Mata Kuliah : Kalkulus II

Program Studi : Pendidikan Matematika

Dosen Pengampu : Isna Farahsanti, S.Pd.

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA

SUKOHARJO

2011

1

INTEGRAL TAK TENTU

A. Pengertian Integral

Secara matematis, istilah integral adalah menentukan suatu fungsi yang turunannya atau

diferensialnya diberikan. Dengan kata lain, integral atau pengintegralan merupakan operasi invers

dari diferensial atau pendiferensialan. Integral dapat diaplikasikan dalam penentuan luas daerah

yang dibatasi oleh kurva-kurva fungsi, volume benda padat, dan beberapa aplikasi lainnya.

Lambang ʃ menyatakan opersai integral, diperkenalkan pertama kali oleh ilmuwan bangsa Jerman

bernama Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716).

B. Pengertian Integral Tak Tentu

Pada kalkulus diferensial telah dibicarakan cara-cara menentukan fungsi turunan, misalnya suatu

fungsi f merupakan turunan dari fungsi F, maka 𝐹′(𝑥) =𝑑 𝐹(𝑥)

𝑑 (𝑥).

Misal :

F(x) = x2, maka f(x) = 2x

F(x) = x2 – 5, maka f(x) = 2x

F(x) = x2 + 10, maka f(x) = 2x

F(x) = x2 + c, maka f(x) = 2x, (c = konstanta)

Integral tak tentu adalah proses untuk menentukan anti turunan yang umum dari suatu fungsi yang

diberikan. Integral tak tentu dinyatakan sebagai 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 (dibaca “integral dari f(x) terhadap x”)

adalah fungsi umum yang ditentukan melalui hubungan :

𝒇 𝒙 = 𝑭 𝒙 + 𝑪

dengan : F(x) dinamakan fungsi integral umum dan F’(x) = f(x),

f(x) dinamakan fungsi integran,

c adalah konstanta pengintegralan (konstanta real sebarang).

Dari contoh di atas, dapat ditulis :

2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝐶

C. Rumus-Rumus Dasar Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

Misalkan f(x) dan g(x) masing-masing adalah fungsi integran yang dapat ditentukan fungsi integral

umumnya dan c adalah konstanta real, maka :

1. 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶

2. 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶

3. 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

4. 𝑘 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

2

5. Dalam kasus 𝑛 ≠ −1, maka :

a. 𝑥𝑛 𝑑𝑥 =1

𝑛+1𝑥𝑛+1 + 𝐶

b. 𝑘 𝑥𝑛 𝑑𝑥 =𝑘

𝑛+1𝑥𝑛+1 + 𝐶

6. Dalam kasus n = -1, maka :

a. 1

𝑥= ln 𝑥 + 𝐶

b. 𝑘

𝑥= 𝑘 ln 𝑥 + 𝐶

Contoh :

1. 5𝑥2 𝑑𝑥 =5

2+1𝑥2+1 + 𝑐 =

5

3𝑥3 + 𝐶

2. 1

𝑥3 𝑑𝑥 = 𝑥−3 𝑑𝑥 =1

−2𝑥−2 + 𝐶 = −

1

2𝑥2 + 𝐶

Soal : (kerjakan)

Carilah integral berikut ini!

1. 𝑥34 𝑑𝑥 6.

4𝑥5+𝑥3−2

𝑥 dx 11. 2𝑥2𝑦 − 4𝑥5𝑦3 𝑑𝑥

2. 3

𝑥23 𝑑𝑥 7. 5𝑥2 𝑥 𝑑𝑥 12. 𝜋𝑝5𝑟 + 5𝑝𝑞6𝑟3 − 12𝑝4𝑞 𝑑𝑟

3. 4

𝑥 𝑑𝑥 8. (𝑥 −

1

𝑥)2 𝑑𝑥

4. 5𝑥3 + 𝑥 𝑑𝑥 9. 𝑥(𝑥 + 5)2 𝑑𝑥

5. (8𝑥3 +1

2𝑥2 − 𝑥 + 5) 𝑑𝑥 10.

(2−𝑥)2

𝑥 𝑑𝑥

D. Aplikasi Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

Menentukan Fungsi F(x), jika F’(x) dan F(a) Diketahui

Jika F(x) dan F(a) diketahui (a konstanta real), maka konstanta c pada hasil pengintegralan

mempunyai nilai tertentu. Sebagai akibatnya diperoleh fungsi F(x) tertentu pula. Nilai x = a

dinamakan sebagai syarat awal atau syarat batas bagi F(x).

Contoh :

Jika diketahui F’(x) = 2x + 3 dan F(1) = 14, tentukan F (x) !

