materia de capacitación asf-asofis · transformación de tamaño mediano instaladas en el valle de...

Convenio de Colaboración en

materia de Capacitación ASF-ASOFIS

MARCO DESCHAMPS F. 2

Curriculum Vitae

DR. MARCO ANTONIO DESCHAMPS FERNÁNDEZ

Ingeniero Industrial de la UNAM, Maestría en Administración del ITESM,

Doctorado en Administración de las Organizaciones por la facultad de Contaduría

y Administración de la UNAM, diversos cursos de actualización y especialización

en México y en el extranjero, Miembro fundador del Colegio de Posgraduados en

Administración de la República Mexicana A.C. Vicepresidente del “American

Marketing Association” capítulo México.

Experiencia laboral en empresas privadas y del sector público: Miembro del

departamento de Matemáticas de la UIA, Subdirector de la Escuela de Ingeniería

de la Universidad La Salle, Investigador de medio tiempo y miembro del claustro

doctoral de la División de Estudios Superiores de la Facultad de Contaduría y

Administración de la UNAM, Subdirector de la Escuela de Ingeniería de la

Universidad Anáhuac del Sur, Catedrático de licenciatura y posgrado en diferentes

universidades: ITESM, UNAM, LA SALLE, LAS AMÉRICAS y ANÁHUAC del Sur,

entre otras. Conferencista y cátedras de posgrado en diferentes centros de

negocios y asociaciones de Centro y América del Sur, participante en diferentes

congresos y foros como panelista y conferencista en México y América del Sur.

Libros publicados: Métodos Cuantitativos para los Procesos de Inferencia,

Mercadeo para Instituciones de Micro Finanzas, Regresión Lineal Simple y Series

de Tiempo, Administración Financiera para Instituciones de Micro Crédito, Coautor

de la serie de libros “Monografías Educativas de México” (SEP), Dirección de tres

tesis de doctorado.

Artículos publicados: Ejercicios para Métodos Cuantitativos para las Ventas,

Aplicación de los Planos Preceptúales para Evaluar la Imagen de Servidores

Públicos, Evaluación Económica de la Inversión Educativa, Modelos de Asignación

de Profesores de Educación Primaria del Sistema Federal.


ÍNDICE

Conceptos Estadísticos Generales 4

Plan de muestreo 8

Definición de la población 8

Definición de las unidades muestrales e identificación del

marco muestral 9

Método de muestreo 9

Cálculo del tamaño de la muestra 9

Aleatorización y recolección de observaciones 9

Análisis del contenido de la muestra 10

Cálculo del Tamaño de la Muestra para Población Infinita 11Cálculo del Tamaño de la Muestra para Población Finita 14Métodos de Muestreo 17

Muestreo probabilistico 17

Muestreo no probabilistico 17Muestreo Simple Aleatorio 17Muestreo Sistemático 18Muestreo Estratificado 19CASO DE ESTUDIO 20

Casos especiales de muestreo estratificado 23

Muestreo por Conglomerados 25

Muestreo no estadístico 25

Muestreo de Intencional 25

Muestreo por Cuotas 25

Muestreo Bola de Nieve 26

Muestreo Conveniencia 26

CASO DE ESTUDIO 26

PRUEBA COMPRENSIVA 30


MUESTREO ESTADÍSTICO PARA LA AUDITORÍA

MARCO DESCHAMPS F. Los investigadores y analistas enfrentan un problema importante cuando trata de

obtener una muestra representativa de la población, tal qué, represente de manera

adecuada a todos sus elementos. Por ejemplo, tomar una muestra de los ciudadanos de

cierta ciudad para hacer un sondeo de opinión con el objeto de conocer el desempeño de

los gobernantes. Determinar a quienes y cuantos se debe auditar para conocer el nivel de

problemas fiscales, etc.

Una parte de la teoría estadística se dedica a establecer la forma y los

procedimientos para obtener una muestra representativa, seleccionar un conjunto de

observaciones capaz de representar con exactitud las características de todas las

observaciones contenidas en la población.

La estadística es la disciplina matemática que trata de la forma de analizar la

información, pero más importante aun que el análisis de la muestra es la inferencia que

se establece sobre el comportamiento de la población. El objetivo principal de la

estadística es la inferencia, que se realiza para conocer el valor de ciertas medidas de la

población (parámetro) a partir del análisis de la información contenida en la muestra. La

inferencia estadística es el procedimiento mediante el cual los resultados del análisis de la

muestra se pueden generalizar a toda la población. El proceso de inferencia estadística

se realiza porque en la mayoría de los casos los datos de que se dispone corresponden

a una muestra. El proceso de muestreo es esencial para que la inferencia sea valida. Una

muestra mal obtenida o tendenciosa invalida el proceso de inferencia utilizado para

obtener alguna conclusión importante sobre el comportamiento de los parámetros de la

población, aun cuando éste sea muy sofisticado e innovador.


1. Conceptos Estadísticos Generales.

El muestreo estadístico es una proceso utilizado para garantizar que las

observaciones que se toman de una población sean representativas de ésta y por lo tanto

se puedan utilizar en los procesos de inferencia. De manera general la inferencia

estadística es un proceso que comprende los siguientes pasos.

