แบบจ ำลองทำงคณตศำสตรของกำรระบำดของกำรตดเชอซอมบ

MATHEMATICAL MODELLING OF AN OUTBREAK OF ZOMBIE

INFECTION

โดย

นำงสำวเมวกำ รงฉตร

นำงสำวภสศร สมทรพย

นำงสำวศศประภำ แกววไล

โครงงำนนเปนสวนหนงของกำรศกษำตำมหลกสตรปรญญำวทยำศำตรบณฑต

สำขำวชำคณตศำสตรประยกต ภำควชำคณตศำตร

คณะวทยำศำสตรประยกต สถำบนเทคโนโลยพระจอมเกลำพระนครเหนอ

ปกำรศกษำ 2554

ชอโครงงำน : แบบจ ำลองทำงคณตศำสตรของกำรระบำดของกำรตดเชอซอมบ MATHEMATICAL MODELLING OF AN OUTBREAK OF ZOMBIE INFECTION โดย : นำงสำวเมวกำ รงฉตร นำงสำวภสศร สมทรพย นำงสำวศศประภำ แกววไล สำขำ : คณตศำสตรประยกต ภำควชำ : คณตศำสตร คณะ : วทยำศำสตรประยกต อำจำรยทปรกษำ : อ.ดร.จรำภรณ รนสมฤทธ ปกำรศกษำ : 2554

คณะวทยำศำสตรประยกต มหำวทยำลยเทคโนโลยพระจอมเกลำพระนครเหนอ อนมตใหโครงงำนนเปนสวนหนงของกำรศกษำตำมหลกสตรปรญญำวทยำศำสตรบณฑต

สำขำวชำคณตศำสตรประยกต ............................................................ อำจำรยทปรกษำ ( อ.ดร.จรำภรณ รนสมฤทธ ) ........................................................... กรรมกำร ( อ.ดร.มโหสถ ปนโภชำ ) ............................................................ กรรมกำร ( อ.ดร.วลยลกษณ ชวนสพร )

ลขสทธของภำควชำคณตศำสตร คณะวทยำศำสตรประยกต

มหำวทยำลยเทคโนโลยพระจอมเกลำพระนครเหนอ ปกำรศกษำ 2554

ก

บทคดยอ

ซอมบเปนทสนใจทางดานวฒนธรรมและความบนเทง รวมถงภาพลกษณทวไปของซอมบทเราจะเหนไดวาซอมบมการตดเชอและการแพรระบาด ดงนนโครงงานนมวตถประสงคทจะศกษาแบบจ าลองทางคณตศาสตรของซอมบและเรายงไดศกษาแบบจ าลองขนพนฐานส าหรบการตดเชอของซอมบ หลงจากนนเราไดปรบแบบจ าลองใหมการตดเชอและใหมการรกษาของซอมบโดยใชโปรแกรมทางคณตศาสตร(MATLAB ) เพอตรวจสอบผลทไดของแบบจ าลอง

ข

Abstract Zombies are popular figure in pop culture or entertainment and they are

usually portrayed as being brought about through an outbreak or epidemic. So, the objective of this project is to study differential-equation models of the spread of a disease in zombie.

This work studied the basic model for zombies infection, them we modify the model to include the humans are infected and cure. Finally, we used MATLAB program to examine the results of the models.

ค

กตตกรรมประกาศ โครงงานเรองแบบจ าลองทางคณตศาสตรของการระบาดของการตดเชอซอมบ

(MATHEMATICAL MODELLING OF AN OUTBREAK OF ZOMBIE INFECTION) ส าเรจลลวงไปไดดวยดกดวยความอนเคราะหชวยเหลอจากหลายฝาย ขอขอบพระคณ อาจารยจราภรณ รนสมฤทธ ซงเปนอาจารยทปรกษาในการท าโครงงานฉบบน ทกรณาใหค าแนะน าทเปนประโยชนและขอบกพรองตางๆ และแนะน าเพอใหมความเขาใจในเนอหาของโครงงานมากยงขน รวมทงคณาจารยภาควชาคณตศาสตร ทกทานทประสาทวชาความรตางๆตลอดระยะเวลาทผานมาจนมความรความสามารถส าหรบท าโครงงานน อกทงยงสละเวลาตรวจแกไขและใหค าปรกษาตลอดจนแนะแนวทางตางๆ อนเปนประโยชนกบทางคณะผจดท า

สดทายนขอขอบพระคณเพอนทกคนรวมทงผทเกยวของทไดความชวยเหลอในดานตางๆ พรอมทงแรงใจ สนบสนนใหแก ทางคณะผจดท าสามารถท าโครงงานนส าเรจลลวง ไปดวยด

นางสาวเมวกา รงฉตร

นางสาวภสศร สมทรพย

นางสาวศศประภา แกววไล

ง

สารบญ หนา บทคดยอ ก

Abstract ข กตตกรรมประกาศ ค สารบญภาพ ฉ บทท 1 บทน า

1.1 ความเปนมาของโครงงาน 1 1.2 วตถประสงคของโครงงาน 2 1.3 ประโยชนทไดรบ 2 1.4 ขอบเขตของโครงงาน 3

บทท 2 นยาม และทฤษฏทเกยวของ 2.1 แบบจ าลองทางคณตศาสตรของโรคตดตอแบบ ( SIR ) 4 2.2 วธการทางออยเลอร 7

บทท 3 วธการด าเนนงาน 3.1 แบบจ าลองขนพนฐาน (SZR) 12 3.2 รปแบบการตดเชอแฝง (SIZR) 18 3.3 แบบจ าลองของการรกษา 22

