matematyka w liceum - spostrowyspostrowy-glos.edu.pl/wp-content/uploads/2014/12/matematyka_w... ·...
TRANSCRIPT
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
matematyka w liceum - matura z matematyki - zadaniamatematyka w przykadach - zadania z penymi rozwizaniami - arkusze maturalne rozwizane krok po kroku
Witam! Ten facet na zdjciu obok to ja JakubGrzegorzek. Od kilku lat pomagam w nauce mate-matyki. Czsto widziaem sytuacj, e czowiek czytazadania i ciana. Zupenie nie wie, z ktrej stronyje ugry. Co wtedy? Otwierasz mj ebook i szukaszpodobnego zadania. Czytasz rozwizanie i na jegopodstawie prbujesz wymyle swoje. Dlatego zawar-em w ebooku moliwie du liczb przykadw. Mamnadziej, e znajdziesz, to co szukasz. Klinij poniej.
pom mi spopularyzowa ten ebook
Matematykaw liceum
http://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=1http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=1mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.plhttp://www.matematyka.pisz.pl/sznurki/sznurki.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Nie przegldaj strona po stronie !!!!!
Nie uywaj rolki w myszce !!!!!
Po tym ebooku naley porusza si TYLKO klikajc oznaczony na niebiesko tekst.
Jak chcesz si cofn, kliknij niebiesk strzak.
Zacznij jeszcze raz. Kliknij tutaj
spis treci
http://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=2http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=2mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Spis treci:
liczby i wyraenia algebraiczne trygonometria zbiory, warto bezwgldna, indukcja geometria na paszczynie funkcja i jej wasnoci geometria analityczna funkcja liniowa geometria w przestrzeni funkcja kwadratowa kombinatoryka, prawdopodobiestwo, wielomiany elementy statystyki funkcje wymierne funkcja wykadnicza MATURA logarytmy cigi i ich granice blog granica funkcji w pom mi spopularyzowa ten ebook granica w punkcie i pochodna funkcji
za dua czcionka? jak ja to napisaem
gra w kropki
przegldanie drukowanie MatTV
kontakt z autorem: [email protected]
20 luty 2007r.
http://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=3http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=3mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.plhttp://www.matematyka.pisz.pl/sznurki/sznurki.plmailto:[email protected]
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Nie przegldaj strona po stronie !!!!!
Nie uywaj rolki w myszce !!!!!
Po tym ebooku naley porusza si TYLKO klikajc oznaczony na niebiesko tekst.
Jak chcesz si cofn, kliknij niebiesk strzak.
Zacznij jeszcze raz. Kliknij tutaj
spis treci
http://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=4http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=4mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
-3 1 2 4
A B
Dla przedziaw A = (3, 2 i B = (1, 4 wyznacz A B, A B, A \ B, B \ A, A,B.
Zaznaczamy przedziay na osi liczbowej i odczytujemy rozwizanie:
suma: A B = (3, 4cz wsplna: A B = (1, 2rnica: A \B = (3, 1rnica: B \A = (2, 4dopenienie: A = (,3 (2,)dopenienie: B = (, 1 (4,)
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/5k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=5http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=5mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
wymagania maturalne zdajcy potrafi: wyznaczy sum, iloczyn, rnic, dopenienieprzedziaw liczbowych oraz innych podzbiorw zbioruliczb rzeczywistych
. Dla przedziaw A = (3, 2 i B = (1, 4 wyznacz A B, A B, A \B, B \A,A, B.
http://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=6http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=6mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
2 5
2 5
2 5
2 5
2
5
Przedziay liczbowePrzykady:
2, 5 Przedzia obustronnie domknity, zawiera liczby od 2 do 5.
(2, 5) Przedzia obustronnie otwarty, zawiera liczby od 2 do 5, bez 2 i 5.
2, 5) Przedzia lewostronnie domknity, zawiera liczby od 2 do 5,bez 5.
(2, 5 Przedzia prawostronnie domknity, zawiera liczby od 2 do 5,bez 2.
Nawiasy przy zawsze okrge2,) Przedzia lewostronnie domknity, zawiera liczby wiksze
lub rwne 2.
(, 5) Przedzia prawostronnie otwarty, zawiera liczby mniejsze od 5.
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/7k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=7http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=7mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
1 2 3 4
A B
1 2 3 4
A B
1 2 3 4
A B
1 3
AA A
Dziaania na przedziaach
suma: A BSuma przedziaw A i B to przedzia zawierajcy wszystkie liczby z przedziaw A i B.
przykad:A = (1, 3) B = (2, 4) A B = (1, 4)
cz wsplna (iloczyn): A BCz wsplna przedziaw A i B to przedzia zawierajcy liczby wsplne dla przedziaw Ai B.
przykad:A = (1, 3) B = (2, 4) A B = (2, 3)
Rnica : A \BRnica przedziaw A i B to przedzia zawierajcy liczby nalece do przedziau A, ale nienalece do przedziau B.
przykad:A = (1, 3) B = (2, 4) A \B = (1, 2
Dopenienie: A
Dopenienie przedziau A to przedzia lub suma przedziaw zawierajca liczby, ktre nienale do przedziau A.
przykad:A = (1, 3) A = (, 1 3,)
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/8k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=8http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=8mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
wymagania maturalne zdajcy potrafi: zaznacza na osi liczbowej zbiory opisaneza pomoc rwna i nierwnoci z wartoci bezwzgldntypu: |x a| = b, |x a| < b, |x a| > b
Rozwi rwnania:. |x| = 3 . |x+ 1| = 2 . |x 3| = 0. |x+ 4| = 5 .
(x+ 5)2 = 4
Rozwi nierwnoci:. |x| < 3 . |x 4| < 2 . |8 2x| 4. |x| > 2 . |2x 6| 4
http://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=9http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=9mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Rozwi rwnanie:
|x| = 3
Warto bezwzgldna z 3 i 3 jest rwna 3, a wic:
x = 3 lub x = 3
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/10k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=10http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=10mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Rozwi rwnanie:
|x+ 1| = 2
Warto bezwzgldna z 2 i 2 jest rwna 2, a wic:
x+ 1 = 2 lub x+ 1 = 2x = 2 1 x = 2 1x = 3 x = 1
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/11k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=11http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=11mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Rozwi rwnanie:
|x 3| = 0
Warto bezwzgldna tylko z 0 jest rwna 0, a wic:
x 3 = 0x = 3
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/12k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=12http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=12mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Rozwi rwnanie:
|x+ 4| = 5
Warto bezwzgldna nie moe by ujemna, a wic rwnanie nie marozwizania.
