mathematisch model voor de berekening van …

MATHEMATISCH MODEL VOOR DE BEREKENING VAN GOLFOPLOOP

Scheveningen

a p r i l 1 9 7 2 - o k t o b e r 1 9 7 2

A, Roos

A f s t u d e e r v e r s l a g Technische Hogeschool D e l f t

A f d . V/egen Waterbouwkunde - Vakgroep V l o e i s t o f m e c h a n i c a

o k t o b e r 1 9 7 2

ERKENTELIJKHEID

De a u t e u r i s P r o f . i r . W.C, B i s c h o f f van Heemskerck e r k e n t e l i j k voor

de s t e u n b i j het o n t w i k k e l e n van d i t mathematische model.

H i j w i l i r , J.A. B a t t j e s en i r . N. Booy bedanken voor de k r i t i s c h e

en ondersteunende w i j z e waarop z i j de opzet en de o n t w i k k e l i n g van het

rekenmodel hebben b e g e l e i d .

INHOUD

1 . INLEIDING 1

2 . VERGELIJKINGEN, DIE DE WATERBEWEGING _OP_HE_TjrAXUD J ^ ^ 3

2 . 1 V e r g e l i j k i n g e n voor de waterbeweging i n de " n e t t e " gebieden 3

2 . 2 V e r g e l i j k i n g e n voor h et oplopende g o l f f r o n t 5

3 . BEREKENING TERMEN VAN DE VERGELIJKINGEN M.B.V. RESULTATEN

GQLFOPLOOPPROEVEN 8

3 . 1 E e r s t e b e r e k e r i i n g s v / i j z e 8

3 . 2 Tweede b e r e k e n i n g s w i j z e 1 2

NUMERIEKE REKENMODEL 1 7

^ . 1 Keuze rekenschema en w e r k i n g rekenmodel 17

' + . 2 Numerieke v e r g e l i j k i n g e n algemeen punt 2 0

' f . 3 Numerieke v e r g e l i j k i n g e n punt t . p . v . x = O 2 5

h.h Numerieke v e r g e l i j k i n g e n punt t . p . v . x = R 2 6

' + . 5 Numerieke v e r g e l i j k i n g e n voor het bovenste d e e l van de

w a t e r t o n g 2 9

^ « 6 B e s c h r i j v i n g computerprogramma 3 2

5 . RESULTATEN NUMERIEKE GOLFOPLOOPMODEL ^ f l

5 « 1 Randvoorwaarde t . p . v . h et punt van s t i l w ater n i v e a u op h e t

t a l u d ( b e r e k e n i n g I ) • ^ + 1

5 . 2 Randvoorwaarde i n het water voor het t a l u d ( b e r e k e n i n g 2 ) ^ 2

6 . SAMENVATTING EN CONCLUSIES ^ 5

LITTERATUURLIJST , +7

SYMBOLENLIJST • •. ' + 8

BIJLAGEN

INLEIDING

I n l i t t . [ l ] v i n d t men een e x p e r i m e n t e l e s t u d i e naar het gedrag

van tegen t a l u d s oplopende r e g e l m a t i g e g o l v e n . I n a a n s l u i t i n g op d i e

e x p e r i m e n t e l e s t u d i e i s een mathematisch model ontv/orpen voor de be

r e k e n i n g van g o l f o p l o o p . Het d o e l h i e r v a n i s t e onderzoeken o f men

met een d e r g e l i j k model de v / e r k e l i j k e g o l f o p l o o p kan berekenen» Het

model kan d a a r t o e i n e e r s t e i n s t a n t i e v/orden g e b r u i k t ora t e p r o b e r e n

de p r o e f r e s u l t a t e n u i t [ 1 ] na t e rekenen^

Door v e r s c h i l l e n d e o n d e rzoekers z i j n reeds m o d e l l e n o p g e s t e l d

waarmee de g o l f o p l o o p tegen t a l u d s kan worden berekend. B i j a l deze

rekenmodellen wordt de waterbeweging op het t a l u d beschreven met be

h u l p van de n i e t - l i n e a i r e l a n g e - g o l f t h e o r i e , Het oplopende g o l f f r o n t ,

dat het u i t e r l i j k v e r t o o n t van een b o r e , wordt beschreven door de

v e r g e l i j k i n g e n voor een lopende w a t e r s p r o n g . Het v e r k r e g e n s t e l s e l

v e r g e l i j k i n g e n kan worden o p g e l o s t door g e b r u i k t e maken van i n t e g r a

t i e l a n g s k a r a k t e r i s t i e k e n . Het oplopende g o l f f r o n t w o r d t i n h e t ka-

r a k t e r i s t i e k e n p a t r o o n a l s het s n i j p u n t van twee convergerende k a r a k t e

r i s t i e k e n van d e z e l f d e " f a m i l i e " gevonden, z i e Stok e r [ ? . ] .

Freeman en LeMéhauté [ j ] geven een methode voor de b e r e k e n i n g van g o l f

o p l o o p . De l a n g e - g o l f v e r g e l i j k i n g e n v/orden i n k a r a k t e r i s t i eken-vorm ge

b r a c h t . De p l a a t s van het g o l f f r o n t wordt gevormd door het s n i j p u n t van

i n v o o r w a a r t s e r i c h t i n g lopende convergerende k a r a k t e r i s t i e k e n . S p e c i a l e

aandacht wordt besteed aan de oploop van het g o l f f r o n t over h e t droge

t a l u d . Er wordt een t o e p a s s i n g gegeven, w a a r b i j a l s beginvoorwaarde

wordt i n g e v o e r d s t i l s t a a n d water met h o r i z o n t a l e w a t e r s p i e g e l t e g e n h e t

t a l u d , met op enige a f s t a n d van het t a l u d een s y m e t r i s c h e e'énlinggolf

d i e op punt s t a a t t e breken ( l i m i t s o l i t a r y wave) d i e z i c h naar h e t t a

l u d beweegt. B i j deze t o e p a s s i n g wordt het k a r a k t e r i s t i e k e n p a t r o o n op

g r a f i s c h e w i j z e g e c o n s t r u e e r d .

Amein b e r e k e n t eveneens de g o l f o p l o o p tegen t a l u d s , z i j n r a n d v o o r

waarden o n t l e e n t h i j aan de l i n e a i r e k o r t e - g o l f t h e o r i e . I n o n d i e p wa

t e r gaat h i j over op de n i e t - l i n e a i r e l a n g e - g o l f t h e o r i e . De v o o r t p l a n

t i n g van de g o l v e n i n ondiep water en de g o l f o p l o o p t e g e n het t a l u d

worden v e r d e r berekend met behulp van de n i e t - l i n e a i r e l a n g e - g o l f v e r g e

l i j k i n g e n , d i e i n k a r a k t e r i s t i e k e n - v o r m z i j n g e b r a c h t . H i j b r e n g t geen

weerstand i n r e k e n i n g . Met behulp van een computerprogramma v/ordt de

oploop van p e r i o d i e k e i n v a l l e n d e g o l v e n berekend.

2 "

Ook Daubert en V/arluzel [ 5 ] berekenen de oploop van r e g e l m a t i g e g o l

ven tegen v l a k k e t a l u d s , Z i j . gaan eveneens u i t van de n i e t - l i n e a i r e

l a n g e - g o l f v e r g e l i j k i n g e n , i n c l u s i e f een weerstandsterm v o l g e n s Chézy,

Ze brengen deze v e r g e l i j k i n g e n n i e t i n k a r a k t e r i s t i e k e n - v o r m , maar

z e t t e n ze d i r e k t om i n d i f f e r e n t i e - v e r g e l i j k i n g e n . Aan het zeewaartse

e i n d wordt een randvoorwaarde opgelegd d i e overeenkomt met de p e r i o d i e k e

i n v a l l e n d e g o l f en de g o l f o p l o o p tegen het t a l u d wordt met behulp van

een computerprogramma berekend.

Het mathematisch model dat i n d i t v e r s l a g wordt g e p r e s e n t e e r d i s

geen v e r b e t e r i n g o f v e r f i j n i n g van de bestaande beschreven m o d e l l e n .

De grondgedachte b i j het o p z e t t e n van het model i s , een eenvoudig r e k e n

model voor het berekenen van g o l f o p l o o p tegen v l a k k e t a l u d s t e o n t w e r

pen, dat aan de hand van r e s u l t a t e n van g o l f o p l o o p p r o e v e n [ l j kan wor

den g e t o e t s t . Er wordt eveneens van de n i e t - l i n e a i r e l a n g e - g o l f v e r g e

l i j k i n g e n u i t g e g a a n . Deze worden n i e t e e r s t i n k a r a k t e r i s t i e k e n - v o r m

g e b r a cht maar d i r e k t omgezet i n d i f f e r e n t i e v e r g e l i j k i n g e n . Hot g o l f

f r o n t wordt n i e t geïsoleerd i n de o p l o s s i n g , i n p l a a t s daarvan worden

een s o o r t d i f f u s i e - a c h t i g e termen aan de l a n g e - g o l f v e r g e l i j k i n g e n t o e

gevoegd, d i e e r v o o r zorgen dat het rekenproces s t a b i e l b l i j f t .

Men t r e f t i n d i t v e r s l a g de volgende i n d e l i n g aan. Onder 2 v i n d t

men de v e r g e l i j k i n g e n d i e de waterbeweging op het t a l u d b e s c h r i j v e n .

Aan de hand van de p r o e f r e s u l t a t e n u i t [ l ] worden onder 3 de termen

i n de v e r g e l i j k i n g e n berekend, om t e z i e n o f bepaalde termen ( b . v . de

w r i j v i n g s t e r m ) v e r w a a r l o o s b a a r z i j n t . o . v , de andere termen i n de v e r

g e l i j k i n g e n , under H v i n d t men de keuze van het rekeascherna, de v e r g e

l i j k i n g e n worden er i n numerieke vorm gebracht en het computerprogramma

wordt er beschreven. De r e s u l t a t e n van de u i t g e v o e r d e b e r e k e n i n g e n v i n d t

men onder 5 t e r w i j l onder 6 de c o n c l u s i e s v o l g e n .

3

2 « V E H G ^ A I J K I N ^ i E ^ i i ^ i l l O i L j ^ ^ ^

B i j de oploop van golven tegen v l a k k e t a l u d s kunnen aan de g o l f -

t o n g op het t a l u d d r i e g e d e e l t e n worden onderscheiden ( z i e f i g , l ) .

F i g , 1 , D r i e g e d e e l t e n d i e aan de g o l f t o n g kunnen worden o n d e r s c h e i d e n .

I n g e b i e d (T) v i n d t oploop van water p l a a t s , d i t water l o o p t a c h t e r het

g o l f f r o n t aan dat z i c h i n g e b i e d ( 2 ) b e v i n d t . I n g e b i e d ( 3 ) v i n d t

t e r u g l o o p van wat e r p l a a t s , I n do gebieden (T) en Q) t r e f f e n we oen

min o f meer " n e t t e " waterbeweging aan, i n g e b i e d (Z) b e v i n d t z i c h h e t

oplopende g o l f f r o n t , de waterbeweging d a a r i n i s a f w i j k e n d en wordt dan

ook a f z o n d e r l i j k bekeken.

2 , 1 V e r g e l i j k i n g e n voor de waterbeweging i n _ d o ^ ^ n e t t e ^ ^ g e b i e d e n

Voor de b e s c h r i j v i n g van de waterbeweging i n de g e d e e l t e n (J) en

( 3 ) kunnen de massabalans en i m p u l s i e b a l a n s worden a f g e l e i d voor een

r u i m t o l i j k g e f i x e e r d mootje op het t a l u d ( z i e f i g , 2 ) .

F i g , 2 , Mootje op t a l u d , waarvoor de massa-

en i m p u l s i e b a l a n s worden a f g e l e i d .

B i j de a f l e i d i n g van de v e r g e l i j k i n g e n voor de waterbeweging wordt

aangenomen:

- raassadichtheid van water /o i s c o n s t a n t .

- over de w a t e r l a a g d i k t e h e e r s t een h y d r o s t a t i s c h e d r u k v e r d e l i n g .

- voor de w r i j v i n g l a n g s het t a l u d wordt aangenomen -pg w a a r i n

T de w r i j v i n g s k r a c h t l a n g s de bodem per o p p e r v l a k t e - e e n h e i d v o o r s t e l t ,

V i s de s n e l h e i d van h e t water t e r p l a a t s e en C i s de coëfficiënt van

Chézy.

k -

De keuze van de w r i j v i n g , z o a l s h i e r gedaan, g e l d t i n f e i t e v oor een

p a r i g e s t r o m i n g . B i j langzaam veranderende s t r o m i n g , z o a l s b.v. b i j

g e t i j d e n , w a a r b i j men de s t r o m i n g a l s q u a s i - s t a t i o n a i r kan o p v a t t e n ,

kan deze f o r m u l e r i n g van de w r i j v i n g ook worden g e b r u i k t , I n ho e v e r r e

de keuze voor de s t r o m i n g op het t a l u d - w a a r b i j d u i d e l i j k van n i e t

s t a t i o n a i r e s t r o m i n g sprake i s - g e r e c h t v a a r d i g d i s , z a l nog moeten

b l i j k e n . E v e n t u e e l kan i n een l a t e r s t a d i u m , wanneer h e t rekenmodel

wordt g e t o e t s t aan r e s u l t a t e n van g o l f o p l o o p p r o e v e n [ l ] , de f o r m u l e

r i n g van de w r i j v i n g s t o r m worden g e w i j z i g d .

Voor de massa- en i m p u l s i e b a l a n s van h e t mootje i n f i g . 2 worden

r e s p , de v e r g e l i j k i n g e n ( 2 . 1 ) en ( 2 . 2 ) gevonden:

öh , &v öh v — + h — .f = O

tix ÖX öt ( 2 . 1 )

bv ö V . V | v | , V - - E smoc- g

6 X cos CX. ( 2 . 2 )

De beide v e r g e l i j k i n g e n ( 2 . 1 ) en ( 2 . 2 ) , d i e worden gevonden s t a a n

bekend a l s de l a n g e - g o l f v e r g e l i j k i n g e n . Ze kunnen ook i n de volgende

gedaante worden geschreven:

h "

öh bh - g smcx. v m

C^h

( 2 . 3 )

U i t deze v e r g e l i j k i n g ( 2 , 3 ) z i e t men d i r e k t de k a r a k t e r i s t i e k e verge

l i j k i n g e n v e r s c h i j n e n :

É l

d t cos(X dh h d t

g e l d t l a n g s dx d t

. , V v l

g smo^ '- g — 5 ~

= V + \/gh cosoc

>

Voor het g e b r u i k van de v e r g e l i j k i n g e n i n h e t rekenmodel i s h e t n u t t i g

ze i n d i m e n s i e l o z e vorm t e brengen, We berekenen i n h e t model de op

l o o p van r e g e l m a t i g e g o l v e n , de oploop i s p e r i o d i e k met de g o l f p e r i o d e

T, Van deze p e r i o d e T wordt g e b r u i k gemaakt b i j de keuze van de volgende

d i m e n s i e l o z e g r o o t h e d e n :

_ 5

1 T

V

Jl.

> . . . . . . . . . ( 2 . 5 )

Na invoei'en van deze d i m e n s i e l o z e grootheden gaan de v e r g e l i j k i n g e n

( 2 . 1 ) en ( 2 . 2 ) over i n de volgende vorm:

, £ > h ' , , ö V '

v' — + h' - " - r b h '

O a a , . ( 2 . 6 )

£ V _

b t ' ' , b v ' ö h '

ÖX' cosoc= - sinoc

V ' 1 V '

. ( 2 . 7 )

I n v e r g e l i j k i n g ( 2 . 7 ) i s f i n g e v o e r d , h i e r v o o r g e l d t f = f i f

d i m e n s i e l o z e f a k t o r .

Voor v e r g e l i j k i n g ( 2 . 3 ) wordt i n d i m e n s i e l o z e vorm gevonden;

een

ö F ^ i y h 'cosc<)^T C O S t X öh bh'

V ' I V

since - f ( 2 , 8 )

V e r g e l i j k i n g ( . 2 , k ) z i e t er i n d i m e n s i e l o z e vorm a l s v o l g t u i t :

i l l d t '

cosoi dh d t '

- sinoc - f

g e l d t l a n g s ,- = v' -I- l/h' cosoc

. . . . . . ( 2 , 9 )

V e r g e l i j k i n g e n voor het omlopende g o l f f r o n t

Voor l i e t g e b i e d ( 2 ) kunnen ook een massa- en impulsiebalanö

worden o p g e s t e l d , deze balansen worden b e t r o k k e n op een r u i m t e l i j k

g e b i e d j e dat met de s n e l h e i d van het oplopende f r o n t c l a n g s h e t t a l u d

meebeweegt ( z i e f i g . 3 ) < . Het oplopende f r o n t kan worden opgevat a l s

een lopende w a t e r s p r o n g ( b o r e ) .

. . 6

y niinAeiijL ^elitJje., Jat hrat M ijo/ffront: /Mtelsi^,/t«^t

Fig» 3 * R u i m t e l i j k e g e b i e d j e v/aarvoor de maesa-

en I m p u l s i e b a l a n s voorden afgeleid»

De v / a t o r l a a g d i k t e en de d e e l t j e s s n e l h e i d aan de bovenstroomse k a n t (u_p)

z i j n r e s p , h^ en v^, aan de benedenstroomse ka n t (down) z i j n h e t h^ en v ^ .

Voor de massabalans van het r u i m t e l i j k e g e b i e d j e wordt gevonden:

( v - c) h = (v,, ~ c) h , • . ( 2 . 1 0 )

u u d d

Voor de i m p u l s i e b a l a n s kan, onder v e r w a a r l o z i n g van de z w a a r t e k r a c h t en

de w r i j v i n g l a n g s h et t a l u d , worden a f g e l e i d :

\ g c o s o c C h ^ - h^) . ( v ^ - c) h^ v^ - ( v ^ - c) h^ v^ • • • ( 2 . 1 1 )

Uitgaande van deze beide v e r g e l i j k i n g e n kan voor de s n e l h e i d waarmee h e t

f r o n t togen het t a l u d o p l o o p t worden gevonden:

C080C . . . . . . . . . ( 2 . 1 2 ) .

Men z i e t h i e r u i t dat de s n e l h e i d waarmee h e t g o l f f r o n t t egen h e t t a l u d

o p l o o p t g r o t e r i s dan de s n e l h e i d waarmee v e r s t o r i n g e n z i c h aan de bene-

denstroorase z i j d e v o o r t p l a n t e n en k l e i n e r i s dan de s n e l h e i d waarmee

v e r s t o r i n g e n z i c h aan de bovenstroomse z i j d e v o o r t p l a n t e n .

De v e r g e l i j k i n g e n voor de oplopende bore kunnen eveneens i n d i m e n s i e

l o z e vorm worden gebracht» H i e r v o o r kunnen de d i m e n s i e l o z e grootheden van

( 2 . 5 ) worden g e b r u i k t , a a n g e v u l d met:

" • ^ ^ •

„ 7 -

I n v o e r e n v a n de d i m e n s i e l o z e grootheden l e v e r t voor de massa- en i m p u l -

s i e b a l a n a van v e r g e l i j k i n g ( 2 ^ 1 0 ) en ( 2 » 1 1 ) ?

( v ' - c') h' = ( v ' - c ' ) h' ( 2 . 1 ' f )

u u d d

I c o s c x C h ^ ^ ™ h^^) = (v^^ - c ' ) h' v ^ » ( v ^ ~ c ' ) h ' V ' . . . ( 2 . 1 5 )

De u i t d r u k k i n g ( 2 . 1 2 ) voor de s n e l h e i d v a n h e t oplopcrade f r o n t z i e t e r

i n d i m e n s i e l o z e v o r m u i t a l s :

f' + \ / h' c o o cc > e' > V l + \/h' cosoc , ( 2 » l 6 )

u y u a V d

- 8 -

5 . BEjmEJlING TER^ DE VERGELIJKINGEN M.B.V. RESULTATEN

GOLFOPLOüPPROEVEN

Teneinde na t e gaan o f er bepaalde termen kunnen worden verwaar

l o o s d i n de v e r g e l i j k i n g e n d i e de waterbeweging op het t a l u d ( a f g e z i e n

van h e t oplopende g o l f f r o n t ) b e s c h r i j v e n en om t e k i j k e n van welke

orde van g r o o t t e de w r i j v i n g s t e r m i s t . o . v . de o v e r i g e termen, worden

termen berekend met be h u l p van de p r o e f r e s u l t a t e n d i e men i n l i t t . [ l .

v i n d t . B i j de e e r s t e b e r e k e n i n g s w i j z e onder 3.1 worden termen berekend

van de v e r g e l i j k i n g e n d i e de v^aterbeweging op i e d e r e p l a a t s op het

t a l u d b e s c h r i j v e n , d i t z i j n i n f e i t e de massa- en i m p u l s i e b a l a n s voor

zeer k l e i n e g e b i e d j e s op het t a l u d (Ax — O ) .

Daar de r e s u l t a t e n van deze e e r s t e b e r e k e n i n g s w i j z e n i e t b e v r e d i g e n d

z i j n , w o r d t er onder 3.2 een tweede b e r e k e n i n g s w i j z e g e h a n t e e r d .

D a a r b i j worden de termen berekend van de massa- en i m p u l s i e b a l a n s , d i e

gelden voor een bepaald d i s c r e e t g e b i e d op het t a l u d (ax = e i n d i g ) .

3.1 Eerste b e r e k e n i n g s w i j z e

De v e r g e l i j k i n g e n d i e de waterbeweging op i e d e r e p l a a t s op h e t

t a l u d ( i n de " n e t t e " gebieden) b e s c h r i j v e n z i j n gevonden onder 2 . 1 ,

ze l u i d e n ;

V ^ , h 5 1 . ^ = O (3 . 1 ) t)X DX b t

ÖV öV . bh - V I V.!. ( 7, p )

b t ÖX ^ bx h

Termen van de beide v e r g e l i j k i n g e n worden berekend voor een t w e e t a l

proeven u i t [ l ] , het z i j n p r o e f k b i j t a l u d 1:3 en p r o e f k b i j t a l u d

1:?. B i j deze proeven z i j n onder meer bekend h e t v e r l o o p van de v/ater-

l a a g d i k t e n h en de d e e l t j e s s n e l h e d e n v a l s f u n k t i e van de t i j d b i n n e n

één p e r i o d e ( r e g e l m a t i g e g o l v e n ) t e r p l a a t s e van v i e r opnemers op het

t a l u d ( d i t z i j n de p l a a t s e n waar 'de w a t e r d i k t e n worden gemeten), z i e

f i g .

Men v i n d t deze gegevens voor de beide proeven op de b i j l a g e n 13 en 23

van [ l ] . V o o r t s z i j n voor beide proeven de g e c o n s t r u e e r d e g o l f t o n g e n

op h e t t a l u d voor i e d e r t i j d s t i p bekend ( z i e [ l ] ) .

Voor i e d e r van de beide proeven worden de termen berekend voor de op

eenvolgende t i j d s t i p p e n b i n n e n é 6 n p e r i o d e met o n d e r l i n g e t i j d s i n t e r -

- 9

v a l l e n van 0 , 1 sec t e r p l a a t s e van de 1 , 2 en 3 opnemer op h o t t a l u d .

F i g . ^. Bekende v e r l o o p van de wat e r l a a g d i k t en en de d e e l t j e s -

snelheden t . p . v . de v i e r opnemers op h o t t a l u d .

Teneinde do termen van de v e r g e l i j k i n g e n ( 3 . 1 ) en ( 3 . 2 ) t e kunnen b e r e

kenen, moeten bekend z i j n :

'^h öh _bv bv_ ^ b t ÖX ^ b t ÖX

h cn V z i j n op i e d e r t i j d s t i p bekend, ~ en kunnen u i t het bekende

v e r l o o p van h en v worden berekend a l s :

bh, h [ t + A t ] - h [ t - A t ] ' ^ ( 3 . 3 ) öt " 2At

bv _ v [ t + A t ] - V [ t - A t ] " ( 3 . ' O b t " 2At

Voor h e t bepalen van ™ kan g e b r u i k worden gemaakt van de bekende w a t e r ¬

tongen op het t a l u d ( z i e f i g . 3 ) • Tussen twee opvolgende punten v e r

l o o p t de w a t e r s p i e g e l r e c h t .

Opna.ir,«.r J

OprittTtarZ

1 L ^ X

F i g , 5 . V/atertong op het t a l u d op een bepaald t i j d s t i p ^

- 1 0

De waarde van w o r d t g e l i j k g e s t e l d aan de h e l l i n g ¥an de w a t e r s p i e g e l

t e r p l a a t s e van opnemer 1 , deze i s g e l i j k aan de h e l l i n g van de waterspi©-e

g e l d i e w o r d t gevonden i n het g e b i e d t u s s e n de 1 en 2' opnemer. De v?aarde

van -—" wordt bepaald a l s gemiddelde van de w a t e r s p i e g e l h e l l i n g e n l i n k s

en r e c h t s van opnemer 2. H e t z e l f d e g e l d t voor g^-, d i e a l s gemiddelde

van de w a t e r s p i e g e l h e l l i n g e n l i n k s en r e c h t s van opnemer 3 wordt b e p a a l d . t) V

Voor het v i n d e n van ™ worden de d e e l t j e s e n e l h e d e n t.p»v» de opnemers

u i t g e z e t en door r e c h t e l i j n e n o n d e r l i n g verbonden ( z i e f i g , 6 ) . De s n e l

heden i n deze f i g u u r komen overeen met d i e i n de w a t e r t o n g i n fig«. 5 op

t r e d e n . optïCrntr X

I I I I L

F i g , 6 . Water8ne1heden i n de w a t e r t o n g op h e t

t a l u d op een bepaald t i j d s t i p .

Ter p l a a t s e van opnemer h i s geen d e e l t j e s s n e l h e i d bekend omdat daar het t > v

1 t a l u d droog s t a a t , De waarde van r r r " - i s g e l i j k aan de h e l l i n g van de l i j n

O A

e 0 di e we a a n t r e f f e n i n h e t g e b i e d t u s s e n de 1 en de 2 opnemer. De waarde

r> Vo van wordt bepaald a l s het gemiddelde van de h e l l i n g e n l i n k s en r e c h t s

bx t5V- van opnemer 2, Do waarde van ~ — w o r d t g e l i j k g e s t e l d aan de h e l l i n g , d i e

e ^^e

i n h o t g e b i e d t u s s e n de 2 en 3 opnemer voor de l i j n v/ordt gevonden.

