math kit ebook

สรปแกนคณตศาสตรม.ปลาย

Math Kit Ebook

สรปแกนคณตศาสตรม.ปลาย

คณน องศนตย เขยน

ภาพประกอบ

พมพครงแรก ธนวาคม พ.ศ. 2555

ปรบปรงครงท 3 กมภาพนธ พ.ศ.2557

เจาของลขสทธ ขมนหนงสอ (เครอขมนธรกจ)

เผยแพรโดย ขมนดอทคอม (ฝายต ารา)

รหสหนงสอ KRM-MATH-56-12-B1-6

สงวนลขสทธ ตามพระราชบญญตลขสทธ พ.ศ. 2537

เรอง © 2014 คณน องศนตย หามลอกเลยนไมวาสวนหนงสวนใดของหนงสอเลมน

ภาพประกอบ © 2014 คณน องศนตย หามลอกเลยนไมวาสวนหนงสวนใดของหนงสอเลมน

แผนภาพ © 2014 คณน องศนตย หามลอกเลยนไมวาสวนหนงสวนใดของหนงสอเลมน

Math Kit Ebook

หนงสอประกอบการเรยน ทางคณะผจดท า ไดจดท าขนเพอ นกเรยนใน

ระดบชน ม.ปลายทตองการเตรยมพรอมส าหรบ สอบแขงขน และการสอบเขา

มหาวทยาลย และการเพมคะแนนในโรงเรยน ในเอกสารชดนจะประกอบไปดวย

สตรตางๆ ทจ าเปน พรอมทงค าแนะน า ความรเพมเตมทนกเรยนควรทราบในการ

เรยน และวธใชงานพรอมค าอธบายอยางละเอยด เนอหาในเอกสารชดนไดรวบรวม

เนอหาทออกสอบ

การจดวางเนอหา

ของผเขยน

ดวยปรารถนาดและจรงใจ

คณน องศนตย

Math Kit Ebook

ทานสามารศกษาเลขพนฐานไดจาก Math Lite Ebook ของผเขยน

เนอหาในหนงสอเลมนสวนใหญเปนเลขเสรม

Math Kit Ebook

เซต ... 6

ตรรกศาสตร ...15

จ านวนจรง ...27 ฟงกชน ... 39

ภาคตดกรวย

... 50

เมตรกซ ... 64

เอกชโพเนนเชยลและลอการทม

… 72

ตรโกณมต … 79

เวกเตอร … 92

จ านวนเชงซอน ... 101

ความนาจะเปน

... 110

ทฤษฎกราฟ ...

130

สถต ... 139 ล าดบและ

อนกรม ... 159

แคลคลส …171

ก าหนดการเชงเสน … 187

เนอหาภายในเลม

Math Kit EBook ห น า 6

บทท 1 เซต

ขอควรระวง หากไมก าหนดเอกภพสมพทธ เอกภพสมพทธ จะเปนจ านวนจรง

เราใชเซตในการศกษากลมสงตางๆทเราสนใจ เชน เซต

ชอเดอน เซตจ านวนท 6 เปนพหคณ เซตจ านวนนบ ฯลฯ เซต

ถกใชงานในการแกปญหาจ านวนสมาชกในชวตประจ าวน

พนฐาน Set

การด าเนนการทาง Set

การหาจ านวนสมาชก

การประยกตเซต

ประเภทของเซต

การเทากนของเซต

เอกภพสมพทธ

สบเซตและเพาเวอรเซต

ยเนยน

อนเตอรเซกชน

ผลตาง

คอมพลเมนต

วาดแผนภาพเวนนออยเลอร

ใชสตร

เซตจ ากด

เซตอนนต


เซต (Set) เปนอนยาม แตเราใชเซตในการศกษากลมสงตางๆทเราสนใจ สงทอยในเซต คอ

สมาชก(Element) การเขยนสญลกษณเซตคอ { } โดยการเขยนแจกแจงสมาชกจะตองมจลภาค

(,) คนกลางหรออาจจะกลาวไดวาเซตคอสญลกษณทางคณตศาสตร เพอใชแทนกลมสงตางๆทเรา

สนใจซงเขยนภายในเครองหมายปกกา { }

เครองหมาย คอเครองหมายเปนสมาชก

คอเครองหมายไมเปนสมาชก

เอกภพสมพทธ (Relative Universe) คอเซตทก าหนดขอบเขตของสมาชกเซตทเรา

ตองการศกษา เราเขยนดวยสญลกษณ ถาเซตไมไดก าหนดเอกภพสมพทธ ใหถอวา เอกภพ

สมพทธ คอเซตของจ านวนจรง

ค าแนะน า ชอเซตถาเปนภาษาองกฤษ ใหใชตวพมพใหญ แตถาเปนสมาชกใหใชตวพมพเลก

การเขยนเซต

1.การเขยนแจกแจงสมาชก

2.การเขยนแบบบอกเงอนไข

EX เซตของสระในภาษาองกฤษ

1. {a,e,i,o,u}

2. {x | x เปนสมาชกในสระในภาษาองกฤษ}

หมายเหต ล าดบกอนหลงของสมาชกไมมความส าคญ และ ในเซตใดๆ มสมาชกตวเดยวกนมากกวา 1 ครง

ใหถอวาเปนสมาชกตวเดยวกน

ประเภทของเซต

1.เซตจ ากด คอ เซตทเราสามารถบอกจ านวน

สมาชกได

2.เซตอนนต คอเซตทมจ านวนมากมายนบไมถวน

และไมสามารถบอกจ านวนสมาชกได

3.เซตวาง คอ เซตทไมมสมาชกอยเลย

EX

1.{1,2,3,4} เปนเซตจ ากด เพราะมสมาชก 4 ตว

2.{x | x เปนจ านวนนบทมคามากกวา 3} เปนเซต

อนนต

3.เซตวางคอ { } หรอ

ขอควรระวง { } และ {{ }} ไมเปนเซตวางนะครบ

สญลกษณควรร I คอจ านวนเตม I+ คอจ านวนเตมบวก I- คอจ านวนเตมลบ

R คอจ านวนจรง

N คอจ านวนนบ

Q คอจ านวนตรรกยะ Q คอจ านวนอตรรกยะ


ความสมพนธระหวางเซต

1.การเทากนของเซต

เซต A จะเทากบ เซต B กตอเมอเซตทงสองมสมาชกเหมอนกนทกตว และมจ านวนสมาชกเทากน

2.สบเซต

เซต A จะเปนสบเซตของเซต B ไดกตอเมอ สมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B เราสามารถเขยน

ในรปสญลกษณไดดงน A B แตถา เซต A และ B ไมเปนสบเซตใหเขยนดวย A B

Ex ก าหนดเซต A = {1,2,3} B = {x | x จ านวนนบ}

A B เพราะสมาชกทกตวของ A อยใน B

B A เพราะสมาชกทกตวของ B ไมอยใน A มสมาชกเพยง 3 ตวทอยใน A คอ {1,2,3}

ขอควรร ถา A B และ A B เรยกวา A เปนสบเซตแทของ B

ขอควรระวง เปนสบเซตของทกเซต

3.เพาเวอรเซต คอเซตทประกอบดวยสมาชกทกตวทสบเซตทงหมดของเซตนน เชน เพาเวอรเซต A

สามารถเขยนดวยสญลกษณ P(A)

Ex A = {1,2,3}

P(A) = { { } { } { } { } { } { } { }}

ดงนน เราสามารถสรปไดวา P(A)

{ } P(A)

สบเซตแทของ A คอ { } { } { } { } { } { }

ถาเรามสมาชก n ตว แลว เพาเวอรเซต มจ านวนสมาชก 2n ตว

แผนภาพเวนน-ออยเลอร เปนแผนภาพทใชแสดงถงเซต ซงใชรปปด โดยทวไปจะใชรป

สเหลยมผนผาแทนเอกภพสมพทธ และเขยนเซตอนๆเปนวงกลม

ตวอยางการวาด 2 เซต


ตวอยางการวาด 3 เซต

ขอควรร ตงแต 4 เซตเปนตนไปไมนยมวาดแผนภาพ แตเราใชสตรในการชวยหาจ านวนสมาชกใน

เซตได

การกระท าทางเซต

A B A B

A B A

Ex = {1,2,3,4,5} A={1,2} B={2,3,4}

1.ยเนยน

A B คอเซตทประกอบไปดวยเซตของ A

หรอ B จะได {1,2,3,4}

2.อนเตอรเซกชน

A B คอเซตทประกอบไปดวยสมาชก A

และ B คอ{2}

3.ผลตาง

A-B คอสมาชกทงหมดของ A ทไมไดเปน

สมาชกของ B จะได {1}

4.คอมพลเมนต

คอเซตตวอนทประกอบอยในเอกภพ

สมพทธ แตไมไดอยในทเราสนใจ เชน

A คอไมเอาสมาชกทงหมดของ A

คอ {3,4,5}

คณสมบตการด าเนนการทางเซต

A – B = A B = B - A

(A B) = A B

(A B) = A B

A (B C) = (A B) (A C)

สตรการหาจ านวนสมาชก

2 เซต n(A B) = n(A) + n(B) n(A B)

3 เซต n(A B C)

= n(A) + n(B) + n(C)

n(A B) n(A C) n(B C)

+ n(A B C)


สตรการจดรปสบเซตและเพาเวอรเซต

{A} B A B

{A} P(B) A (B)

{A} P(B) A (B)

ตวอยางท 1 ใหเซต A = {1,2,3,{1,2,3}} และเซต B = {1,2,{1,2}} ขอใดตอไปนถกตอง (Ent)

1. A B = {{1,2}} 2.A B = {{1,2},{1,2,3}} 3. A – B = {{1,2,3},3} 4.B – A =

วธท า พจารณา

ขอ 1 A B = {{1,2}} ผดเพราะ {{1,2}} ไมไดอยใน A

ขอ 2 A B = {{1,2},{1,2,3}} ผดเพราะ ขาด {1,2,3}

ขอ 3 A – B ={{1,2,3},3} ถกเพราะจ านวนสมาชก 2 ตวของ A ซ ากบ B

ขอ 4 B – A = ผดเพราะ {{1,2}} ไมไดอยใน A ดงนน B – A = {{1,2}}

ดงนนขอนจงตอบขอ 3

ตวอยางท 2ก าหนดให A B ขอใดผด (สมาคมคณตศาสตร)

1. B A B 2. A B 3. A B = A 4. A B = B

วธท า พจารณา

ขอ 1 ถก ม B บางสวนไมไดอยใน A สวนดงกลาวจงเปนสบเซตของ B

ขอ 2 ผด เพราะ นอก B เปนเซตวาง A =

ขอ 3 ถกเพราะ A เปนสวนหนงของ B เมอน าสวนทใหญกวามา จงตอบเซนทเลกกวา

ขอ 4 ถกเมอ ถา A = B แลว A B จงท าให A B = B

ดงนนขอนจงตอบขอ 2


ตวอยางท 3 ก าหนด A ={ ,1,2,3, … }

และ B={{1},{2,3},{4,5,6},7,8,9,… }

แลว (A-B) (B-A) จะมจ านวนสมาชก

วธท า A – B ={ ,1,2,3,4,5,6}; n(A – B) = 7

B – A = {{1}, {2, 3}, {4, 5, 6}}; n (B – A) = 3

(A-B) (B-A) ={ ,1,2,3,4,5,6,{1},{2,3},{4,5,6}}

n((A-B) (B-A)) = 10

หรอ n((A-B) (B-A)) = n(A – B) + n(B – A)

= 7 + 3

= 10

ตอบ จ านวนของสมาชก (A−B) (B−A) คอ 10

ตวอยางท 4 ก าหนดให A,B,C,D เปนเซตใดๆ (A C) – (B D)เทากบขอใดตอไปน

1.(A B) (D C) 2. (A B) (C D )

3.(A B) (D C) 4. (A B) (D )

วธท า (A C) – (B D) = (A C) (B D)

= (A C) (B D )

= (A B ) (D C)

= (A B) (D )

ตอบ ขอ 4

ตวอยางท 5 ถา A= {x | x = 1 −

และ n เปนจ านวนนบ}

B = {0,1,

,

,

}

และ C ={-2,-

,0,1,

,{

,

,

, …}}

แลว (A C) – B มจ านวนสมาชกเทาใด


วธท า พจารณา A จะไดสมาชกดงน {-1,-

,0,

,

,

, … }

เมอเรา น า A C จะไดสมาชกดงน {0,

}

ซงสมาชกท A C ซ ากบ B คอ {0}

ดงนนเราจะไดวา (A C) – B = {

}

ตอบ ไดจ านวนสมาชกทงหมด 1 ตว

ตวอยางท 6 ก าหนดให A = {0, 1, {1}} และ B ={0, {1}, {0,1}} จงพจารณาขอความตอไปน

ก. A P{B}

ข {{1}} P(A) P(B)

ค. จ านวนสมาชกของ P(A B) = 2

1.ถกทกขอ 2.ถก 2 ขอ 3.ถก 1 ขอ 4.ผดทกขอ

วธท า พจารณา P(A) และ P(B)

P(A) = { , {0}, {1}, {{1}}, {0,1}, {0,{1}}, {1,{1}}, {0,1,{1}}} .

P(B) = { , {0}, {{1}} ,{{0, 1}}, {0, {1}}, {0, {{0,1}}}, {{1}, {0,1}}, {0,{1}, {0,1}}}

จากขอ ก พบวา {0, 1} ไมไดอยใน P(A) ดงนนขอนจงผด

จากขอ ข P(A) P(B) = { , {0} , {{1}} , {0,{1}}}

{{1}} P(A) P(B) ดงนนขอนจงถก

จากขอ ค จาก A B ={0, {1}} เมอเราหาสบเซตเราจะไดทงหมด 22 ตว

คอ 4 ตวไมใช 2 ตวดงนนขอนจงผด

ตอบ ขอ 3


ตวอยางท 7 ในการสอบถามพนกงานจ านวน 300 คนในบรษทแหงหนงพบวา

มพนกงานชอบดมชาเขยว จ านวน 80 คน

มพนกงานชอบดมน าผลไมรวมจ านวน 140 คน

มพนกงานไมชอบดมทง 2 อยางจ านวน 100 คน

จงหาคามจ านวนพนกงานทชอบดมเพยงชนดเดยว

วธท า

ก าหนด x เปนจ านวนพนกงานชอบดมชาและน าผลไมรวม ทง 2 ชนด

80 + 140 – x +100 = 300

x = 20

มพนกงานชอบดมชาเขยวเพยงอยางเดยว จ านวน 80– 20 = 60 คน

มพนกงานชอบดมน าผลไมรวมจ านวนเพยงอยางเดยว 140– 20 =120 คน

ดงนนมพนกงานทดมเครองดมเพยงชนดเดยวจ านวน 60 + 120 = 180 คน


ตวอยางท 8 จากการส ารวจของนกเรยนในระดบชนมธยมศกษาปท 6 จ านวน 82 คน พบวา

มนกเรยนชอบวชาสงคมจ านวน 40 คน

มนกเรยนชอบวชารายไดประชาชาตจ านวน 30 คน

มนกเรยนชอบวชาบญชในชวตประจ าวนจ านวน 20 คน

มนกเรยนทไมชอบทง 3 วชาจ านวน 10 คน

มนกเรยนทชอบวชาสงคมเพยงวชาเดยว 30 คน

มนกเรยนทชอบวชาสงคมและบญช 5 คน

มนกเรยนทชอบบญช เพยงอยางเดยว 10 คน

จงหาจ านวนนกเรยนทชอบทง 3 วชา

วธท า

จากขอมลทโจทยก าหนด น าขอมลโจทยมาหาสวนทเหลอ

ก าหนด x คอนกเรยนทชอบทง สงคม รายไดประชาชาตและ บญช

30 + 5 + 5 + 10 +10 +5 – x + x + 20 – x = 150

85 – x = 150

85 – 150 = x

x = 3

ดงนนนกเรยนทชอบเรยนทง 3 วชามจ านวน 3 คน


บทท 2 ตรรกศาสตร

บทตรรกศาสตรเปนบททใกลเคยงกบเซตมากทสดบทหนง การด าเนนทางทางเซต เราสามารถใช

แทนการด าเนนการของตรรกศาสตรบางตวได

ตรรกศาสตร เซต

คาความจรงเปนจรง

คาความจรงเปนเทจ

(และ)

(หรอ)

(นเสธ) (คอมพลเมนต)

ตรรกศาสตร เปนการศกษาเกยวกบการ วเคราะหคาความจรง

(จรงหรอเทจ) ของประโยคตางๆ

ประพจนและการเชอมประพจน

สมมล

สจนรนดร / สมเหตสมผล

ตวบงปรมาณ

และ เปนจรงเพยงกรณเดยวคอ จรงและจรง ไดจรง คาความจรงเปนจรงยาก

หรอ เปนเทจเพยงกรณเดยวคอ เทจหรอเทจ ไดเทจ คาความจรงเปนจรงงาย

ถา... แลว... เปนเทจเพยงกรณเดยวคอ ถา จรง แลวเทจ ไดเทจ

กตอเมอ เปนจรงตอเมอ ตวหนาและตวหลงเหมอนกน

ประพจนทมคาความจรงเหมอนกน

ประพจนทมคาความจรงเปนจรงทกกรณ

ตรวจสอบใหทกตวเปนเทจ ถาเกดการขดแยง แสดงวาเปนสจนรนดร

ตองเปนสจนรนดรถงจะสมเหตสมผล

การใหเหตผล (เลขพนฐาน)

อปนย

นรนย


ตรรกศาสตร (Logic) เปนการศกษาทวาดวยการใหเหตผล โดยมกจะเปนสวนส าคญของวชา

ปรชญา คณตศาสตร คอมพวเตอร รวมถงภาษาศาสตร ตรรกศาสตรเปนการตรวจสอบขอโตแยงท

สมเหตสมผล (valid argument)

ประพจน (proposition) หมายถงประโยคบอกเลาหรอปฏเสธทสามารถบอกได วาเปนจรงหรอ

เทจเพยงอยางเดยวเทานน

เชน 1+5 = 10 มคาความจรงเปนเทจ

ประโยคเปด (Open Sentence) หมายถง ประโยคทตดตวแปรซงไมสามารถบอกวาเปนจรงหรอ

เทจได แตเราสามารถท าใหเปนประพจนไดโดยการแทนคาตวแปร

เชน x + 1 = 5

ตาราง การเชอมประพจน (compound proposition)

p q p q p q p q p q p

T T T T T T F

T F T F F F F

F T T F T F T

F F F F T T T

คาความจรงเปนจรง (True) ใชตวยอ T

คาความจรงเปนเทจ (False) ใชตวยอ F

ตวเชอมของประพจนแบงไดเปน 4 ชนดคอ

1. และ (and)

2. หรอ (or)

3. ถาแลว (if… then …)

4. กตอเมอ (… if and only if ..)

นเสธ คอ คาความจรงจะตรงขามกน

สมมลทส าคญ

1. p q p q q p

2. (p q) p q

(p q) p q

3. p (q r) (p q) (p r)

p (q r) (p q) (p r)

4. p q (p q) (q p)

สจนรนดร (Tautology) คอประพจนทมคาความจรงเปนจรงทกกรณ

การ วาเปนสจนรนดรหรอไม ตรวจสอบ

1. เขยนตารางคาความจรง

2. สมมตใหประพจนมคาความจรงเปนเทจ แลวตรวจสอบวาขดแยงหรอไม ถาขดแยงแสดงวาเปนสจ

นรนดร

3. a b เปนสจนรนดรกตอเมอ a b


ตวอยางท 1 ให p, q, r, s เปนประพจน ถา [p (q r)] (s r) มคาความจรงเปนจรงและ

p s มคาความจรงเปนเทจ แลวขอใดตอไปนถก (Ent 45 มนาฯ)

1. p q มคาความจรงเปนจรง 2. q r มคาความจรงเปนจรง

3. r s มคาความจรงเปนเทจ 4. s p มคาความจรงเปนเทจ

วธท าใหพจารณา p s มคาความจรงเปนเทจ ดงนน p เปนเทจ p จงเปนจรง และ s เปน

เทจ

ดงนน p q มคาความจรงเปนจรง T T T ตอบขอ 1

p เปนจรง

q เปนจรง

r เปนเทจ

s เปนเทจ


การอางเหตผล

ให P1,P2,P3,…,Pn เปนเหต และ C เปนผล

การอางเหตผลจะสมเหตสมผลกตอเมอ

[P1 P ,P3 … Pn] C เปนสจนรนดร

Ex เหต

1. P Q

2. Q

ผล P

วธท าให

เหต 1. P Q T

2. Q T

ผล P F

จากเหต Q เปนเทจ

ท าใหเหตอนท 1 ขดแยง

ขอนจงสมเหตสมผล

ตวบงปรมาณ (Quantifier)

เปนขอความทใชบงบอกจ านวนตวแปรในประโยคเปด โดยเกยวของกบสมาชกในเอกภพ

สมพทธ มทงหมด 2 ชนดคอ

1. Universal Quantifier เปนตวบงปรมาณทงหมดของสมาชกในเอกภพสมพทธ ใช

x[P(x)] เปนสญลกษณ แทนขอความ ส าหรบ x ทกตว คาความจรง ประพจนจะเปนจรง

ไดตอเมอ ทกกรณตองเปนจรง หากเปนเทจแมแตกรณเดยวกเปนเทจ

Ex 1 x[x+1 > 3] { }

ประพจนนมคาความจรง เปนจรงเนองจากทง 4 ,5 และ 6 น าไปบวก 1 ซงทกตวมคา

มากกวา 3

Ex 2 x[3x+1 > 5 ] = I+

ประพจนนมคาความจรงเปนเทจ เมอถา x = 1

2. Existential Quantifier เปนตวบงปรมาณบางสงของสมาชกในเอกภพสมพทธ ใช

x[P(x)] เปนสญลกษณ แทนขอความ ม x บางตว คาความจรง จะเปนจรงไดตอเมอม

กรณใดกตามเปนจรงเพยงกรณเดยวกมคาความจรงเปนจรง ในทางกลบกนถาทกกรณเปน

เทจ คาความจรงจะมคาเปนเทจ


การหาคาความจรงของตวบงปรมาณ 2 ตว

x y มคาความจรงเมอ x และ y ใน แทนคาแลวเปนจรงทกกรณ มโอกาสเกดจรงยาก

x y มคาความจรงเมอ x และ y อยางนอย 1 คใน แทนคาแลวเปนจรง มโอกาสเกดจรง

งาย

x y มคาความจรงเมอ x ทกคาสามารถหาคา y บางตวได แลวจะมคาความจรงเปนจรง

x y มคาความจรงเมอ x อยางนอย 1 ตวท าให y ทกตวใน แทนคาแลวเปนจรง

ตวอยางวธการใชงาน ก าหนดให x คอเดกในหองเรยนหนง y คอ สตวเลยง

x y คอ เดกทกคนตองเลยงสตวเลยงทกชนด

x y คอเดกทกคนเลยงสตวเลยงบางชนด

x y คอ เดกบางคนเลยงสตวเลยงทกชนด

x y คอ เดกบางคนเลยงสตวเลยงบางชนด


ตวอยางท 2 จงหาความจรงตอไปนเมอก าหนด ={0,1,2,3}

x y[x > y] มคาความจรงเปนเทจเชนเมอ x = 0 y = 1 เปนเทจ เมอเปนเทจกรณใดกรณหนง

กมคาความความจรงของตวบงปรมาณเปนเทจทนท

x y[x > y] มคาความจรงเปนจรงเชน เมอ x = 2 y =0 เมอมกรณใดกตามเปนจรงเพยงกรณ

เดยว กจะท าใหคาความความจรงของตวบงปรมาณเปนจรงทนท

x y[x > y] มคาความจรงเปนเทจ

x y[x > y] มคาความจรงเปนเทจเพราะไมม x ทสามารถท าให y ทกคาเปนจรง

นเสธของตวบงปรมาณ

~ x[P(x)] x[~P(x)]

~ x[P(x)] x[~P(x)]

ตวอยางท 3 ก าหนดใหเอกภพสมพทธคอ {-1,1,2} จงหาคาความจรงของ x[x2 – x + 6= 0]

วธท า ใหพจารณาค าตอบของสมการ x2 – x + 6= 0

เนองจากสมการดงกลาวไมสามารถแยกตวประกอบ เราสามารถใชตวเลขทโจทยก าหนด

แทนลงในสมการเพอตรวจสอบความถกตอง

(-1)2 + 1 + 6 = 7

(1)2 – 1 + 6 = 6

(2)2 – 2 + 6 = 8

ดงนนคาความจรงจงเปนเทจ


ตวอยางท 4 ก าหนดให p,q,r และ s เปนประพจนท

ประพจน (p q) (r s) มคาความจรงเปนเทจ

ประพจน p r มคาความจรงเปนจรง

ประพจนขอใดตอไปนมคาความจรงเปนจรง (PAT1 ก.ค. 53)

1. (p q) (q r) 2.q [p (q ~r)]

3. (p s) (r q) 4. (r s) [q (p r)]

วธท า จากโจทย (p q) (r s) มคาความจรงเปนเทจท าใหทราบวา r และ s มคาความจรงเปน

เทจเนองจาก T F F

เมอทราบวา r เปนเทจจะท าให p มคาความจรงเปนเทจ เนองจาก p r มคาความจรงเปนจรง

ดงนน q จงมคาความจรงเปนเทจ

ตอบ ขอ 2


ตวอยางท 5 ประพจนใดทสมมลกบ ~[(p ~q) (~p v r)]

1.p v (q ~r) 2.p (q v ~r) 3.p v (~ q r) 4.p (~q v r)

วธท า ขนแรกใหกระจายนเสธจะวา

[~ (p ~q) v ~ (~p v r)] [~(~p v ~q) v (p ~r)]

[(p q) v (p ~r)]

[(p (q v ~r)]

ตอบ ขอ 2

ตวอยางท 5 ก าหนดให p,q,r เปนประพจน ประพจนในขอใดตอไปนไมเปนสจนรนดร

1.(p q) [~r (p q)] 2.(~p v q) (~q ~p)

3.(p q) v (q r) v (~p ~q) 4.[(p q) v r)] [(~p v q) v (~r ~p)]

ตอบ ขอ 3


การใหเหตผล (เลขพนฐาน)

