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Mathematik I - II
Kapitel 4: Anwendungen der Differentialrechnung
Prof. Dr. Erich Walter Farkas
http://www.math.ethz.ch/∼farkas
HS 2020 - FS 2021
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Inhaltsangabe
1. Monotonie
2. Krummung
3. Linearisierung einer Funktion
4. Extremwerte
5. Wendepunkte
6. Kurvendiskussion
7. Newtonverfahren
8. Regel von de l’Hopital
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Literatur
Lothar Papula
Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1
Ein Lehr- und Arbeitsbuch fur das Grundstudium
14. Auflage, Springer Verlag
Seiten 366 - 407,
Seiten 414 - 421 (Ubungsaufgaben mit Losungen im Anhang)
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Monotonie
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Monotonie
Sei f : D → R, wobei D ⊆ R. Wir erinnern uns,
B f heisst monoton steigend, wenn
f (x1) ≤ f (x2) fur alle x1, x2 ∈ D mit x1 < x2 gilt,
R
R f
x1
f (x1)
x2
f (x2)
B f heisst monoton fallend, falls
f (x1) ≥ f (x2) fur alle x1, x2 ∈ D mit x1 < x2 gilt.
R
R
f
x1
f (x1)
x2
f (x2)
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Monotonie: Wachstumsverhalten und Ableitung
Sei I ⊆ R ein Intervall und f : I → R eine differenzierbare Funktion. Es gilt
B f ′(x) ≥ 0 fur alle x ∈ I impliziert, dass f auf I monoton steigend ist,
R
Rf
I
B f ′(x) ≤ 0 fur alle x ∈ I impliziert, dass f auf I monoton fallend ist.
R
R
fI
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Monotonie
Beispiel.
B Betrachten wir f (x) = 13x
3 − x2 + x + 100 auf R. Dann gilt
f ′(x) =1
3· 3x2 − 2x + 1 = x2 − 2x + 1 = (x − 1)2 ≥ 0 ,
und somit ist f (x) im gesamten Definitionsbereich monoton
wachsend.
B Betrachte f (x) = exp(x) auf R. Wir haben
f ′(x) = ex > 0 ,
somit ist auch die Exponentialfunktion im gesamten
Definitionsbereich monoton wachsend.
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Monotonie
Bemerkung. Eine strikte Ungleichung impliziert strenge Monotonie.
B Zum Beispiel haben wir (exp(x))′ = exp(x) > 0 auf R und somit ist
die Exponentialfunktion streng monoton wachsend.
B Andererseits haben wir (exp(−x))′ = − exp(−x) < 0 auf R und somit
ist diese Funktion streng monoton fallend.
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Krummung
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Zweite Ableitung und konvexe Funktionen
Sei I ⊆ R ein Intervall und f : I → R eine zweimal differenzierbare
Funktion. Es gilt
B f ′′(x) ≥ 0 fur alle x ∈ I impliziert, dass f konvex ist. Der Graph von
f ist also linksgekrummt.
R
Rf
IR
R
fI
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Zweite Ableitung und konkave Funktionen
Sei I ⊆ R ein Intervall und f : I → R eine zweimal differenzierbare
Funktion. Es gilt
B f ′′(x) ≤ 0 fur alle x ∈ I impliziert, dass f konkav ist. Der Graph von
f ist also rechtsgekrummt.
R
Rf
IR
R
fI
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Monotonie und Krummung
Bemerkung. Die Notation f ′′ ist als (f ′)′ zu verstehen und bezeichnet die
zweite Ableitung. Wir schreiben auch d2fdx2
.
Bemerkung. Auch hier gilt, dass aus strikten Ungleichungen strikte
Konvexitat beziehungsweise strikte Konkavitat folgt.
B Zum Beispiel ist die Exponentialfunktion strikt konvex auf ganz R, da
(exp(x))′′ = exp(x) > 0.
B Andererseits ist die Logarithmusfunktion strikt konkav auf R>0, da
(ln(x))′′ = − 1x2< 0.
B Lineare Funktionen f (x) = ax + b sind sowohl konvex als auch
konkav, da f ′′(x) = 0.
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Monotonie und Krummung
Die formale Definitionen von Konvexitat und Konkavitat sind wie folgt.
Definition. Sei I ⊂ R ein Intervall und f : I → R eine Funktion.
Wir sagen, f is konvex, wenn fur alle x , y ∈ I und alle λ ∈ [0, 1] folgende
Ungleichung gilt,
f (λx + (1− λ)y) ≤ λf (x) + (1− λ)f (y) .