U i t het voorgaande b l i j k t hoe en ™ worden bepaald i n de s i t u a t i e d i e

i n de f i g u r e n 5 en 6 wordt gegeven. Op sommige t i j d s t i p p e n b e v i n d t h e t

g o l f f r o n t z i c h op het t a l u d , dan l i g t de zaak i e t s g e c o m p l i c e e r d e r

( z i e f i g , 7 ) ,

4.

^ TTTTTT

M M

F i g , 7» Bepalen van ~ en ~ i n d i e n het g o l f ¬

f r o n t z i c h op h e t t a l u d b e v i n d t ,

•11

De V/aarden van ~ kunnen t e r p l a a t s e van de opnemers 2 , 3 en h op de

beschreven w i j z e worden b e p a a l d . De " wordt g e l i j k g e s t e l d aan de

h e l l i n g d i e t e r p l a a t s e van de 1 ^ opnemer wordt gevonden. I n d i t ge

v a l met het g o l f f r o n t t u s s e n de l * ' en 2 ® opnemer i s deze waarde van

-hl „cl t w i j f e l a c h t i g . Voor het bepalen van ~— g e l d t i e t s s o o r t g e l i j k e , b x b X

De waarden van t e r p l a a t s e van de opnemers en h kunnen worden b x b v - ] b V 2

bepaald op de reeds beschreven w i j z e . Voor de waarden van ™ ™ en -g:^

l i g t d i t m o e i l i j k e r . Men kan z i c h het s n e l h e i d s v e r l o o p i n het g e b i e d

t u s s e n de 1® en 2^ opnemer d i s c o n t i n u v o o r s t e l l e n ( s t r e e p l i j n ) o f a l s

een r e c h t e l i i n t u s s e n v^ en v. (streop»stip-lijn) o f a l s de één o f 1 2 •DV'l

andere tussenvorm. Over de waarde van — — i s i n d i t g e v a l n a u w e l i j k s bVo

i e t s z i n n i g s t e zeggen. Voor — — kan men aannemen dat h i j g e l i j k i s

aan de h e l l i n g van de l i j n t u s s e n de 2 en 3 ' opnemer. Voor zover men

voor de a f g e l e i d e n i n de b u u r t van het g o l f f r o n t nog e n i g s z i n s z i n n i g e

waarden kan opgeven worden de termen van de v e r g e l i j k i n g e n berekend,

e c h t e r v o o r z i e n van een v r a a g t e k e n . I s er helemaal n i e t s van t e zeggen, b Vi

z o a l s b.v, i n f i g . 7 omtrent r — dan worden de termen i n het gehe e l

n i e t berekend.

Men v i n d t op b i j l a g e 1 de berekende termen voor p r o e f h b i j t a l u d

1 : 3 . Ze worden gegeven voor de opeenvolgende t i j d s t i p p e n b i n n e n één

g o l f p e r i o d e met o n d e r l i n g e t i j d s i n t e r v a l l e n van 0,1 sec t e r p l a a t s e

van de 1*^, 2 ® en 3 * ^ opnemer op het t a l u d . I n een e n k e l g e v a l z i e t men

een v r a a g t e k e n a c h t e r de termen g e p l a a t s t , ' men h e e f t dan t e maken met

een t w i j f e l a c h t i g e a f g e l e i d e van of ~ ( z i e h i e r b o v e n ) . B i j de 2 en

3^ opnemer z i j n i n g r o t e d e l e n van de p e r i o d e geen termen berekend, d i t

h e e f t twee oorzaken: o f men h e e f t t e maken met a f g e l e i d e n -~ d i e n i e t

kunnen worden bepaald ( z i e h i e r b o v e n ) o f er s t a a t geen wa t e r op h e t

t a l u d t e r p l a a t s e van de opnemer i n de b e t r e f f e n d e fase van de p e r i o d e .

L i n k s op de b i j l a g e z i e t men de d r i e termen van de massabalans ( c o n t i

nuïteitsvergelijking) met hun som. De som van de d r i e termen moet O

z i j n , i n a l l e g e v a l l e n worden van O a f w i j k e n d e waarden gevonden.

Rechts op deze b i j l a g e ' v i n d t men de termen van de i m p u l s i e b a l a n s ( b e

w e g i n g s v e r g e l i j k i n g ) . De som van de termen u i t het l i n k e r l i d van v e r

g e l i j k i n g ( 3 , 2 ) , d i e men ook op de b i j l a g e v i n d t , l e v e r t de w r i j v i n g s

term op. Het b l i j k t dat geen enkele term v e r w a a r l o o s b a a r k l e i n i s t>v

t . o . v . de o v e r i g e termen. De b e l a n g r i j k s t e termen b l i j k e n t e z i j n ~

en g sinoc. Op b a s i s van de gevonden waarden van de w r i j v i n g s t e r m kunnen

waarden voor f = worden berekend. Men z i e t dat e r i n bepaalde g e v a l -

- 1 2 -

l e n n e g a t i e v e waarden voor f worden gevonden, d i t b e t e k e n t dat de

w r i j v i n g s k r a c h t i n de r i c h t i n g van de waterbeweging w e r k t , hetgeen

f y s i s c h o n m o g e l i j k is„ V o o r t s b l i j k t dat do f-waarden met het goede

t e k e n e r g g r o o t z i j n , men verwacht waarden van f t e v i n d e n i n de

orde van 0 , 0 0 1 , De meeste berekende waarden z i j n e c h t e r g r o t e r , boven

d i e n v e r t o n e n ze een zeer g r o t e s p r e i d i n g .

Op b i j l a g e 2 v i n d t men de berekende termen voor p r o e f h b i j t a l u d

1 : 7 , H i e r v o o r g e l d t h e t z e l f d e a l s i s opgemerkt b i j de b i j l a g e 1 ,

3 , 2 Tweede b e r e k e n i n g s w i j z e

De r e s u l t a t e n van de e e r s t e b e r e k e n i n g s w i j z e , w a a r b i j de termen

• van de l a n g e - g o l f v e r g e l i j k i n g e n i n de punten t . p . v , de opnemers worden

be p a a l d , z i j n zeker t e n a a n z i e n van de r o l van de w r i j v i n g s t e r r a n i e t

•bevredigend. Het bepalen van de differentiaalquotiënten d i e i n de t e r

men voorkomen, i s h i e r b i j e c h t e r een v r i j g e v o e l i g e zaak.

Daarom wordt h i e r een tweede b e r e k e n i n g s w i j z e g e h a n t e e r d , I n p l a a t s

van met de l a n g e - g o l f v e r g e l i j k i n g e n ( z i e v e r g e l i j k i n g ( 3 . 1 ) en ( 3 . 2 ) )

t e werken d i e g e l d e n voor een o n e i n d i g k l e i n g e b i e d j e , wordt gewerkt

met de behoudswetten van massa en i m p u l s i e voor een ge b i e d van e i n d i g e

a f m e t i n g e n . I n wezen l e v e r t d i t geen andere v e r g e l i j k i n g e n op, ze g e l

den e c h t e r ' voor een g r o t e r g e b i e d . Werken met deze v e r g e l i j k i n g e n h e e f t

het v o o r d e e l dat de termen nauwkeuriger kunnen worden b e p a a l d , d i t g e e f t ,

hoop op b e t e r e r e s u l t a t e n .

Beschouwd w o r d t een b r e e d t e - e e n h e i d van hot ge b i e d t u s s e n dea

2 ° en 3 " opnemer op het t a l u d . Voor d i t g e b i e d worden de massa- en

i m p u l s i e b a l a n s a f g e l e i d ( z i e f i g . 8 ) . D a a r b i j wordt aangenomen d a t '

de w a t e r l a a g d i k t e en de g r o o t t e van de d e e l t j e s s n e l h e i d t u s s e n de be i d e

opnemers l i n e a i r v e r l o p e n .

F i g . 8 . Gebied waarvoor massa-' en i m p u l s i e b a l a n s worden a f g e l e i d .

I n p r i n c i p e kan men deze massa- en i m p u l s i e b a l a n s voor i e d e r w i l l e k e u r i g g e b i e d op het t a l u d a f l e i d e n , de termen van de balansen worden e c h t e r berekend voor d i t g e b i e d t u s s e n de 2 ^ en 3^ opnemer, van daar deze keuze b i j de a f l e i d i n g .

- 1 3 -

A l l e r e e r s t de massabalans.

bedraagt ^/^(^'2

houd van het g e b i e d 1/o ( h ^ +

Do massainhoud op het t i j d s t i p t ~ At

1 . Op hot t i j d s t i p t + At iö de massain-

I n de v e r s t r e k e n t i j d i s

2 A t . Men v i n d t ^ \ . . A t

i n g e s t r o o m d /oq^ 2At en u i t g e s t r o o m d i s er /Oq.

a l d u s de massabalans:

^ 2At pcu 2 At ( 3 . 5 )

V/ordt a l s gemiddelde v / a t e r l a a g d i k t e over het g e b i e d i n g e v o e r d

h = ^ ' ( ^ 2 ^ ^ 3 ^ v/ordt v e r d e r geschreven:

'\t-At " N-.-At ^ öh 2At b t

. ( 3 . 6 )

dan kan de massabalans na u i t w e r k i n g worden geschreven a l s :

^ 1 - f .- O ^ 3 9 3 O & . . ( 3 . 7 )

Vervolgens z a l de i m p u l s i e b a l a n s voor het gebied v/orden a f g e l e i d .

Daartoe z a l a l l e r e e r s t een u i t d r u k k i n g voor de i m p u l s i e i n h o u d van h e t

gebied t u s s e n de beide opnemers voorden a f g e l e i d . Aangenomen wox'dt dat

de v / a t e r l a a g d i k t e en de g r o o t t e vnn de d e e l t j e s s n e l h e i d l i n e a i r v e r

l o p e n t u s s e n de beide opnemers. A l s gemiddelde v / a t e r l a a g d i k t e i s

reeds i n g e v o e r d h = -j ( h ^ -i- h ^ ) , a l s gemiddelde d e e l t j e s s n e l h e i d

wordt i n g e v o e r d v y ( v ^ + v.^) . De i m p u l s i e i n h o u d over het g e b i e d

18 nu ( z i e f i g . 9)

7 ll-

F i g . 9 « L i n e a i r v e r l o o p w a t e r d i k t e en g r o o t t e van

d e a l t j e o s n e l h e i d over h e t g e b i e d .

l l

p h dx V .a 9 13 9 9 . , ( 3 . 8 )

4 1

hiei-'in kunnen worden i n g e v o e r d voor h en v a l s f u n k t i e van x :

- h. h ( x ) - h + x

v ( x ' ) - V + - i y ^

( 3 . 9 )

, ( 3 . 1 0 ) 0 « O * O

Oplossen van de i n t e g r a a l l e v e r t voor de i m p u l s i e i n h o u d van het gebied:

I h "v + ( h ^ - h^) ( v ^ - v.^) ( 3 . 1 1 )

Met deze u i t d r u k k i n g kan nu de i m p u l s i e b a l a n s worden o p g e s t e l d . De

i m p u l s i e i n h o u d van het gebied op t i j d s t i p t - A t bedraagt

( h i e r i n i s I k o r t s c h r i f t voor de u i t d r u k k i n g i n v e r g e l i j k i n g ( 3 « 1 l ) ) ,

de i m p u l s i e i n h o u d op het t i j d s t i p t + At ie I ^ . , ^ ^ - I " v e r s t r e k e n

t i j d i s er aan i m p u l s i e i n g e v o e r d /oq^^2At V-,^®" u i t g e v o e r d

p q , 2At V, .De u i t w e n d i g e k r a c h t e n , d i t z i j n de w r i j v i n g s k r a c h t , d© ' 3 t

h y d i ' o s t a t i s c h e k r a c h t e n aan beide z i j d e n en de z w a a r t e k r a c h t , l e v e r e n

i n het t i j d s v e r l o o p van 2At aan i m p u l s i e :

( T l + ^/ogh^cosoc -^/3gh^cosc<-/>gh 1 sincx) 2At

h i e r i n wordt r p o s i t i e f v e r o n d e r s t e l d i n d i e n h i j i n opwaartse r i c h t i n g

l a n g s het t a l u d op de watermoot w e r k t .

Tezamen l e v e r e n a l deze b i j d r a g e n de i m p u l s i e b a l a n s , deze l u i d t nu:

h V > :^ ^ ( h ^ - h ^ ) ( v ^ - v ^ , ) t4-At

p l h V 4 j ~ { h . ^ - h J ( v , - V . ^ ) t - A t

/oq 2At V - pq 2At v , + t ^ t

(Tl+l^gh^Jcoscx - -j/Dgh coscx- pghl sincx) 2At

Werken we d i t u i t en wordt geschreven:

t-fAt h V f ~ ~ ( h . , - h - ) ( v -v^) h v 4- -.j~(h^^-h..,) ( v -v^.^)

. ( 3 . 1 ? )

t - A t

2At

1

öt

. - h 2 ) ( v -v.,)_

BOO . . ( 3 . 1 3 )

1 5 -

dan v/ordt voor de i m p u l s i e b a l a n s gevonden;

j5 'h V + ~(h.,™h^)(v -v )| p P

c)t 2 ; >

+ gh 1 sinoc - v^q^ + v^q^ = 1 , . . . ( 3 . l ' 0

Voor de v ^ r i j v i n g s k r a c h t kan ( a f g e z i e n van het t e k e n ) v/orden geschreven

r r : p f v ' 2 waardoor het r e c h t e r l i d i n bovenstaande v e r g e l i j k i n g o v e r

gaat i n f 1 v''.

De termen van de beide v e r g e l i j k i n g e n ( 3 - 7 ) en ( 3 . l ' - 0 worden

berekend aan de hand van de r e s u l t a t e n van p r o e f ' f , t a l u d 1 : 7 u i t [ 1 .

voor het gebied tussen de 2 ® en 3^ opnetr.er op het t a l u d . Het v e r l o o p

van de w a t e r d i k t e n , d e b i e t e n en d e e l t j e s s n e l h e d e n t . p ^ v , opnemer

2 en 3 v i n d t men op b i j l a g e 2 3 [ l ] . Het v e r l o o p van h, q en v t e r

p l a a t s e van de beide opnemers wordt a l l e r e e r s t g l a d g e s t r e k e n om t e

voorkomen dat de g r i l l i g h e i d i n het v e r l o o p van deze grootheden

( s p e c i a a l b i j q en v) er de oorzaak van wordt dat de berekende termen

o n j u i s t e g r i l l i g v e r l o p e n d e waarden k r i j g e n . ^ ^ J._( h.--h.,) ( v-, ~v^)

ö h L _ _ J 2 Z^è. 2. ±L.A I n de beide v e r g e l i j k i n g e n komen de termen — en — —

v o o r , deze worden berekend z o a l s aangegeven i n de v e r g e l i j k i n g e n ( 3 . 6 )

en ( 3 . 1 3 ) , Cp b i j l a g e 3 v i n d t men de berekende termen voor de beide

v e r g e l i j k i n g e n . De i m p u l s i e i n h o u d I kan n i e t worden berekend op de

momenten, dat het g o l f f r o n t z i c h t u s s e n de beide opnemers b e v i n d t , d i t

v e r k l a a r t do lege band t u s s e n t ^- 0 . 3 0 en 0 . 8 3 sec, de termen van de

massabalans z i j n i n d i t g e d e e l t e ook n i e t berekend.

L i n k s op de b i j l a g e v i n d t men de massabalans, op een g r o o t a a n t a l t i j d

s t i p p e n k l o p t deze r e d e l i j k . Rechts op de b i j l a g e v i n d t men de i m p u l -

s i e b a l a n s . De som van de termen van het l i n k e r l i d van de v e r g e l i j k i n g ,

d i e men boven de t a b e l a a n t r e f t , l e v e r t de w r i j v i n g s t e r m . H i e r u i t kan

de waarde van f worden berekend. Men z i e t dat i n een a a n t a l g e v a l l e n

het teken van f f o u t i s , d.w.z. dat de w r i j v i n g s k r a c h t d e z e l f d e r i c h

t i n g h e e f t a l s de s t r o o m r i c h t i n g , hetgeen f y s i s c h o n m o g e l i j k i s .

De s p r e i d i n g i n de f-waarden met het j u i s t e t e k e n i s e r g g r o o t . I n de

l a a t s t e kolom van de t a b e l i s ook de Chézy-coëfficiënt berekend, men

z i e t dat deze v e e l t e k l e i n e waarden h e e f t (v/e hebben g o l f o p l o o p t e

gen gladde t a l u d s ) .

Geconcludeerd kan worden, dat de b e r e k e n i n g van de termen, zowel

b i j de e e r s t e a l s b i j de tweede b e r e k e n i n g s w i j z e , geen u i t s l u i t s e l

» 1 6

g e e f t omtrent de r o l van de w r i j v i n g s t e r m . M o g e l i j k e oorzaken' h i e r

van kunnen z i j n :

- de r e s u l t a t e n van de metingen z i j n t e onnauwkeurig om h i e r u i t goed

de termen t e kunnen berekenen.

- de v e r g e l i j k i n g e n b e s c h r i j v e n de • v/aterbeweging op h e t t a l u d o n v o l

doende o f o n j u i s t .

- 1 7

A c h t e r e e n v o l g e n s v i n d t men h i e r o n d e r de keuze van het rekenschema,

de a f l e i d i n g van de numerieke v e r g e l i j k i n g e n waarmee de waterbeweging

i n de g o l f t o n g wordt berekend en de b e s c h r i j v i n g van het computerpro

gramma " G o l f o p l o o p 1 " dat de oploop van r e g e l m a t i g e g o l v e n tegen t a

l u d s b e r e k e n t .

Keuze rekenschema en w e r k i n g rekenmodel

B i j de opzet van het rekenschema kan men een keuze maken t u s s e n

de berekeningsmethode met k a r a k t e r i s t i e k e n en de methode w a a r b i j men

g e b r u i k maakt van een d i f f e r e n t i e e c h e m a . Daar het werken met k a r a k t e

r i s t i e k e n , zeker voor een probleem w a a r b i j men t e maken h e e f t met een

oplopend f r o n t , voor de b e r e k e n i n g met een computerprogramma n o g a l

b e w e r k e l i j k i s , wordt gekozen voor de b e r e k e n i n g s w i j z e met een d i f f e r e n

t i eschema.

B i j het rekenen met een • d i f f e r e n t i e s c h e m a h e e f t men opnieuw een

keuze t e maken t u s s e n de m o g e l i j k h e d e n ( z i e l i t t L^J)=

- e x p l i c i e t o f i m p l i c i e t rekenschema,

- één-staps o f meer-staps schema,

- a l o f n i e t i s o l e r e n van het g o l f f r o n t i n de b e r e k e n i n g .

Gekozen w o r d t , met a l s b e l a n g r i j k s t e r e d en h e t rekenschema zo eenvoudig

m o g e l i j k t e houden, voor een e x p l i c i e t één-staps-schema zonder i s o l a t i e

van het g o l f f r o n t . Vanwege de keuze, het g o l f f r o n t n i e t t e i s o l e r e n i n

h^r-^nVi-i kkpn d i e zowel de

vorm en de beweging van g o l f f r o n t a l s de waterbeweging i n de gebieden

t e r w e e r s z i j d e n van het f r o n t b e s c h r i j v e n . B i j b e n a d e r i n g wordt h i e r

aan voldaan door de n i e t - l i n e a i r e l a n g e - g o l f v e r g e l i j k i n g e n , waaraan

d i f f u s i e - a c h t i g e tei^men worden toegevoegd, V/e spreken dan van een

"één-staps e x p l i c i e t d i f f u s i e - s c h e m a " .

Het rekenmodel b e r e k e n t b i j gegeven b e g i n - en randvoorwaarden de

waterbeweging op het t a l u d , I n een re e k s van d i s c r e t e punten op onder

l i n g e a f s t a n d Ax l a n g s het t a l u d ( z i e f i g . 1 0 ) worden de w a t e r l a a g d i k t e

h, de d e e l t j e s s n e l h e i d v en het d e b i e t q = h v berekend voor de opeen

volgende t i j d s t i p p e n met een i n t e r v a l A t .

A l s beginvoorwaarden moeten i n a l l e d i s c r e t e punten op het t a l u d be

kend z i j n de w a t e r l a a g d i k t e h en de d e e l t j e s s n e l h e i d v op het t i j d

s t i p t = O. Het model h e e f t twee randvoorwaarden ( z i e f i g , 1 0 ) .

1 8

Ro.nJi'oori'Jaardt. tpV X-O ^eefo/en t/er/oop Van di ivatlrdikU

Uttiïrite. WaUrL-ijo - ö.

F i g . 1 0 . Rekenmodel G o l f o p l o o p met randvoorwaarden.

De e e r s t e randvoorwaarde l i g t t . p . v . x := 0 , daar moet bekend z i j n

het v e r l o o p van de w a t e r d i k t e of de d e e l t j e s s n e l h e i d a l s f u n k t i e van

de fase t/T ( h e t model b e s c h r i j f t de oploop van r e g e l m a t i g e g o l v e n ,

de randvoorwaarde i s dus p e r i o d i e k met de g o l f p e r i o d e T ) . I n het h i e r

beschreven model wordt de w a t e r l a a g d i k t e h a l s f u n k t i e van de fase

t/T a l s randvoorwaarde gegeven. De tweeds randvoorwaarde wordt gege

ven door het f e i t d at t e r p l a a t s e van de u i t e r s t e w a t e r t i p op het

t a l u d g e l d t h - O. Ter p l a a t s e van deze w a t e r t i p wordt een marker M

gedacht, deze s c h u i f t i n de t i j d l a n g s het t a l u d op en neer en wordt

ook t u s s e n de d i s c r e t e p l a a t s e n op het t a l u d gezet ( z i e f i g . 1 0 ) .

Het schema v o l g e n s hetv/elk de v/aai-den van h en v m de w a t e r

t o n g op het t a l u d worden berekend, v i n d t men i n f i g . 1 1 .

D i t schema v e r e i s t nog wel de nodige t o e l i c h t i n g . Berekend worden

h ( x , t ) en v ( x , t ) , h i e r i n nemen x en t de waardon van gehele g e t a l

l e n ( i n t e g e r s ) aan. Zo wordt het t i j d s t i p 3At aangeduid met t = 3 ,

de p l a a t s op het t a l u d op een a f s t a n d van 5Ax van de o o r s p r o n g wordt

met x - 5 aangegeven.

Begonnen wordt met de bekende beginvoorwaarden, h en v z i j n op het

t i j d s t i p t = O i n a l l e d i s c r e t e punten op, hot t a l u d bekend. Verder i s

ook de p l a a t s van de marker M en de s n e l h e i d van de w a t e r t i p op d i t

b e g i n t i j d s t i p bekend. De marker M s t a a t i n h e t algemeen op een p l a a t s

op het t a l u d t u s s e n d i s c r e t e punten i n . Het d i s c r e t e punt d i r e k t onder

M wordt R genoemd ( z i e i n z e t i n de l i n k e r bovenhoek van f i g . 1 1 ) , •)

M en R z i j n p l a a t s e n op h e t t a l u d u i t g e d r u k t i n Ax.

» 19

ct\ pi^tih Lf*.'/- x^o <

(•zie. oi^dxr '^•l)

LerektMinC] -fl Our

in l>Unh t.j>.i/. JTi/? '

V It, h&t ^

(zia onc/or ij.^)

plaats >-<" = 'V;

hereka.)! i/(o,t)

i u . t )

X:^ X-t

_.. ^ ,

^ ^ lereJlcn : -A (^lO

\

X.-» X-/

•

\/a,t)

F i g . 1 1 , Rekenschema G o l f o p l o o p 1»

- 2 0 -

We v o l g e n het schema, t wordt g e l i j k aan 1 gemaakt en men komt i n de

t - l u s . I n deze l u s worden de g o l f t o n g e n v o o r opeenvolgende t i j d s t i p p e n

berekend van t = 1 t o t t = t , H i e r b i j i s t een opgegeven waarde max ^ max

voor het t i j d s t i p t waarop het rekenpro c e s moet worden beëindigd. B i j

de b e r e k e n i n g van de g o l f t o n g s t a r t e n we i n het j j u n t x = O, De w a t e r

l a a g d i k t e i s i n d i t punt bekend a l s randvoorwaarde, de d e e l t j e s s n e l

h e i d i n d i t punt wordt berekend.

Vervolgens wordt x e 1 gemaakt, we komen i n de x - l u s , I n deze l u s worden

de w a t e r l a a g d i k t e n en de d e e l t j e s s n e l h e d e n berekend voor de punten

X - 1 t o t X - R - 1 . Het i s m o g e l i j k dat t i j d e n s de b e r e k e n i n g i n deze l u s

b i j een bepaalde waarde van x < R - 1 een w a t e r l a a g d i k t e h wordt berekend,

d i e n e g a t i e f i s . D i t b e t e k e n t dat de w a t e r t o n g z i c h op h e t t a l u d t e r u g

t r e k t , de waarde van x wordt met 1 v e r m i n d e r d en de b e r e k e n i n g wordt

dan v o o r t g e z e t b i j de l a b e l EXTRAPOL,

I n h e t g e v a l dat er t i j d e n s do b e r e k e n i n g van h en v i n do x - l u s geen

n e g a t i e v e w a t e r l a a g d i k t e n worden berekend, wordt de b e r e k e n i n g b i n n e n

de l u s a f g e b r o k e n i n d i e n x = R i s geworden^ De b e r e k e n i n g van h en v

i n punt R ge b e u r t op een e n i g s z i n s a f w i j k e n d e w i j z e . Ook h i e r b i j moet

na de b e r e k e n i n g van de w a t e r l a a g d i k t e worden gekeken o f h n i e t n e g a t i e f

i s . I n d i e n d i t zo i s dan wordt de waarde van x met 1 v e r l a a g d , er wordt

een s t a p t e r u g gedaan,

We z i j n nu i n h e t schema aangeland b i j de l a b e l EXTRAPOL, x h e e f t b i j

het passeren van deze l a b e l een bepaalde waarde, d i e v/s XE noemen.

