plau-ðinaièio. Jis raðë: ,,Kad bûtø galima sudaryti lygtá ið uþdavinio sàlygø, reikiaturëti bent vienà reiðkiná, sudarytà ið uþdavinio duomenø, ir vienà skaièiø,kuriuos bûtø galima sujungti lygybës þenklu; arba turëti bent du reiðkinius,sudarytus ið uþdavinio duomenø, kuriuos bûtø galima sujungti lygybës þen-klu� [599, p. 19]. Ðá teiginá iliustravo, trimis bûdais sudarydamas lygtá ið uþda-vinio: ,,Kolûkio pirmininkas davë laiðkininkui nuneðti á miestà kelis laiðkus.Po kiek laiko pirmininkas pastebëjo, kad laiðkininkas, iðvykdamas á miestà,pamirðo vienà laiðkà; dël to lygiai vienà valandà vëliau negu iðvyko laiðkinin-kas buvo pasiøstas kolûkietis pavyti laiðkininkà ir áteikti jam laiðkà. Kolûkie-tis, pasivijæs laiðkininkà, áteikë jam laiðkà ir sugráþo á kolûká tuo paèiu metu,kai laiðkininkas pasiekë miestà. Kuriuo greièiu vyko laiðkininkas, jei kolûkie-tis vyko 6 km/val. greièiu ir jei ið kolûkio á miestà yra 20 km tolumo?� [599, p.19] sàlygos.

I bûdas:

II bûdas:

III bûdas:

O kolûkio pirmininkas 1952 m. buvo labai bûtinas uþdavinio persona-þas. Dabar já galime pakeisti seniûnu...

Verstiniame straipsnyje [384] J. Gibðas iðdëstë iracionaliøjø lygèiø spren-dimo teorijà ir jà plaèiai iliustravo 11 pavyzdþiø sprendimu.

VVPI vyr. dëstytojas V. Katilius30  apraðë [423] demonstracinës logarit-minës liniuotës pagaminimo ir vartojimo technologijà.

Klaipëdos V vidurinës mokyklos mokytojas V. Ruzgys aptarë [653] arit-metiná ir algebriná uþdaviniø sprendimo bûdus, dydþiø tarpusavio priklauso-

183

mybës aiðkinimà, lygties sudarymo planà, sistemingumo principo mokantspræsti tekstinius uþdavinius, sudarant lygtis ið sàlygos, realizavimà, uþdavi-nio sprendimo uþraðymà.

Panevëþio I vidurinës mokyklos mokytojas S. Pikelis31  aptarinëjo [592]logaritminës liniuotës naudojimà pamokose.

Kaunietis J. Þemaitis dalijosi patirtimi [722] apie lenteliø panaudoji-mà sudarant lygtis ið uþdaviniø sàlygos. Pateikë 4 uþdavinius. Vieno jø pavyz-dys: ,,Jei staèiakampio ilgá padidintume 6 m, o plotá sumaþintume 3 m, taistaèiakampio plotas liktø nepasikeitæs. Ðio staèiakampio plotas nepasikeistøir tuo atveju, kai jo pradinis ilgis sumaþëtø 3 metrais, o plotis padidëtø 2,4metro. Raskite duotojo staèiakampio ilgá ir plotá�.

Lentelë:

Lygèiø sistema:

(x + 6)(y � 3) = xy (x � 3)(y + 2,4) = xy.

Marijampolietis J. Baltûsis aptarë [289] lygèiø Ax2 = 42, Ax

3 = 56x spren-dimo bûdus.

Pvz.:Ax

2 = 42, x(x � 1) = 7 · 6, x = 7.Vilniaus XI vidurinës mokyklos mokytojas V. Matuiza rekomendavo

[540] taikyti matematiniø apibendrinimø metodà iðvedant ávairias formules.Pvz., suprastintos kvadratiniø lygèiø formulës iðvedimà jis siûlë gretinti sulygties x 2 + 6x + 5 = 0 sprendimu tokiu pat bûdu, kaip iðvedama formulë.

Apie aritmetikos þiniø gilinimà ir plëtimà algebros mokymo proceseraðë [225] R. Balaiðis. Mokiniai turi bûti palaipsniui atvesti prie natûraliojoskaièiaus uþraðymo pavidalu:

N = 10n Cn + 10n�1 Cn�1 + ... + 102 C2 + 10C1 + C0.

184

Sprendþiant bikvadratines lygtis, rekomendavo spræsti ir toká uþdaviná:,,Duota 659210 = 50 304x. Rasti neþinomos skaièiavimo sistemos pa-

grindà� [225, p. 40]. Daug dëmesio skyrë skaièiavimø racionalizavimo nau-dojantis algebriniais metodais klausimams:15,2 · 14,8 =(15 + 0,2)(15 � 0,2);999 · 1001 = (1000 � 1)(1000 + 1) ir pan. Pateikë I. Niutono (Newton, 1643�1727) ir A. Baranausko uþdavinius: ,,Trys pievos, kuriose þolë yra vienodotankumo ir auga vienodai greitai, turi 3,5 ha, 10 ha ir 24 ha plotus. Pirmojipieva gali iðmaitinti 12 jauèiø per 4 savaites, antroji pieva � 21 jautá per 9savaites. Kiek jauèiø gali iðmaitinti treèioji pieva per 18 savaièiø?� [225, p.41]; ,,Kiek jauèiø, karviø ir verðiukø galima nupirkti uþ 100 rubliø, uþ jautámokant 10 rub., uþ karvæ 5 rub. ir uþ verðiukà pusrublá, kad ið viso bûtø nu-pirkta 100 galvø?� [225, p. 42]. Beje, pirmas ðá A. Baranausko uþdaviná lietu-viø skaitytojui pateikë A. Jakðtas-Dambrauskas (1860�1938) [9, p. 26].

Ðakietis S. Bulota aptarinëjo [323], kaip didinti algebros mokymo efek-tyvumà, pateikë ádomiø uþduoèiø aritmetinei progresijai kartoti: ,,Nustatyti,kiek kraðtiniø turi daugiakampis, jeigu jo vidiniai gretimi kampai yra tokiodidumo, kad jø laipsniø skaièius sudaro aritmetinæ progresijà, kurios pirma-sis narys yra 120, o skirtumas 5�; ,,Árodyti, kad jeigu a, b ir c yra trys gretimiaritmetinës progresijos nariai, tai tarp jø yra tokia lygybë: a8 + 8bc = (2b ++c)2 �; ,,Rasti x ið lygties: 1 + 4 + 7 + ... + x = 117� [323, p. 37].

Vilkaviðkio S. Nëries vidurinës mokyklos direktoriaus pavaduotoja G.Volungevièienë pateikë [709] pamokos, skirtos supaþindinti su skaièiø spin-duliu, planà.

Pamokø, skirtø mokyti dirbti su logaritmine liniuote, sistemà pristatë[672] J. Teiðerskis.

Lazdijø raj. Krosnos aðtuonmetës mokyklos mokytojas M. Izokaitis da-lijosi lygèiø sudarymo ið uþdavinio sàlygos patirtimi [403]: ,,Visus uþdavinius,iðskyrus geometrinio ir fizikinio turinio, suskirstau á tris pagrindinius tipus:1) daugiau � maþiau; 2) judëjimo; 3) atvirkðèiojo proporcingumo. Pirmiausia<...> aptariame kiekvienos uþdaviniø rûðies specifines savybes. Mokiniaigana greitai iðmoksta nustatyti uþdavinio tipà. Taèiau, pradëjus spræsti, pa-stebëdavau, kad aðtuntokai labai sunkiai pastebi loginá ryðá tarp sàlygoje duotødydþiø <...>. Kiekvienà uþdaviná sprendþiame, naudodamiesi tokia schema:uþdavinio sàlygos suvokimas, pagrindinio neþinomo dydþio nustatymas, sàly-gos analizë, lygties sudarymas�. Judëjimo uþdaviniams rekomendavo sudari-nëti lenteles. Pvz.: ,,Darbininkas á gamyklà nueina per 50 min, o dviraèiunuvaþiuoja per 0,3 h. Koks atstumas nuo darbininko namø iki gamyklos, jei

185

dviratininko greitis yra 8 km/h didesnis uþ pësèiojo greitá?�Lentelë:

Naudojantis lentele, nesunkiai sudaroma lygtis.Apie kablelio taisyklës taikymà skaièiuojant logaritmine liniuote raðë J.

Teiðerskis [671].Klaipëdos I vidurinës mokyklos mokytojas A. Ðilauskas32  aptarë [668]

árodymø vaidmená, mokant veiksmø dësniø, mokiniø supaþindinimà su ne-pilnàja indukcija ir jø saugojimà nuo klaidø, kurias galima gauti, pastaràjàindukcijà laikant pilnàja. Tam patarë supaþindinti su reiðkiniais:

a) xn = n 2 + (n�1)(n � 2)...(n � 100), imant n = 1, 2, ..., 100,gaunama x = n 2, bet kai n = 101 to nebegaunama;b) analogiðkai x = n 2 + (n � 1)(n � 2)...(n � 1000) xn = n2 tik iki n =1000.Rekomendavo naudojantis tokiomis ir panaðiomis uþduotimis parody-

ti, kad árodymai yra bûtini, kad pradinëse klasëse aptarti veiksmø dësniai yratik aksiomos ir jos naudojamos tø dësniø galiojimà árodant veiksmams suracionaliaisiais, sveikaisiais ir iracionaliaisiais skaièiais.

Kauno raj. Garliavos vidurinës mokyklos mokytojas J. Klimaitis dalijosipatirtimi [489] apie pirmøjø lygèiø sudarymo pratybø organizavimà. Pradë-davo nuo paprasèiausiø uþdaviniø: ,,Sugalvojau skaièiø. Prie jo pridëjau 3,2ir gavau 7,2. Koká skaièiø að sugalvojau? <...> Mokytojas padalino neþino-mà skaièiø sàsiuviniø 3 mokiniams po lygiai, ir kiekvienas gavo po 5 sàsiuvi-nius. Kiek sàsiuviniø mokytojas ið viso padalino?�, kuriuos vaikai iðspræsda-vo, naudodamiesi veiksmø komponentø ir rezultatø priklausomybe, po tosupaþindindavo su lygèiø savybëmis, o jau vëliau spræsdavo uþdavinius ,,Kurreikia abi lygties puses iðlyginti, pridedant ar atimant, dauginant ar dalinant.Tai galima vadinti skirtuminiu ar kartotiniu palyginimu�.

Þemesniøjø klasiø mokiniø funkcinio màstymo vystymo klausimus ap-tarë [443] V. Klebanskis. Siûlë jau VIII klasëje duoti funkcijos apibrëþimà:,,Kintamasis dydis y vadinamas kintamojo dydþio x funkcija, jei kiekvienà

186

leistinà x reikðmæ atitinka apibrëþta y reikðmë� [443, p. 28]. Rekomendavofunkciniø�grafiniø pratimø tipus:

1) pagal duotà grafikà ar lentelæ sudaryti funkcijos formulæ;2) pratimai grafiko masteliui nustatyti;3) judëjimo grafikai;4) pratimai koordinaèiø sistemos lygiagreèiam postûmiui iðryðkinti;5) funkcijø, kuriø analizinëje iðraiðkoje yra parametrai, grafikø braiþy-

mas;6) taikomojo pobûdþio funkcijø tyrimas ir jø grafikø braiþymas.Kvadratiniø lygèiø sprendimo klausimus nagrinëjo [673] J. Teiðerskis.

Mokytojai paprastai pradeda aiðkinti kvadratiniø lygèiø sprendimà nuo pil-nøjø kvadratiniø lygèiø, t. y. eina nuo sudëtingesnio prie paprastesnio, nuosunkesnio prie lengvesnio � atvirkðèiai , negu nurodo didaktiniø principøtaisyklës. J. Teiðerskis siûlë pradëti nuo nepilnøjø kvadratiniø lygèiøx 2 � 5x = 0 ir pan., po to imti x 2 = 25, 3x 2 � 75 = 0 ir t. t. Suprastintoskvadratinës lygties sprendimo formulæ siûlë iðvesti, remiantis pavyzdþiø spren-dimu: (x � 3)2 = 16, x 2 + 4x + 9 = 0 ir t. t.

Pastabas apie lygèiø ir nelygybiø sprendimà su moduliais ir kai kuriuoskitus algebros mokymo klausimus IX klasëje iðdëstë [588] V. Pekarskas33 :,,Charakteringiausia klaida yra ði, kai raðo, kad

x 2 � 3x + 4, kai x ≥ 0, |x 2 � 3x + 4| = � x 2 + 3x � 4, kai x < 0.

Norint iðvengti panaðiø klaidø, tikslinga naudoti <�> tokià formulæ:

f(x) tiems x, kuriems f(x) ≥ 0, |f(x)| = � f(x) tiems x, kuriems f(x) < 0� [588, p. 46].

Ði formulë padeda lengvai nubrëþti funkcijos y = f(x) grafikà, pasinau-dojant funkcijos y = f(x) grafiku ir simetrija.

Uþdaviniø su parametriniais duomenimis (tokie uþdaviniai iki VIII de-ðimtmeèio pradþios bûdavo teikiami abitûros egzaminui) sprendimà aptarëV. Klebanskis ir J. Teiðerskis [483]. Plaèios apimties straipsnyje, pateikiantdaug pavyzdþiø, aptarti ðie klausimai: galimø parametro ir kintamojo reikð-miø aibiø nustatymas, sprendimo apipavidalinimas ir patikrinimas.

187

Trupmeniniø lygèiø sprendimà analizavo [677] J. Teiðerskis. VI klasëjejis rekomendavo toká apibrëþimà: ,,Lygtimi vadinama dviejø algebriniø reið-kiniø su neþinomaisiais lygybë�. Pateikë trupmeniniø lygèiø sprendimo pa-vyzdþius:

,

ir kt.

Kitame savo straipsnyje [676] J. Teiðerskis aptarë uþdaviniø, pvz.: ,,Þve-jø artelë uþplanavo per tam tikrà laikà sugauti 1200 cnt þuvies. Taèiau þûklëspradþioje dël audros 2 dienas þvejai kasdien neávykdydavo planinës uþduo-ties 90 cnt. Vëlesnëmis dienomis kasdien buvo sugaunama 20 cnt þuvies virðnormos. Padirbëjusi vienà dienà ilgiau nei nustatyta, artelë sugavo 1380 cntþuvies. Kiek dienø artelë þvejojo? <...> Bandymø stotis pasëjo tam tikràkieká kvieèiø, o rudená prikûlë 10 kg daugiau negu pasëjo. Visus prikultuskvieèius pavasará vël pasëjo, o rudená prikûlë 102 kg kvieèiø. Kiek kg kvieèiøpasëta ið pradþiø, jei derlingumas abu kartus buvo vienodas ir lygus 8,5?�[676, p. 40�41] ávairius sprendimo bûdus, paðaliniø ðaknø atmetimà tikri-nant.

Skuodiðkis A. Dokðus apibendrino [355] Skuodo vidurinës mokyklosmokytojø B. Joðkienës ir G. Þiemelienës patirtá, sukauptà analizuojant uþ-davinius prieð sudarant lygtis ið sàlygos. ,,Kà reiðkia sudaryti lygtá? � klausëA. Dokðus ir pats atsakë. � Dar I. Niutonas savo veikale ,,Aritmetica univer-salis� palygino tai su vertimu ið vienos kalbos á kità <...>. D. Poja: sudarytilygtá � tai iðreikðti matematiniais simboliais uþdavinio sàlygà, suformuluotàþodþiais�.

Paskutinius 2 ðios tematikos straipsnius paskelbë K. Pulmonas. Pirma-jame [618] jis aptarë logaritminiø lygèiø sprendimo metodikos klausimus,atsakë á du klausimus: 1) reikia ar nereikia ið pradþiø surasti logaritminëslygties apibrëþimo sritá? 2) reikia ar nereikia patikrinti, kurie skaièiai yra pra-dinës logaritminës lygties ðaknys?

Á I klausimà atsakë neigiamai, nes kartais apibrëþimo srities ieðkojimasyra sudëtingesnis negu pats lygties sprendimas, á II � teigiamai.

Kitame straipsnyje [619] K. Pulmonas plaèiai aptarë matematiniø uþ-duoèiø sprendimo áforminimo klausimus. Vienas jo pateiktas pavyzdys:

188

,,log 2(3x � 1) � log2 (4 � x) = 4 � log2 (x � 1).Duotoji lygtis ekvivalenti lygèiai log2 (3x � 1) � log2 (4 � x) + log2 (x �1) = 4, ið kurios iðplaukia

.

Remdamiesi logaritmo apibrëþimu, gauname lygtá .24

)1)(13( 4=−

−−x

xx

Ið jos iðplaukia(3x � 1)(x � 1) = 16(4 �x);3x 2 � 3x � x + 1 = 64 � 16x;3x 2 + 12x � 63 = 0;x 2 + 4x � 21 = 0;<...>x = �2 ± 5, x = � 7 arba x = 3.Patikrinimas.Kai x = � 7, abi duotosios pradinës lygties pusës neturi prasmës. Vadi-

nasi, ji paðalinë ðaknis.Kai x = 3, gauname:log2 (3 · 3 � 1) � log2 (4 � 3) = 4 � log2 (3 � 1) � lygybë teisinga.Atsakymas: 3� [619, p. 39].Taigi straipsniø algebros � ðio gana svarbaus mokomojo dalyko � moky-

mo klausimais paraðyta daug. Mokytojai plaèiai dalijosi savo patirtimi, ðvieti-mo vadovai � apibendrino jø patirtá, patarimø neðykðtëjo matematikos di-daktikos specialistai. Daugelis klausimø, aptartø straipsniuose, yra aktualûsir dabar.

3.11. Geometrijos mokymas

Geometrijos mokymo klausimams aptarti TM iðspausdino 10, o Tm �14 straipsniø.

Pirmasis straipsná [598] apie pirmøjø geometrijos temø mokymà pa-skelbë V. Plauðinaitis (Sedos vidurinë mokykla). Jis akcentavo mokymo vaiz-dumo klausimus. Trikampiø lygumà siûlë aiðkinti konkretø trikampá uþde-dant ant kito trikampio, prieð tai pasipraktikavus � uþdedant atkarpà antatkarpos, kampà ant kampo. Taip pamaþu pastebima, kad nebûtina matuoti

189

visus trikampio elementus nustatant jø lygumà, pakanka tik dalies elementøsutapimo. Labai akcentavo didaktiniø principø taisyklæ � ,,Nuo þinomo prieneþinomo�.

Pr. Ðerpytis papildë [667] V. Plauðinaitá, teigdamas, kad bûtina akcen-tuoti ir didaktiniø principø taisyklæ: ,,Nuo lengvesnio prie sunkesnio�, taippat vidinius dalyko ryðius: ,,Dëstomosios medþiagos siejimas su anksèiau ið-dëstytàja medþiaga turi trejopà reikðmæ: 1. dëstomàjà medþiagà paremdamianksèiau mokinio ágytomis þiniomis, palengviname mokiniui jà suprasti irpadarome jà ádomesnæ; 2. dëstomosios medþiagos siejimas su anksèiau ágy-tomis þiniomis turi tà didelæ reikðmæ, kad anksèiau dëstytoji medþiaga yrakartojama ir tokiu bûdu átvirtinama; 3. siedamas einamàjà medþiagà su iðei-tàja mokytojas padeda dëstomajam dalykui tvirèiau prigyti mokinio sàmo-nëje ir susiriðti priklausomybës ryðiais� [667, p. 37�38]. Kritikavo V. Plauði-naitá dël jo siûlomos pirmøjø teoremø sistemos. Straipsnis yra labai ádomusta prasme, kad 1949 m. iðdrástama kritikuoti jau iðspausdintà straipsná � taiperimta ið ikikarinës Lietuvos, kur tokie atvejai buvo daþni.

Apie stereometriniø brëþiniø atlikimo metodikà informavo [478] V. Kle-banskis, iliustravo savo teiginius kûgio, nupjautinio kûgio, piramidës, rutulioir jø tarpusavio kombinacijø vaizdavimu. Dar giliau norintiems susipaþinti subrëþiniø atlikimo technika rekomendavo rusiðkà N. Èetveruchino knygà ,,Èer-teþi prostranstvennych figur v kurse geometrii�,taip pat þurnale ,,Matemati-ka v ðkole� (1955, Nr. 2) patalpintà atitinkamà straipsná. Visai nutylëta 1927m. iðleista M. Ðikðnio knyga ,,Praþulnusis metmuo�, kurioje tie klausimai bu-vo iðanalizuoti [9, p. 258�259].

Ðeduvos vidurinës mokyklos mokytojas I. Valiukonis dalijosi patirtimi[698] apie apibendrinamàsias geometrijos pamokas: ,,Apibendrinimo pamo-kos ágalina mokytojà laiku uþpildyti spragas þiniose tø mokiniø, kurie nebu-vo pamokoje arba silpnai suprato. Be to, èia tampa aiðkesnis ryðys tarp atski-rø <...> mokslo teiginiø: kiekvienas teiginys yra anksèiau buvusio teiginioiðvada ir drauge prielaida kitiems teiginiams�.

Praktinio turinio uþdavinius, geometrijos mokymo siejimà su realiu gy-venimu prieð daugelio teoremø árodymà rekomendavo [444] V. Klebanskis.Aptarë ir kai kurias mokiniø klaidas: ,,Net bûrelyje, kuriame dalyvavo stip-resni 7 klasës mokiniai, negautas atsakymas, kiek trapecijø yra <...> brëþi-nyje� (12 pav.).

190

12 pav.

Kitame straipsnyje [447] V. Klebanskis toliau plëtojo mintis apie stere-ometrijos brëþinius. Remdamasis pirmàja egzistencijos teorema lygiagretëjeprojekcijoje (,,kiekvienas keturkampis kartu su jo áþambinëmis gali bûti betkurios formos tetraedro lygiagretë projekcija)�, V. Klebanskis aptarë vadina-møjø sàlyginiø brëþiniø brëþimà, pvz., kaip brëþti aukðtines trikampëje pira-midëje, kurios visos ðoninës briaunos tarpusavyje lygios arba visi dvisieniaikampai prie pagrindo yra lygûs.

Plaèios apimties straipsnyje [237] R. Balaiðis aptarë pastoviøjø ir kinta-møjø dydþiø bei ribos sàvokas, pagrindines ribø teoremas ir ribø teorijos pri-taikymus apskritimo ilgiui ir skritulio plotui rasti, skaièiaus π reikðmei rastilygiø perimetrø metodu, apvaliøjø kûnø pavirðiams bei tûriams apskaièiuoti.

Kitame savo straipsnyje [230] R. Balaiðis aptarë populiarius geometri-jos uþdaviniø sprendimo sunkumus, uþdaviniø klasifikavimo problemas, ge-ometrinës vaizduotës ugdymà. Pateikë kelis uþdavinio ,,árodyti, kad á statøtrikampá ábrëþtojo skritulio spindulys yra lygus to trikampio statiniø sumos iráþambinës skirtumo pusei� sprendimo bûdus, nurodë racionaliausià.

Geometrijos teoremø árodymo problemas aptarë V. Plauðinaitis: ,,Ten-ka matyti daug mokiniø, kurie teoremø árodymus kalte iðkala. Jie stengiasiatsiminti tik þodþius, kuriais iðreikðti samprotavimai, bet paèiø samprotavi-mø nesupranta ir nesistengia jø suprasti. Mokiniai gana þvaliai papasakojateoremos árodymà pagal toká brëþiná, kuris yra vadovëlyje. Pakanka brëþinyjepakeisti tik raides, ir þymi mokiniø dalis tuojau pradeda painiotis, o pagaliauvisai kapituliuoja ir nesugeba teoremos árodyti. Dar daugiau keblumo suke-liama mokiniams, kai brëþinyje pakeièiama bet kuri detalë� [595, p. 25].Toprieþastis � teoremø árodymø aiðkinimas pamokoje sintezës metodu. Þemes-nëse klasëse siûlë remtis analize (pvz., trikampio kampø sumos teorema),pasinaudojant matavimais vietovëje árodyti teoremø árodymo reikalingumà

191

(pvz., trikampiø lygumo teoremos). Stereometrijoje siûlë naudoti daugiaumodeliø, teoremas taip pat árodinëti analizës metodu. Beje, panaðias idëjasiki karo këlë dar P. Maðiotas [7, p. 92; 9, p. 255�256].

Apvaliøjø kûnø tûriø ir pavirðiø plotø matavimo teorijos klausimus ið-dëstë [356] V. Drëgûnas. Aptarë B. Kavaljerio (Cavalieri, 1598�1647) princi-po ir T. Simpsono (Simpson, 1710�1768) formulës taikymà tûrio sàvokai pa-grásti. Straipsnyje taip pat iðnagrinëti kreivøjø pavirðiø ploto sàvokos teori-jos pagrindiniai klausimai remiantis A. Lebegu (Lebesgue, 1875�1941), tadakai jø tûrio radimo klausimai iðdëstomi pirmiau. Ðioje teorijoje plokðèiosiosfigûros plotas laikomas jos normalinio sluoksnio tûrio � V ir jo storio � hsantykiu, o apvaliøjø kûnø pavirðiø plotai laikomi ðio santykio ribomis.

Panaðias metodines idëjas, susietas su Kavaljerio principo ir Simpsonoformulës taikymu, remdamasis A. Fetisovo rusiðku vadovëliu (Maskva, 1963)iðdëstë J. Teiðerskis [678].

Mintinio geometrijos uþdaviniø sprendimo klausimus þemesnëse kla-sëse aptarë R. Balaiðis [232]. Jis pateikë 52 tokiø uþdaviniø pavyzdþius. Kaikurie jø: ,,Ar gali bûti staèiakampio ástriþainë lygi jo kraðtinei? <...> Kokia-me daugiakampyje vidaus kampø suma lygi priekampiø sumai? <...> Duo-tas staèiakampis. Ar galima jo viduje rasti taðkà, vienodai nutolusá: a) nuovisø jo kraðtiniø; b) nuo visø jo virðûniø? <...> Kodël á apskritimà ábrëþtatrapecija yra lygiaðonë? <...> Rasti geometrinæ vietà lygiaðoniø trikampiø,turinèiø tà patá pagrindà, virðûniø� [232, p. 33]. Rekomendavo ir vyresnëseklasëse dalá uþdaviniø spræsti irgi mintinai.

Dotnuvietë G. Malanskaitë dalijosi patirtimi [530] apie pirmàsias geo-metrijos pamokas: ,,lentoje nubraiþau langelius (sodà). Kai kuriuose ið jø,,pasodinu� vaismedþius. Viename langelyje � sargo namelis. Uþduotis: Kaipturi eiti sargas, kad apeitø visà sodà trumpiausiu keliu? <...> Kadangi geo-metrijos mokymo pradþioje labai daug naujø sàvokø ir apibrëþimø, tai, áves-dama naujus elementus, reikalauju, kad mokiniai rastø ryðá tarp matemati-nës sàvokos ir gyvenimo reiðkiniø�.

Brëþimo uþdaviniø sprendimo metodikà aptarë V. Klebanskis[432]. Kaipgerai juos naudojanèius mokymo procese pristatë Kauno XII vidurinës mo-kytojà A. Pavinkðnienæ ir vilnietá R. Balaiðá. Kaip paruoðiamuosius darbussiûlë grafinius diktantus: ,,Nubraiþykite lygiakraðtá trikampá ABC. Ið AC vi-durio E brëþkite tieses EF BC ir EK AB (K ir F yra atitinkamose trikam-pio kraðtinëse). Taðkus F ir K sujunkite atkarpomis� ir t. t. Patarë ir ið keliøfigûrø sudarinëti naujas figûras. Toliau jis raðë: ,,Mokiniai turi <...> suvokti,kad iðspræsti brëþimo uþdaviná � reiðkia konstruktyvinëmis priemonëmis ras-

192

ti visas figûras, patenkinanèias uþdavinio sàlygà.�Brëþimo uþdaviniai skirstomi á dvi grupes:1) ,,Padëties� uþdaviniai, kuriuose reikalaujama nubraiþyti geometriná

vaizdà remiantis duotais elementais, kuriø bent vieno padëtis uþfik-suota (pavyzdþiui, reikia nubraiþyti apskritimà, kuris eina per du duo-tuosius taðkus, ir jo spindulys lygus r).

2) ,,Metriniai� uþdaviniai, kuriuose reikalaujama nubraiþyti geometrinávaizdà pagal duotus elementus, kuriø padëtis plokðtumoje nenusta-tyta (pavyzdþiui, reikia nubraiþyti trikampá pagal tris duotas kraðti-nes).

Aptarë uþdavinio analizæ, braiþymà, árodymà ir tyrimà. Pateikë 2 pamo-kø konspektus: ,,Trapecijos brëþimo uþdaviniai� ir ,,Trapecijos brëþimo uþ-daviniø sprendimas panaðumo metodu�.

PMTI darbuotoja L. Vaitkûnienë uþdavinio ,,Sudaryti taisyklingo tri-kampio projekcijà plokðtumoje; trikampio virðûnës yra nutolusios nuo plokð-tumos per 10 cm, 15 dm ir 17 dm. Raskite ðio trikampio centro nuotolá nuoprojekcijø plokðtumos� [692, p. 46] sprendimo pavyzdþiu iðkëlë problemà:kokie mokykliniai dalykai daugiausia skatina erdvinio màstymo raidà? Jaupradinëse klasëse rekomendavo pratinti vaikus atpaþinti geometrines figû-ras, jas ávairiai orientuojant plokðtumoje ir erdvëje, pratinant figûras skaidytiá dalis, ið daliø sudëti kitas figûras. Tyrë II, V ir VIII klasiø mokinius. II klasësmokiniai turëjo duotà trikampá perkirpti á 2 trikampius,V klasës � trikampápadalyti á 3 trikampius ir kvadratà, VIII klasës � á 3 trikampius ir kvadratus.Tokiais ir panaðiais eksperimentais iðskirti 3 erdvinio màstymo formavimosietapai:

1. Pradinëse klasëse � ágyjamos þinios ir sukaupiami vaizdiniai apie erd-vines daiktø savybes.

2. Viduriniosiose klasëse per darbø, geografijos, pieðimo, braiþybos irgeometrijos pamokas minëtos þinios ir vaizdiniai turtinami.

3. Mokant stereometrijos vyresnëse klasëse galutinai suformuojamaserdvinis màstymas.

Iðvada: Erdvinis màstymas ir erdviniai vaizdiniai formuojasi praktinëjeveikloje. Lengviau ir greièiau ðis formavimasis vyksta, jei jis pradedamas jau-nesnëse klasëse ir sunkiau � jei tai pradedama vyresnëse klasëse.

Plaèiai analizavo [651] matematiniø dalykø struktûros supratimo klau-simus P. Rumðas, aptardamas apibrëþimus, jø rûðis, apibrëþiamøjø objektøegzistavimo, bûtinø ir pakankamø sàlygø, apibrëþimø ekvivalentumo klausi-mus.

193

VU aspirantë G. Mikðytë tyrë ir apibendrino [556] erdvinio màstymo irprofesiniø polinkiø sàsajà. Pateikë ádomiø pavyzdþiø: intuityvistai�geomet-rai buvo G. Rymanas (Riemann, 1826�1866) ir A. Puankarë (Poincare, 1854�1912), analitikai-logikai � D. Hilbertas ir K. Vejerðtrasas (Weierstrass, 1815�1897).

Doc. K. Uðpalis34  aptarë [688] erdviniø nuotoliø ir laiko tarpø reliaty-vumà: ,,Erdviniø atstumø ir laikotarpiø reliatyvumà paaiðkinti padeda jø ge-ometrinis vaizdavimas keturmatëje ávykiø erdvëje, kai greta áprastø erdviniøkoordinaèiø aðiø dar prijungiama ketvirtoji, vaizduojanti laiko tëkmæ. Tokiàerdvæ pirmasis pasiûlë matematikas G. Minkovskis (gimë 1864 m. Kaune,mokësi ir dirbo Vokietijoje, mirë 1909 m.)� K. Uðpalis aptarë ðá geometrinávaizdavimà naudojantis Pitagoro teorema, Galilëjaus ir H. Lorenco (Lorentz,1853�1928) transformacijø formulëmis, pasiûlytà G. Minkovskio (Minkow-ski).

ÐPI vyr. dëstytojas J. Revuckas aptarë [645] teoremø árodymo sunku-mus VI klasëje: ,,Jei teoremos árodymas susideda ið dviejø þingsniø, tai moki-niui reikia atrinkti, kurá þingsná padaryti pirma, o kurá paskui; galimi du va-riantai. Jei teoremos árodymas susideda ið trijø þingsniø, tai galimø variantøskaièius yra lygus këliniø skaièiui ið 3, t. y. 3! = 3 · 2 · 1 = 6. Mokiniui tenkapasirinkti jau ið ðeðiø variantø vienà. Jei teoremos árodymas susideda ið 4þingsniø, tai galimø variantø skaièius yra 4! = 24. Didëjant þingsniø skaièiui,galimø variantø skaièius didëja� [645, p. 36]. Aptarë rengimo teoremø árody-mui klausimus þemesnëse (taip pat ir VI) klasëse sprendþiant parengiamuo-sius uþdavinius.

VVPI profesorius V. Bliznikas35  supaþindino [317] su aksiomø sistemo-mis. Pirmiausia aptarë D. Hilberto darbus grieþtai pagrindþiant Euklido ak-siomø sistemà. Kitas matematikas, italas Mario Pieri (Pieri, 1860�1904), pa-teikë naujà Euklido geometrijos aksiomatikà. 1905 m. vël naujà aksiomatikàpateikë rusø matematikas Venjaminas Kaganas (1869�1953, kilæs ið Ðiauliøm.). Tolesni jos keitimai susijæ su F. Bachmano (Bachmann, g. 1909), O. Veb-leno (Veblen, 1880�1960), R. Muro (Moore), D. Birchhopo (Birkhoff, 1884�1944) ir kt. darbais. Tuo metu, kai buvo paraðytas straipsnis, 1974 m., mokyk-linis geometrijos kursas buvo pagrástas A. Kolmogorovo aksiomø sistema(patobulinta V. Kagano sistema), todël ,,daugelis geometrijos sàvokø, kuriosbuvo laikomos korektiðkomis ankstesniuose vadovëliuose, paremtuose D. Hil-berto aksiomø sistema, dabar tampa beprasmëmis (pvz., ,,lygios atkarpos�,,,lygûs trikampiai�, <...>). Ið èia iðplaukia, kad visà mokykliná geometrijoskursà tenka ásisavinti ið naujo (ne tik viduriniø mokyklø mokytojams, bet ir

194

visiems aukðtøjø mokyklø dëstytojams)�. Tai buvo, ko gero, pirmas korektið-kas perspëjimas, kad tuometinë matematikos mokymo reforma ne visai ap-galvota.

Pedagogo K. Poðkaus straipsnyje [605] aptartas apibrëþimø ir algorit-mø, indukcijos ir dedukcijos vaidmuo.

Paskutinieji trys straipsniai priklauso ðiaulieèio J. Revucko plunksnai.Pirmajame J. Revuckas apraðë [647] mokiniø savarankiðkumo ugdymà áro-dant teoremas: ,,Teoremos árodymo komponentais reikia laikyti ðiuos (turi-mas galvoje tik tiesioginis árodymo bûdas, t. y. toks árodymo bûdas, kuriame,iðvedant naujus teiginius, ið visø taisykliø panaudojama tik iðvados padarymotaisyklë (modus ponens) ir silogizmo taisyklë):

a) teoremos sudëtiniø daliø iðskyrimas;b) iðvados padarymo taisyklës taikymas (atkreipiame dëmesá tik á ðià

vienà taisyklæ, nes ji daþniausiai taikoma);c) iðskyrimas teiginiø, kurie reikalingi teoremos árodymui;d) loginiø ryðiø tarp teiginiø supratimas;e) atrinkimas teiginiø, reikalingø teoremos árodymui, jø grupavimas ir

eilës nustatymas� [647, p. 44].Kitame straipsnyje [646] J. Revuckas kritikavo teoremos, pateiktos tuo-

metiniame A. Kolmogorovo ir kt. vadovëlyje [81], apie statmens ir pasviro-sios, iðvestø ið vieno taðko á tiesæ, nelygumà ir pateikë savàjá árodymà.

Treèiajame J. Revucko straipsnyje [644] rekomenduota sudaryti ,,de-dukcines saleles� prie geometrijos teoremø grupiø: ,,Kiekviena ið ðiø ,,sale-liø� turi savo aksiomø sistemà. Ðios aksiomos mokiniams jau þinomos. De-dukcinës ,,salelës� visos teoremos árodomos remiantis tik ðiomis aksiomo-mis. Teoremos nuosekliai iðdëstytos sunkumo poþiûriu, todël galima nuosek-liai mokyti deduktyviai protauti� [644, p. 43]. Pateikë tokios ,,salelës� pavyz-dá prie tuometinio vadovëlio [81] teoremø grupës.

Taigi geometrijos mokymui patarimø davë ir þinomi mokslininkai, irmatematikos didaktikos specialistai bei psichologai, dalijosi patirtimi ir mo-kytojai.

3.12. Trigonometrijos mokymas

Ðia tema paskelbti 3 TM straipsniai. Visi jie nagrinëjo trigonometriniølygèiø sprendimà.

195

Pirmojo straipsnio [594] autorius � panevëþietis mokytojas S. Pikelis.Siûlë trigonometriniø lygèiø mokymà sukoncentruoti á vienà skyriø: ,,Einantðiuo keliu, ne tik iðmokstama spræsti trigonometrines lygtis, bet jø sprendi-mas panaudojamas visam trigonometrijos kursui pakartoti ir apibendrinti�.Pirmiausia reikia spræsti paprasèiausias trigonometrines lygtis (sinx = α,cosx = b ir t. t.), palaipsniui jas sunkinant. Po to sprendþiamos lygtys, suve-damos á algebrines (daþniausiai � kvadratines) lygtis. Po jø � lygtys, vienaly-tës sinx ir cosx atþvilgiu, po to sprendþiamos lygtys sinx = siny, cosx = cosy,tgx = tgy. ,,Po to pereiname prie lygèiø, kuriø vienoje pusëje yra trupmena,kurios skaitiklyje ir vardiklyje yra trigonometriniø funkcijø, o kitoje pusëje �nulis�. Skyrius baigiamas lygtimis pavidalo αsinx + bcosx = c. Supaþindinosu 4 sprendimo bûdais: ,,1) ávedant pagalbiná kampà; 2) sinusà keièiant kosi-nusu ir atvirkðèiai; 3) sinusà ir kosinusà keièiant pusës kampo tangentais;4) perdirbant duotàjà lygtá á vienalytæ sinx arba cosx atþvilgiu�. Rekomenda-vo supaþindinti mokinius ir su grafiniu trigonometriniø lygèiø sprendimu.Trigonometriniø lygèiø sistemas spræsti rekomendavo bûrelyje.