• Establecer la forma de obtener una muestra representativa • Definen los métodos estadísticos para analizar la muestra • Obtener los estimadores apropiados • Utilizar un procedimiento valido mediante el uso de un

distribución de probabilidad apropiada para estimar los parámetros a partir de los datos contenidos en la muestra

• Interpretan los resultados y se elaboran las conclusiones

El proceso de seleccionar una muestra representativa de la población debe de

cubrir ciertos principios básicos, el más importante de ellos es considerar que cualquier

elemento de la población tenga la misma probabilidad de ser elegido en la muestra.

Los estimadores más comúnmente empleados son: la media aritmética, la

variancia y el porcentaje de casos favorables

La forma más común de hacer la inferencia es mediante el empleo de un intervalo

de confianza, este establece dos valores en donde se estima se encuentra el parámetro

poblacional que se desea conocer, la estimación se basa en cierta confiabilidad y

probabilidad de error, La estadística no es exacta y siempre considera aunque su valor

sea muy pequeño una probabilidad de error representada por α, la cuál se puede

interpretar como la probabilidad de que el parámetro no se encuentre en el intervalo

calculado, el complemento del error de estimación para obtener una certeza completa

recibe el nombre de confiabilidad, la cual se representa como:: ( 1- α )

Para hacer inferencia con respecto a la media aritmética de una población

mediante un intervalo de confianza se utiliza:


)(Parametropoblaciónlademedia=µ

muestralademediaX = ( Estimador )

NXi∑=µ

nXiX ∑=

n >30 ; muestra grande

Un intervalo de confianza para µ está dado por.

n

ZX σα 2/±

Ejemplo: Se tomó una muestra de 64 observaciones para conocer las ventas

semanales de un vendedor y se obtuvo una media aritmética de $390 con una desviación

estándar de 60. Establezca un intervalo de confianza del 95% para el promedio de ventas

semanarios del vendedor e interprete dicho intervalo.

X = $390

05.=∞

n = 64 64

6096.1390 ±

S = 60 ( ) 95.07.4043.375 =≤≤ µ

n

ZX σα 2/±

Para hacer inferencia con respecto al porcentaje de casos favorables de una

población mediante un intervalo de confianza se utiliza:


casosdeTotalfavorablesCasoséxitosdePorcentajeP ==

^

casosdeTotalfavorablesCasosióndelapoblacéxitosdePorcentajeP ==

Un intervalo de confianza para el porcentaje de éxitos de la población está dado por:

npqzP

2

^

∞±

Utilizando una cierta una probabilidad de error; α

Ejemplo. Se tomó una muestra aleatoria de 100 consumidores para conocer la

preferencia sobre una marca de producto, resultó que 40 de ellos dijo preferir la merca del

fabricante. El gerente de mercadotecnia desea estimar el porcentaje de consumidores que

prefiere la merca para conocer su participación en el mercado. Un intervalo de confianza

del 95% para el porcentaje de consumidores que prefiere la marca del fabricante está

dada por:

40.010040^

==P

npqzp

2∞±

El complemento de P recibe el nombre de “q”; en donde, q = 1 - p

00.2cot96.1%951

2 ==

=∞−

∞errordeaunaParaz

100)60.0)(40.0(240.0 ±

Un intervalo de confianza para “P” está dado por: ( ) 95.048.032.0 =≤≤ P


2. Plan de Muestreo Los métodos de muestreo tienen como finalidad responder dos cuestiones

básicas que se fundamentan mediante el diseño de la muestra; ¿ cuántas observaciones

deberán hacerse? y ¿a quiénes se deberá observar?. Ambas cuestiones se responden

mediante el desarrollo y diseño de un plan de muestro. El plan de muestreo permite

justificar la validez y confiabilidad de la muestra empleada, se compone de los seis pasos

o etapas que se muestran a continuación.

• Definición precisa de la población que se estudia

• Identificación de las unidades y definición del marco de la muestra

• Selección del método de muestreo

• Cálculo del tamaño de la muestra

• Aleatorización y recolección de datos

• Análisis de la muestra para establecer conclusiones

Las mediciones realizadas sobre los elementos de una muestra obtenida

mediante este procedimiento permiten justificar su representatividad y extender los

resultados hacia toda la población mediante algún proceso de inferencia estadística.

A continuación se expone el contenido de un plan de muestreo.

a) Definición de la población. Primeramente es necesario identificar con toda

precisión la población que se está estudiando, si la población está claramente

definida se sabe qué elementos pertenecen a ella y cuáles no, una definición

ambigua de la población estudiada ocasiona dificultades en la formación del

marco de la muestra.

Cuando se desarrolla un plan de muestreo la población que se estudia se debe

definir con precisión, de tal forma que se identifique si un elemento pertenece a

la población o no. Hay que evitar que la definición de la población sea

ambigua. Por ejemplo: Los estudiantes de la UAS. debería especificarse,

estudiantes de licenciatura que se encuentran inscritos en al menos una

asignatura en el presente semestre.


b) Definición de las unidades muestrales e identificación del marco muestral. Las unidades muestrales se definen como son aquellas en las que se puede

tomar una observación. Se llama marco de la muestra a las unidades

muestrales identificadas mediante un número.

