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5/10/2018 Material - slidepdf.com

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Tecnologia de Projetos II 2 o Ciclo de Mecânica

__________________________________________________________________________________________ - 1 -

deformaçãotransitória

deformaçãopermanente

RESISTÊNCIA DOS MATERIAI S

Na Estática os corpos são considerados indeformáveis talhipótese é necessária afim de se conseguir um resultadocompletamente independente das propriedades da matéria de quesão constituídos.

A Resistência dos Materiais, que também faz parte daMecânica, entretanto, considera os corpos tais como são na

realidade, isto é, deformáveis e suscetíveis de sofrerem rupturasquando sob a ação de forças.

Assim, a Resistência dos Materiais se ocupa em estudar:

1. As mudanças ocasionadas no corpo pela ação de forças externase internas;

2. As propriedades (dimensões, forma, material) que o fazem capazde resistir à ação dessas forças.

SOLICITAÇÕES

Um sistema de forças pode ser aplicado num corpo dediferentes maneiras, originando portanto diversos tipos desolicitações, tais como tração, compressão, cisalhamento, flexão e

torção.

Quando cada tipo se apresenta isoladamente, diz-se que asolicitação é simples . No caso de dois ou mais tipos agiremcontemporaneamente a solicitação é composta.

Tração - solicitação que tende a alongar a peça no sentido da reta deação da resultante do sistema de forças.

F F

Reta de ação da força

Compressão - solicitação que tende a encurtar a peça no sentido dareta de ação da resultante do sistema de forças.

F F


Cisalhamento - solicitação que tende a deslocar paralelamente emsentido oposto, duas secções contíguas de uma peça.

F

F


Flexão - solicitação que tende a modificar o eixo geométrico de umapeça.

F

Torção - solicitação que tende a girar as secções de uma peça, umaem relação às outras.

F

M t

DEFORMAÇÃO

A experiência ensina que a ação de qualquer força sobreum corpo altera a sua forma, isto é, provoca uma deformação .

Com o aumento da intensidade da força, há um aumentoda deformação.

No ensaio de tração, um fio solicitado pôr uma força depequena intensidade sofrerá uma deformação transitória eretomará seu comprimento inicial quando a força for removida.

Aumentando a intensidade da força, o fio sofrerá umadeformação permanente .

O ponto que separa os dois tipos de deformações é o limitede elasticidade




__________________________________________________________________________________________ - 2 -

ll o

∆l

P

σ

A(área)

ALONGAMENTO UNITÁRIO

Alongamento unitário ( ε ) é a relação entre o alongamento

total ( ∆l ) e o comprimento inicial ( l ).

ε =∆

ο

l

l[ cm/cm]

Pode ser expresso também em porcentagem(%).

TENSÃO

Tensão (σ)é a relação entre a força normal (P) e a área (S).

σ =P

A [ Kgf/cm2 ou Kgf/mm2 ]

σ é a força aplicada emcada quadradinho de área unitária

DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO

Como já foi visto, o ensaio de tração consiste em aplicarnum corpo de prova uma força axial com o objetivo de deformá-lo atéque se produza sua ruptura.

O ensaio é feito com auxílio do extensômetro,esquematizado ao lado.

F

F

Corpo de Prova

Aumentando-se a tensão, a deformação também vaiaumentando e os resultados da experiência podem ser mostradospor um gráfico, marcando em abcissas as deformações(alongamento unitário) e em ordenadas as tensões.

ε

σ

1 32

σp

σ r

σ e

P

E

R

(1). zona elástica deformação transitória

(2). zona plástica deformação permanente

(3). zona de ruptura

O gráfico representa o caso típico do aço doce (baixo teorde carbono).

Até o ponto P, o gráfico é uma reta. Neste trecho é válidaa lei de Hook, que diz:

As deformações são diretamente proporcionais às tensões que as produzem.

O ponto P é o limite de elasticidade e a tensão

correspondente é a tensão de proporcionalidade ( σp ).

O trecho PE ainda se verifica a elasticidade mas já não épura, pois, tem-se um misto de deformações elásticas e deformaçõespermanentes.

De fato, cessando as solicitações, o corpo de prova nãoreadquire completamente o formato primitivo, mas tenderá a este,permanecendo parcialmente deformado.

Depois do ponto E a tensão sofre oscilações desordenadasenquanto o material vai se deformando com grande fluidez. Estefenômeno é chamado de escoamento e a tensão correspondente

tensão de escoamento ( σe ).




__________________________________________________________________________________________ - 3 -

Convém frisar que o escoamento é característico nos açosdoces e outros materiais. Ele marca o início das grandesdeformações permanentes.

Continuando o ensaio, nota-se que a curva toma umaspecto definido até atingir o ponto R, onde se verifica a ruptura docorpo. Este ponto é o limite de ruptura e a tensão atingida é atensão de ruptura (σr).

Todos os materiais apresentam, com variantes mais oumenos acentuadas, o mesmo comportamento, e o diagrama terásempre aspecto semelhante, apesar de alguns trechos seconfundirem para alguns materiais e se evidenciarem para outros.

No aço duro, por exemplo, não se verifica o escoamentoenquanto o chumbo e o estanho são caracterizados por isto.

DIMENSIONAMENTO

No dimensionamento dos elementos de máquinasadmitem-se apenas deformações elásticas. Os cálculos podem ser:de verificação ou de dimensionamento propriamente dito.

Verificação No primeiro caso escolhem-se as dimensões e depois

verifica-se se a tensão de trabalho não ultrapassa a tensão

admissível.

