materi 6. space-time, 22.11 - fmipa personal blogs /...
TRANSCRIPT
SpaceSpace--time Modelstime Modelspp
MA5182 Topik dalam Statistika I: Statistika Spasialp p22 November 2012
Utriweni Mukhaiyar
AnalisisAnalisis StatistikStatistik ACF, PACF
Box&Jenkins IterationAnalisisAnalisis StatistikStatistik
D A l i Compound
Postulate General Class of Models
Identify Model
PACF, diff
Data Analysis
Non-parametric A l i
Compound Poisson
Hidden Parameter Estimation
y
Maximum Likelihood
Resampling
St h ti
Analysis Markov
Diagnostic Checking
YesNo
Least Squares
Stochastic Processes
Multivariate
Time Series Analysis
l++
Forecasting
K i iV i Estimation & Multivariate Analysis Spatial
Analysis
S Ti ==
KriggingVariogram Estimation & Interpolation
Modelling Adopted from Time Series AnalysisSpace-Time
AnalysisStationaritySeries Analysis
Box&Jenkins Procedure/Iteration
Weight matrix, STACF,
STPACF, diff
Kovariansi dan Korelasi pada deretKovariansi dan Korelasi pada deret--waktuwaktu
S k k d Suatu proses stokastik dengan Fungsi Mean:
TttZ ),( ,...2,1,0Tg
Fungsi Autokovariansi: ( ) ( )t E Z t
Fungsi Autokovariansi:
A
22112121 ,, ttZttZEtZtZCovtt
Fungsi Autokorelasi:
2121 ,, tttZtZCovtZtZCtt
untuk
21
2211
2121
21
212121
,,,,
tttttZVartZVartZtZCorrtt
210ttuntuk ,...2,1,0, 21 tt
Kovariansi dan Korelasi pada deretKovariansi dan Korelasi pada deret--waktuwaktu
Kovariansi Korelasi 1
2
111 , tZVartt 1, 11 tt
1221 tttt tttt 2
3
1221 ,, tttt 1221 ,, tttt
221121 ,,, tttttt 1, 21 tt
Mean Mean dan Kovariansi pada Analisis dan Kovariansi pada Analisis SpasialSpasial
Untuk suatu proses stokastik dengan Fungsi Mean:
( ),Z s s L 2 3, ,L R R R
( ) ( )E Z
Kovariansi spasial: ( ) ( )s E Z s
2
,Cov Z s Z s h E Z s Z s h
E Z s Z s h C h
, 0Var Z s Cov Z s Z s C
Korelasi spasial:
,Cov Z s Z s h C h C hh
00 0h
CC CVar Z s Var Z s h
KestasioneranKestasioneranKestasioneranKestasioneran
K i D k S i l/G i ikKestasioneran Deret-waktuZ(t)
Spasial/GeostatistikZ(s)
Kuat 1 2( ), ( ),..., ( )nF Z t Z t Z t 1 2( ), ( ),..., ( )nF Z s Z s Z s
untuk sebarang n dan k. untuk sebarang n dan h.L h 1 F i k t t k 1
1 2 ( ), ( ),..., ( )nF Z t k Z t k Z t k
1 2
1 2
( ), ( ), , ( )
( ), ( ),..., ( )n
nF Z s h Z s h Z s h
( )E ZLemah 1. Fungsi mean konstan untuk semua waktu
2. untuk semua tdan k.
1.
2. kktt ,0,
( )E Z s
,Cov Z s Z s h C h a .
Intrinsik - 1.
2.