บทท 4 สรปและขอเสนอแนะ 4.1 สรปผลการด าเนนงาน 27 4.2 ขอเสนอแนะ 27 References 28 ภาคผนวก 29

จ

สารบญภาพ หนาภาพท 2-1 ผลลพททไดจากแบบจ าลอง SIR 6 ภาพท 3-1 แบบจ าลองขนพนฐาน (SZR) 13 ภาพท 3-2 แสดงโปรแกรมทไมตดเชอของซอมบ 16ภาพท 3-3 แบบจ าลอง SZR เมอมการระบาดของซอมบ 17 ภาพท 3-4 แบบจ าลองการตดเชอแฝงของซอมบ (SIZR) 18ภาพท 3-5 การตดเชอแฝงของแบบจ าลอง SIZR 21ภาพท 3-6 แบบจ าลองของการรกษา 22ภาพท 3-7 กราฟแสดงแบบจ าลองการรกษา 26

1

บทท 1

บทน ำ

1.1 ความเปนมาและทมาของโครงงาน เรองราวของซอมบหรอการฟนคนชพของคนทตายไปแลว [1] ไดเรมมาจากประเทศ

ในแถบตะวนตกหรอทวปแอฟรกาทมความเชอเกยวกบเวทมนตไสยศาสตรของลทธวด โดยเรองราวไดมการอธบายเกยวกบบคคลทสามารถบงคบวญญาณได และตอมาเรองราวของซอมบนนไดมการพฒนาโดยมการผสมผสานกบความนากลวและความทนสมย จนท าใหเรองราวของซอมบไดถกถายทอดเปนภาพยนตทโดงดงเรอง Night of the living dead [2] หรอถายทอดเปนเกมสตางๆ

ค าวา “ซอมบ” เปนค าทมาจากชนเผาหนง ซงออกเสยงวา “ซมบ” ในคองโกซงหมายถง สงของหรอสงมชวตอะไรกไดทตกอยในอ านาจของคาถาอาคม เรองราวของซอมบเรมมาจากลทธวดมการแสดงใหเหนถงการคนชพของผคนทตายไปแลวใหกลบมาเปนทาส โดยสามารถออกค าลงหรอบงคบควบคมใหอยในอ านาจของผทมคาถาอาคม[3] เพราะลทธวดไดมความเชอเรอง “เทพเจางยกษ” ซงกลาวถงอ านาจลกลบและชวรายทสามารถบงคบวญญาณได โดยวธการของผมอ านาจวเศษ จะกลาวถงสวนผสมทมผลตอการคนชพของผทตายไปแลว หรออาจจะเปนพชชนดตางๆ รวมถง ยาสงหรอสารเคม(ผงศกดสทธ) ทพวกมอ านาจวเศษหรอพอมดหรอหมอผใชในพธกรรมตางๆ อกมากมาย ตวอยางเชน สารพษ นวโรโทซน (Neurotoxin) ซงเปนสารทมผลตอระบบประสาททมผลตอรางกายดานตางๆ และผสมสารหลายๆ ชนด จนท าใหมการฟนคนชพของผทตายไปแลวใหฟนคนกลบมาอกครง

ตอมาในสมยกลางจะมความเชอเรอง ซอมบ ซงจะเปนการฟนคนชพของผทตายไปแลว โดยมการท าใหบคคลเหลานนฟนจากความตายมาหลอกหลอนชาวบาน[4] ซงมสาเหตมาจากการกออาชญากรรม มการลางแคนและมการเชอกนวา ซอมบจะตนขนมาตอนกลางคน โดยมสาเหตมาจากปรากฏการณทางวฒนธรรมต งแต จน ญปน แถบแปซฟก อนเดย เปอเชย อาหรบและอเมรกน

2

ซอมบในสมยใหมจะมลกษณะคลายโรคระบาดนนเอง มแนวคดเกยวกบการเกดกมมนตภาพรงสหรอเปนเชอโรคทเกดขน เปนการด าเนนการหรอการเปลยนแปลงทางดานพนธกรรม จนกลายเปนการกลายพนธทมผลจนท าใหเกดความผดปกต

และในทสด กลายเปน “ซอมบ” โดยซอมบในสมยใหมนน เปนทเขาใจกนอยบนเรองราวทแสดงใหเหนในภาพยนตและเกมสตางๆ [1,5]

ลกษณะของซอมบจะเปนลกษณะของคนทตายไปแลว กลบมาเดนเหนและกนซากศพและแสดงออกโดยค าสงของผทมอ านาจวเศษ จะไดยนเสยงหรอรบรค าสงแตจะปราศจากความทรงจ าใดๆ โดยไมรจกความเจบปวดหรอความกลว ซอมบกลมแฟรงคเกนสไตล หรอซอมบกลม ทเกดจากการทดลองจากไวรสปรสตจะมลกษณะการเคลอนไหวทเชองชาเพราะเหตทวาเปนผทตายแลวเลอดจงมการแขงตวจงท าใหเคลอนไหวล าบากเมอใดทซอมบมการกดกนหรอขวนมนษยกจะกลายเปนซอมบไดเชนเดยวกน โดยซอมบพวกนจะมลกษณะคลายคนแตหนาซด ตวขาวมเลอดชมทงตว นาสยดสยอง แตจะมจดออนทหว เพราะเหตทวาซอมบพวกนจะมเชอไวรสเขาไปควบคมทสมอง(Resident Evil [6]) โดยการตดเชอทเกดขนสามารถท าลายไดโดยการตดหวหรอท าลายสมอง ของซอมบ ซอมบกจะกลายเปนศพอกครง

