matemticaii espinozaramos 130812143018 phpapp02 part8
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574 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
i *¡ k /(* ¡ ) *./(*;)0 0 1 1 1
1 0.25 4 0.7619 3.0476
2 0.50 2 0.5714 1.1428
3 0.75 4 0.4324 1.7296
4 1.00 1 0.333 0.333
Suma 7.253
— « — (1+3.0476+1.1428 +1.7296 + 0.333) * — (7.253) = 0.6044 Jojc2 +jt+ l 3 12V
© Aproximar la integral definida por la regla de Simpson usando el valor indicado 2n. r1 dxJo Vl+JC2
, 2n = 4
Solución
f ( x)= dx ... Ax= — = - = 0.254 ^ 7 4 4
f - r ^ = T * 4 r ( / < * 0 > + 4 / ( * l ) + Z / ( * 2 ) + 4 / ( ^ 3 ) + / ( * 4 ) )
i *¡ k /(* ¡) L /(x ,)0 0 1 1 1
1 0.25 4 0.9701425 3.88057
2 0.50 2 0.8944272 1.7888544
3 0.75 4 0.8 3.2
4 1.00 1 0.7071068 0.7071068
Suma 10.576531
In te g r a c ió n N u m é r ic a 575
f1 , = * — (10.576531) * (0.0833)(10.576531) * 0.88137763
1Calcular el error para la regla de Simpson: Es = ------ (b - a)f* (¿)(Ax) *
180
f ( x ) = ■*** => f iv(x) = 105jt4(l+ x 2) 9/2, como [0,1]Vl+Jt2
/ ív(0) = 0 , / " ( ! ) = 10522.627416
para k=0. Es = - - l- ( l) (0 ) ( I )2 =0 180 4
k= 1, E = — — (1)(--- — -----)(-)2 = —1.61124*10”*180 ' 22.627416 4
—1.61124 < ^ < 0
( 7) Calcular el valor aproximado de la integral definida por la regla de Simpson para el
valor indicado 2n. f sen x dx , 2n = 6 Jo
Solución
f(x) = senx, Ax= —, x0 = 0 , x{ = x0 + iAx6
i *¡ k Ax3
/(* ;) - y ■/(*:)
0 0 1 n/18 0.000 0.174532925
1 n/6 4 it/18 0.500 0.34906585
2 ji/3 2 7t/18 0.866025 0.302299753
3 n/2 4 it/18 1.0000 0.6981317
4 2n/3 2 n/18 0.866025 0.302299753
5 5ti/6 4 71/18 0.50000 0.34906585
6 JT 1 71/18 0.0000 0.000000
2.175395831
576 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
fsenx t ic a — (2.175395831) = (0.174532925)(2.175395831) Jo 3
.*. f senx dx » 0.379678197 Jo
6.5 EJERCICIOS PROPUESTOS.-
I. Usando los métodos de los trapecios y de Simpson, estimar el valor de cada integral, redondear las soluciones de cuatro cifras decimales.
© r2dxJ, t * n=4X
Rpta. T: 2.7500 , S : 2.6667
© r1 dx ---T ' n = 4Jol + jc2
Rpta. T : 0.7828 , S : 0.7854
©-21 x3dx. n = 4 Jo
Rpta. T : 4.2500 . S : 4.0000
©f2 31 x dx, n = 8 Jo
Rpta. T : 4.0625 , S : 4.0000
II.
a)
Aproxime las integrales usando.
El método de los trapecios. b) El método de Simpson,
©p*/21 cosx dx9 n = 4 Jo
Rpta. a) 0.957 b) 0.978
© fV l + jr3dx, n = 2 Jo
Rpta. a) 3.41 b) 3.22
© f -\/xa/i- x d x , n = 4 Jo
Rpta. a) 0.342 b) 0.372
© f senx2í¿c, n = 2 Jo
Rpta. a) 0.334 b) 0.305
In te g r a c ió n N u m é r ic a 5 11
©ñn< 4I x teje dw n = 4 Jo
Rpta. a) 0.194 b) 0.186
©ri 2J e x dx , n = 4 Rpta. a) — = 0.212
6413f>b) * 0.035
1024
111. Por la regla del trapecio aproximar la integral:
©f4 *dx _ _ £h \ o +s
Rpta. 1.13
©r* x dx , i n = 6
2^¡4 + x2Rpta. 9.47
© f x 2T¡16-x4dx,n = 4Jo Rpta. 6.156
© r4 ^1------T ’ n = 4-1/4 + X'
Rpta. 1.227
IV. Por la regla de Simpson, aproximar la integral.
© i V m -jc2dx. 2n = 6 Rpta. 0.561* .
© J V i2 6 - jc3í£c, 2n = 4 Rpta. 35.306
ijx3 - x d x , 2n = 4 Rpta. 11.140
[ Vi + x3í£c, 2n = 6 Rpta. 3.24Jo
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CAPITULO VII
7 . E C U A C IO N E S P A R A M E T R IC A S .-
7.1 REPRESENTACION DE CURVAS EN FORMA PARAMETRIC A _______________________________________________
Las coordenadas (x,y) del punto P de una curva pueden estar dadas en función de una tercera variable, llamado parámetro es decir:
A la expresión dada en (1) se denomina ecuaciones paramétricas, en donde cada valor de t le corresponde un punto p(f(t). g(t)) del plano XY.
El lugar geométrico que describe el punto P se denomina curva parametrizada de la ecuación paramétrica, para obtener la ecuación cartesiana se elimina el parámetro t y de esa manera se obtiene una ecuación en forma cartesiana.
y,~ F(x) 6 B(x,y} - 0
Ejemplo.- Trazar la gráfica de las siguientes ecuaciones paramétricas.
x = 2 t, y = -5lSolución
Para trazar la gráfica primeramente hacemos una tabulación
E c u a c io n e s a r a m é tr ic a s 579
t X y0 0 0
1 2 -5
2 4 -10
-1 -2 5
-2 -4 10
( 2) x = t - 1, y = rSolución
Para trazar la grafica hacemos una tabulación.
t X y0 -1 0
1 0 1
-1 -2 1
2 L 4
-2 -3 4
Ejemplos.- Trazar la gráfica de las ecuaciones paramétricas pasando a coordenadas cartesianas.
x = -I + eos 0 , y = 2 + 2 sen 0
Solución
[jc = —1 + COS0
y = 2 + 2 sen 6
jt + l = cos 6v - 2 , elevando al cuadrado para eliminar el parámetro.-----= sen^
580 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
(jc+1)2 + ——— = cos2 0+sen2fl =1
( V — ' l ì(jc + 1)2 + 4 -1 , que es una elipse
© x = t, y = -
Solución
Para obtener la ecuación cartesiana, eliminaremos el parámetro t.
Consideremos dos funciones f y g derivables en un intervalo [a,b] tal que:
... (a)
son las ecuaciones paramétricas.
La derivada — cuando x e y están dados en forma paramétrica se obtiene aplicando dx
la regla de la cadena, es decir:
E c u a c io n e s a r a m é tr íc a s 581
dydv ~.dt r ß iO. ( { \ .JfcOdx dx / \ l f 'T~ Ufiú
dtpara obtener la segunda derivada, se aplica nuevamente la regla de la cadena, es decir:
— (ÉL)d 2y _ d dy d dy dt _ d¿d¿_dx2 dx dx dt dx dx dx
di
d g'U) / '( / )g " ( / ) - /" ( / )g ’(/)d 2y _ di f ' j t ) _dx2 ./'(/) ./'(/)
d 2y nÉC2 ( f i o ?
Generalizando se tiene:
OBSERVACION.-
dx A?*(01) La primera derivada — = - — - nos permite determinar los intervalos dedy f ' d )
crecimiento y decrecimiento de acuerdo al signo de la derivada.
2) La segunda derivada = L HIß. í í l L ífl£ nos permite determinar ladx2 (/'(O)
dirección de la concavidad en cada punto de la curva.
Ejemplo.- Calcular la derivada — de las funciones dadas en forma paramétrica.dx
582 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
©X -
/ +1. í 1
> = WSolución
/ + 1
y = í - ^ ) 2 t+\
x ' ( t )= -
y'U) =
i(/ + 1)2 2/
(/ + !)'
2/dy_y'V)_ (/ + D'Í¿T jc’( / )
2/1 t + 1
(/ + 1)2
dydx
2/
/+1
© Lv = a(/-sen /) ;rpara t = —
I y = £/(l-eos 0 2Solución
Íjt = a(/ -sen/) I >’ = £/(!-eos/)
JV(/) = tf(l-COS/) !>•’(/) = asen/
dy y'(t) asen/ sen {dx jc’(/) a(\ -eos/) 1 —eos/
r/v sen/dx 1 — eos/
dydx t=LL 1-0
= 1 => dydx
= 1
©
Ejemplos.- Encontrar la ecuación de la tangente y normal de la curva especifica en el punto correspondiente al valor dado del parámetro.
x —1~ +1, y = t* + 2/, t = -2Solución
El punto para t = -2 es P(5,-12)
E c u a c io n e s a ra m é tr ic a s 583
dy v*(/) 3 r + 2 dv— = ------= --------- => mi. - —dx x'(t) 2 i dt r=-2
L, : y + 12 = - —(jc-5 )
1 2 ?m¡ ------- = — por lo tanto / : y+ 12 = — (x-5)m¡ 7 1
© x = 4cost, y = 2sen2 / , /= —3
Solución
7T 3El punto para t =— es P(2,—)
dy _ y'U) _ 4 sen icos/ dx x’(t) -4sen/
-cosí
mi = n:— 3
7T 1= — eos— = — 3 2
7.3 APLIC ACIONES DE EAS ECIJACIONES PARAMETRICAS -
73.1 AREA BAJO UNA CURV A DADA F.N FORMA PAR4METR1CA.-
Consideremos una curva C definida mediante las ecuaciones paramétricas.
Entonces el área de la región acotada por está curva, el eje X y las rectas verticales x = a, x = b se expresa mediante la integral
584 E d u a rd o E s p in o z a R a m o s
J a
donde a y p se determinan de las ecuaciones a = fla); b = f(p) y g(t) > 0 en [u.P]
Ejemplo.- Hallar el área contenida en el interior de la astroide y = # cos /
r = /;sen3 / .
Solución
Aplicando la simetría, el área de la región es dado por
■/<A= 4f Z(t).f'{t)dtJa
ahora calculamos los límites de integración.
x = f (t) = a eos3/ => f(a) = 0 => tí eos1 a =0 => a = —
f(p) = a => c/cos3/i=¿/ => p = 0
/ (t) = a eos3/ / ’(/) = -3#cos2 /sen/
J'/J rO . , f n» 2 , ,g (/)/',í/)rf/ = 4l ftsen t(-3a cos~ t sen Delt =\2ah\ sen icos'l di
a J t 2 J O
12ab A sen 4/ sen 2/ ,*,2 3ab ,n „ f 3¿7/?7r(----------------------- ) / = ----- (-----0 - ( j) = -------fs //o 2 4 R8 2 8
/í = -------U~
1 X 2 L O N G I T U D U E A R C O C U A N D O L Á C U R V A . E S 0 A 0 A i m E C U A C I O N E S
P A R A M E T R I C A S . -
Si la ecuación de la curva C es dada en forma paramétrica mediante un par de funciones con derivadas continuas, es decir:
E c u a c io n e s a r a m é tr ic a s 585
entonces la longitud de la curva C es:
Ejemplo.- Hallar la longitud del arco de la curva x = t3, y = / 2 desde t = 0
hasta t = 4.Solución
x = t
v = /2
— = 3r dt
^ = 2/ di
L = f4,/(— )2 + (— )2ífr = = f4 t j 9 r + 4 di =— (9r + 4)3'2 / 4Jo v dt Jo Jo 27 ' 0
= ¿ (3 7 ^ 3 7 -1 )» 27 ¿ = ^-(37^37-1)»
Si la curva es dada por las ecuaciones paramétricas: C : \ X donde — , —[>• = >•(/) dt dt
son continuas en a < t < p, entonces el área de la superficie obtenido por rotación alrededor del eje X, del arco de la curva desde t = a hasta t = p es expresado por la fórmula:
jfA = l n \ j i f t ) . H í t t p »
, m : Vd i d t
OBSERVACION.- Cuando se rota alrededor del eje Y y el área de la superficie esdado por:
A ~ 2 ñ fVoJ(í)2 + ( $ ) 2d i«ta ■:>.
