matematyka – i semestr alk (pwz) · prostokątna tablica liczb o mwierszach i nkolumnach . a =...
TRANSCRIPT
MATEMATYKA – I SEMESTR ALK (PwZ)
1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
1.1. OKREŚLENIE
Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste
– pierwszym n (ciąg skończony) , albo
– wszystkim (ciąg nieskończony)
liczbom naturalnym.
Będziemy oznaczać : an (bn , cn itd.) - n-ty wyraz ciągu (wyraz o numerze n),
(an)10n=1 , (bn)∞n=1 (lub krócej (an), (bn) ...) – cały ciąg.
(Niektóre) sposoby określania ciągów liczbowych
• Przez wypisanie wszystkich wyrazów (tylko dla ciągu skończonego), np.
2, 5, 512,−3,−3, 21, 2π,−
√5, 6
(czyli: a1 = 2 , a2 = 5 , . . . , a8 = −√5 ).
• Przez podanie wzoru na wyraz ogólny, np. an = n2 − 6więc w tym przypadku a1 = −5 , a2 = −2 , a3 = 3 , . . . a10 = 94 . . .
Suma wyrazów ciągu liczbowego:
Dla dwóch liczb całkowitych z, Z takich że z ¬ Z ,
Z∑n=z
an = az + az+1 + . . .+ aZ .
(suma Z − z + 1 składników)
W szczególności:m∑n=1
an = a1 + a2 + . . .+ am .
(suma m składników).
Proste przykłady:
8∑n=1
n = 1 + 2 + 3 + . . .+ 8 = 36 ;
10∑k=7
k = 7 + 8 + 9 + 10 = 34 ;
8∑i=4(i− 3) = (4− 3) + (5− 3) + (6− 3) + (7− 3) + (8− 3) = 15 ;
5∑j=−5
j2 = (−5)2 + (−4)2 + . . .+ 42 + 52 = 110 ;
5∑n=02n = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 .
1.2. NAJWAŻNIEJSZE WŁASNOŚCI
(a)Z∑n=z(an + bn) =
Z∑n=z
an +Z∑n=z
bn
(b)z∑n=z
an = az np.5∑n=5
1n=15
(c)Z∑n=z(c · an) = c ·
Z∑n=z
an np.8∑n=0(7 · n2) = 7 ·
8∑n=1
n2
(d) dla z ¬ w ¬ Zw∑n=z
an +Z∑
n=w+1an =
Z∑n=z
an
(np.7∑n=1(2n− 1) +
19∑n=8(2n− 1) =
19∑n=1(2n− 1) )
(e)Z∑n=z
c = (Z − z + 1) · c np9∑n=35 = 5 + 5 + . . .+ 5 = 7 · 5 = 35 .
1.3. OBLICZANIE
9∑j=13 = 27 i podobnie
14∑j=63 = 27;
3∑n=−2(2n+ 1) = 2 · (−2) + 1 + 2 · (−1) + 1 + 2 · 0 + 1 + . . . 2 · 3 + 1
a prościej: =3∑n=−22n+
3∑n=−21 = 2
3∑n=−2
n+ 6 = 12 ;
6∑k=3
k2 = 32 + 42 + 52 + 62 = 8610∑i=−10
i = 0 (dlaczego?)4∑j=0(2 · 3j) = 2
4∑j=03j = 242
1.4. ZAPISYWANIE
Zapisać z użyciem znaku sumy:
3 + 4 + 5 + . . .+ 15 ; x+ x2 + x3 + x4 ; x2 + x4 + . . .+ x50
15∑k=3
k4∑n=1
xn25∑k=1
x2k
oraz
5 + 6 + . . .+ 29 ; 5x2 + 6x4 + 7x6 + . . .+ 29x50
29∑n=5
n (lub25∑n=1(n+ 4))
25∑n=1(n+ 4)x2n
1.5. INTERPRETACJA
Przykład: Sieć ma w mieście M = 4 bary (A, B, C, D) ,
w każdym jest sprzedawane N = 5 gatunków piwa (H, K, L, T, Ż).
