materi irisankerucut ppt
TRANSCRIPT
PERSAMAAN LINGKARAN
AdaptifHal.: 2 IRISAN KERUCUT
Persamaan Lingkaran
AdaptifHal.: 3 IRISAN KERUCUT
LINGKARAN DIDEFINISIKAN SEBAGAI HIMPUNAN TITIK TITIK YANG BERJARAK TETAP TERHADAP TITIK TERTENTU, DIMANA TITIK TERTENTU TERSEBUT DISEBUT SEBAGAI PUSAT LINGKARAN DAN JARAK YANG TETAP DISEBUT JARI - JARI
Persamaan lingkaran
AdaptifHal.: 4 IRISAN KERUCUT
o
r
Persamaan Lingkaran
AdaptifHal.: 5 IRISAN KERUCUT
Persamaan LingkaranPersamaan Lingkaran Berpusat di Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik O(0,0) dan Berjari-jari rTitik O(0,0) dan Berjari-jari r
Persamaan Lingkaran Berpusat di Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik P(a,b) dan Berjari-jari rTitik P(a,b) dan Berjari-jari r
Persamaan Lingkaran
AdaptifHal.: 6 IRISAN KERUCUT
o
rT (x,y)
OT = r
x + y = r2 2 2
( x2 - x1 ) + ( y2 - y1 ) = r
2 2
( x - 0 ) + ( y - 0 ) = r
2 2X
Y
AdaptifHal.: 7 IRISAN KERUCUT
Persamaan Lingkaran
AdaptifHal.: 8 IRISAN KERUCUT
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik O (0,0) dan :
a. berjari-jari 2b. melalui titik (3,4)
Soal Latihan
Persamaan lingkaran
AdaptifHal.: 9 IRISAN KERUCUT
P (a,b )r T (x,y)
PT = r
(x-a) + (y-b) = r2 22
( x2 - x1 ) + ( y2 - y1 ) = r
2 2
( x - a ) + ( y - b ) = r
2 2
O X
Y
AdaptifHal.: 10 IRISAN KERUCUT
Persamaan Lingkaran
AdaptifHal.: 11 IRISAN KERUCUT
Tentukan persamaan lingkaran jika :a. Berpusat di titik P (3,2) dan berjari-jari 4 b. Berpusat di titik Q (2,-1) dan melalui titik R(5,3)
Soal Latihan
Persamaan lingkaran
AdaptifHal.: 12 IRISAN KERUCUT
AdaptifHal.: 13 IRISAN KERUCUT
ELIPS
AdaptifHal.: 14 IRISAN KERUCUT
Elips
Indikator1. Menjelaskan pengertian elips.
2. Menentukan unsur-unsur elips.
3. Menentukan persamaan elips
4. Melukis grafik persamaan ellips
Kompetensi dasar:3. Menerapkan konsep elips
Standar KompetensiMenerapkan konsep irisan kerucut dalam memecahkan masalah.
AdaptifHal.: 15 IRISAN KERUCUT
Elips
Indikator1. Menjelaskan pengertian elips.
2. Menentukan unsur-unsur elips.
3. Menentukan persamaan elips.
4. Melukis grafik persamaan elips.
AdaptifHal.: 16 IRISAN KERUCUT
Elips
Pengertian Elips
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu yang diketahui adalah tetap (konstan).
AdaptifHal.: 17 IRISAN KERUCUT
Perhatikan Gambar Elips
Elips
Unsur-unsur pada elips:
1.F1 dan F2 disebut fokus.
Jika T sembarang titik pada elips maka TF1 + TF2 = 2a, F1F2 = 2c, dengan 2a > 2c.