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/13k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=13http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=13mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Rozwi rwnanie: (x+ 5)2 = 4
Zgodnie ze wzoremx2 = |x| moemy napisa
(x+ 5)2 = |x+ 5|.
|x+ 5| = 4
Warto bezwzgldna z 4 i 4 jest rwna 4, a wic:
x+ 5 = 4 lub x+ 5 = 4x = 4 5 x = 4 5x = 9 x = 1
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/14k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=14http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=14mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
03
3
0 5
5
warto bezwzgldna
warto bezwzgldna z dowolnej liczby jest dodatnia lub rwna zero.
|x| ={x gdy x 0x gdy x < 0
przykady:|4| = 4 | 4| = 4 |0| = 0| 5| = 5 | 12 | =
12
interpretacja geometryczna wartoci bezwzgldnej
warto bezwzgldna liczby jest rwna jej odlegoci od zera na osi liczbowej
przykady:
| 3| = 3 |5| = 5
wasnoci wartoci bezwzgldnej
|x| 0 | x| = |x|x2 = |x|
|x y| = |x| |y| |x| = |y| x = y lub x = yxy = |x||y| |x+ y| |x|+ |y|
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/15k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=15http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=15mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
-3 3
Rozwi nierwno:
|x| < 3
Nierwno z wartoci bezwzgldn mona zastpi ukadem nierwnoci bez wartoci bez-wzgldnej.
x < 3 i x > 3
Rozwizaniem jest cz wsplna przedziaw:
x (3, 3)
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/16k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=16http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=16mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
2 6
Rozwi nierwno:
|x 4| < 2
Nierwno z wartoci bezwzgldn mona zastpi ukadem nierwnoci bez wartoci bez-wzgldnej.
x 4 < 2 i x 4 > 2x < 2 + 4 x > 2 + 4x < 6 x > 2
Rozwizaniem jest cz wsplna przedziaw:
x (2, 6)
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/17k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=17http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=17mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
2 6
Rozwi nierwno:
|8 2x| 4
Nierwno z wartoci bezwzgldn mona zastpi ukadem nierwnoci bez wartoci bez-wzgldnej.
8 2x 4 i 8 2x 42x 4 8 2x 4 82x 4 / : (2) 2x 12 / : (2)x 2 x 6
Rozwizaniem jest cz wsplna przedziaw:
x 2, 6
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/18k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=18http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=18mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
-2 2
Rozwi nierwno:
|x| > 2
Nierwno z wartoci bezwzgldn mona zastpi ukadem nierwnoci bez wartoci bez-wzgldnej.
x > 2 lub x < 2
Rozwizaniem jest suma przedziaw:
x (,2) (2,)
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/19k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=19http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=19mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
1 5
Rozwi nierwno:
|2x 6| 4
Nierwno z wartoci bezwzgldn mona zastpi ukadem nierwnoci bez wartoci bez-wzgldnej.
2x 6 4 lub 2x 6 42x 4 + 6 2x 4 + 62x 10 / : 2 2x 2 / : 2x 5 x 1
Rozwizaniem jest suma przedziaw:
x (, 1 5,)
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/20k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=20http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=20mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Definicja funkcji
Funkcja f : X Y to przyporzdkowanie, ktre kademu elementowi zbioru X przypo-rzdkowuje dokadnie jeden element ze zbioru Y .
x - argumenty (liczby nalece do X)y - wartoci (liczby naleace do Y )
Funkcj przedstawiamy najczciej za pomoc wzoru lub wykresu.
Moliwe zapisy wzoru funkcji:
y = x2 f(x) = x2
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/21k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=21http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=21mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
-2 5 x
y
Dziedzina funkcji
Dziedzina funkcji to zbir zawierajcy wszystkie liczby, ktre moemy podstawi do wzorufunkcji. Moemy j te odczyta z wykresu funkcji.
Oznaczenia: D Df X
Przykady:
y =x D = 0,), poniewa nie mona pierwiastkowa liczb ujemnych.
y = 1x D = R \ {0}, poniewa nie mona dzieli przez 0 (1x = 1 : x).
D = 2, 5)
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/22k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=22http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=22mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Symbole matematyczne
x 0,) x naley do przedziau 0,)R liczby rzeczywiste, czyli wszystkie jakie znaszx R \ {0} x naley do liczb rzeczywistych oprcz 0.
http://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=23http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=23mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
-2
4
x
y
Zbir wartoci (przeciwdziedzina)
Zbir wartoci to zbir zawierajcy wszystkie liczby, ktre moemy otrzyma ze wzoru funkcji.Moemy go te odczyta z wykresu funkcji.
Oznaczenia: D1 Y Wf
Przykady:
y = x2 D1 = 0,), poniewa podnoszc do kwadratuotrzymujemy liczby nieujemne.
y = x+ 1 D1 = R, poniewa moemy otrzyma dowoln liczbwstawiajc odpowiedni za x.
D1 = 2, 4)
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/24k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=24http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=24mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
1 x
y
Miejsce zerowe
Miejsce zerowe to liczba, ktra podstawiona do wzoru funkcji daje warto rwn 0. Miejscezerowe moemy te odczyta z wykresu funkcji.
Przykady:
y = x+ 2 x0 = 2, poniewa podstawiajc 2 za x otrzymujemy 0.y = 2x 6 x0 = 3, poniewa podstawiajc 3 za x otrzymujemy 0.
x0 = 1
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/25k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=25http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=25mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
x
y
x1 x2f(x1)
f(x2)
x
y
x2x1f(x2)
f(x1)
x
y
c
Monotoniczno
Monotoniczno oznacza najczciej, e funkcja jest rosnca, malejca lub staa.
Przykady:
Funkcja Definicjarosnca: Dla kadego x1 < x2: f(x1) < f(x2)
Funkcja Definicjamalejca: Dla kadego x1 < x2: f(x1) > f(x2)
Funkcja Definicjastaa: Dla kadego x: f(x) = c
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/26k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=26http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=26mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
x
y
x
y
-4 3
1
Rnowartociowo
Funkcja jest rnowartociowa, jeeli nie ma takich dwch liczb, dla ktrych warto funkcjiwynosi tyle samo.
Przykady:
funkcja rnowartociowa
funkcja nie jest rnowartociowa, poniewadla 4 i 3 warto wynosi tyle samo.
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/27k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=27http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=27mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Wzory, definicje, twierdzenia:
Podstawy Funkcja kwadratowa Wielomiany Funkcje wymierne Funkcja wykadnicza Logarytmy Cigi i ich granice Granica i pochodna funkcji Trygonometria
http://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=28http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=28mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Jeeli czcionka wydaje ci si zbyt dua, zmie rozmiar okna. Kliknij w prawym grnym rogui wskanikiem myszki przecignij prawy dolny rg. Wraz z rozmiarem okna zmienisz rozmiartekstu.
http://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=29http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=29mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
x
y
-3 3
2
x
y
-5 5-4
4
Parzysto i nieparzysto
Funkcja jest parzysta, jeeli dla dowolnych liczb przeciwnych warto funkcji wynosi tylesamo. Lewa strona wykresu jest odbiciem prawej.
f(x) = f(x)
Funkcja parzysta, poniewa dla liczb przeciwnych(np 3, 3) warto wynosi tyle samo.