Wir sagen, f is konkav, wenn fur alle x , y ∈ I und alle λ ∈ [0, 1] folgende
Ungleichung gilt,
f (λx + (1− λ)y) ≥ λf (x) + (1− λ)f (y) .
Wir nennen f strikt oder streng konvex beziehungsweise konkav, wenn wir
strikte Ungleichungen haben.
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Stetigkeit, Monotonie und Krummung: Beispiel
Beispiel. Betrachte die Funktion f : R>0 → R mit f (x) = x2 ln x .
Stetigkeit: Wir bemerken, dass f das Produkt zweier elementarer
Funktionen ist und somit stetig auf R>0.
Monotonie: Wir berechnen die erste Ableitung mit Hilfe der Produktregel,
f ′(x) = 2x ln x + x2 · 1
x= 2x ln x + x = x · (2 ln x + 1) .
Uns fallt auf, dass f ′ das Vorzeichen wechselt, da ln x das Vorzeichen
wechselt. Der leichteste Weg eine Aussage uber die Vorzeichen zu treffen,
ist herauszufinden wo f ′ gleich 0 ist.
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Stetigkeit, Monotonie und Krummung: Beispiel
Wo hat also die Funktion f keine Steigung? Um das herauszufinden,
setzen wir f ′ gleich 0 und losen nach x auf.
f ′(x) = x(2 ln x + 1)!
= 0 .
Da x > 0 auf R>0, konnen wir es wegkurzen und erhalten
f ′(x) = 0 ⇐⇒ 2 ln x + 1 = 0
⇐⇒ ln x = −1
2
⇐⇒ x = exp(−1
2) .
Also wechselt f ′ bei x = exp(−12) das Vorzeichen und somit wechselt auch
f dort das Monotonieverhalten.
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Stetigkeit, Monotonie und Krummung: Beispiel
Was hat die Funktion fur eine Steigung links und rechts von x = e−12 ?
B Links von x = e−12 (z.B. an der Stelle e−1),
f ′(e−1) = e−1(2 ln e−1 + 1) = e−1(−2 + 1) = −e−1 < 0 .
B Rechts von x = e−12 (z.B. an der Stelle e),
f ′(e) = e(2 ln e + 1) = e(2 + 1) = 3e > 0 .
Somit ist die Funktion f strikt monoton fallend links von x = e−12 und
strikt monoton steigend rechts von x = e−12 .
An der Stelle x = e−12 liegt ein Minimum vor, doch dazu spater mehr.
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Stetigkeit, Monotonie und Krummung: Beispiel
Krummung: Wir berechnen nun die zweite Ableitung,
f ′′(x) = (x(2 ln x + 1))′ = 2 ln x + 1 + x2
x= 2 ln x + 3 .
Auch hier andert f ′′ das Vorzeichen. Wir gehen also wie oben vor und
finden die Nullstelle von f ′′.
f ′′(x)!
= 0 ⇐⇒ 2 ln x + 3 = 0 ⇐⇒ x = e−32 .
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Stetigkeit, Monotonie und Krummung: Beispiel
Was fur eine Krummung hat die Funktion oberhalb und unterhalb des
Punktes x = e−32 ?
B Unterhalb von x = e−32 (z.B. an der Stelle e−2):
f ′′(e−2) = 2 ln(e−2) + 3 < 0 .
B Oberhalb von x = e−32 (z.B. an der Stelle e−
12 ):
f ′′(e−12 ) = 2 ln(e−
12 ) + 3 > 0 .
Die Funktion ist also streng konkav unterhalb von x = e−32 und streng
konvex oberhalb von x = e−32 .
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Linearisierung einer Funktion
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Linearisierung einer Funktion
Eine nichtlineare, differenzierbare Funktion f lasst sich in der Umgebung
eines Kurvenpunktes P = (x0, y0) naherungsweise durch die dortige
Tangente, das heisst durch eine lineare Funktion p, approximieren.
p(x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) .
Es gilt
limx→x0
f (x)− p(x)
x − x0= 0
Also f (x) ≈ p(x) falls x nah an x0.
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Linearisierung einer Funktion
Graphische Veranschaulichung.
R
Rf
x0
f (x)− p(x)
p
x
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Extremwerte
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Extremwerte
In zahlreichen Anwendungen stellt sich das Problem, von einer vorgebenen
Funktion f den grossten und kleinsten Funktionswert auf einem
vorgegebenen Intervall I zu bestimmen.
Die Vorgehensweise ist dann jeweils wie folgt.
