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Hochschule Heilbronn WS 2010/2011 Dr. U. Fink
Mathematik 3 ASE
Inhalt I) Funktionen mehrerer Veränderlicher 1. Veranschaulichung und Beispiele 2. Partielle Ableitungen und Gradientenvektor 3. Tangentialebene und totales Differential 4. Extremwerte bei Funktionen von 2 Veränderlichen, Hesse-Matrix II) Fourier-Reihen und Fourier-Transformation 1. Fourier-Reihen in reeller und komplexer Schreibweise 2. Beispiele von Fourier-Reihen 3. Übergang zur Fourier-Transformation (für aperiodische Funktionen) 4. Beispiele, Eigenschaften und Regeln III) Laplace-Transformation 1. Definition und Beispiele 2. Eigenschaften und Regeln IV) z-Transformation 1. Definition, Zusammenhang mit Laplace 2. Beispiele 3. Eigenschaften und Regeln (Linearität, Dämpfung, Verschiebung, Differentiation, Faltung) 4. Rücktransformation 5. Anwendungen V) Systeme von Differentialgleichungen Lineare Bauart xAx r&r ⋅= (homogen) oder uxAx rr&r +⋅= (inhomogen) Verschiedene Lösungsverfahren a) klassische Methode b) mittels Laplace-Transformation c) unter Verwendung der Matrix Ate Anhang: Musterklausur
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Kapitel I: Funktionen mehrerer Veränderlicher
Zeltdächer im Olympiapark München
Viele Größen in Natur und Technik hängen gleichzeitig von mehreren Variablen ab, z. B. ist die Stromstärke I im Stromkreis eine Funktion von Spannung U und Widerstand R
gemäß RUI = , oder die Zentrifugalkraft Z bei gleichförmiger Kreisbewegung ist eine Funktion
von Masse m, Geschwindigkeit v und Radius r gemäß rvmZ 2⋅= .
Wir wollen uns in diesem Kapitel mit solchen Funktionen beschäftigen, insbesondere interessieren uns deren (relative) Maxima und Minima. 1. Veranschaulichung und Beispiele So wie sich eine Funktion einer Variablen durch eine Kurve im xy-Koordinatensystem veranschaulichen lässt, kann eine Funktion von zwei Variablen durch eine Fläche im xyz-(bzw. 321 xxx -)Koordinatensystem veranschaulicht werden. Für Funktionen von mehr als zwei Variablen gibt es keine praktische Veranschaulichung. Daher beschränken wir uns in diesem Abschnitt auf Funktionen der Form z = f(x,y) bzw. )x,x(fy 21= .
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Beispiel 1:
4yx2)y,x(fz +−−== , 2IRD = Einen ersten Eindruck vom Verlauf der Fläche bekommen wir durch die Schnitte mit den Koordinatenebenen.
- Schnitt mit der xy-Ebene (z = 0): 4x2y4yx20 +−=⇔+−−= Die Schnittfigur ist eine Gerade in der xy-Ebene mit Steigung 2− und y-Achsenabschnitt 4. - Analog erhält man die Schnittgebilde mit der xz-Ebene (y = 0) und der yz-Ebene (x = 0) mit den Gleichungen 4x2z +−= und 4yz +−= . Das sogenannte Spurdreieck (Bild 1) dient als gute Veranschaulichung für die Fläche, die natürlich aufgrund der Linearität der Funktionsgleichung eine Ebene im dreidimensionalen Raum darstellt. Allgemein ergibt jede Gleichung der Form z = f(x,y) = IRc,b,amitcbyax ∈++ eine Ebene als Schaubild. Beispiel 2:
{ }4yxIR)y,x(D,yx4)y,x(fz 22222 ≤+∈=−−== Die Definitionsmenge ist hier das Innere eines Kreises um O mit Radius 2. Quadriert man die Funktionsgleichung und ordnet man die Terme, so erhält man
4zyx 222 =++ , und diese Gleichung beschreibt bekanntlich eine Kugelfläche mit Mittelpunkt O und Radius r = 2. Folglich wird durch die gegebene Funktionsgleichung die „obere Halbkugel“ mit M = O und r = 2 beschrieben (Bild 2).
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Beispiel 3:
222 IRD,yx4)y,x(fz =−−==
Der Schnitt mit der xy-Ebene (z = 0) ist hier ein Kreis mit der Gleichung 4yx 22 =+ , ebenso sind alle Schnitte mit Parallelebenen zur xy-Ebene (z = c = const.) Kreise:
c4yxyx4c 2222 −=+⇔−−=
Für c = 4 ergibt sich der Punkt )4/0/0( , für c > 4 ist die Schnittmenge leer. Schneidet man die Fläche mit der xz-Ebene (y = 0), so ergibt sich eine nach unten geöffnete Parabel mit der Gleichung 2x4z −= , ebenso verhält es sich bei jeder Parallelebene zur xz-Ebene (y = c): 22 xc4z −−= . Da x und y in der Funktionsgleichung vertauschbar sind, erhält man als Schnitte mit der yz-Ebene bzw. ihren Parallelebenen (x = c) ebenfalls Parabeln (Gleichung 22 yc4z −−= ). Insbesondere ist die Fläche drehsymmetrisch, da z eine Funktion von 22 yx + und damit vom Abstand des Punktes (x/y) von O ist. Es handelt sich offensichtlich um ein Drehparaboloid (Bild 3). Im nächsten Beispiel untersuchen wir eine Fläche, in deren Gleichung eine der (zwei) Variablen gar nicht vorkommt. Beispiel 4:
22 IRD,x4)y,x(fz =−== y kommt hier nicht vor, ist also beliebig. Die Fläche enthält somit eine Schar von Geraden parallel zur y-Achse. Diese Geraden können gewissermaßen an die Punkte einer Schnittkurve für y = c, hier also an die Punkte einer Parabel, angeheftet werden. Die Fläche ist zylindrisch, im vorliegenden Fall ein parabolischer Zylinder (Bild 4).
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Zum Schluss betrachten wir noch eine besonders interessant aussehende Fläche. Beispiel 5:
2IRD,yxz =⋅= Wieder untersuchen wir die Schnitte mit z = c, die sogenannten „Höhenlinien“.
cyx =⋅ führt für c = 0 auf die x-Achse oder die y-Achse, für 0c ≠ auf Hyperbeln mit den
Gleichungen xcy = .
Die Schnitte parallel zur xz-Ebene oder parallel zur yz-Ebene (y = c oder x =c) sind Geraden mit den Gleichungen xcz ⋅= oder ycz ⋅= . Schließlich ist es noch interessant, die Schnitte mit y = x bzw. xy −= (also senkrecht zur 1. und 2. Winkelhalbierenden in der xy-Ebene) zu untersuchen. Gemäß 2xz = bzw. 2xz −= ergeben sich hierbei eine nach oben und eine nach unten geöffnete Parabel (Bild 5). Die Fläche sieht sattelförmig aus, sie heißt deswegen auch Sattelfläche. Ihr wissenschaftlicher Name ist hyperbolisches Paraboloid (aufgrund des beschriebenen Vorkommens von Hyperbeln und Parabeln).
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2. Partielle Ableitungen und Gradientenvektor Das Steigungsverhalten einer Funktion z = f(x,y) ist natürlich abhängig von der Richtung, in der man den Flächenpunkt ))y,x(f/y/x(P 00000 durchläuft. Als spezielle Richtungen betrachten wir zunächst die Richtungen von x- und y-Achse. Hält man den y-Wert 0yy = fest und verändert den x-Wert 0x um ,xΔ so untersucht man praktisch das Steigungsverhalten der Schnittkurve der zu z = f(x,y) gehörigen Fläche mit der Ebene 0yy = im Punkt ))y,x(f/y/x(P 00000 . Rechnerisch bildet man hierzu wie bei Funktionen einer Variablen den Grenzwert des Differenzenquotienten für ,0x →Δ den man im Fall von mehreren Variablen als partielle Ableitung von f nach x bezeichnet und wie folgt schreibt:
x)y,x(f)y,xx(f
lim)y,x(xf)y,x(f 0000
0x0000x Δ−Δ+
=∂∂
=→Δ
.
Genauso gibt es bei festgehaltenem 0xx = die partielle Ableitung von f nach y, geschrieben
y)y,x(f)yy,x(f
lim)y,x(yf)y,x(f 0000
0y0000y Δ−Δ+
=∂∂
=→Δ
.
Die partiellen Ableitungen fasst man in einem Vektor, dem Gradientenvektor grad f oder f∇ (gelesen „nabla f“) zusammen:
)y,x(f)y,x(fgrad)y,x(f)y,x(f
000000y
00x ∇==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ist der Gradientenvektor (oder kurz: Gradient) von f an der Stelle ).y,x( 00 Anstatt sich auf eine bestimmte Stelle )y,x( 00 zu beziehen, kann man natürlich auch die partiellen Ableitungen als Funktionen von x und y betrachten, in obiger Darstellung fallen dann die im Index angehängten Nullen weg: ).y,x(f),y,x(f yx Bei mehr als zwei Variablen lässt sich das Verfahren entsprechend fortsetzen, es gibt dann z. B. ).x,x,x(f),x,x,x(f),x,x,x(f 321x321x321x 321
Der Gradient einer Funktion von n Variablen ist ein n-dimensionaler Vektor. Rechentechnisch geht man wie beim Ableiten einer Funktion von einer Variablen vor, indem man alle Variablen bis auf eine (diejenige, nach der man ableiten will) als konstant betrachtet. Z. B. lauten die partiellen Ableitungen von x4yxyx3)y,x(f 22 −−+= wie folgt:
.2),(,46),( yxyxfyxyxf yx −=−+= Übung: Gegeben sei 22 yx4)y,x(fz −−== (siehe Beispiel 3). Gesucht sind die Steigungen in x-Richtung und in y-Richtung im Punkt )z/6,0/8,0(P 00 . Lösung: Zunächst kann man die fehlende Koordinate von 0P berechnen: .36,08,04z 22
0 =−−= Dann bildet man allgemein die partiellen Ableitungen:
.y2)y,x(f,x2)y,x(f yx −=−= Die Auswertung an der gegebenen Stelle ergibt
2,16,02)6,0;8,0(f,6,18,02)6,0;8,0(f yx −=⋅−=−=⋅−= .
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Ebenso wie es bei Funktionen einer Variablen auch Ableitungen höherer Ordnung gibt, kann man nun die partiellen Ableitungen (erster Ordnung) einer Funktion von mehreren Variablen weiter ableiten. Man erhält so bei einer Funktion von zwei Veränderlichen x und y die 4 (!) partiellen Ableitungen zweiter Ordnung: .f,f,f,f yyyxxyxx Nach einem Satz von Schwarz müssen allerdings die „gemischten“ Ableitungen yxxy fundf bei vorausgesetzter Stetigkeit identisch sein. In der Schreibweise mit Differentialen stellt man die höheren Ableitungen wie folgt dar:
3
3
xxx2
2
yy
2
xy2
2
xx xff,
yff,
yxff,
xff
∂∂
=∂∂
=∂∂
∂=
∂∂
= usw.