1.2 วตถประสงคของโครงงาน 1) เพอศกษาแบบจ าลองของซอมบ 2) เพอศกษาจดสมดลของแบบจ าลองในเชงตวเลขของแบบจ าลอง 3) เพอสามารถน าทฤษฎตางๆมาประยกตใชในการแกปญหาการวเคราะหแบบจ าลองของซอมบ

1.3 ประโยชนทไดรบ 1) ศกษาแบบจ าลองของซอมบ - รปแบบและลกษณะของการพฒนาการของซอมบ - ผลกระทบและปญหาทเกดขน 2) ขอจ ากดของการวเคราะหแบบจ าลอง - สามารถศกษาสภาพของการมอยของประชากรเรมแรกโดยการเกดมขนาดคงท - ระบบหรอบรรยากาศของธรรมชาตทมผลตอแบบจ าลองซอมบทมลกษณะคงท

3

3) ศกษาและวเคราะหแบบจ าลองเชงคณตศาสตรของแบบจ าลองซอมบ - อธบายความหมายและการสรางตวแบบของซอมบรวมถงการท านายสภาพของซอมบทเปนไปได ในอนาคต - วเคราะหแบบจ าลองเพอหาเงอนไขทมผลตอแบบจ าลองของซอมบ พรอมทงอธบายผลทไดโดยขนตอนการวเคราะหบางสวนจ าเปนตองใชโปรแกรมส าเรจรปทางคณตศาสตรชวย

1.4 ขอบเขตของโครงงาน 1) หาจดสมดลของแบบจ าลองโรคตดตอแบบ SZR แบบจ าลองโรคตดตอแบบ SIZR และแบบจ าลองในการรกษา 2) ใชวธการทางออยเลอร แกปญหาสมการเชงอนพนธอนดบหนง 3) ใชโปรแกรม Matlab ชวยในการวเคราะหแบบจ าลองทเกดขน

4

บทท 2 ความรพนฐานและทฤษฎทเกยวของ

2.1 แบบจ าลองทางคณตศาสตรของโรคตดตอแบบ ( SIR ) [7] 2.1.1 บทน า

ในป 1927 1927, W. O. Kermack และ A. G. McKendrick สรางแบบจ าลองของประชากร ทไมมการเปลยนแปลง จากการพจารณาพบวาประชากรสามารถแบงออกไดเปน 3 กลม ดงน 1. กลมเสยง (susceptible:S) คอ ประชากรทเสยงตอการตดเชอ 2. กลมตดเชอ (infected:I) คอ ประชากรทตดเชอ 3. กลมทถกคดออก (recovered:R) คอ ประชากรทตายไปหรอหายจากการตดเชอ แบบจ าลอง SIR จะใชส าหรบอธบายการแพรกระจายของโรคระบาดในประชากรแบบจ าลองนเปนแบบจ าลองอยางงาย ซงเปนแบบจ าลองส าหรบโรคระบาด เชนโรคหด โรคคางทม โรคหดเยอรมน ซงผตดเชอจะไมสามารถกลบไปตดเชอไดอกครง 2.1.2 ตวแปร

ประชากรจะมการเปลยนแปลงจากกลมหนงไปยงอกกลมหนงซงขนอยกบเวลา ทผานไป (t) 1. S=S(t) เปนจ านวนประชากรทมความเสยงตอการตดเชอ เมอเวลาผานไป (t) 2. I=I(t) เปนจ านวนประชากรทตดเชอ เมอเวลาผานไป (t) 3. R=R(t) เปนจ านวนประชากรทตายไปหรอหายจากการตดเชอ เมอเวลาผานไป (t)

Susceptible Infected Recovered

5

dSSI

dt

dISI I

dt

dRI

dt

S SI

I SI I

Z I

จ านวนประชากรทงหมดในแบบจ าลองแทนดวย N (100% ของประชากร) เปนคาคงท นนคอ

2.1.3 ความเปนมา

ก าหนดให เปนอตราสวนของประชากรทตดเชอซงโอกาสการตดเชอเพมขน จะขนอยกบความเสยงตอการตดเชอ และให เปนอตราสวนของประชากรทตายไปหรอหายจากการตดเชอ เมอ

หรอ

แบบจ าลอง SIR น เปนแบบจ าลองท ไมเปนเชงเสน เราจะแกระบบสมการ โดยก าหนดให และ เปนคาคงท และเพอใหการแกระบบสมการงายขน จะแทนคาตอไปน

โดย ก าหนดให

ดงนน

' ' ' 0S Z R

1

2

3

S u

I u

Z u

1

2

3

S u

I u

Z u

6

จะไดวา นนคอ

2.1.4 กราฟ จากแบบจ าลอง SIR เมอก าหนด 1 คาเรมตน 5, 0.01S t I t และ 0 0R ผลลพธทไดจากแบบจ าลอง สามารถอธบายไดวา เมอประชากรทมความเสยง ตอการตดเชอ(S) ลดลง ประชากรทตดเชอ(I) เพมขนจนถงจดหนงและกจะลดลง ในขณะเดยวกนประชากรทตายไปหรอหายจากการตดเชอ(R) กจะเพมขนสามารถแสดงไดดง ภาพท 2-1