Jawab :

F’(x) = 2x + 3

F(x) = 2𝑥 + 3 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 + 𝐶

F(1) = 14 ↔ (1)2 + 3(1) + C = 14

4 + C = 14

C = 10

∴ F(x) = 𝑥2 + 3𝑥 + 10

3

Soal : (kerjakan)

Tentukan F(x), jika diketahui :

1. F’(x) = 3 −1

𝑥2 dan F(2) = 31

2

2. F’(x) = 6x2 + 2x dan F(1) = -3

3. F’(x) = 𝑥 −1

𝑥2 dan F(2) = 41

2

4. F’(x) = 𝑥 dan F(0) = 0

5. F”(x) = 6x – 6, F’(2) = 0, dan F(2) = -4

Menentukan Persamaan Kurva y = f(x) jika Diketahui 𝒅𝒚

𝒅𝒙 dan Sebuah Titik

pada Kurva.

Salah satu penerapan integral tak tentu adalah untuk menentukan persamaan kurva y = F(x)

apabila diketahui 𝑑𝑦

𝑑𝑥 dan sebuah titik yang terletak pada kurva tersebut.

Contoh :

Gradien garis singgung dari suatu kurva y = F(x) memenuhi hubungan 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 1 −

4

𝑥2 . Tentukanlah

persamaan kurva tersebut jika kurva melalui titik (2, 5)!

Jawab : 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦 ′ = 1 −

4

𝑥2 ↔ 𝑦 = 𝐹 𝑥 = 1 −4

𝑥2 𝑑𝑥

𝑦 = 𝑥 + 4𝑥−1 + 𝐶

Melalui titik (2, 5) 5 = 2 + 4(2)-1

+ C

5 = 4 + C

C = 1

Jadi, persamaan kurva adalah 𝑦 = 𝑥 + 4𝑥−1 + 1

Soal : (kerjakan)

Tentukan persamaan kurva y = F(x) jika diketahui :

1. 𝑦 ′ = 6𝑥2 − 2𝑥 dan kurva melalui titik (1,4)

2. 𝑦 ′ = 2𝑥 −1

𝑥2 dan kurva melalui titik (1, 5)

3. 𝑦 ′ = 𝑥 −1

𝑥 dan kurva melalui titik (1, -2)

4. 𝑦" = 6(𝑥 − 2), gradien garis singgung di titik x = 2 adalah -12, dan kurva melalui titik (2, -16)

4

E. Teorema (Aturan Pangkat yang Digeneralisasi)

Andaikan g suatu fungsi yang dapat dideferensialkan dan r adalah suatu bilangan rasional yang

bukan -1, maka

𝒈 𝒙 𝒓𝒈′ 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒈 𝒙 𝒓+𝟏

𝒓 + 𝟏+ 𝑪

Cara penulisan Leibniz :

Jika ditentukan 𝑢 = 𝑔 𝑥 → 𝑑𝑢

𝑑𝑥= 𝑔′(𝑥)

Jadi 𝑑𝑢 = 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥

Sehingga integral di atas dapat ditulis sebagai :

𝑢𝑟 𝑑𝑢 =𝑢𝑟+1

𝑟 + 1+ 𝐶 ,𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑟 ≠ −1

Contoh :

Hitunglah 𝑥3 + 2𝑥 25 3𝑥2 + 2 𝑑𝑥.

Solusi :

Misalkan 𝑔 𝑥 = 𝑥3 + 2𝑥; maka 𝑔′ 𝑥 = 3𝑥2 + 2. Jadi, menurut Teorema :

𝑥3 + 2𝑥 25 3𝑥2 + 2 𝑑𝑥 = 𝑔 𝑥 25𝑔′(𝑥)

= 𝑔 𝑥 26

26+ 𝐶

= 𝑥3 + 2𝑥 26

26+ 𝐶

Soal : (kerjakan)

Hitunglah!

1. 𝑥3 + 6𝑥 5 6𝑥2 + 12 𝑑𝑥

2. 𝑥2 − 3𝑥 + 2 2 2𝑥 − 3 𝑑𝑥

3. 𝑥2 + 4 15𝑥 𝑑𝑥

4. 5𝑥3 − 18 715𝑥2 𝑑𝑥

5. ( 𝑥3

2+ 3 )2 𝑥2 𝑑𝑥

6. 3𝑥 3𝑥2 + 7 𝑑𝑥

7. 5𝑥2 + 1 (5𝑥3 + 3𝑥 − 8)6 𝑑𝑥

8. 5𝑥2 + 1 5𝑥3 + 3𝑥 − 2 𝑑𝑥

5

F. Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

Pengetahuan prasyarat yang harus dimiliki sebelum kita menguraikan tentang integral fungsi

trigonometri adalah turunan fungsi trigonometri.