1. Zunachst werden mithilfe der Differentialrechnung die im Innern des
Intervalls I liegenden relativen Extrempunkte berechnet.
2. Durch Vergleich dieser Werte mit den Funktionswerten in den
Randpunkten des Intervalls erhalt man den gesuchten grossten oder
kleinsten Wert der Funktion f im Intervall I .
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Extremwerte: globale Extrema
Definition. Sei D ⊆ R und f : D → R.
B Wir sagen, f hat ein globales Maximum an der Stelle x0 wenn gilt,
dass
fur alle x ∈ D : f (x0) ≥ f (x) .
Der Wert f (x0) heisst das globale Maximum von f .
B Wir sagen, f hat ein globales Minimum an der Stelle x1 wenn gilt,
dass
fur alle x ∈ D : f (x1) ≤ f (x) .
Der Wert f (x1) heisst das globale Minimum von f .
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Extremwerte: globale Extrema
B Wir sagen, f hat an der Stelle x0 ein globales Extremum wenn gilt,
dass f entweder ein globales Maximum oder ein globales Minimum
bei x0 besitzt.
R
Rf
Dx0
f (x0)
x1
f (x1)
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Extremwerte: ε-Umgebung
Definition. (ε-Umgebung) Fur x0 ∈ R und ε > 0 heisst das offene
Intervall
Uε(x0) = (x0 − ε, x0 + ε) = {x ∈ R | |x − x0| < ε}
die ε-Umgebung von x0.
2ε
R( )x0
Uε(x0)
In hoheren Dimensionen nennen wir diese Umgebungen auch ε-Balle und
schreiben Bε(x0).
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Extremwerte: lokale Extrema
Sei D ⊆ R und f : D → R.
B Wir sagen, f hat ein lokales Maximum an der Stelle x0, wenn es eine
ε-Umgebung Uε(x0) gibt, sodass
fur alle x ∈ D ∩ Uε(x0) : f (x0) ≥ f (x) .
B Wir sagen, f hat ein lokales Minimum an der Stelle x1, wenn es eine
ε-Umgebung Uε(x1) gibt, sodass
fur alle x ∈ D ∩ Uε(x1) : f (x1) ≤ f (x) .
R
R f
x0( )
Uε(x0)
x1)(
Uε(x1)
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Extremwerte: lokale Extrema und Ableitung
Sei I ⊆ R ein Intervall, x0 ∈ I ein innerer Punkt und f : I → R eine
differenzierbare Funktion.
Hat f an der Stelle x0 ein lokales Extremum, so gilt
f ′(x0) = 0 .
Zum Aufsuchen relativer Extrema im Innern von I sucht man die
Nullstellen der Ableitung von f .
Aber Vorsicht!! Die Bedingung f ′(x0) = 0 bedeutet nicht, dass auch
wirklich ein lokales Extremum bei x0 vorliegt!!
R
R f
x0 x1I
f ′(x0) = 0 f ′(x1) = 0
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Extremwerte: Maximum oder Minimum?
Sei f wie oben mit f ′(x0) = 0. Ist f links von x0 wachsend und rechts von
x0 fallend, so hat f in x0 ein lokales Maximum.
R
R
f
x0x0 − ε x0 + ε
(( ) )
f ′(x) > 0
wachsend
f ′(x) < 0
fallend
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Extremwerte: Maximum oder Minimum?
In anderen Worten, gibt es ein ε > 0, sodass
f ′(x) > 0 fur alle x ∈ (x0 − ε, x0) ,
und
f ′(x) < 0 fur alle x ∈ (x0, x0 + ε) .
so hat f an der Stelle x0 ein lokales Maximum.
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Extremwerte: Maximum oder Minimum?
Ist f links von x0 fallend und rechts von x0 wachsend, so hat f in x0 ein
lokales Minimum.
R
R
f
x0x0 − ε x0 + ε
(( ) )
f ′(x) < 0
fallend
f ′(x) > 0
wachsend
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Extremwerte: Maximum oder Minimum?
Ahnlich wie oben, gibt es ein ε > 0, sodass
f ′(x) < 0 fur alle x ∈ (x0 − ε, x0)
und
f ′(x) > 0 fur alle x ∈ (x0, x0 + ε)
so hat f an der Stelle x0 ein lokales Minimum.
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Extremwerte: lokale Extrema und zweite Ableitungen
Sei I ⊆ R ein Intervall, x0 ∈ I ein innerer Punkt und f : I → R eine
zweimal differenzierbare Funktion.
