mathematik fuer naturwissenschaftler

7/24/2019 Mathematik fuer Naturwissenschaftler

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Mathematik fr Naturwissenschaftler


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Norbert Herrmann

Mathematik frNaturwissenschaftler

Was Sie im Bachelor wirklich brauchenund in der Schule nicht lernen


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Autor

Dr. Dr.h.c. Norbert HerrmannLeibniz Universitt Hannoverwww.mathematikistueberall.dewww.ifam.uni-hannover.de/~herrmann

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Planung und Lektorat: Andreas Rdinger, Martina Mechler

Satz: AutorensatzHerstellung: Crest Premedia Solutions (P) Ltd, Pune, Maharashtra, IndiaUmschlaggestaltung: SpieszDesign, Neu-UlmTitelbild: PanthermediaZeichnungen: Thomas Epp und der Autor

ISBN 978-3-8274-2866-0

Weitere Informationen zum Buch finden Sie unter www.spektrum-verlag.de/978-3-8274-2866-0


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Vorwort

A oAristoteles

Der Anfang ist die Halfte vom Ganzen.

So sagte es schon Aristoteles und forderte damit seine Zuhorer auf, doch bitte

auf jeden Fall erst einmal anzufangen.

Liebe Leserinnen und Leser, Sie stehen an einem neuen Lebensabschnitt. Das

Studium beginnt, und es warten viele neue Herausforderungen. Gerade wenn

Sie sich den Naturwissenschaften verschrieben haben, wird es Sie uberraschen,

wieviel Mathematik Sie dazu lernen mussen. Ohne fundierte mathematische

Grundkenntnisse ist die Welt von heute aber nicht mehr zu beschreiben und

zu begreifen. Wir wollen mit diesem Buch einen Beitrag leisten, Ihnen diesen

Anfang etwas leichter zu machen.

Dieses Buch entstand als Ausarbeitung einer Vorlesung, die der Autor im WS

2006 und SS 2007 an der Leibniz Universitat Hannover fur Studierende der

Chemie, Biologie, Life Science, Geowissenschaften und Biochemie gehalten hat.

Er beschritt damals Neuland. Denn bislang war die Philosophie stets:

Die Studierenden haben zwar Abitur, aber von Mathematik keine

Ahnung. Wir mussen also bei Null anfangen, um in dem ersten Stu-

dienjahr wenigstens die Grundbegriffe der Mathematik vermitteln

zu konnen.

Da der Autor mehrere Jahre lang selbst an einer Schule unterrichtet hat und

weil seine Frau als Mathematik- und Physiklehrerin ihm stets direkten Einblick

in den Schulalltag geben konnte, lag ein anderes, ja neues Vorgehen hier auf der

Hand.

Wir gehen daher in diesem Buch davon aus, dass alle Abiturientinnen und Ab-

iturienten etwas vom Differenzieren und Integrieren verstehen und auch schon

kleine lineare Gleichungssysteme gelost haben.

Wir beginnen im ersten und zweiten Kapitel damit, einige Grundbegriffe der Li-

nearen Algebra vorzustellen, soweit wir sie spater benotigen. Da ist zum einen

ein gutes effektives Verfahren zum Losen von groen linearen Gleichungssyste-

men. Wir berichten uber das L-R-Verfahren mit Pivotisierung, wie es in vielen

kommerziellen Rechenprogrammen verwendet wird. Dann brauchen wir spater

bei der Rotation und der Hessematrix etwas von Determinanten.

Im dritten Kapitel kommen wir zur Analysis. Hier bauen wir auf den Schul-

kenntnissen auf und beginnen gleich mit der Analysis im Mehrdimensionalen.


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vi

Dadurch gewinnen wir viel Zeit, die wir zur ausfuhrlichen Erlauterung der kom-

plizierten Fachtermini verwenden konnen. Die eindimensionale Analysis aus der

Schule wird aber immer wieder mal als Beispiel herangezogen. Viele vollst andig

durchgerechnete Beispiele sollen gerade den Erstsemestlern helfen, die abstrak-

ten Begriffe zu verstehen. Auf die Weise gelingt es uns, schon im ersten Semester

mehrdimensionale Integrale und die beruhmten Satze von Gau und Stokes zu

erklaren. Das ist echtes Neuland.

Die Splinefunktionen im Kapitel 11 sind ausgesprochen wichtige Hilfsmittel fur

Anwender. In Experimenten erhalten wir manchmal sehr viele Werte, die dann

durch eine Kurve verbunden werden mochten. Polynome waren lange Zeit Stan-

dard, um solche Aufgaben zu losen. Wer aber jemals versucht hat, 100 Mess-

punte durch ein Polynom darzustellen, wird diesen Versuch nie wieder wagen.

Hier sind Splines ein sehr probates Hilfsmittel, die sich auch sehr leicht in Com-

puterprogramme einbeziehen lassen.

Kapitel 12 und 13 sind den Differentialgleichungen gewidmet. Sie als Natur-

wissenschaftlerinnen und -wissenschaftler werden sehr schnell in Ihrem weite-

ren Studium erkennen, dass diese neuen Gleichungen fast die ganze Natur zu

beherrschen scheinen. Wir werden nicht viel Zeit darauf verwenden, die theore-

tischen Grundlagen und Losungsmoglichkeiten zu erklaren, sondern wollen uns

der Praxis zuwenden. Gerade heute mit Einsatz groer Computer sind numeri-

sche Methoden sehr gefragt und lassen sich hocheffizient einsetzen. Wir konnen

allerdings nur die ersten Anfange schildern.

Das Kapitel 14 enthalt eine kurze Einleitung in die Wahrscheinlichkeitsrech-

nung, ebenfalls ein mathematisches Teilgebiet, das in sehr vielen Anwendungs-

bereichen anzutreffen ist.

Vielen Dank mochte ich meinem Lektor, Dr. Andreas Rudinger, vom Spektrum-

Verlag sagen, der das ganze Manuskript mit groer Akribie gelesen hat und mir

mit vielen Fragen und Anregungen sehr geholfen hat. Auch seiner Kollegin,

Martina Mechler, sei herzlich gedankt. Sie hat sich vor allem um die Graphiken

gekummert.

Ein besonders groer Dank gilt meiner lieben Frau. Viele schone Nachmittag

hat sie ohne mich zubringen mussen, weil ich ja noch etliche Seiten Manuskript

zu schreiben hatte.

Nun wunsche ich Ihnen, dass dieser Anfang fur Sie mit groem Erfolg gemeistert

wird. Es ist sehr wichtig, etwas anzupacken und aktiv zu gestalten. Hat man

das geschafft, so ist ja bereits die Halfte erreicht, sagt Aristoteles.

Ich wurde mich uber Ruckmeldungen zu diesem Buch sehr freuen. Vielleichthelfen Ihnen die gelosten Ubungsaufgaben, die der Verlag im Internet zum Her-

unterladen bereitstellen wird.

In diesem Sinne: Packen wirs an. Viel Erfolg!

Norbert Herrmann


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Inhaltsverzeichnis

1 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Erklarungen und Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Rechnen mit Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Rang einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Quadratische Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 Inverse Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7 Orthogonale Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Determinanten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1 Erste einfache Erklarungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Elementare Umformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1 Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Existenz und Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 Determinantenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 L-R-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4.1 Die Grundaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4.2 Existenz der L-R-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4.3 L-R-Zerlegung und lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.5 Pivotisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5.1 L-R-Zerlegung, Pivotisierung und lineare Gleichungssysteme . . . 50

3.5.2 L-R-Zerlegung, Pivotisierung und inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . 52

4 Funktionen mehrerer Veranderlicher Stetigkeit . . . . . . . . . . . 55

4.1 Erste Erklarungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2 Beschranktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3 Grenzwert einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5 Funktionen mehrerer Veranderlicher Differenzierbarkeit . . 69

5.1 Partielle Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2 Hohere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.3 Totale Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.4 Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.5 Relative Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.6 Wichtige Satze der Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6 Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.1 Kurvenstucke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.2 Kurvenintegral 1. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.3 Kurvenintegral 2. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113


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viii Inhaltsverzeichnis

6.4 Kurvenhauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7 Doppelintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.1 Berechnung des Doppelintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.2 Transformation der Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.3 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

8 Dreifachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

8.1 Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

8.2 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

8.3 Transformation der Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

8.4 Kugel- und Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

9 Oberflachenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

9.1 Oberflachenintegrale 1. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

9.2 Oberflachenintergale 2. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

10 Integralsatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

10.1 Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

10.2 Der Divergenzsatz von Gau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

10.3 Der Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

11 Interpolation mit Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

11.1 Einfuhrendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17211.2 Existenz und Eindeutigkeit der Polynominterpolation . . . . . . . . . . . . . 173

11.3 Interpolation mit linearen Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

11.4 Interpolation mit Hermite-Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

11.5 Interpolation mit kubischen Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

12 Gewohnliche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

12.1 Diese Mathematiker immer mit Existenz und Eindeutigkeit . . . . . . . . 196


12.3 Numerische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20012.4 Euler-Polygonzug-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

12.5 Zur Konvergenz des Euler-Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

12.6 Runge-Kutta-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

12.7 Zur Konvergenz des Runge-Kutta-Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

12.8 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

13 Partielle Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

13.1 Typeinteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

13.2 Laplace- und Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

13.2.1 Eindeutigkeit und Stabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

13.2.2 Zur Existenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

13.2.3 Differenzenverfahren fur die Poissongleichung . . . . . . . . . . . . 217

13.2.4 Zur Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222


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Inhaltsverzeichnis ix

13.3 Die Warmeleitungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225


13.3.2 Zur Existenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

13.3.3 Differenzenverfahren fur die W

armeleitungsgleichung . . . . . 228

13.3.4 Stabilitat des Differenzenverfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

13.4 Die Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235


13.4.2 Zur Existenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

13.4.3 Differenzenverfahren fur die Wellengleichung . . . . . . . . . . . . 238

13.4.4 Stabilitat des Differenzenverfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

14 Kurze Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . 245

14.1 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24514.1.1 Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

14.1.2 Variationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

14.1.3 Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

14.1.4 Ein Sitz- und ein ungelostes Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

14.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

14.2.1 Definitionsversuch nach Laplace und von Mises . . . . . . . . . . 256

14.2.2 Axiomatische Wahrscheinlichkeitstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . 261

14.2.3 Einige elementare Satze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

14.2.4 Bedingte Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

14.2.5 Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

14.2.6 Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

14.2.7 Erwartungswert und Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

14.2.8 Tschebyscheffsche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

14.2.9 Gesetz der groen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

14.2.10 Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

14.2.11 Poissonverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

14.2.12 Gau- oder Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

14.2.13 Grenzwertsatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287


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1 Matrizen

Ubersicht1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Erklarungen und Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Rechnen mit Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Rang einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Quadratische Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 Inverse Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7 Orthogonale Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.1 EinleitungIn der Schule haben wir im Mathematikunterricht viele Zahlen kennen gelernt.

