mathematik 8.klasse arbeitsheft

Terme und Gleichungen

Summen und Produkte 1 Gib jeweils einen Term fr die gesuchten Gren an. a) b) 1,5 x

y x x

y

x

4a

5c 6b

A= = c)

1,5xy+2,5x2xy 2,5x2+0,5xy0,5 y 1,5 y 3x y 4x 3x 2x 0,5 y 2x 1,5 y

V= = d)

4a6b5c 120abc1,5 a

2b 2a

2c

3b c 7a

6b

A= = 2

(1,5y+0,5y+y+0,5y+1,5y)4x 20xy

V= =

7a6bc+1,5a3bc2a2bc 42abc+4,5abc4abc=42,5abc

Ordne die Terme fr das Volumen bzw. fr die Oberflche den richtigen Bildern zu. a) b) c)x a x x x a a a a a x a x a

x x

A B C

6 a2 x3 a2 x 6 a2 2 x 2

D E a3 x3 F a3 a x2

6 x2

2 a2

+ 4ax

Lsungen:a) O V O b) V O c) V

D

B

A

E

C

F


Summen und Produkte 2 Vereinfache. a) 3 a 4 b =

12ab

b) 1,5 x2 y 4 x y = d) 12 z2 1,1 z2 x = f) 3 s : 6 5 r s = h) 3 x2 y : (6 x) =

6x3y 13,2z4x

70abc 2 __ 2 2 1 4 e) __ x __ x y 4 y = x y 3 8 3 1 __r2 2 3 __ r t t r __ = t g) 1 5c) 2 a 5 b 7 c =3 5

2,5rs2 0,5xy y

i) 2

12 x2 : x2 5 y2 =

60y2

k) 3 x 4 x y : (12 x2) =

Flle die Lcken aus. a) 7 d c) e) g) i)2

(8)rt jjjj= 56 r d t 7 x y z jjjj= 35 x y z (5)xy a b c jjjj= (a b c ) (abc) 1,5 t jjjj= 6 t x 4x (x3)y 12 x y jjjj= 12 x y 3 2 2 4 4 4 2

(0,5) jjjj= 4 f t 2rs:t d) 0,5 r t jjjj= r st 1)b:a f) 2 a b jjjj= 0,5 a b ( __ 4 (4) h) 11 r t jjjj= 44 r t 1 __xz k) 12 x y jjjj= 3 x y z 4b) 8 f t 3 2 4 2 2 2 2

2

Vereinfache. a) 5 x2 y 7 x2 y = c) a b b a = e) x3 7 x3 =

2x2y

0 6x3 2,05a2

b) 7 r t ( 2 t r) = 5rt __y3 1 5 4 d) __ y3 __ y3 = 2 3 6 __ab 1 3 f) 0,5 a b __ b a = 8 8 h) 3 r 4 t + 7 r + 12 t r =

4 g) 1,25 a2 __ a2 = 5

9r+8t

i) 4

8 r t + 12 t 2 r t + 2 r =

10rt+12t+2r k) 2,7 x y 2,9 x y = 0,2xy

Flle die Lcken aus. a) t + c) e)

5t5s jjjjjj+ 2 s = 4 t 3 s a + jjjjjj+ a = a ta32a t + jjjjjj t = t + t t2+2tt33 3 2

2ab+6b jjjjjj 3 b = 2 a b + 3 b d) a + jjjjjj + 1 = a 1 (2) f) b + c jjjjjj = a + b c 2c+ab)2 2

Vereinfache die Produkte, addiere und subtrahiere dann. a) 12 x y + 34 x 2 3 x 5 y + 4 x 7 y + 12 y2 = b) 3 a2 b3 4 a b3 5 a + 3 a2 b2 4 a b 4 a b =1 c) 12 c d + (3 4) c d 6 ( 3) c2 __ 4 c3 = c

25xy+68x+12y2 17a2b313a2b2

24cd+14c2 21rs2t12t2+12s2+12t

d) 45 r s2 t 12 t 2 + 6 r s 4 s t + 12 s2 4 t ( 3) =

2


Summen und Produkte 3 Fasse zusammen. Das Ergebnis der ersten Aufgabe ist der erste Ausdruck der zweiten Aufgabe usw. Wenn du nacheinander die zugehrigen Buchstaben notierst, kannst du das Lsungswort erkennen. 7xy 3yx =

