materia operativa
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INVESTIGACIÓN OPERATIVA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL
CARCHI
Tulcán – Ecuador
PORTAFOLIO DEL DOCENTE
ESTUDIANTE: YESENIA HERNÁNDEZ DOCENTE: MSC. JORGE POZO
SÉPTIMO “B”
JORNADA VESPERTINA
SEPTIEMBRE 2011 - FEBRERO 2012
INTRODUCCIÓN
Las desigualdades en base a las ciencias serán entendidas con profundidad
antes de poder ser analizadas desde el punto de vista histórico. De tal forma
que no es fácil instituir los orígenes de la Investigación Operativa, No obstante,
es necesario relacionar el nacimiento de la Investigación de Operaciones, con
el transcurso de la II Guerra Mundial.
La Investigación Operativa es un conjunto de técnicas que han brotado para
coordinar la teoría con la práctica, para ayudar a resolver los problemas
administrativos, financieros, económicos cada vez más complicados que
surgen en la empresa. El objeto de estudio de la Investigación Operativa es la
toma científica de decisiones mediante el empleo de técnicas cuantitativas.
En el presente módulo intervendrán los temas a estudiar los cuales son:
Problemas de la investigación operativa. Método gráfico, método simplex,
métodos dual y primal, metodología de la investigación operativa y la aplicación
del método de transporte.
El Método Grafico permite el análisis sistemático y objetivo a base de factor
económico, administrativo etc, método mediante el cual permite obtener datos
cuantitativos con lo que permite llegar a una posible toma de decisiones.
Método simplex y problema dual: Análisis económico y su interpretación del
modelo dual. Incorporación de otras restricciones y/o nuevas variables de
decisión.
De la misma forma la investigación de operaciones se vincula con la
Planificación de proyectos a través de los cuales se fundamenta la solución de
problemas del entorno ya sea económico, político, administrativo, social,
ambiental, financiero, etc.
CONVERSIONES DE UNIDADES
La conversión de unidades es la transformación de una unidad en otra. Este
proceso se realiza con el uso de los factores de conversión y las muy útiles
tablas de conversión.
Bastaría multiplicar por una fracción (factor de conversión) y el resultado es
otra medida equivalente, en la que han cambiado las unidades. Cuando el
cambio de unidades implica la transformación de varias unidades se pueden
utilizar varios factores de conversión uno tras otro, de forma que el resultado
final será la medida equivalente en las unidades que buscamos, por ejemplo si
queremos pasar 8 metros a yardas, lo único que tenemos que hacer es
multiplicar 8 x (0.914)=7.312 yardas.
EJEMPLOS
1.- Tengo una longitud de 700000 milímetros (mm) y se quiere llegar a millas.
Realice dicho cálculo.
l=700000mm x 1m1000mm
x1milla1609m
= 7000001609000
=0.4350528millas
2.- Un automotor recorre desde la ciudad de Tulcán hasta Portoviejo y tiene
una distancia de 758.24 millas ¿Determinar que distancia recorrido el automóvil
en pulgadas?
LONGITUD
1 km = 1000 metros (m)
1 metro = 100 centímetros (cm), 1000 milímetros (mm)
1 milla = 1609 metros (m)
1 pie = 30.48 centímetros (cm), 0.3048 metros (m)
1 pulg = 2.54 centímetros (cm)
l=758.24millas x 1609m1milla
x1000cm1m
x1 pulg2.54cm
=480315817.32 pulg
3.- Un basquetbolista de la NBA mide 5 pies y 12 pulgadas. Determinar la
estatura de este atleta en centímetros (cm) y metros (m).
l=5 pies x 30.48cm1 pie
x1m100cm
=152.40100
=1.52m
l=12 pulg x 2.54cm1 pulg
x1m100 cm
=30.48100
=0.30m
l=5 pies x 30.48cm1 pie
=152.40cm
l=12 pulg x 2.54cm1 pulg
=30.48cm
EJEMPLOS
1.- Tengo 72300000 segundos (s) y se quiere llegar a meses. Realice dicho
cálculo.
t=72300000 s x 1h3600 s
x1día24h
x1mes30 días
=723000002592000
=27.89meses
2.- Tengo 10 años y se quiere llegar a minutos. Realice dichocálculo.
t=10años x 360días1año
x24h1dia
x60min1h
=5184000min
1.52 m+0.30 m = 1.82 m
152.40 cm+30.48 cm = 182.88 cm
TIEMPO
1 año = 365 días
1 mes = 30 días
1 semana = 7 días
1 día = 24 horas
1 hora = 60 minutos, 3600 segundos
MASA
Una cantidad de escalar que indica el número y unidad, también la masa es
igual en cualquier lugar del universo, la masa en Tulcán es igual a la masa que
en Francia y la masa en Tulcán es igual a la masa de la luna. Generalmente los
objetos se masan en una balanza.
Kg Se miden en la balanza
PESO
Se la considera una cantidad vectorial y es multiplicar la masa por la gravedad.
p=m. gg=−9.81 jms2
p= (100 kg ) ¿)
p=−981NJ Niutones que se miden en dinamómetro.
SISTEMAS DE CONVERSIÓN DE MASA
NOTACIÓN CIENTIFICA
N = C 10n U
Base Exponente
Unidad1 entero con 2 decimales
1 tonelada = 20 quintales (qq), 1000 kilogramos (kg),
910kilogramos (kg) en inglés.
1 quintal (qq) = 4 arrobas, 100 libras (lbs)
1 arroba = 25 libras (lbs)
1 kg = 2.2 libras (lbs)
1 sulg = 14.58 kilogramos (kg), Inglés – Europa
37650000000 = 3.77 X 1010m 3765.4321000m2 = 3.77 X 1010m2
0.000000007889m3 = 7.89 x10−9m3 0.0070004832ms
= 7.00 x10−3ms
7.34 x 10.5m = 0.0000734 m 7.3645 x104m = 73645 m
7.36521079 x1012 s = 7365210790000 s
m=20 t x 1000 kg1t
x1000 g1kg
=20000000=2.00 x107 g
vol=10m3 x(100cm)3
(1m)3x
(1 pie)3
(30.48cm)3= 100000028316.84659
=353.15 pies3
Esto nos obliga a transformar una de las dos unidades, de forma que ambas
sean la misma, para no violar el principio de homogeneidad y que el cálculo
sea acertado.
Para realizar la transformación utilizamos los factores de conversión. Llamamos
factor de conversión a la relación de equivalencia entre dos unidades de la
misma magnitud, es decir, un cociente que nos indica los valores numéricos de
equivalencia entre ambas unidades. Por ejemplo, en nuestro caso, el factor de
conversión entre horas y segundos viene dado por la expresión:
O la equivalente , ya que 1 hora = 3600 segundos
Para realizar la conversión, simplemente colocamos la unidad de partida y
usamos la relación o factor adecuado, de manera que se nos simplifiquen las
unidades de partida y obtengamos el valor en las unidades que nos interesa.
En nuestro caso, deseamos transformar la velocidad de Km/hora a
Km/segundo, por lo cual usaremos la primera de las expresiones, ya que así
simplificamos la unidad hora:
Si tenemos que transformar más de una unidad, utilizamos todos los factores
de conversión sucesivamente y realizamos las operaciones. Por ejemplo,
transformemos los 72 Km/h a m/s:
Con el fin de utilizar siempre el mismo sistema de unidades y tener un criterio
de homogeneización, utilizamos el Sistema Internacional de Unidades. En este
sistema tenemos 7 magnitudes y sus correspondientes unidades que llamamos
fundamentales, mientras que el resto de unidades son derivadas, es decir, se
expresan en función de las fundamentales. Las magnitudes y unidades
fundamentales en el Sistema Internacional son:
El resto de las unidades se expresan en función de esas siete, como por
ejemplo la velocidad, que viene dada en función de longitud/tiempo.
Algunas unidades se les asignan un nombre especial como homenaje a un
determinado científico, como la de Fuerza, que es el newton, recordando a
Isaac Newton.
FÓRMULAS DEL VOLÚMEN
Trabajo EN CLASE
1.- Convertir 1 libra en gramos
m=1 lbs x 1kg2.2lbs
x1000 g1kg
=10002.2
=454.55 g
Vol. = πR2h Vol. = l x a hVol. = a3
2.- Convertir 20 toneladas a slug
m=20 t x 910kg1t
x1 slug14.58 kg
=1820014.58
=1248.29 pulg
VOLÚMEN
Es la capacidad que tiene un sólido, líquido, gas de ocupar un lugar en el
espacio.
ÁREA
Generalmente se mide en metros cubicos.
(1m)2 = (100cm)2, 1m2=10000cm2
1 hectarea = 10000 m2
1 acre = 4050 m2
A = l2
A = (100m)2
A = 10000 m2
Un atleta tiene una longitud de 5 pies y 11 pulgadas. Determinar la
estatura de dicho atleta en centímetros (cm) y metros (m).
l=5 pies x 30.48cm1 pie
x1m100cm
=152.40100
=1.52m
1.52 m+0.28 m = 1.80 m
A 100 m
100 m
1 litro = 1000 cm3, 1000 ml
1 m3 = 1000000 cm3, (1m )3=(100cm )3
1 galón = 4 litros, en Ecuador
1 galón = 3.758 litros, en Estados Unidos
l=11 pulg x 2.54 cm1 pulg
x1m100cm
=27.94100
=0.28m
l=5 pies x 30.48cm1 pie
=152.40cm
l=11 pulg x 2.54 cm1 pulg
=27.94cm
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) La base b de una pirámide cubre un área de 13 acres (1 acre=43560
pies2) tiene una altura de 5772 pulgadas.
El volumen de una pirámide se calcula vol=13
de la b x h, donde b es el
área de la base y h es altura, encuentre el volumen de la pirámide (m3).
2) Calcular cuántos granos de arena hay en un tramo de playa de 0,5 km
de largo x 100m de ancho y una profundidad de 3 m, se sabe que el
diámetro de un grano de arena es alrededor de 1 mm.
3) Un galón de gasolina se vende a $ 1.45 por galón. Calcular el precio del
litro de gasolina si un galón americano vale 3.785 litros.
CON
VERS
ION
ES D
E M
EDID
A
LONGITUDkm
metro
piemilla
pulgadaaños luz
kg
MASATonelada qqarroba kg
slugutm
gramoslibras
VOLUMENlitro m3galón
ÁREA
hectareaacres
152.40 cm+27.94 cm = 180.34 cm
4) La rapidez de la luz es aproximadamente 3 x103 ms
convertir este valor en
millashoras
.
5) Un pintor debe recubrir las paredes de una habitación que tiene 8 pies
de altura y 12 pies de largo. Calcular la superficie que tiene que recubrir
en m2 de la habitación.
6) Una manguera contra incendios sufre 300 litros de agua por minuto.
Expresa, esta cantidad en m3 /s. Determine cuantos kg de agua /s
equivale esto?
7) Para obtener aproximadamente el tamaño de una molécula se debe
tomar una gota de aceite y se lo deja que se extienda en una superficie
lisa de agua. Cuando la película de aceite adquiere su área máxima se
la denomina capa molecular (moléculas de aceite asentadas una a lado
de otra). Se sabe que una gota de aceite es de 8.4 x 107kg de masa y
una densidad de 920 kg/ metros.
Se entiende como una película de aceite con un área máxima de 0.55 m2
. Determinar la longitud de una molécula de aceite.
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
NATURALEZA
Como su nombre lo indica, la investigación de operaciones significa "hacer
investigación sobre las operaciones". Entonces, la investigación de
operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conducción y
coordinación de operaciones (o actividades) dentro de una organización. La
naturaleza de la organización es esencialmente inmaterial y, de hecho, la
investigación de operaciones se ha aplicado de manera extensa en áreas tan
diversas como la manufactura, el transporte, la constitución, las
telecomunicaciones, la planeación financiera, el cuidado de la salud, la milicia y
los servicios públicos, por nombrar sólo unas cuantas. Así, la gama de
aplicaciones es extraordinariamente amplia.
La parte de investigación en el nombre significa que la investigación de
operaciones usa un enfoque similar a la manera en que se lleva a cabo la
investigación en los campos científicos establecidos. En gran medida, se usa el
método científico para investigar el problema en cuestión. (De hecho, en
ocasiones se usa el término ciencias de la administración como sinónimo de
investigación de operaciones.) En particular, el proceso comienza por la
observación cuidadosa y la formulación del problema incluyendo la recolección
de los datos pertinentes. El siguiente paso es la construcción de un modelo
científico (por lo general matemático) que intenta abstraer la esencia del
problema real. En este punto se propone la hipótesis de que el modelo es una
representación lo suficientemente precisa de las características esenciales de
la situación como para que las conclusiones (soluciones) obtenidas sean
válidas también para el problema real. Después, se llevan a cabo los
experimentos adecuados para probar esta hipótesis, modificarla si es necesario
y eventualmente verificarla. (Con frecuencia este paso se conoce como
validación del modelo.) Entonces, en cierto modo, la investigación e
operaciones incluyen la investigación científica creativa de las propiedades
fundamentales de las operaciones. Sin embargo, existe más que esto.
HISTORIA
Las raíces de la investigación de operaciones se remontan a muchas décadas,
cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el método científico en la
administración de una empresa. Sin embargo, el inicio de la actividad llamada
investigación de operaciones, casi siempre se atribuye a los servicios militares
prestados a principios de la segunda guerra mundial. Debido a los esfuerzos
bélicos, existía una necesidad urgente de asignar recursos escasos a las
distintas operaciones militares y a las actividades dentro de cada operación, en
la forma más efectiva. Por esto, las administraciones militares americana e
inglesa hicieron un llamado a un gran número de científicos para que aplicaran
el método científico a éste y a otros problemas estratégicos y tácticos. De
hecho, se les pidió que hicieran investigación sobre operaciones (militares).
Estos equipos de científicos fueron los primeros equipos de Investigación de
Operaciones. Con el desarrollo de métodos efectivos para el uso del nuevo
radar, estos equipos contribuyeron al triunfo del combate aéreo inglés. A través
de sus investigaciones para mejorar el manejo de las operaciones
antisubmarinas y de protección, jugaron también un papel importante en la
victoria de la batalla del Atlántico Norte. Esfuerzos similares fueron de gran
ayuda en la isla de campaña en el pacífico.
IMPACTO
La investigación de operaciones ha tenido un impacto impresionante en el
mejoramiento de la eficiencia de numerosas organizaciones en todo el mundo.
En el proceso, la investigación de operaciones ha hecho contribuciones
significativas al incremento de la productividad dentro de la economía de varios
países. Hay ahora más de 30 países que son miembros de la International
Federation of Operational Research Societies (IFORS), en la que cada país
cuenta con una sociedad de investigación de operaciones.
Sin duda, el impacto de la investigación de operaciones continuará
aumentando. Por ejemplo, al inicio de la década de los 90, el U.S. Bureau of
Labor Statistics predijo que la IO sería el área profesional clasificada como la
tercera de más rápido crecimiento para los estudiantes universitarios en
Estados Unidos, graduados entre 1990 y 2005. Pronosticó también que, para el
año 2005, habría 100 000 personas trabajando como analistas de investigación
de operaciones.
¿QUÉ ES LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES?
La investigación de operaciones es la aplicación, por grupos
interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados
con el control de las organizaciones o sistemas (hombre-máquina),
a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los
objetivos de la organización.
La investigación de operaciones o investigación operativa es una rama de las
matemáticas consistente en el uso de modelos matemáticos, estadística y
algoritmos con objeto de realizar un proceso de toma de decisiones.
Frecuentemente trata del estudio de complejos sistemas reales, con la finalidad
de mejorar (u optimizar) su funcionamiento. La investigación de operaciones
permite el análisis de la toma de decisiones teniendo en cuenta la escasez de
recursos, para determinar cómo se puede optimizar un objetivo definido, como
la maximización de los beneficios o la minimización de costes.
A partir del inicio de la investigación de operaciones como disciplina, sus
características más comunes son:
Enfoque de sistemas
Modelado matemático
Enfoque de equipo
Estas características prevalecieron a ambos lados del Atlántico, a partir del
desarrollo de la investigación de operaciones durante la Segunda Guerra
Mundial.
CARACTERÍSTICAS
1.- La Investigación de Operaciones usa el método científico para investigar el
problema en cuestión. En particular, el proceso comienza por la observación
cuidadosa y la formulación del problema incluyendo la recolección de datos
pertinentes.
2.- La Investigación de Operaciones adopta un punto de vista organizacional.
De esta manera intenta resolver los conflictos de interés entre los componentes
de la organización de forma que el resultado sea el mejor para la organización
completa.
3.- La Investigación de Operaciones intenta encontrar una mejor solución
(llamada solución óptima), para el problema bajo consideración.
ETAPAS
Las etapas de un estudio de Investigación de Operaciones son las siguientes:
Definición del problema de interés y recolección de los datos relevantes.
Formulación de un modelo matemático que represente el problema.
Desarrollo de un procedimiento basado en computadora para derivar
una solución al problema a partir del modelo.
Prueba del modelo y mejoramiento según sea necesario.
Preparación para la aplicación del modelo prescrito por la
administración.
Puesta en marcha.
TIPOS DE MODELOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
1.- MODELO MATEMÁTICO
Se emplea cuando la función objetivo y las restricciones del modelo se pueden
expresar en forma cuantitativa o matemática como funciones de las variables
de decisión.
2.- MODELO DE SIMULACIÓN
Los modelos de simulación difieren de los matemáticos en que las relaciones
entre la entrada y la salida no se indican en forma explícita. En cambio, un
modelo de simulación divide el sistema representado en módulos básicos o
elementales que después se enlazan entre si vía relaciones lógicas bien
definidas. Por lo tanto, las operaciones de cálculos pasaran de un módulo a
otro hasta que se obtenga un resultado de salida.
3.- MODELOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES DE LA CIENCIA DE
LA ADMINISTRACIÓN
Los científicos de la administración trabajan con modelos cuantitativos de
decisiones.
4.- MODELOS FORMALES
Se usan para resolver problemas cuantitativos de decisión en el mundo real.
Algunos modelos en la ciencia de la administración son llamados modelos
determinísticos. Esto significa que todos los datos relevantes (es decir, los
datos que los modelos utilizarán o evaluarán) se dan por conocidos. En los
modelos probabilísticos (o estocásticos), alguno de los datos importantes se
consideran inciertos, aunque debe especificarse la probabilidad de tales datos.
5.- MODELO DE HOJA DE CÁLCULO ELECTRÓNICA
La hoja de cálculo electrónica facilita hacer y contestar preguntas de “que si” en
un problema real. Hasta ese grado la hoja de cálculo electrónica tiene una
representación selectiva del problema y desde este punto de vista la hoja de
cálculo electrónica es un modelo.
INVESTIGACION OPERATIVA
CONEPTO: Es una ciencia que
usa el conjunta de tecnicas para
resolver problemas del
contexto
FASES
FORMULACION: Deben plantearse claramente el problema por que es Imposible dar solucion a un problema mal planteado
CONSTRUCCION DEL MODELO: Por la caracteristica del modelo existen varos formas de plantear el problema segun sus tareas y grados de abstracion.Modelo Iconico, modelo AnalogicoModelo simbolico matematico
DEDUCION DE SOLUCION: Hay que dar la mejor solucion a los problemas utilizando la optimizacion de los recursos
PRUEBA DE MODELO: Se lo puede realizar mediante datos pasados comparando el rendimiento del sistema real y el del modelo
CONTROL: Hay que establecerlos debido a un cambio significativo de los factores del modelo
EJECUCION: Es la solucion del problema a travez del modelo
LIMITACIONES1.Capacidad del investigador2.Costo de la investigacion3. Uso del computador4. Falta de interes de las empresas5.Sistemas informaticos
APLICACIONESIngenieriaComercioBancaMineriaServicios publicos
Segurida industrial
ÁREAS DE APLICACIÓN
Podríamos pues indicar que la investigación de operaciones sólo se aplicará a
los problemas de mayor complejidad, sin olvidar que el simple uso de la
Investigación Operativa trae un costo, que de superar el beneficio, no resultará
económicamente práctico, algunos ejemplos prácticos donde usar Investigación
Operativa son:
En el dominio combinatorio, muchas veces la enumeración es imposible.
Por ejemplo, si tenemos 200 trabajos por realizar, que toman tiempos
distintos y solo cuatro personas que pueden hacerlos, enumerar cada
una de las combinaciones podría ser. Luego los métodos de
secuenciación serán los más apropiados para este tipo de problemas.
De igual manera, la Investigación Operativa, es útil cuando en los
fenómenos estudiados interviene el azar. La noción de esperanza
matemática y la teoría de procesos estocásticos suministran la
herramienta necesaria para construir el cuadro en el cual se optimizará
la función económica. Dentro de este tipo de fenómenos se encuentran
las líneas de espera y los inventarios con demanda probabilística.