1. Da waren zuerst

naturliche Zahlen N = 1, 2, 3, 4, 5, . . . .

Der groe Mathematiker Leopold Kronecker hat erklart, dass diese Zahlen

der liebe Gott gemacht hat. Also werden wir uns auch nicht weiter um ei-

ne Erklarung bemuhen. In manchen Buchern nimmt man auch die Null zu

den naturlichen Zahlen hinzu. Ein Kollege von mir begann seine Vorlesung

stets mit dem Paragraphen1, fur ihn gehorte wohl auch diese Zahl zu dennaturlichen. Das kann man halten wie Frau Nolte die machte es, wie sie

wollte.

2. Dann kamen

ganze Zahlen Z =. . . ,4,3,2,1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . .

Das sind also die positiven und negativen Zahlen im umgangssprachlichen

Sinn, und die Zahl 0 bitte nicht zu vergessen.

3. Das nachste sind

rationale Zahlen Q = p

q, q= 0.

N. Herrmann,Mathematik fr Naturwissenschaftler,DOI 10.1007/978-3-8274-2867-7_1,

Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2012


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2 1 Matrizen

Das sind also alle Bruche, echt oder unecht ist egal. Nur durch 0 teilen wollen

wir nicht, sonst kommen wir in die Holle. Zugleich konnen wir diese Zahlen

darstellen als endlichen oder periodischen Dezimalbruch.

4. Danach stehen auf dem Plan

reelle Zahlen R.

Sie mathematisch korrekt zu beschreiben fallt ziemlich schwer. Daher nur

eine vage Andeutung: Es sind alle Zahlen, die sich als Dezimalbruch schreiben

lassen, also als Zahl

a, a1a2a3a4. . .

Der kann unendlich lang sein, ohne periodisch zu werden.

5. Dann bleiben noch

komplexe Zahlen C =a+i b,a,b RDie werden wir in einem Extraabschnitt spater vorstellen.

Fur uns interessant ist, dass wir mit all diesen Zahlen rechnen gelernt haben.

Dabei haben wir bestimmte Gesetzmaigkeiten eingehalten. Wie gesagt, das war

alles in der Schule ausfuhrlich dran.

1.2 Erklarungen und Bezeichnungen

Hier wollen wir eine vollig neue Welt kennen lernen, namlich die Welt der Ma-

trizen. Das sind zu Beginn etwas eigentumliche Gebilde, mit denen wir dann so

umgehen mochten wie mit Zahlen. Wir wollen also mit ihnen rechnen. Bitte fra-

gen Sie jetzt nicht nach dem Sinn dieser Gebilde. Wir werden spater sehen, wo

wir sie mit groem Gewinn einsetzen konnen. Wir beginnen mit der Definition:

Definition 1.1 (Matrix)

Unter einer (m, n)-Matrix A Rmn verstehen wir ein rechteckiges Zahlen-schema, das aus m Zeilen und n Spalten besteht. Die Eintr age sind i.a. reelle

Zahlen:

A=

a11 . . . a1n

a21 . . . a2n...

......

am1 . . . amn

= (aij) 1im1jn (1.1)


14/302

1.2 Erklarungen und Bezeichnungen 3

Wir nennen also ein solches Schema eine Matrix. Der Plural heit dann Matri-

zen. Beachten Sie bitte den Unterschied zu Matrizen, die man in der Druckerei

findet. Deren Singular lautet die Matrize. Und verwechseln Sie bitte den Begriff

nicht mit den Matratzen in Ihren Betten.Beispiel 1.1

Wir betrachten folgende Beispiele, auf die wir spater Bezug nehmen wollen:

1.

A=

1 12 3

4 5

.

Das ist eine(3, 2)-Matrix, A R32 mit z.B. a22= 3, a31= 4.2.

B =

1 1 2

Das ist eine (1, 3)-Matrix, also eine einzeilige und dreispaltige Matrix. In

diesem Sinne sind dann auch die Vektoren, die wir aus der Schule kennen,

als Matrizen aufzufassen. H aufig trennt man bei Vektoren, wenn man sie als

Zeilenvektoren schreibt, die Komponenten durch Kommas, also

a= (1,1, 2).3.

C=

2 3

1 5

Dies ist eine zweizeilige und zweispaltige Matrix. Wir nennen solche Matrizen

mit gleich vielen Zeilen und Spalten auch quadratisch.

4.

D=

1 3 0

3 2 40 4 0

Diese MatrixD ist wieder quadratisch, auerdem ist sie symmetrisch, wenn

wir uns einen Spiegel von links oben nach rechts unten gestellt denken.

Definition 1.2 (Symmetrische Matrix)

Einen n-MatrixA= (aij) 1in1jn heit

symmetrisch aij =aji f ur1 i, j n. (1.2)


15/302

4 1 Matrizen

Definition 1.3 (Nullmatrix)

Einen n-MatrixA= (aij) 1in1jn

mit

aij = 0 f ur1

i, j

n (1.3)

heit NullmatrixO.

Dies ist z.B. eine quadratische 3 3-Null-Matrix:

O =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Noch ein weiterer Name sei hier angefugt.

Definition 1.4 (Transponierte Matrix)

SeiA einem n-MatrixA= (aij) 1im1jn

. Dann heit

A := (aji), 1 j n, 1 i m transponiert zuA. (1.4)

Die transponierte Matrix A erhalt man also, indem man Zeilen und Spalten

in A vertauscht.

Der folgende Satz ist sofort einsichtig.

Satz 1.1

Es gilt f ur alle(m n) MatrizenA, B

(A) = A. (1.5)

(A+B) = A +B (1.6)

Zur Veranschaulichung betrachten wir obige Beispiele und bilden ihre Transpo-nierten. Es ist

A =

1 2 41 3 5

, B =

1

12

, C =

2 13 5

D = 1 3 0

3 2 40 4 0

, O = ODas sind also alles ziemlich einfache Begriffe, die wir nur als Abkurzung benut-

zen.


16/302

1.3 Rechnen mit Matrizen 5

1.3 Rechnen mit Matrizen

Hier wollen wir lernen, wie wir mit diesen neuen Gebilden umgehen mussen.

Rechnen heit vor allem addieren, subtrahieren und multiplizieren. Zum Divi-dieren werden wir spater ausfuhrlicher Stellung nehmen. Naturlich konnen wir

nur gleichartige Matrizen addieren oder subtrahieren.

Definition 1.5 (Rechenregeln)

SeienA= (aij), B = (bij) Rmn zwei Matrizen mit gleich vielen Zeilen undSpalten und seix R eine reelle Zahl. Dann sei

A= B : aij =bij f ur i= 1, . . . , m , j = 1, . . . , n . (1.7)c A := (c aij). (1.8)

A+B := (aij+bij) (1.9)

Wir multiplizieren also eine Matrix mit einer Zahl, indem wir einfach alle Ein-

trage mit dieser Zahl multiplizieren. Addieren geht ebenfalls so, wie gedacht,

namlich elementweise. Eine kleine Rechenaufgabe dazu sollten Sie zur Ubung

bewaltigen:

Beispiel 1.2

Sei

A=

1 2 30 2 1

, B =

0 1 12 0 3

.

Berechnen Sie bitte

C= 2 A 3 B+A+ 2 B.

C = 2

1 2 30 2 1

3

0 1 12 0 3

+

1 2 30 2 1

+ 2

0 1 12 0 3

= 3 7 102 6 0 Wie wir unschwer sehen, ist das Ergebnis gleichC= 3 AB. Das h atten wirauch vorher schon sehen k onnen, denn wir halten fest, dass f ur diese Addition

und die Multiplikation mit einer reellen Zahl das Assoziativ-, das Kommutativ-

und das Distributivgesetz gelten, wie man ja auch sofort sieht.


17/302

6 1 Matrizen

Wir wollen jetzt versuchen, Matrizen miteinander zu multiplizieren; aber dabei

mussen wir sehr vorsichtig vorgehen. Leider ist es hier so wie auch an anderen

Stellen in der Mathematik: das leichte ist leider nicht verwertbar.

Wir starten mit dem simplen Vorschlag, die Multiplikation analog zur Additionzu erklaren, namlich elementweise. Um nicht die Ubersicht zu verlieren, zeigen

wir die Idee nur an kleinen Matrizen. Wir probieren folgende Festlegung:a11 a12

a21 a22

b11 b12

b21 b22

=

a11 b11 a12 b12a21 b21 a22 b22

Der Grund, warum wir diese einfache Version nicht wahlen, liegt etwas tiefer.

Tatsachlich wollen wir so weit auch gar nicht in die Mathematik einsteigen.

Sie sollten aber, liebe Freunde, im Blick behalten, dass Mathematiker nichtsohne Grund definieren. Wir wollen Ihnen daher den wirklich guten Grund kurz

erzahlen.

Man kann Matrizen benutzen, um lineare Abbildungen zu beschreiben. Das

sind Drehungen, Spiegelungen usw. Zu jeder solchen Abbildung gehort eine Ma-

trix, nennen wir sie A und B. Naturlich mochte man solche Abbildungen auch

miteinander verknupfen. Und tatsachlich gehort zu einer solchen Hintereinan-

derausfuhrung wieder eine Matrix, die sich auf komplizierte Weise berechnen

lasst. Genau die so entstehende Matrix definieren wir als Produktmatrix der

beiden MatrizenA und B . So, jetzt wissen Sie es. Aber wir werden darauf nicht

mehr zuruckkommen, sondern erklaren jetzt die richtige Multiplikation.

Die folgende Definition sieht sehr formal aus, kurz danach aber werden wir ein

wundervolles Schema von Sigurd Falk angeben, nach dem sich diese Multiplika-

tion sehr einfach ausfuhren lasst.

