MATEMATİK

AYT

SORU KİTABI

2

Üniversite Hazırlık Soru Kitabı AYT Temel Matematik

OL00-SS.02SKT13

978-605-2175-94-1

Saadet Çakır

Halil Aslan, İnci Baykal

Oğuzhan Değirmenci

Testokul Dizgi ve Grafik Servisi

Nilgün Aydoğan

Aykut Matbaası / Firuzköy Mah. Mezarlık Üstü Cad. No: 24 / 26 A Blok Avcılar / İST. tlf: 0 212 428 52 74 - 428 54 26

0 212 275 00 35 www.testokul.com - destek@testokul.comGülbahar Mah. Cemal Sururi Sk. No:15/E Halim Meriç İş Merkezi Kat: 9 Mecidiyeköy - İST.

Fikir ve Sanat Eserleri Kanunu’na göre her hakkı Eksen Yayıncılık ve Eğitim Malz. San. Tic. AŞ.’ye aittir. Eksen Yayıncılık’tan yazılı izin alınmadan kitabın herhangi bir şekilde kısmen veya tamamen çoğaltılması, basım ve yayımı hâlinde gerekli yasal mevzuat uygulanır.

ürün adı

ürün no

isbn

yazar

katkıda bulunanlar

video çözümler

dizgi-mizanpaj

yayın yönetmeni

baskı

iletişim

copyright

JENERİK

Öncelikle tüm samimiyetimizle hepinize içten bir Merhaba,

Farklı ve olabilecek en güncel şekilde hazırlanmış yepyeni BİR soru kitabıyla karşınızdayız. Sınav sisteminde

yaşanan değişimi, müfredatı ve yeni yaklaşımları tamamıyla özümsemiş bir ekibin elinden çıkan bu soru

kitabının farklılığını ve artı yönlerini, kitabı biraz incelediğinizde herkes gibi sizin de hissedeceğinizden

eminiz.

“Yeni Sisteme Yeni BİR Soru Kitabı” sloganıyla sunmaktan kıvanç duyduğumuz yeni kitabımızı size ve tüm

eğitim dünyasına anlatmak istiyoruz. Kitabımızın ilk olarak üç önemli özelliği var:

1. Bilgilendiren: Kitabımızdaki her ünitenin en başında o üniteyle ilgili hem hazırlık sürecini kolaylaştıran

başlangıç yazısı hem de testlere başlamadan önce muhtemel eksik noktaları tamamlayacak özet bir anlatım

yer alıyor. Kısaca kitaplarımız ilk iş “Bilgilendiriyor”.

2. İnteraktif: Kitaplarımız sadece kağıda basılı sorulardan oluşmuyor. Bu kitaplarda yer alan tüm

soruların video çözümleri ve Bulut Okuma ile kolayca değerlendirilen bir veri tabanı var. Üstelik her üniteyi

ve dolayısıyla her testi çözmeyi hedefliyor. Çözen ve çözdüğünü belirtenlere sosyal medya hesaplarımızla

destek olmak da bizden. Kısacası bu kitaplar sözde değil, özde “İnteraktif”.

3. Realist: Kitaplarımıza olan güvenimizi belki de en çok bu özelliği sağlıyor kitaplarımızın. Realist yani

gerçekçi olması. Sınav sistemlerindeki değişim, ÖSYM’nin yeni soru stilleri oluşturması ve hayatın her

alanının bir soru olarak karşımıza çıkabilme ihtimali bu kitabın temel dayanaklarından biri. Kısaca gerçek

ve güncel bir sınav hazırlığı yapmak için “Realist”.

Bilgilendiren, İnteraktif ve Realist sıfatlarının ilk harfleriyle oluşturduğumuz BİR kitabımız sadece bir

test kitabı değil. Çözülen her soruyla üniversite hedefine adım adım yaklaşılırken aynı zamanda her bir

sayfada hayatın içinden bir şeylerle karşılaşacağınızın garantisini veriyoruz. Çünkü kitabı incelediğinizde

göreceksiniz ki, çevirdiğiniz her sayfada kimi zaman bir tecrübe paylaşımı, kimi zaman bir özlü söz, ya da

bazen hani olur ya, zorlanılacağı belli olan bir soru için ipucu, bazen de bir hikâye ile kitabımızla karşılaşan

herkese seslenebilen bir özelliğimiz var.

