materia de matematicas basica ii

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MATEMÁTICAS BÁSICA II Porcentajes. Es la proporción en base 100. Ejemplo: 9% que de cada 100 unidades recibo 9 tanto por ciento. 0.09 tanto por uno. Representación del porcentaje (%) Tanto porciento Tanto por uno 10% 0,40 20% 0,43 30% 0,09 Del porcentaje (%) transformar al tanto por uno: Porcentaje Tanto por uno 50% 0,50 12% 0,12 160% 1,60

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Materia de Matematicas Basica II

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MATEMTICAS BSICA II

Porcentajes.Es la proporcin en base 100. Ejemplo:9% que de cada 100 unidades recibo 9 tanto por ciento.0.09 tanto por uno.

Representacin del porcentaje (%)Tanto porciento Tanto por uno 10% 0,40 20% 0,43 30% 0,09

Del porcentaje (%) transformar al tanto por uno:Porcentaje Tanto por uno 50% 0,50 12% 0,12 160% 1,60 400% 4 6% 0,06

Para realizar esto se divide para 100 y se simplifica el signo del porcentaje.Tambin podemos decir que recorre la como hacia la izquierda dos espacios.

Del tanto por uno transformar al porcentaje (%):Tanto por uno Porcentaje 3,24 324% 0,07 7% 0,70 70% 5,32 532% 4,25 425%Para realizar esta operacin se multiplica para y se aumenta el signo del porcentaje.Tambin se recorre la coma hacia la derecha dos espacios.

Ejemplos de prctica:4 % 0,04751 1/8% 0,01137 % 0,075 5 % 0,0525

Como calcular el porcentaje (%).Podemos calcularle haciendo la regla de 3.

Determine:Hallar el 10% de 900:900 100% X 10% X = X = 90

Hallar el 13% de 310:310 100% X 13% X = X = 40,3Hallar el 19% de 530:530 100% X 19% X = X = 100,7Hallar el 20% de 750:X = 0,20 (750)X = 150

Qu porcentaje de 500 es 60?500 100% 60 X X = X = 12%Qu porcentaje de 480 es 90?480 100% 90 X X = X = 18,75%Qu porcentaje de 600 es 35?600 100% 35 X X = X = 5,83%

De qu cantidad es 60 el 12%? 60 12% X 100% X = X = 500De qu cantidad es 50 el 19%? 50 19% X 100% X = X = 263,16De qu cantidad es 35 el 14%? 35 14% X 100% X = X = 250

Calcular el porcentaje de quien estudia pasa y de quien no estudia Quien estudia pasa Quien no estudia X X = X = no pasa

UTILIDADU = P.V - P.CU = utilidadP.V = precio de ventaP.C = precio de compra

Ejemplo:Hallar la utilidad de 1 pantaln cuyo precio de costo es de $35 y desea vender con una utilidad del 20% sobre el precio de costo.Datos: P.C = 35 U = 0.20 (35) 35+7 = $ 42 se vendeP.V = ? U = $ 7 U = 0,20 P.CHallar en precio de venta al que se debe marcar 1 vestido si se adquiere en $170 y desea obtener una utilidad del 40% sobre el precio de venta.Datos: P.C = 170 U = P.V P.C P.V = ? 0.40P.V = P.V -170 U = 0,40 P.V 170 = P.V 0,40P.V 170 = 0,60 P.V 170/0,60 = P.V P.V = $ 283,33Hallar a qu precio se adquiri 1 rueda que se vendi en $145 con una utilidad del 15% con el precio de compra. Exprese la utilidad en funcin al precio de venta. Exprese la utilidad en funcin al precio de compra.Datos:P.V = 145 U = P.V P.C U = 0,15 P.C 0,15 P.C = 145 P.CP.C = ? P.C + 0,15 P.C = 145 1,15 P.C = 145 P.C = 145/1,15 P.C = $ 126,09La utilidad en funcin al precio de compra.U = 0,15 (126,09) 126,09 100%U = 18,91 18,91 X X = 15%La utilidad en funcin al precio de venta. 145 100% 18,91 X X = 13%APLICACIN DE PORCENTAJES

Los porcentajes se utilizan generalmente para los pagos de una factura.Ejemplo:

Hallar el valor de la factura de la venta de una cocina cuyo precio de lista es $650 sobre el cual se ofrece un descuento del 9% por la venta al contado.Datos:P.V = 650 650 100% P.F = P.V dD = 9% X 9% X = 58,5 P.F = 650 58,5P.F = ? P.F = $ 591,56Directo P.F = P.V ( 1 d )P.F = 650 (1- 0,09)P.F = 650 ( 0,91)P.F = $ 591,50

Un almacn vende refrigeradoras cuyo precio de lista es de $ 720 y ofrece un descuento del 17% por la compra al contado. Hallar al valor de la factura.Datos:P.V = 720 V.F = P.V (1 d )D = 17% V.F = 720 (1 0,17)P.F = ? V.F = 720 ( 0,83) V.F = $ 597,60

Hallar el valor de la factura de una bicicleta cuyo precio de lista es de $390 y se ofrece un descuento de 4 % por la compra al contado.Datos:P.V = 390 P.F = P.V (1- D)D = 4 % P.F = 390 (1 0,045)P.F = ? P.F = 390 (0,955) P.F = $ 372,45

Hallar el valor de la facture de un electrodomstico cuyo precio de lista es de $190 y se aplica un descuento del 3 % y se cobra un impuesto adicional del 8%.Datos:P.V = 190 P.F = P.V (1 - d) (1 + imp.) D = 3 % P.F = 190 (1 - 0, 0375) (1 + 0, 08)Imp. = 8% P.F = 190 (0, 9625) (1, 08) P.F = $ 197, 51

Hallar el valor de la facture de un artculo cuyo precio de lista es $790 se aplica un descuento del 9 % por la compra al contado y se cobra el respectivo IVA.Datos:P.V = 790 P.F = P.V (1 - d) (1 + IVA) D = 9 % P.F = 790 (1 - 0,0925) (1 + 0,12)IVA = 12% P.F = 190 (0,9075) (1,12) P.F = $ 802,96

Hallar el precio de la factura de un documento cuyo precio de lista es $670 y se aplica un descuentos especiales del 10% y 7% respectivamente con el impuesto que rige aqu en el pas.Datos:P.V = 670 P.F = 670 (1 - 0,10) (1 0,07) (1 + 0,12)D= 10% y 7% P.F = 670 (0,90) (0,93) (1,12)IVA = 12% P.F = $ 628,08

Hallar el precio de la factura por la compra de 5 radios cuyo precio de lista individual es de $130 y se aplica descuentos especiales de 3%, 7% y 15% respectivamente y un impuesto del 6% aparte del impuesto vigente.Datos:P.V = 650 P.F = 650 (1-0,03) (1 0,07) (10,15) (1+0,06) (1+0,12) D = 3%, 7% y 15% P.F = 650 ( 0,97 ) ( 0,93 ) ( 0,85 ) ( 1,06 ) ( 1,12 )Imp. = 6% P.F = $ 591,71IVA = 12%

CALCULO DE LA n Y CALCULO DE LA iCalcule i de las siguientes expresiones:(1 + i )19 = 3,379942i = (3, 379942)1/19i = 6, 6197%

(2 + i)25 +3/4 = ( 7 2/3 )2 + 6(2 + 1)25 = 45,361i = (45,361)1/25i = -83, 5157%( 1 + i )7 + 8 1/3 15 = ( 7 + 1/5 )3 + ( )2 8( 1 + i )7 = 372,4772i = (372, 4772)1/7i = 132, 9699%

Calcule n de las siguientes expresiones:( 1 + 3/2 )n = ( 4 + 5/9 )2 9 3/7(2,5)n = 13,9325n log (2,5) = log ( 13,9325 )n = n = 2,65

( 2 )2 + 9 1/3 = ( 5 2/3 )n14,3958 = ( 4,33 )nn log ( 4,33 ) = log ( 14,3958 )n = n = 1,8197

PROGRESIONESEjemplos:3, 7, 11, 15, 19, 27 progresin aritmtica creciente/ascendente9, 15, 21, 27, 33, 39 progresin aritmtica creciente/ascendente4, 11, 18, 25, 32, 39, 46 progresin aritmtica creciente/ascendente70, 73, 76, 79, 82, 85, 88 progresin aritmtica creciente/ascendente93, 88, 83, 78, 73 progresin aritmtica decreciente/descendente 2, 5/3, 4/3, 1, 2/3, 1/3, 0, -1/3 progresin aritmtica decreciente/descendente Calculo de la diferenciaSeleccionamos dos trminos consecutivos de la progresin aritmtica y restamos el segundo menos el primero.Ejemplos:7/4, 5/9, -23/36, -11/6, -109/36 progresin aritmtica decreciente/descendente d = 5/9 7/4d = - 43/36