Übung: Bilden Sie die partiellen Ableitungen 1., 2. und 3. Ordnung von ).y2sin(x2)y,x(fz 3 ⋅== Lösung:
)y2cos(x4)y,x(f),y2sin(x6)y,x(f 3y
2x ⋅=⋅=
)y2sin(x8)y,x(f),y,x(f)y2cos(x12)y,x(f),y2sin(x12)y,x(f 3yyyx
2xyxx ⋅−==⋅=⋅=
)y2cos(x16)y,x(f),y,x(f)y,x(f)y2sin(x24)y,x(f
),y,x(f)y,x(f)y2cos(x24)y,x(f),y2sin(12)y,x(f3
yyyyyxyxy2
xyy
yxxxyxxxyxxx
⋅−===⋅−=
==⋅==
Statt ...),y,x(f),y,x(f),y,x(f xxyx hätte man auch kürzer ...,z,z,z xxyx schreiben können! 3. Tangentialebene und totales Differential
So wie zur Approximation einer Kurve y = f(x) in der Nähe eines Punktes 0P die Tangente in
0P herangezogen werden kann, wird man jetzt zur Approximation einer Fläche z = f(x,y) die Tangentialebene in 0P verwenden. Aber wie bekommt man die Gleichung einer solchen Ebene T ? Wir versuchen es mit einem Ansatz:
cybxaz:T ++= , wobei die Koeffizienten a, b und c so zu bestimmen sind, dass gilt
(1) T))y,x(f,y,x(P 00000 ∈ , (2) die Steigungen in x-Richtung müssen bei der Fläche z = f(x,y) und der Ebene T in 0P übereinstimmen und (3) dasselbe muss für die Steigungen in y-Richtung gelten. Rechnerisch ausgewertet bedeutet dies
(1) ,cbyax)y,x(f 0000 ++= woraus folgt 0000 byax)y,x(fc −−= (2) a)y,x(f 00x = (3) b)y,x(f 00y = .
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Hiermit lässt sich nun die Gleichung der Tangentialebene angeben:
000000y00x byax)y,x(fy)y,x(fx)y,x(fz −−+⋅+⋅= bzw. umgeformt
T: )yy()y,x(f)xx()y,x(f)y,x(fz 000y000x00 −⋅+−⋅+= (*). Beispiel:
Es soll die Gleichung der Tangentialebene T an das Drehparaboloid 22 yx4z −−= in )3/6,0/8,0(P0 bestimmt werden.
Die benötigten partiellen Ableitungen wurden schon im vorigen Abschnitt bestimmt: 2,1)6,0;8,0(fund6,1)6,0;8,0(f yx −=−= .
Damit lautet die Gleichung von T: )6,0y(2,1)8,0x(6,13z −−−−= 72,0y2,128,1x6,13 +−+−= also 5zy2,1x6,1.bzwy2,1x6,15z =++−−= . Der Begriff „totales Differential“ dient nun dazu, die schon erwähnte Approximation durch die Tangentialebene genauer zu beschreiben. Schauen wir uns zunächst die Definition an:
dy)y,x(fdx)y,x(f:)y,x(dfdz 00y00x00 ⋅+⋅== (**) ist die Definition des totalen (vollständigen) Differentials von z = f(x,y) an der Stelle ).y,x( 00 Die Differentiale dx und dy der unabhängigen Variablen x und y können dabei bekanntlich mit den Änderungen yundx ΔΔ , hier also mit 00 yyundxx −− gleichgesetzt werden. Vergleicht man dann (**) mit der Gleichung (*) der Tangentialebene, so sieht man: Das totale Differential dz beschreibt den Zuwachs auf der Tangentialebene, wenn sich x um dx und y um dy ändert.
Demzufolge gilt die Näherung: .dzz ≈Δ Beispiel:
Für die Funktion 22 yx4)y,x(fz −−== (Drehparaboloid) und die Ausgangsstelle )6,0;8,0()y,x( 00 = seien die Änderungen 1,0dxx ==Δ und 2,0dyy ==Δ gegeben.
Für die Änderung zΔ des Funktionswerts gilt dann
4,024,016,02,0)2,1(1,06,1dzz −=−−=⋅−+⋅−=≈Δ mit der Formel (**) und den schon zuvor berechneten partiellen Ableitungen. Im vorliegenden Fall kann man die Änderung zΔ natürlich auch exakt leicht berechnen:
.45,0)6,08,04(8,09,04)6,0;8,0(f)2,06,0;1,08,0(fz 2222 −=−−−−−=−++=Δ Bevor wir zum letzten Abschnitt in diesem Kapitel kommen, soll noch eine Ergänzung angebracht werden:
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Bisher wurden für die Steigungsberechnungen nur die speziellen Richtungen der x-Achse und der y-Achse (kurz: x-Richtung und y-Richtung) betrachtet. Wie schon erwähnt kann man aber nach der Steigung in jeder beliebigen Richtung fragen. Ist ar ein Richtungsvektor in der xy-Ebene vom Betrag 1, so lautet die Formel für die
Richtungsableitung von f in Richtung ar : a)y,x(fgrad)y,x(af
0000r
r ⋅=∂∂ .
Der Malpunkt steht dabei für das Skalarprodukt der Vektoren (bzw. für das Matrizenprodukt, wenn grad f als Zeile geschrieben wird). Da ein Skalarprodukt zweier Vektoren über das Produkt ihrer Beträge mal dem Cosinus des eingeschlossenen Winkels α ausgewertet werden kann ( ))cos(babaFormel α⋅⋅=⋅
rrrr und in unserem Fall aund)y,x(fgrad 00r = 1 von vorn-
herein festliegen, kann die Größe der Richtungsableitung nur durch Verändern des Winkels α variiert werden. Sie ist demnach betragsmäßig am größten, wenn 1)cos( ±=α , also
°=α°=α 180oder0 ist, d. h., wenn ar in Richtung von grad f oder entgegengesetzt hierzu
zeigt. Somit gilt der Satz: Der Gradientenvektor gibt die Richtung des stärksten Anstiegs (oder Abfalls) auf der Fläche an. 4. Extremwerte bei Funktionen von zwei Veränderlichen, Hesse-Matrix
Es geht uns in diesem Abschnitt um Stellen ),y,x( 00 an denen relative, d. h. lokale Maxima bzw. Minima vorliegen, wo also bezogen auf eine Umgebung U gilt:
)y,x(f)y,x(f.bzw)y,x(f)y,x(f 0000 ≥≤ für alle (x,y) aus U. Notwendige Bedingung für ein solches Extremum ist sicher die waagrechte Tangentialebene, d. h. 0)y,x(f 00x = und 0)y,x(f 00y = .
Dass dies nicht hinreichend ist, sieht man am Beispiel der Sattelfläche (Beispiel 5), die in O eine waagrechte Tangentialebene, aber kein Extremum hat. Die Situation ist im übrigen vergleichbar mit der bei einer Funktion einer Variablen, wo eine waagrechte Tangente ja auch nicht für die Existenz eines Extremums ausreicht. Wir suchen also nach hinreichenden Bedingungen für relative Extrema. Da es zu umständlich wäre, diese Bedingungen selbst zusammenzubasteln, greifen wir zur Formelsammlung und versuchen anschließend, die gefundenen Formeln zu begründen bzw. verständlich zu machen.
Hinreichende Bedingungen für ein relatives Maximum bzw. Minimum bei :)y,x( 00
Ist ,0)y,x(fgradalso,0)y,x(fund0)y,x(f 0000y00x
r=== und außerdem
0)y,x(f)y,x(f)y,x(f 002xy00yy00xx >−⋅ , so hat f bei )y,x( 00 ein Extremum, und zwar
ein relatives Maximum für 0)y,x(f 00xx < und ein relatives Minimum für .0)y,x(f 00xx > Ist ,0)y,x(f)y,x(f)y,x(f 00
2xy00yy00xx <−⋅ so hat f kein Extremum bei ).y,x( 00
Ist ,0)y,x(f)y,x(f)y,x(f 002xy00yy00xx =−⋅ so sind weitere Untersuchungen nötig.
Der Ausdruck 2xyyyxx fff −⋅ kann natürlich als Determinante einer (2,2)-Matrix geschrieben
werden: Hfff 2xyyyxx =−⋅ mit .
ffff
ffff
Hyyyx
xyxx
yyxy
xyxx
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
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H ist die in der Überschrift genannte Hesse-Matrix. Als Zusammenfassung der vier Ableitungen zweiter Ordnung ersetzt sie die eine Ableitung zweiter Ordnung bei einer Funktion einer Variablen. Verständlich werden die Bedingungen, wenn man die Taylor-Formel für eine Funktion von zwei Veränderlichen kennt. Sie lautet
( )20yy00xy
20xx2
1
000y000x00
)yy()y~,x~(f)yy)(xx()y~,x~(f2)xx()y~,x~(f
)yy()y,x(f)xx()y,x(f)y,x(f)y,x(f
−⋅+−−⋅+−⋅+
+−⋅+−⋅+=
bzw. in vektorieller Schreibweise
( ) ,yyxx
)y~,x~(Hyyxxyyxx
)y,x(fgrad)y,x(f)y,x(f0
0002
1
0
00000 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
⋅⋅−−⋅+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
⋅+=
wobei )y~,x~( eine Zwischenstelle zwischen )y,x( 00 und (x,y) beschreibt.
Der Term q = ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
⋅⋅−−⋅0
0002
1
yyxx
)y~,x~(Hyyxx gibt die Abweichung von der Tangential-
ebene T an (siehe deren Gleichung (*) im vorigen Abschnitt). Ist die notwendige Bedingung für ein Extremum erfüllt, d. h. die Tangentialebene in waagrechter Lage, so hat man sicher dann ein Maximum, wenn q (in einer Umgebung von )y,x( 00 ) negativ ist, und ein Minimum, wenn q positiv ist. Die Erfüllung dieser Bedingungen wird dadurch gewährleistet, dass H „negativ definit“ (für das Maximum) bzw. „positiv definit“ (für das Minimum) ist. Dabei heißt eine quadratische Matrix A negativ (positiv) definit, wenn xAx T rr
⋅⋅ negativ (positiv) ist für 0x
rr≠ .
Jetzt muss man nur noch untersuchen, wie die Elemente einer symmetrischen (2,2)-Matrix beschaffen sein müssen, damit die Matrix negativ bzw. positiv definit ist. Hierzu dient folgende Umformung:
( ) ( ).wurdegesetztvwobei
,yava2vayaxya2xayx
aaaa
yxxAx
yx
22212
211
22212
211
2212
1211T
=
++=++=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=⋅⋅
rr
Der letzte Term ist für 0y ≠ sicher dann nur negativ bzw. positiv, wenn der Ausdruck in der Klammer als Funktion von v eine nach unten bzw. nach oben geöffnete Parabel ohne Nullstellen beschreibt (welche also ganz unterhalb bzw. oberhalb der x-Achse verläuft). Nach der Theorie der quadratischen Gleichungen muss hierzu die Diskriminante
22112
12 aa4)a2(D −= negativ sein (damit keine Nullstellen vorliegen) und es muss 11a negativ (positiv) sein (für die Öffnung der Parabel nach unten bzw. oben). Die Diskriminante lässt sich natürlich noch umschreiben: )aaa(4aa4)a2(D 2211
2122211
212 −=−= ,
und D ist genau dann negativ, wenn 2122211 aaa − positiv ist.
Nun sind wir aber bei unseren hinreichenden Bedingungen von der vorigen Seite angelangt. Denn im Fall der Hesse-Matrix H = A ist xx11
2xyyyxx
2122211 faundfffaaa =−=− .
Schließlich sollen noch Beispiele für die Extremwertbestimmung behandelt werden.
