mathématiques générales bts comptabilité et gestion

Travaux pratiques sur les TQG BTS Comptabilit et Gestion Proposs par NGNIE Mathmatiques Gnrales (Equations, Inquations, analyse et suites) Rsoudre dans IR les quations suivantes (cest--dire dterminer lensemble des nombres rels x pour lesquels les galits suivantes sont vraies) : 1) 2 ln x = ln 3 + ln(2 x + 3) 2) 2(ln x) 2 + 3 ln x 2 = 0 2 15 3) e 2 x 4e x + 3 = 0 4) 2e x 2 x 1 = 2 5) 2 log 2 x 3 log x 2 = 0 6) e x = 2 + x e 3 2 7) soit f la fonction polynme dfinie sur IR par : f ( x) = 2 x 5 x + x + 2 1 a) Dterminer les trois nombres rels a, b et c tels que pour tout rel x , f ( x) = ( x 1)(ax 2 + bx + c) b) Rsoudre dans IR la fonction f ( x) = 0 2 Dduire du 1 la rsolution dans IR des quations suivantes : a) 2(ln x) 3 5(ln x) 2 + ln x + 2 = 0

b) 2e 2 x 5e x + 1 = 2e x 8) a) Rsoudre dans IR lquation suivante : 4 x 4 37 x 2 + 9 = 0 b) En dduire les solutions dans IR de lquation suivante : 4(log x) 4 37(log x) 2 + 9 = 0 9) Rsoudre dans IR linquation suivante 1 a) Rsoudre dans IR linquation suivante : x 2 + 3x 2 >0 b) En dduire la rsolution dans IR de linquation suivante : 1 2x 2 e e x + 2) 4 Quelle est la limite de A(X) lorsque X tend vers plus linfini ? Problme 3 On considre la fonction numrique f de IR dans IR dfinie par :

f ( x) =

( x 1) 3 3 x2

1 i) Dterminer lensemble de dfinition de f ii) Calculer les limites de f quand x tend vers chacune des bornes de lintervalle de dfinition 2 i) Calculer f ' ( x) . Puis f ' (1) et f ' (2) , f ' est une fonction drive de f ii) En dduire les variations de f 3 i) Montrer quil existe des constantes a , b et c telles que :

f ( x) = x + a +

ii) En dduire que la droite dquation y = x + a est une asymptote la courbe (C ) de f . 4 Tracer avec soin la courbe (C ) de f et la droite dans un repre orthonorm. 5 Donner toutes les primitives de la fonction f.

b c x x2

r rProblme 4 On munit un plan dun repre orthonorm (o, i , j ) dunit : 1 cm. Soit f la fonction numrique de variablerelle dfinie par : f ( x) =

x 2 3x + 4 x 1

On note C la courbe reprsentative de f 1 Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de dfinition Df 2 a) Sur Df , calculer f ' ( x) o f ' est la fonction drive de f b) Dduire les variations de f .2

Travaux pratiques sur les TQG Proposs par NGNIE3 a) Dterminer les rels a , b et c tels que f ( x) = ax + b + b) Dterminer les asymptotes C 4 Vrifier que le point I

BTS Comptabilit et Gestion

c x 1

1 est le centre de symtrie de C 1

5 Tracer la courbe C 6 Calculer laire A du domaine limit par la courbe C et les droites dquations x = 2 , x = 5 et

y = x2Problme 5 Soit f la fonction numrique : f ( x) = x log x 1 Prciser les ensembles de dfinition et de continuit de f 2 Calculer les limites de f (x) quand x tend vers chacune des bornes de lintervalle de dfinition 3 Etudier la variation de f , tracer sa courbe reprsentative (C ) et examiner lexistence dune asymptote oblique. 4 Dterminer laire algbrique A du domaine compris entre le segment 0A et la courbe (C), 0 tant lorigine des axes et A le point (1,0) 5 Dterminer laire algbrique A(k) du domaine compris entre laxe 0 x , la courbe (C) et la droite x = k , k tant un paramtre rel suprieur 1. Calculer la valeur de k qui annule A(k). Problme 6 Soit la fonction dfinie sur IR par : f ( x) = x 1 + e x et C sa courbe reprsentative dans le repre ortho normal du plan (0, i , j ) , unit 1 cm. 1 Dterminer lim f ( x ) quand x tend vers . On pourra crire que pour tout x rel,

r r

1 ( xe x e x + 1) , dterminer galement lim f ( x) quand x tend vers + x e 2 Etudier les variations de f 3 Dterminer lim[ f ( x ) ( x 1)] quand x tend vers + . Que peut-on en dduire pour la courbe C ?