Funkcja jest nieparzysta, jeeli dla dowolnych liczb przeciwnych wartoci funkcji s te prze-ciwne. Lewa strona wykresu jest odwrconym odbiciem prawej.
f(x) = f(x)
Funkcja nieparzysta, poniewa dla liczb przeciwnych(np 5, 5) wartoci te s przeciwne.
dalej
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/30k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=30http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=30mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
x
y
Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.Tak jest z wikszoci funkcji.
http://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=31http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=31mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
x
y
Okresowo funkcji
Funkcja jest okresowa, jeeli jej wykres da si podzieli na nieskoczenie wiele identycznychczci.
Okres funkcji - dugo jednej czci na jakie zosta podzielony wykres.
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/32k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=32http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=32mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
x
y
1 x
y
1 x
y
1
wymagania maturalne zdajcy potrafi: okrela z wykresu funkcji: dziedzin,zbir wartoci, warto majc dany argument, argument majcdan warto, miejsca zerowe, przedziay monotonicznoci, zbirdla ktrych wartoci s dodatnie (ujemne), najmniejszi najwiksz warto funkcji
. . .
Dla powyszych funkcji okrel dziedzin, zbir wartoci, miejsca zerowe, monotoniczno,rnowartociowo, parzysto, okresowo.
http://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=33http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=33mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Znajd dziedzin funkcji.f(x) =
3x+ 9
Rozwizanie:Wyznaczamy dziedzin wiedzc, e liczb ujemnych nie moemy pierwiastkowa.
3x+ 9 03x 9 / : 3x 3
Odp. D = 3,)
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/34k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=34http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=34mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Znajd dziedzin funkcji.f(x) =
4 2x
Rozwizanie:Wyznaczamy dziedzin wiedzc, e liczb ujemnych nie moemy pierwiastkowa.
4 2x 02x 4 / : (2)x 2
Odp. D = (, 2
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/35k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=35http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=35mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Znajd dziedzin funkcji.
f(x) =5
2x+ 6
Rozwizanie:
dziedzina funkcji
Mianownik nie moe by rwny 0, poniewa nie wolno dzieli przez 0.
2x+ 6 = 0
2x = 6 / : 2x = 3
Odp. D = R \ {3}
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/36k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=36http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=36mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Znajd dziedzin funkcji.
f(x) =4
x(x+ 3)
Rozwizanie:
dziedzina funkcji
Mianownik nie moe by rwny 0, poniewa nie wolno dzieli przez 0.
x(x+ 3) = 0x = 0 lub x+ 3 = 0
x = 3Odp. D = R \ {0,3}
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/37k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=37http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=37mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
x
y
1
Rozwizanie:
dziedzina D = Rzbir wartoci D1 = (, 3miejsce zerowe x0 3 lub x0 1, 5monotoniczno funkcja jest przedziaami monotoniczna
rosnca w przedziale (,1)malejca w przedziale (1,)
rnowartociowo funkcja nie jest rnowartociowaparzysto funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzystaokresowo funkcja nie jest okresowa
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/38k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=38http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=38mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
x
y
1
Rozwizanie:
dziedzina D = 3, 4)zbir wartoci D1 = 4, 3miejsce zerowe x0 2 lub x0 = 3monotoniczno funkcja jest przedziaami monotoniczna
malejca w przedziale 3,1)staa w przedziale (1, 1)rosnca w przedziale (1, 4)
rnowartociowo funkcja nie jest rnowartociowaparzysto funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzystaokresowo funkcja nie jest okresowa
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/39k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=39http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=39mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
x
y
1
Rozwizanie:
dziedzina D = 3,)zbir wartoci D1 = 4,)miejsce zerowe x0 2, 1 lub x0 = 0 lub x0 2, 1monotoniczno funkcja jest przedziaami monotoniczna
rosnca w przedziale 3,1)malejca w przedziale (1, 1)rosnca w przedziale (1,)
rnowartociowo funkcja nie jest rnowartociowaparzysto funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzystaokresowo funkcja nie jest okresowa
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/40k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=40http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=40mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
1
3y
=2x
+3
a > 0
x
y
1
1
y = 13 x + 1
a < 0
x
y
1
2y = 2
a = 0
x
y
funkcja liniowa
funkcja liniowa to funkcja dana wzorem
y = ax+ b
a wspczynnik kierunkowy
monotoniczno: a > 0 rosnca a < 0 malejca a = 0 staa
b wsprzdna punktu przecicia z osi Oy: (0, b)
wykres funkcji liniowej:
wspczynnik kierunkowy:a = 2 a = 13 a = 0
monotoniczno:rosnca malejca staa
punkt przecicia wykresu z osi Oy:
(0, 3) (0, 1) (0, 2)
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/41k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=41http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=41mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
11
1
y=
2x
1y=
2x+
2 x
y
11
3
y =12x
1
y=
2x
3
x
y
proste rwnolege i prostopade
Proste rwnolege majten sam wspczynnik kierunkowy.
Proste prostopade majwspczynniki kierunkowe speniajce wzr:
a1 a2 = 1
np. 2 12 = 1
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/42k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=42http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=42mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
wymagania maturalne zdajcy potrafi: podawa wzr funkcji liniowej o zadanychwasnociach
. Znajd rwnanie funkcji liniowej, ktrej wykres jest rwnolegy do y = 2x+4 i przechodziprzez punkt A(3, 7).
. Znajd rwnanie funkcji liniowej, ktrej wykres jest prostopady do y = 3x2 i przechodziprzez punkt A(6, 3).
http://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=43http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=43mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
1-11
-2
-5
x
y
Dla funkcjiy = 3x 2
narysuj wykres, podaj dziedzin, zbir wartoci, miejsce zerowe, monotoniczno.
Rozwizanie:Dla wybranych dowolnie x np. 1,0,1 liczymy y:x = 1 y = 3 (1) 2 = 3 2 = 5x = 0 y = 3 0 2 = 2x = 1 y = 3 1 2 = 1
x 1 0 1y 5 2 1
dziedzina D = Rzbir wartoci D1 = RMiejsce zerowe liczymy wstawiajc 0 za y.
0 = 3x 23x = 2/ : (3)
x0 =23
monotoniczno funkcja jest rosnca
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/44k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=44http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=44mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Znajd rwnanie funkcji liniowej, ktrej wykres jest rwnolegy do y = 2x+ 4 i przechodziprzez punkt A(3, 7).
Rozwizanie:y = ax+ b
Musimy znale a i b.a = 2, poniewa szukana funkcja jest rwnolega do y = 2x+ 4.
y = 2x+ b
Wstawiajc do rwnania wsprzdne A(3, 7) znajdujemy b.
7 = 2 3 + b7 6 = bb = 1
Odp. y = 2x+ 1
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/45k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=45http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=45mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Znajd rwnanie funkcji liniowej, ktrej wykres jest prostopady do y = 3x 2 i przechodziprzez punkt A(6, 3).
Rozwizanie:y = ax+ b
Musimy znale a i b.Wspczynnik kierunkowy a liczymy ze wzoru.
a1 a2= 13 a = 1/ : 3
a = 13
y = 13x+ bWstawiajc do rwnania wsprzdne punktu A(6, 3) znajdujemy b.
3 = 13 6 + b
3 = 2 + b3 + 2 = b
b = 5
Odp. y = 13x+ 5
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/46k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=46http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=46mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Rysowanie wektorw
Wektor rysujemy w postaci strzaki.