Con mayor motivo, la investigación de operaciones se muestra como un
conjunto de instrumentos precioso cuando se presentan situaciones de
concurrencia. La teoría de juegos no permite siempre resolverlos
formalmente, pero aporta un marco de reflexión que ayude a la toma de
decisiones.
Cuando observamos que los métodos científicos resultan engorrosos
para nuestro conjunto de datos, tenemos otra opción, simular tanto el
comportamiento actual así como las propuestas y ver si hay mejoras
sustanciales. Las simulaciones son experiencias artificiales.
Es importante resaltar que la investigación de operaciones no es una colección
de fórmulas o algoritmos aplicables sistemáticamente a unas situaciones
determinadas. Si se cae en este error, será muy difícil captar en condiciones
reales los problemas que puedan deducirse de los múltiples aspectos de esta
disciplina, la cual busca adaptarse a las condiciones variantes y particulares de
los diferentes sistemas que puede afrontar, usando una lógica y métodos de
solución muy diferentes a problemas similares mas no iguales.
MÉTODO CIENTÍFICO
El método científico es un método de investigación usado principalmente en la
producción de conocimiento en las ciencias. Presenta diversas definiciones
debido a la complejidad de una exactitud en su conceptualización: "Conjunto de
pasos fijados de antemano por una disciplina con el fin de alcanzar
conocimientos válidos mediante instrumentos confiables.
El método científico está sustentado por dos pilares fundamentales. El primero
de ellos es la reproducibilidad, es decir, la capacidad de repetir un determinado
experimento, en cualquier lugar y por cualquier persona. Este pilar se basa,
esencialmente, en la comunicación y publicidad de los resultados obtenidos. El
segundo pilar es la reusabilidad. Es decir, que toda proposición científica tiene
que ser susceptible de ser falsada o refutada (falsacionismo). Esto implica que
se podrían diseñar experimentos, que en el caso de dar resultados distintos a
los predichos, negarían la hipótesis puesta a prueba.
El método científico es un proceso destinado a explicar fenómenos, establecer
relaciones entre los hechos y enunciar leyes que expliquen los fenómenos
MIRAROBSERVACIÓN
DAR VARIAS IDEAS PARA UNA COSAFORMULACIÓN DE HIPÓTESIS
DAR TODOS LAS PASOS SUFICIENTES PARA COMPROBAR SI ALGO ES VERDADERO O FALSOEXPERIMENTACIÓN
RECOLECTAR DATOS DEL EXPERIMENTO Y LUEGO INTERPRETAR UNA LEY CUANTITATIVA Y CUALITATIVA.
FORMULACIÓN DE LEY
físicos del mundo y permitan obtener, con estos conocimientos, aplicaciones
útiles al hombre.
Los científicos emplean el método científico como una forma planificada de
trabajar. Sus logros son acumulativos y han llevado a la Humanidad al
momento cultural actual.
Aunque podemos decir que no hay un sólo método científico o modelo clásico,
algunos factores son comunes a todos: una idea brillante del hombre, el trabajo
complementario de los científicos y de las ciencias, la verificabilidad, la
utilización de herramientas matemáticas, etc. También son comunes los
procedimientos descritos en este tema.
Toda investigación científica se somete siempre a una "prueba de la verdad"
que consiste en que sus descubrimientos pueden ser comprobados, mediante
experimentación, por cualquier persona y en cualquier lugar, y en que sus
hipótesis son revisadas y cambiadas si no se cumplen.
PROGRAMACIÓN LINEAL
Al graficar diferentes restricciones y se genera una figura geométrica
que está incluida el origen; se maximiza; y si el pintado está fuera de la
figura, se minimiza; formándose de esta manera la zona básica factible.
La programación lineal tiene fases como:
1. Plantear el problema
2. Análisis y una argumentación
3. Sacar datos e incógnitas
4. Dar una solución al problema (maximización y
minimización)
5. Comparación con datos o problemas similares
6. Ejecución (toma de decisiones).
La zona no factible es cuando los pintados no se cruzan y la solución
será una zona vacía.
La Programación Lineal es una clase de modelos de programación
matemática destinados a la asignación eficiente de los recursos
limitados en actividades conocidas, con el objeto de satisfacer las metas
deseada (tal como maximizar beneficios o minimizar costos). La
característica distintiva de los modelos de Programación Lineal es que
las funciones que representan el objetivo y las restricciones son
lineales o sea inecuaciones o ecuaciones de primer grado.
La Programación Lineal tuvo su orígenes a raíz de la segunda Guerra
mundial cuando George Datzin, quien realizo investigaciones y
aplicaciones en distintos casos de operación aéreo-militar.
Leonfiel aporto principalmente en relaciones interindustriales a través de
su Matriz de Insumo-Producto.
Koopmans, incursionó profundamente en aplicaciones microeconómicas
resolviendo casos de producción, asignación de recursos, maximización
de beneficios y minimización de costos, etc.
La Programación Lineal es un modelo sistemático y matemático de
enfocar determinado problemas para lograr una solución óptima o la
mejor posible, empleando una ecuación objetivo (propósito del
problema), un conjunto de restricciones lineales y una condición de
eliminar valores negativos (condición de no negatividad).
OBJETIVOS Y APLICACIONES
El objetivo básico de la Programación Lineal es encontrar soluciones
mediante métodos matemáticos, utilizando sistemas lineales, a
problemas de carácter técnico-económico que se presentan por la
limitación de recursos.
A través de la Programación Lineal se puede resolver interesantes caos
tales como: combinación optima de mezclas de producción, disposición
interna de procesos, maximización de beneficios, localización,
asignación de recursos, minimización de costos, transportes entre los
más sobresalientes.
En cuanto al área de aplicación se resuelven casos en la industria en
general y dentro de esta con mejores opciones en la industria química,
hierro y acero, papel y carta, petróleo, farmacéuticos, alimenticios y
textil.
Se han realizado aplicaciones también en la agricultura, construcción,
aviación sistemas hidroeléctricos, transporte, etc.
MODELOS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
1. De lo macro a lo micro (vertical)
VARIABLE M (A) M (B) M (C) UTILIDAD
Chaquetas (x) 5 3 2 6
Sacos (y) 1 2 1 3
Horas
disponibles40 30 70
2. De lo micro a lo macro (horizontal)
VARIABLE Chaquetas Sacos
Horas
disponibles
M (A) 5 1 40
M (B) 3 2 30
M (C) 2 1 70
Utilidad 6 3
Los modelos de Programación Lineal por su sencillez son frecuentemente
usados para abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real en
ingeniería y ciencias sociales, lo que ha permitido a empresas y organizaciones
importantes beneficios y ahorros asociados a su utilización.
Los Modelos Matemáticos se dividen básicamente en Modelos Determistas
(MD) Modelos Estocásticos (ME). En el primer caso (MD) se considera que los
parámetros asociados al modelo son conocidos con certeza absoluta, a
diferencia de los Modelos Estocásticos, donde la totalidad o un subconjunto de
los parámetros tienen una distribución de probabilidad asociada. Los cursos
introductorios a la Investigación Operativa generalmente se enfocan sólo en
Modelos Determistas.
MÉTODO GRÁFICO
Pasos para el Modelo Gráfico
1. Las desigualdades se transforman a igualdad,
2. Elaboramos la tabla de valores para graficar las desigualdades y
pintamos con colores.
3. Determinamos la figura geométrica para señalar los puntos que se
cruzan todas las líneas.
4. Determinar los parees ordenas ordenados que están sobre los ejes
resolvemos por sistema de ecuaciones por cualquier método matemático
encontrando los valores del par ordenado.
5. Los valores de pares ordenados los reemplazamos en la función
objetiva.
6. Los valores del par ordenado ya reemplazados en la función objetiva.
7. Los valores del par ordenado ya reemplazados en la función objetivo
determinamos sus valores más grandes y más pequeños, el valor más
alto significo maximizar y el valor más pequeño significa minimizar.
APLICACIÓN DEL PROGRAMA GRAPH
PROCEDIMIENTOS
AL ingresar al escritorio de nuestro computador podemos encontrar el siguiente
icono.
Este Icono es propio del programa en el cual cliqueamos dos veces para
ingresar a este.
Ya ingresados al programa vamos a tener tres áreas principales las cuales
son:
Área de menú
Área de gráficos
Área de trabajo o de entrada
Dentro del área de Menú tenemos dos barras
La barra de menú
La barra de accesos directos
BARRA DE MENÚ
Dentro de esta barra vamos a encontrar lo siguiente
ARCHIVO
Dentro de archivo vamos a encontrar herramientas las cuales nos van a ayudar
a crear un nuevo documento imprimir el documento importarlo desde cualquier
parte de nuestro computador entre otras herramientas que detallamos a
continuación.
NUEVO
Esta herramienta nos ayudará a crear un nuevo documento de Graph
ABRIR
Esta herramienta nos permite abrir un cuadro de diálogo el cual nos permitirá
buscar un documento que guardamos anteriormente para poder editarlo.
GUARDAR Y GUARDAR COMO
Estas dos herramientas son similares ya que las dos nos pueden ayudar a
guardar nuestro documento.
Pero cabe recalcar que Guardar graba el documento automáticamente sin
ningún cambio de nombre o del tipo de formato que queremos darle a nuestro
documento, mientras que GUARDAR COMO nos permite realizar este proceso
y que al darle click nos aparece un cuadro de dialogo el cual si nos permite
realizar lo que a GUARDAR no.
GUARDAR COMO IMAGEN
Nos permite guardar nuestro documento como una imagen en los siguientes
formatos
IMPORTAR
Nos permite importar dos formas como son
Archivos de Graph
Serie de puntos
Al momento de escoger cualquiera de estas opciones podemos importar desde
otra parte de nuestro computador documentos de los siguientes formatos para
editarlos ya sean los casos de:
Archivo de Graph
Serie de puntos
IMPRIMIR
Nos permite imprimir el documento desde nuestro computador hacia cualquier
impresora conectada al equipo.
SALIR
Nos permite salir del programa
EDITAR
DESHACER Y REHACER
Estas herramientas nos permiten borrar y recuperar una acción.
CORTAR, COPIAR y PEGAR
Nos permiten cortar copiar o pegar una área seleccionada dentro del Área de
trabajo.
COPIAR IMAGEN
Copia por completa la imagen del área de trabajo.
EJES y OPCIONES
EJES
Nos permite en el caso de los ejes configurarlos de la mejor forma para realizar
nuestro trabajo
OPCIONES
Encontramos herramientas que nos permiten configurar acciones para las
herramientas de hacer, deshacer, escala a trabajar e idioma.
FUNCIÓN
Esta es la herramienta más importante para nosotros poder aplicar la
Investigación operativa ya que mediante esta herramienta vamos a poder
introducir las restricciones planteadas dentro de nuestro modelo matemático.
Consta de once sub herramientas de las cuales vamos a utilizar tres ya que
estas nos permitirán realizar la gráfica de las restricciones de nuestro modelo
por el método grafico.
Para ingresar las restricciones de nuestro modelo vamos a tomar un ejemplo
para explicar el ingreso de los datos.
INGRESO DE LOS DATOS
PRIMER PASO.- Ejecutamos el programa y nos dirigimos a la opción Insertar
resolución (X<Y) que se encuentra en la herramienta de función o también en
la barra de accesos directos como se indica en las imágenes
SEGUNDO PASO.- Ingresamos las restricciones siguientes; correspondientes
en este caso en la herramienta anteriormente explicada.
1.-3 x+2 y ≤40 2.-4 x+2 y ≤50
<TERCER PASO.- Luego de haber insertado las dos ecuaciones podemos
modificar los estilos, colores y grosor a la preferencia del usuario así.
a) Para poder cambiar el color de la gráfica damos dos click en el punto
señalado en la siguiente imagen.
b) Luego de esto nos aparecerá el cuadro siguiente donde vamos a poder
cambiar el estilo de líneas, colores de líneas y grosor para observar
notablemente la Zona Factible Básica.
c) Ya elegido el tipo de línea color y grosor nos quedará la gráfica de la
siguiente forma.
d) Luego procedemos a determinar la zona básica factible la cual está dada por
los puntos de intersección entre las gráficas los cuales los debemos determinar
despejando las desigualdades mediante el proceso matemático normal.
1.-3 x+2 y ≤40
3 x+2 y=40
2 y=40 - 3 x
2 y=40 – 3(0)
2 y=40 - 0
X Y 1.- 4x+2 y≤50
4 x+2 y=50
2 y=50 -4x
2 y=50 – 4(0)
2 y=50 - 0
X y
0 20 0 25
y=40/2
y=20
y=50 /2
y=25
1.-3 x+2 y ≤40
3 x=40−2 y
3 x=40−2(0)
3 x=40−0
x=40/3
x=¿
X Y 1.-4 x+2 y ≤50
4 x=50−2 y
4x=50−2(0)
4 x=50−0
x=50 /4
x=12,5
X Y
13.33 0 12.5 0
e) Obtenidos los puntos procedemos a ingresar en el programa para verificar si
esta correcta la ZONA BASICA FACTIBLE.
- Para ingresar los puntos damos click en la siguiente herramienta.
- Al aparecernos el cuadro de dialogo ingresamos los puntos en la zona
marcado con rojo en la siguiente figura.
- Ubicada ya el área donde vamos a ingresar los datos procedemos a
copiar los datos.
- Para encontrar el punto de intersección realizamos también el proceso
matemático normal es decir igualamos las dos ecuaciones
1.-3 x+2 y ≤40 2.- 4x+2 y≤50
2 y=40 - 3 x
y=¿0 - 3 x¿/2
4 x+2 y=50
y=¿0 - 4x ¿/2
¿0 - 3 x¿/2 =¿0 - 4x ¿/2
2¿0 - 3 x¿ =2¿0 - 4x ¿
80 – 6x = 100 – 8 x
8x-6x = 100-80
2x= 20
X= 20/2
X= 10
Reemplazamos en 1
y=¿0 – 3(10)¿/2
y= (40 – 30 ) / 2
y= 10/ 2
y= 5
- Encontrado el punto de intersección realizamos también el ingreso de
los datos realizando los pasos anteriores del literal e) específicamente
los dos primeros.
- Ya graficados todos los puntos señalaremos la zona básica factible la
cual está resaltada de color tomate.
CUARTO PAZO.- al momento de obtener la gráfica procedemos a imprimirla o
también se la puede exportar a un archivo de texto o imagen como ya antes lo
habíamos explicado en la opción de Editar – Copiar Imagen.
ZOOM
Mediante la utilización de lupas nos permite realizar las siguientes acciones:
ACERCAR
Acerca la imagen es decir acerca la presentación del sistema de coordenadas
ALEJAR
Aleja la imagen es decir aleja la presentación del sistema de coordenadas.
SELECCIONAR
Selecciona o recorta una Subarea del área de gráficos para realizar un
acercamiento o un alejamiento del sistema de coordenadas
ESCALA UNIFORME
Permite obtener un tipo de escala igual en los dos ejes el X y el Y.
NORMALIZADO
Permite como su palabra lo indica regresar la escala a su normalidad es decir
nos permite regresar ea la escala normal con la que iniciamos nuestro trabajo
en Graph.
MOVER EL SISTEMA
Permite mover el sistema de coordenadas sosteniendo el ratón.
EJERCICIOS EN CLASE
MÉTODO GRÁFICO
Resolver las siguientes desigualdades:
1. 3 x+4 y>2
y> 2−3 x4
y> 12−3 x4
X 0 2/
3
Y 0.
5
0
2. 3 x−2 y≥12
-2y ≥ 12 - 3x (-1)
2y ≤ 3 x - 12
y ≤3x2
−6
y = 3x2
−6
X 0 4
Y -6 0
3. x+2 y≤7
2y = 7 – x
y = - x2
+ 72
X 0 7
y 3.
5
0
4. y>6−2 x
y = -2x + 6
X 0 3
Y 6 0
5.−x ≤2 y−4
-x – 2y ≤ - 4 (-1)
x + 2y ≥ 4
2y = -x + 4
y = -x2
+ 2
X 0 4
Y 2 0
6. 3 x+5 y≥12
5 y ≥−3 x+12
y ≥−3 x5
−125
X 0 4
Y 12/5 0
7.3 x+ y<0
y = -3x
X 0 -1
Y 0 3
y < 2x + 4 (1)
x ≥ - 2 (2)
y < 1 (3)
(1) y = 2x + 4
x 0 -2
y 4 0
(2) x = - 2
(3) y = 1
X 0 2
Y 1 1
3x + y > - 6 (1)
X – y > - 5 (2)
x ≥ 0 (3)
(1) 3x + y = - 6
y = - 3x – 6
x 0 -2
y -6 0
(2) x – y > - 5 (-1)
-x + y < 5
y = x + 5
x 0 -5
y 5 0
x 0 2
y 0 -2
(3) x = 0
X 0 0
Y 1 2
Minimizar
z = x + y
Sujeta a
x – y ≥ 0 (1)
4x + 3y ≥ 12 (2)
9x + 11y ≤ 99 (3)
x ≤ 8 (4)
x,y ≥ 0
(1) x – y ≥ 0 (-1)
-x + y ≤ 0
y = x
(2) 4x + 3y = 12
3y = - 4x + 12
y = - 43
x + 4
X 0 2 5
Y 0 2 5
x 0 3
y 4 0
(3) 9x + 11y = 99
11y = -9x + 99 A(3;0) (1) x-y=0 (3)
y = - 911
x + 9 B(8;0) (2) 4x+3y=12
C(8;2,5)
D(5;5) (1) 3x-3y=0
E(?;?);(1,7;1,7) (2) 4x+3y=12
7x =12
x = 1,7 en 1
(4) x = 8
(1) 1,7 – y = 0
y = 1,7
SOLUCIÓN:
Z(A)=3+0=3
Z(B)=8+0=8
Z(D)=5+5=10
Z(E)=1,7+1,7=3,4
Mínimo: 3 para x=3
y=0
X 0 3
Y 4 0
x 8 8
y 2 4
Minimizar
Z = 7x + 3y
Sujeta a
3x – y ≥ - 2 (1)
x + y ≤ 9 (2)
x – y = -1 (3)
x,y ≥ 0 (4)
(1) 3x – y ≥ - 2 (-1)
*-3x + y ≤ 2
y = 3x + 2
(2) x + y = 9
y = –x + 9
(3) x- y = - 1
-y = - x – 1 (-1)
y = x + 1
A(0;1)
B(4;5)
Minimizar
C = 2x + 2y
Sujeta a
x + 2y ≥ 80 (1)
3x + 2y ≥ 160 (2)
SOLUCIÓN:
Z(A) = 7(0) + 3(1) = 3
Z(B) = 7(4) + 3(5) = 43
Mínimo: 3 para x=0 y=1
X 0 2
Y 2 8
x 0 9
y 9 0
x 0 4
y 1 5
5x + 2y ≥ 200 (3)
x,y≥ 0 (4)
(1) x + 2y = 80
2y = -x + 80
y = - x2
+ 40
(2) 3x + 2y = 160
2y = - 3x + 160
y = - 32
x + 80
(3) 5x + 2y = 200
2y = - 5x + 200
y = - 52
x + 100
A(40;20) ((A)=2(40)+2(20)=120
x 0 80
y 40 0
x 0 40 20
y 80 20 50
x 0 40
y 10
0
0
B(80;0) ((B)=2(80)+2(0)=160
C(20;50) ((C)=2(20)+2(50)=140
D(0;100) ((D)=2(0)+2(100)=200
PRODUCCIÓN PARA UTILIDAD MÁXIMA
Un fabricante de juguetes prepara un programa de producción para dos nuevos
juguetes, muñecos y soldados con base a la información concerniente a los
tiempos para la producción de la tabla. Cada muñeco requiere de 2 horas en la
maquina (A), 1 hora en la maquina (B) y 1 hora en el acabado, la maquina (A )
dispone de 70 horas, la maquina (B) de 40 horas y los acabados de 90 horas, en
cambio los soldados para la producción necesitan 1 hora en la maquina (A), 1 hora
en la maquina (B) y 3 horas para los acabados, si en cada muñeca gana 4 dólares
y en los soldados 6 dólares.
¿Cuantos juguetes de cada uno debe producir por cada semana el fabricante con
el fin de maximizar su utilidad?
VARIABLES Maq. (A) Maq. (B) Acabados Utilidad
Muñecas (x) 2 1 1 4
Soldados (y) 1 1 3 6
Horas
disponibles70 40 90
Función Objetivo: z = 4x +6y
Restricciones: 2x + y ≤ 70
x + y ≤ 40
x + 3y ≤ 90
Mínimo: 120 para x=40 y=20
El punto de origen no se toma en cuenta para maximizar ni minimizar.
