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Matemticas DiscretasTC1003

Lgica Proposicional:Proposiciones, Conectivos, Tablas de Verdad y Equivalencias

Departamento de Matemticas / Centro de Sistema Inteligentes

ITESM

IntroduccionSentenciaDeclarativaProposicionVariableProposicionalPrimitivaValor de VerdadOperadoresJerarqua deOperadoresUso deOperadoresFBFTabla de VerdadTabla NegacionTabla DisjuncionTabla ConjuncionEjemplo TablaEquivalenciaEquivalenciasSuposicionesEjemplosSimplificacionSumario

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Introduccin

En esta lectura veremos los elementos bsicos delo que se llama Lgica Proposicional o ClculoProposicional. Iniciaremos con lo que entendemospor proposicin y conectivo lgico. A partir de esoveremos lo que se conoce como tabla de verdad.Con eso se ver lo que se entiende comoequivalencia lgica que es base para reduccin decircuitos lgicos y que es usado para entender loscasos de los ifs en los programas de computadora.

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Sentencia Declarativa

Una sentencia declarativa es una oracin queafirma algo.EjemplosSon sentencias declarativas: El curso de Matemticas Discretas est fcil. El caballo blanco es verde. Si la luna est llena y no llueve, entonces saldr

a caminar. El ltimo Teorema de Fermat es cierto. Esta frase es falsa. x + 3 es impar.

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EjemplosNo son sentencias declarativas: Est lloviendo? Hola!, cmo ests? Tierno suz, casi mbar, casi luz. . . Qu es en el fondo actuar, sino mentir? Y qu

es actuar bien, sino mentir convenciendo?

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Proposicin

Una proposicin es una sentencia declarativa quedebe ser verdadera o falsa pero no ambas.EjemplosSon proposiciones: El curso de Matemticas Discretas est fcil. Si la luna est llena y no llueve, entonces saldr

a caminar. El ltimo Teorema de Fermat es cierto.

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EjemplosNo son proposiciones: Esta frase es falsa

Si la frase es cierta, lo que en ella se dicedebe ser cierto, as debe ser falsa.

Si la frase es falsa, lo contrario a lo que en ellase afirma es cierto, por consiguiente es cierta.

x + 3 es un nmero impar Si x = 2 la afirmacin es cierta. Si x = 3 la afirmacin es falsa.

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Variable Proposicional

En nuestro manejo de proposiciones utilizaremossmbolos para representarlas. Estos smbolos sellamarn variables proposicionales. Aspondremos

p : El curso de Matemticas Discretas estfcil.

Indicar que la variable proposicional p representala proposicin El curso de Matemticas Discretasest fcil.

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Proposiciones Primitiva y Compuestas

Una proposicin primitiva es una proposicin queno se puede descomponer en hechos mssimples.Ejemplos El curso de matemticas discretas est fcil. El caballo blanco es verde.

Una proposicin compuesta es una proposicinque no es primitiva.Ejemplos Si la luna est llena y no llueve, salgo a caminar. Yo contrat el cable bsico, como t.

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Valor de Verdad

El valor de verdad de una proposicin es unaasignacin a uno de los dos posibles valoresverdadero o falso. Esta asignacin depender delo que en la misma proposicin se afirme: si escierto diremos que tiene valor de verdad verdaderoy si es falso diremos que tiene valor de verdadfalso.

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Operadores Lgicos

Los operadores lgicos sirven para construirproposiciones complejas. Negacin: p (Lase no p) Disjuncin: p q (Lase p o q) Conjuncin: p q (Lase p y q)

Estos operadores pueden usarse una o variasveces en forma combinada o no para construirproposiciones ms complejas, por ejemplo

p (q (r (p)))

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Jerarqua de Operadores

Para reducir el nmero de parntesis se convieneen una jerarqua de operadores para indicar elorden de precedencia de uno sobre otro.

Mayor Jeraqua Menor Jerarqua

Ante una disputa de operandos gana el que tieneuna mayor jerarqua. As

La expresin Se interpreta como

p q r p (q r)

p q (p) q

p s q r (p (s)) ((q) r)

Los parntesis deben ser utilizados para forzar elorden de las operaciones.