Kito straipsnio [367] autorius � V. Drëgûnas. Daugelyje mokyklø davuskontroliná darbà � iðspræsti lygtis sin3x = � 1, cosx = � ½, tgx = 1 buvo atvejø,kad nei vienas mokinys klasëje neiðsprendë ðio kontrolinio darbo patenkina-mai. Todël rekomendavo skirti daugiau dëmesio paprastøjø trigonometriniølygèiø sprendimui. Lygtims sinx = α ir cosx = α iðskyrë 6 parametro α atve-jus: 1) 0 < α < 1; 2) �1 < α < 0; 3) α = 0; 4) α = 1; 5) α = � 1; 6) |α| > 1,o lygtims tgx = α ir ctgx = α � 4 atvejus: 1) 0 < α < + ∞; 2) �∞ < α < 0;3) α = 0; 4) α = ±∞ . Aptarë vienetinio apskritimo panaudojimà atsakymuiuþraðyti: ,,Vis dar pasitaiko, kad mokytojai neskiria pakankamo dëmesio tri-gonometrinës lygties sprendiniø formuliø supaprastinimui, keleto sujungi-mui á vienà, pasikartojanèiø ir paðaliniø sprendiniø paðalinimui�. Aptarë irsudëtingesniø trigonometriniø lygèiø sprendimo kai kuriuos klausimus, re-komendavo atkreipti mokiniø dëmesá á teiginius:

,,1. Kad dviejø arba keliø funkcijiniø daugikliø sandauga bûtø lygi nu-liui, bûtina ir pakankama, jog: a) bent vienas daugiklis bûtø lygusnuliui; b) kiekvienas likusis daugiklis turëtø prasmæ.

2. Kad trupmena bûtø lygi nuliui, bûtina ir pakankama, jog: a) trupme-nos skaitiklis bûtø lygus nuliui; b) trupmenos vardiklis turëtø prasmæir nebûtø lygus nuliui�.

Dviejø daliø straipsná paskelbë A. Lepeðkevièius [515]. Pirmajamestraipsnyje aptarë trigonometriniø lygèiø kartojimà. Rekomendavo naudotiplakatà:

196

sinx = α; x = (�1)karcsinα + πk, � 1 ≤ α ≤1;cosx = α; x = ± arccosα + 2πk, � 1 ≤ α ≤1;tgx = α; x = arctgα + πk, �∞ < α < +∞;ctgx = α, x = arcctgα + πk, �∞ < α < +∞;kur k = 0; ± 1; ± 2; ... ir� ≤ arcsinα ≤ , � 1 ≤ α ≤1;0 ≤ arccosα ≤ π, � 1 ≤ α ≤1;

< arctgα < , �∞ < α <∞;0 < arcctgα < π, �∞ < α <∞.

Iðsprendus keletà paprastøjø trigonometriniø lygèiø, rekomendavospræsti atskirus atvejus, pvz.: sinx = 1, ats.: x = + 2πk; ctg x = � 1,ats.: x = + πk ir t .t.

Pateikë savàjà trigonometriniø lygèiø klasifikacijà, atsiþvelgdamas ájoms spræsti taikomus metodus:

1) sin f(x) = α, cos f(x) = α, tg f(x) = α, ctg f(x) = α, kur f(x) � algeb-rinë ar transcedentinë funkcija;

2) lygtys, suvedamos á algebrines;3) lygtys, iðskaidomos dauginamaisiais, kuriø sandauga lygi nuliui.Kitoje straipsnio dalyje A. Lepeðkevièius rekomendavo supaþindinti mo-

kinius su ávairiais tos paèios lygties sprendimo bûdais, pabrëþdamas, kad ,,la-bai daug trigonometriniø lygèiø gali bûti sprendþiamos keliais, visiðkai skir-tingais bûdais, <...> nuo sprendimo metodo pasirinkimo lygties sprendiniøaibë gali bûti gaunama visiðkai skirtingomis formulëmis�.

Taigi apie trigonometrijos mokymà raðyta nelabai daug. Trigonometri-ja, kaip atskiras dalykas, ir dëstyta tik iki VII deðimtmeèio pabaigos, vëliaujos dëstymas átrauktas á geometrijos bei algebros ir elementariøjø funkcijøkursus.

3.13. Uþklasinë matematikos veikla

TM ðia tema paskelbë 9, Tm � 13 straipsniø .Pirmasis straipsnis [401] � H. Horodnièiaus36  ir J. Kubiliaus buvo apie

1956 m. matematikø ir fizikø olimpiadà. Aptarta V jaunøjø matematikø irIV jaunøjø fizikø olimpiados. Jaunøjø matematikø olimpiadoje (toliau � JMO)dalyvavo 224 moksleiviai. I premijà laimëjo: H. Markðaitis (Tauragës I vidu-rinë mokykla, dabar � matematikos mokslø daktaras, dirba VU), A. Survila

197

(ta pati mokykla), J. Maèys37  (Panevëþio I vidurinë mokykla, dabar � mate-matikos mokslø daktaras, dirba LMA Matematikos ir informatikos institute(toliau � MII)), L. Vyðniauskas (Joniðkio I vidurinë mokykla). Dar keletasmoksleiviø gavo II ir III premijas, 42 dalyviai gavo garbës raðtus. Nugalëtojøvardus iðkovojo ne tik stambiøjø Lietuvos miestø moksleiviai. Tarp jø buvo irmoksleiviø ið Kretingos, Joniðkio, Kazlø Rûdos, Druskininkø, Utenos, Tau-ragës, Rokiðkio, Kelmës ir Raseiniø, o tarp paþymëtøjø buvo Birþø, Erþvilko,Ukmergës, Kurðënø, Ignalinos, Kartenos, Anykðèiø, Nemenèinës, Veiveriø,Ramygalos, Puðaloto viduriniø mokyklø moksleiviø. Tai liudijo, kad tuo me-tu gerø mokytojø jau buvo ir periferijos mokyklose. Aptartos ir darbø spra-gos: ,,Pagrindinë olimpiados dalyviø masë uþdavinius sprendþia dar gana ðab-loniðkai, neieðkant trumpiausiø, paprasèiausiø, elegantiðkiausiø sprendimobûdø� [401, p. 45].

Panevëþietis mokytojas J. Janulionis38  supaþindino [408] su Panevëþiomiesto ir rajono V�VII klasiø JMO rezultatais. Ðtai kokie uþdaviniai buvopateikti VII klasës mokiniams:

,,1. Ið dviejø vietø, tarp kuriø nuotolis yra 840 km, iðvaþiuoja vienasprieðais kità traukiniai. Jei jie iðvaþiuotø tuo paèiu metu, tai susitiktø po 8val. 24 min. Jei pirmas iðvaþiuotø 4 val. anksèiau uþ antrà, tai jie susitiktø po6 val. nuo antrojo traukinio iðvaþiavimo. Raskite kiekvieno traukinio greitá.(Spræsti lygtimis ir aritmetiðkai) <...>.

2. Spræsti lygtá:

bxb

baabx

xb

xa

xb

xa22

222

2

2 224−

−+=+−−

−+

<...>.

3. Jei ieðkomajame skaièiuje nubrauksime pirmàjá ið deðinës skaitmená7, tai tas skaièius sumaþës 31 156 vienetais. Koks tai skaièius? <...>.

4. Trikampyje ABC kampo A pusiaukampinë kerta kraðtinæ BC taðkeD; ið to taðko D nubrëþta tiesë, lygiagretë su AC; ji kerta AB taðke E.Tiesë, nubrëþta per E lygiagreèiai BC, kerta AC taðke F. Árodykite,kad AE lygi FC. <...>.

5. Skritulyje iðvesta styga, kurios nuotolis nuo apskritimo centro lygusto apskritimo spindulio pusei. Per stygos galà iðvesta lietëja ir pratæs-ta iki susikirtimo taðke M su statmeniu, iðkeltu ið stygos vidurio. Þi-nant, kad taðkas M nutolæs nuo centro 24 cm, rasti nuotolá nuo totaðko iki stygos. <...>� [408, p. 42�43].

1958 m. TM iðspausdino informacijà [189] apie jaunøjø matematikø irfizikø olimpiados organizatoriø apdovanojimà. Ðvietimo ministerijos garbës

198

raðtus gavo: Panevëþio I vidurinës mokyklos direktorius Jonas Janulionis irmokytojai Silvestras Bortkevièius bei Antanas Daugaravièius (1903�1977),Skaudvilës vidurinës mokyklos direktoriaus pavaduotojas Antanas Bruþis,Klaipëdos K. Donelaièio vidurinës mokyklos mokytoja Sofija Rubaþevièie-në, LMA Fizikos-matematikos instituto direktoriaus pavaduotojas Jonas Ku-bilius, VVPI matematinës analizës katedros vedëjas Vincas Mockus (1898�1981), VU FMF dekanas Henrikas Horodnièius, matematinës analizës ka-tedros vedëjas Zigmas Þemaitis.

1959 m. respublikinës JMO rezultatus aptarë [697] S. Valentinavièienë(dabar � Liutikienë), Ðvietimo ministerijos inspektorë. JMO dalyvavo 250mokiniø ið 110 mokyklø. Geriausiai pasirodë Panevëþio I, Klaipëdos K. Do-nelaièio, Vilniaus XV, Joniðkio I, Kauno VIII viduriniø mokyklø moksleiviai.Neblogai pasirodë ir Vilkaviðkio raj. Alksnënø vidurinës mokyklos X kl. mo-kinys S. Aliðauskas, Pasvalio raj. Puðaloto vidurinës mokyklos X klasës moki-nys S. Gatoveckis, Nemenèinës vidurinës mokyklos VIII kl. mokiniai T. Gas-peravièius ir V. Lindo, Pakruojo raj. Lygumø vidurinës mokyklos X klasësmokinys A. Kalinauskas (dabar VGTU doc.). Pereinamoji taurë atiteko Pa-nevëþio I vidurinei mokyklai.

Apie matematikø bûrelio darbo organizavimà patirtimi dalijosi [231]R. Balaiðis. Aptarë bendràjà bûrelio darbo organizavimo metodikà ir svar-biausià jo darbo sritá � dalyko þiniø gilinimà ir plëtimà. Ið aritmetikos reko-mendavo nagrinëti skaièiø dalumo ið 6, 7, 8, 11, 12, 13, 15, 27 poþymius, Euk-lido algoritmà, bendrojo didþiausiojo daliklio ir bendrojo maþiausiojo karto-tinio radimà, pirminius skaièius, didþiàjà P. Ferma , Ch. Goldbacho (Gold-bach, 1690�1764) ir kai kurias kitas skaièiø teorijos problemas, greitàjá skai-èiavimà, skaièiavimo sistemas, periodines ir iðtæstines trupmenas, neapibrëþ-tines lygtis, galvosûkius, sofizmus, paradoksus, humoro uþdavinius. Ið algeb-ros: tapatybiø árodymus, polinomus, lygtis ir lygèiø sistemas, kompleksiniusskaièius, nelygybes, progresijas, logaritmus, baigtiná ir nepabaigiamà eiluèiøsumavimà, kombinatorikos klausimus, Niutono binomà. Ið geometrijos: ávai-rius Pitagoro teoremos árodymus, taisyklingus ir þvaigþdinius daugiakampius,ribø teorijos taikymus geometrijoje, taisyklinguosius briaunainius, geometri-jos istorijos þinias. Ið trigonometrijos: tapatybiø árodymà, atvirkðtines trigo-nometrijos funkcijas, trigonometrines lygtis.

Aptardamas Raseiniø vidurinës mokyklos mokytojo Laurinaièio patir-tá, sukauptà rengiant mokinius V�VII klasiø JMO, V. Klebanskis pateikë [475]nemaþa ádomiø uþdaviniø. Pora pavyzdþiø: ,,Greitai surasti rezultatus:

1) 378 · 239 + 378 · 421 + 378 · 340

199

2) 14 883 : 123 + 108 117 : 123

3) � [475, p. 35];

,,Vieno miesto gyventojai moka kalbëti arba tik lietuviðkai, arba tik ru-siðkai, arba abiem kalbomis. Lietuviðkai kalba 92,8 proc. visø gyventojø, ru-siðkai � 88,2 proc. Kiek procentø miesto gyventojø kalba abiem kalbomis?�[475, p. 37].

Panevëþietis S. Pikelis aptarë [593] mokiniø rengimà JMO. Akcentavomokiniø paþinimà � mokytojas turi stebëti visus savo klasiø mokinius, geraibûtø, kad jis ðá stebëjimà pradëtø jau pradinëse klasëse. Su potencialiais olim-piadininkais reikia papildomai dirbti per pamokas diferencijuojant namødarbus.

Joniðkietis mokytojas S. Norbutas dalijosi patirtimi [570] apie darboorganizavimà matematikø bûrelyje. Aptarë uþsiëmimo ,,Kas yra topologija�vedimà, demonstruojant A. Mëbijaus (Möbius, 1790�1868) lapà (t. y. lapà,gaunamà suklijuojant persuktus popieriaus juostos galus). Mokiniams buvoparodyta, kad Mëbijaus lapo (Miobuso rato � taip já vadino S. Norbutas)negalima nudaþyti dviem skirtingomis spalvomis, nes jis neturi skirtingø pu-siø, kad jo negalima perkirpti pusiau, kerpant já pagal vidurinæ linijà. Po tobuvo pasiûlyta savarankiðkai iðtirti: ,,1. Kas gaunama, Miobuso ratà kerpantnuotoliu, lygiu ¼ jo ploèio? 2. Nuo ko priklauso (ir kaip tai paaiðkinti) ratoneperkerpamumas? 3. Ar dar gali bûti neperkerpamumo atvejø <...>? 4. Arámanoma iðnarplioti Miobuso lapo kilpà?�.

Kitame S. Norbuto straipsnyje [569] aptartas matematinio sienlaikrað-èio leidimas. Buvo organizuota ,,matematikø� ir ,,literatø� diskusija: ,,Dis-kusija parodë, kad kai kurie mokiniai turi labai miglotà supratimà apie mate-matikos mokslà ir laiko já padriku formuliø kratiniu, nieko nesupranta apiematematikos mokslo pritaikomàjà reikðmæ�. Sienlaikraðtyje pateikdavo ir juo-kingø situacijø, klaidø, pastebëtø mokiniø darbuose (nenurodant pavardþiø).

Pora straipsniø paskelbë A. Anelauskienë. Pirmajame [183] ji dalijosivarþybø ið matematikos istorijos organizavimo patirtimi Vilniaus I mokyk-los-internato V ir IX klasëse. Jø metu V klasës mokiniai, pvz., suþinojo, kaddeðimtaines trupmenas pirmà kartà savo raðtuose pavartojo uzbekø mate-matikas al Kaðis (XV a.) ir olandø matematikas Simonas Stevinas (Stevin,1548�1620), o kablelá jose pirmas pradëjo vartoti vokieèiø mokslininkas Jo-hanas Kepleris (Kepler, 1571�1630). IX klasës mokiniai suþinojo, kad: laips-nio rodiklio terminà ávedë vokieèiø matematikas Michaelis Ðtifelis (Stiffel,

37533 · 112113 + 7406237532 · 112113 + 37531

200

1487�1567), laipsnio su trupmeniniu rodikliu sàvokà � prancûzø matemati-kas N. Oresmas (Oresme, 1323�1382), nuliná laipsnio rodiklá � al Kaðis, ðak-nies þenklà � èekø matematikas K. Rudolfas (Rudolf, apie 1500�1545), mo-dulio þymëjimà � vokieèiø matematikas K. Vejerðtrasas, faktorialo þenklà �vokieèiø matematikas Ch. Krampas (Kramp, 1760�1826) ir kt.

Kitame A. Anelauskienës straipsnyje [182] aptartas darbas su tos pa-èios mokyklos V klasës ,,Linksmøjø matematikø� klubu. Jau rugsëjo mënesápateikiami klausimai viktorinai:

1. Kiek gausime deðimèiø, padauginæ tris deðimtis ið 4 deðimèiø?2. Nedaugindami pasakykite, ar teisingai sudauginta:

223 · 465 = 103 685? (Neteisingai, nes sandauga nesidalija ið 3, ovienas dauginamasis � dalijasi).

3. Iððifruoti: aa + b = bcc (99 + 1 = 100).

4. Iððifruoti: axcx ac= ccc(3x7x37 = 777).5. Skaièiai 100 ir 90 padalyti ið to paties skaièiaus. Pirmasis davë liekanà

4, o antrasis 18. Ið kokio skaièiaus jie buvo padalyti?6. Dviejø dviþenkliø skaièiø sandauga susideda ið vienø ketvertukø. Rasti

daugiklius. (12x37 = 444).

7. Iððifruoti: acxac = accx (10x10 = 100).8. Ar trijø ið eilës einanèiø skaièiø suma gali bûti pirminis skaièius? (Ne,

ji bus dali ið 3).1967 m. VVPI vyr. dëstytojai M. Gotleras39  ir A. Lepeðkevièius pateikë

[388] XVI JMO IX�XI klasiø uþdaviniø sàlygas ir sprendimus.Kapsuko (Marijampolës) IV vidurinës mokyklos mokytoja I. Giraitie-

në40  aptarë [387] darbà su V klasës mokiniais rengiant juos dalyvauti JMO.Keletas jos siûlomø uþdaviniø: ,,1. Uþ knygà sumokëta 1 rublis ir dar pusëknygos kainos. Kiek kainuoja knyga? 2. Uþraðykite tokius ðio ðimtmeèio me-tus (XX�jo � A. A.), kad, pasukæ popieriaus lapà virðutiniu kraðtu þemyn,gautume tà patá skaièiø�.

Uþdaviniø, pateiktø XVII JMO, sàlygas bei sprendimus pateikë V. Drë-gûnas ir M. Gotleras [361].

Apie XVIII JMO raðë M. Gotleras [390]. Jis pateikë uþdaviniø sàlygasir sprendimus, trumpai aptarë rezultatus, pabrëþdamas Vilniaus A. Vienuo-lio, VI, VIII ir XIII, Kauno J. Aleksonio, Komjaunimo ir XVI, Panevëþio I irSalantø viduriniø mokyklø moksleiviø pasiekimus.

1973 m. pasirodþiusiame straipsnyje [521] V. Liutikas apþvelgë jaunøjø

201

matematikø ugdymo klausimus. 55,6 proc. matematikos mokytojø tais me-tais turëjo aukðtàjá iðsilavinimà. 278 mokyklose veikë jaunøjø matematikøbûreliai, juos lankë 5366 mokiniai. Prieð 10 metø JMO dalyvavo 102 viduri-niø mokyklø, 1973 m. � daugiau kaip 300 viduriniø mokyklø mokiniø. Ben-droje viduriniø mokyklø grupëje visada gerai pasirodydavo mokiniai ið: Kre-tingos rajono Salantø (mokyt. A. Ivanauskas), Kupiðkio V. Rekaðiaus (mo-kyt. A. Dubrindis), Kaiðiadoriø (mokyt. S. Pilkienë), Vilniaus IX (mokyt. F.Gozenpug), Vilniaus S. Nëries (mokyt. R. Razmas), Druskininkø I (mokyt.V. Skvernys), o sustiprinto matematikos mokymo mokyklø grupëje � ið: Vil-niaus A. Vienuolio (mokyt. J. Viðèiakienë, R. Balaiðis, J. Terespolskis), Kau-no J. Aleksonio (mokyt. B. Kuncikaitë), Panevëþio J. Balèikonio (mokyt. S.Bortkevièius) mokyklø. Geriausiai JMNM veikloje reiðkësi Kretingos (mo-kyt. V. Pempë) ir Tauragës I (mokyt. R. Barðèiauskas) viduriniø mokyklømoksleiviai. Daug rëmë mokytojus matematikai docentai S. Grigelionis, J.Maèys, A. Anelauskienë, profesoriai A. Naftalevièius (1921�1999), J. Kubi-lius, V. Statulevièius (1929�2003), V. Bliznikas, B. Grigelionis, K. Grincevi-èius.

Ðvietimo ministerijos inspektorë G. Ragaiðytë41  supaþindino [642] suXXIV respublikinës JMO, vykusios Zarasuose 1985 m., rezultatais. JMObuvo 150 dalyviø. Miestø grupëje I vietà uþëmë Vilnius, II � Kaunas, III �Ðiauliai. Rajonø: I vieta � Utena, II � Molëtai, III � Maþeikiai, Trakai, Vilka-viðkis. 5 vienuoliktokai, 3 metus ið eilë buvæ JMO prizininkai, tapo laurea-tais: ið Vilniaus XXIII vidurinës mokyklos � M. Radþiûnas (mokyt. J. Maèer-nis), XL vidurinës � S. Kligys, I. Rizgelis (mokyt. J. Ðarkanas), kaunieèiai �A. Dþiugaitë (mokyt. L. Navikienë), Þ. Noreika (mokyt. E. Sadzevièienë). ÁMogiliove vykusià SSRS JMO pasiøsti vilnieèiai M. Radþiûnas, S. Kligys, Þ.Suðinskas (mokyt. V. Vitkus), E. Þavoronokas (mokyt. G. Baltuðytë) ir molë-tiðkis S. Keras (mokyt. S. Maþeikienë).

Alytaus raj. Kurnënø aðtuonmetës mokyklos mokytoja J. Valatkienë da-lijosi patirtimi [696] apie uþklasinës matematikos veiklos organizavimà: ma-tematinio sienlaikraðèio leidimà, profesiná orientavimà, matematikos vikto-rinø, vakarø organizavimà.

Dviejø JMO (XXV ir XXVI) uþdavinius ir jø sprendimus pateikë A.Grincevièius ir J. Maèys [396, 397], XXV JMO � A. Lepeðkevièius ir J. Ma-èys [510], o G. Ragaiðytë [641] supaþindino su XXVI respublikinës JMO,vykusios 1987 m. Ðvenèionyse, rezultatais. Miestai iðsirikiavo tokia tvarka:Vilnius, Kaunas, Kapsukas (Marijampolë), o rajonai � Utena, Trakai, Jona-va. Laureatai: vilnieèiai Þ. Suðinskas (mokyt. V. Vitkus), E. Usanovas, Þ.

202

Budra (mokyt. V. Baltruðytë), V. Danielius (mokyt. O. Jablonskienë), kau-nieèiai R. Lencevièius (mokyt. A. Neniðkis), A. Ðurna (mokyt. E. Sadzevièie-në), uteniðkis P. Zitikis (mokyt. L. Sagadinaitë). SSRS olimpiada � vyko Frun-zëje (Biðkeke).

Taigi straipsniuose ðia tema mokytojai dalijosi patirtimi, matematikosir jos didaktikos mokslininkai aktyviai reiðkësi rengdami JMO, taisydami dar-bus ir skelbdami uþdaviniø sprendimus, o vadovaujantys ðvietimo darbuoto-jai � apibendrindami rezultatus.

3.14. Mokiniø þiniø ið matematikos tikrinimas ir jø kokybë

3.14.1. Bendrieji þiniø kontrolës ir kokybës klausimai

TM jiems skyrë 12, o Tm � 8 straipsnius.Pirmasis apie þiniø kokybës trûkumus tuometinëse septynmetëse mo-

kyklose raðë [393] Jurbarko vidurinës mokyklos mokytojas K. Grigas. Nuro-dë didelá matematikos specialistø trûkumà, matematikos mokytojais buvoskiriami atsitiktiniai þmonës, o ir tie, ypaè jauni, nesirengdavo pamokoms.Nurodæs grupelæ bûdingø mokiniø þiniø trûkumø, pasiûlë stiprinti mokyto-jø darbo kontrolæ (teigë, kad jo paties darbas per 7 m. buvo tikrintas tik 1kartà), matematikos mokytojais skirti tik sugebanèius tà dalykà dëstyti.

Matematikos dëstymà Vilniaus darbininkø jaunimo mokyklose aptarë[455] V. Klebanskis. Þemesnëse klasëse nustatytos prastos aritmetikos, vy-resnëse � trigonometrijos þinios.

Kitame straipsnyje [440] V. Klebanskis konstatavo, kad daugelyje Lie-tuvos mokyklø mokiniai nepakankamai suvokë matematikos ir fizikos daly-kø ryðius, per maþai taikë algebros þinias mintinio skaièiavimo pratimuose,prastai skyrë aksiomos, teoremos ir apibrëþimo sàvokas.

Savo straipsnyje [300] V. Blagnys akcentavo þemà teoriná ir metodinámatematikos dëstymo lygá daugelyje mokyklø: ,,Ðtai, pavyzdþiui, mokytojas(Anykðèiø J. Biliûno vidurinë mokykla) kontroliniam darbui duoda pratimà:

5,75 · 2,08 · (3,6 � 1,2 · 3).Atlikæ veiksmus skliaustuose, mokiniai gauna nulá. Bet gavinys moki-

niams nesukelia jokiø naujø minèiø dël tolesnio pratimo sprendimo: toliaumechaniðkai atlikinëjami veiksmai ið eilës. Mokytojas darbais patenkintas,

203

ávertina juos labai gerai, jokios pastabos� [300, p. 36]. Mokyklose ásigalëjoðabloniðkos pamokos, kuriø geriausioji dalis � pradþia skiriama namø darbøtikrinimui, kuris irgi ðabloniðkas � skaitant sprendimus. Maþai buvo spren-dþiama tekstiniø uþdaviniø aritmetikoje ir algebroje, apskritai maþai spren-dþiama geometriniø uþdaviniø. Prastokai buvo taisomi kontroliniai raðomie-ji darbai. Straipsnis paraðytas 1960 m. Maþdaug tuo metu prasidëjo procen-tomanija... Paslaugi spauda jà jau propagavo � verstiniame straipsnyje [418]buvo supaþindinama, kaip vienas mokytojas be antrameèiø dirba jau 20 metø.

Kauno VIII vidurinës mokyklos direktoriaus pavaduotojas V. Stroliadþiaugësi [661] geromis mokytojo E. Pranevièiaus mokiniø matematikos þi-niomis.

Ðvietimo ministerijos inspektorius A. Zybartas aptarë [720] matemati-kos mokytojø darbo kontrolës metodus: mokiniø þiniø tikrinimà þodþiu irraðtu, pamokø stebëjimà, analizæ ir aptarimà, pabrëþë kontrolës reikalingumà.

Matematiniø sàvokø apibrëþimø mokëjimo trûkumus aptarë [462] V.Klebanskis. Á klausimà ,,Kà vadiname aksioma?� daug tuometiniø mokiniøatsakydavo, kad tai teiginys (teorema), kuris nereikalauja árodymo. Kritika-vo ir kai kuriø vadovëliø neigiamà átakà. Antai A. Kiseliovo geometrijos va-dovëlyje [67] duotasis apibrëþimas: ,,Dvi tiesës vadinamos lygiagreèiomis, jeijos yra vienoje plokðtumoje ir nesusikerta, nors ir kaþin kiek jas pratæstume�turi bûti papildytas po þodþio ,,plokðtumoje� þodþiø junginiu ,,ir neturi ben-dro taðko�. N. Nikitino [111] vadovëlyje irgi buvo netikslus apibrëþimas: ,,Jeigudvi prieðingos keturkampio kraðtinës yra lygios ir lygiagreèios, tai toks ketur-kampis yra lygiagretainis�. Po þodþio ,,prieðingos� reikia þodþio ,,iðkiliojo�.Panaðias klaidas darë ir mokiniai: ,,Ábrëþtu daugiakampiu vadiname daugia-kampá, kurio virðûnës yra apskritime�. Po þodþio ,,kurio� èia trûksta þodþio,,visos�.

Kitame straipsnyje [472] V. Klebanskis aptarë individualiosios ir fron-taliosios apklausos derinimo, savarankiðkø darbø, ávairiø vaizdiniø priemo-niø, programuotø testø, matematiniø diktantø naudojimo apklausoje meto-dikà.

Dar vienas V. Klebanskio straipsnis [488] skirtas mokiniø þinioms ið ma-tematikos Ukmergës rajono mokyklose aptarti. Pasidþiaugæs gerais mokyto-jø A. Vilèinskienës (I vidurinë mokykla), G. Dambrauskienës (mokykla-in-ternatas) ir kai kuriø kitø darbo rezultatais, jis nurodë pluoðtà trûkumø, ras-tø kitø mokytojø darbe. Bloga buvo padëtis su skaièiø apvalinimu, procentøskaièiavimu, logaritminës liniuotës naudojimo ágûdþiais, aritmetinës ðakniessàvokos taikymu, grafikø transformavimo ágûdþiais, ribø skaièiavimu. Dau-

204

gelio mokiniø erdvinë vaizduotë irgi buvo menkai iðvystyta. Nurodë ir at-skleistas trûkumø prieþastis: mokytojø nereiklumas, uþklasinio darbo nebu-vimas, nepakankamas mokymo vaizdumas, nekûrybiðkas namø ir savaran-kiðkø darbø organizavimas, analizës metodo nenaudojimas sprendþiant uþ-davinius, darbo individualizavimo stoka. Citavo J. A. Komenská (Komenský,Comenius, 1592�1670): ,,Nieko negalima priversti iðmokti, iðskyrus tai, kasgerai suprasta�. Nurodë ir gráþtamosios kontrolës ir savikontrolës trûkumus,maþai naudojamus programuoto mokymo elementus. Pastebëjo, kad lygia-greèiai tirta padëtis ir Lazdijø rajono mokyklose. Padëtis panaði, kai kuriaisklausimais � dar prastesnë.

1967 m. V. Blagnys iðspausdino Tm vedamàjá straipsná [301], skirtà ma-tematikos mokymo bûklei aptarti. Straipsnio pradþioje jis raðë: ,,Yra pasiek-ta pastebimø laimëjimø vystant mokiniø loginá màstymà ir erdvinæ vaizduo-tæ, skiepijant jiems savarankiðko darbo ágûdþius, ugdant domëjimàsi mate-matika, organizuojant turiningà uþklasinæ veiklà. <...>. Algebros ir elemen-tariniø funkcijø raðomojo egzamino ávedimas daugiau sukoncentravo dëme-sá teorijos þiniø praktiniam taikymui. Sumaniai panaudodami programos funk-cijinæ kryptá, mokytojai áskiepijo mokiniams elementariniø funkcijø tyrimo,jø grafikø braiþymo ágûdþius, suderindami ðá darbà su tapatybiniais perdirbi-nëjimais ir lygèiø sprendimu. Gausëja mokiniø, savarankiðkai nagrinëjanèiødaugelá neprograminiø matematikos klausimø, gerai sprendþianèiø sudëtin-gus uþdavinius, puikiai pasirodanèiø <...> matematikø olimpiadose <...>.Taèiau mokiniø matematinis paruoðimas gerëja lëtai. Kai kuriose mokyklosemokiniø þinios yra labai menkos, pavirðutiniðkos� [301, p. 3]. Konstatavo þe-mà skaièiavimo kultûrà, veiksmø dësniø ir savybiø, þinomø algoritmø netai-kymà pratimuose:

2,62 ·13,58 + 3,8 · 13,58 + 6,422;0,16 · 12,342 � 0,163 .Nemaþa mokiniø negali paaiðkinti, kodël kaip tik taip sudaro lygtá ið

uþdavinio sàlygos, nepatikrina jos ðaknø tinkamumo ðiai sàlygai, nemoka pa-naudoti modulio sàvokos, nemoka tiksliai formuluoti apibrëþimø, teoremø.,,Eile atvejø, � raðë V. Blagnys, � mokiniai gali pakartoti tik tuos samprotavi-mus arba spræsti uþdavinius, kurie buvo nagrinëjami pamokoje, o kitaip su-formuluotas klausimas sudaro jiems sunkumø. Tai liudija apie dar neiðgy-vendintà formalizmà mokiniø þiniose. <...> Kai kurie mokiniai perkeliamiið klasës á klasæ, nors neturi bûtinø þiniø, o tai labai apsunkina jø tolesnámatematikos mokymàsi� [301, p. 3]. Viena ið prieþasèiø, V. Blagnio nuomo-ne, lëmusiø tokià padëtá, buvo þemas mokslinis�metodinis matematikos mo-

205

komasis darbas, nepakankamas dëmesys màstymo vystymui, ,,skiepijimui to-kiø savybiø, kaip minèiø reiðkimo tikslumas, aiðkumas ir glaustumas, laisvassavo dëmesio valdymas ir sugebëjimas susikaupti, atkaklumas siekiant uþsi-brëþto tikslo.

Kad mokymas vyktø pakankamu moksliniu lygiu, mokytojas turi kruopð-èiausiai iðnagrinëti visus apibrëþimus, árodymus ir uþdaviniø sprendimus, siek-damas iðlaikyti logikos reikalavimus visur, kà jis bedarytø, kalbëtø ir raðytø.Reikia uþtikrinti, kad mokinys aiðkiai suprastø kiekvienà panaudotà termi-nà, sàvokà� [301, p. 3]. Taèiau V. Blagnys, þinoma, negalëjo nurodyti pagrin-dinës prieþasties � reikalavimo ,,duoti procentus� ir kuo aukðtesnius.

Buvo pastebëti faktai, kai ,,atskiri mokytojai, remdamiesi tam tikros kla-sës pasiruoðimo lygiu, mano, kad tai klasei ,,smulkmenos� neáveikiamos, irsuprastina, sumenkina moksliná dëstymo lygá: praleidþia kai kuriø teoremøárodymus, duoda netikslius formulavimus, sprendþiant uþdavinius, daro ne-pagrástas iðvadas� [301, p. 3]. Tada ,,mokiniai susidaro nuomonæ apie mate-matikà kaip mokslà, kur reikia tik atsiminti faktus� [301, p. 3]. Taip tai taip,bet ,,procentomanija� mokytojà buvo ,,ávijusi á kampà� ir jis turëjo kaþkaiptai suktis ir nueiti nors tokiu keliu, kad bent ðio to iðmokius...

,,Keliø mokyklø septintokams buvo duotas uþdavinys iðkelti statmenis ákampo kraðtines ið jo virðûnës kampainio pagalba, � raðë V. Blagnys. � Dau-gelis mokiniø uþdavinio nepajëgë iðspræsti. <...> Reikia ásidëmëti, jog moki-niai daþnai suklysta, nemokëdami abstrahuotis, atskirti esminiø poþymiø nuoneesminiø.

Analizuojant mokiniø klaidas, svarbu ne tik nustatyti, ko mokinys neþi-no, arba kokias neteisingas iðvadas jis daro, bet, svarbiausia, � mokytojas turiiðaiðkinti, kokie vaizdiniai ir kodël sutrukdë mokiniams padaryti teisingasiðvadas ir privedë bûtent prie ðio klaidingo rezultato� [301, p. 4]. Akcentavoprobleminiø situacijø sudarymo pamokose, apibendrinimo temos ir kursopabaigoje, mokiniø savarankiðkumo ugdymo, kontroliniø darbø tinkamo pa-rinkimo ir teisingo jø vertinimo, diferencijavimo ir individualizavimo, uþkla-sinio darbo reikðmæ.

Vilniaus XXIII vidurinës mokyklos mokytojas J. Petkevièius dalijosi pa-tirtimi [591] apie raðomøjø darbø klaidø sisteminimà, jø taisymo metodikà.

Apie mokiniø perëjimo ið vienos mokyklos á kità sunkumus raðë [573] J.Norkevièius: ,,Lankydamasis vienoje Suvalkijos vidurinëje <...>, uþraðiaukeletà skaièiø apie buvusiø aðtuntokø matematikos mokymosi paþangumopablogëjimà <...>; 24,2 proc. devintokø, anksèiau niekada neturëjæ algeb-ros dvejetø, pirmajame trimestre juos turi. 15,1 proc. minëtos klasës mokiniø

206

matematikos þinojimas ávertintas balu ar net dviem blogiau�. Taip yra todël,kad ,,mokiniø màstymas neparuoðtas gana staigiam ir dideliam ðuoliui�. Ste-bëdamas pamokas Klaipëdos ir Ðiauliø miestø VIII klasëse, matë, kad moki-niai gerai sprendë trupmenines lygtis, bet jø netyrë. Ne viskà darë ir IX kla-siø mokytojai, nepadëdami adaptuotis, nepratindami savarankiðkai daryti ið-vadas. Teigiamai vertino ðiaulietës nusipelniusios mokytojos A. Guþaitytësdarbà.

Alytaus I vidurinës mokyklos direktorius V. Daraðkevièius ir jo pava-duotojas Z. Dþiaugutis supaþindino [342] su gerà þiniø kokybæ uþtikrinan-èios mokytojos B. Rutkauskienës darbu.

Apie papildomà 2 savaièiø darbà su atsiliekanèiaisiais Kauno XXXIIvidurinëje mokykloje raðë [579] J. Norkevièius, kritikuodamas mokytojus uþtai, kad dirbo nelabai planingai, neiðsiaiðkinæ mokiniø þiniø spragø.