σ = ≤ σt

PA

onde ( σ ) é tensão admissível [kgf/mm2 ou kgf/cm2]

Dimensionamento No segundo caso, o processo é inverso: as dimensões são

calculadas admitindo-se a tensão de trabalho, com critério esegurança.

Α ≥σP

(A) é a área da seção transversal da peça [cm2 ,mm2]

Vejamos agora um exemplo de calculo para uma área deseção circular:

área: A.d

4

2

=π

substituindo temos:π.

4≥

σ

2d Pisolando o

diâmetro temos:

d4.P

≥π σ.

onde (d) é o diâmetro da peça [mm]

A tensão admissível fixada deve ser bem inferior à tensãode ruptura. Seu valor é determinado dividindo-se a tensão deruptura por um coeficiente (n) chamado fator de segurança.

σ =σ r

n

A escolha de n requer muito bom senso por parte do

projetista, todavia, numa primeira aproximação, pode-se adotar oseguinte:

n = x . y . z . w

valores para x ( fator do tipo de material):

x = 2,0 para materiais comumx = 1,5 para aços de qualidade e aço liga

valores para y (fator do tipo de solicitação)

y = 1,0 para carga constantey = 2,0 para carga intermitentey = 3,0 para carga alternada

valores para z (fator do tipo de carga)

z = 1,0 para carga gradualz = 1,5 para choque levesz = 2,0 para choques bruscos

valores para w (fator que prevê possíveis falhas de fabricação)

w = 1,0 a 1,5 para açosw = 1,5 a 2,0 para ferro fundido FoFo

As tensões admissíveis segundo Bach para os aços aocarbono podem ser obtidas na tabela em anexo no final dessaapostila.

Nesta tabela foram considerados três tipos decarregamento:

a) carregamento estático:a carga aplicada se mantém constante (vigas das estruturas).Na tabela: -Carregamento I

b) carregamento intermitente:a carga é aplicada periodicamente (dentes de engrenagens).Na tabela: -Carregamento II

d

tempo

σ

tempo

σ




__________________________________________________________________________________________ - 4 -

tempo

σ

A A

l ο

l ο

∆l∆l P P

c) carregamento alternado:a carga aplicada varia continuamente de sentido (eixos à flexão). -Carregamento III

Observação: Os aços distinguem-se em laminados e trefilados: estes

últimos apresentam características técnicas superiores aoslaminados.

As barras, as chapas e os perfis laminados são obtidos aquente nos laminadores, enquanto os trefilados são obtidos a frio pormeio de fieiras.

Podemos trabalhar com as tensões de ruptura (σr) eescoamento (σe) com os seguintes fatores de segurança:

σ =σ r

n σ =σ e

n

*Para tensão de ruptura: n = 6,0 a 12,0

*Para tensão de escoamento: n = 2,0 a 6,0

TRAÇÃO E COMPRESSÃO

No ensaio de tração foi visto que a deformação(alongamento unitário ε ) é proporcional à tensão σ (lei de Hooke).

Isto é válido para a compressão.

σ = εE. ∴ E =σε

[ Kg/cm2 ]

O coeficiente de proporcionalidade ( ε ) é chamado módulode elasticidade normal; depende do material e o seu valor édeterminado experimentalmente.

Este coeficiente de é tirado através da tabela da página.

Substituindo nesta fórmula o alongamento unitário (ε) e atensão (σ), tem-se:

∆ = οl

lPA.E

.

Ε representa a carga capaz de alongar o fio de secção deárea unitária ao dobro de seu comprimento inicial.

DIMENSIONAMENTO DE PARAFUSOS

É dado o esquema de um parafuso submetido a uma cargade tração e aperto conforme figura abaixo:

A

A

(P+Po)

d

d o

CORTE “AA”

t

d d o

pα

Nomenclatura:

P = Carga Axial (tração) [ kgf ]Po = Carga de Aperto [ kgf ] Utilizar ⇒ Po = 0,15 . Pd = diâmetro externo da rosca [ mm ]do = diâmetro interno da rosca [ mm ]p = passo da rosca [ mm ]t = profundidade do filete [ mm ]

α = 55o rosca WHITWORTHα = 60O rosca MÉTRICA

Da fórmula da tensão temos: σ+

≥P P

Ao

equação (I)

onde: σ = tensão de tração admissível [ kgf/mm² ]

A = área do diâmetro do núcleo [ mm² ] ⇒ Α ≥σP

equação ( II )

Substituindo a equação ( II ) na equação ( I ) e isolando odiâmetro ( do ) temos:

d4.(P +P

oo≥)

.π σ




__________________________________________________________________________________________ - 5 -

Pôr esta formula determinamos o diâmetro (do) do núcleo doparafuso

* Para determinar o diâmetro da rosca ( d ) consultamos aTABELA DE ROSCA em anexo através do diâmetro interno (do ) oupela formula:

d = do + 2 . t

onde t = profundidade da rosca [ mm ]

Ver Tabela de rosca em Anexo.

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO

1-) Calcular o alongamento total de um fio de cobre de comprimento50 cm e diâmetro 2 mm quando é aplicado uma carga de 20 kgf.

lo

∆l

P

2-) Calcular o encurtamento dos pés da mesa em figura.Material aço meio carbono e comprimento do tubo 80cm.

12,0 tf

4 c m

5 cm

Seção dos pés

3-) Um fio de comprimento 30 cm e diâmetro 1mm foi submetido aoensaio de tração e com uma carga de 40kgf obteve um alongamentototal de 0,08cm. Calcular o alongamento unitário, alongamentopercentual, tensão e módulo de elasticidade.