Op doze p l a a t s i n het schema wordt h et bovenste g e d e e l t e van de g o l f

t o n g berekend. A l l e r e e r s t wordt de nieuwe p l a a t s van de marker M be

re k e n d , daarna worden de w a t e r d i k t e n en d e e l t j e s s n e l h e d e n berekend i n

de d i s c r e t e punten d i e l i g g e n t u s s e n XE en M.

Na v o l t o o i i n g van de b e r e k e n i n g van de w a t e r t o n g wordt gekeken o f t - '^fj,ar'' ' ^ n i e t h e t g e v a l i s , wordt de t o n g op h e t volgende

t i j d s t i p berekend, I s t = t dan wordt da b e r e k e n i n g beëindigd,

I n f i g . 11 z i e t men aan de l i n k e r k a n t aangegeven wat i n i e d e r van

de g e d e e l t e n wordt berekend, tevens waar de o n d e r d e l e n van het schema

v e r d e r z i j n u i t g e w e r k t (onder 'f,2 t/m ^,5) •

k„2 Numerieke v e r g e l i j k i n g e n _ a l g e t n e e n _ g u n t

De v e r g e l i j k i n g e n d i e de waterbeweging op het t a l u d b e s c h r i j v e n ,

met u i t z o n d e r i n g van h e t g e b i e d van het g o l f f r o n t , v i n d t men i n dimen

s i e l o z e vorm a l s ( 2 , 6 ) en ( 2 , 7 ) •

2 1 « •

Viordt d a a r i n i n g e v o e r d :

- s i n DC = O « ® O

. . (»l-.2)

en worden i n het vervolg__van d i t v e r f i l a g _ v o o r _ _ d e _ d i r n e n s i e l ^

heden de accenten weggelaten, dan kunnen de be i d e v e r g e l i j k i n g e n

worden geschreven a l s :

ö(hv) bh -r = O „ . . . .

bx b t

PJ. + ( i v ^ + h c o s o c ) = 0 ^ + 0 •öt bx G w

Q 3 9 . . . , i k . 3 )

Deze beide v e r g e l i j k i n g e n kunnen worden omgezet i n d i f f e r e n t i e v e r

g e l i j k i n g e n door op de volgende v f i j z e de partiële d i f f e r e n t i a a l

quotiënten door differentiequotiënten t e vervangen ( z i e f i g . 1 2 ) :

r 1 1 1 aé ! 1 ' 1 1

t ' L

1 1 ' 1 1 1

1 1 1

e. Constant

F i g . 12. Rooster van d i s c r e t e punten i n het x - t ~ v l a k .

i k + 1

2ax 9 9 Q »

At . . . . ( ' + . 6 )

w a a r i n \// een w i l l e k e u r i g e c o n t i n u e f u n k t i e van x en t s y m b o l i s e e r t ,

h i e r v o o r kan bv. worden gelezen hv, h, v enz. De i n d e x k h e e f t be

t r e k k i n g op de p l a a t s x, de j h e e f t b e t r e k k i n g op de t i j d t .

Z e t t e n v/e de be i d e v e r g e l i j k i n g e n (^4,3) en op deze wijz© om

i n d i f f e r e n t i e v e r g e l i j k i n g e n dan v i n d o n v/e:

v^

2AX

h' v" h

At r= O

-1 c o s c x . !

2AX

I n b e i de v e r g e l i j k i n g e n kunnen hjj"*''^ en V j ^ ^ ' ^ \ de w a t e r l a a g d i k t e en de

d e e l t j e s s n e l h e i d op een volgend t i j d s t i p , e x p l i c i e t worden geschreven,

We vin d e n dan:

h-l + l _ + - ( h ^ v^ \ ~ \ ^ 2 ^ k-1 ^ k - - l

h^ v"J ) . . . . ( ^ . 9 )

k k 2

+ 0QAt + A t . . ,(Û10)

v/aarin A= M,*) Worden deze beide d i f f e r e n t i e v e r g e l i j k i n g e n g e b r u i k t , 'Ax r 1 r T

dan b l i j k t het rekenpr o c e s i n s t a b i e l te z i j n , z i e [ 6 J en [ 7 ] • Deze

i n s t a b i l i t e i t kan worden voorkomen door voor h;| en v^ r e s p , t e s c h r i j v e n

h, . 4- (h?, , ^ h?.. J O @ « O 3 . . . . . . ( 4 , 1 1 )

,(Û12)

Aldus v i n d e n we de volgende d i f f e r e n t i e v e r g e l i j k i n g e n , d i e wel een s t a

b i e l r e k e n p r o c e s l e v e r e n ( b i j de j u i s t e keuze van A ) :

. . .('u13)

k = 1 ( v

k-1 ( I v^-fh c o B o < : ) j ^ _ ^ « ( 1 v^ + h coscx)

4- 0Ât ^ (0,_^)j^ A t

. ( t u l ' i )

At en Ax z i j n boide d i r a e n s i e l o o s , A dus eveneens.

23 «

Door het i n v o e r e n van de b e t r e k k i n g e n en (4o12) met het oog

op de s t a b i l i t e i t van het r e k e n p r o c e s , komen de beide bovenstaande

d i f f e r e n t i e v e r g e l i j k i n g e n n i e t meer overeen met de beide vergelijkin»

gen ^+,3) en C - i J f ) , Ze b l i j k e n de d i f f e r e n t i e v e r g e l i j k i n g e n t e z i j n

van de beide onderstaande partiële d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g e n :

ïiilYl ^ öh ^ U x f ^ i ± , ( ' i , 1 5 ) ÖX bt 2At ^y^2

Het v e r s c h i l met de beide v e r g e l i j k i n g e n ('4,3) en (hA) wordt gevormd 2 2 2 2

door de d i f f u s i e - a c h t i g e termen -S^l- en , De v e r g e l i j k

k i n g e n { h . l 3 ) en ( ' u l 6 ) b e s c h r i j v e n de waterbeweging op het t a l u d i n

c l u s i e f het g o l f f r o n t . Voor de n e t t e gebieden waarvoor de l a n g e - g o l f

v e r g e l i j k i n g e n gelden z i j n ^ en g v r i j w e l g e l i j k aan n u l , de beide

d i f f u s i e - a c h t i g e termen komefi pas " i n a c t i e " t e r p l a a t s e van het g o l f

f r o n t , waar de kromming aan het w a t e r o p p e r v l a k a a n z i e n l i j k i s en waar

ook de term — d u i d e l i j k van n u l z a l v e r s c h i l l e n .

Voor de weerstandsterm i n v e r g e l i j k i n g (4,1'4) wordt geschreven:

I s X i i . - ^ At = - W v?'-'' A t , . . . , ,(4,17)

k k

wa a r i n de f a k t o r f g e l i j k i s aan ~\ ; C i s de coëfficiënt van Chézy c

di e vvordt berekend a l s ;

6.1(hf .4 h f ^ ^ ) 3(h,^ -4 h . f ) ^ C . 18 l o g ^ - ^ - ^ i s ^ ^ J ? - ^ ^ ^ . 7«3 m , . . ,('4,18)

a

wa a r i n a een maat voor de r u w h e i d van het t a l u d i s .

De weerstand d i e men op deze w i j z e i n v o e r t g e l d t ongeveer halverwege

t i j d s t i p t . en t . ^ ^ . Men voorkomt met deze f o r m u l e r i n g van de weer¬

s t a n d s t e r m dat het t e k e n van de s n e l h e i d zou omslaan t . g . v , de v/eer-

s t a n d s t e r m a l l e e n , \'le z u l l e n d i t t o e l i c h t e n . Beschouwen we de d e e l

t j e s s n e l h e i d op een bepaalde v a s t e p l a a t s ; het d e e l van de s n e l h e i d s

v e r a n d e r i n g dat voor r e k e n i n g komt van de weerstandsterm wordt i n

onderstaande v e r g e l i j k i n g u i t g e d r u k t ( d i t i s een g e d e e l t e van v e r g e l i j ¬

k i n g (hA) ):

L I - w , (4,19) •öt " w

2h

N u m e r i e k ' u i t s c h r i j v e n , w a a r b i j (4,17) wordt i n g e v o e r d , l e v e r t :

& « 0 & (, a 3 9 ö t. m & O & is \ r & c^^J /

vJ^'' - vf k k

At W vi

e f v/e 1 :

(1 + W A t ) = vp , (4.21)

w a a r i n W p o s i t i e f i s ( z i e v e r g e l i j k i n g ( 4 , 1 7 ) ) , Men z i e t dat vj^'' '

tuss e n de waarde van v ^ en O I n l i g t , hetgeen met de w e r k e l i j k h e i d o v e r

eenstemt ,

I n d i e n men e c h t e r een weerstandsterm zou i n v o e r e n van de vorm:

v, k ia ),^ At - - f ^-•^^-^ At = - W v.*; At

V/ k h k & & O a & & 9 , (4.22)

dan zou men op d e z e l f d e w i j z e v i n d e n :

v^^'^ ( 1 - W'At) v j j & €• O (4,23)

h i e r i n i s l / ' p o s i t i e f , h e t i s e c h t e r m o g e l i j k dat V/'At>1, wat zou be

tekenen dat met de op deze w i j z e g e f o r m u l e e r d e weerstandsterm de s n e l

h e i d zou omslaan a l s g e v o l g van de weerstandstei'm a l l e e n , hetgeen fj-

s i s c h o n m o g e l i j k i s .

Wordt de weerstandsterm van v e r g e l i j k i n g (4.17) i n ( 4 . l 4 ) i n g e v o e r d

dan gaat deze v e r g e l i j k i n g over i n ;

^•'-''(l+WAt) = Uvi .,-fvJ. J -I- -k k--1 k+1

( I v ^ + h ooscx.)jJ__^ -(-^-v^+h c o s c x . ) ^

k+1

+ At s « 4 . (4.24)

E i s voor de s t a b i l i t e i t • v a n het rekenschema i s de Courant c o n d i t i e

( z i e [ 7 ] ) :

At > V -1- \ h c o s o i g O 9 (4.25)

deze e i s g e l d t voor a l l o punten op het t a l u d . B l i j k b a a r moet de v e r

houding t u s s e n Ax en At zo worden gekozen dcut ~ g r o t e r i s dan de

s n e l h e i d v/aarmee een v e r s t o r i n g z i c h i n de w a t e r l a a g op het t a l u d v o o r t

p l a n t .

25 -

5 Numerieke ve r g e l i j _ k i n g e n ^ _ p u n t _ _ t , p , v

B i j de randvoorwaarde t , p , v , x = O i s de w a t e r l a a g d i k t e h a l s

f u n k t i e van de fase gegeven ( z i e f i g . 1 0 ) , Do d e e l t j e s s n e l h e i d t e r

p l a a t s e moet e c h t e r worden berekend. Bekend z i j n d a a r b i j ( z i e f i g . 1 3 )

de w a t e r l a a g d i k t e h en de d a e l t j e s s n e l h e i d v op het t i j d s t i p t ^ op de

p l a a t s e n x en en de w a t e r l a a g d i k t e h op de p l a a t s x op het t i j d -^ O 1 " s t i p t . ^ ^ .

ij., k T — -

Al

ti f 1

A * i

P i g . 1 3 . Berekening d e e l t j e s s n e l h e i d t . p . v . x - O,

Er kan geen g e b r u i k worden gemaakt van v e r g e l i j k i n g (4.24) d i e onder

4,2 voor de b e r e k e n i n g van de d e e l t j e s s n e l h e i d i n een algemeen punt

i s a f g e l e i d . Voor do b e r e k e n i n g van de d e e l t j e s s n e l h e i d t . p . v . x = O

wordt g e b r u i k gemaakt van de v o o r w a a r t s e en a c h t e r w a a r t s e k a r a k t e r i s

t i e k e v e r g e l i j k i n g e n ( z i e [ 6 ] ) d i e z i j n gegeven i n v e r g e l i j k i n g (2«8).

Om nu de s n e l h e i d t e r p l a a t s e van x^ op het t i j d s t i p t^. _ ^ ^ t e berekenen

u i t de bekende snelheden en w a t e r d i k t e n op het voorafgaande t i j d s t i p

t . op de p l a a t s e n x en x,| wordt de a c h t e r w a a r t s e k a r a k t e r i s t i e k e v e r ¬

g e l i j k i n g g e b r u i k t :

tjv .,. (v-Vhcosoc)^J -bh b t

r \ bh

bx = ^ w

Deze v e r g e l i j k i n g wordt i n d i f f e r e n t i e - v o r m g e b r a c h t :

h^ v'i-'-''-vj

^ T t - ^ - . ( v ^ . h^ coscx)

v:J-v*^ _J__o Ax

cosoc

h c O s o )

O At

+ (0 ) G ^ w

0 0 9 (4,27)

Voor de weerstandsterm i n deze v e r g e l i j k i n g kan worden geschreven

( z i e u i t d r u k k i n g ( 4 . 1 7 ) ) :

(0 ) ^ w O

- f vJ v^-^^

KhJ+h^-*-'') O O

( 4 , 2 8 )

Voeren we d i t i n v e r g e l i j k i n g (4„27) i n en werken we deze v e r d e r u i t 14-1

dan wordt voor v^ gevonden:

v - '' (i-4WAt) . v^i \/.£iifï ( h f ' - h ^ )

- A ( v i { - Wh^ coscx) 1 O 1/ , D 1 O

" l

+ A t . . , (4,29)

Met deze v e r g e l i j k i n g wordt de d e e l t j e s s n e l h e i d t o p , v . x = O berekend»

,4 Numerieke v e r g e l i j k i n g e n t , p , v . x - R

Voor het punt R ( 2 ; i e fig» l 4 ) kunnen de v e r g e l i j k i n g e n d i e onder

4,2 voor een algemeen punt z i j n a f g e l e i d n i e t worden toegepast« I n

het ee.rstvolgende d i s c r e t e punt boven R z i j n n a m e l i j k geen w a t e r l a a g

d i k t e en d e e l t j e s s n e l h e i d bekend, omdat de w a t e r t o n g op het t a l u d n i e t

zover reikt» De waterbeweging i n punt R wordt v/el beschreven door de

beide v e r g e l i j k i n g e n ( 4 . 3 ) en ( 4 . 4 ) , b i j toepassen van deze v e r g e l i j k i n g

en op punt R doet z i c h het probleem voor u i t d r u k k i n g e n t e v i n d e n voor

t) Ö X

het p u n t .

''''' ^ en •— ( 1 v^4- h coscx:) i n de beide d i f f e r e n t i e v e r g e l i j k i n g e n v o o r

F i g , l 4 . B e r e k e n i n g van h en v t , p , v , punt R,

I n p r i n c i p e komt d i t probleem neer op h e t bepalen van

het g e v a l dat ( x ^ - x^) 9 ^ ( x ^ - x^) , z i e f i g , 1 3 ^ x=x,.

d f F i g , 1 5 « Benaderen van de a f g e l e i d e -g™

h X3

J x=x. i n d i e n ( x 2 ~ x ^ )?^(x-j-X2)

Me leggen door de d r i e punten i n f i g . 1 5 een kromme y ( x ) , d i e f ( x )

b e n a d e r t . Deze f u n k t i e y ( x ) v/ordt berekend met behulp van de p o l y

nomen van Lagrange:

y ( x ) - l ^ ( x ) f ^ + l ^ i x ) f., •> l ^ ( x )

v/aarin de polynomen worden bepaald a l s :

X -X, l . ( x ) a O 9 a

k=1 , 3 J k

D i t l e v e r t voor y ( x ) de volgende u i t d r u k k i n g :

? 2

X "-XX -XX -f-X X X -XX^ "XX- + X^X^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ . ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

2

X -XX,,-xx^ + x .x„

( x ^ - x ^ ) ( x ^ - x ^ )

De a f g e l e i d e van deze f u n k t i e y ( x ) i s nu:

d y ( x ) dx

2 x - x ^ -x^ 2 x - X -X

( 4 . 5 0 )

( 4 . 5 1 )

( 4 . 5 2 )

( x ^ ^ ^ ^ l x ^ - x ^ T 5

^ / \

( 4 . 3 3 )

De a f g e l e i d e van de r u n k t i e l A x ; t e r p i a a t s e van x nu.

d f dx"

l x dx

J x-x. x=x.

( x ^ ^ x ^ ^ T T x p o c p " 3

f , . . ( 4 , 3 4 )

V/e passen d i t r e s u l t a a t t o e op het probleem de a f g e l e i d e n naar

X i n het punt R t e v i n d e n . D a a r b i j wordt dan g e s t e l d x^ = ( R - I ) A x ,

^ KAx en x^ ^ M A X ( z i e f i g , l 4 en 1 5 ) . We v i n d e n a l d u s :

d f dx

x=R

M-R r. R + 1 - M .p , 1 , f 11^ v r )

^R - 1 •*• Tr-m ) 'ax ' r T M i R + T K l T r R T A l ^ • • ^

2 8

v/ordt nvi inp;evoerd:

A

2 " R-ÏÏ

" Ü ' I - r - T i T T k - ' r T

> (4.36)

dan wordt voor de a f g e l e i d e van f ( x ) i n punt R b i j b e n a d e r i n g gevonden

d f dx

x=R Ax

& & a O O i k . 3 7 )

Voor de f ( x ) kunnen we l e z e n ( h v ) en (^v"^ + h cosoc). U i t d r u k k i n g (4,37)

kan nu worden g e b r u i k t b i j het a f l e i d e n van de d i f f e r e n t i e v e r g e l i j k i n g e n

voor het punt R,

V e r g e l i j k i n g ( 4 . 3 ) l u i d t , onder g e b r u i k m a k i n g van ( 4 , 3 7 ) , i n d i f f e r e n

t i e - v o r m :

A 1 ^J

A. A. h

^R-1 ^R^i ^ l i < l i < < ' - ^ T t - ^ = ' , (4,38)

H i e r i n i s v^ de s n e l h e i d van de u i t e r s t e w a t e r t i p , h ^ i s de w a t e r d i k t e

t e r p l a a t s e van de u i t e r s t e w a t e r t i p en dus g e l i j k aan O, S c h r i j v e n we

v e r d e r h "'''' e x p l i c i e t dan v i n d e n we de u i t d r u k k i n g :

.1. A h" v^ ' ^ 2 R R

, (4.39)

V e r g e l i j k i n g ( 4 ,4) kan, onder g e b r u i k m a k i n g van ( 4 , 3 7 ) , i n d i f f e r e n t i e -

vorm geschreven worden a l s :

J + 1 J V" - v ^ ^^•1 j ^ 2 . 2

At -^-n^^-^'^ h c o s c x ) ( I v ^ H

A ^ j , j + (-|.v'--i- h COSCX) ^ =: + i 0 j ^

h cosoO R

(4,40)

v;e weten dat h^, - O, v e r d e r i s de weerstandsterm i n deze v e r g e l i j k i n g

g e l i j k aan:

V

(0 )o w R R (4.41)

K h ^ . h - ' )

Invoelden h i e r v a n i n v e r g e l i j k i n g (4„'(-0) en e x p l i c i e t s c h r i j v e n van

,1 + 1 v'j^ l e v e r t dan de u i t d r u k k i n g :

v^'^ ( 1 + V M t ) = v j - A ^ 3 2 J

A (-Iv" + h coscx) „ . •{- A (|v~ + h coscx)

•f 0 , At 9 O , O , A , C u 42)

Keb de beide v e r g e l i j k i n g e n (4,39) on (4,42) kunnen de w a t e r l a a g d i k t e

en de d e e l t j e s s n e l h e i d t . p , v , x = R voor een vo l g e n d t i j d s t i p worden

berekend.

4,5 Numerieke v e r g e l i j k i n g e n voor het bovenste d e e l van de v/atertong

V/e z u l l e n t hans nagaan hoe de waterbeweging i n het bovenste ge

d e e l t e van de w a t e r t o n g op het t a l u d kan worden berekend. Er kunnen

z i c h twee s i t u a t i e s voordoen, de g o l f t o n g l o o p t tegen het t a l u d op

(de marker K v e r p l a a t s t z i c h i n p o s i t i e v e r i c h t i n g ) o f de g o l f t o n g

t r e k t z i c h t e r u g (de marker l o o p t i n n e g a t i e v e r i c h t i n g ) ,

I n beide g e v a l l e n wordt voor het v i n d e n van de p l a a t s van de u i t e r s t e

w a t e r t i p geëxtrapoleerd v a n u i t h et punt XE ( z i e t o e l i c h t i n g op het

rekenschema van f i g , 1 ' t ) , Aan de hand van f i g , l 6 z u l l e n wa de bereke

n i n g van de waterbeweging i n d i t bovenste g e d e e l t e van de w a t e r t o n g op

het t a l u d nader t o e l i c h t e n .

F i g , l 6 . Berekening waterbeweging i n bovenste d e e l van de w a t e r t o n g .

I n f i g . 1 6 i s M'"' de p l a a t s van de u i t e r s t e w a t e r t i p op het t i j d s t i p

t . , M " ^ i s de p l a a t s van de t i p op het volgende t i j d s t i p t , , _ ^ . B i j

het oplopende g o l f f r o n t z a l de p l a a t s van w a a r u i t wordt geëxtrapoleerd

om de marker op het t i j d s t i p t ^ _ ^ ^ t e berekenen XE, overeenkomen met R

( d . i . de p l a a t s van R op het t i j d s t i p t ) , b i j een t e r u g l o p e n d e w a t e r ¬

t o n g z a l punt XE het d i s c r e t e punt z i j n dat d i r e k t l i g t onder de p l a a t s

waar een n e g a t i e v e w a t e r d i k t e i s berekend.

3 0 -

A l l e r e e r s t wordt de p l a a t s van de marker op het opvolgende t i j d

s t i p t berekend, t e v/eten H' ''', Daartoe v/ordt aangenomen dat de

• ' .1 + 1

w a t e r s p i e g e l van de w a t e r t o n g e n boven XE r e c ) i t i s , Toepassen van

de wet von behoud van massa voor het gebied boven XE l e v e r t nu:

1 (M^''''-XE)Ax - i h^g (M^-XE) Ax -

-Kv^ h^ -I- v' -''' h '""'') A t , . , . . Ah A3) XB XE XE XB

H i e r s t a a t dat de toename van de b e r g i n g boven de doorsnede XE tuesen

het t i j d s t i p t . en t,. ^ g e l i j k i s aan de h o e v e e l h e i d d i e i n d i t t i j d s ¬

v e r l o o p door de doorsnede i s i n g e v o e r d .

Werken we deze u i t d r u k k i n g u i t dan wordt gevonden voor de nieuwe p l a a t s

van de marker op het t a l u d :

3„.-, ^"-^-^^^ X E ^ ^ 4 e 4 e ^ ^ X e ' ^ e ' ) ,

' = XE -1- — • -Jl^i^^^^^--;^-.;-™.-—-—-^-.-..™---— , , , , i h , h k )

' XE

Nadat de nieuv/e p l a a t s van de marker i s gevonden moeten de v / a t e r d i k t e n i +1

en d e e l t j e s s n e l h e d e n i n de d i s c r e t e punten t u s s e n XE en M' worden be

re k e n d . Het i e m o g e l i j k dat z i c h tussen het punt XE en K* ^ geen d i s

c r e t e punten bevinden ( z i e f i g , ' 1 6 , r e c h t e r f i g u u r ) , dan v e r v a l t deze

noodzaak, I n het g e v a l van een oplopende w a t e r t o n g z u l l e n i n de r e g e l i + 1

wel één o f meerdere d i s c r e t e punten t u s s e n XE en >r i n l i g g e n ,

ii e i ; vei'xoop van ae wu l ex-w pj.egt; j. uu^oexi <v ü vju n x o i c r k ^ i i i . , i ^ ^ ^ j . c i x ^ ^ i u - . . ^ ,

van de w a t e r d i k t e n i n de t u s s e n l i g g e n d e d i s c r e t e punten i s dus een

v o u d i g ( z i e f i g , 1 7 ) ,

F i g , 1 7 . W a t e r d i k t e n en d e e l t j e s s n e l h e d e n i n het

bovenste d e e l van de w a t e r t o n g .

Deze v e r o n d e r s t e l l i n g i s n i e t n o d i g i n .het g e v a l van de t e r u g l o p e n d e t o n g , over het g e d e e l t e t u s s e n XE en M" b e h o e f t de w a t e r s p i e g e l dan n i e t r e c h t t e z i j n . B i j de a f l e i d i n g d i e ' v o l g t i s d i t t o n o n r e c h t e wel v e r o n d e r s t e l d , de 'invloed h i e r v a n i s w a a r s c h i j n l i j k g e r i n g , het e c h t e r wel nodig dat deze o n j u i s t h e i d wordt g e c o r r i g e e r d i n een v o l gende v e r b e t e r d e v e r s i e van het computerprogramma.

- 3 1 -

De u i t d r u k k i n g voor de w a t e r l a a g d i k t e t e r p l a a t s e van het d i s c r e t e

punt A wordt gegeven doors

h J + ' 'XE

h 'XE

Het berekenen van de d o e l t j e s s n e l h e d e n i n de d i s c r e t e punten t u s s e n

XE en M'"'' i s w e l i e t s g e c o m p l i c e e r d e r . Het probleem i s do d e e l t j e s -

s n e l h e i d i n het d i s c r e t e punt A t e berekenen ( z i e f i g . 1?) op het

t i j d s t i p • t j . j . - i '

H i e r v o o r wordt g e b r u i k gemaakt van de wet van behoud van massa voor

het bovenste d o e l van de w a t e r t o n g op het t i j d s t i p t . .

