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Classe : 4à* Sc expLycées Tahar Sfar etIbn Sirn MaMia

@ebùif ùe g-*.F'*n flo I

a9 /12 / 2009 Profs : Mme Turki etMrs Baccar, Hamm etMeddeb

Ia

Ex.qcice nol : (3 pts)

Pour clmcune des propositions xtivantes, rëporùe par woi oufaux sans justification.

(Ine rfrTnnse exncte rqporte 0,51nint, une ré7nnse inexacte enlè've 0,25 7nint, l'abserrce de réponse estcomfiée 0 point. Si le total est négstif, Ia tnte sera rwwrÉe à zéro.

1) Soit f une foqction deux fois dérivable zur [0,+æ[.La courbe représentative de sa fonction dérivée f'dans un repère (O,i,i) est donnee par le graphique

ci-contre.Soit4lacouôereprésentative de f .

a/ f est decroissante zur [1, +æ[.

b/ I-epoint d'abscisse I est un point d'inflexion de€.

c| ? aunç demi-tangeûte horizontale au point d'abscisse 0. _? 1

2) Soit g une fonction dérivable zur IR* telle que, pourtout x E IR+, i = g'(r) <;

On a alors, pour tout x E lR*. -2 1

al Trsg(x)s3x.

bl lg(x)-s(o) l =I ,c/ Si gt(O) : 0, alors la couôe représentative de g est comprise entre les droites d'fuuations :

-2 1Y -Tx d Y:î ' -

Exæcice noZ : (5,5.pts)

Le plan complexe est muni d'un repere orthonormé direct (O,û,i). unité graphique :2cm.

1) Onrappelleque, poûrtousnombrescomplexesdetb'.as -bs = tq*b)(az +ab +b2).Résoudre darns I'ensemble des nombres complexes l'équation : 23 = 8.

2) On désigne pN A, B â C les points d'afiixes respec{ivÊs a,b et c définies par :

a=2, b=-1 +6f3 etc=;1- iJ3.al Détennirrer la forme exponentielle dc chacun des nombres complexes ù et c.

b/ Plaær les points,4 , Ea C dans le repère (O,û,ù).

3) Soit B'le point d'affixe b' = 2 + 1Æ + 3i .o/ Montrer que le triangle ABB'est rectangle et isocèl e en A.

b/ Placer le point B' dans Ie repère {O,û,û).4) SoitMle milieu de IBB'), on désigne per m l'affixe deM.

a/ Montrer que m :ry(r + irfrJ .b/ En deduire que les points O, C *M sont alignés.

ElSsqlcg .n'4 : ft,s Fs)

Soit / la fonction définie sur [-1 , 1] par : f (x) - (1 - ù:..Gî' '

l'l a/ Etudier la derivabiliæ de ;r à gauche en 1 et à droite en (-1)'

b / lnterprélter geometriquement les résultats.

2) e/ Montrer que f est dérivable sur J-l , 1[ et calcul et f '(x).

b / F-tudier le signe de f ' (x) et dresser le tableau de variations de f .

3) Montrer que l'équation f(r) = x odrnet dans J0,1[ une solution unique a.

Exqclce no4 : (7 Fs)

Qn considère les zuites (I çtY défrnies sur IN pat :

Uo = 2 et pourtouta € I/V U^ -h et Un+r:u'.+Yn

Calculer :Va,U1,V1 ,U2 etVz ,

Montrer par récdrrence que, pour tout n €. IN , on a :

3) Montrer que, pourtout n € IN, on a : Un+t -Vn+t =z(un+v,.) t1] (On pourra remarquer

que:Urr.Vn=2).4) Montrer par réorrrence, que pour tout n € ItV, on a : Un ) Vn

5) Mcntrer cpe [/ est deeroissante et que V est croissante.

6) Montrer que, pour tout n € I/V, on a : Un --

Vn 1 l.

En déduire que (Ur, -Vn)' = IIn -Yn. tzl7) Enutilisant les relations [1] et [2], montrer que, pour tout n € /JV, on a :

(Jn+r -Vn+r l ltU"-V).

En deduire que, pour tout n € //V, on a : Un - Vn= (;)".

8) Montrer que les deux suites Il etV sont convergentes vers la même limite I qu'-oncalculera.

&o#e ciâûæ

r)

2){ l<Un<

1",[1s Y,, <(un-vn)'

n_-

a

fuebgit ùe gpntf;a^ n" I Classe.: 4"-" Sc exp

Date : 08 /12 / 2010 Prafs : Mme Turki et Mrs Hamza et Meddeb

ExæcÎce nol : (5 pts)

Sur la figure cidessous est tracée la courbe représentative Cy d'une fonction dérivable sur

[$,,+f [. On désigne par /' la fonction dérivée de f .

On sait que :

- L'axe des abscisses est une asymptote à Ç au voisinage de +æ.- La courbe Ç admet une tangente parallèle à I'axe des abscisses.au point A.- La tangente à Cs au point B passe par A.1) A partir du graphique et des renseignements fournis :

a/ Dêterminer ,liml (x), f'(l) et f'(2)

b/ Déterminer le signe de f '(x) suivant les valeurs de x.

2) Soit g la fonctioh définie sur l0 , +*[ par : g(x) = + .f (x) '

a/ Calculer : l im e(x ) , 1im g(x \ , g'(1") et g'(2).

b/ Etudier les variations de la fonction g sur 10, +co[.

3) Soit h la fonction définie sur 10, +æ[ par : h(x) = / f lj" \x/

a/ Calculer:

b/ Çalculer

et , l jg/ t (x),tT. nt'l

/, ' l -l- l.ta l

-***_-l

ExercÎçe, no2 : (7 Pæ)

Soit a un nombre complexe tel que lal=Z '

1) Résoudre dans I'ensemble c de nombres complexes l'équation :

z2 +2iz - l -uz =0 '

2| Leplan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ,i,i) '

.s soient A, M etN les points d'affixes respectives 2i, -i - a et -i + d

o/Déterminer I'affixe du point / milieu ae lUt't I et calculer la distance MN'

b / Êndéduire que M et N appartiennent à un cercle '€ dont on déterminera le centre et

le raYon.

3) a/soit ,t un nombre complexe, montrer l'équivalence suivant :

z .t -z u : k (z N -z u) si et seulement si (zk -t\a:li '

b/ En déduire que :

( M, N et,4 sont alignés ) si et seulement si ( a est un imaginaire )'

Déterminerdansceæslesvaleurspossib|esdea'

4) Dans cette question, on suppose que les points M, N etl ne sont pas alignés'

a/ Montrer que o est le centre de gravité du triangle AMN'

bl Dêtermrner les valeurs de a pour que le triangle AMN soit isocèle de sommet

princiPal l '

Exæci€e n"3 : (8 Pts)

1) a/Vérifier que, pourtout x ) 0, on a " l7q - x -

L-

{11+t+x

b/ Endéduire que, pour tout x > 0, 'lm - x ) 0'

2) on considère ta fonction f définie sur [0, +*[ par . f(r ) =;(.F' .l -t )

a/ Calculer ,lim/ (x )

b/ Montrer que / est dérivable sur [0, +æ[ et que f '(x) = -f !*)t 'Jxz +l

c/ Etablir le tableau de variation de f et déterminer f ( [0, +æ;;.

3) On pose : g{x) = f (x) - x, x E [0, +oo['

c/ Etudier le ses de variation de g'

b / Montrer que |'équation : g(x): 0, admet dans [0 , +æ1 une so|ution unique a et que

0,3 < a 1O,4.

. r ttat!* ' - f - - r ' -

4) Soit la suite U définie sur I/V par : { to =o

lU,u =f (U,), neN

al Montrer par récurrence que, pour tout n € I/V, 0 S Iln

b/ Calculer U, et vérifier que Ur> a .

c/ Sans calculer U, , montrer que U z 1d. Que peut-on déduire de la monotonie de U ?

5) al Montrerque, pourtoutr 20, l f ' {el =; .

En déduire, en utilisant I'inégalité des accroissements finis, que :

I u,*, -alsll u,-al, Pour tout n € //v.

'b/ Endéduire que: lu,-ol=r*l ', pourtoutn € /N.\z)

c/ Montrer alors que la suite U est convergente et déterminer sa limite.

L

-2

&oræte c/tartæ

Série d'exercices ( 4 tu Sc æp )

2)

Exgclce no2 :

Soit / fa : t lo' o=f o"': 'f (x):-+I - tanx'

r_ +L (t_tunr)t

de variation de f .

f-, la fonction réciproque de f .2) a/ Catcufer .f n(r),

f "(&)L , ̂ , - - . tv3 - l / "n j* t - ' ( t ) 'b/ Montrer que.f-t est jer,u"J,"

rr,e/Montrar^, ,^. r ,

/ ; cafcr ' r ler( f - . ) ' ( t ) .c / Àliontrer que : Vr e-/, ( f

_\,(x)= __]-'

''-rËr

FortcrTofis *sctpaoqa&

1) Soi t / tafonct iondéf in iesur] l ,** [ par: f (x)= t

" ,*&,

:ii;::::;;::ï::ïiJ:':î::::l ('r)'

** *+P.b/ Montrer que / réarise une biject,* j" l1 , +æ1 sur .._ ,_. *'*,,,#, .

%précisera. z--ù'v. rrs J r ' +æl sur un

.inleweruq ri'r$$on désisn e par f-t h fonction réciproque de f . Ç*,; :"'c /Montrergue:f - r (x)=r*#

pourtout xFI, , , . , , , , , . , , , " ' , , '

i :

{x --"U:, ,rr"ffi,Soitp(r)= I

- .6- - -_r , . r . - ; ,

r - r ''/; , x e Jt, +æ[. -,{|""ir*,'

I,f '

a/ Etudier fes variations de g . $Fii:t+;.,. "'i

b/ illontrer qu'il existe unc/ itlontrer gue f (a) =]*.:'1'""=

t".ï:"-,fls Jl ' 2[ tef que w@) = s.

