math: matrices (dutch)

Overzicht

DefinitiesDefinities

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

LineairstelselOplossen

Controle

Determinantenen lineairestelselsDeterminant

Inverse

Cramer

Herhaling

HOOFDSTUK 2: MATRICES EN DETERMINANTEN

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

OVERZICHT

DEFINITIES:

definitieterminologie

BEWERKINGEN:

optellenvermenigvuldigeninverse matrix

LINEAIR STELSEL:

DETERMINANTEN EN LINEAIRE STELSELS:

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

OVERZICHT

DEFINITIES:

BEWERKINGEN:

LINEAIR STELSEL:

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

OVERZICHT

DEFINITIES:

BEWERKINGEN:

LINEAIR STELSEL:

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

OVERZICHT

DEFINITIES:

BEWERKINGEN:

LINEAIR STELSEL:

oplossing via matricescontrole van de geldigheid

berekening van determinantberekening van inverse via determinantstelsel van Cramer

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

OVERZICHT

DEFINITIES:

BEWERKINGEN:

LINEAIR STELSEL:

oplossing via matricescontrole van de geldigheid

berekening van determinantberekening van inverse via determinantstelsel van Cramer

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

DEFINITIES EN TERMINOLOGIE

DEFINITIE

A is een matrix ⇐⇒ A=

a11 a12 . . . a1j . . . a1la21 a22 . . . a2j . . . a2l

...... . . .

... . . ....

ai1 ai2 . . . aij . . . ail...

... . . .... . . .

...ak1 ak2 . . . akj . . . akl

DEFINITIE

k rijen en l kolommen → (k × l) matrixelement aij of ai ,j

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

DEFINITIE

A is een matrix ⇐⇒ A=

a11 a12 . . . a1j . . . a1la21 a22 . . . a2j . . . a2l

...... . . .

... . . ....

ai1 ai2 . . . aij . . . ail...

... . . .... . . .

...ak1 ak2 . . . akj . . . akl

DEFINITIE

k rijen en l kolommen → (k × l) matrixelement aij of ai ,j

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

VOORBEELD

VOORBEELD:

40 40 20 3031 27 16 2526 34 12 2521 27 9 2829 30 13 21

5 rijen en 4 kolommen → (5×4) matrixelement a21 = 31

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

VOORBEELD

VOORBEELD:

40 40 20 3031 27 16 2526 34 12 2521 27 9 2829 30 13 21

5 rijen en 4 kolommen → (5×4) matrixelement a21 = 31

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

DEFINITIE

A is een nulmatrix ⇐⇒ ∀i , j : aij = 0

VOORBEELD:

0=(0 0 00 0 0

DEFINITIE

A is een vierkante matrix ⇐⇒ k = l

VOORBEELD:

A=−2 0 3

1 0 20 −4 1

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

DEFINITIE

A is een nulmatrix ⇐⇒ ∀i , j : aij = 0

VOORBEELD:

0=(0 0 00 0 0

DEFINITIE

A is een vierkante matrix ⇐⇒ k = l

VOORBEELD:

A=−2 0 3

1 0 20 −4 1

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

DEFINITIE

A is een symmetrische matrix ⇐⇒ ∀i , j : aij = aji

VOORBEELD:

A=−2 0 3

0 5 −43 −4 1

DEFINITIE

A is een eenheidsmatrix ⇐⇒ k = l en∀i = j : aij = 1,∀i 6= j : aij = 0

VOORBEELD:

I2 =(1 00 1

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

DEFINITIE

A is een symmetrische matrix ⇐⇒ ∀i , j : aij = aji

VOORBEELD:

A=−2 0 3

0 5 −43 −4 1

DEFINITIE

A is een eenheidsmatrix ⇐⇒ k = l en∀i = j : aij = 1,∀i 6= j : aij = 0

VOORBEELD:

I2 =(1 00 1

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

OPTELLEN VAN TWEE MATRICES

DEFINITIEa11 . . . a1l...

. . ....

ak1 . . . akl

+b11 . . . b1l

.... . .