Definition 1.6 (Matrizenmultiplikation)

Sei A = (aij) Rmn eine m n-Matrix und B = (bjk) Rnr eine n r-

Matrix. Beachten Sie bitte, dass die Anzahl der Spalten vonA gleich der Anzahlder Zeilen vonB vorausgesetzt wird. Dann sei

C := A B = (cik) diem r-Matrix mit (1.10)

cik :=

nj=1

aij bjk , i= 1, . . . , m , k = 1, . . . , r (1.11)

Das sieht furchterregend aus, oder? Aber nicht verzagen, Falk wird es richten.

Er hatte namlich die Maikaferidee. Wie das?Betrachten wir das ganze am Beispiel. Dazu seien

A=

1 1 23 2 4

, B =

1 2 1 1 4

2 3 6 23 1 4 0


18/302


A hat also 3 Spalten und B hat 3 Zeilen, das passt zusammen. Wir werden

am Schema diese Bedingung direkt ablesen konnen, mussen also unseren Kopf

damit nicht belasten.

Wir schreiben jetzt die beiden Matrizen in einer etwas eigenwilligen Form auf,namlich in einem Dreiecksschema.

1

3

-1

-2

2

4

1

-2

3

2

3

1

11

6

4

4

2

0

13

19

A

B

A B

Abb. 1.1 Das Falk-Schema zur Multiplikation von Matrizen.

Wir wollen das Produkt A B berechnen. Dazu schreiben wir A links etwasnach unten versetzt und B nach oben rechts. Jetzt der Maikafertrick: So wie

zwei Maikafer aufeinander zu krabbeln, krabbeln wir von links nach rechts und

zugleich von oben nach unten. Dabei werden die getroffenen Zahlen miteinander

multipliziert und die Produkte dann aufsummiert. Wir haben zwei Beispiele

eingezeichnet. Da krabbeln wir die erste Zeile der linken Matrix von links nach

rechts und die dritte Spalte der oberen Matrix von oben nach unten. Dabei

rechnen wir

1 11 + (1) 6 + 2 4 = 13.

Genau an den Kreuzungspunkt der beiden Krabbellinien schreiben wir diese 13hin. Als zweites krabbeln wir die zweite Zeile der linken Matrix von links nach

rechts und zugleich die erste Spalte der oberen von oben nach unten mit der

Rechnung

3 1 + (2) (2) + 4 3 = 19und der 19 am entsprechenden Kreuzungspunkt.

Es ist nicht verboten, hier mit den eigenen Fingern die Zeilen und Spalten zu

durchlaufen. Wenn Sie das dreimal gemacht haben, wird es richtig einfach, ja

und dann macht es sogar Spa. Hier das vollstandige Ergebnis:


19/302

8 1 Matrizen

1

3

-1

-2

2

4

1

-2

3

2

3

1

11

6

4

4

2

0

9 1 13 2

19 4 37 8

A

B

A B

Abb. 1.2 Das Ergebnis der Multiplikation der beiden MatrizenA und B

Wir erhalten

A B =

9 1 13 2

1 9 4 3 7 8

.

Jetzt verrate ich Ihnen auch noch, wie man an dem Schema direkt sieht, ob

die Multiplikation uberhaupt erlaubt und durchfuhrbar ist. Erinnern Sie sich,

dass wir in der Definition gefordert haben, dass die Anzahl der Spalten von

A gleich der Anzahl der Zeilen von B ist? Wer will sich denn so einen Satzmerken? Siehste da, mussen wir auch gar nicht, ergibt sich namlich ganz von

selbst. Schauen Sie nur genau hin.

Abb. 1.3 Der von links krabbelnde Maikafer trifft auf sechs Spalten, also muss der von

oben herunter krabbelnde genau sechs Zeilen haben. Und die Produktmatrix hat genau

so viele Zeilen wieA und genau so viele Spalten wieB. Sieht man doch, oder?

Bilden Sie sich doch bitte selbst weitere Moglichkeiten, um zu sehen, ob die

Multi-Tour geht oder nicht.


20/302


Wie sich das fur ein gutes Rechnen gehort, kommen wir jetzt mit sehr

verunftigen Rechenregeln. Zunachst setzen wir fest:

Definition 1.7 (Einheitsmatrix)

Die Matrix

E=

1 0 00 1 0...

.... . .

...

0 0 1

(1.12)

heit Einheitsmatrix.

Satz 1.2 (Rechenregeln)

Wir setzen voraus, dass alle folgenden Operationen f ur die beteiligten Matrizen

A , B , . . . durchf uhrbar sind. Dann gilt:

1. Assoziativgesetz: (A+B) +C=A+ (B+C)

2. Kommutativgesetz: A+B =B +A

3. Neutrales Element f ur Addition: A+O = O +A= A4. Assoziativgesetz: A

(B

C) = (A

B)

C

5. Neutrales Element f ur Mult.: A E=E A= A,die EinheitsmatrixE verh alt sich also bei Multiplikation neutral.

6. Distributivgesetz: A (B+C) =A B+A C7. Transponierte: (A B) =B A

Das mussen wir noch etwas kommentieren.

1. Die Gesetze 1. bis 4. und 6. sind sehr naturlich und leicht einsichtig.

2. Dass die Einheitsmatrix beim Multiplizieren nichts verandert, sollten wir malkurz nachrechnen, damit auch das einsichtig wird. Wenn wir das fur eine

(3 3)-Matrix vorfuhren, glauben Sie mir das wohl auch fur eine (5 5)-Matrix. Fur eine (99 99)-Matrix mag rechnen, wer will, aber wir sind dochnicht blod.

1 2 3

4 5 6

7 8 9

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 2 3

4 5 6

7 8 9


21/302

10 1 Matrizen

3. Das Gesetz 7. uber die Transponierte ist dagegen vollig uberraschend, und

viele Anfanger wollen es einfach nicht glauben. Aber man muss es akzeptie-

ren, dass sich die Reihenfolge beim Transponieren eines Produktes umkehrt.

Wir prufen das einfach mal an einem Beispiel nach.

SeiA=

2 10 3

, B =

1 1

0 1

.

Dann ist (bitte, bitte nachrechnen)

(A B) = 2 0

1 3 , A B =

2 0

2 3 , aber B A =

2 0

1 3 4. Es sollte Ihnen auffallen, das wir kein Kommutativgesetz fur die Multiplika-

tion behauptet haben. Und tatsachlich, dieses Gesetz ist nicht erfullt. Wie

sicher ist uns doch die Regel daher gelaufen, dass immer und uberall 5 8dasselbe ergibt wie 8 5. Hier begegnet uns zum ersten Mal ein Rechenbe-reich, wo dieses Gesetz nicht gilt. Bitte merken Sie sich das ganz fest. Es ist

wirklich sehr wichtig, und ein Fehler bei dieser Rechnung kann sich bitter

rachen.

Selbst bei quadratischen MatrizenA undB, wo ja sowohlA B als auchB Aals Produkt erklart ist, kommt in der Regel nicht das gleiche heraus. Also

auch hierfur ein Beispiel:

Mit obigen Matrizen A undB haben wir

A B =

2 1

0 3

, aber B A=

2 2

0 3

.

Es ist also im allgemeinen

A B=B A.

Wir sollten nicht versaumen zu sagen, dass fur die Widerlegung des Kommuta-

tivgesetzes ein Gegenbeispiel ausreicht. Auch dass (A B) =A B ist, kannmit einem einzigen Beispiel gezeigt werden. Dass aber immer (AB) =B Aist, musste mit einem allgemeinen Beweis begrundet werden, den wir uns hier

ersparen.

1.4 Rang einer Matrix

Jetzt kommen wir zu einem sehr wichtigen Begriff, den wir spater bei der Losung

von linearen Gleichungssystemen wunderbar gebrauchen konnen. Von der Schule


22/302

1.4 Rang einer Matrix 11

her kennen wir den Begrifflinear unabhangig bei Vektoren. Jetzt fassen wir

die Zeilen bzw. Spalten einer Matrix als Vektoren auf und erkl aren:

Definition 1.8 (Zeilenrang, Spaltenrang)

Der Zeilenrang bzw. Spaltenrang einer MatrixA ist die maximale Anzahl linear

unabh angiger Zeilen- bzw. Spaltenvektoren.

Der folgende Satz ist volliguberraschend, auch wenn er so leicht zu formulieren

ist:

Satz 1.3

Es ist f ur alle MatrizenA Rmn

Zeilenrang = Spaltenrang.

Wieso ist dasuberraschend? Betrachten Sie bitte mal die Matrix

A=

2 3 1 4 12 2 1 3 210 0 1 1 4

.

Sie hat drei Zeilen und funf Spalten. Offensichtlich sind die erste und zweite

Zeile linear unabhangig. Wenn wir aber die erste Zeile mit 2 und die zweite

Zeile mit3 multiplizieren und dann beide addieren, so erhalten wir die dritteZeile:

2 (2, 3,1, 4, 1) + (3) (2, 2,1, 3, 2) = (10, 0, 1,1,4).Die dritte Zeile ist also ein Vielfaches der ersten und der zweiten Zeile, also von

ihnen linear abhangig. Damit ist der Zeilenrang gleich 2.

Und jetzt sollte nach unserem Satz auch der Spaltenrang genau gleich zwei

sein, also nur zwei Spalten linear unabhangig und alle anderen von diesen linear

abhangig sein? Das ist doch vollig unglaubwurdig. Diese Aufgabe habe ich mal

unangekundigt in einer Klausur gestellt. Tatsachlich haben 90 % der Studie-

renden den Zeilenrang richtig mit zwei angegeben, den Spaltenrang dann aber

mit funf. Hier muss man die erste Spalte mit 1/10 und die zweite Spalte mit

4/10 multiplizieren und dann beide addieren, um die dritte Spalte zu erhal-ten. Analog lassen sich die Spalten vier und funf aus den Spalten eins und zwei

kombinieren.

In der Tat ist dies einer der uberraschendsten Satze der Anfangermathematik,

und Sie sollten ihn schon verblufft zur Kenntnis nehmen.


23/302

12 1 Matrizen

Interessant ist vielleicht folgende Bemerkung. Im Beweis dieses Satzes fur reelle

Matrizen, derubrigens nicht so schwer ist, wird mitten drin irgendwo das Kom-

mutativgesetz der Multiplikation reeller Zahlen gebraucht, also a b = b a. In

Bereichen, wo dieses Gesetz nicht gilt, haben wir daher auch evtl. die Ranggleich-heit nicht. Einen solchen Bereich haben wir gerade bei den Matrizen kennen ge-

lernt. Wenn wir also Matrizen betrachten, deren Eintrage kleine (22)-Matrizensind, so kann dort der Zeilenrang verschieden vom Spaltenrang sein.