Fon.rionr@

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Lycée Tahæ SfarMahdia Prof : Meddeb Tarak

Exsclce no3 :

A- Soit/ la fonction définie sur [0,+æ[ par : f(r)=l+]#F

1) Etudier les variations de f.2\ a/ Montrer que l'équation :/(r) : r, admet dans [0 , +æ[ une solution unique a.

On désigne par f -'la fonction réciproque de f .

b/ Montrer que : f '(x)=# pour tout x e J.

c/ Etablir le tableau de variations de /-1.

3)

3)

4',)

zxJx t '

Fonctions réciproques [4 a-" Sc exp )

@)***ry

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Lycées Tahar Sfar elIbn Sina Mahdia

Eeboir ùe nnt$Ie no 2 Classe : ,l*" Sc exp

Date : 05 /02 / 2010 Profs : Mæ Turki et MT Baccar. Hamzs etMeddeb

F

_

Exscbe n"I : {6fi}

( _F*,| *u;-

s i r € lo, 1[Soit f la fonction définie sur 10, +*[ par : /(r) =

{ x

t L1F-r sf r € [1,+oo1

On désigne par € sa courbe représentative dans un repère orthonorm ê (o,i,î ).

1) a/ Vérifier que f est continue en 1.b/ Etudier la dérivabilité de f à droite et à gauclre en 1. Interpréter graphiquement lesrésultats obtenus.

2) a/ Etudier les variations de /.b/ Montrer que la droite D:y - r est une asymptole à€

c/ Préciser la position de E par rapport à D sur [1, **[.

dl Traw D et€.g\ a/ Montrer que,f est une bijection de 10, +-[ sur IR.

b/ An notef-l la fonction réciproque de T.Montrer que t-1 est dérivable en 0.

c / Ondésigne par € t la courbe représentative de f-l dans le repère {o,î,1).

Tracer €'.

d/ Montrer quê, pour toutr e l-æ,01, f-'(x) = ;;fuo

Exæcîce no2 : (4 Fs)

Soit f la fonctifi définie sur [0,1] par : f (x) -]rorl r,

1) Dresser le tableau de variations de f.2) al Montrer que / est une biiection de [0,1] .ut [0, ] l.

bl On désigne part-l la fonction réciproque de f.

Montrer que f-1 est dérivable sur [0, ] [.

c/catcuterf- ' ( i ) " ( f- ' ) ' ( ï)

d/ Montrer que, pour tout r e [0, â [, t f-')'(x) = #

.h._

Exqclce no3 : (4 pts)

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct (O,ï,,y',Ê ).

On considère les points â(3,0,0) , B(0,1,1), C(-1 ,L,2) et D(3 ,L,I) .

1'l al Calculer les composantes du vecteurû. =TE nfr.b/ Dêduire I'aire du triangle ABC.c/ Montrer que les points A, B, C et D sont non coplanaires.

2\ o/ On note V le volume du tétraèdre âBCD. Montrer que : 7 = â .

- b/ Soit H le projeté orthogonal de D sur le plan (CBC). Calculer DH.3) a/ Calculer la distance du point D à la droite (âC).

b/ On note H' le projeté orthogonal de D sur la droite (âC), montrer que le triangle DHH'est rectangle et en déduire HH'.

Exæclce no4 : (6F9

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct (O, i,;, Ë ).

On considère les points A(-3,0 ,0) , B(0 , 3 , 0) et C(-3 ,3 , -3).

' 1) o/ Montrer que les points l4, B et C déterminent un plan P.b/ Montrer qu'une équation cartésienne de P est : r * y - z * 3 = O.

c/ Soit le point H(-2,2,-L), montrer que H est le centre du cercle €csrennscrit au

triangle ABC.2) Soit l'ensemble 5 d'équation'. x2 + yz + zz - 2x + 2y * Bz - 15 = 0.

c/ Montrer que S est une sphère dont-on précisera le centre I er la rayon R.b/ Vênfiæ que,4, I et C appartiennent à S.

c/ Vêrifier que (IH) est I'axe de E.

d/ Dêterminer l'intersection de S et P.3) Soit le point D(L ,0,0).

al Vêrlfier que D est à I'intérieur de S, et que les points A, B, C et D sont non coplanaires.b/ Soit Q le Plan d'équation :r * 1 = 0,Montrer que 0 est le plan médiateur du segment [^4D1.c/ Déterminer le centre O et le rayon R ' de la sphère S' circonscrite au tétraèdre ABCD.

Sootae ûaræz

Lycées Tahar SfarMahdia

^Ë,,^_^. - leme dt r .vçuu. + ,>C etp

Dqte:12/02/2011 Profs : M* Turki et M,' Hamza et Meddeb

Exqcice not : (Zpts)

| .Soi t9|afonct iondéf in iesur1Rpar:9@)=I3+3xI4.'s 1) Etudier le sens de variatio n de ç.2) Carcurer çeL), en déduire, suivant res vareurs de r_, fe signe de ç@).

f f . On considère la fonction / définie sur IR par : f (x) =t1,-2. .' x2+l 'on désigne par Tsacourbe représentative dans un repère:orthonorm é (o, î,i).1) Montrer que, pour tout réel r, on a : f,(x) = ,x.?(x)=2) Etabtir le tableau de variations de /.

\--l (x2+112 l

3) a/ Montrer que ra droite a:y -x est une asymp tote de 3 .b/ Etudier la position de Spar rapport à A. .

4) Tracer 3et A' ( on précisera l'intersection de ?avecl,axe des abscisses).5) Soit g fa restriction de / à f,intervalfe [0, *oo[ .a/ Montrer que g est une bijection ge'to, *;i sur un intervafre/ gu,on précisera.b/ on désigne par s-r ta fonctionrre"iËloqr",i" n.Tracer ?' lacourbe représentative de g-1 dans le même repère (O, î,ï).Exqcice no2 : (S pts)

Soit / fa fonction définie "rI' fo,1f par : f (x) : tanz(x).L '21

1) a/ Montrer que,f réafise une bijection de fo,firrr. [0,**[.b/ Ondésigne par y-tta fonction ,e"iproql"'ol ,Cafculer: f-r(o), /-1(r) et _llT- f-r(x).

2)MontrerqUe/-1estdér ivab|esur]o,+*[etque(f- \ , (x)=#

3) On pose, pourï e ]0,+æ[ , s(x) = f-t1yz1+ f_l(#) -\- '| *''l'Y'

a/ Catcuteî s(1).b/ Montrer gue g est dérivable sur ]0,+*[ et que g,(x) = 0.c/ En déduire gue, pour tout r e 10, +æ[, g(ù =î

[ ' ]

ExqcÎce no3 : (8 pts)

Soit le cube OABCDEFG représenté par la figure cidessous.

L'espace est rapporté au repère orthonormé direct (o ,oÂ,oe ,ffi).

Soit a un réel suPérieur ou égal à 1.

L, M et K sont les Points définis Par:

ofr = o6Â, oi' = aoe et Ert = oEF .'F

1l a/ Déterminer tes composantes du vecteur û - Drt n oE -

b/ Endéduire, en fonction de s, l'aire du triangle DMI

c/ Calculer, en fonction de a, le votume du tétraèdre DMLK.

d/ Calculer le volume du tétraèdre ACDF - I

2) a/ Démontrer que la droite (oI0 est perpendiculaire au plan (DMD.

bl La droite (OK) coupe le plan (DML) en H.

Démontrer que oû.oR - ort.oÊ.

c/ Lesvecteurs oÊ etDP étant colinéaires, onnote.l le réeltelque OÊ = \Oft.

Montrerque. l . =+.d. '+z

, a2-a+2d/ Dêmontrer que Hft = G - DOR, en déduire.que HK =

7;6 -

e/ Retrouver ators le volume du tétraèd re DMLK '

I 'a

Ë2ïtJ

Sootne e/anæ

iycée Tahar Siar iie fufahiiia ilassès: 4è'u Sc i.zetsDate: 04/ 03 / 2009 Durée: 2 heuresDisciplin e: Math éma tiq u es

Dîro& 08 arfirvîgt f,âProposé par: TArk Na1ou4 Hamza Racheci etMericieb Tarek

Exercicen" I: (4s4s).* Ctwrye question comporte trois affirmations a, b et c. On indiEtera poùr elncune d'elles si elle

wate ou jausse. Aucune justtJtcalun n'esi demuraiee.Soit/une fonction impaire définie et dérivable sur [-5,5], on désigne parF'une primitive def A

parf'safonction dérivæ sur cet intervalle.Sur les graphiques ci-apres, le repere (O,i,i) est orthogonal.La courbe (C) est la représentation graphique de la fonctionl La droite (OA) estla tangente en

û à iC). Â(-2,8j, B(*2,t5, ûi et Ci2^11 ,ûi. .B ei C soni de-.ix poinls de iCi.f.a. (C) est la courbe représentative de F' .d |

^ t /^ \ ^t . r i . j (ur=-2.

l.c. lfest négative ou nulle sur [-1, 1J.

2. Soit ,S l"airg orynmée en unité d'airg de ia

portion du plan délimitée par (C),1'a:re(O,i) et les

droites d'équations: x = -2 st r = 0.

2-a.4<.5<12.

z.u. t'zut<xW=0.2.c. FQ)-^F(O) < 0.

3. parmi les courbes (Cr ) et (Cz) t'une représente/' et I'autre représente F. Sur la courbe'(Cz),le

pointD a pour abscisse 1JT et b point^E a pour abscisse ZJT .

3.a, Uneéquationde(Cr)est:y--rc2-2. !.

3.b. (C2) est la courbe représentative deF.