สวนประกอบของการใหเหตผลแบงเปน 2 แบบดงน

1. ขออางหรอเหต มกปรากฎค าวา เพราะวา เนองจาก ดวยเหตทวา ฯลฯ

2. ขอสรปหรอผล มกปรากฎค าวา เพราะฉะนน ดวยเหตนจง ดงน ฯลฯ

ประเภทของการใหเหตผล

การใหเหตผลแบบอปนย (Inductive reasoning) เปนการใหเหตผลโดยอาศยขอสงเกต

หรอผลการทดลองจากหลาย ๆ ตวอยาง มาสรปเปนขอตกลง หรอขอคาดเดาทวไป หรอค า

พยากรณ ซงจะเหนวาการจะน าเอาขอสงเกต หรอผลการทดลองจากบางหนวยมาสนบสนนให

ไดขอตกลง หรอ ขอความทวไปซงกนความถงทกหนวย ยอมไมสมเหตสมผล

ขอสงเกตของการใหเหตผลแบบอปนย

1. ขอสรปของอปนย ไมจ าเปนตองเปนจรงเสมอไป

2. ขอสรปของอปนยสามารถเกดขนไดมากกวา 1 ค าตอบ

3. ขอสรปของอปนยสามารถเกดความผดพลาดไดสง

ตวอยาง เหต 1.หานตวนสขาว

2.หานตวนนกสขาว

3.หานตวโนนกสขาว

ดงนน ขอสรปคอ หานทกตวมสขาว

ตวอยาง เหต 1.คอมพวเตอรทบานใชไฟฟา

2.คอมพวเตอรพกพาใชไฟฟา

3.คอมพวเตอรในส านกงานใชไฟฟา

ดงนน ขอสรปคอ คอมพวเตอรทกเครองใชไฟฟา


การใหเหตผลแบบนรนย(Deductive reasoning)เปนการน าความรพนฐานทอาจเปน

ความเชอ ขอตกลง กฎ หรอบทนยาม ซงเปนสงทรมากอนและยอมรบวาเปนจรง เพอหาเหตผล

น าไปสขอสรป

ขอสงเกตของการใหเหตผลแบบนรนย

1. เหตเปนจรง และ ผลเปนจรง

2. เหตเปนเทจ และ ผลเปนเทจ

3. ขอสรปของนรนยไมไดเปนจรงทกกรณเสมอไป

ตวอยาง เหต 1.นายจรสเปนมนษย

2.มนษยทกคนเปนสงมชวต

3.สงมชวตตองการอากาศหายใจ

ดงนน ขอสรป นายจรสตองการอากาศหายใจ

ตวอยาง เหต 1.นางสาวกานดาเกดจงหวดเชยงใหม

2.จงหวดเชยงใหมเปนจงหวดทองเทยว

3.จงหวดเชยงใหมเปนจงหวดภาคเหนอของประเทศไทย

ดงนน ขอสรป นางสาวกานดาเกดในจงหวดทองเทยวภาคเหนอของประเทศไทย

ดงนนจงกลาวไดวาการใหเหตผลแบบนรนยจะใหความแนนอน แตการใหเหตผลแบบ

อปนย จะใหความนาจะเปน

วธการตรวจสอบวาขอสรปสมเหตสมผลหรอไม

ใชแผนภาพเวนน – ออยเลอรตรวจสอบความสมเหตสมผล โดยในการวาดถาทกแผนภาพ

แสดงผลขอสรปตามทก าหนดแสดงวา ขอสรปสมเหตสมผล แตในทางกลบกน ถามแผนภาพแม

เพยงกรณเดยวทไมสมเหตสมผล แสดงวาขอสรปนนไมสมเหตสมผล


ตวอยางท 1 เหต 1.มนษยทกคนมหนวด

2.แมวบางตวมหนวด

ขอสรป แมวทกตวเปนมนษย

จงพจารณาขอความตอไปน วาสมเหตสมผลหรอไม

วธท า วาดแผนภาพ

จากแผนภาพพบวามแมวบางตวทมหนวดแตไมใชมนษยและแมวบางตวไมมหนวด

ดงนน ขอสรป แมวทกตวเปนมนษย จงไมสมเหตสมผล

ตวอยางท 2 เหต 1.คนไทยทกคนทมอายตงแต 7 ปบรบรณตองมบตรประชาชน

2.นายกฤษฎา เปนคนไทย

3.นายกฤษฎา อาย 17 ป

ขอสรป นายกฤษฎา มบตรประชาชน

จงพจารณาขอความตอไปน วาสมเหตสมผลหรอไม

วธท า วาดแผนภาพ

จากแผนภาพคนไทยและมบตรประชาชนมนายกฤษฎา

ดงนน ขอสรป นายกฤษฎา มบตรประชาชนจงสมเหตสมผล


ตวอยางท 3 .จงพจารณาขอความตอไปนแลวระบวาสมเหตสมผลหรอไม

เหต ชาวนาบางคนรวย

คนรวยบางคนเปนคนด

ผล คนรวยบางคนไมเปนชาวนาและไมเปนคนด

ตอบไมสมเหตสมผลเพราะมกรณทเปนเทจ


บทท 3 จ านวนจรงและทฤษฏจ านวน

จ านวนจรง เปนจ านวนทใชอยในชวตประจ าวนของเราซง

มทงจ านวนบวก จ านวนลบ หรอแมแตจ านวนเตมศนย

การแกสมการ

ก าลง 2

มากกวาก าลง 2

จบคดงตวรวม

หารสงเคราะห

แยกตวประกอบ

ใชสตร −𝑏 ± 𝑏2− 𝑎𝑐

𝑎

การแกอสมการ

แยกตวประกอบ

เขยนเสนจ านวน ระวงเรองการใสเครองหมาย

คาสมบรณ

| x | ≤ a -a ≤ x ≤ a

| x | ≥ a x ≥ a หรอ x ≤ -a

| x | ≥ | y | (x)2 ≥ (y)2

รปแบบอนๆแยกชวงคด

ทฤษฎจ านวน

หารลงตว a|b อานวา a หาร b ลงตว

ห.ร.ม. ใชวธของยคลด

ค.ร.น. ใชหารสน


จ านวนจรง(Real Number) คอจ านวนทสามารถเขยนบนเสนตรงทมความยาวไมสนสด

(เสนจ านวน) ได ค าวา จ านวนจรง ซงประกอบดวยจ านวนตรรกยะ และจ านวนอตกรรกยะ

จ านวนเตม ประกอบไปดวยจ านวนเตม

บวก จ านวนเตมศนย จ านวนเตมลบ

จ านวนนบ หรอจ านวนเตมบวก

ไดแก 1,2,3,...

จ านวนเตมลบ ไดแก -1,-2,-3, ... โดยม

-1 มคามากทสด

จ านวนค คอจ านวนท 2 หารลงตว

จ านวนค คอจ านวนท 2 หารไมลงตว

จ านวนตรรกยะ คอจ านวนทสามารถ

เขยนรปเศษสวนได เชน 4 , 3.67

3.4848..

จ านวนอตรรกยะคอจ านวนทไมสามารถ

เขยนในรปเศษสวนได เชน

6.5123...,e,

สมบตของจ านวนจรง

สมบต การบวก การคณ

ปด ถา a และ b เปนจ านวนจรงแลว a + b R

a + b = b + a

(a + b) + c = a + (b + c)

0

-a

ถา a และ b เปนจ านวนจรงแลว a x b R

a x b = b x a

(a b) c=a (b c)

1

สลบท

เปลยนกลม

เอกลกษณ

อนเวอรส

แจกแจง a (b+c) = a b + a c

ความรเสรม

เอกลกษณ คอ จ านวนซงน าไปด าเนนการกบจ านวนใดแลวไดจ านวนนนแลวไดตวเดม

อนเวอรส (a-1) คอจ านวนกตามซงน าไปด าเนนการกบจ านวนใดแลวจะได เอกลกษณ

จ านวนจรง

จ านวนตรรกยะ จ านวนอตรรกยะ

เศษสวน จ านวนเตม

จ านวนเตมบวก

จ านวนเตมลบ

จ านวนเตมศนย


การด าเนนการดวย Operation

เครองหมายด าเนนการ (Operators) หรอ ตวด าเนนการ นนก าหนดการการกระท าทเกด

ขนกบตวแปรและคาคงท โดยทนพจนประกอบดวยตวแปร และคาคงท และใชตว ด าเนนการ

ค านวณเพอใหไดคา

ตวอยางท 1 ก าหนด * เปนตวด าเนนการในระบบจ านวนจรง ให a และ b เปนจ านวนจรงบวก

ทก a * b = 2a + b

a * a = 1

b * b = 0

จงหาคา 5 * (10 * 5)

วธท า 5 * (10 * 5) = 5 * (2(10)+5)

= 5 * 25

= 2(5) + 25

= 35

ตอบ 35

ตวอยางท 2 ก าหนด * เปนตวด าเนนการในระบบจ านวนจรง ให a และ b เปนจ านวนจรงบวก

โดยนยามของ * คอ a * b = 4a + 2b – 1 จงหาเอกลกษณของการด าเนนการตอไปน

วธท า ก าหนดให e เปนเอกลกษณของการด าเนนการ ดงนน a * e = a

จาก a * e = 4a + 2e –1

4a + 2e − 1 = a

2e = 1 – 3a

e = 1 – 3a 2

ตอบ 1 – 3a 2


การแกสมการพหนามดกร 2 (Quadratic equation)

สมการก าลงสองมรปทวไป คอ

ax2 + bx + c = 0 เมอ x เปนตวแปร และ a,b,c เปนคาคงทและ a ไมเปน 0

การแกสมการก าลงสอง

1. การสมการโดยการแยกตวประกอบ

2. ใชสตร − ± 2−

ขอสงเกต

ถา b2 4ac > 0 สมการจะม 2 ค าตอบ

ถา b2 4ac = 0 สมการจะม 2 ค าตอบทเหมอนกน

ถา b2 4ac < 0 สมการไมมค าตอบเปนจ านวนจรง

ค าตอบของสมการจะเปนจ านวนเชงซอน

การแกสมการพหนามดกรตงแตก าลง 3 ขนไป

วธท 1 จบคดงตวรวม

Ex x3 – 2x2 – 6x + 12 = 0

x2(x – 2) – 6(x – 2) = 0

(x2 – 6)(x – 2) = 0

(x – )(x + )(x – 2) = 0

x = – , 2 ,

ความรเสรม

สมการพหนามดกร 3 ในรป ax3 + bx2 + cx + d = 0 เรยกวา Cubic equation

สมการพหนามดกร 4 ในรป ax4 + bx3 + cx2 + dx +e = 0 เรยกวา Quartic equation


วธท 2 ใชทฤษฏเศษเหลอและหารสงเคราะห

Ex x3 + 4x2 – 7x – 10 = 0

ลองแทนเลขพบวา แทน 2 แลวสมการเปนจรง

(x - 2)(x2 + 6x + 5) = 0

(x - 2)(x + 5)(x + 1)=0

x = 2 , –5 , –1

หลกการแกโจทยคอ

น าสมตวเลขไปแทนแลวท าใหสมการเปน

จรง แลวน าตวเลขนนไปหารสงเคราะห

ตวเลขทสมไปแทนตองหารตวเลข ตว

สดทายของโจทยลงตว การสมเราตองสม

ทงคาบวกและลบ

เมอทราบวาใดหารลงตว แลวน า

สมประสทธจากโจทยมาเปนตวตงแลว

หารดวยจ านวนนน


ชวงและการแกอสมการ

ชวง (Interval) เมอก าหนด a และ b เปนจ านวนจรงโดยท a < b

ชวงเปด (Opened Interval) จาก a ถง b คอ (a,b) = {x R | a < x< b }

ชวงปด (Closed Interval) จาก a ถง b คอ [a,b]={x R | a ≤ x ≤ b }

ชวงครงเปดทางขวา (Interval half open on the right)

จาก a ถง b คอ [a,b) = {x R | a ≤ x < b }

ชวงครงเปดทางซาย (Interval half open on the left)

จาก a ถง b คอ (a,b] = {x R | a x ≤ b }

หลกการแกอสมการ

1. ยายขางเหมอนสมการทกอยาง ยกเวน ถาเอาจ านวนลบไปคณหรอการใหกลบ

เครองหมาย

2. ยายขางจนกวาดานหนงจะกลายเปน 0 และแยกตวประกอบ

3. เขยนเสนจ านวน หาคาวกฤต (คอเลขทท าใหคาเปน 0)

4. ใสเครองหมายเปนเสนจ านวน

Ex จงแกอสมการตอไปน x2 – 6x + 2 > -7

x2 – 6x + 9 > 0

(x – 3)(x – 3) > 0

เราจงสามารถเขยนเสนจ านวนไดดงน

+ 3 +

เซตค าตอบ คอ R – {3}

คา + เกดจากการแทนเลขท

มากกวา 3 แลวพบวาทกตวมคา

เปนบวก เพราะฉะนนเราตองแทน

เลขลงไปจงจะทราบ ชวงจะเปน

บวกหรอลบ


ตวอยางท 3 จงเขยนเสนจ านวนของอสมการตอไปน

1.(x – 3)(5 – x) > 0

ค าตอบ (3,5)

ค าอธบาย หากเราน าตวเลขทอยระหวาง 3 ถง

5 มาแทนลงในสมการ มผลใหค าตอบไดเปน

จ านวนบวกเสมอ

แตในทางกลบกน ถาน าชวงทนอยกวา 3 หรอ

มากกวา 5 ไปแทนลงในสมการจะท าใหสมการ

ไดค าตอบเปนจ านวนลบเสมอ

2.(x – 6)2(x – 2)(x + 1) < 0

ค าตอบ (-1,2)

ค าอธบาย หากเราน าตวเลขทอยระหวาง 3 ถง 5 มา

แทนลงในสมการ มผลใหค าตอบไดเปนจ านวนบวกเสมอ

3.(7 – x)2(x + 3) ≤ 0

ตอบ (∞,-3] {7}

4. − − − 2

− ≥ 0

ตอบ (-∞,-2) (1,3] {2}

ค าอธบาย ทเราไมรวม -2 กบ 1 มาเปนค าตอบเพราะถา

ถาน ามารวมเปนค าตอบจะท าใหสวนเปน 0 แลวหาคา

ไมได

ตวอยางท 4 จงหาเซตค าตอบของ

− < –1

วธท า

− + 1 < 0 ค าแนะน าถาเปนเศษสวนแลวมตวแปรซงไมทราบวาจะเปนบวกหรอลบหามคณไขว

−

− < 0

−

− < 0

เซตของชวงค าตอบคอ (1,2)


คาสมบรณ

นยาม ส าหรบจ านวนจรงใดๆ a, คาสมบรณของ a เขยนแทนดวย |a| เทากบ a ถา a ≥ 0 และ

เทากบ −a ถา a < 0 |a| จะไมเปนจ านวนลบ

คาสมบรณจะเปนจ านวนบวกหรอศนยเสมอ นนคอจะไมมคา a ท |a| < 0

|x| = |–x| |x – y| =| y – x | |x + y| ≤ |x| + |y| |x – y| ≥ |x| – |y|

|x • y| = |x||y| |

| =

; y ≠ 0 |xn| = |x|n |x2|=x2

การแกอสมการคาสมบรณตวเดยว

| x | ≤ a -a ≤ x ≤ a

ตวอยาง

| x - 3 | < 5

-5 < x - 3 < 5

-2 < x < 8

| x | ≥ a x ≥ a หรอ x ≤ -a

ตวอยาง

| x – 2 | > 7

x – 2 > 7 หรอ x – 2 < -7

x > 9 หรอ x < -5

การแกอสมการคาสมบรณสองตว

| x | เครองหมายอสมการ | a | ใหยกก าลงสองทง

สองขาง

ตวอยาง

| 4x + 3 | > | 3x - 1 |

(4x + 3)2 > (3x – 1)2

(4x + 3 )2 - (3x – 1)2 > 0

(4x+3-3x+1)(4x+3+3x-1) > 0

(x + 4)(7x + 2) > 0

-4 -

การแกอสมการคาสมบรณรปแบบอนๆ ตวอยาง | x - 3 | + | x - 1 | ≤ 2

x ≤ 1 1 ≤ x ≤ 3 x ≥ 3

- (x-3) - (x-1) ≤ 2

-2x+4 ≤ 2

-2x ≤ -2

x ≥ 4

ชวงนไมมค าตอบ

-(x-3) + (x-1) ≤ 2

2 ≤ 2 จรง

ได 1 ≤ x ≤ 3

(x-3)+(x-1) ≤ 2

2x -4 ≤ 2

2x ≤ 6

x ≤ 3

ชวงนไมมค าตอบ

น าตอบทกชวงมายเนยนกน เซตค าตอบคอชวง [1,3]

น าค าตอบทไดมา

อนเตอรเชกชนกบ

ชวง

+ + -


ทฤษฏจ านวน

การหารลงตว

n|m คอ n หาร m ลงตว หรอกลาววา m ถก n

หารลงตว

n คอตวหาร m คอพหคณของ n

ขนตอนการหาร

m = n(q) + r

m คอตวตง n คอตวหาร q คอผลหาร r คอเศษ

Ex จงแสดงวา 4|20

วธท า 20 = 4×5 + 0

เศษเปน 0 แสดงวา 4 หาร 20 ลงตว

ห.ร.ม. (a,b) แทน ห.ร.ม. ของ a และ b คอ

จ านวนเตมบวกทมากทสดทหาร a และ b ลงตว

(15,25) = 5 เพราะ 5 คอจ านวนเตมบวกทมาก

ทสด ทหารทง 15 และ 25 ลงตว

ขนตอนของยคลด

1) ตองการหา ห.ร.ม. ของ a,b ใหใชวธการหาร

2) (a,b) = ( ตวหาร , เศษเหลอ )

3) ท าขนตอน 2 ไปเรอยๆ จนกวาเศษจะเปน 0

4) เศษเหลอตวสดทายของการหารกอนเศษเปน 0

คอ ห.ร.ม.

Ex จงหา ห.ร.ม. ของ 14 และ 58

58 = 14(4) + 2

14 = 2(7) + 0

ดงนน (14,58) = 2

ค.ร.น. [a,b] แทน ค.ร.น. ของ a และ b คอจ านวน

เตมบวกทนอยทสดทหารดวย a และ b ลงตว

Ex จงหาค.ร.น. ของ 4 กบ 6

4 • 6 = ห.ร.ม. • ค.ร.น.

24 = 2 • ค.ร.น.

ดงนน ค.ร.น. = 12

ทฤษฏบท a และ b คอจ านวนเตมบวก แลว

a•b = (a,b) • [a,b]

จ านวนเฉพาะสมพทธ

a,b เปนจ านวนเฉพาะสมพทธ เมอ (a,b) = 1

หารรวมมากและคณรวมนอย

หารรวมมากคอจ านวนเตมบวกทมคามากทสดซงหารจ านวนทเราสนใจอยางนอย 2 ตวลงตว

หรอจะกลาวตามนยามวา เมอก าหนด d เปนตวหารรวมมากของ a และ b ซง a หรอ b หามเปน 0ก

ตอเมอ d | a และ d | b และเราแทนห.ร.ม.ทบวกบวกของ a,b ดวย (m,n)

อยาสบสนกบเรองชวงของอสมการนะครบ


Ex จงหาห.ร.ม. ของ 146 และ 192

วธท าใหใชขนตอนวธการหารดงน 192 = 146(1) + 48

146 = 48(3) + 2

48 = 2(24) + 0

ห.ร.ม.ของ 146 และ 192 คอ 2 เพราะ 2 คอจ านวนเตมบวกทมคามากทสดทหารทง 146 และ 192 ลงตว

คณรวมนอยคอจ านวนเตมบวกซงมคานอยทสดถกหารดวยทจ านวนทเราสนใจอยางนอย 2 ตวลง

ตวหรอจะกลาวตามนยามวา เมอก าหนด d เปนคณรวมนอยของ a และ b ซง a หรอ b หามเปน 0 ก

ตอเมอ a | d และ b | d และเราแทนค.ร.น.ทบวกบวกของ a,b ดวย [m,n]

Ex จงหาค.ร.น.ของ 34 และ 112

วธท า เราสามารถท าไดหลายวธเชนใชทฤษฎบท a • b = (a,b) • [a,b] การหารสน การแยกตวประกอบ

ส าหรบวธทงายทสดและรวดเรวคอการตงหารสน

2×17×56 = 1904

ดงนน ค.ร.น.ของ34 และ 112 คอ 1,904 เพราะ 1,904 คอจ านวนเปนบวกทนอยทสดท

34|1,904 และ 112|1,904

อยาสบสนกบเรองชวงของอสมการนะครบ


ตวอยางท 5

ก าหนดให S = , |

2− ≥

2− - ชวงใดตอไปนเปนสบเซตของ S (PAT1)

1.(-∞,-3) 2.(-1,0.5) 3.(-0.5,2) 4.(1,∞)

วธท า

− − ≥

−

≥

≥

≥

ตอบขอ 2 สงเกตไดวา (-1,0.5)เปนสบเซตของเซต S

ตวอยางท 6 ก าหนด S ={x | =1} เซตในขอใดตอไปนเทากบเซต S (PAT1)

1. {x| x3=1} 2.{x|x2=1} 3.{x|x3=-1} 4.{x4=x}

วธท า จากเซต S เราสามารถเขยนแจกแจงสมาชกไดดงน {1,-1}

พจารณาค าตอบ 1.{x| x3=1} สามารถเขยนแจกแจงสมาชกไดดงน {1}

2.{x|x2=1} สามารถเขยนแจกแจงสมาชกไดดงน {1,-1} เนองจากทงคเมอ

น าไปยกก าลงสองแลวจะมคาเทากบ 1

3.{x|x3=-1} สามารถเขยนแจกแจงสมาชกไดดงน {-1}

4.{x4=x} สามารถเขยนแจกแจงสมาชกไดดงน {0,1} เนองจากคา x = x4

ซง x4เปนไดเพยงจ านวนเตมบวกเทานน ดงนนจงท าให x ตองเปนจ านวนเตมบวก

ไปดวย

ตอบ ขอ 2

(-∞,-4) (-1,1) (2, ∞)


ตวอยางท 7 ถาเซตค าตอบของอสมการ |x2 + x - 2| < (x + 2) คอชวง (a,b) แลว a+b มคา

เทากบเทาใด (A-NET มนาคม 50)

วธท า จากนยามของคาสมบรณจะได – (x + 2) < x2 + x – 2 < x + 2

– (x + 2) < x2 + x – 2

0 < x2 + 2x

0 < x(x + 2)

x2 + x – 2 < x + 2

x2 < 4

x < -2,2

น าทงสองชวงมาอนเตอรเซกชนกน

จากรปชวงทซ ากนคอ (0,2) ดงนน 0 + 2 = 2

ดงนนตอบ 2

ตวอยางท 4 ก าหนดให A = {x | (2x+1)(x-1) < 2} B = {x | |2x-10| < 2} C เปนเซตของ A B

จงหาเซตค าตอบของ (A B) C

วธท า พจารณา A = (2x+1)(x-1) < 2 ใหจดรปใหฝงหนงมคาเปนศนย

2x2 – x – 3 < 0

(2x-3)(x+1) < 0

พจารณา B = -2< 2x - 10 < 2

8 < 2x < 12

4 < x < 6

พจารณา C คอ A B =

(A B) C = (A B)

ดงนน ตอบ A B = (-1,1.5) (4,6


บทท 4 ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ

ฟงกชน y = f(x)

ผลคณคารทเชยน A x B = {(x,y) | x A y B }

โดเมนและเรนจของความสมพนธ

อนเวอรสของความสมพนธ

ประเภทของฟงกน

อนเวอรสของฟงกชน

ฟงกชนประกอบ

การด าเนนการของฟงกชน

โดเมนและเรนจของฟงกชน

โดเมนคอ คา x ในคอนดบ (x,y)

เรนจคอ คา y ในคอนดบ (x,y)

สลบท x กบ y

ฟงกชน A ไป B (into function)

ฟงกชน A ไปทวถง B (onto function)

ฟงกชนหนงตอหนง(1-1 function)

สลบท x กบ y

ตรวจสอบวาฟงกชนหรอไม

gof(x) = g(f(x) แทนคา f(x) ลงใน g(x)

ฟงกชนเอกลกษณ fof-1(x) = x

(f+g)(x) = f(x) + g(x) ; Df+g = Df Dg

(f-g)(x) = f(x) – g(x) ; Df-g = Df Dg

(f⋅g)(x) = f(x) ⋅ g(x) ; Df•g = Df Dg

(f

g)(x) =

f

g ; g(x) ≠ 0 และ D f

g

= Df Dg

ความสมพนธและฟงกชนเปนพนฐานในการแกปญหาท

เกยวของกบตวแปรและเปนพนฐานของคณตศาสตรในระดบท

สงตอไป


คอนดบ (Order Pair) เปนการจบคสงของโดยถอล าดบเปนส าคญ เชน คอนดบ a, b จะ

เขยนแทนดวย (a, b) เรยก a วาเปนสมาชกตวหนา และเรยก b วาเปนสมาชกตวหลง

(การเทากบของคอนดบ) (a, b) = (c, d) กตอเมอ a = c และ b = d

ผลคณคารทเชยน (Cartesian Product)

ผลคณคารทเซยนของเซต A และเซต B คอ เซตของคอนดบ (a, b) ทงหมด โดยท a เปน

สมาชกของเซต A และ b เปนสมาชกของเซต B

สญลกษณ ผลคณคารทเซยนของเซต A และเซต B เขยนแทนดวย A x B หรอ เขยนในรปเซต

แบบบอกเงอนไขจะไดวา

A x B = {(x,y) | x A y B }

ตวอยาง A ={1,2,3} B = {a,b}

A x B = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}

ดงนนจ านวนสมาชกทงหมดคอ n(A) x n(B) = 3 x 2 = 6

ความสมพนธ (Relation) คอเซตของคอนดบซงเปนสบเซตของ A x B

ก าหนดให r เปนความสมพนธจาก A ไป B กตอเมอ r เปนสบเซตของ A x B

ขอควรรเกยวกบความสมพนธ

1. เซตวางเปนความสมพนธจาก A ไป B เพราะ เซตวางเปนสบเซตของทกเซต

2. ถาความสมพนธ A B และ B C แลว ความสมพนธ A C

3. จ านวนความสมพนธของ A ไป B คอ 2n(A x B)

4. ถาไมมก าหนดขอบเขตของความสมพนธ ใหถอวาขอบเขตของความสมพนธคอ จ านวนจรง

เมอ A และ B เปนจ านวนจรง แลว A x B R x R

5. x r y คอ x มความสมพนธ r กบ y สามารถเขยนอยในรป (x,y) r

6. x r y คอ x ไมมความสมพนธ r กบ y สามารถเขยนอยในรป (x,y) r

ตวอยาง (9,3) r คอ 9 r 3 อานวา 9 มความสมพนธกบ 3 “เปน 3 เทา”

โดเมน (Domain) และ เรนจ (Range)

1. โดเมน (Domain) ของความสมพนธ r คอ เซตทมสมาชกตวหนาของทกคอนดบในความสมพนธ r ใช

สญลกษณแทนดวย Dr ดงนน Dr = {x | (x, y) r}

2. เรนจ (Range) ของความสมพนธ r คอ เซตทมสมาชกตวหลงของทกคอนดบในความสมพนธ r ใช

สญลกษณแทนดวย Rr ดงนน Rr = {y | (x, y) r}

http://kruaun.files.wordpress.com/2011/06/cartesian.jpg

http://kruaun.files.wordpress.com/2011/06/cartesian.jpg


การตรวจสอบขอจ ากดของโดเมนและเรนจของความสมพนธ

ตรวจสอบโดเมน จด y ในเทอม x

ตรวจสอบเรนจ จด x ในเทอม y

1.ในรปแบบเศษสวน

แนวคด สวนหามเปน 0 เนองจากสวนเปน 0 แลวหาคาไมได

ตวอยางท 1 r = ,

- จงพจารณาหาโดเมนและเรนจ

ตรวจสอบโดเมน จากความสมพนธ สวนหามเปนศนย คอ

x + 2 ≠ 0

x ≠ -2

ตรวจสอบเรนจ ใหจด x ในเทอม y คอ

r = ,

-

r = ,

-

r = , −

-

จากความสมพนธ สวนหามเปนศนย คอ

y ≠ 0

ตอบ โดเมนคอ (-∞,-2) (-2, ∞) หรอ R – {-2}

เรจนคอ (-∞,0) (0, ∞) หรอ R – {0}

2.ในรปของยกก าลง 2

แนวคด


ตวอยางท 2 r = {(x,y)| y = (x−3)2 } จงพจารณาหาโดเมนและเรนจ

ตอบ โดเมน คอจ านวนจรง {x | x R}

เรนจ คอจ านวนจรงซงมคามากกวาหรอเทากบ 0 {y | y ≥ 0 }

3.ในรปในเครองหมายกรณฑ

แนวคด จะพบวา A ≥0 เนองจากในเรองความสมพนธจะมจ านวนจรงเปนเอกภพสมพทธ จะ

ท าให คาของ A ตดลบไมไดในเรองของจ านวนจรง

ตวอยางท 3 r = {(x,y)| y = } จงพจารณาหาโดเมนและเรนจ

2x – 8 ≥ 0

2x ≥ 8

x ≥ 4

ตอบ โดเมน คอจ านวนจรง {x | x ≥ 4}


4.ในรปเครองหมายคาสมบรณ

แนวคด

ตวอยางท 4 r = {(x,y)| y = |5 – 2x|} จงพจารณาหาโดเมนและเรนจ

ตอบ โดเมน คอจ านวนจรง {x | x R}



5.ประยกตโดยใชกราฟ แลวพจารณาจากกราฟ คา x คอโดเมน คา y คอเรนจ

ตวอยางท 5 r = {(x,y)| |x|+|y| = 4} จงพจารณาหาโดเมนและเรนจ

สามารถวาดกราฟได

ตอบ โดเมน คอ {x | −4 ≤ x ≤ 4 }

เรนจ คอ {y | −4 ≤ y ≤ 4 }

กราฟ วงกลม วงร พาราโบลา ไฮเปอรโบลา สามารถศกษาไดจากบทเรขาคณตวเคราะห

ฟงกชน (Function) คอ ความสมพนธ ซงในสองคอนดบใด ๆ ของความสมพนธนน ถา

มสมาชกตวหนาเทากนแลว สมาชกตวหลงตองไมแตกตางกน

ฟงกชน A ไป B (into function) คอฟงกชนทใชสมาชกตวหนาครบทกตว

Df = A Rf B เขยนสญลกษณแทนดวย f: A B

ฟงกชน A ไปทวถง B (onto function) คอฟงกชนทใชสมาชกตวหนาและตวหลงครบทก

ตว

Df = A Rf B เขยนสญลกษณแทนดวย f: A ทวถง B

ฟงกชนหนงตอหนง (1-1 function) คอ ฟงกชนทตวหลง (y) สามารถจบคกบสมาชกตว

หนา x เพยง 1 ตวเทานน เขยนสญลกษณแทนดวย f: A 1-1 B

การตรวจสอบความสมพนธวาเปนฟงกชน

เราสามารถทดสอบวาความสมพนธนนเปนฟงกชนหรอไมโดยการลากเสนแนวขนาน

แนวแกน y หาก ตดกราฟมากกวา 1 จดแสดงวาความสมพนธนนไมเปนฟงกชน


กราฟนเปนฟงกชน กราฟนไมเปนฟงกชน

ส าหรบการพจารณาวาฟงกชนเปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไม เราลากแนวเสนขนานแกน

x ถาเสนตดกราฟมากกวา 1 จดแสดงวาฟงกชนไมใชฟงกชนหนงตอหนง

กราฟนเปนฟงกชนหนงตอหนง กราฟนไมเปนฟงกชนหนงตอหนง

ประเภทของฟงกชน

ฟงกชนเพม ฟงกชนลด

เมอ f เปนฟงกชน ถา x1 <x2 เมอ f เปนฟงกชน ถา x1 < x2

แลว f(x1) < f(x2) แลว f(x1) > f(x2)