3 0 c m 1 mm

P

P

4-) Calcular a força necessárias para alongar 1 mm um fio de cobrede comprimento 2m e diâmetro 4mm

5-) Calcular a tensão de trabalho no elo da corrente em figura.

200 kgf 200 kgf

5mm

6-) Calcular a força necessária capaz de romper um arame de açoABNT 1030 trefilado e diâmetro 2 mm.

7-) Calcular o diâmetro de um arame de aço ABNT 1030 trefiladodestinado a manter suspenso um peso de 200 kgf.Carregamento I

P

d




__________________________________________________________________________________________ - 6 -

8-) Escolher a corrente destinada a resistir uma carga de 1,0 tf.Material: Aço ABNT 1040 laminado e fator de segurança n = 3,5

1,0 tf 1,0 tf

d3,5.d

1,5.d

9-) A peça em figura foi submetida ao ensaio de compressão esofreu ruptura com 32 tf. Calcular a tesão de ruptura a compressão(σcr) .

32 tf 4 cm 2 cm

10-) No dispositivo em figura a bucha é de aço ABNT 1010 laminadoe o parafuso de aço ABNT 1030 laminado. Determine o diâmetroexterno da bucha e parafuso para suportar uma carga de aperto de2,0 tf. ( carregamento I) Usar para d1 = d + 1 mm

P

d1

D

d

11-) Dimensionar a seção a x b e o diâmetro do parafuso doesticador na figura abaixo para uma carga estática máxima de 1,5 tf.

Material do Corpo: aço ABNT 1030 laminado n = 4,0Material do parafuso: aço ABNT 1020 laminado

ba

d

12-) Verificar a seção do montantes da prensa em figura, para umacarga máxima de 3,2 tf. Material: Ferro Fundido

P

4

2

2

[cm]

13-) Dimensionar os parafusos do suporte como mostra a figuraabaixo. Material do parafuso: aço ABNT 1020 laminadoCarregamento I

8 cm

6 0 c m

3000 kgf 2 parafusos

14-) Dimensionar os diâmetros dos tirantes para o suporte emfigura.Dados: Carregamento Imaterial aço ABNT 1020 laminadoCarga P = 500 kgf

3 m

4m

2 tirantes

Q




__________________________________________________________________________________________ - 7 -

CISALHAMENTO

No cisalhamento como já foi visto, a peça é solicitada pôrduas forças proximas, paralelas e de sentidos contrários.

F

F


A

A seção (A) resistente à força cortante (F) é paralela à linhade ação desta força e quando o limite de resistência é ultrapassadohá um deslizamento desta área.

A força que age em cada quadradinho de área unitária dasuperfície (A) é a tensão de cisalhamento (τc). Logo:

τ c

FA

= [kgf/cm2] ou [kgf/mm2]

No dimensionamento temos:

τ c

FA

≥ ou Ατ

≥F

c

Na verificação temos: τ τc c

FA

= ≤

O dimensionamento de peças submetidas ao cisalhamentoé feito o tomando como base os valores da tensão admissível da

seguinte maneira:

τ σc t0 , 7 5= .

EXERCÍCIOS:

1-) Calcular a força de corte P da chapa em figura.Dados: espessura s = 4mm

largura L = 5 cmMaterial aço ABNT 1020

s

L P

2-) Calcular a força de corte P da chapa em figura. Dados: Aço1030 laminado

esp. 2mm

100

R. 20

2 0

3-) Verificar a tensão de cisalhamento no elo da corrente em figura.Dados: Material Aço ABNT 1020

Laminado

300 kgf 300 kgf

5mmφ

4-) Dimensionar a articulação esquematizada na figura abaixo.Material aço ABNT 1040 laminado n = 4,5

e1

e2

dR

600kgf 600kgf




__________________________________________________________________________________________ - 8 -

6-) Calcular o diâmetro do rebite em figura e as medidas a x b.Material: chapa de aço ABNT 1010 carregamento I

rebite de aço ABNT 1010

b

a

d

200 kgf 200 kgf

cisalhamento

tração

2 mm

Resolução

carregamento I τ c26,5mm= d

4.P

. c

≥π τ

d4.200

.6,56,3mm= =

π

adotando d= 7,0 mm

Seção b (solicitada a cisalhamento)

b

2mm

⇒ 2 áreas cisalhadas P200

2100kgf = =

área ⇒ A =s . b

tensão de cisalhamento τ c25 mm=

5100

2.b= isolando b temos b

100

2.510mm= =

Ατ

≥P

c

Seção a (solicitada a tração)

a

d2mm Área

P= 200kgf

Área tracionada A = s.(a - d)

tensão admissível σ t28 mm= Α

σ≥

P

c

8200

2.(a 7)=

−a - 7

200

2 . 8= ∴ a =19,5 mm

8-) No dispositivo de segurança em figura. o arame de aço ABNT

1040 deverá quebrar-se com uma força tangencial de 50 kgf.Calcular o diâmetro do arame.Dado: n = 4,5

Eixo

d




__________________________________________________________________________________________ - 9 -

MOMENTO TORÇOR

Denomina-se momento torçor (Mt) de uma manivela aoproduto da força (F) pelo raio (R).

F

M t

R

+ -

Convenção: Mt será positivo se a manivela girar no sentido anti-horário e negativo se a manivela girar no sentido horário.

O momento torçor pode ser ser obtido também pelaseguinte fórmula:

M 71620.N

nt = [ kgf.cm]

N= potência do motor [CV] (cavalo vapor)n= rotação no eixo [rpm]

MÓDULO DE RESISTÊNCIA A T ORÇÃO

O módulo de resistência a torção ( W t) dependedos vários tipos de seção em que está sendo solicitado para se fazerum bom dimensionamento de uma determinada peça.