Oznaczamy przez xij liczbę litrów piwa typu j sprzedanych dziś w barze nr i. Wówczas:
liczba litrów piwa sprzedanych dziś w barze nr 3 to
5∑j=1
x3j
a liczba litrów Żywca nalanych dziś w całym mieście to
4∑i=1
xi5 .
Jeżeli bar nr i kupuje piwo typu j po cenie pij , a sprzedaje po zij za litr, to jego dzisiejszyutarg na piwie wynosi
5∑j=1(zij · xij) ,
a zysk5∑j=1((zij − pij) · xij) .
A ile litrów piwa nalano dziś łącznie we wszystkich barach tej sieci?
Sumując kolejno po wszystkich barach i łączną sprzedaż w barze (si) dostaniemy4∑i=1
si =4∑i=1
5∑j=1
xij
.
Sumując kolejno po wszystkich typach piwa j łączną sprzedaż tego piwa w mieście (rj)dostaniemy
5∑j=1
rj =5∑j=1
4∑i=1
xij
.
Tę wielkość zapisujemy jako sumę podwójną:4∑i=1
5∑j=1
xij =5∑j=1
4∑i=1
xij .
1.6. SUMA PODWÓJNA
Definicja jak wyżej:Y∑i=y
Z∑j=z
xij =Z∑j=z
Y∑i=y
xij =
=Y∑i=y
Z∑j=z
xij
= Z∑j=z
Y∑i=y
xij
.
Podstawowe właściwości:
Y∑i=y
Z∑j=z(aij + bij) =
Y∑i=y
Z∑j=z
aij +Y∑i=y
Z∑j=z
bij ;
Y∑i=y
Z∑j=z(ai · bj) =
Y∑i=y
ai ·Z∑j=z
bj .
Przykład:4∑m=0
3∑n=1
m+ 1n
=(11+12+13
)+(21+22+23
)+
+ . . . +(51+52+53
)=116+226+ . . .
556=1656
ale prościej:4∑m=0
3∑n=1
m+ 1n
=4∑m=0
3∑n=1
((m+ 1) · 1
n
)=
= 4∑m=0(m+ 1)
· 3∑n=1
1n
= 15 · (11+12+13
)= 15 · 11
6=1656=552.
1.7. ŚREDNIA
Średnia z liczb a1, a2, . . . an to∑ni=1 ain
.
Na przykład średnia z liczb 1, 2, ... , 21 to∑21i=1 i
21= 11 .
Zazwyczaj średnią z liczb x1, x2, . . . xn oznacza się przez x.
Właściwości:
1. min(x1, x2, . . . xn) ¬ x ¬ max(x1, x2, . . . xn)i jeżeli liczby x1, x2, . . . xn nie są wszystkie jednakowe, to obie nierówności są ostre;
2.∑ni=1(xi − x) = 0
(suma odchyleń wszystkich liczb od ich średniej = średnia odchyleń od średniej = 0).
1.8. ILOCZYN
Z∏n=z
an = az · az+1 · . . . · aZ .
Na przykład:
5∏j=1
j = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120 = 5! ;n∏k=1
k = n! ;
9∏j=−1
j = 0 ;n∏j=1
a = an ;
4∏i=02i = 2
∑4i=0 i = 210 = 1024 ;
2∏n=−25n = 1 .
2. Algebra liniowa
2.1. WEKTORY – DZIAŁANIA, LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ
Wektor n-wymiarowy x – układ n liczb rzeczywistych:
x = (x1, x2, . . . , xn) .
Często wektory utożsamia się z punktami przestrzeni n-wymiarowej Rn (a w fizyce – ze”strzałkami” prowadzącymi od początku układu do danego punktu).
