mathematiques pour les sciences de la vie
TRANSCRIPT
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
1/160
Daniel FREDON
Mathmatiquespour les sciences
de la vie et de la sant
en 30 fiches
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
2/160
Daniel FREDON
Mathmatiquespour les sciences
de la vie et de la sant
en 30 fiches
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
3/160
Dunod, Paris, 2008
ISBN 978-2-10-053931-4
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
4/160
3Avan t - p r o po s
D
unodLaphotocopienonautoriseestundlit.
Avant-propos
Ce livre est destin tous les utilisateurs de mathmatiques en biologie, pharmacie,
mdecine, environnement, chimie principalement aux tudiants qui vont passer un
examen ou un concours et qui ont besoin d'accder rapidement l'essentiel, avec des
exercices d'entranement et d'applications.
C'est pourquoi l'utilisation est facilite par le dcoupage en fiches courtes (ce qui vouspermet de ne retenir que celles qui sont au programme de l'anne) et un index dtaill
situ en fin d'ouvrage.
Le choix des sujets a t fait en pensant un public assez large : des sciences de la vie
et de la sant (avec beaucoup d'exemples de modlisation) jusqu' la chimie (avec du
calcul vectoriel permettant d'tudier une proprit de la molcule de mthane).
Dans les exercices, l'accent a t mis le plus souvent possible sur des situations appli-
ques, car l'enseignement des mathmatiques au public dj dcrit ne doit pas tre un
sous-produit de l'enseignement des mathmatiques en licences de mathmatiques etinformatique.
Toutes vos remarques, vos commentaires, vos critiques, et mme vos encouragements,
seront accueillis avec plaisir.
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
5/160
4 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
Tabledes matires
Partie 1 : Algbre et gomtrie
Fiche 1 Rappels d'algbre 6
Fiche 2 Nombres complexes 12Fiche 3 Exponentielle complexe 16
Fiche 4 Polynmes 20
Fiche 5 Fractions rationnelles 24
Fiche 6 Systmes linaires 28
Fiche 7 Calcul vectoriel 32
Fiche 8 Coordonnes non cartsiennes 38
Fiche 9 Calcul matriciel 42
Fiche 10 Dterminants (ordre 2 ou 3) 48
Partie 2 : Analyse
Fiche 11 Suites de rels 52
Fiche 12 Suites particulires 58
Fiche 13Fonctions dune variable relle
62
Fiche 14 Fonctions drivables 68
Fiche 15 Fonctions usuelles 74
Fiche 16 Fonctions circulaires et leurs rciproques 80
Fiche 17 Fonctions hyperboliques et leurs rciproques 86
Fiche 18 tude globale des fonctions drivables 90
Fiche 19 tude locale des fonctions drivables 94
Fiche 20 Calcul intgral 100
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
6/160
5Ta b l e d e s m a t i r e s
D
unodLaphotocopienonautoriseestundlit.
Fiche 21 Calcul de primitives 104
Fiche 22 Intgrales gnralises 110
Fiche 23 Sries numriques 116
Fiche 24 quations diffrentielles du premier ordre 122
Fiche 25 quations diffrentielles linairesdu second ordre coefficients constants 128
Fiche 26 Systmes diffrentiels 134
Fiche 27 Exemples de modlisation 138
Fiche 28 Fonctions de plusieurs variables 146
Fiche 29 Optimisation dune fonction deux variables 150
Fiche 30
Intgrales multiples154
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
7/160
6 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
Rappels d'algbre
I Oprations sur les nombres rels Corps des nombres rels
On dit que lensemble R des nombres rels est un corps pour dire quil est muni
de deux oprations + et , avec toutes les proprits dont vous avez lhabitude. Puissances
Dfinition
Soit a R et n N (avec n 2). On dfinit a puissance n par :an =a a
n facteurs
On pose de plus :a1 =a,a0 = 1 (pour a=/ 0),an =1
an (pour a=/ 0).Proprits
Pour n Z,p Z,a=/ 0,b=/ 0, on a :an ap =an+p anbn =(ab)n (an)p =anp
a
b
n= a
n
bn
an
ap=anp
Formules de calcul
a et b tant deux rels quelconques, on a :
Identits remarquables
(a+ b)2 =a2 + 2ab + b2 ; (a b)2 =a2 2ab + b2 ; (a b)(a+ b)=a2 b2
Formule du binme
(a+
b)n
=
n
k=0
n
k akbn
k o
n
k=n!
k!(n k)!
FICHE1
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
8/160
7F I C H E 1 R a p p e l s d a l g b r e
D
unodLaphotocopienonautoriseestundlit.
1
Autre galit
an bn =(a b)n1k=0
ank1bk.
Racinen-ime
Dfinition
Soit n N et x R+ . On appelle racine n-ime de x lunique rel positif a telque an =x. On crit :
a= nx=x1n .Proprits
La fonction R+
dans R+
:x
x1n est une bijection strictement croissante.
Pourx R+ ,p Z,q N , on notexpq =
x
1q
pLes rgles de calcul sur les exposants rationnels sont alors les mmes que pour lesexposants entiers.
II Ingalits
Proprits des ingalits
Lorsquex> 0 ety > 0, oux < 0 ety < 0, on a :
xy 1x
1
y
Si x et y sont de signes contraires, le rsultat nest plus le mme.
Pourx 0 et y 0, on a :x2 y2
xy
x
y .
On a toujours :xyx+z y+z.Pourz > 0 : xyx z yz ; pourz < 0 : x yx z yz .
Si on ne connat pas le signe de z, on ne peut rien dire.
Intervalles
[a,b] est lensemble desxtels que : a x b.[a,b[ est lensemble desxtels que : a x
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
9/160
Pour des rels quelconques, on a :a x b b x a
a x b et a y b
a+ a x+y b + b
8 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
Attention ne pas soustraire membre membre des ingalits.
Sinon, on aurait, par exemple, 6 x 8 et 1 y 5
qui entranerait 6 1 x y 8 5 , do 5 3, ce qui serait curieux !
III Valeur absolue Dfinition
La valeur absolue dun relx, note |x|, est le rel positif tel que :|x| =x six 0 ; |x| = x six 0
Sixety sont deux rels,|xy| reprsente la distance dexy .
Proprits
|x| = |y| (x=y oux= y)
|xy
| = |x
| |y
| ; x
y =|x|
|y|(si y
=/ 0) ; |
x
| |y
|
|x
y
|
|x
| + |y
|Soit a > 0. On a : |x b| ab a x b + a
IV Approximations Partie entire
tant donn un nombre relx, il existe un plus grand entier relatif, not E(x) ou[x], tel queE(x) x. On lappelle la partie entire dex.
On a donc, par dfinition : E(x) x
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
10/160
d 10n sappelle la valeur dcimale approche dex 10n prs par dfaut, et(d+ 1) 10n cellepar excs.
Notation scientifique
Soitxun nombre dcimal non nul. Il existe un nombre dcimal et un entier muniques tels que :
x= 10m avec 1 ||< 10.Cette criture est la notation scientifique dex. Si est lentier le plus proche de ,alors lordre de grandeur dexest 10m.
V Entiers naturels Raisonnement par rcurrence
Soit E(n) un nonc qui dpend dun entier naturel n.SiE(0) est vrai, et si, quel que soit k, limplicationE(k)E(k+ 1) est vraie,alors lnonc E(n) est vrai pour tout entier n.Ce principe a diverses variantes, par exemple :si E(0) est vrai, et si, quel que soit k 0, limplication
E(0) etE(1) et . . . etE(k) E(k
+1)
est vraie, alors lnoncE(n) est vrai pour tout entier n.
Le symbole
Une somme comme S=x1+x2+ +x86+x87 se note :S=87
i=1xi et se lit :
somme de i= 1 i= 87 desxi.Dans cette criture, la lettre i choisie pour dsigner lindice nintervient pas dansle rsultat. On dit quil sagit dune variable muette.
Proprits
ni=1
(xi+yi )=n
i=1xi+
ni=1
yi;n
i=1(kxi )=k
ni=1
xi
9F I C H E 1 R a p p e l s d a l g b r e
D
unodLaphotocopienonautoriseestundlit.
1
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
11/160
Applicat ion
Parmi les affirmations qui suivent, dterminez celles qui sont vraies et celles qui sontfausses.Pour toutxrel :
1. si 0 1
104soit
1
x> 104 ; donc 1. est vraie.
Le contre-exemplex= 102, o 1x
= 102, montre que 2. est faux. Le contre-exemplex= 103 , ox2 = 106, montre que 3. est faux. Lhypothse de 4. entrane quex=/ 0.Six > 0, on a :x < 103 1
x> 103 . Six< 0, on a 1
x< 0< 104. Dans tous les
cas 4. est vraie.
Comme |x|< 103 x2 < 106 et 106 < 103, 5. est vraie.
Applicat ion
Rsolvez dans R linquation :
x 2x+ 2
1.
Solut ion algbrique
Pour toutxdu domaine de dfinition D= R \ {2} , on a :x 2x+ 2 1
x 2x+ 2
2 1 (x 2)
2
(x+ 2)2 1 0
(x 2)2 (x+ 2)2
(x+ 2)2 0x 0.
Lensemble des solutions est donc S= [0,+[ .
10 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
12/160
Solut ion gomtrique
Linquation est quivalente |x 2| |x+ 2| .Sur un axe orient, dsignons par A le point dabscisse 2, par B le point dabscisse2 et par M le point dabscisse x. La rsolution de linquation est la recherche despointsMplus prs de B que de A .Cest la demi-droite dorigine O (milieu de [AB]) contenant B.
Applicat ion
Dmontrez par rcurrence que :n
k=1(1)nkk2 = n(n+ 1)
2pour n N .
Solut ion
Pour n= 1, on vrifie bien que 1= 1 22
Supposons que lgalit soit vraie pour un entier Nquelconque, et montrons quel-le est alors vraie pour N+ 1. crivons la somme calculer pour N+ 1 de sorte quelhypothse pourNsoit utilisable :
N+1k=1
(1)N+1kk2 = N
k=1(1)Nkk2 + (N+ 1)2
= N(N+ 1)2
+ (N+ 1)2 = (N+ 1)(N+ 2)2
La proprit est donc vrifie pour N+ 1. La proprit est donc dmontre par rcurrence pour n N quelconque.
11F I C H E 1 R a p p e l s d a l g b r e
D
unodLaphotocopienonautoriseestundlit.