A unidade de ( Wt) é: [ cm3 ]

Vejamos agora alguns tipos de seção:

d h

W.d16t

3

=π

W 0,208.ht3=

TORÇÃO

Torção é a solicitação que tende a girar umaseção em relação a outra de uma peça.

A tenção de torção (τt) numa seção (x) qualquer édada pela seguinte fórmula:

τ tt

t

M

W= [ kgf/mm2 ou kgf/cm2 ]

Verificação: É fixada a tensão admissível e comparada com a tesãode trabalho.

τ τtt

tt

MW

= ≤

Dimensionamento: No dimensionamento de peças à torção,admitem-se apenas deformações elásticas. A tensão de trabalho é

fixada pelo fator de segurança ou pela tesão admissível.Exemplo: diâmetro de um eixo

Temos o seguinte

τ tt

t

M

W≥ (1) W

.d

16t

3

=π

(2)

substituindo a equação (2) em (1) temos:

τπt

t

o

3

M

.d≥

16

isolando do temos:

d 16.Mo t

t

3≥ π τ.

Observação: nos eixos chavetados somente o núcleo do diâmetro(do) é o que vai resistir à torção, e o diâmetro (d) é determinadoatravés da tabela de chaveta segundo norma ABNT e pela formulaabaixo.

D = do + 2.t1

APLICAÇÃO:

1-) Dimensionar o eixo do motor de 2 CV a 1000 rpm.

Material aço ABNT 1030 laminado carregamento II

d

2-) Dimensionar o terminal da manivela em figura.Material: aço ABNT 1010 laminado carregamento IIForça no manipulo F= 20kgf

h R= 10 cm

Mt = F.R

d

do

t1

b




__________________________________________________________________________________________ - 10 -

MOMENTO FLETOR ( M f )

A seção ( x ) da barra em figura está solicitada parte àcompressão e parte a tração, isto é, as fibras superiores da barra sãocomprimidas e as fibras inferiores são tracionadas.

Denomina-se momento fletor (Mf) da seção ( x ), a somaalgébrica dos momentos, em relação a ( x ), de todas as forças P i

que precedem ou seguem a seção.

Exemplo: momento fletor na seção ( x ):

Convenção: Mf

Mf = P1.a – R1 . b + P2 . c

Desse modo calcula-se o momento fletor de cada seção doeixo e com valores obtidos traça-se o diagrama como nos exemplosque se seguem.

Gráf ico de Momento F letor (Cargas Concent radas)

Mf1 = 0

Mf2 = 10 . 2 = 20 kgf.cm

Mf3 = 10 . 5 – 22 . 3 = -16 kgf.cm

Mf4 = 0

Observações:

1-) Neste exemplo foi considerado as forças que precedem a seção.Se forem tomadas as forças que seguem as seções, os momentosterão os mesmos valores, a menos do sinal.

2-) Notar que, no caso em questão (forças concentradas), omomento fletor varia linearmente ao longo dos trechosdescarregados. Conclui-se daí que, para traçar o diagrama bastacalcular apenas o momentos fletores nas seções em que sãoaplicados as forças e unir os valores por meio de retas.

3-) A seção mais solicitada é aquela que o momento fletor émáximo.

Problemas Propostos:

1-)

tração

compressão

Linha Neutra

P

P1

R2

c

R1

P1

b

a

x

+

10 kgf

Mf 2

2

R1 = 22 kgf

20 kgf

3

+

R1 = 8 kgf

Mf 3

Mf 4 Mf 1

-

2 cm

100

2,5

300

1,5 2,0 m

200 kgf

3,0




__________________________________________________________________________________________ - 11 -

2-)

3-)

4-)

MÓDULO DE RESISTÊNCIA A FLEXÃO

O módulo de resistência a flexão ( W f ) dos vários tipos deseção são obtidos através de tabelas, e apresentaremos alguns mais

usados.

32.d

W3

f

π=

6b.h

W3

f =

[ cm3 ]

200

2,0

400

2,5 2,0

m

200 kgf

3,0

400

2,0m

200 kgf

4,0

200

2,0 m

600

kgf

4,0

d x

x h

b




__________________________________________________________________________________________ - 12 -

Observação - 1: ( Wf ) depende do tipo de seção e da sua posiçãorelativa, conforme mostra o exemplo abaixo.

33

cm26

3.856===

6b.h

W3

f

33

cm36

8.36===

6b.h

W3

f

Observação – 2: quanto maior for o módulo de resistência a flexão,maior é a resistência da peça flexionada.

FLEXÃO

Já foi visto que a flexão é a solicitação que tende amodificar o eixo geométrico da peça.

A tensão à flexão fσ numa seção (x) qualquer é dada

pela seguinte formula:

f

ff W

M=σ [ kgf/cm2 ]

Dimensionamento:

No dimensionamento de peças à flexão admitem-seapenas deformações elásticas. A tensão de trabalho é fixada pelofator de segurança ou pela tensão admissível.

ff σσ ≤ ff

ff W

Mσσ ≤=

A fórmula da tensão é aplicada nas seções críticas, isto é,nas seções onde pode haver ruptura do m aterial.

Exemplo: Calculo do diâmetro de um eixo.