~w = [a, b]
Rysowanie wektora:Zaznaczamy pocztek w dowolnym miejscu. Na podstawie wsprzdnych [a, b] znajdujemykoniec.
Przykady:
[2, 3] 2 w prawo 3 do gry
[3, 1] 3 w prawo 1 do gry
[2, 1] 2 w lewo 1 do gry
[3,2] 3 w prawo 2 do dou
[0, 2] 2 do gry
[3, 0] 3 w lewo
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/47k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=47http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=47mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Przesuwanie wykresu funkcji
Wykres funkcjif(x a) + b
otrzymujemy przez narysowanie funkcji f(x) i przesuniciu jej o wektor [a, b].
Przykady:
y = |x 3|+ 2 rysujemy y = |x| i przesuwamy o wektor [3, 2]y = (x 2)24 y = x2 [2,4]y = (x+ 1)3 + 2 y = x3 [1, 2]y = (x+ 5)23 y = x2 [5,3]y = x2 + 1 y = x2 [0, 1]y = (x 2)2 y = x2 [2, 0]y = 2x+31 y =
2x [3,1]
Pierwsza wsprzdna wektora ma przeciwny znak ni liczba przy x, druga wsprzdna maznak taki sam jak liczba na kocu.
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/48k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=48http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=48mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Narysuj wykres funkcji:
. y = (x 2)2 + 1 . y = (x+ 4)3 . y = 1x+1 2
. y = |x 3|+ 2
http://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=49http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=49mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
x
y
Narysuj wykres funkcji:y = (x 2)2 + 1
Rozwizanie:Wykres y = (x 2)2 + 1 otrzymujemy przez przesunicie y = x2 o wektor [2, 1].
x -2 -1 0 1 2
y = x2 4 1 0 1 4
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/50k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=50http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=50mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
x
y
Narysuj wykres funkcji:y = (x+ 4)3
Rozwizanie:Wykres y = (x+ 4)3 otrzymujemy przez przesunicie y = x3 o wektor [4, 0].
x -2 -1 0 1 2
y = x3 -8 -1 0 1 8
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/51k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=51http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=51mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
x
y
Narysuj wykres funkcji:
y =1x+ 1
2
Rozwizanie:Wykres y = 1x+12 otrzymujemy przez przesunicie y =
1x o wektor [1,2].
x -2 -1 - 1212 1 2
y = 1x -12 -1 -2 2 1
12
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/52k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=52http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=52mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
x
y
Narysuj wykres funkcji:y = |x 3|+ 2
Rozwizanie:Wykres y = |x 3|+ 2 otrzymujemy przez przesunicie y = |x| o wektor [3, 2].
x -2 -1 0 1 2
y = |x| 2 1 0 1 2
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/53k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=53http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=53mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
x1 =b
2ax2 =
b +
2a
x1 =b2a
Rwnanie kwadratowe
ax2 + bx+ c = 0 a 6= 0
Najpierw liczymy (delta). = b2 4ac
Pierwiastki rwnania kwadratowego liczymy w zalenoci od znaku delty.
> 0 dwa pierwiastki
= 0 jeden pierwiastek
< 0 nie ma pierwiastkw
Pierwiastki rwnania ax2 + bx + c = 0 s miejscami zerowymi funkcji kwadratowejy = ax2 + bx+ c.
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/54k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=54http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=54mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Wzory skrconego mnoenia
Wzry: Przykady:
(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2 (x+ 3)2= x2 + 2 x 3 + 32 == x2 + 6x+ 9
(a b)2 = a2 2ab+ b2 (3x 4)2= (3x)2 2 3x 4 + 42 == 9x2 24x+ 16
(a b)(a+ b) = a2 b2 (3x 2)(3x+ 2)= (3x)2 22 = 9x2 4x2 9= (x 3)(x+ 3)x2 5= (x
5)(x+
5)
(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 (x+ 2)3= x3 + 3 x2 2 + 3 x 22 + 23 == x3 + 6x2 + 12x+ 8
(a b)3 = a3 3a2b+ 3ab2 b3 (2x 1)3= (2x)3 3 (2x)2 1++3 2x 12 13 == 8x3 12x2 + 6x 1
a3 + b3 = (a+ b)(a2 ab+ b2) x3 + 27= x3 + 33 == (x+ 3)(x2 3x+ 9)
a3 b3 = (a b)(a2 + ab+ b2) x3 5= x3 ( 35)3 =
= (x 35)(x2 + 3
5x+ 3
25)
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/55k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=55http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=55mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
wymagania maturalne zdajcy potrafi: rozwizywa rwnania kwadratowe z jednniewiadom
rozwi rwnania:. x2 4 = 0 . 2x2 16 = 0 . x2 + 9 = 0. x2 3x = 0 . 2x2 + 6x = 0
rozwi rwnania:. x2 4x 5 = 0 . x2 + 6x+ 9 = 0 . x2 + 2x+ 5 = 0. x2 + 3x+ 4 = 0 . 2x2 + 3x 1 = 0
http://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=56http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=56mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Rozwi rwnanie:x2 4 = 0
Rozwizanie:x2 4 = 0x2 = 4
x = 2 lub x = 2
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/57k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=57http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=57mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Rozwi rwnanie:2x2 16 = 0
Rozwizanie:2x2 16 = 02x2 = 16/ : 2
x2 = 8
x =8 lub x =
8
x =4 2 x =
4 2
x = 22 x = 2
2
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/58k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=58http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=58mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Rozwi rwnanie:x2 + 9 = 0
Rozwizanie:x2 + 9 = 0
x2 = 9
rwnanie nie ma rozwizania
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/59k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=59http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=59mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Rozwi rwnanie:x2 3x = 0
Rozwizanie:x2 3x = 0x(x 3) = 0
x = 0 lub x 3 = 0x = 3
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/60k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=60http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=60mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Rozwi rwnanie:2x2 + 6x = 0
Rozwizanie:2x2 + 6x = 0x(2x+ 6) = 0
x = 0 lub 2x+ 6 = 02x = 6/ : (2)x = 3
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/61k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=61http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=61mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Rozwi rwnanie:x2 4x 5 = 0
Rozwizanie:x24x5 = 0
Korzystamy ze wzorw na pierwiastki rwnania kwadratowego.
a = 1 b = 4 c = 5 = (4)2 4 1 (5) = 16 + 20 = 36 =
36 = 6
x1 =(4) 62 1 =
4 62=22= 1
x2 =(4) + 62 1 =
4 + 62=102= 5
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/62k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=62http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=62mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Rozwi rwnanie:x2 + 6x+ 9 = 0
Rozwizanie:x2 + 6x+ 9 = 0
Korzystamy ze wzorw na pierwiastki rwnania kwadratowego.
a = 1 b = 6 c = 9
= 62 4 1 9 = 36 36 = 0
x1 =62 1=62= 3
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/63k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=63http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=63mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Rozwi rwnanie:x2 + 2x+ 5 = 0
Rozwizanie:x2 + 2x+ 5 = 0
Korzystamy ze wzorw na pierwiastki rwnania kwadratowego.