Hier noch drei leichte Beispiele zum Rang einer Matrix:

A=

2 0 0 0

0 3 0 2

0 0 0 10 0 0 0

, B =

1 2 3 4

0 0 1 2

0 0 0 1

, C=

1 2 1

0 1 1

0 2 2

Wir wissen ja, dass der Nullvektor stets von jedem anderen Vektor linear

abhangig ist. Damit erhalten wir

rg(A) = 3, rg(B) = 3, rg(C) = 2.

Um bei komplizierteren Matrizen den Rang bestimmen zu konnen, aber nicht

nur aus diesem Grund betrachten wir einige Rechenoperationen:

Definition 1.9 (Elementare Umformungen)

Folgende Zeilen- bzw. Spaltenumformungen heien elementare Umformungen:

1. Vertauschen von zwei Zeilen bzw. Spalten,

2. Multiplikation einer Zeile bzw. Spalte mit einer Zahlc = 0,3. Addition eines Vielfachen einer Zeile bzw. Spalte zu einer anderen Zeile bzw.

Spalte.

Der nachste Satz erklart uns den Sinn dieser Operationen:

Satz 1.4

Durch diese elementaren Umformungen wird der Rang einer Matrix nicht

ver andert.

Das ist doch klasse, jetzt konnen wir manipulieren und dadurch leichter den

Rang bestimmen. Betrachten wir ein Beispiel.

A=

1 2 21 0 1

1 1 3

.


24/302

1.4 Rang einer Matrix 13

In das Manipulieren wollen wir jetzt eine strenge Ordnung bringen. Man konnte

ja die elementaren Umformungen beliebig auf die Matrix los lassen, zeilen- oder

spaltenweise oder gemischt, aber dann verliert man schnell den Uberblick. Wir

arbeiten daher nur mit Zeilenumformungen und lassen stets die erste Zeile, wennmoglich, vollig ungeschoren. Sonderfalle kommen spater.

Dann multiplizieren wir die erste Zeile mit solch einer Zahl, dass bei Addition

der ersten Zeile zur zweiten Zeile dort das erste Element a21 verschwindet. In

der MatrixA oben mussen wir dazu die erste Zeile mit 1 multiplizieren. Wennwir sie dann zur zweiten Zeile addieren, erhalten wir a21= 0, fein.

Genau so manipulieren wir die dritte Zeile, indem wir einfach die erste Zeile zu

ihr addieren, also mit 1 multiplizieren und dann addieren, wenn Sie so wollen:

A=

1 2 21 0 1

1 1 3

(1) 1

1 2 20 2 10 1 1

So haben wir locker zwei Nullen in die erste Spalte unterhalb des Diagonalele-

mentes erzeugt. Das war der erste Streich. Jetzt arbeiten wir weiter mit der

zweiten Spalte, um wieder unterhalb des Diagonalelementes a22 Nullen zu er-

zeugen usw., bis wir am Ende eine obere Dreiecksmatrix haben, in der also

unterhalb der Diagonalen nur Nullen stehen. Der Rang einer solchen Matrix istdann leicht abzulesen.

Satz 1.5

Jede (m n)-Matrix A l asst sich durch elementare Umformungen, also ohneihren Rang zuandern, in die Zeilenstufenform

A=

0

0 0 0

0 0 0 0

, (1.13)

uberf uhren. Ihr Rang ist dann gleich der Anzahl der Stufen. Sie sind hier mit

gekennzeichnet.

Die mit gekennzeichneten Platze sind dabei Zahlen= 0, unter den Stufenstehen nur Nullen. Sonst konnen beliebige Zahlen auftreten.

Jetzt erleichtern wir uns die Schreiberei noch etwas. Die erzeugten Nullen

mussen wir doch gar nicht aufschreiben. Wir machen ja unter das Diagonalele-ment einen Strich, darunter stehen nach richtiger Rechnung nur Nullen. Diese

Platze benutzen wir jetzt dazu, unsere Faktoren, die wir oben rechts an die Ma-

trix geklemmt haben, hineinzuschreiben. Wir werden ihnen spater (vgl. S. 39)

einen eigenen Namen geben. Ihr Eintrag unterhalb der Stufen wird uns dann zu

einer leichten Losungsmethode bei linearen Gleichungssystemen fuhren.


25/302

14 1 Matrizen

Obige Matrix lautet dann:

A= 1 2 2

1 0 11 1 3

1 2 2

1 2 11 1 1

Ich hoffe, Sie verstehen auch sofort den zweiten Schritt:

A=

1 2 21 0 1

1 1

3

1 2 21 2 1

1

1

1

1 2 21 2 1

1

1/2

1/2

Jetzt ist unsere Matrix in Zeilenstufenform, und wir sehen, dass ihr Rang 3 ist.

Betrachten wir noch ein Beispiel, um das Gelernte zu festigen.

B =

1 2 5 02 0 2 41 3 7 13 1

1 7

Das sieht doch nach einer ganz gewohnlichen Matrix aus, man konnte vermuten,

dass ihr Rang 4 ist. Mal sehen. Wir schreiben nur die verkurzte Form auf, Sie

werden es hoffentlich verstehen.

B

1 2 5 02 4 8 4

1 1 2 1

3 7 14 7

1 2 5 02 4 8 4

1 1/4 0 0

3 7/4 0 0

Wer hatte das vorher erkannt? Diese Matrix hat man gerade den Rang 2, nur

die ersten zwei Zeilenvektoren sind linear unabhangig. Also bitte nicht tauschen

lassen.

Hier noch ein kleines Beispiel, das uns lehrt, mit dem Begriff Rang nicht so ganz

sorglos umzugehen.

A= 1 22 4 , B = 2 41 2 Dann ist

rg(A) = rg

1 2

2 4

= rg

1 2

2 0

= 1


26/302

1.5 Quadratische Matrizen 15

und

rg(B) = rg 2 4

1 2 = rg

2 4

1/2 0 = 1,

aber es ist 2 41 2

1 2

2 4

0 0

0 0

.

Damit ist der Rang des Produktes rg(A B) = 0. Beweisen konnen wir nurfolgende recht schwache Aussage:

Satz 1.6

SindA undB zwei Matrizen mit jeweilsm Zeilen undn Spalten, so gilt:

rg(A B) min(rg(A), rg(B)). (1.14)

1.5 Quadratische Matrizen

Definition 1.10 (Quadratische Matrix)

Eine (m n)-Matrix heit quadratisch, wennm= n ist, wenn also die Anzahlder Zeilen gleich der Anzahl der Spalten ist. Die Zahlenreihe a11, a22, . . . , ann

heit die Hauptdiagonale vonA. Die Summe der Hauptdiagonalelemente

sp (A) :=a11+a22+

+ann

heit die Spur vonA.

Ein Beispiel gefallig?

A=

1 2 3

2 1 11 0 3

= sp (A) = 1 + 1 + 3 = 3.

Definition 1.11 (Diagonalmatrix)

Eine quadratische MatrixA heit Diagonalmatrix, wenn auerhalb der Haupt-

diagonalen nur Nullen stehen.


27/302

16 1 Matrizen

Definition 1.12 (Symmetrische Matrix)

Eine quadratische MatrixA heit symmetrisch, wenn gilt:

A= A. (1.15)

Eine quadratische MatrixA heit schiefsymmetrisch , wenn gilt:

A= A. (1.16)

Auch diese Begriffe sind sehr anschaulich. Spiegeln Sie die Matrix A an ihrer

Hauptdiagonalen. Entsteht dann dieselbe Matrix, so ist sie symmetrisch. Andern

sich alle Vorzeichen bei sonst gleichen Zahlen, so ist sie schiefsymmetrisch. Klar,

dass eine schiefsymmetrische Matrix nur Nullen auf der Hauptdiagonalen haben

darf.

Der folgende Satz lasst sich manchmal bei physikalischen Problemen sinnvoll

anwenden, weil symmetrische Matrizen leichter zu handhaben sind.

Satz 1.7

Jede quadratische Matrix A l asst sich in die Summe aus einer symmetrischen

und einer schiefsymmetrischen Marix zerlegen, n amlich

A=

1

2 (A+A

) symmetrisch

+

1

2 (AA

) schiefsymmetrisch

. (1.17)


28/302

1.5 Quadratische Matrizen 17

Ubung 1

1. Gegeben seien die beiden Matrizen

A=

6 3

4 2

2 1

, B =

3 2 52 1 4

Berechnen Sie

A B, B A, (A B), (B A)

2. Gegeben seien die Matrix

A=

0 11 0

und das Polynom

p(x) = 2 x4 3 x2 +x+ 4.

Berechnen Sie die Potenzen A2

, A3

undA4

und die Matrix p(A).3. Bestimmen Sie fur die Matrix

A=

1 2 2 01 1 a 2

2 a 1 2 2

, a R

den Rang in Abhangigkeit vom Parameter a R.4. Stellen Sie die Matrix

A=

1 2

3 4

als Summe aus einer symmetrischen und einer schiefsymmetrischen Matrix

dar.

Ausfuhrliche Losungen: www.spektrum-verlag.de/978-3-8274-2866-0


29/302

18 1 Matrizen

1.6 Inverse Matrizen

Wir hatten ja oben bereits festgestellt, dass wir das Kommutativgesetz fur die

Multiplikation bei Matrizen nicht haben. Jetzt kommt noch ein zweiter Punkt,wo es Einschrankungen bei Matrizen gibt, das sind die bezgl. der Multiplikation

inversen Elemente. Durch reelle Zahlen, die nicht Null sind, konnen wir ja teilen

und dadurch Gleichungen auflosen. Das geht hier leider auch nur in Sonderfallen.

Diese beschreiben wir in der folgenden Definition.

Definition 1.13 (Inverse Matrix)

SeienA, B zwei reelle quadratische(n n)-Matrizen. Ist

A B =E, (1.18)so heienA undB invers zueinander. Wir schreiben

B =A1. (1.19)

Existiert f ur eine MatrixA die inverse MatrixA1, so nennen wirA invertier-

bar oder regul ar, sonst heit sie singul ar.

Leider wird der Begriff

regular in der Mathematik an sehr vielen Stellen in

unterschiedlichster Bedeutung benutzt. Im Zusammenhang mit quadratischen

Matrizen aber ist er klar definiert: A heit regular, wenn die inverse Matrix zu

A existiert.