0E Z s h Z s
12
Var Z s h Z s h 2
Semivariogram
2
2 0 0 2
Var Z s h Z s Var Z s h Var Z s Cov Z s h Z s
h C C C h
glag-h
2 0 0 2
0
h C C C h
h C C h
Aplikasi Pemodelan Space Time Aplikasi Pemodelan Space Time Aplikasi Pemodelan Space Time Aplikasi Pemodelan Space Time
T (G d 2000 K k d Transportasi (Garrido; 2000, Kamarianakis and Prastacos; 2005)K i i l i (Li d B 1998) Kriminologi (Liu and Brown; 1998)
Sosial (Hernandez-Murillo and Owyang; 2004)P i k (R hj 2002) Perminyakan (Ruchjana; 2002)
Geologi dan Ekologi (Kyriakidis and Journel; 1999) Pertambangan Kedokteran Genetika Pertanian …
Analisis Space TimeAnalisis Space TimeAnalisis Space TimeAnalisis Space Time
time
0 1 i Ti 10 1 i… T…i-1
s1
sNsN-1s0s1
sNsN-1s0s1
sNsN-1s0s1
sNsN-1s0 1
s2sj
1
s2sj
01
s2sj
01
s2sj
“Observasi di suatu lokasi pada satu waktudi hi l h b i b i di dipengaruhi oleh observasi-observasi di masa lampau di lokasi tersebut dan juga di lokasi sekitarn a”sekitarnya.”
Model SpaceModel Space TimeTimeModel SpaceModel Space--TimeTimeSTARMA (p,q) :
1 0 1 0
s ssmp q( k ) ( k )
sk sks k s k
( t ) ( t s ) ( t ) ( t s )
Z W Z e W e
1980Pfeifer & DeutschSTAR (p1)
: )()()()(1
11
0 tststtp
s
p
s eWZZZ
STMA (q1) :
q
ss
q
ss ststtt
11
10 )()()()( WeeeZ
G STAR ( ) ( k ) ( k )( ) ( ) Syarat kestasioneran
11 ss
G-STAR ( ) : 1 2, ,..., pp 1 1 2 2
1 0
s ( k ) ( k )pi i( k )
i sk i( k )s k iN N
w Z (t s ) w Z (t s )Z (t ) e (t )
... w Z (t s )
2002
sp
( k ) ( k ) ( k ) ( k )( ) ( ) ( ) ( )
Syarat kestasioneranGSTAR(11)
(Nurani, dkk )
STARMAG ( ) 1 2 1 2, ,..., , ,...,,
p pm m mp q
1 1 2 21 0
1 1 2 21 0
s
( k ) ( k ) ( k ) ( k )i sk i i iN N
s k
mq( k ) ( k ) ( k ) ( k )sk i i iN N i
s k
Z (t ) w Z (t s ) w Z (t s ) ... w Z (t s )
w e (t s ) w e (t s ) ... w e (t s ) e ( t )
Di
Giacinto2006
M d l GSTAR(1 1) 2008
2010( )
Model GSTAR(1;1) untuk galat berkorelasi
waktu (Borovkova, et al.)Model GSTAR(1;1) untuk galat berkorelasi spasial 2010galat berkorelasi spasial
(Nurhayati) Kestasioneran Model GSTAR dengan
IMAk (Mukhaiyar)2012
Model VAR(1)Model VAR(1)Model VAR(1)Model VAR(1)
Jika banyaknya lokasi adalah N maka vektor Jika banyaknya lokasi adalah N maka vektor observasi z(t) = (z1(t) z2(t) ... zN(t))t yang mengikuti model VAR(1) akan memiliki bentuk:
d e(t) d l h kt l t k D
)()1()( ttt eZZ
dengan e(t) adalah vektor galat acak. Dengan menggunakan operator backshift, )()( jttB j ZZ
maka, )()( ttB eZI )()( ttB eZI
Kestasioneran Model VAR(1)Kestasioneran Model VAR(1)Kestasioneran Model VAR(1)Kestasioneran Model VAR(1)
Wei (1990 2006) menuliskan bahwa Wei (1990, 2006) menuliskan bahwa syarat kestasioneran untuk model VAR(1) adalah jika akar-akar dari B dari |I - B| = 0 berada di luar lingkaran satuan. g
Hal ini ekivalen dengan mengatakan bahwa syarat kestasioneran model VAR(1) bahwa syarat kestasioneran model VAR(1) adalah nilai eigen dari berada di dalam li k lingkaran satuan.
