math ematiques pour les sciences de la vie bio1004l · mathsv-analyse math ematiques pour les...
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MathSV-Analyse
Mathematiques pour les Sciences de la VieBIO1004L
Analyse
Marc Bailly-Bechet, tres largement inspire de Sylvain Mousset
Universite Claude Bernard Lyon I – France
1 [email protected] MathSV-Analyse
MathSV-Analyse
Quelques ressources pour travailler l’analyse
En ligne :
http://yallouz.arie.free.fr/index.php
http://www.academie-en-ligne.fr/Lycee/Ressources.
aspx?PREFIXE=AL7MA02
http://xmaths.free.fr/TS/cours/index.php
A la BU : 2eme etage, cote 570 et 4eme etage, cote 519.
2 [email protected] MathSV-Analyse
MathSV-Analyse
Etude de fonctions
Table des matieres
1 Etude de fonctions
2 Integration
3 Modelisation et equations differentielles
3 [email protected] MathSV-Analyse
MathSV-Analyse
Etude de fonctions
Graphe d’une fonction
Le graphe d’une fonction f dans un repere cartesien (Ox ,Oy) estl’ensemble des points de coordonnees (x , f (x)) avec x ∈ Df .
f : x 7→√
1
x − 1
0 2 4 6 8
0
2
4
6
8
x
f(x)
4 [email protected] MathSV-Analyse
MathSV-Analyse
Etude de fonctions
Parite : fonction paire
Soit f : Df → R une fonction reelle d’une variable reelle.
f est paire si et seulement si
∀x ∈ Df , (−x) ∈ Df
∀x ∈ Df , f (−x) = f (x)
Exemple : f (x) = x2
−4 −2 0 2 4
0
5
10
15
x
x^2
5 [email protected] MathSV-Analyse
MathSV-Analyse
Etude de fonctions
Parite : fonction impaire
Soit f : Df → R une fonction reelle d’une variable reelle.
f est impaire si et seulement si
∀x ∈ Df , (−x) ∈ Df
∀x ∈ Df , f (−x) = −f (x)
Exemple : f (x) = x3
−4 −2 0 2 4
−60
−40
−20
0
20
40
60
x
x^3
6 [email protected] MathSV-Analyse
MathSV-Analyse
Etude de fonctions
Periodicite
Soit f : Df → R une fonction reelle d’une variable reelle.
f est periodique de periode p siet seulement si
∀x ∈ Df , (x + p) ∈ Df
∀x ∈ Df , f (x + p) = f (x)
Exemple : f (x) = cos x est paireet periodique de periode 2π
−6 −4 −2 0 2 4 6
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
x
cos(
x)
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MathSV-Analyse
Etude de fonctions
Limite finie en a
Soit f une fonction definie sur un domaine Df ⊂ R, et a ∈ R.f admet une limite finie l ∈ R en a si et seulement si
Si a ∈ Df ,lim
x→a−f (x) = lim
x→a+f (x) = f (a) = l .
Si a /∈ Df ,lim
x→a−f (x) = lim
x→a+f (x) = l .
On peut prolonger f par continuiteen ecrivant f (a) = l .
On note alors
limx→a
f (x) = l−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
xx2 si
n(10
0x)
8 [email protected] MathSV-Analyse
MathSV-Analyse
Etude de fonctions
Continuite
−2 −1 0 1 2
−3
−2
−1
0
1
2
3
La fonction f(x)= x2 − 3x
x
f(x)
−2 −1 0 1 2
−3
−2
−1
0
1
2
3
La fonction partie entière
x
E(x
)
Exemple : x 7→ E (x) est continue sur les intervalles[n, n + 1[, n ∈ Z, mais discontinue pour tout n ∈ Z.
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MathSV-Analyse
Etude de fonctions
Theoreme des valeurs intermediaires
Soit f une fonction continuesur un intervalle [a, b], tel quef ([a, b]) = [c, d ].∀y ∈ [c, d ], ∃x ∈[a, b], f (x) = y .
Exemple : f : x 7→ xex surl’intervalle [0, 1], existe-t-ilx ∈ [0, 1] tel que f (x) = 1 ?
