mathe

เอกสารวชาการ

คณตศาสตรชาง

กรมอทหารเรอ

(จดพมพเมอ ตลาคม ๒๕๔๙)

สารบญ

หนา

บทท 1 เศษสวน ทศนยม อตราสวน เปอรเซนต และการแปรผน - เศษสวนชนดตาง ๆ และการบวกลบเศษสวน 1 - การคณหารเศษสวน 5 - ทศนยมในงานชาง 8 - แบบทดสอบเศษสวนและทศนยม 13 - อตราสวนและสดสวน 19 - เปอรเซนต 24 - แบบทดสอบอตราสวน สดสวน และเปอรเซนต 26 - การแปรผน 31 การแปรผนตรง การแปรผกผน การแปรผนตอเนอง - แบบทดสอบการแปรผน 40 - เลขยกกาลง 44 - รากและกรณฑ 54

บทท 2 จานวนเชงซอน - จานวนเชงซอนสงยค 70 - จานวนเชงซอนในรปแกนมมฉาก 74 - จานวนเชงซอนในรปเชงขว 75 - จานวนเชงซอนในงานชาง 80

บทท 3 เรขาคณตเบองตน - เรขาคณต 84 ลกษณะและคณสมบตของรปสเหลยม 89 ลกษณะและคณสมบตของรปสามเหลยม 105 วงกลม มมภายในวงกลม และสเหลยมทบรรจในวงกลม 112 - การใชเรขาคณตในงานชาง 122

บทท 4 พนทและปรมาตร - วธคานวณพนทรปสามเหลยม สเหลยม และระนาบเอยง 125 - พนทเซกเตอรและเซกเมนต 133 รปวงร 137 การหาพนทและปรมาตรของรปทรงตาง ๆ 140

บทท 5 ภาคตดกรวย 163

บทท 6 อสมการและคาสมบรณ - อสมการ 180 - คาสมบรณ 191

บทท 7 สมการ การแกสมการ และการแกสมการยกกาลง - สมการและการแกสมการ 195 - สมการและการแกสมการยกกาลง 204

บทท 8 ลอการทม 223

บทท 9 ตรโกณมต 251

บรรณานกรม 309

1

บทท 1 เศษสวน ทศนยม อตราสวน เปอรเซนต

เศษสวนชนดตาง ๆ และการบวกลบ เศษสวน เศษสวน มความสมพนธเกยวของกบงานชางมาก ลองพจารณาดวา การวดความยาว

ในมาตราองกฤษ เราใชเครองมอวด เชน ไมบรรทด ไดแบงสวนของนวหรอเซนตเมตรออกเปนชองยอยเลก ๆ ใน 1 นว หรอ 1 เซนตเมตร แบงออกเปนชองยอย 10 ชอง ดงรป

ดงนน 1 ชองยอย เปน 101 นว

2 ชองยอย เปน 102 นว ฯลฯ

ในงานดานชางโลหะซงเกยวกบการตดเหลกหรอตดโลหะตาง ๆ ถาตองการตดทอนโลหะ

ออกเปน 5 สวนเทา ๆ กน ดงนน แตละสวนกจะเปน 51 ของทอนโลหะทงหมด

สาหรบงานดานชางไฟฟาจะพบวา การตอเซลลไฟฟาหรอความตานทานเขาดวยกน ทงแบบขนานหรอแบบผสมกตาม อาศยพนฐานคณตศาสตรหรอเศษสวนเขาชวยในการคานวณหาคาตาง ๆ ตวอยาง

จากรป จะเหนไดวา ความตานทานรวม R หาไดจาก

R1 =

4321 R1

R1

R1

R1

+++

1 นว แบงออกเปน 10 ชองยอย

2

จากทกลาวมาทงหมด จะเหนไดวาเรองเศษสวนมสวนสาคญในการแกปญหางานชางดานตาง ๆ ทกสาขา ซงนกศกษาจะไดศกษารายละเอยดใหลกซงตอไป

เศษสวน หมายถง สญลกษณแทนจานวน ประกอบดวยตวเลขทเปนตวเศษและตวสวน

เศษสวนแบงออกได ดงน 1. เศษสวนแท หมายถง เศษสวนทมตวเศษนอยกวาตวสวน หรอเศษสวนทมคานอยกวา

หนง เชน 000,1999,100

99,109,4

3,41 ฯลฯ

2. เศษสวนเกน หมายถง เศษสวนทมตวเศษมากกวาตวสวน หรอเศษสวนทมคามากกวา

หนง เชน 113132,99

100,1315,9

20,910,4

5 ฯลฯ

3. เศษสวนคละ หมายถง เศษสวนทประกอบดวยจานวนเตมและเศษสวนแทรวมอย

ดวยกน หรอเกดจากการแปลงเศษสวนเกนนนเอง เชน 101100,7

210,513,2

11 ฯลฯ

4. เศษสวนซอน หมายถง เศษสวนทมตวเศษเปนเศษสวน และตวสวนกเปนเศษสวน เชน

7352

,

523211

,

3221

ฯลฯ

ความหมายของเศษสวน

ชนดของเศษสวน

3

การเปลยนเศษสวนเกนเปนเศษสวนคละ ทาไดโดยเอาตวเศษตงแลวหารดวยตวสวน

ตวอยาง 511 = 5

12 ; 3110 = 3

236

1315 = 13

21 ; 5111 = 5

122

การเปลยนเศษสวนคละใหเปนเศษสวนเกน ทาไดโดยเอาตวสวนคณจานวนเตมแลวบวกดวย ตวเศษ สวนตวสวนคงเดม

การเปลยนเศษคละใหเปนเศษสวนเกน = ตวสวน

ตวเศษ)จานวนเตมตวสวน( +×

ตวอยาง 10112 = 10

1)1210( +× = 10121

3213 = 3

2)133( +× = 341

10911 = 10

9)1110( +× = 10119

การทอนเศษสวนใหเปนเศษสวนอยางตา หมายถง การนาจานวนใด ๆ มาหารทงตวเศษและตวสวน ใหตวเลขลดนอยลงจนหารตอไปไมไดอกแลว ( ตองหารทงตวเศษและตวสวนพรอมกน )

ตวอยาง จงทอน 6440 ใหเปนเศษสวนอยางตา

วธทา 6040 = 32

20 (เอา 2 หาร)

3220

85 = 8

5 (เอา 4 หาร)

ดงนน 6440 = 8

5 ตอบ

เศษสวนแตละจานวนอาจมคาเทากน มากกวา หรอนอยกวากนได อยางใดอยางหนง ดงนน การเปรยบเทยบเศษสวนอาจกระทาไดโดยทาใหเศษสวนทนามาเปรยบเทยบมสวนเทากนเสยกอน แลวจงพจารณาดทเศษ

การเปลยนเศษสวนเกนเปนเศษสวนคละ และเปลยนเศษสวนคละเปนเศษสวนเกน

การทอนเศษสวนใหเปนเศษสวนอยางตา

การเปรยบเทยบเศษสวน

4

เราใชเครองหมายเทากบ ( = ) มากกวา ( > ) และนอยกวา ( < ) แสดงการเปรยบเทยบ ตวอยาง จงเปรยบเทยบจานวนเศษสวนแตละคตอไปน

( )43,2

1 ( )63,5

3

วธทา 21 = 4

1

43 = 4

3

53 = 30

18

63 = 30

15

การบวกลบเศษสวน มหลกการดงน 1. ถาสวนเทากน ใหเอาเศษบวกลบกนไดเลย 2. ถาสวนไมเทากน ใหทาสวนใหเทากนโดยการหา ค.ร.น. ของสวน แลวจงดาเนนการ

บวกลบเศษสวน ตวอยาง = ?

วธทา หา ค.ร.น. ของสวน คอ 4, 15, 10 = 60

= 6018845 −+

= 6035 =

127

การบวกลบเศษสวนคละ จะมหลกการ ดงน 1. บวกหรอลบจานวนเตมกอน แลวจงบวกหรอลบเศษสวน หรอ 2. ทาเศษคละใหเปนเศษเกน แลวจงดาเนนการบวกลบเศษสวน

หมายเหต ถามวงเลบ ใหทาในวงเลบกอน

ตวอยาง 121311

41312 −+ = ?

121311

41312 −+ = 12

1114

31)312( −++−+

= 121

114

310 −++

= 132114844 −+

= 13281 = 44

27

21 < 4

3

53 > 6

3

การบวกลบเศษสวน

103

152

43

−+

103

152

43

−+

5

หรอใชวธทาใหเปนเศษเกนกอน แลวจงดาเนนการบวกลบเศษสวน

1213

1141

312 −+ = 12

371115

37 −+

= 132407180308 −+

= 13281 = 44

27

การคณ หาร เศษสวน

การคณเศษสวนแทดวยจานวนเตม ทาไดโดยเอาจานวนเตมคณเศษสวน ตวสวนคงเดม ถาไดผลคณเปนเศษสวนเกนใหเปลยนเปนเศษสวนคละ

ตวอยาง จงคณ 134 ดวย 12

วธทา 12134 × = 13

124 × = 1348 = 13

93

= 1393 ตอบ

การคณเศษสวนแทดวยเศษสวนแท ทาไดโดยเอาตวเศษสวนคณตวเศษ และเอาตวสวนคณตวสวน

ตวอยาง จงคณ 174 ดวย 12

1

วธทา 21

174 × = 217

14×× = 34

4 = 172

= 172

การคณเศษสวนเกนดวยเศษสวนแท ทาไดโดยเอาตวเศษคณกบตวเศษ และตวสวนคณกบตวสวน ถาผลคณเปนเศษเกนใหทาเปนเศษคละ


213 × = ?

วธทา 1221113

×× = 24

143 = 24235

= 24235

การคณเศษสวนแทดวยจานวนเตม

การคณเศษสวนแทดวยเศษสวนแท

การคณเศษสวนเกนดวยเศษสวนแท

6

การคณเศษสวนคละดวยเศษสวนแท ทาไดโดยทาเศษสวนคละใหเปนเศษสวนเกนกอน

แลวจงคณกนเหมอนการคณเศษสวนเกนกบเศษสวนแท

ตวอยาง จงคณ 41

121110 ×

วธทา 41

121110 × = 4

112131×

= 48131 = 48

352

การหารดวยเศษสวน แบงออกเปน 2 กรณ คอ 1. การหารจานวนเตมดวยเศษสวน ทาไดโดยกลบเศษสวนจากตวเศษเปนตวสวน และ ตวสวนเปนตวเศษ แลวเปลยนเครองหมายหารเปนคณ ดงน

ตวอยาง จงหาร 10 ดวย 32

วธทา 3210 ÷ = 2

310× = 230 = 15

หมายเหต ถาเปนเศษสวนคละ ใหทาเปนเศษสวนเกนกอน

ตวอยาง 41311÷ = ?

วธทา 41311÷ = 4

1111÷

= 13411× = 13

44 = 1353

1. การหารเศษสวนดวยเศษสวน ทาวธเดยวกนคอ นาเศษสวนตวหารกลบตวเศษเปน ตวสวน เปลยนเครองหมาย ÷ เปน × แลวคณกน


11 ÷ = ?

วธทา 7455

11 ÷ = 739

56 ÷

= 397

56 × = 195

42 = 6514

การคณเศษสวนคละดวยเศษสวนแท

การหารดวยเศษสวน

7

การใชเศษสวนในงานชาง สวนมากมกจะเปนการคานวณ ซงตองอาศยพนฐานการบวก ลบ คณ หาร เศษสวน ดงนน นกเรยนจะตองมความรเกยวกบการบวก ลบ คณ หาร เศษสวน มากอน จงจะแกปญหาโจทยไดคลองแคลว และแมนยา

ตวอยาง ในการกออฐผนงบานหลงหนง ใชปนเชอมรอยตอหนา 43 เซนตเมตร โดยใชอฐบลอก

ขนาดกวาง 2119 เซนตเมตร ยาว 40 เซนตเมตร หนา 7 เซนตเมตร ถาระยะจากเสาทงสองหางกน

212 เมตร และ สง 2

13 เมตร อยากทราบวาจะตองใชอฐบลอกทงหมดกกอน

วธทา ให n เปนจานวนอฐบลอกในแตละแถว ในแตละแถวจะมรอยตอ n + 1 รอย

ระยะหางระหวางเสา = ( ) ( ) 431n40n ×++× ซม.

ดงนน ( ) ( ) 431n40n ×++× = 1002

5 × ซม.

43n4

3n40 ++ = 250

4n163 = 4

3250 − = 4997

∴ n = 1634

4997 × = 163

997

นนคอ ในแตละแถวแนวนอกจะใชอฐบลอก 163997 กอน

และ ในระยะแนวตง สง 213 ม. = 1002

7 × ซม.

อฐในแนวตงแตละแถวพรอมรอยเชอมกวาง = 43

2119 + ซม.

ในแนวตงตองใชอฐจานวน ( )10027 × ÷ ( )4

32119 + แถว

= 481350 ÷

การใชเศษสวนในงานชาง

8

= 814350× = 81

400,1 แถว

เพราะฉะนน จะตองใชจานวนอฐบลอกทงหมดเทากบจานวนอฐบลอกในแนวนอนคณกบจานวนอฐบลอกในแนวตง

= 81400,1

163997 × = 203,13

485,9105 กอน

ปดเศษของกอนเปน 1 กอน นนคอ จะตองใชอฐบลอกทงหมด จานวน 106 กอน ตวอยาง รถคนหนงบรรทกดนได 6 ลกบาศกเมตร ถาตองการถมทกวาง 50 เมตร ยาว 100 เมตรสง 15 เซนตเมตร รถบรรทกดนจะขนกเทยวจงจะถมทตามตองการได วธทา

ปรมาตรของดนทจะถมท = ความสงดานยาวดานกวาง ××

= 1001510050 ×× ลกบาศกเมตร

= 750 ลกบาศกเมตร ดนปรมาตร 6 ลกบาศกเมตร รถบรรทกดนได 1 เทยว

ดนปรมาตร 750 ลกบาศกเมตร รถบรรทกดนได 67501× เทยว

นนคอ รถบรรทกดนจะขนดนไดเทากบ 1256750 = เทยว จงจะถมดนไดตามทตองการ

ทศนยมในงานชาง ในการคานวณงานชางทกสาขา เชน งานชางไฟฟา ชางกอสราง ชางอตสาหกรรม หรอ ชางยนต มกจะพบกบเลขทศนยมบอย ๆ ดงนน ปญหาการคณหารทศนยมจงเปนเรองสาคญสาหรบการคานวณในงานชาง โดยเฉพาะการวางตาแหนงทศนยม หากเราวางตาแหนงทศนยมนนผดเพยงตาแหนงเดยว จะมผลตอการคณหารทศนยม ทาใหผลลพธจากการคานวณผดพลาดอยางมาก เชน ผลคณของ 4.52 กบ 8.355 ไดผลลพธเทากบ 37.7646 แตถาการวางตาแหนงของผลคณทศนยมนผดไปหนงตาแหนง ดงน 55.8352.4 × = 377.646 จะเหนวา ผลจากการวางตาแหนงผดไปเพยง

9

ตาแหนงเดยวทาใหคาทคานวณไดผดพลาดไปถง 339.8814 ซงจะทาใหเกดความเสยหายตองานชางเรามากมหาศาล การบวกลบเลขทศนยม มวธการเหมอนกบการบวกลบเลขธรรมดา แตตองตงจดใหตรงกน และตวเลขแตละหลกตองตรงหลกกน

ตวอยาง จงทาใหเปนผลสาเรจ 3.15 + 0.031 + 0.003 วธทา 3.15 0.031 0.003 3.184 ตอบ 3.184

ตวอยาง จงทาใหเปนผลสาเรจ )015.4(112.10)215.10178.4( −+− เทากบเทาใด

วธทา 4.0178 1.215 2.8028 10.112 12.9148 4.015 8.8998 ตอบ 8.8998

ตวอยาง จงหาเสนผานศนยกลางภายนอก ( L ) ของทอ ดงรป

+

+

-

+

-

การบวกลบเลขทศนยม

10

วธทา ความยาวของเสนผานศนยกลางภายนอก ( L ) = 1634.035.21876.0 ++

= 2.7010 ∴ L = 2.701 นว การคณเลขทศนยมสองจานวนใด ๆ จะไดตาแหนงจดทศนยมของผลคณ เทากบผลบวกของตาแหนงจดทศนยมของตวตงและตวคณรวมกน ตวอยาง จงหาผลคณตอไปน 1) 01.0005.33 × 3) 825.1 ×

2) 002.02435.1 ×

วธทา 1) 33.005 มทศนยม 3 ตาแหนง 0.01 มทศนยม 2 ตาแหนง 0.33005 มทศนยม (3+2) = 5 ตาแหนง 2) 1.2435 มทศนยม 4 ตาแหนง 0.002 มทศนยม 3 ตาแหนง 0.0024870 มทศนยม (4+3) = 7 ตาแหนง 3) 1.25 มทศนยม 2 ตาแหนง 8 มทศนยม 0 ตาแหนง

10.0 มทศนยม (2+0) = 2 ตาแหนง

การหารเลขทศนยม ถาตวหารเปนเลขทศนยม ใหแปลงตวหารเปนเลขจานวนเตม โดยใชวธการเลอนจดทศนยม การเลอนจดทศนยมตองเลอนทงตวตงและตวหาร โดยใหเลอนไปเปนจานวนเทา ๆ กน แลวจงหารแบบการหารเลขทศนยมดวยจานวนเตม คอ เมอการหารผานจดทศนยมของตวตง กใหใสจดทศนยมทผลลพธดวย

x

x

x

การคณเลขทศนยม

การหารเลขทศนยม

11

ตวอยาง จงหาผลหาร 03.011.10 ÷

วธทา 03.011.10 ÷ = 31011 ÷ ( เลอนจดทศนยมไปทางขวามอ 2 ตาแหนง )

)10113

337 ตอบ 337

ตวอยาง 25.05550.2 ÷ = ?

วธทา 25.02550.2 ÷ = 2550.255 ÷ ( เลอนจดทศนยมไปทางขวามอ 2 ตาแหนง )

2522.1050.255

25 05 00 55 50 50 50 00 ตอบ 10.22

ในการหาคาตาง ๆ ในงานชางทกสาขาวชา มกจะใชความรเรองทศนยมชวยในการคานวณเปนอยางมาก นกศกษาจะไดพบตอไปน

ตวอยาง ถาแรงดนไฟฟาของเครองปงขนมปงเปน 116.5 โวลต มกระแสไฟฟาไหลผาน 2.50 แอมแปร จงหาความตองการ

การใชทศนยมในงานชาง

R = ? I = 2.5 A E = 116.5 V

12

วธทา จากกฎของโอหม E = IR

R = IE

= 5.25.116 = 46.6 โอหม ตอบ

ตวอยาง เครองยนตของรถยนตจะวดขนาดเปน ซ.ซ. หมายถง ปรมาตรของกระบอกสบในชวงทลกสบชกขนชกลงและรวมกนทกลกสบ ถารถยนตคนหนงม 4 ลกสบ แตละลกสบมเสนผานศนยกลางของลกสบขนาด 4.5 เซนตเมตร ระยะชวงชกเปน 8.5 เซนตเมตร จงหาขนาดของรถยนตคนนวามก ซ.ซ.

วธทา ปรมาตรลกสบแตละลก = hr 2 ×π

= ( ) ( )5.825.4

722 2××

= 135.2410714 ลบ.ซม. = 135 ลบ.ซม. (ปดเศษ) ปรมาตรลกสบ 4 สบ = 1354 × = 540 ลบ.ซม. รถยนตคนนมขนาด = 540 ซ.ซ.

19

อตราสวนและเศษสวน

อตราสวนเปนการแสดงคาทางคณตศาสตรระหวางปรมาณตงแตสองปรมาณขนไป เพอเปรยบเทยบความสมพนธระหวางปรมาณนน ๆ การเขยนอตราสวนใชเครองหมาย : แทน ดงน ถา a, b เปนปรมาณสองปรมาณ อตราสวน a ตอ b เขยนไดดงน a : b ( อานวา a ตอ b )

อตราสวนระหวาง a : b เมอ b ≠ 0 เทากบ ba

อตราสวนระหวาง c : d เมอ d ≠ 0 เทากบ dc

การเขยนอตราสวน มกจะเขยนในรปอตราสวนอยางตา ตวอยาง อตราสวนของ 20 : 30 อตราสวนอยางตาคอ 2 : 3 การทาอตราสวนใหเปนเศษสวนอยางตา ทาไดโดยหาตวเลขมาคณหรอหารทงสวนแรก และสวนหลงของอตราสวน ใหเปนจานวนเตมบวกทนอยทสด

อตราสวนของปรมาณ a และ b เขยนแทนดวย a : b ปรมาณ a เรยกวาพจนทหนง หรอพจนหนา ( Centecedent ) ของอตราสวน และปรมาณ b เรยกวา พจนทสองหรอพจนหลง ( Consequent ) ของอตราสวน อตราสวนจะมคาคงเดมเมอแตละพจนของอตราสวนเปน ดงน 1. คณดวยจานวนคงทเดยวกน

a : b = bkak เมอ k เปนจานวนคงท และ b, k ≠ 0

2. หารดวยจานวนคงทเดยวกน a : b = a ÷ k : b : k

หรอ ba = k

b:ka เมอ k เปนจานวนคงท และ k, b ≠ 0

ตวอยาง 1 จงแสดงวา 6 : 9 = 2 : 3

วธทา 6 : 9 หรอ 96 = 33

32×× = 3

2 = 2 : 3

ความหมายของอตราสวน

คณสมบตของอตราสวน

20

ตวอยาง 2 จงแสดงวา 32:2

11 = 9 : 4

วธทา 32:2

11 หรอ 32211

= 3223

= 23

23 × = −4

9 9 : 4

งานชางทกประเภทอาศยความรเรองอตราสวยในการคานวณหาคาตาง ๆ เชน ในการสรางบาน ถากาหนดอตราสวนในการเขยนแบบบานเปน 1 : 200 กหมายความวา ถาความสงของบานเปน 200 ซม. กจะเขยนลงในแบบ 1 ซม. ถาความสงของบานเปน 400 ซม. กจะ เขยนลงในแบบเทากบ

4002001 × = 2 ซม.

หรอเขยนในรปอตราสวนเปน 200 : 1 = 400 : ตวอยาง กาหนดอตราสวนในการเขยนแบบเปน 1 : 5 จากรป จงหาความยาว AB, BC และ CD ทใชในการเขยนแบบ

วธทา อตราสวนทใชในการเขยนแบบ 1 : 50 = 50

1

จากความยาวทใชในการเขยนแบบ = ความยาวจรง × อตราสวน

AB = 501.)ซม(1004.1 ×× = 2.80 ซม.

BC = 501.)ซม(1008.2 ×× = 5.6 ซม.

CD = 501.)ซม(1008.0 ×× = 1.6 ซม.

การใชอตราสวนงานชาง

ความยาวทใชในการเขยนแบบ = ความยาวจรง × อตราสวน

21

อตราสวนหลาย ๆ อตราสวน ในงานชางบางประเภท เชน ในการผสมคอนกรตงานกอสราง มกจะใชความรเรองอตราสวนหลาย ๆ อตราสวนเพอหาปรมาณของปน หน ทราย ตวอยาง อตราสวนระหวางปน ทราย หน มดงน ปน : ทราย = 1 : 2 ทราย : หน = 2 : 5 ดงนน ปน : ทราย : หน = 1 : 2 : 5 ถามปนอย 10 ถง จะตองหาทรายและหนมาอยางละกถง 1 : 2 : 5 = 10 : 20 : 50 (เอา 10 คณทกพจนของอตราสวน) ดงนน ตองใชทราย 20 ถง และ หน 50 ถง ตอบ

อตราทด เปนอตราสวนระหวางความเรวรอบของลอขบตอความเรวรอบของลอตาม

อตราทด (i) =

2

1NN

เมอ i แทน อตราทด N1 แทน ความเรวรอบของลอขบ วดเปนจานวนรอบตอนาท N2 แทน ความเรวรอบของลอตาม วดเปนจานวนรอบตอนาท ตวอยาง มอเตอรไฟฟาตวหนงหมนดวยความเรวรอบ 1,200 รอบตอนาท ทาใหแกนสวานหมนได480 รอบตอนาท จงหาอตราทด

วธทา อตราทด = 2

1NN

แทนคา N1 = 1,200 รอบตอนาท N2 = 480 รอบตอนาท

อตราทด = 480200,1 = 2

5

∴ อตราทด = 5 : 2 ตอบ

อตราทด

22

สดสวน ( Proportion ) หมายถง การนาเอาสดสวนสองอตราสวนมาเทากน เมอทาอตราสวนอยางตาแลวจะไดคาเทากน เชน ถา a : b = c : d

จะได ba = d

c

ตวอยาง ถา a = 3, b = 4, c = 9, d = 12

∴ 43 = 12

9 = 4333

×× = 4

3

หรอ 3 : 4 = 9 : 12 ตวอยาง จงพสจนใหเหนจรงวา a : b = c : d เปนสดสวนตอกน เมอ a = 12, b = 16, c = 24 และ d = 32 วธทา a : b = c : d

หรอ ba = d

c

แทนคา 1612 = 32

24

ทาเปนเศษสวนอยางตา 1612 = 44

43×× = 4

3

3224 = 84

83×× = 4

3

ดงนน 1612 = 32

24

นนคอ 12 : 16 = 24 : 32 จงหาคา x จากสดสวนตอไปน ตวอยาง x : 2 = 10 : 3 วธทา x : 2 = 10 : 3

2x = 3

10

คณไขว 3x = 20

x = 320 = 3

26 ตอบ

ความหมายของสดสวน

23

สดสวนตรง หมายถง สดสวนทแสดงการเปรยบเทยบปรมาณทมความสมพนธกนไปในทางเดยวกน คอ เมอปรมาณหนงเพม อกปรมาณหนงกเพมตาม และถาลดปรมาณหนงลง อกปรมาณหนงกจะลดลงดวย เชน นามน 5 ลตร ราคา 40 บาท นามน 10 ลตร ราคา 80 บาท นามน 2 ลตร ราคา 16 บาท

คณสมบตของสดสวนตรง ถา a, b, c, d เปนสดสวนตรง หมายความวา ba = d

c

แลวจะได 1. ad = bc

2. bd = a

c

3. ab = c

d

ตวอยาง ถา 52 = 15

6 แลวจะได

1. 152× = 65×

2. 515 = 2

6

3. 25 = 6

15

สดสวนผกผน หมายถง สดสวนทแสดงการเปรยบเทยบปรมาณทมความสมพนธในทางตรงกนขาม คอ เมอปรมาณหนงเพม อกปรมาณหนงจะลด และถาเมอปรมาณหนงลด อกปรมาณหนงจะเพม เชน รถยนตคนหนงแลนไดระยะทาง 30 กม. ในเวลา 1 ชวโมง ดงนน ความเรวของรถยนตคนนเปน 30 กม. ตอชวโมง ถาเพมความเรวเปน 60 กม. ตอชวโมง รถยนตคนนจะแลนไดระยะทาง 30 กม. ในเวลาครงชวโมงเทานน จะเหนไดวา ถาเพมความเรวของรถยนต เวลาในการแลนจะลดลง และถาลดความเรวของรถยนตเวลาในการแลนจะนานขน

ชนดของสดสวน ( สดสวนตรง )

สดสวนผกผน

24

คณสมบตของสดสวนผกผน

ถา a, b, c, d เปนสดสวนผกผน จะได ba =

dc1 = c

d

∴ ba = c

d ac = bd

ตวอยาง a, b, c, d เปนสดสวนผกผน ถา a = 1, b = 3, c = 6 จงหาคา d วธทา a, b, c, d เปนสดสวนผกผน

∴ ba =

dc1 = c

d

แทนคา 31 =

d61

31 = 6

d

3d = 6 d = 2

เปอรเซนต

คาวา “รอยละ” หรอ “เปอรเซนต” หมายถง อตราสวนหรอเศษสวนทมสวนเปน 100 เราใชสญลกษณ “%” แทนคาวา เปอรเซนต เชน

1009 หมายถง รอยละ 9 หรอ 9%



การนาเอารอยละหรอเปอรเซนตไปใชในการคานวณ ตองเปลยนรอยละหรอเปอรเซนตใหอยในรปของเศษสวนหรอทศนยมกอน เชน

รอยละ 80 = 10080 หรอ 0.8

60% = 10060 หรอ 0.6

เมอทาใหอยในรปเศษสวนหรอทศนยมแลว จงนาไปคดคานวณตอไป

ความหมายของเปอรเซนต

25

จงแสดงวธทาและหาคาตอบ ตวอยาง ในโรงเรยนแหงหนงมนกเรยนทงหมด 600 คน วนนมคนมาสาย 5% จงหาวาวนนมคนมาสายรวมกคน วธทา มคนมาสาย 5 % หมายความวา นกเรยน 100 คน มาสาย 5 คน

หรอ 5% = 1005

ดงนน วนนมคนมาสาย 6001005 × = 30 คน

ตอบ 30 คน

การทาเศษสวนใหเปนเปอรเซนต ก. เศษสวนทมสวนเปนจานวนทหาร 100 ลงตว

ตวอยาง จงแปลง 53 ใหเปนเปอรเซนต

วธทา 53 = 205

203×× = 100

60

= 60 %

หรอ 53 = 5

3 100×

= 60 % ข. เศษสวนทมสวนเปนจานวนทหาร 100 ไมลงตว การทาทศนยมใหเปนเปอรเซนต การทาทศนยมใหเปนเปอรเซนต ทาไดโดยแปลงทศนยมใหเปนเศษสวนกอน แลวคณดวย 100 หรอเอาทศนยมนนคณกบ 100 เลยกได ตวอยาง จงเปลยน 0.2 ใหเปนเปอรเซนต

วธทา 0.2 = 102

= %100102×

= 20 % หรอ 0.2 = 0.2×100 % = 20.0 % = 20 %

หลกในการหาเปอรเซนต

26

เปอรเซนต เศษสวน และทศนยม มความสมพนธกนดงตวอยาง

ตวอยาง 50% = 10050 = 0.50

100% = 100100 = 1.00

10% = 10010 = 0.10

ในงานชางมปญหาหลายชนดทตองใชความรเรองเปอรเซนตไปชวยในการแกปญหา จงจะ

คดหาคาตอบได ตวอยาง ในสนแรเหลกมเนอเหลกอย 20% ถาตองการเนอเหลก 1,500 กโลกรม จะตองใชสนแรเหลกเทาไร วธคด ในสนแรเหลกมเนอเหลกอย 20% หมายความวา ในสนแรเหลก 100 กโลกรม จะม เนอเหลกอย 20 กโลกรม วธทา 1 ( ใชวธเทยบบญญตไตรยางค ) เนอเหลก 20 กโลกรม อยในสนแรเหลก 100 กโลกรม

เนอเหลก 1 กโลกรม อยในสนแรเหลก 20100 กโลกรม

เนอเหลก 1,500 กโลกรม อยในสนแรเหลก 500,120100 × กโลกรม

= 7,500 กโลกรม ∴ ตองใชสนแรเหลก 7,500 กโลกรม ตอบ

วธทา 2 ( ใชเทยบสดสวน ) ให x แทนสนแรเหลกทตองการทราบคามเนอเหลก 20%

10020 = x

500,1

x = 20500,1100× = 7,500 กโลกรม

∴ ตองใชสนแรเหลก 7,500 กโลกรม ตอบ

ความสมพนธระหวางเปอรเซนต เศษสวน และทศนยม

การใชเปอรเซนตในงานชาง

31

การแปรผน

การแปรผนตรง หมายถง การทปรมาณ 2 สงหรอมากกวา มความสมพนธกนโดยทเมอสงหนงเพม อกสงหนงกเพม และเมอสงหนงลด อกสงหนงกจะลดลงอยางไดสดสวนกน เราใชสญลกษณ “α ” แทนคาวา “แปรผน” เชน ถา a แปรผนตรงกบ b แลว เขยนไดเปน a α b หรอเขยนในรปสมการจะได a = kb

หรอ ba = k เมอ k เปนคาคงตว

เมอ a แปรผนตรงกบ b แลว คาของ a และ b ทสมนยกน เมอนามาหารกนเปนค ๆ จะมคาเทากนหมด และเปนคาคงท (Constant) เชน

ในเวลา 1 ชวโมง เดนทางได 4 กม. ∴ 14 = 4




ในเวลา 21 ชวโมง เดนทางได 2 กม. ∴

212 = 4

ดงนน เวลาในการเดนทางแปรผนตรงกบระยะทาง

เราสามารถเขยนสมการแสดงความสมพนธระหวาง a และ b เพอใชในการคานวณไดดงน เมอ a แปรผนตรงกบ b a α b ดงนน a = kb

หรอ ba = k

เราใชสมการนคานวณหาคา a หรอ b ได เมอเราทราบคา k คา k หาไดจากการเอาคา a และ b ทสมการกบคใดคหนงแทนลงในสมการน

การแปรผนตรง

32

ตวอยาง ถา a แปรผนตรงกบ b และ a = 40 เมอ b = 32 จงหาคา b เมอ a = 60 วธทา เมอ a แปรผนตรงตาม b a α b ∴ a = kb (เมอ k เปนคาคงท) จากโจทย เมอ a = 40 , b = 32 แทนคาในสมการ จะได 40 = k32

k = 3240 = 4

5

ดงนน ความสมพนธระหวาง a และ b จะอยในรป

a = b45

เมอ a = 60 จะได

60 = b45

∴ b = 5460× = 48

ดงนน เมอ a = 60 แลว b = 48 ตอบ

การทาโจทยเกยวกบการแปรผนตรง ควรกาหนดตวอกษรแทนปรมาณของสงของกอน แลวเขยนใหอยในรปสมการหาคา k เมอไดคา k แลว จงแทนปรมาณตาง ๆ ลงในสมการการแปรผน และคานวณหาคาตอบตอไป ตวอยาง ระยะทางทวตถตกลงมาจะแปรผนตรงกบกาลงสองของเวลา ถาวตถตกไดทาง 256 ฟต ในเวลา 4 วนาท จงหาวาในเวลา 10 วนาท วตถจะตกลงมาไดทางเทาใด วธทา ให s เปนระยะทางทวตถตกลงมา มหนวยเปนฟต t เปนเวลาทวตถตกลงมา มหนวยเปนวนาท ∴ ระยะทางทวตถตกลงมาแปรผนตรงกบกาลงสองของเวลา ∴ s α t2 s = kt2 (เมอ k เปนคาคงท) จากโจทย วตถตกไดทาง 256 ฟต ในเวลา 4 วนาท แทนคาในสมการ 2.56 = k(4)2

โจทยเกยวกบการแปรผนตรง

33

k = 16256 = 16

ดงนน ความสมพนธระหวาง s และ t จะอยในรป s = 16t2 เมอ t = 10 แลว s = 16(10)2 = 10016× = 1,600 ฟต นนคอ ในเวลา 10 วนาท วตถจะตกไดทาง 1,600 ฟต ตอบ การแปรผกผน หมายถง การทของ 2 สงหรอมากกวามความสมพนธกน โดยทเมอสงหนงเพม อกสงหนงจะลด หรอเมอสงหนงลด อกสงหนงจะเพม อยางไดสดสวนกน เราใชสญลกษณ “α ” แทนการแปรผกผน โดยกลบเศษสวนอกจานวนหนง เชน ถา a แปรผกผนกบ b

b1a α∴

เขยนใหอยในรปสมการ จะได

a = bk (เมอ k เปนคาคงท)

หรอ ab = k

นนคอ เมอคา a เพมขน คา b จะลดลง และเมอคา a ลดลง คา b จะเพมขน

เชน 2x = y1 x = y

21

∴ k = 21

xy = 1 x = y1 ∴ k = 1

W = t3 k = 3

การหาคา k ในสมการแปรผกผน ทาไดโดยเอาคา a และ b ทสมนยกนแทนในสมการ

a = bk

เชน ถา 5x = y1

เมอ x = 1, y = 2 แลว จะได

15× = 2k ∴ k = 10

การแปรผกผน

34

ตวอยาง ถา a แปรผกผนกบกาลงสองของ b และ a = 5, b = 6 จงหาคา b เมอ a = 10 วธทา Q a แปรผกผนกบกาลงสองของ b

2b1a α

a = 2bk เมอ a เปนคาคงท

จากโจทย a = 5, b = 6 แทนคาในสมการ

∴ 5 = 2)b(k ∴ k = 365× = 180

∴ สมการแสดงความสมพนธระหวาง a และ b คอ

a = 2b180

หรอ 2b = a180

เมอ a = 10

ดงนน 2b = 10180 = 18

b = 18 = 233 ×× = 23 ตอบ

การทาโจทยปญหาเกยวกบการแปรผกผน ควรกาหนดตวอกษรแทนปรมาณสงของทจะนามาเปรยบเทยบกนกอน แลวเขยนใหอยในรปสมการหาคา k เมอทราบคา k แลว จงแทนปรมาณตาง ๆ ลงในสมการแปรผกผนนน แลวคานวณหาคาตอบ ตวอยาง เฟองชดหนงมเฟองขบ 24 ฟน หมนดวยความเรว 44 รอบตอนาท ถาเฟองตามมฟน 33 ฟน จะหมนดวยความเรวรอบเทาใด เมอจานวนฟนแปรผกผนกบความเรวรอบของเฟอง วธทา ให 1t แทนจานวนฟนของเฟองขบ เทากบ 24 ฟน 1N แทนความเรวรอบของเฟองขบ มคาเทากบ 44 รอบตอนาท 2t แทนจานวนฟนของเฟองตาม มเทากบ 33 ฟน 2N แทนความเรวรอบของเฟองตาม ซงตองการทราบคา เมอจานวนฟนแปรผกผนกบความเรวรอบของเฟอง 11 Nt α

1t = 1N

k (เมอ k เปนคาคงท)

∴ 11Nt = k ………….(1)

35

และ 22 Nt α

2t = 2N

k (เมอ k เปนคาคงท)

∴ 22 Nt = k ………….(2) เมอ k เปนคาคงท ดงนน (1) = (2) ดงนน 11Nt = 22 Nt แทนคา 1t , 1N , 2t และ 2N 4424 × = 2N33×

2N = 334424 × รอบ / นาท

= 32 รอบ / นาท นนคอ เฟองตามหมนดวยความเรว 32 รอบ / นาท

การแปรผนตอเนอง หมายถง การแปรผนทเกดขนเมอปรมาณหนงแปรผน เกยวเนองกบปรมาณอน ๆ หลาย ๆ จานวน และปรมาณอน ๆ นนอยในรปผลคณ