Gilt f ′(x0) = 0, wissen wir, dass potenziell ein lokales Extremum vorliegt.
Um herauszufinden, ob es tatsachlich eins gibt, und wenn ja, um welches
es sich handelt, betrachten wir die zweite Ableitung.
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Extremwerte: lokale Extrema und zweite Ableitungen
Wenn
f ′(x0) = 0 und f ′′(x0) < 0
gilt, dann hat f in x0 ein lokales Maximum.
R
R
f
x0
f ′(x0) = 0; f ′′(x0) < 0
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Extremwerte: lokale Extrema und zweite Ableitungen
Wenn
f ′(x0) = 0 und f ′′(x0) > 0
gilt, dann hat f in x0 ein lokales Minimum.
R
R
f
x0
f ′(x0) = 0; f ′′(x0) > 0
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Extremwerte: lokale Extrema und zweite Ableitungen
Wir konnen dies geometrisch interpretieren:
B Wenn der Graph lokal konkav ist, also f ′′(x0) < 0 gilt, dann erhalten
wir ein lokales Maximum.
B Wenn der Graph lokal konvex ist, also f ′′(x0) > 0 gilt, dann erhalten
wir ein lokales Minimum.
Oder anders:
B Wenn die Tangente f ′ lokal strikt monoton fallend ist, also
f ′′(x0) = (f ′)′(x0) < 0 dann erhalten wir ein lokales Maximum.
B Wenn die Tangente f ′ lokal strikt monoton steigend ist, also
f ′′(x0) = (f ′)′(x0) > 0 dann erhalten wir ein lokales Minimum.
Ubung. Was passiert, wenn f ′′(x0) = 0?
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Extremwerte: Beispiele
Beispiel. Sei f : R→ R mit f (x) = x2.
Wir setzen die erste Ableitung gleich 0 und losen nach x auf,
f ′(x) = 0 ⇐⇒ 2x = 0 ⇐⇒ x = 0 .
Somit hat f ein potentielles Extremum am Punkt x = 0. Nun berechnen
wir die zweite Ableitung und evaluieren bei x = 0,
f ′′(x) = 2 also auch f ′′(0) = 2 .
Und da 2 > 0, wissen wir, dass f bei x = 0 ein lokales Minimum hat,
namlich f (0) = 0.
Bemerkung: es ist sogar ein globales Minimum.
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Extremwerte: Beispiele
Beispiel. Sei f : R→ R mit f (x) = x3.
Wir gehen genauso wie oben vor.
f ′(x) = 0 ⇐⇒ 3x2 = 0 ⇐⇒ x = 0 .
Also berechnen wir f ′′ und setzen x = 0 ein,
f ′′(x) = 6x also f ′′(0) = 0 .
Aber 0 ist weder strikt grosser noch strikt kleiner 0, somit ist x0 = 0 kein
Extrempunkt!!
In der Tat gilt f ′(x) = 3x2 ≥ 0, das heisst, f ist auf R monoton wachsend!
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Extremwerte: Beispiele
Beispiel. Sei f : R→ R mit f (x) = x2
1+x2. Wir setzen die erste Ableitung
gleich 0 und losen auf,
f ′(x) = 0 ⇐⇒ 2x(1 + x2)− x22x
(1 + x2)2=
2x
(1 + x2)2= 0 ⇐⇒ x = 0 .
Wir setzen x = 0 in die zweite Ableitung ein,
f ′′(x) =2(1 + x2)2 − 2x
((1 + x2)2
)′(1 + x2)4
=2− 6x2
(1 + x2)3
f ′′(0) =2− 6 · 0(1 + 02)3
= 2 > 0 ,
somit hat f bei x = 0 ist ein relatives Minimum, namlich f (0) = 0.
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Wendepunkte
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Wendepunkte
Definition. Sei I ⊆ R ein Intervall, x0 ∈ I ein innerer Punkt und
f : D → R zweimal differenzierbar.
Wir sagen, f hat in x0 einen Wendepunkt, wenn
f ′′(x0) = 0 und f ′′ das Vorzeichen in x0 andert.
R
R
f
x0
f ′′(x) > 0 f ′′(x) < 0R
R
f
x0
f ′′(x) < 0 f ′′(x) > 0
Ubergang von Links- zu Rechtskurve oder von Rechts- zu Linkskurve an
der Stelle x0.36/66
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Wendepunkte
Definition. Wir sagen, f hat in x0 einen Sattelpunkt (Terrassenpunkt),
wenn
f in x0 einen Wendepunkt hat und f ′(x0) = 0 .