^, ta

r... j o"" î{'}*--12

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Exercice n" 2: (s p*l)

A- Soit/la fonction définie ,u, io, $lnar:f(x)= sinx.

l) Montrer que/realise une bfeaion Oe [0, â] *, tq rl.On désigne pat.f -rlafonction réciproque de/

2) Calcuter"f r(l) erl-r(O).

3) Montrer que,f *r est dérivable sur [0, t [ * gue (y-r;,(r) = _! .'!t J | -xz" B- onpose: 1= I:-#, t=[ltT_x, æ etK=f] _=-r__-ar' "J1-x2 J0'- . tor f lp

l) alMontrerque: I=1.

ô/ CalculerK.

2) al Montrer que: J = I - ï -L*o ifl]fr *'

bl Enutilisant une intégration par parties, montrer qu.' Jj #* - l.-

" l | -xt

c/En déduire la valeur del

Exercice n" 3i çs,sp*1

A- Soit la foncrion/définie zur.IR par:/(x) = ##,

on désigne parK sacourbe représentative dans un repère orthonormé (o,7,ï) untté: zcm.l) Etudier les variations de/et dresser son tableau de variations.2) alBaireune équation de la tangent e T à€ aupoint d,abscisse 0.

, :ô/Etudier ra position de ra courbe par rapport à ra tangente ?r3) Tracer Tet6

B- Soit.F'la primitive de/sur [0, +*[ teile que F(0) = 0.l) Etudier le sens de variæion de.F zur [0, +*1.

2) al Montrer que, pour tout r ) 0, on a. ? =f@) =,.

blEndeduire que, pour tout x ) 0, on ^, !*<F(x) <r.

c/ Calculer alors la limite de.Florsque x tend vers +æ.3) allvlantrer que l'équation: F(x) = 2 admetdans [0, +æ[

'n solution unique a.

à/Montrerque: 2<a<3.

4) On désigne par il,atrede la irarrie du plan limitée par la courbe Cr dans le repere (O,i,j) a"Ufonction -d I'ore des abscisses et les droites d,equatiors: .tr = 0 et r = r.Montrerqu.,

f <r(<2.

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Exercice n" 4: (sFs)

Dans un wbeABCDEFGH, on désigne par.Iet,Iles milieux respectifs des segments [rltrJ et

IGH}K est le centre de la faceBCGF. Les calculs seront effectués dans le repère orthonormé/ --+ --+ --+\v,AB,AD,AE).l) a/ Démontrer que le quadrilatère DIFJ est un parallélo1amme. Etablir que DIFJ est en fait un

losange et montrer que l'aire de ce losange est égale +

( z\ô/ Vérifier que le vecteur ?l f I est un vecteur normal au plan (DIJ). En déduire une

[ - r jéquation cartésienne de ce Plan.

cl Déterminer la distaoce du point E au plan (DIJ),puis calculer le volume de la pyramide

EDIFJ On rappelle que le volume Zd'une pyramide de hauteur h et debase correspondanteB

est donnee par la formule: fl = + xB xh.

2) Soit A la droitepassant pæ E et o'rthogonale au plan (DIJ).

a/ Donner une représentation paramétrique de  et montrer que K e A.

ô/ Déterrniner les coordonnées du point d'irfersection I de L et (DIJ).

clYénfrerque L est le centre de gravité du triangle BEG.

3) Soit I'ensemble,S d'equation :.x2 + yz + z2 - 2x - y * z +f = O.

alYénfrerque,S est une sphère dont on precisera le centre ,! lr ruyoo.

blVénfrer que.t e ,S. Quelle propriété geométrique relative à S et au plan (DIJ) peut-ot déduire

de ce dernier résultæ.

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Classe : 4"^' Sc expfunboi, ùn g' '-:'' ' nô 2L),cées Tahar Sfar etIbn Sina Mahdia

Profs : Mme Turki et Mrs Baccar, Hamza et MeddebDate:03 103 l2UA

Exercicenol : epts)

()ne rëponse exacte rapporte 0,5 poinl, une rëponse tnexacte enlève 0,25 point, l'absence de réponse est

congtré 0 point, Si le total est négatif, alors la note sera ramenëe à zéro'

1) pour chacune des propositions suivantes, répondre par vrai ou faux sans iustification.

Pr : On donne les fonctions F et G définies sur IR par :

F(x) =x2+x+2

4x2+6x+9eI utxr=-

xz+x(+22x*I

F el G sont deux primitives d'une mêrne fonction.

Pr: fi"lx ax = f - I] *t a*.

Pg : Soit f une fonction continue sur [0 ,1].

$i f( f (ù -L)dt - 0. alors, lavaleurmoyenne de/ sur [0,1] estégale à 1'

2) pour chacune des questions suivantes, une seule parmi les réponses proposées est

corregte. Indiquer la lettre qui correspond à la bonne réponse.

soit ABCD EFGH un cube, I el J sont les milieux respectifs des

arêtes [Er] et [FC], L est le point défini par : ALZiæ.

On considère le repère (A ,AÊ,m , AË).

Soit P le plan d'équation : 4x - 4y * 3z- 3 = 0'

Qr : Le plan P est le Plan :

al (GLE) b/ (LEt) c/ (GFA)

Qz : Le plan parallèle à P passant par / coupe la droite (FB)

en M de coordonnées :

ot (r ,o, l ) b lU,o, i ) , t (1,0, : )

Qs : Unê représentation paramétrique de la droite (Gt) est:

(x=I*acl lv--L*a

\z=1*4a" , { ; : i : î " , , { ;=='o*To\z=4*4a l"r=o

Exerciceno2 : gpts)

L'espace 2' estrapporté à un repère orthonor nê (o ,î,i ,Ê).

Onconsidèrelespoints/( 1",-L,1)etB(-1 ,2,-Z)et leplanPd'équat ion:r*y* z*2=0.1) Montrer que la droite (,48) est parallèle à p.

2) soit a un réel, on désigne par so I'ensemble des points M de l. tels que : .

x2 + y2 + zz + 2x - Zay * Zaz + az + a = 0.

a/ Montrer que, pour tout réel a,.9o est une sphère de centre I|?L , a , -a) et de rayon

Ï;ffiF; e@8,c/ Déterminer a pour que So soit tangente à p.

3) Soit Q le plan d'équation I y - z - 4 = 0.

ai Vérifier que Q est perpendiculaire à (AB).

b/ Déterminer a pour que so coupe Q suivant un cercle 7'oerayon rÆ .

c/ Déterminer dans ce cas les coordonnées du centre de z' .

Exercicenoî : gpts),

Soit (/n) la suite définie sur IN par : I, = Sila xnsin|x d.x.

1) a/ Montrer que, pour tout n € 11V, /r, à 0.

b/ Montrer que la suite (I,r) est décroissante.

c/ En déduire gue (/rr) est convergente.

2) a/ Montrer gue, pour tout n e IN, In = J:/, xn d"x.b/ Déterminer alors la limite de la suite (In).

3) al Calculer Io .

b/ Enutilisant une intégration par parties, montrer que : t, =*

c/ En effectuant deux intégrations par parties, montrer que :

pour rout n E rN, rn+z =ry ((;)". ' - (n + rll")

ù d/ on a représenté ci-contre les courbes représentatives

k dans un repère orthonormé, des fonctions f et g définies

,' par . f (x) = x2sin3x et g(x) = sin3x.Calculer I'aire de la partie grise.

r'"ff'Iahar Sfar - Mahdia

Devoir de

Année Scolaire

ues

2go7 - 2008

Niveau : 4tu.Sc .ExpPropæé : par: Ivl*Î-rrki , lvl" Hamza

Mathémati

ercice : n"1( 3 points )nPour chacune des questions zuivantes répondre pa.r wai ou faux san^s justification

c Une réponse juste rapporte 0.5 point

r Une absence dg reponse ne rapporte pas de poiat

. une réponse fausse est saoctionné paf -0:15

Si [e totale d,es notes attribué ar:x questions de I'exereice est néeatiye ,

, la note est raroen-é à zéro ., ,,,,.,:,:::.

Soit la fonction déffnls sur R. par /(r) : à' + 3c + l Poul tout r-' e lR. _, j , ! ç

. t - ? t r | - . . - r^ 1A

'rJ r. La vateur moyenne de / sur [0,2] est ]

16' t ---' ': -- - ^ ,.-,."*' '*'*:"t:-' .:..",, ' ''

f z. l- t("1* est I'aire d.'un rectangle de longueur Ë .t de laiEèum'z '::'..., ,.,,o,.,:,,'.i*-r,- ,.,

Jo- ... r1.a,rr.:ç;,,.*.;"a.g.*,,i*ft::if,ii'.i'''{,',ffr;..,,.*,..,

'.1 3. II ",<iste 'n9 lrimttive F de / sur [0,2] telle que F(0) : T .;,. i.,r..-r-],.

,- '!

6 4. I existe une primitive F de / sur [0,2] décroissante sur [û,1]'

, b. Ir existe 'ne

primiriræ F de / sur [0, z] telte que F(0) - F(z) > 0

V 6. Il existe une primitive F de / sur [0,2] telle que F(r) ( 0 pour tout c € [0' 2]'

Exercice TL-2 ( 7 Poirrts )on considèJ;;; forictions r eb g définies sur lR par

, ' . , , \ g3

J(t) : Tæ et e(r) : æ

Le plar érant rapporté à ua repêr ê (O,1 ,?) n'tU'oormé (lnitg glaphiqu' e ' 3 cm )

On designe par Ctet par C, Ë:;ËL=tàptâ"ttoti"o de i et de I dans ce plan '

1.a)EtudierIæl igr i tesen*coeten_oodeJ.Interprétercesresul tats

b) Etablir Ie tableau de variation de /

c) Tracer C1pr

d) On pose I = Jo

Ï@)dt'

Utillserlamét}rodedesrectarrBl6,enp.artagearrtl,intervalle[0,llencinqinter-valles d'a'mplitude 0'2 pour d'onner un encadlement de '['

Dans Ia suite on admet que f =' in(tÆ)'

2. a) E-tablir le tableau des ra,riations de g

b) TFacer Co

fOn pose J : I g@)h. Calculer I + J . En d&uire. J.

