1

PŁOCKA

MIĘDZYGIMNAZJALNA LIGA PRZEDMIOTOWA

MATEMATYKA

marzec 2013

KARTA PUNKTACJI ZADAŃ (wypełnia komisja konkursowa):

Numer zadania Zad. 1 Zad. 2

Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 Zad. 6 Zad. 7 SUMA

PUNKTÓW Poprawna odpowiedź

Max liczba punktów 1 1 4 4 3 5 4 22

Wybrana odpowiedź

Liczba uzyskanych punktów

Drogi Uczniu!

Przed Tobą arkusz z ciekawymi zadaniami z matematyki. Przy każdym zadaniu podano liczbę punktów, jaką możesz uzyskać.

Swoje rozwiązania i odpowiedzi do zadań umieszczaj wyłącznie w przeznaczonym do tego miejscu. W zadaniach zamkniętych o numerach 1 i 2 podane są cztery odpowiedzi. Wybierz tylko jedną z nich i wpisz w odpowiednią kratkę.

Zapisuj szczegółowe komentarze do rozwiązań zadań otwartych. Pominięcie argumentacji lub istotnych obliczeń może spowodować, że za rozwiązanie nie będziesz mógł otrzymać maksymalnej liczby punktów.

Rozwiązując zadania nie możesz korzystać z kalkulatora.

Test trwa 90 minut.

POWODZENIA!

KOD ucznia

2

BRUDNOPIS

3

Zadanie 1. (1 punkt)

Bok rombu ma długość 2 cm, zaś pole tego rombu wynosi 1 cm2. Kąt ostry w tym rombie ma miarę:

A. 30° B. 45° C. 60° D. nie można określić Zadanie 2. (1 punkt)

Jeżeli 1

12

b

ba to b wynosi:

A. 1

2

a

a B.

2

1

a

a C.

12

1

a

a D.

2

2

a

Zadanie 3. (4 punkty) Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o ten sam procent kurtka kosztuje o 36% mniej niż przed obniżkami. Ile procent ceny początkowej stanowiła cena kurtki po pierwszej obniżce?

Odpowiedź:

Zadanie 1.

Zadanie 2.

4

Zadanie 4. (4 punkty)

Uzasadnij, że istnieje tylko jedna liczba całkowita spełniająca równanie .11 xx

x

Odpowiedź:

5

Zadanie 5. (3 punkty)

Sumę S miar kątów wewnętrznych n-kąta wypukłego można opisać wzorem funkcji

360180 nnS .

a) podaj dziedzinę funkcji określonej powyższym wzorem, b) narysuj wykres tej funkcji dla 6n , c) ile boków ma wielokąt, którego suma S miar kątów wewnętrznych spełnia warunek

?15001400 S

Odpowiedź:

6

Zadanie 6. (5 punktów)

W kąt prosty wpisano dwa okręgi zewnętrznie styczne i styczne do ramion kata. Promień mniejszego okręgu ma długość 1 cm. Oblicz długość promienia większego okręgu.

Odpowiedź:

7

Zadanie 7. (4 punkty)

Pan Jabłoński planując nowy sad, chce zasadzić drzewka tak, by ich liczba w każdym rzędzie była równa liczbie rzędów. Zakupu drzewek do sadu dokonała jego żona, która kupiła o 6 drzewek więcej niż planował mąż. Pan Jabłoński obliczył, że jeśli doda jeszcze jeden rząd i po 1 drzewku w każdym rzędzie, to zabraknie mu 19 drzewek. Oblicz, ile drzewek kupiła żona pana Jabłońskiego.

Odpowiedź:

8

BRUDNOPIS

9

PŁOCKA MIĘDZYGIMNAZJALNA LIGA PRZEDMIOTOWA marzec 2013

KARTOTEKA TESTU1

Nr zad.

Czynności ucznia punkty Zakres

wymagań

1 Analizuje warunki zadania – wybiera poprawną odpowiedź

1 A. 30° G

2 Analizuje warunki zadania – wybiera poprawną odpowiedź

1 B. 2

1

a

a WA

3

Analizuje warunki zadania, ustala strategię rozwiązania, zapisuje ceny po kolejnych obniżkach

Układa równanie

Przekształca wyrażenie i oblicza procent obniżek

Zapisuje odpowiedź podając ile procent ceny początkowej stanowiła cena po pierwszej obniżce.

1 1 1 1

Cena początkowa – a Procent obniżek – x

Cena po I obniżce – ax 1

Cena po dwóch obniżkach – ax 2

1

Cena po dwóch obniżkach – a64,0

2,0

8,01

64,012

x

x

x

Odpowiedź: II cena stanowiła 80% ceny początkowej.

LR WA

4

Zauważa, że iloczyn liczb po lewej stronie równania musi być równy 1

Uzasadnia, że nie jest możliwe, żeby oba czynniki były równe 1 (przypadek 1.).