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Beispiel 1: 22 yx4)y,x(fz −−== Die Ableitungen 1. Ordnung kennen wir schon: .y2)y,x(fz,x2)y,x(fz yyxx −==−== Weiter ist .2)y,x(fz,z0)y,x(fz,2)y,x(fz yyyyyxxyxyxxxx −=====−== Notwendige Bedingung für Extremum: .0zz yx == Hieraus folgt x = y = 0. Überprüfen der hinreichenden Bedingungen:
,0)0,0(fund0)2()2()0,0(f)0,0(f)0,0(f)0,0(H xx2
xyyyxx <>−⋅−=−⋅= also hat man ein Maximum bei (0,0), 4zmax = - was man in diesem Fall schon vorher wusste, siehe Bild 3. Beispiel 2: xy3yx)y,x(fz 33 −+== Ableitungen: ,x3y3z,y3x3z 2
y2
x −=−= .y6z,z3z,x6z yyyxxyxx ==−== Notwendige Bedingung für Extremum: .0zz yx == Dies führt auf die Gleichungen
(1) .0x3y3)2(und0y3x3 22 =−=− Gleichung (1) nach y aufgelöst liefert (3) .xy 2= (3) in (2) eingesetzt ergibt ,0)1x(x3.bzw0x3x3 34 =−=− und daraus folgt .1xoder0x 21 == Einsetzen der Ergebnisse in (3) liefert .1y,0y 21 == Überprüfen der hinreichenden Bedingungen für :)0,0()y,x( 11 =
,09)0,0(f)0,0(f)0,0(f)0,0(H 2xyyyxx <−=−⋅= somit hat man kein Extremum bei (0,0);
für :)1,1()y,x( 22 =
,0)3(66)1,1(f)1,1(f)1,1(f)1,1(H 22xyyyxx >−−⋅=−⋅= also hat man ein Extremum bei (1,1),
und da 06)1,1(f xx >= ist, handelt es sich um ein Minimum. Es ist .1zmin −= Das Minimum ist lokal (= relativ), denn für .zgiltyundx −∞→−∞→−∞→ Beispiel 3: 0y,0x),(27yx)y,x(fz y
1x1 ≠≠−−==
Ableitungen: ,xz,yz 22 y27
yx27
x −=+=
.z,z1z,z 33 y54
yyyxxyx54
xx ===−=
Notwendige Bedingung für Extremum: .0zz yx == Man erhält die Gleichungen (1) .0x)2(und0y 22 y
27x27 =−=+ Gleichung (1) nach y aufgelöst ergibt (3) .y 2x
27−=
(3) in (2) eingesetzt: ,0)1(x.bzw0x 27x
27x27 3
2
4=−=− ⋅ und da 0x ≠ gibt es nur die Lösung
,3x = und mit Gleichung (3) ergibt sich hiermit .3y −= Überprüfen der hinreichenden Bedingungen:
,0)3,3(fund01)()()3,3(H xx2754
2754 <−>−−⋅−=− somit hat man ein Maximum bei (3,-3).
Ein weiteres Beispiel, das in der Vorlesung behandelt wurde, ist .ez )yx( 22 +−= Hier hat man ein (sogar absolutes) Maximum bei (0,0).
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Aufgaben zu Funktionen mehrerer Veränderlicher
1) Bilden Sie die angegebenen partiellen Ableitungen:
a) yxyx)y,x(ffürfundf yx ⋅
+=
b) 222tsr tsr)t,s,r(wfürw,w,w ++=
c) yyx xzfürz,z =
d) )y2xln(zfürz,z,z,z,z,z xxyyyxyxxyx += .
2) Berechnen Sie )y,x(fy)y,x(fx yx ⋅+⋅ für yx)y,x(f = .
3) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene an die Fläche x22 e)yx()y,x(f −⋅+= im Punkt P( 0 / 1 / f(0,1)). 4) Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Extrema:
a) 33 yxxy9)y,x(fz −−== mit x>0, y>0 b) xyxz 2 += c) 60y4x27yxz 23 +−−+= mit x>0, y>0. Lösungen
1a) 2y2x y1)y,x(f,
x1)y,x(f −=−=
b) 222t222s222r
tsr
t)t,s,r(w,tsr
s)t,s,r(w,tsr
r)t,s,r(w++
=++
=++
=
c) )xln(xz,xyz yy
1yx ⋅=⋅= −
d)
3xxy2yy2xy2xxyx )y2x(4z,
)y2x(4z,
)y2x(2z,
)y2x(1z,
y2x2z,
y2x1z
+=
+−=
+−=
+−=
+=
+=
2) 0)yx(y
y1x 2 =−⋅+⋅
3) f(0,1) = 1, Tangentialebene T: 1y2xz.bzw)1y(2x1z −+−=−+−= 4a) 2
y2
x y3x9z,x3y9z −=−=
⎩⎨⎧
=−=
⇔⎩⎨⎧
=−=−
⇔=)2(0yx3
)1(xy0y3x90x3y9
0)y,x(gradf 2
231
2
2r
(1) in (2) eingesetzt: 3x0)x3(x0xx30x
3914
91 =⇔=−⋅⇔=−
>
einsetzen in (1) ergibt y = 3. .0)3,3(z,081)18()18()3,3(H xx <>−−⋅−= Somit hat man ein relatives Maximum bei (3,3),
.27zmax = b) kein Extremum ( O ist Sattelpunkt) c) relatives Minimum bei (3,2)
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Kapitel II: Fourier-Reihen und Fourier-Transformation nach Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830), französischer Mathematiker und Physiker
1. Fourier-Reihen in reeller und komplexer Schreibweise Im 2. Semester haben wir Fourier-Reihen zur Darstellung von periodischen Funktionen in folgender Schreibweise kennen gelernt:
(1) ∑∞
=
++=+++=1k
kk0
110 )kxsin(b)kxcos(a
2a
...)xsin(b)xcos(a2
a)x(f
für π2 -periodische Funktionen bzw.
(2) ∑∞
=
π+
π+=+
π+
π+=
1kkk
011
0 )xL
ksin(b)xL
kcos(a2
a...)x
Lsin(b)x
Lcos(a
2a
)x(f
für 2L-periodische Funktionen.
Der erste Summand wird hier mit 2a 0 bezeichnet, damit die Formeln für die Koeffizienten
kk b,a („Fourier-Koeffizienten“) einheitlich aussehen. Diese Formeln lauten
(1*) ...,2,1k,dx)kxsin()x(f1b;...,2,1,0k,dx)kxcos()x(f1a kk =π
==π
= ∫∫π
π−
π
π−
für die Darstellung (1) bzw. (2*)
...,2,1k,dx)xL
ksin()x(fL1b;...,2,1,0k,dx)x
Lkcos()x(f
L1a
L
Lk
L
Lk =
π==
π= ∫∫
−−
für (2).
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Die Integralgrenzen können wegen der Periodizität der Integranden auch verschoben werden:
Statt von ππ− bis bei (1*) könnte von abisa +π+π− mit beliebigem a integriert werden, z. B. von 0 bis .2π Analog kann bei (2*) die Integration von aLbisaL ++− erfolgen, z. B. von 0 bis 2L (= Periodenlänge). Bei bestimmten Symmetrieeigenschaften von f kann sich die Berechnung der Fourier-Koeffizienten vereinfachen: Falls f eine gerade Funktion ist, d. h. falls Achsensymmetrie zur y-Achse vorliegt, lässt sich f in eine reine Kosinusreihe entwickeln, die Koeffizienten kb sind dann alle 0. (Dies würde auch die Rechnung ergeben, da bei geradem f das Produkt aus f und der Sinusfunktion ungerade ist und das Integral einer ungeraden Funktion über ein symmetrisch zu O liegendes Intervall gleich Null ist.) Falls f eine ungerade Funktion ist, d. h. falls Punktsymmetrie zu O vorliegt, lässt sich f in eine reine Sinusreihe entwickeln, die Koeffizienten ka sind dann alle 0. Wir verwenden diese Erkenntnisse bei den Beispielen im nächsten Abschnitt. Da die betrachteten Funktionen f meist zeitabhängig sind, verwendet man auch die Variable t statt x und T (Schwingungsdauer) statt 2L (Periodenlänge).
Die Größe LL2
2T2 π
=π
=π ist dann die Winkelgeschwindigkeit oder Kreisfrequenz, sie wird als
Grundfrequenz mit 0ω bezeichnet. Verzichtet man noch auf die Einheitlichkeit der Formeln für die Fourier-Koeffizienten und bezeichnet den sogenannten Gleichanteil (entspricht der Linie, um die sich die sin/cos-Kurve
herumschlängelt) mit 0A statt 2
a 0 , so lauten die Formeln
(jetzt mit Großbuchstaben kk B,A für die Fourier-Koeffizienten und 1kfürbB,aA kkkk ≥== )
(3) ∑∞
=
ω+ω+=1k
0k0k0 )tksin(B)tkcos(AA)t(f mit
(3*) ∫∫∫ =ω=ω==T
00k
T
00k
T
00 ...,2,1k,dt)tksin()t(f
T2B,dt)tkcos()t(f
T2A,dt)t(f
T1A
Damit ist man bei der in der Vorlesung „Signale und Systeme“ verwendeten Schreibweise angekommen. Zum Schluss dieses Abschnitts schreiben wir alles noch in komplexer Form. Hierbei hilft uns die Euler-Formel
),sin(j)cos(e.bzw)sin(j)cos(e jj ϕ−ϕ=ϕ+ϕ= ϕ−ϕ
woraus durch Addition bzw. Subtraktion folgt
),sin(j2ee),cos(2ee jjjj ϕ=−ϕ=+ ϕ−ϕϕ−ϕ folglich
j2ee)sin(,
2ee)cos(
jjjj ϕ−ϕϕ−ϕ −=ϕ
+=ϕ .
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Setzen wir dieses Ergebnis für )sin(und)cos( ϕϕ in (3) und (3*) ein, so ergibt sich
j2eeB
2eeAA)t(f
tjktjk
k1k
tjktjk
k0
0000 ω−ω∞
=
ω−ω −+
++= ∑ , also
(4) f(t) ∑∞
−∞=
ω=k
tjkk
0ec
mit 2
jBAj2
B2
Ac),j
j1da(
2jBA
j2B
2A
c,Ac 11111
1111100
+=−=−=
−=+== − usw.,
allgemein
(4*) ∈= ∫ ω− k,dte)t(fT1c
T
0
tjkk
0 Z.
Diese Darstellung ist später der Ausgangspunkt für die Fourier-Transformation (Abschnitt 3). Zuvor stellen wir aber noch Beispiele zu Fourier-Reihen zusammen. 2. Beispiele von Fourier-Reihen Beispiel 1:
1x1für|x|)x(f ≤<−= 2-periodisch fortgesetzt (d. h. T = 2L = 2, also L = 1)
Der Gleichanteil ist erkennbar 5,0A 2
12
a0
0 === .
Da f eine gerade Funktion ist, sind nur noch die 1kfürAa kk ≥= zu berechnen (mit 2*):
{ [ ] ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛π−π⋅=π⋅⋅=π⋅= ∫∫∫ ππ
′−
1
0k11
0k1
partiell
v
1
0 u
Symmetrie1
1k dx)xksin()xksin(x2dx)xkcos(x2dx)xkcos(|x|a
43421
[ ]( ) ( )...,5,3,1kfür...,6,4,2kfür0
1)1()xkcos(0222
2222
k4
kk
210k
1
==
⎩⎨⎧−
=−−=π+=π
ππ
Als Ergebnis hat man die Fourier-Reihe
...)x5cos()x3cos()xcos(5,0)x(f 222 254
944 −π−π−π−=
πππ
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Das folgende Bild zeigt, wie gut bereits zwei oder drei Summanden dieser Reihe die vorgelegte Funktion (Zackenlinie, auch „Dreieckskurve“ genannt) annähern.
Beispiel 2:
π<<π==
<<π−
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
x0fürxoder0xfür0xfür
101
)x(f 2 π -periodisch fortgesetzt („Rechteckkurve“)
f ist ungerade 0a k =⇒ für alle k. Somit sind noch die kb zu berechnen (mit 1*):
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +π−
π=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−
π=
π=
π=
πππ
π−∫∫ k
1)kcos(k12)kxcos(
k12dx)kxsin(2dx)kxsin()x(f1b
00
Symmetrie
.Fktgerade
k 43421
( ).geradekfür
ungeradekfür0
)1(1k2 k
4k
⎩⎨⎧
=−−π
= π
Die Reihenentwicklung lautet also
( )x)1n2(sin...)x5sin()x3sin()xsin()x(f0n
1n214
54
344 +=+++= ∑
∞
=+ππππ .