Radviliðkio rajono VI klasiø mokiniø þinias ið matematikos tyrë [469]V. Klebanskis. Pacitavæs N. Burbaki (Bourbaki � kolektyvinis naujøjø laikømatematikø, matematikos modernizavimo ðalininkø, besistengianèiø jà ap-raðyti aksiominiais metodais, grupës, susibûrusios nuo 1937 m., pseudoni-mas): ,,Nuo graikø laikø sakyti ,,matematika� � reiðkia sakyti ,,árodymas�, V.Klebanskis analizavo mokiniø dedukcinio màstymo ugdymo bûklæ rajone. Jibuvo prastoka. Antai maþai ðeðtokø sugebëjo iðspræsti vadovëliø [58, 93] uþ-duotis: ,,árodykite, kad 76 + 75 � 74 dalijasi ið 77; reiðkinion(n +5) � (n � 3)(n + 2) reikðmë, kai visos n reikðmës yra sveikieji skaièiai,dalijasi ið 6; bet kurio trikampio aukðtiniø ilgiø suma maþesnë uþ jo perimet-rà; iðkiliojo keturkampio ástriþainiø suma maþesnë uþ jo perimetrà, bet di-desnë uþ pusæ perimetro; lygiaðonio trikampio priekampio prie virðûnës pu-siaukampinë lygiagreti pagrindui; du prieðingø krypèiø spinduliai, esà vieno-je tiesëje, yra simetriðki vienas kitam atitinkamo centro atþvilgiu�. Daugumamokiniø miglotai suprato pagrindines VI klasës kurso sàvokas, jø þinios bu-vo netvirtos, nesàmoningos. Pagrindinë to prieþastis, V. Klebanskio nuomo-ne, � prasta VI klasëse dësèiusiø matematikà mokytojø kadrø kokybë. Vos39 proc. jø buvo baigæ aukðtàjá mokslà. Daugelis mokytojø nelabai rûpestin-gai ruoðdavosi pamokoms, nekëlë savo kvalifikacijos saviðvietos bûdu: ,,Mo-kytojai, net turintys aukðtàjá iðsilavinimà, kartais neiðlaiko spartaus mokslovystymosi tempo ir atsilieka�. Taèiau V. Klebanskis negalëjo nurodyti kitø,gana esminiø prieþasèiø: procentomanijos padariniø, degraduojanèio kaimoir ,,internacionalinës geleþinkelininkø sostinës� � Radviliðkio poveikio vaikøpsichiniam iðsivystymui, taip pat ir to, kad programos ir vadovëliai sudëtingi,neprieinami net ir labai normaliems ðeðtokams...

207

Kitame V. Klebanskio straipsnyje [476] apraðyta po poros metø aptiktadar tragiðkesnë padëtis Tauragës rajone. Kai kurios klasës kontroliná darbàparaðë labai blogai � buvo po 70�78 proc. nepatenkinamø paþymiø. Vël kal-tinti tik mokytojai, konstatuota, kad maþai jø prenumeravo þurnalà ,,Kvant�(25 ið 72 mokytojø), maþai skaitë ir ,,Matematika v ðkole�. Kvietë á savið-vietà...

Nuo 1977 m. TM buvo ávestas skyrelis ,,Pasitikrinkite mokiniø þinias�.Jame buvo spausdinami prieð metus atitinkamose klasëse surengti kontroli-niai darbai, aptariami jø rezultatai (daugiausia � prastoki) ir buvo siûlomaparaðyti tokius kontrolinius su savo mokiniais. Matematikos kontrolinius dar-bus su komentarais ten spausdindavo G. Ragaiðytë, M. Vosylienë [711], K.Pulmonas ir kt.

Pradëtø diegti ,,Bûtinøjø matematikos mokymosi rezultatø� reikalavi-mus smulkiau komentavo [713] M. Vosylienë. Aptarë Moldavijos patirtá juosdiegiant.

Minëtø reikalavimø ágyvendinimà Kauno Komjaunimo, IV, XXVI irXL vidurinëse mokyklose tyrë [539] E. Masiulienë. Raðytø kontroliniø dar-bø rezultatai prastoki.

Taigi praktiðkai maþai buvo straipsniø, kuriuose bûtø itin dþiaugiamasimokiniø þiniø lygiu. Kai kuriø straipsniø pradþioje pasidþiaugimui pradþiojebuvo skiriama viena pastraipëlë, o toliau � tik kritika. Ypaè þiniø lygis kritoaðtuntajame deðimtmetyje, kai buvo mokomasi pagal naujas, ,,nepatobulin-tas� programas ir vadovëlius. Prasidëjæs tobulinimas irgi ne kaþin kà galëjoiðgelbëti. Ádomu, nors ir suprantama, kad nei viename straipsnyje bent uþuo-minomis nebuvo bandyta uþpliekti ,,ðventajai karvei� � procentomanijai, ne-kalbant jau apie ðeimø degradacijà ir jos poveiká. Neatskleidus pagrindiniøprieþasèiø, rekomendacijos buvo pusinës ir todël neveiksmingos.

3.14.2. Mokykliniai matematikos egzaminai

Ðia tema straipsniø buvo gausu: TM � 27, Tm � 3.Pirmasis apie egzaminø vykdymo metodikà raðë [226] R. Balaiðis. Daug

dëmesio skyrë egzaminø þodþiu vedimui, pasisakë prieð klaidinanèius klausi-mus, pvz. ,,Koks bus kampas, kurio sinusas lygus 1,25?� ir pan., reikalavoatsiþvelgti á tai, kad mokiniai egzamino metu labai jaudinasi, kvietë bûti ge-ranoriðkais.

Apie ruoðimàsi egzaminams raðë V. Blagnys [306]. Aptarë ankstesniaismetais pastebëtus trûkumus, nurodë, kad 1968�1970 m. 3,4 proc. vienuolik-

208

tokø neiðlaikë baigiamojo egzamino, o ,,Deðimteriopai blogesni kontroliniodarbo, organizuoto ðeðiose vidurinëse mokyklose, rezultatai. Ið 178 vienuo-liktokø <...> 66 buvo ávertinti nepatenkinamai <...>, daugiau kaip 20 proc.abiturientø, laikanèiø stojamàjá matematikos egzaminà <...>, gauna nepa-tenkinamus, o 50 proc. iðlaikiusiøjø tik patenkinamus paþymius�. Taigi pro-centomanijos vaisiai jau buvo akivaizdûs, tik, deja, tuo metu apie tai raðytitiesiai buvo nepriimta...

Daugelis kitø straipsniø apie egzaminus � apraðymai konkreèiø egza-minø, vykusiø konkreèiais mokslo metais konkreèiø miestø ar rajonø kon-kreèiø mokyklø konkreèiose klasëse. Todël smulkiau ðiø straipsniø neaptari-nësime, pasitenkinsime bendràja jø apþvalga. Pradþiai pateiksime jø pasi-skirstymà (3 lentelë).

M okslo m eta i

N ebaigto v idur in io m okslo egzam ina i

V idur in io m okslo egzam ina i

1953–54 1954–55 1958–59 1964–65 1968–69 1970–71 1971–72 1972–73 1973–74 1974–75 1975–76 1976–77 1978–79 1979–80 1980–81 1981–82 1983–84 1984–85 1985–86

V . K lebanskis [468] J. N orkeviÿ ius [571] J. N orkeviÿ ius [577] K . Pulm onas [617] K . Pulm onas [614] E . M asiulien� , S .Š irv inskien� [538]

V . K lebanskis [468] V . B lagnys [297], V . K lebanskis [433] V . K lebanskis [461] V . K lebanskis [430] A . Lepeškeviÿ ius, J. N orkeviÿ ius [511] V . K lebanskis [479] V . K lebanskis [480] V . K lebanskis [436, 452] V . K lebanskis [436, 450] V . K lebanskis [436, 448] V . K lebanskis [467] V . K lebanskis [427] K . Pulm onas [633] K . Pulm onas [623] K . Pulm onas [638] K . Pulm onas [635] K . Pulm onas [636] J. A ukštakalnien� [195] K . Pulm onas [629]

3 lentelë.Straipsniai apie mokyklinius matematikos egzaminus

Kaip jau minëjome, absoliuti dauguma straipsniø paraðyti apsilankiuskonkretaus rajono konkreèioje mokykloje. Pastebësime, kad daugeliu atvejøtokie apsilankymai mokykloms nebûdavo pernelyg malonûs. Aptarus tai, kas

209

buvo gera, o ðio to bûdavo, paprastai didesnioji straipsnio dalis buvo skiria-ma ávairiø mokiniø darbø trûkumø, didesniø ar maþesniø, analizei. Buvostraipsniø, kuriuose analizuoti vieno ar keliø rajonø mokiniø egzaminø dar-bai. Tai mokykloms buvo parankiau, bet ir èia buvo susilaukiama priekaiðtø.Kai kuriuose straipsniuose analizuoti visos Lietuvos pretendentø á aukso me-dalius darbai. Ðie darbai bûdavo kruopðèiai rengiami: prieð siunèiant á minis-terijà juos perþiûrëdavo ir siøsdavo arba nesiøsdavo miesto (rajono) ðvieti-mo skyriaus komisija. Ministerijoje irgi tuos darbus tikrindavo geriausiø ma-tematikos mokytojø ir didaktikos specialistø komisija. Ji ir priimdavo galuti-ná sprendimà � apdovanoti ar neapdovanoti. O padëtá, susidarydavusià kiek-vienais metais, labai gerai apibûdina vieno K. Pulmono straipsnio [633] ið-trauka. Straipsnis paraðytas 1979 m., jame teigiama, kad, atlikus ,,kandidatøá medalininkus darbø analizæ, norisi pasidþiaugti daugeliu jø, o kartu ir pasa-kyti, kad kai kurie � be reikalingo sprendimo apipavidalinimo, teiginiø pa-grindimo. Yra taisymø kitu tuðinuku ar automatiniu plunksnakoèiu <...>.Tos paèios mokyklos kandidatø á medalininkus darbai ðabloniðki, panaðûsvienas á kità, su tomis paèiomis sprendimo idëjomis. Pasitaikë net ir tø paèiønetikslumø � komisijø nepastebëtø�. Taèiau, jei taisymas bûdavo atliktas sutuo paèiu tuðinuku ir mokytojui padiktavus, to jokia komisija negalëjo nusta-tyti...

Poroje straipsniø buvo pakritikuota ir egzaminø vykdymo tvarka. A.Liolys, Kapsuko (Marijampolës) rajono ðvietimo skyriaus mokyklø inspek-torius, ir S. Maèionis, rajono mokytojø metodinio ratelio pirmininkas, raðë[517] apie egzamino raðomojo darbo struktûrà: ,,Manome, kad turëtø bûtiskirti keturi pratimai � uþdaviniai. Pirmøjø dviejø sprendimas turëtø parody-ti, kaip mokiniai ásisavinæ pagrindinius, pagal programà numatytus matema-tikos dësnius, taisykles, kurios reikalingos praktiniame gyvenime bei toles-niame matematikos ir kitø techniðkø disciplinø mokymesi <...>. Ðiuos duuþdavinius turëtø iðspræsti visi vidutinio darbðtumo, nors ir negabûs mate-matikai mokiniai, negalvojantys studijuoti aukðtosiose mokyklose techniðkødisciplinø. Kiti du uþdaviniai turi bûti laipsniðkai sunkesni, reikalaujantysdaugiau loginio màstymo. <...> Uþdaviniø pateikimas sunkëjanèia tvarka iðdalies iðspræstø diferenciacijà, ágalintø mokiniø þinias ávertinti objektyviau�.Paþymëtina, kad greitai po ðio straipsnio pasiûlymai buvo realizuoti. Nerea-lizuotas liko pasiûlymas vakariniø ir neakivaizdiniø mokyklø mokiniams skirtipaprastesnes egzaminø uþduotis. Jis buvo realistiðkas, bet labai jau kirtosi sutuometinëmis nuostatomis...

PMTI mokslinë bendradarbë A. Zakarevièienë savo straipsnyje [717]

210

citavo tuometinës vidurinës mokyklos matematikos mokymo programà: ,,Mo-kytojas turi nuolat sekti, kad mokiniai ágytø savarankiðko darbo ágûdþiø: bai-giantieji mokyklà mokiniai turi ágyti tvirtus darbo su knyga, þinynais, lentelë-mis ir grafikais ágûdþius�. Taèiau tuo metu per egzaminus þinynais ir formu-liø rinkiniais naudotis nebuvo leidþiama. Siûlë leisti.

Taigi straipsniai apie egzaminus maþai skyrësi nuo straipsniø apie mo-kiniø þiniø lygio tyrimus. Gerai iðanalizavus klaidas, trûkumus, jø likvidavi-mo keliai, nutylint pagrindines jø prieþastis, nebuvo labai realûs.

3.14.3. Stojamieji matematikos egzaminai á aukðtàsiasmokyklas ir technikumus

Ðia tema paskelbti 7 TM ir 4 Tm straipsniai. Kadangi jø struktûra pana-ði á aukðèiau aptartø mokykliniø egzaminø straipsniø, jø smulkiai nenagrinë-sime, pateiksime tik jø suvestinæ (4 lent.) ir po to apibendrinsime.

4 lentelë. Straipsniai apie stojamuosius matematikos egzaminus áaukðtàsias mokyklas

Metai Aukštoji mokykla

Straipsniÿ autoriai

1961 1965 1975

1976 1977

1978 1987

VVPI KPI KPI VISI VISI VVPI

KPI VISI

M. Gotleras [389] Z. Antanaitis, L. Narkeviÿius [187] A. Mikutaviÿius [558] V. Liutikas [523] V. Liutikas [526] A. Anelauskien� , A. Lepeškeviÿius [181] V. Pekarskas [587] V. Liutikas [522]

Kaip jau minëjome, straipsniø struktûra gana panaði á mokyklinius eg-zaminus apraðanèius straipsnius: pradþioje aptariama egzaminø uþduoèiø te-matika, pasidþiaugiama neblogais rezultatais (nedaug), o po to aptariamos,,bëdos�. Pasitenkinsime paskutinio lentelës straipsnio [522] platesniu apta-rimu. Jame raðoma, kad buvo tikrintos jau ástojusiøjø á I kursà 66 Mechani-nës technologijos fakulteto I kurso studentø þinios, pateikus tuometinës SSRS

211

Aukðtojo ir specialiojo vidurinio mokslo ministerijos parengtà kontroliná dar-bà. Labai gerai ir gerai buvo ávertinti tik 21,2 proc., patenkinamai � 47 proc.ir blogai � 31,8 proc. darbø. Savo atestatø paþymius ,,apgynë� tik Vilniaus A.Vienuolio, XL, XLI, XLV, Molëtø II viduriniø mokyklø abiturientai. Kiti,deja, ne (nors turëjo tik labai gerus ir gerus paþymius). V. Liutikas, apiben-drindamas rezultatus, raðë: ,,Nepakankamai iðvystytas daugelio abiturientømatematinis loginis màstymas. Jie neparuoðti loginiam màstymui pasitelktigrafiná vaizdavimà <...>, nejauèia ryðiø tarp judëjimo uþdaviniø komponen-tø <...> jø kitimo procese <...>. Abiturientams <...> trûksta kûrybinio ma-tematinio màstymo ágûdþiø <...>, keliø nestandartiniø elementø ávedimas<...> daugelá suglumino, ir jie nesugebëjo iðspræsti palyginti paprastø uþda-viniø <...>. Mums atrodo, kad ilgametis mokytojø skatinimas pirmoje eilëjedomëtis atsiliekanèiais, iðmokant juos ,,minimumo�, patraukë þemyn ir aukð-tos kokybës (ketverto ir penketo) lygá. Penketai ið matematikos imta raðytiapskritai darbðtiems mokiniams, þinantiems visas formules ir visus privalo-mus standartiniø uþdaviniø sprendimo algoritmus <...>. Pagalvokim, ar ne-reikia gráþti prie klasikinës gimnazijos laikais vyravusio poþiûrio: norint gautiið matematikos penketà, reikia ir þiniø, ir geros galvos�. Tarp dvejetus gavu-siø buvo 9 mokiniai, atestatuose turëjæ penketus, o tarp trejetukininkø tokiøbuvo 8. Dar vienas V. Liutiko straipsnis [524] buvo skirtas mokytojams supa-þindinti su nauja SSRS Ðvietimo ministerijos patvirtinta stojamøjø egzaminøtvarka.

Vienas straipsnis [685], kurio autorë � M. Urbonavièienë, Aukðtojo irspecialiojo vidurinio mokslo ministerijos vyr. metodininkë, buvo skirtas ap-tarti stojamiesiems egzaminams á technikumus. Iðvados panaðios: silpnesnikaimø mokyklas, vakarines ir neakivaizdines mokyklas baigusiøjø stojamøjøegzaminø rodikliai.

Telðiø raj. Ubiðkës vidurinës mokyklos direktorius A. Aþubalis raðë [201]apie neatitikimus tarp tuometinës vidurinës mokyklos matematikos moky-mo ir stojamøjø egzaminø á aukðtàsias mokyklas programø, dël kuriø kartaisstojamøjø egzaminø rezultatai bûna blogesni.

Taigi bûtent ðio skyrelio straipsniuose buvo apraðyta realesnë matema-tikos mokiniø þiniø lygio padëtis. Ji nebuvo gera. Mokyklos buvo priverstosaukðtinti paþymius: jei trejetà daþnai reikëdavo raðyti nieko nemokanèiam irnenorinèiam mokëti, tai kà galëjo daryti mokytojas su tais, kurie mokësi?Atsakymas paprastas � raðë ketvertus besistengiantiems, nors ir negabiems,o penketus � gabesniems. Aukðtosios mokyklos per stojamuosius ávertindavojau realiau.

212

3.15. Matematikos didaktikos istorija

Ið pradþiø nedràsiai, o ,,perestroikos� laikais jau dràsiau buvo pradëtaraðyti apie Lietuvos matematikos didaktikos istorijà. TM, TÐ ðia tema pa-skelbë 12, Ttm � 1 straipsná.

Filologijos mokslø kandidatas S. Keinys, akcentuodamas matematinësterminijos kûrimo klausimus [424], apraðë Marcelino Ðikðnio veiklà.

Profesorius Jonas Lauþikas (1903�1980) paraðë straipsná [507], skirtàpaminëti 100�sioms Meèislovo Vasiliausko gimimo metinëms. Beje, ðiamestraipsnyje J. Lauþikas suklydo, raðydamas, kad M. Vasiliausko 1920 m. ið-leistoji aritmetikos mokymo metodika ilgà laikà buvo vienintelë. Tas ,,ilgaslaikas� � iki 1925 m.

Su Prano Maðioto ,,Aritmetikos uþdavinynu� supaþindino [566] E. Ne-niðkytë.

Vyskupo Antano Baranausko matematikos darbus aptarë [650] P.Rumðas.

Apie II Pabaltijo matematikos istorijos ir jos metodikos seminarà infor-mavo [215] A. Aþubalis. Jame P. Rumðas padarë du praneðimus: apie 1928�1930 metø mokyklinës matematikos reformà Lietuvoje ir apie prof. Z. Þe-maièio indëlá á matematikos mokymo organizavimà Lietuvoje. E. Neniðkytëkalbëjo apie P. Maðioto veiklà ðioje srityje, H. Jasiûnas � apie tuometiniøLietuvos matematikø indëlá á matematikos didaktikos teorijà ir praktikà. IIIseminaras ávyko VU [219]. Jame E. Neniðkytë aptarë mokytojø rengimo VUMatematikos fakultete problemas, P. Rumðas dalijosi mintimis apie Z. Balu-èio�Balevièiaus (1907�1969) [7, p. 22; 9, p. 297] ir A. Busilo (1889�1951) [7,p. 24; 9, p. 288] penkiø daliø (A. Busilas raðë tik I�II d.) algebros vadovëlávidurinei mokyklai, pirmàjá lietuviðkà elementariosios algebros vadovëlá, pa-grástà funkcijos sàvokos idëja [9, p. 239�241, 369]. A. Aþubalio praneðimasbuvo skirtas aptarti kelis deðimtmeèius RMTI matematikos kabineto vedëjudirbusio V. Klebanskio veiklai. IV seminaras vyko Rygoje [214]. E. Neniðky-të jame padarë praneðimà apie P. Rumðo metodinæ veiklà. H. Jasiûno prane-ðimas buvo skirtas VU matematikø veiklai liaudies ðvietimo srityje, o jo ir V.Verikaitës praneðimas � K. Klimavièiaus veiklai aptarti. A. Aþubalis skaitëpraneðimà apie sustiprinto matematikos mokymo raidà Lietuvos vidurinëjemokykloje. R. Paulavièienës praneðime nagrinëta M. Ðikðnio veikla Rygojeiki I pasaulinio karo. V seminaras ávyko Tartu universitete [217]. H. Jasiûnaspadarë praneðimà apie lietuviø tautinës mokyklos formavimosi procesà ir

213

matematikos mokymo raidà joje. Trakø I vidurinës mokyklos direktoriaus J.Bagdono praneðime apþvelgta pirmosios Lietuvoje þinomos Trakø parapinësmokyklos istorija. R. Paulavièienë supaþindino su pirmuoju lietuviðku mate-matikos vadovëliu A. Aþubalio praneðimas buvo skirtas matematinës temati-kos straipsniams Lietuvos pedagoginëje periodikoje 1918�1940 m. A. Nage-lës praneðime buvo analizuotas Lietuvos viduriniø mokyklø abiturientø ma-tematikos þiniø lygis.

Du A. Aþubalio straipsniai buvo iðspausdinti 1988 m. Pirmajame [199]aptartas V. Klebanskio gyvenimas ir veikla, antrajame [197] � pirmøjø mate-matinës krypties mokyklø kûrimasis ir veikla Lietuvoje.

Platø straipsná [318] apie Vincà Katiliø paskelbë V. Bliznikas.1990 m. pasirodë H. Jasiûno ir V. Verikaitës straipsnis [413] apie pirmà-

já lietuviðkà matematikos uþdavinynà, iðleistà Tilþëje 1885 m.Paskutinis ðios tematikos straipsnis [209] buvo A. Aþubalio � apie ma-

tematikos didaktikos straipsnius ,,Lietuvos mokyklos� þurnale 1918�1940 m.Taigi ið pradþiø nedràsiai, ,,zonduojant dirvà�, buvo pradëti skelbti

straipsniai apie Lietuvos matematikos didaktikos pradininkus (daþniausiaijø gimimo jubiliejø proga), o po to tai daryti imta jau dràsiau. Mokytojai tuolabai domëjosi, daug kur mokyklose teko matyti minëtø straipsniø kopijasmatematikos istorijai skirtuose stenduose.

 1 KLEBANSKIS ABRAMAS VULFAS (g. 1906 09 07 Raseiniuose � m. 1978 06 26Vilniuje). 1925 m. baigë Ðiauliø gimnazijà. 1937 m. VDU apgynë diplominá darbà,,Neeuklidiniø geometrijø atsiradimas ir jø iðsivystymas� (vad. prof. Z. Þemaitis). 1928�1940 m. mokytojavo þydø progimnazijose ir gimnazijose Rokiðkyje, Maþeikiuose,Jurbarke, Panevëþyje ir Kaune. 1940�1941 m. dirbo Zarasø, 1941�1944 m. Rusijoje,Molotovo (Permës) vidurinëse mokyklose, 1944�1945 m. � Debiosø lietuviø vaikønamuose Udmurtijoje. 1945�1950 m. � Respublikinio pedagoginio kabinetometodininkas, direktoriaus pavaduotojas, direktorius (kartu � Vilniaus IV vidurinësmokyklos mokytojas). 1950�1978 m. � RMTI matematikos kabineto vedëjas. Paraðëkeletà knygø, daugiau kaip 100 straipsniø matematikos mokymo klausimais [9, p. 460].

 2 BALAIÐIS ROMUALDAS (g. 1914 09 26 Zarasø aps., Panemuniø k. � m. 199609 02 Vilniuje). 1939 m. iðklausë matematikos kursà VDU, iðlaikë egzaminus gimnazijosmokytojo cenzui ágyti. 1939�1948 m. dëstë matematikà Ðiauliø, 1948�1949 m. � Kaunomokytojø seminarijose. 1949�1981 m. R. Balaiðis dirbo Vilniaus I (vëliau pavadintojeA. Vienuolio vardu) vidurinëje mokykloje (1952�1975 m. � direktoriaus pavaduotojas).Greta aptartø knygø ir straipsniø, paraðë recenzijø [223], o 1993 m. iðleido,,Matematikos uþdavinynà� [9, p. 462; 344, p. 51�52].

214

 3 TERESPOLSKIS JANKELIS (g. 1909 12 28 Raseiniuose � m. 1998 04 18Vilniuje).1929 m. baigë Raseiniø þydø gimnazijà. 1930 m. ëmë dirbti Këdainiø þydøgimnazijoje, nuo 1932 m. � suaugusiøjø kursuose Kaune. Matematikos kursà VDUiðklausë 1934 m. 1936 m. iðvyko á SSRS, 1937�1940 m. gyveno Prancûzijoje, 1940�1941m. � Kauno statybos tresto finansø skyriaus virðininkas. 1941�1942 m. � mokytojasRusijoje, Saratovo sr. mokyklose. 1942�1946 m. tarnavo Raudonojoje armijoje, kovësifronte, buvo suþeistas. 1946�1948 m. dirbo Lietuvos SSR finansø ministerijoje. 1948 m.dirbo Vilniaus V, 1949�1975 m. I (A. Vienuolio) vidurinëje mokykloje. Eksternu baigëVVPI. Ten kurá laikà dirbo dëstytoju antraeilininku, skaitydavo paskaitas mokytojamsRMTI kursuose [9, p. 463].

 4 LAKIÛNAS ANTANAS (g. 1905 11 19 Marijampolës aps., Kvietiðkio vls.,Puskelniø k. � m. 1995 07 25 Panevëþyje). 1926 m. baigë Marijampolës Rygiðkiø Jonogimnazijà. VDU 1931 m. apgynë diplominá darbà

,,Funkcijos zz

zzw

11 22 −−+= konformiðkas atvaizdavimas�

(vad. prof. O. T. Folkas (Volk, 1892�1989)). 1930�1931 m. � Kauno S. Daukantomokytojø seminarijos, 1931�1936 m. � Rokiðkio ir Vilkaviðkio gimnazijø mokytojas,vicedirektorius, nuo 1936 m. Seinø gimnazijos Lazdijuose direktorius. 1938 m.apdovanotas DLK Vytauto IV laipsnio ordinu. Iki 1939 m. jo pavardë buvo Lakickas.Po karo dirbo Panevëþio mokyklose [9, p. 455�456].

 5 VALENTINAVIÈIUS VLADAS gimë 1929 10 05 Kelmës raj., Vaidatoniø k. 1957m. baigë VVPI (fizikos spec.) ir tapo jo dëstytoju. 1964 m. apgynë pedagogikos moksløkandidato (dab. daktaro) disertacijà ið fizikos didaktikos. 1967�1978 m. buvo fizikos irmatematikos metodikos, 1983�1994 m. � fizikos metodikos katedros vedëjas, profesorius(1985). Paraðë (vienas ir su kitais) fizikos didaktikos knygø, straipsniø, dabartineireformuojamai Lietuvos mokyklai � vadovëliø [770, p. 435].

 6 PULMONAS KAZIMIERAS gimë 1941 07 21 Ðakiø raj., Kriûkø mst. 1964 m.baigë VVPI matematikos � braiþybos spec. ir iki 1972 m. dirbo Jurbarko raj. Seredþiausvidurinëje mokykloje. Nuo 1972 m. dirbo RMTI metodininku, matematikos kabinetovedëju, direktoriaus pavaduotoju, kartu � Vilniaus XXVII (dab. J. Basanavièiaus)vidurinës mokyklos mokytoju. Matematikos mokytojas ekspertas. Greta aptartøstraipsniø ir knygø, po 1990 m. paraðë didaktinës medþiagos rinkiniø, su kitais raðomatematikos vadovëlius reformuojamai Lietuvos mokyklai. Dirba PPRC skyriaus vedëju[755, p. 555�556; 756, p. 532�533; 812].

 7 PALIOKAS ROMUALDAS (g. 1929 09 26 Utenos aps., Debeikiø vls., Dobilynësvnk. � m. 1977 02 27 Panevëþyje). Ðeimoje buvo 6 vaikai, 3 ið jø tapo mokytojais. 1949m. R. Paliokas baigë Utenos gimnazijà, mokytojavo Molëtø raj. Bijutiðkio ir Suginèiø,Ignalinos raj. Kukuèiø septynmetëse mokyklose. 1952 m. vedë kraðtietæ mokytojàAldonà Dundulytæ ir persikëlë á Anykðèiø raj. Burbiðkio septynmetæ mokyklà.Dirbdamas baigë VVPI neakivaizdiná skyriø (matematikos spec.). 1966�1977 m. dirbo

215

Panevëþio V vidurinëje mokykloje. Èia dirbdamas ástojo á SSRS PMA Bendrosios irpedagoginës psichologijos MTI neakivaizdinæ aspirantûrà, kurià sëkmingai baigë,parengæs psichologijos mokslø kandidato (dab. daktaro) disertacijà ,,Matematiniøsugebëjimø vystymas ryðium su matematikos mokymo individualizavimu (IX�XIklasëse)� (vadovas prof. habil. dr. V. Kruteckis). Disertacijos gynimas buvo paskirtas1976 12 08, á já R. Paliokas nenuvyko dël sunkios operacijos. Mokslinio vadovo aukðtaiávertintas darbas liko neapgintas.

R. Paliokas iðspausdino daug moksliniø straipsniø SSRS ir Lietuvos pedagoginiøskaitymø, Pabaltijo psichologø konferencijø praneðimø rinkiniuose. Dalyvaudavo LMDkonferencijose. Sëkmingai rengë moksleivius matematikø olimpiadoms, skaitë paskaitasRMTI kursuose, dalyvaudavo aukðtøjø mokyklø stojamøjø egzaminø komisijø veikloje.Jo mokiniai sëkmingai mokësi JMNM [807].

 8 MASIULIENË � PETRAITYTË ELVYRA gimë 1945 12 01 Garliavoje. 1968 m.baigë VVPI matematikos spec. Mokytojavo Garliavoje, Ariogaloje. Nuo 1977 m. dirboRMTI metodininke, kurá laikà � matematikos kabineto vedëja. Dirba PPRC [801].

 9 VITKUS VLADAS gimë 1941 09 02 Kelmës raj., Linkauèiø k. Mokësi Kelmësraj. Karklënø septynmetëje ir Kraþiø vidurinëje mokyklose, baigë Telðiø raj. Tryðkiøvidurinæ mokyklà. 1965 m. baigë VVPI matematikos spec. Dirbo Vilniaus S. Nëriesvidurinës mokyklos mokytoju, XXXIV ir XL viduriniø mokyklø direktoriauspavaduotoju. Nuo 1984 m. � XL (dab. Vilties) vidurinës mokyklos direktorius.Matematikos mokytojas ekspertas, II kategorijos ðvietimo vadybininkas. Be aptartøknygø ir straipsniø, kartu su kitais paraðë matematikos uþdavinynà (2000) [755, p. 782;756, p. 745; 819].

 10 GRIGELIONIS STASYS gimë 1931 03 25 Birþø aps., Vaðkø vls., Iciûnø k. MokësiVaðkuose, Pasvalyje, Krekenavoje, 1950 m. baigë Joniðkëlio vidurinæ mokyklà. 1955 m.su pagyrimu baigë VU matematikos spec. 1954�1955 m. dirbo Vilniaus IV darbojaunimo, 1955�1957 m. � Trakø vidurinëje mokyklose. 1957�1960 m. mokësi VUaspirantûroje, kartu nuo 1958 m. ëmë dirbti VVPI. 1973 01 30 VU apgynë matematikoskandidato (dab. daktaro) disertacijà apie neholonominio komplekso geometrijàketurmatëje projektyvinëje erdvëje � vienà ið geriausiø tarp apgintøjø panaðia tema.Nuo 1975 m. dirbo VVPI docentu, 1985�1991 m. buvo Matematikos mokymometodikos katedros vedëju. Paskelbë moksliniø straipsniø ið geometrijos, su kitais � 2mokomàsias priemones dab. VPU studentams, rengë JMNM uþduotis. Nuo 1996 m.pensininkas. Dar nuo studijø laikø kaupë plokðteles su muzikiniais áraðais, turi jø apie5�6 tûkst. [826].

 11 GUDYNAS MOTIEJUS gimë 1923 02 24 Marijampolës aps., Jiestrakio k. MokësiMarijampolës Marijonø gimnazijoje, jà 1940 m. uþdarius, 1941 m. baigë Rygiðkiø Jonogimnazijà. Karo pradþioje ásidarbino Marijampolës cukraus fabrike buhalteriu, 1943�44 m. m. dëstë matematikà Molëtø progimnazijoje. 1944 m. mobilizuotas á Raudonàjàarmijà. 1946 m. gráþo ið kariuomenës, dirbo Balbieriðkio progimnazijoje bei Prienøgimnazijoje kariniu vadovu, kartu dëstë matematikà ir astronomijà. 1949�1963 m. dirboPakruojo raj. Þeimelio vidurinëje mokykloje. 1957 m. baigë VVPI neakivaizdiná skyriø

216

(matematikos spec.). 1958�1963 m. dirbo mokyklos direktoriaus pavaduotoju. Ðiojemokykloje jo mokiniu buvo akad. B. Grigelionis. 1963�1976 m. M. Gudynas dirbo Kaunoraj. Girininkø ir Piliuonos aðtuonmetëse mokyklose, nuo 1967 m. buvo ðios mokyklosdirektorius. 1976�l983 m. dirbo Kauno J. Aleksonio vidurinëje mokykloje. LMD narys,apdovanotas Z. Þemaièio medaliu, nuo 1963 m. buvo PMTI mokslinis korespondentas.Sûnus Gintautas � KU docentas, matematikos daktaras [792].

 12 LEPEÐKEVIÈIUS ANDRIUS gimë 1926 12 02 Telðiø aps., Nevarënø vls.,Pamarkijos k. Mokësi Pamarkijos ir Nevarënø pradinëse mokyklose, 1947 m. baigëTelðiø gimnazijà. 1947�1949 m. mokësi VU FMF, kaip perspektyvus studentas, pasiøstasá Maskvos Lomonosovo universitetà, taèiau po vienø metø dël blogø materialiniø sàlygøir dël to pablogëjusios sveikatos studijas teko nutraukti. 1950�1951 m. dirbo Telðiø raj.Nevarënø septynmetës mokyklos direktoriumi, 1951�1959 m. dirbo mokytoju,direktoriaus pavaduotoju, direktoriumi Pandëlio vidurinëje mokykloje. 1956 m. baigëVVPI neakivaizdiná skyriø (matematikos spec.). 1959�1963 m. dirbo PMTI, nuo 1963m. dirba dab. VPU. Parengë mokomøjø priemoniø ið elementariosios matematikos irjos didaktikos, vienas ir su kitais � didaktinës medþiagos rinkiniø mokyklai, paskelbëdidaktiniø straipsniø, LMD konferencijø praneðimø teziø. Dirba vyr. asistentu VPUMatematikos metodikos katedroje [796].

 13 PLAUÐINAITIS VINCAS (g. 1892 05 25 Ðakiø aps., Griðkabûdþio vls., Katiliøk. � m. 1968 m. Klaipëdoje). 1911 m. baigë Veiveriø MS ir dirbo Vilkaviðkio aps.Lauckaimio ir Vidgiriø, Ðakiø aps. Katiliø ir Naumiesèio pradþios mokyklø vedëju.Nepriklausomoje Lietuvoje dirbo Telðiø ir Ðiauliø aps. pradþios mokyklø inspektoriumi.1927 m. iðlaikë egzaminus ir gavo vidurinës mokyklos (progimnazijos) mokytojo teisesir dirbo tokiose mokyklose Skuode, Kupiðkyje ir Sedoje. 1940�1944 m. � vël inspektoriusÐiauliuose, nuo 1944 m. iki iðëjimo á pensijà � Sedos vidurinës mokyklos direktoriauspavaduotojas. Iki 1940 m. pedagoginiais klausimais raðë ,,Beraðtyje�, ,,Mokykloje irgyvenime�, ,,Ðvietimo darbe�, pastarajame þurnale paskelbë ir du matematikosdidaktikos straipsnius. Pokaryje ið rusø kalbos iðvertë groþinës literatûros kûriniø [7, p.102�103; 9, p. 294�295].

 14 MAÈIONIS SIGITAS gimë 1935 03 15 Lazdijø raj., Mikniðkiø k. 1951�1954 m.mokësi Marijampolës MS, 1954�1959 m. � VVPI ir ágijo matematikos-braiþybosmokytojo specialybæ. 1959�1960 m. dirbo Kybartø vidurinëje mokykloje, 1960�1989 m.� Marijampolës V. Mykolaièio-Putino vidurinëje mokykloje-internate, 1989�1998 m. �Marijampolës V vidurinëje mokykloje, nuo 1998 m. dirba Rygiðkiø Jono gimnazijoje.Daugelá metø buvo rajono ir miesto matematikos mokytojø metodinio rateliopirmininku, VPI studentø pedagoginës praktikos vadovu, dalyvaudavo KPI stojamøjøegzaminø komisijose. 7 S. Maèionio mokiniai tapo JMO prizininkais. Buvo árengæsgerà matematikos kabinetà. Uþ funkciografo pagaminimà gavo Ðvietimo ministerijospremijà. Funkciografà ásigijo daug Lietuvos mokyklø. Jis eksponuotas SSRS liaudiesûkio pasiekimø parodoje, mokykla apdovanota jos medaliu.

Daþnai J. Maèionis dalyvaudavo pedagoginiuose skaitymuose, kai kurie jopraneðimai iðspausdinti. 1995 m. jam buvo suteiktas matematikos mokytojo metodininkovardas [797].

217

 15 MALANSKAITË�TAMULEVIÈIENË GENOVAITË gimë 1933 10 02Panevëþio aps., Ðeduvos vls., Maþuliø k. Mokësi Pakalniðkiø pradinëje ir Ðeduvosvidurinëje mokykloje, kurià baigë 1952 m. ,,Pasirinkimo laisvë, kà veikti toliau, pasibaigë,nes gyvenimo sàlygos tuo metu buvo ne kokios: kolûkis silpnas, þmonës dvasiðkaipalauþti�, � raðë ji savo autobiografijoje. Ëmë mokytojauti ir mokytis neakivaizdiniubûdu. Treèiaisiais studijø metais susirgo. Todël pasveikusi ryþosi studijuoti stacionare.1956 m. ástojo á ÐPI FMF. Nors ir labai materialiai vargdama, nes 1956 m. mirë tëvas,1961 m. baigë studijas ir iðvyko pagal paskyrimà á Ðvenèionis. Dirbo mokyklø inspektore.,,Kilusi ið vidurio Lietuvos, në nenutuokiau, � raðë G. Malanskaitë, � kad rytinis Lietuvospakraðtys beveik nutautëjæs: bekalbanèiø lietuviðkai buvo maþai. Net tikri lietuviaiinteligentai, rodos, puikavosi tuo, kad kalbëjo rusiðkai ar lenkiðkai. Jø átakainepasidaviau, todël buvau nepageidaujamas asmuo <...>. Atkakliai laikydamasinusistatymo kalbëti tik gimtàja kalba, pasiekiau kai kuriø laimëjimø � dalis mokyklødirektoriø ir mokytojø suprato gimtosios kalbos reikðmæ tautai ir dràsiau ëmë kalbëtilietuviðkai�. 1964�1984 m. G. Malanskaitë � Këdainiø raj. Dotnuvos vidurinës mokyklosdirektoriaus pavaduotoja, 1984�1992 m. � Këdainiø J. Paukðtelio vidurinës mokyklosmokytoja [798].

