matemética para la economía.-_series_matemáticas
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Matemticas para la economa
Tema 1
Clculo Diferencial
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Matemticas para la economa
Es condicin necesaria para que una serie sea convergente, o
divergente, que la sucesin sea convergente, o divergente,
respectivamente.
Sea una sucesin de nmeros reales, finita o infinita, y definamos
una nueva sucesin tal que = + + + = = con
= , , , , entonces:
Series
Denominamos serie al par ordenado de sucesiones , .
El nmero se denomina suma parcial de la serie.
=
=
= + + +
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Matemticas para la economa
Tipos de series
En las series aritmticas la progresin de sus elementos es del tipo:
=
Si suponemos que = :
=
=
= + + + + + +
En las series geomtricas la progresin de sus elementos es del tipo:
=
Si suponemos que =
:
=
=
= +
+
+
+ +
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Matemticas para la economa
Series aritmticas
Supongamos la serie finita definida por el trmino general = = .
=
=
= + + + + + +
Si la reordenamos la serie de forma inversa:
=
=
= + + + + + + +
Y si sumamos ambas series:
+ = = + + + + + + + = +
= +
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Matemticas para la economa
Series geomtricas (I)
Supongamos la serie finita definida por el trmino general =
= .
=
=
= + + + + +
Calculemos ahora el valor de :
=
=
= + + + + +
= + + + + + +
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Matemticas para la economa
Series geomtricas (II)
Restemos ahora ambas expresiones
= + + + + + + +
= + + + + + +
= + +
Y despejando:
= + = +
=+
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Matemticas para la economa
Generalizacin de la suma de series geomtricas (I)
Supongamos una serie geomtrica finita definida por = = ,
siendo los elementos de una sucesin definidos por = :
=
=
= + + + + + +
O lo que es lo mismo:
=
=
= + + + + + +
Multiplicando la serie por su razn , obtendremos:
=
=
= + + + + + +
=
=
= + + + + + + +
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Matemticas para la economa
Generalizacin de la suma de series geomtricas (II)
Y restando ahora ambas expresiones :
= + + + + + + +
= + + + + + +
= + +
Y despejando:
= + = +
De donde obtenemos el valor de la serie = = :
=+
Que tambin puede ser expresado como:
=
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Matemticas para la economa
Algunos tipos de series
Sean y dos sucesiones tales que = + para
= , , . Entonces converge si, y slo si, existe , en
cuyo caso:
=
=
Si > 0, , la serie +
= se llama serie alternada.
Si es una sucesin decreciente que converge hacia , la serie
alternada + = converge y se verifica que:
< < +
Siendo su suma y su suma parcial n-sima.
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Matemticas para la economa
Criterios de convergencia en series de trminos positivos (I)
Es condicin necesaria, pero no suficiente, para que la serie sea
convergente que el trmino general tenga por lmite .
La condicin suficiente se obtiene a travs de distintos criterios:
Criterio de Cauchy o de la raz
< 1
Criterio de DAlembert
< 1
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Matemticas para la economa
Criterios de convergencia en series de trminos positivos (II)
Criterio de Raabe
>
Criterio logartmico
>
Criterio de Pringsheim
> , > 1
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Matemticas para la economa
Ejercicios (I)
1.- Analizar el carcter de la serie =
y, en su caso, calcular su
suma.
Condicin necesaria
=
Condicin suficiente: Aplicamos el criterio logartmico:
=
= >
La serie =
es convergente.
Tambin se podran haber aplicado los criterios de Raabe y Pringsheim.
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Matemticas para la economa
Ejercicios (II)
1.- Continuacin
Calculamos el valor de su suma.
=
+ +
Para = , = = .
Para = , = = .
=
+ +
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Matemticas para la economa
Ejercicios (III)
1.- Continuacin
=
+ +
=
+
=
+
Y sumando
=
=
+ + =
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Matemticas para la economa
Contenidos
Tema 1
Conceptos matemticos bsicos
Funciones reales
Sucesiones y series matemticas
Derivacin de funciones matemticas
Concepto de derivada de una funcin real
Interpretacin geomtrica de la derivada
Propiedades de las derivadas
Clculo diferencial
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Matemticas para la economa
Ecuacin de una recta:
= +
= =
=
=
Supongamos dos puntos de una recta y , , , su pendiente ser:
=
=
=
=
=
+
Pendiente de una recta
x
f(x)
a b
f(b)
f(a)
x
f(x)
= =
+ =
x
f(x)
2 4
4
3
2
0
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Matemticas para la economa
Pendiente de una curva en un punto (I)
Anlogamente al caso de la recta
=
=
Que representa una secante a la curva:
=
=
La pendiente en un punto es la recta tangente a la curva en dicho punto.
Cul es la tangente a la recta en un punto?
x
f(x)
a b
f(b)
f(a) x
f(x)
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Matemticas para la economa
Pendiente de una curva en un punto (II)
Modifiquemos la nomenclatura por motivos didcticos:
=
+
+ =
+
= +
Si hacemos , obtendremos la recta tangente en el punto .
=
=
+
+
O lo que es lo mismo :
= +
x
f(x)
X0
f(x0+h)
x0
f(x0)
X0+h
f(x0)
x0 0
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Matemticas para la economa
La pendiente en un punto es un nmero real.
y vara en funcin del punto de referencia.
Supongamos un punto de la curva :
= +
Y representa una nueva funcin que denominaremos funcin derivada.
= = +
Pendiente de una curva
=
+
x
f(x)
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FIN TEMA 1