8/3, 9/2, 19/3, 46/6, 10 progresin aritmtica creciente/ascendented = 9/2 8/3d = 11/6

7/4, 3/5, -11/20, -17/10, -57/20 progresin aritmtica decreciente/descendente d = 3/5 7/4d = - 23/20

Calculo del ensimo trmino3, 8, 13, 18, 23a1; a1 + d; a1 +2dEjemplo:

29 T = a1 + 28d = 3 + 28(5) = 143112 T = a1 + 111d = 3 + 111(5) = 558

an = a1 + ( n 1 ) d an = ultimo termino a1 = primer termino n = numero de terminod = diferencia

Calculo de la suma de trminos

S = n/2 ( a1 + an )S = sumatorian = numero de terminoa1 = primer termino an = ultimo termino

Hallar el trmino 30 y la suma respectiva de la siguiente progresin:4, 13

Datos:a1 = 4 an = a1 + ( n 1 ) d S = n/2 ( a1 + an )n = 30 an = 4 + ( 30 1 ) 9 S = 30/2 ( 4 + 265 )d = 13 4 = 9 an = 265 S = 15 ( 269 )an = ? S = 4035S = ?

Hallar el trmino 23 y la suma respectiva de la siguiente progresin:6, 10Datos:a1 = 6 an = a1 + ( n 1 ) d S = n/2 ( a1 + an )n = 23 an = 6 + ( 23 1 ) 4 S = 23/2 ( 6+ 95 )d = 4 an = 94 S = 11,5 ( 100 )an = ? S = 1150S = ?

Hallar el trmino 24 y la suma respectiva de la siguiente progresin:1/2, 3/5Datos:a1 = 1/2 an = a1 + ( n 1 ) d S = n/2 ( a1 + an )n = 24 an = 1/2 + ( 24 1 ) 1/10 S = 24/2 ( 1/2 + 2,8 )d = 1/10 an = 2,8 S = 12 ( 33/10 )an = ? S = 198/5S = ?Hallar el trmino 27 y la suma respectiva de la siguiente progresin:1/4, 6/5Datos:a1 = 1/4 an = a1 + ( n 1 ) d S = n/2 ( a1 + an )n = 27 an = 1/4 + ( 27 1 ) 19/20 S = 27/2 ( 1/4 + 24,95)d = 19/20 an = 24,95 S = 13,5 ( 269 )an = ? S = 1701/5S = ?Hallar los trminos que faltan en la progresin siguiente:Datos:a1 = 4 an = a1 + ( n 1 ) d S = n/2 ( a1 + an )n = 30 an = 4 + ( 30 1 ) d 420 = 30/2 ( 4 + 4 + 29d ) d = ? an = 4 + 29d 420 = 15 ( 8 + 29d )an = ? an = 4 + 29(20/29) 420 = 120 +435d S = 420 an = 24 300 = 435d 300/435 = d d = 20/29

Hallar los trminos que faltan en la progresin siguiente:Datos:a1 = ? an = a1 + ( n 1 ) d S = n/2 ( a1 + an )n = ? 21 = a1 + ( n 1 ) 5 520 = n/2 (a1 + 21) d = 5 21 = a1 + 5n -5 1040 = n (a1 + 21)an = 21 26 = a1 + 5n 1040= n (26 5n +21) S = 520 26 5n = a1 1040 = n ( 47 5n ) 1040 = 47n 5n2 5n2 47n + 1040 = 0

No existe progresin

Las edades de 4 amigas estn en progresin aritmtica creciente de modo que sumado la edad de la primera con la ltima tenemos 81 y multiplicados los mismos nos da 1368 determine las edades de las amigas.a1 + a1 + 3d = 81 a1 (a1 + 3d) = 13682 a1 + 3d = 81 a12 + 3 a1d = 1368 d = 81 - 2a1 / 3 a12 + 3 a1 (81 - 2 a1 / 3) = 1368 a12 + 81a1 - 2a12 = 1368 a12 - 81a1 +1368 = 0

a1 = 57a2 = 24

Calcule 3 nmeros en progresin aritmtica que suman 27 siendo las sumas de sus cuadrados 511/2a1 d + a1 + a1 + d = 27 (a1 + d )2 + a12 + (a1 + d )2 = 511/23 a1 = 27 ( 9 + d )2 + 81+ ( 9 + d )2 = 511/2a1 = 9 81 18d + d2 81 + 81 + 18d + d2 = 511/2 243 + 2d2 = 511/2 2d2 = 511/2 - 243 2d2 = 25/2 = d = 5/2

El cuarto numero de una progresin aritmtica es 10 y es sexto es 16 escriba la progresin a4 = a1 + 3d -10 = -a1 - 3d 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19a6 = a1 + 5d 16 = a1 + 5d 6 = // 2d d = 3 Escriba 3/2 aritmticos entre 3 y 23Datos:a1 = 3 an = a1 + ( n 1 ) d 3, 8, 13, 18, 23d = 23 = 3 + (4) dan = 23 23 = 3 + 4dn = 5 20 = 4d d = 5Evelyn adquiere una computadora y se compromete a pagar el primer mes $180 el Segundo $195 el tercero $210 y as sucesivamente. Determine el precio de la computadora si Evelyn lo hizo en 1 ao y medio.Datos:a1 = 180 S = n/2 ( 2a1 + (n-1) d )n = 18 S = 9 ( 360 + 255 )d = 15 S = 5535

PROGRESIONES GEOMTRICAS 3, 12, 48, 1924, 16, 64, 256, 1024.16, 8, 4, 2, 1, , .2, -12, 72, -432, 2592Calculo de la razn Seleccionamos dos elementos consecutivos d la progresin geomtrica y se divide el segundo para el primero.r = 48/12 r = 2592/-432 r = / r = 4 r = -6 r = Es progresin geomtrica creciente cuando la razn es un nmero entero Es progresin geomtrica decreciente cuando la razn es una fraccin.

Calculo del ensimo o ltimo trmino y la suma an = a1 . r n - 1 a1 - a1 . r n S =

S =

an = ltimo trmino 1 r a1 = primer trmino r = razn a1 - an . r n = nmero de trminos 1 r S = sumatoria

Hallar el trmino 36 y la suma respectiva de la progresin siguiente3, 15, 75Datosa1 = 3 an = a1 . r n 1 S = n = 36 an = 3 . 535 S = r = 5 an = 8,73x1024 S = 1,09x1025an = ?S = ?

Hallar el trmino 40 y la suma respectiva de la progresin siguiente.7, 18, 112

Datosa1 = 7 an = a1 . r n 1 S = n = 40 an = 7 . 439 S = r = 4 an = 2,11x1024 S = 2,82x1024an = ?S = ?

Hallar el trmino 25 y la suma respectiva de la progresin siguiente.3, 9/5

Datosa1 = 3 an = a1 . r n 1 S = n = 25 an = 3 . 3/524 S = r = 3/5 an = 1,42x10-5 S = 2,99an = ?S = ?

Hallar el trmino 15 y la suma respectiva de la progresin siguiente.4, 12Datosa1 = 4 an = a1 . r n 1 S = n = 15 an = 4 . 314 S = r = 3 an = 19131876 S = 28697818an = ?S = ?

Hallar los trminos que faltan:

Datosa1 = ? an = a1 . r n 1 S = n = ? 620 = a1 . 4n 1 1040 = r = 4 620/-640 = 4n 1 1040 = an = 620 31/-32 = 4n 1 -3120 = S = 1040 log(31/-32) = (n 1) log 4 = -2480 + 3120 = -640

No existe progresin

Hallar los trminos que faltan:

Datosa1 = 5 an = a1 . r n 1 S = n = 7 240 = 5 . r6 S = r = ? r = S = 501, 11an = 240 r = 1,90 S = ?