Satz 1.8

Sei A eine (n n)-Matrix, also quadratisch. Dann existiert die inverse Ma-trix A1 genau dann, wennrg(A) = n ist, wenn also alle Zeilenvektoren oder

Spaltenvektoren linear unabh angig sind.

Das ist doch mal ein sehr konkreter Satz und wir wissen jetzt, warum wir unsoben mit dem abstrakten Begriff

Rang rumschlagen mussten. Schnell ein Bei-

spiel, damit die Begriffe klarer werden.

Seien

A=

3 1

5 2

, B =

2 15 3

.

Dann ist 3 1

5 2

2 15 3

1 0

0 1

,


30/302

1.7 Orthogonale Matrizen 19

also

A B = 1 0

0 1 ,

B ist also invers zu A.

Die Matrix

C=

1 2

2 4

hat dagegen keine inverse, da rg(C) = 1 ist.

1.7 Orthogonale Matrizen

Diese Matrizen beschreiben wir hier nur der Vollstandigkeit wegen. Orthogonale

Matrizen werden Ihnen spater vielleicht recht haufig begegnen. Sie spielen eine

groe Rolle in der Physik und den angewandten Wissenschaften.

Definition 1.14 (Orthogonale Matrix)

Eine quadratische MatrixA Rnn heit orthogonal, wenn die Zeilenvektorenpaarweise senkrecht aufeinander stehen und normiert sind.

In der Schule habe wir gelernt, dass zwei Vektoren genau dann aufeinander

senkrecht stehen, wenn ihr inneres Produkt verschwindet. Fur die Zeilenvektoren

a1 = (a11, a12. . . . , a1n), . . . , an = (an1, an2. . . . , ann) der Matrix A bedeutet

das z.B.a1 a2 =a11 a12+ +a1n a2n = 0, oder allgemein

ai aj = 0 fur i, j = 1, . . . , n , i =j.Ein Vektor heit normiert, wenn seine Lange gleich 1 ist, oder gleichbedeutend,

sein inneres Produkt mit sich selbst ist gleich 1, also a1 a1 = 1, oder allgemein

ai ai = 1, i= 1, . . . , n .Damit wir noch sicherer werden, ein kleines Beispiel. Sei

A= 12 12

3

1

2 3 1

2

.Wir zeigen, dass A eine orthogonale Matrix ist.


31/302

20 1 Matrizen

a1 a2 = 12 1

2

3 12

3 12

= 0,

a1 a1 = 1

21

2+ (1

2 3) (1

2 3),=

1

4+

3

4 = 1,

a2 a2 = 12

3 12

3 +1

2 1

2 = 1.

Wir stellen einge Aussagenuber orthogonale Marizen zusammen.

Satz 1.9

SeiA eine quadratische Matrix. Dann gilt:

1. IstA orthogonal, so istA regul ar.

2. A ist genau dann orthogonal, wennA A =E, also wennA =A1 ist.3. A ist genau dann orthogonal, wennA A= E.4. IstA orthogonal, so sind auchA1 undA ortogonal.

5. SindA, B Rnn orthogonal, so ist auchA B orthogonal.

Die Ergebnisse sind teilweise souberraschend, dass wir uns die Beweise anschau-

en wollen.

Zu 1. Wenn die Zeilen paarweise aufeinander senkrecht stehen, so sind sie auf

jeden Fall linear unabhangig. Diese Aussage ist also klar.

Ubrigens, paarweise bedeutet, dass man sich beliebig Paare greifen kann.

Diese mochten bitte immer senkrecht aufeinander stehen. Ohne diese Vor-

aussetzung konnte es doch passieren, dass der erste Vektor senkrecht auf dem

zweiten steht, der zweite senkrecht auf dem dritten, aber dieser dritte muss

dann nicht senkrecht auf dem ersten stehen. Der dritte Vektor konnte ja z.B.

wieder der erste sein.Zu 2. Schauen wir uns dazu das Falk-Schema mitAundA an:

A

A A A

Wir haben also links die Matrix A und rechts oben die Matrix A. Die hat

ja als Spalten gerade die Zeilen von A. Jetzt lassen wir die Kaferchen lau-

fen; dadurch bilden wir genau innere Produkte der Zeilen von A (links) mitden Spalten vonA, also den Zeilen von A (rechts oben). Unsere Orthogona-

litatsbedingung besagt, dass hier bei gleichen Zeilen 1, sonst 0 herauskommt,

und das ergibt genau die Einheitsmatrix. Haben wir umgekehrt A A =E,so sind nach diesem Schema die Zeilen aufeinander senkrecht bzw. normiert.


32/302

1.7 Orthogonale Matrizen 21

Zu 3. Diese Aussage ist ganzuberraschend, lasst sich aber sehr leicht herlei-

ten.

Sei A orthogonal, also A A = E. Diese Gleichung multiplizieren wir von

links mit A

1

. Diese Matrix existiert ja nach 1.

A1 A E

A =A1 E=A1, also folgt A =A1.

Jetzt multiplizieren wir diese letzte Gleichung von rechts mit A und erhalten:

A A= A1 A= E,und das haben wir behauptet. Aber was bedeutet diese schlichte Zeile?

Schauen Sie einfach weder auf das Falk-Schema:

A

A E

Links krabbeln wir die Zeilen lang, aber in A, das sind also die Spalten

vonA, oben krabbeln wir auch die Spalten runter, und es ergibt sich E. Also

stehen die Spalten aufeinander senkrecht.

Das hatte man doch kaum erwartet: Wenn in einer quadratischen Matrix

die Zeilen paarweise aufeinander senkrecht stehen und normiert sind, so gilt

genau das gleiche auch fur die Spalten.

Zu 4 SeiA orthogonal. Dann existiert A1 und es gilt

(A1) = (A) =A = (A1)1 = A1 ist orthogonal.Zu 5.

(A B) =B A =B1 A1 = (A B)1 = A B ist orthogonal.

Hier noch zwei Beisiele orthogonaler Matrizen.

A=

1

2 1

2 3

1

2 3 1

2

, B =

cos sin sin cos

.

Bitte rechnen Sie doch kurz nach, dass wirklich A A = E gilt. B B = Efolgt wegen cos2 + sin2 = 1.

Bequem ist es, fur orthogonale Matrizen ihre inverse Matrix auszurechnen. Die

muss man namlich gar nicht lange suchen, sondern es ist ja A1 = A furorthogonale Matrizen. Hier folgt also

A1 =

1

2

1

2 3

12 3 1

2

, B1 =

cos sin

sin cos

.


33/302

22 1 Matrizen

Ubung 2

1. Gegeben seien die beiden Matrizen

A=

1 1 23 2 4

, B =

1 2 1 1 4

2 3 0 23 1 4 0

Uberprufen Sie mit diesen Matrizen die Aussage von Satz 1.6:

rg(A B) = min(rg(A), rg(B))

2. Zeigen Sie (vgl. Satz 1.7), dass sich jede quadratische Matrix A Rnn indie Summe

A= 1

2 (A+A) +1

2 (A A)

zerlegen lasst, wobei 12 (A + A) symmetrisch und 1

2 (AA) schiefsym-

metrisch ist.

3. Zeigen Sie, dass die Matrizen

A=

1 2 21 0 1

1 1 3

und B = 13

1 4 2

2 1 11 1 2

invers zueinander sind.

4. Zeigen Sie, dass die Matrix

A= 1 0 2

1 1 01 1 4

keine inverse Marix besitzt.



34/302

2 Determinanten

Ubersicht2.1 Erste einfache Erklarungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Elementare Umformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

In diesem Kapitel stellen wir einen Begriff vor, der uns gar nicht oft begegnen

wird, der aber trotzdem seine Bedeutung hat. Wir kommen in KapitelDiffe-

renzierbarkeit darauf zuruck.

Weil wir aber mit diesem Begriff nur sehr eingeschrankt arbeiten werden, stellen

wir ihn auch nur in einer sehr abgespeckten Form vor. Wenn Sie mehruber dieses

Gebiet erfahren wollen, schlagen Sie bitte in guten Mathematikbuchern nach.

2.1 Erste einfache Erklarungen

Jeder quadratischen Matrix und nur diesen wird auf raffinierte Weise eine Zahl,

ihre Determinante zugeordnet. Nur fur (2 2)- und (3 3)-Matrizen wollen wir

etwas genauer darauf eingehen.

Definition 2.1 (Determinante einer (2 2)-Matrix)Sei

A=

a11 a12

a21 a22

R22. (2.1)

Dann heit die reelle Zahl

det(A) = |A| = det a11 a12

a21 a22

=a11 a22 a12 a21 (2.2)

die Determinante vonA.

Dazu ein Beispiel.




35/302

24 2 Determinanten

A =

2 3

2 1

= det(A) = (2) (1) 3 (2) = 8

B =

1 2

1 2

= det(B) = 1 2 (2) (1) = 0

Eineahnlich einfache Regel gibt es fur (3 3)-Matrizen, und nur fur solche. Sie

ist nicht fur groere Matrizenubertragbar.

Definition 2.2 (Determinante einer (3 3)-Matrix)

SeiA eine reelle(3 3)-Matrix:

A=

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

.

Dann heit det(A) = |A| (2.3)

= a11 a22 a33+ a21 a32 a13+ a31 a12 a23

a13 a22 a31 a23 a32 a11 a33 a12 a21

die Determinante vonA.

Das sieht schrecklich aus, aber dafur haben wir ja Sarrus, der uns eine einfache

Merkregel spendiert hat.

Satz 2.1 (Regel von Sarrus fur (3 3)-Matrizen)

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12 a13

a21 a22 a23

Abb. 2.1 Die Regel von Sarrus

Wir schreiben die ersten beiden Zeilen

unter die Matrix darunter. Dann fol-

gen wir den Pfeilen. Jeder Pfeil trifft

drei Eintrage der Matrix. Diese werden

jeweils miteinander multipliziert. Dann

werden die Produkte, die zu Pfeilen von

links oben nach rechts unten gehoren,

addiert; die Produkte zu Pfeilen von

rechts oben nach links unten werden

subtrahiert.

Vergleichen Sie das Ergebnis bitte mit der Definition (2.4), es ergibt sich genau

dieser Ausdruck. Wir sollten noch einmal betonen, dass diese wunderschone

Regel nur fur (3 3-Matrizen verwendet werden kann. Sie lasst sich nicht auf

groere Matrizen verallgemeinern. Das bitte unbedingt im Gedachtnis behalten.