Una unidad de observación es aquella en la cual se puede hacer una

medición. Si todas las unidades muestrales se identifican mediante un número,

éste conforma el marco muestral. Ejemplo: se desea hacer un estudio sobre

las empresas medianas del ramo de la transformación ubicadas en la zona

metropolitana de la Ciudad de México.

Una forma de definir la población es: empresas de la industria de la

transformación de tamaño mediano instaladas en el Valle de México, de

acuerdo a la definición del INEGI. Sí se obtiene un listado de éstas empresas e

identifican mediante algún número, este listado representa el marco muestral.

c) Método de muestreo

De manera general existen dos grupos de muestreo: el probabilístico y el no

probabilístico. Los tipos que corresponden a cada uno se estudiarán en detalle

más adelante.

d) Calculo del tamaño de la muestra. El calculo del tamaño de la muestra

requiere de una confiabilidad estadística, ( 1- α ) o de la fijación de un error de

estimación (α) , a partir del cuál se calcula el valor de “z” de la distribución de

probabilidad normal estandarizada, cuándo se tienen muestras grandes de

tamaño mayor a 30. Se requiere de la fijación de un error de estimación

máximo aceptado, (α) que representa la probabilidad de error máximo con el

que se hará la inferencia.

e) Aleatorización y recolección de observaciones. La forma más común de

aleatorizar la observaciones del marco muestral es mediante el empleo de

números aleatorios Un número aleatorio es aquél que posee la propiedad de

que su ocurrencia no depende de la ocurrencia de los números anteriores, es

decir, ocurre de manera espontánea, totalmente al azar. Para obtener números


aleatorios se puede usar tablas elaboradas especialmente para este propósito,

las cuales figuran en la mayoría de los libros de estadística, o también se

puede recurrir a un medio electrónico tal como el uso de la calculadora, la

mayoría de ellas tienen incluida un función matemática “Random (RDM)” que

genera automáticamente números aleatorios.

Ejemplo: Sí existen 80,000 empresas medianas ubicadas en la Ciudad de

México y el cálculo del tamaño de la muestra fue de 400 empresas. Determine

mediante números aleatorios las empresas que deben de ser seleccionadas en

la muestra.

Se generan números aleatorios entre 0 y 1, y se multiplican por 100,000

como se muestra a continuación.

.915*100000= 91500

.285*100000= 28500

.254*100000=25400

.332*100000=33200

.178*100000=17800

.365*100000=36500

Las empresas señaladas en el marco muestral mediante este número

son las seleccionadas, si el número obtenido se encuentra fuera del marco

muestral se elimina y se continua con el siguiente Los números aleatorios

tienen el defecto de repetirse, en este caso se omite el número y se continua

con el siguiente, además la secuencia de los números aleatorios no se puede

interrumpir porque se rompe la aleatoriedad.

f) Análisis del contenido de la muestra. Si la muestra fue elegida

aleatoriamente entonces se analiza mediante el procedimiento estadístico

apropiado, y a partir de él se elaboran los estimadores para la inferencia

estadística

Este capitulo trata de la forma de calcular y obtener una muestra estadística

representativa, enfocada a estudiantes de la escuela de Economía y Negocios que


utilizan estos métodos en áreas de estudio tales como: Investigación de Mercados,

Análisis de Decisiones, Comercio Internacional etc. Se hace énfasis en el cálculo

estadístico del tamaño de muestra y de la aplicación de las diferentes técnicas de

muestreo en los casos en que la población se considera infinita y finita, tanto para

variables cuantitativas como cualitativas.

3. Cálculo del Tamaño de la Muestra para Población Infinita El cálculo del tamaño de muestra para el tipo de muestreo simple aleatorio

cuando la población es infinita, se obtiene a partir del intervalo de confianza de la

inferencia, tanto para variable cualitativa como cuantitativa. Este cálculo del tamaño de la

muestra es el más usual de los procesos de muestreo, prácticamente todos los demás

casos para el calculo del tamaño de una muestra se basan en él. A continuación se

muestra la expresión para el cálculo del tamaño de la muestra para ambos casos.

Variable cuantitativa. Para variable cuantitativa de tiene:

n

ZX σα 2/±

El error de estimación se define como:

estimacióndeerrorn

Z =σ

α 2/

Como se observa el error de estimación es el valor que es necesario agregar al

estrimador de la muestra para estimar el parámetro de la población. Este error de

estimación se representa con la letra B. No debe confundirse la probabilidad de error con

el error de estimación, ya que como se observa significan conceptos muy diferentes.

nZB σα 2/=

Si se despeja de esta expresión n ( tamaño de la muestra ) se obtiene:


BZn 2

222σ∞=

Está expresión se puede aplicar mediante el siguiente procedimiento:

• Se fija la significancia o probabilidad para la estimación.

• Se estimar la varianza de la muestra (S2). La varianza de puede obtener

calcular de manera aproximada por cualquiera de las siguientes formas:

a) Mediante el rango. El rango es la diferencia entre el valor de la máxima observación y la mínima

16

22 R=σ

b) Por estudios semejantes o anteriores.

c) Mediante una prueba piloto.

• Una vez obtenidos todos los datos se aplica el cálculo de “n”

Ejemplo : Se desea hacer un estudio en la universidad para conocer cuánto gasta

en promedio en gasolina un estudiante a la semana. Se fija un error de estimación para el

estudio de +/- 5 litros. ¿Cuántos estudiantes habría que entrevistar se sabe por

estimaciones que el que más gasta consume 300 lt y el que menos, 40 lt. Use una

confiabilidad del 95%.