Kitabımızdaki soruların video çözümlerine Bulut Okuma uygulamasının yanı sıra web sitemizdeki

öğrencilere özel menüsünden ulaşabilirsiniz.

Biz, güzel bir kitap oluşturduğumuza ve kitabımızın onu kullanan herkesin dünyasında küçük de olsa bir

değişim gerçekleştirebileceğine inanıyoruz. Biliyoruz ki inanmak çok şeydir...

Saygıdeğer Öğretmenlerimiz ve Sevgili Öğrenci Arkadaşlarımız,

GİRİŞ

3

4

TANITIM

Ünite başında hızlıca öğrenmek isteyenlere

Önce Bir Özet

Üniteye başlarken bir ısındırma yazısı

arayanlaraBir Analiz

Çözdüğüm testleri takip etmeliyim

ve herkesle paylaşmalıyım

diyenlereBir Plan

5

Özetin ardından korkmadan soru

çözmek isteyenlere, 1. Seviye Bir Test

Seviye-1 testi kolay geldi, daha zoru

yok mu, diyenlere2. Seviye Bir Test

Ünite sonunda mutlaka genel tekrar yapılmalı,

diyenlereGenel Bir Test

Bulut okuma ile analiz ve çözümlere ulaştıracak

Optik Cevap Alanı

1. ÜNİTE: FONKSİYONLARDA UYGULAMALARÖnce Bir Özet ............................................................................................................................. 12

Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar ............................................................................................... 16

Fonksiyonların Dönüşümleri ...................................................................................................... 20

Fonksiyonlarda Uygulamalar ..................................................................................................... 26

İkinci Dereceden Fonksiyonlar ................................................................................................... 28

Parabolün Tepe Noktası ............................................................................................................. 30

Parabol Çizimi ve Parabolün Denklemini Yazma ........................................................................ 32

Parabol ile İlgili Uygulamalar ...................................................................................................... 36

Parabolün En Büyük ve En Küçük Değeri ................................................................................... 38

Parabolün Eksenleri Kestiği Noktalar ......................................................................................... 40

İkinci Derece Fonksiyonlarla Modellenebilen Problemler .......................................................... 42

Genel Bir Test ............................................................................................................................. 44

2. ÜNİTE: DENKLEM VE EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİÖnce Bir Özet ............................................................................................................................. 48

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler ............................................................................ 50

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ........................................................................... 54

Eşitsizlik Sistemleri .................................................................................................................... 58

Eşitsizlikler ................................................................................................................................. 60

Genel Bir Test ............................................................................................................................. 62

6

İÇİNDEKİLER

3. ÜNİTE: OLASILIKÖnce Bir Özet ............................................................................................................................. 66

Olasılık Kavramı ......................................................................................................................... 68

Koşullu Olasılık .......................................................................................................................... 70

Bağımlı ve Bağımsız Olayların Olasılıkları .................................................................................. 72

Bileşik Olayların Olasılığı, Deneysel ve Teorik Olasılık ............................................................... 76

Olasılık ........................................................................................................................................78

Genel Bir Test ............................................................................................................................. 80

4. ÜNİTE: TRİGONOMETRİÖnce Bir Özet ............................................................................................................................. 84

Yönlü Açılar ................................................................................................................................ 88

Dik Üçgende Dar Açıların Trigonometrik Oranları ...................................................................... 90

Trigonometrik Fonksiyonlar ....................................................................................................... 92

Kosinüs Teoremi ........................................................................................................................ 102

Sinüs Teoremi ............................................................................................................................ 104

Trigonometrik Fonksiyon Grafikleri ............................................................................................ 106

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar ............................................................................................... 108

Toplam ve Fark Formülleri ......................................................................................................... 112

İki Kat Açı Formülleri .................................................................................................................. 118

Toplam - Fark ve İki Kat Açı Formülleri ...................................................................................... 122

Trigonometrik Denklemler ......................................................................................................... 124

Trigonometri .............................................................................................................................. 128

Genel Bir Test ............................................................................................................................. 134

7

5. ÜNİTE: LOGARİTMAÖnce Bir Özet ............................................................................................................................. 138

Üstel Fonksiyon ve Üstel Fonksiyonun Grafiği ........................................................................... 140

Logaritma Fonksiyonu ............................................................................................................... 142

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ........................................................................................ 146