586 E d u a rd o E s p in o z a R a m o s
Ejemplo.- Hallar el ¿rea de la superficie de la esfera engendrada al rotar un círculo de radio 4 alrededor de un diámetro.
Solución
Con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas la ecuación del círculo de radio 4 es:
x 2 + v2 =16, cuyas ecuaciones paramétricas son x = 4 eos t , y = 4 sen t entonces:
— = - 4 sen / , — = 4 eo s /, donde el área de la superficie es dado por: di dt
A = 2 n f^ v(í)J(— )2 +(— )2dt = 2 n f 4seiW l6cos2 / + 16sen2 1 dt Ja V dt dt Jo
= 211 f l 6sen / dt = -32n eosi /* = 64nw2 Jo /o
NOTA.- Cuando t varia desde t = 0 hasta t = n se obtiene el semicírculo de diámetro sobre el eje X.
o Hallar el área de la región bajo un arco de la curva x = at, y = a( 1 — eos t).
Hallar el área limitada por la cicloide dada por: x(t) = a(t — sen t), y(t) = a( 1 — eos t), y por el eje X entre dos puntos sucesivos de intersección con el eje X.
E c u a c io n e s a r a m é tr ìc a s 587
Solución
A = í >•(/)*'(/) diJo'
pin
A = a(l-cos/)tf(l -cos/)d/ Jo
. - sen2/ ,2 7>í =a~(---- 2sen/+—-----) / = ¿r (311-0) = 3n¿r9 a f o A=3Ua^u7.
Hallar el área de la región limitada por la cardioide
Solución
[x = #(2 eos/-eos 2/) [>* = ¿7(2 sen/-sen 2 / )
Como la cardioide es simétrica su área es:
rPA = 2 ></)xf(/) dt de donde jtf(/)=2tf(serí2/-sen/)Ja
Íjc = £7(2 cosí- eos 2í ) r**\ .. => /í = 2j v(t)x (l)dl[v = a(2 sen i-sen 2t) Jn
J.C)a( 2 sen t - sen 2t )2a(sen 2t - sen t)dt71
7 f°A=&a~ (sen/-cos/.sen/)(2sen/cos/-sen/)d/Jtt
7 f° ? ?/! = -8cr sen- /(I-3 eos/+ 2 eos- t)dtJn
„ 7 , 3r sen i eos / -, sen 2/ eos 2/ ,o^ = - 8a 1 (------ ------- -----sen / ------------------) /4 2 8 ' n
A = -8 a2( 0 - — ) = 6a2n 4
/I = 6 a 2Tl
588 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
© Hallar la longitud de un arco completo de la cicloide j*
©
x = a(t-sent) — ¿7(1 - C O S Í )
[x - a ( t - sen t) \y = a(\ - eos t)
dx~dtdy~dt
Solución
-a(\ -eos/)
= a sen /
= a^2 J ¡2 sen ~^dt = 2a| sen ~^dt = 2a[2 eos = ~Aa[-l -1] = 8a
L = 8a
Hallar el área de la figura limitada por el lazo del Folium de Descartes3a i 3a t2x =-----y = --------- 1*1.
1+/3 1+|*Solución
A = y(t)x'(t)dt donde Ja
x(l) = 3at 3 c(l-2 t3)l + f3
para a = 0, p = +x
Luego el área de la región es:
(1 + r ')
E c u a c io n e s a r a m é tr ic a s 589
M r 3a(l -2 f3)r 'J iar_Jo i+,3 (1+/3)2
cit n f+0°= 9 a - i Jo
r - 2 /5 (1 + r3)3
di
:9^ r ^ _ _ 2 r 4 ± i L rf,]Jo n + í 3)3 Jo (r> + i)3
= 9<j2[- 1 2 ,+ -------- T tV o = - 72(1 + / 3)2 3(1+ r ’)
. 3o2 ,A = -----u~
(ó ) Encontrar la longitud total de la curva dada por: x = a(2 eos t — eos 2t),
y = a(2 sen t - sen 2t).
Solución
Como la curva es simétrica con respecto al eje X, y además se tiene que cuando t varia de t = O hasta t = n el punto P(x,y) recorre la parte superior de la curva, entonces.
L - 2 f j A ^Jo V di didi
jx = a{2 eos t - eos 2t) |y = ¿7(2 sen/-sen 2t)
— = a{-2 sen / + 2 sen 2t) didv— = a(2cos/-2cos/ 2t) dt
L = 2¡ J a 2(-2 sent + 2 sen 2/)2 + a2 (2eos/ - 2 eos/ 2t)2 dt h
= 8a I**Jo
71 1-eos/ dtCK f t K
= 8ij sen—di = -16a eos— / = 16oJo 2 2 ' 0
L = 16a.
© Calcula el area de la superficie generada por la rotación alrededor del eje X, del arco
590 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
Solución
x - e senty - e cost
= e'(sen/ + cos/)dx dt
— = er (eos/-sen/) dt
A - 2/rf v(t)J(— )2 +(— )2dt = 2n\ í?'eost^JledtJo ' \ dt dt Jo
A = 2 ^2n j e2' cost dt = — (e2f(sent + 2cost))/* ~
. 2^2n n 2.. A - — — (e -2)u
( i ) Hallar el área de la superficie generada por la rotación alrededor del eje Y, del arco de
la curva >• = —(x2 -21nx), x e [1,4].4
Solución
Parametrizando la curva se tiene:
x —t1 7 , t e [1,4], calculando sus derivadas.
v= — ( r -21n/)4
— = 1; - = — ( / - - ) , de donde el área de la supei *lcie es: dt dt 2 t
= 2/rji4 z ^ = 2n [ ' ^ (/+; }2d/
= 2n í —(í+~)dt = n f (l2 +1 )dt = 7r(— + /) / 4 = 24n Ji 2 / Ji 3 ' 1
A = 2 4 m r
E c u a c io n e s a ra m é tr ic a s 591
2 2( ? ) Hallar el área de la superficie engendrada al girar la elipse = 1, alrededor:
a~ b~
a) Del eje OX b) Del eje OY (a > b)
Solución
\ ~ y“+ 1 parametrizandoésta curva: x = acost , y = b sen t
cr b~
Por ser simétrica con respecto al eje X se tiene:
Para x = 0 => / = — ; x = a => t - 02
jx = crcos/ I y = 6senf
dx— =-a sen /^ , que al reemplazar tenemos:
dt
A = 4/r J,,. b sen isla2 sen2 / + 62 eos2 / dt = 4/r¿>sen t^Ja2 + (b2 - a 2} eos2/ dt
A = 4bn:jn sent ^ a 2 - ( a 2 - b 2)cos2 / d/ = 4ny]a2 - b 2 cosr sen/ <
. A TTrcos/ I ¿/2 1 a 2 ^ a 2 - b 2 ,oA = 4n^a~ - b ~[—— J •• •• ■— cos~ / +---- ----- — aresen------------eos/]/2 U 2 - ¿ 2 2(a2 - b 2) a ! ”n-
evaluando y simplificando se tiene:
^ a 2 - b 2 E a
^ = 2/rfc2 + aresen E donde E =
592 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
en forma similar para la parte b).
a n 2 nb2 . l + £ , , „ 4 a 1 - b *A = 2m + -----ln(------ ) donde EE 1 - E a
@ Calcular el área de la superficie obtenida al rotar un arco comprendido de la cicloide.
\x = a(/-sen /) .< , alrededor de la tangente a la cicloide en su punto mas alto.[y = a(l-cos /)
Solución
Un arco completo de la cicloide se obtiene cuando t varia desde 0 hasta 2n, en donde
el punto mas alto en este intervalo es cuando
dydy ¿i asen/ , , t dxt = 7i y como — =Jr~ =----------- entonces la pendiente de la tangente es — =0.dx dx a{ 1-cosf) dt r=n
di
Luego la ecuación de la tangente es y = 2a. Como la distancia del punto (x,y) de la cicloide a la recta tangente es (2a—y) por lo tanto el área pedida es:
A = 2 n \2\ 2 a - . v ) J Á 2 H ^ r d t Jo V dt dt
¡x = a(l-sent)I v = fl(l—eos/)
dx— = a(l-cos/) dtdv— = a sen t di
A - 2 n \ (2a - y h (— ) 2 + (— ) 2d i , reemplazando se tiene: Jo V di dt
E c u a c io n e s a r a m é tr ic a s 593
i f2* i t t i 21 tA = 2jia I 2cos~ — .2sen — dt =#a~n eos" — .sen — dtJo 2 2 Jo 2 2
7 i16 a _/r 3r ,2«: 16¿T7Tr t 327tzr^ = ----------.eos— / = ---------- [ - 1- 1] = --------** 9 / 0 1 L J 2
. 32m 2 -> /í = --------w
7*5 EJER C IO O S PROFUESTOS -
1. Construir las gráficas de las siguientes ecuaciones dadas en forma paramétrica:
©x = 2' +2“'
y = 2 '- 2 ~ ' ©A: = fl(2cos/-cos2 0 y = ß(2sen/-sen 21)
©
a
■\/l + ratv =
©
/ - IX = -----í + 11
> = 7
©x = t - t~ y = t2 - í 3
© '
© x = t 2 -2 t y = t 2 +2t
© jc = -Vi- t >■ = aresen r
© -t ©x = e 2t -1 y = \ - e l
© [x = 3seru ly = 4tgísecf
[x = /- tg h f I y = sec ht
594 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
x =3-Jt—2 y = 2 ^ 4 - /
1jc = -
/y = ln\í\
II. En cada una de las ecuaciones, encontrar — , en donde:dx dx~
©x = arctg/
y = ln(l + r ) © I jc = a eos / i y = a sen t
©[x = a(senf-/cosí) [y = a(cos/ + /senf) © x = ln/
> - / 3
© x = aresen/©
x = lní 1
y =i - t
@x = e eos/ y =er sen t ©
x = ln/
y - i "
©jx ~aG-asenG |y = a -a c o s0 ©
y — e +cos/ x - e -senr
x = / — sen t y — {t—n)2 © 2/ ,x =e +1
y = l - e '
III. Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva en el punto correspondiente al valor del parámetro que se indica:
©[x = l + 3sení nI v = 2 - 5 cosí 6 © [x = 2 sen/
|y = 5cos/n /= — 3
©[x = er(l-sen/) nI y = er(l-cos/) ’ 4 © x = 2 eos i n
, / = —y = 2 sen3/ 4
E c u a c io n e s a r a m é tr ic a s 595
©x =
y =
2l /3 + 1 3?2
r 3 + 1
, t = 0 ©x = 4cos/ n>' = 2sen3/ ’ 3
©
IV.
©
©
©
[jc = 3 sen / - 8 5;rlv = 5 + 2sen/ ' 4
\x~ae cosí, t = 0
( í ) Hallar el área de la región limitada por el astroide x = a eos3 / , y - a sen3 /
Rpta. 3 a n i8
Hallar el área de la superficie comprendida entre el eje OX y el arco de la cicloide,
x = a(t-sent), y = a (l-c o s t) . Rpta. 3a 2n u 2
Hallar el área de la figura limitada por una rama de la Trocoide, x = at —bsent,
y = a -b c o s t , (0<b< a). Rpta. (b2 +2ab)nu2
Hallar el area de la región encerrada por los lazos de las curvas.
a) jc = 3/2, >* = 3/ — / 3 Rpta. ^ ^ - u 2
b) x — / — / 2, y - t 3 -3t
c) x = cos3/, y - eos2 /.sen/
81 2 Rpta. — u20
Rpta. 3/rT
~ A n a ( n - 2 ) 2Rpta. ---------- - u
(? ) Hallar el área de la región encerrada por las curvas: x = —<—, y w 1 + r 1 + /
t e [0,+ o>, y el eje Y.