Auch hier zeigt das Schaubild gut die rasche Konvergenz der Reihe gegen die Rechteckkurve (siehe nächste Seite). Falls f unstetig ist, wie in diesem Beispiel, so gilt allgemein der Satz, dass die Fourier-Reihe an einer Sprungstelle gegen das arithmetische Mittel aus dem linksseitigen und dem rechts-seitigen Grenzwert von f an dieser Stelle konvergiert. Da im vorliegenden Beispiel dieser Mittelwert (nämlich 0 als Mittelwert von 1 und -1) gleich dem Funktionswert an jeder Sprungstelle ist, konvergiert hier die Fourier-Reihe überall gegen f(x). Der Vollständigkeit halber geben wir für Beispiel 2 auch noch die komplexe Form an:
∫ ∫ ∫∑π
π− π−
π−−
π−
π
∞
−∞=
ω
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−===ω=
0
0
jkxjkx21jkx
21
k0k
xjkk dxedxedxe)x(fcund1mitec)x(f 0
= [ ] [ ]( ) ).)1(1())kcos(1(...ee kkj
jk1
0jkx
jk10jkx
jk1
21 −−−=π−==−+ ππ
π−
π−
−π
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3. Übergang zur Fourier-Transformation Wir gehen jetzt zu nicht-periodischen Funktionen über, indem wir die Periodenlänge T = 2L formal gegen unendlich gehen lassen. Setzt man (4*) in (4) ein und schreibt ,kstatt 0k ωω so erhält man zunächst
tj
k
T
0
tjT1 kk edte)t(f)t(f ω
∞
−∞=
ω−∑ ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= bzw. .edte)t(f)t(f tj
k
2T
2T
tjT1 kk ω
∞
−∞=−
ω−∑ ∫⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
Nach Einführung von T2
k1kπ
=ω−ω=ωΔ + folgt .2Tund
21
T1
ωΔπ
=ωΔ⋅π
=
Zieht man den Faktor π21 aus der Summe heraus und schreibt ωΔ nach hinten, so entsteht
.edte)t(f)t(fk
tjtj21 kk∑ ∫
∞
−∞=
ωωΔπ
ωΔπ
−
ω−π ωΔ
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
Lässt man hierin ),T.h.d(gehen0gegen ∞→ωΔ so ergibt sich
.dedte)t(f)t(f tj
)(F
tj21 ω
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
= ω∞
∞−
ω
∞
∞−
ω−π ∫ ∫
4434421
Der mit )(F ω bezeichnete Term ist nun die Fourier-Transformierte von f. Sie stellt für nicht-periodische Funktionen die Entsprechung zu den Fourier-Koeffizienten bei periodischen Funktionen dar. Man kann die Transformation als kontinuierliche Überlagerung harmonischer Schwingungen beschreiben und spricht auch von „spektraler Zerlegung“ der Zeitfunktion f. Durch die Transformation geht man vom Zeitbereich in den Frequenzbereich über. Die Korrespondenzschreibweise sieht man auf dem Bild in der Mitte der nächsten Seite. Da )(F ω als komplexwertige Funktion normalerweise nicht grafisch dargestellt werden kann, verwendet man ersatzweise die Schaubilder von )(F ω (Amplitudenspektrum) und
))(Farg()( ω=ωϕ (Phasenspektrum).
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Die Fourier-Transformierte des oben dargestellten Rechteckimpulses (zwischen –a und a Wert 1) berechnet man wie folgt:
[ ] )a(sia2)asin()asin(j2)ee(edte)(F 2a
aj1ajaj
j1a
atj
j1tj ω⋅=ω=ω⋅=−−=−==ω ω
−ω
ωω−ω−
ω−ω
ω−∫
mit .:)x(si x)xsin(=
F ist hier (ausnahmsweise) reellwertig und kann veranschaulicht werden (Bild oben links).
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Das zugehörige Amplitudenspektrum sieht man rechts daneben. Man liest daraus ab, dass alle Frequenzen beteiligt sind, aber die Schwingungen aus dem Frequenzbereich zwischen a
π− und a
π (Bereich zwischen den beiden betragsmäßig kleinsten Nullstellen) herrschen vor. Je kürzer der Impuls (je kleiner a), desto „breiter“ ist das Spektrum. 4. Beispiele, Eigenschaften und Regeln Beispiel 1: Für den „abklingenden Impuls“ 0sonst,0tfür1)t(hund0mit)t(he)t(f t ≥=>α⋅= α− errechnet man
[ ] ω+αω+αω+α−
∞
∞→ω+α
∞ω+α−ω+α
ω+α−∞
∞−
ω−α− =+⋅−=−===ω ∫∫ j1
j1R)j(
0Rj
10
t)j(j
1t)j(tjt elimedtedte)t(he)(F .
Dabei ist 22
1j
1)(Fω+α
=ω+α
=ω und ).arctan()jarg()1arg()(0
αω
=
−=ω+α−=ωϕ321
Die Schaubilder dieser beiden reellen Funktionen (also Amplituden- und Phasenspektrum) sehen für 1=α folgendermaßen aus:
Beispiel 2: Eine schöne (einfache) Fourier-Transformierte hat der Dirac-Impuls )t(δ („Diracsche Deltafunktion“, siehe 2. Semester):
Es ist ∫∞
∞−
ω−δ=ω ,dte)t()(F tj
und da nach Definition von δ gilt )0(fdt)t(f)t(und1dt)t( =δ=δ ∫∫∞
∞−
∞
∞−
(Ausblendeigenschaft)
folgt .1e)(F 0j ==ω ⋅ω− Weitere Beispiele enthält die folgende kleine Tabelle.
f(t) )(F ω ,0),t(het tn >α⋅⋅ α− h s. o.
n = 0, 1, 2, … 1n)i(!n
+ω+α
0,e |t| >αα− 22
2ω+α
α
0,e2t >αα−
αω
−
απ 4
2
e
0,22t1 >αα+
||e ωα−
απ
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Abschließend noch zwei Hinweise zur Fourier-Transformation:
- Die auftretenden uneigentlichen Integrale von ∞∞− bis sind als Cauchysche Hauptwerte zu verstehen, d. h. obere und untere Grenze gehen nicht unabhängig voneinander gegen ∞
(bzw. ∞− ), sondern gekoppelt als ∫−
∞→
R
RR
...lim .
- Wenn f Symmetrien aufweist, kann man sich die Arbeit bei der Berechnung von F wieder erleichtern. Es gilt
f gerade ∫∞
ω=ω⇒0
,dt)tcos()t(f2)(F f ungerade .dt)tsin()t(fj2)(F0∫∞
ω−=ω⇒
Dies ergibt sich unmittelbar, wenn man in der Definition der Fourier-Transformierten tje ω− durch )tsin(j)tcos( ω−ω ersetzt und beachtet, dass bei geradem f das Produkt )tsin()t(f ω ungerade ist und bei ungeradem f das Produkt )tcos()t(f ω ungerade ist. Damit sind wir bei den Eigenschaften und Regeln der Transformation angekommen: - Die Fourier-Transformation ist linear: Konstante Faktoren bleiben erhalten, Summen sind summandenweise zu transformieren. - Wird f durch einen Faktor ate− gedämpft, so lässt sich dieser Faktor zusammenfassen mit tje ω− zu .e t)aj( +ω− - Bei Zeitverschiebung, d. h. Ersetzung von t durch ,tt 0− kommt ein zusätzlicher Faktor 0tje ω− hinzu. - Bei stetiger Differenzierbarkeit ist die Transformierte der Ableitung f ′ das ωj -fache der Transformierten von f (wie man mit partieller Integration zeigen kann). - Die Transformierte des Faltungsprodukts 21 ff ∗ ist das gewöhnliche Produkt der
Transformierten 21 FF ⋅ ( mit ∫∫∞
∞−
∞
∞−
ττ⋅τ−=ττ−⋅τ=∗ d)(f)t(fd)t(f)(f)t(f)t(f 212121 ).
Da bei den weiteren Transformationen (Laplace, Z) ähnliche Regeln gelten, sind die Formeln für alle drei Transformationen übersichtlich in einer Tabelle in Kapitel IV dargestellt.
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Aufgaben zu Fourier-Reihen und -Transformationen
1) Bestimmen Sie die Fourier-Reihe der “Sägezahnkurve” mit der Darstellung π≤<π−= xfürx)x(f 2 π -periodisch fortgesetzt.
2) Die Funktion f sei auf (0,2] definiert durch 2
x1)x(f −= und werde 2-periodisch fortgesetzt.
Bestimmen Sie die Fourier-Reihe von f in reeller und in komplexer Schreibweise. 3) Berechnen Sie die Fourier-Transformierte )(F ω zu )t(het)t(f t ⋅⋅= α− mit .0>α (h ist hierbei die Heaviside-Sprungfunktion, siehe Vorlesung.) Lösungen 1) 0a k = für alle k, da f ungerade Funktion ist.
∫π
+π ⋅−=−⋅−=π−=⋅=
0k21kk
k2
k2
partiell2
k )1()1()kcos(dx)kxsin(xb .
...)x3sin()x2sin()xsin(2)kxsin()1()x(f 32
1kk21k +−+−=⋅−= ∑
∞
=
+ für .)1n2(x π+≠
An den Sprungstellen π+= )1n2(x konvergiert die Reihe gegen .02 =π+π−
2) 2L = 2 ⇒ L = 1. 0a k = für alle k, π− ==π= ∫ k
12
02x1
k dx)xksin(b K (mit partieller Integration),
...)x2sin()xsin()xksin()x(f 211
1kk11 +π+π=π= ππ
∞
=π ∑ für x ∈≠ n,n2 Z,
an den Unstetigkeitsstellen x = 2n von f konvergiert die Reihe gegen 0.
Komplex: ππ−− === ∫ jk2
1partiell
xjk2
02x1
21
k ...dxec für k ≠ 0, 0c0 = , xjk
0kk
jk21 e)x(f π
∞
≠−∞=
π∑=
3)
{∞ω+α−ω+α−
∞∞ω+α−
∞
′
ω+α−
ω+α−ω+α=
ω+α−−
ω+α−⋅=⋅=ω ∫∫ 0
t)j(t)j(
00
t)j(
0 v
t)j(
u
]e)j(
1[j
1dte)j(
1]e)j(
1t[dtet)(F 43421
= 2)j(1
ω+α
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Kapitel III: Laplace-Transformation 1. Definition und Beispiele Nehmen wir bei der Fourier-Transformierten zwei kleine Veränderungen vor, dann sind wir schon bei der Laplace-Transformierten: 1. Wir betrachten alle Funktionen f erst ab t = 0 und setzen f(t) = 0 für t < 0 voraus. Die untere Integralgrenze ist dadurch stets 0.
2. Wir führen einen zusätzlichen Dämpfungsfaktor te α− unter dem Integral ein. Aus dem Integrand tje)t(f ω− wird dann .e)t(f t)j( ω+α−
Setzt man noch ,js ω+α= so entsteht
∫∞
−=0
stdte)t(f)s(F
als Laplace-Transformierte von f.
In der Korrespondenzschreibweise sieht dies so aus: =•− )s(F)t(f o L{f(t)}. Beispiel 1:
0tfür0tfür
01
)t(h)t(f<≥
⎩⎨⎧
== Heavisidesche Sprungfunktion.
Hier ergibt sich s1elim
s1e
s1dte1)s(F sR
R0
st
0
st +⋅−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−=⋅= −
∞→
∞−
∞−∫ .
Nun ist ,eeee RjRR)j(sR ω−α−ω+α−− ⋅== wobei der zweite Faktor vom Betrag 1 ist und der erste Faktor für ∞→R gegen 0 geht, falls α > 0 ist.
Es gilt also 0elim sR
R=−
∞→für Re(s) > 0 und damit wird
s1)s(F = für Re(s) > 0.
Der Zusatz „für Re(s) > 0“ wird im Folgenden meist weggelassen. Beispiel 2:
)t(ht)t(f ⋅= , also f(t) = t nur ab t = 0 betrachtet. Analog zu Beispiel 1 berechnet man
2
partiell
0
st
s1...dtet)s(F ==⋅= ∫
∞− für Re(s) > 0.
Das Skript von Prof. Blessing zur Vorlesung „Signale und Systeme“ enthält Tabellen zur Laplace-Transformation auf den Seiten 21 und 62. 2. Eigenschaften und Regeln Wie bei Fourier gibt es auch bei Laplace die Formeln zur Linearität, zur Dämpfung, zur Zeitverschiebung, zur Differentiation und zur Faltung. Sie sind tabellarisch in Kapitel IV zu finden.