2x + y ≤ 70 x + y ≤ 40 x + 3y ≤ 90
y ≤ 70 – 2x y ≤ 40 – x 3y ≤ 90 – x
y = 70 – 2x y = 40 – x y ≤30−x3
X Y
0 70
35 0
a) (0; 30)
b) 40 – x = 30−x3
120 – 3x = 90 – x
120 – 90 = -x + 3x
30 = 2x
X Y0 40
40 0
X Y0 30
90 0
y = 40 - xy = 40 – 15y = 25
(15; 25)
x = 15
c) 70 – 2x = 40 – x
70 – 40 = -x +2x
X = 30
d) (35; 0
e) (0; 0)
Z = 4x + 6y
Z(A) = 4(0) + 6(30) = 180
Z(B) = 4(15) + 6(25) = 210
Z(C) = 4(30) + 6(10) = 180
Z(D) = 4(35) + 6(0) = 140
Ganancia de 210 dólares construyendo las 15 muñecas y los 25 soldados.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. y – 3x < 5
2x – 3y > -6
2. x –y < 1
y – x < 1
y = 70 - 2 xy = 40 – 2(30)y = 70 – 60y = 10
(30; 10)
3. 2y < 4x + 2
y < 2x + 1
5. 2x + y ≥ 6
x≤ y
y≤ 5x + 2
x – y > 4
4. x < 2
y > - 5
6. 2x – 3y > - 12
3x + y > - 6
y > x
7.MAXIMIZAR
P=5 x+7 y
Sujeta a
2 x+3 y ≤45
x−3 y ≥2
x , y ≥0
8. MAXIMIZAR
P=2 x+5 y
Sujeta a:
x+ y≤90
4 x+3 y ≤250
x+2 y≤225
x , y ≥0
9. Minimizar
z = x + y
Sujeta a
10.Minimizar
Z = 20x + 30y
Sujeta a
x – y ≥ 0
4x + 3y ≥ 12
9x + 11y ≤ 99
x ≤ 8
x,y ≥ 0
2x + y ≤ 10
3x + 4y ≤ 24
8x + 7y ≥ 56
x,y ≥ 0
11.Minimizar
Z = 7x + 3y
Sujeta a
3x – y ≥ - 2
x + y ≤ 9
x – y = -1
x,y ≥ 0
12.Minimizar
C = 3x + 2y
Sujeta a
2x + y ≥ 5
3x + y ≥ 4
x + 2y ≥ 3
x,y ≥ 0
MÉTODO SIMPLEX
Es una parte de la programación lineal que permite resolver con menos datos y
más incógnitas y se utiliza el método de las matrices.
Pivoteo: (1213007142153783/ 4
)
Este se resuelve con tres ecuaciones con más de tres incógnitas.
Sistema de desigualdad formado de una función objetivo que generalmente
proviene de los costos y las utilidades.
Restricciones bienes del problema que se plantea pero también se incluirán
dos símbolos.
x1; x2; x3 ; x4 ;……………………………………………. xn Variables estructurales
s1 ;s2; s3 ;s4 ;……………………… ... sn Variables de holgura
t 1; t 2; t 3; t 4 ;……………………..… .. t n Variables artificiales
Permite resolver problemas de maximización y minimización para llegar a una
toma de decisiones.
1. Aparecen en todos los problemas de la matriz simplex estas pueden tener
signo (+ ó -).
2. Son (+) cuando se maximiza y (–) cuando se minimiza.
3. Aparecen cuando se minimiza y también cuando da una igualdad.
Cuando se maximiza el símbolo de las restricciones será ≤ que son las
utilidades.
Cuando se minimiza el símbolo de las restricciones será ≥ que son los
costos, gastos o pérdidas.
Para las restricciones se puede tener también (=) o la restricción puede tener
los tres símbolos, (≤, ≥, =).
Los términos independientes siempre serán positivos pero si tienen signo
negativo se cambia de signo multiplicando (-1) y es así que también cambia
los signo.
Ejemplo: x1+ x2+x3≥−4 (-1)
−x1−¿ x2− x3≤ ¿ 4
a11x1+a12 x2+…a1n xn≥b1
1. x1+ x2+x3+x4+……………………………………………. xn
2. −s1−s2−s3−s4−……………………… ... sn
3. t 1+ t2+t 3+ t4 ;…………………… ..… .. t n
a21 x1+a22 x2+…a2n xn≤b2
1. x1+ x2+x3+x4+……………………………………………. xn
2. s1+s2+s3+s4+…………………………sn
a31 x1+a22 x2+…a3n xn=b3
1. x1+ x2+x3+x4+……………………………………………. xn
2. t 1+ t2+t 3+ t4+…………………… ..… ..t n
El Método Simplex consiste en un algoritmo iterativo que secuencialmente a través
de iteraciones se va aproximando al óptimo del problema de Programación Lineal
en caso de existir esta última.
La primera implementación computacional del Método Simplex es el año 1952
para un problema de 71 variables y 48 ecuaciones. Su resolución tarda 18 horas.
Luego, en 1956, un código llamado RSLP1, implementado en un IBM con 4Kb en
RAM, admite la resolución de modelos con 255 restricciones.
El Método Simplex hace uso de la propiedad de que la solución óptima de un
problema de Programación Lineal se encuentra en un vértice o frontera del
dominio de puntos factibles (esto último en casos muy especiales), por lo cual, la
búsqueda secuencial del algoritmo se basa en la evaluación progresiva de estos
vértices hasta encontrar el óptimo. Cabe destacar que para aplicar el Método
Simplex a un modelo lineal, este debe estar en un formato especial conocido
como formato estándar el cual definiremos a continuación.
FORMA ESTÁNDAR DE UN MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Consideremos un modelo de Programación Lineal en su forma estándar, que
denotaremos en lo que sigue por:
Min c1x1 + c2x2 +... + cnxn
suj a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
... ... ...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
xi >= 0, i = 1, 2, ..., n y m <= n
Matricialmente escrito como:
Min cTx
suj Ax = b
x >= 0
No existe pérdida de generalidad en asumir que un modelo de PL viene dado en
su forma estándar:
EJEMPLO
P) Max 9u + 2v + 5z
suj 4u + 3v + 6z <= 50
u + 2v - 3z >= 8
2u - 4v + z = 5
u,v >= 0
z e IR
1. Siempre es posible llevar un problema de maximización a uno de
minimización. Si f(x) es la función objetivo a maximizar yx* es la solución
óptima f(x*) >= f(x), para todo x factible. -f(x*) <= - f(x), para todo x factible.
En consecuencia: x* es también mínimo de -f(x).
2. Cada restricción del tipo <= puede ser llevada a una ecuación de igualdad
usando una (nueva) variable de holgura no negativa, con coeficiente nulo
en la función objetivo.
3. Cada restricción del tipo >= puede ser llevada a una ecuación de igualdad
usando una (nueva) variable de exceso no negativa, con coeficiente nulo
en la función objetivo.
4. Siempre es posible escribir una variable libre de signo como la diferencia de
dos variables no negativas.
Considerando la siguiente notación: u = x1, v = x2, z = x3 - x4, s1 = x5 (holgura),
s2 = x6 (exceso), el problema P) puede ser escrito en forma equivalente como:
Min - 9x1 - 2x2 - 5x3 + 5x4 + 0x5 + 0x6
suj 4x1 + 3x2 + 6x3 - 6x4 + x5 = 50
x1 + 2x2 - 3x3 + 3x4 - x6 = 8
2x1 - 4x2 + x3 - x4 = 5
xi >= 0, i=1,2,3,4,5,6.
PREPARANDO EL MODELO PARA ADAPTARLO AL MÉTODO
SIMPLEX
Esta es la forma estándar del modelo:
Función objetivo: c1·x1 + c2·x2 + ... + cn·xn
Sujeto a: a11·x1 + a12·x2 + ... + a1n·xn = b1
a21·x1 + a22·x2 + ... + a2n·xn = b2
...
am1·x1 + am2·x2 + ... + amn·xn = bm
x1,..., xn ≥ 0
Para ello se deben cumplir las siguientes condiciones:
1. El objetivo es de la forma de maximización o de minimización.
2. Todas las restricciones son de igualdad.
3. Todas las variables son no negativas.
4. Las constantes a la derecha de las restricciones son no negativas.
CAMBIO DEL TIPO DE OPTIMIZACIÓN.
Si en nuestro modelo, deseamos minimizar, podemos dejarlo tal y como está, pero
deberemos tener en cuenta nuevos criterios para la condición de parada
(deberemos parar de realizar iteraciones cuando en la fila del valor de la función
objetivo sean todos menores o iguales a 0), así como para la condición de salida
de la fila. Con objeto de no cambiar criterios, se puede convertir el objetivo de
minimizar la función F por el de maximizar F•(-1).
Ventajas.- No deberemos preocuparnos por los criterios de parada, o condición de
salida de filas, ya que se mantienen.
Inconvenientes.- En el caso de que la función tenga todas sus variables básicas
positivas, y además las restricciones sean de desigualdad "≤", al hacer el cambio
se quedan negativas y en la fila del valor de la función objetivo se quedan
positivos, por lo que se cumple la condición de parada, y por defecto el valor
óptimo que se obtendría es 0.
Solución.- En la realidad no existen este tipo de problemas, ya que para que la
solución quedara por encima de 0, alguna restricción debería tener la condición
"≥", y entonces entraríamos en un modelo para el método de las Dos Fases.
CONVERSIÓN DE SIGNO DE LOS TÉRMINOS INDEPENDIENTES
(LAS CONSTANTES A LA DERECHA DE LAS RESTRICCIONES)
Deberemos preparar nuestro modelo de forma que los términos independientes de
las restricciones sean mayores o iguales a 0, sino no se puede emplear el método
Simplex. Lo único que habría que hacer es multiplicar por "-1" las restricciones
donde los términos independientes sean menores que 0.
Ventaja: Con ésta simple modificación de los signos en la restricción podemos
aplicar el método Simplex a nuestro modelo.
Inconvenientes: Puede resultar que en las restricciones donde tengamos que
modificar los signos de las constantes, los signos de las desigualdades fueran ("=",
"≤"), quedando ("=","≥") por lo que en cualquier caso deberemos desarrollar el
método de las Dos Fases. Este inconveniente no es controlable, aunque nos
podría beneficiar si sólo existen términos de desigualdad ("≤","≥"), y los "≥"
coincidieran con restricciones donde el término independiente es negativo.
TODAS LAS RESTRICCIONES SON DE IGUALDAD.
Si en nuestro modelo aparece una inecuación con una desigualdad del tipo "≥",
deberemos añadir una nueva variable, llamada variable de exceso si, con la
restricción si ≥ 0. La nueva variable aparece con coeficiente cero en la función
objetivo, y restando en las inecuaciones.
Surge ahora un problema, veamos cómo queda una de nuestras inecuaciones que
contenga una desigualdad "≥"
a11•x1 + a12•x2 ≥ b1 a11•x1 + a12•x2 - 1•xs = b1
Como todo nuestro modelo, está basado en que todas sus variables sean mayores
o iguales que cero, cuando hagamos la primera iteración con el método Simplex,
las variables básicas no estarán en la base y tomarán valor cero, y el resto el valor
que tengan. En este caso nuestra variable xs, tras hacer cero a x1 y x2, tomará el
valor -b1. No cumpliría la condición de no negatividad, por lo que habrá que añadir
una nueva variable, xr, que aparecerá con coeficiente cero en la función objetivo, y
sumando en la inecuación de la restricción correspondiente. Quedaría entonces de
la siguiente manera:
a11•x1 + a12•x2 ≥ b1 a11•x1 + a12•x2 - 1•xs + 1 •xr = b1
Este tipo de variables se les llama variables artificiales, y aparecerán cuando haya
inecuaciones con desigualdad ("=","≥"). Esto nos llevará obligadamente a realizar
el método de las Dos Fases, que se explicará más adelante. Del mismo modo, si
la inecuación tiene una desigualdad del tipo "≤", deberemos añadir una nueva
variable, llamada variable de holgura si, con la restricción si "≥" 0 . La nueva
variable aparece con coeficiente cero en la función objetivo, y sumando en las
inecuaciones.
A modo resumen podemos dejar esta tabla, según la desigualdad que aparezca, y
con el valor que deben estar las nuevas variables.
Tipo de desigualdad Tipo de variable que aparece
≥ - exceso + artificial
= + artificial
≤ + hondura
El método Simplex es un método secuencial de optimización, es un procedimiento
iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye
cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución.
Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método
consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La
búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del
poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de
aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución.
El método Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no
toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo
largo de la cual f aumenta.
Deberá tenerse en cuenta que este método sólo trabaja para restricciones que
tengan un tipo de desigualdad "=" y coeficientes independientes mayores o iguales
a 0, y habrá que estandarizar las mismas para el algoritmo. En caso de que
después de éste proceso, aparezcan (o no varíen) restricciones del tipo "=" o "="
habrá que emplear otros métodos, siendo el más común el método de las Dos
Fases.
Planteamiento del problema
Optimizar: Z = ?C1 X 1 ??C 2 X 2 ?? ??C n X n
Sujeto a:
Los problemas de programación lineal se caracterizan por una serie de elementos:
1. En la solución óptima: el número de procesos será igual al número de factores
limitados; aunque en ciertas ocasiones, dicho número de procesos puede ser
menor que el número de factores limitados. En tal caso, la solución es
degenerada.
2. Los niveles de utilización Xj de los procesos serán no negativos.
3. Estos niveles serán tales, que todas las restricciones cumplan como igualdad,
siempre y cuando estemos hablando de procesos que pertenezcan al óptimo.
4. El programa (plan de producción), que cumpliendo las condiciones anteriores,
optimice el valor de la función objetivo, será el programa óptimo.
El algoritmo simplex fue descubierto por el matemático norteamericano George
Bernard Dantzig en 1947, es una técnica para dar soluciones numéricas a
problema de programación lineal.
Un problema en su forma estándar se puede representar como:
X, Xs ≥ 0. Donde X son las variables de decisión de la forma estándar, Xs son las
variables de holgura o de exceso, c contiene los coeficientes de la función objetivo
y Z es la variable a ser maximizada o minimizada.
El sistema es no determinado, debido a que el número de variables excede el
número de ecuaciones. La diferencia entre el número de variables y el número de
ecuaciones nos da los grados de libertad asociados con el problema.
Cualquier solución, optima o no, incluirá un número de variables de valor arbitrario.
Esta forma permite encontrar la solución factible básica inicial haciendo Xsi = bj
FORMA ESTÁNDAR DEL MODELO:
1.- Todas las restricciones son ecuaciones con los lados derechos no negativos,
en el caso del primal. Las restricciones del tipo ≤ o ≥ se convierten en ecuaciones
sumando una variable de holgura (caso ≤) o restando una variable de exceso
(caso ≥) en el lado izquierdo de la restricción.
2.- Todas las variables son no negativas, si una variable es irrestricta se usa la
sustitución Yi = Y ´i – Y´´i. Una variable negativa se hace no negativa multiplicando
por -1 a la variable en la función objetivo y las restricciones.
3.- La función objetivo es de maximización o minimización.
SOLUCIÓN BÁSICA:
Una solución básica es aquella que es factible o se encuentra en uno de los
vértices de la región solución. Con m ecuaciones y n variables una solución básica
se determina haciendo n-m variables iguales a cero. En general existen n!/ [m! (n-
m)!] soluciones básicas posibles.
VARIABLES NO BÁSICAS: Son la n -m variables que hemos hecho igual a cero.
VARIABLES BÁSICAS: Son variables restantes diferentes de cero. La solución
básica será factible si todos los valores de las variables básicas son no negativos.
Si alguna de las variables es negativa entonces la solución será infactible.
CONDICIONES PARA QUE UNA VARIABLE SEA BÁSICA O NO BÁSICA:
CONDICIÓN DE OPTIMIDAD:
La variable que entra o pasa a ser básica es aquella no básica con el coeficiente
más negativo si el problema es de maximización, o mas positivo si es de
minimización. Si todos los coeficientes de las variables no básicas en Z son no
negativos, la solución es óptima en maximización y si son no positivos entonces la
solución es optima en minimización. Otro método utiliza para evaluación la fila (Cj
– Zj) y elige para entrar la variable que del mayor mejoramiento por unidad a la
función objetivo.
CONDICIÓN DE FACTIBILIDAD:
La variable que sale es la variable básica, con la menor razón (denominador
positivo) en la dirección de la variable que entra.
Tanto en la condición de optimidad como de factibilidad, los empates se rompen
de forma arbitraria.
TÉCNICA M:
Si todas las restricciones no son del tipo ≤, es decir hay restricciones de = y ≥,
entonces no es posible obtener una solución básica inicial con las variables de
holgura, en este caso se utilizan otras variables llamadas variables artificiales
(Rm) que se agregan a las restricciones que son del tipo ≥ o de = con coeficiente
1, en la función objetivo se penalizan agregándolas con coeficiente muy alto si es
minimización o muy bajo si es maximización (una M o -M). Las iteraciones se
hacen igual que el simplex normal y las condiciones de optimidad y factibilidad son
las mismas. Si en la solución óptima hay variables artificiales, se dice que el
modelo es infactible.
SOLUCIÓN INFACTIBLE:
Ocurre cuando las restricciones no se pueden satisfacer de forma simultánea.
Este tipo de solución no se presenta si todas las restricciones son del tipo ≤, en
otro tipo de restricciones hace falta el uso de variables artificiales, lo que puede
dar lugar a soluciones no factibles. Un modelo con solución infactible puede
significar que ha sido mal planteado o que las restricciones no estén destinadas a
cumplirse simultáneamente, por lo que haría falta una estructura diferente del
modelo.
MAXIMIZAR
El Método Simplex permite resolver problemas de la programación lineal y este es
otro modelo pero ahora van a ver más restricciones es decir que puede haber dos
ecuaciones y más incógnitas.
En este método van a intervenir:
Variables estructurales
X1, X2, X3, X4………….XN
Variables de Holgura
S1,S2,S3,S4………………..# de Restricciones
Variables Artificiales
T1,t2,,t3,t4,……………………tn
Este Método va a tener dos pasos que son los siguientes:
Maximizar Variables Normales
Variables Artificiales
Minimizar Variables Normales
Variables Artificiales
PASOS PARA SOLUCIONAR EJERCICIOS
1. La función objetiva se la iguala a cero
2. A las restricciones se igualan
3. Poner todas las variables
4. De las ecuaciones debajo e todas las variables se ubica los coeficientes
numéricos de cada uno de las restricciones.
5. Debajo de las restricciones en forma horizontal y vertical ponemos dos
líneas entre punteadas
6. Debajo de la línea horizontal entre punteada colocamos los coeficientes
numéricas de la función objetiva.
7. Ubicamos los paréntesis o corchetes en los coeficientes numéricos de las
restricciones.
8. De las ecuaciones dadas escogemos las variables de holgura y artificiales
positivas y se las ubica en la parte izquierda del paréntesis de la matriz
simplex.
9. Señalamos todos los coeficientes numéricos de las variables estructurales,
holgura y artificiales llamándose indicadores.
10.De los indicadores escogemos el valor mas negativo y seleccionamos su
columna y a esta se la llama columna pivote, lo que nos permitirá escoger
el pivote dividiendo los valores que están arriba de la línea entre punteada
que siempre sean positivos utilizando la formula:
PV = bn /xn = valor mas
pequeño es el pivote
11.Si los elementos que están arriba de la línea entre punteada son ceros o
negativos la solución es no básica factible.
12.Escogidos el pivote esto debe ser la unidad que puede ser multiplicado por
cualquier valor para que sea haga la unidad a toda la fila.
13.Obtenido el pivote que es 1 los elementos de la primera y tercera columna
de la columna pivote deben ser ceros utilizando las operaciones de
matrices.
14.La solución se termina cuando todos los indicadores pasaron a tener signo
positivo y si existe algún valor negativo en los indicadores y su columna es
una zona no básica factible, lo que indica que van a existir problemas sin
solución.
15. Para la solución del ejercicio escoge las variables de la izquierda y las
igualan con el término independiente y ahí se encuentra la solución.
16.Para comprobar el problema que esta bien resuelto se remplaza los valores
de las variables estructurales en la función objetivo y nos debe dar igualdad
si no nos da una igualdad quiere decir que el problema esta mal resuelto.
17.Remplazando todos estos valores llegamos a la toma de decisiones.
EJERCICIOS EN CLASE
MAXIMIZAR
Z=x1+2 x2
Sujeta a: 2 x1+x2≤8
2 x1+3 x2≤12
x1; x2≥0
Matriz simplex
Z B
S1 2 1 1 0 0 8
S2 2 3 0 1 0 12
Z -1 -2 0 0 1 0
Al lado izquierdo fuera del paréntesis se ubica las variables de holgura y
artificiales con signo positivo.
De la última fila se escoge el número más negativo y se la designa columna
pivote de las variables estructurales o las de holgura.
Arriba de la línea entre punteada escoger los valores positivos y divididos
estos valores con los términos independientes y el número menor de esto
se llama pivote.
De la columna pivote señale el número menor.
Este pivote generalmente debe ser un número 1.
Se aplica el proceso de matrices entre filas y columnas de sumar, restar o
multiplicar hasta que los elementos de la columna pivote que no sea el
pivote.