R
Rf
x0
f ′(x0) = 0
R
R
f
x0
f ′(x0) = 0
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Kurvendiskussion
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Kurvendiskussion
Gegeben ist eine reellwertige Funktion f und Ziel ist es, Eigenschaften der
Funktion herleiten.
Ablauf:
1. Maximaler Definitionsbereich
2. Symmetrie
3. Nullstellen
4. Polstellen
5. Erste und zweite Ableitung
6. Lokale Extrema
7. Wendepunkte / Sattelpunkte
8. Verhalten der Funktion fur x → ±∞
9. Wertebereich
10. Skizze38/66
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Kurvendiskussion: Beispiel
Beispiel. Betrachten Sie die Funktion f , die durch
f (x) =−5x2 + 5
x3
bestimmt ist und fuhren Sie eine vollstandige Kurvendiskussion durch.
1. Maximaler Definitionsbereich. Wir bemerken, dass der Zahler auf
ganz R definiert ist. Der Nenner darf allerdings nicht 0 werden! Somit
erhalten wir den Definitionsbereich
D = R \ {0} .
39/66
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Kurvendiskussion: Beispiel
2. Symmetrieeigenschaften. Wir erinnern uns, dass
B gerade bedeutet f (−x) = f (x), und
B ungerade bedeutet f (−x) = −f (x).1
Wir setzen also −x in unsere Funktion ein und erhalten,
f (−x) =−5(−x)2 + 5
(−x)3=−5x2 + 5
−x3= −−5x2 + 5
x3= −f (x) .
Somit ist f ungerade, also ist der Graph punktsymmetrisch am
Ursprung.
1Man kann sich das gut mit den Potenzfunktionen x 7→ xn merken. So ist x 7→ x1
ungerade, und x 7→ x2 gerade. Die Graphen dazu kennt man ja.
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Kurvendiskussion: Beispiel
3. Nullstellen. Hier mussen wir f gleich 0 setzen und einfach nach x
auflosen,
f (x)!
= 0 ⇐⇒ −5x2 + 5
x3= 0
⇐⇒ −5x2 + 5 = 0
⇐⇒ x2 = 1 .
Somit hat unsere Funktion zwei Nullstellen, eine bei x1 = 1 und eine
bei x2 = −1.
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Kurvendiskussion: Beispiel
4. Polstellen. Der einzige Kandidat fur eine Polstelle ist x = 0.
Tatsachlich, wir konnen unsere Funktion umschreiben,
f (x) =5
x
( 1
x2− 1).
Wenn x ↓ 0, dann gehen beide Terme gegen +∞ und somit geht
auch das Produkt gegen +∞.
Wenn x ↑ 0, dann ist 1x negative und der zweite Term bleibt positive.
Somit geht das Produkt der beiden gegen −∞.
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Kurvendiskussion: Beispiel
5. Ableitungen. Unter Verwendung der Quotientenregel konnen wir f ′
und f ′′ berechnen. Wir erinnern uns
f (x) =p(x)
q(x)⇒ f ′(x) =
p′(x)q(x)− p(x)q′(x)
(q(x))2.
Wer sich doch nicht erinnert, kann f (x) = p(x)q(x)−1 schreiben und
dann einfach die Produktregel anwenden. Wir erhalten
f ′(x) =−10x · x3 − (−5x2 + 5)3x2
x6=−10x2 + 15x2 − 15
x4=
5x2 − 15
x4.
Wir machen das ganze nochmal und erhalten
f ′′(x) =−10(x2 − 6)
x5.
43/66
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Kurvendiskussion: Beispiel
6. Lokale Extrema. Wir erinnern uns,
B lokales Minimum, wenn f ′(x) = 0, f ′′(x) > 0 ,
B lokales Maximum, wenn f ′(x) = 0, f ′′(x) < 0 .
Also setzen wir f ′ gleich 0 und losen nach x auf,
f ′(x)!
= 0 ⇐⇒ 5x2 − 15
x4= 0
⇐⇒ 5x2 − 15 = 0
⇐⇒ x2 = 3 .
Somit sind die Kandidaten x3 =√
3 und x4 = −√
3.
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Kurvendiskussion: Beispiel
Wir setzen den ersten Kandidaten in f ′′ ein und erhalten,
f ′′(x3) =−10 · (3− 6)
(√
3)5> 0 =⇒ lokales Minimum
(√3,−10
(√
3)3
).