ภาพท 2-1 ผลลพททไดจากแบบจ าลอง SIR

1 1 2

2 1 2 2

3 2

u u u

u u u u

u u

11 2

2 1 2 2

23

u u u

u u u u u

uu

7

2.2 วธการทางออยเลอร [8] ระบบสมการทไมเชงเสนเปนระบบสมการทจะหาค าตอบไดยงยากกวาแบบเชงเสนมากอกและในบางครงไมไดค าตอบจรง ระเบยบวธการทสามารถหาค าตอบไดสวนมากเปนวธการประมาณคาซงมหลายวธและวธหนงทจะน าเสนอคอวธการออยเลอร ใน ค.ศ. 1768 ออยเลอรไดพฒนาวธการศกษาปญหาคาขอบโดยใชวธการเชงตวเลขในการแกไขปญหาคาขอบประกอบกบวธการประยกตทางคอมพวเตอรโดยใชหลกแนวคดพนฐานในค าจ ากดความเบองตนของสมการเชงอนพนธ วธออยเลอรเปนวธทงายสดในการแกปญหาสมการเชงอนพนธอนดบหนง เมอก าหนด 1 1y x y ซงหลกการของวธการออยเลอรคอการน าคาจากจดเรมตน ,i ix y มาประมาณคาจดถดไป หรอการประมาณคา yในขอมลถดไปเรยกวา การหาค าตอบเชงตวเลข (Numerical Solution) ซงมสตรการค านวณ ดงน การหาค าตอบทแทจรง (Exact Solution) คอการหาค าตอบโดยน าสมการทโจทยก าหนดใหคอการน า y มาอนทเกรทเพอใหได y แลวน ามาหาค าตอบถดไปในทนคอการหาค าตอบทแทจรงขอมลถดไป h คอระยะหางในการประมาณคาจะพบวา h ทมคานอยจะท าใหค าตอบเชงตวเลข (Numerical Solution) มคาเขาใกลกบค าตอบทแทจรง (Exact Solution) ท าใหคาความจรงทไดจากการค านวณมคาความผดพลาดนอย คาคลาดเคลอน

1

1

,

i

i ii i

x x i i

y ydyf x y

dx x x

2.2.2

1i ix x h

1 ,i i i iy y f x y h

2.2.3

2.2.1

2.2.4 i iError y numerical y exact

1 1,i ix y

8

โดยตวอยางตอไปน จะแสดงการหาคาประมาณโดยวธออยเลอรในการหาค าตอบในสมการเชงอนพนธอนดบหนง เพอเปนการแสดงใหเหนในขนตอนวธการท าและการประมวลผลทางคอมพวเตอร ตวอยาง การแกปญหาสมการเชงอนพนธอนดบหนง ดวยวธการทางออยเลอร ขณะท 0x ถง 2.5x และ 3y ท 0x โดยทค าตอบทแทจรงของสมการเชงอนพนธ

แกปญหาโดยการคดมอใช 0.5h วธท า โดย สมการ 2.2.1 และสมการ 2.2.2 โดย สมการ 2.2.5 และสมการ 2.2.6 และใช ขนท 1 ท 1i 2 1 1 0.5 0 0.5 0.5x x h x

10.3 00.3

2 1 1

2

1.2 7 0.5 3 1.2 3 7 0.5

4.7

xy y y e e

y

∴ จดท 2 คอ 0.5,4.7 ขนท 2 ท 2i 3 2 0.5 0.5 0.5 1x x

20.3 0.50.3

3 2 2

3

1.2 7 0.5 4.7 1.2 4.7 7 0.5

4.893

xy y y e e

y

∴ จดท 3 คอ 1,4.893 ขนท 3 ท 3i 4 3 3 0.5 1.0 0.5 1.5x x h x

3 0.3 1.00.3

4 3 3

4

1.2 7 0.5 4.893 1.2 4.893 7 0.5

4.550

xy y y e e

y

∴ จดท 4 คอ 1.5,4.550

1 0.5i i ix x h x

0.3

1 , 1.2 7 (0.5)ix

i i i i i iy y f x y h y y e

2.2.6

2.2.5

0.3 1.270 40

9 9

x xy e e คอ

0.31.2 7 xdyy e

dx

1,2,3,4,5i

9

ขนท 4 ท 4i 5 4 4 0.5 1.5 0.5 2.0x x h x

40.3 1.50.3

5 4 4

5

1.2 7 0.5 4.550 1.2 4.550 7 0.5

4.052

xy y y e e

y

∴ จดท 5 คอ 2.0,4.052 ขนท 5 ท 5i 6 5 5 0.5 2.0 0.5 2.5x x h x

5 0.3 2.50.3

6 5 5

2

1.2 7 0.5 4.052 1.2 4.052 7 0.5

3.542

xy y y e e

y

∴ จดท 6 คอ 2.5,3.542 หาค าตอบทแทจรงของสมการเชงอนพนธไดดงน จากสมการ 2.2.5 และ 2.2.7 และใช ขนท 1 ท 1i 2 1 1 0.5 0 0.5 0.5x x h x

2 20.3 1.2 0.3(0.5) 1.2(0.5)

2

2

70 43 70 43

9 9 9 9

4.072

x xy e e e e

y

∴ จดท 2 คอ 0.5,4.072 ขนท 2 ท 2i 3 2 2 0.5 0.5 0.5 1.0x x h x

3 30.3 1.2 0.3(1.0) 1.2(1.0)

3

3

70 43 70 43

9 9 9 9

4.323

x xy e e e e

y

∴ จดท 3 คอ 1.0,4.323

1,2,3,4,5i

0.3 1.270 43

9 9i ix x

iy e e

1 0.5i i ix x h x 2.2.5

2.2.7

10

ขนท 3 ท 3i 3 3 3 0.5 1.0 0.5 1.5x x h x

4 40.3 1.2 0.3(1.5) 1.2(1.5)