Operator Lag SpasialOperator Lag SpasialOperator Lag SpasialOperator Lag Spasial Untuk mempermudah dalam mendeteksi lag Untuk mempermudah dalam mendeteksi lag
spasial, diperlukan pendefinisian dari operator lag spasial orde-l (L(l) ) berikut:operator lag spasial orde l (L( ) ) berikut:
)()()0( tZtZL ii N
N
jj
liji
l tZwtZL1
)()( )()()(l
dimana merupakan kumpulan bobot-bobot yang merupakan elemen dari matriks
j 1)(lijw
berukuran yang memenuhi,
1)( N
lw 11
j
ijw
Matriks Bobot dan Orde SpasialMatriks Bobot dan Orde Spasial
1. Matriks Bobot Biner
0 112 ww N
Memiliki nilai 0 dan 1 di elemen selain diagonal utama.
0
0)(
1111
221
ww
www N
ijW
Sistem radius2. Matriks Bobot Uniform
-ke orde pada anggaadalah tet ,1
)()( lijnw l
il
ij
3. Matriks Bobot non-uniform
t t ik b b t lid
lainnya ,0
-ke orde pada anggaadalah tet ,
11
)( lijdw ll
ij
ct. matriks bobot euclidean
lainnya ,01 dw ijij
Lag Spasial Lag Spasial gridgridLag Spasial Lag Spasial -- gridgrid Tetangga Terdekat pada Lag Spasial 1 sampai 5 untuk Lokasi s0 Tetangga Terdekat pada Lag Spasial 1 sampai 5 untuk Lokasi s0
.
Angka-angka pada grid menunjukkan orde spasial titik g g p g j ptersebut yang ditentukan oleh jaraknya terhadap s0. Angka yang semakin kecil menunjukkan posisi yang semakin dekat terhadap sterhadap s0.
5 4 3 4 55 3 54 2 1 2 43 1 s0 1 33 1 s0 1 34 2 1 2 45 4 3 4 5
Model STARMAModel STARMAModel STARMAModel STARMA Misalkan Z(t) merupakan vektor variabel acak dari Misalkan Z(t) merupakan vektor variabel acak dari
suatu proses STARMA di berbagai lokasi pada suatu waktu t. Model STARMA( ) dinyatakan qp mmqp ,...,,..., 11
,( ) ydalam:
qp
q mp rs
)()()()()()(1 1
)(0
1 1
)(0 trtrtststt
q
r l
lrlr
p
s k
ksks
rs
eeWeZWZZ
dengan Z(t) merupakan vektor pengamatan (N1) dari N lokasi pada waktu t atau (Zi(t) ), W adalah
ik b b (N N) d l i l l matriks bobot (NN) pada lag spasial l, tmenyatakan waktu pengamatan ,1,2,...,T dan e(t) adalah vektor galat berdistribusi normaladalah vektor galat berdistribusi normal.
Model STARMA(1;1 1;1)Model STARMA(1;1 1;1)Model STARMA(1;1, 1;1)Model STARMA(1;1, 1;1)
)()1()1()1()1()( tttttt eWeeWZZZ )()1()1()1()1()( 11101110 tttttt eWeeWZZZ
Model STAR(1;1)Model STAR(1;1)Model STAR(1;1)Model STAR(1;1) Model STAR(1;1) yang merupakan kasus khusus dari Model STAR(1;1) yang merupakan kasus khusus dari
model STARMA(1;1, 1;1), yaitu tidak melibatkan unsur galat di lokasi sekitarnya (yang terdekat) pada waktu g y (y g ) psebelumnya, dapat direalisasikan sebagai berikut:
)()1()1()(s
WZZZ
Model STAR(1;1) ini juga dapat dinyatakan
)()1()1()(1
1110 ttttk
eWZZZ
Model STAR(1;1) ini juga dapat dinyatakan dalam bentuk model VAR (1) yaitu:
)()1()( ttt eZWIZ )()1()( 1110 ttt eZWIZ
)()1()( ttt eΦZZ
IdentifikasiIdentifikasi Model Space Model Space TimeTimeIdentifikasiIdentifikasi Model Space Model Space TimeTime(Pfeifer and Deustch, 1980)(Pfeifer and Deustch, 1980)
Model space time diidentifikasi melalui fungsi space time autokorelasiModel space time diidentifikasi melalui fungsi space time autokorelasi
(STACF) dan fungsi space time parsial autokorelasi (STPACF).
