matematinė analizė ir tiesinė algebra
DESCRIPTION
Matematinė analizė ir tiesinė algebra. 5-7 paskaitos. Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas. Funkcijos y = f(x) pirmykštė funkcija vadinama funkcija y = F (x) , su kuria galioja lygybė F’(x) = f(x) . - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Matematinė analizė ir tiesinė algebra](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050709/568158be550346895dc60899/html5/thumbnails/1.jpg)
Matematinė analizė ir tiesinė algebra
5-7 paskaitos.
![Page 2: Matematinė analizė ir tiesinė algebra](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050709/568158be550346895dc60899/html5/thumbnails/2.jpg)
2
• Funkcijos y=f(x) pirmykštė funkcija vadinama funkcija y=F(x), su kuria galioja lygybė F’(x)=f(x) .
• Jei funkcijos y=f(x) pirmykštė funkcija yra y=F(x) , tai bet kuri kita funkcijos y=f(x) pirmykštė funkcija y=G(x) išreiškiama formule G(x)=F(x)+C, kur C – laisvoji konstanta.
• Funkcijos y=f(x) neapibrėžtiniu integralu vadinama funkcijos y=f(x) pirmykščių funkcijų F(x)+C aibė:
čia f(x) vadinama pointegraline funkcija, o sandauga f(x)dx – pointegralinių reiškiniu.
•Iš integralo apibrėžimo aišku, kad
Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas
;)()( CxFdxxf
)())(()( xfCxFdxxf
![Page 3: Matematinė analizė ir tiesinė algebra](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050709/568158be550346895dc60899/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Pagrindinių integralų lentelė
;10 ,ln
, aaCa
adxa
xx
;||ln Cxx
dx
; tgcos2
Cxx
dx ; ctg
sin 2Cx
x
dx
;1 ,1
aCa
xdxx
aa
;sincos Cxxdx
;Cedxe xx
.arcsin1 2
Cxx
dx
; arctg1 2
Cxx
dx
;cossin Cxxdx
![Page 4: Matematinė analizė ir tiesinė algebra](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050709/568158be550346895dc60899/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Pagrindinių integralų lentelė
;arcsin22
22222 C
a
xaxa
xdxxa
.
24tgln
cosC
x
x
dx
;ln 22
22Caxx
ax
dx
;2
tglnsin
Cx
x
dx
;ln2
122
Cax
ax
aax
dx
;ln22
222
2222 Caxxa
axx
dxax
![Page 5: Matematinė analizė ir tiesinė algebra](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050709/568158be550346895dc60899/html5/thumbnails/5.jpg)
5
• Pastovų daugiklį galima iškelti prieš integralo ženklą
•Funkcijų sumos integralas lygus šių funkcijų integralų sumai
•Tada bet kuriam dėmenų skaičiui n
•Skaičiuojant funkcijų sumos integralą, rašoma viena laisvoji konstanta
Neapibrėžtinio integralo savybės
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
dxxfkdxxkf )()(
n
kk
n
kk dxxfdxxf
11
)()(
CxGxFdxxgxf )()()()(
![Page 6: Matematinė analizė ir tiesinė algebra](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050709/568158be550346895dc60899/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Pagrindinės integravimo taisyklės
;)(1
)()(1
)( CbkxFk
bkxdbkxfk
dxbkxf
;)()( tai),(ir )()(Jeigu CuFdxufxguCxFdxxf
;|)(|ln)(
)(Cxfdx
xf
xf
![Page 7: Matematinė analizė ir tiesinė algebra](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050709/568158be550346895dc60899/html5/thumbnails/7.jpg)
7
• Integravimas keičiant kintamąjį. Jeigu x=g(t) diferencijuojama funkcija, o t – naujasis integravimo kintamasis, tai
Suintegravus, reikia grįžti prie seni kintamojo x
• Integravimas dalimis. Jei u ir v diferencijuojamos funkcijos, tai
Integravimo metodai
;vduuvudv
.)())(()( dttgtgfdxxf
![Page 8: Matematinė analizė ir tiesinė algebra](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050709/568158be550346895dc60899/html5/thumbnails/8.jpg)
8
• Šiuo metodu patogu integruoti racionaliąsias funkcijas:
• Racionaliosios funkcijos
integravimas.