4xy

T

y2 + 7 y2 =

8y2

D x y + 7 y x = 6xy R12 x3 y 13 x3 y =

O K

x3 y : x2 =

xy y2

U 6 x y 0,5 y2 = 3xy3 P4 x y 3 x2 =

x3y

3 x y3 : (3 x y) =

12x3y

Lsung:

PRODUKT

2

a)

7xy

2xy

xy

xy

xy

b)

20 a2 b + 3 c d

+ 14x2y2 2x2y2

x2y2 0

x2y2

2 20a b +5bc

5bc 3cd 3cd c 3d c 2 a2 3 d c 2 a2

16x2y2 3x2y2 13x2y2 3x2y239 x4 y4

+ 20a2b 4a2 5b

5bc

2 a2 + 5 b

5 b 2 a2

2 a2

Ergnze das Zauberquadrat so, dass das Produkt bzw. die Summe in den Zeilen und in den Spalten gleich ist. a) Produktquadrat b) Summenquadrat c) Summenquadrat5x 0,5 y2 4x

5x

x4y +z

4y + 4x

xy2+2

x y2

xy22 2xy2 +2

___ 1 xy 10

100 x

y

2x

2x + 3y

3y + z

x y2 2

y2 x x y2

20 y

__ 1 x 5

2,5xy

7x+z

3x + y

y4x

xy2

0

0

Produkt:

10x2y2

Summe:

z

Summe:

xy2

4

Finde heraus, welche Aufgaben falsch gerechnet sind. Welches Wort lsst sich aus den Buchstaben der falsch gerechneten Aufgaben bilden?2 2 2 U 7xy 3x y = 4xy 2 2 A 6 x y 5 y x = 30 x y

T

7rs + 7sr = 01 5 a b __ a b = 1 5 1 7 x __ = x 7

E

5rts 5rt = s

M 12 x y ( 4x y) = 48 x y S5 r 2 r s + r2 s = 11 r2 s

M 3 a2 b + 4 b a2 = a2 b RLsungswort:

L

SUMME


Klammern setzen und auflsen 1 Verbinde die gleichwertigen Terme. a) 3 a (4a c + c2) j j 12 a c + 12 c2 12 c (a + c) j j 12 a c2 + 6 a2 c 4 a (3 a c c2) j j 4 a2 c2 a3 c2 2 c (4 c a c) j a j 12 a2 c 4 a c2 6 a c (2 c + a) j j 12 a2 c + 3 a c2 b) y z (x2 + y z) x y ( 3 x y z 3 x y) 3 y x (z2 y + z2) x (3 x y z z y x) x y z (3 x y z + 3 x y) j j j j j j j j j j 3 x2 y2 z 3 x2 y2 3 x2 y z x2 y z x2 y z y2 z2 3 x y2 z2 + 3 x y z2 3 x2 y2 z2 3 x2 y2 z

2

Trainiere am Rechenbaum das Ausmultiplizieren und Zusammenfassen. (7 x y 4 y x) x y a) ( 1) (4 a 5) b) (3 a c 7 c a) ( 3 a + 1) 7xy 3xy 3 x2 y2 c) 8 r t (7 r + t) 8rt 7r + 7r+t 56r2t+8rt2 t 4a+5 d) ( 4 r s + s r) ( r) 4rs + 3rs 3r2s 8a2cr+14a2r +sr r 4ac 4ac7a 4xy xy 1 4a 4a5 5 3ac 4ac 12a2c4ac e) (4 a c 7 a) ( 3 a r + a r) 7a 3ar + 2ar ar 7ca 3a + 3a+1 1

Es fehlen jeweils Klammern. Ergnze. a) a c + a d = a(d +c ) b) a3 a2 = a(a2 + a) d) a3 a = a(a2 + 1)2 e) 4(3 a 4 b)= 6 2 a + 2 __ b 3

1 c) __ 9 a + 15 a2 = 3 a + 5 a2

(

)

f)

3 c 5 c __ __ 5 a = __ a c 5 4 4

(

)

(

)

4

Flle die Lcken aus. a) x c)

x y ( jjj jjj ) = x2 y x __ ( jjj + jjj ) ( x) = x 1 1 1 x

b) 3 d) f)