2. A1A2 merupakan sumbu panjang (mayor)= 2a. B1B2 merupakan sumbu pendek (minor) = 2b, karena itu a > b.
b
B1
a
T
A2
E
D
A1
B2
(0,-b)
(0,b)
F1 F2 P (c, 0) (- c, 0)
K
L
Lanjut
Unsur-unsur elips
AdaptifHal.: 18 IRISAN KERUCUT
Elips
Lanjutan Elips
3. Latus Rectum yaitu segmen garis yang dibatasi elips, tegak lurus sumbu mayor dan melalui fokus (DE dan KL), panjang Latus Rectum
DE = KL =
4. Titik pusat (P) yaitu titik potong sumbu mayor dengan sumbu minor.
5. Titik puncak elips yaitu titik A1, A2, B1, B2.
ab22
AdaptifHal.: 19 IRISAN KERUCUT
Elips
1. Persamaan Elips yang berpusat di O(0,0)Persamaan Elips : TF1 + TF2 = 2a
+ = 2a
= 2a - Mengkuadratkan ruas kiri dan kanan sehingga diperoleh ……
)0,(1 aA )0,(2 aA
),0(1 bB
),0(2 bB
),( yxT
(a2- c2) x2 + a2y2 = a2(a2-c2) . . . (i), jika titik T pada titik puncak pada sumbu minor (0,b) maka diperoleh … . b2 =a2 – c2 . . . . (ii)
22)( ycx 22)( ycx 22)( ycx 22)( ycx
Persamaan (ii) disubstitusikan ke persamaan (i) sehingga diperoleh:
Persamaan Elips
12
2
2
2
by
ax
AdaptifHal.: 20 IRISAN KERUCUT
ElipsContoh
Tentukan persamaan elips dengan titik puncak (13,0) dan fokus F1(-12, 0) dan F2(12,0).
Jawab:
Diketahui pusat elips O(0,0)Titik puncak (13,0) a = 13Titik fokus (-12,0) dan (12,0) c = 12
Sumbu utama adalah sumbu X, sehingga persamaannya:
125169
1513
22
2
2
2
2
yxatauyx
AdaptifHal.: 21 IRISAN KERUCUT
Elips
1)()(2
2
2
2
bny
amx
2.Persamaan elips yang bertitik pusat P (m,n)
a. Persamaan elips dengan titik pusat (m, n):
b. Sumbu utamanya (sumbu) y = n, dengan panjang 2a dan sumbu minornya adalah sumbu x = n, dengan panjang 2b.
3.Titik fokus F1(m-c, n) dan F2( m + c, n )
4. Titik puncak A(m-a, n) dan B ( m + a, n )
5. Panjang lactus rectum (LR) = dengan 222 cab ab22
O
B
C
D
P(m,n)
X= m
X
Y
A F1F2
m
AdaptifHal.: 22 IRISAN KERUCUT
Elips
Contoh:Tentukan persamaan elips dengan fokus F1(1,3) dan F2(7,3) dan puncaknya (10,3).
Fokus (1,3) dan (7,3) = m-c = 1, m + c = 7 dengan eliminasi diperoleh m=4 dan c= 3Pusat P (m,n) = P (4,3) m = 3Puncak(10,3) m + a= 10 a= 6 b2 = a2 –c2 = 62 - 32 = 36 - 9 = 27Sumbu utama y=3, sehingga persamaan elips menjadi:
Jawab:
127)3(
36)4(1
27)3(
6)4( 222
2
2
yxatauyx
AdaptifHal.: 23 IRISAN KERUCUT
Elips
022 EDyCxByAx
Bentuk umum persamaan elips
Persamaan elips memiliki bentuk umum:
Hubungan antara persamaan dengan
persamaan adalah sebagai berikut:
022 EDyCxByAx
1)()(2
2
2
2
bny
amx
022 EDyCxByAx
Jika A > B, maka A = a2, B = b2, C=-2a2m, D= -2b2n, E= a2m2 + b2n2- a2b2
Jika A < B, maka A = b2, B = a2, C=-2b2m, D= -2a2n, E= a2m2 + b2n2- a2b2
AdaptifHal.: 24 IRISAN KERUCUT
Elips
Contoh:Tentukan titik pusat dan fokus dari elips yang memiliki persamaan 4x2+ 9y2 -16x+ 18y -11=0.Jawab:
Diketahui persamaan elips: 4x2+ 9y2 -16x+ 18y -11=0.A=4, B= 9, C= -16, D=18, E= -11b2 = A = 4 b = 2A2 = B = 9 a = 3
C = -2 b2m D= -2a2m C2= a2 –b2 = 9 -4 = 5-16=-2. 4. m 18= -2. 9.n C = -16= -8m 18= -18n 2= m -1 = nPusat P(m,n) P(2, -1)FokusF2(m-c, n)=F2 dan F2(m+c, n)=F2 )1,52( )1,52(
AdaptifHal.: 25 IRISAN KERUCUT
ElipsPersamaan garis singgung melalui titik (x1, y1) pada elips
ataubyy
axx 12
121
1. Untuk persamaan elips persamaan garis singgung yang melalui (x1, y1) pada elips tersebut adalah:
12
2
2
2
by
ax
221
21
2 bayyaxxb
2. Untuk persamaan elips persamaan garis singgung yang melalui (x1, y1) pada elips tersebut adalah:
1)()(2
2
2
2
bny
amx
21
21 ))(())((
bnyny
amxmx
AdaptifHal.: 26 IRISAN KERUCUT
ElipsPersamaan garis singgung dengan gradien p
12
2
2
2
by
axPada elips atau ,adalah 222222 bayaxb
y= p 222 bpax
Untuk elips dengan persamaan:
Persamaan garis singgungnya adalah:
y - n = p(x-m)
1)()(2
2
2
2
bny
amx
222 bpa
AdaptifHal.: 27 IRISAN KERUCUT
ElipsContoh:
,12128
22
yx
Tentukan persamaan garis singgung elips berikut.