Hallar los trminos que faltan:

Datosa1 = 10 an = a1 . r n 1 S = n = 9 an = 10 . r8 200 = r = ? 200 200r = 10 10r9 an = ? 200 10 = - 10r9 + 200rS = 200 190 = 10r ( r8 + 20) 19r -1 = r8 + 20 18r7 = 20 r7 = 20/18 No existe progresin AplicacionesCierta maquina tena un valor actual de $ 25000 al final de cada ao se deprecia un 15%, se desea calcular su valor despus de 6 aos de uso.Datos:C = 25000 a1 = C (1 d) d = 0,15 a1 = 25000(0,85)n = 6 a1 = 21250

a1 = 21250 an = a1 . r n 1 r = 0,85 an = 21250 (0,85) 5 n = 6 an = $ 9428,74an = ?

Una persona adquiere una mquina en $35000 y sufre una depreciacin mensual del 9% del costo que tena al principio del mes. Hallar el valor de la mquina despus de 4 aos de uso.

Datos:C = 35000 a1 = C (1 d) d = 0,09 a1 = 35000(0,91)n = 48 a1 = 31850

a1 = 31850 an = a1 . r n 1 r = 0,91 an = 31850 (0,91) 47 n = 48 an = $ 378,49an = ?Progresiones armnicas

Son el inverso de la progresin aritmtica.5, 8, 11, 14, 17, 20 progresin aritmtica1/5, 1/8, 1/11, 1/14, 1/17, 1/20 progresin armnica an = a1 + ( n 1 ) d S = n/2 ( a1 + an )

Se hace 1 sobre y se transforma a progresin armnica

Ejemplo

Hallar el termino 30 y la suma de los primeros trminos de la progresin siguiente.1/2 , 1/7 progresin armnica

2, 7 se transforma a progresin aritmtica Datosa1 = 2 an = a1 + ( n 1 ) d S = n/2 ( a1 + an )n = 30 an = 2 +(29)5 S = 15 (2 + 147)d = 5 an = 147 S = 2235an = ? an = 1/147 S = 1/2235 progresin armnica S = ?

Hallar el termino 18 y la suma de los primeros trminos de la progresin siguiente.3, 6, 9 progresin aritmtica

Datosa1 = 3 an = a1 + ( n 1 ) d S = n/2 ( a1 + an )n = 18 an = 3 +(17) 3 S = 9 (3 + 54)d = 3 an = 54 S = 513an = ? an = 1/54 S = 1/513 progresin armnica S = ?

Inters simple

La Institucin financiera recibe tasa pasivaInters

Los usuarios pagan tasa activa

Cuando la persona realiza prstamos es una tasa pasivaCuando la persona deposita, invierte es una tasa activaGeneralmente la tasa del inters est dado t = I/C este es a un ao.Ejemplo:Hallar la tasa de inters que genera un capital de $650 si su inters es $30.DatosI = 30 i = C = 650 i = i = ? i = 4,61%Hallar la tasa de inters que genera un capital de $950 si su inters es $170.DatosI = 170 i = C = 950 i = i = ? i = 17,895%

El inters simple se calcula con la siguiente formula: I = C . i . tI = inters simple C = capitali = tasa de interst = tiempoHallar el inters que genera un capital de $1950 colocados a una tasa de inters del 19% durante 3 aosDatosC = 1950 I = C . i . ti = 0,19 I = 1950 . 0,19 . 3t = 3 I = 111,5I = ?Hallar el inters que genera un capital de $23230 colocados a una tasa de inters del 6 3/4% durante 1 ao y medioDatosC = 23230 I = C . i . ti = 0,0675 I = 23230 . 0,0675 . 1.5t = 1,5 I = 2352,04Hallar el inters que genera un capital de $2870 colocados a una tasa de inters del 6 4/5% durante 9 mesesDatosC = 2870 I = C . i . ti = 0,068 I = 2870 . 0,068 . 9/12t = 9 meses I = 146,37I = ?Hallar el inters que genera un capital de $15690 colocados a una tasa de inters del 13 1/4% durante 17 mesesDatosC = 15690 I = C . i . ti = 0,1325 I = 15690 . 0,1325 . 17/12t = 17meses I = 2945,14I = ?Hallar el inters que genera un capital de $17615 colocados a una tasa de inters del 8% durante 1/4 de aoDatosC = 17615 I = C . i . ti = 0,08 I = 17615 . 0,08 . 3/12t = 3 meses I = 352,3I = ?Hallar el inters que genera un capital de $300 colocados a una tasa de inters del 2% durante 120 das DatosC = 300 I = C . i . ti = 0,02 I = 300 . 0,02 . 120/365t = 120 das I = 1,97Tipos de inters simple Inters simple exacto Inters simple ordinarioInters simple exacto.- cuando realizamos el ao calendario es decir (365-366 das)Inters simple ordinario.- cuando se usa el ao comercial es decir (360 das)

Calculo del tiempo1. Tiempo exacto2. Tiempo aproximado Hay que restar la fecha final con la fecha inicial.Ejemplo.Hallar el tiempo transcurrido desde el 5 de mayo del 2013 hasta el 1 de marzo del ao siguiente en forma exacta y en forma aproximada.Tiempo aproximado Tiempo exacto a m d 602014 03 01 -1252013 05 05 -65 +3652013 15 01 pido un ao 300 das 2013 05 05 El tiempo exacto va hacer siempre 2013 14 31 pido un mes mayor al tiempo aproximado2013 05 05 // 09 26T.A = 9(30) +26T.A = 296 das Hallar el tiempo transcurrido desde el 20 de abril del 2002 hasta el 25 de febrero del 2004 en forma exacta y en forma aproximada.Tiempo aproximado Tiempo exacto a m d 562004 02 25 -1102002 04 20 -54 +7302003 14 25 pido un ao 676 das 2002 04 20 1 10 05T.A = 360 +10(30) + 5T.A = 665 das Hallar el tiempo transcurrido desde el 17 de agosto del 2003 hasta el 10 de marzo del 2004 en forma exacta y en forma aproximada.Tiempo aproximado Tiempo exacto a m d 692004 03 10 -2292003 08 17 +366 206 das 2003 15 10 pido un ao 2003 08 17 2003 14 40 pido un mes 2003 08 17 // 6 23T.A = 203 das Hallar el inters simple de un capital de $ 970 colocados con un tasa del 9% durante el 6 de mayo del 2013 hasta el 5 de abril del 2014 en sus 4 formas.2013 15 35 95 ISE con T.A 2013 05 06 -126 I = 970 (0,09) (329/365) // 10 29 +365 I = 78,69T.A = 329 das T.E = 334 das ISE con T.E I = 970 (0,09) (334/365) ISO con T.A I = 79,89I = 970 (0,09) (339/360) I = 79,78ISO con T.EI = 970 (0,09) (334/360) I = 80,99Hallar el inters simple de un capital de $ 12510 colocados con un tasa del 7 % durante el 6 de agosto del 2011 hasta el 23 de noviembre del 2013 en sus 4 formas.2013 11 23 327 ISE con T.A 2011 08 06 -218 I = 12510 (0,0775) (828/365) 2 3 17 +731 I = 2199,36T.A = 828 das T.E = 840 das ISE con T.E I = 12510 (0,0775) (840/365) ISO con T.A I = 79,89I = 12510 (0,0775) (828/360) I = 2229,91ISO con T.E I = 12510 (0,0775) (840/360) cobra la institucin financiera I = 2262,23Calcular el inters que gana un capital de $7000 con una tasa de inters de 3 % anual desde el 27 de febrero hasta el 3 de diciembre del mismo ao.11 33 ISE con T.A 02 27 337 I = 7000 (0,035) (276/365) 9 6 -58 I = 185,26T.A = 276 das T.E = 279 das ISE con T.E I = 7000 (0,035) (279/365) ISO con T.A I = 187,27I = 7000 (0,035) (276/360) I = 187,83ISO con T.EI = 7000 (0,035) (279/360) I = 189,88Hallar el inters simple de un capital de $6800 colocados con un tasa del 5% desde el 30 de septiembre 2007 hasta el 1 de abril del 2014 del siguiente ao.2007 15 31 91 ISE con T.A 2007 09 30 -273 I = 6800 (0,05) (182/365) // 6 1 +366 I = 169,53T.A = 182 das T.E = 184 das ISE con T.E I = 6800 (0,05) (184/365) ISO con T.A I = 171,39I = 6800 (0,05) (182/360) I = 171,89ISO con T.EI = 6800 (0,05) (184/360) I = 173,78Monto simple M = C + I M = C ( 1 + i . t ) i = I/C I = C.i.t