Error de estimación. B = +/- 5 16

22 R=σ

Confiabilidad = 95% Obs. Max=300

Obs. Min= 40 422516

)40300( 22 =

−=σ

B

SZn 2

222∞=

sestudianten 6765

)4225)(2(2

2

==


Variable cualitativa. Cuando la variable es cuantitativa con base en la fijación del

error de estimación semejante al anterior, está se encuentra dada por:

estimacióndeerrornqpZ =2/α

npqzB

2∞=

Despejando “n” se obtiene.:

B

Z pqn 2

22∞=

Ejemplo. ¿Cuántas observaciones se deben hacer para determinar el porcentaje

de automóviles particulares que lleva encendido su radio en alguna estación radio

trasmisora local. Se sabe por estudios anterior que aproximadamente la mitad de los

conductores sintoniza alguna estación de radio. Use una confiabilidad del 99% para un

error de estimación de +/- 10%?

BZ pq

n 2

22∞=

41.166)10(.

)5)(.5(.)58.2(2

2

==n


4. Cálculo del Tamaño de la Muestra para Población Finita

En los procesos de muestreo la población que se estudia puede ser de 2 tipos:

finita o infinita. Se dice que la población es infinita cuando su tamaño es desconocido o

existe un número muy grande de observaciones que la componen, por ejemplo: el número

de autos que circula en el “periférico” en un día determinado. También se dice que es

población es infinita cuando el tamaño de la muestra que se espera obtener es muy

pequeña en relación al tamaño de la población. El criterio es que si el tamaño de la

muestra es menor al 5% del tamaño de la población, está se considera infinita. Por

ejemplo, se desea hacer un estudio entre los estudiantes de la UNAM para conocer el

porcentaje de ellos que posee automóvil propio. ¿Cuántos alumnos se deberían

encuestar si existen 120, 000 alumnos en el plantel ?.

Nn 05.0≤

0.05 x (120,000) = 6000. Es decir, si: n < 6000 se considera población infinita.

Para una muestra de menos de menos de 6000 observaciones, lo cuál es muy

valido, la población se considera infinita. Sí el tamaño de la población es desconocido

por su gran tamaño se considera población infinita.

Para Población Finita su tamaño debe ser conocido y el tamaño de la muestra

que se espera es mayor al 5% el tamaño de la población, es decir el tamaño de la

muestra esperado no es muy grande con relación a la población. Por ejemplo, se desea

hacer una encuesta en la universidad para conocer el porcentaje de alumnos del área

económico-administrativa que practican algún deporte en las instalaciones de la

universidad. Se sabe que hay 700 alumnos en esta área de estudios. Para conocer el tipo

de población. Infinita o finita se hace:

n< (.05)(700); Es decir: n < 35

Para fines de muestreo la población se considera finita.


La obtención del tamaño de muestra para población finita se obtiene del cálculo

del intervalo de confianza. Para este caso es necesario agregar al intervalo un factor de

corrección para población finita.

12

^

−−

± ∞ NnNP n

pqz

De igual manera que el procedimiento anterior, igualando el error de estimación y

despejando “ n “ se obtiene:

12/ −

−=

NnN

nZB σ

α Despejando se obtiene:

22

2

2

2

)1(σ

σ

+−

=

∞zBN

Nn

Mediante el mismo procedimiento sí variable es cualitativa el cálculo del tamaño

de la muestra para población finita está dada por:

pqz

BNNpqn

+−

=

∞

2

2

2)1(


Ejemplo. Se desea hacer un estudio entre los cuenta habientes de una tienda

cuyo principal negocio es la venta a crédito, para conocer la cantidad promedio de

compras mensuales de este tipo de clientes.. Dado que existen 2000 tarjetas de crédito se

propone sacar una muestra para estimar µ, usando cota del error para un error de

estimación de $ 3.00. Se sabe que la mayoría de los saldos de las cuentas están entre

$500 y $450. Encuentre el tamaño de muestra necesario para estimar µ.

14.6725.156

4)9)(1999(

)25.156(2000=

+=n

5. Métodos de Muestreo El muestreo probabílistico se utiliza en estudios formales en donde el rigor

metodológico es necesario para establecer conclusiones validas y confiables, los

resultados del análisis de la muestra se pueden generalizar a toda la población, es decir

las conclusiones se establecen sobre la población. Estos métodos de muestreo se basan

en el principio fundamental de que cualquier elemento de la población puede ser elegido

en la muestra.

El muestreo no probabilistico se utiliza en estudios de carácter exploratorio. En

éstos no se pretende estimar los parámetros de la población, sino únicamente obtener

mediante el análisis de la muestra, indicadores que permitan suponen cierto

comportamiento de los parámetros. El método utiliza procedimientos de selección

basados en juicios personales, es más bien un método que se basa en el buen juicio del

analista y depende de su experiencia para seleccionar las observaciones e interpretar los

resultados. No es concluyente, pues existe una buena parte de subjetividad en su

aplicación e interpretación.