4

4

70 43 70 43

9 9 9 9

4.170

x xy e e e e

y

∴ จดท 4 คอ 1.5,4.170 ขนท 4 ท 4i 5 4 4 0.5 1.5 0.5 2.0x x h x

5 50.3 1.2 0.3(2.0) 1.2(2.0)

5

5

70 43 70 43

9 9 9 9

3.835

x xy e e e e

y

∴ จดท 5 คอ 2.0,3.835 ขนท 5 ท 5i 6 5 5 0.5 2.0 0.5 2.5x x h x

6 60.3 1.2 0.3(2.5) 1.2(2.5)

6

6

70 43 70 43

9 9 9 9

3.436

x xy e e e e

y

∴ จดท 6 คอ 2.5,3.436 ผลลพธทไดจากการแกสมการเชงอนพนธขนตน สามารถแสดงไดดงน

i 0 1 2 3 4 5

ix 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 ( )iy numerical 3.0 4.70 4.893 4.55 4.052 3.542

( )iy exact 3.0 4.072 4.323 4.170 3.835 3.436 Error 0.0 0.6277 0.5696 0.3803 0.2165 0.1054

11

บทท 3 วธการและผลการด าเนนงาน

จากการศกษาแบบจ าลองการตดเชอ SIR และการด าเนนการบนพนฐานวธการ

แกปญหาของออยเลอร ในโครงงานนจะมการใชกระบวนการพจารณาเงอนไขรปแบบตางๆ โดยไดมการอธบายการวเคราะหหาจดสมดล การวเคราะหความเปนไปได ทจะเกดขนในอนาคต รวมถงการสรปผลและแสดงผลออกมาในรปแบบกราฟแบบจ าลองทศกษาในโครงงานน คอ

3.1 วเคราะหแบบจ าลองโรคตดตอแบบ SZR เปนการศกษาแบบจ าลองทมกลมเสยง กลมซอมบ และกลมการตาย

3.2 วเคราะหแบบจ าลองโรคตดตอแบบ SIZR เปนการศกษาแบบจ าลองทมกลมเสยง กลมการตดเชอ กลมซอมบ และกลมการตาย

3.3 วเคราะหแบบจ าลองในการรกษา เปนการศกษาลกษณะของกลม SIZR โดยมการเพมหลกการโดยการรกษา ซงมการแสดงผลหรอค านวณ และวเคราะหความเปนทจะเกดขน

3.4 วเคราะหแบบจ าลองในการก าจด เปนการศกษาลกษณะของกลม SIZR โดยมการ เพมหลกการโดยการก าจดทเกดขน โดยมการเสนอหลกการก าจดและรปแบบการก าจดทเกดขน

12

R Z S

3.1 แบบจ าลองขนพนฐาน (SZR)

แบบจ าลองขนพนฐาน(SZR) พจารณา 3 กลม กลมท 1 กลมเสยง (S) กลมท 2 กลมซอมบ (Z) กลมท 3 กลมการตาย(R) แบบจ าลองขนพนฐาน(SZR) พจารณาการกลายเปนซอมบ 2 แบบ ไดแก แบบการฟนคนชพจากกลมการตายและแบบการเปนซอมบจากกลมเสยง ซงสามารถแสดงเปนแบบจ าลองไดดงน

ภาพท 3-1 แบบจ าลองขนพนฐาน (SZR) โดยแตละกลมจะมพารามเตอรซงเปนคาคงทควบคมการเปลยนแปลง ดงน คออตราการเกด

คออตราการตดเชอซอมบ คออตราการตายของกลมซอมบ คออตราการตายของกลมเสยง คออตราซอมบทถกท าลาย

ดงนน สมการการเปลยนแปลงขนพนฐานทง 3 กลม คอ นคอแบบจ าลองทแสดงในภาพท 3-1

S

SZSZ

R

'

'

'

S SZ S

Z SZ R SZ

R S SZ R

3.1.1

13

การตดเชอของซอมบเราจะใชแบบจ าลอง (SIR) เปนพนฐานในการสรางแบบจ าลองซงแบบจ าลองการตดเชอของซอมบจะมลกษณะทซบซอนมากขนเลกนอยในดานความแตก ตางของตวแปรในการอภบายลกษณะการตดเชอและเปนสมการทไมเชงเสนเพราะใน บางเทอมของสมการมสองตวแปร โดยในเทอมของสมการทมสองตวแปรนจะสามารถวเคราะหความนาจะเปนทเกดขน พจารณากระบวนการตดเชอในกลมบคคลทมโอกาสกลายเปนซอมบ โดยให N แทนประชากรทไมตดเชอ (สามารถอธบายไดวา N S เนองจากประชากรสามารถเปนกลมเสยงและกลมเสยงทเกดขนจะตองมจ านวนทนอยกวาหรอเทากบประชากรเทานน) ดงนน N แทนการตดเชอของประชากรทเกดขนไดทงหมด ฉะนน S N คอความนาจะเปนของกลมเสยงทเกดขนในประชากรทงหมด เทากบ 1 พจารณาโอกาสเสยงทมผลตอการท าลายซอมบ โดยให N แทนประชากรทไมตดเชอ (สามารถอธบายไดวา N Z เนองจากประชากรสามารถเปนกลมเสยงไดทงหมดและกลมเสยงทเกดขนจะตองมจ านวนทนอยกวาหรอเทากบประชากรเทานน) ดงนน N แทนการตายหรอการโดนท าลายของประชากรทเกดขนไดทงหมด ฉะนน Z N คอความนาจะเปนทของซอมบทเกดขนในประชากรทงหมดเทากบ 1 พจารณาการระบาดระยะเวลานาน ให 0 ขณะท t