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Aufgaben zur Laplace-Transformation
1) Bestimmen Sie die Laplace-Transformierte der folgenden Zeitfunktionen:
a) )2t(h)2t(5)t(f)c)t(het)t(f)b)t(h)3t5t2()t(f 2t2223 −⋅−=⋅⋅=⋅+−= − 2) Bestimmen Sie die Originalfunktionen f(t) zu den folgenden Bildfunktionen (Rücktrafo):
a) s222 e)s(F)c
5s2s1s)s(F)b
1s8s3)s(F −=
+++
=++
=
3) Bestimmen Sie die Laplace-Transformierten der durch die folgenden Skizzen dargestellten Funktionen: a) Rechteckimpuls b) Rampe c) 2-periodische Fortsetzung der Funktion f aus Teil a
⎩⎨⎧ ≤≤
=sonst0
1t0für1)t(f
⎩⎨⎧
≥≤≤
=1tfür1
1t0fürt)t(f
4) Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen mit Laplace:
a) )t(hy2y =+& mit y(0) = 3 b) )1t(hy2y −=+& mit y(0) = 3 Lösungen
1a) 3
s2s2
334
3
34 se10e
s25)c
)2s(2)b
ss3s1012
s13
s25
s62
−− =⋅⋅
++−
=⋅+⋅−⋅
2a) )2t()c)2)1s(
1s)s(Fmit()t(h)t2cos(e)b)t(h))tsin(8)tcos(3( 22t −δ
+++
=⋅⋅⋅+ −
3a) )e1(s
e1)cse1)b
se1
s2
s
2
ss
−
−−−
−⋅−−− (Herleitung: Bildet man f(t) – f(t-2), so entsteht die
Funktion )t(f1 aus Teil a. Daher gilt se1)s(Fe)s(F
ss2
−− −
=⋅− bzw. se1)e1)(s(F
ss2
−− −
=− .)
4a) )1t(he5,0)1t(h5,0)t(he3y)b)t(h)5,0e5,2(y )1t(2t2t2 −−−+=⋅+= −−−−
zu b): sPBZ
s e)2s
15,0s15,0(
2s3e
)2s(s1
2s3Y −− ⋅
+⋅−⋅+
+=
++
+= .
Der Faktor se− bedeutet Zeitverschiebung: t-1 statt t.
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Weitere Aufgaben mit Laplace 1) Bestimmen Sie die Laplace-Transformierte der durch folgende Skizze gegebenen Zeitfunktion u(t).
Das Bogenstück zwischen t = 2 und t = 4 sei dabei Teil einer Parabel mit Scheitel (2/0). 2) In einem System mit Eingangsgröße u und Ausgangsgröße y gelte die Differential-
gleichung )t(u3)t(y2)t(y2)t(y =++ &&& (mit verschwindenden Anfangsbedingungen). Bestimmen Sie die s-Übertragungsfunktion G(s) und die Gewichtsfunktion g(t). 3) Gegeben ist die Eingangsgröße u(t) = h(t) + 2 h(t-1) und die s-Übertragungsfunktion
1s
2)s(G+
= . Skizzieren Sie den Verlauf von u(t). Bestimmen Sie mittels Faltung die
Ausgangsgröße y(t). Lösungen 1) Zunächst wird die Zeitfunktion mittels Heavisidescher Sprungfunktionen beschrieben. Die Öffnung der beteiligten Parabel ist offenbar 1, d. h. der Bogen ist Teil einer Normal- parabel, da bei Zunahme des t-Werts um 2 (vom Scheitel ausgehend) der y-Wert 4 beträgt. Damit ergibt sich ).4t(h4)4t(h)2t()2t(h)2t()t(u 22 −+−⋅−−−⋅−= Durch den zweiten Term in dieser Summe wird die Fortsetzung der Parabel 2)2t( − ab t = 4 „abgezogen“, d. h. die Funktionswerte werden auf 0 gesetzt. Der dritte Summand bringt dann die Werte vom Nullniveau ausgehend auf die Höhe 4. Beim Transformieren macht nun der zweite Summand noch Schwierigkeiten, da der Verschiebungsanteil im Parabelterm verschieden ist vom Verschiebungsanteil im h-Faktor: 4tund2t −− treten zusammen auf. Der Term 2)2t( − muss daher so umgeformt werden, dass der „Baustein“ )4t( − darin vorkommt. Es ist ,4)4t(4)4t(12t4)4t(4t4t)2t(
16t4
2
16t8t
222
2
+−+−=−+−=+−=−−+−321321
also ( ) )4t(h4)4t(h4)4t(4)4t()2t(h)2t()t(u 22 −+−⋅+−+−−−⋅−= )4t(h)4t(4)4t(h)4t()2t(h)2t( 22 −⋅−−−⋅−−−⋅−= .
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Als Transformierte erhält man somit unter Verwendung des Tabelleneintrags für h(t) sowie )t(ht 2 ⋅ und mit der Regel für die Zeitverschiebung
).se2e1(es2e
s14e
s2e
s2)s(U s2s2s2
3s4
2s4
3s2
3−−−−−− −−⋅=⋅⋅−⋅−⋅=
2) Transformation liefert ,U3Y2Ys2Ys2 =+⋅+⋅ und somit ist die Übertragungsfunktion
,2s2s
3)s(G 2 ++= und aus der Tabelle (Blessing S.21 oder 62) entnimmt man
)tsin(e3)t(g t−= h(t).
3) ∫ ∫ ττ−−+τ−⋅=ττ−⋅τ=⋅= τ−−t
0
t
0
t d))1t(h2)t(h(e2d)t(u)(g)t(y),t(he2)t(g
∫ ∫∫ ∫ τ+τ=ττ−−+ττ−=−
τ−τ−
−≤τ=
τ−
≤τ=
τ−t
0
1t
0
t
0
t
0 1tfür1tfür1
de4de2d)1t(he4d)t(he243421321
= )1t(h)e1(4)t(h)e1(2 )1t(t −⋅−+⋅− −−− Skizze u(t)
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Kapitel IV: z-Transformation 1. Definition, Zusammenhang mit Laplace Fourier- und Laplace-Transformation sind auf kontinuierlich verlaufende Zeitfunktionen anwendbar, nicht jedoch auf zeitdiskrete Systeme, wo die Funktionswerte nur für einzelne – eben diskrete – Zeitwerte vorhanden sind. Gerade dieser diskrete Fall entspricht aber den Gegebenheiten bei der Verwendung von Digitalrechnern. Um eine zeitveränderliche Größe mit dem Rechner verarbeiten zu können, werden die Werte zu den Zeitpunkten ...,T2t,Tt,0t AA === abgetastet ( AT = Abtastzeit), erfasst und weiterverarbeitet. Aus einer kontinuierlichen Zeitfunktion f(t) entsteht so eine Zahlenfolge .uswf)T2(f,f)T(f,f)0(f 2A1A0 === Wie kann man nun dieser Zahlenfolge – also den Abtastwerten – eine „Transformierte“, vergleichbar der Laplace-Transformierten einer kontinuierlichen Funktion, zuordnen? Um diese Frage sinnvoll beantworten zu können, überlegen wir zunächst, wie die Verar-beitung der Zahlenfolge in einem Rechner erfolgen wird. Ein bestimmter Abtastwert bleibt logischerweise so lange im (Arbeits-)Speicher, bis der nächste Wert eingelesen wird, also über eine Abtastperiode AT hinweg. Diese Erkenntnis legt folgende Vorgehensweise nahe: Wir machen aus den diskreten Werten wieder eine kontinuierliche Funktion, indem wir eine Treppenfunktion )t(f konstruieren, die jeweils über ein Intervall der Länge AT hinweg konstant ist (mit den Werten ...,f,f,f 210 ). siehe Extrablatt oder Skript Signale und Systeme S. 58 f lässt sich nun Laplace-transformieren. Hierzu beschreiben wir die Treppenfunktion zunächst mithilfe von Sprungfunktionen:
( )∑∞
=
+−−−⋅=+−−−⋅+−−⋅=0k
AAkAA1A0 )T)1k(t(h)kTt(hf...))T2t(h)Tt(h(f))Tt(h)t(h(f)t(f
Nach der Laplace-Transformation wird daraus
( )∑∞
=
+−−−−− ⋅−⋅⋅=+⋅−⋅⋅+⋅−⋅=0k
sT)1k(s1skT
s1
ksT2
s1sT
s1
1sT
s1
s1
0AAAAA eef...)ee(f)e(f)s(F
)e1(ef...)e1(ef)e1(f sTskT
0ks1
ksTsT
s1
1sT
s1
0AAAAA −−
∞
=
−−− −⋅⋅⋅=+−⋅⋅⋅+−⋅⋅= ∑
( ) ∑∞
=
−−
−− ⋅−
=++⋅−⋅=0k
skTk
sTsT
10sT
s1 a
AAA ef
se1...eff)e1(
Der aus der Summe ausgeklammerte Faktor sTs1
s1
se1 A
sAT e−− ⋅−=− rührt daher, dass die Werte
über den Zeitraum AT hinweg „gehalten“ werden, er selbst ist ja die Laplace-Transformierte von ),Tt(h)t(h A−− also vom während der Zeit AT gehaltenen Wert 1. Er stellt also die Übertragungsfunktion eines „Halteglieds“ dar. Lässt man diesen Faktor weg, so bleibt
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.ef)s(F0k
skTk
* A∑∞
=
−=
Verwendet man dabei abkürzend den Buchstaben z für die komplexe Zahl ,e sTA dann ist die z-Transformierte der (Abtast-)Folge )f( k fertig:
∑∞
=
−=0k
kkz zf)z(F .
Der Index z bei F dient nur zur Unterscheidung dieser Funktion von der Laplace-Transformierten.
Abschließend kann man noch fragen, welche Zeitfunktion zu der Funktion *F , die durch Weglassen des Halteglieds aus F entstanden ist, gehört. Wegen L{ } skT
AAe)kTt( −=−δ ergibt sich die Originalfunktion
,...)Tt(f)t(f)kTt(f)t(f A100k
Ak* +−δ+δ=−δ= ∑
∞
=
also eine Folge von δ -Impulsen! 2. Beispiele Beispiel 1: Als Abtastfolge sei die konstante Folge 1, 1, 1, 1, … gegeben, die z. B. durch Abtastung von h(t) entstanden sein kann. Dann gilt
...zz1z1)z(F 21
0k
kz +++=⋅= −−
∞
=
−∑
Mit der Summenformel für geometrische Reihen 1qfür...qq1 q112 <=+++ − erhält man
.1z.h.d,1zfür1z
zz1
1)z(F 1Erweitern
zmit1z ><−
=−
= −−
Beispiel 2:
Gegeben sei ( ) ( )...,1,1,1,1,1,1fk −−−= .
