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Kernlehrplan für das Gymnasium – Sekundarstufe I (G8) in Nordrhein-Westfalen
Mathematik
ISBN 978-3-89314-824-0
Heft 3401 (G8)
Herausgegeben vom Ministerium für Schule und Weiterbildung
des Landes Nordrhein-Westfalen Völklinger Str. 49
Copyright by Ritterbach Verlag GmbH, Frechen
Druck und Verlag: Ritterbach Verlag
Rudolf-Diesel-Str. 5 7, 50226 Frechen Telefon (0 22 34) 18 66-0, Fax (0 22 34) 18 66 90
www.ritterbach.de
1. Auflage 2007
Vorwort Schulen brauchen Gestaltungsspielräume. Nur dann können der Unterricht und die Erziehungsangebote den jeweiligen Voraussetzungen der Schülerinnen und Schü-lern gerecht werden. Im Mittelpunkt der Erneuerung der Schulen steht daher die ei-genverantwortliche Schule. Sie legt selbst die Ziele der innerschulischen Qualitäts-entwicklung fest und entscheidet, wie die grundlegenden Vorgaben des Schulgeset-zes erfüllt und umgesetzt werden. Dennoch bleibt auch die eigenverantwortliche Schule in staatlicher Verantwortung. Notwendig sind allgemein verbindliche Orientierungen über die erwarteten Lerner-gebnisse und regelmäßige Überprüfungen, inwieweit diese erreicht werden. In Nordrhein-Westfalen wurde deshalb in den letzten Jahren ein umfassendes Sys-tem der Qualitätsentwicklung und Qualitätssicherung aufgebaut. Ein wichtiges Ele-ment dieses Systems sind an länderübergreifenden Bildungsstandards orientierte Kernlehrpläne. Sie stehen in einem engen Zusammenhang mit den zentralen Ab-schlussprüfungen, den Lernstandserhebungen und der Qualitätsanalyse. Kernlehrpläne wurden erstmalig 2004 in Nordrhein-Westfalen als neue Form kompe-tenzorientierter Unterrichtsvorgaben eingeführt. Sie wurden zunächst für die Schul-formen der Sekundarstufe I in den Fächern Deutsch, Mathematik und erste Fremd-sprache entwickelt. Für das Gymnasium liegen nun überarbeitete Fassungen vor, die die Schulzeitverkürzung berücksichtigen. Im Regelfall wird in den Gymnasien das Abitur nunmehr statt nach neun nach acht Jahren erreicht. Diese Verkürzung der Schulzeit ist ein wichtiger Schritt, um die Chancen unserer Schülerinnen und Schüler im nationalen und internationalen Ver-gleich zu sichern. Ein verantwortlicher Umgang mit der Lern- und Lebenszeit junger Menschen erfordert eine Anpassung der schulischen Ausbildungszeiten an die ent-sprechenden Regelungen in den meisten europäischen Staaten. Darüber hinaus ermöglicht der in den Grundschulen inzwischen verbindlich veranker-te systematische Englischunterricht eine Vorverlegung des Fremdsprachenlernens in der Sekundarstufe I. Der Unterricht in einer zweiten Fremdsprachen beginnt in den Gymnasien jetzt spätestens in Klasse 6, eine dritte Fremdsprache wird ab Klasse 8 angeboten. Diesen Änderungen wurde im Rahmen der Überarbeitung der Kernlehrpläne für das Gymnasium Rechnung getragen. Dabei wurden die bekannten Formate und Struktu-ren der Kernlehrpläne beibehalten und fortgeführt. Im Hinblick auf den verkürzten Bildungsgang kam es zu einer Konzentration und Straffung der Kompetenzvorgaben und obligatorischen Unterrichtsinhalte.
Die vorliegenden Kernlehrpläne stellen damit eine tragfähige und innovative Grund-lage dar, um die Qualität des gymnasialen Bildungsgangs auch in Zukunft sichern und weiter entwickeln zu können. Ich danke allen, die an der Überarbeitung der Kernlehrpläne mitgearbeitet haben, für ihre engagierten Beiträge.
Barbara Sommer Ministerin für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen
Auszug aus dem Amtsblatt des Ministeriums für Schule, Wissenschaft und Forschung
des Landes Nordrhein-Westfalen Teil 1 Nr. 7/2007
Sekundarstufe I – Gymnasium
Richtlinien und Lehrpläne
RdErl. d. Ministeriums für Schule und Weiterbildung
v. 14.6.07 - 525 - 6.08.01.13 - 55941 Für die Sekundarstufe I der Gymnasien werden hiermit Kernlehrpläne für die Fächer Deutsch, Englisch, Mathematik gemäß § 29 SchulG (BASS 1-1) festgesetzt. Sie treten zum 1. August 2007 für alle Klassen des verkürzten Bildungsgangs bis zum Abitur in Kraft. Für alle Klassen des nicht verkürzten Bildungsgangs bis zum Abitur bleiben die bis-her gültigen Kernlehrpläne weiterhin in Kraft. Die Richtlinien für das Gymnasium in der Sekundarstufe I gelten unverändert fort. Die Veröffentlichung der Kernlehrpläne erfolgt in der Schriftenreihe "Schule in NRW": Heft 3409 (G8) Deutsch 3417 (G8) Englisch 3401 (G8) Mathematik Die vom Verlag übersandten Hefte sind in die Schulbibliothek einzustellen und dort auch für die Mitwirkungsberechtigten zur Einsichtnahme bzw. zur Ausleihe verfügbar zu halten. Zum 31. Juli 2010 treten die bisher gültigen Lehrpläne für die Fächer Deutsch, Eng-lisch und Mathematik in der Sekundarstufe I des Gymnasiums außer Kraft. Der Runderlass wird im ABI.NRW veröffentlicht, eine Veröffentlichung in den Amtli-chen Schulblättern ist nicht zugelassen.