1 ao = 360 das = 2 semestres = 4 trimestres = 2.4 quimestresHallar el monto de un capital de $3700 colocados con una tasa del 5% anual a 11 meses.DatosC = 3700 M = C ( 1 + i . t ) i = 0,05 M = 3700 (1 + 0,05(11/12))t = 11 meses M = 3869,58Hallar el monto de un capital de $4800 colocados con una tasa del 2,7% mensual desde el 10 de abril hasta el 23 de diciembre del mismo ao.DatosC = 3700 M = C ( 1 + i . t ) i = 0,05 M = 4800 (1 + 0,027(257/30))t = 357 M = 5910,24 -100 257 das Hallar el monto de un capital de $6900 colocados con una tasa del 11% semestral desde el 10 de agosto hasta el 29 de noviembre del mismo ao.DatosC = 6900 M = C ( 1 + i . t ) i = 0,11 M = 6900 (1 + 0,11(111/180))t = 333 M = 7368,05 -222 111 das Hallar el monto de un capital de $7000 colocados con una tasa del 17% trimestral desde el 6 de agosto del 2002 hasta el 3 de febrero del siguiente ao.DatosC = 7000 M = C ( 1 + i . t ) i = 0,17 M = 7000 (1 + 0,17(181/80))t = 34 M = 9393,22 -218 365 181 das Hallar el monto de un capital de $13000 colocados con una tasa del 19% desde el 15 de marzo hasta el 3 de noviembre del siguiente ao.DatosC = 13000 M = C ( 1 + i . t ) i = 0,19 M = 13000 (1 + 0,19(598/360))t = 307 M = 17102,94 -74 365 598 das Hallar el monto de un capital de $12800 colocados con una tasa del 0,25% diario desde el 3 de mayo hasta el 1 de diciembre del mismo ao.DatosC = 12800 M = C ( 1 + i . t ) i = 0,0025 M = 12800 (1 + 0,0025(212))t = 335 M = 19584 -123 212 das Calculo del capital Tambin se lo conoce como valor presente, valor actual.C =

Grafica de tiempo y valores.

Valor presente Valor Valor alMonto

Valor nominal vencimientoTiempo fecha de fecha de Suscripcin vencimiento Fecha de negociacin

Ejemplo:

Determine el valor actual al da d hoy de un documento de $350 que vence en 200 das plazo considerando una tasa de inters del 7%.

336,90 3500 2001 C = C = C = 336,90En el ejercicio anterior calcule el valor presente 40 das antes de su vencimiento.

336,90 350 0 160 -40 200

C = C = C = 347,30

Hallar el valor presente de un documento de $2800 suscrito en 7 de abril con una tasa del 1% mensual hasta el 7 de octubre del mismo ao, el 15 de julio del mismo ao considerando una tasa de inters del 17%

2800 2970,80 7/abril 15/julio 7/octubre 97 196 280t) 280 M = C ( 1 + i . t ) C = - 97 M = 2800 (1 + 0,01(183/30)) C = 183 das M = 2970,80 C = 2857,45t) 280 -146 84 das El 13 de febrero se firma un documento $5100 con vencimiento en 230 das plazo con una tasa del 20% trimestral calcule el valor actual, el 5 de junio del mismo ao considerando una tasa de inters del 16% semestral. i = 0,20 trimestral 5100 7706,67 13/febrero 5/junio 1/octubre 44 156 274 i = 0,16 semestralM = C ( 1 + i . t ) t) 274 C = M = 5100 (1 + 0,20(230/90)) -156 C = M = 7706,67 118 das C = 6975,06Un documento de $9300 se firma el 13 de noviembre del 2007 con una tasa de inters del 1% mensual desde su suscripcin, el documento vence el 5 de marzo del siguiente ao determine el valor actual de ese documento el 2 de febrero si se aplica una tasa del 9% semestral. i = 0,01 mensual 9300 9650,30 13/noviembre/2007 2/febrero 5/marzo 317 33 64 i = 0,09 semestralt ) 64 M = C ( 1 + i . t ) t) 64 C = -317 M = 9300 (1 + 0,01 (111/30)) -33 C = 366 M = 9650,30 31 das C = 9503,00 113 das

Un documento de $8600 se firma el 5 de junio para meses plazo con una tasa 3% mensual determine el valor actual, el 12 de octubre con una tasa del 9% semestral i = 0,03 mensual 8600 10406 5/junio 12/octubre 5/enero 156 285 5 i = 0,09 semestralM = C ( 1 + i . t ) t) 5 C = M = 8600 (1 + 0,03(7)) -285 C = M = 10406 365 C = 9981,77 85 das

Un documento de $5800 se suscribe el 7 de enero con una tasa del 14% a 7 meses plazo hallar el valor actual a 3 meses antes de su vencimiento si la tasa es del 20% trimestral. i = 0,14 anual 5800 6273,66 7/enero 3 meses antes 5/enero 7 219 i = 0,20 trimestral M = C ( 1 + i . t ) t) 188 C = M = 5800 (1 + 0,14(7/12)) -127 C = M = 6273,66 61 das C = 5228,05

Hallar el valor actual de un documento firmado por $20000 con una tasa del 15% semestral desde el 11 de noviembre del 2007 hasta el 23 de febrero del siguiente ao, el 4 de enero de 1908 con una tasa del 22% trimestral. i = 0,15 semestral 20000 21750 11/noviembre/2007 4/enero 23/febrero 315 4 54 i = 0,22 trimestral t ) 54 M = C ( 1 + i . t ) t) 54 C = -315 M = 20000(1 + 0,15 (105/180)) - 4 C = 366 M = 21750 50 das C = 19381,19 105 das

Calculo de la tasa de inters

i = cuando no se conoce el monto i = cuando se conoce el monto Hallar la tasa de inters de un documento de $3800 que genera un inters de $ 60 en 170 das. DatosC = 3800 i = I = 60 i = t = 170 das i = 3,34%

Determine a que tasa de inters mensual se debe colocar un capital de $9500 para obtener el triple en 280 das. DatosC = 9500 i = t = 280 das i = M = 28500 i = 21,4286%Hallar a que tasa de inters trimestral se debe colocar un capital de $12500 para que produzca $17100 desde el 4 de noviembre del 2007 hasta el 20 de marzo del 2010. DatosC = 12500 i = M = 17100 i = t = 79 i = 3,82010% -308 +1096 867 dasHallar a que tasa de inters semestral se debe colocar un capital de $2000 para que produzca veces ms colocados desde 7 de octubre hasta el 30 de diciembre del mismo ao. DatosC = 2000 i = M = 3500 i = t = 364 280 = 84 das i = 160, 7143%

Hallar a que tasa a la que se debe colocar un capital de $15000 para que produzca $22000 durante 11 meses. DatosC = 15000 i = M = 22000 i = t = 11 meses i = 50, 9191%Hallar a que tasa de inters semestral se debe colocar un capital de $8000 para que me genere $11300 durante 7 meses.DatosC = 8000 i = M = 11300 i = t = 7 meses i = 35, 3571%

Calculo del tiempo

t = cuando no se conoce el monto t = cuando se conoce el montoHallar en que tiempo un capital de $ 7200 produce un inters de $ 350 con una tasa del 9%.t = t = t = 0, 5401 aost = 194 das t = 6 meses, 14 das, 11horas.

En qu tiempo un capital de $ 6400 se convirti en $ 13800 con una tasa del 15% semestral.t = t = t = 7,70 semestrest = 1388 dast = 4 meses, 7 das, 2 horas.

En qu tiempo un capital de $ 2200 se convierte en $ 3000 con una tasa del 3% mensual.t = t = t = 4 meses, 3 das, 15 horas.t = 364 das

Inters de saldos deudores

En muchas instituciones y casas comerciales que operan con crdito utilizando mecanismos para calcular el inters sobre saldos deudores es decir sobre saldos que quedan despus de reducir cada cuota que se paga.Existen 2 mtodos que son: Acumulacin de inters ( mtodo lagarto) Acumulacin de intereses sobre saldos deudores.