Wir berechnen ,1z
zz1
1)z(1
1...zzzzz1)z(F 1154321
z +=
+=
−−=−+−+−+−= −−
−−−−−
wobei wir wieder die Summenformel für geometrische Reihen verwendet haben. Die gegebene Folge kann z. B. durch Abtastung von )tcos()t(f = mit Abtastzeit π=AT oder von 1Tmit)tcos()t(f A =π= entstanden sein. Eine andere Möglichkeit wäre ein Schaubild der folgenden Art:
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Die Beschreibung einer Periode lautet hier: ).2t(h)t23()1t(h)1t(4)t(h)t21()t(f1 −⋅−+−⋅−+⋅−=
Beispiel 3:
Gegeben sei ( ) ( ) periodisch4k ,...2,3,2,1,2,3,2,1f −= . Wir berechnen ...z2z3z2zz2z3z21)z(F 7654321
z ++++++++= −−−−−−−
( ) 432284322
z11)z2z3z21(...zz1)z2z3z21( −
−−−−−−−−
−⋅+++=+++⋅+++=
)1z)(1z(
)2z3z2z(z1z
z2z3z2z22
23
4
234
zmitErweitern 4 +−+++
=−
+++=
-1 ist sowohl Nennernullstelle als auch Zählernullstelle, daher kann noch mit Faktor z +1 gekürzt werden. Als Ergebnis erhält man schließlich
.)1z)(1z()2zz(z)z(F 2
2
z +−++
=
3. Eigenschaften und Regeln Die Zusammenstellung der Regeln erfolgt in einer Übersicht zusammen mit den anderen Transformationen. Zusammenstellung der Eigenschaften und Regeln für Fourier-, Laplace- und z-Transformation
FOURIER
LAPLACE
Z
Linearität
F { } α=β+α 21 ff F{ 1f }+ β F{ 2f }
wie Fourier
wie Fourier
Dämpfung
F { }=⋅ −ate)t(f )aj(F +ω
L { }=⋅ −ate)t(f )as(F +
Z { }=⋅ −ate)t(f )ze(F AaT
z bzw. für Folgen ( ) •−− oAakT
kef )ze(F AaTz
Zeitverschiebung ( )0m,0t 0 ≥≥
F { })tt(f 0− = F { } 0tje)t(f ω−⋅
L { })tt(f 0− =L { } st0e)t(f −⋅
Z { } )z(Fz)mTt(f z
mA
−=−
bzw. ( ) )z(Fzf zm
mk−
− •−o
Differentiation
F { } ⋅ω= n)n( )j()t(f F{f(t)} falls f n-mal stetig differenzierbar
L { } s)t(f =′ L{f(t)} )0(f−
L { } n)n( s)t(f = L{ } )0(fs)t(f 1n−−
)0(f )1n( −−−K
für die Bildfunktion ( ) )z(Fzfk zk
′−•−⋅ o
Faltung
F { } )j(F)j(F)t(f)t(f 2121 ω⋅ω=∗
L { } )s(F)s(F)t(f)t(f 2121 ⋅=∗
Z { } )z(F)z(F)t(f)t(f 21
*21 ⋅=∗
falls eine der Funktionen eine δ -Impulsfolge ist, bzw. für Folgen uneingeschränkt ( ) ( ) )z(F)z(Fff z2z1k2k1 •−∗ o
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Bemerkung zur Fourier-Spalte in obiger Zusammenstellung: Statt )(F ω wird in Anlehnung an „Signale und Systeme“ )j(F ω geschrieben.
Aufgaben zur z-Transformation
1) Berechnen Sie die z-Transformierte von )t(h)tsin(t)t(f ⋅⋅= zur Abtastzeit AT mit Hilfe der Eulerschen Formel unter Verwendung der Linearitätseigenschaft. 2) Bestimmen Sie die z-Transformierte der Folge ...),,0,0,1,1,0,0,1,1()f( k = d. h. .0kfürff,0ff,1ff k4k3210 ≥===== + (Ergebnis mit positiven Hochzahlen bei z und vollständig gekürzt) 3) Stellen Sie die Folge aus Aufgabe 2 als Abtastfolge einer Zeitfunktion wie folgt dar: a) f(t) soll ein periodischer Rechteckimpuls sein, b) f(t) soll eine Schwingung der Form b)tsin(a)t(f +ϕ+ω⋅= sein. Stellen Sie f(t) jeweils explizit dar und geben Sie die zugehörigen Abtastzeiten an. Bestimmen Sie die z-Transformierten der Funktionen f(t) und vergleichen Sie diese mit dem Ergebnis von Aufgabe 2. 4) Falten Sie die Folge ...),0,1,2,1,0,1,2,1,0()x( k = , d. h. 1x k = für k ungerade, 0x k = für durch 4 teilbare k und 2x k = sonst (siehe Vorlesungsbeispiel), mit der Folge ))1k(2()y( k += = (2, 4, 6, 8, 10, …). 5) Bestimmen Sie die z-Transformierte zF des Faltungsprodukts aus Aufgabe 4. Berechnen Sie die Rücktransformation von zF mit der Ansatzmethode. 6) Ein System mit Eingangsgröße u(t) und Ausgang y(t) genüge der Gleichung uuyy −=+ && . Das System soll mit Abtastzeit AT = 1 auf einem Digitalrechner simuliert werden. a) Bestimmen Sie die s-Übertragungsfunktion sG mit y(t) = u(t) = 0 für 0t ≤ . b) Bestimmen Sie die z-Übertragungsfunktion zG . c) Bestimmen Sie die zugehörige Differenzengleichung. Lösungen 1) Euler-Formel: )tsin(j)tcos(e.bzw)tsin(j)tcos(e jtjt −=+= − )ee()tsin( jtjt
j21
Differenz
−−=⇒
Also ))t(het)t(het()t(h)tsin(t jtjtj2
1 −⋅−⋅=⋅⋅ . Mit den Tabellenangaben zu )t(het at⋅
erhält man schließlich die z-Transformierte 2A
2A
2A
z )1)Tcos(z2z()Tsin()1z(zT)z(F
+−⋅−
= .
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Genauer: 2A
2
2jTjT2jTjTA
2jT
jTA
2jT
jTA
z )1)Tcos(z2z()ez(e)ez(e
j2zT
)ez(zeT
)ez(zeT
j21)z(F
AAAA
A
A
A
A
+−−−−
⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
−=
−−
−
−
2A
2A
2AA
2A
2
jTjT2AA
)1)Tcos(z2z()Tsin(j2z)Tsin(j2
j2zT
)1)Tcos(z2z(ez2ez2z)Tsin(j2
j2zT AA
+−−
⋅=+−
−++−⋅=
−
Kürzen mit 2j und Zusammenfassen liefert obiges Ergebnis. 2) ......)zz1)(z1(...)z1(z)z1(zz1...)z(F 84118141
z =++++=++++++== −−−−−−−−
= )1z)(1z(
z)1z)(1z)(1z(
)1z(z1zzz
z1z1
2
3
Kürzen2
3
4
34
zmit.Erw4
1
4 −+=
+−++
=−
+=
−+
−
−
oder mit Verschiebungssatz 3a) z. B. ...)6t(h)4t(h)2t(h)t(h)t(f +−−−+−−= Abtastzeit 1
Für die z-Transformierte gilt die Gleichung ).z(Fz)z(F1z
zz1z
zz
4z
2 −− −=−
−−
Auflösen nach )z(Fz ergibt dasselbe Ergebnis wie in 2). b) z. B. 2
142
2 )tsin()t(f ++= π , Abtastzeit 2π (oder 2
1422
2 )tsin()t(f ++= ππ , Abtastzeit 1)
Dabei ist ))tcos()t(sin()sin()tcos()cos()tsin()tsin( 22
444 +=⋅+⋅=+ πππ (Additionsformel), also )1)tcos()t(sin()t(f 2
1 ++= . Z-Transformation:
)1z
z1)cos(z2z
))cos(z(z1)cos(z2z
)sin(z()z(F2
22
22
221
z −+
+−−
++−
⋅=
π
π
π
π
)1z)(1z(z2
)1z)(1z()1z(z)1z(z
)1z)(1z()1z(z)1z)(1z(z)
1zz
1zzz( 2
3
21
2
22
21
2
2
21
2
2
21
−+⋅=
−+++−
⋅=−+
++−+⋅=
−+
++
=
und man erhält wieder dasselbe Ergebnis wie in 2)! 4) Faltungsprodukt (0, 2, 8, 16, 24, 34, 48, 64, 80, 98, …)
5) 32
3
2
2
2z2z1z )1z)(1z()1z(z2
)1z(z2
)1z)(1z()1z(z)z(F)z(F)z(F
−++
=−
⋅⋅−+
+=⋅=
Setze 1zv −= . F(v) = … = ...vavaa)v1)(v1(
v2v2 221032
2
+++=−+
+
Multiplikation mit dem Nenner und Koeffizientenvergleich liefert 8a,2a,0a 210 === ,… 6a) 1s
1ss1s
1s )s(G)s(U)s(YUsUYsY +−
+− =⇒⋅=⇒−=+
b) 11
11
1
11
z ze1z)2e(1
ez2ez...)
)1s(s1s(Z~)z1()z(G −−
−−
−
−−
−−+
=−
−+==
+−
⋅−=
c) 1k1
k1k1
kz11
11
z u)2e(uyey)z(Uze1
z)2e(1)z(Y −−
−−
−−
−−
−+=−⇒−
−+=
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Weitere Aufgaben zur z-Transformation 1) Bestimmen Sie die z-Transformierte der Folge ...),,1,1,1,2,3,2,1()f( k = d. h. ,4kfür1f,2f,3f,2f,1f k3210 ≥===== direkt mit der Definition der z-Transformierten. (Ergebnis mit positiven Hochzahlen bei z und vollständig gekürzt) 2) Stellen Sie die Folge aus Aufgabe 1 als Abtastfolge einer Zeitfunktion f(t) dar. Geben Sie die zugehörige Abtastzeit an. 3) Bestimmen Sie die z-Transformierte von )4t(h)4t()2t(h)2t(2)t(ht −⋅−+−⋅−−⋅ mit Hilfe der Tabelle und der Regeln und Eigenschaften für die z-Transformation. 4) Falten Sie die Folge ( )kf aus Aufgabe 1 mit der Folge ( ) ( )...,2,1,2,1,2,1g k = , d. h. ...,2,1,0kfürgg,2g,1g k2k10 ==== + , a) direkt (nach dem Rechenschema für die Faltung von Folgen), b) über den Umweg der z-Transformierten von ( ) ( )kk gundf . Es genügt, im Teil a) 7 Folgenglieder und im Teil b) 5 Folgenglieder zu berechnen. 5) Ein System mit Eingangsgröße u(t) und Ausgang y(t) genüge der Gleichung ).t(u3)t(u2)t(y π−+= && .
Das System soll mit Abtastzeit AT = 4π auf einem Digitalrechner simuliert werden.
a) Bestimmen Sie die s-Übertragungsfunktion sG mit y(t) = u(t) = 0 für 0t ≤ . b) Bestimmen Sie die z-Übertragungsfunktion zG . c) Bestimmen Sie die zugehörige Differenzengleichung. Lösungen 1) ...)z1(zz2z3z21...zzz2z3z21)z(F 1432154321
z ++++++=++++++= −−−−−−−−−−
343
23
14321
zz1
z2z3z2z
z11zz2z3z21
−+
+++=
−⋅++++= −
−−−−
)1z(z
12z3z2zz2z3z2z)1z(z
1)1z)(2z3z2z(3
23234
3
23
−+−−−−+++
=−
+−+++=
)1z(z
1zzzz3
234
−−−++
=
2) Skizze! z. B. Abtastzeit 1, linearer Anstieg von Wert 1 auf Wert 3, dann linear fallend bis Wert 1, dann konstant Wert 1: )4t(h)4t()2t(h)2t(2)t(ht)t(h)t(f −⋅−+−⋅−⋅−⋅+= z. B. Abtastzeit ,2
π Sinuswelle + konstanter Auslauf: )2t(h)2t(h)2)t(sin()t(h)2)t(sin()t(f 22 π−+π−⋅+−−⋅+−= ππ )2t(h))tcos(1()t(h))tcos(2( π−⋅−−⋅−= , beachte: )tcos()2tcos(),tcos()tsin(),tcos()tsin( 22 =π−−=−=− ππ
3) 23
24
A2
31
A2A4
2A2
2A
z )1z(z1z2zT
)1z(zz2zT
)1z(zTz
)1z(zTz2
)1z(zT)z(F
−+−
⋅=−
+−⋅=
−⋅+
−⋅⋅−
−=
−−−−
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22223
2
Akürzen23
22
A )1z()1z()1z(da,z
)1z(T)1z(z)1z(T +−=−
+⋅=
−−
⋅=
Bemerkung: Addiert man zu der hier gegebenen Zeitfunktion noch h(t), also 1zz− auf der
Ebene der z-Transformierten, so erhält man die in Aufgabe 1 und 2 zugrunde liegende Fkt. für .1TA = 4a) f | 1 2 3 2 1 1 1 …. g | 1 2 1 2 1 2 1 …. *| 1 4 8 12 13 15 16 … b) z-Transformierte von g:
2121321
z z11)z21(...)z1)(z21(...z2zz21)z(G −
−−−−−−
−⋅+=+++=++++= .
z-Transformierte von f, mit negativen Hochzahlen (Ergebnis von Aufg.1 gekürzt mit 4z ):
1
4321
z z1zzzz1)z(F −
−−−−
−−−++
= .