Temos o seguinte

f

f f W

M≥σ (1)

32.d

W3o

f

π= (2)

substituindo a equação (2) em (1) temos:

32

Mf3od.f π

σ ≥ isolando do temos:

3

f

fo

32.Md

σπ.≥

Aplicação:

1-) Projetar um eixo para uma polia chavetada. Dados:Material: Aço ABNT 1040

2-) Dimensionar a seção da viga I em figura Dados: Aço ABNT1020

3P

8x

P

8 3

x

P

x

200 kgf

4,0 5,0 5,0 1,0

d1d2

d3

1000 kgf

40 cm

d

do

t1

b




__________________________________________________________________________________________ - 13 -

FLAMBAGEM

Denomina-se Flambagem a carga axial que faz com que a peçavenha a perder a sua estabilidade, demonstrada pelo seuencurvamento na direção do eixo longitudinal como mostra a figuraao lado. Ocorre sempre na direção do eixo de menor momento deinércia transversal.

lo l lf

Pfl

CARGA DE FLAMBAGEM ( Euler )

Através do estudo do Suíço Leonard Euler ( 1707 – 1783 )determinou-se a fórmula da Carga Flambagem nas peças carregadasaxialmente.

P.E.J

fl

2

fl2=

πl

J = momento de Inércia, seção transversal da peça ( cm4, mm4 )E = módulo de resistência do material ( Kgf / cm2 ; Kgf / mm2 )Pfl = carga de flambagem ( Kgf )

l fl = comprimento livre de flambagem ( cm, mm )

COMPRIMENTO LIVRE DE FLAMBAGEM

Em função do tipo de fixação das suas extremidades, apeça apresenta diferentes comprimentos livres de flambagemcomo mostra as figuras abaixo :

Momen to de Inérc ia ( Jx ) de Superf íc ie Plana

É a somatória ( Σ ) das variações de área da Superfícieplana pelas respectivas distâncias elevada ao quadrado como mostraa figura :

Momento em relação ao eixo x:

J y . Ax2= ∑ ∆ [cm4]

Momento em relação ao eixo y

J x . Ay2= ∑ ∆ [cm2]

Obs. : quanto maior o momento de inércia de uma peça ( seçãotransversal ) maior será sua resistência.

Momento de Inérc ia de a lgumas f iguras :y

x

b

aG

y

x

G

d

Retangular Circular

Jb.h

12x

3

= Jh.b12x

3

=64.d

JJ4

yx ==

Circular Vazada

J J. ( D d )

64x y

4 4

= =−π

y

xx

y

∆ A

x

D

y

d




__________________________________________________________________________________________ - 14 -

Translação de Eixos : Sejam ( x ) e ( y ) eixos centrais de umafigura e ( x1 ) e ( y1 ) eixos respectivamente paralelas a ( x ) e ( y ) .As distâncias entre esses eixos são (a) e (b) que podem serconsideradas como coordenadas de ( G ) . Por definição temos :

J J b .Ax x2

1= +

J J a .Ay y2

1= +

Raio de Giração ( i )

O raio de giração de uma superfície plana em relação a umeixo de referência, constitui-se em uma distância particular entre asuperfície e o eixo, na qual o produto entre a referida distânciaelevada ao quadrado e a área total da superfície, determina omomento de inércia da superfície em relação ao eixo.

y

xiy

Gix

A

J A.ix x2= J A. iy y

2=

Para determinar o raio de geração da superfície é dadopela seguinte expressão :

AJ

i xx = i

J

Ay

y=

Unidade: [m, cm, mm]

Raio de Giração de Algumas Figuras

63a.

i x = ib. 3

6y =

i id

4y x= = i iD d

4y x

2 2

= =+

Índice de Esbeltez ( λ )

É definido através da relação entre o comprimento deflambagem ( Lfl ) e o raio de giração mínima da seção transversal dapeça.

λ =l fl

mini

λ = índice de Esbeltez ( adimensional )

l fl = comprimento de flambagem ( m, cm, mm )

imin = raio de giração mínimo ( m, cm, mm )

Tensão Crítica ( σcr )

A tensão Crítica deverá ser menor ou igual a tensão deproporcionalidade do material. Desta forma, observa-se que omaterial deverá estar sempre na região de deformação elástica, poiso limite de proporcionalidade constitui-se no limite máximo para avalidade da Lei de Hooke.

A tensão crítica é expressa da seguinte forma:

σ =π Ελ

2

2cr

.

σcr = tensão crítica ( Kgf / cm 2; Kgf / mm2 )

E = módulo de elasticidade do material (Kgf / cm2); Kgf / mm2)

λ = índice de esbeltez ( adimensional )

Quando a tensão de flambagem ultrapassa a tensão deproporcionalidade do material, a fórmula de Euler perde a suavalidade. Para estes casos utiliza-se o estudo de Tetmajer.

Para o Aço ABNT NB 14

λ ≤ 105 ⇒ σ λ 2fl 1200 0,023.= −

λ > 105 ⇒ σλ 2fl

10363000=

y

x

b

a

x1

G

y1

o1

A

y

x

b

aG

x

D

y

d

y

x

G

d




__________________________________________________________________________________________ - 15 -

Curva de Flambagem

É a representação gráfica da função que relaciona a tensãode flambagem com o índice de esbeltz ( λ ) para cada material.

No que se segue, ( σp ) é a tensão de proporcionalidade e( σe ) a tensão de escoamento :

σ fl

σp

σe

colunas

curtas

colunas

intermediarias

colunas

longas

hiperblole de

Euler

λ lim λ fl λ

Flambagem Elástica : ( como já foi visto )

Para σ ≤ σp , vale a hipérbole de Euler:

σ = πλ

22fl

E. σ =

ΑflflP

onde temos a carga de flambagem :

P . A.E.J

fl flfl2= =σ

π 2

l

* logo a validade das fórmulas acima, conhecida como fórmula de

Euler, é :

λ ≥ λ limEulerλ π

σlimEulerp

E= .