' ' 'S Z R SZ S SZ R SZ S SZ R เพรำะฉะนน

' ' 'S Z R

S Z R

N S N Z SZ

N Z N S SZ

14

สรปไดวา เมอใชระยะเวลานานกลมเสยงจะไมเพมขนตามระยะเวลาตรงกนขามกลม ซอมบและกลมการตายจะเพมขนตามระยะเวลา

พจารณาการระบาดในระยะเวลาอนสน ดงนนจะไมสนใจอตราการเกดและอตราการตาย ก าหนดให 0 จากสมการการเปลยนแปลงขนพนฐานทง 3 กลม จาก แทนคา สมการดวย 0 จะได

วเคราะหหาจดสมดล โดยก าหนดให 0S Z R จะได

พจารณา สมการ (3.1.3) จะไดวา 0S หรอ 0Z ในกรณท 0Z แทน 0Z ในสมการ (3.1.4)

จะได 0R เพราะ เปนคาคงท แทน 0Z และ 0R ในสมการ (3.1.5)

0SZ R จะได ดงนนจากในกรณท 0Z จะได S N จะไดระบบสมการทแสดงจดสมดลของสภาวะทปลอดโรค , , ,0,0S Z R N

0

0

0

SZ

SZ R SZ

SZ R

'

'

S SZ

Z SZ R SZ

R SZ R

0SZ R SZ

0 0

0SZ

3.1.2

3.1.1

3.1.3

3.1.4

3.1.5

15

ในกรณท 0S แทน ในสมการ (3.1.4)

จะได 0R เพราะ เปนคาคงท แทน และ ในสมการ (3.1.5)

0SZ R จะได ดงนนจากในกรณท 0S จะได Z Z จะไดระบบสมการทแสดงจดสมดลของเมองทมแตซอมบ , , 0, ,0S Z R Z เราใชระเบยบวธการออยเลอรแกปญหาสมการเชงอนพนธ โดยการเขยนโปรแกรม Matlab และก าหนดคาคงท 0.005, 0.0095, 0.0001 และ 0.0001 ผลทไดแสดงดงภาพท 3-2 และภาพท 3-3 ซงภาพท 3-2 แสดงถงซอมบทไมมการระบาด จ านวนของกลมเสยงเรมตนทแสดงในเสนสน าเงนจะมคาเทากบจ านวนของประชากรทงหมดตลอดชวงระยะเวลา t ในทางกลบกนการระบาดของซอมบทแสดงในเสนสแดงซงมคาเทากบ 0 คอไมเกดขนตลอดระยะเวลา t เชนกน ภาพท 3-3 แสดงถงการระบาดของซอมบ จะเหนไดวาเมอระยะเวลาผานไปจ านวนกลมเสยงมการลดลงในทางกลบกนกลมซอมบและกลมการตายมการเพมจ านวนขนซงผลรวมของกลมเสยงและกลมการตายจะมคาเทากบจ านวนของกลมเสยงทงหมด

0SZ R SZ

0 0

0S

0S 0R

16

ภาพท 3-2 แบบจ าลอง SZR เมอไมมการตดเชอของซอมบ

17

ภาพท 3-3 แบบจ าลอง SZR เมอมการระบาดของซอมบ

18

S

3.2 รปแบบการตดเชอแฝง (SIZR) รปแบบการตดเชอแฝงมระยะเวลาประมาณ 24 ชวโมง หลงจากทมนษยเกดความออนแอ

ท าใหถกซอมบกดจนกระทงกลายเปนซอมบ [1] ในรปแบบจ าลองนไดมการขยายแบบจ าลองขนพนฐานโดยรวมทเปนไปไดในการตดเชอกอนทจะกลายเปนซอมบ ซงจะพบเหนบอยวานเปนวฒนธรรมของซอมบ [2,6,10] ตวอยางแบบจ าลอง

ภาพท 3-4 แบบจ าลองการตดเชอแฝงของซอมบ (SIZR)

ดงนน ระบบสมการการเปลยนแปลง ODE’s คอ

พจารณาการระบาดในชวงเวลาสน โดยก าหนดให 0 จะได

I Z R SZ pI R

SZ

S

I

S SZ S

I SZ I I

Z I R SZ

R S I SZ R

0

0

0

0

SZ

SZ I

I R SZ

SZ R

(3.2.1)

(7)

(3.2.2) (3.2.3) (3.2.4) (3.2.5)

19

พจารณา สมการ (3.2.2) จะได 0S หรอ 0Z

ในกรณท 0Z แทน 0Z ในสมการ (3.2.3)

จะได 0I เพราะ เปนคาคงท แทน 0Z และ 0I ในสมการ (3.2.4)

จะได 0R เพราะ เปนคาคงท แทน 0Z และ 0R ในสมการ (3.2.5) จะได ดงนนจากในกรณท 0Z จะได S N

ในกรณท 0S แทน 0S ในสมการ (3.2.3)

จะได 0I เพราะ เปนคาคงท

0SZ I

0SZ

0I R SZ

0SZ R

0 0

0SZ I

20

แทน 0S และ 0I ในสมการ (3.2.4)