•Kai n≥k, daugianarį P(x) padaliję iš (x-c)k gauname kokį nors daugianarį Q(x) ir liekaną R(x), kurio laipsnis yra mažesnis už k:
•Šią lygybę dalijame iš (x-c)k :
Neapibrėžtųjų koeficientų metodas
k
nn
nn
k cx
axaxaxa
cx
xP
)(
...
)(
)( 011
1
011
1
011
1
...
...
)(
)(
bxbxbxb
axaxaxa
xQ
xPm
mm
m
nn
nn
)())(()( xRcxxQxP k
kk cx
xRxQ
cx
xP
)(
)()(
)(
)(
![Page 9: Matematinė analizė ir tiesinė algebra](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050709/568158be550346895dc60899/html5/thumbnails/9.jpg)
9
•Integruodami gauname:
• Teorema. Tarkime, R(x) yra m-jo yra laipsnio daugianaris ir m<k. Tuomet egzistuoja koeficientai A1, A2, ..., Ak su kuriais R(x) išreiškiamas formule
•Šia tapatybę dalijame iš (x-c)k:
•Koeficientai A1, A2, ..., Ak randami tapatybės dešiniojoje pusėje atlikus veiksmus ir sulyginus abiejų pusių koeficientus prie vienodų kintamojo x laipsnių.
Neapibrėžtųjų koeficientų metodas
kkkk AcxAcxAcxAxR )(...)()()( 1
22
11
kk
kk
k cx
A
cx
A
cx
A
cx
A
cx
xR
)()(...
)()(
)(1
12
21
dx
cx
xRdxxQdx
cx
xPkk )(
)()(
)(
)(
![Page 10: Matematinė analizė ir tiesinė algebra](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050709/568158be550346895dc60899/html5/thumbnails/10.jpg)
10
• Neapibrėžtųjų koeficientų metodas taikomas ir sudėtingesnėms racionaliosioms funkcijoms integruoti,
• Teorema. Tarkime, P(x) ir Q(x) yra n-jo ir m-jo laipsnio daugianariai ir n<m. Tuomet jei Q(x) yra išreikštas kaip
tai egzistuoja koeficientai A1, A2, ..., Ap , B1, B2, ..., Bq, ..., M1, M2, ..., Mr, N1, N2, ..., Ns, ... su kuriais
Neapibrėžtųjų koeficientų metodas
...,)()...()()()( 22 qrqpm zwxxvuxxxxaxQ
...)(
...)()(
...)()(
)(2
212
21
q
q
p
p
x
B
x
B
x
B
x
A
x
A
x
A
xQ
xP
...)(
...)(
...222
222
11
rrr
vuxx
NxM
vuxx
NxM
vuxx
NxM
![Page 11: Matematinė analizė ir tiesinė algebra](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050709/568158be550346895dc60899/html5/thumbnails/11.jpg)
11
1. Jeigu racionalioji trupmena netaisyklingoji, tai išskyrę sveikąją dalį (padaliję skaitiklį iš vardiklio), gauname taisyklingąją racionaliąją trupmeną.
2. Taisyklingosios racionaliosios trupmenos vardiklį išskaidome daugikliais. Jų gali būti 2 tipų: (x-α)p ir (x2+ux+x)r, čia α – realioji vardiklio šaknis, o kvadratinių trinarių diskriminantai neigiami.
3. Priklausomai nuo vardiklyje gauto skaidinio, nagrinėjamą taisyklingąją racionaliąją trupmeną išreiškiame paprasčiausių racionaliųjų trupmenų suma. Jų gali būti 2 tipų:
čia α, u, v, A, M, N – realieji skaičiai, k, l – natūralieji skaičiai, D=u2-4v<0 .