1
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
13/160
12
M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
Nombres complexes
I Forme algbrique Dfinition
Tout nombre complexez scrit, de manire unique,z
=x
+iy avecxet y rels,
i tant un nombre complexe particulier tel que i2 = 1.Le relxsappelle la partie relle dez , et se note Re(z).Le rely sappelle la partie imaginaire dez , et se note Im(z).
galit
Deux nombres complexes sont gaux si, et seulement si, ils ont mme partie rel-le et mme partie imaginaire.
FICHE2
Attention, il ny a pas dingalits dans C . Ncrivez jamais quun nombre complexe est
positif, ou ngatif. Cela naurait aucun sens.
Oprations dans C
Laddition et la multiplication ont les mmes proprits que pour les rels. Pensez remplacer i2 par 1.
Plan complexe
Soit (O,u ,v ) un repre orthonormal direct du plan.Le pointM(x,y) est limage dez=x+ iy, etz laffixe deM.Laffixe du vecteur u + v est le nombre complexez= + i.SizA etzB sont les affixes de A et B, le vecteur
AB a pour affixezBzA.
La somme des nombres complexes correspond laddition des vecteurs.
Conjugu dun nombre complexe
Le conjugu dez=x+ iy est le nombre complexez=x iy.
z=z ;z+z=z+z ;zz=z z ;zz
=z
z
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
14/160
13F I C H E 2 N o m b r e s c o m p l e x e s
D
unodLaphotocopienonautoriseestundlit.
2
II Forme trigonomtrique Module dun nombre complexe
Dfinition
Le module de z=x+ iy (o x R et y R) est le nombre rel positifz z=
x2 +y2 . On le note |z| , ou , ou r.
Si Mest laffixe dez ,|z| est la longueur O M.Proprits
Siz R, le module dez est la valeur absolue dez .Le module dun nombre complexe a des proprits qui prolongent celles de lavaleur absolue dun nombre rel :
|z| = 0z= 0 ; |Re(z)| |z| ; |Im(z)| |z| ;|z| |z| |zz| |z| + |z|;
|zz| = |z| |z| ; |zn| = |z|n pourn N ;zz
= |z||z| siz=/ 0 .
Siz R, alorsz2 = |z|2 ; mais siz / R, alorsz2 =/|z|2. Forme trigonomtrique
Tout nombre complexe non nulz scrit sous forme trigonomtrique :z= (cos + i sin) avec > 0.
= |z| est le module dez . est un argument dez , not argz .Il est dfini, modulo 2, par :
cos= x
et sin= y
Proprits de largument dun nombre complexe non nulLes galits suivantes ont lieu 2k prs (avec k Z) :
arg(zz)= argz+ argz ; arg(zn)=n argz avec n Z ;
arg1z
= argz ; arg
zz
= argz argz .
z est rel si, et seulement si,z= 0 ou argz= 0 [] .
z est imaginaire pur si, et seulement si,z= 0 ou argz=
2 [].
y
v
M
O u x
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
15/160
Applicat ion
tout nombre complexe a, on associe lapplication f dfinie sur C \ {1} parf(z)= a az
1
z
1. Que pouvez-vous dire defsi a est rel ?2. On suppose a= ia) Trouvez lensemble des pointsMdaffixez tels quef(z) soit rel positif.
b) Soitz C . Dterminez les antcdents parfdez.3. Trouvez lensemble des pointsMdaffixez tels quef(z) soit rel.
Solut ion
1.fest constante gale a.
2. a) On a :f(z)= f(x+ iy)= y+ i (1 +x)1 x iy =
2y+ i (1 x2 y2)(1 x)2 +y2
f(z) R+ Imf(z)
= 0 et Ref(z) 0 1 x2 y2 = 0 et 2y 0
Lensemble cherch est le demi-cercle trigonomtrique du demi-plany 0, priv dupoint U daffixe 1.
b) On a :f(z)=z z(z+ i)=z i carz= 1 nest pas solution.Discutons en fonction du paramtrez .
Siz= i, alorsz na pas dantcdent.Siz=/ i , alorsz a un antcdent, et un seul :z
iz+ i
3.f(z) R f(z)= f(z) a a z1 z =
a a z1 z
(a
az) (1
z)
=(a
az) (1
z)
(a a) (zz 1)= 0
.
Si a R, lensemble est le plan priv de U.Si a / R, on af(z) R zz= 1 x2 +y2 = 1 .Lensemble est le cercle trigonomtrique priv de U.
14 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
16/160
Applicat ion
UtilisezZ= 1 + i3
+i
pour calculer cos
12et sin
12
Solut ion
Forme trigonomtrique : cherchons le module et largument deZ.
|Z| = |1 + i||
3 + i|=
2
2
arg(Z)= arg(1 + i) arg(
3 + i)= 4
6=
12[2]
On peut donc crire :Z=
2
2
cos
12+ isin
12
Forme algbrique : multiplions la fois le numrateur et le dnominateur de la frac-tion par le conjugu du dnominateur.
Z= (1 + i) (
3 i)(
3 + i) (
3 i)=
3 + 14
+ i
3 14
En galant les deux formes, on obtient :
cos
12= (
3 + 1)24
et sin
12= (
3 1)24
15F I C H E 2 N o m b r e s c o m p l e x e s
D
unodLaphotocopienonautoriseestundlit.
2
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
17/160
16 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
Exponentielle
complexe
I Exponentielle complexe Dfinition et proprits
On dfinit lexponentielle du nombre complexe z=
x
+iy par :
ez = ex eiy = ex(cosy+ isiny) .Cette notation est justifie par le prolongement des proprits dj connues pourlexponentielle relle :
z C z C ez ez = ez+z ;z C n Z ezn = enz .
Si z est une constante complexe et tune variable relle, on a :
ddt
ezt=z ezt.
Formule de Moivre
R n Z ( cos + isin )n = cos n + isin n ,ce qui scrit avec la notation prcdente :(ei)n = ein.
Formules dEuler
Pour tout rel xet tout entier n, on a :
cosx= eix + eix
2; sinx= e
ix eix2i
;
cos (nx)= einx + einx
2 ; sin (nx)= e
inx einx2i
FICHE3
On peut utiliser ces formules pour linariser des polynmes trigonomtriques, avant den
calculer une primitive.
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
18/160
17F I C H E 3 E x p o n e n t i e l l e c o m p l e x e
D
unodLaphotocopienonautoriseestundlit.
3
II Racines n-imesdun nombre complexe
Racines n-imes de lunit
Soit Un lensemble des racines n-imes de 1, cest--dire lensemble des nombrescomplexes z tels que zn = 1. On a :
Un= {u0,u1,. . . ,un1} avec uk= cos2k
n+ isin 2k
n= (u1)k
Proprit
n1
k=0
uk
=0 .
Racines n-imes dun nombre complexe non nul
Tout nombre complexe non nul a= (cos + isin ) possde n racines n-imes :
zk= n
cos
+ 2kn
+ isin + 2kn
avec k {0,. . . ,n 1} .
partir de lune dentre elles, on peut les obtenir toutes en la multipliant par leslments de U.
Cas particulier des racines carres
Pour dterminer les racines carres de z=a+ ib , il est plus commode deprocder par identification, cest--dire de chercher les rels et tels que( + i)2 =a+ ib .Lgalit des parties relles et des parties imaginaires donne :
2 2 =a et 2=b .
Lgalit des modules conduit :2 + 2 =
a2 +b2 .
On en dduit 2 et 2 , puis et en utilisant le fait que est du signe de b.
Ce calcul est utilis lors de la rsolution dune quation du second degr coefficients
complexes.
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
19/160
Applicat ion
Calculez I=
4
0cos4x dx.
Solut ion
On va linariser cos4x, cest--dire lcrire sous forme dune somme dexpressions dedegr 1. On peut utiliser les formules dEuler et la formule du binme :
cos4x=
eix + eix2
4= 1
24ei4x + 4 ei2x + 6+ 4 ei2x + ei4x
=
1
8
ei4x + ei4x
2 +4
ei2x + ei2x
2 +3=
3
8+
cos2x
2 +
cos4x
8
Do : I=
3
8x+ 1
4sin2x+ 1
32sin4x
4
0
= 332
+ 14
Applicat ion
En faisant confiance la notation exponentielle, retrouvez les formules de trigono-mtrie qui donnent cos (a
+b) et sin (a
+b) .
Solut ion
Lexponentielle complexe ayant les mmes proprits que lexponentielle relle, poura et b rels, on doit avoir :
ei (a+b) = ei a ei b
cest--dire en dtaillant :
cos (a+
b)
+isin (a
+b)
= cos a+ isin a cos b+ isin b .En dveloppant le produit du second membre, et en galant les parties relles et lesparties imaginaires, on obtient :
cos (a+b)= cos a cos b sina sin bsin (a+b)= sina cos b+ cos a sin b
18 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
20/160
Applicat ion
Rsolvez dans C lquation : z2 2iz+ 2 4i= 0.
Solut ion
Lquation est du second degr. Le fait que les coefficients soient complexes ne chan-gent pas les formules dont vous avez lhabitude. On calcule le discriminant :
= (2i)2 4(2 4i)= 12+ 16 i .On cherche les racines carres de , cest--dire les nombres complexes tels que :
12+ 16 i=(a+ ib)2 =a2 b2 + 2ab iEn galant les parties relles et imaginaires, et aussi les modules, on obtient :
a2 b2 = 122ab= 16a2 +b2 = || = 20
ce qui donne :
a2 = 4b2
=16
ab > 0
Les racines carres de sont donc : 2+ 4i et 2 4i et les racines de lquation :
z1=2i+ 2+ 4i
2 = 1+ 3 i ; z2=
2i 2 4i2
= 1 i
19F I C H E 3 E x p o n e n t i e l l e c o m p l e x e
D
unodLaphotocopienonautoriseestundlit.
3
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
21/160
20 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
Polynmes
I Gnralits Dfinitions
P est une fonction polynme sil existe des rels a0,. . . ,an tels que :
x R P(x) =anxn + + a1x + a0 .
Les nombres ai sont les coefficients du polynme.
Si P =/ 0, le plus grand entier n tel que an =/ 0 est le degr de P. On le note dP
ou deg P. Lorsque an = 1, le polynme est dit unitaire ou normalis. Pour le
polynme nul P = 0, on convient que dP = .
Lensemble des polynmes coefficients dans K (avec K = R ou C) se note
K[X] .
Oprations algbriques
Soit P(x) =
ni=0
ai xi et Q(x) =
mj=0
bj xj deux lments de K[X] et K.
Addition de deux polynmes
(P + Q)(x) =
rk=0
ckxk avec r = max (m,n) et ck =ak + bk.
On a d(P +Q) max (dP,dQ) . Si dP =/ dQ , il y a galit.
Produit par un scalaire
(P)(x) =
ni=0
( ai )xi . Si =/ 0, on a d(P ) = dP.
