002624-021ORGANIZACIN DE BACHILLERATO INTERNACIONALPrograma del DiplomaColegio San Ignacio de RecaldePortafolio Matemtico

Tendencias Demogrficas en China- Modelaje

Nombre del candidato: Arturo Valdez Aguilar

Cdigo: 002624-021

Convocatoria: Noviembre 2012LIMA PER2012

IntroduccinPara el presente trabajo de investigacin matemtica, se investigarn diversas funciones que modelizan ms adecuadamente la poblacin de China.Para esto, se hace hincapi a los conceptos de funciones, tales como funcin lineal y funcin cuadrtica.Una funcin lineal es una funcin cuyo dominio son todos los nmeros reales, cuyo codominio son tambin todos los nmeros reales, y cuya expresin analtica es un polinomio de primer grado. (http://www.x.edu.uy/lineal.htm) Una funcin cuadrtica es aquella que puede escribirse de la forma:f(x) = ax2+ bx + c

dondea,bycson nmeros reales cualesquiera yadistinto de cero.Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una funcin cuadrtica, obtenemos siempre una curva llamadaparbola. (http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm)Tambin, se utilizar la funcin logstica, que se utiliza en el estudio de crecimiento poblacional.La funcin logstica describe mucho mejor que la exponencial lo que realmente ocurre con las poblaciones de seres vivos.(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Logistica_y_exponencial/logistica.htm)La suma de estos conceptos matemticos, harn posibles las funciones de ajuste de datos sobre crecimiento de poblacin en China.

Se utiliz tambin, medios tecnolgicos tales como Microsoft Excel, que sirvi para remplazar valores de x en las funciones, y para graficar las funciones halladas e interpretar visualmente lo que se nos pide.Otro medio tecnolgico es la calculadora Casio fx-9860GII SD, que sirvi para colocar los datos en tablas y as hallar parmetros o valores constantes, tanto en la funcin cuadrtica como en la logstica.

La siguiente tabla muestra la poblacin de China de 1950 a 1995.

Tabla 1: Poblacin de ChinaAoPoblacin en millones

1950554.8

1955609.0

1960657.5

1965729.2

1970830.7

1975927.8

1980998.9

19851070.0

19901155.3

19951220.5

Utilizando el programa Microsoft Excel, se sitan los puntos dados en la tabla anterior, en una grfica, para identificar alguna relacin o tendencia en los datos.

Grfica 1: Poblacin de China

Las variables son x e y, donde x es la variable independiente, que representa los aos; e y, la variable dependiente, representando la poblacin en millones. Adems, el parmetro empleado es la poblacin de China.La relacin entre la variable independiente y la variable dependiente es de proporcionalidad directa, es decir, a medida que aumenta el nmero de aos, aumenta la poblacin en millones. Para modelizar este comportamiento se podran utilizar las funciones lineal y cuadrtica dado que la grfica no es completamente recta desde el punto (1975, 927.8) hasta el punto (1995,1220.5). A continuacin, creamos una ecuacin modelo que se ajuste a la grfica que se obtendr utilizando los datos de la tabla 1.Primero modelaremos la ecuacin lineal que se ajuste a los ltimos 5 puntos.Se utilizar la ecuacin lineal de forma y=mx+b. Para hallar la pendiente (m) se usar la siguiente frmula:

Al remplazar dos puntos de la grfica se obtiene el siguiente valor de m:

Remplazando el valor de m en la funcin lineal obtenemos:y= A continuacin tomamos los mismos puntos para hallar el valor de b: Remplazamos x e y con (1975, 927.8)

927.8= 927.8=28904.125 + b

b= -27976.325

Remplazamos x e y con (1995,1220.5).

1220.5= 1220.5=29196.825 + b

b= -27976.325Dado que en ambos casos se obtiene el mismo valor de b, consideramos el valor comn de b como -27976.325 y lo remplazamos en la funcin de la siguiente manera:y= Ya que se estn tomando en cuenta los ltimos 5 puntos se utiliza el siguiente rango:y= 1975 x 1995 Graficamos la funcin lineal modelo sobre los puntos de la grfica 1 para comprobar su ajuste:Grfica 2: Funcin Lineal

Para ajustar el primer segmento de la grfica se utilizar una funcin cuadrtica. Para hallarla se utiliza la calculadora Casio fx-9860GII SD.Se ingresa a la opcin STAT (2), en el MENU. Ah se ingresan los valores de la Tabla 1 hasta el punto (1975, 927.8).

Para graficar se presiona el botn F1 (GRPH) y luego F1 nuevamente (GPH1).