Ejemplos:Una cooperativa de ahorro y crdito otorga un prstamo por $ 8000 a 13 meses plazo con una tasa del 3% mensual determine el valor de la cuota fija que se debe pagar por los 2 mtodos.Mtodo lagarto. Mtodo de Saldos Deudores. M = C (1 + i . t) VCSI = I1 = C . i . tM = 8000 (1 + 0,03(13)) VCSI = I1 = 8000(0,03)(1)M = 11120 VCSI = 615,38 I1 = 240

VCF = C1 = VCSI + I1 I2 = C . i . tVCF = C1 = 615,38 + 240 I2 = 7384,42 (0,03)(1)VCF = 855,38 C1 = 855,38 I2 = 221,53 I = M C C2 = VCSI + I2 U = a1 + (n 1) dI = 11120 8000 C2 = 615,38 + 221,53 U = 855,38 + 12 (-18,47)I = 3120 C2 = 836,91 U = 633,74

S = n/2 (a1 + U) CFM = S/# cuotas S = 13/2 (855,38 + 633,74) CFM = 9679,28/13 S = 9679,28 CFM = 744,56 CFM = a1 + U / 2 I = S - C CFM = 855,38 + 633,74 / 2 I = 9679,28 - 8000 CFM = 744,56 I = 1679,28 i = I / C . t i = 1679,28 / 8000(13) i = 1,6151%Una empresa comercial vende autos cuyo precio es de $17000 con una entrada del 30% y el saldo a 4 aos plazo con una tasa del 19%. Determine el valor de la cuota fija mensual que se debe cancelar por los dos mtodos.

Mtodo lagarto. Mtodo de Saldos Deudores. C = 17000(0,70) VCSI = I1 = C . i . t C = 11900 VCSI = I1 = 11900(0,19)(1/12) VCSI = 247,92 I1 = 188,42

M = C (1 + i . t) C1 = VCSI + I1 I2 = C . i . tM = 11900 (1 + 0,19(4)) C1 = 247,92 + 188,42 I2 = 11652,08 (0,19)(1/12)M = 20944 C1 = 436,34 I2 = 184,49

VCF = C2 = VCSI + I2 U = a1 + (n 1) dVCF = C2 = 615,38 + 184,49 U = 436,34 + 47 (-3,93)VCF = 436,33 C2 = 432,41 U = 251,63 I = M C S = n/2 (a1 + U) CFM = S / # cuotasI = 20944 11900 S = 48/2 (436,34 + 251,63) CFM = 16511,52/48I = 9044 S = 16511,52 CFM = 343,99

CFM = a1 + U / 2 I = S - C CFM = 436,34 251,63 / 2 I = 16511,52 - 11900 CFM = 343,99 I = 4611,28 i = I / C . t i = 4611,28/ 11900(4) i = 9,687%Una persona adquiere una casa en $ 35000 da como entrada el 18% y el resto se compromete a cancelar en 5 aos 6 meses con una tasa del 21%. Determine el valor de la cuota mensual por los dos mtodos.

Mtodo lagarto. Mtodo de Saldos Deudores. C = 35000(0,82) VCSI = I1 = C . i . t C = 28700 VCSI = I1 = 28700 (0,21)(1/12) VCSI = 434,85 I1 = 502,25

M = C (1 + i . t) C1 = VCSI + I1 I2 = C . i . tM = 28700(1+0,21(5,5)) C1 = 434,85 + 502,25 I2 = 28700 (0,21)(1/12)M = 61848,5 C1 = 937,1 I2 = 494,64

VCF = C2 = VCSI + I2 U = a1 + (n 1) dVCF = C2 = 434,85 + 494,64 U = 937,1+ 65 (-7,61)VCF = 937,10 C2 = 929,49 U = 442,45 I = M C S = n/2 (a1 + U) CFM = S / # cuotasI = 61848,5 28700 S = 66/2 (937,1+ 442,45) CFM = 45525,16 /66I = 33148,5 S = 45525,16 CFM = 689,78

I = S - C i = I / C . t I = 45525,16 - 28700 i = 16825,15/ 28700(66) I = 16825,15 i = 0,8882%

DESCUENTO SIMPLE O RACIONALDr = M C

Hallar el descuento racional de un documento de $5700 firmado el 20 de abril a 4 meses plazo, si se descuenta el 12 de julio del mismo ao con una tasa del 11%. 5700 5700 20/abril 12/julio 20/agosto 110 193 232 i = 0,11t ) 232 C = Dr = M C I = C . I . t -193 C = - 4 Dr = 5700 - 5632,87 I = 67,13 39 das C = 5632,87 Dr = 67,13Determine el descuento racional de un pagare de $9300 firmado el 11 de mayo a 270 das plazo con una tasa del 15% trimestral, si se descuenta el 5 de enero del siguiente ao con una tasa del 1% mensual. i = 0,15 trimestral 9300 13485 11/mayo 5/enero 5/febrero 131 5 t)31 das 36 i = 0,01mensual M =C(1+i . t) C = Dr = M C M = 9300(1+0,15(270/90) C = - 4 Dr = 13485-13347,08 M = 13485 C = 13347,08 Dr = 67,13Un comerciante firma el 5 de agosto del 2007 un pagare por $ 5700 a 235 das plazo con una tasa del 9%, determine el descuento racional 20 das antes de su vencimiento con una tasa del 22% semestral. i = 0,19 5700 6406,96 5/agosto 20 das antes 28/marzo 217 i = 0,22 87M =C(1+i . t) C = Dr = M C M = 5700(1+0,19(235/360) C = - 4 Dr = 6406,96 - 6254,08 M = 6406,96 C = 6254,08 Dr = 152,88

DESCUENTO BANCARIO O BURSTILDb = M . d . t Cb = M ( 1 d . t ) tasa de descuentoDb = descuento bancario o burstilM = montod = tasa de descuentot = tiempoHallar el descuento bancario de un capital de $8300 firmado el 6 de marzo a 210 das plazo si se descuenta el 5 de junio del mismo ao con una tasa del 11%. 8300 8300 6/marzo 5/junio 2/octubre 65 156 275Db = M . d . t Db = 8300(0,11)(119/360)Db = 301,80Determine el valor efectivo que recibe una persona que realiza un descuento de un pagare por $3900 firmado el 15 de mayo a 190 das plazo con una tasa del 18% si se descuenta el 4 de julio del mismo ao al 20%. i = 0,17 3900 4249,92 15/mayo 4/julio 21/noviembre 135 185 325 d = 0,20 t = 140M =C(1+i . t) Db = M . d . t M = 3900(1+0,17(190/360)) Db = 4249,92(0,20)(140/360)M = 4249,92 Db = 330,55

C = M Db Cb = M (1-d.t)C = 4249,92 - 330,55 Cb = 4249,92( 1 0,20 (140/360))C = 3919,37 Cb = 3919,37Una persona solicita un prstamo en un banco por $9500 a 200 das plazo, determine el valor efectivo si se aplica el descuento del 13%Cb = M (1-d.t) Db = M . d . t Cb = 9500(1-0,13(200/360)) Db = 9500(0,13)(200/360)Cb = 8813,89 Db = 686,11Cuanto debe solicitar una persona en un banco para recibir $5600 que pagaremos en 13 das plazo con una tasa de descuento del 5%M = M = M = 57022,97ANLISIS ENTRE LA TASA DE INTERS (i) Y LA TASA DE DESCUENTO (d)1) La tasa de inters ( i ) utilizamos en el descuento racional o matemtico y aplicamos sobre el capital2) La tasa de descuento ( d ) aplicamos en el descuento bancario y se aplica generalmente en el montoEncuentre el descuento bancario o burstil y el descuento matemtico o simple de un pagare de $7300 a 205 das plazo si se descuenta 70 das antes de su vencimiento con una tasa del 1,5% mensual. Descuento bancario Descuento simpleCb = M(1 - i . t) C = Cb = 7300(1 0,015(205/30)) C = Cb = 6551,75 C = 6621,32

Db = M C D = M - CDb = 6551,75 7300 D = 7300 6621,32Db = 748,25 D = 678,68

Db = M . i . t I = C .i .tDb = 7300(0,015)(205/30) I = 6621,32(0,015)(205/30)Db = 748,25 I = 678,68

La relacin entre la tasa de inters y la tasa de descuento podemos hallarla as.

i = d =

Ejemplo:A que tasa de inters equivale a una tasa de descuento del 20% durante 8 das i = i = i = 20,9302%A que tasa de inters equivale a una tasa de descuento del 9% durante 3 meses i = i = i = 9,2071%

A que tasa de descuento equivale una tasa de inters de 20,93% durante 80 das d = d = d = 19,9997%A que tasa de descuento equivale una tasa de inters de 25% durante 140 das d = d = d = 22,7848%Una persona realiza un descuento de un pagare suscrito a 220 das plazo por $3800, 70 das antes de su vencimiento con una tasa de descuento del 7% ese mismo da el Banco del Pacfico redescuento ese documento en el Banco Central con una tasa del 3%, determine cuanto recibe la persona y cuanto el banco. Persona BancoCb = M (1 d . t) Cb = M (1 i . t) Cb = 3800 (1 0,07 ( 70/360)) Cb = 3800 ( 1 0,03(70/360))Cb = 3748,28 Cb = 3777,83

ECUACIONES DE VALORSe utiliza para resolver problemas de matemticas financiera donde se repasa un conjunto de obligaciones con diferentes fechas de vencimiento por una o varias fechas de vencimiento por uno o varios valores previo acuerdo en re-deudas se aplica en:1) Remplazar un conjunto de obligaciones o deudas por un solo valor.2) Comparar ofertas para compra o venta.3) Calcular el monto de una serie de depsitos a corto plazo.4) Calcular el capital de una serie de depsitos a corto plazo.