Produit de deux polynmes
(PQ)(x) =
m+nk=0
dkxk avec dk =
i+j=k
aibj.
On a d(PQ) = dP + dQ .
FICHE4
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
22/160
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
23/160
Applicat ion
Soit P un polynme tel que
le reste de la division de P(x) par x 1 soit 2,
et le reste de la division de P(x) par x 2 soit 3.
Quel est le reste de la division de P(x) par (x 1)(x 2) ?
Solut ion
Comme on veut diviser le polynme P(x) par un polynme de degr 2, lgalit de
division scrit :
P(x) =(x 1)(x 2)Q(x) + x + .
En remplaant xpar 1 puis par 2, on obtient :
P(1) = 2 = +
P(2) = 3 = 2 +
= 1
= 1
Le reste de la division est donc : R(x) = x 1.
Applicat ion
Soit B(x) =n xn xn1 xn2 x 1 .
En utilisant (1 x)B(x), prouvez que toutes les racines de B sont simples.
Solut ion
Pour dmontrer que toutes les racines de B(x) sont simples, nous allons raisonner par
labsurde, cest--dire supposer quil existe une racine au moins double et montrer que
ce nest pas possible.
Dveloppons le produit donn dans lnonc :
(1 x)B(x) =nxn xn1 xn2 x 1
nxn+1 + xn + xn1 + xn2 + + x= nxn+1 + (n + 1)xn 1
Drivons cette galit :
B(x) + (1 x)B (x) = n(n + 1)xn + n(n + 1)xn1
=n(n + 1)xn1(1 x)
Si xest une racine au moins double, elle vrifie :B(x) = B (x) = 0. Daprs lgali-
t prcdente, les seules valeurs possibles sont 0 et 1.
Comme B(0) = 1, la valeur 0 nest pas racine de B(x) .
22 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
24/160
On a bien B(1) = 0. Mais aprs avoir calcul B(x), on obtient :
B(1) =n2
(n 1) + (n 2) + + 1
=n2 n(n 1)
2=/ 0 .
Donc 1 nest pas racine double, et B(x) nadmet pas de racine multiple.
Applicat ion
Montrez que i est racine double du polynme :
P(x) = x6 + x5 + 3x4 + 2x3 + 3x2 + x + 1 .
Factorisez P(x) dans R[X].
Solut ion
On a P (x) = 6x5 + 5x4 + 12x3 + 6x2 + 6x + 1.
Comme P(i) = 0 = P (i) , i est racine au moins double de P(x).
P(x) tant coefficients rels, le conjugu i est aussi racine au moins double.
P(x) est donc divisible par (x i)2(x + i)2 =(x2 + 1)2 . En effectuant la division, on
obtient :
P(x) =(x4 + 2x2 + 1) (x2 + x + 1) =(x2 + 1)2(x2 + x + 1) .
Comme x2 + x + 1 na pas de racine relle, il sagit de la factorisation en polynmes
irrductibles dans R[X].
23F I C H E 4 P o l y n m e s
D
unodLaphotocopienonautoriseestundlit.
4
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
25/160
24 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
Fractions
rationnelles
I Dcomposition en lments simples Forme gnrale
Une fraction rationnelle est une fonction qui peut s'crire sous la forme
F(x)= A(x)B(x)
o A(x) et B(x) =/ 0 sont deux polynmes. En simplifiant, on a
une criture irrductible.
On note K(X) l'ensemble des fractions rationnelles coefficients dans K
(K = R ou C).
Une fraction rationnelle irrductible s'crit de faon unique, sous la forme :
F(x)= E(x) +R(x)
B(x)avec dR < dB .
E(x) est la partie entire, et R(x)B(x)
la partie fractionnaire de F(x).
lments simples
Un lment simple de K(X) est une fraction rationnelle, non nulle, de la forme
S(x)=P(x)
Q(x)o Q est un polynme irrductible de K[X] , N et
dP < dQ .
Si dQ = 1, l'lment simple S(x) est dit de premire espce ; alors P(x)=a .
Si d
Q = 2, il est dit de deuxime espce ; on a alors P(x)= ax+ b .
Partie polaire
Si la factorisation de B en polynmes irrductibles comporte un terme Q avec Q
irrductible et N , on appelle partie polaire de F relative Q une somme
d'lments simples du type :
P1
Q+
P2
Q1 + +
P
Q,
o, pour tout i, dPi < dQ .
FICHE5
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
26/160
25F I C H E 5 F r a c t i o n s r a t i o n n e l l e s
D
unodLaphotocopienonautoriseestundlit.
5
Pour une fraction Fdonne, les polynmes Pi existent et sont uniques.
Thorme de dcomposition
Toute fraction rationnelle, crite sous forme irrductible, est gale, de faon unique, la
somme de sa partie entire et des parties polaires relatives chacun des facteurs irr-
ductibles intervenant dans la dcomposition de B.
II Mthodes pratiquesde dcomposition
Plan d'tude
On met F sous forme irrductible. On obtient Eet R l'aide de la division euclidienne de A par B.
On factorise B en polynmes irrductibles.
On crit la forme littrale de la dcomposition en lments simples de F, ou de
R
B Pour ceci, il faut distinguer le cas o la dcomposition a lieu dans C(X) et
ne comporte que des lments simples de premire espce, ou dans R(X) auquel
cas il peut y avoir des lments simples de premire et de deuxime espce.
On dtermine les coefficients l'aide de diverses mthodes.
Mthodes pratiques
La mthode la plus rudimentaire consiste rduire au mme dnominateur la
forme dcompose, et identifier les numrateurs.
Vous pouvez remplacer xpar des valeurs numriques, diffrentes des ples.
Sachant que la dcomposition est unique, si F est paire, ou impaire, on obtient
des relations entre les coefficients.
En multipliant F(x) par Qk(x) et en remplaant xpar un zro deQ, on obtient le
numrateur associ Q
k
(x). Si est un ple simple, la partie polaire associe ax
vrifie :
a =A()
B ()
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
27/160
Applicat ion
Soit f la fonction dfinie par f(x) =1
x2 + 3x+ 21. Exprimez f(x) comme somme de fractions rationnelles plus simples.
2. Dduisez-en la valeur de I =1
0
f(x) dx.
Solut ion
1. Comme x2 + 3x+ 2 = (x+ 1) (x+ 2) , la fonction f est dfinie sur] ; 2[ ] 2; 1[ ] 1; +[ .
Comme les deux ples sont simples, f(x) peut se dcomposer en lments simples
sous la forme :1
x2 + 3x+ 2=
a
x+ 1+
b
x+ 2
En multipliant les deux membres de cette galit par x+ 1 et en remplaant xpar 1,
on obtient a = 1.
En multipliant par x+ 2 et en remplaant xpar 2, on obtient b = 1.
Donc f(x) =1
x+ 1
1
x+ 2
2. L'intervalle d'intgration est inclus dans un intervalle o fest dfinie. On dduit dela question prcdente :
I =
10
f(x) dx =ln|x+ 1| ln|x+ 2|
10
= ln2 ln3 + ln2= ln
4
3
0,288
.
26 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
28/160
Applicat ion
Simplifiez la somme : S=
nk=0
1
(x+ k) (x+ k+ 1)
Solut ion
La fraction rationnelle1
(x+ k) (x+ k+ 1)a deux ples simples.
Sa dcomposition en lments simples est de la forme :
1
(x+ k) (x+ k+ 1)=
a
x+ k+
b
x+ k+ 1
En multipliant les deux membres de cette galit par x+ k et en remplaant xpar k,
on obtient a = 1.
En multipliant par x+ k+ 1 et en remplaant xpar k 1, on obtient b = 1.
Donc1
(x+ k) (x+ k+ 1)=
1
x+ k
1
x+ k+ 1
On en dduit, en explicitant la notation :
S=1x
1
x+ 1
+ 1x+ 1
1
x+ 2
+ + 1x+ n
1
x+ n+ 1
Les termes intermdiaires se simplifient de proche en proche. Il ne reste que le premier
et le dernier, soit :
S=1
x
1
x+ n+ 1=
n+ 1
x(x+ n+ 1)
27F I C H E 5 F r a c t i o n s r a t i o n n e l l e s
D
unodLaphotocopienonautoriseestundlit.
5
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
29/160
28 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
Systmes linaires
I Gnralits Dfinitions
Un systme de n quations linaires p inconnues, coefficients dans K= Rou C , est de la forme :
(S)
a11x1 + + a1pxp = b1
......
an1x1 + + anpxp = bn
Les coefficients ai j et les seconds membres bi sont des lments donns de K.Les inconnuesx1,. . . ,xp sont chercher dans K.
Le systme homogne associ (S) est le systme obtenu en remplaant les bipar 0.
Une solution est unp-uplet (x1,. . . ,xp) qui vrifient (S). Rsoudre (S), c'est chercher toutes les solutions. Un systme est impossible, ou incompatible, s'il n'admet pas de solution. Deux systmes sont quivalents s'ils ont les mmes solutions.
Systmes triangulaires
Un systme linaire (S) est triangulaire si n=p (il y a autant d'quations que d'in-connues) et si ai j= 0 pour tousj
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
30/160
29F I C H E 6 S y s t m e s l i n a i r e s
D
unodLaphotocopienonautoriseestundlit.
6
II Mthode du pivot de Gauss Principe de la mthode
La mthode consiste construire un systme triangulaire quivalent (S).On obtient un systme quivalent en utilisant l'une des oprations lmentaires : addition d'un multiple d'une ligne une autre ligne, ce qui se code :
L i L i+ Lj ; multiplication d'une ligne par un scalaire non nul, ce qui se code :L i L i ; change de deux lignes, ce qui se code :L i Lj.
chaque tape le pivot est choisi pour faire apparatre des 0 en-dessous, pour finale-ment aboutir un systme triangulaire.En calcul numrique, pour minimiser les erreurs d'arrondi, on choisit comme pivot leterme de plus grande valeur absolue.
Remarques
Si, au cours du calcul, on rencontre une quation du type 0x1 + + 0xn= 0, on peut la supprimer et
continuer le procd, une quation du type 0x1 + + 0xn= b avec b=/ 0, le systme n'a
pas de solution et il est inutile de continuer.
Mthode de Gauss-Jordan
Dans cette variante du pivot de Gauss, chaque tape on fait apparatre des zros la fois au-dessus et au-dessous du pivot.On obtient ainsi directement la solution (si elle existe) sans avoir effectuer dessubstitutions pour achever la rsolution.