a. pada titik (4, 3)
b. pada titik(5,-3)
Jawab:
,19)2(
18)1( 22
yx
a. Diketahui :
(4,3) x1 = 4 dan y1= 3 Persamaan garis singgung:
,12128
22
yx
121
21
byy
axx
AdaptifHal.: 28 IRISAN KERUCUT
Elips
1213
284
yx
177
yx
7 yx
b. Diketahui: pusat (m, n) = (1, -2)
( 5, -3) y1 = -3
Persamaan garis singgung:
1
9)2(
18)1( 22 yx
danx 51
1))(())((2
12
1
bnyny
amxmx
AdaptifHal.: 29 IRISAN KERUCUT
Elips
19)23(
18)1)(15(
x
19
)2(18
)1(4
yx
19
)2(9)1(2
yx
9)2()1(2 yx
132 yx
AdaptifHal.: 30 IRISAN KERUCUT
AdaptifHal.: 31 IRISAN KERUCUT
ParabolaPersamaan parabola berpuncak 0(0,0) y2 = 4pxa.Puncak (0,0)b. Sumbu semetri = sumbu xc. Fokusnya F(p,0)d. Direktriknya x = -p
(0,0) X
d:X=-P
F(P,0)
Y
•••
AdaptifHal.: 32 IRISAN KERUCUT
Parabola
Persamaan parabola yang bepuncak 0(0,0) dan Fokus di F(-p,0) adalah Y2 = -4px
X
Y
(0,0) F(P,0)
d:X=-P
••••
AdaptifHal.: 33 IRISAN KERUCUT
Parabola
Persamaan parabola yang bepuncak 0(0,0) dan Fokus di F(0,p) adalah x2 = -4py
X
Y
•
•
•
F(0,p)
(0,0)d:y=-P
AdaptifHal.: 34 IRISAN KERUCUT
Parabola
Persamaan parabola yang bepuncak 0(0,0) dan Fokus di F(0,-p) adalah x2 = -4py
X
Y
•
•
•
F(0,-p)
(0,0)
d: y=p
AdaptifHal.: 35 IRISAN KERUCUT
ParabolaContoh:1.Dari parabola-parabola berikut tentukan koordinat fokus,persamaan sumbu semetri,persamaan direktris dan panjang lactus rectum a. y2 = 4x c. x2 = -8y b. y2 = -12x d. x2 = 6yJawab:a. y2 =4px y2 = 4x, maka p = 1 Parabola ini merupakan parabola horizsontal ysng
terbuka ke kanan. (i) Koordinat titik fokus F(p,0) F(1,0) (ii) Sumbu semetri berimpit dengan sumbu X, maka persamaanya y = 0 (iii) Persamaan direktris: x = -p x = -1 (iv) Panjang lactus rectum (LR) = 4p = 4 . 1 = 4
AdaptifHal.: 36 IRISAN KERUCUT
Parabolab. y2 =-p4x y2 = -12x, maka 4p = 12 p = 3 Parabola ini merupakan parabola horizsontal yang
terbuka ke kiri (i) Koordinat titik fokus F(-p,0) F(-3,0) (ii) Sumbu semetri berimpit dengan sumbu X, maka persamaanya y = 0 (iii) Persamaan direktris: x = -p x = 3 (iv) Panjang lactus rectum (LR) = 4p = 4 . 3= 12
c. x2 = -p4y x2 = -8y, maka 4p = 8 p = 2 Parabola ini merupakan parabola horizsontal ysng terbuka ke bawah (i) Koordinat titik fokus F(0,-p) F(0,-2) (ii) Sumbu semetri berimpit dengan sumbu y, maka persamaanya x = 0 (iii) Persamaan direktris: y = p y = 2 (iv) Panjang lactus rectum (LR) = 4p = 4 . 2 = 8 d. Untuk latihan
AdaptifHal.: 37 IRISAN KERUCUT
ParabolaPersamaan parabola berpuncak P(a,b) (y – b)2 = 4p(x – a)
x•
•
•
•O(0,0) F(p,0)
••
•
y
P(a,b)
Fp(a+p,b)
a
•
•a. Titik puncak P(a,b)
b. Titik fokus F(a+p,b)
c. Direktris x = -p+a
d. Sumbu semetri y = b
e.