สญลกษณของฟงกชน

ถา f เปนฟงกชนเราจะเรยน y = f(x) โดย (x,y) f


ตวอยางท 1 f={(1,2),(3,4),(5,6)}

f(1) = 2

f(5) = 6

ตวอยางท 2 f(x) =x2+3x-1 จงหา f(2)

f(2) = (2)2+3(2)-1

f(2) = 9

ตวอยางท 3 f(2x+6) = 3x-4จงหา f(2)

f(2) = 3(−2) − 4

= −10

ตวอยางท 4 f(2x-1) = 4x + 5 จงหา f(x)

f(x) = 4[

]+5

= 2(x+1)+5

= 2x+7

ฟงกชนผกผน

อนเวอรสของความสมพนธ (r-1) คอ

ความสมพนธทเกดจากการสลบสมาชกตวหนา

กบสมาชกตวหลง

Ex

r = {(1,2),(3,4),(5,6)}

r-1={(2,1),(4,3),(6,5)}

กราฟของอนเวอรสของความสมพนธ

f(x)

f-1(x)

วธคด จบกอนขางใน f( ) =

จ านวนทโจทยตองการ

2x+6 = 2

2x = -4

x =-2

ระวง

2x1 – 1 = x2

2x1 = x2 + 1

x1 = 𝑥2


อนเวอรสของฟงกชน คอฟงกชนทเกดจากการ

สลบสมาชกตวหนากบสมาชกตวหลง

Ex

f={(x,y) I+ x I | y = 2x+1}

f-1={(y,x) I x I+ | y = 2x+1}

หรอ f-1={(x,y) I x I+ | x = 2y+1}

ซงสามารถจดรปไดดงน

f-1={(x,y) I x I+ | y = −

}

ความสมพนธระหวาง f(x) และ f-1(x)

1. f-1(x) เปนฟงกชน 1 – 1

2. D f = Rf

3. R f = Df

รปแบบการแกปญหาอนเวอรสของฟงกชน

อนเวอรสในรปคอนดบ

Ex f = {(1,2),(3,4),(5,6)} จงหา f-1 (4)

f-1={(2,1),(4,3),(6,5)}

f-1 (4) = 3


อนเวอรสในรปสมการปกต

Ex f(x) = 3x +1 จงหา f-1 (2)

y = 3x +1

สลบท x และ y x = 3y +1

y = −

f-1 (x) = −

f-1 (2) =

Ex f(x) = −

จงหา f-1 (2)

y = −

สลบท x และ y x = −

x(6y+5) = 4y – 1

x(6y+5) +1 = 4y

6xy – 4y + 5x +1 = 0

y(6x-4) = - 5x – 1

y = − −

−

f-1 (x) = − −

−

f-1 (2) = −

Ex f(x) = ±

±

f-1(x) = − ±

± −

อนเวอรสในรปไมสมการปกต

แนวคดใหสลบกอนขานใน f( ) = เปน f-1 ( ) =

Ex f(4x+1) = 2x – 2 จงหา f-1(-2)

f-1(2x – 2) = 4x +1

f-1(x) = 4[

] +1

f-1(x) = 2(x+2) +1

f-1(x) = 4x+5

f-1(-2) = 4(-2) +5

= –3

ก าหนด A แทน x2

2x – 2 = A

x =


ฟงกชนประกอบ (Composite Function)

gof(x) = g(f(x)) ทก x Dgof และจะหาคาไดเมอ

Rf Dg ≠

Ex f(x) = x2+3 g(x) = -x +5

จงหา gof(1)

วธท า g(f(1)) = g(12+3)

= g(4)

= -4 + 5

= 1

ฟงกชนเอกลกษณ

(fof-1)(x) = x และ (f-1of)(x) =x แต (f-1ogof)(x) ≠ x

ตวอยาง f(x) = 3x+7 จงหา (fof-1)(5)

ตอบ 5 เพราะเปนฟงกชนเอกลกษณ

ฟงกชนประกอบอนเวอรส

(fog)-1(x) = g-1of-1 (x)

การด าเนนการของฟงกชน

(f+g)(x) = f(x) + g(x) ; Df+g = Df Dg

(f-g)(x) = f(x) – g(x) ; Df-g = Df Dg

(f⋅g)(x) = f(x) ⋅ g(x) ; Df•g = Df Dg

(f

g)(x) =

f

g ; g(x) ≠ 0 และ D f

g

= Df Dg

Ex 1

f = {(1,-1),(3,2)} g(x)={(1,2),(7,3)}

(f+g)(x) = {(1,1)}

(f-g)(x) = {(1,-3)}

(f⋅g)(x) = {(1,-2)}

(f

g)(x) ={(1,

)}

Ex2 ก าหนด f(x)= -x+5 และ g(x) = 2x+6

(f+g)(x) = (-x+5) + (2x+6) = x+11

(f-g)(x) = (-x+5) - (2x+6) = -3x-1

(f⋅g)(x) = (-x+5)(2x+6) =-2x2+x+30

(f

g)(x) =

−


ตวอยางท 5 ก าหนดให f ={(1,2),(2,7),(3,4),(4,1),(5,6)}

ก. จงหา f(f(1)) ข. จงหา f-1(f(3))

วธท า f(f(1)) = f(2)

f(2) = 7

ตอบ 7

f-1 ={(2,1),(7,2),(4,3),(1,4),(6,5)}

f-1(f(3)) = f-1(4)

f-1(4) = 3

ตอบ 3

ตวอยางท 6 ก าหนดให f(0) = 10 และ f(x+1) = f(x) + 5 จงหา f(20)

วธท า พจารณา f(1) คอ (f(0)) +5 = 15 (เกดจาก 15 + 0(5))

พจารณา f(2) คอ (f(1)) +5 = 20 (เกดจาก 15 + 1(5))

พจารณา f(3) คอ (f(2)) +5 = 25 (เกดจาก 15 + 2(5))

f(20) เกดจาก 15 + 19(5) = 110

ตอบ 110


บทท 5 เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย

เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย เปนการค านวณเกยวกบ

รปเรขาคณต ซงเขยนกราฟในระบบพกดฉาก

จด

เสนตรง

การเลอนแกนขนาน

วงร

พาราโบลา

ไฮเพอรโบลา

ระยะหางระหวางจด

จดแบงเสนตรง

จดตดเสนมธยฐาน

พนท n เหลยม

สมการเสนตรง

ความชนเสนตรง

ระยะหางระหวางจดกบเสนตรง

ระยะหางระหวางเสนตรงกบเสนตรง

วงกลม


ความรเบองตนเกยวกบเรขาคณตวเคราะห (Fundamental of Geometry)

ระบบแกนมมฉาก (Coordinate System)

คอระบบแกนทมแกนราบ (แกน x) และแกนดง (แกน y) ตงฉากกนทจด O (Origin) หรอ

จดก าเนด หรอ จด (0,0)

ดงนน เราสามารถแทนคอนดบใดๆ ลงในระบบระบบแกนมมฉาก เชนคอนดบ (x,y) เปนจด

หางจากแกน y เปนระยะทาง |x| หนวยไป ทางขวา เมอ x เปนบวก

หางจากแกน y เปนระยะทาง |x| หนวยไป ทางซาย เมอ x เปนลบ

หางจากแกน x เปนระยะทาง |y| หนวยไป ทางบน เมอ y เปนบวก

หางจากแกน x เปนระยะทาง |y| หนวยไป ทางลาง เมอ y เปนลบ


เสนตรง ผานจด (x1.y1) , มความชน m

1.สรางสมการเสนตรงจาก y - y1 = m(x - x1)

2.สมการใชหาความชน y = mx + c

เสนตรงสองเสน

1

ขนานกน m1 =m2

2

ตงฉาก m1 × m2 = -1

3

ท ามม tan = − 2

2

ระยะจากจดถงเสนตรง

d =

2 2

Ex

d = − −

2 2

=

ระยะทางเสนตรงถงเสนตรง

.

d = − 2

2 2

Ex

d = − −

2 2

= d =

d

d d

d


การเลอนแกน (Translation of Axes)

การเลอนแกนทางขนาน หมายถง หมายถงการเปลยนแปลงแกนพกดเดมอยางนอยหนง

แกน (แกน X หรอแกน Y) โดยใหแกนพกดใหมขนานกบแกนพกดเดม

การเลอนแกนทางขนานนบเปนพนฐานทส าคญทจะชวยในการศกษาเกยวกบภาคตดกรวย

ได สะดวกยงขนในระบบแกนมมฉาก เราใชแกน X และ Y ส าหรบอางองพกดหรอต าแหนงของ

จดในระนาบจด P(x, y) เปนจดทอยหางจากแกน Y ไปทางขวามอเปนระยะ x หนวย และอยหาง

จากแกน X ซงอยเหนอแกน X เปนระยะ y หนวย ดงรป


ภาคตดกรวย (conic section หรอ conic) ในทางคณตศาสตร หมายถง เสนโคงทไดจาก

การตดพนผวกรวยกลม ดวยระนาบแบน ภาคตดกรวยนถกตงเปนหวขอศกษาตงแตสมย 200 ป

กอนครสตศกราชโดย อพอลโลเนยส แหง เพอรกา ผซงศกษาภาคตดกรวยและคนพบสมบตหลาย

ประการของภาคตดกรวย ตอมากรณการศกษาภาคตดกรวยถกน าไปใชประโยชนหลายแบบ

กรวยกลมตรงมลกษณะดงน

วงกลม เกดจากการตดกรวยกลมตรงดวยระนาบ ทตงฉากแกนของกรวย

พาราโบลา เกดจากการตดกรวยกลมตรงดวยระนาบทขนานกบเสนขอบกรวย

วงร เกดจาดการตดกรวยกลมตรงดวยระนาบเพยงสวนเดยว โดยทระนาบนนไมขนาน

กบเสนของกรวยและไมตงฉากกบแกนของกรวย

ไฮเปอรโบลา เกดจากการตดกรวยกลมตรงดวยระนาบทตดทงสองสวนของกรวย


วงกลม(Circle)

วงกลมคอเซตของจดทงหมดในระนาบทหางจากจดศนยกลางของวงกลม(center)เปน

ระยะคงตว และมระยะทางคงตว คอรศม(radius) ของวงกลม

สมการรปมาตรฐาน วงกลมคอ (x - h)2+(y - k)2=r2

สวนประกอบของวงกลม จดยอด (h,k)

รศม r

สมการรปทวไป x2 + y2 + ax + by + c = 0

ถาสมการของวงกลมในรปแบบทวไป สามารถเขยนสมการใหมในรปแบบสมการมาตรฐาน

ไดโดยใชวธการท าเปนก าลงสองสมบรณ

Ex จงหารศมของวงกลมและจดศนยกลางของสมการวงกลมตอไปน x2 +y2– 4x + 6y - 12 = 0

วธท า x2 +y2– 4x + 6y = 12

x2 – 4x +4 + y2 +6y + 9 = 12 + 4 + 9

(x2–2(2)x+22) + (y2+2(3)y+32) = 12+22+32

(x–2)2 + (y+3)2 = 25 หรอ (x–2)2 + (y+3)2 = 52

วงกลมจดศนยกลาง (2,-3) รศม 5

Ex จงวาดกราฟของสมาการตอไปน

จดยอด (5,-3)

รศม 7 หนวย


ขอควรระวงเรองวงกลม

1.เสนสมผสตงฉากกบรศมทจดสมผส

(mเสนสมผส × mรศม = -1)

2.ระยะทางจากจดศนยกลางถงจดสมผสคอ รศม

วงร (ellipse)

วงร คอเซตของจดทงหมดในระนาบซงผลบวกของระยะทางจากจดใดๆ ไปยงจดโฟกส

(focus) ทง 2 มคาคงตว


สมการวงรรปมาตรฐาน

− 2

2 − 2

2 = 1 − 2

2 − 2

2

ค าแนะน า คา a จะมคามากกวาคา b เสมอ

ความสมพนธของวงร c2 = a2 - b2

สวนประกอบของวงร

ลาตสเลกตมยาว 2

ความเยองศนยกลาง e =

โดยท 0 < e < 1

e เขาใกลเลข 0 จะเปนรปใกลเคยงวงกลม

e เขาใกลเลข 1 จะเปนรปวงรทรมาก

จดยอด V, V’

จดศนยกลาง C

แกนเอก 2a

แกนโท 2b


พาราโบลา(Parabola)

พาราโบลาคอ เซตของจดทกจดบนระนาบ ซงอยหางจากเสนตรง(เสนไดเรกตก) ทเสน

หนงบนระนาบและจดคงท(จดโฟกส)จดหนงบนระนาบนอกเสนตรงคงทนน เปนระยะทางเทากน

เสมอ

สมการมาตรฐาน

(x - h)2 = 4c(y-k) (y - k)2 = 4c(x - h)

จดยอด V

จดโฟกส F

ลาตสเรกตรม (LR) = 4C


ไฮเปอรโบลา(Hyperbola)

ไฮเปอรโบลา คอ เซตของจดทกจดในระนาบซงผลตางของระยะทางจากจดใดๆในเซตนไป

ยงจดคงทสองจดบนระนาบมคาคงตวซงมากกวาศนยแตนอยกวาระยะหางระหวางจดคงททงสอง

โดยทจดคงทนเรยกวาจดโฟกสของไฮเพอรโบลา

สมการมาตรฐาน

= 2a


สวนประกอบไฮเปอรโบลา

จดศนยกลาง C

จดยอด V, V’

จดโฟกส F, F’

แกนตามขวาง 2a

แกนสงยค 2b

ลาตสเรกตม (LR) = 2

สมการเสนก ากบไฮเปอรโบลา

1. − 2

2

− 2

2 หรอ y – k = ±

(x - h)

2. − 2

2

− 2

2 หรอ x - h = ±

(y – k)

หมายเหต ไฮเปอรโบลามมฉาก คอไฮเปอรโบลาคอ a = b

ค าแนะน า ส าหรบโจทยบางประเภทไมเปนไป ตามสมการมาตรฐาน เชน วงรเอยง ซงไมตรงกบวงรรตาม

แกน x และแกน y เราจะตองสรางสมการเองโดยองจากสวนประกอบทโจทยก าหนดมาให โดยเราตอง

พจารณาตามนยามของแตละรป


ตวอยางท 1 จด A(-3,1) B(8,3) C(8,3) D(2,-3) เปนจดยอดของรปสเหลยม ABCD ขอใดตอไปน

ผด (PAT 1 ม.ค. 53)

1.ดาน AB ขนาดกบ BC

2.ผลบวกความยาวของดาน AB กบ DC เทากบ 10√2 หนวย

3.ระยะตงฉากจากจด A ไปยงเสนตรงทผานจด C และจด D เทากบ

หนวย

4.ระยะตงฉากจากจด B ไปยงเสนตรงทผานจด C และจด D เทากบ

หนวย

วธท า รางกราฟโดยคราวๆจะไดประมาณน

mAB =

−

− − = 1

mDC = − −

− = 1

ดงนนขอ 1 จงถก AB // DC

|AB| = √ = √ =

|DC| = √ =

|AB| +|DC| = + =

ดงนนขอ2 ถก

เสนตรงทผานจด C และจด D หาโดยใชจด C และความชน CDจะได y – 3 =1(x – 8)

x – y – 5 = 0

ระยะตงฉากจากจด A ไปยงเสนตรงทผาน CD − − − –

√ 2 − 2 =

− − − −

=

ดงนนขอ3 ถก

ระยะตงฉากจากจด A ไปยงเสนตรงทผาน CD − − –

√ 2 − 2 =

−

=

ดงนนขอ4 ผด

ตอบขอ 4


ตวอยางท 2 เสนตรงทผานจด (1,-3 ) จะตงฉากและตดกบเสนตรง x + 2y = 5

1. (3,1) 2. (-1,3) 3. (1,2) 4.(5,0)

วธท า สรางสมการเสนตรงทผานจด (1,-3 ) ซงมความชนคอ 2 เพราะตงฉากกบสมการทโจทย

ก าหนด (-

)

y + 3 = 2(x - 1)

2x – y – 5 =0

แลวแกสมการ 2 ตวแปร 2 สมการ

x + 2y = 5 ------------------- (1)

2x – y = 5 ----------------- (2)

(1)+ 2x(2) 5x = 15 x = 3

ดงนน y = 1

ดงนนจดตดคอ (3,1)

ตอบขอ 1

ตวอยางท 3 สมการของเสนตรงทอยหางจากจด A(-5,2), B(-1,4) เทากน

1. y + 2x = -3 2.2y – x = 9 3.2x+3y =6 4.2x + y = 3

วธท า วาดกราฟโดยคราวๆ

จดกงกลาง A กบ B

= (−

) = (-3,3)

ความชนของAB = −

− − =

ดงนนความชนของเสนตรงทตงฉากคอ -2

เราสามรถสรางสมการทแบงครงเสนตรงไดดงน

(y+3)=-2(x-3)

2x + y = -3

ตอบขอ 1


บทท 6 เมตรกซ

เมตรกซ คอกลมของจ านวนหรอสมาชกของจรงใดๆ เขยนเรยง

กนเปนรปสเหลยมผนผาหรอจตรส

พนฐานเมตรกซ

A + B และ A - B

kA เมตรกซคณดวยคาคงท (k)

A × B เมตรกซ คณดวยเมตรกซ

At การทรานสโพสเมตรกซ

det

det = 0 คอเมตรกซเอกฐาน

det ≠ 0 คอเมตรกซไมเอกฐาน

อนเวอรสเมตรกซ

ประยกตเมตรกซ

A-1 =

detA[Cij]

t

AA-1 = I โดยท I คอเมตรกซเอกลกษณ

เมตรกซขนบนได

เมตรกซกบสมการเชงเสน

เมตรกซประยกตเวกเตอร

วธการหา det


เมตรกซ คอกลมของจ านวนหรอสมาชกของจรงใดๆ เขยนเรยงกนเปนรปสเหลยมผนผา

หรอจตรส กลาวคอเรยงเปนแถวในแนวนอน และเรยงเปนแถวในแนวตง เรามกเขยนเมตรกซเปน

ตารางทไมมเสนแบงและเขยนวงเลบครอมตารางไว (ไมวาจะเปนวงเลบโคงหรอวงเลบเหลยม) เรา

เรยก m×nมต

[

]

การบวกลบ เมตรกซ

การด าเนนการบวก หรอ ลบ เมตรกซ ตองมมตเทากน

[

] + [

] = [

]

[

] – [

] = [

]

การทรานสโพส

คอเมตรกซทไดจากการสลบสมาชก จากแถวเปนหลก และจากหลกเปนแถว ของเมตรกซ

ตนแบบ เมตรกซสลบเปลยนของของเมตรกซ A ขนาด m×n คอ At ขนาด n×m

A = [

] At= [

]


การคณเมตรกซดวยคาคงท

ให A=[a]m x n และ k เปนจ านวนจรงใด ๆ จะไดวา KA=[ka]m x n

A = [

] 5A = [

]

การคณเมตรกซดวยเมตรกซ

ถา A และ B เปนเมตรกซ 2 เมตรกซใด ๆ การน าเมตรกซ A มาคณกบเมตรกซ B จะ

เกดผลขนอยางใดอยางหนงใน 2 อยางตอไปน

1. ไมสามารถหาผลคณได เนองจากปญหาเรองมต

2. สามารถหาผลคณได

ปญหาทเราจะตองทราบกคอ ถาหาผลคณไดตองมเงอนไขอยางไร และสมาชกของเมตรกซทเปน

ผลคณจะหามาไดอยางไร ใหดหลกการตอไปน

1. มตของเมตรกซทน ามาหาผลคณ

ถา A เปนเมตรกซ m × p

B เปนเมตรกซ q × n

เราจะคณเมตรกซไดเมอ p = q และ AB จะมมต m × n

2. ลกษณะสมาชกของเมตรกซทเปนผลคณ (ถาหาผลคณได)

หลกการหาสมาชกโดยทว ๆ ไป สามารถหาไดดงน

"สมาชกของผลคณของเมตรกซในแถวท i หลกท j จะเกดสมาชกในแถวท i ของเมตรกซทอย

หนา คณกบ สมาชกในหลกท j ของเมตรกซหลกเปนค ๆ แลวน ามาบวกกน"

A = *

+ B = *

+

AB = [

]

AB = *

+

☺ขอระวง AB ไมจ าเปนทตองเทากบ BA เพราะการคณเมตรกซดวยเมตรกซ ไมม

คณสมบตการสลบท ☺


ดเทอรมแนนต

คอฟงกชนหนงทใหผลลพธเปนสเกลาร ซงขนอยกบคาของ n ในมต n×n ของเมตรกซจตรส

แบบ 1 x 1

A = [a] detA =a

เเบบ 2 x 2

A = *

+ detA = ad - bc

แบบ 3 x 3

A = [

]

detA = [

]

aei + bfg + cdh – gec – hfa - idb

ตงแต 3 x 3

ใชแถว i

detA = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … ainCin

หรอ ใชหลก j

detA = a1jC1j + a2jC2j + … anjCnj

ไมเนอร

คอดเทอรมแนนตของเมตรกซทเกดจากการตด

แถวท i หลก ท j

โคแฟกเตอร

Cij = (-1)i+j • Mij(A)

ตวอยาง

A = [

] จงหา C23

C23 = (-1)2+3 |

|

= (-1)(2)

= -2


ประเภทของเมตรกซ

1. เมตรกซเอกฐาน (Singular Matrix) คอ เมตรซทม det = 0

ซงหาอนเวอรสไมได

2. เมตรกซไมเอกฐาน (Non Singular Matrix) คอเมตรซทม det ไมเทากบ 0 ซงหาอนเวอรสได

การด าเนนการทางแถว

1. สลบแถว ท าให det กลบเครองหมาย

2. น าคาคงทคณทงแถว ท าใหคา det ถกคณดวยคาคงท

3. น าคาคงทคณทงแถวไปด าเนนการบวกหรอลบกบอกแถวหนง det มคาเทาเดม

คณสมบตดเทอรมแนนต

detAB = detA × det B

detAm = (detA)m

detAt = detA

detkA = kn × detA n × n มต

Ex A = *

+ จงหา det 3At

เราสามารถใชคณสมบตของ ดเทอรมแนนตชวย

จะไดวา 32 det A

detA = 2

จงไดวา 9 x 2 = 18

อนเวอรสการคณ

อนเวอรสการคณของเมตรกซ A กคอ เมตรกซ ซง

เมอน ามาคณกบเมตรกซ A แลวจะไดผลลพธ

เทากบเมตรกซเอกลกษณ I และเราใชสญลกษณ

A-1 แทน อนเวอรสการคณของเมตรกซ นนคอ

AA-1 = I

เราสามารถหาอนเวอรสการคณของเมตรกซไดเมอ

เมตรกซเปนเมตรกซไมเอกฐาน (Non – Singular

Matrix) หรอคา det ไมเปน 0

การหาอนเวอรสจากการด าเนนการทางแถว

[A | I] ~ [I | A-1]

Ex A= [

] จงหา A-1

[

|

]

~ [

|

]

~ [

|

]

~ [

|

]

A-1 = [

]

R2-R3

R23

R1÷2


การหาอนเวอรสการคณ

1 × 1 มต

A = [a] A-1 =[

]

2 × 2 มต

A = *

+ A-1 =

*

+

ตงแต3 × 3 มต

A-1 =

[adjA] ; adjA { adjoint (เมตรกซ

ผกพน)} คอโคแฟเตอรทงหมดทรานสโพส

adjA = [Cij]t

Ex

A = [3] A-1 =[

]

B = *

+ B-1=

*

+

= [

]

C = [

] detC = 7

C-1=

[ |

| |

| |

|

|

| |

| |

|

|

| |

| |

| ]

=

[

]

=

[

]

=

[

]

คณสมบตทรานสโพสและอนเวอรส

คณสมบตทรานสโพส คณสมบตอนเวอรส

(At) t = A (A-1) -1 = A

(A×B) t= Bt × At (A×B) -1= B-1 × A-1

(A±B) t = At ± Bt (A±B) -1 กระจายอนเวอรสไมได

(kA) t = kAt (kA) -1 = k-1A-1

(An) t = (A t) n (An) -1 = (A -1) n

.


คณสมบตพเศษของ adjoint (เมตรกซผกพน)

adj(AB) = adj(A) × adj(B)

adj(kA) = kn-1 × adj(A) ; A มมต n×n ; k คอคาคงทซงเปนจ านวนจรง

A adj(A) = (adjA)A = (detA)I

det(adjA) = (detA)n-1 *** ออกขอสอบบอย ***

adj(At) = (adjA) t

adj(adjA) = (detA)n-2 A

ระบบสมการเชงเสน

Ex x + y = 4

x - y = 8

การแกปญหาสมการเชงเสนโดยเมตรกซซงเปนเมตรกซจตรส

1.แกโดยใชกฎคราเมอร

X1, = detA

detA X2 =

detA2

detA , … ,Xn =

detA

detA

วธคด

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

เราสามารถหา คา x , y ,z ไดจาก

x =

| 2 2 2

|

| 2 2 2

|

y=

| 2 2 2

|

| 2 2 2

|

z=

| 2 2 2

|

| 2 2 2

|

2.แกโดยใชอนเวอรสของเมตรกซ

X= A-1B

3.แกโดยใช การด าเนนการทางแถว

[A | B] ~ [I | X]

*

+ *𝑥𝑦+ = *

+

A X B


เมตรกซรปแบบขนบนได (Row echelon form matrix)

ทกแถวทประกอบดวย 0 ทงหมดจะอยแถวลางของเมตรกซ

โดยการพจารณาจากซายไปขวา สมาชกตวแรกทไมเปนศนยจะตองมคาเปน 1

ตวอยาง

*

+ *

+ *

+ [

] [

]

ประโยชนของเมตรกซขนบนได

คอ เอาน าไปแกสมการเชงเสน ซงเมอจากรปสมการเปนเมตรซแลวไมเปนเมตรซจตรส ซงสวน

ใหญจะสามารถหาคาตวแปรไดบางตว หรอหาคาไมไดเลย

[A | B] ~ [เมตรซขนบนได | X]


บทท 7 ฟงกชนเอกชโพเนนเชยลและลอการทม

การเพมขนหรอลดลงของสงตางๆ โดยทวไปจะเปนในรปแบบท

เปนแบบทวคณ ดงนนฟงกชนทเกยวของคอเอกชโพเนนเชยล

และลอการทมจงถกน าไปใชประโยชนในหลายๆดาน

เลขยกก าลง

xn คณสมบตของเลขยกก าลง

เครองหมายกรณฑ

ฟงกชนเอกชโพเนนเชยล

นยาม Expo = {(x,y) R x R+ | y =ax, a > 0 , a 1}

สมการฟงกชนเอกชโพเนนเชยล

อสมการฟงกชนเอกชโพเนนเชยล

ฟงกชนลอการทม

นยาม Log ={(x,y) R+ x R | y =logax โดยท a > 0 , a 1}

สมการฟงกชนลอการทม

อสมการฟงกชนลอการทม


เลขยกก าลง an = a × a × a × … × a (ทงหมด n ตว)

สตรเลขยกก าลง

1.