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
31/160
Applicat ion
Un agriculteur a livr sa cooprative 30 t de bl, 45 t de tournesol et 75 t de sorgho.Il a reu un chque de 234 M.Le prix de la tonne de bl est la moyenne du prix de la tonne de tournesol et du prixde la tonne de sorgho. D'autre part, s'il avait livr une tonne de chacun de ces pro-duits, il aurait reu 5,1 M.Quel est le prix pay la tonne de chacun des produits livrs ? (la ralit des prixn'est pas garantie).
Solut ion
Dsignons parx,y etz les prix respectifs, en M, d'une tonne de bl, d'une tonne detournesol et d'une tonne de tournesol. Les informations fournies se traduisent alors parle systme linaire de 3 quations 3 inconnues :
(S)
30x +45y +75z = 234
2x y z = 0
x +y +z = 5,1
La rsolution peut se faire par la mthode du pivot de Gauss :
(S)
x +y +z = 5,1
3y +3z = 10,2
15y +45z = 81
x +y +z = 5,1
y +z = 3,4
30z = 30
x = 1,7
y = 2,4
z = 1
Cette mthode a l'avantage d'tre automatique. Mais, ici, vous pouvez obtenir directe-
mentxavecL2 +L3, puis substituer.Les prix unitaires sont donc de 1,7 M par tonne pour le bl, 2,4 M par tonne pourle tournesol et 1 M par tonne pour le sorgho.
30 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
La mise en quations suppose implicitement que la situation est linaire, c'est--dire que,pour chaque produit, le prix total est proportionnel au prix unitaire et que le prix total estla somme des prix pays pour chaque produit. L'existence de subventions fixes, parexemple, pourrait rendre le problme non linaire.
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
32/160
Applicat ion
Dans une cage, on a une population de 100 souris. Elle est compose de mles griset de femelles blanches. On laisse la population se dvelopper pendant un mois. lafin de l'exprience, on dnombre 284 souris.
L'accouplement des souris donne une fois sur quatre une souris blanche, et trois foissur quatre une souris grise. En un mois, le nombre de mles a t multipli par 2, etle nombre de femelles par 3. Il n'y a pas eu de mort au cours de l'exprience.
1. Dterminez le nombre de mles et le nombre de femelles en dbut d'exprience.
2. Dterminez le nombre de souris grises et le nombre de souris blanches la fin dumois.
Solut ion
1. Notons x le nombre de mles et y le nombre de femelles en dbut d'exprience.D'aprs les informations fournies, ces nombres (entiers) vrifient le systme :
x+y = 100
2x+ 3y = 284
La combinaison 3L1 L2 donne x= 16, puis, en reportant dans L1 on obtienty= 84.Il y avait donc au dpart 16 mles gris et 84 femelles blanches.
2. On est pass de 100 souris 284 souris, sans mortalit. Il y a donc eu 184 nais-
sances. D'aprs les informations fournies, elles se dcomposent en184
4 = 46 souris
blanches et 184 46 = 138 souris grises.
la fin du mois, il y a donc 16+ 138 = 154 souris grises et 84+ 46 = 130 sourisblanches.La couleur du pelage n'est donc plus un caractre de reconnaissance statistique dusexe.
31F I C H E 6 S y s t m e s l i n a i r e s
D
unodLaphotocopienonautoriseestundlit.
6
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
33/160
32 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
Calcul vectoriel
I Barycentre de points pondrs Dfinition
Soit A1,. . . ,An des points du plan ou de lespace, affects de coefficients respec-
tifs 1,. . . ,n tels quen
i=1i=/ 0. Le barycentre de ce systme de points pond-
rs est lunique point G tel que :n
i=1iGAi= 0 .
On a alors, pour tout point P :n
i=1iPAi=
ni=1
i
PG .
En choisissant P= O , on peut ainsi calculer les coordonnes de G.
Proprits
Le barycentre dun systme de points pondrs nest pas modifi si on multiplietous les coefficients par un mme nombre non nul.Si 1= = n=/ 0, le barycentre des points pondrs (A1,1),. . . ,(An,n) estdonc le mme que celui de (A1,1),. . . ,(An,1) . On lappelle lisobarycentre despoints.Le barycentre dun ensemble de points pondrs est inchang si on remplace unsous-ensemble par son barycentre partiel (sil existe) affect de la somme des coef-
ficients des points remplacs. Applications
En gomtrie, lisobarycentrede deux points A et B est le milieu du segment [AB],de trois points non aligns A , B et C est le centre de gravit du triangle ABC,de quatre points non coplanaires A ,B,C,D est le centre de gravit du ttradre ABC D .
En physique, si les coefficients i sont les masses des points Ai , le barycentre estle centre dinertie, ou centre de gravit, du systme.
La dfinition se gnralise une infinit de points.
FICHE7
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
34/160
33F I C H E 7 C a l c u l v e c t o r i e l
D
unodLaphotocopienonautoriseestundlit.
7
II Produit scalaire Dfinition
Soitu et
v deux vecteurs non nuls dfinissant un angle . Le produit scalaire
de u et de v est le rel :u v = u v cos
o u est la norme de u .Si lun des vecteurs est nul, on pose u v = 0.
Orthogonalit
On dit que deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul.
Thorme de Pythagoreu et v sont orthogonaux si, et seulement si, u + v2 = u2 + v2 .
Une base (i ,j ) du plan, ou (
i ,j ,k ) de lespace, est orthonormale si les
vecteurs sont tous de norme 1 et sont deux deux orthogonaux.
Expression analytique du produit scalaire
Si (i ,j ,k ) est une base orthonormale de lespace et siu = xi + yj + zk et v = xi + y j + zk , alors :u v = xx +yy +zz .
Applications
En gomtrie, dans un repre orthonormal, on a les rsultats qui suivent. quation cartsienne de la sphre de centre (x0,y0,z0) et de rayon R :
(x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 = R2
quation cartsienne du plan passant par M0(x0,y0,z0) et orthogonal au vecteur(a,b,c) :
a(x x0) + b (y y0) + c (z z0) = 0
Distance du point M0(x0,y0,z0) au plan ax+ by + cz + d= 0 :
|ax0
+by0
+cz0
+d
|a2 + b2 + c2
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
35/160
III Produit vectoriel Dfinitions
Orientation de lespace
Un repreO,OA,
OB,
OC
tant donn, considrons un observateur ayant les
pieds en O, la tte en Cet regardant dans la direction de A . Le repre est ditdirect si lobservateur a le point B sa gauche,indirect si lobservateur a le point B sa droite.
Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v est le vecteur w tel que : si u et v sont colinaires, w = 0 , si
u et
v ne sont pas colinaires,
w est orthogonal
u et
v , de norme
w = u v sin (u ,v ) et le repreO,u ,v ,w est direct.
On le note w = u v .
Expression analytique dans une base orthonormale directe
Si (i ,j ,k ) est une base orthonormale directe de lespace et si
u = xi +yj + zk et v = xi +y j +zk , alors :
u v = (yz zy)i + (zx xz)j + (xy y x)k . Application
En gomtrie, laire dun triangle ABC est gale 1
2ABAC
34 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
36/160
Applicat ion
Dans un repre orthonormal de lespace, on note :D la droite passant par A(1,3,2) et de vecteur directeur u (2,1,0) ,P le plan dquation 2x
3y
+5z
7=
0et M le point (1,2,3) . Dterminez :1. la distance de M P ;2. la distance de M D .
Solut ion
1. La distance de M P est gale :
|2x0 3y0 + 5z0 7|22 + (3)2 + 52 =
11
382. Aidons-nous dun dessin :
35F I C H E 7 C a l c u l v e c t o r i e l
D
unodLaphotocopienonautoriseestundlit.
7
A
H
D
M
u
La dfinition du produit vectoriel entrane :AMu = u HM .
CommeAM u = (5,10,2) la distance de M D est donc :
HM = AMuu
= 1295
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
37/160
Applicat ion
La molcule de mthane CH4 comporte quatre atomes dhydrogne situs aux som-mets dun ttradre rgulier et un atome de carbone situ au centre de ce ttradre.Calculez langle entre deux liaisons C
H.
Solut ion
Dsignons par H1 , H2 , H3 , H4 les sommets dun ttradre rgulier occups par desatomes dhydrogne et par C le centre du ttradre.
36 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
H2
H1
H4
H3
M
C
Soit M le milieu de [H3H4] .
Si la longueur des cts du ttradre est a, on a alors, en considrant les triangles qui-latraux H2H3H4 et H1H2H4 :
MH1= MH2= a
3
2
Les points H1 , H2 , Cet Msont dans le plan mdiateur de [H3H4] .Si Hdsigne le milieu de [H1H2] , on a donc la configuration plane :
H2H1
H
M
C
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
38/160
C tant lisobarycentre des points H1 , H2 , H3 , H4 , on a :0 = CH1 +CH2 +CH3 +CH4= CH1 +CH2 + 2CM= 2CH+ 2CM .
C est donc le milieu de [MH].
En appliquant le thorme de Pythagore au triangle rectangle MHH2 , on a :
MH=
3
4a2 1
4a2 =
2
2a et par consquent CH=
2
4a .
Dans le triangle rectangle CHH2, on a donc tan
2=
2 et lon conclut :
= 2 arctan(
2) 109,5 .
37F I C H E 7 C a l c u l v e c t o r i e l
D
unodLaphotocopienonautoriseestundlit.
7
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
39/160
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
40/160
39F I C H E 8 C o o r d o n n e s n o n c a r t s i e n n e s
D
unodLaphotocopienonautoriseestundlit.
8
Le triplet (,,z) reprsente les coordonnes cylindriques de M.
Un cylindre de rvolution daxe Oz et de rayon R a pour quation = R et un pointMde ce cylindre se caractrise par deux coordonnes (,z) .
III Coordonnes sphriques(dans lespace)
Reprage dun point
Dans lespace, on peut aussi reprer un
point Mnappartenant pas (Oz) par :
langle
[0,2[ entre le demi-plan
xOz et le demi-plan zOM ( estreprsent dans le plan horizontal
xOy) ;
langle 2,
2
situ dans le
demi-plan zOM entre Om et OM ;
la distance r= OM.Le triplet (r,,) reprsente les coordonnes sphriques de M.
Une sphre de centre O et de rayon R a pour quation r= R et un point Mde la sph-re se caractrise par deux coordonnes (,) .
Sur la sphre terrestre, xOy est le plan de lquateur, Oz est laxe des ples, xOz est
le demi-plan du mridien de Greenwich ; est alors la longitude et la latitude du
point M.
M
z
r
y
x
m
O
Attention, en physique on prend souvent pour langle (Oz,OM) ]0, [ . On lappelle la
colatitude du point M.