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
x
xexp
(x)
y = 1y = xexp(x)
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MathSV-Analyse
Etude de fonctions
Limite infinie en a
−2 −1 0 1 2
0
2
4
6
8
10
x
1x
−2 −1 0 1 2
−10
−5
0
5
10
x
1x
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MathSV-Analyse
Etude de fonctions
Limite finie en +∞ (ou −∞)
Soit f une fonction definie sur un domaine Df ⊂ R.f admet une limite finie l ∈ R en +∞ si et seulement si
Lorsque x → +∞, f (x)→ l
Mathematiquement, ceci s’ecrit∀ε > 0, ∃α ∈ R,(x ∈]α,+∞[⇒ f (x) ∈ [l − ε, l + ε])On note alors
limx→+∞
f (x) = l0 50 100 150
0.5
1.0
1.5
xex
p(x
20)s
in(x
)
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MathSV-Analyse
Etude de fonctions
Limite infinie en +∞ (ou −∞)
Soit f une fonction definie sur un domaine Df ⊂ Rf admet pour limite +∞ en +∞ si et seulement si
f (x)→ +∞ lorsque x → +∞Mathematiquement, cette conditions’ecrit∀y > 0, ∃x0 ∈ R,(x ∈ [x0,+∞[⇒ f (x) ∈ [y ,+∞[)On note alors
limx→+∞
f (x) = +∞ 0 20 40 60 80 100
0
2000
4000
6000
8000
10000
xx2
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MathSV-Analyse
Etude de fonctions
Mefiez-vous de vos calculatrices
Exemple : La fonction x 7→ x sin(ln(x)) n’admet pas de limite en+∞.
0 200 400 600 800 1000
−200
0
200
400
600
x
xsin
(log(
x))
0e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+05
−80000
−60000
−40000
−20000
0
x
xsin
(log(
x))
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MathSV-Analyse
Etude de fonctions
Asymptote oblique
Exemple : f (x) = 2x2+4x−3x+2
−8 −6 −4 −2 0 2 4
−10
−5
0
5
10
x
f(x)
y=2x
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MathSV-Analyse
Etude de fonctions
Regles sur les limites
limx→a
f (x) limx→a
g(x) limx→a
(f + g)(x) limx→a
(fg)(x) limx→a
f
g(x) lim
x→ag ◦ f (x)
λ 6= 0 µ 6= 0 λ+ µ λµ λµ
limx→λ
g(x)
λ 6= 0 0 λ 0 F.I. λ0
limx→λ
g(x)
λ 6= 0 ±∞ ±∞ ±∞ 0 limx→λ
g(x)
0 µ 6= 0 µ 0 0 limx→0
g(x)
0 0 0 0 F.I. 00
limx→0
g(x)
0 ±∞ ±∞ F.I. 0×∞ 0 limx→0
g(x)
±∞ µ 6= 0 ±∞ ±∞ ±∞ limx→±∞
g(x)
±∞ 0 ±∞ F.I 0×∞ F.I. ±∞0
limx→±∞
g(x)
±∞ ±∞ F.I. ∞−∞ ±∞ F.I. ±∞±∞ limx→±∞
g(x)
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MathSV-Analyse
Etude de fonctions
Formes indeterminees
λ
0
0
00×∞ ∞−∞ ∞
∞
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MathSV-Analyse
Etude de fonctions
Taux d’accroissement et fonction derivee
Soit f : Df → R une fonction reelle d’une variable reelle, x ∈ Df eth ∈ R.
Le taux d’accroissementde f entre x et x + h est
∆f
∆x=
f (x + h)− f (x)
x + h − x
On note quand elle existe
f ′(x) = limh→0
f (x + h)− f (x)
h
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
x22
x x + h
f(x)f
(x+
h)
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MathSV-Analyse
Etude de fonctions
Derivees usuelles
f (x) = k ou k ∈ R ⇒ f ′(x) = 0
f (x) = ex ⇒ f ′(x) = ex
f (x) = ln x ⇒ f ′(x) =1
x
f (x) = ax ⇒ f ′(x) = ax ln a
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Etude de fonctions
Derivees usuelles : puissances de x
f (x) = xn ou n ∈ R∗, f ′(x) = nxn−1
n = 1 f (x) = x ⇒ f ′(x) = 1
n = −1 f (x) = 1x ⇒ f ′(x) = − 1
x2
n = 12 f (x) =
√x ⇒ f ′(x) =
1
2√
x
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MathSV-Analyse
Etude de fonctions
Derivees usuelles : fonctions trigonometriques
f (x) = sin x ⇒ f ′(x) = cos x
f (x) = cos x ⇒ f ′(x) = − sin x
f (x) = tan x ⇒ f ′(x) =1
cos2 x
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MathSV-Analyse
Etude de fonctions
Extremum local
Soient a ∈ R et f une fonctioncontinue derivable sur voisinagede a, telle que
f ′(a) = 0
f ′(x) change de signe en a.