Da wir ja schon wissen, dass f ungerade ist, wissen wir auch, dass bei x4
ein lokales Maximum vorliegen muss.
f ′′(x4) = f ′′(−√
3) < 0︸ ︷︷ ︸f ungerade
=⇒ lokales Maximum
(−√
3,10
(√
3)3
).
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Kurvendiskussion: Beispiel
7. Wendepunkt / Sattelpunkt. Nun suchen wir x0 mit f ′′(x0) = 0 und
wo f ′′ zusatzlich das Vorzeichen wechselt.
f ′′(x) =−10(x2 − 6)
x5= 0 =⇒ −10(x2 − 6) = 0
=⇒ x2 = 6 .
Somit sind die Kandidaten x5 =√
6 und x6 = −√
6. Durch Kontrolle
sehen wir, dass f ′′(x) fur x < −√
6 und x >√
6 negativ ist (z.B.
x = ±7 einsetzen), wahrend f ′′(x) fur −√
6 < x <√
6 positiv ist
(z.B. x = 0 einsetzen).
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Kurvendiskussion: Beispiel
Das heisst, f ′′ wechselt bei x5 =√
6 und x6 = −√
6 das Vorzeichen und
somit haben wir Wendepunkte gefunden.
Die Wendepunkte sind also
WP1 :
(√
6,−25√
63
)
WP2 :
(−√
6,25√
63
)
47/66
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Kurvendiskussion: Beispiel
8. Verhalten fur x → ±∞. Hier berechnen wir die Grenzwerte fur
x → ±∞. Ahnlich wie oben, schreiben wir dazu f um,
limx→∞
f (x) = limx→∞
−5x2 + 5
x3= 5 lim
x→∞
(−1
x+
1
x3
)= 0 ,
limx→−∞
f (x) = limx→−∞
−5x2 + 5
x3= 5 lim
x→−∞
(−1
x+
1
x3
)= 0 .
Somit ist die x-Achse eine horizontale Asymptote.
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Kurvendiskussion: Beispiel
9. Wertebereich. Wir fragen uns, welche Werte f annehmen kann.
Da wir wissen, dass f (x)→ 0, wenn x → ±∞, mussen wir uns auf
die Polstelle konzentrieren. Doch da hatten wir ja schon
herausgefunden, dass
limx↓0
f (x) = +∞ und
limx↑0
f (x) = −∞ .
Somit nimmt f Werte auf ganz R an, W = R.
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Kurvendiskussion: Beispiel
10. Skizze. Nun konnen wir alle Information, die wir gewonnen haben, in
einen Graph verpacken.
Da wir wissen, dass f ungerade ist, konnen wir den Graphen erst auf
R>0 betrachten und am Ende einfach am Ursprung spiegeln.
B Zuerst tragen wir die Nullstellen, die Extrema und die
Wendepunkte ein.
B Danach benutzen wir unser Wissen uber das Verhalten fur
x → +∞ und x ↓ 0.
B Zuletzt spiegeln wir, um die ganze Funktion zu erhalten.
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Kurvendiskussion: Beispiel
R
R
(1, 0)(√3, −10√
33
)
(√6, −25√
63
)
51/66
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Kurvendiskussion: Beispiel
R
R
f
(1, 0)(√3, −10√
33
)
(√6, −25√
63
)
52/66
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Kurvendiskussion: Beispiel
R
R
f
(1, 0)(√3, −10√
33
)
(√6, −25√
63
)
(−1, 0)
(−√
3, 10√33
)
(−√
6, 25√63
)
53/66
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Newtonverfahren
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Tangentenverfahren von Newton
Sei eine Funktion f : R→ R gegeben. Ziel ist es, Nullstellen zu finden.
Idee. Wir konnen einen beliebigen Punkt wahlen und die Tangente an
diesem Punkt berechnen. Die Nullstelle der Tangente, also einer linearen
Funktion, konnen wir quasi ablesen. An diesem neuen Punkt, betrachten
wir wiederum die Tangente und berechnen deren Nullstelle. Und so weiter.
Es stellt sich raus, dass wir uns so der Nullstelle der Funktion annahern.
Newtonverfahren. Fur einen beliebigen Startpunkt x0 ∈ R, berechnen wir
xn+1 = xn −f (xn)
f ′(xn), n ∈ N0 .