เชน มปรมาณ 3 ปรมาณ คอ a, b, c a แปรผนกบ b เมอ c คงท ∴ a α b และ a แปรผนกบ c เมอ b คงท ∴ a α c จะไดวา a แปรผนกบผลคณของ b และ c เมอทง b และ c ตางกแปรผนทงค ∴ a α bc ดงนน a = kbc (เมอ k เปนคาคงท)

หรอ ถา a แปรผนกบ b เมอ c คงท ∴ a α b

และ a แปรผกผนกบ c เมอ b คงท

∴ a α c1

ดงนน a α cb

เขยนในรปสมการ a = ckb (เมอ k เปนคาคงท)

การแปรผนตอเนอง

36

ตวอยาง ถา a แปรผนกบ b และแปรผกผนกบ c ถา a = 14 เมอ b = 10, c = 14 จงหาคา c เมอ a = 49, b = 45 วธทา ∴ a α b

และ a α c1

∴ a α cb

a = ckb (เมอ kเปนคาคงท) ………(1)

จากโจทย a = 14, b = 10, c = 14 แทนคาในสมการ (1) จะได

14 = 1410k

k = 101414 × = 5

98

∴ a = c5b98 ……………(2)

เมอ a = 49, b = 45 หาคา c โดยการแทนคา a, b ในสมการ (2)

49 = c54598

××

∴ c = 495548992

××

= 18 นนคอ เมอ a = 49, b = 45 แลว c = 18 ตอบ

ตวอยาง คาจางขดนาแปรผนโดยตรงกบปรมาณของดนทขดขนมา และความลกทขดลงไป ถาคาจางขดคกวาง 1 เมตร ลก 1.5 เมตร เปนเงน 50 บาทตอความยาว 1 เมตร จงหาคาจางขดคยาว 150 เมตร กวาง 3 เมตร ลก 2 เมตร d I W

วธทา ให M แทนคาจางขดค V แทนปรมาณของดนทขดขนมา W แทนความกวางของค d แทนความลกของค

โจทยปญหาเกยวกบการแปรผนตอเนอง

37

l แทนความยาวของค เพราะวา M α V M α d M α Vd เขยนในรปสมการ M = kVd

แต V = wdl แทนคา V ใน M = kVd จะได

M = kwld2 เมอ M = 50 บาท W = 1 เมตร

l = 1 เมตร d = 1.5 เมตร

แทนคา M, l, W, d จะได 50 = )5.15.1(11k ×××× ………. (1)

ตองการหา W เมอ l = 150 เมตร, W = 3 เมตร, d = 2 เมตร แทนคา M = )22(1503k ×××× ………. (2)

(1) ÷ (2) M50 = )22(1503k

)5.15.1(11k××××××××

M50 = 800,1

25.2

M = 25.2800,150×

= 40,000 บาท ดงนน ถาคยาว 150 เมตร กวาง 3 เมตร ลก 2 เมตร ตองเสยคาจางขด เทากบ 40,000 บาท ตอบ

การใชการแปรผนในงานชาง มกจะตองใชสตรในการคดคานวณ สตรทสาคญ ๆ เกยวกบการแปรผน มดงน 1. A = 2rπ เมอ A แทนพนทของวงกลม

π แทนคาคงท = 722

r แทนรศมของวงกลม หมายความวา พนทวงกลมแปรผนตรงกบรศมของวงกลม

บทสรป

38

2. A = bh21

เมอ V แทนพนทของรปสามเหลยม b แทนความยาวฐานของรปสามเหลยม h แทนสวนสงของรปสามเหลยม

21 แทนคาคงท

หมายความวา พนทของรปสามเหลยมแปรผนตอเนองกบความยาวของฐานและสวนสงของสามเหลยม

3. V = 3r34 π

เมอ V แทนปรมาตรของทรงกลม r แทนรศมของทรงกลม หมายความวา ปรมาตรของทรงกลมแปรผนตรงกบกาลงสามของรศม

4. I = RE

เมอ I แทนกระแสไฟฟาในวงจรกระแสตรง E แทนแรงเคลอนไฟฟา R แทนความตานทานไฟฟา หมายความวา กระแสไฟฟาในวงจรกระแสตรงแปรผนตรงกบแรงเคลอนไฟฟาและแปรผกผนกบความตานทาน

5. P = IE เมอ P แทนกาลงไฟฟา I แทนกระแสไฟฟาในวงจรไฟฟากระแสตรง E แทนแรงเคลอนไฟฟา หมายความวา กา ลงไฟฟาแปรผนตอเนองกบกระแสไฟฟาในวงจรและแรงเคลอนไฟฟา

6. R = AP l

เมอ R แทนความตานทานไฟฟาของตวนา P แทนคาคงตว เรยกวา ความตานทานจาเพาะของตวนา l แทนความยาวของตวนา A แทนพนทหนาตดของตวนา

39

หมายความวา ความตานทานไฟฟาของตวนาแปรผนตรงกบความยาวของตวนาและแปรผกผนกบพนทหนาตดของตวนา

7. V = hr 2π เมอ V แทนปรมาตรของรปทรงกระบอก r แทนรศมของหนาตดทรงกระบอก h แทนสวนสงของทรงกระบอก หมายความวา ปรมาตรของรปทรงกระบอกแปรผนตอเนองกบกาลงสองของรศมของหนาตดทรงกระบอกและสวนสงของทรงกระบอก

8. W = Lbd 2

เมอ W แทนนาหนกทคาน ซงมจดรองรบทปลายทงสองจะรบไดโดยปลอดภย b แทนความกวางของหนาคาน d แทนความหนาของคาน L แทนความยาวระหวางจดรองรบทงสอง หมายความวา นาหนกทคานซงมจดรองรบทปลายทงสองจะรบไดโดยปลอดภย แปรผนตรงกบความกวางของหนาคานและกาลงสองของความหนาของคาน และแปรผกผนกบความยาวระหวางจดรองรบทงสอง

44

เลขยกกาลง 1. ความหมายของเลขยกกาลง

เลขยกกาลง หมายถง เลขทเกดจากการคณเลขจานวนใด ๆ ซากนหลาย ๆ ครง เชน 35 = 555 ×× = 125 42 = 2222 ××× = 16 210 = 1010× = 100 เราเขยนเลขยกกาลงใหอยในรป an an อานวา เอยกกาลงเอน เราเรยก n วาเปนเลขชกาลง (index) เราเรยก a วาเปนฐาน (base) 2. คณสมบตของเลขยกกาลง ถา a, b, m และ n เปนจานวนจรงใด ๆ แลว จะได 1) nm aa × = am + n 2) (am) n = amn 3) (ab)m = am bm

4) ( )nba = n

n

ba เมอ Ob ≠

5) a- n = na1

6) nm aa ÷ = nm

aa = am – n เมอ Oa ≠

จากคณสมบตขอ (6) จะไดวา 6.1) nm aa ÷ = 1 เมอ m = n และ Oa ≠

6.2) nm aa ÷ = am – n เมอ m > n และ Oa ≠

6.3) nm aa ÷ = ma1

n− เมอ m < n และ Oa ≠

7) °a = 1 เมอ Oa ≠

3. การคณเลขยกกาลง การคณเลขยกกาลง ทมฐานเหมอนกน ทาไดโดยเอากาลงบวกกน ดงน

nmnm aaa +=×

45

ตวอยางท 1 จงหาผลคณและทาใหอยในรปอยางงาย ก) aaa 23 ×× ง) 512525 ×× ข) 42 222 ×× จ) 343497 ×× ค) 432 101010 ××

วธทา ก) aaa 23 ×× = a3 + 2 + 1 = a6 ข) 42 222 ×× = 21 + 2 + 4 = a7 ค) 432 101010 ×× = 102 + 3 + 4 = 109 ง) 512525 ×× = 555 32 ×× = 52 + 3 + 1 = 56 จ) 343497 ×× = 32 777 ×× = 71 + 2 + 3 = 76

การคณเลขยกกาลง ทอยในรปกาลงซอนกน ทาไดดงน (a3)2 = amn และ (ab)m = am×bm เชน (a3)2 = 23a × = a6 (22)3 = 322 × = 26 (35)2 = 253 × = 310 (2 × 3)6 = 26 × 36

ตวอยางท 2 จงทาใหอยในรปอยางงาย ก. 2n + 1×2n – 1

ข. 252

2216 yy

×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

วธทา ก) 2n + 1×2n – 1 = 2n + 1 + n – 1 = 22n

ข) 252

y22y16

×⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ = 2

5

1054y2

2y)2(

×

= 5

21020

2y2y2 × = 5

210120

2y2 ++

= 221 – 5y10 + 2 = 216y12

46

4. การหารเลขยกกาลง การหารเลขยกกาลงทมฐานเหมอนกน ทาไดดงน

26

aa = aa

aaaaaa×

×××××

= aaaa ××× = a4

ดงนน 26

aa = a6 – 2 = a4

จะไดวา nm

aa = am – n เมอ m > n

และถา 62

aa = aaaaaa

aa×××××

×

= aaaa1

×××

= 4a1

ดงนน 62

aa = 26a

1− = 4a

1

จะไดวา mn

aa = mna

1− หรอ mna − เมอ m < n

ตวอยางท 3 จงทาใหอยในรปอยางงาย

ก) 4312

xxxx ××

วธทา ก) 4312

xxxx ×× = x12 + 3 + 1 – 4

= x16 – 4 = x12 ตวอยางท 4 จงทาใหเปนผลสาเรจ

x7x3x

216636 ++ ×

วธทา x7x3x

216636 ++ × = x3

7x3x2

)6(6)6( ++ ×

= x37x6x2

666 ++ × = 62x + 6 + x + 7 – 3x

47

= 63x – 3x + 6 + 7 = 60 + 13 = 613 1. เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนศนย เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนศนย เชน

°a , °)ab( , ( )oa1 , 4 ฯลฯ

เราสามารถหาคาไดดงน

เพราะวา oa = a2 – 2 = 22 aa ÷ = 22

aa

= aaaa

×× = 1

ตวอยางท 1 จงทาใหเปนผลสาเรจ ก. o)ba( 22 +

ข. °

°×− )1(

)000,12(4

ค. °×°××

)ab(aaaa

323

วธทา ก. o)ba( 22 + = 1

ข. °

°×− )1(

)000,12(4 = 114 ×

= 4

ค. °×

°××

(ab)aaaa

3

23 =

13123

aaa×××

= 323

aa +

= 35

aa

= a5 – 3 = a2

ดงนน a° = 1, เมอ a ≠ 0

48

2. เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนลบ

เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนลบ เขยนไดในรป a– n = na1 เชน

21 = 2 – 1 , 3

1 = 3 – 1

91 = 23

1 , 41 = 22

1 = 2 - 2

ตวอยางท 1 จงแสดงวา a– 2 = 2a1

วธทา a– 2 = a2 – 4 = a2 ÷ a4

= 42

aa = 22

2

aaa×

= 2a1

นนคอ a– 2 = 2a1

ตวอยางท 2 จงหาคาของ 225

222 −− ×

วธทา 225

222 −− × = 225 2)22( ÷−− ×

= 2)25(2 −−−

= 2- 9 = 921

3. การบวก ลบ เลขยกกาลง การบวกลบเลขยกกาลงทมฐานเหมอนกนและมเลขชกาลงเทากน ทาไดโดยนาสมประสทธของเลขยกกาลงมารวมกนไดเลย สวนการบวก ลบ เลขยกกาลงทมฐานเหมอนกน แตเลขชกาลงตางกน ทาไดโดยใชวธการแยกตวประกอบชวย หมายเหต การบวกลบเลขยกกาลงทมเลขชกาลงตางกนจะนาสมประสทธมารวมกนเลยไมได ตวอยาง จงทาใหเปนผลสาเรจ

ก. 324

555

−

−− +

ข. 9m + 3 + 32m + 3

49

วธทา ก. 324

555

−

−− + = 3

222

55)55(

−

−+−− ×

= 3

22

5)15(5

−+−−

= 5- 2 – ( - 3 ) (5- 2 + 1) = 5- 2 + 3 (5- 2 + 1)

= 11515 2 ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

= ( )252515 +

= ( )25265

= 526 = 5

15

ข. 9m + 3n + 32m = (32)m + 3n + 32m + 3

= 32m + 6n + 32m + 3

= 3m2n6m2 3333 ×× +

= 32m(36n + 33)

= 32m(36n + 27) 4. การคณ หารเลขยกกาลง การคณ หารเลขยกกาลง ใหใชคณสมบตของเลขยกกาลงดงตอไปนเปนพนฐานในการคณและหาร 1) nm aa × = am + n

2) nm

aa = am ÷ an = am – n

3) a- n = na1

4) (ab)m = ambm 5) °a = 1

50

ตวอยาง จงทาใหเปนผลสาเรจ และอยในรปอยางงาย

m

7m3m

)216(6)36( +− ×

วธทา m

7m3m

)216(6)36( +− × = m3

7m3m2

)6(6)6( +− ×

= m3

7m6m2

666 +− ×

= 6(2m – 6) + (m + 7) – (3m) = 6(2m + m – 3m) – 6 + 7 = 6(3m – 3m) + 1 = 61 = 6

แบบฝกหด 1. จงทาใหเปนผลสาเรจ

1. 22 )bX( °+

2. 2222 )ba()ba( +°− o

3. °

×°)ab(

)ba()ab(3 222

4. 2

43

4)44(4 °−°+

5. 2)cba()abc( ++°+°

2. จงทาใหเลขชกาลงเปนบวก

1. ( )22b1)a( 5−°−

2. (x2y2z) (xyz)- 2 3. (m2n2)2 (mn)- 2

4. 2yx)xy4(

1

5

−

−

5. 3

123

)mn()nm(

−

−−−

3. จงทาใหเปนผลสาเรจ 1. (a3 + a2) ÷ (a + 1) 2. 5x10 + (x2)5 – 4x10

51

3. (212 + 214) ÷ (21)3

4. 3

54

9)9()81(

−

−+−

5. °+

+

)n2(nn 44

6. (32 – 3- 2) (32+ 3- 2) 7. (x + y)3 ÷ (x + y)- 3

8. 2

)ba(1

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

++

ba)ba( 2

9. 33

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ÷ 2

2

2

2

5ab3ab

b5a4ab

10. 2)zyx()zyx()zyx( 22

++

−++−++ ×

ตงแตปญหาโจทยขอท 1 – 10 จงเลอกขอทถกทสดเพยงขอเดยว x4 หมายถงขอใด ก. x + x + x + x ข. xxxx ⋅⋅⋅

ค. x × 4 ง. 4 × x

(x2)3 หมายถงขอใด ก. x2 + x2 + x2 ข. (x3) + (x3) ค. 222 xxx ⋅⋅ ง. 333 xxx ⋅⋅

8888 ××× มคาเทากบขอใด ก. 212 ข. 46 ค. 84 ง. ถกทง ก, ข และ ค

999 ×× มคาเทากบขอใด ก. 729 ข. 36 ค. (32)3 ง. ถกทง ก, ข และ ค

n2n2n2 ×× เขยนไดในรป ก. 2n3 ข. 32n ค. (2n)3 ง. 6n3

52

ขอใดไมถกตอง ก. a0 = 1 ข. a1 = a

ค. am× n ง. a- n = na1

ในการเขยนในรป an เรยก a วา ก. เลขชกาลง ข. ฐาน ค. ตวตง ง. ถกทกขอ

53

xx มคาเทากบเทาใด

ก. x2 ข. x- 2 ค. x8 ง. x- 8

23 x5x2 ⋅ มคาเทากบเทาใด ก. 7x ข. 7x5

ค. 10x6 ง. 10x5

23xaax ⋅ มคาเทากบเทาใด ก. a3x3 ข. a4x2

ค. a4x3 ง. a3x2

2250 xaxa ⋅ มคาเทากบเทาใด ก. x7 ข. X10

ค. a2x3 ง. a2x7

( )3

33

32

abx

yx

2

÷⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ มคาเทากบเทาใด

ก. 6593

yxba ข. 5

63

xyba

ค. 169312

ybax ง. ไมมขอถกตอง

[ ]323 )x( − 2

1 มคาเทากบเทาใด

ก. x- 2 ข. 53

x

ค. x1 ง. x 6

1

53

(- x)3 (2x)5 มคาเทากบเทาใด ก. 2x8 ข. – 2x15 ค. 32x8 ง. – 32x8

(- 12x8)(- 6x32) มคาเทากบเทาใด ก. – 72x40 ข. 72x256

ค. – 72x4 ง. – 72x256

(2x3)(- 2x5)(3x2) มคาเทากบเทาใด ก. – 7x10 ข. – 12x30 ค. 12x3 ง. – 12x10

(x2y2)3(- xy2)3 มคาเทากบเทาใด ก. – x3y4 ข. x3y4

ค. x9y12 ง. – x9y12

( )x121y625

y25x11

25

×⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ มคาเทากบเทาใด

ก. yx1125 4 ข. 36yx11

25

ค. 1yx1125 4 − ง. yx11

25 4

2

20

x20)x5(− มคาเทากบเทาใด

ก. x45− ข. 2x4

1−

ค. 2x45 ง. x4

5−

(3y)× (- 4y9) มคาเทากบเทาใด ก. – 12y10 ข. 12y9

ค. – 7y8 ง. 12y10

(2x2)(x3)(3x4) มคาเทากบเทาใด ก. 6x24 ข. 5x24 ค. 5x9 ง. 6x9

54

( )8102 × ( )2103 × มคาเทากบเทาใด ก. 1,1005 ข. 1,0005 ค. 6.106 ง. 6.105

(4y3)(y6)(3y) มคาเทากบเทาใด ก. – 2a6x7 ข. 12y10

ค. 12y18 ง. 7y10

(a2x)3(- 2x2)2 มคาเทากบเทาใด ก. – 2a2x7 ข. 2a6x7 ค. – 4a6x7 ง. 4a6x7

2

53

xyyx มคาเทากบเทาใด

ก. x2y2 ข. x2y3

ค. 252 yx ง. x2y- 2

(- 48)(- 2)2 มคาเทากบเทาใด ก. - 218 ข. (- 4)9

ค. 49 ง. 2(- 48)

รากและกรณฑ

ความหมายของรากและกรณฑ

รากท n ของจานวนจรงใด เมอ n เปนจานวนเตมบวกทมคาตงแต 2 ขนไป หมายถงจานวนจรงทยกกาลง n แลว มคาเทากบจานวนจรงนน เชน รากทสองของ 25 คอ 5 และ - 5 เพราะ 52 = 25 และ (– 5)2 = 25 รากทสามของ 8 คอ 2 เพราะ 23 = 8 รากทสของ 81 คอ 3 และ – 3 เพราะ 34 = 81 และ (– 3)4 = 81

จากการหารากดชนตาง ๆ ของจานวนจรงขางตน สงเกตไดวารากทมดชนเปน n เมอ n เปนจานวนเตมคบวก เชน รากทสอง รากทส รากทหก รากทแปด เปนตน จะมสองคา คอคาบวกและคาลบ ตวอยางเชน รากทสองของ 4 มคาเปน 2 และ – 2 เขยน 4 แทนรากทสองของ 4 ทเปนบวก นนคอ 4 = 2 และ 4− แทนรากทสองของ 4 ทเปนลบ นนคอ 4− = – 2

55

ใหนกเรยนศกษาการอานกรณฑ 4 อานวา กรณฑทสองของส หรอรากทสองทเปนบวกของ 4 มคาเทากบ 2 4− อานวา ลบกรณฑทสองของส หรอรากทสองทเปนลบของ 4 มคาเทากบ – 2 3 64 อานวา กรณฑทสามของหกสบส หรอรากทสามของ 64 มคาเทากบ 4

เนองจากรากทมดชนเปน n ของจานวนจรงบวกเมอ n เปนจานวนคบวก จะมคาเปนไปไดสองคา คาหนงเปนจานวนบวก อกคาหนงเปนจานวนลบ จงตกลงวา ถาหมายถงคาทเปนลบจะตองเขยนเครองหมายลบไวหนากรณฑของจานวนนน ๆ ดวย ถาไมมเครองหมายลบใหหมายถงรากท มคาเปนบวก ดงนน 18 = 3 และ 18− = – 3 หรอ 2 = 1.414... และ 2− = – 1.414… ดงนเปนตน

กรณฑทมดชนเปนจานวนคบวก เชน , 4 , 6 , 8 จานวนทอยภายในเครองหมาย

กรณฑจะตองเปนจานวนบวก จงจะสามารถหาคาได แตถาดชนของกรณฑเปนจานวนค เชน 3 , 5 , 7 จานวนทอยภายในเครองหมายกรณฑจะเปนจานวนบวกลบกสามารถหาคาได สวน

กรณฑดชนใด ๆ ของจานวนศนย เชน 0 , 3 0 มคาเทากบศนย

3.2 ความสมพนธระหวางกรณฑกบเลขยกกาลง การเขยนจานวนทมเครองหมายกรณฑใหอยในรปของเลขยกกาลง เขยนไดโดยใหจานวนทอย

ภายในเครองหมายกรณฑเปนฐานและมเลขชกาลงเปนเศษสวน โดยมตวเศษเปนหนงและตวสวนเทากบดชนของกรณฑนน และสามารถนากฎของเลขยกกาลงมาใชกบเลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนเศษสวนได

a = 21

a

3 b = 31

b

n c = n1

c

n mc = ( )n1

mc

= nm

c ตวอยาง 3.1 จงเปลยนจานวนตอไปนใหอยในรปของเลขยกกาลง เมอ a > 0 และ b > 0

ก. 3 22 ba ค. 2)ba( +

ข. 3a 3 a ง. 32

ba

56

วธทา

ก. 3 22 ba = 3122 )ba(

= 3123

12 )b()a(

= 32

32

ba ตอบ

ข. 3a 3 a = 31

213 )a()a(

= 31

23

aa

= 31

23

a+

3a 3 a = 629

a+

= 611

a ตอบ

ค. 2)ba( + = { }212)ba( +

= a + b

ง. 3

2

ba =

21

3

2

ba

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= 21

)b(

)a(

3

21

2

= 23

b

a ตอบ

ตวอยาง 3.3 จงเขยนจานวนตอไปนใหอยในรปของกรณฑ เมอ a > 0 และ b > 0

ก. 25

21

ba3

ข. 4543

b

a5

วธทา ก. 25

21

ba3 = 21

521

)b(a3 = 5ba3 = bab3 2 = baab3 2

57

= abb3 2 ตอบ

ข. 4543

b

a5 = 41

5

41

3

)b(

)a(5

= 4 5

4 3

ba5

= 4

4 3

bba5

= 43

ba

b5 ตอบ

3.3 การบวกและลบกรณฑ กรณฑทจะรวมเปนพจนเดยวกนไดนน พจนหรอนพจนภายในเครองหมายกรณฑตองเหมอนกน และดชนของกรณฑตองเทากนดงตวอยาง ตวอยาง 3.4 จงทาใหเปนผลสาเรจ 8 + 18 – 32 วธทา 8 + 18 – 32 = 222 ×× + 332 ×× – 22222 ×××× = 22 + 23 – 24 = (2 + 3 – 4) 2 = 2 ตอบ ตวอยาง 3.5 จงทาใหเปนผลสาเรจ 75 + 147 + 1252 – 204 – 27

วธทา 75 + 147 + 1252 – 204 – 27 = 553 ×× + 773 ×× + 5552 ×× - 5224 ×× - 333 ×× = 35 + 37 + 552( × ) - 524( × ) - 33 = (5 + 7 – 3) 3 + (10 – 8) 5 = 39 + 52 ตอบ

58

ตวอยาง 3.6 จงทาใหเปนผลสาเรจ 21 + 8

1

วธทา 21 + 8

1 = 22

21× + 8

881×

= 221 + 88

1

= 221 + 2228

1××

= 221 + 28

2

= 2)41

21( +

= 243 ตอบ

3.3 การคณและหากรณฑ การคณและหากรณฑ ทาไดอยางไร ใหศกษาจากตวอยางตอไปน

ตวอยาง 3.10 จงหาผลคณ 73 × 62 วธทา 73 × 62 = 6723 ×× = 426 ตอบ ตวอยาง 3.11 จงหาผลคณ 3 12 8

วธทา 3 12 8 = 21

31

)8()12( ×

= 33

21

22

31

812××

×

= 63

62

812 ×

= 6 36 2 812 ×

= 6 32 812 ×

= 6 33222 222322 3 ×××××

= 6 266 3222 ×××

= 6 23222 ×× = 6 184 ตอบ

59

ตวอยาง 3.12 จงหาผลคณ a 5 b× เมอ a > 0

วธทา a 5 b× = 51

21

ba ×

= 102

105

ba ×

= 10 210 5 ba ×

= 10 25ba ตอบ

ตวอยาง 3.14 จงหาผลคณของ 2( - 5 ) และ 2( + 5 )

วธทา 2( - 5 ) 2( + 5 ) = 2)2( – 52 + 52 – 2)5( = 2 – 5 = – 3 ตอบ

ตวอยาง 3. 15 จงทาใหเศษสวนทกาหนดใหมตวสวนเปนจานวนเตม

2323

−+

วธทา 2323

−+ =

)23)(23(23)(23(

+−

++

= 29)2()232(9 2

−+×+

= 72269 ++

= 72611 + ตอบ

ตวอยาง 3.16 จงทาใหเศษสวนทกาหนดใหมตวสวนเปนจานวนเตม

233432

+

−

วธทา 233432

+

− = )233)(233()233)(432(

−+

−−

= 4)3(9

834312)3(62

2

−

+−−

= 427831618

−+−

= 2331626 − ตอบ

60

ตวอยาง 3.17 จงเขยน y2xyx2

+

+ ใหอยในรปทตวสวนไมมเครองหมายกรณฑ

เมอ x > 0 และ y > 0

วธทา y2xyx2

+

+ =

y2x)(y2x(y2x)(yx2(

−+

−+

= y4xy2xy)41(x2

−

−−+

= y4xxy3y2x2

−

−− ตอบ

3.4 การแกสมการทตวแปรมเครองหมายกรณฑ

การแกสมการในงานชางบางครงตวแปรอาจอยในเครองหมายกรณฑ เชน

d = π−A4D2 , T = g

L2π , r = 34

V3π

หลกการแกสมการทมเครองหมายกรณฑ โดยทวไปใชวธยกกาลงเทากบดชนของกรณฑทงสองขางเพอใหเครองหมายกรณฑหมดไป การแกสมการทม เครองหมายกรณฑจะตองตรวจสอบคาทจะใชเปนคาตอบทกครง เพราะบางครงคาทไดอาจไมสอดคลองกบสมการ

ตวอยาง 3.18 จงแกสมการ 51x12 −+ = 0 วธทา 51x12 −+ = 0 1x12 + = 5

ยกกาลงสองทงสองขาง 12x + 1 = 25 12x = 25 – 1 x = 2

ตรวจสอบคาของ x แทนคา x = 2 ทางซายของสมการ จะได 51)212( −+× = 525 − = 5 – 5 = 0 ซงเทากบทางขวาของสมการ นนคอ x = 2 ทาใหสมการเปนจรง ดงนน x = 2 ตอบ

61

ตวอยาง 3.19 จงแกสมการ 3 3x + = 4 วธทา 3 3x + = 4 ยกกาลงสามทงสองขาง x + 3 = 43 x = 64 – 3 = 61 ตรวจสอบคาของ x แทนคา x = 61 ทางซายของสมการ จะได 3 361 + = 4 ซงเทากบทางขวาของสมการ นนคอ x = 61 ทาใหสมการเปนจรง

3.7 การประยกตในงานชาง

การคานวณในทางชางบางครงตองนาความรเรองกรณฑมาใชดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง 3.24 เตาไฟฟามความตานทาน 75 โอหม ใชกาลงไฟฟา 720 วตต จงหากระแสไฟฟาทตองใช กาหนด P = I2R

เมอ P แทนกาลงไฟฟาทเตาไฟฟาใช มหนวยเปนวตต R แทนความตานทาน มหนวยเปนโอหม I แทนกระแสไฟฟา มหนวยเปนแอมแปร วธทา จาก P = I2R 720 = I2× 75

I2 = 75720

= 9.6 I = 6.9 A

= 2101096 −×× A

= 961010 1 ×− A จากตาราง 9610 × = 30.98387

I = 30.98387 × 110− A = 3.10 A ดงนน ตองใชกระแสไฟฟา 3.10 แอมแปร ตอบ

62

ตวอยาง 3.26 ในการตดตงถงจายนารปทรงกระบอกในหมบานจนสรร ปรมาตร 50.00 ลกบาศกเมตร มความสงดงรป จงหาเสนผานศนยกลางของถงจายนา

วธทา V = hd4

2π

V แทนปรมาตรนาในถงเทากบ 50.00 ลกบาศกเมตร h แทนความสงของถงเทากบ 4.00 เมตร d แทนเสนผานศนยกลางของถง มหนวยเปนเมตร

50 = 44d14.3 2 ××

d2 = 14.350

= 15.92 d = 9.15 m

= 1010159 2 ×× − m

= 1591010 1 ×− m

= 11087.39 −× m = 3.99 m ดงนน เสนผานศนยกลางของถงจายนาเทากบ 3.99 เมตร ตอบ

ตวอยาง 3.27 จงหาคาเสนผานศนยกลางของเพลาตนทมโพลารโมเมนตออฟอนเนอรเชย เทากบ 63.585 (เซนตเมตร)4

กาหนดให J = 32d 4π

เมอ J แทนโพลารโมเมนตออฟอนเนอรเชย มหนวยเปน (เซนตเมตร)4 d แทนเสนผานศนยกลาง มหนวยเปนเซนตเมตร

63

วธทา J = 32d 4π

63.585 = 32d14.3 4

4d = 14.332585.63 ×

= 648 d = 4 648 cm

= 21

)648( cm d = 46.25 cm

= 21010255 −×× cm

= 2551010 1×

− cm

= 497.5010 1×

− cm = 5.05 cm ดงนน เสนผานศนยกลางของเพลาตนเทากบ 5.05 เซนตเมตร ตอบ

ตงแตปญหาโจทยขอท จงเลอกขอทถกทสดเพยงขอเดยว

3x − = 52 จงหา x มคาเทาใด ก. 20 ข. 23 ค. 30 ง. 13

ถา 7x − = 3 จงหา x มคาเทาใด ก. 4 ข. 10 ค. 16 ง. – 16

ถา 1x2 + = 1 จงหาคาของ x ก. 0 ข. 1 ค. 2 ง. 3

ถา b35 = 25 จงหา b มคาเทาใด

ก. 15 ข. 325

ค. 35 ง. 75

1

64

ถา 3x5 = 10 จงหาคาของ x

ก. 6 ข. 30 ค. 60 ง. – 60

ถา 5x4 − = 73 จงหาคาของ x ก. 14 ข. 15 ค. 16 ง. 17

ถา x3 = x3

81 จงหาคาของ x

ก. 3, – 3 ข. 27 ค. 9, – 9 ง. 27, – 27

ถา 3 7x11 − = 5 จงหาคาของ x

ก. 1112 ข. 11

32

ค. 12 ง. 1211

ถา 9x 2 − = x – 3 จงหาคาของ x ก. 4 ข. 9 ค. – 6 ง. – 9

ถา 51x3 − = จงหาคาของ x

ก. 7 ข. 8

ค. 320 ง. 3

11

50 เขยนใหมในรป ก. 52 ข. 54 ค. 25 ง. 53

2x27 เขยนเปนรปอยางงายไดคอ

ก. x227 ข. 3x3 2

ค. 3x3 ง. 3x9

65

72 เขยนเปนรปอยางงายไดคอ ก. 23 ข. 32 ค. 26 ง. 62

3335 − มคาเทากบเทาใด ก. 2 ข. 32 ค. 92 ง. ไมมขอถก

373436 +− มคาเทากบเทาใด ก. 279 ข. 99 ค. 39 ง. 39−

20553 − มคาเทากบเทาใด ก. 202− ข. 152− ค. 57− ง. 57

2863 + มคาเทากบเทาใด ก. 91 ข. 9 ค. 713 ง. 75

63

33

23

+− มคาเทากบเทาใด

ก. 63 ข. 2

3

ค. 33 ง. 6

35

541802420 ++− มคาเทากบเทาใด ก. 546 + ข. 546 − ค. 654 − ง. 65 +

21

29+ มคาเทากบเทาใด

ก. 2

10 ข. 210

ค. 2

3 ง. 22

66

2)27( + มคาเทากบเทาใด ก. 9 ข. 142 ค. 2277 + ง. 1429 +

)37)(37( −+ มคาเทากบเทาใด ก. 10 ข. 4

ค. 614− ง. 3272 −

3223)(3223( −+ มคาเทากบเทาใด ก. 3626 − ข. 66 ค. 6 ง. 5

)2334)(2334( +− มคาเทากบเทาใด ก. 212312 − ข. 616 ค. 37 ง. 30

3535

+

− มคาเทากบเทาใด

ก. 81528+ ข. 154+

ค. 154 − ง. ไมมขอถก

6254


ก. )625(4 − ข. )625(4 + ค. )645(4 − ง. 12

35353

+


ก. 83259 − ข. 8

3259 +

ค. 1529 + ง. 1529 −

67

บทท 2 จานวนเชงซอน

จานวนเชงซอน จานวนเชงซอน คอ จานวนทเขยนอยในรปตอไปน คอ

z = x + jy

โดยท x และ y เปนจานวนจรงใด ๆ

x เรยกวา “ สวนจรง “

y เรยกวา “ สวนจนตภาพ “

j เรยกวา “ หนวยจนตภาพ “

1− โดยท j =

เพอความสะดวกเราใชสญลกษณ

Re z = x สวนจรง

Im z = y สวนจนตภาพ ตวอยางของจานวนเชงซอน เชน

z1 = 3 + j 2

z2 = - 3 + j 4

z3 = 4 - j 5

z4 = - 6 - j 9

จานวนจรงทกจานวนสามารถเขยนในรปของจานวนเชงซอน x + jy ไดเสมอ เชน

2 = 2 + j 0

21

21 = + j 0

- 3 = - 3 + j 0

68

จานวนจนตภาพทกจานวนสามารถเขยนในรปของจานวนเชงซอน x + jy ไดเสมอ เชน

j 3 = 0 + j 3

41

41 j = 0 + j

- j 8 = 0 - j 8

สรป จานวนจรง และจานวนจนตภาพ คอ จานวนเชงซอนนนเอง

ตวอยาง จงหาสวนจรง และสวนจนตภาพของจานวนตอไปน

1. 2 - j3 4. – 6 2. 4 + j5 5. j8 3. –9 + j2 6. 0

วธทา

1. จาก z = 2 – j3

สวนจรงคอ Re z = 2

สวนจนตภาพ คอ Im z = -3

2. จาก z = 4 + j5


สวนจนตภาพ คอ Im z = 5

3. จาก z = -9 + j2

สวนจรงคอ Re z = -9


4. จาก z = - 6 ( - 6 + j0 )

สวนจรงคอ Re z = - 6


5. จาก z = j8 ( 0 + j8 )



69

6. จาก z = 0 ( 0 + j0 )



จานวนเชงซอนสงยค

ให z = x + jy เปนจานวนเชงซอนใด ๆ จานวนเชงซอนสงยคของ z เขยนแทนดวยสญลกษณ ซงหาไดดงนคอ z

z = x + jy

)Z( ตารางตอไปนเปนตวอยางของจานวนเชงซอน และจานวนเชงซอนสงยค

)Z(

Z

5 - j7 3 + j8 -2 - j5

-7 + j12 - 3 4

- j3 - j6

5 + j7 4 - j8 -2 + j5 -7 - j12

- 3 4

- j3 - j6

Z

หมายเหต จานวนเชงซอน และจานวนเชงซอนสงยคจะมสวนจรงเหมอนกน แตสวนจนตภาพมคา ตรงขามกน

กราฟของจานวนเชงซอน

จานวนเชงซอนในรป x + jy สามารถเขยนอยในรปไดเสมอ คอ

x + jy = ( x, y )

70

ดงนน เราจงนาจานวนเชงซอนไปเขยนกราฟไดเหมอนกบการเขยนกราฟโดยปกตทวไป

และเราจะเรยกแกนนอน ( x ) และแกนตง ( y ) ดงน

แกนนอน ( x ) เรยกวา “ แกนจรง “

แกนตง ( y ) เรยกวา “ แกนจนตภาพ “ และเราจะเรยกระนาบนวา “ ระนาบเชงซอน “ หรอ ระนาบ “ อารกองค

จากรปท 1. ความยาวจากจดกาเนด ( 0 ) ถง P เรยกวา “ โมดลส “ ซง โมดลส นกคอ คา สมบรณของจานวนเชงซอนนนเอง หาไดจาก

op = 22 yx + = r

2. มมทวดจากแกน x ในทศทางทวนเขมนาฬกาไปยง op หรอ r เรยกวา “ อารกว

เมนต “ หรอ “ แอมพลจด “ ของจานวนเชงซอน หาไดจาก

ตวอยางท 1 จงเขยนกราฟของ j2+ หาโมดลส และ อารกวเมนต

วธทา j+2 = ( 1,2 ) = ( x, y )

tan = θ xy หรอ θ = arctan x

y

71

โมดลส r = 22 yx +

= 22 1(2) + = 12+ = 3 หนวย

จากสตร tan θ = xy =

21

อารกวเมนต θ = arctan 21

ตวอยางท 2 จงเขยนกราฟของ -1 + j และหาคาสมบรณและแอมพลจด 3

วธทา -1 + j = ( -1, ) = ( x, y )

คาสมบรณ r = 22 yx +

= 22 (3)1)( +− = 31+ = 4 = 2 หนวย

จากสตร tan θ = xy = 1

3−

= - 3

tan θ = - tan ( ) = tan ( - ) °60 °180 °60

แอมพลจด = - = θ °180 °60 °120

หมายเหต การหาอารกวเมนนต หรอแอมพลจดของจานวนเชงซอน ใหยดหลกดงตอไปน

3 3

∴

72

1. จานวนเชงซอนในจลภาคท 1

tan θ = xy = AtanY

∴θ = A ( )Y,XP


tan θ = xy− = - Atan

tan θ = )A180(tan −o

θ = 3. จานวนเชงซอนในจลภาคท 3

tan θ = xy

−

− = Atan

tan θ = )A180(tan +o

θ =


tan θ = xy− = Atan−

tan θ = tan )A360( −o

θ =

∴

∴

∴

r

θ XO

Y

( )Y,XP −Y

θO X

X−

r

r

( )Y,XP −

X−

Y−

Oθ

X

Y

A−o

+o

−o180 A

180 A

Y

Oθ

X X

r

360Y−

73

จานวนเชงซอนในรปแกนมมฉาก

“ จานวนเชงซอนทเขยนอยในรป x + jy เราเรยกวา “ จานวนเชงซอนในรปแกนมมฉาก “ นนเอง ซงในรปน ถาเรานามา บวก ลบ หรอ คณกน ใหกระทาแบบปกตธรรมดาทว ๆ ไป

ตวอยางท 3 จงหาคาของจานวนตอไปน ก. ( 3 – j5 ) + ( 4 – j2 ) ข. ( 6 + j2 ) – ( 5 – j4 )

วธทา ก. ( 3 – j5 ) + ( 4 – j2 ) = 3 – j5 + 4 – j2 = ( 3 + 4 ) + ( - j5 – j2 ) = 7 – j7

ข. ( 6 + j2 ) – ( 5 – j4 ) = 6 + j2 – 5 + j4 = ( 6 – 5 ) + ( j2 + j4 ) = 1 + j6 ตวอยางท 4 จงหาคาของจานวนตอไปน

ก. ( 2 + j3 ) ( 4 – j5 ) ข. ( 6 – j4 ) ( 7 – j2 )

วธทา ก. ( 2 + j3 ) ( 4 – j5 ) = 8 – j10 + j12 – j215 = 8 + j2 – ( -1 ) 15 = 8 + j2 + 15 = 23 + j2

ข. ( 6 – j4 ) ( 7 – j2 ) = 42 – j12 – j28 + j28 = 42 – j40 + ( -1 ) 8 = 42 – j40 – 8 = 34 – j40 สาหรบการหารจานวนเชงซอนในรปแกนมมฉากใหนาจานวนเชงซอนสงยคของตวหาร คณทงเศษและสวน ดงน

=++

2211

jyxjyx x

jyx (jyx (

22

11

))

+

+

))

22

11jyx (jyx (

−

−

74

สงทควรจาเพอประโยชนสาหรบการหาร คอ ผลคณของจานวนเชงซอนกบจานวนเชงซอนสงยค เปนดงนคอ ( x + jy ) ( x – jy ) = x2 + y2

ตวอยางท 5 จงหาคาของจานวนตอไปน

ก. ข. วธทา ก.