Bir Sayının Logaritmasının Yaklaşık Değeri ve Logaritma Fonksiyonunun Grafiği .................... 156

Üstel Denklemler ........................................................................................................................ 158

Logaritmik Denklemler ............................................................................................................... 160

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler ................................................................................................. 164

Gerçek Hayat Durumları ile İlgili Üstel ve Logaritmik Fonksiyon Problemleri ............................ 166

Logaritma .................................................................................................................................. 168

Genel Bir Test ............................................................................................................................. 170

6. ÜNİTE: GERÇEL SAYI DİZİLERİÖnce Bir Özet ............................................................................................................................. 174

Dizi Kavramı ............................................................................................................................... 176

Özel Sayı Dizileri ........................................................................................................................ 180

Dizi ............................................................................................................................................. 182

Aritmetik Dizi ............................................................................................................................. 184

Geometrik Dizi ........................................................................................................................... 188

Aritmetik ve Geometrik Dizi ....................................................................................................... 192

Genel Bir Test ............................................................................................................................. 196

8

7. ÜNİTE: LİMİT VE SÜREKLİLİKÖnce Bir Özet ............................................................................................................................. 200

Limit ........................................................................................................................................... 202

Süreklilik .................................................................................................................................... 212

Genel Bir Test ............................................................................................................................. 216

8. ÜNİTE: TÜREVÖnce Bir Özet ............................................................................................................................. 220

Türev Alma Kuralları ................................................................................................................... 224

Türevin Geometrik Yorumu ........................................................................................................ 234

Artan veya Azalan Fonksiyonlar ................................................................................................. 240

Bir Fonksiyonun Ekstremum Noktaları ...................................................................................... 244

Polinom Fonksiyonların Grafiği .................................................................................................. 252

Maksimum ve Minimum Problemleri ......................................................................................... 254

Türev .......................................................................................................................................... 258

Genel Bir Test ............................................................................................................................. 262

9. ÜNİTE: İNTEGRALÖnce Bir Özet ............................................................................................................................. 266

Belirsiz İntegral .......................................................................................................................... 270

Belirli İntegral ............................................................................................................................. 278

İntegral ile Alan Hesabı .............................................................................................................. 286

İntegral ..................................................................................................................................... 294

Genel Bir Test ............................................................................................................................. 298

Cevap Anahtarı ................................................................................................. 300

9

10

ÜNİTE

Çevremize dikkatle baktığımızda kendimiz de dahil olmak üzere her şeyin bir değişim içinde olduğunu

görürüz. Örneğin, ürünlerin fiyatı, ayların sıcaklık ortalaması, e-posta sayımız, ... kısacası neredeyse

değişmeyen bir şey yok gibidir. Çevremizdeki bu değişimleri genellikle fonksiyonlar üzerinden matema-

tiksel modelleme yaparak açıklamaya çalışırız. Fonksiyonlar ile modellenen olayları çizimlerken tablo,

grafik ve cebirsel ifade gibi gösterimler kullanmak bazı avantajlar sağlar. Böylece problemi daha etkili

bir şekilde çözüp modellenen olayı daha iyi anlarız.

İkinci dereceden fonksiyonlar konusundan AYT’de her yıl ortalama bir soru çıkmaktadır. Ayrıca türev,

integral gibi konularda da soru çözerken bu bölümde öğrendiğimiz bilgiler karşımıza çıkacaktır.