Inhalt Seite
Vorbemerkungen: Kernlehrpläne als kompetenzorientierte Unterrichtsvorgaben 9
1 Aufgaben und Ziele des Mathematikunterrichts 11
2 Anforderungen am Ende der Sekundarstufe I 13
3 Kompetenzerwartungen am Ende der Jahrgangsstufen 6, 8 und 9 17
3.1 Kompetenzerwartungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 18
3.2 Kompetenzerwartungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 23
3.3 Kompetenzerwartungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 28
3.4 Überblick über die Jahrgangsstufen 32
4 Muster- und Modellaufgaben 35
5 Leistungsbewertung 36
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Vorbemerkungen: Kernlehrpläne als kompetenzorientierte Unterrichtsvorgaben
Im Jahr 2004 wurden erstmals in Nordrhein-Westfalen Kernlehrpläne eingeführt. Mit dieser neuen Form kompetenzorientierter Unterrichtsvorgaben werden die von der Kultusministerkonferenz verabschiedeten nationalen Bildungsstandards für den mitt-leren Schulabschluss aufgegriffen und in Nordrhein-Westfalen umgesetzt. Kernlehr-pläne beschreiben das Abschlussprofil am Ende der Sekundarstufe I und legen Kompetenzerwartungen fest, die als Zwischenstufen am Ende bestimmter Jahr-gangsstufen erreicht sein müssen.
Kernlehrpläne sind ein wichtiges Element eines zeitgemäßen und umfassenden Ge-samtkonzepts für die Entwicklung und Sicherung der Qualität schulischer Arbeit. Sie bieten allen an Schule Beteiligten Orientierungen darüber, welche Kompetenzen zu bestimmten Zeitpunkten im Bildungsgang verbindlich erreicht werden sollen, und bil-den einen Rahmen für die Bewertung der erreichten Ergebnisse. In diesem Zusam-menhang stellen die Kernlehrpläne auch eine wichtige Grundlage für die Konzeption der Lernstandserhebungen und zentralen Prüfungen dar.
Aufgrund der Neufassung von § 10 Abs. 3 des Schulgesetzes, der die Schulzeitver-kürzung am Gymnasium über eine Verkürzung der Sekundarstufe I realisiert, endet die Sekundarstufe I an den Gymnasien nunmehr mit dem Ende von Klasse 9. Um den veränderten Rahmenbedingungen in angemessener Form Rechnung zu tragen, erfolgt im neuen Kernlehrplan
die Ausweisung und Fokussierung auf die bis zum Ende der Sekundarstufe I zu erreichenden Standards,
eine modifizierte Verteilung der erwarteten Kompetenzen in den Jahrgangsstufen 7 bis 9 sowie
eine Überführung der über den mittleren Schulabschluss hinausgehenden Anfor-derungen in die Einführungsphase der gymnasialen Oberstufe.
Bei der Anpassung der Kernlehrpläne an den verkürzten Bildungsgang des Gymna-siums wurde die bereits bewährte Konzeption der Kernlehrpläne beibehalten.
Kernlehrpläne
sind kompetenzorientierte Lehrpläne, bei denen die erwarteten Lernergebnisse im Mittelpunkt stehen,
beschreiben die erwarteten Lernergebnisse in Form von fachbezogenen Kompe-tenzen, die fachdidaktisch begründeten Kompetenzbereichen zugeordnet sind,
zeigen, in welchen Stufungen diese Kompetenzen im Unterricht in der neuen Se-kundarstufe I erreicht werden können, indem sie die erwarteten Kompetenzen am Ende der Klassen 6, 8 und 9 näher beschreiben,
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beschränken sich dabei auf wesentliche Kenntnisse und Fähigkeiten sowie die mit ihnen verbundenen Inhalte und Themen, die für den weiteren Bildungsweg unver-zichtbar sind,
bestimmen durch die Ausweisung von verbindlichen Erwartungen auch Bezugs-punkte für die Überprüfung der Lernergebnisse und Leistungsstände in der schuli-schen Leistungsbewertung - einschließlich Lernstandserhebungen und zentrale Prüfungen,
schaffen so die Voraussetzungen, um definierte Anspruchsniveaus an der Einzel-schule sowie im Land zu sichern.
Indem Kernlehrpläne sich auf die zentralen Kompetenzen beschränken, geben sie den Schulen die Möglichkeit, sich auf diese zu konzentrieren und ihre Beherrschung zu sichern. Die Schulen können dabei entstehende Freiräume zur Vertiefung und Erweiterung der aufgeführten Kompetenzen und Inhalte und damit zu einer schulbe-zogenen Schwerpunktsetzung nutzen.
Die Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz sind auf den mittleren Schulab-schluss bezogen und insofern schulformübergreifend angelegt, um für den gleichen Abschluss auch ein einheitliches Niveau zu sichern. Die Kernlehrpläne greifen die in den KMK-Standards enthaltenen schulformübergreifenden Ansprüche auf und be-rücksichtigen gleichzeitig die Besonderheiten der einzelnen Schulformen und Bil-dungsgänge. Diesen wird in der Beschreibung der Standards und in der Art des me-thodischen Zugriffs Rechnung getragen. Beispielhafte Aufgabenstellungen im Bil-dungsserver learn-line verdeutlichen die konkreten, zum Teil unterschiedlichen Kom-petenzerwartungen (www.kernlehrplaene.nrw.de).