a = 1 b = 2 c = 5
= 22 4 1 5 = 4 20 = 16rwnanie nie ma pierwiastkw
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/64k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=64http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=64mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Rozwi rwnanie:x2 + 3x+ 4 = 0
Rozwizanie:x2 + 3x+ 4 = 0
Korzystamy ze wzorw na pierwiastki rwnania kwadratowego.
a = 1 b = 3 c = 4 = 32 4 (1) 4 = 9 + 16 = 25 =
25 = 5
x1 =3 52 (1) =
82 = 4
x2 =3 + 52 (1) =
22 = 1
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/65k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=65http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=65mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Rozwi rwnanie:2x2 + 3x 1 = 0
Rozwizanie:2x2 + 3x1 = 0
Korzystamy ze wzorw na pierwiastki rwnania kwadratowego.
a = 2 b = 3 c = 1 = 32 4 2 (1) = 9 + 8 = 17 =
17
x1 =3
17
2 2 =3
17
4
x2 =3 +
17
2 2=3 +
17
4
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/66k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=66http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=66mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Funkcja kwadratowa
wzory, twierdzenia, definicje Rwnanie kwadratowe Posta oglna, kanoniczna, iloczynowa Wykres funkcji kwadratowej Nierwnoci kwadratowe
rozwizane zadania
http://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=67http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=67mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
zbiory, warto bezwzgldna, indukcja
wzory, twierdzenia, definicje zbiory dziaania na zbiorach wasnoci dziaa na zbiorach zbiory liczbowe przedziay liczbowe dziaania na przedziaach zdanie w logice kwantyfikatory rachunek zda prawa logiczne warto bezwzgldna odlego liczb na osi liczbowej indukcja matematyczna
rozwizane zadania
http://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=68http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=68mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Posta oglna, kanoniczna, iloczynowa
Posta oglna: przykady:
y = ax2 + bx+ c y = 3x2 + 5x 2y = 4x2 + 6xy = x2 + 5
Posta kanoniczn otrzymujemy liczc najpierw delt, a nastpnie p i q.
y = a(x p)2 + q y = 6(x+ 3)2 4y = 2(x 5)2
p =b2a
q =4a
y = x2 + 3
Posta iloczynow otrzymujemy z postaci oglnej po obliczeniu pierwiastkw. Jej wygldzaley od delty.
> 0 y = a(x x1)(x x2) y = 2(x 3)(x+ 4)y = x(x+ 5)
= 0 y = a(x x1)2 y = (x 3)2y = 4x2
< 0 nie istnieje
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/69k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=69http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=69mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
wymagania maturalne zdajcy potrafi: przedstawia funkcj kwadratow w rnychpostaciach: oglnej, iloczynowej, kanonicznej
Sprowad do postaci kanonicznej:. y = x2 + 4x 3 . y = 2x2 + 8x . y = 3(x 1)(x+ 4)
Sprowad do postaci iloczynowej:. y = x2 + 2x 8 . y = 3x2 6 . y = 5x2 2x
Sprowad do postaci oglnej:. y = 2(x+ 3)2 4 . y = 2(x 3)(x+ 4)
http://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=70http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=70mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Sprowad do postaci kanonicznej:
y = x2 + 4x3
Rozwizanie:liczymy delt:a = 1 b = 4 c = 3
= 42 4 1 (3) = 16 + 12 = 28
Wykorzystujemy wzory na p i q.
p =42 1 = 2 q =
284 1 = 7
Posta kanoniczna:y =
(x (2)
)2+ (7)
y = (x+ 2)2 7
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/71k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=71http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=71mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Sprowad do postaci kanonicznej:
y = 2x2 + 8x
Rozwizanie:liczymy delt:a = 2 b = 8 c = 0
= 82 4 (2) 0 = 64 0 = 64
Wykorzystujemy wzory na p i q.
p =82 (2)
=84= 2 q =
644 (2)
=648= 8
Posta kanoniczna:y = 2(x 2)2 + 8
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/72k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=72http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=72mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Sprowad do postaci kanonicznej:
y = 3(x 1)(x+ 4)
Rozwizanie:Najpierw sprowadzamy do postaci oglnej:
3(x 1)(x+ 4) = 3(x2 + 4x x 4) = 3(x2 + 3x 4) = 3x2 + 9x12
liczymy delt:a = 3 b = 9 c = 12
= 92 4 3 (12) = 81 + 144 = 225
Wykorzystujemy wzory na p i q.
p =92 3 =
32
q =2254 3 =
754= 183
4
Posta kanoniczna:
y = 3(x
(32
))2+(1834
)
y = 3(x+32
)2 1834
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/73k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=73http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=73mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Sprowad do postaci iloczynowej:
y = x2 + 2x8
Rozwizanie:liczymy delt:a = 1 b = 2 c = 8
= 22 4 1 (8) = 4 + 32 = 36 =
36 = 6
liczymy pierwiastki.
x1 =2 62 1 x2 =
2 + 62 1
x1 =82
x2 =42
x1 = 4 x2 = 2
Posta iloczynowa:
y =(x (4)
)(x 2)
y = (x+ 4)(x 2)
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/74k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=74http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=74mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Sprowad do postaci iloczynowej:y = 3x2 6
Rozwizanie:Prociej jest nie liczy z delty, tylko przeksztaca:
y = 3(x2 2)
Korzystamy ze wzoru a2 b2 = (a b)(a+ b):
y = 3(x2)(x+
2)
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/75k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=75http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=75mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Sprowad do postaci iloczynowej:y = 5x2 2x
Rozwizanie:Prociej jest nie liczy z delty, tylko przeksztaca:
y = 5x(x 25
)
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/76k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=76http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=76mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Sprowad do postaci oglnej:y = 2(x+ 3)2 4
Rozwizanie:Korzystamy ze wzoru (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2:
y = 2(x2 + 2 x 3 + 32) 4y = 2(x2 + 6x+ 9) 4y = 2x2 + 12x+ 18 4y = 2x2 + 12x+ 14
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/77k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=77http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=77mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Sprowad do postaci oglnej:y = 2(x 3)(x+ 4)
Rozwizanie:
2(x 3)(x+ 4) = 2(x2 + 4x 3x 12) = 2(x2 + x 12) = 2x2 + 2x 24
y = 2x2 + 2x 24
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/78k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=78http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=78mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
a > 0 < 0
x
a > 0 = 0
x
a > 0 > 0
x
a < 0 < 0
xa < 0 = 0
xa < 0 > 0
x
Wykres funkcji kwadratowej
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.Pooenie wykresu wzgldem osi x zaley od delty i a.