A carga admissível será :

PP

cfl= Unidade: [ kgf ]

c = coeficiente de Segurança ; para estruturas metálicas;

c = 1,7 para λ = 0c = 3,5 para λ = λlimEuler ou λ > λlimEuler

* Tabela de Valores de λ limEuler para alguns materiais

Material σpE ( módulo deelasticidade )

λlimEuler

Aço ABNT

1010/1020

2.050 Kgf/cm2

20,5 Kgf/mm2

2.100.000 Kgf / cm2

21.000 Kgf / mm2 100

Aço ABNT

1040/1050

2.400 Kgf/cm2

24,0 Kgf/mm2

2.100.000 Kgf / cm2

21.000 Kgf / mm2 93

FerroFundido 1540 Kgf / cm

2

15,4 Kgf/mm2 1.00.0 Kgf / cm

2

10.000 Kgf / mm2 80

Pinho99 Kgf / cm2

0,99 Kgf/a

100.000 Kgf / cm2

1.000 Kgf / mm2 100

ESTRUTURAS METÁLICAS – MÉTODO ( ω )

O método ω consiste em :

σ ω σflfl

c

PA

= ≤.

σ c = tensão de compressão admissível (tabela)

Pfl = carga de flambagem: Pfl = P . c

c = coeficiente de segurança c = 1,75 a 3,5

ω = valor extraído do gráfico abaixo pelo índice de esbeltz ( λ ):

40 80 120 160 200 2500

6

2

1

5

4

3

10

9

8

7

11

Indíce de Esbeltez [ λ ]

C o e f i c i e n t e d e F l a m g e m

[ ω

]




__________________________________________________________________________________________ - 16 -

h

H

H

y

x

Momento de Inércia de Perfil Composto:

Perfil “U” y y1y1

x

a aU

Momento de Inércia em [ y ]

J 2. J A. aU

2y y

2

1= + +

J A . iy t y2=

y = eixo que passa entre os perfis

At = área da seção transversal total

Jy = momento de inércia total em [ y ]

Jy1= momento de inércia de cada seção em [ y1 ]

Perfil Caixão Retangular:

Área: A = H.B - h.b

JB.H b.h

12x

3 3

=−

JH.B h.b

12y

3 3

=−

Perfil Caixão Quadrado:

J JH h

12x y

4 4

= =−

Área: A = H2 - h2

Ver em Anexos as tabelas de vigas perfis “I” e “U “com respectivosdados.

Exercícios:

1-) Calcular a carga máxima P para a viga representada abaixo:Padrão Americano Aço 1020 laminado 8”x4” 3a alma

P

10 m

h

b

B

H

y

x




__________________________________________________________________________________________ - 17 -

2-) Calcular a carga máxima P para uma viga de perfil cilíndrico dechapa calandrada de 1”de espessura como mostra a figura abaixo.Aço ABNT 1020 laminado

P

6 m400

[ mm ]

3-) Calcular a carga necessária para que a viga abaixo não flambe.y y1y1

x

a aU

P

3,25 m

Material Aço ABNT 1040 laminado10” x 2 5/8” x6,10mmU = 50 mm

4-) Calcular o comprimento mínimo para a viga em flambagem.Considerar valida a formula de Euler.Aço 1050 laminado carregamento II 2

C 12,5kgf/mm=σ

4 5 0

350

400

5 0 0

y

x

P 25,7tf =

l

[ mm ]




__________________________________________________________________________________________ - 18 -

Tabela de Características Mecânicas dos Aços

AÇOS

1010 1020 1030 1040 1050

CLASSIF.NORMAABNT

lam. Tref. lam. Tref. lam. Tref. lam. Tref. lam. Tref.

σr 33 37 39 43 48 53 53 60 63 70

σe 18 31 21 36 26 45 29 50 35 59

Along. % 28 20 25 15 20 12 18 12 15 10

HB[kgf/mm2] 95 105 111 121 137 149 149 170 179 197

Tensão Admissível Segundo Bach [kgf/mm2]

I 8,0 10,0 10,0 14,0 13,0 15,5 15,0 21,0 20,0 22,0

II 5,0 6,5 6,5 9,0 8,5 10,0 9,5 13,5 12,5 14,5σ t

III 3,.5 4,5 4,5 6.5 6,0 7,5 7,0 9,0 8,0 10,0

I 8,0 10,0 10,0 14,0 13,0 15,5 15,0 21,0 20,0 22,0

II 5,0 6,5 6,5 9,0 8,5 10,0 9,5 13,5 12,5 14,5σ cIII 3,.5 4,5 4,5 6.5 6,0 7,5 7,0 9,0 8,0 10,0

I 8,5 11,0 11,0 15,0 14,5 17,0 16,5 23,0 22,0 24,0

II 5,5 7,0 7,0 10,0 9,5 11,0 10,5 15,0 14,0 16,0σ f

III 4,0 5,0 5,0 7,0 6,5 8,0 7,5 10,5 9,5 11,51

I 5,0 6,5 6,5 8,5 8,0 10,0 9,5 12,5 11,5 13,5

II 3,0 4,0 4,0 5,5 5,0 6,5 6,0 8,0 7,0 9,0τ t

III 2,0 3,0 3,0 4,0 3,5 5,0 4,5 6,0 5,0 7,0




__________________________________________________________________________________________ - 19 -

σ t = tensão admissível de TRAÇÃO σ c = tensão admissível de COMPRESSÃO

σ f = tensão admissível de FLEXÃO τ t = tensão admissível de TORÇÃO

Tabela de Módulo de Elasticidade Longitudinal

TIPO DE MOD. ELASTICIDADE σr [kgf/cm2] σe [kgf/cm2]