Ambos tipos de muestreo poseen técnicas diferenciadas que se seleccionan y

aplican de acuerdo a las características del problema. Los métodos que comprenden

ambas formas de muestreo son:


Muestreo probabilistico.

• Simple Aleatorio • Sistemático • Estratificado • Conglomerados o Racimos

Muestreo no probabilistico.

• Por Cuotas • De Conveniencia • Intencional • Bola de Nieve

Una breve descripción de las técnicas de muestreo probabilístico se muestran a

continuación.

Muestreo Simple Aleatorio. - Éste tipo de muestreo es el más importante ya que

en él se basan los demás tipos. Consiste en seleccionar la muestra mediante un método

que permita garantizar que cualquier elemento de la población tenga la misma

probabilidad de ser incluida en la muestra, las observaciones se realizan con reemplazo

de tal manera que la población permanece con el mismo tamaño. Esta condición se

cumple fácilmente cuándo la población considerada es grande con relación al tamaño de

la muestra. Si se tiene una muestra de tamaño “n” de una población de “N” unidades,

cada elemento de la muestra tiene una probabilidad: n / N, de ser incluida.

Para el muestreo simple aleatorio el tamaño de la muestra se calcula de la siguiente manera: Población Finita. Variable cuantitativa

22

2

2

2

)1( σ

σ

+−

=

∞zBN

Nn

Variable cualitativa


pqz

BNNpqn

+−

=

∞2

2

2)1(

Población Infinita:

Variable cuantitativa

BZn 2

222 σ∞=

Variable cualitativa

BZ pq

n 2

22∞=

Para seleccionar a las observaciones se generan números aleatorios y obtener las

observaciones representativas de la población. De esta forma se garantiza que cualquier

elemento de la población tenga la misma probabilidad de ser elegido en la muestra.

Muestreo Sistemático. – Es una técnica de muestreo en la que la muestra se

elige mediante la selección de una observación cualquiera elegida al azar, una vez

elegida esta la siguiente se hace siguiendo una sucesión. Este métodos se usa cuándo se

desea cubrir todo el rango de las unidades comprendidas en la población.

Este tipo de muestreo consiste en calcular el tamaño de muestra igual que en el

simple aleatorio, pero las observaciones se toman de manera sistemática, a partir de la

primera. Se sigue el procedimiento discreto a continuación.:

• Se genera un número aleatorio entre 1 y N • A partir de este número se obtiene un cierto valor llamado

“k”. K = N / n

• A partir de primer número elegido al azar se elige el siguiente número contando K unidades a partir de él.

• Este procedimiento se repite con cada número

seleccionado, recorriendo así todo el marco muestral de la población. Sí mediante la secuencia que se sigue llega un momento que el número calculado para extraer la observación de la población se sale del rango de los números de la población, se continua a partir del limite


inferior del rango, de forma tal que se recorra la imagen de los datos poblacionales.

Ejemplo: Para una población de tamaño 5000 se desea extraer una muestra

sistemática de tamaño 90

K = 5000/90 = 55

Se genera un número aleatorio. Ejemplo 3034, a partir de este se encuentran los

demás agregando 55 a cada uno de ellos.

.

3034+55=3098 3098+55=3153 3153+55=3208

I I I

Etc.

Así se extraen sucesivamente las observaciones hasta obtener 90.

Muestreo Estratificado.- Es un procedimiento en el cuál se seleccionan muestras

aleatorias de cada estrato, la existencia y definición de cada estrato se hace necesaria

cuando la población no es homogénea y existen subgrupos con características diferentes,

se espera que los resultados del análisis de los datos sea diferente para cada estrato.

Para cada estrato se selecciona una sub-muestra del total, seleccionando las unidades

dentro de cada estrato mediante un muestreo simple aleatorio. La razón de tomar una

muestra estratificada es obtener una muestra más eficiente de la que se lograría con el

muestreo aleatorio simple.

Este tipo de muestreo se utiliza cuando la población no es homogénea es decir

cuando hay diferencias importantes dentro de cada estrato.


CASO DE ESTUDIO Se quiere hacer un estudio para determinar la magnitud de la evasión fiscal que se

puede presentar entre las empresas de la transformación instaladas en la Cd. de México.

En este caso se forman estratos con las características que diferencian los

resultados por tamaño de empresa.

Para calcular el tamaño de la muestra es necesario identificar el tipo de datos,

(cualitativos o cuantitativos) si son cualitativos la varianza de cada estrato debe ser

conocido por un valor exacto o aproximado.

De manera semejante al muestreo simple aleatorio el tamaño de la muestra se

deduce y calcula mediante la siguiente expresión.

∑

∑

=∞

=

+=

K

i

K

i

NipiqiNz

NB

Nipiqin

12

2

21

1

K = número de estratos. Si los datos son cuantitativos el tamaño de muestras se calcula mediante la expresión.

∑

∑

=∞

=

+=

k

i

k

i

iNiNz

NB

Nin

1

22

2

2

2

1

1 σ

σ


Después de encontrar el tamaño de la muestra se reparte ésta de manera

proporcional al tamaño de cada estrato, aplicando la siguiente relación.