Zauważa, że oba czynniki muszą być równe -1

Wyprowadza wniosek uzasadniający tezę twierdzenia (jedyną liczbą spełniającą równanie jest -2)

1 1

1

1

Aby iloczyn dwóch liczb całkowitych wynosił 1 musi zachodzić:

1.

1

11

x

x

x

lub 2.

1

11

x

x

x

Układ równań w przypadku 1. nie ma rozwiązań, bo z drugiego równania wynika, że 0x , a

pierwsze równanie spełnia tylko x = 0

Rozwiązując układ równań w przypadku 2. otrzymujemy:

12

2

2x

Wniosek: liczba (- 2) jest jedynym pierwiastkiem tego równania

DT RiN

1 Zadania opracowano wykorzystując podręczniki do matematyki dla gimnazjów oraz ogólnie dostępne zbiory zadań

10

5

Określa dziedzinę funkcji

Oblicza współrzędne punktów i rysuje wykres funkcji w podanej dziedzinie

Rozwiązuje układ nierówności, wyznacza liczbę n (liczbę boków wielokąta spełniającą podany warunek)

1 1 1

a) dziedziną tej funkcji są liczby naturalne 3n

b) aby narysować wykres należy obliczyć współrzędne punktów (wykres składa się z 4 punktów

o podanych współrzędnych):

n 3 4 5 6

S(n) 180° 360° 540° 720°

1900180

2000180

n

n

9

510

9

95

18

190

9

111

9

100

18

200

n

n

wniosek: 11n

Odpowiedź: wielokąt spełniający podany warunek to jedenastokąt.

F RiN

6

Wykonuje rysunek, zaznaczając na nim ważne dla rozwiązania zadania elementy

Zauważa, że trójkąt ABS (mały okrąg) oraz trójkąt ACO (duży okrąg) są prostokątne równoramienne i oblicza długości odcinków AS oraz AO (przekątne kwadratów)

Zapisuje długość odcinka AO jako zależność między odcinkiem AS, promieniem małego i dużego okręgu

Układa i rozwiązuje równanie,

1 1 1 2

ABS - prostokątny, równoramienny, 2AS

ACO - prostokątny, równoramienny, 2RAO

RAO 12

Mamy więc: RR 122

G WA

11

wyznaczając długość promienia dużego okręgu.

Uwaga: Jeżeli uczeń nie usunie niewymierności z mianownika ułamka, za ostatnią czynność otrzymuje 1 pkt.

2231222

12

12

12

12

12)12(

R

R

R

Odpowiedź: promień dużego okręgu ma długość .223

7

Analizuje warunki zadania (może wykonać pomocniczy rysunek), zapisuje wyrażenie określające liczbę drzewek zaplanowanych praz męża

Zapisuje równanie opisujące nową sytuację w sadzie

Przekształca wyrażenie, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia, rozwiązuje równanie

Oblicza, ile drzewek kupiła żona

1 1 1 1

liczba drzewek planowana przez męża - nn

liczba drzewek zakupionych przez żonę – 62 n

nowa liczba drzewek – 19611 2 nnn

12

242

2512 22

n

n

nnn

Żona kupiła – 150614462 n drzewek

ZL WA RiN

ZAKRES WYMAGAŃ:

LR Działania w zbiorze liczb rzeczywistych z uwzględnieniem działań na potęgach i pierwiastkach, zastosowanie tych działań w rozwiązywaniu zadań tekstowych.

WA Wyrażenia algebraiczne. Przekształcanie jednomianów i sum algebraicznych. Wzory skróconego mnożenia.

RN Rozwiązywanie równań i nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, zastosowanie w rozwiązywaniu zadań tekstowych.

Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną (bez równań wymiernych).

DT Dowodzenie twierdzeń z zastosowaniem: cech podzielności liczb, działań na wyrażeniach algebraicznych, działań na potęgach i pierwiastkach

F Funkcja liniowa i jej własności. Uzasadnianie i opisywanie za pomocą wzoru zależności funkcyjnych. Ilustracje w układzie współrzędnych.

G Pola i obwody figur płaskich. Zastosowanie w rozwiązywaniu zadań tekstowych

ZL Zadania i zagadki logiczne.

UMIEJĘTNOŚCI:

stosowanie języka matematycznego przy zapisywaniu rozwiązań zadań i uzasadnianie strategii postępowania;

formułowanie wniosków na podstawie analizy podanego tekstu matematycznego;

sprawdzanie, czy otrzymany wynik spełnia warunki zadania;

rozwiązywanie łamigłówek logicznych, dostrzeganie prawidłowości.

12

PŁOCKA MIĘDZYGIMNAZJALNA LIGA PRZEDMIOTOWA marzec 2012

SZKICE PRZYKŁADOWYCH ROZWIĄZAŃ ZADAŃ

Zadanie 1. Zadanie 2.

Odpowiedź A. Odpowiedź B.

Zadanie 3. (4 punkty)

Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o ten sam procent telewizor kosztuje o 36% mniej niż przed obniżkami. Ile % ceny początkowej stanowiła cena telewizora po pierwszej obniżce?