f ( x) =

4 Construire la droite D dquation y = x-1 et la courbe C Problme 7 r r Dans le plan P muni dun repre orthonorm (o, i , j ) , on considre la fonction numrique f dfinie par : 1+ x f ( x) = x (C ) est la courbe reprsentative de f 1) a) Etudier les variations de f .(on dressera le tableau de variations) r r b) Reprsenter (C ) dans le repre orthonorm (o, i , j ). (unit sur les axes = 1cm) c) Calculer laire du domaine plan dfini par : 1 x 2 et 1 y f ( x) . 1+ x 2) On considre la fonction g dfinie par : g ( x) = ln x En vous servant uniquement du graphique (C ) de f : a) Dterminer le domaine de dfinition Dg de la fonction g . b) Calculer les limites aux bornes de ce domaine. c) En dduire les asymptotes la courbe (C ' ) de g 3) Calculer g ' ( x) , o g ' est la fonction drive de g

3

Travaux pratiques sur les TQG Proposs par NGNIEProblme 8


1 Soit f la fonction dfinie sur lintervalle ] ,+[ par f ( x) = x + 1 + 2 ln

x x 1

On note C la courbe reprsentative de f dans le plan muni dun repre orthonormal (o; i ; j ) unit 1cm 1 Dterminer les limites de f aux bornes de lintervalle de dfinition. 2 Etudier le sens de variation de f 3 Montrer que la droite dquation y = x+1 est une asymptote C. Prciser la position de C par rapport . 4 Tracer avec soin et C Problme 9 On considre la fonction f dfinie sur IR par : f ( x) = x + 1 + e x Etudier la variation de f et tracer sa courbe reprsentative

r r

Problme 10 Soit f la fonction numrique dfinie par : f ( x) = x + 1 +

4 x2

1 Prciser lensemble de dfinition et de continuit de f 2 Etudier les branches infinies de f 3 Etudier le sens de variation de f et sa concavit. 4 Appliquer le thorme des accroissements finis la fonction f, entre les points A et B de graphe (C) dabscisses a = 1 et b = 2 (c'est--dire dterminer le point C de larc AB du graphe, o la tangente au graphe est parallle la corde AB) 4 Tracer le graphe (C) de la fonction f dans le plan rapport un repre orthonorm. 5 On appelle D(m) le domaine compris entre le graphe (C), les droites dquations y = x+1, x = 1 et x = m o m est un paramtre rel strictement positif, Calculer, en fonction de m, laire A(m) de ce domaine 6 Quel est le comportement de A(m) lorsque m tend vers + ? Interprter graphiquement le rsultat.

Problme 11 On considre la fonction numrique f dfinie par : (log x) 2 f : x x 1) Dterminer lensemble de dfinition et de continuit de f ; tudier ses branches infinies. 2) Etudier le sens de variation de f. calculer f(x) et situer les points dinflexion de f. Tracer le graphe (C) de f, dans un repre orthonorm. 2 m (log x ) 3) Calculer : I (m) = dx, o m > 1. 1 x Interprter gomtriquement I(m). Etudier le comportement de I(m) lorsque m tend vers + (log x )2 . Dduire de ltude de f les variations et le 4) soit g la fonction dfinie par : g : x x graphe de g

4

Travaux pratiques sur les TQG Proposs par NGNIE


Problme 12 Soit f la fonction numrique dfinie par : f : x x e 1) Etudier la fonction f (prciser notamment sa concavit, son comportement lorsque x + , x ) et tracer sa courbe reprsentative. 2) Calculer, en effectuant un changement de variables, lintgrale indfinie : x2 2

xe3) En dduire la valeur de lintgrale :I =+ 0

x2 2

dx

xe

x2 2

dx

et interprter gomtriquement la convergence de I.