NNinn =

Para el ejemplo de las empresas del sector de la transformación, suponga que

existen 5000 empresas pequeñas, 2000 medianas y 500 grandes sitiados en la Cd. de

México. Además se sabe que en las empresas pequeñas existe la mayor evasión que en

las grandes. De información estadística recabada con anterioridad se sabe que en las

empresas pequeñas el máximo valor de la evasión fiscal anua de una empresa es 23

millones de pesos y el mínimo, 0. Para las medianas el máximo es 10 millones y el

mínimo 0. Para las grandes el máximo es 80 millones y el mínimo 0. ¿Cuántas empresas

de cada tipo se deben seleccionar si se fija un error de estimación de 1 millón de pesos

para una confiabilidad del 95%?

El valor inicial de la variancia para cada estrato está dado por:

16

22 R=σ

( ) 33

16023 2

2 =−

=σ

( ) 25.6

16010 2

2 =−

=σ

( ) 4

1608 2

2 =−

=σ

955.9493.1898

179500

)179500(7500

14

)1)(7500()4(500)25.6(2000)33(5000

2 ===+

++=n

0.6375005000951 ==n


0.2575002000952 ==n

0.77500500953 ==n

En conclusión se deben auditar: 63 empresas pequeñas, 25 medianas y 7

grandes.

CASO DE ESTUDIO Para tener una idea de la opinión de los trabajadores el gerente de personal de

una empresa desea seleccionar una muestra de empleados de sus 4 plantas productoras.

Con el objeto de estimar la proporción de trabajadores que prefieren la reducción de la

semana de trabajo, paro técnico, con una cota para el error de estimación del 10%.

La empresa emplea 75 personas en cada uno de las plantas 1 y 2, 65 en la planta

3 y 40 en la 4. Se estima que cerca del 75% de los empleados de la planta 4 están a favor

de la reducción de la semana de trabajo mientras que en las otras plantas este porcentaje

corresponde al 50%. Encuentre el tamaño de la muestra para el estudio.

∑

∑

=∞

=

+=

k

i

k

i

NipiqiNz

NB

Nipiqin

12

2

21

1

78.698777.

25.61

)25.61(2551

4)10)(.255(

)25)(.75(.40)5)(.5(.65)5)(.5(.75)5)(.5(.752 ==+

+++=n = 70

Conclusión: se debe sacar la muestra aleatoria de 70 empleados, correspondiendo

el siguiente número de empleados para cada planta.


215.2025575701 ===n

215.2025575702 ===n

1782.1725565703 ===n

1198.1025540704 ===n

Casos especiales de muestreo estratificado.- Existen 2 casos en los que el

muestreo estratificado se aplican de manera sencilla, cuándo se tienen dados cualitativos

con una población infinita, y cuando la variancia de cada estrato es igual o muy

semejante.

Cuándo el tamaño de la población es muy grande con relación al tamaño de

muestra esperada, utilizando datos de tipo cualitativo. El tamaño de la muestra se

encuentra considerando la variancia de cada estrato igual y desconocida, es decir se hace

p = 0.5 y q = 0.5, utilizando una cota para el error de estimación del 95%. El tamaño de

muestra resultante está dado por:

12 +

=BNNn


Ejemplo. Se desea hacer un estudio de mercado para conocer la opinión de las

amas de casa con respecto a una nueva marca de detergente. Se utilizan los niveles

socio-económicos A, B y C. Para estos tres niveles, la población que vive en la

delegación Álvaro Obregón es :

A=15000, B=7000, C=6500, N=28, 500

¿Cuántas amas de casa de cada nivel se deben entrevistar si se fija un error de

estimación del 5% con cota del error?

46.3941)05)(.28500(

285002 =+

=n 20736.2072850015003941 ===n

9065.892850065003943 ===n

A veces la población se encuentra estratificada pero la varianza entre los estratos

es la misma. En este caso se utiliza el método para el cálculo de la muestra del muestreo

simple aleatorio y se reparte éste valor entre el tamaño proporcional de cada estrato. Para

el mismo ejemplo de los empleados de las plantas en que se desea conocer su opinión

con respecto a la reducción de la semana. Suponga que la variancia es la misma para

cada estrato, el porcentaje de casos favorables es el mismo e igual para las 4 plantas. En

este caso se obtiene:

pqz

BNNpqn

+−

=

∞2

2

2)1(

03.72)5)(.5(.

4)10)(.254(

)5)(.5)(.255(2 =+

=n

9777.962850070003941 ===n


2125575721 ==n 21

25575722 ==n

1835.1825565723 ===n 1229.11

25540724 ===n

Muestreo por Conglomerados.- Es una técnica muy usada principalmente

cuándo la población se encuentra muy dispersa y resulta muy costoso aplicar un

muestreo simple aleatorio, consiste en subdividir a la población en subgrupos

denominados conglomerados, los cuáles son mutuamente excluyentes y colectivamente

exhaustivos. Así seleccionar una muestra aleatoria de los conglomerados con base en un

muestreo simple aleatorio, posteriormente dentro de cada conglomerado se puede aplicar

nuevamente un muestreo simple aleatorio con las unidades que lo componen. Este

procedimiento de puede aplicar de manera sucesiva dando origen al muestreo Multi-

étapico. En este muestreo se pueden distinguir dos modalidades: Bi- étapico y Multii-

étapico.

6. Muestreo no estadístico Una breve descripción de las técnicas de muestreo no probabilístico se expone a

continuación.