Sekarang perhatikan turunan dari fungsi-fungsi trigonometri berikut!

No f(x) f’(x) No f(x) f’(x)

1. sin 𝑥 cos𝑥 10. cot 𝑥 −cosec2 𝑥

2. cos𝑥 − sin 𝑥 11. sec 𝑥 tan 𝑥 sec 𝑥

3. tan 𝑥 sec2𝑥 12. cosec 𝑥 −cot 𝑥 cosec 𝑥

4. sin 𝑎𝑥 𝑎 cos𝑎𝑥 13. cot𝑎𝑥 −𝑎 cosec2 𝑎𝑥

5. cos𝑎𝑥 −𝑎 sin 𝑎𝑥 14. sec 𝑎𝑥 𝑎 tan 𝑎𝑥 sec 𝑎𝑥

6. tan 𝑎𝑥 𝑎 sec2 𝑥 15. cosec 𝑎𝑥 −𝑎 cot𝑎𝑥 cosec 𝑎𝑥

7. sin(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑎 cos(𝑎𝑥 + 𝑏) 16. cot (𝑎𝑥 + 𝑏) −𝑎 cosec2(𝑎𝑥 + 𝑏)

8. cos(𝑎𝑥 + 𝑏) −𝑎 sin(𝑎𝑥 + 𝑏) 17. sec(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑎 tan(𝑎𝑥 + 𝑏) sec(𝑎𝑥 + 𝑏)

9. tan(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑎 sec2(𝑎𝑥 + 𝑏) 18. cosec(𝑎𝑥 + 𝑏) −𝑎 cot 𝑎𝑥 + 𝑏 cosec (𝑎𝑥 + 𝑏)

Dari tabel di atas, dapat ditentukan rumus-rumus dasar integral tak tentu fungsi trigonometri

sebagai berikut.

Tipe 1:

1. cos𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶 4. cosec2𝑥 𝑑𝑥 = − cot 𝑥 + 𝐶

2. sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶 5. tan 𝑥 sec 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝐶

3. sec2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶 6. cot𝑥 cosec 𝑥 𝑑𝑥 = −cosec 𝑥 + 𝐶

Tipe 2 :

1. cos𝑎𝑥 𝑑𝑥 =1

𝑎sin𝑎𝑥 + 𝐶 4. cosec2 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = −

1

𝑎cot𝑎𝑥 + 𝐶

2. sin𝑎𝑥 𝑑𝑥 = −1

𝑎cos 𝑎𝑥 + 𝐶 5. tan𝑎𝑥 sec 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =

1

𝑎sec 𝑎𝑥 + 𝐶

3. sec2𝑎𝑥 𝑑𝑥 =1

𝑎tan 𝑎𝑥 + 𝐶 6. cot𝑎𝑥 cosec 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = −

1

𝑎 cosec 𝑎𝑥 + 𝐶

Tipe 3 :

1. cos 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 =1

𝑎sin 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶

2. sin 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = −1

𝑎cos 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶

3. sec2 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 =1

𝑎tan 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶

4. cosec2 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = −1

𝑎cot 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶

5. tan 𝑎𝑥 + 𝑏 sec 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 =1

𝑎sec 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶

6. cot 𝑎𝑥 + 𝑏 cosec 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = −1

𝑎 cosec 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶

6

Contoh :

1. (𝑥2 + sin 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥2 𝑑𝑥 + sin 𝑥 𝑑𝑥 =1

3 𝑥3 − cos𝑥 + 𝐶

2. (cos𝑥 − sin 𝑥) 𝑑𝑥 = cos𝑥 𝑑𝑥 − sin 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + cos𝑥 + 𝐶

Dalam pemgintegralan fungsi trigonometri seringkali digunakan rumus-rumus fungsi trigonometri

berikut.

Rumus Kebalikan, Perbandingan, dan Identitas Pythagoras

a. Rumus Kebalikan

1. sin 𝛼 × cosec 𝛼 = 1 ⟺ sin𝛼 =1

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼⟺ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 =

1

sin 𝛼

2. cos𝛼 × cot𝛼 = 1 ⟺ cos𝛼 =1

sec 𝛼⟺ sec 𝛼 =

1

cos 𝛼

3. tan 𝛼 × cot𝛼 = 1 ⟺ tan𝛼 =1

cot 𝛼⟺ cot𝛼 =

1

tan 𝛼

b. Rumus Perbandingan

1. tan 𝛼 =sin 𝛼

cos 𝛼

2. cot𝛼 =cos 𝛼

sin 𝛼

c. Identitas Pythagoras

1. 𝑠𝑖𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1

2. 1 + 𝑡𝑎𝑛2𝛼 = 𝑠𝑒𝑐2𝛼

3. 1 + 𝑐𝑜𝑡2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝛼

Rumus-Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

Untuk setiap sudut 𝛼 sebarang, berlaku :