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
41/160
Applicat ion
R > 0 tant donn, dcrivez le domaine D de lespace dfini en coordonnes cylin-
driques par :
0
R
2
z2
0 2
0 z R
Solut ion
Les bornes de et de z sont lies, mais ne dpendent pas de ; et varie de 0 2.
Le domaine D admet donc la droite Oz comme axe de rvolution.
Pour se reprsenter D, il suffit donc didentifier son intersection avec le plan xOz etde faire un tour complet autour de Oz.
Dans ce plan, on a y= 0 et = |x|. Lintersection de D avec le plan xOz est doncdfinie par :
x2 + z2 R2 et z 0 .Il sagit du demi-disque de centre O et de rayon R avec z 0.
40 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
z
x
R
R
O
Le domaine D est donc la demi-sphre de centre O, de rayon R, situe au-dessus du
plan z= 0.
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
42/160
Applicat ion
R > 0 tant donn, dcrivez le domaine D de lespace dfini en coordonnes cylin-
driques par :
0 z
0 2
0 z R
Solut ion
Les bornes de et de z sont lies, mais ne dpendent pas de ; et varie de 0 2.
Le domaine D admet donc la droite Oz comme axe de rvolution.
Pour se reprsenter D, il suffit donc didentifier son intersection avec le plan xOz etde faire un tour complet autour de Oz.
Dans ce plan, on a y= 0 et = |x|. Lintersection de D avec le plan xOz est doncdfinie par :
0 z R et z x z.Il sagit du triangle limit par les droites z= x,z= x et z= R.
41F I C H E 8 C o o r d o n n e s n o n c a r t s i e n n e s
D
unodLaphotocopienonautoriseestundlit.
8
x
z
R
O
Le domaine D est donc le morceau du cne de sommet O, daxe Oz, de demi-angle
au sommet = 4
qui est limit par les plans z= 0 et z= R.
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
43/160
42 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
Calcul matriciel
I Dfinitions Matrices
On appelle matrice un tableau de nombres rels comportant n lignes et pcolonnes.
On note ai j llment dune matrice A situ sur la ligne i et la colonne j.
FICHE9
La matrice A scrit :
a11 . . . a1p
......
an1 . . . anp
ou ai j 1in1jp ou
ai j
.
Format
On dit que A est de format (n,p), ou de type (n,p).
galit
Deux matrices A et B sont gales si elles sont de mme format, et si ai j =bi j pourtout i et pour tout j.
Matrices particulires
Si p = 1, A est une matrice colonne. Si n = 1, A est une matrice ligne. Si n = p, A est une matrice carre dordre n. Les lments a11,. . . ,ann forment
la diagonale principale de A .
Matrices carres particulires
Soit A =(ai j ) une matrice carre dordre n. A est diagonale si ai j = 0 pour i =/ j . A est la matrice identit dordre n si elle est diagonale et si a
ii = 1 pour tout i ;
on la note In.
Le premier indice est celui de la ligne, le second celui de la colonne.
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
44/160
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
45/160
Si on note :
X =
x1
...
xp
, B =
b1
...
bn
, A =
a11 . . . a1p
......
an1 . . . anp
,
(S) est quivalent lgalit matricielle : A X = B .
44 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
Attention ce que les inconnues soient crites dans le mme ordre dans chaque qua-
tion.
Inverse dune matrice carre
Si A est carre dordre n, on a : AIn = InA = A . Une matrice carre A dordre n est inversible sil existe B telle que :
A B = B A = In.
Si B existe, elle est unique. On la note A1 . Pour obtenir A1 , il suffit de rsoudre le systme Y = A X, qui admet pour solu-
tion X = A1Y.
Transpose dune matrice
Soit A une matrice de format (n,p). La transpose de A est la matrice B = tA deformat (p,n) dfinie par :
bi j =aj i pour tout i et pour tout j.
Elle est donc obtenue partir de A en changeant les lignes et les colonnes.
Formule du binme
Si A B = B A, alors, pour m N, on a :
(A + B)m =m
k=0
mk
AkBmk.
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
46/160
Applicat ion
Soit A =
4 2
1 0
1 3
et B =
2 5 3
1 6 4
Calculez, si cest possible : A + B , AB , B A.
Solut ion
Les matrices A et B ne sont pas de mme format. Leur somme est donc impossible. Le nombre de colonnes de A est gal au nombre de lignes de B. Le produit A B exis-te donc et on a :
A B =
6 32 42 5 3
5 13 15
Le nombre de colonnes de B est gal au nombre de lignes de A . Le produit B A exis-te donc et on a :
B A = 10 13
6 14
Roue de secours
Pour ceux qui auraient des difficults pour calculer un produit de matrices, voici unedisposition du calcul de A B qui peut aider certains :
2 5 3
1 6 4
4 2
1 0
1 3
lemplacement de chaque croix, vous prenez la ligne et la colonne sur laquelle ellese trouve, vous multipliez les premiers termes, les deuximes et vous additionnezles rsultats des produits effectus. Vous obtenez ainsi A B .Avec le mme processus de calcul, dans le bloc en blanc situ en haut, gauche, vous
obtenez B A.
45F I C H E 9 C a l c u l m a t r i c i e l
D
unodLaphotocopienonautoriseestundlit.
9
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
47/160
Applicat ion
On tudie lvolution dans le temps dune population animale. la date n (enannes), cette population se subdivise en xn jeunes et yn adultes. Lanne comporteune saison hivernale et une saison de reproduction.
Lors de la saison hivernale, 40 % des jeunes survivent et deviennent des adultes, et80 % des adultes survivent.Lors de la saison de reproduction, chaque adulte donne naissance 2 jeunes (en fait4 par femelles). Tous les adultes survivent.1. Exprimez xn+1 et yn+1 en fonction de xn et yn. crivez matriciellement le rsultatobtenu.2. Calculez xn et yn en fonction des valeurs initiales x0 et y0 du dbut de lobserva-tion.
Solut ion1. la fin de la saison hivernale de lanne n + 1, il y a 0,4xn + 0,8 yn adultes. Lenombre de jeunes la date n + 1 est donc :
xn+1 = 20,4xn + 0,8yn
.
Les adultes la date n + 1 comportent les jeunes de la date n qui ont survcu et sont devenus adultes (soit 0,4xn) ; les adultes de la date n qui ont survcus (soit 0,8yn).On a donc :
yn+1 = 0,4xn + 0,8 yn .
On a donc le systme : xn+1 = 0,8xn + 1,6yn (1)
yn+1 = 0,4xn + 0,8yn (2)
que lon peut crire matriciellement :
xn+1
yn+1 =
0,8 1,6
0,4 0,8
xn
yn = A
xn
yn
2. Comme le passage de lanne n lanne n + 1 se reprsente par la multiplicationpar une matrice A qui est constante, on a :
xn
yn
= An
x0
y0
Le calcul de An se fait souvent avec des techniques matricielles qui ne sont pas pr-sentes dans ce livre. Cest pourquoi nous allons utiliser une mthode de substitution
analogue celle de la fiche 26 pour les systmes diffrentiels.
46 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
48/160
crivons (1) au rang suivant, puis substituons dabord (2), puis (1) :
xn+2 = 0,8xn+1 + 1,6 yn+1
= 0,8xn+1 + 1,60,4xn + 0,8
xn+1 0,8xn1,6
soit aprs simplication :n N xn+2 1,6xn+1 = 0 .
partir de n = 1, la suite (xn ) est donc gomtrique, de raison 1,6, ce qui conduit :
n N xn =(1,6)n1x1 =(1,6)n10,8x0 + 1,6y0
.
En reportant dans (1) et en simplifiant, on obtient :
n N yn =1
2(1,6)n1x1 =(1,6)n1
0,4x0 + 0,8y0
.
47F I C H E 9 C a l c u l m a t r i c i e l
D
unodLaphotocopienonautoriseestundlit.
9
Remarquons que, ds la fin de la premire anne, on a xn = 2yn, cest--dire qu la fin
de chaque anne il y a deux fois plus de jeunes que dadultes.
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
49/160
48 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
Dterminants
(ordre 2 ou 3)
I DfinitionSoit A une matrice carre dordre n. Son dterminant est un scalaire (rel ou com-
plexe) qui lui est associ. Dans ce livre, nous nous limiterons n = 2 et n = 3. La
gnralisation se fait en utilisant les proprits nonces plus loin.
Casn = 2
Soit A =
a b
c d
. Son dterminant est le scalaire :
det A =
a bc d = ad bc .
Casn = 3
Soit A =
a b cd e f
g h i
. Son dterminant est le scalaire :
det A =
a b c
d e f
g h i
= aei + b f g + cd h ceg bdi a f h .
Interprtation vectorielle dans le casn = 3
Produit mixteLe produit mixte de trois vecteurs u,v, w de lespace est le rel :
(u,v, w) = u (v w)
Expression analytique dans une base orthonormale directe
Cest le dterminant des coordonnes des vecteurs :
(u,v, w) = x x x
y y y
z z z = x
y y
z
z y x
x
z
z +z x
x
y
y
FICHE10
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
50/160
49F I C H E 1 0 D t e r m i n a n t s ( o r d r e 2 o u 3 )
D
unodLaphotocopienonautoriseestundlit.
10
II Proprits Transpose
det A = det tA .
Les proprits concernant les colonnes de A sappliquent donc aussi aux lignes. Dans
les deux cas, on parlera de ranges.
Oprations sur les ranges
On ne change pas la valeur dun dterminant en ajoutant une de ses lignes (resp.
colonnes) une combinaison linaire des autres lignes (resp. colonnes).
Cette proprit est trs utilise pour faire apparatre des 0 sur une colonne (resp. ligne).
Multiplier une ligne (ou une colonne) dun dterminant par un scalaire, cest
multiplier le dterminant par ce scalaire.
Lchange de deux lignes (ou de deux colonnes) transforme det A en det A.
Dveloppement suivant une range
Dfinitions
Soit un dterminant dordre n. On appelle mineur de llment ai j le dtermi-
nant dordre n 1 obtenu en supprimant la i-ime ligne et la j-ime colonne de , sans changer lordre des autres ranges. Notation : Di j.
On appelle cofacteur de llment ai j, le nombre Ai j = (1)i +jDi j .
Thorme
Un dterminant est gal la somme des produits deux deux des lments dune
range (ligne ou colonne) par leurs cofacteurs.
On utilise ce rsultat aprs avoir fait apparatre sur une mme range le plus pos-
sible de zros.
Application
Le dterminant dune matrice triangulaire est gal au produit des lments diagonaux.
Produit
det(A B) = det A det B .
Caractrisation dune matrice carre inversible
A inversible det A =/ 0.