Będziemy je zapisywać jako wektory kolumnowe: x =
x1x2. . .
xn
lub jako wektory wierszowe: x = [x1 x2 . . . xn] .
Działania na wektorach
Dodawanie (tylko wektorów tego samego wymiaru) :
Dla x = [x1 x2 . . . xn] , y = [y1 y2 . . . yn] ∈ Rn
x+ y = [x1 + y1 x2 + y2 . . . xn + yn]
np. [2 3 5] + [3 0 –1] = [5 3 4].
Mnożenie wektora przez liczbę
Dla x = [x1 x2 . . . xn] ∈ Rn i liczby c ∈ R
cx = [cx1 cx2 . . . cxn]
np. 3 · [2 3 5] = [6 9 15].
Iloczyn skalarny (tylko wektorów tego samego wymiaru)
Dla x = [x1 x2 . . . xn] , y = [y1 y2 . . . yn] ∈ Rn
x · y = x1 · y1 + x2 · y2 . . .+ xn · yn =n∑j=1
xjyj (liczba) ,
np. [2 3 5] · [3 0 –1] = 6 + 0 + (–5) = 1.
Uwaga (geometryczna)
1. x · y = 0 ⇔ wektory x i y są prostopadłe
2. x · x = kwadrat długości wektora x.
Wektor d ∈ Rn jest kombinacją liniową wektorów a1, a2, . . . , ak ∈ Rn jeżeli istnieją liczbyz1, z2, . . . , zk (współczynniki kombinacji) takie że
d = z1a1 + z2a2 + . . .+ zkak .
Jeśli z1, z2, . . . , zk 0 ik∑j=1
zj = 1, to taka kombinacja jest kombinacją wypukłą.
Np. wektor d =
318
jest kombinacją liniową wektorów a1 =
113
i a2 =
021
(bo d = 3a1 − a2), a wektor e =
033
nie jest;
wektor
25
jest kombinacją wypukłą wektorów
63
i
06
,
a wektor
1212
jest ich kombinacją liniową, ale nie wypukłą.
Wektory a1, a2, . . . , ak ∈ Rn są liniowo niezależne, jeżeli żaden z nich nie jest kombinacjąliniową pozostałych.
Np. wektory a1 =
113
, a2 =
021
i a3 =
033
są liniowo niezależne, a wektory
a1 , a2 i a4 =
1−31
nie są (bo a4 = a1 − 2a2), czyli są liniowo zależne.
Uwaga. Układ liniowo niezależnych wektorów w Rn może składać się z co najwyżej n wekto-rów.
Najprostszy układ wektorów liniowo niezależnych w Rn :
[1 0 . . . 0] , [0 1 0 . . . 0] , . . . , [0 0 . . . 0 1]
(baza kanoniczna – układ wszystkich wersorów).
2.2. MACIERZE – OKREŚLENIE
Macierz wymiaru m× n =
Prostokątna tablica liczb o m wierszach i n kolumnach .
A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n. . . . . . . . .am1 am2 . . . amn
Macierz wymiaru 1× n – wektor wierszowy długości n
Macierz wymiaru m× 1 – wektor kolumnowy długości m .
2.3. DZIAŁANIA NA MACIERZACH
Transpozycja
AT =
a11 a21 . . . am1a12 a22 . . . am2. . . . . . . . .a1n a2n . . . ann
(” A transponowana”, wymiaru n×m).
Np. gdy A = 3 0 −1−2 1 4
, to AT =
3 −20 1−1 4
.
(AT)T = A .
Mnożenie przez liczbę
Gdy c ∈ R , A macierz wymiaru m× n
to c ·A – taka macierz C wymiaru m× n że dla każdego i, j cij = c · aij.
Np. gdy A = 3 −3 02 −1 4
, to 4 ·A = 12 −12 08 −4 16
.
Dodawanie macierzy – TYLKO TEGO SAMEGO WYMIARU !