 16 PËSTININKAS JUOZAS gimë 1932 12 05 Marijampolës aps., Èiuoderiðkiø k.Baigë Baraginës pradþios mokyklà, Sasnavos progimnazijà, 1954 m. � MarijampolësMS, 1959 m. � VVPI FMF. Vienus metus dirbo Vilkaviðkio raj. Pilviðkiø vidurinëjemokykloje, o nuo 1960 m. � dab. Marijampolës Rygiðkiø Jono gimnazijoje. 1978 m. jamsuteiktas matematikos mokytojo metodininko, o 1993 m. � mokytojo eksperto vardas.Lietuvos matematikos mokytojams atstovavo SSRS pedagoginiuose skaitymuoseAlmatoje (Kazachija), uþ tai gavo SSRS PMA diplomà, tapo eksperimentinëssusiraðinëjimo grupës prie ðios MA dalyviu. Parengë nemaþa JMO prizininkø [755, p.526; 810].

 17 JANULIONIS JUOZAS (g. 1896 01 01 Birþø aps., Latvygalos k. � m. 1982 05 19Rokiðkyje). 1917 m. baigë Pabaltijo MS, mokësi Peterburgo universiteto FMF. 1918 m.gráþo á Lietuvà ir 1920�1962 m. dirbo Rokiðkyje dab. J. Tumo-Vaiþganto vidurinëjemokykloje (1936�1940 ir 1947�1951 m. direktorius). 1930 m. J. Janulionis ágijogimnazijos mokytojo teises, iðlaikæs cenzo gavimo egzaminus. Jo mokiniais buvo prof.habil. dr. Mifodijus ir prof. dr. Jonas Sapagovai, doc. dr. B. Riauba � þinomi Lietuvosmatematikai [9, p. 472].

 18 ÞEMAITIS JONAS KOSTAS (g. 1908 04 20 Marijampolës aps., Runkiø k. � m.1993 11 08 Kaune). Baigë Runkiø pradinæ mokyklà, Kaune � 4 gimnazijos klases ir S.Daukanto MS. Dirbo Zarasø aps. Savënø, Ukmergës aps. Vëdarø ir Taujënø pradþiosmokyklose. Aktyviai bendradarbiavo ,,Lietuvos mokyklos� þurnale, paskelbë jame ir 4matematikos didaktikos straipsnius. Tuo metu jis gyveno ir raðësi tikràja pavarde �Þemaitaitis. 1941 06 16 jo þmona Juzefa su 2 dukrelëmis buvo iðtremta á Altajø. Laimingoatsitiktinumo dëka likæs neiðtremtas J. Þemaitaitis karo metu dirbo Ukmergës apskritiesmokyklø inspektoriumi, o pokaryje, pasikeitæs pavardæ, dirbo Panevëþio aps. Maþeniøpradinëje mokykloje, vëliau Kauno I berniukø gimnazijoje. Legaliai pavyko parsiveþtidukras, o nelegaliai � þmonà. 1949 m. J. Þemaitis buvo apskøstas ir kaip ,,liaudies

218

prieðas� ið darbo atleistas. Taèiau jo á darbà priimti nepabûgo Kauno amatø mokyklosdirektorius A. Dziska, vëliau III septynmetës mokyklos direktorius P. Strazdas. 1959m. J. Þemaitis baigë VVPI neakivaizdiná skyriø (matematikos spec.). Tris matematikosspecialybës kursus baigë ir jo þmona. Prieð pensijà J. Þemaitis dirbo Kauno XVIII(dab. Verðvø) vidurinëje mokykloje. Iðaugino ir iðmokslino 3 dukras. DanguolëÞemaitytë � profesorë, habil. medicinos daktarë [7, p. 133�135; 9, p. 293].

 19 NENIÐKIS ALGIMANTAS gimë 1925 04 12 Rokiðkyje. 1944 m. baigë RokiðkioJ. Tumo-Vaiþganto gimnazijà. 1944�1945 m. mokytojavo Skapiðkio progimnazijoje, 1945m. Vilniuje baigë kariniø vadovø kursus ir ëmë dirbti Kauno III mergaièiø gimnazijoje,kartu nuo 1946 m. studijavo Kauno universiteto mechanikos fakulteto elektrotechnikosskyriuje. Kadangi dalis ðeimos 1941 m. buvo iðtremta á Sibirà, 1947 m. ið universitetoteko pasitraukti ,,dël socialinës kilmës�. 1948�1951 m. studijavo VVPI FMF, vëliauperëjo á neakivaizdiná skyriø ir já baigë 1956 m. Iki 1959 m. dëstë matematikà Kauno IIIvidurinëje mokykloje. 1959�1967 m. dirbo Kauno VII ir J. Jablonskio vidurinësemokyklose. 1967�1969 m. dirbo Kauno m. profesinio orientavimo kabineto metodininku,vedëju. 1969�1985 m. dirbo Kauno XXIV vidurinës mokyklos direktoriaus pavaduotoju.Kadangi buvo likæs vienintelis Kaune direktoriaus pavaduotojas ne komunistø partijosnarys, ið tø pareigø buvo atleistas. Atkûrus nepriklausomybæ, kurá laikà buvo J.Jablonskio vidurinës mokyklos direktoriaus pavaduotojas, dabar dirba ðios mokyklos,tapusios gimnazija, mokytoju.

1977 m., vadovaujant prof. S. Kregþdei, A. Neniðkis buvo parengæs disertacijà apieprofesiná orientavimà, taèiau, matyt, dël to, kad jau tuo metu sovietinë profesinioorientavimo sistema buvo susikompromitavusi, VU mokslinë taryba darbo gintinerekomendavo. Daug metø A. Neniðkis vadovavo dab. VPU studentø pedagogineipraktikai, skaitë praneðimus LMD ir profesinio orientavimo konferencijose, yrapaskelbæs praneðimø teziø. 15 metø vadovavo Kauno miesto matematikos mokytojømetodinei komisijai. Skaitë paskaitas RMTI kursuose matematikos mokytojams irmokyklø vadovams. 1993 m. A. Neniðkiui suteiktas matematikos mokytojo ekspertovardas. Jis yra 1941 m. sukilëliø sàjungos, Lietuvos vietinës rinktinës, Lietuvos bajorøkaraliðkosios sàjungos narys [755, p. 495; 756, p.471; 803].

 20 KLIMKA LIBERTAS gimë 1940 09 18 Kaune. 1963 m. baigë VU (fizikos spec.).Dirbo Lietuvos MA Puslaidininkiø fizikos institute (1963�1975 m.), 1972 m. apgynëfizikos mokslø kandidato (dab. daktaro) disertacijà. 1975�1992 m. dirbo dab. VGTU.1979 m. jam suteiktas docento vardas. Nuo 1992 m. dirba VPU. Yra vienas þymiausiøLietuvos mokslo istorikø ir etnologø, paraðë (vienas ir su kitais) nemaþa mokslopopuliarinimo ir mokslo istorijos knygø bei straipsniø [755, p. 342; 756, p. 328; 761,p.63].

 21 BULOTA STASYS gimë 1928 06 17 Ðakiø aps., Lukðiø vls., Pikèilingiø k. 1938m. baigë Kleviniø pradþios mokyklà, 1941 m. � Lukðiø pradinës mokyklos VI skyriø.,1947 m. � Ðakiø gimnazijà. 1947�1960 m. dirbo Griðkabûdþio progimnazijoje, iðaugusiojeá vidurinæ mokyklà (kurá laikà buvo jos direktoriaus pavaduotojas, 3 m. � direktorius).Nuo 1970 m. dirba Ðakiø I vidurinëje mokykloje (dabar ,,Þiburio� gimnazijoje). 1960m. S. Bulota baigë VVPI neakivaizdiná skyriø (matematikos spec.). Nuo 1958 m.

219

vadovauja rajono matematikos mokytojø metodiniam rateliui. Daug metø vadovavoVVPI studentø pedagoginei praktikai. Yra LMD narys. LMD konferencijose irpedagoginiuose skaitymuose skaitë nemaþa praneðimø. Matematikos mokytojasmetodininkas (1986, 1993) [779].

22 GAILEVIÈIUS JUOZAS (g. 1882 m. Kauno aps., Babtø vls., Daubarø k. � m.1961 m. Kaune). 1901 m. baigë Saratovo gimnazijà, 1905 m. � Odesos universitetoFMF. 1906�1911 m. mokytojavo Kijevo gub. gimnazijose, 1911�1924 m. � Statybosinstituto dëstytojas ir technikumo vedëjas Maskvoje, nuo 1924 m. � Kauno III gimnazijosvyr. mokytojas, 1946�1957 m. � Kauno politechnikumo dëstytojas. Iki karobendradarbiavo ,,Ðvietimo darbe�, ,,Mokykloje ir gyvenime�, ,,Ðviesos keliuose�,,,Gamtoje�, ,,Tautos mokykloje� ir kt. leidiniuose. Raðë mokslo populiarinimo irmatematikos didaktikos klausimais (15 straipsniø). 1931 m. iðleido ,,Matematikosuþdavinynà� realinio profilio mokykloms [7, p. 32�35; 9, p. 298].

 23 BITINAS BRONIUS gimë 1926 11 28 Pasvalyje. 1955 m. baigë VU rusø k. irliteratûros spec., 1966 m., jau bûdamas pedagogikos m. kandidatu (dab. daktaru),neakivaizdiniu bûdu � matematikos spec. Dirbo TM redakcijoje, 1959�1970 m. buvoPMTI sektoriaus vadovu, 1970�1980 m. dirbo ÐPI, 1972 m. apgynë pedagogikos m.habil. daktaro disertacijà, 1974 m. tapo profesoriumi, 1975�1980 m. buvo ÐPI moksloreikalø prorektorius. Nuo 1980 m. dirba dab. VPU, kurá laikà vadovavo katedrai.Sovietmeèiu paraðë nemaþa darbø komunistinio auklëjimo klausimais, kurie dabarnebeturi vertës, taèiau svarbûs yra jo darbai ið statistiniø metodø taikymo pedagogikojeir psichologijoje srities, uþ kuriuos buvo suteikti habil. daktaro laipsnis ir profesoriausvardas. Atkûrus nepriklausomybæ, paraðë nemaþa reikðmingø darbø (monografijø,mokomøjø priemoniø, straipsniø). B. Bitinas, vadovaudamas disertantams, parengëdidelá bûrá Lietuvos pedagogikos mokslininkø [755, p. 97; 756, p. 95; 767, p.263].

 24 BALTÛSIS JUOZAS (g. 1900 11 26 Vilkaviðkio aps., Paeþeriø vls., Gulbiniðkiøk. � m. 1994 03 28 Marijampolëje). Jam baigus Pilviðkiø pradþios mokyklà, prasidëjo Ipasaulinis karas. Po karo, ,,ðokinëdamas� per klases, mokësi Vilkaviðkio ,,Þiburio�gimnazijoje, 1925 m. baigë Marijampolës Rygiðkiø Jono gimnazijà. Iki 1927 m. studijavoLU matematikà, bet dël ligos studijas teko nutraukti. 1927�1940 m. dëstë matematikàJurbarko ,,Saulës� gimnazijoje. Uþbaigë 3 universiteto kursus, ágijo progimnazijosmokytojo cenzà. Paraðë 2 aritmetikos vadovëlius pirmosioms gimnazijos klasëms (vëliauV�VI pradþios mokyklos skyriams) ir knygà ,,Mokykimës gyventi� (1936). Ðiose knygosearitmetikos þinias glaudþiai siejo su realiu gyvenimu. 1940�1944 m. dirbo MarijampolësII, 1944�1946 m. � Prienø gimnazijoje (èia direktoriavo, bet NKVD ,,tarpininkaujant�buvo atleistas). Gráþo á Marijampolæ, dirbo MS dëstytoju, direktoriaus pavaduotoju,èia vël ,,neátiko� NKVD, ir tapo II vidurinës mokyklos mokytoju. Iki iðëjimo á pensijà1962 m. 8 metus dirbo J. Jablonskio vidurinëje mokykloje. J. Baltûsio mokiniai buvomatematikai VPU prof. habil. dr. R. Vosylius, mokytojas ekspertas J. Pëstininkas. 1990m. jo mokiniai organizavo graþø jo 90�meèio minëjimà. Labai iðkilmingos buvo ir J.Baltûsio laidotuvës. Á paskutinæ kelionæ jis buvo palydëtas ið Rygiðkiø Jono gimnazijos.2000 11 26 Marijampolës matematikai, Rygiðkiø Jono gimnazijos bendruomenë ir buvæJ. Baltûsio mokiniai suorganizavo J. Baltûsio 100�jø gimimo metiniø minëjimà �

220

mokslinæ konferencijà apie matematikos mokymo problemas. Ta proga ant J. Baltûsiokapo (ðalia raðytojos Þemaitës kapo) buvo paðventintas Marijampolës matematikø irdukros lëðomis pastatytas graþus paminklas [7, p. 149�151; 9, p. 290].

 25 ALEKSANDRAVIÈIUS BRONISLOVAS gimë 1916 11 20 Pasvalyje. Ankstinetekæs tëvø, po poros mokslo metø Birþø gimnazijoje, pradëjo dirbti ir mokytissavarankiðkai. 1934 m. Pasvalio gimnazijoje eksternu iðlaikë 4 klasiø baigimo egzaminus.1935 m. tarnavo Lietuvos kariuomenëje, dalyje prie karo aviacijos mokyklos ir vakaraismokësi ,,Saulës� rûmuose veikusiuose kursuose pagal gimnazijos programà. 1940�1942m. Birþø apskrities ðvietimo skyriuje dirbo raðtvedþiu, 1943�1944 m. mokësi Vilniausaukðtesniojoje technikos mokykloje. Èia matematikà dëstë P. Slavënas (1901�1991),vëliau � Lietuvos MA akademikas. Jo dëka B. Aleksandravièius pamëgo matematikà.Po Vokietijos pralaimëjimo ëmë mokytojauti Joniðkëlio progimnazijoje. Jau 1941 m.NKVD represavo jo brolá karininkà ir seserá mokytojà. 1945 m. 7 mënesius ir B.Aleksandravièius praleido Birþø apskrities NKVD skyriaus rûsiuose ir Panevëþiokalëjime, bet bylos jam sudaryti nepavyko. 1945�1977 m. dirbo Joniðkëlio progimnazijojebei vidurinëje mokykloje mokytoju ir direktoriumi. Neakivaizdiniu bûdu mokësi ir baigë:1949 m. Kauno MS, 1953 m. � Ðiauliø MI FMF, 1959 m. � VVPI matematikos spec.1978�1985 m. dirbo Pasvalio raj. Valakëliø devynmetës mokyklos mokytoju. Dalyvavopedagoginiuose skaitymuose, mokslinëse-metodinëse konferencijose [773].

 26 JAÐKIENË�BUDGINAITË IRENA gimë 1931 08 18 Telðiø aps., Kirðiø k. MokësiTelðiuose, 1950 m. baigë Þemaitës vidurinæ mokyklà. Puikaus matematikos mokytojoBroniaus Valiuðaièio paskatinta ástojo ir 1954 m. baigë VVPI FMF. 1954�1967 m. dirboTelðiø darbininkø jaunimo, 1967�1986 m. � Þemaitës vidurinëje mokykloje. Papildomaidirbo Telðiø septynmetëje ir PM. Dalyvavo pedagoginiuose skaitymuose, jos mokiniaisëkmingai pasirodydavo JMO [795].

 27 ZYBARTAS STANISLOVAS ALGIMANTAS gimë 1931 05 01 Kapèiamiestyje.1955�1961 m. buvo mokytojas, Þ. Naumiesèio vidurinës mokyklos direktorius. 1960 m.baigë VVPI neakivaizdiná skyriø (matematikos spec.). 1961�1976 m. dirbo Ðvietimoministerijoje, 1976�1981 m. � PMTI. 1980 m. apgynë pedagogikos m. kandidato (dab.daktaro) disertacijà. Nuo 1981 m. dirbo RMTI, kurá laikà buvo pedagogikos katedrosvedëju, 1987 m. tapo docentu. Paraðë (vienas ir su kitais) darbinio mokymo vadovëliø,2 pedagogines monografijas, mokomøjø priemoniø [770, p. 619].

 28 KALINAUSKAS ANTANAS (1905 09 15 JAV, Bajone (dab. Bostone) � 1983 1222 Telðiuose). Baigæs Raseiniø gimnazijà, 1927 � 1932 m. studijavo matematikà VDU.Apgynë diplominá darbà ,,Apskritimo dalijimas� (vadovas privatdoc. P. Slavënas). Dartebestudijuodamas ásidarbino Kauno jëzuitø gimnazijoje ir joje dirbo iki 1940 m. Èiaárengë pavyzdiná fizikos kabinetà, kartu su dr. A. Juðka iðleido knygà ,,Fizika beformuliø�, pedagoginëje spaudoje paskelbë matematikos vadovëliø recenzijø, buvoLietuvos matematikos ir fizikos mokytojø draugijos vienas steigëjø, jos sekretorius.1940�1944 m. dirbo Kauno V gimnazijoje, 1944�1947 m. � Telðiø Þemaitës gimnazijoje,1947�1956 m. � Telðiø MS (1949�1956 m. � direktoriaus pavaduotojas), 1956�1965 m.� Telðiø aðtuonmetës mokyklos, iðaugusios á IV vidurinæ, direktorius. Nusipelnæs

221

mokytojas (1960). Pokaryje vadovaudavo Þemaitijos matematikos mokytojø kursams,padëdavo mokytojams neakivaizdininkams, rengdavo moksleivius JMO [7, p. 52�54; 9,p. 298].

 29 BAIPÐYS VYTAUTAS gimë 1924 05 01 Kretingos aps., Mosëdþio vls., Derkinèiøk. Mokësi Ðliktinës, Plungës, Skuodo pradþios mokyklose. 1943 m. baigë Skuodogimnazijà ir ëmë mokytis dantø technikø kursuose Kaune. Ið èia pakliuvo á vokieèiøarmijos átvirtinimø statytojus tarp jø iðbuvo iki karo galo. 1946 m. ëmë dirbti Gargþdøprogimnazijos mokytoju. Vëliau dirbo buv. Priekulës raj. Vilkyèiø, Drevernos, Saugøvidurinëse mokyklose (pastarojoje direktoriavo), Ðilalës raj. Laukuvos, Tauragës I irII, Palangos II vidurinëse mokyklose. Dirbdamas neakivaizdiniu bûdu baigë VVPI FMF(1951 m.). Bendradarbiavo rajoniniuose laikraðèiuose [775].

 30 KATILIUS VINCAS (g. 1903 06 22 Marijampolës aps. Katiliðkiø k. � m. 1989 0704 Vilniuje). Su pertraukomis, kiek pradþioje pasimokæs Ðunskø ir Mokolø pradþiosmokyklose, 1922 m. baigë Marijampolës Rygiðkiø Jono gimnazijà. 1922�1929 m. baigëLU apgindamas diplominá darbà ,,Apytikris skaitmeniðkas Bessel�io diferencialiniølygèiø integravimas� (vad. prof. O. T. Folkas). 1924�1946 m. mokytojavo Kauno MS,Marijampolës gimnazijoje. Prieð karà paraðë straipsná apie logaritminæ liniuotæ. 1946�1975 m. buvo VVPI vyr. dëstytojas, kurá laikà � direktoriaus pavaduotojas, katedrøvedëjas [7, p. 57; 9, p. 298]

 31 PIKELIS STASYS (g. 1915 m. Chabarovske � m. 1992 m. Vilniuje). 1934 m.baigë Linkuvos gimnazijà, studijavo VDU Technikos fakultete, vëliau dirbo matematikosmokytoju Kupiðkio, Ramygalos, Ðeduvos, Panevëþio gimnazijose. 1959�1963 m. buvoPanevëþio I vidurinës mokyklos direktorius. Baigë VVPI neakivaizdiná skyriø(matematikos spec.), kurá laikà dëstë KPI. Nuo 1966 m. dëstë Vilniaus technikumuose,vidurinëse mokyklose, paskutinë darbo vieta � Vilniaus XLV vidurinë mokykla (1981�1992). Paraðë knygà ,,Elementarinës matematikos uþdavinynas� (K.: Ðviesa, 1961, IIleid. 1968). Tai buvo sunkesniø uþdaviniø rinkinys su sprendimais, daugeliui abiturientøpadëjæs pasirengti stojamiesiems egzaminams á aukðtàsias mokyklas. Pats S. Pikelispasiþymëjo kaip labai puikus pedagogas. ,,Daug mokiniø kartø mena matematikosmokytojà, dëstytojà Stasá Pikelá, vadovëliø, uþdavinynø, moksliniø straipsniø autoriø, �raðë V. Ðernas. � Jo dëka matematikos mokslai Ðeduvos mokiniams tapo artimi,suprantami, pamëgti, ne vienam jis padëjo tapti techniniø mokslø specialistu,inþinieriumi, profesoriumi� [157, p. 106]. S. Pikelio mokiniu buvo ir prof. habil. dr. V.Bliznikas [157].

 32 ÐILAUSKAS ALOYZAS gimë 1924 09 23 Kretingos aps., Kveciø k. MokësiPriðmonèiø ir Kretingos pradþios mokyklose, po to � Kretingos gimnazijoje. Po karoëmë dirbti ir VIII gimnazijos klasæ baigë 1946 m. Palangoje. 1946�1948 m. mokësiKlaipëdos MI Fizikos-matematikos skyriuje. Dëstë matematikà Klaipëdos I vidurinëjemokykloje. Tolesnis likimas neþinomas [815].

 33 PEKARSKAS VIDMANTAS POVILAS gimë 1942 10 30 Anykðèiø raj., Daugøk. 1948 05 22 kartu su tëvais iðtremtas á Sibirà, Krasnojarsko kr. Á Lietuvà gráþo 1958 08.

222

1959 m. baigë Klaipëdos II vidurinæ mokyklà, 1964 m. � VVPI FMF, nuo 1965 m. dirbadab. KTU, technologijos m. habilituotas daktaras, 1993�2002 m. � Fundamentiniømokslø fakulteto dekanas, nuo 2002 m. � Matematinës sistemotyros katedros vedëjas,nuo 1996 m. � profesorius. Paraðë per 150 darbø: moksliniø ir metodiniø straipsniø,mokomøjø priemoniø, knygø. Straipsniai publikuoti JAV, SSRS, Lietuvos þurnaluose.Iðvertë 10 matematikos vadovëliø ir kt. knygø vidurinei mokyklai. Naujausias darbas �vadovëlis aukðtosioms mokykloms ,,Diferencialinis ir integralinis skaièiavimas� (2 d.,1996�2000). Lietuvos nacionalinës premijos technikos mokslø srityje laureatas (1995)[101, p. 72; 754, p. 517; 755, p. 525].

 34 UÐPALIS KOSTAS gimë 1925 02 03 Plungës raj. Berþoro mst. 1950 m. baigë VU(fizikos spec.). 1954 m. apgynë fizikos m. kandidato (daktaro) disertacijà, 1957 m. tapodocentu. 1957�1990 m. dirbo Lietuvos MA Teorinës fizikos ir astronomijos Teorinësfizikos skyriaus vedëju. Paskelbë teorinës fizikos straipsniø, su kitais paraðë knygø,keletà iðvertë ið rusø k. Þurnalo ,,Lietuvos fizikos rinkinys� vyr. redaktoriauspavaduotojas (nuo 1961 m.), Lietuvos fizikø draugijos narys [761, p. 31].

 35 BLIZNIKAS VACLOVAS (g. 1930 01 12 Këdainiø aps., Juodupiø k. � m. 199702 06 Vilniuje). Mokësi Augmenø pradinëje mokykloje ir Ðeduvos gimnazijoje, kurià1950 m. baigë sidabro medaliu. 1955 m. su pagyrimu baigë VU FMF. 1955�1958 m.mokësi Maskvos Lomonosovo universiteto aspirantûroje pas garsius geometrus S.Finikovà (1883�1964) ir G. Laptevà. 1958 m. V. Bliznikas ëmë dirbti VVPI. Buvo vyr.dëstytoju, docentu, katedros vedëju, FMF dekanu, profesoriumi. 1961 m. apgynë dab.daktaro, 1970 m. � habil. daktaro disertacijas. Paraðë apie 80 mokslo darbø, 11 joaspirantø tapo mokslø daktarais. Uþ darbø ciklà ,,Apibendrintø erdviø geometrija�prof. V. Bliznikui 1974 m. paskirta Respublikinë premija. Mokslinëje literatûroje daþnaivartojami terminai ,,Blizniko sietis�, ,,Grincevièiaus � Blizniko neholonominiskompleksas� ir kt. rodo platø jo darbø pripaþinimà. V. Bliznikas skaitë paskaitasLenkijos, Vengrijos, Rusijos ir kt. ðaliø universitetuose. Parengë 10 mokomøjø irmetodiniø priemoniø studentams. V. Blizniko iniciatyva buvo organizuota Baltijos ðaliøgeometrø konferencija ir geometrijos mokyklos. Jis taip pat surengë VI SSRS geometrøkonferencijà, buvo ,,Lietuvos matematikos rinkinio� redakcinës kolegijos narys, dalyvavokomisijos ,,Geometrija ir topologija� prie SSRS MA darbe. Skaitë paskaitas mokiniamsir mokytojams [715; 767, p. 269].

 36 HORODNIÈIUS HENRIKAS (g. 1906 09 03 Peterburge � m. 1989 07 19Molëtuose). 1933 m. baigë VU (fizikos spec.), 1943 m. apgynë gamtos filosofijos (fizikos)daktaro disertacijà. VU pradëjo dirbti dar studijuodamas, 1929 m. Daugelá metø dirboBendrosios fizikos katedros vedëju, Fizikos ir matematikos fakulteto dekanu. Paskelbëdaug moksliniø straipsniø, vienas ir su kitais � vadovëliø, mokslo istorijos veikalø, fizikosterminø þodynø, vertimø. Buvo ,,Lietuvos fizikos rinkinio� redkolegijos narys. 1990 m.iðleista jo darbø bibliografija [761, p. 27].

 37 MAÈYS JUOZAS JUVENCIJUS gimë 1941 03 16 Rokiðkio raj. Aleksandravëlësk. 1946�1950 m. mokësi Panevëþio VI pradinëje, 1950�1957 m. � I vidurinëje mokykloje,1957�1963 � VU FMF, 1964�1967 � SSRS MA V. Steklovo MTI aspirantûroje. Apgynë

223

matematikos mokslø kandidato (dab. daktaro) disertacijà. Nuo 1967 m. dirba LietuvosMA MII. 1956 ir 1957 m. buvo Lietuvos JMO nugalëtoju. Lietuvos JMO komandøvadovas SSRS ir pasaulio olimpiadose (1968�1995), Pasaulio JMO tarptautinës þiurinarys (Bombëjus, Indija, 1996; Mar del Plata, Argentina, 1997; Taipëjus, Taivanas,1998; Bukareðtas, Rumunija, 1999; Seulas, Korëja, 2000; Vaðingtonas, JAV, 2001). Ðaðkiøsporto meistras, 20 olimpiadiniø matematikos uþdavinynø autorius ir bendraautoris[754, p. 425; 755, p.418; 756, p. 400].

 38 JANULIONIS JONAS (g. 1893 09 30 Birþø aps., Latvygalos k. � m. 1961 09 04Panevëþyje). Rokiðkëno matematikos mokytojo Juozo Janulionio brolis. 1915 m. baigëRygos gimnazijà, studijavo Peterburgo miðkø institute. 1921�1924 m. NemunëlioRadviliðkio progimnazijos, 1924�1944 m. � Panevëþio berniukø gimnazijos matematikosmokytojas, 1944�1959 m. � Panevëþio I vidurinës mokyklos direktorius, vëliau mokytojas.Nusipelnæs mokytojas (1956) [9, p. 494].

 39 GOTLERAS MICHAILAS (1906 10 19 � po 1980 m. Izraelyje). 1923 m. baigëþydø gimnazijà Kaune, 1927 m. � LU matematikos spec. Diplominis darbas � ,,Apieapibendrintas sferines funkcijas� (vad. prof. O. T. Folkas). 1937�1940 m. studijavo darir VDU Technikos fakultete (baigë 3 kursus). 1927�1941 m. mokytojavo þydøprogimnazijose Kudirkos Naumiestyje, Ukmergëje, Kaune, karo metu mokytojavoNovosibirsko ir Kirovo (Viatkos) srityse. 1945�1948 m. � Vilniaus politechnikumo, nuo1948 m. daugiau nei 20 m. � VVPI vyr. dëstytojas [9, p. 297].

 40 GIRAITIENË � ÐNIRPÛNAITË IZABELË gimë 1918 m. Vilkaviðkio aps. Þiûriøk. 1938 m. baigë Marijampolës Rygiðkiø Jono gimnazijà, 1940 m. � Vilniaus pedagogináinstitutà (gamtos-matematikos skyriø). Mokytojavo Valkininkø progimnazijoje,Vilkaviðkio gimnazijoje. 1944 m. pradëjo dirbti Marijampolëje. Pradþioje dirbovidurinëje ekonomikos mokykloje, jà uþdarius perëjo á II vidurinæ mokyklà.Èia dirbdamatapo miesto ir rajono matematikos mokytojø metodinio ratelio pirmininke. 1955 m. I.Giraitienë tapo Marijampolës septynmetës mokyklos direktoriaus pavaduotoja. Po metømokykla iðaugo á IV vidurinæ mokyklà. 1969 m. I. Giraitienei suteiktas nusipelniusiosmokytojos vardas. Pavaduotoja iðdirbo iki 1972 m. 1973 m. iðëjo á pensijà [791].

 41 RAGAIÐYTË GENOVAITË gimë 1934 m. Ðvenèioniø aps., Daugëliðkio vls.,Bendoriðkës k., pilsudskininkø okupuotoje Lietuvos dalyje. Dël besikeièianèiø okupacijøpora metø mokësi namie (mokë mama), o po to 2 metus � Bûdninkø pradinëjemokykloje. 1953 m. baigë Ignalinos vidurinæ mokyklà, 1957 m. � VVPI FMF. 18 metødirbo Ignalinos raj. Tvereèiaus vidurinëje mokykloje. Vadovavo dramos rateliui, ilgàlaikà buvo direktoriaus pavaduotoja. 1975�1990 m. dirbo Ðvietimo ministerijoje. Èia,,turëjau galimybæ prisiartinti prie matematikos mokymo problemø ir kai kuriaisaspektais padëti jas spræsti, � raðë G. Ragaiðytë savo autobiografijoje. � Sustiprintomatematikos mokymo reikalai ir jaunøjø matematikø olimpiadø rengimas lydëjo manevisus 15 metø, atiduotø Ðvietimo ministerijai�. Dirba VPU [813].

224

APIBENDRINIMAI IR IÐVADOS

Knygos antrasis ir treèiasis skyriai parengti iðanalizavus bibliografiniusleidinius [757, 763�765] ir perskaièius visus tuose leidiniuose áraðytus mate-matikos didaktikos straipsnius, iðspausdintus TM (TÐ) ir Tm (Ttm). Beje,kai kurie ið tø straipsniø pasirodë esà ne matematiniai, kai kurie svarbûsstraipsniai nebuvo áraðyti á minëtus leidinius. Todël teko ákelti kai kurias ko-rektyvas á ten pateiktus sàraðus.

Patys periodiniø leidiniø pavadinimai liudija, kad pedagogika, kaip irvisos kitos gyvenimo sritys, beveik iki 1990 m. buvo komunistiðkai ideologi-zuota. Ið tiesø daugelis straipsniø, aptarianèiø auklëjimo ir humanitariniødalykø mokymo problemas, buvo smarkiai ideologizuoti ir todël dabar be-veik nebeturi nei mokslinës, nei praktinës vertës. Taèiau absoliuèioje daugu-moje matematikos didaktikos straipsniø jokio ideologizavimo nëra, kituosejis minimalus, ávadinëje dalyje paminint koká nors straipsnio raðymo metuvykusá komunistø partijos plenumà ar suvaþiavimà. Todël galima dràsiai teig-ti, kad absoliuti dauguma aptartøjø knygoje matematikos didaktikos straips-niø turi iðliekamàjà mokslinæ bei praktinæ vertæ. Jais ir dabar gali naudotismokytojai bei besimokantis jaunimas (studentai, magistrantai ir doktoran-tai). Kad ir kaip neigiamai vertintume ðá 45 metø okupacijos tarpsná, turimenepamirðti, kad ir tada mûsø Lietuvos þmonës gyveno, mokësi, dirbo. Plëto-jant matematikos mokslà ir gerinant mokymo procesà pasiekta neblogø re-zultatø, nors, jei Lietuva bûtø iðlikusi nepriklausoma, jie, be abejonës, bûtøbuvæ geresni.

Kadangi pirmiau buvo pradëti spausdinti matematikos didaktikosstraipsniai, analizuojantys matematikos mokymà progimnazijose ir gimnazi-jose (dabartiniø viduriniø mokyklø viduriniosiose ir aukðtesniosiose klasëse)� dalykinëje sistemoje, apibendrinimà ir pradësime nuo treèiajame skyriujeaptartø straipsniø. Bendrà paskelbtø straipsniø skaièiø atitinkamame leidi-nyje ir jø pasiskirstymà pagal metus pateikiame þemiau (5 lentelë).

1941 m. trëmimai ir holokaustas, 1944 m. masinis inteligentijos pasi-traukimas á Vakarus smarkiai iðretino paèiø geriausiø Lietuvos pedagogø gre-tas. Likusieji Lietuvoje ilgam ,,susigûþë�, daugelis jø neberaðë á spaudà, kaipprieð karà, nenorëjo turëti reikalo su ideologizuota Tm. Todël 1945�1955 m.

225

Metai TM (TŠ) Tm (Ttm) Iš viso 1945 1947 1949 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990

- - - - - - 3

12 2 5 8 7 5 7 7 7

18 9 4 7 6 7 5 9 9

10 13 6 7 6 4 3 3 4 4 4 2 6 3 4 5 6 2

1 2 2 1 1 2 2 2 3 3 1 4 3 4

10 3 5 2 4 1 6 1 3 3 1 3 6 5 1 2 2 3 3 3 - 1 2 2 2 3 1 1 2

1 2 2 1 1 2 5

14 5 8 9

11 8

11 17 10 23 11 8 8

12 8 8

12 10 13 19 11 8 8 6 6 6 7 4 5 4 8 5 7 6 7 4

Iš viso 229 112 341

5 lentelë. Matematikos mokymà dalykinëje sistemoje analizuojantysstraipsniai pokario Lietuvos pedagoginëje periodikoje

226

laikotarpiu Tm þurnale matematikos didaktikos straipsniø buvo nedaug. 1945m. straipsná [435] apie formalizmà mokant matematikos paskelbë Vulfas Kle-banskis (1937 m. baigæs VDU), tuo pradëdamas pokario Lietuvos originali-àjà matematikos didaktikà. 1947 m. pasirodë jo straipsnis [465] apie mokiniøsavarankiðkumo ugdymà matematikos pamokose. Tais paèiais metais straipsná[376] apie mokytojo kalbà pamokose paskelbë buvæs aktyvus matematikosdidaktikos straipsniø autorius ikikarinëje Lietuvoje Juozas Gailevièius. 1949m. straipsná [598] apie pirmøjø geometrijos teoremø árodymà iðspausdinoirgi aktyvus prieðkario Lietuvos autorius Vincas Plauðinaitis. Jis aktyviai raðëþurnale ir toliau. Pradëjusiame eiti TM laikraðtyje pradþioje matematikosdidaktikos klausimais pirmieji pradëjo raðyti irgi buvæ prieðkario Lietuvosmokytojai Romualdas Balaiðis, Juozas Baltûsis, Jonas ir Juozas Janulioniai,Antanas Kalinauskas, Antanas Lakiûnas, Jonas Þemaitis ir kt. Kai kurie jøpaskelbë straipsniø ir Tm þurnale. Dalyje ðiø autoriø straipsniø atspindimoskai kurios visada aktualios didaktinës idëjos, keltos ir prieðkario Lietuvojekitø autoriø straipsniuose, t. y. stebimas ,,priverstinis plagijavimas�, nes au-toriai negalëjo nurodyti ,,faðistinëje� Lietuvoje iðspausdintø ðaltiniø � oficia-liai visi jie gulëjo bibliotekø spec. fonduose.

Pamaþu atsirado ir naujø autoriø: Vaclovas Blagnys, Vytautas Drëgû-nas, Andrius Lepeðkevièius, Kazimieras Pulmonas, Jonas Teiðerskis ir kt. La-bai teigiamà vaidmená suvaidino ilgus metus TM korespondentu dirbæs ma-tematikos mokytojas Julius Norkevièius, pats paraðæs daug matematikos di-daktikos straipsniø ir skatinæs juos raðyti kitus, jo pastebëtus gerus mokyto-jus, galëjusius pasidalyti savo sukaupta turtinga patirtimi su visos Lietuvospedagogais. Paþymësime, kad ir minëti, ir neminëti aktyvesni autoriai savomokymàsi buvo pradëjæ arba prieð karà, arba buvo mokyti daugiausia prieð-kario Lietuvoje parengtø mokytojø. Ádomu tai, kad nei vieno straipsnio nërapaskelbæs nei vienas ið Rytø pokaryje atvykæs ,,internacionalistas�, maþai jøpavardþiø surandame ir tarp geresniaisiais ávardytø mokytojø kituose straips-niuose (jø daugiau pasirodë nagrinëjamo laikotarpio pabaigoje). Taèiau ne-galima paneigti to, kad ið rusø kalbos buvo iðversta ir paskelbta gerø mate-matikos didaktikos straipsniø (daugiausia Tm).