ANALİZ

1 FONKSİYONLARDA UYGULAMALAR

11

PLAN

FONKSİYONLARDA UYGULAMALAR

166

ünitesinde toplam

#testokulgençlerinyanında #başarınıpaylaş

soru

çözeceğim

çözüyorum

çözdüm

@te

stok

ul

HEDEF

çözü

lece

k so

ru s

ayıs

ı

Özet Test 01 Test 02 Toplam

– 12 10 22

FONKSİYONLARLA İLGİLİ UYGULAMALAR

çözü

lece

k so

ru s

ayıs

ı

Test 06 Toplam

11 11

FONKSİYONLARDA UYGULAMALAR

çözü

lece

k so

ru s

ayıs

ı

Test 15 Toplam

11 11

FONKSİYONLARDA UYGULAMALAR

çözü

lece

k so

ru s

ayıs

ıTest 07 Toplam

12 12

İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR

çözü

lece

k so

ru s

ayıs

ı

Test 03 Test 04 Test 05 Toplam

9 11 11 31

FONKSİYONLARIN DÖNÜŞÜMLERİ

çözü

lece

k so

ru s

ayıs

ı

Test 08 Toplam

12 12

PARABOLÜN TEPE NOKTASIçö

züle

cek

soru

say

ısı

Test 11 Toplam

12 12

PARABOL İLE İLGİLİ UYGULAMALAR

çözü

lece

k so

ru s

ayıs

ı

Test 09 Test 10 Toplam

9 11 20

PARABOL ÇİZİMİ VE PARABOLÜNDENKLEMİNİ YAZMA

çözü

lece

k so

ru s

ayıs

ı

Test 13 Toplam

12 12

PARABOLÜN EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALAR

çözü

lece

k so

ru s

ayıs

ı

Test 14 Toplam

11 11

İKİNCİ DERECE FONKSİYONLARLA MODELLENEBİLEN PROBLEMLER

çözü

lece

k so

ru s

ayıs

ı

Test 12 Toplam

12 12

PARABOLÜN EN BÜYÜK VE EN KÜÇÜK DEĞERİ

12

FONKSİYONLARDA UYGULAMALAR ÖZET

Fonksiyonlarla İlgili UygulamalarFonksiyon Grafiğinin Eksenleri Kestiği Noktalar

Fonksiyonun grafiğinin x eksenini kestiği noktayı bulmak için fonksiyonda y yerine sıfır yazılır ve x değerleri bulu-nur.

Fonksiyonun grafiğinin y eksenini kestiği noktayı bulmak için fonksiyonda x yerine sıfır yazılır ve y değeri bulunur.

Fonksiyonun Pozitif veya Negatif Değerler Aldığı Ara-lıklar

f fonksiyonunun pozitif olduğu aralıklarda fonksiyonun grafiği x ekseninin üstündedir. f fonksiyonunun negatif olduğu aralıklarda, fonksiyonun grafiği x ekseninin altın-dadır.

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

x değerleri artarken fonksiyonun aldığı y değerleri artı-yorsa fonksiyon artandır. x değerleri artarken fonksiyo-nun aldığı y değerleri azalıyorsa fonksiyon azalandır.

Bir Fonksiyonun Maksimum ve Minimum Değeri

f fonksiyonunda f(x) fonksiyonunun görüntülerinin en büyüğüne f fonksiyonunun maksimum değeri, bu değeri aldığı noktaya ise maksimum noktası denir.

f fonksiyonunda f(x) görüntülerinin en küçüğüne f fonk-siyonunun minimum değeri, bu değeri aldığı noktaya ise minimum noktası denir.

Örnek 1

–1–2–3

–4–5

–2

–3

–4

1O

2

2

34

y

x3

4 5

f(x)

Şekilde, [–5, 5] aralığında tanımlı f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

Grafiğe göre, f(x) fonksiyonunun

a) Eksenleri kestiği noktaları

b) Pozitif ve negatif değer aldığı aralıkları

c) Artan ve azalan olduğu aralıkları

d) Maksimum ve minimum değerlerini

bulunuz.

Çözüm:

Grafikten,

a) f fonksiyonu x eksenini (–4, 0), (–2, 0), (0, 0), (2, 0) ve (4, 0) noktalarında y eksenini ise (0, 0) noktasın-da keser.

b) f fonksiyonu [–5, –4), (–2, 0) ve (2, 4) aralıklarında pozitif değer, (–4, –2), (0, 2) ve (4, 5] aralıklarında negatif değer almıştır.

c) [–5, –3], [–1, 1] ve [3, 5] aralıklarında x değerleri artarken y değerleri azaldığından f bu aralıklarda azalandır. [–3, –1] ve [1, 3] aralıklarında x değerleri artarken y değerleri de arttığından f bu aralıklarda artandır.

d) Grafiğe göre f, x = –1 için en büyük değerini almış-tır. Dolayısıyla (–1, 4) noktası fonksiyonun maksi-mum noktasıdır ve fonksiyonun maksimum değe-ri 4’tür. f, x = 5 için en küçük değerini aldığından (5, –4) noktası fonksiyonun minimum noktasıdır ve fonksiyonun minimum değeri –4’tür.