Les Suites

Exercice 1 Soit (Un) la suite dfinie par U0 =1 et par la relation : Pour tout nombre entier naturel n, 1 U n +1 = (2U n + 5) 3 1 Soit (Vn) la suite dfinie pour tout nombre entier naturel n par Vn =Un +1 2 a) Vrifier que pour tout nombre entier naturel n, Vn +1 = (U n + 1) 3

2 b) Dduire du a) que, pour tout nombre entier naturel n, Vn +1 = Vn 3c) Dduire de ce qui prcde que la suite (Vn) est une suite gomtrique dont on donnera la raison et le premier terme. 2 Dterminer lexpression de Vn, puis celle de Un en fonction de n 3 Dterminer la limite de Vn quand n tend vers + et la limite de Un quand n tend vers + 4 Exprimer en fonction de n, la somme Sn = V0 + V1 +V2 +..+Vn Dterminer la limite de Sn quand n tend vers + Exercice 2 1) Soient u1, u2, ., un , les n premiers termes dune progression arithmtique de raison r. on pose u1 = Rappeler lexpression du nme terme un de cette progression, en fonction de , r et n. 2) On dsire tudier la suite des nombres dfinis par : vi = e ui , i {1,2, ,n}. Montrer que les nombres vi forment une progression gomtrique, dont on prcisera le 1er terme v1 et la raison q, en fonction de et r. 3) Exprimer la somme Sn = v1 + v2 +. + vn en fonction de , r et n. Pour quelles valeurs de r, la somme Sn admet-elle une limite, lorsque n tend vers + ? 4) On pose = 0 et r = 1 Calculer le nme terme vn et la somme Sn , en fonction de n, ainsi que la limite de Sn, lorsque n tend vers +.5

Travaux pratiques sur les TQG Proposs par NGNIE Exercice 3


Soit (Un) la suite dfinie pour tout entier naturel n par : U0 = 5, U 1 =

13 5 1 et U n + 2 = U n +1 U n 6 6 6

(1) 1 Calculer les termes U2, U3, U4 et U5 de cette suite. 2 Soit (Vn) une suite gomtrique de premier terme V0 = 1 de raison r, avec r 0. a) Donner pour tout nombre entier naturel n lexpression de Vn en fonction de r et de n. b) Monter quil existe deux valeurs de r telles que la suite (Vn) correspondante vrifie la 5 1 relation (1). Cest--dire telles que pour tout entier naturel n, Vn + 2 = Vn +1 Vn 6 6 On notera r1 et r2 les raisons respectives de ces suites avec r1 p r2 3 a) En utilisant les valeurs de r1 et r2 obtenus en 2, vrifier que, quels que soient les n n nombres rels et la suite dfinie pour tout entier naturel n par Vn = r1 + r2 satisfait la relation (1). b) Dterminer les nombres rels et pour que la suite (Vn) vrifie les conditions initialesV0 = 5 et V1 = 13/6. c) On admet quil existe une seule suite vrifiant (1) et satisfaisant les conditions initiales donnes ; donc Vn = Un pour tout entier naturel n. Vrifier, laide de lexpression de Un en fonction de n, que lon retrouve bien les valeurs de U2, U3, U4 et U5 calcules en 1. Calculer la limite de Un quand n tend vers +

Mathmatiques gnrales (Algbre linaire et Analyse)6



Algbre linaire et AnalyseExercice 1 On considre les matrices quatre lignes et quatre colonnes suivantes : 1 4 3 2 1 1 1 1 1 4 3 2 1 1 1 1 A= et B = 2 1 1 1 1 3 4 1 1 1 1 1 1 2 3 4 Calculer manuellement les matrices produit AB et BA. Que constatez-vous ? Exercice 2 Calculer les dterminants suivant