Daugiausia straipsniø per metus tiek þurnale, tiek laikraðtyje buvo ið-spausdinta septintajame deðimtmetyje, laikraðtyje ðis pakilimas truko iki að-tuntojo deðimtmeèio vidurio. Tai paaiðkinama tuo, kad veikë chruðèiovinësepochos ,,atðilimas� ir dar aktyviai teberaðë nebejauni prieðkario Lietuvojeparengti mokytojai, ásitraukë nemaþai naujø autoriø, aðtuntojo deðimtmeèiopradþioje imta reformuoti matematikos mokymà, leisti naujas mokomàsias

227

priemones. Vëliau, prieðkario autoriams iðeinant á pensijà, stabilizuojantismatematikos mokymo programoms ir vadovëliams, pradëjus veikti breþnevi-nei stagnacijai, autoriø aktyvumas sumaþëjo. Ið prieðkario autoriø ilgiausiaiperiodikoje raðë ir daugiausia ið visø autoriø � 62 straipsnius paskelbë V.Klebanskis.

Straipsniø pasiskirstymas pagal jø turiná (poskyriuose 3.1�3.15) pateik-tas þemiau (6 lentelë).

6 lentelë. Straipsniø, analizuojanèiø matematikos mokymà dalykinëjesistemoje, pasiskirstymas pagal turiná

Poskyrio Nr. TM (TŠ) Tm (Ttm) Iš viso 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15

21 20 13 9 3 11 20 30 12 12 10 3 9 44 12

5 8 3 5 2 2 14 15 2 13 14 -

13 15 1

26 28 16 14 5 13 34 45 14 25 24 3 22 59 13

Iš viso 229 112 341

Daugiausia straipsniø � 59, paskelbta apie mokiniø þiniø kokybës tikri-nimà, keliamuosius, baigiamuosius ir stojamuosius egzaminus. Tai nekelianuostabos, nes mokiniø ugdymo kokybë buvo, yra ir bus pagrindinis mokyk-los ir mokytojo veiklos efektyvumo rodiklis. 45 straipsniai skirti aptarti naujøprogramø bei vadovëliø ávedimo problemoms, 34 straipsniuose raðyta apiematematikos mokymo ryðio su gyvenimu realizavimà. 28 straipsniai skirti ma-tematikos mokymo metodø taikymo problemø, 26 � mokytojø pamokiniodarbo analizei. Pastebëtina, kad autoriui kilo sunkumø priskiriant kai ku-riuos straipsnius atitinkamam poskyriui, nes kartais juose buvo ðiek tiek pa-lieèiami ir klausimai, analizuoti kitiems poskyriams priskirtuose straipsniuo-se. Tokiais atvejais straipsniai priskirti atitinkamiems poskyriams pagal juose

228

plaèiausiai analizuotà, vyravusià problemà. Daugiau straipsniø beveik visuo-se poskyriuose, iðskyrus tris, yra ið TM. Èia vël pasitvirtina J. Norkevièiausnuopelnai.

Bendrasis pradinës matematikos didaktikos straipsniø skaièius ir jo pa-siskirstymas atitinkamuose leidiniuose pateiktas þemiau (7 lentelë).

7 lentelë. Pradinës matematikos didaktikos straipsniai pokarioLietuvos pedagoginëje periodikoje

M etai TM (TŠ) Tm (Ttm) Iš viso 1954 1955 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1990

1 1 3 2 1 1 1 2 4 6 1 4 - 1 2 2 1 - 3 3 2 1 2 - 1 1 4 - 2 2 1 - - -

1 2 - - 1 - 3 3 4 5 4 2 2 9 7 5 2 4 4 2 3 4 5 5 5 6 6

11 5 3 6 4 3 2

2 3 3 2 2 1 4 5 8

11 5 6 2

10 9 7 3 4 7 5 5 5 7 5 6 7

10 11 7 5 7 4 3 2

Iš viso 53 128 181

229

Pradinës matematikos didaktikos klausimais imta raðyti kur kas vëliau� praëjus 9 metams po karo. Vos vienas straipsnis [699] paraðytas prieðkari-nës Lietuvos aktyvaus matematikos didaktikos ir kt. knygø bei straipsniø au-toriaus M. Vasiliausko. Pradinukø mokytojai daugiausia nukentëjo ir per trë-mimus, ir per holokaustà, daug jø pasitraukë á Vakarus, kai kurie pakëlë kva-lifikacijà ir ëmë dëstyti vyresnëse klasëse. Daugiausia pradinës matematikosdidaktikos straipsniø paraðë (pirmasis ëmæs juos spausdinti) ilgametis dab.ÐU profesorius habil. dr. Bronius Balèytis. Pirmasis jo straipsnis [274] þurna-le buvo apie mokiniø savarankiðko darbo organizavimà, o laikraðtyje � apieapklausos organizavimà [247]. Ið viso þurnale jis paskelbë 38, laikraðtyje 5straipsnius. Kiti autoriai pagal aktyvumà iðsirikiuoja taip: Danutë Meðkaus-kaitë, Vaclovas Blagnys, Vytautas Butkus, Janina Balèytienë, Algirdas Aþu-balis. Beveik visiems iðvardytiems autoriams tinka aukðèiau aptarta savybë:jie arba mokymàsi pradëjo Nepriklausomojoje Lietuvoje, arba daugelis jømokytojø buvo atëjæ ið ten. Beje, chruðèiovinio atðilimo metu á pradinës ma-tematikos didaktikos autoriø eiles ásiliejo ir keletas mokytojø, baigusiø moks-lus dar Nepriklausomojoje Lietuvoje: P. Dienienë, J. Gedvila, I. Valantinienëir kt. Pradinës matematikos didaktikos klausimais daugiau raðë Tm (Ttm).Ieðkodama autoriø daug nuveikë buvusi ðio þurnalo skyriaus redaktorë E.Tervidytë, daugiausia matematikos didaktikos straipsniø teko kaip tik jos dar-bo þurnalo redakcijoje metams.

Pagal tematikà pradinës matematikos didaktikos straipsniø suskirsty-mas (knygos poskyriai 2.1�2.13) pateikiamas þemiau (8 lentelë).

P o sky r io N r . T M (T Š ) T m (T tm ) Iš v iso 2 .1 2 .2 2 .3 2 .4 2 .5 2 .6 2 .7 2 .8 2 .9

2 .1 0 2 .1 1 2 .1 2 2 .1 3

4 3 7 3 4 2 8 1

1 1 5 1 3 1

4 7 8 9 2

1 0 3 9 8

1 1 1 0 5 2

1 5

8 1 0 1 5 1 2 6

1 2 4 7 9

2 2 1 5 6 5

1 6 Iš v iso 5 3 1 2 8 1 8 1

8 lentelë. Pradinës matematikos didaktikos straipsniøpasiskirstymas pagal tematikà

230

Daugiausia straipsniø � daugiau kaip ketvirtadalis � buvo skirti naujøprogramø ir mokymo priemoniø analizei. Antroje vietoje (22 straipsniai) pa-gal aktualumà buvo veiksmø su skaièiais ir numeracijos mokymo problemos.Po 15 straipsniø skirta matematikos mokymo vaizdumui ir tekstiniø uþdavi-niø sprendimo mokymui. Daug dëmesio skirta ir ikimokyklinës matematikosdidaktikai, mokymo individualizavimo ir diferencijavimo problemoms. Beje,kaip ir 3 skyriuje, taip ir èia straipsniai á poskyrius suskirstyti pagal vyraujantátematiná poþymá.

Taigi 341 straipsnis matematikos mokymo dalykinëje sistemoje klausi-mais ir 181 straipsnis pradinës matematikos didaktikos problemoms nagri-nëti yra nemaþas mûsø pedagogø sukauptas lobis, kurio nevalia uþmirðti irkuriuo reikia pasinaudoti sprendþiant matematikos mokymo problemas da-bartinëje Lietuvos mokykloje. Yra ,,amþinø� didaktiniø problemø, kurias nuo-latos turi spræsti vis naujos pedagogø kartos, todël nepasinaudoti ankstesniøkartø patyrimu bûtø paprasèiausiai neprotinga.

* * *

Baigiant matematikos didaktikos straipsniø aptarimà, norisi truputá pa-polemizuoti su tais superreformatoriais, kurie nori visiðkai paneigti tai, kadir per tuos okupacijos metus pedagoginëje veikloje sukaupta ir teigiamo di-daktinio patyrimo. Labai teisi yra mokytoja E. Biliûtë�Aleknavièienë, raðiu-si, kad ,,Dabar visi bëgame, skubame. Tarsi pamirðdami, kad ðalia mûsø di-dþiausia vertybë � þmogus. Juk kuriant tautinæ mokyklà, verta atsigræþti ápraeitá ir paþiûrëti, kaip sovietiniais laikais sugebëjo dirbti ir iðlikti PauliusDrevinis, puoselëdamas mokiniø ðirdyse tauriausius idealus� [24, p. 271]. Pas-taràjá sakiná galime tik pratæsti, papildydami já pradiniø klasiø ir matemati-kos mokytojø, juos rengusiø ir jø kvalifikacijà këlusiø dëstytojø, metodinin-kø pavardëmis: A. Anelauskienë, S. Arlauskienë, R. Balaiðis, J. Balèytienë,B. Balèytis, J. Baltûsis, V. Blagnys, V. Bliznikas, A. Bunkus, V. Butkus, P.Èeliauskas, P. Dienienë, A. Dokðus, V. Drëgûnas, J. Gailevièius, I. Giraitie-në, M. Gotleras, broliai Jonas ir Juozas Janulioniai, I. Jaðkienë, A. Kalinaus-kas, J. Kisielius, V. Klebanskis, A. Lakiûnas, A. Lepeðkevièius, F. Liauèys, V.Liutikas, V. Malcevièius, E. Masiulienë, D. Meðkauskaitë, E. Nevronienë, J.Pëstininkas, V. Plauðinaitis, V. Pridotkas, K. Pulmonas, G. Ragaiðytë, R. Raz-mas, P. Rumðas, J. Sprendienë, J. Teiðerskis, I. Valantinienë, M. Vasiliauskas,V. Vitkus, O. Vokietaitytë, M. Vosylienë, A. Zybartas, J. Þemaitis ir daugybë

231

kitø. Vieni jø galëjo pasitraukti á Vakarus ir ten ramiai gyventi, kiti, lyg peilioaðmenimis vaikðèiodami, ne savo noru keisdami mokyklas, siekë iðsilavinimojau pokaryje, treti, kuriø biografijos buvo ,,ðvarios�, patikrinus KGB buvoáraðyti á ,,ðlovingàjà� komunistø partijà ir uþëmë kiek aukðtesnius postus mo-kyklose ir kitose ðvietimo ástaigose. O ar geriau bûtø buvæ, jei jø vietoje bûtøbuvæ pasodinti ,,internacionalistai�? Labai tikëtina, kad net ir tarp ,,áraðytø-jø� labai maþai buvo tikëjusiø ,,ðviesia komunistine ateitimi�. Visi vaidinosàþiningus tarybinius pilieèius ir daugelis sàþiningai dirbo, mokydami jaunà-jà kartà. Kartu su ja daugelis dar suspëjo á Sàjûdþio mitingus ir nepamirðta-màjá Baltijos kelià. Neteko girdëti, kad kas nors ið lietuviø mokytojø bûtølikæs Burokevièiaus platforminëje komunistø partijoje. Maþai kas liko ir ne-platforminëje. Todël tie, kurie taip ieðko ,,receptø� mokyklos reformai tur-tinguose, nieko panaðaus á spaudos draudimà ir carinæ, faðistinæ bei bolðevi-kinæ priespaudà nepatyrusiuose Vakaruose, tegu gerai ásiklauso á didelio Lie-tuvos patrioto prof. habil. dr. G. Èesnio þodþius: �jeigu mûsø tauta, bûdamatartum ne kartà nugriebtas pienas, kelissyk netekusi prievarta iðblaðkytø áRytus ir vakarus savo kûrybingiausiø, geriausiø, gyvybingiausiø jëgø, ðian-dien dar geba ðá tà kurti, daryti, ðio to siekti, o kartais ir visai neblogai, taiturime tuo tik dþiaugtis ir netgi didþiuotis, nes daug tø, kurie nori mus ðian-dien pamokyti europietiðkos, o ypaè amerikoniðkos, kultûros, visai nenutuo-kia, kad tokiomis sàlygomis kaip mûsø jie bûtø, ko gero, seniai praradæ tai,ko dar gvieðiasi mus mokyti� [42, p. 20�21]. Ásiklausykime ir á seno pedagogoið Ðakiø þodþius: ,,Kodël tai, kas metø metais rûpestingai ir vargingai kurta,puoselëta, dabar pamirðtama ar net apleidþiama. <�>. Vis dëlto didelismokytojø ánaðas, kad iðsaugotas lietuviðkas þodis ir tautinë savimonë, kadLietuva � lietuviðkiausia� [863, p. 76], palyginti su kitomis buvusiomis SSRSokupuotomis ðalimis Pripaþástant, kad Vakarai mus lenkia kur kas geresnematerialine mokymo baze, ypaè mokymo kompiuterizavimu, na, gal dar eli-tinëms mokykloms skirta didaktika, turime nepamirðti, kad, pavyzdþiui, apieJAV masinës mokyklos bûklæ jau senokai aliarmuoja tokie ðviesûs protai kaipZ. Bþezinskis (Brzezinski) ir buvæs JAV prezidentas B. Klintonas (Clinton).Dar ryþtingiau ðias problemas akcentavo po jo iðrinktas JAV prezidentas Dþ.Buðas (Bush). Mûsø masinës mokyklos bûklë ugdymo srityje yra kur kas ge-resnë. Ir uþ tai turime dëkoti ðioje knygoje apraðytiesiems, taip pat ir kitøspecialybiø Lietuvos mokytojams. O taip pat ir nesigëdyti pasimokyti ið jø.

232

Didactic mathematics in Lithuanian pedagogical periodicalpress from 1945 to 1990

Summary

There were published 522 articles of didactic mathematics in pedagogi-cal magazine, which issued from 1945 to 1990, and in pedagogical newspa-per, which was issued from 1954 to 1990.

The teaching of mathematics in primary school was described in 181article. The most active authors were B. Balèytis, D. Meðkauskaitë, V. Blag-nys, V. Butkus, J. Balèytienë.

The teaching of mathematics in secondary school was described in 341article. The most active authors were V. Klebanskis, K. Pulmonas, J. Norke-vièius, R. Balaiðis.

In the book there were given 114 biographies of the authors of didac-tics mathematics books and articles, also there was done the analysis of allthe articles.

The author suggests not to forget them and to use on today�s Lithua-nian school.

233

SANTRUMPOS

AAA � autoriaus asmeninis archyvasAB � asmens bylaASVMM � Aukðtojo ir specialiojo vidurinio mokslo ministerijaFMF � Fizikos-matematikos fakultetasJMNM � jaunøjø matematikø neakivaizdinë mokyklaJMO � jaunøjø matematikø olimpiadaKPI � Kauno politechnikos institutasKTU � Kauno technologijos universitetasKU � Klaipëdos universitetasLKP (b) CK � Lietuvos komunistø partijos (bolðevikø) centro komitetasLMD � Lietuvos matematikø draugijaLTE � Lietuviðkoji tarybinë enciklopedijaLU � Lietuvos universitetasMA � Mokslø akademijaMI � Mokytojø institutasMII � Matematikos ir informatikos institutasMLTE � Maþoji lietuviðkoji tarybinë enciklopedijaMS � Mokytojø seminarijaMTI � mokslinio tyrimo institutasNKVD � Narodnyj komissariat vnutrennich del (Vidaus reikalø liaudies komisariatas)PI � Pedagoginis institutasPMA � Pedagogikos mokslø akademijaPM � Pedagoginë mokyklaPMTI � Pedagogikos mokslinio tyrimo institutasPPRC, PPRCA � Pedagogø profesinës raidos centras, jo archyvasRMTI � Respublikinis mokytojø tobulinimosi institutasÐPI � Ðiauliø pedagoginis institutasÐU, ÐUA � Ðiauliø universitetas, jo archyvasTM � ,,Tarybinis mokytojas�Tm � ,,Tarybinë mokykla�Ttm � ,,Tautinë mokykla�TÐ � ,,Tëvynës ðviesa�VDU � Vytauto Didþiojo universitetasVGTU � Vilniaus Gedimino technikos universitetasVISI � Vilniaus inþinerinis statybos institutasVPLL � Valstybinë pedagoginës literatûros leidyklaVPU, VPUA � Vilniaus pedagoginis universitetas, jo archyvasVPLL � Valstybinë pedagoginës literatûros leidyklaVPTM � vidurinë profesinë technikos mokyklaVU � Vilniaus universitetasVVPI � Vilniaus valstybinis pedagoginis institutasVÞÛPTM � vidurinë þemës ûkio PTM

234

LITERATÛRA IR ÐALTINIAI

Knygos

1. Abramovas A. M. ir kt. Rinktiniai matematikos klausimai. K.: Ðviesa, 1984.2. Aleksejevas A. ir kt. Matematikos didaktinë medþiaga. Vakariniø (pamaini-

niø) mokyklø X kl. K.: Ðviesa, 1985.3. Aleksejevas A. ir kt. Matematikos didaktinë medþiaga. Vakariniø (pamaini-

niø) mokyklø XI kl. K.: Ðviesa, 1986.4. Aleksiûnas M. ir kt. Matematika. V.: Mintis, 1966.5. Antipovas I. N. ir kt. Rinktiniai matematikos klausimai. K.: Ðviesa, 1983.6. Atanasjanas L. ir kt. Geometrija VI kl. K.: Ðviesa, 1990.7. Aþubalis A. Ið Lietuvos matematinio ðvietimo praeities. K.: Ðviesa, 1997.8. Aþubalis A., Kiseliovas A. Bendroji pradinës matematikos didaktika. Ðiauliai:

K. J. Vasiliausko ámonë, 2002.9. Aþubalis A. Matematika lietuviðkoje mokykloje (XIX a. pr. � 1940 m.). V.:

Þiburys, 1997.10. Aþubalis A. Programuoto mokymo ir jo elementø naudojimas diferencijuotai

mokant matematikos. V.: ASVMM, 1983.11. Aþubalis A. Progresijø uþdaviniai. V.: RMTI, 1975.12. Balaiðis R. Lygèiø tyrimas. K.: VPLL, 1961.13. Balèytienë J. Ðeðiameèiø vaikø matematikos mokymas. V.: ASVMM, 1984.14. Balèytis B. Matematika II klasei. K.: Ðviesa, 1971.15. Balèytis B. Matematika I klasei. K.: Ðviesa, 1970.16. Balèytis B. Matematika III klasei. K.: Ðviesa, 1972.17. Balèytis B. ir kt. Sveika, matematika! D. I�III. K.: Ðviesa, 1982�1983.18. Barybinas K. S., Dobryninas I. N. Geometrijos uþdavinynas. K.: VPLL, 1963.19.Barsukovas A. N. Algebra. K.: VPLL, 1957.20. Belonovskaja L. ir kt. Matematikos didaktinë medþiaga. Vakariniø (pamaini-

niø) mokyklø IX kl. K.: Ðviesa, 1985.21. Bendþius A. Bendrojo lavinimo ir aukðtoji mokykla Tarybø Lietuvoje 1940�

1970 m. K.: Ðviesa, 1973.22. Berezanskaja E. S. Aritmetikos uþdaviniø ir pratimø rinkinys. K.: VPLL, 1945.23. Bernatonis V. Ið prisiminimø. K.: Morkûnas ir Ko, 2001.24. Biliûtë�Aleknavièienë E. Meilës giesmë. K.: Judex, 1999.

235

25. Blagnys V., Èekuolienë E. Aritmetika. K.: VPLL, 1965.26. Blagnys V. Matematikos uþduotys II klasei. K.: Ðviesa, 1973.27. Blagnys V. Matematikos uþduotys I klasei. K.: Ðviesa, 1973.28. Blagnys V. Matematikos uþduotys III klasei. K.: Ðviesa, 1973.29. Blagnys V., Sprendienë J. Aritmetikos didaktinë medþiaga II klasei. K.: Ðvie-

sa, 1967.30. Blagnys V., Sprendienë J. Aritmetikos didaktinë medþiaga I klasei. K.: Ðvie-

sa, 1966.31. Blagnys V., Sprendienë J. Aritmetikos didaktinë medþiaga III klasei. K.: Ðviesa,

1967.32. Bogdanovas I. M. ir kt. Aritmetikos uþdavinynas. K.: VPLL, 1963.33. Boltianskis V. G., Jaglomas I. M. Geometrija IX kl. K.: VPLL, 1963.34. Boltianskis V. ir kt. Matematika IV klasei. K.: Ðviesa, 1979.35. Boltianskis V. ir kt. Matematika V klasei.. K.: Ðviesa, 1983.36. Bosas J. Zanavykø ðvietimo kelias. K.: Kitos spalvos, 1999.37. Bradis V. M. Keturþenklës logaritmø ir kitø dydþiø lentelës. K.: VPLL, 1946.38. Bradis V. Matematikos dëstymo vidurinëje mokykloje metodika. K.: VPLL,

1953.39. Èalnaris A. Gulëjimas kryþium. V.: Asveja, 1999.40. Èeliauskas P. Medþiaga savarankiðkiems darbams su perforuotomis plokðte-

lëmis. Algebra VI klasei. K.: Ðviesa, 1970.41. Èeliauskas P. Metodinës pastabos darbui su perforacinëmis plokðtelëmis, dës-

tant IX klasës kurso temà ,,Tiesinës lygtys ir nelygybës�. V.: RMTI, 1967.42. Èesnys G. Didþiuojuosi savo tëvu. V.: Dailës akademijos leidykla, 1999.43. Deðimt jaunøjø matematikø olimpiadø. V.: RMTI, 1963.44. Dovydënas L. Mes valdysim pasaulá. T. II. Woodhawen, 1970.45. Drëgûnas V. Geometriniø figûrø vaizdavimas. K.: Ðviesa, 1977.46. Drëgûnas V., Rumðas P. Bendroji matematikos mokymo metodika. V.: Moks-

las, 1984.47. Dumèiuvienë O. Didaktiniai þaidimai matematikos pamokëlëse vaikø darþe-

lyje. V.: ÐM, 1988.48. Fetisovas A. I. Geometrija uþdaviniuose. K.: Ðviesa, 1981.49. Gamtos ir matematikos disciplinø ryðiai. K.: Ðviesa, 1983.50. Gardneris M. Matematika laisvalaikiui. K.: Ðviesa, 1980.51. Gleizeris G. ir kt. Algebra ir analizës pradmenys.Vakariniø (pamaininiø) mo-

kyklø IX�XII kl. K.: Ðviesa, 1986.52. Gleizeris G. ir kt. Matematikos áskaitø didaktinë medþiaga. K.: Ðviesa, 198153. Gleizeris G. Matematikos istorija mokykloje IV�VI kl. K.: Ðviesa, 1985.54. Gleizeris G. Matematikos istorija mokykloje VII�VIII kl. K.: Ðviesa, 1986.

236

55. Gleizeris G. Matematikos istorija mokykloje IX�XII kl. K.: Ðviesa, 1989.56. Gnedenka B. V. Matematika ðiuolaikiniame pasaulyje. K.: Ðviesa, 1984.57. Godvaiða B. Matematikos kontroliniai darbai technikumams. V.: Mintis, 1970.58. Gusevas V. A. ir kt. Geometrija VI kl. K.: Ðviesa, 1973.59. Gusevas V. ir kt. Geometrijos uþdavinynas VI�IX klasei. K.: Ðviesa, 1981.60. Ið matematikos mokytojø darbo patirties. K.: Ðviesa, 1970.61. Ið matematikos mokytojø darbo patirties. V.: RMTI, 1960.62. Ivlevas B. ir kt. Algebros ir analizës pradmenø uþdavinynas IX�XI klasei. K.:

Ðviesa, 1983.63. Kaip man jaunystës neminët... Utena, 2003.64. Kiselev A. P. Algebra. D. I. K.: VPLL, 1946.65. Kiselev A. P. Algebra. D. II. K.: VPLL, 1946.66. Kiselev A. P. Aritmetika. V.: VPLL, 1946.67. Kiselev A. P. Geometrija. D. I. K.: VPLL, 1946.68. Kiselev A. P. Geometrija. D. II. K.: VPLL, 1946.69. Kisielius J. Aibës ir operacijos su jomis. V.: RMTI, 1970.70. Kisielius J. Funkcijos ir grafikai. V.: RMTI, 1971.71. Kisielius J. Koordinaèiø metodas. V.: RMTI, 1972.72. Kisielius J. Operuokime su aibëmis. V.: RMTI, 1974.73. Kisielius J. Papildomi algebriniø lygèiø klausimai. V.: RMTI, 1974.74. Klebanskis V. Matematikos mokymo aðtuonmetëje mokykloje klausimai. V.:

RMTI, 1969.75. Klebanskis V., Terespolskis J. Vidurinës mokyklos matematikos kabinetas.

K.: Ðviesa, 1966.76. Klopskis V. M. ir kt. Geometrija X�XI klasei. K.: Ðviesa, 1977.77. Koèetkovas J. S., Koèetkova J. S. Algebra ir elementarinës funkcijos. D. I. K:

Ðviesa, 1965.78. Koèetkovas J. S., Koèetkova J. S. Algebra ir elementarinës funkcijos. D. II.

K.: Ðviesa, 1965.79. Kolmogorovas A. ir kt. Algebra ir analizës pradmenys X�XI klasei. K.: Ðvie-

sa, 1978.80. Kolmogorovas A. ir kt. Algebra ir analizës pradmenys IX�X klasei. K.: Ðvie-

sa, 1977.81. Kolmogorovas A. ir kt. Geometrija VIII klasei. K.: Ðviesa, 1975.82. Kolmogorovas A. ir kt. Geometrija VII klasei. K.: Ðviesa, 1975.83. Kuznecova Z. ir kt. Bûtinø matematikos mokymo rezultatø kontrolë. V.: ÐM,

1987.84. Larièevas P. Algebros uþdavinynas. D. I. K.: VPLL, 1952.85. Larièevas P. Algebros uþdavinynas. D. II. K.: VPLL, 1952.

237

86. Lepeðkevièius A. Kai kurie aritmetikos mokymo V klasëje klausimai. K.: Ðvie-sa, 1967.

87. Lepeðkevièius A. Matematikos didaktinë medþiaga V klasei. K.: Ðviesa, 1971.88. Liutikas V. Kaip skaièiuoti ávykiø tikimybes. K.: Ðviesa, 1972.89. Liutikas V. Moksleiviui apie matematinæ statistikà. K.: Ðviesa, 1978.90. Liutikas V. Skoleniem par varbûtibu teoriju. Rîga: Zvaigzne, 1979.91. Makaryèevas J. ir kt. Algebra VIII klasei. K.: Ðviesa, 1975.92. Makaryèevas J. ir kt. Algebra VII klasei. K.: Ðviesa, 1975.93. Makaryèevas J. ir kt. Algebra VI klasei. K.: Ðviesa, 1973.94. Malcevièius V. ir kt. Vidurinio mokslo baigimo matematikos egzaminø me-

dþiaga. K.: Ðviesa, 1984.95. Malcevièius V., Vokietaitytë O. VIII klasës algebros egzaminø medþiaga. K.:

Ðviesa, 1982.96. Martusevièius P. VIII klasës geometrijos kurso pratybos. V.: RMTI, 1970.97. Martusevièius P. Pratybos VII klasës geometrijos kursui. V.: RMTI, 1970.98. Martusevièius P. Sutrumpintos daugybos formulës. V.: RMTI, 1967.99. Matematika. D. I. V.: Kooperatyvas ,,Paspara�, 1989.100. Matematika. D. II. V.: Kooperatyvas ,,Paspara�, 1989.101. Matematika niekada nesensta. K.: Naujasis lankas, 2002.102. Maþeikiø Merkelio Raèkausko gimnazija. Ðiauliai: Saulës delta, 1999.103. Mokiniø profesinis orientavimas matematikos mokymo procese. V.: RMTI,

1978.104. Nevronienë E. Aritmetikos savarankiðki darbai VI klasei. K.: Ðviesa, 1971.105. Nevronienë E. Logaritminë funkcija ir logaritmai. V.: RMTI, 1967.106. Nikitinas N. ir kt. Aritmetikos uþdavinynas II klasei. K.: VPLL, 1950.107. Nikitinas N. ir kt. Aritmetikos uþdavinynas IV klasei. K.: VPLL, 1951.108. Nikitinas N. ir kt. Aritmetikos uþdavinynas I klasei. K.: VPLL, 1950.109. Nikitinas N. ir kt. Aritmetikos uþdavinynas III klasei. K.: VPLL, 1950.110. Nikitin N. N. ir kt. Aritmetikos uþdavinynas IV skyriui. K.: VPLL, 1947.111. Nikitinas N. N. Geometrija. D. I. K.: VPLL, 1958.112. Nikitinas N. N., Maslova G. G. Geometrijos uþdavinynas. D. I. K.: VPLL,

1958.113. Nikolskaja I. L. ir kt. Programuotos apklausos uþduotys ið algebros ir anali-

zës pradmenø. V.: Mokslas, 1981.114. Novosiolovas S. J. Trigonometrija. K.: VPLL, 1964.115. Nurkas E., Telgma A. Matematika V klasei. K.: Ðviesa, 1990.116. Olimpiadinis matematikos uþdavinynas su sprendimais. K.: VPLL, 1962.117. Orientaciniai uþdaviniai bûtiniems mokymo rezultatams. K.: Ðviesa, 1988.

238

118. Papildomi X�XI klasiø matematikos kurso skyriai fakultatyviniams uþsië-mimams. K.: Ðviesa, 1971.

119. Papildomi VII�VIII klasiø matematikos kurso skyriai fakultatyviniams uþsi-ëmimams. K.: Ðviesa, 1972.

120. Pèiolko A. Aritmetikos dëstymo pradinëje mokykloje metodika. K.: VPLL,1951.

121. Pèiolko A., Poliakas G. Aritmetika II klasei. K.: VPLL, 1955.122. Pèiolko A., Poliakas G. Aritmetika IV klasei. K.: VPLL, 1956.123. Pèiolko A., Poliakas G. Aritmetika I klasei. K.: VPLL, 1956.124. Pèiolko A., Poliakas G. Aritmetika III klasei. K.: VPLL, 1956.125. Peckus A. Senoji Marijampolës gimnazija. K.: Ðviesa, 1992.126. Pekarskas V. ir kt. Matematika. K.: Ðviesa, 1984.127. Petrauskas M. Aritmetikos uþdavinynas. D. I. K.: VPLL, 1946.128. Petrauskas M. Aritmetikos uþdavinynas. D. II. K.: VPLL, 1947.129. Petrauskas M. Aritmetikos uþdavinynas. D. III. K.: VPLL, 1948.130. Pogorelovas A. V. Geometrija. K.: Ðviesa, 1983.131. Ponomariovas K., Syrnevas L. Aritmetikos uþdavinynas V�VI klasei. K.:

VPLL, 1955.132. Popova N. S. Aritmetikos uþdaviniø ir pratimø rinkinys. D. I. K.: VPLL,

1944.133. Popova N. S. Aritmetikos uþdaviniø ir pratimø rinkinys. D. II. K.: VPLL,

1945.134. Popova N. S. Aritmetikos uþdaviniø ir pratimø rinkinys. D. III. K.: VPLL,

1945.135. Popova N. S., Pèiolko A. S. Aritmetikos uþdaviniø ir pratimø rinkinys. D. IV.

K.: 1946.136. Princevas N. A. Aritmetika. K.: VPLL, 1963.137. Pulmonas K. ir kt. Matematika. K.: Ðviesa, 1986.138. Razmas R. Algebros ir elementariniø funkcijø didaktinë medþiaga X klasei.

K.: Ðviesa, 1969.139. Razmas R. Algebros ir elementariniø funkcijø didaktinë medþiaga IX kla-

sei. V.: RMTI, 1970.140. Razmas R. Algebros ir elementariniø funkcijø didaktinë medþiaga XI kla-

sei. K.: Ðviesa, 1971.141. Revuckas J. Geometrijos didaktinë medþiaga. K.: Ðviesa, 1970.142. Rybkin N. A. Geometrijos uþdavinynas. D. I. K.: VPLL, 1947.143. Rybkin N. A. Geometrijos uþdavinynas. D. II. K.: VPLL, 1947.144. Rybkin N. A. Plokðtumos trigonometrija. K.: VPLL, 1946.145. Rybkin N. A. Trigonometrijos uþdavinynas. K.: VPLL, 1946.

239

146. Rumðas P. Funkcija, riba, iðvestinë, integralas. K.: Ðviesa, 1976.147. Rumðas P. Integralas ir jo panaudojimas. V.: RMTI, 1968.148. Rupeika Z. Plokðtumos trigonometrija. K.: VPLL, 1948.149. Slapðinskas V. Laisvës vytis. K.: 1999.150. Stancikienë B. Algebros didaktinë medþiaga VII klasei. K.: Ðviesa, 1967.151. Stancikienë B. ir kt. Algebros didaktinë medþiaga VIII klasei. K.: Ðviesa,

1970.152. Stratilatovas P. V. Trigonometrijos uþdavinynas. K.: VPLL, 1958.153. Survila P. Nomografijos elementai. V.: RMTI, 1968.154. Survila P. Papildomi aritmetikos skyriai. V.: RMTI, 1970.155. Ðapoðnikovas N. A., Valcovas N. K. Algebros uþdavinynas. D. I. K.: VPLL,

1945.156. Ðapoðnikovas N. A., Valcovas N. K. Algebros uþdavinynas. D. II. K.: VPLL,

1945.157. Ðernas V. Daugyvenës kraðtas. K.: VDU leidykla, 1998.158. Ðëtos vidurinë mokykla. Këdainiai, 1998.159. Ðevèenko I. N. Aritmetika V�VI klasei. K.: VPLL, 1957.160. Ðvarcburdas S. I. ir kt. Algebra ir analizës pagrindai. V.: Mokslas, 1981.161. Technikumuose vartojamø matematikos pagrindiniø formuliø rinkinys. K.:

Kauno politechnikumas, 1965.162. Teiðerskis J. Algebros mokymo metodika. V.: Mokslas, 1988.163. Terioðinas N. A. Matematikos uþdavinynas. V.: Mokslas. 1977.164. Vaièiulis J. Medþiaga matematikos vakarams. V.: Mintis, 1971.165. Vaiðvila A. Ðiluvos apðvieta 1592�1992. V.: Teisës akademijos leidykla, 1999.166. Vilenkinas N. J. Funkcijos gamtoje ir technikoje. K.; Ðviesa, 1982.167. Vilenkinas N. J. ir kt. Algebra ir matematinë analizë. K.: Ðviesa, 1987.168. Vilenkinas N. ir kt. Matematika IV klasei. K.: Ðviesa: 1971.169. Vilenkinas N. ir kt. Matematika V klasei. K.: Ðviesa, 1972.170. Vilenkinas N. ir kt. Rinktiniai matematikos klausimai. K.: Ðviesa, 1982.171. Vitkus V. Jaunajam matematikui. K.: Ðviesa, 1981.172. Vitkus V. Jaunajam V klasës matematikui. V.: RMTI, 1974.173. Vitkus V. Jaunajam VI klasës matematikui. V.: RMTI, 1976.174. Zybartas A. LTSR kaimo dieninë bendrojo lavinimo mokykla (1945�1975).

K.: Ðviesa, 1985.175. Zinkevièius Z. Prie lituanistikos þidinio. V.: Mokslo ir enciklopedijø leid.

institutas, 1999.176. Znamenskis M. ir kt. Aritmetikos metodika. K.: VPLL, 1948.177. Ëþòèêàñ Â. Øêîëüíèêó î òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ì.:Ïðîñâåùåíèå,

1976.

240

Straipsniai

178. Adomaitis A. Gamybinio turinio uþdaviniø sudarymas//Tm, 1960, Nr. 5.179. Aleksandravièius B. Matematikos pamokø organizavimas klasëse su gamy-

biniu mokymu//Tm, 1962, Nr. 7.180. Anelauskienë A. Apie matematiniø interesø ir sugebëjimø ryðá//Tm, 1968,

Nr. 11.181. Anelauskienë A., Lepeðkevièius A. Kai lemia matematika//TM, 1978 01 06.182. Anelauskienë A. ,,Linksmøjø matematikø� klubas//Tm, 1966, Nr. 11.183. Anelauskienë A. Matematikos varþybos//Tm, 1966, Nr. 6.184. Anelauskienë A. Psichologinës prielaidos kûrybai//TM, 1974 07 05.185. Angelë Anelauskienë (nekrologas)//TM, 1981 12 09.186. Antanaitienë B. Darbo turi visi//TM, 1964 08 02.187. Antanaitis Z., Narkevièius L. Kai kurios pastabos apie stojamuosius egza-

minus á KPI//Tm, 1965, Nr. 12.188. Anuþienë E. Mokiniø aktyvinimas per matematikos pamokà//Tm, 1983, Nr. 6.189. Apdovanoti respublikinës matematikø ir fizikø olimpiados organizatoriai//

TM, 1958 05 15.190. Apynis A. Kelios mintys pradëjus darbà//Alfa plius omega, 1998, Nr. 2 (6).191. Arlauskienë S. Kai kurios ádomios uþduotys//Tm, 1987, Nr. 3.192. Arlauskienë S. Pastabumo, atminties ir loginio màstymo ugdymas//Tm, 1970,

Nr. 10.193. Astrauskienë R. Sàlyginiø uþdaviniø sprendimas pradinëse klasëse//Tm, 1961,

Nr. 10.194. Audickaitë D., Motiejauskas J., Norkevièius J. Kokie matematikos pagrin-

dai?//TM, 1967 04 27.195. Aukðtakalnienë J. Klydo paprasèiausiose situacijose//TM, 1985 06 14.196. Auðraitë S. Kai kuriø geometrijos skyriø ryðys su gamyba ir gamybiniu mo-

kymu//Tm, 1962, Nr. 10.197. (Aþubalis A.). Algirdaitis D. Pirmosios matematinës mokyklos//TM, 1988

08 23.198. Aþubalis A. Didiname metodø naðumà//TM, 1969 04 02.199. Aþubalis A. Gyvenimà paskyræs matematikai//TM, 1988 09 23.200. Aþubalis A. Juliui Norkevièiui � 70//Matematika ir mokykla, 2002, Nr. 3.201. Aþubalis A. Kai abiturientai stoja á aukðtàjà//TM, 1973 02 07.202. Aþubalis A. Kûrybiðkiau iliustruokime uþdaviniø sàlygas//Tm, 1984, Nr. 11.203. Aþubalis A. Matematikos didaktika Lietuvos pedagoginëje periodinëje spau-

doje 1945�1990 m.//Fizika, informatika ir matematika bendrojo ugdymo mokykloje.