JO

4. Calcutrer.@@w1J'aiæ du domaine du plan limites,gaa.r les courbes cy et cn et les droiÈ*sd'équations î'* -7 et z = 1

&rnrcice,ngS(spoiursun.po€e

..,:''- ..,, . ' ,

bfonter que,$-< .ro < r

Monher qru".&t h* 11.: ! .'1. i:a

a) lvfonf--ær q!ÉJrsrÉt ê (1") est décroissaate1T' i

b) Ivloutlnr qrrc;;--:-:il < l, ç - .Bn déduire lim Io .+'é!.n. | . 'L) n+ I n-*eo " :

'i.

. " a) A l'aidedbeiotéSraËorr;êr partie, nontrer que pour tout n € N* on a

. T I f ' l+2t a l r-n:T-=

r -7-- t t |. ,xn*Ji | ' n*L Js (1+o +*)2*. , . . ;

t;n d€durrÊ$leDotir touû n € N. on at ,

1qj , t+31;] ; , (3(r+t) . r ,<t+ #

Ea déduire;eue la suite (3n.I.) est coavergente et donaer sa limite..]

: . i . â, ,

)1r 'rnr - - l *d3po*rourn€N' ' Jo L+a+t,

?Ê

1.

,

3.

b)

e)

F-,>cercice: rl'4.( 5 points )L'espaæ étant rapporté à un repère orthonorrné direct (O, ?, 1 ,,T).On doa-ue les points -ÊJ1,0,0); B(0,2"0)'et C(0,0,3)

1. a) Justiûer que les points A ; B et Cne sont pas alignés

/6\': '.b) Montrer ryo ? | s f est orthogonale aux ræcieurs Æ "tfr

\2/c) Donner une équation cartésienne du plan (ABC).Vériûer que t É (ABC)

2. Soit S la sphère dont une équation cartésienne est :

r '2+y2+22+aî+W+cz+d:A

"ek,CTbouver a, b et c pour que S soit circonscrite au-tébraèdre OABC.

Montrer que S est la sphère de centre r{*,t, jt * a" ,rvoo $.

a)

b)

3. Donner le centre et le rayon du cercle circopgÔrit au triangle .4,8C.

Lycée Tahar Sfar Mahdia Prof : MEDDEB Tarak

g@MWWTflEWMUfl

Exqrcîce nol :

1) Soit 0 un réel de I ' intervalle l0 , n[.Résoudre dans I 'ensemble C l 'équat ion: z2 -2i .2 - 1- e2ig :0.

2) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O, û,û);:

points A,, M etN d'affixes respective s'. z4 = -1 + i, zu = i * eiT ,

a/ Montrer que les droites (AM) et (AN ) son perpendiculaires..

Exercïce nu2 :

1) a/ Ecrire sous la forme algébrique (t + t'11)' .b/ Résoudfe,"od.9,,,,,.!j Gffiriràtion : (E) :L22 - 4z r 3 - iV5 = 0.c/ Mettre |e,,.!Jo onSî$tgl sous la forme exponentielle.

2) Le plan.com'pi é$t rapporté à un repère orthonormê (o,û.,û ). On considère lesl- iJ j _L ^ 3+iJ ipoints A et C d'atfixes respectives a =ï et P: z

a/ Montrer que OAC est un triangle rectangle.b/ Délèrminer I'affixe du point B tel que OABC est un rectangle.

3) S=Oit I un réel de l ' intervalle 10, z[. On considère l 'équation.

(E): z2 - 2z - 2isin ïeio = o.

a/ Montrer que .Zis in0et0 = e2i0 - 1.

b/ Résoudre dans C l 'équation (Ëo). On désignera par z' la solution ayant une

partie imaginaire négative et par z " l 'aulresolution.

c/ Déterminer g pour que I 'on ai t z ' : d etz" = F.

@eq9rea co@plesea

' r : i l t 'L i

rL !ll,- . ::..r. . : ' . . ] ,.::

On considère les'1"è! .

aet-zp=i-etu.

b/ Montrer que les points M et N sont symétriques par rapport a un point fixe 1 que

l'on précisera.' ' :

c/ Montrer que M et N appartiennent à un cercle 7 que I'on précisera.*.

3) a/ Déterminer, en fonction de 0,l 'aire /4 (0) Ou triangte AMN.=,: : '

b/ Déien-niner la valeur de É poui: iâqueiie ,,/ (û) est maximale. Piacei cjans ce cas

les point A,M etN sur la figur:e.

Nombres complexes [Révision) {. ème gç sxp Page 1- sur 2

Lycée Tohar Sfar Mahdia Prof : MEDDEB Tarok

Exercice n"3 :__'

'^ . . .Soit m un nombre complexe. ...onpoSef(z)=z3-4mz2+(5m2+4)z_2mv_B*.. . . ]

. ' t . .

]J oet^erminer I'ensemble E des nombres complexes m pour que l'on ait /(0) = 0

2) a/ Calculer f (2m).

, , , , f ( " )=(z-2m)(22*az*b). , ,* c/ Résoudre dans C l 'équation f (z) = g.

Dans la suite de llexercice, on suppose que m Ç. E.

u,.*.i ',':'+4$1u,'.,,

3) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormê (O,û,ù). On considere'tespoints M, Mtet M2d'af f ixes respect ives' . z = Zm, z1= mlZi e l , , r ) = m- Zi .

- m-) iOnpose z '="" ' .' m+2ia/ Montrer que I z 'est imaginaire pur si et seulement si lml = 2

. - ' l rb/ On suppose dans la suite que m = zeiï où I est un reài'oe ||1,"1

" )2 JMontrer que le quadrilatèr e OM1tt4 M, est un l.""t.ng|".c/ Déterminer 0 pour que OMTMM2 soit un carré.

Exercïce n"4 :$jr:

è""'='i i1i ' ' ' - l;1) a/ Ecrire sous la forme exponentielle le nombre complexe ]1(r +i ).' 2 \ /b/ Montrer que, pour tout réél ï on a:

- . . , - , . - . . -="=- , ,oi, t l - . ,

X l= v ' l - l- -coSle

: et eu - l :2sin '" e \ z )2)

2) a/ Résoudredans C l 'équat ion (E): z2 -^12(t* i )z- 1+ r = 0.b/ Mettre les solutiôns de 1r'; sous la forme exponentielle. ( on pourra utiliser lesrésultats de la première question ).

S)r S;it 9"un réel de l ' intervalle 10, z[. On considère l 'équation:

nl f ie)rz2 -Zeioz *2is in oeio =0.

a,/ Montrer que'. e2i0 - 2i sin Teie : 7 .

b/ Résoudre dans C l 'équat ion (Eù.

4) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (0,û.,r7). on désigne par M,

NetA lespointd 'af f ixes respect iveszy:1* eig ' , zN = - 'J .* e i l et zs- I .

a/ calculer lzu - 11, quel est I'ensemble des points M lorsque g décrit l0 , nl'lb/ Montrer que le triangle OMN est rectangle en O.

c/ Déterminer g pour que le triangle OMN soit isocèle.

1T 'lz*Ji

82

Nombres complexes (Révision) {. ème gç sxp Page 2 sur 2

Lycée Thhar Sfar - Mahdia Année S'colaire zOtL - 2OI.2

Devoir de srrnthèse n"2

ffiNiveau t 4h"Sc.Exp

Proposés par: M*ftrki et M'Ilamza

Exerciæ n"l ( 4 potnûe )Pour chacune des queotions po6éec , une eeule des réponses est er(âcteRryopier le numéro de chaque gueotion et indique la réponse choisie.Aucune jrutification n'est demandée.Une réponse exact rapporte 1 pointUne réponse fausse ou I'absence de réponse ne rapporte ni n'enlèrre aucun point .

1. On donne Ie tableau de variation doune fonction / définie est continue sur [-5;12]

f(r)da :7

l'équation î(x):0 admet exartement der:x splutions sur [-5; t2] .

Pour tout c e [-5;8] on a /(r) < 0

2. Ia courbe ( donnée cidessous est ls repr@ntation graphique d'une fonction g

définie et dénivable sur R. .La droite (ÂB),tracée sur la graphique, est.

la tangente à la courbe ( au point A.

On pose g' la fonction dfuivêe de g sur R.a) g'(0) : -t b) s'(0) : 1 c) 9'(0) :2

3. Une seule des trois courbes ci-après est l,a représentation graphique d'une primitive de

n I,b)

c)

. ; ; ; ; ; ; ;' l | | | | | |

t r r t l t ll - -L--r--J-_l-_1__LIt t r t l tr t t l ' t t t

. t ' - - r - - - l - -J-- l - -a_-Lt l t t l t lr t t t t t l

+Ê-F--È-{--{--}- - tsrr t l t t lt t t t t t l

_- . -_ . - _. :!. : :_r,:-:r -:. T -'':. r": ;'r':.,:-fl l l i l t lt t t t t t l

l r t t t t t

t

I

I

t

I

tf l

It

II

II

l l. t . . t .

l l| |t lt l

! -It .

IIr -tI

-''f- -

la fonction g sur R.Preciser la quelle.I

I

- - | - -I

I

- -L-I

I

I

!