y = ax2 + bx+ c
Wsprzdne wierzchoka W (p, q) paraboli dane s wzorem:
p =b2a
q =4a
Najatwiej wsprzdne wierzchoka odczyta z postaci kanonicznej.Przykad:y = 3(x 5)2 + 4 W (5, 4)y = 2(x+ 3)2 1 W (3,1)y = (x+ 4)2 W (4, 0)y = x2 6 W (0,6)
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/79k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=79http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=79mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
wymagania maturalne zdajcy potrafi: sporzdza wykresy funkcji kwadratowychodczytywa wasnoci z wykresu, okrela przedziaymonotonicznoci funkcji kwadratowej
Narysuj wykres funkcji kwadratowej i podaj jej wasnoci:. y = x2 4x+ 3 . y = 2x2 8x 5 . y = x2 6x+ 10
http://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=80http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=80mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
2-1
x
y
Narysuj wykres funkcji kwadratowej i podaj jej wasnoci:
y = x2 4x+ 3
Rozwizanie:Sprowadzamy funkcj do postaci kanonicznej: y = (x 2)21Rysujemy wykres y = x2 i przesuwamy go o wektor [2,1].
x -2 -1 0 1 2
y = x2 4 1 0 1 4
dziedzina D = Rzbir wartoci D1 = 1,)miejsce zerowe x0 = 1 lub x0 = 3monotoniczno funkcja jest przedziaami monotoniczna
malejca w przedziale (, 2)rosnca w przedziale (2,)
wierzchoek W (2,1)najmniejsza warto ymin = 1 dla x = 2najwiksza warto nie istniejernowartociowo funkcja nie jest rnowartociowaparzysto funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/81k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=81http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=81mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
y = x2 4x+ 3
a = 1 b = 4 c = 3
= (4)2 4 1 3 = 16 12 = 4
p =(4)2 1 =
42= 2 q =
44 1 =
44= 1
posta kanoniczna:y = (x 2)2 1
http://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=82http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=82mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
-2
3
x
y
Narysuj wykres funkcji kwadratowej i podaj jej wasnoci:
y = 2x2 8x 5
Rozwizanie:Sprowadzamy funkcj do postaci kanonicznej: y = 2(x+ 2)2 + 3Rysujemy wykres y = 2x2 i przesuwamy go o wektor [2, 3].
x -2 -1 0 1 2
y = 2x2 -8 -2 0 -2 -8
dziedzina D = Rzbir wartoci D1 = (, 3miejsce zerowe x0 3, 2 lub x0 0, 8monotoniczno funkcja jest przedziaami monotoniczna
rosnca w przedziale (,2)malejca w przedziale (2,)
wierzchoek W (2, 3)najwiksza warto ymax = 3 dla x = 2najmniejsza warto nie istniejernowartociowo funkcja nie jest rnowartociowaparzysto funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/83k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=83http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=83mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
y = 2x2 8x 5
a = 2 b = 8 c = 5
= (8)2 4 (2) (5) = 64 40 = 24
p =(8)2 (2) =
84 = 2 q =
244 (2) =
248 = 3
posta kanoniczna:
y =(x (2)
)2 3y = 2(x+ 2)2 + 3
http://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=84http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=84mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
3
1
x
y
Narysuj wykres funkcji kwadratowej i podaj jej wasnoci:
y = x2 6x+ 10
Rozwizanie:Sprowadzamy funkcj do postaci kanonicznej: y = (x 3)2 + 1Rysujemy wykres y = x2 i przesuwamy go o wektor [3, 1].
x -2 -1 0 1 2
y = x2 4 1 0 1 4
dziedzina D = Rzbir wartoci D1 = 1,)miejsce zerowe nie istniejmonotoniczno funkcja jest przedziaami monotoniczna
malejca w przedziale (, 3)rosnca w przedziale (3,)
wierzchoek W (3, 1)najmniejsza warto ymin = 1 dla x = 3najwiksza warto nie istniejernowartociowo funkcja nie jest rnowartociowaparzysto funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/85k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=85http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=85mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
y = x2 6x+ 10
a = 1 b = 6 c = 10
= (6)2 4 1 10 = 36 40 = 4
p =(6)2 1 =
62= 3 q =
(4)4 1 =
44= 1
posta kanoniczna:
y =(x 3
)2+ 1
http://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=86http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=86mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
x
y
1 42
1
5
A
B
W
Znajd najmniejsz i najwiksz warto funkcjiy = x2 4x+ 5
na przedziale 1, 4.
Rozwizanie:Znajdujemy wartoci funkcji na kracach przedziau:x = 1 y = 12 4 1 + 5 = 1 4 + 5 = 2 A(1, 2)x = 4 y = 42 4 4 + 5 = 16 16 + 5 = 5 B(4, 5)znajdujemy wsprzdne wierzchoka: W (2, 1).
Rysujemy przybliony wykres funkcji na podstawie punktw A(1, 2) B(4, 5) W (2, 1).
Z wykresu odczytujemy, e w przedziale 1, 4:- najmniejsza warto ymin = 1 dla x = 2- najwiksza warto ymax = 5 dla x = 4
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/87k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=87http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=87mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
y = x2 4x+ 5
a = 1 b = 4 c = 5
= (4)2 4 1 5 = 16 20 = 4
wsprzdne wierzchoka:
p =(4)2 1 =
42= 2 q =
(4)4 1 =
44= 1
W (2, 1)
http://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=88http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=88mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
x
y
-1 41
3
-1
-6
A
B
W
Znajd najmniejsz i najwiksz warto funkcjiy = x2 + 2x+ 2
na przedziale 1, 4.
Rozwizanie:Znajdujemy wartoci funkcji na kracach przedziau:x = 1 y = (1)2 + 2 (1) + 2 = 1 2 + 2 = 1 A(1,1)x = 4 y = 42 + 2 4 + 2 = 16 + 8 + 2 = 6 B(4,6)znajdujemy wsprzdne wierzchoka: W (1, 3).
Rysujemy przybliony wykres funkcji na podstawie punktwA(1,1)B(4,6)W (1, 3).
Z wykresu odczytujemy, e w przedziale 1, 4:- najmniejsza warto ymin = 6 dla x = 4- najwiksza warto ymax = 3 dla x = 1
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/89k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=89http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=89mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
y = x2 + 2x+ 2
a = 1 b = 2 c = 2
= 22 4 (1) 2 = 4 + 8 = 12
wsprzdne wierzchoka:
p =22 (1)
=22= 1 q =
124 (1)
=124= 3
W (1, 3)
http://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=90http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=90mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
x
y
-1 1
-5
3
A
B
W
Znajd najmniejsz i najwiksz warto funkcjiy = x2 + 4x 2
na przedziale 1, 1.
Rozwizanie:Znajdujemy wartoci funkcji na kracach przedziau:x = 1 y = (1)2 + 4 (1) 2 = 1 4 2 = 5 A(1,5)x = 1 y = 12 + 4 1 2 = 1 + 4 2 = 3 B(1, 3)znajdujemy wsprzdne wierzchoka: W (2,6).Rysujemy przybliony wykres funkcji na podstawie punktw A(1,5) B(1, 3)W (2,6).