3243jj

+

− = )32()32(

)32()43(

jjxj

j−−−

+

= 2322

122jj8j96

+

−−−

= 94

12176+−− j

= 13

176 j−− = 1317

136 j+

−

ข.

jj

+

−

224 =

)2()2(

)2()24(

jjxj

j−−

+−

=

22

2

122448

+

+−− jjj

= 14

2448 2

++−− jjj

=

586 j− =

58

56 j−

จานวนเชงซอนในรปเชงขว จานวนเชงซอนในรปเชงขวเขยนอยในรปของ

3243jj

+− j−

j+224

r∠θ หรอ r(cos θ + j sin θ )

75

โดยท r คอ โมดลส หรอ คาสมบรณของจานวนเชงซอน คอ อารกวเมนต หรอ แอมพลจดของจานวนเชงซอน

θ

1. การเปลยนจานวนเชงซอนในรปแกนมมฉากไปเปนรปเชงขว

รปแกนมมฉาก x + jy หรอเทากบคลาดบ ( x, y ) นาไปเขยนกราฟได ดงน

จากรปเราจะได x = r cos θ

y = r sin θ r = 22 yx +

tan θ = xy

จาก x + jy = r cos θ + j r sin θ

= r ( cos θ + j sin θ )

ตวอยางท 6 จงเปลยน 1 + j 3 เปนรปเชงขว วธทา 1 + j 3 = (1 , j 3 ) = ( x, y) r = 22 yx +

= ( )231 + = 31+ = 4 = 2

tan θ = yx = 3 = tan 60°

θ∴ = 60° จาก x + jy = r ( )θsinejcos +θ

X

r

O

Y

√3 P(1, √3 )

1 + j 3 = 2 ( cos 60º + j sin 60º )

3 = ∠60º 2

76

ตวอยางท 7 จงเปลยน 2222 j−− เปนรปเชงขว วธทา 2222 j−− = ( )22,22 −− = ( x, y) = 22 yx +

= ( ) ( )222222 −+−

= 88 + = 16 = 4

tan θ = xy =

2222

−

−

O

Y

θ

r

-2√2

-2√2 X

tan θ = tan 45° = tan ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ °+° 45180

∴ θ = 180° + 45° = 225°

จาก x + jy = r ( )θsinejcos +θ

∴ 2222 j−− = 4 ( cos 225° + J sin 225° )

= 4 ∠225° 2 การเปลยนจานวนเชงซอนในรปเชงขวเปนรปแกนมมฉาก

การเปลยนรปเชงขวเปนรปแกนมมฉาก เพยงแตเราแทนคาฟงกชน sin θ และ cos θ กจะเปลยนเปนรปแกนมมฉากทนท

ตวอยางท 8 จงเปลยน 4 ( cos 30º + j sin 30º ) เปนรปแกนมมฉาก

วธทา cos 30° = 23

23

sin 30° = 21

∴ 4 ( cos 30° + j sin 30° ) = 4 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ + 2

1j23

= 2 2j3+

77

ตวอยางท 9 จงเปลยน )150 150 (32 sincos °+° j เปนรปแกนมมฉาก

วธทา cos 150° = cos (180° - 30°)

cos 150° = - cos 30° = 23

−

= sin (180° - 30°)

= sin 30° = 21

∴ )150 150 (32 sincos °+° j = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

21

2332 j

= 33 j+− การคณจานวนเชงซอนในรปเชงขว

ให z1 = r1(cos θ1 + j sin θ1) = r1 ∠θ1

Z2 = r2(cos θ2 + j sin θ2) = r2 ∠θ2 หรอ

r1 ∠θ1 × r2 ∠θ2 = (r1 r2∠θ1 + θ2

ขอสงเกต การคณจานวนเชงซอนในรปเชงขวใหนาโมดลสคณกนและนาเอาอากวเมนตมาบวกกน

ตวอยางท 10 จงหาผลคณของ )90 90 (22 sincos °+° j กบ )30 30 (2 sincos °+° j วธทา )90 90 (22 sincos °+° j x )30 30 (2 sincos °+° j = ( )

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ °+°+°+° 3090sin30 sin90 cos222 jj

= 4 ( cos 120° + j sin 120°)

78

ตวอยางท 11 จงหาผลคณ 3∠60° กบ 2∠70° วธทา

3∠60° x 2∠70° = 3 x 2 ∠60°+70°

= 6 ∠130° การหารจานวนเชงซอนในรปเชงขว

กาหนดให Z1 = r1(cos θ1 + j sin θ1) = r1 ∠θ1

Z2 = r2(cos θ2 + j sin θ2) = r2 ∠θ2

{ })sinj()(cosr1r

2z

z2121

2

1 θθθθ −+−=

หรอ

212

1

21

1

rr

rr

θθθθ

−∠=∠∠

ตวอยางท 12 จงหาคาของ )9090

120120sin j cos

)sin j cos( ( 4

6°°

°°

+

+

วธทา )9090

120120sin j cos

)sin j cos( ( 4

6°°

°°

+

+ = ( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+− )90(120sinj90120cos oooo

46

= )3030 sin j cos (23 °° +

ตวอยางท 13 จงหาคาของ

ก. 4∠70° ÷ 2∠40°

ข. 32 ∠225° ÷ 32 ∠45°

79

วธทา ก. °

°

∠∠

402704 = °−°∠ 40702

= °∠402

ข. °

°

∠∠

453

22532 = °−°∠ 452252

= °∠1802

จานวนเชงซอนในงานชาง จานวนเชงซอนนาไปใชประโยชนในวชาไฟฟาไดดงนคอ

80

หมายเหต คาอมพแดนซทงหมดทกลาวมา เขยนอยในรปเชงซอนแกนมมฉาก ถาตองการ เขยนใหอยในรปเชงซอนเชงขวกใหใชหลกและวธการเดยวกนกบหวขอทเรยน มากอนแลว

ตวอยางท 14 ในวงจร RL มความตานทาน 500 3 โอหม และมอนดกตฟรแอกแตนซ 500 โอหม จงหาหาอมพแดนซในรปเชงขว

81

วธทา จากวงจร RL นามาเขยนกราฟอมพแดนซไดดงน

จากรปอมพแดนซ Z = R + jXL

= 500 3 + j 500 โอหม เปลยนใหอยในรปเชงขว R θ∠

โมดลส r = 22 )500()3500( +

= 000,250000,750 +

= 000,000,1

= 1,000

tan θ = 3500

500 = 3

1 = tan 30°

∴θ = 30° ดงนน = 3500 + j 500

= 1,000 °∠30 โอหม

ตวอยางท 15 วงจร RC มคาอมพแดนซเทากบ 950 °−∠ 60 จงหาความตานทานและคาปาซ ตฟรแอกแตนซของวงจร

82

วธทา จากวงจร RC นามาเขยนกราฟอมพแดนซไดดงน

จากรป อมพแดนซ Z = R - j XC ……….. 1

โจทยกาหนดให Z = 950 °−∠ 60

= 950[ ])60(sinj)60(cos °−+°−−

= 950 ( cos - ) °60 °60sinj

= 950 ( 21 - j 2

3 )

= 475 - j 475 3 ………… 2 1 = 2 R - jXC = 475 - j 475 3 ดงนนความตานทาน R = 475 โอหม คาปาซตฟรแอกแตนซ XC = 475 3 โอหม

84

บทท 3 เรขาคณตเบองตน

งานชางทเปนงานทางดานอตสาหกรรมโดยสวนใหญนน ตองเกยวของกบรปทรง

เรขาคณตเกอบทงสน และมรปทรงหลายลกษณะตาง ๆ เขามาประกอบรวมกน เชน การผลตในงาน

กลง เกยวของกบรปสเหลยมและรปทรงกลม การผลตทอนาเกยวของกบรปแบบเสนตรงและรปมม

ฉาก เปนตน

เมอรปทรงเรขาคณตมสวนสาคญในงานชางทไดกลาวมา ในรายละเอยดสาหรบ

การศกษาเรองเรขาคณตเบองตนนนยอมสงผลความเขาใจมากยงขนไปสในรปทรงเรขาคณตทดอก

นบวาเปนสงทสาคญทตองทาการศกษาใหเขาใจอยางชดเจน เพอนาไปใชใหเกดประโยชนกบงานชาง

ในแตละชางและแตละสาขาตามรปแบบงานนนทตองทาขนมาใชในงานชาง

ตวอยางรปแบบเรขาคณตเบองตนและรปทรงเรขาคณต

รปท 1 แสดงรปแบบเรขาคณตเบองตน

รปท 2 แสดงรปทรงเรขาคณต

85

สญลกษณ (Symbols) หรอเครองหมายทนยมใชในเรขาคณตเบองตน

สญลกษณ ความหมาย

=

,

;

;

\

เทากบ, เทากน

ไมเทากบ, ไมเทากน

มม

มมฉาก

วงกลม

วงกลมหลายกลม

เสนรอบวง

เทากนทกประการ

ขนานกน, ขนานกบ

ไมขนานกน

เพราะฉะนน, ดงนน

เพราะวา

สามเหลยม

สามเหลยมหลายรป

สเหลยมจตรส

สเหลยมดานขนาน

สเหลยมผนผา

มากกวา, ใหญกวา

นอยกวา, เลกกวา

ตงฉากกบ, ตงฉากกน

คลายกบ

สงทเหนจรงและสจพจน

1. สงทเหนจรงแลว (Axioms) คอ ขอความทยอมรบกนทว ๆ ไปวาเปนความจรง ไม

ตองมการพสจน คอ

1.1 สงของหรอจานวนทเทากบสงของ หรอจานวนเดยวกนยอมเทากน

300 = 1,000 – 70 ; 250 = 200 + 50

350 - 50 = 300 + 50 ; 2 x 3 = (3-1)(5-2)

= เมอ x 0

2

S

ฉ

cc

s

จ

ข

ผ

x3xy

2

2

x

y3x

86

1.2 สงของหรอจานวนทเทากนเมอถกเพมหรอลดลงดวยจานวนทเทากนผลยอมเทากน

ของเดม; 300 = 1,000 – 700

เพมขน; 300 + 75 = (1,000 - 700) + (3/4 x 100)

ลดลง; 300 – 75 = (1,000 – 700) – (3/4 x 100)

1.3 จานวนทเทากน เมอคณดวยจานวนทเทากน ผลลพธยอมเทากน

ตวอยางเชน 300 = 1,000 – 700

และ 250 = 300 – 50

ทาให 300(250) = (1,000 – 700)(300 – 50)

75,000 = 7,500

1.4 จานวนทเทากน เมอหารดวยจานวนทเทากน ผลลพธยอมเทากนและยงมอน ๆ อก

ตวอยางเชน 300 = 1,000 – 700

และ 250 = 300 – 50

ทาให 300 =

2. สจพจน (Postulates) คอ สงทยอมรบในวชาเรขาคณตวาเปนความจรง โดยไมตองม

การพสจน และนาไปใชอางเมอการพสจนขอความอนวาเปนความจรง คอ

2.1 มเสนตรงเพยงเสนเดยวเทานนทลากผานจดทกาหนดให 2 จด ไดสนทสด

รปท 3 (a) รปท 3 (b) รปท 3 (c)

รปท 3 (a) และ (b) มความยาวเสนมากกวา 2.5 เซนตเมตร

รปท 3 (c) มความยาวเสน (เสนตรง) เทากบ 2.5 เซนตเมตร

รปท 3 (a), (b) และ (c) แสดงเสนตรงเพยงเสนเดยวเทานนทสามารถลากผานจดทกาหนดให 2 จด

ไดสนทสด

2.2 เสนตรง 2 เสนตดกนไดทจด ๆ เดยว

เทานน

รปท 4 แสดงเสนตรง 2 เสนตดกนไดทจดเดยวเทานน

87

2.3 ปลายทง 2 ขางของเสนตรงยอมตอออกไปไดไมจากด ดงแสดงในรปท 5

รปท 5 แสดงปลายทง 2 ขางของเสนตรงยอมตอออกไปไดโดยไมจากด

2.4 เมอมจดหนงเปนจดศนยกลาง จะสรางวงกลมทมความยาวรศม ตามทกาหนดใหได

เพยงวงเดยว

A A A

จดศนยกลาง r = 1.5 ซม.

รปท 6 (a) รปท 6 (b) รปท 6 (c)

รปท 6 (c) แสดงวงกลมทมจดศนยกลางอยทจด A มรศม 1.5 เซนตเมตร

2.5 รปทรงทางเรขาคณตถอวาเคลอนทได โดยไมเปลยนแปลง

(a) (b) (c)

รปท 7 (a), (b), (c) แสดงรปทรงเรขาคณตเคลอนท

2.6 เสนตรงทกาหนดจะมจดกงกลางไดจดเดยว

A B A B เสนตรง AB มความยาว 4 ซม. เสนตรง AO - OB = 2 ซม.

รปท 8 แสดงเสนตรงทกาหนดจะมจดกงกลางไดจดเดยว

3 ซม. 2 ซม. 4 ซม. 2 ซม. 1 ซม. 2 ซม.

A. B. C.

B.

D. G.

A. B. E. F.

O

C

D

88

2.7 มม ๆ หนง จะมเสนแบงครงมมไดเสนเดยว

มม ABC = 60o มม ABD = มม DBC = 30o

รปท 9 แสดงการแบงครงมม (มมทกาหนดให) ไดเพยงเสนเดยว

2.8 ณ จดทกาหนดใหบนเสนตรงเสนหนง จะลากเสนตงฉากไดเสนเดยว

D

A C B A C B รปท 10 แสดงจดทกาหนดใหบนเสนตรงเสนหนง จะลากเสนตงฉากไดเสนเดยว

2.9 มมรอบจดศนยกลางยอมเปน 2 เทาของมมตรง หรอเปน 4 เทาของมมฉาก

มม A = 360 มม ABC = 90 = 1 มมฉาก

มม DEF = 180 = 2 มมฉาก

รปท 11 แสดงมมรอบจดศนยกลางยอมเปน 2 เทาของมมตรงหรอเปน 4 เทาของมมฉาก

2.10 รศมของวงกลมทโตเทากน ยอมยาวเทากน

รปท 12 แสดงวงกลมทจด A และ B เปนจดศนยกลางทมรศม = 1.3 เซนตเมตร (แตมขนาดของรศมไมเทากบ

วงกลมทจด C เปนจดศนยกลางของวงกลม)

60 30

30

1.5 ซม. 2.8 ซม.

360

A A B

C

D E F 180

A B C r 1 r 2 r 3

A B

C

A B

C

D

89

2.11 จะลากเสนตรงผานวงกลมวงหนงไดเพยง 2 จด

รปท 13 แสดงการลากเสนตรงผานวงกลมวงหนงไดเพยง 2 จด

2.12 มมฉากทกมม มมตรงทกมม ยอมเทากน

มม ABC = BCD = 90 = 1 มมฉาก

มม DEF = GHI = 180 = 1 มมตรง

รปท 14 แสดงมมฉากทกมม มมตรงทกมม ยอมเทากน

ลกษณะและคณสมบตของรปสเหลยม

1. ลกษณะและคณสมบตของรปสเหลยมดานขนาน

AB = CD และ AB CD

AD = BC และ AD BC

DAB

= DCB

และ CBA

= CDA

1 มดานตรงขามยาวเทากนและขนานกน

2 มมมตรงขามเทากน

3 มเสนทแยงมมแตละเสนทาใหเกดสามเหลยม 2 รป เทากนทกประการ

4 มเสนทแยงมมแบงครงซงกนและกน

A B A B

C

D

A B C

D

E

F

A

B C B

C

D

D E F

G H I

A B

C D

90

รปท 15 (a) รปท 15 (b) รปท 15 (c)

จากรปท 15 (a) แสดงความสมพนธ ABC = ADC

จากรปท 15 (b) แสดงความสมพนธ ABD = BDC

จากรปท 15 (c) แสดงความสมพนธ AO = OC และ BO = OD

(ซงผลทไดจากเสนทแยงมม AC ตดกบ BD ทจด O)

หมายเหต = มความหมายแทน เทากนทกประการ

2. ลกษณะและคณสมบตของรปสเหลยมผนผา

1 มมมทกมมเปนมมฉาก

2 มดานตรงขามยาวเทากนและขนาน

กน

3 มเสนทแยงมมทง 2 ยาวเทากน ตด

แบงครงซงกนและกน

จากรปท 16

= = = = 1 มมฉาก = 90

AB = CD และ AB CD

AD = BC และ AD BC

รปท 16 แสดงความสมพนธในขอ AO = OC = BO = OD AC = BD

AO = OC = BO = OD

3 ลกษณะและคณสมบตของรปสเหลยมจตรส

1 มดานทง 4 ยาวเทากน

2 มมมทง 4 เปนมมฉาก

3 เสนทแยงมมทง 2 ยาวเทากนและตง

ฉากซงกนและกน

A A A B B B

C C C D D D

A B

C D

A

B

C

D

A B

C D

O

91


AB = BC = CD = DA

A = B = C = D = 1 มมฉาก = 90o

AC = BD และ BO AOC

หรอ DO AOC และ

AO BOD หรอ CO BO

รปท 17 แสดงลกษณะและคณสมบตของรปสเหลยมจตรส

3. ลกษณะและคณสมบตของรปสเหลยมขนมเปยกปน

1 มดานทง 4 เทากน

2 ดานตรงขามของแตละคขนานกน

3 มมทง 4 ไมเปนมมฉาก

4 เสนทแยงมมไมเทากนและตงฉากซง

กนและกน


AB = BC = CD = DA

AB CD และ BC DA

รปท 18 แสดงรปสเหลยมขนมเปยกปน 90

AC BD และ AOC BOD

5. ลกษณะและคณสมบตของรปสเหลยมคางหม

รปท 19 แสดงรปสเหลยมคางหม

A B

C D

O

A B

C D

A

B

C

D

O

A B

C D

1 มดาน 2 ดานขนานกน

2 ดานอก 2 ดานไมขนานกน และไม

จาเปนตองเทากน ถาเทากนเรยกวา

รปสเหลยมคางหมทรงหนาจว

92


AB CD และ AB CD

AD ไมขนาน BC และ AD BC เรยกวารป

สเหลยมคางหม AD ไมขนาน BC และ

AD = BC เรยกวารปสเหลยมคางหมทรงหนาจว

ดงแสดงในรปท 20

รปท 20 แสดงรปสเหลยมคางหมทรงหนาจว

6. ลกษณะและคณสมบตของรปสเหลยมดานไมเทา

1 มดานทง 4 ไมเทากน

2 มมมทง 4 ไมเทากน แตถามมตรงขาม

เทากน วงกลมจะลอมรอบได

3 เสนทแยงมมตดกน ไมแบงครงซงกนและ

กน รปท 21 แสดงรปสเหลยมดานไมเทา

เสนตงฉากและเสนขนาน

1. เสนตงฉาก

นยาม เสนตงฉากกคอ เสนตรงทตงอยบนเสนตรงอนแลวทาใหมมมประชดกน (อย

สองขางและตดกน) เทากน และมมทแตละมมทเทากนนนเรยกวา “มมฉาก” หรอเทากบ 90 องศา

A B

C D

D C

A

B

รปท 22 (a ) รปท 22 (b )

A B

C

O 2 1

2 1 3 4 A B

C

D

รปท 22 (a) 1 = 2

รปท 22 (b) 1 = 2 = 3 = 4

93

1.1 ลกษณะและคณสมบตของเสนตงฉาก

2. มมมประชดเทากน (รปท 22 (a))

จากจดภายนอกเสนตรง เมอลากเสนตรงไปยงเสนตรงนน เสนตงฉากจะเปนเสนทสนทสด

จากรป เมอลากเสนตรงใด ๆ จากจด C

มายงเสนตรง AB ถาไมอาจลากเสนตรง

อน ๆ ใหสนกวา CO ไดแลว แสดงวา

เสนตรง CO สนทสด

รปท 23 ดงนน CO ตงฉากกบ AB

1.2 การสรางเสนตงฉาก

ในวชาเรขาคณต มวธการสรางเสนตงฉากไดหลายวธ ถาตองการสรางเสนตรงให

ตงฉากกบเสนตรง AB ทจด O มวธสรางดงน

วธท 1 การสรางเสนตงฉากกบเสนตรง AB ทจด X

วธสราง

1. ใช X เปนจดศนยกลางรศมพอควร

เขยนสวนโคงตด AB ท P และ Q

2. ใช P และ Q เปนจดศนยกลาง รศม

พอควร (ยากกวา PX หรอ QX เขยน

สวนโคงตดกนทจด O)

3. ลาก OX จะไดเสนตรง OX AB

ทจด O

พสจน

C

M O N L

รปท 24

A B

O

P Q X

ขอความพสจน เหตผล

1. OXP = OXQ ทกประการ

( ด.ด.ด. )

2. \ PXO

= QXO

= 90

1. OX เปนดานรวม

XP = XP ( สราง )

2. มมประชดและเทากน

ซ.ต.พ.

94

วธท 2

การลากเสนตงฉากกบเสนตรง AB ทจด X

วธสราง

1. เลอกจด C ใด ๆ นอกเสน AB

2. ใช C เปนจดศนยกลาง รศม CX

เขยนวงกลมตด AB ท D อกจด

หนง

3. ลาก DC เลยไปตดเสนรอบวงท O

4. ตอ OX

5. ดงนน OX AB ท X

(\ DXO เปนมมในครงวงกลม

ยอมเทากบ 1 มมฉาก)

พสจน


วธสราง

1. ใช X เปนจดศนยกลาง รศม XM เขยน

สวนโคงของวงกลม MNP

2. ใช M เปนจดศนยกลางรศมเทาเดม

เขยนสวนโคงตดสวนโคงวงกลม ทจด N

และใช N เปนจดศนยกลาง รศมเทาเดม

เขยนสวนโคงตดสวนโคงเดมท P (ดงรป)

รปท 26 3. ใช N และ P เปนจดศนยกลาง รศมคงเดม

เขยนสวนโคงตดกนทจด O

A B D X

O

C

รปท 25

A B X

N

O

P


1. OD เปนเสนผานศนยกลางของวงกลม

2. \ CXO

= 1

3. \ OX AB ท X

1. DC , CD เปนเสนตรงเสนเดยวกนตามสราง

และ C เปนจดศนยกลาง

2. มม OXD

เปนมมภายในครงวงกลม

ทม DO เปนเสนผานศนยกลาง

3. เหตผลขอ 2

95

4. ลาก OX

5. ดงนน OX แบง PXN

6. \OX AB ทจด X

พสจน


วธสราง

1. เอา X เปนจดศนยกลางเขยนสวนโคงตด

AB ท M และ N

2. ใช M, N เปนจดศนยกลางเขยนสวนโคงตด

กนท O และ Q

3. ลาก OM, ON, QM และ QN

4. ลาก OQ

5. \OQ จะแบงครงและตงฉากกบ MN ท X

พสจน

M N

Q

X

รปท 27

O


1. XM = MN = NX

เปนรปสามเหลยมดานเทา

2. NXM

= 60

3. OXN

= 30

4. \ OXM

= 90

5. \ OX AB ทจด X

1. รศมวงกลมเดยวกน ( ด.ด.ด. )

2. มมภายในของรปสามเหลยมดานเทา

3. เสนตรง XO แบงครง PXN

4. OXM

= NXM

+ OXN

5. จากขอ 4

ซ.ต.พ.


1. MO = NO = NQ

2. OMQN เปนรปสเหลยมขนมเปยกปน

3. OQ ผานจด X

4. \ OX AB ท X

1. เปนรศมเดยวกนตามสราง

2. จากขอ 1.

3. เสนทแยงมมรปสเหลยมขนมเปยกปน

ยอมแบงครงซงกนและกน

4. จากขอ 3.

ซ.ต.พ.

96

การสรางเสนตงฉากกบเสนตรง AB ทจด X

วธสราง

สรางโดยใชไมฉาก โดยเลอนไมฉากแบบเสน ตรง

AB (ดงรป) และลาก XN แลวตอไปยง

\OX AB ท X

รปท 28 (เหนจรงตามรปภาพแลว)

ตวอยางการคานวณโดยใชเรขาคณตเบองตนมาใชในงาน

สมมตวา CD เปนความสงของเสาอากาศสถานวทยแหงหนง AC เปนเสนลวดสลงโยง

เสา ถาเราทราบระยะ a1 a2 b1 เรายอมสามารถหาความสงของเสาอากาศไดโดยไมตองขนไปวด

รปท 29

วธคานวณ เหตผล

\ใน ABE, ACD

1. FAE = CAD

2. AEF = ACD

3. EFA = CDA

4. \AEF, ACD เปนรปสามเหลยม

คลาย

วธท 5

ตวอยางท 1

97

วธคานวณ เหตผล

5. =

แทนคา EB, DC, AB, AC จะทาไดดงน

6. \ =

7. \ 2b =

ผลจากขอ 5

คณทแยง

(โดยปกตเมอเราตองการคานวณคาใด ๆ เราจะจดไวซายมอ กรณนนถากาหนดให

a1 = 10 เมตร, a2 = 30 เมตร และ b1 = 12 เมตร)

\ b2 =

=

b2 = 48 เมตร

ตอบ ดงนน เสาอากาศสงวทยสง 48 เมตร

บานหลงหนงใตถนบานสง 2.25 เมตร ถาจะตองสรางบนไดใหบนไดแตละขนสง 15

เซนตเมตร และขนบนไดแตละขนกวาง 20 เซนตเมตร จงหาวา

ก) จะตองใชบนไดกขน ถาเปนบนไดทอดเดยว

ข) ราวบนไดยาวเทาใด

รปท 30

10)301012(

10480


A

B C

D

2.25 ม.

1

21 1

aaab

ADFE

ADCD

1

1

ab

21

2

aab

98

ก) วธคานวณ

บานสง 2.25 เมตร = 225 ซม.

บนไดแตละขนมความสง = 15 ซม.

\จะมจานวนขนบนได = = 15 ขน

ตอบ ก) มบนไดจานวน 15 ขน

ข) จะหาความยาวของราวบนได (ราวบนไดจะตองยาวเทากบแมบนได)

วธคานวณ \ บนได 1 ขนสง 15 ซม. กวาง 20 ซม.

\ บนได 1 ขนทอดตามแมบนได (BC)

จากรป PQR โดยอาศยทฤษฎบทของ

พาธาโกลส หรอทฤษฏบทท 29 ของฮอล

และ สตเวน เราจะได

PQ2 = RQ2 + RP2

PQ2 = 152 + 202

แทนคา AB = 15 ซม. AC = 20 ซม

\ PQ = 22 2015

=

=

= 25 ซม

\บนได 1 ขนทอดตามแมบนไดได = 25 ซม.

บนได 15 ขนทอดตามแมบนไดได = 25 x 15 = 375 ซม.

ตอบ ราวบนไดยาว 3.75 เมตร

2. เสนขนาน (Parallel lines)

นยาม 1 “เสนตรงทงหลายซงอยบนระนาบ (Plane) เดยวกน จะเรยกวาขนานกนไดก

ตอเมอตอปลายทง 2 ขางออกไปแลวจะไมมโอกาสพบกน”

นยาม 2 “เสนตรงขนานกนกคอเสนตรงทอยบนระนาบเดยวกน และมทศทางเดยวกน”

ผลทเกดจากเสนตรงขนานกน

“เมอเสนตรงเสนหนงตดเสนขนานคหนงแลว (รปท 33) จะทาใหเกด

1. มมแยงเทากน (3 = 5, 4 = 6)

2. มมภายในและมมภายนอกขางเดยวกนของเสนตดเทากน (1 = 5, 2 = 6)

3. มมภายในบนขางเดยวกนของเสนตดรวมกนเทากบ 180o เสมอ (4 + 5 [ 180o,

3 + 6 = 180o)

400225

625

15225

รปท 31

15 ซม.

20 ซม.

R

Q

P

99

รปท 35

รปท 32 รปท 33

การสรางเสนตรงใหขนานกบเสนตรงทกาหนดให

วธท 1

สรางเสนตรง PQ ใหขนานกบเสนตรงทกาหนด AB โดยอาศยคณสมบต เสนตรง

ขนานกนจะมมมแยงเทากน

วธสราง

1. ลาก AP

2. ทามม NAM = YPX โดยใชวงเวยน

3. ลาก PYQ

4. ซงจะได PQ AB

วธท 2

สรางเสนตรง PQ ใหขนานกบเสนตรงทกาหนดให AB

วธสราง

1. เลอกจด X, Y ใดๆ บนเสนตรง AB

หางกนพอสมควร

2. ใช X และ Y เปนจดศนยกลาง รศม

= a หนวย เขยนสวนโคง

3. ลาก PQ ใหสมผสสวนโคงทง 2 ทMN

4. \ เสนตรง PQ AB

A

B

C

D

A

B

C

D

1 2 3 4

5 6 7 8

X

Y

รปท 34

P Q

B A

X

M

N

Y

A B

P Q

X Y

M N

a a

100

วธท 3

สรางเสนตรง PQ ใหขนานกบเสนตรงซงกาหนดให AB โดยใชไมฉากเลอนซอนกน

รปท 36

วธสราง

ใชไมฉาก 2 อน ใหอนดานซาย (หรอขวา) อยกบท ดงในภาพ แลวเลอนดานซาย

แนบขนไปเพอลากเสน PQ ตามระยะคขนานทตองการ

วธท 4

การสราง PQ ใหขนานกบแนว AB ในแนวดง โดยการใชลกดง

วธสราง

1. เมอ AB เปนแนวดงของผนงตกหรอ

อาคาร หรอสงอน ๆ

2. จากตาแหนง P ทตองการแนวขนาน ใช

ลกดงจบ ณ จด P จะได PQ แนวดง

ขนานตามตองการ

วธท 5

การสราง PQ หรอหาแนวขนานกบ AB โดยใชไมทาระดบลกนา

ในวธนในงานชางโดยเฉพาะการกอสรางยอมมความจาเปนและใชมาก ซงวธการกเพยง

แตใชไมทาระดบทาบตามแนวทตองการแนวขนานกบแนวใด โดยดจากจดลกนาวาอยในตาแหนง

เดยวกบแนวทเราตองการหรอไม แตสวนมากจะใชในแนวระดบและแนวดง

A B

P Q

M

N

รปท 37

A

B

P

Q

101

วธท 6

การหาแนวขนานหรอแนวระดบ โดยใชระดบนาในสายยางใส

วธนอาศยหลกการของธรรมชาตของนา พนผวนาจะตองมระดบเทากนในเมออยใน

แหลงเดยวกนหรอภาชนะเดยวกน เพราะฉะนน ถามนาในสายยาง นาจะตองพยายามถายทอดใหม

ระดบเสมอกนเสมอไป

เมอตองการจะใหจดใดมระดบเดยวกนกบตาแหนงทตองการกเอาสายยางไปทาบไว ณ

จดนนกบจดทตองการ เลอนไปมาจนกวาระดบนาดานทกาหนดจะหยดนงในระดบทตองการ กทา

เครองหมายเอาไว (ดงรปท 38)

จากรป AB // CD เมอกาหนดให KAB = 30 , HCD = 40 จงหามม


รปท 39 รปท 40

102

วธคานวณ ดรปท 40

วธท 1

จากรปเดม ตอ AO ไปพบสวนตอของ DC ท M

เพราะวา AB // DC หรอ AB // DM

\ BAK = CMO = 30o

HCD = CMO = 40o (มมตรงขาม)

\ = 180o - 30o - 40o = 110o

\ = 180o - 110o = 70o

ตอบ มม = 70o

วธท 2

จากสงทกาหนด ลาก OM // AB,

OM // CD ดวย

ดงนน = 30o

= 40o

\ = +

= 30o + 40o = 70o

ตอบ มม COA = = 70

จากรป AB // CD เมอกาหนดให OPA = 120o, DQO = 40o, OK แบงครง QOP , OH //

AB // CD จงคานวณหาคามม


รปท 42

103

วธคานวณ

\ AP // HO; \ มมภายนอก = มมภายในตรงขาม

\ HOP = 180o – 20o = 60o

\ OH // CD; \ มมแยมยอมเทากน

\ QOH = DQO = 40o

\ OK แบงครง QOP

\ KOQ = POK

\ KPH + = POK – a

40o + = 60o – a

2 = 20

= 10

ตอบ มม = 10 องศา

การแบงเสนตรงออกเปนหลายสวนเทา ๆ กน

1 แบงโดยใชไมบรรทดและไมฉาก

โดยอาศยทฤษฎ “เสนตรงทลากจากจดแบงบนดานใดดานหนงของสามเหลยมออกเปน

n สวนเทา ๆ กน ใหขนานกบดานฐาน เสนขนานเหลานนจะไปแบงดานทสามออกเปน n สวนเทา ๆ

กนดวย (เหมาะสาหรบจะแบงเสนตรงหรอชนงานทความยาวไมลงตว)

การแบงเสนตรง AB ออกเปน 5 สวนเทา ๆ กน


104

วธสราง

1. ลาก AC ยาวพอประมาณ ทามมใด ๆ กบ AB

2. บน AC เลอกความยาวใด ๆ แบงสวนของ AC เอา 5 สวนเปน AP, PQ, QR, RS และ ST

3. โยง TB แลวลากเสนตรงผานจด S, R, Q, P โดยใหขนานกบ TB พบเสนตรง AB ทจด S1,

R1, Q1 และ P1 ตามลาดบ

4. ดงนนจด P1, Q1, R1 และ S1 จะแบง AB ออกเปน 5 สวนเทา ๆ กน

จงแบงแผนอะลมเนยมรปสเหลยมผนผาทมขนาดกวาง 4 นว ยาว 8 นว แบงตามแนวยาว

ออกเปน 3 สวนเทา ๆ กน

วธหาจดแบง

จะเหนวาถาเราใชวธวดจะมเปนเศษสวนทศนยม ตองกะดวยตาอาจไมถกตอง

วธแบง

1. ลาก AX เลอกความยาวทวดงาย ๆ อาจใช 2 นว ทาให AP, PQ, OR เทากนตลอด (2 นว)

2. โยง RD ลาก QQ1, PP1 ใหขนานกบ RD ตดดานกวางของแผนโลหะท Q1, P1

3. \ P1, Q1 เปนจดแบงแผนโลหะอะลมเนยมออกเปน 3 สวนเทา ๆ กน

4. จาก P1 ลาก P1M, // AB ลาก Q1N // AB

5. ดงนน เสน P1M, Q1N จะแบงแผนอะลมเนยมออกเปน 3 ชนเทา ๆ กน

วธการนจะใชกบชนงานอนกไดทานองเดยวกน


105

2. แบงโดยใชวงเวยน

วธนอาศยหลกการในทานองเดยวกบวธท 1 นนเอง

วธแบง

1. จาก A ลาก AC ทามมพอควร และท B ลาก BD ทามม DBA = CAB ,

\ AC // BD

2. ใชวงเวยนรศมพอควรตด AC ทจด P, Q, R และ S และตด BD ทจด S1, R1, Q1 และ P1

3. โยง PP1, QQ1, RR1 และ SS1 ตดเสนตรง AB ทจด P2, Q2, R2 และ S2 ตามลาดบ

4. จดตด AB จะแบงเสนตรงออกเปน 5 สวนเทา ๆ กน

ขอสงเกต

ถาแบงเปน n สวน จดแบงจะม n – 1 จด

ลกษณะและคณสมบตของรปสามเหลยม

1. ลกษณะของรปสามเหลยม

1. มดาน 3 ดาน และมมม 3 มม

2. ถามดานเทากน 3 ดานเรยกวารปสามเหลยมดานเทา

3. ถามดานเทากน 2 ดาน (มมเทากน 2 มม) เรยกวารปสามเหลยมหนาจว

4. ถาไมมดานใดเทากนเลย เรยกวารปสามเหลยมดานไมเทา

5. ถามมมใดมมหนงเปนมมฉาก (กาง 90) เรยกวารปสามเหลยมมมฉาก

6. ถาในรปสามเหลยมมมมใดมมหนงกางเกน 90 เรยกวารปสามเหลยมมมปาน

106

2. คณสมบตของรปสามเหลยม

1. รปสามเหลยมทมอตราสวนของดานเปน 3 : 4 : 5 หนวย จะเปนรปสามเหลยม

มมฉาก แตรปสามเหลยมมมฉากทกรปไมจาเปนตองมอตราสวนของดานเปน

3 : 4 : 5 เสมอไป

2. ในรปสามเหลยมมมฉาก จตรสบนดานตรงขามมมฉากจะเทากบผลบวกของ

จตรสบนดานอก 2 ดาน

3. มมภายนอกของรปสามเหลยมใด ๆ จะเทากบผลบวกมมภายในตรงขามกบมม

นน ๆ

4. เสนแบงดานหนงของรปสามเหลยมออกเปนกสวนกตามทลากขนานกบฐาน จะ

ไปแบงดานทเหลอออกเปนสดสวนเดยวกน

5. เสนตอจดกงกลางของดานทงสามของรปสามเหลยม จะแบงรปสามเหลยมเดม

ออกเปนรปสามเหลยม 4 รปทคลายกน และคลายกบรปสามเหลยมเดม

6. ถาลากเสนตรงจากมมยอดไปแบงครงดานตรงขาม เสนแบงครงฐานทงสามจะ

ตดกนทจด ๆ เดยวเทานน เสนทงสามนเรยกวา เสนมธยฐาน

7. ผลบวกของดาน 2 ดานตองยาวกวาดานทสาม

ตองการเลอยเปดปกไมซง (สมมตวากลม) ใหหนาตดเปนรปสเหลยม

จตรส จากซงทมเสนผาศนยกลางขนาด 40 นว จะไดทอนไมทมหนากวางเทาใด


จากรป ACD เปนรปสามเหลยมมมฉาก

ดงนน AD2 + CD2 = AC2

222 40xx (นว x นว)