I

I

I

- - - f ' -1--" ! - - r - - r -t t t t l

- - - r - - - r - - l - - l_- !_-l r t t l, , l r t l

- - -L-J-- l - - r - -L-t l t t tr t t t l

- - - t r - i l - - { - -+r-F-t t t t ll t t t t

t t t lr t t l

r t t t

4, Soit h la fonction définie sur Ri par : h(r) :

la primitirre H de h qui s'annule en L est

f - t

a) Il(r):é+zr-g

b) I/(c):2# - 3r* l

c) .F/(u):s3 -3x+2

Exercice n"2 ( 6 poinrs )Soit la fonction / définie sur R. par :

f@):*+r{îr12' '

On dfuigne pu" (f la courbe représentative de / dans un repène

(o,?,7)o'tu""ormé. (l"ll : llTll :2u,).L. a) Calculer les limites de /(r) en *æ et en -æ.

b) Soit /' la fonction dfuivée de /, montrer que 0 < .f'(") <.1 pour tout n € R.c) Etablir le tableau de variation de f sur R.

2. a) Montrer que [e poi4t / (0; 1) est un centre de s]'métrie 6s (f .b) Donner l'équation de la tangente T à {y en f.

c) Déduire que.I est un point d'inflepcion 6s Cr.

3. Soit g la fonction définie ,*'h par : g(c) : f (r) - r.

a) Montrer que l'équation g(r) :0 admet de.ns R. une unique solution aet que a e ]1.7; 1.8[.

i b) Etudier la position de'(r et de la droite A d'équation y : sL

"-*." -4*ftsçerl'g-A-.--* -*--È'*

I f. a) Montrer que t réalise une bijection de lR, sur J0;2[.b) Soit (' Ia courbe représentative de la fonction /-1réciproque de /

Tbacer ('.dans le même repère (O;7;7) . ii

6. on pose .I: [" $@) - s)tu.Jo

g2

?Æ2x2r

o | ! ' i iz-J--r--L-, |*-r t t l

r t t l- l - - f - ra---F_

r t t lt t t l

Lycée Tahar Sf,ar

Exercicc : nol

r. b) 2. c)

Exercice: no2

3. b) 4. c)

1. a) l im f(*) = ri- r i i i^ *t = 2r++s r-r+æ\ Ï ' f l

4Df-)# l im/(x)= l im-r / i : * l=0.r -+-@ r+-@ v I '+z

b) f est dérivable sur R et on a

-f ' (x) >o vxeR.(x '+z){x2+z'

De plus on a pour tout x elR . .,. _: _..

x2+2)2 d 'où/ ' (x)* ** t .!2

Conclusion: 0 </'(x) < I pour tout x eR..c) Tableau de variation de f,

2. a) Pour toutxelR. on a -xelR et

f(-x)+f{x) = 2 donc 1(0 ; l) est un cenrre desymétrie de€1.

b) T:y = *r* 1 équation de T à€1enl.vz

c) Puisque I est un centre de symétrie de€1,|atangente àÇlenl traverse r€Jdonc I est un pointd'inflexion de€1.

3, a) g est dérivable sur R et on ag'(x) -.f ' (x)-1 < 0 V relR

-.donc g est confinuç et stictement décroissantesur IR. dgnc g réalise une bijection de lR sur g(lR)

Correction du de"-oir deSynthèse noZ $.nnée Scolaire :2017 -2012

Nit'eau a 4é^* Sc. Exn

théor'ènie des V.l et cic ce qr"ri précècl':cr e l1 .7 ; 1.8[ .b) soi tx e IR on a/(x)-x ( 0 s igg(x)<0or 0 - g(cr) on aura alors g(x) < g(a) etcomme g est strictement décroissante sur IR. onaurar > 0, .ûn aura si x < cr est au dessus de Â

est au dessous de Â.sl x>c[

€1

€1

5. a) Puisque/est continue et strictementcroissante sur R. donc/réalise une bijection de 1Rsur{R) c .à. d sur J0;2[

ùe'- so(€i.6. a)I- l"ç$)-x)dï' Js""

=[.tr.t-*"*'],f,J ^ I

" f== 1cr- -r-l - ro.

* a-_"rl / -

Onapourtoutxe[0; ct ] f (x)-x ) 0 donc Iest égale à l l4 de I 'a i re expr imée en cm2de la région du plan l imi tée par lesdroites x - 0; x = !, la courbe €letl ' axe desabscisses.b) On note &. la région du plan

on a fr. = DtU Dz ou D2= ,Sa(Dl) avecD1 est la region du plan indiquée dans laquestion précédente. On sait que 56 conserve lesmesures d'aires donca ir e (R) - 2 a ir e (Dr)x4 cm2.

=8I cmz-

Exefcice : no3

1. a) M(x ; y) eE sig OI'P = 1

vérifiant

n

Ce qui prouve que E est un ""r"1"

de centre O etde rayon l.

b) On note F I'ensemble des points M(* ;y) duplan vérifiant :y = f/ 1-"' ou x € [0 ; 1]

M(x;y) e F s igM(x;y)eE et x et ye[0 ; 1]

sig F est le quart du cercle € oux et y e[0; l].

c) J6 est l'aire de la région du plan limitée par lesdroites Jc = 0 , x = 1, l'axe des abscisses et lacourbe dont une équation est y -r/1-r, r"ri

r--"-'=étgrt car{l -"' ) 0 pour tout x e[0 ; 1].

Dlprès ce qui précède on aura lo= î.

z. t ,= {o ' r { t -*d,=[- ] { r -" , ) t ] ,=+

Ir- Io'l-"hn- dx = Jo-Jr = i -+

3. a) Soit ne N

J,*t- Jn = [ o'

x" (x -ry,[-74r.

On a pour tout xe [0;1]

,"t[1] 2o etx-l ( o donc

la-sulte (J,) est décrqissante-b) On a d 'après ce qui précède

J,> 0 pour tout n eN donc la suite estdécroissante et minoré par 0 donc elle estconvergente.

4. a) On a pour tout x e [0 ; 1]

0 < 1-x2 ( ldonc C<\F7 ( 1 donc0 < x ' { t -x ' ( xn pour tout n e N.

donc 0<-r , ( [ 'x 'dx VneNJo

b)Ona0(/ ,<-LVneNdoncn*l

l im Jn=0 et l imI,= L.n-r+û n++@ +

Exercice: no4.

14 \ o\ (2\€t | +r | +t I

ABIo In, tC I I l= N, l -4 l .\-ù \0/ \+/

-+ -}AB A AC + o- donc les points A , B et Cdéterminent un plan P dont frr est un vecteurnorrnal d'oir F: Lr -4y * 4z * d = 0.Et comnre AcP onawad = 6 doncP:x-21t*22*3=0.

, t --> _-__jr _--J

a) MeQ sie (BCA BS ).SM =0

sig det(Ed; F; s#): o,sig Me Q ou Q est 'n plan défini par le point Setlesvecte,rrc Bdet BSOn remarque que les deux vecteurt Ed et Bd

ne sont pas colinéaires car

---.--(-2\ _-_*r0.) -( 2\

BClr l^8sl1l=r/r l 8 l\z ) \+/ l-z)

On trouve Q:x*4y-z -3 = 0.b) D'après ce qui précède Pn8:@C).

{x = I-2aOnaura6=(BC): J.y=0+a a e lR

lz = -2+2aest une représentation paramétrique de Â.

ll ;E n rdllc) d(A; A) = -l:f,--

ll BTllllÉnzdll

ll u?ll-2.

3. a) Sf P donc SABC est un tétraèdre.| |

------+ -\

------ii

b) 1/ (sABc1 = l \Æ ^ 4c ) ' AS | - r .6

On sait que

1/(SABC) _

'0'1

=ïo

; r)"t

ll * ----)rl

b),uire(sAc1= u ë !4l l =^l?o =^le22

d'où d(B ; (,S,,a C) = 1F.

4. a) f est une sphère de centre

a".uroof .r::

b) On aIA = IB = IC= /S = $

donc f est

circonscrite au téfaèdre SABC.r-

c)d(I ;P)=0.Idoncf f iP= € ou€est

un cercle de ravon r = P-re

circonscrit au triangle ABC.

:1 ,

i l : : , . -

iri,"i;, .i1. .

NilteduBac sc et tec

Réyi,sion r comotexe >t- /L Belkocem Tahar

Tél : 9a 28 28 20lE4-Vrçrçe n- l

t , '

lonconsidèrel 'équation E . : z1-(1+i)ehz+iei lo=O avec ce[0;2n]I

l f lSoit / et/ ' les sotution de E. on pose U = t +/, .I

la)Déterminer le module et un argument de U .I

lutsoit q = S.Ecrire u sous forme cartésienne et exponentiel le en déduire costf;

I

lc)Déterminer cr sachant que U est réelI2)Résoudre dans C l'équation E .

Exercice n"2

Soit a un réel de l-n;nl

On pose u=3cos a-Sisinfl et v = 5cos a - 3isin cr

1)Montrer que vz-uz est une con$tânte

2)Soit f 'équation E : Zz2+(3cos q-Sisina )z-Z=0,

On note z' etz" les solution dè (E)

a)Sans calculer t et t, montrer qr" rrgil; + arg{/,) = n[2n] . rl:' ' i i ;7 ' . \

b)Résoudi'e dans c t'équation E et donner les solution ,"r.r.ËintÀ:t'lionentieye .' . : ' \ r '3) Dans.le plan complexe rqpporté à un repère orthonorrqlé, lb'Tr;i) .on considère les points M, et M,, d,affixerespectives z' et 2,, l'i1-

t r \ '

Trouver les vateurs de cr pour res quers ot\rlM,t èha)lir,""gre rectangte en o .' ' ' i ' i ' :- i i iz

----"o'-Exercrce n3 X il',t'ttl'\ t,...11';1)Résoudredans Cl,équation : Zzr-z(g+i);i=O

2) Résoudre dans C l'équution-llTlf

3)5oit l'équation (E) 2iz2+z{r-Si)+3i-1 = 0

a)Vérifier que 1 est sotution de E et déduir

b)En déduire les solution de t,équation 2i(

On considère les points A(-1) ; nA,1I'*É

4)On prend les points M(z) et N(2,) telque

alMontrer que si r * ets , 0Ê[0 ;Zn] ; alo

b)Montrer que z' est imaginaire pur ssi (

c)En déduire l 'ensemble des points M(z)pc

e l 'autre racine

r + I )t+ (z + 1 Xr-si)+3i-1 = o,

: ; et I t4"11=I l) Montrer que AM,M,, est un tr iangle équi latéral .