Setzt man nun vz 1 =− und bildet das Produkt, so entsteht
32
5432
.ausmult2
432
vvv1v2v3vv3v31...
v1v21
v1vvvv1)v(GF
+−−−−+++
==−+
⋅−
−−++=⋅
Dieser Term soll die z-Transformierte einer Folge ,...a,a 10 sein, also lautet der Ansatz:
32
5432
vvv1v2v3vv3v31
+−−−−+++ = ...vavavavaa 4
43
32
210 +++++ (5 Folgenglieder verlangt) Multiplikation mit dem Nenner, ordnen nach Potenzen von v und Koeffizientenvergleich liefert ,8aalso,3aaa,4aalso,3aa,1a 20121010 ==−−==−= .13aalso,3aaaa,12aalso,1aaaa 4123430123 =−=+−−==+−−
5a) sY = 2sU+3Us
e32)s(GU)s
e32(Yes
s
ss
π−π−π− ⋅+=⇒⋅+=⇒
b) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ⋅+⋅−= π−− s
21
z es3
s2Z~)z1()z(G mit AT4=π
)z)1z(
zT31z
z2)(z1( 42A
1 −− ⋅−
⋅+−
⋅−=
1
5A
1
1
5
A
4
A2
3
A z1zT3z22
z1zT32
1zzT32)
)1z(zT3
1zz2(
z1z
−
−−
−
−−−
−+−
=−
⋅+=−
⋅+=−
⋅+−
−=
c) Nach b ist U)zT3z22(Y)z1( 5A
11 −−− +−=− , und daraus ergibt sich die Differenzengleichung 4A5kA1kk1kk TmituT3u2u2yy π
−−− =+−=− .
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Kapitel V: Systeme von Differentialgleichngen Lineare Bauart xAx r&r ⋅= (homogen) oder uxAx rr&r +⋅= (inhomogen) Verschiedene Lösungsverfahren: a) klassische Methode Zurückführen auf eine Differentialgleichung einer Funktion durch weiteres Differenzieren, Gleichungen ineinander einsetzen b) mittels Laplace-Transformation Transformation des gegebenen Gleichungssystems, Bestimmung der Laplace- Transformierten der gesuchten Funktionen, Rücktransformation c) unter Verwendung der Matrix Ate Diese Matrix kann über die Eigenwerte und Eigenvektoren von A oder mit der Formel { }11At )AsE(Le −− −= bestimmt werden. Vorgehensweise bei der Bestimmung von Ate mit Eigenwerten und Eigenvektoren A sei eine Matrix vom Typ (n,n).
• Löse die Gleichung 0EA =λ− . Man erhält so die Eigenwerte ....,, n1 λλ
• Löse für jeden Eigenwert kλ das lineare Gleichungssystem ,0v)EA( k
rr=λ− es ergeben
sich die Eigenvektoren. • Wähle eine Basis aus n linear unabhängigen Eigenvektoren (falls möglich) und bestücke damit spaltenweise die Matrix T.
• Berechne die inverse Matrix 1T − und bilde das Produkt At1
t
t
eTe0
0eT
n
1
=⋅⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅ −
λ
λ
L
MOM
L
.
Die Lösung des Differentialgleichungssystems xAx r&r ⋅= ist dann 0
At xex rr⋅= mit ).0(xx 0
rr=
Warum funktioniert das Verfahren mit Ate wie beschrieben? Betrachten wir zunächst den Fall einer gesuchten Funktion x(t) mit der Dgl. xax ⋅=& (statt xAx r&r ⋅= , mit einer gegebenen reellen Zahl a).
Die Lösung ist bekanntlich atec)t(x ⋅= mit c = x(0) = ,x 0 also 0at xex ⋅= (*)
(Man erhält diese Lösung durch Trennung der Variablen aus xadtdx
= oder über eine
Laplace-Transformation → Übungsaufgabe )
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Jetzt übertragen wir das Ergebnis (*) formal auf den Fall von mehreren gesuchten Funktionen )t(x,...),t(x),t(x n21 , die als xr zusammengefasst werden: 0
At xex rr⋅=
lautet demnach die Lösung von xAx r&r ⋅= mit einer (n,n)-Matrix A.
Dabei kann der Ausdruck Ate analog zu xe durch eine Reihenentwicklung erklärt werden:
∑∞
=
=0k
kx
!kxe ( siehe Potenzreihen, Taylorreihen ),
also ∑∑∞
=
∞
=
==0k
kk
0k
kAt
!ktA
!k)At(e . (**)
Hierin kommen die Potenzen der Matrix A mit EA0 = (Einheitsmatrix), AAA,AA 21 ⋅== usw. vor. Einen Term für kA bei gegebener Matrix A zu finden, ist im Allgemeinen schwierig. Einfach wird es, wenn A eine Diagonalmatrix ist:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⇒
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
kn
k1
k
n
1
a000
000a
A
a000
000a
A
K
OOM
MOO
K
K
OOM
MOO
K
(nachprüfen!).
Ist A selbst keine Diagonalmatrix, so kann man versuchen, eine neue Basis, d. h. neue Koordinaten zu finden, so dass in der neuen Basis der durch A beschriebene Zusammenhang (d. h. die zugrunde liegende Abbildung xAx r
ar
⋅ ) Diagonalgestalt hat, also durch eine Diagonalmatrix D dargestellt wird. Aus untenstehendem Diagramm (Schema) liest man dann ab: wobei die Reihenfolge in der Anwendung von rechts nach links erfolgt: 321
rr
rx~
1 xTTDxA ⋅=⋅ − .
Schema der Koordinatentransformation
x~nKoordinateneuex~x~Dx~TTTT
xnKoordinatealtexxAx
D
11
hierA
&rrr
&rrr
=⋅
↓↑↑↓
=⋅
→
→−−
Zur Erklärung: Der Übergang zu neuen Koordinaten erfolgt durch Multiplikation mit einer Matrix T in der Form x~Tx
rr⋅= , wobei T aus den Spalten der neuen Basisvektoren besteht, wie
folgende Rechnung für den Fall n = 2 zeigt.
Mit den alten Basisvektoren ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
10
e,01
e 21rr
und den neuen ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
22
122
21
111 v
vv,
vv
v rr muss für die
alten Koordinaten x und die neuen Koordinaten x~ die Gleichung
22221211212111Ordnen
22211222211111Einsetzen22112211
e)x~vx~v(e)x~vx~v(
)evev(x~)evev(x~vx~vx~exexrr
rrrrrrrr
+++=
+++=+=+
erfüllt sein. Der Vergleich der Koeffizienten liefert 22212122121111 x~vx~vx,x~vx~vx +=+= , also
1TDTA −=
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.xTx~.bzwx~Tx~x~
vvvv
xx
x 1
2
1
2221
1211
2
1 rrrr⋅=⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= −
Für mehr als zwei Komponenten verläuft die Rechnung natürlich genauso. Mit der Formel im Kasten auf der vorigen Seite gewinnt man jetzt eine Darstellung für kA :
( ) ( ) ( ) ,TDTTDT...TDTTDTA 1k111k −−−− =⋅⋅⋅= da das Matrizenprodukt assoziativ ist und .ETT 1 =−
Bevor wir hiermit vollends die Berechnungsformel für Ate nach (**) angeben, klären wir noch, welche Vektoren als neue Basis in Frage kommen und wie damit die Matrix D aussieht.
Da die neue Abbildungsmatrix diagonal sein soll, dürfen die neuen Basisvektoren ...,v,v 21rr bei
der Abbildung nur vervielfacht werden, es müssen also (linear unabhängige) Eigenvektoren sein! Und in der neuen Abbildungsmatrix D stehen in der Hauptdiagonalen die Faktoren, mit denen diese Vektoren multipliziert werden, also die zugehörigen Eigenwerte ...,, 21 λλ (siehe Extrablatt zum Eigenwert-Problem).
Damit sind wir nun in der Lage, die Matrix Ate gemäß (**) anzugeben:
1
kn
k1
1
0k
kk
0k 0k
k1kkkAt T
!k)t(00
00
00!k)t(
TT!ktDT
!ktTDT
!ktAe −−
∞
=
∞
=
∞
=
−
⋅
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
λ
λ
⋅=⋅⋅===
∑
∑
∑∑ ∑
K
OOM
MOO
K
.T
e000
000e
T 1
t
t
n
1
−
λ
λ
⋅
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅=
K
OOM
MOO
K
Bei der inhomogenen Aufgabenstellung uxAx rr&r +⋅= orientiert man sich ebenso am Fall n = 1 für eine Funktion x = x(t), wobei die Differentialgleichung uxax +⋅=& mit Variation der Konstanten oder mit Laplace gelöst werden kann (Übungsaufgabe). Es ergibt sich als Lösung
∫ ττ+⋅= τ−t
0
)t(a0
at d)(uexex , was wieder formal übertragen wird: ∫ ττ+⋅= τ−t
0
)t(A0
At d)(uexex rrr .
Beispiel:
Lösen Sie das folgende Differentialgleichungssystem unter Verwendung der Matrix Ate : 211 x2x2x +−=& 1)0(x,0)0(xmit)t(x),t(xfürxx2x 2121212 ==+=&
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Lösung:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
10
x,1222
A 0r , homogener Fall
Lösungsweg mit Eigenwerten (EW) und Eigenvektoren (EV):
3,2064)1)(2(12
2221
2 −=λ=λ⇒=−λ+λ=−λ−λ−−=λ−
λ−−
EV zu ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=→=→−→⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=λ
21
rvv2v0|1200
1224
:2 121r
EV zu ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=→−=→→⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=λ
12
rvv2v0|2100
4221
:3 212r , also ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
1221
T
und damit .1221
51T 1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=−
Lösung ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=⋅=
−
−
− 10
1221
ee2e2e
51
10
1221
51
e00e
1221
xex t3t2
t3t2
t3
t2
0At rr
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−−+
= −
−
−−
−−
t351t2
54
t352t2
52
t3t2t3t2
t3t2t3t2
eeee
10
ee4e2e2e2e2e4e
51 .
Tipp: Gleich die dritte Matrix mit dem nachfolgenden Spaltenvektor multiplizieren (dann erscheint aber Ate nicht in ausgeschriebener Form). Lösungsweg mit Formel { }11At )AsE(Le −− −=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−+−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−−−+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−−− −
2s221s
)3s)(2s(1
2s221s
4)1s)(2s(1
1s22)2(s 1
(Die Faktorisierung des Nenners erhält man über die Nullstellen.) Nun müssen die Terme )3s)(2s(
2s)3s)(2s(
2)3s)(2s(
1s ,, +−+
+−+−− einzeln Laplace-rücktransformiert werden
mit Partialbruchzerlegung oder direkt mit der Tabelle, z. B. so: )e4e()ee(e t3t2
51t3t2
51t3
gsinBlesTabelle)3s)(2s(
)3(251
3s1
)3s)(2s(1
3s1
)3s)(2s(1)2s(
)3s)(2s(1s −−−
+−−−
++−++−+−
+−− +=−+→⋅+=+==
(Faktor h(t) jeweils weggelassen), ebenso erhält man die anderen Terme für die Matrix .eAt
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Aufgaben zu Differentialgleichungssystemen
Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungssysteme möglichst auf drei Arten: 1.) klassisch (durch Umformen, Einsetzen, Zurückführen auf eine Dgl. höherer Ordnung) 2.) mit Laplace 3.) mit Ate und Diagonalisierung von A (d. h. Entkopplung der Gleichungen) a) (Klausur WS 2008/2009)
32
32
1
1
1
3
2
1
xxxx
xxx2
xxx
++++
−===
&
&
&
für die Funktionen )t(x),t(x),t(x 321 ,
Anfangswerte seien .4)0(x,1)0(x,1)0(x 321 ==−= b) 33
123
413
51 xxxx ++=&
334
235
134
2 xxxx +−−=& 33 x2x =& für 1)0(x,1)0(x,0)0(xmit)t(x),t(x),t(x 321321 =−== . c) 211 x2xx3 +−=& 2)0(x,)0(xmit)t(x),t(xfürxx4x3 22
1121212 =−=+=& .
d) 1xxx 211 ++=& 0)0(x,1)0(xmit)t(x),t(xfürex2x4x 2121
t212 ==+−= −& .