Gdy A , B – macierze wymiaru m× n
to A + B – taka macierz C wymiaru m× n że dla każdego i, j cij = aij + bij.
Np. gdy A jak wyżej, B = 1 2 32 0 −5
, to
A + B =
4 −1 34 −1 −1
, A + 2 ·B = 5 1 66 −1 −6
.
Dodawanie macierzy jest przemienne i łączne.
Mnożenie macierzy przez wektor kolumnowy
Gdy A macierz wymiaru m× n , x wektor kolumnowy długości n,
to y = A · x – wektor kolumnowy długości m otrzymany tak:
yk =n∑j=1(akjxj) dla k = 1, 2, . . .m
(iloczyn skalarny k-tego wiersza macierzy A i wektora x).
Np.
3 1 00 4 2
·−201
= 3 · (−2) + 1 · 0 + 0 · 10 · (−2) + 4 · 0 + 2 · 1
= −62
.
Przykład. W przykładzie z piwem z poprzednich zajęć: gdy
X – macierz (4 × 5) liczb litrów piwa poszczególnych rodzajów nalanych w poszczególnychbarach ,
q – wektor kolumnowy długości 5, gdzie xj – cena sprzedaży litra piwa typu j
to z = X · q jest wektorem długości 4 ; zk = utarg baru nr k na piwie
Mnożenie macierzy
Gdy A macierz wymiaru m× n , B macierz wymiaru n× p
(TYLKO TAKIE MOŻNA MNOŻYĆ !)
to C = A · B – macierz wymiaru m× p otrzymana tak:
ckl =n∑j=1(akjbjl) dla k = 1, 2, . . .m , l = 1, 2, . . . p .
”ckl = k-ty wiersz A · l-ta kolumna B”. Czyli: kolumny macierzy C powstają z pomnożeniaA przez odpowiednie kolumny macierzy B.
Na przykład:
3 1 00 4 2
·1 −24 03 1
= 3 · 1 + 1 · 4 + 0 · 3 3 · (−2) + 1 · 0 + 0 · 10 · 1 + 4 · 4 + 2 · 3 0 · (−2) + 4 · 0 + 2 · 1
= 7 −622 2
.Innymi słowy :
A · B istnieje
⇔ A ma tyle samo kolumn ile B ma wierszy
⇔ wiersze A są tej samej długości co kolumny B.
Macierz kwadratowa A (n× n) jest :
symetryczna ⇔ A = AT ⇔ ∧i,j aij = aji np.
1 2 32 5 43 4 0
;
trójkątna górna ⇔ (i > j ⇒ aij = 0) np.
1 2 30 5 40 0 6
;
trójkątna dolna ⇔ (i < j ⇒ aij = 0) np.
1 0 02 5 03 4 6
;
diagonalna ⇔ (i 6= j ⇒ aij = 0) np.
1 0 00 5 00 0 4
;
jednostkowa ⇔ aij =
1 gdy i = j ,0 gdy i 6= j
1 0 00 1 00 0 1
.
Macierz jednostkową wymiaru n× n oznaczamy przez In .
Własności mnożenia macierzy:
– jest łączne (tj. A · (B ·C) = (A ·B) ·C ) ,
– nie jest przemienne – może zachodzić A ·B 6= B ·Anawet gdy oba iloczyny istnieją ,
– iloczyn A ·AT zawsze istnieje i jest macierzą symetryczną,
– (A ·B)T = BT ·AT ,
– dla dowolnej macierzy A wymiaru m · n A · In = Im ·A = A .
2.4. DOPEŁNIENIA ALGEBRAICZNE I WYZNACZNIK
tylko macierzy kwadratowych !