2 2x = 1,600 2นว

2x = 800 2นว

\ x = 800 2นว

= 20 2 2นว

x = 28.28 นว

ตอบ ไมเปดปกแลวกวาง 28.28 นว


107

ABC เปนรปสามเหลยมหนาจว มฐานยาว 18 นว สง 10 นว จงคานวณหาดานท

เทากน ยาวดานละเทาไร

จากรป ABC เปนรปสามเหลยมหนาจว

ลาก AD BC

\ ใน ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก

จะได AB2 = BD2 + AD2

AB2 = 92 + 102

= 81 + 100 นว2

= 181 นว

AB = 181 นว

AB = 13.45 นว

ตอบ ดานทเทากนยาวดานละ 13.45 นว

3. คณสมบตของรปสามเหลยมคลาย

รปสามเหลยม 2 รปจะเรยกวาเปนรปสามเหลยมคลายกนกตอเมอรปสามเหลยม 2

รป นนมมมทงสามเทากน มมตอมม และดานทลาดบกนจะไดสดสวนตอกน (เปนปฏภาคตอกน)

ขอสงเกต จะเรยกวาเปนรปสามเหลยมคลายจะตองมเงอนไข 2 ประการ คอ

1. มมมทงสามเทากน มมตอมม

2. ดานทสมนยกน (อยตรงขางมมทเทากน) ไดสดสวนตอกน หรอเปนปฏภาคตอ

กน

ตวอยางแสดงรปสามเหลยม 2 รปเปนรปสามเหลยมคลาย


108

จงหาผลรวมของมมภายในของรปสามเหลยม

วธทา \ ผลรวมของมมภายใน = (n – 2) 180 องศา

ในทน n = 3,

\ มมภายในรวม = (3 – 2) 180 องศา

= 1 180 องศา

= 180 องศา

ตอบ มมภายในรวมเทากบ 180 องศา

จงหาผลรวมของมมภายในของรปเกาเหลยม

วธทา \ ผลรวมของมมภายใน = (n – 2) 180 องศา

ในทน n = 9

\ มมภายในรวม = (9 – 2) 180 องศา

= 7 180 องศา

= 1,260 องศา

ตอบ มมภายในรวมเทากบ 1,260 องศา

ขอสงเกต ถาเปนรปหลายเหลยมดานเทา มมแตละมมเทากน ดงนนเมอเอาจานวนดาน

ไปหารมมรวม จะไดคาของมมแตละมม



109

การสรางรปหลายเหลยมดานเทา

มขนตอนดาเนนงานดงน

1. คานวณหาวามมแตละมมกางเทาใด โดยใชวามมภายในแตละมมของรป n เหลยม

จะเทากบ n180 ) 2 - n (

องศา

2. ลากเสนตรงใหมความยาวเทากบดานทตองการ

3. สรางมมกบปลายเสนตรงใหมขนาดตามทคานวณไวในขอ 1

4. แบงครงดานและสรางเสนตงฉากไปตดกบเสนแบงครงมมทจด O

5. ใชจด O เปนจดศนยกลางเขยนวงกลม

6. ใชปลายเสนตรงซงแทนดาน ๆ หนงของรป n เหลยม รศมเทากบดานของรป

เหลยม เขยนสวนโคงตดเสนรอบวงกลม แลวลากเสนตรงตอระหวางจดตดเสนรอบวงกลม จะได

รป n เหลยมตามตองการ

จงสรางรปหกเหลยมดานเทาใหมดานยาวดานละ 2 เซนตเมตร

วธทา

1. มมภายในของรปหกเหลยมแตละมม = องศา

= 6

720 = 120 องศา

2. ลาก AB = 2 เซนตเมตร

3. ทามม 120 องศา ทจด A และลากเสนแบงครงมม A

4. แบงครงดาน AB ทจด D ลาก DO ไปตดกบเสนแบงครงมม FAB ทจด O

5. เอาจด O เปนจดศนยกลาง รศม OA (OB) เขยนวงกลม

6. ใชปลายเสนตรง (ทจด A) ซงแทนดาน ๆ หนงของรปหกเหลยมดานเทา รศมเทา

AB เขยนสวนโคงตดเสนรอบวงกลมทจด F, E, D, C และ B ตามลาดบ

7. โยงเสน AF, ED, DC และ CB จะไดรปหกเหลยมดานเทาตามตองการ


6180 ) 2 - 6 (

110

ถา ABCD เปนรปสเหลยมคางหมรปหนงดงรป มดาน AB // CD จด E และ F

เปนจดกงกลางดาน AD, BC ตามลาดบ ถา AB = 30 หนวย CD = 22 หนวย จงหาความยาว

EF

วธคานวณ ลาก EF ลาก AC ตด EF ทจด O จะทาให COF และ CAB เปน

รปสามเหลยมคลาย

\ ดานไดสดสวนกน ABOF

= CBCF

= CACO

30OF

= 21

(\ F เปนจดกงกลาง CB)

\ OF = 230

= 15 หนวย

ทานองเดยวกน AOE, ACD เปนรปสามเหลยมคลาย

DCEO

= ADAE

= ACAO

22EO

= 21

\ EO = 222

= 11 หนวย

\ EF = EO + OF

= 15 + 11

\ EF = 26 หนวย

ตอบ ดาน EF ยาว 26 หนวย

ขอสงเกต การเรยกชอรปสามเหลยมคลายนน จะตองเรยกเรยงตามลาดบของมมท

เทากนมมตอมม


111

จากรปทกาหนดได จงคานวณดาน CD

วธคานวณ จากรปเมอ CBA = BCD แสดงวา AB // CD และ BEA = BEC (มม

ตรงขาม) เปนรปสามเหลยมคลายกน

ทาให ABE, DCE

\ DCAB

= CEBE

= DEAE

DC15

= 12 - 1712

DC15

= 512

\ 15 5 = 12 DC

DC = 12 5 15

= 4 25

= 6.25 เซนตเมตร

ตอบ ดาน DC ยาว 6.25 เซนตเมตร


- รปสามเหลยมเทากนทกประการ นบเปนกรณหนงของรปสามเหลยมคลายกน แต

รปสามเหลยมคลายกน ไมจาเปนตองเทากนทกประการ

- ดานทสมนยกน หมายถง ดานทอยตรงขามกบมมทเทากน ซงจะนาไปเขาสดสวน

กนไดเมอเปนรปสามเหลยมคลาย


112

7

22

วงกลม มมภายในวงกลม และสเหลยมทบรรจในวงกลม

กอนทจะศกษาตอไป เพอเปนการทบทวนในสงทไดศกษามาบางแลว จะไดกลาวถง

นยามบางประการเกยวกบเรองวงกลม และสวนเกยวของ

1 ลกษณะของวงกลม

1. วงกลม (A circle) คอ รปบนระนาบซงเกดจากจดทเคลอนทไป โดยมระยะหาง

จากจดทคงทจดหนงมระยะคงทโดยตลอด

2. จดทคงทเรยกวา จดศนยกลาง (Centre)

3. เสนโคงทลอมรอบจดเรยกวา เสนรอบวงกลม (Circumference)

4. ระยะทคงทระหวางจดศนยกลางไปยงเสนรอบวงกลมเรยกวา รศม (Radius)

5. เสนตรงทลากจากเสนรอบวงระหวางจด 2 จดเรยกวา เสนคอรด (Chord)

6. เสนคอรดทลากผานจดศนยกลางจะเปนเสนคอรดทยาวทสด เรยกใหมวา เสนผาน

ศนยกลาง (Diameter)

2 คณสมบตของวกลม

1. พนทวงกลม =

เมอ r = รศม, = คาคงท (ประมาณ )

หรอพนทวงกลม =

เมอ d = เสนผาศนยกลาง

2. ความยาวของเสนรอบวง =

3. มมทจดศนยกลางของวงกลมจะโตเปนสองเทาของมมทเสนรอบวงซงอยบนสวน

โคง (Arc) เดยวกน ดงแสดงในรป

รปท 37

2rπ

4

d 2

r2π

113

จากรปท 37 (1) และ (2) จะไดวา = 2d

และรปท 37 (3) จะไดวา มมกลบ COB = 2 CAB

4. มมในสวนโคงของวงกลมเดยวกนจะเทากน

รปท 38

จากรปท 38 (1) บนสวนโคง BC

\ CAB = CPB = CQB = …………

จากรปท 38 (2) บนสวนโคง BC (ดานลาง)

\ CAB = CDB = ……………..

5. มมทอยในครงวงกลมของวงกลมใด ๆ จะเปนมมฉาก

รปท 39

จากรปท 39 (1), (2) AB เปนเสนผานศนยกลาง

\ BPA = BQA = 90 องศา

114

6. มมตรงขามของรปสเหลยมใด ๆ ทบรรจภายในวงกลมรวมกนยอมเทากบสองมมฉาก

รปท 40


1 + 3 = 180 องศา

และ 2 + 4 = 180 องศา

ขอสงเกต ขอนเปนผลสบเนองมาจากเหตผลทวามมทจดศนยกลางจะเปน 2 เทาของ

มมทเสนรอบวง แตเพราะวามมรอบจดศนยกลาง 360 องศา จงทาใหมมทเสนรอบวงเปน 180 องศา

7. มมภายนอกของรปสามเหลยมทบรรจภายในวงกลมจะเทากบผลบวกของมมภายใน

ทอยตรงขาม

รปท 41

จากรป 41 PBA เปนมมภายนอกของรปสามเหลยม ABC

\ PBA = CAB + BCA

หรอ 4 = 1 + 2

115

8. มมภายนอกใด ๆ ของรปสเหลยมทบรรจภายในวงกลมจะเทากบมมภายในทอยตรง

ขาม

จากรป 42 ABP เปนมมฉากนอกของรปสเหลยม ABCD

\ PBA = CDA

หรอ 2 = 1


2 + 3 = 180 องศา

1 + 3 = 180 องศา

วงกลม เสนสมผสวงกลม และการหาจดศนยกลางของวงกลม

1 ลกษณะเสนสมผสวงกลม

คอ เสนตรงทลากจากภายนอกวงกลมมาแตะวงกลมวงหนง ๆ เพยงจดหนงและจดเดยว

เทานน เมอตอปลายเสนสมผสออกไปสกเทาใดกตามจะไมมโอกาสตดเสนรอบวง

2 คณสมบตของเสนสมผสวงกลม

1. เสนสมผสวงกลมจะตงฉากกบรศม

2. เมอลากเสนตงฉากกบเสนสมผส ณ จดสมผส จะผานจดศนยกลางของวงกลม

3. จากจดภายนอกวงกลมจะลากเสนสมผสวงกลมวงหนง ๆ ได 2 เสน

4. เมอวงกลม 2 วงสมผสกนภายในวงกลม ลากเสนสมผสรวมได 1 เสน

(รปท 43 (2))

รปท 43 ( 1 ) รปท 43 ( 2 ) รปท 43 ( 3 )

116

5. เมอวงกลม 2 วงตดกน ลากเสนสมผสรวมไดเพยง 2 เสน มคอรดรวม 1 เสน

(รปท 43 (1))

6. เมอวงกลม 2 วงแตะสมผสกนภายนอก ลากเสนสมผสรวมได 3 เสน (รปท 43 (3)

7. ถาวงกลม 2 วงสมผสกนและกนแลว จดศนยกลางของวงกลมทงสอง และจด

สมผสรวมจะอยในแนวเสนตรงเดยวกน

รปท 44


O และ Q เปนจดศนยกลางของวงกลมทงสอง P เปนจดสมผสรวม ดงนน P และ Q

อยในแนวเสนตรงเดยวกน

จากจดภายนอกวงกลมจดหนง ลากเสนตรงไปยงจดศนยกลางของวงกลม เสนตรงนจะ

แบงครงมมของเสนสมผสทงสอง

รปท 45


AP และ AQ สมผสวงกลมท P และ Q O เปนจดศนยกลางของวงกลม AO แบง

ครง QAP

\ OAP = OAQ

117

การหาจดศนยกลางของวงกลม

ในการหาจดศนยกลางของวงกลมนนแบงเปน 2 ประการ

1. มวงกลมอยแลว จะหาจดศนยกลางวงกลมนน

2. ยงไมมวงกลม และจะสรางวงกลมตามเงอนไขบางประการ (จะยงไมกลาวถง)

การหาจดศนยกลางของวงกลมเมอมวงกลม

1. ใชหลกวาเสนแบงครงและตงฉากกบคอรด ผานจดศนยกลาง

วธสราง (รปท 48)

1. ลากเสนคอรด AB และ CD ยาว

พอควร

2. แบงครงคอรด AB และ CD ทจด P

และ Q

3. ลากเสนตงฉากท P และ Q ตดกนทจด

O จด O เปนจดศนยกลางของวงกลม

(ดงรปท 48)

รปท 48

ขอสงเกต ถาแบงครงวงกลมโดยใชวงเวยน เสนแบงครงจะตงฉากกบคอรดดวย ซงไม

ตองสรางใหม

2. ใชหลกเกณฑทวา มมภายในครงวงกลมเปนมมฉาก

วธสราง

สรางรปสามเหลยมมมฉาก 2 รป บรรจในวง

กลมเดยวกน ดานตรงขามมมฉากของรป

สามเหลยมตดกนทจด O เพราะฉะนน O เปน

จดศนยกลางของวงกลมตามตองการ


รปท 49

118

3. การหาจดศนยกลางวงกลมโดยอาศยหลกเสนสมผสยอมตงฉากกบรศม ณ จดสมผส

วธสราง

1. ลากเสน AB และ PQ สมผสวงกลมทจด C

และ R ตามลาดบ (AB ตองไมขนานกบ PQ)

2. ทจด C และ R ลากเสนตงฉากไปตดกน

ทจด O

\ จด O เปนจดศนยกลางวงกลม


รปท 50

4. การหาจดศนยกลางของวงกลม โดยอาศยหลกทเสนแบงครงระหวางเสนสมผส 2

เสน ทลากจากจดเดยวกน จะตองผานจดศนยกลาง

วธสราง

1. จากจดภายนอกวงกลม AP ลากเสนสมผส

วงกลม 2 ค จาก A สมผสวงกลมท B และ C

จาก P สมผสวงกลมท O และ Q

2. ลาก AO แบงครง BAC ลาก PO แบง

ครง PQR เสน AO ตดกบ PO ทจด O

ดงนน O เปนจดศนยกลางของวงกลม

(ดงรปท 51) รปท 51

5. การหาจดศนยกลางของวงกลม โดยใชเครองมอเฉพาะซงเรยกวา เซนเตอรเฮดคอม

มเนชน (Combination sets with Center Head)

P

Q

R

A B C

O

รปท 52

119

วงกลมวงหนงมรศม 10 เซนตเมตร จด A อยหางจากวงกลม 20 เซนตเมตร จงหาวา

เสนสมผสทลากจาก A ไปสมผสวงกลมยาวเทาใด


จากรป สมมตวาจด A อยหางจากวงกลม

20 เซนตเมตร รศม OB = 10 เซนตเมตร

\ AB สมผสวงกลม

\ OBA = 90 องศา

และ AO = AX + XO

= 20 + 10 ซม.

= 30 เซนตเมตร

ABO เปนรปสามเหลยมมมฉาก

จะได AB2 = AO2 + OB2

= 302 + 102 ซม.2

= 900 + 100 ซม.2

= 1,000 ซม.2

\ AB 000,1 ซม.

= 10 10

AB = 31.26 ซม.

ตอบ เสนสมผสยาว 31.26 เซนตเมตร

ณ จด A อยบนถนนสายหนง นรนทรเดนทางลดทงนาไปในแนวทศตะวนออกเฉยงเหนอ

เปนระยะทาง 120 เมตร สาหรบอนทราเดนไปทางทศตะวนตกเฉยงเหนอเปนระยะทาง 85 เมตร

จงหาวาขณะนนนรนทรและอนทรายนหางกนกเมตร


รปท 53


120

รปท 54


นรนทรเดนไปทศตะวนออกเฉยงเหนอ ดงนน ทางเดนทามม 45o กบทศเหนอไปท B

อนทราเดนไปทศตะวนตกเฉยงเหนอ ดงนน ทางเดนทามม 45o กบทศเหนอไปท C

\ ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก

ระยะททงสองหางกนคอ BC

\ BC2 = AB2 + AC2

BC2 = 1202 + 852 ม.2

= 14,400 + 7,225 ม.2

= 21,625 ม.2

\ BC = 625,21 ม.

\ BC = 147.05 ม.

ตอบ นรนทรและอนทรายนหางกน 147.05 เมตร

งานชนหนงตองเจาะรแผนโลหะเปนวงกลมดงรป จงหาระยะระหวางจดศนยกลางของ

วงกลม AC, AB, AE


121

วธคานวณ จากรปท 55

(1) AC = AD – CD ซม.

= 11 – 4 ซม.

\ AC = 7 ซม.

(2) ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก

\ AB2 = AC2 + BC2 ซม.2

= 72 + 52 ซม.2

= 49 + 25 ซม.2

= 74 ซม.2

\ AB =

AB = 8.60 ซม.

(3) AE2 = AD2 + DE2

= 112 + 52 ซม.2

= 121 + 25 ซม.2

= 146 ซม.2

\ AE = 146

= 12.08 ซม.

ตอบ AC = 7 เซนตเมตร

AB = 8.60 เซนตเมตร

AE = 12.08 เซนตเมตร

รปท 55

74

122

การใชเรขาคณตในงานชาง

วชาเรขาคณตมความจาเปนในงานชางเปนอยางมาก ไมวาจะเปนงานดานกอสราง งาน

โลหะ งานสารวจ งานออกแบบ และอน ๆ มากมาย ปญหาแตละปญหานอาจมวธแกไดหลายแบบ

หลายวธ หรอใชคณตศาสตรแขนงอนเขาชวยดวย เชน พชคณต ตรโกณมต เปนตน ทงนกตอง

แลวแตปญหาแตละปญหา ซงวธการกตองเลอกใหเหมาะสมกบปญหานน ๆ ดงตวอยางตอไปน

เพลากลมอนหนงมเสนผานศนยกลาง 4.9 เซนตเมตร วางไวบนรางรปตวว (V-Shape)

มความลก 3.5 เซนตเมตร จงหาวาตวเพลาสงพนจากปากรางขนมากเซนตเมตร เมอรางเอยง 45

องศากบแนวราบ

วธคานวณ ให h = ระยะทเพลาสงพนปากราง

พจารณาจากรปท 56

\ h = PR – 3.

= (PO + OR) - 3.5

และ QPO = 45o = SPK

\ QOP = 50o

นนคอ PQ = OQ = ซม. (เพราะ QPO = 45o )

\ OP = 22PQ OQ

= 2229.4

24.9

= 3.46 ซม.

\ h = ( 3.46 + 24.9

) - 35 = 2.41 ซม.

ตอบ เพลาสงพนปากรางขนมา 2.41 เซนตเมตร

จากตวอยางท 17 ถารางเอยง 60 องศา จงหาวาจดศนยกลางเพลาจะอยสงจากกนราง

เทาใด และดานบนเพลาสงจากรางเทาใด



123

รปท 57

วธคานวณ พจารณา OPQ เปนรปสามเหลยมมมฉาก

ทราบความยาว OQ = 24.9

ซม. (รศมวงกลม)

และ QPO = 90 - 60 = 30

จากตรโกณมต; = sin 30

\ OP = 30sin

OQ

= 2

1 2

4.9

\ OP = 4.9 ซม.

\ เพลาสงจากราง h = (OP + OR) - 3.5

= (4.9 + 24.9

) - 3.5 = 3.85 ซม.

ตอบ จดศนยกลางอยสงกวากนราง 4.9 เซนตเมตร เพลาสงพนรางขนมา 3.85 เซนตเมตร

จากรปขางลาง สมมตวาเปนแบบหนาตดดานขางของอาคาร จงหาระยะ CE เมอ FE

= 1.5 เมตร

รปท 58


124

วธคานวณ จะใชเรขาคณตหรอตรโกณมตชวยกได ในทนควรเลอกใชวธเรขาคณตจะ

ดกวา

\ ดานสมนยกนไดสดสวนกน คอ EFCE

= DCAD

= ACCF

\ 1.5CE

= 3.01.2

\CE = 3.01.2 1.5

\ CE = 0.6 เมตร

ตอบ ดาน CE ยาว 60 เซนตเมตร

ขอสงเกต การเขาสดสวนควรเลอกเอาดานทเราตองการทราบไวเปนเศษ และอย

ดานซายของสมการ เพอสะดวกในการคานวณ และจะใชในคททราบคาของมน 3 ใน 4 จานวน

125

บทท 4 พนทและปรมาตร

นยาม

1. สวนสงหรอความสง (The Altitude or Height) ของรปสเหลยมดานขนานคอ ระยะของ

เสนตงฉากระหวางดานทกาหนดใหเปนฐานกบดานตรงขาม

2. สวนสงหรอความสง (The Altitude or Height) ของรปสามเหลยมคอ ระยะของเสนตง

ฉากทลากจากมมทอยตรงขามกบฐาน มาตงฉากกบฐานหรอสวนตอของฐาน

รปท 1

จากรปท 1 (1) , (2) รปสามเหลยม ABC และรปสามเหลยม DEF อยระหวางเสนคขนาน

CH และ BF ดงนน ADQP เปนรปสเหลยมมมฉาก โดยท AP = DQ

3. พนทของรปตาง ๆ หมายถง พนทผวของรปทอยภายในเสนลอมรอบ

4. พนทมหนวยเปนตารางหนวยของมาตราทกลาวถงความยาวนน ๆ

5. หนงตารางหนวย (A Square Unit) หมายถง พนทหนงตารางหนวยทสรางบนดานทยาว

หนงหนวยความยาวนน ๆ

วธคานวณพนทรปสามเหลยม

1. พนทรปสามเหลยมดานไมเทา (Oblique Triangles)

พนท = ½ x ฐาน x สง

= ½ x b x h

เมอ b = ความยาวฐาน

h = สวนสง

126

ตามรปท 2 (1), (2)

ขอสงเกต การกาหนดดานจะเขยนดวยตวเขยนเลก

และอยตรงขามกบมม เขยนดาน a จะตอง

2. พนทรปสามเหลยมททราบความยาวดานทงสาม

พนท A = ))()(( csbsass

เมอ A แทนทพนทรปสามเหลยม

a, b, c แทนความยาวของดานทงสาม (รปท 2)

s เทากบ 2

cba

รปสามเหลยม ABC มดานทงสามยาว 9, 12 และ 15 เซนตเมตร ตามลาดบ จงคานวณหา

พนทรปสามเหลยม ABC

วธคานวณ 1 ใชสตร

พนทรปสามเหลยม A = ))()(( csbsass

จากโจทย a = 9, b = 12, c = 15, s = 2

15129 = 18

แทนคาในสตรจะได

A = )1518)(1218)(918(18

= 36918 xxx

A = 54 ตารางเซนตเมตร

ตอบ พนทรปสามเหลยม ABC เทากบ 54 ตารางเซนตเมตร


อยตรงขามมม A

รปท 2

127

วธคานวณ 2

ถาเราพจารณาความยาวดานทงสามจะเหนวาเปนสดสวน 9 : 12 : 15 = 3 : 4 : 5

ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก

พนท A = ½ x 12 x 9

= 54 ตารางเซนตเมตร

ตอบ พนทรปสามเหลยม ABC เทากบ 54 ตารางเซนตเมตร

พนทรปสเหลยม

s 1. พนทรปสเหลยมจตรส

s

เมอ A = พนทรปสเหลยมจตรส

s = ความยาวของดาน

2. พนทรปสเหลยมผนผา

เมอ A = พนทรปสเหลยมผนผา

a = ความกวาง

b = ความยาว

3. พนทรปสเหลยมดานขนาน

A = พนทรปสเหลยมดานขนาน

a = ความยาวดานขาง

b = ความยาวฐาน

= มมระหวางดาน 2 ดาน

A = s2

A = ab

A = bh, ab sin

รปท 4

a

b

รปท 5

a

b

h

รปท 6

128

4. พนทรปสเหลยมคางหม

เมอ A = พนทรปสเหลยมคางหม

h = ความสงระหวางคขนาน

รปท 7 a, b = ความยาวของดานคขนาน

หมายเหต รปสเหลยมคางหมทรงหนาจว มดานไมขนานกนยาวเทากน

5. พนทรปสเหลยมดานไมเทา

เมอ A = พนทรปสเหลยมดานไมเทา

d = ความยาวเสนทแยงมม

p, q = ความยาวของเสนกง

หมายเหต เสนทแยงมมจะใช BD กได ซงกตองลากเสนกงใหม

6. พนทรปสเหลยมขนมเปยกปน

เมอ A = พนทรปสเหลยมขนมเปยกปน

b = ความยาวดาน (ฐาน)

h = ความสง

21 ,dd = ความยาวเสนทแยงมมทงสอง

หมายเหต เสนทแยงมมรปสเหลยมขนมเปยกปน ยอมแบงครงและตงไดฉากซงกนและกน

A = )(2

1bah

A = )(2

1qpd

1. A = bh

2. A = 212

1dd

รปท 8

รปท 9

129

จงหาพนทรปสเหลยมคางหมรปหนงมดานคขนานยาว 12.3 และ 15.7 เซนตเมตร สง 11

เซนตเมตร


พนท A = )(2

1bah

จากโจทย h = 11, a = 12.3, b = 15.7

แทนคา จะได

A = )7.153.12(1121

= 281121

A = 154 ตารางเซนตเมตร

ตอบ พนทรปสเหลยมคางหมเทากบ 154

ตารางเซนตเมตร

รปสเหลยมดานขนานรปหนงมพนท 270 ตารางนว ถาดานคขนานคหนงยาวดานละ 18 นว

จงคาความสง


พนท A = bh

จากโจทย A = 270 ตารางนว, b = 18 นว,

H = ?

แทนคาในสตร จะได

270 = 18 h

h = 18

270

h = 15 นว

ตอบ สวนสงของรปสเหลยมดานขนาน

เทากบ 15 นว



รปท 10

รปท 11

130

ABCD เปนรปสเหลยมดานไมเทา มดาน AB=12 นว BC=15 นว CD=14 นว DA=10 นว

และเสนทแยงมม AC = 16 นว จงหาพนทรปสเหลยม ABCD

รปท 12


แบงพนทเปนรปสามเหลยม 2 รป จะได

พนทรปสเหลยม ABCD = พนทรปสามเหลยม ABC + พนทรปสามเหลยม ACD

สตร พนทรปสามเหลยม A = ))()(( csbsass

ใน ABC; s =

s = 21.5

พนทรปสามเหลยม ABC = 16)15)(21.512)(21.521.5(21.5

= ))(6.5)(5.5(21.5)(9.5

= 7,301.9375

= 85.45 ตารางนว

ใน ΔACD; s = 101416(2

1

s = 20

พนทรปสามเหลยม ACD = )1020)(1420)(1620(20

= )10)(6)(4)(20(

= 800,4


พนทรปสเหลยม ABCD = 85.45 + 69.28


ตอบ พนทรปสเหลยม ABCD เทากบ 154.73 ตารางนว


16151221

131


พนทระนาบเอยง

รปท 13

พนทระนาบเอยง ABCD = θcos

C'B'xB'A'

รปท 14


พนทระนาบเอยงทงหมด = พนทระนาบเอยง ADEF + พนทระนาบเอยง BCEF

พนทระนาบเอยง ADEF = พนทระนาบเอยง BCEF

พนททงหมด = 2 x พนทระนาบเอยง ADEF

= 2

θcosนพนทแปล

= 2

0cos308x2.5

พนทระนาบเอยง = พนทในแนวราบ (พนทแปลน)

cos

132

=

2

3

40

= 3

80 = 732.1

80

= 46.19 ตารางเมตร

ตอบ พนทระนาบเอยงทงหมดเทากบ 46.19 ตารางเมตร

จงหาพนทหลงคาทมจวกวาง 9 เมตร อาคารยาว 30 เมตร และมมมทฐาน 60 องศา

รปท 15


พนทระนาบเอยง = θcosะนาบพนทในร (พนทแปลน)

จากโจทย พนระนาบกวาง = 9 เมตร ยาว = 30 เมตร และจวทามม = 60 องศา

พนทหลงคา = ocos60x309

=

2130x9

= 540 ตารางเมตร

ตอบ พนทหลงคาทอยในระนาบเอยงเทากบ 540 ตารางเมตร


133

พนทเซกเตอรและเซกเมนต

นยาม เซกเตอร (Sector) คอ รปทถกลอมดวยรศม 2 เสน และเสนโคงของวงกลมทอย

ระหวางรศมทงสองนน (ดงรปท 16)

พนทเซกเตอร

(360 องศา = π เรเดยน)

เมอ A = พนทเซกเตอร

r = รศมวงกลม

A = ความยาวของสวนโคงทรองรบมมทจดศนยกลาง

= มมทจดศนยกลาง

จงหาพนทเซกเตอรทจดศนยกลางรองรบ 120 องศา และรศม 35 เซนตเมตร


พนทเซกเตอร = 360.2 v

r

จากโจทย r = 35, = 120 o

แทนคาจะได

A = o

o

π360

120352

= 23531

= 1,22531

= 722

225,131

= 1,283.3 ตารางหนวย

ตอบ พนทเซกเตอรเทากบ 1,283.3 ตารางหนวย

A = .πr 2360θ


134

นยาม เซกเตอรของวงกลม คอ รปซงลอมรอบดวยเสนคอรดเสนหนง และเสนคอรด 1

เสน จะแบงเสนโคงของวงกลมออกเปน 2 สวน ซงม 2 เซกเมนต

ขอสงเกต เสนคอรดของเซกเมนตบางครงเรยกวาฐานของเซกเมนต

เมอ A = พนท (สวนทแรเงา)


= มมทรองรบเซกเมนต


1. เมอ แทนคาโดด ๆ ตองเปลยนองศาเปนหนวยเรเดยน

2. 180 องศา = เรเดยน หรอ 1 องศา = 0.01745 เรเดยน

นยาม มม 1 เรเดยน คอ มมทจดศนยกลางของวงกลมซงรองรบสวนโคง (วดแนบตามแนว

โคง) ทมความยาวกบรศม

จงหาพนทของบเซกเมนตหรอสวนของวงกลมทมรศม 6 เซนตเมตร และมมทรองรบสวน

โคงทจดศนยกลางเทากบ 85 องศา

A = sin2

1 2 r


135


จากสตร A = sin2

1 2 r

จากโจทย r = 6 เซนตเมตร

= 85 องศา

เนองจาก 180 องศา = เรเดยน

85 องศา = 180

85x

= 18085

722 = 1.48 เรเดยน


A = o85sin48.1621 2

= 996.0484.12

36

= 18 0.488

= 8.784 ตารางเซนตเมตร

ตอบ พนทเซกเมนต (สวนทแรเงา) เทากบ 8.784 ตารางเซนตเมตร

หมายเหต

1. ในการหาพนทเซกเมนตน เราอาจจะใชวธหาพนทของเซกเตอร (Sector) และหา

พนทรปสามเหลยมนามาลบกนกได

2. ถาจะหาพนทสวนใหญจะตองใชมมทรองรบ จากตวอยางท 8 เมอหาพนทเซกเมนต

ใหญ คา 27585360 oo องศา

ความยาวของสวนโคง (Arc Length)

การหาความยาวของสวนโคง

( มหนวยเปนเรเดยน)

เมอ a = ความยาวของสวนโคง


= มมทรองรบสวนโคง

รปท 21

a = r

136

หรอจะหาความยาวสวนโคงโดยเทยบจากมมทรองรบสวนโคงนน ๆ กได กลาวคอ

ความยาวเสนรอบวง = 2 r แตเสนรอบวงมมมรอบจดศนยกลาง = 360 องศา

นนคอ มม 360 องศา รบสวนโคง = 2 r

องศารบสวนโคง = 2 r . 360

สวนโคงของวงกลมคอ a = 2 r. 360

วงกลมวงหนงรศม 14 นว จงหาความยาวสวนโคงทรองรบมมทจดศนยกลาง 115 องศา

1. วธคานวณ

จากสตร ความยาวสวนโคง a = r

จากโจทย a = ?

r = 14 นว

= 115 องศา

= 115 x 0.01745 = 2.007 เรเดยน


ความยาวสวนโคง a = 2.007 x 14

= 28.098 นว

ตอบ สวนโคงยาวเทากบ 28.098 นว

2. การคานวณโดยใชเทยบความยาวเสนรอบวงกลมกบมมทรองรบสวนโคง

จากสตร ความยาวสวนโคง a = 2 r . 360

จากโจทย r = 14 นว, = 115 องศา, 7

22


ความยาวสวนโคง a = 360115

14722

2

= 28.10 นว

ตอบ สวนโคงของวงกลมยาวเทากบ 28.10 นว


137


การคานวณวธท 1 และ 2 น เหตผลทไดคาตอบไมเทากน กเพราะในวธท 2 ใชคาของ

7

22 ซงเปนคาทหยาบมาก ถาจะใชคา ใหละเอยดยงขน หรอใช ทมคาเดยวกน กจะไดคา

ตอบเหมอนกน

คาของ 7

22 (เปนคาหยาบ ๆ) และคาจรงของ = 3.14159265358979323846…

รปวงร (Ellipse)

รปท 23

นยาม รปวงร คอ รปทมเสนรอบรปเกดจากรอยตดทรงกระบอก หรอกรวยกลมโดยแนวตด

ไมขนานกบแกนหลกใด ๆ

ลกษณะวงร วงรจะมแกน 2 แกน เรยกวา แกนยาว (Major Axis) และแกนสน (Minor Axis)

เสนแกนทงสองจะตงฉากกน

เมอกาหนดใหแกนยาวขอวงรเทากบ 2a แกนสนของวงรเทากบ 2b และจด P(x y) เปนพกด

ใด ๆ บนเสนโคงวงร แลวสมการทวไป ไดแก

12

2

2

2

b

y

a

x (มจดศนยกลางอยทจดกาเนดคอ จด (0, 0))

138

พนทวงร

เมอตดรปทรงกระบอกในแนวเฉยง (ดงรปท 24) และมองภาพหนาตด จะเหนพน

ผวหนาตดเปนรปวงร (Ellipse)

รปท 24

ตามทเราไดศกษาวธการหาพนทระนาบเอยงมาแลว ในทนพนทของวงรกเปนพนททอยใน

ระนาบเอยงทามม กบพนทหนาตดตรงของทรงกระบอกคอพนทรปวงกลม

จากทมาวา พนทในระนาบเอยง = θ ะนาบพนทในร

cos (พนทแปลน)

โดยทฤษฎเดยวกน จะไดวา

พนทรปวงร = θ

ลมพนทวงกcos

ถากาหนดให A แทนพนทวงกลมรศม a

พนทวงกลม A = 2a

และ Cos = b

a

จากสตร ; พนทรปวงร = θ

ลมพนทวงกcos

แทนคา ; พนทวงร =

b

a

a 2

รปท 25 พนทวงร = ba

ความยาวของเสนรอบวง

เมอ s แทนความยาวเสนรอบรปวงร

a แทนความยาวครงแกนยาว

b แทนความยาวครงแกนสน

139

จะไดวา ความยาวเสนรอบรปวงรคอ

โดยประมาณ


- สตรนหาไดโดยใชการคานวณวชาแคลคลสในเรองการหาความยาวของสวนโคง

- ในหนงสอบางเลม ให a แทนความยาวแกนสน และ b แทนความยาวแกนยาว ซงกจะได

สตรผดกนไปซงกใชไดเชนกน

กาหนดใหวงรรปหนงมความยาวแกนยาว 6 เซนตเมตร ความยาวแกนสน 4 เซนตเมตร จง

คานวณพนทวงรและเสนรอบรป

รปท 26


จากสตร พนทวงร A = ba

จากโจทย a = 32

6 , b = 2

2

4


พนทวงร A = 23

= 6 ตารางเซนตเมตร

และเพราะวา ความยาวเสนรอบรป s = )(2 22 ba

จากโจทย a = 3, b = 2, s = ?


s = )49(2

= 6.2

= 5.099 เซนตเมตร

ตอบ วงรพนทเทากบ 6 ตารางเซนตเมตร

ความยาวของเสนรอบรปวงรเทากบ 5.099 เซนตเมตร

S = )(2 22 ba


140

วงรวงหนงมเสนแกนยาว 12.6 นว ถาปรากฏวามพนทเทากบ 75.6 ตารางนว จงหาความยาว

แกนสน


จากสตร พนทวงร A = ba

จากโจทย A = 75.6 ตารางนว

2a = 12.6 นว

a = 6.3 นว

แทนคาในสตร

75.6 = (6.3)b

b = (6.3)475.6

= 3.82 นว

ตอบ ความยาวแกนสนเทากบ 3.82 นว

การหาพนทและปรมาตรของรปทรงตาง ๆ

การหาพนทและปรมาตรของรปทรงตาง ๆ สามารถแบงออกเปนประเภทตาง ๆ ทสาคญได

ดงตอไปน

- ปรซม

- ทรงกระบอก

- พระมด

- พระมดทรงยอดตด

- กรวย

- กรวยยอดตด

1. ปรซม (Prism)