...bk1 . . . bkl

c11 . . . c1l...

. . ....

ck1 . . . ckl

met cij = aij +bij

DEFINITIE

1 inwendige bewerking: A+B is een matrix2 associativiteit: A+ (B+C)= (A+B)+C3 neutraal element: A+0=A4 symmetrisch element: A+ (−A)= 05 commutativiteit: A+B =B+A

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

VERMENIGVULDIGEN MET EEN REËEL GETAL

DEFINITIE

a11 . . . a1l...

. . ....

ak1 . . . akl

c11 . . . c1l...

. . ....

ck1 . . . ckl

met cij = k .aij

DEFINITIE

∀r ,s ∈R1 eerste distributiviteit: r(A+B)= rA+ rB2 tweede distributiviteit: (r +s)A= rA+sA3 gemengde associativiteit: rs(A)= r(sA)

4 neutraal element: 1.A=A5 opslorpend element: 0.A= 0

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

VERMENIGVULDIGEN VAN TWEE MATRICES

DEFINITIE

(a1 a2 . . . ai . . . am

b1b2...

met c = a1b1 +a2b2 + . . .+aibi . . .ambm

DEFINITIE

A.B =C met A= (1×m),B = (m×1),C = (1×1)

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

DEFINITIE

(a1 a2 . . . ai . . . am

b1b2...

met c = a1b1 +a2b2 + . . .+aibi . . .ambm

DEFINITIE

A.B =C met A= (1×m),B = (m×1),C = (1×1)

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

DEFINITIE

a11 . . . a1l...

. . ....

ai1 . . . ail...

. . ....

am1 . . . aml

b11 . . . b1j . . . b1n

... . . .... . . .

...bl1 . . . blj . . . bln

c11 . . . c1j . . . c1n... . . .

... . . ....

ci1 . . . cij . . . cin... . . .

... . . ....

cm1 . . . cmj . . . cmn

met cij =Ai .Bj = ai1b1j +ai2b2j + . . .+ailblj

DEFINITIE

Ai =(ai1 ai2 . . . ail

b1jb2j...

DEFINITIE

A.B =C met A= (m× l),B = (l ×n),C = (m×n)

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

DEFINITIE

a11 . . . a1l...

. . ....

ai1 . . . ail...

. . ....

am1 . . . aml

b11 . . . b1j . . . b1n

... . . .... . . .

...bl1 . . . blj . . . bln

c11 . . . c1j . . . c1n... . . .

... . . ....

ci1 . . . cij . . . cin... . . .

... . . ....

cm1 . . . cmj . . . cmn

DEFINITIE

b1jb2j...

DEFINITIE

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

DEFINITIE

a11 . . . a1l...

. . ....

ai1 . . . ail...

. . ....

am1 . . . aml

b11 . . . b1j . . . b1n

... . . .... . . .

...bl1 . . . blj . . . bln

c11 . . . c1j . . . c1n... . . .

... . . ....

ci1 . . . cij . . . cin... . . .

... . . ....

cm1 . . . cmj . . . cmn

DEFINITIE

b1jb2j...

DEFINITIE

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

DEFINITIE

1 geen commutativiteit: A.B 6=B.A2 associativiteit: A.(B.C)= (A.B).C3 distributiviteit: A.(B+C)= (A.B)+ (A.C)

4 neutraal element: A.In = In.A=A (met A= (n×n))

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

GETRANSPONEERDE MATRIX

DEFINITIE

a11 . . . a1l...

. . ....

ai1 . . . ail...

. . ....

am1 . . . aml

⇒AT =

a11 . . . ai1 . . . am1...

. . ....

a1l . . . ail . . . aml

DEFINITIE

∀k ∈R1 (A+B)T =AT +BT

2 (A.B)T =BT .AT

3 (kA)T = k(AT )

4 (AT )T =A

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

GETRANSPONEERDE MATRIX

DEFINITIE

a11 . . . a1l...

. . ....

ai1 . . . ail...