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Newtonverfahren: Beispiel
Quelle: Ralf Pfeifer,
https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:NewtonIteration_Ani.gif
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Newtonverfahren: Beispiel
Quelle: Ralf Pfeifer,
https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:NewtonIteration_Ani.gif
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Newtonverfahren: Beispiel
Quelle: Ralf Pfeifer,
https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:NewtonIteration_Ani.gif
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Newtonverfahren: Beispiel
Quelle: Ralf Pfeifer,
https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:NewtonIteration_Ani.gif
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Newtonverfahren: Beispiel
Quelle: Ralf Pfeifer,
https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:NewtonIteration_Ani.gif
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Newtonverfahren: Beispiel
Quelle: Ralf Pfeifer,
https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:NewtonIteration_Ani.gif
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Newtonverfahren: Beispiel
Quelle: Ralf Pfeifer,
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Newtonverfahren: Beispiel
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Newtonverfahren: Beispiel
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Newtonverfahren: Beispiel
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Newtonverfahren: Beispiel
Quelle: Ralf Pfeifer,
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Newtonverfahren: Beispiel
Quelle: Ralf Pfeifer,
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Newtonverfahren: Beispiel
Quelle: Ralf Pfeifer,
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Newtonverfahren: Beispiel
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Newtonverfahren: Beispiel
Quelle: Ralf Pfeifer,
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Newtonverfahren: Beispiel
Quelle: Ralf Pfeifer,
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Newtonverfahren: Beispiel
Quelle: Ralf Pfeifer,
https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:NewtonIteration_Ani.gif
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Newtonverfahren: Beispiel
Quelle: Ralf Pfeifer,
https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:NewtonIteration_Ani.gif
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Newtonverfahren
Betrachten wir ein einfaches Beispiel.
Beispiel. Suchen Sie die Losung zu der Gleichung ex = 2. Naturlich
konnen wir dies analytisch losen als x = ln 2 ≈ 0.693147181 . . ., sodass wir
unsere Abschatzung auch testen konnen.
Wir definieren also f (x) = ex − 2 und suchen die Nullstelle.
1. Zuerst wahlen wir einen Startpunkt, zum Beispiel x0 = 1.
2. Und nun berechnen wir,
x1 = x0 − (1− 2e−1) =2
e≈ 0.73575 . . .
x2 = x1 − (1− 2e−x1) ≈ 0.6940423 . . .
x3 = x2 − (1− 2e−x2) ≈ 0.693147581 . . .
Schon nach den ersten drei Iterationen sind wir bis auf 6
Nachkommastellen genau.
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Newtonverfahren
Wann funktioniert das Newtonverfahren gut?
Die mathematische Bedingung lautet
f (x0) · f ′′(x0)
[f ′(x0)]2∈ (−1, 1) .
Das Newtonverfahren funktioniert also gut, wenn
B f klein,
B f ′ gross und
B f ′′ klein ist.
Anmerkung zum Newtonverfahren.
Man findet immer nur eine lokale Nullstelle abhangig vom Startpunkt,
nicht alle Nullstellen der Funktionen.
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Regel von de l’Hopital
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Regel von de l’Hopital
Die Regel von de l’Hopital (auch de l’Hospital) ist eine uberaus hilfreiche
Regel zur Berechnung vieler unbestimmter Ausdrucke.
Beispiel. Betrachten wir erneut die Funktion x 7→ sin(x)x und versuchen
den Grenzwert fur x → 0 zu berechnen. Wir realisieren schnell, dass wir
einen unbestimmten Ausdruck der Form “00” erhalten. Ohne Hilfsmittel
kommen wir hier nicht weiter.
Bemerkung. Ein solches Hilfsmittel konnte die Taylorreihe sein. Mit ihr
wissen wir, dass sin(x) =∑∞
n=0(−1)n x2n+1
(2n+1)! und somit
sin(x)
x=∞∑n=0
(−1)nx2n
(2n + 1)!
(x→0)−→ 1 .
Doch dazu mehr im Kapitel uber Potenzreihen. In diesem Fall gibt es
einen einfacheren Weg.
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Regel von de l’Hopital
Satz. (Regel von de l’Hopital) Seien a < b ∈ R und seien
f , g : (a, b)→ R differenzierbare Funktionen. Es soll gelten, dass g(x) 6= 0
und g ′(x) 6= 0 fur alle x ∈ (a, b) sowie
limx↘a
f ′(x)
g ′(x)= L ∈ R .
Wenn zusatzlich eine der beiden folgenden Bedingungen halt,
B (“00”) limx↘a f (x) = limx↘a g(x) = 0,
B (“∞∞”) limx↘a |g(x)| =∞,
dann gilt auch
limx↘a
f (x)
g(x)= L .