1. sin 2𝛼 = 2 sin 𝛼 cos𝛼 3. sin2 𝛼 =1

2 (1 − cos 2𝛼)

2. cos 2𝛼 = cos2 𝛼 − sin2 𝛼 4. cos2 𝛼 =1

2 (1 + cos 2𝛼)

Rumus-Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus

Untuk setiap sudut 𝛼 dan 𝛽 sebarang, berlaku :

1. 2 sin 𝛼 cos𝛽 = sin 𝛼 + 𝛽 + sin(𝛼 − 𝛽)

2. 2 cos𝛼 sin 𝛽 = sin 𝛼 + 𝛽 − sin(𝛼 − 𝛽)

3. 2 cos𝛼 cos𝛽 = cos 𝛼 + 𝛽 + cos 𝛼 − 𝛽

4. 2 sin 𝛼 sin 𝛽 = −cos 𝛼 + 𝛽 + cos(𝛼 − 𝛽)

7

Soal : (Kerjakan)

1. 2 sec2 𝑥 𝑑𝑥

2. cos 2𝑥 𝑑𝑥

3. sin 4𝑥 − 2 𝑑𝑥

4. (sin 𝑥 + 3 cos 𝑥) 𝑑𝑥

5. (sec 𝑥 tan 𝑥 − 5 sin 𝑥) 𝑑𝑥

6. 2 sec2 𝑥 − 𝑥 𝑑𝑥

7. cos 3𝑥 − 2 − 9 sin(2 − 3𝑥) 𝑑𝑥

8. (sin 𝑥 − cos 𝑥)2 𝑑𝑥

9. sin2 𝑥 𝑑𝑥

10. 4 sin 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥

11. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 − 2 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 2 𝑑𝑥

12. 2 sin 11𝑥 cos 5𝑥 𝑑𝑥

13. cos4 𝑥 𝑑𝑥

14. 6 cos 8𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥

15. 4 sin 3𝑥 sin 3𝑥 +𝜋

3 𝑑𝑥

8

INTEGRAL TENTU

A. Pengertian Integral Tentu

Integral dengan batas-batas integrasi dinamakan integral tentu. Jika f(x) merupakan turunan dari

F(x), maka integral tentu dari f(x) menuju x pada interval [a, b] dinotasikan dengan 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎.

Nilai integral tentu tersebut dirumuskan dengan :

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)

𝑏

𝑎

Bentuk 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) ditulis dengan notasi khusus 𝐹(𝑥) 𝑎𝑏 yamg dinamakan notasi kurung siku,

sehingga :

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) 𝑎𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)

𝑏

𝑎

Dengan a dinamakan batas bawah dan b dinamakan batas atas pengintegralan. Interval [a, b]

dinamakan wilayah pengintegralan.

B. Sifat-Sifat Integral Tentu

Misal f(x) dan g(x) merupakan fungsi-fungsi kontinu dalam interval tertutup [a, b] , dan k adalah

konstanta, maka :

1. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0𝑎

𝑎

2. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎

𝑏

𝑏

𝑎

3. 𝑘 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

4. 𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

5. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝑏

𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑐

𝑐

𝑎, dengan a < c < b

6. a. Jika 𝑓(𝑥) ≥ 0 pada interval 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 0𝑏

𝑎

b. Jika 𝑓(𝑥) ≤ 0 pada interval 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 0𝑏

𝑎

Contoh :

2𝑥 + 3 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 13

3

1

= 18 − 4 = 14

9

Soal : (kerjakan)

Hitunglah integral berikut!

1. 𝑥4

1 𝑑𝑥 6. 3𝑥2 − 2𝑥 𝑑𝑥

1

−1

2. 𝑥2 − 1 𝑑𝑥3

0 7. 𝑥3 −

1

𝑥3 𝑑𝑥 2

1

3. 2𝑥 − 1 𝑑𝑥2

2 8. 𝑥 − 2 3𝑥 + 1 𝑑𝑥

3

1

4. 5 𝑥2 + 𝑥 𝑑𝑥2

1 9. ( 𝑥 + 1)24

0 𝑑𝑥

5. 1

𝑥3 𝑑𝑥3

1 10. 𝑥 𝑥

3 + 2 𝑥3 𝑑𝑥

1

0

Tentukanlah nilai k jika diketahui :

1. 𝑥𝑘

0 𝑑𝑥 =

16

3

2. 𝑥 4 − 𝑥 𝑑𝑥𝑘

0= 0

3. 𝑑𝑥

𝑥2

2𝑘

−1=

1

2