. . ....

am1 . . . aml

⇒AT =

a11 . . . ai1 . . . am1...

. . ....

a1l . . . ail . . . aml

DEFINITIE

∀k ∈R1 (A+B)T =AT +BT

2 (A.B)T =BT .AT

3 (kA)T = k(AT )

4 (AT )T =A

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

INVERSE MATRIX

DEFINITIE

A︸︷︷︸(n×n)

. A−1︸︷︷︸(n×n)

= A−1︸︷︷︸(n×n)

. A︸︷︷︸(n×n)

= In︸︷︷︸(n×n)

DEFINITIE

1 (A.B)−1 =B−1.A−1

Later meer!

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

INVERSE MATRIX

DEFINITIE

A︸︷︷︸(n×n)

. A−1︸︷︷︸(n×n)

= A−1︸︷︷︸(n×n)

. A︸︷︷︸(n×n)

= In︸︷︷︸(n×n)

DEFINITIE

1 (A.B)−1 =B−1.A−1

Later meer!

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

INVERSE MATRIX

DEFINITIE

A︸︷︷︸(n×n)

. A−1︸︷︷︸(n×n)

= A−1︸︷︷︸(n×n)

. A︸︷︷︸(n×n)

= In︸︷︷︸(n×n)

DEFINITIE

1 (A.B)−1 =B−1.A−1

Later meer!

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

IEDEREEN NOG WAKKER?

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

DEFINITIE VAN EEN LINEAIR STELSEL (ZIE H.1)

DEFINITIE

Een stelsel (geheel) van lineaire vergelijkingen:a11x1 +a12x2 + . . .+a1nxn = b1a21x1 +a22x2 + . . .+a2nxn = b2...am1x1 +am2x2 + . . .+amnxn = bm

1 m vergelijkingen en n onbekenden2 aij ,bi ∈R

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

DEFINITIE

1 m vergelijkingen en n onbekenden2 aij ,bi ∈R

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

DEFINITIE

IN MATRIXVORM:a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

. . ....

am1 am2 . . . amn

x1x2...

b1b2...

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

OPLOSSING AAN DE HAND VAN MATRICES

DEFINITIE

Indien A−1 bestaat, dan geldt:

A.X =B

⇐⇒ A−1.A.X =A−1.B

⇐⇒ I.X =A−1.B

⇐⇒ X =A−1.B

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

VOORBEELD:{3x +2y = 71x −1y = 4 en

{x = 3y =−1

CONTROLE:(3 21 −1

(3−1

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

VOORBEELD:{3x +2y = 71x −1y = 4 en

{x = 3y =−1

CONTROLE:(3 21 −1

(3−1

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

DEFINITIE VAN DE DETERMINANT

DEFINITIE

De matrix A= (n×n) heeft een determinant det(A) of |A|

1 det(A1A2 . . .Ai . . .Aj . . .An)=−det(A1A2 . . .Aj . . .Ai . . .An)

2 det(A1A2 . . .λAi . . .An)= λdet(A1A2 . . .Ai . . .An)

3 det(A1A2 . . .Ai +Aj . . .An)=det(A1A2 . . .Ai . . .An)+det(A1A2 . . .Aj . . .An)

4 det(In)= 1

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

DEFINITIE

De matrix A= (n×n) heeft een determinant det(A) of |A|

1 det(A1A2 . . .Ai . . .Aj . . .An)=−det(A1A2 . . .Aj . . .Ai . . .An)

2 det(A1A2 . . .λAi . . .An)= λdet(A1A2 . . .Ai . . .An)

3 det(A1A2 . . .Ai +Aj . . .An)=det(A1A2 . . .Ai . . .An)+det(A1A2 . . .Aj . . .An)