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Uso de operadores

Supongamos quep: Est calurosoq: Est soleador: Est lluviosos: Est hmedoEntonces la representacin de las siguientesafirmaciones queda: Est lluvioso y soleado : r q Est soleado o est lluvioso : q r Est soleado y no est caluroso : q p Ni est soleado ni est caluroso : q p Est soleado pero est lluvioso : q r Est lluvioso pero no est caluroso : r p

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Frmula Bien Formada

Una frmula bien formada (FBF por sus sglasen ngles WFF) o tambin llamada formaproposicional es una expresin donde aparecenvariables proposicionales, las constantesT(verdadero) o F (falso), operadores lgicos yparntesis: bien balancedos los parntesis, losoperadores lgicos indicados y con el nmero deargumentos correctos.Son FBFs:

p , p q , p (q ((r) s))

No FBSs:

p q , r (q ) , (s r) (qp)

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Tabla de Verdad

Una tabla de verdad de una proposicin es unadescripcin organizada de los valores de verdadde la proposicin para todos los valores posiblesde la variables proposicionales que aparecen enella.

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Tabla de Verdad de la Negacin

p p

F T

T F

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Tabla de Verdad de la Disjuncin

p q p q

F F F

F T T

T F T

T T T

Slo es F cuando sus argumentos son ambosfalsos.

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Tabla de Verdad de la Conjuncin

p q p q

F F F

F T F

T F F

T T T

Slo es T cuando sus argumentos son ambosverdaderos.

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Ejemplo de Tabla de Verdad

Calcule la tabla de verdad de (p q) (p q):

p q p q q p q (p q) (p q)

F F F

F T F

T F T

T T T

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Equivalencia Lgica

Dos formas proposicionales y se dicenlgicamente equivalentes si y slo si tienenvalores de verdad idnticos para cualquiersustitucin de valores de verdad de sus variablesproposicionales. Esto se simbolizar

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De la misma definicin de equivalencia entre FBFsse deduce el procedimiento de verificacin: Construir las tablas de verdad de ambas

expresiones: como dos columnas en una mismatabla.

Comparar las tablas rengln por rengln. Si rengln a regln tienen el mismo valor de

verdad, son equivalentes. Si hay al menos un rengln donde difieran, no

son equivalentes.

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Equivalencia Utilizadas

Comprueba la validez de la ley conmutativa:

p q q p

p q p q q p

F F F F

F T F F

T F F F

T T T T

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Comprueba la validez de la ley conmutativa:

p q q p

p q p q q p

F F F F

F T T T

T F T T

T T T T

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Comprueba la validez de la ley asociativa:

(p q) r p (q r)

p q r p q (p q) r q r p (q r)

F F F F F F F

F F T F F F F

F T F F F F F

F T T F F T F

T F F F F F F

T F T F F F F

T T F T F F F

T T T T T T T

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Comprueba la validez de la ley asociativa:

(p q) r p (q r)

p q r p q (p q) r q r p (q r)

F F F F F F F

F F T F T T T

F T F T T T T

F T T T T T T

T F F T T F T

T F T T T T T

T T F T T T T

T T T T T T T

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Comprueba la validez de la ley distributiva:

=p (q r) (p q) (p r)=

p q r q r p q p r

F F F F F F F F

F F T T F F F F

F T F T F F F F

F T T T F F F F

T F F F F F F F

T F T T T F T T

T T F T T T F T

T T T T T T T T

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Comprueba la validez de la ley distributiva:

=p (q r) (p q) (p r)=

p q r q r p q p r

F F F F F F F F

F F T F F F T F

F T F F F T F F

F T T T T T T T

T F F F T T T T

T F T F T T T T

T T F F T T T T

T T T T T T T T

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Comprueba la validez de la ley de De Morgan:

(p q) p q

p q p q (p q) p q p q

F F F T T T T

F T F T T F T

T F F T F T T

T T T F F F F

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Comprueba la validez de la ley de De Morgan:

(p q) p q

p q p q (p q) p q p q

F F F T T T T

F T T F T F F

T F T F F T F

T T T F F F F

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Comprueba la validez de la ley de Absorcin:

p (p q) p

p q p q p (p q)

F F F F

F T F F

T F F T

T T T T

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Comprueba la validez de la ley de Absorcin:

p (p q) p

p q p q p (p q)

F F F F

F T T F

T F T T

T T T T

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Comprueba la validez de la ley de la doble negacin:

(p) p

p p (p)

F T F

T F T

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Comprueba la validez de la ley de la negacin o ley de inversa:

p p F

p p p p

F T F

T F F

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Comprueba la validez de la ley de la negacin o ley de inversa:

p p T

p p p p

F T T

T F T

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Comprueba la validez de la ley de idempotencia:

p p p

p p p

F F

T T

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Comprueba la validez de la ley de idempotencia:

p p p

p p p

F F

T T

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Comprueba la validez de la ley de identidad:

p T p

p T p T

F T F

T T T

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Comprueba la validez de la ley de identidad:

p F p

p F p F

F F F

T F T

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Suposiciones

Tomaremos como vlidas dos reglas importantesque cumple la equivalencia de expresioneslgicas:

Propiedad transitiva de la equivalencia

Si y , entonces .

