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Curso de AdministraçãoCentro de Ciências Sociais AplicadasUniversidade Católica de Petrópolis
Matemática 1
Revisão - Conjuntos e Relaçõesv. 0.1
Baseado nas notas de aula de Matemática I
da prof. Eliane dos Santos de Souza Coutinho
Luís Rodrigo de O. Gonç[email protected]
Petrópolis, 1 de Agosto de 2016
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Content
ConjuntosDefiniçãoRelação de PertinênciaSubconjuntoTipos de ConjuntosNotação padrãoRepresentando os números geometricamenteProduto Cartesiamo
RelaçãoDefinição
Luís Rodrigo de O. Gonçalves | Matemática 1
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ConjuntosDefinição
Definição
I É um conceito primitivo, ou seja, não precisa ser definido apartir de outros conceitos matemáticos.
I Possui o sentido de coleção ou totalidade de elementosI Representamos os conjuntos por meio de letra maiúsculas:
A,B,C, etc.I Aos membros de um conjunto damos o nome de elementos.
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ConjuntosRepresentação
Representação
I Os conjuntos podem ser representados de duas formas:I Enumerando-se seus elementos; neste caso os elemento devem
ser separados por virgulasI Ou indicando um propriedade comum à todos os seus
elementos
I Seguem alguns exemplos:I V = a, e, i, o, uI V = vogais
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ConjuntosRepresentação
Representação
I Descreva cada um dos conjuntos listando seus elementos
1. {x |x é um número inteiro do intervalo 3 < x ≤ 7 }
2. {x |x é um mês com exatamente 30 dias }
3. {x |x é a capital do Brasil }
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ConjuntosRelação de Pertinência
Representação
I Para indicar que um elemento pertence, ou não, à um conjuntoutilizados:
1. ∈ : pertence2. /∈ : não pertence
I Vejamos alguns exemplos:1. a ∈ V : o elemento a pertence ao conjunto V2. b /∈ V : o elemento b pertence ao conjunto V
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ConjuntosSubconjunto
Definição
I Dados dois conjuntos A e B1. Dizemos que A é subconjunto de B quando,2. Todo elemento de A, também é elemento de B.
I Supondo:1. A = {2, 4, 6}2. B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
I Podemos representar a relação de subconjunto :1. A ⊂ B : A está contido em B2. B ⊃ A : B contem A
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ConjuntosSubconjunto - Representação
I Supondo:1. A = {2, 4, 7}2. B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
I Há um elemento de A que não pertence à B, logo A não podeser considerado um subconjunto de B
I Se no conjunto A houver pelo menos um elemento que nãopertence à B, o conjunto A não está contido em B
I Podemos representar esta relação da seguinte forma:1. A * B : A não está contido em B2. B + A: B não contem A
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ConjuntosSubconjunto - Representação
I Supondo:1. A = {2, 4, 7}2. B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
I Há um elemento de A que não pertence à B, logo A não podeser considerado um subconjunto de B
I Se no conjunto A houver pelo menos um elemento que nãopertence à B, o conjunto A não está contido em B
I Podemos representar esta relação da seguinte forma:1. A * B : A não está contido em B2. B + A: B não contem A
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ConjuntosTipos de Conjuntos
Tipos
I Conjunto Unitário : é aquele formado por apenas um elemento1. {x |x mês que começa com a letra f }
I Conjunto Vazio: é aquele que não possui nenhum elemento:1. Designado por ∅2. {x ∈ N : x < 0} = ∅3. O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer outro
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ConjuntosTipos de Conjuntos
Tipos
I Conjunto Unitário : é aquele formado por apenas um elemento1. {x |x mês que começa com a letra f }
I Conjunto Vazio: é aquele que não possui nenhum elemento:1. Designado por ∅2. {x ∈ N : x < 0} = ∅3. O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer outro
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ConjuntosTipos de Conjuntos
Tipos
I Conjunto Universo : contem todos os elementos necessáriospara desenvolver um determinado assunto
1. Designado por U2. A solução de um problema será diferente conforme o conjunto
universo considerado.
I Supondo o conjunto A, como sendo os meses que começamcom a letra a.
1. A = { abril, agosto }, se U = { meses do ano }2. A = {∅}, se U = { meses do primeiro trimestre }
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ConjuntosTipos de Conjuntos
Tipos
I Conjunto Universo : contem todos os elementos necessáriospara desenvolver um determinado assunto
1. Designado por U2. A solução de um problema será diferente conforme o conjunto
universo considerado.
I Supondo o conjunto A, como sendo os meses que começamcom a letra a.