36/302

2.1 Erste einfache Erklarungen 25

Mit einem Beispiel wird es noch leichter. Sei dazu

A=

1 2 3

4 5 67 8 9

Dann rechnen wir mit Herrn Sarrus:

1 2 3

4 5 6

7 8 9

1 2 34 5 6

Abb. 2.2 Beispiel zur Regel von Sarrus

det(A) = 1 5 9 + 4 8 3 + 7 2 6

3 5 7 6 8 1 9 2 4

= 45 + 96 + 84 105 48 72

= 225 225 = 0

Beim folgenden Beispiel lassen wir schon mal die Pfeile weg, damit das Bild

einfacher ausschaut. Wenn Sie viel geubt haben, mussen Sie auch die beiden

Zeilen nicht mehr darunter schreiben. Dann geht alles im Kopf.

A=

2 1 0

0 3 2

0 0 4

2 1 0

0 3 2

det(A) = (2) 3 (4) + 0 + 0

0 0 0 = 24

Dieses Beispiel gibt uns gleich einen Hinweis fur spezielle Matrizen, der sehr

nutzlich sein wird.

Satz 2.2

IstA Rnn eine obere (oder untere) Dreiecksmatrix, so istdet(A)das Produkt

der Diagonalelemente.


37/302

26 2 Determinanten

2.2 Elementare Umformungen

Diese Umformungen, die uns schon bei der Berechnung des Ranges einer Matrix

geholfen haben, sind genau so gute Hilfsmittel zur Berechnung von Determinan-ten, aber Achtung, es gibt kleine Unterschiede.

Satz 2.3

SeiA Rnn eine quadratische Matrix. Dann gilt:

1. Vertauscht man zwei Zeilen oder zwei Spalten inA, so wird die Determinante

mit1 multipliziert, sieandert also ihr Vorzeichen.

2. Multipliziert man eine Zeile oder eine Spalte mita R, so wird die Deter-

minante mit dieser Zahl multipliziert. Wird die gesamte Matrix mit einerZahla R multipliziert, so werden jan Zeilen oder Spalten mit dieser Zahl

multipliziert, und es ergibt sich:

det(a A) =an det(A) (2.4)

3. Addiert man das Vielfache einer Zeile bzw. Spalte zu einer anderen Zeile

bzw. Spalte, soandert sich die Determinante nicht.

Gerade dieser 3. Punkt ist es, der sich prima verwenden lasst. Wir werden mitdieser Regel versuchen, eine gegebene Matrix auf Dreiecksgestalt zuuberfuhren

und dann mit Satz 2.2 ihre Determinante berechnen.

A :=

1 2 3 0

0 1 2 2

1 1 3 2

1 1 2 0

1 2 3 0

0 1 2 2

1 1 6 2

1 1 1 0

1 2 3 0

0 1 2 2

1 1 4 4

1 1 1 2

1 2 3 0

0 1 2 2

1 1 4 4

1 1 1/4 3

1 2 3 0

0 1 2 2

0 0 4 4

0 0 0 3

=:B

Diese elementaren Umformungen, die wir oben durch Pfeile angedeutet ha-

ben,andern die Determinante nicht. Daher erhalten wir:


38/302

2.2 Elementare Umformungen 27

det(A) = det(B) = 1 1 4 (3) = 12.

Damit haben wir ein wirklich praktikables Verfahren zur Berechnung von Deter-

minanten auch groerer Matrizen kennen gelernt. Aber aufpassen, wirklich nurdie Operation 3. durchfuhren, nicht zwischendurch mal, weil uns die Vorzeichen

nicht passen, schnell mit (1) multiplizieren oder zwei Zeilen vertauschen.

Der folgende Satz enthalt einige Rechenregeln, die wertvolle Hilfen zur Berech-

nung von Determinanten liefern.

Satz 2.4

SeienA, B Rnn. Dann gilt:

1. Determinantenmultiplikationssatz:

det(A B) = det(A) det(B), (2.5)

2.

det(A) = det(A), det(E) = 1, (2.6)

3.

det(A) = 0 rg(A) = n, (2.7)

die Zeilen bzw. Spalten bilden also ein linear unabh angiges System,

4.

det A = 0 = det(A1) = 1

det(A). (2.8)

In Ubung 3, S. 22 haben wir nachgerechnet, dass die beiden Matrizen

A=

1 2 2

1 0 1

1 1 3

und B = 1

3

1 4 2

2 1 1

1 1 2

invers zueinander sind, dass also A B =E ist. Wir berechnen jetzt det A und

det B und prufen den Determinantenmultiplikationssatz (2.5).

Mit Sarrus erhalten wir:

1 2 2

1 0 1

1 1 3

1 2 2

1 0 1

det(A) = 1 0 (3) + 1 1 2 + (1) (2) 1

2 0 (1) 1 1 1 (3) (2) 1

= 0 + 2 + 2 0 1 6 = 3


39/302

28 2 Determinanten

1

3

4

3

2

3

23

1

3 1

3

1

3 1

3 2

3

1

3

4

3

2

3

23

1

3 1

3

det(B) = 1

3

1

3 (

2

3) + (

2

3) (

1

3)

2

3

+(1

3

) (4

3

) (1

3

) 2

3

1

3

(1

3

)

(1

3) (

1

3)

1

3 (

2

3) (

4

3) (

2

3)

= 1

27 [2 + 4 + 4 + 2 1 16] =

9

27Es folgt also

det(A) det(B) = (3) (9

27) =

27

27= 1 = det(A B) = det(E) = 1

in guter Ubereinstimmung mit dem Determinantenmultiplikationssatz.

Zum Schluss dieser ersten Erklarungen hier noch der Hinweis, dass man in Ma-

thematikbuchern selbstverstandlich eine sehr allgemeine Definition der Deter-

minante einer (n n)-Matrix findet. Dabei wird von den Permutationen der

Zahlen 1, . . . , n Gebrauch gemacht. Wir wollen nur bemerken, dass es bekannt-

lich n! viele Permutationen dieser Zahlen gibt. Das ist eine rasant ansteigende

Zahl. Man wird also schon fur n= 10 Muhe haben, nach dieser Definition eine

Determinante auszurechnen. Furn= 100 braucht man schon einen sehr groen

Computer, und selbst die groten Computer werden streiken, wenn wir Matri-

zen furn = 1000 vor uns haben. Solche Dinger sind aber Anwendern heutzutageallgegenwartig. Determinanten kann man da einfach vergessen.

Wir merken uns:

Eine Determinante ist eine schlichte reelle Zahl, die auf komplizierte

Weise einer quadratischen Matrix zugeordnet wird.


40/302

2.2 Elementare Umformungen 29

Ubung 3

1. Berechnen Sie von folgenden Matrizen jeweils ihre Determinante:

A=

1 1

3 2

, B =

1 2 1 1

2 3 0

3 1 4

, C=

1 0 0

2 3 0

1 1 4 4

2. Berechnen Sie mit elementaren Umformungen die Determinante folgender

Matrix:

A=

1 3 5 2

2 6 10 4

3 1 3 10

1 1 2 3

3. Verifizieren Sie an Hand der Matrix

A=

1 2 1 1

2 3 0

3 1 4

die Aussage det (A) = det (A).

4. Verifizieren Sie an Hand der beiden Matrizen

A=

1 1

3 2

, B =

1 2

2 3

den Determinantenmultipliktionssatz.

5. Zeigen Sie, dass fur eine regularen n-MatrixA gilt:

det(A1) = 1

det(A)



41/302


42/302

3 Lineare Gleichungssysteme

Ubersicht3.1 Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31


3.3 Determinantenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 L-R-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.5 Pivotisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Lineare Gleichungssysteme sind uns ja von der Schule her wohlvertraut. Schon

in der 9. Klasse haben wir gelernt, 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten zu losen.

Daher werden wir in diesem Kapitel gleich ziemlich allgemein an die Sacheherangehen.

3.1 Bezeichnungen

Wir starten mit der Definition des allgemeinsten Falles.

Definition 3.1 (Lineares Gleichungssystem)

Gegeben seien eine MatrixA und ein Vektorb

A=

a11 a1n

......

am1 amn

, b=

b1...

bm

.Gesucht wird ein Vektor

x=

x1...

xn

,




43/302

32 3 Lineare Gleichungssysteme

der das folgende System vonm Gleichungen mitnUnbekanntenx1, . . . , xn l ost:

a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2......

am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm

(3.1)

Ein solches System heit lineares Gleichungssystem (LGS). Wir schreiben es

auch k urzer als

A x= b. (3.2)

Bitte machen Sie sich an Hand der Matrizenmultiplikation klar, dass die Kurz-

schreibweise (3.2) genau zu dem Gleichungssystem (3.1) fuhrt. Aus diesem Sche-

ma kann man auch sofort erkennen, dass der Vektor x genau n Komponenten

hat, wahrend der Vektor der rechten Seite bdannm Komponenten haben muss,

weil sonst das Schema nicht passen wurde. Man muss sich das also nicht extra

merken.

Ubrigens hat sich in der Mathematik kein eigener Name fur den Vektorb ein-

geburgert. Manchmal taucht bei Studierenden der Name

Losungsvektor auf,

das ist aber ganz schlecht und geht gar nicht. Der Losungsvektor ist eindeutigder gesuchte Vektor x und keiner sonst. Wir werdenb also

Vektor der rechten

Seite nennen. A heit die Koeffizientenmatrix.

3.2 Existenz und Eindeutigkeit

Der gleich folgende Satz enthalt die zentrale Aussage fur LGS. Er gibt unsuber

alles Auskunft. Und das Schonste dran ist, dass er sehr leicht einsichtig ist, wenn

wir nur einen klitze kleinen Trick verwenden.

Der Trick sieht so aus: Wir schreiben die Spalten der Koeffizientenmatrix Aals

Vektoren, also

a1=

a11

...

am1

, , an =

an1

...

anm

.