Para hallar los valores de a, b y c de la funcin se presiona el botn F1 (CALC). Se mostrar la siguiente pantalla:

Con estos valores se obtiene la siguiente funcin cuadrtica:y= 0.30464285x2 - 1180.8557x + 1.1448 * 10 6 A partir de la ecuacin cuadrtica y lineal, se puede plantear los rangos para el modelo:y= 0.30464285x2 - 1180.8557x + 1.1448 10 6 1950 x 1975y= 1975 x 1995

Ambas funciones se grafican a continuacin utilizando Microsoft Excel para comprobar si se ajustan totalmente los datos:

Grfica 3: Funcin Cuadrtica y Lineal

Puntos azules: Valores originalesFuncin verde-roja: Funcin modelo

Ambas funciones se ajustan, aunque no perfectamente, a los puntos de la tabla 1. Los desajustes son notorios sobretodo en los puntos (1955, 609) y (1970, 830.7).A continuacin se muestra la siguiente indicacin:Un investigador sugiere que la poblacin, P, correspondiente al tiempo t, se puede modelizar mediante

Se pide estimar e interpretar los valores de K, L y.Para hallar los valores de K, L y M es necesario observar el comportamiento de esta funcin.La funcin tiene un comportamiento de funcin logstica, ya que a medida que aumenta el tiempo t, aumenta el valor de P para un crecimiento poblacional.

Desarrollo por medio tecnolgicoPara interpretar los valores de K, L y M se utiliza la calculadora Casio fx-9860GII SD. Para esto se ingresa a la opcin STAT (2), en el MENU.Se ingresan los valores de la Tabla 1.

Se presiona el botn F1 (GRPH) y luego el mismo botn (GPH1) para graficar los valores.

Para interpretar los valores pedidos, se presiona el botn F1 (CALC), F6 dos veces y luego F1 nuevamente (Lgst).Aparecer la siguiente ventana:

Notamos la siguiente funcin:

Al compararlo con la funcin presentada previamente, se realizan las siguientes similitudes:c = Ka = Lb = MRemplazando en la funcin presentada , obtenemos la siguiente funcin:

Remplazando por los valores de x en la tabla 1, se plantea la siguiente tabla que se usar para graficar el modelo del investigador sobre los datos originales.

Tabla 2: Valores a graficar (funcin logstica)AoPoblacin en millones

1950563.65

1955620.27

1960681.52

1965747.56

1970818.53

1975894.50

1980975.51

19851061.51

19901152.41

19951248.03

A continuacin se muestran la grafica del modelo del investigador sobre los datos originales.

Grfica 4: Funcin Logstica

Puntos azules: Valores originalesFuncin roja: Modelo del investigador

El grado de ajuste es similar al anterior, sin embargo muestra mayor imprecisin en algunos puntos. Para discutir las implicaciones de los modelos en lo que respecta al crecimiento de la poblacin de China en el futuro, se agregaran 5 puntos ms a cada modelo y se observar su tendencia. A continuacin se muestran las tablas de cada funcin con los puntos agregados.

Tabla 3: Funcin modelo con puntos agregadosxy

1950535.822125

1955579.695271

1960638.80056

1965713.137991

1970802.707565

1975927.80

19801000.98

19851074.15

19901147.33

19951220.50

20001293.68

20051366.85

20101440.03

20151513.20

20201586.38

Tabla 4: Funcin del investigador con puntos agregadosxy

1950563.65

1955620.27

1960681.52

1965747.56

1970818.53

1975894.50

1980975.51

19851061.51

19901152.41

19951248.03

20001348.11

20051452.30

20101560.17

20151671.24

20201784.93

Ambas tablas son graficadas a continuacin junto a los puntos originales.

Grfica 5: Crecimiento de la poblacin de China

Funcin morada: Modelo del investigadorFuncin verde-roja: Funcin modelo de ajustePuntos negros: Valores originales

En lo que respecta al crecimiento de la poblacin China a futuro, la funcin modelo muestra mayor precisin con los puntos originales. Por otro lado, el modelo del investigador tiende a ser creciente y no concordar con los puntos a futuro. Luego, nos presentan datos adicionales sobre las tendencias demogrficas en China.Tabla 5: Datos adicionales sobre las tendencias demogrficas en ChinaAoPoblacin en millones

19831030.1

19921171.7

19971236.3

20001267.4

20031292.3

20051307.6

20081327.7

A continuacin se graficarn los datos adicionales, junto con los modelos anteriores para comprobar su ajuste.

Grfica 6: Ajuste de los modelos a los datos de FMI

Puntos negros: Datos adicionales del FMIFuncin verde: Modelo del investigadorFuncin morada-celeste: Funcin modelo de ajusteEl modelo del investigador, como se mostr en la grfica 5, no concuerda con los valores de poblacin a futuro dado que tiende a valores mas elevados. Por lo tanto, la funcin de mejor ajuste es la funcin modelo, que s tiende hacia los puntos de los datos adicionales del FMI.A continuacin se modificara este modelo, para que se pueda aplicar a todos los datos, de 1950 a 2008.