596 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
(ó ) Hallar el área de la región limitada por la curva x = a eos5 t , y = b sen5
15a27r 2 Rpta. --------u128
Calcular el área de la región limitada por la curva cerrada x = -----—, y1 + r
a2(4 -n )n 2Rpta. ------------- u4
© Determinar el área encerrada por el lazo de la curva descrita por:
y = í3 -12 /. Rpta. 129.6 u2
© Hallar el área encerrada por el lazo de la curva dada por: x = t 2 - t , y =
81 ,Rpta. — u ~V 20
© Hallar el área encerrada por: x = í 3 - t . y - r + t . Rpta. ^ w 2
V.
® Hallar la longitud del arco de la envolvente del círculo:
x = a(cos t + 1 sen t), y = a(sen t - 1 eos t) desde t = 0 hasta t = T.
Rpta.
Hallar la longitud de la envolvente de la elipse x = c 2 eos3 / a
3 »3
(c2 =a2 - b 2). Rpta. A(—------- — )ab
Hallar la longitud de un arco de la cicloide dada por: xy = a( 1 - eos t). Rpta. 8a
1 + / ‘
x = t 2 - 2 1 ,
/ 3 - 3 / .
c2 sen3 1 : b ’
a(t — sen t).
E c u a c io n e s a r a m é tr ic a s 591
(T) Hallar la longitud de la curva dada por: x = a(2 eos t - eos 2t), y = a(2 sen t - sen 2t).
Rpta. 16a
2
(T) Calcular la longitud de la curva cuyas ecuaciones son * = — + / , v = — - / de
rt= 0 hastat= l. Rpta. l + -ln (l+ V 2 )
(ó ) Determinar la longitud de la curva x = e ' sen / , y = e ' eos í , desde t = 0
hasta t = n. Rpta. 71)
2 4( 7) Hallar la longitud del arco de la curva cuyas ecuaciones son: x - — , y = — ,
2 4
l < t <2 . Rpta. -(4VÍ7-V2)H-ln(4 + ^ ? )4 1 + /2
(? ) Encontrar la longitud del arco de la curva dada por: x = l - a tgh(—), v = a sec h(—)a a
desde t = -a hasta t = 2a. Rpta. [ln(cosh2)-ln(cosh(-l))]
( 9) Hallar la longitud de la curva dada en coordenadas paramétricas x = e 2í sen 3/,
v = e2r eos3/. desde el origen hasta el punto en que t = ln 2. Rpta.
^ 0) Las ecuaciones paramétricas de una curva son:|,y = 50(1 - eos / ) + 50(2 *-/) sen / v = 50 sen i + 50(2 - / ) sen /
Determinar la longitud de la curva entre los puntos i = 0 y 1 = 2. Rpta. 100
Determinar las ecuaciones paramétricas de una curva jrscn/ + ycost = /2,
x eos l — y sen t = 2t, en donde t es el parámetro, se pide hallar la longitud de la curva•>71 7l~ + ^4comprendida entre los puntos 1 = 0 y / = — . Rpta. — —— n
59K E d u a rd o E s p in o z a R a m o s
^2 ) Calcular la longitud de arco de la curva paramctrizada.
x = (t2 -2)scn / + 2/cos/, v - ( 2 - / ' i )cos/ + 2 /scn /, desde 1 = 0 hasta t = n.
n 1Rpta. -y-
^3 ) Hallar la longitud de arco de cada un de las curvas siguientes:
a) x = e sen / , y - e 1 eos / , 1 e [0,rc] Rpta. V2(i' -1)
2 1 yb) x = 4 t - v = — + — .desde t= 1 hasta t = 3. Rpta. —
S 4/ 6
c) x = ef (cost + /sen/), v= V (sen /-/cos/) t e [0.2tt] Rpta. 2U’2* 1)
14j Calcular la distancia recorrida por una partícula que viaja a lo largo de la curva dada
en forma paramétrica v = / 2 -3 , y = 3t durante el tiempo t e [0,2].
VI.
Rpta. 5 — In 3
© Hallar el área de la superficie engendrada por la rotacion alrededor del eje OX, de la1 ^8 i *)cicloide x = a{2 eos t eos 2l), y - a(2 sen t — sen 2t). Rpta. - j - a~mi=
© Hallar el area de la superficie engendrada al girar uno de los arcos de la cicloide:x = a(t - sen t), y = a( 1 — eos t) alrededor:
64¿?2a) del eje OX Rpta. ------ k u "
b) del eje O Y Rpta. 16a ~n ~u ~
32 ac) de la tantieme a la cicloide en su punto supei iur Rpta. -------n u
E c u a c io n e s a r a m é tr ic a s 599
Hallar el área de la superficie de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje OX, las curvas dadas por:
12a) x = acos3t , y = asen* t Rpta. — a 2n u 2
b) y = e * . x > 0 Rpta. — ( e " - 2 ) n u 25
( 4) Encontrar el arco de la superficie generada al girar alrededor del eje X la curvaO /*t
x = ef sen / , y = e* cosr* /e [0 ,—]. Rpta- — — (en -2 )
Hallar el área de la superficie generada al rotar alrededor del eje Y la curva x = t + 1,2 'y
y = ■— +1. t g [0.4], Rpta. (26^/26 - 2^2 )u 2
600 E d u a rd o E sp in o za R a m o s
CAPITULO VIII
8 . C O O R D E N A D A S P O L A R E S -
8.1 INTRODUCCION.-
El sistema de coordenadas polares consiste de una distancia y la medida de un ángulo respecto de un punto fijo y una semirecta fija. El punto fijo se llama el polo (u origen) y se denota por “o’\ la semirecta fija se llama eje polar que denotaremos por O A y se gráfica horizontalmente y a la derecha.
el polo eje polaro------------------------------------------ ►A
Sea P un punto distinto del polo “O” y 0 e ángulo en radianes cuyo lado inicial es___ ___O A y su lado terminal OP . Entonces: si r es la distancia dirigida desde “O” a V4P”
(r = | OP |) un conjunto de coordenadas del punto P está dado por r y 0 y denotaremos por: P(r,0) (ver gráfico).
Ejemplo.- Graficar los puntos PA4,—), A ( 4 - —) , /^(-4 ,—), f tí-4 ,“ —)4 ' 4 4 4
Solución
C o o rd e n a d a s P o la re s 601
8.2 RELACION ENTRE COORDENADAS POLARES Y RECTANGULARES,______________ _ _ _ _ _ ___________________
Suponiendo que el polo de un sistema de coordenadas polares coincide con el origen del sistema cartesiano y el eje polar coincide con el eje X en sentido positivo.
Luego, cualquier punto P del plano tiene por representación en coordenadas polares P(r,0) y cartesianas P(x,y).
P(r,Ö) En el A OAP se tiene: tg0 =■ 0 = arctg(—) x
1 1 7= * “ + > • “ => r = - / * 2 + V2
602 E d u a rd o E s p in o z a R a m o s
Que es la relación entre coordenadas polares y cartesianas.
7Ejemplo.- Trazar el punto (-6,— ) y encontrar sus coordenadas cartesianas.4
Solución
Como x = r eos 0 , y = r sen 0 entonces:
x = -6 eos — = -3a/24
V = -6 sen— =3^2 4
7?r 4
Luego ( a*, y ) = ( - 3 ^ 2 3 ^ 2 )
Ejemplo.- Encontrar una ecuación polar de la gráfica cuya ecuación cartesiana es
dada por jr2 + v2 =ff2
Solución
Se conoce que:[x = rcos0 I v = rsen0
2 7 ^A' = r eos" O2 2 *>v = r sen ’ (y
a “ + ,v - r
Coino x2 + y2 =a2 => r 2 =a2 => r =a
Por lo tanto la ecuación polar es
Ejemplo.- Encontrar una ecuación polar de la gráfica cuya ecuación cartesiana es V" — 4(x + l) .
Solución
Se conoce que: x = r eos 0» y = r sen Ü. Lue^o reemplazando en la ecuación
y■- = 4(x + l) entonces
r 1 sen2 0 - 4 / eos0 - 4 = 0
r~ sen‘ 0 = 4(r eo s 0 +1 ) de donde
C o o rd e n a d a s P o la re s 603
2(cos0±l) , , , 2 2Entonces r = ------- -----de donde r =-------------- o r - ------------sen2 6 1 — eos0 l + cos0
Ejemplo.- Encontrar una ecuación cartesiana de la gráfica cuya ecuación polar es:
r 2 =2 sen 6 .
Solución
Se sabe que r 1 = x 2 + y 2, y= rsen 0 sen 0 = ~r
Como r 2 =2 sen 6 => x 2 + y 2 =
(x2 -i-y2 h jx2 + y 2 = 2y
Ejemplo.- Encontrar una ecuación cartesiana de la gráfica cuya ecuación es: r 2 = 6 .
Solución
y vConocemos que: tg 6 = — => 6 = arctg(—)x x
r 2 =x2 + y2 como r2 =6 => x 2 + j 2 =arctg(—)
O LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA EN COORDENADAS POLARES,_______ ! _ _ _ _________ t________■■ : " ■
Consideremos la recta L que pasa por el punto A(a,o) y que es perpendicular al eje polar ó a su prolongación, su ecuación cartesiana es dada por x = a. como x = r eos 0 entonces su ecuación polar es: r eos 0 = a.
Cuando a > 0, la recta L se encuentra a la derecha del polo; cuando a < 0 la recta L se encuentra a la izquierda del polo.
2 y
V*2 + y2
604 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
L L
A(a,0)0
___A(a,0) 0 *
a < 0a > 0
Consideremos una recta L que pasa por el punto A ( a ^ ) que es paralelo al eje polar.
Su ecuación cartesiana es y = a, como y = r sen 0, entonces su ecuación polar es: rsen 0 = a.Cuando a > 0, la recta se encuentra arriba del eje
L polar; Cuando a < 0, la recta se encuentra por71 debajo del eje polar; cualquier recta que pase por el2 polo, su ecuación es 0 = k, donde k es la medida
0 del ángulo que forma la recta con el eje polar.
La ecuación de la circunferencia con centro en el polo y radio k es r = ± k es decir, el punto P(r,0) pertenece a la circunferencia sí y solo sí | OP |= k .
C o o rd e n a d a s P o la r e s 605
Luego si la distancia | OP |= k , entonces r = ± k es la ecuación de la circunferencia de centro en el polo y radio igual a k.
P(r,0) pertenece a la circunferencia y como AOPA es recto por ser inscrito en una
circunferencia. Luego cos0 = — de donde r = 2a eos 0.2a
1. Encontrar una ecuación polar de la gráfica que tiene la ecuación cartesiana que se indica.
© x 2 + y 2 + 4x = 0 © x 2 + y2 +4x + 4y = 0
© x 2 = 6y - y 2 © x 3 =4y2
© (x2 + y2)2 =4(x2 - y 2) © x 3 +y3 -3axy = 0
©2x
y x 2 +1 © y 2 - 4 x - 4 = 0
© 3x2 +4>-2 - 6 x- 9 = 0 ©V 37 X
y “ o2a~x
© jc4 +jc2>'2 —(x + y)2 = 0 ©/ 2 2x 3 \ f 2 2 / 2(x + y ) =16x y (x
© (x2 + y 2)2 =4x2 y 2 © x 2 +y 2 - 4 x + 2y = 0
© 2x2 - y 2 =0 © (x2 + y2)2 =2 a 2xy
606 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s
II. Hallar una ecuación cartesiana de la gráfica que tiene la ecuación polar dada:
© r = 3 sen 0 + 5 eos 0 © r 2 =2sen0
© r 2 eos 20 = 10 © r 2 = eos©
© r 2 =4cos2 0 © r 2 = 6
© r = 2 sen 30 © r 6 = r2 eos2 6
© r = a 0 © 3r = -------------2 + 3 sen 6
© r 2 =4 sen 2 6 © r = 1 + 2 sen 0
@ 9r —-------------4-5cos0 © r 2 eos 20 = 3
© r = 2 eos 20 © r sen 20 = 3
© /•sen2 6 =4cos0 © r = 2(1 + sen 0)
© 6 4j* —
2-3sen0t* —
3-2cosß
© r = a sen 0 + b eos 0 © r = a(l — eos 0)
8.5 TRAZADO DE CURVAS EN COORDEN vDAS POLARES.-
La gráfica ó lugar geométrico de una ecuación expresada en coordenadas polares es:
G = {(r.O) c- RxR l r ~ fft))}
DISCUSION DE UNA ECUACION POLAR.-
Para facilitar el trazado de la gráfica de una ecuac ón en coordenadas polares es conveniente establecer el siguiente análisis.