Die vorgelegten Kernlehrpläne für das Gymnasium und die in ihnen enthaltenen Standards stellen einen weiteren Schritt auf einem längeren Entwicklungsweg dar. Die aus den Bildungsstandards der KMK abgeleiteten Kompetenzbeschreibungen für die Kernlehrpläne beziehen sich vorerst auf ein mittleres Anspruchsniveau (Regel-standards). Perspektivisch sollen sowohl für die KMK-Bildungsstandards wie für die Bildungsstandards in den Kernlehrplänen Kompetenzstufen auf der Basis empirisch und fachdidaktisch geklärter Kompetenzstufenmodelle ausgewiesen werden. Auf dieser Basis können dann das angestrebte Mindestniveau (Mindeststandards), der Regelfall und ein Exzellenzniveau ausgewiesen werden. Die Kultusministerkonferenz hat dazu das Institut für Qualitätsentwicklung im Bildungswesen (IQB) gegründet, das solche Kompetenzstufen im Laufe der nächsten Jahre entwickelt und überprüft. Die landeseigenen Lernstandserhebungen geben hierzu ebenfalls bereits erste Hin-weise.
Die bisherigen Richtlinien des Gymnasiums bleiben bis auf weiteres in Kraft. Sie be-schreiben die Aufgaben und Ziele der Schulform in der Sekundarstufe I und enthal-ten auch die jeweils spezifischen Hinweise zum Lehren und Lernen.
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1 Aufgaben und Ziele des Mathematikunterrichts
Schülerinnen und Schüler sollen im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I Erscheinungen aus Natur, Gesellschaft und Kultur mithilfe der Mathematik wahr-
nehmen und verstehen (Mathematik als Anwendung), mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Sym-
bolen und Bildern, als geistige Schöpfungen verstehen und weiterentwickeln (Ma-thematik als Struktur) sowie
in der Auseinandersetzung mit mathematischen Fragestellungen auch überfachli-che Kompetenzen erwerben und einsetzen (Mathematik als kreatives und intellek-tuelles Handlungsfeld).
Hierbei erkennen sie, dass Mathematik eine historisch gewachsene Kulturleistung darstellt. Zugleich erleben sie Mathematik als intellektuelle Herausforderung und als Möglichkeit zur individuellen Selbstentfaltung und gesellschaftlichen Teilhabe. Sie entwickeln personale und soziale Kompetenzen, indem sie lernen
gemeinsam mit anderen mathematisches Wissen zu entwickeln und Probleme zu lösen (Kooperationsfähigkeit als Voraussetzung für gesellschaftliche Mitgestal-tung) sowie
Verantwortung für das eigene Lernen zu übernehmen und bewusst Lernstrategien einzusetzen (selbstgesteuertes Lernen als Voraussetzung für lebenslanges Ler-nen).
Mathematische Grundbildung umfasst die Fähigkeit, die Rolle zu erkennen, die Mathematik in der Welt spielt, mathematisches Wissen funktional, flexibel und mit Einsicht zur Bearbeitung vielfältiger kontextbezogener Probleme einzusetzen und begründete mathematische Urteile abzugeben. Sie beinhaltet insbesondere die Kompetenz des problemlösenden Arbeitens in inner- und außermathematischen Kontexten. Grundlegend dafür ist die Fähigkeit, komplexe Probleme zu strukturieren sowie reale Probleme in geeigneter Weise mathematisch zu beschreiben, also Mo-delle zu bilden und zu nutzen. Ebenso gehört zur mathematischen Grundbildung die Fähigkeit, mit anderen über mathematische Fragestellungen zu kommunizieren, d.h. eigene Ideen zu präsentieren und zu begründen sowie die Argumente anderer auf-zunehmen.
Diese Kompetenzen bilden sich bei der aktiven Auseinandersetzung mit konkreten Fragestellungen aus den Kernbereichen des Faches Mathematik heraus: Die Ma-thematik erfasst ebene und räumliche Gebilde mit Mitteln der Geometrie. Für die O-perationen mit Zahlen in der Arithmetik hat die Mathematik die Formelsprache der Algebra entwickelt, mit der sich Gesetzmäßigkeiten des Zahlenrechnens darstellen und flexibel nutzen lassen. Zu den Leistungen der Mathematik gehört ferner, dass sie sowohl systematische Abhängigkeiten von Zahlen und Größen mit dem Begriff der Funktion, aber auch zufällige Ereignisse mit dem Begriff der Wahrscheinlichkeit be-schreiben kann.