Muestreo de Intencional.- Este tipo de muestreo el investigador selecciona las

unidades muestrales que a su juicio son más representativas, esto exige un conocimiento

previo de la población. La selección de la muestra se hace de forma tal que sólo se

seleccionan las unidades muestrales con determinadas características, la

representatividad es subjetiva.

Muestreo por Cuotas.- Se basa en el buen conocimiento de los estratos de la

población y de las unidades más representativas o adecuadas de cada estrato. Es tipo de

muestreo es equivalente al estratificado, es la versión no estadística de este tipo de

muestreo, primero se definen las categorías o estratos y después cuotas de cada

estrato.


Muestreo Bola de Nieve.- Se aplica cuando las unidades muestrales de la

población son desconocidas. Se busca y selecciona una observación inicial al azar,

después se buscan las otras con la información recabada con ésta. Así se continúa

sucesivamente realizando las observaciones en forma progresiva.

Muestreo Conveniencia.- Consiste en seleccionar las unidades muestrales que

mejor se adaptan a las conveniencias de la investigación, cómo el caso de seleccionar a

las personas que de modo voluntario están dispuestas a contestar.

CASOS DE ESTUDIO

1. Conteste en forma objetiva y concisa las siguientes cuestiones.

a) Mencione y explique los pasos que se siguen para realizar un plan de

muestreo.

b) ¿Cuál es el método de muestreo que se recomienda usar, cuando la población

que se estudia se encuentra muy dispersa y es imposible aplicar un muestreo

simple aleatorio?. Explique brevemente en que consiste el método.

c) ¿Qué tipo de muestreo estadístico es recomendable cuándo se desean

aleatorizar las observaciones y cubrir al mismo tiempo, el recorrido ( rango ) de

todo el marco muestral de la población ?

2. Defina de manera concisa los siguientes conceptos que se utilizan para diseñar una

muestra estadística.

a) Error de estimación

b) Significancia

3. El gerente de una tienda comercial de departamentos desea conocer la opinión de los

clientes de la tienda con respecto al servicio que presta la tarjeta de crédito que

ofrece. Se requiere obtener una muestra aleatoria de 25 clientes con tarjeta de crédito


de un total de 150 que la adquirieron recientemente. Explique cómo podría

seleccionarse la muestra aleatoria y definir ¿qué clientes? se deben entrevistar.

4. En un diario de la Ciudad de México se publican frecuentemente los resultados de

diferentes estudios de opinión que se realizan por medio de encuestas en las

principales ciudades del país. En la mayoría de estos estudios se mencionan al final

de los resultados leyendas como esta: el estudio tiene una confiabilidad del 95% para

un error máximo de más o menos 4%. ¿Cómo interpreta estos resultados? Explique.

5. Se desea realizar un estudio entre las personas que escuchan la radio de FM de la

Ciudad de México, para conocer su opinión con respecto a cierta estación de radio.

¿ De que manera se podrían identificar las unidades muestrales y formar el marco

muestral?

6. Mencione y describa el procedimiento para realizar un muestreo no estadístico.

Desarrolle y explique los cuatro métodos más utilizados para tal propósito.

7. Conteste en forma objetiva y concisa las siguientes cuestiones.

a) ¿En qué consiste un muestreo estratificado y bajo que características

especificas de la población es apropiado usar?

b) ¿Cuáles son las características principales de un muestreo sistemático? Dé un

ejemplo

c) ¿Cuáles son los tipos de muestreo no probabilísticas? Enúncielos y

descríbalos brevemente; muestre un ejemplo de aplicación de cada uno.

d) Un cierto despacho que se dedica a hacer estudios de mercado, desea

realizar una investigación para conocer; ¿cuál es el promedio de consumo

mensual de gas doméstico en los domicilios de cierta ciudad? Debido a que la

población se encuentra muy dispersa se necesita aplicar un muestreo por

conglomerados de tipo bi-etápico, dos etapas. ¿Cuál es la forma más

conveniente para definir y seleccionar los conglomerados y las unidades

muestrales?


e) Un despacho que se dedica especialmente a realizar estudios de opinión, ha

recibido una propuesta para hacer una investigación que tiene como finalidad

calcular el “ rating” de un programa de radio que se trasmite tres días a la

semana a las 17.00 Hrs. La encuesta para medir el “reating” del programa

radiofónico es sobre los partidos políticos y se hará telefónicamente. Diseñe el

plan de muestreo del estudio. Haga uso de los supuestos que considere

necesarios.

f) Una empresa que edita el periódico local de una cierta ciudad desea hacer un

estudio de mercado entre las familias que viven en la entidad con el fin de

conocer su opinión sobre el formato del diario. Desarrolle y explique de

manera detallada el “plan de muestreo” para el estudio. Haga uso de los

supuestos que considere necesarios; especifique la técnica de muestreo

apropiada.