sT stt )'()(ˆ ZZ
Matriks kovariansi antara lokasi dan waktu :
'E ZZΓ
t sTstts
1
)()()( ZZΓ
)(1)( ')()( kl ΓWW
'sttEs ZZΓ
)(1)( )()( strN
s kllk ΓWWRata-rata kovariansi space time pd lag-s :
F k l (STACF) )()( lk ss Fungsi autokorelasi space time (STACF) : 2/1)0()0(
)(kkll
lk s
Fungsi parsial autokorelasi space time (STPACF) :
……lkFungsi parsial autokorelasi space time (STPACF), :
solusi persamaan Yule Walker :
lk
11
10
1111011110
0010000100
10
00
111000111000
11
solusi persamaan Yule Walker :
p
20
11010
00
0 1110001
221
p
2
21
0
10
2012
2
p
p
pppp
1
0
10
00
021
p
ppp
0
021
Pola Teoritis STACF dan STPACFPola Teoritis STACF dan STPACFPola Teoritis STACF dan STPACFPola Teoritis STACF dan STPACF
ContohContohContohContohSTACF plots
0.4
0.6
0.8
1
rela
tion
Spatial Time Autocorrelation Function (ST-ACF)- lag spatial 3
0.4
0.6
0.8
1
elat
ion
Spatial Time Autocorrelation Function (ST-ACF)- lag spatial 2
0.4
0.6
0.8
1
elat
ion
Spatial Time Autocorrelation Function (ST-ACF)- lag spatial 1
0.4
0.6
0.8
1
rela
tion
Spatial Time Autocorrelation Function (ST-ACF)- lag spatial 0
STACF plots
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
Spa
tial T
ime
Aut
ocor
r
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
Spa
tial T
ime
Aut
ocor
re
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
Spa
tial T
ime
Aut
ocor
re
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
Spa
tial T
ime
Aut
ocor
r
1Spatial Time Partial Autocorrelation Function (ST-PACF)- lag spatial 3
1Spatial Time Partial Autocorrelation Function (ST-PACF)- lag spatial 2
1Spatial Time Partial Autocorrelation Function (ST-PACF)- lag spatial 1
1Spatial Time Partial Autocorrelation Function (ST-PACF)- lag spatial 0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1
Lag time0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-1
Lag time0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-1
Lag time0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-1
Lag time
STPACF plots
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
me
Par
tial A
utoc
orre
latio
n
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
me
Par
tial A
utoc
orre
latio
n
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
me
Par
tial A
utoc
orre
latio
n
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
me
Par
tial A
utoc
orre
latio
n
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1
-0.8
-0.6
-0.4
Lag time
Spa
tial T
im
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1
-0.8
-0.6
-0.4
Lag time
Spa
tial T
im
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1
-0.8
-0.6
-0.4
Lag time
Spa
tial T
im
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1
-0.8
-0.6
-0.4
Lag time
Spa
tial T
im
Model yang mungkin: GSTAR(1;1), ... ???
Model GSTARModel GSTARModel GSTARModel GSTAROrde waktu = p
1 2GSTAR ; , ,..., pp
Orde waktu = p
G li dOrde spasial = λ1, λ2,…, λp
Generalized space time autoregressive
Orde waktu = 1
Pengamatan di lokasi i saat t
Nilai Zi (t) tergantung nilai satuperiode sebelumnya yang
terjadi di i dan di lokasi yang GSTAR (1,1)
Orde waktu = 1
j y glangsung terkait dengan i
Generalized
Orde spasial =1
space time autoregressive
Model GSTAR(1;1)Model GSTAR(1;1)Model GSTAR(1;1)Model GSTAR(1;1) Model GSTAR(1;1) untuk setiap lokasi i = 1 2 N Model GSTAR(1;1) untuk setiap lokasi i = 1, 2, ..., N
dan waktu t dinyatakan oleh:( ) ( )( ) ( 1) ( 1) ( )
Ni iZ Z Z
dan dalam notasi matriks dinyatakan sebagai:
( ) ( )10 11
1( ) ( 1) ( 1) ( )i ii i ij j i
jZ t Z t w Z t e t
dan dalam notasi matriks dinyatakan sebagai:
)()1()( 10 ttt eZWΦΦZ dengan
)(1 tZ
)(1 te
0 112 Nww
)()(
)( 2
1
tZtZ
t
Z
)()(
)( 2
1
tete
t
e
0 221
112
N
N
wwW
)(tZ N
)(teN
021
NN ww
dengan dan 1N
(1) ( )Ndiag Φ dengan dan 11
j
ijw (1) ( )1 1, , Ndiag Φ
Proses Z(t) diasumsikan terpusat, yaitu E[Z(t)]=0 untuk semua t E[Z(t)] 0 untuk semua t.