Voor het gebied ( T ) ( z i e f i g . 1?) g e l d t a l s c o n t i n u i t e i t s v o o r w a a r d e :

. . . . . ('Uit6) XE XE A h b t

1 d., AX ( h ^ ^ h,)

o f w e l i

V j f h i t ? - ^ d AX ( A n A E 1

^hy,, öh

j4-1 . . ( h A 7 )

Voor gebied (u) ( z i e f i g , 1?) kunnen we eveneens een c o n t i n u i t e i t s -

voorwaarde o p s c h r i j v e n :

^ A A

o f w e l , i n d i e n we

noemen:

bt" -J d^ AX h^ 0 0 9 ^ ^ A A S )

b(d,,Ax) V., ( = 5 n e l h e i d van de u i t e r s t e w a t e r t i p ) h

. . (4.49)

Zowel met v e r g e l i j k i n g ( 4 , 4 ? ) a l s met ( 4 . 4 9 ) kan de waarde van v ' '

worden berekend. De beide gevonden waarden z u l l e n i n het algemeen v e r

s c h i l l e n d z i j n . D i t komt omdat de termen i n de r e c h t e r l e d e n worden be

naderd. Om nu een r e d e l i j k e waarde voor v ,' '' t e v i n d e n worden de beide be.

r e k e n i n g s r e e u l t a t e n van ( 4 , 4 ? ) en ( 4 , 4 9 ) eenvoudigweg ge m i d d e l d . Voor

j + 1 de b e r e k e n i n g van deze waarde van v'^' ' wordt dan gevonden: bh

5 1 "TT" + ( d . , - d , ) ^

h j + 1

A

i , . ( 4 , 5 0 )

- 3 2

V o o r t s weten we dat de geëxtrapoleerde w a t e r t o n g t u s s e n XE en M

een r e c h t e w a t e r s p i e g e l h e e f t , d i t b e t e k e n t d a t :

j + 1

h j-M A d^+d^ "XE

. . » ( 4 . 5 1 )

en

bh, bh XE

b t d^+d^ b t (d^+d^)

S , j-M

2 Ax XE ( 4 . 5 2 )

S u b s t i t u t i e van de beide u i t d r u k k i n g e n ( 4 . 5 1 ) en ( 4 . 5 2 ) i n ( 4 . 5 0 ) 6<

l e i d t t e n s l o t t e , t o t de volgende v e r g e l i j k i n g voor v j + 1 .

J + 1 _

d / d ^ - d ^

' ^ + ^ 2 ( d ^ + d 2 ) 2

v j ^ ' ' - 1 .

d 2 ( d . , - d 2 ) bh XE

b t

.3 + 1

( 4 . 5 3 )

Met de be i d e u i t d r u k k i n g e n ( 4 , 4 5 ) en ( 4 . 5 3 ) kunnen de w a t e r l a a g d i k t e n

en d e e l t j e s s n e l h e d e n worden berekend i n a l l e d i s c r e t e punten t u s s e n

XE en M ' ''. >.,v, XE

I n v e r g e l i j k i n g ( 4 , 5 3 ) worden en Vj ^ bepaald a l s :

^ ^ E ^ X e ' - ^ X E

b t A t

T A - I T

= I t —

, . ( 4 . 5 4 )

. . ( 4 , 5 5 )

4 , 6 B e s c h r i j v i n g computergrogramma

Het computerprogramma dat i s gemaakt voor de b e r e k e n i n g van g o l f

oploop wordt " G o l f o p l o o p 1 " ( k o r t w e g G01) genoemd. Het g l o b a l e r e k e n

schema v i n d t men onder 4 , 1 i n f i g , H . Onder 4 , 2 t/m 4 , 5 z i j n de nume

r i e k e v e r g e l i j k i n g e n a f g e l e i d voor de v e r s c h i l l e n d e o n d e r d e l e n van het

schema,

I n h et computerprogramma wordt gerekend met d i m e n s i e l o z e g r o o t h e

den; de t i j d i s d i m e n s i e l o o s gemaakt door t e d e l e n door de g o l f p e r i o d e

T, de snelheden z i j n gedeeld door gT en de len g t e m a t e n z i j n door gT ge

de e l d ( z i e ook onder 2 de v e r g e l i j k i n g e n ( 2 , 5 ) en ( 2 , 1 3 ) ) •

- 3 3

Het stroomdiagram van het computerprogramma v i n d t men op b i j l a g e h„

Op b i j l a g e 5 worden twee procedures u i t het schema gegeven. Het i n ALGOL

geschreven computerprogramma v i n d t men op b i j l a g e 6 . De b e l a n g r i j k s t e

symbolen d i e i n het stroomschema en het computerprogramma worden g e b r u i k t

worden v e r k l a a r d op b i j l a g e 7 - ' .

Aan de hand van het stroomdiagram op b i j l a g e h z a l h e t programma

worden t o e g e l i c h t . H i e r t o e z i j n op de b i j l a g e o m c i r k e l d e c i j f e r s aange

geven waarnaar z a l worden verwezen. Tevens z a l worden verwezen naar de

f o r m u l e s i n de voorafgaande t e k s t , d i t om de programma-onderdelen goed

t e kunnen p l a a t s e n .

Men v i n d t i n het stroomdiagram op b i j l a g e h de s t r u c t u u r t e r u g van

het g l o b a l e rekenschema van f i g , 1 1 , Het stroomdiagram bevat 3 l u s s e n ,

een w e e r s t a n d s - l u s , een x - l u s en een t - l u s . De x - en t - l u s v i n d t men ook

i n f i g , 1 1 , Door de w e e r s t a n d s - l u s i s het m o g e l i j k een bepaalde b e r e k e n i n g

voor een a a n t a l v e r s c h i l l e n d e waarden van de ruwheidsmaat a a c h t e r e l k a a r

u i t t e v o e r e n .

Thans z u l l e n we het schema s t a p voor s t a p v o l g e n , d a a r b i j g e b r u i k makend

van de o m c i r k e l d e c i j f e r s op b i j l a g e 4 ,

- ( 3 ^ en ( 3 9 ) S a m e n s t e l l i n g van de i n v o e r ,

I n h et programma worden a c h t e r e e n v o l g e n s i n g e v o e r d :

PER = g o l f p e r i o d e T.

COTALFA = cotano<:, d . i . de r e c i p r o k e waarde van de t a l u d h e l l i n g .

DELTAX = de o n d e r l i n g e a f s t a n d t u s s e n de d i s c r e t e punten op het

t a l u d A x .

XMAX = t o t a a l a a n t a l d i s c r e t e punten ( u i t g e z o n d e r d het punt

t , p , v , X = 0 ) waarmee het t a l u d b e l e g d i s ,

DELTAT = de t i j d s t a p t u s s e n twee opvolgende t i j d s t i p p e n waarop

de g o l f t o n g wordt berekend A t .

TMAX = t o t a a l a a n t a l t i j d s t a p p e n A t , dat t i j d e n s de b e r e k e n i n g

moet v/orden genomen.

P = a a n t a l t i j d s t i p p e n per g o l f p e r i o d e waarop de g o l f t o n g

moet worden a f g e d r u k t ,

KBEG = p l a a t s van de marker M op het t a l u d op het b e g i n t i j d -

s t i p t = O ( b e g i n v o o r w a a r d e ) .

VMARKBEG = s n e l h e i d van de u i t e r s t e w a t e r t i p (M) op h e t t i j d s t i p

t = O ( b e g i n v o o r w a a r d e ) .

De symbolen i n h e t computerprogramma z i j n u i t s l u i t e n d i n h o o f d l e t t e r s , • •)

De p l a a t s van de w a t e r t i p , d i e h i e r wordt i n g e l e z e n , i s n i e t u i t g e d r u k t i n A x .

- 3 4 -

HBEÜIN [ o : r ] = w a t e r l a a g d i k t e n i n de d i s c r e t e punten op het t a l u d

op het b e g i n t i j d s t i p t = O ( b e g i n v o o r w a a r d e ) ,

VBEGIN [ o : R ] = d e e l t j e s s n e l h e d e n i n de d i s c r e t e punten op h o t t a l u d

op het b e g i n t i j d s t i p , t = O (beg i n v o o r v / a a r d o ) .

HO O:ïPER-1 = a l s p e r i o d i e k e randvoorwaarde t , p , v . x = O gegeven

w a t e r l a a g d i k t e n gedurende a l l e t i j d s t i p p e n ( f a s e n )

van de g o l f p e r i o d e (TPER = a a n t a l t i j d s t a p p e n At per

g o l f p e r i o d e )

PRIMTT [ l : P ] = t i j d s t i p p e n ( f a s e n ) waarop voor i e d e r e g o l f p e r i o d e de

g o l f t o n g e n moeten worden a f g e d r u k t , u i t g e d r u k t i n A t .

Voor h e t l a a t s t e t i j d s t i p u i t de r e e k s moet de waarde

O worden opgegeven, d i t l a a t s t e b e w e r k s t e l l i g t dat de

g o l f t o n g e n op de gehele p e r i o d e n worden a f g e d r u k t .

A = maat voor de ruwheid van het t a l u d .

Ter a f s l u i t i n g van de g e t a l l e n r e e k s wordt het g e t a l 1 opgegeven, men

kan e c h t e r ook het g e t a l O geven g e v o l g d door een nieuwe waarde van A.

De b e r e k e n i n g wordt dan h e r h a a l d voor deze nieuwe A-waarde. D i t kan

men voor een reeks van A-waarden doen ( h i e r t o e d i e n t de w e e r s t a n d s - l u s ) ;

t e n s l o t t e wordt de g e t a l l e n b a n d door het g e t a l 1 a f g e s l o t e n . Er wordt

op gewezen dat de waarden voor DELTAX, DELTAT, F.BEG, VMARKBEG, HBEGIN,

VBEGIN, HO en A i n d i m e n s i e l o z e vorm moeten worden i n g e v o e r d .

(2^ H i e r worden twee grootheden berekend d i e de bovengrenzen v a s t l e g

gen van de a r r a y ' s , d i e onder (k^ worden v e l g e l e z e n .

R i s de p l a a t s van het d i s c r e t e punt d i r e k t onder de marker M op h e t

t a l u d , u i t g e d r u k t i n Ax, op het b e g i n t i j d s t i p t = O,

TPER i s het a a n t a l t i j d s t a p p e n per g o l f p e r i o d e , h i e r b i j i s DELTAT de

door d e l i n g door de g o l f p e r i o d e d i m e n s i e l o o s gemaakte t i j d s t a p A t .

(3^ Berekend worden h i e r een a a n t a l c o n s t a n t e n d i e v e r d e r i n het p r o

gramma v e e l v u l d i g worden g e b r u i k t .

PHIG ( 0 ^ ) i s g e l i j k aan - s i n o c ( z i e ( 4 . 1 ) ) , voor de b e r e k e n i n g van

s i n a wordt g e b r u i k gemaakt van de i n g e l e z e n waarde van cotano < ,

GONST i s g e l i j k aan 1 7- = ^ A .

COS i s de cosoc-term, deze wordt berekend a l s -(-sinoO• cotanoc.

(7^ Ken i s nu de l a b e l NWEERST, d i e het b e g i n van de w e e r s t a n d s l u s

m a r k e e r t , gepasseerd. Aan een a a n t a l g r o o theden worden initiële waar

den gegeven.

„ 3 5 -

SOMINV i s de over a l l e voorgaande t i j d s t a p p e n gesommeerde h o e v e e l

h e i d i n g e v o e r d v/ater door de doorsnede x = 0, deze v/ordt h i e r g e l i j k

aan n u l gemaakt.

TEL i s een t e l g r o o t h e i d d i e wordt g e b r u i k t b i j het v a s t s t e l l e n van

het moment waarop de g o l f t o n g moet worden a f g e d r u k t , deze k r i j g t a l s

beginwaarde 1 .

TPH ( = f a s e ) g e e f t het t i j d s t i p b i n n e n een g o l f p e r i o d e aan u i t g e d r u k t

i n A t . Deze g r o o t h e i d k r i j g t h i e r de waarde O,

De waarde van VMARKBEG (begi n v o o r w a a r d e ) wordt aan VMARK toegekend.

MACT en MOUD k r i j g e n de waarde MBEG/DELTAX, h i e r b i j i s MBEG de p l a a t s

van de marker op het b e g i n t i j d s t i p t = O ( b e g i n v o o r w a a r d e ) . Merk op

dat MACT en MOUD de p l a a t s van de marker weergeven u i t g e d r u k t i n A x .

R i s de p l a a t s van he t d i s c r e t e punt d i r e k t onder de marker M op het

t a l u d , u i t g e d r u k t i n A x . ( D e z e l f d e waarde van R i s ook reeds berekend

onder ( 2 ) , het i s e c h t e r noodzaak dat R i e d e r e keer wanneer de l a b e l

NWEERST wordt gepasseerd, z i j n initiële waarde weer t e r u g k r i j g t ) .

Voor de d i s c r e t e punten O t/m R op het t a l u d worden de b e g i n v o o r

waarden HBEGIN en VBEGIN toegekend aan r e s p . HACT, HOUD en VACT, VOUD.

-(9^ Berekend wordt h i e r de h o e v e e l h e i d geborgen water op het t a l u d boven

de doorsnede x = O op het b e g i n t i j d s t i p t = O, De•berekening van de

h o e v e e l h e i d geborgen water .vin d t p l a a t s i n de procedure BERGING, waar

van men het stroomschema v i n d t op b i j l a g e 5 onderaan. De b e r g i n g wordt

berekend ( z i e f i g . 1 8 )

'O

F i g . 1 8 , B e r e k e n i n g h o e v e e l h e i d geborgen water op het t a l u d ,

met de f o r m u l e :

BERGING

R - 1

i h ( 0 ) + 2 h ( n ) + |h(R) + i h ( R ) ( M - R )

. n = 1

A X . . . . ( 4 . 5 6 )

De procedure BERGING onderaan op b i j l a g e 5 s p r e e k t , i n d i e n men d a a r b i j

de f o r m u l e ( ' + , 5 6 ) voor ogen h o u d t , voor z i c h z e l f .

De waarde d i e voor de b e r g i n g op het b e g i n t i j d s t i p wordt berekend,

wordt toegekend aan BBEG. Tevens wordt de waarde voor de b e r g i n g t o e -

kend aan BACT en BOUD.

- 3 6

en ( 1 2 ) , Men kornt nu i n de t - l u s , h i e r i n v/ordon de g o l f t o n g e n

voor de opvolgende t i j d s t i p p e n berekend. B i j het d o o r l o p e n van de

t i j d l u s wordt t (= de t i j d u i t g e d r u k t i n de t i j d s t a p A t ) i e d e r e keer

met 1 verhoogd.

Naast' h e t a b s o l u t e t i j d s t i p i n de b e r e k e n i n g i s ook van b e l a n g de

fase b i n n e n de g o l f p e r i o d e . Daartoe d i e n t de i d e n t i f i e r T P H . I e d e r e

keer wanneer men de t - l u s éénmaal d o o r l o p e n h e e f t wordt T P H met 1

verhoogd, v e r v o l g e n s wordt gekeken o f T P H g e l i j k i s aan het t o t a a l

a a n t a l t i j d s t a p p e n per g o l f p e r i o d e T P E R . I n d i e n d i t zo i s dan wordt

T P H g e l i j k aan n u l gemaakt, d.w.z. men b e v i n d t z i c h aan het b e g i n van

de volgende g o l f p e r i o d e .

, ( 1 ^ en . Berekenin.i^^ü^un^

De w a t e r l a a g d i k t e t . p . v , x - O HACT [ o ] k r i j g t de waarde H O [ t P H ] , d i t

i s de a l s randvoorwaarde bekende waarde van de w a t e r l a a g d i k t e i n de

b e t r e f f e n d e fase van de g o l f p e r i o d e .

V e r v o l g e n s wordt de d e e l t j e s s n e l h e i d t . p . v . x = O berekend, h i e r v o o r

g e l d t v e r g e l i j k i n g ( ' f , 2 9 ) .

A l v o r e n s op de b e r e k e n i n g van deze d e e l t j e s s n e l h e i d i n t e gaan, d i e n t

op deze p l a a t s a l l e r e e r s t t e worden opgemerkt d a t vanwege de r e k e n e f f i

ciëntie i n het gehele r e k e n p r o c e s g e b r u i k gemaakt wordt van de n o t a t i e

d i e men v i n d t i n f i g . 1 9 .

•f 1 f 1-I I I I

« é é

il

H^ HM HR .

I I I I I I 1 AX. K /»X I

HL = NoudLx-Ü

Ht1= UoudExJ

J

X-/

VL

Vflcrlxl —-^ --r

I 1

VM VR

I I I I

^X_^^X_»^ I I

VL = VoudCx-iJ

V/1= VOUD [xl

VR = VOUD Lx-nl

X-l x+t

F i g , 1 9 , Rekenmoleculen voor de b e r e k e n i n g van HACT en VACT i n

algemeen p u n t .

Voor de b e r e k e n i n g van de w a t e r l a a g d i k t e en de d e e l t j e s s n e l h e i d op een

volg e n d t i j d s t i p i n een algemeen punt g e l d e n de rek e n m o l e c u l e n u i t

f i g . 1 9 , H A C T [ x ] en VACT [ x ] worden berekend u i t HL, HM, H R , VL, VM en

VR,

3 7 -

We hebben h i e r t e maken met de b e r e k e n i n g van VACT[oj, D a a r b i j wordt

ook de genoemde n o t a t i e t o e g e p a s t . Het punt waar V L en H L g e l d e n o n t

b r e e k t h i e r b i j . HK en V K gelden t . p . v . het punt x O en HR en VR

gelden t . p . v . het punt x ^ 1 . B i j @ z i e t men de t o e k e n n i n g van de

waarden aan HM, HR, VM en VR; tev e n s wordt voor \/hOUD [ l ] / C O S a l s k o r t

s c h r i f t WH i n g e v o e r d .

De f o r m u l e voor V A C T [ o ] b i j ( T B ) komt overeen met v e r g e l i j k i n g ( 4 , 2 9 ) .

De waarde van W i n de fo r m u l e wordt berekend i n de procedure d i e men

v i n d t op b i j l a g e 5 bovenaan. Er worden daar twee proc e d u r e s voor W

gegeven. I n de e e r s t e ( T ) wordt a l l e r e e r s t de coëfficiënt van Chêzy

berekend v o l g e n s v e r g e l i j k i n g ( 4 , 1 8 ) , HG komt h i e r i n overeen met

-i ( h ^ + h'^"^''), d , i , de w a t e r l a a g d i k t e ongeveer halverwege h e t oude en k k

het nieuwe t i j d s t i p . V ervolgens wordt de waarde van W berekend, d i e

overeenkomt met de W z o a l s d i e i s i n g e v o e r d i n v e r g e l i j k i n g ( 4 , 1 7 ) ,

I n de tweede procedure (2^ voor de b e r e k e n i n g van W op b i j l a g e 5

wordt W = O gemaakt, deze procedure wordt g e b r u i k t i n het g e v a l er

zonder w r i j v i n g wordt gerekend.

( 1 6 ) , ( T t ) , (lS) en ( 1 9 ) . Berekening_algemeen_£unt

Men komt nu bin n e n de x - l u s , h i e r i n worden de w a t e r l a a g d i k t e n en d e e l

t j e s s n e l h e d e n berekend voor de algemene punten op het t a l u d van

X = 1 t/m R - 1 . I n d i e n er t i j d e n s deze b e r e k e n i n g i n de x - l u s voor

een bepaalde waarde van x < R~1 een n e g a t i e v e o f zeer k l e i n e w a t e r l a a g

d i k t e wordt gevonden dan wordt de waarde van x met 1 v e r m i n d e r d en

wordt de b e r e k e n i n g b i j het l a b e l E X T R A P O L v o o r t g e z e t .

I e d e r e keer dat de x - l u s wordt d o o r l o p e n s c h u i v e n de reke n m o l e c u l e n u i t

f i g . 1 9 één p l a a t s naar r e c h t s . B i j ( g ) z i e t men dat de d a a r b i j beho

rende nieuwe waarden aan H L , HM, HR, V L , VM en VR worden toegekend.

B i j ^ wordt de nieuwe w a t e r l a a g d i k t e H A C T [ X ] berekend o v e r e e n k o m s t i g

v e r g e l i j k i n g ( 4 , 1 3 ) ,

B i j ( 1 8 ) wordt de w a t e r l a a g d i k t e HG berekend, d i e ongeveer halverwege

het nieuwe en het oude t i j d s t i p g e l d t . Deze waarde wordt g e b r u i k t b i j

de b e r e k e n i n g van de weerstandsterm W i n de p r o c e d u r e .

Er z i j nu twee omstandigheden w a a r b i j de b e r e k e n i n g i n de l u s wordt

a f g e k a p t . De e e r s t e i s wanneer er een n e g a t i e v e w a t e r l a a g d i k t e wordt,

berekend, de tweede i s i n d i e n de w a t e r l a a g d i k t e HG k l e i n e r i s dan 2A,

I n d i t l a a t s t e g e v a l v i n d t men zeer o n r e a l i s t i s c h e waarden voor de

weers t a n d . De b e r e k e n i n g wordt i n deze g e v a l l e n , nadat x met 1 i s v e r

l a a g d , v o o r t g e z e t t , p . v , de l a b e l EXTRAPOL.

- 38 -

I n h e t g e v a l de b e r e k e n i n g gewoon d o o r l o o p t wordt b i j (19) de nieuwe

d e e l t j e s s n e l h e i d VACT [ x ] berekend overeenkomstig v e r g e l i j k i n g ('u2'0.

-(20) , (21) , (22) , (23) en (SM) . Berekening_2unt _ t . p. v.

A l l e r e e r s t wordt h et reke n m o l e c u u l één p l a a t s naar r e c h t s verschoven,

HL, HM, VL en VM k r i j g e n hun nieuwe waarde b i j (20) . Waarden voor HR

en VR o n t b r e k e n , daar het r e c h t e r punt i n d i t g e v a l wordt gevormd door

MOUD dat op een a f s t a n d < ax vanaf het m i d d e l s t e punt l i g t . Het r e k e n -

m o l e c u u l i s a s y m e t r i s c h .

B i j @ worden berekend waarden voor A1, A2 en A3 overeenkomstig v e r

g e l i j k i n g ( 4 , 3 6 ) .

B i j (zz) wordt de nieuwe w a t e r l a a g d i k t e H A C T [ r ] berekend v o l g e n s v e r

g e l i j k i n g ( 4 . 3 9 ) .

De waarde van H G , g e b r u i k t b i j berekenen van de weerstandsterm W i n de

pro c e d u r e , wordt berekend b i j ( 2 3 ) .

I n d i e n nu de w a t e r l a a g d i k t e n e g a t i e f o f t e k l e i n i e , dan w o r d t , even

a l s b i j de b e r e k e n i n g van een algemeen p u n t , de waarde van x met 1

v e r l a a g d en de b e r e k e n i n g wordt b i j de l a b e l EXTRAPOL v o o r t g e z e t . Zo

n i e t dan wordt b i j (z^ de nieuwe d e e l t j e s s n e l h e i d V A C T [ r ] berekend,

t i g de v e r g e l i j k i n g ( 4 . 4 2 ) .

- (25) , @ 1 (27) , @ . (§) en ( S o ) . Berekening_bovenBte_gedeel^

w a t e r t o n g .

We z i j n nu de l a b e l EXTRAPOL gepasseerd. Men kan op d i t punt op d r i e

v e r s c h i l l e n d e manieren komen met v e r s c h i l l e n d e waarde van x.

A l l e r e e r s t wordt b i j (25) de nieuwe p l a a t s van de marker, MACT berekend

v o l g e n s v e r g e l i j k i n g ( 4 . i h 4 ) . Mocht de berekende waarde van MACT k l e i n e r

z i j n dan x (hetgeen t h e o r e t i s c h m o g e l i j k i s ) dan wordt een s t a p t e r u g

gedaan, o f w e l x wordt met 1 v e r l a a g d en de waarde van MACT wordt op

nieuw berekend.

V e r v o l g e n s wordt de nieuwe waarde van R berekend b i j (zè) .

B i j ^ 7 ) worden twee grootheden berekend d i e v e r d e r i n de b e r e k e n i n g

van de d e e l t j e s s n e l h e d e n i n het bovenste g e d e e l t e van de w a t e r t o n g

voorkomen,

VMARK i s de s n e l h e i d van het oplopende ( o f t e r u g l o p e n d e ) g o l f f r o n t , z i e

v e r g e l i j k i n g ( 4 . 5 5 ) . öh ^

DHDT i s de v e r k o r t e s c h r i j f w i j z e voor de u i t d r u k k i n g » z i e de v e r

g e l i j k i n g ( 4 . 5 4 ) .

- 3 9 - •

I n d i e n nu de nieuwe waarde van R g r o t e r i s dan x ( b i j h et passeren van

de l a b e l EXTRAPOL) dan worden de w a t e r l a a g d i k t e n en d e e l t j e s s n e l h e d e n

i n de w a t e r t o n g berekend voor de d i s c r e t e punten x f l t/m R.

B i j (2È) worden berekend Dl en D2, deze komen overeen met de waarden

van d^ en d2 i n f i g . 17. DS i s de som Dl +D2, DV i s het v e r s c h i l

D1-D2.

B i j ^ 9 ) worden d@ nieuwe w a t e r l a a g d i k t e n berekend v o l g e n s v e r g e l i j k i n g

( 4 , 4 5 ) .

De nieuwe d e e l t j e s s n e l h e d e n worden v o l g e n s v e r g e l i j k i n g ( 4 . 5 3 ) berekend

b i j ( 3 0 ) * \

- ( ^ , ( 3 2 ) en ( 3 3 ) . A l l e r e e r s t wordt de h o e v e e l h e i d geborgen w a t e r boven

de doorsnede x = O berekend voor d i t nieuwe t i j d s t i p , d i t i s BACT,

D a a r b i j wordt g e b r u i k gemaak.t van de procedure BERGING.

Berekend wordt v e r v o l g e n s de h o e v e e l h e i d water d i e i n de t i j d s t a p At

door de doorsnede x = O i s i n g e v o e r d . A a n s l u i t e n d wordt deze INVOER

b i j SOf''.INV ( d i t i s de over a l l e voorgaande t i j d s t a p p e n gesommeerde

h o e v e e l h e i d i n g e v o e r d w a t e r ) o p g e t e l d .

-(3y Gekeken wordt o f de w a t e r t o n g op d i t moment moet worden a f g e d r u k t ,

vandaar de vra-ag o f T P H g e l i j k i s aan P R I N T t [ t E l ] . I n d i e n d i t zo i s

dan wordt gevraagd o f T E L g e l i j k i s aan het t o t a a l a a n t a l p r i n t t i j d e n

P , Zo j a dan wordt T E L g e l i j k aan 1 gemaakt (men s t a a t dan weer aan

het b e g i n van de nieuwe g o l f p e r i o d e ) , zo n i e t dan wordt T E L met 1 v e r

hoogd. De w a t e r t o n g wordt i n be i d e g e v a l l e n a f g e d r u k t .