C o o rd e n a d a s P o la re s 607
ler. Las Intersecciones:
a) Con el eje polar: se hace 0 = nn, n e Z
b) Con el eje a 90°: se hace 6 =—+nn , n e Z
2do. Simetrías:
a) Con respecto al eje polar: se reemplaza (r,-0) por (r,0) si no cambia la ecuación, la curva presenta simetría.
b) Con respecto a eje a 90°: se reemplaza (r,0) por (r,jr — 0) y por (-r,-0) si laecuación no cambia la curva es simétrica.
c) Con respecto al polo: se sustituye (r,0) por (-r,0) si la ecuación no cambia la curva es simétrica.
3er. Tabulación:
Se determinan los valores de r correspondiente a los valores asignados a 0 en el dominio y se ordenan los pares.
4to. Trazado de la Gráñca:
En el sistema coordenado se localizan los puntos hallados y se traza la curva.
\ M e j e m p lo s ,- Discutir y graficar las ecuaciones.
( ! ) r = a(l + eos 0) (La Cardioide)
Solución
a) Intersecciones:
i) Con el eje polar: 0 = nrc, n € Z
r = a(l + cosmr)
608 Eduardo Espinoza Ramos
S í n = 0 = > r = 2 a , ( 2 a , 0 )
S í n = 1 = > r = 0 , (O.tt)
s i n = - 1 = > r = 0 , ( 0 , - tc)
S í n = 2 = > r = 2 a , ( 2 a , 2 7 i ) = ( 2 a , 0 )
i¡) C o n e l e j e a — : + n e Z2 2
s i n = 0 , 6 = — , r = a , ( a , — )2 2
s i n = 1 , r = a ^
s i n = - 1 , G = - j < r = a > ( a - y ) = ( ° > y )
iii) C o n e l p o l o : r = 0 = > c o s 0 = - l = > 0 = r r , 3n
b) Simetrías:
i) C o n r e s p e c t o a l e j e p o l a r : ( r . - 0 ) p o r ( r , 0 ) .
r = a ( l + e o s 0 ) = a ( l + c o s ( - 0 ) ) = > 3 s i m e l r i a .
71¡i) C o n r e s p e c t o a l e j e 0 = — : ( r . 0 ) p o r ( r , 7 t — 0 )
r = a ( l + e o s 6 ) * a ( l + c o s ( n - 0 ) ) = > 2 s i m e t r í a
¡ ü ) C o n r e s p e c t o a l p o l o : ( r , ü ) p o r ( - r , 0 ) ó ( r , 0 4 - t i)
r = a ( 1 + e o s 0 ) * a ( 1 + c o s ( n - 0 ) ) = > 3 s i m e t r í a
c) Tabulaciones:
0 0 1 5 °
OO
4 5 ° 6 0 ° 7 v° 9 0 °
r 2 a 1 . 9 7 a 1 . 8 7 a 1 . 7 0 a 1 . 5 a ’■ 2 6 a a
Coordenadas Polares 609
U Y
r 2 = 5 e o s 2 6 ( l e m n i s c a t a )
Solución
a) Intersecciones:
i) C o n e l e j e p o l a r : 0 = n 7 c , n € Z
r 2 = 5 e o s 2 n n
S í n = 0 , 0 = 0 , r = ± 4*> = > ( ^ 5 , 0 ) y ( - ^ , 0 )
s i n = 1 , 0 = tu, r - ± 4 5 ( 4 5 9n ) y ( - 4 5 9n )
s i n = - 1 , 0 = -ti, r = ± ^ 5 = > ( 4 5 , - n ) y ( - 4 5 - n )
610 Eduardo Espinoza Ramos
ii) C o n e l e j e a — : 0 = — + « / r , n e Z 2 2
S í n = 0 , r 2 = - 5 , 3 r e R
s i n = 1 , r 2 = - 5 , 3 r e R
s i n = - 1 , r 2 = - 5 , 2 r e R
ili) C o n e l p o l o r = 0 .
S i r = 0 e o s 2 0 = 0 6 = —4 2 4
b) Simetría:
i) C o n r e s p e c t o a l e j e p o l a r : ( r , 0 ) p o r ( r , - 0 )
r 2 = 5 e o s 2 0 = 5 c o s ( - 2 0 ) = 5 e o s 26> = > 3 s i m e t r í a
ii) C o n r e s p e c t o a l e j e y : ( r , 0 ) p o r (T,n - 0 )
r 2 = 5 c o s 2 ( 7 r - 0 ) = 5 c o s 2 0 = > 3 s i m e t r í a
iii) C o n r e s p e c t o a l p o l o : ( r , 0 ) p o r ( - r , 0 ) ó ( r , x t + 0 )
r 2 = 5 e o s 26 = ( ~ r ) 2 - r 2 ^ > 3 s i m e t r í a .
c) i ul ulación.
0 0 n 71 Tt TT
6 ~4 7 TR ±-V3 ± 1.58 0 a a
Coordenadas Polares 611
r = 2 sen 30 (Rosa de tres pétalos)
Solución
a) Intersecciones:
i) C o n respecto al eje polar: Q = nn
si n = 0 , 0 = 0 , r = 2 sen 0 = 0, (0 ,0)
si n = 1, 0 = 7i, r = 2 sen 3 n = 0, (0 ,tt)
si n = 2, 0 = 2tc, r = 2 sen 671 = 0, (0,27t)
si n = 3, 0 = 371, r = 2 sen 971 = 0 , (0,3tü)
¡i) C o n respecto al eje a — : 6 = — +nn
612 Eduardo Espinoza Ramos
s i n = 2 , 0 = — , r = 2 s e n ^ ^ = - 2 , ( - 2 , — )2 3 2
^ 7n -i 21;r _s i n = 3 , 0 = — , r - 2 s e n ------------ = 2 , ( 2 , — )
2 2 2
iii) C o n r e s p e c t o a l p o l o : r = 0
s i r = 2 s e n 3 0 = 0 = > 3 0 = = > 0 = y
b) Simetría:
i) C o n r e s p e c t o a l e j e p o l a r : ( r , 0 ) p o r ( r , - 0 )
s i r = 2 s e n 3 0 * 2 s e n ( - 3 0 ) = > 3 s i m e t r í a
ii) C o n r e s p e c t o a l e je a — : ( r , 0 ) p o r ( r , n - 0 )2
s i r = 2 s e n 3 0 = 2 s e n 3 ( 7 i - 0 ) = 3 s e n 3 0 = > B s i m e t r í a
iii) C o n r e s p e c t o a l p o l o : ( r , 0 ) p o r ( - r , 0 )
s i r = 2 s e n 3 0 = - 2 s e n 3 0 = > 3 s i m e t r í a .
c) Tabulación:
e 71 n n 71 5 / r 71 1 0 5 °
T i ~6 ~4 y 7 2 2
R 1 . 4 1 4 2 1 . 4 1 4 0 - 1 . 4 1 4 - 2 - 1 . 4 1 4
e 2n 3n 5n l l T T 71 1 3 tt I nT T ~6 1 2 2 6
R 0 1 . 4 1 4 2 1 . 4 1 4 0 - 1 . 4 1 4 - 2
e 5n 4n 1 7 tt 3n 2 8 5 ° 5n l nT T 1 2 T T 4
R - 1 . 4 1 4 0 1 . 4 1 4 2 1 . 4 1 4 0 - 1 . 4 1 4
Coordenadas Polares 613
e H tt
6
23>r
12
2 n
r -2 -1.414 0
“V
© r = a(l - 2 eos 0)
Solución
a) Intersecciones:
i) C o n respecto al eje polar: 0 = n n, n e Z
n = 0, 0 = 0, r = -a, (-a,0)
n = 1, 0 = n, r = 3a, (3a,n)
n = -l, 0 = 71, r = 3a, (3a,-7i)
614 Eduardo Espinoza Ramos
A n 71 /s i n = 0 , 0 = — , r = a , ( a , — )
2 2
, 3/r 3/rsi n = 1, r= a. (fl,— )
s i n = - 1 , 6 r = a , ( a , - — )2 2
iii) C o n r e s p e c t o a l p o l o : r = 0
b) Simetría:
i) C o n r e s p e c t o a l e j e p o l a r : ( r , 0 ) p o r ( r , - 0 )
r = a ( l - 2 e o s 0 ) = a ( l - 2 c o s ( - 0 ) ) = > 3 s i m e t r í a
¡ i ) C o n r e s p e c t o a l e je — : ( r , 0 ) p o r ( r , 7 i - 0 )2
r = a ( 1 - 2 e o s 0 ) * ¿7(1 — 2 c o s ( 7 r - 0 ) ) = > 3 s i m e t r í a
Iii) C o n r e s p e t o a l p o l o : ( r , 0 ) p o r ( - r , 0 ) ó ( r j r + 0 ) .
r = a ( l — 2 e o s 0 ) ^ a ( l - 2 e o s ( 7 i + 0 ) = > 3 s i m e t r í a ,
c) Tabulación:
0 0 3n n n n 5n n~12 J ~4 y 1 7 1
R - a - 0 . 9 5 a - 0 . 7 3 a - 0 . 4 1 a 0 0 . 4 8 5 a a
0 I n 2n 3 ; r 5n \ \ n 2n1 2 3 4 ~6 1 2
r 1 . 5 1 a 2 a 2 . 4 1 a 2 . 7 3 a 2 . 9 5 a 3 a
L o s d e m á s p u n t o s e s d e c i r d e 7 t a 2n s e h a c e p o r s i m e t ía .