Lösungen
a) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−
−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
1e31e2
e
)t(x)t(x)t(x
t2
t2
t2
3
2
1
b) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+−
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−
t2
tt
ttt2
3
2
1
ee2e
ee2e
)t(x)t(x)t(x
c) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−
tt
tt21
2
1
eeee
)t(x)t(x
d) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+−−−+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−−
20e10e28e3810e5e7e38
)t(x)t(x
tt3t2
tt3t2
301
2
1
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Musterklausur
1) Eine Funktion f zweier Veränderlicher x und y sei gegeben durch 2y2 e)x1()y,x(f −⋅−= .
Untersuchen Sie f auf relative Extrema. 2) Berechnen Sie den ersten (nicht-verschwindenden) Summanden der Fourier-Reihe des „gleichgerichteten Sinus“, d. h. von f(t) = |sin(t)|. 3) Bestimmen Sie die z-Transformierte der Folge ...),3,3,3,3,2,2,1,1,0()f( k = d. h. ,5kfür3f,2ff,1ff,0f k43210 ≥====== mit der Definition der z-Transformierten. (Ergebnis mit positiven Hochzahlen bei z und vollständig gekürzt) Geben Sie außerdem eine Zeitfunktion f(t) an, bei der die gegebene Folge durch Abtastung mit einer geeigneten Abtastzeit entsteht.
4) Bestimmen Sie die z-Transformierte von ∑=
=−⋅−−=5
0kA
k 1Tfür)kt(h)kt()1()t(f
mit Hilfe der Tabelle und der Regeln und Eigenschaften für die z-Transformation. 5) Falten Sie die Folge ( ) ...),0,1,0,1(x k = mit der Folge ( ) ( )...,3,2,3,2yk = , d. h. ...,2,1,0kfüryy,3y,2y,xx,0x,1x k2k10k2k10 ======= ++ , a) direkt (nach dem Rechenschema für die Faltung von Folgen), b) über den Umweg der z-Transformierten von ( ) ( )kk yundx . Es genügt, jeweils 5 Folgenglieder zu berechnen. 6) Ein System mit Eingangsgröße u(t) und Ausgang y(t) genüge der Gleichung ).Tt(u4)t(u)t(y −+= &&
Das System soll mit Abtastzeit AT = 4T auf einem Digitalrechner simuliert werden.
a) Bestimmen Sie die s-Übertragungsfunktion sG mit y(t) = u(t) = 0 für 0t ≤ . b) Bestimmen Sie die z-Übertragungsfunktion zG . c) Bestimmen Sie die zugehörige Differenzengleichung. 7) Lösen Sie das folgende Differentialgleichungssystem mit Laplace oder mit Ate : )tcos(x4x2x 211 ++=& 1)0(x,0)0(xmit)t(x),t(xfür)tsin(x2xx 2121212 ==+−−=& . Lösungen Musterklausur 1)
2yx ex2)y,x(f −⋅−= ,
2y2y e)x1(y2)y,x(f −⋅−⋅−=
222 y22
yyyxy
xyy
xx e)y21()x1(2)y,x(f),y,x(fexy4)y,x(f,e2)y,x(f −−− ⋅−⋅−−===−=
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Notwendige Bedingung für Extremum: .0ff yx == Wegen 0e2y ≠− ergeben sich die
Gleichungen x = 0 und y = 0. Untersuchung der hinreichenden Bedingung:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2002
)0,0(f)0,0(f)0,0(f)0,0(f
)0,0(Hyyyx
xyxx , 0)y,x(fund0)0,0(H xx <> (H negativ definit)
⇒ f hat ein relatives Maximum bei (x,y) = (0,0).
2) [ ]π
=+π
=−π
=π
=⋅π
= πππ
π−∫∫
4)11(2)tcos(2dt)tsin(2dt)0cos(|)tsin(|1a 001
0 321
oder ∫π
π−
⋅π
=2
2
0 dt)0cos(|)tsin(|2a bei Periode L2=π .
Der erste Summand ist somit π
=2
2a 0 . Anmerkung: Im Blessing-Skript steht 0A statt .
2a 0
3) 1
543212154321
z z1z3z2z2zz...)zz1(z3z2z2zz)z(F
−
−−−−−−−−−−−−
−++++=+++⋅++++=
45
24
1
531
1
554324321
zz1zz
z1zzz
z1z3z2z2zzz2z2zz
−++
=−
++=
−+−−−−+++
=−
−−−
−
−−−−−−−−−
)1z(z1zz
4
24
−++
=
Zeitfunktion z. B.: f(t) = )5t(h)5t()4t(h)4t()3t(h)3t()2t(h)2t()1t(h)1t()t(ht −⋅−−−⋅−+−⋅−−−⋅−+−⋅−−⋅ 4) f(t) = )5t(h)5t()4t(h)4t()3t(h)3t()2t(h)2t()1t(h)1t()t(ht −⋅−−−⋅−+−⋅−−−⋅−+−⋅−−⋅ (siehe oben)
52
42
32
22
122z z
)1z(zz
)1z(zz
)1z(zz
)1z(zz
)1z(z
)1z(z)z(F −−−−− ⋅
−−⋅
−+⋅
−−⋅
−+⋅
−−
−=
24
2345
2
4321
)1z(z1zzzzz
)1z(zzzz1z
−−+−+−
=−
−+−+−=
−−−−
Polynomdivision des Zählers durch 1z − ergibt 1zz 24 ++ , man erhält also den Term aus Aufgabe 3. 5a) x | 1 0 1 0 1 0 … y | 2 3 2 3 2 3 … * | 2 3 4 6 6 …
b) 2
1211
z2242
z1 z1z32...z)z32(z32)z(F,
z11...zz1)z(F
−
−−−−
−−−
−+
=+⋅+++=−
=+++=
...vavavavaavv21
v32)v1(v32
)z1(z32)z(F)z(F 4
43
32
210Ansatz4222zv22
1
z2z1 1+++++=
+−+
=−+
=−+
=⋅−=−
−
...v)aa2a(v)a2a(v)a2a(vaav32 4024
313
20210 ++−+−+−++=+⇒
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Koeff.vgl.: 0a2 = , 6aa2a0,4aa2a0,a3 3132021 =⇒−==⇒−== 6aaa2a0 4024 =⇒+−= .
6) Laplace-Trsf.: U)e4s(
eU4sUsYTs
Ts
⋅+=
⋅+=−
−
a) TsTs
s es141
se4s
UY)s(G −
−
⋅⋅+=+
==
b) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅−= −
s)s(G
Z~)z1()z(G s1z
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ⋅⋅+⋅
−= −Ts
2 es14
s1Z~
z1z
A4
2A T4Tmit)z)1z(
zT4
1zz(
z1z
=⋅−
⋅+−
⋅−
= −
1z
zT41
4A
−⋅+=
−
1
5A
1
zmitKürzen
4a
z1zT4z1
1zzT41z
−
−−−
−+−
=−
+−=
c) 5kA1kk1kk5
A1
z1
zzz
z uT4uuyy)zT4z1(U)z1(Y)z(GUY
−−−−−− +−=−⇒+−=−⇒=
7) Mit Laplace: 1s
sX4X2sX 2211 +++=
1ssX4X)2s( 221 +
=−−⇒
1s
1X2X1sX 2212 ++−−=−
1s2sX)2s(X 2
2
21 ++
=++⇒
In Matrixschreibweise lautet die Lösung dieses LGS ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++
−
1s2s1s
s1
2
1
2
2
2
2s142s
XX
.
Es ist ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−− −
2s142s
s1
2s142s
2
1
, also folgt ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−+−
+++
++−++−
+
+++
1s4ss2s
)1s(s8s2s5
1s)2s)(2s(s
1s)2s(4s)2s(
22
1
2
23
22
2
2
2
2
2
s1
XX
.
Für die beiden Terme macht man nun eine Partialbruchzerlegung:
)1s(s1sDCs
sB
sA
)1s(s8s2s5 22
2222
2
+⋅++
++=+
++
2222 s)DCs()1s(B)1s(As8s2s5 +++++=++ Koeff.vgl.: 0 = A + C )sbei( 3 5 = B + D )sbei( 2 2 = A (bei s) 8 = B Es folgt C = - 2 , D = - 3 durch Einsetzen.
Damit wird 1s
131s
s2s8
s2
1s3s2
s8
s2X 222221 +
⋅−+
⋅−+=++
−+=
und daraus folgt ( ) )t(h)tsin(3)tcos(2t82x1 ⋅−−+= .
Der Ansatz für die PBZ des zweiten Terms ist derselbe wie oben. Hierbei ergibt sich A = 1, B = -4, C = 0, D = 2, d. h.
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1s
2s4
s1
1s4ss2sX 222
23
2 ++−=
+−+−
= und folglich ist ( ) )t(h)tsin(2t41x 2 ⋅+−= .
AteMit : Eigenwerte und Eigenvektoren
004)2)(2(2142
2,1
!2 =λ⇒=λ=+λ−−λ−=
λ−−−λ−
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==+⇒→⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−− 1
2r
vv
sichergibtrvmit,0v2v0|2100
2142
2
1221 .
Offenbar bekommt man hier keine Basis aus Eigenvektoren (A ist „nicht diagonalisierbar“), d. h. der Rechenweg über die Eigenvektoren funktioniert hier nicht. Bleibt nur die Formel { },)AsE(Le 11At −− −=
also ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
+=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
+= −
t21tt4t21
2s142s
s1Le 2
1At und damit wird ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⋅t21
t4xe 0
At r
die Lösung des homogenen Systems. Die Lösung der inhomogenen Aufgabe erhält man mit
ττ⋅+= ∫ τ− d)(uexext
0
)t(A0
At rrr und ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ττ
=τ)sin()cos(
)(ur wie folgt:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ττ−−τ+ττ−−ττ−+ττ−+τ
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ττ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛τ−−τ−−
τ−τ−+=τ⋅τ−
)sin()t(2)sin()cos()t()sin()t(4)cos()t(2)cos(
)sin()cos(
)t(21)t()t(4)t(21
)(ueistEs )t(A r
und folglich
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
τττ−−τ+ττ−−
τττ−+ττ−+τ=ττ⋅
∫
∫∫ τ−
t
0
t
0t
0
)t(A
d)sin()t(2)sin()cos()t(
d)sin()t(4)cos()t(2)cos(d)(ue r
= ( ) ( )[ ]
( )[ ] ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
τ−ττ−−−τ−τ+ττ−−τ−ττ−−+τ−ττ−+τ
t0
t0
)sin()cos()t(2)cos()cos()sin()t()sin()cos()t(4)cos()sin()t(2)sin( ,
wobei die Integrale
∫ ∫ τ−ττ−−=τττ−τ−ττ−=τττ− )sin()cos()t(d)sin()t(und)cos()sin()t(d)cos()t( durch partielle Integration ermittelt wurden.
Setzt man nun die Grenzen 0undt =τ=τ ein und subtrahiert, so erhält man
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−−−−=ττ⋅∫ τ−
t2)tsin(2)t42()tcos(2)tsin(3
d)(uet
0
)t(A r .
Mit der Formel ττ⋅+= ∫ τ− d)(uexext
0
)t(A0
At rrr ergibt sich die Lösung der inhomogenen Aufgabe
zu ⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
−−+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=)tsin(2t41
)tcos(2)tsin(3t82t2)tsin(2
)tcos(2)tsin(3t42t21
t4xr h(t),
also dasselbe Ergebnis wie oben.