= am+n-p

a ไมเปน 0

2.(am)n = amn

3.,

-

4.a0=1

5.a-n

=

6.

=

ค าเตอน 00 ไมนยาม

การหาคารากท 2 ของจ านวนตด a+b±2√ab

(a+b)+2 = ( )2+2 +( )2

= ( + ) 2

รากทสองคอ ±( + )

แต √ = +

ดงนนรากท 2 คอ ±| + |

สมบตของเครองหมายกรณฑ

(

) = {

เมอ เปนจ านวนค

เมอ เปนจ านวนค

= ×

√

=

= (

)

×

=

ขอควรระวง เครองหมาย คอ ไมใช รากท 2 ของ a เพราะ รากท 2 ของ a จะมทงกรณฑท 2 ของ a

คาบวกและคาลบ แตภายในเครองหมายกรณฑ เมอถอดกรณฑท 2 แลวจะไดคาบวกเสมอ

จงหาคากรณฑท 2 ของ 4 จงหาคารากท 2 ของ 4

= 2 รากท 2 ของ 4 คอ 2 กบ – 2

เพราะ เมอน าทงสองคาไปยกก าลง 2 แลวจะมคา

เทากบ 4 ทงค


Expo = {(x,y) R x R+ | y =ax, a > 0 , a 1}

โดเมนเปนจ านวนจรง เรนจเปนจ านวนจรงบวก

a > 1 0 < a < 1

ฟงกชนเพม

ฟงกชนลด

หลกการแกโจทยเลขยกก าลง

1.จดฐานเทา

Ex จงหาคา y ของ 23y • 4 = 16y-3

วธท า 23y+2= 24(y-3)

3y+2= 4y-12

y = 14

2.จดเลขชเทา

Ex จงหาคา x ทท าให 21X-3 = 63x-9

วธท า 33x-9 = 63x-9

3x−9 = 0

3x = 9

x= 3

3.หากไมสามารถใชวธทง 2ได ให take log ทง 2

ขาง

Ex จงแก 2x=3x+1

วธท า x log 2 = (x+1) log 3

X log 2 = x log 3 + log 3

x (log 2 – log 3) = log3

x = g

g − g

Log = {(x,y) R+ x R | y =logax, a > 0 , a 1}

โดเมนเปนจ านวนจรงบวก เรนจเปนจ านวนจรง

a > 1 0 < a < 1

ฟงกชนเพม

ฟงกชนลด

สตร log พนฐาน

g

สตร log เพมเตมควรร

g g

Ex จงหา

ซงเกยวของกบ

6 log (x − 2y) = log x3 +log y3

วธท า (x − 2y)6 = x3 y3

(x − 2y)2= xy

x2 − 5xy + 4y2=0

(x − 4y)(x − y) = 0

= 4 หรอ 1


g = g

พสจน take log ฐาน x ทง 2 ขาง

จะไดวา g = g

จากกฎของ log จะกลาวไดวา

(logx b)(log x a) = (logx a)(logx b)

เนองจากการคณกนของจ านวนจรง มสมบตการสลบทการคณ

ลอการทมสามญ

ลอการรทมสามญ คอลอการรทมฐาน 10 ซงเราสามารถไมตองเขยนตวเลขฐานก ากบได

เชน log 2 =

ก าหนด A เปนจ านวนจรงบวกใดๆ สามารถเขยน A ในรปมาตรฐานคอ

A = N × 10n ; 1 ≤ N < 10

ดงนน log A = log N + log 10n

หรอเราสามารถเขยนในรป log A = log N + n

N คอคาแคแรกเทอรสตก (Characteristic) ของ log A แคแรกเทอรสตกเปนจ านวนเตมเทานน

log N คอคาแมนทสซา (Mantissa) ของ log A ซงคามากกวาหรอเทากบ 0 แตจะนอยกวา 1

เสมอ

ลอการทมธรรมชาต

ลอการทมธรรมชาต คอลอการรทมฐาน e (e มคาประมาณ 2.71828) เรานยมเขยนในรป

ln x = logex

แอนตลอการทม

แอนตลอการทมคอการด าเนนการทตรงขามกบการหาคาลอการทม โดยท log x = A กตอเมอ

antilog A = x

เชน log 5 = 0.699

5 = 100.699 ซงเราสามารถสรปได วา 5 เปน antilog 0.699

การแกโจทยเกยวกบ log และเลขยกก าลง


ตวอยางท 1 จงแกสมการ 6x+3(2)x −4 (3) x −12=0

วธท า ให เราน าเลขยกก าลงเปลยนเปนตวแปร A =2x และ B =3x

AB + 3A - 4B-12=0

A(B + 3) - 4(B + 3)=0

(A - 4)(B + 3)=0

A = 4 B = -3

2x = 4 หรอ 3x =-3 ใชไมได

x = 2

ตวอยางท 2 ผลบวกของสมการทงหมดของสมการ 3x+ 32−x = มคาเทากบเทาไร

(สามญ 7 วชา)

วธท า ก าหนดให 3x เปน A

จะไดวา A +

A =

น า A คณตลอด A2 + 9 = A

A2 − A + 9 =0

(A − )(A − ) = 0

A = ,

ดงนน 3x = และ 3x =

x =

,

ตอบ ผลบวกของค าตอบคอ 2

ตวอยางท 3 ก าหนดให A และ B เปนจ านวนเตมบวก ถา A log50 5 +Blog50 2 = 1 และ A + B

มคาเทากบเทาไรตอไปน (B - PAT)

1.2 2.3 3.4 4.5

วธท า log50 5A + log50 2

B = 1

log50 (5A 2B) = 1

5A 2B = 50

5A 2B = 52 21

A = 2 B =1

ตอบ A + B = 3 ตอบขอ 2


ตวอยางท 4 ก าหนดใหค าตอบ log2 log3 log5 (2x +3) = 0 คอ A

ก าหนดให log2 256 – A เปน B

จงหา 2A – 3B

วธท า พจารณา log2 log3 log5 (2x +3) = 0

จะไดวา log3 log5 (2x +3) = 20

log5 (2x +3) = 31

2x + 3 = 125

x = 61

พจารณา log2 256 – A = log2 256 – 61

= log2 28 – 61

= 8 – 61

= – 53

2A – 3B = 122 +159

= 281

ตอบ 281


การแกอสมการ Expo, log

วธท า จดฐานทง 2 ขางใหเทากน

ฐาน > 1 ใหใชเครองหมายเดม

0 < ฐาน <1 ใหเปลยนโดยการกลบเครองหมาย

Ex (

) 2

> (

)

วธท า (

) 2

> (

)

ปลดฐาน

x2 < 4

|x| <2

−2 < x <2

Ex log (5x-3) > log (4x+6)

วธท า ปลด log ฐานมากกวา 1 เครองหมายเดม

5x-3 > 4x+6

x > 9


บทท 8 ตรโกณมต

มมพนฐาน 30° 45° 60°

วงกลมหนงหนวย

สตรพนฐาน sin2θ + cos2 θ = 1

สตรมม 2 เทา

สตรมม 3 เทา

สตรมมครงเทา

สตรผลบวกลบ

สตรแปลงผลบวกลบเปนผลคณ แปลงผลคณเปนผลบวกลบ

สามเหลยมประยกต

sin2A = 2sinAcosA

cos2A = cos2A – sin2A = 2cos2A – 1 = 1- 2sin2A

tan2A = 𝑡𝑎𝑛𝐴

−𝑡𝑎𝑛2𝐴

sin A

= √

−c sθ

cos

A

=√

c sθ

tan

A

=√

−c sθ

c sθ

sin3A = 3sinA – 4sin3A

cos3A = 4cos3A – 3cosA

tan3A = 3 tanA – tan3 A

1–3tan2A

sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinB

cos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinB

tan(A±B) = t A±t B

∓𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐵

sinA + sinB = 2sin

sinA – sinB = 2cos

cosA + cosB = 2cos

cosA − cosB =

2sinAcosB = sin(A+B)+sin(A-B)

2cosAsinB = sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB = cos(A+B)+cos(A-B)

2sinAsinB = cos(A-B)-cos(A+B)

ตรโกณมตเปนการศกษาเกยวกบมมและ

สามเหลยมโดยเฉพาะ


ตรโกณมต (จากภาษากรก trigonon มม 3 มม และ metro การวด) เปนสาขาของ

คณตศาสตรทเกยวของกบมม, รปสามเหลยม และฟงกชนตรโกณมต เชน ไซน และ โคไซน ม

ความเกยวของกบเรขาคณต แมวาจะสรปไมไดอยางแนชดวา ตรโกณมตเปนหวขอยอยของ

เรขาคณต

ความรพนฐานสามเหลยมมมฉาก

คามมตรโกณมต

30° 45° 60°

sin

cos

tan

1

โคฟงกชนของตรโกณมต

cos เปนโคฟงกชนของ sin

cosec เปนโคฟงกชนของ sec

cot เปนโคฟงกชนของ tan

คณสมบตโคฟงกชน

sin(90° − A) = cos A

sec(90° − A) = cosec A

tan(90° − A) = cot A

วงกลมหนงหนวย มสมการ x2+y2=1

ขนาดของมมม 2ประเภท

1. หนวยองศา Ex 360°

มมขนาด 1 องศา คอ 1 ใน 360 สวนของ

มมรอบจด

มมขนาด 1 ลปดา ( 1 ) คอ 1 ใน 60 สวน

ของมม 1 องศา

มมขนาด 1 ฟลปดา (1 ) คอ 1 ใน 60 สวน

ของมม 1 ลปดา


2. หนวยเรเดยน Ex 2

ขนาดของ (หนวยเรเดยน) =

เครองหมายของฟงกชนตรโกณในแตละจตภาค

ค าอธบาย

จตภาค1 ทกฟงกชนมคาเปนบวก

จตภาค2 มเฉพาะฟงกชน sin และสวนกบ

เทานนทเปนบวก

จตภาค3 มเฉพาะฟงกชน tan และสวน

กบเทานนทเปนบวก

จตภาค4 มเฉพาะฟงกชน cos และสวน

กบเทานนทเปนบวก

การหาคามมตามแกน ในวงกลมหนงหนวย

fn (แกนแนวราบ ± A) = fn (A)

fn (แกนแนวดง ± A) = co fn (A)

fn คอฟงกชน เครองหมายดตามจตภาค(ควอดรนต)

Ex

sin(120°) = sin(180° − 60°)

= sin(60°) อยควอดรนต 2

sec(280°) = sec(270°+10°)

= sec(10°)


รปสามเหลยม ทชอบออกบอย

มมพนฐาน (ตองทราบ)

30° 45° 60°

sin

cos

tan

1

มมจาก วงกลม 1 หนวย (ตองทราบ)

sin(0° + n(360°)) = 0

cos(0° + n(360°)) = 1

sin(180° + n(360°)) = 0

cos(180° + n(360°)) = -1

sin(90° + n(360°)) = 1

cos(90° + n(360°)) = 0

sin(270° + n(360°)) = -1

cos(270° + n(360°)) = 0

เมอ n เปนจ านวนเตมใดๆ

มม 15° และมม 75° (ควรทราบ)

15° 75°

sin

cos

tan

มม 72° , 18° และมม 36° , 54° (ควรทราบ)

18° 72°

sin

√

cos √

tan

√

√

54° 36°

sin

√

cos √

tan

√

√


ตวอยางท 1 จงหาคา sin60° – cos30° + tan45°

วธท า

–

+ 1

= 1

ตอบ 1

ตวอยางท 2 จงหาคา A เมอ 0°< A < 90° และ 2 – 2sinA = 1

วธท า 2 – 2sinA = 1

2 – 1 = 2sinA

= sinA

ตอบ A = 30°

ตวอยางท 3 ก าหนด sin A =

จงหา 12sin30°(tanA)

วธท า จากคา sin จะได 132 = 52 + x2

x = 12

tan A =

6sin30°(tanA) = 6(

×

)

=

ตอบ

ขอควรร มมหนวยเรเดยน = 180°

= 90°

= 60°

= 45°

= 30°

13 5

x


สตรตรโกณมตพนฐาน

sin2 + cos2 =1

sec2 – tan2 =1

cosec2 – cot2 =1

สตรผลบวกและผลตางตรโกณมต

sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinB

cos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinB

tan(A±B) = t A±t B

∓

สตรมม 2 เทา สตรมม 3 เทา

sin2A = 2sinAcosA

= 2 tan A

1 + tan2A

cos2A = cos2A – sin2A

= 2cos2A - 1

=1 – 2sin2A

= 1 – tan2A

1 + tan2A

tan2A = 2 tan A

1 – tan2A

sin3A = 3sinA – 4sin3A

cos3A = 4cos3 A – 3cosA

tan3A = 3 tanA – tan3 A

1–3tan2A

cot3A = cot3A – 3cotA

3cot2A – 1

สตรมมครงเทา

sin A

= √

−c s

cos A

=√

c s

tan A

=√

−c s

c s

สตรแปลงผลบวกผลตางเปนผลคณ สตรแปลงผลคณเปนผลบวกผลตาง

sinA + sinB = 2sin(A+B) cos(A−B) 2 2

sinA – sinB = 2cos(A+B) sin(A−B)

2 2

cosA + cosB = 2cos(A+B) cos (A−B)

2 2

cosA - cosB = −2sin(A+B) sin(A−B)

2 2

2sinAcosB = sin(A + B) + sin(A – B)

2cosAsinB = sin(A + B) – sin(A – B)

2cosAcosB = cos(A + B) + cos(A – B)

2sinAsinB = cos(A – B) – cos(A + B)


ตวอยางท 4 ก าหนดให A และ B เปนมมแหลมถา sec A =

และ sec B =

จงหา cos(A+B)

วธท า sec คอสวนกลบของ cos จะได cosA =

cosB =

จะได cosAcosB sinAsinB = (

)(

) – (

)(

)

= −

= −

ตอบ −

ตวอยางท 5 จงหาคา cosec(75°) × tan(75°)

วธท า cosec(75°) × tan(75°) =

s ° ×

s °

c s °

=

c s °

cos 75° = cos(30° + 45°)

= cos30°cos45° sin30°sin45°

=

= −

c s ° =

−

ตอบ

−

5

4

3

15

17

8


สตรอนเวอรส

arcsin (-x) = −arcsin (x) arctan x + arctan y = arctan(

− ) ; xy < 1

arctan(-x) = −arctan(x) arctan x + arctan y = arctan(

− ) ; xy > 1

arcos (-x) = π – arcos(x) arctan x - arctan y = arctan( −

)

การประยกตสามเหลยม

เมอ ABC เปนสามเหลยมใดๆ

กฎของไซต

=

=

= 2R, R คอ รศมของวงกลมแนบในสามเหลยม

กฎของโคไซน

1. a2 = b2 +c2 - 2bc cos A

2. b2 = a2 + c2 - 2ac cos B

3. c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

และ cos A = 2− 2 c2

c

การหาพนทสามเหลยม

ab sinC =

bc sinA =

ac sinB

A B

C

a b

c


กราฟ cosec

กราฟ sec


กราฟ cot

กราฟของฟงกชนตรโกณมตในวงกลม 1 หนวย

กราฟ sin

โดเมนของฟงกชน [−

,

]

เรนจของฟงกชน [-1,1]

กราฟ arcsin

โดเมนของฟงกชน[− 1 ,1]

เรนจของฟงกชน[−

,

]

กราฟ cos

โดเมนของฟงกชน [0, ]

เรนจของฟงกชน [-1,-1]

กราฟ arccos

โดเมนของฟงกชน[-1,-1]

เรนจของฟงกชน [0, ]


กราฟ tan

โดเมนของฟงกชน (−

,

)

เรนจของฟงกชน R

กราฟ arctan

โดเมนของฟงกชน R

เรนจของฟงกชน (−

,

)

กราฟ cosec

โดเมนของฟงกชน [−

,

] – {0}

เรนจของฟงกชน R – {-1,1}

กราฟ arccosec

โดเมนของฟงกชน R – {-1,1}

เรนจของฟงกชน [−

,

] – {0}

กราฟ sec

โดเมนของฟงกชน [0, ] – {

}

เรนจของฟงกชน R – {-1,1}

กราฟ arcsec

โดเมนของฟงกชน R – {-1,1}

เรนจของฟงกชน [0, ] – {

}


กราฟ cot

โดเมนของฟงกชน (0, )

เรนจของฟงกชน R

กราฟ arccot

โดเมนของฟงกชน R

เรนจของฟงกชน (0, )

Math Kit Ebook ห น า 92

บทท 9 เวกเตอร

เวกเตอรเปนจ านวนทมทงขนาด และ ทศทาง เวกเตอรม

การใชกนในหลายสาขาทงฟสกส และวศวกรรมศาสตร

เวกเตอรรปภาพ

เวกเตอรในพกดฉาก

ประยกตเวกเตอร

การเทากนของเวกเตอร

การขนานกนของเวกเตอร

นเสธของเวกเตอร

การบวกลบเวกเตอร

การคณเวกเตอร

ขนาดของเวกเตอร

เวกเตอรในระบบสองมต

เวกเตอรในระบบสามมต

การคณเวกเตอร

ผลคณเชงสเกลาร

ผลคณเชงเวกเตอร

พนทสเหลยมดานขนาน |u × v |

ปรมาตรของทรงสเหลยมดานขนาน |u ⋅ (v × r )|


เวกเตอร (vector) ในทางคณตศาสตร ซงมลกษณะแตกตางกบ สเกลาร(scalar) ซง

เวกเตอรเปนจ านวนทมทงขนาด และ ทศทาง เวกเตอรมการใชกนในหลายสาขา

นอกเหนอจากทางคณตศาสตร โดยเฉพาะในทางวทยาศาสตรฟสกส และวศวกรรมศาสตร

เวกเตอรในเรขาคณต เราใชเสนตรงทระบทศทาง แทนเวกเตอร โดยความยาวของ

เสนตรง แทนขนาดของเวกเตอรและหวลกศรบอกทศทางของเวกเตอร แทนขนาดของ

เวกเตอรและหวลกศรบอกทศทางของเวกเตอร

จากรป A เปนจดเรมตน (initial point)

B เปนจดสนสด (terminal point)

แสดงเวกเตอร AB เขยนแทนดวย

ความยาวของเสนตรง AB เปนขนาดของ

เวกเตอร เขยนดวย | |

ในบางครงเราสามารถกลาวถงเวกเตอรโดยไม

จ าเปนตองระบจดเรมตนและจดสนสด

เชน

การขนานกนของเวกเตอร

และ จะขนานกนกตอเมอเวกเตอรทงสองมทศทางเดยวกน หรอมทศทางตรงขามกน

จากตวอยาง และ มขนาดเทากนและมทศทางเดยวกน

การเทากนของเวกเตอรและนเสธของเวกเตอร

และ จะเทากนกตอเมอเวกเตอรทงสองมทศทางและขนาดเดยวกนเขยนแทนดวย =

A

B

𝑢 𝑣

𝑢 𝑣

A

B D

C


นเสธของเวกเตอร

นเสธ ของ (negative of ) คอเวกเตอรทมขนาดทมขนาดเทากบขนาดของ แตมทศทางตรง

ขามกบทศทางของ เขยนแทนดวย

จากตวอยางเวกเตอร มขนาดเทากนกบเวกเตอร แตมทศทาง

ตรงกนขามดงน เปนนเสธของเวกเตอร

การก าหนดทศทางของเวกเตอรในระบบ 3 ตว

ในการก าหนดทศทางของเวกเตอร สามารถก าหนดโดยใชทศเหนอเปนหลก และก าหนด

ทศทางของเวกเตอร เปนมม ทวดจากทางทศเหนอ ในทศทวนเขมนาฬกา โดย ขนาด มมจะอย

ระหวาง 0 ถง 360

การบวกลบเวกเตอร

เมอ และ เปนเวกเตอรใดๆ เลอน ใหจดเรมตนของ อยทจดสนสดของ ผลบวกของ

และ เขยนแทนดวย “ + ” คอเวกเตอรทมจดเรมตนของ และจดสนสดของ

เวกเตอรศนย (zero vector) เปนเวกเตอรทมขนาดเปนศนย เขยนแทนดวย

ขอสงเกต

1.กรณของเวกเตอรศนย ไมจ าเปนตองกลาวถงทศทางของเวกเตอร แตถาตองการกลาวถงม

ขอตกลงวาจะระบทศทางของเวกเตอรศนยเปนเชนใดกได

2.เมอเขยนรปเรขาคณตแทนเวกเตอรศนย จดเรมตนและจดสนสดของเวกเตอรเปนจด

เดยวกน

𝑢 𝑣


= + + = =

เมอ และ เปนเวกเตอรใดๆ ผลลบของ และ เขยนแทนดวย - หมายถง

ผลบวก และนเสธของ คอ - = + ( )

การคณเวกเตอรดวยสเกลาร

นยามเมอ a เปนสเกลาร เปนเวกเตอร ผลคณของเวกเตอร u ดวย สเกลาร a เปนเวกเตอร

เขยนแทนดวย a โดยถา a เปนบวก

ถา a เปนบวก จะมทศทางเดยวกน

ถา a เปน ลบจะมทศทางตรงกนขาม

ถา a = 0 แลว a =

ตวอยาง

P

ค าอธบายจากรป

v = - u

a = 1

2u

b = 3

2u


คณสมบตการบวกของเวกเตอร

คณสมบตปด

คณสมบตเปลยนกลมได

คณสมบ ตการมเอกลกษณ

คณสมบตการมอนเวอรส

คณสมบตการสลบท

คณสมบตการคณเวกเตอรดวยสเกลาร

เมอ และ ไมเทากบ 0 ถา = m( )

ถา m เปนบวก จะมทศทางเดยวกน

ถา m เปน ลบจะมทศทางตรงกนขาม

เวกเตอรในระบบพกดฉาก

เวกเตอรในระบบพกดฉากสองมต

เราสามารถเขยนเวกเตอร a ใดๆในรปเวกเตอร

และ ไดเสมอเมอ

เปนเวกเตอร 1 หนวยและมทศทางไปทางแกน x

ทางบวก

เปนเวกเตอร 1 หนวยและมทศทางไปทางแกน y

ทางบวก

เวกเตอรในระบบพกดฉากสามมต

เราสามารถเขยนเวกเตอร a ใดๆในรปเวกเตอร ,

และ ไดเสมอเมอ

เปนเวกเตอร 1 หนวยและมทศทางไปทางแกน x

ทางบวก

เปนเวกเตอร 1 หนวยและมทศทางไปทางแกน y

ทางบวก

เปนเวกเตอร 1 หนวยและมทศทางไปทางแกน z

ทางบวก

ให a1 + a2 สามารถเขยนใหอย ในรปของ

เมตรกซได ⌈ 1

⌉

ขนาด |a | = √ 12 2

2

ความชน m = tan =

a = * 2

2

1

1+

ขนาด |a | = √ 12 2

2 32

โคไซนแสดงทศทางของ a คอ

,

,

หรอ cos , cos , cos

cos2 + cos2 + cos2 =1

(a1,a2,a3)


ค าแนะน า

1. เวกเตอรทมจดเรมตนท A(x1,y1,z1) และจดสนสดท B(x2,y2,z2)

คอ [ 2 1

2 1

2 1]

2. เวกเตอร 1 หนงในทศทางเดยวกน a แทนดวย = 1

a a

เวกเตอร 2 เวกเตอรจะม

ทศทางเดยวกน ทศทางตรงขามกน

มโคไซนแสดงทศทางชดเดยวกน โคไซนแสดงทศทางกบแตละแกนของเวกเตอร จะ

เปนจ านวนทมคาตรงขามกนกบโคไซนแสดงทศทาง

ของอกเวกเตอรหนง

คณสมบตของเวกเตอรในระบบพกดฉาก

นยาม เวกเตอรในระบบพกดฉากสองมต เวกเตอรในระบบพกดฉากสามมต

การเทากน * + = *

+

กตอเมอ a = c และ b = d 0 1 [

]

กตอเมอ a = d และ b = e

c = f

การบวกเวกเตอร * + + *

+ = *

+

0 1 [

] [

]

การลบเวกเตอร * + - *

+ = *

+ 0 1 [

] [

]

เวกเตอรศนย เวกเตอรศนย คอ * +

เวกเตอรศนย คอ[ ]

การคณเวกเตอรดวย

สเกลาร

k* + = *

+

เมอ k เปนจ านวนจรงใดๆ k0

1 = [

]

เมอ k เปนจ านวนจรงใดๆ


ผลคณระหวางเวกเตอร

ผลคณเชงสเกลาร (Dot Product)

ผลคณเชงสเกลารสองมต

⋅ = a1b1+a2b2

= | || |cos ;

ผลคณเชงสเกลารสามมต

⋅ = a1b1+a2b2+a3b3

= | || |cos ;

ตวอยาง ก าหนดให =2 + 3 และ = -3 + 4

วธท า u ⋅ v = (2 • (-3 )) + (3 • 4 )

= -6 + 12

= 6

ผลคณเชงเวกเตอร(Cross Product)

ผลคณเชงเวกเตอรสามมต

ก าหนด u [

1

1

1] v [

2

2

2]

u × v = |

|

=| || |sin


คณสมบตผลคณระหวางเวกเตอร

ผลคณเชงสเกลาร ผลคณเชงเวกเตอร

u ⋅ v = v ⋅ u u × v = v × u

u ⋅ v w =u ⋅ v u ⋅ w u × v w = u × v u × w

u ⋅ v = u ⋅ v

= u ⋅ v )

u × v = u × v

= u × v )

u ⋅ u = u 2 u × u = 0

u ⋅ = 0 u × =

ถา u และ v ไมเทากบ 0 แลว

u ⋅ v > 0 กตอเมอ เปนมมแหลม

u ⋅ v = 0 กตอเมอ =90 และ u v ตงฉากกน

u ⋅ v < 0 กตอเมอ เปนมมปาน

ถา u และ v ไมเทากบ 0 แลว u × v = แลว

u v

|u v |2 = |u |2 + |v |2 + 2|u |⋅|v |cos

|u v |2 = |u |2 + |v |2 - 2|u |⋅|v |cos

|u v |2 - |u v |2 = 4(|u ⋅ v |)

|u v |2 + |u v |2 =2(|u |2 + |v |2)

u ⋅ u × v = 0

|u × v |2 = |u |2 + |v |2 – (u ⋅ v ) 2


การประยกตเวกเตอร

1.พนทสเหลยมดานขนาน (ตองทราบ)

พนท = ฐาน × สง

= |u × v |

= | || |sin

2.ปรมาตรของทรงสเหลยมดานขนาน (ตองทราบ)

ปรมาตร = พนทฐาน × สง

= |u ||v × r |cos

= |u ⋅ (v × r )|

3.โปรเจคชนของเวกเตอร (นอกหลกสตร แตควรทราบ)

Proj v u = av เนองจาก v ตงฉาก u -av

Proj v u = u ⋅ v

v v

มาจาก v ⋅ u av = 0

v ⋅ u av ⋅ v = 0

v ⋅ u = a v 2

a = u ⋅ v

v

Proj u v = u ⋅ v

u u

4.พนทรปสามเหลยม (นอกหลกสตร แตควรทราบ) 1

2 × |u |⋅|v |⋅sin

= 1

2 × ฐาน × สง


บทท 10 จ านวนเชงซอน

สมการบางสมการไมมค าตอบเปนจ านวนจรงจงมการก าหนด

จ านวนจนตภาพขนเพอใชในการหาค าตอบของสมการทมค าตอบ

ไมใชจ านวนจรง จ านวนจนตภาพ กบจ านวนจรงประกอบกน

เรยกวาจ านวนเชงซอน

พนฐาน

สงยคของจ านวนเชงซอน

กราฟของจ านวนเชงซอน

พกดเชงขว

คา i

คาสมบรณของจ านวนเชงซอน

สมบตของจ านวนเชงซอน

อนเวอรสของจ านวนเชงซอน

รากท n

การแกปญหาสมการดวยจ านวนเชงซอน


ระบบจ านวนเชงซอน (Complex Numbers)

เนองจากสมการพหนามจ านวนมากไมมค าตอบตวอยางเชน x2+1=0 ไมมจ านวนจรงใด

เปนค าตอบของสมการ จงมการก าหนดจ านวนชนดหนงขนมาเพอใหงายตอการใชงานจ านวนชนด

หนงซงไมใชจ านวนจรงเรยกวา จ านวนเชงซอน เพอหาคาของสมการทไมมค าตอบในจ านวนจรง

ส าหรบจ านวนเชงซอน เมอ a และ b เปนจ านวนจรง

เรยก a วาสวนจรง (Real part) ของ z เขยนแทนดวย Re(z)

เรยก b วาสวนจนตภาพ (Imaginary part) ของ z เขยนแทนดวย Im(z)

จ านวนจนตภาพ

คอ จ านวนทไมใชจ านวนจรง เขยนในรป √จ านวนลบ

โดยนยมเขยนในรปของตว

Ex

1. √

2. √ √ √

จ านวนจรงคอจ านวนเชงซอนทมหนวยจนตภาพเปน

ศนย และจ านวนเชงซอนทไมมสวนจรงหรอสวนจรง

เปนศนย เรยกวา

จ านวนจนตภาพแท (Purely imaginary number)

Ex

1.