Coordenadas Polares 615
1-COS0Solución
a) Intersecciones:
i) C o n respecto al eje polar: 0 = nn, n e Z
2si n = 0, 0 = 0 , r = — , 3 r e R
0
si n = 1, 0 = ti, r = 1, (l,n)
si n = -1,0 = -n , r= 1, (l,-7t)
616 Eduardo Espinoza Ramos
ii) C o n r e s p e c t o a l e j e y : 6 = y + n n , n e Z
_ _ Tí 7t _si n = 0, r = 2> í2»-y)
t /i 3;r o /-*si n = l , 0 = — , r = 2 , ( 2 , — ) 2 2
¡ii) C o n r e s p e c t o a l p o l o : r = 0
2r = 3 0 q u e v e r i f i q u e :l - c o s f l
b) Simetría:
i) C o n r e s p e c t o a l e j e p o l a r : ( r , 0 ) p o r ( r , - 0 )
2 21 — e o s 0 1 - c o s ( - 0 )
= > 3 s i m e t r í a
7Tii) C o n r e s p e c t o a l e j e — : ( r , 0 ) p o r ( r nn - 0 )
r = = > 3 s i m e t r í al - c o s 0 l - c o s ( / r - 0 ) 1 - C O S 0
i i i ) C o n r e s p e c t o a l p o l o : ( r , 0 ) p o r ( ~ r , 0 ) o ( r , 7 t + 0 ) .
c) Tabulación:
0 0 1 5 °
OOry 4 5 ° 6 0 ° 7 5 ° 9 0 °
r oc 5 7 .1 4 4 .9 2 6 .8 2 4 2 . 6 6 2
0 1 0 5 ° 1 2 0 ° 1 3 5 ° 1 5 0 ° 1 6 5 °
OOQC
r 1 .6 1 .3 3 1 .1 7 1 .0 7 1 .01 1
Coordenadas Polares 617
r = 3 eos 20 (Rosa de tres pétalos)
Solución
a) Intersecciones:
i) C o n el eje polar: 0 = nn, n e Z
si n = 0, 0 = 0, r = 3, (3,0)
si n = 1, 0 = 7i, r = 3, (3,it)
si n = 2 . 0 = 271, r = 3, (3,271) = (3,0)
si n = -1, 0 = -7i, r = 3, (3,-k ) = (3,7r)
71 71ii) C o n respecto al eje a y : 6 = — + n n , n € Z
618 Eduardo Espinoza Ramos
s i n = O , 6 = — . r = - 3 , ( - 3 . — ) 2 2
i o 3?r 1 rs i n = l , 6 = — , r = - 3 , ( - 3 , — )
2 2
„ 5n _ , , 5tt. , , 3 i r s i n = 2 , 0 = — , r — - 3 , ( - 3 , — ) = ( - 3 , — )
. ^ 7T , _ 7TX , _ 7Ts i n = - l , 6 = -------- , r = - 3 , ( - 3 ) = ( - 3 , — )
2 2 2
iii) C o n r e s p e c t o a l p o l o : r = 0
c o m o r = 3 e o s 2 6 = 0 ==>4 4
b) Simetría:
i) C o n r e s p e c t o a l e j e p o l a r : ( r , 0 ) p o r ( r , - 0 )
s i r = 3 e o s 2 0 = 3 e o s ( - 2 0 ) = > 3 s i m e t r í a
ii) C o n r e s p e c t o a l e j e a — : ( r * 0 ) p o r ( r , 7 t - 0 )2
s i r = 3 e o s 2 0 = 3 e o s 2(n - 0 ) = 3 e o s 0 = > 3 s i m e t r í a
iii) C o n r e s p e c t o a l p o l o : ( r , 0 ) p o r ( - r , 0 ) o ( r , 7 i + 0 )
r = 3 e o s 2 ( n + 0 ) = 3 e o s 2 0 = > 3 s i m e t r í a ,
c) Tabulación:
0 0 n n n n 75° 90°
12 I J yr 3 3^3
23.5 0 -3.5 3-^3
2- 3
Coordenadas Polares 619
e 1 0 5 ° 1 2 0 ° n4
1 3 5 ° 1 5 0 ° 1 6 5 °
r 3 /3 - 1 . 5 0 0 1 .5 3 ^ 3
2 2
0
0Ooc
1 9 5 ° 2 1 0 ° 2 2 5 ° 2 4 0 ' 2 5 5 °
r 3 3 -V 3
2
1 .5 0 - 1 . 5_ 3 ^
2
0 2 7 0 ° 2 8 5 ° 3 0 0 ° 3 1 5 ° 3 3 0 ° 3 4 5 ° 3 6 0 °
r - 33 ^
2
- 1 . 5 0 1 .5 3-J3
2
3
620 Eduardo Espinoza Ramos
© r = 2 — 2 sen 6Solución
a) Intersecciones:
í ) C o n r e s p e c t o a l e je p o l a r : 0 = n i r , n e Z
s i n = 0 , 0 = 0 . r = 2 , ( 2 , 0 )
s i n = 1 , 0 = 7r, r = 2 , ( 2 , tt)
s i n = - 1 , U = - T i , r = 2 , ( 2 , - tt) = ( 2 , tt)
ii) C o n r e s p e c t o a l e j e y . ; 0 = ~ + n n , n e Z
s i n = 0 , 6 - y , r = 0 , ( 0 , y )
1 n 371 A f A ,As i n = l . f l = - , r = 4 , ( 4 . — ) = ( 4 , - y )
s i n = » l , 0 - ~ , r = 4 , ( 4 - ^ )2 2
iii) C o n r e s p e c t o a l p o l o : r - 0
r = 2 - 2 s e n 0 = O = > s e n 0 = 1 = > 6 =2
b) Simetría:
h C o n r e s p e c t o a l e j e p o l a r : ( r , 0 ) p o r ( r . - Ü )
r = 2 - 2 s e n 0 * 2 - 2 s e n ( - 0 ) = > 3 s i m e t r í a
ii) C o n r e s p e c t o a l e je a y : ( r , 0 ) p o r ( r . T i - 0)
r = 2 - 2 sen 0 = 2 - 2 sen (jt - 0) => 3 simetría
Coordenadas Polares 621
c) Tabulación:
e 0 n n n 7r 5/r 7r
12 6 7 y T T ~2
R 2 1.48 1 0.58 0.26 0.66 0
e l i t12
2nT
3n~4
5n~6
llTT
12
71 13tt
12
R 1.51a 2a 2.41a 2.73a 3a 2 2.51
0 7 tt 5n 4 tt 11 n 3/r \9n 5/r
6 4 T 12 T 12 TR 3 3.41 3.73 3.92 4 3.93 3.73
622 Eduardo Espinoza Ramos
© r = 20, 0 g [0,2tt] ( e s p i r a l d e A r q u í m e d e s )
Solución
a) Intersecciones:
i) C o n r e s p e c t o a l e je p o l a r : 0 = n r c , n e Z
s i n = 0 , 0 = 0 , r = 0 . ( 0 . 0 )
s i n = l , 0 = T r , r = 2 n ; . ( 6 . 2 8 , k )
s i n = 2 , 0 = 2 7 ü, r = 4 7 r , ( 1 2 . 5 7 , 2 tt)
i i ) C o n r e s p e c t o a l e j e a 9 0 ° : 6 = y + u n , n e Z
s i n = 1 ' Q = ~ Y ■> r = 3 j r , ( 9 . 4 2 , ^ )
s i n = - l , 0 = - — , r = - J t , ( 3 . 1 4 , - — ) 2 2
iii) C o n r e s p e c t o a l p o l o : r = 0
r = 2 6 = 0 , 0 = 0 , ( 0 , 0 )
b) Simetría:
i) C o n r e s p e c t o a l e j e p o l a r : ( r , 0 ) p o r ( r , - 0 )
r = 2 0 * 2 ( - 0 ) = > 3 s i m e t r í a
ii) C o n r e s p e c t o a l e j e a y : ( r , 0 ) p o r ( r , j t - 0 )
r = 20* 2(tt - 0) => 2 simetría
Coordenadas Polares 623
üi) C o n respecto al polo: (r,0) por(-r,0) o (r,7r + 0)
r = 20 * 2(7t + 0) => 2 simetría
c) Tabulación:
e 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90°r 0 0.52 1.05 1.57 2.09 2.62 3.14
6 105° 120° 135° 150° 165° 180° 195° 210°
r 3.67 4.19 4.71 5.24 5.76 6.28 6.81 7.33
0 225° 240° 255° 270° 300° 315° 330° 360°
r 7.85 8.38 8.9 9.42 10.5 11 11.5 12.6
n Ái
624 Eduardo Espinoza Ramos
8.7 EJERCICIOS PROPÜESTOS,-
©
©
©©©
©©©
i a
Í23
D i s c u t i r y g r a f i c a r l a s s i g u i e n t e s c u r v a s
r = 4 e o s 3 0 ( R o s a d e t r e s p é t a l o s )
r = 2 - 4 e o s 0 ( C a r a c o l )
r 2 = a 2 e o s 26 ( L a l e m n i s c o t a )
r = a s e n 2 0 ( R o s a d e c u a t r o p é t a l o s )
r = 4 — 4 e o s 0
r = 6 e o s 4 0
r = 7 s e n 5 0
r = 2 - 2 s e n 0
© r =s e n 6
( L a r e c t a )
/■ = e° ( e s p i r a l l o g a r í t m i c a )
( ó ) r = ~ ( E s p i r a l d e A r q u í m e d e s )
( I ? ) r ( l — 2 e o s 0 ) = 4 ( h i p é r b o l a )
( í o ) r = | 2 a e o s 0 |
12) r = 3 — 3 s e n 0
14) r = 1 + 2 e o s 0
r = 2 e o s 2 0
1 7 ) r = b + a e o s 0 ( b > a > 0 ) ( L i m z o n ) ( 1 8 ) r = 2 a t g 0 - s e n 0 ( C i s o i d e )
^ 9 ) r = a ( 2 + e o s 0 ) ( C a r a c o l d e P a s c a l ) ( 20) r = 4 e o s 0
( 2 ^ r = a ( 1 — 2 e o s 0 ) ( C a r a c o l d e P a s c a l ) ( 22) r = 3 e o s 2 0
r = 4 s e n 2 0
r = 2 ( 1 + s e n 0 )
r = 3 + 3 e o s ©
26) /*1-2COS0
© 1 - 2 s e n 0
© r 2 = 9 s e n 20
( S i ) r~ = - 2 5 e o s 2 O
2S) ;• = 4sen ©.eos- 6
30) , 2 = -4 sen 26
32) /• =
Coordenadas Polares 625
r = |cos 20| (^4) r = |sen 30|
© r = 2 eos 40 ( 3 ^ r = 6 eos 50
8.8 DISTANCIAPOLARES.
ENTRE DOS PINTOS EN COORDENADAS
Consideremos dos puntos en coordenadas polares Px (rx ,6 X) y P2 (rl 96 2) y cuyos
componentes en el sistema de coordenadas cartesianas son Px (xl 9y \) y P2 (x l 9y 2)
y c o m o la distancia entre dos puntos es dado por:
d(Pl ,P2 )=^j(x2 - x , ) 2 + (y2 ~ ^ i ) 2
d(Pi?P2) = ^jx¡ +y¡ +x2 +y¡ -2(XjX2 +y¡y2)
d(P¡,P2) = V ri2 + r2 ~ 2rxr2 cos(0, - 0 2 )
Solución
d(Pl ,P2) = -y]9 + 2 5 - 2(-3)(5) cos(75° - 45°) =V34+30cos30° = 3 4 + 1 5 = ^ 4 9 = 7
d(P1,P2) = 1
626 Eduardo Espinoza Ramos
8.9 INTERSECCION PE CURVAS EN COORDENADAS POLARES.
L a s i n t e r s e c c i o n e s d e d o s c u r v a s d a d a s e n c o o r d e n a d a s p o l a r e s , s e d e t e r m i n a
r e s o l v i e n d o l a e c u a c i ó n r y 0 .
Ejemplo.- H a l l a r l o s p u n t o s d e l a i n t e r s e c c i ó n d e l a s c u r v a s
r = a ( l + 2 c o s 0 ) , r = a e o s 0
Solución
R e s o l v i e n d o e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s s e t i e n e :
s u s t i t u y e n d o e l v a l o r e n c u a l q u i e r a d e l a s e c u a c i o n e s s e t i e n e r = - a t l u e g o e l p u n t o d e
i n t e r s e c c i ó n e s ( - a , 7 i ) ( s i r = 0 , a m b a s e c u a c i o n e s t i e n e n s o l u c i ó n ) .
O B S E R V A C I O N . - C o n s i d e r e m o s l a e c u a c i ó n d e u n a c u r v a e n c o o r d e n a d a s p o l a r e s .
E n e f e c t o : n = 0 , r = f ( 0 )
n = 1 , - r = f ( 0 + 2 n) = > P(-r, 0 + T i)
P ( - r . 0 + 2 t t )
n = 2. r = f ( 0 + 2 k ) = > P ( r , 0 + 2n)
p o r l o t a n t o ( 1 ) y ( 2 ) s o n e q u i v a l e n t e s .
L u e g o p a r a h a l l a r l o s p u n t o s d e i n t e r s e c c i ó n d e l a s c u r v a s r = f ( 0 ) y r = g ( 0 ) s e
M g u e l o s s i g u i e n t e s p a s o s :
a ( l + 2 e o s 0 ) = a e o s 0
= > e o s 0 = - 1 = > 0 = 71
r- ífe )
l a m i s m a c u r v a e s t a d a d a p o r : p i l t -.(2)
Coordenadas Polares 627
1) Se obtiene todas las ecuaciones distintas de las dos curvas aplicando (2) en cada
una de ellas.