8. Conteste como verdadero o falso las siguientes cuestiones. En caso de ser falsa la

pregunta, diga ¿por qué?, y escriba la respuesta correcta.

a. Si el tamaño de la población ( N ) es menor al 5% del tamaño de la

muestra (n), la población se considera infinita ______ ( ) b. El muestreo no probabilístico permite una moderada inferencia en la

conclusión sobre los parámetros de la población _____ ( )

c. El muestreo estratificado se aplica principalmente cuando la población

se encuentra muy dispersa_______________________( )

d. El muestreo bi - étapico (o de dos etapas); es una variación del muestreo por conglomerados _____________________ ( )

e. Si la confiabilidad aumenta el tamaño de la población aumenta_ ( )

9. A un fabricante de productos electrónicos le gustaría realizar una encuesta entre los

consumidores de una de sus marcas líderes en ventas. El propósito de la

investigación es medir el nivel de satisfacción de sus clientes con respecto al uso del


producto, también se desea conocer la opinión de los consumidores sobre el servicio

que ofrecen los distribuidores.

a) Identifique la población y el marco muestral para el estudio, que tipo de muestreo podría usarse para realizar el estudio.

b) Describa la forma en podría tomarse una muestra aleatoria mediante el uso del

marco muestral identificado anteriormente.

c) ¿Podría utilizarse un muestreo estratificado? En caso afirmativo, ¿por qué?

10. Conteste como verdadero o falso las siguientes cuestiones. En caso de que la

cuestión sea falsa explique ¿por qué?, y escriba la respuesta correcta.

a) Para una significancia de 0.20, el valor de “z” para el calculo de la muestra en un muestreo simple aleatorio es de 1.32 ____________________ ( )

b) El muestreo sistemático constituye una alternativa valida, cuando la recolección

de los datos en el muestreo simple aleatorio se complica debido a problemas de

aleatorización con las unidades de muestreo _____________ ( )

c) Se realizó un muestreo simple aleatorio entre las 60,000 tiendas de una cadena comercial para estimar “P” (porcentaje de elementos de la población que tiene una cierta característica de interés). Al utilizar un muestreo simple aleatorio con datos cualitativos para población infinita, utilizando un error de estimación de 5% y una confiabilidad de 95%, el tamaño de la muestra debe ser 400 ____( )

d) Un criterio comúnmente aceptado para calcular el tamaño de una muestra, para un muestreo no estadístico, es tomar al menos el 10% de los elementos de la población _________________________________________ ( )

e) Al estimar un cierto parámetro poblacional con los datos de una muestra elegida

estadísticamente, el cálculo del intervalo de confianza para el valor del parámetro, nunca puede ser mayor al error de estimación que se usó al calcular el tamaño de la muestra_________________________________________ ( )


PRUEBA COMPRENSIVA 1. ¿Cuál de las siguientes definiciones corresponde a un número aleatorio?

a. Es un número cuya secuencia sigue un patrón definido b. Es un número cuya ocurrencia es independiente del número inmediato

anterior c. Es un número obtenido al azar por medio de una secuencia lógica d. Es un número cuya secuencia es fácilmente predecible

2. ¿ Cómo se afecta el tamaño de la muestra cuando se incrementa de 95% a 99% el grado de confianza con que se estima el porcentaje de éxitos de la población

a. El tamaño de la muestra se incrementa b. La precisión disminuye c. La probabilidad del error de estimación aumenta d. Ninguna de las anteriores

3. Si el tamaño de la muestra es menor al 5% del tamaño de la población, entonces el

error estándar para la media está dado por:

a. nσ

b. nσ

1nnN

−−

c. nσ

1NnN

−−

d. Nσ

4. El nivel de precisión en el muestreo se define como:

a. La probabilidad del error de estimación b. La diferencia entre el valor real y el valor estimado c. El intervalo en donde se encuentra el verdadero valor del parámetro d. El valor que hay que agregar al estimador para obtener el intervalo.

5. ¿Cuál de los siguientes procedimientos de muestreo representa una muestra

aleatoria?

a. Se selecciona una muestra aleatoria de cada cinco personas que salen de la puerta de un centro comercial, comenzando a una determinada hora

b. Se elige al azar una pagina del directorio telefónico y se seleccionan todos los números telefónicos de la pagina


c. Se escribe el nombre de los 40 integrantes de un grupo y se depositan en un sombrero, se sacan 10 papelitos revolviendo el sombrero en cada substracción

d. Ninguno de los anteriores

6. ¿Cuál de los siguientes es un método para seleccionar la muestra de una población?.

a. Muestreo por aproximaciones b. Muestreo parcialmente aleatorizado c. Muestreo por conveniencia d. Muestreo por bondades numéricas

7. Sí el error de estimación se incrementa en una proporción mayor a la confiabilidad, el tamaño de muestra.

a. Disminuye b. Aumenta c. Aumenta en la misma proporción d. Se mantiene igual

8. El empleo de una muestra estadística permite:

a. Analizar adecuadamente la muestra b. Resumir científicamente los resultados obtenidos en el análisis de la

muestra c. Establecer conclusiones validas sobre la población d. Establecer conclusiones validas sobre la muestra

9. Ud. está tomando muestras de una población con una media aritmética conocida de 34 ¿qué tamaño de muestra garantizará que la media de la muestra sea 34?

a. 34 b. 0 c. 67 d. Ninguna de las anteriores

10. La corrección para población finita en el calculo del tamaño de la muestra tiene que usarse cuando la fracción de la muestra con respecto a la población es.

a. Menor que 0.010 b. Mayor que 0.05 c. Menor que 0.05 d. Ninguna de las anteriores

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