1. A = { abril, agosto }, se U = { meses do ano }2. A = {∅}, se U = { meses do primeiro trimestre }
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ConjuntosNotação padrão
Designando alguns conjuntos especiais
I N : conjunto dos números inteiros não negativos (0 ∈ N)
I Z : conjunto dos números inteiros
I Q : conjunto dos números racionais1. Todo número inteiro é um racional2. Todo número decimal exato é um racional3. Toda dízima periódica é um número racional
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ConjuntosNotação padrão
Designando alguns conjuntos especiais
I N : conjunto dos números inteiros não negativos (0 ∈ N)
I Z : conjunto dos números inteiros
I Q : conjunto dos números racionais1. Todo número inteiro é um racional2. Todo número decimal exato é um racional3. Toda dízima periódica é um número racional
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ConjuntosNotação padrão
Designando alguns conjuntos especiais
I I: conjunto dos números irracionais1. Não podem ser representados por meio de uma fração2. Obtidos pela raiz quadrada de um número3. Ou seja, números que possuem infinitas casas decimais e em
nenhuma delas obteremos um período de repetição.
I R : conjunto dos números reais1. Todos os números Racionais2. Todos os números Irracionais
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ConjuntosNotação padrão
Designando alguns conjuntos especiais
I I: conjunto dos números irracionais1. Não podem ser representados por meio de uma fração2. Obtidos pela raiz quadrada de um número3. Ou seja, números que possuem infinitas casas decimais e em
nenhuma delas obteremos um período de repetição.
I R : conjunto dos números reais1. Todos os números Racionais2. Todos os números Irracionais
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ConjuntosNotação padrão
Designando alguns conjuntos especiais
I C : conjunto dos números complexos1. Todos os números reais2. Todos os números resultantes da uma raiz negativa (
√−1)
3. Ou seja, contem todos os números que seguem a lei de formação:i2 = −1
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ConjuntosNotação padrão
I Observe o gráfico:
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ConjuntosRepresentando os números geometricamente
I Os números reais (R), podem ser representadosgeometricamente por pontos de uma reta
1. Escolhemos 2 pontos distintos da reta2. Marcamos o primeiro como 0 (zero) e o segundo como 1 (um)3. Tomamos o segmento de extremidade 0 e 1 como a unidade de
medida4. Marcamos os demais números utilizando-se deste unidade
I Por exemplo:
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ConjuntosRepresentando os números geometricamente
I Sendo o ponto P representado por um número Real,I Dizemos que x é a coordenada (abscissa) de PI Tome a reta, abaixo, como exemplo:
I −2 é a coordenada de A;
I32
é a coordenada do ponto BI 3 é a coordenada do ponto C
I Quando P está à direita do 0 sua coordenada será um realpositivo
I Quando P está à esquerda do 0 sua coordenada será um realnegativo
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ConjuntosProduto Cartesiamo
Par Ordenado
I Dados os conjuntos A e BI O objeto (a,b), em que a ∈ A e b ∈ BI Recebe o nome de par ordenado de primeiro elemento a e
segundo elemento bI Os pares ordenados (a,b) e (c,d) são iguais somente quando:
1. a = c2. b = d
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ConjuntosProduto Cartesiamo
Exemplo 01I Seja:
1. A = {0, 1}2. B = {3, 4}
I Calcule: A× B =
{(0,3), (0,4), (1,3), (1,4)}
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ConjuntosProduto Cartesiamo
Exemplo 01I Seja:
1. A = {0, 1}2. B = {3, 4}
I Calcule: A× B =
{(0,3), (0,4), (1,3), (1,4)}
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ConjuntosProduto Cartesiamo
Exemplo 02I Seja:
1. A = {5}2. B = {0, 1, 2}
I Calcule: A× B =
{(5,0), (5,1), (5,2)}
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ConjuntosProduto Cartesiamo
Exemplo 02I Seja:
1. A = {5}2. B = {0, 1, 2}
I Calcule: A× B =
{(5,0), (5,1), (5,2)}
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ConjuntosProduto Cartesiamo - Exercícios
I Determine o produto cartesiano de A× B, sendo:
1. A = {1, 5, 9} e B = {7, 3, 5}2. A = {1, 2, 3} e B = {1, 4, 5, 6}3. A = {7, 8, 9} e B = {3, 4, 6, 8, 9}
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RelaçãoDefinição
I Uma relação R é um subconjunto do produto cartesianoA× B;
I No qual, o elemento x , pertencente ao conjunto A, estárelacionado ao elemento y , pertencente ao conjunto B;
I O relacionamento entre os dois elementos é dado por umcritério de correspondência, de forma que:
R ⊂ A× B
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RelaçãoExemplo
I Represente graficamente a relação:
R = {(x , y) ∈ A× B|x < y}I Sendo :
1. A = {1, 2, 3}2. B = {2, 3}
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RelaçãoExemplo
I Represente graficamente a relação:
R = {(x , y) ∈ A× B|x < y}I Sendo :
1. A = {1, 2, 3}2. B = {2, 3}
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