นยาม ปรซม คอ รปทรงใด ๆ ทมพนทหนาตดหวทายเหมอนกน ขนานกน และเปน

รปเหลยมเทากนโดยตลอด

ถาหนาตดหวทายตงฉากกบเสนขอบรปเรยกวา ปรซมฐานฉาก

ถาหนาตดหวทายไมตงฉากกบขอบเรยกวา ปรซมฐานเหลยม แตถากลาววาปรซมโดย

ทว ๆ ไป จะหมายถง ปรซมฐานฉาก


141

รปท 27

จากทไดศกษามาแลว นกเรยนเคยหาปรมาตรของรปทรงเหลยมมมฉาก หรอรปกลองใส

ของตาง ๆ (ดงรปท 28) โดยคานวณหาปรมาตรเทากบ กวาง x ยาว x สง เมอพจารณากจะเหนวา กวาง

ยาว กคอพนทฐานนนเอง

รปท 28

ปรมาตรของรปสเหลยมมมฉาก = กวาง ยาว สง

= พนทฐาน สง

ดงนนจากเหตผลเดยวกนน ไมวาฐานของปรซมจะมรปรางอยางใดกตาม โดยอาศยนยามของ

ปรซม เราจะไดวา

เมอ V แทนปรมาตรปรซม

A แทนพนทฐาน

h แทนสวนสง

หมายเหต สตรนจะใชไดทงปรซมเอยงดวย

ปรมาตรปรซม = พนทฐาน สง

หรอ V = Ah

142

จงหาปรมาตรของปายชอเปนแทงไมสามเหลยมรปปรซม ดานหนาตดทง 2 ดาน มขนาด

8 8 10 เซนตเมตร ยาว 40 เซนตเมตร

รปท 29


จากรปท 29 หนาตดเปนรปสามเหลยม ซงทราบความยาวดานทงสาม

จากสตร พนทรปสามเหลยม = ))()(( csbsass

จากโจทย a = 10, b = 8, c = 8

2

8810 s

= 13

พนทรปสามเหลยม A = )813)(813)(1013(13

= 55313 xxx

= 5 39

A = 31.22 ตารางเซนตเมตร

จากสตร ปรมาตรปรซม = พนทฐาน สง

จากโจทย พนทฐาน = 31.22 ตารางเซนตเมตร, สวนสง = 40 เซนตเมตร

แทนคาในสตรจะได

ปรมาตรปรซม = 31.22 40

= 1,248.8 ลกบาศกเซนตเมตร

ตอบ ปรมาตรแทงไมสามเหลยมรปปรซมเทากบ 1,248.8 ลกบาศกเซนตเมตร


143

จงหาปรมาตรรางอาหารสตว ซงหวทายเปนรปสเหลยมคางหมหนาจว มดานทขนานกนยาว

8 นว และ 12 นว รางนลก 7 นว และยาว 5 ฟต

รปท 30



จากรปท 30 หนาตดเปนรปสเหลยมคางหม

สตร พนทรปสเหลยมคางหม = )(2

1bah

จากโจทย a = 8, b = 12, h = 7

พนทรปสเหลยมคางหม (ฐาน) = )812(721

= 70 ตารางนว


ปรมาตรรางอาหารสตว = พนทฐาน ยาว

ในทนพนทหนาตด 70 ตารางนว, ความยาวของราง (สง) = 5 12 = 60 นว

แทนคาจะได

ปรมาตรรางอาหารสตว = 70 60

= 4,200 ลกบาศกนว

ตอบ ปรมาตรรางอาหารสตวเทากบ 4,200 ลกบาศกนว


144

2. ทรงกระบอก (Cylinder)

นยาม ทรงกระบอก คอ รปทรงทมพนทหนาตดตรงเปนวงกลมและตงฉากกบแกน

โดยมรปทรงเทากนโดยตลอด หนาตดทงสองขนานกน

เมอกาหนดให

r แทนรศมวงกลมหนาตด

d แทนเสนผาศนยกลางวงกลมหนาตด

h แทนความสงหรอความยาวทรงกระบอก

A พนทหนาตด

v แทนปรมาตรทรงกระบอก

พนทหนาตด A = 2r ……….(1)

หรอ A = 2

4d

………(2)

จากแนวความคด ปรมาตรของรปทรงสมาเสมอจะเทากบพนทฐาน x ความสงหรอความยาว

……….(3)

………(4)

พนทผวทรงกระบอก จะประกอบดวยพนทหนาตด 2 ขาง (เมอเปนทรงกระบอกตนหรอมฝา)

รวมกบพนทผวดานขาง ซงพนทผวดานขางนนถาเราพจารณายดแผออกกคอรปสเหลยมผนผานนเอง

พนทผวดานขาง = เสนรอบวงกลม สง = 2 hr ……….. (5)

พนทผวทรงกระบอกทงหมด = 2 (พนทหนาตด) + (พนทผวดานขาง)

(1) 2 + (5) พนทผวทงหมด = hrr 22 2

ปรมาตรทรงกระบอก V = Ah

หรอ V = hr 2

พนทผวทงหมด = )(2 hrr

145

ถงเกบนาเปนรปทรงกระบอกมเสนผาศนยกลางภายใน 2.5 เมตร สง 2.2 เมตร จงหาความจ

ของถงนา


ปรมาตรทรงกระบอก V = hd

4

2

จากโจทย d = 2.5, h = 2.2, = 3.142


V = 2.2)5.2(4142.3 2 x

= 10.80 ลกบาศกเมตร

ตอบ ปรมาตรถงนารปทรงกระบอก เทากบ

รปท 32 10.80 ลกบาศกเมตร

ตองการสรางถงเกบนากลมรปทรงกระบอก เสนผาศนยกลางภายใน 3.25 เมตร ใหมความจ

นาไดอยางนอย 20 ลกบาศกเมตร จะตองสรางถงสงกเมตร


ปรมาตรทรงกระบอก V = hd 24

จากโจทย v = 20 ลกบาศกเมตร,

d = 3.25 เมตร, h = ?


V = xhx 2)25.3(4

142.3

= 8.297h

h = 297.8

20 = 2.41 เมตร

รปท 33 ตอบ ตองสรางตวถงใหสงอยางนอย 2.41 เมตร


1. ถาโจทยกาหนดความยาวรศมมาใหเรากใชสตรทเกยวของกบรศม คอ

พนทหนาตด A = 2r



146

ปรมาตร V = hr .2

2. หนวยการวดตองใชหนวยเดยวกน

พนทผวและปรมาตรรปทรงหนาตดเปนวงร

ถาจะพจารณาในเรองน จะเหนวาคลายคลงกบเรองรปทรงกระบอก

รปท 34

เมอกาหนดสวนของรปทรงหนาตดรปวงรดงน

ให 2a แทนความยาวของแกนยาว

2b แทนความยาวของแกนสน

h แทนความสงหรอความยาวของรปทรงวงร

พนทหนาตดวงร = ab ………….(1)

เสนรอบรปวงร = 22(2 ba ………….(2)

ดงนน พนทผวดานขาง = เสนรอบรป x ความสง

พนทผวดานขาง = xhba )(2 22 ………….(3)

สมการ (1) x 2 + (3) ;

และ ปรมาตรรปทรงวงร = พนทฐาน สง

พนทผวรปวงรรวม = 22(22 baab h

ปรมาตรรปทรงหนาตดวงร = abh

147

3. พระมด (Pyramid)

นยาม พระมด คอ รปทรงทมฐานเปนรปเหลยม ดานขางเปนรปสามเหลยม มยอด

แหลมเปนทรวมของจดยอดรปสามเหลยม

ถาดานขางทกดานทามมทฐานเทากบเรยกวา พระมดปกต ถาทามมไมเทากนเรยกวา

พระมดเอยง ถากลาวถงพระมดลอย ๆ ใหหมายถง พระมดปกต

รปท 35

นกเรยนศกษาถงการหาพนทรปเหลยมตาง ๆ และปรมาตรของปรซมและทรงกระบอกมา

แลว สาหรบปรมาตรของพระมดจะมความสมพนธกบปรมาตรของปรซมทมฐานเดยวกน และมความ

สงเทากน

กลาวคอ จากการใชเครองมอทดลองทางวทยาศาสตร ในการใหวตถแทนทนา ตามวธการ

ของยเรกา จะพบวาปรมาตรของพระมดจะเปน 1 ใน 3 ของปรมาตรปรซมทมฐานเหมอนกนและสง

เทากน (นกเรยนควรหาวธทดลองด โดยใชวธเอาแทนทนาตามวธทางวทยาศาสตร) ทงนไมวาจะเปน

พระมดปกตหรอเอยงกตาม

148

จงหาพนทผวและปรมาตรของรปทรงทมหนาตดเปนรปวงรทงหวทายเทากนโดยตลอด ซง

หนาตดมแกนยาว 10 นว และ 8 นว เปนแทงยาว 35 นว

รปท 36

วธคานวณ พนทผว

จากสตร พนทหนาตด = ab

จากโจทย a = 5, b = 4, h = 35 (ใชคา )3.142π

พนทหนาตด 2 ดาน = 40452 π

= 40 3.142 = 125.68 ตารางนว

จากสตร พนทผวดานขาง = )(2 22 ba x h

แทนคา; พนทผวดานขาง = 3.142 )( 22 452 x 35

= 3.142 9.055 35 = 995.80 ตารางนว

พนททงหมด = พนทหนาตด + พนทผวขาง

= 125.68 + 995.80

= 1,121.48 ตารางนว

ตอบ พนทผวภายนอกทงหมดเทากบ 1,131.48 ตารางนว

วธคานวณ ปรมาตร

จากสตร ปรมาตร = hab

แทนคา; ปรมาตร = 3.142 5 4 35

= 2,199.4 ลกบาศกนว

ตอบ ปรมาตรรปทรงหนาตดวงรน 2,199.4 ลกบาศกนว


149

การหาปรมาตรพระมด

ถาให A แทนพนทของพระมด

h แทนความสง

V แทนปรมาตรพระมด

สวนพนทดานขางของพระมดกจะใชความรในเรองการหาพนทรปสามเหลยมมาใช (เมอ

ทราบความยาวฐานและสวนสง) หรอถาเราอาจทราบคามมเอยงได กใชวธการหาพนทในระนาบเอยง

มาใชได

ถาเปนพระมดปกต การหาพนทผวขางกหาพนทรปเดยว แลวเอาจานวนรปคณ

แตถาเปนพระมดเอยง จะตองพจารณาพนทรปสามเหลยมดานขางทละรป เมอหาไดครบแลว

กนามาบวกกนเขาทก ๆ สวน กจะเปนพนททงหมดได

จงหาปรมาตรและพนทผวทงหมดของพระมดทมฐานเปนรปสเหลยมจตรสยาวดานละ 15

เมตร และสง 20 เมตร

รปท 37

วธคานวณ หาปรมาตรของพระมด

จากสตร ปรมาตรพระมด V = hA 3

1

จากโจทยและดรป ความยาวของฐานดานละ 15 เมตร, พระมดสง 20 เมตร

ดงนนพนฐานของพระมด A = 15 2 = 225 ตารางเมตร

ปรมาตร = 2022531

= 1,500 ลกบาศกเมตร

ตอบ ปรมาตรพระมดเทากบ 1,500 ลกบาศกเมตร

V = hA 3

1


150

วธคานวณ หาพนทพระมด

พนททงหมด = พนทฐาน + 4 (พนทดานขางดานหนง)

จากทหามาแลว พนทฐาน = 225 ตารางเมตร

พจารณารป

รปสามเหลยม PBC มฐาน = 15 เมตร

เพราะวารปสามเหลยม POQ เปนรปสามเหลยมมมฉาก

PQ = 22 OQPO = 22 (7.5)(20)

= 56.25400 = 356.25

= 21.36 เมตร

พนทรปสามเหลยม PBC = PQBC2

1

= 21.361521


พนททงหมด = พนทฐาน + 4 (พนทรปสามเหลยม PBC)

= 225 + 4 ( 160.2) = 865.8 ตารางเมตร

ตอบ พนททงหมดเทากบ 865.8 ตารางเมตร

พระมดฐานสเหลยมจตรสยาวดานละ 15 เมตร และสง 20 เมตร เปนพระมดเอยง ดงรป

ขางลางน จงหาปรมาตรและพนทผวทงหมด

รปท 38

วธคานวณ ปรมาตรพระมด

จากสตร ปรมาตรพระมด V = hA 3

1


151

จากโจทย ความยาวของฐานดานละ 15 เมตร, พระมดสง 20 เมตร

แทนคา ; V = 2015)(1531

= 1,500 ลกบาศกเมตร

ตอบ ปรมาตรพระมด เทากบ 1,500 ลกบาศกเมตร

วธคานวณ หาพนทผวทงหมด

พนททงหมด = พนทฐาน + พนทผวดานขาง

= (พนท ABCD) + (พนท OAB) + (พนท ODC) +

(พนท OAD) + (พนท OBC)

จากรป OAB = ODC

ขอสงเกต นกเรยนจะตองดใหออกวา AO ตงฉากกบ AB, AP ตงฉากกบ BC เพราะวา

OAQ เปนรปสามเหลยมมมฉาก โดยทฤษฎปทาโกรส (ทบ.29 Hall & Steven)

จะไดวา AO 2 = OQ 2 + AQ 2

= 202 + (7.5)2

AO = 56.25400

= 21.36 เมตร

( 1 )

เพราะวา OPQ เปนรปสามเหลยมมมฉาก โดยทฤษฎปทาโกรส (ทบ.29 Hall & Steven)

จะไดวา OP2 = OQ 2 + PQ 2

= 202 + 152

AO = 225400

= 625

= 25 เมตร

รปท 39

นาเอาคาทกาหนดและคานวณไวแลวมาแทนคา

พนทผวพระมด = พนฐาน + 2(พนทOAB)+(พนทOAD) +(พนทOBC)

= (15 15) + 2

2515

212015

2121.3615

21

= 225 + 320.4 + 150 + 187.5


ตอบ พนทผวทงหมดเทากบ 882.5 ตารางเมตร

152

4. พระมดทรงยอดตด (Frustum of Pyramid)

นยาม พระมดทรงยอดตด คอ พระมดทถกตดสวนบนออกโดยระนาบของเสนตดขนานกบ

ฐาน

รปท 40

จากรป พระมดทรงยอดตดหมายถง สวนบน A’ B’ C’ D’ จะถกตดออกไป

ดงนน การหาปรมาตรพระมดทรงยอดตดกคอ การหาปรมาตรเดมทงหมด แลวหาปรมาตร

สวนทตดออกนามาหกออก และการคานวณโดยละเอยดไดจากสตร

เมอ V แทนปรมาตรของพระมดทรงยอดตด

A1 , A2 แทนพนทหนาตดฐานและยอด

h แทนสวนสงของพระมดเมอตดแลว

ฉะนน การหาพนทฐานกจะตองใชความรทไดศกษามาแลววาเปนรปเหลยมชนดใด (ถา

พระมดปกตดานขางเปนรปสเหลยมคางหม)

พนทผดทงหมดของพระมดยอดตดจะเทากบพนทฐานลางรวมกบพนฐานบน รวมกบพนท

ผวดานขาง

อนง ถาทราบมมเอยง ( ) อาจใชวธการหาพนทในระนาบเอยงมาชวยในการคานวณได

จงคานวณหาปรมาตรและพนททงหมดของพระมดทรงยอดตด มหนาตดฐานและยอดเปนรป

สเหลยมจตรส ฐานลางยาวดานละ 7 เซนตเมตร หนาตดบนยาวดานละ 4 เซนตเมตร สง 5 เซนตเมตร

ดานขางทามม 77 องศากบฐาน

V = 2121 AAAAh31


153

รปท 41

วธคานวณ หาปรมาตรพระมดทรงยอดตด

จากสตร V = 2121 AAAAh31

จากโจทย h = 5 เซนตเมตร

A1 = 7 7 = 49 ตารางเซนตเมตร

A2 = 4 4 = 16 ตารางเซนตเมตร

แทนคา; V = 1649165(4931

)

= 9335

= 155 ลกบาศกเซนตเมตร

ตอบ ปรมาตรพระมดทรงยอดตดเทากบ 155 ลกบาศกเซนตเมตร

วธคานวณ หาพนททงหมดของพระมดทรงยอดตด

พนทดานขางเปนรปสเหลยมคางหม 4 รป ซงมระนาบทามม 77 องศา กบฐาน (แปลน)

พนทระนาบเอยง = θcosน(ราบ)พนทแปล

ในทนพนทแปลน (สวนทเงาของระนาบเอยงทบ)

= พนทฐาน – พนทหนาตดบน

= 49 – 16

รปท 42 = 33 ตารางเซนตเมตร

พนทดานขางทง 4 ดาน = cos7733 (คา cos 77o = 0.2249)

= 0.2249

33


154

พนทผวทงหมด = 49 + 16 + 146.73


ตอบ พนทผวทงหมดเทากบ 211.73 ตารางเซนตเมตร

หมายเหต พนทแปลนไมจาเปนตองเปนพนทฐาน ขอควรจากคอ ใชพนททเปนเงาฉาย

(Projection) ของระนาบเอยง

5. กรวย (Cone)

นยาม กรวย คอ รปทรงมฐานเปนวงกลมและมยอดแหลม

กรวย ปกตจะมจดปลายแหลมอยในแนวแกนตงฉากทลากจงจดศนยกลาง

รปท 43

ในการคานวณหาปรมาตรทาไดคลายกบการหาปรมาตรของพระมดคอเปน 31 ของปรมาตร

ปรซม กลาวคอ ปรมาตรกรวยกลมกจะเปน 31 ของทรงกระบอก

ถากาหนดให V แทนปรมาตรกรวยกลม

r แทนรศมของปากกรวย

h แทนความสงในแนวตงฉาก

แทนความยาวของแนวเอยง

A แทนพนทดานขาง

จะไดวา

พนทดานขาง; A = r ………..(1)

จากรป OQ = 22 OPPQ

= r 22 hr

ปรมาตรกรวย V = hr31 2 π

155

นนคอ ……….(2)

สตรการหาพนทดานขางใชไดทง (1) และ (2) แลวแตวากาหนดสวนใดมาใหบาง หรอ

แลวแตความสะดวก

จงหาปรมาตรและพนทของกรวยกลมตนทม

เสนผาศนยกลางปากกรวย 11 นว สง 9 ½

รปท 44

วธคานวณ หาปรมาตรกรวย

จากสตร V = hr31 2 π

จากโจทย r = 2

19h,2

11 (ใชคา = 3.142)

แทนคาจะได V = 2

19211

31 2

π

= 2

194

1213.14231

= 300.98 ลกบาศกนว

ตอบ ปรมาตรกรวยเทากบ 300.98 ลกบาศกนว

วธคานวณ หาพนทผวทงหมด

ในขอนโจทยกาหนด h มาให เลอกใชสตรหาพนทดานขางได

A = 22 hrr π

= 3.142 2

1219

211

211

= 17.281 90.2530.25

= 17.281 10.98


พนทดานขางเทากบ 189.75 ตารางนว

พนทผวทงหมด = พนทฐาน + พนทดานขาง

= 2r พนทดานขาง

A = 22 hrr π


156

= 3.142 189.752

11

2

= 95.05 + 189.75


ตอบ พนทผวทงหมดเทากบ 284.80 ตารางนว

6. กรวยยอดตด (Frustum of Cone)

นยาม กรวยยอดตด คอ กรวยทถกตดยอดออกในแนวขนานกบฐาน เชนเดยวกบรปพระมด

ทรงยอดตด

ปรมาตรของกรวยยอดตด คอ ผลตางระหวางปรมาตรกรวยรปเดมลบดวยปรมาตรกรวยสวน

ยอดทถกตดออก

สาหรบสตรการคานวณกใชสตรเดยวกบสตรพระมดทรงยอดตดคอ

เมอ A1 , A2 แทนพนทหนาตดของกรวยดานฐานและบนยอดตามลาดบ

h แทนความสงกรวยเมอตดยอดแลว

V แทนปรมาตรกรวยยอดตด

พนทกรวยยอดตดประกอบดวยพนทหนาตดสวนฐานและพนทหนาตดดานบนรวมกบพนท

ผวดานขาง ซงกมวธการหาไดเชนเดยวกบการหาพนทระนาบเอยง หรอจะหาโดยใชสตร ดงน

เมอ R แทนรศมฐาน

r แทนรศมยอด

แทนความสงดานเอยง

V = 2121 AAAAh31

พนทผวขาง = rRπ

157

จงหาปรมาตรทอนเหลกรปกรวยตด ซงมเสนผาศนยกลางทฐาน 25 เซนตเมตร เสนผาน

ศนยกลางยอด 15 เซนตเมตร สงตรง 20 เซนตเมตร

รปท 46


จากสตร V = 2121 AAAAh31

จากโจทย R = 20h,2

15r ,225

(ใชคา = 3.142 )

A1 = ππ4

625225 2

A2 = ππ4

2252

225

แทนคาจะได; V =

ππππ 4

2254

6254

2254

625203

1

= 2,041.67 = 2,041.67 3.142

= 2,041.67 = 2,041.67 3.142

= 6,414.92 ลกบาศกเซนตเมตร

ตอบ ปรมาตรกรวยยอดตดเทากบ 6,414.92 ลกบาศกเซนตเมตร

ขอสงเกต การแทนคา ครงสดทายครงเดยวจะทาใหไดคาผดพลาดนอยกวาแทนแตตน ๆ

และปดเศษทง


158

ปรมาตรและพนทผวของทรงกรม (Sphere)

นยาม ทรงกลม คอ รปทรงตนทเกดจาก

พนทรปครงวงกลมหมนรอบแกนใดแกน

หนง ซงมเสนผานศนยกลางเปนแกนหมน

และผวพนระนาบทเกดจากการตดรปทรง

กลมจะเปนรปวงกลมเสมอ

จากการทดลองประกอบการคานวณใน

ทางคณตศาสตรขนสงหาไดวา ปรมาตรรป

ทรงกลมจะเปน 2 ใน 3 เทาของปรมาตรรป

ทรงกระบอกทมเสนผานศนยกลางและสง

รปท 47 เทากน

พนทผวของทรงกลมจะเปน 4 เทาของพนทวงกลมทมเสนผานศนยกลางเทากน ในการ

ทดลองอาจทาไดโดยใชเสนเชอกมาขดใหรอบ ๆ จดศนยกลางของวงกลมใหเตม แลวลองมาใชหมด

ยดและพนรอบ ๆ ทรงกลมใหทบจนมดทงลก จะปรากฏวา เสนเชอกทมขนาดสมาเสมอ ทใชพนจน

มดลกทรงกลม จะยาวเปน 4 เทา ของเสนทพนจนเตมวงกลม เสนผานศนยกลางเดยวกน


ปรมาตรทรงกลม ; V = 3r34π

หรอ V = 3d61π

เมอ V แทนปรมาตรลกทรงกลม

r แทนรศมของทรงกลม

หรอ d แทนเสนผานศนยกลางวงกลม

และจะไดวา

พนทผวลกทรงกลม, A = 4 2rπ

หรอ = 2dπ

ลกทมนาหนกลกหนงมเสนผานศนยกลาง 5 นว จงหาวามนาหนกกกโลกรม ถาวตถทใชทา

1 ลกบาศกนว หนก 22.5 กรม


ปรมาตรทรงกลม V = 3r34π


159

จากโจทย รศมลกทมนาหนก ;

r = 25 นว

V = 3

25

34π ลบ.นว

= 8

12534π ลบ.นว

= π6

125 ลบ.นว

= 3.1426

125 ลบ.นว

= 65.458 ลบ.นว

1 ลกบาศกนว หนก 22.5 กรม

ลกทมนาหนก = 22.5 65.458 กรม

= 1,472.81 กรม

ตอบ ลกทมนาหนกทรงกลมหนก 1,472.81 กรม

จงหาพนทผวและปรมาตรลกเทเบลเทนนส (ปงปอง) จานวน 72 ลก ถาแตละลกมเสนผานศนยกลาง 3.5 เซนตเมตร วธคานวณ พนทผว; A = 2dπ

ในทน d = 3.5 เซนตเมตร

A = 23.5π ตร.ซม.

= (3.142)(3.5)2 ตร.ซม.

= 38.4895 ตร.ซม.

72 ลก จะมพนท = 38.4895 72 ตร.ซม.

= 2771.244 ตร.ซม.

ตอบ พนทผวลกเทเบลเทนนส 72 ลก เปน 2771.24 ตารางเซนตเมตร

ปรมาตร 3r34v π

ในทน r = 2

3.5 เซนตเมตร

ใช = 3.142

3

23.53.142

34v ลบ.ซม.

= 22.452 ลบ.ซม.


160

รวม 72 ลก มปรมาตร = 22.452 72 ลบ.ซม.

= 1,616.56 ลบ.ซม.

ตอบ ปรมาตรลกเทเบลเทนนส 72 ลก 1,616.56 ลกบาศกเซนตเมตร

ปรมาตรและพนทผววงแหวนกลม (O – ring)

ลกษณะวงแหวนกลมกตองนกถงภาพนาเสนลวดกลมโต นามาขดเปนวงกลมอกทหนง

นนเอง ดงนน ปรมาตรของวงแหวนกคอ การหาปรมาตรทรงกระบอกทมฐานเปนพนทหนาตดกลม

และสวนสงกคอ ความยาวของเสนรอบวงกลม ซงตองคดเฉลยเอากงกลาง

เมอกาหนดใหวงแหวนกลม ม

a แทนรศมวงใน

b แทนรศมวงนอก

v แทนปรมาตรวงแหวน

A แทนพนทผว

จะได v = 2abab41 2 π

และ A = 222 ab π

รปท 48 หรอ A = abab 2π

ในการคานวณนถาเรากาหนดให d แทนความหนาของวงแหวน และ D แทนเสนผาน

ศนยกลางเฉลย

2ab สามารถเขยนเปนสตรไดใหมคอ

ปรมาตร V = 2dD41 π

และพนทผว A = .Dd2π

ทงนแลวแตจะเหนวาวธใดสะดวกกวากน หรอโจทยกาหนดมาใหในลกษณะใด จะได

ผลลพธเทากนทงสองวธ ดงตวอยางตอไปน

ขนมโดนททาเปนรปวงแหวนกลมสมาเสมอ ถาขนมแตละอนมเสนผานศนยกลางใน 1.5 นว

เสนผานศนยกลางวงนอก 3 นว จงคานวณหาปรมาตรขนมโดนทแตละอน


161

รปท 49

วธคานวณ ปรมาตรวงแหวนในรป

V = 22 ))(( abab41

π

a = 2

1.5 นว = 43 นว

b = 23 นว

ใช = 3.14

2

2

43

23

43

23(3.14)

41v

= 2

2

43

49(3.14)

41

= 3.12 ลกบาศกนว

ตอบ ปรมาตรขนมโดนทแตละอนประมาณ 3.12 ลกบาศกนว

หวงเหลกรปวงแหวนกลม ใชสาหรบรดหวเสาสะพานแหงหนง เสนผานศนยกลางเฉลย 35

เซนตเมตร หวงเหลกหนา 4 เซนตเมตร จงหาวาหนกกนวตน (เนอเหลก 1 ลกบาศกเมตร หนก 72,500

นวตน)

วธคานวณ + (อาศยรปจากตวอยาง 3.22)

22 dD41v π

ในทน D = 35 ซม.

d = 4 ซม.

ใชคา = 3.14

v = 22 a)a)(b(b41

π

22 4353.1441v ลบ.ซม.


162

= 1380.344 ลบ.ซม.

แต 1 ลกบาศกเมตร = 100 100 100 = 1,000,000 ลบ.ซม.

เหลก 1,000,000 ลบ.ซม. หนก 72,500 นวตน

เหลก 1380.344 ลบ.ซม. หนก = 000,000,1344.1380500,72

= 100.07 นวตน

ตอบ หวงเหลกหนก 100.07 นวตน

-----------------------------------------------------------

163

บทท 5 ภาคตดกรวย

วงกลม พาราโบลา วงร และไฮเพอรโบลา เปนเสนโคงทเกดจากการตดกรวยกลมตรงดวย

ระนาบ เราจงเรยกเสนโคงเหลานวาภาคตดกรวย

วงกลมทเกดจาการทเรานาเอาพนราบตดกรวยกลมตรง

ลกษณะตงฉากกบแกนกรวย

พาราโบลาเกดจากการทเรานาพนราบตดกรวยกลมตรง

ในลกษณะขนานกบแนวดานขางกรวย

วงรเกดจากการทเรานาพนราบตดกรวยกลมตรงเพยงสวนเดยว

ในลกษณะไมขนานกบแนวดานขางกรวย และไมตงฉากกบ

แกนกรวย

ไฮเพอรโบลาเกดจากการทเรานาเอาพนราบตดกรวยกลม

ทงสองสวนของกรวย

164

วงกลมทเกดจากการทเรานาพนราบตดกรวยกลมตรง

ในลกษณะทตงฉากกบแกนของกรวย

นยาม

สมการวงกลมทมจดศนยกลางอยทจด

( O, O ) และรศมเทากบ r หนวย คอ

สมการวงกลมทมจดศนยกลางอยท

จด ( h, k ) และรศมเทากบ r หนวย คอ

สมการวงกลมทกสมการเขยนอยในรปทวไปไดคอ

เมอ A , B , C เปนคาคงตว

วงกลม คอ เซตของจดบนระนาบทกจดทอยหางจาก

จดคงทจดหนง เปนระยะทางเทากนเสมอ

2yx 2 2r

2( ) k -y ) h -x ( 2 2r

=22 CBAx ++++ y yx 0

P ( x, y ) r

O

( h, k )

y

x

165

ตวอยางท 1 จงเขยนกราฟและหาสมการวงกลม ทมจดศนยกลางทจด ( O, O ) และรศม

เทากบ 3 หนวย

วธทา สมการวงกลมทมจดศนยกลาง ( O, O ) และรศม r หนวย คอ

222 ryx

222 3yx

9yx 22

ตวอยางท 2 จงเขยนกราฟและหาสมการวงกลมทมจดศนยกลางทจด ( - 1, 2 ) และ รศม

เทากบ 2

วธทา วงกลมมจดศนยกลาง ( h, k ) = ( - 1, 2 )

รศม r = 2

สมการวงกลม คอ

2)( hx + 2)( ky = 2r

2) x( 1+ + 2)2x ( - = 22

444 y 1 2 =+22 yxx ++

01y4x2 yx 2 2

ตวอยางท 3 จงหาจดศนยกลาง รศม จากสมการวงกลม 06y62 xyx 2 2 -

วธทา จาก 0662 yxyx 2 2

6)6()2( yyxx 22

916)96()12( yyxx 22

2)1 ( x + 2 )3y( = 4

2)( 1 x + 2)( 3 y = 22

เทยบกบสมการ 2)( hx + 2)( ky = 2r

h = 1. k = 3 และ r = 2

ดงนน วงกลมมจดศนยกลาง ( 1, 3 ) มรศมเทากบ 2 หนวย

(- 1, 2 )

(- 1, 0 ) O - 2 1 2 x

y

166

ตวอยางท 4 จงหาสมการวงกลมและเขยนกราฟของวงกลมตามเงอนไขทกาหนดใหดงตอไปน

( ก ) วงกลมมจดศนยกลางท ( 0, 0 ) และรศมเทากบ 2

( ข ) วงกลมมจดศนยกลางท ( 0, 2 ) และรศมเทากบ 4

( ค ) วงกลมมจดศนยกลางท ( - 1, 0 ) และรศมเทากบ 3

( ง ) วงกลมมจดศนยกลางท ( - 1, 2 ) และรศมเทากบ 4

วธทา

( ก ) วงกลมมจดศนยกลางท ( 0, 0 ) และรศมเทากบ 2 คอ

2ryx 22

222 2yx

4yx 22

( ข ) วงกลมมจดศนยกลาง C ( h, k ) = C ( 0, 2 )

h = 0 และ k = 2

วงกลมมรศม r = 4

สมการคอ 2)( hx + 2)( ky = 2r

2)( 0x + 2)( 2y = 24

2x + 442 yy = 16

2x + 1242 yy = 0

( ค ) วงกลมมจดศนยกลาง C ( h, k ) = C ( - 1, 0 )

h = - 1 และ k = 0


สมการคอ 2)( hx + 2)( ky = 2r 2r

2)1 (x + 2)0y( = 23

2x + 2yx 12 = 9

2x + 82xy2 = 0

( - 4, 0 ) C (- 1, 0 ) ( 2, 0 ) x

y

O

167

วงกลมมจดศนยกลาง C ( h, k ) = C ( - 1, 2 )

h = - 1 และ k = 2


สมการคอ 2)( hx + 2)( ky = 2r

2)( 1 x + 2)( 2y = 22

2x + 4412 yyx 2 = 4

2x + 142 yxy 2 = 0

ตวอยางท 5 จงหาจดศนยกลาง รศม และเขยนกราฟของวงกลมจากสมการทกาหนดให

ตอไปน

2x + 144y yx2 = 0

จากสมการ 2x + 14y2xy 2 = 0

x2( 4x ) + )4y y( 2 = 1

x2( 4x + 4 ) + )4 4y y( 2 = 1 + 4 + 4

2)2 (x + 2)2y( = 23

เทยบกบ 2)( h-x + 2)( ky = 2r

h = - 2, k = 2 และ r = 3

นนคอ วงกลมนมจดศนยกลางท ( - 2, 2 ) และรศมเทากบ 3

วงรเกดจากการทเรานาพนราบตดกรวยกลมตรงเพยงสวนเดยว ในลกษณะไมขนานกบ

แนวดานขางกรวย และไมตงฉากกบแกนของกรวย

นยาม

ขอสงเกต จากจดคงนเรยกวา “ โฟกส “ ของวงร

วงร คอ เซตของจดบนระนาบทกจด ทผลบวก

ของระยะทางจากจดเหลานไปยงจดคงท 2 จด ม

คาคงทเสมอ

168

( ก ) วงรตามแนวแกน x สมการคอ

1. จดศนยกลาง C ( h, k )

2. จดโฟกส F (h + c, k) และ F h - c, k)

3. จดยอด V(h + a, k) และ V(h - a, k)

4. ความยาวของแกนเอก W = 2 a

5. ความยาวของแกนโท BB = 2 b

6. ความยาวของเลตสเรกตม AA = DD

= ab

22

ถาจดศนยกลาง C ( h, k ) = C ( 0, 0 ) แลว สมการคอ

( ข ) วงรตามแนวแกน y สมการ คอ


2. จดโฟกส F (h + c, k) และ F h - c, k)

3 จดยอด V(h + a, k) และ V(h - a, k)

4 ความยาวของแกนเอก W = 2 a

5. ความยาวของแกนโท BB = 2 b

6. ความยาวของเลตสเรกตม AA = DD

= ab

22

ถาจดศนยกลาง C ( h, k ) = C ( 0, 0 ) แลว

ขอควรจาสาหรบวงรทงสองรป คอ a มคามากกวา b เสมอ

2

2) - (

ahx

+ 2

2

b) k -y (

= 1

2

2

ax

+ 2

2

by

= 1

2

2) - (

aky

+ 2

2) - (

bhx

= 1

2

2

ax

+ 2

2

by

= 1 สมการคอ

169

ความสมพนธระหวาง a, b และ c เปนดงนเสมอ คอ

สมการในรปทวไปของวงร เขยนอยในรป

โดยท A, B มเครองหมายเหมอนกน และ A B

ตวอยางท 6 จงหาจดโฟกส จดยอด ความยาวแกนเอก ความยาวแกนโท ความยาวของ

เลตสเรกตม และเขยนกราฟของสมการวงร 25 2x + 16 2y = 400

วธทา จากสมการ 25 2x + 16 2y = 400

นา 400 หารทง 2 ขางของสมการ

16

2x + 25

2y = 1

2

2

4

x + 2

2

5

y = 1

หรอ 2

2

5

y + 2

2

4

x = 1

เทยบกบ 2

2

ay + 2

2

bx = 1

a = 5 และ b = 4

จาก

25 = 16 + 2c

C2 = 9

C = 3

a = ระยะหางระหวางจดศนยกลางกบจดยอด

b = ระยะหางระหวางจดศนยกลางกบจดปลายขางหนงของแกนโท

c = ระยะหางระหวางจดศนยกลางกบจดโฟกส

222 cba

0 F Dy Cx ByAx 22

222 cba

170

สมการนเปนรปวงรตามแนวแกน y ซงมลกษณะดงน

1. จดโฟกส F ( 0, 3 ) และ F( 0, - 3 )

2. จดยอด V ( 0, 5 ) และ V ( 0, - 5 )

3. ความยาวของแกนเอก

W = 2 a = 10 หนวย

4. ความยาวของแกนโท

BB = 2 b = 8 หนวย

5. ความยาวของเลตสเรกตม

AA = DD = a

2b 2

= 5

2(4)2 =

532 หนวย

ตวอยางท 7 จงหาจดศนยกลาง จดโฟกส จดยอด ความยาวแกนเอกและโท ความยาวของ

เลตสเรกตม และเขยนกราฟของสมการวงร 2x4 + 3636y24xy9 2 = 0

วธทา จากสมการ 2x4 + 3636y24xy9 2 = 0

)24x 4x( 2 + )36y 9y( 2 = - 36

)6x x4( 2 + )4y y9( 2 = - 36

) 9 6x x4( 2 + 4)4y y9( 2 = - 36 + 36 + 36

2) 3x4( + 2) 2 y9( = - 36

นา 36 หารตลอดสมการ

9

) 3 -x ( 2 +

4) 2 y ( 2 = 1

2

2

3

) 3 -x ( + 2

2

2

) 2 y ( = 1

เทยบกบ 2

2

a

) h -x ( +

2

2

b

)k y ( = 1

h = 3, k = - 2 และ b = 2

จากความสมพนธ 222 cba

9 = 4 + C2

C2 = 5

C = 5

171

สมการนเปนรปวงรตามแนวแกน x ซงมลกษณะ ดงน

1. ศนยกลาง C ( h , k ) และ = C ( 3, - 2 )

2. จดโฟกส

F ( h + c, k ) = F ( 3 + 5 , - 2 )

F ( h - c, k ) = F ( 3 - 5 , - 2 )

3. จดยอด

V ( h + a, k ) = V ( 6 , - 2 )

V ( h - a, k ) = V ( 0 , - 2 )

4. ความยาวของแกนเอก

W = 2 a = 2 ( 3 ) = 6 หนวย

5. ความยาวของแกนโท

BB = 2 b = 2 ( 2 ) = 4 หนวย


AA = DD = ab22 =

32(2)2

= 38 หนวย

พาราโบลาเกดจากการทเรานาพนราบตดกรวย

กลมตรง ในลกษณะขนานกบแนวดานขางกรวย

นยาม

สมการพาราโบลา

สมการพาราโบลา 2)k y( = 4c )h x(

จดยอดอยท V ) k h,(

จดโฟกสอยท F ( h + c, k )

สมการไดเรกตรกซ คอ x = h – c

ความยาวของเลตสเรกตม AB = 4C

แกนของพาราโบลา คอ y = k

ถาจดยอด V ( O, O ) แลว สมการ คอ

พาราโบลา คอ เชตของจดบนระนาบทกจด ทอย

หางจากจดคงทจดหนง และเสนคงทเสนหนง

เปนระยะทางเทากนเสมอ

172

cx4y 2

สมการพาราโบลา 2)k y( = - 4c )h x(


จดโฟกสอยท F ( h - c, k )

สมการไดเรกตรกซ คอ x = h + c

ความยาวของเลตสเรกตม AB = 4C

แกนของพาราโบลา คอ y = k

ถาจดยอด V ( 0, 0 ) แลว สมการ คอ

cx4y 2

สมการพาราโบลา 2)h x( = - 4c )k y(


จดโฟกสอยท F ( h, k + c )

สมการไดเรกตรกซ คอ y = k - c

ความยาวของเลตสเรกตม AB = 4c

แกนของพาราโบลา คอ x = h


cy4x 2

สมการพาราโบลา 2)h x( = -4c )k y(


จดโฟกสอยท F ( h, k- c )

สมการไดเรกตรกซ คอ y = k + c

ความยาวของเลตสเรกตม AB = 4c

แกนของพาราโบลา คอ x = h


cx4x 2

173

ขอควรจา

1. ระยะทางระหวางจดยอด V กบจดโฟกส F เทากบระยะทางระหวางจดยอด V

กบเสนไดเรกตรกซเทากบ c เสมอ

2. รป ก. เรยกวา พาราโบลาเปดขวา

รป ฃ. เรยกวา พาราโบลาเปดซาย

รป ค. เรยกวา พาราโบลาหงาย

รป ง. เรยกวา พาราโบลาควา

3. รปทวไปของพาราโบลาเปนดงน คอ

รป ก. ข.