1 1 1 = 1 0 1 , 2 = 1 2 3 , 3 = 1 1 1 0 1 3 6 11 1 1 1 1 1

1 1 1 1 2 3 4 2 1 4 3 2 3 4 , 4 = 3 6 10 3 4 1 2 4 10 20 4 3 2 1

1 2 5 = 1 1 0

0 1 3 1 0 1 0 3 1 2 1 0 0 5 2

4 1 1 1 5 , 6 = 2 3 3 1 0

0 2 2 0 1 1 2 1 0 1

3 0 1 4 0 1 0 1 2 1

Exercice 3

1) On pose f(x) =

c) Rsoudre dans ]0,+[ lquation F(x) =0 d) Etudier les variations de f et tracer son graphe (unit sur les axes : 1cm) e) Calculer laire de la partie du plan dfinie par : 0 y f(x), x=1, x=e 2) On considre la matrice : 2 1 2 A= 3 2 1 2 5 3 a) Montrer que la matrice A est rgulire b) Utiliser la mthode de pivot de Gauss pour trouver linverse A-1 de A 2 c) Trouver le vecteur X(x, y, z) tel que : AX = 5 4

6 log x +6 x x 1 a) Calculer log x dx x b) En dduire lexpression de F(x)= f ( x) dx

Exercice 47

Travaux pratiques sur les TQG BTS Comptabilit et Gestion Proposs par NGNIE 1) Utiliser la mthode de pivot de Gauss pour rsoudre le systme : x + 2 y + 2z = 2 3x 2 y z = 5 2 x 5 y + 3 z = 4

2) On considre la matrice : 2 2 1 2 1 2 1 2 2 Montrer que A est une matrice rgulire Utiliser la mthode du pivot de Gauss pour trouver linverse A-1 de A Calculer P() =det (A - I). P est le polynme caractristique de A Calculer les valeurs propres de A On admet que P(A) = 0. En dduire A-1 et comparer au rsultat obtenu en b)

a) b) c) d) e)

et en dduire lquation de rcurrence matricielle vrifie par An, n *. En dduire An. La matrice A est-elle diagonalisable ?Exercice 6 (Analyse) A) Soit f la fonction numrique de la variable relle x dfinie sur IR par : f ( x) = x ln 2 + 2 x 1) Etudier les variations de f. On rappelle que lim x 2 x = 0 quand x tend vers r r 2) On note Cf sa courbe reprsentative dans un repre orthonormal (O, i , j ) (unit graphique : 2cm) Dmontrer que Cf admet une asymptote oblique puis tracer Cf et son asymptote 1 x2 . Calculer la drive de F ; 3) Soit la fonction F dfinie sur IR par : F ( x) = ln 2 x 2 2 ln 2 Que constatez vous ?

Exercice 5 Dterminer le polynme minimal de la matrice 3 1 1 A = 1 3 1 0 0 2

x 1 x2 1) Etudier la variation de f et tracer sa courbe reprsentative (C ) 2) Donner une primitive F(x) de la fonction f(x) B) Considrons la fonction f dfinie par : f ( x) =Exercice 7 Pour une fabrication, une entreprise utilisera x pices de type X, y pices de type Y et z pices de type Z. La masse et le cot de chacune de ces pices sont donns dans le tableau suivant : X Y Z Masse en grammes 2,5 2 1 Cot en francs 1 1,5 0,5 Lentreprise effectue une tude en vue doptimiser cette fabrication. Pour cela, elle doit considrer le nombre total N des pices employes, leur masse totale M en grammes et leur cot total C en francs.8

Travaux pratiques sur les TQG BTS Comptabilit et Gestion Proposs par NGNIE 1 Exprimer N, M et C en fonction de x, y et z. 2 On dfinit ainsi une application linaire f de IR3 dans IR3, qui (x, y, z) associe (N, M, C). r r r a) Dterminer la matrice F de f dans la base (i , j , k ) , o r r r i = (1,0,0) j = (0,1,0), et k = (0,0,1). b) Rsoudre par la mthode du pivot de Gauss le systme dinconnues x, y, z crit matriciellement : x N F y = M . z C c) Dterminer alors la matrice F telle que lon ait : N x F ' M = y . C z

3 Ltude a montr que la fabrication est optimale lorsque sont employes au total 140 pices, dune masse totale de 275 g et dun cot total de 135F. Dans ces conditions, calculer les nombres de pices de chacun des types X, Y et Z, qui seront utilises pour cette fabrication.Exercice 8 0 1 1 1 0 0 On note : I = 0 1 0 et M = 3 4 3 1 1 0 0 0 1 1 Calculer la matrice M 2 a) Dterminer les nombres rels a et b tels que : M = aM + bI b) En utilisant la relation prcdente ; montrer quil existe une matrice M telle que : M M ' = M 'M = I d) Ecrire M sous forme dun tableau de nombres.