M1 M2 M3 X C1 C2 C3

t1 t2 t3 F. F t4 t5 t6 E O M = C(1 + i .t) C C C = M = H A C = M ( 1 d . t) A LUna empresa tiene las siguientes obligaciones: $15000 a 60 das pazo, $20000 a 120 das pazo, $20000 a 190 das plazo, $30000 a 240 das pazo, $25000 a 320 das pazo. La empresa desea reemplazar todas estas obligaciones considerando una tasa del 7% por un solo pago a los 340 das plazo.i = 0,07 15000 20000 20000 30000 25000 X 60 120 190 240 320 340 F.Ft1 = 280 X = M1 + M2 + M3 + M4 + M5t2 = 220 X = 15000(1 + 0,07(280/360)) + 20000(1 + 0,07(220/360)) + 20000(1+ t3 = 150 0,07(130/360)) + 30000(1 + 0,07(100/360)) +25000(1 + 0,07 (20/t4 = 100 360))t5 = 20 X = 112936,11En el problema anterior determine el valor del pago nico si se realiza el da de hoy.

X 15000 20000 20000 30000 25000 0 60 120 190 240 320 X = C1 + C2 + C3 + C4 + C5

X = 105856,41

En el primer problema calcule el valor si lo hacemos en dos pagos iguales a los 100 y 260 das plazo considrese como fecha focal los 260 das.

15000 X 20000 20000 30000 X 25000 60 100 120 190 240 260 320 F.FX = M1 - M2 + M3 + M4 + M5 + C1X = 15000(1+0,07(260/360)) x (1+0,07(160/360)) + 20000(1+0,07(140/360)) + 20000(1+0,07(70/360)) + 30000(1+0,07(20/360)) + X = 111228,36 1,031xX + 1,031x = 111228,362,031x = 111228,36X = X = 54765,32

Una persona debe $1500 a 90 das plazo con una tasa del 13% semestral $2800 a 170 das plazo con una tasa del 17% trimestral, $4000 a 215 das plazo con una tasa del 11%. La persona saldar sus deudas por un solo pago a los 200 das con una tasa de descuento del 2% mensual.M1 = 1500(1 + 0,13(90/180))M1 = 1597,50

M2 = 2800(1 + 0,17(170/90))M2 = 3699,11

M3 = 4000(1 + 0,11(215/360))M3 = 4262,781597,50 3699,11 X 4262,78 90 170 200 215d = 0,02 mensual F.FX = M1 - M2 + C1X = + + 4262,78 (1 0,02(13/30))X = 9718,68

El propietario de un terreno recibe 3 ofertas la primera $2000 al contado y $2000 a un ao plazo, la segunda $1500 al contado y dos letras de $1300 cada uno a 4 y 7 meses plazo, la tercera $2000 al contado una letra de $800 a 4 meses plazo y otra $1700 a 6 meses plazo. Cul de las ofertas sugiere usted para la venta de ese terreno si se recarga el 3% mensual?

Primera Oferta Segunda Oferta2000 2000 1500 1300 13000 12m 0 4 7 mX = 2000 + X = 1500 + + X = 3470,59 X = 3735,1

Tercera Oferta2000 800 1700 0 4 6 mX = 2000 + + X = 4154,96Se sugiere la tercera oferta.Una persona realiza depsitos de $70 mensuales durante 4 meses en un banco que reconoce el 1,5% mensual. Determine el monto que acumula al final de los 4 meses.i = 0,015 X 70 70 70 70 1 2 3 4 F.FX = 70(1+0,015(3)) + 70(1+0,015(2)) + 70(1+0,015(1)) + 70X = 286,30En el problema anterior calcule el monto si la tasa de inters se liquida en forma anticipada teniendo en cuenta que los intereses sern liquidados en forma anticipada. 70 70 70 70 X 0 1 2 3 4 F.F X = 70(1+0,015(4)) + 70(1+0,015(3)) + 70(1+0,015(2)) + 70(1+0,015(1))X = 290,50Hallar el clculo del valor original de la deuda de una persona que realiza una serie de 5 pagos mensuales de $350 para cancelar dicha deuda con una tasa de inters del 2% mensual.i = 0,02 mensual X 350 350 350 350 350 0 1 2 3 4 5 F.F

X = + + + + X = 1652,12En el problema anterior determine el valor de la deuda original si la tasa de inters y los meses se cobra por anticipado.

350 350 350 350 350 0 1 2 3 4 F.F X = 350 + + + + X = 1683,94

CUENTAS DE AHORRO

SemestralEnero Junio Julio Diciembre 1 181 182 365 La propietaria de una cuenta de ahorro realiza las siguientes transacciones el 7 de enero deposita $1500 para abrir la cuenta, el 13 de febrero deposita $800, el 15 de marzo retira $600, el 4 de abril deposita $200, el 4 de junio retira $650, si la cuneta de ahorro gana una tasa de inters del 12%. Determine el saldo al primer semestre.Depsitos I1 = 1500(0,12)(174/360) I2 = 800(0,12)(137/360) I3 =200(0,12)(87/360) I1 = 87 I2 = 36,53 I3 = 5,80RetirosI1 = 600(0,12)(107/360) I2 = 650(0,12)(26/360) I1 = 21,40 I2 = 5,63

Inters a favor Inters en contraIA = I1 + I2 + I3 IC = I1 + I2IA = 87 + 36,53 + 5,80 IC = 21,46 + 5,63IA = 129,32 IC = 27,03

Inters liquido IL = IA IC IL = 129,32 27,03 IL = 102,30

Capital MontoC = 1500 + 800 + 200 600 650 M = 1250 + 102,30C = 1250 M = 1352,30 al 30 de junio

FECHADEPOSITORETIROSALDO INTERES+INTERES-

07 011500150087

13 02800230036,53

15 03600170021,40

04 0420019005,80

04 0665012505,63

162,30102,30

Al mes de junio1352,30129,3327,03

La propietaria de una cuenta de ahorro realiza las siguientes transacciones el 3 de enero deposita $1000 para abrir la cuenta, el 5 de febrero deposita $800, el 4 de marzo retira $650, el 6 de abril retira $200, el 10 de mayo deposita $800, el 7 de junio retira $900. Si la cuenta de ahorro gana una tasa de inters del 5%. Determine el saldo al primer semestre.Depsitos RetiroI1 = 1000(0,05)(178/360) I1 = 650(0,05)(118/360) I1 = 24,72 I1 = 10,65

I2 = 800(0,05)(145/360) I2 = 200(0,05)(85/360) I2 = 16,11 I2 = 2,36

I3 = 800(0,05)(51/360) I3 =900(0,05)(23/360) I3 = 5,67 I3 = 2,88

Inters a favor Inters en contraIA = I1 + I2 + I3 IC = I1 + I2 + I3IA = 24,72 + 16,11 + 5,67 IC = 10,65 + 2,36 + 2,88IA = 46,56 IC = 15,89 Inters liquido IL = IA IC IL = 46,56 15,89 IL = 30,61

Capital a favor Capital en contraCA = 1000 + 800 + 800 CC = 650 + 200 + 900CA = 2600 CC = 1750Capital Liquido Monto LiquidoCL = CA CC ML = CL + ILCL = 2600 1750 ML = 850 + 30,61CL = 850 ML = 880,61 al 30 de junio

FECHADEPOSITORETIROSALDO INTERES+INTERES-

03 011000100024,72

05 02800180016,11

04 03650115010,65

06 042009502,36

10 0580017505,67

07 - 069008502,88

30 - 0630,61880,6146,5015,89

Una persona posee una cuenta de ahorro en una institucin financiera que posee un saldo de $2800 el 30 de junio y realiza las siguientes transacciones: el 4 de julio retira $650, el 9 de agosto deposita $600, el 20 de septiembre retira $350, el 9 de octubre deposita $800, el 3 de noviembre retira $200, el 20 de diciembre retira $100, si la tasa de inters del 7% liquida la cuenta semestralmente en el segundo semestre.