Mathematische Grundbildung zeigt sich also im Zusammenspiel von Kompetenzen, die sich auf mathematische Prozesse beziehen und solchen, die auf mathematische Inhalte ausgerichtet sind. Prozessbezogene Kompetenzen, wie z. B. das Problemlö-sen oder das Modellieren, werden immer nur bei der Beschäftigung mit konkreten Lerninhalten, also unter Nutzung inhaltsbezogener Kompetenzen erworben und wei-terentwickelt.
fachbezogene Kompetenzen
prozessbezogene Kompetenzen inhaltsbezogene Kompetenzen
Argumentieren/ Kommunizieren
kommunizieren, prä-sentieren und argu-mentieren
Arithmetik/Algebra
mit Zahlen und Symbo-len umgehen
Problemlösen Probleme erfassen, erkunden und lösen
Funktionen Beziehungen und Ver-änderung beschreiben und erkunden
Modellieren Modelle erstellen und nutzen
Geometrie ebene und räumliche Strukturen nach Maß und Form erfassen
Werkzeuge Medien und Werk-zeuge verwenden
Stochastik mit Daten und Zufall ar-beiten
Die hier genannten Bereiche mathematischer Kompetenzen werden im Folgenden durch eine Beschreibung von Anforderungen am Ende der Sekundarstufe I (Kapitel 2) sowie durch eine Darstellung von Kompetenzerwartungen am Ende der Jahr-gangsstufen 6, 8 und 9 (Kapitel 3) konkretisiert. Diese Kernkompetenzen sollen Schülerinnen und Schüler nachhaltig und nachweislich erworben haben.
Die inhaltliche und methodische Gestaltung eines Unterrichts, in dem Schülerin-nen und Schüler eine solche mathematische Grundbildung erwerben können, ist als Gesamtaufgabe aufzufassen. Inhalte und Methoden des Unterrichts sind eng aufein-ander bezogen. Eine einseitig kleinschrittige Methodik, die entlang einer vorgegebe-nen Stoffsystematik eine Engführung der Lernenden betreibt, ist nicht geeignet, jun-ge Menschen verständnisorientiert in mathematisches Denken einzuführen. Der Un-terricht soll Schülerinnen und Schüler bei der verständnisorientierten Auseinander-setzung mit Mathematik unterstützen. Er soll hierzu eine breite Palette unterschied-lichster Unterrichtsformen aufweisen, die von einer lehrerbezogenen Wissensvermitt-lung bis hin zu einer selbstständigen Erarbeitung neuer Inhalte reicht. Zudem darf er sich nicht auf die nachvollziehende Anwendung von Verfahren und Kalkülen be-schränken, sondern muss in komplexen Problemkontexten entdeckendes und nach-erfindendes Lernen ermöglichen. Er sollte inner- und außermathematische Fragestel-lungen vernetzen und sich dabei an zentralen mathematischen Ideen (Zahl, Messen, räumliches Strukturieren, Algorithmus, Zufall) orientieren. Dieses Vorgehen erlaubt es auch, sich im Unterricht auf Wesentliches zu konzentrieren, ausgewählte Inhalte zu vertiefen und nach dem Prinzip der integrierenden Wiederholung bereits erworbe-ne Kenntnisse und Fähigkeiten zu festigen und zu vertiefen.
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2 Anforderungen am Ende der Sekundarstufe I
Für das Ende der Sekundarstufe I am Gymnasium (Ende Jahrgang 9) werden im Folgenden die Kompetenzen ausgewiesen, über die alle Schülerinnen und Schüler verfügen, die mit Erfolg am Mathematikunterricht teilgenommen haben. Die Schüle-rinnen und Schüler sollen in der Lage sein, diese Kompetenzen für ihre persönliche Lebensgestaltung, ihren weiteren Bildungsweg und ihr berufliches Leben zu nutzen.
Diese für den Mathematikunterricht in Nordrhein-Westfalen verbindlichen Kompeten-zen werden in enger Anlehnung an die Bildungsstandards der KMK im Fach Mathe-matik für den mittleren Schulabschluss (Fachoberschulreife) beschrieben. Hier-durch soll die Vergleichbarkeit der fachlichen Anforderungen für diesen Abschluss in allen Schulformen der Sekundarstufe I gesichert werden.
Der Mathematikunterricht der Jahrgangsstufen 5 bis 9 an Gymnasien hat zur Aufga-be, Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten zu vermitteln, über die Schülerinnen und Schüler nachhaltig und verlässlich im Sinne mathematischer Grundbildung ver-fügen können. Zugleich werden die Schülerinnen und Schüler auf die Anforderungen der gymnasialen Oberstufe so vorbereitet, dass sie auch Aufgaben- und Problemstel-lungen mit höherem Komplexitäts- und Vernetzungsgrad fachsystematisch sachge-recht bearbeiten können.
Die Schülerinnen und Schüler, die am Gymnasium die Jahrgangsstufe 9 erfolgreich abgeschlossen haben, verfügen über die folgenden Kompetenzen.
Argumentieren/Kommunizierenkommunizieren, präsentieren und argumentieren
Schülerinnen und Schüler teilen mathematische Sachverhalte zutreffend und ver-ständlich mit und nutzen sie als Begründung für Behauptungen und Schlussfolgerun-gen.
Sie entnehmen mathematische Informationen aus Texten, Bildern und Tabellen (Lesekompetenz), strukturieren und bewerten sie.
Sie erläutern mathematische Einsichten und Lösungswege mit eigenen Worten sowie geeigneten Fachbegriffen und präsentieren Überlegungen und Problembe-arbeitungen in kurzen, vorbereiteten Beiträgen und Vorträgen.
Sie vernetzen Begriffe, indem sie Beziehungen zwischen Begriffen auch aus ver-schiedenen Bereichen herstellen, Beispiele angeben und Ober- und Unterbegriffe zuordnen.
Sie nutzen verschiedene Arten des Begründens und Überprüfens (Plausibilität,Beispiele, Argumentationsketten).
Sie vergleichen Lösungswege und Darstellungen, überprüfen und bewerten Prob-lembearbeitungen.