AdaptifHal.: 38 IRISAN KERUCUT
ParabolaContoh:Diberikan persamaan parabola 3x – y2 + 4y + 8= 0Tentukan : a. Titik puncak c. Direktris b. Titik fokus d. Sumbu semetri
Jawab:Ubah persamaan parabola ke persamaan umum: 3x – y2 + 4y + 8= 0 y2 - 4y = 3x + 8 y2 - 4y + 4 = 3x + 8 + 4 (y – 2)2 = 3x + 12 (y – 2)2 = 3(x + 4)Didapat persamaan parabola (y – 2)2 = 3(x + 4) yaitu parabola mendatar yang terbuka ke kanan.
AdaptifHal.: 39 IRISAN KERUCUT
Parabola
Dari persamaan tersebut diperoleh: a. Titik puncak P(-4,2) b. 4p = 3 maka p = Titik Fokus F(a+p,b)
c. Persamaan direktris :
d. Sumbu semetrinya : y = 2
43
)2,434( F
)2,413(F
434
443
x
apx
xO(0,0)
P(-4,2)F
y
AdaptifHal.: 40 IRISAN KERUCUT
Parabola
Soal untuk latihan:a.Tentukan persaaman parabola yang
berpuncak di (2,4) dan fokusnys (-3,4)
b.Tentukan persamaan Parabola yang titik fokusnya F(2-3) dan persamaan didertrisnya y = 5
AdaptifHal.: 41 IRISAN KERUCUT
Persamaan garis singgung parabola
A. Persamaan garis singgung parabola melaluhi titik A(x1,y1) yy1 = 2p(x+x1)
x
y
•
•A(x1,y1)
AdaptifHal.: 42 IRISAN KERUCUT
Persamaan garis singgung parabola
Persamaan parabola melaluhi titik A(x1,y1) di sajikan pada tabel berikut
Persamaan Parabola Persamaan Garis singgungy2 = 4px yy1 = 2p(x+x1)y2 = -4px yy1 = -2p(x+x1)x2 = 4py xx1 = 2p(y+y1)x2 = -4py xx1 = -2p(y+y1)(y – b)2 = 4p(x – a) (y-b)(y1-b)=2p(x+x1-2a)(y – b)2 = -4p(x – a) (y-b)(y1-b)=-2p(x+x1-2a)(x– a)2 = 4p(y – b) (x-a)(x1-a)=2p(y+y1-2b)(x– a)2 = -4p(y – b) (x-a)(x1-a)=-2p(y+y1-2b)
AdaptifHal.: 43 IRISAN KERUCUT
Persamaan garis singgung parabola
Contoh:1. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x di
titik (2,4) jawab : y2 = 8x 4p = 8 p = 2 Titik A(x1,y1) A(2,4) Persamaan garis singgungnya adalah yy1 = 2p(x+x1) y.4 = 2.2(x+2) 4y = 4(x+2) y = x+2
AdaptifHal.: 44 IRISAN KERUCUT
Persamaan garis singgung parabola2. Tentukan persamaan garis singgung parabola (x+1)2 = -3(y-2) pada titik (2,-1) Jawab : a = -1 , b = 2, x1 = 2 dan y1 = 1 (x+1)2 = -3(y-2) -4p = -3 p = Persamaan garis singgung parabola di titik A(2,-1) adalah (x - a)(x1 - a) = -2p(y + y1 - 2b) (x +1)(2 +1) = -2. (y - 1 – 2.2) (x + 1)(3) = 6(x + 1) = - 3(y – 5) 2(x + 1) = -(y – 5) 2x + 2 = -y + 5 y = -2x + 3
43
43
)5(23
y
AdaptifHal.: 45 IRISAN KERUCUT
Persamaan garis singgung parabola
B.Persamaan garis singgung parabola yang bergradien m