F2 1/3 f2
S1 2 1 1 0 0 8
S2 2/3 1 0 1/3 0 4
Z -1 -2 0 0 1 0
x1 x2 S1 S2
x1 x2 S1 S2 Z b
F1 f1 – f2
2 1 1 0 0 8
-2/3 -1 0 -1/3 0 -4
4/3 0 1 -1/3 0 4
F3 f2 + f3
4/3 2 0 2/3 0 8
-1 -2 0 0 1 0
1/3 0 0 2/3 1 8
S1 4/3 0 1 -1/3 0 4
X1 2/3 1 0 1/3 0 4
Z 1/3 0 0 2/3 1 8
S1=4 ; S2=0; x1=0 ; x2=4 ;Z=8
Z=x1+2 x2
8 = 0 + 2
8 = 8
Una compañía fabrica 3 productos x, y, z, cada uno requiere de un tiempo de
máquina y uno de acabado como se muestra en la siguiente tabla:
x1 x2 S1 S2 Z b
VARIABLE T.
máquina
T.
Acabado
X 1 h 4 h
Y 2 h 4 h
Z 3 h 8 h
El número de horas de tiempo de las máquinas y el acabado disponibles por mes
con 900 y 5000 respectivamente, la utilidad unitaria de x, y, z es de $6, $8, $12
dólares respectivamente ¿Cuál es la utilidad máxima que puede obtenerse por
mes.
Función Objetivo: W = 6x + 8y + 12 z
Sujeta a: x + 2y + 3z ≤ 900
4x + 4y + 8z ≤ 5000 (4)
x; y; z ≥ 0
-6x – 8y – 12z + w = 0
x + 2y + 3z + S1 = 900
VARIABLE
T.
máquina
T.
Acabado Utilidad
X 1 h 4 h $ 6,oo
Y 2 h 4 h $ 8,oo
Z 3 h 8 h $ 12,oo
Horas
disponible
s
900 h 5000 h
x + y + 2z + S2 =1250
X y Z S1 S2 w b
S1 1 2 3 1 0 0 900
S2 1 1 2 0 1 0 1250
W -6 -8 -12 0 0 1 0
F1 1/3 f1
X Y Z S1 S2 w b
S1 1/3 2/3 1 1/3 0 0 300
S2 1 1 2 0 1 0 1250
W -6 -8 -12 0 0 1 0
F2 -2 f1 + f2
-2/3 -4/3 -2 -2/3 0 0 -600
1 1 2 0 1 0 1250
1/3 -1/3 0 -2/3 1 0 650
F3 12 f1 + f3
4 8 12 4 0 0 3600
-6 -8 -12 0 0 1 0
-2 0 0 4 0 1 3600
X Y Z S1 S2 w b
Z 1/3 2/3 1 1/3 0 0 300
S2 1/3 -1/3 0 -2/3 1 0 650
W -2 0 0 4 0 1 3600
F1 3 f1
X y Z S1 S2 w b
Z 1 2 3 1 0 0 900
S2 1/3 -1/3 0 -2/3 1 0 650
W -2 0 0 4 0 1 3600
F2 -1/3 f1 + f2
-1/3 -2/3 -1 -1/3 0 0 -300
1/3 -1/3 0 -2/3 1 0 650
0 -1 -1 -1 1 0 350
F3 2 f1 + f3
2 4 6 2 0 0 1800
-2 0 0 4 0 1 3600
0 4 6 6 0 1 5400
X y Z S1 S2 w b
X1 1 2 3 1 0 0 900
S2 0 -1 -1 -1 1 0 350
W 0 4 6 6 0 1 5400
x = 900; y = 0; z = 0; w = 5400
w = 6x + 8y + 12z
5400 = 6(900) + 8(0) + 12(0)
5400 = 5400
Toma de decisiones: El producto (z) y (y) no deben producirse para obtener una
utilidad pero si se debe producir 600 productos de (x).
2.−MAXIMIZAR
Z=X1+2 X2,
Sujeta a
2 x1+x2≤8
2 x1+3 x2≤12
x1 , x2≥0
f 2∶13f 2
S1S2Z [X 1 X 2 S1 S 2 Z b
2 1 1 0 0 823
1 013
0 4
−1 −2 0 0 1 0]
f 1∶−f 2+ f 1
−23
−1 0
2 1 1
−13
0 −4
0 0 843
0 1−13
0 4
f 3∶ 2 f 2+ f 3
43
2 0
−1 −2 0
23
0 8
0 1 0130 0
231 8
Z = X1+2 X2
8 = 0+2(4)
8 = 8
3.−MAXIMIZAR
Z=2 X1−6 X 2,
Sujeta a
x1−x2≤4
−x1+2x2≤4
x1+ x2≤6
x1 , x2≥0
f 2∶ f 1+ f 2
1 −1 1−1 1 0
0 0 0 41 0 0 4
0 0 11 0 0 8
f 3∶−f 1+ f 3
Z = 8
S1 = 4
S2 = 0
X2 = 4
X1 = 0
−1 1 −11 1 0
0 0 0 −40 1 0 6
0 2 −10 1 0 2
f 4 ∶ 2 f 1+f 4
2 −2 2−2 6 0
0 0 0 80 0 1 0
0 4 20 0 1 8
Producción. Una compañía fabrica tres productos X, Y, Z. Cada producto requiere tiempo de máquina y tiempo de acabado como se muestra en la tabla siguiente:
Tiempo de
Maquina
Tiempo de
Acabado
X 1hr 4hr
Y 2hr 4hr
Z 3hr 8hr
Planteamiento
Tiempo de maquina
Tiempo de
acabado
Costo
X 1hr 4hr $ 6
Y 2hr 4hr $ 8
Z 3hr 8hr $ 12
Requerimiento 900 5000
Z = 6X1 +8X2 +12X3 = -6X1-8X2 -12X3
X1 + 2X2 +3X3 ≤ 900
4X1 +4X2 +8X3 ≤ 5000
X1 + 2X2 +3X3+S1 = 900
4X1 +4X2 +8X3 +S2 = 5000
X1 X2 X 3 S2 S3 Z b
S1 1 2 3
P.V
1 0 0 900
S2 4 4 8 0 1 0 5000
Z -6 -8 -12 0 0 1 0
F1: 1/3F1
1/3 2/3 1 1/3 0 0 300
F2:-8F1 +F2
-8/3 -16/3 -8 -8/3 0 0 -2400
4 4 8 0 1 0 5000
4/3 -4/3 0 -8/3 1 0 2600
F3:12F1 +F3
4 8 12 4 0 0 3600
-6 -8 -12 0 0 1 0
-2 0 0 4 0 1 3600
X1 X2 X 3 S2 S3 Z b
X3 1/3P.V 2/3 1 1/3 0 0 300
S2 4/3 -4/3 0 -8/3 1 0 2600
Z -2 0 0 4 0 1 3600
F1:3F1
1 2 3 1 0 0 900
F2: -4/3F1 +F2
-4/3 -8/3 -4 -4/3 0 0 -1200
4/3 -4/3 0 -8/3 1 0 2600
0 -4 -4 -4 1 0 1400
F3: 2F1 + F3
2 4 6 2 0 0 1800
-2 0 0 4 0 1 3600
0 0 6 6 0 1 5400
X1 X2 X 3 S2 S3 Z b
X1 1 2 3 1 0 0 900
S2 0 -4 -4 1 0 0 1400
Z 0 4 6 6 0 1 5400
X1 = 900
X2 = 0
X3 = 0
Z = 5400
Z = 6X1 + 8X2 +12X3
5400 = 6 (900) +8 (0) +12 (0)
5400 = 5400
MAXIMIZAR
Z=8 X1+2 X2,
Sujeta a
x1−x2≤1
x1−2 x2≤8
x1+ x2≤5
x1 , x2≥0
f 2∶−f 1+ f 2
−1 1 −11 2 0
0 0 0 −11 0 0 8
0 3 −11 0 0 7
f 3∶−f 1+ f 3
−1 1 −11 1 0
0 0 0 −10 1 0 5
0 3 −10 1 0 4
f 4 ∶ 8 f 1+ f 4
8 −8 8−8 −2 0
0 0 0 80 0 1 0
0 −10 80 0 1 8
f 3∶12f 3
[X 1S2S3Z
][1 −1 1 0 0 0 10 3 −1 1 0 0 7
0 1−12
0120 2
0 −10 8 0 0 1 8]
f 1∶ f 2+ f 1
0 1−12
1 −1 1
0120 2
0 0 0 1
1 0120120 3
f 2∶−3 f 3+ f 2
0 −3 32
0 3 −1
0−32
0 −6
1 0 1 7
0 0121
−32
1 1
f 4 ∶ 10 f 3+ f 4
0 10 −50 −10 8
0 5 0 200 0 1 8
0 0 30 5 1 1
Z=8 X1+2 X2,
28 = 8 (3 )+2(2)
28 = 28
Z = 28
S1 = 0
S2 = 1
S3 = 0
X2 = 2
X1 = 3
MAXIMIZAR
Z=2 X1−6 X 2,
Sujeta a
x1−x2≤4
−x1+2x2≤4
x1+ x2≤6
x1 , x2≥0
f 2∶ f 1+ f 2
1 −1 1−1 1 0
0 0 0 41 0 0 4
0 0 11 0 0 8
f 3∶−f 1+ f 3
−1 1 −11 1 0
0 0 0 −40 1 0 6
0 2 −10 1 0 2
f 4 ∶ 2 f 1+f 4
2 −2 2−2 6 0
0 0 0 80 0 1 0
0 4 20 0 1 8
Z=8 X1+2 X2,
28 = 8 (3 )+2(2)
28 = 28
Z = 8
S1 = 0
S2 = 8
S3 = 2
X2 = 0
X1 = 4
MAXIMIZAR
Z=2 X1+X2,
Sujeta a
x1+ x2≤6
−x1+ x2≥4
x1 , x2≥0
f 3∶−M f 2+ f 3
M −M 0−2 −1 0
M −M 0 −4M0 M 1 0
– 2+M −1−M 0M 0 1 −4M
f 1∶−f 2+ f 1
1 −1 01 1 1
1 −1 0 −40 0 0 6
2 0 11 −1 0 2
f 3∶ (1+M ) f 2+ f 3
(−1−M ) (1+M ) 0−2+M −1−M 0
(−1−M ) (1+M ) 0 (4+4M )M 0 1 −4M
−3 0 0−1 1+M 1 4
f 1∶12f 1
[ S1X 2W ][ 1 012
12
0 1
−1 1 0 −1 0 4−3 0 0 −1 0 4
]f 2∶ f 1+ f 2
1 012
−1 1 0
12
0 1
−1 0 4
0 112−120 5
f 3∶ 3 f 1+ f 3
3 032
−3 0 0
32
0 3
−1 1 4
0 032121 7
Z=2 X1+X2,
7 = 2 (1 )+(5)
7 = 7
W = 7
S1 = 0
S2 = 0
t1 = 0
X2 = 5
X1 = 1
MAXIMIZAR
Z=3 X1+4 X2,
Sujeta a
x1+2x2≤8
−x1+6 x2≥12
x1 , x2≥0
f 3∶−M f 2+ f 3
−M −6M 0−3 −4 0
M −M 0 −12M0 M 1 0
–3−M −4−6M 0M 0 1 −12M
f 2∶16f 2
[S1t 1W ] [ 1 2 1 0 0 816
1−16
−1 0 2
−3−M −4−6M 0 M 1 −12M]
f 1∶−2 f 2+ f 1
−13
−2 0
1 2 1
13
0 −4
0 0 823
0 113
0 4
f 3∶ (4+6M ) f 2+ f 3
( 23+M ) (4+6M ) 0
−3−M −4−6M 0
(−23
−M ) 0 (8+12M )
M 1 −12M−73
0 0−23
1 8
f 1∶32f 1
[S1t 1W ] [ 1 032
12
0 6
16
1 0−16
0 2
−73
0 0−23
1 8]f 2∶−
16f 1+ f 2
−16
0−14
16
1 0
−112
0 −1
−16
0 2
0 1−14
−14
0 1
f 3∶73f 1+f 3
73
072
−73
0 0
76
0 14
−23
1 8
0 072120 22
Z=3 X1+4 X2,
22 = 3 (6 )+4(1)
22 = 22
MINIMIZAR
Z=3 X1+6 X2,
Sujeta a
−x1+ x2≥6
x1+ x2≥10
x1 , x2≥0
f 3∶−M f 1+f 3
M −M M3 6 0
0 −M 0 0 −6M0 M M 1 0
3+M 6−M M 0 M 0 1 −6M
[ S1X 3W ][ X1 X 2 S1 S2 t 1 t 2 W b−1 1 −1 0 1 0 0 61 1 0 −1 0 1 0 10
3+M 6−M M 0 0 M 1 −6M ]f 3∶−M f 2+ f 3
SOLUCIÓN:
W = 22
S1 = 0
S2 = 0
t1 = 0
X2 = 1
X1=6
−M −M 03+M 6−M M
M 0 −M 0 −10M0 0 M 1 −6M
3 ¿6−2MM M 0 0 1 −16M
[ S1X 3W ][X 1 X 2 S1 S2 W b−1 1 −1 0 0 61 1 0 −1 0 103 6−2M M M 1 −16M ]
f 2∶−f 1+f 2
1 −11 1
1 0 0 −60 −1 0 10
2 0 1−1 0 4
f 3∶ (−6+2M ) f 2+ f 3
(6−2M ) (−6+2M ) (6−2M )3 6−2M M
0 0 (−36+12M )M 1 −16M
9−2M 0 6−MM 1 −36−4M
[ S1X 3W ][X 1 X 2 S1 S2 W b−1 1 −1 0 0 62 0 1 −1 0 43 6−2M M M 1 −16M ]
f 2∶12f 2
[ S1X 3W ][X 1 X 2 S1 S 2 W b−1 1 −1 0 0 6
1 012
−12
0 2
3 6−2M M M 1 −16M]
f 1∶ f 2+ f 1
1 012
−1 1 −1
−12
0 2
0 0 6
0 1−12
−12
0 8
f 3∶ (−9+2M ) f 2+ f 3
(−9+2M ) 0 ( 92+M ) ( 9
2−M )
9−2M 0 6−2M M
0 (−18+4M )1 −36−4M
0 03292
1 −54
[X 2X 1W ][X 1 X 2 S1 S2 W b
0 1−12
−12
0 8
1 012
−12
0 2
0 032
92
1 −54]Z=3 X1+6 X2,
-54 = −3 (2 )−6 (8 )¿
-54 = -54
W = -54; S1 = 0; S2 = 3; T1 = 0; X2 = 8; X1 = 2; T2 = 0
2.−MINIMIZAR
Z=8 X1+12 X2,
Sujeta a
2 x1+2 x2≥1
x1+3x2≥2
x1 , x2≥0
f 3∶−M f 1+f 3
−2M −2M M8 12 0
0 −M 0 0 −M0 M M 1 0
8−2M 12−2M M 0 0 0 1 −M
[ S1X 3W ][ X 1 X 2 S1 S2 t 1 t 2 W b2 2 −1 0 1 0 0 11 3 0 −1 0 1 0 2
8−2M 12−2M M 0 0 M 1 −M]
f 3∶−M f 2+ f 3
−M −3M 08−2M 2−2M M
M 0 −M 0 −2M0 0 M 1 −M
8−3M ¿12−5MM M 0 0 1 −3M
f 1∶12f1
1 012
−1 1 −1
−12
0 2
0 0 6
0 1−12
−12
0 8
[ S1X 3W ][ X 1 X 2 S1 S2 W b
1 1 –12
0 012
1 3 0 – 1 0 28−3M 12−5M M M 1 −3M
]f 2∶−3 f 1+ f 2
−3 −3 32
1 3 0
0 0−32
−1 0 2
−2 032−1 0
12
f 3∶ (−12+5M ) f 1+ f 3
(−12+5M ) (−12+5M ) (6−52M ) 0
8−3M −12+5M 6−32M M
0 (−6+ 52M )
1 −3M
−4+2M 0 6−32M M 1 −6−1
2M
f 1∶12f2
+ f 1
−23
012
1 1−12
−13
016
0 012
131 0
−13
023
f 3∶ (−6+32M ) f 1+f 3
(8−2M ) 0 (−6+ 32M ) 4−M 0 −2+ 1
2
−4+2M 0 6−32M M 1 −6−
12
4 0 ¿04 1 −8¿
Z=8 X1+12 X2,
-8 = −8 (0 )−12(2/3)
-8 = -8
W = -8; S1 = 1/3; S2 = 0; T1 = 0; X2 = 2/3; X1 = 0; T2 = 0
MINIMIZAR
Z=12 X1+6 X2+3 X3,
Sujeta a
x1−x2−x3≥18
x1 , x2 , x3≥0
f 2∶−M f 1+f 2
−M M M12 6 3
M −M 0 −18M0 M 1 0
12−M 6+M 3+M 0 0 1 −18M
f 2∶ (−12+M ) f 1+ f 2
(−12+M ) (12−M ) (12−M ) (12−M ) 0 −216+18M12−M 6+M 3+M M 0 −18M
0 18 ¿1512 0 −216¿
Z=12 X1+6 X2+3 X3,
-216 = −12 (18 )
-216 = -216 W = -216
S1 = 0
S2 = 0
T1 = 0
X2 = 0
X1 = 18
MINIMIZAR
Z=X1+X2+2 X3,
Sujeta a
x1+ x2−x3≥4
x1 , x2 , x3≥0
f 2∶−M f 1+f 2
−M −2M M1 1 2
M −M 0 −4M0 M 1 0
1−M 1−2M 2+MM 0 1 −4M
f 1∶12f 1
[ S1X 3W ][ X 1 X 2 S 1 S2 W b12
1 –12
–12
0 2
1−M 1−2M 2+M M 1 −4M]
f 2∶ (1−2M) f 1+ f 2
−12
+M 1+2M 12−M
1−M 1−2M 2+M
12−M 0 −2+4M
M 1 −4M12052121 −2
Z=X1+X2+2 X3
-2 = O− (2 )
-2 = -2
W = -2; S1 = 0; S2 = 0; T1 = 0; X2 = 2; X1 = 0
MINIMIZAR
Z=2 X1+3 X2+X3,
Sujeta a
x1+ x2+x3≤6
x1−x3≤−4
x2+ x3≤5
x1 , x2 , x3≥0
f 4 ∶−M f 2+ f 4
M 0 −M 02 3 1 0
0 −M 0 −4M0 M 1 0
2+M 3 1−M 0M 0 1 −4M
f 1∶−f 2+ f 1
1 0 −11 1 1
0 1 0 0 −41 0 0 0 6
2 1 0 11 0 0 2
f 3∶−f 2+ f 3
1 0 −10 1 1
0 1 0 0 −40 0 1 0 5
1 1 0 01 0 0 1
f 4 ∶(−1+M ) f 2+f 4
1−M 0 −1+M 02+M 3 1−M 0
1−M 0 0 −4+4MM 0 1 −4M
3 3 0 01 0 1 −4
Z=2 X1+3 X2+X3,
-4 = -0 - 0 −4
-4 = -4
W = -4; S1 = 2; S2 = 0; T1 = 0, X2 = 0; X1 = 0; X3 = 4; T2 = 0
MINIMIZAR
Z=4 X1+X2+2 X3,
Sujeta a
4 x1+x2−x3≤3
x1+ x3≤4
x1+ x2+x3≤1
x1 , x2 , x3≥0
f 4 ∶−M f 3+ f 4
−M −M −M 04 2 1 0
0 M −M 0 −M0 0 M 1 0
4−M 2−M 1−M 0M 0 0 1 −M
Z=4 X1+X2+2 X3,
-2 = -4(0) – 1(0) – 2(1)
-2= -2
W = -2; S1 = 2; S2 = 2; T1 = 0
EJERCICIOS PROPUESTOS
MAXIMIZAR
Z=2 X1+X2,
Sujeta a
x1+ x2≤6
−x1+ x2≥4
x1 , x2≥0
MAXIMIZAR
Z=3 X1+4 X2,
Sujeta a
x1+2x2≤8
−x1+6 x2≥12
x1 , x2≥0
MAXIMIZAR
Z=2 X1+X2−X3,
Sujeta a
x1+2x2+x3≤5
−x1+2x2+x3≥1
x1 , x2 , x3≥0
MAXIMIZAR
Z=X1−X2+4 X3,
Sujeta a
x1+2x2+x3≤9
x1−2 x2+x3≥6
x1 , x2 , x3≥0
MAXIMIZAR
Z=4 X1+X2+2 X3,
Sujeta a
2 x1+x2+3 x3≤10
x1−x2+ x3=4
x1 , x2 , x3≥0
MAXIMIZAR
Z=X1+2 X2+3 X3,
Sujeta a
x2−2 x3≥5
x1+ x2+x3=8
x1 , x2 , x3≥0
MAXIMIZAR
Z=−3 X1+2 X2,
Sujeta a
x1−x2≤4
−x1+ x2=4
x1≥6
x1 , x2≥0
MINIMIZAR
Z=3 X1+6 X2,
Sujeta a
−x1+ x2≥6
x1+ x2≥10
x1 , x2≥0
MINIMIZAR
Z=8 X1+12 X2,
Sujeta a
2 x1+2 x2≥1
x1+3x2≥2
x1 , x2≥0
MINIMIZAR
Z=12 X1+6 X2+3 X3,
Sujeta a
x1−x2−x3≥18
x1 , x2 , x3≥0
MINIMIZAR
Z=X1+X2+2 X3,
Sujeta a
x1+ x2−x3≥4
x1 , x2 , x3≥0
MINIMIZAR
Z=2 X1+3 X2+X3,
Sujeta a
x1+ x2+x3≤6
x1−x3≤−4
x2+ x3≤5
x1 , x2 , x3≥0
MÉTODO DUAL
Cada problema de programación lineal tiene un segundo problema asociado con
él. Uno se denomina primal y el otro dual. Los 2 poseen propiedades muy
relacionadas, de tal manera que la solución óptima a un problema proporciona
información completa sobre la solución óptima para el otro.