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ProblemlösenProbleme erfassen, erkunden und lösen Schülerinnen und Schüler strukturieren und lösen inner- oder außermathema-
tische Problemsituationen, in denen ein Lösungsweg nicht unmittelbar erkennbar ist bzw. bei denen nicht unmittelbar auf erlernte Verfahren zurückgegriffen werden kann. Sie geben inner- und außermathematische Problemstellungen mit eigenen Wor-
ten wieder, erkunden sie, stellen Vermutungen auf und zerlegen Probleme in Teilprobleme.
Sie nutzen verschiedene Darstellungsformen, mathematische Verfahren und nut-zen Problemlösestrategien wie Überschlagen, Beispiele finden, systematisches Probieren, Schlussfolgern, Zurückführen auf Bekanntes und Verallgemeinern.
Sie überprüfen und bewerten Lösungswege und Ergebnisse, auch die Möglichkeit mehrerer Lösungen.
ModellierenModelle erstellen und nutzen
Schülerinnen und Schüler nutzen Mathematik als Werkzeug zum Erfassen von Phä-nomenen der realen Welt. Sie übersetzen Realsituationen in mathematische Modelle (Terme, Gleichungen,
Funktionen, Figuren, Diagramme, Tabellen, Zufallsversuche) und ordnen mathe-matischen Modellen passende Realsituationen zu.
Sie überprüfen und interpretieren die im mathematischen Modell gewonnene Lö-sung in der jeweiligen realen Situation, bewerten und verändern gegebenenfalls ihren Lösungsweg oder das Modell.
WerkzeugeMedien und Werkzeuge verwenden
Schülerinnen und Schüler setzen klassische mathematische Werkzeuge und neue elektronische Werkzeuge und Medien situationsangemessen ein. Sie verwenden Lineal, Geodreieck und Zirkel zum Messen, genauen Zeichnen
und Konstruieren. Sie nutzen Bücher, eine Formelsammlung und das Internet zur Informationsbe-
schaffung, dokumentieren eigene Arbeitsschritte in schriftlicher Form und ver-wenden unter anderem Tafel, Folien und Plakate zur Ergebnispräsentation.
Sie setzen situationsangemessen den Taschenrechner ein und nutzen Geomet-riesoftware, Tabellenkalkulation und Funktionenplotter zum Erkunden inner- und außermathematischer Zusammenhänge.
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Arithmetik/Algebra mit Zahlen und Symbolen umgehen
Schülerinnen und Schüler besitzen einen Begriff von Zahlen, Größen und ihren Dar-stellungen, operieren sicher mit ihnen und verwenden die Symbolsprache der Ma-thematik sachgerecht. Sie verwenden Zahlen je nach Situation in unterschiedlichen Darstellungsformen
(als Bruch, Dezimalzahl, Prozentzahl und in Zehnerpotenzschreibweise), ordnen und vergleichen sie.
Sie rechnen mit natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen, nutzen Re-chengesetze und systematisches Zählen.
Sie unterscheiden rationale und irrationale Zahlen. Sie arbeiten in Anwendungszusammenhängen sachgerecht mit Zahlen, Größen
und Variablen und führen Schätzungen und Näherungsrechnungen durch. Sie lösen lineare Gleichungen und Gleichungssysteme, einfache quadratische
Gleichungen, d.h. quadratische Gleichungen, auf die ein Lösungsverfahren (z.B. Faktorisieren, pq-Formel) unmittelbar angewendet werden kann, rechnerisch, gra-fisch oder durch Probieren.
FunktionenBeziehungen und Veränderung beschreiben und erkunden
Schülerinnen und Schüler besitzen ein grundlegendes Verständnis von funktionaler Abhängigkeit und nutzen ihre Kenntnisse zum Erfassen und Beschreiben von Bezie-hungen und Veränderungen in Mathematik und Umwelt. Sie identifizieren proportionale und antiproportionale Zuordnungen, wenden Drei-
satz, Prozentrechnung und Zinsrechnung an und rechnen mit Maßstäben. Sie stellen funktionale Zusammenhänge – insbesondere lineare und quadratische
– in sprachlicher Form, in Tabellen, als Grafen und in Termen dar. Sie wenden lineare, quadratische und exponentielle Funktionen zur Lösung von
Problemstellungen an. Sie verwenden die Sinusfunktion zur Beschreibung einfacher periodischer Vor-
gänge.
Geometrie ebene und räumliche Strukturen nach Maß und Form erfassen
Schülerinnen und Schüler erfassen Formen der Ebene und des Raumes und ihre Beziehungen in mathematischen Zusammenhängen sowie in der beobachteten Wirk-lichkeit und charakterisieren sie anhand ihrer grundlegenden Eigenschaften. Sie beschreiben ebene Figuren (Vielecke, Kreise) und Körper (Prismen, Zylinder,
Kugeln, Kegel, Pyramiden), Lagebeziehungen und grundlegende Symmetrien mit angemessenen Fachbegriffen und identifizieren sie in ihrer Umwelt.
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Sie zeichnen und konstruieren ebene geometrische Figuren (auch im Koordina-tensystem), skizzieren Schrägbilder, entwerfen Netze von Körpern und stellen Körpermodelle her.
Sie schätzen und bestimmen Winkel, Längen, Flächeninhalte, Oberflächen und Volumina.
Sie berechnen Größen und begründen Eigenschaften von Figuren mithilfe von Symmetrie, einfachen Winkelsätzen, Kongruenz, der Definition von Sinus, Kosi-nus und Tangens, dem Satz des Thales und dem Satz des Pythagoras.