MATERIAL [kgf/cm2] σtr=σfr σcr σte=σfe σcr

Aço Fundido 2.000.000 5040 5040 2736 2736

Aço p/ Estrutura 2.000.000 4320 4320 2520 2520

Aço Doce 2.200.000 4680 5760 3240 4320

Aço meio Carbono 2.000.000 5760 7200 4320 5760

Aço duro 2.000.000 8640 11520 7200 10080

Alumínio fundido 700.000 1080 864 468 396

Alumínio laminado 700.000 1872 ----- 936 -----Cobre em fios 1.200.000 ----- ----- ----- -----

Cobre laminado 1.200.000 2520 2304 720 -----

Concreto 144.000 ----- ----- ----- -----

Duralumínio 750.000 5400 ----- 3400 ----

Ferro fundido 800.000 1296 5760 432 1440

Ferro Forjado 2.000.000 3600 3600 1944 1944

Propriedade Mecânica - Aço Carbono

SAE σr [kgf/mm2] σe [kgf/mm2]

laminado 39 211020

trefilado 43 36

laminado 48 261030

trefilado 53 45

laminado 53 291040

trefilado 60 50

laminado 63 351050

trefilado 70 591070 laminado 70 39

1095 laminado 91 50




__________________________________________________________________________________________ - 20 -

Tabela de Roscas

TABELA DE ROSCAS

ROSCA MÉTRICA(M)perfil triangular ISO

NB - 97

ROSCA WHITHWORTHNORMAL

(W)

ROSCA WHITWORTH GÁSPara canos(RC)NB 202 - ABNT

ddiam.

do

núcleoP

passod

diam.d

mmdo

núcleoNo defios/1”

ddiam.

dmm

do

núcleoNo defios/1”

4 3,14 0,7 1/8” 3,17 2,36 40 1/8” 9,73 8,57 28

6 4,77 1 5/32” 3,96 2,95 32 1 /4” 13,15 11,44 19

8 6,46 1,25 3/16” 4,76 3,4 24 3/8” 16,63 14,95 19

10 8,16 1,5 7/32” 5,55 4,2 20 1 /2” 20,95 18,63 14

12 9,83 1,75 1 /4” 6,35 4,72 20 5/8” 22,91 20,58 14

14 11,54 2 5/16” 7,93 6,13 18 3 /4” 26,44 24,11 14

16 13,54 2 3/8” 9,52 7,49 16 7/8” 30,2 27,87 14

18 14,99 2,5 1 /2” 12,7 9,99 12 1” 33,25 30,29 11

20 16,93 2,5 9/16” 14,28 11,57 12 1 1/4” 41,91 38,95 1122 18,93 2,5 5/8” 15,87 12,91 11 1 1/2” 47,8 44,84 11

24 20,32 3 11/16” 17,46 14,5 11 1 3/4” 53,74 50,79 11

30 25,71 3,5 3 /4” 19,05 16,79 10 2” 59,61 56,65 11

36 31,09 4 13/16” 20,63 17,38 10 2 1/4” 65,71 62,75 11

42 36,48 4,5 7/8” 22,22 18,61 9 2 1/2” 75,18 72,23 11

48 41,87 5 15/16” 23,81 20,19 9 2 3/4” 81,53 78,58 11

56 49,25 5,5 1” 25,4 21,33 8 3” 87,88 84,93 11

60 53,25 5,5 1 1/8” 28,57 23,92 7 3 1/4” 93,98 91,02 11

64 56,64 6 1 1/4” 31,75 27,1 7 3 1/2” 100,33 97,37 11

d o

d

p

α

α = 60o Rosca Métrica

α = 55o Rosca Whithworth




__________________________________________________________________________________________ - 21 -

Anexos de tabelas de Vigas

a

c

h

b

d

Y

Y

X X

TAMANHONOMINAL Furos

pol. mm

Largdaaba(b)

mm

Espdaalma(d)