จะได 0R เพราะ เปนคาคงท แทน 0S และ 0R ในสมการ (3.2.5) จะได ดงนนจากในกรณท 0S จะได Z Z เมอ Z=0 หรอ S=0 จะจดสมดลของรปแบบจ าลอง SIZR ดงน เราใชระเบยบวธการออยเลอรแกปญหาสมการเชงอนพนธ โดยการเขยนโปรแกรม Matlab และก าหนดคาคงท 0.005, 0.0095, 0.0001 , 0.0001, 0.005 ผลทได แสดงวา เมอระยะเวลาผานไปจ านวนประชากรจะลดลง ในขณะทจ านวนซอมบกจะเพมขน และประชากรสวนหนงจะตายไปแสดงดงภาพท 3-5

0I R SZ

0SZ R

0 0

0 , , , 0,0, ,0S S I Z R Z

0 , , , ,0,0,0Z S I Z R N

21

ภาพท 3-5 การตดเชอแฝงของแบบจ าลอง SIZR

22

S

3.3 แบบจ าลองของการรกษา

จากการคาดการณโรค zombie – ism สามารถรกษาได ซงอาจจะท าใหซอมบกลบมา เปนมนษยไดอกครงและเมอเปนมนษยแลวกสามารถกลบไปเปนซอมบไดอก ดงนนการรกษานจงไมเปนการสรางภมคมกนโรคซอมบ สงทตองพจารณา ไดแก - ขณะใหการรกษาไมจ าเปนตองกกกนไว

- หลงจากการรกษาซอมบจะกลบไปเปนมนษยดงเดม โดยลมวาเคยเปนซอมบ

- การรกษาไมเปนการใหภมคมกนจงท าใหมนษยกลายเปนซอมบไดอก ดงนน จงใหสมการแบบจ าลองของการรกษาไวดงน

ตวอยางแบบจ าลอง

ภาพท 3-6 แบบจ าลองของการรกษา

I Z R SZ pI R

I

S

SZ

cZ

'

'

'

S SZ S cZ

I SZ I I

Z I R SZ cZ

R S I SZ R

(3.3.1)

23

แลวจะหาจดสมดลของระบบสมการเชงอนพนธ โดยการก าหนดให ซงจะไดรบระบบสมการใหม ดงน

ก าหนดให เมอ เราจะไดจดสมดลของสภาวะทปลอดโรค ดงตอไปน

พจารณา สมการ (3.3.3)

ในกรณ

แทน สมการ (3.3.4)

แทน 0Z และ 0I สมการ (3.3.5)

0

0Z

0S I Z R

0

0

0

0

SZ S cZ

SZ pI I

pI R SZ cZ

S I SZ R

0

0

0

0

SZ cZ

SZ I

I R SZ cZ

SZ R

0

0

0

SZ cZ

Z S c

S c

cS

0

0

0

SZ I

I

0

0

R

R

(3.3.2)

(3.3.3) (3.3.4) (3.3.5) (3.3.6)

0Z หรอ

0Z

0Z

24

, , , ,0,0,0S I Z R N

แทน 0Z และ 0R สมการ (3.3.6)

จากระบบสมการจะไดจดสมดลทแสดงสภาวะทปลอดโรค ดงน

ในกรณ

แทน cS

สมการ (3.3.4)

แทน cS

และ cZ

I

สมการ (3.3.5)

0 SZ I

I SZ

SZI

cZI

cZI

0

0

0

I R SZ cZ

cZ cZR cZ

cZR

RZ

c

(3.3.7)

0

0

SZ R

SZ

S N

25

แทน cS

ในสมการ (3.3.6)

น า (3.3.8) แทนใน (3.3.7)

ดงนน จดสมดลทแสดงถงการรกษา คอ

ผลลพธทไดจะแสดงใน ภาพท 3-7 ในกรณนมนษยจะไมถกก าจดใหหมดไป เพยงแตมจ านวนนอยลง

เราใชระเบยบวธการออยเลอรแกปญหาสมการเชงอนพนธ โดยการเขยนโปรแกรม Matlab และก าหนดคาคงท 0.005, 0.0095, 0.0001 , 0.0001 , 0.005 , 0.00035c ผลทได แสดงวา เมอระยะเวลาผานไปจ านวนประชากรจะลดลงแตยงไมหมดไป ในขณะทจ านวนซอมบกจะเพมขนและจ านวนประชากรทตายไปจะมจ านวนมากขนแสดงดง ภาพท 3-7

, , , , , ,c c c

S I Z R Z Z Z

0

0

SZ R

cZR

cZR

(3.3.8)