13

Bir Fonksiyonun Ortalama Değişim Hızı

Bir y = f(x) fonksiyonunun [a, b] aralığındaki ortalama değişim hızı

f(b) – f(a)

b – a

ile hesaplanır.

Ortalama değişim hızı pozitif ise değişim artma yönün-de, negatif ise değişim azalma yönündedir.

Fonksiyonların DönüşümleriTek ve Çift Fonksiyonların Grafikleri

f: R → R, y = f(x) fonksiyonu verilmiş olsun.

• ∀x ∈ R için f(–x) = f(x) ise, f çift fonksiyondur. Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetrik-

tir.

• ∀x ∈ R için f(–x) = –f(x) ise, f tek fonksiyondur. Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.

y = f(x) + k Dönüşümü

k ∈ R+ olmak üzere,

• y = f(x) + k fonksiyonunun grafiği, y = f(x) fonksiyonu-nun grafiğinin y ekseni boyunca pozitif yönde (yukarı doğru) k birim ötelenmesiyle elde edilir.

• y = f(x) – k fonksiyonunun grafiği, y = f(x) fonksiyonu-nun grafiğinin y ekseni boyunca negatif yönde (aşağı doğru) k birim ötelenmesiyle elde edilir.

y = f(x – k) Dönüşümü

k ∈ R+ olmak üzere,

• y = f(x – k) fonksiyonunun grafiği, y = f(x)’in grafiğinin x ekseni boyunca pozitif yönde (sağa doğru) k birim ötelenmesiyle elde edilir.

• y = f(x + k) fonksiyonunun grafiği, y = f(x)’in grafiğinin x ekseni boyunca negatif yönde (sola doğru) k birim ötelenmesiyle elde edilir.

y = k.f(x) ve y = f(kx) Dönüşümleri

• k ∈ R olmak üzere, f(x)’in grafiğinde, görüntü kümesi-nin tüm elemanları k ile çarpılırsa y = k.f(x) fonksiyo-nunun grafiği elde edilir.

• k ≠ 0 ve k ∈ R olmak üzere, f(x)’in grafiğinde tanım kümesinin tüm elemanları k ile bölünürse y = f(kx) fonksiyonunun grafiği elde edilir.

y = –f(x) ve y = f(–x) Dönüşümleri

• y = –f(x), f’nin grafiğinin x-eksenine göre simetriğidir.

• y = f(–x), f’nin grafiğinin y-eksenine göre simetriğidir.

Örnek 2

f(x) = x2 + x – 2 fonksiyonunun grafiği analitik düz-lemde sağa doğru 1 birim, yukarı doğru 3 birim öte-lenerek g(x) fonksiyonunun grafiği elde ediliyor. g(x) fonksiyonunun grafiğinin y eksenine göre simetriği alınarak h(x) fonksiyonu elde ediliyor.

Buna göre, h(–1) değerini bulunuz.

Çözüm:

g(x) = f(x – 1) + 3 olduğundan

g(x) = (x – 1)2 + (x – 1) – 2 + 3

g(x) = x2 – x + 1 olur.

h(x) = g(–x) olduğundan h(x) = x2 + x + 1 ve

h(–1) = 1 – 1 + 1 = 1 bulunur.

İkinci Dereceden Fonksiyonlar

a, b, c ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere,

f(x) = ax2 + bx + c

fonksiyonuna ikinci dereceden fonksiyon denir ve bu fonksiyonların grafiklerine parabol denir.

Grafiğin Eksenleri Kestiği Noktalar

a) x = 0 için parabolün y eksenini kestiği nokta bulunur.

b) y = 0 için parabolün x eksenini kestiği noktalar bulu-nur.

f(x) = ax2 + bx + c = 0 denkleminde

• ∆ > 0 ise parabol x eksenini

O

yf

x

iki farklı noktada keser.

14

ÖZET• ∆ = 0 ise parabol x eksenine

O

yf

x

teğettir.

• ∆ < 0 ise parabol x eksenini

O

yf

x

kesmez.

Parabolün Tepe Noktası

x

y

x1 x2

x = r

T(r, k)

f(x)

O

f(x) = ax2 + bx + c parabolü-nün tepe noktası T(r, k) ol-mak üzere,

r = –b2a ve k = f(r) =

4ac – b2

4a

olur.

• x = r doğrusu parabolün simetri eksenidir.

r = x1 + x2

2’dir.

• Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir fonksiyon en kü-çük ya da en büyük değerini tepe noktasında alır.

x

y

Tk

r

f(x)a > 0

O

Parabolün kolları yukarı doğru olduğundan x = r için fonksiyonun en küçük de-ğeri k = f(r)’dir.

x

y

Tk

rf(x)a < 0

O

Parabolün kolları aşağı doğru olduğundan x = r için fonksiyonun en büyük de-ğeri k = f(r)’dir.

Parabolün Denklemini Yazma

a)

x

y

x1 x2

f(x)

O

Eksenleri kestiği nokta-lar verilen parabolün denklemi

f(x) = a(x – x1)(x – x2)

biçimindedir.

Parabolün üzerindeki başka nokta fonksiyonda yerine yazılarak a katsayısı bulunur.

b) Tepe noktası T(r, k) olan

x

y

T(r, k)

f(x)

O

parabolün denklemi

f(x) = a(x – r)2 + k

biçimindedir.

c)

x

y

x1

f(x)

O

Parabol x eksenine apsi-si x1 olan noktada teğet ise, parabolün denklemi

f(x) = a(x – x1)2

biçimindedir.

d) Parabolün geçtiği üç nokta verildiğinde bu noktalar f(x) = ax2 + bx + c biçimindeki parabol denkleminde yerine yazılır.

Örnek 3

f: R → R, f(x) = (2m – 1)x2 – 3mx + 5 fonksiyonunun grafiğinin simetri ekseni x = 1 doğrusu olduğuna göre, fonksiyonun alabileceği en küçük değer kaç-tır?

Çözüm:

f(x) = (2m – 1)x2 – 3mx + 5 fonksiyonunda

a = 2m – 1, b = –3m ve c = 5’tir.

x = r = –b2a ⇒ 1 =

3m2(2m – 1) ⇒ 4m – 2 = 3m

⇒ m = 2

f(x) = 3x2 – 6x + 5 fonksiyonunun en küçük değeri k = f(1) ⇒ k = 3 – 6 + 5 = 2 olur.

15

Örnek 4

9

y

xO

f(x) = x2 – 4x + 4

g(x) = –x2 + mx + n

Yukarıda grafiği verilen f(x) ve g(x) parabolleri birbir-lerini tepe noktalarında kesmektedir.

Buna göre, g(1) değerini bulalım.

Çözüm:

9A

y

xO–1 2B

f(x) = x2 – 4x + 4

g(x) = –x2 + mx + n

f(x) = x2 – 4x + 4 = 9 ⇒ x2 – 4x – 5 = 0

⇒ (x – 5)(x + 1) = 0

⇒ x1 = –1 ve x2 = 5

Buradan A noktasının apsisi –1 olur.

f(x) = x2 – 4x + 4 = 0 ⇒ (x – 2)2 = 0 ⇒ x = 2

Buradan B noktasının apsisi 2 olur.

A(–1, 9) ve B(2, 0) noktaları g(x) = –x2 + mx + n pa-rabolünün üzerinde olduğundan g(–1) = 9 ve g(2) = 0 olmalıdır.

g(–1) = –1 – m + n = 9 ⇒ –m + n = 10g(2) = –4 + 2m + n = 0 ⇒ 2m + n = 4

Buradan m = –2 ve n = 8 bulunur.

g(x) = –x2 – 2x + 8 ⇒ g(1) = –1 – 2 + 8 = 5 bulunur.

Örnek 5

x

Ege, elindeki topu yatay olarak attığında top x metre uzaklıktaki noktaya düşüyor.

Topun yerden yüksekliği

h(x) = –1

450(x2 – 900)

fonksiyonu ile modelleniyor.

Buna göre, x kaç birimdir?

Çözüm:

Top yere çarptığında h = 0 olduğundan–1

450(x2 – 900) = 0 ⇒ x2 = 900 ⇒ x = 30 birim olur.

Örnek 6

y = –2x + m – 3 doğrusu, f(x) = x2 + 2x + 2m parabo-lüne teğet olduğuna göre, m kaçtır?

Çözüm:

Parabol ile doğrunun ortak çözümü yapıldığında

–2x + m – 3 = x2 + 2x + 2m

⇒ x2 + 4x + m + 3 = 0

denkleminde ∆ = 0 olmalıdır.