mm

Área

cm2

Peso

Kg/m

c

cm*a

mm

**∅

pol

Jx

cm4

Jy

cm4

Wx

cm3

Wy

cm3

rx

cm

ry

cm

3 x1

1/2

76,2 x38,1

35,838,040,5

4,326,559,04

7,789,48

11,40

6,117,448,93

1,111,111,16

222222

1/21/21/2

68,977,286,3

8,210,312,7

18,120,322,7

3,323,824,39

2,982,852,75

1,031,041,06

4 x1

5/8

101,6x

41,3

40,141,843,7

4,576,278,13

10,111,913,7

7,958,3010,80

1,161,151,17

252525

1/21/21/2

159,5174,4190,6

13,115,518,0

31,434,337,5

4,615,105,61

3,973,843,73

1,141,141,15

6 x 2152,4

x50,8

48,851,754,857,9

5,087,9811,1014,20

15,519,924,729,4

12,215,619,423,1

1,301,271,311,38

29293535

5/85/85/85/8

546632724815

28,836,043,952,4

71,782,995,0

107,0

8,169,24

10,5011,90

5,945,635,425,27

1,361,341,331,33

8 x

21/4

203,2

x57,2

57,459,5

61,864,266,5

5,597,70

10,012,414,7

21,826,1

30,835,640,3

17,120,5

24,227,931,6

1,451,41

1,401,441,49

3535

383838

3/43/4

3/43/43/4

1.3561.503

1.6671.8301.990

54,963,6

72,982,592,6

133,4147,9

164,0180,1196,2

12,814,0

15,316,617,9

7,897,60

7,357,177,02

1,591,56

1,541,521,52

10 x2

5/8

254,0x

66,7

66,069,673,377,080,8

6,109,6313,4017,1020,80

29,037,947,456,966,4

22,729,837,244,752,1

1,611,541,571,651,76

3838444444

3/43/43/43/43/4

2.8003.2903.8004.3104.820

95,1117,0139,7164,2191,7

221,0259,0299,0339,0379,0

19,021,624,327,130,4

9,849,818,958,708,52

1,811,761,721,701,70

12 x3

304,8x

76,2

74,777,480,583,686,7

7,119,8313,0016,1019,20

39,147,456,966,475,9

30,737,244,752,159,6

1,771,711,711,761,83

4444445151

7/87/87/87/87/8

5.3706.0106.7507.8808.210

161,1186,1214,0242,0273,0

352,0394,0443,0491,0539

28,330,933,736,739,8

11,7011,3010,9010,6010,40

2,031,981,941,911,90

15 x3

3/8

381,0x

85,7

86,486,989,491,9

94,496,9

10,210,713,215,7

18,220,7

64,266,475,885,3

94,8104,3

50,452,159,567,0

74,481,9

2,001,991,981,99

2,032,21

51515157

5757

1111

11

13.10013.36014.51015.650

16.80017.950

338,0347,0387,0421,0

460,0498,0

688,0701,0762,0822,0

882,0942,0

51,051,855,258,5

62,066,5

14,3014,2013,8013,50

13,3013,10

2,302,292,252,22

2,202,18

Tabela I - Vigas U. Padrão Americano

* Gabarito usual na mesa** Diâmetro máximo de rebite na mesa




__________________________________________________________________________________________ - 22 -

Tabela II - Vigas I. Padrão Americano

a

h

d

b

x x

y

y

TAMANHONOMINAL

Largda

Espda

Furos

pol. mmmesa

(b)mm

alma(d)mm

Área

cm2

Peso

Kg/m

*a

mm

**∅

pol.

Jx

cm4

Jy

cm4

Wx

cm3

Wy

cm3

rx

cm

ry

cm

3 x2 3/8

76,2 x60,3

59,261,263,7

4,326,388,86

10,812,314,2

8,459,6811,20

383838

3/83/83/8

105,1112,6121,8

18,921,324,4

27,629,632,0

6,416,957,67

3,123,022,93

1,331,311,31

4 x2 5/8

101,6x

66,7

67,669,271,072,9

4,836,438,28

10,16

14,516,118,019,9

11,412,714,115,6

38383838

1/21/21/21/2

252266283299

31,734,337,641,2

49,752,455,658,9

9,49,9

10,611,3

4,174,063,963,87

1,481,461,451,44

5 x 3127,0

x76,2

76,279,783,4

5,338,81

12,55

18,823,228,0

14,818,222,0

444444

1/21/21/2

511570634

50,258,669,1

80,489,899,8

13,214,716,6

5,214,954,76

1,631,591,57

6 x3 3/8

152,4x

85,7

84,687,590,6

5,848,71

11,81

23,628,032,7

18,522,025,7

505050

5/85/85/8

9191.0031.095

75,784,996,2

120,6131,7143,7

17,919,421,2

6,245,995,79

1,791,741,72

8 x 4 203,2x

101,6

101,6103,6105,9108,3

6.668,86

11,2013,51

34,838,943,748,3

27,330,534,338,0

58585858

3/43/43/43/4

2.4002.5402.7002.860

155166179194

236250266282

30,532,033,935,8

8,308,087,867,69

2,112,072,032,00

10 x4 5/8

254,0x

117,5

118,4

121,8125,6129,3

7,9

11,415,118,8

48,1

56,966,475,9

37,7

44,752,159,6

70

707070

3/4

3/43/43/4

5.140

5.6106.1206.630

212

282348389

405

442482522

47,7

51,355,460,1

10,30

9,939,609,35

2,42

2,342,292,26

12 x5 1/4

304,8x

133,4

133,4136,0139,1142,2

11,714,417,420,6

77,385,494,8104,3

60,667,074,481,9

76767676

3/43/43/43/4

11.33011.96012.69013.430

563603654709

743785833881

84,588,794,099,7

12,111,811,611,3

2,702,662,632,61

15 x5 1/2

381,0x

139,7

139,7140,8143,3145,7

10,411,514,016,5

80,684,794,2103,6

63,366,573,981,4

90909090

3/43/43/43/4

18.58019.07020.22021.370

598614653696

9751.0011.0611.122

85,787,391,295,5

15,215,014,714,4

2,732,702,632,59

18 x 6 457,2x

152,4

152,4154,6156,7158,8

11,713,916,018,1

103,7113,8123,3132,8

81,489,396,3104,3

90909090

3/43/43/43/4

33.46035.22036.68038.540

867912957

1.004

1.4641.5411.6131.686

113,7117,9122,1126,5

18,017,617,317,0

2,892,832,792,75

20 x 7 508,0

x177,8

177,8179,1

181,0182,9184,7

15,216,6

18,420,322,2

154,4161,3

170,7180,3189,7

121,2126,6

134,6141,5148,9

102102

102102102

11

111

61.64063.110

65.14067.19069.220

1.8721.922

1.9932.0702.140

2.4302.480

2.5602.6502.730

211215

220226232

20,019,8

19,519,319,1

3,483,45

3,423,393,36

* Gabarito usual na mesa** Diâmetro máximo de rebite na mesa

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