Persamaan parabola Persamaan garis singgung y2 = 4px y = mx +
y2 =- 4px y = mx -
x2 = 4py y = mx – m2p x2 = -4py y = mx + m2p
(y – b)2 = 4p(x – a) (y – b) = m(x – a) +(y – b)2 = -4p(x – a) (y – b) = m(x – a) -(x– a)2 = 4p(y – b) (y – b) = m(x – a) – m2p(x– a)2 = -4p(y – b) (y – b) = m(x – a) + m2p
mp
mp
mp
mp
AdaptifHal.: 46 IRISAN KERUCUT
Persamaan garis singgung parabola
Contoh:1.Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x yang kergradien 2 Jawab: Parabola y2 = 8x 4p = 8 p = 2 Maka persamaan garis singgungnya adalah: y = mx + y = 2x + 1
mp
AdaptifHal.: 47 IRISAN KERUCUT
Persamaan garis singgung parabola
2. Tentukan persamaan garis singgung parabola (y + 5)2 = -8(x – 2) yang bergradien 3 Jawab : Parabola (y + 5)2 = -8(x – 2) -4x = -8 p = 2 Puncak P(2,-5) Jadi persamaan garis singgungnya adalah y – b = m(x – a) – y + 5 = 3(x – 2) – 3y + 15 = 9(x – 2) -2 3y + 15 = 9x – 20 9x – 3y + 35 = 0 y = 3x -
mp
32
335
AdaptifHal.: 48 IRISAN KERUCUT
HiperbolaA.Hiperbola adalah kedudukan titik-titik pada bidang datar yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap. Kedua titik tertentu di sebut fokus(titik apai). xa
b
x
y
•• •• •0
Y =
Y =
BA
xab
F(C,0)F’(-C,0)
A.Persamaan Hiperbola Pusat(0,0)
N
12
2
2
2
by
ax
a. Pusat O(0,0)b. Fokus F’(-C,0) dan F(C,0)c. Puncak A(-a,0) dan B(a,0)d. Sumbu semetri
- Sumbu Utama sumbu x- Sumbu sekawan adalah sumbu y
e. Sumbu nyata AB = 2af. Sumbu imajiner MN = 2b
KM
LE
D
g. Asimtot , y = + xab
AdaptifHal.: 49 IRISAN KERUCUT
Hiperbola
xab
x
y
•
•
•
•
•
0
Y =
Y = B
Axab
F(0,C)
F’(0,-C)
B. Persamaan Hiperbola
N
12
2
2
2
bx
ay
a. Pusat O(0,0)b. Fokus F’(0,-C) dan F(0,C)c. Puncak A(0,-a) dan B(0,a)d. Sumbu semetri
- Sumbu Utama sumbu y- Sumbu sekawan adalah sumbu x
e. Sumbu nyata AB = 2af. Sumbu imajiner MN = 2b
K
M
LE
D
g. Asimtot , y = + xab
atau b2y2 – a2x2 = a2b2
AdaptifHal.: 50 IRISAN KERUCUT
HiperbolaContoh :1.Tentukan persamaan hiperbola jika titik fokusnya F’(-13,0) dan F(13,0) dengan puncak (-5,0) dan (5,0) Jawab : Pusat (0,0) a = 5 , c = 13 b2 = c2 – a2 = 132 – 52
= 169 – 25 = 144 Sumbu utama sumbu X, maka persamaan hiperbolanya adalah:
114425
122
2
2
2
2
yx
by
ax
AdaptifHal.: 51 IRISAN KERUCUT
Hiperbola
2.Diketahui persamaan hiperbola dari
Jawab :
dan
Pusat(0,0) Puncak(-a,0)=(-4,0) dan (a,0) = (4,0)
1416
22
yx
4161416
222
aayx 242 bb
222020416222 cbac