Analoge Aussagen gelten fur x ↗ b oder x → c ∈ (a, b). Im letzten Fall
ist g(c) = g ′(c) = 0 erlaubt, wenn g(x) 6= 0 und g ′(x) 6= 0 fur alle
x ∈ (a, b) \ {c}.59/66
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Regel von de l’Hopital
Bemerkung. Die zweite Bedingung “∞∞” wird oft als
limx↘a|f (x)| = lim
x↘a|g(x)| =∞
geschrieben. Tatsachlich ist aber limx↘a |f (x)| =∞ nicht notwendig.
Beispiel. Versuchen wir erneut, limx→0sin(x)
x zu berechnen.
Wir setzen a = −∞, b = +∞, c = 0, sowie f : R→ R mit f (x) = sin(x)
und g : R→ R mit g(x) = x .
Beide Funktionen sind differenzierbar auf ganz R mit f ′(x) = cos(x) und
g ′(x) = 1. Es gilt g(x) 6= 0 auf R \ {c} und g ′(x) 6= 0 auf ganz R.
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Regel von de l’Hopital
Zuletzt prufen wir, dass limx→0f ′(x)g ′(x) existiert. In der Tat,
limx→0
f ′(x)
g ′(x)= lim
x→0
cos(x)
1= cos(0) = 1 = L .
Mit der Regel von de l’Hopital wissen wir nun, dass auch
limx→0
sin(x)
x= L = 1
gilt.
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Regel von de l’Hopital
Beispiel. Betrachten wir den Grenzwert
limx→0
2 sin(x)− sin(2x)
x − sin(x).
Wir wissen, dass f (x) := 2 sin(x)− sin(2x) und g(x) := x − sin(x) als
Zusammensetzungen elementarer Funktionen auf ganz R differenzierbar
sind und wir erhalten den unbestimmten Ausdruck “00”. Wir sehen auch,
dass g(x) = 0 nur bei x = 0 gilt. Doch g ′(x) = 1− cos(x) = 0 fur
x ∈ ∪n∈Z{2πn}, also immer wenn cos(x) = 1.
Ubung. Durfen wir die Regel von de l’Hopital trotzdem anwenden?
B Wahlen Sie geeignete Werte fur a, b, c (aus obigen Satz) und
begrunden Sie, dass die Regel von de l’Hopital angewandt werden
darf.
B Verwenden Sie die Regel von de l’Hopital einige Mal bis Sie zu einem
Ergebnis kommen. Sie sollten den Grenzwert 6 erhalten.
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Regel von de l’Hopital
Ubung. Begrunden Sie, dass die Regel von de l’Hopital angewandt werden
kann, und berechnen Sie die folgenden Grenzwerte.
1. limx→0
1− cos(x)
x2,
2. limx↘0
xx ,
3. limx↗+∞
x1x ,
4. limx↗+∞
xne−x , fur n ∈ N.
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Regel von de l’Hopital
Losung. Sie sollten folgende Werte erhalten,
B limx→01−cos(x)
x2= 1
2 , nach zweimaliger Anwendung der Regel von de
l’Hopital.
B limx↘0 xx = 1, unter Verwendung der Transformation
limx↘0 xx = exp
(limx↘0{x log(x)}
)= exp
(limx↘0
log(x)x−1
)und
Anwendung der Regel von de l’Hopital mit f (x) = log(x) und
g(x) = 1x .
B limx↗+∞ x1x = 1, mit ahnlichen Schritten zur vorhergehenden Ubung.
B limx↗+∞ xne−x = 0, unter wiederholter Anwendung der Regel von de
l’Hopital.
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Regel von de l’Hopital
Ubung. Versuchen Sie die folgenden Grenzwerte mit der Regel von de
l’Hopital zu berechnen.
1. limx↗+∞ex+e−x
ex−e−x .
Tipp: Sie drehen sich im Kreis? Versuchen Sie die Substitution
y = ex .
2. limx→1
{x
x−1 −1
log(x)
}.
Tipp: Schreiben Sie die Differenz als Bruch.
3. limx↗+∞x+sin(x)
x .
Tipp: Uberprufen Sie, ob limx↗+∞f ′(x)g ′(x) existiert. Brauchen Sie die
Regel von de l’Hopital uberhaupt fur diesen Grenzwert?
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Danke fur Ihre Aufmerksamkeit!
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Ein spezieller Dank geht an Alexander Smirnow, der eine fruhere Version
dieser Slides aufgebessert und erganzt hat.
Bei Fragen und Verbesserungsvorschlagen schreiben Sie bitte an
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