Exercice 91 4 0 2 On donne les matrices : A = 0 4 2 , J = 0 0 0 0 2 1 Dterminer les deux nombres rels et 2 Calculer J ; vrifier que : (3I+J) = 10I + 6J 2 1 1 2 , I = 0 0 0 1 tels que A = I 0 0 0 1 0 0 1

+ J

Exercice 10 1) Soient les matrices : 2 2 1 1 0 0 M = 4 3 4 et I = 0 1 0 . 4 4 5 0 0 1 2 Calculer M . En dduire quil existe une matrice M telle que M M = I 1) On se propose de rsoudre, dans IR3, le systme :

9



xy 2 z 2 = 1 ( S ) x 4 y 3 z 4 = e 1 2 x4 y4 z5 = e a) On pose : X = ln(x), Y = ln(y) et Z = ln(z). Montrer que le systme (S) scrit sous la forme matricielle : X 0 M Y = 1 Z 2 b) Rsoudre le systme (S) en utilisant la question 1)

Exercice 11 M tant une matrice carre, on pose M1=M et, pour tout entier naturel non nul, M n+1= MM n 1 0 1. 1) On considre la matrice D dfinie par D = 0 2 0 1 n 2 3 n a) Calculer D et D . On admettra que pour tout entier naturel non nul : D = 1 . 0 2 2 1 1 1 1 0 3 3 , Montrer que PP = et P ' = b) Etant donn les matrices P = 0 1 1 2 1 1 3 3 Calculer PP.

1 1 c) On considre la matrice A dfinie par A= 2 2 . Montrer que PDP=A 1 0 d) n est un entier naturel non nul. Sachant que A n =(PDP)(PDP)(PDP) (produits de n facteurs (PDP)) , utiliser le 1)b) pour montrer que A n =P D n P. n 1 En dduire les termes de la matrices A n en fonction de . 2 1) On considre la suite u dfinie par : 1 u 0 = 1, u1 = 2 et, pour tout entier naturel n, u n + 2 = (u n +1 + u n ) 2 u Pour tout entier naturel n, on note Xn la matrice colonne n +1 u n a) Montrer que pour tout n entier naturel Xn+1=AXn b) Calculer X1 en fonction de X0 puis X2 en fonction de X0 c) En admettant que, pour tout entier naturel n non nul, Xn=AnX0, calculer u n en fonction de

1 . 210

n

Travaux pratiques sur les TQG BTS Comptabilit et Gestion Proposs par NGNIE d) Dterminer la limite de u n lorsque n tend vers + Exercice 12 Une entreprise assure la production de trois objets A1, A2 et A3 en quantits hebdomadaires respectives x1, x2, x3 r Un programme de production (hebdomadaires) sexprime par un vecteur X = ( x1 , x2 , x3 ) de IR3 (par exemple, le programme de production (20, 10, 30) correspond, pour la semaine concerne, une production de 20 objets A1, 10 objets A2 et 30 objets A3). (Les questions 1 et 2 de cet exercice sont indpendantes)r Pour raliser un programme de production X = ( x1 , x2 , x3 ) , on utilise y1 kilogrammes de matire premire, y2 heures de travail et y3 kilowattheures dnergie, ce que lon reprsente par le vecteur r Y = ( y1 , y2 , y3 ) de IR3. r r On sait que lapplication h, de IR3 , qui X associe Y , est linaire. Sa matrice associe, dans la base canonique de IR3, est : 2 4 1 y1 2 4 1 x1 H = 1 2 2 . Ainsi : y2 = 1 2 2 x2 1 1 1 y 1 1 1 x 3 3 r r a) Calculer le vecteur Y associ au vecteur X = (20,10,30). r r b) Dterminer le vecteur X qui a pour vecteur associ le vecteur Y = (230,130,100).