4. Randame neapibrėžtuosius koeficientus ir integruojame gautas paprasčiausias racionaliąsias trupmenas
Racionaliųjų trupmenų integravimo algoritmas
.)(
ir )(
2 lvuxx
NMx
x
Ak
![Page 12: Matematinė analizė ir tiesinė algebra](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050709/568158be550346895dc60899/html5/thumbnails/12.jpg)
12
1. Universalusis keitinys skaičiuojant trigonometrinės funkcijos R(x) integralą yra tg(x/2)=t, tada
2. Jeigu R(-sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) (t.y. pointegralinė funkcija nelyginė sinx atžvilgiu), tai rekomenduojamas keitinys cosx=t, tada
3. Jeigu R(sinx, -cosx) = -R(sinx, cosx) (t.y. pointegralinė funkcija nelyginė cosx atžvilgiu), tai rekomenduojamas keitinys sinx=t, tada
Trigonometrinių reiškinių integravimas
.1
2 tg,
1
1 cos ,
1
2sin ,
1
2 , arctg2
22
2
22 t
tx
t
tx
t
tx
t
dtdxtx
.1sin ,1
, arccos 2
2tx
t
dtdxtx
.1 cos ,1
,arcsin 2
2tx
t
dtdxtx
![Page 13: Matematinė analizė ir tiesinė algebra](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050709/568158be550346895dc60899/html5/thumbnails/13.jpg)
13
4. Jeigu R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx), tai rekomenduojamas keitinys tgx=t, tada
5. Integralams ∫sin2nxdx ir ∫cos2nxdx skaičiuoti naudojamos formulės
6.
Trigonometrinių reiškinių integravimas
.1
1 cos ,
1sin ,
1 , arctg
222t
xt
tx
t
dtdxtx
.2
2cos1sin ,
2
2cos1cos 22 x
xx
x
,)cos()cos(2
1coscos dxxnmxnmnxdxmx
,)sin()sin(2
1cossin dxxnmxnmnxdxmx
.)cos()cos(2
1sinsin dxxnmxnmnxdxmx
![Page 14: Matematinė analizė ir tiesinė algebra](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050709/568158be550346895dc60899/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Integralas
pakeičiamas trupmenos integralu, naudojant keitinį
kur k lygus trupmenų m/n, ... , r/s bendrajam vardikliui.
Atskiru atveju, vietoje gali būti ax+b arba x.
Iracionaliųjų funkcijų integravimas
dxdcx
bax
dcx
baxxR
s
r
n
m
,...,,
,
1
tdcx
bax k
dcx
bax
![Page 15: Matematinė analizė ir tiesinė algebra](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050709/568158be550346895dc60899/html5/thumbnails/15.jpg)
15
čia p = b/a, q = c/a.
• Visais atvejais gautajame kvadratiniame trinaryje x2+px+q išskiriame pilną kvadratą ir tą dalį, kuri yra pakelta kvadratu, pažymime nauju kintamuoju t.
• Tuomet gauname vieną iš trijų reiškinių:
Iracionaliųjų funkcijų integravimas
0 kai,)(,
0 kai,,),(
2
2
2
adxqpxxaxR
adxqpxxaxRdxcbxaxxR
.2
ir 42
222 t
px
pq
pxqpxx
. .3 , .2 , .1 222222 trrtrt
![Page 16: Matematinė analizė ir tiesinė algebra](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050709/568158be550346895dc60899/html5/thumbnails/16.jpg)
16
• Iracionalumui atsikratyti galime taikyti keitinius:
Iracionaliųjų funkcijų integravimas
. ctg arba tg .1 22 urturtrt
.cos
arba sin
.2 22
u
rt
u
rtrt
. cos arba sin .3 22 urturttr
![Page 17: Matematinė analizė ir tiesinė algebra](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050709/568158be550346895dc60899/html5/thumbnails/17.jpg)
17
• Tegu funkcija y=f(x) yra tolydi intervale [a; b]. Taškais x1, x2, ...,xn-1 šį intervalą padalykime į n intervalų. Pažymėkime a=x0, b=xn. Tuomet intervalas [a; b] yra n dalinių intervalų sąjunga. Šių dalinių intervalų ilgiai yra atitinkamai Δx1= x1 – x0
, Δx2 = x2 - x1, Δxn= xn - xn-1. Kiekviename daliniame intervale [xn-1; xn] laisvai pasirinkę po vieną tašką ck , sudarykime sumą
kuri vadinama integraline suma.
Tarkime, funkcija y=f(x) yra tolydi intervale [a; b], o
- šios funkcijos integralinė suma, w=max Δxk . Jei egzistuoja limw→0S , nepriklausanti nei nuo intervalo [a; b] skaidinio, nei nuo taškų ck pasirinkimo, tai ši riba vadinama funkcijos apibrėžtinių integralu intervale [a; b].
Apibrėžtinis integralas
,)()(...)()(1
2211
n
kkknn xcfxcfxcfxcfS
n
kkk xcfS
1
)(
![Page 18: Matematinė analizė ir tiesinė algebra](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050709/568158be550346895dc60899/html5/thumbnails/18.jpg)
18
• Apibrėžtinis integralas žymimas simboliu
čia a ir b vadinami integravimo rėžiais: a – apatiniu, b – viršutiniu; f(x) – pointegralinė funkcija; f(x)dx – pointegraliniu reiškiniu.