Las relaciones entre el primal y el dual se utilizan para reducir el esfuerzo de
cómputo en ciertos problemas y para obtener información adicional sobre las
variaciones en la solución óptima debidas a ciertos cambios en los coeficientes y
en la formulación del problema. Esto se conoce como análisis de sensibilidad o
post-optimidad.
DUALIDAD.- El dual es un problema de PL que se obtiene matemáticamente de un modelo primal de PL dado. Los problemas dual y primal están relacionados a
tal grado, que la solución simplex óptima de cualquiera de los dos problemas conduce en forma automática a la solución óptima del otro.
El método simplex además de resolver un problema de PL llegando a una
solución óptima nos ofrece más y mejores elementos para la toma de decisiones.
La dualidad y el análisis de sensibilidad son potencialidades de éste método.
En la mayoría de los procedimientos de PL, el dual se define para varias formas
del primal, dependiendo de los tipos de restricciones, de los signos de las
variables y del sentido de la optimización. La experiencia nos indica que en
ocasiones, los principiantes se confunden con los detalles de esas definiciones.
Más importante aún es que el uso de esas definiciones múltiples puede conducir a
interpretaciones inconsistentes de los datos en la tabla simplex, sobre todo en lo
que respecta a los signos de las variables.
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA DUAL
Para poder elaborar el problema dual a partir del primal, este se debe presentar en
su forma canónica de la siguiente forma:
Maximizar
Sujeto a:
El problema dual se puede obtener a partir del problema primal y viceversa de la
siguiente manera:
1. Cada restricción de un problema corresponde a una variable en el otro.
2. Los elementos del lado derecho de las restricciones en un problema son
iguales a los coeficientes respectivos de la función objetivo en el otro.
3. Un problema busca maximizar y el otro minimizar.
4. El problema de maximización tiene restricciones que y el problema de
minimización tiene restricciones que.
5. Las variables en ambos casos son no negativas.
EJEMPLO:
Considere el problema primal siguiente:
Maximizar
Sujeto a:
Elaborar el dual a partir del primal.
Minimizar
Sujeto a:
Cuando el problema primal no está en forma canónica, es necesario hacer ajustes
para poder presentarlo así. Los cambios más frecuentes son:
1. Si la función objetivo es minimizar, se puede transformar a una función objetivo
de maximizar de la siguiente forma:
Minimizar
Maximizar
2. Una restricción mayor o igual que se transforma en una restricción menor o
igual que de la siguiente manera:
3. Una restricción de igualdad se transforma en 2 inecuaciones.
EJEMPLO: (PRIMAL)
Maximizar
Sujeto a:
Maximizar
Sujeto a:
Dual
Minimizar
Sujeto a:
EJEMPLO:
Una compañía produce y vende 2 tipos de máquinas de escribir: manual y
eléctrica. Cada máquina de escribir manual es vendida por un ingreso de 40 dls. y
cada máquina de escribir eléctrica produce un ingreso de 60 dls. Ambas máquinas
tienen que ser procesadas (ensambladas y empacadas) a través de 2 operaciones
diferentes (O1 y O2).
La compañía tiene una capacidad de 2000 hrs. Mensuales para la operación O1 y
1000 hrs. Mensuales de la operación O2.
El número de horas requeridas de O1 y O2 para producir un modelo terminado se
da en la siguiente tabla.
HORAS REQUERIDAS CAPACIDAD
OPERACIÓN MANUAL ELECTRICA (HRS
MENSUALES)
O1 3 2 2000
O2 1 2 1000
Encuentre el número óptimo de unidades de cada tipo de máquina de escribir que
se debe producir mensualmente para maximizar el ingreso.
OBJETIVO: Maximizar el ingreso total
RESTRICCIONES: horas mensuales de las operaciones
VARIABLE DE DECISION: número de máquinas de escribir a producir
X1 = número de máquinas de escribir manuales
X2 = número de máquinas de escribir eléctricas
Maximizar
Sujeto a:
Minimizar
Sujeto a:
V.
Básica
Z W1 W2 S1 S2 Solución
Z 1 0 0 5 25 35000
S1 0 1 0 1/ 2 -1/2 500
W1 0 0 1 -1/ 4 3/ 4 250
TEORÍA DE LA DUALIDAD
Cada problema de programación lineal tiene un segundo problema asociado con
él. Uno se denomina primal y el otro dual. Los 2 poseen propiedades muy
relacionadas, de tal manera que la solución óptima a un problema proporciona
información completa sobre la solución óptima para el otro.
Las relaciones entre el primal y el dual se utilizan para reducir el esfuerzo de
cómputo en ciertos problemas y para obtener información adicional sobre las
variaciones en la solución óptima debidas a ciertos cambios en los coeficientes y
en la formulación del problema. Esto se conoce como análisis de sensibilidad.
EJEMPLO:
Una compañía produce y vende 2 tipos de máquinas de escribir: manual y
eléctrica. Cada máquina de escribir manual es vendida por un ingreso de 40 dls. y
cada máquina de escribir eléctrica produce un ingreso de 60 dls. Ambas máquinas
tienen que ser procesadas (ensambladas y empacadas) a través de 2 operaciones
diferentes (O1 y O2).
La compañía tiene una capacidad de 2000 hrs. Mensuales para la operación O1 y
1000 hrs. Mensuales de la operación O2.
El número de horas requeridas de O1 y O2 para producir un modelo terminado se
da en la siguiente tabla.
DUALIDAD
Parte de un problema
del PL
Precios dual o precio
sombra
Problema primal y
problema dual
Casos proacticos
HORAS REQUERIDAS CAPACIDAD
OPERACIÓN MANUAL ELECTRICA (HRS
MENSUALES)
O1 3 2 2000
O2 1 2 1000
Encuentre el número óptimo de unidades de cada tipo de máquina de escribir que
se debe producir mensualmente para maximizar el ingreso.
OBJETIVO: Maximizar el ingreso total
RESTRICCIONES: horas mensuales de las operaciones
VARIABLE DE DECISION: número de máquinas de escribir a producir
X1 = número de máquinas de escribir manuales
X2 = número de máquinas de escribir eléctricas
Maximizar
Sujeto a:
Minimizar
Sujeto a:
V.
Básica
Z W1 W2 S1 S2 Solución
Z 1 0 0 5 25 35000
S1 0 1 0 1/ 2 -1/2 500
W1 0 0 1 -1/ 4 3/ 4 250
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA DUAL
El dual se obtiene de un problema primal dado, y están relacionados hasta el
punto que la solución de uno dará también la solución del otro. El estudio del
problema dual permite tener una mayor profundidad en el análisis de sensibilidad.
Los siguientes puntos muestran como obtener un modelo dual a partir de un
primal:
1.- Cada restricción primal representa una variable dual (m variables: Y1, Y2, . . . ,
Ym).
2.- Cada variable del modelo primal pasa a ser una restricción en el modelo dual
(n restricciones que corresponden a: X1, X2, . . . , Xn).
3.- Los coeficientes de las restricciones de una variable primal pasan a ser los
coeficientes del lado izquierdo de la restricción dual correspondiente, con el lado
derecho igual al coeficiente de la variable en la función Z. Los coeficientes de las
variables duales en la función objetivo son los lados derechos de las restricciones
en el modelo primal.
PRECIOS DUALES:
Los precios duales de una i-esima restricción de un Problema Lineal representan
la cantidad en la cual variara el valor óptimo de la función objetivo si se aumenta el
lado derecho de la restricción i en una unidad (valor por unidad de los recursos).
●Si la restricción es del tipo > entonces el precio sombra es no positivo y
Aumentan los costos.
●Si la restricción es del tipo < entonces el precio sombra es no negativo y
Aumentan las ganancias.
●Si la restricción es del tipo = entonces el precio sombra puede ser positivo,
negativo o cero.
●Una restricción con precio dual no cero, debe ser una restricción activa (holgura
o exceso igual a cero).
●Una restricción con una holgura o exceso diferente de cero, tiene precio dual
igual a cero.
●Si tanto el precio dual como la holgura o exceso son cero, significa que en un
vértice están convergiendo mas de dos restricciones.
COSTOS REDUCIDOS:
Representan la tasa o razón neta de decrecimiento del valor optimo de la función
objetivo, al aumentar la variable no básica asociada. Se expresa como la
diferencia entre el costo de la cantidad de recurso usado para producir una unidad
de Xi (entrada) y la ganancia unitaria (salida). Si el costo unitario de los recursos
es mayor al de las ganancias, el costo reducido será positivo y no habrá ningún
incentivo económico para realizar esa actividad (variable Xi).
Por esta razón una variable no básica, que tiene un costo reducido negativo, es
candidata a transformarse en un costo reducido positivo en la solución óptima.
Una actividad económica no utilizada, puede transformarse en viable haciendo
cualquiera de las dos formas siguientes:
1.- Disminuyendo su uso por unidad de recursos (aumento en la productividad).
2.- Aumentando la ganancia unitaria mediante un aumento de precios o
disminución en los costos.
MÉTODO DUAL SIMPLEX
Este método se aplica a problemas óptimos pero infactible. En este caso, las
restricciones se expresan en forma canónica (restricciones).
La función objetivo puede estar en la forma de maximización o de minimización.
Después de agregar las variables de holgura y de poner el problema en la tabla, si
algún elemento de la parte derecha es negativo y si la condición de optimidad está
satisfecha, el problema puede resolverse por el método dual simplex. Note que un
elemento negativo en el lado derecho significa que el problema comienza óptimo
pero infactible como se requiere en el método dual simplex. En la iteración donde
la solución básica llega a ser factible esta será la solución óptima del problema.
CONDICION DE FACTIBILIDAD.
La variable que sale es la variable básica que tiene el valor más negativo (los
empates se rompen arbitrariamente si todas las variables básicas son no
negativas, el proceso termina y esta última tabla es la solución óptima factible).
CONDICION DE OPTIMIDAD.
La variable que entra se elige entre las variables no básicas como sigue. Tome los
cocientes de los coeficientes de la función objetivo entre los coeficientes
correspondientes a la ecuación asociada a la variable que sale.
Ignore los cocientes asociados a denominadores positivos o cero.
La variable que entra es aquella con el cociente más pequeño si el problema es de
minimizar o el valor absoluto más pequeño si el problema es de maximización
(rompa los empates arbitrariamente). Si los denominadores son ceros o positivos
el problema no tiene ninguna solución factible.
ALGORITMO DUAL-SIMPLEX PARA UN MODELO DE MAXIMIZACIÓN
Primero se debe expresar el modelo en formato estándar, agregando las variables de holgura y de exceso que se requieran.
Enseguida, en las ecuaciones que tengan variables de exceso (resultantes de restricciones de tipo >), se debe multiplicar por (-1) en ambos lados, para hacer
positivo el coeficiente de la variable de exceso, y formar así un vector unitario que nos permita tomar esta variable de exceso como una variable básica inicial. sin necesidad de agregar una variable artificial en esa restricción.
Al hacer lo anterior se logra que debajo de las variables básicas aparezca una matriz identidad, que es la que el simplex siempre toma como base inicial.
Obtendremos que los términos del lado derecho de las ecuaciones multiplicadas por (-1) queden con signo negativo, lo cual hace que la solución inicial sea infactible.
Es importante destacar que este proceso es muy útil ya que en muchos modelos evita la inclusión de variables artificiales en el momento de transformar un modelo a formato estándar.
El algoritmo para resolver un modelo de maximización es el siguiente:
Paso 1: Hallar una solución básica inicial infactible e inmejorable
Escribir el tablero inicial tomando a las variables de holgura y de exceso como variables básicas iniciales
Paso 2: Prueba de factibilidad
a. Si todas las variables básicas son no negativas, la actual solución es la óptima.
b. Si hay al menos una variable básica negativa, seleccionar como variable de salida,
(Llamémosla (XB)s ), a aquella con el valor mas negativo. Los empates se pueden
Romper arbitrariamente.
Paso 3: Prueba de inmejorabilidad
a. Sí en el renglón de la variable básica de salida (XB)s todos los coeficientes de reemplazo con las variables no básicas son no negativos, la solución del modelo es óptima ¡limitada. Se termina el proceso.
Si en el renglón de la variable básica de salida (XB)s, hay al menos un coeficiente de intercambio negativo , se efectúan los cocientes entre el efecto neto de cada variable no básicas y su correspondiente coeficiente de intercambio negativo.
Es decir, siendo (XB)s la variable de salida se calculan todos los cocientes
Se toma como variable de entrada (llamémosla Xe) a aquella que corresponda al mínimo de los cocientes del anterior conjunto
Si la variable de entrada es Xe el elemento pivote será el elemento (Se)s
El empate se puede romper arbitrariamente.
b. Aplicar la operación de pivoteo para generar la nueva tabla, en la cual aparezca Xe como variable básica en lugar de la variable de salida (XB)s
c. Repetir el algoritmo a partir del paso 2.
PRECIO SOMBRA
Es el precio de referencia que tendría un bien en condiciones de competencia
perfecta, incluyendo los costos sociales además de los privados. Representa el
costo oportunidad de producir o consumir un bien o servicio.
Un bien o servicio puede no tener un precio de mercado; sin embargo, siempre es
posible asignarle un precio sombra, que permite hacer un análisis de costo-
beneficio y cálculos de programación lineal.
Es el significado del multiplicador de Lagrange, el cual representa la variación de
un objetivo dado cuando se cuenta con una unidad adicional de un cierto recurso
limitado
TRABAJO EN CLASE
Maximizar Z = 2X1 +3X2 sujeta a:
X1+X2 ≤6 ; X1+X2+S1 = 6 ;
-X1+X2≤4 ; -X1+X2 +S2 = 4
X1,X2≥0
W = ZW = 2X1 +3X2; W - 2X1 - 3X2 = 0
MATRIZ SIMPLEX I
F1:F1-F2
F3:3F2+F3
X1 X2 S1 S2 W B
S1 1 1 1 0 0 6
S2 -1 1 0 1 0 4
W -2 -3 0 0 1 0
1 1 1 0 0 6
1 -1 0 -1 1 -4
2 0 1 -1 1 2
-3 3 0 3 0 12
-2 -3 0 0 1 0
-5 0 0 3 1 12
NUEVA MATRIZ
X1 X2 S1 S2 W B
T1 2 0 1 -1 0 2
X2 -1 1 0 1 0 4
W -5 0 0 3 1 12
F1*1/2
X1 X2 S1 S2 W B
T1 1 0 ½ -1/2 0 1
X2 -1 1 0 1 0 4
W -5 0 0 3 1 12
F2:F1+F2
F3:5F1+F3
1 0 1/2 -1/2 0 1
-1 1 0 1 0 4
0 1 1/2 1/2 0 5
5 0 5/2 -5/2 0 5
-5 0 0 3 1 12
0 0 5/2 1/2 1 17
NUEVA MATRIZ
X1 X2 S1 S2 W B
X1 1 0 1/2 -1/2 0 1
X2 0 1 1/2 1/2 0 5
W 0 0 5/2 1/2 1 17
X1 = 1 W = Z
X2 = 5 W = 2X1+3X2
W = 54 17 = 2(1)+3(5)
S1 = 0 17 = 17//
S2 = 0
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.−MAXIMIZAR
Z=2 X1+3 X2,
Sujeta a
x1+2x2≤6
−x1+ x2≤4
x1 , x2≥0
MINIMIZAR
W=6Y 1+4Y 2,
Sujeta a
Y 1−Y 2≥2
2Y 1+Y 2≥3
x1 , x2≥0
2.−MAXIMIZAR
Z=2 X1+3 X2−X3,
Sujeta a
x1+ x2≤1
−x1+ x2+x3≤2
x1 , x2 , x3≥0
MINIMIZAR
Sujeta a
3.−MINIMIZAR
Z=X1+8 X2+5 X3,
Sujeta a
x1+ x2+x3≥8
−x1+2x2+x3≥2
x1 , x2 , x3≥0
MINIMIZAR
Sujeta a
4.−MINIMIZAR
Z=8 X1+12 X2,
Sujeta a
2 x1+2 x2≥1
x1+3x2≥2
x1 , x2≥0
MINIMIZAR
Sujeta a
5.−MAXIMIZAR
Z=X1−2 X 2,
Sujeta a
−x1+2x2≤13
−x1+ x2≥3
x1+ x2≥11
x1 , x2≥0
MINIMIZAR
Sujeta a
6.−MAXIMIZAR
Z=X1−X2+4 X3,
Sujeta a
x1+ x2+x3≤9
x1−2 x2+x3≥6
x1 , x2 , x3≥0
MINIMIZAR
Sujeta a
7.−MINIMIZAR Z=4 X1+4 X2+6 X3,
Sujeta a
x1−x2−x3≤3
x1−2 x2+x3≥3
x1 , x2 , x3≥0
MAXIMIZAR
Sujeta a
8.−MINIMIZAR
Z=6 X1+3 X2,
Sujeta a
−3 x1+4 x2≥−12
13 x1−8 x2≤80
x1 , x2≥0
MAXIMIZAR
Sujeta a
10.−MINIMIZAR
Z=2 X1+2 X2,
Sujeta a
x1+4 x2≥28
2 x1−x2≥2
−3 x1+8x2≥16
x1 , x2≥0
MAXIMIZAR
Sujeta a
Z=2 X1+2 X2,
20 = 2(4) + 2(6)
20= 20 W = 20
S1 = 4
S2 = 6
X2 = 6
X1 = 4
11.−MAXIMIZAR
Z=3 X1+8 X2,
Sujeta a
x1+2x2≤8
x1+6 x2≤12
x1 , x2≥0
MINIMIZAR
Sujeta a
Z=3 X1+8 X2,
-26 = 3(6) - 8(1)
-26= -26
W = -26
S1 = 6
S2 = 1
T1 = -6+M
T2 = -1+M
X2 = 6
X1 = 4
PROBLEMAS DEL TRANSPORTE
Una de las primeras aplicaciones de las técnicas de programación lineal ha sido la
formulación y solución del problema de transporte. El problema de transporte
básico fue planteado originalmente por Hutcholky y posteriormente presentado en
detalle por Koopmans. La formulación de programación lineal y el método
sistemático asociado de solución fue dada por primera vez por Dan ring.
El modelo de transporte (o modelo de distribución) es un conjunto importante de
un problema de optimización de redes. Ha sido aplicado a algunos problemas de
negocios, tales como el control y diseño de plantas de fabricación, determinación
de territorios de ventas y localización de centros de distribución de territorios de
ventas y localización de centros de distribución y almacenaje. Tremendo ahorros
de tiempo y costos se han logrado a través de la eficiente ruta de envió de
mercancías desde los puntos de existencia hasta los puntos de demanda.
La meta y distribución del modelo de transporte
La meta de un modelo de transporte en MINIMIZAR el costo total de envió de un
producto desde os puntos de existencia hasta los puntos de demanda bajo las
siguientes restricciones:
Función Objetivo.
∑i=l
n
∑j=l
n
c ij x ij
Restricciones
∑i=l
n
xij=a ii = (1.2,………., n)
∑i=l
n
xij=b j j = (1,2,………., n)
X ij≥ 0 Para todos los I y j
X ij Es la cantidad asignada desde el origen (i) hasta el destino (j).
C ij Es el costo ganancia de asignar una unidad desde el origen (i) hasta el destino
(j)
a i Son las cantidades disponibles en cada origen.
b j Son las cantidades requeridas en cada destino.
Con frecuencia se hace referencia a estos valores como requerimientos de
contorno.
El problema de transporte puede enunciarse de la siguiente manera:
Tiene un número (m) de orígenes y (n) destinos, se trata de transportar al menor
costo posibles determinadas cantidades de artículos, mercaderías, etc., Entre
dichos orígenes y destinos.