FECHADEPOSITORETIROSALDO INTERES+INTERES-

30 062800100,18

04 07650215022,75

09 08600275016,80

20 0935024006,94

09 10800320012,91

03 1120030002,26

20 - 1210029000,21

31 - 1297,732997,33129,8932,16

Mayra posee una cuenta de ahorro y ha realizado las siguientes transacciones, el 10 de enero abre la cuenta con $1500, el 4 de febrero deposita $600, el 9 de marzo retira $800, el 10 de abril deposita $400, el 4 de junio retira$300, el 2 de julio retira $100, el 15 de agosto deposita $700, el 4 de septiembre retira $300, el 10 de noviembre deposita $700, el 24 de diciembre retira $400. Determine el saldo al 31 de diciembre si se considera una tasa del 6 % para el primer semestre y una tasa del 4% para el segundo semestre, la cuenta se liquida semestralmente.FECHADEPOSITORETIROSALDO INTERES+INTERES-

10 011500150042,75

04 02600210014,60

09 03800130015,07

10 0440017005,40

04 0630014001,30

30 0646,381446,3862,7516,37

30 061446,3829,57

02 071001346,382,02

15 087002046,3810,37

04 093001746,383,93

10 117002046,383,97

31 1238,012084,3844,276,26

INTERES COMPUESTOLa diferencia entre el inters simple y el inters compuesto es que el inters simple se calcula una sola vez y se utiliza corto plazo y el inters compuesto se utiliza a largo plazo.EjercicioDetermine el monto simple y el inters simple; el monto compuesto y el inters compuesto de un capital de $4000 con una tasa del 13% durante 5 periodos.

Monto e inters simple. Monto e inters compuestoM = 4000(1+0,13(5)) Para el primer ao o periodoM = 6600 M1 = 4000(1+0,13(1)) M1 = 4520I = 6600 4000 Para el segundo ao o periodoI = 2600 M2 = 4520 (1+0,13(1)) M2 = 5107,60 Para el tercer ao o periodo M3 = 5107,60 (1+0,13(1)) M3 = 5771,59 Para el cuarto ao o periodo M4 = 5771,59 (1+0,13(1)) M4 = 6521,89 Para el quinto ao o periodo M5 = 6521,89 (1+0,13(1)) M5 = 7369,74 I = 7369,74 4000 I = 3369,74Variables que intervienen en el inters compuesto (i) tasa de inters efectiva.

n = (meses que tiene la capitalizacin en un ao) t n = m . t

EjerciciosDetermine el nmero de periodos de convertibilidad (m) y la tasa de inters (i) durante 9 aos con una tasa del 22% convertible semestralmente. n = m . t n = 2 (9)i = 11% n = 18 semestresDetermine n e i de un capital colocado a inters compuesto durante 11 aos con una tasa del 17% capitalizable trimestralmente. n = m . t n = 4 (11)i = 4,25% n = 44 trimestres

Determine n e i de un capital colocado a inters compuesto durante 17 aos con una tasa del 19% capitalizable bimensualmente. n = m . t n = 6 (17)i = 1,66% n = 102 bimestres

Determine n e i de un capital colocado a inters compuesto durante 19 aos con una tasa del 11% compuesto quimestralmente. n = m . t n = 2,4 (19)i = 4,583% n = 45,6 quimestres

MONTO COMPUESTO

M = C (1+i)n M = c (1 + )m . t

EjerciciosUna empresa obtiene un prstamo de $20000 a 9 aos plazo con una tasa del 15% convertible semestralmente. Determine el monto y el inters compuestoDatos M = c (1 + )m . t I = M CC = 20000 M = 20000 (1 + )2 . 9 I = 73516,08 20000j = 0,15 M = 20000 ( 1 + 0,075)18 I = 53516,08m = 2 M = 73516,08t = 9Una empresa obtiene un prstamo de $50000 a 15 aos plazo con una tasa del 22% convertible trimestralmente. Determine el monto y el inters compuestoDatos M = c (1 + )m . t I = M CC = 50000 M = 50000 (1 + )4 . 15 I = 1241988,52 50000j = 0,22 M = 50000 ( 1 + 0,055)60 I = 1191988,52m = 4 M = 1241988,52t = 15Andrea obtiene un prstamo de $35000 a 20 aos plazo para construir su casa con una tasa del 14% compuesto bimensualmente. Determine el monto y el inters que paga.Datos M = c (1 + )m . t I = M CC = 35000 M = 35000 (1 + )6 .20 I = 555168,66 35000j = 0,14 M = 50000 ( 1 + 0,0232)120 I = 520168,66m = 6 M = 555168,66t = 20

Monto con convertibilidad

Monto compuesto con una tasa de inters en forma instantnea o continuaM = C . e j . te = 2,7182Calcule el monto de un capital de $40000 a inters compuesto durante 20 aos y 9 meses si la tasa de inters es:a) 7% efectivaM = 40000 ( 1 + 0,07 )20,75M = 162844,61b) 7% convertible semestralmenteM = 40000 ( 1 + 0,035 )41,5M = 166757,17c) 7% capitalizable quimestralmenteM = 40000 ( 1 + 0,02917 )49,80M = 167462,85d) 7% compuesto cuatrimestralmenteM = 40000 ( 1 + 0,0233 )62,25M = 167781,91e) 7% convertible trimestralmenteM = 40000 ( 1 + 0,0175 )83M = 168817,19f) 7% capitalizable bimensualmenteM = 40000 ( 1 + 0,0116 )124,5M = 169381,14g) 7% compuesto mensualmenteM = 40000 ( 1 + 0,00583 )240,75M = 162126,42h) 7% compuesto diariamenteM = 40000 ( 1 + 0,000194 )7570M = 173697,80i) 7% con capitalizacin continuaM = C . e j . tM = 40000 ( 2,7182 )( 0,07 . 20,75)M = 170943,95

MONTO COMPUESTO CON PERIODOS DE CONVERTIBILIDAD FRACCIONARIACuando el tiempo de pago no coincide con el periodo de convertibilidad se presenta el caso de los periodos de capitalizacin fraccionaria.EjerciciosEl tiempo de pago de una deuda es de 4 aos y 9 meses, la tasa de inters es del 14% compuesto semestralmente.i = 0,14 / 2 n = i = 0,07 n = n = 9 En 5 aos y 3 meses con una tasa quimestralmente n = n = n = 12 En 5 aos y 7 meses con una tasa cuatrimestralmenten = n = n = 16

En 9 aos y 1 meses con una tasa trimestralmenten = n = n = 36

En 8 aos y 9 meses con una tasa bimensualmenten = n = n = 52

PARA RESOLVER ESTE TIPO DE PROBLEMAS EXISTE DOS MTODOS Mtodo matemtico Mtodo comercialMtodo matemtico.- es donde se utiliza la calculadora con el valor exacto Ej: Mtodo Comercial.- es este mtodo es donde la parte entera trabaja con el inters compuesto y la fraccionaria con la frmula del inters simple.EjerciciosDetermine el monto de una deuda $4800 a inters compuesto durante 7 aos y 8 meses plazo con una tasa del 15% convertible semestralmente.n = i = n = i = 0,075 n = 15 Mtodo matemtico Mtodo comercial M = 4800 ( 1,075 )92/6 M = 4800 ( 1,075 )15 ( 1 + 0,075( )) M = 14549,15 M = 15557,68

Determine el monto por los dos mtodos de un capital de $9000 a 9 aos y 7 meses plazo con una tasa del 12% compuesto quimestralmente.n = i = n = i = 0,05 n = 23Mtodo matemtico M = 9000 ( 1,05 )115/5 M = 27643,71

Determine el monto por los dos mtodos de un capital de $12000 a 8 aos y 6 meses plazo con una tasa del 8% compuesto cuatrimestralmente.n = i = n = i = 0,0266n = 25 Mtodo matemtico Mtodo comercial M = 12000 ( 1,0266 )102/4 M = 12000 ( 1,0266 )25 ( 1 + 0,0266( )) M = 23437,01 M = 23439,63

Determine el monto por los dos mtodos de un capital de $4800 a 15 aos y 2 meses plazo con una tasa del 9% compuesto quimestralmente.n = i = n = i = 0,0375n = 36 Mtodo matemtico Mtodo comercial M = 4800 ( 1,0375 )182/5 M = 4800 ( 1,0375 )36 ( 1 + 0,0375( )) M = 18331,93 M = 18334,92 En el clculo del monto siempre el mtodo comercial es mayor que el mtodo matemtico.