1) Calcul vectoriel

2) Calcul de probabilitsUne tude a permis de constater, compte tenu des contraintes extrieures que, quel que soit le programme de production hebdomadaire choisi, la probabilit de le raliser effectivement est gale 0,7 (On suppose que les ralisations des programmes hebdomadaires de production sont indpendantes les unes des autres). On note V la variable alatoire qui correspond au nombre de programmes hebdomadaires de production raliss, sur une priode de 50 semaines de production. a) Prciser, en justifiant, la loi de probabilit suivie par V et donner ses paramtres. b) Calculer la probabilit de lvnement V = 35 (On donnera lapproximation dcimale arrondie 10-2 prs de cette probabilit) c) On remplace la loi de V par une loi normale. Quels sont les paramtres de celle-ci (arrondie 10-2 prs) ? d) On note V une variable alatoire qui suit cette loi normale. En calculant successivement les probabilits de chacun des deux vnements V 40,5 et 29,5 V 40,5 . Donner les approximations dcimales des probabilits de chacun des deux vnements V 40 et 30 V 40 Exercice 13 On considre la matrice carre dordre 3 1 0 2 M = 0 1 0 0 2 1

1) Montrer que M est inversible. 2) Calculer les matrices M 2 et M 3

11

Travaux pratiques sur les TQG BTS Comptabilit et Gestion Proposs par NGNIE 3) Montrer, en calculant M 3 3M 2 + 3M, que les matrices I, M, M 2 et M 3, forment un systme li, dans lespace vectoriel des matrices carres dordre 3. Donner la relation linaire qui existe entre ces quatre matrices. 4) Montrer que la relation prcdente permet dexprimer M -1 en fonction de I, M et M 2 5) En dduire la matrice M -1 6) On se propose de rsoudre le systme dquations linaires suivantes : = 1 x y 2z = 2 2 x + z = 1

Ecrire ce systme sous forme matricielle NX = B, o X dsigne le vecteur- colonne des x inconnues : X = y , et N et B deux matrices que lon crira explicitement. z 7) Utiliser le rsultat de la question 5) pour trouver la solution unique de ce systme dquations.Exercice 14 1 a Soit M = a 1 o a est paramtre rel, 2) Pour quelles valeurs du paramtre a, linverse M-1 existe-t-elle ? 3) Dterminer la matrice M-1 et en dduire la solution du systme suivant : + 5y = 7 x 5 x + 2 y = 8 Exercice 15 9 10 9 Soit A = 9 8 9 la matrice associe lendomorphisme f de IR3 dans la base canonique. 9 9 8 1) Calculer les valeurs propres de f. Peut-on dire a priori si f est diagonalisable ? 2) Dterminer les vecteurs propres de f 3) Montrer que f est diagonalisable. Calculer la matrice de passage P de la base canonique une base de vecteurs propres et en dduire la matrice diagonale D = P-1AP associe f dans cette base. Exercice 16 x1 Soit f lapplication linaire de lensemble IR3 dans lui-mme qui au vecteur X = x 2 fait x 3 x1 x 2 correspondre le vecteur Y = f(X) = x3 x + x 3 2

1) Dterminer les images par f des vecteurs de la base canonique {e1, e2, e3} de IR3 2) Ecrire la matrice A reprsentant lendomorphisme f dans cette base.