Z wykresu odczytujemy, e w przedziale 1, 1:- najmniejsza warto ymin = 5 dla x = 1- najwiksza warto ymax = 3 dla x = 1
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/91k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=91http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=91mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
y = x2 + 4x 2
a = 1 b = 4 c = 2
= 42 4 1 (2) = 16 + 8 = 24
wsprzdne wierzchoka:
p =42 1=42= 2 q = 24
4 1=244= 6
W (2,6)
http://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=92http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=92mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Nierwnoci kwadratowe
Przykady:x2 + 3x 5 > 0 2x2 + 4x+ 2 0 x2 5x 0 3x2 + 4x+ 2 < 0Nierwnoci kwadratowe rozwizujemy najczciej tak:1. liczymy delt2. znajdujemy miejsca zerowe, jeli s3. rysujemy parabol przechodzc przez miejsca zerowedla a > 0 ramiona w grdla a < 0 ramiona w d
4. zaznaczamy na zielono dla znakw:< cz wykresu pod osi x> cz wykresu nad osi x
5. dla znakw zaznaczamy w miejscach zerowych< > zaznaczamy w miejscach zerowych
6. rysujemy przedzia odpowiadajcy zielonej czci wykresu7. zapisujemy rozwizanie
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/93k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=93http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=93mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
wymagania maturalne zdajcy potrafi: rozwizywa nierwnoci kwadratowe z jednniewiadom
rozwi nierwnoci:. x2 3x 10 < 0 . x2 3x 10 > 0 . x2 3x 10 0. x2 + 2x+ 3 0 . 2x2 x+ 3 < 0
rozwi nierwnoci:. x2 3x 0 . 2x2 + 5x > 0 . x2 7 < 0
rozwi nierwnoci:. 3x2 + 6x+ 10 > 0 . 2x2 + 8x 8 0 . x2 + 2x+ 5 < 0
http://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=94http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=94mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
x-2 5
Rozwi nierwno:x2 3x 10 < 0
Rozwizanie:nierwnoci kwadratowea = 1 b = 3 c = 10
= (3)2 4 1 (10) = 9 + 40 = 49 =
49 = 7
x1 =(3) 72 1 =
3 72= 2 x2 =
(3) + 72 1 =
3 + 72= 5
rozwizaniem jest przedzia:x (2, 5)
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/95k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=95http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=95mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
x2 5
Rozwi nierwno:x2 3x 10 > 0
Rozwizanie:nierwnoci kwadratowea = 1 b = 3 c = 10
= (3)2 4 1 (10) = 9 + 40 = 49 =
49 = 7
x1 =(3) 72 1 =
3 72= 2 x2 =
(3) + 72 1 =
3 + 72= 5
rozwizaniem jest suma dwch przedziaw:x (,2) (5,)
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/96k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=96http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=96mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
x-2 5
Rozwi nierwno:x2 3x 10 0
Rozwizanie:nierwnoci kwadratowea = 1 b = 3 c = 10
= (3)2 4 1 (10) = 9 + 40 = 49 =
49 = 7
x1 =(3) 72 1 =
3 72= 2 x2 =
(3) + 72 1 =
3 + 72= 5
rozwizaniem jest suma dwch przedziaw:x (,2 5,)
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/97k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=97http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=97mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
x-1 3
Rozwi nierwno:x2 + 2x+ 3 0
Rozwizanie:nierwnoci kwadratowea = 1 b = 2 c = 3
= (2)2 4 (1) 3 = 4 + 12 = 16 =
16 = 4
x1 =2 42 (1) =
62 = 3 x2 =
2 + 42 (1) =
22 = 1
rozwizaniem jest przedzia:x 1, 3
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/98k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=98http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=98mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
x32 1
Rozwi nierwno:2x2 x+ 3 < 0
Rozwizanie:nierwnoci kwadratowea = 2 b = 1 c = 3
= (1)2 4 (2) 3 = 1 + 24 = 25 =
25 = 5
x1 =(1) 52 (2) =
1 54 =
44 = 1 x2 =
(1) + 52 (2) =
64 =
32 =
32
rozwizaniem jest suma dwch przedziaw:
x (,32
) (1,)
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/99k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=99http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=99mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
x0 3
Rozwi nierwno:x2 3x 0
Rozwizanie:nierwnoci kwadratowezamiast liczy delt prociej jest policzy pierwiastki w ten sposb:
x2 3x 0x(x 3) 0
x1 = 0 lub x 3 = 0x2 = 3
rozwizaniem jest suma dwch przedziaw:
x (, 0 3,)
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/100k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=100http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=100mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
x0 2 12
Rozwi nierwno:2x2 + 5x > 0
Rozwizanie:nierwnoci kwadratowezamiast liczy delt prociej jest policzy pierwiastki w ten sposb:
2x2 + 5x > 0
2(x2 5
2x
)> 0
2x(x 52
)> 0
x1 = 0 lub x 52 = 0x2 = 52 = 2
12
rozwizaniem jest przedzia:
x (0, 212
)
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/101k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=101http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=101mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
x
7
7
Rozwi nierwno:x2 7 < 0
Rozwizanie:nierwnoci kwadratowezamiast liczy delt prociej jest policzy pierwiastki korzystajc ze wzorua2 b2 = (a b)(a+ b):
x2 7 < 0(x
7)(x+
7) < 0
x7= 0 lub x+
7= 0
x1=7 x2=
7
rozwizaniem jest przedzia:x
(7,7)
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/102k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=102http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=102mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
x
Rozwi nierwno:3x2 + 6x+ 10 > 0
Rozwizanie:nierwnoci kwadratowea = 3 b = 6 c = 10
= 62 4 3 10 = 36 120 = 84
< 0, a wic nie ma miejsc zerowych.
wszystkie liczby speniaj t nierwno
x R
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/103k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=103http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=103mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
x
2
Rozwi nierwno:2x2 + 8x 8 0
Rozwizanie:nierwnoci kwadratowea = 2 b = 8 c = 8
= 82 4 (2) (8) = 64 64 = 0
x1 =82 (2) =
84 = 2
rozwizanie:x = 2
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/104k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=104http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=104mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
x
Rozwi nierwno:x2 + 2x+ 5 < 0
Rozwizanie:nierwnoci kwadratowea = 1 b = 2 c = 5
= 22 4 1 5 = 4 20 = 16
< 0, a wic nie ma miejsc zerowych.