Jr = /,(0) f r = f 2m \r = h { 0 )l ^ g . í e ) ’ \ r = g 2( e y \ r = g 3 l0 )
2) Se resuelven las ecuaciones simultaneas.
| i r - / , » )
V = 8(0I I r - * , (6)
3) Se verifica si el polo es un punto de la intersección haciendo r = 0, en cada
ecuación para determinar si existe solución para 0 (no necesariamente la misma)
Ejemplo.- Hallar los puntos de intersección de las curvas. r = 2 eos 0 y r = 2 sen 0
Solución
Calculando las ecuaciones distintas de las dos curvas para el cual aplicamos.
(-l)n r = f (6 + n n ) y n c Z se tiene:
para n = 1,f—r = 2 eos (0 + n) j r = 2 eos 0l-r = 2 sen(0 + n) \ r - 2 sen 0
C o m o se obtiene las mismas ecuaciones entonces es suficiente resolver el sistema de
ecuaciones iniciales.
Ír = 2 c o s 0 n=> sen 0 = eos 0 => tg 0 = 1 => 0 = —
r = 2 s e n 0 4
r = 2 c o s — = ^ 2 => r = V 2 4
luego el punto de intersección de las curvas es P(-j2 .— )4
628 Eduardo Espinoza Ramos
Ejemplo.- Hallar los puntos de intersección de las curvas r = 4(1 + sen 0) y
r(l— sen 6) = 3
Solución
Calculemos las distintas ecuaciones de las curvas dadas, para lo cual aplicamos.
( - l ) V = /(0 + /i/r), n e z se tiene
para n = 1, <
r = 4(1 + sen(0 + /r)) 3r =
r = 4(1 — sen 0)
3
l-sen(0 4 - /r )\ - r
1 + sen 0
para n = 2, «
r = 4(l + sen(0 + 2/r))
3r —---------------l-sen(0 + 2/r)
\r = 4(1 + sen 0)
3
l - s e n 0
El sistema (2) va repitiendo, luego para hallar los puntos de intersección resolveremos
los sistemas de ecuaciones dada.
r - 4(1- sen 0)
3r —l + sen0
1 + sen 01 - sen 2 0 = —
4
3 „ J3eos“0=— => eos0 = ± —4 2
e=~-, e = — ,6 6 6 6
c o m o r = 4(sen 0 - 1 )
- r = 4(sen-^--l) = — 2 , r - 2
- r = 4(sen-^--l) = -2 , r = -2
P 3(2 , ^ ) , P 4 ( 2 , - ^ ) 6 6
Coordenadas Polares 629
8.10 DERIVADAS Y RECTAS TANGENTES EN COORDENADAS POLARES.
Consideremos la ecuación de una curva dada por
C: r = f ( 0 )
Sabemos que las coordenadas cartesianas y polares están relacionados por:
x ~ r eos 0 , y - r sen 6 » . (2)
Luego al reemplazar (1) en (2) en la ecuación de la curva lo escribiremos en la forma.
; | y #?: /(e).senö
que son las ecuaciones paramétricas de la curva con parámetro 0.
Ahora calculamos la derivada de cada ecuación paramétrica con respecto al
parámetro 0.
[x = /(0 ) .c o s0 Iv = /(0 ) .sen 0
^ = f ' (0) eos 0 - /(0) sen 0
dy_d 6
= f ' ( 6 ) sen 0 + f ( 6 ) eos 0
luego calculamos — es decirdx
dydy _ de _ / ' ( 0 ) s e n 0 + /(0)coS 0 = r m x g e + m dx dx_ / ’(O) eos 0 - / ( 0 ) s e n e f (6 ) - /(0) tg 0
de
n —
d y r ( 0 ) l g e + f ( 0 ) l g O d e + r
dx / ' ( 0 ) - / ( 0 )tgo dr__r i ßd B B
630 Eduardo Espinoza Ramos
d y .. tg0.d r— i-r
dedx dr
m-rtgíí
C o m o la — representa la pendiente de la recta tangente a la curva, se tiene que: dx
Si a es el ángulo formado por la recta tangente y el eje polar, entonces:
, r + i g 0 . ~...4 S L
- - ' • t g e
Si P(r,0) es el punto de tangencia y 8 es el ángulo que forma el radio vector OP y la
tangente, veremos los siguientes casos:
i )
Se deduce que a = 0 + 5 => 5 = a - 0, aplicando tangente se tiene: tg 5 = tg (a - 0)
i¡)
Coordenadas Polares 631
S = a + 7 T - 0 => f t =7 T + ( a - 0 ) d e d o n d e
tg 8 = tg{7T + ( a - 0 ) = t g ( a - 0 ) p o r lo ta n to e n a m b o s c a s o s s ig n i f i c a q u e :
. n dr- t 0 r + lg 6 . —
tg 8 = t g ( a - 0 ) d e d o n d e tg S = — — — - — c o m o tg a = ^1 + t g a . t g 0
/ + t g 0 . — - t g 0 d 6
dr
tg<5 =•de
r i g e
1 +
r + r tg” e, , dr dr 2 n dr
r + tg£.— — + t r 0 . —dfí e dB B dO
dr- — r t g e de
É Lde
- n g e
t s _ r ( 1 + t g - O ) _ r _ / ( f l )
g dr 2 fl4 dr f ' ( 0 )------(1 + t g 0) ------ J ' ’de 5 de
Ejemplo.- H a l la r e l á n g u lo a y 8 , e l v a lo r d e la p e n d ie n te d e la ta n g e n te e n e l p u n to
d a d o .
( ? ) r = 4(1 + s e n 0), P(4,0°)
Solución
r = 4(] + sen 0) => — = 4 eos 0 => —de de
= 4
e=o
tg« =
„ drr + lge.—* de
É Lde
- n g e
4 + 0t g a = -------- = 1
4 - 0
tg a = 1 na = —4
632 Eduardo Espinoza Ramos
f ' ( 0 ) 4 4
( ? ) r = a(l - eos 0) 0 = - , a > 0 w 6
Solución
r = a(l — eos 0) => = a sen 6 => —d6> rfO
_ a
e = l ”2
r = a(l — eos 0) para 0 = — => r = — (2 - ^ 3 )6 2
r + tg0.— —(2—y¡3)+—. ^ ~tg a = — — — — => t g a = — --------
^ - r t g e d 6 2 2 3
i ^ c o m o tg a = 1 => a = —
5 4
* a n n 71S ~ a ~ 6 =------ => —4 6 12
Consideremos una función continua y positiva en el intervalo [a,p], suponiendo
— ► — ►que la curva C tenga por ecuación r = f{0) y dos radios vectores OP¡ y OP2
que pasan por las rectas 0 = a y 0 = p
Coordenadas Polares 633
r = f(0)
Pi
6 = a
El area de un sector circular es igual al semiproducto del radio por el arco.
Luego el área del i-ésimo sector circular es:
Luego el área de los n sectores circulares es:
Teniendo en cuenta que la integral definida, expresa geométricamente el área bajo una
curva, por lo tanto el área buscada es el limite de los n sectores circulares, es decir:
A - tim ~ il: f r - mft — Um / .... ..............—p...2 2 -
i r ¿ívla
Luego el área determinada por el radio vector de la curva al desplazarse de la posición
— ^ —yOPx a la posición OP2 es expresada por la fórmula.
Ejemplo.- Hallar el área de la figura limitada por la cardioide r = a(l + eos 0).
Solución
634 Eduardo Espinoza Ramos
1 fP 01 r
a = i lr - d O
r = f(0) = a(l + cos 0)
0
a = 2[— a 1 {\ +cos 6 ) 2 d 6 ] 2 Jo
- o 1 f (l + 2 c o s 0 + cos2 6 )d6 - a 2 (— + 2 sen fl +S e n )/* Jo 2 4 ' 0
. 3¿r;r iA - ---- i f ~
O B S E R V A C I O N . - Consideremos dos función f,g : [a,p] => R tales que
0 < g(G) < f(0), V 0 <e [a,p] y sea R el sector limitado
por los gráficos r = g(0), r = f(0) y las rectas 0 = a y 0 = p entonces el área de la
región R es expresado por la fórmula.
Ejemplo.- Hallar el área de la figura limitada por la curva r = 2a sen 30 que está
fuera del círculo r = a.
Solución
Seanrx =2¿*sen30 r, = a
Coordenadas Polares 635
El volumen V del sólido obtenido por la rotación alrededor del eje polar de la
región R limitada por la curva r = f(0) y las rectas 0 = a y 0 = p es dado por
la fórmula,
de l3 Ja ;________ i
Ejemplo.- Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la curva r = ¿7 eos2 6
alrededor del eje polar.
Solución
Consideremos una función r = f(0) continua en el intervalo [a,p]; c o m o
x = r eos 0, y = r sen 0, por diferenciación se tiene:
í dx = eos 6 .dr - r sen 6 .d 0 \ — (l) [dy = sen 6 .dr + r eos 6 .d6
Si en coordenadas cartesianas se tiene ds c o m o la hipotenusa de un triángulo de
catetos dx, dy. Entonces.
(<kf ~(dxf Hdy?. ...(2)
636 Eduardo Espinoza Ramos
e = p— ►
x
Ahora reemplazando (1) en (2) se tiene:
(ds)2 = (cos0 . d r - r sen 6 .d 6 ) 2 + (sen ti.dr + r eos 6 .d6 ) 2
(ds)2 = c o s 2 6 (dr)2 + r 2 sen2 6 (d6 ) 2 - 2 sen0 eos0 .dr.d0 + sen2 6 (dr)2 +
+ r 2 eos2 6 (d6 ) 2 + 2r sen0 eosO.drdi)
(ds) 2 = ( s e n 2 0 + eos2 6 )(dr) 2 + r 2(sen2 6 + eos2 6 )(d6 ) 2
(ds) 2 =(dr ) 2 + r2 (dO)2 extrayendo la raíz cuadrada
ds = 4 ¡ d ñ 2 + r 2 (dO) 2 = J r 2 + ( ~ ) 2 d 6
Integrando ambos miembros de a hasta p.
que la longitud del arco de la curva desde A hasta B.
T E O R E M A . - Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a,P], entonces
la longitud de la curva r = f(0), desde, Px(rl 9a) hasta P2 (r29(})
está expresado por:
Coordenadas Polares 637
tEjemplo.- Hallar la longitud total de la cardioide r = a(l + eos 0)
Solución
r = a(l + cos0)d rde
= - a sen 0
L = f J/-2 +(r')2dO Ja
c o m o la gráfica es simétrica.
L = 2 ^ -y/o2(1 + eos6 ) 2 + a 2 sen2 6 d 6
L = 2-^2a í -v/2 eos— d 6 = 8a sen— /* = 80 Jo 2 2 ' 0
L = 8a
18.12 KJKKCl<IOSDESARROLiAPt)S.-
Calcular el área de la región limitada por la lemniscata r 2 = 9 eos 20 .
638 Eduardo Espinoza Ramos
© Hallar el área limitada por la curva r 2 = a 2 sen 46Solución
©
©
Del gráfico se tiene:
1 f*'4 i r*/4 ■>A = 4[— jo r ■2rf0] = 2 £ o 2 sen 4 0 ¿ 0
2 2 A ^ <í /\ é7[/A d | . “>i4 = — — eos 4 0 / o = - — [-l-l] = <r
2 /f) 2
A = a 2u 2
Hallar el área comprendida entre la primera y segunda espiral de Arquímedes r = a0.
Solución
] #*2 K 7 7Del gráfico se tiene: A = — (r{ - r,~ )d6
^ * donde, rx = a 6 y r2 = a (6 + 2n)
A = -[2*[a2(e + 27r)-a2e 2]d02 Jo
/. ^ = 8fl2^ 3!/2
Hallar el área de la región encerrada por la Lemniscata r 2 = 4 sen 20
Solución
0 = n / 2La gráfica es simétrica con respecto al polo,
entonces
e=0 ^ z { r rideH ‘í¡mwMX 2
A = - 2 c o s 2 6 / o ' = -2[-l-l] = 4
/. = 4m
Coordenadas Polares 639
© Hallar el área de la región encerrada por la curva r = a sen 20
Solución
C o m o la gráfica es simétrica con respecto a ios dos
ejes entonces.