12



0 1 3) Calculer les images par f des vecteurs u = 1 et v = 2 3 1

Exercice 17 Soit f lapplication de IR3 dans lui-mme dfinie par x1 x1 f = x 2 x1 x 2 x x 3 2 + x3

1) Ecrire la matrice de f, IR3 tant rapport sa base canonique. 2) Dterminer le noyau kerf ; f est-elle injective ? 3) Montrer que P={(x1, x2, x3) IR3 / x1 + x2 + x3 =0} est un sous-espace vectoriel de IR3. Dterminer la dimension et une base de f(P)Exercice 18 On considre lapplication linaire f de IR3 dans IR4 dfinie par : f [(x, y, z)] = (x+z, y x, z+y+2x) 1) Dterminer les images par f de la base canonique de IR3. Calculer le rang de ce systme de vecteurs images { f(e1), f(e2), f(e3)} 2) Dterminer le noyau de lapplication f et la dimension de f(IR3). Lapplication f est-elle injective ? Donner la forme gnrale des vecteurs de f(IR3) et une base de ce sous-espace de IR4 Exercice 19 On note {e1, e2, e3, e4} la base canonique de IR4 et {x1, x2, x3} celle de IR3. on considre lapplication linaire f de IR4 dans IR3 dfinie par : f(e1) = x1 + 2x2 + x3, f(e2) = f(e4) = x1 2x2 + x3, f(e3) = 2x1 + 4x2 + 3x3. 2) Dterminer une base du noyau de f; en dduire le rang de f. 3) Dterminer une base de limage de f. Exercice 20

3 1 On considre la matrice A = 1 3 . 1) Calculer le dterminant de A. La matrice A est-elle inversible ? Quel est le rang de lapplication linaire associ A ? 2) Calculer les valeurs propres de A. Indiquer pourquoi la matrice A est diagonalisable. Dterminer une matrice de passage P telle que P-1AP=D o D est une matrice diagonale 1 3) On pose B= A . Dduire des rsultats prcdents la matrice Bn. 4 4) Application : Calculer les suites relles { u n } et { v n } dfinie par :3 1 u n = 4 u n 1 + 4 v n 1 1 3 v n = u n 1 + v n 1 4 4 u0 = 2 v0 = 113

Travaux pratiques sur les TQG BTS Comptabilit et Gestion Proposs par NGNIE Ces suites admettent-elles une limite quand n tend + , autrement dit, sont-elles convergentes ? Exercice 21 A) Calculer les intgrales indfinies suivantes : x3 + 1 4x2 6x + 1 1 + x5 x 6 dx ; 2) 2 dx ; 3) dx ; 4) 1) x x2 2 x3 x2 1 x

x2 + 6x + 5 x 2 6 x + 5 dx

B) Calculer les intgrales dfinies suivantes : 3 1 x +1 2 4 log x 1 x 1) log( x 2 1) dx ; 2) x dx ; 3) x log dx ; 5) x(log x) 2 dx dx ; 4) 2 0 e 1 1 2 x +1 x4)

x20

1

x

dx

Exercice 22

x x 1 r r On note C la courbe reprsentative de f dans le plan muni dun repre orthonormal (o; i ; j ) unit 1cm 1 Dterminer les limites de f aux bornes de lintervalle de dfinition. 2 Etudier le sens de variation de f 3 Montrer que la droite dquation y = x+1 est une asymptote C. Prciser la position de C par rapport . 4 Tracer avec soin et C Soit f la fonction dfinie par f ( x) = x + 1 + 2 lnExercice 23

Soit f la fonction numrique dfinie par : f ( x) = x + 1 +

4 x2

1 Prciser lensemble de dfinition et de continuit de f 2 Etudier les branches infinies de f 3 Etudier le sens de variation de f et sa concavit. 4 Appliquer le thorme des accroissements finis la fonction f, entre les points A et B de graphe (C) dabscisses a = 1 et b = 2 (c'est--dire dterminer le point C de larc AB du graphe, o la tangente au graphe est parallle la corde AB) 4 Tracer le graphe (C) de la fonction f dans le plan rapport un repre orthonorm. 5 On appelle D(m) le domaine compris entre le graphe (C), les droites dquations y = x+1, x = 1 et x = m o m est un paramtre rel strictement positif, Calculer, en fonction de m, laire A(m) de ce domaine 6 Quel est le comportement de A(m) lorsque m tend vers + ? Interprter graphiquement le rsultat.

BertrandNGNIEChercheursSciencesdeGestion AlUniversitdeYaoundIISOA AuCameroun [email protected]

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mathématiques générales bts comptabilité et gestion

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