Perhatikan bahwa model STAR(1;1) k k kh d d l merupakan kasus khusus dari model
GSTAR(1;1) dengan dan .IΦ 00 IΦ 11 11
GSTAR orde 1GSTAR orde 1
( ) ( )( ) ( 1) ( 1) ( ) N
i iZ Z Z
Bentuk umum
b i d kt t( ) ( )10 11
1( ) ( 1) ( 1) ( )
i i
i i ij j ij
Z t Z t w Z t e t
N t i t ik d l b t k VAR(1)
observasi pada waktu t, untuk setiap lokasi‐i
Notasi matriks, dalam bentuk VAR(1)
)()1()( 10 ttt eZWΦΦZ Bentuk VAR (1)
kestasioneran model
Struktur model liner
P k i K d
GSTAR(11)
εXβY Penaksir Kuadrat Terkecil Tβ̂
kekonsistenankekonsistenan
Kestasioneran GSTAR orde 1Kestasioneran GSTAR orde 1Kestasioneran GSTAR orde 1Kestasioneran GSTAR orde 1 Jika solusi r memenuhi persamaan Jika solusi rs memenuhi persamaan,
terletak di dalam lingkaran satuan ( ) 010 WΦΦIsr
1rterletak di dalam lingkaran satuan ( ), maka GSTAR(1;1) stasioner.(Wei, 1990, 2006)
1sr
(Wei, 1990, 2006)
Syarat cukup kestasioneran GSTAR(1;1) jika Syarat cukup kestasioneran GSTAR(1;1), jika
(Ruchjana 2002)1)(
11)(
10 ii 1)(11
)(10 ii dan
(Ruchjana, 2002)
KuadratKuadrat TerkecilTerkecil GSTAR(1GSTAR(1;1;1) ) KuadratKuadrat TerkecilTerkecil GSTAR(1GSTAR(1;1;1) )
for time t = 1 2 T and spatial i = 1 2 N for time t = 1,2,…,T and spatial i = 1,2,…,Ni i i i Y X ε
)2()1(
00)1()1(00)0()0(
)2()1(
1
1
11
11
1
1
ee
VZVZ
ZZ
)(00)1()1()( 1
02
11
01
111 TeTVTZTZ
danY Y dX X 1 dan Nε ε
)2()1(
)1()1(00)0()0(00
)2()1( 0
11
eZZZZ
ZZ NNNNN
1 dan NY Y1 dan NX X
)(
)2(
)1()1(00
)1()1(00
)(
)2( 1
Te
e
TZTZ
ZZ
TZ
Z
N
NN
NN
NN
N
N
N
jjiji tZwtV
1)()(with
KuadratKuadrat TerkecilTerkecil GSTAR(1GSTAR(1 ) ) KuadratKuadrat TerkecilTerkecil GSTAR(1GSTAR(111) )
Y Xβ εβ
ˆ ( ) '
Penaksir : memenuhi 01 11 0 1( , ,..., , ) N NPenaksir :
ˆ' ' X X X Y
memenuhi,
Akibatnya,
1ˆ ' ' X X X Y X X X Y
dimana, harus non singulir.'X X
LatihanLatihanLatihanLatihan N=3 N 3 Misalkan dipandang produksi perkebunan teh di 3
bulan berturut-turut di 3 lokasi sbb:bulan berturut turut di 3 lokasi sbb:Produksi (ribu ton)
Tahun 1992 Kebun 1 Kebun 2 Kebun 3J i 275 317 302Januari 275 317 302
Februari 178 252 176Maret 255 312 260
Misalkan proses mengikuti model GSTAR(1;1). Lakukan penaksiran parameter model dengan Lakukan penaksiran parameter model dengan metode LS. Gunakan matriks bobot seragam.