1 cRl- o cKÍ- *>A =4/1, = 4[- Jo ¡-dB] = 2jo a 2 sen
2 f / í 2 2 ^ s e n 4 0 v ,jt/2 a 27rA = a \ (1— c o s 4 0 ) í/ 0 = a ( 6 -------- ) / = -----Jo 2 n 2
. o'tt ■>.. A =---- u~
2
© Encontrar el área c o m ú n de las dos circunferencias r = 2 sen 0 y r = 2 eos 0.
Solución
Ubiquemos la región c o m ú n
Calculando las intersecciones
ir = 2 c o s 0
r = 2 s e n 0sen 0 = eos 0
nt g 0 = 1 = > 6 = —
4
también se intercepta en el polo (origen) es decir
para r = 0 se satisface las ecuaciones
] /«TT/4 - 1 rntl - rn i 4 rm lA = - \ (2sen e ) 2d 6 + ~~\ (2cos0)2¿ 0 =2[ sen2 0.¿0 + cos 2 6 .d6 ]
2 Jo 2 Jí) J?r / 4
.4 = n í - c o s z s w s t r o + « » 2 e ) í e = (e - ” “ ) / " 4 + , e + i ? !“ ) / " !Jo Jtt.4 2 ' 0 2 ' nl
640 Eduardo Espinoza Ramos
( f y Encontrar el área de la región acotada por la curva r = 2a eos 0 y que se encuentra
Hiera del circulo r = a.
Solución
Calculando la intersección
IV = 2a eos 0
iY
k
n/ —
/ 3//
~ 4 < — \/* \ \/ / \ \
\ \' \ 1 ......... *
\ ° ' ' t ay Í2a X\ lX MX r
'
I r = acosfí = —
2
de donde 6 = — , 0 = — 3 3
C o m o se tiene simetría respecto al eje polar.
1 pR1 i J cu -i -y -i ■) A = 2[— i (2acos0)2í / 0 - - a dO] = 4a í eos2 6.d0 - a 2 f d e
2 Jo 2 Jo Jo Jo
n / 3
©
. , 2 f/í3 2a l*n 1 2/„ S e n 2 0 4/ff/3 fiTTTA = 2a J (1 + co s20 )d 6 -a ® / 0 = 2cr (0 + — — — )/() — —
. 7 ,Tl V 3 t *»/. /4 = a (— + — — )«“
3 2
Calcular el volumen de un sólido obtenido por rotación de la región acotada por la
curva r = a eos2 6 alrededor del eje polar.
Solución
Por simetría se tiene:
V = 2 [ - y £ V eos6 0sen0.</0]
y _ 4a37i _cos7 0 jn . i _ 4a^jz ^1 21
Coordenadas Polares 641
® Calcular el volumen del sólido
a > 0 alrededor del eje X.
obtenido al hacer girar la cardioide r = a(l + eos 0),
Solución
Ubicando la región se tiene:
■> Del gráfico se observa que el sólido de revolución
se obtiene de hacer girar alrededor del eje X la
región de la parte superior de la cardioide.
27T Cn „ 1 2 n ( l+ C O S 0 ) 4 f l3 tnV = — <r(l + cos0) senfl.¿/0 = --------------- ----- /3 Jo 7 3 4 /o
3
© Hallar el volumen del sólido generado por la rotación de la región
R: a < r < a 4 2 sen 26 , a > 0, alrededor del eje polar..
Solución
Ubicando la región de las curvas polares que encierran c o m o R: a < r < a^J 2 sen 26 ,
a > 0, entonces r = a circunferencia.
r 2 = a 22sen26 , 0 e[0,y]U[/r,— ] donde la ecuación r 2 - 2a 2 s e n 20
corresponde a la gráfica de la Lemnicata.
642 Eduardo Espinoza Ramos
Por simetría se tiene V = 2VX
F = 2[— i [(úh/2sen 26) ]senO.dB------------- í a senOMG]3 Jtt/12 3 J/r /12
4/r [f5'1'1 2 2V2(sen20)3/2 sen0.</0-a3 Psen0.rf0] 3 J« 7 !2 Jff/12
K [J* o 32-v/2(sen20)3/z senfíxiO+ cos6/
rSa/12
V =4 ,1a 3 ,5»/12 3
[f5íI ‘V 2 V 2 ( s e n 2 0 ) 3,2 s e n 0 ¿ 0 + - L/1 2 -yj2.
...d)
7TSea 0 = --- r = > d 0 = -dz, reemplazando en (1)
4
J*5tt /12 1 _ i í«^/o - ? -
(sen 26) ' sen = —= (eos z) “ (eos z)dz =7r /12 *yj2. J 71'
3?r + 8
32. - (2 )
Reemplazando (2) en (1) se tiene: F = [2^2. +_!_]«y2
Coordenadas Polares 643
©0
Hallar la longitud del arco de la parte de la parábola r = asee2(— ), cortado de la
m i s m a por la recta perpendicular que pasa por el polo.
Solución
C o m o - — < 0 < —2 2
0 or 2 = a 2 sec4(— ) d e d o n d e r = o s e c 2(— )
dr 26 6— = a sec— . te—d e 2 * 2
L = r 2 J o 2 sec4 A + Ö 2 sec4 A tg2 A dO J - n / 2 V 2 2 2
©
L = [ n 2 a see3( - )dO = 2a[4 ¿ +ln(-j2 +1)] J-ít/2 2
. 0
U n móvil recorre una pista que sigue la trayectoria de la espiral de Arquímedes.
Solución
drr = a0 => — = ade
► Ja V dede
L = [2n Ja2e 2+a2dO = a t J ü ^ d O Jo Jo
L = a [ - 4 Ü ^ 2 - ^ - ^ e + ^ ü ^ 2 \ ] j2"
\\
644 Eduardo Espinoza Ramos
L = a[n^J 1 + 4tt2 + -i-ln|2tt+ -\/lh-4?r2 |]
(l3) Hallar la longitud del bucle (Lazo) de la curva polar r = sec3(y)
Solución
Por simetría se tiene: L
I-
J'n n> . f +(í ‘
i/«
■>,,0 dr 3 6 0r = see (— ) => -— = sec (— ).tg(— ) 3 d e 3 3
)+sec6 (|).tg2(|) de
Z, = fl£sec4 (y)rf0 = 12^3 /. Z, = 12-^3
8.13 EJERCICIOS PROPUESTOS.-
I. Halle los puntos de intersección de las gráficas del par de ecuaciones dado:
©2r = 3
r = 3 sen 6 © > = 3
Ir = l + cosG
© {r = 2 c o s 0
r = 2 s e n 0 © /• - 2 eos 20
r — 2 sen 6
©Y = 4 er = n 12 ©
[r = cosí? -1
r = eos 26
©V = 1 - sen 0r = eos 20 ©
r 2 = 2cos0r = 1
Coordenadas Polares 645
©
©
©
r = 4 tg 0.sen0
r — 4 c o s 0
r = 2 eos 0
r = 2 ^ 3 sen 0
r = 4(1 + sen 0) r(l-sen0) = 3
r sen 0 = 4 r eos 0 = 4
> = tg0
r = 4 s e n 0
r 2 sen 20 = 8
r c o s 0 = 2
= 4
e = 4
r = sen 0
= sen 20
r = 4 s e n 0 c o s 2 0
r = sen 0
r = 1 + eos 0
r = l - s e n 0
II. Calcular el área de la región de las curvas que se indican y hacer su gráfica.
(í) r = a eos 0, 0 < 0 < n ß
© r = a(l - eos 0)
r = 4 eos 20
r = a eos 50
Rpta. 0.37 a~ u
Rpta. a 2u 2
Rpta. An u 2
Rpta. ^ — u 2
r = a sen 20
I n(ó) r = a(l + 2 sen 0), 0 = - - ^ , 0 =
n . Tía 7 Rpta. — — u~
Rpta. 2 7T +3^3
^7) r = eos 30 Rpta. —u4
o
646 Eduardo Espinoza Ramos
©r = b + a eos 0, (0 < b < a) Rpta. ”1{a2 +21J2)
2
©r = a eos 0 Rpta.
7UJ2 2------- U2
©2 2 sen 36r = a ------
cosí?Rpta. cr2 ( | - l n 2 ) M 2
©r = 2 sen 30 Rpta. n u 2
©r 2 = 9 sen 2 6 Rpta. 9 u 2
©r = 4 — 4 eos 0 Rpta. 24n u 2
© r 2 = 4 sen 26 Rpta. 4 u 2
© r 2 = 2 a 2 sen 30 Rpta. 4a 2 u 2
III.
n /a(V ) Hallar el área interior a r = 4 sen 6 eos2 6 y exterior a r = sen 0 Rpta. — + ----
6 8
© Calcular el área de la región que es interior a la curva r = 2a eos 30 y exterior al
q 2círculo r = a, a > 0. Rpta. — (2^ + 3*\/3)w2
6
©3 ti — 8
Hallar el área c o m ú n a las cardioides r = a( 1 ± eos 0) Rpta. — -— a 2u 2
( T ) Hallar el área encerrada por las curvas r =------ — y r = 2a en el intervalo de
cos-(-)
0 = 0 a 6 = - .2
aRpta. - ( 3 7 i - 4 ) u 4
Coordenadas Polares 647
Calcular el área exterior a la lemniscata r 2 = 2a2 eos20 comprendida dentro del
1 r% "*■ 3^3 2 2circulo r =a. Rpta. ----------a u
© Hallar el área de la regirá que es interior a la curva r = 3a eos 2 0 y exterior a la curva
r = a( l + cos20). a > 0 . Rpta. a 2(4n+ — J Í 5 - 6 a )4
3 V n - b a )
D o n d e a es tal eos 2a = — -4
( 7 ) Hallar el área limitada por la curva r 2 = a 2 sen 40 . Rpta. a 2u 2
Q j ) Hallar el área limitada por la parábola r = a sec2(— ) y las semirectas 0 = — y
n 14-8^2 2 2Rpta. --------- a Lu ¿
Hallar el área de la figura limitada por la curva r = 2a eos 30 que esta fuera del
a 2ncirculo r = a. Rpta. — — u 2
© Calcular el área de la superficie obtenida al rotar, alrededor del eje polar, la
Lemniscata r 2 = a 2 eos2 0 . Rpta. 2na2(2 -^ ¡2 )u 2
(11) Hallar el área de la superficie generada al rotar alrededor del eje X la curva
r = a(l + eos 0), a > 0, 0 < 0 < Jt. Rpta. ~
(12) Hallar el área de la superficie generada 1 rotar la curva r = 2a eos 0 alrededor del
ejeX. Rpta. 4 o 2tt
(13) Hallar el área de la superficie generada al hacer girar la circunferencia r = 2a sen 0
* ■ 2 _ 2alrededor del eje a — . Rpta. 4a n
648 Eduardo Espinoza Ramos
^ 4 ) Hallar el área dentro de r = 8 eos 0 y a la derecha de la recta r = 2 sec 0.
Rpta. ^ ^ - + 4^3
(l5) Hallar el área de la región dentro de r = 10 sen 0 y encima de la recta r = 2 cosec 0.
Rpta. 25/T-58+10-V5-50arcsen(-|=)-v/5
© Hallar el área de la región encerrada por las curvas:
a) r = ee , 0 < 0 < n , r = e 6' 2 , 0 < 0 < n y los rayos 0 =2n y 0 = 3n.
Rpta.
b) r = e6 , 27t<0<37t, r = 0, 0 < 0 < n y los rayos 0 = 0 y 0 = 71.