, /=z+i

rs N appartient à la droite des abscisses .fhr

-!iu !

z+zl lzz +1) = g

rur que z ' soi t imaginaire pur .

tÈ:,

uë,

t+-\#"

Exercke no4

1)a)Résoudre l'équation z2+z+1 = 0

b)vérifier: que les solutions de l'équation E s'écrit sous forme ; zç s2)On donne l'équation E' : z6+23+1= 0 .

a) Résoudre l'équation E' .

b)Montrer que la somme des solutions de t,équation E, est égale à 0 .b)oéduire alors que

" 2* 4r , 9" = o.osl_+ cosl_+ co

9dorfre dans C l'équation E : z2-(1+i)erez+iel'e=0 ou ê € [0 ;n]

l)alVérifier que et est une solution de E .

b)En déduire l'autre racine de E .

2)On pose Zr = elê , lz = iele et z, = 1.1*1.2.

a)vérifier eu€ 23 =&/@+f,i

b)Déterminer la valeur de € pour Que z3 soit un réet .

3) Dans le plan complexe rapporté'à u4 repère orthonormé (o;i;i) .on considère les points N , p et ed'affixes respectives zr , zz et z3 .

A{i) , e(1I };

l , ialDéterminer E = { M(z)e p / lz,l = Zti lf '

i : )onsuppose que 2= l iu iÊ, o € [0;n] .Déterminersuivant lesvaleurs de g laforrnetr igonométr ique de z,

2)a)Soi t M iÈ B. Monrrer que ( i ;ZD-) = - ++ çi , î i |1 lzr)

b)En déduire l 'ensemble F =t M(z)e p/z,eR: )3)a) M É A .Montrer que le tr iangle AMM' est rectangle en lvl et déduirè une mesure de

B// soit e a l i #f "* l 'équation E : z3-(i+2eio)22+(1+e2te+2iere)z-i(1+"r,u) = 0

i )a)Véri f ier Que ze = i est une solut ion de E . b)Résoudre alors E

c) Donner les solutions sous forme exponentiel le .

ûn désigne par tr4r et Mz d'aff ixes respect ives zr=i +3ê et zr= sre-1+

,.'i,":ntrer que OM, LOM2

.4,

e3

.2,, -3et Zz=

l l l [g: ! :gnstruire l 'ensemble des points M1 puis l 'ensemble des points M2lorsque € var ie.

Dans la figure (0, d, û) est repère orthonormé direct du plan, e est le cercle de centre O et de layon 2

et I est un point d'affixe zu'(voir figure)1/ Déterminer par une teôuie gl"pttiqu" le moduie et un argumentde zs'

En déduire Qve zs = -1 * iVT

2/ a)Placer sur la figure le point C d'affixe zc : 1+ tV3'' bj Uontrer que le quadrilatère OAË& est-un losange'

B/ On se propose de déterminer I'ensemble E des points M d'affixe z tels que z3 soit un réel

pobitif ou nul.a) Vérifier que les points O,'4 et B appartiennent à f ;

b) Prouver que tout point M de la demi-droite [OB) appartient à E'

.j Soit z un nombre iomplexe non nul, de module r et d'argument 8'

Montrer que z3 est un réel positif si et seulement 'i

6 = ?!! ; k ê V''

d) En déduire que E est la réunion de trois demi droites que l'on déterminera. Représenter E sur

Une absence de répon:e est comptée 0 point'

.p Si le total est négatif. .a note est rarnenée à z,ero- Aucune justification n'est d'':nandée'

on pose z: -G;-+iJz:æl.La forme algébriqr-u de Z2æt

la figure.

a) 4e'd'3 t

c) 4e'7

rrne exponontielle

'5rc) ze'E

sont les cæinus et simrs de

-3lr.d)2e''8

d)i

1.

,

m

fg.)Oo""ur un arggme* de zr.En déduire que zf@e$ imaginaire pur

Le plan P étant rapFrté è un repère (O,7'?) orthînorf:

Soient A ; B et C les :oints d'affxes ze:2 i zB : -;+ "ri a' zc

4. a) Calcuter zc pou que I'on u ?- " : izs-zA

Quelle est la ûlrure du triangte ABC ?

Placer dans le:lan les Points A , B et Cb)

c)

a) zJi w{6A *&"tù Q 2+ rt+iQ - f) ù 2rt+2iJ2

2. Z2s'æit sous la f.rme exponentielle

'3td) 4e-' a,

3. Z s'ecrit sous la f

.,- .}

a\(Q,eti/ b) 2eiii

Jr+n .,F,/tn.-

Z er--={-

")+ b)TExerciceN"2(6Pcrats

Calculer (2 - 3i)2

Résoudre dans C l'e:-uation , (1 - i)"' - (2 - i)z * 2i :0

On notera z1 la solrrjon dont ta partie réel est négatiræ

fJ; iffo,r"o l,a.fâr du point D du plan pour que le quadrilatère ABCD soir un carré-\-r

Lycée latrar Sfar - Mahdia Année Scolaire 2011 - zùtz

Nirreau z 4é*uSc.FrçProposés par: M-'Ttrrki et M' Hanrza

Devoir de contrôle n\ztathématiquesDurée : 2 heures

Exercice n"1 ( 5 poinrs )Dans le graphique ci -joint :I désigne la courbe représentative dnns un repère orthonormé (O,î,î)

F d'une fonction définie sur I.R continue et dérivable sur .Ll. \

r les points A et B appartiennent à |

r T est la tangente à | en A

o A est une asymptote à I au voisinage de *oo

1. Par une lecture graphique

a) Déterminer /(-t) ; /(0) ; /'(-1) er /'(0).

b) Déterminer,lig; f @) ;,gru M &"gTL î@) - *.c) Justifier que la restriction g de / à [-1,*oo[ admet une fonction g-1 o-)*

et préciser son domaine de définition K. t

>Y'-.J ^ ><-?-S

L .

. d) Déterminer (g-t)'(2). \ ,r) o t

e) Construire dans le même repère la courbe de g-r. 5 --.t-'

-,,ÀL

On admet que /(r) : \Ælnn +bpour tout r e IR. ,nl,Otr{** \ t

2. a) Montrer que a:2 et b: 4. '7 '-Y

æb) Montrer que'la droite r : -rest un a:ce de symétrie de r. q

t n'":\

c) Etudier ta narure de Ia branche infinie de r au *;;";"; -* 6-- ;pcr( t) +)

d) Achever la construction de l. r. , ,L .^n_ , j

S. Montrer quepour tour s € Kona : g-L(r): -:1 +J;T:E F"t ) z !

^,.^ a

r ..t-3/Exercice rr'2 ( 6 poinrs ) L*\ -- L ùSoit la fonction 1àcnnie ,u, i.R+pa" , , )L-* É:t'4 I

f (,x\: ! r\,tr4 si c e [0,1] ----_l \ùt-

| c-11tf f -1 s io€jr ,+*;

On désigne par (r la courbe reprfoentative de / dans un repère (O,î,7)ortnorrormé.

1. a) Montrer que / est continue en l. /b) Montrer que / est dérivable à droite en 0.Donner l'équation de la demi-tangente

enOà(y

c) Etudier la dérivabilité de f en 1. Interpréter graphiquement les rfuirltats obtenus

a) Etudier la dérivabilitê de / sur chacun des intervalles ]0, 1[ et ]1, +oo[ etdéterminer /'.

b) Etablir le tableau de variation de /.

a) Montrer que la droite A d'équation y :2s - 1 est une asymptote 4s (r

au voisinage de *oob) Pour tr € ]1, +oo[.Etudier la position de (r et de A.

c) Pour r e lL,*oof.Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droited'équat ionU:retde(y.

d) Construire la courbe (1. '

4. Soit g la restriction de / à l'intervalle -[ : [1, +oo[

a) Montrer que g réalise une bijection de .I sur un intervalle J que I'on précisera.

54b) Montre que g-ila fonction réciproque de g est dérivable à droite en 0.

c) Montre que pour tout c €, I on a: g-L(n): ! r (*+ 1+ #)

des segments [AB] et [Gfl] . K désigne le centre de la face BCGF.On munie I 'espace d.u repère orthonormé direct (O,OÊ,ffi,ff i .).

Je'+Î'

^ -, i".*rà ùt

\nu-)=-o,,---2

1. a) Montrer que DIFJ est un paratlélogranlme. Etablir que DIFJ est un losange

b) Donner les composarrtes du vecteur Di n ni.

c) Montrer que l'aire de DIFJ est egale 4.2 '

2. a) Montrer que l'équation 2r*U - z- 1:0 est une équation du plan (DIJ).

. b) Catculer le volume du pyra'mide EDIFJ.

) 3. Soit A la droite passant pax E est orthogonal au plan (DIJ).

a) Donner une représentation paramétrique de A et

ç prouver que K est un point de A

b) Déterminer les coordonnées du point L d'intersection de A et du plan (DIJ).

4. Soit S l'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées vÉrifient l'équation :

f r '+a'*22-2n-Y-z*f :oé

a) Vérifier que S est une sphère dont on précisera le centre et le rayon.

b) Montrer que L est point de S.' c) Déterminer,S fi(DIJ).