Alors f possede un extremumlocal en a.Exemple :f (x) = 1− x2 ⇒ f ′(x) = −2x
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−2
−1
01
2
x
y
y = 1 − x2
y = − 2x
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Etude de fonctions
Convexite
Soit f une fonction derivable deux foissur I .Si ∀x ∈ I , f ′′(x) > 0, alors la courberepresentative de f est convexe sur I .Exemple : f : x 7→ x2
Moyen mnemotechnique : conVexe
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
y=
x2
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MathSV-Analyse
Etude de fonctions
Concavite
Soit f une fonction derivable deux foissur I .Si ∀x ∈ I , f ′′(x) < 0, alors la courberepresentative de f est concave sur I .Exemple : f : x 7→ 1− x2
Moyen mnemotechnique : concAve
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
−1.
0−
0.5
0.0
0.5
1.0
x
y=
x2
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MathSV-Analyse
Etude de fonctions
Et si f ′′(x) = 0 ?
Soit f une fonction derivable deux foissur un voisinage de a ∈ R.Si f ′(a) = 0 et f ′′(a) = 0 alors lacourbe representative de f n’a niminimum, ni maximum en a.Exemple : f (x) = x3 ⇒ f ′′(x) = 6x
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−1.
0−
0.5
0.0
0.5
1.0
x
y=
x3
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MathSV-Analyse
Etude de fonctions
Points d’inflexion
Soit f une fonction derivable deux foissur un voisinage de a ∈ R.Si f ′′(a) = 0, alors la courberepresentative de f presente un pointd’inflexion en a.Exemple : f (x) = x + x3 ⇒ f ′′(x) = 6x
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−2
−1
0
1
2
x
y=
x+
x3
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MathSV-Analyse
Etude de fonctions
Equation de la tangente
Soit f : Df → R une fonction reelle d’une variable reelle derivableen x0 ∈ Df .
L’equation de la tangente a lacourbe representative de lafonction f en x0 est :
y = f (x0) + (x − x0)× f ′(x0)
Exemple : La tangente a lacourbe de f : x 7→ 1
2 x2 en x0 = 1a pour equationy = 1
2 + 1× (x − 1) = x − 12 .
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
x22
x x + h
f(x)f
(x+
h)
y=x − 1 2
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MathSV-Analyse
Etude de fonctions
Theoreme de Rolle
Soit f une fonction
continue sur un intervalle [a, b],
derivable sur [a, b]
telle que f (a) = f (b),
alors ∃x ∈]a, b[, f ′(x) = 0.Exemple : f : x 7→ x(1− x)ex sur [0, 1].Il existe x ∈]0, 1[ tel que f ′(x) = 0.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
x(1
−x)
exp(
x)
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MathSV-Analyse
Etude de fonctions
Theoreme des accroissements finis
Soit f une fonction
continue sur un intervalle[a, b],
derivable sur [a, b]
alors
∃x ∈ [a, b], f ′(x) =f (b)− f (a)
b − a.
Exemple : f : x 7→ x sin x sur[0, 3π
2
].
Il existe x ∈]0, 1[ tel quef ′(x) = −1. 0 1 2 3 4
−4
−2
02
4
x
xsin
(x)
3π 2
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MathSV-Analyse
Etude de fonctions
Exponentielle et logarithme
f (x) = ex f (x) = ln(x)
−4 −2 0 2 4
0
50
100
150
x
ex
7.38
9
0 2 4 6 8 10
−4
−3
−2
−1
0
1
2
x
log(
x)
7.389
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MathSV-Analyse
Integration
Table des matieres
1 Etude de fonctions
2 Integration
3 Modelisation et equations differentielles
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MathSV-Analyse
Integration
Aire sous une courbe A
(b − a)f (a) ≤ A ≤ (b − a)f (b)
●
a b
f(a)
f(b)
●
a b
f(a)
f(b)
●
a b
f(a)
f(b)
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MathSV-Analyse
Integration
Lien entre integrale et somme
Calculer l’aire A delimitee par la courbe d’une fonction continue fayant pour primitive F entre x = a et x = b.