Catatan: pusatkan data terlebih dahulu.Catatan: pusatkan data terlebih dahulu.
GSTAR Orde 2GSTAR Orde 2GSTAR Orde 2GSTAR Orde 2Pengamatan di lokasi i saat t
Nilai Zi (t) tergantung nilai Orde waktu = 2
Pengamatan di lokasi i saat t
Model GSTAR(2; ) dalam dua periode sebelumnya yang terjadi di i dan di lokasi yang langsung terkait dengan iOrde spasial untuk
lag waktu 2 : λ2
1 2Model GSTAR(2; , )
Generalized space time autoregressive
2
Orde spasial untuk lag waktu 1 : λ1
autoregressive
Lag spasial (λ1, λ2)
1 2 …l( 1 2)
1 GSTAR(2;1,1) GSTAR(2;1,2) …
2 GSTAR(2;2,1) GSTAR(2;2,2) …
1 2d0d0d0
Model GSTAR orde 2Model GSTAR orde 2Model GSTAR orde 2Model GSTAR orde 2observasi pada waktu observasi pada waktu tt, untuk setiap lokasi, untuk setiap lokasi--ii
GSTAR(2;1,1) 1 110 11 20 21( ) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( )
N Ni i i i
i i ij j i ij j iZ t Z t w Z t Z t w Z t e t
GSTAR(2;1,2)1 1
j j j jj j
N N N
GSTAR(2;2,1)
1 1 210 11 20 21 22
1 1 1( ) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( 2) ( )i i i i i
i i ij j i ij j ij j ij j j
Z t Z t w Z t Z t w Z t w Z t e t
GSTAR(2;2,1)
GSTAR(2 2 2)
1 2 110 11 12 20 21
1 1 1( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( )
N N Ni i i i i
i i ij j ij j i ij j ij j j
Z t Z t w Z t w Z t Z t w Z t e t
GSTAR(2;2,2) 1 2 1 210 11 12 20 21 22
1 1 1 1
( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( 2) ( )N N N N
i i i i i ii i ij j ij j i ij j ij j i
j j j j
Z t Z t w Z t w Z t Z t w Z t w Z t e t
1 1 1 1j j j j
Model GSTAR orde 2Model GSTAR orde 2Model GSTAR orde 2Model GSTAR orde 2notasi matriks, dalam bentuk VAR(1)notasi matriks, dalam bentuk VAR(1)
GSTAR(211)10 11 20 21( ) ( 1) ( )t t t Z W W Z e
GSTAR(212)
10 11 20 21( ) ( 1) ( )( 1) ( 2)
t t tt t
Z W W Z eZ I 0 Z 0
( 12)
GSTAR(2 )
(2)10 11 20 21 22( ) ( 1) ( )
( 1) ( 2)t t t
t t
Z Z eW W WZ Z 0I 0
GSTAR(221)(2)
10 11 12 20 21( ) ( 1) ( )( 1) ( 2)
t t tt t
Z Z eW W WZ Z 0I 0
GSTAR(222)( 1) ( 2)t t Z Z 0I 0
(2) (2)( ) ( 1) ( )t t t Z ZW W W W(2) (2)10 11 12 20 21 22( ) ( 1) ( )
( 1) ( 2)t t t
t t
Z Z eW W W WZ Z 0I 0
Model GSTAR orde 2Model GSTAR orde 2Model GSTAR orde 2Model GSTAR orde 2struktur model linierstruktur model linier εXβY
1 1 1 1
2 2 2 2
0 00 0
' ' '' ' '
Y X εY X ε
0 0
N N N N' ' 'Y X ε
1 2
1 2
1 11 1
11 1
1 11
1 1 0 0 0 0 0 0
2 2 2 1 1 0 0 0 03
N N
ij j ij jj j
N N
ij j ij jj j
Z w Z Z w Z
Z Z w Z Z w ZZ
1
110
11
1
1
1
23
ee
2 211 1
1 11 1 2 2 0 0 0 0
N N
ij j ij jj j
Z TZ T w Z T Z T w Z T
120
2
N N
2
11
N
e T
23
N
N
N
ZZ
Z T
1 1
1 1
1 1
1 1
0 0 0 0 1 1 0 1
0 0 0 0 2 1 1 1
N N