2. √ √

คาของ

เมอ : สามารถหาคาของ ไดดงน

1. ถา

4 เหลอเศษ คาของ

2. ถา


3. ถา


4. ถา


Ex

1. 8 (8

4 เหลอเศษ )

2. 13 13

4 เหลอเศษ

ขอควรร i2 = −1 i3 =−i i4 = 1 i5 = i i6 = −1 i7 = −i i8 = 1

จ านวนเชงซอน

z = (a,b) = a + bi a คอสวนจรง Re(z) b คอสวนจนตภาพ Im(z)

แกนจรง

แกนจนตภาพ

b

a


ตวอยาง

เราสามารถเขยนไดวา 4 + 2i เราสามารถเขยนไดวา 5 − i

สมบตของจ านวนเชงซอน

ให 1 และ 2 c d

1. 1 1 เมอ และ

2. 1 2 i

3. 1 2 i

4. 1

5. 1 2 หรอ (a+bi)(c+di) แลวคณเหมอนจ านวนจรง

6.

=

:

: ×

;

;

ตวอยางท 1 ก าหนด z1= 4 – 6i z2= -3 + 2i จงหาคา 3(z1 + z2)

วธท า z1 + z2 = (4 - 3) + (-6+2)i

= 1 – 4i

3(z1 + z2) = 3 – 12i

ตอบ 3 – 12i


ตวอยางท 2 ก าหนดให 4 + 3i =(3a+b) + (a+2b)i โดยท a และ b เปนจ านวนจรง จงหาคา a+b

วธท า จากโจทย 3a + b = 4 --------- (1)

a + 2b = 3 --------- (2)

(1) x 2 6a + 2b = 8 --------- (3)

(3) – (2) 5a = 5

a = 1

แทน a ลงในสมการ (2) 1 + 2b = 3

2b = 2

B = 1

ดงนน a+b = 2

ตวอยางท 3 จงหาคาของ 2:5

2;3

วธท า 2:5

2;3 2:3

2:3

2:5 2:3

4;9

4:6 :1 :15

4:9

14:21

13


ตวอยางท 4 ก าหนดให x และ y เปนจ านวนจรงซงสอดคลองกบสมการ :11

:3 = 1 – 4i จงหาคาของ

y – x

วธท า y + 11i = (1 - 4i)(x+3i)

= x + 3i – 4xi –12i2

ดงนน y + 11i = (x + 12) + (3 - 4x)i

11 = 3 - 4x

4x = -8

x = -2

y = (x + 12)

= (-2+12)

= 10

y – x = 10 – (-2)

= 12

ตอบ 12

สงยคของจ านวนเชงซอน (Conjugate)

ให คอนจเกตของ คอ โดยท

1.

2. 2 2

3. 1 2 1 2

4. 1 2 1 2

5. (

)

6.

7.

ขอควรร การหารจ านวนเชงซอนท าไดโดยการท าใหอยในรปของเศษสวนแลวน าสงยกตของจ านวนนนๆไป

คณทงเศษและสวน


คาสมบรณของจ านวนเชงซอน

ถา คาสมบรณของ คอ โดยท √ 2 2

1. √ 2 2

2. 2 2 2

3. 1 2 1 2

4.

5. |

|

เมอ 2

6. 1 2 1 2

7. 1 2 1 2

รากทสองของจ านวนเชงซอน

ให และ √ 2 2

รากทสองของ .√ :

2 √

;

2/ เมอ หรอ .√

:

2 √

;

2/ เมอ

อนเวอรสการคณของจ านวนเชงซอน

ถา แลว อนเวอรสการคณของ หรอ ;1 1

ดงนน ;1 ;

:

ตวอยางท 5 จงหาคาของ |(5 - 4i)(5 + 12i)(-3i)|

วธท า |(5 - 4i)|(5 + 12i)|(-3i)| = √ 2 2√ 2 2√ 2

= √ (13)(3)

= 39√

ตอบ 39√


ตวอยางท 6 ก าหนดให z เปนจ านวนเชงซอน ซง |(7-24i)(3+4i)z6| = 1 แลว z มคาเทาใด (Ent 42)

วธท า |(7 - 24i)||(3 + 4i)||z6| = 1

√ 2 2√ 2 2|z6| = 1

(25)(5)|z6| = 1

|z6| = 1

125

z = |z2|

|z2| = 1

5

ตอบ 1

5

กราฟของจ านวนเชงซอน

ส าหรบจ านวนเชงซอน ใชจดในระนาบเปนตวแทนของจ านวนเชงซอน ซงระนาบดงกลาวประกอบดวย

แกนจรง(X)และแกนจนตภาพ(Y) ถา จะมความหมายดงน

เรยก วา อารกวเมนตของ

จากรป จะพบวา a

c

c

แลว

c

เรยกรปแบบนวา จ านวนเชงซอนในรปของพกดเชงขว (Polar Co-Ordinate System)

สามารถเขยน a b r c เปน a b r c


การด าเนนการของจ านวนเชงซอนในรปของพกดเชงขว

z1=r1cis 1 z2=r2cis 2

z1 × z2 = r1 × r2 cis ( 1+ 2)

z1 ÷ z2 = r1 ÷ r2 cis ( 1- 2)

z1n = (r1)

n cis ( 1)

z1 = r1cis - 1

ทฤษฎบทของเดอมวร

ถา c

c

ตวอยางท 7 จงหาคาของ [3(cos35 +i sin35 )][5(cos55 +I sin55 )]

วธท า [3cis35 ][5cis55 ] = [3×5 cis (35 +45 )

= 15 cis (90 )

= 15(cos90 + i sin 90 )

= 15 (0 + 1i)

= 15i

ตอบ 15i

การแกสมการทมผลลพธเปนจ านวนเชงซอน

1. ถาสมการอยในรป

จดรปแลวใช เทยบสตร ; √ ;4

2

2. ถาสมการอยในรป เมอ

ใชสตร ; √ ;4

2

3. ถาสมการมเลขชก าลงสงสดเกน 2 ขนไป

ใหใชวธแยกตวประกอบโดยอาจใชวธเศษเหลอ ท าใหอยในรปแบบทสองแลวใชสตร


รากท n ของจ านวนเชงซอน

ถา แลว รากท ของ จะมทงหมด รากทแตกตางกน คอ

√

[ (

)]

เมอ

ขอควรรเกยวกบสมการพหนาม

axn + bxn-1 +cxn-2 + … + s = 0

ผลบวกของค าตอบทงหมดคอ –

ผลคณค าตอบทงหมดคอ (-1)n

ตวอยางท 8 จงหารากท 2 ของ z เมอ z = 3 + 4i

วธท า หา |z| = √ 2 2

= 5

รากท 2 ของ z คอ .√

√

/

.√

√

/

= (2 + i)


บทท 11 ความนาจะเปน

กฎการนบ

หลการบวก ใชเมองานยงไมเสรจ

หลกการคณ ใชเมองานเสรจ

รปแบบวธการนบยอดนยม

ของตาง ของเหมอน ของซ า

ตวอยาง ABCDE AAAAA MMCAI

การเรยงสบเปลยน

(สนใจต าแหนงทได)

n!

5! = 120 วธ

1 วธ n! หารดวยของท

ซ า 5

2

การเลอก

(ไมสนใจต าแหนงทได)

ใช nCr 1 วธ ใชกฎการนบ

การแบง จ านวนของ

ทงหมดหาร

ดวยกลมทแบง

ใชกฎ Star and

Bar

ใชกฎการนบ

ความนาจะเปน

ความนาจะเปน เครองมอในการชวยตดสนใจและบอกถงความ

เปนไปไดของสงตางๆ เปนอกวชาหนงทมความส าคญทงทางดาน

ธรกจ ดานสถต ดานวศวกรรมศาสตร


กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

ปญหาเกยวกบการนบเปนปญหาหนงทมกจะพบอยเสมอ หลกการนบม 2 ประการ ดงน

1.หลกการบวก ใชเมอการท างานนนยงไมเสรจ เชนใชในรวมกนของกรณตางๆ

2.หลกการคณ ใชเมอการท างานนนเสรจสมบรณแลว

หลกการบวก

ถาการท างานหนงมวธการท า k วธ คอ วธท 1 ถงวธท k โดยท

การท างานวธท 1 มวธท า 1 วธ

การท างานวธท 2 มวธท า 2 วธ

การท างานวธท k มวธท า วธ

และวธการท างานแตละวธแตกตางกน แลวจ านวนวธท างานนเทากบ 1 + 2 +...+ วธ

ตวอยาง มชดท างาน 2 ชด มถงเทา 3 แบบ จะเลอกวธการแตงตวโดยไมซ ากนเลย

วธท า ชดท างานแบบท 1 สามารถใชถงเทาได 3 แบบ 3 วธ

ชดท างานแบบท 2 สามารถใชถงเทาได 3 แบบ 3 วธ

ดงนน วธการแตงตวโดยไมซ ากนเลยมทงหมด 3 + 3 = 6 วธ


ตวอยาง นกเรยน 3 คน ตองการเขาและออกหองๆหนง ซงมประต 3 บาน โดยนกเรยนคนท 1

เขาและออกโดยใชประตบานเดยวกน นกเรยนคนท 2 เขาและออกโดยไมใชประตบานเดม และ

นกเรยนคนท 3 เขาและออกประตบานใดกได จงหาจ านวนวธทนกเรยนทงสามคนเขาและออก

หองน

วธท า นกเรยนคนท 1 มวธเขาและออกได 3 วธ

นกเรยนคนท 2 มวธเขาและออกได 6 วธ

นกเรยนคนท 3 มวธเขาและออกได 9 วธ

ดงนน วธทนกเรยนทงสามคนเขาและออกหองนมทงหมด 3+6+9=18

หลกการคณ

ถาการท างานอยางหนงประกอบดวยการท างาน k ขนตอน คอ ขนตอนท 1 ถงขนตอนท k

ตามล าดบ โดยท

การท างานขนตอนท 1 มวธท า 1 วธ

การท างานขนตอนท 2 มวธท า 2 วธ

การท างานขนตอนท k มวธท า วธ

และวธการท างานแตละวธแตกตางกน แลวจ านวนวธท างานนเทากบ 1 2 ... วธ

ตวอยาง 1 บรษทผลตเสอผาส าเรจรปแหงหนงผลตเสอ 6 แบบ กางเกง 5 แบบ และเนคไท 4

แบบ ถาจะจดแตงตวใหกบหนเพอน าไปโชวหนาราน จะสามารถแตงเปนชดตางๆกนไดกชด

วธท า ในการแตงตวใหกบหนม 3 ขนตอน คอ

ขนตอนท 1 เลอกเสอได 6 วธ

ขนตอนท 2 เลอกกางเกงได 5 วธ

ขนตอนท 3 เลอกเนคไทได 4 วธ

ดงนน วธแตงตวใหกบหนท าไดทงหมด 6 x 5 x 4 = 120


ตวอยาง 2 ในคณะกรรมการนกเรยนจ านวน 10 คน จะมวธเลอกประธาน รองประธานและ

เลขานการ ไดกวธ ถาคณะกรรมการคนหนงไมสมครจะเปนประธาน (Ent มนาคม 48)

วธท า 1.ในต าแหนงประธาน มโอกาสเกดไดทงหมด 9 วธ (เนองจากมคณะกรรมการคนหนงไม

สมครจะเปนประธาน)

2.ในต าแหนงรองประธาน มโอกาสเกดได 9 วธ (10คน ไปอยประธานแลว 1 คน)

3.ในต าแหนงเลขานการ มโอกาสเกดได 8 วธ

ดงนน วธเลอกประธาน รองประธานและเลขานการไดทงหมด 9 x 9 x 8 = 684 วธ


ตวอยางท 3 ในการสรางรหส (Code) ก าหนดใหใชอกขระ 3 ตวทไมซ ากน โดยตงมตวอกษร

ภาษาองกฤษ (A-F อยางนอย 1 ตว และมตวเลข 0 – 9) อยางนอยหนงตวจ านวนหารทสรางได

โดยไมซ าแบบเทากบขอใดตอไปน (B-PAT ตลาคม 51)

ก.1,260 ข.2,520 ค.5,040 ง.3,780

วธท า ใหแยกกรณ จากโจทยเราสามารถไดทงหมด 5 กรณ

กรณ 1 มอกษร 1 ตว เกดได 6 วธ

มตวเลข 2 ตว สองต าแหนงต าแหนง

หนงสามารถเกดได 10 วธ

6 x 10 x 10

ตวอกษร ตวเลข ตวเลข

ดงนน กรณท 1 มโอกาสเกด 600 วธ

กรณ 2 มอกษร 2 ตว สองต าแหนงต าแหนง


มตวเลข 1 ตว เกดได 10 วธ

6 x 6 x 10

ตวอกษร ตวอกษร ตวเลข


กรณ 3 มอกษร 1 ตว เกดได 6 วธ

มตวเลข 2 ตว สองต าแหนงต าแหนง


10 x 6 x 10

ตวเลข ตวอกษร ตวเลข


กรณ 4มอกษร 2 ตว สองต าแหนงต าแหนงหนง

สามารถเกดได 6 วธ

มตวเลข 1 ตว เกดได 10 วธ

10 x 6 x 6

ตวเลข ตวอกษร ตวอกษร


กรณ 5 มอกษร 1 ตว เกดได 6 กรณ

มตวเลข 2 ตว สองต าแหนงต าแหนงหนงสามารถเกดได 10 วธ

10 x 10 x 6

ตวเลข ตวเลข ตวอกษร


ดงนน เราสามารถสรางรหสไดทงหมด 600+600+600+360+360 = 2,520 วธ

ตอบขอ ข.


แฟคทอเรยล

คอจ านวนเตมบวก n ใดๆ แฟคทอเรยล n เขยนแทนดวย n! หมายถงผลคณจ านวนเตม

บวกตงแต 1 ถง n n! = n(n-1)(n-2)…(3)(2)(1)

ขอควรระวง 0! = 1 1! = 1

ขอควรร 4! = 24 5! = 120 6! = 720 7! = 5,040

รปแบบวธการนบ

ของตาง ของเหมอน ของซ า

ตวอยาง ABCDE AAAAA MMCAI

การเรยงสบเปลยน

(สนใจต าแหนงทได)

n!

5! = 120 วธ

1 วธ n! หารดวยของทซ า 5

2

การเลอก

(ไมสนใจต าแหนงทได)

ใช nCr 1 วธ ใชกฎการนบ

การแบง จ านวนของทงหมด

หารดวยกลมทแบง

ใชกฎ Star and Bar ใชกฎการนบ

วธเรยงสบเปลยน (Permutation)

เปนการจดเรยงสงของโดยค านงถงต าแหนงของสงของแตละสงเปนส าคญ

นยาม ถา n เปนจ านวนเตมบวก แฟกทอเรยล n คอ ผลคณของจ านวนเตมบวกตงแต 1 ถง n

และเขยนแทนดวย n! เชน 5x4x3x2x1 = 5! เปนตน

วธเรยงสบเปลยนเชงเสน

เปนการจดเรยงสงของในแนวเสนตรง แบงออกได 2 แบบ ดงน

1.กฎการนบ เหมาะส าหรบท าโจทยในระดบสง โจทยทมการประยกต ไมสามารถคดดวยสตร

2.ใชสตรส าหรบการเรยงสบเปลยน เหมาะส าหรบโจทยทไมมการประยกต

1.เรยงของแตกตางกนหมด

มของ n ชนน ามาเรยงเปนจ านวน r ชน

nPr = Pn,r =

;

Ex มนกเรยน 10 คน น ามาเรยงเปนแถวเพยง 7 คน

Pn,r = 1

1 ;7 =

1

3

= 60480 วธ


2.เรยงของซ า

มของ n ชนน ามาเรยงเปนเสนตรง โดยมของซ า

กลม n1 n2 n3 … nk

nPr = Pn,r =

Ex หนงสอสงคมเหมอนกน 3 เลม หนงสอ

คณตศาสตรเหมอนกน 2 เลม น ามาเรยงบนชน

Pn,r = 5

3 2

= 10 วธ

ตวอยางท 1 ชาย 4 คน หญง 2 คน เขาแถวตรงโดยทไมมผหญงยนตดกนเลย จะไดทงหมดกวธ

วเคราะห ผชายสามารถสลบกนเองได 4! วธ

4 3 2 1

จบผหญงแทรกระหวางผชายเพอไมใหผหญงยนตดกน ได ผหญงคนแรก ยนได 5 ต าแหนงผหญง

คนทสอง ยนได 4 ต าแหนง

ดงนน 24 x (5x4) = 480 วธ

ตวอยางท 2 จงหาจ านวนวธทจะแจกหนงสอเลขซงเหมอนกน 2 เลม หนงสอองกฤษทเหมอนกน

3 เลม และหนงสอวทยาศาสตรทตางกน 2 เลม ใหนกเรยนคนละเลมจะแจกไดกวธ

วธท า หนงสอมทงหมด 7 เลม เรยงสบเปลยนได 7! แตเนองจากมหนงสอเลขเหมอนกน 2 เลม

และหนงสอภาษาองกฤษเหมอน 3 เลม ถาหนงสอภายในสองกองน สลบกนเองท าใหเกด

เหตการณซ า ดงนน เราตองหารดวย 2! และ 3!

ดงนน ตอบ 420 วธ


ตวอยางท 3 จงหาจ านวนวธเดนทางจาก A ไป D ท ผานจด C โดยทางทศเหนอและตะวนออก

เทานน

วธท า ใหใชวธคดแบบของซ า

จากโจทย เราตองแบงเปน 2 ชวง คอ ชวง A ไป C และ C ไป D

ชวง A ไป C ตองขนทางทศเหนอ 2 ครง

ตองไปทางตะวนออก 4 ครง

รวมตองเดนทงหมด 6 ครง

ชวง C ไป D ตองขนทางทศเหนอ 2 ครง

ตองไปทางตะวนออก 2 ครง

รวมตองเดนทงหมด 4 ครง

6

2 4 x

4

2 2

ดงนนตอบ 90 วธ

เสรมความร ถาโจทยก าหนดวา A ไป D ตองไมผานจด C เราน ากรณทงหมด ไปหกดวย

กรณทผานจด C กรณทงหมด คอ เคลอนททงหมด 10 ครง ทางเหนอ 4 ครง ทางตะวนออก 6

ครงดงนนได 1

4 6 – 90 ตอบ 120 วธ


ตวอยางท 4 จากรปจงพจารณาวามรปสเหลยมมมฉากทงหมดกรป

วธท า พจารณาวารปสเหลยมมมฉาก 1 รป เกดจากเสนแนวตง 2 เสน และเสนแนวนอน 2 เสน

จงเกดเปนรปสเหลยมมมฉาก

เลอกเสนแนวตง 5C2 = 10

เลอกเสนแนวนอน 4C2 = 6

ดงนน สเหลยมมมฉากเกดจากเสนแนวตงและแนวนอนคอ 10 x 6 = 60 รป


วธจดหม (Combination)

เปนการเลอกสงของออกมาเปนหมหรอชด โดยไมค านงวาจะไดสงของใดออกมากอนหรอ

หลง เชน มตวอกษร 3 ตว คอ a , b และ c ถาตองการเลอกตวอกษร 2 ตว จากตวอกษร 3 ตวน

โดยไมค านงถงล าดบกอนหลงของการเลอก จะเลอกได 3 วธ คอ ab , bc และ ca

โดยทวไปจ านวนวธจดหมของสงของ n สง โดยเลอกคราวละ r สง (0 r n) เทากบจ านวนสบ

เซตทมสมาชก r ตว ของเซตทมสมาชก n

ให nCr หรอ หรอ ( ) แทนจ านวนวธจดหมของสงของ n สง โดยเลอกคราวละ r สง ในแตละ

วธจดหมของสงของ r สง เมอน ามาจดเรยงในแนวเสนตรง จะไดวธเรยงสบเปลยน r! วธ

ดงนน จ านวนวธการเรยงสบเปลยนของสงของทละ r สง จากสงของ n สง ทแตกตางกน เทากบ

r! x =

ดงนน =

=

;

สรปไดวา จ านวนวธจดหมของสงของทแตกตางกน n สง โดยเลอกคราวละ r สง (0 r n)

เทากบ

;

เนองจาก =

;

=

;

=

( ; ; ) ;

= ;

ดงนน จะไดวา = ; หรอ ( ) = (

; )


ตวอยางท 5 รป 12 เหลยมมเสนทแยงมมทงหมดกเสน

วธท า เนองจาก 12 เหลยม มเสนรอบรปทงหมด 12 เสน

เราสามารถหาเสนทแยงมมจากการเลอกได

ม 12 จด เลอกมา 2 จด เพอสรางเสนทแยงมมจะได 12C2 แลวหกดวยจ านวนเสนรอบรป

เนองจากการเลอกจด 2 จดเหลานน เปนการนบรวมเสนรอบรปเขาไปดวย ดงนน เราตองหก

ออกไป 12 เสน 12C2 – 12 = 54

ดงนน ขอนมเสนทแยงมมทงหมด 54 เสน

ตวอยางท 4 รป 12 เหลยมจะมเสนทแยงมมทงหมดกเสน

วธท า เสนทแยงมมเกดจากการเลอกจด 2 จด จากทงหมด 12 จด มาลากเสนตอกน แตเมอเลอก

จด 2 จด จากทงหมด 12 จด มาลากเสนตอกนจะไดเสนรอบรปมาเพมดวยดงนนเราตองลบเสน

รอบรปออกจะไดวา 12C2 – 12(จ านวนเสนรอบรป)

= 12 11

2 – 12

= 66 -12

= 54

ตอบ รปสบสองเหลยมจะมเสนรอบรปทงหมด 54 เสน


ตวอยางท 6 ก าหนดจด 6 จดบนวงกลมวงหนง จ านวนวธทจะสรางรปเหลยมบรรจในวงกลมใน

วงกลมโดยใชจดเหลานนเปนจดยอดมมเทากบขอใดตอไปน (Ent)

1.20 2.35 3.42 4.65

วธท า รปเหลยมทสามารถเกดขนไดจากจด 6 จด

3 เหลยม 6C3 = 20

4 เหลยม 6C4 = 15

5 เหลยม 6C5 = 6

6 เหลยม 6C6 = 1

20 + 15 + 6 + 1 = 42

ตอบ ขอ 3 42 รป

ตวอยางท 7 มคนงานหญง 6 คนและคนงานชาย 8 คนซงมนายด ารวมอยดวย ถาจะเลอกคนงาน

4 คนไปท างานทตางกน 4 ประเภทโดยใหเปนหญง 2 คน ชาย 2 คน และใหนายด าอยใน 4 คนน

ดวย จ านวนวธการเลอกคนงานดงกลาวเทากบขอใดตอไปน (Ent 46 มนาคม)

1.1,920 วธ 2.2,400 วธ 3.2,520 วธ 4.2,880 วธ

วธท า เลอกผหญง 6C2 วธ

เลอกผชาย 7C1 วธ

เลอกนายด าได 1 วธ

สลบงานได 4! วธ 6C2 x

7C1 x 1 x 4!

ตอบ ขอ 3 2,520 วธ


ตวอยางท 8 คณครสวรย ครประจ าชนหอง ม.6/4 น าของรางวลทงหมด 3 ชน ในชวงกจกรรมวน

เดก แตในหองมนกเรยนอยเพยง 10 เนองจาก เดกสวนใหญตองไปสอบตรง ในจ านวนนกเรยนท

อย มนายสมเกยรต และ นางสาวทศนกมล อยดวย จงหาจ านวนวธท นายสมเกยรต และ

นางสาวทศนกมล รบรางวลไมพรอมกน

1. 720 2. 640 3.102 4.112

วธท า หากรณทวไป – กรณรบรางวลพรอมกน

กรณทวไป 10C3 ม 10 คนเลอกมา 3 คน

กรณรบรางวลพรอมกน 1 x 1 x 8

นายสมเกยรต นางสาวทศนกมล นกเรยนทเหลอ

120 – 8 = 112

ตอบขอ 4 112 วธ


การแบงกลม

การแบงกลมของแตกตางกนโดยแบงแลวยงไมแจก ใช วธค าแบบเดยวกบของซ าๆ

Ex มปากกาทแตกตางกนทงหมด 10 ดาน แบงเปนกองละ 3 ดาน 2 กอง กองละ 2 ดาน 2 กอง

วธท า 1

3 3 2 2

มปากกา 10 ดานเรยงสบเปลยนได 10!

แบงเปนกอง กองแรก 3 ดาน กองสอง 3 ดาม กองสาม 2 ดาน กองส 2 ดาม

การแบงกลมของเหมอนกน ใชหลกการ Stars and bars

แบงของ n สงเหมอนกน ให r คน โดยทกคนจะตองไดรบ n-1Cr-1

แบงของ n สงเหมอนกน ให r คน โดยไมจ าเปนททกคนจะตองไดรบ n-1+rCr-1

ซงสามารถหารายละเอยดเพมเตมไดจาก

http://en.wikipedia.org/wiki/Stars_and_bars_(combinatorics)

http://jhyun95.hubpages.com/hub/Stars-and-Bars-Combinatorics


วธเรยงสบเปลยนเชงวงกลม

พจารณาการจดเรยงตวอกษร 3 ตว คอ A ,B และ C เปนแถวตรงจะมวธจดเรยงได 3! = 6 วธ คอ

ABC BCA CAB ACB BAC CBA

วธการจดเรยงตวอกษร ABC , BCA และ CAB เปนการจดเรยงแถวตรงทแตกตางกน แตถาน าแต

ละวธมาจดเปนวงกลม จะได

A B C

B C A C A B

A → B → C B → C→A C → A → B

จะเหนวา การจดเรยงทงสามแบบ ถอวาเปนการจดเรยงเปนวงกลมเพยง 1 วธ เทานน

ในท านองเดยวกน วธการจดเรยงตวอกษร ACB BAC และ CBA เปนการจดเรยงเปนวงกลม

เพยง 1 วธ

ดงนน การจดเรยงตวอกษร 3 ตวเปนวงกลม จะจดได 2 วธ คอ

A A

B C C B

แนวคดในการหาจ านวนวธเรยงสบเปลยนเชงวงกลมของสงของทแตกตางกน n สง อาจจะเรมโดย

ใหสงของสงหนงอยคงท ณ ต าแหนงใดต าแหนงหนง แลวจดเรยงสบเปลยนสงของทเหลออย n-1

สง จะได จ านวนวธเรยงสบเปลยนเทากบ (n-1)(n-2)(n-3)... 3x2x1 = (n-1)!


สรปไดวา จ านวนวธเรยงสบเปลยนเชงวงกลมของสงของทแตกตางกน n สงใหปกหมด เพอไมให

วงกลมหมนได (n-1)! วธ

ขอควรระวง ส าหรบโจทยพนฐาน หากเปนโจทยประยกตใหปกหมดแลวจ านวนทเหลอ !

ตวอยางท 9 ตองการจดชาย 8 คนหญง 2 คน นงรบประทานอาหารโตะจนรอบโตะกลม จงหา

จ านวนวธทหญงทง 2 คนนนตองนงตดกนเสมอ

วธท า

ดงนนจ านวนวธทผหญง 2 คนนงตดกนคอ 8!2!