4-,+ tf

ï "Ê(-L1#K*:Yqffi*r"t"n*.#:,N"*4fffqlx ry- - +,' nn ftq,....* lffi't *.f: ffint'f f i f f i ;Ê*T=;qqnDsT*ftYl*r1':ï'frfinluir-=1 "i

çopIJpT-\ ./$^-- l;-'v'bL-,i;-. I g^, ayfi, .àe.;-+"J1o'_ 6ali&@_-.,u .^f là^^.;*_dc-rry Sffiïf;ryNftnL

È--r ' I3 +el-; 4 --S

frn dr lq"il.Y#wisrft:Fffi--=æ^t ïots't"l -\ffi

- t\lt/-?- 3 l

Correction des exercices no3 et 4dn devoir de contrôle no2 (4u*" S.c. Exp )

A*xée Scolai.re: 2$11 - Z{.\t2

. / i , ; : i=.ru," i r( . ; :- l ) l p,rr- , , .>; e i i ) :?1,L'

l . On a/esr der ivable sur l0;2[ er

r ' ) / , n(- , f n l \J \x )= t [ '1 +ran' , l i t " - t lJr0; x e]0;2[ ,donc/est strictement croissante sur ]0;2[ donc/réalise une bijection de l0;2[surdlO ;21) etcornme f est continue sur ]0;2 [ on aura t{t};Zf)- tR.

2. aJTrouvons x €10;2[ tel que

h(1) - 7111) = "

sig/(x) - I sig l{,

-t) =

sis "=1.2

h'f i \= 1, =1"f'(f '(1)) n

on trouve h(- l )= | " ,

h ' ( - t )= *

b) P.uisque/est continue sur l0;2[ alors h esTccntkrue sur R..

Puisque/est dérivable sur l0;2[ etf'(x) l0alors h est dérivable sur lR .

c) On sait que

h'(x)= -+^ pourtourxe lRf u-'G))

Onposey -ftk) onawaf{3,)- x. lq I

stg tanl :(y - 1) l= ". Donc on aura

h'(x\ = i

f'a)

j - ) ( ' t " ( ' t ( ' r I t ' . '1

11a- ;

t+f

g es1 dérivable sur lR. et.on a

e (x)= h ' (x)- \n(L\x' \x, /

s'G) = 0 pour tout x e ]-*; 0[ don

t \ - l i - { " , " p l iL i i io: t r ' r - e j -c, :û1 c lc l , :gi: ; ) - 2 i . i - l ) = I pcu1. rcul 1 e . l - : , , : i ) iDe rnême on û'oLn,era

g(x)=2h(1) pourtout x e l0;oo[.Exercice no4

1. a) On a D+F = 1"1(! , I ' l )' " \z 'z '2)

sig DIFJ est un paral lé logramme.

on a DI - IF = 1 [ + donc DIFJ est unv4

losange-

/ r \b)on" "l-ii

c) aire(DIFû = ll

2. a) P:?:ry-z- I -A

b) t/otume(EDTFJ)= |lrlr aTl =

+3. { -2rt est un vecteur directeur de Âet E(0;0; l ) e Â:

pour "

= + le point x( ;

.|, ;) . o

îE

4

----t

DJ

---)DI

r-1\*l _1 |Nl 2l

l. +.,Jf2

r+)tlJ,Fli

b)Pouro=*

on aura t(? t + t?)e  n (DIr).

eS.

t '-È. donc S1@IJ)= lLli1ô3.

b)

'$rt-

Â*--

4. a) S est une sphère de centre K cde *f"" Ofu.

b)t<t={ s isL{6

e) d(K ; (DI"I)) =

€xL c)teÛo,JPLW

#./ro/TrL

- i M â(3)- { 'x ' g-41W-- { , zffil = a--1+4- ; tI-- "

:, ?#iî1,I*+ i) = gt+tx- 1'z

uç1.*,. J - _fr;f

I Lycée fahar Sfar - I!{ahdia Année Scolaire 2011 _ 2Ot2Devoir de hèse'n"1

Niveau ; 4é*.Sc .brpProposés : paï: M-"Thrki , M; Hrm""

a) lim V," : *oo7ù++OO

2. Si lim V,, : -oo alorstx++oo

&) lim Un: -aoæ++oo b) ta suite (t/") est minorée c) la suite (Wn) n,apas de limite.

3' si (%) est croissante et (w^) est convergente alorsa) (U") est convergente b) (V.) est divergente

Exercice N"2 ( b points ) t)

'gL tr/": *oo

1. a) Résoudre dans C l'équation (E) : zz _ z * l: S.b) Mettre les solutions de (-E) sous forme exponentielres.

Soitd€l-1 '1f2'r l ,2. Resoudre dans C l,équation: 22 _ (2cos 0)z +l : 0.3. Dans

'e plan munie d'un repère orthonormé direct (O,î,î)

on considère les points A , M et N d'affixss respectives ,i,eieet ,i. + eieMontrer que le quadrilatèr" O,tfVnnL* uo losange.

4. Montrer que pour tout réel u on a : u2iæ 1l_ : 2cos (*) eu,5' a) Déterminer res réers d pour que l,aire du rosange OANM soit égate à 1.b) Mettre l,affixe du point N sous forme exponentielle.

c) Déterminer ra rraleur de d pour que 'ANM

soit un carrée.ET,"":IF,_ N"g (6 poinrs)soit (tt") définie sur NI par :

_Exçrcice N"1 ( B points )/r cnaque question , une seule répbnse est correcteEcrire le numéro de la questio" âlàrroer , sar* justification , la réponse qui convientOn considéré tes rïl*:r ic"ff* 1U; ,iWl "r

(W*) acnnies surNlvérifiant la propriété suirante : Ëil. tout entiér naturel n on a u^ < w { wn1. Si (U") et (W,) sont adjacentes alors

Uo:1 et (Jna1

1. a) Catculer (\,(J2,(Iset Ua.

b) La suite (Ç)est majorée. c) -li1* V.:0

1:1*#po*toutn€lR.un

'tt

b) Lâ suit€ (U,) est_elle croissante ?.c) La suite (Ç) est_elle démoissarrte ?.

2. Etudier les variations sur lRlde la fonction f : n *_ 1 + 1.r

3. Montrer par rfuurrence que pour tout r, € AI 1 ( f,I, < Z.

. Soient (V") et (lÇ) deux suites définies sur NI par :

Vn: Uzn êt Wn: {Jzn+t.

4. Montrer que pour tout n € NI on a :

' \ / 'w*: etw^,, -Zwni7vn*L: v"+r . - , -

w.*1.5. a) Montrer que pour tout entier naturel non nul n on &

W+t-Vn:V" -V"-t

-(V"+ r)(V"- , + l ) 'b) Déduire que la suite (%) est croissa,nte.

c) Montrer que ra suite (%) est convergente \rers / et que J -

6. a) Déduire que la suite (ffi) est d.écroissante.b) Montrer que la suite (ffi) est convergente rærs /.

7' Déduire que la suite (t/,) est conver.gente et déterminer sa rimite.

FT""g1."i N.4 (6 points)Soit / la fonction définie sur IR par :

^_../ l

ù,U

.ll ,

l+\ /E

r@) - 2r{r2-I

, i" > t

r@):t#sin(7#) s i r<

sic=l

1. a) Montrer que pour s e l0;1[

"1 1r -+</(s)<i-rb) En déduire $rc / est continue à gauche en L.

Calculer læ limites de /(c) en foo et en _oo.

a) Montrer que / est dérivable sur ]1, +oo[

et que / sa fonction dérivée est définie sur lL, *oo[ par , f,@)

b) Dresser le tableau de ,sariation de / sur ]1, +oo[.

2.

3.

fr

4. Soit s la fonction définie,,rr] 0, i] o*, g(*): ft$l si r I $ .t s1[1 : z.

a) Montrer que g est continue à Sauche en f,

b) 9' désigne la fonction dérivée de g.

Montrer que e est dérivable sur Jo,iIet que pour tout -

r]o,il s'(r) -*#f

B. a) Montrer que pour to,rt "

. ]0, î] s(x) :#

b) En déduire que 9 est dérivable à Sauche en f,

4. Montrer que l'équation g(æ) - 2s - 0 admet une unique solution "

. ] i,il

5. a) Montrer que pour tout r. [â,i] * a lg'(r)l < 4/5.

b) En déduire que pour tout r .li,;l l#

- "l * z,Ælx - al

Bon Tbavail

Géoaétrie d,ans 1, espace\\\

I-Rapnel :( produit scalaire )

- soitB une base de l'espace' r"r:î 0)'rW --Wrois

vecreurs de.espace.Le déterminanr d9-\û,ù,û) dans la base B esr le réel :det (û, ù,û) = a(bic,, _ jn,,j _ b(a,s,,-_-1,-i;iïrO,b,, _ b,a,,).- Les points 4 B, cet-Dsont coplanaires, si et seurement si, det @,m,vrt)= 0 dans ra base B.t - Soit 4 Bet cdes points de I'espace. Le produit scaraire des vecreurs zË ,t'Tô;;;;éfini par:.AÊ..ry, :0,sf AÊ =louÆ =t..Æ .æ = en.AÇ.."r1faf;, st/rÊ erft sonr non nurs.-VÊ .TÊ = llVE ll' = ABz.- Pour tous vectegrs d, ù et fr de l,espace et tous réels a et B.-û.û = 76 .û.(û+fr) =û.0'+r.fr .d;; i=i ( io.l = oe.ù .(aû).$ù) = qF@.ù).-onditquelerepère (o,î, j ,Ê)"rtorrhonormési, f f î l t = l l i f l = ffÈfl = Ler i . , i=i. Ê =i.È_ 0.- Soit (O,î,ï,Ê) un repère orthonormé de l,espace.

.Pourtousvecteursûa)" ' , ( i , ) ,û.ù=xx,+yy,+zz,et | |d| |=Jw.