N ij j N ij jj j
N N
N ij j N ij jj j
Z w Z Z w Z
Z w Z Z w Z
1
10
1
20
23
N
N
N N
N
N
ee
e T
1 1
1 10 0 0 0 1 1 2 1
N N
N ij j N ij jj j
Z T w Z Z T w Z
22N
KuadratKuadrat TerkecilTerkecil GSTAR(1GSTAR(1;1;1) ) KuadratKuadrat TerkecilTerkecil GSTAR(1GSTAR(1;1;1) )
εXY )1()12()2()1( NTNNNTNT εXY
X 001 )1()1()0(' TZZZMX
NX
XX
00
00 2
00100
)1()1()0( Tii ZZZMX
N
iNiiiiii wwww 1,1,1 0
M
dapat ditulis
)1()1()0(' TZZZIMX
M
M
M
0000
2
1
dapat ditulis,
dengan
NM
00
)1()12()2()1( NTNNNTNT εXY
ˆˆˆˆˆ )',,...,,( 101101 NNT Penaksir :
YXXX 'ˆ' T
memenuhi,
Akibatnya,
εXXX 'ˆ' T
XX'dimana, harus non singulir.
'
T
')'1()1(1
' MZZIMXX
t
tt
T
T
ttt
1
' )'()1( vec eZMεX
Kuadrat Terkecil GSTAR(2;λ1, λ2)
Y X ε Y X εPenaksir β : 1 1 1 1
10 1 20 2 10 1 20 2N N N Nˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ '
memenuhi,
Penaksir β : 1 2 1 210 1 20 2 10 1 20 2T ,..., , ,..., ,..., ,..., , ,...,
YXXX 'ˆ' T
Akibatnya, Akibatnya, εXXX 'ˆ' T
XX'XX'dimana, harus non singulir.
pT̂
KKekonvergenan Penaksir Parameterekonvergenan Penaksir ParameterKKekonvergenan Penaksir Parameterekonvergenan Penaksir Parameter
?ˆT
TˆMenyelidiki sifat limit dari dapat dilihat dari perilaku: T
T
)'1()1( ZZ T
1 )'()(Z
Menyelidiki sifat limit dari dapat dilihat dari perilaku:
t
tt1
)'1()1( ZZ
t
tt1
1 )'()( eZdan
ReferensiReferensiReferensiReferensi Borovkova, S.A., Lopuhaä, H.P., & Nurani, B., Consistency and Asymptotic
Normality of Least Squares Estimators in Generalized Space-Time Models, Statistica Neerlandica, 62, pp. 482-508, 2008.
Box, G.E.P., Jenkins, G.M. & Reinsel, G., Time Series Analysis, Forecasting and Control 3rd ed Prentice Hall New Jersey 1994Control, 3 ed., Prentice Hall, New Jersey, 1994.
Mukhaiyar, U. Kestasioneran Model Generalized STAR Melalui Metode Invers Matriks Autokovariansi, PhD Dissertation, Mathematics, Institut TeknologiBandung, 2012.
Mukhaiyar, U. Kekonsistenan Lemah Penaksir Kuadrat Terkecil Model Space-Time GSTAR(1;1) Melalui Proses Beda Martingale: Studi Kasus pada Produksi Bulanan Perkebunan Teh di Wilayah Jawa Barat, Magister Thesis, Institut Teknologi Bandung, 2007.Teknologi Bandung, 2007.
Pfeifer, P.E., & Deutsch, S.J., A Three-Stage Iterative Approach for Space-Time Modeling, Technometrics, 22(1), pp. 35-47, 1980.
Ruchjana, B.N. Suatu Model Generalisasi Space-Time Autoregresi dan j p gpenerapannya pada Produksi Minyak Bumi. , PhD Dissertation, Mathematics, Institut Teknologi Bandung, 2002.
Wei, W.W.S., Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods 2nd. Ed Pearson Addison Wesley Boston 2006Ed., Pearson Addison Wesley, Boston, 2006.