รป ค. ง.

โดยท A, B และ C เปนคาคงตว

ตวอยางท 8 จงหาสมการพาราโบลาทมจดยอดอยท ( O, O ) และจดโฟกสทจด ( 3, O )

วธทา สมการพาราโบลามจดยอด V( O, O ) คอ

และ c = 3

ตวอยางท 9 จงหาสมการพาราโบลาทมจดยอดอยท ( 3, 2 ) และสมการไดเรกตรกซ คอ y = 5

วธทา จากรป c = 5 – 2 = 3

จดยอด V ( h, k ) = V ( 3, 2 )

h = 3 และ k = 2

สมการพาราโบลารปน คอ

2( )h x = - 4 c )k y(

2) 3x( = - 4 ( 3 ) ) y 2(

2x - 6x + 9 = - 12y + 24

2x + 12 y - 15 = O

O CBxAyy 2

O CByAxx 2

cxy 42

)x(y 342

xy 122

174

ตวอยางท 10 จงหาจดยอด จดโฟกส ความยาวเลตสเรกตม สมการไดเรกตรกซ และแกน

พาราโบลาของ 2x = 6 y

วธทา จาก 2x = 6 y

2x = 4 ( 23

) y

c = 23

และจดยอด คอ V ( O, O )

จดโฟกส F ( O, 23

)

ความยาวเลตสเรกตม

AB = 4 c = 4 ( 23

) = 6 หนวย

สมการไดเรกตรกซ y = - 23

แกนพาราโบลา y = O

ตวอยางท 11 จงหาจดยอด จดโฟกส ความยาวเลตสเรกตม สมการไดเรกตรกซ และแกน

พาราโบลาจากสมการพาราโบลา 2x - 4 x + 8y - 20 = 0

วธทา จากสมการ 2x - 4 x + 8y - 20 = 0

2x - 4 x = - 8y + 20

2x - 4 x + 4 = - 8y + 20 + 4

2( ) x 2 = - 8y + 24

2( ) x 2 = - 8( y + 3 )

2( ) x 2 = -4 ( 2 ) ( y – 3 )

เทยบกบ 2( )h x = - 4c ( y – k )

h = 2 และ k = 3 และ c = 2

ดงนน จดยอด คอ V ( h, k ) = V ( 2, 3 )

จดโฟกส F ( h, k - c) = F ( 2, 1 )

ความยาวเลตสเรกตม AB = 4 c = 4 ( 2 ) = 8 หนวย

สมการไดเรกตรกซ y = k + c = 5

แกนพาราโบลา y = h = 2

175

ไฮเพอรโบลา เกดจากการทเรานาพนราบ

ตดกรวยกลมตรงทง 2 สวนของกรวย

นยาม

สมการไฮเพอรโบลา

( ก ) ไฮเพอรโบลาตามแนวแกน x สมการคอ


2. จดยอด คอ V ( h + a, k )

และ V( h - a, k )

2. จดโฟกส F ( h + c , k)

และ F ( h - c , k)

4. ความยาวของแกนตามขวาง

W = 2 a หนวย

5. ความยาวของแกนสงขยค

BB = 2 b หนวย

6. ความยาวเลตสเรกตม

LR = a b22 หนวย

ถาจดศนยกลาง C ( h, k ) = C (0, 0 ) แลวสมการคอ

ไฮเพอรโบลา คอ เซตของจดบนระนาบทกจดท

ผลตางของระยะทางจากจดเหลานไปยงจดคงท

2 จด มคาคงทเสมอ

2

2)(

ahx - 2

2)(

bky = 1

22

ax - 2

2

by = 1

176

( ข ) ไฮเพอรโบลาตามแนวแกน y สมการคอ


2. จดยอด คอ V ( h, k + a )

และ V( h, k- a )

3. จดโฟกส F ( h, k + c )

และ F ( h, k- c )


W = 2 a หนวย

5. ความยาวของแกนสงยค

BB = 2 b หนวย


LR = a b22 หนวย

ถาจดศนยกลาง C ( h, k ) = C (0, 0 ) แลวสมการคอ

ขอควรจาสาหรบไฮเพอรโบลาทง 2 รป คอ

ความสมพนธระหวาง a, b และ c เปนดงนเสมอ คอ

สมการในรปทวไปเขยนอยในรป คอ

1. ไฮเพอรโบลาตามแนวแกน x

2

2)(

aky - 2

2)(

bhx = 1

2

2

ay - 2

2

bx = 1

a = ระยะทางระหวางจดศนยกลางกบจดยอด

b = ระยะทางระหวางจดศนยกลางกบจดปลายขางหนงของแกนสงยค

c = ระยะทางระหวางจดศนยกลางกบจดโฟกส

2c = 2a + 2b

177

2. ไฮเพอรโบลาตามแนวแกน y

ตวอยางท 12 จงหาจดศนยกลาง จดยอด จดโฟกส ความยาวของแกนตามขวาง ความยาวของ

แกนสงขยค ความยาวของเรตสเรกตม และเขยนกราฟของสมการไฮเพอรโบลา

149

22 yx

วธทา 149

22 yx

123 2

2

2

2 yx

เทยบกบสมการ 12

2

2

2

by

ax

a = 3, b = 2, h = 0, และ k = 0

จากความสมพนธ

2c = 9 + 4 = 13

c = 13

สมการนเปนรปไฮเพอรโบลาตามแนวแกน x ซงมลกษณะ ดงน

1. จดศนยกลาง C ( 0, 0 )

2. จดยอด

V ( h + a, k ) = V ( 3, 0 )

V( h - a, k ) = V( - 3 , 0 )

3. จดโฟกส

F ( h + c, k) = F ( 13 , 0 )

F( h - c, k ) = F( - 13 , 0 )


W = 2 a = 2 ( 3 ) = 6 หนวย

2xA - 2yB + Cx + Dy + F = O

2Ay - 2Bx + Cx + Dy + F = O

2c = 2a + 2b

178


BB = 2 b = 2 ( 2 ) = 4 หนวย

6 ความยาวของเลตสเรกตม

LR = ab 2 2

= 3

) 2 ( 2 2 =

38

หนวย

ตวอยางท 13 จงหาจดศนยกลาง จดยอด จดโฟกส ความยาวของแกนตามขวาง ความยาวของ

แกนสงขยค ความยาวของเรตสเรกตม และเขยนกราฟของสมการไฮเพอรโบลา

2y9 - 2x25 - 18y - 100x - 316 = 0

วธทา 2y9 - 225x - 18y - 100x - 316 = 0

( 2y9 - 18y ) - ( 2x25 + 100 x ) = 316

9 ( 2y - 2y ) - 25 ( 2x + 4x ) = 316

9 ( 2y - 2y + 1 ) - 25 ( 2x + 4x + 4 ) = 316 + 9 – 100

21) (y 9 - 2) (x 225 = 225

25

) 1 - y ( 2-

9) 2 x ( 2

= 1

2

2

5

) 1 - y (-

2

2

3

) 2 x ( = 1

เทยบกบสมการ 2

2

a

) k - y (-

2

2

b h-x ) (

= 1

a = 5, b = 3, h = - 2 และ k = 1

จากความสมพนธ 2c = 2a + 2b

= 25 + 9 = 34

c = 34

สมการนเปนรปไฮเพอรโบลาตามแนวแกน y ซง

มลกษณะดงน

1. จดศนยกลาง C ( h, k ) = C ( - 2, 1 )

2. จดยอด

V ( h, k+ a ) = V ( - 2, 6 )

179

V( h, k- a ) = V( - 2 , - 4 )

3 จดโฟกส

F ( h, k+ c) = F (- 2, 1 + 34 )

F( h, k- c ) = F(- 2, 1 - 34 )


W = 2 a = 2 ( 5 ) = 10 หนวย


BB = 2 b = 2 ( 3 ) = 6 หนวย

6 ความยาวของเลตสเรกตม

LR = ab2 2

= 3

) 3 ( 2 2 =

518

หนวย

180

บทท 6 อสมการและคาสมบรณ

อสมการ หมายถงความสมพนธของสองปรมาณทไมใชการเทากน มทสาคญอย 4 แบบ คอ นอยกวา, นอยกวาหรอเทากบ, มากกวา, และมากกวาหรอเทากบ กาหนดให a และ b เปนจานวนจรงใด ๆ จะได

เชน 1 < 2 หมายถง 1 – 2 = - 1 เปนจานวนลบ หรอ 1 – 2 < 0

1.1 a นอยกวา b เขยนแทนดวยสญลกษณ a < b หมายถง a - b เปนจานวนลบ หรอ a - b < 0

- 4 < -1 หมายถง - 4 – (-1 ) = - 3 เปนจานวนลบ หรอ - 4 – (-1 ) < 0 - 2 < 3 หมายถง - 2 – 3 = - 5 เปนจานวนลบ หรอ - 2 – 3 < 0

1.2 a นอยกวาหรอเทากบ เขยนแทนดวยสญลกษณ a 0 หมายถง 3 – 1 = 2 เปนจานวนบวก หรอ 3 – 1 > 0

1.3 a มากกวา b เขยนแทนดวยสญลกษณ a > b

หมายถง a - b หรอ เปนจานวนบวก หรอ a - b > 0

- 2 > - 5 หมายถง - 2 – ( - 5 ) = 3 เปนจานวนบวก หรอ - 2 – (- 5 ) > 0 4 > - 2 หมายถง 4 – ( - 2 ) = 6 เปนจานวนบวก หรอ 4 – (- 2 ) > 0

1.4 a มากกวาหรอเทากบ b เขยนแทนดวยสญลกษณ a > b หมายถง a > b หรอ a = b

181

สมบตของอสมการ

ให a, b, c และ d เปนจานวนจรงใดๆ แลวจะไดวา 1. ถา a b แลว a + c 0 แลว ac < bc ถา a bc 3. ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc 4. ถา a b และ b > c แลว a > c 5. ถา a b และ c > d แลว a + c > b + d

6. ให a และ b มเครองหมายเหมอนกน

ถา a 

ถา a > b แลว <

7. ถา a 

ถา O < a < b แลว <

ชวงของจานวนจรง

1 ชวงจากด แบงได 3 ชนด คอ

1.1 ชวงเปด

( ) }{ bxalxba, <<=

( )ba,

a b

a1

b1

a1

b1

a 2 2ba b2 2

182

1.2 ชวงปด

เขยนกราฟของเสนจานวนจรงแทนได คอ

[ ] }{b bxax l,a = ≤≤

[ ],a b

1.3 ชวงครงเปด

[a , b) = { x l a ≤ x < b } เขยนกราฟของเสนจานวนจรงแทนได คอ

[a , b)

(a , b ] = {x l a < x ≤ b } เขยนกราฟของเสนจานวนจรงแทนได คอ

(a , b ]

2 ชวงอนนต 2.1

เขยนกราฟของเสนจานวนจรงแทนได ดงน

2.2 [a , ∞) = { x l x ≥ a} เขยนกราฟของเสนจานวนจรงแทนได ดงน

[a , ∞)

a b

a b

a b

( ) }{ axlxa, >=∞

( )a,∞

a

a ( ) }{ axlxa, <− =∞

183

2.3 (- ∞ , a ) = {x l x < a } เขยนกราฟของเสนจานวนจรงแทนได ดงน

( )a,,−∞ b 2.4 (- ∞ , a ] = {x l x ≤ a } เขยนกราฟของเสนจานวนจรงแทนได ดงน (- ∞ , a ]

ขอสงเกต 1. a และ b เรยกวา จดปลาย ( endpoint ) ของชวง 2. วงกลมโปรงบนกราฟ แสดงวาไมรวมคาทจด ๆ น

3. วงกลมทบบนกราฟ แสดงวารวมคาทจด ๆ น

การแกอสมการ

การแกสมการ ทนยมใชกนทว ๆไป ม 2 วธ คอ 1. วธบวกทงสองขางของอสมการ หรอบวกตลอดอสมการดวยจานวนจรงใด ๆ 2. วธคณทงสองขางของอสมการ หรอคณตลอดอสมการดวยจานวนบวก

ตวอยางท 1 จงแกอสมการ วธทา บวกดวย 5 ทงสองขาง จะได

บวกดวย – 2x ทงสองขางจะได

คณดวย ทงสองขาง จะได เซตคาตอบของสมการนคอ

b

22x54x +− >

2x4x +> 772x >

21

27x >

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫> a,

27หรอ2

7xlx

184

ตวอยางท 2 จงแกสมการ 1916x13 ≤+<

วธทา บวกดวย - 1 ตลอดจะได 186x12 <<

คณดวย ตลอดจะได

เซตคาตอบของอสมการนคอ 61 3x2 <<

{ (} )3,2หรอx2lx ≥< 3

ตวอยางท 3 จงแกสมการ วธทา พจารณาสมการ จะได x = 1, 2 นนคอ จานวนจรงททาให คอจานวนจรงทก ๆ จานวน

ยกเวน 1 และ -2 เซตคาตอบของสมการน คอ ตวอยางท 4 จงแกอสมการ ทาไดดงตอไปน จาก จะได นนคอ จานวนจรงทเปนคาตอบของอสมการน จะตองเปนจานวนททาให เปนจานวนบวกทงค หรอ ลบทงค กลาวคอ

ก. และ จะได และ แตจานวนทมากกวา 1 และมากกวา 2 ในขณะเดยวกน คอ จานวนทมากกวา 1 ดงนน คาตอบของอสมการในกรณท และ เปนจานวนบวกทงค

คอจานวนจรงใด ๆ ทมากกวา 1

ข. และ จะได และ

แตจานวนทนอยกวา 1 และ -2 ในขณะเดยวกน คอจานวนทนอยกวา -2

ดงนน คาตอบของอสมการในกรณท x - 1 และ x + 2 เปนจานวนลบทงค

คอจานวนจรงใด ๆ ทนอยกวา -2 เมอรวมทงสองกรณเขาดวยกน คาตอบของ อสมการ

คอ

0 2xx =−−2

( ) ( ) 02x1x =+−

0 2x ≠−+x2

}{ }{ 2xlx1xlx -≠≠ U

0 2xx >−+2

0 2xx −+2 >

( ) ( ) 0xx 21 =+−

( ) ( )2และ +− x1x

0 1x >− 0 2x >+

1 x > x 2- >

1x − 2x +

0 1x <− 0 2x <+

1 x < 2 x -<

0 2xx 2 >−+( ) ( )2,,1 −∞−∞ U

0 xx ≠+2

185

จากตวอยางอาจสรปไดวาเซตคาตอบของอสมการอยในรปชวง ( interval ) ซงแบงออกไดเปน 4 ประเภทใหญ ๆ คอ ชวงเปด ชวงปด ชวงครงเปด หรอชวงครงปด และชวงอนนต

ถา a และ b เปนจานวนจรงใด ๆ โดยท a < b แลว จะมชวงแบบตาง ๆ ทเกดขนได ดงตอไปน ชวงเปด วามหมาย

[ ]10,2

ค

ชวงปด ความหมาย

{ }bxalx <<)( b,a

{ }bxalx ≤≤][ b,a ชวงครงเปดหรอชวงครงปด ความหมาย ชวงอนนต ความหมาย

ตวอยาง เชน 1 = 2. = 3. = 4. =

5. = ∅

สรป 1. อสมการ หมายถง ประโยคสญลกษณทมเครองหมาย < (นอยกวา ) > ( มากกวา ) ≤ ( นอยกวาหรอเทากบ ) ≥ ( มากกวาหรอเทากบ ) และ ≠ ( ไมเทากบ )

2. สมบตของอสมการ ให a , b , c เปนจานวนจรงใด ๆ แลวจะได 1) สมบตถายทอด

ถา a > b และ b > c แลว a > c 2) สมบตของการบวกหรอลบ

ถา a > b แลว a + c > b + c 3) สมบตของการคณ

{ }bxalx ≤<

( )∞,a

{ }axlx ≥

]b,a()b,a[ }{ bxalx <≤

}{ xalx b< ≤

}{ axlx <(a ),∞∞,∞

}{ axlx ≥[- ),a}{ axlx < }{ axlx ≤)a(( ,∞− ]a

]10,4[]8[ ∪,2,10(),14 ,

)30,28[],25 )30,)85,77],75 ]80,177

,36),

]10,2[)2018( ∪ 20(10 )

80( ∪ (25[80( ∩ [

39(36[ ∩ )35

186

( 1 ) ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc

( 2 ) ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc

3. ชวงจานวนจรง ขอสงเกต 1. เรยกวา ชวงเปด 2. [ ]b,a เรยกวาชวงปด 3. ( ]b,a เรยกวาชวงครงเปดครงปด 4. [ )b,a เรยกวาชวงครงปดครงเปด

รปชวง รปอสมการ

( )∞,a

[ )∞,a

( )b,a

( ]b,a

[ )b,a

[ ]b,a

ax >

ax ≥

bx a <<

bx a ≤<

bx a <≤

bx a ≤≤

a

รปกราฟ

ax <)a,( ∞−

a ]a,( ∞− ax ≤a

a

a b

a b

a b

a b

( ),a b

187

เสนจานวนกบอสมการ เราสามารถใชเสนจานวนแสดงคาตาง ๆ ของอสมการไดดงน

1) a > b หมายความวา a - b > 0 หรอ a อยทางขวาของ b บนเสนจานวน

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

2) a < b หมายความวา a - b < 0 หรอ b อยทางขวาของ a บนเสนจานวน

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

3) a ≥ b หมายความวา a - b ≥ 0 ซงเปนสองกรณ กรณแรก a อยทางขวาของ b บนเสนจานวน หรอ กรณสอง a และ b อยในตาแหนงเดยวกน บนเสนจานวน

4) a ≤ b หมายความวา a - b ≤ 0 ซงเปนสองกรณ กรณแรก b อยทางขวาของ a บนเสนจานวน หรอ กรณสอง a และ b อยในตาแหนงเดยวกน บนเสนจานวน 5) a -1 เพราะ 1 อยทางขวาของ -1

3 > -4 เพราะ 3 อยทางขวาของ -4

b a

b a

188

กราฟของอสมการ 1. กราฟของอสมการเชงเสนทมตวแปรเดยว คอกราฟของตวแปรทสามารถเขยบนเสน

จานวนได

ตวอยางท 5 จงเขยนกราฟของ -1 < x ≤ b

วธทา กราฟของ -1 < x ≤ 6 หรอ ( -1 , 6 ) คอ

ไมรวมคา -1 รวมคา 6

-1 0 1 2 3 4 5 6

ตวอยางท 6 จงเขยนกราฟของ x > 3 หรอ x ≤ -2

วธทา กราฟของ x > 3 หรอ x < -2 หรอ ( ) ]( )2,,3 −∞−∞ ∪

รวมคา -2 ไมรวมคา 3

-2 -1 0 1 2 3 4 5

2. กราฟของอสมการเชงเสนทมสองตวแปร คอกราฟของคลาดบหรอความสมพนธ ทสามารถเขยนไดบนระนาบหรอระบบแกนมมฉาก การเขยนกราฟชนดนนยมเขยนกราฟของสมการ ซงเปนประโยคสญลกษณทประกอบดวยเครองหมาย “ = “ เสยกอน แลวจงคอยพจารณาบรเวณหรอเนอททคาของตวแปรทงสองเปนจรงสาหรบอสมการนน เชน

ตวอยางท 7 จงเขยนกราฟของอสมการ y > x + 2 วธทา เขยนกราฟของสมการ y = x + 2 กอน แลวจงคอยพจารณาบรเวณหรอ เนอท ทคาของ x และ y เปนจรงสาหรบอสมการ y > x + 2

189

จากกราฟของสมการ y = x + 2 ขางตน จะเหนไดวาบรเวณทคาของ x และ y เปนจรงสาหรบอสมการ y > x + 2 คอบรเวณทอยเหนอเสน y = x + 2 ขนไป ( ไมรวมบรเวณทอยบนเสน y = x + 2 ) ดงจะเหนไดจากเมอ x = 0 , y จะมคามากกวา 2 หรอเมอ x = 1 , y จะมคามากกวา 3 ตวอยางท 8 จงเขยนกราฟของอสมการ 2x + y ≤ 2

x ≥ 21

y ≥ - 1

วธทา เขยนกราฟของสมการทงสาม คอ 2x + y = 2 , 2x = ½ และ y = 1เสยกอน แลวจงพจารณาบรเวณทคาของตวแปรทงสองสอดคลองกบทกอสมการขางตน จากกราฟของสมการทงสาม บรเวณทคาของ x และ y เปนจรงสาหรบอสมการทงสาม คอ บรเวณ

ทแรเงาไว ซงรวมทงบรเวณทอยบนเสน 2x + y = 2 , x = ½ และ y = -1 ดวย

3. การประยกตอสมการในเรองการกาหนดเชงเสน การกาหนดเชงเสน ( linear programming ) เปนวธการทใชในการจดสรรทรพยากรทม

อยใหกบกจกรรมตาง ๆ ทตองการ โดยกจกรรมเหลานนใหผลตอบแทนสงสด ตวอยาง เชน โรงงานผลตเฟอรนเจอรแหงหนง ผลตเฟอรนเจอร 2 ชนด คอ ต และ เตยง ออกมาจาหนาย การผลตตและเตยงแตละหนวยจะตองใชคนงาน 2 ประเภท คอชางไมและชางทาสในการผลตต 1 ใบ ชางไมและชางทาสตองทางานเปนเวลา 15 ชวโมง และ 5 ชวโมงลาดบ และการผลตเตยง 1 เตยงชางไมและชางทาสตองทางานเปนเวลา 10 ชวโมง และ 10 ชวโมง ตามลาดบ ถาในแตละวนชางไมและชางทาส ซงมจานวนหลายคนสามารถทางานไดรวมกน วนละ 60 ชวโมง และ 40 ชวโมงตามลาดบ และกาไรทโรงงานไดรบจากการขายต 1 ใบ เทากบ 300 บาท

190

และขายเตยง 1 เตยงเทากบ 400 บาท โรงงานเฟอรนเจอรแหงนควรจะผลตตและเตยงเปนจานวนวนละเทาไรจงจะไดกาไรสงสด

ถาให x และ y แทนจานวนตและจานวนเตยงทโรงงานเฟอรนเจอรแหงนควรจะผลตในแตละวน

ให P แทนกาไรทโรงงานเฟอรนเจอรไดรบจากการขายต x ใบ และเตยง y เตยง จะไดสมการจดประสงค ( objective equation ) ซงเปนสมการแทนกาไรทโรงงานเฟอรนเจอรไดรบเปน

P = 300 x + 400 y

สาหรบขอจากดตาง ๆ ในการผลตเฟอรนเจอรทง 2 ชนด มดงน 1. ชางไมทางานไดรวมกนไมเกนวนละ 60 ชวโมง 2. ชางทาสทางานไดรวมกนไมเกนวนละ 40 ชวโมง

ซงเมอนามาเขยนใหอยในรปอสมการขอจากด จะได

15 x + 10 y ≤ 60

5 x + 10 y ≤ 40

และเนองจากจานวนต ( x ) และ จานวนเตยง ( y ) ทผลตได จะตองมากกวาหรอเทากบ 0 เสมอ

ดงนน x ≥ 0

y ≥ 0

อสมการทง 4 คอ 15 x + 10 y ≤ 60, 5 x + 10 y ≤ 40, x ≥ 0 และ y ≥ 0 จะเรยกวา

เปนอสมการขอจากด ( restriction ) การหาคา x และ y ซงเปนคาตอบโดยมเงอนไขขางตน สามารถทาไดโดยการเขยนกราฟของแตละอสมการทก ๆ อสมการ คาตอบทตองการคอ จดมมของรปหลายเหลยมทเกดจากกราฟของอสมการขอจากดทง 4 อสมการไดดงน

191

จดตาง ๆ ทอยในบรเวณแรเงา รวมทงจดทอยบนเสนตรง 5 x + 10 y = 40, 15 x + 10 y = 60, x = 0 และ y = 0 จะสอดคลองกบอสมการขอจากดทง 4 อสมการ จดมมของรปหลายเหลยมทเกดจากกราฟของอสมการขอจากดคอ ( 0, 0 ), ( 4, 0 ), ( 2, 3 ) และ ( 0, 4 )

เมอแทนคาจดเหลานในสมการจดประสงค จะไดคา P หรอกาไรทสอดคลองกบคา x และ y ของแตละจดดงน

จดมม ( x, y ) กาไรทไดรบ ( P = 300 x + 400 y )

( 0, 0 ) 300 ( 0 ) + 400 ( 0 ) = 0 ( 4, 0 ) 300 ( 4 ) + 400 ( 0 ) = 1,200 ( 2, 3 ) 300 ( 2 ) + 400 ( 3 ) = 1,800 ( 0, 4 ) 300 ( 0 ) + 400 ( 4 ) = 1,600 จดมม ( 2, 3 ) ใหกาไรสงสด ดงนนโรงงานเฟอรนเจอรควรผลตตวนละ 2 ใบ และเตยงวนละ 3 เตยง

สรป 1. a > b หมายถง a อยทางขวาของ b บนเสนจานวน หรอ a – b > 0

2. a < b หมายถง a อยทางซายของ b บนเสนจานวน หรอ a – b < 0

3. a < b < c หมายถง a < b และ b < c 4. กราฟของอสมการเชงเสนทมตวแปรเดยว คอกราฟของตวแปรทสามารถเขยนลงบนเสนจานวนได

5. กราฟของ อสมการเชงเสนทม 2 ตวแปร คอกราฟของคลาดบหรอความสมพนธทเขยนลงบนแกนมมฉากหรอบนระนาบได 6. การแลเงากราฟของอสมการทาไดโดยจดสมการใหอยในรปมาตรฐานแลวแรเงาตามความจรง

ของรปมาตรฐาน

นยามของคาสมบรณ ให x เปนจานวนจรงใด ๆ คาสมบรณของ x เขยนแทนดวย สญลกษณ ซงกาหนดคาไดดงน

x

=

x ⎪⎨⎧ x

<−

≥

0xถาx

0xถา⎪⎩

192

เชน = 2 = 2

0 2 -2 0 = 3 = 3

0 3 -3 0 หมายเหต 1. คาสมบรณของจานวนจรงใด ๆ คอระยะทางระหวางคานนกบ 0

3. คาสมบรณของจานวนจรงใด ๆ มคามากกวาหรอเทากบ 0 เสมอ

สมบตของคาสมบรณ

ให x และ y เปนจานวนจรงใด ๆ สมบตของคาสมบรณทควรทราบ คอ 1. =

เชน = = 3 = = 4

= = = =

2. = =

เชน = = = 16 = = = 25 = = = 9 = = = 25 3. = .

เชน = . = = 6

= . = = 6

= . = = 6

2 2-

3 3-

xx −

3 3− 4 4−

21

21

− 21

31

31

31−

2x 2x x 2

2524 24 24 25 52

( )23− 2− (3 ( )2)23− 5− 2− ( )5 25−

xy x y

( ) ( )32 2 3 ( )( )32

( )( )3-2 2 3− ( )( )32

( )( )3-2− 2− 3− ( )( )32

193

4. = เมอ y ≠ 0 เชน = =

= =

5. = เชน = = 2

= = 8

= = 2 6. =

เชน = . = = 3

= . = = 4

อสมการและคาสมบรณ

ให a เปนจานวนจรงบวก และ x เปนจานวนจรง พจารณาอสมการตอไปน

1. < a

อสมการนจะเปนจรงเมอ x มคาอยระหวาง -a กบ a หรอ -a < x < a เทานน

-a < x < a

เชน < 2 จะได -2 < x < 2

-2 < x < 2

2 .≤ a

อสมการนจะเปนจรงเมอ x มคาตงแต -a ถง a หรอ -a < x < a เทานน

-a ≤ x ≤ a

yx

yx

127

127

127

127−

127

127−

35 − 53 −

( )3-5 − ( ) 53- −

yx − xy −

( ) ( )( )3-5- − ( )5-3- −

x2x

23 3 ( ) 323- −

24 4 ( )24- 4−

x

-a 0 a x

-2 0 2 x

-a 0 a

194

เชน ≤ 2 จะได -2 ≤ x ≤ 2 x

-2 ≤ x ≤ 2

-2 0 2 3. > 0

อสมการนจะเปนจรงเมอ x < - a หรอ x > a เทานน

x

x < - a x > a

เชน > 2 จะได x < - 2 หรอ x > 2

x < - 2 x > 2

4. ≥ a

อสมการนจะเปนจรงเมอ x ≤ - a หรอ x ≥ a x ≥ a x ≥ a

เชน ≥ 2 จะได x ≤ 2 หรอ x ≥ 2

x ≤ - 2 x ≥ 2

-a a 0

x

-2 2 0

x

-a a 0

x

-2 2 0

195

บทท 7 สมการ การแกสมการ และการแกสมการเลขยกกาลง

1. สมการและการแกสมการ

ในการศกษาในชนมธยมศกษาตอนตนนน ไดเคยศกษาเรองการแกสมการบางชนดมาบางแลว สมการ

และการแกสมการทจาเปนในงานชางเปนสงสาคญและตองศกษาดวยความเขาใจอยางชดเจน

รปท 1

1.1 ความหมายของสมการและการแกสมการ

1.1.1 สมการ

สมการ หมายถง การเทากน การสมดล

ในทางคณตศาสตรทเรากลาวถงในทนจะหมายถง การนาเอาจานวน 2 จานวนมาเทากน ซง

จานวนทกลาวถงจะมตวไมทราบคา หรอตวแปรรวมอยดวย โดยใชเครองหมายเทากบ ( = ) เปนตวแบงพวก

ใหอยคนละขาง ฉะนนในการกระทาใด ๆ ในเรองสมการจะตองคานงเสมอวา ยงคงอยในสภาวะทเทากน

หรอไม

1.1.2 การแกสมการ

การแกสมการ หมายถง จะตองคนหาคาของตวไมทราบคา (ปกตใชตว x, y, z…) ทอยใน

สมการ ดงนน การทาโจทยจะตองทาจนกระทงไดคาของตวไมทราบคา หรอหาคาตวแปรมาใหได หลก

เบองตนกคอเอาตวไมทราบคาจดไวดานซายของสนมการ (เพอความสะดวก) วธการแกสมการกมดวยกน

หลายวธแลวแตลกษณะของสมการ

2 x2 + 3 x 35

2 x2 + 3 x = 35

196

1.2 สมการเชงเสน (ตวแปรตวเดยว) และการแกสมการเชงเสน (ตวแปรตวเดยว)

1.2.1 สมการเชงเสนตวแปรตวเดยว

คอ สมการทมตวแปรหนงตวและดกรสงสดของตวแปรเทากบหนง เชน

1. 15 (x + 3) = 16x – 11

2. 5

3x - 3

2 = 3

x + 5

x

3. 2

53x =

312x

1.2.2 การแกสมการเชงเสน (ตวแปรตวเดยว)

คอ การหาคาของตวไมทราบคาทอยในสมการ (ตวแปรตวเดยว) แลวนาคาทได

กลบไปแทนคาในสมการไดถกตอง

จงคานวณหาคา x จาก 15 (x + 3) = 16x – 11

วธทา 15 (x + 3) = 16x – 11

15x + (3 15) = 16x – 11

16x – 15x = 45 + 11

x = 56

ตรวจคาตอบ 15 (56 + 3) = 16 (56) – 11 เปนจรง ( = 885 )

จงแกสมการ 53x

- 32

= 3x

+ 5x

วธทา

จากโจทยทาสวนใหหมดไปโดยใช ค.ร.น. = 15 คณตลอดทง 2 ขาง

จะได 15 53x

- 32 = 15

3x

+ 5x

9x – 10 = 5x + 3x

9x – 8x = 10

x = 10



197

ตรวจคาตอบ 53x

- 32

= 3x

+ 5x

53(10)

- 32

= 310

+ 510

6 - 32

= 331

+ 2

531

= 531

จงแกสมการ 2

5)3(x =

31 2x

วธทา

จากโจทยทาใหสวนหมดไป โดยเอา ค.ร.น. คณตลอดทง 2 ขาง

จะได 9 (x + 5) = 2 (2x + 1)

9x + 45 = 4x + 2

เอา 4x ลบออกทง 2 ขาง เพอใหดานขวามอไมม x (ยายขาง)

9x + 45 – 4x = 4x + 2 – 4x

5x + 45 = 2

ยายขาง; 5x = 2 - 45

5x = - 43

เอา 5 หารตลอด; x = 543 -

x = - 543

ตรวจคาตอบ 2

5)3(x =

31 2x

2

5) 5

433(

= 3

1 ) 5

43 2(-

)5

2543( 23

= )5

586( 31

)518(

23

= )5

586( 31


198

)5

9( 3 - = (

3

1-

5

81)

- 527 = - 5

27

1.3 สมการกาลงสองและการแกสมการกาลงสอง

1. สมการกาลงสอง รปสมการจะมกาลงสงสดของตวแปรเปนกาลงสอง มรปทวไปเปน

ax2 + bx + c = 0; เมอ a, b, c เปนคาคงท และ a # 0

ตวอยางเชน 9x2 + 4x – 36 = 4x ; (ใชวธแยกตวประกอบ)

- 4x2 + 10x +6 = 0 ; (ใชวธแยกตวประกอบ)

3x2 - 12x – 2 = 0 ; (ใชรปกาลงสองสมบรณ)

- x2 + 19x = 44 ; (ใชรปกาลงสองสมบรณ)

3x2 - 2x – 5 = 0 ; (ใชสตร)

และ x2 + 5x – 3 = 0 ; (ใชสตร) เปนตน

2. การแกสมการกาลงสอง การแกสมการกาลงสองสามารถทาไดโดยวธดงตอไปน

การแกสมการกาลงสองโดยวธแยกตวประกอบ

การแกสมการกาลงสองโดยวธทาใหเปนรปกาลงสองสมบรณ

การแกสมการกาลงสองโดยใชสตร

1.3.1 การแกสมการกาลงสองโดยวธแยกตวประกอบ

เมอสมการกาลงสองสามารถแยกตวประกอบไดกควรใชวธแยกตวประกอบเพราะสะดวก

และรวดเรว

จงแกสมการ 4

4x + x

9-x = 1

วธทา 44x

+ x9-x

= 1

จากโจทยทาใหสวนหมดไปโดยเอา ค.ร.น. สวน 4x คณตลอด (ทง 2 ขาง) ในสมการ

จะได x (4x) + 4(x – 9) = 4x

4x2 + 4x – 36 = 4x


199

ใช 4x ลบทง 2 ขาง

4x2– 36 = 0

ใช 4 หารทง 2 ขาง:

x2– 9 = 4x

แยกตวประกอบ; x2– 9 = (x + 3) (x – 3)

(x + 3) (x – 3) = 0

ดงนน x + 3 = 0 หรอ x – 3 = 0

x = - 3 หรอ x = 3

รากของสมการ คอ x = - 3 หรอ 3

ตรวจคาตอบ

x = - 3 แทนคาใน 44x

+ x9-x

= 1

44(-3)

+ 3-

9-(-3) = 1

- 3 + 4 = 1 (เปนความจรง)

x = 3 แทนคาใน 44x

+ x9-x

= 1

44(3)

+ 39-3

= 1

3 + (- 2) = 1 (เปนความจรง)

จงแกสมการ 1 x

4- -

2 x 5

= x3

วธทา

จากโจทยเอา ค.ร.น. สวน x (x – 1) (x + 2) คณเพอใหสวนหมดไป

จะได 4x (x+ 2) – 5x (x – 1) = 3 (x – 1) (x + 2)

ทาใหเปนรปอยางงาย;

4x2 + 8x – 5x2 + 5x = 3x2 + 3x - 6

ยายขางใหขวามอเปนศนย;

- 4x2 + 10x + 6 = 0


200

เอา – 2 หาร เพอใหพจนกาลงสองเปนบวกไปพรอมกน ;

2x2– 5x - 3 = 0

แยกตวประกอบ;