241

Ðiauliai: ÐU leidykla, 1999.204. Aþubalis A. Matematikos didaktikos verpetuose//Kalvotoji Þemaitija, 2002

10 05.205. Aþubalis A. Matematikos korespondentas//Alfa plius omega. 2002, Nr. 2.206. Aþubalis A. Matematikos ryðys su gyvenimu//TM, 1976 11 19.207. Aþubalis A. Matematinës psichologijos pradininkë Lietuvoje//Matematika

ir mokykla, 2002, Nr. 1,208. Aþubalis A. Matematinës psichologijos tyrinëtoja//Alfa plius omega. 2001,Nr.209. Aþubalis A. Matematinë tematika ,,Lietuvos mokykloje�//Ttm, 1990, Nr. 8�9.210. Aþubalis A. Mokymo programavimas tarnauja individualizavimui ir dife-

rencijavimui//Tm, 1974, Nr. 12.211. Aþubalis A. Mokiniø savarankiðkumas dëstant matematikà//TM, 1987 02 13.212. Aþubalis A. Mokiniø savarankiðkumo ugdymas mokant matematikos Lietu-

voje (XX a. 5�9 deðimtmeèiai)//Lietuvos matematikos rinkinys, 2003, Nr. 43 (spec. Nr.).213. Aþubalis A. Programuotos uþduotys per matematikos pamokas//Tm, 1983,

Nr. 7.214. Aþubalis A. Seminaras Rygoje//TM, 1988 05 11.215. Aþubalis A. Seminaras Tartu universitete//TM, 1985 06 19.216. Aþubalis A. Ðviesoforai ir stebuklingi bloknotai//TM, 1982 04 23.217. Aþubalis A. Tarptautiniame seminare//TM, 1990 06 08.218. Aþubalis A. Tyrinëjusi matematinæ psichologijà//Dialogas, 2002 02 22.219. Aþubalis A. Tradicinis seminaras//TM, 1986 06 20.220. Aþubalis A. Trys ,,paprastos� pamokos//TÐ, 1989 07 01.221. Aþubalis A. Þurnalistas ir matematikas//Gedimino universitetas, 2002, Nr. 4.222. Bagdanavièienë Z., Ruzaitë V. Kompleksinis mokymas II klasëje//Ttm, 1990,

Nr. 5.223. Baipðys V. Apskaièiavimo uþdaviniø sprendimas//TM, 1964 01 26.224. Balbataitë A. Matematikos pamokos teorija ir praktika//TM, 1974 09 25.225. Balaiðis R. Aritmetikos þiniø gilinimas ir plëtimas algebros kurse//Tm, 1960,

Nr. 9, 10.226. Balaiðis R. Kai kurie egzaminø vykdymo metodikos klausimai//Tm, 1954,

Nr. 5.227. Balaiðis R. Matematikos kurso kartojimas//TM, 1954 04 08.228. Balaiðis R. Matematikos kurso kartojimas//TM, 1957 03 21.229. Balaiðis R. Matematikos ryðiai su fizika//Tm, 1962, Nr. 4, 5.230. Balaiðis R. Matematikos uþdaviniø sprendimas//TM, 1958 08 03.231. Balaiðis R. Matematikø bûrelio darbo turinys vidurinëje mokykloje//Tm,

1959, Nr. 11.

242

232. Balaiðis R. Mintinis ir pusiau mintinis geometrijos uþdaviniø sprendimas//Tm, 1966, Nr. 9.

233. Balaiðis R. Paprastøjø trupmenø dalybos mokymas V klasëje//TM, 1955 12 08.234. Balaiðis R. Paprastøjø trupmenø daugybos mokymas V klasëje//TM, 1955

11 24.235. Balaiðis R. Plaèiausios galimybës matematikø ir fizikø talentams//TM, 1962

06 21.236. Balaiðis R. Pradedanèiam mokytojui//TM, 1969 07 09.237. Balaiðis R. Ribø teorija ir jos pritaikymai mokykliniame geometrijos kurse

//Tm, 1957, Nr. 11.238. Balaiðis R. Ugdykime mokiniø domëjimàsi matematika//Tm, 1958, Nr. 9,

10.239. Balèytienë J. Geometrijos elementø mokymas vaikø darþelyje//Tm, 1979,

Nr. 2.240. Balèytienë J. Kaip mokysime matematikos parengiamojoje klasëje//Tm, 1980,

Nr. 9.241. Balèytienë J. Matematikos pamokëlës//Tm, 1981, Nr. 10.242. Balèytienë J. ,,Sveika, matematika� (II dalis)//Tm, 1982, Nr. 11.243. Balèytienë J. Tekstiniø uþdaviniø sprendimas ir analizavimas//Tm, 1986, Nr. 3.244. Balèytienë J. Þodiniø uþdaviniø mokymas//Tm, 1978, Nr. 11.245. Balèytienë J., Þymantienë E. Matematikos katedrai � 50//ÐU, 1998 06 11.246. Balèytis B. Aktualûs matematikos mokymo I klasëje klausimai//Tm, 1974,

Nr. 7.247. Balèytis B. Apklausos organizavimas//TM, 1965 12 02.248. Balèytis B. Aritmetikos kontroliniø raðomøjø darbø pamokø organizavimas

I�IV klasëse//Tm, 1955, Nr. 11.249. Balèytis B. Aritmetiniø veiksmø mokymas milijono ribose III klasëje//Tm,

1980, Nr. 10.250. Balèytis B. Aritmetiniø veiksmø 1000 ribose kartojimas ir plëtojimas//Tm,

1980, Nr. 7.251. Balèytis B. Baigiamosios III klasës matematikos pamokos//Tm, 1981, Nr. 1.252. Balèytis B. Bevardþiai, vardiniai ir matiniai skaièiai I�III klasiø matemati-

kos kurse//Tm, 1970, Nr. 6.253. Balèytis B. Dalykiniai ir teoriniai pradinës matematikos pagrindai//Tm, 1969,

Nr. 6254. Balèytis B. Dydþiai pradinës mokyklos matematikos kurse//Tm, 1970, Nr. 5.255. Balèytis B. Geometrijos pradmenys I�III klasëse//Tm, 1982, Nr. 2.256. Balèytis B. Kaip mokysime matematikos II klasëje//Tm, 1974, Nr. 8.257. Balèytis B. Kaip mokysime matematikos pirmokus//Tm, 1972, Nr. 7.

243

258. Balèytis B. Kaip mokysime matematikos III klasëje//Tm, 1974, Nr. 9.259. Balèytis B. Kaip naudosimës matematikos vadovëliais//Ttm, 1990, Nr. 2.260. Balèytis B. Lygybës ir lygtys I�III klasëje//Tm, 1971, Nr. 12.261. Balèytis B. Matematika II ir III klasëje pereinamuoju laikotarpiu//Tm, 1985,

Nr. 10.262. Balèytis B. Matematika II klasëje//Tm, 1987, Nr. 7.263. Balèytis B. Matematika I klasëje pereinamuoju laikotarpiu//Tm, 1985, Nr. 9.264. Balèytis B. Matematika III ir IV klasëje//Tm, 1988, Nr. 7.265. Balèytis B. Matematika I�III klasëse 1985�1986 mokslo metais//TM, 1985

08 23.266. Balèytis B. Matematikos mokymo I eksperimentinëje klasëje planavimas ir

metodika//Tm, 1983, Nr. 9.267. Balèytis B. Matematikos mokymo priemonës II klasei//Tm, 1979, Nr. 7.268. Balèytis B. Matematikos mokymo priemonës I klasei//Tm, 1978, Nr. 6.269. Balèytis B. Matematikos mokymo III�IV klasëse perimamumas//Tm, 1981,

Nr. 3.270. Balèytis B. Matematikos namø darbai I�III klasëse//Tm, 1979, Nr. 1.271. Balèytis B. Matematikos planavimas ir metodika II�III eksperimentinëje

klasëje//Tm, 1984, Nr. 10.272. Balèytis B. Matematikos uþklasinis darbas I�III klasëje//Tm, 1976, Nr. 3.273. Balèytis B. Matematiniø ágûdþiø formavimas I klasëje//Tm, 1973, Nr. 5.274. Balèytis B. Mokiniø savarankiðki darbai aritmetikos pamokose//Tm, 1954,

Nr. 11.275. Balèytis B. Naujoji I�III klasiø matematikos programa//Tm, 1969, Nr. 5.276. Balèytis B. Nelentelinës daugybos ir dalybos mokymas//Tm, 1966, Nr. 4.277. Balèytis B. Nelygybës I�III klasëje//Tm, 1971, Nr. 4.278. Balèytis B. Numeracijos mokymas penkiø ribose//TM, 1978 09 06.279. Balèytis B. Pirmosios matematikos pamokos//TM, 1978 08 25, 30.280. Balèytis B. I�III klasës mokiniø matematikos þiniø, mokëjimø ir ágûdþiø

vertinimas//Tm, 1983, Nr. 11.281. Balèytis B. I�III klasiø mokiniø matematinio paþangumo tikrinimas//Tm,

1982, Nr. 8.282. Balèytis B. Psichologiniai � didaktiniai pradinës matematikos mokymo pa-

grindai//Tm, 1969, Nr. 12.283. Balèytis B. Skaièiavimo ágûdþiai II klasëje//Tm, 1973, Nr. 6.284. Balèytis B. Skaièiavimo ágûdþiai III klasëje//Tm, 1973, Nr. 8.285. Balèytis B. Sudëtis ir atimtis 5 ribose//TM, 1978 09 15, 20.286. Balèytis B. ,,Sveika, matematika� (III dalis)//Tm, 1983, Nr. 2.

244

287. Balèytis B. Uþdaviniø sprendimas I�III klasëse//Tm, 1972, Nr. 5.288. Balèytis B. Vaizdumo pobûdis mokant pradinës matematikos//Tm, 1984, Nr. 2.289. Baltûsis J. Trumpesniu keliu//TM, 1957 12 26.290. Baltûsis J. Uþdaviniø sudarymas ir sprendimas, panaudojant vietinæ me-

dþiagà//Tm, 1961, Nr. 3.291. Barvydas J. Vaizdiniø priemoniø panaudojimas abstrakèiam màstymui ug-

dyti//Tm, 1964, Nr. 4.292. Barvydas J. Veiksmai su daugiaþenkliais skaièiais//TM, 1964 03 22.293. Bazevièiûtë E. Aritmetikos vaizdiniø priemoniø gaminimas I�III klasiø mo-

kiniø jëgomis//Tm, 1964, Nr. 3.294. Bitinas B. Matematika ir jaunøjø talentø ugdymas//TM, 1962 06 07.295. Blagnys V. Antràjà deðimtá pradedant//TM, 1965 12 05.296. Blagnys V. Antrojo penketo mokymas//Tm, 1965, Nr. 9.297. Blagnys V. Apie abiturientø, pristatytø apdovanoti medaliais, matematikos

raðomuosius darbus//Tm, 1955, Nr. 9.298. Blagnys V. Aritmetikos kursà kartojant//TM, 1959 05 07.299. Blagnys V. Daugybos mokymas I klasëje//Tm, 1966, Nr. 2.300. Blagnys V. Gerinti darbà visose matematikos grandyse//Tm, 1960, Nr. 5.301. Blagnys V. Gerinti þiniø kokybæ, tobulinti metodiná darbà//Tm, 1967, Nr. 9.302. Blagnys V. Ir perbraukë sprendimà//TM, 1971 05 14.303. Blagnys V. Kada raðyti klausimus?//Tm, 1968, Nr. 10.304. Blagnys V. Kelti matematikos pamokø efektyvumà//Tm, 1963, Nr. 2.305. Blagnys V. Matematika ketvirtoje// TM, 1971 09 01.306. Blagnys V. Matematikos egzaminams ruoðiantis// TM, 1971 04 07.307. Blagnys V. Matematikos mokymà sieti su gyvenimu// Tm, 1961, Nr. 12.308. Blagnys V. Materialistinës pasaulëþiûros ugdymas dëstant matematikà//Tm,

1963, Nr. 7.309. Blagnys V. Numeracijos mokymas, einant pirmàjà deðimtá//Tm, 1971, Nr. 7.310. Blagnys V. Perspektyvoje � naujø programø ágyvendinimas//Tm, 1968, Nr. 6.311. Blagnys V. Pirmosios aritmetikos pamokos I klasëje//Tm, 1965, Nr. 8.312. Blagnys V. Priemonës matavimams vietovëje//TM, 1955 08 18.313. Blagnys V. Ruoðiantis dëstyti aritmetikà penktoje klasëje//TM, 1959 09 03.314. Blagnys V. Veiksmø mokymas, nagrinëjant deðimtá//TM, 1965 10 28.315. Blagnys V. þinios gali bûti gilesnës//TM, 1971 04 16.316. Blëkaitienë M. Ilgio matø mokymas//Tm, 1965, Nr. 4.317. Bliznikas V. Aksiomø sistemos//TM, 1974 11 20.318. Bliznikas V. Taurus matematikø puoselëtojas//TÐ, 1989 07 21.

245

319. Brazdþiûtë J. Savarankiðko darbo formos per aritmetikos pamokas IV kla-sëje//Tm, 1964, Nr. 1.

320. Budraitis P. Vietinës medþiagos panaudojimas aritmetikos pamokose//Tm,1962, Nr. 3.

321. Budzilaitë J. Siekiu sudominti matematika//TM, 1983 10 14.322. Bûgienë B. Matematiniai þaidimai ir uþduotys pirmaklasiams//Tm, 1980,

Nr. 1.323. Bulota S. Kai kurios mokiniø matematikos þiniø lygio këlimo priemonës//

Tm, 1962, Nr. 8.324. Bunkus A. Ádomieji pratimai//TM, 1969 02 08.325. Bunkus A. Sàlyginiai uþdaviniai ar tik pratimai//TM, 1972 02 02.326. Burinskaitë O. Skaitmenø raðymo mokymas//Tm, 1984, Nr. 3.327. Bûtini mokymo rezultatai ir jø planavimas//Tm, 1985, Nr. 7, 9, 11.328. Butkûnienë M. Maþiukai skaièiuoja// TM, 1964 11 29.329. Butkus V. Garso áraðai matematikos pamokoje//TM, 1977, Nr. 2.330. Butkus V. Matematikos pamokos planas//Tm, 1978, Nr. 5.331. Butkus V. Mokiniai dirba savarankiðkai//TM, 1974 08 09.332. Butkus V. Perforuoti aplankai//TM, 1970 11 13.333. Butkus V. Savarankiðki matematikos darbai maþakomplektëje mokykloje//

Tm, 1977, Nr. 5.334. Butkus V. Tai padeda mokyti matematikos//Tm, 1985, Nr. 4.335. Butkus V. Veiksmø komponentø ir rezultatø priklausomybës mokymas//Tm,

1975, Nr. 7.336. Cibulskienë J. Deðimtojo penkmeèio pasiekimai III klasës matematikos pa-

mokose//Tm, 1980, Nr. 11.337. Èeliauskas P. Trigonometrinës funkcijos//TM, 1970 11 18.338. Èerniauskienë A. 1. Þodiniø uþdaviniø sàvoka. 2. Þodiniø uþdaviniø spren-

dimas//TM, 1986 07 07, 09.339. Èesnauskienë D. Elementariø matematikos vaizdiniø formavimas//Tm, 1983,

Nr. 12.340. Èesnauskienë D. Matematikos pamokëliø planavimas vaikø darþelyje//Tm,

1986, Nr. 7.341. Daraèiûnas J. Daugiaþenkliø skaièiø numeracija//TM, 1964 12 17.342. Daraðkevièius V., Dþiaugutis Z. Nuoðirdaus sistemingo darbo vaisiai//Tm,

1974, Nr. 4.343. Daugelavièienë M. Savarankiðki matematikos darbai I klasëje//Tm, 1979,

Nr. 2.344. Davenienë G. Þodis apie Mokytojà//Alfa plius omega, 1997, Nr. 1.345. Davidavièienë J. Milijardas minuèiø � ðimtmeèiai//TM, 1968 09 27.

246

346. Dël lietuviø kalbos ir matematikos mokymo pradinëse klasëse//TM, 1984 08 03.347. Dienienë P. Daugybos mokymas pirmoje klasëje//TM, 1967 02 02.348. Dienienë P. Dviþenkliø skaièiø sudëtis ir atimtis// Tm, 1966, Nr. 9.349. Dienienë P. Uþdaviniø sprendimas I�II klasëse//Tm, 1964, Nr. 10, 11.350. Dikareva V. Loginio màstymo vystymas, sprendþiant uþdavinius//Tm, 1969,

Nr. 2.351. Dokðus A. Kad mokslo ðaknys nebûtø karèios//TM, 1967 06 03.352. Dokðus A. Klasëje þybsi lemputës//TM, 1965 06 10.353. Dokðus A. Programuoto mokymo þingsniai//TM, 1973 05 30.354. Dokðus A. Ðviesinë kortelë//TM, 1966 07 23.355. Dokðus A. Uþdavinio analizë//TM, 1974 04 17.356. Drëgûnas V. Apvaliøjø kûnø ir pavirðiø plotø matavimo teorijos klausimai//

Tm, 1964, Nr. 12.357. Drëgûnas V., Aþubalis A. Programuotas mokymas pradinukams//TM, 1982

09 23.358. Drëgûnas V. Funkcijos ir geometrinës transformacijos apibrëþimai//Tm, 1971,

Nr. 11.359. Drëgûnas V. Geometrijos kurso kartojimas VIII klasëje//Tm, 1976, Nr. 3.360. Drëgûnas V. Geometrinës transformacijos sàvoka VI klasëje//Tm, 1974, Nr. 1.361. Drëgûnas V., Gotleras M. Olimpiados uþdaviniø sprendimas//TM, 1968 08 14.362. Drëgûnas V. Kûrybiniai darbai mokant matematikos//Tm, 1984, Nr. 10.363. Drëgûnas V. Matematikos kabineto komplektavimo klausimu//Tm, 1973,

Nr. 4.364. Drëgûnas V. Neigiami skaièiai V klasëje//TM, 1972 08 23.365. Drëgûnas V. Sàryðio sàvoka matematikos kurse//Tm, 1979, Nr. 8.366. Drëgûnas V. Temos ,,Pakankamos ir bûtinos sàlygos�, mokymas VII klasëje

//Tm, 1974, Nr. 8.367. Drëgûnas V. Trigonometriniø lygèiø sprendimas//TM, 1967 05 04.368. Duksienë A. Savarankiðkas darbas maþakomplektëje mokykloje//Tm, 1978,

Nr. 10.369. Dumèiuvienë O. Didaktiniai þaidimai per matematikos pamokëles//Tm, 1987,

Nr. 6.370. Dzenuðkaitë S. Auklëjimas matematikos pamokoje//Tm, 1984, Nr. 12.371. Erdnijevas P. Apie mokslinius mokymo metodikos pagrindus//Tm, 1970, Nr. 6.372. Erdnijevas P. Paprastøjø aritmetikos uþdaviniø nagrinëjimas//Tm, 1966, Nr. 4.373. Fiodorovas G. Nuo ko tai priklauso?//Tm, 1964, Nr. 6.374. Gabrielaitienë G. Vaizdumas per matematikos pamokëles//Tm, 1983, Nr. 1.375. Gaidelienë N. Vaizdumas per matematikos pamokas I klasëje//Tm, 1974,

247

Nr. 5.376. Gailevièius J. Kalbos ir vaizdingumo reikðmë matematikoj ir fizikoj//Tm,

1947, Nr. 1�2.377. Gailiûnas P. Atviras laiðkas matematikui apie lituanistus//TM, 1958 05 22.378. Gargasienë V. Kad mokiniai màstytø//TM, 1965 08 05.379. Gedvila J. Ir daugybos lentele galima sudominti mokinius//TM, 1957 12 12.380. Gedvila J. Mintinio skaièiavimo pratimai//Tm, 1969, Nr. 1.381. Gemburo I. Daugybos ir dalybos lenteliø mokymas//Tm, 1977, Nr. 3.382. Genevièienë A. Kitais keliais//TM, 1967 01 21.383. Gerulaitienë A. Vietinës medþiagos panaudojimas aritmetikos pamokose//

Tm, 1962, Nr. 7.384. Gibðas J. Irracionalinës lygtys vidurinës mokyklos kurse//Tm, 1953, Nr. 2.385. Giedraitienë T. Kartojimas, remiantis þiniø analize//Tm, 1979, Nr. 6.386. Giedrienë R. Kai mokinio kalba nepakankamai iðvystyta//Tm, 1983, Nr. 10.387. Giraitienë I. Aktyvistai savaime neatsiranda//TM, 1967 12 16.388. Gotleras M., Lepeðkevièius A. Olimpiados uþdaviniø sprendimas//TM, 1967

03 16.389. Gotleras M. Matematikos stojamøjø egzaminø á VVPI rezultatai ir iðvados

//Tm, 1961, Nr. 11.390. Gotleras M. 1969 m. respublikinë jaunøjø matematikø olimpiada//Tm, 1969,

Nr. 6, 7.391. Greblikienë R. Spræskime loginius uþdavinius//Tm, 1985, Nr. 8.392. Grybauskaitë L. Nebûtø problema, jeigu...//TM, 1965 01 28.393. Grigas K. Pagerinti matematikos dëstymà septynmetëse mokyklose//Tm,

1951, Nr. 11.394. Grigelionis S., Meðkauskas R. Pas V. Ðatalovà apsilankius//Tm, 1987, Nr. 5.395. Grigienë A. Geometriniø uþdaviniø sprendimas//Tm, 1975, Nr. 2.396. Grincevièius A., Maèys J. XXXVI jaunøjø matematikø olimpiada//Tm, 1988,

Nr. 3.397. Grincevièius A., Maèys J. 1986 m. jaunøjø matematikø olimpiada//Tm, 1987,

Nr. 2.398. Gudynas M. Matematikos namø darbø organizavimas//TM, 1955 08 25.399. Gudynas M. Teorijos ryðys su praktika matematikos pamokose//TM, 1959

12 24.400. Gudaitienë A. Individualus matematikos mokymas I eksperimentinëje kla-

sëje//Tm, 1983, Nr. 4.401. Horodnièius H., Kubilius J. 1956 metø matematikos ir fizikos olimpiada//

Tm, 1956, Nr. 5.402. Ionovienë A. Nusiraðinëti neverta//Dialogas, 1999 05 14.

248

403. Izokaitis M. Lentelës lygtims sudaryti//TM, 1964 04 02.404. Jakuba E. Nepamokinë matematikø veikla//Tm, 1970, Nr. 2.405. Jankus S. Deðimtainiø lenteliø naudojimas, sàmoningai ásisavinant veiks-

mus nuo 1 iki 10//Tm, 1971, Nr. 8.406. Janulionis J. Aritmetika ir gyvenimas//TM, 1960 08 28.407. Janulionis J. Mokiniai pamëgs matematikà//TM, 1964 03 29.408. Janulionis J. Panevëþio miesto ir rajono jaunøjø matematikø (V�VII klasiø)

II olimpiada//Tm, 1957, Nr. 8.409. Janulionis J. Vaizdinës matematikos priemonës//TM, 1960 01 24.410. Janulionis J. Vaizdinës priemonës dëstant stereometrijà//TM, 1955 03 24.411. Jarumbavièiûtë G. Judamosios priemonës aritmetikos pamokose//TM, 1961

10 22.412. Jasiûnas H. Lietuvos jaunøjø matematikø mokykla vël startuoja//Alfa ir ome-

ga, 1998, Nr. 2 (6).413. Jasiûnas H., Verikaitë V. Pirmojo lietuviðko uþdavinyno autorius//TÐ, 1990

04 11.414. Jaðkienë I. Matematinës ekskursijos//TM, 1963 09 19.415. Jaðkienë I. Skaièiavimo priemoniø panaudojimas//TM, 1962 12 02.416. Jaðkienë I. Uþdaviniuose � mokiniø gamybinë veikla//TM, 1963 04 06.417. Jedzinskienë D. Atsisveikinimo þodis Seseriai//Dialogas, 1999 12 26.418. Jermakovas J. Dvideðimt metø be antrameèiø//Tm, 1962, Nr. 12.419. Kaèialka V. Tiriamoji veikla, sprendþiant probleminius uþdavinius//Tm, 1977,

Nr. 1.420. Kalinauskas A. Mintinas skaièiavimas//TM, 1957 11 14.421. Karpinskis P. Kosmoso uþkariavimo klausimai aritmetikos uþdaviniuose//

Tm, 1962, Nr. 3.422. Kaðinskienë J. Kokia ádomi matematika//TM, 1982 12 17.423. Katilius V. Logaritminës liniuotës pagaminimas//Tm, 1955, Nr. 1.424. Keinys S. Pedagogo rûpestis kalba//TM, 1974 05 05.425. Kelpðienë R. Þaidimai per aritmetikos pamokas//Tm, 1987, Nr. 12.426. Kirsnauskaitë A. Deðimtojo penkmeèio faktai ir skaièiai uþdaviniø sàlygose

//Tm, 1973, Nr. 12.427. Klebanskis V. Abituriento � 77 matematikos þinios//TM, 1977 09 28.428. Klebanskis V. Aklimatizacija//TM, 1971 03 17, 19.429. Klebanskis V. Analizuokime matematikos mokymà IV klasëje//Tm, 1972,

Nr. 1.430. Klebanskis V. Analizuokime rezultatus// TM, 1965 06 24.431. Klebanskis V. Aritmetikos dëstymo aktyvinimo klausimai// TM, 1961 09 03.

249

432. Klebanskis V. Brëþimo uþdaviniai//TM, 1967 11 23.433. Klebanskis V. Bûdingos klaidos//TM, 1955 06 16.434. Klebanskis V. Dël skyrybos þenklø vartojimo matematiniuose uþraðuose//

TM, 1959 07 19.435. Klebanskis V. Dëstymo formalizmas ir matematika//Tm, 1945, Nr. 2�3.436. Klebanskis V. Funkcijos tyrimas reikalauja kartojimo//TM, 1976 04 21.437. Klebanskis V. ,,Funkcijø grafikø transformavimas�//TM, 1969 01 03.438. Klebanskis V. Geometrija VI klasëje//TM, 1973 11 30.439. Klebanskis V. Ásimintinos rekomendacijos//TM, 1974 04 05.440. Klebanskis V. Ið mokiniø matematikos þiniø tyrimo medþiagos//Tm, 1959,

Nr. 6.441. Klebanskis V. Iðvadas tedaro patys//TM, 1975 07 25.442. Klebanskis V. Kai kurie matematikos mokymo IV klasëje klausimai//Tm,

1971, Nr. 8.443. Klebanskis V. Kai kurie mokiniø funkcinio màstymo vystymo klausimai//

Tm, 1966, Nr. 12.444. Klebanskis V. Kai kurie politechninio mokymo elementai dëstant geometri-

jà//Tm, 1956, Nr. 5.445. Klebanskis V. Kaip mokysime matematikos X klasëje//Tm, 1977, Nr. 9.446. Klebanskis V. Kartojimo problemos//TM, 1968 04 23.447. Klebanskis V. Kelios pastabos apie stereometriná brëþiná//TM, 1957 02 07.448. Klebanskis V. Kilo ir nesusipratimø//TM, 1975 07 04.449. Klebanskis V. Klaustukai penktojoje//TM, 1973 01 12.450. Klebanskis V. Koks matematinis nuovokumas//TM, 1974 06 26.451. Klebanskis V. Kûrybiðkai ir apibendrintai//TM, 1965 04 08.452. Klebanskis V. Lengvi, bet kai kam neprieinami//TM, 1973 07 04.453. Klebanskis V. 1. Logiðkai ir vaizdþiai. 2. Formalizmo reiðkiniai. 3. Kelti me-

todinæ kultûrà//TM, 1954 12 30, 1955 01 06, 13.454. Klebanskis V. Matematika VII klasëje//TM, 1975 10 01.455. Klebanskis V. Matematikos dëstymas darbininkø jaunimo mokyklose//TM,

1958 06 26.456. Klebanskis V. Matematikos dëstymo aktualijos//TM, 1960 01 10.457. Klebanskis V. Matematikos dëstymo þinomieji ir problemos//TM, 1973 08 01.458. Klebanskis V. Matematikos mokymo VII klasëje klausimu//Tm, 1975, Nr. 2.459. Klebanskis V. Matematikos mokymo XI klasëje kontrolë//Tm, 1978, Nr. 9.460. Klebanskis V. Matematikos mokytojas ir gamybinis mokymas//TM, 1962 04 12.461. Klebanskis V. Matematikos þinias sieti su praktika//TM, 1959 06 21.462. Klebanskis V. Matematiniø sàvokø apibrëþimø klausimu//Tm, 1965, Nr. 12.

250

463. Klebanskis V. Matematiniø uþraðø kultûra//TM, 1965 11 04.464. Klebanskis V. Mokiniø kûrybingumo ugdymas//TM, 1966 12 15.465. Klebanskis V. Mokiniø savarankiðko darbo ágûdþiø ugdymas matematikos

pamokose//Tm, 1947, Nr. 1�2.466. Klebanskis V. Pakelti sparnai//TM, 1970 07 17.467. Klebanskis V. Pasitaikë ir netikslumø//TM, 1976 06 30.468. Klebanskis V. Pastabos apie 1953�54 m. m. matematikos egzaminus mokyk-

lose//Tm, 1954, Nr. 9.469. Klebanskis V. Patikimiausias kelias � gera teorija//TM, 1974 08 02.470. Klebanskis V. Probleminis matematikos mokymas//TM, 1969 02 14.471. Klebanskis V. Procentiniai skaièiavimai vidurinës mokyklos matematikos

kurse//TM, 1968, Nr. 7.472. Klebanskis V. Racionalizuoti mokiniø apklausà//TM, 1966 02 24.473. Klebanskis V. Rasti siûlo galà//TM, 1974 02 27.474. Klebanskis V. Ryðiai pleèia akiratá//TM, 1970 05 01.475. Klebanskis V. Ruoðiantis V�VII klasiø jaunøjø matematikø olimpiadai//

Tm, 1959, Nr. 12.476. Klebanskis V. Saviðvieta padës áveikti kliûtis//TM, 1976 10 20.477. Klebanskis V. Skaièiavimo ágûdþiai ir màstymas//TM, 1971 06 11.478. Klebanskis V. Stereometrinis brëþinys//TM, 1955 05 05.479. Klebanskis V. Sumanumas ir silpnumas//TM, 1971 07 07.480. Klebanskis V. Sunkumø centras//TM, 1972 06 30.481. Klebanskis V. Teisë á kûrybà//TM, 1970 03 06.482. Klebanskis V. Turëti darbo perspektyvà// TM, 1959 09 03.483. Klebanskis V., Teiðerskis J. Uþdaviniø su parametriniais duomenimis spren-

dimo klausimu//Tm, 1970, Nr. 4, 5.484. Klebanskis V., Valentinavièius V. Nelaukime treèiojo skambuèio//TM, 1967

07 18.485. Klebanskis V., Valentinavièius V. Pamokos tobulumas ir rezultatai//TM, 1971

11 12.486. Klebanskis V. Veiksmø eilë//TM, 1958 01 05.487. Klebanskis V. Þygis prasideda ketvirtojoje//TM, 1972 11 17.488. Klebanskis V. Þiniose dar daug neþinomøjø//TM, 1967 08 05.489. Klimaitis J. Ir ðeðtokai sprendþia lygtis//TM, 1965 07 25.490. Klimavièienë E. Matematikos kabinetas mokykloje//TM, 1964 01 23.491. Klimka L. Proporcionalas � skaièiuotuvø pirmagimis//TM, 1988 09 23.492. Kolesnikova O. Mokiniø þiniø ið aritmetikos këlimo bûdai//Tm, 1962, Nr. 3.493. Kolikovas A., Pavlovas I. Matematikos mokymo efektyvinimas//Tm, 1969,

Nr. 3.

251

494. Kosenkranius Ch., Siman U. Perforacinë plokðtelë//TM, 1964 09 24.495. Kuèinskas P. Metodinio ratelio rûpesèiai//TM, 1965 10 07.496. Laginauskienë N. Mokiniø protinës veiklos aktyvinimo bûdai//Tm, 1979,

Nr. 5.497. Lakiûnas A. Individualus darbas su atsiliekanèiais mokiniais//TM, 1955 09 15.498. Lakiûnas A. Kaip að dëstau matematikà vyresnëse klasëse//Tm, 1962, Nr. 6.499. Lakiûnas A. Kaip að stengiuosi mokinius iðmokyti pamokose//TM, 1958 08 15.500. Lakiûnas A. Kaip sudominti mokinius matematika//TM, 1954 09 02.501. Lakiûnas A. Matematikø pedagoginës patirties mokykla// Tm, 1968, Nr. 9.502. Lakiûnas A. Materialistinës pasaulëþiûros formavimas dëstant matematikà

//TM, 1955 01 27.503. Lakiûnas A. Medþiagos kartojimas dëstant matematikà//TM, 1955 04 21.504. Lakiûnas A. Tobuliname pedagoginio darbo metodus//TM, 1959 06 28.505. Lakiûnas A. Vaizduotës ugdymas//TM, 1964 11 22.506. Lapinskas V. Skaièiavimo lenteliø naudojimas I�II klasëse//Tm, 1961, Nr. 9.507. Lauþikas J. Liaudies ðvietëjas//TM, 1977 11 23.508. Lepeðkevièius A. Geometrijos mokymas IX klasëje//TM, 1963 08 29.509. Lepeðkevièius A. Kartojimas matematikos pamokose//TM, 1961 04 27.510. Lepeðkevièius A., Maèys J. XXXV jaunøjø matematikø olimpiada//Tm, 1986,

Nr. 11.511. Lepeðkevièius A., Norkevièius J. 1. O ji, maiðtinga, vëtros praðo... 2. Geras

derlius// TM, 1969 06 18, 20.512. Lepeðkevièius A. Pasigaminkime visi//TM, 1964 12 24.513. Lepeðkevièius A. Praktikos darbø organizavimas//TM, 1962 09 20.514. Lepeðkevièius A. Savarankiðkas darbas matematikos pamokose//TM, 1961

03 05.515. Lepeðkevièius A. 1. Trigonometriniø lygèiø kartojimas. 2. Skirtingi lygèiø

sprendimo bûdai//TM, 1974 04 10, 12.516. Liaudanskienë E. Pirmokai sugalvoja uþdaviná//TM, 1965 12 26.517. Liolys A., Maèionis S. Pliusai ir minusai//TM, 1969 11 07.518. Lipkina A. Auklëjamasis mokiniø þiniø ávertinimo vaidmuo//Tm, 1969, Nr. 9.519. Liubinaitë B. Matematiniai diktantai//TM, 1975 09 12.520. Liublinskaja A. Veiksmø panaudojimas jaunesniøjø mokiniø þiniø ásisavini-

mo ir protinio vystymosi procese//Tm, 1971, Nr. 12.521. Liutikas V. Bujoja matematikø atþalynas//TM, 1973 08 22.522. Liutikas V. Kà atskleidë matematikos kontrolinis darbas?//TM, 1987 12 02.523. Liutikas V. Kà parodë stojamieji//TM, 1975 10 24.524. Liutikas V. Kas þinotina matematikos mokytojui//TM, 1977 04 22.

252

525. Liutikas V. Naujas impulsas matematikos fakultatyvams//TM, 1978 01 25.526. Liutikas V. Þinios stiprëja, spragø yra//TM, 1976 10 20.527. Maèionis S. Funkciografas//TM, 1968 01 31.528. Maèionis S. Teoremas árodinëja mokiniai//TM, 1965 02 04.529. Malanskaitë G., Krukonis N. Vaizdumas matematikos pamokose// TM, 1968

03 13.530. Malanskaitë G. Pirmosios geometrijos pamokos//TM, 1967 08 17.531. Malanskaitë G. Tikslas � atlikti savarankiðkai//TM, 1969 02 12.532. Masiulienë E., Norkevièius J. 1. Bûk mano pasaka... 2. Kad roþë taptø sava

//TM, 1980 12 26, 31.533. Masiulienë E., Norkevièius J. Ir psichologinis nusiteikimas//TM, 1983 09 12.534. Masiulienë E., Norkevièius J. Locija uþdaviniø rifams//TM, 1988 01 29.535. Masiulienë E., Norkevièius J. Savarankiðkumas � patikimiausias kelias//TM,

1984 03 14.536. Masiulienë E., Norkevièius J. Uþdavinys mokiniui ir mokytojui//TM, 1989

10 17.537. Masiulienë E., Norkevièius J. Þaidimu uþðifruota paslaptis//TM, 1989 03 24.538. Masiulienë E., Ðirvinskienë S. Trukdë silpnoki skaièiavimo ágûdþiai//TM,

1982 06 09.539. Masiulienë E. Þiniø koordinatës//TM, 1985 11 22.540. Matuiza V. Matematiniai apibendrinimai//TM, 1958 01 23.541. Matuliauskas A. Jaunøjø matematikø neakivaizdinæ mokyklà prisiminus//

Alfa plius omega, 1998, Nr. Nr. 2 (6).542. Matulionienë K. ir kt. Romualdà Balaiðá prisiminus//Alfa plius omega, 1997,

Nr. 2.543. Matusevièiûtë Z. Paprastø uþdaviniø sudarymas I�II klasëse, panaudojant

paveikslus ir pieðinius//Tm, 1969, Nr. 8.544. Meðkauskaitë D. Didaktikos principai parengiamosios klasës pamokoje//

Tm, 1980, Nr. 6.545. Meðkauskaitë D. Kad matematikos pamoka bûtø efektyvesnë//Tm, 1983,

Nr. 10.546. Meðkauskaitë D. Kaip mokysime matematikos I klasëje//Tm, 1986, Nr. 4.547. Meðkauskaitë D. Kaip panaudoti geometriniø figûrø rinkiná//Tm, 1982, Nr. 1.548. Meðkauskaitë D. Lyginimas � naujos programos palydovas//TM, 1974 10 02549. Meðkauskaitë D. Loginio màstymo ugdymas per matematikos pamokas//

Tm, 1977, Nr. 4.550. Meðkauskaitë D. Matematika I klasëje//Tm, 1986, Nr. 5, 6, 12.551. Meðkauskaitë D. Skaièiø sandaros mokymas parengiamojoje klasëje//Tm,

1984, Nr. 9.