TASAS EQUIVALENTESTasa nominal ( j )Es aquella que se convierte varias veces en el ao.Tasa efectiva ( i ) Es aquella que acta una sola vez en el ao.Dos tasas anuales, el inters con diferentes periodos de convertibilidad son equivalentes si se produce el mismo inters compuesto al final de un ao.EjerciciosHallar el monto de un capital de $100 al 18% convertible mensualmente.M = 100 ( 1 + 0,015 )12M = 119,56

Hallar el monto compuesto de un capital de $100 con una tasa efectiva del 19,5618%.M = 100 ( 1 + 0,195618 )1M = 119,561 + i = ( 1+ )mi = ( 1+ )m 1j = m ( 1 )

A que tasa efectiva equivale una tasa nominal del 15% compuesta trimestralmente.i = ( 1+ )m 1i = ( 1+ )4 1i = 15,865%

A que tasa efectiva equivale una tasa nominal del 13% compuesta bimensualmente.i = ( 1+ )m 1i = ( 1+ )6 1i = 13,7248%A que tasa nominal convertible trimestralmente equivale una tasa efectiva del 17%j = 4 ((1 + 0,17)1/4 1 )j = 16,0125%

A que tasa nominal convertible quimestralmente equivale una tasa efectiva del 16%j = 2,4 ((1 + 0,16)1/2,4 1 )j = 15,3105%

ALTERNAVIVAS DE INVERSIN Gabriela desea invertir $50000 durante 4 aos y tiene las siguientes ofertas:a) Una tasa de inters de 4 % efectiva.i = 4 i = 4,25%b) Una tasa del 4% capitalizable semestralmente.i = ( 1 + 0,04/2 )2 1i = 4,04%c) Una tasa del 4,2% compuesta trimestralmentei = ( 1 + 0,042/4 )4 1i = 4,266%d) Una tasa del 4% convertible mensualmentei = ( 1 + 0,04/12 )12 1i = 4,074%Cul de estas tasas le conviene?Le conviene la oferta cCALCULO DE LA TASA DE INTERS ANTICIPADA Es aquella que nos permite pagar o cobrar los intereses por adelantado.1 + i = ( 1 - )-m 1 + i = ( 1 + )m

EjerciciosA que tasa de inters efectiva anticipada es igual a una tasa anticipada del 20% convertible semestralmente.1 + i = ( 1 - )-mi = ( 1 - )-2 1i = 23,4567%A que tasa de inters anticipada anual convertible trimestralmente es equivalente a una tasa efectiva anticipada del 15%.d = m ( 1 ( 1 + i )-1/m)d = 4 ( 1 ( 1 + 0,15 )-1/4)d = 13,7348%A que tasa anticipada convertible mensualmente es equivalente a una tasa efectiva anticipada del 17%.d = m ( 1 ( 1 + i )-1/m)d = 12 ( 1 ( 1 + 0,17 )-1/12)d = 15,5981%A que tasa de inters efectiva anticipada es equivalente a una tasa anticipada del 21% compuesto quimestralmente.1 + i = ( 1 - )-mi = ( 1 - )-2,4 1i = 24,5779%CALCULO DE LA TASA DE INTERS EFECTIVA

M = C ( 1 + i )n i = 1

A que tasa efectiva se convierte un capital de $300 en $750 durante 4 aos.i = 1i = 1i = ( )1/4 1i = 25,7433%A que tasa anual capitalizable trimestralmente se convierte un capital de $600 en $1500 durante 7 aos. Determine su tasa de inters efectiva. = (1/m . t 1 1 + i = ( 1 + )m = (1/28 1 i = ( 1 + )4 -1 = 3,3266% i = 13,9852%j = 13,3064%A que tasa anual convertible quimestralmente se convierte un capital de $750 en $3250 durante 4,5 aos. Determine su tasa anual efectiva equivalente. = (1/m . t 1 1 + i = ( 1 + )m = (1/9 1 i = ( 1 + )2 -1j = 35,3899% i = 38,5210%A que tasa anual capitalizable trimestralmente un capital de $4000 se convierte en veces ms durante 5 aos. Determine la tasa efectiva equivalente. = (1/m . t 1 1 + i = ( 1 + )m = (1/20 1 i = ( 1 + )4 -1j = 11,3503% i = 11,8426%A que tasa anual convertible bimensualmente se convierte un capital de $900 en $4700 durante 6 aos y 10 meses. Determine su tasa anual efectiva equivalente. = (1/m . t 1 1 + i = ( 1 + )m = (1/41 1 i = ( 1 + )6 -1j = 24,6833% i = 27,3655%

CALCULO DEL TIEMPO O PERIODOS EN INTERS COMPUESTOn = con tasa efectiva m . t = sin tasa efectiva t = EjerciciosEn qu tiempo un capital de $1000 se convierte en $1800 con una tasa del 12% efectiva.n = n = n = 5,1865 aos t = 5 aos, 2 meses, 7 dasEn qu tiempo un capital de $8300 se convertir en $16500 con una tasa del 5% convertible quimestralmente.m . t = 2,4 . t = 2,4 . t = 33,3286t = 13,8869 aost = 13 aos, 10 meses, 19 das

En qu tiempo un capital de $800 se duplicara con una tasa del 16% capitalizable semestralmente.m . t = 2 . t = t = 4,5032 aost = 4 aos, 6 meses, 1 da

En qu tiempo un capital de $4800 se convertir en $13000 con una tasa del 25% compuesta cuatrimestralmente.n = n = n = 4,1507 aost = 4 aos, 1 meses, 24 dasCALCULO DEL CAPITALC = C = EjerciciosDetermine el valor actual de un pagare cuyo valor al vencimiento despus de 5 aos es $7500 considerando una tasa del 9% capitalizable semestralmente.C = C = C = C = 4829,46Determine el valor actual de un documento cuyo monto es $6300 durante 5 aos y 9 meses con una tasa del 12% compuesta trimestralmente.C = C = C = 3192,16Domnica firma un documento cuyo valor nominal es 7100 a 8 aos plazo con una tasa del 8% convertible semestralmente desde su suscripcin, si se vende 2 aos antes de su vencimiento con una tasa del 9% compuesto cuatrimestralmente. Determine el valor actual del documento.i = 0,04 7100 13298,17 0 t = 2a 8 i = 0,03M = 7100(1,04)16 M = 13298,17C = C = C = 11137

Determine el valor actual de un documento cuyo valor nominal es $100 a 7 aos con una tasa del 5% convertible semestralmente desde su suscripcin si se vende 2 aos antes de la fecha de vencimiento considerando una tasa del 11% compuesto trimestralmente.i = 0,025 5100 0 t = 2a 8 i = 0,0275 n= 8M = 5100(1,025)14 M = 7206,17C = C = C = 5800.29Despus de 2 aos de la fecha de suscripcin se negocia un documento de $300 con vencimiento en 5 aos con una tasa del 16% convertible trimestralmente desde su suscripcin determine el valor actual con las siguientes alternativasi = 0,053 n= 15 360 0 2a 5 t = 3M = 300(1,053)15 M = 650, 95a) Tasa del 4% convertible semestralmentei= 0.02n= 6C = C = C = 578.02b) Tasa del 7% convertible trimestralmentei= 0.0425n= 12C = C = C = 395.03c) Tasa del 2% efectivai= 0.02n= 3C = C = C = 613.40

Un documento de $4000 con vencimiento en 7 aos se negocia despus de 3 aos desde sus suscripcin con una tasa del 19% convertible semestralmente desde la suscripcin para vender este documento se tiene las siguientes alternativasi = 0,095 n= 14 4000 0 3a 7 t = 4aM = 4000(1,095)14 M = 14251, 40a) Tasa del 16% convertible trimestralmentei= 0.04n= 16C = C = C = 7608.94b) Tasa del 19% capitalizable semestralmentei= 0.095n= 8C = C = C = 6895.16c) Tasa del 23% efectivai= 0.23n= 4C = C = C = 6226.40VALOR ACTUAL CON TIEMPO FRACCIONARIOExisten 2 mtodos que son la forma matemtica o exacta donde se utiliza solo el inters compuesto y la forma prctica o comercial la parte entera inters compuesto y la fraccin la parte fraccionariaEJERCICIOSHallar el valor actual de un documento que al final de 7 aos es $5200 calclese despus de haber transcurrido 3 aos y 4 meses considerando un tasa del 20% quimestralmente