Gdy A jest macierzą (n× n), oznaczamy:
A−ij – macierz wymiaru n− 1× n− 1 utworzona z A przez usunięcie i-tego wiersza i j-tejkolumny;
detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n. . . . . . . . .an1 an2 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣wyznacznik macierzy A ;
aDij – dopełnienie algebraiczne elementu aij
i określamy je tak:
dla n = 1 : aD11 nie istnieje , det [a11] = a11 ;
dla n > 1
aDij = (−1)i+j · detA−ij ,
detA =n∑k=1(a1k · aD1k) .
Przykład dla n = 2 : B = 2 41 −3
bD11 = (−1)1+1 · detB−11 = 1 · det[−3] = −3 ,bD12 = (−1)1+2 · detB−12 = −1 · det[1] = −1 ,bD21 = (−1)2+1 · detB−21 = −1 · det[4] = −4 ,bD22 = (−1)2+2 · detB−22 = 1 · det[2] = 2 .
Więc macierz dopełnień algebraicznych macierzy B : BD = −3 −1−4 2
i wyznacznik: detB = b11 · bD11 + b12 · bD12 = 2 · (−3) + 4 · (−1) = −10 .
Prosty wzór na wyznacznik macierzy 2× 2 : det a11 a12a21 a22
= a11a22 − a12a21 .
Przykład dla n = 3 : E =
2 −1 00 2 −1−1 −1 1
. Mamy:
eD11 = (−1)1+1 · detE−11 = 1 · det 2 −1−1 1
= 2 · 1− (−1) · (−1) = 1 ,
eD12 = (−1)1+2 · detE−12 = −1 · det 0 −1−1 1
= −(0 · 1− (−1) · (−1)) = 1 ,eD13 = (−1)1+3 · detE−13 = 1 · det
0 2−1 −1
= 0 · (−1)− 2 · (−1) = 2. . . (uzupelnić !) i wyznacznik:
detE =3∑k=1(e1k · eD1k) = 2 · 1 + (−1) · 1 + 0 · 2 = 1 .
Prosta metoda liczenia wyznacznika macierzy 3× 3 –
schemat Sarrusa .
Właściwości wyznacznika:
– jeżeli A ma kolumnę (lub wiersz) samych zer, to detA = 0 ,
– jeżeli A ma dwie kolumny (lub dwa wiersze) równe lub proporcjonalne, to detA = 0 ,
– jeżeli A trójkątna lub diagonalna, to co? (praca domowa)
– dodanie do kolumny (wiersza) innej kolumny (wiersza) pomnożonej(-go) przez stałą niezmienia wyznacznika macierzy,
– zamiana miejscami dwóch wierszy (lub kolumn) zmienia znak wyznacznika,
– det(c ·A) = cn · detA , det(A ·B) = detA · detB .
Ponadto:detA =
n∑k=1(a1k · aD1k) =
n∑k=1(amk · aDmk)
dla dowolnego m = 1, 2, . . . n , tzn. sumowanie możemy wykonać dla dowolnego (niekoniecz-nie pierwszego) wiersza macierzy.
(Także dla dowolnej kolumny: detA =n∑k=1(akm · aDkm))
– rozwinięcie Laplace’a według dowolnego wiersza lub kolumny.
Jeszcze inne własności:
– detAT = detA ,
– jeżeli A jest wymiaru m× n i m > n, to det(A ·AT) = 0 .
Macierz kwadratowa B jest osobliwa jeżeli detB = 0 ;
w przeciwnym razie B jest nieosobliwa.
Interpretacja geometryczna wyznacznika
| detA| =
(gdy A jest macierzą 2× 2) = pole równoległoboku
(gdy A jest macierzą 3× 3) = objętość równoległościanu
którego bokami są wektory w R2 (R3) równe kolumnom macierzy A .
Rząd macierzy A (niekoniecznie kwadratowej), rz A to
największa liczba liniowo niezależnych wierszy macierzy A
= największa liczba liniowo niezależnych kolumn macierzy A
= liczba różnych wersorów które można uzyskać w kolumnach macierzy otrzymanej z Aprzez operacje elementarne
(o których dalej).