4 det(In)= 1

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

1 det(A1A2 . . .Ai . . .Ai . . .An)=−det(A1A2 . . .Ai . . .Ai . . .An)⇒ detA= 0

2 det(λA)= det(λA1λA2 . . .λAi . . .λAn)= λn detA3 det(A1A2 . . .0 . . .An)= det(A1A2 . . .Ai −Ai . . .An)=

det(A1A2 . . .Ai . . .An)−det(A1A2 . . .Ai . . .An)= 0

4 det(A1A2 . . .Ai . . .An)= det(A1A2 . . .Ai +n∑

j=1, 6=iλjAj . . .An)

a 0 . . . 00 b . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a 0 . . . 00 b . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= a.b. . . . .z

6 Dit geldt ook allemaal voor de rijen! (zie verder)

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

BEREKENING VAN DE DETERMINANT

n = 2∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣=

∣∣∣∣a+0 0+b0+c d +0

∣∣∣∣=

∣∣∣∣a 0+b0 d +0

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣0 0+bc d +0

∣∣∣∣=

∣∣∣∣a 00 d

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣a b0 0

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣0 0c d

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣0 bc 0

∣∣∣∣= ad +0+0−bc= ad −bc

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

BEREKENING VAN DE DETERMINANT

n = 3(Sarrus)∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i

= aei +bfg+cdh−ceg−bdi −afh

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

BEREKENING VAN DE DETERMINANT:ORDEVERLAGING

DEFINITIE

Minor van aij = |∆ij |: schrap in matrix A rij i en kolom j enbereken de det

DEFINITIE

Cofactor van aij =Aij = (−1)i+j |∆ij |

DEFINITIE

Determinant:

det(A)=n∑

i=1aijAij of det(A)=

n∑j=1

aijAij

Keuze van rij of kolom onbelangrijk (maar kan welrekenwerk besparen, cfr rij of kolom met veel maal 0)!

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

DEFINITIE

Determinant:

det(A)=n∑

n∑j=1

aijAij

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

DEFINITIE

Determinant:

det(A)=n∑

n∑j=1

aijAij

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

DEFINITIE

Determinant:

det(A)=n∑

n∑j=1

aijAij

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

BEREKENING VAN DE INVERSE

DEFINITIE

Toegevoegde matrix adj (A):1 Stel AT op2 Vervang elke aij door Aij = (−1)i+j |∆ij |

DEFINITIE

Inverse matrix A−1 = adj (A)

det(A)

EIGENSCHAPPEN:

1 det(A)= det(AT )

2 A is inverteerbaar ⇐⇒ det(A) 6= 03 det(AB)= det(A)det(B)

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

DEFINITIE

det(A)

EIGENSCHAPPEN:

1 det(A)= det(AT )

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

DEFINITIE

det(A)

EIGENSCHAPPEN:

1 det(A)= det(AT )

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

DE METHODE VAN CRAMER

GEGEVEN:

A︸︷︷︸(n×n)

. X︸︷︷︸(n×1)

= B︸︷︷︸(n×1)

en det(A) 6= 0

WE NOTEREN:

A= (A1A2 . . .Ai−1AiAi+1 . . .An)

X = (X1)

B = (B1)

DEFINITIE

xi =det(A1A2 . . .Ai−1B1Ai+1 . . .An)

det(A1A2 . . .Ai−1AiAi+1 . . .An)= det(Ai)

det(A)

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

GEGEVEN:

A︸︷︷︸(n×n)

. X︸︷︷︸(n×1)

= B︸︷︷︸(n×1)

en det(A) 6= 0

WE NOTEREN:

A= (A1A2 . . .Ai−1AiAi+1 . . .An)

X = (X1)

B = (B1)

DEFINITIE

xi =det(A1A2 . . .Ai−1B1Ai+1 . . .An)

det(A)

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

GEGEVEN:

A︸︷︷︸(n×n)

. X︸︷︷︸(n×1)

= B︸︷︷︸(n×1)

en det(A) 6= 0

WE NOTEREN:

A= (A1A2 . . .Ai−1AiAi+1 . . .An)

X = (X1)

B = (B1)

DEFINITIE

xi =det(A1A2 . . .Ai−1B1Ai+1 . . .An)

det(A)