Sie beschreiben und begründen Ähnlichkeitsbeziehungen geometrischer Objekte und nutzen diese im Rahmen des Problemlösens zur Analyse von Sachzusam-menhängen.
Stochastikmit Daten und Zufall arbeiten
Schülerinnen und Schüler erheben statistische Daten und werten sie aus. Sie be-schreiben und beurteilen zufällige Ereignisse mit mathematischen Mitteln. Sie planen statistische Erhebungen, nutzen Methoden der Erfassung und Darstel-
lung von Daten (Säulen- und Kreisdiagramme, Boxplots) und bewerten Darstel-lungen kritisch.
Sie bestimmen relative Häufigkeiten, Mittelwerte (arithmetisches Mittel, Median) und Streumaße (Spannweite, Quartil) und interpretieren diese.
Sie bestimmen Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Laplace-Regel, Baumdiagram-men und Pfadregeln, nutzen Häufigkeiten zum Schätzen von Wahrscheinlichkei-ten und Wahrscheinlichkeiten zur Vorhersage von Häufigkeiten.
Die schuleigenen Lehrpläne und die Evaluation von Unterricht und Unterrichtsergeb-nissen sind an den oben stehenden Kompetenzprofilen auszurichten.
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3 Kompetenzerwartungen am Ende der Jahrgangsstufen 6, 8 und 9
Im Folgenden werden Kompetenzen benannt, die Schülerinnen und Schüler am En-de der Jahrgangsstufen 6, 8 und 9 nachhaltig und nachweislich erworben haben sol-len. Sie legen die Art der fachlichen Anforderungen fest. Die Anforderungshöhe und der Komplexitätsgrad der fachlichen Anforderungen sind sowohl im Unterricht als auch in der Leistungsbewertung altersgemäß und mit Bezug auf die Anforderungen der Schulform zu konkretisieren. Kapitel 4 erläutert die Anforderungen an ausgewähl-ten Muster- und Modellaufgaben.
Die hier benannten Kompetenzen gliedern sich nach den Bereichen des Faches und beschreiben dessen Kern. Sie bauen auf den in der Grundschule erworbenen Kom-petenzen auf und machen eine Progression über die Jahrgangsstufen hinweg deut-lich. Der Unterricht ist nicht allein auf den Erwerb dieser Kernkompetenzen be-schränkt, sondern soll es Schülerinnen und Schülern ermöglichen, auf vielfältige Weise darüber hinausgehende Kompetenzen zu erwerben, weiterzuentwickeln und zu nutzen.
Kompetenzen werden im Unterricht nicht einzeln und isoliert erworben, sondern in wechselnden und miteinander verknüpften Kontexten. Der Unterricht muss dazu viel-fältige, die Jahrgangsstufen durchziehende Lerngelegenheiten anbieten. Eine thema-tisch-inhaltliche Reihenfolge innerhalb der Jahrgangsstufen ist durch den Kernlehr-plan nicht festgeschrieben.
Der Kernlehrplan bildet damit einerseits die verpflichtende Grundlage für die Erstel-lung der schuleigenen Lehrpläne. Andererseits eröffnet er Lehrerinnen und Lehrern weitgehende Freiheiten für die inhaltliche, thematische und methodische Gestaltung von Unterrichtsabläufen. Sie können Schwerpunkte setzen, thematische Vertiefun-gen und Erweiterungen vornehmen und dabei die Bedingungen der eigenen Schule und der jeweiligen Lerngruppe berücksichtigen.
Im Folgenden werden die fachbezogenen Kompetenzen getrennt nach prozessbezo-genen und inhaltsbezogenen Kompetenzen ausgewiesen. Die prozessbezogenen Kompetenzen werden von Schülerinnen und Schülern jedoch immer nur in der Aus-einandersetzung mit mathematischen Inhalten erworben. Umgekehrt können sich in-haltsbezogene Kompetenzen nur entfalten, wenn Schülerinnen und Schüler übergrei-fende Kompetenzen aktivieren können. Mathematische Grundbildung zeigt sich in der flexiblen und vernetzten Nutzung dieser prozessbezogenen und inhaltsbezoge-nen Kompetenzen. Beide Bereiche müssen somit Gegenstand des Unterrichts und der Leistungsbewertung sein.
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4 Muster- und Modellaufgaben
Muster- und Modellaufgaben veranschaulichen und konkretisieren die in Kapitel 3 ausgeführten Kompetenzerwartungen für die verschiedenen Jahrgangsstufen. An den Aufgaben lassen sich Art, Höhe und Umfang der Kompetenzerwartungen able-sen.
Einen Satz von Aufgaben, der speziell mit Blick auf die Kernlehrpläne Mathematik G8 zusammengestellt wurde, kann im PDF-Format unter der Internetadresse
http://www.kernlehrplaene.nrw.de
heruntergeladen werden.
Für den Mathematikunterricht stellen diese Muster- und Modellaufgaben beispielhaft Probleme dar, die Schülerinnen und Schüler auf der Grundlage der am Ende der je-weiligen Jahrgangsstufe erworbenen Kompetenzen lösen können. Sie zeigen an komplexen und offenen Ausgangssituationen, wie Schülerinnen und Schüler über un-terschiedliche prozess- und inhaltsbezogene Kompetenzen verfügen und diese kom-binieren müssen, um in inner- und außermathematischen Situationen mathematikbe-zogene Fragen lösen, reflektieren und bewerten zu können.