Uwaga.
1. Gdy macierz A jest wymiaru m× n , to rz A ¬ min(m,n).
2. Gdy macierz A jest wymiaru n× n , to rz A = n wtedy i tylko wtedy, gdy detA 6= 0.
2.5. MACIERZ ODWROTNA
tylko macierzy kwadratowej nieosobliwej !
Gdy A jest macierzą wymiaru n× n i detA 6= 0, określamy:
A−1 = macierz X taka, że A ·X = In .
Stwierdzenie: Dla macierzy A wymiaru n× n
1. A−1 istnieje ⇔ A jest nieosobliwa ⇔ rz A = n ;
2. A−1 ·A = In ( i wobec tego (A−1)−1 = A );
3. jeżeli A−1 istnieje, to jest wyznaczona jednoznacznie.
Wzór:
A−1 =1detA
· (AD)T .
Przykład: Dla macierzy A = 1 7−2 −4
mamy |A| = 10 oraz AD = −4 2−7 1
,
więc A−1 =1detA
· (AD)T = 110· −4 2−7 1
T = −0, 4 −0, 70, 2 0, 1
.
Przykład: Dla macierzy
F =
3 2 32 1 22 5 4
mamy:
FD =
−6 −4 87 6 −111 0 −1
oraz detF = [3 2 3] · [−6 − 4 8] = −2 ,
więc
F−1 =1detF
· (FD)T = −12·
−6 7 1−4 6 08 −11 −1
=3 −72 −
12
2 −3 0−4 11
212
.
Inna metoda wyliczania: przez operacje elementarne (dalej).
2.6. UKŁADY (CRAMEROWSKIE) RÓWNAŃ LINIOWYCH
Każdy układ m równań liniowych z n niewiadomymi postaci:
a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2
. . .am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm
można zapisać w postaci wektorowej :
x1 ·
a11a21. . .am1
+ x2 ·a12a22. . .am2
+ . . .+ xn ·a1na2n. . .amn
=b1b2. . .bm
lub w postaci macierzowej :
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n. . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn
·
x1x2. . .
xn
=
b1b2. . .
bm
(czyli A · x = b, gdzie A jest macierzą wymiaru m× n ,
x =
x1x2. . .
xn
jest wektorem z Rn , b =
b1b2. . .bm
wektorem z Rm) .
Szczególny przypadek:
Gdy m = n (niewiadomych jest tyle ile równań) i macierz A jest nieosobliwa, układ równańo takiej macierzy nazywamy cramerowskim.
Np. układ równań
5x1 − 3x2 = 72x1 + x2 = 6jest cramerowski,
a układ x1 + 3x2 + x3 = 82x1 + 4x2 + x3 = 11
– nie.
ROZWIĄZYWANIE cramerowskich układów równań:
Twierdzenie :
Jeśli układ równań o postaci macierzowej A · x = b jest cramerowski,
to ma dokładnie jedno rozwiązanie i jest nim wektor x = A−1 · b .
Dowód: Skoro A · x = b , toA−1 · (A · x) = A−1b
(A−1 istnieje bo układ jest cramerowski, a więc detA 6= 0),
czyliIn · x = x = A−1b .
Stąd uniwersalna metoda rozwiązywania takich układów:
Odwrócić macierz układu A i pomnożyć uzyskaną A−1 przez prawą stronę, b.
Inna metoda: Wzory Cramera :
Rozwiązanie x cramerowskiego układu równań A · x = b jest postaci
xj =detA[j/b]detA
j = 1, 2, . . . n
gdzie A[j/b] jest macierzą powstającą z A przez zastąpienie j-tej kolumny wektorem b .