มดผหญง (เพอใหไดวาผหญงตอง

ตดกน) ผหญงสลบกนเองได 2! วธ

มดผหญงสองคนแลวมองเปนกอน

เดยวกน แลวจบปกหมด (การปก

หมดเพอไมใหวงกลมหมน ปกต

เรามกจะปกหมดกอนทมปญหา

กอนแลวคอยท า)

ผชายยนสลบกนเองได 8!


ความนาจะเปน ( Probability ) คอจ านวนทบงบอกวาเหตการณทเราสนใจนนมโอกาสเกดขน

มากนอย ขนาดไหน ตวอยางเชน โยนเหรยญบาท 1 เหรยญ 2 ครง 1เหรยญมโอกาสเกดทงหว

และกอย ครงแรกอาจจะเปนหวหรอกอยกได ครงทสองกเชนกน เปนตน

การทดลองสม (Random Experiment)

การทดลองสม คอ การกระท าหรอการทดลองทไมสามารถคาดการณค าตอบลวงหนาได

ตวอยางของการทดลองสม เชน

การโยนเหรยญบาท

การออกสลากกนแบงรฐบาล

การโยนลกเตา

ผลลพธจากการทดลองสม ( Sample space)

ผลลพธจากการทดลองสม คอ ผลลพธทเปนไปไดทงหมดจากการทดลองสม

ตวอยางเชน

โยนเหรยญบาท 1 เหรยญ 1 ครง ผลลพธทเปนไปไดคอ หว(Head) กบ กอย(Tail)

โยนลกเตา 1 ลก 1 ครง ผลลพธทเปนไปได คอ แตม 1,2,3,4,5 ,6

เหตการณ (event)

เหตการณ คอ สงทเราสนใจจากการทดลองสม ตวอยางเชน หากโยนลกเตา จงหาจ านวน

เหตการณทลกเตาออกหนาเลขค เปนตน

http://www.maerim.ac.th/present_teach/ebook/kruart/random_experiment.html


นยามของความนาจะเปน

ความนาจะเปนของเหตการณใดๆ P(E) =

โดยท 0 P(E) 1

เมอ n(E) คอ จ านวนผลลพธทงหมดของเหตการณใดๆทเราสนใจ

n(s) คอ จ านวนผลลพธทงหมดของ sample space

สงทควรรเกยวกบความนาจะเปน

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

P(A ) = 1 – P(A)

P(A – B) = P(A) – P(A B)

ถา A B = แลว P(A B) P(A) + P(B)

ตวอยางท 9 ชาย 3 คน หญง 4 คนนงในรถ จงหาความนาจะเปนทคน 2 คนทลงรถกอนนนเปน

ผหญง

วธท า ผลลพธทเปนไปได ( Sample space) ของคนทลงจากรถ 2 คน คอ 7 x 6

มคนอยบนรถ 7 คน คนแรกลงจากรถจะมได 7 วธ คนทสองลงจากรถ 6วธ เนองจาก ม

คนหนงลงไปกอนหนานแลว

เหตการณ ทคนลงทงสองคนเปนผหญง 4 x 3 เนองจากมผหญง 4 คน

ดงนนความนาจะเปน คอ 4×3

7×6 =

2

7


ทฤษฎบททวนาม

ในหวขอนจะกลาวถงสตรของการกระจาย x y เมอ x , y เปนจ านวนจรงใดๆ และ n เปน

จ านวนเตมบวก พจารณาการกระจายตอไปน

x y 1 = x + y

x y 2 = 2+2xy + 2

x y 3 = 3+ 2+ 2 + 3

x y 4= 4+ 3+ 2 2+ 3 + 4

x y 5= 5+ 4 + 3 2 + 2 3 x 4 5

x y = x y x y x y n

ถา x , y เปนจ านวนจรง และ n เปนจ านวนเตมบวก แลว

x y = ( )x (

1)x ;1y (

)x ; y (

)y

เราจงสามารถสรปกฎไดวา Tr+1 = ( )an rbr

ขอสงเกตการกระจาย (a+b)n

กระจายไดทงหมด n+1 พจน

ดกรของแตละพจนจะเทากบ n เสมอ

ผลบวกสมประสทธทวนามทกพจน คอ 2n

ผลบวกทกพจนคอ (a+b)n

สมประสทธทวนามสามารถหาไดจากสามเหลยมปาสคาลหรอใชการเลอก


ตวอยางท 11 จงหาพจนท 7 ในการกระจาย (x2 - 1

)10

T7 = T6+1 =10C6(x

2)4(-1

)6

10C4 x8 (

1

)6

ตอบ 210x2


บทท 12 ทฤษฎกราฟ

ทฤษฏกราฟ คอแผนภาพซงบรรจจดและเสนเชอม ซงถกใช

ในการแกปญหาในหลายดานๆ เชนการจดตารางเวลา การ

เดนทางโดยเสนทสด ฯลฯ

รายละเอยดของกราฟ

กราฟอยางงาย

กราฟบรบรณ

กราฟเตมเตม

ดกร

กราฟเชอมโยง

กราฟออยเลอร

กราฟยอย

กราฟตนไม

จด

เสนเชอม

วงวน

เสนเชอมขนาน

กราฟถวงน าหนก

ตนไม

ปา

ตนไมแผทว

ตนไมแผทวนอยทสด

ประยกตกราฟ


ทฤษฎกราฟนน มจดเรมจากผลงานตพมพของ เลออนฮารด ออยเลอร ในป ค.ศ. 1736

(พ.ศ. 2279) หรอทรจกกนในนาม ปญหาสะพานทงเจดแหงเมองโคนกสเบรก (Seven Bridges

of Königsberg) เขาสนใจวธทจะขามสะพานทง 7 แหงน โดยขามแตละสะพานเพยงครงเดยว

เทานน จากการพสจนของออยเลอรท าใหทราบวา เราไมสามารถขามสะพานทง 7 เพยงครงเดยว

เพอกลบมาจดเรมตนไดเพราะ ถาหากแปลงปญหาดงกลาวเปนกราฟ จะไดเสนเชอมทงหมด 7

เสนซงขดกบทฤษฎวาดวยกราฟของออยเลอร

ตวอยาง ท 1 กราฟ G

กราฟจะตองประกอบไปดวยจดอยางนอย 1 จด แตจะมเสนเชอมหรอไมกได จากตวอยาง

กราฟ G เราสามารถบอกรายละเอยดของกราฟไดดงน

เซตของจ านวนจดยอด (Vertex) แทนดวยสญลกษณ V(G)

V(G) = {A,B,C}

เซตของเสนเชอม (Edge) ทเชอมระหวางจดยอดแทนดวยสญลกษณ E(G)

E(G)={e1, e2} หรอ E(G)={AB, BC}

B

e1 e2

A C


รายละเอยดทนาสนใจของกราฟ

วงวน (loop) คอเสนเชอมทอยในรป {u,u}

หรอ uu หรอเสนทมจดปลายทงสองเปนจด

เดยวกน เชนจด e1

เสนเชอมขนาน (parallel edges) หรอเส

นหลายชน (multiple edges) คอเสนเชอมท

มมากกวา 1 เชนจด e2

กราฟอยางงาย

คอ กราฟทไมมวงวนและเสนเชอมขนาน

Ex

กราฟบรบรณ

คอกราฟอยางงายท 2 จด ทตางกนตองเปนจด

ประชดกนเสมอ

Ex

กราฟนเปนกราฟบรบรณ 4 จด เรยกวาจด K4

กราฟเตมเตม

คอ กราฟทไมมวงวนและเสนเชอมขนานเขยนแทน

ดวยสญลกษณ

Ex

อนดบและขนาด

อนดบ คอจ านวนจด

ขนาด คอ จ านวนเสนเชอม

ดกร คอ จ านวนครงทเสนเชอมเกดกบจดยอด

Handshaking Lemma ผลรวมของดกร จะเปนสองเทาของเสนเชอมเสมอ

e1 e2

e3 e4


แนวเดน

คอล าดบจ ากดของจดยอดและเสนเชอมสลบกน

แนวเดนเปด เปนแนวเดนทม จดเรมตนและ

จดสนสดเปนคนละจด

แนวเดนปด เปนแนวเดนทม จดเรมตนและจดสนสด

เปนจด เดยวกน

รอยเดน เปนแนวเดนทม จดเรมตนและจดสนสด

เปนจดใดกตอง แตหามใชเสนเชอมซ า

วถ(แนวเดนอยางงาย) เปนแนวเดนทม จดเรมตน

และจดสนสดเปนคนละจด หามใชเสนเชอมและจด

ซ า

วงจร(Circuit) เปนแนวเดนทม จดเรมตนและ

จดสนสดเปนจด เดยวกน เสนเชอมหามใชซ า

วฏจกร(Cycle) เปนแนวเดนทม จดเรมตนและ

จดสนสดเปนจด เดยวกน เสนเชอมและจดหามใช

ซ า ยกเวนจดเรมตนและสนสด

กราฟเชอมโยง

คอกราฟทไมขาดตอน เปนกราฟท 2 จดใดๆ

สามารถมแนวเดนถงกนได

เชน กราฟ G มจดยอด U และ V เปนจดยอดท

ตางกนในกราฟ จะตองมแนวเดน U – V

Ex

เปนกราฟเชอมโยง

ไมเปนกราฟเชอมโยง

กราฟออยเลอร ตองเปนกราฟเชอมโยง และ มวงจรออยเลอร คอวงจรทผานจดทกจดและ

เสนเชอมบนกราฟ

Ex จงพจารณาวากราฟตอไปนเปนกราฟออยเลอร หรอไม

เปนไมกราฟกราฟออยเลอร เนองจากมดกร

เปนเลขค

เปนกราฟออยเลอร ขอสงเกต กราฟออยเลอรจดทกจดของกราฟตองมดกรเปนเลขคเทานน


กราฟยอย คอ กราฟทประกอบไปดวยจดยอดและ

เสนเชอมของกราฟนนๆ

Ex กราฟ G กราฟยอยของ G

กราฟยอยของ G

กราฟตนไม คอกราฟเชอมโยงทไมมวฏจกร

ปา คอ กราฟทไมมวฏจกร แตไมจ าเปนตอง

เปนกราฟเชอมโยง

ใบ คอจดยอดปาทมดกร เปน 1

เปนตนไมและปา เปนปาแตไมเปนตนไม

กราฟถวงน าหนก คอกราฟเสนเชอมทกเชอมโดย

แตละเสนเชอมมคาน าหนก

กราฟตนไมแผทว คอ ตนไมทเปนกราฟยอย

ของกราฟเชอมโยง

กราฟตนไมแผทวนอยสด คอ ตนไมทมผลรวม

คาน าหนก นอยทสด

ตวอยางท 1 จงพจาณาขอความตอไปน

ก. กราฟ G มดกรจดยอด 1,1,4,4,6 จะมเสนเชอม 8 เสน

ข กราฟ G มจดยอด 7 จด มดกร 5,4,2,2,2,3 และ 3 ตามล าดบ

ค กราฟ G มจดยอดค 6 จดยอดค 3 จด

ขอใด เปนไปไดเกยวกบกราฟ G

วเคราะห ขอ ก ถกเนองจาก ผลรวมทงหมดของดกร เปน 16 ซงเปนสองเทาของจ านวนเสนเชอม

. ขอ ข ผด เนองจาก กราฟ ตองมจดยอดคเปนจ านวนคเทานน

ขอ ค ถก เนองจาก กราฟ ตองมจดยอดคเปนจ านวนคเทานน

ดงนนขอนตอบ ถก ขอ ก และ ค

ตวอยางท 2 ก าหนด กราฟ G ดงรป จ านวนกราฟตนไมแผทวของกราฟ G ทแตกตางกนมกแบบ

1. 4 แบบ

2. 5 แบบ

3. 6 แบบ

4. 7แบบ


วเคราะห ตอบขอ 1 4 แบบ เราสามารถเขยนไดดงน

ตวอยางท 3 จากกราฟ วถ A-Z จงหาผลรวมคาน าหนกของตนไมแผทวทนอยทสดของกราฟน

1.6 2.7 3.8 4.22

วเคราะห ตอบขอ 1 ผลรวมคาน าหนกของตนไมแผทวทนอยทสดคอ 6 เราสามารถเขยนรปตนไม

แผทวนอยทสดไดดงน


ตวอยางท 4 ขอใดตอไปนเปนกราฟตนไม

1

2

3

4

วเคราะห ตอบขอ 2 เนองจาก

ขอ 1 กราฟม วงจร จงไมเปนกราฟตนไม

ขอ 3 กราฟม วงจร จงไมเปนกราฟตนไม

ขอ4 ไมเปนกราฟเชอมโยง กราฟตนไมตองเปนกราฟเชอมโยง


ตวอยางท 5 จงพจารณาวากราฟใดตอไปนจดเปนกราฟออยเลอร

1

2

3

4

วเคราะห ตอบขอ 3 เนองจากจดยอดทกจดเปนดกรเลขค

ขอ 1 ผด เนองจากไมเปนกราฟเชอมโยง

ขอ 2 และ 4 ผดเนองจากดกรของจดยอดบางจดเปนเลขคจงท าใหไมเปนกราฟออยเลอร


ตวอยางท 6 กราฟ G มจดยอดทงหมด 10 จด ซงมดกร ดงน 1,1,3,3,3,5,x-5,x-3,x-2 และ x ถา

กราฟมเสนเชอมจ านวน 15 เสนแลว ขอใดกลาวถกตอง

ก.กราฟ G มจดยอดค 6 จด และจดยอดค 4 จด

ข.กราฟ G มผลรวมดกรคอ 30

ค.กราฟ G เปนกราฟออยเลอร

วเคราะห ผลรวมดกรเปน 2 เทาของเชอมเสมอดงนนผลรวมดกรจงเปน 30

1+1+1+3+3+3+5+x-5+x-3+x-2+x = 3

6+4x = 30

4x = 24

x = 6

ดงนน กราฟนจงประกอบดวยดกร 1,1,1,3,3,3,3,4,5,6

ขอ ก จงผด

ขอ ข ถกเนองจากผลรวมดกรจะเปน 2 เทาของเสนเชอมเสมอ

ขอ ค ผดเนองจากกราฟออลเลอร ทกจดบนกราฟตองเปนดกรเลขค


บทท 13 สถต

ขอมล ทอยในชวตประจ าวนของเรา เมอเราจ าน าขอมลมาใช

ประโยชน เราใชสถตเปนเครองมอในการวเคราะหขอมล

สถตเชงพรรณนา

คากลางขอมล

การวดการกระจายของขอมล

คามาตรฐาน

คาเฉลยเลขคณต

มธยฐาน

ฐานนยม

การวดการกระจายแบบสมบรณ

พสย

สวนเบยงเบนควอไทล

สวนเบยงเฉลย

สวนเบยงมาตรฐาน

การวดการกระจายแบบสมพทธ

สมประสทธพสย

สมประสทธสวนเบยงเบนควอไทล

สมประสทธสวนเบยงเฉลย

สมประสทธการแปรผน

การวเคราะหขอมลเบองตน

การแจกแจงปกต

ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

โคงปกต

เสนตรง


เอกซโพเนนเชยล

อนกรมเวลา


สถต (Statistic) คอ ตวเลขทแสดงขอเทจจรงของขอมล เชน สถตรายไดประชาชาต เปน

ตน สถตมความสมพนธกบชวตประจ าวนของเรา เราเหนไดจาก ขาวตามหนาหนงสอพมพ

วทยกระจายเสยง วทยโทรทศน จะมขอมลตวเลขแสดงใหเหนถงขอเทจจรงตางๆ เชน สถตอตรา

แลกเปลยนคาเงนบาท สถตการซอ-ขายอนพนธในตลาดหลกทรพย สถตรายไดประชาชาต สถต

ผลตภณฑมวลรวมภายในประเทศ สถตอณหภม

ในทางคณตศาสตร สถตหมายถงศาสตรหรอหลกการ และระเบยบวธการทางสถต ซง

ประกอบดวยขนตอนตอไปน

การเกบรวมรวมขอมล

การน าเสนอขอมล

การวเคราะหขอมล

การตความขอมล

การจ าแนกขอมล

ขอมลเชงปรมาณ คอขอมลทอยในลกษณะเปนตวเลข

ขอมลเชงคณภาพ คอขอมลทแสดงลกษณะหรอคณสมบต

แหลงทมาของขอมล

ขอมลปฐมภม คอขอมลทเกบรวบรวมจากแหลงตนก าเนด

ขอมลทตยภม คอขอมลทรวบรวมขอมลจากแหลงอางอง

การเกบรวมขอมล

เกบรวบรวมขอมลจากทะเบยนประวต

เกบรวมรวมขอมลจากการส ารวจ

เกบรวบรวมขอมลจากการทดลอง

เกบรวบรวมขอมลจากการสงเกต


ประชากรและกลมตวอยาง

ประชากร (population) ในทางสถต มความหมายคอ หนวยตางๆทใชในการเกบรวบรวมขอมล

หรอแหลงทมาของขอมล ประชากรอาจเปนกลมบคคล สถานท เอกสารการพมพ

ประเภทของประชากร

1. ประชากรทเปนจ านวนจ ากด (Finite population) คอประชากรทสามารถนบแจกแจงรายการได

2. ประชากรทมจ านวนอนนต (Infinite population) คอประชากรทไมสามารถนบจ านวนได

คาทแสดงคณสมบตหรอลกษณะของประชากร คอ พารามเตอร(parameter) ไดแก

คาเฉลยเลขคณตเขยนแทนดวย (มว) คาเบยงเบนมาตรฐานประชากรแทนดวย (ซกมา)

กลมตวอยาง (Sample) หมายถงสวนหนงของหนวยขอมลหรอขอมลสวนหนงทเลอกมาจาก

ประชากร

คาเฉลยเลขคณตกลมตวอยาง เขยนแทนดวย x (เอกซบาร) คาเบยงเบนมาตรฐานกลมตวอยาง เขยนแทน

ดวย S (เอส)

การวเคราะหขอมลเบองตน

การแจงแจงความถของขอมล (Frequency distribution) เปนวธการทางสถตอยางหนงท

ใชในการจดขอมลทมอยหรอทไดเกบรวบรวมใหไดเปนหมวดหม เพอสะดวกในการวเคราะหขอมล

1.ขอมลทแจกแจงความถของขอมล

อาย จ านวน

30-34 10

35-39 15

40-44 25

45-49 6

50-54 20

1) อนตรภาคชนคอ ชวงความกวางแตละชวง เชน 30 -34

2) ขอบลาง คอ คากงกลางระหวางชวงทนอยทสดในชนนน กบชวงทมากทสดของ

อนตรภาคชนทตดกน และเปนชวงความกวางต ากวา เชน

อนตรภาคชน 35 – 39 ขอบลางคอ 34.5 มาจาก 35:34

2


1) ขอบบนคอ คอคากงกลางระหวางชวงทมากทสดในอนตรภาคชนนน กบ ชวงทนอย

ทสดของอนตรภาคชนทตดกนและเปนชวงทสงกวาเชน

อนตรภาคชน 35 – 39 ขอบลางคอ 39.5 มาจาก 39:4

2

2) จดกงกลาง ของแตละอนตราภาคชน หาไดจากขอบบนและขอบลางในแตละชน

ขอบบน ขอบลาง

เชน จดกงกลางของอนตรภาคชน 35 – 39 คอ 34 5:39 5

2

คอ 37

5) ความกวางของอนตรภาคชน คอขนาดของแตละชน หาไดจากผลตางระหวางขอบบน

และขอบลางของอนตรภาพชนนน ขอบบน – ขอบลาง

ความกวางของอนตรภาคชน 35 – 39 คอ 39.5-34.5 = 5

6) ความถสะสมของอนตรภาคชน คอผลรวมของความถของอนตรภาคชน กบความถของ

อนตรภาคชนทมชวงต ากวาทงหมด

7) ความถสมพนธ ของอนตรภาคชน คอ อตราสวนระหวางความถของอนตราภาคชนนน

กบผลรวมของความถทงหมด

ความถสมพนธ = ความถของอนตรภาคชนนน

ผลรวมของความถทงหมด

8) ความถสะสมสมพทธ ของอนตรภาคชน คออตราสวนระหวางความถของอนตรภาคชน

นนกบผลรวมความถทงหมด

ความถสะสมสมพทธ = ความถของอนตรภาคชนนน

ผลรวมของความถสะสมทงหมด

9) รอยละความถสมพทธ คอ ความถสมพทธ x 100%

10) รอยละความถสะสมสมพนธ คอ ความถสะสมสมพทธ x 100%


การเขยนแจกแจงโดยใชกราฟ

1.ฮสโทแกรม (Histogram) เปนรปสเหลยมมมฉากทวางเรยงตดกนบนแกนนอน โดยให

แกนนอนแทนเปนคาตวแปร ความกวางของรปสเหลยมคอความกวางของอนตรภาคชน พนทของ

สเหลยมแตละรปแทนความถของแตละอนตรภาคชน

2. รปหลายเหลยมของความถ (frequency polygon) คอรปหลายเหลยมทเกดจากการ

โยงจดกงกลางของยอดแทงของฮสโทแกรมดวยเสนตรง โดยเรมตนและสนสดกงกลางของอนตร

ภาคชน


3.พนทโคงของความถ (frequency curve) เปนเสนโคงทไดรบจากการปรบดานของรป

หลายเหลยมของความถใหเรยบขน โดยพยายามใหพนทใตโคงทปรบแลว มขนาดใกลเคยง

ของเดม

4.แผนภาพตน – ใบ (Stem – leaf Diagram) เปนการบอกขอมลโดยเขยนหลกสบอยหนา

เสนกน สวนหลกหนวยอยหลงเสนกน

ตวอยาง

0 3 4 5

2 0

4 1 2

11 0 6 8

จากภาพแผนภาพตน – ใบ เราสามารถเขยนสมาชกไดดงน {3,4,5,20,41,42,110,116,118 }


คากลางของขอมล

1.คาเฉลยเลขคณต

ประชาการ

ขอมลเดยว ขอมลกลม

ขอมลทวไป ไมมการถวงน าหนก

= ∑

ขอมลถวงน าหนก

= ∑

∑

wi คอเลขถวงน าหนกของ xi แตละตว

ขอมลหลายชดน ามาหาคาเฉลยเลขคณต

รวม = ∑

∑

= ∑

x = จดกงกลางอนตรภาคชน

f คอความถ

กลมตวอยาง

ขอมลเดยว ขอมลกลม

ขอมลทวไป ไมมการถวงน าหนก

= ∑

ขอมลถวงน าหนก

= ∑

∑

wi คอเลขถวงน าหนกของ xi แตละตว

ขอมลหลายชดน ามาหาคาเฉลยเลขคณต

รวม = ∑

∑

x = ∑

x = จดกงกลางอนตรภาคชน

f คอความถ

ค าแนะน า การคดคาเฉลยเลขคณตขอมลกลมแบบลดทอนขอมล


คณสมบตของคาเฉลยเลขคณต

1.xmax x xmin

2.

3.

4.

มคานอยสดเมอ M = x

5.ถา yi = axi + b แลว = ax + b

2.มธยฐาน คอขอมลทอยต าแหนงกงกลางของขอมลทเรยงจากนอยไปมาก ใชสญลกษณ Me หรอ Med

ขอมลเดยว Me = Med = :1

2

ขอมลกลม Me =

2 ; N คอผลรวมของความถ

=

L คอขอบลางของชนท Me อย f(M) คอความถ ณ ชน Me อย I คอความกวางของอนตรภาคชน

fm คอ ความถ ณ ชน Me

I คอความกวางของอนตภาพชน

3.ฐานนยม คอขอมลทมความถสงสด ใชสญลกษณ Mo หรอ Mod

ขอมลเดยว Mo = ขอมลทซ ากนมากทสด

ขอมลกลม Mo = จดกงกลางอนตรภาคชนทมความถสงสด

x Nx

N

<1

x x

N

<1

x M 2

N

<1


ตวอยางท 1 นายอ านวย สอบไดคะแนนตามรายวชาไดดงน

รายวชา คะแนนทได

วชาสงคมศกษา 68

วชาสขศกษา 68

วชาศลปะ 85

วชาคณตศาสตร 95

จงหาคะแนนเฉลยและมธยฐาน

คะแนนเฉลย คอ 68:68:85:95

4 = 79 คะแนน

มธยฐาน ต าแหนงคอ N:1

2 =

4:1

2 = 2.5 ซงกคอ

68 : 85

2 = 76.5

ตวอยางท 2 จงหาคะแนนเฉลย ฐานนยมและมธยฐานจากขอมลตอไปน

จากการส ารวจกลมตวอยางของรายวชาหนงในภาคเรยนท 1 ไดชวงคะแนนของนกเรยนดงน

ชวงคะแนน จ านวนนกเรยน

50 - 60 28

60 - 70 16

70 - 80 38

80 - 90 6

วธท า

ชวงคะแนน จ านวนนกเรยน

(f)

ความถสะสม x (จดกงกลางอนตภาพชน) y = x - 65

50 - 60 28 28 55 -10

60 - 70 16 44 65 0

70 - 80 38 82 75 10

80 - 90 6 88 85 20

ผลรวม 88 242 280 20

y = x – 65 ดงนน y = – 65

y = ;1 : :1 :2

4 = 5

= y + 65 = 5 + 65 = 70

คะแนนเฉลยคอ 70


ฐานนยมคอ 75

ต าแหนงมธยมฐาน

2 =

88

2 = 44

จากสตรมธยมฐาน คอ 59.5 + 10(44;28

16)

= 59.5 +10

= 69.5

4.คาเฉลยเรขาคณต (geometric mean)

ถา x1, x2, x3, …, xn เปนขอมล N จ านวนซงเปนจ านวนบวกทกจ านวน

คาเฉลยเรขาคณต G.M. คอ √ 1 2 4

เนองจากการหาคาเฉลยเรขาคณตตองค านวณหากรณฑท N ของจ านวนซงท าใหการใช

สตรดงกลาวไมสะดวกในการหาในกรณทมจ านวนขอมลมคามากๆ ดงนนเพอความสะดวกในการ

คดจงใชลอการทมชวยในการค านวณ

ขอมลทไมแจกจางความถ

log G.M. =

ขอมลทแจกแจงความถ

log G.M. =

โดยท Xi คอจดกงกลางของอนตรภารชนท i

fi คอแทนความถของขอมลอนตรภาคชนท i

k คอจ านวนอนตรภาคชน

N l g X

<1

N f

<1

l g X


5.คาเฉลยอารมอนก (harmonic mean)

ถา x1, x2, x3, …, xn เปนขอมล N จ านวนซงเปนจ านวนบวกทกจ านวน

คาเฉลยอารมอนก H.M. คอ 1

{

:

:

: :

}

=

ส าหรบขอมลทแจกแจงความถ

คาเฉลยอารมอนก H.M. คอ 1

{

:

:

: :

}

= N

การวดต าแหนงขอมล

1.ควอไทล (Qr) คอคาของขอมลทถกแบงออกเปน 4 สวนเทาๆกน เมอเรยงขอมลจากนอยไปมาก

มควอไทลทงหมด 3 คา คอ Q1, Q2, Q3

2.เดไซน (Dr)คอคาของขอมลทถกแบงออกเปน 10 สวนเทาๆกน เมอเรยงขอมลจากนอยไปมาก ม

เดไซนทงหมด 9 คา คอ D1, D2, D2, ..., D9

3.เปอรเซนตไทล(Pr) คอคาของขอมลทถกแบงออกเปน 100 สวนเทาๆกน เมอเรยงขอมลจาก

นอยไปมาก มเปอรเซนตไทลทงหมด 99 คา คอ P1, P2, P3,… P99

ขอมลเดยว

ต าแหนง Qr= :1

4

ต าแหนง Dr= :1

1

ต าแหนง Pr= :1

1

ขอมลกลม

ต าแหนง Qr=

4

ต าแหนง Dr=

1

ต าแหนง Pr=

1

หรอใชสตรหา Qr, Dr, Pr (เฉพาะขอมลกลม)

ขอบลาง+ความกวางอนตรภาคชน(ต าแหนง ความถสะสมชนกอนหนา

ความถ ณ ชนนน)