__ e) (7 a + 14) 1 a = a2 2 a 7(x + y x ) g) ________ = 1 + y3 3

jjj ( )

x 3y ( jjj jjj ) = 3 x 9 y r2 y r ( jjj + jjj ) = r3 + y r 6x2 jjj (x __ 1 = x3 6 x2 6

)

i)

jjj (________________ = a + 3 c 4a2c jjj jjj + 12ac2 )4ac

x3

( 10yx 15y ) h) ________________ = 2 y x 3 y 5

jjj jjj2xy

+ k) _________________ = 2 x + 1

4x2y 2xy ( jjj jjj )

4


Klammern setzen und auflsen 2 Ergnze die Tabellen. Vereinfache soweit wie mglich. a)

3x y yx

x+y

x + y

xy + x

b)

:4 x + 8 x2 12 x + 4 x y 16 x2 y2 2 x y

x

2x

4

3xy xy+y2 x2y+ xy2

3x2

3xy x2y+ xy2

3x2

3x2y 3x2

4+8x 12+4y 16xy2 2y

24x x2x2 62y 8xy2 +y 3x xy 4x2y2 +0,5xy

xy+y2 xy2+xy x2y2+ x2y

2

Lse die Klammern auf und fasse zusammen. a) a c (a d + c) = a2cd+ac2x (4 y 8 x) c) __________ = 8

b) x (x + 7 y) =

x27xy 3cd+3cd3 2xy

0,5xyx2 4a3c2+4a2c3

d) 3 ( c + d2 c ) d =x (15 y 21 y) f) ____________ = 3

e) ( a2 c + c2 a ) 4 a c =

Klammere mglichst geschickt aus. a) 4 r2 s t 8 s t =

( 4str22) __ab b+1 __+a 1 1 1 1 c) __ a b2 + ___ a b + __ a2 b = 4 4 4 4 16

(

)

b) 3 x2 y + 9 x y 12 y2 = d) 5 a + 25 a2 + 125 a b = f) 17 a b + 51 b + 68 =

3y x2+3x4y 5a(1+5a+25b)

(

)

e) 2 r2 s2 t2 + r s t = 4

rst(2rst+1)

17(ab+3b+4)

Finde heraus, welche Aufgaben falsch bearbeitet worden sind. Welches Wort lsst sich aus den Buchstaben der falsch gelsten Aufgaben bilden?

M I M

( h2

+ h3 + h ) : h = h + h2

A K X

r 2 r ( __ + r2 ) = 2 r + r3 2

L E R

3 x2 y2 (x + y) = 3 x3 y3 5 x ( 2 x + 3 y) = 10 x2 15 x y 4 r t ( r t) = 4 r2 t 4 r t 2

45 r s t 9 r s = 9 r s (5 t 1) 3 e d f (e d + 2 e d f) = 7 e d f

(s r) r s = s r2 r s2 s (1 + r) = s + r s

Lsungswort:

KLAMMER

Flle die Lcken aus. a) b)

d3 a ( jjj + a c2 a2 c ) jjj = a d3 + a2 c2 a3 c2 2

df 1 jjj ( jjjj d f ) = d f d f xy2 (1) c) jjj ( x y + jjj ) = x y x y 4x (y2) d) ( jjj + jjj ) 3 x y = 12 x y 3 x y __ 1x 8y e) jjj ( jjj + 16 ) = 2 x y + 4 x 4 (5x) 25r f) ( jjj jjj ) 5 s t = 125 r s t + 25 x s t4 3 5 5 2 2 3


Produkte von Summen 1 Ordne die Produkte den richtigen Summen zu. a) (2 c d) (3 c + d) j (4 c + 2 d) (0,5 c + 0,5 d) j ( 2 d c) ( d + 1) j (2 c + 1) (2 d 1) j (c d c) (d c d) j (c 1) (c d + 1) j b) (a + 2 b) (2 b a) j (2 a + b)2 j (4 a + b) (0,5 a b) j (2 a + 2 b)2 j (a 2 b)2 j ( 2 b a)2 j Flle die Lcken aus. a) c) e) f) j j j j j j j j j j j j 2 c2 + 3 c d + d2 c2 d + c c d 1 c2 d2 c d + c2 d + c d2 6 c2 c d d2 2 d2 + c d 2 d c 4cd 2c + 2d 1 4 a2 + 8 a b + 4 b2 a2 + 4 a b + 4 b2 4 a2 + 4 a b + b2 2 a2 3,5 a b b2 a2 + 4 b2 a2 4 a b + 4 b2