• ( 3 0 ) en ( 3 7 ) . Op deze p l a a t s e n worden de waarden d i e behoren b i j de

g o l f t o n g op het a c t u e l e moment MACT, BACT, H A C t [ o : r ] en V A C t [ 0 : r ] t o e

gekend aan r e s p . KOUD, BOUD, H 0 ü d [ 0 : r J en V O U d [ o : r ] . H i e r d o o r komen de

a c t u e l e p l a a t s e n weer v r i j voor de volgende t i j d s t a p . D i t i s eenvoudig

een k w e s t i e van r e k e n t e c h n i e k .

• ( E ) ' ( 1 0 ) en ( 3 5 ) . S a m e n s t e l l i n g van de u i t v o e r .

Een v o o r b e e l d van een g e d e e l t e l i j k e u i t v o e r van het computerprogramma

v i n d t men op b i j l a g e 8 .

Op deze p l a a t s i s er een f o u t i n het computerprogramma g e s l o p e n , de fo r m u l e b i j (Sd) komt n i e t geheel overeen met v e r g e l i j k i n g ( 4 . 5 3 ) .

D i t i s wel h e r g e v a l i n d i e n men VMARK i n ( 3 0 ) d e e l t door DELTAX. D i t z a l i n een volgende v e r b e t e r d e v e r s i e van het computerprogramma moeten worden g e c o r r i g e e r d .

B i j worden de invoergegevens, behalve A, a f g e d r u k t . Men v i n d t d i t

op b i j l a g e 8 b l a d 1. Bovenaan v i n d t men de g o l f p e r i o d e T (waarmee de

t i j d d i m e n s i e l o o s i s gemaakt) en v e r d e r gT en gT' (waarmee de s n e l h e

den en le n g t e m a t e n d i m e n s i e l o o s z i j n gemaakt). Dan v o l g e n daaronder

de invoergegevens, deze spreken voor z i c h z e l f .

B i j (S^ wordt de waarde van A a f g e d r u k t , deze v i n d t men op b l a d 2

bovenaan.

Dan v o l g t b i j (10) het a f d r u k k e n van de g o l f t o n g op het t i j d s t i p t = O,

d i t i s de e e r s t e w a t e r t o n g d i e men a f g e d r u k t z i e t op b i j l a g e 8 , b l a d 2 ,

Tevens i s d a a r b i j de waarde van de h o e v e e l h e i d geborgen water boven de

doorsnede x = O vermeld, d i t i s BERGING (deze waarde i s g e l i j k aan BBEG),

B i j (^5) v/orden de g o l f t o n g e n i n de gev/enste f a s e n van de g o l f p e r i o d e

a f g e d r u k t , men v i n d t deze op de bladen 2 , 3, 4 en 3 - . B i j i e d e r van deze

a f g e d r u k t e g o l f t o n g e n v i n d t men het t i j d s t i p T, Daarnaast XE, d i t i s

het d i s c r e t e punt op het t a l u d v/aarboven het bovenste g e d e e l t e van de

w a t e r t o n g wordt berekend ( h e t i s de waarde van x b i j h e t passeren van

de l a b e l EXTRAPOL),

Dan v o l g t de p l a a t s van de marker M en de s n e l h e i d van deze u i t e r s t e

w a t e r t i p VMARK. Voor de d i s c i ' o t e punten op het t a l u d worden gegeven

de p l a a t s X, de w a t e r l a a g d i k t e H, de d e e l t j e s s n e l h e i d V en het d e b i e t

Q = H.V. Verder worden gegeven de b e r g i n g , de toename van de b e r g i n g

i n de b e t r e f f e n d e t i j d s t a p (= BACT-BOUD), de h o e v e e l h e i d i n g e v o e r d wa

t e r i n de t i j d s t a p (=IHVOER), de som van de toename van de b e r g i n g

over a l l e voorgaande t i j d s t a p p e n (= BACT-BBEG) en de som van de hoe

v e e l h e i d i n v o e r over a l l e voorgaande t i j d s t a p p e n (=S0MINV)„

Er wordt op gev/ezen dat a l l e u i t g e v o e r d e v/aarden d i m e n s i e l o o s z i j n .

. i n .

5 , R E S U L T A T E N N U M E R I E K E G O L F O P L O O P M O D E L

M e t h e t b e s c h r e v e n c o m p u t e r p r o g r a m m a G01 z i j n een a a n t a l b e r e k e

n i n g e n u i t g e v o e r d , w a a r v a n e r h i e r o n d e r e e n t w e e t a l w o r d e n b e s p r o k e n »

I n d e e e r s t e b e r e k e n i n g w o r d t g e p r o b e e r d d e r e s u l t a t e n v a n e e n p r o e f

[ l ] ^ ® r e k e n e n . D e r a n d v o o r w a a r d e w o r d t d a a r b i j t . p . v . h e t p u n t

v a n s t i l w a t e r n i v e a u o p h e t t a l u d o p g e l e g d .

D e t w e e d e b e r e k e n i n g b e t r e f t e e n f i c t i e f g e v a l . H i e r b i j w o r d t d e r a n d

v o o r w a a r d e o p g e l e g d i n h e t w a t e r v o o r h e t t a l u d ,

( b e r e k e n i n g 1)

I n d e z e b e r e k e n i n g i s g e t r a c h t d e w a t e r b e w e g i n g o p h e t t a l u d ,

z o a l s d i e i s g e m e t e n b i j p r o e f 6 , t a l u d 1 : 5 u i t [ l ] , m e t h e t c o m p u t e r

p r o g r a m m a n a t e r e k e n e n . D e b e g i n - e n r a n d v o o r w a a r d e n z i j n d a a r b i j a a n

d e r e s u l t a t e n v a x i d e g e n o e m d e p r o e f o n t l e e n d . D e r e s u l t a t e n v a n d e z e

b e r e k e n i n g v i n d t m e n o p d e b i j l a g e n 9 e n 10,

D e b e g i n v o o r w a a r d e n v i n d t m e n o p d e b i j l a g e 10 i n h e t m i d d e n

b o v e n a a n . D a a r n a a s t l i n k s v i n d t m e n d e p e r i o d i e k e r a n d v o o r w a a r d e t . p . v ,

X = O, d i t i s h e t g e m e t e n v e r l o o p v a n d e w a t e r s t a n d t . p . v . h e t p u n t

v a n s t i l w a t e r n i v e a u o p h e t t a l u d i n d e p r o e f . E e n a a n t a l a a n v u l l e n d e

g e g e v e n s v i n d t m e n o p b i j l a g e 9 , z o a l s d e t a l u d h e l l i n g , d e g o l f p e r i o d e ,

d © w a a r d e n v a n A x e n A t e n d e t w e e a a n v u l l e n d e b e g i n v o o r w a a r d e n n l . ^ d e

p l a a t s v a n d e m a r k e r M e n d e s n e l h e i d v a n d e z e m a r k e r o p h e t b e g i n t i j d -

s t i p t = O ,

O p d e z e b i j l a g e 9 v i n d t m e n d e p l a a t s v a n d e u i t e r s t e w a t e r t i p ( M ) o p

h e t t a l u d a l s f u n k t i e v a n d e d i m e n s i e l o z e t i j d o v e r e e n v i j f t a l g o l f -

p e r i o d e n . D e d u n n e s t r e e p l i j n i s h e t v e r l o o p z o a l s d a t i n d e m e t i n g e n

v a n d e p r o e f i s g e v o n d e n . D e b e i d e d i k k e l i j n e n g e v e n h e t v e r l o o p v a n

d e b e r e k e n d e p l a a t s v a n d e w a t e r t i p . D e g e t r o k k e n l i j n g e l d t v o o r e e n

b e r e k e n i n g z o n d e r w e e r s t a n d ( d e w r i j v i n g s t e r m i s d a a r b i j g e l i j k a a n n u l ) ,

b i j d e g e s t r e e p t e l i j n i s g e r e k e n d m e t w e e r s t a n d , v o o r d e d i m e n s i e l o z e

m a a t v a n d e r u w h e i d v a n h e t t a l u d i s 0,00001 g e n o m e n . D i t k o m t o v e r e e n

m e t e e n w a a r d e v o o r a v a n 0 , 2 m m . M e n z i e t d a t h e t v e r l o o p v a n d e p l a a t s

v a n d e u i t e r s t e w a t e r t i p a l s f u n k t i e v a n d e t i j d w a t v o r m b e t r e f t e e n

r e d e l i j k e o v e r e e n k o m s t v e r t o o n t m e t h e t g e m e t e n v e r l o o p . D e b e r e k e n d e

w a t e r t o n g e n l o p e n e c h t e r n i e t v e r g e n o e g t e g e n h e t t a l u d o p . D e o p l o o p

d i e w o r d t b e r e k e n d i s e e n f a k t o r 2 , 5 k l e i n e r d a n d e g e m e t e n w a a r d e n v a n

d e o p l o o p .

De g o l f t o n g e n d i e z i j n berekend i n het g o v a l met w e e r s t a n d worden voor f

3 , 0 < - < 4 . 0 weergegeven op b i j l a g e 1 0 ,

Geconcludeerd kan worden dat deze b e r e k e n i n g van de g o l f o p l o o p

k w a l i t a t i e f een r e d e l i j k r e s u l t a a t g e e f t . K w a n t i t a t i e f i s de berekende

g o l f o p l o o p e c h t e r n i e t j u i s t , de berekende maximale g o l f o p l o o p i s ean

f a k t o r 2 ^ 5 t e k l e i n , We z i j n dus nog n i e t i n s t a n t de g o l f o p l o o p op een

bevredigende w i j z e na t e rekenen.

5 , 2 Randvoorwaarde i n h e t w a t e r ^voor^het_^talud__(b0reken

B i j deze tweede b e r e k e n i n g w o r d t de g o l f o p l o o p berekend voor een

f i c t i e f g e v a l . De randvoorwaarde wordt h i e r b i j opgelegd op enige a f s t a n d

van h e t punt waar h e t s t i l w a t e r n i v e a u het t a l u d s n i j d t . De r e s u l t a t e n

van deze b e r e k e n i n g v i n d t men op de b i j l a g e n 1 1 en 1 2 .

Men moet z i c h b i j deze t o e p a s s i n g van het rekenmodel wel r e a l i s e r e n d a t

de waterbeweging i n h e t g e b i e d waar de golven breken w o r d t beschreven

door de l a n g e - g o l f v e r g e l i j k i n g e n , waaraan de d i f f u s i e - a c h t i g e termen

z i j n toegevoegd. Het i s de v r a a g i n hoeverre d i t g e r e c h t v a a r d i g d i s , -De

waarde van d i t type berekeningen met het g o l f o p l o o p r a o d e l moet men dan

ook n i e t t e hoog s c h a t t e n . Het model i e n i e t ontworpen met h e t oog op

d i t t y p e b e r e k e n i n g e n , men moet deze t o e p a s s i n g dan ook z i e n a l s een

i l l u s t r a t i e van de e v e n t u e l e m o g e l i j k h e d e n ^

A l s beginvoorwaarde g e l d t d a t h s t water volkomen s t i l s t a a t , do

w a t e r l a a g d i k t e n worden gevonden u i t de p l a a t s van h e t s t i l w a t e r n i v e a u

en de d e e l t j e s s n e l h e d e n z i j n o v e r a l g e l i j k aan n u l ( z i e b i j l a g e 1 2 , b l a d

^ .-.j j! .1 .. _ 1 . „„.-, fli,« ïfot-, -u- - n •emvA'r n 1 R t - i A r>ï nd 1 f>k« f»nnd — I , l U X U U t ^ l i u u V C i i c t C A A A / O ^ A p . i . c i t - \ o s : » \> v ï . » . * * — ^ . . w i . - , ^ . ^ ^ w .

voorwaarde op h e t s t i l w a t e r n i v e a u een i n de t i j d s i n u s v o r m i g v e r l o p e n

de w a t e r s t a n d opgelegd (zi<3 b i j l a g e 1 2 , b l a d 1 , l i n k s bovenaan). Op b i j

lag© 1 1 v i n d t men nog een a a n t a l a a n v u l l e n d e gegevens, z o a l s de t a l u d -

h e l l i n g , do g o l f p e r i o d e , de waarden van ax en At en de twee a a n v u l l e n d e

beginvoorwaarden n l , de p l a a t s van de marker M on de s n e l h o i d van deze

marker op h e t b e g i n t i j d s t i p t = O, Er i s gewerkt zonder w r i j v i n g s t e r m ,

dus de weerstand i s n u l .

I n d i e n men de v a r i a t i e van de w a t e r s t a n d t . p . v . x O, d i e a l s r a n d

voorwaarde w o r d t opgelegd, a l s de r e g i s t r a t i e van een i n v a l l e n d e g o l f

o p v a t , dan v i n d t men voor d i e g o l f een hoogte H van 0 , 2 0 m en een g o l f

l e n g t e op d i e p w a t e r van 1 , 6 0 m. De g o l f s t e i l h e i d i s dus H/L^ = 0 , 1 2 5 ,

d i t i s een zeer g r o t e s t e i l h e i d .

Het v e r l o o p van de p l a a t s van de u i t e r s t e w a t e r t i p op h e t t a l u d a l s

- 'O -

f u n k t i e van de d i m e n s i e l o z e t i j d over een t i e n t a l g o l f p e r i o d e n v i n d t

men op b i j l a g e 1 1 . Men z i e t h i e r u i t dat de e e r s t e aankomende g o l f h e t

hoogste o p l o o p t , daarna v i n d t men oploophoogten d i e d u i d e l i j k l a g e r

l i g g e n . O p v a l l e n d i s v e r d e r dat h e t v e r l o o p van de p l a a t s van de w a t e r ~

t i p na 1 0 p e r i o d e n nog n i e t p e r i o d i e k i s , maar d a t e r nog een s o o r t

g o l f met een g r o t e r e p e r i o d e i n h e t v e r s c h i j n s e l z i t . D i t zou t e maken

kunnen hebben met t e r u g k a a t s i n g op de randvoorwaarde t . p . v . x = O .

De berekende g o l f v o r m e n voor 0 < ~ ^ 2 « 0 en 8 . 0 < ~ ^ 1 0 . 0 v i n d t men op

b i j l a g e 1 2 , b l a d 1 , 2 en 3 »

De maximale g o l f o p l o o p d i e i n de b e r e k e n i n g wordt gevonden kan men v e r ~

g e l i j k e n met de oploophoogte d i e men v i n d t u i t de g o l f o p l o o p f o r m u l e van

Hunt, d i e g e l d t voor r e g e l m a t i g e g o l v e n d i e breken op h e t t a l u d

z = \ / h i / tan oc (z i s de maximale v o r t i k a l e oploophoogte boven h e t s t i l

w a t er n i v e a v i ) . Vat men de opgelegde randvoorwaarde op a l s de r e g i s t r a t i e

van een i n v a l l e n d e g o l f en v o o r t men de kenmerken van deze g o l f

(H = 0 . 2 0 m en L = 1 . 6 0 m) i n de f o r m u l e van Hunt i n , dan b l i j k t d a t de o

berekende g o l f o p l o o p h o o g t e oen f a k t o r 2 a 3 k l e i n e r i s dan de hoogte d i e

men op b a s i s van de f o r m u l e van Hunt v e r w a c h t .

B i j do b e r e k e n i n g van de g o l f o p l o o p wordt ook berekend do h o e v e e l

h e i d geborgen w a t e r boven de doorsnede x = O ( z i e h e t v o o r b e e l d van ds

u i t v o e r op b i j l a g e 8 ) , tevens worden berekend de toename van dez© ge

borgen h o e v e e l h e i d w a t e r en de h o e v e e l h e i d i n g e v o e r d w a t e r door de door

snede X = O gedurende i e d e r e t i j d s t a p . De over a l l e voorafgaande t i j d ~

s tappen gesommeerde toename van de h o e v e e l h e i d geborgen w a t e r en de over

a l l e voorafgaande t i j d s t a p p e n gesommeerde h o e v e e l h e i d i n g e v o e r d w a t e r ,

d i e eveneens worden berekend ( z i e b i j l a g e 8 ) , dienen op i e d e r t i j d s t i p

aan e l k a a r g e l i j k t e z i j n , d . w . z . h e t v e r s c h i l moet op i e d e r moment go-

l i j k aan n u l z i j n .

D i t b l i j k t b i j de r e s u l t a t e n van h e t programma n i e t h e t g e v a l t e z i j n .

Op b i j l a g e 1 3 i s i n de bovenste f i g u u r h e t v e r s c h i l t u s s e n de gesom

meerde i n v o e r en de gesommeerde toename van geborgen w a t e r tegen de d i

mensieloze t i j d u i t g e z e t . Naast h e t p e r i o d i e k e s l i n g e r e n d e v e r l o o p

(met de g o l f p e r i o d e ) z i e t men ook een v r i j w e l c o n s t a n t e toename van h e t

v e r s c h i l . Het s l i n g e r e n d e v e r l o o p kan worden toegeschreven aan h e t f e i t

dat de i n v o e r een s o o r t n a - i j l - e f f e k t v e r t o o n t . I n h e t b e g i n , o v e r de

e e r s t e p e r i o d e , z i e t men een s t e r k e toename van h e t v e r s c h i l , daarna

neemt h e t v e r s c h i l c o n s t a n t t o e , d . w . z . d a t e r c o n s t a n t meer w a t e r wordt

i n g e v o e r d dan er w o r d t geborgen boven de doorsnede x = O ,

Om t e onderzoeken waardoor d i t v e r s c h i l wordt v e r o o r z a a k t z i j n ook be-

- hk

rekend do over a l l e t i j d s t a p p e n gesommeerde toename van de h o e v e e l h e i d

geborgen w a t e r boven de doorsnede x - 2 A x en de over a l l e t i j d s t a p p e n

gesommeerde h o e v e e l h e i d i n g e v o e r d w a t e r door de doorsnede x = 2 Ax.

Het v e r s c h i l van beide i s op b i j l a g e ' 1 3 i n de o n d e r s t e f i g u u r u i t g e z e t .

Men z i e t opnieuw h e t z e l f d e p e r i o d i e k e s l i n g e r e n d e v e r l o o p . Ook de s t e r k e

toename i n h e t b e g i n , over de e e r s t e p e r i o d o , i s ongeveer g e l i j k ' , de

c o n s t a n t e toename van h e t v e r s c h i l i s e c h t e r v e e l k l e i n e r en v r i j w e l ge

l i j k aan n u l .

Hiermee i s de oorzaak van h e t c o n s t a n t e v e r s c h i l t u s s e n de i n g e v o e r d e en

de toename van de geborgen h o e v e e l h e i d w a t e r g e l o k a l i s e e r d . Het v e r s c h i l

moet worden gezocht i n de a f w i j k e n d e manier waarop do d e e l t j e s s n e l h e i d

t . p . v , X = O i n h e t computerprogramma wordt berekend. B l i j k b a a r w o r d t

d a a r b i j n i e t op de j u i s t e w i j z e aan de continuïteit v o l d a a n .

- 4 5 -

S A M E N V A T T I N G E N C O N C L U S I E S

O n t w i k k e l d i s e e n e e n v o u d i g m o d e l v o o r d e b e r e k e n i n g v a n p e r i o d i e k e

g o l f o p l o o p , d a t i s g e b a s e e r d o p d e b e s c h r i j v i n g v a n d e w a t e r b e w e g i n g o p

h e t t a l u d d o o r m i d d e l v a n d o n i e t - l i n e a i r e l a n g e - g o l f v e r g e l i j k i n g e n , I n

d e z e l a n g e g o l f v e r g e l i j k i n g e n i s e e n w e e r s t a n d s t e r m o p g e n o m e n v o l g e n s

C h é z y .

T e n e i n d e t e o n d e r z o e k e n o f b e p a a l d e t e r m e n i n d e l a n g e - g o l f v e r g e

l i j k i n g e n k u n n e n w o r d e n v e r w a a r l o o s d e n o m i n z i c h t t e k r i j g e n i n d e r o l

v a n d e w r i j v i n g s t e r r a , z i j n t e r m e n v a n d e l a n g e - g o l f v e r g e l i j k i n g e n b e

r e k e n d o p b a s i s v a n d e p r o e f r e s u l t a t e n u i t [ l J . D e z e b e r e k e n i n g e n l e v e r e n

g e e n b r u i k b a r e i n f o r m a t i e o p .

B i j d e o p z e t v a n h e t r e k e n s c h e m a i s g e k o z e n v o o r e e n d i f f e r e n t i e -

s c h e m a w a a r b i j e e n e x p l i c i e t e r e k e n m e t h o d e w o r d t g e b r u i k t . H e t o p l o p e n d e

g o l f f r o n t w o r d t n i e t g e ï s o l e e r d i n d e b e r e k e n i n g . N u m e r i e k e v e r g e l i j

k i n g e n z i j n a f g e l e i d v o o r d e w a t e r b e w e g i n g o p h e t t a l u d . H i e r b i j b l i j k t

d a t h e t r e k e n p r o c e s d o o r e e n b e p a a l d e n u m e r i e k e i n g r e e p s t a b i e l i s t e

m a k e n , d i e n e e r k o m t o p e e n t o e v o e g i n g v a n d i f f u s i e - a c h t i g e t e r m e n a a n d e

l a n g e - g o l f v e r g e l i j k i n g e n . D e z e n i e u w e v e r g e l i j k i n g e n b e s c h r i j v e n d e

w a t e r b e w e g i n g o p h e t t a l u d i n c l u s i e f d e b e w e g i n g v a n h e t o p l o p e n d e g o l f

f r o n t . S p e c i a l e v e r g e l i j k i n g e n z i j n a f g e l e i d v o o r h e t r a n d p u n t x = O e n

h e t b o v e n s t e g e d e e l t e v a n d e w a t e r t o n g o p h e t t a l u d .

D e r a n d v o o r w a a r d e n v a n h e t r e k e n m o d e l w o r d e n g e v o r m d d o o r e e n b e k e n d

p e r i o d i e k v e r l o o p v a n d e w a t e r l a a g d i k t e t . p . v . x = O e n h e t f e i t d a t

t e r p l a a t s e v a n d e v r i j o v e r h e t t a l u d b e w e g e n d e w a t e r t i p d e w a t e r l a a g

d i k t e s t e e d s n u l i s .

D e r e s u l t a t e n v a n h e t r e k e n m o d e l l a t e n z i © n d a t e r k w a l i t a t i e f © e n

r e d e l i j k e o v e r e e n k o m s t i s m e t d e p r o e f r e s u l t a t e n . D e b e r e k e n d e m a x i m a l e

g o l f o p l o o p b l i j k t e c h t e r e e n f a k t o r 2 a 3 t e k l e i n t e z i j n . M o g e l i j k e

o o r z a k e n h i e r v a n k u n n e n z i j n :

1. H e t r e k e n s c h e m a i s n i e t v e r f i j n d g e n o e g ,

2 , D e l a n g e g o l f v e r g e l i j k i n g e n b e s c h r i j v e n d e w a t e r b e w e g i n g o p h e t t a l u d

n i e t g o e d .

B i j d e v o o r t z e t t i n g v a n h e t o n d e r z o e k i s h e t n u t t i g d a t m e n z i c h d e z e

b e i d e p u n t e n g o e d r e a l i s e e r t .

I n e e r s t e i n s t a n t i e k a n m e n t r a c h t e n d o o r h e t a a n b r e n g e n v a n e n k e l e c o r

r e c t i e s o f v e r f i j n i n g e n o p h e t b e s c h r e v e n m o d e l b e t e r a a n d e p r o e f r e s u l

t a t e n t e v o l d o e n . L u k t d i t n i e t d a n k a n m e n d e n k e n a a n h e t m a k e n v a n

- 46 -

r e k e n m o d e l l e n d i e o p v e r f i j n d e r e r e k e n s c h e m a ' e z i j n g e b a s e e r d .

M o c h t o o k d a n g e e n o v e r e e n s t e m m i n g m e t d e p r o e f r e s u l t a t e n v / o r d e n g e v o n d e n

d a n w i j s t d i t e r o p ( i n d i e n m e n u i t g a a t v a n d e j u i s t h e i d v a n d e p r o e f

r e s u l t a t e n ) d a t d e w a t e r b e w e g i n g o p h e t t a l u d n i e t g o e d d o o r d e l a n g e -

g o l f v e r g e l i j k i n g e n w o r d t b e s c h r e v e n . M e n z a l d a n n a a r a n d e r e v e r g e l i j

k i n g e n m o e t e n z o e k e n v o o r d e b e s c h r i j v i n g v a n d e w a t e r b e w e g i n g o p h e t

t a l u d .

LITTERATUURLIJST

1 A, Roos;

E x p e r i m e n t e e l onderzoek naar h e t gedrag van tegen t a l u d s oplopende

r e g e l m a t i g e g o l v e n .

A f s t u d e e r v e r s l a g Technische Hogeschool D e l f t , o k t o b e r 1 9 7 2 .

2 ] J.J. S t o k e r ;

Water waves, Ch. 1 0 , >

I n t e r s c i e n c e P u b l i s h e r s , I n c . , New York, 1 9 5 7 .

3 ] J.C. Freeman en B, LeMéhauté;

Wave b r e a k e r s on a beach and surges on a di-y bed,

Proc. A.S.C.E. 9 0 , n r . HY 2 , maart 1 9 6 4 ,

k] M, Araein;

A method f o r d e t e r m i n i n g t h e b e h a v i o r o f l o n g waves c l i m b i n g a

s l o p i n g beach.

J o u r n , o f Geophysical Research Tl.» n r , 2 , j a n , I 9 6 6 .

5 A, Daubert en A, W a r l u z e l ;

Modèle mathematique non l i n e a i r e de l a p r o p a g a t i o n d'une h o u l e e t

de sa r e f l e x i o n s u r une p l a g e ,

Proc, 1 2 t h Congress I.A.H.R., F o r t C o l l i n s , C o l o r a d o , v o l . 4 , s e p t , I 9 6 7 .

6 ] G. T e r z i d i s en T, S t r e l k o f f ;

Computation o f open-channel s u r g e s and shocks.

Proc. A.S.C.E. 2 6 , n r . HY 1 2 , december 1 9 7 0 .