N

∑ 𝑥𝑖

f 𝑥𝑖

<1

โดยท Xi คอจดกงกลางของ

อนตรภารชนท i

fi คอแทนความถของขอมล

อนตรภาคชนท i

k คอจ านวนอนตรภาคชน


การวดการกระจายของขอมล

การวดการกระจายของขอมลแบงออกไดเปน 2 แบบคอ

1.การวดการกระจายแบบสมบรณ คอการวดการกระจายของขอมลชดเดยว ไมสามารถน ามา

เปรยบเทยบได

2.การวดการกระจายแบบสมพทธ คอการวดการกระจายของขอมลแตชดเพอน าเอาคาทไดไปใช

เปรยบเทยบการกระจายของขอมลกบขอมลชดอน

การวดการกระจายแบบสมบรณ

1.พสย = คามากสด – คานอยสด

2.สวนเบยงเบนควอไทล (QD)

= ;

2

3.สวนเบยงเบนเฉลย (MD)


MD = ∑ ;


MD = ∑ ;

เมอ x คอจดกงกลางชน

4.สวนเบยงเบนมาตรฐาน (SD)


ประชากร =√∑ ;

= √

∑

2

กลมตวอยาง SD =√∑ ;

;1

= √∑ ;

;1

การวดการกระจายแบบสมพทธ

1.สมประสทธพสย = คามากสด – คานอยสด

คามากสด: คานอยสด

2.สมประสทธสวนเบยงเบนควอไทล

3 1

3 1

3.สมประสทธสวนเบยงเบนเฉลย

หรอ

4.สมประสทธการแปรผน

ประชากร

หรอกลมตวอยาง



ประชากร =√∑ ;

=√∑

2

กลมตวอยาง SD

SD =√∑ ;

;1 = √

∑ ;

;1

2 เรยกวาความแปรปรวน (Variance) หรอใช

สญลกษณ 2

สมบตของสวนเบยงเบนมาตรฐาน

1.สวนเบยงเบนมาตรฐานมคาเปนบวกเสมอ ในกรณทสวนเบยงเบนมาตรฐานมคาเปน 0 แสดงวา

ขอมลชดนน ในแตละคาไมแตกตางจากคาเฉลยเลขคณต

2.สวนเบยงเบนเปนการวดการกระจายทใหคาลกษณะขอมลไดละเอยดและดทสดและเปนการวด

การกระจายทใชกนมากทสด

3.ถาน าคาคงตว (k) ไปบวกหรอลบขอมลทกคาในขอมล สวนเบยงเบนมาตรฐานจะมคาเทากบ

สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดเดม

4.ถาน าคาคงตว (k) ไปคณทกคาในขอมล สวนเบยงเบนมาตรฐานจะมคาเทากบ

Sใหม = | k | Sเดม


แผนภาพกลอง (Box - plot)

โดยแตละสวนจะมจ านวนประชากรรอยละ 25 ของประชากรทงหมด

ความสมพนธระหวางการแจกแจงความถ คากลางและการกระจายของขอมล

จากภาพเปนการแจกแจงในรปของโคงปกต

โคงเบขวา

โคงเบซาย


คามาตรฐาน (standard value :Z)

;

หรอ

;

คณสมบตของคามาตรฐาน

1. ∑ = 0 เสมอ

2. คาเฉลยเลขคณตของ z มคาเปน 0 เสมอ

3. สวนเบยงเบนของ z คอ 1 เสมอ

4. ∑ 2 ของขอมลประชากรจะเปน N แต ∑ 2 ของกลมตวอยางจะเปน N – 1

พนทใตเสนโคงปกต

เสนโคงแจกแจงปกตจะมลกษณะสมมาตร คอพนททางดานซายนของ คาเฉลยเลขคณต กบพนท

ทางขวาของคาเฉลยเลขคณต เทากนคอ 50% ของพนททงหมด

68.27%

95.45%

99.73%

Z


พนทใตเสนโคงปกต

คา z 0 ถง 1 มคาประมาณ 0.3413




ความสมพนธเชงฟงกชน

ความสมพนธเชงฟงกชน แบงออกเปน 3 ประเภท คอแบบ เสนตรง พาราโบลา และ

เอกซโพเนนเซยล ปกตขอสอบ Ent จะออกแบบเสนตรงเปนหลก

1.ความสมพนธเชงฟงกชนแบบเสนตรง

มสมการเปน = ax +b (ท านายคา y)

จากสมการปกต คอ ∑ ∑ Nb ----- (1)

∑ ∑ 2 ∑ – (2)

ทมาของสมการปกต (1) เกดจากสมการท านาย y = ax + b คณดวยซกมา (∑)

∑ y = ∑ (ax + b)

∑ y = a ∑ x + ∑ b

∑ y = a ∑ x + N(b) จากสมบตของซกมาคาคงท

ทมาของสมการปกต (2) เกดจากสมการท านาย y = ax + b คณดวยซกมา (∑ x)

∑ xy = ∑ (ax + b)

∑ xy = a ∑ x2 + b ∑ x

สมการท านายคา x คอ x= ay+b (ท านายคา x)

ขอแนะน า สมการท านาย y และสมการท านาย x จะตดกนทจด ( )

ถาโจทยก าหนด มา แลวก าหนดใหหาคา x ตอบหาคาไมได

2.ความสมพนธเชงฟงกชนแบบพาราโบลา

มสมการเปน = 2 โดยท a ไมเทากบ 0

จากสมการปกต คอ ∑ ∑ 2 b∑ N ------------- (1)

∑ ∑ 3 b∑

2 ∑ ------ (2)

∑ 2 ∑

4 b∑ 3 ∑

2 --- (3)


ทมาของสมการปกต (1) เกดจากสมการท านาย y = ax2 + bx + c คณดวยซกมา (∑)

∑ y = ∑ (ax2 + bx + c)

∑ y = a ∑ x2 + b ∑ x + ∑ c

∑ y = a ∑ x2 + b ∑ x + Nc จากสมบตของซกมาคาคงท

ทมาของสมการปกต (2) เกดจากสมการท านาย y = ax2 + bx + c คณดวยซกมา (∑ x)

∑ xy = ∑ (ax2 + bx + c)

∑ xy = a ∑ x3 + b ∑ x2 + c ∑ x

ทมาของสมการปกต (2) เกดจากสมการท านาย y = ax2 + bx + c คณดวยซกมา (∑ x2)

∑ xy = ∑ 2 (ax2 + bx + c)

∑ xy = a ∑ x4 + b ∑ x3 + c ∑ x2

3.ความสมพนธเชงฟงกชนแบบเอกซโพเนนเซยล

มสมการเปน y=abx หรอ log = log a + log b

จากสมการปกต คอ ∑ l g l g a ∑ N l g b

∑ l g l g a ∑ 2 l g b ∑

ทมาของสมการปกต (1) เกดจากสมการท านาย log y = log a + log b คณดวยซกมา (∑)

∑ log y = ∑ (log a + log b)

∑ log y = log a ∑ x + ∑ log b

∑ Log y = log a ∑ x + N(log b) จากสมบตของซกมาคาคงท

ทมาของสมการปกต (2) เกดจากสมการท านาย y = ax + b คณดวยซกมา (∑ x)

∑ xy = ∑ (log a + log b)

∑ xlog y = log a ∑ x2 + log b ∑ x

X เปนตวแปรอสระหรอตวแปรตน y เปนตวแปรตาม a,b,c, m เปนคาคงท


ตวอยางแนวขอสอบความสมพนธเชงฟงกชน

1.ถาสมการแสดงถงความสมพนธเชงฟงกชนระหวางตนทนกบจ านวนสนคาทผลตคอ y = 2x+5

โดยท x คอจ านวนสนคามหนวยเปนรอยชน y คอตนทนมหนวยเปนพนบาท จงพจารณาขอความ

ตอไปน

ก.ถาตนทนเทากบ 7,000 บาทคาดวาผลตสนคาได 100 ชน

ข.ถาผลตสนคาเพม 200 ชนจะตนทนจ านวน 4,000 บาท

ขอใดถกตอง

1.ขอ ก ถกเทานน 2.ถกทงสองขอ 3.ขอ ข ถกเทานน 4.ผดทงสอง 2 ขอ

วธท า พจารณาขอ ก จากสมการทโจทยก าหนดใหเปนสมการท านายตนทนโดยใชจ านวนสนาท

ผลตเปนตวแปรหลก ดงนนขอนจงผดเพราะเราตองสรางสมการหาคา x

พจารณาขอ ข เมอ x = 200 y = 2(200) +5

y = 405

ขอ ข จงผด

ดงนนขอนจงตอบ ขอ 4 ผดทง 2 ขอ

2.จงพจาณาขอความตอไปน

สมการท านาย y = 0.5(x)2 + 1000x − 3000

ก.สมการเชงสมพนธเชงฟงกชนเปนสมการพาราโบลา

ข.สมการดงกลาวเมอ x = 10 จะมคา y เปนจ านวนเตมลบ 32 เทาของผลคณของค าตอบ

สมการ 3x3 + 6x2 − 12x − 24 =0 และ √

ค.สมการดงกลาวเมอคา x = 5 คา y จะมคาเทากบ 2012.5

1.ถกขอ ก และ ข 2.ถกขอ ก และ ค 3.ถกทง 3 ขอ 4.มขอถกเพยง 1 ขอ

วธท าพจารณา ขอ ก ถกตองเพราะเปนสมการทมก าลงเปนก าลง 2 ตามรปแบบของสมการแบบ


ขอ ข พจารณาสมการท านายเมอ x = 10

y = 0.5(10)2 +1000(10) – 3000

= 50 + 10000 – 3000

= 7050


พจาณาสมการ 3x3 + 6x2 12x 24 = 0

x2(3x + 6) − 4(3x + 6) = 0

(x2 − 4)(3x + 6) = 0

(x − 2)(x +2)(3x + 6) = 0

x = 2, −2

ผลคณค าตอบของสมการ คอ -4

จ านวนเตมลบ 32 เทาของผลคณค าตอบของสมการและ √

คอ 32 x - 4 x √ = −128 x 32

= −4096

ดงนนขอ ข จงผด

ขอ ค พจารณาสมการท านายเมอ x = 5

y = 0.5(5)2 +1000(5) – 3000

= 12.5 + 5000 – 3000

= 2012.5

ดงนนขอ ค จงถก

ดงนนขอนตอบขอ 2 ถกขอ ก และ ค


บทท 14 ล าดบอนกรม

ล าดบ คอเซตของจ านวนทเรยงตวอยางเปนระบบระเบยบ

ภายใตเงอนไข สมาชกแตละตวจะเรยกวาพจน อนกรมคอ

ผลบวกของพจนทกพจน

ล าดบ

อนกรม

จ ากด

อนนต

เลขคณต


ผสม

เลขคณต


ผสม

ประเภทอนกรม

อนกรมเลขคณต

อนกรมเรขาคณต

อนกรมผสมเรขาคณต

อนกรมเศษสวนยอย

อนกรมจ ากด

อนกรมอนนต

อนกรมเลขคณต

อนกรมเรขาคณต

อนกรมผสม

อนกรมเศษสวนยอย

อนกรมเรขาคณตอนนต

อนกรมผสมเรขาคณตอนนต

อนกรมเศษสวนยอยอนนต


ล าดบ (Sequence) คอเซตของจ านวนทเรยงตวอยางเปนระบบระเบยบ ภายใตเงอนไข

สมาชกแตละตวจะเรยกวาพจน (Term)

ล าดบทวไปแบงไดเปน

1.ล าดบจ ากด (finite sequence)

2.ล าดบอนนต (infinite sequence)

Ex

1. 2,4,6,8,10,…,100

2. sin 30 + sin 60 + sin 90 + …

จากรปขางตนพบวา ล าดบรปจ านวนจดมความสมพนธดงน

รปท 1 2 3 4 5

จ านวนจด 1 3 6 10 15

จากตารางดงกลาว แสดงใหเหนความสมพนธของล าดบของรปและจ านวน

จด โดยมความสมพนธทเปนฟงกชนโดยจ านวนรปทเปนโดเมน {1,2,3,4,5}และม

จ านวนจดเปนเรนจ {1,3,6,10,15} ของฟงกชน

นยาม ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวกหรอสบเซตของจ านวน

เตมบวกในรป {1, 2, 3, 4, … , n}

ล าดบท 1 2 3 4 5 ... n …

จ านวน 1 3 5 7 9 … 2n - 1 ...

จากตารางแสดงใหเราเหนถงความสมพนธโดยล าดบเปนโดเมน และมเรนจ

ซงมความเกยวของกบโดเมน

เชน ล าดบท 5 (โดเมนคอ 5 ซงเรนจมความสมพนธกบโดเมนคอ 2n - 1)

จ านวนซงมความสมพนธกบล าดบคอ 2(5) – 1

= 9

ในการเขยนล าดบ จะเขยนเฉพาะสมาชกของเรนจเรยงกนไปตามกลาวคอถาa เปนล าดบ

จ ากดจะเขยนแทนดวย a1, a2, a3, … , an ในกรณทเปนล าดบอนนต a1, a2, a3, … , an , ...


เรยก a1 วา พจนท 1 ของล าดบ

a2 วา พจนท 2 ของล าดบ

a3 วา พจนท 3 ของล าดบ

an วา พจนท n ของล าดบ หรอพจนทวไป

ตวอยางของล าดบ

1) 7, 14 , 21 , 28 , 35 , 42 เปนล าดบจ ากดซงมคาเพมขนคงท เพมขนครงละ 7

2) 3, 6 , 12 , 24 , … เปนล าดบอนนต มคาเพมขนคงท เพมขนเปน 2เทา* ของพจนหนา

3) an = 2n + 3 เปนล าดบอนนต มคาเพมขนคงท เพมขนเปน 2เทา ของพจนหนา

4) an = (n+1)2 เปนล าดบอนนต ซงคาผลตางครงท 2เพมขนคงท

* 2 เปนอตราสวนรวม ซงคอ อตราสวนระหวางพจนท n +1 กบ พจนท n มคาคงตว


การหาพจนทวไปของล าดบ (an)

ในการหาพจนทวไปของล าดบ ถาระหวางพจนมผลตางเปนจ านวนคงตว (1 ครง)

รปแบบพจนทวไป คอ an = an+b ; a,b R

ตวอยาง จงพจารณาล าดบตอไปนแลวหาพจนทวไป 1,3,5,7, …

วธท า แทนคา n ถา n = 1 แลว a(1)+b = 1 ------- (1)

แทนคา n ถา n = 2 แลว a(2)+b = 3 ------- (2)

(2) – (1) a = 2

แทน a ใน (1) 2 + b = 1

b = -1

ดงนนพจนทวไป an = 2n – 1

ในการหาพจนทวไปของล าดบ ถาระหวางพจนมอตราสวนรวม(r)เปนจ านวนคงตว (1 ครง)

รปแบบพจนทวไป คอ an = arn+b ; a,b R

ตวอยาง จงพจารณาล าดบตอไปนแลวหาพจนทวไป 4,8,16,32, …

พจารณาจากขอมลท าใหเราทราบวาล าดบตอไปนม อตราสวนรวมเปน 2

วธท า แทนคา n ถา n = 1 แลว a(2)1+b = 4 ------- (1)

แทนคา n ถา n = 2 แลว a(2)2+b = 8 ------- (2)

(2) – (1) 2a = 4 ดงนน a = 2

แทน a ใน (1) 2(2)1+b = 4

b = 0

ดงนนพจนทวไป an = 2(2)n หรอ 2n+1

ในการหาพจนทวไปของล าดบ ถาระหวางพจนมผลตางเปนจ านวนคงในการหาครงท 2

รปแบบพจนทวไป คอ an = an2+bn+c ; a,b,c R

ตวอยาง จงพจารณาล าดบตอไปนแลวหาพจนทวไป 5, 18, 35, 81, …


วธท า แทนคา n ถา n = 1 แลว a(1)2+b(1)+c = 5 ------- (1)

แทนคา n ถา n = 2 แลว a(2)2+b(2)+c = 18 ------- (2)

แทนคา n ถา n = 3 แลว a(3)2+b(3)+c = 35 ------- (3)

(2) – (1) 3a+b = 13 ------- (4)

(3) – (2) 5a+b = 17 ------- (5)

(5) – (4) 2a = 4

a = 2

แทนคา a ใน (4) b = 7

แทนคา a และ b ใน (1) 2(1) + 7 + c = 5

c = -4

ดงนนพจนทวไป an = 2n2+7n – 4

ในการหาพจนทวไปล าดบ ซงมอตราสวนรวม (อตราสวนระหวางพจนท n +1 กบ พจนท n) คงท

ตวอยาง จงพจารณาล าดบตอไปนแลวหาพจนทวไป 2, 4, 8, 16, …

พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบจะเหนวา

พจนท 1 2

พจนท 2 4 = 2 x 2 = 22

พจนท 3 8 = 4 x 2 = 23

พจนท 4 16 = 8 x 2 = 24

พจาราความสมพนธ 5 พจนแรก จะได พจนท n คอ 2n

พจนทวไปของล าดบตอไปนคอ 2n


ประเภทของล าดบ

1.ล าดบเลขคณต(arithmetic sequence)

คอล าดบทมผลตางของพจนทอยตดกนคงท

an = a1+(n-1)d d คอผลตางรวม

(common difference)

2.ล าดบเรขาคณต (geometric sequence)

คอล าดบทอตราสวนระหวางพจนทตดกนกบพจน

ขางหนามคาคงท

an=a1rn-1 r คออตราตางรวม(ratio)

Ex จงหาพจนท 10

1.1,3,5,… เปนล าดบเลขคณต d คอ 2

a10 = 1+(10-1)2 จะได 19

2. 1,4,16, … เปนล าดบเรขาคณต

อตราสวนรวมคอ 4

a10 = 1(4)10-1 จะได 262144

ชนดของล าดบ

1.ล าดบคอนเวอรเจนตหรอล าดบลเขา

(Convergent sequence) คอล าดบทหา

ได l

ไดแก 1.ล าดบเลขคณตท ผลตางรวม(d) มคาเปน 0

2.ล าดบเราขาคณตทอตราสวนรวม(r)เปน 1

3.ล าดบเรขาคณตท | r | < 1

4.ล าดบใดๆ ทสามารถหาคา l

ได

2.ล าดบไดเวอรเจนตหรอล าดบลออก (divergent

sequence) คอล าดบทหา

l

ไมไดไดแก

1.ล าดบเลขคณตทผลตางรวม(d) มคาไมเปน 0

3.ล าดบเรขาคณตท | r | 1

4.ล าดบใดๆ ทสามารถหาคา l

ไมได

Ex

1.

ใหใชตวดกรมากทสดหารทงเศษและสวน ดวย 3

แลวจะไดค าตอบเปน 6

2 หรอ 3

จงเปนล าดบคอนเวอรเจนต

2.

เราไมสามารถหาคาของ ลมตได เพราะไมสามารถ

ใชตวดกรมากทสดหารทงเศษและสวนได

จงเปนล าดบไดเวอรเจนต

คณสมบตของ l

1. l

c โดยท c เปนคาคงท แลว l

c = c

2. l

can = c l

an

3. l

(an+ bn) = l

an + l

bn

4. l

(an - bn) = l

an - l

bn

5. l

(an ⋅ bn) = l

an ⋅ l

bn

6. l

(

) =

l

l

และ l

bn ≠ 0

l

6𝑛3 𝑛2

𝑛3

l

6𝑛3 𝑛2

𝑛2


ตวอยางท 1 พจนแรกทเปนจ านวนเตมลบของล าดบเลขคณต 200, 182, 164, 146, ... มคาตาง

จากพจนท 10 เทากบขอใดตอไปน (Ent)

1. 54 2.38 3.22 4.20

วธท า ล าดบเลขคณตชดนม – 18 เปนผลตางรวม ใชสตร an = a1 + (n-1)d

หาพจนท 10 a10 = 200 + (9)(-18)

= 200 – 163

= 38

พจารณาพจนแรกทเปนจ านวนเตมลบ

38, 20, 2, -16

38 – (-16) = 54

ตอบ ขอ 1

ตวอยางท 2 ถาผลคณของล าดบเรขาคณต 3 จ านวนทเรยงตดกนเทากบ 343และผลบวกของทง

สามจ านวนเทากบ 57 แลวคามากทสดในบรรดา 3 จ านวนนเทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53)

วธท า (a1r-1)(a1)(a1r) = 343

a13 = 343

a1 = 7

เมอเราน าคาทไดมาเขยนใหม a1 + a2 + a3 = 57

a1 + 7 + a3 = 57

7r-1 + 7r = 50

น า r คณตลอด 7 + 7r2 = 50r

7r2 – 50r +7 = 0

(7r - 1)(r - 7) = 0

r = 7, 1

7

เราสามารถเขยนล าดบไดดงน 1,7,49 หรอ 49,7,1

ดงนนคามากทสดคอ 49


ตวอยางท 3 จงหาคาตอไปน l

3 :2 ;1

2 :5 ;3

วธท า ใหน า n ก าลงดกรสงสดหารทงเศษและสวน

จะได l

3 :2 ;1

2 :5 ;3 = l

3:

;

2:

;

= l

3:

;

2:

;

= 3

2

ตอบ 3

2


5 :3

2 :5 (Ent)

วธท า ใหจดรปของลมต

จะได l

5 5:3 3

2 2:5 5

แลวน า ฐานทมากทสดหารทงเศษและสวน

จะได l

= 5:

:5

= 25

ตอบ 25


4 2

วธท า พจารณาจากลมตพบวาตวสวนมการเพมขนเรวกวาตวเศษเพราะฉะนนแลวลมตจะมคา

เขาใกลศนย พจารณาฟงกชนลอการทมเปนฟงกชนทเพมชามากซงคณกบฟงกชนไซนซงมคาอย

ระหวาง –1 ถง 1 จงท าใหตวเศษมคานอยมาก

ตอบ 0

ขอควรร อตราการเพมขน ฟงกชนเอกซโพเนนเซยล > พหหาม > ฟงกชนลอการรทม

0 0

0 0


อนกรม (Series) เปนพจนของล าดบทเขยนตอเนองในรปผลบวก Sn

อนรมทมตนก าเนดจากล าดบจ ากด จะเปนอนกรมจ ากด อนกรมทมตนก าเนดจากล าดบอนนตจะ

เปนอนกรมอนนต

ตวอยางท 6 จงหาคาผลบวกของล าดบตอไปน 1 + 2 + 4 + 8 +... + a7

วธท า ใหหารปพจนทวไป จากล าดบเปนล าดบเรขาคณตมอตราสวนรวมเปน 2

จะไดพจนทวไปคอ a1(r)n-1 หรอกคอ 1(2)6

เราสามารถเขยนแจกแจงสมาชกไดคอ 1+2+4+8+16+32+64

สญลกษณแทนการบวก

เพอความสะดวกในการเขยนอนกรม เมอมจ านวนพจนมากจะท าใหเขยนไดล าบาก ดงนน

นกคณตศาสตรจงก าหนดตวอกษรกรก ∑ เรยกวาซกมาเปนสญลกษณแทนการบวก หรออาจ

กลาววา a1+ a2+a3+… +an สามารถเขยนแทนดวย

<1

อานวา การบวก ai เมอ i มคาตงแต 1 ถง n

ตวอยางการใชสญลกษณแทนการบวก

1.

5

<1

แทน 1 + 2 + 3 + 4 + 5

2 25

<1

แทน 12 + 22 + 32 + 42 + 52

3

3

<1

แทน (2+1) + (4+1) + (6 + 1)

ซงมคาเทากบ 3 + 5 + 7

4

<1

แทน (2+1) + (4+1) + (6 + 1) + (8+1) + …


ตวอยางท 7 จงหาผลบวก 20 พจนแรกของอนกรม

2

<1

วธท า ให Sn =

2

<1

2

<1

2

<1

<1

<1

2

<1

<1

.

6/ (

)

.

6/ (

)

.

6/ (

)

6

นนคอผลบวก 20 พจนแรกของอนกรมตอไปน เทากบ 16,180

อนกรมทส าคญ

1. ∑ = 1+2+3+…+n = :1

2

2. ∑ 2 = 1+22+32+…+n2 =

:1 2 :1

6

3. ∑ 3 = 1+23+33+…+n3 =*

:1

2+2

ขอควรระวง

<;1

เปนอนกรมทเรมตนจาก -1 บวกไปถงพจนท n


คณสมบตของ ∑

1.

<1

2. cf

<1

c f

<1

3. [f g ]

<1

f

<1

g

<1

อนกรมเลขคณต คอผลบวกของล าดบเลขคณต

Sn =

2(a1 + an) =

2(2a1 - (n-1)d)

Ex จงหา Sn ของ 1 + 3 + 5 +... +(2n-1)

Sn =

2 [1+(2n-1)]

=

2[2n]

= n2

อนกรมเรขาคณต คอผลบวกของล าดบเรขาคณต

Sn = ( )

1; เมอ r < 1

= ( )

;1 เมอ r > 1

Ex จงหา Sn ของ 2 + 6 + 18 + ...

Sn = ( )

3;1

= ( )

2

= 2(3n-1)

อนกรมอนนต [Infinite Series] คอ ผลบวกของพจนทกพจนในอนกรมอนนต หรอเรยกวา ลมต

ของผลบวกยอยตวท n เมอ n เขาสคาอนนต

ขอย าเตอน อนกรมอนนต ไมสามารถ หา S∞ เพราะเปนอนกรมไดเวอรเจนต

S∞ =

อนกรมคอนเวอรเจอรเจนต คอ อนกรมท S∞ หาคาได

อนกรมไดเวอรเจนต คออนกรมท S∞ หาคาไมได

l 𝑛

𝑎𝑖

𝑖<1


อนกรมเรขาคณตอนนต

S∞ =

1; และ | r | < 1

ตวอยาง ท 8 จงหาผลบวกของอนกรมตอไปน

S∞ = 8 + 4 + 2 + 1 + 1

2 + …

วธท า a1 = 8 r = 1

2

1; =

8

1;

= 4

ตวอยางท 9 จงหาผลบวก 8 พจน ของอนกรม 6 + 6.5 +7.25 +8.125 + ...

