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Matemáticas Sesión #7. Sistemas de ecuaciones lineales
Contextualización
En un principio debemos de saber que en realidad para resolver adecuadamente un sistema de ecuaciones lineales consideremos que esto es un proceso que consta de dos fases: discusión y resolución.
La discusión que es antes que la resolución se basa en saber y analizar si el sistema tiene solución o no, y si la tiene iniciaremos el proceso de decidir por cuál de los métodos lo realizaremos.
Los métodos que se tienen pueden ser analíticos o gráficos, en esta sesión aprenderemos a resolver un sistema a través de los analíticos, que iremos conociendo uno por uno, los cuales son los mayormente utilizados: sustitución e igualación.
Introducción.
¿Podre conocer la base y la altura de un rectángulo si solamente conozco su área y su perímetro?
La resolución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es comúnmente utilizado al tener dos conceptos que tienen relación entre sí, tal es el caso del área y el perímetro de un rectángulo, en los dos se utiliza la base y la altura para el cálculo de ellos, si estos valores llegaran a no ser conocidos pero se conoce el área y perímetro podemos encontrar estos valores desconocidos tomándolos como las incógnitas de nuestro sistema de ecuaciones y dar solución a través de cualquiera de sus métodos. Fuente: http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/images/a/areaofasquareorarectangle.gif
Explicación
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones
con 2 o más incógnitas y se requiere de encontrar los valores de estas
incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.
Solución de sistemas de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas.
Existen algunos métodos para la solución de este tipo de sistemas, a
continuación se explicara cada uno de ellos.
Explicación
Método de sustitución.
Para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas se
siguen los siguientes pasos:
Se despeja una de las variables de cualquiera de las ecuaciones.
Se sustituye el despeje en la otra ecuación y se resuelve la ecuación
de que resulta de esta sustitución.
Una vez encontrado el valor de la primera variable, se calcula la otra
en la ecuación despejada obtenida en el primer paso.
Ejemplo: Resuelve 2𝑥 + 𝑦 = 7𝑥 + 3𝑦 = 11
Explicación
Paso 1: y= 7-2x
Paso 2: x+ 3(7-2x) = 11 Se multiplica el 3.
x + 21 -6x = 11
x -6x = 11- 21 Se juntan términos semejantes.
-5x = -10 El -5 pasa dividiendo al otro lado de la
igualdad
x= 2
Paso 3. y= 7-2x y= 7 -2(2) = 7- 4 -- y = 3
Por lo tanto la solución del sistema es: (2,3)
Explicación
Método de igualación.
Para utilizar este método hay que despejar una variable, la misma, en las
dos ecuaciones y se igualan ambos despejes, con lo que se obtiene una
ecuación de primer grado. Los pasos a seguir son:
Se despeja la misma variable en ambas ecuaciones.
Se igualan los despejes obtenidos y se resuelve la ecuación lineal.
Se calcula el valor de la otra variable sustituyendo el valor de la que
ya se tiene en una de las ecuaciones despejadas de primer paso.
Ejemplo: Resuelve 2𝑥 + 𝑦 = 7𝑥 + 3𝑦 = 11
Explicación
Paso 1. 2x + y = 7 x + 3y = 11
𝑥 =7−𝑦
2
x = 11 – 3y
Paso 2. 7−𝑦
2= 11 − 3𝑦
3𝑦 −𝑦
2= 11 −
7
2 Se juntan términos semejantes
5𝑦
2=
15
2 Se saca factor común en 2 y se resuelve la resta
10𝑦 = 30 Se multiplica por 2 cada lado
y = 3
Paso 3. x = 11 – 3y x = 11 – 3(3) X = 2
Por lo tanto la solución del sistema es: (2,3)
Explicación
Solución de sistemas de tres ecuaciones lineales en tres incógnitas
Los métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos variables también pueden ser utilizados para resolver sistemas de tres variables. Una ecuación lineal general con tres variables x, y y z tiene la forma:
Ax + By + Cz = D
Ejemplo Resolución de un sistema lineal con tres variables
2x + y + z = 3
-x + 2y + 2z = 1
x – y - 3z = -6
Explicación
De la tercera ecuación se despeja x quedando x = y+3z-6 y se sustituye en las otras dos ecuaciones:
2(y + 3z - 6) + y + z = 3
-(y + 3z – 6) + 2y + 2z = 1
Simplificando nos queda:
3y + 7z = 15
y – z = - 5
De la segunda ecuación se despeja y quedando y = z – 5 y se sustituye en la otra ecuación:
3( z – 5) + 7z = 15
Despejamos en z dando como resultado z = 3
Explicación
Sustituimos en y = z – 5 = 3 – 5 = -2, por lo tanto z = 3, y = -2. Ahora estos dos valores los
sustituimos en nuestro primer despeje en x = y + 3z – 6 dando como resultado x = 1. Podrás
comparar en cada ecuación para verificar que se cumpla la igualdad en cada caso.
Solución: X = 1, y = -2 y z = 3
2x + y + z = 3 2(1) +(-2) + 3 = 3
2 -2 +3 = 3 por lo tanto la igualdad nos queda: 3 = 3
-x + 2y + 2z = 1 -(1) + 2(-2) +2(3) = 1
-1 -4 + 6 = 1 por lo tanto la igualdad nos queda: 1 = 1
x – y - 3z = -6 (1) – (-2) -3(3) = -6
1 + 2 – 9 = -6 por lo tanto la igualdad nos queda: -6 = -6
En las tres ecuaciones se cumplió la igualdad, la solución es correcta.
Conclusión
Como nos habremos dado cuenta no importa el método que se utilice para la solución a un sistema de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas, todos nos llevaran a la misma solución pero con diferentes procedimientos es de elección particular el elegir cual método utilizar.
La siguiente sesión iniciaremos el uso de los determinantes los cuales representan un sistema de ecuaciones y aprenderemos a dar solución a los sistemas de ecuaciones lineales con 3 incógnitas.
Extraído de: http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico/algebralineal/determinante1.GIF
solo para fines educativos.
Para aprender más…
En este apartado encontrarás más información acerca del tema para
enriquecer tu aprendizaje.
Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.
Vitutor. (2010). Sistemas de dos ecuaciones. Recuperado de:
http://www.vitutor.net/1/36.html
Duarte, J. (s.f). Métodos analíticos de resolución: Sustitución.
Recuperado de: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0045-
01/secciones/sustitucion.html
Duarte, J. (s.f). Métodos analíticos de resolución: Igualación.
Recuperado de: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0045-
01/secciones/igualacion.html
Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te
permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.
Bibliografía
Haussler, E. (1997). Matemáticas para admón., economía, ciencias
sociales y de la vida. Edo. México, México. Prentice Hall
hispanoamericana, S.A.