Przykład : Układ równań 2x1 − x2 = 4
2x2 − x3 = −6−x1 − x2 + x3 = 3
ma postać macierzową
2 −1 00 2 −1−1 −1 1
·x1x2x3
=4−63
i jego macierz (oznaczmy ją E) jest nieosobliwa bo detE = 1. Nadto
E−1 =
1 1 11 2 22 3 4
(sprawdzić!) , a więc
x = E−1 ·
4−63
=1 1 11 2 22 3 4
·4−63
=1−22
;x1 = 1 , x2 = −2 , x3 = 2 .
Lub z wzorów Cramera:
E[1b] =
4 −1 0−6 2 −13 −1 1
, E[2b] =
2 4 00 −6 −1−1 3 1
, E[3b] =
2 −1 40 2 −6−1 −1 3
i
detE[1b] = 1 , detE[2b] = −2 , detE[3b] = 2a więc x1 = 1/1 = 1 , x2 = −2/1 = −2 , x3 = 2/1 = 2 .
Jeszcze inna metoda (i jedyna która działa dla układów NIEcramerowskich)
przez operacje elementarne.
Operacje elementarne na macierzy:
– zamiana wierszy : wi/wj
– pomnożenie wiersza przez stałą : c · wi
– dodanie do wiersza innego wiersza pomnożonego przez stałą : wi + c · wj .
Mają one zastosowanie do:
– wyliczania macierzy odwrotnej macierzy nieosobliwej,
– wyliczania rzędu macierzy,
– rozwiązywania układów równań liniowych.
Wpływ operacji elementarnych na wyznacznik (macierzy kwadratowej):
wi/wj zmienia znak det , wi + c · wj nie zmienia wyznacznika ,
c · wi mnoży det przez c .
Rozwiązywanie cramerowskich układów równań przez operacje elementarne:
1. Zapisać układ w postaci macierzowej
2. Obok jego macierzy wpisać prawą stronę układu (wektor wyrazów wolnych)
3. Przeprowadzać na obu naraz te same operacje elementarne aż do otrzymania po lewejstronie macierzy jednostkowej
4. W tym momencie po prawej stronie otrzymamy wektor będący rozwiązaniem układurównań.
Przykład : Rozwiązać układ równań5x1 − 3x2 + 6x3 = 7−3x1 + 2x2 − 4x3 = −42x1 − x2 + 3x3 = 6
.
5 −3 6 | 7−3 2 −4 | −42 −1 3 | 6
w1 + w2
2 −1 2 | 3−3 2 −4 | −42 −1 3 | 6
w3 − w1
2 −1 2 | 3−3 2 −4 | −40 0 1 | 3
w2 + 2w1
2 −1 2 | 31 0 0 | 20 0 1 | 3
w1 − 2w2
0 −1 2 | −11 0 0 | 20 0 1 | 3
w1 − 2w3
0 −1 0 | −71 0 0 | 20 0 1 | 3
−w1
0 1 0 | 71 0 0 | 20 0 1 | 3
w1/w2
1 0 0 | 20 1 0 | 70 0 1 | 3
rozwiązanie: x1 = 2 , x2 = 7 , x3 = 3 .
Odwracanie macierzy nieosobliwych przez operacje elementarne:
1. Obok odwracanej macierzy zapisać macierz jednostkową tego samego wymiaru.
2. Przeprowadzać na obu naraz te same operacje elementarne aż do otrzymania po lewejstronie macierzy jednostkowej
3. W tym momencie po prawej stronie otrzymamy macierz odwrotną do wyjściowej.
Przykład. Odwrócenie macierzy z poprzedniego przykładu:
5 −3 6 | 1 0 0−3 2 −4 | 0 1 02 −1 3 | 0 0 1
w1 + w2
2 −1 2 | 1 1 0−3 2 −4 | 0 1 02 −1 3 | 0 0 1
w3 − w1
2 −1 2 | 1 1 0−3 2 −4 | 0 1 00 0 1 | −1 −1 1
w2 + 2w1 . . .