On decoupe l’aire en n intervallesde taille constante ∆x = a−b
n
On peut ecrire
n∑k=1
∆x f (xk) ≤ A ≤n∑
k=1
∆x f (xk+∆x)
Lorsque n→∞, ces sommesconvergent vers∫ b
af (x) dx = [F (x)]ba = F (b)−F (a)
0.0 0.5 1.0 1.5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
y=
sin(
x)
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MathSV-Analyse
Integration
Lien entre integrale et somme
Calculer l’aire A delimitee par la courbe d’une fonction continue fayant pour primitive F entre x = a et x = b.
On decoupe l’aire en n intervallesde taille constante ∆x = a−b
n
On peut ecrire
n∑k=1
∆x f (xk) ≤ A ≤n∑
k=1
∆x f (xk+∆x)
Lorsque n→∞, ces sommesconvergent vers∫ b
af (x) dx = [F (x)]ba = F (b)−F (a)
0.0 0.5 1.0 1.5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
10 intervalles
x
y=
sin(
x)
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MathSV-Analyse
Integration
Lien entre integrale et somme
Calculer l’aire A delimitee par la courbe d’une fonction continue fayant pour primitive F entre x = a et x = b.
On decoupe l’aire en n intervallesde taille constante ∆x = a−b
n
On peut ecrire
n∑k=1
∆x f (xk) ≤ A ≤n∑
k=1
∆x f (xk+∆x)
Lorsque n→∞, ces sommesconvergent vers∫ b
af (x) dx = [F (x)]ba = F (b)−F (a)
0.0 0.5 1.0 1.5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
20 intervalles
x
y=
sin(
x)
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MathSV-Analyse
Integration
Lien entre integrale et somme
Calculer l’aire A delimitee par la courbe d’une fonction continue fayant pour primitive F entre x = a et x = b.
On decoupe l’aire en n intervallesde taille constante ∆x = a−b
n
On peut ecrire
n∑k=1
∆x f (xk) ≤ A ≤n∑
k=1
∆x f (xk+∆x)
Lorsque n→∞, ces sommesconvergent vers∫ b
af (x) dx = [F (x)]ba = F (b)−F (a)
0.0 0.5 1.0 1.5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
50 intervalles
x
y=
sin(
x)
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Integration
Valeur moyenne
Soit f une fonction continue sur [a, b].
La valeur moyenne de f sur [a, b]est
1
b − a
∫ b
af (x) dx
Exemple : C (t) = C0e−λt
1
τ
∫ τ
0C0e−λt dt =
C0
τ
[− 1
λe−λt
]τ0
=C0
λτ
(1− e−λτ
)0 1 2 3 4
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
y=
C0e
xp(−
λt)
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MathSV-Analyse
Modelisation et equations differentielles
Table des matieres
1 Etude de fonctions
2 Integration
3 Modelisation et equations differentielles
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MathSV-Analyse
Modelisation et equations differentielles
Utilite des modeles en biologie
Les modeles sont utiles :
Tester des hypotheses sans risque (traitementmedicamenteux. . . )
Predire des performances dans des conditions testables ou non
Les modeles sont limites :
Modele mathematique simple ↔ Modele non realiste
Modele realiste ↔ Parametres trop nombreux
Modele simpliste conclusion irrealiste
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MathSV-Analyse
Modelisation et equations differentielles
Bon ou mauvais modele ? Comparer avec les donnees !
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
2 4 6 8 10
0
5
10
15
20
Modèle correct
t
Nt
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
2 4 6 8 10
0
5
10
15
20
Modèle moins correct
t
Nt
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MathSV-Analyse
Modelisation et equations differentielles
Histoire du calcul differentiel
La notion d’equation differentielle apparaıt a la fin du XVIIeme
siecle.
Decouverte du calcul differentiel et integral par Newton etLeibnitz (1686)
Premieres applications en mecanique ou geometrie
Au XXeme siecle, nombreuses applications en biologie
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MathSV-Analyse
Modelisation et equations differentielles
Conditions initiales
y ′ = λy
y(x) = Keλx K ∈ R
0 2 4 6 8 10
0
5
10
15
20
λ=0.3
x
y(x)
K=1K=2K=0.5
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MathSV-Analyse
Modelisation et equations differentielles
Un exemple : modele logistique
dN
dt= rN
(1− N
K
)
N(t) =N0K
N0 + (K − N0)e−rt
Graphiquement, avec r > 0 etK = 100 :
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