Los puntos desde 1950 a 2008 son mostrados en la siguiente tabla:

Tabla 6: Datos desde el ao 1950 hasta 2008AoPoblacin en millones

1950554.8

1955609.0

1960657.5

1965729.2

1970830.7

1975927.8

1980998.9

19831030.1

19851070.0

19901155.3

19921171.7

19951220.5

19971236.3

20001267.4

20031292.3

20051307.6

20081327.7

Para modificar el modelo de ajuste, se aumentarn puntos hasta llegar al ao 2008, la siguiente tabla muestra los puntos agregados:Tabla 7: Funcin modelo con puntos agregadosAoPoblacin en millones

1950 535.82

1955 579.70

1960 638.80

1965 713.14

1970 802.71

1975 927.80

1980 1,000.98

1983 1,044.88

1985 1,074.15

1990 1,147.33

1992 1,176.60

1995 1,220.50

1997 1,249.77

2000 1,293.68

2003 1,337.58

2005 1,366.85

2008 1,410.76

Estos juntos son graficados junto a los valores de la tabla 6:Grfica 7: Modelo de ajuste a los datos del FMI Funcin roja-verde: Funcin modelo de ajustePuntos negros: Valores de los aos de 1950 a 2008.La funcin se ajusta a la mayora de puntos, sin embargo, a partir del punto (2000, 1293.675) la funcin se muestra en desajuste. Para ajustarla mejor, se trabajar con rangos y se graficar una nueva funcin lineal para los ltimos 5 puntos. La funcin modelo quedara de la siguiente manera:

y= 0.30464285x2 - 1180.8557x + 1.1448 10 6 1950 x 1975y= 1975 x 1997

Para graficar una nueva funcin lineal de forma y= mx+ b se debe hallar la pendiente (m) y el valor de b como fueron hallados previamente.Al remplazar dos puntos de la grfica se obtiene el siguiente valor de m:

Remplazando el valor de m en la funcin lineal obtenemos:y= A continuacin tomamos los puntos (1997, 1236.3) y (2008, 1327.7) para hallar el valor de b: Remplazamos x e y con (2008, 1327.7)

1327.7= 1327.7=16684.65455 + b

b= -15356.95455

Remplazamos x e y con (1997, 1236.3).

1236.3= 1236.3=16593.25455 + b

b= -15356.95455Dado que en ambos casos se obtiene el mismo valor de b, consideramos el valor comn de b como -15356.95455y lo remplazamos en la funcin de la siguiente manera:y= Ya que se estn tomando en cuenta los ltimos 5 puntos se utiliza el siguiente rango:y= 1997 x 2008

Con las tres funciones presentadas se complet el siguiente cuadro.y= 0.30464285x2 - 1180.8557x + 1.1448 10 6 1950 x 1975y= 1975 x 1997 1997 x 2008

Tabla 8: Funcin modelo con puntos agregados- modificadaAoPoblacin en millones

1950 535.82

1955 579.70

1960 638.80

1965 713.14

1970 802.71

1975 927.80

1980 1,000.98

1983 1,044.88

1985 1,074.15

1990 1,147.33

1992 1,176.60

1995 1,220.50

1997 1,236.12

2000 1,261.05

2003 1,285.97

2005 1,302.59

2008 1,327.52

Con estos valores, se grafica nuevamente la funcin modelo para los aos 1950 a 2008.

Grfica 8: Modelo de ajuste a los datos del FMI- modificado

Funcin roja-verde-morada: Funcin modelo de ajuste modificadaPuntos negros: Valores de los aos de 1950 a 2008.Al modificar la funcin, el grado de ajuste de esta es mucho ms exacto y abarca todos los datos.

Conclusiones finales El trabajo abarc temas de Matemticas NM tales como funciones, entre ellas cuadrticas y lineal. Tambin abarc temas que no son propios de la currcula de Bachillerato Internacional, como la funcin logstica. El presente trabajo de portafolio sera de utilidad para el estudio de crecimiento poblacional. Se logr hallar una funcin de ajuste a los datos presentados del crecimiento poblacional en China. Algunas recomendaciones a considerar son el uso de otros medios tecnolgicos que permitan presentar funciones ms exactas, e investigaciones sobre diversos mtodos de ajuste de datos, como el de Mnimos Cuadrados.

Referencias http://www.x.edu.uy/lineal.htm http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Logistica_y_exponencial/logistica.htm

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