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
51/160
III Valeurs propreset vecteurs propres
Dfinitions
Soit A une matrice carre. Le nombre est une valeur propre de A sil existe un
vecteur reprsent par une matrice colonne X =/ 0 telle que A X = X.
X est un vecteur propre associ .
Le sous-espace propre E associ est lensemble des X tels que AX = X.
Calcul des valeurs propres et des vecteurs propres
Les valeurs propres de A sont les nombres tels que :
det(A In) = 0 .
det(A In) est un polynme en appel polynme caractristique de A .
Pour chaque valeur propre (cest--dire les racines du polynme caractris-
tique), on cherche le sous-espace propre associ en rsolvant le systme
A X = X.
50 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
Les valeurs propres et les vecteurs propres sont utiliss en biologie dans lanalyse des
donnes statistiques. Mais dans ce cas, la matrice est de grande taille et lordinateur est
indispensable.
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
52/160
Applicat ion
Dterminez les valeurs propres et les sous-espaces propres de A =
5 4
1 2
Solut ion
Le polynme caractristique de A est :
P() =
5 41 2 = (5 )(2 ) 4
= 2 7 + 6 = ( 1)( 6)
Les valeurs propres de A sont les racines de P, soit 1 et 6.
Un vecteur (x,y) appartient au sous-espace propre E1 si, et seulement si :5x + 4y = x
x + 2y = y x + y = 0
E1 est donc la droite engendre par le vecteur (1,1).
Un vecteur (x,y) appartient au sous-espace propre E6 si, et seulement si :
5x + 4y = 6x
x + 2y = 6y x= 4y
E6 est donc la droite engendre par le vecteur (4,1).
51F I C H E 1 0 D t e r m i n a n t s ( o r d r e 2 o u 3 )
D
unodLaphotocopienonautoriseestundlit.
10
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
53/160
52 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
Suites de rels
I Gnralits
Dfinition
Une suite numrique est une application u deN , priv ventuellement dun nombrefini dlments, dans R .On note un , la place de u(n), le terme gnral, et (un) la suite.Une suite est souvent donne par son terme gnral, ou par une relation de rcur-rence permettant de calculer un de proche en proche.
Suite monotone
Une suite (un) est stationnaire si, et seulement si :
nN
un+1= un . Une suite (un) est croissante si, et seulement si :
n N un un+1 . Une suite (un) est dcroissante si, et seulement si :
n N un un+1 .
Suite borne
Une suite (un) est majore sil existe M tel que :
n N un M. Une suite (un) est minore sil existe m tel que :
n N m un . Une suite (un) est borne si elle est la fois majore et minore, cest--dire sil
existe M tel que |un| M, quel que soit n N.
FICHE11
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
54/160
53F I C H E 1 1 S u i t e s d e r e l s
D
unodLaphotocopienonautoriseestundlit.
11
II Limite dune suite
Dfinitions
Dfinition de limn
un=
l
Tout intervalle ouvert contenant l, contient tous les termes de la suite partir duncertain rang. On dit que la suite est convergente vers l.
Dfinition de limn
un= +Tout intervalle du type [A,+[, contient tous les termes de la suite partir duncertain rang.
Dfinition de limn
un= Tout intervalle du type ],A], contient tous les termes de la suite partirdun certain rang.
Oprations sur les suites convergentes
Combinaison linaire
et tant des rels, si (un) converge vers l1 , et si (vn) converge vers l2 , alors lasuite (un + vn) converge vers l1 + l2 .
Produit
Si (un) converge vers l1 , et si (vn) converge vers l2 , alors la suite (unvn) conver-ge vers l1l2 .Si (un) converge vers 0, et si (vn) est borne, alors la suite (unvn) converge vers 0.
Quotient
Si (un) converge vers l1 , et si (vn) converge vers l2=/ 0, alors la suiteun
vn
converge vers l1l2
Image dune suite convergente
Soit fdfinie sur un intervalle I et a un point de I.f a pour limite l au point a si, et seulement si, pour toute suite (xn) convergeantvers a, la suite
f(xn)
converge vers l, finie ou non.
Pour dmontrer qu'une fonction f n'a pas de limite lorsque x tend vers a, il suffit donc de
fournir un exemple de suite (xn) qui tend vers a et telle quef(xn)
soit divergente.
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
55/160
Relation dordre
Si (un) converge vers l1, et si (vn) converge vers l2 , et si on a un vn pour toutn, alors l1 l2 .
Thorme dencadrement (ou th. des gendarmes)
Si (un) et (vn) sont des suites convergentes qui ont mme limite l et siun wn vn pour tout n, alors la suite (wn) est convergente et converge vers l.
III Existence de limites
Convergence des suites monotones
Toute suite croissante et majore est convergente.Toute suite croissante et non majore tend vers
+.
Toute suite dcroissante et minore est convergente.Attention, si (un) est croissante et si un M pour tout n, vous pouvez seulementaffirmer que (un) converge vers l, avec l M.
Suites extraites
Dfinition
Une suite (vn) est dite extraite dune suite (un) si elle est dfinie par vn= uh(n) oh est une application strictement croissante de N dans N . On dit aussi que (vn) est
une sous-suite de (un) .Proprit
Si (un) est une suite convergente dont la limite est gale l, alors toute suiteextraite est aussi convergente et converge vers l.Cette proprit entrane que si deux suites extraites de (un) ont des limites dis-tinctes, alors (un) est divergente.Mais si deux suites extraites ont la mme limite l, on ne peut rien dire, sauf si lesvaleurs des suites extraites recouvrent tous les un . Dans ce cas, (un) converge
vers l. Suites adjacentes
Les suites (un) et (vn) sont adjacentes si :
(un) est croissante ; (vn) est dcroissante ; limn+
(vn un) = 0 .Si deux suites sont adjacentes, elles convergent et ont la mme limite.
54 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
Si (un) croissante, (vn) dcroissante et un vn pour tout n, alors elles convergent vers l1
et l2 . Il reste montrer que l1 = l2 pour qu'elles soient adjacentes.
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
56/160
Applicat ion
Soit a et b deux rels strictement positifs.
tudiez la convergence de la suite de terme gnral :
un= n (n + a)(n + b) .
Solut ion
Transformons lcriture de un en multipliant, et en divisant, par lexpression conju-gue :
un=n2 (n + a)(n + b)n +(n + a)(n + b) =
n(a + b) abn +(n + a)(n + b)
= (a + b)ab
n
1+
1+ an
1+ b
n
On a : limn+
ab
n= lim
n+a
n= lim
n+b
n= 0 .
Par consquent : limn+
un= a + b
2
Applicat ion
Soit a et b deux rels strictement positifs, avec a >b .
tudiez la convergence de la suite de terme gnral :
un= nan + bn .
Solut ion
Comme un= (an + bn) 1n scrit avec un exposant variable, nous allons considrer sonlogarithme, puis mettre en facteur le terme dominant dans an + bn, cest--dire an.
ln(un) =1
nln
an + bn
= 1
nln
an
1+ (ba)n
= lna + 1n
ln
1+ (b
a)n
Comme 0 0,(E) a deux racines distinctes r1 et r2. Toute suite vrifiant (1) est alors
du type :
un= K1rn1+ K2rn2 .Les constantes K1 et K2 sexpriment ensuite en fonction de u0 et u1 .
Si = 0,(E) a une racine double r0= b
2a Toute suite vrifiant (1) est alors
du type :
un= (K1 + K2n)rn0 .Les constantes K1 et K2 sexpriment ensuite en fonction de u0 et u1 .
Si < 0,(E) a deux racines complexes conjugues r1= + iet r2= ique lon crit sous forme trigonomtrique r1= ei et r2= ei .Toute suite vrifiant (1) est alors du type :
un= n (K1 cosn+ K2 sinn) = n A cos(n ) .Les constantes (K1 et K2, ou A et ), sexpriment ensuite en fonction de u0 et u1 .
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
61/160
Applicat ion
Une population est passe de 320 000 en 2000 332 000 en 2007.
Estimez la population en 2005 dans chacune des trois hypothses suivantes :
1. laccroissement annuel de la population est constant sur la priode 2000-2007 ;2. le taux daccroissement annuel est constant sur cette priode :
3. laccroissement annuel est constant et gal 1 500 sur la priode 2000-2003 et le
taux daccroissement annuel est constant sur la priode 2003-2007.
Solut ion
Prenons lanne 2000 comme anne 0 et dsignons par Pn la population lanne n. Par
hypothse, on a : P0
=320 000 et P7
=332 000.
1. Soit r laccroissement annuel de la population. La suite (Pn ) est une suite arithm-tique de raison r ; do :
n N Pn= P0 + nr.
On en dduit : r= P7 P07
= 1714.On cherche :
P5= P0 + 5r= 320 000+ 5 1714 = 328 570 .2. Soit q le taux daccroissement annuel. La suite (Pn) est une suite gomtrique de
raison 1+ q ; do :n N Pn= P0(1+ q)n .
En particulier, P7= P1(1+ q)7 entrane : 1+ q=332 000
320 000
17 1,005 27.
On cherche :
P5= P0(1+ q)5
= 328 526.3. Dans ce cas, on a :
P3= P0 + 3 1 500 = 324 500.Soit q le taux daccroissement annuel sur la priode 2003-2007.
P7= P3(1+ q )4 entrane : 1+ q =332 000
324 500
14 1,005 73 .
On cherche :
P5= P3(1+ q )2 = 328 229 .
60 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
62/160
Applicat ion
(un) la suite de rels dfinie par :
n N un+2= un+1 + un et u0= u1= 1.Calculez un puis lim
nun.
Solut ion
Lquation caractristique r2 r 1 = 0 a deux racines relles distinctes
r1=1
5
2et r2=
1+
5
2
Toute suite (un ) vrifiant la relation de rcurrence
n N un+2 un+1 un= 0est donc de la forme un= K1rn1+ K2rn2 .Les conditions initiales permettent de calculer K1 et K2 :
u0= 1 = K1 + K2u1= 1 = K1r1 + K2r2
K1=1 r1r2 r1
= 5+
5
10
K2=r2 1r2
r1= 5
5
10
La suite (un ) est donc dfinie par :
n N un=5+
5
10
152
n+ 5
5
10
1+52
n
Comme
1
5
2
| 0,6| < 1 , on a limn
152
n= 0.
Comme1
5
2 1,6> 1 , on a lim
n
1+
5
2
n
= +.
On obtient donc limn
un= +.
61F I C H E 1 2 S u i t e s p a r t i c u l i r e s
D
unodLaphotocopienonautoriseestundlit.