∆ = 42 – 4(m + 3) = 0

16 – 4m – 12 = 0 ⇒ m = 1

1. SEVİYE

Test 01

16

FONKSİYONLARLA İLGİLİ UYGULAMALAR - 1

1 – 3. soruları aşağıdaki bilgiye göre cevaplayınız.

–1–2

–3

–2

–3

1O

2

4

y

x34

5

f(x)

Şekilde, f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

1. f(x) fonksiyonunun x eksenini kestiği noktaların apsislerinin toplamı kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2. f(x) eğrisinin y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

3. f fonksiyonu ile ilgili olarak

I. Grafiği (1, –3) noktasından geçer.

II. f(x) = 2 eşitliğini sağlayan 3 farklı x gerçel sayısı vardır.

III. f(2) < 0’dır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III

D) I ve II E) I, II ve III

4 ve 5. soruları aşağıdaki bilgiye göre cevaplayınız.

f: [–3, 4] → R, y = f(x) fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.

–1–2–3

–2

1O

2

y

x2

3

4

y = f(x)

4. f(x) fonksiyonunun pozitif değer aldığı en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

A) [–3, –2) B) (0, 2) C) (–2, 2)

D) [–3, –2) ∪ (0, 2) E) (–2, 0) ∪ (2, 4)

5. f(x) ≤ 0 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

6. Aşağıda [–3, 4] aralığında tanımlı f fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

–1–3 O

2

y

x2

65

1

4

f(x)

Buna göre, f fonksiyonu ile ilgili olarak aşağıda-kilerden hangisi yanlıştır?

A) Maksimum noktasının apsisi –1’dir.

B) (–1, 2) aralığında azalandır.

C) Minimum değeri 1’dir.

D) (2, 4) aralığında artandır.

E) x eksenini bir noktada keser.

Soru Soru Soru

C E

V A

P L

A R

Num

ara AD SOYAD

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

2

3

4

5

A B C D E

6

7

8

9

10

A B C D E

11

12

13

14

15

A B C D E

101585

Powered by TCPDF (www.tcpdf.org) 17

7 ve 8. soruları aşağıdaki bilgiye göre cevaplayınız.

–2–4

–5

–5

–3

1O

2

4y

x3

4 5

y = f(x)

Şekilde f: [–5, 5] → R, y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

7. f fonksiyonunun minimum noktası aşağıdakiler-den hangisidir?

A) (–2, –5) B) (1, 0) C) (3, 2)

D) (4, 0) E) (5, –3)

8. f fonksiyonunun maksimum değeri kaçtır?

A) –5 B) –3 C) 0 D) 2 E) 4

9. Aşağıda, y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

–2–4 O

2

y

x2

3

1

4

y = f(x)

Buna göre, f fonksiyonu ile ilgili olarak

I. (–4, –2) aralığında azalandır.

II. (–2, 2) aralığında sabittir.

III. (2, 4) aralığında artandır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III

D) I ve II E) I, II ve III

10. f(x) = x2 + x + 3

fonksiyonunun [–1, 2] aralığındaki ortalama deği-şim hızı aşağıdakilerden hangisidir?

A) 1 B) 43

C) 53

D) 2 E) 73

11. Dik koordinat düzleminde f(x) fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.

–2–1

–2–1

–3

1O

4

y

x3 5

67

y = f(x)

Buna göre, f(x) fonksiyonu için

I. Maksimum değeri ile minimum değerinin topla-mı 1’dir.

II. [–2, 1] aralığında değişim hızı –2’dir.

III. [3, 5] aralığında değişim hızı 2’dir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III

D) II ve III E) I, II ve III

12. Aşağıda A ilinin farklı yıllara ait yıllık pamuk üretimini ton cinsinden veren f fonksiyonlarının değerler tab-losu verilmiştir.

x

(Yıl)2013 2014 2015 2016 2017 2018

f (Üretim)

720 800 820 900 1080 1200

Buna göre, bu ilin 2014 - 2018 yılları arasında pamuk üretiminin ortalama değişim hızı aşağıda-kilerden hangisidir?

A) 80 B) 100 C) 110 D) 120 E) 130

1. SEVİYE

18

FONKSİYONLARLA İLGİLİ UYGULAMALAR - 2 Test 021. f: A → B olmak üzere, y = f(x) fonksiyonu için aşağı-

daki bilgiler veriliyor.

• Ençokbirk∈ A için f(k) = 0’dır.