7 ] J.A. L i g g e t t en D.A. W o o l h i s e r ;

D i f f e r e n c e s o l u t i o n s o f t h e s h a l l o w - w a t e r e q u a t i o n .

Proc. A.S.C.E. n r . EM 2 , a p r i l 1 9 6 ? .

») SYMBOLENLIJST

Symbool V e r k l a r i n g Eenheden

a Maat voor de ru w h e i d van h e t t a l u d m

I n g e v o e r d symbool, z i e ( 4 , 5 6 ) «.

^ 2

I n g e v o e r d symbool, z i e ( 4 , 5 6 )

I n g e v o e r d symbool, z i e ( 4 , 5 6 )

c S n e l h e i d oplopend g o l f f r o n t (m/s)

C Coëfficiënt van Chézy

^^ Onderdeel van een lengtemaat g e d e f i n i e e r d i n

f i g . 1 7 «•

Onderdeel van een lengtemaat g e d e f i n i e e r d i n

f i g . 1 7

f Darcy-V/eisbach w r i j v i n g -

g V e r s n e l l i n g van de z w a a r t e k r a c h t / 2

m/s

h W a t e r l a a g d i k t e l o o d r e c h t op h e t t a l u d (m)

M P l a a t s van de u i t e r s t e w a t e r t i p op h e t t a l u d ,

u i t g e d r u k t i n Ax_

q W a t e r d e b i e t p e r b r e e d t e - e e n h e i d van h e t t a l u d - 2 , _

ra / ö

t • T i j d ( s )

V D e e l t j e s s n e l h e i d (m/s)

S n e l h e i d van de u i t e r s t e w a t e r t i p

W Deel van de w r i j v i n g s t e r m , g e d e f i n i e e r d i n ( 4 , 1 ? ) -X P l a a t s op h e t t a l u d (m)

oc H e l l i n g s h o e k van h e t t a l u d t , o , v , de h o r i z o n t a a l

Bepaalde grootheden komen i n h e t v e r s l a g zowel i n n i e t - d i m e n s i e l o z e a l s d i m e n s i e l o z e vorm voor . I n d i e g e v a l l e n worden de eenheden van h e t n i e t d i m e n s i e l o z e symbool t u s s e n ha a l t j e s g e p l a a t s t . Z i e voor de symbolen, d i e i n h e t computerprogramma worden g e b r u i k t , b i j

l a g e 7 .

- 4 9 -

Symbool V e r k l a r i n g E££i]l£den

A t Een k l e i n e toename van d e t i j d t . ( s )

A X Een k l e i n e toename van x, (fi')

. . A t

X H e t q u o t i e n t — A X

/O M a s s a d i c h t h e i d van water kg/m^

2 2 - S c h u i f s p a n n i n g t u s s e n h e t water en de bodem N/m

0 Z w a a r t e k r a c h t s t e r m , z i e ( 4 . 1 ) G

gS Weerstandsterm, z i e ( 4 , 2 )

en 3^ Ofmaiîtr pfi hel- ^ t ^ ^ ^ ^ z J j ^ J ^ '' ^ - f>i-o<-f '/ / " / 7 •

34

hiaSial>a,la,HS

Jb ^ x Ceo fC

Opn<têr 2 t . p . ( / . X= /I.-3 On.

t

O.o

0.1

o.l

p. 3

a.V

e>.s

o.(,

V

0. a

a;

1. a

l.l

- i . a

-t- o.g

+ I.S

•t-i. I

T i . i

+ i . i

-il.X

•i-0.8

-f-I.S

Î.J

-O.l

0< J t

Ci^/it^l

•I- H

- 0 . 8

- 2.0

- t Y

-Y.8

- H.o

-3.S

—>• Son,

+ !•$

-I.O

-0,1

-ho.é

- l . a

J ^ u T 1

-O.L

- l o l

- V i /

- i W i

+ 3s

- VVS

i-it • f

- /

•hii

•t-ls

- l i

- M

- S o

IS-

V- Jlo

3lo

i- 3lo

•I i l a

•t ilo

+ Slo

-/- 31c.

- 3i

- <93

- Li

- i r

- 3i

- l b s

- I OS

~ Z3Y

-4- IO ^ Z8S

•i-SéSo

•h IHoo

- <9ê

-

- l ^ o i

- salo

- l l l i o

t ^ 3X Oi i t Se>fn

St/ i t

of i / l ' / l / (ice) (C», /Ste.'-J

O.o

o.l - i L s ! _ ê.l ? •t IV.V

* - 10. s ->-i73

- i s 3 ? •I- 3 lo - l i L i f .

•Z- IPC? -I- z y i o

* - 0. o3J

o.i - I' o. s •t y.v - 3.0 - ' ' 7

^ N •i- 3io - 13L 1 -t / f ^ r - 0. 00/

O.i - 7-" •/- 1.3 t S.3 ^ i.L - sL •f Jo -t ilo - l o i i-ZV/ •1 iSio - 0. / 8 I

0.1 - V.i •f- 1.2. - O.L - i . j - i d + IB f i l o ~ 73 + i i / yô -o.oVZ

- I.I •f- I.S + o.V •t 0,9 - ' / S i -h S i- 3/0 - SB - m + / o i +1. é f o

aé ^ 1.8 V

- y.j + o.i - ' f Z l - l i - L8 - 3.0/ - '^S - /.oLo

°-7 ^ J./ •h 2,0

- V - l,o v- Ll - 4'/ -h i l o - y -t-zao - J i S -i-o.3S$

•I- /.é 4- 2.0 - v./ - Ö. Ï _ vLL _ Lo t- Slo - ZY - 2Vo - i g i o - 0. lis-

^ s.v + /.I V./ + O,'/ - 77 - ' 3 y- Slo - 3S — 5" 000 •+ ö.oiS

/.a '•9 - S.O - «r - 135- - So + Sia - S3 •t Lz _ 3^00 i 0.00^

/./

C-J

- 0. D/o

- O.oSY

-i-o. Jos

- i . I g S

-to, S5S

- o . l V f

•+ o. 00}

- t d o z L

Opnemen J X^tZS.o Ch, ,

b

dec)

^ 57 •^ t>/i

dct^/Secl

0< -dS-

—^ So^ ot

(ch. /fee 'J /C*. /Scc'-J

^ Si-n <<

i^c^/s^V (a^ /tec V

—^ S0yy\ d/^l A /

o.a

0,1

O.i

0.3

O.V

O.S - i . J -O.l + Z.L -0,X - V5-S- - I -t i l o - 7^ - Z 2 3 • i - y s i y- o . i ê s

O.L + 0,1 .(.l.l -o.V - 272 - I + i l o _ L^ - - 7 ~ y. /Vo

"•7 t 1.3 •hO,^ - i . i ~ " 7 - iL + J/o - s ^ -t IZ3 - VZo -to.Zî

0.3 •tZ.I + 1,0 - l . l + '•3 - ' 3 ' - i s 1 Slo - sx + Z5 - / V 3 o +0. oSo

1.0

-ti.S + I.i - 1.0 -o.Z - z a v - IZo •t i l o - 7 - 1 3 / - sé>/o -o.oZS

l.l

ét^ j[>e.JaaJ/^f ht^rî*^ cia. bw^f&lackis-*^^. u/a&rc/ea^ êJ>ruAi< ^^nâa/cé".

[gerekende tert,,en i/üh d*. friaSio. - e/i //^^fiu/s/eln/aiS tô/ê/iS de eers/é. 6erakeningin/ij-3« ^•/• t^- de l^,J^

en 3^ ofimeiâr of> Aeir iafuc/ - TgUd / . • / -' proef y Cl 1 .

• AlaSSala/a/7S

0^ ^ 1 7 = °

ynij>u Js/eAa/a/i s

" a r ^ ax dt —*• Sohy av ^SlH —^ Soh^ WW

f

(Stc) (c/H /Sie) (ci>^/s^c) (O» /SccJ (Cfe, /Stx') ( O , / K c 'J I'cm/uc'J ( - J

0.0

n.l + 0.é -1.8 1 •t 11.1 + lo.K « - i l + IS ? + n s - io i lol ~Zl1 + 0. YjL

o.l -5.S ? + y.'i _ /.V " + iiiL _ Lz ! + 138 ~2$i ï * / ^SO

•+3jo - i . s é o *

0.3 - 9 1 • -I/.Z '. + 13. a - /.J * - j t s _ 122 f +. n s - i S i '. + sèg +i(>1^*

CV -3.1 l -11^ ? W.y - J . t ^ y- 85 ~ i l ' + 138 - l U + li + Li - 0. Zoo *

o.i - 3.S + 3.3 - - 23 - 21 ! • + 138 - l a + ;v + 0.^Zo'^

o.l. -?.3 - 7 ' + 210 + 13 + 138 - l i s + i i L + / é i -/.SZO

O.J - 1.0 + 3.i -1.2 - I.L - SSO * 3 + 138 - 6s - 1JZ + JV + IS.goo

•f- O.J 4-S.I - 8 . 0 . - l i ~ 23 - + I3i - V -t sn ~ vC + /.Zoo

4-0.5 + V.i -1.1 + 0.J + 7,2 - 11 + IZS - 33 + 113 - 90 t i.Joo

1.0 -fO. H + i . s -i.L t 0.3 - sL - 13 + IS3 - 3o ^ 9

- ?Z + o . l p

l.l 4-O.S + 3.1 -3.8 + 0.1 - i j L - iL + nS - io - s-^

- Slo - 0. ivS

n + o.^ -tX.5 -3.0 + 0.1 + 15-1 - 13 +138 - io + i i j 1-0.^$0

1.3 •t-I.W - Z . l . + 1.1 _ iS-3 - i J + I3S - Vl - I S 1 - s L i - 0. SO^

1.1 + l . i +J.I -2.0 + 1.1 + 111 - i l + 133 - ^3 + Zl(, ~S^1 + o.3(,</

IS i-0.5 *i-7 - 1 . 8 ~ o.i - 132

- ^3 + I3S ~ Xo - 13 - é s s - 0 . oLL

U

t

/u<.) /Ch^lUc.)

af ic^lu^)

—> Jon, ók

(Cn, lUa '-) (ot./Ue.'J Cc^/i^'-)

•—&• ifo>w

/e^ /S€i. *)

V/s/l

ê^/Uc'-)

/ c - )

0.0

o.l

o.i

+ 1.0 -O.l ? -2.1 • - I . S " - loL + 1 ? + l i s - 21 + 12^ - IZ8o + 0, oog

0.)

0.1

o.s

O.L

"7

o.S

0-3

I.O

l.l

1.2

l.i

1.1

l.i-

U

- L . l

- i.3

-O.J

-O.J

-O. 3

+ 0.3

+ U.V

+ O.L

+ O.L

+ O.L

+ l.i >

-O.V ?

+ O.S >.

+ 3.3

+ 3.1

+ 3.3

+ 2.1.

+ 1.1

+ I.S

+ I.Z

+ L.2

+ i . i

- i . L

- I . L

-I.V

- I.L

- i.Z

- i . L

- I . L

- 1.3

+ 1 . 1 "

-O.S- *

- Z.S *

- 1.0

+ I.S

- I.O

- o . l

+ 0.1

+ 0.S

0

+ lâ

- l i j

+ JS

+ 21

- i z L

- i ° 3

+ IS

- L

+ lL

~ i

+ i l

II

+ • é

- 7

- 1/

- 11

- 15

- / I

+ I3S

+ I3S

+ l i S

+ /3S

+ 133

+ 133

+ 139

+ I3S

+ 133

+ 13 S

- II i f

- SI

- U

-- IS

- ^3

- Vo

- 31

- 7

+ / f S *

- l o s

- 3' *

+ lo8

- '31

- 23

+ /o3

- 3

+ sL

+ SS

+ Sol/

+ loo

^ '3

+. 3S

+ II

- IZ

- 15

- V

-1^3

- z L z

- o . s e y *

+ 2.01S *

- I.Soo *

- Z . S I o

+ 2. Slo

-I.ÎS

+ 2.1^ O

- 0.0^3

+ 0.13S

+ o . i i i

? VlacrdA /3 j LcLrou.,..j IS Im^JT^Lo.

L'^ b^.f>aJif,,^ (lUrVan i/ai-i ^ w y / e / o o ^ ^ ' ^ iVA -r-o'*», i^-eLrul/c ên.a.alti.

B i j l a d e l 7>7aU 1

Be-re ieiiote termen yan de maSSA - &n iit,feu/siii kaUnS ^_^/3^S_dA -?f^llA—J^?/'''^^""^y ^ •/>• i/- de / ^,

• //las SaLcl"^ S - /ty/iiA.Is/eia/at,s

Uaari'n

t

dec)

j SV ^ dx —> Som

fChf /set) öt ^ OX —É, So/Tt v/W

A (a»/st^^)

i

( - J

0.0

ó.l

O.l 4 0.1

•l-o.S

•i-o.y ?

- 1.0

-o.a

0 *

0

' V -t 121

- IS

- n ?

•t /i<S

-t 13 3

-

- '7 -t Z3o

-J,o

-Las

to.oiê

-f-o. 13L *

0.5

0.1

•f 07

1' /. V

-t o.l ?

+ ?

-lo

-o.a

+ Ó.l -2iL

- I J l

- 8 l

- L !

-t 133

•1-13 3

- ^ - LL"

-11^5

-wno

- 0.1/3

-o.oiL •*

0.S

O.l,

-i-0.5

-I- 0.3

-0.1 ?

-o.i f

-1.0

•i-1.8

_ O.L "

+ / . ^ "

-tiL^

+ 31

^ / • + Ii3

-t 133

- 13

- iL

•t Sol

•t 221

- i l j o

- soL

t 0. ISS *

t O.V33

O.S

0.f

1.0

l.l

l.l - O.g + l.g -1-1 - O.-/ - 31 -t za •h n s - y -t 33 -t 2SJ -o.ioi

l.i -0.1 •1-1.3 -o.a V- ö. / - IIJ 4- II -t n s - i j - 35 + n •to. ISo

1.1 y- 0.1 •ho.8 -I.L -O.J -13^ - 3 4 na -3o - 31 - li - Z.Uo

1.5 -1-0.3 -l-0.l> -O.L -to.3 + 21 - 5 + n s -2S + IZS - sa -h /. Vjo

l.é

Wo-a^-^ /i fHoeiUjU. b. hepaJih, , Letruu.wi'uzrLe.ïal / i tvJyfelacAtij

u .

•Bijlade I Z •

1

I

S

• ^ -f

I

V

•i

1 5

to -'•

3

V

+

s

- I N

I

+

+

1

^ .5

I

N

.15

1-

- I M 0

-g 1

1 4

• ^ 5 ? 5 ! V

N O

0

5 ^

In

7> S o Ift

lA I f l 10

f -j rs> l A

0 Q 0

P -.0

H l o > -

? i 5 ; ^

i + ^

V )

"=3

• v o c-i S

l o N o r \ K ^

+ i - + +

^ 1

1 I

+ 1- 1- + - +

ty> <N < ^ N

+ + + + 1- +

CO v o 1 1 N o 5 ^

Cr- , t ) K ' N « W> l o

I I I I I I

«V, « o

C f , S v N O >

V O ^ I N

1 1 1 + +

O 0 c r .

+

« a-<M »^ < ^

I I I I

C I - , o a - l o

•*3

I I I I I I

I 1 I I cv, C> <v,

K 5 5 :

4 4 4 4 i i i , ^ '

c j ^

CI <5

0 c, 0

^ "> $ V a- ^ > ^ ^

v2 0 ^ ^ m m X X l

• v ^ ^ ^ s

0

<i3 v o I V > -

rv>^ t V N O N

A. + + I + + + +•

> CM = 0 v o Vo

O v o VQ I T -

+ 1- ? Ï ^ + + - ^

Cb

1-0 3 R

m <*J > 7 I I

Ct3 CQ t \ 0 ? £ > CV

I V CQ CJ

I I I I I I

Q v ^ N O N > - P . C h t v t v , t V • n . N j

In

+

I f l O O N o

+ + + 't

is

I a > N CV y> , . c ^ Wl V-, ^

"*r t v K"^^ V> v o

+ +

0 O C I N V, w I n I n

1 I

i n 0

•V, | i ! s¬

I n ^ r v OV <N

1 I (

l o > cv 0 1Ï) N J )

^ - V - ~

1 1 I

0

I I

«V rri v > I n

J - V Q c»)

„ i n O V .

I n 5 - cv . CO

I I I I

I n Q

f v ^

c v •'V

I I

Cn I n V o 0 <N cv c^ , 1 1

O O

0 3

I I 1 I

I

V, V )

+ + CV) +

+ CV

+

C o

-t- +

h v >

5> - n

V V . v s c v c- l

I

^ N . ^ 0 - , I n

I I +

h v , O

+ +

in C h , CO In ! V . <Q

I I I I I I I I

• V Cr> M cv

1 I

cS

In V

c i cS

I n CJ

iS If?

Bar.ka^cU berrie, â. n,aSS1 - ^ U^fiuhleiaLnS ôl^^.S de bê.J^ È.re/ce^,n^S^//-z. ^.é

i/îcUof. K/an de Wah.rcLLti.n ey, deeltjesS/n<d/,e^(tH ) . .

PROCEZ>U/fE W

0 .

g.a* D8S (i/Li) / C c II-c » HO)

W.=. O

\ N ^ H-1 / (/V-/vra [

èBRCil/JÜ : = ( R E R Q -hO.SV^iMRCV -R)i^ HRCT i n ) ) M- DELTSX.

c

o ot*

3 1 / )

+

m i l l i iy i iy | i»i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i im

_ UJ . _ j . . . + U , D UJ UJ ^ « f

c c c O c C l _ ' C - UJ

O

O c c < D •

a" .- tD I 1/1 - O

• . ^ . ^ < < < i j - o o c — 1. . . c r

•uj L ^ i . £ g i f

g £ ë S S o ! ! ; ^ ' - - I ' S ^ ^

7. 2 X « 1 C i « Z _ l U l _ J - X UJ + U J

i ^ j : "IL-.. s s e Ï r . g i = ^ S . " . " ^ . ^ [ L " . c = ^ . ^ - G S " S é

? § § i ^ r s s 5 Ü : 5 X

O ^ r . _ ^

c ? " S £ S : i . X i . 3 ^ ; H o ^ 4 0 ? o J x u

. 2 a s ? T . r [ £ c ^ - z,::w^z ^ i- s P u . - 5 - t.>-^ ï:- . . .,

a . K x i - r o « i - < . - i - c . - c - u , o u j a : u j i x i - u j e - o e — - ' _ J U - I I > - " " . ' . ^ ' ' - " C S ' J f ' r t i i !

R„ 2%.? y " o C . - 0 " - - - J X t U H O - - < D O = C O C / l c Q w _ i a ! 1 7 " — 2 - U J < - " - U J ? r h - - — o T C C ^ l -

_ j . 5 O K C M " i - u J U J U J u j UJ u j u j - — CL — u ^ a : " U j . . - - c i : - o Q - - C . - . - O Z - -

i - . u j _ i o a - c i : o : c i : c i : c i : a : c i ; ' - < C i i : u j D : • . z c j - z - z o o r . - u . : ? n . ^ Ü J . - l ^ - ^ - ' - ' - ' : ? D — U I ' D U J C - w U J _ J . - . _ l — U - U J - O i -y - " i o ^ c é t S ö ö c . o c c c n o u j i - i i - c j h - < t c 5 « i o - m o o c c z u j . o i r u j u j u . u j u ' u . u j u j z u j i - 1 - . . z u j z u j u j u j u j 2 c £ u j

c i — I i « « _ i o o o i _ > o o o — > - z z i - - ' f c i - Q ; i o a : « 3 u i a o i ( J » < l - c ^ a o c c c o c c ^ - Z " - ' U J l / l l J I - - - - - . . .

_ i u j _ ) u j o u j c a r Q ' c i : c r : Q : o i : c r : i - - ' Z i l z u j

8 c c u J o c 3 : c D c D a a . Q . C L a Q . a u J Z . - ' . . „ , _ . c i [ o . - - . . - - - i / i - . . » c i ; i _ i -

• * o ( ^ J ^ J l r ^ m ( " - T c o ( ^ J > o o u ^ o l / ^ ^ - r ^ l n T O O ^ g r ^ ) r ^ - T C ^ O ( c l u ^ - o ^ - a : . t c ^ f ^ l u ^ c D O - ^ n J t D m l n . o c o o r M > ^ < ) « ^

^ ° ' ^ ' ^ ' ^ ' ^ ' ^ ' ^ " U J w r 4 ^ J m m m . ^ • s ^ ^ ^ l A l n u ^ l / ^ l n u ^ v 5 < J . O s O v O < } ^ - ^ - c c a ; c c C T < ^ C T ^

»— •~> »—

X \ •

<r

X w

tiJ u

* CC c c *> " «»

OC (\J c

0 0 *> II 3^

c • • U J

- 1 - H «»• U J i r u

X w 0 + 0 0 m U J u .

c 0 c K a : *•

c c c fM ^ U J

c — D — 0 Q r - i

- ^: = ^ ^ II w

*~i U . X

- u - - UJ •• U J *v 0 - I t-* f! - !i - II X _ J c ? - J fl 0 < »— - ^ >. 1—• w - U J

>- 2 0 ' - 2r 0 J —

• < 0 u , , - ^ «- > U l V -

C C C C C C C C C C C C > f h c t c c p - r C r - f N r - J

UJ < < < : < ( i ( r c r u t _ t _ " o > -C r (N ( \ fv r \ f \ fs. fV (N, (N (N * r c c c o c c c c ' c c c c a c C C C C C C C c c c c

c c c c c c c c c o c c c o i r v r c c c c c ^ ( v f f c c . c c

f v { \ f ^ ( v f s r - o . o o j C O c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c

c c c c c c c c c c c c c o c - c c c c ^ - c c c c c c c o . -_ j z - c a c > o a > / ^ t - : 3 > 3 r x > - > -(V O- O . 0^ O . O J O O O O : O O i O.' c c c o o c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c o c o r a ct Q o t c i ^ o ' c r a ü ^ a c ï ' o ^ ö ^ a

i r c o c c c o c o o o c o c . - ( ^ . r • < l ^ - c a c . - . c , - • ^ : ^ o c > > - > - > - > > - M < I < t D t ï J e P ( D U tM O J tN O . O . O ; f\' O"' f f f ' t^ 1 ^ ff' c c e c c c o c t r c o c o o c c o c c c c c c c c c c c oio^a.cLaLcc:cca.cca:-C£Ccao:.

o: z +

z —

c

c c — c c C I

I ¬C O o: <r

I t c H -U CJ <t - 1 t c

> z

• ' r - c ct; t n UJ * C c

2 - • O J

• „ OJ . - i U - u .

- O — z

II e o : Z U J

t c O . cc ^ L U U J t c c

c >

c >

• c

U J fvj > 3" C O - U J c I - c n r-1 c v>

_ X , - - -„ _ 2 - — ^

(-5 c l (J; O

~ 7^ -I ^ 7' a ct: r-H CÏ: o : h- H — I - K ' / i co UJ 0 0 t n <f >- \- Z >- >- < j 3 " 3 : r j O c - J c c ^

(VJ + hH UJ — O - J O z UJ II U J T

1) t v •~* 0" — r H UJ *— c 0 .

w O h - O + V . + 1 CD < > ^ X U J Z " •» r~l • 2 - X z *v — • f O- z C ï

2 > - X UJ UJ UJ **• r-* « + c Q. r— CD O O

- J C <— w UJ 2 U J •— - J ^ - ' c X X

U J c c c c Z * UJ — l / ) 11 O il

— h- *. " t-4 P-I - c •• • « •v. I t > " 3 • f • UJ UJ UJ c *H r H *w » • -—. c II — C _ J UJ O (/) c c \A U J 1 O Kf\ < f* •v.

a ' IL.- F H Z " — » J X - J ( E c t X z * c r »— O

i - i " t o : r p. tn •-^ C f U J n U J > UJ ». c V .

Cf 1—• < r-4 - J u . - ^0 » U I C L sO > - t It X w

U J a r _ j or * >— V-I » u . «*

G - ü - •> • K UJ l iJ ^ »- - O — » «• O O - H t -I f < Z " " •• II z : O z - z : te UJ •* O >- <

C rsi . X t - U i U - UJ - > UJ UJ UJ • <f O X <r . . < - J <r CC II X w w X rH II X Cf — X »*

*. c ^ I-* O t> • f • •• O ^ H X w • • h - X UJ X t * > c

c •—' ~ j f~ _ J U J — — — X - HH C O t f O tt UJ X U I X . < : ^ u . Z ' V-t z : U - > U - UJ II • »

» U J c < C < 11 < r-t II U . r— II < z < c c • » r < a X T »• r- > - _ J - - J •• O - j ^ X UJ

U J *~-< Cf X ÜJ O CD U J c UJ O cc V . X t -Cf c u . H *• _ J O - e O Z * O c c UJ " < w

2 - < t/^ » • w c C o c II U J • • UJ •> 11 UJ r z O z

O . t - X O X oc O CC Cf O O D ^ - > I z U J

t . O m ». " ^ V - X z t - tt II O X _ I - 6 2* «- — - U - 1 - 00 — U - U_ UJ < UJ t—

U J , < X r—1 X f* X w 2 - C U . f - c U i c >-* • co cc —. •»

c c >- c - Cf 1-1 w »-l w »-< X U J O - - =:> c - — Q - - X UJ O c t > 2r II K - C O <— u . X U - X u_ ^ c - II _ J c II UJ 11 - c < tl c a G U I

n *—> O H U i uo z - m t—• < Q c t D t - < > — UJ X J _

w w => > < >-* t_< • f> <r >—> O 00 •-H X —* - J X

< O O ^ CL' h - UJ - «. »- 'OJ - r - . h - UJ - Z CL li Of V . c < 0 . r-1 ^ « UJ 1—1 — — - c O r H 2r tl> O Cf z 1» t-H U i • • — »-* co

al >- w ». O.' O tl II tt il c n j - f V •w c _ J " o : U I _ J O II B>

< < O CS fNJ U J CïT X - > - UJ Q - l« i t «• UJ O - » c - U J O L 1 - 3 : UJ 3 »» It t—• U -

a ' *. 0- UJ c < II < fl z - C U . ' < rH U j P-I > rH U J ITi - O y- «• -. 1—1

z : t— o: r\i tt C ( - > ' 1 - X of - U . ' V - < UJ ) - w Q U ) K — u . z X u O z * • •• < *. Cf > - J < —1 <r < • c ; CL Cf LO _ ) a C f l / ) -^^ z : tx • C f IT" II < t».

o : ^ U J Z - < UJ r 37 UJ UJ - CO UJ # - 2* < - c - _ l CD M I—i

O- : z . a t - X t r > CT l ~ O ^ < O 21 < Q . C z 1- r- r-* I—1 »—• _ J - rH *— 1^ 1- —» •r I t z — X

L U e c r w w - w w w - II O c n r-t - II KT CD P-H w It ^ M O »» c X z e t—• a c .