12
Cette suite a t publie en 1202 par Fibonacci sous la forme :
Partant dun couple de lapins, combien de couples de lapins obtient-on aprs un nombre
donn de mois sachant que chaque couple produit chaque mois un nouveau couple,
lequel ne devient productif quaprs deux mois.
Comme limn
un = +, vous avez un premier exemple de lapinisme.
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
63/160
62 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
Fonctions
dune variable relle
I Gnralits
fdsigne une fonction dfinie sur D R et valeurs dans R .
Sens de variation
fest croissante sur I si I D etx1 I x2 I x1 < x2 f(x1) f(x2) .
fest dcroissante sur I si I D etx1 I x2 I x1 < x2 f(x1) f(x2) .
fest monotone sur I si elle est croissante sur I, ou dcroissante sur I. Avec des ingalits strictes, on dfinit : f strictement croissante, strictementdcroissante, strictement monotone, sur D.
Parit, priodicit
fest paire si
x D (x) D et f(x) = f(x) .
Son graphe est symtrique par rapport (O y) . fest impaire si
x D (x) D et f(x) = f(x) . Son graphe est symtrique par rapport O. fest priodique, de priode T (ou T-priodique), si
x D (x+ T) D et f(x+ T) = f(x) .
Son graphe est invariant par les translations de vecteurs kTi avec k Z.
FICHE13
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
64/160
63F I C H E 1 3 F o n c t i o n s d u n e v a r i a b l e r e l l e
D
unodLaphotocopienonautoriseestundlit.
13
II Limites
Notion de limite
Dire que f admet une limite l lorsque x tend vers a, signifie que lon peut obte-nir f(x) aussi proche de l que lon veut condition de prendre x suffisammentvoisin de a.
On note : limxa f(x) = l .
Dire que f admet pour limite + lorsque x tend vers a, signifie que lon peutobtenir f(x) aussi grand que lon veut condition de prendre x suffisammentvoisin de a.
On note : limxa f(x) = +.
Dire que fadmet pour limite+ lorsque x tend vers+ , signifie que lon peutobtenir f(x) aussi grand que lon veut condition de prendre x suffisammentgrand.
On note : limx+ f(x) = + .
Pour , les ides sont analogues.
Proprits des limites
Thorme dencadrement (ou th. des gendarmes)Soit f,g ,h trois fonctions dfinies au voisinage de x0 et y vrifiant f g h .Si fet h ont la mme limite l (finie ou infinie) en x0, alors g a pour limite l enx0.
Oprations algbriques
Soit fet g deux fonctions dfinies au voisinage de x0 et admettant des limites l etm en x0, et un rel.Alors les fonctions f+ g, f et f g admettent respectivement pour limites en x0 :l + m, f et lm. Si de plus m=/ 0, 1g a pour limite 1m
Fonction compose
Soit fune fonction dfinie au voisinage de x0 avec limxx0
f(x) = u0 et g dfinie auvoisinage de u0 telle que lim
uu0g(u) = v.
Alors g f est dfinie au voisinage de x0 et limxx0
g(f(x)) = v .
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
65/160
Fonctions quivalentes
Dfinition
Soit f et g deux fonctions dfinies sur I et x0 un point, fini ou non, appartenant
I ou extrmit deI. Si fg
est dfini au voisinage de x0, sauf peut-tre en x0, on dit
que fet g sont quivalentes au voisinage de x0 si
limxx0
f(x)
g(x)= 1 .
Notation : f g ou fx0
g.
Proprits
Si f1 x0 g1 et f2 x0 g2 , alors f1f2 x0 g1g2 etf1
f2 x0g1
g2 Si f
x0g et si lim
xx0g(x) = l , alors lim
xx0f(x) = l.
64 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
Pour chercher la limite dun produit ou dun quotient, on peut donc remplacer chacune
des fonctions par une fonction quivalente, choisie pour simplifier le calcul.
Mais attention ne pas effectuer un tel remplacement dans une somme, ni dans une
fonction compose
quivalents classiques
ex 10
x ; sinx0
x ; 1 cosx0
x2
2 ;
ln(1+ x)0
x ; tanx0
x ; (1+ x) 10x
Une fonction polynme est quivalente son terme de plus haut degr lorsque x tend vers + ou ,son terme de plus bas degr lorsque x tend vers 0.
III Continuit Dfinitions
Continuit en un point
fest continue en x0 si, et seulement si, limxx0
f(x) = f(x0).Continuit sur un intervalle
Soit E un ensemble qui soit un intervalle ou une runion dintervalles. Une fonc-tion f, dfinie sur E, est dite continue sur E, si fest continue en tout point de E.
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
66/160
Continuit et oprations
Si f et g sont continues en x0, alors f+ g et f g sont continues en x0. Si de plusg(x0) =/ 0, alors f
gest continue en x0.
Si fest continue en x0 et si g est continue en f(x0), alors g f est continue en x0. Image dun intervalle par une fonction continue
Thorme des valeurs intermdiaires
Si fest continue sur un intervalle I, alors f(I) est un intervalle.
Image dun intervalle ferm
Si fest continue sur un intervalle ferm I, alors f(I) est un intervalle ferm.En particulier, si une fonction f est continue sur [a,b], et si f(a) et f(b) sont designe contraire, lquation f(x) = 0 admet au moins une solution dans [a,b].
Fonction rciproque dune fonction continue strictement monotone
Soit f une fonction continue et strictement croissante (resp. dcroissante) sur unintervalle I.fest une bijection deI sur f(I), et sa bijection rciproquef1 est continue et stric-tement croissante (resp. dcroissante) sur lintervalle f(I).
Dans un repre orthonorm, les graphes de f et de f1 sont symtriques par rap-port la premire bissectrice des axes.
65F I C H E 1 3 F o n c t i o n s d u n e v a r i a b l e r e l l e
D
unodLaphotocopienonautoriseestundlit.
13
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
67/160
Applicat ion
tudiez lexistence, et la valeur ventuelle, de la limite lorsque x tend vers 0
1. de la fonction fdfinie sur ]0,+[ par f(x) = xsin 1x
2. de la fonction g dfinie sur R par g(x) = sin 1x
Solut ion
1. On a toujours : 0 |f(x)| x.Comme lim
x0
x= 0, on en dduit, daprs le thorme dencadrement, quelim
x0f(x)
=0 .
2. Pour dmontrer que g(x) na pas de limite, il suffit (cf. fiche 11) de fournir un
exemple de suite (xn ) dont la limite est 0, alors que la suite
f(xn )
na pas de limite.
Pour n N, considrons xn= 12+ n
. On a bien limx0
xn= 0
Par ailleurs sin1
xn= sin
2+ n
= (1)n est une suite qui na pas de limite puis-
quelle vaut alternativement 1 et 1.La fonction g na donc pas de limite lorsque x tend vers 0.
Applicat ion
Dterminez, si elle existe, la limite : limx+
1+ lnx
x
lnx.
Solut ion
Comme la puissance est variable, passons lcriture exponentielle (cf. fiche 14), soit :
f(x) =
1+ lnxx
lnx= eE(x) avec E(x) = ln
f(x)
= lnx ln
1+ lnx
x
.
On sait que limx+
lnx
x= 0 et que ln(1+ u)
0u ; do E(x)+
(lnx)2
x
Comme limx+
(lnx)2
x =0 , on a donc lim
x+
f(x)
=e0
=1 , grce la continuit de
la fonction exponentielle.
66 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
68/160
Applicat ion
Soit fune fonction continue, de [0 ; 1] dans [0 ; 1]. Dmontrez quil existe au moinsun rel x tel que f(x) = x.
Solut ion
Si f(0) = 0, ou si f(1) = 1, cest termin.Supposons donc que f(0) =/ 0 et f(1) =/ 1. On a alors f(0) > 0 et f(1) < 1 puisqueles valeurs de fsont dans [0 ; 1].La fonction g dfinie sur [0 ; 1] par g(x) = f(x) x vrifie g(0) > 0, g(1) < 0, etelle est continue.Daprs le thorme des valeurs intermdiaires, il existe alors x]0 ; 1[ tel queg(x)
=0, cest--dire f(x)
=x.
67F I C H E 1 3 F o n c t i o n s d u n e v a r i a b l e r e l l e
D
unodLaphotocopienonautoriseestundlit.
13
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
69/160
68 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
Fonctions drivables
I Dfinitions Drive en un point
Soit fune fonction dfinie sur D et x0 un lment de D tel que fsoit dfinie au voi-sinage de x0. On appelle drive de fau point x0 le nombre (lorsquil existe) :
limxx0
f(x) f(x0)x x0
= limh0
f(x0 + h) f(x0)h
= f(x0) .
On dit alors que fest drivable en x0.
Si limxx+0
f(x) f(x0)x x0
existe,fest dite drivable droite en x0, et cette limite est
appele drive droite de fen x0, et note fd(x0) .
On dfinit de mme la drive gauche en x0, note fg(x0) .f est drivable en x0 si, et seulement si, fadmet en x0 une drive droite et unedrive gauche gales.
Fonction drive
fest dite drivable sur E, si elle drivable en tout point de E.On appelle fonction drive de f sur E, la fonction, note f, dfinie sur E par :x
f(x).
Drives successives
Soit fdrivable sur E. Si f est drivable sur E, on note sa fonction drive f ouf(2). On lappelle drive seconde de f.Pour n entier, on dfinit par rcurrence la drive n-ime, ou drive dordre n, defen posant f(0) = f, puis f(n) = (f(n1)), lorsque f(n1) est drivable sur E.fest dite de classe Cn sur E si f(n) existe sur E, et est continue sur E.fest dite de classe C, ou indfiniment drivable, si fadmet des drives de tous
ordres.
FICHE14
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
70/160
69F I C H E 1 4 F o n c t i o n s d r i v a b l e s
D
unodLaphotocopienonautoriseestundlit.
14
II Interprtations Interprtation graphique
fdrivable en x0 signifie que le graphe de fadmet au point dabscisse x0 une tan-
gente de pente f(x0). Son quation est :y f(x0) = f(x0) (x x0) .
Si limxx0
f(x) f(x0)x x0
= , f nest pas drivable en x0, mais le graphe de fadmet au point dabscisse x0 une tangente parallle Oy.
Interprtation exprimentale
Soit t la dure coule entre une origine des temps et linstant considr.
Si f(t) est la distance parcourue par un mobile pendant la dure t, le taux devariation
f(t) f(t0)t t0
est la vitesse moyenne entre les instants tet t0 ;
la drive f(t0) est la vitesse instantane linstant t0 ;la drive seconde f(t0) est lacclration instantane linstant t0 . Si f(t) est une quantit deau, de gaz, de sang... coule pendant la dure t, lenombre f(t0) est le dbit instantan linstant t0 .