(x – 3) (2x + 1) = 0

x –3 = 0 หรอ 2x + 1 = 0

ดงนน x = 3 หรอ x = - 21

ตอบ รากของสมการ x = 3 หรอ - 21


x = 3 แทนคาใน 1 -x 4

- 2 x

5

= x3

1 - 34

- 2 35 = 3

3

2 – 1 = 1 (เปนความจรง)

x = -21

แทนคาใน 1 -x 4

- 2 x

5

= x3

1

2

1

4

-- -

2 21

5-

= 21 3

-

23

4-

-

2

3

5 =

21 3

-

2

3

4

- -

2

3

5 =

21 3

-

3

4- 2 - 3

5 2 = 1

3- 2

- 38

- 3

10 = - 6

- 3

18 = - 6 (เปนความจรง)

201

1.3.2 การแกสมการกาลงสองโดยวธทาใหเปนรปกาลงสองสมบรณ (Completing The Square)

ในกรณทสมการกาลงสองไมอาจแยกตวประกอบไดลงตวหรอแยกตวประกอบยากใหใชวธนจะ

สะดวก

พจารณา;

เราจะเหนวารปกาลงสองสมบรณม + 1 เปนสมประสทธของ x2, เทอมคาคงทจะเปนกาลง

สองของครงหนงของสมประสทธของ x เสมอ ดงนนการจะแกสมการโดยทาเปนกาลงสองสมบรณ ทาตาม

ขนตอนดงน

1. จดใหเทอม x2 และ x อยซายมอของสมการแลว ทาใหสมประสทธ x2 เปน + 1

2. เอา 2 หารสมประสทธของ x แลวยกกาลงสองผลหาร และบวกเขาทง 2 ขางของ

สมการ

3. เขยนดานซายมอของสมการเปนรปกาลงสองสมบรณในรป (x a)2 เมอ a คอ 2

1

(สมประสทธของ x)

4. ดาเนนการหาคา x ตอไป ตามวธพชคณต

* การแกสมการโดยวธนจะนาไปใชในการเรยนคณตศาสตรชนสงและมประโยชนมาก

จงแกสมการ 3x2 - 12x – 2 = 0

วธทา

จากโจทยจดสมการตามขนตอน 1 – 4 ทกลาวแลว

3x2 – 12x = 2

ทาใหสมประสทธ x2 เปน + 1 โดยเอา 3 หารตลอด;

จะได x2 – 4x = 3

2

เอา -2

42 = 4 บวกเขาทง 2 ขาง;


202

(x2 – 4x + 4) = 3

2+ 4

(x – 2)2 = 3

14

หารากทสองทง 2 ขาง;

x – 2 = 3

14

x = 3

14+ 2; -

3

14+ 2

ตอบ รากของสมการคอ x = 3

3214 , 3

3214

จงแกสมการ 2 -x 8-3x

= 5 x 2 -5x

โดยวธกาลงสองสมบรณ

วธทา

จากโจทยทาใหสวนหมดไปโดยเอา ค.ร.น. สว (x – 2) (x + 3) คณตลอดในสมการ

จะได (x + 5) (3x – 8) = (x- 2)(5x – 2)

ทาใหเปนรปอยางงาย;

3x2 + 15x –8x – 40 = 5x2 – 10x – 2x + 4

ยายขาง บวกลบกน;

- x2 + 19x = 44

เอา – 2 หาร; x2 - 2

19 x = - 22

เอา 2

1-

219 =

16361 บวกทง 2 ขาง ;

x2 - 2

19x + -

4

192 = - 22 +

16

361

x -4

192 =

16

9

หารากทสองทง 2 ขาง;

x -4

19 =

4

3


203

x = 4

19+

4

3 หรอ x =

4

19 -

4

3

x = 2

11หรอ 4

ตอบ รากของสมการคอ x = 2

11หรอ 4

1.3.3 การแกสมการกาลงสองโดยใชสตร

วธนนาเอาผลสรปของการใชวธแกสมการโดยใชวธทาใหเปนกาลงสองสมบรณมาใชทนท กลาวคอ

เมอสมการทวไปเปน

เมอ a, b, c เปน คาคงท และ a # 0

แกสมการจะได

จงแกสมการ 3x2 – 2x – 5 = 0

วธทา

ถา ax2 + bx + c = 0

x = 2a

4ac2bb

จากโจทยเมอเทยบกบสมการทวไป a = 3, b = - 2, c = - 5

แทนคาในสตร; x = 3 2

5) (- 342(-2)2)(

= 6

60 4 2

= 6

82

x = 35

, - 1

ตอบ รากของสมการ คอ x = 35

หรอ – 1

ax2 + bx + c = 0

สตร


204

จงแกสมการ x2 + 5x – 3 = 0

วธทา

จากโจทยเมอเทยบกบสมการทวไป a = 1, b = 5, c = -3

แทนคาในสตร;

x = 1 2

3)( 1 42(5)5

= 2

12255

= 2

375

= 26.085-

x = 2

6.085- หรอ x = 26.085-

x = 0.54 หรอ - 5.54

ตอบ รากของสมการ x = 0.54 หรอ – 5.54

2. สมการยกกาลง และการแกสมการยกกาลง

2.1 สมการยกกาลง

ความหมายของสมการยกกาลง คอ สมการทมตวแปรเปนเลขยกกาลงหรอเลขชกาลง เชน

= 0

= 3

2x

2)(

3.2x – 48 = 0

ขอสงเกต ในเวลาอางสตรทกครงควรอางถงสมการทวไปดวย เพอทาใหเกดความเขาใจ

และมความชดเจน จะเกดความเขาใจอยางแทจรงอกดวย


205

2x+1 + 2x = 3

2.2 การแกสมการยกกาลง

ความหมายของการแกสมการยกกาลง คอ การหาคาของตวแปรทมอยในสมการ ในทนเปนสมการเลข

ยกกาลง

การแกสมการยกกาลง สามารถแบงการแกสมการไดตามดงน

1. การแกสมการยกกาลง

2. การแกสมการยกกาลงเมอมตวแปรเปนฐาน

2.2.1 การแกสมการยกกาลง

การแกสมการเลขยกกาลงในเบองตนเปนสมการอยางงายหรอคอนขางงาย ทาไดโดยพยายาม

เปลยนเลขฐานใหเปนฐานเดยวกนทงหมด บางกรณทาตวกาลงใหเหมอนกน (เมอกาลงเปนตวเลข) หรอถา

เปนสมการทอยในรปบวก ลบ อาศยหลกการแกสมการเบองตนมาชวย รวมทงการแยกตวประกอบดวย ทงน

ใหนกเรยกฝกการสมมตรวบยอดไววาจานวนทยกกาลงเหมอน ๆ กน เหมอนกบตวแปรตวหนงนนเอง ให

ศกษาจากตวอยางตอไปน


จงแกสมการ 3x+5 – 92 = 0

วธทา

จากโจทย 3x+5 – 92 = 0

กรณนควรทาใหฐานใหเปน 3 เหมอนกน

3x+5 = 92

3x+5 = (32)2

3x+5 = 34

เมอฐานเทากน แสดงวาเลขยกกาลงตองเทากน

(จะตองมขางละจานวนเดยว)

x + 5 = 4

x = - 1

ตรวจคาตอบ x = -1 แทนคาใน 3x+5- 92 = 0

3(1)+5 – 92 = 0

34 – 92 = 0

34 – (32)2 = 0

34 – 34 = 0 (เปนความจรง)

206


จงแกสมการ 2 3x-4 = 2)( 2x+3

วธทา

จาก 2 3x-4 = 2)( 2x+3

พจารณาแลวควรทาให 2 และ 2 มฐาน 2 ดวยกน

2 3x-4 = ) (2 2

1

2x+3

2 3x-4 = 2x+3

เลขฐานเดยวกนเทากน กาลงยอมเทากน

กาลง 3x – 4 = x + 2

3

3x – x = 2

3 + 4

2x = 2

11

x = 4

11 ตอบ


ใหเชคคาตอบวาถกตองหรอไม โดยนาคา x = 4

11 แทนคาใน 2 3x - 4 = 2)( 2x + 3 (เปนความจรง)


จงแกสมการ 3 • 2x – 48 = 0

วธทา

จากโจทย 3 • 2x – 48 = 0

3 • 2x = 48

เอา 3 หาร; 2x = 16

2x = 24

เลขฐานเดยวกนเทากน กาลงยอมเทากน

x = 4 ตอบ

207

ตรวจคาตอบ x = 4 แทนคาใน 3 • 2x – 48 = 0

3 • 24 – 48 = 0

3 16 – 48 = 0 (เปนความจรง)


จงแกสมการ 2x+1 + 2x = 3

วธทา

2x+1 + 2x = 3 โดยท 2x+1 = 2x • 21

จากโจทย 2x • 21 + 2x = 3

โดยบวกกน; 3 • 2x = 3

เอา 3 หาร; 2x = 1

เราไมอาจทาฐาน 2 ใหเปนฐาน 1 ได แตเพราะวา a0 = 1

20 = 1

นนคอ 2x = 1 = 20

x = 0 ตอบ

ตรวจคาตอบ แทนคา x = 0 ในสมการ 2x+1 + 2x = 3

2(0+1) + 20 = 3

21 + 20 = 3

2 + 1 = 3 (เปนความจรง)

2.2.2 การแกสมการเลขยกกาลงเมอมตวแปรเปนฐาน

มขอสงเกตควรยดไวเปนหลกการกคอ เราจะแกสมการนน จะหาคาอะไร จะหาคาตวแปร ฉะนน

เมอโจทยกาหนดใหตวแปรมกาลงไมใช 1 เรากจะตองอาศยกฎ (am)n = amn

ในทนตองการให mn = 1 เสมอ

นนคอไมวากาลงจะเปนเทาใด เมอถกยกกาลงซอน สวนกลบของกาลงเดมกยอมจะเปนกาลง 1

เสมอ (ถากาลงเดมเปนลบ ตองยกกาลงตดลบดวย)

208


จงแกสมการ x 32

= 25

4

วธทา

จากโจทย x 32

= 25

4 … (1)

เมอจะหาคา x กตองทาให x 32

กลายเปน x (กาลง 1) เสยกอน

จากสมการ (1) ยกกาลง 2

3 ทง 2 ขาง ;

x 32

23

= 25

4 2

3

x = 2

2

5

2 2

3

= 3

3

5

2

x = 125

8 ตอบ



= 27

วธทา

จาก x 53

= 27

x 53

= 33

ยกกาลง 3

5 ทง 2 ขาง;

x 53

35

= 33 35

x = 3-5

= 53

1 =

243

1 ตอบ

209



+5 23

= 4

วธทา

จากโจทยยกกาลง 2


จะได x 23

+ 5 52 5

2 = 4 2

5

x 23

+ 5 = (22) 25

x 23

+ 5 = 25

x 23

+ 5 = 32

x 23

= 27



x = (27) 32

= (33) 32

x = 9 ตอบ


จงแกสมการ (x + 6)0.75 = 8

วธทา

พจารณาวาอะไรคณกบ 0.75 = 1 นนคอ 3

4

จากโจทย (x + 6)0.75 = 23

0.75 = 100

75 =

4

3;

(x + 6) 43

= 23


4; x + 6 = (23) 3

4= 24

210

x + 6 = 16

x = 10 ตอบ

2.3 เลขยกกาลงฐานสบ

นยาม เลขยกกาลงฐานสบ หมายถง เลขทมฐานเปน 10 แลมเลขชกาลงเปนเลขจานวนเตม

(บวกหรอลบกได)

ในทางวชาชาง มคาตวเลขตาง ๆ เวลาคานวณจะมคามาก ๆ หรอบางทกมคานอย ๆ คอ ทศนยม

หลายตาแหนง คาตวเลขทมาก ๆ หรอนอย ๆ นยมเขยนในรปของ A 10” โดยท 1 A กลาวคอ A เปน

ตวเลขหลกเดยวนนเอง เชน

มกระแสไฟฟาไหลผานเสนลวด 0.0003 แอมแปร ซง 0.0003 10,000

3 = 410

3

จงแสดงตวเลข 0.0003 เปน 3 10-4

ประจอเลกตรอนจานวน Q = 0.0000000015 คลอมบ

จะเขยนแทนเปน Q = 1.5 10- 9

ความตางศกยไฟฟา 6,000,000 โวลต

จะเขยนเปนความตางศกยไฟฟา = 6 106

จานวนแบคทเรย 459,000 ตว ทตรวจพบ ....

จะเขยนแทน 459,000 = 4.59 105


การใชเลขฐาน 10 เขยนบอกจานวน

1. ถาเปนเลขจานวนเตม เลขชกาลงจะนอยกวาจานวนหลกทงหมดอยหนง

ถาเปนจานวนทศนยม เลขชกาลงจะมากกวาเลข 0 ทนบจากหลงจดทศนยมไปอย 1 มคาลบ เชน 0.00000549

= 5.49 10- 6 , 0.0025 = 2.5 10- 3

ในการเขยนจานวนทมคามากหรอจานวนเตมในรปแบบ A 10” เมอ A เปนเลขจานวนเตมหลก

เดยว n เปนเลขจานวนเตม สงเกตเปรยบเทยบในตารางขางลางน

211

แตถาเปนคาตวเลขทนอยจะแสดงโดยใชเลขฐาน 10 เชนเดยวกบขางบน คอ A 10n ใหสงเกต

ตารางเปรยบเทยบ

ในทางชางเมอเขยนจานวนทมหนวย มกใชคาอปสรรค (Prefix) นาหนาหนวยแทนเลขยกกาลง

ฐาน 10 ซงเปนทรกน เชน

106 ใชคาอปสรรคนาหนาหนวยวา เมกะ สญลกษณ M

103 ใชคาอปสรรคนาหนาหนวยวา กโล สญลกษณ k

10- 3 ใชคาอปสรรคนาหนาหนวยวา มลล สญลกษณ m

10- 6 ใชคาอปสรรคนาหนาหนวยวา ไมโคร สญลกษณ u

10- 9 ใชคาอปสรรคนาหนาหนวยวา นาโน สญลกษณ

ดงตวอยางขางลางน

ศกยไฟฟา 9.0 106 V หมายถง ศกยไฟฟา 6.0 MV (เมกะโวลต)

กระแสไฟฟา 2.0 10- 3 A หมายถง กระแสไฟฟา 2 mA (มลลแอมแปร)

จานวนเลขทกลาวถง เมอเขยนในรปแบบ A 10” จานวนตาแหนงทศนยม

เลอนไปดานซาย

2,531,000

253,100

25,310

2,531

253.1

25.31

2.531 106

2.531 105

2.531 104

2.531 103

2.531 102

2.531 101

6

5

4

3

2

1

จานวนเลขทกลาวถง เมอเขยนในรปแบบ A 10” จานวนตาแหนงทศนยม

เลอนไปดานซาย

0.25311

0.02531

0.002531

0.0002531

0.00002531

0.000002531

2.531 10- 1

2.531 10- 2

2.531 10- 3

2.531 10- 1

2.531 10- 5

2.531 10- 6

1

2

3

4

5

6

212

ประจไฟฟา 5.0 10- 6 F หมายถง กระแสไฟฟา 5F (ไมโครฟารด)

แรงดน 1.2 104 N หมายถง แรงดน 12 kN (กโลนวตน)

ฉะนน การเปลยนจานวนใด ๆ ทมหนวยตาง ๆ ใหเปนเลขยกกาลงฐาน 10 จะตองพจารณาคา

อปสรรคหรอสญลกษณทใชอยในขณะนนควบคกนไปดวย

แบบฝกหด

จงเลอกขอทถกทสดเพยงขอเดยว

1. รากของสมการ (คาของ x) x2 – 5x + 4 = 0 ไดแกจานวนใด

ก. - 4, 1 ข. 4, - 1

ค. - 4, - 1 ง. 4, 1

2. รากของสมการ (คาของ x) 49x2–42x + 9 = 0 เทากบเทาใด

ก. 7, 3 ข. 7

3, -

7

3

ค. 7

3,

7

3 ง.

3

7, -

3

7

3. รากของสมการ 4x2 – 49 = 0 เทากบเทาใด

ก. 2

7, -

2

7 ข.

7

2, -

7

2

ค. 2

7,

7

2 ง. -

2

7, -

2

7

4. รากของสมการ 10x + 11 = x6

เทากบเทาใด

ก. 5, - 2 ข. 5

2, -

2

3

ค. 2

5, -

3

2 ง. -

5

2, -

3

2

5. รากของสมการ x2 – x – 12 = 0 เทากบเทาใด

ก. - 4, 3 ข. - 4, - 3

ค. 4, 3 ง. 4, - 3

213

6. รากของสมการ 4x2 – 8x = 0 เทากบเทาใด

ก. 2 ข. - 2

ค. 0, - 2 ง. - 2, 0

7. รากของสมการ (5x + 3) x = 0 เทากบเทาใด

ก. 0, - 3 ข. 0, - 5

3

ค. - 3

5, 0 ง.

5

3, 0

8. จากสมการ (3x + 1) (3x - 2) = 0 มรากของสมการคอ

ก. 3

1, -

3

2 ข. -

3

1,

3

2

ค. -3

1, -

3

2 ง. 3,

2

3

9. จากสมการ (2x – 1) (x + 2) = (x + 2) มรากของ สมการคอ

ก. 2

1 ข. - 1, - 2

ค. 2, - 1 ง. 1, - 2

10. จากสมการ x2 – 2x = x + 88 มรากของสมการคอ

ก. 11, - 8 ข. - 11, 8

ค. 8

11, -

8

11 ง.

11

8, -

8

11

11. จากสมการ x2 – 22x + 57 = 0 มรากของสมการคอ

ก. - 3, - 19 ข. 3, - 19

ค. - 3, 19 ง. 3, 19

12. จากสมการ x2 + 22x + 57 = 0 มรากของสมการคอ

ก. -3 , - 19 ข. 3, - 19

ค. - 3, 14 ง. 3, 19

13. จากสมการ x(x – 5) = x มรากของสมการคอ

ก. 6 ข. - 6

ค. 0, - 6 ง. 6, 0

214

14. จากสมการ 3x2 = 7x มรากของสมการคอ

ก. 3

7, 0 ข. 0,

7

3

ค. 0, -3

7 ง. 0,

7

3

15. จากสมการ x2 = 4 คาของ x คอ

ก. 2, 0 ข. 0, 2

ค. 2 ง. 2, - 2

16. เมอ x = 121 ดงนนคาของ x คอ

ก. 11, - 11 ข. 11

ค. 11 ง. ไมมขอถก

17. เมอ x = 25 ดงนนคาของ x คอ

ก. 5 ข. 5

ค. - 5 ง. 0, - 5

18. เมอ x = 2- 4m คาของ x คอ

ก. 2m ข. - 2m

ค. 2m ง. หาคา x ไมได

19. จากสมการ (x + 1) (3x – 4) = (x + 1) (2x – 3) จงหาคา x

ก. 1, 1 ข. - 1, 3

4

ค. 1, - 1 ง. - 1, 2

3

20. จากสมการ 3 x2 = 75 คาของ x ไดแก

ก. 25, - 25 ข. 5, - 5

ค. 3

5, -

3

5 ง.

3

25, -

3

25

215

21. คาของ x จากสมการ 4(x + 1)2 = x2 ไดแก

ก. 4

1, - 2 ข. 2, -

3

2

ค. - 2, 3

2 ง. - 2, -

3

2

22. รากของสมการ 8 3x

2 x

=

2 5x

5 x

คอ

ก. 4, 2

11 ข. 4, -

2

11

ค. - 4, 2

11 ง. - 4, -

2

11

23. รากของสมการ 3

2x+

2

3x =

4

1 ไดแก

ก. 263

ข. 3

26

ค. - 23

, - 32

ง. 83

, - 38

24. รากของสมการ 1 -x 2 x

+ 2x

4 -x =

27

คอ

ก. 2, 21

ข. - 2, -21

ค. -2, 21

ง. 2, -21

25. รากของสมการ 5 -x x 10 -

x

10 = 6

11 คอ

ก. 2, 7 ข. 2, - 7

ค. - 2, 7 ง. - 2, - 7

26. สมการในขอใดมรากของสมการเปน 1 หรอ 2

ก. x2 + 2x + 1 = 0 ข. x2 + 3x + 1 = 0

ค. x2 - 3x + 2 = 0 ง. x2 - 3x - 2 = 0

27 สมการใดมรากของสมการเปน 4 หรอ – 3

ก. x2 - x - 12 = 0 ข. x2 - x + 12 = 0

ค. x2 + 3x - 4 = 0 ง. x2 + x - 7 = 0

216

28. สมการใดมรากของสมการเปน 2 หรอ 3

ก. x2 + 5x + 6 = 0 ข. x2 - 5x - 6 = 0

ค. x2 - x + 5 = 0 ง. x2 - 5x + 6 = 0

29. สมการใดมรากของสมการเปน – 2 หรอ 3

2

ก. x2 + 4x - 3

4 = 0 ข. 3x2 + 4x - 4 = 0

ค. 3x2 - 4x - 4 = 0 ง. 3x - 4x + 4 = 0

30. สมการใดมรากของสมการเปน 3

ก. x2 + 6x + 9 = 0 ข. x2 + 6x - 9 = 0

ค. x2 - 6x + 9 = 0 ง. x2 - 6x - 9 = 0

31. จากสมการ x2 + 6x + k = 0 จะทาเปนกาลงสองสมบรณได เมอ k มคาเทาใด

ก. 36 ข. 12

ค. 9 ง. - 9

32. จากสมการ x2 - 6x + k = 0 จะทาเปนกาลงสองสมบรณได เมอ k มคาเทาใด

ก. 36 ข. 12

ค. - 9 ง. 9

33. จากสมการ x2 + 6x - k = 0 จะทาเปนกาลงสองสมบรณได เมอ k มคาเทาใด

ก. 36 ข. 6

ค. - 9 ง. 9

34. จากสมการ x2 - 4x + k = 0 จะทาเปนกาลงสองสมบรณได เมอ k มคาเทาใด

ก. - 4 ข. 4

ค. 16 ง. -16

35 จากสมการ x2 - 4x - k = 0 จะทาเปนกาลงสองสมบรณได เมอ x มคาเทาใด

ก. - 4 ข. 4

ค. 8 ง. - 8

36. จากสมการ 2x2 + 12x + k = 0 จะทาเปนกาลงสองสมบรณได เมอ k มคาเทาใด

ก. 36 ข. - 36

ค. 144 ง. 9

217

37. จาก x2 + 10x + k = 0 จะเขยนในรปกาลงสองสมบรณได เมอ k มคาเทาใด

ก. - 5 ข. -2

10

ค. 50 ง. 25

38. จาก 36x2 - 7x + k = 0 จะเขยนในรปกาลงสองสมบรณได เมอ k มคาเทาใด

ก. -6

7 ข.

7

6

ค. - 36

7 ง.

144

49

39. จาก 3x2 + 5x - k = 0 จะเขยนในรปกาลงสองสมบรณได เมอ k มคาเทาใด

ก. 3

5 ข.

6

5

ค. 30

5 ง.

36

25

40. จงหาวา 1 และ – 2 เปนรากของสมการใดตอไปน

ก. x2 - 3x + 2 ข. x2 - 2x + 4

ค. x2 + x - 2 ง. 2x2 - x - 4

41. จาก 2x2 - 5x + k = 0 จะเขยนในรปกาลงสองสมบรณได เมอ k มคาเทาใด

ก. -5

2 ข. -

2

5

ค. 16

25 ง.

4

25

42. จาก 2

2

bx

+ b

10x+ k จะเขยนในรปกาลงสองสมบรณได เมอ k มคาเทาใด

ก. 5 ข. 10

ค. 15 ง. 25

218

43. จาก 9x2 + 11x + k จะเขยนในรปกาลงสองสมบรณได เมอ k มคาเทาใด

ก. 2

11 ข.

6

11

ค. 36

11 ง.

36

121


ก. 9

5 ข.

9

25

ค. 3

5 ง.

36

25

45. จาก x2 - x + k จะเขยนในรปกาลงสองสมบรณได เมอ k มคาเทาใด

ก. - 1 ข. 1

ค. 4

1 ง. -

4

1

46. จาก x2 + x + k จะเขยนในรปกาลงสองสมบรณได เมอ k มคาเทาใด

ก. 1 ข. 2

ค. 2

1 ง.

4

1

47. จาก 4

x 2 + 2 x + k จะเขยนในรปกาลงสองสมบรณได เมอ k มคาเทาใด

ก. 1 ข. 2

ค. 4 ง. 4

1

48. 4

x2 - 2 x + k จะเขยนในรปกาลงสองสมบรณได เมอ k มคาเทาใด

ก. 1 ข. 2

ค. 4 ง. - 4

1

219


ก. 2

11 ข.

6

11

ค. 36

11 ง.

36

121


ก. 9

5 ข.

9

25

ค. 3

5 ง.

36

25

51. จาก x2 - x + k จะเขยนในรปกาลงสองสมบรณได เมอ k มคาเทาใด

ก. - 1 ข. 1

ค. 4

1 ง. -

4

1

52. จาก x2 + x + k จะเขยนในรปกาลงสองสมบรณได เมอ k มคาเทาใด

ก. 1 ข. 2

ค. 2

1 ง.

4

1

53. 4

x2 + 2 x + k จะเขยนในรปกาลงสองสมบรณได เมอ k มคาเทาใด

ก. 1 ข. 2

ค. 4 ง. 4

1

54. 4

x2 - 2 x + k จะเขยนในรปกาลงสองสมบรณได เมอ k มคาเทาใด

ก. 1 ข. 2

ค. 4 ง. - 4

1

220

55. จาก 36x + 84x + 49 เปนผลทไดจากขอใด

ก. 6x2 + (7)2 ข. (6x)2 + (7)2

ค. (6x – 7)2 ง. (6x + 7)2

56. 4

x 2

+ 2x + 1 เปนผลทไดจากขอใด

ก. (2

x 2

)2 – (1)2 ข. ( 12

x 2 )2

ค. ( 12x )2 ง. (

21

4x )2

57. b

2xbx

2

2 + 1 เปนผลทไดจากขอใด

ก. (b

x)2 + 2 (

b

x) + (1) ข. (

b

x -

2

1)

ค. ( 1bx )2 ง. (

b

x +

2

1)2

เมอกาหนดใหสมการเปน ax2 + bx + c = 0 จะไดสตรในการแกสมการกาลงสอง

เปน x = 2a

4acbb 2

58. ถาสมการกาหนดให ax2 + bx + c = 0 รากของสมการ (คา x) คอ

ก. x = 2a

4acbb 2 ข . x =

2a4acbb 2

ค. x = 2a

4acbb 2 ง. x =

2a4acbb- 2

59. เมอกาหนดสมการเปน ax2 + bx + c = 0 จะไดรากของสมการคอ

ก. x = 2a

4acbb 2 ข. x =

2a4acb-b 2

ค. x = 2a

4acbb 2 ง. x =

2a4acbb 2

221

60. ถาสมการกาหนดให ax2 - bx - c = 0 รากของสมการคอ

ก. x = 2a

4acbb 2 ข. x =

2a4acbb- 2

ค. x = 2a

4acbb- 2 ง. x =

2a4acb2b 2

61. กาหนดใหสมการคอ 5x2 + 2cx – 4c2 = 0 ดงนนคา c ทจะแทนในสตรการแกสมการคอ

ก. - 4c ข. - 2c

ค. 4c2 ง. - 4c2

62. จากสมการ 5x2 – 7x = 9 จงบอกคา x ทจะแทนในสตร

ก. 5 ข. 9

ค. 7 ง. - 9

63. จากสมการ kx2 + (k – n) x – n = 0 เฉพาะ b2 – 4ac มคาเทาใด

ก. (k + n) ข. k – n

ค. 22 n4knk ง. 22 n4knk

64. จากสมการ 2x2 + 3x + 1 เฉพาะ b2 – 4ac มคาเทาใด

ก. 0 ข. 1

ค. 2 ง. 4

65. จากสมการ 3x2 - 5x + 1 รากของสมการคอ

ก. 6

135- ข.

6375-

ค. 6

37-5 ง.

6135

66. จากสมการ 2x2 + 3x – 1 = 0 รากของสมการคอ

ก. 1, 2

1 ข. 1, -

2

1

ค. -1, 2

1 ง. -1, -

2

1

67 จากสมการ 12k – 8k2 = 2 คาของ k เทากบเทาใด

222

ก. 4

56 ข.

823

ค. 4

53 ง.

4133

68. จากสมการ 6x – 4x2 = - 2 คาของ x เทากบเทาใด

ก. 4

56 ข.

4133

ค. 4

133- ง.

456-

69. จากสมการ 3 = 4x2 – 5x เ มอจดสมการเพอใชสตรแลว คาของ a, b และ c ตามลาดบคอ

ก. 4, - 5, 3 ข. 4, 5, - 3

ค. 4, - 5, - 3 ง. ไมมขอถก

70. จงหาคา (k2 + 1) จากสมการ 3(k2 + 1)2 + (k2 + 1) – 2 = 0

ก. 1, -2

3 ข. 1, 0

ค. 0, -2

5 ง. ไมมคาตอบทถก

71. จงหาคา x จากสมการ 3x2 – 3x – 1 = 0

ก. 3.3, 0.3 ข. 3.3, - 0.3

ค. -3.3, 0.3 ง. -3.3, - 0.3

72. จงหาคา x จากสมการ 2x2 – 4x + 1 = 0 (ทศนยม 1 ตาแหนง)

ก. 1.7, - 0.5 ข. 2.7, - 0.7

ค. 4

244 ง. ไมมขอถก

73. จงหาคา x จากสมการ 3

x 2

6

x

2

1 = 0 (ทศนยม 1 ตาแหนง)

ก. 1, 1.5 ข. - 1, - 1.5

ค. 1.5, 1 ง. - 1.5, 1

223

บทท 8 ความหมายของลอการทม

1. ความหมายของลอการทม จากสมการ x = a y เมอ a > 0 และ a ≠ 1 สามารถเขยนไดในรป y = f (x) ไดคอ

y = logax เมอ a > 0 และ a ≠ 1

ดงนน x = ay กบ y = loga x มความหมายเหมอนกน โดยท a > 0 และ a ≠ 1

ตวอยาง สมการเลขยกกาลง สมการลอการทม

x = ay y = loga x

64 = 25 5 = log2 64

25 = 52 2 = log5 25

0.01 = 10 - 2 -2 = log10 0.01

2. ฟงกชนลอการทม ฟงกชนลอการทม หมายถง ฟงกชนทอยในรป y = loga x หรอ f (x) = loga x

ตวอยางท 1 กาหนด f(x) = log2 x จงหาคาของ

ก. f ( 1 ) ข. f ( 2 )

ค. f ( 4 ) ง. f ( 16 )

วธทา ก. f ( 1 )

จาก f ( x ) = log2 x

หรอ y = log2 x

หา f ( 1 ) แกน x = 1; y = log2 1

ทาเปนเลขยกกาลง 2y = 1

2y = 20

ดงนน y = 0

. . . f (π) = 0

224

ข. f ( 2 )



หา f ( 2 ) แทน x = 2; y = log2 2


2y = 21

ดงนน y = 1

∴ f ( 2 ) = 1

ค. f ( 4 )



หา f ( 4 ) แทน x = 4; y = log2 4


2y = 22

ดงนน y = 2

∴ f ( 4 ) = 2

ง. f ( 16 )



หา f ( 16 ) แทน x = 16; y = log2 16


2y = 24

ดงนน y = 4

∴ f (16 ) = 4

225

3. กฎของลอการทม 1. ลอการทมของ 1 บนฐานใด ๆ มคาเทากบศนย

1และ0aเมอ01alog ≠=

เชน log2 1 = 0 เพราะ 20 = 1

log101 = 0 เพราะ 100 = 1 = 0 เพราะ = 1

2. ลอการทมของจานวนทมคาเทากบฐานเทากบหนง

เชน log2 2 = 1 เพราะ 21 = 2

log10 10 = 1 เพราะ 101 = 10

= 1 เพราะ = 3. ลอการทมของผลคณ

เชน log2 2 = log2 ( 2 × 1 )

log2 = log2 2 + log2 1

1 = 1 + 0 ( log2 2 = 1, log2 1 = 0 1 = 1

4. ลอการทมของผลหาร

เชน log2 = log2 1 - log2 2 = 0 – 1

= - 1

1log21 ( )2

1 0

1และ0aเมอ1aloga ≠=

21log 1

2( )12

121

1และ0aเมอNlogMlogMNlog 888 ≠+=

1และ0aเมอNlogMlogNMlog aaa ≠−=

21

226

5. ลอการทมของเลขยกกาลง

1และ0aเมอMlogMlog aa ≠= π

เชน = = 3.1 = 3

6. ลอการทมของฐานลอการทมยกกาลง

เชน =

=

= ตวอยางท 4 จงหาคาของ

(ก) (ค)

(ข) (ง) วธทา (ก) =

= = 4 ( 1 ) = 4

(ข) =

= - 3

= - 3

32 2log 2log 3 2

1และ0aเมอNlogMlogMlog aaa ≠−= π

3log 23 3log2

13

)1(21

21

log 16216log 2 27log 9

1,0001log10

log

2

16log 2 242

2log4

1,0001log10

10

9log 27

310 10log −

log 10

227

(ค) =

27log log 323

39

= 3log23

3

= 23

(ช) =

=

=

ตวอยางท 5 กาหนด = 0.6990 = 0.4771 จงหาคาของ = วธทา = + = + = + = 2 ( 0.4771 ) + 0.6990 = 0.9542 + 0.6990 = 1.6532

ตวอยางท 6 จงแสดงวา = 1 -

วธทา =

= - = 1 -

ตวอยางท 7 กาหนด log a = 1, log b = -1, log c = 2 จงหา log และ log

วธทา log = log a + log b - log c

= 1 + ( - 1 ) – 2 = 0 – 2

= - 2

5log125 25

5log1

3

105321

×

61

5log log3log10 4510 10

10 10

)10 59(log ×

9log10 5log1023log log 53log 2 5log1010

10 10

10

45log10

5log log 2

( )210log10

log 5

10log log 210 10

10log 2

( )cab abc

( )cab

228

4. สมการลอการทม สมการลอการทม หมายถง สมการทมตวแปรอยในรปลอการทม เชน

3 log x = 1

log ( 3x + 5) = 10

log ( x + 7 ) = log ( x + 3 ) – 2

3 log x + 2 log x2 = 5 การแกสมการลอการทม ทาไดโดยใชกฎของลอการทม

ตวอยางท 1 จงหาคา x จาก สมการ

วธทา 3 log x = log 8

3 log x = log 8

log x3 = log 23

∴ x3 = 23

∴ x = 2 (เลขชกาลงเทากน)

ตวอยางท 2 log 2x = 3

วธทา จาก log 2x = 3

log 2x = log 1,000 ( 1,000 = 103 ) Q

2x = 1,000

x = 500

ตวอยางท 3 จงหาคาของ t จากสมการ

log ( t + 6 ) = log ( t + 2 ) + 2

วธทา log ( t + 6 ) = log ( t + 2 ) + 2

log ( t + 6 ) - log ( t + 2 ) = 2

log = 2 log 10 ( log 10 = 1 ) ⎟⎞⎜⎛+ 6

Q

⎠⎝ + 2tt

log = log 102

⎟⎞⎜⎛+ 6

⎠⎝ + 2tt

229

= 102

t + 6 = 100 ( t + 2 )

t + 6 = 100 t + 200

- 99 t = 194

t = = - 1

ดงนน t = - 1

ตวอยางท 4 จงหาคา y จากสมการ

วธทา 2 log y + log y2 = 4

2 log y + log y2 = 4 log 10

2 log y + 2 log y = 4 log 10

4 log y = 4 log 10

ดงนน y = 10


จงเขยนสมการตอไปนในรปลอการทม

1.1 22 = 4

1.2 33 = 27

1.3 42 = 16

1.4 =

1.5 30 = 1 1.6 = 9 1.7 = 1.8 = 0.01 1.9 = 20 1.10 = 3 1.11 = 1,000,000

2t+6t+

99194- 99

95

9995

1

( )221

41

3227

4−2 161

2−10( ) 120

1069

230

จงเขยนสมการตอไปน ในรปสมการของเลขยกกาลง

2.1 log10 10 = 1 2

2.2 log10 100 = 2

2.3 log5 1 = 0

2.4 log2 32 = 5

2.5 log8 16 =

2.6 = - 4

2.7 logx4 = y

2.8 = - 2

2.9 log2 B =

2.10 loga A =

34

16log21

จงหาคาตอไปน

3.1 =

3.2 =

3.3 =

3.4 = 3.5 = 3.6 = 3.7 = 3.8 = 3.9 =

3.10 =

3.11 =

3.12 =

9log31

21

101

3

101log10

9log31

1,0001log10

0.1log10alog 4

a0.001log.10( )alog logaa

a1loga125log

51

( )3a3 aloglog

4log25log 1010 +

⎟⎠

⎜⎝1 alog ⎞⎛

21

a2

log

231

จงเตมตวเลขลงในชองวางใหถกตอง

4

4.1 = + 4.2 =

33log 3log log2 2 2

4.3 ( × ) =

4.4 ( ) = 4.5 = 4.6 =

4.7 = - 4.8 = 4.9 =

4.10 =

กาหนดให f (x) = log3x, g (x) = log2 x , h (x) =

จงหาคาตอไปน

5.1 f (1) + g (1) + h (1)

5.2 f (9) + g (8) + h(4)

5.3 h ( g (4))

3log 5log10log 33 +

7log loglog +5 77 3loglog 7log5 22 +2

( )107log log

2 2 2log-

3log log 4log8 33 −

10 1010log log log12 32

2 2log log2

10log 2 2log10log24log4 4

5 xlog21

232

5.4 f (27) - g (16) + h

( )21

( ) ( ) ( ) 5.5 [ ]81h.16

1g.91f

จงหาคาของ วธทา

6 3aalog

จงหาคาของ วธทา

7 44log4

กาหนดให = 0.6990 และ = 0.8451 จงหาคาของ วธทา

8 5log 7log log 24510 1010

233

จงแสดงวา log2 1 = log2 8 – 3

วธทา 9

จงแสดงวา log4 25 - log4 4

5 + 5 log4 2 = 0

วธทา

10

กาหนดให log x = log y = log z =

จงหาคาของ ก) log

ข) log

ค) log

กาหนดให log10 5 = 1 - log10 2 จงหาคาของ log10 250 + log10 500

กาหนดให log10 3 = 0.4771 log10 5 = 0.6990

จงหาคาของ

ก) log10 450

ข) log10 300

กาหนดให log10 5 = 0.6990 และ log10 7 = 0.8451

จงหาคา

ก) log10 175 + log10 25

ข) log10 14 - log 70

11 21

31

41

xyz

zxy

( 2xyz)

12

13

14

234

กาหนดให log10 5 = 0.6990 จงหาคา log10 62.5 15

จงแกสมการตอไปน 16

16.1 2 log x – 1 = 0

16.2 log 2x = log 2 + 5

16.3 log ( 2 x - 1 ) = log ( x + 3 ) – 3

16.4 log x = 1 – log ( x - 9 )

4 log x3 - 11 log x = 2 17

log x5 + log x4 - log x2 = 7

18

log ( 4 x + 5 ) – log ( x - 3 ) = 2 19

log ( x – 9 ) + log x = 1 20

log ( x + 1 ) + log 2 x = log 2 ( x + 2 ) + 2 log x 21

log x + 2 log 2 x – log 3 x = 5 22

235

log ( x + 1 ) – log ( x – 3 ) = 2.01

23

2 log x – 3 log 2 x = 0.58

24

แบบฝกหดการบาน 1. จงหาคา x จากสมการ

ก. log3 243 = x

ข. logx 25 =

ค. logx = - 3 21

ง. logx 25 = 3431

21

2. จงหาคาตอไปน

ก. log8 32

ข. log5 125

ค. log10 0.001 ช. 1,000

3. จงแสดงวา log10 5 - 1 + log10 2 = 0 101log

236

ลอการทมธรรมชาต 1. ความหมายลอการทมธรรมชาต ลอการทมธรรมชาตหรอลอการทมแบบเนเปยร คอ ลอการทมฐาน e โดย e เปนคาคงทคาหนง และ e ≈ 2.71828

NlnNelog = ลอการทมฐาน เมอนาไปเทยบกบลอการทมสามญ จะเปนไปดงสมการตอไปนคอ

e )( Nln )( Nlog

หรอ

ตวอยางท 1 จงหาคาของลอการทมตอไปน (ก) ln 3.25 (ข) ln 24.38 (ค) ln 0.05926

วธทา (ก) ln 3.25 = 2.3026 log 3.25 = 2.3026 ( 0.5119 ) = 1.1787 (ข) ln 24.38 = 2.3026 log 24.38 = 2.3026 ( 1.3856 + 0.0014 ) = 2.3026 ( 1.3870 ) = 3.1937 (ค) ln 0.05926 = 2.3026 log 0.05926 = 2.3026 ( - 3 + 0.7723 + 0.0004 ) = 2.3026 ( - 2.2273 ) = - 5.1286

43430log.