ORIGEN Xij DESTINO
O1
O2
O3
O4
O5
D1
D2
D3
D4
D5
MÉDOTOS DE SOLUCIÓN
REGLA DE NOROESTE
MINIMIZACION (OFERTA = DEMANDA)
EJERCICIO Nº1:
Una empresa industrial cuenta con 3 centros de distribución de sus productos, el
C1 dispone de 12 toneladas, el C2 dispone de 17 Tn y el C3 dispone de 9 Tn. Con
estas existencias (38Tn) se debe abastecer a 4 centros de consumo ubicados a
diferentes distancias, los mismos que requieren de las siguientes cantidades: el
CCa demanda de 6 Tn, el CCb demanda de 7 Tn el CCc demanda de 11 Tn y el
CCd demanda de 14 Tn.
Los costos originales por unidad son los siguientes:
Centro de
consumo
Centro de destino
A B C D OFERTA
C1 4 6 5 2 12
C2 3 7 4 5 17
C3 6 5 2 7 9
DEMANDA 6 7 11 14
Se trata de encontrar el plan óptimo de distribución al menor costo.
FORMULACION DEL PROBLEMA:
1) Función Objetivo:
Las variables de la función objetivo son las siguientes:
X11+X12+X13+X14
X21+X22+X23+X24
X31+X32+X33+X34
Donde Xij representa la cantidad que debe enviar el centro de distribución (i) al
centro de distribución (j). Los coeficientes de la función objetivo corresponden a
los costos originales unitarios conocidos: (matriz de costos)
Z (min) = Costo total
Z(min) = 4X11+6X12+5X13+2X14
3X21+7X22+4X23+5X24
6X31+5X32+2X33+7X34
2) Restricciones o limitaciones:
Para formar las restricciones o limitaciones nos guiamos por la oferta de los
centros de distribución (12, 7, 9) y de la demanda de cada centro de consumo (6,
7, 11, y 14)
X11+X12+X13+X14 =12
+X21+X22+X23+X24 =17
+X31+X32+X33+X34 =9
X11+ +X21 +X31 =6
X12 +X22+ +X32 =7
+X13 +X23 +X33 =11
+X14 +X24 +X34 =14
Hemos obtenido un sistema de 7 ecuaciones con 12 incógnitas, el mismo que
puede resolverse mediante el método simplex, aunque resulta muy extenso y
complejo, más aun cuando si se trate de mayor participación de ecuaciones o
incógnitas.
George Dantring plantea la solución este problema aplicando el método de la
regla del Noroeste, la misma que consiste en lo siguiente:
a) Iniciamos las asignaciones en la esquina Noroeste o sea la superior
izquierda de la matriz, calculando o comparando los mínimos (aj) y (bj)
cantidades ofrecidas por los centros de producción y los requerimientos por
los consumidores.
b) Se debe asignar al máximo posible de unidades desde el centro de
distribución 1 al centro de consumo A, luego si quedan disponibilidades se
va asignando al centro de consumo B y así sucesivamente hasta agotar las
existencias.
Numero de envíos.-
Para determinar el número de envíos aplicamos la fórmula:
Nº de envíos=M+N-1
M= Numero de filas. (3)
N= Numero de Columnas. (4)
En el caso que nos ocupa el número de envíos es igual a:
Nº de envíos=M+N-1
Envíos=6
En el presente problema la DEMANDA es igual a la OFERTA es decir las
existencias son iguales a los requerimientos.
Demanda = Oferta
PRIMERA SOLUCION:
Matriz de Existencia:
Esta matriz se forma con las asignaciones que se van a enviar (6 total).
En el centro de distribución 1 envía al centro de consumo A, 6 unidades que es lo
que requiere, de las 12 le quedan 6 que las envía al centro de consumo B que
necesita 7, por lo tanto el centro de distribución 2 asigna 1 unidad al centro de
6 6 12
1 11 5 17
9 9
6 7 11 1
4
consumo B para completar su demanda y le quedan a CD 2, 16 unidades, de las
cuales 11 envía al centro de consumo C que es lo que requiere y las 5 restantes
asigna al centro de consumo D que necesita 14, para completar su demanda
recibe 9 del centro de distribución 3.
Esta primera distribución es ya una respuesta, pero no necesariamente la óptima.
Si a estas cantidades asignadas las multiplicamos por sus correspondientes
costos unitarios de envío obtenemos la función de costo total.
Costo Total=Z (min)
CT1= 4x6+6x6+7x1+4x11+5x5+7x9
CT1=199
SEGUNDA SOLUCION:
Para encontrar una nueva solución es necesario emplear la metodología de
carácter iterativo, esto es, encontrar las aproximaciones sucesivas mediante el
algoritmo de la matriz de costos indirectos.
Matriz de costos indirectos:
Debemos obtener la matriz de costos indirectos partiendo de los costos unitarios
originales correspondientes a las cantidades ya asignadas en la matriz de
existencia de la primera solución.
Pivote (4), semipivote (5), semipivote (7).4 6
7 4 5
7
En lugar de la cantidad enviada 6 al centro de distribución 1 al centro de consumo
A colocamos su correspondiente costo unitario original4, lo mismo hacemos con
las restantes.
De los costos unitarios originales reemplazados escogemos el menor (4) que
actuará de pivote el mismo que irá siempre en la parte superior esquinera sin
importar donde se encuentre el menor costo original, debemos encontrar los
semipivote, luego por sumatorias en correspondencia a la fila y columna
respectiva hallamos los restantes.
Partimos de la siguiente igualdad:
A=B+C
A= Valores de las filas y columnas interiores.
B= resultado de las columnas.
C= Resultado de las filas.
A11 A12 A13 A14 C1
A21 A22 A23 A24 C2
A31 A32 A33 A34 C3
B1 B2 B3 B4 C4
A11=4 A12=6 A13=3 A14=4 C1=4 PIVOTE
A21=5 A22=7 A23=4 A24=5 C2=5 SEMIPIVOTE
A31=7 A32=9 A33=6 A34=7 C3=7 SEMIPIVOTE
B1=0 B2=2 B3=-1 B4=0
Operaciones para llenar la matriz de costos indirectos:
A11=B1+C1 A12=B2+C1 A22=B2+C2 A23=B3+C2 A24=B4+C2 A34=B4+C3
4=B1+4 6=B2+4 7 = 2+C2 4 = B3+5 5 = B4+5 7 = B4 + C3
B1=0 B2=2 C2=5 B3=-1 B4=0 C3=7
A13=B3+C1 A14=B4+C1 A21=B1+C2 A31=B1+C3 A32=B2+C3 A33=B3+C3
A13=-1+4 A14=0+4 A21=0+5 A31=0+7 A32=2+7 A33=-1+7
A13=3 A14=4 A21=5 A31=7 A32=9 A33=6
MATRIZ DE COSTOS INDIRECTOS
4 6 3 4 4* PIVOTE
5 7 4 5 5 SEMIPIVOTE
7 9 6 7 7 SEMIPIVOTE
0 2 -
1
0
Matriz de elección:
La matriz de elección nos permite ir seleccionando alternativas, se la obtiene de la
diferencia entre la matriz de costos indirectos y la matriz de costos originales:
ME = MCI - MCO
MATRIZ DE COSTOS IND - M. DE COSTOS ORIG = M. DE ELECCION
De la matriz de elección seleccionamos el mayor valor positivo de las cifras
obtenidas, en este caso (4) (el de menor costo). Esto implica que debe asignarse
una cantidad alfa desde el centro de distribución 3 al centro de consumo C.
Al asignar la cantidad ∞ en la casilla A33(nuevo envío), se alteran las sumas de la
región y columna al cual pertenece, por tanto es necesario restar, a fin de que no
altere el esquema general.
Para encontrar el valor de alfa y arribar a una nueva solución, obviamente el valor
será 9 pues no podemos restar una cantidad mayor a 9, es decir, se toma la
menor de las restas.
MATRIZ DE EXISTENCIA (NUEVA)
El valor de alfa altera a 11, 5 y 9.
Matriz de existencias
9-∞=0
∞=9-0
∞=9
4 6 3 4
5 7 4 5
7 9 6 7
4 6 5 2
3 7 4 5
6 5 2 7
0 0 -2 2
2 0 0 0
1 4 (4) 0
6 6
1 11 5
∞ 9
6 6
1 11-∞ 5+∞
∞ 9-∞
6 6 12
1 2 1
4
17
9 9
6 7 11 1
4
Las cantidades asignadas multiplicamos por los costos originales y obtenemos la
segunda función objetivo de costo total que será menos que el primer costo.
CT2= 6x4+6x6+1x7+2x4+14x5+9x2
CT2= 163
TERCERA SOLUCION:
El procedimiento se repite hasta que en la matriz de elección todos los valores
sean Ceros y/ Negativos.
MATRIZ DE COSTOS INDIRECTOS:
A11=B1+C1 A12=B2+C1 A22=B2+C2 A23=B3+C2 A24=B4+C2 A34=B4+C3
4=B1+2 6=B2+2 7=4+C2 4=B3+3 5=B4+3 3=2+C3
B1=2 B2=4 C2=3 B3=1 B4=2 C3=1
A13=B3+C1 A14=B4+C1 A21=B1+C2 A31=B1+C3 A32=B2+C3 A34=B4+C3
A11=4 A12=6 A13=3 A14=4 C1=2 PIVOTE
A21=5 A22=7 A23=4 A24=5 C2=3 SEMIPIVOTE
A31=3 A32=5 A33=2 A34=3 C3=1 SEMIPIVOTE
B1=2 B2=4 B3=1 B4=2
A13=1+2 A14=2+2 A21=2+3 A31=2+1 A32=4+1 A34=2+1
A13=3 A14=4 A21=5 A31=3 A32=5 A34=3
4 6 3 4 2 *PIVOTE
5 7 4 5 3 SEMIPIVOTE
3 5 2 3 1 SEMIPIVOTE
2 4 1 2
MATRIZ DE CSTS IND -M. DE COSTOS ORIG = M. DE ELECCION
- =
De la matriz de elección
elegimos el valor positivo (2), esto significa que el centro de
distribución 2 debe asignar una cantidad alfa al centro de consumo A.
MATRIZ DE EXISTENCIA:
El valor de alfa altera a 6, 6 y 1.
1-∞=0 ∞=1
4 6 3 4
5 7 4 5
3 5 2 3
4 6 5 2
3 7 4 5
6 5 2 7
0 0 -2 2
(2
)
0 0 0
-3 0 0 -4
6 6
1 2 14
9
6-∞ 6+∞
∞ 1-∞ 2 14
9
5 7 12
1 2 1
4
17
9 9
6 7 11 1
4
CT3= 5x4+7x6+1x3+2x4+14x5+9x2
CT3= 161
CUARTA SOLUCION:
MATRIZ DE COSTOS INDIRECTOS.
A11=B1+C1 A12=B2+C1 A22=B2+C2 A23=B3+C2 A24=B4+C2 A34=B4+C3
4=B1+2 6=B2+2 5=4+C2 4=1+B3 5=B4+1 3=4+C3
B1=2 B2=4 C2=1 B3=3 B4=4 C3=-1
A13=B3+C1 A14=B4+C1 A21=B1+C2 A22=B2+C2 A32=B2+C3 A31=B1+C3
A13=3+2 A14=4+2 A21=2+1 A22=4+1 A32=4-1 A31=2-1
A13=5 A14=6 A21=3 A22=5 A32=3 A31=1
4 6 5 6 2 *PIVOTE
3 5 4 5 1
1 3 2 3 -1
4 3 4
MCI - MCO = ME
A11=4 A12=6 A13=5 A14=6 C1=2 PIVOTE
A21=3 A22=5 A23=4 A24=5 C2=1
A31=1 A32=3 A33=2 A34=3 C3=-1
B1=2 B2=4 B3=3 B4=4
4 6 5 6
3 5 4 5
1 3 2 3
4 6 5 2
3 7 4 5
6 5 2 7
0 0 0 (4)
0 -2 0 0
-5 -2 0 -4
=
Tomamos el valor positivo (4), es decir el centro de distribución 1, asigna una
cantidad alfa al centro de consumo D.
MATRIZ DE EXISTENCIA:
5-∞=0 ∞=5
CT4= 7x6+5x2+2x4+9x5+9x2
CT4= 141
QUINTA SOLUCION:
El procedimiento se repite hasta que en la matriz de elección todos los valores
sean Ceros y/ Negativos.
MATRIZ DE COSTOS INDIRECTOS:
5-∞ 7 ∞
1+
∞
2 14-∞
9
7 5 12
6 2 9 17
9 9
6 7 11 1
4
A11=0 A12=6 A13=1 A14=2 C1=2 PIVOTE
A21=3 A22=9 A23=4 A24=5 C2=5
A31=1 A32=7 A33=2 A34=3 C3=3
B1=-2 B2=4 B3=-3 B4=0
A11=B1+C1 A12=B2+C1 A22=B2+C2 A33=B3+C2 A24=B4+C2 A34=B4+C3
0=B1+2 6=B2+2 9=4+C2 2=B3+5 5=B4+5 3=0+C3
B1=-2 B2=4 C2=5 B3=-3 B4=0 C3=3
A11=B1+C1 A13=B3+C1 A21=B1+C2 A31=B1+C3 A22=B2+C2 A34=B4+C3
A11=-2+2 A13=-(-3+2) A21=2+3 A31=-2+3 A22=4+5 A34=2+1
A11=0 A13=1 A21=5 A31=1 A32=9 A34=3
0 6 1 2 2 *PIVOTE
3 9 4 5 5
1 7 2 3 3
-2 4 -3 0
MCI - MCO = M. DE ELECCION
0 6 1 2
3 9 4 5
1 7 2 3
A pesar de haber dos valores positivos y por razones de formación de la matriz de
existencia, elegimos el ubicado en A22, lo cual significa que el centro de
distribución 2 asigna una cantidad alfa al centro de consumo B.
MATRIZ DE EXISTENCIA
4 6 5 2
3 7 4 5
6 5 2 7
-4 0 -4 0
0 (2) -3 0
-5 2 0 -4
CT5= 2x12+3x6+7x7+4x2+5x2+2x9
CT5= 127
SEXTA SOLUCION:
El procedimiento se repite hasta que en la matriz de elección todos los valores
sean Ceros y/ Negativos.
MATRIZ DE COSTOS INDIRECTOS:
A11=B1+C1 A12=B2+C1 A22=B2+C2 A23=B3+C2 A24=B4+C2 A34=B4+C3
0=B1+2 4=B2+2 7=2+C2 4=B3+5 5=B4+5 3=0+C
B1=-2 B2=2 C2=5 B3=-1 B4=0 C3=3
A13=B3+C1 A11=B1+C1 A12=B2+C1 A31=B1+C3 A32=B2+C3 A34=B4+C3
7-∞=0
∞=7+0
∞=7
7-
∞
5+∞
6 ∞ 2 9-∞
9
1
2
12
6 7 2 2 17
9 9
6 7 11 1
4
A11=0 A12=4 A13=1 A14=2 C1=2 PIVOTE
A21=3 A22=7 A23=4 A24=5 C2=5
A31=1 A32=5 A33=2 A34=3 C3=3
B1=-2 B2=2 B3=-1 B4=0
A13=-3+2 A11=-2+2 A12=2+2 A31=-2+3 A32=2+3 A34=2+1
A13=1 A11=0 A12=4 A31=1 A32=5 A34=3
MCI - MCO = M. E
En vista de que en la Matriz de elección, todos los elementos son ceros y/o
negativos, entonces el esquema óptimo de envío, es la matriz de existencia de la
solución quinta y el costo mínimo total es de 127.
CT (MINIMO) =127
MATRIZ DE EXISTENCIA
SOLUCION FINAL:
CD = CENTRO DE DISTRIBUCIÓN
4 6 5 2
3 7 4 5
6 5 2 7
0 4 1 2 2 *PIVOTE
3 7 4 5 5
1 5 2 3 3
-2 2 -1 0
0 4 1 2
3 7 4 5
1 5 2 3
-4 -2 -4 0
0 0 0 0
-5 0 0 -4
12
6 7 2 2
9
CC = CENTRO DE CONSUMO
CD CC CANTI COSTO TOTAL
C1 D
A
B
12
6
7
2
3
7
24
18
49
C2 C
D
2
2
4
5
8
10
C3 C 9 2 18
38Tn COSTO TOTAL 127
SOLUCION ALTERNATIVA
En la matriz de elección de la solución quinta hubo dos valores positivos, fue
elegido el valor 2 que corresponde a A22 sin embargo el otro valor también puede
ser tomado en cuenta, denominándose solución alternativa, el valor del costo total
final tiene que sería el mismo.
MATRIZ DE EXISTENCIA
7-∞ = 0 ∞ = 7
SOLUCIÓN FINAL
CD CC CANTI COSTO TOTAL
12
6 9 2
7 2
7-∞ 5+∞
6 2+∞ 9-∞
∞ 9-∞
C1 D
A
B
12
6
9
2
3
4
24
18
36
C2 C
D
2
7
5
5
10
35
C3 C 9 2 4
38Tn COSTO TOTAL 127
EJERCICIO Nº 2
La empresa “X” tiene cuartos fríos en sus almacenes ubicados en Esmeraldas,
Guayaquil, y Manta. En cada almacén procesa y distribuye langosta para
vendedores de pescado localizados en varias ciudades del país.
Demanda de langostas de la próxima semana
Ciudad Nº de Cajas
Ambato 30Cuenca 50Quito 65Tulcán 55TOTAL 200
Los costos de transporte aéreo por caja entre las plantas y los vendedores son
como sigue:
Costos de transporte por caja de langosta
Ambato Cuenca Quito Tulcán
Esmeralda
s
14 16 12 20
Guayaquil 12 14 10 18
Manta 10 16 8 15
En la próxima semana se espera tener el siguiente suministro de langostas:
Suministro de langostas de la próxima semana:
Planta Suministro
Esmeraldas 100
Guayaquil 40
Manta 60
Total 200
El problema de administración de la empresa se muestra como construir un plan
de envío de mínimo costo entre los almacenes y los vendedores de pescado.
PRIMERA SOLUCIÓN:
Envíos: 3+4-1 =6
MATRIZ DE EXISTENCIA:
30 50 20 100
40 40
5 5
5
60
30 50 65 5
5
CT1=14x30+16x50+12x20+10x40+8x5+15x55
CT1=2,725
SEGUNDA SOLUCIÓN:
MATRIZ DE COSTOS INDIRECTOS:
MATRIZ DE COSTOS ORIGINALES:
14 16 12 29
12 14 10 18
10 16 8 15
MATRIZ DE EXISTENCIAS:
0 0 0 -10
0 0 0 -1
0 -4 0 0
14 16 12 19 8*
12 14 10 17 6
10 12 (8) 15 4
6 8 4 11
Como en la matriz de elección todos los elementos son ceros o negativos,
entonces la primera solución es la óptima:
CASOS ESPECIALES
En la resolución de los problemas anteriores, la condición fijada previamente es que todo lo disponible es igual a los requerimientos, es decir la demanda es igual a la oferta. Esta condición no siempre se cumple en la práctica, así puede ocurrir que la producción exceda a los requerimientos, esto significa que la oferta es mayor que la demanda.
OFERTA MAYOR DE LA DEMANDA.-
Partiremos del siguiente ejemplo:
MATRIZ DE COSTOS ORIGINALES
HACIA
DESDE
CLIENTES
A B C D
DISPO
R1 4 1 2 6 100R2 6 4 3 5 120R3 5 2 6 4 120
Almacén Ciudades Cantidad Costo Total
Ambato 30 14 420Esmeraldas Cuenca 50 16 800
Quito 20 12 240Guayaquil Quito 40 10 400
Quito 5 8 40Manta Tulcán 55 15 825
Cajas de Langosta
200 Costo Total:
2,725
REQUER 50 70 90 90 340300
Como la oferta es mayor que la demanda se debe crear un destino o cliente imaginario “E”, el cual destinaremos el exceso de la producción o cantidades no absorbidas por los lugares de destino o consumidores, lógicamente los costos asignados a este destino imaginario, será de cero, la nueva matriz AGREGA ese destino imaginario.
MATRIZ DE COSTOS ORIGINALES
HACIA
DESDE
CLIENTES
A B C D E
DISPO
R1 4 1 2 6 0 100R2 6 4 3 5 0 120R3 5 2 6 4 0 120REQUER 50 70 90 90 40 340
340
La diferencia entre la oferta y demanda es de 40 unidades, por consiguiente ese valor debemos asignar al centro o cliente imaginario para que la oferta sea igual a la demanda.
Una vez equilibrada tanto la oferta como la demanda, para la resolución de este problema de transporte, se procede e identifica forma a la ya estudiada, los resultados a las diferentes iteraciones son las siguientes.