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

DE METHODE VAN CRAMER: VOORBEELD

GEGEVEN: (k 2k −11 −3k

k −6

STAP 1: det(A) ∣∣∣∣k 2k −11 −3k

∣∣∣∣=−3k2 −2k +1

Voorwaarde: |A| 6= 0 ⇐⇒ −3k2 −2k +1 6= 0 ⇐⇒ k 6∈ {−1, 13 }

STAP 2A: k 6∈ {−1, 13 }

∣∣∣∣ 7 2k −1k −6 −3k

∣∣∣∣−3k2 −2k +1

= −2k2 −21k −6−3k2 −2k +1

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

k −6

STAP 1: det(A) ∣∣∣∣k 2k −11 −3k

∣∣∣∣=−3k2 −2k +1

Voorwaarde: |A| 6= 0 ⇐⇒ −3k2 −2k +1 6= 0 ⇐⇒ k 6∈ {−1, 13 }

STAP 2A: k 6∈ {−1, 13 }

∣∣∣∣ 7 2k −1k −6 −3k

∣∣∣∣−3k2 −2k +1

= −2k2 −21k −6−3k2 −2k +1

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

k −6

STAP 1: det(A) ∣∣∣∣k 2k −11 −3k

∣∣∣∣=−3k2 −2k +1

Voorwaarde: |A| 6= 0 ⇐⇒ −3k2 −2k +1 6= 0 ⇐⇒ k 6∈ {−1, 13 }

STAP 2A: k 6∈ {−1, 13 }

∣∣∣∣ 7 2k −1k −6 −3k

∣∣∣∣−3k2 −2k +1

= −2k2 −21k −6−3k2 −2k +1

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

k −6

STAP 2A: k 6∈ {−1, 13 }

∣∣∣∣k 71 k −6

∣∣∣∣−3k2 −2k +1

= k2 −6k −7−3k2 −2k +1

⇒ 1 oplossingen: (x ,y)= (−2k2 −21k −6−3k2 −2k +1

,k2 −6k −7

−3k2 −2k +1)

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

k −6

STAP 2A: k 6∈ {−1, 13 }

∣∣∣∣k 71 k −6

∣∣∣∣−3k2 −2k +1

= k2 −6k −7−3k2 −2k +1

⇒ 1 oplossingen: (x ,y)= (−2k2 −21k −6−3k2 −2k +1

,k2 −6k −7

−3k2 −2k +1)

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

k −6

STAP 2B: k =−1 { −x −3y = 7+x +3y =−7

⇒∞ oplossingen: (x ,y)= (−7−3t , t)

STAP 2C: k = 13 {

x −y = 2x −y =−17

⇒Ø oplossing

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

k −6

STAP 2B: k =−1 { −x −3y = 7+x +3y =−7

STAP 2C: k = 13 {

x −y = 2x −y =−17

⇒Ø oplossing

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

k −6

STAP 2B: k =−1 { −x −3y = 7+x +3y =−7

STAP 2C: k = 13 {

x −y = 2x −y =−17

⇒Ø oplossing

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

OPLOSSEN VAN EEN STELSEL

CFR H1. (STELSELS LINEAIRE VERGELIJKINGEN):

1 door substitutie2 via methode van Gauss3 via methode van Gauss-Jordan

CFR H2. (MATRICES):

1 via A−1

2 via methode van Cramer

Overzicht

Terminologie

Bewerkingenoptellen

vermenigvuldigen

Inverse

Controle

Inverse

Cramer

Herhaling

OPLOSSEN VAN EEN STELSEL

CFR H1. (STELSELS LINEAIRE VERGELIJKINGEN):

1 door substitutie2 via methode van Gauss3 via methode van Gauss-Jordan

CFR H2. (MATRICES):

1 via A−1

2 via methode van Cramer

math: matrices (dutch)

Travel

een matrix

stelsel oplossenak

inverse lineair stelsel29

a1l denities

een vierkante matrix

een symmetrische matrix

v oorbeeld mm001h2

vermenigvuldigen inverse3