Das kommt uns so harmlos als Abkurzung daher, aber jetzt aufgemerkt. Wir

schreiben das LGS (3.1) in der Form

x1 a1+ x2 a2+ + xn an= b


44/302

3.2 Existenz und Eindeutigkeit 33

Ganz ruhig und gelassen hinschauen, dann sehen Sie es, ja, so kann man das

schreiben. Scheint auch noch nicht viel gewonnen. Aber diese neue Schreibwei-

se gibt uns eine andere Sicht auf das LGS. Wir haben doch eine Summe von

Vektoren, mit Zahlen xi multipliziert, die den Vektorb ergeben mochten. Dasheit doch, dass wir den Vektor b als Linearkombination der Spaltenvektoren

a1, , an darstellen mussen. Das bedeutet wiederum, wir mussen x1, , xn

suchen, so dass mit diesen Zahlen der Vektor b von den Spaltenvektoren linear

abhangig ist. Das kann naturlich nur gelingen, wennb in dem von den Spalten

aufgespannten Vektorraum liegt. Mit dieser Uberlegung haben wir also sofort

unsere Bedingung, wann ein LGS uberhaupt losbar ist. Wir drucken das im

folgenden Satz mit Hilfe des Ranges aus.

Satz 3.1 (Alternativsatz fur LGS)SeienA Rmn,b Rm. Dann gilt f ur das lineare Gleichungssystem (3.2) die

Alternative

(i) Ist rgA


45/302


x y = 4

2 x 2 y = 8

Ich verrate Ihnen zwei Losungen:

x1 = (5, 1), x2 = (3, 1)

.

Der erste Verdacht fur eine dritte Losung ist: Klar, mitx1 undx2 als Losungen

ist naturlich auch x1 +x2 eine Losung. Das riecht man doch geradezu. Aber

Achtung, unbedingt verinnerlichen: Diese Aussage ist falsch, falsch, falsch und

nochmals falsch.

Probieren Sie es:

x3 =x1+ x2 = (5, 1) + (3, 1) = (8, 0),

setzen Sie aber jetztx3 = (8, 0) in das LGS ein, so erhalten Sie als rechte Seite

(8, 16) = (4, 8).

Also bitte unbedingt ins Langzeitgedachtnis aufnehmen:

Die Summe zweier Losungen ist nicht unbedingt eine Losung.

Wir schranken diese Aussage bewusst etwas ein:nicht unbedingt; denn schauen

wir genau hin. Unser Problem lag ja darin, dass wir fur jede Losung rechts

den Vektor b erhalten, fur die Summe also den Vektor 2 b. Der ist aber i.a.

verschieden vonb.

Wenn die rechte Seite aber der Nullvektor ware,b =0, so bliebe auch bei der

Summe wegen0 + 0 = 0 die rechte Seite ungeandert, die Summe ware also eine

Losung. Das gilt aber nur, wennb= 0 ist. So ein LGS nennen wir homogen.

Nun sind wir erst ein kleines Stuckchen weiter mit unserer Frage nach einer

dritten Losung: Die Summe tuts normalerweise nicht.

Wenn wir jetzt aber diesen Faden weiter spinnen, so wurde doch ein Vektor,

der uns auf der rechten Seite0 erbrachte, nicht weiter storen, den konnten wir

gefahrlos hinzuaddieren. Und da fallt uns doch gleich ein Vektor ein. x1 bringtbund x2 bringt auch b, ihre Differenzx2 x1 ergibt also 0. Aber halt, wenn wir

jetzt zu x1 den Vektor x2 x1 hinzuaddieren ergibt sich x1+ (x2 x1) =x2,

und das ist nicht Neues.

Nachdenken . . . Klackerts? Wegen 2 0 = 0 konnen wir doch einfach den Vektor

x3 =x1+ 2 (x2 x1) = 2 x2 x1

verwenden:


46/302

3.2 Existenz und Eindeutigkeit 35

A x3 =A (x1+ 2 (x2 x1)) = b + 2 0 = b.

x3 ist also Losung des LGS und sicher verschieden von x1 und x2.

Jetzt setzen wir nur noch einen drauf, um unendlich viele weitere Losungsvek-toren zu finden. Wir bilden

xk =x1+ k (x2 x1), k R.

k kann also eine beliebige reelle Zahl sein, immer ergibt sich rechtsb, so haben

wir locker unendlich viele neue Losungen gefunden.

Gerade der letzte Teil obiger Uberlegung zeigt ein allgemeines Prinzip fur die

Losungsgesamtheit. Stets ist sie so aufgebaut, dass man eine spezielle Losung

des nicht homogenen LGS finden muss, hier ist es x1, und daran hangt man

die allgemeine Losung des homogenen LGS. Mathematisch zeigt sich, dass die

Losungen des homogene LGS einen Vektorraum der Dimension nrg (A) bilden

mit den Bezeichnungen des Satzes 3.1. Man kann also (n rg (A))-viele linear

unabhangige Losungsvektoren finden, die wir dann als Linearkombination an

die spezielle Losung additiv dranhangen.

Schauen Sie bitte noch einmal auf den Satz 3.1. Wichtig fur die Existenz einer

Losung ist es, ob die rechte Seite aus den Spaltenvektoren kombinierbar ist.

Die Losung selbst hangt dann von n, also der Zahl der Unbekannten oder,

was dasselbe ist, der Zahl der Spaltenab. Haben wir irgendwo von den Zeilen

geredet? Nur die Zahl der Unbekannten bzw. Spalten ist interessant, die Zahl

der Gleichungen bzw. Zeilen ist vollig uninteressant. Lediglichuber die Aussage,

dass Zeilenrang gleich Spaltenrang ist, konnte man einen Zusammenhang zu den

Zeilen herstellen.

Nehmen wir noch einmal unser Beispiel von oben:

x y = 4

2 x 2 y = 8

x y = 42 x 2 y = 8

2 x 2 y = 8

2 x 2 y = 8

Das linke System hat, wie wir oben gesehen haben, unendlich viele Losungen.

Beim rechten haben wir deswegen noch zwei Zeilen hinzugefugt, aber in Wirk-

lichkeit doch gar nichts geandert, weil wir nur die zweite Zeile noch zweimal

darunter geschrieben haben. Das andert an der Losbarkeit keinen Deut. Dasrechte System hat jetzt vier Gleichungen fur zwei Unbekannte, ist also schein-

bar sehruberbestimmt, hat aber immer noch unendlich viele Losungen.

Die Zahl der Gleichungen spielt keine Rolle bei der Frage nach der

Losbarkeit eines LGS.


47/302


Wenn also in Zukunft irgend jemand Ihnen daher kommt und anhebt, dass ein

LGS losbar ist, wenn die Zahl der Gleichungen . . . , dann unterbrechen Sie ihn

und sagen Sie ihm, dass er keine Ahnung hat. Also vielleicht drucken Sie es

etwas diplomatischer aus, aber im Kern genau das sagen.

3.3 Determinantenkriterium

Der folgende Satz zahlt zu den Lieblingen vieler Studierender. Aber wenn man

genau hinsieht, hat er das wirklich nicht verdient:

Korollar 3.1

Ist A Rnn eine quadratische Matrix mit detA = 0, so hat das LGS (3.2)

genau eine Losung.

Sie brauchen fur diese Eindeutigkeitsaussage zwei sehr wesentliche Vorausset-

zungen.

1. Zum einen muss es ein quadratisches System sein, es muss also genau so viele

Gleichungen wie Unbekannte haben.

2. Dann muss auerdem die Determinante, die ja nur fur quadratische Matri-

zen definiert ist, ungleich 0 sein. Wenn Sie aber jetzt ein System mit zehn

Gleichungen und zehn Unbekannten haben, so mochte ich mal sehen, wie Sie

die Determinante ausrechnen. In der Praxis werden heute aber locker Glei-

chungen mit einer Million Unbekannten gerechnet. Na dann, viel Spa. Das

geht gar nicht.

Fazit: Dieses Korollar geht nur in Anfangerubungsgruppen.

3.4 L-R-Zerlegung

Nun steuern wir mit groen Schritten auf das Losen linearer Gleichungssysteme

zu. Eine probate Methode ist dabei das Zerlegen der vorgegebenen Systemmatrix

in eine einfachere Struktur. Wir schildern hier eine Variante des Gaualgorith-

mus, bekannt als die L-R-Zerlegung oder Links-Rechts-Zerlegung.

3.4.1 Die Grundaufgabe

Um uns nicht mit zu vielen Formalien befassen zu mussen, beschranken wir uns

auf quadratische Matrizen. Das Verfahren ist aber im Prinzip auch fur beliebige

Matrizen durchfuhrbar.


48/302

3.4 L-R-Zerlegung 37

Die Berechnung der Zerlegung lehnt sich eng an die Gauelimination an. Im

Prinzip macht man gar nichts Neues, sondern wahlt lediglich eine andere Form.

Am Ende einer erfolgreichen Elimination hat man ja eine obere Dreiecksmatrix

erreicht. Diese genau ist schon die gesuchte Matrix R.Die Matrix L steht ebenfalls fast schon da, aber Achtung, eine Kleinigkeit ist

anders.

Definition 3.2 (L-R-Zerlegung)

Gegeben sei eine quadratische Matrix A Rnn. Dann verstehen wir unter

einer L-R-Zerlegung der Matrix A eine multiplikative Zerlegung der Matrix A

in

A= L R (3.3)

mit einer linken DreiecksmatrixLund einer rechten DreiecksmatrixR, wobeiL

nur Einsen in der Hauptdiagonalen besitzt; also ( steht f ur eine beliebige Zahl)

L=

1 0 0

. . .

. . . ...

... . . .

. . . 0

1

, R=

0 . . .

......

. . . . . .

...

0 0

(3.4)

Einmal kurz nachgedacht: Wir haben die MatrixA mit n n= n2 Eintragen ge-

geben. In der MatrixRhaben wir wegen der vollstandig ausgefullten Diagonalen

schon mehr als die Halfte der gesuchten Zahlen eingetragen. Daher konnen wir

es uns hoffentlich leisten, in der Matrix L die Diagonale mit Einsen vorzugeben,

damit die ganze Aufgabe nicht uberbestimmt wird. Damit haben wir erst mal

ein Grundgerust. Ob das dann so geht, mussen wir noch uberlegen. Zunachst

erklaren wir, wie wir das Lfinden. Dazu schidern wir das allgemeine Vorgehen.Dabei erinnern wir daran, dass dieses Verfahren zwar auch fur kleine LGS mit

(3 3)-Matrizen seine Berechtigung hat, aber erst wirklich wichtig wird bei

groen Aufgaben. Daher schildern wir alles so, wie wir es zum Programmieren

eines Rechners benotigen. Zunachst beschreiben wir eine Version ohne Zeilen-

tausch. Wir geben spater Bedingungen an, wann diese Variante durchfuhrbar ist.

