matematyka - zstskwierzyna.pl · dorota ponczek, karolina wej agnieszka kamińska matematyka plan...

Dorota Ponczek, Karolina Wej

Agnieszka Kamińska

MATeMAtyka

Plan wynikowy

Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 1. Plan wynikowy. ZPiR

2

Oznaczenia:

K – wymagania konieczne; P – wymagania podstawowe; R – wymagania rozszerzające; D – wymagania dopełniające; W – wymagania wykraczające

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia Poziom

wymagań

1. LICZBY RZECZYWISTE

1. Liczby naturalne definicja dzielnika liczby naturalnej

definicja liczby pierwszej

cechy podzielności liczb naturalnych

definicja liczby parzystej

i nieparzystej

rozkład liczby naturalnej na czynniki pierwsze

znajdowanie NWD i NWW

twierdzenie o rozkładzie liczby naturalnej na

czynniki pierwsze

Uczeń:

podaje przykłady liczb pierwszych, parzystych

i nieparzystych

podaje dzielniki danej liczby naturalnej

przedstawia liczbę naturalną w postaci iloczynu liczb

pierwszych

oblicza NWD i NWW dwóch liczb naturalnych

przeprowadza dowody twierdzeń dotyczących podzielności

liczb, np. „Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba

n2

+ n jest parzysta”

K

K–P

K–R

P

D–W

2. Liczby całkowite.

Liczby wymierne definicja liczby całkowitej

definicja liczby wymiernej

oś liczbowa

kolejność wykonywania działań

Uczeń:

rozpoznaje liczby całkowite i liczby wymierne wśród

podanych liczb

podaje przykłady liczb całkowitych i wymiernych

odczytuje z osi liczbowej współrzędną danego punktu

i odwrotnie: zaznacza punkt o podanej współrzędnej na osi

liczbowej

wykonuje działania na liczbach wymiernych

K

K

K

K


3


wymagań

3. Liczby niewymierne definicja liczby niewymiernej

konstruowanie odcinków

o długościach niewymiernych

Uczeń:

wskazuje liczb liczby niewymierne wśród podanych

konstruuje odcinki o długościach niewymiernych

zaznacza na osi liczbowej punkt odpowiadający liczbie

niewymiernej

wykazuje, dobierając odpowiednio przykłady, że suma,

różnica, iloczyn oraz iloraz liczb niewymiernych nie musi

być liczbą niewymierną

dowodzi niewymierności liczby 2

dowodzi niewymierności innych liczb, np. 13,3

K

P–R

P–D

P–R

K–P

R–W

4. Rozwinięcie dziesiętne

liczby rzeczywistej postać dziesiętna liczby rzeczywistej

metoda przedstawiania ułamków zwykłych w

postaci dziesiętnej

metoda przedstawiania ułamków dziesiętnych w

postaci ułamków zwykłych

Uczeń:

wskazuje liczby wymierne oraz niewymierne wśród liczb

podanych w postaci dziesiętnej

wyznacza rozwinięcie dziesiętne ułamków zwykłych

zamienia skończone rozwinięcia dziesiętne na ułamki

zwykłe

przedstawia ułamki dziesiętne okresowe w postaci ułamków

zwykłych

K

K

K

P–R

5. Pierwiastek z liczby

nieujemnej definicja pierwiastka kwadratowego z liczby

nieujemnej

definicja pierwiastka trzeciego stopnia z liczby

nieujemnej

definicja pierwiastka dowolnego stopnia z liczby

nieujemnej

działania na pierwiastkach

Uczeń:

oblicza wartość pierwiastka drugiego i trzeciego stopnia

z liczby nieujemnej

oblicza wartość pierwiastka dowolnego stopnia z liczby

nieujemnej

wyłącza czynnik przed znak pierwiastka

włącza czynnik pod znak pierwiastka

wyznacza wartości wyrażeń arytmetycznych zawierających

pierwiastki, stosując prawa działań na pierwiastkach

K

K

P

P

P–R


4


wymagań

6. Pierwiastek

nieparzystego stopnia

z liczby rzeczywistej

definicja pierwiastka trzeciego stopnia z liczby

rzeczywistej

definicja pierwiastka nieparzystego stopnia z

liczby rzeczywistej

działania na pierwiastkach

Uczeń:

oblicza wartość pierwiastka trzeciego stopnia z liczby

rzeczywistej

oblicza wartość pierwiastka nieparzystego stopnia z liczby

rzeczywistej

wyznacza wartości wyrażeń arytmetycznych zawierających

pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb rzeczywistych,

stosując prawa działań na pierwiastkach

K

K

P–R

7. Potęga o wykładniku

całkowitym definicja potęgi o wykładniku naturalnym

definicja potęgi o wykładniku całkowitym

ujemnym

twierdzenia o działaniach na potęgach

Uczeń:

oblicza wartość potęgi liczby o wykładniku naturalnym

i całkowitym ujemnym

stosuje twierdzenia o działaniach na potęgach do obliczania

wartości wyrażeń

stosuje twierdzenia o działaniach na potęgach do

upraszczania wyrażeń algebraicznych

K

P–R

P–R

8. Notacja wykładnicza definicja notacji wykładniczej

sposób zapisywania małych

i dużych liczb w notacji wykładniczej

działania na liczbach zapisanych

w notacji wykładniczej

Uczeń:

zapisuje i odczytuje liczbę w notacji wykładniczej

wykonuje działania na liczbach zapisanych w notacji

wykładniczej

K

P–R

9. Przybliżenia reguła zaokrąglania

przybliżanie z nadmiarem

i z niedomiarem

błąd przybliżenia

Uczeń:

zaokrągla liczbę z podaną dokładnością

oblicza błąd przybliżenia danej liczby oraz ocenia, czy jest

to przybliżenie z nadmiarem, czy z niedomiarem

szacuje wyniki działań

K

K–P

K–P


5


wymagań

10. Procenty pojęcie procentu

pojęcie punktu procentowego

Uczeń:

oblicza procent danej liczby

interpretuje pojęcia procentu i punktu procentowego

oblicza, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

wyznacza liczbę, gdy dany jest jej procent

zmniejsza i zwiększa liczbę o dany procent

stosuje obliczenia procentowe w zadaniach praktycznych

stosuje obliczenia procentowe w zadaniach praktycznych

dotyczących płac, podatków, rozliczeń bankowych

K

K

P

P

P

P–R

K–D

11. Powtórzenie

wiadomości

12. Praca klasowa i jej

omówienie

2. JĘZYK MATEMATYKI

1. Zbiory sposoby opisywania zbiorów

zbiory skończone i nieskończone

zbiór pusty

definicja podzbioru

relacja zawierania zbiorów

zapis symboliczny zbioru

Uczeń:

posługuje się pojęciami: zbiór, podzbiór, zbiór pusty, zbiór

skończony, zbiór nieskończony

wymienia elementy danego zbioru oraz elementy do niego

nienależące

opisuje słownie i symbolicznie dany zbiór

określa relację zawierania zbiorów

K

P

P–R

P–R


6


wymagań

2. Działania na zbiorach iloczyn zbiorów

suma zbiorów

różnica zbiorów

dopełnienie zbioru

Uczeń:

posługuje się pojęciami: iloczyn, suma oraz różnica zbiorów

wyznacza iloczyn, sumę oraz różnicę danych zbiorów

przedstawia na diagramie zbiór, który jest wynikiem działań

na trzech dowolnych zbiorach

wyznacza dopełnienie zbioru

formułuje i uzasadnia hipotezy dotyczące praw działań na

zbiorach

K

P–R

R–D

R

W

3. Przedziały określenie przedziałów: otwartego, domkniętego,

lewostronnie domkniętego, prawostronnie

domkniętego, nieograniczonego

zapis symboliczny przedziałów

Uczeń:

rozróżnia pojęcia: przedział otwarty, domknięty,

lewostronnie domknięty, prawostronnie domknięty,

nieograniczony

zapisuje przedział i zaznacza go na osi liczbowej

odczytuje i zapisuje symbolicznie przedział zaznaczony na

osi liczbowej

wyznacza przedział opisany podanymi nierównościami

wymienia liczby należące do przedziału spełniające zadane

warunki

K

K

K

P

P–D

4. Działania na

przedziałach iloczyn, suma, różnica przedziałów Uczeń:

wyznacza iloczyn, sumę i różnicę przedziałów oraz zaznacza

je na osi liczbowej

wyznacza iloczyn, sumę i różnicę różnych zbiorów

liczbowych oraz zapisuje je symbolicznie

K–P

R–D


7


wymagań

5. Rozwiązywanie

nierówności nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą

nierówności równoważne

Uczeń:

sprawdza, czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem

nierówności

rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną

niewiadomą

zapisuje zbiór rozwiązań nierówności w postaci przedziału

stosuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą

do rozwiązywania zadań osadzonych w kontekście

praktycznym

K

K–P

K

P–R

6. Wzory skróconego

mnożenia

wzory skróconego mnożenia

(a b)² oraz a² – b²

wzory skróconego mnożenia

(a b)³ oraz a³ b³

Uczeń:

stosuje odpowiedni wzór skróconego mnożenia do

wyznaczenia kwadratu sumy lub różnicy oraz różnicy

kwadratów

przekształca wyrażenie algebraiczne z zastosowaniem

wzorów skróconego mnożenia

stosuje wzory skróconego mnożenia do wykonywania

działań na liczbach postaci cba

wyprowadza wzory skróconego mnożenia

usuwa niewymierność z mianownika ułamka

K

P–R

P–D

R

R

7. Zastosowanie

przekształceń

algebraicznych

zastosowanie przekształceń algebraicznych do

przekształcania równoważnego równań i

nierówności

usuwanie niewymierności

z mianownika

Uczeń:

stosuje przekształcenia algebraiczne do przekształcenia

równoważnego równań oraz nierówności

usuwa niewymierność z mianownika ułamka

P – R

P–D


8


wymagań

8. Wartość bezwzględna

definicja wartości bezwzględnej

interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej

Uczeń:

oblicza wartość bezwzględną danej liczby

upraszcza wyrażenia z wartością bezwzględną

rozwiązuje, stosując interpretację geometryczną,

elementarne równania i nierówności z wartością

bezwzględną

K–P

P–R

K–D

9. Własności wartości

bezwzględnej

własności wartości bezwzględnej Uczeń:

stosuje podstawowe własności wartości bezwzględnej

korzystając z własności wartości bezwzględnej, rozwiązuje

proste równania i nierówności z wartością bezwzględną

korzystając z własności wartości bezwzględnej, upraszcza

wyrażenia z wartością bezwzględną

K

P–D

R–D

10. Równania

i nierówności

z wartością bezwzględną

metody rozwiązywania równań

i nierówności z wartością bezwzględną

Uczeń:

rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną,

stosując interpretację geometryczną

rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną,

stosując definicję oraz własności wartości bezwzględnej

K–R

P–D

11. Błąd bezwzględny i

błąd względny

określenie błędu bezwzględnego

i błędu względnego przybliżenia

Uczeń:

rozróżnia pojęcia: błąd bezwzględny, błąd względny

przybliżenia

oblicza błąd bezwzględny oraz błąd względny przybliżenia

liczby

K

P

12. Powtórzenie

wiadomości


omówienie


9


wymagań

3. FUNKCJA LINIOWA

1. Sposoby opisu funkcji definicja funkcji

sposoby opisywania funkcji

definicja miejsca zerowego

Uczeń:

stosuje pojęcia: funkcja, argument, dziedzina, wartość

funkcji, wykres funkcji, miejsce zerowe funkcji

rozpoznaje wśród danych przyporządkowań te, które opisują

funkcje

podaje przykłady funkcji

opisuje funkcję różnymi sposobami

K

K–R

K–R

K–R

2. Wykres funkcji liniowej

definicja funkcji liniowej

wykres funkcji liniowej

interpretacja geometryczna współczynników

występujących we wzorze funkcji liniowej

pojęcia: pęk prostych, środek pęku

Uczeń:

rozpoznaje funkcję liniową, mając dany jej wzór oraz

szkicuje jej wykres

interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji

liniowej i wskazuje wśród danych wzorów funkcji liniowych

te, których wykresy są równoległe

podaje własności funkcji liniowej danej wzorem

wyznacza wzór funkcji liniowej, której wykres spełnia

zadane warunki, np. jest równoległy do wykresu danej

funkcji liniowej

K–P

K

K–P

P–R


10


wymagań

3. Własności funkcji

liniowej

własności funkcji liniowej Uczeń:

wyznacza miejsce zerowe i określa monotoniczność funkcji

liniowej danej wzorem

wyznacza współrzędne punktów, w których wykres funkcji

liniowej przecina osie układu współrzędnych oraz podaje,

w których ćwiartkach układu znajduje się wykres

wyznacza wartości parametrów, dla których funkcja ma

określone własności

K

K

P–R

4. Równanie prostej na

płaszczyźnie

równanie kierunkowe prostej

równanie ogólne prostej

Uczeń:

podaje równanie kierunkowe i ogólne prostej

zamienia równanie ogólne prostej, która nie jest równoległa

do osi OY, na równanie w postaci kierunkowej

wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane

punkty

rysuje prostą opisaną równaniem ogólnym

wyznacza wartości parametru, dla których prosta spełnia

określone warunki

K

P–R

P

P

P–R

5. Współczynnik

kierunkowy prostej

współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej

przez dwa dane punkty

interpretacja geometryczna współczynnika

kierunkowego

Uczeń:

oblicza współczynnik kierunkowy prostej, mając dane

współrzędne dwóch punktów należących do tej prostej

szkicuje prostą, wykorzystując interpretację współczynnika

kierunkowego

odczytuje wartość współczynnika kierunkowego, mając

dany wykres; w przypadku wykresu zależności drogi od

czasu w ruchu jednostajnym podaje wartość prędkości

wyprowadza równanie prostej przechodzącej przez dwa

punkty

K

K–R

P–D

D


11


wymagań

6. Warunek prostopadłości

prostych

warunek prostopadłości prostych

o równaniach kierunkowych

wyznaczanie równania prostej prostopadłej do

danej prostej

Uczeń:

podaje warunek prostopadłości prostych o równaniach

kierunkowych

wyznacza równanie prostej prostopadłej do danej prostej

i przechodzącej przez dany punkt

wyznacza wartości parametru, dla których proste są

prostopadłe

uzasadnia warunek prostopadłości prostych o równaniach

kierunkowych

K

P–R

R–D

D

7. Układy równań

liniowych

metody algebraiczne rozwiązywania układów

równań liniowych

definicja układu równań oznaczonego,

sprzecznego, nieoznaczonego

Uczeń:

rozwiązuje układ równań metodą podstawiania

i przeciwnych współczynników

określa typ układu równań (czy dany układ równań jest

układem oznaczonym, nieoznaczanym, czy sprzecznym)

układa i rozwiązuje układ równań do zadania z treścią

rozwiązuje układ trzech równań z trzema niewiadomymi

K–P

K

P

R–D

8. Interpretacja

geometryczna układu

równań liniowych

interpretacja geometryczna układu oznaczonego,

sprzecznego i nieoznaczonego

Uczeń:

interpretuje geometrycznie układ równań

rozwiązuje układ równań metodą graficzną

wykorzystuje związek między liczbą rozwiązań układu

równań a położeniem prostych

rozwiązuje układ równań z parametrem oraz określa jego typ

w zależności od wartości parametru

rozwiązuje graficznie układ równań z wartością

bezwzględną

K

K–P

P–R

R–W

D


12


wymagań

9. Układy nierówności

liniowych interpretacja geometryczna nierówności z dwiema

niewiadomymi

pojęcie półpłaszczyzny otwartej i domkniętej

ilustracja geometryczna układu nierówności

Uczeń:

interpretuje geometrycznie nierówności z dwiema

niewiadomymi oraz pojęcie półpłaszczyzny otwartej

i domkniętej

zaznacza w układzie współrzędnych zbiór punktów, których

współrzędne spełniają układ nierówności liniowych

z dwiema niewiadomymi

zapisuje układ nierówności opisujący zbiór punktów

przedstawionych w układzie współrzędnych

rozwiązuje graficznie układ kilku nierówności z dwiema

niewiadomymi

wyznacza w układzie współrzędnych iloczyn, sumę i różnicę

zbiorów punktów opisanych nierównościami liniowymi

z dwiema niewiadomymi

K

K–P

P–D

R–D

D

10. Funkcja liniowa –

zastosowania

tworzenie modelu matematycznego opisującego

przedstawione zagadnienie praktyczne

Uczeń:

przeprowadza analizę zadania z treścią, a następnie zapisuje

odpowiednie równanie, nierówność liniową lub wzór funkcji

liniowej

rozwiązuje ułożone przez siebie równanie, nierówność lub

analizuje własności funkcji liniowej

przeprowadza analizę wyniku i podaje odpowiedź

P–R

P–R

P–D

11. Powtórzenie

wiadomości


omówienie


13


wymagań

4. FUNKCJE

1. Dziedzina i miejsca

zerowe funkcji dziedzina funkcji opisanej wzorem

definicja miejsca zerowego funkcji

Uczeń:

wyznacza dziedzinę funkcji opisanej wzorem

wyznacza miejsca zerowe funkcji opisanej wzorem

P–D

P–D

2. Szkicowanie wykresu

funkcji wykres funkcji Uczeń:

szkicuje wykres funkcji określonej nieskomplikowanym

wzorem

szkicuje wykres funkcji przedziałami liniowej

K – P

P

3. Monotoniczność funkcji definicje: funkcji rosnącej, malejącej i stałej

pojęcie monotoniczności funkcji

definicje: funkcji nierosnącej

i niemalejącej

pojęcie funkcji przedziałami monotonicznej

Uczeń:

stosuje pojęcie funkcji monotonicznej (rosnącej, malejącej,

stałej, niemalejącej, nierosnącej)

na podstawie wykresu funkcji określa jej monotoniczność

rysuje wykres funkcji o zadanych kryteriach

monotoniczności

bada na podstawie definicji monotoniczność funkcji

określonej wzorem

K

K–R

P–R

D

4. Odczytywanie

własności funkcji

z wykresu

zbiór wartości funkcji

interpretacja geometryczna miejsca zerowego

funkcji

największa i najmniejsza wartość funkcji

znak wartości funkcji

Uczeń:

stosuje pojęcia: zbiór wartości funkcji, największa

i najmniejsza wartość funkcji

odczytuje z wykresu funkcji jej dziedzinę, zbiór wartości,

miejsca zerowe; argumenty, dla których funkcja przyjmuje

wartości ujemne; argumenty, dla których funkcja przyjmuje

wartości dodatnie; przedziały monotoniczności funkcji,

najmniejszą i największą wartość funkcji

K

K–D

5. Przesuwanie wykresu

wzdłuż osi OY metoda otrzymywania wykresów funkcji

y = f(x) + q dla q > 0

oraz y = f(x) – q dla q > 0

Uczeń:

rysuje wykresy funkcji:

y = f(x) + q dla q > 0 oraz y = f(x) – q dla 0q

K–R


14


wymagań


wzdłuż osi OX metoda otrzymywania wykresów funkcji

y = f(x – p) dla 0p

oraz y = f(x + p) dla 0p

Uczeń:

rysuje wykresy funkcji: y = f(x – p) dla p > 0 oraz

y = f(x + p) dla p > 0

K–R

7. Wektory w układzie

współrzędnych pojęcie wektora

wektor przeciwny do danego

współrzędne wektora i ich interpretacja

geometryczna

Uczeń:

posługuje się pojęciem wektora i wektora przeciwnego

oblicza współrzędne wektora

wyznacza współrzędne początku lub końca wektora, mając

dane współrzędne wektora i współrzędne jednego z punktów

znajduje obraz figury w przesunięciu o dany wektor

K

K

P–R

P–R


o wektor metoda otrzymywania wykresu funkcji y = f(x –

p) + q

Uczeń:

szkicuje wykres funkcji y = f(x – p) + q

zapisuje wzór funkcji otrzymanej w wyniku danego

przesunięcia

P–R

R–D

9. Przekształcanie wykresu

przez symetrię względem

osi układu współrzędnych

metoda otrzymywania wykresu funkcji y = – f(x)

metoda otrzymywania wykresu funkcji y = f(–x)

Uczeń:

szkicuje wykresy funkcji y = – f(x) na podstawie wykresu

funkcji y = f(x)

szkicuje wykresy funkcji y = f(–x) na podstawie wykresu

funkcji y = f(x)

K–R

K–R

10. Inne przekształcenia

wykresu metoda otrzymywania wykresu funkcji y = |f(x)|

i y = f(|x|)

Uczeń:

na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy

funkcji y = |f(x)| i y = f(|x|)

na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykres

funkcji będący efektem wykonania kilku operacji

P–D

R–D


15


wymagań

11. Funkcje –

zastosowania

funkcje w sytuacjach praktycznych

Uczeń:

rozpoznaje zależność funkcyjną umieszczoną w kontekście

praktycznym, określa dziedzinę oraz zbiór wartości takiej

funkcji

przedstawia zależności opisane w zadaniach z treścią

w postaci wzoru lub wykresu

K

P–D

12. Powtórzenie

wiadomości


omówienie

5. FUNKCJA KWADRATOWA

1. Wykres funkcji

f(x) = ax2

wykres i własności funkcji

f(x) = ax2

, gdzie 0a

Uczeń:

szkicuje wykres funkcji f(x) = ax2

podaje własności funkcji f(x) = ax2

stosuje własności funkcji f(x) = ax2

do rozwiązywania zadań

K

K

P–R

2. Przesunięcie wykresu

funkcji f(x) = ax2 o wektor

metoda otrzymywania wykresów funkcji:

,)( 2 qaxxf

,)(2

pxaxf qpxaxf 2

)(

własności funkcji: ,)( 2 qaxxf

,)(2

pxaxf qpxaxf 2

)(

współrzędne wierzchołka paraboli

Uczeń:

szkicuje wykresy funkcji: ,)( 2 qaxxf

,)(2

pxaxf qpxaxf 2

)( i podaje ich własności

stosuje własności funkcji: ,)( 2 qaxxf

,)(2

pxaxf qpxaxf 2

)( do rozwiązywania

zadań

K–P

R


16


wymagań

3. Postać kanoniczna

i postać ogólna funkcji

kwadratowej

postać ogólna funkcji kwadratowej

postać kanoniczna funkcji kwadratowej

trójmian kwadratowy

współrzędne wierzchołka paraboli

rysowanie wykresu funkcji kwadratowej postaci

cbxaxxf 2)(

wyróżnik trójmianu kwadratowego

Uczeń:

podaje wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej

i kanonicznej

oblicza współrzędne wierzchołka paraboli

przekształca postać ogólną funkcji kwadratowej do postaci

kanonicznej (z zastosowaniem uzupełniania do kwadratu lub

wzoru na współrzędne wierzchołka paraboli) i szkicuje jej

wykres

przekształca postać kanoniczną funkcji kwadratowej do

postaci ogólnej

wyznacza wzór ogólny funkcji kwadratowej mając dane

współrzędne wierzchołka i innego punktu jej wykresu

wyprowadza wzory na współrzędne wierzchołka paraboli

K

K

P–R

P

P–R

R

4. Równania kwadratowe metoda rozwiązywania równań przez rozkład na

czynniki

zależność między znakiem wyróżnika a liczbą

rozwiązań równania kwadratowego

wzory na pierwiastki równania kwadratowego

interpretacja geometryczna rozwiązań równania

kwadratowego

Uczeń:

stosuje wzory skróconego mnożenia oraz zasadę wyłączania

wspólnego czynnika przed nawias do przedstawienia

wyrażenia w postaci iloczynu

rozwiązuje równanie kwadratowe przez rozkład na czynniki

rozwiązuje równania kwadratowe, korzystając z poznanych

wzorów

interpretuje geometrycznie rozwiązania równania

kwadratowego

stosuje poznane wzory przy szkicowaniu wykresu funkcji

kwadratowej

K

K–R

K

K

P–D


17


wymagań

5. Postać iloczynowa

funkcji kwadratowej definicja postaci iloczynowej funkcji kwadratowej

twierdzenie o postaci iloczynowej funkcji

kwadratowej

Uczeń:

definiuje postać iloczynową funkcji kwadratowej i warunek

jej istnienia

zapisuje funkcję kwadratową w postaci iloczynowej

odczytuje wartości pierwiastków trójmianu podanego

w postaci iloczynowej

przekształca postać iloczynową funkcji kwadratowej do

postaci ogólnej

wykorzystuje postać iloczynową funkcji kwadratowej do

rozwiązywania zadań

K

P

P

P

R

6. Równania sprowadzalne

do równań kwadratowych rozwiązywanie równań metodą podstawiania

Uczeń:

rozpoznaje równania, które można sprowadzić do równań

kwadratowych

wprowadza niewiadomą pomocniczą, podaje odpowiednie

założenia i rozwiązuje równanie kwadratowe z niewiadomą

pomocniczą

podaje rozwiązanie równania pierwotnego

K

P–R

P–D

7. Nierówności

kwadratowe metoda rozwiązywania nierówności

kwadratowych

Uczeń:

rozumie związek między rozwiązaniem nierówności

kwadratowej a znakiem wartości odpowiedniego trójmianu

kwadratowego

rozwiązuje nierówność kwadratową

wyznacza na osi liczbowej iloczyn, sumę i różnicę zbiorów

rozwiązań kilku nierówności kwadratowych

K

K–P

R–D


18


wymagań

8. Układy równań sposoby rozwiązywania układów równań drugiego

stopnia

Uczeń:

rozwiązuje algebraicznie i graficznie układy równań,

z których co najmniej jedno jest równaniem paraboli

stosuje układy równań drugiego stopnia do rozwiązywania

zadań z geometrii analitycznej

zaznacza w układzie współrzędnych obszar opisany układem

nierówności

K–P

P–D

D–W

9. Wzory Viète’a wzory Viète’a

określenie znaku pierwiastków równania

kwadratowego bez ich wyznaczania

Uczeń:

stosuje wzory Viète’a do wyznaczania sumy oraz iloczynu

pierwiastków równania kwadratowego (o ile istnieją)

określa znaki pierwiastków równania kwadratowego,

wykorzystując wzory Viète’a

stosuje wzory Viète’a do obliczania wartości wyrażeń

zawierających sumę i iloczyn pierwiastków trójmianu

kwadratowego

wyprowadza wzory Viète’a

K

P–R

R–D

W

10. Równania kwadratowe

z parametrem

rozwiązywanie równań

i nierówności kwadratowych

z parametrem

Uczeń:

przeprowadza analizę zadań z parametrem

zapisuje założenia, aby zachodziły warunki podane w treści

zadania

wyznacza te wartości parametru, dla których są spełnione

warunki zadania

K

K–D

K–D

11. Funkcja kwadratowa –

zastosowania najmniejsza i największa wartość funkcji

kwadratowej

w przedziale domkniętym

Uczeń:

stosuje pojęcie najmniejszej i największej wartości funkcji

wyznacza wartość najmniejszą i największą funkcji

kwadratowej w przedziale domkniętym

stosuje własności funkcji kwadratowej do rozwiązywania

zadań optymalizacyjnych

K

P–D

R–D


19


wymagań

12. Powtórzenie

wiadomości


omówienie

6. PLANIMETRIA

1. Miary kątów w trójkącie klasyfikacja trójkątów

twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie

Uczeń:

klasyfikuje trójkąty ze względu na miary ich kątów

stosuje twierdzenie o sumie miar kątów wewnętrznych

trójkąta do rozwiązywania zadań

przeprowadza dowód twierdzenia o sumie miar kątów

w trójkącie

K

K –R

D

2. Trójkąty przystające definicja trójkątów przystających

cechy przystawania trójkątów

nierówność trójkąta

Uczeń:

podaje definicję trójkątów przystających oraz cechy

przystawania trójkątów

wskazuje trójkąty przystające

stosuje nierówność trójkąta do rozwiązywania zadań

K

P–R

P–D

3. Trójkąty podobne definicja wielokątów podobnych

cechy podobieństwa trójkątów

skala podobieństwa

Uczeń:

podaje cechy podobieństwa trójkątów

sprawdza, czy dane trójkąty są podobne

oblicza długości boków trójkąta podobnego do danego w

danej skali

układa odpowiednią proporcję, aby wyznaczyć długości

brakujących boków trójkątów podobnych

wykorzystuje podobieństwo trójkątów do rozwiązywania

zadań

K

K–P

K–R

P–D

R–W


20


wymagań

4. Wielokąty podobne zależność między polami

i obwodami wielokątów podobnych a skalą

podobieństwa

Uczeń:

rozumie pojęcie figur podobnych

oblicza długości boków w wielokątach podobnych

wykorzystuje zależności między polami i obwodami

wielokątów podobnych a skalą podobieństwa do


K

K–R

K–D

5. Twierdzenie Talesa twierdzenie Talesa

twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa

Uczeń:

podaje twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne do

twierdzenia Talesa

wykorzystuje twierdzenie Talesa do rozwiązywania zadań

wykorzystuje twierdzenie Talesa do podziału odcinka

w podanym stosunku

przeprowadza dowód twierdzenia Talesa

K

P–D

P–R

D–W

6.Trójkąty prostokątne twierdzenie Pitagorasa

i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

wzory na długość przekątnej kwadratu i długość

wysokości trójkąta równobocznego

Uczeń:

podaje twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie odwrotne do

twierdzenia Pitagorasa oraz wzory na długość przekątnej

kwadratu i długość wysokości trójkąta równobocznego

stosuje twierdzenie Pitagorasa do rozwiązywania zadań

korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyprowadza

zależności ogólne, np. dotyczące długości przekątnej

kwadratu i wysokości trójkąta równobocznego

K

P–R

R–D


21


wymagań

7. Funkcje

trygonometryczne kąta

ostrego

definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego

wartości funkcji trygonometrycznych kątów

30º, 45º, 60º

Uczeń:

podaje definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego

w trójkącie prostokątnym

podaje wartości funkcji trygonometrycznych kątów

30º, 45º, 60º

wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych kątów

ostrych danego trójkąta prostokątnego


ostrych w bardziej złożonych sytuacjach

K

P

K

P–R

8. Trygonometria –

zastosowania odczytywanie wartości funkcji

trygonometrycznych kątów

w tablicach

odczytywanie miary kąta, dla którego dana jest

wartość funkcji trygonometrycznej

Uczeń:

odczytuje wartości funkcji trygonometrycznych danego kąta

w tablicach lub wartości kąta na podstawie wartości funkcji

trygonometrycznych

stosuje funkcje trygonometryczne do rozwiązywania zadań

praktycznych

K

P–R

9. Rozwiązywanie

trójkątów prostokątnych rozwiązywanie trójkątów prostokątnych Uczeń:

rozwiązuje trójkąty prostokątne

K–D

10. Związki między

funkcjami

trygonometrycznymi

podstawowe tożsamości trygonometryczne

wzory na: sin(90º – α),

cos(90º – α), tg(90º – α),

ctg(90º – α)

Uczeń:

podaje związki między funkcjami trygonometrycznymi tego

samego kąta

wyznacza wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych,

gdy dana jest jedna z nich

stosuje poznane związki do upraszczania wyrażeń

zawierających funkcje trygonometryczne

uzasadnia związki między funkcjami trygonometrycznymi

K

P–R

P–D

R–D


22


wymagań

11. Pole trójkąta wzory na pole trójkąta

( ahP2

1 , γ abP sin

2

1 , wzór Herona)

wzór na pole trójkąta równobocznego

Uczeń:

podaje różne wzory na pole trójkąta

oblicza pole trójkąta, dobierając odpowiedni wzór do

sytuacji

wykorzystuje umiejętność wyznaczania pól trójkątów do

obliczania pól innych wielokątów

K

P–R

R–D

12. Pole czworokąta wzory na pole równoległoboku, rombu, trapezu Uczeń:

podaje wzory na pole równoległoboku, rombu, trapezu

wykorzystuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania pól

czworokątów

K

K–D

13. Powtórzenie

wiadomości


omówienie

7. GEOMERTRIA ANALITYCZNA

1. Odległość między

punktami w układzie

współrzędnych. Środek

odcinka

wzór na odległość między punktami w układzie

współrzędnych

wzór na współrzędne środka odcinka

Uczeń:

oblicza odległość punktów w układzie współrzędnych

wyznacza współrzędne środka odcinka, mając dane

współrzędne jego końców

oblicza obwód wielokąta, mając dane współrzędne jego

wierzchołków

stosuje wzór na odległość między punktami do

rozwiązywania zadań dotyczących równoległoboków

K

K

P–R

R–D


23


wymagań

2.Odległość punktu od

prostej wzór na odległość punktu od prostej

współczynnik kierunkowy prostej

Uczeń:

oblicza odległość punktu od prostej

oblicza odległość między prostymi równoległymi

stosuje wzór na odległość punktu od prostej w zadaniach

z geometrii analitycznej

stosuje związek między współczynnikiem kierunkowym

a kątem nachylenia prostej do osi OX

wyznacza kąt między prostymi

wyprowadza wzór na odległość punktu od prostej

K

P

P–D

P–R

R–D

W

3. Okrąg w układzie

współrzędnych równanie okręgu Uczeń:

sprawdza, czy punkt należy do danego okręgu

wyznacza środek i promień okręgu, mając jego równanie

opisuje równaniem okrąg o danym środku i przechodzący

przez dany punkt

sprawdza, czy dane równanie jest równaniem okręgu

wyznacza wartość parametru tak, aby równanie opisywało

okrąg

stosuje równanie okręgu w zadaniach

K

K–P

K–P

R–D

R–D

R–D

4. Wzajemne położenie

dwóch okręgów okręgi styczne, przecinające się

i rozłączne

Uczeń:

określa wzajemne położenie dwóch okręgów, obliczając

odległości ich środków oraz na podstawie rysunku

dobiera tak wartość parametru, aby dane okręgi były styczne

K – R

P – R

5. Wzajemne położenie

okręgu i prostej styczna do okręgu

sieczna okręgu

Uczeń:

określa wzajemne położenie okręgu i prostej, porównując

odległość jego środka od prostej z długością promienia

okręgu

korzysta z własności stycznej do okręgu

wyznacza punkty wspólne prostej i okręgu

K

P – R

P – R


24


wymagań

6. Układy równań

drugiego stopnia sposoby rozwiązywania układów równań drugiego

stopnia

Uczeń:

rozwiązuje algebraicznie i graficznie układy równań,

z których co najmniej jedno jest drugiego stopnia

stosuje układy równań drugiego stopnia do rozwiązywania

zadań z geometrii analitycznej

K–P

P–D

7. Koło w układzie

współrzędnych nierówność opisująca koło Uczeń:

sprawdza, czy dany punkt należy do danego koła

opisuje w układzie współrzędnych koło

podaje geometryczną interpretację rozwiązania układu

nierówności stopnia drugiego

opisuje układem nierówności przedstawiony podzbiór

płaszczyzny

zaznacza w układzie współrzędnych zbiory spełniające

określone warunki

K

K

P–D

R–D

R–D

8. Działania na wektorach pojęcie wektora swobodnego i zaczepionego

dodawanie i odejmowanie wektorów

mnożenie wektora przez liczbę

interpretacja geometryczna działań na wektorach

długość wektora

pojęcie wektora zerowego i jednostkowego

Uczeń:

wykonuje działania na wektorach

sprawdza, czy wektory mają ten sam kierunek i zwrot

stosuje działania na wektorach i ich interpretację

geometryczną w zadaniach

K

K–P

P–D

9. Wektory – zastosowania zastosowanie działań na wektorach Uczeń:

stosuje działania na wektorach do badania współliniowości

punktów

stosuje działania na wektorach do podziału odcinka

stosuje wektory do rozwiązywania zadań

wykorzystuje działania na wektorach do dowodzenia

twierdzeń

K

K–P

P–D

W


25


wymagań

10. Jednokładność definicja jednokładności

pojęcie figur jednokładnych

twierdzenie o podobieństwie figur

Uczeń:

konstruuje figury jednokładne

wyznacza współrzędne punktów w danej jednokładności

stosuje własności jednokładności w zadaniach

K

P

P–D

11. Symetria osiowa definicja symetrii osiowej

figury osiowosymetryczne

symetria osiowa w układzie współrzędnych

Uczeń:

wskazuje figury osiowosymetryczne

wyznacza współrzędne punktów w symetrii względem danej

prostej

stosuje własności symetrii osiowej w zadaniach

K

K – R

P – R

12. Symetria środkowa definicja symetrii środkowej

figury środkowo symetryczne

symetria środkowa w układzie współrzędnych

Uczeń:

wskazuje figury środkowosymetryczne

wyznacza współrzędne punktów w symetrii względem

danego punktu

stosuje własności symetrii środkowej w zadaniach

K

K – R

P – R

13. Powtórzenie

wiadomości


omówienie


26

Oznaczenia:



wymagań

1. WIELOMIANY

1. Stopień i współczynniki

wielomianu definicja jednomianu, dwumianu, wielomianu

pojęcie stopnia jednomianu i stopnia wielomianu

pojęcie współczynników wielomianu i wyrazu

wolnego

pojęcie wielomianu zerowego

Uczeń:

rozróżnia wielomian, określa jego stopień i podaje wartości

jego współczynników

zapisuje wielomian określonego stopnia o danych

współczynnikach

zapisuje wielomian w sposób uporządkowany

oblicza wartość wielomianu dla danego argumentu

sprawdza, czy dany punkt należy do wykresu danego

wielomianu

wyznacza współczynniki wielomianu, mając dane warunki

K

K

K

K–P

P

P–R

2. Dodawanie

i odejmowanie

wielomianów

dodawanie wielomianów

odejmowanie wielomianów

stopień sumy i różnicy wielomianów

Uczeń:

wyznacza sumę wielomianów

wyznacza różnicę wielomianów

określa stopień sumy i różnicy wielomianów

szkicuje wykres wielomianu będącego sumą jednomianów

stopnia pierwszego i drugiego

K

K

K–P

P


27


wymagań

3. Mnożenie wielomianów mnożenie wielomianów

stopień iloczynu wielomianów

porównywanie wielomianów

wielomian dwóch (trzech) zmiennych

Uczeń:

określa stopień iloczynu wielomianów bez wykonywania

mnożenia

wyznacza iloczyn danych wielomianów

podaje współczynnik przy najwyższej potędze oraz wyraz

wolny iloczynu wielomianów bez wykonywania mnożenia

wielomianów

oblicza wartość wielomianu dwóch (trzech) zmiennych dla

danych argumentów

stosuje wielomian do opisania pola powierzchni

prostopadłościanu i określa jego dziedzinę

porównuje wielomiany dane w postaci iloczynu innych

wielomianów

stosuje wielomiany wielu zmiennych w zadaniach różnych

typów

K

K–R

P

P

R

R

D

4. Rozkład wielomianu na

czynniki (1) rozkład wielomianu na czynniki: wyłączanie

wspólnego czynnika przed nawias, rozkład

trójmianu kwadratowego na czynniki

zastosowanie wzorów skróconego mnożenia:

kwadratu sumy i różnicy oraz wzoru na różnicę

kwadratów

twierdzenie o rozkładzie wielomianu na czynniki

Uczeń:

wyłącza wskazany czynnik przed nawias

stosuje wzory na kwadrat sumy i różnicy oraz wzór na

różnicę kwadratów do rozkładu wielomianu na czynniki

zapisuje wielomian w postaci iloczynu czynników możliwie

najniższego stopnia

stosuje rozkład wielomianu na czynniki w zadaniach

różnych typów

K

K

P–R

R–D


28


wymagań

5. Rozkład wielomianu na

czynniki (2) zastosowanie wzorów skróconego mnożenia:

sumy i różnicy sześcianów

metoda grupowania wyrazów

Uczeń:

stosuje metodę grupowania wyrazów i wyłączania

wspólnego czynnika przed nawias do rozkładu wielomianów

na czynniki

stosuje wzory na sumę i różnicę sześcianów do rozkładu

wielomianu na czynniki

rozkłada dany wielomian na czynniki, stosując metodę

podaną w przykładzie

K–P

P–R

D

6. Równania

wielomianowe pojęcie pierwiastka wielomianu

równanie wielomianowe

Uczeń:

rozwiązuje równania wielomianowe

wyznacza punkty przecięcia się wykresu wielomianu

i prostej

podaje przykład wielomianu, znając jego stopień

i pierwiastki

K–D

K–D

K–D

7. Dzielenie wielomianów algorytm dzielenia wielomianów

podzielność wielomianów

twierdzenie o rozkładzie wielomianu

Uczeń:

dzieli wielomian przez dwumian ax

zapisuje wielomian w postaci rxqxpxw )()()(

sprawdza poprawność wykonanego dzielenia

dzieli wielomian przez inny wielomian i zapisuje go

w postaci )()()()( xrxqxpxw

K

K

K–P

P–R

8. Równość wielomianów wielomiany równe Uczeń:

wyznacza wartości parametrów tak, aby wielomiany były

równe

K–R


29


wymagań

9. Twierdzenie Bézouta twierdzenie o reszcie

twierdzenie Bézouta

dzielenie wielomianu przez wielomian stopnia

drugiego

Uczeń:

sprawdza podzielność wielomianu przez dwumian x – a

bez wykonywania dzielenia

wyznacza resztę z dzielenia wielomianu przez dwumian x –

a

sprawdza, czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu

i wyznacza pozostałe pierwiastki

wyznacza wartość parametru tak, aby wielomian był

podzielny przez dany dwumian

sprawdza podzielność wielomianu przez wielomian

(x – p)(x – q) bez wykonywania dzielenia

wyznacza resztę z dzielenia wielomianu, mając określone

warunki

przeprowadza dowód twierdzenia Bézouta

K

K

K–P

P

P–D

R–D

W

10. Pierwiastki całkowite

i pierwiastki wymierne

wielomianu

twierdzenie o pierwiastkach całkowitych

wielomianu

twierdzenie o pierwiastkach wymiernych

wielomianu

Uczeń:

określa, które liczby mogą być pierwiastkami całkowitymi

wielomianu

określa, które liczby mogą być pierwiastkami wymiernymi

wielomianu

rozwiązuje równania wielomianowe z wykorzystaniem

twierdzeń o pierwiastkach całkowitych i wymiernych

wielomianu

stosuje twierdzenia o pierwiastkach całkowitych

i wymiernych wielomianu w zadaniach różnych typów

przeprowadza dowody twierdzeń o pierwiastkach

całkowitych i wymiernych wielomianu

K

K

P–D

R–D

W


30


wymagań

11. Pierwiastki

wielokrotne definicja pierwiastka k-krotnego

twierdzenie o liczbie pierwiastków wielomianu

stopnia n

Uczeń:

wyznacza pierwiastki wielomianu i podaje ich krotność,

mając dany wielomian w postaci iloczynowej

bada, czy wielomian ma inne pierwiastki oraz określa ich

krotność, znając stopień wielomianu i jego pierwiastek

rozwiązuje równanie wielomianowe, mając dany jego jeden

pierwiastek i znając jego krotność

podaje przykłady wielomianów, znając ich stopień oraz

pierwiastki i ich krotność

rozwiązuje zadania z parametrem dotyczące pierwiastków

wielokrotnych

K

K–P

K–P

P

P–D

12. Wykres wielomianu pojęcie wykresu wielomianu (wykres wielomianu

stopnia pierwszego, wykres wielomianu stopnia

drugiego – powtórzenie)

znak wielomianu w przedziale ;a

zmiana znaku wielomianu

Uczeń:

szkicuje wykresy wielomianów stopnia pierwszego

i drugiego

szkicuje wykres wielomianu, mając daną jego postać

iloczynową

dobiera wzór wielomianu do szkicu wykresu

podaje wzór wielomianu, mając dany współczynnik przy

najwyższej potędze oraz szkic wykresu

szkicuje wykres danego wielomianu, wyznaczając jego

pierwiastki

K

K–P

K–P

P–D

P–D


31


wymagań

13. Nierówności

wielomianowe wartości dodatnie i ujemne funkcji

nierówności wielomianowe

siatka znaków wielomianu

Uczeń:

rozwiązuje nierówności wielomianowe, korzystając

ze szkicu wykresu

rozwiązuje nierówności wielomianowe, wykorzystując

postać iloczynową wielomianu (dowolną metodą: szkicując

wykres lub tworząc siatkę znaków)

rozwiązuje nierówność wielomianową, gdy dany jest wzór

ogólny wielomianu

stosuje nierówności wielomianowe do wyznaczenia

dziedziny funkcji zapisanej za pomocą pierwiastka

wykonuje działania na zbiorach określonych nierównościami

wielomianowymi

stosuje nierówności wielomianowe w zadaniach

z parametrem

K

K–P

P–D

P–D

P–D

R–D

14. Wielomiany –

zastosowania zastosowanie wielomianów do rozwiązywania

zadań tekstowych

Uczeń:

opisuje wielomianem zależności dane w zadaniu i wyznacza

jego dziedzinę

rozwiązuje zadania tekstowe

P

P–D

15. Powtórzenie

wiadomości


omówienie


32


wymagań

2. FUNKCJE WYMIERNE

1. Proporcjonalność

odwrotna określenie proporcjonalności odwrotnej

wielkości odwrotnie proporcjonalne

współczynnik proporcjonalności

Uczeń:

wyznacza współczynnik proporcjonalności

wskazuje wielkości odwrotnie proporcjonalne

podaje wzór proporcjonalności odwrotnej, znając

współrzędne punktu należącego do wykresu

rozwiązuje zadania tekstowe, stosując proporcjonalność

odwrotną

K

K–P

K–P

P–R

2. Wykres funkcji

x

axf )(

hiperbola – wykres funkcji x

axf )( , gdzie

0a

asymptoty poziome i pionowe wykresu funkcji

własności funkcjix

axf )( , gdzie 0a

Uczeń:

szkicuje wykres funkcji x

axf )( , gdzie 0a i podaje jej

własności (dziedzinę, zbiór wartości, przedziały

monotoniczności)

wyznacza asymptoty wykresu powyższej funkcji

szkicuje wykres funkcji x

axf )( , gdzie ,0a w podanym

zbiorze

wyznacza współczynnik a tak, aby funkcja x

axf )(

spełniała podane warunki

K

K

P–R

R


33


wymagań


funkcjix

axf )( o wektor

przesunięcie wykresu funkcji x

axf )( o wektor

qp,

osie symetrii hiperboli

środek symetrii hiperboli

Uczeń:

przesuwa wykres funkcjix

axf )( o dany wektor, podaje

wzór i określa własności otrzymanej funkcji

wyznacza dziedzinę i podaje równania asymptot wykresu

funkcji określonej wzorem qpx

axf

)(

podaje współrzędne wektora, o jaki należy przesunąć wykres

funkcji )(xfy , aby otrzymać wykres funkcji

qpx

axg

)(

wyznacza wzór funkcji spełniającej podane warunki

wyznacza równania osi symetrii oraz współrzędne środka

symetrii hiperboli opisanej danym równaniem

rozwiązuje zadania, stosując własności hiperboli

K

K

K–R

P–D

P–D

R–W

4. Funkcja homograficzna określenie funkcji homograficznej

wykres funkcji homograficznej

postać kanoniczna funkcji homograficznej

asymptoty wykresu funkcji homograficznej

Uczeń:

przekształca wzór funkcji homograficznej do postaci

kanonicznej

szkicuje wykresy funkcji homograficznych i określa ich

własności

wyznacza równania asymptot wykresu funkcji

homograficznej

rozwiązuje zadania z parametrem dotyczące funkcji

homograficznej

P–R

P–R

P–R

R–W


34


wymagań

5. Przekształcenia wykresu

funkcji metody szkicowania wykresu funkcji )(xfy

i )( xfy

Uczeń:

szkicuje wykres funkcji )(xfy , gdzie )(xfy jest

funkcją homograficzną i opisuje jej własności

szkicuje wykres funkcji )( xfy , gdzie )(xfy jest


szkicuje wykres funkcji )( xfy , gdzie )(xfy jest


P–D

R–D

R–D

6. Mnożenie i dzielenie

wyrażeń wymiernych

mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

dziedzina iloczynu i ilorazu wyrażeń wymiernych

Uczeń:

wyznacza dziedzinę iloczynu oraz ilorazu wyrażeń

wymiernych

mnoży wyrażenia wymierne

dzieli wyrażenia wymierne

K–R

K–R

K–R

7. Dodawanie i

odejmowanie wyrażeń

wymiernych

dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych

dziedzina sumy i różnicy wyrażeń wymiernych

Uczeń:

wyznacza dziedzinę sumy i różnicy wyrażeń wymiernych

dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne

przekształca wzory, stosując działania na wyrażeniach

wymiernych

K

K–R

P–R

8. Równania wymierne

równania wymierne Uczeń:

rozwiązuje równania wymierne i podaje odpowiednie

założenia

stosuje równania wymierne w zadaniach różnych typów

K–R

P–R


35


wymagań

9. Nierówności wymierne znak ilorazu a znak iloczynu

nierówności wymierne

Uczeń:

odczytuje z danego wykresu zbiór rozwiązań nierówności

wymiernej

rozwiązuje nierówności wymierne i podaje odpowiednie

założenia

stosuje nierówności wymierne do porównywania wartości

funkcji homograficznych

rozwiązuje graficznie nierówności wymierne

rozwiązuje układy nierówności wymiernych

K

K–R

P–R

P–R

P–D

10. Funkcje wymierne funkcja wymierna

dziedzina funkcji wymiernej

równość funkcji

Uczeń:

określa dziedzinę i miejsce zerowe funkcji wymiernej danej

wzorem

podaje wzór funkcji wymiernej spełniającej określone

warunki


wymiernej

K–P

P–R

R–D

11. Równania

i nierówności z wartością

bezwzględną

równania i nierówności z wartością bezwzględną Uczeń:

stosuje własności wartości bezwzględnej do rozwiązywania

równań i nierówności wymiernych

zaznacza w układzie współrzędnych zbiory punktów

spełniających zadane warunki

P–D

R–D

12. Wyrażenia wymierne –

zastosowania zastosowanie wyrażeń wymiernych do

rozwiązywania zadań tekstowych

zastosowanie zależności v

st

Uczeń:

wykorzystuje wyrażenia wymierne do rozwiązywania zadań

tekstowych

wykorzystuje wielkości odwrotnie proporcjonalne

do rozwiązywania zadań tekstowych dotyczących szybkości

K–D

P–D


36


wymagań

13. Powtórzenie

wiadomości


omówienie

3. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

1. Funkcje

trygonometryczne

dowolnego kąta

kąt w układzie współrzędnych

funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

znaki funkcji trygonometrycznych

wartości funkcji trygonometrycznych niektórych

kątów

Uczeń:

zaznacza kąt w układzie współrzędnych

wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych kąta, gdy

dane są współrzędne punktu leżącego na jego końcowym

ramieniu

określa znaki funkcji trygonometrycznych danego kąta

określa, w której ćwiartce układu współrzędnych leży

końcowe ramię kąta, mając dane wartości funkcji

trygonometrycznych

oblicza wartości funkcji trygonometrycznych szczególnych

kątów, np.: 90°, 120°, 135°, 225°

wykorzystuje funkcje trygonometryczne do rozwiązywania

zadań

K

K

K

K–P

P

P–D

2. Kąt obrotu

dodatni i ujemny kierunek obrotu

wartości funkcji trygonometrycznych kąta

360k , gdzie 360;0, Ck

Uczeń:

zaznacza w układzie współrzędnych kąt o danej mierze

wyznacza kąt, mając dany punkt należący do jego

końcowego ramienia

bada, czy punkt należy do końcowego ramienia danego kąta

oblicza wartości funkcji trygonometrycznych kątów, mając

daną ich miarę stopniową

wyznacza kąt, mając daną wartość jego jednej funkcji

trygonometrycznej

K

K–P

P–R

P–R

P–R


37


wymagań

3. Miara łukowa kąta

miara łukowa kąta

zamiana miary stopniowej kąta na miarę łukową i

odwrotnie

Uczeń:

zamienia miarę stopniową na łukową i odwrotnie

oblicza wartości funkcji trygonometrycznych dowolnych

kątów, mając daną ich miarę łukową

K

P–R

4. Funkcje okresowe

funkcja okresowa

okres podstawowy funkcji trygonometrycznych

Uczeń:

odczytuje okres podstawowy funkcji na podstawie jej

wykresu

szkicuje wykres funkcji okresowej

stosuje okresowość funkcji do wyznaczania jej wartości

K

P–R

P–R

5. Wykresy funkcji sinus

i cosinus

wykresy funkcji sinus i cosinus

środki symetrii wykresu funkcji sinus

osie symetrii wykresu funkcji sinus

osie symetrii wykresu funkcji cosinus

parzystość funkcji

Uczeń:

szkicuje wykresy funkcji sinus i cosinus w danym przedziale

określa własności funkcji sinus i cosinus w danym

przedziale

wykorzystuje własności funkcji sinus i cosinus do obliczenia

wartości tej funkcji dla danego kąta

rozwiązuje równania typu ax sin i ax cos

sprawdza parzystość funkcji

K

P

P–R

P–D

D–W

6. Wykresy funkcji

tangens i cotangens

wykresy funkcji tangens i cotangens

środki symetrii wykresów funkcji tangens

i cotangens

Uczeń:

szkicuje wykresy funkcji tangens i cotangens w danym

przedziale

wykorzystuje własności funkcji tangens i cotangens do

obliczenia wartości tych funkcji dla danego kąta

rozwiązuje równania typu axax ctg,tg

K

P–R

P–R


38


wymagań


funkcji o wektor

metoda otrzymywania wykresu funkcji rpxfy )(

Uczeń:

szkicuje wykresy funkcji

trygonometrycznych rpxfy )( i określa ich własności

szkicuje wykresy funkcji trygonometrycznych, stosując

symetrię względem osi układu współrzędnych oraz symetrię

względem początku układu współrzędnych

szkicuje wykresy funkcji trygonometrycznych będące

efektem wykonania kilku operacji

K–P

K–P

P–D


funkcji (1)

metoda szkicowania wykresu funkcji )(xafy ,

gdzie )(xfy jest funkcją trygonometryczną

Uczeń:

szkicuje wykresy funkcji )(xafy , gdzie )(xfy jest

funkcją trygonometryczną i określa ich własności


efektem wykonania kilku operacji oraz określa ich własności

P–R

P–D


funkcji (2) metoda szkicowania wykresu funkcji )(axfy ,

gdzie )(xfy jest funkcją trygonometryczną

Uczeń:

szkicuje wykresy funkcji )(axfy , gdzie )(xfy jest

funkcją trygonometryczną i określa ich własności



P–R

P–D

10. Przekształcenia

wykresu funkcji (3) metoda szkicowania wykresów funkcji

)(xfy oraz ,xfy gdzie xfy jest

funkcją trygonometryczną

Uczeń:

szkicuje wykresy funkcji )(xfy oraz xfy , gdzie

xfy jest funkcją trygonometryczną i określa ich

własności



stosuje wykresy funkcji trygonometrycznych do

rozwiązywania równań

P–R

P–D

P–D


39


wymagań

11. Tożsamości

trygonometryczne

podstawowe tożsamości trygonometryczne

metoda uzasadniania tożsamości

trygonometrycznych

Uczeń:

stosuje tożsamości trygonometryczne w prostych sytuacjach

dowodzi tożsamości trygonometryczne, podając

odpowiednie założenia

oblicza wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych

kąta, gdy dana jest jedna z nich

K

P–R

P–R

12. Funkcje

trygonometryczne sumy

i różnicy kątów

funkcje trygonometryczne sumy

i różnicy kątów

Uczeń:


z zastosowaniem wzorów na funkcje trygonometryczne

sumy i różnicy kątów

stosuje wzory na funkcje trygonometryczne kąta

podwojonego

stosuje poznane wzory do przekształcania wyrażeń

zawierających funkcje trygonometryczne, w tym również

do uzasadniania tożsamości trygonometrycznych

K–P

P–D

R–D

13. Wzory redukcyjne wzory redukcyjne Uczeń:

zapisuje dany kąt w postaci 2

πk , gdzie

2

π;0

lub ,90 k gdzie )90;0(

wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych danych

kątów z zastosowaniem wzorów redukcyjnych

wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych danych

kątów z zastosowaniem własności funkcji

trygonometrycznych

K

P

R–D

14. Równania

trygonometryczne metody rozwiązywania równań

trygonometrycznych

wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów

Uczeń:

rozwiązuje równania trygonometryczne

stosuje wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów

K–D


40


wymagań

15. Nierówności

trygonometryczne metody rozwiązywania nierówności

trygonometrycznych

Uczeń:

rozwiązuje nierówności trygonometryczne

K–D

16. Powtórzenie

wiadomości


omówienie

4. CIĄGI

1. Pojęcie ciągu pojęcie ciągu

wykres ciągu

wyraz ciągu

Uczeń:

wyznacza kolejne wyrazy ciągu, gdy danych jest kilka jego

początkowych wyrazów

szkicuje wykres ciągu

K–P

K–P

2. Sposoby określania

ciągu sposoby określania ciągu Uczeń:

wyznacza wzór ogólny ciągu, mając danych kilka jego

początkowych wyrazów

wyznacza początkowe wyrazy ciągu określonego wzorem

ogólnym

wyznacza, które wyrazy ciągu przyjmują daną wartość

wyznacza wzór ogólny ciągu spełniającego podane warunki

K–P

K–P

P

R–D


41


wymagań

3. Ciągi monotoniczne (1) definicja ciągu rosnącego, malejącego, stałego,

niemalejącego i nierosnącego

Uczeń:

podaje przykłady ciągów monotonicznych, których wyrazy

spełniają dane warunki

uzasadnia, że dany ciąg nie jest monotoniczny, mając dane

jego kolejne wyrazy

wyznacza wyraz 1na ciągu określonego wzorem ogólnym

bada monotoniczność ciągu, korzystając z definicji

wyznacza wartość parametru tak, aby ciąg był ciągiem

monotonicznym

dowodzi monotoniczności ciągów określonych wzorami

postaci: dcab nn oraz 2nn ab , gdzie )( na jest ciągiem

monotonicznym, zaś Rdc,

K–P

K–P

K–P

P–R

P–D

R–W

4. Ciągi określone

rekurencyjnie określenie rekurencyjne ciągu Uczeń:

wyznacza początkowe wyrazy ciągu określonego

rekurencyjnie

wyznacza wzór rekurencyjny ciągu, mając dany wzór ogólny

rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności,

związane ze wzorem rekurencyjnym ciągu

K–P

P–R

R–D

5. Ciągi monotoniczne (2) suma, różnica, iloczyn i iloraz ciągów Uczeń:

wyznacza wzór ogólny ciągu, będący wynikiem wykonania

działań na danych ciągach

bada monotoniczność sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu

ciągów

rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności,

dotyczące monotoniczności ciągu

K–R

P–D

R–W


42


wymagań

6. Ciąg arytmetyczny (1) określenie ciągu arytmetycznego i jego różnicy

wzór ogólny ciągu arytmetycznego

monotoniczność ciągu arytmetycznego

pojęcie średniej arytmetycznej

Uczeń:

podaje przykłady ciągów arytmetycznych

wyznacza wyrazy ciągu arytmetycznego, mając dany

pierwszy wyraz i różnicę

wyznacza wzór ogólny ciągu arytmetycznego, mając dane

dowolne dwa jego wyrazy

stosuje średnią arytmetyczną do wyznaczania wyrazów

ciągu arytmetycznego

określa monotoniczność ciągu arytmetycznego

K

K–P

P

P–R

P–R

7. Ciąg arytmetyczny (2) stosowanie własności ciągu arytmetycznego do


Uczeń:

sprawdza, czy dany ciąg jest ciągiem arytmetycznym

wyznacza wartości zmiennych tak, aby wraz z podanymi

wartościami tworzyły ciąg arytmetyczny

stosuje własności ciągu arytmetycznego do rozwiązywania

zadań

P–R

P–D

P–D

8. Suma początkowych

wyrazów ciągu

arytmetycznego

wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu

arytmetycznego

Uczeń:

oblicza sumę n początkowych wyrazów ciągu

arytmetycznego

stosuje własności ciągu arytmetycznego do rozwiązywania

zadań tekstowych

rozwiązuje równania z zastosowaniem wzoru na sumę

wyrazów ciągu arytmetycznego

K–P

P–R

R–D


43


wymagań

9. Ciąg geometryczny (1) określenie ciągu geometrycznego i jego ilorazu

wzór ogólny ciągu geometrycznego

Uczeń:

podaje przykłady ciągów geometrycznych

wyznacza wyrazy ciągu geometrycznego, mając dany

pierwszy wyraz i iloraz

wyznacza wzór ogólny ciągu geometrycznego, mając dane

dowolne dwa jego wyrazy

sprawdza, czy dany ciąg jest ciągiem geometrycznym

K

K–P

P

P–R

10. Ciąg geometryczny (2) monotoniczność ciągu geometrycznego

pojęcie średniej geometrycznej

Uczeń:

określa monotoniczność ciągu geometrycznego

stosuje średnią geometryczną do rozwiązywania zadań

wyznacza wartości zmiennych tak, aby wraz z podanymi

wartościami tworzyły ciąg geometryczny

P–R

P–D

P–D

11. Suma początkowych

wyrazów ciągu

geometrycznego

wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu

geometrycznego

Uczeń:

oblicza sumę n początkowych wyrazów ciągu

geometrycznego

stosuje wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu

geometrycznego w zadaniach

K–P

P–R

12. Ciągi arytmetyczne

i ciągi geometryczne –

zadania

własności ciągu arytmetycznego i

geometrycznego

Uczeń:

stosuje własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego


P–D

13. Procent składany procent składany

kapitalizacja, okres kapitalizacji

stopa procentowa: nominalna i efektywna

Uczeń:

oblicza wysokość kapitału przy różnym okresie kapitalizacji

oblicza oprocentowanie lokaty

określa okres oszczędzania

rozwiązuje zadania związane z kredytami

K–P

P–R

P–R

P–R


44


wymagań

14. Granica ciągu określenie granicy ciągu

pojęcia: ciąg zbieżny, granica właściwa ciągu,

prawie wszystkie wyrazy ciągu, ciąg stały

twierdzenia o granicy ciągu nn qa , gdy

1;1 q oraz ciągu kn

na

1 , gdy k > 0

Uczeń:

bada na podstawie wykresu, czy dany ciąg ma granicę

i w przypadku ciągu zbieżnego podaje jego granicę

bada, ile wyrazów danego ciągu jest oddalonych od danej

liczby o podaną wartość

podaje granicę ciągu nn qa , gdy 1;1 q oraz ciągu

knn

a1

, gdy k > 0

K–P

P–R

K

15. Granica niewłaściwa pojęcia: ciąg rozbieżny, granica niewłaściwa

określenie ciągu rozbieżnego

do ∞ oraz ciągu rozbieżnego do -∞

twierdzenia o rozbieżności ciągu nn qa , gdy q >

1 oraz ciągu kn na , gdy k > 0

Uczeń:

rozpoznaje ciąg rozbieżny na podstawie wykresu i określa,

czy ma on granicę niewłaściwą, czy nie ma granicy

bada, ile wyrazów danego ciągu jest większych (mniejszych)

od danej liczby

wie, że ciągi nn qa , gdy q > 1oraz ciągi k

n na , gdy k > 0

są rozbieżne do ∞

K–P

P–R

K

16. Obliczanie granic

ciągów (1) twierdzenie o granicach: sumy, różnicy, iloczynu i

ilorazu ciągów zbieżnych

Uczeń:

oblicza granice ciągów, korzystając z twierdzenia

o granicach: sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów

zbieżnych

P–D

17. Obliczanie granic

ciągów (2) twierdzenie o własnościach granic ciągów

rozbieżnych

symbole nieoznaczone

twierdzenie o trzech ciągach

Uczeń:

oblicza granice niewłaściwe ciągów, korzystając

z twierdzenia o własnościach granic ciągów rozbieżnych

oblicza granice ciągu, korzystając z twierdzenia o trzech

ciągach

P–D

W


45


wymagań

18. Szereg geometryczny pojęcia: szereg geometryczny, suma szeregu

geometrycznego

wzór na sumę szeregu geometrycznego o ilorazie

1 ;1q

warunek zbieżności szeregu geometrycznego

Uczeń:

sprawdza, czy dany szereg geometryczny jest zbieżny

oblicza sumę szeregu geometrycznego zbieżnego

stosuje wzór na sumę szeregu geometrycznego do

rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście

praktycznym

K–P

P–D

P–D

19. Powtórzenie

wiadomości


omówienie

5. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

1. Granica funkcji

w punkcie intuicyjne pojęcie granicy

określenie granicy funkcji w punkcie

Uczeń:

uzasadnia, że funkcja nie ma granicy w punkcie, również na

podstawie jej wykresu

uzasadnia, korzystając z definicji, że dana liczba jest granicą

funkcji w punkcie

K–R

P–R

2. Obliczanie granic twierdzenie o granicach: sumy, różnicy, iloczynu i

ilorazu funkcji w punkcie

twierdzenie o granicy funkcji )(xfy w punkcie

twierdzenie o granicach funkcji sinus i cosinus w

punkcie

Uczeń:

oblicza granice funkcji w punkcie, korzystając z twierdzenia

o granicach: sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji, które

mają granice w tym punkcie

oblicza granicę funkcji )(xfy w punkcie

oblicza granice funkcji w punkcie, stosując własności granic

funkcji sinus i cosinus w punkcie

K–R

P–D

P–D

3. Granice jednostronne

określenie granic: prawostronnej, lewostronnej

funkcji w punkcie

twierdzenie o związku między wartościami granic

jednostronnych w punkcie a granicą funkcji w

punkcie

Uczeń:

oblicza granice jednostronne funkcji w punkcie

stosuje twierdzenie o związku między wartościami granic

jednostronnych w punkcie a granicą funkcji w punkcie

K–D

P–D


46


wymagań

4. Granice niewłaściwe określenie granicy niewłaściwej funkcji w punkcie

określenie granicy niewłaściwej jednostronnej

funkcji w punkcie

twierdzenie o wartościach granic niewłaściwych

funkcji wymiernych w punkcie

pojęcie asymptoty pionowej wykresu funkcji

Uczeń:

oblicza granice niewłaściwe jednostronne funkcji w punkcie

oblicz granice niewłaściwe funkcji w punkcie

wyznacza równania asymptot pionowych wykresu funkcji

P–D

P–D

P–D

5. Granice funkcji

w nieskończoności określenie granicy funkcji w nieskończoności

twierdzenie o własnościach granicy funkcji

w nieskończoności

pojęcie asymptoty poziomej wykresu funkcji

Uczeń:

oblicza granice funkcji w nieskończoności

wyznacza równania asymptot poziomych wykresu funkcji

K–D

K–D

6. Ciągłość funkcji określenie ciągłości funkcji

twierdzenie o ciągłości sumy, różnicy, iloczynu i

ilorazu funkcji ciągłych w punkcie

Uczeń:

sprawdza ciągłość funkcji w punkcie

sprawdza ciągłość funkcji

wyznacza wartości parametrów, dla których funkcja jest

ciągła w danym punkcie lub zbiorze

K–R

P–D

R–D


ciągłych twierdzenie o przyjmowaniu wartości pośrednich

twierdzenie Weierstrassa

Uczeń:

stosuje twierdzenia o przyjmowaniu wartości pośrednich

do uzasadniania istnienia rozwiązania równania

stosuje twierdzenie Weierstrassa do wyznaczania wartości

najmniejszej oraz największej funkcji w danym przedziale

domkniętym

P–D

P–D


47


wymagań

8. Pochodna funkcji pojęcia: iloraz różnicowy, styczna, sieczna

określenie pochodnej funkcji w punkcie

interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w

punkcie

Uczeń:

korzystając z definicji, oblicza pochodną funkcji w punkcie

stosuje interpretację geometryczna pochodnej funkcji

w punkcie do wyznaczenia współczynnika kierunkowego

stycznej do wykresu funkcji w punkcie

oblicza miarę kąta, jaki styczna do wykresu funkcji

w punkcie tworzy z osią OX

uzasadnia, że funkcja nie ma pochodnej w punkcie

K–R

P–D

P–D

R–D

9. Funkcja pochodna określenie funkcji pochodnej dla danej funkcji

wzory na pochodne funkcji nxy oraz xy

Uczeń:

korzysta ze wzorów do wyznaczenia funkcji pochodnej

oraz wartości pochodnej w punkcie

wyznacza punkt wykresu funkcji, w którym styczna do

niego spełnia podane warunki

na podstawie definicji wyprowadza wzory na pochodne

funkcji

K–R

P–D

R–W

10. Działania na

pochodnych

twierdzenia o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu i

ilorazu funkcji

pochodne funkcji trygonometrycznych

Uczeń:

stosuje twierdzenia o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu

i ilorazu funkcji do wyznaczania wartości pochodnej

w punkcie oraz do wyznaczania funkcji pochodnej

stosuje wzory na pochodne do rozwiązywania zadań

dotyczących stycznej do wykresu funkcji

wyprowadza wzory na pochodną sumy, różnicy, iloczynu

i ilorazu funkcji

K–D

P–D

D–W

11. Interpretacja fizyczna

pochodnej interpretacja fizyczna pochodnej Uczeń:

stosuje pochodną do wyznaczenia prędkości oraz

przyspieszenia poruszających się ciał

K–R


48


wymagań

12. Funkcje rosnące

i malejące twierdzenia o związku monotoniczności funkcji i

znaku jej pochodnej

Uczeń:

korzysta z własności pochodnej do wyznaczenia przedziałów

monotoniczności funkcji

uzasadnia monotoniczność funkcji w danym zbiorze

wyznacza wartości parametrów tak, aby funkcja była

monotoniczna

K–R

P–R

P–D

13. Ekstrema funkcji pojęcia: minimum lokalne, maksimum lokalne

warunki konieczny i wystarczający istnienia

ekstremum

Uczeń:

podaje ekstremum funkcji, korzystając z jej wykresu

wyznacza ekstrema funkcji stosując warunek konieczny

i wystarczający jego istnienia

wyznacza wartości parametrów tak, aby funkcja miała

ekstremum w danym punkcie

uzasadnia, że dana funkcja nie ma ekstremum

K–P

K–R

P–R

P–D

14. Wartość najmniejsza

i wartość największa

funkcji

wartości najmniejsza i największa funkcji


Uczeń:

wyznacza najmniejszą i największą wartość funkcji


stosuje umiejętność wyznaczania najmniejszej i największej

wartości funkcji do rozwiązywania zadań

K–R

P–D

15. Zagadnienia

optymalizacyjne zagadnienia optymalizacyjne Uczeń:

stosuje umiejętność wyznaczania najmniejszej i największej

wartości funkcji do rozwiązywania zadań optymalizacyjnych

P–D

16. Szkicowanie wykresu

funkcji schemat badania własności funkcji Uczeń:

zna schemat badania własności funkcji

bada własności funkcji i zapisuje je w tabeli

szkicuje wykres funkcji na podstawie jej własności

K

K–D

K–D


49


wymagań

17. Powtórzenie

wiadomości


omówienie

6. PLANIMETRIA

1. Długość okręgu i pole

koła wzory na długość okręgu

i długość łuku okręgu

wzory na pole koła i pole wycinka koła

Uczeń:

podaje wzory na długość okręgu i długość łuku okręgu oraz

wzory na pole koła i pole wycinka koła

stosuje poznane wzory do obliczania pól i obwodów figur

K

P–D

2. Kąty w okręgu pojęcie kąta środkowego

pojęcie kąta wpisanego

twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym,

opartych na tym samym łuku

twierdzenie o kątach wpisanych, opartych na tym

samym łuku

twierdzenie o kącie wpisanym, opartym na

półokręgu

twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą

okręgu

wielokąt wpisany w okrąg

Uczeń:

rozpoznaje kąty wpisane i środkowe w okręgu oraz wskazuje

łuki, na których są one oparte

stosuje twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym,

opartych na tym samym łuku oraz twierdzenie o kącie

między styczną a cięciwą okręgu

rozwiązuje zadania dotyczące wielokąta wpisanego w okrąg

formułuje i dowodzi twierdzenia dotyczące kątów w okręgu

K

K–R

P–D

D–W

3. Okrąg opisany na

trójkącie okrąg opisany na trójkącie

wielokąt opisany na okręgu

Uczeń:

rozwiązuje zadania związane z okręgiem opisanym na

trójkącie

stosuje własności środka okręgu opisanego na trójkącie

w zadaniach z geometrii analitycznej

K–D

R–D


50


wymagań

4. Okrąg wpisany w trójkąt okrąg wpisany w trójkąt

wzór na pole trójkąta rcba

P

2

, gdzie

cba ,, są długościami boków tego trójkąta, a r–

długością promienia okręgu wpisanego w ten

trójkąt

Uczeń:

rozwiązuje zadania dotyczące okręgu wpisanego w trójkąt

prostokątny

rozwiązuje zadania związane z okręgiem wpisanym w

trójkąt

przekształca wzory na pole trójkąta i udowadnia je

K–P

K–D

D–W

5. Czworokąty wypukłe pojęcie figury wypukłej

rodzaje czworokątów

Uczeń:

określa własności czworokątów

stosuje własności czworokątów wypukłych do

rozwiązywania zadań z planimetrii

K

K–D

6. Okrąg opisany na

czworokącie twierdzenie o okręgu opisanym na czworokącie Uczeń:

sprawdza, czy na danym czworokącie można opisać okrąg

stosuje twierdzenie o okręgu opisanym na czworokącie do


K–P

P–D

7. Okrąg wpisany

w czworokąt twierdzenie o okręgu wpisanym w czworokąt Uczeń:

sprawdza, czy w dany czworokąt można wpisać okrąg

stosuje twierdzenie o okręgu wpisanym w czworokąt


dowodzi twierdzenia dotyczące okręgu wpisanego

w wielokąt

K–P

P–D

W

8. Twierdzenie sinusów twierdzenie sinusów Uczeń:

stosuje twierdzenie sinusów do rozwiązywania trójkątów

stosuje twierdzenie sinusów do rozwiązywania zdań

o kontekście praktycznym

przeprowadza dowód twierdzenia sinusów

K–D

P–D

W


51


wymagań

9. Twierdzenie cosinusów twierdzenie cosinusów Uczeń:

stosuje twierdzenie cosinusów do rozwiązywania trójkątów

stosuje twierdzenie cosinusów do rozwiązywania zdań

o kontekście praktycznym

przeprowadza dowód twierdzenia cosinusów

K–D

P–D

W

10. Powtórzenie

wiadomości


omówienie

Godziny do dyspozycji nauczyciela

Razem

Oznaczenia:



wymagań

1. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

1. Reguła mnożenia reguła mnożenia

ilustracja zbioru wyników doświadczenia za

pomocą drzewa

Uczeń:

wypisuje wyniki danego doświadczenia

stosuje regułę mnożenia do wyznaczenia liczby wyników

doświadczenia spełniających dany warunek

przedstawia drzewo ilustrujące zbiór wyników danego

doświadczenia

K–P

K–R

K–R


52


wymagań

2. Permutacje

definicja permutacji

definicja !n

liczba permutacji zbioru

n-elementowego

Uczeń:

wypisuje permutacje danego zbioru

oblicza liczbę permutacji danego zbioru

przeprowadza obliczenia, stosując definicję silni

wykorzystuje permutacje do rozwiązywania zadań

K

K

K

P–D

3. Wariacje bez powtórzeń

definicja wariacji bez powtórzeń

liczba k-elementowych wariacji bez powtórzeń

zbioru

n-elementowego

Uczeń:

oblicza liczbę wariacji bez powtórzeń

wykorzystuje wariacje bez powtórzeń do rozwiązywania

zadań

K–R

P–D

4. Wariacje

z powtórzeniami

definicja wariacji

z powtórzeniami

liczba k-elementowych wariacji

z powtórzeniami zbioru

n-elementowego

Uczeń:

oblicza liczbę wariacji z powtórzeniami

wykorzystuje wariacje z powtórzeniami do rozwiązywania

zadań

K–R

P–D

5. Kombinacje

definicja kombinacji

liczba k-elementowych kombinacji zbioru

n-elementowego

symbol Newtona

wzór dwumianowy Newtona

Uczeń:

oblicza wartość symbolu Newtona

k

n, gdzie n k

oblicza liczbę kombinacji

wypisuje k-elementowe kombinacje danego zbioru

wykorzystuje kombinacje do rozwiązywania zadań

wykorzystuje wzór dwumianowy Newtona do rozwinięcia

wyrażeń postaci nba i wyznaczania współczynników

wielomianów

uzasadnia zależności, w których występuje symbol Newtona

K

K–R

K–P

K–D

W

W


53


wymagań

6. Kombinatoryka ‒

zadania

reguła dodawania

zestawienie podstawowych pojęć kombinatoryki:

permutacje, wariacje i kombinacje

określenie permutacji

z powtórzeniami

liczba n-elementowych permutacji z

powtórzeniami

Uczeń:

stosuje regułę dodawania do wyznaczenia liczby wyników

doświadczenia spełniających dany warunek

wykorzystuje podstawowe pojęcia kombinatoryki


K–R

K–D

7. Zdarzenia losowe

pojęcie zdarzenia elementarnego

pojęcie przestrzeni zdarzeń elementarnych

pojęcie zdarzenia losowego

wyniki sprzyjające zdarzeniu losowemu

zdarzenie pewne, zdarzenie niemożliwe

suma, iloczyn i różnica zdarzeń losowych

zdarzenia wykluczające się

zdarzenie przeciwne

Uczeń:

określa przestrzeń zdarzeń elementarnych

podaje wyniki sprzyjające danemu zdarzeniu losowemu

określa zdarzenie niemożliwe i zdarzenie pewne

wyznacza sumę, iloczyn i różnicę zdarzeń losowych

wypisuje pary zdarzeń przeciwnych i pary zdarzeń

wykluczających się

K–P

K–P

K–P

P–D

K–P

8. Prawdopodobieństwo

klasyczne

pojęcie prawdopodobieństwa

klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Uczeń:

oblicza prawdopodobieństwa zdarzeń losowych, stosując

klasyczną definicję prawdopodobieństwa

stosuje regułę mnożenia, regułę dodawania, permutacje,

wariacje i kombinacje do obliczania prawdopodobieństw

zdarzeń

K–D

K–D


54


wymagań

9. Własności

prawdopodobieństwa

określenie prawdopodobieństwa:

1. 10 AP dla A

2. P( ) = 0, 1P

3. BPAPBAP dla dowolnych zdarzeń

rozłącznych BA,

własności prawdopodobieństwa:

1. Jeżeli BA, oraz A B , to

.BPAP

2. Jeżeli A , to

.1' APAP

3. Jeżeli BA, , to

.\ BAPAPBAP

4. Jeżeli BA, , to

.BAPBPAPBAP

– rozkład prawdopodobieństwa

Uczeń:

podaje rozkład prawdopodobieństwa dla rzutu kostką

oblicza prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego

stosuje twierdzenie o prawdopodobieństwie sumy zdarzeń

stosuje własności prawdopodobieństwa w dowodach

twierdzeń

K–P

K

P–R

D–W


warunkowe

definicja prawdopodobieństwa warunkowego

drzewo probabilistyczne

Uczeń:

oblicza prawdopodobieństwo warunkowe

stosuje wzór na prawdopodobieństwo warunkowe

do wyznaczania potrzebnych wielkości

K–D

R–D


całkowite

wzór na prawdopodobieństwo całkowite

niezależność zdarzeń

Uczeń:

oblicza prawdopodobieństwo całkowite

sprawdza niezależność zdarzeń

K–D

W


55


wymagań

12. Doświadczenia

wieloetapowe

ilustracja doświadczenia

za pomocą drzewa

wzór Bayesa

Uczeń:

ilustruje doświadczenie wieloetapowe za pomocą drzewa

oblicza prawdopodobieństwa zdarzeń w doświadczeniu

wieloetapowym

stosuje wzór Bayesa do obliczania prawdopodobieństw

zdarzeń

K–R

P–D

W

13. Powtórzenie

wiadomości

14. Praca klasowa

i jej omówienie

2. STATYSTYKA

1. Średnia arytmetyczna pojęcie średniej arytmetycznej Uczeń:

oblicza średnią arytmetyczną zestawu danych

oblicza średnią arytmetyczną danych przedstawionych

na diagramach lub pogrupowanych na inne sposoby

wykorzystuje średnią arytmetyczną do rozwiązywania zadań

K

K–R

P–D

2. Mediana i dominanta pojęcie mediany

pojęcie dominanty

Uczeń:

wyznacza medianę i dominantę zestawu danych

wyznacza medianę i dominantę danych przedstawionych

na diagramach lub pogrupowanych na inne sposoby

wykorzystuje medianę i dominantę do rozwiązywania zadań

K

K–R

P–D


56


wymagań

3. Odchylenie standardowe pojęcie wariancji

pojęcie odchylenia standardowego

pojęcie rozstępu

pojęcie odchylenia przeciętnego

Uczeń:

oblicza wariancję i odchylenie standardowe zestawu danych

oblicza wariancję i odchylenie standardowe zestawu danych

przedstawionych na różne sposoby

porównuje odchylenie przeciętne z odchyleniem

standardowym

K–P

P–D

W

4. Średnia ważona pojęcie średniej ważonej Uczeń:

oblicza średnią ważoną zestawu liczb z podanymi wagami

stosuje średnią ważoną do rozwiązywania zadań

K–P

P–D

5. Powtórzenie

wiadomości

6. Praca klasowa

i jej omówienie

3. FUNKCJE WYKŁADNICZE I LOGARYTMICZNE


wymiernym definicja pierwiastka n-tego stopnia

definicja potęgi o wykładniku wymiernym liczby

dodatniej

prawa działań na potęgach o wykładnikach

wymiernych

Uczeń:

oblicza pierwiastek n-tego stopnia

oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych

zapisuje daną liczbę w postaci potęgi o wykładniku

wymiernym

upraszcza wyrażenia, stosując prawa działań na potęgach

K

K

K–P

P–R


rzeczywistym definicja potęgi o wykładniku rzeczywistym

liczby dodatniej

prawa działań na potęgach

o wykładnikach rzeczywistych

Uczeń:

zapisuje daną liczbę w postaci potęgi o podanej podstawie

upraszcza wyrażenia, stosując prawa działań na potęgach

porównuje liczby przedstawione w postaci potęg

K

P–R

P–D


57


wymagań

3. Funkcje wykładnicze definicja funkcji wykładniczej

wykres funkcji wykładniczej

własności funkcji wykładniczej

Uczeń:

wyznacza wartości funkcji wykładniczej dla podanych

argumentów

sprawdza, czy punkt należy do wykresu danej funkcji

wykładniczej

szkicuje wykres funkcji wykładniczej i określa jej własności

porównuje liczby przedstawione w postaci potęg

wyznacza wzór funkcji wykładniczej na podstawie

współrzędnych punktu należącego do jej wykresu

oraz szkicuje ten wykres

rozwiązuje proste równania i nierówności wykładnicze,

korzystając z wykresu funkcji wykładniczej

K

K

K

P

P

R–D


funkcji wykładniczej metody szkicowania wykresów funkcji

wykładniczych

w różnych przekształceniach

Uczeń:

szkicuje wykres funkcji wykładniczej, stosując przesunięcie

o wektor

szkicuje wykresy funkcji y = –f(x), y = f(–x), y = |f(x)|,

y = f(|x|), mając dany wykres funkcji wykładniczej y = f(x)

szkicuje wykres funkcji wykładniczej otrzymany w wyniku

złożenia kilku przekształceń

rozwiązuje proste równania i nierówności wykładnicze,

korzystając z odpowiednio przekształconego wykresu

funkcji wykładniczej


wykładniczej

K

P

R–D

R–D

D


wykładniczej różnowartościowość funkcji wykładniczej

monotoniczność funkcji wykładniczej

Uczeń:

rozwiązuje proste równania wykładnicze, korzystając

z różnowartościowości funkcji wykładniczej

rozwiązuje proste nierówności wykładnicze, korzystając

z monotoniczności funkcji wykładniczej

K–R

K–R


58


wymagań

6. Logarytm definicja logarytmu

własności logarytmu: 1,0 gdzie

,1log,01log

aa

aaa

równości: ,log xa x

a baba

log, gdzie

0,1i0 baa

pojęcie logarytmu dziesiętnego

Uczeń:

oblicza logarytm danej liczby

stosuje równości wynikające z definicji logarytmu

do obliczeń

wyznacza podstawę logarytmu lub liczbę logarytmowaną,

gdy dana jest wartość logarytmu, podaje odpowiednie

założenia dla podstawy logarytmu oraz liczby

logarytmowanej

podaje przybliżone wartości logarytmów dziesiętnych

z wykorzystaniem tablic

K

P–R

P–R

R

7. Własności logarytmów twierdzenia o logarytmie iloczynu, logarytmie

ilorazu

oraz logarytmie potęgi

Uczeń:

stosuje twierdzenia o logarytmie iloczynu, ilorazu oraz

potęgi do obliczania wartości wyrażeń z logarytmami

podaje założenia i zapisuje w prostszej postaci wyrażenia

zawierające logarytmy

stosuje twierdzenie o logarytmie iloczynu, ilorazu i potęgi

do uzasadniania równości wyrażeń

dowodzi twierdzenia o logarytmach

K–R

P

R–D

D–W


59


wymagań

8. Funkcje logarytmiczne definicja funkcji logarytmicznej

wykres funkcji logarytmicznej

własności funkcji logarytmicznej

Uczeń:

wyznacza dziedzinę funkcji logarytmicznej

szkicuje wykres funkcji logarytmicznej i określa jej

własności

wyznacza wzór funkcji logarytmicznej na podstawie

współrzędnych punktu należącego do jej wykresu

szkicuje wykres funkcji logarytmicznej typu

qpxxf a )(log)(

wyznacza zbiór wartości funkcji logarytmicznej o podanej

dziedzinie

rozwiązuje proste nierówności logarytmiczne, korzystając

z wykresu funkcji logarytmicznej

wykorzystuje własności funkcji logarytmicznej

do rozwiązywania zadań różnego typu

K

K

P

P

P–R

P–R

R–D


funkcji logarytmicznej metody szkicowania wykresów funkcji

logarytmicznych w różnych przekształceniach

Uczeń:

szkicuje wykres funkcji logarytmicznej, stosując

przesunięcie o wektor

szkicuje wykresy funkcji y = –f(x), y = f(–x), y = |f(x)|,

y = f(|x|), mając dany wykres funkcji logarytmicznej y = f(x)

szkicuje wykres funkcji logarytmicznej otrzymany w wyniku

złożenia kilku przekształceń

rozwiązuje proste równania i nierówności logarytmiczne,

korzystając z własności funkcji logarytmicznej


logarytmicznej

zaznacza w układzie współrzędnych zbiór punktów

płaszczyzny (x, y) spełniających podany warunek

K

P–D

R–D

R–D

D

W


60


wymagań

10. Zmiana podstawy

logarytmu twierdzenie o zmianie podstawy logarytmu Uczeń:

stosuje twierdzenie o zmianie podstawy logarytmu przy

przekształcaniu wyrażeń z logarytmami

stosuje twierdzenie o zmianie podstawy logarytmu

do obliczania wartości wyrażeń z logarytmami

wykorzystuje twierdzenie o zmianie podstawy logarytmu

w zadaniach na dowodzenie

K

P–R

W

11. Funkcje wykładnicze

i logarytmiczne ‒

zastosowania

zastosowania funkcji wykładniczej

i logarytmicznej

Uczeń:

wykorzystuje funkcje wykładniczą i logarytmiczną

do rozwiązywania zadań o kontekście praktycznym

P–D

12. Powtórzenie

wiadomości

13. Praca klasowa

i jej omówienie

4. STEREOMETRIA

1. Proste i płaszczyzny

w przestrzeni wzajemne położenie dwóch płaszczyzn

wzajemne położenie dwóch prostych

prostopadłość prostych w przestrzeni

wzajemne położenie prostej i płaszczyzny

rzut prostokątny

Uczeń:

wskazuje w wielościanie proste prostopadłe, równoległe

i skośne

wskazuje w wielościanie rzut prostokątny danego odcinka na

daną płaszczyznę

przeprowadza wnioskowania dotyczące położenia prostych

w przestrzeni

K

K–P

R–D


61


wymagań

2. Graniastosłupy pojęcia graniastosłupa prostego

i graniastosłupa pochyłego

powierzchnia boczna, wysokość graniastosłupa

pojęcie prostopadłościanu

pojęcie graniastosłupa prawidłowego

pole powierzchni całkowitej graniastosłupa

siatki sześcianu

Uczeń:

określa liczby ścian, wierzchołków i krawędzi

graniastosłupa

sprawdza, czy istnieje graniastosłup o danej liczbie ścian,

krawędzi, wierzchołków

wskazuje elementy charakterystyczne graniastosłupa

oblicza pole powierzchni bocznej i całkowitej graniastosłupa

prostego

rysuje siatkę graniastosłupa prostego, mając dany

jej fragment

K

K–P

K

P–R

K

3. Odcinki

w graniastosłupach pojęcie przekątnej graniastosłupa

Uczeń:

oblicza długości przekątnych graniastosłupa prostego

stosuje funkcje trygonometryczne do obliczania pola

powierzchni graniastosłupa

uzasadnia prawdziwość wzorów dotyczących przekątnych

i pól powierzchni graniastosłupa

K–P

P–D

D–W

4. Objętość graniastosłupa wzór na objętość graniastosłupa Uczeń:

oblicza objętość graniastosłupa prostego

oblicza objętość graniastosłupa pochyłego

stosuje funkcje trygonometryczne do obliczania objętości

graniastosłupa

rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności

dotyczące graniastosłupów

K–P

D–W

P–D

D–W


62


wymagań

5. Ostrosłupy pojęcie ostrosłupa prostego

pojęcie ostrosłupa prawidłowego

pojęcia wysokości ostrosłupa

i kąta płaskiego przy wierzchołku

pojęcie czworościanu foremnego

pole powierzchni ostrosłupa

wzór Eulera

Uczeń:

określa liczby ścian, wierzchołków i krawędzi ostrosłupa

wskazuje elementy charakterystyczne ostrosłupa

oblicza pole powierzchni ostrosłupa, mając daną jego siatkę

rysuje siatkę ostrosłupa prostego, mając dany jej fragment

oblicza pole powierzchni bocznej i całkowitej ostrosłupa


powierzchni ostrosłupa

sprawdza wzór Eulera dla wybranych graniastosłupów

i ostrosłupów

K

K–P

K–P

K–P

K–R

P–D

R

6. Objętość ostrosłupa wzór na objętość ostrosłupa Uczeń:

oblicza objętość ostrosłupa prawidłowego

stosuje funkcje trygonometryczne do obliczania objętości

ostrosłupa


dotyczące ostrosłupów

K–P

P–D

D–W

7. Kąt między prostą

a płaszczyzną pojęcie kąta między prostą

a płaszczyzną

Uczeń:

wskazuje i wyznacza kąty między odcinkami graniastosłupa

a płaszczyzną jego podstawy lub ścianą boczną

wskazuje i wyznacza kąty między odcinkami ostrosłupa

a płaszczyzną jego podstawy

rozwiązuje zadania dotyczące miary kąta między prostą

a płaszczyzną

K–R

K–R

P–D

8. Kąt dwuścienny pojęcie kąta dwuściennego

miara kąta dwuściennego

Uczeń:

wskazuje kąt między sąsiednimi ścianami wielościanów

wyznacza kąt między sąsiednimi ścianami wielościanów

rozwiązuje zadania dotyczące miary kąta dwuściennego

K

P–D

P–D


63


wymagań

9. Przekroje

graniastosłupów pojęcie przekroju graniastosłupa

Uczeń:

wskazuje przekroje graniastosłupa

oblicza pole danego przekroju

rozwiązuje zadania dotyczące przekrojów graniastosłupa

K–P

P–D

R–W

10. Przekroje ostrosłupów pojęcie przekroju ostrosłupa

Uczeń:

wskazuje przekroje ostrosłupa

oblicza pole danego przekroju

rozwiązuje zadania dotyczące przekrojów ostrosłupa

K–P

P–D

R–W

11. Walec pojęcie walca

pojęcia podstawy walca, wysokości oraz

tworzącej

wzór na pole powierzchni całkowitej walca

pojęcie przekroju osiowego walca

wzór na objętość walca

Uczeń:

wskazuje elementy charakterystyczne walca

zaznacza przekrój osiowy walca

oblicza pole powierzchni całkowitej walca

oblicza objętość walca


powierzchni i objętości walca


dotyczące walca

K

K

K–R

K–R

P–D

D–W

12. Stożek pojęcie stożka

pojęcia podstawy stożka, wierzchołka, wysokości

oraz tworzącej

wzór na pole powierzchni całkowitej stożka

pojęcia przekroju osiowego stożka oraz kąta

rozwarcia

wzór na objętość stożka

Uczeń:

wskazuje elementy charakterystyczne stożka

zaznacza przekrój osiowy i kąt rozwarcia stożka

oblicza pole powierzchni całkowitej stożka

oblicza objętość stożka

rozwiązuje zadania dotyczące rozwinięcia powierzchni

bocznej stożka


powierzchni i objętości stożka


dotyczące stożka

K

K

K–R

K–R

P–D

P–D

D–W


64


wymagań

13. Kula pojęcia kuli i sfery

przekroje kuli, koło wielkie

pojęcie stycznej do kuli

wzór na pole powierzchni kuli

wzór na objętość kuli

Uczeń:

wskazuje elementy charakterystyczne kuli

oblicza pole powierzchni kuli i jej objętość


powierzchni i objętości


dotyczące kuli

K–P

K–R

P–D

D–W

14. Bryły podobne pojęcie brył podobnych

pojęcie skali podobieństwa brył podobnych

Uczeń:

wyznacza skalę podobieństwa brył podobnych

wykorzystuje podobieństwo brył do rozwiązywania zadań

P

P–D

15. Bryły opisane na kuli bryły opisane na kuli

Uczeń:

rysuje przekroje brył opisanych na kuli

rozwiązuje zadania dotyczące brył opisanych na kuli

R

R–D

16. Bryły wpisane w kulę bryły wpisane w kulę Uczeń:

rysuje przekroje brył wpisanych w kulę

rozwiązuje zadania dotyczące brył wpisanych w kulę

R

R–D

17. Inne bryły wpisane

i opisane walec opisany na graniastosłupie

walec wpisany w graniastosłup

walec opisany na stożku

walec wpisany w stożek

inne bryły wpisane i opisane

Uczeń:

rysuje przekroje brył wpisanych i opisanych

rozwiązuje zadania dotyczące brył wpisanych i opisanych

R

R–W

18. Powtórzenie

wiadomości

19. Praca klasowa

i jej omówienie


65


wymagań

5. PRZYKŁADY DOWODÓW W MATEMATYCE

1. Dowody w algebrze pojęcie implikacji

twierdzenia dotyczące własności liczb

twierdzenia dotyczące wyrażeń algebraicznych

dowód nie wprost

Uczeń:

dowodzi własności liczb

dowodzi prawdziwości nierówności

przeprowadza dowód nie wprost

K–D

K–D

W

2. Dowody w geometrii twierdzenia dotyczące własności figur płaskich

twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie

Uczeń:

dowodzi własności figur płaskich

wykorzystuje własności figur płaskich do dowodzenia

twierdzeń

K–D

K–D

6. POWTÓRZENIE PRZED MATURĄ

Razem

matematyka - zstskwierzyna.pl · dorota ponczek, karolina wej agnieszka kamińska matematyka plan...

Documents