. Pourtous poinr, *à,T, rl ur)1'(,,!,, z,), *r,l =Théorème:soit P un plan' Pour toute base (i'7) de P et tout réer d > 0, il existe un unique vecteur? vérifiant :llËll = d,Êi = Ë/* = 0 er ra base iiii ni"rd;;;;. -' -

II- Produit vectoriel :Définirion:

::i#"i;*-"ffi:ïJ,::, Jffïbt:#itvectorier de d par ùer on nore û nù,,e vecteur dénni par:

. si d er 17 ne sonr pas colinéaires ^rr-

(!:ii"Tt"nal à d et à û,t*

1(I: ù,ù. n ù)est une base direce,où a est Ia mesure en radians de l'angre *u"ll#rTl ;J:*lîfiî.ïr."o.ur.nonrs de même origine deû etû.

It

;Théorème I:Pourtous vecteurs il, ù etfr,

;iip-l*r,=,'jîËu*;*::l'rentsi 'ûetûËî;jïr':ï^ n + ù nf nù: -(ù ̂û)iû.n(ù +D): ù.aû+dnû

ATSM Mahdia

Ifournée

du bac 2012

It

t /sprof : Raouf Thabet & Mohamed Limame

Ërr-MahdiaGéométrie dans 1' espace

Théorème :L'espace est muni d'une base orthonormée directe (î,î,i.) .

pourtousvecteurs ,( i)*r( i), ûnû - (bc'- cb,)î*(ca,- ac,)i* (ab,-ba,)Ê,.

. Définition:

) on appelle distance d'un point M à une droite D, la distan ce MH,où I/ est le projeté orthogona I de M sur D.Cette distance est notée d(M,D).

Théorëtne:

Soit D une droite de vecteur directeur û et A un point de D.Pour tout point M on a: d(M,D) : ry.Propriétés: L'espace est muni d'un repère orthonormé direct (o,î,i,Ê) .

Pour tous vecteurs û.,û et t de I'espace, {û. tt û).fr = (ù ^

tr).a = t# nù.0 = det(û,ù,fr)

Théorème :' L'aire d'un parallélogramme ABCD esr égare à llzF Affill.. L'aire d'un rriangte ABDesrégale U illæ A Artil.

Théorème :L'espace est muni d'un repère orthonormé direct.' Le volume d'un parallélépipède ABCDEFGH est égal à l@ nÂû TÊl - ldet @,Art,AÊ)l.[,evolumed'untétraèdre ABCD estégarà â l(ad

^Bû.8Âl=* la", çEd,ert,aÂ11.

* ' Soit ̂ A un point , d un vecteur non nul et Dladroite passant par,tl et de vect'eur directeur d.

A{rrs D(A,ù) = tU;Vrt : qû. oùû est un réel }' Deux droites de l'espace sont parallèles si elles pnt des vecteurs directeurs colinéair-es.* L'espace est muni d'un repère (o,î,i,Ë) cventuellement orthonormé direct' Soit ,4 un point, û. et ù deux vecteurs non colinéaires et P le plan passant par I et de vecteurs directeursû. etù. Alors P(A,û ,û) = {U; a.t(efr d, r7) = g}.'Soi tz4etBdeuxpointsetûetddeuxvecteursnoncol inéaires.Alors p(A,û,ù) l l p(8,û. ,û) .

' s iPestunpland'équat ion :ax*by*cz*d=0, alorslevecteur f ( i \estnormalde p.

' Soit fr un vecteur non nul. L'ensemble des points M tels qu" art.d = o:tlun plan de vecteur normal d.. Un vecteur non nul fr est normal à un plan de vecteursdirecteurs û. etù, si et seulement si , û..fr: ù .fr = A.. Si un vecteur non nul fi est normal à un plan p ,alors toute droite de vecteur directeur fi est perpendiculaire à p.. La distance d'un point M(xs,!ç,zs) au plan pd,équation

ax * by * cz *d = 0 estle ru", laxo+lyo+czo+aldrîæT7

' Deux plans sont parallèles, si et seulement si, leurs vecteurs normaux scnt colinéaires.' Deux plans sont perpendiculaires, si et seulement si, leurs vecteurs norrnaux sont orthogonaux.

fournée du bac 2012213

prof : Raouf Thabet & Mohamed Limame

ATSM Mahdia Géométrie darrs L' espa'ce

Définition:Soit R un réel strictement positif et I un point de I'espace. On appelle sphère de centre / et de rayon R ,l'ensemble des points M de l'espace tels que /M -- R.

Conséquence: L'espace est muni d'un repère orthonorme (O,î,i,È) .Soit le point I(xs,ys,zs) et R un réel stricternent positif.L'ensemble des points M(x,y,z) tels que (x - *o)'+ (y - yù2 * (" - to)' = R2,est la sphère de centre I et de rayon R.

Théerème :Soit,4 et B deux points distincts de l'espace.L'ensemble des points M tels que Uî,.UÊ = 0 est la sphère de diamètre [,48].

Théorème :L'espace est muni d'un repère orthsnormé (O,î,i,Ê).L'ensemble des points M(x,y,z) tels que :xz +yz + z2 + ax*by * cz * d= 0 estsoi tunesphère,soi tunpoin!soi t levide.

+Théorème :SoitS une sphère de centre O et de rayon R. Soit P un plan, h la distance de O à P et H Ie projetéorthogonal de O sur P.L'intersection de S et P est :.v ide s ih lR,. réduite au singleton [H] si h = R,.le cercle de rayon tlffiet de centre H si h ( R.

OX>R*yor

Lc f,æ est e*&ienr àhfeks.

OË=Re]'on

Lc&esthg$àhryù*re eaA.Iæs hs &rËes ù pho passad p6A soc4pmes àhxtÈre enA(&rcc perpcodcdaics æ ralxxr IOAD.

OE<Rayoa

Lcpke:tsecaæàla

*er- I-ks€dlsÊstunc€rdÊ dodb tctê €st sr

toAl.

Journée du bac 2012t l3

prof : Raouf Thabet & Mohamed Limame

|}'.'âss iffiË'à'mt**ir..$. tu fonction ln est la primitive sur ]0; *æ[ , qui

s'annule en 1 , de la fonction x -+ 1.

) .*nourtoutx ) 0, ln ' ( r ) - 1

ly fout tous réels

1. lna < lnb2. lna = lnb

ly lo.n tous réelsentierp,

o

a

a

o

o

O"

a) t et b ) 0,

ea<b.ea-b.

alAetb)0,etpourtout

lnab=lna*lnb

't.

l"O

O

h(3;- lno- lnb.

h(i) = -lnb'lnap = pln a.

1

lnVa = =lna.

lima-a- T = o lima*+- Y = o

limr-o xlnr = 0 lims-o a4lnPr = $

lim;6-rfi - t

al est une fonction dérivable et strictementpositive srn I. Alors ln z est dérivable sur

I, et: (ln u)' =T.

'u IUne primitive de î t* I est :

a *+ ln[u(r)] si u(x) ) 0 sur I ;a *+ ln[-u(r)] si u(x) ( 0 sur I -

I Des réflexes à avoir

lg Lors de la résolution d'une équation ou d'une-inéquation dans laquelle figurent des logarithmes,

cofilmencer par chercher I'ensemble de définition

de l'équation ou de I'inéquation, avant de

transformer éventuellement l'écriture de celle-ci.

Exemple:

L'ensemble de définition de l'équation :

Zlnx = ln(Zxz + 1) est l0; +*[.

Or2lnr=ln(r2).

L'ensemble de définition de

ln( x2) = ln(Zxz * 1) est IR* et nonplusl0; +co[.

I Des effeurs à êviter'$ Aotott propriété de la fonction ln ne permet

de transformer l'écriture ln a x ln b.

.lp N. pas confondre avesln a * ln b, que I'on

f,eut écrire ln(ab)lorsque a ) Aet b ) 0.

.# N. pas confondre (lnr)2 et ln(xz).

.* ln a et a ne sont pas toujours de même signe :

*ils sont de même signe si a ) 0.

* ils sont de signes diffirents si a € l0; 1[.

QCMUne seule des réponses proposées est exacte.

a b cQ1 5

lne2 =2,499 2

E ,t"ZQ2ç

e4+2x - (ex+zrz e4 + e7*

Q3 Sia(b,alors(a>0) ee

,b<1'e-o < e-b a

er <t

Q4 L'inéquation e-3x+\ < e-zx+3 admetcomme ensemble de solution :

S - j -oo; -2[ $ - [ - l ; ]oo[ $ - ] -2; -oo[

Qs Si f(x) = e-tc * lnx alors,[g/(x)

= *oo |{g/(x) = t f;gf (x) : ze

Q6 Si/(r) :2*-a,alors lim /(r) = *æ.x++oo

l im f(x) : lx++æ

lim f(x) : I

Q7 f(x) = e-x+\, alors f'{x} = et-* -e!-* g* '1

Q8 f (x) * (3xz1r"+t. alors uneprimitive de f sur IR est

? v3 + tx"e' '^ 6*rx3+t ,x3+1. 11

Vrai ou Faux1/ Soit z un nombre complexe. Si arg( ,1 =

llZ"l alors arg(iz + iz) =|fZa.

/an -1n\z/ ,t:T*(ffiJ - -1.3/ Si une fonction / est strictement croissante et dérivable sur un intervalle I et si / garde un signeconstant sur 1, alors sa réciproque garde un signe constant sur /(1).4/ Si une fonction / est strictement croissante sur IR. alors lim /(x) = *oo.

z+lnçr3+t; , .5/LaI imitea.f f iquandxtendvers*ooestégaleà(-2).

6/ Lafonction / définie sur IR par f (x) = ln(VFf - x) est une fonction impaire.t

-r.

7 / La limite de (r + 1)(e"+. - 1") quand x tend vers *oo est égale à (-1).

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Fsnctions exp+ In+complexe iournée du bac le I Avril 2û12 Prof : Mohamed Limame& raouf Thabet