2

__ 1 1 1 c c2 2a 4ab ( c + jj ) ( jj + 1 ) = jj + c + __ c + __ b) ( jj + b )2 = 4 a2 + jj + b2 2 2 2 a2 a 2b a 2b ( jj a ) ( jj + b ) = a2 + b2 b d) ( a + jj ) ( jj jj ) = jj 4 b2 2c d ( jj 5 b ) ( 4 a + jj ) = 8 a c + 2 c d 20ab jj jj 5bd 3b 9b2 ( jj c )2 = jj 6 b c + c2

Stelle die Summen als Produkt und die Produkte als Summe dar. __ ___ 2 2 1 1 2 a) a + __ = a + a+ b) c2 6 c + 9 = 5 25 5

(

)

(c3)2 (2a+1)2

c) (3 a + c)2 = e) (5 c 2 d)2 = 4

9a2+6ac+c2 25c220cd+4d2

d) x6 x4 =

(x3+x2)x3x2) (

f) 4 a2 + 4 a + 1 =

Finde heraus, welche Aufgaben falsch bearbeitet worden sind. Welches Wort lsst sich aus den Buchstaben der richtig gelsten Aufgaben bilden?s rs s r r E ( __ + __ )2 = ( __ )2 + __ + __ U 4 2 4 4 42

1012 = 10 001 (c d a d)2 = c2 d2 2 a c d2 + a2 d2 (a 1)2 = a2 + 1

1 1 1 R ( __ 5 ) ( __ + 5 ) = ___ 25 5 5 25

D E

(2 a + b)2 = 4 a2 + b2 792 = 802 160 + 1

T B

S M

(a 2 b) (a + 2 b) = a2 + 4 b2 912 = 8100 + 180 + 1

Lsungswort:

TERMEa c b

Beschreibe die grne Flche durch ein Produkt und durch eine Summe bzw. Differenz. Produkt: Summe:

(da)(bc) bdabcd+ac

d

6


Produkte von Summen 2 Fabian sagt zu Sarah, er knne Gedanken lesen. Dazu stellt er die folgende Aufgabe: Denke dir eine Zahl und addiere 3. Quadriere jetzt das Ergebnis. Subtrahiere davon das Quadrat deiner Zahl und das sechsfache deiner Zahl. Nachdem Sarah gerechnet hat, sagt Fabian: Du hast 9 heraus! Stelle einen Term zu Fabians Aufgabe auf. Vereinfache den Term.

(x+3)2x26

= =

x2+6x+9x26 9

Wie funktioniert der Trick? DurchdieAnwendungderbinomischenFormelhebensichalleTeilemitUnbekanntengegenseitigauf.

d2 a)

e

fBeschrifte die Flchen. Multipliziere mithilfe der Grafik den Term aus. (a + b + c) (d + e + f) = ad+ae+af+bd+be+bf+cd+ce+cf

a

ad

ae

af

b cb)

bd cd a b c

be ce

bf cf

Vervollstndige das Pfeilschema.

(a + b + c) (d + e + f )Teile das Quadrat links so auf, dass der Term (a + b + c)2 dargestellt wird. Markiere Flchen gleicher Gre. Multipliziere den Term mithilfe der erstellten Grafik aus. (a + b + c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

a b c

Vereinfache bzw flle die Lcken aus. a) (x + x2 y) (y + x) = b) (x2 y) (x y + y) = c) (a + b + c)2 =

xy+x2+x2y+x3y2xy=x3+x2+x2yy2

x3y+x2yxy2y2 (a+b)2c2=a2+2ab+b2c2 x2y2y2x22xy22x2y2xy a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

d) (a + b c) (a + b + c) =

e) (x y + y + x) ( x y x y) =

f) (2 a + 2 b + 2 c) 0,5 (a + b + c) = g) (x2 + x + 1) x h)

1 x3 jjj ) = jjj 1 a 2a ( a + 2 b jjj ) ( jjj b ) = 4 a b 2 b

(

2


Gleichungen 1 Lse die Gleichungen. Es kann auch keine oder mehr als eine Lsung geben.