• Jei intervale [a; b] egzistuoja funkcijos f(x) apibrėžtinis integralas, tai sakoma, kad funkcija f(x) yra integruojama intervale [a; b].
• Kiekviena tolydi uždarome intervale funkcija yra integruojama tame intervale.
•Apibrėžtinis integralas yra kreivinės trapecijos, apribotos Ox ašimi ir funkcijos y=f(x) grafiku, kai a ≤ x ≤ b, plotas (jei intervale [a; b] funkcijos reikšmės yra neneigiamos f(x) ≥ 0).
• Kai intervale [a; b] funkcijos f(x) reikšmės nėra teigiamos, t.y. f(x) ≤ 0, tai šios funkcijos apibrėžtinis integralas intervale [a; b] tenkina nelygybę
Apibrėžtinis integralas
b
a
dxxf .)(
.0)( b
a
dxxf
![Page 19: Matematinė analizė ir tiesinė algebra](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050709/568158be550346895dc60899/html5/thumbnails/19.jpg)
19
• Niutono – Leibnico formulė.
•Jei f(x) yra tolydi intervale [a; b], tai funkcija F(t), išreikšta apibrėžtiniu integralu su kintamuoju viršutiniu rėžiu, t.y.
turi išvestinę F’(t)=f(t).
Apibrėžtinio integralo savybės
a
a
dxxf .0)( .)()( a
b
b
a
dxxfdxxf
).()()( aFbFdxxfb
a
t
a
batdxxftF ],,[ ,)()(
![Page 20: Matematinė analizė ir tiesinė algebra](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050709/568158be550346895dc60899/html5/thumbnails/20.jpg)
20
•Tarpinės reikšmės teorema. Jei funkcija y=f(x) yra tolydi intervale [a; b], tai yra toks skaičius c, a < c < b, kad galioja lygybė
•Skaičius f(c) vadinamas funkcijos y=f(x) tarpine reikšme intervale [a; b].
Apibrėžtinio integralo savybės
b
a
b
c
c
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
).)(()( abcfdxxfb
a
![Page 21: Matematinė analizė ir tiesinė algebra](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050709/568158be550346895dc60899/html5/thumbnails/21.jpg)
21
• Tarkime, funkcija y=f(x) yra tolydi intervale [a; +∞). Funkcijos y=f(x) netiesioginiu integralu intervale [a; +∞) vadinama riba
• Tolydžios intervale (-∞; a] funkcijos y=f(x) netiesioginiu integralu vadinama riba
•Tolydžios intervale (-∞;∞) funkcijos y=f(x) netiesioginiu integralu vadinama riba
•Jei netiesioginį integralą apibrėžianti riba egzistuoja, tai sakoma, kad šis integralas konverguoja, priešingu atveju – diverguoja.
Netiesioginiai integralai
a
t
at
dxxfdxxf )()(lim
aa
tt
dxxfdxxf )()(lim
dxxfdxxft
tt
)()(lim
![Page 22: Matematinė analizė ir tiesinė algebra](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050709/568158be550346895dc60899/html5/thumbnails/22.jpg)
22
• Netiesioginiams integralams iš esmės galioja tokios pat savybės kaip ir apibrėžtiniam integralui, kurio rėžiai baigtiniai.
Netiesioginių integralų savybės
.)()(
a
a
dxxfdxxf
c
c
aa
dxxfdxxfdxxf )()()(
aa
dxxfkdxxkf )()(
aaa
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
![Page 23: Matematinė analizė ir tiesinė algebra](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050709/568158be550346895dc60899/html5/thumbnails/23.jpg)
23
• Niutono-Leibnico formulę apibrėžtiniam integralui skaičiuoti galima apibendrinti it taikyti skaičiuojant netiesioginius integralus.
•Kaip ir apibrėžtinio integralo, netiesioginio integralo geometrinė prasmė yra tokia pati – tam tikros figūros plotas. Ši figūra, būdama begalinė, gali turėti ir baigtinį plotą (jei integralas konverguoja). Pavyzdžiui,
Netiesioginių integralų savybės
).()(lim)()()()( aFtFaFFxFdxxfta
a
.22
arctg1
12
xdx
x