Rozwiązanie:

Cena początkowa – a

Procent obniżek – x

Cena po I obniżce – ax 1

Cena po dwóch obniżkach – ax 2

1

Cena po dwóch obniżkach – 0,64 a

2,0

8,01

64,012

x

x

x

Odpowiedź: Druga cena stanowiła 80% ceny początkowej. Zadanie 4. (4 punkty)

Uzasadnij, że istnieje tylko jedna liczba całkowita spełniająca równanie .11 xx

x

Rozwiązanie:

Aby iloczyn dwóch liczb całkowitych wynosił 1 musi zachodzić:

1.

1

11

x

x

x

lub 2.

1

11

x

x

x

Układ równań w przypadku 1. nie ma rozwiązań, bo z drugiego równania wynika, że 0x , a

pierwsze równanie spełnia tylko x = 0

Rozwiązując układ równań w przypadku 2. otrzymujemy:

12

2

2x

Wniosek: liczba (- 2) jest jedynym pierwiastkiem tego równania

UWAGA:

Za prawidłowe rozwiązanie każdego zadania metodą inną niż podane poniżej przyznajemy maksymalną liczbę punktów

13

Zadanie 5. (3 punkty)

Sumę S miar kątów wewnętrznych n-kąta wypukłego można opisać wzorem funkcji

360180 nnS .

a) podaj dziedzinę funkcji określonej powyższym wzorem, b) narysuj wykres tej funkcji dla 6n , c) ile boków ma wielokąt, którego suma S miar kątów wewnętrznych spełnia warunek

?20001900 S

Rozwiązanie:

a) dziedziną tej funkcji są liczby naturalne 3n

b) aby narysować wykres należy obliczyć współrzędne punktów (wykres składa się z 4 punktów o podanych współrzędnych):

n 3 4 5 6

S(n) 180 360 540 720

c)

9

510

9

95

18

190

9

111

9

100

18

200

1900180

2000180

n

n

n

n

wniosek: 11n

Odpowiedź: wielokąt spełniający podany warunek to jedenastokąt. Zadanie 6. (5 punktów)

W kąt prosty wpisano dwa okręgi zewnętrznie styczne i styczne do ramion kata. Promień mniejszego okręgu ma długość 1 cm. Oblicz długość promienia większego okręgu. Rozwiązanie:

ABS - prostokątny,

równoramienny, 2AS

ACO - prostokątny,

równoramienny, 2RAO

RAO 12

Mamy więc:

2231222

12

12

12

12

12)12(

122

R

R

R

RR

Odpowiedź: promień dużego okręgu ma długość .223

14

Zadanie 7. (4 punkty)

Pan Jabłoński planując nowy sad, chce zasadzić drzewka tak, by ich liczba w każdym rzędzie była równa liczbie rzędów. Zakupu drzewek do sadu dokonała jego żona, która kupiła o 6 drzewek więcej niż planował mąż. Pan Jabłoński obliczył, że jeśli doda jeszcze jeden rząd i po 1 drzewku w każdym rzędzie, to zabraknie mu 19 drzewek. Oblicz, ile drzewek kupiła żona pana Jabłońskiego Rozwiązanie: liczba drzewek planowana przez męża - nn

liczba drzewek zakupionych przez żonę – 62 n

nowa liczba drzewek – 19611 2 nnn

12

242

2512 22

n

n

nnn

Żona kupiła – 150614462 n drzewek

Odpowiedź: Żona pana Jabłońskiego kupiła 150 drzewek.

.

ZAKRES WYMAGAŃ:

LR Działania w zbiorze liczb rzeczywistych z uwzględnieniem działań na potęgach i pierwiastkach, zastosowanie tych działań w rozwiązywaniu zadań tekstowych.

WA Wyrażenia algebraiczne. Przekształcanie jednomianów i sum algebraicznych. Wzory skróconego mnożenia.

RN

Rozwiązywanie równań i nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, zastosowanie w rozwiązywaniu zadań tekstowych.

Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną (bez równań wymiernych).

DT Dowodzenie twierdzeń z zastosowaniem: cech podzielności liczb, działań na wyrażeniach algebraicznych, działań na potęgach i pierwiastkach

F Funkcja liniowa i jej własności. Uzasadnianie i opisywanie za pomocą wzoru zależności funkcyjnych. Ilustracje w układzie współrzędnych.

G Pola i obwody figur płaskich. Zastosowanie w rozwiązywaniu zadań tekstowych

ZL Zadania i zagadki logiczne.

UMIEJĘTNOŚCI:

stosowanie języka matematycznego przy zapisywaniu rozwiązań zadań i uzasadnianie strategii postępowania;

formułowanie wniosków na podstawie analizy podanego tekstu matematycznego;

sprawdzanie, czy otrzymany wynik spełnia warunki zadania;

rozwiązywanie łamigłówek logicznych, dostrzeganie prawidłowości.

Zadania opracowano wykorzystując podręczniki do matematyki dla gimnazjów oraz ogólnie dostępne zbiory zadań