Rpta. j - [ 3 e An (e2n - ) 2 n 3]
^ 7) Encontrar el área de la región limitada por la curva.
a) (x2 + y 2) 3 = 4 a 2xy(x2 - y 2), a > 0 . Rpta. a 2
b) x 4 + y 4 = x 2 + y 2 Rpta.
IV.
Calcular la longitud de la curva r - a sec2(— ) desde 0 = 0 hasta 6 = — .2r ^
Rpta. a[V2 +ln(l+-\/2)]
© Hallar la longitud del arco de la espiral hiperbólica r0 = 1 desde el punto (2,— )
hasta el punto (— ,2). Rota '
*¿)
Coordenadas Polares 649
© Hallar la longitud de la curva r = 2b tg 0. sen 0, b > 0 desde 0 = 0 desde 6 - — .3
© Calcular la longitud del arco de la curva r = sen3(^-) comprendida entre
O < 0 < — . Rpta. — (271-3-^3)2 8
© Hallar la longitud del arco de la espiral logarítmica r = aem , ( m > 0), que se
encuentre dentro del círculo r = a. Rpta. +m
(ó) Hallar la longitud del arco de la curva r = a sen1 (— ), a > 0. Rpta.2 2
'
Cj) Hallar la longitud del arco de la curva 6 = — (/■ + — ), desde r = 1 hasta r = 3.2 r
4 + ln3
^ 2
© Calcular la longitud del arco de la curva r - 6 2 , entre 0 < 0 < tt.
Rpta.
® G ixCalcular la longitud del arco de la curva r = <?cos3 (— ), entre O < 0 < — .
3 2
Rpta. —(2n + 3^3)X
(lo) Hallar la longitud del arco de la parte de la parábola r - ¿7sec2(^-), cortada por la
recta perpendicular que pasa por el polo. Rpta. 2a[42 +ln(-s/2 + l)]w
650 Eduardo Espinoza Ramos
(íí) Calcular la longitud del arco de la curva r = sen 0 desde 0 e [0,2tt].
Rpta. n ú
(12) Hallar la longitud de la primera espira de la espiral de Arquímedes r = a0.
Rpta. an-J^ñ2 + l + —la \2n+ -^4n 2 + 1 12
(13) Calcular la longitud del arco de la espiral hiperbólica r0 = 1 desde 0, hasta
4 3 50, = - . Rpta. ln(— ) + —2 3 H 2 12
(Í4 ) Si R es la región exterior a la circunferencia r = eos 0 e interior a la cardioide
r = 1 — eos 0. calcular la longitud de su perimetro. Rpta. 4-^3 + y
3 < m© Calcular la longitud total de la curva r = o s e n 3(— ). Rpta.
3 2
© ) Encontrar la longitud de la espiral logaritmica r = — desde (r,,6 l ) hasta (r2,02 ) .0
Rpta. a ln ^ — ^ L l + ^ a 2 + r 2 - ^ j a 2 +r2 r2( a + ^ a 2 + r 2 )
© ) Hallar la longitud de r = 4 — 4 eos 0.
V.
© Hallar el volumen del sólido obtenido por la rotación alrededor del eje polar de la
figura acotada por la cardioide r = 4 + 4 c o s 0 y las rectas 0 = 0 y 0 = y .
Rpta. 160;r « 3
Coordenadas Polares 651
(7) Hallar el volumen del cuerpo generado por la rotación de la figura limitada por una
semi espira de la espiral de Arquímedes r = a0, desde a > 0, 0 < 0 < ir.
2a*n 2 ( n 2 -6) 3 Rpta. ------- -------- u
© Hallar el volumen del sólido formado por rotación alrededor del eje polar de la curva
. 576 3r = 3 sen 20. Rpta. ----n u
35
( 4) Hallar el volumen del sólido generado por la rotación de la superficie
.3_2
a < r< a ^ 2 sen20 , a > 0 alrededor del eje polar. Rpta.a n 3 u2 4 2
© Hallar el volumen en coordenadas polares por la curva r = a tg 0 al girar alrededor
del eje polar y entre los límites 6 =— y 0 = 0. Rpta. ^[61n(3 +t/2)-7t/2]w34 2
652 Eduardo Espinota Ramos
í A P E N D I C E
I. LOGARITMOS.-
a * = N , a > 0 < = > jr = loga N x = ey <=> y = loge x = Lux
( 1 ) loga AB = loga A + loga B
( 2 ) loga — = log„ A - loga BB
® log a A " = n L o g aA
G ) log0 C Í = - l o g a A n
© log Nlog¿ N = log,, o.loga N = -y-g b (cambio de base)
II . ...... ECUACIONES CUART1CAS.-
x4 + 2px3 + qx2 + 2rx + s= 0, sum a n d o (ax + b)2
x4 + 2px3 + qx2 + 2rx + s + (ax + b)2 = (ax + b)2
x4 + 2px3 + (a2 + q)x2 + 2 (r + ab)x + s + b2 = (ax + b)2
(x2 + px + k)2 = (ax + b )2
x4 + 2px3 + (p2 + 2k)x2 + 2pkx + k 2 = (ax + b)2
Apéndice 653
2 p k - 2r ~ lab
p k - r = ab
(p k - r )2 = a 2b2 =>
(pk - r)2 = a2 b2 = (p2 + 2kp - q) (k2 - s)
simplificando: 2k3 - qk2 + (2pr - 2s)k - p 2 s - r 2 + qs = 0
Hallando las raíces de k se tiene: (x2 + px + k)2 = (ax + b)2
I1L ECUACIONES CUBICAS -
x 3 + px2 + qx + r = 0 haciendo x = y - p/3
'*1 ^i 7 2 p qi
se transforma en y + (q - p /3) y + ---- ----27 3
y3 + Q y + R = 0
se hace y = A + B
x2 + px + k = ± (ax + b) de donde *Jt2 + ( p - a ) x + k - b = 0
x 2 +(p + a )x+ k + b = 0
donde
654 Eduardo Espinoza Ramos
0 y = k f (x ) = c=> — = k f ' (x )dx
Q ) y = f { x ) ± g ( x ) ^ > — = f ' ( x ) ± g ( x )dx
(4) y = f ( x ) = x"=> — = f ' ( x ) = nxn ldx
© y = f ( x ) . g ( x ) ^ — = f ' { x ) .g { x ) + f ( x ) .g ' ( x )dx
® . f (x) dy g ( x ) . f ' ( x ) - f { x ) . g ' ( x )y - ----- => — = --------------- i----------
g(x) dx g(x)~
© > = ( / ( * ) ) " = > — = « í/ ,(jc))""1 ./'(*)dx
V. DERIVADAS DE LAS. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y SUS 1NVERSAS.-
© >» = sen(/(x)) => — = cos/(x)./*(x)dx
( 2) y = cos(/(x)) => — - —sen( f (x ) ) . f ' ( x )dx
© y = tg(/(*)) => — = see2 ( f ( x ) ) . f ' ( x )dx
( 4 ) y = ctg(/(x)) => — = -cos ec2( f (x))./’(x)dx
( 5) y = sec( f (x)) => — = sec( /'(x)).tg(/(x))./'(x)dx
( ? ) y = coser(/(x)) => — = -costr ( f (x)).ctg(/'(x))./'(x)dx
Apéndice 655
\ , r . s . dy f ' ( X )\ 1 ) y = are. sen (/(*)) => — = ■
dx J l - f - ( x )
v, dy -/'(*)W y - arc.cos{f (x)) =>— =—. -
* V 1- / ( * )
® rfv r w>• = are. tg ( / (x)) => — = ----- V----
<¿v ! + / - ( * )
,nl A , ,, „ dy - f (x)10} y = arc.e tg( / (x)) — = 2
dx 1 + / (x)
n i / rt » ^11) y = arc.szc(f(x)) = > — = ■
1
¿y -/'(x)111 y = arc.cosec(f (x)) => —
VI, ». * i OGARITP
w L ' a u iMICAS.-'
,AS: FUNCIONES' EXPONENCIALES • V
® dy logfl ey = l o g „ ( / ( x ) ) = > - f = -^ - ./ '(x ), a * 0 , 1
í¿í /(x)
© ,v = In(/(x))/'(x)
rfr /(x)
© >• = fl/(x) => — = af(x) .Ln a . f ( x )dx
© v = / <,> => — = / M . f { x ) dx
© y = ( . f ( x f lx) ^> — = g ( x ) ( f ( x ) f (xy i . r ( x ) + ( f ( x ) f (x)ln( f(x)) .g '(x)dx
656 Eduardo Espinoza Ramos
VIL DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS Y SUS INVERSAS.*
© y = senh ( / (x)) => — = cosh(/(x))./'(x)dx
© > = cosh(/(*)) => — = senh(/(x))./’(x)dx
>’ = tgh(/(x))=> — = secA2 (/(.v))./'(x)dx
© j> = ctgh(/(x)) => — = -cos ech2 ( f ( x ) ) . f ’(x)dx
© y = sech(f(x))=> — = - se ch ( f ( x ) )A g h ( f ( x ) ) . f ' ( x )dx
© y t eos eh(f (x )) => — = -cosech(f(x )) .c tgh(/(x)). f ’(x)dx
- «ív /'(x)(J7; >• = ore. senh( A x ) ) => — = ■ -
rfy ± f ' ( x )^ 8) y = ore. cosh(/(x)) => — =
dx 1/ / 2 (x)-l
® í/v r ( x )^ = are.tgh(/(x)) => — = - ^ 5 ------------------ , - < ffr) < 1
dx 1 - f ~ { x )
dv f ’(x)10) y = arc.c tgh(/(x)) => — = — — ---- , (fix)) > 1
dx l - / - ( x )
1 1 1 « ,/r / « ^1 1 ) 3; = arc. see h ( f (x)) => — = '
dx / ( x ) V l - f \ x )
Apéndice 657
dv -/'(x) 12) y = are. cosech(f (x)) => — = ■
dx |/(x ) |V l+ /2(Jc)
...................................................................................................................■'■■■■
© Jodx = ax + c
© J d (f(x)) = f{x) + c
© J (/(x) ± g(x))dx = J f(x)dx + J g(x)dx
\ x ndx=—-- + c, n * - 1J /i +1
»+1
f undu = —— +c, n * - \J n + 1
© J-^=Ln|«| + c
| eVw = eu + c
(5 ) f audu = + c, a > O, a 1J lno
® r rfw 1 u— j = — a r c t g — + c
^ J uL -a~ 2aU - Q
u + a+ c
658 Eduardo Espinoza Ramos
J o 2 - « 2 2a
í/ + tf
u - a+ c
© jrf« .u= are. sen(— ) + c
©y¡u~ +a~
a
= Z,wL + ^ u 2 + a 2 + c
+ c
ó) J Va2 - icd u = - -a/o2 -w2 +y-c/r.sen —+ <
7) J* Vw2 - a 2d u - ^ 4 u 2 - a 2 - — Lnu + •ju2 - a 2
(l8) JVtr + a2du=—^ju2 +a2 + — Lnu + -Ju2 +a2
+ c
+ c
19J sen udu = -cosw + cj
(20) J eos udu = sen 1/ + c
(21) J tg udu = -L«|cos w|+ c
© J c tg wí/w = £«|sen u\ + c
/ see wí/w = ¿;/|sec u + tg «| + c
@ 1 eos ecudu = Líbeos ecu —c tg «| + c
Apéndice 659
© sec2 udu = lgu + c
© cosec2udu = -c lg u + c
© secw tgu rfw = s e c w + c
© cos ecu.c tg udu = - cos ecu + c
© senh udu - cosh u + c
© cosh udu = senhw + c
© tgh udu = Ln|coshw| + c
© c tgh udu = L/?|sec hu\ + c
© sec frudu = tghw + c
© cos ech2udu = -c tgh u + c
© sec hu. tgh udu = - sec hu + c
© cos ech u. c tgh udu = - cos ech u + c
© sen(bu)du = <■»(0 sen(,’" ) - ♦ ca +bL
© au , , x , au (a cos bu + b sen(bu)) e cos (bu)du = e -------- j--- — — + ca +b