253

552. Meðkauskaitë D. Skaièiø ir matematiniø þenklø korteliø panaudojimas//TM,1980 08 20.

553. Meðkauskaitë D. ,,Sveika, matematika� (I dalis)//Tm, 1982, Nr. 9.554. Meðkauskaitë D. Teorijos ir praktikos ryðys//TM, 1977 05 11.555. Meðkauskas R. Gilinantis á matematikos mokymà//Tm, 1973, Nr. 8.556. Mikðytë G. Erdvinis màstymas ir polinkiai//TM, 1972 03 29.557. Mikðytë G. Ir matematikui reikalinga vaizduotë//TM, 1972 04 26.558. Mikutavièius A. Kodël kai kuriems studentams nesiseka aukðtoji matemati-

ka//Tm, 1975, Nr. 4.559. Mitalaitë L. Vienaveiksmiø uþdaviniø sprendimo psichologiniai pagrindai//

Tm, 1959, Nr. 5.560. Morkvënienë L. Skaièiavimas 10 ribose//Tm, 1969, Nr. 6.561. Naktinytë K. Kai kurie matematikos pamokø efektyvumo këlimo bûdai//

Tm, 1963, Nr. 5.562. Narkevièienë R. Diferencijuoto matematikos mokymo uþduotys//Tm, 1988,

Nr. 3.563. Naudþius K. Dël veiksmø eilës taisykliø//TM, 1957 01 10.564. Neniðkis A., Èepulis J. Kino filmas matematikos pamokose//TM, 1974 08 16.565. Neniðkis A. Taip paþástame tiesà//TM, 1963 10 31.566. Neniðkytë E. Prano Maðioto ,,Aritmetikos uþdavinynas�//TM, 1982 12 08.567. Norbutas S. Matematika griauna religijà//TM, 1964 01 30.568. Norbutas S. Matematika ir dialektika//TM, 1963 02 24.569. Norbutas S. Matematinis sienlaikraðtis//TM, 1964 03 05.570. Norbutas S. Tiriamasis darbas matematikø bûrelyje//TM, 1964 01 16.571. Norkevièius J. Aðtuntokø kraitis//TM, 1971 06 04.572. Norkevièius J. Ásibëgëjimas//TM, 1973 12 14.573. Norkevièius J. Iðeliminavimas � pedagogø rankose//TM, 1971 12 17.574. Norkevièius J. 1. Kaip beldþiasi informacija? 2. Be garso nëra aido//TM,

1973 03 27.575. Norkevièius J. Kaip skaitomas vadovëlis?//TM, 1972 12 08.576. Norkevièius J. Nesëkmiø iðtaka � pradinëse//TM, 1974 04 17.577. Norkevièius J. Nusiteikimas gauti trejetà//TM, 1972 06 23.578. Norkevièius J. Programuoto mokymo klausimais//TM, 1966 05 05, 07.579. Norkevièius J. Tartum uþriðtomis akimis//TM, 1974 06 12.580. Norkevièius J. Uþduotys konkreèiam tikslui//TM, 1981 07 24.581. Paliokas R. Matematiniø sugebëjimø lavinimas, individualizuojant mokymo

procesà//Tm, 1975, Nr. 5.582. Paliokas R. Matematiniø sugebëjimø tipø skirtybiø pasireiðkimas mokymo

254

procese//Tm, 1974, Nr. 11.583. Palubinskaitë J. Didaktinës medþiagos panaudojimas//TM, 1966 06 04.584. Pangonienë J. Lentelinës daugybos ir dalybos mokymas I�II klasëse//Tm,

1968, Nr. 11.585. Pangonis V. Modeliavimo metodo taikymas pradiniame mokyme//Tm, 1970,

Nr. 1.586. Peèiukënienë O. Matematikos mokymo II klasëje efektyvumas//Tm, 1976,

Nr. 9.587. Pekarskas V. Apie matematikos stojamuosius egzaminus á KPI//Tm, 1980,

Nr. 4.588. Pekarskas V. Kai kurios pastabos apie pirmøjø algebros temø dëstymà IX

klasëje//Tm, 1970, Nr. 1.589. Pereverzeva A. Ieðkoti naujø matematikos dëstymo bûdø//Tm, 1962, Nr. 3.590. Pëstininkas J. Savarankiðkas darbas � gabumø ugdymo priemonë//Tm, 1979,

Nr. 11.591. Petkevièius J. Nepalikime spragø//TM, 1969 01 29.592. Pikelis S. Logaritminë liniuotë//TM, 1956 09 06.593. Pikelis S. Moksleiviø ruoðimas jaunøjø matematikø olimpiadoms//Tm, 1962,

Nr. 3.594. Pikelis S. Trigonometriniø lygèiø sprendimas//TM, 1961 07 13.595. Plauðinaitis V. Kaip reikëtø mokiniams aiðkinti geometrijos teoremas//Tm,

1961, Nr. 2.596. Plauðinaitis V. Matematikos dëstymas ir politechninis mokymas//Tm, 1953,

Nr. 6.597. Plauðinaitis V. Mokiniø aktyvumas matematikos pamokose//TM, 1960 11 24.598. Plauðinaitis V. Pirmøjø geometrijos teoremø aiðkinimas//Tm, 1949, Nr. 2.599. Plauðinaitis V. Uþdaviniø sprendimas sudarant lygtis//Tm, 1952, Nr. 9.600. Plauðinaitis V. þodis matematikams//TM, 1961 09 14.601. Plungë P. Kad visi iðmoktø gerai ir labai gerai//Tm, 1970, Nr. 10.602. Plungë P. Pagal naujàjà matematikos programà//Tm, 1970, Nr. 5.603. Plungë P. Uþdaviniuose � penkmeèio skaièiai//Tm, 1976, Nr. 1.604. Poliakas G. Apie mintinio skaièiavimo uþsiëmimø efektyvumo këlimà III�

IV klasëse//Tm, 1965, Nr. 9.605. Poðkus K. Árodinëjant mokymo procese//Tm, 1975, Nr. 7.606. Pranaitienë P. Loginio màstymo pamokos//TM, 1975 10 08.607. Priedite K. Latvijos TSR matematikos mokytojø patirtis atliekant matavi-

mo darbus vietovëje//Tm, 1957, Nr. 3.608. Pridotkas V. Lygtys pradinëje mokykloje//TM, 1976 08 11.

255

609. Pridotkas V. Trupmenos III klasëje//TM, 1975 10 22.610. Pro memoria (nekrologas)//Dialogas, 1998 01 30.611. Provorotova V. Gyvenimas ir matematika//Tm, 1962, Nr. 3.612. Pulmonas K. Algebra aðtuntoje klasëje//TM, 1980 09 12.613. Pulmonas K. Algebros ir analizës pradmenys IX klasëje//TM, 1981 12 02.614. Pulmonas K. Ar tvirtai moka matematikà//TM, 1979 06 06.615. Pulmonas K. Baigiamàjá kartojimà � matematikos vidiniams ryðiams átvir-

tinti//Tm, 1983, Nr. 3.616. Pulmonas K. Baigiamasis kartojimas//TM, 1979 03 07.617. Pulmonas K. Formaliai þinomi apibrëþimai//TM, 1975 06 13.618. Pulmonas K. Kai kurie logaritminiø lygèiø sprendimo metodikos klausimai

//Tm, 1985, Nr. 2.619. Pulmonas K. Kaip apipavidalinti matematikos darbus raðtu//Tm, 1984, Nr. 4.620. Pulmonas K. Kaip mokysime ðeðtokus//TÐ, 1989 09 06.621. Pulmonas K. Kaip planuoti darbà?//TM, 1982 09 10.622. Pulmonas K. Kaip sekasi tobulinti//TM, 1978 07 05.623. Pulmonas K. Liko nepastebëta net ir klaidø//TM, 1980 07 02.624. Pulmonas K. Matematika IV klasëje//TM, 1976 09 03.625. Pulmonas K. Matematika penktojoje//TM, 1977 09 14.626. Pulmonas K. Matematika penktojoje//TÐ, 1989 08 30.627. Pulmonas K. Matematika ðeðtoje klasëje//TM, 1978 09 22.628. Pulmonas K. Matematikos istorijos elementai per pamokas//Tm, 1981, Nr. 7.629. Pulmonas K. Matematikos mokymo akcentai//TM, 1986 09 12.630. Pulmonas K. Padaryti iðvadas, ðalinti negeroves//TM, 1986 11 07.631. Pulmonas K. Pirmosios sisteminio geometrijos kurso pamokos//TM, 1981

01 07.632. Pulmonas K. Procentø mokymo problemos//Ttm, 1990, Nr. 4.633. Pulmonas K. Sugebëjimas orientuotis//TM, 1979 06 29.634. Pulmonas K. Sunertos grandys//TM, 1975 08 06.635. Pulmonas K. Sunkio centras � paprastumas//TM, 1982 06 30.636. Pulmonas K. Sunkumø centras � lygèiø sistema//TM, 1984 19 14.637. Pulmonas K. Vektoriø taikymas, sprendþiant uþdavinius//Tm, 1980, Nr. 9.638. Pulmonas K. Þiniose nemaþa formalizmo//TM, 1981 07 01.639. Radavièienë A. Uþdaviniuose � penkmeèio pasiekimai//Tm, 1981, Nr. 5.640. Radimonienë A. Kas dþiugina, kas glumina...//TM, 1962 12 15.641. Ragaiðytë G. Jaunieji matematikai Ðvenèionyse//TM, 1987 04 24.642. Ragaiðytë G. Jaunieji matematikai Zarasuose//TM, 1985 04 12.

256

643. Razmienë V. Skaièiavimo pamokos//TM, 1958 04 13.644. Revuckas J. Dedukcinio màstymo ugdymas, árodant pirmàsias teoremas//

Tm, 1981, Nr. 10.645. Revuckas J. Kaip pateikti mokiniams teoremø árodymus//Tm, 1981, Nr. 1.646. Revuckas J. Loginis màstymas, árodant teoremas//Tm, 1974, Nr. 5.647. Revuckas J. Mokiniø savarankiðko màstymo ugdymas, árodant teoremas//

Tm, 1980, Nr. 3.648. Rogeleviè J. Darbø ir matematikos ryðiai//Tm, 1982, Nr. 5.649. Romerytë K. Matematinës sàvokos pirmokams//TM, 1976 10 13.650. Rumðas P. Antano Baranausko matematikos darbai//TM, 1983 02 18.651. Rumðas P. Dël geometrijos kartojimo XI klasëje//Tm, 1971, Nr. 4.652. Rumðas P. Taisytinos matematikø kalbos negerovës//Tm, 1975, Nr. 10.653. Ruzgys V. Pirmojo laipsnio lygèiø uþdaviniø sprendimo mokymas//Tm, 1956,

Nr. 8.654. Selmistraitienë A. Individualus darbas su mokiniu pamokoje//TM, 1964 03 08.655. Simanonis K. Trupmeniniai skaitliukai//Tm, 1968, Nr. 8.656. Sinickas J. Skaitytuvai pradinëse klasëse//TM, 1960 05 12.657. Sirvydienë S. Parengiamosios klasës mokiniø aktyvinimas matematikos pa-

mokose//Tm, 1980, Nr. 5.658. Sprendienë J. Aritmetiniai þaidimai, uþduotys//Tm, 1967, Nr. 6.659. Stimbirienë A. Demonstraciniai skaitytuvai//TM, 1970 01 07.660. Striauðienë T. Vietinë medþiaga � priemonë mokymo ir auklëjimo vieningu-

mui ágyvendinti//Tm, 1964, Nr. 5.661. Strolia V. Uþ tvirtas matematikos þinias//TM, 1962 11 22.662. Survila P. Matematika ir loginis màstymas//TM, 1976 07 16.663. Ðalkauskas J. Kai kurie sveikø skaièiø þodinio skaièiavimo bûdai//Tm, 1955,

Nr. 7.664. Ðatalovas V. Visi vaikai talentingi//TM, 1977 03 16.665. Ðernas V. Profesorius Vytautas Liutikas � áþymus Lietuvos edukologas//Tech-

nikos mokslø raida Lietuvoje. V.: Technika, 1998.666. Ðernienë M. Savarankiðki darbai aritmetikos pamokose//TM, 1962 12 05.667. Ðerpytis P. Straipsnelio ,,Pirmøjø geometrijos teoremø aiðkinimas� reikalu

//Tm, 1949, Nr. 10.668. Ðilauskas A. Skaièiø sàvokos iðplëtimas vidurinës mokyklos matematikos

kurse//TM, 1964, Nr. 9.669. Teiðerskis J. Apytikslis skaièiavimas//TM, 1962 10 04.670. Teiðerskis J. Geriau vienà, bet skirtingai//TM, 1983 12 07.671. Teiðerskis J. Kablelio taisyklë// TM, 1964 04 16.

257

672. Teiðerskis J. Kaip mokyti skaièiuoti logaritmine liniuote//TM, 1964 03 19.673. Teiðerskis J. Kvadratiniø lygèiø sprendimas//TM, 1968 01 26.674. Teiðerskis J. Matematikos ,,nulinis ciklas�//TM, 1971 08 04.675. Teiðerskis J., Norkevièius J. Pasakojimai apie Panevëþio miesto matemati-

kos mokytojø darbà//TM, 1964 08 09, 13, 16, 27.676. Teiðerskis J. Tekstiniø uþdaviniø sprendimo tikrinimas//Tm, 1973, Nr. 4.677. Teiðerskis J. Trupmeniniø lygèiø sprendimas//TM, 1970 02 11.678. Teiðerskis J. Tûriø skaièiavimas XI klasëje//TM, 1965 09 16.679. Teiðerskis J., Vasiliauskas R. Ugdomieji tikslai matematikos pamokose//Tm,

1978, Nr. 3.680. Tervidytë E. Ne tik skaièiuoti//Tm, 1986, Nr. 6.681. Tilindis J. Tarpdalykiniai fizikos ir matematikos mokymo ryðiai//Tm, 1977,

Nr. 4.682. Toljanova E. Apie mokiniø klaidas, sudarant uþdavinius//Tm, 1965, Nr. 12.683. Trumpa E. Aritmetinis domino//TM,1958 04 27.684. Tulevièius V. Matavimo darbai mokykloje//TM, 1963 07 28.685. Urbonavièienë M. Tvirtesni matematikø þingsniai//TM, 1972 12 13.686. Urbonas A. Savarankiðkam darbui reikia vadovauti//TM, 1961 02 12.687. Urbonienë D. Matavimai vietovëje V�VI klasëse//TM, 1955 05 12.688. Uðpalis K. Erdviniø nuotoliø ir laiko tarpø reliatyvumas//TM, 1973 11 28.689. Vaièiulienë A., Brazaitienë O. Tokiø vadovëliø pageidaujame//TM, 1982 03 26.690.Vaièiulienë A. Savarankiðko darbo organizavimas//Tm, 1978, Nr. 8.691. Vaièiulis J. Matavimai vietovëje//TM, 1959 04 09.692. Vaitkûnienë L. Apie erdviná màstymà//Tm, 1968, Nr. 4.693. Vaitkûnienë L. Gamybiniai uþdaviniai mokiniø màstymui ugdyti//TM, 1964

11 01.694. Valantinienë I. Aritmetikos mokymo pradþia//TM, 1964 09 03.695. Valantinienë I. Numeracijos mokymas//TM, 1965 09 09.696. Valatkienë J. Matematika uþklasinëje veikloje// Tm, 1986, Nr. 2.697. Valentinavièienë S. 1959 m. respublikinë jaunøjø matematikø ir fizikø olim-

piada//Tm, 1959, Nr. 4.698. Valiukonis I. Apibendrinamosios pamokos//TM, 1955 10 06.699. Vasiliauskas M. Uþdaviniø sprendimas pradinëse klasëse//TM, 1957 02 14.700. Vaupðas J. Kad mokiniai geriau ásisavintø trupmenas//TM, 1960 03 17.701. Vaupðas J. Lentelës padeda//TM, 1963 09 29.702. Vaupðas J. Schemø � lenteliø panaudojimas aritmetikos pamokose//TM, 1961

01 12.703. Vepðtienë D. Uþdaviniø sàlygose � gimtasis kolûkis//TM, 1985 04 19.

258

704. Vidûnienë A. Daugybos lentelës mokymas//TM, 1955 02 24.705. Vyðniauskienë J. Savarankiðkumo ugdymas//Tm, 1964 09 20.706. Vitkus V. Perspektyvus eksperimentas//TM, 1985 11 13.707. Vokietaitytë O. Matematika aukðtesnëse klasëse//TM, 1987 07 27.708. Vokietaitytë O. Matematikos mokymà efektyvinant//Tm, 1987, Nr. 7.709. Volungevièienë O. Skaièiø spindulys//TM, 1964 02 16.710. Vosylienë M. Matematikos mokymo pagrindinëje mokykloje projektas//Ttm,

1989, Nr. 5.711. Vosylienë M. Pasitikrinkite mokiniø þinias//TM, 1977 12 26.712. Vosylienë M. Tobulëjimo rezervai//TM, 1981 07 09.713. Vosylienë M. Tvirtas þinias visiems//TM, 1985 09 11.714. Vosylienë M. Uþdaviniui spræsti � teorijà ir ... nuotaikà//TM, 1974 02 06.715. Vosylius R. Profesorius Vaclovas Bliznikas//Alfa plius omega, 1997, Nr. 1.716. Zabulionis A. 2000 metø valstybiniø matematikos brandos egzaminà prisi-

minus//Alfa plius omega, 2000, Nr. 2.717. Zakarevièienë A. Ar reikia formules kalti//TM, 1972 02 06.718. Zakðiauskienë M. Kad mokytis matematikos bûtø ádomu//Tm, 1988, Nr. 4.719. Zybartas A., Blagnys V. Matematika formuoja pasaulëþiûrà//TM,1965 04 11.720. Zybartas A. Kai kurie matematikos mokymo vidaus kontrolës klausimai//

Tm, 1964, Nr. 11.721. Þemaitis J. ,,Gyvasis kablelis�//Tm, 1962, Nr. 8.722. Þemaitis J. Lenteliø panaudojimas, sprendþiant algebros uþdavinius//TM,

1958 01 16.723. Þemaitis J. Slankiojamasis kablelis//TM, 1957 01 10.724. Þemaitis J. Trupmenos sàvokos sudarymas//TM, 1956 10 25.725. Àæóáàëèñ À. Âîçíèêíîâåíèå øêîë ñ óãëóáëåííûì èçó÷åíèåì

ìàòåìàòèêè â Ëèòîâñêîé ÑÑÐ//Îïûò îðãàíèçàöèè ðàáîòû ïî óãëóáëåííîéìàòåìàòè÷åñêîé ïîäãîòîâêå. Ðèãà, 1988.

726. Àæóáàëèñ À. Äèäàêòèêà ìàòåìàòèêè â Ëèòîâñêîé ïåäàãîãè÷åñêîéïåðèîäè÷åñêîé ïå÷àòè (1945�1990 ã. ã.)//3. starptautiskâ zinâtniskâ konference,,Matemâtikas mâcîðana: vçsture un perspektîvas�. Liepâja, 2001.

727. Àæóáàëèñ À. Îá ýêñïåðèìåíòå ïî äèôôåðåíöèðîâàííîìó îáó÷åíèþìàòåìàòèêå//Òåîðåòè÷åñêèå è ïðèêëàäíûå âîïðîñû ìàòåìàòèêè. Ò. 2. Òàðòó,1985.

728. Àæóáàëèñ À. Î ïðîôåññèîíàëüíûõ ïîòðåáíîñòÿõ ó÷èòåëåéìàòåìàòèêè Ëèòâû//Ñîöèîëîãèÿ îáðàçîâàíèÿ. Ò. 3. Ëåíèíãðàä, 1990.

729. Àæóáàëèñ À. Ýëåìåíòû ïðîãðàììèðîâàííîãî îáó÷åíèÿ â êóðñåàëãåáðû øåñòîãî êëàññà//Òåçèñû äîêëàäîâ âòîðîé êîíôåðåíöèè ïoïðîãðàììèðîâàííîìó îáó÷åíèþ ðåñïóáëèê Ïðèáàëòèêè è Áåëîðóññèè.

259

Âèëüíþñ, 1969.730. Áàëü÷èòèñ Á. Îáó÷åíèå óìíîæåíèþ è äåëåíèþ//Íà÷àëüíàÿ øêîëà,

1969, ¹ 3.731. Ãîòëåðàñ Ì. Çàäà÷è äëÿ ó÷àùèõñÿ 8�10 êëàññîâ//Ìàòåìàòèêà â

øêîëå, 1968, ¹ 5.732. Ãîòëåðàñ Ì. Çàäà÷è ó÷àùèõñÿ 9�10 êëàññîâ// Ìàòåìàòèêà â øêîëå,

1969, ¹ 3.733. Äîêøóñ À. Ðåçóëüòàòèâíûé îïðîñ â ïðîãðàììèðîâàííîì îáó÷åíèè

ìàòåìàòèêå//Òåçèñû äîêëàäîâ âòîðîé êîíôåðåíöèè ïo ïðîãðàììèðîâàííîìóîáó÷åíèþ ðåñïóáëèê Ïðèáàëòèêè è Áåëîðóññèè. Âèëüíþñ, 1969.

734. Äðåãóíàñ Â. Èçîáðàæåíèå êðóãëûõ òåë â ñðåäíåé øëêîëå//Ó÷åíûåçàïèñêè (Ëåíèíãðàäñêèé ïåäàãîãè÷åñêèé èíñòèòóò èì. À. È. Ãåðöåíà). Ò.274. Ëåíèíãðàä, 1965.

735. Äðåãóíàñ Â. Î ïðåïîäàâàíèè ñòåðåîìåòðè÷åñêîãî ìàòåðèàëà ââîñüìèëåòíåé øêîëå//Pedagogika ir psichologija. T. 6. V., 1964.

736. Æåìàéòèñ É. Æèâàÿ çàïÿòàÿ//Ìàòåìàòèêà â øêîëå, 1963, ¹ 2.737. Êèñåëþñ É. Î ïðîåêòå ïðîãðàìì ïî ìàòåìàòèêå äëÿ ñðåäíåé

øêîëû//Ìàòåìàòèêà â øêîëå, 1979, ¹ 2.738. Ìàðãîëèòå Ï. Ïîñòðîåíèå èçîáðàæåíèé ïëîñêèõ ñå÷åíèé

êîíè÷åñêîé è öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòåé//Ìàòåìàòèêà â øêîëå, 1967,¹ 6.

739. Íåíèøêèòå Ý. Ê. Î ìåòîäè÷åñêîé ðàáîòå Ïÿòðàñà Ðóìøàñà (inmemoriam)//Îïûò îðãàíèçàöèè ðàáîòû ïî óãëóáëåííîé ìàòåìàòè÷åñêîéïîäãîòîâêå. Ðèãà, 1988.

740. Íîðêÿâè÷þñ Þ. Ðàçáåã//Ó÷èòåëüñêàÿ ãàçåòà, 1974 04 13.741. Ïàóëàâè÷åíå Ð. Ñ. Æèçíü è äåÿòåëüíîñòü Ìàðöåëèíàñà Øèêøíèñà

â Ðèãå//Îïûò îðãàíèçàöèè ðàáîòû ïî óãëóáëåííîé ìàòåìàòè÷åñêîéïîäãîòîâêå. Ðèãà, 1988.

742. Ïåñòèíèíêàñ Þ. Ñàìîñòîÿòåëüíàÿ ðàáîòà êàê ñðåäñòâî ðàçâèòèÿñïîñîáíîñòåé ó÷àùèõñÿ//Ìàòåìàòèêà â øêîëå, 1980, ¹ 1.

743. Ðàçìàñ Ð. À. Î ñâÿçè èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèé ñ ðåøåíèåì óðàâíåíèéè íåðàâåíñòâ//Ìàòåìàòèêà â øêîëå, 1979, ¹ 4.

744. Ðóïåéêà Ç. Èñïîëüçîâàíèå îïðåäåëèòåëåé äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìûóðàâíåíèé â ñòàðøèõ êëàññàõ//Ìàòåìàòèêà â øêîëå, 1952, ¹ 1.

745. Ðóïåéêà Ç. Êàê ïðàêòè÷åñêè îïðåäåëèòü âåëè÷èíó äóãè äàííîéîêðóæíîñòè èëè äàííîãî óãëà ïðè ïîìîùè öèðêóëÿ//Ìàòåìàòèêà â øêîëå,1946, ¹ 4.

746. Ðóïåéêà Ç. Êðèòèêà, êàê ìåòîä îïðîñà è ó÷åòà çíàíèé//Ìàòåìàòèêàâ øêîëå, 1953, ¹ 6.

747. Òåéøåðñêèñ É. Îá óðîâíå ñëîæíîñòè òîæäåñòâåííûõ ïðåîáðàçî-

260

âàíèé â êóðñå àëãåáðû âîñüìèëåòíåé øêîëû//Ìàòåìàòèêà â øêîëå, 1977,¹ 2.

748. ßñþíàñ Ã., Âåðèêàéòå Â. Ó÷èòåëü Êàçèñ Êëèìàâè÷þñ//Îïûòîðãàíèçàöèè ðàáîòû ïî óãëóáëåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ïîäãîòîâêå. Ðèãà, 1988.

749. ßñþíàñ Ã. Ìàòåìàòèêè Âèëüíþññêîãî óíèâåðñèòåòà è íàðîäíîåîáðàçîâàíèå//Îïûò îðãàíèçàöèè ðàáîòû ïî óãëóáëåííîé ìàòåìàòè÷åñêîéïîäãîòîâêå. Ðèãà, 1988.

Informacinë literatûra

750. Eesti Entsüklopeedia. T. VII. Tallinn, 1994.751. Eesti Entsüklopeedia. T. IX. Tallinn, 1994.752. Kas ir Kas Latvijâ 1998. Rîga, 1997.753. Kas ir Kas Latvijâ 2000. Rîga, 1999.754. Kas yra kas Lietuvoje 97/98. K.: Neolitas, 1998.755. Kas yra kas Lietuvoje 2000. K., 2000.756. Kas yra kas Lietuvoje 2002. K.: Neolitas, 2002.757. Knygø metraðtis. V., 1945�1946. Nr. 1�12.758. Latvijas padomju enciklopçdija. T. VI. Rîga, 1985.759. Latvijas padomju enciklopçdija. T. VIII. Rîga, 1985.760. Latvijas padomju enciklopçdija. T. IX. Rîga, 1985.761. Makariûnienë E., Klimka L. Lietuvos fizikø ir astronomø sàvadas. V.: Fizi-

kos institutas, 1994.762. MLTE. T. I.763. Naujokaitis P. Pedagogika ir metodika 1940�1965. K.: Ðviesa, 1968.764. Naujokaitis P. Pedagogika ir metodika 1966�1970. K.: Ðviesa, 1977.765. Spaudos metraðtis. V.: 1971�1990. Nr. 1�12.766. Tauragës enciklopedija. Tauragë, 1992.767. TLE. T. I.768. TLE. T. II.769. TLE. T. III.770. TLE. T. IV.771. Who is Who in Latvia. Êòî åñòü Êòî â Ëàòâèè 1996. Rîga, 1996.772. Áîðîäèí À. È., Áóãàé À. Ñ. Áèîãðàôè÷åñêèé ñëîâàðü äåÿòåëåé â

îáëàñòè ìàòåìàòèêè. Êèåâ, Ðàäÿíüñêà øêîëà, 1979.

261

Archyviniai dokumentai

773. AAA. Aleksandravièius B. Autobiografija.774. AAA. Arlauskienë S. Autobiografija.775. AAA. Baipðys A. Autobiografija (J. Bendþiaus laiðkas).776. AAA. Balèytienë J. Biografija.777. AAA. Barvydas J. Autobiografija (A. Monkevièiaus laiðkas).778. AAA. Blagnys V. Autobiografija779. AAA. Bulota S. Autobiografija.780. AAA. Bunkus A. Autobiografija.781. AAA. Butkus V. Biografija (S. Liûdþiuvienës ir V. Pranckevièienës laiðkas).782. AAA. Èeliauskas P. Autobiografija.783. AAA. Èerniauskienë�Palaimaitë A. Biografija.784. AAA. Damberga Dz. Biografija.785. AAA. Dambytis J. Biografija.786. AAA. Dienienë P. Autobiografija (T. ir P. Dþervø laiðkai).787. AAA. Dokðus A. Autobiografija.788. AAA. Dokumentai, susijæ su autoriaus darbu RMTI.789. AAA. Dumèiuvienë�Burinskaitë O. Biografija (V. Viliûno laiðkas).790. AAA. Gedvila J. Biografija (A. Plaipos laiðkas).791. AAA. Giraitienë�Ðnirpûnaitë I. Autobiografija.792. AAA. Gudynas M. Autobiografija.793. AAA. Heninia I. Biografija.794. AAA. Jasiûnas H. Biografija.795. AAA. Jaðkienë I. Autobiografija.796. AAA. Lepeðkevièius A. Autobiografija.797. AAA. Maèionis S. Autobiografija.798. AAA. Malanskaitë�Tamulevièienë G. Autobiografija.799. AAA. Malcevièius V. Autobiografija.800. AAA. Martusevièius P. Autobiografija.801. AAA. Masiulienë E. Biografija.802. AAA. Mencis J. (jaunesnysis). Biografija.803. AAA. Neniðkis A. Autobiografija.804. AAA. Neniðkytë E. Biografija.805. AAA. Nevronienë E. Biografija (E. Gaidamavièienës ir V. Nevronio laiðkas).806. AAA. Norkevièius J. Biografija.

262

806. AAA. Paliokas R. Biografija (A. Donielos ir E. Palioko laiðkai).808. AAA. Pangonienë J. Biografija (V. Viliûno laiðkas).809. AAA. Pangonis V. Biografija (V. Viliûno laiðkas).810. AAA. Pëstininkas J. Autobiografija.811. AAA. Pridotkas V. Autobiografija.812. AAA. Pulmonas K. Biografija.813. AAA. Ragaiðytë G. Autobiografija.814. AAA. Razmas R. Biografija.815. AAA. Ðilausko A. AB, saugomos Klaipëdos Vytauto Didþiojo gimnazijoje,

kopija.816. AAA. Teiðerskis J. Autobiografija.817. AAA. Vaièiulienë A. Autobiografija.818. AAA. Valantinienës�Dauguvietytës I. AB, saugomos Kauno m. ðvietimo

skyriuje, kopija (N. Lukoðiûnienës laiðkas).819. AAA. Vitkus V. Biografija.820. AAA.Vokietaitytë O.� J. Autobiografija.821. AAA. Vosylienë M. Biografija.822. PPRCA. Ap. 3, b. 132. Sprendienë J. AB.823. ÐUA. B. 1843. Revuckas J. AB.824. VPUA. B. 4�6776. Anelauskienë A. AB.825. VPUA. B. 91/680 k. Drëgûnas V. AB.826. VPUA. B. 97/461 k. Grigelionis S. AB.827. VPUA. B. 68/345 k. Liauèys F. AB.

263

Abelis N. (Abel) 52Abramovas A. 234Adomaitis A. 170, 240Afanasjevas J. 47Aleksandravièius B. 171, 220, 240, 261Aleksandrovas P. 160, 174Aleksejevas A. 234Aleksiûnas M. 234Aleksonis J. 40, 200, 201, 216Aliðauskas S. 198Andþanas A. (Andþans) 47Anelauskienë A. 42, 61, 158, 199�201, 210,230, 240, 262Antanaitienë B. 134, 240Antanaitis A. 141, 142Antanaitis S. 110Antanaitis Z. 210, 240Antaninas (vienuolis) 129Antifonas (Antiphônos) 169Antipovas I. 234Antokovskis M. 54Anuþienë E. 69, 240Apynis A. 45, 240Archimedas (Archimçdçs) 144, 169Arlauskienë S. 84, 104, 127, 160, 230, 240,261Arnoldas V. 53Astrauskienë R. 112, 240Atanasjanas L. 35, 234Atkoèius B. 16Audickaitë D. 65, 136, 240Aukðtakalnienë J. 208, 240Auðraitë S. 171, 240

Bachmanas F. (Bachmann) 193Bagdanavièienë Z. 97, 241Bagdonas J. 47Bagdonienë I. 47Baipðys V. 179, 221, 241, 261Bajerèius K. 13Balaiðis R. 127, 131, 143�145, 164, 169,

ASMENVARDÞIØ RODYKLË

170, 171, 177, 183, 190, 191, 198, 201, 207,213, 226, 230, 232, 234, 241, 242, 252Balbataitë A. 136, 241Balèikonis J. 40, 139Balèytienë J. 116, 123, 129, 229, 230, 232,234, 242, 261Balèytis B. 31, 32, 34, 36, 46, 50, 51, 71,82, 85�87, 98, 99, 103, 110, 116�118, 120,123, 126, 127, 129, 130, 229, 230, 232, 234,242�244, 259Balèytis E. 130Baltruðytë V. 202Baltûsis J. 170, 183, 219, 220, 226, 230, 244Baltuðytë G. 201Balutis�Balevièius Z. 212Banys J. 150Bantova M. 98Baranauskas 127Baranauskas A. 170, 184, 212, 256Barybinas K. 234Barsukovas A. 33, 146, 176, 234Barðèiauskas R. 43, 61, 201Barvydas J. 77, 108, 126, 244, 261Basanavièius J. 12, 214Bauba K. 129Bazevièiûtë E. 76, 244Belonovskaja L. 234Beltramis E. (Beltrami) 172Bendþius A. 234Bendþius J. 261Berezanskaja E. 32, 51, 234Bermanas V. 139Bernatonis V. 27, 234Beselis F. (Bessel) 221Bestuþevas K. 51Bikelis A. 61Biliûnas J. 152, 202Biliûtë�Aleknavièienë E. 230, 234Birkhofas D. (Birkhoff) 193al Birunis 54Birþiðka Viktoras 14, 177

264

Bitinas B. 164, 219, 244Blagnys V. 31, 32, 36, 50, 98, 107, 110, 114,115, 122, 147, 169, 170, 172�174, 176, 178,202, 204, 205, 207, 208, 226, 229, 230, 232,235, 244, 258, 261Blëkaitienë M. 116, 244Bliznikas V. 193, 201, 213, 221, 222, 230,244, 258Bogdanovas I. 234Boguðevskis K. 146Bojajus J. (Bolyai) 139Bolcanas (Bolzano) 53Boltianskis V. 35, 54, 235Boltovskis V. 159, 160Boreiðienë B. 48Borodinas A. 260Bortkevièius S. 134, 143, 198, 201Bosas J. 22, 235Bradis V. 36, 38, 54, 235Brazaitienë O. 99, 257Brazdþiûtë J. 72, 245Brazinskaitë S. 141Breþnevas L. 23Brigsas G. (Briggs) 169Brovikovas I. 136Bruþis A. 198Budra Þ. 201, 202Budraitis P. 95, 96, 245Budzilaitë J. 139, 245Bugajus A. 260Bûgienë I. 104, 245Bukauskienë S. 99, 100Bulba G. 157Bulota S. 158, 184, 218, 245, 261Bunkus A. 101, 115, 127, 230, 245, 261Burbakis N. (Bourbaki) 206Burokas A. 48Burokevièius M. 231Busilas A. 212Buðas Dþ. (Bush) 231Butënaitë 127Butkevièius A. 165Butkûnienë M. 109, 245Butkus V. 68�70, 73�75, 81, 92, 111, 125,

229, 230, 232, 245, 261Bþezinskis (Brzezinski) 231

Chinèinas A. 53Chruðèiovas N. 19, 21, 23, 62Cibulskienë J. 245Ciceronas M. (Cicero) 7Cyrulis T. (Cîrulis) 63Cvirka P. 87

Èalnaris A. 15, 16, 48, 235Èebyðovas P. 53Èekuolienë E. 31, 32, 98, 235Èeliauskas P. 37, 57, 136, 150, 165, 230,245, 261Èepulis J. 155Èerneckis A. 127Èerniauskienë A. 124, 130, 245, 261Èerniauskienë I. 135Èerniavska E. 65Èernyðevskis N. 172Èesnauskienë D. 3, 10, 46, 62, 124, 125,245Èesnys G. 231, 235Èetveruchinas N. 189Èiurlionis M. K. 63

Dailidë J. 14Dailidë J. I. 12Dainius K. 127Dalbokienë A. 151Damberga D. (Damberga) 47, 63, 261Dambytis J. (Dambîtis) 47, 64, 261Dambrauskas�Jakðtas A. 184Dambrauskienë G. 203Damoklas (Damokles) 15Danielius V. 202Danilova E. 146Daraèiûnas J. 109, 245Daraðkevièius V. 206, 245Daugaravièius A. 198Daugelavièienë M. 74, 245Daukantas S. 8, 49, 214, 217Davenienë G. 245