Propiedad de sustitucin

Si y F() es una expresin lgicadonde aparece , entonces F() F().Aqu F() es la expresin que se obtuvo desustuituir donde apareca en F().

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Ejemplos de Simplificacin

Veamos ahora algunos ejemplos de simplicacincuya justificacin se basa en las leyes lgicasrecien vistas.

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En el siguiente argumento se simplifica una FBF. Indique enorden las leyes que justifican cada paso.

1) Ley de identidad 2) Ley de De Morgan

3) Ley de la doble negacin 4) Ley distributiva

5) Ley asociativa 6) Ley de dominacin

7) Ley conmutativa 8) Ley de inversas

9) Ley de idempotencia 10) Ley de absorcin

(r p) (r p) r (p p) por 10

r (p p) por 7)

r T por 8

r por 1

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En el siguiente argumento se simplifica una FBF. Indique enorden las leyes que justifican cada paso.

1) Ley de identidad 2) Ley de De Morgan

3) Ley de la doble negacin 4) Ley distributiva

5) Ley asociativa 6) Ley de dominacin

7) Ley conmutativa 8) Ley de inversas

9) Ley de idempotencia 10) Ley de absorcin

(t ( (t q))) (t q) (t ((t) q)) (t q) por 2

(t (t q)) (t q) por 3

((t t) q) (t q) por 5

(t q) (t q) por 9

t (q q) por 4

t T por 8

t por 1

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Una FBF se dice ser una tautologa si se evalua enverdadero para todos los valores de verdadposibles para sus variables proposicionales; porotro lado se llama contradiccin si es falsasiempre, y se llama contingencia cuando su tablade verdad tiene tanto verdaderos como falsos. Entrminos de equivalencias: es una tautologa si yslo si T; es una contradiccin si y slo si F; y es una contingencia si y slo si no esequivalente ni a T ni a F.

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Temas Vistos

Concepto de proposicin Variable Proposicional y Frmulas Bien

Formadas Conectivos Lgicos: Disjuncin, Conjuncin y

Negacin) Tabla de Verdad Equivalencia Lgica Simplificacin argumentada de una FBF Tautologa, Contradiccin, y Contingencia

IntroduccinSentencia DeclarativaSentencia DeclarativaSentencia DeclarativaSentencia DeclarativaSentencia DeclarativaSentencia DeclarativaSentencia Declarativa

ProposicinProposicinProposicinProposicin

Variable ProposicionalVariable Proposicional

Proposiciones Primitiva y CompuestasProposiciones Primitiva y CompuestasProposiciones Primitiva y CompuestasProposiciones Primitiva y CompuestasProposiciones Primitiva y CompuestasProposiciones Primitiva y Compuestas

Valor de VerdadOperadores LgicosOperadores Lgicos

Jerarqua de OperadoresJerarqua de OperadoresJerarqua de Operadores

Uso de operadoresUso de operadoresUso de operadoresUso de operadoresUso de operadoresUso de operadoresUso de operadores

Frmula Bien FormadaFrmula Bien FormadaFrmula Bien Formada

Tabla de VerdadTabla de Verdad de la NegacinTabla de Verdad de la DisjuncinTabla de Verdad de la Disjuncin

Tabla de Verdad de la ConjuncinTabla de Verdad de la Conjuncin

Ejemplo de Tabla de VerdadEjemplo de Tabla de VerdadEjemplo de Tabla de VerdadEjemplo de Tabla de VerdadEjemplo de Tabla de VerdadEjemplo de Tabla de Verdad

Equivalencia LgicaEquivalencia UtilizadasEquivalencia UtilizadasEquivalencia UtilizadasEquivalencia UtilizadasEquivalencia Utilizadas

SuposicionesEjemplos de Simplificacin

Temas Vistos