• Herx∈ A için f(x) ≥ 0’dır.

• m∈ B olmak üzere, f(0) = m’dir.

Buna göre,

I.

O

y

x

III.

O

y

x

II.

O

y

x

grafiklerinden hangileri f fonksiyonunun grafiği olabilir?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III

D) I ve II E) I, II ve III

2. Aşağıda, y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

–3

–2

2O

3

y

x3

y = f(x)

Buna göre, |f(x)| = –f(x) eşitliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

3. f(x) = x2 + mx

fonksiyonunun [1, 3] aralığındaki ortalama deği-şim hızı 3 olduğuna göre, m kaçtır?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

4. Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f fonksiyo-nunun grafiği aşağıdaki dik koordinat düzleminde verilmiştir.

–2–3

–2

2

2

O

3

y

x4 6 8

f

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) (2, 6) aralığında f artandır.

B) f’nin maksimum değeri 3’tür.

C) f(k) = 2 eşitliğini sağlayan 3 farklı k gerçel sayısı vardır.

D) [–1, 1] aralığında f’nin değişim hızı negatiftir.

E) f’nin minimum değeri –2’dir.

5. Aşağıdaki tabloda doğrusal f fonksiyonunun aldığı bazı değerler gösterilmiştir.

x –2 –1 0 1 2 3

f 24 20 16 12 8 4

Buna göre, f fonksiyonu ile ilgili olarak

I. Kuralı f(x) = 16 – 4x’tir.

II. Grafiği y eksenini (0, 16) noktasında keser.

III. [–1, 2] aralığındaki ortalama değişim hızı –4’tür.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III

D) I ve III E) I, II ve III

6. f(x) = 1x – 3

fonksiyonu aşağıdaki aralıklardan hangisinde pozitif değerlidir?

A) (3, ∞) B) (1, ∞) C) (–3, 3)

D) (–∞, 3) E) (–∞, –3)

Soru Soru Soru

C E

V A

P L

A R

Num

ara AD SOYAD

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

2

3

4

5

A B C D E

6

7

8

9

10

A B C D E

11

12

13

14

15

A B C D E

101586

Powered by TCPDF (www.tcpdf.org) 19

7. Aşağıda 2013 yılında kurulan bir şirketin ilk altı yıl-daki kâr - zarar durumu gösterilmiştir.

2013

200

300

–300

Yıl2014 2015

20162018

Kâr/Zarar (bin TL)

2017

Grafikte verilen bilgilere göre,

I. Şirket, 2018 yılı sonunda en büyük kârını elde etmiştir.

II. Şirket, 2014 yılında 200 TL kâr elde etmiştir.

III. Şirket, 2015 - 2017 yılları arasında zarar etmiş-tir.

ifadelerinden hangileri yanlıştır?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III

D) I ve III E) I, II ve III

8. [–2, 3] aralığında tanımlı f(x) fonksiyonunun grafiği aşağıdaki dik koordinat düzleminde verilmiştir.

–2

2

O

3

y

x31

1f(x)

Buna göre, f fonksiyonuyla ilgili olarak

I. Pozitif değerlidir.

II. (1, 3) aralığında azalandır.

III. (–2, 1) aralığında değişim hızı pozitiftir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III

D) I ve II E) I, II ve III

9. Aşağıda [–4, 5] aralığında tanımlı olan f(x) fonksiyo-nunun grafiği verilmiştir.

–2–4

–2

21

O

34

y

x3 5

f(x)

Buna göre, f(x) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) (–2, 2) aralığında azalandır.

B) (0, 3) aralığında negatif değerlidir.

C) [–4, –2] aralığındaki ortalama değişim hızı 1’dir.

D) Minimum değeri –2’dir.

E) Maksimum noktası (4, 5)’tir.

10.

f: R → R,

f(x) = (m – 3)x + 5

fonksiyonu daima azalandır.

Ayşe öğretmen, öğrencilerinden tahtaya yazdığı ifadeye uygun m değerlerinden birer tane söyleme-lerini istemiştir.

Aslı: –2019

Betül: 3

Cem: 13

Deren: 4

Buna göre, hangi öğrencilerin söylediği sayılar verilen ifadeye uygun değildir?

A) Yalnız Betül B) Yalnız Cem

C) Aslı ve Deren D) Betül ve Deren

E) Betül, Cem ve Deren