265

Davidavièienë J. 174, 245Dekartas R. (Descartes) 139Demokritas Abderietis (DçmokritosAbdçritçs) 169Dienienë P. 108, 110, 113, 128, 229, 230,246, 261Dienys G. 128Dienys�Kasteèka J. 128Dienys V. V. 128Dievas 7, 15, 23Dikareva V. 83, 246Diofantas (Diophantos) 160Dobryninas I. 234Dokðus A. 77, 126, 165, 187, 230, 246, 259,261Donelaitis K. 198Doniela A. 262Dovydënas L. 13, 235Drëgûnas V. 38, 46, 60, 95, 152, 154, 177,191, 195, 200, 226, 230, 235, 246, 259, 262Drevinis P. 230Dubrindis A. 137, 201Duksienë A. 74, 246Dukuras K. (Dukurs) 162Dulskienë D. 141Dumèiuvienë�Burinskaitë O. 111, 124,130, 235, 245, 246, 251Dundulytë A. 214Dzenuðkaitë S. 97, 246Dziena A. 42Dzinkus J. 16Dziska A. 218Dþerva P. 261Dþervienë T. 261Dþiaugutis Z. 206, 245Dþiugaitë A. 201

Edisonas T. (Edison) 105Eratostenas (Eratosthençs) 160Erdnijevas P. 114, 149, 150, 246Euklidas (Euklidçs) 139, 144, 169, 193,198

Ferma P. (Fermat) 50, 198

Fetisovas A. 191, 235Finikovas S. 222Fiodorovas G. 156, 246Folkas O. T. (Volk) 214, 221, 223Furjë Þ. (Fourrier) 53

Gabrielaitienë A. 123, 146Gaidamavièienë E. 261Gaidelienë N. 81, 246Gailevièius J. 162, 219, 226, 230, 247Gailiûnas P. 162, 247Galijëjus G. (Galilei) 54, 156, 193Galperinas A. 85Ganas M. (Hagn) 156Gardneris M. 235Gargasienë V. 82, 83, 247Gasperavièius T. 198Gatoveckis S. 198Gausas K. (Gauss) 105, 139, 172Gedgaudas J. 129Gediminas 55, 56, 63, 233, 241Gedminienë R. 10Gedvila J. 107, 110, 128, 229, 247, 261Gedvilas M. 36Gemburo I. 111, 247Genevièienë A. 92, 247Gercenas A. 60, 259Gerulaitienë A. 96, 127, 247Gibðas J. 182, 247Giedraitienë T. 166, 247Giedraitis J. A. 8Giedrienë J. 91, 247Gimþevskienë J. 138Giraitienë I. 200, 223, 230, 247, 261Gleizeris G. 176, 235, 236Gnedenka B. 236Godvaiða B. 236Goldbachas Ch. (Goldbach) 198Gotleras M. 200, 210, 223, 230, 246, 247,259Gozenpug F. 201Graurogkas J. 14Grebenèia M. 50Greblikienë R. 104, 247

266

Grybauskaitë L. 65, 247Grigaliûnaitë 127Grigas K. 202, 247Grigelionis B. 201, 216Grigelionis S. 140, 201, 215, 247, 262Grigienë A. 119, 247Grigorjeva 132Grigulevièienë D. 136Grynbergas E. (Grînbergs) 64Grincevièius A. 201, 247Grincevièius K. 42, 201, 222Guèas A. 160Gudaitienë A. 101, 247Gudynas M. 144, 170, 215, 216, 247, 261Gumonienë S. 42Gurina 133Gusevas V. 33, 236Guþaitytë A. 206

Hamiltonas V. (Hamilton) 53Heigensas K. (Huygens) 144Heninia I. (Heniòa) 47, 63, 261Hilbertas D. (Hilbert) 54, 193Hipokratas Chijietis (Hippokratçs Chios)169Horodnièius H. 196, 198, 222, 247

Ilgûnas V. 14Ilzinia I. (Ilziòa) 64Ionovienë A. 247Ivanauskas A. 201Ivlevas B. 236Izokaitis M. 184, 248

Jablonskienë O. 202Jablonskis J. (Rygiðkiø Jonas) 150, 155,214� 219, 221, 223Jaglomas I. 35, 54, 235Jagminienë J. 152Jakobsonas E. 156Jakuba E. 103, 248Jankauskas P. 10Jankus S. 80, 248Janonis J. 68

Janulionis Jonas 197, 198, 223, 226, 230,248Janulionis Juozas 152, 153, 170, 172, 217,223, 226, 230, 248Januðevièiûtë�Merkienë O. 12Jarumbavièiûtë G. 76, 93, 248Jasinevièiûtë J. 43Jasiûnas H. 42, 45, 47, 60, 212, 213, 248,260, 261Jaðkienë I. 171, 172, 220, 230, 248, 261Jedzinskienë D. 248Jermakovas J. 248Jermoloviè N. 138Jogminienë J. 42Jokautienë V. 152Jonuðauskas A. 42, 129Joðkienë B. 187Jovaiða L. 127Judrupa B. (Judrupa) 47, 63Judrupas O. (Judrups) 47, 63Juozapaitis V. 44Juðka A. 220Juðkys Z. 42

Kabanova G. 146Kaèialka V. 88, 248Kaganas V. 139, 193Kaganovièius L. 12Kalinauskas A. 198Kalinauskas Antanas 178, 220, 226, 230,248Karalius A. 12Kareiva E. 15Karmonienë B. 138Karpinskis P. 96, 248Karsavinas L. 59Kaða 132al Kaðis 199, 200Kaðinskienë J. 81, 82, 248Kaðirskienë 131Katilius P. 139, 170Katilius V. 182, 213, 221, 248Katkus M. 151Kaupienë J. 68

267

Kauðakienë K. 152Kavaljeris B. (Cavalieri)191Kavaliauskas J. 48Kazakevièiûtë A. 138Kazlauskaitë�Markelienë R. 10Kazlauskienë I. 158Kedaitis K. 48Keinys S. 212, 248Kelpðienë R. 104, 248Kepleris J. (Kepler) 199Keras S. 201Kibirkðtienë A. 31Kirièevas S. 120Kirsnauskaitë A. 248Kiseliovas Andrejus 32�35, 106, 162, 176,203, 236Kiseliovas Arkadijus 10, 234Kisielius J. 37, 42, 56, 230, 236Klebanskis V. 131�136, 143, 146�148, 153,154, 157, 159, 162, 163, 165, 167, 168, 170,175, 176�180, 185, 186, 189�191, 198, 202,206�208, 212, 213, 226, 227, 230, 232, 236,248�250Kligys S. 201Klimaitis J. 185, 250Klimavièienë E. 153, 250Klimavièius K. 170, 177, 178, 212, 260Klimka L. 156, 218, 250, 260Klintonas B. (Clinton) 231Klopskis V. 36Kmita J. 42Knyð S. 115Koèetkova J. 35, 236Koèetkovas J. 35, 236Koldë R. (Kolde) 47Kolesnikova O. 71, 250Kolikovas A. 115, 250Kolmogorovas A. 33, 35, 36, 53, 193, 194,236Kolosovas A. 146Komenskis J. A. (Komenský, Comenius)204Konèius I. 14, 168, 175Kosenkranius Ch. (Kosenkranius) 165,

251Kotovas 133Krampas Ch. (Kramp) 200Kregþdë S. 218Ðv. Kristoforas 22Kristus 7, 139, 144, 160, 169Krukonis N. 154, 252Kruteckis V. 160, 215Kubilius J. 37, 42, 58, 59, 170, 196, 198,201Kuèinskas P. 135, 251Kudirka V. 12, 129Kulieðius A.139Kuncikaitë B. 201Kupèinskienë M. 151Kupèiûnas K. 13Kuznecova Z. 236Kvietkauskienë V. 139

Lacis A. (Lâcis) 162Laginauskienë N. 90, 251Lakiûnas A. 134, 135, 143�145, 147, 156,169, 214, 226, 230, 251Lakovskis R. 12Landau E. (Landau) 58Lapeikis P. 48Lapinskas V. 75, 251Laplasas P. (Laplace) 169Laptevas G. 222Larièevas P. 33, 35, 52, 236Laurinaitis 198Lauþikas J. 212, 251Lazarevas 53Lebegas A. (Lebesgue) 191Leibnicas K. (Leibnitz) 156Lencevièius R. 202Leninas V. 19, 23, 47, 53, 54Leonardas da Vinèis (Leonardo da Vinci)172Lepeðkevièius A. 146, 153, 170, 176, 195,196, 200, 201, 208, 210, 216, 226, 230, 237,247, 251, 261Lesauskis P. 14Leverjë U. Þ. Z. (Leverrier, Le Verrier)

268

169Leþandras A. (Legendre) 148Liapinas D. 50Liauèys F. 43, 61, 230, 262Liaudanskienë E. 113, 251Lydys 58Liepmanas T. (Lepmann) 47Liepman L. (Lepmann) 47Linëjus K. (Linné, Linneaus) 105Lindo V. 198Linkevièienë M. 134, 136Liolys A. 209, 251Liovðinas V. 139Lipkina A. 120�122, 251Li S. (Lie) 52Liubinaitë B. 73, 251Liublinskaja A. 86, 87, 251Liudvikas (vienuolis) 129Liûdþiuvienë S. 261Liutikas V. 36, 37, 42, 55, 166, 200, 210,230, 237, 239, 251, 252Liutikienë S. 198Lobaèevskis N. 54, 139, 172Lomonosovas M. 41, 54, 63, 156, 159, 216,222Lorencas H. (Lorentz) 193Lukoðiûnienë N. 262

Maceina A. 97Maèernis J. 201Maèernis K. 12Maèionis S. 147, 153, 209, 216, 251, 252,261Maèys J. 197, 201, 222, 247, 251Magidaitë S. 12Majauskaitë E. 142Makaryèevas A. 33, 237Makariûnienë E. 260Maksimaitienë O. 127Malanskaitë�Tamulevièienë G. 148, 154,191, 217, 252, 261Malcevièius V. 37, 59, 230, 237, 261Maleris K. (Mahler) 146, 176Malyginas K. 146, 176

Maloletkina A. 136Marèiulionienë K. 68, 150Margolytë P. 259Markovas A. 53, 58Markðaitis H. 196Markuðevièius A. 32, 52Martusevièius P. 37, 57, 237, 261Masaitis È. 12Masaitis Z. 12Masionis A. 129Masiulienë E. 137, 139, 141, 142, 151, 177,207, 208, 215, 230, 252, 261Maskvytis F. 127Maslova G. 33, 237Maðiotas P. 168, 170, 191, 212, 253Matjë E. L. (Mathieu) 168Matuiza V. 183, 252Matulaitis G. 23, 26Matuliauskas A. 42, 44, 252Matulionienë K. 252Matulionis J. 14Matusevièiûtë Z. 115, 152Maþeikienë S. 201Maþylytë A. 170Mëbijus A. (Möbius) 199Medalinskas P. 42Melnikaitë M. 57Mencis J. (Mencis, vyresnysis) 47, 62, 162Mencis J. (jaunesnysis) 47, 64, 261Meðkauskaitë D. 89, 96, 99, 100, 119, 123,124, 127, 229, 230, 232, 252, 253Meðkauskas R. 136, 140, 247, 253Miceika A. 165Michailova V. 154Michelovièius Ð. 47Miecevièius K. 129Mikënienë B. 68Mykolaitis�Putinas V. 216Mikðytë G. 159, 193, 253Mikutaitis P. 48Mikutavièius A. 210, 253Minkovskis G. (Minkowski) 193Misiûnaitë J. 152Misiûnas J. 14

269

Mitalaitë L. 112, 253Mockus V. 14, 198Molodðijus V. 146Monkevièius A. 261Morkûnas 234Morkvënienë L. 110, 253Moro M. 98Motiejauskas P. 65, 240Muchamedas ibn Musa al Chorezmis 160Muras R. (Moore) 193

Naftalevièius A. 201Nagelë A. 47, 213Najanova T. 138Naktinytë K. 134, 253Narkevièienë R. 95, 253Narkevièius L. 210, 240Naudþius K. 106, 178, 253Naujokaitis P. 260Navikienë L. 201Neniðkis A. 155, 172, 202, 218, 253, 261Neniðkytë E. 42, 47, 61, 212, 253, 259, 261Neperas Dþ. (Napier) 169Nëris S. 50, 55, 61, 152, 184, 201, 215Nevronienë E. 37, 57, 230, 237, 261Nevronis V. 261Nikitinas N. 32, 33, 51, 203, 207Nikolskaja I. 237Niutonas (Newton) 184, 187, 198Norbutas S. 171, 172, 199, 253Norkevièius J.65, 68, 122, 125, 134, 135,137�139, 141, 142, 150, 151, 165, 177, 205,206, 208, 226, 228, 232, 240, 251�253, 257,259, 261Noreika Þ. 201Novosiolovas S. 36, 176, 237Nurkas E. (Nurk) 33, 237

Obuchovas A. 53Oileris L. (Euler) 144, 147Oresmas N. (Oresme) 200

Paberþis 128Pabrinkytë B. 15

Pakðtys G. 15Paleckis J. 11, 13Paliokas E. 262Paliokas R. 136, 150, 160, 161, 214, 215,253, 262Palepðienë G. 138Palubinskaitë J. 77, 254Pangonienë J. 110, 129, 254, 262Pangonis V. 79, 127, 254, 262Paskalis B. (Pascal) 156Paðkevièiûtë 132Paukðtelis J. 142, 217Paulavièienë R. 47, 63, 212, 213, 259Pavilionienë D. 136Pavilionienë E. 138Pavinkðnienë A. 191Pavlovas A. 115, 250Pèiolka A. 32, 38, 238Peckus V. 15, 238Peèiukënienë O. 66�68, 254Pekarskas V. 186, 210, 221, 238, 254Pempë V. 201Peniasova K. 93Pereverzeva A. 147, 254Pëstininkas J. 150, 151, 217, 219, 230, 254,259, 262Petkevièius J. 205, 254Petrauskaitë 127Petrauskas M. 31, 32, 49, 238Petronienë S. 68Petrulis G. 151Pieèiukaitienë V. 152Pieri M. (Pieri) 193Pietaris V. 106Pikelis S. 183, 195, 199, 221, 254Pilkienë S. 201Pitagoras (Pythagoras) 139, 143, 159, 169,193, 198Plaipa A. 261Plauðinaitis V. 146, 156, 168, 182, 188�190,216, 226, 230, 254Plechavièius P. 60Plungë P. 99, 254Pociûnaitë I. 139

270

Pogorelovas A. 34, 36, 53, 238Poja D. (Polia) 187Poliakas G. 32, 109, 238, 254Polivanskis B. 12Ponomariovas K. 32Pontriaginas L. 54Popova N. 32, 238Poðkus K. 194, 253Pranaitienë P. 87, 253Pranckevièienë V. 261Pranevièius E. 203Preikðas K. 11Pridotkas V. 111, 119, 129, 230, 254, 255,262Prieditë K. (Priedite) 169, 254Princevas N. 238Prinitsas O. (Prinits) 47, 62Provorotova V. 146, 255Pristula F. 146Ptolemëjas (Ptolemaios) 144Puankarë A. (Poincare) 193Pulmonas K. 136, 137, 176, 177, 181, 187,207�209, 214, 226, 230, 232, 238, 255, 262

Raèkauskas M. 22, 237Radavièienë A. 255Radimonienë A. 68, 255Radþiûnas M. 201Ragaiðytë G. 201, 207, 223, 230, 255Ragauskas L. 14Railaitë S. 138Ramanauskas�Vanagas A. 13Ratkevièienë O. 99Rauckas M. 129Razmas R. 36, 55, 60, 149, 201, 230, 238,259Razmienë V. 112, 256Reimandas J. (Reimand) 47Reinharcas A. 12Reizinis L. (Reiziòð) 47, 63Rekaðius V.152, 201Revuckas J. 36, 46, 55, 193, 194, 238, 256,262Riauba B. 217

Rybkinas N. 33, 35, 36, 53, 238Rymanas G. (Riemann) 193Rimkus A. 24, 28, 55Rindas (Rhind) 143Rizgelis A. 201Rogeleviè J. 96, 256Romerytë K. 87, 256Rubaþevièienë S. 198Rudolfas K. (Rudolf) 200Rumianceva G. 138Rumðas P. 37, 38, 42, 46, 47, 56, 164, 192,212, 230, 239, 256, 259Rupeika Z. 31, 36, 49, 50, 239, 259Rupðys J. 135Rutkauskienë B. 206Ruzaitë V. 97, 241Ruzgys V. 182, 256

Sabaliauskienë J. 68Sadzevièienë E. 201, 202Sagadinaitë L. 202Saladþinskienë V. 134Sapagovas J. 217Sapagovas M. 217Sarymsakovas T. 54Saudargas I. 14Saulënienë V. 138Selmistraitienë A. 165, 256Semenovièius A. 146Serbentaitë R. 152Silingas 131Simanonis K. 155, 256Siman U. (Siman) 165, 251Simpsonas T. (Simpson) 191Sinickas J. 75, 256Syrnevas L. 32Sirvydienë S. 123, 256Skërus S. 129Skiparis A. 165Skorupskienë A. 151Skvernys V. 201Slanevskaja A. 136Slapðinskas V. 58, 239Slavënas P. 220

271

Snieèkienë M. 13Snieèkus A. 13, 18Snieèkus J. 13Snieèkus V. 13Sprendienë J. 36, 55, 102, 230, 235, 256,262Stalinas J. 13, 134Stanaitis O. E. 14Stancikienë B. 36, 239Stankaitis J. 18Statulevièius V. 201Steklovas V. 222Stevinas S. (Stevin) 199Stimbirienë A. 78, 256Stratilatovas N. 36, 239Strazdas A. 127Strazdas P. 218Strazdinis I. (Strazdiòð) 47, 63Strelicas Ð. 61Striauðienë T. 172, 256Strolia V. 203, 256Stundys A. 48Subaèius J. 49Surgailis G. 10Surplys K. 135Survila A. 196Survila P. 37, 56, 161, 239, 256Suðinskas Þ. 201

Ðalkauskas J. 106, 256Ðapoðnikovas N. 33, 35, 52, 239Ðarkanas J. 201Ðatalovas V. 136, 137, 140, 141, 247, 256Ðenksas V. (Shanks) 144Ðernas V.221, 239Ðernienë M. 72, 256Ðerpytis P. 189Ðevèenka I. 32, 51, 239Ðikðnys M. 63, 106, 170, 189, 212, 259Ðilauskas A. 185, 221, 256, 262Ðileikis O. 138Ðirvinskienë S. 208, 252Ðtifelis M. (Stiffel) 199Ðulcas F. 129

Ðurna A. 202Ðvarcburdas S. 62, 239Ðvelginienë N. 141

Talis (Thâles)139, 169Tarelkina V. 93Tarvydas J. 129Teiðerskis J. 3, 10, 34, 46, 47, 55, 60, 134,161, 177, 179, 184�187, 226, 230, 239, 250,256, 257, 259, 262Telgma A. (Telgmaa) 33, 47, 52, 237Terespolskis J. 131, 143, 201, 214, 236Terioðinas N. 239Tervidytë E. 91, 92, 229, 257Tijûnëlienë O. 138Tilindis J. 175, 257Tininis V. 10Toljanova E. 113, 257Tolstojus L. 144, 157Trudniovas V. 104Trumpa E. 75, 126, 257Tulevièius V. 172, 257Tumas�Vaiþgantas J. 217, 218

Umantienë A. 152Umbrasas A. 14Unèiûrienë O. 139Urbas P. 127Urbonas A. 134, 257Urbonavièienë M. 211, 257Urbonienë A. 68, 159Urbonienë D. 169, 257Usanovas E. 201Uðinskis K. 33, 52, 54Uðpalis K. 193, 222, 257Uþgalytë O. 129

Vabolytë P. 128Vagoras P. 14Vaièekauskas K. 13Vaièiulienë A. 73, 99, 126, 257, 262Vaièiulis J. 170, 239, 257Vainbergas S. 179Vaitkevièius A. 12

272

Vaitkûnienë L. 172, 192, 257Vaiðvila A. 19, 239Vaiðvila M. 13Vaitkus J. 135, 136Vaivodë A. (Vaivode) 47Valanèius M. 8Valantinienë I. 108, 109, 128, 229, 230, 257,262Valatkienë J. 201Valcovas N. 33, 35, 52, 239Valentinavièienë S. 198, 257Valentinavièius V. 135, 214, 250Valiukonis I. 189, 257Valiukonis R. 48Valiuðaitis B. 126, 220Valukonis J. 13Vasiliauskas M. 112, 129, 212, 229, 230,257Vasiliauskas R. 161, 257Vaðkas P. 42Vaupðas J. 178, 179, 257Veblenas O. (Veblen) 193Vejerðtrasas K. (Weierstrass) 193, 200Venclova A. 11, 12Vepðtienë D. 97, 257Verikaitë V. 212, 213, 248, 260Veselis K. (Wessel) 172Vidûnienë A. 106, 258Vienuolis A. 40, 61, 164, 200, 201, 210, 213,214Vygotskis M. 106, 171Vilèinskienë A. 203Vileiðis P. 127Vilenkinas N. 32, 51, 239Viliûnas V. 261, 262Vilkas E. 129Viðèiakienë J. 201Vyðniauskas L. 197Vyðniauskienë J. 147, 258Vytautas Didysis 8, 14, 49, 233, 262Vitkus V. 55, 60, 140, 201, 215, 230, 239,258, 262

Vokietaitytë O. J. 37, 59, 141, 177, 230,237, 258, 262Volungevièienë G. 184, 258Vosylienë M. 46, 61, 138, 177, 207, 230,258, 262Vosylius R. 219, 258Vorobjovas G. 146Voskresenskis S. 146

Zabulionis A. 24, 258Zakarevièienë A. 209, 258Zakðiauskienë M. 105, 128, 158Zalubas R. 13Zdichauskas V. 14Zenonas Elëjietis (Zçnôn Eleatçs) 169Zybartas A. 173, 174, 203, 220, 230, 239,258Zinkevièius Z. 23, 59, 239Zitikis P. 202Znamenskis M. 38, 239Zujus A. 13Zulumskienë S. 68

Þavoronokas E. 201Þelvys P. 48Þemaitë 59, 126, 220Þemaitienë�Þemaitaitienë J. 217Þemaitis J. 2, 3, 10Þemaitis F. 72Þemaitis�Þemaitaitis J. K. 110, 153, 178,183, 217, 218, 226, 230, 258, 259Þemaitis Z. 111, 170, 198, 212, 213, 216Þemaitytë D. 218Þiemelienë G. 187Þigaras F. 3, 10Þilinskas G. 50Þymantienë E. 242Þiugþda J. 48Þochovaitë 131Þukovskis N. 54Þvironas A. 14

273

Akmenë 43, 126, 172Alanta 99Aleksandrava 125Aleksandravëlë 222Aleknos 128Alytus 13, 40, 45, 50, 55, 75, 97, 106, 113,127, 128, 201, 206Alksnënai 198Almata 217Alsëdþiai 8Altajus 217Amerika 21Anykðèiai 16, 39, 78, 90, 152, 197, 202, 214,221Antalgë 57Antalieptë 60Argentina 223Ariogala 215Aristava 151Augmenai 222Aukðtadvaris 57Austrija (Österreich) 58

Babilonas (Babelis) 57Babtai 126, 141, 142, 219Balbieriðkis 60, 152, 215Balënai 57Baltarusija 88, 258, 259Baltija 47, 231Baltijos jûra 174Baltijos ðalys 222Baniðkës 60Baraginë 217Bauskë (Bauska) 63Belgorodas 53Bendoriðkë 223Betygala 59Berþoras 222Bijutiðkis 214Birðtonas 55Birþai 43, 110, 116, 129, 173, 193, 215, 217,220, 223

VIETOVARDÞIØ RODYKLË

Biðkekas (Frunzë) 202Bombëjus 223Bostonas (Bajonas) (Boston) 220Braslava (Braslava) 62Brazavas 151Bryzgiai 128Brotykai 61Bûda 55Budninkai 223Budraièiai 73, 126Bukareðtas (Bucuresti) 148, 223Burbiðkis 16, 214

Ceikiniai 138Cësys (Cçsis) 62Chabarovskas 221Charkovas 53, 54

Èeièiai 128Èekija (Èesko) 58Èiuoderiðkiai 217

Danija (Danmark) 58Dalieèiai 126Darbënai 129Daubarai 219Daugai 221Daugëliðkis 138, 223Daugyvenë 239Daugpilis (Daugavpils) 41Daukantai 55Debeikiai 214Debiosai 213Degaièiai 165Degimai 126Derkinèiai 221Dobilynë 214Doneckas 136, 140Dotnuva 49, 142, 148, 217Dreverna 221Druskininkai (Alytaus raj.) 75Druskininkai 74, 197, 201

274

Dzûkija 13

Eiðiðkës 65, 82, 136Erþvilkas 58, 197Estija (Eesti) 46, 47, 52, 62, 165, 260Europa 7, 8

Fermos 58

Gaidë 138Gargþdai 50, 221Garliava 129, 185, 215Gaspariðkiai 60Gegrënai 126Gelgaudiðkis 125Gikonys 56Ginoèiai 126Gintauèiai 127Girininkai 216Greifsvaldas (Greifswald) 58Griazovcë 52Grybinë 99Grigaliðkë 50Griðkabûdis 216, 218Gulbiniðkiai 219

Hanau 13

Iciûnai 215Ignalina 28, 56, 81, 138, 197, 214, 223Indija (India) 58, 223Italija (Italia) 58Izraelis (Israel) 223

Japonija (Nippon) 14, 127, 181Jaroslavlis 156Jauniðkiai 128JAV (U. S. A.) 13, 58, 177, 220, 221, 223,231Jekaterinburgas (Sverdlovskas) 54Jelgava (Mintauja) (Jelgava) 63, 128Jiestrakis 215Jieznas 55, 135Jomantai 59Jonaièiai 126

Jonava 201Joniðkëlis 127, 171, 215, 220Joniðkis 50, 95, 128, 171, 197, 198Juknënai 57Julijanava 55Juodoji jûra 174Juodupë 128Juodupiai 222Jurbarkas 40, 57, 58, 125, 129, 134, 202,213, 214, 219

Kairiai 178Kairiðkiai 56Kaiðiadorys 57, 60, 99, 141, 201Kalmukija 114, 149Kalviai 8Kamajai 61, 127Kamarauèizna 8Kanada (Canada) 58Kapèiamiestis 220Kapiniðkës 55Karklënai 215Kartena 126, 197Katyèiai 107, 128Katiliai 216Katiliðkiai 221Kaunas 8, 11, 26, 27, 40, 45, 49, 50, 55, 57,59, 60�62, 77, 84, 87, 106, 108, 113, 126�129, 136, 141, 155, 164, 174, 185, 191, 198,200, 201, 203, 206, 207, 213, 214, 216�221,223, 233, 239, 262Kavarskas 57Kazachija 217Kazitiðkis 138Kazlø Rûda 197Këdainiai 14, 15, 39, 40, 49, 55, 60, 68, 76,119, 126, 128, 142, 148, 151, 214, 217, 222,239Keila (Keila) 52Kelmë 39, 42, 50, 73, 126, 152, 197, 214,215Kelmynai 126Kybartai 55, 128, 216Kiemeliai 99Kijevas 219, 260

275

Kirðiai 220Klaipëda 3, 13, 36, 40, 45, 50, 61, 62, 71,80, 92, 104, 111, 112, 119, 120, 123�127,129, 171, 182, 185, 198, 206, 216, 221, 222,233, 262Kleviniai 218Korëja (Èoson) 223Koroèë 53Krakës 151Krasnojarskas 62, 221Kraþiai 215Krekenava 215Kremlius 14Kretinga 8, 39, 43, 55, 68, 127, 129, 170,197, 201, 221Kriûkai 214Krokuva (Kraków) 25Krosna 174Kubiliûnai 49Kudirkos Naumiestis (Naumiestis) 57,129, 216, 223Kukuèiai 214Kuliai 69Kundrotiðkës 56Kupiðkis 8, 61, 68, 137, 152, 201, 216, 221Kurilskas 36Kurkliai 78, 99Kurnënai 201Kurskas 49Kurðënai 95, 197Kveciai 221Kvietiðkis 214Kvikliai 57

Labeikiai 56Laibgaliai 81Latvygala 217, 223Latvija 47, 62�64, 128, 169, 260Lapës 104Lauckaimis 216Laukuva 221Lazdijai 128, 184, 204, 214, 216Leliûnai 56Lenkija 222Leonava 60

Lyduvënai 129Liepoja (Liepâja) 47, 62�64, 258Lietuva 2�5, 7�13, 16�21, 24, 28�30, 36�38, 40, 41, 43�48, 51, 55�59, 61, 63, 65, 71,96, 98, 100, 120, 125, 126, 128, 129, 131,134, 143, 146, 147, 152, 165, 167, 168, 170,177, 181, 189, 197, 202, 208, 212�214, 216�226, 228�234, 240, 241, 258, 260Lygumai 198Linkauèiai 215Linkuva 128, 144, 170, 221Lipeckas 71, 146, 147Litovka 128Liudvinavas 129Liukonys 139Lokënai 130Lûksto eþeras 127Lukðiai 218Lukðtynë 127

Macaièiai 129Maikopas 51Marcinkonys 55Mar del Plata 223Marijampolë (Kapsukas) 12, 40, 43, 45, 49,55, 59, 60, 76, 79, 110, 111, 115, 124, 127�130, 147, 151, 172, 200, 201, 209, 214�217,219, 221, 238Maskva 22, 31, 38, 41, 46, 49, 51�54, 62,63, 98, 129, 138, 159, 191, 215, 216, 219,222, 223Maþeikiai 22, 59, 127, 155, 165, 201, 213,237Maþënai 138Maþeniai 217Maþuliai 217Mcenskas 51Medeniai 57Meikðtai 138Meðkuièiai 179Mikniðkiai 216Miletas (Milçtos) 139Minkûnai 104Mogiliovas 201Mokolai 221

276

Moldavija 207Molëtai 8, 201, 210, 214, 215, 222Mosëdis 61, 126, 221Mozyrius 88Musninkai 139

Narkûnai 128Nasrënai 8Naujasodë 61Naujoji Akmenë 77, 108, 126Nemenèinë 197, 198Nemunëlio Radviliðkis 223Neptûnas 169Nesvyþius 156Nevarënai 126, 216Neveronys 109Nikronys 57Notënai 61Novosibirskas 223

Odesa 129, 219Oktiabrskas 147Oriolas 51

Pabaltijis 47, 217, 258, 259Pabalvë 101Padisë (Padise) 52Paeþeriai 219Pagëgiai 107Pageleþiai 130Pajotijai 125Pakalniðkiai 217Pakrovka 62Pakruojis 43, 49, 112, 128, 129, 198, 215Pakuonis 134Palanga 67, 221Paliepiai 126Paluknë 126Palûðë 81Pamarkija 216Pandëlys 126, 216Panemunëlis 61Panemuniai 213Panevëþys 13, 40, 41, 45, 46, 65, 68, 87,126�128, 134�136, 139, 142, 144, 160, 164,

183, 197, 198, 200, 201, 213�215, 217, 220�223, 257Panoteriai 57Papilë 8, 126Pasvalys 39, 127, 129, 134, 198, 215, 219,220Paukðtakiai 127Paulaièiai 56Paupariai 50Pelëdnagiai 128Permë (Molotovas) 213Peterburgas (Leningradas) 46, 51, 54, 55,58, 60, 156, 217, 222, 223, 258, 259Petronys 130Petrozavodskas 52Piaulai 80Pietryèiø Lietuva 17Pietø Lietuva 27Pikèilingiai 218Piliuona 216Pilviðkiai 217, 219Plateliai 55Plieniðkiai 61Plungë 55, 59, 60, 69, 109, 126, 127, 135,221, 222Poðkos 82Praha 58Prancûzija (France) 34, 58, 181, 214Pravieniðkës 13, 56Priekulë 221Prienai 55, 60, 134, 135, 152, 215, 219Primorë 57Priðmonèiai 221Pskovas 54Pumpurai 129Punia 113, 128Punkiðkiai 61Puskelnëliai 55Puskelniai 214Puðalotas 197, 198

Radviliðkis 44, 61, 73, 112, 158, 206Rainiai 13Ramygala 197, 221Raseiniai 14, 21, 39, 43, 57�61, 126, 128,

277

129, 141, 197, 198, 213, 214, 220Rietavas 8, 126Ryga (Rîga) 62�64, 212, 223, 237, 241, 258,259, 260Rytai 17, 226, 231Rokiðkis 61, 81, 104, 126�128, 152, 197,213, 214, 217, 218, 222Roma 7Rostovas 103, 156Rûdiðkës 28Rumunija (România) 223Runkiai 217Rusija 32, 33, 41, 51�54, 62, 71, 128, 213,214, 222

Salantai 200, 201Salos 61Samara 49, 128Saratovas 214, 219Sargënai 55Sartø eþeras 128Sasnava 217Saugos 179, 221Savënai 217Seda 59, 168, 182, 188, 216Seinai 214Seredþius 214Seulas 223Sibiras 12, 30, 218, 221Sidabravas 73Siesikai 124, 130Simnas 97Sintautai 128Skaisèiûnai 172Skaistkalnë (Skaistkalne) 63Skaistakalnis 69, 125Skaistgiris 95Skapiðkis 128, 152, 218Skaudvilë 61, 198Skirsnemunë 57Skirsnemuniðkiai 57Skrebotiðkis 129Skuodas 8, 43, 61, 77, 126, 127, 129, 165,187, 216, 221Smalininkai 126

Sovetskaja Gavanë 57SSRS 8, 11, 14, 19�21, 24, 25, 30, 32�34,36, 37, 40, 46, 47, 51�54, 59, 60, 62, 125,136, 143, 160, 166, 170, 210, 211, 215�217,222, 223, 231Staèiûnai 112, 129Staneliai 127Subaèius 68Suginèiai 214Sujetai 61Surinkiðkiai 57Suomija (Suomi) 58, 63Suvalkija 63, 165, 205Sviliai 68

Ðakiai 22, 28, 39, 61, 68, 69, 125, 128, 129,158, 214, 216, 218, 231Ðalèininkai 39, 65, 96, 136Ðatës 43, 61Ðatrijos kalnas 127Ðeduva 61, 189, 217, 221, 222Ðëta 14, 15, 17, 239Ðiauliai 3, 9, 39, 40, 45, 46, 49, 55, 57, 68,72, 93, 101, 115, 126, 127, 129, 142, 147,153, 157, 178, 179, 201, 206, 213, 216, 220,233, 234, 237, 240Ðiaurës Kaukazas 52Ðiaurës Ledjûris 36Ðilalë 221Ðilutë 50, 56, 57, 128, 165, 179Ðiluva 14, 18, 60, 129, 239Ðirvintos 43, 139Ðliktinë 61, 221Ðniukðtai 60, 99Ðunskai 221Ðvëkðna 50, 57, 165Ðvenèionëliai 45, 56, 128Ðvenèionys 111, 201, 217, 223, 255Ðvendrë 49Ðventoji 129

Taipëjus (Taibei) 223Taivanas (Taiwan) 223Talinas (Tallinn) 52, 260Talpûnai 49

278

Tambovas 53Tartu (Tartu) 46, 62, 212, 241, 258Taðkentas 24Taujënai 217Tauragë 40, 43, 50, 57, 61, 72, 128, 196,197, 201, 207, 221, 260Tauragnai 128Telðiai 21, 43, 45, 55, 59, 101, 115, 125�127, 136, 165, 166, 171, 172, 211, 215, 216,220Tilþë (Tilsit) 213Tytuvënai 152Tiuris (Türi) 62Toluèiai 126Trakai 39, 45, 49, 57, 201, 213, 215Trakas 125Tryðkiai 215Truskava 119Tûbausiai 129Tubiai 76Tulpiakiemis 130Tuskulënai 10Tverë 54Tvereèius 223

Ubiðkë 43, 136, 166, 211Udmurtija 213Ukmergë 45, 57, 99, 109, 124, 130, 197,203, 217, 223Ukraina 53, 54, 136, 140Usmanë 71Utena 40, 56, 57, 60, 105, 128, 129, 135,142, 166, 197, 201, 214, 236Uzbekija 54

Vaidatonys 214Vaikutënai 57Vakarai 14, 34, 41, 224, 229�231Vakarø Europa 8Valakëliai 220Valkininkai 223Valmiera 62Varlaukis 61Vaðingtonas (Washington) 223Vaðkai 215Vatikanas 11

Vëdarai 217Veiveriai 63, 129, 197, 216Veliuona 125, 134Vembutai 59, 115Vengrija (Magyarország) 222Vepriai 130Verðvai 218Viatka (Kirovas) 223Vidgiriai 216Vydmantai 127Vidulaukiai 55Vidurinë Azija 28, 36, 52Viekðniai 155Vilkaviðkis 43, 50, 55, 106, 152, 184, 198,201, 214, 216�218, 223Vilkyèiai 221Vilkija 87Vilnius 2, 3, 7, 9, 10, 13, 22, 23, 25, 27�29,37, 39, 40�42, 45, 55, 56, 58�63, 66, 84, 97,99, 104, 126�128, 131, 135, 140�142, 144,152, 154, 156, 158, 164, 165, 198�202, 205,213�215, 218, 220�223, 233, 259, 260Vyþeièiai 127Vladimiras 53Vokietija (Deutschland) 12�14, 50, 57, 58,193, 220Vologda 52Voroneþas 51Voversys 16Vudhavenas (Woodhaven) 235

Zadonskas 146Zapijuvka 16Zarasai 43, 57, 99, 128, 201, 213, 217, 255Zuikos 138

Þagarë 12Þàsliai 49, 60Þeèpospolita 7Þeimelis 128, 144, 170, 215Þemaièiø Naumiestis 50, 220Þemaitija, Þemaièiai 8, 221, 241Þieþmariai 141Þidikai 127Þygaièiai 57Þiûriai 106, 223

279

Algirdas Aþubalis

MATEMATIKOS DIDAKTIKA LIETUVOSPEDAGOGINËJE PERIODIKOJE

(1945�1990 m.)Monografija

Kalbos redaktorë Eulialija Stankevièienë

Maketavo Kæstutis Nemura

2005-03-30 Tiraþas 100 egz. Uþsakymo Nr.GL-250Iðleido Generolo Jono Þemaièio Lietuvos karo akademija,

Ðilo g. 5A, LT�10322 VilniusSpausdino Kraðto apsaugos ministerijos

Leidybos ir informacinio aprûpinimo tarnyba,Totoriø g. 25/3, LT�01121 Vilnius

280