Ol c . c * * O _ O U - I K »• C It UJ *» r. - O • 1 UJ O »- 2 c U - •s . U I U i of UJ D c : O < c r n >. f •> h 2 : 05 rH II CC r-* r-K O, II z ce i-H tl < w CD Q - t - 11

c . X X ». r H r~* •—< (-1 rH (—4 r-4 rH T~t . . II • • >—• II .-H r H i> H c t • 1 X H - co 00 »•

LU *. tr i O r - i v w •~' _ i O UJ _ J O h U J — ' _ J O • 1 rH UJ H - X •—• o • • •> X

O c : (. O O O O ^ O U i LU X .-t z : UJ U J X 2 r O O l UJ w 2 l / ) CL Cf O < X O UJ r H c -

c «M ^ 2 : n 2 : 2 : O CD - «- O CD - ' cQ - ^ _ H- t - U l II X II 3 II f t > > r~* (—1 »— • UJ - Cf UJ _ J l i c t u . UJ - Ct z - j r > %r. »—' n •* • » QC '»

a < H Cf Cf Cf: c t Ct &' Cf Cf Ct c t Z C J 2 : e f z : c z : 1* o: a z D < t - O t~ X z z X t - z Cr* or t - t~ t - f - 1- t - y- ^ h - " O . *—• - U - t_j - H >—• U - _ J * II z - 1—. >—' I k — -•

O Q ; cc •»f X l / ) </) t / ) LO l / ) 1/1 U J ( / ) Ct c : - _ j O _; C i / l o : O c c O »l UJ cc O il Cf c r < T <r t~ t - H - 1 - \~ Z - H - h - C U J Z " O UJ z l - C UJ Z i / l - J II c 'JJ U - II »• c UJ

U ' T: _ J _ J IX. Z ) ~» D ^ Z> O U - tG U i u . co UJ U - r o UJ c t UJ u co ** O co

- *-> cö CD < c c c b C ó - J O c m • - - - - a - - " UJ H Of - > i- •

• * O

— II

c

V , >

— V , ) _

:s » C O J X V w X

t - -ct: — C ï -

I c + O l ' ~ t o

c -X < — -tt » O l t n V

• O — O X O

X

> I

o ; •— >

It u . e "

X X -

O (T. O

C » > I K 3: •• I o ; o : > > — •

o ^ V , 2¬

— C O O O « C O J > I II I •• 3 X - v

> -~ • • 2"

— I N I r-i •V. - v — O C V ,

C h¬I U 11 < •t X

• - o : — - X + O 1 : r- — > UJ ^ — - O II

1 O V =) 3 O - O ^ C X -1 - 11 I ¬C • • O

X <t - X >

3

z

c <}• ^ CM i n 0- W (7- r H •O (7 rH fsj i n co —( m i n Ü O r n i n h - CT pH r g i n CO a h - fM m ^ h - co C\i

1 r H m ITi r H .-H r H r H

• c h -r H ,-1 r H

N -r H

CO co r H

00 r H rH r H I - I

<J' r H

O CM c g

O r g

o (VJ

O Cvj (Vt

rH CM

rH (M

r H f H CM «M

CM r g

CM CM

^ f-" c g <M fM

n r g

f*l "4" (M <V4

c c c c c c c c c c c c c > - t ; c c - c

u . c C X . - . ^ - : « - _ ; 3 c r r n- n- n c" r f < c c c c c c c c c c - c c c c c c c c c

Q a ' O O' Q 0' O c r a < - < • * ' < ? < r < < r < o r

c c c c c c c c c c c c c < c c c c O c Z ' C C C C C ' O L t - ' l / ' t / - t -

C C C C C C C C c c c c c e c c c c c c c c o c t a c r a o ' o r Q O Q C C

c C C C C C C C c i c c c c ^ . r c c r - c - , r v K u -z ? r ) D < 3 a : t c t ^ - u c c c c

c c * c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c Q o r o c t o a a c t o c i c r a

c c e c c c c c c c c c c r - ^ r n ' ^ i / < N c r o C u - u u u u u u u a u

c c e c c c c c c c c c c e c c c c c c c c Q (X CI cc a ci a a a a' oc

c c c c c c o c c c o c C ' - c . - c c c c c c r - r

c c c c c c c c c c c c c c c c c C C C C C C C o r c t c n o D C O c t o a a a o t < - « : < f « : < - < r < < « 3 ' < 3 ' < < r

c c r

r r 7

X

2-

+ »

• + O I Q : X

• V L U

c • (_) —' •—

I f

> > II ! - »

< - J or H X > - J 1

U - X

a ' c . > > * » II X

+ X f~( w

> cc « > 1-

X •» IjO > a : 1- z II X « < c

1 _ J _ l _ J > _ J »

I X > > I f •» U J r g .—, • - « a 1

Q- 1- — -1 c « » X

r-* < V X - IT' c o I • V 1 - w ^ U . ' •—- i - j 11 <v _ l + « I f U J - I I t V . U J X .— "I" I f 1- c

l>0 ,—. 1- - J ijO + •s .

w # - — *^ - c :^ a : 3 O O C X o • V 1 II Qt: c : X t l ' Oc II < ^ CC '• c I U J > X • • X

< 1- - o : + X I> B + 1 X -

UJ < _ l T + CC C - J CL- > z _ l I C 1 - > > I f U J

U J _ i K a : w - c . « X X o : U J z T » X O c a : > H

C 3 11 I T II - i n > 11 -( - • « - . • • . . V t f • « I t O

U- c - - I X O 1- — I - I o _ J w

_ l " - X 11 o - - . 1 • > 1 U J X O - *• < X X II o t f V

c C - U J X X - s II I I 1 a: V + 1 - r ^ I I —s l/> X

tjO 11 X » 1- X O I f 11 CC I - • ' V , u - X 1-: a: • • 1

1—1 1 • < z 11 X Q

u . V , II X 1 - c T 1- , I I X r ! « •• * t-J II - O 1- I X I f c

Q : X X ^ < tt U - U J o + I f X X

UJ X - ' - J X ts »— t c < —1 f X — - 1 1 cc f t* I — - > > o II -

Q : C U J I t U -

a X U . « 1 U J _ l i : w - - ~ I -

o

- J o

- J

»T s r i n 1>J m i n Cf o O r g sO

vO ^ IS- r - <c t c t c CO 00 (M r g (M r g r g r g r g r j r j r g t \ i OJ

 1—< r H - J 00 — 00 X —- I f X C

C Ci X 1- a • r> O + t-H <— — <

o < tt u c cc X # _ J < — 3 }-> fsi _ J X cc c c ? X

1 U - + < .—. > u . X X o X O -

X > > > tt c

» - t f »

- tl + II I f (/> c < C " r~t > OC X O + •> — k_ « » ft - C " I f

UJ V . V , i n O —^ O •—. t f

> «•> - c t .—. > - •f B tt V . rH

* r-> X • - >- c tt CO c rv.' X 1 .— *T - J <^ < w I f X r i r + "V X

X C t - h - tt • UJ -— f-H 11 Ct < - J r H O O — < K -

c t ft • a < UJ e •w * »—< >— <• —

« _ O V H - tt tt < X Ct U - X 21 O c * >^ Z o »— + <f • f UJ O V . »—<

r r c c X UJ UJ 00 >~t X 00 —. 1 - 3 O c : X OO X » - X X OO X 1 - O UJ

X X w + c K a O c A r > X CO

I 1 c c H - + O u X c — 03 tt -r H O » c o tt « - t * 11 — X -1 . -1 Ct c rv: X r— X X X V . 2r C t + CM •V. il - 1 O I X c rsj * m 1 UJ

r ~ C Ï : 1 w V C J X + « o w Q X C 1 r h- f—. r-« V tt > X C r H -

— 3 U 1-.— u I _ j > V C < -cc o tl <f cC cc cC X tl tt < X UJ r H X T X

I X c X 11 i 1 X h- - ^ tt It

a 1 «• O - J > _ J U_ 1—• c O V •—< X i : > tt UJ HH 21 + h -

6 + D : IT". O - c tt cC i n «• *—• •—« X X o ' V (*• « < 2" X _ J • tt • • 2 r a ' Ct I f II < w - O X >—< . ' > o - J WH >- •f 1» X

II M ll G II o - tt + c 00 00 c t - » M a . UJ u . IT, tt r H Ö- U J 2 : o O U -

r H M C O < UJ e cc >-< • < w * r ( E UJ < <• l - J

< < < X - X - > < C Ï : •- o O - X > -

< — c I f K e — o -- < I . — X ~

11 t r ^ i _ B -

- c — • = ) - i - i _ j

- < , - . X H

rs i c

- I C r - . O C - It

f . O - 0 » 1 —

o - • • -^ I f 1 - r g — I - Z O C < 3 + n I - - i - J O _1 c X U - II

I C 0- >• t_ ^ U - 1/1

U - I - O <t t o I f

• a X X «

l / l » — G — 1/1 V . ^ Q ( M X - - ,

zr z ^ -

o o • < <

X X

2 tM • O l f . I r - l • I - U ' I O z • V t - t I - _ j : i_> - ' < z I X - I I . 1

U . U J I *-t r c :

a : - ^ _ I U l I t 00 - CO CD ^ I - 11 U l ct:

- 3 H K a : < e C u o _ j X U J I f « 

X - X X I ¬I - r g - - I - ^

„ 0- I ¬X - - . o

t. < w - s t < .-t X U J t - i fM 1 X — X z X — O A 1 - o < cc Z I - _ l 2 Z X U l

W X »-•

w X fM

: CC <- <t z cc cc . 1- - X ^ I - I .

I O O t:^ - e 00 t / i 1¬1 - Z U . U J I - I - o

• n U J fM to T r J < : c - - - o o X

w X

£ " c z X -

I oc — c ^ U -X -V -^ z H U l O X Q II w » » I t H - i n O O

OJ U « O C -tf c — I f X — ^

X II 11 > I .1 • • c

Z — « II ^ - < •t z z c fM V , w c + - I - > - H Z O O O I - < c UJ c c

c fl

D

c > fl

II " • .1 cc CC U J UJ c

Z l-M 1-1 + I f >

O z I f z > -X • - X H O C .1 o: 00

U J U J II X to • • - II > - I . z C I - kM Z O X

U J <( O - t r i / i

I op f o s4- i n i n r - (JS

•4-

C C C O C c c c c c c c c c c c c c

UJ i - C C U l a C ' I 1 - - ! ^ . t i r i r i r i r i r . i r t r

<r C C C C C C C C C O C C C C C C C C C

o r o r o c D C a O L a a ' ü r « r < ' <r - c < < < <

t c

r> c >/i

+ X •

•—•

• u o; — U J

rs-z ^ z

>•

cc u . c CL CD 1-i f •• c fM " O

(\) + c • f u

_ J d 1- * f

0- u.' " o rM H cc < fM

r -

I N U J _ l II • U J

*v l / ^ n O

0- _ l 1 - O < r g U J Z D

•- C t f

u - - 03 f—

o - " r ' . f <

U-- U J U I C . Q X X U J Z S f

< H 1 - 1 - U J f j U J - - O O < - j ^ Q- - #n LU U J » v II O •Sv CC o: - 1 - J II X z

r. U ' U J •< » v t—*

t - 1- 1 - X Vrf f

U - •Sv - - y- z . - J — u . o ; o • f t—« U J 1- — O <( 00

K - > LU r - II - II _ J ' v c c

t-i >• •* «• O H -C c ; _ J 1- <-s >- »s —

CL CL U J O -•s 1- O z u . II 1- - t X s - LU

X - X s-s LU o : X

CL a z II s— C U J K U J • — W H c . z LJ> -_ J - O c U J C

U . LU — C LU K - II

CL i - j nü O > z z ^ • - - X « f O •M If

O z z u . O U J »-J

- J t " O 1—1 O = )

_ J <

O f - i i r i os r g m i n

1 - sO s ö sO •0 r -t/1 r o m f* r o fO m

z z

z

c

O z

ComputkrSyrn LooL

fll

n z

f?3

B&£G

BOUD

C

CoS

J)i

J>i

2>S

DV VELTJ9T

DHDT

HBEGIN [ x l

Hncr /Tv7

Houb M

HL

HM

HG

HO M

mea

V

VEIL

PHld

War Icel^ke. $tjfrtiool-

a

^1

Hi

Z

Cos oC

Cohayt cC

d z

dl -I- dl

T

Maat ' ' o o r ru.wh<uai i/cu^ het taUiU

Z/e (VJÜ

Hoe\fee.Llreid êLorê.!-, yt/a-kr loi/Ci-, oU. do^rsâc/a

X=:o op h-ct Uy^éôi/it-p é=o

Hctefeelhetoi êlxirfa^ Wotir hove*-, oU deforJtÔe^

X - o op het î-eMu/st. éyc/stcp t j+i

Hoe\/ee.(MeioL ê.l>orê*r ulatZr êoên da. daarjuaaf-e.

X = o Op hei OU-OLA 6<^'oi.séip t j

ProcaoUt.r.e Voor cU L>e,reUe.»i'fr(^ l/at^ oU. L&rqi^g

boi/e^ cU. pL'-^rSMcia. X = o

Z,V / / .

Zie f<3 ly.

Jle iijotsta^ éuSU*-, tuee. op/oliêi-xc^ tijd sli'ppe.t^

U/aei-rop ciU. ôlfton^ u>oraC& hereîôl

Oy\oUrLiiige. afstcLtôi ius^n de, citScr^t^ Jbutttê,»

Op, ttat tci.Lu.dj U/aa.r- dt Ul^li'rLxaôC<i,&.*., « < 7

Tertn ui.t i/zrfaiyLtl,^ C'/.Sl)

UJo-ttr laa.^ aUUti*, gp he.t > 7 / e t aée. tydsWp Ji^

. m ir- e / M . ^ M t . , . •

J<i.,(HÜ £[(H>i) Ii,,(ll^) H. rechts

WatirLaagdikte. Onê'ê&r / » / » ' « r n / « ^ « t{jcJthi.p t j tj-n

liJaUrLAa^ oUUti L,J>.\^. K = o (ra.t\e(UooriA/ciôU. ) , Honfe<dhe4U IH ijevoerci tt/o&r oUnr c^Bor(tx.t.^ )izo

/A «&n i'jdstap ^ b

TLoâlrS aU u/cdirt^p M op het talbot k.h

tijde, t =o

Tlaais l/OM cU. u/A^ttj> /y Cp Act ba-Luot Ojt, ti&t

/J/Ctcu/fc tjc/st<.p tj^./ j Uci'ê.d.ru.i^ /A Ax.

P/aais I/a» dt. U/atlrtop H Op het taLu.d Op Aeé'

O Looit. tijdstip t j j U<.t<ôiri^Lt / „ A X.

tlojttAl htalet-, ctai dt. ô/féon^ J>er- ôl^^ri'oc/c,

Inoe^ uporde^ O^êdru.id' .

ô/fpe-rioo/a.

Z e CV./J

PRI KIT r UreL]

R

SoMXNi/

r

TPBH ••

TPH

VEL

mECrIN CKI}

Vf)CT £ K J

liouo [ x l

VL

\/M

VR

V M f i a n

W

WH

X

XliDK

Vk

vl

4. ^.

VM

Id

TydsWppt^ UJa-arop Voor iedere tfo/f^Ji^nodc de

^plfhon^Z^ ^peJju., Morden a.^jzx^lru'td y uitêdruJot

AL.

?laah i/aK hat cé'ScreJz ^c.^,é Op /fe.t taUud direLt

Ohdtt-r d f t t y , a r k ^ M , u^tfftdrudié //,' AX { [ ' a ^ e / V j

Ovtr Alii. l/crora-^îSLattoLi bijdftapp^^ ê.SOh-i^rd*-.

ho&i/'cdheid l^nêvoerd ivakr door da. doarSfêoie X = o

lïfd UfêdruAi A if"

Tohacd aanta-l èijdstappe^ A t d.a.t é j d i ^ S da.

ddntaL i'jdsbcpp^ jte^r ô/f/>&-i'odt.

De é'jdsfaSz eon ^n'ode. Ui-têdru.ib l*i - d ^

Tel^rooéhetd die wordt êi/rd^Lt ib'j Hat lêpaJei-,

Van heJ: ki^dskip U/aarop de. ô/pk°>tJ h-toeAr U>oroiet~

&^êdru.L6 ,

klaterdeddjeSSmeLkede^ ^ é j d t . i.=.o (jLey/A uoorWaa.rdaJ

Watiirdedl;/e.S(i^&ihede4^ Of, k-ct n/Auuê t ' j d s t c j , t/î

' \ A / A t l r d e M j € . S o p het ouda é i j d d i p t j

ijroothediH, êMrulLt i j de. if^rÂc^t^^ i/ay, ale.

Wadr de.e.ltje4Ct^dA£.4d Cf} ke^t i/olê^.,o/e. k<î=(^6'ij.

PI.- tn;dM^

H/iidî-) vY(M) fît (tin)

ShaLiieid {/ojn de. ld.ta.rstt. Wakriip M op /}et hegiM -

t j d s t t j , t

Sne,(jidd I/OM d& udj.rs/a uloÉi-r tip M.

Tie VerêlijlcjA^ ('/•Ij)

TerM uit ve<jei)i.i^^ O/.i.^)

PloAtj op /jet taUud J udydri^Li /y, £iX.

Totaa.l (Xaittcl diScrcli. Cd.tê:2^,.,d^rU het

1 . . . . - . / t . n ./ V r— - f-..

L'J^^r-^.s^ ,h?ct todui.d he.(e^cX /i.

r= 1 .38

G O L F O P L O n p 1

S E C ; G * T = 1 3 . 5 2 M / S E C ; G * T * T = 1 8 . 6 6 H;

I N V O E R G E G E V E N S :

T A L U D 1 : 5

D E L T A X = . 002140 X M A X = 30 O E L T A T = . C 2 0 0 C 0 T M A X = -iOO M = .C26 ' ï f ' 0 V M A R K =+ .074000

B E G I N V O O R W A A R D E N : H= - 0 0 ) 1 2 0 . 0 C 0 5-50

. 0 0 2 8 6 0

. 0 0 0 3 5 0 .002620 .000130

. 0 0 2 3 7 0 . 002120 .101890 .001620 , 00 n 00

V = + . 0 1 7 4 0 0 + . 0 1 O 0 0 0

+ . 0 3 1 8 0 0 + . 0 3 7 5 0 0 .020600 .055000

+ . 0 2 2 2 0 0 + . 0 2 3 7 0 0 + . 0 2 5 2 0 0 + . 0 2 6 3 0 " + . O ? 7 3 0 0 + . 0 2 « 5 o n + . n ? 9 s n o

R A N D V O O R W A A R D E : H0= , 0 0 1 1 4 0

. 0 0 2 4 0 0

. 0 0 1 7 3 0

. 0 0 1 1 6 0

. 0 0 2 6 0 0

. 0 0 3 0 8 0

. 0 0 2 3 2 0

. 0 0 1 6 7 0

. 0 0 1 1 2 0

. 0 0 2 8 7 0

.003010

.0022 50

.001620

.00 H O C

.003120

. 002140

. 0 0 2 1 8 0

. 001560

.001120

.003230

. 0 0 2 8 7 0

. 0 0 2 1 1 0

. 001500

. 0 0 1 1 5 0

. 0 0 3 2 4 0

. 0 0 2 7 9 0 , 0 0 7040 , 001450 .001230 .003270

. 002710

. 0 0 1 9 7 0

. 0 0 1 3 9 0

.001400

. 003280

. 0 0 7 6 3 0

. 0 0 1 9 1 0

. 0 0 1 3 3 0

.00164-0

. 003260

. 0 0 7 5 5 0

. 0 0 1 8 5 0

. 0 0 1 2 7 0

. 0 0 1 9 6 0

, 0 0 3 2 3 0

. 0 0 7 4 7 0

. 0 0 1 7 8 0

. o o i 7 i n

. r . o 7 7 R O . r 03 1 9 0

E I N D E I N V O E R G E G E V E N S ;

C CJ O co c O- ot) t r O CT r o CT-c c c (<• C s t cc (T C >C r \ CT c c c u- C h r g rM C CT C f

i r c IV' •c a - P-I ( \ ' - C r - I f . O <r cr c r \ c 1 1 c r r s i n c

0 (. O- c 17 r - . O c CT -O c C ( S c — c rv c r - c c c

c c <r c c c c c C C O c • • • » • • • • ft ft ft ft + + + + • +

C c c ir, c t v c r c c f>j cc h C c C r r cr O - t 0- C rv; O c c c c — C . - - t c rM i r OC ÏV C C J m rVj r - l rM rvi r g c f~ O

r- l i r C rM 1» cr c . - s t cr c — cr O h . - cc c ^ ft- m c c r c ^ C rM C rM C C C

C C C C c c c c O c O O • * • • • • * • ft ft ft ft + + * + + +

c c c u- c e 'M •f C (V' c c C C O CD c:- rrs CT or O CT O rM

C c; C c m sc tO c t r i n ( T cr i r c cc r r CT rs CC i r rM c

r r r c c m s t c CT t n evi c - t — r c • t ^ c - t rM i r c • - i C O ' c -M C - M C -M c c c c c c- c C C C C c C O c • 0 « 0 6 0 B 9 ft e e e

+ + + * rM t v r g s t

a c c -' O s t -O O O ÏM O r - s t 1^ O O O - O O c rvj rto O m O O rVj rM c O O r g O c r O OT rri m O i n rM g :

%}• r j c s t s t i r c r g O O s t c r g c cc sC G c c f- rM e c O t r fs- sO O

• tM r-4 sC O r g rH O c c r g rM r o O ' M c r v O — O - • c c c - ' C O O O O C O C O c c O C O O O O

• • • • • • • • • ft ft ft ft ft + + + + C ' C + + O <r * - f r<v

c rM rM

c O O O K i O 0 cc 0- 11 II i r . O fM fs- 00 s(- C . O O •O r o C s t CT- O rM O s t CT oc

C C Q c o i r s t c c z oc O c r r r g r g c O CT- O - t O O r g t - UJ O O s t gD O

0 r - OC O e r~ CT sO O tJ ! C ft r ^ cc i n O c — if- O O O rM s t O Ot: > c O rM rM O + • - i O r v C J 1 O - 1 C l UJ z + rM O O C

C C J O O O C . O O co 1-M O O O O

• * • • • • • • • ft ft ft ft ft II + + II •f * z > 11 ic UJ UJ

a oc c c cc < C O C s t c t c cc <c 1- I < O CT t- i rvj

O O C Csl O O O rM O O sO i r

> O O O O > O m t n cc a r T > O t-M r o .-1 CM O i r i sO l ~ s t C s U O g J sO O

i r r J t - O m rM r r c t/1 t / l i n CT f - O oc rsj f c O op rvi r g O t » » r to rM O O O O r s . O tD O O c O O c O O O O O O O O O O O O

• • • • B • • • rM sO ft ft ft ft + + + + rM r o 1 1 c r o r g r g O rM O (Tl — c c O O O r-s •-t c- m CT- C ' O r r tr . f - O O O O s t s t sO O i n sO f --0 O O C -O to O r - O fs- O rM rM O O oc O CVl - O rM O CT-CT O

O O O <N r g O m i r c r r OC O c c r g O t r c r h c r o m O O tNj K c- m O r g i n rM rv; r g -O fCl O O O O r g cc r g O r g s t fTi O

• s t rci rst O • s t r i 0 - O c r O •C S j t ^ O • s t O - t c cc O g j O

c •O csi rsj O O sC tV' O c 1^ O r g O O O O -0 r g t r c O rM O O O r \ O C C rM fVv w O o • ft O C O c rvi ^ O O

11 O O O O 11 O O O O O O O O O O II O O O O O O O O

3 • t • • • • • • • « ft • + + 3: ft ft ft ft ft ft ft ft + + * •¥ ' 1 II II O

1 1 + +

c O e fs- cr O c i r O sO i n O r g co z a: O r < rM g j c C ' rM g j C O C T- O O O rM c rM r g O sO s t o l-M UJ O t - fs- i n O CT i n rM

O O c m O O O f - O r g u " rM O r g i n s t O c O - t -O (O O f~ O P-M O <r> r \ ) C irv O- t^ O o O cc rM i r tvi t o O s t o oc > O c c (3- f-- rM oo rM f^ O O CM sO sC c gs rM O O r g r g i n s t O •c s t rM o U J Z r g r.^ ^ G sO • t f^ O c • t r \ j r r O i n O m c co s t r g co O i n c O O tO ft— OO s t r g g i O i n O r g O c. c O r g c r g c i n c r - O O O O r j O rM O ft ft N C ' O O O r g O O O O O O O O O O O O r g O O O O c O O O z > r g O O O O O O O O

c * • • • • • f • c » • t • • • • • L U UJ O ft ft ft ft • • ft ft • * + + + • •f + •f + O C ft 1 1 •f + O c O 1- I O O

11 O O O - t O c O r g II C CT- s t sO O O g j II O i n g> i n O O f -O U I O O c r o O O O rM U I O r<^ 00 r g O r g oc rvi U l O r g g3 CD O r g sO sO

c X O O - t O O O m rM X O -O i n t n c t c r r O r g X O r o r g O O O r g r o 1^ • t s ö O m s r i n O rM rM * t i n s t rM - t to rM rM t*i s t CT^ CT- r g s t i n os O O .-s c r O O t n (Tl i n O .-1 sO r O i n -O CT O fs- rM r g O ü i n fs- oc O O (M r g O- O m O O s t r g tvi i n c m O • t O >t r g r g CT- O o t O O O O r - . tN c r r . O rM O O O c rvj rM c s t O O O O r g O O O O O O c- O O O O O sT O O O O c O O O • t O O O O O O O O • • » • • • • • • O • • • t • • ft • O ft ft ft ft • • ft *