PRIMER SOLUCIÒN:
Envíos= 3 + 5 – 1 = 7
MATRIZ DE EXISTENCIA
CT1 = 50*4 + 50*1 + 20*4 + 90*3 + 10*5 + 80*4 + 40*0
SEGUNDA SOLUCIÓN:
MCI MCO ME
50 50100
4 1 2 6 0 0 0 -2 -4 -2
2090
10120 _ 6 4 3 5 0 = 1 0 0 0 -3
80 40120
5 2 6 4 0 1 1 -4 0 0
50 7090
90 40
De la matriz de elección seleccionamos el mayor valor positivo 3, esto significa que R2 debe enviar al centro de destino imaginario (E’) una cantidad alfa.
MATRIZ DE EXISTENCIA
50 50 100 50 50 100
20 90 10 +∞ ∞ 120 20 90 10 120
80 + ∞ 40 - ∞ 120 90 30 120
10-∞=0 ∞= 10 50 70 90 90 40CT2= 50x4 + 50x1 + 20x4 + 90x3 + 10x0 + 90x4 + 30x0
TERCERA SOLUCIÓN:
MCI MCO ME
4 1 0 1 -3 (0) 4 1 2 6 0 0 0 -2 -5 -3
7 4 3 4 0 3 _ 6 4 3 5 0 = 1 0 0 -1 0
7 4 3 4 0 3 5 2 6 4 0 (2) 2 -3 0 0
CT1 = 970
CT2= 960
50 50 10020 90 10 120
80 40 12050 70 90 90 40
4 1 0 1 -3
De la matriz de elección seleccionamos el valor 2 lo cual significa que R3 debe asignar la cantidad alfa al centro de destino A.
MATRIZ DE EXISTENCIA
50-∞ 50+∞ 100 30 70 100
20-∞ 90 10+∞ 120 90 30 120
∞ 90 30 - ∞ 120 20 90 10 120
20-∞=0 ∞= 20 50 70 90 90 40
CT3= 30x4 + 70x1 + 90x3 + 30x0 + 20x5 + 90x4 + 10x0
CUARTA SOLUCIÓN:
MCI MCO ME
4 1 2 3 -1 (0) 4 1 2 6 0 0 0 0 -3 -1
5 2 3 4 0 1 _ 6 4 3 5 0 = -1 -2 0 -1 0
5 2 3 4 0 1 5 2 6 4 0 0 0 -3 0 0
4 1 2 3 -1
Los elementos de la matriz de elección se han transformado en ceros y/o negativos, en consecuencia la solución anterior es la óptima.
REFINERIACENTRO DE
DESTINOCANTIDAD COSTO TOTAL
R1
A
B
30
70
4
1
120
70
R2
C
E
90
30
3
0
270
0
CT3= 920
R3
ADE
209010
540
100360
0
340Costo
Mínimo 920
El mismo costo mínimo se hubiera tenido si seleccionábamos el valor 2 que corresponde a R3 y al centro de destino B.
Las 30 unidades de la refinería 2, enviados al centro de destino imaginarios E’ y las 10 unidades de la refinería 3 enviadas el mismo centro de destino imaginario, constituyen STOCK.
OFERTA MENOR QUE DEMANDA:
Otro caso que se presenta en los problemas de transporte es aquel en el cual la demanda requerimientos de los clientes) supera a la oferta (Oferta menor que la demanda), de ocurrir esto se deberá nivelar el problema mediante la creación de un centro de distribución imaginario que satisfaga el exceso de la demanda.
MATRIZ DE COSTOS ORIGINALES
HACIA
DESDE
CLIENTES
A B C DDISPONIBLE
R1 4 1 2 6 80R2 6 4 3 5 100R3 5 2 6 4 120
REQUERIMIENTOS 70 90 110 70 300340
Los requerimientos (DEMANDA) superan a las disponibilidades (OFERTA), creamos un origen o un centro de distribución imaginario que satisfaga la demanda (R4), obteniéndose de esta manera una nueva matriz, los costos son iguales a cero.
MATRIZ DE COSTOS ORIGINALES
DESTINO
ORIGEN
CLIENTES
A B C DDISPONIBLE
R1 4 1 2 6 80R2 6 4 3 5 100R3 5 2 6 4 120R4 0 0 0 0 40
REQUERIMIENTOS 70 90 110 70340
340
PRIMERA SOLUCIÓN:
Envíos= 4 + 4 – 1 = 7
MATRIZ DE EXISTENCIA
CT1 = 50*4 + 10*1 + 80*4 + 90*6 + 30*4 + 40*0
SEGUNDA SOLUCIÓN:
MCI MCO ME
4 1 0 -2 (0) 4 1 2 6 0 0 -2 -8
7 4 3 1 3 _ 6 4 3 5 = 1 0 0 -4
10 7 6 4 6 5 2 6 4 5 (5) 0 0
6 3 2 0 -4 0 0 0 0 0 -3 -4 -6
CT1 = 1330
70 10 8080 20 100
90 30 12040 40
70 90110
70
4 1 0 -2
MATRIZ DE EXISTENCIA
70-∞ 10+∞ 30 50 80
80-∞ 20+∞ 40 60100
90-∞ 30 + ∞ 50 70120
∞ 40-∞ 40 40
40-∞=0
∞= 40 70 90110
70
CT2= 3x30 + 1x50 + 4x40 + 3x60 + 6x60 + 6x50 + 4x70 + 0x40
TERCERA SOLUCIÓN:
MCI MCO ME
4 1 0 -2 (0) 4 1 2 6 0 0 -2 -8
7 4 3 1 3 _ 6 4 3 5 = 1 0 0 -4
10 7 6 4 6 5 2 6 4 5 (5) 0 0
0 -3 -4 -6 -4 0 0 0 0 0 -3 -4 -6
4 1 0 -2
De la matriz de elección seleccionamos el mayor valor positivo 5.
MATRIZ DE EXISTENCIA
30 50 30 50 80
40-∞ 60+∞ 100 100
∞ 50-∞ 70 40 10 70 120
40 40 40
CT2= 1060
40-∞=0 ∞= 40 70 90 110 70
CT3= 30x4 + 50x1 + 100x3 + 40x2 + 10x6 + 70x4 + 40x0
CUARTA SOLUCIÓN:
MCI MCO ME
4 1 5 3 (0) 4 1 2 6 0 0 (3) -3
2 -1 3 1 -2 _ 6 4 3 5 = -4 -5 0 -4
5 2 6 4 1 5 2 6 4 0 0 0 0
0 -3 1 -1 -4 0 0 0 0 0 -3 1 -1
4 1 5 3
MATRIZ DE EXISTENCIA
30 50-∞ ∞ 30 40 10 80
100 100100
40- ∞ 10-∞ 70 50 70120
40 40 40
10-∞=0
∞= 10 70 90110
70
CT2= 4x30 + 1x40 + 2x10 + 3x100 + 2x50 + 4x70 + ox40
QUINTA SOLUCIÓN:
MCI MCO ME
CT3= 890
CT2= 860
4 1 2 3 (0) 4 1 2 6 0 0 0 -3
5 2 3 4 1 _ 6 4 3 5 = -1 -2 0 -1
5 2 3 4 1 5 2 6 4 0 0 -3 0
0 -3 -2 -1 -4 0 0 0 0 0 -3 -2 -1
4 1 2 3
En la matriz de elección todos los elementos son cero y/o negativos, entonces la solución cuarta es la óptima.
REFINERIACENTRO DE
DESTINOCANTIDAD COSTO TOTAL
R1ABC
304010
412
1204020
R2 C 100 3 300
R3B
D
50
70
2
4
100
280
R4 A 40 0 0
340Costo
Mínimo 860
METODO DEL MÍNIMO COSTO
Se selecciona la celda que tiene el menor costo. En la celda seleccionada haga un envió igual al mínimo del suministro y demanda para la fila y columna que contiene la celda seleccionada.
EJERCICIO N’1
Resolvemos los mismos problemas anteriores ara poder comparar los resultados.
MATRIZ DE COSTOS ORIGINALES
DESTINO CLIENTES
ORIGEN A B C DDISPONIBLE
C1 4 6 2 2 12C2 3 7 4 5 17C3 5 5 2 7 9
DEMANDA 6 7 11 14 3838
DEMANDA = OFERTA
PRIMERA SOLUCIÓN:
ENVIOS = 3 + 4 – 1 = 6
Para formar la matriz de existencia procedemos de la siguiente manera.
En la primera columna el menor costo es 3, por tanto C2 envía a 6 unidades que cubren su requerimiento.
En la segunda columna el menor costo es 5, lo cual significa que C3 envía a B 7 unidades y se cubre la demanda de B.
En la tercera columna el menor costo es 2, C3 debe enviar únicamente 2 unidades a C porque sus disponibilidades son 9, de esa tercera fila. Para cubrir la demanda de C faltan 9 unidades que reciben de C2 en el costo 4 de la tercera columna.
En la cuarta columna el menor costo es 2, C1 envía de D, 12 unidades que cubre las disponibilidades de esa fila pero no completa de demanda de D, para lo cual C2 debe enviar 2 unidades a D, de esta manera completa también de la segunda fila.
4
6 52
1212
3
6
7 4
9
5
217
55
7
2
2
79
6 7 11 14
CT (MÍNIMO) = 3x6 + 5x7 + 4x9 + 2x2 + 2x12 + 5x2
Para saber si la matriz de existencia es óptima, debemos encontrar la matriz de elección, que es la indicadora si la solución es o no válida, previamente encontramos la matriz de costos indirectos.
MCI MCO ME
0 4 1 2 (2) 4 6 5 2 -4 -2 -4 0
3 7 4 5 5 _ 3 7 4 5 = 0 0 0 0
1 5 2 3 3 6 5 2 7 -5 0 0 -4
-2 2 -1 0Efectivamente los elementos de la matriz de elección son todos ceros y/o negativos, en consecuencia la solución obtenida sobre la base de los costos mínimos es óptima.
EJERCICIO N’2
MATRIZ DE COSTOS ORIGINALES
HACIA
CT (MÍNIMO) = 127
COSTO TOTAL (MÍNIMO) = 127
DESDE
CLIENTES
A B C DDISPONIBLE
C1 4 1 2 6 80C2 6 4 3 5 100C3 5 2 6 4 120
DEMANDA 70 90 110 70 300340
OFERTA MENOR QUE DEMANDA
Equilibramos los requerimientos y las disponibilidades creando un centro de origen R1.
MATRIZ DE COSTOS ORIGINALES
DESTINO
ORIGEN
CLIENTES
A B C DDISPONIBLE
R1 4 1 2 6 80R2 6 4 3 5 100R3 5 2 6 4 120R4 0 0 0 0 40
REQUERIMIENTOS 70 90 110 70340
340
SOLUCIÓN:
ENVIOS = 4 +4 – 1 = 7
MATRIZ DE EXISTENCIA
4
30
1
40
2
10
680
6
43
1005
100
5
2
50
6 4
70
120
0
40
0 0 040
70 90 110 70Para formar la matriz de existencia para este caso, si se toma en cuenta el costo mínimo de cero (0).
CT4 = 4x30 + 1x40 + 2x10 + 3x100 + 2x50 + 4x70 + 0x40
PROBLEMAS DE MAXIMIZACIÓN
El procedimientos utilizados en los casos de minimización, también puede usarse para maximización si se hace una ligera modificación. Puesto que minimizar el negativo de una función, equivale a maximizar la función.
La modificación requerida consiste en hacer negativos todos los coeficientes de la ganancia. Después de esta modificación, el procedimiento es igual al empleado en la minimización.
EJERCICIO N’3
Cuatro expendedores de gasolina A, B, C, D, requieren 50 mil, 40 mil, 60 mil, y 40 mil galones respectivamente. Es posible satisfacer estas demandas a partir de las localidades I, II y III que disponen de 80 mil, 100 mil y 50 mil galones respectivamente.
CT2 = 860
Las ganancias obtenidas por el transporte de 1.000 galones se indican en la siguiente tabla.
A B C DI 80 70 60 60 80II 50 70 80 70 100III 70 50 80 60 50
50 40 60 40
Obtener el esquema óptimo de envío que permita maximizar las utilidades
SOLUCIÓN:
DEMANDA OFERTA50 8040 10060 5040
190 230
SEGUNDO MÉTODO
Los problemas de maximización también se pueden resolver aplicando el siguiente método:
1. Se escoge el mayor coeficiente, en el ejemplo propuesto es (80) y se van restando de él los demás.
2. Se procede como en los casos de minimización.
Haciendo las restas respectivas la matriz de beneficios se transformación en la siguiente:
A B C D E SUMII 80 - 80 80 - 70 80 - 60 80 - 60 80 - 0 80II 80 - 50 80 - 70 80 - 80 80 - 70 80 - 0 100III 80 - 70 80 - 50 80 - 80 80 - 60 80 - 0 50
REQ 50 40 60 40 40
A B C D E SUMII 0 10 20 20 80 80II 30 10 0 10 80 100III 10 30 0 20 80 50
REQ 50 40 60 40 40
DEMANDA = OFERTA
SOLUCIÓN:
ENVIOS = 5 + 3 – 1 = 7
MATRIZ DE EXISTENCIA
50 30 8010 50 40 100
10 40 5050 40 60 40 40
GT (MÁXIMA) = 80x50 + 70x30 + 70x10 + 80x50 + 70x40 + 80x10 + 0x40
GT (MÁXIMA)= 14.400 MILES
EVALUACIÓN DE RUTAS ALTERNATIVAS
Ahora tenemos que probar si es posible reducir los costos con un reacomodo de las rutas. A partir de la solución anterior.
Procedemos a evaluar la ventaja relativa de las rutas alternativas en cuanto a costo. Considere una ruta que no se usa.
El costo directo de usar esta ruta es la cantidad de la esquina superior izquierda de la casilla.
EVALUACIONES APLICADAS POR EL DOCENTE
EVALUACION N’1
1) Desarrolle:
a.- 800kgCm2
am2
Pulg2
800kgCm2
x ( 1000m31kg ) x ( 1m3
100000cm3 )x ( 2,54cm2
(1 pulg)2 )516,13
m3
pulg2
516,13 x102m3
Pulg2
b.- 10m3amm3
10(1000mm)3
1m3
1 x1010mm3
2). Determinar la altura de una persona cuya estatura es de 5 pies y 12 pulgadas. Convertir a metros y centímetros.
5 pies 0,3048m1 / 1 pie = 1,52 m
12 pulg ( 2,54m3
1Pulg )( 1m❑
100Cm )=0,3048mEstaturaenm=1,52m+0,3048m
Estatura=1,82m
Encm
5 pies30,48cm❑
1 pie❑ =152,4m
12 pulg2,54 cm❑
1 pulg❑ =30,48m
5 Estatura=152,4 cm+30,48cm=182,88cm
3). La edad de la tierra es de 1 x10cm17 s. determinar en meses y años
a .−1x 10cm17 s (1h/3600 s )(1día /24 h)(1mes /30días)
¿ 1 x1017
2592000meses
¿3,86 x1010meses
b .−3,86 x1010meses 1año12meses
=3216666667años
1mes30días
x1año12meses
=3,22 x1 x109años
4). La base de una pirámide cubre un área de 15 acres (1 acre=43560 pies2) y tiene una altura de
5772 pulgadas. Encuentre el vol en m3.
5772 pulg Vol= m3 13 Bxb
15 acres ( 43560 pies2 ) 653400 pies2
h=5772 pulg 2,54 cm1 pulg
1m100cm
=146,61m
B=653400 pies2(0,3048m) 2cm
¿¿
Vol=13Bxh
Vol=13
(60702,85m2 ) cmx 146,61m
Vol=2966548,1m3
Vol=2,97 x 106m3
5). Diámetro 200 cm
m=2,97 x 106m3
h=280m
Radio=diámetro2
Vol=3,14 x ¿
Vol=8,79m3
8,79m3 100000m3
1m3 x1< ¿1000m3 x
1Kg1<¿=8790Kg ¿
¿
6). L=17m
Ancho=250c m
h=120 pulg
Vol=L x ax h
Ancho250cm1m100cm
=2,5m
h=120 pulg 2,54m1 pulg
1m100cm
=3,05m
Vol=L x ax h
Vol=17m x2,5cm x3,05m
Vol=129,63m3
7). Una manguera surte 500 litros/min. Expresar la cantidad m3/s y determinar cuántos kg/min equivale esto.
500Ltsmin
x1000m3
1<¿ x 1m3
1000000c m3x1m60 seg
= 50000060000000
¿
¿8,33 x10−03m3/seg
500Ltsmin
x1kg
1<¿=500kg¿
8)
L= 0,0KM
ANCHO=120M
H=3M
DIAMETRO=1MM
L=0,6 km 1000m1km
=600m
diametro=1mm 1m1000m
=0,01m
volmen playa=l x ax h
volmen playa=600mx120m x3m
volmen playa=216000m3
volesfera=43π R3
R=diametro2
=0,001m2
=5 x10−4m=0,0005m
EVALUACION N’2
1. Producción una compañía fabrica tres productos x y z cada producto requiere
el uso de tiempo en las máquinas a y b como en la tabla siguiente el número
de horas por semana que a y b están disponibles para la producción son de 40
y 30m respectivamente la utilidad por unidad de x y z es de 50$ 60$ y 75$
respectivamente La siguiente semana deben producirse al menos 5 unidades
de Z ¿Cuál debe ser el plan de producción para ese periodo para utilizar la
utilidad máxima? ¿Cuál es la utilidad máxima?
MICRO
MACRO
Maquina A Maquina B utilidadProducto x 1h 1h 50Producto y 2h 1h 60Producto z 2h 2h 75
Disponibilidad 40 30
FUNCIÓN OBJETIVO Z= 50X1+60X2+75X3
X1+2X2+2X3≤40 X1+X2+2X3 ≤30 X1,X2,X3≥ 0
CP
X1 X2 S1 S2 Z B
S1 2 3 1 0 0 40
S2 1 5 0 1 0 30
Z - 4 -7 0 0 1 0
F2*1/5
X1 X2 S1 S2 Z B
S1 2 3 1 0 0 9
S2 1/5 1 0 1/5 0 2
Z - 4 -7 0 0 1 0
F1: F1 - 3F2
2 3 1 0 0 40-3/5 -3 0 -3/5 0 152 0 1 1 0 0 0 2
F3: 7F2 +F3
7/5 7 0 7/5 0 40 -4 -7 0 0 1 -302 0 1 1 0 0 0 2
NUEVA MATRIZ
CP
X1 X2 S1 S2 Z B
S1 7/5 0 1 -3/5 0 10
X2 1/5 1 0 1/5 0 15
Z - 13/5 0 0 7/5 1 1125
F1*5/7
X1 X2 S1 S2 Z B
S1 1 0 5/7 -3/7 0 10
7/5 0 1 -3/5 0 55
-13/5 0 0 7/5 1 10
X2 1/5 1 0 1/5 0 15
Z - 13/5 0 0 7/5 1 1350
F2: 1/5F1 - F2
1/5 0 5/35 -3/35 0 250-1/5 -1 0 -1/5 0 13502 0 1 1 0 0 0 2
NUEVA MATRIZ
X1 X2 S1 S2 Z B
X1 1 0 5/7 -3/7 0 10
X2 0 -1 5/35 -2/7 0 20
Z 0 0 25 10 1 1600
X1 = 20 Z = 50X1+60X2+75X3 X2 = 10 1600 =50*20+ 60*10 S2 = 0 1600 = 1600// S3 = 0 Z = 1600
2) Programación de envíos por camión A causa de un incremento en los
negocios, un servicio de abastecimiento encuentra que debe rentar camiones de
entrega adicionales. Las necesidades mínimas son de 12 unidades de espacio con
refrigeración y 12 unidades de espacio sin refrigeración. En el mercado de renta
hay disponibles dos tipos de camiones. El tipo A tiene 2 unidades de espacio con
refrigeración y 1 unidad de espacio sin refrigeración. El tipo B tiene 2 unidades de
espacio con refrigeración y 3 unidades sin refrigeración. El costo por milla es de
0 -1 5/35 -2/7 0 1600
$0,40 para A y de $0,60 para B ¿Cuántos camiones de cada tipo deben rentarse
de modo que se minimice el costo total por milla? ¿Cuál es el costo total por milla?
Camiones refrigerados Sin refrigeración Costos
Tipo A (x1) 2u 1u $0.4
Tipo B (x2) 2u 3u $0.6
Necesidades: 12u 12u
Minimizar Z=0.4X1+0.6X2 sujeta a:
2X1+2X2>=12
X1+3X2>=12
X, Y>=0
W=-Z-Mtn
W=-0.4X1-0.6X2-Mt1-Mt2
W+0.4X1+0.6X2+Mt1+Mt2=0
Formulación de ecuaciones:
2X1+2X2 -S1 +t1 =12
X1+3X2 -S2 +t2 =12
Construcción de la Matriz Simplex:
X1 X2 S1 S2 t1 t2 w b
t1 2 2 -1 0 1 0 0 12
t2 1 3 0 -1 0 1 0 12
w 0.4 0.