)0,22()0,()0,52()0,( CdancFokus
Persamaan xytota ab:sin
xy32
dan42
y
AdaptifHal.: 52 IRISAN KERUCUT
HiperbolaA. Persamaaan Hiperbola dengan pusat P(m,n)
xab
x
y
• •• • •
0
Y =
Y =
BA
xab
F(C,0)F’(-C,0)
N
1)()(2
2
2
2
bny
amx
a. Pusat P(m,n)b. Fokus F’(m-C,0) dan F(m+C,0)
c. Puncak A(m-a,0) dan B(m+a,0)
d. Sumbu semetri
- Sumbu Utama sumbu y = n- Sumbu sekawan adalah y = m
e. Sumbu nyata AB = 2a
f. Sumbu imajiner MN = 2b
KM
LE
D
g. Asimtot , y-n = + (x - a) xab
P
AdaptifHal.: 53 IRISAN KERUCUT
Hiperbola
Contoh:1. Tentukan persamaan hiperbola jika titik fokus F’(-2,-3) dan F(8,-3) dan
titik puncaknya (7,-3) Jawab: fokus F’(-2,-3) dan F(8,-3) Jarak pusat ke fokus c = 8 – 3 = 5 Puncak (7,3) Jarak pusat dengan puncak a = 7 – 3 = 4 b2 = c2 – a2 = 52 – 42 = 25 – 16 = 9 Jadi persamaan hiperbola adalah
atau
9(x-3)2 – 16(y+3)2 = 144 9x2 – 16y2 – 54x -96y – 207 = 0
)3,3(2
)3(3,282
pusat
193
163 22
yx
AdaptifHal.: 54 IRISAN KERUCUT
Hiperbola
2. Tentukan titik pusat,titik fokus, titik puncak, panjang lactus rectum dan persamaan asimtotnya dari
Jawab:
Titik pusat (4,-1)
12251
644 22
yx
12251
644 22
yx
8642 aa
152252 bb
1728922564222 cbac
)1,21()1,174()1,13()1,174( danFokus
tusPanjangLac4225
8225.22 2
abrectum
48151: xyAsimtot
AdaptifHal.: 55 IRISAN KERUCUT
Persamaan Garis Singgung Hiperbola
Persamaan garis singgung hiperbola melelaluiT(x1,y1)
Persamaan garis singgung
di titik T(x1,y1) yaitu
di titik T(x1,y1) yaitu
121
21
byy
axx
1)()(2
2
2
2
bny
amx
12
2
2
2
bx
ay
121
21
bxx
ayy
12
2
2
2
by
ax
di titik T(x1,y1) yaitu 1))(())((2
12
1 b
nynya
mxxx
1)()(2
2
2
2
bmx
any 1))(())((
21
21
bmxmx
anyny di titik T(x1,y1) yaitu
AdaptifHal.: 56 IRISAN KERUCUT
Contoh 1 :Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola pada titik (9, -4)
129
22
yx
PERSAMAN GARIS SINGGUNG HIPERBOLA
Jawab
Persamaan garis singgung Hiperbola
12
2
2
2
by
ax
di titik T(x1,y1) yaitu 121
21
byy
axx
Jadi persamaan garis singgungnya : 124
99 yx
atau x + 2y = 1
AdaptifHal.: 57 IRISAN KERUCUT
Persamaan garis singgung Hiperbola
Contoh 2Tentukan persamaan garis singgung hiperbola 1
12)3(
36)2( 22
yx
Pada titik (-4, -3)
Jawab :
Persamaan garis singgung hiperbola 1)()(2
2
2
2
bny
amx
di titik T(x1,y1) yaitu
112
)3)(33(36
)2)(24( yxJadi persamaan garissinggungnya :
1))(())((2
12
1 b
nynya
mxxx
106)2(
x
62 x
x = - 4
AdaptifHal.: 58 IRISAN KERUCUT