Die Muster- und Modellaufgaben können auch im Unterricht eingesetzt werden, um im Laufe der jeweiligen Jahrgangsstufen Lerngelegenheiten zu bieten, anregende Fragen aufzuwerfen oder um neue Begriffe und Verfahren zu erarbeiten. Am Ende der jeweiligen Jahrgangsstufe (oder später) können sie dazu dienen, festzustellen, ob und auf welchem Niveau Schülerinnen und Schüler die in Kapitel 3 genannten Kompetenzerwartungen erfüllen. Zu diesem Zweck decken die Aufgaben jeweils ein breites Spektrum über alle Kompetenzbereiche hinweg ab. Hinweise zum Einsatz und wesentliche Kompetenzen zur Bearbeitung der Aufgaben werden im Anschluss an die jeweiligen Aufgabenstellungen aufgeführt.
Da es sich bei den vorliegenden Kernlernlehrplänen um eine Weiterentwicklung der 2004 in Kraft gesetzten Kernlehrpläne handelt, gibt es mittlerweile zahlreiche Aufga-bensammlungen mit unterschiedlichen Zielsetzungen, auf die zur Unterrichtsplanung, -gestaltung und –auswertung zurückgegriffen werden kann. Weiterführende Hinweise befinden sich im Internet.
36
5 Leistungsbewertung
Die rechtlich verbindlichen Grundsätze der Leistungsbewertung sind im Schulgesetz (§ 48 SchulG) sowie in der Ausbildungs- und Prüfungsordnung für die Sekundarstu-fe I (§ 6 APO - SI) dargestellt. Demgemäß sind bei der Leistungsbeurteilung von Schülerinnen und Schülern erbrachte Leistungen in den Beurteilungsbereichen"Schriftliche Arbeiten", "Sonstige Leistungen im Unterricht" sowie die Ergebnisse zentraler Lernstandserhebungen angemessen zu berücksichtigen.
Während die „Sonstigen Leistungen im Unterricht“ sowie die "Schriftlichen Arbeiten" bei der Leistungsbewertung den gleichen Stellenwert besitzen, dürfen die Ergebnisse der Lernstandserhebungen lediglich ergänzend und in angemessener Form Berück-sichtigung finden. Die in § 6 Abs. 8 der APO - SI eingeräumte Möglichkeit zum Ersatz einer Klassenarbeit durch eine nicht schriftliche Leistungsüberprüfung gelangt für das Fach Mathematik nicht zur Anwendung.
Die Leistungsbewertung insgesamt bezieht sich auf die im Zusammenhang mit dem Unterricht erworbenen Kompetenzen.
Erfolgreiches Lernen ist kumulativ. Entsprechend sind die Kompetenzerwartungen in den Bereichen des Faches jeweils in ansteigender Progression und Komplexität for-muliert. Dies bedingt, dass Unterricht und Lernerfolgsüberprüfungen darauf ausge-richtet sein müssen, Schülerinnen und Schülern Gelegenheit zu geben, grundlegen-de Kompetenzen, die sie in den vorangegangenen Jahren erworben haben, wieder-holt und in wechselnden Kontexten anzuwenden. Für Lehrerinnen und Lehrer sind die Ergebnisse der Lernerfolgsüberprüfungen Anlass, die Zielsetzungen und die Me-thoden ihres Unterrichts zu überprüfen und ggf. zu modifizieren. Für die Schülerinnen und Schüler sollen sie eine Hilfe für weiteres Lernen darstellen.
Die Lernerfolgsüberprüfung ist daher so anzulegen, dass sie den in den Fachkonfe-renzen beschlossenen Grundsätzen der Leistungsbewertung entsprechen, dass die Kriterien für die Notengebung den Schülerinnen und Schülern transparent sind und die jeweilige Überprüfungsform den Lernenden auch Erkenntnisse über die individu-elle Lernentwicklung ermöglicht. Die Beurteilung von Leistungen soll demnach mit der Diagnose des erreichten Lernstandes und individuellen Hinweisen für das Wei-terlernen verbunden werden. Wichtig für den weiteren Lernfortschritt ist es, bereits erreichte Kompetenzen herauszustellen und die Lernenden – ihrem jeweiligen indivi-duellen Lernstand entsprechen - zum Weiterlernen zu ermutigen. Dazu gehören auch Hinweise zu erfolgversprechenden individuellen Lernstrategien. Den Eltern soll-ten im Rahmen der Lern- und Förderempfehlungen Wege aufgezeigt werden, wie sie das Lernen ihrer Kinder unterstützen können.
Im Sinne der Orientierung an Standards sind grundsätzlich alle in Kapitel 3 des Lehr-plans ausgewiesenen Bereiche („Argumentieren/Kommunizieren“, „Problemlösen“, Modellieren“, „Werkzeuge“, „Arithmetik/Algebra“, „Funktionen“, „Geometrie“ und „Sto-chastik“) bei der Leistungsbewertung angemessen zu berücksichtigen. Dabei kommt
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den prozessbezogenen Kompetenzen der gleiche Stellenwert wie den inhaltsbezo-genen Kompetenzen zu.
Hinsichtlich der einzelnen Beurteilungsbereiche gelten die folgenden Regelungen:
Schriftliche Arbeiten (Klassenarbeiten)
Klassenarbeiten dienen der schriftlichen Überprüfung von Lernergebnissen. Sie sind so anzulegen, dass die Schülerinnen und Schüler im Unterricht erworbene Sach-kenntnisse und Fähigkeiten nachweisen können. Sie bedürfen angemessener Vorbe-reitung und verlangen klar verständliche Aufgabenstellungen.