6
0 0 M M 1 0
F3: -MF1+F3:
MATRIZ SIMPLEX II
X1 X2 S1 S2 T1 T2 w b
t1 2 2 -1 0 1 0 0 12
t2 1 3 0 -1 0 1 0 12
-2M -2M M 0 -M 0 0 -12M
0.40 0.60 0 0 M M 1 0
0.4-
2M
0.6-
2M
M 0 0 M 1 -12M
w 0.4-
2M
0.6-
2M
M 0 0 M 1 -12M
F3: -MF2+F3:
-M -3M 0 M 0 -M 0 -12M
0.40-2M 0.60-
2M
M 0 0 M 1 -12M
0.4-3M 0.6-5M M M 0 0 1 -24M
MATRIZA SIMPLEX III
X1 X2 S1 S2 T1 T2 w b
t1 2 2 -1 0 1 0 0 12
t2 1 3 0 -1 0 1 0 12
w 0.4-3M 0.6-
5M
M M 0 0 1 -24M
F2: 1/3F2:
X1 X2 S1 S2 w b
t1 2 2 -1 0 0 12
t2 1/3 1 0 -1/3 0 4
w 0.4-3M 0.6-
5M
M M 1 -24M
F1: -2F2+F1:
2 2 -
1
0 0 12
-2/3 -2 0 2/3 0 -8
4/3 0 -
1
2/3 0 4
F3: (-0.6+5m) F2+F3:
-0.20+5/3M -0.60+5M 0 0.20-
5/3M
0 -2.40+20M
0.40-3M 0.60-5M M M 1 -24M
0.2-4/3M 0 M 0.2-2/3M 1 -2.4-4M
NUEVA MATRIZ
X1 X2 S1 S2 W b
t1 4/3 0 -1 2/3. 0 4
X2 1/3 1 0 -1/3 0 4
w 0.2-4/3M 0 M 0.2-2/3M 1 -2.4-
4M
F2: -1/3F1+F2:
-1/3 0 1/4 -1/6 0 -1
1/3 1 0 -1/3 0 4
0 1 1/4 -1/2 0 3
F3: (-0.2+4/3M) F1+F3:
-0.20+4/3M 0 0.15-
M
-
0.10+2/3M
0 -0.60+4M
0.20-4/3M 0 M 0.20-2/3M 1 -2.40-4M
0 0 0.15 0.10 1 -3
NUEVA MATRIZ
X1= 3 Z=-0.4X1-0.6X2
X2= 3 -3= -0.4 (3)-0.6 (3)S1 = 0 -3= -3
X1 X2 S1 S2 w b
X1 1 0 -3/4 1/2 0 3
X2 0 1 1/4 -1/2 0 3
w 0 0 0.15 0.1
0
1 -3
S2 = 0W=-3
TOMA DE DECICIONES: Se deben rentar 3 camiones de tipo A y 3 camiones de
tipo B, a fin de minimizar los costos por milla, que corresponden a un valor de $3
por milla.
3. FUNCIÓN OBJETIVO
Z = 2X1 + 6X2
Sujeta a
3x1 + x2 ≤ 12
X1 + x2 ≤ 8
EVALUACION N’3
Programación de envíos por camión A causa de un incremento en los negocios,
un servicio de abastecimiento encuentra que debe rentar camiones de entrega
adicionales. Las necesidades mínimas son de 12 unidades de espacio con
refrigeración y 12 unidades de espacio sin refrigeración. En el mercado de renta
hay disponibles dos tipos de camiones. El tipo A tiene 2 unidades de espacio con
refrigeración y 1 unidad de espacio sin refrigeración. El tipo B tiene 2 unidades de
espacio con refrigeración y 3 unidades sin refrigeración. El costo por milla es de
$0,40 para A y de $0,60 para B ¿Cuántos camiones de cada tipo deben rentarse
de modo que se minimice el costo total por milla? ¿Cuál es el costo total por milla?
Camiones refrigerados Sin refrigeración Costos
Tipo A (x1) 2u 1u $0.4
Tipo B (x2) 2u 3u $0.6
Necesidades: 12u 12u
Minimizar
Z=0.4X1+0.6X2
Sujeta a:
2X1+2X2>=12
X1+3X2>=12
X, Y>=0
W=-Z-Mtn
W=-0.4X1-0.6X2-Mt1-Mt2
W+0.4X1+0.6X2+Mt1+Mt2=0
2X1+2X2 -S1 +t1 =12
X1+3X2 -S2 +t2 =12
Matriz :
X1 X2 S1 S2 t1 t2 w b
t1 2 2 -1 0 1 0 0 12
t2 1 3 0 -1 0 1 0 12
w 0.4 0.
6
0 0 M M 1 0
F3: -MF1+F3:
MATRIZ SIMPLEX II
X1 X2 S1 S2 T1 T2 w b
t1 2 2 -1 0 1 0 0 12
-2M -2M M 0 -M 0 0 -12M
0.40 0.60 0 0 M M 1 0
0.4-
2M
0.6-
2M
M 0 0 M 1 -12M
t2 1 3 0 -1 0 1 0 12
w 0.4-
2M
0.6-
2M
M 0 0 M 1 -12M
F3: -MF2+F3:
-M -3M 0 M 0 -M 0 -12M
0.40-2M 0.60-
2M
M 0 0 M 1 -12M
0.4-3M 0.6-5M M M 0 0 1 -24M
X1 X2 S1 S2 T1 T2 w b
t1 2 2 -1 0 1 0 0 12
t2 1 3 0 -1 0 1 0 12
w 0.4-3M 0.6-
5M
M M 0 0 1 -24M
F2: 1/3F2:
X1 X2 S1 S2 w b
t1 2 2 -1 0 0 12
t2 1/3 1 0 -1/3 0 4
w 0.4-3M 0.6-
5M
M M 1 -24M
F1: -2F2+F1:
2 2 -
1
0 0 12
-2/3 -2 0 2/3 0 -8
4/3 0 -
1
2/3 0 4
F3: (-0.6+5m) F2+F3:
-0.20+5/3M -0.60+5M 0 0.20-
5/3M
0 -2.40+20M
0.40-3M 0.60-5M M M 1 -24M
0.2-4/3M 0 M 0.2-2/3M 1 -2.4-4M
NUEVA MATRIZ
X1 X2 S1 S2 W b
t1 4/3 0 -1 2/3. 0 4
X2 1/3 1 0 -1/3 0 4
w 0.2-4/3M 0 M 0.2-2/3M 1 -2.4-
4M
F2: -1/3F1+F2:
-1/3 0 1/4 -1/6 0 -1
1/3 1 0 -1/3 0 4
0 1 1/4 -1/2 0 3
F3: (-0.2+4/3M) F1+F3:
-0.20+4/3M 0 0.15-
M
-
0.10+2/3M
0 -0.60+4M
0.20-4/3M 0 M 0.20-2/3M 1 -2.40-4M
0 0 0.15 0.10 1 -3
NUEVA MATRIZ
X1= 3 Z=-0.4X1-0.6X2
X2= 3 -3= -0.4 (3)-0.6 (3)S1 = 0 -3= -3S2 = 0W=-3
1. Minimizar z= x1 - x2
Sujeta a:
X1 X2 S1 S2 w b
X1 1 0 -3/4 1/2 0 3
X2 0 1 1/4 -1/2 0 3
w 0 0 0.15 0.1
0
1 -3
-x1 + x2 ≥ 4
X1 + x2 = 1
X1, x2 ≥ 0
Resolución:
-x1 + x2 -s1+t1 = 4
-x1 + x2 + t2 = 1
w= -x1 + x2 –Mt1 – Mt2- z
W= x1-x2+Mt1+Mt2+z
F1= -Mf1 + f3
M -M M -M 0 0 4M
1 -1 0 M M 1 0
(M+1) (-M-1) M 0 M 1 4M
F3= -MF2+F3
-M -M 0 0 -M 0 4M
x1 x2 s1 t1 t2 Z b
s1 -1 1 -1 1 0 0 4
s2 1 1 0 0 1 0 1
Z 1 -1 0 M M 1 0
1 -1 0 M M 1 0
1 -2M-1 M 0 0 1 -5M
F1=F1-F2
-1 1 -1 0 4
-1 -1 0 0 -1
-2 0 -1 0 3
F3= (2M+1) F2+F3
2M+1 2M+1 0 0 2M+1
1 -2M-1 M 1 -5M
x1 x2 s1 Z b
s1 -1 1 -1 0 4
s2 1 1 0 0 1
Z 1 -2M-1 M 1 -5M
x1 x2 s1 Z b
s1 -2 0 -1 0 3
s2 1 1 0 0 1
Z 1 -2M-1 M 1 -5M
2M+1 0 M 1 -3M+1
No hay solución
EVALUACION N’4
1.- Cual fue el origen de la investigación operativa
a) En la primera guerra mundial
b) A comienzos de la segunda guerra mundial
c) A finales de la segunda guerra mundial
d) Ninguna de las anteriores
2.- Cual son los 3 elementos básicos que surgieron en la investigación
operativa del ataque militar
1) Estrategia, logística y táctica
2) Objetivo, técnica y misión
3) Causas, efectos y visión
4) Ninguna de las anteriores
x1 x2 s1 Z b
s1 -2 0 -1 0 3
s2 1 1 0 0 1
Z 2M+1 0 M 1 3M+1
3.- Señale todas las fases de la investigación operativa
a) Formulación, ejecución, análisis y resultados
b) Construcción, búsqueda, planeación y desarrollo
c) Formulación, construcción, búsqueda, prueba, control y ejecución
d) Ninguna de las anteriores
4.- A que se refieren los modelos icónicos en la segunda fase de la
investigación operativa
a) Muestran características de una determinada situación
b) Son verdaderas representaciones de la realidad
c) Es la representación física de un objeto o de una situación
d) Ninguna de las anteriores
5.- Cual es el objetivo de la programación lineal
a) Encontrar soluciones mediante métodos físicos
b) Encontrar soluciones mediante métodos químicos
c) Encontrar soluciones mediante métodos matemáticos
d) Ninguna de las anteriores
6.- Cuál de estos métodos cuantitativos no estudia la investigación operativa
a) Teoría de probabilidades
b) Modelos de reemplazo
c) Teoría de la relatividad
d) Ninguna de las anteriores
7.- Realice un resumen de las fases de la investigación operativa
FORMULACION DEL PROBLEMA.- En la formulación de un problema deben
estar perfectamente establecidos los objetivos, debe tomarse en cuenta que es
casi imposible dar solución correcta a un problema incorrectamente planteado.
CONSTRUCCION DE UN MODELO.- El siguiente paso luego de la formulación de
problema es la construcción del modelo, las características esenciales de los
modelos permiten describirlos de diferentes maneras. Los modelos pueden
clasificarse por sus dimensiones, funciones, propósitos, temas o grado de
abstracción, los tipos básicos de modelos son los siguientes.
DEDUCCION DE LA SOLUCION.- Una vez establecido el modelo, el siguiente
paso es obtener una solución al problema a partir del modelo. Este paso se los
desarrolla determinando la solución óptima del modelo y luego aplicando esta
solución al problema real.
PRUEBA DEL MODELO Y DE LA SOLUCION.- Después de obtener una solución
del modelo, el modelo y la solución deben probarse. Esto puede hacerse en dos
pasos:
1. Usando datos pasados.
2. Permite operar el sistema sin cambios y comparando su rendimiento con
aquel del modelo.
ESTABLECMIENTO DE CONTROLES.- Una vez que un modelo y su solución se
consideran aceptables deben colocarse controles sobre la solución con el objetivo
de detectar cualquier cambio.
EJECUCION.- La ejecución es una solución a partir de un modelo, es la última
fase de un estudio de investigación de operaciones. En esta fase se explica la
solución a la administración responsable del sistema en estudio. Es importante
que la explicación de la solución se haga en función de los procedimientos usados
en el sistema real.
8.- Haga una clasificación de los modelos cuantitativos de la investigación
operativa realice un resumen de 4 de ellos.
1. Teoría de probabilidades
2. Varias técnicas matemáticas
3. Modelos de secuenciación
4. Modelos de remplazo
5. Modelos de inventario
6. Modelos de asignación
7. Modelos de programación dinámica
8. Modelos competitivos
9. Modelos de líneas de espera
10.Técnicas de simulación
11.Modelos de ruta
12.Métodos de búsqueda y heurísticos
13.Métodos combinados de investigación de operaciones
14.Modelos de programación lineal
Modelos de líneas de espera.- Asigna un orden por analogía de llegada a uin
lugar determinado.
Ejemplo
Bancos
Cines
Empresas
Hospital
Modelos de ruta.- Permiten establecer un punto de salida y un punto de llegada.
Ejemplo
Empresas de transporte
Modelos de inventario.- Permite conocer la cantidad que existe y cuando hay
que hacer el pedido para la producción.
Ejemplo
Inventario de materia prima
Modelos de programación dinámica.- Permite conocer los hechos de hoy con
sus efectos en el futuro.
Ejemplo
La internet
9.- Cuales son las limitaciones para un mejor desarrollo de la investigación
operativa
Así como esta materia nos permite resolver muchos tipos de problemas, también
encontramos algunas limitaciones en la práctica, las que pueden sintetizarse en
las siguientes:
Capacidad del equipo investigado.- Se refiere a las restricciones en cuanto al
contar con profesionales especializados en la rama.
Costo de la investigación.- El costo es alto, pero, es necesario notar que muchas
empresas lo consideran como inversión ya que les permite minimizar errores
El uso del Computador.- Actualmente es necesario el uso de los lenguajes de
computación.
Grado de interés de la empresa.- en los países menos desarrollados no dan el
apoyo necesario a estas investigaciones.
Servicios de Informática.- generalmente las empresas no cuentan con unidades
sistematizadas de información, capaz de dar agilidad a la opción de datos,
fundamentalmente con los necesarios para la identificación de coeficientes
técnicos por unidad.
10.- Realice una clasificación de los cuantitativos de la investigación
operativa
1. Modelos Icónicos
Un modelo icónico es la presentación física de un objeto o de una situación. Esta
representación puede darse en dos dimensiones como sucede con los planos, los
mapas o la fotografía o también, en tres dimensiones como sucede con las
maquetas.
2. Modelos Analógicos
Son representaciones que por analogía muestran características de una
determinada situación. Se lo utiliza, especialmente para representar situaciones
dinámicas. Son ejemplos de estos modelos las curvas de demanda, las curvas de
distribución de frecuencia y los diagrama de flujo.
3. Modelos Simbólicos o Matemáticos
Son verdaderas representaciones de la realidad y toman la forma de cifras y
símbolos matemáticos. Estos son los modelos especialmente utilizados por la
investigación operativa y un tipo de modelo simbólico es una ecuación.
NIVELES DE LOGRO
TRABAJO MEDIADO
GUÍAS
Consulta en libros de investigación operativa.
Se realizó la lluvia de ideas con los estudiantes.
Definición de conceptos referente a la graficación de desigualdades
como zona factible, zona factible básica, zona no factible
ACTIVIDADES DEL AULA
Se explicó cómo se forma la función objetivo.
Se realizó ejercicios de desigualdades y se formó trabajos en equipo.
Se planteó modelos matemáticos referentes a comercio, industria, y
transporte.
Se efectuó toma de decisiones de los resultados obtenidos en las
gráficas.
Se realizó el análisis y la toma de decisiones de los ejercicios hechos en
clase.
TRABAJOS AUTÓNOMOS
Se realizó una investigación teórica de los temas tratados en la clase.
Revisión de ejercicios en libros de operativa.
Resolución de ejercicios.
Plantear la función objetivo.
Desarrollar los procedimientos de las matrices.
Efectuar la toma de decisiones.
PROGRAMACIÓN LINEAL
TRABAJO MEDIADO
GUÍAS
Utilización de organizadores gráficos ,
Utilización de mapas conceptuales,
Lluvia de ideas por parte de los estudiantes.
Investigación de teoría en internet.
Investigación de ejercicios en libros de investigación operativa.
ACTIVIDADES DEL AULA
Motivación a cargo del grupo de exposición para incentivar al estudiante
Exposición de temas con sus definiciones referentes a historia de la
investigación, definiciones, importancia, fases de la investigación operativa,
formulación del problema, construcción de modelos, métodos.
Clasificación de las palabras más importantes dentro de la investigación
operativa como logística, estrategias,
Plantearon diferentes preguntas referentes a los temas anteriormente
planteados
Analizamos de los diferentes casos que se dan como es en maximización y
minimización
Realizamos ejercicios de maximización y minimización
Efectuamos toma de decisiones de los resultados obtenidos
Toma de decisiones de los ejercicios plateados
TRABAJOS AUTONOMOS
Se realiza una revisión de la clase anterior.
Investigación de los problemas tratados en la internet
Revisión de ejercicios en libros de operativa.
Resolución de ejercicios.
Plantear la función objetivo
Desarrollar los procedimientos de matrices
Efectuar la toma de decisiones.
3. MÉTODO SIMPLEX
TRABAJO MEDIADO
GUÍAS
Lluvia de ideas por parte de los estudiantes.
Recibimos las clases magistrales del profesor en clase.
Investigación de teoría en la internet.
Investigación de ejercicios en libros de investigación operativa.
ACTIVIDADES DEL AULA
Seleccionaron diferentes temas con sus definiciones del método simplex
Construimos la función objetivo
Seleccionamos palabras más importantes
Plantearon diferentes preguntas referentes a los temas anteriormente
planteados
Realizamos ejercicios de maximización y minimización
Planteamos modelos matemáticos referentes a comercio, industria,
transporte.
Se realizó el análisis y la toma de decisiones de los ejercicios hechos en
clase.
TRABAJOS AUTONOMOS
Investigación en internet los temas ya tratados.
Investigación de ejercicios en libros de operativa
Resolvieron de ejercicios 7.6 del libro de investigación operativa.
Desarrollar los procedimientos de las matrices por el método simplex
Efectuar la toma de decisiones
MINIMIZAR CON VARIABLES ARTIFICIALES
GUÍAS
Lluvia de ideas por parte de los estudiantes.
Recibimos las clases magistrales del profesor en clase.
Investigación de teoría en la internet.
Investigación de ejercicios en libros de investigación operativa.
ACTIVIDADES DEL AULA
Seleccionaron diferentes temas con sus definiciones de minimización del
método simplex.
Analizamos como se forma la función objetivo
Clasificación de las palabras más importantes dentro de minimización del
método simplex
Analizamos de los diferentes casos que se dan como es la minimización a
través método simplex
Realizamos ejercicios de y minimización
Planteamos modelos matemáticos referentes a temas como agricultura,
ganadería, comercio, industria, transporte, etc.
Efectuamos toma de decisiones de los resultados obtenidos
TRABAJOS AUTONOMOS
Breve revisión de la clase,
Investigación teórica de los temas tratados en la internet
Investigación de ejercicios en libros de operativa
Ejecución de ejercicios 7.7
Plantear la función objetivo
Desarrollar los procedimientos de las matrices por el método simplex
Efectuar la toma de decisio
METODO DUAL
GUÍAS
Lluvia de ideas por parte de los estudiantes.
Recibimos las clases magistrales del profesor en clase.
Investigación de teoría en la internet.
Investigación de ejercicios en libros de investigación operativa.
ACTIVIDADES DEL AULA
Seleccionaron diferentes temas con sus definiciones Dual, Primal, Precio
Sombra
Comparación y diferencias de los temas mencionados anteriormente.
Analizamos la formación de la función objetivo
Analizamos de los diferentes casos que se dan como es en maximización y
minimización a través del método simplex
Realizamos ejercicios de maximización y minimización
Se dio un análisis de los resultados obtenidos en los ejercicios
Planteamos modelos matemáticos referentes a temas como agricultura,
ganadería, comercio, industria, transporte, etc
Efectuamos toma de decisiones de los resultados obtenidos
TRABAJOS AUTONOMOS
Breve revisión de la clase
Investigación de ejercicios en libros de operativa
Ejecución de ejercicios 7.8
Desarrollar los procedimientos de las matrices de la forma Dual, primal
Transformación de la forma dual al Primal
Efectuar la toma de decisiones
MÉTODO DE TRANSPORTE
GUÍAS
Lluvia de ideas por parte de los estudiantes.
Recibimos las clases magistrales del profesor en clase.
Investigación de teoría en la internet.
Investigación de ejercicios en libros de investigación operativa.
ACTIVIDADES DEL AULA
Seleccionaron diferentes temas con sus definiciones del método de
transporte
Comparación de métodos anteriormente visto con el método transporte
Analizamos como se forma la función objetivo
Seleccionamos temas importantes del método de transporte
Analizamos de los diferentes casos que se dan en el transporte
Realizamos ejercicios de maximización y minimización
Se dio un análisis de los resultados obtenidos en los ejercicios
Planteamos modelos matemáticos aplicados en el transporte, etc
Efectuamos toma de decisiones de los resultados obtenidos
TRABAJOS AUTONOMOS
Revisión de la clase,
Investigación de ejercicios en libros de operativa
Ejecución de ejercicios 7.9
Plantear la función objetivo
Desarrollar los procedimientos de las matrices por el método simplex
Efectuar la toma de decisiones