. . . w1/w2
1 0 0 | 2 3 00 1 0 | 1 3 20 0 1 | −1 −1 1
– macierz odwrotna po prawej stronie.
2.7. UKŁADY NIECRAMEROWSKIE
Uwaga. Układ równań A · x = b – czyli
a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2
. . .am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm
−
ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy wektor
b1b2. . .
bm
jest kombinacją liniową wektorów
a11a21. . .
am1
,
a12a22. . .
am2
, . . . ,
a1na2n. . .
amn
.
Tzn. gdy wektor b jest kombinacją liniową kolumn macierzy A. (Dowód oczywisty z postaciwektorowej układu; rozwiązania x1, . . . xn = współczynniki tej kombinacji).
Dla takiego układu równań oznaczamy: A|b – macierz m× (n+ 1) powstała przez dodaniedo macierzy A kolumny wyrazów wolnych b .
TWIERDZENIE. Układ m równań z n niewiadomymi A · x = b (jak wyżej) :
ma jedno rozwiązanie ⇔ rz A = rz A|b = n(tak jest w szczególności dla układów cramerowskich);
ma nieskończenie wiele rozwiązań ⇔ rz A = rz A|b < n ;
nie ma rozwiązań (jest sprzeczny) ⇔ rz A < rz A|b .
Praktyczne rozwiązywanie – przez operacje elementarne.
Dla układów mających nieskończenie wiele rozwiązań dzielimy zmienne na
• bazowe – te w których kolumnach występują różne wersory
• swobodne – wszystkie pozostałe
po czym za każdą zmienną swobodną wstawiamy osobny parametr i otrzymujemy rozwiązanie ogólne.
Przykład 1. Układ równań x1 + x2 + x3 = 52x1 + 3x2 + x3 = 7
sprowadzamy przez operacje elementarne do postaci z dwoma różnymi wersorami w kolum-nach
[1 1 1 | 52 3 1 | 7
]w2 − 2w1
[1 1 1 | 50 1 −1 | −3
]w1 − w2
[1 0 2 | 80 1 −1 | −3
];
zmienne x1 i x2 (odpowiadające kolumnom z różnymi wersorami) są bazowe,
za zmienną swobodną x3 wstawiamy parametr: x3 = s i przepisujemy układ w postacix1 + 2s = 8 , x2 + s = −3 , czyli
x1 = 8− 2s , x2 = s− 3 , x3 = s ;
– rozwiązanie ogólne – rodzina wszystkich rozwiązań, dla dowolnych wartości parametru s.Po podstawieniu dowolnej wartości s (np. s = 7) dostaniemy rozwiązanie szczególne (np.x1 = −6 , x2 = 4 , x3 = 7).
Szczególny przypadek – rozwiązania bazowe
w zmiennych bazowych x2, x3 (x1 = 0) : s = 4 ; x1 = 0 , x2 = −1 , x3 = 4
w zmiennych bazowych x1, x3 (x2 = 0) : s = 3 ; x1 = 2 , x2 = 0 , x3 = 3
w zmiennych bazowych x1, x2 (x3 = 0) : s = 0 ; x1 = 8 , x2 = −3 , x3 = 0 .
Rozwiązania nieujemne – czyli takie, że x1, x2, x3 0 – muszą spełniać
8− 2s 0 , s− 3 0 , s 0
czyli występują dla takich s że 3 ¬ s ¬ 4 .
Przykład 2. x1 − 2x2 + x3 − x4 = −23x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 4
Operacje elementarne:[1 −2 1 −1 | −23 2 3 −1 | 4
]w2 − 3w1 ; w2 ·
12; w1 + w2
[1 2 1 0 | 30 4 0 1 | 5
]
Zmienne bazowe: x3 , x4 (można zamiast tego wziąć x1 i x4),dwa parametry x1 = s i x2 = t,
rozwiązanie ogólne: x1 = s , x2 = t , x3 = 3− s− 2t , , x4 = 5− 4t .