Die Aufgabenstellungen sollen die Vielfalt der im Unterricht erworbenen Kompeten-zen und Arbeitsweisen widerspiegeln. Dabei dürfen sich schriftliche Arbeiten nicht auf Reproduktion beschränken. Schülerinnen und Schüler sollen zunehmend Aufga-ben bearbeiten, bei denen es um Begründungen, die Darstellung von Zusammen-hängen, Interpretationen und kritische Reflexionen geht. Hierbei sind besonders die in Kapitel 3 konkret formulierten prozessbezogenen Kompetenzen zu berücksichti-gen. Es sind ebenfalls Aufgaben einzubeziehen, bei denen nicht von vornherein eine eindeutige Lösung feststeht, sondern bei denen Schülerinnen und Schüler individuel-le Lösungs- oder Gestaltungsideen einbringen können. Anregungen hierzu finden sich in Kapitel 4.
Es ist erwünscht, Schülerinnen und Schüler bei der Auswahl der Aufgabentypen für eine Klassenarbeit angemessen zu beteiligen und so deren Fähigkeit zur Einschät-zung der von ihnen erworbenen Kompetenzen zu stärken.
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Sonstige Leistungen im Unterricht
Der Bewertungsbereich "Sonstige Leistungen im Unterricht" erfasst die Qualität und Kontinuität der Beiträge, die die Schülerinnen und Schüler im Unterricht einbringen. Diese Beiträge sollen unterschiedliche mündliche und schriftliche Formen in enger Bindung an die Aufgabenstellung und das Anspruchsniveau der jeweiligen Unter-richtseinheit umfassen. Gemeinsam ist diesen Formen, dass sie in der Regel einen längeren, abgegrenzten, zusammenhängenden Unterrichtsbeitrag einer einzelnen Schülerin, eines einzelnen Schülers bzw. einer Gruppe von Schülerinnen und Schü-lern darstellen.
Zu „Sonstigen Leistungen“ zählen beispielsweise Beiträge zum Unterrichtsgespräch in Form von Lösungsvorschlägen, das Aufzei-
gen von Zusammenhängen und Widersprüchen, Plausibilitätsbetrachtungen oder das Bewerten von Ergebnissen,
kooperative Leistungen im Rahmen von Gruppenarbeit (Anstrengungsbereit-schaft, Teamfähigkeit, Zuverlässigkeit),
im Unterricht eingeforderte Leistungsnachweise, z. B. vorgetragene Hausaufga-ben oder Protokolle einer Einzel- oder Gruppenarbeitsphase, angemessene Füh-rung eines Heftes oder eines Lerntagebuchs sowie
kurze, schriftliche Überprüfungen.
Neben den vorgestellten Formen der Beurteilung können auch alternative Bewer-tungsformen im Bewertungsbereich "Sonstige Leistungen" zur Notenfindung genutzt werden. Die Fachlehrerin bzw. der Fachlehrer kann z. B. Formen wie Portfolios oder langfristig vorzubereitende größere schriftliche Hausarbeiten über eine mathematik-bezogene Fragestellung einsetzen. Die Durchführung und die Bewertungskriterienmüssen den Schülerinnen und Schülern im Voraus transparent gemacht werden. Es ist zu empfehlen, ihnen die Anforderungen und Kriterien an Beispielen zu verdeutli-chen.
Ergebnisse der Lernstandserhebungen
Zentrale Lernstandserhebungen überprüfen, inwieweit die in den Kernlehrplänen enthaltenen Kompetenzerwartungen von den Schülerinnen und Schülern erreicht werden. Da sich die Anforderungen der Lernstandserhebungen nicht nur auf den vorhergehenden Unterricht beziehen, werden diese ergänzend zu den Beurteilungs-bereichen "Schriftliche Arbeiten" und "Sonstige Leistungen im Unterricht" bei der Leistungsbewertung herangezogen. Für die Berücksichtigung von Lernstandserhe-bungen gilt Nr. 3 des Runderlasses "Zentrale Lernstandserhebung (Vergleichsarbei-ten)" BASS 12-32 Nr. 4.
Das Verfahren zur Berücksichtigung der Lernstandserhebungsergebnisse bei der Leistungsbewertung muss dabei der Tatsache Rechnung tragen, dass die Lern-standserhebungen in erster Linie der Standortbestimmung von Klassen und Schulen im Hinblick auf die Kompetenzentwicklung von Lerngruppen dienen und vor allem die
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anschließende Unterrichtsentwicklung befördern helfen sollen. Aufgrund der damit verbundenen Orientierung dieses Leistungstests an schul- und bildungsgangüber-greifenden Kriterien sowie des ohne Kenntnis des konkret vorangegangenen Unter-richts erstellten Testinstruments muss die entsprechende Nutzung im Rahmen der Leistungsbewertung nach den genannten Vorgaben erfolgen. Eine unreflektierte un-mittelbare Ableitung von Noten aus Testpunktwerten oder erreichten Kompetenzni-veaus ist deshalb nicht sachgerecht.
Aus den zuvor genannten Gründen orientiert sich die Bewertung des individuellen Schülerergebnisses bei den Lernstandserhebungen an den bisher erbrachten Leis-tungen des einzelnen Schülers bzw. der Schülerin, der Bewertung der Aufgaben-schwierigkeiten vor dem Hintergrund des erteilten Unterrichts sowie den von der Klasse oder Lerngruppe insgesamt bei den Lernstandserhebungen erzielten Ergeb-nissen.