NNln =

N.NIn log30262=

237

2. คาลอการทมฐาน e จากตาราง การหาคา ln N จากตารางลอการทมฐาน e เราจะตองเปลยน ln N ใหอยในรปตอไปน

( ) จานวนเตม.1001;n100 =<≤×= nNNInNIn

ตวอยางท 2 ตารางลอการทมฐาน e บางสวนมลกษณะดงน

98238

ขนตอนการใชตารางใหกระทาดงน

จาก ln N = ln ( N0 × 10 " )

= ln N0 + ln 10"

= ln N0 + n ln 10

เปดตารางหาคา ln N0 และ ln 10 จากตารางลอการทมฐาน e

หมายเหต ln 10 = 2.3026 ( ควรจาใหไดเพราะในการเปดตารางลอการทมฐาน e เราจะตองใช อยเสมอ ) ตวอยางท 3 จงหาคาลอการทมตอไปน

(ก) In 70.5

(ข) In 0.0738

(ค) In 793.7

(ง) In 0.7749

0 7.0.

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5 7.6

7.7

7.8

7.9

1.94591

1.95009

1.97408

1.98787

2.00148

2.0149 2.02815

2.04122

2.05412

2.06686

1 94734

96150

97547

98924

00283

01624 02946

04252

05540

06813

2 94876

96291

97685

99061

00418

01757 03076

04381

05668

06939

3 95019

96431

97824

99198

00553

01890 03209

04511

05795

07065

4 95161

96571

97952

99334

00687

02022 03340

04640

05924

07191

5 95303

96711

98100

99470

00821

02155 03471

04769

06051

07317

6 95445

96851

98238

99606

00956

02287 03501

04898

06179

07443

7 95586

96991

98376

99724

01089

02419 03732

05027

06306

07568

8 95727

97130

98513

99877

01223

02551 03862

05156

06433

07694

9 95868

97269

98650

2.00013

01357

02683 03992

05284

06560

07619

14 28 43

14 28 42

14 28 41

14 27 41

13 27 40

13 27 40 13 26 39

13 26 39

13 25 38

13 25 36

1 2 3 4 5 6 7 8 9 57 71 85

56 70 84

55 69 83

54 68 82

54 67 80

53 67 80 52 66 79

52 65 77

51 64 76

50 63 76

99 114 128

99 112 126

97 110 124

95 109 122

94 107 121

93 106 120 92 105 118

90 103 116

89 102 114

88 101 113

238

วธทา (ก) In 70.5 = In ( .05 × 10 )

= In 7.05 + In 10 … ( 1 )

จากตาราง In 7.05 = 1.95303

In 10 = 2.3026

จาก ( 1) In 70.5 = 1.95303 + 2.3026 = 4.25563

(ข) In 0.0738 = In (7.38 × 10-2 )

= In 7.38 + In 10-2 … ( 1 )

= In 7.38 - 2 In 10

จากตาราง In 7.38 = 1.99877

In 10 = 2.302

จาก (1) In 0.0738 = 1.99877 – 2 ( 2.3026) = - 2.60643

(ค) In 793.7 = In (7.937 × 102)

= In 7.937 + In 102

= In 7.937 + In 10 …(1)

จากตาราง In 793.7 = 2.070650 + 0.00088 = 2.07153

In 10 = 2.3026

จาก (1) In 793.7 = 2.07153 + 2 (2.3026) = 6.67673

(ง) In 0.7749 = In ( 7.749 × 10-1 )

= In 7.749 - 10-1

= In 7.749 - 10 … (1)

จากตาราง In 7.749 = 2.04640 + 0.00116 = 2.04756

In 10 = 2.3026

จาก (1) In 0.7749 = 2.04756 – 2.3026 = - 0.25504

239

3. กราฟลอการทม ฟงกชนลอการทม เปนอนเวอรสของฟงกชนเอกชโปเนนเชยล จากฟงกชนเอกช

โปเนนเชยล f(x) = {(x,y) R × R+ l y = ax ; a > 0 และ a ≠ 1} ∈อนเวอรสฟงกชนเอกชโปเนเชยล f - 1 (x) = { (x,y) R+ × R l x = ay ; a > 0 และ a ≠ 1} ∈หรอเรยกวา ฟงกชนลอการทม f - 1 (x) = { (x,y) R+ × R l y = loga x , a > 0 และ a ≠ 1} ∈ กราฟลอการทม คอ อนเวอรสของกราฟเอกชโปเนนเชยล

สมการลอการทม y = loga x ; a > 0 และ a ≠ 1

จากนยาม a > 0 และ a ≠ 1 ทาใหเราแบงคา a ออกเปน 2 กลม

กลมท 1 กลมท 2

- 1 0 1 0 < a < 1 a > 1

การเขยนกราฟสมการลอการทมท 0 < a < 1

ตวอยางท 1 จงเขยนกราฟจากสมการ y = log x

วธทา หาคลาดบจาก y = x ทาเปนเลขยกกาลงได = x

( )y122

1log

( )y21x = ( ) 42

1 2=

− ( ) 221 1-

= ( ) 121 0

= ( ) 21

21 1

= ( ) 41

21 2

=

y 2- 1- 0 2 1

240

ตวอยางท 2 จงเขยนกราฟ จากสมการ y = log x และ y = log x บนแกน x, y เดยวกน

วธทา หาคลาดบจาก y = x และ y = x

ทาเปนเลขยกกาลงได = x และ = x

21log

41log

( )y41 ( )y4

1

( )y41x = ( ) 164

1 2-= ( ) 44

1 1-= ( ) 14

1 0= ( ) 4

141 1

= ( ) 161

41 2

=

( )y21x = 4 2 1 4

141

y 2- 1- 0 1 2

241

การเขยนกราฟสมการ ลอการทมท a > 1

ตวอยางท 3 จงเขยนกราฟจากสมการ y = log2 x

วธทา หาคลาดบจาก y = log2 x ทาเปนเลขยกกาลงได 2y = x

yx 2=412 2

=−

212 1

=− 12 =

o 221= 422

=

y 2- 1- 0 1 2

242

ตวอยางท 4 จงเขยนกราฟจากสมการ y = log2 x และ y = log4 x

วธทา หาคลาดบ จาก y = log2 x และ y = log4 x

ทาเปนเลขยกกาลงได 2y = x และ 4y = x

y4x = 16

14 2-= 4

141-= 140

= 441= 1642

=

y2x = 42

2-= 2

121-= 12

0=

y 2- 1- 0 1 2

221= 42

2=

243

จากกราฟทเขยนทงสตวอยางมขอสรปดงน

1. กรณ 0 < a < 1 ถา x มคาเพมขนเรอย ๆ ทาให y มคาลดลง เราจะเรยกกราฟลกษณะเชนนวา ฟงกชนลด (Decreasing Function)

กรณ a > 1 ถา x มคาเพมขนเรอย ๆ ทาให y มคาเพมขน เราจะเรยกกราฟลกษณะ

เชนนวา ฟงกชนเพม (Increasing Function)

2. กราฟฟงชนลอการทมจะตองผานจด (1, 0) และ (a, 1) เสมอ

จาก y = log2 x ถา y = 0 แลว x = a0 = 1 ไดจด ( 1, 0 )

และ ถา y = 1 แลว x = a1 = a ไดจด ( a, 1 )

3. ในการเขยนกราฟ y = loga x และ y = logb x เมอ a > b > 0 เราสามารถเขยนกราฟทงสองโดยการวเคราะหดงน

3.1 เสนกราฟ y = loga x และ y = logb x ตองผานจด ( 1, 0 )

3.2 ลากเสน y = 1 พจารณาหาจด ( 1 , a ) และ (1 , b)

3.3 เขยนกราฟผานจดระหวาง ( 1, 0 ) กบ ( a, 1 ) และ ( 1, 0 ) กบ (b, 1 )

4. สมการเอกซโปเนนเชยลและสมการลอการทมในงานชาง

244

ตวอยางท 1 ความสมพนธระหวางเวลากบอณหภมในการทาใหโลหะชนดหนงเยนลง เปนไป

ดงสมการ T = T0 ekt

โดยท T แทนอณหภมเมอเวลา t นาทใด ๆ มหนวยเปนองคสเคลวน

T0 แทนอณหภมเรมตน มหนวยเปนอาศาเคลวน

t แทนเวลา มหนวยเปนนาท k แทนคาคงทคาหนง จงหาวาจะตองใชเวลากนาทในการทาใหโลหะชนดนอณหภมลดลง 120 องศาเคลวน ถา

T0 = 167 องศาเคลวน T = 100 องศาเคลวน และ t = 1 นาท

วธทา จากสมการ T = T0 ekt …..( 1 )

แทนคา T = 100 °K

T0 = 167 °K

t = 1 นาท

∴ 100 = 167 ek

ek = 100167

In ek = In k In e = In 1.67

k = 0.51 (In e = 1)

จาก (1) T = T0 e- 0.511 ….(2)

โลหะมอณหภม T0 = 167 องศาเคลวน ตองการทาใหอหณหภมลดลง 120 องศาเควน

∴ ตองทาใหโลหะมอณหภม T = 167 - 120 = 47 องศาเคลวน

จาก ( 2 ) 47 = 167 e- 0.511

e 0.511 =

In e- 0.511 = In

0.51 t In e = In 3.55 (In e = 1 )

0.51 t = ln 3.55

∴ t =

100167

47716

47716

0.513.55 l n

245

= = 2.48 0.51

1.26695

ดงนน ตองใชเวลาทงหมด 2.48 นาท ตวอยางท 2 ความสมพนธระหวางคาบของการแกวง และความยาวของลกตมนาฬกาเปนไปดง สมการ

In T =

เมอ T แทนคาบของการแกวง มหนวยเปนวนาท L แทนความยาวของลกตมนาฬกามหนวยเปนเมตร ถาความยาวของลกตมนาฬกาเทากบ 0.30 เมตร จงหาคาบจองการแกวงของลกตมนาฬกาเรอนน วธทา จากสตร In T = L = 0.30 เมตร

∴ In T =

=

=

= - 0.04930 + 0.6982 = 0.6489

∴ In T = In 1.91 T = 1.91 วนาท ดงนน คาบของการแกวงเทากบ 1.91 วนาท

0.698221 +Lnl

0.6982) +0.09861(21 −

0.69820.3021 n +l

0.6982+)1.098611(21 +−

0.698221 +Ll n

246


สมการเอกซโปเนเชยลและสมการลอการทมในงานชาง ความสมพนธระหวางจานวนแบคทเรยกบเวลา เปนไปดงสมการ

q = 2 (3t ) 1

เมอ q แทนจานวนแบคทเรย มหนวยเปนพนตว

t แทนเวลามหนวยเปนชวโมง ถาตองการแบคทเรย 2.43 พนตว จะตองใชเวลานานเทาไร ความสมพนธระหวางอณหภม และเวลาในการทาใหของเหลวชนดหนงเยนลงเปนไป ดงสมการ

2

T = Ktn

เมอ T แทนอณหภม มหนวยเปนองศาเซลเซยส

t แทนเวลา มหนวยเปนนาท

k,n แทนคาคงท

ถา T = 20 องศาเซลเซยส, K = 60 และ t = 11 นาท จงหาวาเมอเวลาผานไป

2.70 นาท ของเหลวมอณหภมเทาไร

247

3

จากวงจรทกาหนดให มสมการความสมพนธกนดงน คอ

= RCt

i = i0e

และ i0 = RE

เมอ i0 แทนกระแสไฟฟาเรมตน มหนวยเปนแอมแปร

i แทนกระแสไฟฟาเมอ t วนาท มหนวยเปนแอมแปร E แทนแรงเคลอนไฟฟา มหนวยเปนโวลต R แทนความตานทาน มหนวยเปนโอหม

t แทนเวลาตงแตเปดสวตช มหนวยเปนวนาท C แทนความจไฟฟา มหนวยเปนฟารด

e ≈ 2.718

ถากาหนดให E = 220 โวลต R = 450 โอหม และ C = 30 × 10- 6 ฟารด จงหาวาใช เวลานานเทาไรหลงจากเปดสวตช กระแสไฟฟาจะเหลอเพยงครงหนงของกระแสไฟฟาเรมตน

งานทเกดจากการเปลยนปรมาตรของกาชชนดหนง มวล 1 กโลกรม เมออณหภมคงท เปนไปดง สมการ

4

W = 8.1 × 104 เมอ W แทนงานมหนวยเปนจล Vi แทนปรมาตรเดมของกาซมวล 1 กโลกรม Vf แทนปรมาตรครงสดทายของกาซมวล 1 กโลกรม ถาเดมปรมาตรของกาซชนดนเทากบ 2.9 ลตรตอมวล 1 กโลกรม และถาปรมาตรของกาซเปลยนไปเปน 10 ลวตร ตอมวล 1 กโลกรม จงหางานทเกดขนจากการเปลยนปรมาตรของกาซชนดน จากปญหาในขอ 4 ถางานเกดขน 15 × 104 จล ปรมาตรของกาซเปลยนไปเปนเทาไร

iVVfIn

5

248

แบบทดสอบ

1. กาหนด log 2 = 0.3010 และ

log 3 = 0.04771 จงหาคา x จาก

สมการ 2x = 12 ก. 3.585 ข. 4.385 ค. 5.015 ง. 6.834

2. จากขอ 1 จงหาคา x จากสมการ

= 8 )( x3 )( 2x2

ก. 0.387 ข. 0.783 ค. 0.837 ง. 0.873

3. จงหาคา x จากสมการ 4 = 8 3x

ก. 0.2 ข. 0.3 ค. 0.4 ง. 0.5

4. จงหาคา x จากสมการ = 1 3x 6 + 5 x 36 + ก. 8 ข. 9 ค. 10 ง. 11

5. จงหาคา x จากสมการ

9xlogxlog

8. จงหาคา จากสมการ

x In x4 = In x2 - In x ก. 0.80 ข. 0.75 ค. 0.50 ง. 0.25

9. กาหนดให log 5.49 = 0.7396

จงหาคาของ log 0.00549

ก. 2.2604 ข. -2.2604

ค. -3.7396 ง. 3.7396

10. จากขอ 9 จงหาคาของ log 549

ก. 2.7396 ข. -2.7396 ค. – 3.7396 ง. 3.2604

11. กาหนดให log 999 = 2.9996

จงหาคาของ log 0.0999

ก. -2.9996 ข. -2.9001

ค. -1.9001 ง. -1.9996

12. กาหนดให log 552 = 2.7419

จงหาคา In 5.52 ก. 0.7083 ข. 1.7083 ค. 6.3228 ง. 6.7083

13. กาหนดให In 5.49 = 1.70293

และ In 0 = 2.3026 จงหาคา

ของ In 5490 ก. 3.86107 ข. 6.18073 ค. 7.38601 ง. 8.61073

xlog 53 =++

ก. 1.0 ข. 0.10 ค. 10 ง. 100


22xInx2In =+

ก. 2.718 ข. 2.817 ค. 7.812 ง. 7.128 7. จงหาคา x จากสมการ log (x+8) = log (x – 1) + 1 ก. 0.2 ข. 0.5 ค. 2.0 ง. 2.5

249

14. จากขอ 13 จงหาคาของ In 0.549 ก. – 0.70293 ข. – 0.29307 ค. – 0.59967 ง. – 0.95679


20

กราฟนเปนกราฟของฟงกชนใด

ก. y = log2 x ข. y =

21

log x

ค. y = log3 x ง. y = 31

log x

21. จากกราฟขอ 20 ถา x = 4

y มคาประมาณเทาไร

ก. -2

ข. ข. -1 ค. 0 ง. ง. 1

22. จากสมการ y = 51log x

ถา y = -1 x มคาเทาไร ก. 0 ข. 5

ค. 25 ง. - 5

log 2x21 =

ก. 21 ข. 4

1

ค. 2 ง 4


325logx =+log

ก. 20 ข. 30 ค. 40 ง. 50


3)6x(3log =+

ก. 12 ข. 16 ค. 19 ง. 21 18. จงหาคา x จากสมการ

2)9x(log -2

51 =−

ก. 3 ข. 4 ค. 5 ง. 6


log 2)xlog( 422

=

ก. 2 ข. 3 ค. 4 ง. 5

250

27 สมการของฟงกชนในขอใดเปน Increasing Function ก. xlogy

21=

ข. xlogy31=

ค. xlogและ xlogy55

1=

ง. xlogy 4=

28. จากสมการ xlogy21=

xlogy31= และ xlogy 4=

เมอเขยนกราฟจะตดกนทจดใด ก. ( )1,0 ข. ( )0,1 ค. ( )1,0 − ง. ( )0,1−

29. คา a ของขอใดมคามากทสด

ก. xlogy31=

ข. xlogy1.1

=

ค. xlogy61=

ง. xlogy1.5

=

30. จากคลาดบ ( )2-,36 เปนจดของ สมการในขอใด

ก. xlogy31=

ข. xlogy1.1

=

ค. xlogy61=

ง. xlogy1.5

=

23.

กราฟนเปนกราฟของฟงกชนใด

ก. y = log2 x ข. y = log3 x

ค. y = 21

log x ง. y = 31

log x

24. จากกราฟขอ 23 ถา x = 31

y มคาประมาณเทาไร ก. 1 ข. 0

ค. 21- ง. –1

25. จากกราฟขอ 23 ถา y = -2

x มคาประมาณเทาไร ก. 0.5 ข. 0.6 ค. 0.7 ง. 0.8 26 กราฟของฟงกชนในขอใด เมอวาด

ลงบนตารางกราฟลอการทมแลว ไมผานจด ( )1,0

ก. y = 21 ข. y = 3

1

ค. y = 51 ง. y = 9

1

251

บทท 9 บทนาตรโกณมต

บทนา ตรโกณมตเปนวชาทวาดวยการวดและการหาความสมพนธระหวางดานกบมมของรปสามเหลยม ซงมประโยชนในการนาไปใชในทางชางทกสาขา

ตวอยางเชน เราอยากทราบความสงของประภาคาร เราจะตองใชความสมพนธของฟงกชน ตรโกณมตชวยในการคานวณ ดงรป ถาเราทราบคามม θ และระยะจากเรอถงประภาคาร เรากจะสามารถหา ความสงของประภาคารได

หรอถาตองการทราบวา เสาไฟฟาอยสง จากพนกเมตร เรากอาศยฟงกชนตรโกณมตชวย ในการคานวณอกเชนกน

จากตวอยางทยกมาใหเหน แสดงวาฟงกชนตรโกณมตมความสาคญในงานชางมาก ซงเราจะไดศกษากนใหละเอยดตอไป

1. มมและการวดมม

มม เกดจากเสนตรง 2 เสน ลากมาพบกนทจด ๆ หนง จากรป เสนตรง AO และ BO ลากมา พบกนทจด O ทาใหเกดมม AOB ขน เรานยมใสอกษรกรก เชน α , β, γ, θ กากบมมทเกดขน

C

B θ A

252

การวดมม จะเรมวดออกจากเสนเรมตน OX

x O θ

( วดมมทวนเขมนาฬกา คาของมมเปนบวก )

y

O

y

x

เสนเรมตน

ปกตการวดมมจะวดไปในทศทางทวนเขมนาฬกา คาของมมทวดไดในกรณนจะมเครองหมายเปนบวก (+) แตในทางตรงขาม ถาวดมมในทศทางตามเขมนาฬกา คาของมมทวดไดในกรณนจะม

เครองหมายเปนลบ ( - ) y

O เสนเรมตน

x - θ

มมฉาก เกดจากเสนตรง 2 เสนตดกน ทาใหไดมม 4 มมทมขนาดเทากนหมด มมแตละมมทเกดขนเรยกวา 1 มมฉาก จากรป เสนตรง AB และ CD ตดกน ทจะ O ทาใหเกดมมทเทากน 4 มม คอ 1. มม COB 2. มม AOC 3. มม AOD 4. มม BOD แตละมมเราเรยกวา “มมฉาก” ซงกางเทากบ 90 องศา

4

2 1

3 O

D

C

B A

มมแหลม หมายถง มมทมขนาดมากกวา 0 องศา แตนอยกวา 90 องศา มมปาน หมายถง มมทมขนาดมากกวา 90 องศา แตนอยกวา 180 องศา มมกลบ หมายถง มมทมขนาดมากกวา 180 องศา แตนอยกวา 360 องศา

253

a θ

มมกลบ

(180° < θ < 360° ) มมปาน

(90° < θ < 180° )

β

มมแหลม

(0° < a < 90° )

แบบฝกหด จงบอกวา มมตอไปนเปนมมแหลม มมปาน หรอมมกลบ และใหบอกคาของมมดวย ตวอยาง

αβ

มม α เปนมม ปาน มม เปนมม มคาของมมเปน บวก มคาของมมเปน

θ

βo45

มม เปนมม มม เปนมม มคาของมมเปน มคาของมมเปน

254

α θ


β

θ


2. หนวยการวดมม

การวดมมเปนองศา (Degree) ถาเราแบงมมฉากออกเปนมมยอย ๆ เทากบ 90 มมยอย มมยอยแตละมมทเกดขนเรยกวา มม 1 องศา เราใชสญลกษณ “ ๐ ” แทนคาวา “ องศา ” เชน 100๐ อานวา หนงรอยองศา 90๐ อานวา เกาสบองศา 120๐ อานวา หนงรอยยสบองศา

มม 1 องศา ยงแบงยอยออกเปน ลปดา ( / ) และฟลปดา ( / / ) ตามลาดบ ดงน 1๐ = 60 / (หกสบลปดา) 1/ = 60 / / (หกสบฟลปดา)

255

ในงานชางจะคดมมทเลกกวาหนงองศาเปนตวเลขทศนยมแทนลปดาและฟลปดา เพราะ เครองมอวดมมสวนมากทใชในงานชางมสเกลของมมอานเปนองศา การแปลงหนวยวดมม สามารถทาไดดวยวธบญญตไตรยางค ตวอยาง จงเปลยนมม 30 ลปดา 45 ฟลปดา ใหเปนองศา วธทา 1 องศา เทากบ 60 ลปดา และ 1 ลปดา เทากบ 60 ฟลปดา ∴ 1 องศา = 60 × 60 ฟลปดา

= 3,600 ฟลปดา หรอ 3,600 ฟลปดา = 1 องศา

1 ฟลปดา = 3,6001 องศา

45 ฟลปดา = 3,600451× องศา

= 801 องศา

จาก 60 ลปดา = 1 องศา

1 ลปดา = 601 องศา

30 ลปดา = 60301× องศา

= 21 องศา

ดงนน มม 30 ลปดา กบ 45 ฟลปดา = 21 + 8

1 องศา

= 814+ = 8

5 องศา

∴ มม 30’ 45” = 85 องศา

= 0.625 องศา ตอบ

256


ลาดบท มมทกาหนดให

องศา ลบดา ฟลปดา

30 12 15 30 45

45 30 15 48 42 24 30 25

0.625

45 30 45 40 54 30 40 48 32

36 36 40 52 36

2

45 1 2

45 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

แปลงเปนองศา

การวดมมเปนเรเดยน (Radian)

r

r

B

θO

O

θ = 1 เรเดยล

มม 1 เรเดยน หมายถง มมทจดศนยกลาง ของวงกลมซงรองรบดวยสวนโคงของวงกลม A

ทยาวเทากบรศมของวงกลมนน

เมอ r = รศม

∴ 2π r = เสนรอบวง

จะได มมทจดศนยกลาง = รศมเสนรอบวง เรเดยน

= rr2π เรเดยน

= 2π เรเดยน

257

แตมมทจดศนยกลางมคา 360 องศา = 2π เรเดยน

ดงนน 180 องศา = π เรเดยน

และ 90 องศา = 2π เรเดยน

ความสมพนธระหวางหนวยองศากบเรเดยน ถา D = คาของมม มหนวยเปนองศา θ = คาของมม มหนวยเปนเรเดยน

เพราะวา 180๐ = π เรเดยน

ดงนน θ = 180D•π เรเดยน

นนคอ 180D = π

θ D = π180•θ องศา

การคานวณเปลยนคามมจากหนวยองศาเปนหนวยเรเดยน หรอจากเรเดยนเปนองศา

ทาไดหลายวธ ดงน 1. ใชสตรขางตน 2. โดยการเทยบบญญตไตรยางศ 3. อาศยมมฉากเปนหลก

ตวอยาง จงเปลยนมม 60 องศา ใหมหนวยเปนเรเดยน

วธทา จาก 180D = π

θ

แทนคา 18060 = π

θ

∴ θ = 18060π = 3

π เรเดยน

ตวอยาง จงเปลยนมม 54π

เรเดยน ใหมหนวยเปนองศา

วธทา จาก 180D = π

θ

แทนคา 180D = π

π54 = 5

4

∴ D = 51804× = 144 องศา

258

บทสรป

1. มม เกดจากเสนตรง 2 เสนลากมาพบกนทจด ๆ หนง 2. มมฉาก เกดจากเสนตรง 2 เสนตดกน ทาใหได 4 มมทมขนาดเทากนหมด มมแตละมมเรยกวา มมฉาก 3. มมแหลม หมายถง มมทมขนาดมากกวา 0 องศา แตนอยกวา 90 องศา 4. มมปาน หมายถง มมทมขนาดมากกวา 90 องศา แตนอยกวา 180 องศา 5. มมกลบ หมายถง มมทมขนาดมากกวา 180 องศา แตนอยกวา 360 องศา 6. มม 1 เรเดยน หมายถง มมทจดศนยกลางของวงกลมซงรองรบดวยสวนโคงของวงกลมทยาวเทากบรศมของวงกลมนน 7. มมทจดศนยกลาง = 2π เรเดยน 8. การเปลยนคาจากองศาเปนเรเดยน หรอจากเรเดยนเปนองศา หาไดจากสตร

°180

D = πθ

D = πθ 180× องศา

เมอ D = คาของมมทเปนองศา θ = คาของมมทเปนเรเดยน

259

1 มมประกอบหนงมมฉาก C

รปสามเหลยมทมมมภายในมมใดมมหนง

A a β

y

B

เปนมมฉาก เราเรยกรปสามเหลยมนนวา “รป สามเหลยมมมฉาก” จากรป สามเหลยม ABC มมม B เปนมม ฉาก ดงนน มมทเหลออก 2 มม คอ α กบ γ จะรวม กนได 1 มมฉาก หรอ 90 องศา จากนยามของรปสามเหลยม มมภายในของรปสามเหลยมใด ๆ รวมกนเทากบ 180๐

นนคอ α + β + γ = 180๐

แต β = 90๐

∴ α + 90๐ + γ = 180๐

α + γ = 180๐ - 90๐

= 90๐

α = 90๐ - γ หรอ γ = 90๐ - α

เราเรยกมม α และ γ วา เปนมมประกอบหนงมมฉากซงกนและกน


จงหามมทเหลอของรปสามเหลยมมมฉาก จากรป ตวอยาง

วธทา มม α = 90๐ - 43๐

= 47๐

43๐

α

260

1

วธทา วธทา




จงหามมประกอบหนงมมฉากของมมตอไปน

ตวอยาง มม 40๐, 10๐, 58๐, 3π , 6

π , 12π

วธทา มมประกอบหนงมมฉากของมม 40๐ = 90๐ - 40๐ = 50๐

มมประกอบหนงมมฉากของมม 10๐ = 90๐ - 10๐ = 80๐

มมประกอบหนงมมฉากของมม 58๐ = 90๐ - 58๐ = 32๐

มมประกอบหนงมมฉากของมม 3π เรเดยน = 2

π -

3π = 6

23 ππ −

θ

α

10๐ + β

α

θ

5

( α + 30๐

) α

6 2

4π

β

7 3

β

35๐

8 4

3π

261


มมประกอบหนงมมฉากของมม 6π เรเดยน =

2π - 6

π = 63 ππ −

= 62π = 3

π เรเดยน

มมประกอบหนงมมฉากของมม 12π เรเดยน = 2

π -

12π = 12

6 ππ −


ในกรณทหนวยวดของมมเปนเรเดยน จะได มม 90๐ = 2π เรเดยน

มม 19° 1

มม 11°

มม 43°

มม 75°

มม เรเดยน




2

3

4





4oπ5

10oπ6

12oπ7

115 oπ8

20π o9

13π o10

136 oπ11

259 oπ12

262

2. การวดมมทไดจากการหมน

ถาหมนรงส QA ออกจาก QX ไปในทศ ทางทวนเขมนาฬกาเปนมม θ โดยใหจด O เปนจดหมนดงรป จะไดมมทเกดขนมขนาด เทากบ θ และมเครองหมายเปนบวก (+ )

x′

y′

A y

θ O x

x′

y

y′

x

A

θ

แตถาหมนรงส OA ออกจาก OX ไปใน ทศทางตามเขมนาฬกาไปเปนมม θ จะไดมม ทเกดขนมขนาดเทากบ θ และคาของมมม

เครองหมายเปนลบ ( - ) ตวอยาง ถารงส OA หมนตามเขมนาฬกาไปทามม 60 องศากบเสนเรมตน OX จงหาวามมทวดจากเสนเรมตน OX ไปในทศทางทวนเขมนาฬกา มคาเทาใด วธทา รงส OA หมนผานควอดรนตมา 3 ควอด

x′

y

A

60๐ x

y′

รนต ในทศทางทวนเขมนาฬกา ซงคดเปนมม รวมทงหมด 90๐ + 90๐ + 90๐ = 270 องศา มมทรงส OA หมนตอไปเมอผานควอดรนตท 3 อก 90๐- 60๐ = 30๐

นนคอ มมทงหมดท OA หมนไปทศทางทวนเขมนาฬกา = 270๐ + 30๐

= 300๐ ตอบ ตวอยาง จงหาคามม α1 และ α2 จากรป

x

y

y′

x′ 30๐ a1 a2 O

วธทา มม α1 เปนการวดมมในทศทางทวน เขมนาฬกา รงส OA ตกอยในควอดรนตท 2 ∴ α1 = 90๐ + (90๐ - 30๐) = 90๐ + 60๐

= 150๐ ตอบ

263

มม α2 เปนการวดมมตามเขมนาฬกา คาทวดออกมาไดมเครองหมายเปนลบ ( - ) รงส OA ตกอยในควอดรนตท 2 ซงผานควอดรนตท 4 และ 3 มา

ดงนน ∴ α2 = -(90๐ + 90๐ + 30๐) = -(180๐+ 30๐)

= -210๐ ตอบ

จงหาคามม θ จากรป วธทา วธทา วธทา

3

2

x x′

y′

O θ

30๐


x′ x

y′

O 25๐

θ

x′

y

y′

θ

O 15๐

y

x

1

264

วธทา วธทา วธทา วธทา วธทา

8

7

x

y′

x′ 45๐

O θ

x x′ 60๐

θ

O

y′

y

30๐θ

x′ x

y′

x 55๐

θ

O

O x′

y′

y

θ O

60๐

x′ x

y′

y 6

5

265

9

วธทา จากรป จงหาคามม θ, θ1 , θ2 จากชนงาน วธทา

9

266

3. การแบงจตรภาค ( ควอดรนต )

ถาแบงมมรอบจด O ออกเปน 4 สวน เทา ๆ กน แตละสวนเราเรยกวา ควอดรนต หรอ จตรภาค จะได 4 ควอดรนต หรอ 4 จตรภาค ดงรป ควอดรนตท 1 อยมมบนขวา ควอดรนตท 2 อยมมบนซาย ควอดรนตท 3 อยมมลางซาย ควอดรนตท 4 อยมมลางขวา

ควอดรนตท 1 คาของมมอยระหวาง 0๐ 90๐ หรอ 0 2π เรเดยน

O

ควอดรนตท 4 ควอดรนตท 3

ควอดรนตท 2 ควอดรนตท 1

y

y′

x′ x

ควอดรนตท 2 คาของมมอยระหวาง 90๐ 180๐ หรอ 2π π เรเดยน

ควอดรนตท 3 คาของมมอยระหวาง 180๐ 270๐ หรอ π 23π เรเดยน

ควอดรนตท 4 คาของมมอยระหวาง 270๐ 360๐ หรอ 23π 2π เรเดยน


จงบอกวา มมตอไปนอยในจตรภาค (ควอดรนต) ใด และเขยนรปใหดดวย ตวอยาง 1 มม 220 องศา มคาอยระหวาง 90๐ - 180๐

ดงนน มม 220 องศา อยในจตรภาคท 3 (ดงรป)

x x′

2 1 y

y′

90๐90๐

3

40๐

4 ตอบ มม 220 องศา อยในจตรภาคท 3

267

ตวอยางท 2 มม –30 องศา ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛− 6π อยในจตรภาคท 4 ดงรป

ตอบ มม –30 องศา อยในจตรภาคท 4

x′

y

O 30°

y′

x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

914π มม 280 องศา

1

x x′ O

y

y′

ตอบ มม 540 องศา (3π) ตอบ

x′ y

y′

y

O

2

268

มม −220 องศา ( )911π−

x x′ O

y

y′

3

ตอบ

มม 390 องศา ( )613π

ตอบ

มม −600 องศา ( )310π−

ตอบ

x′ x

y′

O

y

x′ x

y′

O

y

4

3

บรรณานกรม วนย ธรรมศลป. คณตศาสตรชาง 1 (เชงปฏบต) คณ 4101. กรงเทพ ฯ : สานกพมพศนยสงเสรม วชาการ. วนย ธรรมศลป. หนงสอเรยนหมวดวชาพนฐาน รหส 151 – 152 คณตศาสตร 2. กรงเทพ ฯ : สานกพมพศนยสงเสรมวชาการ. วนย ธรรมศลป, กมล พกทอง และ อครวฒ จนดานรกษ. คณตศาสตร 4. กรงเทพ ฯ : สานกพมพศนยสงเสรมวชาการ, 2538 ศโรธ ศรผล , วชย ทพณย. 678 หลกการและเทคนคการแกโจทยทางคณตศาสตรชาง 2. กรงเทพ ฯ : 23 บคเซนเตอร, 2538

บรรณานกรม

กรมพฒนาการชาง, กรมอทหารเรอ “ความรเบองตนสาหรบชางตดเยบ” กรงเทพ ฯ อทหารเรอธนบร, กรมอทหารเรอ “กรรมวธการปฏบตงาน โรงงานชางเยบ” กรงเทพ ฯ เสถยร วชยลกษณ , รอยตารวจโท และ สบวงศ วชยลกษณ, พนตารวจเอก “พระราชบญญต ธง พ.ศ.๒๕๒๒” อตสาหกรรม, กระทรวง “มาตรฐานผลตภณฑอตสาหกรรมผาใบ”

- ประกาศกระทรวงอตสาหกรรม ฉบบท ๔๕ (พ.ศ.๒๕๑๖) ออกตามความ 64 ในพระราชบญญตมาตรฐานผลตภณฑ พ.ศ.๒๕๑๑ เรอง กาหนด มาตรฐานผลตภณฑอตสาหกรรมผาใบ

- พระราชบญญตธง พ.ศ.๒๕๒๒ 71 - กฎกระทรวง (พ.ศ.๒๕๒๔) ออกตามความ 87 ในพระราชบญญตธง พ.ศ.๒๕๒๒ - กฎกระทรวง ฉบบท ๒ (พ.ศ.๒๕๒๖) ออกตามความ 88 ในพระราชบญญตธง พ.ศ.๒๕๒๒ - กฎกระทรวง ฉบบท ๓ (พ.ศ.๒๕๓๕) ออกตามความ 89 ในพระราชบญญตธง พ.ศ.๒๕๒๒ - แจงความสานกนายกรฐมนตร เรอง พระราชทานพระบรม 90 ราชานญาตประดบแพรแถบเกยรตคณแกธงชยเฉลมพล - ระเบยบสานกนายกรฐมนตร วาดวยการใช การชก หรอ 91 การแสดงธงชาตและธงของตางประเทศในราชอาณาจกร พ.ศ.๒๕๒๙ - บรรณานกรม 102

mathe

Documents