Von unseren elementaren Umformungen werden wir also nur die erste benutzen,

namlich das Vielfache einer Zeile zu einer anderen zu addieren

1. Erster Schritt: Wir wollen in der ersten Spalte unterhalb des Diagonalele-

mentes a11 Nullen erzeugen. Dazu wahlen wir den Faktor

a21a11

.


49/302


Mit diesem multiplizieren wir die erste Zeile und addieren das Ergebnis zur

zweiten Zeile. Wir machen uns schnell klar, wie wir diesen Faktor gefunden

haben. Wenn wir (im Kopf) die erste Zeile durch a11 dividieren, entsteht

an der ersten Stelle eine 1. Multiplizieren wir dann diese Zeile mit a21

, soentsteht genau die negative Zahl, die an der Stelle a21 steht. Durch unsere

Addition zur zweiten Zeile erhalten wir also dort eine Null. Bitte machen

Sie sich diesen Weg noch einmal ganz langsam klar; denn dann werden alle

folgenden Schritte leicht.

Das Spiel geht in der ersten Spalte weiter mit dem Element a31. Dazu mul-

tiplizieren wir die erste Zeile mit

a31

a11

und addieren sie zur dritten Zeile. Dann entsteht an der Stelle a31 eine Null.

Das geht weiter, bis die ganze erste Spalte unterhalb der Diagonalen nur

noch Nullen enthalt.

Beachten Sie bitte, dass es dem Computer egal ist, ob bereits a11 = 1 ist und

eine Division daher uberflussig ware. Diese Prufung wurde zusatzlich Zeit

kosten und hatte kaum Bedeutung. Auch die Abfrage, ob bereits a21= 0 ist,

bringt nur zusatzlichen Zeitaufwand fur den Computer.

2. Zweiter Schritt: Durch den ersten Schritt sind jetzt naturlich die Eintrage inder Matrix A geandert worden. Wir verzichten aber auf eine Umbenennung

mitoder Ahnlichem, um nicht zuviel Verwirrung herzustellen.

Wir wollen in der zweiten Spalte unterhalb des Diagonalelementes a22Nullen

erzeugen. Dazu wahlen wir den Faktor

a32a22

,

mit dem wir die zweite Zeile multiplizieren und das Ergebnis zur dritten Zeile

addieren.

Sollen wir noch einmal diesen Faktor erlautern? Die Division durcha22fuhrt

zu einer 1 an der Stelle a22. Die Multiplikation mit a32 ergibt dann genau

das Negative der Zahl a32. Wenn wir die so geanderte zweite Zeile also zur

dritten addieren, erhalten wir a32= 0.

Das geht dann die ganze zweite Spalte munter so weiter, bis alle Eintrage

unterhalb des Diagonalelementes a22 gleich Null sind.

3. im dritten Schritt machen wir die Eintrage unterhalb von a33 zu Null, im

vierten Schritt, na usw, bis, ja bis zur n 1-ten Spalte. Die n-te Spalte hatja nichts mehr unter sich stehen, das Elementann steht ja schon in der Ecke.

Also beim Programmieren aufpassen, diese Schleife darf nur bis n 1 laufen.

Wir multiplizieren mit ziemlich charakteristischen Faktoren. Diese verdienen

daher einen Namen:


50/302


Definition 3.3 (Gau-Faktoren)

Die Faktoren, mit denen wir zwischendurch Zeilen multiplizieren und zu darun-

ter stehenden Zeilen addieren, heien Gau-Faktoren:

bik = aikakk

, i.k= 1, . . . , n 1. (3.5)

Jetzt kommen wir noch mit einer kleinen Abwandlung. Wir haben ja in der

AusgangsmatrixAunterhalb der Diagonalen Nullen erzeugt. Diese Nullen sind

schon, aber wir brauchen sie doch gar nicht weiter. Also werden wir sie mit den

jeweiligen Gaufaktorenuberschreiben. So entsteht die Matrix:

A

r11 r12 r1n

b21 r22 r2n

b31 b32 r33 r3n...

......

...

bn1 bn2 bnn1 rnn

Wie wir oben schon gesagt haben, sehen wir oberhalb der Stufen unsere gesuchte

Matrix R:

R=

r11 r12 r1n

0 r22 r23 r2n...

... . . .

......

... . . .

...

0 0 rnn

Unterhalb steht fast schon L, aber nicht ganz:

L=

1 0 0

b21 1 0 0

b31 b32 1...

...... 1 0

bn1 bn2 bnn1 1

Sehen Sie bitte genau hin, L entnehmen wir aus der Gauumformung, indem

wir samtliche Vorzeichen unterhalb der Stufenform umkehren. Das ist aber dochdann wiederum ganz simpel, oder?

Wenn Sie jetzt wissen wollen, warum man fur das korrekte L alle Vorzeichen

unterhalb der Diagonalen umkehren muss, so bin ich richtig stolz auf Sie. Toll,

dass Sie sich dafur interessieren. Kennen Sie das Lied der Sesamstrae? Dort

heit es:


51/302


Wieso, weshalb, warum? Wer nicht fragt, bleibt dumm!

Genau das beherzigen Sie, wenn Sie mir diese Frage stellen. Habe ich vielleicht

doch schon etwas bewirkt?

Leider komme ich jetzt aber mit einer hasslichen Nachricht. Diese Vorzeichenum-kehr zu erklaren, erfordert einen ziemlichen Aufwand. Es ist alsouberhaupt nicht

trivial, wie Mathematiker gerne solche Fragen abbugeln. Wenn ich mal etwas

andeuten darf, man benutzt sogenannte Frobeniusmatrizen. Deren Inverse lasst

sich ganz leicht mittels Vorzeichenumkehr hinschreiben. Bitte schauen Sie, wenn

es Sie wirklich interessiert, in das Buch (11), dort ist es ausfuhrlich erklart.

Beispiel 3.1

Gegeben sei die Matrix

A=

2 3 1

0 1 3

3 2 a

, a R.Berechnen Sie ihre L-R-Zerlegung, und zeigen Sie, dass A f ur a = 6 regul ar

ist.

Da a21 = 0 schon gegeben ist, muss nur a31 im 1. Schritt bearbeitet werden.

Dazu muss die erste Zeile mit 3/2 multipliziert werden, um durch Additionzur letzten Zeile a31= 0 zu erreichen.

A

2 3 1

0 1 3

0 52

32

+ a

.Zur Ersparnis von Schreibarbeit und beim Einsatz eines Rechners von Speicher-

platz ist es empfehlenswert, die geliebten, aber jetzt nutzlosen Nullen, die man

unterhalb der Diagonalen erzeugt hat, durch die Faktoren zu ersetzen, die wir

berechnen, um an dieser Stelle eine Null zu erzeugen. Das passt gerade zusam-

men:

A A=

2 3 1

0 1 3

32

52

32

+ a

.Im 2. Schritt, der auch schon der letzte ist, wird die 2. Zeile mit 5 /2 multipliziertund zur 3. Zeile addiert. Man erhalt

A

2 3 1

0 1 3

32

5

2 6 + a

.


52/302


Daraus lesen wir sofort die gesuchten Matrizen L und R ab.

L = 1 0 0

0 1 0

3

2 5

2 1 ,

R =

2 3 1

0 1 3

0 0 6 + a

.Um die Regularitat von A zu prufen, denken wir an den Determinantenmulti-

plikationssatz

A= L R det A= det L det R.

Offensichtlich ist L stets eine regulare Matrix, da in der Hauptdiagonalen nur

Einsen stehen. Fur eine Dreiecksmatrix ist aber das Produkt der Hauptdiago-

nalelemente gerade ihre Determinante. Die Regularitat von A entscheidet sich

also inR. Hier ist das Produkt der Hauptdiagonalelemente genau dann ungleich

Null, wenn a = 6 ist. Das sollte gerade gezeigt werden.

3.4.2 Existenz der L-R-Zerlegung

Leider ist die L-R-Zerlegung schon in einfachen Fallen nicht durchfuhrbar. Be-

trachten wir z. B. die Matrix

A=

0 1

1 0

. (3.6)

Offensichtlich scheitert schon der erste Eliminationsschritt, da das Element

a11 = 0 ist, obwohl die Matrix doch sogar regular ist, also vollen Rang besitzt.

Der folgende Satz zeigt uns, wann eine solche Zerlegung durchgefuhrt werden

kann. Dazu mussen wir, nur um diesen Satz zu verstehen, eine Bezeichnung

einfuhren, die Sie also anschlieend getrost wieder vergessen konnen:

Definition 3.4 (Hauptminoren)

Bei einer quadratischen MatrixA Rnn verstehen wir unter den Hauptmino-

ren die Determinanten folgender Untermatrizen:


53/302


Wir haben, um Platz zu sparen, nur eine (5 5)-Matrix hingeschrieben. Von

einer MatrixA= (aij) betrachten wir also die Untermatrizen

A1

= (a11

), A2

= a11 a12a21 a22 , A3 = a11 a12 a13

a21 a22 a23a31 a32 a33

, Die Determinanten dieser Untermatrizen sind dann die Hauptminoren vonA.

Das Wort Hauptminor erklart sich mehr, wenn wir bedenken, dass wir auch

noch ganz andere Untermatrizen bilden konnen, z.B. die Matrix

a11 a41

a14 a44 .Das

Haupt bezieht sich also auf die Symmetrie zur Hauptdiagonalen.

Mit diesem Begriff konnen wir jetzt den Satz angeben:

Satz 3.2

Sei A eine regul are (n n)-Matrix. A besitzt dann und nur dann eine L-R-

Zerlegung, wenn s amtliche Hauptminoren vonA ungleich Null sind.

Doch dieser Satz hilft in der Praxisuberhaupt nicht. Hauptminoren sind schlie-

lich Determinanten. Und die zu berechnen, erfordert einen Riesenaufwand. Der

folgende Satz hat dagegen in speziellen Fallen schon mehr Bedeutung.

Satz 3.3

SeiA eine regul are(n n)-Matrix mit der Eigenschaft

nk=1

k=i

|aik| |aii|, 1 i n,

dann ist dieL-R-Zerlegung durchf uhrbar.

Dieses Kriterium konnte man also tatsachlich vor einer langwierigen Berechnung

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