cZ

Zc

Z Z

26

ภาพท 3-7 กราฟแสดงแบบจ าลองการรกษา

27

บทท 4

สรปและขอเสนอแนะ

4.1 สรปผลการด าเนนงาน

ในการศกษาโครงงานนเปนการศกษาแบบจ าลองทางคณตศาสตรของการระบาดของการ

ตดเชอซอมบทมอตราการเกดและอตราการตายเขามาเกยวของ โดยพจารณาหาจดสมดลและ

อธบายค าตอบของแบบจ าลองโดยใชวธการของออยเลอร นอกจากนยงไดใชโปรแกรม MATAB

มาชวยใหการวเคราะหค าตอบและแสดงผลโดยการวาดกราฟ

4.2 ขอเสนอแนะ

การศกษาแบบจ าลองทางคณตศาสตรของการระบาดของการตดเชอซอมบ มการค านวณ

และวเคราะหพฤตกรรมของค าตอบ ดงนนผศกษาจะตองมพนฐานความรทางคณตศาสตรมาก

พอสมควรและแบบจ าลองทางคณตศาสตรนควรใชโปรแกรมส าเรจรปทางคณตศาสตร MATAB

เพอชวยใหการค านวณมความแมนย าและรวดเรวมากขน และสามารถแสดงกราฟเพอวเคราะห

พฤตกรรมของค าตอบและหากผศกษาสามารถพฒนาโปรแกรมใหมประสทธภาพมากขน กจะชวย

ในการค านวณและการวเคราะหไดอยางสมบรณและมประสทธภาพมากขน

แบบจ าลองทางคณตศาสตรของโรคระบาดซอมบน ผศกษาสามารถน าแนวทางในการ

พฒนาแบบจ าลองใหเหมาะสมกบโรคระบาดทเกดขนกบสถานการณจรงปจจบน

28

บรรณานกรม [1] Brooks, Max, 2003 The Zombie Survival Guide - Complete Protection from the Living Dead, Three Rivers Press, pp. 2-23. [2] Romero, George A. (writer, director), 1968 Night of the Living Dead. [3] Davis, Wade, 1988 Passage of Darkness - The Ethnobiology of the Haitian Zombie, Simon and Schuster pp. 14, 60-62. [4] Davis, Wade, 1985 The Serpent and the Rainbow, Simon and Schuster pp. 17-20, 24,32. [5] Williams, Tony, 2003 Knight of the Living Dead - The Cinema of George A. Romero, Wallflower Press pp.12-14. [6] Capcom, Shinji Mikami (creator), 1996-2007 Resident Evil. [7]Brauer, F. Compartmental Models in Epidemiology. In: Brauer, F., van den Driessche, P., Wu, J. (eds). Mathematical Epidemiology. Springer Berlin 2008. [8] Joseph Hayton. “Euler’s Explicit Method” Numerical Methods for Engineers and Scientists : An Introduction with Application Using MATLAB. p.312-322, 2008 [9] รศ. ดร.ชนศกด บายเทยง รศ. ศรบตร แววเจรญ. คณตศาสตร วศวกรรมและวทยาศาสตร เมตรกซ พชคณตเชงเสน และการประยกต (ซรย8) ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตรประยกต สถาบนเทคโนโลยพระจอมเกลาพระนครเหนอ, 2546. [10] Capcom, Keiji Inafune (creator), 2006 Dead Rising.

29

ภาคผนวก

30

โปรแกรม MATLAB ส าหรบแบบจ าลอง SZR N = 500; %N is the population a = 0.005; ze = 0.0001; l = 0.005; T = 5; dt = 0.0095; n = T/dt; t = zeros(1,n+1); s = zeros(1,n+1); z = zeros(1,n+1); r = zeros(1,n+1); s(1) = N; z(1) = 0; r(1) = 0; t = 0:dt:T; for i = 1:n s(i+1) = s(i) + dt*(-b*s(i)*z(i)+d*z(i)); z(i+1) = z(i) + dt*((-a)*s(i)*z(i))+ ze*r(i)+(l*In(i)-d*z(i));%- dt*z(i); r(i+1) = r(i) + dt*(a*s(i)*z(i)+ dt*s(i) - ze*r(i)); end hold on plot(t,s,'b'); plot(t,z,'r'); legend('Suscepties','Zombies'); xlabel('T(day)'); ylabel('N(population)');

31

โปรแกรม MATLAB ส าหรบแบบจ าลองการตดเชอแฝง SIZR

N = 500; %N is the population a = 0.005; ze = 0.0001; l = 0.005; Ti = 10; b = 0.0095; dt = 0.0001; n = Ti/dt; t = zeros(1,n+1); In =zeros(1,n+1); s = zeros(1,n+1); z = zeros(1,n+1); r = zeros(1,n+1); s(1) = N; z(1) = 0; r(1) = 0; t = 0:dt:Ti; for i = 1:n s(i+1) = s(i) + dt*(-b*s(i)*z(i)); In(i+1) =In(i)+ dt*(b*s(i)*z(i))-(l*In(i)); z(i+1) = z(i) + dt*((-a)*s(i)*z(i))+ ze*r(i)+(l*In(i))- dt*z(i); r(i+1) = r(i) + dt*(a*s(i)*z(i)+ dt*s(i) - ze*r(i)); end

32

hold on plot(t,s,'b');plot(t,In,'y') plot(t,z,'r');plot(t,r,'g'); legend('Suscepties','Infection','Zombies','Remove') xlabel('T(day)'); ylabel('N(population)');

33

โปรแกรม MATAB ส าหรบแบบจ าลองการรกษา SIZR

N = 500; %N is the population a = 0.005; ze = 0.0001; l = 0.005; d=0.00035; Ti = 15; b = 0.0095; dt = 0.0001; n = Ti/dt; t = zeros(1,n+1); In =zeros(1,n+1); s = zeros(1,n+1); z = zeros(1,n+1); r = zeros(1,n+1); s(1) = N; z(1) = 0; r(1) = 0; t = 0:dt:Ti; for i = 1:n s(i+1) = s(i) + dt*(-b*s(i)*z(i)+d*z(i)); In(i+1) =In(i)+ dt*(b*s(i)*z(i))-(l*In(i)); z(i+1) = z(i) + dt*((-a)*s(i)*z(i))+ ze*r(i)+(l*In(i)-d*z(i));%- dt*z(i); r(i+1) = r(i) + dt*(a*s(i)*z(i)+ dt*s(i) - ze*r(i)); end

34

hold on plot(t,s,'b');plot(t,In,'y') plot(t,z,'r');plot(t,r,'g'); legend('Suscepties','Zombies','Remove','Infection') xlabel('T(day)'); ylabel('N(population)');