III Proprits Drivabilit et continuit
Toute fonction drivable en x0 est continue en x0.
Attention, la rciproque est fausse. Par exemple, la fonction x |x| est continue, et nondrivable, en 0, car elle admet une drive gauche et une drive droite diffrentes.
Incertitudes et notation diffrentielle
La dfinition de la drivabilit de fen x0 permet dcrire pour h petit :
f(x0 + h) f(x0) + f(x0)hDans les sciences exprimentales, on note x la variation h de x, et f la varia-tion f(x0 + h) f(x0) de f. On utilise le calcul approch prcdent pour estimerles incertitudes absolues et relatives :
f(x) f(x)x ; f(x)f(x)
f(x)
f(x)x.
On utilise le plus souvent la notation diffrentielle : df= f(x) dx.
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
71/160
Oprations algbriques sur les fonctions drivables
Si f et g sont drivables en x0, il en est de mme de f+ g, de f g, et def
gsi
g(x0)
=/ 0 ; et on a :
(f+ g)(x0) = f(x0) + g(x0)(f g)(x0) = f(x0)g(x0) + f(x0)g(x0) fg
(x0) =
f(x0)g(x0) f(x0)g(x0)g2(x0)
Fonction compose
Soit fune fonction drivable en x0 et g une fonction drivable enf(x0), alors g fest drivable en x0, et
(g f)(x0) = g(f(x0)) f(x0).
Drive dune fonction rciproque
Soit fune fonction continue strictement monotone sur un intervalle I. On supposeque fest drivable en f(x0) et que f(x0) =/ 0.Alors, la fonction rciproquef1 est drivable en f(x0) et
(f1)(f(x0)) = 1f(x0)
Variations dune fonction drivable
Si, pour toutx I,f (x) = 0 alors fest constante sur I. Si, pour toutx I,f (x) 0 alors fest croissante sur I. Si, pour toutx I,f (x) > 0 alors fest strictement croissante sur I.
Ce dernier rsultat est encore valable sif sannule en des point isols, cest--diretels que leur ensemble ne contienne pas dintervalle.
70 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
72/160
Applicat ion
Calculez la drive de la fonction fdfinie sur ] ;1] [1; +[ par :
f(x)=
(2x2 + 1)x2 1
3x3 Solut ion
La fonction fest dfinie et continue sur lensemble indiqu. Mais elle nest drivableque sur ] ;1[ ]1;+[ car x x nest pas drivable en 0.La fonction ftant complique, commenons par des calculs prliminaires.
La drive dex2 1 = (x2 1) 12 est : 2x
2x2
1
La drive du numrateur N(x) = (2x2 + 1)x2 1 est :N(x) = 4x
x2 1 + (2x2 + 1) x
x2 1
On a donc :
f(x) =12x4
x2 1 + (2x2 + 1) 3x
4
x2 1
9x2(2x2 + 1)x2 1
9x6
=12x4(x2
1)
+(2x2
+1)3x4
9x2(2x2
+1)(x2
1)
9x6x2 1
= 1x4
x2 1
71F I C H E 1 4 F o n c t i o n s d r i v a b l e s
D
unodLaphotocopienonautoriseestundlit.
14
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
73/160
Applicat ion
On veut couper un fil de 200 cm en deux morceaux pour former un cercle et un carr. quel endroit faut-il couper le fil pour que la somme des aires soit minimale ? maxi-male ?
Solut ion
Dsignons par x (en cm) la longueur du morceau qui formera un cercle, et donc par200 x la longueur du morceau qui formera un carr.Le cercle a pour rayon R= x
2et le disque a pour aire R2 = 1
4x2 .
Le carr a pour ct1
4(200 x) et pour aire 1
16(200 x)2 .
Il sagit donc dtudier la fonction dfinie par :
A(x) = 14
x2 + 116
(200 x)2 avec 0 x 200 .
Sa drive A(x) =
1
2+ 1
8
x 25 est croissante de A(0) = 25
A(200) 31,8 . Elle sannule pour x0=25
12+ 18
88. Le tableau de variation de A
est donc :x 0 x0 200
A 0 +A
Laire totale est donc minimum pour x= x0 et a pour valeur A(x0) 1 400.Comme A(0) = 2 500 et A(200) 3 183, laire est maximum pourx= 200, cest--dire lorsque lon forme seulement un carr.
72 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
74/160
Applicat ion
On considre que la rsistance dune poutre paralllpipdique est proportionnelle sa largeur et au cube de sa hauteur.Dterminez la largeur et la hauteur de la poutre la plus rsistante que lon peut obte-nir en taillant un tronc de 20 cm de diamtre.
Solution
Soit xet y la largeur et la hauteur (en cm) de la poutre.La poutre tant taille dans un tronc de 20 cm de dia-mtre, on a
x2 + y2 = 202 = 400ce qui impose 0< x < 20 pour que le problme ait unsens.La rsistance de la poutre est proportionnelle
xy3 = x400 x23 = x(400 x2) 32tudions les variations de la fonction R dfinie sur ]0,20[ par
R(x) = x(400 x2) 32 . On a :
R(x) = (400 x2)32 3x2(400 x2)
12= 400 x2
400 4x2
= 4
400 x2 (10 x) (10 + x)ce qui conduit au tableau de variation :
x 0 10 20
R(x) + 0 R(x)
0 0
La rsistance de la poutre est donc maximum pour x= 10, ce qui entraney=
300 = 10
3 17,3.
73F I C H E 1 4 F o n c t i o n s d r i v a b l e s
D
unodLaphotocopienonautoriseestundlit.
14
20
y
x
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
75/160
74 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
Fonctions usuelles
I Logarithmes et exponentielles Fonction logarithme nprien
Elle est dfinie pour x> 0 par :
ln1 = 0 ;
x> 0 (lnx) =1
x
Elle est strictement croissante.
limx0+
lnx = ; limx+
lnx = +.
Lunique solution de lquation lnx = 1 est note e (e 2,718). a > 0 b > 0 r Q
ln (ab) = ln a + ln b ; ln (ar
) = rlna ; lnab
= ln a ln b . Fonction exponentielle
Cest la fonction rciproque de la fonction ln. Elle est dfi-nie sur R , valeurs dans ]0,+[, strictement croissante.Elle est note exp, ou x ex.x R
ex
= ex ;
limx
ex = 0 ; limx+
ex = + .
a R b R r Q
ea+b = ea eb ; era = (ea)r ; ea =1
ea ; eab =
ea
eb
Logarithme de base a
La fonction logarithme de base a (a > 0 ; a =/ 1), est la fonction dfinie par :
x> 0 loga(x) =lnx
lna
Sa drive est : (logax)
=
1
ln a 1
x
FICHE15
y
1
1 x0
y
1
1 x0
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
76/160
75F I C H E 1 5 F o n c t i o n s u s u e l l e s
D
unod
Laphotocopienonautoriseestundlit.
15
Ses proprits algbriques sont les mmes que celles de la fonction ln.Si a = 10, loga est le logarithme dcimal. On le note log.
Exponentielle de base a
La fonction exponentielle de base a (a > 0), est la fonction dfinie par :x R expa(x) = a
x = exln a.
Pour a =/ 1, cest la fonction rciproque de la fonction loga .y = ax lny = xln a x = loga(y) .
Sa drive est :(ax) = ln a ax.
Remarquez bien quici, la variable est en exposant.
Remarquez bien quici lexposant est constant.
Ses proprits algbriques sont les mmes que celles de la fonction exp.
II Fonctions puissancesLa fonction x xr, pour x> 0 et r Q, est dj connue. On la gnralise, pourx> 0 et a R , en posant :
xa = ealnx.
Les proprits connues pour les exposants rationnels sont prolonges ; en particulier(xa) = axa1 .
Pour a < 0, la fonction x xa est dcroissante de + 0.Pour a > 0, la fonction x xa est croissante de 0 + . Dans ce cas, on peut pro-longer la fonction par continuiten 0. La fonction prolonge est drivable en 0, si a > 1.
III Comparaison des fonctionslogarithmes, exponentielleset puissances
Fonctions logarithme et puissance
Pour b > 0, on a : limx+
lnx
xb = 0 ; lim
x0+xblnx = 0 .
Fonctions puissance et exponentielle
Pour a > 1 et b quelconque, on a : limx+
ax
xb = +.
Fonctions logarithme et exponentielle
Pour a > 1, on a : limx+
lnx
ax = 0.
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
77/160
Applicat ion
Quel est leffectif initial dune population microbienne y(t) dont la croissance est detype exponentiel, sachant que cette population est multiplie par 1,5 toutes les2 minutes et que leffectif est de 77 au bout de 5 minutes ?
Solut ion
Si tdsigne le temps en minutes, y(t) la population linstant t et y0 la population linstant 0, le modle de lnoncest :
y(t) = y0 ekt
avec k> 0 puisquil sagit dune croissance.
76 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s
Ce modle est pertinent tant que le milieu nutritif est suffisant pour la population tudie.
Les hypothses scrivent :
y(t+ 2) = 1,5y(t) et y(5) = 77 .
La premire hypothse scrit : y0 ek(t+2) = 1,5y0 ekt
ce qui donne aprs simplification par y0 ekt :
e2k = 1,5 soit k=1
2ln(1,5) 0,203 .
La seconde hypothse scrit : y0 e5k = 77.
Lutilisation de la premire hypothse donne : e5k = e52
ln
32
=
3
2
52
ce qui entrane : y0 = 77
3
2
52
27,94 28.
On peut donc estimer que leffectif initial est de 28.
-
8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie
78/160
Applicat ion
Un mdicament est inject, par voie intraveineuse, intervalles rguliers (enheures) et dose constante D (en mg). Sa diffusion dans le compartiment sanguin,de volume 5 litres, est suppose instantane. Son limination est dcrit par :
C(t) = C0 ekt
ok est une constante positive qui dpend du mdicament et C0 =D
5la concentra-
tion apporte par une dose au moment de son injection.
1. Dterminez la concentration juste avant, et juste aprs, la n-ime injection.2. Avec = 12 et k= 0,1, quelle serait la concentration sanguine la plus leve quelon atteindrait si lon poursuivait indfiniment le mme traitement ?
Solut ion
1. Juste avant la n-ime injection, cest--dire linstant (n 1) , le cumul des restesde chaque injection donne :
An = C0 ek(n1) + C0 e
k(n2) + + C0 ek .
Il sagit de la somme des termes dune progression gomtrique dont on peut consi-
drer que le premier terme est C0 ek(n1) et la raison ek (on peut aussi lire len-
vers), ce qui donne :
An = C0 ek(n1) 1 e
k(n1)