nie ma liczb speniajcych t nierwno
x
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/105k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=105http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=105mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Wielomiany
Przykady:y = x5 2x3 + 5x+ 4 wielomian stopnia 5y = 2x3 + 4x2 2 wielomian stopnia 3y = x2 3x+ 5 wielomian stopnia 2y = 5x 2 wielomian stopnia 1y = 8 wielomian stopnia 0
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/106k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=106http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=106mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Dzielenie wielomianw
Z dzieleniem wielomianw jest tak samo, jak z dzieleniem liczb:6 : 3 = 2 poniewa 2 3 = 6(x3 8x2 + 15x 8) : (x 1) = x2 7x+ 8 poniewa(x2 7x+ 8)(x 1) = x3 x2 7x2 + 7x+ 8x 8 = x3 8x2 + 15x 8
Dzielenie krok po kroku:
Krok I
(x38x2+15x8) : (x 1) zaczynamy
dalej
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/107k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=107http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=107mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Krok II
(x38x2+15x8) : (x 1) = x2 dzielimy x3 na x
Krok III
(x38x2+15x8): (x 1) = x2x3 + x2
mnoymy x2 razy x 1wyniki zapisujemy z przeciwnymiznakami
Krok IV
(x38x2+15x8) : (x 1) = x2x3 + x2= 7x2+15x
dodajemy i spisujemy 15x
dalej
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/108k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=108http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=108mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Krok V
(x38x2+15x8) : (x 1) = x2 7xx3 + x2= 7x2+15x
dzielimy 7x2 na x
Krok VI
(x38x2+15x8) : (x 1) = x2 7xx3 + x2= 7x2+15x7x2 7x
mnoymy 7x razy x 1wyniki zapisujemy z przeciwnymiznakami
Krok VII
(x38x2+15x8) : (x 1) = x2 7xx3 + x2= 7x2+15x7x2 7x= 8x8
dodajemy i spisujemy 8
dalej
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/109k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=109http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=109mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Krok VIII
(x38x2+15x8) : (x 1) = x2 7x+ 8x3 + x2= 7x2+15x7x2 7x= 8x8
dzielimy 8x na x
Krok IX
(x38x2+15x8) : (x 1) = x2 7x+ 8x3 + x2= 7x2+15x7x2 7x= 8x8
8x+8
mnoymy 8 razy x 1wyniki zapisujemy z przeciwnymiznakami
Krok X
(x38x2+15x8) : (x 1) = x2 7x+ 8x3 + x2= 7x2+15x7x2 7x= 8x8
8x+8= =
dodajemynie otrzymalimy reszty
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/110k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=110http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=110mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Wielomiany
wzory, twierdzenia, definicje wielomiany pierwiastek wielomianu dzielenie wielomianw rozkad wielomianu na czynniki twierdzenie Bezout twierdzenie o pierwiastkach wymiernych krotno pierwiastka wielomianu nierwno wielomianowa
rozwizane zadania
http://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=111http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=111mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
.
http://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=112http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=112mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
wymagania maturalne zdajcy potrafi: wykonywa dzielenie wielomianu przez wielomian
Wykonaj dzielenie:. (x3 + x2 22x 40) : (x 5) . (2x3 5x2 + 8x 3) : (2x 1). (6x3 19x2 + 13x 2) : (3x 2) . (x4 5x3 + 10x2 15x+ 9) : (x 3). (2x3 14x2 + 14x+ 30) : (x2 2x 3)
http://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=113http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=113mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Wykonaj dzielenie:(x3 + x2 22x 40) : (x 5)
Rozwizanie:dzielenie wielomianw
(x3 + x222x40) : (x 5) = x2 + 6x+ 8x3+5x2= 6x222x6x2+30x= 8x40
8x+40= =
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/114k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=114http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=114mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Wykonaj dzielenie:(2x3 5x2 + 8x 3) : (2x 1)
Rozwizanie:dzielenie wielomianw
(2x35x2+8x3) : (2x 1) = x2 2x+ 32x3 +x2= 4x2+8x
4x22x= 6x36x+3= =
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/115k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=115http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=115mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Wykonaj dzielenie:(6x3 19x2 + 13x 2) : (3x 2)
Rozwizanie:dzielenie wielomianw
(6x319x2+13x2) : (3x 2) = 2x2 5x+ 16x3 + 4x2= 15x2+13x
15x210x= 3x2
3x+2= =
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/116k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=116http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=116mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Wykonaj dzielenie:(x4 5x3 + 10x2 15x+ 9) : (x 3)
Rozwizanie:dzielenie wielomianw
(x45x3+10x215x+9) : (x 3) = x3 2x2 + 4x 3x4+3x3= 2x3+10x22x3 6x2= 4x215x
4x2+12x= 3x+93x9= =
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/117k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=117http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=117mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Rozkad wielomianu na czynniki
Rozwizujc rwnanie wielomianowe lub nierwno wielomianow rozkadamy wielomian nailoczyn czynnikw, do ktrych zaliczamy: wyraenia liniowe np. (x+ 3), (x 5), (2x 1) wyraenia kwadratowe z < 0 np. (x2 + 9), (x2 + 7), (x2 + 2x+ 8) potgi x np. x, x2, x3
Z wielomianu rozoonego na czynniki atwo jest odczyta pierwiastki.
Przykady:x3 x2 17x 15 = (x 5)(x+ 3)(x+ 1)
pierwiastki: x1 = 5 x2 = 3 x3 = 1
x4 + 6x3 + 16x2 + 32x = x(x+ 4)(x2 + 2x+ 8)
pierwiastki: x1 = 0 x2 = 4 nie ma ( < 0)
x5 4x4 + 9x3 36x2 = x2(x2 + 9)(x 4)
pierwiastki: x1 = 0 nie ma x2 = 4
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/118k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=118http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=118mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Pierwiastek wielomianu
Pierwiastek wielomianu to miejsce zerowe wielomianu, czyli liczba dla ktrej warto wielo-mianu jest rwna zero.
Przykady:w(x) = x4 x2 x0 = 1 poniewa w(1) = 14 12 = 1 1 = 0w(x) = x3 8 x0 = 2 poniewa w(2) = 23 8 = 8 8 = 0w(x) = x5 x4 + x2 + x x0 = 0 poniewa w(0) = 05 04 + 02 + 0 = 0
Najatwiej jest odczyta pierwiastki z wielomianu rozoonego na czynniki.
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/119k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=119http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=119mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Twierdzenie Bezout
Jeeli x0 jest pierwiastkiem wielomianu w(x), to wielomian w(x) dzieli si przez x x0.Jeeli wielomian w(x) dzieli si przez x x0, to x0 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).
Przykad:w(x) = x3 + x2 2 w(1) = 13 + 12 2 = 1 + 1 2 = 0Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu x3+x22, a wic ten wielomian moemy podzielina x 1 i nie otrzymamy reszty.
http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/120k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=120http://www.matematyka.pisz.pl/a.pl?strona=120mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl
spis treci
wicej w MatTV
symbole
dodaj do drukowania
zgo bd
szukasz i nie ma?
20 luty 2007pobierz nowszy
k s i k i
www.matematyka.pisz.pl
Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych
Jeeli wielomianw(x) = ax3 + bx2 + cx+ d
ma wspczynniki a, b, c, d cakowite, to jego pierwiastkw cakowitych naley szuka po-rd dzielnikw ostatniego wspczynnika d. Twierdzenie to jest prawdziwe dla wielomianwdowolnego stopnia.
Przykad:w(x) = x3 2x2 + 3x 6
dzielniki 6 to: 1, 1,2, 2,3, 3,6, 6Jeeli wielomian w(x) ma pierwiastek cakowity, to jest nim jeden z tych dzielnikw.
Jeeli wielomianw(x) = ax3 + bx2 + cx+ d
ma wspczynniki a, b, c, d cakowite, to jego pierwiastkw wymiernych naley szuka pordliczb postaci pqp dzielnik ostatniego wspczynnika dq dzielnik pierwszego