=a) b) c)4 x 20 2 (3 x 6) 03

3x 5

4 (x 7)

2 (1 + 4 x)

12 6 x

(4 x 8) : 12

15__ 18 9 __ 12 39

keine Lsung 4 711

5,5__ 5 7

3,2 Q 2

___ 5 3 11

2 2

0,25

3 5 8 2 Lsungen: 5,5; 0,25; __; 1 __; 1 __; 2; 2; 2; 3,2; 4; 5 ___; 7; 15; keine Lsung; Q 7

2

Viviana, Lennart und Laura haben in einer Lotterie 2400 gewonnen. Lennart bekommt vom Gewinn 300 mehr als Laura. Viviana bekommt halb soviel wie Lennart und Laura zusammen. a) Lege die Variable fest und stelle fr die drei Kinder die Terme auf.

Laurabekommtx.(AndereAnstzemglich). __ VI:1(2x+300) Terme: LA:x LE:x+300 2 __ x+x+300+1(2x+300)=2400 b) Stelle die Gleichung auf und lse sie. Gleichung: 2Variable:

3x+450=2400/3x=1959/x=650 __ 1 c) Fhre eine Probe durch. Probe: 650+650+300+ (1300+300)=2400 2Lsung: Antwort: Laurabekommt650,Lennartbekommt950undViviana800vomLotteriegewinn. Rika, Kira und Timo teilen untereinander 65 Klebebilder fr ein Sammelheft auf. Timo bekommt zuerst dreimal so viele wie Kira, muss dann aber wieder 5 zurcklegen. Rika bekommt doppelt so viele wie Timo. Wie viel Klebebilder bekommt jeder einzelne?

Timobekommt19,Kira8undRikabekommt38Klebebilder.4Multiplizierstdudasumdrei VerminderteeinerZahlmitderum viervermehrtenZahl,soerhltstdu dasselbe,wiewennduzumQuadrat derZahl7addierst! ?

Variable:

xistdiegesuchteZahl. x2+7 x2+7 7 19 |x2 |+12

Gleichung:

(x3)(x+4) x23x+4x12 x12 xProbe:

= = = =

1623=368/192+7=368 DiegesuchteZahllautet19.

Antwort:

8


Gleichungen 2 In einer Swarenhandlung mischt Herr Carstens zwei Sorten von Sigkeiten fr seine neue Angebotstten. Von Sorte 1, die 9 pro kg kostet, benutzt er 20 kg, von Sorte 2, die 18 pro kg kostet, benutzt er 25 kg. Wie viel sollte die Mischung pro kg kosten? Die Tabelle rechts hilft dir bei der Lsung. In dem Feld unten rechts entsteht durch das Aufstellen der Terme die Gleichung.Menge in kg Sorte 1 Sorte 2 Mischung Preis pro kg Gesamtpreis

20 25 45 45x=630

9 18 x

180 450 630

Gleichung: Lsung:

x=14 4514=630

Variable: xistderPreisderMischungprokg.Probe: Antwort: 2

DieMischungsollte14prokgkosten.

Ein Apotheker mchte 60%igen Alkohol herstellen. Leider hat er nur noch 20 Liter reinen Alkohol. Wie viel Liter Wasser muss er hinzugieen? __ DerApothekermuss131LiterWasserhinzufgen. 3 In seinem Feinkostgeschft mchte Herr Pretorius eine Kaffeemischung fr besondere Ansprche mischen. Von seinem kolumbianischen Kaffee (K) zu 9 pro kg benutzt er 35 kg, von seinem afrikanischen Kaffee (A) zu 10,75 pro kg nimmt er 40 kg. Wie viel muss er von seinem teuren Costa-Rica (C) Kaffee (16 /kg) zugeben, damit die Mischung 12 pro kg kostet?Menge in kg Sorte K Sorte A Sorte C Mischung Preis pro kg Gesamtpreis

35 40 x x+75

9 16 12

315 16x(x+75)12 745 Hier war der +16x Platz etwas knapp, ist das so in Ordnung?