วธท า จากอนกรมทโจทยก าหนดใหเปนอนกรมผสมเรขาคณต ซงผสมกบอนกรมเลข

คณต ซงเราสามารถแยกไดเปนอนกรม 2 ชด

อนกรมชดท 1 5 + 6 + 7 + 8+... +12 เปนอนกรมเลขคณต

S8 = 8

2[5+12]

= 68

อนกรมชดท 2 1 + 0.5 + 0.25 +0.125 + ... เปนอนกรมเรขาคณต

S8 = 1[1;(

) ]

1;

=*

+

= 255

128

น าอนกรมทง 2 ชดมาบวกกนจะได 69127

128


บทท 15 แคลคลสพนฐาน

แคลคลส ถกใชประโยชนทงทางวทยาศาสตรและ

เทคโนโลยอยางกวางขวางซงเปนพนฐานในการค านวณขนสง

ตอไป

ลมต (lim) และความตอเนอง

อนพนธของฟงกชน

ปฏยานพนธของฟงกชน

อตราการเปลยนเฉลย

อตราการเปลยนขณะใดๆ เมอ y เทยบ x

ความชนเสนโคง

คาสงสด คาต าสด

ประยกตอนพนธ

ปรพนธจ ากดเขต

ปรพนธไมจ ากดเขต

พนทใตกราฟ


แคลคลส (Calculus) เปนสาขาหลกของคณตศาสตรซงพฒนามาจากพชคณต เรขาคณต

และปญหาทางฟสกส แคลคลสมตนก าเนดจากสองแนวคดหลก ดงน

แนวคดแรกคอ แคลคลสเชงอนพนธ (Differential Calculus) เปนทฤษฎทวาดวยอตรา

การเปลยนแปลง และเกยวของกบการหาอนพนธของฟงกชนทางคณตศาสตร ตวอยางเชน การ

หา ความเรว, ความเรง หรอความชนของเสนโคง บนจดทก าหนดให. ทฤษฎของอนพนธหลาย

สวนไดแรงบนดาลใจจากปญหาทางฟสกส

แนวคดทสองคอ แคลคลสเชงปรพนธ (Integral Calculus) เปนทฤษฎทไดแรงบนดาลใจ

จากการค านวณหาพนทหรอปรมาตรของรปทรงทางเรขาคณตตาง ๆ ทฤษฎนใชกราฟของฟงกชน

แทนรปทรงทางเรขาคณต และใชทฤษฎปรพนธ (หรออนทเกรต) เปนหลกในการค านวณหาพนท

และปรมาตร

พนฐานของแคลคลส มฐานมาจาก แนวคดของฟงกชน และลมต มนรวมเทคนคของ

พชคณตพนฐาน และการอปนยเชงคณตศาสตร การศกษาพนฐานของแคลคลสสมยใหม รจกกน

ในชอ การวเคราะหเชงจรง ซงประกอบดวย นยามทเครงครด และบทพสจนของทฤษฎของ

แคลคลส เชนทฤษฎการวด และการวเคราะหเชงฟงกชน

การศกษาลมตในบทเรองแคลคลส เปนการศกษาคาเขาใกล ไมใชคานนโดยตรง

ตวอยางท 1 จงแสดงคา f(x) = 2x เมอ x เขาใกล 2 แต x ≠ 2

x f(x)

1.0

1.5

1.8

1.9

1.99

1.999

2

3

3.6

3.8

3.98

3.998

x f(x)

3

2.5

2.1

2.05

2.01

2.001

6

5

4.2

4.1

4.02

4.002

จากตารางเมอ x เขาใกล 2 f(x) จะมคาเขาใกล 4


ลมต คอคาเขาใกลคาคงตวจ านวนหนง

l

f x (ลมตทางขวาของ a ) คอ ลมตของ

ฟงกชนเมอ x มคาเขาใกล a ทางขวา (x > a)

l

f x (ลมตทางซายของ a ) คอ ลมตของ

ฟงกชน เมอ x มคาเขาใกล a ทางขวา (x < a)

l

f x จะหาไดกตอเมอ

l

f x l

f x

ลมตทางซาย ตองเทากบลมตทางขวา

l 1

f x = 2

l 1

f x = 1

ดงนนเราไมสามารถหาคา l 1

f x

ความตอเนองของฟงกชน (Continuity of function)

ฟงกชนจะตอเนองกตอเมอ l

f x l

f x = f(x)

ซงสามารถตรวจสอบไดจากการวาดกราฟ แลวพจาณาลมตดานซาย ดานขวาและคาของฟงกชน

ฟงกชนตอเนองบนชวง (a,b) เมอเปนฟงกชนตอเนองททกๆจดในชวง (a,b)

ฟงกชนตอเนองบนชวง [a,b] เมอเปนฟงกชนตอเนองททกๆจดในชวง [a,b] และลมตทางซวา

ของ a = f(a) และลมตทางซายของ b =f(b)

จงพจารณาฟงกชนตอไปนเปนฟงกชนตอเนองหรอไม

f(x) {

x x x x 5;

;2 x

วธท า หา l 1

f x 1 – 3 = -2

หา l 1

f x 5;1

;2 =

4

;2 = -2

หา f(1) -2(1) = -2

ฟงกชนตอไปนเปนฟงกชนตอเนอง

a a-

1

2

a+


ตวอยางท 2 จงตอบค าหาคาตอไปนโดยพจารณาจากกราฟ

1) l 1

f x

2) l 1

f x

3) l 1

f x

4) f(1)

5) ฟงกชนตอเนองหรอไม

วธท า 1) เมอคา x เขาใกล 1ทางดานซาย (x<1)

จะไดวาคาของ f(x) เขาใกล 2

ดงนน l 1

f x = 2

2) เมอคา x เขาใกล 1ทางดานซวา (x>1)

จะไดวาคาของ f(x) เขาใกล 2

ดงนน l 1

f x = 4

3) เนองจาก l 1

f x l 1

f x

ดงนน l 1

f x จงหาคาไมได

4) f(1) = 4

5) ฟงกชนตอไปนไมตอเนองท x = 1 เพราะ l 1

f x l 1

f x

ทฤษฎบทเกยวกบลมต

1. l

โดยท c เปนคาคงท แลว l

c = c

2. l

can = c l

an

3. l

(an+ bn) =l

an +l

bn

4. l

(an - bn) =l

an - l

bn

5. l

(an ⋅ bn) =l

an ⋅ l

bn

6. l

(

) =

และ l

bn ≠ 0

7. l

(f(x))n = [l

f(x) ]n

f(x)


หลกการแกปญหาเรองลมต เรานยมแทนคา x ลงไป ซงท าใหเกดกรณตอไปน

1.ถา x เปนจ านวนจรง เราจะไดค าตอบ

2.ถาแทนแลวได

เมอ c ไมเปน 0 เราจะหาคาไมได

3.ถาแทนคาแลวได

หรอ

ใหจดรป หรอ หาอนพนธตามกฎของโลปตาล

ตวอยางท 3 จงหาลมตขอตอไปน

3) l 2

,

-

ใหเราแทนเลขลงไปจะได เปน 2

2

จะไดค าตอบคอ -1

ใหเราตอบวา ลมตดงกลาวม คาเขาใกล -1 แตค าตอบไมเทากบ -1 เปนเพยงคาเขาใกล

แตเนองจากคาเขาใกลมจ านวนมากมายเปนเซตอนนต เขาจงก าหนดวาเมอไดค าตอบตวใดออกมา

ใหตอบตวนนเลย คอ -1

4) l 2

, ;4

; :2- เมอเราน า 2 ลงไปแทนจะท าเกดเหตการณทเปน

เราจงตองจดรปเปน l 2

, :2 ;2

;1 ;2 - = l

2 ,

:2

;1-

= l 2

{ }

เมอน า 2 ไปแทนแลวจะได ลมตเขาใกล -4

ลมตตอเนองกตอเมอ l

f x = l

f x = f(x) และทง 3 ตวตองหาคาได


กฎของโลปตาล(L'Hôpital's rule)

ทฤษฎบท ให f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดบนชวงเปดทม a อย โดยท g (x) ไม

เทากบศนย ทกคา x ยกเวนท x = a

ถา l

f x = 0 และ l

g x = 0 แลว

l

= l

ทฤษฎบท ให f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธได บนชวงเปดทม a อย

ถา l

f x = ∞ และ l

g x = ∞ แลว

l

= l

ตวอยางท 4

4.1) ก าหนดให f x { 2 x 6x x

x x

จงพจารณาขอความตอไปนวาขอใดถกตอง

ก. l 4

f x = 12

ข. l 1

f x = 13

วธท าพจารณา

ก

ตรวจสอบลมตทางซาย

l 4

f x = 6x – 5

= 6(4) – 5

= 19

ตรวจสอบลมตทางขวา

l 4

f x = 3x

= 3(4)

= 12

l 4

f x ≠ l 4

f x

ดงนน l 4

f x หาไมไดขอ ก ผด

ข l 1

f x = l 1

f

= 6x – 5

= 6(3) -5

= 13

ดงนนขอ ข ถกตอง


4.2) ก าหนดให a,b,c เปนจ านวนจรง และ f เปนฟงกชน

f x

{

a √

x

b x cx x

ก าหนดให f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1 แลวจงหาคา –2(a + b-1c)

วธท า พจารณา ;√5;

;1 เมอ x = 1 จะท าใหสวนเปน 0 มเพยงกรณเดยวทท าใหสวนเปน 0 คอ

ดงนน a - √ = 0

ทจด x = 1 จะไดวา a - √ = 0 ; a = 2

ดงนน b = 2;√5;

;1

= 2;√5;

;1 2:√5;

2:√5;

= 4; 5;

;1 2:√5;

= 1

2:√5;

เมอ x = 1 = 1

2:√5;1

= 1

4

cx = 1

4

เมอ x = 1 2c(1) = 5

4

c = 5

8

–2(a + b-1c) = -2[(2) + 4(5

8)]

= -2[2+5

2]

= -4 - 5

= -9

ตอบ -9


อตราการเปลยนแปลงและอนพนธของฟงกชน

อตราการเปลยนแปลงเฉลยของ f(x) เทยบ x ในชวง x+h คอ : ;

หรอ

;

;

นยาม ถา y = (x) เปนฟงกชนใดๆ เมอคา x เปลยนเปน x+h แลวอตราการเปลยนแปลงเฉลย

ของ y เทยบ x ในชวง x ถง x+h

Ex ก าหนดให f(x) = x2+1 จงหาอตราการเปลยนแปลงเฉลยในชวง x = 2 ถง 4

=

4 ; 2

4;2

= 17;5

4;2

= 6


อนพนธของฟงกชน (The derivative of a function)

คออตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะ x มคาใดๆ คอ l

: ;

หรอ

f (x) นอกจากนเรายงสามารถเขยน f′(x) ในรปของ

อนพนธของฟงกชนคอความชนเสนโคงท

จด P(x,y) ใดๆ

ขอควรร ขนตอนการหาอนพนธเรยกวา differentiation (ดฟเฟอเรนชเอต)

จงหาอนพนธของฟงกชน f(x) = x2

f′ = l

: ;

= l

: ;

= l

:2 : ;

= l

2 :

= 2x

สตรอนพนธ

1. y = c (คาคงท) จะได y′ = 0

2. y = x จะได y′ = 1

3. y = xn จะได y′ = n(x)n-1

4. y = f g จะได y′ = f (x) g (x)

5. y = cf(x) จะได y′ = cf (x)

6. y = fg(x) จะได

y =f(x)g (x)+g(x) f (x)

7. y =

จะได y′ =

;

[ ]

8. y = (gof)(x) จะได y′ = g′(f(x)) × f′(x)


ความชนเสนโคง y = f(x) ทจด x0 คอ f′(x0) Ex ก าหนดให y2+3

จงหาความชนทจด x = 1

วธท า y = 2y

ความชนทจด x = 1 คอ 2(1) = 2

ตวอยางท 5 จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน

1.f(x) = x3 – 3x +7 2.f(x) = 5x7 + 3x4 – logsin0 tan45 3.f(x) = (2x+3)5

วธท า 1. f(x) = x3 – 3x +7

f (x) = 3x2 – 3

2. f(x) = 5x7 + 3x4 – log45 tan45

f (x) = 35x6 + 12x3 (เนองจาก log45 tan45 เปนคาคงทซงมอนพนธเปน 0)

3. f(x) = (2x+3)5

f (x) = 5(2x+3)4(2)

= 10(2x+3)4

ตวอยางท 6 ให f(x) = x3 – x2+ 2x – 1 , g(x) = f (x) จงหา (gof)(x) และ (gof)(1)

วธท า จาก g(x) = f (x) จะได

2( ) 3 2 2

( ) 6 2

f x x x

f x x

นนคอ ( ) ( ) 6 2g x f x x

จาก 3 2( )( ) ( ( )) ( 2 1)g f x g f x g x x x

3 26( 2 1) 2x x x

3 2

3 2

6 6 6 6 2

6 6 12 8

x x x

x x x

ดงนน 3 2( )(1) 6(1) 6(1) 12(1) 8g f

6 6 12 8

4


ระยะทาง ความเรว ความเรง

สมการการเคลอนทของวตถคอ s(t) = f(t) t เปนหนวยของเวลาสวนใหญจะเปนวนาท

และ s(t) คอระยะทางทวตถเคลอนทได โดยอยหางจากจดเรมตนเมอเวลาผานไป t

อตราการเปลยนแปลงของระยะทางขณะ t ใด คอs (t) ซงคอ ความเรว

อตราการเปลยนแปลงของความเรวขณะ t ใด คอ s (t) ซงคอ ความเรง


ตวอยางท 7 ก าหนดให F(x) = f(g(x)) ; g(3) =5 ; g (3) = 7 ; f (3) = -4 ; f (5) = 9 ;F (3) =

A; B = A + (A - 2) + (A - 4) + (A - 6) + … + -1 ; C = log2sin30 + 4tan60 sin60

จงหา B – 4AC

วธท า F (x) = f (g(x))(g (x))

F (3) = f (g(3))(g (3))

= (f (5))(7)

= (9)(7)

= 63 = A

พจารณา B คอ A + (A - 2) + (A - 4) +(A - 6)

= 63 + 61 + 59 +57 + … -1

จากล าดบดานบนเปนล าดบเลขคณต

พจน n มคา -1 = 63 + (n-1)(-2)

-64 = (n-1)(-2)

33 = n

ใชสตรอนกรมเลขคณต

Sn =

2(a1+an)

S33 = 33

2(63-1)

= 1023

B = 1023

พจารณา C

log2sin30 + 4tan60 sin60

= log22-1 + 4√ (

√3

2)

= -1 + (2)3

= 5

C = 5

พจารณา B – 4AC

= 1023 – (4)(63)(5)

= 1023 – 1260

= - 37

ตอบ – 37


การประยกตอนพนธ

ฟงกชน เพม คอฟงกชนทเมอ คา x เพมขน แลวท าใหคา y เพมขน หาไดจาก เมอ f′(x) > 0

ฟงกชนลด คอ ฟงกชนทเมอคา x เพมขนแลวท าใหคา y ลดลง หาไดจาก เมอ f′(x) < 0

คาสงสดและคาต าสด

1. การหาอนพนธระดบหนง

หาได f′(x) = 0 แลวหาคา x1 ทท าให f′(x1) = 0 เมอหาเสรจแลวใหพจารณาวา

f′(x1) เปลยนเครองหมาย จากคาบวกเปนคาลบ แสดงวา เปนจดสงสดสมพนธ

f′(x1) เปลยนเครองหมาย จากคาลบเปนคาบวก แสดงวา เปนจดต าสดสมพนธ

2. การหาอนพนธระดบ สอง

หาไดจากคาวกฤตจากสมการ f′(x) = 0 แลวทดสอบดวย f′′(x) (อนพนธระดบ 2)

ถา f′′(x) > 0 จะไดคาต าสดสมพนธ

ถา f′′(x) < 0 จะไดคาสงสดสมพนธ

ถา f′′(x) = 0 ใหกลบไปใชวธทหนง เนองจาก ไมสามารถใชวธท 2 หาค าตอบได

วธการหาคาสงสดสมบรณและคาต าสดสมบรณ

ถาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [a,b] แลวสามารถหาคาสงสดสมบรณและคา

ต าสดสมบรณของฟงกชน f ตามขนตอนดงน

1. หาคาวกฤตทงหมด จากการหาอนพนธของ f ในชวงปด [a,b]

2. หาคาของฟงกชน ณ คาวกฤตทได

3. หาคา f(a) และ f(b)

4. เปรยบเทยบคาทไดจากจากขอ 2 และขอ 3 ซง สามารถสรปไดวา

คามากทสดจากขอ 2 และขอ 3 เปนสงสดสมบรณของฟงกชน f

คานอยทสดจากขอ 2 และขอ 3 เปนสงสดสมบรณของฟงกชน f


ตวอยางท 8 จงหาคาสงสดสมบรณและคาต าสดสมบรณของฟงกชน f เมอ f(x) = x3 - 3x+2 บน

ชวงปด [0,2]

วธท า จาก f(x) = x3-3x+2

f (x) = 3x2 - 3

= 3(x2 - 1)

= 3(x-1)(x+1)

เพราะฉะนนจะไดคาวกฤต 2 คา คอ x = 1 และ x = -1 แต -1 ใชไมไดเพราะ - 1ไมไดอยในชวง

[0,2]

วาดกราฟ

จดท มคานอยสด เกดท x = 1 ดงนนf(1) = 13 - 3(1) + 2 จงได f(1) =0

จดท มคามากสด เกดท x = 2 ดงนนf(2) = 23 - 3(2) + 2 จงได f(2) =4

เมอพจารณาจากกราฟ พบวา f มคาสงสดท x = 2 ซงคอ f(2) =4

F มคาต าสดสมบรณท f x =1 ซงคอ f(1) =0


ปฏยานพนธ (Integration) เปนกระบวนการตรงขามกบการหาอนพนธ แบงเปน

1.ปรพนธไมจ ากดขอบเขต

2.ปรพนธจ ากดเขต

ปรพนธไมจ ากดขอบเขต

1. ∫ dx = kx+c

2. ∫ dx =

:1+c

3. ∫ f x dx = ∫ f x dx

4. ∫ f x g x = ∫ f x dx ∫ g x

ขอควรระวง ∫ f x × g x กระจายไมได

Ex จงหาคาของ ∫ x 3dx

วธท า = 8

4

= 2(x)4 + c

ปรพนธจ ากดเขต

นยาม f(x) = f′ (x) ปรพนธจ ากดเขตของฟงกชน

ตอเนอง f บนชวง x = a ถง x=b คอ

a คอขอบลาง b คอขอบบน

Ex

= 2x4 + 3

2x2-z+c

= [2(3)4 + 3

2(3)2-(3)+c ]–[2(-2)4 +

3

2(-2)2-(-2)+c ]

= 130 + 7.5 - 5

= 132.5

การประยกตปรพนธกบพนทใตโคง

ถากราฟอยเหนอแกน x

พนท =

ถากราฟอยใตแกน x

พนท =

เมอกราฟ 2 กราฟซอนกน

ใชพนทกราฟบน – พนทกราฟลาง

จงหาพนทใตกราฟตอไปน f(x) = 2 ตงแต x= 0

ถง 2

A = ∫ 2

= ∫ 2 2

= [-4] – [0]

A = -4

ดงนน พนทใตกราฟ คอ 4

𝑥3 𝑥 𝑑𝑥

3

;2

3

-2

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎


ตวอยาง ก าหนด F (x) ดงรป ก าหนดให F(0) = 4 F(6) = 4 จงหา F(5)

วธท า ∫ x 6

5 = F(6) - F(5)

12 = 4 - F(5)

F(5) = -16


บทท 16 ก าหนดการเชงเสน

ก าหนดการเชงเสน เปนเครองมอในการแกปญหาการจดสรร

ทรพยากรใหเกดประสทธภาพสงสด

สมการเชงเสน

อสมการขอจ ากด

สมการจดประสงค

การแกปญหาหาคามากสด คานอยสด


ก าหนดการเชงเสน (Linear Programming) เปนคณตศาสตรประยกตแขนงหนงทคดคน

ขน เพอแกปญหาใหเปนไปตามจดประสงคของมนษย โดยมแนวคดทวา ใหเกดประโยชนอยาง

สงสดในทรพยากรทมจ ากด สามารถใชค านวณเพอแกปญหาไดหลายอยาง เชน ค านวณการผลต

สนคาใหไดมากทสด แตเสยคาใชจายนอยทสด,หาวธการเคลอนยายทหารใหมากทสดโดยทเสย

คาใชจายนอยทสด, ผลตสนคาจ านวนนอยทสด แตท าก าไรไดมากทสด เปนตน

สมการเชงเสน (Linear equation)

รปแบบสมการทวไป ax+ by = c ; a และ b ไมเปนศนยพรอมกน

เมอน ามาเขยนกราฟ จะไดรปเสนตรงซงมความชน -

และมระยะตดแกน x เปน

ตวอยางท 1 จงวาดกราฟของสมการตอไปน 5x + 3y = 15

เมอเราวาดกราฟเราจะได กราฟตดแกน x ท (3,0) ตดแกน y ท (0,5) และพบวาสมการน

มความชนเปน - 5

3

ก าหนดการเชงเสน จะอยในรปแบบทางคณตศาสตรของสมการเชงเสนและอสมการเชง

เสน แลวหาคาสงสด ต าสดของฟงกชนทสอดคลองกบสมการ (และอสมการ) ทก าหนด ตวแบบ

คณตศาสตรประกอบดวย


สมการจดประสงค เปนสมการทสรางใหตรงกบจดประสงคทตองการ เรยกฟงกชนนวา

ฟงกชนเปาหมาย โดยจะตงสมการขนเพอหาคาสงสด หรอต าสด ขนอยกบตวแปร เขยนอยในรป

P = ax +by (คาสงสด)

C = ax +by (คานอยสด)

เชน P = 5x + 12y

เงอนไขจ ากด (เงอนไขบงคบ) ไดแกอสมการ หรอสมการทเปนเงอนไขทก าหนดให เปน

เงอนไขทถกจ ากดของทรพยากร หรอตวแปร เชน 2x + y < 100 และ x > 0

หลกการแกปญหา

1. ใหน าอสมการขอจ ากดไปวาดกราฟ

2. คาสงสด และต าสดของ P จะอยทจดมมของพนทปดของกราฟ

3. ในกรณพนทเปดอาจจะมคาสงสด,ต าสด หรอไมกได


Ex ก าหนดสมการจดประสงคคอ P = 3x – 2y และสมการขอจ ากดคอ y 5, x 0, x+y 10

จงหาคาสงสดของ P

วธท า จด A อยท (0,5) เกดจาก คอ y 5, x 0

จด B อยทจด (0,10) เกดจาก x = 0 ตดกบ x+y=10

0 + y = 10

y = 10 เมอ y = 10 x = 0

จด C อยท (5,5) เกดจาก y = 5 ตดกบ x+y=10

x + 5 = 10

x = 5 เมอ x = 5 แลว y = 5

วธท าท 1 แทนคาลงไปในแตละจด

จดมม P = 3x – 2y

A(0,5) 3(0) – 2(5) = -10

B(0,10) 3(0) – 2(10) = -20

C(5,5) 3(5) - 2(5) = 5

P สงสดเมอ x = 5 y = 5 โดยท P = 5


วธท าท 2 จดรปหาความชน

ขนท 1 จดรปเพอใหสามารถหาความชนไดในสมการจดประสงค

P = 3x – 2y

2y = 3x – P

y = 3

2x -

2

ขนท 2 ก าหนดจด 2 จดโดยทจดแรก

อยเหนอกราฟบรเวณใดกได จดท 2อยใตกราฟบรเวณใดกได

ก าหนดจด H (-4,5) แทนลงในสมการจดประสงคจะไดวา

P = 3(-4) – 2(5) = -22

ก าหนดจด O (-3,-6) แทนลงในสมการจดประสงคจะไดวา

P = 3(-3) – 2(-6) = 3

จากตรวจสอบพบวาเมอจดใดๆทอยใตกราฟจดประสงคจะมคามาก

ขนตอนท 3 ใหเลอนกราฟเพอหาค าต าแหนงทตองการ

จากสมการจดประสงคใหเลอนกราฟจากบรเวณมากไปนอยดงรปขางตนเมอสมการจดประสงคจะ

ตดทจด C เปนจดแรก แสดงวาจด C มคาวสงสด


ขอควรระวงเมอใชวธท าท 2 จดรปหาความชน

รปแบบการเลอนเพอหาต าแหนงในโจทยแตละขอจะไดวธท าทไมเหมอนกน

Ex ก าหนดสมการจดประสงคคอ P = 3x – 2y และสมการขอจ ากดคอ y 5, x 0, x+y 10

จงหาต าของ P

วธจากโจทยเราไมสามารถใชวธการเลอนแบบเดมไดเพราะการเลอนต าแหนง

จากต าแหนงมากมานอย เพอหาจดสงสด เมอสมการจดประสงคตดทจดแรกใดในพนท

ใหโจทยขอน

จากต าแหนงนอยมามาย เพอหาจดต าสด เมอสมการจดประสงคตดทจดแรกใดในพนท

ดงนนจด B จงมคาต าสด


ตวอยางท 1 ก าหนด P = ax + 2y และมเงอนไขดงน

2x + y ≥ 50

x+2 ≥70

x ≥ 0 , y≥0

ถาคาสงสดของ P เทากบ 100 แลวคา a เทากบคาในขอใดตอไปน (Ent 44 มนาฯ)

1.1 2.2 3.4 4.6

วธท า ขนแรกใหวาดกราฟ

จดทกราฟทง 2 กราฟตดกนคอ

2x+y=50 ----- (1)

x+2y=70 ----- (2)

(1)×2 4x+2y=100 -- (3)

(3) – (2) 3x = 30

x = 10

y = 3

เนองจาก สมการจดประสงคเราไมสามารถหาความชนไดเนองจากตดคา a

(x,y) P = ax + 2y P

(0,0) a(0)+2(0) 0

(0,35) a(0)+2(35) 70

(25,0) a(25)+2(0) 25a

(10,30) a(10)+2(30) 10a+60

ดงนนคา P สงสดจะเกดขนทจด (10,30)

P = 10a + 60

100 = 10a + 60

40 = 10a

a = 4

ดงนน ตอบขอ 2


ตวอยางท 2 ก าหนดฟงกชนจดประสงคและอสมการขอจ ากดดงน

C = 40x +32y

6x + 2y 12

2x + 2y 8

4x +12y 24

คาต าสดของ C เทากบเทากบขอใดตอไปน (Ent)

1. 108 2.112 3.136 4.152

วธท า (ใชวธตรวจสอบดวยความชน) ขนแรกใหวาดกราฟ

6x + 2y = 12 ตดแกนท (0,6) (2,0)

2x + 2y 8 ตดแกนท (0,4) (4,0)

4x +12y 24 ตดแกนท (0,2) (6,0)

หาจด X

เกดจาก 6x+2y = 12 --- (1)

ตดกบ 2x+2y 8 --- (2)

(1) - (2) 4x = 4

x = 1

แทน x ใน (2) 2(1)+2y = 8

2y = 6

y = 3

จดตด (1,3)

หาจด Y

เกดจาก 2x+2y 8 --- (1)

ตดกบ 4x+12y 24 --- (2)

(2) – 2(1) 8y = 8

y =1

แทน y ใน (1) 2x+2(1)=8

2x = 6

x = 3

จดตด (3,1)

หาจด Z

เกดจาก 6x+2y = 12 --- (1)

ตดกบ 4x+12y = 24 --- (2)

(2) – 6(1) -32x = -48

x = 48

32 หรอ x =

3

2

แทน x ใน (1) 6(3

2)+2y = 12

9 + 2y = 12

y = 3

2

จดตด (3

2, 3

2)

ตรวจสอบดวยความชน จดรป C = 40x +32y ใหอยในรปของสมการความชน

y = 4

32x +

1

32C ความชน m =

4

32 หรอ

5

4


ตรวจสอบกราฟ สมการจดประสงค

ดงนนเพอใหไดคานอยทสด ตองเลอนกราฟจากดานลางเมอกราฟสมการตดประสงคตด

จดใดเปนจดแรกแสดงวาจดนนเปนคานอยสด

เลอนกราฟสมการจดประสงค

จากการตรวจสอบดวยความชนพบวาสมการ

จดประสงคทจด Z เปนจดแรกดงนนจด Z จงม

คานอยสด

น าพกดของ Z มาแทนลงในสมการจดประสงคจะไดค าตอบ

C = 40(3

2) +32(

3

2)

= 108

ดงนน ตอบ ขอ 1


ขาพเจา ในนามผเขยน ขอพระคณทกทานในการตดตามเนอหาของหนงสอเลมนจนจบ

เลม ขาพเจาหวงวาหนงสอสรปแกนคณตศาสตร ม.ปลาย จะเปนประโยชนตอทกทาน ไมมากก

นอย หากหนงสอเลมนมขอผดพลาดประการใดตองขออภยมา ณ ทนดวย ทางผเขยนจะรบ

ปรบปรงแกไขใหถกตองโดยเรวทสด ทานสามารถแจงขอผดพลาดไดท [email protected]

ผลงานเขยนสรปแกนคณตศาสตร ม.ปลาย (MATH KIT EBOOK) เปนหนงสอ

อเลกทรอนกสทท าขนโดยวตถประสงคเพอยกระดบความร ความสามารถ ของผทมความสนใจ ซง

ทางผเขยนแจกฟรในทกชองทาง และจะพฒนาตอไปใหดยงขน

แตอยางไรกตามกระบวนการพฒนาหนงสอตองใชเวลาและคาใชจายในการพฒนา

MATH KIT EBOOK เพอใหหนงสอเลมนไดมการพฒนาปรบปรงใหสอดคลองกบหลกสตรตอไป

ทานผอาน หากทานเหนวาหนงสอเลมนเปนประโยชนกสามารถบรจาคเงนในการสนบสนนการ

พฒนาหนงสอเลมนตอไป ทานสามารถใหความสนบสนนได โดยอทศเงนเพยงเลกนอย ตามความ

ประสงค

บญชออมทรพย ธนาคารกสกรไทย

เลขทบญช 081-2-76272-9

ชอบญช คณน องศนตย

ทานทแจงรหสการน าฝากหรอโอนมายงอเมล [email protected] ในนามของ

ผเขยน เงนสนบสนนของทานททานเสยสละในการพฒนาหนงสอสอเลมนจะเปนประโยชนตอ

สงคม สบตอไป


ขอขอบพระคณ

อาจารยยทธนา เฉลมเกยรตสกล

อาจารยสวรย เมธาววนจ

math kit ebook

Documents