O * + •»• + O + + * + O 1 1 + + O O

II O O

< O O O c- O O O fs- • O O rri fr^ O r g fs- to • O O - 1 O O - O 00 i n • O O O O rM O O O rM O O O O CO rM O m o i n O O O O - t OO O 00 rM g j

O O O O s t O O O cn O O O - t r~ O CO r - O O O co t o O fs- 00 i n O O r g O uo O <r O rM O O CT- m O O co 03 t-M O O O CT- r J O rM t O

z O O - 1 ~t O - t t n c c O II O O i n O s r 00 r - O II O O s t CT O t O i n O <t O O r n r— O r-t O O O u • O O r g r g O rM O o- O t o O O r g rM O rM »-l u-i O 1- O O O »-* O tsj O rr i O z rM O O O O r g O f - i O z r g O O fM O r g o O O 1/1 • O O O O O O O O » O O O O O O O O ft O O O O O O O O

a. O • • • • • • • • O O • • • • » * • • O • ft ft ft ft • ft fl t u + -f + + o : + -f + •f ot: 1 1 * * UJ II II 11 II !L II (1 11 N U J II II H II n n Hl a u UJ II II 1 II JL II H II n

t- X I > O X X > O as 1- X I > t i ï X > a co X ± X » X I > O

B E R G I N G = 0 . 0000421163 ; T n E N . 8 E R G I N G = • HDEV.INVOER =

-0 .0000007632 -0 .0000004603

:SOM TOEN.aERGING= ;SnM HOEV.INVOER -

+ 0 . 0 0 0 0 0 0 6 4 5 ? +0 .0000076733

0.300COO XE= 0 . 0 2 7 8 2 0 M= 0 . 0 2 8 2 6 9 VMARK = +0 .002858

X= . 00000000 . 0 0 2 1 4 0 0 0 . 0 0 4 2 8 0 0 0 . 0 0 6 4 2 0 0 0 .OC856000 . 01070000 . 0 1 2 8 4 0 0 0 . 0 1 4 9 8 0 0 0 .0171 2000 . 01976000 H= . 0 0 2 0 4 0 0 0 . 0 0 1 9 5 5 7 7 . 0 0 1 8 7 3 3 9 .D0179447 . 0 0 1 7 0 7 6 2 . 0 0 1 6 2 4 6 0 . 0 0 1 5 2 0 4 9 . 0 0 1 4 1 2 7 7 . 0 O l ? ( C C , o e ; . 0 0 1 1 0 4 0 3 V=- •-02536070 - . 0 2 2 6 7 2 3 8 - . 0 2 0 1 7 2 3 4 - . 0 1 7 7 0 7 1 7 - . 0 1 5 3 4 1 9 6 - . 0 1 3 1 7 6 4 1 - . 0 1 0 9 7 9 5 1 - . 0 0 9 1 ' ) 5 9 0 - . 0 0 7 1 2 5 3 8 - . 0 0 5 5 6 7 6 5 Q=--.0000517'^ - . 0 0 004434 - . 0 0 0 0 3 7 7 9 - . 0 0 0 0 3 1 7 7 • - . 0 0 0 0 2 6 2 0 - . 0 0 0 0 2 1 4 1 - . 0 0 0 0 1 6 6 9 - . 0 0 0 0 1 2 9 8 - . 0 0 0 0 O < ? o « . - . 0 O 0 0 O | t , x 4

X= .0214000C .02354000 . 0 2 5 6 9 0 0 0 . 0 2 7 8 2 0 0 0 H= .00089511 . 0 0 0 6 5 0 2 8 . 0 0 0 3 7677 . 0 0 00 39 80 V=-- .00364346 - . 0 0 2 1 9 5 9 3 - . 0 0 0 1 9 8 5 3 + .00248765 Q = - - .00000326 - . 0 0 0 0 0 1 4 3 - . 0 0 0 0 0 0 0 7 + .0000 0022

B E R G I N G = 0 . 0 0 0 0 3 6 9 3 3 3 ;TOEN.8ERGING= -0 .OC0O01181O ;SOM TOEN. BERG ING= - 0 . 0 0 0 0 0 4 5 3 7 8 HOEV.UIVOER = - 0 . 0 0 C O 0 0 9 5 9 4 ;SOM HOFV.INVOER = -O.OOOOO12175

Ö3

C 5 i

a.

0 .400000 XE= 0 . 0 2 7 8 2 0 M= 0 .028451 VMARK= +0 .000560

X= . 00000000 . 00214000 . 0 0 4 2 8 0 0 0 . 0 0 6 4 2 0 0 0 . 0 0 8 5 6 0 0 0 . 0 1 0 7 0 0 0 0 . 0 1 2 8 4 0 0 0 .0149800O . 0 1 7 1 2000 . 0 1 976000 H= . 0 0 1 7 3 0 0 0 . 00165310 .00159231 .00151591 . 0 0 1 4 4 2 8 9 . 0 0 1 3 4 9 5 2 . 0 0 1 2 5 3 4 0 .001132O3 . O O O O <3'5ft3 . 000R4367 V = - • .03794076 - . 0 3 5 7 6 0 8 0 - . 0 3 3 5 4 6 7 4 - . 0 3 1 2 0 3 7 7 - . 0 2 8 9 7 6 3 3 - . 0 2 6 4 2 9 4 2 - . 0 2 3 9 9 0 9 3 - . 0 2 1 7 2 9 2 0 - . 0 1 8 5 7 7 9 9 - . 0 1 5 6 3 5 5 1 Q = - • .00006564 - . 0 0 0 0 5 9 1 3 - . 0 0 0 0 5 3 4 2 - . 0 0 0 0 4 7 3 0 - . 0 0 0 0 4 1 8 1 - . 0 0 0 0 3 5 6 7 - . 0 0 0 0 3 0 0 7 - . o o n o 2 4 0 3 - . 0 0 0 0 1 8 5 7 - . O n O O l : i l q

x= . 02140000 . 0 2 3 5 4 0 0 0 . 0 2 5 6 8 0 0 0 . 0 2 7 8 2 0 0 0 H= . 00067166 . 0 0 0 4 8623 . 0 0 0 2 9 4 3 4 . 0 0 0 1 0 5 8 5 V = - . 0 1 2 7 6 4 7 5 - . 0 0 9 4 5 5 0 8 - . 0 0 5 6 5 0 7 6 - . 0 0 0 4 1 5 1 8 Q — . 0 0 0 0 0 8 5 7 - . 0 0 0 0 0 4 6 0 - . 0 0 0 0 0 1 6 6 - . 00OC 0004

B E R G I N G = 0 . 0000303199 ;TOEN.BERG ING= HOEV.INVOER =

- O . O O f 0 0 1 3 9 8 8 - 0 . 0 0 00012676

:SOM TOEN.BERGING^ ;SOM HOEV.INVOER =

- 0 . 0 0 0 0 1 1 1 5 1 2 - 0 . 0 0 0 0 0 7 0 0 1 9

0 .500000 XE= 0 . 0 2 7 8 2 0 M = 0 . 0 2 8 1 8 0 VMARK= - 0 . 0 0 5062

X= . 00000000 . 0 0 2 1 4 0 0 0 . 0 0 4 2 8 0 0 0 . 0 0 6 4 2 0 0 0 . 0 0 8 5 6 0 0 0 . 01070000 . 0 1 2 8 4 0 00 . 01498000 . 0 1 7 1 2 0 O 0 . 01976000 H= . 0 0 1 4 5 0 0 0 . 0 0 1 3 6 8 9 0 . 0 0 1 2 9 0 5 2 . 0 0 1 2 1 5 0 4 . 0 0 1 1 2 4 4 6 . 00103378 . 0 0 0 9 7 q i 6 . 0 0 0 8 1 0 9 3 .0007OOO<; . 0005747?

v = -• .04935164 - . 0 4 7 4 5 3 2 1 - . 0 4 5 0 2 0 3 1 - . 042602 53 - . 0 3 9 9 1 5 3 6 - . 0 3 7 1 9 5 0 3 - . 0 3 4 2 4 9 9 6 - . 0 3 1 7 9 1 5 6 - . 0 2 8 1 2 3 4 7 - . 0 ? 4 8 7 7 f t g Q = - • .00007156 - . 0 0 0 0 6 4 9 6 - . 0 0 0 0 5 8 1 0 - . 0 0 0 0 5 1 7 6 - . 0 C 0 0 4 4 8 8 - . 0 0 0 0 3 8 4 5 - . 0 0 0 0 3 1 8 2 - . 0 0 0 0 7 5 6 6 - . 0 0 0 0 1 9 6 9 - . 0 0 0 0 1 4 7 0

X - . 0 2 1 4 0 0 0 C . 0 2 3 5 4 0 0 0 . 0 2 5 6 8 0 0 0 . 0 2 7 8 2 0 0 0 H= . 0 0 0 4 4 5 0 4 . 0 0 0 3 1 4 3 7 , 0 0 0 1 8 6 1 9 . 0 0 0 0 5 7 6 0 V » -• .02125490 - . 0 1 7 1 7 5 8 3 - . 0 1 2 0 8 9 9 2 - . 0 0 5 3 6 7 1 7 Q — • .00000946 - . 0 0 0 0 0 5 4 0 - . 0 0 0 0 0 2 2 5 - . OOOC 0031

BERGING» 0 .0000230281 :TOEN.BERGING» HOEV. INVOER =•

- 0 . 0 0 0 0 0 1 4 7 5 0 :SQM TOEN.BERGING» - 0 . 0 0 0 0 1 8 4 4 3 0 - 0 . O C O 0 0 1 4 2 5 4 ;SOM HOEV.INVOER = - 0 . 0 0 0 0 1 3 8 7 9 ?

T - 0 . 6 0 0 0 0 0 XE= 0 . 0 2 5 6 8 0 M= 0 .027361 VHARK= - 0 . 0 1 2 0 2 7

X« . 00000000 H= . 0 0 1 1 6 0 0 0 V = - . 0 5 8 1 6 8 9 1 ( }=- .00006748

,00214000 ,00105351 .05637094 .00005939

. C 0 4 2 8 0 0 0

. 0 0 0 0 7 0 3 4 - . 0 5 4 0 6 1 6 9 - . 0 0 0 0 5 2 4 6

. 0 0 6 4 2 0 0 0

. 0 0 0 8 8 6 3 5 - . 0 5 1 4 0 5 7 6 - . 0 0 0 0 4 5 5 6

. 0 0 8 5 6 0 0 0

. 0 0 0 8 0 3 0 9 - . 04868338 - . 0 0 0 0 3 9 1 0

. 01070000

. 00071468 - . 0 4 5 7 8 3 6 2 - . 0 0 0 0 3 2 7 2

. 01284000

. 0 0 0 6 2 5 1 4 - . 0 4 2 8 0 2 7 9 - . 0 0 0 0 2 6 7 6

. 0 1 4 9 8 0 0 0

. 00053181 - . 0 3 9 6 3 4 2 0 - . 0 0 0 0 2 1 0 8

.01712000 , 0 O 0 4 ? f 6 7

- . 0 3 6 2 6 6 9 7 - . 0 0 0 0 1 5 8 7

. 0 1 9 2 6 0 0 0

. 0 0 0 3 4 3 0 7 - . 0 3 2 4 8 7 8 2 - . 0 0 0 0 1 1 1 5

X= . 02140000 H= .00024908 V = - . 0 2 8 0 7 0 2 2 O » - . 0 0 0 0 0 6 9 9

. 0 2 3 5 4 0 0 0 . 0 2 5 6 8 0 0 0

. 0 0 0 1 5 9 1 3 . 0 0 0 0 7 1 0 3 - . 02322270 - . 0 1 7 7 0 1 9 4 - . 00000370 - . 0 0 0 0 0 1 2 6

BERGING= 0 . 0 0 0 0 1 5 8 7 3 0 ;TOEN.BERG ING= - 0 . 0 C 0 0 0 1 3 5 1 9 HOEV.INVOER = - 0 . 0 0 0 0 0 1 3 7 5 5

;SOH TOEN.BERGING= ;SOM HOEV.INVOER =

- 0 . 0 0 0 0 2 5 5 9 8 1 - 0 . 0 0 0 0 2 0 9 4 3 2

0 .700000 XE= 0 . 0 2 3 5 4 0 •M* 0 . 0 2 6 2 1 8 VMARK» - 0 . 0 1 2 4 8 2

X= . 00000000 .00214000 . 0 0 4 2 8 0 0 0 . 00642000 . 0 0 8 5 6 0 0 0 . 01070000 . 0 1 2 8 4 0 0 0 . 01498000 . 0 1 7 1 2 0 0 0 . 01976000 H= . 0 0 1 2 3 0 0 0 . 0 C 0 8 4 2 5 5 . 0 0 0 6 8 3 1 2 . 0 0 0 5 9 0 2 6 . 0 0 0 5 1 3 4 3 . 0 0 0 4 4 0 0 9 . 0 0 0 3 6 8 4 1 .00029831 . 0 0 0 2 3 1 0 8 .OOOlftft^B V » -- .05248970 - . 0 6 0 2 5 0 2 6 - . 0 6 0 1 9 1 8 2 - . 0 5 8 1 2 8 0 4 - . 0 5 5 3 4 0 1 9 - . 05225530 - . 0 4 8 9 4 4 2 7 - . 0 4 5 2 8 8 1 8 - . 0 4 1 2 3 7 8 2 - . 0 3 6 3 8 3 1 1 Q=-. - .00006456 - . 0 0 0 0 5 0 7 6 - . 0 0 0 0 4 1 1 2 - . 0 0 0 0 3 4 3 1 - . 0 0 0 0 2 8 4 1 - . 0 0 0 0 2 3 0 0 • - . 0 0 0 0 1 8 0 3 - . 0 0 0 0 1 3 5 1 - . 0 0 0 0 0 9 5 3 - . 0 0 0 0 0 607

x= . 02140000 .02354000- . 0 2 5 6 8 0 0 0 H" . 0 0 0 1 C 6 7 9 . 0 0 0 0 5 5 8 2 .00001121 V=- - .03004943 - . 0 1 6 5 9 7 2 7 - . 0 0 1 3 8 0 3 5 0 = - . 0 0 0 0 0 3 2 1 - . 0 0 0 0 0 0 9 3 - . 0 0 0 0 0 0 0 2

BERGING» 0 . 0 0 0 0 1 0 5 2 5 9 ;TOEN.BERGING» -O.OCOOOO8214 HOEV.INVOER = - 0 . 0 0 00012878

;SOM TOEN.BERGING» - 0 . 0 0 0 0 3 0 9 4 5 2 ;SOM HOEV.INVOER = - 0 . 0 0 0 0 2 7 4 9 2 0

T= 0 .800000 XE» 0 . 0 2 3 5 4 0 H= 0 . 0 2 5 9 2 4 VMARK » -t-0.00145 9

X= . 00000000 . 0 0 2 1 4 0 0 0 . 0 0 4 2 8000 . 0 0 6 4 2 0 0 0 . 0 0 8 5 6 0 0 0 . 0 1 0 7 0 0 0 0 , 01284000 . 0 1 4 9 8 0 0 0 . 0 1 7 1 2 0 0 0 . 0 1 9 7 6 0 0 0 H= . 0 0 2 6 0 0 0 0 . C 0 1 4 1 0 6 4 . 0 0 0 6 5 0 7 7 . 0 0 0 3 8 6 5 4 . 0 0 0 29074 , 0 0 0 2 3 0 6 9 . 0 0 0 1 7 8 8 6 . 0 0 0 1 3 5 9 9 . 0 0 0 0 9 8 9 6 , 0 0 0 0 6 8 3 2 V» - . 0 1 2 2 4 0 2 5 - . 0 4 2 5 6 1 8 9 - . 0 5 7 1 1 6 1 8 - . 0 5 9 8 3 7 4 3 -- . 0 5 7 5 5 5 2 5 - . 0 5 3 6 6 9 7 9 - . 0 4 8 3 8 2 2 5 - . 0 4 2 8 8 0 3 6 - . 0 3 5 6 1 4 7 5 - . 0 2 8 8 2 6 5 8 Q= - . 0 0 0 0 3 1 8 2 - . 0 0 0 0 6 0 0 4 - . 0 0 0 0 3 7 1 7 - - 0 P 0 0 2 3 1 3 • - . 00001673 - , 0 0 0 0 1 2 3 8 - . 0 0 0 0 0 8 6 5 - . 0 0 0 0 0 5 8 3 - . 0 0 0 0 0 3 5 2 - . 0 0 0 0 0 1 9 7

X= . 02140000 . 0 2 3 5 4 0 0 0 . 0 2 5 6 8 0 0 0 H= . 00004371 . 0 0 0 0 2 1 2 6 . 0 0 0 0 0 2 1 7 V» - . 0 1 9 7 6 4 6 4 - . 0 1 1 6 4 8 66 •••.00088074 Q= - . 0 0 0 0 0 0 8 6 - . 0 0 0 0 0 0 2 5 00000000

c t- <t < c 1» <r c g; r C ' (v . c c cr c c c O -< a — c c c c c

• • • • I I

O (M -O m O O- c r v c c c < M C C rv c ri c O- C i - i c ^ C. - 1 C C C C

I • • * I I

O r ' r*- fr. O C CT I - I C or rr c -c . - c c (V c rg c CT C f - C r - C C C c c c c • • » »

I I

C — vt (V C r g l i <v C 1^ -r g < v c I - C c r c f- c "v c - c rv C C C C C

• • • •

I I

C i r ( \ r \ ' O c c CT I f C CT C C r g rvi cr O I - C r g O ^ c 1^ c ^ c c c c c c

• • • • I I

e Of O c ,c s f > t C c r C fvj f s : >ü <2

r - C ' I ' C C r r c

r- l C i - ' C

O c e c • • • •

I I

m rr I - . < ; -c CT I — I - I *-* r r (Tl r r O c O O C O O O • •

C O I I

!l " Z of 1— UJ

c c c c > UJ z co 1-.

z > UJ UJ

O c I - I

X X C O UO l / l

I - uv CT- -C t~ - t

- t oc

O c O O O O O O O c C c

» • O c * I

II II O z o: w U J

O O o: > U J z co >-.

• *

z > UJ UJ c c t - I

cr rr t-rr.

O

+

II

oc

O j : . u v • ^

C -1- 1^ c c ~ t O" rg a: O c CT C i - i C - t c rg c

C rr c C C O C

• • • •

I I

O f r -O rvj O uv ÏM fO O u- <vi <r

v t t c O O t r c ; oc O r g c t o O • - I c r - O O O O O

O O O O O-

I I

O IA v t t r O r r i-t riv O O r g iT' O r g O O t~ I - r v O O O - t O — c - t O O O O O

I I

O CT- I - I CT C - t rr i C ' O u". t*i O lO O oc r-«

UV r g O O co O CT O O c - t O O c O O

« t -O r - oc r - - t r v - t t c i f r g r^ O O c O O O O O • •

c c I I

II H (-•! Z of »_. UJ C 5 O

OC > u ^ Z Ct» t -

• t

z > UJ UJ

O O H X

X X C O l/> t / l

• • * • r g 0 1 1 fw t n

l<^ • t -c O r o v t

f - O r g c t O O c O f^ irv O C O

rvi C CT r r trt C O

O r g fw t f l r g O O

- t - t CT- O O c O •c- O r - C O O

O O - t O • • II O O O c O O

X * • « • + 1 i i II n

O f - v t co O r g O z ot: O I - I fM O O I - I CT O >- . UJ

O —1 C l/v O O CT O O c O c r fw CT - t co O r g O C Ï : >

O r g I - I - t O -O O -0 O UJ z ~ t - t 1-4 t r O i r O r- l O co 1— l - t c c. t^ c r ; O c O • • r g O O O O O O O O z > O • • • • • • * U l UJ

• 1 1 + + c c O 1- I

C3 ts:

O rvi CC tr\ O v t O O O r , r-- t g> i n t n -M r g i n O 0.1 t\i rj O c O r g O O O O O • • • •

I I

O O 00 t n O O co g j O O r g - t O r ^ r i r j O r g t n O O r o n* O O O O O O O O O

I

X X > O

c - t m ivj O r v (VJ O O O O O - t r - l tr . c t n O I - I O rti O r g O r g c c O

O O c O

• • • • • I 1

O - O - I - ' m

O r v i-t r g O I - I fvj c O tvj m O - r O - O O -M O i-< c r g O P-I O O O O O

• • • « I I

N H 11 11 X r > O

O O O O

C5 CC

O CT • - • ^ O C C CT c (V r j c c r - t c r c CT- C CT C v t C (VI C

- c r v c O c e c • * • «

I I

O f - i -O -O O r - g> cr O f - t~- rM v t -O I - I O c c O CT C r g O (O O

O r g O O O O c

C ' O

II

ct;

I

O U-- r g c O -O - t m O tr CT - t O r v -O c r- -O O O O - t O f - i O r v O O O O O

I I

O (Vl . - . i - i O - c -O r g c i r r g -M -O O f- p-t t n rc -O O 00 c -O O O O r o O O O O O

I I

O ( T O r g

O O - O O O CT CT v t r g i - i O (M - t N v t C vO O r o O O O «-1 c O O O <5

O O -O (Vi O c - i n r o O . t r o i n OD -O I - I (Tl r g v t i-t O v t I - I - t O C c r g C ' O O O O

• • B • I I

O OC O f^ O CVl CT r H O i - i rO - t - t fw CO r o I - I (r^ r o O r g rv; v t O

O O -M O O O O O

O O

I I

O O r - O O O m f-v O O tc- r g O - t r g r g

O rM r g O O r v fw c O O O O O O O O

• • t •

oc - t ro f-- t i r O t c f^ f~ r g (O

O O O O O C

C c t »

O O I I

Z o : » - UJ O D

DC > UJ z ( D • - .

t •

z > UJ U -

C O H I

X X O cr I A t / l

O tn I - I r-rM « r g - t

O O O O O O O O O O O O

• • O O

+ I

II n O z e; f H UJ

UJ z CQ 1-4 • *

z > UJ UJ

O r - - t •-< C 00 -O O O -O X O • t O - t O i n O f-- O r i O O O r g O O O O O O O

• • B t

I I

O cr .T r-O 00 O O O r o f w O O r g O - t O O -M O uv O r g O O O

O O O O

I I

II n > O

O O O O

z

cc

C - t - I c¬O (V oc CT C O I - c t t v t r g c O C I - I c • t C C C

rM c r g c C C C C

e B e s

I I

C -O vO O (O (O v t O U- f^ (V: v t CT r- O to O l ~ O r g c t n O I - I c r g O O O O O

OC

<

fw

f -O t o r g O

II X

O r g rM fw rM O

• O

II UJ X

O O

I I

O CT c r . - I O rv. t n (v;

O (V; r r .O

C - I -O O fw r g r j O O O CT O rM O r g O O O O O

« • • B I I

O O i n r-o - t CT- (O c r g cc ( O gs g; r-1 rM

m « t CT o co c t o O O O r g O c o c o

• B « • I I

O CT -O in O CT- O r g O O- (VJ r g r g r g (M - t P CT O g> O (O. O O O r g O O O O O

O rM 00 r g O cr v t r g O r g - t r¬a> vO I - " (VI r g u - - t O v t f ^ O

O C i - l O

O O O O • « • •

I I

O 00 (O <c O O t- O c -O r g g j • t ( O g j r g rM (Vl vO O r g r g rM O O O r-« O OOOO • « • •

I I

O O v t CT-O O -O rM O O c r m O <r r g r g O r- O O O r g c r O OOOO OOOO

t B • • I I

O g j CT- r -o O ty- O O co - O O O O - t O v r O rM O rM O 03 O r g O O O O O O O

• • • •

M a d S 1

periocJi&kc r&nJw. l.p.\/. K-S.O hejii

0.00/ H

•i

0.OOOOO O.ooUX ooiyv

O.ootlV 0. 01 go

t.toViS o.oto/.

0.00 iiy o.olSo

O.OO éiL 0. so I /I o.oXSJ

o.oloya f.oisl

o.oitai 0.00 fil t.Oiii

a.oo/iS o.ol/J

t.oiy/l O.OOflo O.olSS

0. OoaSS

t.oi/'/o 0-poo G^ 0.0 JoS

0.0 O.OOoiS o.alyS

0.0 Is O.oooll O.CSSO

i>y/«ê Q )

?« onJerjla^*"'^ fiûjtst-i i/ineli «ais

te-rciêjôU. ^„/^to,..^^ ap Aaf ttUttd voor-

3.04. ^/r < y . o i>.er^/<»MC< rtr.et n/e.e:rfUêe

/•^ o.iooo/)

By La je I!

a O

jT' r

0.0 0 0.0 tl «

I.01 0.0 0

O.ol 0.0 ly 0

0. 03 0. 0 IS 0

O.oV 0.0 li 0

i.oS o.o II 0

».oi> O.oo^ 0

0. oy O.ooJ 0

e.oS O.ooS O

0. of O.ooi 0

0. lo O.OO/ 0

Btf*kfJ<ii^] ôlfofloof met Com/3uJiri)ngta.n„t,a ôj

KEHlUa I : k^ntdi/oorti/Marde. in hat fîer fôr het tfJu^J

(zic voor vetUatK ^0ê.^^S /yijtt^& / i )

BC^tkeMIfJo 3 •• A.aKjvtorhl*ArJt / « t^attr Hiér het taUlael 3

II

II ri

n V

5;

"3

^

/A » I I-V

V

I +

tl

^-4

\ N

s +

/O

1

1- n > ri

ri

0

.0

Up

;|r ^ K

i, Ol

K

^ ^ c n 0 1

A

'/\

0 Q

A

Ni » Y

5 3

: % 1 p>

1 II

II

II

II II

0 (^

b

Ho Ui

H

-t

1 3:

1 0 M

1 3:

V,

X

:i

1 \ 1

i- b Ir,

0 ï:

Pv

iA i 1 ?;

3;

*

* 0 IA

"li

K Cl

mathematisch model voor de berekening van …

Documents