10,75 430

Variable:

xkgistdieMengevonC

(x+75)12=745+16x x=38,75 HerrPretoriusmuss38,75kgderSorteCzurMIschungzugeben.4

Ein Kirschfruchtsaftgetrnk hat einen Fruchtgehalt von 75 %, ein Bananensaft hat einen Fruchtgehalt von 90 %. a) Wie viel Bananensaft muss man zu 500 m Kirschfruchtsaftgetrnk gieen, damit die Mischung einen Fruchtgehalt von 80 % hat?

Manmuss250mlBananensaftzumKirschfruchtsaftgetrnkgieen.b) Wie viel Wasser muss man jetzt zu der Mischung gieen, um einen Fruchtgehalt von 75 % zu erzielen?

Manmuss50mlWasserzurMischunggieen.


Gleichungen 3 Hase, Igel und Fuchs veranstalten ein Rennen. Der Igel schafft 1 m pro Sekunde und hat auf den Fuchs 60 m Vorsprung. Der Hase ist 10-mal so schnell wie der Igel und doppelt so schnell wie der Fuchs. Der Hase liegt 48 m hinter dem Fuchs zurck. a) Stelle Hase, Igel und Fuchs an geeignete Startpunkte auf der Zahlengeraden. (Es gibt verschiedene Mglichkeiten.)

Hase 100 50

Fuchs0

Igel50 100

b) Lege die Variable fest und stelle fr jedes Tier einen Term auf, der den zurckgelegten Weg beschreibt. Variable: Term Igel: Term Fuchs: Term Hase:

x:ZeitHase und Igel = x+60 = 60 = 108 = 12

x+60Hase und Fuchs = 5x =0 = 48 = 9,6

5xFuchs und Igel 5x = x+60 4x = 60 x = 15 =

10x48

c) Ermittle, wann der Hase den Igel, der Hase den Fuchs und der Fuchs den Igel berholt.

10x48 9x48 9x x

10x48 5x48 5x x

d) Wie lange bestand die Reihenfolge: 1. Igel, 2. Hase, 3. Fuchs?

DerHaseberholtdenIgelnach12s,derHasedenFuchsnach9,6s,derFuchsden Igelnach15s. DieReihenfolgebestand2,4Sekunden(9,6sbis12s).

2

Ein Schwimmbecken ist 25 m lang, 10 m breit und 2,48 m tief. Fr Wartungsarbeiten muss es leergepumpt werden. Pumpe 1 schafft 20 000 pro Stunde, Pumpe 2 10 000 pro Stunde und Pumpe 3 5000 pro Stunde. Wegen eines technischen Defekts kann Pumpe 2 erst nach 6 Stunden und Pumpe 3 erst nach weiteren 2 Stunden zugeschaltet werden. a) Lege die Variable fest und stelle fr jede Pumpe einen Term auf, der die von ihr abgepumpte Wassermenge beschreibt. Variable: Term Pumpe 1: Term Pumpe 2: Term Pumpe 3:

x:Zeit

x= = = = =

(x6)25102,48 620 720 4 __ 20 7

5(x8)Probe:__ __ 20204 =4113 7 7 __ __ 10144 =1455 7 7 __ 5124 7 __ =626Wofr gehren 7 620 dieser Strich und die 620?

b) Untersuche, wann das Becken 20x+10(x6)+5(x8) leergepumpt ist. 35x100 Fhre eine Probe durch. 35x x

__ Nach204histdasSchwimmbeckenleergepumpt. 7

0


Ungleichungen Lse die Ungleichungen und markiere das Ergebnis farbig auf der Zahlengeraden. Achte auf das richtige Zeichen. a) 3 x + 21 < 15 6 x b) 2 x 17 14 3 x c) 5 (x + 2) 25 + 20 x

6x+21 < 15

j < 6x j 6 < x j 1 j0 5 5

x17 14

j xj3 j j0

j 25x10 j 25 25x j 35 x j 1,45 5 0

5x10 25+20x

5

5

d)

(x + 3)2 > (x + 2)2

e)

(x + 3)2 < x2

f) (x 2) (x + 3) < 0

x2+6x+9 > x2+4x+4 x2+6x+9 < x2

j > 6x+9 j 4x+4 > 2x+9 j 4 > 2x j 5 > x j 2,50

j < 6x+9 j 0 < 6x j 9 < x j 1,5 j0 5 5

j < x j 2 < x+3 j 0 < x j 3 x 3< j

mathematik 8.klasse arbeitsheft

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